teoría de vibraciones

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA Y DISEÑO

Br. Antonio R. Molina S.

Cinemática y Dinámica de Partículas y Cuerpos Rígidos

Br. Antonio R. Molina S.Kraken Rollercoaster – Sea World, Orlando FL


P (Xp, Yp, Zp)

r P/O

X

Y

Z

i

j

k

(R)

Sea r P/O el vector de posición de la partícula

P en el espacio respecto al sistema

coordenado global fijo R:

Su velocidad viene dada como la primera

derivada de la posición respecto al tiempo:

Y su aceleración como la segunda derivada

de la posición respecto al tiempo:


Para el caso de cuerpos rígidos en el plano

conviene conocer la posición de su centro

de masa G respecto al sistema coordenado

global R mediante el vector de posición r G/O, cuya velocidad y aceleración vienen dados

de forma idéntica al caso estudiado para

partículas :

Luego si se desea la velocidad o aceleración

de otro punto P del cuerpo rígido, se recurre

a definir un vector r P/G desde el centro de masa al punto en cuestión, derivándose

relaciones adicionales:

G (XG, YG, 0)

r G/O

X

Y

Z

i

j

k

(R)

e1

e2

(R`)

ω, α

ω= Velocidad Angular

α= Aceleración Angular

Principio de la Cantidad de Movimiento Lineal

La sumatoria de las fuerzas que actúan en un

cuerpo equivale a la variación de la cantidad

de movimiento lineal del mismo en el tiempo.

Debido a que la masa del cuerpo no varía con

el tiempo, se obtiene la expresión de la segunda

ley de Newton:


Crash Test – General Motors Company


Principio de la Cantidad de Movimiento Angular

La sumatoria de los momentos que actúan en

un cuerpo equivale a la variación de la

cantidad de movimiento angular del mismo en

el tiempo:

La cantidad de movimiento angular puede

definirse respecto al centro de masa del cuerpo

o respecto al origen del sistema coordenado

global de referencia:El momento de inercia respecto al

origen puede calcularse según el

teorema de Steiner:

Rotor de Helicóptero – Bell Helicopter Textron Inc.

Resortes, Masas y Amortiguadores

Br. Antonio R. Molina S.Suspensión Delantera – Tuningarea.com


Son el medio para acumular energía potencial del

sistema. También se les denomina elementos de rigidez

del sistema.

Resorte de Traslación: La fuerza que actúa en un resorte lineal puede determinarse con la siguiente expresión:

Donde k es la constante de resorte y x su deflexión. La energía potencial acumulada por este elemento se

determina integrando la expresión anterior:

Resorte de Torsión: Resortes Varios - Iran Fanar Lool Co.


A continuación se muestran las constantes de resorte para algunos elementos

elásticos comunes:

B.Balanchandran, E. Magrab. Vibraciones. Thomson Editores. 2006


Es el medio que acumula energía cinética en el

sistema. También se le denomina elemento de

inercia.

Las fuerzas de inercia vienen dadas de acuerdo

a la segunda Ley de Newton como:

La energía cinética del movimiento de traslación

viene dada como:

Por analogía para el movimiento de rotación se

tiene:Michelin Active Wheel.


Son el medio para disipar energía del sistema. También

se les denomina elementos de disipación del sistema.

Amortiguamiento Viscoso: La fuerza de amortiguamiento según el modelo ideal de

amortiguamiento viscoso es proporcional a la

velocidad:

Donde c es la constante de proporcionalidad o amortiguamiento.

Amortiguamiento de Coulomb: Resulta de la fricción entre superficies secas y es igual al producto entre el

coeficiente de fricción y la fuerza normal:

G - Force - Amortiguadores Gabriel.

Movimiento Armónico, Movimiento Periódico, Frecuencias

Naturales, Resonancia

Br. Antonio R. Molina S.Guitarra Clásica – Prudencio Sáez.


Es el movimiento periódico más simple. Se repite a sí mismo con regularidad a

intervalos de tiempo τ ó período de oscilación. El recíproco del período es la

frecuencia f.

El movimiento armónico se representa

por medio de la siguiente ecuación:

Donde ω se denomina como frecuencia circular en rad/seg


En el movimiento armónico la velocidad y la aceleración preceden al desplazamiento

en π/2 y π rad respectivamente

Puede notarse entonces como la aceleración

en el movimiento armónico es proporcional al

desplazamiento y está dirigida hacia el origen

Cualquier función periódica de período τpuede representarse por medio de una serie

de Fourier: Teoría de Vibraciones – Thomson W.T.


Terminología de Vibraciones

Valor Pico: Es el máximo esfuerzo que sufre la parte vibrante.

Valor Medio: Es un valor estático o estacionario efectivo, similar al nivel DC de corriente.

Energía de Vibración: Puede estimarse mediante el valor medio cuadrado como:

Raíz Media Cuadrada ó RMS: Es la raíz cuadrada del valor medio cuadrado. Las vibraciones son medidas generalmente

por medidores RMS.

Decibel: Unidad de medida frecuentemente utilizada en vibraciones. Se define como una razón de potencias.

Medidor de Vibraciones

LT-VB8213


Puente Tacoma Narrows – Seattle 1940

Un sistema puede encontrarse bajo vibración

libre o forzada. La vibración libre ocurre

cuando el sistema vibra a una o más de sus

frecuencias naturales bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo.

La vibración que tiene lugar bajo excitación

de fuerzas externas es una vibración forzada.

Cuando la excitación es oscilatoria el sistema

es obligado a vibrar a la frecuencia de

excitación. Si ésta coincide con una de las

frecuencias naturales del sistema, se produce

una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.

Uno de los casos emblemáticos sobre

desastres de la ingeniería es el del colapso

del puente de Tacoma Narrows, en el año 1940, derribado por acción del viento.

Ecuación de Movimiento, Método de Energía, Método de

Rayleigh, Amortiguamiento Viscoso

Br. Antonio R. Molina S.Parque Eólico “Antonio Morán” – Comodoro Rivadavia, Argentina.

x

Δ

m

m

kΔ

W

K(Δ+x)

W a

C


Inicialmente se tiene un resorte no esforzado

(posición A de la figura), una vez colocada la masa al resorte, se alcanza la posición de

equilibrio estático B, donde:

Donde Δ es la deflexión estática del resorte. Luego partiendo de esta posición de referencia

se mueve la masa una distancia x, donde:

Definiendo la frecuencia natural ωn como:

Se tiene:

Lo cual indica que se trata de un movimiento armónico. Ésta es una ecuación diferencial

homogénea de 2do orden


La ecuación característica de la ecuación

diferencial obtenida es:

Y las raíces de esta ecuación característica

son:

La solución general de este tipo de

ecuación diferencial obedece a la forma:

Por lo que finalmente se obtiene:

Los coeficientes A y B se determinan

con las condiciones iniciales x(0) y v(0),

osea:

Luego recordando que:

Se tiene que:

Entonces la frecuencia natural del

sistema viene dada como:


En un sistema vibratorio se da el intercambio

constante de energía entre sus formas

cinética y potencial. De acuerdo al principio

de conservación de la energía se tiene que

la suma de la energía cinética y la energía

potencial del sistema es constante y no varía

en el tiempo:

Sustituyendo las expresiones

correspondientes a cada tipo de energía :

Derivando se obtiene la misma expresión

que al aplicar la segunda ley de Newton:

Downhill – downhill.esforos.com


El movimiento de varias masas puede

expresarse en términos del movimiento xde algún punto en específico del

sistema, el cual se reduce entonces a

uno con un solo grado de libertad.

La energía cinética resultante puede

escribirse como:

Siendo meff una masa equivalente

concentrada en el punto de estudio. Si

se conoce la rigidez de dicho punto, la

frecuencia natural viene dada como: De esta manera es posible tener en

cuenta masas previamente ignoradas y

llegar así a un mejor estimado de la

frecuencia fundamental.

Rally Dakar – Volkswagen.


La respuesta de un sistema dependerá del

amortiguamiento que este presente.

Mediante el amortiguamiento se disipa la

energía del sistema.

La fuerza de amortiguamiento viscoso es

proporcional a la velocidad y si se toma en

cuenta, la ecuación de movimiento para

vibración libre queda como:

Esta ecuación diferencial homogénea

tiene tres posibles soluciones. Su ecuación

característica es:

Rally Dakar – Hummer GMC.

Cuyas raíces vienen dadas por:


Una posible solución a la ecuación

diferencial obtenida es aquella para la cual

ambas raíces de la ecuación característica

son iguales, lo cual implica que:

A este amortiguamiento se le denomina

amortiguamiento crítico y viene dado

como:

De aquí que se exprese una razón de

amortiguamiento respecto al valor crítico:

Que para este caso tiene un valor ζ=1.0

Luego sustituyendo en las raíces se tiene:

Que para este caso da como resultado:

Finalmente se obtiene la solución de la

ecuación diferencial:

Los coeficientes A y B se determinan

mediante las condiciones iniciales x(0) y

v(0) quedando:


El caso sub-amortiguado es también

denominado movimiento oscilatorio y tiene ζ<1.

Cuando el movimiento es oscilatorio las raíces

de la ecuación característica son imaginarias y

pueden escribirse como:

Lo cual nos da otra solución posible de la

ecuación diferencial en cualquiera de las

formas siguientes:

Donde ωd es la frecuencia de oscilación amortiguada y viene dada

como:

Teoría de Vibraciones – Thomson W.T.


El caso sobre-amortiguado es también

denominado movimiento no oscilatorio y

tiene ζ>1. Para este caso ambas raíces de

la ecuación característica son reales

dando como resultado la siguiente

solución a la ecuación diferencial:

En donde:


Simplificando queda:

Donde τd es el período amortiguado

que viene dado como:

Finalmente se tiene:


Se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas, que

refleja la rata de caída de las oscilaciones libres.


Vibración Armónica Forzada, Ecuación de Movimiento

Br. Antonio R. Molina S.Turbina Hidráulica Kaplan - CKD BLANSKO HOLDING.


•Un sistema sometido a excitación

armónica forzada responde con la misma

frecuencia de la excitación inducida.

•La excitación armónica es frecuente en

sistemas de ingeniería y es comúnmente

producida por desbalances en máquinas

rotatorias, fuerzas producidas por

máquinas reciprocantes, entre otros.

•Si la frecuencia de excitación coincide

con una de las frecuencias naturales del

sistema se produce resonancia. Este

fenómeno debe evitarse en la mayoría de

los casos.

•Para evitar que se desarrollen grandes

amplitudes se emplean amortiguadores.Turbina de Avión – CF6


m

ck

Fosenωt

x

Considerando un sistema de un grado de libertad con

amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza

armónica Fosenωt , se tiene:

La solución de esta ecuación consta de dos partes:

Solución Particular:

Donde X es la amplitud de oscilación y Ø es el ángulo

respecto a la fuerza excitatriz. La amplitud y la fase se

calculan sustituyendo la solución particular en la

ecuación diferencial del sistema, obteniendo:

O en forma adimensional:

Recordando que:

Se tiene:

Puede observarse entonces que tanto la amplitud adimensional como el ángulo de

fase son funciones solamente de la razón de frecuencias ω/ωn y del factor de

amortiguación ζ.


KTM –ATV-450SX – KTV Springs.



Nótese que el factor de

amortiguación tiene gran influencia

sobre la amplitud y el ángulo de

fase en la región próxima a

resonancia (ω/ωn=1).

Para ω/ωn<<1 las fuerzas de inercia

y amortiguamiento son pequeñas,

La magnitud de fuerza global es

casi igual a la fuerza de resorte y el

ángulo de fase es pequeño.

Para ω/ωn=1 la fuerza de inercia es

equilibrada por la fuerza de resorte,

mientras que la fuerza aplicada

supera a la de amortiguación.

Para ω/ωn>>1 la fuerza aplicada se

emplea casi totalmente en vencer

la gran fuerza de inercia.X

kXFo Ø

X

kXFo

ØX

Ø kXFo


#4510 - NITRO SPORT - Traxxas

Cuando ω/ωn=1 el ángulo de fase es

90º y la amplitud a la resonancia viene

dada como:

La ecuación diferencial y su solución

completa vienen dadas como:

Desbalance Rotatorio, Balanceo Estático, Balanceo Dinámico,

Cabeceo de Ejes Rotatorios.


Formula 1 2009 – Codemasters


El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente

común de excitación vibratoria. Si se considera un

sistema masa-resorte-amortiguador, de un solo grado

de libertad, excitado por una máquina rotatoria no

balanceada, el desbalance es representado por una

masa excéntrica m con excentricidad e que rota a

velocidad angular ω.

El desplazamiento de m es:

Y la ecuación de movimiento viene dada como:

Que también puede escribirse como:

Expresión idéntica a la ecuación de movimiento para

vibración excitada armónicamente, por lo tanto:

m

ck

ωt

x

M

e


Rally Subaru – Collin Mc Rae Rally.

La solución estacionaria de la ecuación

viene dada como:

O de forma adimensional como:

La solución completa está dada por:


El sistema anterior idealiza una unidad masa-

resorte-amortiguador con un desbalance rotatorio

actuando en un plano. En la realidad es mucho

más probable que el desbalance de un rotor esté

distribuido en varios planos. Existen dos tipos de

desbalance rotatorio que pueden corregirse.

• Desbalance estático:

En caso de que las masas no balanceadas se

encuentren en un solo plano, como podría ser el

caso de un disco delgado, el desbalance

resultante es una fuerza radial. Este desbalance es

fácilmente detectable, colocando el ensamble

sobre rieles horizontales de manera que la rueda

gire hasta una posición donde el desbalance se

localice directamente debajo del eje.Sistema con desbalance estático.


Máquina balanceadora de llantas - BFH1000

• Desbalance dinámico:

En caso de que el desbalance aparezca en más

de un plano, la resultante será una fuerza y un

momento de balanceo. El momento de balanceo

sólo puede ser detectado haciendo girar el rotor.

En este tipo de desbalance se establecerán fuerzas

centrífugas rotatorias que tenderán a mecer la

flecha en sus cojinetes.

El cigüeñal de un motor puede considerarse como

una serie de discos delgados con algún

desbalance, los cuales deben ser ensayados

rotando para poder detectar dicho desbalance.

La máquina de balanceo consiste en cojinetes

montados sobre resortes que permiten detectar las

fuerzas no balanceadas. Si se conoce la amplitud y

fase relativa de cada cojinete, es posible

determinar y corregir el desbalance.


G

e

r

y

x

i

j

θ

S

O

ωt

Los ejes rotatorios tienden a arquearse a ciertas

velocidades como resultado de varias causas,

entre las que se puede mencionar el desbalance

de masa, el amortiguamiento de histéresis en el

eje, fuerzas giroscópicas ó fricción fluida en los

cojinetes.

Si se considera el caso de un disco de masa m localizado en un eje soportado por cojinetes,

cuyo centro de masa G esta localizado a una

distancia e (excentricidad) del centro

geométrico S del disco, la línea de centros de los

cojinetes intersecará al plano del disco en O y el

centro de la flecha será deflectada en r=OS

Se supondrá que el eje (línea e=SG) está rotando

a velocidad constante ω y que la línea r=OS está

cabeceando a una velocidad diferente de ω.

O

S


El vector de posición del centro de masa G del disco viene dado como:

Derivando la expresión anterior se obtiene la

velocidad del centro de masa:

Ordenando la expresión:

Derivando nuevamente se obtiene la aceleración:

Ordenando la expresión:

G

e

r

y

x

i

j

θ

S

O

ωt


Las ecuaciones de movimiento en las direcciones radial y tangencial vienen dadas

como:

Radial:

Tangencial:

Que dividiendo entre la masa y ordenando dan:

El caso general de cabeceo descrito arriba es un movimiento de excitación propia

en donde las fuerzas que producen el movimiento están controladas por el

movimiento mismo.

Estas son las ecuaciones generales

del movimiento de cabeceo.


El caso más simple de cabeceo es el caso estacionario sincrónico donde la velocidad

de cabeceo es igual a la velocidad de rotación del eje que ha sido supuesta

constante, por lo tanto:

Integrando la condición de cabeceo sincrónico:

Donde φ es la constante de integración y representa el ángulo de fase entre e y r. Sustituyendo en las ecuaciones generales de movimiento:

Radial:

Tangencial:

Dividiendo se obtiene la ecuación para el ángulo de fase:

A partir del triángulo vectorial mostrado se

tiene:

Sustituyendo en la ecuación de movimiento

radial y despejando r, se obtiene la ecuación

de amplitud:

Rotor Wankel – www.RX7club.com

(Estas ecuaciones indican que la línea de excentricidad e, precede a la línea de desplazamiento r en el ángulo de fase φ, que depende del amortiguamiento y la razón de velocidades. Cuando la velocidad de rotación alcanza la frecuencia natural del eje, se llega a una condición de resonancia en que la amplitud sólo es restringida por el amortiguamiento).

Movimiento del Soporte, Aislamiento Vibratorio, Energía Disipada

por Amortiguamiento, Instrumentos Medidores de Vibraciones.

Br. Antonio R. Molina S.Imagen del terremoto de Chile tomada del New York Times (2010).


m

ck

x

y = Y sen ωt

En muchos casos el sistema dinámico es excitado por

el movimiento del punto de soporte. Considérese el

sistema de la figura, su ecuación diferencial viene

dada como:

Haciendo: z = x – y, se tiene:

Si el movimiento de la base se supone armónico:

Cuya solución viene dada como:

De esta forma, las curvas de amplitud vs razón de

frecuencias son aplicables con el apropiado cambio

de ordenada.


Las fuerzas vibratorias generadas por máquinas son a

menudo inevitables; sin embargo, su efecto puede

reducirse sustancialmente agregando resortes

denominados aisladores. La fuerza transmitida a través

del resorte y el amortiguador viene dada como:

La fuerza excitatriz armónica viene dada a partir de la

ecuación general de amplitud como:

La transmisibilidad de fuerza viene dada según la

siguiente relación:

X

ØkX

Fo

Ft

m

ck

x


Planta eléctrica con aislamiento vibratorio en la

base - Energiestro

•Puede concluirse entonces que un resorte

no amortiguado es superior a un resorte

amortiguado para efectos de reducir la

transmisibilidad.

•Es deseable sin embargo algún

amortiguamiento cuando es necesario que

ω pase por la región de resonancia.

•El aislamiento vibratorio sólo es posible

cuando la relación de velocidades ω/ωn es

superior a √2

•Es posible reducir la amplitud de vibración

apoyando la máquina sobre una gran masa.


El amortiguamiento está presente en todo

sistema oscilatorio y disipa la energía del

mismo en forma de calor o radiación.

La pérdida de energía se traduce en

decrementos de la amplitud de la vibración

libre, pero en el caso de vibración forzada, la

pérdida de energía es compensada por la

energía suministrada por la excitación.

La disipación de energía es determinada

usualmente bajo condiciones de oscilaciones

cíclicas y la relación fuerza-desplazamiento

encierra un área denominada bucla de

histéresis.

La energía perdida por ciclo, debido a la

fuerza de amortiguación Fd, viene dada por:

Disco de Freno al Rojo Vivo - Porsche

Haciendo el siguiente cambio:

Se Obtiene:


Fd

x

X

Fd+kx

x

X

La energía disipada por ciclo de las ecuaciones

anteriores será:

Sustituyendo:

La energía disipada a resonancia viene dada como:

Para la representación gráfica Fuerza vs Desplazamientose debe hallar la ecuación de la elipse como sigue:

Ecuación de la elipse:

Si añadimos la fuerza de resorte kx, la bucla de histéresis es rotada y se conforma el llamado modelo de Voigh.


Sismómetro de banda ancha

Modelo: BBVS-60, BBVS-120

3 componentes adentro

Regeneración electrónica

Banda ancha: 50Hz120s

Rango dinámico: DB 140

Supervisión total alejada

Centro alejado de la masa

Consumición de la energía baja

De poco ruidocy

m

k

x

Muchos medidores de vibración tienen como

unidad básica el sistema mostrado en el

esquema de abajo. Dependiendo del rango

de frecuencia utilizado, el instrumento indicará

la velocidad, aceleración o desplazamiento

relativo de la masa suspendida con respecto a

la caja. La ecuación de movimiento es:

La solución estacionaria es entonces:


Esta solución escrita en función de la

amplitud y la razón de frecuencias viene

dada como:

Puede observarse del gráfico de estas

ecuaciones, que el tipo de instrumento a

emplear está determinado por el rango útil

de frecuencias con respecto a la

frecuencia natural ωn del instrumento.



Sismómetro portátil formado por un registrador MEQ y

un sensor Ranger

Los sismómetros son instrumentos de baja

frecuencia natural ωn respecto a la

frecuencia ω que se va a medir, esto

significa que la razón ω/ωn es un número

grande y el desplazamiento relativo Z se

aproxima a Y (véase gráfico anterior). Esto se traduce en un movimiento en

conjunto de la masa y su caja portante.

Los sismómetros son instrumentos de gran

tamaño, donde el movimiento relativo zes convertido en un voltaje eléctrico

haciendo que la masa móvil sea un

magneto y las paredes de la caja

bobinas.

La salida de este instrumento es proporcional a la

velocidad del cuerpo vibrante y la aceleración y

desplazamiento estarán disponibles mediante

diferenciadores e integradores respectivamente


Acelerómetro piezoeléctrico de cuarzo.

En el caso del acelerómetro, su frecuencia natural es

mucho más alta que la frecuencia de vibración que se

desea medir, esto trae como consecuencia que la

relación de velocidades ω/ωn sea un número pequeño,

haciendo que Z se vuelva proporcional a la aceleración del movimiento a medir. El acelerómetro mas sencillo es

el mecánico, que consiste en una masa unida a un

dinamómetro cuyo eje está en la misma dirección que

la aceleración que se desea medir, esto permite

determinar el módulo de la fuerza, para luego conocer

el módulo de aceleración.

El acelerómetro es uno de los transductores más

versátiles, siendo el más común el piezoeléctrico por

compresión. Cuando el conjunto es sometido a

vibración, el disco piezoeléctrico se ve sometido a una

fuerza variable, proporcional a la aceleración de la

masa. Debido al efecto piezoeléctrico se desarrolla un

potencial variable que será proporcional a la

aceleración. Dicho potencial variable se puede registrar

sobre un osciloscopio o voltímetro.

Matriz de Rigidez, Valores Propios y Vectores Propios, Vibración Libre, Formas

Modales, Propiedades Ortogonales, Matriz Modal, Amortiguamiento Modal.

Br. Antonio R. Molina S.Suspensión Wrangler - Jeep


El análisis de vibración de sistemas con muchos grados

de libertad requiere de métodos matriciales que

permitan una formulación sistemática y simple del

problema considerado.

La matriz de flexibilidad de un sistema se forma

considerando por separado los desplazamientos

debidos a fuerzas unitarias aplicadas y viene dada

como:

La matriz de rigidez de un sistema vibratorio es el inverso

de la matriz de flexibilidad y viene dada como:

La regla general para establecer los elementos de

rigidez de cualquier columna, es hacer el

desplazamiento correspondiente a esa columna igual

a la unidad, con los demás desplazamientos iguales a

cero y medir las fuerzas requeridas en cada estación.

Torre de las Telecomunicaciones

Montevideo Uruguay


La vibración libre de un sistema no amortiguado

con varios grados de libertad viene expresado

matricialmente como:

Donde:

Pre multiplicando por la inversa de la matriz de

masa se tiene:

Donde I es una matriz unitaria y A la matriz del sistema.

Matriz de masa

Matriz de rigidez

Vector desplazamiento

Cuando el movimiento es armónico:

Por lo tanto:

La ecuación característica del sistema

es el determinante igualado a cero

como sigue:

Arte conceptual - Audi


Puente de Alamillo Sevilla – Santiago Calatrava

Las raíces de la ecuación característica

son los denominados valores propios y las

frecuencias naturales del sistema se

determinan como:

Para hallar los vectores propios se hace

uso de la matriz adjunta y el inverso de la

matriz :

Pre multiplicando por IBI B:

Haciendo el cambio de variable:

Y sustituyendo en la expresión original, se

obtiene:

Para cada λ=λi:

Por lo tanto:

Cada vector Xi es un vector propio


Casa Malinalco - México

Los modos normales o vectores propios

del sistema, son ortogonales con respecto

a las matrices de masa y de rigidez.

Dada la matriz del modo i-ésimo:

Pre multiplicando por la traspuesta de

otro modo, digamos j:

Haciendo lo contrario se tiene:

Como K y M son matrices simétricas, se cumple:

Restando 2 de 1 se obtiene:

Que en el caso de que λi≠λj,

necesariamente:

1

2

Finalmente si i=j:

Que son la masa y rigidez generalizadas

del sistema.

Es posible desacoplar las ecuaciones

de movimiento de un sistema con “n” grados de libertad, conociendo

previamente sus vectores propios. La

matriz formada por los vectores

propios o modos normales es la matriz

modal P, p.ej.:

Para las operaciones subsiguientes es

necesaria la traspuesta de la matriz P:

Ahora, haciendo el producto P`MPpara un ejemplo con 2GDL se obtiene:

El resultado será una matriz diagonal:

Si se divide cada columna de la matriz

modal P por la raíz cuadrada de la masa

generalizada Mi, se obtiene la matriz modal reducida. La diagonalización de la

matriz de masa por la matriz modal

reducida genera una matriz unitaria:

En el caso de la matriz de rigidez se

obtiene la matriz de los valores propios:


La ecuación de movimiento para “n” grados de libertad, amortiguamiento

viscoso y excitación arbitraria viene

dada como:

A partir de la ecuación homogénea no

amortiguada se determinan los valores

propios y los vectores propios del

sistema, con la finalidad de generar la

matriz modal y su forma reducida:

Pre multiplicando por P` y haciendo el cambio de variable:

Se obtiene:

Como puede observarse, las matrices de

masa y rigidez se diagonalizan. Sin

embargo, la matriz de amortiguamiento

sólo se diagonaliza si la amortiguación es

proporcional, obteniéndose ecuaciones

completamente desacopladas e

independientes:

Nótese que es la misma ecuación

determinada para sistemas de un solo

grado de libertad:

Rayleigh introdujo amortiguamiento

proporcional como:

Donde α y β son constantes.


La aplicación de la matriz modal reducida

da como resultado:

De manera que para la i-ésima ecuación:

El amortiguamiento modal puede definirse

por la ecuación:

Boceto de un Sistema de Suspensión

Amortiguador de Péndulo Centrífugo, Disipador de Houdaille

Br. Antonio R. Molina S.Disipador Houdaille - Aston Martin V8


θ

Φ

R

r

Los torques de excitación de sistema rotatorios son

proporcionales a la velocidad de los mismos, es por ello que

un amortiguador adecuado deberá tener una frecuencia

natural proporcional a la velocidad. El péndulo centrífugo

cumple con este propósito.

El vector posición del péndulo del sistema mostrado viene

dado como:

Derivando se obtiene la velocidad:

Y derivando nuevamente, la aceleración:

Recordar:


θ

Φ

R

r

Haciendo sumatoria de momentos en O´:

Suponiendo Φ pequeña, la expresión queda como:

Suponiendo que el movimiento de la rueda es una

rotación estacionaria mas una oscilación sinusoidal, se

escribe:

Sustituyendo se obtiene:

La frecuencia natural es siempre proporcional a la

velocidad y la oscilación se anula con la misma:


En caso de que haya más de una frecuencia

perturbadora, el disipador torsional viscoso no

ajustado o disipador de Houdaille es efectivo en

un amplio rango de operación. Básicamente

consiste en una masa alojada en una cámara

cilíndrica llena de fluido viscoso.

Las ecuaciones de movimiento son:

Con movimiento armónico:

Sustituyendo:

k

J

Jd

Reordenando:

Luego despejando φ0 y sustituyendo en la primera de las ecuaciones:

Reordenando:

La amplitud viene dada como:

Y al realizar las sustituciones:

Se obtiene:

Cuya amortiguamiento óptimo viene

dado como:

A la frecuencia:

teoría de vibraciones

Technology