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VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES:Dos vectores u y v son perpendiculares si y solamente si u.v = 0 (escalar)Ejemplos:
1. dados u=⟨2 ,−2 ⟩ v= ⟨5,8 ⟩ y w=⟨−4 ,3 ⟩,encontrar:a. u.vb. (u.v).wc. ‖w‖2
Solución:a. u*v
u . v=(2∗5)+(−2∗8) u .v=(10)+(−16) u . v=−6
b. (u*v)*w
(u∗v )∗w=(−6 ) (−4,3 )=(24 ,−18)
c .‖w‖2
‖w‖=√(−4)2+(3)2 = 5
‖w‖2=25
1. Si u=⟨3 ,−1,2 ⟩ v= ⟨−4,0,2 ⟩w= ⟨1,−1 ,−2 , ⟩ y z=⟨ 2,0 ,−1 ⟩, hallar el ángulo entre cada uno de los siguientes pares de vectores:a¿u y v b¿u y wc¿ v y z
a) cos α=¿ u∗v‖u‖‖v‖
¿ ∴
b) cos α=¿¿¿¿
c) cos α=¿ −8
√14∗2√5=¿¿
d) cos α=¿ −8
2√70=¿¿
e) α=arccos (−0.4780 )f) α=118.5608°
Utilizando el mismo procedimiento obtenemos:
Ánguloentre : u yw=90 °
Ánguloentre : v y z=180 ° °
1. Dados u = i – 2j +k y v = 3i +j -2k, hallar cada uno de los siguientes productos: a ) uxv b) vxu c)vxv
u*v = i j k
= 1 -2 1 3 1 -2
= i
( (-2) · (-2) - 1 · 1 ) - j
( 1 · (-2) - 1 · 3 ) + k
( 1 · 1 - (-2) · 3 ) =
= i
( 4 - 1 ) - j
( (-2) - 3 ) + k
( 1 - (-6) ) =
= {3 ; 5 ; 7 }
v*u =
i j k = 3 1 -2
1 -2 1
= i
( 1 · 1 - (-2) · (-2) ) - j
( 3 · 1 - (-2) · 1 ) + k
( 3 · (-2) - 1 · 1 ) =
= i
( 1 - 4 ) - j
( 3 - (-2) ) + k
( (-6) - 1 ) =
= { -3 ; -5 ; -7 }
v*v =
i j k = 3 1 -2
3 1 -2
= i
( 1 · (-2) - (-2) · 1 ) - j
( 3 · (-2) - (-2) · 3 ) + k
( 3 · 1 - 1 · 3 ) =
= i
( (-2) - (-2) ) - j
( (-6) - (-6) ) + k
( 3 - 3 ) =
= {0 ; 0 ; 0 }
1. Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a u= i -4j +k como a v = 2i+ 3j
u*v =
i j k = 1 -4 1
2 3 0
= i
( (-4) · 0 - 1 · 3 ) - j
( 1 · 0 - 1 · 2 ) + k
( 1 · 3 - (-4) · 2 ) =
= i
( 0 - 3 ) - j
( 0 - 2 ) + k
( 3 - (-8) ) =
= { -3 ; 2 ; 11 }
1. Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje en el punto P, calcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando α= 60. (el momento M de una fuerza respecto a un punto p está dado por M =P⃗Q X F. La magnitud M mide la tendencia del vector P⃗Q al girar, en sentido contrario al de las manecillas del reloj respecto a un eje en dirección del vector M)
El momento de esta fuerza esta dada po:M=Flsinθ
Por lo tanto: M= 50*1sin(60)= 43.3012