xiii. trabajo y energÍa -...
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XIII. TRABAJO Y ENERGÍA
El estudio del movimiento de la partícula quedó completo con el capí-
tulo anterior. No obstante, conviene conocer dos métodos que pueden
servir para simplificar cierto tipo de problemas: el del trabajo y la energía,
y el del impulso y la cantidad de movimiento, o moméntum.
Fórmula del trabajo y la energía cinética
El método del trabajo y la energía sirve fundamentalmente para sim-
plificar problemas en los que se deben relacionar rapideces con desplaza-
mientos.
Para aproximarnos a los conceptos que habremos de emplear, tome-
mos el caso de unos cargadores que suben un mueble a un camión de mu-
danzas, empujándolo sobre una rampa.
Las fuerzas que ejercen los cargado-
res, durante el movimiento del mueble,
realizan un trabajo, que consideraremos
positivo, mientras que la fricción y el
peso del mueble, realizan uno negativo,
pues no contribuyen al movimiento del
mueble, sino que más bien lo dificultan.
Si el mueble estaba originalmente en re-
poso, una vez que ha sufrido algún des-
plazamiento adquiere cierta rapidez y,
con ella, energía cinética.
Trabajo y energía
310
Pensemos ahora en una partícula que
se desplaza de la posición 1 a la 2 por la
acción de una fuerza F, que forma un án-
gulo con el eje tangencial. Podemos es-
cribir, a partir de la segunda ley de New-
ton, que Ft = mat, en donde at = vdv/ds. Y
de aquí llegar a la expresión.
∫ 𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚 ∫ 𝑣 𝑑𝑣2
1
2
1
∫ 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑠 =1
2𝑚(𝑣2
2 − 𝑣12)
2
1
Al primer miembro lo llamaremos trabajo de una fuerza, y lo
designaremos con la letra U. Y denominaremos energía cinética a la can-
tidad T = mv2/2; de modo que el segundo miembro corresponde al incre-
mento de la energía cinética que adquiere la partícula a causa del trabajo
realizado por la fuerza. La siguiente expresión, por tanto, será la fórmula
del trabajo y la energía cinética:
𝑈 = Δ𝑇
𝑈 = ∫ 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑠2
1
𝑇 =1
2𝑚𝑣2
La componente de la fuerza en dirección tangente, F cos , se suele
llamar componente útil, porque es la única que interviene en el incremen-
to de la energía de la partícula.
Debe quedar claro, por tanto, que el trabajo de una fuerza se puede
definir como el producto de su componente útil por su desplazamiento.
Por energía, en Mecánica, se entiende la capacidad de un cuerpo de
realizar un trabajo. La energía cinética, en particular, es la que el cuerpo
posee por la rapidez que lleva.
Trabajo y energía
311
Una vez dadas estas definiciones, conviene señalar que el empleo de la
fórmula del trabajo y la energía es un método eminentemente escalar, aun
cuando F cos se pueda expresar como �̅� ∙ 𝑑�̅�. El trabajo puede ser posi-
tivo, negativo o nulo. Las fuerza que son perpendiculares al desplaza-
miento no realizan ningún trabajo. Asimismo, el incremento de energía, en
caso de ser negativo, se podría llamar más correctamente decremento. Una
gran ventaja de la fórmula es la posibilidad de ser empleada en sistemas
formados por varios cuerpos, como se verá en los ejemplos.
La aplicación del método implica tener claramente definida una posi-
ción inicial y una final.
Ejemplo. La fuerza de 50 kg, que se
muestra en la figura, empuja un cuerpo
de 20 y lo desplaza 10 m sobre una
superficie horizontal, cuyo coeficiente
de fricción cinética es 0.2. a) Determine
el trabajo que realiza cada una de la
fuerzas externas durante ese movimien-
to. b) Calcule la rapidez que tendrá el
cuerpo al final del movimiento.
Comenzaremos dibujando un diagrama de cuerpo libre para identificar
las fuerzas externas y determinar su magnitud.
Tomaremos como posición 1 la del reposo del cuerpo, y como posición
2, un punto situado 10 m adelante. Y calcularemos el trabajo de cada una
de las fuerzas, comenzando por la de 50 kg.
∑𝐹𝑦 = 0
𝑁 − 20 − 50 (3
5)
𝑁 = 50
𝑈𝐹 = ∫ 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑠2
1
= 𝐹 cos 𝜃 10
𝑈𝐹 = 50 (4
5) 10
𝑈𝐹 = 400 kg ∙ m
𝜇𝑠 = 0.2
Trabajo y energía
312
𝑈𝐹𝑟 = 50(0.2) cos 180 (10) 𝑈𝑁 = 𝑁cos90(10)
𝑈𝐹𝑟 = 10(−1)10 𝑈𝑁 = 0
𝑈𝐹𝑟 = −100 kg ∙ m 𝑈𝑃 = 𝑃cos270(10)
𝑈𝑃 = 0 Emplearemos ahora la fórmula del trabajo y la energía cinética:
𝑈 = 𝛥𝑇 300 =1
2(
50
9.81) 𝑣10
2
𝑈𝐹 − 𝑈𝐹𝑟 = 𝛥𝑇 𝑣10 = √600(9.81)
50
100 =1
2𝑚(𝑣10
2 − 𝑣02) 𝑣10 = 17.16 m/s
Ejemplo. Un collarín de 8.05 lb de
peso reposa en el extremo A de la guía
lisa de la figura. Se le aplica una fuerza
horizontal constante de 20 lb para trasla-
darla al extremo B. ¿Con qué rapidez
llega el collarín a dicho extremo B?
Dibujaremos un diagrama de cuerpo libre en una posición arbitraria y
calcularemos el trabajo que realizan la fuerza de 20 lb y el peso del colla-
rín. De antemano sabemos que la fuerza normal, precisamente por ser
normal a la trayectoria, no realizará trabajo alguno.
𝑈𝑓 + 𝑈𝑝 = 𝛥𝑇
∫ 20 cos 𝜃 𝑑𝑠2
1
− ∫ 8.05 sen 𝜃 𝑑𝑠2
1
=1
2𝑚𝑣𝐵
2
Como: 𝑑𝑠 = 3𝑑𝜃
Trabajo y energía
313
60 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃90
0
− ∫ 25.5 sen 𝜃 𝑑𝜃 =1
2
90
0
(0.25)𝑣𝐵2
60(𝑠𝑒𝑛90 − 𝑠𝑒𝑛0) + 25.5(𝑐𝑜𝑠90 − 𝑐𝑜𝑠0) = 0.125𝑣𝐵2
60 + 25.5(−1) = 0.125𝑣𝐵2
𝑣𝐵 = √34.5
0.125
𝑣𝐵 = 16.61 ft/s
Conviene observar que si la fuerza tiene magnitud constante y el
ángulo que forma su línea de acción con la trayectoria no varía, la expre-
sión para el trabajo se convierte en:
𝑈 = 𝐹 cos 𝜃 (𝛥𝑠)
Ejemplo. Los cuerpos A y B, de 80 y
60 kg de peso, respectivamente, están
unidos mediante una cuerda ideal que
pasa por una polea, también ideal. Su
movimiento comienza a partir del repo-
so, en la posición mostrada en la figura.
a) ¿Cuál será la máxima rapidez que al-
canzará el cuerpo B? b) ¿Qué distancia
se desplazará el cuerpo A antes de dete-
nerse?
Consideraremos el conjunto de los cuerpos A, B, la cuerda y la polea
como un sistema. Las acciones de la cuerda son fuerzas internas, que no
modifican la energía cinética del conjunto. Además, el trabajo que la ten-
sión de cuerda realiza sobre A es igual, pero de sentido contrario, a la que
realiza sobre B. La polea, por ser de masa despreciable, tampoco realiza
ningún trabajo ni adquiere energía cinética.
µ
Trabajo y energía
314
Las fuerzas externas al sistema son: los pesos de los cuerpos y las
componentes de la reacción de la superficie horizontal sobre A, o sea, la
normal y la fuerza de fricción. La normal y el peso de A. como son per-
pendiculares a su desplazamiento, no incorporan trabajo al sistema.
Para calcular la máxima rapidez del cuerpo B, tomaremos como posi-
ción 1 la del reposo, y 2, dos metros adelante, cuando B llegue al suelo y
esté a punto de detenerse, pues entonces alcanzará su máxima rapidez.
𝑈𝐵 + 𝑈𝐹𝑟 = Δ𝑇𝐴 + Δ𝑇𝐵
60(2) − 16(2) =
1
2(
80
9.81) 𝑣𝑚𝑎𝑥
2 +1
2(
60
9.81) 𝑣𝑚𝑎𝑥
2
88 =1
2(
140
9.81) 𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑣𝑚𝑎𝑥 = √88 ∗ 9.81
70
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 12.33 m/s
El cuerpo A ya se ha desplazado 2 m. Para conocer el resto de su des-
plazamiento, tomaremos como nueva posición 1 ésta, y como posición 2,
aquella en que el cuerpo se detenga. Ahora la única fuerza que trabaja es la
fricción.
𝑈 = Δ𝑇 El desplazamiento de A será:
16𝑥 =1
2(
80
9.81) (0 − 𝑣𝑚𝑎𝑥
2 ) Δ𝑥 = 2 + 3.14
𝑥 =1
16(
40
9.81) (12.332) = 3.14 Δ𝑥 = 5.14 m
Trabajo y energía
315
Ejemplo. Una partícula de masa m se
suelta desde el punto A de una superficie
curvilínea lisa. Calcule el trabajo que su
peso realiza para llevarla al punto B, y la
rapidez que tendrá en esa posición.
Las dos únicas fuerzas que actúan durante el movimiento son el peso y
la reacción de la superficie, que es normal y, por tanto, no trabaja.
𝑈𝑝 = ∫ 𝑚𝑔 cos 𝜃 𝑑𝑠𝐵
𝐴
𝑈𝑝 = 𝑚𝑔 ∫ cos 𝜃 𝑑𝑠𝐵
𝐴
Como cos 𝜃 = 𝑑ℎ
𝑑𝑠
𝑈𝑝 = 𝑚𝑔 ∫ 𝑑ℎ𝐵
𝐴
𝑈𝑝 = 𝑚𝑔ℎ
Empleando la fórmula del trabajo y la energía cinética:
𝑈 = 𝛥𝑇
𝑚𝑔ℎ =1
2𝑚(𝑣2 − 0)
𝑚𝑔ℎ =1
2𝑚𝑣2
𝑣 = √2𝑔ℎ
La expresión que acabamos de obtener para la rapidez ya la habíamos
estudiado en el capítulo de componentes intrínsecas.
Trabajo y energía
316
Es importante observar que el trabajo del peso no depende de la
trayectoria por la que se desplaza. El mismo resultado se obtiene en
trayectorias como las que se muestran a continuación:
Ejemplo. Un collarín de 8.05 lb de
peso está unido a un resorte cuya
longitud natural es de 3 ft y cuya cons-
tante de rigidez es k = 50 lb/ft. La barra
horizontal es lisa. Si el collarín se suelta
desde el extremo A, ¿con qué rapidez
llegará al extremo B?
En el diagrama de cuerpo libre se observa que solamente trabajará la
acción del resorte, que es una fuerza de magnitud y dirección variables.
Antes de abordar directamente el problema, analizaremos qué pasa
cuando una fuerza actúa sobre un resorte; los resortes suelen considerarse
de masa despreciable y, por tanto, pueden tomarse siempre como cuerpos
sujetos a dos fuerzas y en equilibrio; es decir, las fuerzas que actúen sobre
él serán siempre iguales, colineales y de sentido contrario.
El trabajo de la fuerza F en
𝑈 = ∫ 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑥2
1
= ∫ 𝐹 𝑑𝑥2
1
En donde F=kx
𝑈 = 𝑘 ∫ 𝑥 𝑑𝑥2
1
𝑈 =1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12)
Trabajo y energía
317
La expresión que acabamos de obtener corresponde a la que una fuerza
realiza sobre un resorte; de modo que el trabajo que la acción de un resorte
sobre otro cuerpo tendrá que ser igual, pero de sentido contrario:
𝑈𝐾 = −1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12)
Obtenida tal expresión, podemos continuar escribiendo:
𝑈 = 𝛥𝑇
−1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12) =
1
2𝑚(𝑣2
2 − 𝑣12)
En la posición inicial, la longitud total del
resorte es de 13 ft, como se deduce de la
figura, y, por tanto, su deformación es 13 – 3
= 10 ft. Al final, la longitud total es de 5 ft y
su deformación de 2 ft. O sea
−1
2(50)(22 − 102) =
1
2(8.05)(0 − 𝑣𝐵
2)
−25(−96) = −4.025𝑣𝐵2
𝑣𝐵 = 24.4 ft/s
Obsérvese que el trabajo que realiza la fuerza ejercida por el resorte
sobre el collarín es independiente de la trayectoria que siga, precisamente
por el hecho de que esa fuerza siempre tiene la dirección del resorte.
Fórmula general del trabajo y la energía
Una vez estudiado un método ―del trabajo y la energía cinética― para
simplificar cierto tipo de problemas, estudiaremos otro, que presentará
alguna ventaja adicional en la resolución de problemas en los que se
relacionen las rapideces con los desplazamientos. Lo llamaremos método
general del trabajo y la energía.
Trabajo y energía
318
Fuerzas conservativas
Se llaman fuerzas conservativas aquellas cuyo trabajo es indepen-
diente de la trayectoria que sigan. Y, como se deduce de los dos ejemplos
anteriores, tanto el peso de un cuerpo, como las fuerzas que ejercen los
resorte, son fuerzas conservativas.
Energía potencial
La energía cinética, también llamada de movimiento, es la capacidad
de un cuerpo de realizar un trabajo debido a la velocidad que lleva: mientras
más grande sea su rapidez, mayor será la cantidad de energía cinética que
posea.
La energía potencial es la que posee un cuerpo en virtud de su posi-
ción, y se divide en energía potencial gravitacional y en energía potencial
elástica.
Energía potencial gravitacional
La energía potencial gravitacional varía conforme a la altura o nivel de
la partícula, o, en caso de un cuerpo, de la altura de su centro de gravedad.
Diremos que la cantidad de energía potencial gravitacional de un cuerpo es
𝑉𝑔=𝑚𝑔ℎ
en donde m es la masa del cuerpo; 𝑔, la aceleración de la gravedad, y h la
altura sobre cierto nivel de referencia arbitrario. El incremento de la energía
potencial gravitacional entre dos posiciones será, por tanto
Δ𝑉𝑔=𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1)
Energía potencial elástica
En cambio, la energía potencial elástica se debe a la deformación de un
cuerpo elástico, y tomaremos siempre un resorte como referente. La
elasticidad es la propiedad de un cuerpo de recuperar su forma.
Trabajo y energía
319
Así, un resorte alargado tiende a volver a su longitud natural. Esa
precisa tendencia es su cantidad de energía elástica. La evaluaremos
conforme a la expresión
𝑉𝑒 =1
2𝑘𝑥2
en la cual k es la constante de rigidez del resorte y x, su deformación, que
puede ser un alargamiento o un acortamiento. El incremento de la energía
potencial elástica entre dos deformaciones será, por tanto
Δ𝑉𝑒 =1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12)
Retomaremos la fórmula del trabajo y la energía cinética:
𝑈 = Δ𝑇
Teniendo en cuenta que el trabajo puede proceder de fuerzas conser-
vativas, como el peso y las de los resortes, o de cualquiera no conservativa,
podemos reescribirla de la siguiente manera:
𝑈𝑝 + 𝑈𝐾 + 𝑈′ = Δ𝑇
𝑈′ = Δ𝑇 − 𝑈𝑝 − 𝑈𝐾
pero como el trabajo del peso 𝑈𝑝 es igual al incremento de energía potencial
gravitacional, pero de signo contrario, y el trabajo de los resortes 𝑈𝐾 igual
al incremento de enrgía potencial gravitaciones, pero de signo contrario,
tenemos:
𝑈′ = Δ𝑇 + Δ𝑉𝑔 + Δ𝑉𝑒
que es la fórmula general del trabajo y la energía.
En esta fórmula, 𝑈′ corresponde al trabajo de todas las fuerzas no con-
servativas. No se incluye el trabajo de las conservativas, puesto que se
considera como cambio de la energía mecánica del sistema. Con los
siguientes ejemplos ilustraremos su aplicación.
Trabajo y energía
320
Ejemplo. Un collarín de 10 kg repo-
sa sobre un resorte, al que está unido, y
cuya constante de rigidez es de 80 kg/m.
La barra vertical es lisa. Por medio de
una cuerda que pasa por una polea de
masa despreciable, se aplica al collarín
una fuerza constante de 120 kg. Diga
con qué rapidez llegará el collarín a la
parte superior de la barra.
Emplearemos la fórmula general del trabajo y la energía.
𝑈 = Δ𝑇 + Δ𝑉𝑔 + Δ𝑉𝑒
F(Δ𝑠) =1
2𝑚(𝑣2
2 − 𝑣12) + mg(Δℎ) +
1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12)
El desplazamiento de la fuerza de 120 kg es igual a la longitud de la
cuerda que toma, y que toma de la que se encuentra entre el collarín y la
polea.
Δ𝑠 = 𝑙1 − 𝑙2 = 1.3 − 0.5 = 0.8
La deformación inicial del resorte es la que le produce el peso del
collarín.
𝑥1 =𝑃
𝑘=
10
80= 0.25
y la final es la longitud que se alarga.
𝑥2 = 1.2 − 0.25 = 0.95
Sustituyendo estos valores en la formula
120(0.8) =1
2(
10
9.81) 𝑣2
2 + 10(1.2) +1
2(80)(0.952 − 0.252)
Trabajo y energía
321
96 = (5
9.81) 𝑣2
2 + 12 + 33.6
𝑣22 = 1.962(50.4)
𝑣2 = 9.94 m/s
Ejemplo. Sobre un plano inclinado
20° se lanza un cuerpo de 40 lb con una
rapidez inicial de 18 ft/s. Sabiendo que
los coeficientes de fricción estática y ci-
nética entre el plano y el cuerpo son 0.3
y 0.2, respectivamente, y que la constan-
te de rigidez del resorte es de 1600 lb/ft,
calcule la máxima deformación que su-
frirá el resorte por la acción del cuerpo.
Utilizaremos la formula general del trabajo y la energía. La única
fuerza no conservativa que trabaja, es la fricción. Llamaremos x a la
deformación máxima del resorte, que se alcanza cuando el cuerpo se
detiene.
∑𝐹𝑦 = 0
𝑁 − 40 cos 20° = 0
𝑁 = 40 cos 20°
0.2𝑁 = 40(0.2) cos 20° = 7.518
𝑈 = Δ𝑇 + Δ𝑉𝑔 + Δ𝑉𝑒
−7.518(5 + x) =1
2(
40
32.2) (0 − 182) + 40(5 + 𝑥) sen 20 +
1
2(16002)
−37.59 − 7.518x = −201.2 + 13.68𝑥 + 64.8 + 800𝑥2
800𝑥2 + 21.2𝑥 − 95.21 = 0
Trabajo y energía
322
𝑥 =−21.2 ± √21.22 + 3200(95.21)
1600
𝑥 = 0.332
𝑥 = −0.358
La deformación corresponde a la raíz positiva.
𝑥 = 0.332 ft
Ejemplo. Desde el punto A de la
montaña rusa mostrada, se suelta un
carrito de 200 kg de peso. Calcule la ra-
pidez por la que transitará en la cima B
y en la parte más alta del interior del
bucle, C, así como las reacciones de la
vía sobre el carrito en esos mismos
puntos. Los radios, tanto de la curva en
B como del bucle, son r=5m
Intentando emplear la formula general del trabajo y la energía,
observamos que ninguna fuerza no conservativa trabaja durante el
movimiento del carrito; y tampoco hay ningun cambio en la energia
potencial elastica del sistema. O sea que se trata de un intercambio de
energia potencial gravitacional por energia cinetica.
Δ𝑇 + Δ𝑉𝑔 = 0
Desde A hasta B 1
2(
200
9.81) 𝑣𝐵
2 − 200(2) = 0
𝑣𝐵2 =
400(9.81)
100= 4(9.81)
Trabajo y energía
323
𝑣𝐵 = 6.26 m/s Desde A hasta C
1
2(
200
9.81) 𝑣𝑐
2 − 200(6) = 0
𝑣𝑐2 =
1200(9.81)
100= 12(9.81)
𝑣𝑐 = 10.85 m/s
Para el cálculo de las reacciones, dibujaremos los diagramas de cuerpo
libre en las posiciones de interés y observaremos que, como el carrito
transita por cimas, su velocidad es máxima (relativa) y su aceleración no
tiene componente tangencial.
En B
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
200 − 𝑅𝐵 =200
9.81(
𝑣𝐵2
5)
𝑅𝐵 = 200 −200
9.81(
4 × 9.81
5)
𝑅𝐵 = 40 kg
En C
∑𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
𝑅𝑐 + 200 =200
9.81(
12 × 9.81
5)
𝑅𝑐 = 480 − 200
𝑅𝑐 = 280 kg
Trabajo y energía
324
POTENCIA
Pensemos en el caso de una fuerza constante actuando sobre un cuerpo.
Tal fuerza produce, según se deduce de la segunda ley de Newton, una
aceleración también constante. Por tanto, podríamos seguir pensando, si un
niño empuja con una fuerza de magnitud constante un carro de ferrocarril,
desprovisto de frenos, colocado sobre una vía horizontal, podrá lograr que
el carro adquiera una velocidad de 80 km/h, si le damos el tiempo sufi-
ciente. Ciertamente se trata de un ejemplo teórico, puesto que es imposible
que eso suceda, ya que con el movimiento del carro van apareciendo fuer-
zas de resistencia que el niño es incapaz de vencer. Teóricamente también
podemos pensar que un motor cualquiera puede mover un vehículo, y que
se le puede imprimir una rapidez tan alta como se desee. Pero sería muy
poco útil que un automóvil alcanzara los 40 km/h en treinta minutos o más:
interesa que llegue a una velocidad razonable en unos cuantos segundos.
Es decir, se requiere un motor con suficiente potencia.
La potencia se define como la razón del trabajo al tiempo. Cuando este
tiempo es infinitamente pequeño, esta razón se llama potencia instantánea
o, simplemente, potencia. Cuando el lapso es mayor, la razón del trabajo al
tiempo recibe el nombre de potencia media. Simbólicamente
Potencia y velocidad
Como el trabajo de una fuerza se calcula multiplicando su componente
útil por el desplazamiento, de la primera de las expresiones anteriores, po-
demos deducir lo siguiente:
𝑃 =𝐹 cos 𝜃 𝑑𝑠
𝑑𝑡= (𝐹 cos 𝜃)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
lo que, debidamente aplicado también a la segunda expresión, nos lleva a
𝑃 =𝑑𝑈
𝑑𝑡
𝑃𝑚 =∆𝑈
∆𝑡
Trabajo y energía
325
El sistema de fuerzas que actúa sobre la camioneta está en equilibrio,
puesto que la rapidez es constante. Dibujamos el diagrama de cuerpo libre
de la camioneta y calculamos la magnitud de la fuerza de fricción.
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝐹𝑟 − 4500 (3
100) = 0
𝐹𝑟 = 135 Como 72 km/h equivalen a 20
m/s, obtenemos
𝑃 = 𝐹𝑣 ; 𝑃 = 135(20)
Unidades
Hemos expresado el resultado del último ejemplo en kg∙m/s, pero no
es usual ni práctico emplear estas unidades. Las unidades de la potencia
han pasado históricamente por muchas vicisitudes. En Europa continental
se popularizó el uso del Caballo de Vapor, equivalente a 75 kg∙m/s,
mientras que en Inglaterra y los EE. UU. se ha venido utilizando el Caballo
de Potencia, mejor conocido como Horse Power, cuya abreviatura es HP.
Un HP corresponde a 550 lb∙ft/s. Esta es la unidad más empleada comer-
cialmente en nuestro país.
𝑃 = 𝐹𝑣 cos 𝜃
𝑃𝑚 = 𝐹𝑣𝑚 cos 𝜃
𝑃 = 270 kg ∙ m/s
Ejemplo. Una camioneta y su car-
ga pesan 4500 kg. Diga qué potencia
desarrolla su motor cuando sube por
una pendiente del 3 % con una rapidez
constante de 72 km/h.
Trabajo y energía
326
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la unidad de potencia es
el watt (W) que es igual a un Joule (o Julio) por segundo. El Joule es la
unidad de trabajo, e igual a un N∙m.
270kg ∙ m
s= 𝑥 HP = 550𝑥
lb ∙ ft
s
𝑥 =270
550
kg ∙ m
lb ∙ ft
𝑥 =270
550(
1
0.4536)
1
0.3048
270kg ∙ m
s= 𝑥
N ∙ m
s
𝑥 = 270𝑘𝑔
𝑁= 270 (
9.81
1)
1 HP = 𝑥 kg ∙ m
s
𝑥 = 550𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡
𝑘𝑔 ∙ 𝑚= 550 (
0.4536
1) (
0.3048
1)
Para resumir, podemos elaborar la siguiente tabla:
1 W = 1 J/s = 1 N∙m/s
1 HP = 550 lb∙ft/s = 76 kg∙m/s
𝑃 = 3.55 HP
𝑃 = 2650 W = 2.65 kW
1 HP = 76 kg ∙ m/s
Ejemplo. Diga qué potencia, en HP y
en W desarrolla la camioneta del
ejemplo anterior. Calcule también
cuántos kg∙m/s equivalen a un HP.
Trabajo y energía
327
1 HP = 746 W = =.746 kW
Estos últimos valores los puede obtener el lector sin dificultad.
El trabajo que realiza la fuerza de tracción es igual al incremento de la
energía cinética del automóvil. Y, puesto que la potencia es la razón del
trabajo al tiempo, podemos escribir:
𝑃𝑚 =∆𝑇
∆𝑡=
1
2
𝑚𝑣𝑚á𝑥2
∆𝑡; 𝑣𝑚á𝑥
2 =𝑃𝑚(2)∆𝑡
𝑚
y como el aumento de la potencia es uniforme, Pm = 45 HP = 45(76) kg∙m/s
𝑣𝑚á𝑥 = √45(76)2(10)9.81
940= 26.7 m/s
Eficiencia
Así como la potencia es la medida más práctica de la capacidad de un
motor, la eficiencia es un cociente que tiene grandísima importancia en el
uso de maquinaria.
La eficiencia se define como la razón de la potencia que se extrae de
un motor o de un sistema, a la potencia que recibe. Estas dos contidades
difícilmente pueden ser iguales. Las pérdidas de energía ―y de potencia,
por consiguiente― son muy comunes.
𝑣𝑚á𝑥 = 96.2 km/h
Ejemplo. Un automóvil compacto
con su conductor pesa 940 kg y su mo-
tor tiene una potencia de 90 HP. Cal-
cule la velocidad máxima que puede
alcanzar en 10 s.
Trabajo y energía
328
La eficiencia se suele expresar en porciento, y teóricamente puede
variar del 0 al 100 %:
Puesto que un litro de agua pesa un kg, el trabajo que realiza la bomba
en un segundo es de 8(15) = 120 kg∙m y la potencia de salida, por tanto, de
120 kg∙m/s, es decir
𝑃 = 𝑃𝑚 =∆𝑈
∆𝑡
𝑃 =120
76 HP = 1.579 HP
𝜂 =𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
(100) =1.579
2(100)
y la eficiencia resulta
𝜂 =𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
(100)
Ejemplo. Para subir el agua a la azo-
tea de un edificio de 15 m de altura, se
emplea una bomba de 2 HP. Sin em-
bargo, el gasto que reciben los tinacos
es de 8 lts/s. Calcule la eficiencia del
sistema.
𝜂 = 78.9 %
Trabajo y energía
329
Serie de ejercicios de Dinámica
MÉTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
1. Calcular el trabajo que realiza cada
una de las fuerzas externas que actúa
sobre el cuerpo de la figura, si éste se
desplaza 30 m sobre el plano inclinado.
(Sol. 𝑈60=1800 kg∙m; 𝑈30=737 kg∙m;
𝑈𝑃= −1268 kg∙m; 𝑈𝑁=0;
𝑈𝐹𝑟= −441 kg∙m)
2. Determine el trabajo que realiza por cada metro un hombre al subir
una caja de 100 kg con rapidez constante sobre un plano inclinado 20º. El
hombre jala la caja mediante una cuerda que forma un ángulo de 35º
respecto al plano. El coeficiente de fricción cinética es 0.15 entre la caja y
la superficie.
(Sol. 43.7 kg∙m)
3. El cuerpo de la figura está original-
mente en reposo y es arrastrado 100 ft
sobre el plano horizontal por la fuerza de
14 lb. Al final de los 100 ft cesa la acción
de la fuerza. Determine la distancia adi-
cional que recorrerá el cuerpo antes de
detenerse.
(Sol. 187.1 ft)
4. Un cuerpo de 1000 lb es subido por un plano inclinado 45º mediante
una cuerda cuya tensión es constante y de 800 lb. Calcule la rapidez del
cuerpo cuando haya subido 20 ft sobre el plano, habiendo partido del
reposo. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cuerpo y el
plano son 0.2 y 0.1, respectivamente.
(Sol. 5.35 ft/s)
Trabajo y energía
330
5. Un cuerpo de 25 kg desciende 3 m sobre un plano inclinado 30º.
Determine su rapidez lineal final, si originalmente era de 2 m/s. El coefi-
ciente de fricción cinética es de 1/3 entre el cuerpo y el plano.
(Sol. 4.05 m/s)
6. Una caja se lanza hacia arriba de un plano inclinado 15º. El coefi-
ciente de fricción cinética entre ellos es 0.18 y la distancia que la caja
recorre antes de detenerse en de 12 m. ¿Con qué rapidez fue lanzada?
(Sol. 10.09 m/s)
7. Los cuerpos A y B están original-
mente en reposo. Determine su rapidez
cuando se hayan desplazado 5 ft.
(Sol. 8.64 ft/s)
8. Un cuerpo de 49 kg de peso que se desliza sobre una superficie
horizontal lisa con una rapidez de 20 m/s choca contra un resorte. Sabiendo
que el resorte se deforma 9 cm por cada 4 kg de fuerza que se le aplican,
¿qué longitud se deformará por el choque?
(Sol. 6.71 m)
9. El cuerpo A de la figura se deja caer
desde una distancia de 15 ft del resorte. Si
éste se deforma 2 in por cada 9 lb de
fuerza, calcule la deformación máxima
que sufrirá por la acción del cuerpo.
(Sol. 2.25 ft)
10. El cuerpo A se suelta a 8 m de
distancia del resorte 1, sobre el plano in-
clinado 20º. Los coeficientes de fricción
estática y cinética entre el cuerpo y el
plano son 0.3 y 0.2, respectivamente. La
constante de rigidez del resorte 1 es de
900 kg/m y la del 2, de 300. Diga cuáles
serán las deformaciones máximas de cada
Trabajo y energía
331
uno de ellos, si el cuerpo A pesa: a) 100
kg; b) 50 kg.
(Sol. a) 𝑥1=0.540 m; 𝑥2=0.040 m;
b) 𝑥1=0.379 m; 𝑥2=0)
11. La constante de rigidez del resorte
de la figura es de 1.5 kg/cm. El cuerpo
que sostiene pesa 3 kg. Si se baja el
cuerpo 15 cm, comprimiendo el resorte, y
se sueltan ambos, calcule: a) La rapidez
del cuerpo al volver a su posición original
de equilibrio. b) La altura, a partir de
dicha posición, que se elevará el cuerpo.
El cuerpo y el resorte no están unidos.
(Sol. a) 332 cm/s; b) 57.3 cm)
12. Un cuerpo de 500 g se desliza sobre un plano horizontal cuando
choca contra un resorte, produciéndole cierta deformación, y es entonces
repelido en dirección contraria. Calcule la distancia que recorre desde que
se separa del resorte hasta que se detiene. La rapidez del cuerpo en el
momento del impacto es de 30 m/s, la constante de rigidez del resorte, de
2000 dinas/cm y 1/3 el coeficiente de fricción cinética entre el cuerpo y la
superficie.
(Sol. 109.2 m)
13. Los cuerpos de la figura están ini-
cialmente en reposo. Considerando des-
preciables las masas de la cuerda y de las
poleas y toda fricción en sus pernos, de-
termine la rapidez que alcanzará el cuerpo
B cuando A se haya desplazado 2 m.
(Sol. 3.13 m/s)
Trabajo y energía
332
14. Suponiendo que la masa de la
polea doble es despreciable y que el con-
junto está originalmente en reposo, cal-
cule la velocidad que tendrá el cuerpo B
cuando A haya ascendido 3 ft.
(Sol. 5.06 ft/s )
15. Todos los cuerpos de la figura
están originalmente en reposo y el resorte
inextendido. Diga cuál será el despla-
zamiento máximo del cuerpo A y la rapi-
dez máxima de B, al permitirse el mo-
vimiento. Tanto la fricción como las
masas de las poleas y de las cuerdas son
despreciables.
(Sol. 2.62 m; 2.27 m/s)
16. Calcule la máxima rapidez que
alcanzará el cuerpo A y el máximo
desplazamiento de B con los datos que se
muestran en la figura. Inicialmente los
cuerpos están en reposo y el resorte, cuya
constante de rigidez es de 40 lb/ft, con su
longitud natural
(Sol. 1.382 ft/s; 1.449 ft)