PRACTICA DE VIBRACIONES

1.- En la figura, la coordenada X mide el desplazamiento de la masa de 10 kg respecto de su posicin de equilibrio. En t = 0, la masa se suelta del reposo en la posicin X = 0,1 m .Determinar:a) El periodo y la frecuencia de las vibraciones.b) B) La posicin de la masa en funcin del tiempo.

Solucin

Realice el DCL de m en una posicin arbitraria X a partir de la posicin de equilibrio

Aplica la ecuacin de movimiento en la direccin horizontal:

Plantea la ecuacin diferencial de movimiento:

Determina la frecuencia natural circular:

Periodo de vibracin:

Frecuencia de vibracin:

Parte b): Utiliza las condiciones iniciales:

La solucin de la ec. Diferencial:

2.-Una masa de 2kg est suspendida en un plano vertical por tres resortes. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia abajo de su posicin de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s cuando t = 0. Determinar:a) La ecuacin diferencial del movimiento.b ) El periodo y la frecuencia de la vibracin

Solucin

a) Realiza el DCL de la masa en la posicin de equilibrio. Se supone que los resortes estn estirados b) Realiza el DCL de la masa en una posicin arbitraria X, a partir de la posicin de equilibrio

Figura (a) Figura ( b)

Aplica, en la figura ( a) la ecuacin de equilibrio en la direccin vertical:

Aplica, en la figura ( b) la ecuacin de movimiento en la direccin vertical:

Relaciona ambas ecuaciones:

Ecuacin diferencial de movimiento

Frecuencia natural circular:

Periodo de vibracin

Frecuencia de vibracin

3.- Una barra de 0,8 m de longitud y 60 N de peso se mantiene en posicin vertical mediante dos muelles idnticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. Qu fuerza vertical P har que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeas oscilaciones.

Solucin:A.- Diagramas de cuerpo libre en la posicin esttica y dinmica

Aplicando la condicin de equilibrio, suma de momentos respecto al punto A, se tiene:

MA = = 0

Aplicando la ecuacin de movimiento de rotacin de la varilla :

MA = IA

Para ngulos pequeos , cos = 1 y sen =, la ecuacin queda:

Teniendo en cuenta que , K1 = K2 = K y IA = ml2/3

Ecuacin diferencial de movimiento:

La frecuencia circular ser :

P = 3,38 KN

3.- Dos barras uniformes cada una de masa m =12 kg y longitud L = 800 mm, estn soldadas formando el conjunto que se muestra. Sabiendo que la constante de cada resorte K = 500N/m y que el extremo A recibe un pequeo desplazamiento y luego se suelta, determine la frecuencia del movimiento subsiguiente

Solucin DCL de las barras en posicin de equilibrio

Ecuacin de equilibrio:

En la figura se muestra el DCL de las barras cuando se ha girado un ngulo respecto a la posicin de equilibrio

Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotacin al sistema:

Para ngulos pequeos , cos = 1 y sen =, la ecuacin queda:

Relacionando con la ecuacin de equilibrio:

Reordenando

El momento de inercia de las barras respecto al punto C :

Reemplazando datos:

Ec. Diferencial de movimiento:

4.- Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin deslizar por un plano inclinado 15. A su permetro est sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: El perodo de la vibracin,

Solucin

En la figura se muestra el DCL del cilindro en la posicin de equilibrio esttico. Aplicando las ecuaciones de equilibrio:

Relacionando ambas ecuaciones:

En la figura se muestra el DCL del cilindro para un desplazamiento instantneo XG a partir de la posicin de equilibrio

Aplicando la ec. de movimiento de traslacin

Ec. Mov. De rotacin

Relacionando las ecuaciones de equilibrio y movimiento :

Se tiene la ecuacin:

Utilice la geometra para encontrar las relaciones entre , Xe , XG

La ecuacin diferencial del movimiento :

5.- La constante de rigidez de un resorte es K = 800 N/m. Si se conecta a un bloque de 2 kg al resorte y luego es empujado 50 mm por encima de su posicin de equilibrio y se suelta del reposo, determine:a) la ecuacin diferencial del movimiento.b) la posicin del bloque cuando t = 1 s

6.- Una masa de 6 kg pende de un hilo que est arrollado a un cilindro de 10 kg y 300 mm de radio, como se muestra en la figura. Cuando el sistema est en equilibrio, el punto A se encuentra 200 mm directamente encima del eje, el cual est exento de rozamiento. Si se tira de la masa hacia abajo desplazndolo 50 mm y se suelta el sistema a partir del reposo, determinar: (a) La ecuacin diferencial que rige el movimiento vertical de la masa, (b) La frecuencia y la amplitud de la vibracin

7.- El bloque suspendido A pesa 10 lb. El radio de la polea es de 4 pulg. su momento de inercia es de 0,08 slug.pie2. La constante de rigidez del resorte K = 12 lb/pie. Para una vibracin del sistema alrededor de su equilibrio, determinar : a) ecuacin diferencial del movimiento. b) periodo y frecuencia de vibracin

8.- La rueda de 50 lb tiene un radio de giro respecto de su centro de masa de G de KG = 0,7 pie. Si se desplaza un poco de su posicin de equilibrio, determinar: a) Ecuacin diferencial del movimiento. b) el periodo y frecuencia de vibracin

7.- Un bloque de 30 lb esta soportado por el sistema de resortes que se muestra.Si desde su posicin de equilibrio sufre un desplazamiento vertical descendente de 1,75 in y se suelta .Determine: a) La ecuacin diferencial de movimientob) El periodo y frecuencia de vibracion

8.- Una barra uniforme AB de 8 kg esta articulada en A a un soporte fijo y sujeta mediante pasadoresB y C a un disco de 12 kg y radio 400 mm. El resorte sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra en la posicin representada. Si el punto B se mueve 25 mm hacia abajo y se sueltaDeterminar: a) La ecuacin diferencial de movimiento.b) el periodo y frecuencia de vibracion

7.- Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y 200 N de peso en la posicin de equilibrio esttico y soportada por un muelle de rigidez k =14 N/mm. La barra est conectada a un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c = 69 N.s/m. Determine: (a) La ecuacin diferencial para el movimiento angular de la barra, (b) el tipo de movimiento resultante, (c) el perodo y la frecuencia del movimiento.

SolucinA.- Diagramas de cuerpo libre:

a)Posicin de equilibrio b) Posicin de movimiento

Aplicando la condicin de equilibrio de rotacin en la figura (a) : MB = 0

Aplicando la ecuacin de movimiento de rotacin en la figura b) se tiene : MB = IB

Para ngulos pequeos , cos = 1 y sen =, la ecuacin queda:

De la figura b): X =

Reemplazando :

La ecuacin diferencial de movimiento:

Anlisis de la ecuacin diferencial:

Frecuencia amortiguada:

Un cilindro uniforme que pesa 35 N, rueda sin deslizar por una superficie horizontal como se muestra en la figura. El resorte y el amortiguador estn conectados a un pequeo pasador exento de friccin situado en el centro G del cilindro de 20 cm de dimetro. Determine:(a) La ecuacin diferencial del movimiento.