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DINÁMICA

La Dinámica se ocupa de estudiar propiamente el movimiento de los

cuerpos, como señalamos al principio de este curso básico. Y se divide en

Cinemática, que es la parte que trata exclusivamente de la descripción del

movimiento; y Cinética, que relaciona ese movimiento con las causas que

lo producen. En aquella parte se estudian fundamentalmente los conceptos

de posición, velocidad y aceleración, y en ésta, los de fuerza y aceleración.

Dividiremos nuestro estudio en Dinámica de la partícula y Dinámica del

cuerpo rígido

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

No resulta superfluo recordar que para la Mecánca clásica por par-

tícula se entiende un punto dotado de materia, o bien, un cuerpo sin dimen-

siones: se trata de una idealización que mira a simplificar el estudio del

movimiento de los cuerpos. Podremos tratar como partículas a cuerpos de

cualquier tamaño, pero observando solamente el comportamiento de uno

de sus puntos. También, si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas

en comparación con las longitudes que recorre; y, por último, cuando el

cuerpo en estudio se mueva con traslación pura, es decir, que todas las

rectas que unan dos partículas cualesquiera conserven su dirección durante

el movimiento.

Movimiento rectilíneo. Cinemática

194

IX. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.

CINEMÁTICA

Imaginemos un automóvil que arranca desde un punto A y avanza en

línea recta. Observamos que un segundo después ha avanzado dos metros;

a los dos segundos, ocho, y continúa avanzando conforme se muestra en la

siguiente tabla. Y esos datos también se pueden graficar, tal como se ilustra.

t (s) 0 1 2 3 4 5

s (m) 0 2 8 18 32 50

Consideremos los primeros cuatro segundos del movimiento. En ese

lapso la razón de la distancia recorrida al tiempo es de 32 a 4, es decir, 8.

Pero la razón de la distancia recorrida desde t = 1 hasta t = 4 s es de 30 a 3,

o sea 10. La siguiente tabla muestra las razones que resultan de los distintos

desplazamientos a los respectivos lapsos.

t Δs Δt Δs/Δt

0-4 32 4 8

1-4 30 3 10

2-4 24 2 12

3-4 14 1 14

Podríamos sospechar que si el lapso considerado lo reducimos hasta

llegar a un tiempo infinitamente pequeño la razón del desplazamiento al

tiempo sería infinito. Pero no es así.

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

A s


195

Las razones de la tabla anterior se pueden representar gráficamente

como las pendientes de las rectas que unen los extremos de los intervalos:

Podemos apreciar que esas rectas son secantes de la curva, y que el

procedimiento que seguimos consiste en acercar cada vez más las dos inter-

secciones. Si tratamos de reducir el intervalo de tiempo hasta que sea

prácticamente igual a cero, la recta se convertirá en una tangente a la gráfica

posición-tiempo.

Como puede deducirse de los datos de la tabla del movimiento del

automóvil, la expresión s = 2t2 nos dice a qué distancia del punto A se

encuentra el automóvil en cualquier instante. Si la derivamos con respecto

al tiempo, obtenemos ds/dt = 4t, que expresa la pendiente de la tangente en

cualquier punto (1). Para t = 4 s, la pendiente será de 16 m/s.

(1) Un tratamiento formal de derivación de funciones corresponde más

propiamente a los cursos de Cálculo.

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

14

1

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

10

1

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

12

1

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

8

1


196

A la razón s/t las llamaremos velocidad media; a la ds/dt,

velocidad instantánea o, simplemente, velocidad.

Un tratamiento semejante al que hemos dado a la información de

las posiciones y los tiempos lo podríamos dar a las velocidades y los

tiempos. Con ello obtendríamos un estudio de la aceleración del

cuerpo.

Con este ejemplo a la vista, formalizaremos la Cinemática del mo-

vimiento rectilíneo de la partícula

Conceptos fundamentales

Pensemos en una partícula que se mueve describiendo una línea

recta. La línea que describe se llama trayectoria. Elegimos un punto

conocido de la trayectoria como origen, tal como en el ejemplo

tomamos el punto A.

Posición (s)

La posición es el lugar que ocupa la partícula en estudio. Para

determinarla, basta conocer la distancia s a la que se encuentra del

origen. Un tiempo después, la partícula se encontrará en una nueva

posición s’.

s

O

Δ s

P P´

s´

s (m)

50

32

2

1 2 3 4 5 t (s)

18

8

16

1


197

Desplazamiento (s)

La diferencia entre dos posiciones se llama desplazamiento: s=s’ – s

Velocidad media (vm)

La velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo. Simbó-

licamente vm = s/t

Velocidad (v)

La velocidad (o velocidad instantánea) es la razón del desplaza-miento

al tiempo cuando éste es infinitamente pequeño.

La función velocidad de una partícula se calcula derivando la función

de la posición con respecto al tiempo: v = ds/dt.

Aceleración media (am)

Se llama aceleración media la razón del cambio de velocidad al tiem-

po. Simbólicamente am = v/t.

Aceleración (a)

La aceleración (a veces también llamada aceleración instantánea) es

la razón del cambio de la velocidad al tiempo cuando éste es infinitamente

pequeño.

La función aceleración de una partícula se calcula derivando la fun-

ción de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, a = dv/dt.


198

Una manera muy recomendable de abordar los problemas de movi-

miento rectilíneo es comenzar escribiendo las ecuaciones del movimiento,

o sea, de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función

del tiempo.

𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡2

como 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 , 𝑣 = 3𝑡2 − 6𝑡

y puesto que 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 , 𝑎 = 6𝑡 − 6

a) Investigamos en qué tiempo 𝑣 = 9

9 = 3𝑡2 − 6𝑡

𝑡2 − 2𝑡 − 3 = 0 (𝑡 + 3)(𝑡 − 1) = 0

𝑡1 = −3, 𝑡2 = 1

La raíz negativa no tiene ningún significado físico; sólo nos interesa la

positiva

𝑎 = 6(1) − 6

𝑎 = 0

b) El tercer segundo comienza cuando 𝑡 = 2 y termina cuando 𝑡 = 3 𝑠

𝑣𝑚(2 − 3) =𝑠3 − 𝑠2

𝛥𝑡

𝑠3 = 33 − 3(3)2 = 0

𝑠2 = 23 − 3(2)2 = 8 − 12 = −4

𝑣𝑚(2 − 3) =0 − (−4)

1 ∶

𝑣𝑚 = 4 ins⁄ →

c) El desplazamiento es la diferencia entre dos posiciones

𝛥𝑠(0 − 6) = 𝑠6 − 𝑠0


199

𝑠0 = 0

𝑠6 = 63 − 3(6)2 = 108

𝛥𝑠 = 108 in →

d) Para conocer la distancia que recorre durante los primeros seis segundos,

investigaremos si la partícula se detiene durante ese lapso, pues si lo hizo,

significa que cambió de sentido su velocidad

𝑣 = 0

0 = 3𝑡2 − 6𝑡

0 = 𝑡 − 2

𝑡 = 2

Para calcular la distancia sumaremos la que recorre de 0 a 2 s y la que

recorre de 2 a 6 s.

𝐷 = |𝛥𝑠(0 − 2)| + |𝛥𝑠(2 − 6)|

como 𝑠0 = 0, 𝑠2 = −4 y 𝑠6 = 108

𝐷 = |−4| + |108 − (−4)| = 4 + 112

𝐷 = 116 in

Ejemplo. La aceleración del brazo de

un robot que se mueve en una línea recta

horizontal se puede expresar mediante la

ecuación a = 0.06 t, donde si t está en s, a

resulta en m/s2. Cuando comienza a

moverse, t = 0, se encuentra en reposo, en

el extremo izquierdo de su trayectoria (x

= 0) a) Escriba las ecuaciones del mo-

vimiento. b) Diga cuáles serán su posi-

ción, su velocidad y su aceleración cuan-

do t = 4 s.

x

O


200

Comenzaremos escribiendo las ecuaciones del movimiento del brazo.

𝑎 = 0.06𝑡

Como 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 : 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 ; 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎 𝑑𝑡, en donde 𝑣0 es la

constante de integración

𝑑𝑣 = 0.06𝑡 𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑣 = 0.06 ∫ 𝑡 𝑑𝑡

𝑣 = 0.03 𝑡2

Como 𝑣 = 0 cuando 𝑡 = 0, la constante de integración es nula.

Puesto que 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 : 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 ; 𝑥 = 𝑥0 + ∫ 𝑣 𝑑𝑡, en donde 𝑥0 es la

constante de integración

𝑑𝑥 = 0.03 𝑡2 𝑑𝑡

∫ 𝑑𝑥 = 0.03 ∫ 𝑡2 𝑑𝑡

𝑥 = 0.01 𝑡3

Nuevamente la constante de integración es nula, pues si 𝑡 = 0, 𝑥 = 0.

a) Las ecuaciones del movimiento son

𝑥 = 0.01 𝑡3

𝑣 = 0.03 𝑡2

𝑎 = 0.06𝑡

b) La posición, velocidad y aceleración del brazo cuando 𝑡 = 4 𝑠 son

𝑥4 = 0.01 (43); 𝑥4 = 0.64 m

𝑣4 = 0.03 (42); 𝑣4 = 0.48 ms⁄

𝑎4 = 0.06 (43); 𝑎4 = 0.24 ms2⁄


201

En realidad, se trata de dos movimientos: uno desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 =4, y otro a partir de 𝑡 = 4. Comenzaremos escribiendo las ecuaciones del

punzón.

De la ecuación de la recta de la gráfica tenemos

𝑎 = −3𝑡 + 12

Como 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡, entonces 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 {

𝑣 = ∫(−3𝑡 + 12) 𝑑𝑡

𝑣 = 1.5 𝑡2 + 12𝑡 + 𝐶1

Si 𝑡 = 2, 𝑣 = 7.5 { 7.5 = −6 + 24 + 𝐶 ∶ 𝐶 = −10.5

𝑣 = −1.5 𝑡2 + 12𝑡 − 10.5

Puesto que 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 : 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡

𝑠 = ∫(−1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5) 𝑑𝑡

𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 𝐶2

Si 𝑡 = 2, 𝑠 = 0

0 = −4 + 24 − 21 + 𝐶2 ∶ 𝐶2 = 1

𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 1

Ejemplo. La gráfica de la figura

muestra la aceleración de la punta de un

punzón que penetra en un medio elás-

tico. Se sabe que cuando t=2 s su veloci-

dad es de 7.5 mm/s y se encuentra en el

origen. Diga en qué instante su veloci-

dad es nula y cuál es su desplazamiento

desde t=0 hasta t=5 s. Dibuje las gráficas

del movimiento.

a (mm/s2)

4

12

t (s)


202

O sea, las tres ecuaciones que describen el movimiento durante los

primeros cuatro segundos son:

𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 1

𝑣 = −1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5

𝑎 = −3𝑡 + 12

El lapso termina cuando 𝑡 = 4, por tanto

𝑠4 = −32 + 96 − 42 + 1 = 23

𝑣4 = −24 + 48 − 10.5 = 13.5

que son las condiciones iniciales del segundo movimiento, cuyas ecuacio-

nes son:

𝑎 = 0

𝑣 = 𝑣4 = 13.5

𝑠 = 13.5𝑡 + 𝐶4

Si 𝑡 = 4, 𝑠 = 23

23 = 54 + 𝐶4; 𝐶4 = −31

𝑠 = 13.5𝑡 − 31

Con las ecuaciones a la vista, responderemos a las preguntas:

Si 𝑣 = 0, tiene que ser en el lapso de 0 a 4 s

0 = −1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5

𝑡2 − 8 𝑡 + 7 = 0 (𝑡 − 1)(𝑡 − 7) = 0

𝑡1 = 1, 𝑡2 = 7

La única raíz del lapso es 𝑡 = 1 s


203

El desplazamiento será

𝛥𝑠(0 − 5) = 𝑠5 − 𝑠0

𝑠0 = 1

𝑠5 = 13.5 − 31 = 36.5

𝛥𝑠(0 − 5) = 35.5 m

La gráfica tiempo-aceleración ya está dibujada en el enunciado. Las otras

dos son las siguientes:

Soluciones gráficas

En el ejemplo del automóvil que empleamos al principio de este capí-

tulo, recordamos que la derivada de una función representa gráficamente la

pendiente de la tangente de la curva en cada instante. Por tanto, las pen-

dientes de las tangentes a la gráfica tiempo-posición, representan las velo-

cidades de la partícula en los instantes correspondientes.

De modo semejante, si trazamos pendientes en la gráfica tiempo-

velocidad, obtendremos las aceleraciones de la partícula en esos instantes.

Por otro lado, como el desplazamiento se puede obtener integrando la

función velocidad, el área bajo la curva de esta gráfica corresponde al

desplazamiento de la partícula en el lapso elegido. Así mismo, el área ba-

jo la gráfica tiempo-aceleración en cierto lapso, muestra el cambio de ve-

locidad en ese intervalo de tiempo.

36.5

s (mm)

t (s)

23

-4

13.5

v (mm/s)

t (s)

10.5

4 1

4


204

Pendientes Áreas

v

t

Δs

Δv t3 t1

a

t a

Δv

t2 t3

Δs

t t1 t3

s

t

v

1

t a

1

v

v

a

t a

t1 t2 t3

t1 t2 t3

t2 t3


205

Nótese que la gráfica de la velocidad tiene especial importancia, pues

en ella se leen tanto los desplazamientos como las aceleraciones.

a) La gráfica tiempo velocidad es

b) El área del triángulo es el desplazamiento del elevador. Por tanto, la

altura que sube es

12(16)

2= 96 ; 𝛥𝑦 = 96 ft

c) Las otras dos gráficas son las siguientes, puesto que las aceleraciones

son las pendientes de las rectas de la gráfica de la velocidad y los despla-

zamientos, las áreas acumuladas.

Ejemplo. Un elevador parte del reposo

y asciende aumentando uniformemente

su rapidez durante 8 s. Inmediatamente

después comienza a frenar, también uni-

formemente, hasta detenerse 4 s después.

Sabiendo que la velocidad máxima que

alcanza es de 16 ft/s: a) di-buje la gráfica

v-t; b) diga a qué altura subió el elevador;

c) dibuje las gráficas a-t y y-t.

una soldadora automática, se puede

y

16

v (ft/s)

t (s)

8 4


206

Aceleración variable

En algunos de los ejemplos anteriores ya hemos encontrado el caso de

que la aceleración se presente como un dato en función del tiempo. Pero

es muy frecuente que la información con que se cuente sea acerca de la

|variación de la aceleración tanto en función de la posición como en

función de la velocidad.

Puesto que la aceleración no está dada en función del tiempo, no po-

demos emplear ninguna de las expresiones que hasta el momento hemos

usado. Con la regla de la cadena (2) encontraremos una expresión que nos

permita integrar la función de la aceleración en función de la posición.

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑦

Ahora, mediante separación de variables podemos resolver la si-

guiente ecuación diferencial.

(2) La demostración de la regla de la cadena se estudia con el Cálculo

diferencial

2

a (ft/s2)

t (s) 8 12

-4

Ejemplo. Un cohete se lanza

verticalmente y sufre una acelera-

ción que, en m/s2, se puede expresar

como a = 6 + 0.2y, donde y es la al-

tura en m. Calcule su velocidad

cuando haya ascendido 100 m.

y

o

64

8 12

96

y (ft)

t


207

𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑦= 6 + 0.2𝑦

𝑣 𝑑𝑣 = (6 + 0.2𝑦) 𝑑𝑦

∫ 𝑣 𝑑𝑣 = ∫(6 + 0.2𝑦) 𝑑𝑦

𝑣2

2= 6 𝑦 + 0.1 𝑦2 + 𝐶

Si 𝑦 = 0, 𝑣 = 0; por tanto 𝐶 = 0

𝑣2

2= 6 𝑦 + 0.1 𝑦2

𝑣 = √12 𝑦 + 0.2 𝑦2

Para 𝑦 = 100

𝑣 = √1200 + 2000 = √3200 = √1600(2) = 40√2

𝑣 = 56.6 m/s ↑

El ejemplo anterior nos permite establecer un modo de abordar los

problemas en los que la aceleración se expresa en función de diferentes

variables. Dichas variables pueden ser el tiempo, la velocidad y la posi-

ción. Si es el tiempo, la expresión que debe emplearse es a = dv/dt; si es la

posición, entonces es a = dv/ds, pero si la variable es la velocidad, entonces

se puede recurrir a cualquiera de esas dos expresiones. En este caso se elige

al igualdad según se quiera halla un tiempo o una posición. En la siguiente

tabla mostramos estas opciones y luego lo ilustraremos con dos ejemplos.

1) 𝑎 = 𝑓(𝑡) 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

2) 𝑎 = 𝑓(𝑣)

3) 𝑎 = 𝑓(𝑠) 𝑎 = 𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑠


208

Como la aceleración se conoce en función de la velocidad, podemos

emplear 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ o 𝑎 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦⁄ . Pero como nos interesa investigar la

velocidad en cierta posición, emplearemos la segunda expresión.

𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑦= 400 − 0.25 𝑣2

Separando variables

𝑣𝑑𝑣

400 − 0.25 𝑣2= 𝑑𝑦

multiplicando y dividiendo por -0.5

−1

0.5∫

−0.5 𝑣𝑑𝑣

400 − 0.25 𝑣2= ∫ 𝑑𝑦

−1

0.5 ln (400 − 0.25 𝑣2) = 𝑦 + 𝐶

Si 𝑦 = 0, 𝑣 = 0

−1

0.5 ln 400 = 𝐶

−1

0.5 ln(400 − 0.25 𝑣2) = 𝑦 −

1

0.5 L 400

Ejemplo. Un pequeño cuerpo se

suelta sobre la superficie de un líquido

viscoso y experimente una aceleración a

= 400 0.25v2, donde si v se da en ft/s, a

resulta en ft/s2. Sabiendo que el recipiente

en que se suelta tiene una profundidad de

2 ft, diga con qué velocidad llega el

cuerpo al fondo.

2 ft


209

−1

0.5 [ ln 400 − ln(400 − 0.25 𝑣2) ] = 𝑦

ln400

400 − 0.25 𝑣2= 0.5 𝑦

400

400 − 0.25 𝑣2= 𝑒0.5 𝑦

400 𝑒0.5 𝑦 = 400 − 0.25 𝑣2

0.25 𝑣2 = 400 (1 − 𝑒−0.5 𝑦)

𝑣 = 40 √1 − 𝑒−0.5 𝑦

Para 𝑦 = 2, 𝑣 = 31.8 ft/s ↓

Puesto que deseamos conocer un tiempo, emplearemos la expresión

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −

4

1000 𝑣2

Ejemplo. Una embarcación que na-

vega a 12 nudos sufre una avería. A par-

tir de ese instante experimenta una acele-

ración a = - 4 (10-3) v2, donde si v se ex-

presa en m/s, a resulta en m/s2. Diga en

cuánto tiempo la rapidez de la embarca-

ción se habrá reducido a 4 nudos.

v


210

∫𝑑𝑣

𝑣2= −

1

250∫ 𝑑𝑡

−1

𝑣= −

1

250 𝑡 + 𝐶

Si 𝑡 = 0, 𝑣 = 12 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠

Como 1 𝑛𝑢𝑑𝑜 = 1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑛á𝑢𝑡𝑖𝑐𝑎/ℎ = 1852 𝑚/ℎ

12 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 12 (1852

3600) 𝑚/𝑠 = 6.17𝑚/𝑠

−1

6.17= 𝐶

−1

𝑣= −

1

250 𝑡 −

1

6.17

1

250 𝑡 =

1

𝑣−

1

6.17

𝑡 = 250 (−1

𝑣−

1

6.17)

Para 𝑣 = 4 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠, 6.17/3 𝑚/𝑠

𝑡 = 250, (3 − 1

6.17)

𝑡 = 81 s

A modo de síntesis

Las expresiones matemáticas que hemos empleado hasta el momento

son las siguientes:


211

1) 𝛥𝑠 = 𝑠 − 𝑠𝑜 2) 𝑣𝑚 =𝛥𝑠

𝛥𝑡

3) 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 4) 𝑎𝑚 =

𝛥𝑣

𝛥𝑡=

𝑣 − 𝑣𝑜

𝛥𝑡

5) 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 6) 𝑎 = 𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑠

7) 𝑣 = 𝑣𝑜 + ∫ 𝑎 𝑑𝑡 8) 𝑠 = 𝑠𝑜 + ∫ 𝑣 𝑑𝑡

Movimientos rectilíneos especiales

La parte fundamental de la teoría de la Cinemática del movimiento

rectilíneo está ya completa en este punto. Pero, para facilitar la resolución

de ciertos problemas, nos detendremos en algunos casos particulares.

Movimiento rectilíneo uniforme

Aunque el movimiento rectilíneo uniforme es sumamente sencillo, lo

estudiaremos por su importancia: es el que se menciona en la primer ley

de Newton, y es uno de los estados de equilibrio de la partícula.

La característica fundamental de este movimiento es que su velocidad

es constante. Si llamamos 𝑣𝑜 a esa velocidad, las ecuaciones del movi-

miento serán las siguientes:

𝑎 = 0

𝑣 = 𝑣0

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡

y sus gráficas correspondientes


212

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Del nombre mismo del movimiento uniformemente acelerado se

deduce su característica fundamental: la aceleración es constante. Sea ao

dicha aceleración constante y si cuando 𝑡 = 0, 𝑣 = 𝑣0 y 𝑠 = 𝑠0, las ecua-

ciones del movimiento son:

𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑎𝑜

𝑣 = 𝑎𝑜𝑡 + 𝑣𝑜

𝑠 =1

2𝑎𝑜𝑡2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑠𝑜

Si se desea una expresión que relacione la aceleración con la velo-

cidad y el desplazamiento, se puede obtener de la siguiente manera:

𝑎 = 𝑎𝑜 = 𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑎𝑜 ∫ 𝑑𝑠𝑠

0

= ∫ 𝑣 𝑑𝑣𝑣

0

𝑎𝑜𝛥𝑠 =𝑣2 − 𝑣𝑜

2

2

𝑎𝑜 =𝑣2 − 𝑣𝑜

2

2𝛥𝑠

so

vo

s

t

1

vo

v

t

a

t


213

Para poder escribir las ecuaciones del movimiento se elige un sistema

de referencia. Puede ser el que se muestra.

Como la aceleración tiene sentido contrario al eje de las yes elegido

𝑎 = −9.81

𝑣 = −9.81𝑡 + 6

𝑠 = −9.81

2𝑡2 + 6𝑡 + 7

Ejemplo. Desde una plataforma de 7

m, un clavadista novel se impulsa hacia

arriba con una velocidad inicial de 6 m/s.

Sabiendo que a partir de ese instante

queda sujeto a la aceleración de la gra-

vedad, de 9.81 m/s2 y dirigida hacia aba-

jo, diga: a) en qué tiempo alcanza la al-

tura máxima; b) cuál es la altura máxima

que alcanza; c) cuánto tarda en caer en el

agua; d) con qué velocidad entra en el

agua.

7 m

o

y


214

Las constantes de integración valen 6 y 7 porque son, respectiva-

mente, la velocidad inicial y la posición iniciales, i.e., cuando 𝑡 = 0 .

a) Cuando alcanza la altura máxima, 𝑣 = 0

0 = −9.81𝑡 + 6

𝑡 =6

9.81; 𝑡 = 0.612 s

b) Por tanto, la altura máxima que alcanza es

𝑦 = −9.81

2(

6

9.81)

2

+ 6 (6

9.81) + 7

𝑦 = −18

9.81+

36

9.81+ 7 =

18

9.81+ 7; 𝑦 = 8.83 m

c) Que llegue al agua significa que 𝑦 = 0

0 = −9.81

2𝑡2 + 6𝑡 + 7

9.81 𝑡2 − 12𝑡 − 14 = 0

𝑡 =12 ± √144 + 56(9.81)

2(9.81)

𝑡1 = 1.954, 𝑡2 = −0.73

La raíz negativa no tiene significado físico

𝑡 = 1.954 s

d) 𝑣 = −9.81(1.954) + 6 = −25.2

La velocidad con la que cae tiene sentido contrario al eje de las yes,

por eso su signo es negativo. Por tanto

𝑣 = 25.2 m/s ↓


215

Como se pide hallar la aceleración constante conocida una velocidad

y el desplazamiento

𝑎𝑜 = 𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑎𝑜 ∫ 𝑑𝑥40

0

= ∫ 𝑣 𝑑𝑣36

0

40𝑎𝑜 =1

2(362)

𝑎𝑜 = 16.2 ft s2⁄ →

Movimiento de varias partículas independientes

Cuando se desea relacionar el movimiento de dos o más partículas,

cuyos movimientos no dependen unos de otros, lo más recomendable es

medir los tiempos a partir del mismo instante, y emplear un solo sistema

de referencia para todos ellos, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Un corredor profesional

necesita 40 ft para alcanzar su rapidez

máxima de 36 ft/s, acelerando uniforme-

mente. ¿Cuál es la magnitud de su

aceleración?

v

x

Ejemplo. Un atleta corre con velo-

cidad constante de 10 m/s. Dos segundos

después de que pasa por B, arranca un

automóvil desde A con una aceleración

constante de 1.2 m/s2. Sabiendo que A y B

distan 20 m, diga en dónde el automóvil

alcanzará al atleta.

v = 10 m/s

B

a = 1.2 m/s2

A 20 m


216

Tomaremos como origen el punto B, 𝑡 = 0 el instante en que el atleta

pasa por B, y el sentido positivo del eje de las equis, hacia la derecha.

Atleta

𝑎1 = 0

𝑣1 = 10

𝑥1 = 10 𝑡

Automóvil

𝑎2 = 1.2

𝑣2 = 1.2𝑡 + 𝐶1

Si 𝑡 = 2 , 𝑣2 = 0, 𝐶1 = −2.4

𝑣2 = 1.2𝑡 − 2.4

𝑥2 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 + 𝐶2

Si 𝑡 = 2 , 𝑥2 = −20

−20 = 0.6 (2)2 − 2.4 (2) + 𝐶2 ; 𝐶2 = −17.6

𝑥2 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 − 17.6

Que el automóvil alcance al atleta significa que 𝑥1 = 𝑥2

10 𝑡 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 − 17.6

0.6 𝑡2 − 12.4 𝑡 − 17.6 = 0

𝑡 =12.4 ± √12.42 + 2.4 (17.6)

1.2

𝑡1 = 22 , 𝑡2 = −1.333

A B 20 m

x

o


217

Sólo la raíz positiva tiene significado físico

𝑥𝐵 = 10(22); 𝑥𝐵 = 220 m →

El alcance ocurre 220 m a la derecha de B.

Movimiento de varias partículas conectadas

Cuando el movimiento de una partícula depende del movimiento de

otra, como en el caso de las partículas conectadas, es necesario establecer

la relación que existe entre sus desplazamientos para poder conocer la

velocidad o la aceleración del cuerpo en estudio.

Como puede fácilmente deducirse de la configuración de la conexión

entre los cuerpos, si A avanza dos pies hacia abajo, B sólo sube uno, pues

son dos tramos de cuerda los que lo soportan. Por tanto 𝑠𝐴 = 2𝑠𝐵. El

procedimiento se puede sistema-

tizar de la siguiente manera

La longitud de la cuerda perma-

nece constante durante el movi-

miento de los cuerpos. Y en fun-

ción de las posiciones de éstos es:

𝑙 = 𝑥𝐴 + 2 𝑦𝐵 + 𝐶

C es la longitud de los tramos que no se alteran al moverse A y B,

como los que están en contacto con las poleas y que queda arriba de O.

Ejemplo. En el instante mostrado, el

cuerpo A desciende por el plano inclinado

con una velocidad de 16 ft/s. que aumenta

a razón de 4 ft/s2. Calcule la velocidad y la

aceleración del cuerpo B en ese mismo

instante.

x y

o

xA

yB


218

s

1 t 1 t 1 t

(s) (s) (s)

8 16

16

(m) (m/s) (m/s) v a

16 16

Si derivamos dos veces la expresión anterior con respecto del tiempo

0 = 𝑣𝐴 + 2 𝑣𝐵

0 = 𝑎𝐴 + 2 𝑎𝐵

Como 𝑣𝐴 = 16

0 = 16 + 2 𝑣𝐵

𝑣𝐵 = −8 ; 𝑣𝐵 = 8 ft/s ↑

0 = 4 + 2 𝑎𝐵

𝑎𝐵 = −2 ; 𝑎𝐵 = 2 ft/s2 ↑

Serie de ejercicios de Dinámica

MOVIMIENTO RECTILÍNEO. CINEMÁTICA

1. Una partícula se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación 𝑥 =

4𝑡3 + 2𝑡 + 5, donde x está en ft y t en s. a) Determine la posición, la velocidad

y la aceleración de la partícula cuando t = 3 s. b) ¿Cuál es su aceleración media

durante el cuarto segundo?

(Sol .a) 119 ft; 110 ft/seg; 72 ft/𝑠2; b) 84 ft/𝑠2)

2. Un punto se mueve a lo largo de una línea recta de tal manera que su

posición es 𝑠 = 8𝑡2 donde si t se da en s, s resulta en m. Dibuje las gráficas

posición-tiempo, velocidad-tiempo.


219

(m/s) v

t (s)

1 4 6 8 10 12

20

15

10

5

a (m/s2)

t (s)

-5/3

s (m)

t (s)

-120

12

3. El movimiento de una partícula que se mueve sobre el eje de las equis está

definido por la expresión 𝑥 = 𝑡3 − 3𝑡2 + 1, donde x está en m y t en s. a) Determine

la velocidad media de la partícula durante el tercer segundo. b) Calcule su despla-

zamiento desde t = 0 hasta t = 3 s. c) Diga qué distancia recorre durante los tres pri-

meros segundos.

(Sol. a) 4 m/s; b) 0; c) 8 m)

4. ¿Cuándo es nula la aceleración de un punto que se mueve sobre el eje de las

ordenadas según la ley 𝑦 = 5 − 𝑡 − 6𝑡2 + 𝑡4? En dicha ley, y está en mm y t en s.

¿Cuál es su posición cuando su rapidez es de 7 mm/s?

(Sol. t = 1 s; y = – 5 mm)

5. La gráfica representa la variación de

la rapidez lineal de una partícula que se des-

plaza hacia la derecha de una trayectoria

recta horizontal. Dibuje las gráficas acele-

ración-tiempo y posición-tiempo, sabiendo

que cuando t = 0 la partícula se encuentra a

120 m a la izquierda del origen.

6. Un avión de retropropulsión que parte del reposo alcanza en dos minutos

una rapidez de 630 mi/h. Halle su aceleración media, en ft/s.

( (Sol. 7.70 ft/s2)


220

7. Si la gráfica velocidad-tiempo

de un tren que viaja en línea recta, es

la que se muestra en la figura. Diga

qué distancia total recorre y cuál es

su aceleración máxima.

(Sol 42.5 km; 0.1543 m/s2)

8. Durante los primeros 40 s, una

partícula cambia su velocidad con-

forme se muestra en la gráfica. Sa-

biendo que la partícula se encuentra

en el origen cuando t = 0, dibuje la

gráfica posición-tiempo de la par-

tícula y determine: a) su posición a

los 40 s; b) la distancia que recorre

durante ese lapso.

(Sol. a) 0; b) 150 m)

9. En la figura se muestra la

gráfica aceleración-tiempo del mo-

vimiento rectilíneo de una partícula

que parte del origen con una rapidez

de 8 ft/s. Dibuje las gráficas v-t y s-t

y escriba las ecuaciones del movi-

miento.

(Sol. a = 4t; v = 8 + 2t2; s = 8t + 2t3/3)

10. Un punto se mueve de acuerdo a la expresión 𝑣 = 20 − 5𝑡2, donde v

está en m/s y t en s. Calcule, para los primeros cuatro segundos, su desplaza-

miento y la distancia total recorrida.

(Sol. – 26.7 m; 80 m)

11. Si un vehículo experimental frena conforme a la ecuación a = – 10t2,

donde si t se da en s, a resulta en m/seg2, diga qué tiempo requiere para

detenerse y qué distancia emplea, si originalmente viaja a 108 km/h.

(Sol. 2.08 s; 46.8 m)

(km/h)

100

t (h) 0 0.1 0.45 0.5

v

(m/s) v

t (s) 10

40 30

20 5

0

-5

(ft/s2) a

t (s)

13

12

0

3


221

12. Un punto se mueve a los largo de una línea vertical con una aceleración a =

2v1/2, en donde v está en ft/s y a en ft/s2; cuando t = 2 s, su posición es s = 65/3 ft y

su rapidez v = 16 ft/s. Determine la posición, velocidad y aceleración del punto

cuando t = 3 s.

(Sol. 42 ft; 25 ft/s; 10 ft/s2)

13. Cuando un cuerpo se mueve en un fluido, la resistencia depende de la ve-

locidad del cuerpo. Para uno que se mueve muy rápidamente, la resistencia es pro-

porcional al cuadrado de la velocidad. Así, la aceleración de una partícula dotada de

movimiento rectilíneo en un líquido viscoso puede representarse como a = – kv2, en

donde k es la constante de proporcionalidad. Escriba las ecuaciones del movimiento

de la partícula, si las condiciones iniciales de su movimiento son s0 y v0.

[Sol. s = s0 + (1/k) L(v0kt + 1); v = v0 /(v0kt + 1); a = – k (v0/(v0kt + 1))2

]

14. Un satélite que ingresa a la atmósfera superior con una rapidez de 2000 mi/h

sufre, a causa de la resistencia del aire, una aceleración con sentido opuesto a su ve-

locidad, cuya magnitud es a = 8(10)-4

v2, donde si v está en ft/s, a resulta en ft/seg2.

Determine la distancia que debe recorrer antes de alcanzar una rapidez de 500 mi/h.

(Sol. 1733 ft)

15. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del lado positivo del

eje de las equis, está dada por la expresión v = k/x, en donde k es una constante en

mm2/s. Para t = 0, x = 2 mm. Escriba las ecuaciones de la posición, la velocidad y la

aceleración de la partícula en función del tiempo.

[Sol. x = (2kt + 4)1/2; v = k(2kt + 4)-1/2; a = – k(2kt + 4)-3/2]

16. Una partícula describe una trayectoria recta con una aceleración a = 6(s)1/3,

donde s está en in y a en in/s2. Cuando t = 3 s, su posición es s = 27 in y su velocidad,

v = 27 in/s. Calcule la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando

t = 4 s.

(Sol. 64 in; 48 in/s; 24 in/s2)

17. Un proyectil viaja a través de una medio de 2 m de espesor. Su aceleración

varía en función de su posición de acuerdo a la ley a = – 5e-s, donde a está en m/s2 y

s en m. Si su rapidez al entrar en el medio es de 6 m/s, ¿con qué velocidad saldrá de

él?

( (Sol. 5.23 m/s)

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