xs-104 estadística i

XS-104 ESTADÍSTICA I

Yadira María Alvarado Salas

I Cuatrimestre 2014 – UNED

3 era Tutoría

CAPÍTULO 7DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

LA NECESIDAD DE RESUMIR LA INFORMACIÓN CUANTITATIVA:LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Las distribuciones de frecuencia son clasificaciones que se refieren a variables cuantitativas (continuas o discretas).

Resulta valioso disponer de elementos descriptivos que den información acerca de 3 aspectos: Forma: la forma o patrón de distribución de los datos. Posición: la posición de la distribución, o sea, alrededor de qué valor se

tienden a concentrar los datos (valores centrales). Dispersión: la dispersión de los datos alrededor de los valores centrales o

promedios (variabilidad).

Esto es fácil cuando el conjunto de interés tiene pocos datos. Cuando los datos son numerosos, se recurre a agruparlos en una

distribución de frecuencias.

Definición: la distribución de frecuencias es una ordenación o arreglo en clases o categorías que muestra, para cada una de ellas, el número de elementos contenidos (frecuencia).

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASDE VARIABLES DISCRETAS

3 2 2 3 2 3 0 34 2 6 1 2 5 2 12 2 2 1 3 2 2 11 2 3 2 1 2 3 2

Cantidad de hermanos (pág 314)

Ejemplo: Número de hermanos de

32 alumnos de un colegio rural de San José.


0

16

Número de hermanos

Núm

ero d

e al

um

nos

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

Bastones Ejemplo: Número de hermanos de

32 alumnos de unaescuela rural

Gráficos


0

16

Número de hermanos

Núm

ero d

e al

um

nos

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

Bastones

0

16

Núm

ero d

e al

um

nos 14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 6Número de hermanos

Barras

3 4 5


32 alumnos de unaescuela rural

Gráficos

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE VARIABLES DISCRETAS

Númerohermanos

f

0 1

1 6

2 15

3 7

4 1

5 1

6 1

TOTAL 32


Númerohermanos

f fr

0 1 0,0313

1 6 0,1875

2 15 0,4688

3 7 0,2188

4 1 0,0313

5 1 0,0313

6 1 0,0313

TOTAL 32 1,0000


Númerohermanos

f fr

Acumulada"Menos de"

AbsolutaF

0 1 0,0313 1

1 6 0,1875 7

2 15 0,4688 22

3 7 0,2188 29

4 1 0,0313 30

5 1 0,0313 31

6 1 0,0313 32

TOTAL 32 1,0000


Númerohermanos

f fr

Acumulada"Menos de"

AbsolutaF

Acumulada"Menos de"

relativaFr

0 1 0,0313 1 0,0313

1 6 0,1875 7 0,2188

2 15 0,4688 22 0,6875

3 7 0,2188 29 0,9063

4 1 0,0313 30 0,9375

5 1 0,0313 31 0,9688

6 1 0,0313 32 1,0000

TOTAL 32 1,0000


Númerohermanos

f fr

Acumulada"Menos de"

AbsolutaF

Acumulada"Menos de"

relativaFr

Acumulada"Más de" Absoluta

F

0 1 0,0313 1 0,0313 32

1 6 0,1875 7 0,2188 31

2 15 0,4688 22 0,6875 25

3 7 0,2188 29 0,9063 10

4 1 0,0313 30 0,9375 3

5 1 0,0313 31 0,9688 2

6 1 0,0313 32 1,0000 1

TOTAL 32 1,0000


Númerohermanos

f fr

Acumulada"Menos de"

AbsolutaF

Acumulada"Menos de"

relativaFr

Acumulada"Más de" Absoluta

F

Acumulada"Más de"relativa

Fr

0 1 0,0313 1 0,0313 32 1,0000

1 6 0,1875 7 0,2188 31 0,9688

2 15 0,4688 22 0,6875 25 0,7813

3 7 0,2188 29 0,9063 10 0,3125

4 1 0,0313 30 0,9375 3 0,0938

5 1 0,0313 31 0,9688 2 0,0625

6 1 0,0313 32 1,0000 1 0,0313

TOTAL 32 1,0000


¿Cómo obtener los datos que faltan en la tabla de

frecuencias?


Los datos en rojo son los que faltaban.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE VARIABLES DISCRETAS35

Núm

ero d

e alu

mn

os 30

25

20

15

10

5

5 6Número de hermanos

0

0 1 2 3 4


32 alumnos de unaescuela rural.

Frecuencias acumuladas discretas “Menos de”.


Núm

ero d

e al

um

nos

10

35

3 4 5 6Número de hermanos

0 1

15

20

25

30

2

5

0

35

Núm

ero d

e alu

mn

os 30

25

20

15

10

5

5 6Número de hermanos

0

0 1 2 3 4


32 alumnos de unaescuela rural.

Frecuencias acumuladas discretas “Menos de”.

LA MEDICIÓN DE VARIABLES CONTINUAS Y EL PROBLEMA DEL REDONDEO

Teóricamente una variable continua puede ser medida con la exactitud que se quiera.

En la realidad, las variables continuas se expresan redondeadas en cierto tipo de unidades.

Redondeo a la unidad más próxima:

Si el primer dígito de la parte del número a eliminar:

Es menor que 5, el dígito precedente permanece igual. Es mayor que 5, el dígito precedente aumenta una unidad Es exactamente 5, entonces:

Si el dígito precedente es impar, éste aumenta una unidad

Si el dígito precedente es par, éste permanece igual.


Redondeo hacia abajo

El último dígito que interesa, se conserva. El resto del número se elimina.

Redondeo hacia arriba

El último dígito que se desea conservar, se incrementa en una unida.

Excepto si va seguido únicamente de ceros.


Redondeo a la unidad más

próxima



24 351

24 500

24 892

25 000

25 001

25 383

25 500

25 776

0,00723

0,00749

0,00750

0,00799

0,00800

0,008010,00850Re

dond

eo a

milé

sim

asRe

dond

eo a

mile

s

Ilustración del redondeo con los tres diferentes métodos


Redondeo a la unidad más

próxima



24 351 24 24 25

24 500 24 24 25

24 892 25 24 25

25 000 25 25 25

25 001 25 25 26

25 383 25 25 26

25 500 26 25 26

25 776 26 25 26

0,00723 0,007 0,007 0,008

0,00749 0,007 0,007 0,008

0,00750 0,008 0,007 0,008

0,00799 0,080 0,007 0,008

0,00800 0,008 0,008 0,008

0,00801 0,008 0,008 0,0090,00850 0,008 0,008 0,009Re

dond

eo a

milé

sim

asRe

dond

eo a

mile

s

Ilustración del redondeo con los tres diferentes métodos

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES CONTINUAS

63 71 53 66 63 8853 84 70 62 71 7060 67 72 60 52 6775 55 61 52 77 6464 60 56 45 61 6264 57 61 56 68 6555 53 52 73 80 8461 86 87 67 55 7579 57 75 62 62 5668 64 63 60 65 62

Peso en kilogramos de 60 hombres

Peso de 60 estudiantes hombres (en Kg)


63 71 53 66 63 88 45 56 61 63 67 7553 84 70 62 71 70 52 56 61 64 68 7560 67 72 60 52 67 52 56 61 64 68 7775 55 61 52 77 64 52 57 62 64 70 7964 60 56 45 61 62 53 57 62 64 70 8064 57 61 56 68 65 53 60 62 65 71 8455 53 52 73 80 84 53 60 62 65 71 8461 86 87 67 55 75 55 60 62 66 72 8679 57 75 62 62 56 55 60 63 67 73 8768 64 63 60 65 62 55 61 63 67 75 88

Peso en kilogramos de 60 hombres Peso en kilogramos ordenados

Peso de 60 estudiantes hombres (en Kg)

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES CONTINUAS Amplitud o recorrido: Valor mayor – valor menor

88 – 45 = 43

Cantidad de clases: no menor a 6, ni mayor de 15 43 / 6 = 7,16 43 / 8 = 5,38 43 / 10 = 4,30

Intervalo: preferible de 5, 10 o múltiplos de ellos.

El intervalo más apropiado es de 5 Kg.

La cantidad de clases es de 9.

¿Dónde empieza la primera clase? En 45

LÍMITES REALES Y LÍMITES INDICADOS, INTERVALO DE CLASE Y PUNTO MEDIO

Límites de clases Son los valores que definen una clase. Las clases deben ser:

Exhaustivas: todas las observaciones quedan clasificadas.

Mutuamente excluyentes: ninguna observación está en más de una clase.

Hay que distinguir entre: Límites indicados: aparecen indicados en la distribución. Límites reales: señalan la verdadera extensión de la

clase. Ejemplo peso de estudiantes (variable continua):

Límites indicados: 45 - 49 50 - 54 55 - 59 etc. Estos límites no señalan la verdadera extensión de la

clase. Límites reales, con redondeo al Kg más próximo:

44,5 - 49,5 49,5 - 54,5 54,5 - 59,5 etc.


Relación entre límites reales y el criterio de redondeo

LÍMITESINDICADOS

UNIDAD MÁS PRÓXIMA

(Cumpleaños más cercano)

HACIA ABAJO(Edad cumplida)

HACIA ARRIBA(Próximo

cumpleaños)

10 - 14 9,5 - 14,5 De 10 a menos de 15 Más de 9 a 1415 - 19 14,5 - 19,5 De 15 a menos de 20 Más de 14 a 1920 - 24 19,5 - 24,5 De 20 a menos de 25 Más de 19 a 24


Intervalo de clase

Indica la amplitud de clase. Cálculo: límite real superior - límite real inferior. Usualmente las clases son iguales, por lo que el

intervalo es usualmente uniforme. Se pueden usar clases desiguales, por lo que la

amplitud variaría.


Punto medio Es el valor central de la clase. Se puede calcular de dos formas:

Promedio de los límites reales: (44,5 + 49,5) / 2 = 47

Límite inferior más la mitad del intervalo de la clase 44,5 + 5 / 2 = 44,5 + 2,5 = 47

Si las clases son de igual amplitud, los puntos medios se obtienen al sumar repetidamente el intervalo al punto medio de la clase anterior: 47 + 5 = 52 …

Función importante: el punto medio representa a la clase en ciertos cálculos.

Al agrupar se pierde información individual. Los errores se compensan y se vuelve despreciable.


Clases abiertas

Se ubican al principio o al final de la distribución. Resuelven problemas especiales de clasificación. No permiten calcular el punto medio. Es mejor evitar su uso.

FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS, SIMPLES Y ACUMULADAS

Frecuencia absoluta Cantidad de elementos u observaciones

pertenecientes a una misma clase. Frecuencia relativa

Cálculo: frecuencia absoluta / total de observaciones.

Indica la importancia relativa de la clase. Es conveniente presentarla en porcentaje. Facilitan el análisis y las comparaciones.

Frecuencias acumuladas Cantidad de observaciones mayores o menores

que uno de sus límites. Cálculo: suma de frecuencias absolutas o relativas

ascendente o descendente.

FRECUENCIAS ACUMULADAS

44,5 - 49,5

49,5 - 54,5

54,5 - 59,5

59,5 - 64,5

64,5 - 69,5

69,5 - 74,5

74,5 - 79,5

79,5 - 84,5

84,5 - 89,5

TOTAL

CLASES


44,5 - 49,5 47

49,5 - 54,5 52

54,5 - 59,5 57

59,5 - 64,5 62

64,5 - 69,5 67

69,5 - 74,5 72

74,5 - 79,5 77

79,5 - 84,5 82

84,5 - 89,5 87

TOTAL

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)


Absoluta(fi)

44,5 - 49,5 47 1

49,5 - 54,5 52 6

54,5 - 59,5 57 8

59,5 - 64,5 62 20

64,5 - 69,5 67 8

69,5 - 74,5 72 6

74,5 - 79,5 77 5

79,5 - 84,5 82 3

84,5 - 89,5 87 3

TOTAL 60

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)


Absoluta(fi)

Relativa(fr)

44,5 - 49,5 47 1 0,017

49,5 - 54,5 52 6 0,100

54,5 - 59,5 57 8 0,133

59,5 - 64,5 62 20 0,333

64,5 - 69,5 67 8 0,133

69,5 - 74,5 72 6 0,100

74,5 - 79,5 77 5 0,083

79,5 - 84,5 82 3 0,050

84,5 - 89,5 87 3 0,050

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)


Absoluta(fi)

Relativa(fr)

Absoluta

44,5 - 49,5 47 1 0,017 1

49,5 - 54,5 52 6 0,100 7

54,5 - 59,5 57 8 0,133 15

59,5 - 64,5 62 20 0,333 35

64,5 - 69,5 67 8 0,133 43

69,5 - 74,5 72 6 0,100 49

74,5 - 79,5 77 5 0,083 54

79,5 - 84,5 82 3 0,050 57

84,5 - 89,5 87 3 0,050 60

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

ACUMULADA"Menos de"


Absoluta(fi)

Relativa(fr)

Absoluta Relativa

44,5 - 49,5 47 1 0,017 1 0,017

49,5 - 54,5 52 6 0,100 7 0,117

54,5 - 59,5 57 8 0,133 15 0,250

59,5 - 64,5 62 20 0,333 35 0,583

64,5 - 69,5 67 8 0,133 43 0,717

69,5 - 74,5 72 6 0,100 49 0,817

74,5 - 79,5 77 5 0,083 54 0,900

79,5 - 84,5 82 3 0,050 57 0,950

84,5 - 89,5 87 3 0,050 60 1,000

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

ACUMULADA"Menos de"


Absoluta(fi)

Relativa(fr)

Absoluta Relativa Absoluta

44,5 - 49,5 47 1 0,017 1 0,017 60

49,5 - 54,5 52 6 0,100 7 0,117 59

54,5 - 59,5 57 8 0,133 15 0,250 53

59,5 - 64,5 62 20 0,333 35 0,583 45

64,5 - 69,5 67 8 0,133 43 0,717 25

69,5 - 74,5 72 6 0,100 49 0,817 17

74,5 - 79,5 77 5 0,083 54 0,900 11

79,5 - 84,5 82 3 0,050 57 0,950 6

84,5 - 89,5 87 3 0,050 60 1,000 3

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

ACUMULADA"Menos de"

ACUMULADA"Más de"


Absoluta(fi)

Relativa(fr)

Absoluta Relativa Absoluta Relativa

44,5 - 49,5 47 1 0,017 1 0,017 60 1,000

49,5 - 54,5 52 6 0,100 7 0,117 59 0,983

54,5 - 59,5 57 8 0,133 15 0,250 53 0,883

59,5 - 64,5 62 20 0,333 35 0,583 45 0,750

64,5 - 69,5 67 8 0,133 43 0,717 25 0,417

69,5 - 74,5 72 6 0,100 49 0,817 17 0,283

74,5 - 79,5 77 5 0,083 54 0,900 11 0,183

79,5 - 84,5 82 3 0,050 57 0,950 6 0,100

84,5 - 89,5 87 3 0,050 60 1,000 3 0,050

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

ACUMULADA"Menos de"

ACUMULADA"Más de"


Absoluta(fi)

Relativa(fr)


44,5 - 49,5 47 1 0,017 1 0,017 60 1,000

49,5 - 54,5 52 6 0,100 7 0,117 59 0,983

54,5 - 59,5 57 8 0,133 15 0,250 53 0,883

59,5 - 64,5 62 20 0,333 35 0,583 45 0,750

64,5 - 69,5 67 8 0,133 43 0,717 25 0,417

69,5 - 74,5 72 6 0,100 49 0,817 17 0,283

74,5 - 79,5 77 5 0,083 54 0,900 11 0,183

79,5 - 84,5 82 3 0,050 57 0,950 6 0,100

84,5 - 89,5 87 3 0,050 60 1,000 3 0,050

TOTAL 60 1,000

FRECUENCIA

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

ACUMULADA"Menos de"

ACUMULADA"Más de"

¿Cómo interpretar los datos de la fila resaltada?


Absoluta(fi)

Relativa(fr)


64,5 - 69,5 67 8 0,133 43 0,717 25 0,417

8 8 estudiantes tienen pesos entre 64,5 y 69,5 Kg.

0,133 Un 13,3% de los estudiantes pesan entre 64,5 y 69,5 Kg.

43 43 estudiantes pesan menos de 69,5 Kg.

0,717 71,7% de los estudiantes pesan menos de 69,5 Kg.

25 25 estudiantes pesan más de 64,5 Kg.

0,417 41,7% de los estudiantes pesan más de 64,5 Kg.

CLASESPUNTOSMEDIOS

(Xi)

FRECUENCIAACUMULADA"Menos de"

ACUMULADA"Más de"


Resumen de algunas reglas básicas: Si las observaciones no son muchas, puede

resultar innecesario construir una distribución de frecuencias y será suficiente ordenar los datos por magnitud creciente.

Las clases deben ser exhaustivas y mutuamente excluyentes.

Debe procurarse, como regla general, que el número de clases no sea menor que 6 ni mayor a 15.

Siempre que sea posible, evite las clases de diferente amplitud y también las clases abiertas.

Si hay errores alrededor de los cuales existen concentraciones de los datos, es recomendable que se tornen como puntos medios.

LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Histogramas:Gráfico de

barras verticales, cuyas barras no guardan separación entre sí, y pueden tener diferente anchura.


Histogramas:Gráfico de

barras verticales, cuyas barras no guardan separación entre sí, y pueden tener diferente anchura.

0

5

10

15

20

25

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5


Polígono de frecuencias La abscisa (eje X) es

el punto medio de la clase.

La ordenada (eje Y) es la frecuencia.

Los puntos se unen y conforman un polígono.

El polígono se prolonga, como si existiera una clase adicional al principio y al final, ambas con frecuencia cero.

0

5

10

15

20

25

47 52 57 62 67 72 77 82 87

Núm

ero

d

eest

udia

nte

s

PESO


Histograma y polígono de frecuencias Existe correspondencia entre las áreas bajo el

polígono y el histograma.

0

5

10

15

20

25

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5


Representación de distribuciones con intervalos desiguales Gráfico erróneo:

Clases FrecuenciaIntervalo de clase

44,5 - 54,5 47 7

54,5 - 59,5 57 8

59,5 - 64,5 62 20

64,5 - 69,5 67 8

69,5 - 84,5 72 14

84,5 - 89,5 87 3

0

5

10

15

20

25

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5


Representación de distribuciones con intervalos desiguales Gráfico correcto:

Clases FrecuenciaIntervalo de clase

44,5 - 54,5 47 7

54,5 - 59,5 57 8

59,5 - 64,5 62 20

64,5 - 69,5 67 8

69,5 - 84,5 72 14

84,5 - 89,5 87 3

0

5

10

15

20

25

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5

LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Las “ojivas” o polígonos de frecuencias

acumuladas Ojiva “Menos de”


acumuladas Ojiva “Menos de”

0

10

20

30

40

50

60

70

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO


acumuladas Ojiva “Más de”

0

10

20

30

40

50

60

70

44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5

Nú

mero

de e

stu

dia

nte

s

PESO

CAPÍTULO 8MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:IDEAS BÁSICAS

Propósito de las medidas de tendencia central: Resumir, en un solo número, el centro de los datos

o punto central de localización de la distribución

Medidas de tendencia central: Media aritmética o promedio Mediana Moda Media geométrica Media armónica

SÍMBOLO DE SUMATORIA

Sistema de símbolos o notación: X = variable en consideración (peso, ingreso, etc.). Subíndice i = indica el elemento i (valores

positivos). Representa un valor particular. Xi = 55

Ejemplo: Peso de 6 estudiantes: 55, 64, 53, 79, 64, 68

Sumatoria (símbolo sigma)

SÍMBOLO DE SUMATORIA

Propiedades del símbolo de sumatoria.

1. La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.

2. La sumatoria de la suma algebraica de dos o más variables es igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.

3. La sumatoria de una constante, tomada de 1 a n, es igual a n veces la constante.

MODA, MEDIANA Y MEDIA ARITMÉTICAEN DATOS NO AGRUPADOS

La moda (en datos no agrupados) Valor más frecuente, el que más se repite. Corresponde a la mayor frecuencia. Ventaja: no se ve afectada por valores extremos

(altos o bajos). Limitación: requiere de un número suficiente de

observaciones para manifestarse claramente. Puede no existir, no estar definida, puede no ser

única. Puede haber más de un valor modal. Aplicada a datos cuantitativos y cualitativos.

14, 15, 17, 17, 21, 21, 21, 21, 33, 36, 40


Centro Comercial% que lo mencionó

Multiplaza de Escazú 25,7 Moda

Mall San Pedro 23,4

Paseo de las Flores, Heredia 15,2

Terramall, Tres Ríos 14,9

Real Cariari, Belén 5,6

Multiplaza del Este 5,0

Mall Internacional, Alajuela 3,2

Otro 7,0

TOTAL 100,0

Centro Comercial de preferencia

Ejemplo con datos relativos


Mediana (datos no agrupados) Valor central de una serie de datos ordenados. No más de la mitad de los datos son menores que

él, y no más de la mitad, mayores. 50% de los valores son menores o iguales que él y

el otro 50% son mayores o iguales. Datos sin agrupar:

Primero ordenar, luego calcular el valor central. Si el número de datos es par:

Hay dos valores centrales, se debe calcular la media de los dos valores.

Si n es impar, la posición determina el valor. Posición de la Mediana: ( n + 1 ) / 2


Mediana (datos no agrupados)

Procedimiento de cálculo:


Mediana (datos no agrupados) Ventajas de la mediana:

Siempre puede calcularse y el valor obtenido está bien definido. No es afectada por valores extremos, como sí lo es la media

aritmética.Propiedad interesante:

La suma de los valores absolutos de las desviaciones de los valores, con respecto a la mediana, es menor que las desviaciones con respecto a cualquier otro valor.

Limitaciones: Es un valor calculado que no siempre coincide con un dato

observado. No siempre puede ser usado en muchos procedimientos

estadísticos.


Media aritmética (datos no agrupados)

Ejemplo: edades de 12 personas.

20, 20, 22, 20, 30, 25, 25, 18, 20, 18, 22, 36

𝑋ത = 1𝑛 𝑥𝑖 = σ 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1𝑛


Media aritmética ponderada (datos no agrupados)

X son los valores y W son los pesos. Cada valor se multiplica por la ponderación w.


Media aritmética ponderada (datos no agrupados)

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

1. Media * # observaciones = suma observaciones

2. La suma de las desviaciones da cero

3. La suma (resta) de una constante en las observaciones, aumenta (disminuye) el promedio en esa constante.

4. La multiplicación (división) de una constante en las observaciones, multiplica (divide) el promedio en esa constante.

CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN EN DATOS AGRUPADOS

En datos agrupados no es posible aplicar directamente las fórmulas anteriores.

La moda (Mo) (datos agrupados) Es el valor que se repite con más frecuencia Hay que ubicar “la clase modal” (mayor

densidad de frecuencia).

Li = Límite inferior clase modal. d1 = Diferencia entre clase modal y la clase anterior. d2 = Diferencia entre clase modal y la clase posterior. c = Intervalo de clase modal.


La mediana (Me) (datos agrupados) La ordenada de la Me divide el área bajo la curva en dos

partes iguales.

n = Total de observaciones ó suma de frecuencia absoluta. Li = Límite inferior de la clase mediana (n/2) en frecuencia

acumulada. fi = Frecuencia absoluta de la clase mediana. Fa = Frecuencia acumulada “Menos de” de la clase anterior a

mediana. c = Intervalo de clase mediana.

Ejemplo: suponga una Me = 64,45 Kg. Interpretación:

Un 50% de los alumnos pesa menos de 63,45 Kg y la otra mitad pesa más de ese peso.


Media aritmética (datos agrupados)

punto medio de la clase i.

fi = frecuencia de la clase i


Media aritmética, ejemplo:

USO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

El propósito de las medidas de tendencia central es caracterizar y representar un conjunto de datos.

Corrientemente las medidas no compiten, sino que se complementan.

Distribución simétrica: moda = mediana = media.

USO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

AsimetríaSe debe a la influenciade valores extremos.

Asimetría positiva (hacia la derecha)Valores extremos altos

Asimetría negativa (hacia la izquierda)Valores extremos bajos

LA MEDIA GEOMÉTRICA Y LA MEDIA ARMÓNICA

Media geométrica

Forma correcta de promediar tasas de cambio, índices, tasas de crecimiento, distribuciones logarítmicas (ingresos, salarios, aumento precios).

Limitación: todos los valores deben ser positivos.

Véase ejemplo 10 pág 375.


Media armónica

Se usa para promediar velocidades.


Relación entre la media aritmética, la geométrica y la armónica

MUCHAS GRACIAS

xs-104 estadística i

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