weibull exposición

3 La Distribucin Weibull y su uso3. La Distribucin Weibull y su uso en el anlisis de confiabilidad

Dr. Peter Knights (U. of Queensland)

Curso Anlisis de los datos de mantencin para el mejoramiento del negocio

1

4 de Noviembre de 2009, Antofagasta, Chile

Tabla de ContenidosTabla de Contenidos

La distribucin Weibull y su versatilidad La distribucin Weibull y su versatilidad Anlisis mediante hojas grficas de Weibull Estimacin de parmetros Weibull usando Estimacin de parmetros Weibull usando

planillas de Excel - ejemplo Censura de datos ejemplo Censura de datos - ejemplo

2

La Curva BaeraLa Curva Baera

Fallas de inicio Fallas de desgasteFallas aleatoriasFallas de inicio Fallas de desgasteFallas aleatorias

Tasa de Falla

Horas operacionales

3

La experiencia de United Airlines1970 UAL

A 2%1970 UAL

Se puedeaplicar polticas

B 4%aplicar polticasde mantencinbasada en

C

D

5%

7%

el tiempo - 11%.

D

E

7%

14%E

F

14%

68%4

F 68%Ref: Nowlan, F.S. & Heap, H.F. Reliability-Centered Maintenance National Technical Information Service, Report No. AD/A066-579, Dec. 29, 1978

Modos de falla caractersticos /1

Tasa de Falla fallas de inicio fallas de desgastefallas de iniciostress failures

fallas de desgaste

Curva Baera

Horas Operacionales

Tasa de Falla

stress failuresfallas de desgaste

Prob. mayor al

Horas Operacionales

Prob. mayor al final

Tasa de Falla

fatiga Prob. creciente

5Horas Operacionales

creciente

Modos de falla caractersticos /2

Tasa de Fallastress failures

Prob. menor al comienzo

Horas Operacionales

Tasa de Falla

stress failures Prob

Horas Operacionales

Prob. constante

Tasa de Falla

stress failuresfallas de inicio Prob. mayor al

comienzo

6Horas Operacionales

Distribucin Weibull (2P)Distribucin Weibull (2P)

Probabilidad Acumulada de Falla

t


01)(

tetFt

Factor de Forma Factor de Forma

Factor de Escala7

Factor de Escala

Distribucin Weibull:)(

3

3,5

4

= 1,5 = 3,0

= 2,0

1,5

2

2,5,

= 1,0

0

0,5

1

= 0,5

Hoy el Anlisis Weibull es el mtodo lder en el

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

8

mundo para clculos sobre datos de ciclo de vidaFuente: Abernethy, R. El Nuevo Manual de Weibull segunda edicin.

Fallas de inicio Fallas de desgasteFallas aleatorias

Tasa de Falla

A B C

A 1

Adems de que nos permite cuantificar el riesgo de seguir

9

C >> 1 g goperando

A li i d D t M di tAnlisis de Datos MedianteHojas Grficas de Weibull

10

Ejemplo: 12 fallas Ejemplo: 12 fallas Rango Tiempo hasta

f ll (h)Porcentaje

l dRango medio Rango de la

difalla (h) acumulado F(t)

mediana

1 12,2 8,3 (=1/12) 7,7 5,6 2 13,1 16,7 (=2/12) 15,4 13,6 ( )3 14,0 25,0 (=3/12) 23,1 21,7 4 14,1 33,3 (=4/12) 30,8 29,8 5 14,6 41,7 (=5/12) 38,5 37,9 6 14 7 50 0 (=6/12) 46 2 45 96 14,7 50,0 (=6/12) 46,2 45,9 7 14,7 58,3 (=7/12) 53,8 54,0 8 15,1 66,7 (=8/12) 61,5 62,1 9 15,7 75,0 (=9/12) 69,2 70,2

10 15,8 83,3 (=10/12) 76,9 78,3 11 16,3 91,7 (=11/12) 84,6 86,4 12 16,9 100 (=12/12) 92,3 94,4

11Fuente: OConnor, P. Practical Reliability Engineering 3rd ed., John Wiley & Sons, 1995

Clculo de F(t) Clculo de F(t) Si tuviramos una cantidad muy grande

de datos, encontraramos componentes que exceden las 16,9 horas de vida, por lo tanto, asegurar que en el 100% de los casos se produce una falla antes de ese tiempo no es correcto.

12

Eliminacin del error Dos mtodos para eliminar este error:

1 Clculo del rango medio1. Clculo del rango medio2. Clculo del rango de la mediana

De estos mtodos, el primero supone que la distribucin de fallas f(t), seguir una distribucin normal.

El d t d l d d El segundo mtodo es ms general, dado que no supone ninguna forma para la distribucin de f(t).

13

distribucin de f(t).

Clculo del rango medioClculo del rango medio

El clculo del rango medio simplemente aumenta N por uno.Entonces, la estimacin para F(t) queda:

No. acumulado de fallasNo. acumulado de fallas

N+1Rango medio (%) =

Entonces, el clculo de los datos en la tabla anterior es;

1/(12+1) = 7,7 %1/(12 1) 7,7 %2/(12+1) = 14,4 %...

14hasta 12/(12+1) = 92,3 %.

Clculo del rango de la medianaClculo del rango de la mediana

La aproximacin ms comn para el rango de la medianaLa aproximacin ms comn para el rango de la mediana es la de Bnard. El i-simo rango est dado por:

i 0 3ri =

i - 0,3

N + 0,4

Entonces, el clculo de los datos en la tabla anterior es:

(1-0 3)/(12+0 4) = 5 6 %(1 0,3)/(12+0,4) = 5,6 %(2-0,3)/(12+0,4) = 13,6 %...

15hasta (12-0,3)/(12+0,4) = 94,4 %.

Entrada X Entrada Y [F(t)]

Rango Tiempo hasta Porcentaje Rango medio Rango de la g pfalla (h)

jacumulado

F(t)

g gmediana

1 12,2 8,3 (=1/12) 7,7 5,6 2 13 1 16 7 (=2/12) 15 4 13 62 13,1 16,7 (=2/12) 15,4 13,63 14,0 25,0 (=3/12) 23,1 21,7 4 14,1 33,3 (=4/12) 30,8 29,8 5 14,6 41,7 (=5/12) 38,5 37,9 6 14,7 50,0 (=6/12) 46,2 45,97 14,7 58,3 (=7/12) 53,8 54,0 8 15,1 66,7 (=8/12) 61,5 62,1 9 15 7 75 0 (=9/12) 69 2 70 29 15,7 75,0 ( 9/12) 69,2 70,2

10 15,8 83,3 (=10/12) 76,9 78,3 11 16,3 91,7 (=11/12) 84,6 86,4 12 16,9 100 (=12/12) 92,3 94,4

16

Fuente: OConnor, P. Practical Reliability Engineering 3rd ed., John Wiley & Sons, 1995

Papel Weibull (h j fi )(hoja grfica)

es aprox. 6.0 48% p

es aprox. 16.5 p

www.weibull.com

17

Ya hemos visto la gran versatilidad de la distribucin Weibull pero an hay ms:distribucin Weibull....pero an hay ms:

En algunos casos el ajuste de la curvaEn algunos casos, el ajuste de la curva no es tan fcil, y debemos introducir un tercer parmetro en la distribucin estetercer parmetro en la distribucin, este es el tiempo libre de fallas t0

Entonces en la Funcin de densidad d b bilid d f(t) l F i dde probabilidad f(t) y en la Funcin de probabilidad acumulada de Falla F(t)

l t i (t t )18

aparece el trmino (t-t0)

Distribucin Weibull:3 parmetrosProbabilidad Acumulada de Falla

0

tt


01)(0

tetF Factor de Forma Factor de Escala

19t0 Tiempo libre de falla

Estimacin del tiempo libre de fallasEstimacin del tiempo libre de fallas

F(t)

At

(t3-t2)(t2-t1)

A t0= (t3-t2)-(t2-t1)

Hrs opHrs. opt1 t2 t3

20

Ajustando los datos Ajustando los datos

Cuando el tiempo libre de fallas no esCuando el tiempo libre de fallas no es igual a cero, se tienen que ajustar todos los datos restando el valor de t0 a laslos datos restando el valor de t0 a las horas de operacin

Veremos que con MS Excel se simplifica bastante este clculo...clculo...

21

Estimacin de Parmetros Weibull usando MS Excelusando MS Excel

22

Metodologa en 3 pasos (mx.)Metodologa en 3 pasos (mx.)

1. Ordenar los datos de falla desde el TBF mnimo hasta el TBF mximo

Para cada falla calcular la probabilidad2

Rango Medio el Rango de la Mediana

Para cada falla, calcular la probabilidad acumulada de falla F(t) por aplicar el:

2.

F(t) =i - 0,3

N + 0,4F(t) =

i

N + 1

23

,

Metodologa en 3 pasos (cont.)

)(exp)(1)( 0tttFtRAhora como: )(e p)()( ttAhora, como:

1 tt )exp()(1

1 0tttF

)ln()ln()(1

1lnln 0

tttF3. )(

Dicha ecuacin tiene la forma:

24y = ax + b

M t d l 3 ( t )

b

Metodologa en 3 pasos (cont.)

y = ax + bLa ecuacin Tiene la forma de una lnea recta donde:Tiene la forma de una lnea recta donde:

1lnlny)ln( ttx )(1lnln tFy)ln( 0ttx

)l (ba )ln(by 25

Veamos...

Parmetros Weibull Fallas MecnicasGrfico de Parmetros Weibull

Flota de Transporte

1 0515 4 89532

3

Weibull

1 05y = 1,0515x - 4,8953

R2 = 0,9294

0

1

2

1-F(

t)))

= 1.05-2

-1

00 2 4 6 8

N (L

N (1

/

= 105.17-4

-3

2

LN

= e(-b/)4

LN (t-t0)

26

Ejemplo Estimar F(t)

Datos para graficar (x, y)j p

DISTRIBUCION WEIBULL:MOHBF Mec. Ascendente (Prom. Mensual) MTBF Mec. Ascendente (Prom. Mensual) % MTBF (F(t)) ln (t-t0) ln(ln(1/1-F(t)))

26,36 51,40 5,3% 3,9397 -2,9175

F(t)

TRES PASOS:1 O d TBF 26,36 51,40 5,3% 3,9397 2,917527,50 53,62 10,5% 3,9819 -2,1962

45,00 87,74 15,8% 4,4743 -1,761146,29 90,24 21,1% 4,5025 -1,442355,17 107,56 26,3% 4,6780 -1,186268,83 134,20 31,6% 4,8994 -0,968978 40 152 86 36 8% 5 0295 0 7775

1.Ordenar TBF2.Estimar F(t)3. )ln( 0ttx 78,40 152,86 36,8% 5,0295 -0,7775

79,20 154,42 42,1% 5,0397 -0,604194,00 183,27 47,4% 5,2110 -0,443496,33 187,82 52,6% 5,2355 -0,291497,00 189,12 57,9% 5,2424 -0,1450

123,00 239,81 63,2% 5,4799 -0,0015

)(1

1lnlntF

y

)( 0

127,50 248,59 68,4% 5,5158 0,1421128,67 250,86 73,7% 5,5249 0,2889134,00 261,26 78,9% 5,5655 0,4435195,00 380,19 84,2% 5,9407 0,6129210,00 409,44 89,5% 6,0148 0,8115218,50 426,01 94,7% 6,0545 1,0799218,50 426,01 94,7% 6,0545 1,0799

Factor de Utilizacin de la flota(Hrs. Total Operacin / Hrs. Total Disponibles) 0,5129 t0 0

27Det. t0

Parmetros Weibull Fallas MecnicasFlota de Carguo

y = 1 6872x - 9 17412 y 1,6872x 9,1741R2 = 0,9756

0

1

-F(t)

))

-2

-1 0 2 4 6 8

(LN

(1 /

1

-4

-3LN

LN (t-t0)

28Graficar la recta y obtener parmetros

Ejemplo Weibull 1:

Estimacin de Parmetros Weibull

j p

Estimacin de Parmetros Weibull usando MS Excel Bombas

Archivo Excel Continuar

29

Pero:

Qu pasa si hay reemplazos de partes o componentes antes de fallar?

Q i h iQu pasa si hacemos reparaciones o modificaciones a componentes antes de que fallen?Cmo se hace en el caso de la planta en que elCmo se hace en el caso de la planta, en que el nmero de fallas es significativamente menor?

Tendremos que revisar el concepto de cens ra de datosde censura de datos...

30

Censura de datosCensura de datos

Cuando analizamos un grupo de datos Cuando analizamos un grupo de datos donde no todos los componentes fallan (algunos sobreviven o son retirados de(algunos sobreviven o son retirados de servicio antes de fallar), se tienen que censurar los datoscensurar los datos.

Dichos componentes se llamarn t did ( i )temes suspendidos (suspensiones).

31

1

FALLA

1

233

4

Periodo de Observacin (10 semanas)

32

4 Fallas

Modificado de AHC Tsang

1FALLA

1 233455678910

Periodo de Observacin (10 semanas)

33

4 Fallas + 6 Suspensiones

Modificado de AHC Tsang

Ejemplo: Horas operacionales para una j p p pmuestra de 50 componentes

Item Horas Op Item Horas Op Item Horas Op S1 40 S10 141 S25 165S1 40 S10 141 S25 165 S2 51 S11 147 S26 165 F1 54 S12 147 S27 166 F2 70 S13 150 S28 166 S3 73 F9 153 S29 166S3 73 F9 153 S29 166 S4 73 S14 153 S30 168 S5 80 S15 153 S31 168 F3 85 S16 154 S32 171 S6 90 S17 156 F11 173S6 90 S17 156 F11 173 F4 96 S18 156 S33 177 S7 102 S19 156 S34 181 F5 108 S20 158 S35 185 F6 118 S21 158 S36 188F6 118 S21 158 S36 188 S8 128 S22 158 F12 200 S9 128 F10 161 S37 202 F7 132 S23 162 S38 205 F8 141 S24 162

34

F8 141 S24 162

Fuente: OConnor, P. Practical Reliability Engineering 3rd ed., John Wiley & Sons, 1995

Ejemplo del clculo del rango de la j p gmediana para los datos previos

No de falla Horas op No eventos Rango Medio Rango de laNo. de falla i

Horas op. ti, horas

No. eventos antes de la

falla i

Rango Medioji

Rango de la mediana, ri

1 54 2 1,04 1,46 2 70 3 2,08 3,533 85 7 3,19 5,74 4 96 9 4,33 7,99 5 108 11 5 50 10 315 108 11 5,50 10,31 6 118 12 6,66 12,62 7 132 14 7,89 15,07 8 141 15 8,71 16,69 9 153 21 10,12 19,47

10 161 31 12,15 23,51 11 173 42 16,47 32,08 12 200 47 25 10 49 21

35

12 200 47 25,10 49,21

Clculo del rango de la mediana con datos censurados datos censurados

1. Haga una lista de los componentes fallados (i) ordenado d d l d h d ide acuerdo al nmero de horas de operacin

2. Para cada falla, escriba la vida til.3 D t i l d t (i t i f ll3. Determine el nmero de eventos si (intervenciones-fallas o componentes suspendidos) antes de cada falla.4 Para cada falla determine el rango medio ji :4. Para cada falla, determine el rango medio ji,:

N + 1 - ji-11 + (N - si)

Donde j0 = 0ji = ji-1+

5. Calcule el rango de la mediana mediante: ji - 0,3

1 + (N si)

36

ji ,

N + 0,4ri =

Clculo del rango de la mediana con datos censurados (2)

De la muestra de 50 componentes:

j = 0 + (50+ 1 - 0)/(1+ (50 - 2)) = 1 04j1 = 0 + (50+ 1 - 0)/(1+ (50 - 2)) = 1,04

j2 = 1,04 + (50 + 1 - 1,04)/(1+ (50 - 3)) = 2,08 etc.

r1 = (1,04 - 0,3)/(50 + 0,4) = 1,46 %

r2 = (2,08 - 0,3)/(50 + 0,4) = 3,53 % etc.

37

Estimamos [F(t)]Comprobemos:

No. de falla Horas op. No. eventos Rango Medio Rango de la

Comprobemos:

No. de falla i

Horas op. ti, horas

No. eventos antes de la

falla i

Rango Medioji

Rango de la mediana, ri

1 54 2 1,04 1,46 2 70 3 2 08 3 532 70 3 2,08 3,53 3 85 7 3,19 5,74 4 96 9 4,33 7,99 5 108 11 5,50 10,31, ,6 118 12 6,66 12,62 7 132 14 7,89 15,07 8 141 15 8,71 16,69 9 153 21 10 12 19 479 153 21 10,12 19,47

10 161 31 12,15 23,51 11 173 42 16,47 32,08 12 200 47 25,10 49,21

38

Ejemplo Weibull 2:

Estimacin de Parmetros Weibull

j p

usando MS Excel con datos censurados Bombascensurados Bombas

Archivo Excel Continuar

39

NOTA: Filtrado de datosNOTA: Filtrado de datos

En algunas ocasiones es necesario En algunas ocasiones es necesario hacer un pre-filtrado de los datos

Este consiste en comprobar que los datos sean iid (independientes e idnticamente distribuidos)

40Cmo lo hacemos?...

NOTA: Filtrado de datos (2)NOTA: Filtrado de datos (2)

Ejemplo: No. 1 1544 2838 1062Cable 1 Cable 2 Cable 3

Datos de Hrs. entre fallas para cables de palas

9032 1730 2676 2838

3 1809 1920 2676palas 4 1353 2122 1920

5 1592 2790 1872

6 357 105 30406 357 105 3040

7 369 1265 1370

8 1824 2015 2285

9 1618 1228 958

10 2021

4111 1460

12 2765


Son dos pasos grficosSon dos pasos grficos

20000A15000

20000

Betw

een A

10000

ativ

e Ti

me

BRe

pairs

0

5000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cum

ula

42

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Cumulative Repair Number, i


iB2500

3000i

1000

1500

2000

0

500

1000

0 500 1000 1500 2000 2500

i-1

43Otros tests estadsticos para comprobar el supuesto de datos iid de comn uso son el test de Laplace, Mann Test o Military Handbook test.

Ejemplo 2: Reemplazo de frenosEjemplo 2: Reemplazo de frenos

Failure No. Life (hrs) Failure No. Life (hrs) Failure No. Life (hrs)( ) ( ) ( )1 14159 18 8038 35 30752 7411 19 10343 36 56253 8315 20 3847 37 53774 5595 21 7472 38 56254 5595 21 7472 38 56255 3844 22 9544 39 53776 7010 23 6761 40 43557 11888 24 9544 41 69608 8590 25 6813 42 43558 8590 25 6813 42 43559 11888 26 7006 43 788910 7326 27 2867 44 669211 2545 28 5028 45 298412 11112 29 7299 46 669212 11112 29 7299 46 669213 5432 30 423 47 300314 2463 31 7031 48 554215 11112 32 4468 49 683016 5432 33 1501 50 725017 5992 34 7031 51 2784

Grfico de vida acumulado

50 51

350000

Failures vs Cumulative Life

2526 27

2829 30

3132 33

34 3536

3738

39 4041 42

4344 45

46 4748

4950

200000

250000

300000

e Li

fe

8

910 11

1213 14

1516

1718

19 2021

2223

24

100000

150000

00000

Cum

ulat

ive

12

34 5

6

78

0

50000

0 10 20 30 40 50 60Failure NumberFailure Number

Grfico (x y) de vida (i i+1)Grfico (x,y) de vida (i, i+1)

12000

14000

16000

8000

10000

2000

4000

6000

0

2000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

REF: Vagenas, N., Runciman, N. & Clment, S.R. A Methodology for Maintenance Analysis of Mining Equipment, Int.

Journal of Surface Mining, Reclamation and Environment, Vol. 11, No.1, pp. 33-40, 1997.

Ejemplo: Mandos Finalesj

47

Ej l f ll d l

Clasificacin Horas Op

S1 350S2 603S3 1087Ejemplo: fallas de los

mandos finalesS3 1087S4 1283S5 1889F1 2137S6 2259

(Flota de 12 camiones)F2 2601F3 3717S7 4320S8 4320S9 4320S9 4320S10 4320S11 4320S12 4320F4 4510S13 4860S13 4860S14 4860S15 4860S16 4860S17 4860

Datos Originales

S18 4860F5 5131F6 5393S19 6480S20 6480

48

S20 6480S21 6480S22 6480S23 6480S24 7020

Ejemplo: fallas de los mandos finales flota 12 CAEXCAEX

No.de falla (i) Hrs op No. eventos anterioresRango Medio

(j)Rango de la mediana (%)

1 2137 5 1,19 2,9%2 2601 7 2,43 7,0%3 3717 8 3,68 11,1%4 4510 15 5,38 16,7%5 5131 22 8 23 26 1%5 5131 22 8,23 26,1%6 5393 23 11,08 35,4%

En hoja grfica Weibull....

49

Flota 12 CAEX

es aprox. 2.5 p

es aprox. p8300 hrs.

50

Ejemplo: fallas de los mandos finales flota 12 CAEXCAEX

Mecanismo de falla es por desgaste de rodamientos principales.

Este se confirma por el valor de Beta = 2,5.

PREGUNTA: Una poltica puede ser cambiar los rodamientos

a las 5000 horas. La probabilidad acumulada de f ll d l 000 h d dfalla antes de las 5000 horas est dada por:

F(t) 25% 51ES RAZONABLE?

Ejemplo: fallas de los mandos finalesEjemplo: fallas de los mandos finales

Cp (US$) 85000Datos: Cf (US$) 170000

$/hr = (F(t1)*Cf + R(t1)*Cp)/(F(t1)*M(t1) + R(t1)*t1)

Datos:

t1 F(t1) R(t1) M(t1) $/hr5000 26,1% 73,9% 3241 23,605250 28,4% 71,6% 3619 22,815500 30 8% 69 3% 3915 22 175500 30,8% 69,3% 3915 22,175750 33,1% 66,9% 3915 21,996000 35,4% 64,6% 3915 21,876250 39,1% 61,0% 3915 22,146500 42,7% 57,3% 3915 22,486750 46,4% 53,7% 3915 22,887000 50,0% 50,0% 3915 23,36

52Con estos datos, a las 6000 horas el costo es mnimo....

Ejemplo: Bulldozer

53Fuente: A.K.S. Jardine

Embrague de Direccin, L.Izq.(grupo de 6 bulldozers)

Reemplazo por fallaMG707

7979 h 2027 h 9671 h

Nuevo Hoy

7979 h 2027 h 9671 h

Intervalos de falla (F) 7979 h, 2027 h Suspensin (S) 9671 h

Embrague re-acondicionado a Asumiendocondicin como nuevo(se puede chequear usando pruebas iid)Datos similares obtenidos de una flota de 5 bulldozers F=7, S=6,, ,

Tamao de la muestra = 13Anlisis estadstico de los datos:

54

De Weibull analysis:

MTTF = 6500 h = 1.79Fuente: A.K.S. Jardine

CostosCP = $5640 M.Obra: 16 * $40/h =

Repuestos

$ 640

2600

Costo por vehculo F.S. (V.F.S.) (8 h * $300/h) = 2400

Cf = $7160 M Obra: 24 * $40/h =

$ 5640

$ 960Cf = $7160 M.Obra: 24 $40/h =

Repuestos

V F S (12 h * $300/h) =

$ 960

2600

3600V.F.S. (12 h $300/h) = 3600$ 7160

Poltica ms barata: correr hasta falla (R o o F) @ $1 10/hr

55

Poltica ms barata: correr hasta falla (R-o-o-F) @ $1.10/hr

Fuente: A.K.S. Jardine

Notar que:o a que:

U lti d h t f ll f l iUna poltica de correr hasta falla fue una conclusin sorprendente, ya que se observaron caractersticas de desgaste (Beta>1) Sin embargo en este caso lasdesgaste (Beta>1). Sin embargo, en este caso las consideraciones econmicas no justificaban una poltica de reemplazo basada en el tiempo.p p

El problema de reemplazo ptimo de componentes esEl problema de reemplazo ptimo de componentes es una decisin en base a RIESGO (probabilidad+efectos

y consecuencias)

56

ReferenciasReferencias OConnor, P. Practical Reliability Engineering, 3rd Ed., John Wiley &

Sons, London,1995

Dodson, B. Weibull Analysis, American Society for Quality, Quality Press, Milwaukee, Wisconsin, (1994)

Nowlan, F.S. & Heap, H.F. Reliability-Centered Maintenance National Technical Information Service, Report No. AD/A066-579, Dec. 29, 1978

Jardine, A.K.S. & Tsang, A. H.C. Maintenance, Replacement and g pReliability: Theory and Applications, CRC Press, Boca Raton (2006)

www.weibull.com

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58

weibull exposición

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