Dinmica Rotacional

Dinmica Rotacional *Momento angular de una partcula *Movimiento Giroscpico*Ejercicios Nombre: Humberto Rodrguez C.I: 26.187.233 Materia: Fsica Seccin: S6Semestre: 1

Momento angular de una partcula Se define momento angular de una partcula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector momento lineal mv L = r m v Momento angular de un slido rgido

Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi = w ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partcula de masa mi cuya posicin est dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi . El mdulo del vector momento angular vale

Li = rimi vi Su proyeccin sobre el eje de rotacin Z es

Liz = miRi 2

El momento angular de todas las partculas del slido es

L = Li iLa proyeccin Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es

Lz = ( miRi 2 ) i

El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia

I = i miRi 2 i

En general, el vector momento angular L no tiene la direccin del eje de rotacin, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyeccin Lz a lo largo del eje de rotacin. Cuando coinciden se dice que el eje de rotacin es un eje principal de inercia. Para estos ejes existe una relacin sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma direccin, la del eje de rotacin,L = I

El momento de inercia no es una cantidad caracterstica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posicin del eje de rotacin. El momento de inercia es mnimo cuando el eje de rotacin pasa por el centro de masa.

Cuerpo Momento de inercia Ic Varilla delgada de longitud L 1 ML2 12Disco y cilindro de radio R1 MR22Esfera deradio R 2MR2 5Aro de radio RMR2Teorema de steiner El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.Enfsica, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paraleloso simplemente teorema de steineres un teoremausado en la determinacin delmomento de inerciade unslido rgidosobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el ejeparaleloque pasa a travs delcentro de masay de la distancia perpendicular (r)entre ejes. Tambin puede usarse para calcular elsegundo momento de reade una seccin respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre al gemetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner .

Energa cintica de rotacin

Las partculas del slido describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi = w Ri . La energa cintica total es la suma de las energas cinticas de cada una de las partculas. Esta suma se puede expresar de forma simple en trminos del momento de inercia y la velocidad angular de rotacinK= 1 mivi = 1mi Ri =1 I i 2 2 22222

Ecuacin de la dinmica de rotacin Consideremos un sistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partcula 2, F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partcula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Movimiento Giroscpico

El girscopo o giroscopio(Del griego "skopeein = ver" y "gyros = giro") es un dispositivo mecnico que sirve para medir, mantener o cambiar laorientacin en el espacio de algn aparato o vehculo.

Est formado esencialmente por un cuerpo con simetra de rotacin que gira alrededor delejede dicha simetra. Cuando el girscopo se somete a unmomento de fuerzaque tiende a cambiar la orientacin de su eje derotacin, tiene un comportamiento aparentemente paradjico, ya que cambia de orientacin (o experimenta un momento angular en todo caso, si est restringido) girando respecto de un tercer eje, perpendicular tanto a aquel respecto del cual se lo ha empujado a girar, como a su eje de rotacin inicial. Si est montado sobre un soporte de Cardanoque minimiza cualquiermomento angularexterno, o si simplemente gira libre en el espacio, el girscopo conserva la orientacin de su eje de rotacin ante fuerzas externas que tiendan a desviarlo mejor que un objeto no giratorio; se desva mucho menos, y en una direccin diferente.Los girscopos son objetos muy interesantes debido a que parecen desafiar la gravedad; Adems, en ellos actan diversos fenmenos fsicos a causa de que el eje de rotacin cambia de direccin en todo momento. stas propiedades especiales de los girscopos son muy importantes debido a que se aplican desde una bicicleta hasta en un sistema de navegacin avanzado como puede ser un transbordador espacial Nosotros nos dedicaremos al estudio del siguiente girscopo:

El mismo, si lo sostenemos con el eje del volante horizontal y se suelta, cuando el volante no esta girando, el extremo libre del eje cae debido a la gravedad. Si el volante gira, se produce un movimiento circular uniforme del eje en un plano horizontal, combinado con la rotacin del volante alrededor del eje. ste movimiento del eje, no intuitivo, se denomina precesin. Para el estudio de este fenmeno se relaciona el momento de torsin neto que acta sobre un cuerpo y la razn a la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la ecuacin: = dL dt Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetra, Li est a lo largo del eje. Cada cambio del momento angular dL es perpendicular al eje, porque el momento de torsin =r x w tambin lo es. Esto hace que cambia la direccin de L, pero no su magnitud. Los cambios dL siempre estn en el plano horizontal x-y, as que el momento angular y el eje del volante con el que se mueve siempre son horizontales.

Es decir, el eje no se cae, tiene precesin. El cambio infinitesimal del momento angular es dL = dt, que es perpendicular a L. Esto implica que el eje del volante del girscopo gir un ngulo pequeo d dado por d =dL/ L. La razn a la cual se mueve el eje, d / dt , se denomina velocidad angular de precesin:

= d = dL/L = t = w.r dt dt L IEjercicios *(1)61 .-Un barra rgida de largo L y masa M est cayendo en el plano vertical con velocidad V , cuando el extremo A hace contacto con un pivote fijo, como muestra la figura. Cul es la velocidad angular con que la barra empieza a rotar en torno al pivote? Sol.: = 3V /2L.

*(2)62.- Un cilindro slido y un aro delgado, ambos de igual masa M y radio R bajan rodando por un plano inclinado, que hace ngulo con la horizontal, conectados por una barra rgida y de masa despreciable, como muestra la figura. Suponiendo que no hay deslizamiento y el roce de la barra con las unioners al cilindro y el aro es despreciable, encuentre: a) Aceleracin con que bajan los objetos, b) fuerza sobre la barra. Sol.: a) a = (4/7)gsen, b) F = (1/7)Mgsen, compresin.

*(3)63.- Un cilindro homogneo, de rado R y masa M , es remolcado hacia arriba en un plano inclinado, que hace ngulo de 30 con la horizontal, mediante una fuerza constante F = Mg/2, aplicada al extremo de una cuerda enrrollada alrededor del cilindro, como muestra la figura. Suponiendo que el cilindro rueda sin deslizar, encuentre la aceleracin del centro de masa del cilindro. Sol.: a = g/3. *(4)63.- Una barra rgida, de largo L y masa M gira sobre una superficie horizontal sin roce con velocidad angular en torno a una clavija fijo en su extremo A. En cierto momento se inserta una segunda clavija en la superficie, de modo que al llegar el extremo B de la barra a sta, la barra se engancha con la clavija en B, al mismo tiempo que se suelta de la clavija en A. Cul es la velocidad angular con que gira ahora la barra en torno al punto B?. Sol.:

*(5)64.- Una barra slida de largo L unida a una cuerda ideal de largo L/2 gira sobre una superficie plana horizontal sin roce, con velocidad angular constante, alrededor de un eje vertical ubicado en el punto O, como muestra la figura. A qu distancia R del eje debe insertarse en el plano un clavo, de modo que al impactar la barra contra el clavo, esta quede en reposo? Sol.: R = (13/12)L.

*(6)65.- Considere un cilindro macizo de radio r y masa m que rueda sin resbalar sobre una cavidad cilndrica de radio R. Encuentre la ecuacin de movimiento. Sol.: .

*(7)66.- Considere un cilindro hueco de radio R y masa M , que se encuentra en equilibrio sobre la punta de una cua. Se le da al cilindro un pequeo desplazamiento lateral, de modo que empieza a caer. Calcule el ngulo, medido con respecto a la vertical, para el cual el cilindro se despega de la cua. Sol.: 60.