Vibraciones de placas

Las placas son cuerpos de superficie grande con relación a su espesor generalmente delgado; excitadas por percusión o fricción emiten sonidos caracterizados por un complejo grande de parciales discordantes. Las placas, debido a su rigidez, sólo necesitan un punto de apoyo, en comparación a las membranas que necesitan tensión previa para vibrar.

El físico alemán Florencio Chladni realizó profundos estudios sobre las vibraciones de las placas y membranas y descubrió que en estos cuerpos no existen nodos y vientres propiamente dichos, sino líneas de puntos donde la vibración es nula o pequeña, llamadas líneas nodales, y zonas demarcadas por estas líneas donde la vibración alcanza valores máximos llamadas zonas ventrales.

Coeficiente de Poisson

El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ) es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.

Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se

ha usado

Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e

inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el alargamiento longitudinal producido divido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el Coeficiente de Poisson es:

Constante elástica

Una constante elástica es cada uno de los parámetros físicamente medibles que caracterizan el comportamiento elástico de un sólido deformable elástico-lineal. A veces se usa el término constante elástica también para referirse a los coeficientes de rigidez de una barra o placa elástica.

Un sólido elástico lineal e isótropo queda caracterizado sólo mediante dos constantes elásticas. Aunque existen varias posibles elecciones de este par de constantes elásticas, las más frecuentes en ingeniería estructural son el módulo de Young y el coeficiente de Poisson (otras constantes son el módulo de rigidez, el módulo de compresibilidad, y los coeficientes de Lamé).

Isótropo: Es una característica física que se atribuye a un sistema material cuando presenta las mismas propiedades físicas en todas las direcciones

Materiales elásticos isótropos

En los materiales elásticos homogéneos e isótropos son los que presentan el mismo comportamiento mecánico para cualquier dirección de estiramiento alrededor de un punto. Así por ejemplo dado un ortoedro de un material homogéneo e isótropo, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson son los mismos, con independencia de sobre qué par de caras opuestas se ejerza un estiramiento.

Debido a esa propiedad puede probarse que el comportamiento de un material elástico homogéneo isótropo queda caracterizado por sólo dos constantes elásticas. En diversos campos son comunes las siguientes elecciones de las constantes:

En ingeniería estructural. La elección más frecuente es el módulo elástico longitudinal y el coeficiente de Poisson (E, ν) [a veces también se usa la elección equivalente (E, G), ver más adelante].

Coeficientes de Lamé (λ, μ)que también aparecen en el desarrollo de Taylor de la energía libre de Helmholtz.

Así tenemos un total de seis constantes elásticas comúnmente usadas: E, ν, K, G, λ y μ. Dos cualesquiera de ellas caracterizan completamente el comportamiento elástico, es decir, dado cualquier parámetro elástico de un material puede expresarse como función de dos cualesquiera

de los parámetros anteriores. Obviamente, todos estos pares de constantes elásticos están relacionados, como se resume en la siguiente tabla:

Relaciones entre constantes elásticas (material isótropo lineal)

: módulo de Young: coeficiente de

Poisson

: módulo de compresibilidad: módulo de rigidez

: 1er coeficiente de Lamé: 2º coeficiente de Lamé

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Expresadas en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson las ecuaciones constitutivas son:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Donde

Materiales elásticos ortótropos

Algunos materiales elásticos son anisótropos, lo cual significa que su comportamiento elástico, en concreto la relación entre tensiones aplicadas y deformaciones unitarias es diferente para diferentes direcciones.

Una forma común de anisotropía es la que presentan los materiales elásticos ortotrópicos en los que el comportamiento elástico queda caracterizado por una serie de constantes elásticas asociadas a tres direcciones mutuamente perpendiculares. El ejemplo más conocido de material ortotrópico es la madera que presenta diferente módulo de elasticidad longitudinal (módulo de Young) a lo largo de la fibra, tangencialmente a los anillos de crecimiento y perpendicularmente a los anillos de crecimiento.

El comportamiento elástico de un material ortotrópico queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad longitudinal (Ex, Ey, Ez), 3 módulos de rigidez (Gxy, Gyz, Gzx) y 3 coeficientes de Poisson (νxy, νyz, νzx). De hecho para un material ortotrópico la relación entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor deformación viene dada por:

Donde:

Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos

en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de las tensiones toman una forma algo más complicada:

Donde:

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es simétrica ya que de las relaciones (*) se la simetría de la anterior matriz puesto que:

Materiales transversalmente isótropos

Un caso particular de material ortotrópico es el de los materiales transversalmente isótropos en los que existe una dirección preferente o longitudinal y todas las secciones perpendiculares a la misma son mecánicamente equivalentes. Así, en cualquier sección transversal a la dirección diferente habrá isotropía y el número de constantes elásticas independientes necesarias para caracterizar dicho material será 5 y no 9, como en el caso de un material ortotrópico general. Las cinco constantes independientes serán de hecho: 2 módulos de elasticidad longitudinal (EL, Et), 1 módulo de rigidez (Gt) y 2 coeficientes de Poisson (νL, νLt). Estas constantes se relacionan con las demás constantes generales de un material ortotrópico mediante estas relaciones:

Apoyo con la ecuación de helmholtz

La ecuación de Helmholtz, nombrada así por Hermann von Helmholtz viene dada por:

donde es el laplaciano, es un número real positivo y un campo escalar o modo para la solución de una onda.

La ecuación aparece en varios contextos de la físca donde se interpreta como el número de onda. Puede ser usada para dar solución a diferentes problemas en los cuales interviene la energía de la onda relacionada con su periodo.

Ecuación general de las ondas elásticas

Las ecuaciones de equilibrio dinámico de un sólido elástico e isótropo 3-D sometido a vibraciones libres no amortiguadas son:

…….(A)

en las que u¡ (i = 1,2,3) son las componentes de los movimientos en un punto genérico (x)j = 1,2,3 del sólido y en un instante dado t, según los ejes de coordenadas cartesianas xj . También interviene la densidad del material del sólido. La derivada segunda de u¡ respecto al tiempo t se designa por (ü) y su derivada espacial respecto a la coordenada xjse escribe como ui,j" Se utiliza el convenio de suma en índices repetidos.

Las ecuaciones constitutivas del material elástico y lineal del sólido se escriben en forma de rigidez, de acuerdo con Lamé, como sigue:

……..(B)

siendo εij las deformaciones, que se expresan en función de los desplazamientos, en la forma εij= 1/2 (uij + uji), la deformación volumétrica ε= ε11 + ε22 + ε33, símbolo de Kronecker δij definido por δij=1, δij =0 si, i ≠j y las constantes elásticas del material E y v, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson, respectivamente.

Al derivar la ecuación (B) respecto a la variable xj resulta la igualdad:

que sustituida en (A) permite obtener las ecuaciones de equilibrio expresadas en desplazamientos o ecuaciones de equilibrio de Lamé:

….(C)

Las tres ecuaciones (C) se pueden expresar en forma vectorial como sigue:

…..(D)

En esta ecuación (D) se recogen las componentes de los desplazamientos en un vector u =(ui) y se introduce el vector operador nabla ( V ), definido como

El producto escalar consigo mismo de este vector operador nabla genera el operador laplaciano (∆); es decir,∆=V'V = δ2/δx2i . El vector resultante de la aplicación del operador nabla a un escalar u

se conoce como grad u y su producto escalar con un vector u es la divergencia del vector o div u.

Por consiguiente, la ecuación (D) se puede escribir de forma alternativa:

…….(E)

Ondas planas

Se comienza con un caso muy simple de ondas elásticas en un medio infinito denominado de ondas planas, es decir, aquéllas cuyo movimiento de propagación u depende de una coordenada, sea por ejemplo x l' Se tiene entonces que la expresión del vector u es

que implica que u i ≠ 0 para i =1. Entonces la ecuación (E) se descompone en las siguientes:

Se observa que las ecuaciones (51)Y(52) son las ecuaciones de onda en una dimensión, con las velocidades de propagación c,y c, en la dirección longitudinal XI y transversal x,; (i= 2, 3) respectivamente. La relación entre ambas velocidades está limitada ya que se tiene al considerar que 0 < v < 0.5

La deformación volumétrica Ey= !'!.v/v se expresa mediante la igualdad: εv = εkk = u¡¡ = div u

Ondas arbitrarias

En caso de perturbaciones que carecen de un análisis de frecuencia enunciable en una expresión seno o coseno, el análisis se determina bajo andas arbitrarias en que cada parte del material tendrá una ecuación de onda que trate de describir el comportamiento de ese fragmento no periódico de la onda incidente y se hará el análisis bajo la sumatoria de las distintas formas de onda posibles en determinada región.

Ondas de Rayleigh

Las ondas de Rayleigh son ondas superficiales elípticas, que son una solución de la ecuación (2b), cuya amplitud disminuye exponencialmente con la profundidad. Un modelo simple de ondas de Rayleigh es que se da en un medio elástico semiinfinito, que podría representar el terreno. En términos de los potenciales elásticos, este tipo de ondas tienen la forma matemática:

Siendo:

, las amplitudes de ambos potenciales.

, la frecuencia angular y la velocidad de propagación de las ondas Rayleigh. Esta velocidad satisface la llamada condición de Rayleigh, que tiene una única solución real:

, son la profundidad y la distancia a lo largo de un corte vertical de terreno.

, son dos parámetros de atenuación con la profundidad dados por:

, son las velocidades de las ondas longitudinales y transversales

Modelado matemático para el análisis de una placa:

Se considera un problema modelo muy simple, con objeto de comprobar las posibilidades de los ensayos dinámicos con bajas frecuencias en estructuras de placas de flexión de espesor delgado. Se estudia el caso de una placa cuadradasimplemente apoyada en todo se contorno sujeta a vibraciones libres. El comportamiento de una placa de planta cuadrada, excitada en vibraciones libres, de lado a, espesor delgado h y simplemente apoyada en su contorno, se describe por el siguiente problema de autovalores:

en el cual ro es la flecha normal al plano medio de la placa, p es la densidad por unidad de volumen. La constante de flexión de la placa D se define a partir de E (módulo de elasticidad) y de u, coeficiente de Poisson del material de la placa, por

la expresión:

Como es bien sabido las frecuencias naturales lIImn y los modos propios cDmn correspondientes son:

con wmn una constante de normalización.

Esta solución analítica se ha comparado con una numérica basada en el método de los elementos finitos, para comprobar el grado de refinamiento de la malla de análisis y deducir, así, el tamaño de ésta, con objeto de alcanzar un grado de precisión determinado de antemano.

El comportamiento del analisis de esta palca determinada matemáticamente arriba, se puede parecier en la siguiente figura.

Formas de la onda en una placa sin deformaciones:

Las deformaciones de en una placa pueden conducir a la alteración de la frecuencia que se propaga en ellas, por lo que fisuras o modificaciones en la superficie de la placa, provocarán un cambio que se magnificará con el aumento de la frecuencia que atraviesa a la placa.

Formas de onda en una placa con una fisura en ella.