Vibraciones de Barras

3.1 VIBRACIONES LONGITUDINALES DE UNA BARRA Otro importante movimiento ondulatorio lo constituye la propagación de ondas longitudinales que a menudo se encuentran en barras sólidas (y, a bajas frecuencias, en tubos con gas y ductos con paredes rígidas). A medida que una perturbación longitudinal se mueve a lo largo de una barra, el desplazamiento de las partículas de la barra es esencialmente paralelo a su eje. Cuando las dimensiones laterales de la barra son pequeñas comparadas con la longitud, se puede considerar que cada plano de sección transversal de la barra se mueve como una unidad. (De hecho, la barra se encoge un poco en la dirección lateral conforme se expande longitudinalmente, pero para barras delgadas este movimiento lateral puede pasarse por alto.)

Algunos artefactos acústicos utilizan vibraciones longitudinales en barras. Se pueden construir normas de frecuencia de tonos definidos con barras circulares de longitudes diversas. Cuando en estas barras se excitan vibraciones longitudinales, se observa que la frecuencia de vibración es inversamente proporcional a la longitud de la barra. A menudo se utilizan las vibraciones longitudinales en tubos de níquel para el diafragma vibrante de un transductor de sonar. Los cristales piezoeléctricos pueden cortarse de tal manera que la frecuencia de la vibración longitudinal en la dirección del eje mayor del cristal se use ya sea para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para excitar un transductor electroacús tico.

Otra razón para estudiar las vibraciones longitudinales en barras, es que ayu da a entender las ondas acústicas. Las expresiones matemáticas para la transmisión de ondas acústicas planas a través de fluidos no sólo son muy similares a las de la transmisión de ondas de compresión a lo largo de una barra, sino que, si el fluido está confinado en un tubo rígido, hay también en los dos casos una estre cha correlación entre las condiciones de frontera.

3.2 DEFORMACION LONGITUDINAL. Considere una barra de longitud L y área de sección transversal S, sujeta a fuerzas longitudinales. La aplicación de estas fuerzas producirá un desplazamiento longitudinal de cada una de las partículas de la barra, y para barras largas y delgadas este desplazamiento será el mismo en todos los puntos en cualquier sección transversal particular

Sean las coordenadas de los extremos izquierdo y derecho x = O y x =L, y considere un segmento corto dx de la barra no deformada entre x y x + dx. Supóngase que la aplicación de estas fuerzas a la barra hace que el plano originalmente localizado en x se mueva una distancia hacia la derecha, y que un plano similar originalmente localizado en x + dx se mueve una distancia ξ+d ξ hacia la derecha (figura 3.1). La convención adoptada en este libro es que un valor positivo de significa un desplazamiento hacia la derecha, y un valor negativo un desplazamiento hacia la izquierda.

Puesto que se supone que dx es pequeño, el desplazamiento en x +dx puede representarse por los dos

primeros términos de una expansión de Taylor de ξ alrededor de x

Dado que el extremo izquierdo del segmento ha sido desplazado una distancia ξ y el lado derecho una distancia ξ + d ξ, el incremento de la longitud del segmento está dado por

La deformación en el segmento se define como la proporción de un incremento de longitud con respecto a la longitud original, o

Note que, como ξ es una función de ambas x y t, se deben usar derivadas parciales en vez de derivadas

totales.

3.3 ECUACION DE ONDA LONGITUDINAL. Siempre que se deforma una barra se producen fuerzas elásticas. Estas fuerzas actúan a través de cada plano de sección transversal en la barra y mantienen a la

barra unida. Supóngase que f = f(x, t) representa a estas fuerzas longitudinales, donde se adopta la

convención de que un valor positivo de f representa fuerzas de compresión, como se indica en la figura 3.2, y

un valor negativo representa fuerzas de tensión. (La elección de esta convención hace que la compresión de un sólido por una fuerza positiva sea análoga a la -compresión de un fluido por un incremento positivo de la presión.)

El esfuerzo en la barra se define como

Para la mayoría de los materiales, si la deformación es pequeña el esfuerzo es proporcional a él. Esta relación es conocida corno la Ley de Hooke,

donde Y, el módulo de Youngo módulo de elasticidad, es una propiedad característica del material. Debido a que un esfuerzo positivo da lugar a una deformación negativa, el signo negativo asegura un valor positivo para la constante Y. En el apéndice A10 se dan valores de Y para diversos sólidos comunes. Reescri biendo, se obtiene

como una expresión para las fuerzas internas longitudinales en la barra.

Si f representa la fuerza interna en x, entonces f + (δflδx) representa la fuerza en x + dx, y la fuerza neta hacia la derecha es

Sustituyendo a por f se obtiene

La masa del segmento dx es pS dx donde p es la masa por unidad de volumen de la barra. Por lo tanto, la ecuación de movimiento del segmento es

Haciendo c2 = Y/p, esta ecuación se convierte en

Al comparar esta ecuación con la correspondiente (2.5) para el movimiento transversal del segmento de una cuerda, se ve que tienen forma idéntica, y el desplaza miento longitudinal ξ reemplaza al desplazamiento transversal y. Por lo tanto, (3.7) es una ecuación de onda longitudinal unidimensional.

La solución general de (3.7) es de forma idéntica a la de la ecuación de onda transversal,

donde la velocidad de fase es

La solución armónica compleja de (3.7) es

donde A y B son constantes de amplitud complejas y k = (..)/c es el número de onda.

Puesto que el módulo de Young Y se mide en condiciones en que a la barra se le permite alterar sus dimensiones transversales, (3.8a) da la velocidad de fase únicamente cuando el sólido tiene forma de barra delgada. En el capítulo 6 se verá que cuando las dimensiones transversales del sólido son grandes en comparación con la longitud de onda, se debe usar el módulo de volumen y el módulo cortante, en lugar del módulo de Young, para calcular la velocidad de fase.

3.4 CONDICIONES DE FRONTERA SIMPLES. Ahora se aplicarán condiciones de frontera de una barra fija rígidamente en ambos extremos, de tal manera que ξ=0 en x=0 y en x=L todo el tiempo. (Se encontrará que las expresiones resultantes son idénticas a las que se obtuvieron en la sección 2.10 para una cuerda vibrante soportada rígidamente.)

La aplicación de ξ=0 en x=0 da A + B = 0, de tal manera que B = — A y (3.9) se convierte en

La condición ξ=0 en x = L da

O

(lo mismo que para una cuerda fija fija). Las frecuencias angulares de los modos de vibración permitidos son

[idéntica a (2.35)]. El desplazamiento complejo •" correspondiente al enésimomodo de vibración es

y la parte real es

donde las constantes de amplitud reales An y Bn, están perfectamente definidas por 2An =Bn +jAn. La solución completa es la suma de todas las soluciones armónicas separadas,

Si las condiciones iniciales del desplazamiento y velocidad de la barra son conocidas, se puede usar el teorema

de Fourier, como en la sección 2.10, para evaluarAn

Y Bn.Dado que una barra sólida es muy rígida, es difícil proporcionar soportes de mayor rigidez, y en

consecuencia las condiciones de frontera supuestas anterior mente son difíciles de lograr en la práctica. Por el contrario, una condición de extremo libre puede lograrse fácilmente soportando la barra en soportes blandos.

Cuando una barra es libre de moverse en un extremo, no puede haber fuerzas elásticas internas en este extremo y, en consecuencia, f = 0 en este punto. Ya que f = — SY(δξ/δx) 'esta condición es equivalente a

en el extremo libre

Considérese ahora la barra libre libre. La condición δξ/δx = 0 aplicada a (3.9) en x=0 da

así que

Aplicando δξ/δx = 0 en x =L da sen kL = 0 ó

Las frecuencias de las vibraciones permitidas para una barra libre libre son idénti cas a las de la barra fija fija (3.13). El desplazamiento complejo para el enésimo modo de vibración es

y el desplazamiento real es

donde An = Bn + jBn. En contraste con la barra f i ja f i ja , que t iene nodos en am bos extremos, la barra

libre libre tiene antinodos en cualquiera de los extremos, como se obsérva por la presencia del término cos knx en la ecuación anterior, en vez de sen knx como en (3.14a). En la figura 3.3 se comparan los patrones nodales para estos dos tipos de soporte. Se debe observar que siempre que ocurre un antinodo en el centro de la barra las vibraciones son simétricas con respecto al

centro: cuando un segmento a la izquierda del centro de la barra se desplaza hacia la izquierda, el segmento correspondiente a la derecha también se desplaza la misma distancia hacia la izquierda. Similarmente, siempre que haya un nodo en el centro, las vibraciones serán asimétricas.

Una barra puede estar rígidamente prensada en cualquiera de sus posiciones nodales sin interferir con los modos de vibración que tienen un nodo en esta posición. Sin embargo, los modos que no tienen un nodo en esta posición serán suprimidos. Es imposible encontrar en una barra libre libre, una posición en que al prensar la barra no se eliminen por lo menos algunos de los nodos normales.

Considérese ahora una barra libre, fija: libre en x = 0 y rígidamente fija en

x = L. Aplicando δξ/δx = 0 a (3.9) da (3.17), y la aplicación de ξ = 0 en x =L da

Las frecuencias permitidas son aquellas que satisfacen

O

La frecuencia de la fundamental es la mitad de la de una Parra libre libre, similar,

y sólo los armónicos impares están presentes; la frecuencia del primer sobretono de una barra libre, fija, es tres veces mayor que su fundamental. Debido a la au sencia de armónicos pares, la calidad del sonido producido por una barra vibrante libre, fija, difiere del producido por una barra libre libre.