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XI. MOVIMIENTO CURVILÍNEO

En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto las magnitudes como las direcciones. De modo que será conveniente tra-bajar, a partir de ahora, con vectores.

Consideremos un automóvil transitan-do por una carretera curva, aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la carretera, para situarlo deberemos conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide esa distancia. Representaremos el caso me-diante una curva arbitraria y un punto sobre ella. Al punto O lo llamaremos origen, y desde éste al punto trazaremos un vector, el vector de posición. Un tiempo después, el punto ocupará una nueva posición. Y la dife-rencia entre estas dos posiciones será el desplazamiento. Ahora el despla-zamiento también es una cantidad vectorial, tal que

�̅� + ∆�̅� = �̅�′

∆�̅� = �̅�′ − �̅�

Movimiento curvilíneo

Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplaza-miento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud reco-rrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas.

|∆�̅�| ≠ ∆𝑠

Si6 el lapso considerado es infinita-mente pequeño, la razón del desplaza-miento al tiempo será la velocidad de la partícula en ese instante. Ahora bien, si la segunda posición se acerca todo lo po-sible a la primera, la línea que las una, que será la dirección tanto del despla-zamiento como de la velocidad, será tan-gente a la trayectoria. Esta propiedad es de especial importancia en el estudio de la Cinemática de la partícula. Y tiene la velocidad otra propiedad igualmente im-portante: la magnitud del desplazamiento es ahora del mismo tamaño que la longi-tud recorrida por la partícula. Es decir,

|∆�̅�| = ∆𝑠

�̅� =𝑑�̅�

𝑑𝑠 ; |�̅�| = 𝑣 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad.

La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de direc-ción de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad empleando distintos sistemas de referencia.

252


a) Dado que 𝑠 = 0.1𝑡2, y que 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡⁄ , entonces v=0.2t. Para 𝑡 =2𝑠, 𝑠 = 0.4 𝑦 𝑣 = 0.4. Como se halla en el tramos recto de la vía:

b) Puesto que 𝑣𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡⁄𝑣𝑚 = 0.4/2

c) De las expresiones empleadas en el inciso a, pero para t = 5, se obtienes = 2.5, v = 1. Ahora el tren se encuentra en un tramo curvo; ha recorrido 1m de la circunferencia BC. El radio que une su posición con el centro de lacurva forma un ángulo θ = s / R de 1 / 0.8 = 1.25 rad con la vertical, esdecir, de 71.6°. Para determinar tanto la magnitud como la dirección delvector de posición r calculemos las distancias x y y:

𝑟 = 0.4 m ; 𝑣 = 0.4 m s⁄

𝑣𝑚 = 0.2 m s⁄

Ejemplo. La figura representa la vía de un tren de juguete. El tren parte del punto A y avanza conforme a la ex-presión s = 0.1 t2, si t se da en s, s es la distancia en m del tren al punto A, me-dida sobre la vía. Tomando dicho punto A como origen, determine: a) la posi-ción y la velocidad del trenecito cuan-do t = 2 s; b) Su velocidad media du-rante los dos primeros segundos. c) Su posición y su velocidad cuando t = 5s. d) El tiempo que requiere para volver alpunto de partida.

253


𝑥 = 1.5 + 0.8 sen 71.6° = 2.26

𝑦 = 0.8 − 0.8 cos 71.6° = 0.548

Por tato, 𝑟 = √2.262 + 0.5482

Y tan 𝛽 = 0.548/2.26

d) Puesto que 𝑠 = 0.1𝑡2, y se desea conocer el tiempo en que vuelve a pa-sar por A, ha de calcularse la longitud de toda la vía:

𝑠 = 2𝜋(0.8) + 2(1.5) = 8.03Por lo que 8.03 = 0.1𝑡2, de donde

𝑡 = √8.03/0.1

Componentes cartesianas. Cinemática

Consideremos una partícula moviéndose en una curva arbitraria y elijamos un sistemas de referencia cartesiano, como se mues-tra en la figura. La posición de la partícula en un instante arbitrario queda perfec-tamente determinada mediante un vector que una el origen con la partícula; si las coordenadas de ésta son x y y. entonces el vector de posición será

𝑟̅ = xi + yj

𝑟 = 2.33 m 13.6°

𝑣 = 1 m

s 71.6°

𝑡 = 8.96 s

254


Si lo derivamos respecto al tiempo, obtendremos primero la velocidad y luego la aceleración de la partícula. Como los vectores unitarios i y j tienen magnitud y dirección constantes, las derivadas quedan como sigue.

�̅� =𝑑𝑥

𝑑𝑡i +

𝑑𝑦

𝑑𝑡j

�̅� =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡i +

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡j

Procederemos a escribir las ecuaciones del movimiento como lo hici-mos en el caso del movimiento rectilíneo. Las componentes de la veloci-dad y la aceleración los obtendremos derivando las de la posición.

𝑣̅ = 𝑣𝑥i+ 𝑣𝑦j

�̅� = 𝑎𝑥i + 𝑎𝑦j

Ejemplo. Las coordenadas de un buque que se mueve en las proximidades de un puerto son x = t3–30t2+280t y y=t2 –10t+600, donde tanto x como y resultan en m si t se da en s. Determine la posición, velocidad y ace-leración del buque cuando t=10 s.

255


𝑥 = 𝑡3 − 30𝑡2 + 280𝑡𝑣𝑥 = 3𝑡2 − 60𝑡 + 280𝑎𝑥 = 6𝑡 − 60

𝑦 = 𝑡2 − 10𝑡 + 600𝑣𝑦 = 2𝑡 − 10 𝑎𝑦 = 2

Para t=10 𝑥 = 1000 − 3000 + 2800 = 800

𝑣𝑥 = 300 − 600 + 280 = −20 𝑎𝑥 = 60 − 60 = 0

𝑦 = 100 − 100 + 600 = 600𝑣𝑦 = 20 − 10 = 10 𝑎𝑦 = 2

Comparando los resultados

�̅� = 800𝑖 + 600𝑗

𝑟 = √8002 + 6002

tan 𝛼 =600

800

𝑟 = 1000 m 36.9°

�̅� = −20𝑖 + 10𝑗

𝑣 = √202 + 102

tan 𝛽 =10

20

�̅� = 2𝑗

𝑣 = 22.4 ms⁄ 26.5°

𝑎 = 2 ms2⁄ ↑

256


Para obtener la ecuación de x tendremos que integrar vx

𝑥 = ∫(22 − 8𝑡)𝑑𝑡 = 22𝑡 − 4𝑡2 + 𝑐

Como en t=0, x=0, entonces c=0

𝑥 = 22𝑡 − 4𝑡2

𝑣𝑥 = 22 − 8𝑡 𝑎𝑥 = −8 𝑦 = 25 − 𝑡2

𝑣𝑦 = −2𝑡 𝑎𝑦 = −2

Igualando y con 0

0 = 25 − 𝑡2 ; 𝑡 = 5

Para t=5 𝑣𝑥 = −18 ; 𝑣𝑦 = −10 ;

𝑎𝑥 = −8 ; 𝑎𝑦 = −2 ;

Para dibujar la gráfica, tabula-remos x y y

t 0 1 2 3 4 5 x 0 18 28 30 20 10 y 25 24 21 16 9 0

𝑣 = 20.6 ins⁄ 29.1°

𝑎 = 8.25 ins⁄ 14°

y

x

25

10

Ejemplo. El movimiento curvilíneo de una partícula se puede definir mediante las expresiones y = 25 – t2 con una vx = 22 – 8t, donde y está en in, vx en in/s y t en s. Se sabe que cuando t = 0, x = 0. Diga cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando y = 0 y dibuje su trayectoria.

257


Componentes cartesianas. Cinética

De la segunda ley de Newton hemos deducido que la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula tiene una magnitud igual al producto de la masa de dicha partícula por la aceleración que sufre, y tiene la dirección de esa aceleración por tanto, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

En un instante cualquiera del movimiento, el diagrama de cuerpo libre de la pelota es el siguiente:

∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎

𝑔𝑃

𝑃 = 𝑎

𝑎 = 𝑔

O sea, que en cualquier posición la aceleración de la pelota es igual a la gravedad.

D

m

258

Ejemplo. Un jugador de golf golpea una pelota en la dirección mostrada en la figu-ra con una rapidez de 50 m/s, desde una sobreelevación de 12 m. Despreciando to-da resistencia del viento, determine: a) el tiempo en que la pelota alcanza la altura máxima; b) la altura máxima que alcanza; c) el tiempo en que llega al suelo; d) la ve-locidad con que llega, e) el alcance hori-zontal D de la pelota. Y escriba una ecua-ción cartesiana de la trayectoria.


Elegimos ahora un sistema de re-ferencia cartesiano y escribimos las ecuaciones del movimiento:

En x’x 𝑎𝑥 = 0

𝑣𝑥 = 50 (4

5) = 40

𝑥 = 40 𝑡

En y’y 𝑎𝑦 = −9.81 𝑣𝑦 = 50 (

3

5) − 9.81 𝑡 = 30 − 9.81 𝑡

𝑦 = 12 + 30 𝑡 −9.81

2 𝑡2

a) La pelota alcanza la altura máxima cuando vy=0

0 = 30 − 9.81 𝑡

𝑡 =30

9.81

En ese tiempo y será la altura máxima

𝑦 = 12 + 30(3.06) −9.81

2(3.062)

𝑡 = 3.06 s

𝑦 = 57.9 m

259


b) Que llegue al suelo significa que y=0

0 = 12 + 30 𝑡 −9.81

2 𝑡2

9.81 𝑡2 − 60 𝑡 − 24 = 0

Las raíces de ésta ecuación son 𝑡1 = 6.49; 𝑡2 = −0.377 . La negativa no significa nada en este problema.

c) Al llegar al suelo

𝑣𝑥 = 40

𝑣𝑦 = 30 − 9.81(6.49) = −33.7

𝑣 = √402 + 33.72

tan 𝜃 =33.7

40

La ecuación cartesiana de la trayectoria, que es de la forma y = f(x), la obtendremos despejando t de la ecuación de x y sustituyendo en la de y.

𝑡 =𝑥

40

𝑦 = 12 + 30 (𝑥

40) −

9.81

2(

𝑥

40)

2

Que es la de una parábola cuyo eje es paralelo al de las yes.

𝑡 = 6.49 s

𝑣 = 52.3 m s⁄ 40.1°

𝑦 = 12 + 0.75 𝑥 − 3.07(10−3) 𝑥2

260


Sabemos que en cualquier instante el proyectil sufrirá la aceleración de la gravedad. Elegiremos un sistema de referencia con uno de los ejes en dirección de la ladera y emplearemos las ecuaciones del movimiento.

En x’x

𝑎𝑥 = 32.2 sen 30° = 16.1 𝑣𝑥 = 16.1 𝑡 𝑥 = 8.05 𝑡2

En y’y

𝑎𝑦 = −32.2 (√3

2) = −16.1√3

𝑣𝑦 = 𝑣0 − 16.1 𝑡 √3 𝑦 = 𝑣0𝑡 − 8.05 𝑡2 √3

En B, x = 750 ; y = 0

750 = 8.05 𝑡2

𝑡 = 9.65

0 = 𝑣0(9.65) − 8.05(9.65)√3

𝑣0 = 8.05(9.65)√3

Ejemplo. Se desea que un pro-yectil que se disparará en dirección normal a la ladera mostrada llegue exactamente al punto B. Diga con qué rapidez debe disparase para lo-grarlo.

𝑣0 = 134.6 fts⁄

261


Componentes intrínsecas. Cinemática

Este apartado es, sin lugar a dudas, el más importante de la cinemática. Las componentes de la aceleración que ahora estudiaremos están relacio-nadas íntimamente con las características esenciales del movimiento. Por eso, algunos autores las llaman naturales. En efecto, una de ellas mide el cambio de magnitud de la velocidad, la otra, su cambio de dirección.

La figura representa una partícula moviéndose en una curva cualquiera. En dirección de su velocidad, es decir, tangente a la trayectoria en ese punto, elegimos un eje de referencia, que llamaremos tangencial. Perpendicular (es decir, normal) a él tomamos el otro eje de referencia, que será el eje nor-mal, y se dirigirá hacia el centro de la curva. Los vectores unitarios en esas direcciones serán el vector unitario tangencial, et y el vector unitario nor-mal en.

Expresada en forma polinómica, la velocidad será

�̅� = 𝑣𝒆𝒕

Derivaremos esta expresión con el fin de obtener la aceleración de la partícula. Puesto que tanto v como et son variables

�̅� =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝒆𝒕 +

𝑑𝒆𝒕

𝑑𝑡𝑣

El término dv/dt nos resulta familiar, pues es la razón de cambio de la rapidez (i. e., de la magnitud de la velocidad) con respecto al tiempo. Pero para comprender el término det/dt derivaremos primero el vector unitario tangencial respecto a su dirección. Como se puede apreciar en la figura, si dicho vector unitario se desvía un ángulo d, su punta describe un arco ds, cuya longitud es igual al producto del radio por en ángulo: dado que el radio

262


Utilizando la regla de la cadena, podemos llegar a lo siguiente:

�̅� =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝒆𝒕 +

𝑑𝒆𝒕

𝑑𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑣

�̅� =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝒆𝒕 + 𝑣

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝒆𝒏

�̅� =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝒆𝒕 + 𝑣

𝑑𝜃

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑡𝒆𝒏

en donde ds/dt = v, y d/ds = 1/, en donde es el radio de curvatura, ya que el ángulo es igual al arco entre el radio, tal como se muestra a continuación:

𝑑𝜃 =𝑑𝑠

𝜌

Podemos escribir finalmente que

que expresa la aceleración como la suma vectorial de dos componentes perpendiculares entre sí. La primea la componente tangencial es la razón de cambio de la rapidez respecto al tiempo y tiene la dirección de la velocidad; y la segunda, que se dirige hacia el centro de la curva, es igual

�̅� =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝒆𝒕 +

𝑣2

𝜌𝒆𝒏

es la magnitud del vector unitario, o sea, 1, entonces d = ds; además la magnitud de det = ds, es decir, d = det por lo que podemos afirmas que la magnitud de la derivada es 1 y, como se aprecia en la figura, el vector obtenido es perpendicular al vector unitario tangente. Por tanto, det/d = en.

263

Marco

Sello


al cuadrado de la rapidez entre el radio de curvatura. La magnitud y la dirección de la aceleración se puede obtener mediante las expresiones

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 ; 𝑎𝑛 =

𝑣2

𝜌

𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛

2

tan 𝜃𝑡 =𝑎𝑛

𝑎𝑡

De la expresión de la longitud recorrida obtendremos la rapidez y la componente tangencial de la aceleración en cualquier instante.

𝑠 = 4𝑡2

𝑣 = 8𝑡𝑎𝑡 = 8

El cuarto de pista, es decir, el arco 𝐴�̂�, mide

∆𝑠 = 𝜃𝑟 =𝜋

2(400) = 200𝜋

Ejemplo. Un automóvil comienza a moverse desde el punto A de una tra-yectoria circular de 400 ft de radio conforme a la expresión s = 4t2, donde s es la longitud que recorre sobre la pista en ft, y t el tiempo en s. Calcule el tiempo que el automóvil tarda en recorrer un cuarto de la pista y diga cuáles serán su velocidad y su acelera-ción en ese instante.

400´

A

B v

264


Entonces

200𝜋 = 4𝑡2

𝑡 = √50𝜋

Y en el instante

𝑣 = 8(12.53)

𝑎𝑛 =100.32

400= 25.1

𝑎𝑡 = 8

𝑎 = √25.12 + 82

tan 𝜃 =8

25.1

Ejemplo. Un motociclista que reduce uniformemente su rapidez, pasa por A a 90 km/h y llega al fondo B de la curva vertical, 50 m adelante de A, a 54 km/h. Sabiendo que en B el radio de curvatura de la carre-tera es de 100 m, diga cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de la moto-cicleta en ese punto.

A 50 m

B

v 100 m

𝑡 = 12.53 s

𝑣 = 100.3 fts⁄ ↑

𝑎 = 26.4 fts2⁄ 17.7°

265


Como la variación de la rapidez es constante, de 𝑎𝑡 = 𝑣 𝑑𝑣𝑑𝑠⁄ obtenía

𝑎𝑡 =𝑣2

2 − 𝑣12

2𝑠

Puesto que 90 km/h = 25 m/s y 54km/h =15 m/s

𝑎𝑡 =152 − 252

2(50)= −4

𝑎𝑛 =𝑣2

𝜌=

152

100= 2.25

𝑎 = √42 + 2.252

tan 𝜃 =2.25

4

Componentes intrínsecas. Cinética

Nuevamente, de las relaciones entre la resultante del sistema de fuer-zas y la aceleración de una partícula que establece la segunda ley de Newton, podemos escribir

Conviene tener en cuenta que muchos problemas, aun de movimiento plano, exigen un desarrollo en tres dimensiones. En tales problemas se puede elegir un tercer eje de referencia, perpendicular al plano del movi-miento, que cumple con la condición

Algunos textos llaman binormal al eje que nosotros hemos denomi-nado de las zetas o de las cotas, por ser perpendicular tanto al eje tangencial como al normal. Este caso lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.

𝑎 = 4.59 ms⁄ 29.4°

266


267

-

Tomando el plano que contiene la cuerda y el péndulo, dibujaremos el diagrama de cuerpo libre y el sistema de referencia, sabiendo que el eje tangencial (y, por tanto, la velocidad) es perpendicular al plano del dibujo.

∑𝐹𝑧 = 0 𝑇𝑐𝑜𝑠 25 − 5 = 0

𝑇 =5

𝑐𝑜𝑠 25

∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛

𝑇 𝑠𝑒𝑛 25 =5

32.2

𝑣2

𝑟El rayo de la trayectoria r es igual a la longitud de la cuerda por el

seno de 25: Osea 5

𝑐𝑜𝑠 25𝑠𝑒𝑛 25 =

5

32.2(

𝑣2

2𝑠𝑒𝑛 25)

𝑡𝑎𝑛 25 =𝑣2

64.4𝑠𝑒𝑛 25𝑣2 = 64.4(𝑠𝑒𝑛 25)(𝑡𝑎𝑛 25)

Ejemplo. “Péndulo cónico”. Un péndulo de 5 lb de peso atado a una cuerda de 2 ft de largo, que forma un ángulo de 25° con respecto a la ver-tical, describe un cono. Determine la tensión de la cuerda y la rapidez del péndulo.

25°2´

5#

𝑇 = 5.52 lb

𝑣 = 3.56 ft/s


268

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de un carro de F.C. que cir-cula a la velocidad de diseño. Elegimos un sistema de referencia tal que el eje normal se dirija al centro de la curva y el tangencial resulte perpendi-cular al plano del dibujo.

∑𝐹𝑦 = 0 𝑁 𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝑃 = 0

𝑁 =𝑃

cos𝜙


𝑁𝑠𝑒𝑛 𝜙 =𝑃

𝑔

𝑣2

𝑟

Como 180 km / h = 50 m / s

𝑃 𝑡𝑎𝑛 𝜙 =𝑃

9.81

502

500

𝑡𝑎𝑛 𝜙 =5

9.81 ; 𝜙 = 27°

Y mediante trigonometría calculamos la sobreelevación h

ℎ = 1.435𝑠𝑒𝑛 27°

Ejemplo.Diga cuántos centíme-tros debe sobreelevarse el riel exterior de una vía curva de 500 m de radio, si la velocidad de diseño es de 180 km/h. La reacción de la vía debe ser perpendicular al asiento de los dur-mientes.

h

φ

1.435 m

ℎ = 0.65 m


269

La velocidad es nula cuando el ángulo es de 35; también es nula en ese instante, la componente normal de la aceleración.

∑𝐹𝑛 = 0

𝑇 − 2 cos 35° = 0

Dibujaremos ahora un diagrama de cuerpo libre del péndulo en una posición arbitraria, para determinar su rapidez.

∑𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡

2 cos 𝜃 =2

𝑔𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑠𝑔 cos 𝜃 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣

Para relacionar el ángulo con la longitud recorrida, tomaremos un arco diferencial de la trayectoria.

Ejemplo. Un péndulo simple de 2 lb de peso y 4 ft de largo, oscila enel pla-no vertical. El ángulo máximoque forma la cuerda con la vertical es de 35°. Determine: a) la tensión de la cuerda cuando la velocidad del péndulo es nula; b) la velocidad má-xima del péndulo y la tensión co-rrespon diente de la cuerda.

35°

4

2 #

35°

𝑇 = 1.64 𝑙𝑏


270

𝑑𝜃 =𝑑𝑠

4

𝑑𝑠 = 4𝑑𝜃

Sustituyendo

4𝑔 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑣 𝑑𝑣

4𝑔∫cos 𝜃 𝑑𝜃 = ∫𝑣 𝑑𝑣

4𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑣2

2+ 𝐶

𝑠𝑖 𝜃 = 90° − 35° = 55° ; entonces 𝑣 = 0

4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 = 𝐶

𝑣24𝑔 𝑠𝑒𝑛 55 = + 4𝑔 𝑠𝑒𝑛 55

2

𝑣 = √8(32.2)(𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 55)

La rapidez máxima se alcanza cuando sen θ es máximo, es decir θ=

90° 𝑣 = √46.59

En esa precisión


𝑇 − 2 =2

𝑔(46.59

4)

𝑇 = 2.72 𝑙𝑏

Marco

Sello


271

Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre de la camioneta al pasar por la cima.


2000 − 𝑁 =2000

𝑔

𝑣2

200

Como 30 mi / h = 44 ft / s

2000 − 𝑁 =10

𝑔(442)

𝑁 = 2000 −442

3.22= 1399


−𝐹𝑟 =2000

𝑔(−3)

𝐹𝑟 =6000

32.2= 186.3

La reacción es 𝑅 = √13992 + 186.32

tan 𝜃 =1399

186.3

Ejemplo.Una camioneta de 2000 lb que reduce su rapidez a razón de 3 ft/s2 pasa por la cima de una curva vertical de 200 ft de radio con una ra-pidez de 30 mi/h. Calcule la mag-nitud y la dirección de la reacción del pavimento sobre la camioneta. ¿Cuál es la máxima rapidez con que puede circular un vehículo por ese punto, sin despegarse del camino?

𝑅 = 1411 lb 82.4°

2000′


272

Conforme aumenta la rapidez del vehículo la magnitud de la reacción normal disminuye. A la máxima rapidez con la que puede recorrer la curva, corresponde que la normal sea nula.


2000 =2000

𝑔

𝑣𝑚á𝑥2

200

𝑣𝑚á𝑥 = √200(32.2)𝑣𝑚á𝑥 = 80.2 𝑓𝑡/𝑠

Si el conductor intentara circular con una velocidad mayor, se separaría del pavimento.

Comenzaremos calculando la aceleración del cuerpo en función de tiempo.

𝑎𝑡 = 0.3 𝑣 = 0.3𝑡

𝑎𝑛 =0.3𝑡2

0.8

Ejemplo.A 0.8 m del centro de un disco se coloca un pequeño cuerpo. Al girar el disco alrededor de su

centro, el cuerpo aumenta su rapidez uniformemente a razón de 0.3 m/s2. Sabiendo que los coeficientes de fric-ción estática y cinética entre el cuerpo y el disco son 0.5 y 0.4, respectiva-mente, diga cuánto tiempo después de que el disco haya comenzado a mo-verse, el cuerpo se deslizará.

0.8 m

𝑣𝑚á𝑥 = 54.7 mi/h

,


273

𝑎 = √0.32 + (0.3𝑡2

0.8)

2

Sabiendo que la componente normal de la reacción del disco es igual al peso del cuerpo, podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre en planta en donde la en donde la fuerza máxima de fricción estática es

𝐹′ = 𝜇𝑠𝑁 = 0.5𝑁

Sabiendo que la fuerza de fricción y la aceleración tienen la misma dirección, escribimos:

∑𝐹 = 𝑚𝑎

0.5𝑃 =𝑃

9.81√0.32 + (

0.3𝑡2

0.8)

2

[(9.81)(0.5)]2 = 0.32 + (0.3𝑡2

0.8)

2

0.09𝑡4

0.64= [(9.81)(0.5)]2 − 0.09

𝑡4 =64

9{[(9.81)(0.5)]2 − 0.09}

𝑡 = 3.61 s


274

Como la rapidez del osezno es variable, estudiaremos un ins-tante cualquiera de su movimiento sobre el iglú.


𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑃

𝑔𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑔∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑠 = ∫𝑣 𝑑𝑣

En donde

𝑑𝜃 =𝑑𝑠

12𝑑𝑠 = 12𝑑𝜃12 𝑔 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = ∫𝑣 𝑑𝑣

−12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑣2

2+ 𝑐

Si θ = 0°; cos θ = 1, v = 0−12𝑔 = 𝑐

−12𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑣2

2− 12𝑔

𝑣2

2= 12𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)

𝑣2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)Por otro lado:


−𝑁 + 𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑃

𝑔

𝑣2

12

Ejemplo.Desde la parte más alta de un iglú semiesférico de 12 ft de radio, comienza a deslizarse un osez-no. Considerando que tanto la veloci-dad inicial como la fricción son nulas, ¿a qué altura h se separará el osezno del iglú?

12 ft h

Marco

Sello


275

Pero N = 0 en el instante en que el osezno está a punto de aban-donar el iglú.

𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑃

𝑔

24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)

12𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 2

𝑐𝑜𝑠 𝜃 =2

3De la geometría:

ℎ = 12 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 12 (2

3)

Observación

En el problema anterior, del osezno, y en el péndulo simple, obtu-vimos las siguientes expresiones para la rapidez de los cuerpos.

𝑣2 = 24𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑣2 = 4𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠 35°)

en donde el 24 y 4 son los dobles de los radios de las trayectorias. O sea, que, generalizando

𝑣2 = 2𝑔𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)Además, 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) es ∆ℎ, según se muestra en la figura

de modo que se puede escribir

ℎ = 8 m


276

30°

25 m/s 100 m

𝑣2 = 2𝑔 ∆ℎ

Tal expresión vale siempre que la partícula baje de nivel por la acción de su peso, por cualquier tipo de trayectoria sobre la que no haya fricción.

Serie de ejercicios de Cinemática y Dinámica MOVIMIENTO CURVILÍNEO

1. Un punto se mueve sobre la trayectoria cuya ecuación es y = x3, deacuerdo con la ley x = 2t+1/t, donde tanto x como y están en in y t en s. ¿Cuál es su rapidez cuando t = 4 s?

(Sol. 396 in/s)

2. Una partícula se mueve sobre la curva y = 2x3–3x conforme con larelación x = t2– t, donde si t está en s, tanto x como y resultan en cm. Calcule su velocidad y su aceleración cuando t = 1 s.

(Sol. v = 3.16 cm/s 71.6º; a = 6.32 cm/s2 71.6º)

3. Un muchacho situado al bordede un precipicio lanza una piedra con una velocidad de 25 m/s formando un ángulo de 30º abajo de la horizontal. Si la profundidad del lugar en que cae la piedra, respecto al nivel del que fue lanzada, es de 100 m, diga: a) qué tiempo tarda la piedra en caer; b) el alcance hori-zontal de la piedra; c) con qué ve-locidad llega la piedra al suelo.

(Sol. a) 3.42 s; b) 74.0 m; c) 50.9 m/s 64.8º)

𝑣 = √2𝑔 ∆ℎ


277

20 m/s

15°

45°

R

O

C

S

32’

4. De una bala que ha sido disparada a 480 ft/s formando un ángulo de25º respecto a la horizontal, se desea saber: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) su alcance; c) la altura máxima a la que llega; d) la ecuación cartesiana de su trayectoria. Desprecie la resistencia del aire.

(Sol. a) 12.60 s; b) 5480 ft; c) 639 ft; d) y = 0.467x – 8.51(10)-5 x2)

5. Un jugador de futbol es capaz de imprimir a un balón una velocidadinicial de 90 ft/s. Si desea que el alcance del balón sea de 180 ft, ¿con qué ángulo respecto a la horizontal debe iniciar el balón su movimiento?

(Sol. 22.8º ó 67.2º)

6. Un aficionado patea un balón defutbol, y le imprime una velocidad inicial de 20 m/s, formando un ángulo de 45º con el campo; pero el campo tiene una inclinación de 15º respecto a la horizontal. ¿Cuál es el alcance R del balón?

(Sol. 53.4 m)

7. La distancia que recorre unapartícula, medida a lo largo de una trayectoria curvilínea, en ft, es s = t3–

16t, donde t está en s. Cuando t = 4 s, la partícula se encuentra en un tramo cuyo radio de curvatura es de 32 ft. Calcule la magnitud de la aceleración lineal de la partícula en dicho instante.

(Sol. 40 ft/s2)

8. Un avión vuela horizontalmente a 900 km/h a 10000 m de altura,describiendo un arco de circunferencia de 1250 m de radio. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración lineal?

(Sol. 50 m/s2)


278

8 40

36

t (s)

v (km/h)

ρ

9. Un ciclista da una vueltacompleta a una pista circular en un lapso de 40 s. Su rapidez se muestra en la gráfica de la figura. Determine: a) la longitud y el radio de la pista; b)la magnitud de la aceleración linealdel ciclista cuando t = 2 y cuando t= 30 s.

(Sol. a) 360 m y 57.3 m; b) a2 = 1.255 m/s2; a30 =

1.745 m/s2)

10. Mientras un automóvil recorre una pista circular de un cuarto demilla de radio, reduce su rapidez lineal uniformemente de 60 a 30 mi/h en 16 s, ¿cuáles son las magnitudes de la aceleración lineal del automóvil al principio y al fin de dicho lapso? ¿Qué distancia recorre en esos 16 s?

(Sol. ao = 6.48 ft/s2; a16 = 3.12 ft/s2; s = 1056 ft)

11. Un automovilista ingresa enuna curva vertical con una velocidad de 72 km/h y aplica los frenos de modo que, reduciendo su rapidez uniformemente, se detiene 50 m ade-lante. Sabiendo que el radio de curva-tura es constante en ese tramo y que la aceleración del automóvil al apli-car los frenos es de 6 m/s2, de-termi-ne: a) el radio de la curva; b) la mag-nitud de la aceleración del auto-móvil al detenerse.

(Sol. a) 89.4 m; b) 4 m/s)


279

30°

80 m

2’

6’

30°

19°

ϴ

DF

12. Un ciclista recorre una pistacircular horizontal con una rapidez constante de 12 m/s. Si en una longitud de 80 m el ciclista se desvía un ángulo de 30º, diga: a) cuál es el radio de la pista; b) cuáles son las magnitudes de las componentes nor-mal y tangencial de su aceleración; c) cuál es la magnitud de su acele-ración lineal.

(Sol. a) 152.8 m; b) an = 0.942 m/s2; at = 0; c) a = 0.942 m/s)

13. La figura representa unascanastillas de feria. El juego gira al-rededor de un eje vertical con una velocidad angular constante de 2 rad/s. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y de la aceleración li-neales de cualquiera de las canasti-llas?

(Sol. v = 10 ft/s; a = 20 ft/s2)

14. Suponiendo que la Tierraestuviera dotada exclusivamente de movimiento de rotación, ¿cuál sería la aceleración de un cuerpo situado en la ciudad de México? Considere que la latitud de México es 19º nor-te, que la Tierra da una vuelta en 24 h y que su radio medio mide 6370 km.

(Sol. 3.18 cm/s2)


280

45°

20° 1 m

𝑣

15. El pequeño jet de la figuraviaja horizontalmente con rapidez constante de 540 km/h y tarda 4 s en desviar su curso 45º. a) Determine la velocidad angular del vector velo-cidad lineal del jet. b) Calcule la magnitud de la aceleración lineal del jet durante dicho lapso. c) Diga cuál es el radio del arco de circunferencia que describe al virar.

(Sol. a) 0.1963 rad/s; b) 29.5 m/s2; c) 764 m)

16. Una piedra de 3 kg de peso,atada a una cuerda de 1 m de longi-tud, describe una circunferencia en el plano vertical. Determine la velo-cidad angular mínima de la cuerda a la cual ésta se rompe, si su resisten-cia máxima es de 9 kg. Diga también cuál es la tensión en la cuerda cuando forma un ángulo de 20º arriba de la horizontal, si la velocidad lineal de la piedra en ese instante es de 5 m/s.

(Sol. 4.43 rad/s; 6.62 kg)

17. Un automóvil de una tone-lada se desplaza sobre el puente de la figura con una rapidez constante de 10 m/s. El radio de curvatura en la cima del puente es de 50 m. Cal-cule la fuerza que el automóvil ejer-ce sobre el puente al pasar por dicho punto. Diga también cuál es la máxi-ma rapidez con que puede transitar el


281

50 cm 20 cm

12 cm A C B

60° 60°

1 ft

A O

O’

Q

ω

b

c

b

P P

φ

automóvil sin perder el con-tacto con la cima del puente.

(Sol. 796 kg ↓; 79.7 km/h)

18. La flecha AB gira a 300 rpm.El cuerpo C, que puede considerarse un punto material, pesa 25 kg. Cuando C se encuentra en la posición más baja de su trayectoria, como se muestra en la figura, ¿cuáles son las reacciones en los apoyos? Los pesos de las barras son despreciables.

(Sol. RA = 93 kg ↑; RB = 233 kg ↑)

19. El sistema mostrado en lafigura gira alrededor del eje vertical O’O. ¿Entre qué velocidades angú-lares puede girar el sistema sin que Ase deslice? Los coeficientes de fric-ción estática y cinética entre A y el disco son 0.4 y 0.3, respectivamente.

(Sol. 5.03 rad/s < 𝜃 < 14.95 rad/s)

20. Determine la rapidez angú-lar constante con que debe girar el gobernador de bolas que se repre-senta para mantener la configuración mostrada. Considere los siguientes datos: φ = 45º, P = 2 kg, Q = 10 kg, b = 0.3 m y c = 0.1 m.

(Sol. 122.6 rpm)

21. La esfera de la figura estásostenida por dos cuerdas y T0 es la tensión en una de ellas. Diga cuál


282

30° 30°

3 m

45°

5 kg

B

µ

𝑣

𝑣

𝑣0

y

será la tensión T1 en cualquiera de ellas en el instante en que se corte la otra, y cuál, la magnitud de la ace-leración de la esfera en ese mismo instante.

(Sol. T1 = 0.5T0; a = 0.866g)

22. El cuerpo de la figura tieneuna masa de 5 kg y sube por el plano inclinado. Al pasar por B su rapidez es de 3 m/s y decrece a razón de 8 m/s2. Determine el coeficiente de fricción cinética µ entre el cuerpo y la superficie, si el radio de curvatura de la trayectoria en el punto B es de 3 m.

(Sol. 0.270)

23. Un vehículo de 1400 kg de masa recorre una curva circularhorizontal de 200 m de radio. Re-duce su velocidad uniformemente de 108 a 72 km/h en una distancia de 50 m. Calcule la magnitud de la reacción del pavimento sobre el vehículo cuando éste alcanza los 72 km/h.

(Sol. 15 670 N)

24. Un carrito de baleros correpor el plano horizontal con una velocidad v0 y comienza a subir por una trayectoria curvilínea contenida en un plano vertical. Halle una ex-presión que defina su rapidez v en función de la altura y que va ascen-diendo. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará el carrito?

(Sol. v = (v02

– 2gy)1/2; v02/2g)


282

5 m/s

9.81 kg

4 m

A B

β

B

C

m

A

h

200 kg

60 kg

50 m

A

B

25. Un carrito de baleros de 9.81kg de peso llega al punto A con una rapidez de 5 m/s y comienza a descender por la trayectoria circular de 4 m de radio. Determine el án-gulo β que define la posición en que el carrito abandona la superficie y se convierte en un proyectil.

(Sol. 28.5º)

26. Una partícula de masa m sesuelta sin velocidad inicial desde el punto A de la trayectoria lisa conte-nida en un plano vertical. a) Si h = 3 r, ¿cuál es la magnitud de la fuerza normal que el bucle ejerce sobre la partícula al pasar por B? b) Si la partícula ha de recorrer el bucle completo, ¿cuál es la altura mínima ha la que debe soltarse?

(Sol. a) mg; b) 2.5 r)

27. Un carro eléctrico experi-mental de 200 kg de peso parte del reposo del punto A de la curva circu-lar vertical de 50 m de radio, y desciende por la acción de su peso y de la tracción de sus ruedas, que es constante y de 60 kg. Diga con qué rapidez llegará al punto B y cuál será la magnitud de la reacción normal de la curva sobre el carro al llegar a ese punto.

(Sol. 38 m/s; 788 kg)

xi. movimiento curvilÍneoprofesores.dcb.unam.mx/users/juanoc/archivos/dinamica/...el movimiento...

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