sessión 4-1 weibull

7/26/2019 Sessin 4-1 Weibull

1/23

1

CUL ES EL MECANISMO DE FALLA?CUL ES EL RIESGO DE SEGUIROPERANDO?

La Distribucin Weibull y su importancia en labsqueda de respuestas (4.1)

Curso Optimizacin de las Estrategias de Mantenimiento de Equipos - 2002

Dr. Peter F. Knights

Darko Louit Nevistic

[email protected] [email protected]

Tabla de Contenidos

?La distribucin Weibull y su versatilidad

?Anlisis mediante hojas grficas de Weibull

?Estimacin de parmetros Weibull usando

planillas de Excel - ejemplo?Censura de datos - ejemplo


2/23

2

La Curva Baera

Horas operacionales

Probabilidadde falla

(Tasa de Falla)

Fallas de inicio Fallas de desgasteFallas aleatorias

La experiencia de United Airlines

A

B

CD

E

F

2%

4%

5%

7%

14%

68%

1970 UAL

Se puedeaplicar polticasde mantencinbasada enel tiempo - 11%.

Ref: Nowlan & Heaps, 1978


3/23

3

Horas Operacionales

Probabilidad

de Fallafallas de inicio

stress failures

fallas de desgaste

Horas Operacionales

Probabilidad

de Fallastress failures

fallas de desgaste

Horas Operacionales

Probabilidad

de Fallafatiga

Curva Baera

Prob. mayor alfinal

Prob.creciente

Modos de falla caractersticos /1

Horas Operacionales

Probabilidad

de Falla stress failures

Horas Operacionales

Probabilidadde Fallastress failures

Horas Operacionales

Probabilidad

de Fallastress failures

fallas de inicio

Prob. menor alcomienzo

Prob.constante

Prob. mayor alcomienzo

Modos de falla caractersticos /2


4/23

4

Distribucin Weibull (2P)

01)( ?????

?

?

??

?

??

tetF

t ?

?

Probabilidad Acumulada de Falla

? Factor de Forma

? Factor de Escala

Distribucin Weibull (2)

?Hoy el Anlisis Weibull es el mtodo lder en elmundo para clculos sobre datos de ciclo de vida

Fuente: Abernethy, R. El Nuevo Manual de Weibullsegunda edicin.

)(???

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

= 1,5 = 3,0

= 2,0

= 1,0

= 0,5

?


5/23

5

Probabilidadde falla

(Tasa de Falla)

Fallas de inicio Fallas de desgasteFallas aleatorias

A B C

A

B

C

? > 1

La distribucin Weibull es muy

verstil y permite representardistintos mecanismos de falla

Adems de que nos permitecuantificar el riesgo de seguiroperando

Anlisis de Datos MedianteHojas Grficas de Weibull

Peter F. Knights

Darko Louit N.

Curso Tcnicas Modernas en Ingeniera de Mantenimiento - 2002

Mtodo A:


6/23

6

Ejemplo: 12 fallasRango Tiempo hasta

falla (h)Porcentajeacumulado

F(t)

Rango medio Rango de lamediana

1 12,2 8,3 (=1/12) 7,7 5,62 13,1 16,7 (=2/12) 15,4 13,63 14,0 25,0 (=3/12) 23,1 21,74 14,1 33,3 (=4/12) 30,8 29,85 14,6 41,7 (=5/12) 38,5 37,96 14,7 50,0 (=6/12) 46,2 45,97 14,7 58,3 (=7/12) 53,8 54,0

8 15,1 66,7 (=8/12) 61,5 62,19 15,7 75,0 (=9/12) 69,2 70,2

10 15,8 83,3 (=10/12) 76,9 78,311 16,3 91,7 (=11/12) 84,6 86,412 16,9 100 (=12/12) 92,3 94,4

Fuente: OConnor, P. Practical Reliability Engineering 3rd ed., John Wiley & Sons, 1995

Clculo de F(t)

Si tuviramos una cantidad muy grandede datos, encontraramos componentesque exceden las 16,9 horas de vida, porlo tanto, asegurar que en el 100% de

los casos se produce una falla antes deese tiempo no es correcto.


7/23

7

Eliminacin del error Hay dos mtodos para eliminar este error:

1. Clculo del rango medio2. Clculo del rango de la mediana

De estos mtodos, el primero supone que ladistribucin de fallas f(t), seguir una

distribucin normal.

El segundo mtodo es ms general, dadoque no supone ninguna forma para ladistribucin de f(t).

Clculo del rango medio

El clculo del rango medio simplemente aumenta N por uno.Entonces, la estimacin para F(t) queda:

No. acumulado de fallas

N+1Rango medio (%) =

Entonces, el clculo de los datos en la tabla anterior es;

1/(12+1) = 7,7 %2/(12+1) = 14,4 %

hasta 12/(12+1) = 92,3 %

.

.

.

.


8/23

8

Clculo del rango de la medianaLa aproximacin ms comn para el rango de la medianaes la de Bnard. El i-simo rango est dado por:

ri =i - 0,3

N + 0,4

Entonces, el clculo de los datos en la tabla anterior es:

(1-0,3)/(12+0,4) = 5,6 %(2-0,3)/(12+0,4) = 13,6 %

hasta (12-0,3)/(12+0,4) = 94,4 %

.

.

.

.

Rango Tiempo hastafalla (h)

Porcentajeacumulado

F(t)

Rango medio Rango de lamediana

1 12,2 8,3 (=1/12) 7,7 5,62 13,1 16,7 (=2/12) 15,4 13,63 14,0 25,0 (=3/12) 23,1 21,7

4 14,1 33,3 (=4/12) 30,8 29,85 14,6 41,7 (=5/12) 38,5 37,96 14,7 50,0 (=6/12) 46,2 45,97 14,7 58,3 (=7/12) 53,8 54,08 15,1 66,7 (=8/12) 61,5 62,19 15,7 75,0 (=9/12) 69,2 70,2

10 15,8 83,3 (=10/12) 76,9 78,311 16,3 91,7 (=11/12) 84,6 86,412 16,9 100 (=12/12) 92,3 94,4


Entrada X Entrada Y ? [F(t)]


9/23

9

Papel Weibull(hoja grfica)

www.weibull.com

? es aprox. 6.0

? es aprox. 16.5

48%

Ya hemos visto la gran versatilidad de ladistribucin Weibull....pero an hay ms:

Entonces en la Funcin de densidadde probabilidad f(t) y en la Funcin deprobabilidad acumulada de Falla F(t)

aparece el trmino (t-t0)

En algunos casos, el ajuste de la curvano es tan fcil, y debemos introducir untercer parmetro en la distribucin, este

es el tiempo libre de fallas t0


10/23

10

Distribucin Weibull:3 parmetros

? Factor de Forma? Factor de Escala

t0 Tiempo libre de falla

01)(

0

?????

?

?

??

?

? ??

tetF

tt ?

?

Probabilidad Acumulada de Falla

Estimacin del tiempo libre de falla

Hrs. op

F(t)

t1 t2 t3

AA t0=

(t3-t2)(t2-t1)

(t3-t2)-(t2-t1)


11/23

11

Ajustando los datosCuando el tiempo libre de fallas no esigual a cero, se tienen que ajustar todoslos datos restando el valor de t0 a lashoras de operacin

Veremos que con MS Excel se simplifica bastante esteclculo...

Estimacin de ParmetrosWeibull usando MS Excel

Peter F. Knights

Darko Louit N.

Mtodo B:

Curso Optimizacin de las Estrategias de Mantenimiento de Equipos - 2002


12/23

12

Metodologa en 3 pasos (mx.)

1.

Rango Medio el

Rango Mediana

F(t) =i - 0,3

N + 0,4F(t) =

i

N + 1

Ordenar los datos de falla desde el TBFmnimo hasta el TBF mximo

Para cada falla, calcule la probabilidadacumulada de falla F(t) por aplicar el:

2.

Metodologa en 3 pasos (cont.)

??

?

??

? ?????

?

?)(exp)(1)( 0

tttFtRAhora:

?

?)exp(

)(1

1 0tt

tF

??

??

)ln()ln()(1

1lnln 0 ??? ????

?

?

?

??

?

?

??

?

?

??

?

?

?? tt

tF3.

y = ax + bDicha ecuacin tiene la forma:


13/23

13

Veamos...

y = ax + bLa ecuacin

Tiene la forma de una lnea recta donde:

Metodologa en 3 pasos (cont.)

??

?

?

??

?

?

??

?

?

??

?

?

??

)(1

1lnln

tFy)ln( 0ttx ??

??a )ln(????by

Grfico deParmetrosWeibull

? = 1.05

? = 105.17

? = e(-b/?)

Parmetros Weibull Fallas MecnicasFlota de Transporte

y = 1,0515x - 4,8953

R2= 0,9294

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

LN (t-t0)

LN

(LN

(1/1-F(t)))


14/23

14

EjemploDISTRIBUCION WEIBULL:MOHBF Mec. Ascendente (Prom. Mensual) MTBF Mec. Ascendente (Prom. Mensual) % MTBF (F(t)) ln (t -t0) ln( ln(1/1-F(t)))

26,36 51,40 5,3% 3,9397 -2,917527,50 53,62 10,5% 3,9819 -2,196245,00 87,74 15,8% 4,4743 -1,761146,29 90,24 21,1% 4,5025 -1,442355,17 107,56 26,3% 4,6780 -1,186268,83 134,20 31,6% 4,8994 -0,968978,40 152,86 36,8% 5,0295 -0,777579,20 154,42 42,1% 5,0397 -0,604194,00 183,27 47,4% 5,2110 -0,443496,33 187,82 52,6% 5,2355 -0,291497,00 189,12 57,9% 5,2424 -0,1450

123,00 239,81 63,2% 5,4799 -0,0015127,50 248,59 68,4% 5,5158 0,1421128,67 250,86 73,7% 5,5249 0,2889134,00 261,26 78,9% 5,5655 0,4435

195,00 380,19 84,2% 5,9407 0,6129210,00 409,44 89,5% 6,0148 0,8115218,50 426,01 94,7% 6,0545 1,0799

Factor de Utilizacin de la flota(Hrs. Total Operacin / Hrs. Total Disponibles) 0,5129 t0 0

Datos dePartida

Datos de Partida /factor de utilizacin

EstimarF(t)

Det. t0

Datos para

graficar (x, y)

Parmetros Weibull Fallas MecnicasFlota de Carguo

y = 1,6872x - 9,1741

R2= 0,9756

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8

LN (t-t0)

LN

(LN

(1/1-F(t)))

Grafico la recta y obtengo parmetros


15/23

15

Pero:

Qu pasa si hay reemplazos de partes ocomponentes antes de fallar?

Qu pasa si hacemos reparaciones omodificaciones a componentes antes de que fallen?

Cmo se hace en el caso de la planta, en que elnmero de fallas es significativamente menor?

Tendremos que revisar el conceptode censura en los datos...

Censura de datos

Cuando analizamos un grupo de datosdonde no todos los componentes fallan(algunos sobreviven o son retirados de

servicio antes de fallar), se tienen quecensurarlos datos.

Dichos componentes se llamarntemes suspendidos.


16/23

16

Ejemplo: Horas operacionales para unamuestra de 50 componentes

Item Horas Op Item Horas Op Item Horas OpS1 40 S10 141 S25 165S2 51 S11 147 S26 165F1 54 S12 147 S27 166F2 70 S13 150 S28 166S3 73 F9 153 S29 166S4 73 S14 153 S30 168S5 80 S15 153 S31 168F3 85 S16 154 S32 171S6 90 S17 156 F11 173F4 96 S18 156 S33 177

S7 102 S19 156 S34 181F5 108 S20 158 S35 185F6 118 S21 158 S36 188S8 128 S22 158 F12 200S9 128 F10 161 S37 202F7 132 S23 162 S38 205F8 141 S24 162


Ejemplo del clculo del rango de lamediana para los datos previos

No. de fallai

Horas op.ti, horas

No. eventosantes de la

falla i

Rango Medioji

Rango de lamediana, ri

1 54 2 1,04 1,462 70 3 2,08 3,533 85 7 3,19 5,74

4 96 9 4,33 7,995 108 11 5,50 10,316 118 12 6,66 12,627 132 14 7,89 15,078 141 15 8,71 16,699 153 21 10,12 19,4710 161 31 12,15 23,5111 173 42 16,47 32,0812 200 47 25,10 49,21


17/23

17

Clculo del rango de la mediana condatos censurados

1. Haga una lista de los componentes fallados (i) ordenadode acuerdo al nmero de horas de operacin

2. Para cada falla, escriba la vida til.

3. Determine el nmero de eventos si (intervenciones ocomponentes suspendidos) antes de cada falla.

5. Calcule el rango de la mediana mediante:

ji - 0,3

N + 0,4ri =

4. Para cada falla, determine el rango medio ji,:

N + 1 - ji-11 + (N - si)

Donde j0 = 0ji = ji-1+

Clculo del rango de la mediana condatos censurados (2)

De la muestra de 50 componentes:

j1 = 0 + (50+ 1 - 0)/(1+ (50 - 2)) = 1,04

j2 = 1,04 + (50 + 1 - 1,04)/(1+ (50 - 3)) = 2,08 etc.

r1 = (1,04 - 0,3)/(50 + 0,4) = 1,46 %

r2 = (2,08 - 0,3)/(50 + 0,4) = 3,53 % etc.


18/23

18

No. de fallai

Horas op.ti, horas

No. eventosantes de la

falla i

Rango Medioji

Rango de lamediana, ri

1 54 2 1,04 1,462 70 3 2,08 3,533 85 7 3,19 5,744 96 9 4,33 7,995 108 11 5,50 10,316 118 12 6,66 12,627 132 14 7,89 15,078 141 15 8,71 16,699 153 21 10,12 19,4710 161 31 12,15 23,5111 173 42 16,47 32,0812 200 47 25,10 49,21

Estimamos ? [F(t)]

Comprobemos:

NOTA: Filtrado de datos

En algunas ocasiones es necesariohacer un pre-filtrado de los datos

Este consiste en comprobar que losdatos sean iid (independientes eidnticamente distribuidos)

Cmo lo hacemos?...


19/23

19

NOTA: Filtrado de datos (2)Ejemplo:

Datos de Hrs. entrefallas para cables depalas

No.903

1 1544 2838 1062

2 1730 2676 2838

3 1809 1920 2676

4 1353 2122 1920

5 1592 2790 1872

6 357 105 3040

7 369 1265 1370

8 1824 2015 2285

9 1618 1228 958

10 2021

11 1460

12 2765

NOTA: Filtrado de datos (3)

Son dos pasos grficos

0

5000

10000

15000

20000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Cumulative Repair Number, i

CumulativeTimeBetwee

Repairs

A


20/23

20

NOTA: Filtrado de datos (4)

B

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500

i-1

i

Ejemplo: Mandos Finales del CAT 785B


21/23

21

Ejemplo: fallas de losmandos finales, flotaCat 785B (1)(Flota de 12 camiones)

Cl asificaci n H or as Op

S1 350

S2 603S3 1087S4 1283S5 1889F1 2137S6 2259F2 2601F3 3717S7 4320S8 4320S9 4320S10 4320S11 4320S12 4320F4 4510S13 4860S14 4860S15 4860

S16 4860S17 4860S18 4860F5 5131F6 5393S19 6480S20 6480S21 6480S22 6480S23 6480S24 7020

Datos Originales

Ejemplo: fallas de los mandos finales flotaCat 785B (2)

No.de falla (i) Hrs opNo. eventosanteriores

Rango Medio(j)

Rango de lamediana (%)

1 2137 5 1,19 2,9%2 2601 7 2,43 7,0%3 3717 8 3,68 11,1%4 4510 15 5,38 16,7%5 5131 22 8,23 26,1%6 5393 23 11,08 35,4%

En hoja grfica Weibull....


22/23

22

Cat 785B (3)

? es aprox. 2.5

? es aprox.8300 hrs.

Ejemplo: fallas de los mandos finalesflota Cat 785B (4)

Mecanismo de falla es por desgaste derodamientos principales.

Este se confirma por el valor de Beta = 2,5.

Una poltica puede ser cambiar los rodamientosa las 5000 horas. La probabilidad acumulada defalla antes de las 5000 horas est dada por:

F(t) = 25%


23/23

Ejemplo: fallas de los mandos finales flotaCat 785B (5)

Con estos datos, a las 6000 horas el costo es mnimo....

Cp (US$) 85000Cf (US$) 170000

$/hr = (F(t1)*Cf + R(t1)*Cp)/(F(t1)*M(t1) + R(t1)*t1)

t1 F(t1) R(t1) M(t1) $/hr 5000 26,1% 73,9% 3241 23,605250 28,4% 71,6% 3619 22,815500 30,8% 69,3% 3915 22,175750 33,1% 66,9% 3915 21,99

6000 35,4% 64,6% 3915 21,876250 39,1% 61,0% 3915 22,146500 42,7% 57,3% 3915 22,486750 46,4% 53,7% 3915 22,887000 50,0% 50,0% 3915 23,36

Datos:

Referencias? OConnor, P. Practical Reliability Engineering, 3rd Ed., John Wiley &

Sons, London,1995

? Louit, D. Evaluacin de Iniciativas de Gestin de Mantenimiento deEquipos Mineros Usando Tcnicas de Simulacin, Tesis de Magister,Escuela de Ingeniera, Pontificia Universidad Catlica de Chile, 1999.

? Nowlan, F.S. & Heap, H.F. Reliability-Centered Maintenance NationalTechnical Information Service, Report No. AD/A066-579, Dec. 29, 1978

? Jardine, A.K.S., y Knights, P.F. Apuntes del curso Estrategias ptimas deReemplazo de Equipos, Santiago y Buenos Aires, Agosto 2000

? Segovia, R. Reemplazo ptimo de Componentes Sujetos a DesgasteBajo la Realizacin de Inspecciones Peridicas, Memoria de Titulacin,Pontificia Universidad Catlica de Chile, 1998

sessión 4-1 weibull

Documents