VII. MOMENTOS ESTÁTICOS

El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de

un cuerpo por su distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y de áreas y de líneas. Se llaman momentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que se

obtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea de acción a un cierto eje y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los

momento estáticos no producen ninguna tendencia al giro, por eso son estáticos. Se llaman también momentos de primer orden.

Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna

referencia física, nos servirán para obtener lugares reales, como el centro de gravedad y el centro de masa de un cuerpo, así como los centroides de

volumen, de área y de línea.

Peso de un cuerpo

La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la hemos venido considerando como una fuerza concentrada, realmente no lo

es, el peso de un costal de manzanas, por ejemplo, es la suma de los pesos de cada manzana.

Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera (1). Su peso es la suma de los pesos de cada una de sus partículas. Todos esos pesos constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para determinar su resultante

emplearemos las dos ecuaciones siguientes:

𝑅 = ∑ 𝐹

(1) Este tema podría estudiarse sin dificultad en un curso de Cálculo.

Momentos estáticos

156

𝑀𝑂𝑅 = ∑ 𝑀𝑂𝐹

de donde

�̅�𝑅 = ∑ 𝑥𝐹

que, para este caso particular, se

convierten en

𝑃 = ∫ 𝑑𝑃

�̅�𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝑃

Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje de las yes, que se suele simbolizar así:

𝐵𝑦𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝑃

Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es

𝐵𝑥𝑃 = ∫ 𝑦 𝑑𝑃

Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente

trabajar con los momentos estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a

ejes, sino respecto a planos; o sea

𝐵𝑦𝑧𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝑃; 𝐵𝑥𝑧

𝑃 = ∫ 𝑦 𝑑𝑃; 𝐵𝑥𝑦𝑃 = ∫ 𝑧 𝑑𝑃

Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas,

los momentos estáticos también pueden resultar positivos, negativos o

nulos. Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano de simetría son nulos, puesto que el momento de un lado del plano es igual al

del otro, pero de sentido contrario. Dicho de otra manera, el centro de gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.

A

Momentos estáticos

157

Centro de gravedad

Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el peso

del cuerpo se obtienen tres coordenadas de un punto contenido siempre

es decir, independientemente de la colocación del cuerpo en la línea

de acción del peso.

𝐵𝑦𝑧𝑃

𝑃= �̅�;

𝐵𝑥𝑧𝑃

𝑃= �̅�;

𝐵𝑥𝑦𝑃

𝑃= 𝑧̅

Ese punto se llama centro de gravedad: 𝐺(�̅�, �̅�, 𝑧̅). El centro de grave-

dad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.

Centro de masa

Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos

pensar en los momentos estáticos de la masa de un cuerpo:

𝐵𝑦𝑧𝑚 = ∫ 𝑥 𝑑𝑚 ; 𝐵𝑥𝑧

𝑚 = ∫ 𝑦 𝑑𝑚; 𝐵𝑥𝑦𝑚 = ∫ 𝑧 𝑑𝑚

Y el punto cuyas coordenadas sean

𝐵𝑦𝑧𝑃

𝑚,𝐵𝑥𝑧

𝑃

𝑚,𝐵𝑥𝑦

𝑃

𝑚

será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que, como el peso es igual al producto de la masa por la aceleración de la

gravedad, es decir, P = mg, también dP = g dm. Y si el valor de la gravedad es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y el centro de gravedad coinciden.

Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes la razón de la masa al volumen es igual, la posición de los centros de

gravedad y de masa dependen sólo del volumen. El punto cuyas coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre

Momentos estáticos

158

el volumen, (x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen y

coincide con los dos centros mencionados.

Centroides de algunos volúmenes Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en par-

ticular los de volumen, son la suma de los productos de cada parte por su distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma

entre el volumen de todo el cuerpo, obtenemos la distancia del plano al cen-troide. Ilustraremos esto con el siguiente ejemplo.

Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo y por sus limitadas

dimensiones tanto el centro de masa como el centro de gravedad y el centroide del volumen son el mismo punto, nos limitaremos a obtener este

último.

Observamos, en primer lugar, que hay un plano paralelo al yz que es

de simetría, pues corta en dos partes iguales al cuerpo, cuya ecuación es x= 15. Por tanto, la abscisa x del centro de gravedad es 15 cm.

Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de 12 x 30 x 2 cm, y otro de 2 x 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admite tres planos de simetría, sabemos que sus respectivos centroides de volumen

están en (15, 6, 1) y (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los momentos estáticos respecto a los planos, sumarlos, y, al dividirlos entre el peso total,

hallar la posición del centroide. Pero para facilitar el trabajo haremos la si-guiente tabla.

Ejemplo. El cuerpo que se muestra en

la figura es homogéneo. Determine las

coordenadas de su centro de gravedad. 20 cm

12 cm

30 cm

2 cm

2 cm

x

y

z

Momentos estáticos

159

Parte Vi yi zi yiVi ziVi

1 72 6 1 432 72

2 108 1 11 108 1188

∑ 180 540 1260

Como �̅� = 𝐵𝑥𝑧

𝑉 /𝑉 y 𝑧̅ = 𝐵𝑥𝑦𝑉 /𝑉, entonces �̅� = 540/180 = 3,

𝑧̅=1260/180=7. Por tanto, las coordenadas buscadas son

G(15, 3, 7)[cm] Centroide del cono

Colocaremos un cono cuya base tiene un radio R y cuya altura es h con

el vértice en el origen de un sistema de referencia y con su eje de figura coincidiendo con el eje de las cotas, como se muestra en la figura. Descompondremos el cono en volúmenes de cuyos centroides conoz-

camos la posición, de modo que podamos calcular sus momentos estáticos con respeto al plano xy y, sumándolos, obtener el del cono. En realidad se

trata de elegir un elemento diferencial del volumen que nos permita realizar esa suma.

h

y x

z

R

y x

z

dz

z

r

Un elemento diferencial idóneo es

un cilindro cuya base sea paralela al plano horizontal y cuyo espesor sea in-

finitamente pequeño. El volumen de

este elemento es dV = r2 dz.

Y el volumen del cono será

V=r2dz=r2dz. Es fácil establecer

una relación entre r y z para poder integrar: por semejanza de triángulos, r/z = R/h, o sea, r=(R/h)z. El volumen

es, por tanto, V=(R2/h2)z2dz. Los límites de la integral son 0 y h, por lo

cual resulta V = R2/3.

Momentos estáticos

160

Su momento estático se calcula fácilmente, pues es d𝐵𝑥𝑦𝑉 = z dV. Con

las mismas sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llega -

mos a 𝐵𝑥𝑦𝑉

= (R2/h2)z3 dz. Y, puesto que lo límites son nuevamente 0 y h,

𝐵𝑥𝑦𝑉

= R2h2/4. Dividiendo este momento estático entre el volumen, encon-

tramos la cota del centroide:

𝑧̅ = 3ℎ

4

o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altu-ra, desde la base.

Centroide de un hemisferio

Para hallar la posición del centroide de un hemisferio de radio R, se puede seguir un procedimiento muy similar al que utilizamos para la deter-

minación de la ubicación del centroide del cono.

𝑉 =2𝜋𝑅3

3

𝐵𝑥𝑦𝑉 =

𝜋𝑅4

4

R

x

y

z

z

dz

x

R

r z

r

z R

El elemento diferencial que elegi-remos es nuevamente un cilindro de radio r, paralelo al plano xy, a una dis-

tancia z de dicho plano: dV = r2 dz. Para poder integrar con respecto a la

variable z, podemos recurrir al teore-ma de Pitágoras para establecer la rela-

ción R2 = r2 + z2; de donde r2 = R2 – z2. El lector podrá por su cuenta realizar las integrales correspondientes para

llegar a encontrar que

Momentos estáticos

161

y al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición

buscada:

𝑧̅ =3𝑅

8

Centroides de algunas áreas

Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides de superficies a las más usuales, que son el triángulo y el sector circular.

Centroide del triángulo

bujar dos medianas, es decir dos líneas que pasen por el centro de dos lados cualesquiera y por sus vértices opuestos: en la intersección se halla el cen-troide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución de pro-

blemas usuales de ingeniería. En el capítulo correspondiente a resultantes de fuerzas paralelas,

dedicamos un apartado a las fuerzas distribuidas, y hallamos que la línea de acción de la resultante de un sistema de cargas representado mediante un triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partir

de la base. De modo que no necesitamos ninguna otra demostración para saber que el centroide de un triángulo tiene esa posición: basta conocer dos

de las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho punto.

h

h/3

G

Para hallar el lugar que ocupa el cen-troide del triángulo, o baricentro, como lo llamaban los antiguos, podemos re-

currir a vario procedimientos, el más conocido es trazar las medianas del

triángulo y determinar su punto de con-currencia. En realidad bastaría con di-

Momentos estáticos

162

dA

x

ds dθ

θ

𝛽

R

x

y

G

Centroide de un sector circular

Asimilaremos tal sector a un triángulo cuya altura sea R y cuya base

ds. Por tanto

𝑑𝐴 =1

2𝑅 𝑑𝑠

Como tenemos que integrar con respecto a , tengamos en cuenta que,

como todo ángulo se mide dividiendo el arco entre el radio, d=ds/R, o sea

que ds = R d. Podemos escribir

𝑑𝐴 =1

2𝑅2𝑑𝜃

e integrando desde – hasta o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arriba del eje de las equis es igual a la de abajo

𝐴 = (1

2) 𝑅2 ∫ 𝑑𝜃 = 2 (

1

2) 𝑅2 ∫ 𝑑𝜃 = 𝑅2 ∫ 𝑑𝜃

𝐴 = 𝛽𝑅2

Calcularemos ahora el momento estático:

𝑑𝐵𝑦𝐴 = 𝑥 𝑑𝐴 = (

2

3𝑅 cos 𝜃)

1

2𝑅2𝑑𝜃

Estudiaremos un sector circular de

radio R comprendido en un ángulo 2

elegiremos un eje de las equis sobre su eje de simetría, de modo que su centroi-

de se encuentre en él, es decir �̅� = 0.

Como elemento diferencial tomaremos un sector circular de radio R, inclinado

un ángulo y comprendido en un ángulo

d, como se muestra en la figura.

Momentos estáticos

163

R

R

y

x

G

y

x

4𝑅

3𝜋

G

y

x 4𝑅

3𝜋

4𝑅

3𝜋

∫ 𝑑𝐵𝑦𝐴 =

1

3𝑅3 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃

𝛽

−𝛽

Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área bajo el eje

𝐵𝑦𝐴 =

2

3𝑅3 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃

𝛽

0

=2

3𝑅3sen 𝜃|

0𝛽

�̅�𝐴 =2

3𝑅3 sen 𝛽

�̅�𝐴 =2

3

𝑅3 sen 𝛽

𝐴=

2𝑅3 sen 𝛽

3𝛽𝑅2

�̅� =2𝑅 sen 𝛽

3𝛽

Dos sectores circulares de especial interés

son el semicírculo y el cuadrante de círculo. Pa-ra el primero, 𝛽 es igual a 𝜋/2 y su seno es 1;

por tanto

�̅� =2𝑅(1)

3(𝜋 2⁄ )

�̅� =4𝑅

3𝜋

Si al semicírculo se le quita el cuadrante in-

ferior, la distancia del centroide del que queda al eje de las yes no cambia. Por tanto, las coordenadas del centroide de

un cuadrante son:

�̅� = �̅� =4𝑅

3𝜋

Momentos estáticos

164

Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6

cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculo de 6 cm de radio

�̅� =𝐵𝑦

𝐴

𝐴=

684

133 .7= 5.12; �̅� =

𝐵𝑥𝐴

𝐴=

859

133 .7= 6.42

𝐺(5.12 ,6.42)[𝑐𝑚]

Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto a

los ejes cartesianos, se puede extrapolar sin ninguna dificultad a los planos cartesianos. De forma que

Parte Ai xi yi xiAi yiAi

108

3

9

324

972

54

8

6

432

324

-28.3

2.55

15.45

-72

-437

133.7 684 859

Ejemplo. Determine las coordenadas del centroide del área compuesta que se muestra

en la figura.

12 cm

18 cm

6 cm

y

x

Momentos estáticos

165

Para determinar esas coordenadas, utilizaremos los momentos está-ticos del área, descompuesto en partes, respecto a los planos cartesianos

Parte Ai xi yi zi xiAi yiAi ziAi

72

4

0

4

288

0

288

144

6

6

0

864

864

0

144

0

6

6

0

864

864

-113.1

0

6.91

6.91

0

-781

-781

246.9 1152 947 371

𝑦4 = 𝑧4 = 12 −4𝑅

3𝜋= 6.91

�̅� =𝐵𝑦𝑧

𝐴

𝐴=

1152

2469

Ejemplo. Diga cuáles son las tres coor-denadas del área compuesta que se repre-senta en la figura.

12´´

12´´

z

y

x

Momentos estáticos

166

z

y

x

50 cm

�̅� =𝐵𝑥𝑦

𝐴

𝐴=

947

246.9

𝑧̅ =𝐵𝑥𝑦

𝐴

𝐴=

371

246.9

𝐺(4.67´´,3.84´´,1.503´´)

Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también determinar los centros de gravedad y de masa de cuerpos no homogéneos, como el que se presenta en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La figura representa la sección transversal de una barra de 50 cm de largo, fabricada con aluminio

(1) y acero (2) cuyos pesos específicos son 520 y 780 g/cm2, respectivamente.

Determine la posición del centro de gravedad de la barra.

x

(1

)

(2

)

30 mm

30 mm

30

mm

60

mm

20 mm 20 mm

y

Como el plano paralelo al xy que pasa a 25 cm del origen es plano de si-

metría, 𝑧̅ = 250 𝑚𝑚. Además, el plano xy también es de simetría; o sea que

�̅�=0.

Para hallar las otras dos coordena-das, emplearemos los momentos estáti-cos de área, dándoles cierto peso.

Descompondremos en tres partes: un área semielíptica de aluminio, una rec-

tangular negativa de aluminio, más otra rectangular de acero.

Momentos estáticos

167

60

30 30

x x dy

y

y

x

dA 𝑥2

302+

𝑦2

602= 1

Aunque podríamos recurrir a las tablas de los textos para conocer la posi-ción del centroide de un área semielíptica, la buscaremos mediante integra -

ción.

𝑑𝐴 = 2𝑥𝑑𝑦

De la ecuación de la elipse

𝑥2

302= 1 −

𝑦2

602

𝑥 = √900 −𝑦2

4=

1

2√3600 − 𝑦2

𝑑𝐴√3600 − 𝑦2𝑑𝑦

𝐴 = ∫ √3600 − 𝑦2𝑑𝑦60

0

=𝑦

2√3600 − 𝑦2 + 1800𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛

𝑦

60|

0

60

Y el momento estático será

𝑑𝐵𝑥𝐴 = 𝑦𝑑𝐴

𝐵𝑥𝐴 = ∫ 𝑦√3600 − 𝑦2

60

0

𝑑𝑦 = −1

3(3600 − 𝑦2)

32⁄ |

0

60

2827�̅� =72000

2827= 25.47

Momentos estáticos

168

Entonces

Parte Ai 𝜌i 𝜌iAi yi yi𝜌iAi

2827

0.520

1470

25.47

37440

-1200

0.520

-642

15

-9630

1200

780

936

15

14040

∑ 1764 41850

�̅� =∑ 𝑦𝑖𝜌𝑖𝐴𝑖

𝜌𝑖𝐴𝑖

=41850

1764= 23.7

Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son

𝐺(0, 23.7, 250)[𝑚𝑚]

Teorema de Pappus-Guldinus

Una aplicación interesante y práctica de los momentos estáticos se

presenta con el teorema de Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era, que formalizó Guldin en el s. XVI. Como este último latinizó ambos

nombres, el teorema sigue conociéndose como de Pappus-Guldinus (2).

(2) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero, que no se estudiará aquí, desmuestra que el área de una superficie de revo-

lución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz por la dis-tancia que recorre su centroide.

Momentos estáticos

169

Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpo

de sección transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área de la base por la longitud del cuerpo, el teorema de Pappus-Guldinus

demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer girar una superficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto del área generatriz multiplicada por la longitud que recorre su centroide.

𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2𝜋𝑦 𝑑𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑦 𝑑𝐴

en donde la última integral es el momento estático del área generatriz con respecto al eje de las equis. Por tanto

𝑉 = 2𝜋�̅�𝐴

Pero 2𝜋�̅� es la longitud que recorre el centroide del área al girar una revolución. Por tanto,

𝑉 = 𝑙𝐴 QED

G

dA

y 𝑦

𝑥

Tomemos una superficie cualquiera de tamaño A, cuyo centroide es el punto

G, como se muestra en la figura. Escogeremos un área diferencial separa-da una distancia y del eje de las equis. Al

girar dicha superficie alrededor del eje equis, el área diferencial dA generará un

volumen igual a dicha área multiplicada por la longitud que recorre: dV = l dA,

pero tal longitud en 2y. El volumen del

cuerpo engendrado lo podemos obtener

integrando:

Momentos estáticos

170

El teorema se puede enunciar como sigue: el volumen de un sólido de revolución es igual al producto del área generatriz por la distancia que

recorre su centroide.

𝑙 = 2𝜋 (𝑅

3); 𝐴 =

1

2𝑅ℎ; 𝑉 = 𝑙𝐴; 𝑉 = 2𝜋 (

𝑅

3)

1

2𝑅ℎ

𝑉 =1

3𝜋𝑅2ℎ

Descompondremos el área generatriz en un rectángulo y un semicírculo. Elegiremos un eje de las equis que nos permita simplificar las operaciones

.

Ejemplo. Encuentre la fórmula del volumen del cono, empleando el teore-ma de Pappus- Guldinus. Sean h su altu-

ra y R el ancho de su base.

R y

h G

R/3

x

Ejemplo. La figura representa la sec-ción transversal de un anillo de 4 in de diámetro interior. Calcule su volumen.

1´´

1´´

2´´

2´´

1´´

Momentos estáticos

171

�̅� =0.3333

3.571= 0.09335

El radio de la trayectoria del centroide es igual al radio exterior menor 1.09335.

𝑣 = 2𝜋(4 − 1.09335)3.571

𝑣 = 65.2 in3

Investigaremos la posición del centroide de la sección transversa l. Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C.

Parte Ai yi yiAi

2

-0.5

-1

π/2

4/3 π

2/3

∑ 3.571 0.3333

Ejemplo. Se desea calcular el volu-men de concreto que se necesita para la construcción de la cortina de la presa

cuyas planta y sección transversal se muestran en las figuras. ¿Cuál es ese

volumen?

200

m

60

° A

´

A

70

m 80

m

80

m

Corte

A´A

C

Momentos estáticos

172

Parte Ai xi xiAi

6400

40

256000

-3848

29.7

-114333

∑ 2552 141667

�̅� =141667

2552= 55.52

El radio de la trayectoria del centroide es

𝑟 = 200 − 80 + 55.52 = 175.52

y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia

𝑙 =1

6(2𝜋𝑟) =

175.52𝜋

3= 183.81

𝑉 = 𝑙𝐴 = 183.81(2552)

𝑉 = 469 000 𝑚3

70

80 m

x O

Momentos estáticos

173

Serie de ejercicios de Estática MOMENTOS ESTÁTICOS

1. Determine, por integrac ión, las coordenadas del centroide del tímpano mostrado.

Sol. (3a/4, 3b/10)

Encuentre la posición de los centroides de las superficies que se muestran en las siguientes figuras.

2. Sol. (17, 3.88) cm 3. Sol. (6.83, 4.95) in

4. Sol. (1.295, 1.295) cm 5. Sol. (2.66, 2.71) ft

x

b

y

y = kx2

a

x

y

9 cm

10 cm 10 cm 14 cm x

4´´

4´´

6´ ́

8´´

y

4´´

10´´

x

3´

3 ́

3 ́

3´

y

2 ́

3´

4 ́

x

1 cm

y

1 cm

1 cm

1 cm

1 c

m

1 c

m

1 c

m

1 c

m

Momentos estáticos

174

6. Sol. ( – 4.93, 2.30) cm 7. Sol. (0, 3.37) cm

8. Sol. (12, – 0.734) in 9. Sol. (1.081, 2.62) ft

10. Sol. (5.54, 0, 4.46) in 11. Sol. (0.495, 0, 0.495) in

x

y

6 cm

12 cm

4 cm

x

y 6 cm

8 cm

10 cm

x

y

8 ´´

12 ´´

8 ´´

45° 45°

x

y

6´

3 ́

2 ́

x

y

10

mm

10 mm

10 mm

z

10

mm

10

mm

10

mm

20 mm

5 mm 5 mm

x

y 1´´

z

1´´

1´´

1´ ́

Momentos estáticos

175

12. La figura representa una

placa delgada de espesor uniforme de 0.5 in. El peso específico del materia l

(1) es de 6 lb/in3 y el del material (2),

8 lb/in3. Determine el peso de la placa y las coordenadas de su centro

de gravedad. Sol. P = 66 lb, (3.18, 1.5) in

13. La figura representa la

sección transversal de una barra. La masa específica del material (1) es de

520 g/cm3 y la del material (2), de 780 g/cm3. Diga cuáles son las coor-denadas x y y del centro de masa.

Sol. (13.06, 0) cm

14. Calcule el volumen del

sólido de revolución que se genera al girar la superficie mostrada alrededor del eje de las yes.

Sol. 100.5 in3

15. En la figura se muestra el

área generatriz de un sólido de revo-lución. Determine el volumen del só-

lido, si el área rota en torno al eje de las equis.

Sol. 36 600 cm3

y

2´´ 4´ ́

3´ ́ (1) (2)

x

y

30°

20 cm

(1) (2)

x 30°

x 2´´

2´ ́

2´ ́

2´ ́

y

x 10 cm

30 cm

60° 60°

Momentos estáticos

176

16. La figura muestra la

sección diametral de un toro. Calcule su volumen.

Sol. 59.2 cm3

17. Un cilindro de 4 in de

radio y 12 de altura se tornea hasta

conseguir la pieza mostrada. Deter-mine su volumen.

Sol. 377 in3

18. Las figuras representan la planta y la sección transversal de la

cortina de una presa. Determine el volumen de concreto que se requiere para su construcción.

Sol. 306 000 ft3

x 30 mm

10 mm

30 mm

10 mm

4´´

2´ ́

8 ´´

2 ´´

4´´

2´´

150´

45°

50´

80´

10´