xs-104 estadística i

XS-104 ESTADÍSTICA I

Yadira María Alvarado Salas

I Cuatrimestre 2014 – UNED

4 ta Tutoría

CAPÍTULO 9MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN

1. LA VARIABILIDAD Y SU IMPORTANCIA

Es casi tan importante conocer un promedio, como la variabilidad de los datos a su alrededor.

La validez de un promedio para resumir, depende en grado sumo, de si los datos individuales se dispersan o concentran alrededor de él. Cuanto más se concentren los datos alrededor de la

media aritmética, mucha más confianza se tendrá en este valor para caracterizarlos.

La variabilidad juega un papel clave dentro de la estadística. Si los fenómenos no se repitieran o lo hicieran sin

variaciones, la estadística casi no tendría razón de ser.

1. LA VARIABILIDAD Y SU IMPORTANCIA

Datos:

1 3 4 7 10

Suma: 25

Promedio: 5

0 8 9 102 3 4 5 6 7

5

4

3

2

1

1

Datos:

4 5 5 5 6

Suma: 25

Promedio: 5

0 5 6 7 8 9 10

2

1

1 2 3 4

5

4

3

Datos:

5 5 5 5 5

Suma: 25

Promedio: 5

0 8 9 102 3 4 5 6 7

5

4

3

2

1

1

Los tres conjuntos de datos tienen la misma media aritmética y, sin embargo, su dispersión es muy diferente.

2. LA MEDICIÓN DE LA VARIABILIDAD.EL RECORRIDO Y LA DESVIACIÓN MEDIA

El recorrido Diferencia entre el valor mayor y el valor menor.

Ej: Recorrido = 10 – 2 = 8

No es muy usado, debido a ciertas limitaciones: No considera todas las observaciones del grupo. Depende sensiblemente del número de datos, ya que es

posible que entre las nuevas observaciones haya alguna más pequeña o más grande a las existentes.

Se utiliza cuando: Se desea una medida simple de variabilidad. Por falta de tiempo no se puede emplear otra medida. El número de casos es pequeño.

Se utiliza en aplicaciones de control estadístico de procesos.

3 10 2 8 7


La desviación media Hay que recordar que la suma de las desviaciones

respecto a la media aritmética siempre es igual a cero.

Por ello se emplean valores absolutos en las diferencias.


La desviación media

Ejemplo:

3. LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y LA VARIANCIA:CONCEPTO, DEFINICIÓN Y CÁLCULOEN DATOS SIMPLES Y AGRUPADOS

La desviación media casi no se utiliza porque: Requiere el manejo de valores absolutos. Existe otra medida, basada también en las

desviaciones respecto a la media aritmética que: Es mucho más cómoda y útil. Tiene numerosas utilidades prácticas y teóricas.

La desviación estándar o típica emplea los cuadrados de las desviaciones.


La desviación estándar indica cuánto se alejan, en promedio, las observaciones de la media aritmética.

Es la medida de dispersión más usada en estadística.

El cuadrado de ella, la variancia, también es muy importante.

Es más cómodo trabajar sin el radical, por lo que se calcula primero la variancia y luego se extrae la raíz cuadrada.


Uso de la desviación estándar y la variancia en muestras y poblaciones: Tienen símbolos diferentes:

En población: se usan letras latinas mayúsculas o griegas.

En muestras: se usan letras latinas minúsculas (estimadores).


Fórmulas de la variancia en muestras:


El cálculo de la variancia en datos sin agrupar con ambas fórmulas:


El cálculo de la variancia en datos agrupados en una distribución de frecuencias

Donde:


Ejemplo:

4. VARIABILIDAD RELATIVAEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Necesidad de comparar dos o más conjuntos de datos en cuanto a su variabilidad. Cuando las unidades de medida son diferentes

(kilogramos, centímetros, minutos). Cuando aún siendo la misma unidad de medida, sus

promedios están muy alejados (peso de conejos y caballos).

Para ello se utilizan medidas de dispersión relativa.

La más importante es el Coeficiente de Variación.

4. VARIABILIDAD RELATIVAEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Para la población

Para una muestra

Ejemplo:

Interpretación: La desviación estándar representa un 14,62% de la

media aritmética.

5. ESTANDARIZACIÓN DE NOTAS Permite dar posiciones relativas dentro de un grupo.

Por ejemplo: Cecilia obtuvo una nota de 85 y Efraín un 70.

6. MEDIA Y VARIANCIA DE VARIABLES DICOTÓMICAS Variable dicotómicas: sólo tienen 2 posibles

resultados (sexo, ocupado-desocupado, tenencia de celular).

Valores a utilizar: 0 = Ausencia (no tiene la característica). 1 = Presencia (sí tiene la característica).

La sumatoria de los “1” ( N1 ) da el número

de personas con la característica de interés. N – N1 representa a quienes no la tienen.

N1 / N = P es la proporción de personas con la característica de interés.

1 – P = Q es la proporción de personas que no tienen esa característica.

6. MEDIA Y VARIANCIA DE VARIABLES DICOTÓMICAS

Para la población:

Para una muestra:

6. MEDIA Y VARIANCIA DE VARIABLES DICOTÓMICAS Ejemplo: tenencia de computadora

en 8 familias. ¿Cuál es la media y la variancia?

7. ILUSTRACIÓN INTEGRADA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y VARIABILIDAD

Interpretar Me = 7,4 La mitad de las familias de la zona central consumen menos

de 7,4 Kg de mariscos al año, y la otra mitad más de esa cantidad.

¿Dónde consumen más mariscos? Es parecido en ambas zonas: aunque la moda es un poco

mayor en la Central, las medianas son similares. Consumo promedio para todo el país:

Consumo total de mariscos del país: N = 600 000 + 900 000

8. MEDIDAS DE POSICIÓN O CUANTILOS

Cuantilos: describen la posición de un valor específico de la distribución, cuando todos los valores han sido ordenados.

Cuantilos más usados: Percentiles ( P ): dividen al conjunto en 100 partes. Deciles ( D ): dividen al conjunto en 10 partes. Cuartiles ( Q ): dividen al conjunto en 4 partes.


Ejemplos: Mediana = P50 = D5 = Q2 La mitad de los

valores son inferiores a este valor y la otra mitad son superiores.

Cuartil 1 = P25 = Q1 Una cuarta parte de las observaciones son menores que él y ¾ partes mayores.

Cuartil 3 = P75 = Q3 ¾ partes de las observaciones son menores que él y ¼ parte es mayor.

Con la fórmula de los percentiles, se puede calcular cualquier cuantilo.


Procedimiento para calcular percentiles: 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Determinar la posición:

3. Buscar el valor, de acuerdo con la posición encontrada.


Ejemplo: calcular el percentil 86 con los datos de los pesos de los 60 estudiantes.

1. Ordenar los datos de menor a mayor.

63 71 53 66 63 88 45 56 61 63 67 7553 84 70 62 71 70 52 56 61 64 68 7560 67 72 60 52 67 52 56 61 64 68 7775 55 61 52 77 64 52 57 62 64 70 7964 60 56 45 61 62 53 57 62 64 70 8064 57 61 56 68 65 53 60 62 65 71 8455 53 52 73 80 84 53 60 62 65 71 8461 86 87 67 55 75 55 60 62 66 72 8679 57 75 62 62 56 55 60 63 67 73 8768 64 63 60 65 62 55 61 63 67 75 88

Peso en kilogramos de 60 hombres Peso en kilogramos ordenados


2. Determinar la posición del P86

n = 60 y m = 86

3. Buscar el valor, de acuerdo con la posición encontrada. El término 52,46 no existe, por lo que habrá que hacer una

interpolación lineal, entre los valores adyacentes.


El valor P86 = 75,92 significa que un 86% de los estudiantes tiene un peso inferior a 75,92 Kg y un 14% más de ese peso.

8. MEDIDAS DE POSICIÓN O CUANTILOS Recorrido intercuartil ( RIC ).

Es la diferencia entre el cuartil 3 y el 1: Q3 – Q1

Ventajas de esta medida: Da una idea de la dispersión del 50% central de los datos. Excluye el efecto de los valores extremos. Resulta muy útil cuando se tienen clases abiertas y no es

posible calcular la variancia.

9. DIAGRAMA DE CAJA

Es un procedimiento gráfico basado en los cuartilos.

Permite visualizar en una forma organizada, un grupo de datos.

Está compuesto por la caja, dos brazos y los bigotes.

Se necesitan 5 medidas para construirla: valor mínimo, valor máximo y los cuartiles Q1 , Q2 y Q3.

9. DIAGRAMA DE CAJA Diagrama de caja de la variable

peso en los 60 estudiantes: Mínimo = 45 Q1 = 57,75 Q2 = 63 Q3 = 70,75 Máximo = 88

El 50% central de los pesosestá entre los 57,75 y 70,75kilos.

El recorrido intercuartil,distancia entre el Q1 y Q3, es igual a 70,75 – 57,75 = 13La distribución es asimétrica, hacia la derecha, o sea tiene asimetría positiva (el bigote superior es más grande que el bigote inferior). La mediana (Q2) está más cerca de Q1.

CAPÍTULO 10INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES

1. INFERENCIA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Cuando se trabaja con muestras, la información es parcial, y las decisiones se toman en condiciones de incertidumbre.

Es decir, existe el riesgo de equivocarse al hacer una inferencia (generalización de la parte al todo).

Surge la necesidad de disponer de algún procedimiento objetivo que permita tratar con la incertidumbre y los riesgos.

Esta función la cumple la teoría de las probabilidades, la cual se convierte en la base de la estadística inferencial.

Esta teoría suministra los elementos para medir, analizar y minimizar los riesgos de error presentes en el proceso de inferencia.

2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Las probabilidades se refieren a acontecimientos cuya ocurrencia es incierta.

Esto es, se sabe que pueden presentarse pero no es posible conocer con certeza cuándo.

La probabilidad es, en realidad, un valor numérico que: Debe cumplir con ciertas condiciones o propiedades

matemáticas. Se asocia a un evento o suceso determinado para expresar

el grado de confianza que se tiene en su verificación futura.

Históricamente se han presentado 3 enfoques o definiciones: La clásica. La frecuencial. La personalista.

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL

La estadística trabaja con datos que provienen de observaciones, experimentos o procesos repetitivos, reales o imaginarios: Anotación de pesos de niños recién nacidos. Registro de las calificaciones de un curso. Análisis de datos sobre consumo general de

leche. Imaginar lo que sucede si se lanza un dado

“normal” 20 veces. Eventos o sucesos: son los resultados de

este tipo de experiencias reiteradas. Se representan con las letras x o E.

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL Eventos simples: se representa cada uno de los valores

posibles. Ejemplo: se tiene el peso (Kg) de 12 estudiantes:

Cada peso obtenido representa una observación o un evento simple.

Se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea horizontal:

Eventos compuestos: agrupación de eventos simples. Ejemplo: número de estudiantes que pesan más de 60 Kg ( x >

60 ). Estos serían:

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL Evento simple: lanzamiento de un dado normal:

Valores posibles:

Representación gráfica:

Cada punto representa un evento simple, y el total, que son todos los posibles eventos, representan el espacio muestral de la experiencia.

Espacio muestral: conjunto de todos los posibles eventos simples.

Evento compuesto: que el resultado del lanzamiento sea número par.


Ejemplo: se lanzan dos dados normales, uno azul y otro rojo, pero iguales en sus otras características:

El espacio muestral está formado por 36 eventos simples.

Representación gráfica:

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL Ejemplo: se lanzan dos

dados normales. Si los eventos simples se

combinan de determinadas formas, se obtienen eventos compuestos.

Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = 8

Este evento compuesto lo conforman 5 eventos simples:

( x = 2, y = 6 ) ( x = 3, y = 5 ) ( x = 4, y = 4 ) ( x = 5, y = 3 ) ( x = 6, y = 2 )


Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = número par

Este evento compuesto lo conforman 18 eventos simples.


Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y < 5



Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = número par menor

que 5


En teoría de conjuntos, éstos constituyen la intersección de los conjuntos definidos en los dos casos anteriores.

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL Espacio muestral bidimensional

para variables continuas. Ejemplo: un grupo de

estudiantes universitarios,

con:

Espacio muestral: Rectángulo ABCD

Evento simple: Un estudiante que pese 65 Kg y mida 170 cm (punto H)

Evento compuesto: Estudiante que pese más de 70 Kg y mida más de 175 cm (rectángulo

verde).


Espacios muestrales en lanzamiento de monedas:


Espacios muestrales en lanzamiento de dados:

3. EVENTOS Y ESPACIO MUESTRAL Espacio muestral en

juego de naipes (baraja inglesa): Son 52 cartas. Hay 4 palos con 13

cartas cada uno: Diamantes (oros) Corazones Tréboles Espadas (picas o bastos)

Hay 4 cartas de cada rango (4deK, 4deQ, 4deJ, 4de10, 4de9, 4de8, 4de7, 4de6, 4de5, 4de4, 4de3, 4de2, 4 Ases).

Hay 2 colores (26 cartas rojas y 26 cartas negras).

4. LA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.ENFOQUE CLÁSICO

¿Cómo asignar probabilidades a los eventos de una experiencia aleatoria? Se debe pensar en términos de un experimento

ideal, que pueda repetirse un gran número de veces, en condiciones similares.

Luego se debe anticipar todos los posibles resultados (espacio muestral).

En procesos como lanzar monedas, lanzar dados, extraer cartas de un juego de naipes, girar la ruleta, se intuye que todos los resultados (eventos simples) tienen la misma oportunidad de suceder, o sea, son “igualmente posibles”.

4. LA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.ENFOQUE CLÁSICO

Definición clásica de probabilidad Usada por Pascal, Fermat y Laplace. Proviene de la experiencia con juegos de azar. Supone que:

El espacio muestral es finito. La variable es discreta. Los resultados son:

Mutuamente excluyentes (no pueden suceder en forma simultánea), e Igualmente posibles (misma oportunidad de suceder).

Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutualmente excluyentes e igualmente posibles, y si n(A) de ellas posee un atributo A, la probabilidad de A es la fracción:

5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS PROBABILIDADES

Sea Ei el evento simple o el punto muestral i. La probabilidad es positiva o

nula. La suma de las probabilidades

de los eventos simples es igual a la unidad.

Si un evento compuesto A abarca los eventos simples E1, E2, … , Ek, su probabilidad es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples.

El número de casos favorables no puede ser mayor a los posibles, por lo que:

Cuando el evento A es imposible, la probabilidad es cero.

Cuando el evento A es seguro o cierto, la probabilidad es uno.

6. LA LEY DE LA SUMA Si se tienen dos eventos A y B, la probabilidad de que

suceda por lo menos uno de ellos es:

Donde:

6. LA LEY DE LA SUMA

El evento contrario

El evento contrario o complemento lo conforman todos los eventos simples que no tienen el atributo que se busca ( A ).

Como la suma de las probabilidades de todos los eventos simples es la unidad, entonces:

7. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad de que un cierto evento suceda, dado que otro ya sucedió.

8. LA REGLA DEL PRODUCTO

Si los resultados de un suceso aleatorio pueden tener, a la vez, los atributos A y B, la probabilidad de ocurrencia de ambos es igual a la de que suceda A multiplicada por la probabilidad de que suceda B, dado que pasó A.


Eventos mutuamente independientes Si la ocurrencia de A no afecta la de B o

viceversa, entonces se dice que los eventos A y B son mutuamente independientes y se tiene que:


Resumen

9. PROBABILIDAD ESTADÍSTICA O FRECUENCIAL Y PERSONALISTA

Las probabilidades calculadas con la definición clásica se conocen como a priori.

Se llega por un razonamiento totalmente deductivo.

Limitaciones de la definición clásica: No es aplicable la definición clásica cuando:

El número de casos favorables, y aún el de posibles se desconoce, ya que es imposible calcular el cociente.

El total de resultados posibles es infinito. Se sabe que los eventos no son igualmente posibles o,

por lo menos, no se está seguro de que lo sean.

Por ello se ha buscado una definición que satisfaga las necesidades teóricas y prácticas.


Enfoque estadístico o frecuencial Se basa en los resultados empíricos, y utiliza el concepto

de frecuencia relativa. Si se tienen n observaciones de una misma clase y el

evento A ocurre en n(A) de ellas, el cociente ( n(A) / n ) se denomina frecuencia relativa del evento A.

Conforme sea mayor el número de observaciones, mayor será la estabilidad de las frecuencias relativas.

La frecuencia relativa, de una cierta experiencia n, tiende como límite a un valor cierto, generalmente desconocido.


Enfoque estadístico o frecuencial Ejemplo:

Se inoculan 20 ratas con una disolución tóxica.Si de las 20 ratas inoculadas, 14 mueren e interesa el evento muerte o supervivencia de ellas, entonces:


El enfoque personalista o subjetivo Se orienta a tratar el caso de eventos históricos o

específicos que no pueden repetirse, por lo que no se puede aplicar la definición clásica, ni la interpretación frecuencial.

Se concibe la probabilidad como una medida de creencia personal de que un cierto evento particular es susceptible de suceder o ha sucedido.

Es frecuente entre los empresarios, los militares, los politólogos y los líderes políticos.

Ejemplos: Un detective indica que:

P( x = asalto por banda de extranjeros ) = 0,80. Un cafetalero estima que:

P( x = alza sostenida en precio café por 5 años ) = 0,40.

EJERCICIOS

Suceso mutuamente excluyente, operador suma: En suma: el operador es "o", es decir, quiero que ocurra uno, u otro, o ambos

sucesos (me da lo mismo cuál de ellos ocurra)

EJERCICIOS

Suceso mutuamente excluyente, operador suma:

EJER-CICIOS


EJERCICIOS


EJERCICIOS

Suceso independiente, operador multiplicación: En multiplicación: el operador es "y", es decir, quiero ambos sucesos a la vez.

EJERCICIOS

Suceso independiente, operador multiplicación:

EJERCICIOS

Sucesos dependientes (condicional), multiplicación:

EJERCICIOS

Combinados

EJERCICIOS

Frecuencial

MUCHAS GRACIAS

xs-104 estadística i

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