XII. MÁS MOVIMIENTO

CURVILÍNEO

Aunque lo que hemos estudiado en el capítulo anterior corresponde a

lo más fundamental del movimiento curvilíneo, completaremos nuestro

estudio con tres temas más: las componentes polares, el movimiento cir-

cular y el movimiento relativo.

Componentes polares. Cinemática

Volveremos a estudiar el movimiento curvilíneo, pero ahora utilizando

un nuevo sistema de referencia. Cuando la posición de la partícula puede

definirse fácilmente mediante la magnitud y la dirección de un vector de

posición, entonces conviene emplear un sistema de referencia polar: el polo

u origen es un punto fijo respecto al cual se mide la distancia r a la partícula,

que sería una de las coordenadas, mientras que la otra sería el ángulo que

el radio vector forme con cierta dirección conocida.

Tomemos un automóvil P que se

mueve en una carretera curvilínea, como se

muestra en la figura. Desde O se observa su

movimiento con un radar. La posición del

radar, O, será el polo. El segmento de recta

que une el radar con el automóvil, 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ = r,

será el vector de posición, que estará

contenido en el eje radial, cuyo sentido es

de O hacia P.

Más Movimiento Curvilíneo

284

El ángulo que forma el vector r con la línea Oeste–Este (podríamos

elegir otra dirección conocida), será la dirección.

Además del eje radial, recurriremos a otro eje, perpendicular al pri-

mero, que llamaremos transversal. Y llamaremos er y e a los vectores

unitarios en las direcciones radial y transversal, respectivamente.

La posición del automóvil en cualquier instante se puede expresar

como

�̅� = 𝑟𝐞𝐫

y la velocidad del automóvil se puede deducir derivando esta expresión con

respecto al tiempo, teniendo en cuenta que tanto la distancia r como el

vector unitario son variables:

�̅� =𝑑𝑟

𝑑𝑡𝐞𝐫 + 𝑟

𝑑𝐞𝐫

𝑑𝑡

que podemos escribir, aplicando la regla de la cadena al segundo término,

de la siguiente manera:

�̅� = �̇�𝐞𝐫 + 𝑟𝑑𝐞𝐫

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡

Cuando estudiamos las componentes intrínsecas, dedujimos que la

derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario

girado un ángulo recto en sentido positivo; o sea que

𝑑𝐞𝐫

𝑑𝜃= 𝐞𝛉 ;

𝑑𝐞𝛉

𝑑𝑡= −𝐞𝐫

La razón d/dt, que es la razón del cambio de dirección del vector al

tiempo, se puede llamar velocidad angular con toda propiedad; de modo

semejante, la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo se puede

llamar aceleración angular. Simbólicamente

�̇� =𝑑𝜃

𝑑𝑡 ; �̈� =

𝑑�̇�

𝑑𝑡

Llevando estos valores a la expresión de la velocidad, obtenemos

Más Movimiento Curvilíneo

285

Volveremos a derivar con respecto al tiempo para hallar la aceleración

del automóvil:

�̅� = �̇�𝑑𝐞𝐫

𝑑𝑡+ �̈�𝐞𝐫 + �̈�𝑟𝐞𝛉 + �̇��̇�𝐞𝛉 + �̇�𝑟

𝑑𝐞𝛉

𝑑𝑡

y empleando nuevamente la regla de la cadena y sustituyendo con los

valores que hemos obtenido arriba, llegamos a lo siguiente:

�̅� = �̇�𝑑𝐞𝐫

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ �̈�𝐞𝐫 + �̈�𝑟𝐞𝛉 + �̇��̇�𝐞𝛉 + �̇�𝑟

𝑑𝐞𝛉

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡

�̅� = �̇��̇�𝐞𝛉 + �̈�𝐞𝐫 + �̈�𝑟𝐞𝛉 + �̇��̇�𝐞𝛉 − �̇�2𝑟𝐞𝐫

Las dos expresiones enmarcadas nos ofrecen los valores de la velo-

cidad y la aceleración en términos de sus componentes radial y transversal.

�̅� = �̇�𝐞𝐫 + �̇�𝑟𝐞𝛉

�̅� = (�̈� − �̇�2𝑟)𝐞𝐫 + (�̈�𝑟 + 2�̇��̇�)𝐞𝛉

Ejemplo. Mediante un mecanismo,

que no se muestra en la figura, el

collarín A se mueve sobre la barra, ale-

jándose de la articulación O, con-

forme a la expresión r = 5 + 2t2, en

donde r resulta en cm, si t se da en s. A

su vez, la barra OB gira alrededor de

O, según la ley = 0.4t3, en la que si t

está en s, resulta en rad. Determine

la posición, velocidad y aceleración

del collarín cuando t = 1 s.

Más Movimiento Curvilíneo

286

Obtendremos las primeras y segundas derivadas de r y respecto al tiempo

y sus valores para t = 1s.

𝑟 = 5 + 2𝑡2

�̇� = 4𝑡

�̈� = 4

𝑟1 = 7

�̇�1 = 4

�̈�1 = 4

𝜃 = 0.4𝑡3

�̇� = 1.2𝑡2

�̈� = 2.4𝑡

𝜃1 = 0.4 rad = 22.9°

�̇�1 = 1.2 rad/s

�̈�1 = 2.4 rad/s2

Por tanto

�̅� = �̇�𝑒𝑟 + �̇�𝑟𝑒𝜃

�̅� = 4𝑒𝑟 + 1.2(5)𝑒𝜃 = 4𝑒𝑟 + 6𝑒𝜃

�̅� = (�̈� − �̇�2𝑟)𝑒𝑟 + (�̈�𝑟 + 2�̇��̇�)𝑒𝜃

�̅� = (4 − [1.2]2[5])𝑒𝑟

+(2.4[5] + 2[1.2]4)𝑒𝜃

�̅� = −3.2𝑒𝑟 + 21.6𝑒𝜃

Para t = 1s, la posición, velocidad y

aceleración del collarín serán:

𝑣 = √42 + 62

tan 𝛽 =6

4 ; 𝛽 = 56.3°

𝑎 = √3.22 + 21.62

tan 𝛾 =21.6

3.2 ; 𝛾 = 81.6°

𝑟 = 7 cm 22.9°

𝑎 = 21.8 cm s2⁄ 58.7°

𝑣 = 7.21 cm s⁄ 79.2°

7cm

Más Movimiento Curvilíneo

287

De la geometría podemos obtener la distancia r y las componentes polares

de la velocidad.

𝑠𝑒𝑛 45 =20000

𝑟

𝑟 = 20000 (2

√2) =

40000

√2

𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 1200 (√2

2) = 600√2

La rapidez con que el avión se

acerca al radar es �̇�, o sea

�̇� = 𝑣𝑟

Como 𝑣𝜃 = �̇�𝑟

Ejemplo. Mediante un radar colo-

cado en tierra se sigue el vuelo de un

avión que viaja en línea recta con ve-

locidad constante de 1200 ft/s. Sabiendo

que el avión vuela a 20 000 ft de altura y

que el rayo del radar y la trayectoria del

avión están en el mismo plano, calcule,

para el instante en que = 45°: a) la

distancia entre el radar y el avión: b) la

rapidez y la aceleración con que el avión

se acerca al radar; c) la velocidad y la

aceleración angulares del rayo del radar.

𝑟 = 28 300 ft

�̇� = 849 ft s⁄

20 000’

v

vr

vθ

Más Movimiento Curvilíneo

288

1200 (√2

2) = �̇�(20000)

2

√2

�̇� =1200

20000(

√2

2)

√2

2=

600

20000= 0.03

que es a velocidad angular del rayo:

Como el movimiento del avión es rectilíneo uniforme, a = 0

0 = �̈� − �̇�2𝑟

�̈� = �̇�2𝑟 = (0.32)40000

√2

que es aceleración con que el avión se acerca al radar:

Además

0 = �̈�𝑟 + 2�̇��̇�

�̈� = −2�̇��̇�

𝑟= −

2(0.3)600√2

40000√2

�̈� = −0.018

La aceleración del rayo es:

Aaa

�̈� = 2550 ft s2 45°⁄

�̇� = 0.03 rad s⁄ ⟲

�̈� = 0.018 rad s2⁄ ⟳

Más Movimiento Curvilíneo

289

Componentes polares. Cinética

Por supuesto, las expresiones que nos servirán para resolver proble-

mas cinéticos, conforme a la segunda ley de Newton, serán las siguientes:

O bien:

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(�̈� − �̇�2𝑟)

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(�̈�𝑟 + 2�̇��̇�)

Un ejemplo será suficiente para ilustrar el caso.

En el sistema de referencia, el eje radial iría de O a B, y el transversal

sería también horizontal y perpendicular al anterior.

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃

Ejemplo. Un pequeño cilindro de

medio kilogramo de peso, se puede mo-

ver dentro de un tubo liso de 0.5 m de

largo, que gira alrededor de un eje ver-

tical con rapidez angular constante de 20

rad/s. En cierto instante, el cilindro tiene

una rapidez, relativa al tubo, de 8 m/s,

hacia afuera del tubo y se halla a 0.25 m

del eje de rotación. Determine la mag-

nitud de la fuerza horizontal que el tubo

ejerce sobre el cilindro en el instante en

que éste se halle a punto de abandonar

aquel.

O

Más Movimiento Curvilíneo

290

En un instante cualquiera, el

diagrama de cuerpo libre del cilindro,

en planta, sería el siguiente (el peso y

la reacción vertical no pueden aparecer

en el diagrama).

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(�̈� − �̇�2𝑟)

0 =0.5

9.81(�̈� − [202]𝑟)

�̈� = 400𝑟 Podemos decir que

�̈� =𝑑�̇�

𝑑𝑡=

𝑑�̇�

𝑑𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡= �̇�

𝑑�̇�

𝑑𝑟

O sea que

�̇�𝑑�̇�

𝑑𝑟= 400𝑟

Separando variables e integrando

∫ �̇�𝑑�̇� = 400 ∫ 𝑟𝑑𝑟

�̇�2

2= 200𝑟2 + 𝐶

𝑆𝑖 𝑟 = 0.25, �̇� = 8

82

2= 200(0.252) + 𝐶 ; 𝐶 = 19.5

�̇�2

2= 200𝑟2 + 19.5

�̇� = √400𝑟2 + 39

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0.5

que es la rapidez con que abandona el tubo

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(�̈�𝑟 + 2�̇��̇�)

�̇� = 9.43 m s⁄

Más Movimiento Curvilíneo

291

Como �̇� es constante, �̈� = 0

𝐹𝐻 =0.5

9.81(2[20]9.43)

Movimiento circular

El movimiento circular de la partícula es un caso particular del

movimiento curvilíneo, que reviste especial importancia. Se puede estu-

diar con facilidad tanto utilizando coordenadas intrínsecas como polares.

En el primer caso, el eje normal va de la partícula al centro de la trayec-

toria, mientras que en el segundo, tiene sentido contrario, si se toma el

centro como polo. Los ejes tangencial y transversal coinciden.

Empleando las componentes radial y transversal, y sabiendo que r es

constante e igual al radio de la trayectoria, tenemos

�̅� = �̇�𝐞𝐫 + �̇�𝑟𝐞𝛉

�̇� = 0

La velocidad tiene una magnitud igual a �̇�𝑟 y es perpendicular al radio

de la trayectoria.

�̅� = (�̈� − �̇�2𝑟)𝐞𝐫 + (�̈�𝑟 + 2�̈��̇�)𝐞𝛉

Como tanto �̇� como �̈� son nulas

La componente radial tiene la misma magnitud de la componente

normal, 𝑎𝑛 = �̇�2𝑟, pero sentido contrario.

Las componentes transversal y tangencial son iguales en magnitud, �̈�𝑟,

y en dirección.

�̅� = �̇�2𝑟𝐞𝐧 + �̈�𝑟𝐞𝐭

𝐹𝐻 = 19.23 kg

�̅� = �̇�𝑟𝐞𝛉

�̅� = −�̇�2𝑟𝐞𝐫 + �̈�𝑟𝐞𝛉

Más Movimiento Curvilíneo

292

Movimiento relativo

Todos los movimientos de la partícula que hemos estudiado hasta este

momento, han sido absolutos, es decir, hemos considerado que el origen

del sistema de referencia permanece fijo. Llamaremos movimiento relativo

al que se estudia desde un punto de observación, un origen, móvil.

Pensemos en un pasajero que camina sobre la cubierta de un buque, de

babor a estribor, con una velocidad de 2 m/s. Si el buque está anclado, la

velocidad absoluta de la persona es de 2 m/s, dirigida hacia el Este. Pero si

el buque navega hacia el Norte con una rapidez de 10 m/s. entonces la

velocidad de 2 m/s (→) será la velocidad relativa del pasajero con respecto

al buque; y su velocidad absoluta será la suma vectorial de su velocidad

relativa al buque más la velocidad absoluta del buque:

𝑣𝑃 = √102 + 22 ; tan 𝜃 =10

2

Dividiremos el estudio del movimiento relativo en dos partes: en la

primera, los ejes del sistema de referencia móvil conservarán su dirección

durante el movimiento, en la segunda, dicho ejes cambiarán de dirección.

𝑣𝑃 = 10.2 m/s 78.7°

10 m/s

2 m/s

vP

vP/B=2

vB=10

Más Movimiento Curvilíneo

293

Ejes con traslación pura

Decimos que los ejes se mueven con traslación pura si conservan su

dirección original durante el movimiento.

En la figura, O es un punto fijo, y origen

del sistema de referencia absoluto, y Q es un

punto en movimiento, origen del sistema de

referencia móvil. P es la partícula en estudio,

cuyas coordenadas son (x, y), respecto al

sistema móvil. Como fácilmente se puede

observar, la posición absoluta de P es igual a

la suma vectorial de la posición relativa de P

respecto a Q, más la posición absoluta de Q.

�̅�𝑃 = �̅�𝑃/𝑄 + �̅�𝑄

La ecuación anterior se puede escribir también así:

�̅�𝑃 = 𝑥�̂� + 𝑦�̂� + �̅�𝑄

�̅�𝑃 = 𝑣𝑥�̂� + 𝑣𝑦�̂� + �̅�𝑄

�̅�𝑃 = 𝑎𝑥�̂� + 𝑎𝑦�̂� + �̅�𝑄

y, para obtener la velocidad y la aceleración, derivamos con respecto al

tiempo, teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes, ya

que no cambian ni de magnitud ni de dirección:

en donde los dos primeros términos del segundo miembro corresponden a

la velocidad y la aceleración relativas de P respecto a Q.

Ejemplo. Un buque A navega hacia

el Este con una rapidez de 20 nudos,

mientras otro, B, se dirige hacia el nor-

este con una velocidad de 16 nudos. De-

termine la velocidad relativa de B res-

pecto de A.

�̅�𝑃 = �̅�𝑃/𝑄 + �̅�𝑄

�̅�𝑃 = �̅�𝑃/𝑄 + �̅�𝑄

20 nudos

16 nudos

N

E

Más Movimiento Curvilíneo

294

45° 𝜃

Como tenemos que investigar la velocidad relativa de B respecto de A,

la ecuación que hemos de emplear es �̅�𝐵 = �̅�𝐵/𝐴 + �̅�𝐴

Con ella a la vista, dibujamos los vectores que representan esa suma y,

a continuación, resolvemos el triángulo mediante la ley de cosenos.

𝑣𝐵/𝐴2 = 202 + 162 + 2(20)16 cos 45°

𝑣𝐵/𝐴2 = 400 + 256 − 320√2

𝑣𝐵/𝐴 = 14.26

Y con la ley de senos calculamos la dirección. sen 𝜃

16=

sen 45°

14.26

sen 𝜃 =16√2

2(14.26)

𝜃 = 52.5°

Por tanto

Por supuesto, la velocidad del buque A respecto del B tiene la misma

magnitud, pero sentido contrario.

𝑣𝐵/𝐴 = 14.26 nudos 52.5°

𝑣𝐵 = 16 𝑣𝐵/𝐴

𝑣𝐴 = 20

Ejemplo. Un avión A vuela con

rapidez constante de 720 km/h des-

cribiendo una circunferencia hori-

zontal de 4000 m de radio. Simul-

táneamente, otro avión, B, vuela en

línea recta, hacia el Este, con una

rapidez de 600 km/h, la cual au-

menta a razón de 10 m/s2. Calcule

la velocidad y la aceleración rela-

tivas del avión A respecto al B, en el

instante mostrado en la figura.

A

B

Más Movimiento Curvilíneo

295

𝑎𝐴 = 10

𝑎𝐵 = 10

𝑎𝐴𝐵⁄

La ecuación que debemos emplear para la determinación de la

velocidad relativa es �̅�𝐴 = �̅�𝐴/𝐵 + �̅�𝐵

y el diagrama correspondiente de vectores

Como puede apreciarse, la velocidad relativa de A respecto a B se

obtiene mediante una suma algebraica:

�̅�𝐴/𝐵 = 1320 𝑘𝑚/ℎ ←

Para obtener la aceleración relativa, la ecuación a utilizar es

�̅�𝐴 = �̅�𝐴/𝐵 + �̅�𝐵

La aceleración de A no tiene componente tangencial, y es igual a

𝑎𝐴 =𝑣2

𝑟

𝑣 =720

3.6𝑚

𝑠⁄ = 200 𝑚/𝑠

𝑎𝐴 =2002

4000= 10 ↓

Por tanto, el diagrama de los vectores es

𝑎𝐴/𝐵 = 10√2

𝑎𝐴/𝐵 = 14.14 ms2⁄ 45°

𝑣𝐵 = 600 𝑘𝑚/ℎ 𝑣𝐴 = 720 km/h

𝑣𝐴/𝐵

Más Movimiento Curvilíneo

296

Puesto que las aceleraciones de los automóviles tienen dos componen-

tes cada una, la resolución de este problema implica trabajar con cinco vec-

tores. Por lo cual, elegiremos un sistema de referencia que nos permita

utilizar un lenguaje vectorial. Una vez elegido, calcularemos las compo-

nentes de las aceleraciones y las expresaremos en función de dicho sistema.

30 𝑚𝑖ℎ⁄ = 44

𝑓𝑡𝑠⁄

(𝑎𝐴)𝑛 =𝑣𝐴

2

𝑟=

442

440= 4.4 ←

(𝑎𝐴)𝑡 = 4 ↓

�̅�𝐴 = −4.4𝐢 − 4𝐣 (𝑎𝐵)𝑛 = 4.4 60° (𝑎𝐵)𝑡 = 3 30°

(𝑎𝐵)𝑛 = −2.2𝑖 − 2.2√3𝐣

(𝑎𝐵)𝑡 = −1.5√3𝐢 + 1.5𝐣

La ecuación de la aceleración relativa que hemos de emplear es la

siguiente, y reemplazaremos en ella los valores obtenidos. �̅�𝐵 = �̅�𝐵/𝐴 + �̅�𝐴

−2.2𝐢 − 2.2√3𝐣 − 1.5√3 − 1.5𝐣 = �̅�𝐵𝐴⁄ − 4.4𝑖 − 4𝐣

�̅�𝐵/𝐴 = (−2.2 − 1.5√3 + 4.4)𝐢 + (4 − 2.2√3 − 1.5)𝐣

�̅�𝐵/𝐴 = −0.398𝐢 − 1.311𝐣

Ejemplo. Dos vehículos, A y B,

recorren una curva circular de 440

ft de radio. En el instante represen-

tado en la figura, ambos llevan una

rapidez de 30 mi/h, pero mientras

que A la está reduciendo a razón de

4 ft/s2, B la aumenta a razón de 3

ft/s2. Determine la aceleración rela-

tiva dela automóvil B respecto al A.

Más Movimiento Curvilíneo

297

𝑎𝐵/𝐴 = √0.3982 + 1.3112

tan 𝜃 =1.311

0.398

Ejes con rotación

Estudiaremos ahora el caso del movimiento relativo, permitiendo ro-

tar o girar al sistema de referencia móvil. El planteamiento inicial es

idéntico al del caso en que los ejes se mueven con traslación pura.

Para facilitar las expresiones que tendremos que deducir, asociaremos

la velocidad angular a un vector perpendicular al plano del movimiento,

cuya magnitud sea la de dicha velocidad, y cuyo sentido siga la regla de la

mano derecha. Es decir si el plano de este papel es el xy, y un disco gira en

sentido antihorario con una velocidad angular de 8 rad/s, el vector que

representará su velocidad angular será �̅� = 8 𝐤[rad/s]. De modo semejan-

te, asociaremos otro vector perpendicular al plano de movimiento con la

aceleración angular siguiendo el mismo criterio; si el disco del ejemplo

reduce su rapidez angular a razón de 15 rad/s2, el vector representativo será

�̅� = −15𝐤[rad/s2]. En la figura, O es un punto fijo, y

origen del sistema de referencia absoluto,

y Q es un punto en movimiento, origen

del sistema de referencia móvil. P es la

partícula en estudio, cuyas coordenadas

son (x, y) respecto al sistema móvil. Co-

mo fácilmente se puede observar, la posi-

ción absoluta de P es igual a la suma vec-

torial de la posición relativa de P respecto

a Q, más la posición absoluta de Q. Lla-

maremos ω a la velocidad angular del sis-

tema de referencia.

𝑎𝐵/𝐴 = 1.37 fts2⁄ 73.1°

Más Movimiento Curvilíneo

298

�̅�𝑷/𝑸 = 𝒙𝐢 + 𝒚𝐣 𝑑�̅�𝑃/𝑄

𝑑𝑡= 𝑥

𝑑𝐢

𝑑𝑡+

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝐢𝑦 + 𝑦

𝑑𝐣

𝑑𝑡+

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝐣

Para derivar los vectores unitarios emplearemos la regla de la cadena,

y recordaremos que la derivada de un vector unitario respecto a su dirección

es otro vector unitario girado 90 grados en sentido anti horario.

𝑑𝐢

𝑑𝑡=

𝑑𝐢

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝐣 = 𝜔𝐣

𝑑𝐣

𝑑𝑡=

𝑑𝐣

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝐣 = −𝜔𝐢

Por lo tanto 𝑑�̅�𝑃/𝑄

𝑑𝑡= 𝑣𝑥𝐢 + 𝑣𝑦𝐣 + 𝜔𝑥𝐣 − 𝜔𝑦𝐢 … … … (1)

Antes de volver a derivar con respecto al tiempo, le daremos a esta

ecuación la siguiente forma.

�̅�𝑃/𝑄 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅� × �̅�𝑃/𝑄

El último término se justifica porque

�̅� × �̅�𝑃/𝑄 = 𝜔𝐤 × (𝑥𝐢 + 𝑦𝐢) = |𝐢 𝐣 𝐤0 0 𝜔𝑥 𝑦 0

|

En resumen la velocidad absoluta de P es

Para obtener la aceleración absoluta, derivamos la ecuación (1) respecto al

tiempo

𝑑2�̅�𝑃/𝑄

𝑑𝑡2= 𝑣𝑥

𝑑𝐢

𝑑𝑡+

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡𝐢 + 𝑣𝑦

𝑑𝐣

𝑑𝑡+

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡𝐣 + 𝜔𝑥

𝑑𝐣

𝑑𝑡+ 𝜔

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝐣 +

𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑥𝐣

− (𝜔𝑦𝑑𝐢

𝑑𝑡+ 𝜔

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝐢 +

𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑦𝐢)

�̅�𝑃 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅� × �̅�𝑃/𝑄 + �̅�𝑄

Más Movimiento Curvilíneo

299

Sustituyendo las derivadas de los vectores unitarios por sus valores y

haciendo

𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝛼 (=

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2) tenemos,

�̅�𝑃/𝑄 = 𝜔𝑣𝑥𝐣 + 𝑎𝑥𝐢 − 𝜔𝑣𝑦𝐢 + 𝑎𝑦𝐣 − 𝜔𝑥𝐢 + 𝜔𝑣𝑥𝐣 + 𝛼𝑥𝐣

− (𝜔𝑦𝑑𝐢

𝑑𝑡+ 𝜔

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝐢 +

𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑦𝐢)

Ordenando, tenemos:

�̅�𝑃/𝑄 = 𝑎𝑥𝐢 + 𝑎𝑦𝐣 − 𝜔𝑥𝐢 − 𝜔𝑦𝐣 + 𝛼𝑥𝐣 − 𝛼𝑦𝐢 + 2(𝜔𝑣𝑥𝐣 − 𝜔𝑣𝑦𝐢)

�̅�𝑃/𝑄 = �̅�𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2�̅�𝑃/𝑄 + �̅� × �̅�𝑃/𝑄 + 2�̅� × �̅�𝑟𝑒𝑙

El segundo término del segundo miembro a veces se escribe así:

−𝜔2�̅�𝑃/𝑄 = �̅� × (�̅� × �̅�𝑃/𝑄)

La aceleración absoluta de P es:

Si se observa detenidamente, la única diferencia entre la aceleración

absoluta estudiada con ejes con traslación y esta que acabamos de obtener

es el término 2�̅� × �̅�𝑟𝑒𝑙, que se llama aceleración de Coriolis (¹).

(¹) Gustave Coriolis (1792-1861) fue un matemático e ingeniero francés

que descubrió este término de la aceleración relativa.

�̅�𝑃 = �̅�𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2�̅�𝑃/𝑄 + �̅� × �̅�𝑃/ + 2�̅� × �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�𝑄

Ejemplo. Un buque navega descri-

biendo un arco de circunferencia de 50

m de radio con una rapidez constante

de 10 m/s. Un pasajero se mueve de ba-

bor a estribor con una velocidad cons-

tante, relativa al buque, de 2 m/s. Deter-

mine la velocidad y la aceleración

absolutas del pasajero en el instante en

que pasa por el centro G del buque.

x

y

0

𝑣𝐵 = 10 m/s

G

50 m

vP = 2 m/s

Más Movimiento Curvilíneo

300

El movimiento relativo al buque del pasajero es muy simple, se trata de

un movimiento rectilíneo uniforme. Pero el hecho de que el buque esté virando

provoca que el movimiento absoluto sea bastante complejo.

El sistema de referencia fijo que conviene elegir, tiene su origen en O,

que es el centro de la trayectoria de la embarcación, Y el sistema de referencia

móvil tendrá el mismo origen O, que carece de movimiento, pero sus ejes

tendrán una cierta velocidad angular ω, pues rotará junto con el buque.

𝜔 =𝑣𝐵

𝑟=

10

50= 0.2 rad/s ⟲

Velocidad absoluta

�̅�𝑃 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅� × �̅�𝑎/𝐵 + �̅�𝐵

�̅�𝑃 = 2𝐢 + 0.2𝐤 × 50𝐢 + 0̅

�̅�𝑃 = 2𝐢 + 10𝐣

Aceleración absoluta

�̅�𝑃 = �̅�𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2�̅�𝑃/𝐵 + �̅� × �̅�𝑃/0 + 2�̅� × �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅�0

�̅�𝑃 = 0̅ − 0.22(50𝐢) + 0̅ + 2(0.2𝐤 × 2𝐢) + 0̅

�̅�𝑃 = −2𝐢 + 0.8𝐣

Ejemplo. En cierto instante, el im-

pulsor de una bomba centrífuga de 0.5 ft

de radio tiene una velocidad angular de

10 rad/s y una aceleración angular de 20

rad/s2. Una gota de agua está a punto de

abandonarla en el punto A, con una velo-

cidad, relativa al impulsor, de 4 ft/s, en

la dirección mostrada en la figura, y que

aumenta a razón de 16 ft/s2. El radio de

curvatura del álabe en el punto A es de

0.8 ft. Diga cuáles son la velocidad y

aceleración absolutas de la gota de agua

en el instante mencionado.

𝑣𝑃 = 10.2 m/s 78.7°

𝑎𝑃 = 2.15 m/s2 21.8°

Más Movimiento Curvilíneo

301

Velocidad absoluta. Llamaremos �̅�𝐺 a la velocidad absoluta de la gota.

�̅�𝐺 = �̅�𝑟𝑒𝑙 + �̅� × �̅�𝐺/0 + �̅�0

�̅�𝐺 = −2𝐢 + 2√3𝐣 + 10𝐤 × 0.5𝐣

�̅�𝐺 = −7𝐢 + 2√3𝐣

𝑣𝐺 = √72 + (2√3)2

tan 𝜃 =2√3

7

Tanto el origen del sistema de referencia fijo como el del sistema móvil

(que girará junto con el impulsor) serán el centro O del impulsor.

Será �̅�𝑎 la aceleración absoluta de la gota.

Como la gota de agua se mueve sobre el álabe del impulsor aumentan-

do su rapidez relativa se trata de un movimiento curvilíneo en que la acele-

ración tiene tanto como componente normal como tangencial.

�̅�𝑟𝑒𝑙 = (�̅�𝑟𝑒𝑙)𝑡+(�̅�𝑟𝑒𝑙)𝑛

�̅�𝑟𝑒𝑙 = 16𝐞𝐭 +𝑣2

𝜌𝐞𝐧

�̅�𝑟𝑒𝑙 = 16𝐞𝐭 +42

0.8𝐞𝐧

�̅�𝑟𝑒𝑙 = 16𝐞𝐭 + 20𝐞𝐧

𝑣𝐺 = 7.81 ft/s 26.3°

�̅�𝑟𝑒𝑙 = −2𝐢 + 2√3𝐣 �̅� = 10𝐤

�̅�𝐺/0 = 0.5𝐣

�̅�0 = 0̅

Más Movimiento Curvilíneo

302

𝑎𝑟𝑒𝑙 = √162 + 202 = 25.61

En el sistema móvil x-y:

�̅�𝑟𝑒𝑙 = 25.61(−𝐢 𝑠𝑒𝑛 81.3° + 𝐣 cos 81.3°)

�̅�𝑟𝑒𝑙 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣

Entonces:

�̅�𝐺 = �̅�𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2�̅�𝐺

0

+ �̅� × �̅�𝐺

0

+ 2�̅� × �̅�𝑟𝑒𝑙

+ �̅�0

�̅�𝐺 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣 − 102(0.5𝐣) + 20𝐤 × 0.5𝐣 +

2[10𝐤 × (−2𝐢 + 2√3𝐣)] + 0̅

�̅�𝐺 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣 − 50𝐣 − 10𝐢 − 40√3𝐢 − 40𝐣

�̅�𝐺 = −104.6𝐢 − 86.1𝐣

𝑎𝐺 = √104.62 + 86.12

tan 𝜃𝑥 =86.1

104.6

El estudiante podrá darse cuenta de que la velocidad absoluta de la gota

de agua es igual a la suma vectorial de la velocidad del punto A del álabe

del impulsor más la velocidad relativa de la gota. Y que su aceleración

absoluta corresponde a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A,

más la aceleración relativa de la partícula, más la aceleración de Coriolis.

𝑎𝐺 = 135.5 ft/s2 39.5°

Más Movimiento Curvilíneo

303

Serie de ejercicios de cinética

MÁS MOVIMIENTO CURVILÍNEO

1. El brazo OA de la figura gira

alrededor de O conforme a la ecuación

𝜃 = 𝑡2/2, donde sí t esta en segundos, θ

resulta en rad/s. El collarín P se aleja de O

según la expresión 𝑟 = 4 + 𝑡2, en la que

r está en mm y t en s. Determine la

velocidad y la aceleración del collarín

cuando t = 2 s.

(Sol .𝑣 = 16.49 m s⁄ 10.6°; 𝑎 = 38.4 mm s2⁄ 75.9°)

2. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un mecanismo

semejante al del problema anterior son 𝜃 = 𝜋/2 y 𝑟 = 10 − 4𝑡, donde θ

está en rad, r en in y t en s. Diga cuáls serán la velocidad y la aceleración

lineales del collarín cuando θ = 0°.

(Sol. 𝑣 = 5.46 in s⁄ 42.9°; 𝑎 = 8.82 in s2⁄ 65.1°)

3. En cierto instante del movimiento curvilíneo de una partícula, los

parámetros de sus componentes polares alcanzan los siguientes valores:

𝑟 = 20 mm, 𝑑𝑟 𝑑𝑡⁄ = 30 mm s⁄ , 𝑑2𝑟/𝑑𝑡2 = 300 mm s⁄ , 𝜃 = 45°,

𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ = −2 rad s⁄ y 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2⁄ = 16 rad s2⁄ . Determine la rapidez de la

partícula y la magnitud de las componentes radial y transversal de su

aceleración.

(Sol. 𝑣 = 50 mm s⁄ ; 𝑎𝑟 = 220 mm s2⁄ ; 𝑎𝜃 = 200 mm s2⁄ )

4. Un niño camina sobre el radio de un

tiovivo, alejándose del centro, a razón constante

de 8 ft/s. El tiovivo lleva una aceleración an-

gular, también constante, de 5 rad s2⁄ . Calcule

las magnitudes de la velocidad y aceleración

lineales del niño cuando se encuentre a 4 ft del

centro, si en ese instante la rapidez angular del

tiovivo es de 3 rad s⁄ .

(Sol. 𝑣 = 14.42 ft s⁄ ; 𝑎 = 76.9 ft/s2)

Más Movimiento Curvilíneo

304

5. Un buque B navega con una velocidad

constante de 40 ft/s en la dirección mostrada. Un

radar O en la costa sigue su movimiento. En el

instante representado, la distancia entre el buque

y el radar es de 2000 ft. Calcule cuáles son, en

dicho instante, la velocidad angular del radar y la

rapidez con la que el buque se aleja del radar.

(Sol. 𝜃 = 0.01 rad s⁄ ; 𝑟 = 34.6 ft/s)

6. Un jet que vuela horizontalmente con

velocidad constante a una altura de 8 km es ras-

treado por un radar situado exactamente debajo de

su trayectoria. Cuando la inclinación del radar es

de 60° respecto a la horizontal, dicho ángulo de-

crece a razón de 0.025 rad/s. Tomando el radar

como polo del sistema de referencia, determine

para dicho instante: a) la componente transversal

de loa velocidad del avión; b) la rapidez del avión;

c) la componente radial de la velocidad del avión;

d) la acele-ración angular del radar, y e) la acele-

ración con que el jet se aleja del radar.

(Sol. 𝑎) 𝑣𝜃 = −231 m s⁄ ; 𝑏) 𝑣 = 267 m/s; 𝑐) 𝑣𝑟 = 133.3 m/s;

𝑑) 𝜃 = 7.22𝑥10−4 rad s⁄ ; 𝑒) 𝑟 = 5.77 m/s2)

7. En una lámina vertical se practica una

ranura espiral cuya ecuación es 𝑟 = 0.5𝜃, donde

si θ se da en rad, r resulta en cm. Dentro de ella

se desliza una corredera por la acción de un brazo

ranurado que tiene una aceleración angular cons-

tante de 5 𝑟𝑎𝑑 𝑠2⁄ en sentido antihorario. Dete-

rmine todas las fuerzas externas que actúan sobre

la corredera cuando θ = π, sabiendo que cuando θ

= 0° la rapidez angular del brazo es nula y que la

corredera pesa 80 g. Tanto el brazo como la ra-

nura son lisas.

(Sol. 0.08kg ↓; 0.401k𝑔 17.7°; 0.24kg ↓)

Más Movimiento Curvilíneo

305

8. El movimiento de la corredera A

dentro de la ranura circular de 0.3 m de radio se

gobierna mediante la guía horizontal que se

eleva con una rapidez constante de 5 m/s.

Calcule la velocidad y la aceleración de la

corredera cuando 𝜃 = 30°.

(Sol. 𝑣 = 5.77 m s⁄ 60°; 𝑎 = 128.3 m s2⁄ ←)

9. Un buque A navega con una rapidez

de 10 nudos y otro, B, a 14 nudos, en las

direcciones que se indican en la figura. ¿Cuáles

son la magnitud y la dirección de la velocidad

relativa de A respecto a B?

(Sol.𝑣𝐴/𝐵 = 14.95 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 70.2°)

10. La cuña A se mueve se mueve hacia

la derecha según la ley 𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡2 + 3𝑡, en

la que si t está en s, s resulta en m. Cuando t =

3 s, el cuerpo B, que desciende sobre el plano

inclinado, tiene una rapidez, relativa a la cuña,

de 13 m/s. Determine, para dicho instante, la

velocidad absoluta de B. (Sol.𝑣𝐵 = 5 m/s ↓ )

11. Una lancha cruza un río de 100 m de

ancho, en dirección normal a la corriente, en un

minuto. Si la rapidez del agua es de 8 km/h,

¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la ve-

locidad lineal con que debe la lancha cruzar el

río para llegar precisamente al punto opuesto?

(Sol. 𝑣𝐿/𝐶 = 10 km h⁄ 36.9°)

Más Movimiento Curvilíneo

306

12. Un camión que viaja al oeste a 40

km/h, lleva sobre el techo un banderín que on-

dea formando un ángulo de 15° con el lado

negativo de la dirección del camión. Si, simul-

táneamente, la veleta de un edificio tiene un

acimut de 150°, calcule la rapidez del viento.

(Sol. 𝑣𝑣 = 14.64 km/h)

13. Dos trenes A y B viajan en la misma dirección cobre vías

paralelas. A aumenta su rapidez uniformemente a razón de 16 km/h cada

minuto, mientras B reduce la suya, también uniformemente, 8 km/h cada

minuto. ¿Cuál es la aceleración relativa de A respecto a B. Exprese el

resultado en m/s2. (Sol. 𝑎𝐵/𝐴 = 0.1111 m/s2)

14. Dos automóviles, A y B, corren con rapidez constante en una

pista circular de 400 m de diámetro, de modo que sus radios giran en el

sentido contrario de las manecillas del reloj. En cierto instante, A se

encuentra al este de la pista y B al norte. Si la velocidad de A es de 72 km/h

y su aceleración, respecto a B, de 4 m/s2, ¿cuál es la rapidez de B?

(Sol. 𝑣𝐵 = 94.8 km/h)

15. Un coche A viaja por una carretera

recta aumentando su velocidad a razón de

m/min cada segundo cuando se halla en la po-

sición indicada en la figura. Simultáneamen-

te, un automóvil B viaja sobre una trayec-

toria circular aumentando su rapidez 1.5 m/s2;

cuando se encuentra en la posición mostrada,

su velocidad es de 36 km/h, y el radio de

curvatura de su trayectoria, de 100 m. ¿Cuál

es la aceleración relativa de A respecto a B.

(Sol. 𝑎𝐴/𝐵 = 2.42 m/s2 48.1°)

Más Movimiento Curvilíneo

307

16. Un tren acelera uniformemente en 5 min de 54 a 162 km/h. Si

está lloviendo y la lluvia cae verticalmente, calcule la aceleración lineal

relativa de las gotas de agua con respecto al tren, a los tres minutos de haber

comenzado a acelerar, sabiendo que el tren recorre entonces una curva

circular de 270 m de radio. (Sol. 𝑎𝐵/𝐴 = 387 cm/s2 42.1°)

17. Una persona camina con velocidad

constante de 4 m/s sobre el radio de un tiovivo,

alejándose del centro. El tiovivo gira con una ra-

pidez angular constante de 30 rpm. Determine las

magnitudes de la velocidad y la aceleración abso-

lutas de dicha persona cuando se halle a 2 m del

centro del tiovivo.

(Sol. 𝑣 = 7.45 m/s; 𝑎 = 32 m/s2)

18. Un niño corre con una rapidez cons-

tante de 25 ft/s sobre el perímetro del tiovivo, el

cual tiene un radio de 8 ft y gira con una velocidad

angular constante de 4 rad/s. Calcule las magnitu-

des de la velocidad y de la aceleración absolutas

del niño si: a) corre a favor del movimiento del

tiovivo. b) Corre en sentido contrario.

(Sol. a) 𝑣 = 57 ft s⁄ ; 𝑎 = 406 ft s2⁄

b) 𝑣 = 7 ft s⁄ ; 𝑎 = 6.13 ft/s2)

19. El impulsor de una bomba centrífuga

aumenta su rapidez angular a razón de 10 rad/s2.

El agua se desliza sobre las aspas con una ace-

leración relativa a ellas de 400 mm/s2. Calcule la

velocidad y la aceleración lineales absolutas de

una partícula P de agua, cuando se halla a 150

mm del centro de rotación del impulsor, sabiendo

entonces que la rapidez lineal relativa de la

partícula es de 300 mm/s (en el mismo sentido de

la aceleración relativa) y la angular del impulsor,

de 20 rad/s.

(Sol. �̅� = 0.3𝑖 + 3𝑗[𝑚 𝑠⁄ ]; �̅� = −59.4𝑖 + 13.5𝑗[m/s2])

Más Movimiento Curvilíneo

308

20. La manivela OA del mecanismo de

retroceso rápido gira con una velocidad angular

constante 20 rad/s. en sentido antihorario. Para

la configuración mostrada en la figura, calcule

la rapidez y la aceleración angulares del

balancín BC, articulado en B y que desliza

dentro del collarín A.

(Sol.𝜔 = 5.71 rad/s ↺; 𝛼 = 42.4 rad/s2 ↺)

21. La barra AB gira alrededor de A con

rapidez angular constante de 120 rpm en el

sentido contrario de las manecillas del reloj.

Sabiendo que la barra BD tiene una longitud de

4 ft, determine las magnitudes de la velocidad y

de la aceleración absolutas de su extremo D en

el instante en que θ = 90°.

(Sol. 𝑣𝐷 = 11.97 ft s⁄ ; 𝑎𝐷 = 59 ft s2⁄ )