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UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, DE LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

RELACIONES LÓGICAS-ORDINALES ENTRE LOS TÉRMINOS DE LA SECUENCIA NUMÉRICA EN NIÑOS

DE 3 A 6 AÑOS

TESIS DOCTORAL

Catalina Fernández Escalona

Dirección: Dr. Alfonso Ortiz Comas

MÁLAGA, 2001

DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, DIDÁCTICA DE LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

RELACIONES LÓGICAS-ORDINALES ENTRE LOS TÉRMINOS DE LA SECUENCIA NUMÉRICA EN NIÑOS DE 3 A 6 AÑOS

Catalina Fernández Escalona

MÁLAGA, 2001

Alfonso Ortiz Comas, doctor en Ciencias Matemáticas, profesor titular adscrito al Área de Conocimiento de Didáctica de la Matemática y perteneciente al Departamento de Didáctica de la Matemática, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales de la Universidad de Málaga, como director de la tesis doctoral presentado por la licenciada Catalina Fernández Escalona, “Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años” Hago constar que dicho trabajo aborda, plantea y constata un problema de investigación con una calidad de un máximo nivel y rigor científicos, tanto en sus planteamientos e hipótesis como en la metodología. Llena un espacio dentro de las investigaciones a nivel internacional en el campo de la Educación Matemática. Es un trabajo original tanto desde el punto de vista de su enfoque como de su tratamiento metodológico, que presenta nuevas perspectivas de trabajo en la Línea de Investigación “Pensamiento Numérico y Algebraico”. Autorizo que se realicen los trámites para su presentación ante los organismos competentes de la Universidad de Málaga

Fdo. Dr. Don Alfonso Ortiz Comas Director de la Tesis Doctoral

Málaga 8 de Noviembre de 2001

A mi marido Pedro y a mis hijos Pedro, Nono y Nuria.

Mi más sincero agradecimiento al director de esta tesis, Dr. D. Alfonso Ortiz Comas, por su hacer científico, que ha hecho que este trabajo llegue a ser una realidad. Agradecer al doctor D. José Luis González Mari sus valiosas aportaciones que han sido de gran ayuda. A los compañeros del grupo Pensamiento Numérico que han seguido y apoyado mi trabajo. A los miembros del grupo de Investigación de Educación Infantil, por conseguir que me ilusione en el proyecto de Didáctica de la Matemática con niños de 3 a 6 años. A los compañeros del Área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Málaga, por los ánimos recibidos. A los maestros y directores, de los cinco centros en los que he realizado las pruebas, por ofrecerme toda clase de facilidades para realizar el estudio empírico. Por último a los niños de Educación Infantil que intervienen en las entrevistas y a quienes dedico los resultados de esta investigación.

ÍNDICE CAPITULO I. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 19

1.Introducción 19

2. Marco matemático-conceptual 21

2.1. Secuencia numérica 22 2.2. Relaciones lógicas ordinales 23

3. Antecedentes 25

3.1. Trabajos e investigaciones previas 26

4. El problema de investigación 35

4.1. Origen del problema 36

5. Supuestos sobre el aprendizaje de las matemáticas en esta investigación. 37

5.1. Supuestos generales 37 5. 2. Supuestos de partida 38

6. Objetivos de la investigación 38

7. Hipótesis. 39

CAPITULO II. MARCO METODOLÓGICO 43

1. Introducción 43

2. Racionalidad del estudio 44

3. Metodología 45

3.1.- Procedimientos y técnicas metodológicas 46 3.2. Tipos de estudio 48 3.3. Tratamiento de los datos empíricos 49

4. Articulación de las hipótesis en el proceso metodológico 50

5. Desarrollo cronológico de la investigación 52

6. Fuentes de información y documentación 55

7. Modalidad de la investigación 58

8. Criterios de bondad 58

CAPITULO III. ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL CONOCIMIENTO LÓGICO

ORDINAL DE LA SECUENCIA NUMÉRICA 61

1.Introducción 61

2. Propósito del Análisis Didáctico y procedimiento seguido 62

3. Secuencia numérica como componente del número natural 64

3.1. Interpretación convencionalista del número natural 65 3.2. Logicismo aritmético y la secuencia numérica. 67 3.3. Secuencia numérica desde los planteamientos de la epistemología

genética 70

4. Secuencia numérica en el curriculum de Educación Matemática 73

4.2. Freudenthal: Números para contar 75 4.3. Dienes: Didáctica basada en el aspecto cardinal 77

5. Secuencia numérica como componente del conteo 79

5.1. Acción de contar: Conceptualización de la Secuencia Numérica 80 5.2.Carácter funcional de la secuencia numérica en un contexto ordinal 84

6. Secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano 88

7. Consecuencias del análisis didáctico 94

7.1. Reflexión general 94

7.2. Síntesis de conclusiones 97 CAPITULO IV. ESTUDIO EXPLORATORIO CUALITATIVO 101

1. Introducción 101

2. Propósito del estudio exploratorio 103

3. Metodología 103

4. Elección y distribución de la muestra 106

5. Materiales 107

6. Actividades 107

6.1. Tarea 1 107

6.1.1. Objetivo 107 6.1.2. Desarrollo de la entrevista 108 6.1.3. Aspectos a considerar 108

6.2. Tarea 2 109

6.2.1. Objetivo 109 6.2.2. Desarrollo de la entrevista 109 6.2.3. Aspectos a considerar 109

6.3. Tarea 3 110

6.3.1.Objetivo 110 6.3.2. Desarrollo de la entrevista 110 6.3.3. Aspectos a considerar 111

7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información 111

8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista 111

9. Resultados y conclusiones de la tarea 1: Alternancia. 112

9.1. Codificación y Categorías de respuestas 112

9.2. Análisis de respuestas 114

9.2.1. Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas 116

9.3. Niveles en la tarea de Alternancia. AN 118 9.3.1. Caracterización de los niveles 121

9.4. Resumen y conclusiones generales 127

10. Resultados y conclusiones de la tarea 2: Contar. 127

10.1. Codificación y categorías de respuestas 127

10.2. Análisis de respuestas 129

10.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas 131

10.3. Niveles en la tarea de Contar. CN 132 10.3.1. Caracterización de los niveles 135

11. Estudio comparativo de los niveles de Alternancia y Conteo 139

12. Resultados y conclusiones de la tarea 3:

Secuencia Numérica / Alternancia 141

12.1 Codificación y caracterización de respuestas 142

12.2. Análisis de respuestas 143 12.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas 145

12.3. Niveles en la tarea Secuencia Numérica / Alternancia. S/AN 148

12.3.1. Caracterización de los niveles 151

13. Estudio comparativo de las tres tareas 156

14. Conclusiones evolutivas del estudio exploratorio 158

CAPITULO V. MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES 161

1. Introducción 161

2. Modelo evolutivo del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica 162

3. Plan de trabajo 170 4. Viabilidad de una prueba asociada al modelo evolutivo 171

4.1. Tareas asociadas a los Estados del Modelo Evolutivo 172

CAPITULO VI. ESTUDIO EMPÍRICO CUALITATIVO 181

1. Introducción 181 2. Propósito del estudio 182 3. Metodología 183

4. Elección y distribución de la muestra 184

5. Materiales 186

6. Actividades 187

6.1. Tareas 187

6.2. Objetivo 188

6.3. Desarrollo de la entrevista 188

6.3.1. Presentación esquemática del desarrollo de la entrevista

para cada una de las tareas asociadas a los estados 189 6.3.2. Aspectos protocolarios en el desarrollo de la entrevista 201

6.4. Aspectos a considerar 202

7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información 202

8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista 203

9. Resultados y conclusiones de la prueba 204

9.1. Análisis de respuestas 204 9.2. Niveles asociados al modelo evolutivo teórico 221

10. Resultados y conclusiones 226

CAPITULO VII. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS FUTURAS 229

1. Introducción. 229

2. Objetivos e hipótesis de la investigación 229

3. Estudios realizados 231

4. Resultados y conclusiones de los diferentes estudios 233

4.1. Conclusiones del análisis didáctico 233 4.2.- Conclusiones del estudio empírico exploratorio 237 4.3.- Modelo evolutivo de competencias lógicas ordinales 238 4.4.- Conclusiones del estudio empírico cualitativo 239

5. Logros y hallazgos 241

6. Perspectivas futuras 244

7. Aplicabilidad de los resultados 245

REFERENCIAS 247

ANEXOS ANEXOS I. El Problema de Investigación 263

Anexo 1.1. Relaciones asimétricas biunívocas de Bolzano 263

Anexo 1.2. Relaciones asimétricas transitivas de Vivanti 264

Anexo 1.3. Las relaciones asimétricas biunívocas y las asimétricas transitivas son equivalentes 265

ANEXOS II. Marco Metodológico 269

Anexo 2.1. Palabras claves y número de registros encontrados en la base de dato ERIC 269

Anexo 2.2. Búsqueda en la base de dato CSIC, en Junio de 2001 270

ANEXOS III. Análisis Didáctico 273

Anexo 3.1. Definición de Dedekind de sistema singularmente infinito 273

Anexo 3.2. Diferencia entre procedimiento de conteo y emisión de numerales 273

Anexo 3.3. Niveles de dominio de la secuencia numérica de Fuson. 274

Anexo 3.4. Sistematización de la secuencia en un estudio transcultural 277

Anexo 3.5. Encadenamiento aditivo como componente de la seriación 277

Anexo 3.6. Cálculo del anterior y siguiente inmediato

con la seriación cíclica. 280

Anexo 3.7. Etapas para determinar el lugar que ocupa un término cualquiera en una serie 281

Anexo 3.8. Proceso de generación de las series numéricas

aditivas a partir de la secuencia de números naturales 282 ANEXOS IV. Estudio Exploratorio Cualitativo 285

Anexo 4.1. Trascripción de las entrevistas del estudio exploratorio 285

Anexo 4.2. Categorización de las respuestas de la entrevista de cada niño en la tarea 1: Alternancia 313

Anexo 4.3. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños

en la tarea 2: Contar 317

Anexo 4.4. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños en la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia 321

ANEXOS V. Modelo Evolutivo De Competencias Ordinales 327

Anexo 5.1. Sucesión de siguientes y encadenamiento aditivo 327 ANEXOS VI. Estudio Empírico Cualitativo 329

Anexo 6.1. Trascripción de las entrevistas del estudio empírico 329

6.1.1. Colegio Concertado Provincial Urbano R 331 6.1.2. Colegio Público Provincial Urbano M 354 6.1.3. Colegio Infantil de la Capital C 371 6.1.4. Colegio Público de la Capital, B. 393 6.1.5. Colegio Público (Media Línea) Rural, H 411

Anexo 6.2. Cuadros –fichas de las tareas en el desarrollo de la entrevista 428

CAPITULO I EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1. Introducción.

Investigar sobre número natural, secuencia numérica, número ordinal, relaciones ordinales, relaciones lógicas ordinales…, en el ámbito de la Didáctica de la Matemática, es trabajar en la línea de Pensamiento Numérico.

Pensamiento Numérico, así lo define Castro (1994; pág. 1), es una línea de estudio e investigación en Didáctica de la Matemática que se ocupa de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de conceptos numéricos en el sistema educativo y en el medio social. Estudia los diferentes procesos cognitivos y culturales con que los seres humanos asignan y comparten significados utilizando diferentes estructuras numéricas. En concreto la elaboración, codificación y comunicación de sistemas simbólicos, la organización, sistematización y desarrollo de diferentes actividades cognitivas que surgen y encuentran un modo de actuación en el marco de una estructura numérica.

Además tenemos que: "Esta línea de investigación considera como núcleo para su reflexión el campo de las matemáticas que comienza en la aritmética escolar y las nociones básicas del número, avanza por los sistemas numéricos superiores y continúa con el estudio sistemático de las relaciones numéricas". (Segovia, 1995; pág. 12).

Nuestro trabajo estará centrado en las nociones básicas del número, en un aspecto que revierte gran dificultad y que llega a ser de gran importancia para la construcción matemática y didáctica del número natural: es el aspecto ordinal. El aspecto ordinal del número natural, cuyo nivel de concreción se da en la secuencia numérica, es considerado por Freudenthal (1983) como la pieza fundamental

Capítulo I. El Problema de investigación 20

de las Matemáticas, desde un punto de vista tanto histórico como genético y sistemático, siendo estos los números que los niños pequeños entienden y usan, incluso, más allá, de lo que sus propias necesidades prácticas le exigen: "Sin la serie de los números no hay matemáticas" (Freudhental, 1983, p. 173). Pero la secuencia numérica y el número ordinal, lejos de lo que se pudiera pensar, conlleva una gran dificultad desde el punto de vista de su construcción lógica, ya que tiene implícito la noción de orden, y con respecto a ella, y desde el punto de vista siempre lógico, consideramos la siguiente reflexión de Bertrand Russell (1903):

“La noción de orden es más que cualquiera de las analizadas hasta el momento. Dos términos no pueden tener un orden, ni aún tres un orden cíclico. Debido a esta complejidad, el análisis lógico de la cuestión presenta dificultades considerables”. (Russell, 1903, § 188)

En este contexto de: secuencia numérica, número ordinal, dificultades considerables en la construcción lógica de las relaciones de orden, sin la serie de números no hay matemáticas y que la secuencia numérica son los únicos números que entienden y usan los niños pequeños, afrontamos nuestra investigación.

En ella, trataremos de dilucidar sobre la relación existente entre la interpretación y

construcción del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos ordinales del número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series. La secuencia numérica, independientemente de la naturaleza de sus términos, posee un soporte conceptual ordinal para su construcción. Tener en cuenta ese soporte conceptual ordinal nos lleva a su integración en un sistema conceptual e interpretativo coherente. Dicha coherencia pasa por las concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo que remite inmediatamente a consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y didáctico.

Llegados a este punto, es necesario seguir una metodología teórica de

investigación que sintetice todos los campos en cuestión, y que además posibilite la constrastación empírica. En el ámbito de la Educación Matemática el método seguido se denomina Análisis Didáctico:

"Denominamos Análisis Didáctico de un tópico o contenido especifico en Educación Matemática al procedimiento metodológico global que integra y relaciona, siguiendo un proceso secuenciado y de acuerdo con los criterios del meta-análisis cualitativo, informaciones relacionadas con el objeto de estudio y procedentes de fuentes diversas en torno a diferentes áreas de investigación en Educación Matemática" (González, 1995: pág. 59)

Empezamos el capítulo con el marco matemático conceptual, para seguir con los

antecedentes del trabajo realizado y se caracteriza formalmente el problema de investigación. Finalmente, se plantean los objetivos y las hipótesis de la investigación.


2. Marco matemático-conceptual Dedicamos este apartado a presentar los conceptos matemáticos que hemos considerado adecuados y hemos usado como marco de referencia para nuestro trabajo.

En primer lugar, definiremos la secuencia numérica como un tipo de serie que puede generarse a partir de relaciones lógicas ordinales. Estas definiciones están dadas a partir de la construcción que Bertrand Russell (1903) hace de las relaciones de orden, quien a su vez, se basa en las relaciones asimétricas biunívocas definidas por Bolzano (1851), que conlleva como concepto primario lo que él mismo denomina inmediato posterior al lado de e inmediato anterior al lado de.

Este método de construcción se da frente a otros como el dado por Vivanti (1985), se caracteriza porque se definen fácilmente los siguientes a un término y los anteriores, los cuales son considerados como conceptos primarios, para, que a partir de ellos, se puedan definir el siguiente inmediato y el anterior inmediato.

En consecuencia, en cuanto a los dos métodos de generación de la serie de los números naturales señalados, podemos puntualizar lo siguiente:

El primero relaciona cada término con uno y sólo uno de la misma

serie, por eso la relación es biunívoca El segundo pone en relación cada uno de los términos con todos los

demás, la relación es transitiva.

En cualquier construcción del número natural, tanto cardinal como ordinal, juega un papel muy importante la relación de orden definida en el sistema, se trata de una buena ordenación y un orden completo; y esto conlleva varias cosas: existencia de primer elemento, existencia de elementos consecutivos, y algo muy importante que se desprende del orden total y es que dos términos cualesquiera son comparables. Estas son razones por las que debemos hacer intervenir relaciones asimétricas consideradas como biunívocas para la existencia de "siguiente inmediato" y con ello los términos consecutivos, y también relaciones transitivas para tener garantizada las conexiones entre los términos y con ello el orden total.

A continuación, veremos cómo Bertrand Russell elige las relaciones asimétricas-biunívocas optando así, por las definiciones primarias de "siguiente inmediato" frente a las definiciones de "siguientes", para definir lo que es una "progresión", y, en nuestro caso, identificaremos este tipo de series con la "secuencia numérica"1. La figura 1 explica el contexto matemático en el que enmarcamos secuencia numérica en función de las relaciones ordinales. 1 Hemos optado por esta definición de secuencia numérica porque en las progresiones de B. Russell intervienen de forma explícita e implícita las relaciones lógicas ordinales.


Fig. 1 Contexto matemático ordinal de la secuencia numérica.

2.1. Secuencia numérica Entendemos por secuencia numérica lo siguiente:

"La secuencia numérica es una progresión dada por la relación generatriz de Bolzano, es decir, es una progresión en el sentido de Bertrand Russell"

Una progresión de Bertrand Russell es una serie discreta que tienen términos consecutivos, comienzo pero no fin, y que además es conexa. Una serie es conexa si dos términos cualesquiera de la misma presentan la relación generatriz. Concretamente, la definición completa es:

"Sea R cualquier relación asimétrica biunívoca, y u una clase tal que todo término de la misma tenga la relación R con algún otro que también pertenezca a la clase u. Exista otro término de la clase que no tenga relación Ř con término alguno de u. Sea s cualquier clase a la que pertenezca por lo menos uno de los términos de u que no tiene la relación Ř con término alguno de u, y a la que pertenece también todo término de u que tiene la relación Ř con algún término que pertenezca tanto a u como a s; y sea u tal que esté

Relaciones

Relaciones de orden

Relaciones ordinales

Relaciones asimétricas-biunívocas

Relaciones asimétricas-transitivas

Relaciones de

equivalencia

Número Natural

Progresiones

Secuencia numérica

Equipotencia de conjuntos

Número cardinal


contenido totalmente en toda clase s que reúna las condiciones anteriores. Entonces u, considerado en su orden de acuerdo a la relación R, es una progresión". (Russell, 1903, § 229)

Para Russell el concepto de progresión caracteriza a los números finitos

mediante propiedades ordinales, en virtud de las cuales, se puede llegar a una comprensión, de manera esencial, de los fundamentos de la Matemática. La importancia del orden, desde un punto de vista puramente matemático, ha aumentado enormemente con las teorías de Dedekind y Peano que han mostrado cómo basar toda la Matemática y el Análisis en series de un cierto tipo: las progresiones. En este sentido, tenemos, tal y como lo señala Bertrand Russell (1982), que:

"El sistema de Peano definido por los Axiomas es una progresión y por tanto determina la secuencia numérica"

Igualmente,

"El sitema singularmente infinito de Dedekind (cadena de su primer elemento) es también una progresión y por tanto determina la secuencia numérica"

"Un sistema singularmente infinito es el mismo que hemos llamado progresión" (Russell, 1982, p.290).

En resumen, tenemos que la secuencia numérica es una progresión de B. Russell, una serie determinada por los axiomas de Peano y, también, la podemos definir como el sistema singularmente infinito de Dedekind. En los Anexos I, (apartados Anexo 1.1, 1.2 y 1.3) podemos encontrar las definiciones de: relaciones asimétricas y biunívocas de Bolzano, y relaciones asimétricas y transitivas de Vivanti, así como la demostración de que ambas son equivalentes.

2.2. Relaciones lógicas ordinales

Definimos las relaciones ordinales como:

"Las relaciones generatrices de las progresiones de Bertrand Russell, la función sucesor de Peano, o la representación ordenatriz de Dedekind".

De la definición dada, y teniendo en cuenta Russell (1982), debemos puntualizar lo siguiente: 1. Todas las relaciones expresadas en la definición son equivalentes.

Russell identifica la definición que él mismo da de progresión con la definición de "sistema singularmente infinito" que Dedekind utiliza para definir los números naturales o mejor, como él los llama los números ordinales.


"Dedekind sugiere que los ordinales son los términos de relaciones tales como los que constituyen una progresión" (Russell, 1982, p.290).

Por otra parte, Russell identifica lo que él entiende por progresión con un sistema definido por los Axiomas de Peano:

"Un sistema constituído por una colección de términos y cumpliendo esos axiomas es lo que hemos llamado progresión" (Russell, 1982, p.282).

Por tanto, si los sistemas son los mismos en todos los casos, entonces las relaciones lógicas ordinales que intervienen son también equivalentes.

2 Todas ellas representan una relación asimétrica y biunívoca, que sería la

relación generadora de series de Bolzano. A partir de esta relación se puede obtener una relación asimétrica y transitiva y viceversa2.

Consecuentemente de los puntos 1 y 2, las relaciones lógicas-ordinales se concretizan en: Siguiente inmediato.

La relación generadora de series de Bolzano, define "el inmediato posterior al lado de", que nosotros llamaremos "siguiente inmediato". Por la relación recíproca tenemos la relación anterior inmediato.

Siguiente cualquiera ó siguiente.

Al poder pasar de la relación asimétrica -biunívoca de Bolzano a la relación asimétrica y transitiva de Vivanti, y viceversa, queda, así definido la relación de siguiente a través de la relación de siguiente inmediato, y viceversa. Análogamente, por la relación recíproca tenemos la relación anterior.

Entre.

La relación entre la consideraremos desde el punto de vista de las relaciones asimétricas y transitivas. Es la presentación de dos relaciones simultáneamente, una del elemento que consideramos entre con un elemento dado que es siguiente de él, y otra, de ese mismo elemento (el considerado entre) con otro elemento dado que es anterior a él (relación recíproca de la primera).

2 Véanse los Anexos I.


Entre inmediato.

Consideramos esta definición análoga a la anterior, con la particularidad de considerar la relación asimétrica biunívoca en lugar de la asimétrica transitiva.

Primer elemento.

Es un elemento muy importante y singular. Es considerado el elemento generatriz de la secuencia. Es el único que cumple que es anterior a todos y cada uno de los demás términos y no presenta la relación recíproca con ningún otro.

"El primer elemento puede definirse siempre de un modo no numérico". "Generalmente en cualquier serie es el único que tiene la relación constitutiva en un sentido" "Debe asignarse el primer término de una serie, como se hace en el punto de vista de Dedekind, considerando una progresión como una cadena de su primer elemento". (Russell, 1982, p. 292).

Primer y último elemento.

Hace referencia a la relación entre que todos y cada uno de los términos de la secuencia numérica mantiene con todos y cada uno de los términos restantes.

3. Antecedentes

Los antecedentes de este trabajo los buscamos en distintos campos teóricos, y así, tenemos: 1. Epistemología matemática. De las teorias de Dedekind y Peano sobre la construcción del número natural a través del numero ordinal y la refutación de Russell de que en ambas construcciones no hay definición explícita de los términos que componen el sistema, llegamos a plantear una definición lógica de la secuencia numérica fundamental en toda nuestra investigación. 2. Educación Matemática.

Teniendo en cuenta los estudios realizados por Ortiz (1997), en España se distinguen tres períodos en la transmisión de la aritmética del siglo XX: aritmetista, conjuntista y post-conjuntista. La acción de contar es resaltada en los períodos estudiados como fundamental en la construcción del número natural, siendo aún más patente en el período aritmetista (Ortiz Comas, 1997). En la tendencia actual, predomina el aspecto ordinal del número natural en un contexto epistemológico y escolar


totalmente aritmetista. En este contexto se ha estudiado el Razonamiento Inductivo Numérico cuyo origen ontogenético debe estar en la construcción individual de la secuencia numérica en su perspectiva ordinal.

En Educación Matemática encontramos autores que fundamentan la didáctica de la aritmética en la secuencia numérica: Guiu Casanova (1948), Pedro Avellanas (1960), Rey Pastor (1966) y Angulo, Alvarez (1960) (Enciclopedia). A esta lista se podrían añadir muchos otros autores todos ellos del período aritmetista.

Hacemos especial mención a Freudenthal (1983) en este apartado de antecedentes, ya que considera que la secuencia numérica es la pieza fundamental de las Matemáticas, y por tanto, entre las distintas concepciones del número atendiendo a su fenomenología, prima, especialmente y con gran relevancia "el número para contar"

Otro antecedente en este campo, es la investigación de Ortiz (1997) en la que se evidencia que los niños de Educación Infantil del período inductivo, frente al preinductivo, son aquellos que usan la secuencia numérica para anticipar un término en una serie. 3. Procesamiento de la información. Consideramos como antecedentes, fundamentales, en este campo: el trabajo longitudinal transversal de Fuson, Richards y Briars (1982) que comprende desde los 2 a los 8 años, para analizar la elaboración y adquisición de la secuencia de numerales. A este trabajo debemos unir otro de gran relevancia en la teoría moderna del conteo: los principios del conteo de Gelman y Gallistel. A estos trabajos unimos, entre otros, los de: Baroody (1986),, Wagner y Walters (1982), Saxe(1981), Song y Ginsburg (1988), Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian (1989), Riley, Greeno (1984), Fuson y Hall (1986), Gelman y Meck (1986), Clement y Callahan (1983), Sophian (1988). 4. Estructura operatoria Es el estudio de la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica. Los antecedentes, respecto a este punto, lo podemos encontrar en la obra de Piaget y sus colaboradores.

3.1. Trabajos e investigaciones previas. Atendiendo a las búsquedas bibliográficas realizadas (ver apa. 6 del capítulo II) con relación al tema de investigación, podemos señalar una serie de antecedentes de interés para nuestro trabajo, en cuanto a que, todos ellos tratan temas numéricos de manera empírica con niños de corta edad.


Hemos tenido en cuenta, en la selección de los mismos, dos aspectos básicos:

tipos de investigaciones realizadas con relación a la secuencia numérica en Educación Infantil, su naturaleza e interpretación, y los instrumentos de observación y experimentación utilizados.

Queremos destacar que no hemos encontrado ningún estudio previo sistemático sobre el tópico elegido, al menos no con el aparato metodológico y conceptual que hemos desarrollado.

Sí hemos encontrado algunas investigaciones cualitativas, que usan entrevistas ó

cuestionarios pasado de una manera individual a niños de Educación Infantil y primeros años de Primaria, relativos al estudio del conteo y relaciones lógicas. Por su cercanía a alguna fase de nuestro estudio hemos hecho una descripción resumida de ellos.

A continuación realizamos un resumen de manera sistematizada de la siguiente

forma:

Autor/Año

Muestra, nº de niños y edad

Procedimiento seguido en las entrevistas

Conceptos que se trabajan en la investigación

Tabla 1. Esquema del procedimiento seguido en la presentación de las investigaciones cualitativas estudiadas.

PIAGET, J.; SZEMINSKA, A. (1964)

Muestra3: Niños de 4 años a 7 años y 11 meses Procedimiento. Se presenta una colección de objetos que pueden ser ordenados por

tamaño. Se señala un objeto determinado indicando su posición ordinal, el niño tiene que averiguar el cardinal del conjunto de elementos anteriores a ese dado.

Conceptos. Relacionar el aspecto cardinal y ordinal: al llegar al séptimo objeto de

una serie, la colección previamente contada es de tamaño seis, y la colección que habrá sido contada después es de tamaño siete.

SCHAEFFER, B., EGGLESTON, V.H. y SCOTT, J.L. (1974).

Muestra: 65 niños, de 2 años a 5 años y once meses.

3 En Piaget, Szeminska, (1964) no hemos encontrado explícitamente en ninguna de las pruebas tratadas el número de niños.


Procedimiento: Meter en una copa un cierto número de caramelos, contar un grupo de hombres (entre 1 y 5, y de 1 a 10). Contar una colección de objetos, coger una colección con un número cardinal dado, elegir el mayor de dos números al preguntarle “cuántos caramelos prefieres tener”.(Referencia a colecciones particulares de objetos)

Conceptos Recitado de la secuencia numérica, regla de cardinalidad y tamaño relativo

de los números4. GELMAN, R. y GALLISTEL, C.R. (1978).

Muestra. 25 niños de 2 años Procedimiento. Experimentos mágicos: situaciones de cuantificación relativa, se

efectúan transformaciones cuantitativas en las muestras, y se emplean conjuntos muy pequeños ( 2 y 3, 3 y 5).

Conceptos. Principio de correspondencia uno a uno y principio de orden estable (con un

tramo de secuencia del 1 al 3). SHANNON, L.(1978).

Muestra. 50 niños de 3 a 6 años. Procedimiento. Se solicita a los niños que cuenten muestras con 4, 7, 10 y 14 items

distribuidos en columnas o en hileras ( la muestra de 4 elementos fue desechada por la nula dificultad que representaba para todos los sujetos)

Conceptos. Los niños pequeños emplean estrategias espaciales en el conteo: estrategia

proximal, estrategia periférica, estrategia lineal. BRAINERD, C. J. (1979).

Muestra. 180 niños: 90 de 5 años y 9 meses, y 90 de 6 años y 8 meses. Procedimiento: El investigador presenta al niño un tablero rectangular con dos ramitas

rojas pegadas, siendo éstas de diferente longitud. Presenta una tercera ramita amarilla que el niño puede mover y con una longitud comprendida entre las dos anteriores. El niño debe comparar la ramita amarilla con la más corta y a continuación con la más larga de las rojas que permanecen pegadas. A continuación debe comparar las dos rojas.

Concepto. La relación asimétrica “más larga que” es también transitiva. SAXE, G. (1979).

4 Así es como los autores llaman a los conceptos trabajados en sus pruebas.


Muestra. 66 niños de 3 a 6 años Procedimiento. Contar colecciones con distintas listas de nombres Conceptos. Los niños son capaces de diferenciar los números de cualquier otra lista

ordenada de elementos usada para el conteo. WAGNER, S. y WALTERS, J.A. (1982).

Muestra. 64 niños de 1 año a 4 años y 4 meses. Procedimiento. Reconocimiento de la completitud numérica de un conjunto al

compararlo con un modelo. Pedir un número determinado de elementos. Conceptos. Evaluación de la magnitud. Diferenciación de magnitudes.

Correspondencias. Principio de cardinalidad. WAGNER, S. y WALTERS, J.A. (1982).

Muestra. 56 niños de 3 a 5 años y 11 meses Procedimiento. Los niños cuentan un conjunto dispuesto en hilera con menos elementos

de los que cuenta en su recitado de la secuencia previamente evaluado; y recíprocamente, se les pone a contar conjuntos con un gran número de elementos (muchos más de los que dispone la secuencia numérica conocida por ellos).

Conceptos: Patrones de correspondencia (uno-a –uno obsesivo, muchos-a-uno)

evolutivamente anteriores a la correspondencia uno a uno, siendo, éste, sensible al tamaño de los conjuntos de partida (la secuencia de numerales conocida por los niños).

GINSBURG, H. (1982).

Muestra. 49 niños de 2 años y 8 meses a 5 años y 3 meses. Procedimiento. Los niños recitan la secuencia numérica y a continuación han de contar

un conjunto con un número inferior de elementos que la secuencia recitada. Conceptos. Diferencia entre el conteo abstracto y conteo, ya que la habilidad para decir

los numerales no garantiza su aplicación correcta. BRAINERD, C.J. (1983).

Muestra. 50 niños de 4 y 5 años.


Procedimiento. A cada niño se le presenta 5 problemas, se trata de 12 experimentos. La metodología general para todos ellos es: Un recipiente contiene números de plásticos y fichas con dibujos de animales familiares. Los animales y los números están relacionados. Los niños tienen que predecir los animales correspondientes según los datos del investigador, p. Ej. Si saco una foto del 75 ¿será una tortuga o un conejo?

Concepto. Análisis de memorización de término numéricos. GELMAN, R. y MECK, E. (1983).

Muestra. 24 niños de 3 y 5 años Procedimiento Los niños juzgan la ejecución de una marioneta que efectúa diferentes

conteos de una misma colección colocada en hilera Concepto. Principio de correspondencia uno a uno RUSSAC, R.J. (1983).

Muestra. 34 niños de 2 a 4años Procedimiento Contar distintas hileras de distinta densidad y tamaño Conceptos. Numerosidad relativa. Los niños son capaces de discriminar pequeñas

colecciones de objetos (2 a 4 objetos), fundándose en el número de elementos e independientemente de la longitud y densidad de las hileras.

WILKINSON A. C. (1984).

Muestra 36 niños de 4 y 5 años Procedimiento. Incluye varias tareas: a) recitar, en la que el experimentador señala los

objetos y el niño se limita a etiquetarlos parando cuando se deja de señalar; b) conteo fácil, en la que se trata de ir contando los elementos (que son de diferente formas y colores) de una muestra lineal, al mismo tiempo que se los señala; c) contar difícil en la que se cuentan los elementos de una muestra semicircular con elementos idénticos.; y d) tarea de señalar difícil en la que hay que señalar uno por uno elementos que son idénticos de una muestra circular, pero sin tener que etiquetarlos al mismo tiempo.

Conceptos. Análisis de algunas componentes del conteo: partición, etiquetación y

detención simultánea de los procesos de etiquetación y de partición. 5 Con el 7 ha denominado uno de los grupos de animales. Las distintas clases están todas ellas denominadas por números.


STRAUSS, M.S. y CURTIS, L.E. (1984). Muestra. 25 niños desde un año y medio a 3 años. Procedimiento. Se presentan distintas colecciones de objetos con diferentes

disposiciones espaciales, el niño tiene que detectar donde hay más. Concepto. Numerosidad relativa, es decir la relación ordinal existente entre dos

conjuntos diferentes; detectar la relación más que y menos que. LIDDLE, I. y WILKINSON, J.E. (1987)

Muestra Niños de 6 años Procedimiento. Estudio longitudinal realizado durante 3 años con niños de 6 años Conceptos. Se confirman los resultados piagetianos cuando los conjuntos son

pequeños (menores que 5); mientras que con conjuntos grandes aparece en primer lugar el orden, después el número, para terminar como adquisición tardía con la clasificación

SAXE, G; GUBERMAN, S.; GEARHART, M. (1987).

Muestra. 72 niños de 2 años y 4 años Procedimiento. Tarea de “conteo complejo”. Conjuntos con 13 elementos (cuando solo

contenían 5 no observaba variabilidad alguna en las estrategias de los niños. Disposición de los elementos en varias hileras.

Conceptos. Estrategias empleadas por los niños de 2 y 4 años cuando cuentan una

muestra con una configuración espacial dada. SERRANO, J.M.; DENIA A.M. (1987).

Muestra: 74 niños: 20 de 1º de E.G.B., 19 de 2º, 15 de 3º y 20 de 4º. Procedimiento: Es una adaptación de una tarea de Steffe, Spikes y Hirstein (1976).

¿Cuántos puntos hay entre las dos tarjetas juntas?, esta es la pregunta que se le hace al niño después de presentarle dos tarjetas de puntos con sus correspondientes números cardinales.

Conceptos. Análisis de las estrategias de conteo (conteo total versus conteo parcial) en

la adición y sustracción. FUSON, K. (1988).


Muestra 86 niños de 3,6 años a 6,0. Procedimiento Se presenta una fila con 4 ó 5 bloques, el experimentador pregunta

¿cuántos bloques hay?; añade sistemáticamente uno ó dos bloques preguntando de nuevo ¿cuántos hay?, así hasta alcanzar 33 ó 34 bloques en la fila.

Conceptos. La correspondencia uno a uno es posible gracias a los “actos de indicación”

(término genérico para referirse a los señalamientos), que establecen correspondencias témporo-espaciales al vincular cada uno de los numerales emitidos con uno de los objetos. Errores en el principio de correspondencia uno a uno.

MURRAY, P.; MAYER, R. (1988).

. Muestra. 28 niños de 3 años y 28 de 4. Procedimiento. El niño debe ir contando en voz alta las uvas que el experimentador saca

una por una de una bolsa de papel. A continuación debe comparar estos números: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 3-6, 5-6, 5-7, 5-8, 6-7, 6-8, 6-9, 7-8, 7-9 y 8-9, cuando se ponen en platos respectivos, que contiene cada uno de ellos un animalito, tantas uvas como indica el par de números considerado, entonces el experimentador pregunta: “¿Quién tiene más?, ¿Tiene más el que tiene x ó el que tiene y?”

Conceptos. La capacidad para emitir la secuencia de numerales hasta un punto concreto

de la misma no representa un índice de su capacidad para responder correctamente a las preguntas de las tareas de comparación de magnitudes.

BERMEJO, V.; LAGO, M. O. (1991).

Muestra: 72 niños distribuidos en tres grupos de 24: de 4,10 por media, 5,10 y 7,3. Procedimiento: Entrevistas individuales. Se presentan: 1) dos hileras con igual número

de círculos, una roja y otra negra, sobre una lámina de acetato, se pide: “Hay alguna ficha roja que no tenga su ficha negra”, cuenta la hilera de círculos rojos, ¿cuántos hay?, ¿cuántas fichas negras hay?. 2) Dos hilera con distinto número de círculos, se pide: Cuenta la hilera de menor tamaño, ¿cuántos hay?, igual para la otra. A continuación se pide al niño que haga “una fila que tenga más caramelos que ésta y menos que ésta”. 3) Se pide al niño que construya una hilera con x elementos más que el modelo (7, 6 y 5 caramelos para los conjuntos de 7, 8 y 9 círculos respectivamente).

Concepto. Valor funcional del conteo: su comprensión en distintas relaciones

numéricas. LAGOS, M.O. (1992).


Muestra. 72 niños distribuidos en tres grupos de 24: de 3,11 por media, 4, 7 y 5,4. Procedimiento. Entrevistas individuales. Se solicita al niño que cuente conjuntos de

objetos y responda a la pregunta de cardinalidad (¿cuántos hay?); el niño enseña a una marioneta como se cuenta; finalmente la marioneta cuenta cometiendo errores y el niño ha de detectarlos. Dos tipos de distribución: en hilera y desordenados. Conjuntos de 26 elementos, y conjuntos pequeños (6, 7 y 9 elementos).

Conceptos. Competencia conceptual ( en cuento al proceso de adquisición y elaboración

del conteo según el modelo procesual de Gelman y Gallistel) que subyace a las ejecuciones de conteo en niños de diferentes edades en distintas situaciones experimentales.

BRAINERD, C. J.; GORDON, L. L.(1994).

Muestra. 48 niños de una media de edad de 8 años y dos meses, y 48 niños de una

media de edad de 5 años y 4 meses Procedimiento. 20 minutos por niño. Se presenta, respectivamente: 3 perros, 5 ovejas, 7

pollos, 9 caballos, 11 vacas. Después se hace una presentación al azar. Verbalización numérica: ¿Cuántas vacas hay: 11 ó 9?. Comparación de conjuntos: ¿Qué animales tiene más caballos o vacas?, ¿hay más caballos que vacas?.

Conceptos. Los niños recuerdan motivos numéricos por un proceso memorístico de

verbalización. Desarrollo del orden de la secuencia numérica verbal y la memoria como motivo principal en las relaciones numéricas

WYNN, K. (1995).

Muestra. 36 niños de 2 años y medio a 4 Procedimiento. Se trata de las tareas “dar un número” (Give-a-number). Se presentan 6

animalitos de juguete a pilas y se le pide al niño que coja un número determinado (por ejemplo 5).

Conceptos. Capacidades numéricas de los niños (subitización. Diferenciar tres de 4),

comparción perceptiva de colecciones, contar para comparar. Mecanismos acumuladores de representación numérica. El número como representación cultural y lingüística del conteo.

SOPHIAN, C. (1995).

Muestra 22 niños de 3 años ( media 3,9), 20 de 5 años (Media 5,1) y 15 niños 6 años (M, 6,5)


Procedimiento. Son tareas individuales. Se presentan 8 problemas de conservación de una transformación en la que sobre un elástico se ha colocado 5 pinks (conjuntos cortos) u 11 –13 pinks (conjuntos largos), la elasticidad hace variar la separación entre los objetos. También se presentan problemas de sustitución (reemplazar 11 pink por 11 botones ó 11 pink por 13 botones), presentar dos conjuntos en hilera y preguntar donde hay más.

Conceptos Relación existente entre la capacidad de contar y la conservación del

número, existe una correlación entre el desarrollo de las dos capacidades. WELKO, T.; JOHANNES, T. (1996).

Muestra. 310 niños, de 4.2 a 8,5. Años Procedimiento. Seriar 6 tubos (igual con 10) con una diferencia de 5 cms cada uno, seriar 6 rectángulos de tamaños diferentes (igual con10), seriar rectángulos enumerados (primero con 6 unidades y después con 10). Las tareas de comprensión de la secuencia numérica iban encaminadas a la descripción verbal de dos cuestiones: a) ¿cuáles son los números anteriores a un número particular dado? (i.e. 3, 7, 10, 14, 26, 38, y 59 respectivamente); b) ¿qué números preceden a un número particular dado? (i.e. 7, 15, 25 y 43 respectivamente); c) ¿qué números son más grandes o más pequeños? (i.e. 9 ó 8, 7 ó 12, 21 ó 18, 43 ó 39 respectivamente) Conceptos. La seriación de objetos por atributos es esencial para la habilidad de contar. (para la comprensión de las habilidades numéricas). Existe una correlación entre el éxito en las tareas de seriación y la comprensión de la secuencia numérica. HARTNETTT, P.; GELMAN, R. (1998).

Muestra. 52 niños de 5 años. 27 de 6 años y 31 de 7 años Procedimiento. El experimentador deja que el niño recite la secuencia numérica hasta 125. Después selecciona un número N (puede ser cualquiera, incluso mayor que 1000) y pregunta por el siguiente de ese número, dando a elegir entre N-2, N-1, N, N+1 y N+2. Otra de las tareas consiste en recitar tramos de la secuencia: de 85 a 103, de 100 a 112, de 140 a 158, de 180 a 197, de 210 a 223, de 990 a 999. Concepto. Principio de sucesión (Sucesor Principle): cualquier número natural tiene un sucesor.

Podemos observar que los estudiosos del procedimiento de conteo no tienen en cuenta las definiciones lógicas subyacentes al concepto de número natural, centrándose prioritariamente en la explicación de las ejecuciones de los niños en la tareas de conteo.

Los datos y conclusiones a las que llegamos en el presente trabajo no son contrastables con los procedentes de estas investigaciones, ya que estos trabajos se ocupan, fundamentalmente, del procedimiento de conteo mientras que nuestro objeto de


estudio es, precisamente, las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando el conteo como instrumento secuencial que manifiesta dichas relaciones.

4. El problema de investigación Nuestro trabajo está centrado en el segundo ciclo de Educación Infantil, el cual abarca las edades 3, 4 y 5 años. Nos interesa el conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en su proceso de construcción; y son, esas edades, las que comprenden el período escolar en el que los niños inician el estudio del número natural en cuanto a los aspectos ordinal y cardinal, así como la realización de tareas mediante la acción de contar. Con una muestra de niños que abarque los tres niveles de Educación Infantil considerados anteriormente, y, a través de un estudio transversal, pretendemos construir y validar un modelo que explique, describa y justifique el desarrollo del conocimiento de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.

Nos proponemos probar que las diferentes estrategias lógicas ordinales que permiten establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia se pueden organizar en un modelo de desarrollo para explicar la evolución del conocimiento lógico ordinal de la misma.

Como consecuencia de la realización de los estudios y reflexiones anteriores, así como del análisis didáctico que trataremos en el Capítulo III de este Informe, centraremos el estudio con definiciones previas que vimos en los apartados 2.1 y 2.2 de este capítulo. Situándonos en la posición de Peano y Dedekind frente a la postura de Bertrand Russell respecto a la definición de los términos de una progresión, podemos centrar nuestro problema de investigación como sigue:

El problema de investigación está enmarcado en el estudio de la naturaleza del conocimiento de la secuencia numérica en los niños de 3 a 6 años, que posibilita el descubrimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Consideramos que hay dos puntos a tratar: 1. Naturaleza del conocimiento de la secuencia numérica en los niños. 2. Evolución de la comprensión de las relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia.

Situándonos en la parte lógica del estudio, nos interesamos por cómo evolucionan las relaciones ordinales implícitas en la secuencia numérica en los niños, teniendo en cuenta que esas relaciones ordinales están tratadas desde el


punto de vista lógico, y por tanto son relaciones generatrices de la secuencia numérica, es decir, son relaciones en el sentido de Bolzano y la secuencia numérica es una progresión en el sentido de Bertrand Russell.

Teniendo en cuenta este segundo punto como aspecto relevante en la Investigación, podemos definir nuestro problema como sigue:

Un estudio que pretende explicar y describir el desarrollo de las relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.

4.1. Origen del problema. El origen del problema de investigación lo podemos situar en la construcción escolar, familiar y social de las nociones de secuencia numérica y en la propia acción de contar. Es evidente, que el niño tiene mucha información numérica antes de empezar la Educación Primaria, ha realizado experiencia con números, ha elaborado una primera información y debe estructurarla (Fernández, 1998). Estamos de acuerdo con Castro y otros cuando afirman que es obligación para el aprendizaje de la Aritmética

La integración de todas las experiencias e informaciones numéricas significativas que aporten los niños, ayudándoles a organizar su conocimiento en estructuras de ideas relacionadas. (Castro y otros 1987, p. 98)

En cuanto las experiencias de los niños con la secuencia numérica observamos lo

siguiente:

Están íntimamente relacionadas con la acción de contar No se tienen en cuenta el tipo de relaciones que los niños utilizan para hacer

secuenciar a los números

La secuencia numérica se transmite mediante reiteración desarrollando en los niños unos hábitos ordinales no justificados

Para llegar a los conceptos y operaciones numéricas es usual utilizar el

recuento como procedimiento. Teniendo en cuenta que, en el curriculum escolar, la secuencia numérica básica predomina como procedimiento largo tiempo en toda la aritmética elemental así como en la resolución de tareas de razonamiento inductivo (Ortiz, 2001), gran parte de la Matemática Elemental está condicionada a su manejo y comprensión por los alumnos. Así, si el niño no ha asimilado, elaborado y construido el conocimiento ordinal de la misma, difícilmente podrá acomodar y asimilar en sus experiencias anteriores los saberes que se le intentan transmitir.


5. Supuestos sobre el aprendizaje de las matemáticas en esta investigación. Estas ideas están influenciadas, fundamentalmente, por: la teoría de las formas conceptuales de Stegmüler (1979); naturaleza y métodos de la epistemología genética, así como el desarrollo evolutivo, de Piaget (1979b); y algunas consideraciones en psicología cognitiva desde un paradigma mediacional (Mayer, 1985, 1986; Sternberg, 1990).

5.1. Supuestos generales Según Ortiz (1997), los supuestos generales son los siguientes:

• El desarrollo del curriculum ha de adaptarse a las posibilidades conceptuales, cognitivas, sociales y culturales de los alumnos.

• El niño presenta una mente en desarrollo: las relaciones que un niño pueda

establecer están condicionadas por su sistema conceptual y por la variedad de opciones que le posibilitan sus esquemas cognitivos.

• Los conceptos están determinados por los referentes que se utilizan en su

interpretación y, por tanto, depende de los sistemas conceptuales. • El conocimiento no siempre es acumulativo: el avance del conocimiento no

siempre consiste en acumular nuevos conceptos en un sistema conceptual determinado sino, principalmente, en la modificación y evolución del mismo.

• El conocimiento matemático se construye, no se aprende. En esta construcción

es tan importante la información recibida como los aportes del sujeto. Nuestra posición constructivista no es, por supuesto, radical ya que estamos dentro de un constructivismo psicológico ( Piaget, 1985; Piaget y Morf, 1970) y matemático (Poincaré, 1963; Polya, 1966)

• Lo que un alumno es capaz de construir en matemáticas está mediatizado por el

aprendizaje recibido. • Desde una perspectiva ética, todo planteamiento en Didáctica de la Matemática,

debe preservar la autonomía intelectual de los alumnos (Kamii, 1982); esto significa una adaptación a sus sistemas conceptuales, creencias socioculturales y cognición.

• Psicológicamente nuestros planteamientos están en un paradigma mediacional:

entre el estímulo y la respuesta hay procesos intermedios. • Las teorías y modelos sobre cómo pensamos y aprendemos están determinadas

por los instrumentos, conceptos científicos y por las intenciones que prevalecen en su construcción. Los cambios paradigmáticos provocan cambios científicos que modifican el enfoque, alcance y los logros de nuevas teorías.


• El aprendizaje de las matemáticas no escapa a las consideraciones anteriores.

Estos planteamientos están dentro de un constructivismo psicológico, matemático y didáctico, postulando que el aprendizaje en matemáticas está condicionado por:

a) Esquemas y estructuras mentales subyacentes al propio saber y que el conocimiento de su desarrollo debe ser útil para una mejor adaptación curricular de la matemática elemental en Educación Infantil.

b) Los conceptos que dispone un niño condiciona lo que puede aprender o construir

sobre los mismos. c) La enseñanza recibida determina la manera de entender y acceder al saber.

5. 2. Supuestos de partida. Un supuesto inicial de nuestro trabajo es:

Hay más de un factor a tener en cuenta en la construcción del conocimiento de la secuencia numérica.

Hemos planteado lo siguiente:

a) En la construcción del conocimiento de la secuencia numérica las relaciones lógicas ordinales juegan un papel relevante.

b) Dentro de un contexto sociocultural determinado, los relaciones lógicas

ordinales que el niño pueda establecer dependerán de al menos estas componentes básicas:

Sus capacidades y habilidades cognitivas

Los conceptos y procedimientos secuenciales o seriales que disponga,

así como la estructura operatoria de los mismos.

La noción de número natural que se le ha transmitido y su fundamentación epistemológica

Los contextos y situaciones en los que aplicar la acción de contar.

6. Objetivos de la investigación

Como ya hemos indicado, esta investigación está en la línea de Pensamiento numérico; en este sentido, las metas generales y particulares de la misma, se encuadran


dentro de sus objetivos. 1. Objetivo general. Planteamos el objetivo general de este estudio en los siguientes términos: "Analizar la naturaleza y evolución del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica en los escolares de Educación Infantil (3 a 6 años)" 2. Objetivos específicos El objetivo general anterior se concreta en los siguientes objetivos específicos: O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco

general del número natural. O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural

O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la secuencia

numérica en la acción de contar . O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la

secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6 años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

O6. Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en términos de

estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal 3. Objetivos complementarios. C1. Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación Infantil,

dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo nivel de concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".

C2. Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y contextualizar

investigaciones en Educación Matemática. C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de

investigaciones en las que se estudian conceptos lógicos-matemáticos en niños de Educación Infantil

7. Hipótesis. Las hipótesis se han formulado sobre la base de los siguientes puntos:


• Los objetivos de la investigación • El planteamiento del problema de investigación • El marco metodológico y los diseños empíricos que se expondrán en los

capítulos correspondientes • El análisis de la secuencia numérica en cuanto a: epistemología del número

natural, educación matemática con el número para contar, como componente del conteo, así como la estructura lógica de seriación subyacente a la misma.

• Los resultados del estudio exploratorio y del estudio empírico que veremos más adelante

• Nuestra experiencia y conocimientos en Didáctica de la Matemática. Con la primera queremos plantear la importancia de la Epistemología en Educación Matemática (Ortiz, 1997; González, 1995, Piaget, Apostel, y otros 1986), intentando mostrar que la secuencia numérica, y las relaciones lógicas ordinales como concepto primario generador de la misma, está en el origen del número natural y por consiguiente sustenta todo el edificio matemático. H1. Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas

ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática

Nuestra segunda hipótesis se refiere a la secuencia numérica y su repercusión en la enseñanza del número natural teniendo en cuenta que las distintas interpretaciones epistemológicas sobre la misma se han reflejado en la enseñanza del número en la escuela (Castro y otros, 1987; Ortiz y González, 2001).

H2. Existen líneas en Educación Matemática que priman el aspecto ordinal del

número natural frente a su aspecto cardinal.

Si consideramos la secuencia numérica y el desarrollo del número en el niño en el modelo piagetiano, es lícito plantear la viabilidad de la aplicación de la estructura lógica de seriación a la serie numérica natural (Fernández, 1998; Tomic y Kingma, 1996), en base a ello planteamos la siguiente hipótesis: H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de

Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.

Realizando un análisis funcional de la secuencia numérica6 podemos conjeturar

la siguiente hipótesis (Wilkinson 1984, Bermejo y Lago 1991): H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas

ordinales entre los términos de la secuencia numérica

Para el desarrollo de la fase experimental debemos buscar pruebas adecuadas para alumnos del segundo ciclo de Educación Infantil que conlleven distintos procedimientos inferenciales sobre las relaciones lógicas ordinales que, a su vez, sirvan como punto de partida para el razonamiento en el niño del aspecto ordinal, con

6 Ver apartado 5.2 del capítulo III de este mismo informe.


independencia del cardinal, en la secuencia numérica (Fernández, 1997 y 1998; Donaldson, 1979; Berthoud y Ackermann. 1986); con este propósito formulamos la quinta hipótesis. H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un

diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.

Si se confirman las hipótesis anteriores tendremos tareas exclusivamente

ordinales apropiadas a niños de 3 a 6 años; es entonces cuando nos proponemos organizar, de manera evolutiva7, los distintos procedimientos y estrategias que ellos utilizan en la resolución de las mismas, para lo que se contracto la siguiente hipótesis (Ortiz, 1997; Fernández, 2001): H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones

lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.

7 Teniendo en cuenta el análisis didáctico y estudio exploratorio de este mismo informe, así como las investigaciones previas en el marco Procesamiento de la Información, las diferentes estrategias, procedimientos y conceptos ordinales que los niños aplican tiene connotaciones cognitivas de carácter evolutivo.

CAPITULO II MARCO METODOLÓGICO

1. Introducción.

Con el trabajo de investigación que presentamos se pretende indagar en las capacidades, habilidades y estrategias cognitivas que manifiestan los niños de 3 a 6 años de edad, ante tareas que requieren del conocimiento lógico ordinal. Para ello, nos proponemos elaborar y contrastar empíricamente un modelo teórico que describa y explique la evolución de dicho tipo de conocimiento en el segundo ciclo de Educación Infantil.

La finalidad última es ampliar el conocimiento sobre desarrollo cognitivo en el campo numérico, disponer así de nuevos elementos que permitan resolver los problemas de la práctica escolar en dicho campo y mejorar la planificación y el desarrollo de los procesos de enseñanza-aprendizaje en matemáticas.

De acuerdo con la naturaleza de la investigación, el alcance de la misma y la

población escolar a la que nos dirigimos, ha sido necesario experimentar con estudios cualitativos en los que se usa la entrevista clínica semiestructurada como principal medio de recogida de información.

En este capítulo presentamos, en sucesivos apartados, el marco metodológico elegido, de acuerdo con la naturaleza y los objetivos de la investigación, la situación de las hipótesis en relación con el proceso de investigación, el plan de trabajo seguido a lo largo de los cinco años que se han empleado para culminar la tarea, las características científicas del trabajo y del método utilizado así como las principales fuentes de información y documentación consultadas.

Capítulo II. Marco Metodológico. 44

2. Racionalidad del estudio

Desde la perspectiva de la investigación en Didáctica de la Matemática, una finalidad básica en los estudios sobre desarrollo cognitivo consiste en describir el desarrollo de los conceptos matemáticos en los niños, así como explicar los procesos mediante los que estos conceptos se adquieren y aplican (Carpenter, 1980).

Para abordar este tipo de estudios se suelen emplear, básicamente, dos modelos

explicativos: el modelo orgánico u organicista, representado por Piaget y sus seguidores, y el modelo mecánico, que se considera como una extensión del conductismo (Bermejo y Lago 1994). Nuestro trabajo se sitúa en el primero de ellos, es decir, en el modelo organicista.

Para obtener datos empíricos útiles y fiables en un estudio de desarrollo cognitivo

de tres a seis años, hemos considerado importante trabajar con métodos cualitativos y la entrevista clínica individualizada como técnica adecuada de recogida de información (Claparède, 1976; Vinh-Bang, 1966; Inhelder, Sinclair y Bovet, 1974).

Por otra parte, disponemos de dos tipos de estudios para describir el desarrollo

cognitivo: longitudinales y transversales. Pensamos que, con carácter previo a un estudio longitudinal o de desarrollo cognitivo individual, es necesario disponer de unas pautas generales de desarrollo a contrastar posteriormente; es decir, de un conjunto de regularidades que pongan de manifiesto los aspectos básicos del comportamiento de grupos de sujetos de distintas edades. Con tal fin hemos decidido realizar un estudio transversal que ponga en evidencia las competencias lógicas ordinales de grupos de escolares de los tres cursos del segundo ciclo de Educación Infantil y que permita detectar, en el mismo instante y ante las mismas pruebas, la existencia de niveles de desarrollo diferenciados (sujeto epistémico).

Consideramos, igualmente, que los comportamientos de los sujetos tienen

connotaciones que manifiestan la naturaleza de las nociones aprendidas y el contexto didáctico, familiar y social1 en el que se han adquirido. En este sentido somos conscientes de la influencia de múltiples factores sobre la situación real del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica, entre los que se encuentran una influencia excesiva de tendencias empiristas sobre la acción de contar. Esta complejidad aconseja construir un marco teórico para establecer un modelo manejable y que permita interpretar y justificar racionalmente los resultados obtenidos.

De acuerdo con lo anterior y con el problema expuesto en el Capítulo 1, hemos de

decir que la investigación que presentamos: es:

De naturaleza organicista Explicada mediante un esquema global integrador de los diferentes

factores

Su objeto no son las estructuras sino los procesos de razonamiento, a los 1 Para la población escolar que nosotros estamos considerando y el concepto que trabajamos en la investigación tiene gran relevancia el contexto familiar y social


que nos aproximamos desde un enfoque transversal

El soporte del estudio, entrevistas clínicas individualizadas con un material concreto como base de la conversación entre investigadora y niño, y planteando situaciones ordinales que el niño tiene que resolver con instrumentos secuenciales diversos, no han formado parte de los contenidos curriculares desarrollados en los centros y cursos a los que pertenecen los sujetos que han participado en la investigación, lo cual no significa que dichos sujetos carezcan de experiencias al respecto, puesto que, como veremos, disponían de los elementos suficientes para entender y responder a las tareas propuestas.

Se trata, por tanto, de un estudio de carácter evolutivo, con enfoque transversal,

sobre competencias generales estrechamente vinculadas al conocimiento numérico. Al ser un trabajo en la línea de desarrollo cognitivo pretendemos estudiar:

Las variaciones con la edad de las competencias lógicas ordinales de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años

Los diferentes “niveles” que aparecen en relación con los cambios que se

producen en dichas competencias

Las características generales de dicha evolución Al mismo tiempo pretendemos obtener:

Regularidades o pautas que se pueden presentar en las actuaciones de los niños sobre el conocimiento lógico ordinal en la secuencia numérica

Una caracterización de los niveles mediante competencias y habilidades

ordinales

Los cambios que se producen en las competencias y habilidades de los sujetos en el paso de unos niveles a otros.

3. Metodología

Una vez planteado el problema es necesario encontrar un método adecuado para resolverlo. De acuerdo con Fernández Cano, A. (1995):

"Un método engloba a una diversidad de diseños" (Pág. 53). "El método no es un algoritmo, mecánico y ritualizado; por el contrario, implica un proceso consciente, falible y altamente personalizado" (Pág. 57).

En nuestro caso, hemos utilizado métodos teóricos y métodos empíricos

cualitativos de acuerdo con las necesidades concretas del trabajo en cada momento. En los subapartados que siguen exponemos de forma secuenciada y comentada las


diferentes técnicas y tipos de metodologías empleadas, los tipos de estudios realizados, el tratamiento de los datos empíricos y el esquema general de la investigación, remitiéndonos a los restantes capítulos de la tesis para una explicación más detallada de los diferentes aspectos abordados.

3.1.- Procedimientos y técnicas metodológicas

En un principio y con objeto de analizar los antecedentes para delimitar y definir el problema de investigación, así como la forma de abordarlo, hemos realizado un estudio pormenorizado de aquellos trabajos que han tocado en algún momento temas relacionados con el nuestro en cuanto a aspectos metodológicos y técnicos como en otros aspectos conceptuales numéricos en niños de Educación Infantil y primeros años de Primaria (ver el apartado de Antecedentes del capítulo I). Queremos destacar que no hemos encontrado ningún estudio previo sistemático sobre el tópico elegido, al menos no con el aparato metodológico y conceptual que hemos desarrollado.

En estos trabajos encontramos una justificación metodológica a la hora de proceder con estudios empíricos con niños de corta edad (3-6 años). Manifiestan que las entrevistas clínicas individualizadas, y sobre la base de un material concreto, son pruebas adecuadas para ese tipo de estudios, que han de ser, por tanto, cualitativos y con una muestra reducida de niños (Bliss, 1987; Blanco y Prieto 2000).

Para realizar un estudio transversal sobre desarrollo cognitivo vimos la necesidad

de disponer de un modelo teórico contrastable empíricamente. Para construir este modelo hemos retomado el Análisis Didáctico como método no empírico en Educación Matemática. De acuerdo con Fernández, A. (1985):

“Existen preguntas que no necesitan datos observables, pues su resolución conlleva reflexión y establecer relaciones entre conceptos, lo que hace que el análisis didáctico pueda ser facilitador de respuestas a dilemas eminentemente didácticos, previos a cualquier otro tipo de investigación” (Pág. 62).

Según González J.L. (1995, pág. 59), el análisis didáctico se basa en el meta-

análisis cualitativo en torno al tópico en estudio y su finalidad es la formulación de teorías que expliquen los fenómenos observados en diferentes investigaciones. La aplicación del Análisis Didáctico a nuestro problema de investigación se esquematiza en la figura 1; el desarrollo completo de ese estudio se expone en el capítulo III de esta Tesis Doctoral.


Figura 1. Esquema del análisis didáctico en el conocimiento lógico ordinal de la secuencia

numérica

Pero el modelo teórico no se ha construido únicamente a partir del análisis didáctico. Junto a los resultados del mismo, se ha realizado un estudio empírico exploratorio que se expone en el capítulo IV de esta memoria. Estos resultados, obtenidos mediante un procedimiento sistemático que también se explica en el mismo capítulo, han servido para orientar y determinar los estados evolutivos de los que consta el modelo.

La contrastación empírica del modelo se realizará mediante un estudio empírico

cualitativo. Para realizar dicho estudio será necesario la construcción de una prueba adaptada al modelo; por tanto tenemos que: determinar la prueba y seguidamente realizar un estudio empírico cualitativo en base a ella.

Para la preparación de dicha prueba es necesario determinar tareas de

Epistemología y lógica Modelos epistemológicos de

construcción de la secuencia numérica

Tópico: Relaciones ordinales en la secuencia numérica

Dudas: Cuestiones formales y prácticas

Proceso de búsqueda

Matemáticas: el producto y su construcción. La secuencia numérica como

componente del número natural

Psicología del aprendizaje Modelo de integración de

habilidades. Procesamiento de la información Modelo lógico

piagetiano.

Secuencia numérica en el currículum de Educación Matemática “Números para contar matemáticamente

suficiente frente al número para cardinar”

Modelo de desarrollo de las competencias lógicas ordinales en la secuencia numérica


competencias ordinales de acuerdo con los esquemas lógicos matemáticos que aparecen en cada uno de los estados del modelo teórico (Berthoud y Ackermann, 1986, Lagos, 1992, Ortiz, 1997). El conjunto de tareas que conforman la prueba se exponen en el capítulo V de esta memoria.

Con los datos recogidos mediante la aplicación de dicha prueba, se realiza el

estudio empírico cualitativo que se sitúa en un nivel interpretativo. Se emplean la entrevista clínica semiestructurada para la recogida de datos. Se pretende comprobar, con niños de 3 a 6 años, la utilidad y eficacia del modelo evolutivo de competencias ordinales en la secuencia numérica definido a partir del análisis didáctico y del estudio empírico exploratorio. Tanto el diseño como el análisis de los resultados de este estudio se exponen en el capítulo VI de este Informe.

En definitiva, hemos utilizado una metodología mixta que se puede resumir en el

siguiente proceso secuenciado:

a) Para definir el problema de investigación y argumentar la metodología seguida, hemos usado un procedimiento de búsqueda y análisis de trabajos que tienen relación con el tópico estudiado y con las edades de los niños que estamos considerando.

b) Para determinar un modelo de desarrollo de competencias lógico-ordinales en la

secuencia numérica con niños de 3 a 6 años, hemos utilizado una metodología no empírica, como es el Análisis Didáctico. Junto a ello, hemos realizado un estudio exploratorio cualitativo previo, que evidencie características evolutivas en los niños en cuanto al uso de instrumentos secuenciales, prenuméricos y numéricos, en la resolución de problemas ordinales; lo cuál será determinante para explicitar los estados que componen el modelo evolutivo que pretendemos.

c) Para la contrastación empírica del modelo teórico de desarrollo hemos seguido una

metodología empírica cualitativa.

3.2. Tipos de estudio

En una buena parte del desarrollo de la investigación, se han trabajado simultáneamente los aspectos teóricos y prácticos. Desde este punto de vista, a lo largo de todo el trabajo, se han realizado los tres tipos de estudios siguientes:

Estudios teóricos. Para estudiar y analizar la naturaleza del conocimiento de la secuencia numérica en los niños y consecuentemente establecer unos estados de comprensión, realizamos un estudio teórico en cada una de las siguientes fuentes:

Epistemología del Número Natural (Dedekind, R. (1963); Helmholtz,

(1945); Peano, J. (1894-1908); Russell, B. (1967); Piaget. J. (1985)) Didáctica del Número Natural (Freudenthal, H. (1983) y (1991);

Dienes, Z.P. (1970))


Procesamiento de la Información (Brainerd, C. J.y Gordon, L.

L.(1994), Fuson, K. (1988); Gelman, R. y Gallistel, C.R. (1978); Manzi,-A y Winters,-L (1996))

Seriación Operatoria. (Piaget, J.e Inhelder, B. (1976), Piaget, J.y

Szeminska, A. (1982)).

Estudios teórico-prácticos, con la finalidad de buscar los métodos e instrumentos

científicos de indagación y análisis de evidencia empírica más adecuados para observar en los niños los aspectos ordinales estudiados. A tal fin se han revisado los métodos e instrumentos utilizados en las investigaciones consultadas y, en general, en toda la bibliografía utilizada, centrándonos, básicamente, en Psicología y en Educación Matemática.

Estudios prácticos de campo, consistentes en distintas pruebas y actividades con

escolares y que han culminado con la construcción de un instrumento de observación empírica adecuado al problema de investigación. Dicha construcción se ha realizado paulatinamente sobre la base de los resultados de los distintos estudios reseñados en este apartado.

3.3. Tratamiento de los datos empíricos

En la fase empírica de la investigación los datos que se obtienen son de naturaleza cualitativa y, por consiguiente, están contenidos en expresiones verbales. El tratamiento será el siguiente:

1. Para agrupar las respuestas verbales del estudio exploratorio, nos hemos

basado en un proceso de codificación y clasificación de respuestas en cada una de las tres tareas presentadas, atendiendo a tres parámetros claros que se dan en cada una de ellas:

Construcción del instrumento secuencial, Uso del instrumento construido para localizar posiciones ordinales, Uso del instrumento para localizar posiciones lógicas ordinales2.

2. En el caso del estudio empírico cualitativo, hemos agrupados las

respuestas basándonos en el proceso de codificación y clasificación determinado por el procedimiento sistemático seguido en la presentación de la prueba; dicho proceso se presenta en el apartado 3.1. del capítulo V.

2 Entendemos por posiciones lógicas ordinales como aquellas posiciones ordinales que se determinan a partir de un dato.


4. Articulación de las hipótesis en el proceso metodológico

En el apartado anterior hemos expuesto un marco metodológico global. En este apartado vamos a especificar el proceso seguido para obtener las evidencias que justifican o confirman, en su caso, la bondad de cada una de las hipótesis.

H1. Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas

ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática.

El procedimiento seguido para la confirmación de esta hipótesis es totalmente reflexivo, a partir de información de tipo documental, y se lleva a cabo dentro del proceso de análisis didáctico. Los resultados y conclusiones del Capítulo III basados en el análisis epistemológico aportan evidencias que sostienen H1.

H2. Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto ordinal del número natural frente a su aspecto cardinal.

Se procede la misma manera que con la hipótesis anterior. La

confirmación de esta hipótesis se lleva a cabo dentro del proceso de análisis didáctico, concretamente, cuando se analiza la Fenomenología de Freudenthal y se aboga por el número para contar.

H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.

El procedimiento es reflexivo dentro del análisis didáctico en cuanto a los

análisis de: epistemología genética y la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica.

H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas

ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Para conseguir la bondad de esta hipótesis se procede mediante el análisis didáctico basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia numérica.

En lo que sigue comentamos el proceso para las hipótesis H5 y H6:

H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un


H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones



En el proceso de validación de las hipótesis H5 y H6 debemos distinguir dos

etapas desde el punto de vista metodológico: una primera de construcción del modelo y una segunda de valoración empírica del mismo.

Primera etapa, a partir de un primer estudio teórico, nos planteamos la

consecución de una investigación sobre desarrollo del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica. Para este fin era necesario tener unas pautas a contrastar empíricamente, por lo que hubo que realizar un estudio exploratorio para obtener información de las habilidades y estrategias utilizadas por los niños como indicadores de esas pautas.

De acuerdo con los resultados obtenidos se realiza un análisis didáctico (segundo estudio teórico) para obtener un marco referencial y explicativo en el que se construye y justifica el modelo de desarrollo del Conocimiento Lógico Ordinal.

Segunda etapa, se orienta hacia la evaluación empírica del modelo, mediante la

construcción de una serie de tareas asociadas a los distintos estados del modelo y a la propia evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.

Dentro del campo de la metodología educativa, el proceso seguido se aproxima a

lo que se conoce como P.E.R.T. (Planned Evaluation and Review Technique) (Bisquerra, 1989, pág.32), que en nuestro caso podemos resumir en tres pasos: 1. Construcción del modelo. Construcción de un modelo evolutivo de competencias

ordinales, como consecuencia de los siguientes elementos básicos:

Realización de un análisis didáctico que fundamenta el significado del modelo y su estructuración así como la racionalidad del mismo

Realización de un estudio exploratorio en el que se confirma la

existencia de regularidades en el comportamiento real y efectivo de los niños al enfrentarse a tareas exclusivamente ordinales. Este estudio pone en evidencia que las competencias lógicas ordinales pueden escalonarse, desde el punto de vista evolutivo, de menor a mayor complejidad.

Los conocimientos sobre modelos evolutivos en el ámbito de la

educación matemática, que sirven de referentes para la construcción de uno nuevo (Ortiz, 1997).

2 Construcción de una prueba asociada al modelo Se llevan a cabo en este punto lo

siguiente:

Determinación de tareas asociadas a los estados del modelo evolutivo, en las que, en cada una de ellas, se dan los esquemas lógicos matemáticos propios del estado al que corresponda. Según


nuestro modelo evolutivo, estas tareas representan una serie acumulativa en cuanto al orden creciente de dificultad de los esquemas lógicos-matemáticos implicados.

3. Confirmar la bondad del modelo. Se realizan entrevistas clínicas semiestructuradas

para desarrollar un estudio cualitativo con los siguientes propósitos:

Los niños que superan una tarea asociada a un estado dado del modelo evolutivo, superan, también, todas las tareas de los estados anteriores

Probar que niños del mismo curso de Educación Infantil pueden

manifestar competencias lógicas ordinales distintas según los estados del modelo evolutivo.

Los niños se pueden organizar y categorizar en niveles evolutivos,

asociados, cada uno de ellos, a un estado del modelo teórico. En cada nivel se darían las características propias del estado del modelo asociado.

5. Desarrollo cronológico de la investigación

El proceso ha sido largo y laborioso, con una duración de 5 años desde su comienzo en 1997. A lo largo de dicho período se pueden distinguir las siguientes fases temporales diferenciadas: Año 1997

a) Primera delimitación del Marco Teórico de la investigación a partir de la documentación revisada.

Las cuestiones formales y prácticas planteadas con el origen del problema, nos llevaron a realizar una selección bibliográfica general en la que se revisaron libros sobre cuatro campos científicos: Didáctica de la Matemática, Matemáticas, Epistemología (Lógica y Filosofía de las Ciencias) y Psicología.

b) Realización de diversos experimentos con alumnos de Educación Infantil,

para ver el tipo prueba, individual o en grupo, que podía funcionar mejor con niños pequeños.

c) Revisión de textos sobre Epistemología Genética para buscar orientación

sobre métodos clínicos y estudiar la posibilidad de atajar nuestro problema con una visión clínica y cualitativa.

Las conclusiones y expectativas al finalizar este periodo fueron:

Orientar nuestra investigación al conocimiento lógico ordinal.


Considerar la entrevista clínica individualizada como técnica apropiada

en los estudios empíricos a realizar

Considerar que los estudios empíricos con niños de tres, cuatro y cinco años eran viables

Año 1998

a) Realización de búsquedas retrospectivas en la Biblioteca de la Facultad de Ciencias de la Educación, sobre las bases de datos y periodos siguientes:

ERIC, periodo 1966/81, 1982/91 y desde el 92 en adelante CSIC, periodo 1967- 98

De acuerdo con los descriptores utilizados (apartado 8 de este capítulo), recibimos 35 resúmenes de la base ERIC y 5 de CSIC. De ellos se consideraron de interés 28 documentos entre artículos y libros.

b) Revisión de los artículos y libros seleccionados

c) Elaboración del diseño del estudio exploratorio

d) Preparación de la prueba del estudio exploratorio, de acuerdo con los siguientes pasos: Pensar en tareas adecuadas que implicara esquemas lógicos ordinales en

la secuencia numérica. Las tareas basadas en correspondencias seriales cumplían esos requisitos. Otro aspecto decisivo, fue el considerar la posibilidad de simultanear las tareas ordinales con la secuencia numérica con otros tipos de instrumentos secuenciales más sencillos y prenuméricos, y en los que los esquemas lógicos ordinales funcionan realmente, en este sentido consideramos la alternancia.

Buscar un material idóneo que reflejara el esquema de seriación y sobre

el que aplicar las correspondencias seriales. Este material fue la escalera del estudio exploratorio.

e) Selección y construcción de los instrumentos de recogida de datos f) Selección de los alumnos para la realización de las entrevistas g) Desarrollo de las entrevistas. El tiempo medio de grabación de cada entrevista

fue aproximadamente de unos 25 minutos. En total se realizaron 27 entrevistas

h) Realización de la prueba del estudio exploratorio en un centro público provincial urbano

Conclusiones y expectativas de esta fase. La prueba había funcionado en los dos


frentes que pretendíamos:

Desde el punto de vista técnico: La prueba se pasaba individualmente y los niños, de 3, 4 y 5 años, colaboraron en todo momento, implicándose en las tareas, que sobre una situación concreta, la investigadora planteaba.

Desde el punto de vista conceptual: las tareas hacían que los niños

manifestaran esquemas lógicos ordinales útiles para la investigación. Año 1999

a) Exposición de los resultados obtenidos hasta el momento, en el Programa de Doctorado de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Málaga

b) Realización de un análisis didáctico (Expuesto en el Capítulo III de esta

Memoria) c) Transcripción de las entrevistas a partir de las grabaciones en video d) Identificación de regularidades y características generales del

comportamiento observado en la prueba, realizada a finales del año anterior, y selección de los criterios para la realización del estudio exploratorio interpretativo.

e) Realización del análisis cualitativo de la información obtenida en las

entrevistas. Año 2000

a) Exposición de los resultados obtenidos hasta el momento, en el Programa de Doctorado de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada

b) Construcción de un modelo teórico que explique el desarrollo evolutivo de

competencias ordinales en niños de 3 a 6 años

c) Construcción de la prueba para contrastar empíricamente el modelo teórico

d) Diseño del estudio empírico de carácter cualitativo con el objeto de contrastar empíricamente la parte del modelo teórico. El proceso seguido fue el siguiente:

Determinar el tipo de estudio a partir de los modelos teóricos conocidos

en investigación cualitativa

Fijar los objetivos iniciales del estudio

Determinar los criterios de construcción de los protocolos

Diseñar las entrevistas, determinando su contenido, proceso de


realización y recogida de la información

Preparación del material de apoyo: materiales manipulativos, fichas de campo y material de grabación

e) Selección de los colegios para la realización de las pruebas

f) Actualizaciones de búsquedas informatizadas

Año 2001

a) Realización de la prueba del estudio cualitativo

b) Transcripción de las entrevistas del estudio cualitativo c) Identificación de regularidades y características generales del

comportamiento observado y selección de los criterios para la realización del estudio interpretativo

d) Realización del análisis cualitativo de la información obtenida en las

entrevistas.

e) Presentación del trabajo en la V Reunión del grupo de Pensamiento Numérico celebrada en Palencia.

f) Actualizaciones de búsquedas informatizadas

g) Conclusiones generales de la investigación

h) Revisión de los documentos y redacción definitiva del Informe de

Investigación

6. Fuentes de información y documentación. Búsquedas informatizadas a través del servicio de la Biblioteca de la Facultad de

Ciencias de la Educación de la Universidad de Málaga, hemos realizado búsquedas informatizadas a las siguientes bases y con estos resultados:

Una consulta en la base de datos ERIC el 15 de Marzo de 1998, realizando una

primera actualización el 15 de Enero de 2000 y una segunda el 26 de Abril de 2001. El historial de dicha búsqueda se puede ver en el Anexo II, apartado Anexo 2.1 de este Informe. La tabla 1 contiene, de forma esquematizada, los resultados más relevantes de la misma.


Palabras claves en Títulos y/o Descriptores

Período de Tiempo Archivos

1966-1981 36 1982-1991 26

"NUMBER-CONCEPTS" and

"EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" 1992-2000 15

1966-1981 19 1982-1991 13

"NUMBER-CONCEPTS” and

"MATHEMATICAL-LOGIC" 1992-2000 7

1966-1981 4 1982-1991 12

"NUMBERS-" and "EARLY-CHILDHOOD-

EDUCATION" 1992-2000 9

1966-1981 5

1982-1991 1

"NUMBER-CONCEPTS" and ("EARLY-CHILDHOOD-

EDUCATION” or "PRESCHOOL-

CHILDREN" ) and "MATHEMATICS-

EDUCATION" 1992-2000 63

Hemos de destacar que no se ha encontrado registro alguno, en ningún período de tiempo, al introducir las palabras claves: "SERIAL-ORDERING" y "MATHEMATICAL-LOGIC", por tanto el orden estudiado desde un punto de vista serial no se ha tratado desde la lógica matemática en esta base de dato.

CSIC. Esta base ha sido consultada en dos ocasiones. La primera fue realizada en Marzo de 1998 y la segunda en Junio de 2001.

La primera búsqueda queda resumida en la tabla 2:

Palabras claves en Descriptores Archivos

Matemática-Didáctica, Enseñanza-Aprendizaje, Epistemologia 32

Relaciones de orden, ordinal, numero ordinal 6

Lógica Matemática- Aritmética- Procesos Lógicos 7

El historial de la última búsqueda se encuentra en el AnexoII, apartado Anexo 2.1, lo más destacado lo presentamos en la siguiente tabla:

3 A este número se llega haciendo una revisisón detallada de los 15 articulos encontrados con las palabras claves "NUMBER-CONCEPTS" and "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION"


Palabras claves en Texto Libre Archivos

Concepto de número 27

Conteo 10

Ordinales 19

Concepto de número y Educación Infantil 2

Concepto de número y Niños 1

Concepto de número y Educación Matemática 1

Concepto de número y Lógica Matemática 21

Concepto de número y Contar 1

Revistas especializadas en Educación Matemática de los fondos del departamento de Didáctica de la Matemática de las Universidad de Málaga.

Revistas de investigación en Psicología de los fondos de la biblioteca de

la Facultad de Psicología de la Universidad de Málaga.

Libros especializados de las bibliotecas de las Facultades de Ciencias de la Educación de la Universidad de Málaga. En especial se han consultado:

Actas de Congresos internacionales en Educación Matemática.

Publicaciones especializadas en informes y tratados de investigación

educativa:

Handbook of Research on Teacher Education Research in Mathematics Education (National Council of Teachers of Mathematics).

Libros de metodología de investigación educativa

Libros de Epistemología, con mención especial a la Epistemología Genética y a la epistemología del número natural.

Libros de Psicología del aprendizaje.

Libros de Didáctica de la Matemática.

Tesis doctorales leídas en el Departamento de Didáctica de la Matemática

de la Universidad de Granada. Para una consulta detallada de las referencias correspondientes nos remitimos al

apartado de la Tesis Doctoral dedicado a la Bibliografía.


7. Modalidad de la investigación

De acuerdo con la taxonomía de investigaciones que propone Bisquerra, R. (1989, págs 60 y sigtes), el trabajo realizado se corresponde con las siguientes modalidades:

Según el proceso formal, utilizamos el método hipotético-deductivo.

Según el grado de abstracción, se trata de una investigación a la vez pura o

básica, dado que se pretende aumentar el conocimiento teórico sobre el campo en estudio, y aplicada, dado que también se aporta información que tiene una utilidad práctica.

Según la naturaleza de los datos, se trata de una investigación cualitativa,

en el sentido de investigación interpretativa y no pretendemos generalizar los resultados más allá de los alumnos observados.

Según la orientación, está orientada a conclusiones y no a decisiones.

Según la manipulación de variables, es una investigación no experimental

de tipo descriptivo, por ser un estudio de desarrollo

Según la dimensión cronológica y desde el punto de vista de los estudios empíricos realizados se trata de una investigación descriptiva con enfoque de presente ya que describimos fenómenos sobre el presente

Según las fuentes, se trata de una investigación documental y metaanalítica

como parte del análisis didáctico y una investigación empírica;

Según la temporalización, la fase empírica es transversal ya que la investigación se ha realizado en un breve lapso de tiempo y supone un corte transversal en la situación de los sujetos ante el problema investigado.

8. Criterios de bondad

De acuerdo con distintos autores, (Fernández, 1995; Cohen y Manion, 1990; Bisquerra, 1989), toda investigación debe cumplir ciertos requisitos, algunos de los cuales dependen de la naturaleza de la misma. Nosotros nos hemos ajustado a los siguientes: Replicabilidad. Pensamos que la investigación que hemos realizado puede ser replicada

en más de un punto:

Desde el punto de vista empírico, en el mismo sentido en el que se ha realizado los estudios empíricos.

Desde el punto de vista teórico, siguiendo los pasos establecidos y

disponiendo de la información básica general a que se alude en los


apartados correspondientes

Realizando el estudio completo en otras muestras de composición diferente

Posibilidad de desarrollo posterior

A partir de documentos no utilizados se puede profundizar en el estudio

teórico y abrir nuevas perspectivas para futuros estudios El estudio proporciona una plataforma para la realización de

investigaciones experimentales que permitan extender y generalizar los resultados

El estudio se puede ampliar a Educación Primaria o teniendo en cuenta

otras consideraciones, otros instrumentos (tareas, etc.), otros factores, etc., llegando a un modelo más general que incluso modifique la interpretación de los resultados obtenidos aquí.

Imparcialidad Las conclusiones a las que hemos llegado tienen el alcance que se puede

atribuir a las evidencias que se presentan. En tal sentido, no hay unanimidad de criterios y, por tanto, el problema siempre está planteado.

En el desarrollo de la investigación se ha procurado ser objetivo, en lo

posible, y subjetivo en lo necesario, considerando que, a pesar de todo, se aportan datos y argumentos novedosos y nuevas formas de afrontar el problema.

Fiabilidad. La fiabilidad de nuestra investigación la podemos avalar por los siguientes

aspectos:

El control de la información (apartado 2.8). Su valoración depende de los medios disponibles y por tanto de la posibilidad de acceder a cierto tipo de información. En este sentido consideramos que la información utilizada ha sido suficiente, ya que ha posibilitado una investigación no realizada y por tanto original, tanto en su contenido e intenciones como en su proceso constructivo.

La rigurosidad, profundidad y amplitud de los análisis realizados en todos

los ámbitos científicos que hemos considerado oportunos en relación con conocimiento lógico ordinal.

El no escatimar esfuerzos en cuanto al proceso completo de la

investigación, realizando cuantos estudios se han creído necesarios para llegar a obtener evidencias teóricas y empíricas que avalan las cuestiones planteadas así como los resultados obtenidos.

Resultados análogos obtenidos en dos estudios cualitativos en los que se

han entrevistado, en total, a 74 niños de 3 a 6 años, pertenecientes a colegios distintos y se han realizado alrededor de 3000 preguntas.


Consistencia empírica. No hay contradicción entre el modelo teórico de desarrollo y la

evidencia empírica de las respuestas de los escolares. Ello es comprobable tanto en los anexos correspondientes como en los capítulos de esta Tesis Doctoral dedicados al análisis de los resultados. Las grabaciones obtenidas en las entrevistas constituyen una prueba fehaciente que permanecerá durante unos años bajo custodia para posibles revisiones y replicaciones de esta investigación.

Validez. En cuanto a la validez debemos señalar que hemos realizado un análisis

profundo teniendo en cuenta los principales campos del saber que interaccionan con nuestra conceptualización de conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica

CAPITULO III ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL CONOCIMIENTO LÓGICO ORDINAL

DE LA SECUENCIA NUMÉRICA

1. Introducción. Desde un punto de vista teórico, necesitamos indagar en los modelos de construcción y elaboración de la secuencia numérica, y en los orígenes del número, desde una óptica epistemológica y cognitiva en un contexto ordinal para crear un marco interpretativo de la evolución de las relaciones lógicas ordinales que se dan entre los términos de la secuencia numérica. Como ya se ha expuesto1, esta investigación consta de dos etapas:

Primera etapa Construcción de un modelo teórico evolutivo sobre el conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica.

Segunda etapa Evaluación del modelo construido mediante un estudio empírico cualitativo.

La primera etapa consta, a su vez, de dos partes:

1.1 Análisis didáctico del conocimiento lógico ordinal de la secuencia

numérica, que establece el marco interpretativo y el desarrollo conceptual del modelo.

1.2 Un estudio exploratorio que confirma la viabilidad del modelo, lo orienta y permite establecer nuevas cuestiones.

La conclusión del estudio exploratorio, junto con un análisis completo de los

resultados del mismo se presenta en el capitulo IV de esta memoria. El presente capítulo lo dedicamos al desarrollo de la primera parte de esta etapa. La segunda etapa de la investigación, dedicada a la evaluación del modelo, se expone en el capitulo V.

1 Apartado 4 del capítulo II de esta Memoria.

Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica. 62

El contenido de este capítulo comienza por el análisis epistemológico de la secuencia numérica para explicar ordinalmente la naturaleza de los números naturales. La secuencia numérica se contextualiza en el marco de las relaciones ordinales en cuanto al aspecto ordinal del número y en el marco de la definición de sus términos como cardinales según el aspecto cardinal del número. El número para contar, frente al número para cardinar, es, según Fenomenología de Freudenthal, matemática y didácticamente suficiente. Es por ello que debe tener un arraigo considerable en la aritmética escolar y se aboga para que se encuentre sólidamente instalado en el currículo y en la práctica docente. Completamos el análisis didáctico con un estudio en psicología de aprendizaje y desarrollo cognitivo, en el que se analiza las distintas interpretaciones cognitivas de la secuencia numérica desde dos modelos bien distintos: modelo piagetiano y procesamiento de la información. En el primero se trata la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica, y en el segundo se analiza la conceptualización y funcionalidad de la secuencia numérica como componente del conteo.

2. Propósito del Análisis Didáctico y procedimiento seguido Con el análisis didáctico pretendemos: a) Alcanzar los siguientes objetivos:

O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco general del número natural

Para el logro de este objetivo realizamos una revisión epistemológica del

número natural atendiendo a varias corrientes importantes: convencionalismo, logicismo y epistemología genética.

O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural

Para ello realizamos una revisión de la secuencia numérica en el campo

de la Didáctica del Número Natural, incidiendo en la visión ordinal de “número para contar” de Freudenthal (1983) frente al “número para cardinar”.

O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la secuencia numérica en la acción de contar.

El análisis de la secuencia numérica como una componente del conteo se

realiza en el marco psicológico general: procesamiento de la información.

O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica


Para ello realizamos una revisión de la secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano dentro del marco de la estructura operatoria de seriación.

b) Proporcionar un marco teórico para alcanzar el primer apartado del objetivo:

O5 Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.

Este objetivo se consigue combinando el análisis didáctico con los

resultados del estudio exploratorio. c) De los objetivos complementarios se pretende alcanzar el objetivo

C2. Comprobar la utilidad del análisis didáctico para fundamentar y

contextualizar investigaciones en Educación Matemática .

Este objetivo se logra al conseguir interpretar el conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en distintos campos del conocimiento del número natural, con las correspondientes implicaciones para su enseñanza.

El procedimiento seguido en el capítulo se expone en la figura 1 en la que se

puede apreciar que el análisis didáctico realizado se origina en una revisión de la información primaria sobre el problema de investigación en cada una de las siguientes fuentes: Epistemología, Enseñanza y Curriculum, Psicología del Aprendizaje, y, Desarrollo cognitivo.


Fig. 1. Esquema del Análisis Didáctico con las distintas fuentes.

3. Secuencia numérica como componente del número natural En el último cuarto de siglo XIX sabios como Dedekind, Weierstrass, Heine, Cantor y otros acaban de definir los números reales a partir de los racionales, mientras que éstos son entendidos como parejas de números enteros. Basta recordar que los números enteros pueden concebirse, a su vez, como parejas de números naturales, para concluir que estos son una pieza fundamental en todo el edificio matemático. Por tanto, para la construcción de toda la Matemática2 es muy importante determinar con precisión el conjunto de los números naturales, y más concretamente la secuencia numérica, ya que estamos de acuerdo con J-B. Grize (1979) cuando afirma:

2 Sobre todo para una concepción muy precisa de la Matemática: su aritmetización.

Didáctica del número natural

Secuencia numérica en el curriculum de

Educación Matemática

Procesamiento de la información

Secuencia numérica como componente del

conteo

Epistemología del número natural

Secuencia numérica como componente del número natural

Estructura lógica de seriación

Secuencia numérica como una serie en el

sentido piagetiano

ANÁLISIS DIDÁCTICO


“En la matemática, todo aquello que puede enunciarse en el lenguaje de los sistemas formales reposa en la noción de número natural, por medio de las funciones recursivas” (Pag. 109).

“Un primer hecho resulta importante. Tan pronto intentamos, ya sea pensar, con mayor modestia incluso, utilizar en forma totalmente práctica un número n, lo hacemos siempre como miembro de la serie de los números naturales. De lo cual se desprende un primer enfoque del problema, que consistiría simplemente en describir esa serie y los razonamientos que sostiene, pero del modo más preciso posible” (Pag. 109).

Abordaremos la cuestión en el sentido planteado por Grize, buscando en las principales corrientes epistemológicas el entendimiento de la secuencia numérica como una componente del número natural siguiendo el esquema de la figura 2.

Fig. 2. Secuencia numérica como componente del número natural desde la epistemología.

3.1. Interpretación convencionalista del número natural En Filosofía, el convencionalismo es una concepción según la cuál las leyes y teorías científicas son convenciones que dependen de la libre elección entre varios modos alternativamente posibles de describir el mundo natural. La aparición de un convencionalismo sistemático en el dominio cognoscitivo se verifica sólo a finales del siglo XIX, después del descubrimiento de la posibilidad de geometrias no euclidianas, al desaparecer el carácter evidente de los axiomas geométricos. En el ámbito de la matemática se considera a Poincaré como un gran teórico del convencionalismo (A. Ortiz, 1997). El convencionalismo trae consecuencias importantes para el aprendizaje de la matemática y, en concreto, para la enseñanza del número. Según Helmholtz (1887):

"Podemos considerar los números como una serie de signos arbitrarios elegidos, pero a los cuales le aplicamos un modo determinado de sucesión a título de sucesión regular o, conforme a la expresión habitual, de sucesión natural. El orden de los signos numéricos es tan convencional como el orden de las letras en las diversas lenguas; orden que, una vez adoptado

Convencionalismo Logicismo Epistemología genética

Secuencia numérica como componente del número natural

Epistemología del número natural


y empleado de una manera constante, toma igualmente una apariencia normal y regular". (Cita referenciada en Brunschvicg, 1929, p. 398). "Se evita la noción de número cardinal y la idea de unidad. La serie ordinal basta para constituir el número". (Brunschvicg, 1929).

Para los convencionalistas, la adición entra en el marco de la enumeración puramente ordinal; por ejemplo: por a+b se designa el término de la serie sobre el que se cae si se cuenta uno para a+1, dos para a+2, etc., hasta que se haya contado b términos. Según Brunschvicg (op. citada), Helmholtz fundamenta la teoría de las operaciones aritméticas sin recurrir a la intuición (intuicionismo), ni, tampoco, tiene en cuenta las teorías lógicas de las construcciones numéricas, sin hacer alusión a la idea de colección de unidades homogéneas. Así, si suponemos que estamos en presencia de un grupo de términos distintos, podemos hacer corresponder un signo de nuestra serie ordinal a cada uno de dichos términos. Siempre que no haya laguna ni repetición obtendremos el mismo número, sea cual sea el orden que se le asigne a los términos del grupo. La acción de contar es la base de todos los cálculos. (A. Ortiz, 1997). Las tesis convencionalistas tienen éxito debido al reduccionismo en la tesis de Mill; en este sentido, el origen del número no es sólo la cantidad, sino también, la repetición o la combinación, por citar algunos ejemplos. La repetición, por ejemplo, es temporal pero secuencial; podemos hablar de momentos distintos, de cantidades de tiempo y de frecuencias, de tal manera que, aunque sean idénticas, podemos diferenciar en el tiempo las oscilaciones de un péndulo y contarlas; la repetición nos lleva a contar. Las unidades son totalmente idénticas y sólo se diferencia en su distribución temporal. Aquí podemos decir que la repetición y la acción de contar están en íntima relación. En lo que se refiere a la combinación, no hay duda que las posibles combinaciones de unos dígitos representan un número. Helmholtz alude a un parentesco genético directo entre el número y el tiempo, idea, ésta, compartido por otros grandes pensadores como Kant ó Brouwer. Así, en su pequeño tratado Contar y Medir, mostraba que el punto de partida del número se sitúa en la sucesión temporal de nuestros estados de conciencia.

"Contar es un procedimiento que descansa en nuestra facultad de recordar el orden de sucesión de nuestros estados de conciencia". (Cita referenciada en Piaget, 1987, p. 76).

Basta entonces "numerar", mediante un procedimiento verbal convencional, los términos de esta serie para obtener una sucesión de "números de orden" que permiten definir la suma ordinal por su simple sucesión y la igualdad de los dos números ordinales. La importancia de la consideración epistemológica del convencionalismo en nuestra investigación es incuestionable, por una razón obvia: la acción de contar es la vía para pasar de una serie de término verbales a una serie de objetos tangibles y concretos, sobre los cuales los niños pueden actuar y deducir las relaciones ordinales existentes entre los términos de la secuencia numérica. Por lo tanto, hay una clara intersección entre el marco epistemológico convencionalista y el conocimiento lógico


que el niño debe imponer a los objetos para inferir que uno es anterior al otro o viceversa.

3.2. Logicismo aritmético y la secuencia numérica. Los modelos lógicos, explicativos de la construcción del número natural, tienen consecuencias muy importantes para nuestro trabajo, porque a través de ellos vamos a establecer lo que entendemos por relaciones lógicas- ordinales entre los términos de la secuencia numérica. Atendiendo a esta corriente epistemológica, nos encontramos con el siguiente cuadro explicativo de la secuencia numérica (fig. 3):

Figura 3. Cuadro explicativo del estudio realizdo sobre la secuencia numérica desde el logicismo.

Tanto Dedekind como Peano no están interasados en definir la naturaleza de los

términos numéricos, no ocurriendo lo mismo con B. Russell3 Aquí la discusión central se encuentra en establecer y determinar qué es la secuencia numérica. Parece claro para todo el mundo que son unos términos puestos en 3 Mírese en la figura 3 el recuadro “Términos de la secuencia numérica” y véase como se llega a él por el recorrido de flechas.

Epistemología del número natural: logicismo

Peano: Sistema definido por

los Axiomas Dedekind:

Cadena del primer elemento

B. Russell: Progresiones

Número ordinal Número cardinal

Términos de la secuencia

numérica

Relaciones ordinales

SECUENCIA NUMÉRICA


relación, para ello tanto Russell, como Peano y Dedekind, por caminos diferentes, la identifican con las progresiones generadas por relaciones biunívocas (véase Anexo 3.1), y en lo único que difieren son en la naturaleza de los términos que se ponen en relación. En este sentido, para Peano y Dedekind ésta no es una cuestión intrínsecamente importante, no siendo lo mismo para Bertrand Russell quien insiste en definir los términos que componen una progresión, y en particular la progresión de los números naturales mediante los números cardinales. Dedekind empieza su construcción de los números naturales definiendo los números ordinales

"Si en la contemplación de un sistema singularmente infinito N, ordenado por una representación ϕ, no tenemos en cuenta por completo la naturaleza peculiar de sus elementos, reteniendo solamente la posibilidad de distinguirlos, y considerando solamente las relaciones en que se hallan colocados por la representación ordenatriz ϕ entonces esos elementos se llaman números naturales o números ordinales o simplemente número" (Dedekind, 1887, § 73. Cita referenciada en Russell, 1982, p. 290)

La definición de Dedekind de sistema singularmente infinito se recoge en el

Anexo 3.1 de los Anexos III. La refutación que hace Bertrand Russell a esa construcción, que la considera, por otro lado, lógicamente correcta, se basa fundamentalmente en el hecho de la no definición explícita de los términos que componen el sistema:

"Los ordinales de Dedekind no son elementos. Si no deben ser nada en absoluto deben ser intrínsecamente algo; deben diferir de otras entidades como los puntos de los instantes o los colores de los sonidos". "Una definición formulada de ese modo indica siempre alguna clase de entidades que tiene una naturaleza genuina propia, y que no depende lógicamente del modo en que han sido definidas." "Debe recordarse que con la teoría lógica de los cardinales se pueden demostrar tanto los Axiomas de Peano como los de Dedekind". (Russell, 1982, p. 290).

En otro orden de cosas, la teoría de Peano puede ser considerada como una axiomatización de la noción de progresión de Russell (véase la definición en el apartado 2.1. del cap. I). Los conceptos indefinidos de Peano son "cero", "entero finito" y "sucesor de"; por el último concepto entendió "siguiente inmediato" (Russell, 1982). La primera teoría de Peano apareció en la edición de 1899 de "Formulaire de Mathématiques". Dos hechos importantes de la teoría también fueron probados:

1. Hay interpretaciones de los tres conceptos indefinidos los cuales hacen verdaderos todos los cinco axiomas. La primera ley de la aritmética y los teoremas que le siguen también son ciertas (el sistema de Peano fundamenta la Aritmética).

2. Igualmente importante, Peano y uno de sus colaboradores, Padoa,

demostraron que los cinco axiomas en cuestión son absolutamente necesarios para elaborar o hacer posible la aritmética. Cada axioma puede ser revisado independientemente de los otros cuatro. Peano y Padoa demostraron esto por muestreo cogiendo grupos de cuatro axiomas elegidos entre los cinco propuestos.


Peano reconoce que cualquier colección de términos que cumpla lo siguiente:

1. Tiene un primer elemento 2. No tiene último término 3. No repite término alguno 4. Es tal que cualquier término puede ser alcanzado desde el primero en

un número finito de pasos

haría verdaderos todos los axiomas. Un sistema constituido por una colección de términos y cumpliendo estas propiedades es lo que llamaremos progresión. El resultado general de la teoría de Peano es el mismo que la de Dedekind, primer matemático moderno que propuso una teoría completa de las relaciones numéricas en "Was sind und was sollen die zahlen" en 1887. Dedekind identificó los números naturales con los números ordinales, definiendo, éstos, como una abstracción de términos a partir de lo que todas las progresiones tienen en común: "Estos elementos se llaman números naturales ó números ordinales, ó simplemente números" (Dedekind 1887). Históricamente existen objeciones contra la caracterización precedente de los números naturales, la más popular fue dada por Russell, pues según él cualquier progresión puede ser tomada como la base de la matemática pura. Nosotros podemos dar el nombre "0" a su primer término, el nombre "número" a todo el conjunto de términos y el nombre "sucesor" al próximo en la progresión. Cada progresión diferente dará una interpretación diferente de todas las matemáticas pura tradicional. En el sistema de Peano no hay nada que nos permita distinguir entre estas interpretaciones diferentes de sus ideas primitivas. La teoría de las progresiones de Bertrand Russell está estrechamente ligada a la Aritmética de Peano. El tratar la secuencia numérica como una progresión supone que todos los términos están entrelazados por relaciones asimétricas transitivas obtenidas a partir de relaciones asimétricas biunívocas (véase anexos al Capítulo III) y todo estaría dado en términos de "posición relativa" sin entrar a formar parte del sistema la noción de cantidad o cardinalidad de los números; de tal modo es así que todo lo relacionado con la Aritmética finita se puede deducir de tales progresiones:

Suma a+0=a a+si(n)=si(a+n)

Multiplicación a×0=0 a×si(n)=(a×n)+a

A partir de estas definiciones, se continúa con la sustracción, división, términos positivos y negativos y fracciones racionales, y se demuestra fácilmente que entre dos fracciones racionales cualesquiera existen siempre una tercera. Desde este punto es fácil continuar con los irracionales y con los números reales.


Esta es la razón por la cual algunos matemáticos importantes como Helmholtz, Dedekind y Kronecker, han mantenido que los números ordinales son previos a los cardinales. En este punto particular, se entiende que el número ordinal asociado con cualquier término dado en una progresión da por perdido el número cardinal de una colección incluidos los términos dados. Este es el hecho más importante acerca de la teoría de Dedekind, y sugiere que por lo que pueda ser el número natural es ante todo una progresión. Pero esta opinión no es compartida por Russell, quien, defiende que tanto de los cardinales como de los ordinales puede demostrarse toda la Aritmética sin mencionar al otro, siendo las proposiciones simbólicamente idénticas, pero difiriendo su significado; además, considera, que no hay ninguna prioridad entre uno y otro ya que ambos pueden definirse independientemente, pero que una vez definidos uno implica al otro. De todos modos Bertrand Russell es defensor de que todas las propiedades ordinales o las de las series de números finitos sólo se emplean en la Matemática común, donde a través de un procedimiento de abstracción se llega a deducir toda la Aritmética y lo verdaderamente importante en Matemáticas es que los números forman una progresión, pero que estos no son los números que se usan en la vida diaria donde el hecho de que los números sean cardinales es el que los hace verdaderamente importantes.

3.3. Secuencia numérica desde los planteamientos de la epistemología genética. La perspectiva genética del conocimiento es una perspectiva evolutiva de estados de conocimientos más que de conocimientos en sí mismos. Desde un punto de vista ontogenético, los conocimientos evolucionan en los sujetos pasando por diferentes estados que manifiestan competencias operatorias cada vez más completas. El sujeto pasa de unos estados de conocimiento más primitivos a otros más evolucionados debido a una progresión hacia una completitud de estructuras: pasa de no poder establecer relaciones con cierta complejidad lógica o matemática a poder establecerlas. La evolución genética individual la podemos caracterizar desde un punto de vista lógico-matemático como un pasaje de un no poder establecer una relación a poder establecer esa relación. Las posturas empiristas, aprioristas o convencionalistas sobre la naturaleza del número no satisfacen a Piaget:

"Desde las acciones iniciales, las relaciones entre el sujeto y los objetos es un testimonio de un fenómeno mucho más complicado de lo que dejan suponer las interpretaciones empiristas, aprioristas o convencionalistas. La acción de enumerar no puede estar determinada únicamente por los objetos, puesto que ella los estructura en función de un esquema operatorio, que es asimilación de las cosas al doble acto de reunir y ordenar, y puesto que asimilar significa agregar a los objetos caracteres nuevos que no estaban incluidos anteriormente a la acción del sujeto: así la reunión elemental 1+1=2 añade a cada uno de los objetos contados como unidades 1, 1, la nueva propiedad de constituir un todo 2". (Piaget, 1987, p. 128).


Para Piaget, en la evolución de la aritmética son importantes las aportaciones de las acciones intencionadas que realiza el sujeto sobre los objetos; estas acciones presentan la doble vertiente de la adaptación cognitiva: asimilación y acomodación. Igualmente importante es captar en sus raíces las conexiones de las construcciones matemáticas nacientes con las estructuras operatorias del sujeto. La epistemología genética considera que las ideas lógicas sirven de eficaz punto de partida para la elaboración de los números. Igualmente, considera que la matemática es un sistema de construcciones que se apoya, en sus puntos de partida, en las coordinaciones de las acciones y las operaciones del sujeto que avanzan mediante una sucesión de abstracciones reflexivas de niveles cada vez más elevados. Piaget considera que el número es una síntesis de las dos estructuras lógicas: clasificación y seriación. Del mismo modo que ignoramos las diferencias entre los objetos al clasificar un conjunto de ellos, asimismo ignoramos esas diferencias cuando asignamos al conjunto su número cardinal; por ejemplo, si vamos a cardinar las muñecas que hay sobre la mesa las consideramos todas iguales aunque entre ellas haya diferencias de color, tamaño, etc., se obvian todas esas diferencias al igual que se haría para construir la clase de las muñecas. De este modo el número, en su aspecto cardinal, encierra evidentemente una componente de clase. Pero además de la clasificación existe otra estructura lógico-matemática que incide directamente en la concepción del número, dicha estructura es la seriación. Los objetos del conjunto son contados para calcular su número cardinal, y hemos visto que en este proceso de recuento los objetos son tratados como si todos fuesen iguales obviando las características que los diferencian unos de otros como el color, etc., pero el proceso de recuento no se podría llevar a cabo si no se tuviera en cuenta un aspecto que hace que los objetos sean tratados como diferentes. En el proceso de determinar el valor cardinal por medio de la enumeración, debemos ordenar los objetos: contar primero un objeto, luego el siguiente, y así sucesivamente. Es obvio que el orden de la enumeración no tiene importancia, es irrelevante, pero sí está claro que debe haber algún orden en el momento que se realiza el recuento. Es preciso contarlos en alguna forma de sucesión y tener en cuenta cuáles fueron enumerados en un momento determinado, con el fin de no contar más de una vez un mismo objeto. Este proceso de ordinación no es una componente de clase, sino que se vincula con la estructura lógica de seriación. Si distribuimos los objetos en el orden en que fueron enumerados estaremos frente a una verdadera serie, pues estos objetos así distribuidos constituyen un encadenamiento aditivo de relaciones asimétricas, exactamente análogo a cualquier otra serie. En el caso que nos ocupa las diferencias entre los objetos que determinan la serie es de posición ordinal ("primer objeto contado", "segundo objeto contado", etc.); es la determinación de esas diferencias la que nos permite llevar a cabo el proceso de recuento aplicado a una colección de objetos tratados desde dos puntos de vista: en un principio todos los objetos son equivalentes o iguales y por eso una unidad se añade a la otra igual que una clase se reúne con otra; en un segundo lugar todos los objetos son tratados como diferentes lo que nos permite ponerlos en secuencia o serie al aplicarles la enumeración.


De esta concepción del número obtenemos la interrelación existente entre el aspecto cardinal y ordinal según la teoría piagetiana de construcción del número natural:

"Los números finitos son necesariamente cardinales y ordinales al mismo tiempo, y ello resulta de la naturaleza misma del número, que es ser un sistema de clases y relaciones asimétricas fusionadas en un mismo todo operatorio. Los cardinales resultan así de una abstracción de la relación y esa abstracción no modifica la naturaleza de sus operaciones, puesto que todos los órdenes posibles que pueden atribuirse a n términos se resuelven en la misma suma cardinal n. Por su parte, los ordinales resultan de una abstracción de la clase, abstracción que es también legítima, y por esta misma razón el n-ésimo término finito corresponderá siempre a un conjunto cardinal n. Pero esta doble abstracción de ninguna manera impide que el número entero finito siga siendo uno, ni que implique la indisociable solidaridad de las totalidades y del orden". (Piaget, Szeminska, 1982, pág. 187).

Existe una correlación entre el desarrollo del aspecto cardinal y el ordinal, de tal forma que si un niño se encuentra en la primera etapa según la génesis del cardinal entonces ese niño también está en la primera etapa de la correspondiente al ordinal y viceversa. Lo mismo ocurre con las etapas sucesivas.

"A la primera etapa de la seriación, que es pre-ordinal puesto que el niño no comprende espontáneamente el orden progresivo de los elementos, corresponde (tanto por el promedio de edad en que se efectúa como desde el punto de vista estructural) la primera etapa de la cardinación, o sea, aquella en que no hay ninguna conservación de las cantidades, y en que el niño, cuando debe reproducir una hilera o una figura, no establece una correspondencia término a término sino que se limita a construir otra hilera de la misma longitud u otra de conjunto semejante globalmente a la primera". (Piaget, Szeminska, 1982, pág. 176).

La convergencia entre el aspecto cardinal y ordinal del número natural se establece atendiendo, fundamentalmente, a estas dos cuestiones:

i) La serie numérica (aspecto ordinal) se aplica a una colección de elementos para obtener el número cardinal. A su vez, esa colección de elementos puede estar constituida por una serie, en cuyo caso se establecería una correspondecia serial entre la secuencia numérica y la serie de la que se quiere conocer el número de elementos que posee.

ii) La segunda cuestión que liga el cardinal con el ordinal se fundamenta en

que cualquier serie está constituida por un encadenamiento de unidades de esta forma:

1. 1, (1+1), (1+1+1)........

lo cual implica que avanzar una posición (aspecto ordinal) supone aumentar en uno la cantidad (aspecto cardinal); y reciprocamente, al aumentar en uno la cantidad se avanza una posición.

En los estudios de Piaget se pone a prueba la capacidad del niño para distinguir la posición ordinal en una serie y los valores cardinales determinantes de esta posición y determinados por ella, igualmente se establece la relación entre esos valores y esa posición. De manera esquemática, todas las explicaciones precedentes sobre la construcción del número natural según la epistemología genética y cómo quedaría


enmarcado el estudio de la secuencia numérica en esta corriente, quedan recogido en el cuadro resumen de la figura 4:

Figura 4. Secuencia numérica contextualizada en la epistemología genética

4. Secuencia numérica en el curriculum de Educación Matemática

Los distintos planteamientos sobre los orígenes y la naturaleza del número natural implican consideraciones didácticas diferenciadas en las que se prima, en ocasiones, el número ordinal en detrimento del cardinal, mientras que en otras ocurre lo contrario.

Teniendo en cuenta los estudios realizados por Ortiz (1997), Ortiz y González (2001), en España se distinguen tres períodos en la transmisión de la aritmética en el siglo XX:

"Un primer período aritmetista con fundamentación inductivista pero con un planteamiento didáctico convencionalista, un segundo período conjuntista con origen estructuralista, que es dedecctivista y un tercer período post-conjuntista con intenciones constructivistas. En el período aritmetista se considera la naturaleza inductiva del número natural, primando el aspecto ordinal y en el período conjuntista la naturaleza lógica del número

Estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica

Epistemología Genética

El número como síntesis de clasificación y seriación

Génesis de la cardinación versus génesis de la

clasificación

Génesis de la ordinación versus génesis de la

seriación

Correlación entre las génesis

Génesis de la correlación entre el cardinal y el ordinal


natural primando las clases y el aspecto cardinal. No hemos profundizado en el período post-conjuntista ya que al ser muy reciente, aún se encuentra en fase de implantación" (pag. 299).

Con respecto a la secuencia numérica (acción de contar) y los períodos encontrados reseña:

"La acción de contar es resaltada en los períodos estudiados como fundamental en la construcción escolar del número natural, siendo aún más patente en el período aritmetista" (pag. 299). "Entendiendo el aritmetismo como aquella corriente que considera que el origen del número natural es inductivo, predominando el aspecto ordinal ante el aspecto cardinal" (pag. 298).

En Educación Matemática, y atendiendo al aritmetismo, podemos encontrar autores que fundamentan la didáctica de la aritmética en la secuencia numérica como es el caso, entre otros, de:

• Guiu Casanova, Manuel, (1948, octava edición): Aritmética y Algebra. • Pedro Abellanas Cebollero (1960). Introducción a la Matemática. • Rey Pastor (1966): Elementos de análisis matemático. • Salinas y Angulo (1943): Aritmética (decimoséptima edición) • Alvarez (1960). Enciclopedia. • Hernando (1962). Enciclopedia

A esta lista se podrían añadir muchos otros autores todos ellos del período

aritmetista. Dentro de una tendencia post-conjuntista nos encontramos con la línea de Razonamiento Inductivo Numérico (Ortiz Comas, 1997), según la cual, podemos considerar la secuencia numérica como la serie numérica básica por excelencia, y en este sentido, la didáctica de la misma se presentaría de acuerdo al siguiente esquema inclusivo (fig. 5):

Fig. 5 Esquema inclusivo de la secuencia numérica en un contexto de Razonamiento Inductivo Numérico.

Por otra parte, en el periodo conjuntista, entendiéndolo aquí como el período de tiempo que coincide con el movimiento de las matemáticas modernas, nos encontramos dos concepciones bien distintas para la enseñanza del número natural: una de ellas es la defendida por Freudenthal, quien aboga por la secuencia numérica como base de la didáctica; mientras que la otra es la que mantiene Dienes fundamentada en el aspecto cardinal. En los puntos sucesivos de este apartado se especifican estas dos tendencias.

Origen inductivo del número natural con predominio del aspecto ordinal

Contexto epistemológico y escolar aritmetista Razonamiento Inductivo Numérico

Secuencia numérica


4.1. Freudenthal: Números para contar. Para Freudenthal, la secuencia numérica es el pilar fundamental de las Matemáticas, y por tanto, entre las distintas concepciones del número atendiendo a su fenomenología, prima, especialmente y con gran relevancia "el número para contar" considerado, éste, como el devanado en el tiempo de la secuencia de números naturales.

“El número para contar es matemáticamente llamado el número ordinal, es formalizado mediante la inducción completa y los Axiomas de Peano”. (Freudenthal.1983) Aboga por el número para contar en Educación Matemática, frente al número

para cardinar, por estos motivos:

a) Contar llega pronto a convertirse en una necesidad teórica para el niño, llegando a utilizar el conteo más allá de lo que sus propias necesidades prácticas le exigen.

b) Contar es la base de la Aritmética más elemental.

En efecto, la suma es continuar contando, la resta es contar hacia atrás. Este es un principio fundamental de los viejos didactas. Contar hacia delante y hacia atrás, así como otras formas de conteo sistemático tales como de dos en dos, de tres en tres, etc., completando decenas, han sido ejercitadas intensamente en la aritmética tradicional; todo ello se puede asociar a trabajar con la recta numérica. Esto contribuye a preparar la aritmética mental (cálculo mental) con más imaginación y el conteo hacia atrás antes que su representación concreta, allanando el camino a la algoritmización del conteo y a la aritmética escrita.

c) El contar es una actividad no sólo para obtener el número cardinal de un conjunto, sino también es una actividad rítmica en el tiempo que proporciona la numeración en orden de los elementos de los conjuntos (número ordinal) y para ello se debe conocer los principios fundamentales para operar con este sistema (sistematización de la secuencia numérica).

d) El concepto "y así sucesivamente" es operatorio en toda la instrucción

aritmética, así como en todas las reglas que se aprenden. Si hay una infinitud de tiempo y espacio, se entiende de acuerdo al principio "así sucesivamente" de la serie numérica (este principio se formaliza en el principio de la inducción completa).

e) El número para cardinar es matemáticamente insuficiente.

Si los números naturales deben estar subordinados al concepto

general de potencia, se está obligado a definir lo que son potencias finitas. El modo es definir 0, 1, 2 y algunos más, pero esto no es suficiente, ya que de algún modo se deberían de abarcar todas las potencias finitas. Un modo de hacerlo es recurriendo a la inducción


completa pues añadiendo un nuevo elemento a un conjunto de n elementos se obtiene otro nuevo con n+1 elementos; pero este procedimiento sería una estupidez ya que sólo se puede aplicar si los números naturales están ya disponibles.

Freudhental asegura que para toda las demostraciones importantes

en el paradigma de "números para cardinar", como por ejemplo: demostrar que cada número natural n representa una única potencia1, la definición de suma y producto de potencias demostrando que la unión de dos conjuntos finitos es un conjunto finito, etc., deben recurrir inexorablemente al principio de inducción completa, concretamente a la secuencia numérica, y por tanto acceder al paradigma de "números para contar"

f) El aspecto cardinal de los números naturales es irrelevante en

comparación con el aspecto del conteo.

Hasta la época de Cantor el número cardinal había sido totalmente irrelevante. El número cardinal es un concepto de número totalmente primitivo, que fue pronto reemplazado en la historia de la humanidad por otros más perfeccionados, repitiéndose del mismo modo en el desarrollo individual. Algunos animales dominan un poco los números cardinales, pero por encima de todo, el hombre domina otro concepto de número: puede contar.

El aspecto cardinal en la matemática escolar juega un papel

importante en los problemas de combinatoria. Es bien conocido el hecho de que si se unen dos conjuntos disjuntos sus cardinales se suman. El hecho de que emparejar elemento a elemento (pares ordenados) dos conjuntos sus cardinales se multiplican, aunque no sea oportuno para definir el producto, es uno de los aspectos de la multiplicación que no ha sido debidamente explicado en las viejas didácticas. Realmente se hace justicia a la importancia del aspecto cardinal, si el número como indicador de numerosidad (cantidad) se encuentra en un contexto adecuado a sus aplicaciones, es decir, con relación a los problemas de combinatoria, y ello es más adecuado que tener que sufrir errores, equivocaciones y fundamentos del concepto de número faltos de efectividad.

A pesar de todo, Freudenthal insiste en la gran importancia del

aspecto ordinal frente a la importancia que pueda tener el aspecto cardinal tanto en la didáctica del número natural como en las matemáticas puras.

g) El aspecto cardinal es insuficiente para la didáctica de los números

naturales.

Normalmente el niño puede contar antes de empezar a reconocer cantidades. A menudo se ha advertido que los niños pueden contar sin

1 La definición de "potencia" está tomada en el sentido de Cantor de conjuntos equipotentes.


necesidad de conocer la conexión entre el número contado y la cantidad. Freudenthal asegura que, de ninguna manera, el niño construye el número, ni siquiera inconscientemente, como una clase de conjuntos equivalentes; considera que la cardinalidad es un aspecto más, relacionado con el hecho de que el número para contar es invariante ante correspondencia uno a uno.

El niño aprende esa invariancia en un contexto mucho más

amplio, no ya que el número es invariante frente a las diversas formas de efectuar la acción de contar (principio de orden irrelevante que llaman Gelman y Gallistel), es decir el número es independiente de la correspondencia uno a uno elegida, sino que la invariancia del número aparece en otras situaciones distintas como puede ser que un número determinado de objetos no cambia de un día para otro, por ejemplo siempre tenemos cinco dedos (conservación en el tiempo), que todas las personas tienen cinco dedos en una mano, etc.

La invariancia bajo correspondencias uno a uno, es un caso especial de

entre las propiedades de invariancia del número para contar; su importancia deriva del análisis influenciado por la teoría de conjuntos cuando se utiliza para estructurar las matemáticas.

No hay ninguna duda de que la importancia del aspecto cardinal en psicología se

ha debido a Piaget. Freudenthal (1983, cap. 11) lo critica en base a lo siguiente:

• Piaget estudió el concepto de número bajo el aspecto cardinal. Creía que el concepto de número natural se puede derivar totalmente de las potencias; matemáticamente puede ser esto cierto pero él creyó que también lo era psicológicamente; pero aquí enterviene la cuestión, ya planteada, de que el aspecto cardinal del número natural es matemáticamente insuficiente.

• Cuando trata el número ordinal bajo éste epígrafe no tiene nada que ver con

el número ordinal ni con el número para contar. Es tal su indiferencia hacia el conteo que no menciona si los niños entrevistados saben contar y hasta dónde pueden llegar.

En consecuencia la didáctica basada en la teoría de Piaget, y según Freudenthal,

no considera el número para contar, desterrándose los juegos de conteo en pro de calcular sistemáticamente el número de objetos de las colecciones, invariante ante transformaciones espaciales, y, todo ello, debido a la exagerada importancia dada al aspecto cardinal. En estas didácticas, tan importante eslabón entre la aritmética mental y escrita como es el hecho de interpretar las sumas como contar hacia adelante y las restas como contar hacia atrás, es algo simplemente olvidado.

4.2. Dienes: Didáctica basada en el aspecto cardinal En la teoría de Dienes sobre la didáctica del número natural se parte de la siguiente concepción de número:


"El número es una propiedad de los conjuntos" (Dienes, 1966, p. 32). Por lo tanto, y siguiendo a Bertrand Russell, cuando Dienes utiliza el término "número" en realidad está haciendo mención a "número cardinal"; y así, su didáctica está basada en la cardinalidad o aspecto cardinal del número natural siendo el concepto de equipotencia de Cantor la base de la misma. En la didáctica que propone Dienes para la adquisición del concepto de número es necesario animar al niño a:

1º) Que realice juegos de correspondencia uno a uno. Debe aprender a clasificar los conjuntos en conjuntos equivalentes.

2º) Que juegue con los bloques lógicos.

3º) Comprender que no hay una única correspondencia uno a uno entre

dos conjuntos, sino que hay muchas.

4º) Construir conjuntos que no puedan ponerse en correspondencia uno a uno. La posibilidad de establecer conjuntos en correspondencia conduce a la igualdad de sus propiedades numéricas y la imposibilidad a la desigualdad de estas propiedades.

5º) Usar el simbolismo matemático: =, <, >. Los símbolos <, > se

adquirirán fácilmente mediante la manipulación de las regletas encajables

6º) Poner los números cardinales en sucesión. Para ello hay que determinar el siguiente de un número dado; éste sería aquel que se refiere a los conjuntos que tienen un elemento más que los conjuntos a los cuales se aplica nuestro número. Así, para introducir la idea de sucesión es necesario introducir la de "uno más". Para ello, Dienes propone juegos que pueden realizarse independientemente de la acción de contar: los niños construyen pilas de cubos de modo recurrente. El primer ejercicio consiste en coger un objeto y así tenemos la primera pila. Después se construye un conjunto equivalente al primer conjunto (o a la primera pila) al que se añadirá otro objeto y así se obtiene la segunda pila. Este proceso se continúa tanto tiempo como sea posible, de modo preferente hasta que el niño haya perdido la cuenta del número de objetos que entran en la composición de las pilas sucesivas. Ahora, se le muestra las dos primeras pilas y se le pregunta que cual de ellas tiene más objetos. La pregunta siguiente es: "¿cuántos objetos tiene más la mayor de las dos?", Prosiguiendo las preguntas se recuenta la serie, mostrando siempre dos pilas consecutivas. Dienes deduce que los niños no son lentos en comprender que la pila "siguiente" tiene siempre un objeto más, puesto que anteriormente es así como se ha construido.

En consecuencia, Dienes aboga por una didáctica del número natural basada en la equipotencia entre conjuntos y, por tanto, en el aspecto cardinal del número; con lo cual la secuencia numérica debe ser aprendida desde la perspectiva cardinal, haciendo


caso omiso al conocimiento que los niños pudieran tener acerca del recitado de la misma y comparando dos términos consecutivos a través de la cantidad de elementos que representa cada uno, para posteriormente comprobar que difieren en un único elemento (noción igualmente cardinal), y que, por tanto, el siguiente de un término en la secuencia representa aumentar en uno la cantidad precedente.

5. Secuencia numérica como componente del conteo El estudio que realizamos a continuación de la secuencia numérica forma parte de un estudio más amplio atendiendo a dos modelos psicológicos del desarrollo del número en el niño según aparece en el esquema de la figura 6.

Figura 6. Desarrollo del número en el niño según las corrientes psicológicas: Modelo Lógico Piagetiano y

Procesamiento de la Información

El desarrollo del número en el niño

Modelo lógico

piagetiano

Modelo de integración de habilidades: Procesamiento de la

Información

Construcción conceptual y operatoria del

número

Rechaza el conteo

práctico o empírico

Análisis de la secuencia

numérica en base a la

estructura operatoria de

seriación

Modelos de conteo

El número como operador cuantificador y generalización

del uso del conteo

Análisis de la secuencia numérica como una

componente del conteo


Nos situamos dentro del procesamiento de la información, y desde esta perspectiva estudiaremos la secuencia numérica como componente del conteo4. Tras haber situado la secuencia de numerales con relación al conteo, como procedimiento más global en el que se integra, pasamos al análisis de la misma dentro de las corrientes procesuales, estudiando en primer lugar su conceptualización y pasando, posteriormente, al carácter funcional ordinal. En el citado análisis insertaremos algunas matizaciones puntuales, que no se encuentran en este marco teórico, acerca de las componentes lógicas que interrelacionan a todos y cada uno de los términos de la secuencia.

5.1. Acción de contar: Conceptualización de la Secuencia Numérica

Se ha encontrado que los niños manejan la secuencia de numerales desde muy temprano (por ejemplo, Gelman y Gallistel (1978), Fuson et al, (1982)), pero es posible que sólo sepan que la secuencia de conteo5 se compone de números, y que éstos han de repetirse siempre en el mismo orden (por ejemplo, Baroody (1986), Fuson (1988)), sin que por ello se infiera una cierta comprensión conceptual como, por ejemplo, que el orden de emisión de los términos de la secuencia se mantiene constante a lo largo de sucesivas aplicaciones de la misma, o que cada elemento de la lista es único, es decir, aparece una y sólo una vez a lo largo de la emisión de la secuencia (Fuson, 1988). De aquí llegamos a deducir que existe, en primer lugar, un conocimiento memorístico en el recitado de la secuencia, y en segundo lugar se alude a una comprensión conceptual de la misma; dicha comprensión implica dos aspectos básicos: por un lado está el orden en el que aparecen los términos en el recitado, el cual es una propiedad invariante, lo que hace que los numerales estén entrelazados por una relación de "siguiente"; y por otro lado está la propiedad antisimétrica que nos garantiza que los elementos de la secuencia numérica no se repiten en el recitado, de forma esquemática viene expresado en la siguiente tabla:

Conocimiento memorístico Comprensión conceptual

• La secuencia numérica se compone de términos que se repiten siempre en el mismo orden

• Orden de los términos de la secuencia: propiedad invariante. Relación de siguiente.

• Propiedad antisimétrica: los elementos no se repiten.

Fuson, Richards y Briars (1982) realizan un estudio longitudinal transversal, que comprende desde los dos años hasta los ocho, para analizar la adquisición y elaboración de la secuencia de numerales. Aunque estas dos fases son diferentes, en algún momento llegan a solaparse, ya que se precisa un largo período para adquirir y

4 La secuencia numérica como componente del conteo, ha de coordinarse con otro aspecto importante: la correspondencia uno a uno. 5 Ver Anexo 3.2.


consolidar la secuencia estándar de numerales. Por ejemplo, puede comenzar el proceso de establecimiento de relaciones entre los primeros términos de la secuencia, mientras que se está alargando el tamaño de la misma; en otras palabras, el primer fragmento de la secuencia puede estar en fase de elaboración, mientras que el extremo final de la misma está en plena fase de adquisición. Durante la fase de adquisición, se realiza el aprendizaje de la secuencia convencional y el niño comienza a aplicarla en situaciones de conteo. En esta fase la secuencia funciona como una estructura global unidireccional que consta de los siguientes fragmentos: una parte inicial estable y convencional; a continuación un fragmento estable no convencional; y la parte final, compuesta por fragmentos que no son convencionales ni estables Para Fuson et al, dentro de las porciones no estables de la secuencia existen series crecientes ordenadas ya que la mayoría de los fragmentos estables no convencionales difieren de la secuencia convencional tan sólo en la omisión de alguno de sus elementos. En la fase de adquisición se dan tanto errores de omisión como de repetición. En los primeros se respetan algunos esquemas lógicos de ordinación, por ejemplo se mantiene el orden creciente de los números en el recitado de la secuencia; mientras que en algunos errores de repetición, los que Baroody (1986) llama "errores de reciclaje" (por ejemplo, "1, 2, … 9, 1, 2, …") se manifiestan algunos esquemas lógicos de la secuencia convencional como puede ser la aparición del esquema cíclico de la seriación. En la fase de elaboración, los vínculos entre los elementos de la secuencia se fortalecen y los términos contiguos (junto a la relación que los entrelaza) pueden emitirse al margen de la secuencia global. De este modo, cada término de la secuencia puede emplearse como elemento de apoyo para recordar el término inmediatamente anterior o posterior. La fase de elaboración, según Fuson y otros (1982), se subdivide en cinco niveles6.

Adquisición Elaboración

• Aprendizaje del recitado de la secuencia numérica

• Iniciación en la aplicación de situaciones de conteo

• La secuencia consta de tres fragmentos.

• Nivel cuerda • Nivel cadena irrompible • Nivel cadena fragmentable • Nivel cadena numerable • Nivel cadena bidireccional

En otro orden de cosas y siguiendo con la secuencia numérica como componente del conteo, nos vamos a centrar en un aspecto importante del que hasta ahora no hemos hecho mención y es lo relativo al carácter convencional o social de los términos.

6 Ver Anexo 3.3, de los Anexos III


La cuestión que queremos abordar en este momento es ver si cualquier "lista" vale para contar o si, por el contrario, la "secuencia numérica" goza de un estatus especial que la hace insustituible. Respecto a la cuestión planteada nos encontramos con diferentes posturas: así para Gelman y Gallistel (1978) con el principio de orden estable, para Wagner y Walters (1982) quienes distinguen una forma "fuerte" y otra "débil" del mismo principio, así como para Saxe(1981), cualquier lista vale, mientras que autores como Song y Ginsburg (1988) o Fuson (1988 a) defienden que la secuencia de numerales es insustituible. Ante esta discusión, nosotros nos centraremos en el uso de la secuencia numérica frente a cualquier otra lista, y ésto por varias razones:

• Es un aprendizaje temprano en el niño, si se quiere por razones

socioculturales. • La serie numérica tiene caracteristicas estructurales propias-intrinsecas que

no tiene cualquier otra serie a no ser que se le aplique un isomorfismo estructural a una secuencia de diez dígitos pero que ya nos alejaríamos del conocimiento incipiente, en el niño, del recitado de la secuencia.

Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian (1989) realizan un interesante trabajo para determinar las diferencias evolutivas en la comprensión mostrada por los niños acerca de la naturaleza arbitraria de los numerales en tanto que son símbolos culturales. Analizan directamente la comprensión mostrada por los niños respecto a la posibilidad de sustituir la lista de numerales estándar por una lista de símbolos diferenciables (el alfabeto, por ejemplo). Los resultados de Saxe et al. revelan que la mayoría de los niños de seis años son capaces de apreciar la necesidad de la correspondencia uno a uno y la arbitrariedad de los símbolos numéricos, de modo que los niños advierten progresivamente que en tanto se preserve el principio de correspondencia uno a uno cualquier lista de símbolos puede servir para realizar el conteo. Fuson (1988 a) justifica que la secuencia de numerales es insustituible según cuatro puntos de apoyatura:

1. La información aportada por algunos estudios en los que se muestra que los niños conciben la lista convencional de numerales como un instrumento que ninguna otra lista puede sustituir.

2. El hecho de que los niños juzguen como erróneos los conteos en los que una marioneta no aplica debidamente la secuencia de conteo.

3. El segmento estable convencional que encabeza todas las secuencias emitidas por los niños (incluso a partir de los dos años y medio), ya que reflejan los intentos realizados por los mismos para aprender "la lista especial" de conteo

4. La anterioridad de las secuencias estables sobre la comprensión de la cardinalidad.

No podemos dejar de considerar las aportaciones de Song y Ginsburg (1988) con sus estudios sobre la naturaleza de los elementos de la secuencia de conteo. En estos estudios transculturales se observa que en casi todos los lenguajes los numerales hasta


100 se producen a través de un sistema basado en reglas para combinar unidades y decenas7

Carácter arbitrario Carácter insustituible

• Gelman y Gallistel: principio de orden estable

• Warner y Walters: forma “fuerte” y “débil” del mismo principio.

• Saxe: cualquier lista vale.

• Fuson: segmento estable y convencional que encabeza todas las listas, anterioridad de la secuencia estable a la cardinalidad, etc.

• Song y Ginsbug: sistematización. Existen otras posturas como la adoptada por Riley, Greeno y Gelman (1984), según las cuales los números están ligados, simplemente, por una relación de siguiente y no por estructuras concretas. Por nuestra parte, cabe señalar, que adoptaremos posturas al respecto cuando analicemos la secuencia numérica bajo la óptica de la estructura lógica de seriación, según la cual los términos de la secuencia estarán entrelazados por la relación de siguiente (i.e. encadenamiento aditivo) que a su vez, y por aparecer en esta seriación aspectos cíclicos, conducirán a la construcción operatoria de la estructura subyacente en la sistematización de la secuencia numérica. Para finalizar este apartado debemos hacernos eco de los planteamientos expuestos sobre la memorización de la secuencia. Autores, ya citados, como son : Song y Ginsburg (1988), Fuson y Hall (1986) ó Baroody y Ginsburg (1986), defienden el aprendizaje memoristico de la secuencia al menos en lo concerniente al tramo 1-10, ellos entienden que la habilidad numérica temprana de los niños se debe a la creación de hábitos y proponen que la aplicación mecánica del procedimiento de conteo va siendo paulatinamente modificada por la comprensión del mismo, comprensión que pasa por la coordinación e integración de todos los principios del conteo. En una segunda línea se encuentran las posturas de Gelman y Gallistel (1978), Gelman y Meck (1986) ó Wagner y Walters (1982); para ellos no hay simplemente aprendizaje memorístico sino que éste va acompañado de una cierta comprensión previa. Concretamente Gelman y Meck (1986) defienden que si los niños no dispusieran del principio de orden estable, el aprendizaje de la secuencia sería memorístico y carente de sentido, lo que no sólo dificultaría el aprendizaje, sino que lo convertiría en una tarea altamente lenta y costosa. El siguiente cuadro (figura 7) resume esquemáticamente el estudio precedente.

7 Ver Anexo 3.4.


Figura 7. Conceptualización de la secuencia numérica contextualizada en las teorias de Procesamiento de

la Información

5.2.Carácter funcional de la secue ncia numérica en un contexto ordinal. Es importante observar que la habilidad de contar no tiene una meta en sí misma, sino que se trata de un comportamiento instrumental, es decir, de una estrategia, extraordinariamente potente, en el desarrollo matemático del niño. Con respecto al conteo existen dos líneas de investigación: por una parte está la conceptialización y por otra su carácter funcional.

Las investigaciones que tratan la conceptualización se interesan, sobre todo, por cómo los niños comprenden y coordinan cada uno de sus componentes, así como el curso evolutivo que suelen seguir para adquirir esta habilidad (p.e. Baroody y Ginsburg, 1986; Becker, 1986; Frye et al., 1989; Fuson y Hall, 1983; Gelman y Gallistel, 1978; Wagner y Walters, 1982; etc.).

Paralelamente a estas investigaciones, centradas en el estudio del conteo exclusivamente, existen otras en las que se pretende determinar la capacidad de los niños para resolver problemas en los que el conteo se usa como procedimiento (p.e. Becker, 1989; Cowan y Danields, 1989; Fuson et al. 1983; Sophian, 1988, etc.). Debemos reseñar que algunos estudios que buscan determinar el conocimiento del valor funcional del conteo parecen inducir un nuevo giro hacia posturas tradicionales, como la encabezada por Piaget y Szeminska (1941). En esta línea se sitúan trabajos como los de Clement y Callahan (1983) mostrando cómo se pueden aprovechar diversas situaciones de conteo, debidamente estructuradas y significativas,

Memoristico Comprensión conceptual

Adquisición Elaboración

Carácter arbitrario Carácter insustituible

Relación de siguiente Relación estructural

Conceptualización de la secuencia numérica


para fomentar la comprensión y el uso del conteo, que a su vez mejoraría el nivel de rendimiento de los sujetos tanto en tareas numéricas como en tareas lógicas al más puro estilo de Kamii (1986). La secuencia numérica ha sido analizada, en el apartado anterior, como una componente del conteo y, a su vez, éste ha sido tratado como un procedimiento en sí mismo en el ámbito de conceptualización aludido anteriormente. En este apartado realizaremos un giro en dicho tratamiento, y así, miraremos hacia el valor funcional; de este modo, y volviendo a retomar la secuencia numérica como una componente del conteo, trataremos de exponer cómo se manifiestan los nexos lógicos entre los términos de la misma a través de su uso. Por ello, lo que pretendemos es usar el valor funcional del conteo para establecer relaciones ordinales entre los numerales de la secuencia. Por tanto siempre que hablemos de componentes lógicas subyacentes a la secuencia numérica nos estaremos refiriendo a las relaciones ordinales entre sus términos, y no será objeto de estudio de esta investigación la lógica subyacente al aspecto cardinal del número natural. La funcionalidad del conteo para determinar el cardinal de un conjunto ha sido objeto de estudio en destacadas investigaciones tales como las de: Gelman y Gallistel (1979), con el establecimiento del principio de cardinalidad; Klahr y Wallace (1976), con el conteo como "operador cuantificador"; ó Schaeffer et al. (1974), con la determinación de los estadios mediante el criterio de la cardinalidad a través del recuento. Así como el aspecto cardinal del número natural ha sido tratado con profundiad en las teorias procesuales sobre la funcionalidad del conteo, no hemos encontrado un tratamiento similar en todo lo concerniente al aspecto ordinal, considerándolo en un estado "puro" sin contaminaciones con el cardinal. La mayoría de los trabajos encontrados en la literatura con relación al carácter funcional del conteo en cuanto a la ordinalidad lleva como soporte mental la cardinalidad, es una comparación ordinal cuantitativa; cada número de la secuencia representa, a priori, el cardinal de un conjunto para después realizar la comparación entre los términos, por tanto, dicha comparación se da entre magnitudes y no en cuanto a posición en la secuencia numérica. Esta visión se enmarca dentro de la construcción lógica de Bertrand Rusell: el número natural se define a través de cardinales finitos y posteriormente se definen las relaciones de orden. En esta línea se sitúan los trabajos de Bermejo y Lago (1991) para estudiar el carácter funcional del conteo en las tareas de orden. Parece ser, según estos autores, que esta es una forma útil de evitar el conocimiento puramente memorístico de la secuencia de numerales; sostienen la idea que si en una tarea no interviene la cardinalidad los niños no son capaces de establecer comparaciones ordinales entre los numerales ya que éstas adquieren la forma "más/después" y "menos/antes" donde el cardinal y el ordinal aparecen, de nuevo, interrelacionados por una relación isomorfica “suigeneris”.


En consecuencia, parecen habituales las tareas en las que se adopta la forma en la que se comparan dos números que representan dos números cardinales obtenidos previo conteo, se tratan de las habituales tareas de comparación de magnitudes (Ashcraft, 1983; Bermejo y Lago, 1991; Cowan, 1987; Fuson, 1982; Fuson, Secada y Hall, 1983; Knight y Beherens, 1988; Sophian, 1988b; Russac, 1978). Sin embargo, y en contraposición a estos trabajos defendemos la hipótesis H3 de nuestra investigación relativa a las tareas óptimas en las que se pone de manifiesto exclusivamente las relaciones ordinales entre los términos de la secuencia numérica, ésta consiste en la resolución, por parte del niño, de problemas concretos sobre el número ordinal, i.e. determinar la posición misma de un término en una serie (que previamente se ha considerado como un conjunto contable, para continuar siendo un conjunto ordenado) mediante la secuencia numérica8.

Si proponemos al niño tareas en las que a través de la secuencia numérica tiene

que determinar una posición ordinal de un elemento en un conjunto contable, estaremos evaluando sólo y exclusivamente las competencias ordinales del sistema a través de su uso. Estas tareas son relevantes para nuestro estudio frente a otras en las que el recitado de la secuencia puede ser memorístico y si ponemos al niño simplemente a contar objetos nos resultaría difícil evaluar si establece o no relaciones lógicas entre sus términos; o bien, si proponemos las habituales tareas de comparación de magnitudes estaremos evaluando el "isomorfismo" entre la cardinalidad y la ordinalidad (i.e. "a es mayor que b si y sólo si a es posterior a b"; y "a es menor que b si y sólo si a es anterior a b") y nos alejaríamos de nuestro objetivo que no es otro que la comparación de dos términos cualesquiera de la secuencia a través de la posición ordinal que ocupan en ésta.

Este tipo de tareas del uso funcional ordinal de la secuencia numérica supone: 1 La aplicación práctica a través de la acción de contar de las propiedades

internas del sistema, i.e. términos de la secuencia numérica y operaciones lógicas ordinales entre ellos.

La secuencia numérica, en sí misma, constituye un conjunto contable; y las mismas competencias lógicas entre los numerales de la secuencia son trasladadas a los objetos de un conjunto contable, y viceversa, cuando se realiza la acción de contar. Esto es así porque el esquema de actuación permite establecer una biyección entre el conjunto contable y un tramo de la secuencia numérica mediante la cuál queda ordenado el conjunto. Una vez establecido el orden en el conjunto se puede establecer relaciones ordinales entre sus elementos.

Estas relaciones serían tanto comparativas como clasificatorias:

• Los aspectos comparativos llevarían a la consideración de que los objetos del conjunto contable constituyen una serie aditiva (i.e. sucesión de siguientes), así cada elemento, excepto el primero, es el siguiente de otro, y colateralmente, cada elemento, excepto el último (si el conjunto es finito) es anterior a otro, y que por lo tanto cada elemento (excepto el

8 Dicha hipótesis quedará probada con el estudio empírico cualitativo de esta investigación.


primero y el último) está "entre" otros dos elementos del conjunto contable.

• Los clasificatorios, junto con los comparativos, hacen que se obtenga dos clases de equivalencia a partir de un elemento determinado del conjunto contable y ya ordenado: la clase de todos los elementos que le anteceden y la clase de todos los que le suceden.

Las relaciones ordinales entre los elementos del conjunto pueden ser trasladadas mentalmente a los términos de la secuencia que están emparejados con cada uno de esos elementos y con ello conseguiríamos que los niños establecieran relaciones ordinales entre esos términos. En definitiva, las competencias lógicas de la secuencia numérica son, de este modo, trasladas al estudio de la ordinación numérica y planteada, ésta, en el plano de la numeración verbal con un material concreto como base y susceptible a la seriación.

2 Se pasa de un recitado memoristico de la secuencia numérica al valor funcional

de la misma en la resolución de problemas ordinales.

Los objetos del conjunto contable son tangibles y los niños "razonan" mejor sobre la acción que con un simple recitado de la secuencia. Es el paso de la interiorización de la verbalización a través de la acción, pues como asegura Piaget (1941)

"La verbalización se hace mucho más segura y fecunda cuando se realiza en el momento mismo de experiencias efectuadas por medio de un material adecuado, y cuando el niño, en vez de reflexionar en el vacío, antepone ante todo su propia acción y la comenta" (p. 9).

Todo ello supone la necesidad de presentar pruebas experimentales para la investigación con un soporte gráfico, perceptivo y manipulativo, en los que, a través de la acción, el niño pueda manifestar los esquemas lógico-matemáticos implícitos en la secuencia numérica.

En definitiva, tenemos que, el valor funcional ordinal de la secuencia numérica se manifiesta cuando, con la acción de contar, los niños tienen que resolver problemas de ordinación. El planteamiento de dichos problemas llevaría implícito: la manipulación de objetos; la traslación mental de las relaciones ordinales entre los términos de la secuencia a las relaciones ordinales entre los objetos tangibles del conjunto contable; pero, sobre todo, llevaría implícito un medio de análisis para el sujeto que generaría estrategias a la vez que pone en conexión los datos del problema para llegar a la solución, dando, así, un significado distinto a los términos de la secuencia numérica a la que supone la mera etiquetación. El estudio que en esta investigación se lleva a cabo sobre el carácter funional ordinal de la secuencia numérica queda contextualizado en el siguiente esquema (figura 8):


Figura 8. Carácter funcional ordinal de la secuencia numérica.

6. Secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano Remitiéndonos a las tareas propias piagetianas relativas a la estructura lógica de seriación, nos encontramos con términos y expresiones claves en esta teoría como son, entre otros, los siguientes:

• Anticipar • Encadenamiento aditivo • Intercalar un elemento en una serie. • Un elemento en una serie es diferente en un sentido al anterior y diferente

en otro sentido al posterior. • Seriación operatoria • Sistematización de la serie • Primer elemento • Ultimo elemento • Seriación cíclica • Alternancia.

El análisis didáctico de la secuencia numérica desde el punto de vista de la estructura lógica de seriación se basará en esos conceptos.

Cardinal Ordinal

Carácter funcional

Principio de cardinalidad

Operador cuantificado

r Estadios de Schaeffer

Comparación de magnitudes

Determinación del número

ordinal

Conceptualización

Comprensión

y Coordinación

de sus componentes

Curso evolutivo

Establecimiento de relaciones ordinales en la secuencia numérica

CONTEO


Por ser el estudio de la estructura lógica de seriación un análisis genético, el tratamiento de la secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano lleva consigo el estudio de las capacidades necesarias que el niño debe manifestar para llegar al establecimiento de las relaciones intrínsecas de un elemento (posición relativa) de la secuencia con todos los demás. En el cuadro siguiente (fig. 9), aparece de forma esquematizada el paso de la seriación a la sistematización de la secuencia, entendiendo las casillas que aparecen en las partes intermedias como capacidades seriales que el niño debe aplicar para llegar a dicha sistematización. La expresión “sistematización de la secuencia” se traduce en terminología piagetiana como alcanzar el éxito operatorio de la serie, y el éxito operatorio, en nuestro estudio, es el establecimiento de relaciones ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Figura 9. Sistematización de la secuencia numérica en el contexto de la seriación operatoria.

Las capacidades seriales consisten en lo siguiente:

1. Relación asimétrica.

Se alude a la comparación a través de la terminología ordinal: anterior, siguiente, predecesor, posterior, consecutivos, antes de, después de, anteriores,

Seriación

Encadenamiento aditivo

Generar series

Relación asimétric

Lugar determinado

Todo elemento es primero y primero

Primer y último elemento

Por seriación doble y cíclica

Alternancia Cíclica Arbitraria

SISTEMETIZACIÓN DE LA SECUENCIA

NUMÉRICA

Existencia der primero y último:

Tramo finito

El cero no tiene antecesor

Ausencia del último elemento:

serie infinita


siguientes, etc., de dos términos cualesquiera de la serie. Se trata de advertir las diferencias existentes entre dos elementos de la serie relativos a su posición ordinal

2. Encadenamiento aditivo.

Esta capacidad alude al proceso de construcción de una sucesión de siguientes: A un elemento le continúa otro elemento y a éste otro y así sucesivamente hasta completar toda la serie9. La aplicación de estos esquemas a la secuencia numérica pasa por el entendimiento de que el primer tramo de la secuencia (del 0 al 9) constituye un ciclo a partir del cuál, y con una regla de combinación, se genera toda la serie de números naturales. Dicha regla conlleva, a su vez, la aplicación de la seriación doble según se muestra en el apartado 2 del Anexo 3.5.

Las actividades del encadenamiento aditivo plantean cuestiones como estas:

continuar una serie dada, encadenar elementos, averiguar el siguiente de un número, etc. Para la planificación de las mismas debemos tener en cuenta la génesis del conocimiento y estudiar la evolución que presentan los niños ante tareas de seriación. En este sentido tenemos las siguientes fases:

I. Exito operatorio en las tareas de realizar series sencillas en las

que no hay relación de orden II. Exito operatorio en las tareas de reconstrucción de una serie con

un criterio antisimétrico y transitivo, como por ejemplo ordenar bastones de diferentes tamaños en orden creciente. La razón de no incluir en este apartado las series numéricas, es porque las estamos estudiando como sucesiones de términos con carácter ordinal en la que no intervienen la relación de orden "menor o igual que" dada por el cardinal.

Esto significa que los niños consiguen dominar antes las series en las que el criterio es sencillo y convencional frente a las series que se construyen a partir de una relación de orden10.

3. Primer y último elemento.

Esta capacidad advierte que en algunas series finitas existen primer y último elemento. El “primero es anterior a todos” y el “último es posterior a todos los demás”. Para que una serie finita tenga primer y último elemento tiene que estar "bien ordenada", es decir debemos disponer de una "buena ordenación" y “orden total” en la serie.

El primer elemento indica por dónde se debe iniciar la serie y el último dónde termina. ya que éstos son, respectivamente, el anterior y el posterior a todos los demás. Las actividades que conllevan estos esquemas son del tipo siguiente:

Construcción de una serie dando el primer y último elemento.

9 Ver apartado 1 del Anexo 3.5. 10 Ver apartado 3 del Anexo 3.5


Empezar la serie a partir de un término "a" y terminarla en "b" Decir "n" términos a partir de "a", hay que dar otro término "b"

como respuesta.

La asimilación de estos dos elementos caracteristicos de cualquier serie finita con diagrama lineal, manifiesta el inicio del éxito operatorio, puesto que identificar los elementos "a" y "b" como primero y último conlleva, entre otros, lo siguiente:

i) Advertir las diferencias existentes entre cada uno de esos

elementos con todos los demás. ii) Usar los términos que describe una serie en sentido comparativo

frente al uso de esos mismos términos en un sentido puramente de etiquetaje, y así indicar que "a" es el más pequeño de todos y que "b" es el más grande, o en un lenguaje puramente ordinal decir que "a" es anterior a todos y que "b" es el posterior.

iii) Hacer uso de la serie comparativa en los dos sentidos puesto que

un niño si se tiene que detener en el último elemento "b" debe reconocer el término "k" como anterior a éste para saber que el posterior de "k" es el último, y ésto conlleva hacer un uso simultáneo de los conceptos "anterior" y "posterior", o lo que es lo mismo de las relaciones "mayor que" y "menor que" en las ordenaciones, lo que implica la posibilidad de desarrollar la serie en los dos sentidos.

En resumen, la capacidad para identificar el primer y último elemento en

series finitas supone desarrollar el lenguaje subyacente a la seriación, cuyo éxito operatorio es la descripción de las series en los dos sentidos.

4. Todo elemento es primero y último.

Un término en una serie lineal es último elemento de todos los que le anteceden y primero de los que le suceden.

Esta capacidad se infiere de las series ordinales11, en las que intervienen

una relación de orden total; de todas ellas podemos decir que un elemento cualquiera es mayor que todos los anteriores y menor que todos los posteriores generalizando la relación de orden como: "menor o igual que".

Este esquema se puede generalizar a cualquier tipo de serie lineal usando

una terminología ordinal o de posición relativa, haciendo uso de la definición de primer y último elemento.

La identificación de cualquiera de estos términos supone el éxito

operatorio en la realización de series, puesto que ello determina un método sistemático para la construcción de las mismas; consistente, éste, en colocar en

11 Llamamos series ordinales a las series cuyo criterio es un orden, es decir que la relación lógica ordinal que genera la serie es antisimétrica y transitiva.


primer lugar el primer elemento, a continuación se coloca el primero de entre los restantes, etc., luego, en cada paso, el elemento que se coloca es tratado simultáneamente como primero y último: primero de los restantes y último de los que ya han sido colocados.

Estos esquemas que acabamos de dar para realizar actividades suponen

trabajar el concepto de "subserie" como aquella parte de la primera que a su vez es una serie, así como trasladar la aplicación de primer y último elemento de la serie a la subserie. Esto crea el mismo tipo de dificultades y conflictos cognitivos que se dan en la inclusión jerárquica cuando se considera una clase simultáneamente como una "parte" de un "todo" en una secuencia de la clasificación y como un "todo" cuando se vuelve a clasificar sobre ella; del mismo modo una subserie es un subconjunto de la serie cuyos elementos siguen un encadenamiento aditivo con el mismo criterio de sucesión que en la secuencia inicial, y es visto simultáneamente como una parte de la primera y como una serie en sí misma.

5. Lugar determinado.

Cada elemento ocupa un lugar determinado en la serie. Se alude a la capacidad de averiguar la posición que ocupaba un elemento dado aplicando distintos esquemas seriales:

Alternancia. En general, podemos indicar que en una alternancia, un elemento determinado se encuentra entre dos elementos de la clase contraria. Con ello se descubren algunas propiedades importantes de la secuencia numérica, como, por ejemplo, que cada número par está entre dos impares, del mismo modo que cada impar está entre dos pares,

Cíclicas. Una seriación cíclica tiene la particularidad de que

conociendo la posición de cada uno de los elementos que componen el ciclo se puede determinar el anterior y el siguiente de todos los demás; y esto no depende del número de objetos que lo integren. Cuando se repite un término de forma cíclica en una serie, a éste siempre le antecede y suceden los mismos elementos.

En el Anexo 3.6 se describe un método sistemático según el cuál

se puede obtener el anterior y siguiente inmediato de un número cualquiera con un número indeterminado de cifras. Lo importante es poner de manifiesto que el anterior y el posterior se calcula basándose en la posición que ocupa la cifra de las unidades del número en el ciclo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0, y teniendo en cuenta que cada vez que éste se completa se cambia de decena, cuando se completa las decenas se cambia de centena y así sucesivamente12.

12 Y por último aclarar que cuando escribimos (xi-1) ó (xi+1) en las cifras del número (ver Anexo 3.6) no se está indicando cantidad sino posición en el ciclo (anterior y posterior).


Arbitraria Se trata de averiguar el lugar que ocupa un término cualquiera y observar cómo se realiza la descripción de dicha posición. En este caso se pueden aplicar distintas estrategias:

Número ordinal. Significa realizar la descripción de

la posición relativa de un número de la secuencia usando la posición ordinal. Localización del anterior y el posterior. Se describe la

posición relativa de un número indicando el anterior y el posterior. Esquemas más evolucionados. Se describe la

posición de un número usando otro número dado como referencia.

6. Generación de series.

Se trata el proceso de generación de series aludiendo a criterios

ordinales13 En el Anexo A.8 se define una serie numérica con el criterio: "contar n-lugares en una serie dada" (a ésto lo hemos llamado Sn-1), es decir, hemos dado significado ordinal al criterio anterior.

Si combinamos este apartado con algunos de los anteriores podemos

obtener, por ejemplo, las tablas de multiplicar de esta forma:

Partimos de la secuencia de números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, … Contar dos lugares y con el dos como primer elemento: 2, 4, 6, 8, … Contar tres lugares y con el tres como primer elemento: 3, 6, 9, 12, … Contar cuatro lugares y con el cuatro como primer elemento: 4, 8, 12, 16,

… Y así sucesivamente.

En definitiva, podemos generar cualquier serie aditiva, por ejemplo, las

del tipo:

La serie de las decenas. Contar de diez en diez empezando por diez y terminando en 90, que es lo mismo que decir contar diez lugares con el diez como primer elemento y 90 como el último. Contar de diez en diez empezando por uno y terminando en 91. Contar de diez en diez empezando por dos y terminando en 92. Contar de diez en diez empezando por tres y terminando en 93. y así sucesivamente

En resumen, todas las series numéricas aditivas se pueden generar a

partir de la secuencia de números naturales usando un método de generación de carácter ordinal.

13 En el Anexo 3.8 se describe un proceso de generación de las series numéricas aditivas a partir de la secuencia de números naturales.


7. Consecuencias del análisis didáctico. Concluimos este capítulo con una exposición de los resultados y conclusiones que se deducen del estudio realizado. En los próximos dos apartados se relacionan los resultados y conclusiones de todo el estudio bajo dos enfoques diferentes: una reflexión general comentada y una síntesis global.

7.1. Reflexión general Recapacitando sobre la relación existente entre la interpretación y construcción del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos ordinales del número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series14, se llega a la conclusión de que dicho conocimiento no se aplica en el vacío, es decir, subyace a la sucesión de términos numéricos un entramado de relaciones lógicas ordinales que hacen posible la construcción del número natural en su aspecto ordinal. Tal y como se ha puesto de manifiesto en el análisis logicista de la secuencia numérica, a ella, se llega, a través de las relaciones ordinales que se dan en un sistema de progresiones. Por tanto la secuencia numérica, independientemente de la naturaleza de sus términos, posee un soporte conceptual ordinal para su construcción. Tener en cuenta ese soporte conceptual ordinal15 nos lleva a su integración en un sistema conceptual e interpretativo coherente. Dicha coherencia pasa por las concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo que remite inmediatamente a consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y didáctico. Las consideraciones epistemológicas se circunscriben al problema de la naturaleza, origen y el modo de existencia del número natural y de la aritmética elemental, de manera que la construcción de la secuencia numérica va a depender, en este punto, de las conclusiones que se establezcan en torno al problema mencionado. Tal y como se desprende del análisis didáctico, coexisten varios planteamientos epistemológicos sobre el número natural que condicionan el significado de construcción de la secuencia, estos son:

• La postura convencionalista está basada en los aspectos ordinales para la construcción del número natural. El soporte inicial es la acción de contar y la verbalización de la secuencia numérica. Para este enfoque, que parte de la estructura superficial sin considerar la estructura profunda, los numerales y los signos numéricos son convenciones, o normas, que actúan mediante unos criterios.

• La secuencia numérica en el seno de la corriente logicista se desarrolla

dentro del sistema de progresiones que, según Bertand Rusell (1982), coincide con el sistema de Peano y con el de Dedekind. Las relaciones

14 Son las relaciones lógicas-ordinales definidas a partir de las relaciones asimétricas y biunívocas de Bolzano. 15 Bajo la óptica de ese soporte conceptual ordinal hemos analizado la secuencia numérica en otros campos


ordinales y el número ordinal bastan para desarrollar la secuencia y el número natural. Existen modelos de construcción de la secuencia numérica que no precisan de la definición previa de los términos numéricos y, por tanto, son independientes del número cardinal.

• Para la epistemología genética el número natural es síntesis de dos

estructuras operatorias: clasificación y seriación. Como consecuencia, el número es cardinal y ordinal construyéndose ambos aspectos simultáneamente, es por ello que se da la correlación entre ambas génesis. La estructura operatoria de seriación deriva en la ordinación16 y, entonces, el tratamiento de la secuencia numérica, en este modelo, es el de una serie.

Las diferentes posiciones epistemológicas ante el número natural condicionan la

transmisión escolar de la aritmética, pero en todos los casos la secuencia numérica es importante para su aprendizaje. Nos encontramos con prioridades opuestas como:

• Prioridad del número ordinal. Atendiendo a la Fenomenología de

Freudenthal, el número para contar es el pilar sobre el cual se sustenta toda la Matemática y también su Didáctica, siendo el número para cardinar matemática y didácticamente insuficiente.

• Prioridad del número cardinal. Se intenta una construcción lógica de la

aritmética a partir de nociones previas a la de número como es la noción de conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad. Dienes es defensor de este modelo.

En cuanto a las consideraciones psicológicas, en el estudio del desarrollo del

número en el niño han aparecido dos grandes líneas de investigación, que se han proyectado igualmente en los trabajos sobre enseñanza y aprendizaje de éste concepto: por una parte el modelo lógico piagetiano y, por otra, el modelo de integración de habilidades seguido ampliamente en nuestros días (véase, por ejemplo, Kints 1988, Schaeffer y otros, 1974; Unglaub, 1997.)

Desde una perspectiva del desarrollo del conocimiento (que está en relación con los planteamientos de la epistemología genética), hemos de basarnos en la psicología evolutiva de Piaget. En este modelo la evolución del desarrollo infantil suele ser más exigente, preocupándose menos de la precocidad de sus adquisiciones que de la madurez cognitiva de las mismas. En cambio, el enfoque de procesamiento de la información favorece más bien la detección de la precocidad y la cuantificación de lo adquirido. Tanto la correspondencia uno a uno como la secuencia ordenada de numerales son componentes propias de los modelos procesuales del conteo (Gelman y Gallistel, 1978) presentándose en los dos principios: de correspondencia uno a uno y de orden estable. Uno de los rasgos definitorios del principio de correspondencia uno a uno es que todos los elementos gozan de igual status (i.e. no tienen propiedades, o las pierden, que permitan a un elemento constituirse en distinto o diferenciable de los demás cuando

16 Terminología usada por Piaget para referirse al aspecto ordinal.


va a ser etiquetado), mientras que en el principio de orden estable los elementos se caracterizan por las relaciones de orden que mantienen con los inmediatamente anteriores y posteriores, que los hacen únicos e irrepetibles (Gelman y Gallistel 1978, Fuson et al. 1982, Baroody 1986, Fuson 1988). Esta interpretación de los principios está estrechamente relaciona con la concepción del número según Piaget (identificando, el principio de correspondencia uno a uno con la inclusión jerárquica y el del orden estable con la seriación). Piaget concibe el número como resultado de la síntesis de la clasificación y la seriación, ya que cada número es un todo formado por elementos, que son al mismo tiempo equivalente (clasificación), y distintos, por lo que están también seriados u ordenados (véase, para más detalles: Piaget y Szeminska 1941, Flavell 1982, Kamii 1982, Fuson 1988). En consecuencia, la adquisición del número estará estrechamente ligada con la inclusión y la seriación, tal como afirman Piaget y Szeminska (1941):

"La clase, la relación asimétrica y el número son tres manifestaciones complementarias de la misma construcción operatoria aplicada sea a las equivalencias, sea a las diferencias, sea a las equivalencias y diferencias reunidas" (p. 235).

Aunque se dan las relaciones anteriormente indicadas entre los modelos procesuales y la teoria lógica de Piaget, debemos hacer hincapié en que ambos marcos teóricos no son paralelamente comparables. El primero permite la creación de un modelo de conteo mientras que el segundo hace referencia a la construcción conceptual y operatoria del número en el niño. En el primero se parte del conteo, como una concepción primaria en el desarrollo del número (teniendo en cuenta que esta habilidad suele aparecer tempranamente en el desarrollo infantil), a partir del cual se llega a la comprensión de su significado en cuanto operador cuantificador y la generalización de su uso a diferentes tareas o contextos (Klahr y Wallace 1976, Saxe 1977, Sophian 1987); es decir, esta referencia teórica desembocaría en la construcción de modelos de desarrollo del número partiendo de la acción de contar y usando el propio conteo como un "operador cuantificador" (Klahr y Wallace 1976), mientras que el segundo marco teórico considerado rechaza las posturas de conteo. Piaget y Szeminska (1941) restan todo interés al conteo memorístico del niño preescolar porque el concepto de número piagetiano es abstracto, surgido del funcionamiento de la abstracción reflexionante, y muy distinto, por tanto, del concepto práctico o empírico que suele adquirirse precozmente, gracias a al abstracción simple. En consecuencia, el conteo conceptual u operatorio sería una habilidad que el niño alcanzaría sólo después de haber consolidado lógicamente la correspondencia biunívoca, la conservación y el número. Esta postura es contraria a la de muchos autores quienes afirman que el conteo, la cardinalidad y otras habilidades numéricas inciden en la conservación y otras estructuras operatorias (Acredolo 1982, Fuson 1988, Gelman 1982, Saxe 1979, Siegler 1981, Souviney, 1980, etc.), y todo ello debido a diferencias en la concepción misma del conteo con referencia a la postura piagetiana.

Por tanto, si tomamos como marco referencial la teoria de procesamiento de la información, el análisis de la secuencia numérica pasa por ser considerada como una


componente del conteo; mientras que si tomamos como referencia las teorías lógicas, pasaremos a estudiar la secuencia numérica como una serie bajo la estructura de seriación, sería aplicar el estructuralismo de Piaget a la secuencia numérica como serie.

7.2. Síntesis de conclusiones.

Las principales conclusiones del estudio se pueden resumir en los siguientes apartados y puntos concretos: 1. Secuencia numérica y relaciones lógicas ordinales en el origen del número natural.

C1 Que los números naturales están dados en secuencia es el único punto incuestionable en todas las teorías explicativas del origen del número. La interpretación de su papel elaborador depende de la concepción epistemológica del número natural.

C2 Para el convencionalismo, el principio del número radica en la secuencia

numérica y en la acción de contar, la serie ordinal es suficiente para construir el número.

C3 Para los logicistas existen conceptos primarios que determinan la

secuencia numérica y por tanto el número. Estos tienen como referencia relaciones seriales17 como son las asimétrica-biunívocas de Bolzano o las asimétricas-transitivas de Vivanti-Gilman.

C4 Desde la epistemología genética, el problema de construcción de la

secuencia numérica sólo puede ser resuelto en función de su desarrollo. 2. Secuencia numérica y enseñanza del número en la escuela.

C5 Las distintas interpretaciones epistemológicas sobre la secuencia numérica se han reflejado en la enseñanza del número en la escuela, así, los planteamientos conjuntistas introducen los conceptos de cardinal y de correspondencia, produciéndose intentos de reducir la aritmética a la lógica y el número natural a las clases; mientras que los planteamientos aritmetistas abogan por el número ordinal.

C6 En cuanto al número cardinal, se intenta una construcción lógica de la

aritmética a partir de la noción de conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad.

C7 En cuanto al número ordinal, se intenta que la secuencia numérica18 sea

matemátia y didácticamente suficiente. 17 Relaciones que generan series o progresiones. 18 Se identifica, según la Fenomenología de Freudenthal, con el número para contar.


3. Secuencia numérica y desarrollo del número en el niño en los modelos: piagetiano, y procesamiento de la información.

C8 Desde el modelo piagetiano se puede analizar la estructura lógica de

seriación subyacente a la secuencia numérica. C9 Desde el procesamiento de la información, la secuencia numérica se

analiza como componente del conteo pero sin tener en cuenta las relaciones lógicas ordinales que existen entre sus términos. En este modelo, las investigaciones sobre la funcionalidad del conteo apuntan hacia el “operador cuantificador”, comparando los números cardinales para posteriormente localizarlos en la secuencia.

C10 Las relaciones lógicas ordinales no han sido objeto específico de estudio

ni en el modelo piagetiano, ni en el modelo de integración de habilidades (procesamiento de la información).

C11 Es posible determinar tareas específicas del número ordinal que reflejen

las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica sin tener que tratar estos términos como magnitudes.

Se confirma la bondad de las hipótesis:



Los resultados y conclusiones del análisis didáctico basados en el análisis epistemológico aportan evidencias que sostienen la hipótesis H1.

H2. Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto

ordinal del número natural frente a su aspecto cardinal.

La bondad de esta hipótesis queda de manifiesto cuando se analiza la Fenomenología de Freudenthal y se aboga por el número para contar.

H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación

de Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.

Esta hipótesis se sostiene gracias a los resultados y conclusiones

del análisis didáctico en cuanto a los análisis de: epistemología genética y la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica.

H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones

lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.


La bondad de esta hipótesis es evidente gracias al análisis didáctico basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia numérica.

La confirmación de estas hipótesis es garantía del logro de los distintos objetivos

propuestos en el apartado 2 de este mismo capítulo. El análisis didáctico efectuado proporciona un marco teórico en el que establecer

un modelo evolutivo teórico del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica. Dicho modelo se presentará en el capitulo V una vez que conozcamos los resultados del estudio exploratorio cualitativo.

CAPITULO IV ESTUDIO EXPLORATORIO CUALITATIVO

1. Introducción. En aras al problema de investigación planteado en cuanto a la pretensión de estudiar la evolución de las relaciones lógicas-ordinales, creemos necesario realizar un estudio exploratorio de carácter cualitativo basado en la observación de los comportamientos individuales, de un grupo reducido de niños seleccionados al azar, ante situaciones ordinales. En el mencionado estudio interviene una muestra formada por 27 niños con edades comprendidas entre los 3 y los 5 años realizando la entrevista sobre relaciones lógicas-ordinales que figura en el Anexo IV de este informe. La prueba, cuya construcción y características se exponen en los apartados correspondientes de este capítulo, consta de tres tareas bien diferenciadas: a) aplicar una alternancia a los elementos de una serie dada, b) contar los elementos de la serie, c) realizar la correspondencia serial entre la alternancia y la secuencia numérica. Como se puede observar en el mencionado Anexo, la serie en cuestión es una escalera con 10 peldaños, la alternancia es colocar pan en un escalón sí y en otro no, y la correspondencia serial referida es: 1-sí, 2-no, 3-sí, 4-no, 5-sí, 6-no, 7-sí, 8-no, 9-sí, 10-no. Todas las tareas se han intercalado en la entrevista de manera que cada una de ellas puede aparecer en distintas partes de la misma según se vaya desarrollando con cada niño. En 4 años se realizan, en primer lugar, las tareas con 5 peldaños y después se pasa a 10, para 5 años lo hacemos desde el principio con 10, y para 3 años empezamos con 5 y, si la situación lo requiere, continuamos con 10. Podemos añadir que la entrevista es semiestructurada, con preguntas abiertas y múltiples con el fin de obtener las más adecuadas para una prueba definitiva que constaría de preguntas establecidas. El objetivo de la entrevista es ver como se manifiestan los niños ante la relación lógico ordinal de “siguiente inmediato” que se da entre dos términos consecutivos de la secuencia numérica mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación establecida por una correspondencia serial dada (Alternancia/Secuencia numérica).

Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo. 102

En esta correspondencia la alternancia tiene un papel fundamental: se usa como instrumento de comparación de los elementos de la otra serie. La correspondencia serial tiene otra finalidad: es una herramienta de análisis para el niño ya que se sustituye el acto de recitar intuitivamente toda la secuencia (de manera global) por una cierta reflexión sobre cada uno de sus términos particulares.

Aunque la alternancia va dirigida, fundamentalmente, al establecimiento de la relación lógica ordinal “siguiente inmediato” ya que únicamente los elementos consecutivos presentan la relación asimétrica de la serie, en la entrevista tratamos también el resto de las relaciones lógicas-ordinales, pero por la propia estructura de la misma (al considerar la alternancia) están siempre generadas por el “siguiente inmediato”. Cuando en la entrevista presentamos la cuestión: “si en a ocurre tal cosa ¿qué ocurre en b?”, esperamos del niño que manifieste algunas de las relaciones lógicas-ordinales que se dan en la secuencia. Así, si el niño parte de a para llegar a b, es decir, si el niño tiene en cuenta el dato del problema entonces podemos suponer que está aplicando algunas de estas relaciones: Primer y último elemento. Cuando a es considerado primer y último elemento a

través de una concepción global de la situación. Esta relación se daría siempre y cuando el niño contemple: “todos los posteriores a a hasta llegar a b”.

Entre. Esta relación se manifestaría si el niño tiene en cuenta sólo y

exclusivamente los términos de la secuencia numérica del tramo a-b. Primer elemento. Si combinamos el esquema de actuación: “todos los posteriores a

a hasta llegar a b”. con un “esquema acumulativo”, particularizando a cada término, cambiando la situación paso a paso, entonces a es considerado primer elemento ya que a partir de él se empieza a contar y a razonar, teniendo así una componente generatriz, pero al mismo tiempo esta categoría de primer elemento pasa al siguiente inmediato al ser contado éste, es decir, es el establecimiento paso a paso de un término que, al ser enumerado, pasa de ser “siguiente inmediato”de uno dado a ser el primero de una nueva división de la secuencia a partir del cual se puede empezar a contar.

Siguiente. Cuando se alcanza, por el método expuesto más arriba, el término b

entonces éste será el siguiente de a. Por tanto, aunque en la prueba hagamos hincapié en el siguiente inmediato, debemos considerar, por lo expuesto anteriormente, que las demás relaciones lógicas ordinales aparecen como generadas por aquella, y dependiendo del procedimiento que siga el niño podremos deducir que está estableciendo una u otra relación. El capítulo está dividido en cuatro partes: una primera sobre consideraciones generales en la que se expone el diseño del estudio cualitativo realizado. Las tres partes restantes consta del análisis de cada una de las tareas señaladas a las que hemos llamado


respectivamente: Alternancia (codificada con la letra A), Contar (codificada como C) y Secuencia Numérica/Alternancia. (codificada con las siglas S/A).

2. Propósito del estudio exploratorio Con este estudio pretendemos lo siguiente: • Construir un instrumento para detectar diferencias en las competencias lógicas

ordinales en niños de 3 a 6 años • Aportar nuevos elementos que junto con el análisis didáctico nos permita realizar un

modelo teórico y diseñar una entrevista con tareas que posibiliten:

1. Obtener evidencia empírica en la que los niños manifiesten relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie.

2. Establecer una escalabilidad entre las categorías de respuestas que

manifiesten la pertinencia e idoneidad de un modelo de desarrollo de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

• Construir una entrevista definitiva. Tomar decisiones para la construcción de la

misma • Búsqueda de preguntas adecuadas para la fase definitiva

Para ello es necesario:

Organizar la información recogida estableciendo categorías de respuestas Establecer un escalonamiento en las distintas categorías encontradas Estudiar la distribución de respuestas según la escala establecida Delimitar los patrones y regularidades que puedan ser de utilidad para la

construcción de un modelo teórico de desarrollo. Relacionar las categorías de respuestas con las edades Ver si se relacionan las respuestas entre sí o si son independientes

3. Metodología.

De acuerdo con los propósitos específicos del análisis cualitativo que vamos a realizar, los procedimientos y técnicas adecuados que consideramos para dicho estudio son, entre otros, la entrevista clínica individual semiestructurada y el análisis de tareas (Cohen, 1990, p. 377).

Para simplificar el trabajo decidimos unificar la entrevista y el análisis de tareas en

un solo procedimiento. Vamos a proponer a cada alumno entrevistado la realización de tres tareas manipulativas y con una cierta componente lúdica, que actúan como campo de observación y como soporte a la entrevista.


Cada tarea tiene una finalidad determinada para obtener un tipo concreto de

información. En el transcurso de la entrevista se provoca, intencionadamente, la interacción constante entre el entrevistador y el entrevistado, dependiendo el desarrollo de la misma de las respuestas de cada sujeto. Veamos, a continuación, algunas consideraciones generales sobre las tres tareas, la información que se pretende obtener con cada una de ellas y la justificación de las mismas desde el punto de vista de las relaciones lógicas-ordinales.

1. Alternancia. Al niño se le muestra una escalera con 10 peldaños, de 25 cm de

largo por 20 cm de alto aproximadamente, debe realizar y describir una alternancia (colocar pan en un escalón sí y en otro no). Al alumno se le muestra dos peldaños consecutivos, sin percibir la alternancia, y sabiendo lo que ocurre en el primero de ellos debe anticipar lo que sucederá en el siguiente inmediato. El procedimiento se repite con peldaños distintos. También se pide la comparación de dos peldaños cualesquiera.

Se pretende obtener información sobre los conocimientos y competencias del alumno ante la necesidad de establecer relaciones lógicas-ordinales no numéricas.

2. Contar. El niño debe contar los escalones, determinar una posición ordinal

cualquiera mediante el número correspondiente y determinar una posición ordinal a partir de otra dada como dato.

Se pretende recoger información acerca de hasta qué punto el recitado correcto

de la secuencia numérica es condición suficiente para que el niño sea capaz de establecer las relaciones lógicas ordinales necesarias para resolver un problema ordinal.

3. Secuencia numérica/Alternancia. El niño debe realizar la correspondencia serial

entre la secuencia numérica y la alternancia, describirla y determinar para cada posición las características definidas por la correspondencia serial. También debe anticipar qué ocurrirá en un escalón conociendo lo que ocurre en otro dado como dato, pero en este caso el dato que se da es numérico y el niño debe responder igualmente con una posición numérica de la secuencia describiéndola mediante la alternancia.

La información se refiere aquí a la capacidad de los alumnos de establecer la

relación lógica de siguiente inmediato entre dos elementos consecutivos de la escalera mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación establecida por la correspondencia serial dada.

Estas tareas se encuentran cuasi-escalonadas según los parámetros siguientes:

1. Relaciones ordinales previas al conteo 2. Relaciones ordinales en el conteo 3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta

El hecho de que un niño cualquiera de la muestra presente una de estas habilidades y

deje de presentar otras hará que sus respuestas se sitúen en una categoría u otra. Dichos


parámetros aparecen en una especie de jerarquización en el sentido del esquema siguiente:

Es decir, de mayor a menor sería:

I. Si un niño es capaz de establecer relaciones ordinales entre los términos de la secuencia numérica cuando la usa como herramienta para organizar y describir una situación ordinal con un material concreto manipulativo, entonces es capaz de contar estableciendo relaciones ordinales en el conteo así como indicar las mismas relaciones ordinales en series sencillas.

II. Si estamos en el supuesto que el niño realice correctamente el conteo y con ello

establece algunas relaciones ordinales entre los términos de la secuencia, entonces podría llevar a cabo relaciones ordinales entre términos de series sencillas pero no tendría porqué ser capaz de establecer relaciones ordinales entre los términos de la secuencia cuando la usa en un contexto manipulativo, concreto y ordinal combinándola con otra secuencia para la comparación de sus términos.

III. Por último, si un niño es capaz de reconocer el anterior y el posterior de un término

en una serie sencilla entonces no tiene porqué ser capaz de establecer las capacidades correspondientes a los otros dos parámetros. Estos parámetros se determinan sobre la base de las tres tareas propuestas en la

entrevista, de esta manera: La tarea de alternancia apunta hacia el primer parámetro considerado, el niño tiene

que comparar un lugar determinado en la escalera con el siguiente inmediato mediante una acción concreta

La tarea de contar está relacionada con el segundo parámetro, de manera que el niño

tiene que contar para determinar una posición ordinal numérica y usar el isomorfismo de orden de la secuencia para determinar el siguiente inmediato en la escalera.

La tercera tarea está relacionada con el tercer parámetro, el niño tiene que comparar

dos elementos consecutivos de la secuencia numérica usando como instrumento de comparación la alternancia y viceversa, es una síntesis de las dos tareas anteriores y consecuentemente el parámetro que determina englobaría a los dos anteriores.

3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta

1. Relaciones ordinales previas al conteo

2. Relaciones ordinales en el conteo


Con los datos obtenidos del desarrollo de la entrevista en cada una de estas tareas, cuyos detalles se describen en los apartados correspondientes de este capítulo, nos proponemos realizar el análisis cualitativo. EL procedimiento para llevar a cabo el citado análisis en cada una de las tareas queda sistematizado en los siguientes puntos:

1. Categorización de respuestas. Para cada una de las tareas propuestas se ha

realizado, a su vez, una categorización de tres bloques de actividades. Así, por ejemplo para la tarea de alternancia se han considerado los bloques: a). Realización de la alternancia, b) descripción de la misma cuando se deja de percibir y c) descripción de lo que ocurrirá (respecto a la alternancia) en una posición ordinal teniendo como dato otra. Para cada uno de los bloques de cada tarea se ha realizado una clasificación de respuestas atendiendo a que el niño realizara correctamente la actividad e introdujera estrategias y procedimientos relacionados con la secuencia numérica

. 2. Escalabilidad de respuestas. Dada la categorización de las mismas en cada una de

las tareas, se establece una escalabilidad entre la respuesta más evolucionada en la que el niño, además de dar la respuesta correcta, la justifica aplicando alguna relación lógica ordinal; y la menos evolucionada en la que no entiende nada.

3. Determinación de niveles. Dado que las respuestas presentan un escalonamiento y

que cada una de las tareas están divididas en distintos bloques, podemos realizar combinaciones de respuestas de los distintos bloques y con ello establecer niveles evolutivos en cada una de las tareas.

A todo ello se unirá un estudio general que sintetice los resultados obtenidos en

cada una de las tareas comparando los distintos niveles evolutivos, con lo que poder perfilar un modelo teórico de desarrollo de comprensión de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.

4. Elección y distribución de la muestra

La muestra de escolares para la realización del estudio exploratorio sale de un centro con unas características generales cercanas a la mayoría. El criterio para la elección de dicha muestra viene dado por una distribución por edades dentro de cada año de nacimiento.

El centro es un colegio público urbano de una ciudad de unos cuarenta mil

habitantes. Está ubicado en un barrio que muy bien puede representar a uno cualquiera de esta ciudad, y en el que no existe conflictos sociales ni de marginación.

Una vez que el investigador ha sido presentado a los niños por sus maestras

correspondientes, éstos se ofrecieron voluntarios para realizar la entrevista y entre ellos fue elegida la siguiente composición de la muestra:

3 Años 8 niños 4 Años 8 niños 5 Años 11 niños.

Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.

107

Con un total de 27 escolares

5. Materiales

El material empleado en esta prueba consta de:

• Una escalera con 10 escalones. Los peldaños son independientes unos de otros. Cada uno de ellos tiene unos 25 centímetros de largo, el primero tiene un centímetro de ancho por uno de alto, siendo estas dimensiones para el segundo de 2x2, para el tercero 3x3 y así sucesivamente hasta el décimo.

• Un osito de peluche de unos 6 centímetros de alto. Al osito se le pueden doblar las

piernas y se puede sentar en cualquier peldaño de la escalera. • Trocitos de pan para colocar en los lugares correspondientes de la escalera. • Un paño de tela para ocultar la parte de la escalera en la que está colocado el pan

6. Actividades

Al ser una entrevista semiestructurada, es necesario especificar en el diseño previo tanto el contenido como los procedimientos (Cohen, 1990, p. 379). Por ello, exponemos a continuación el objetivo pretendido, el desarrollo de la entrevista, así como los aspectos a observar en cada una de las tareas que constituyen el soporte de la prueba.

6.1. Tarea 1.

La tarea consiste, concretamente, en que los niños tienen que colocar pan en un escalón sí y en otro no, bajo la consigna: “el osito come pan en un escalón sí y en otro no, repito es en uno sí y en otro no”. Una vez que los niños han realizado la alternancia se cubre el pan para que reconstruya la correspondencia serial.

.

6.1.1. Objetivo

Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral. 108

El aspecto básico que se pretende explorar es el uso y representación mental de un encadenamiento aditivo de la relación lógica ordinal de “siguiente inmediato” en una situación prenumérica sencilla donde la secuencia empleada es una alternancia.

6.1.2. Desarrollo de la entrevista En la parte de la entrevista que hace alusión a ésta tarea se procede de la siguiente forma: Fase 1A. El investigador explica que el osito come pan en un escalón sí y en otro

no. El niño debe colocar pan en los escalones correspondientes; con lo cual debe confeccionar por sí mismo la serie y tomar conciencia del principio de esa “ordenación”.

Fase 2A. Una vez realizada la correspondencia serial, el investigador insiste para

que la describa. Se oculta el pan, el niño debe describir la correspondencia en esta nueva situación; con ello, manifestaría una representación mental de la alternancia y su criterio; además el hecho de ocultar el pan tendría otra función: se trataría de poner al alcance del niño un sistema de autocorrección.

Fase 3A. El investigador señala una posición ordinal y pregunta sobre lo que ahí

ocurre “el osito está sentado en este escalón, ¿ahí come?”. Sabiendo lo que ocurre en una posición ordinal determinada, el investigador pregunta sobre lo que ocurrirá en el siguiente inmediato: “Si el osito está sentado aquí y sí come ¿qué ocurre en este otro? (Señala el siguiente inmediato)” Con ello pasamos de lo global a lo particular.

En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a

las respuestas dadas.

6.1.3. Aspectos a considerar

Pretendemos lo siguiente: • Comprobar si el niño comprende el criterio de una serie sencilla como es la

alternancia, primeramente, bajo una percepción global para pasar, posteriormente, a una representación mental de la misma.

• Comprobar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas al

comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos consecutivos en la escalera, usando como instrumento de comparación una alternancia en una correspondencia serial.

• Averiguar qué tipo de relaciones lógicas-ordinales establece. • Estrategias seguidas para establecer las relaciones.


• Averiguar qué tipo de sistematización se da en las respuestas de cada niño.

6.2. Tarea 2

La tarea consiste en que los niños tienen que contar una escalera con 10 peldaños. Una vez que los niños han contado han de responder sobre algunas cuestiones referentes a las posiciones ordinales de los escalones.

6.2.1. Objetivo

El aspecto básico que se pretende explorar es el conteo y su evolución en cuanto al uso por parte del niño como herramienta para determinar un número ordinal en una serie.

6.2.2. Desarrollo de la entrevista Se realiza con el siguiente procedimiento: Fase 1C. El investigador relata al niño que al osito le gusta mucho contar, por eso

cuando sube la escalera siempre cuenta los escalones. El niño debe contarlos. Fase 2C. Una vez contado, el investigador coloca al osito en un escalón

determinado y el niño tiene que determinar el número correspondiente al peldaño (número correspondiente en la correspondencia serial que se establece cuando se cuentan los escalones).

Fase 3C. Sabiendo el número correspondiente al escalón donde está sentado el

osito, el investigador puede preguntar por el siguiente inmediato, cualquier siguiente, anterior inmediato o cualquier anterior.

En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a las

respuestas dadas.

6.2.3. Aspectos a considerar

Pretendemos lo siguiente: • Observar si los niños aplican correctamente la acción de contar sin cometer errores

respecto a los principios del conteo.


• Comprobar si el niño usa la secuencia numérica como herramienta para determinar una posición ordinal.

• Averiguar qué tipo de estrategias usan los niños para determinar una posición

ordinal teniendo como referencia a otra dada como dato.

6.3. Tarea 3 La tarea consiste en que los niños tienen que realizar la correspondencia serial entre la alternancia sí-no y los términos de la secuencia numérica aplicada a los peldaños de la escalera. Una vez que los niños han realizado dicha correspondencia han de responder algunas cuestiones abiertas referentes a la descripción ordinal dada por ella (correspondencia serial) sobre cada uno de los elementos de la serie (escalera), viendo los que matizan y los que no.

6.3.1.Objetivo Con esta tarea pretendemos explorar, fundamentalmente, cuándo y cómo adquiere el niño la relación lógica de siguiente inmediato que se da entre dos términos consecutivos de la secuencia numérica mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación establecida por la correspondencia serial dada. Además pretendemos ver si aparece un razonamiento inductivo.

6.3.2. Desarrollo de la entrevista La parte de la entrevista referente a esta tarea se desarrolla de la siguiente forma: Fase 1S/A. El investigador relata al niño que al osito le gusta mucho contar y

también comer pan, por eso se inventa un juego, cuando sube la escalera siempre cuenta los escalones y dice si come o no come entonces va diciendo: “En el 1-sí como, en el 2- no como, …”. Pide al niño que continúe. Aparecería un razonamiento inductivo con la secuencia a partir de dos términos. Una vez realizada la correspondencia serial, el investigador insiste para que la describa. Se oculta el pan, el niño debe describir la correspondencia en esta nueva situación en la que la alternancia se deja de percibir.

Fase 2S/A. El investigador señala una posición ordinal y pregunta sobre lo

que ahí ocurre. El niño tiene que determinar el número correspondiente al peldaño y si come o no come: “el osito está sentado en este escalón, ¿qué número es?, ¿Ahí come?”.

Fase 3S/A. Sabiendo el número correspondiente al escalón donde está

sentado el osito y si come o no come en dicho número, el investigador puede


preguntar por el siguiente inmediato, cualquier siguiente, anterior inmediato o cualquier anterior: “el osito está sentado en este escalón que es el número a y aquí sabemos que sí come ¿qué ocurre en b?”.

En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a las

respuestas dadas.

6.3.3. Aspectos a considerar Los aspectos a observar en esta tarea son los siguientes: • Averiguar si el niño es capaz de aplicar un razonamiento inductivo con la secuencia

numérica y la alternancia a partir de dos términos. • Comprobar si el niño ha adquirido la relación comparativa entre los términos

sucesivos de la secuencia numérica, relación que se establece mediante la alternancia.

• Averiguar qué tipo de estrategias usan los niños para determinar la citada relación

comparativa. Estas estrategias estarán evaluadas en cuanto a las relaciones lógicas ordinales entre los términos numéricos establecidas.

• Averiguar si las estrategias permanecen o cambian los procedimientos cuando se

parte de un dato, k-l en el que k toma los valores de 1 a 10 y l es sí ó no, en lugar de empezar por 1-sí.

7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información Para la recogida de datos hemos utilizado un instrumento común que ha sido la grabación en vídeo además de un reproductor del mismo. Con estos instrumentos hemos podido reproducir las entrevistas en su totalidad con todos aquellos detalles que de otra manera nos hubiera sido imposible de conseguir. Una vez realizada todas las entrevistas se hace la transcripción de las mismas con ayuda del reproductor de vídeo (transcripción que puede verse en el Anexo IV, apartado Anexo 4.1).

8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista El período de las entrevistas comenzó en el mes de Diciembre del curso 98/99, dedicando la primera sesión a los niños de 4 años, la segunda a los de 5, para finalizar con los de 3.


Se realizaron a puerta cerrada en un despacho preparado a tal efecto en el centro y pasando, uno por uno, todos los alumnos seleccionados. Cada entrevista tuvo una duración que osciló entre 20 y 30 minutos, por lo que, si tenemos en cuenta que no se permitieron interrupciones y que era obligado respetar el horario de los alumnos, incluido el recreo, sólo se pudieron realizar entre 6 y 7 entrevistas diarias. Por último hemos de decir que todas las entrevistas tuvieron un desarrollo adecuado, incluso más satisfactorio de lo previsto teniendo en cuenta la corta edad de los entrevistados. Expresar nuestro agradecimiento al centro y muy especialmente a los niños y maestras que apoyaron en todo momento el trabajo. En los apartados que siguen hasta el final del capítulo, se exponen los resultados y conclusiones de dichas entrevistas teniendo en cuenta las tareas consideradas en la estructuración de las mismas.

9. Resultados y conclusiones de la tarea 1: Alternancia.

Recordamos que en esta tarea el niño tiene que realizar y describir la alternancia que consiste en colocar pan en un escalón sí y en otro no en una escalera que consta de 10 peldaños, a continuación debe anticipar lo que ocurrirá en un lugar determinado dando como dato lo que sucede en otra posición ordinal.

Vamos a considerar para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla A-2 si la hace explícita al menos una vez en el transcurso de la entrevista.

9.1. Codificación y Categorías de respuestas

Las respuestas de los niños referentes a la tarea de alternancia se pueden codificar según estos tres bloques para cada una de las fases del punto 6.1.2.de este mismo capitulo:

1A. Categorías de respuestas relativas a la realización de la alternancia. 2A. Es el bloque de respuestas correspondiente a la descripción de la

alternancia cuando se deja de percibir. 3A. Son las respuestas relativas a la anticipación de lo que ocurrirá en una

posición ordinal respecto de la alternancia conociendo lo que ocurre en una posición dada como dato, que con respecto a la incógnita tiene una relación lógica ordinal de siguiente inmediato, pasando posteriormente a cuestiones sobre cualquier siguiente.

Con la división en estos tres bloques pretendemos analizar como se da la

transformación mental en los niños que llegan a anticipar el siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie a través de una comparación entre los términos dada por la alternancia habiéndola realizado previamente.


Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la siguiente categorización (Tabla A-1): Para la interpretación correcta de la tabla A-1 debemos puntualizar lo siguiente: • La primera columna indica cada uno de los bloques de respuestas especificados

previamente a la tabla. • Cada bloque está codificado por dos signos, el primero es un dígito del 1 al 3 según

sea el bloque, y el segundo es la letra A que significa que estamos dentro de la tarea de Alternancia.

• La segunda columna indica las distintas categorías de respuestas en cada bloque • Cada bloque incluye distintas categorías de respuestas. Si una categoría es de un

bloque determinado entonces empieza por el mismo número que éste, seguido de la letra A y un número que varía de 0 a 3 que indica la categoría específica dentro del bloque.

• En el caso que haya que matizar distintos tipos de respuestas dentro de una misma categoría, como es el caso del 3A2, añadiremos un nuevo dígito al final de los ya escritos, así, por ejemplo, los tres tipos distintos de respuestas dentro de la categoría indicada son: 3A21, 3A22, 3A23.

1A0 No sabe o no contesta

1A1 Estado de duda en la alternancia con 5 escalones. Al azar con 10.

1A2 Realiza de primera instancia la alternancia con 5 escalones, se equivoca con 10, lo consigue, estado de duda.

1A

1A3 Entiende de primera instancia el criterio y realiza la alternancia con 5 y 10 escalones


2A1 Al azar

2A2 Describe la alternancia pero sin usar la secuencia numérica 2A

2A3 Describe la alternancia cuando deja de percibirla e introduce la secuencia numérica, por propia iniciativa, para explicarla


3A1 Al azar

3A21 Duda y cambia el criterio a lo largo de la entrevista

3A22 Da la respuesta correcta a preguntas relativas al siguiente inmediato pero falla en cuestiones sobre cualquier siguiente 3A2

3A23 Da la respuesta correcta pero sin justificación

3A

3A3 Contesta y da indicios de conocer el criterio, anticipa y/o usa la secuencia numérica.

Tabla A-1. Codificación y categorización de respuestas de la Alternancia

Según la codificación de respuestas observamos que en cualquier categoría kAi

con K variando de 1 a 3 e i variando de 0 a 3, tenemos que fijando k, las respuestas más


evolucionadas son cuando i=3 y las menos se dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3 podemos medir de la menos a la más evolucionada según el orden natural.

9.2. Análisis de respuestas La codificación de respuestas nos ha proporcionado una categorización de las mismas. En el Anexo IV, apartado Anexo 4.2, podemos encontrar las respuestas verbales respecto a la tarea de alternancia, de todos y cada uno de los niños entrevistados, que hacen que presenten una categoría determinada. En la tabla A-2 se recogen las respuestas de cada uno de los niños según los bloques y categorías consideradas en esta tarea.

1A0 1A1 1A2 1A3 2A0 2A1 2A2 2A3 3A0 3A1 3A21 3A22 3A23 3A3

Pab. 3,1 Lou. 3,3 Mar. 3,3 Sal. 3,4 Luc. 3,9 Ir. 3,9 Mi. 3,10 Nu. 3,11 Fr. 4,0 Adr., 4,1 An. 4,3 Beg. 4,6 Pat. 4,6 Nar. 4,8 Sal. 4,11 Ver. 4,11 Jav. 5,0 Esp. 5,2 Non. 5,2 Cri. 5,5 Is. 5,6 Clar. 5,7 Ari. 5,7 Ant. 5,9 Mar. 5,9 Par.5,11 Mab.5,11

Tabla A-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la alternancia.

Para la interpretación de dicha tabla debemos añadir las siguientes precisiones: • Cada casilla de la primera columna indica las iniciales del nombre del niño cuyas

respuestas se registran en esa misma fila. Los números que aparecen a continuación de las iniciales expresan la edad, indicando, el primero de ellos, los años y el segundo los meses.


• Los niños están agrupados por edades prevaleciendo el año de nacimiento, cuando se pasa de un año a otro en la tabla, la línea de separación entre filas queda marcada por el grosor de la misma.

• Cada casilla de la primera fila indica una categoría de respuesta. Las respuestas se agrupan según los bloques establecidos en la codificación, cuando se pasa de un bloque a otro en la tabla, la línea de separación entre columnas queda marcada por el grosor de la misma.

Una primera lectura de la tabla indica que las respuestas del bloque 1Ai son más evolucionadas (en la escala de 0 a 3, considerando i=3 como la que más) que las del 2Ai, es decir, si un niño responde a la primera cuestión de la forma 1Am y a la segunda como 2An entonces m es mayor o igual que n, ocurriendo lo mismo al comparar las respuestas del bloque 2Ai con el 3Ai. Esto se visualiza en la tabla observando que a medida que nos movemos en los bloques de izquierda a derecha las casillas señaladas en cada bloque de una misma fila, se mueven en sentido contrario o bien permanecen constantes. El paso del bloque 1A al 3A significa:

“Realización previa de la alternancia para manifestar la capacidad de anticipación del siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie usando la alternancia como instrumento de comparación”.

Según podemos observar en la tabla A-2, para los niños entrevistados es condición necesaria la realización de la alternancia para la anticipación del siguiente inmediato, pero no es condición suficiente. Esto se manifiesta claramente en los niños de 5 años en los que todos responden correctamente a la cuestión 1A y sin embargo no todos están en la categoría de respuesta 3A3. Hay que hacer notar que todos los niños que han pasado del 1A3 al 3A2 son porque previamente están en 2A2, excepto An (4,3) que pasa del 2A2 al 3A1 pero An (4,3) no estaba en 1A3; por tanto, para los niños entrevistados podemos hacer las afirmaciones siguientes: • Todos los que han pasado del 1A3 al 3A2 están en la categoría de respuesta 2A2 • Todos los niños que están en el 3A3 han estado, previamente, en el 1A3.

A estas afirmaciones podemos unir estas otras, que a continuación indicaremos, para realizar una partición en el conjunto de niños entrevistados, tomaremos como referencia el bloque 3A ya que es éste el que hace alusión directa a las relaciones lógicas-ordinales establecidas: • Todos los que están en el 3A1 previamente han estado en el 1A2 pasando por el

2A2 • Todos los que están en el 3A0 vienen del 1A1 ó del 1A0, y con respecto al bloque 2

están en el 2A1 ó en el 2A0. A raíz de estas afirmaciones junto con el análisis de la tabla A-2 podemos

considerar el siguiente diagrama (Fig. 1-A) que da una visión gráfica de la escalabilidad de las respuestas.


Fig. 1-A. Escalabilidad en las respuestas

Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-A) debemos tener en cuenta los

siguientes puntos: • Los recuadros representan los distintos conjuntos de niños que dan la categoría

de respuesta indicada dentro del mismo • Entre los recuadros se dan las relaciones lógicas-conjuntistas. • La forma en escalera indica que entre dos peldaños consecutivos la respuesta

más evolucionada es la representada por el recuadro que está en la parte superior

9.2.1. Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas

De acuerdo con el diagrama de la figura 1-A interpretamos las respuestas de los niños conforme a la escalabilidad presentada de la siguiente forma:

I. Si la respuesta de un niño está en la categoría más evolucionada de 3A,

es decir, está en 3A3, lo cual quiere decir que el niño justifica su respuesta de comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos consecutivos de la escalera, usando la alternancia como instrumento de comparación, bien anticipando como es el caso de Ver (4, 11)1 ó usando la secuencia numérica como es el caso de Non (5, 2)2, entonces las respuestas de esos niños también están en la categoría más evolucionada de 1A y 2A, es decir están en 1A3 y 2A3, por tanto son niños que han realizado de primera instancia la serie (1A3) y han sido capaces de describirla usando la secuencia numérica, de ahí que obtengamos la primera conclusión de nuestro análisis:

1 Ver Anexo 4.2. 2 Ver Anexo 4.2.

2A2

1A0

1A1

1A2

1A3

3A13A2

2A3=3A3

2A02A1

3A0


Conclusión 1-A. - Los niños que usan la secuencia numérica para resolver una

situación o problema ordinal donde se pide determinar el siguiente inmediato usando la alternancia como instrumento de comparación, son aquellos niños que han usado la secuencia numérica para describir la alternancia no perceptiva y que previamente han realizado la alternancia sin dificultad

Hay que hacer notar que todos los niños cuyas respuestas están en 2A3 son los mismos que dan la respuesta 3A3, y teniendo en cuenta que todos estos niños están en el 1A3 tenemos la segunda conclusión recíproca a la primera:

Conclusión 2-A. - Los niños que usan la secuencia numérica para describir la alternancia no perceptiva y que previamente han realizado la alternancia sin dificultad, son los mismos que usan la secuencia numérica para resolver una situación o problema donde se pide determinar el siguiente inmediato, usando la alternancia como instrumento de comparación.

Resumiendo, si tenemos en cuenta que el conjunto de niños cuyas respuestas están en la categoría 2A3 coincide con el conjunto de niños de la categoría 3A3 y que las respuestas de todos ellos están en la categoría 1A3, obtenemos las conclusiones 1 y 2.

II. Todos los niños que dan la respuesta 3A2 están dentro de la categoría 2A2,

algunos de ellos están en 1A3 (como es el caso de Jav (5,0), Mar (5,9), Par (5,11))3 mientras que otros están en el 1A2.

El paso del 1A3 al 2A2 significa que hay niños que realizan correctamente la

alternancia, pero cuando dejan de percibirla y la tienen que describir o bien lo hacen con dificultad o simplemente lo hacen pero no usan ningún esquema de anticipación. Se da la circunstancia de que son estos niños los que tendrán cierta dificultad en determinar el siguiente inmediato en la alternancia, es como si los niños que usaran la secuencia numérica (de forma espontánea) para organizar y explicar una situación manifestara la relación lógica-ordinal que queremos ver aparecer.

Para los niños que están en el 3A2, 2A2, 1A3 podemos interpretar lo siguiente:

Los niños que realizan de primera instancia la alternancia sin dificultad aparente (1A3), como es el caso de Ja (5, 0) ó Par (5,11), y son capaces de describirla pero sin hacer uso de la secuencia numérica para explicar esa situación (2A2), son los niños que no manifiestan ninguna justificación en la determinación del siguiente inmediato usando la alternancia como instrumento de comparación (3A2), es decir son niños capaces de adivinar la respuesta (sobre el siguiente inmediato en una escalera usando la alternancia como instrumento de comparación) pero sin justificación.

La diferencia fundamental de estos niños con aquellos otros que han sido

capaces de dar una explicación de la justificación de lo que ocurre en el siguiente

3 Ver Anexo 4.2, págs. 313-317.


inmediato, está precisamente en el uso de la secuencia numérica para describir la alternancia.

Es curioso como los niños que no usan la secuencia numérica tampoco usan la

secuencia de la alternancia (que previamente ellos han construido y han descrito) para justificar su respuesta sobre el siguiente inmediato, son sólo los niños cuyas respuestas son de la categoría 2A3 los que son capaces de asegurar que “si en uno come en el siguiente no come” y lo usan como argumento.

Ningún niño fuera de la categoría 2A3, aunque esté en la categoría 2A2, usa un

método sistemático para determinar lo que ocurrirá en una posición determinada; tenían todos los elementos a su alcance para razonar inductivamente según la secuencia de la alternancia: “En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2) y así sucesivamente hasta alcanzar la posición predeterminada”, pero no lo hacían.

Con todo ello, llegamos a la tercera conclusión:

Conclusión 3-A. - Aunque los niños tengan series sencillas a su alcance (como la

alternancia) que expliquen una situación ordinal no la usan. Únicamente tienen una visión explicativa general de una situación secuencial (aunque ésta sea sencilla como la alternancia) si tienen a la secuencia numérica como representación mental que les permite organizar y explicar una situación ordinal.

III. Los niños cuyas respuestas son de la categoría 2A2 pueden venir del 1A3 ó del 1A2, sin embargo los que responden 2A1 vienen del 1A1.

Por lo tanto, todos los niños que realizan bien la alternancia con ayuda del

investigador o sin ella, son capaces de describirla cuando dejan de percibirla (algunos de ellos con ayuda del investigador), y no hay ningún niño que sin realizar bien la alternancia (1A1) sea capaz de describirla, es decir, estarían en el 2A1 ó 2A0.

IV. Los niños que no entienden nada cuando se les pide que realicen la

alternancia, es decir los que responden de la forma 1A0, siguen sin entender nada cuando planteamos la descripción de la misma (2A0) o las cuestiones sobre el siguiente inmediato (3A0).

Sin embargo, algunos niños, como es el caso de Luc (3, 9)4, mejoran la respuesta

del 1A con respecto a los dos bloques siguientes, es decir, llegan a hacer algo con respecto a la realización de la alternancia (1A1) pero no entienden nada de las demás cuestiones (2A0 y 3A0).

9.3. Niveles en la tarea de Alternancia. AN.

Teniendo en cuenta la escalabilidad en las respuestas expuesta en el diagrama de la fig. 1-A y cuya interpretación se ha presentado en el apartado anterior, podemos considerar los subniveles siguientes:

4 Ver Anexo 4.2. pág. 314


AS0 1A0 2A0 3A0 AS1 1A1 2A0 3A0 AS2 1A1 2A1 3A0 AS3 1A2 2A2 3A1 AS4 1A2 2A2 3A2 AS5 1A3 2A2 3A2 AS6 1A3 2A3 3A3

Tabla A-3. Definición de subniveles de la alternancia

Debemos hacer notar que, como consecuencia de la codificación usada en las

respuestas según la cual kAi es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 3, tenemos que ASi es más evolucionado cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 6.

A partir de los subniveles y con la reagrupación de los mismos establecemos los niveles para la alternancia en la tabla A-4, siguiendo el orden natural de los números de 0 a 3 para indicar del menos al más evolucionado, es decir AN3 es el más evolucionado mientras que AN0 es el menos:

NIVELES DE ALTERNANCIA

AN0 AS0

AN1 AS1 AS2 AS3

AN2 AS4 AS5

AN3 AS6

Tabla A-4. Definición de niveles en la tarea de alternancia

Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido:

• AN0 lo caracteriza las respuestas menos evolucionadas de cada bloque. • AN1 es la reagrupación de subniveles donde los niños hacen “algo” en

algunos de los bloques planteados

• AS5 y AS4 se reagrupan para dar AN2 porque en ambos subniveles se dan los mismos esquemas lógicas-ordinales

• Para AN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque

Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla A-5 en la que todos

y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:


AN0 AN1 AN2 AN3 Pab. 3,1 Lou. 3,3 Mar. 3,3 Sal. 3,4 Luc. 3,9 Ir. 3,9 Mi. 3,10 Nu. 3,11 Fr. 4,0 Adr. , 4,1 An. 4,3 Beg. 4,6 Pat. 4,6 Nar. 4,8 Sal. 4,11 Ver. 4,11 Ja. 5,0 Esp. 5,2 Non. 5,2 Cri. 5,5 Is. 5,6 Clar. 5,7 Ari. 5,7 Ant. 5,9 Mar. 5,9 Par.5, 11 Mab.5,11

Tabla A-5. Distribución por niveles en la tarea de alternancia de los niños de la muestra

Si tenemos en cuenta la tabla A-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en cada

uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (A-1), cuyo análisis lo detallaremos cuando realicemos los estudios I y II del próximo apartado. Podemos observar cómo en los niveles más evolucionados (AN3 y AN2) los niños de 5 años están por encima de los de 4 y los de 3, así como los de 4 lo están con respecto a los de 3, mientras que en los niveles menos evolucionados (AN1 y AN0) ocurre lo contrario.

Gráfico A-1. Distribución de frecuencias por edades

en cada uno de los niveles considerados

0

2

4

6

8

AN0 AN1 AN2 AN3

3 años4 años5 años


9.3.1. Caracterización de los niveles. I. AN0. (1A0, 2A0, 3A0) Los niños de este nivel son los que no entienden ninguna de las cuestiones

planteadas. En éste nivel se encuentra 4 niños de 27, lo que representa un 14,81%, su

distribución por edades es::

3 años 4 años 5 años AN0 2 2 -

II. AN1. (1A1, 2A0, 3A0) ó (1A1, 2A1, 3A0) ó (1A2, 2A2, 3A1). Los niños de este nivel son los que hacen la alternancia al azar, aunque alguno de

ellos llegan a realizarla con ayuda del investigador, la describen al azar cuando dejan de percibirla e incluso alguno de ellos llegan a describirla (2A2), pero no entienden la cuestión de siguiente inmediato o responden al azar (3A0 ó 3A1).

En definitiva, los niños de este nivel se caracterizan porque son incapaces de

anticipar qué ocurrirá, respecto a la alternancia, en una posición ordinal determinada teniendo como dato lo que ocurre en otra, aunque alguno de ellos ha sido, incluso, capaz de describir la alternancia cuando han dejado de percibirla.

El 11,1%, sólo 3 de los 27 niños entrevistados, son de este nivel y su distribución

por edades es:

3 años 4 años 5 años AN1 2 1 -

III. AN2. (1A3, 2A2, 3A2) ó (1A2, 2A2, 3A2) Este nivel se caracteriza porque el niño no introduce la secuencia numérica para

explicar la alternancia. En este nivel están los niños que realizan la alternancia y conocen el criterio sin

hacer uso de la secuencia numérica. Dan siempre la respuesta correcta cuando tienen que determinar qué ocurrirá en una posición determinada respecto a la alternancia dando como dato lo que ocurre en otra, pero no tienen argumentos para justificar su decisión.

Todos estos niños han sido capaces de realizar la alternancia bien de primera

instancia (1A3) o con algún estado de dudas (1A2).


Conclusión 4-A. Los niños no usan la alternancia como instrumento que explique situaciones ordinales no numéricas.

De los 27 niños entrevistados, 11 son de este nivel, o sea un 40,74% y su distribución por edades es:

3 años 4 años 5 años

AN2 3 3 5

VI. AN3. (1A3, 2A3, 3A3). Los niños de este nivel se caracterizan porque entienden de primera instancia el

criterio y realizan la alternancia, usan la secuencia numérica para describirla y son capaces de anticipar lo que va a ocurrir en una posición ordinal determinada respecto a la alternancia mediante el uso de la secuencia numérica.

En definitiva, son los niños que usan la secuencia numérica para describir, actuar y

explicar una situación ordinal no numérica

Conclusión 5-A. Los niños del nivel de alternancia más evolucionado usan la secuencia numérica como instrumento para resolver problemas ordinales no numéricos

El 33,33%, es decir, 9 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su distribución por edades es:


AN3 1 2 6

Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de distintas edades.

1) Los niños del nivel AN0 son el 14,81% y corresponden al subnivel AS0, son

niños que no dan indicios de comprender ninguna de las cuestiones planteadas. Teniendo en cuenta la tabla A-6:

Nivel 0/Años Frecuencia AN0, 3 2 AN0, 4 2 AN0, 5 -

Tabla A-6

Observamos: a) No hay niños de 5 años en este nivel b) Encontramos a niños tanto de 3 años como de 4.


2) El nivel AN1 por edades según los subniveles AS1, AS2 y AS3. Considerando la tabla A-7

Nivel 1/Años Frecuencia Fr/AS1 Fr/AS2 Fr/AS3 AN1, 3 2 1 1 - AN1, 4 1 - - 1 AN1, 5 - - - -

Tabla A-7

Hacemos las siguientes observaciones: a) No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos los niños entrevistados están en

niveles superiores (entendiendo por superiores el 2 y el 3). b) Los niños de 3 años de este nivel responden peor que los de 4 años, ya que los

primeros se encuentran repartidos entre los subniveles AS1 y AS2, y los segundos son todos de AS3. La diferencia se encuentra en que los niños de 3 años responden al azar o bien no entienden las cuestiones sobre la alternancia, mientras que los de 4 años llegan incluso a describir la alternancia pero no dan indicios de anticipación en las cuestiones sobre qué ocurrirá en un lugar determinado respecto a la alternancia.

3) Vamos a estudiar los del nivel AN2 por edades según los subniveles AS4 y

AS5. Consideramos la siguiente tabla, en la que la primera columna indica que estamos

en el nivel AN2 y en cada casilla de la misma aparece un número de 3 a 5 que indica los años, la segunda columna indica la frecuencia con la que se da cada nivel por edades; mientras que las columnas tercera y cuarta indican las frecuencias con las que se da, respectivamente, los subniveles AS4 y AS5

Nivel 2/Años Frecuencia Fre/AS4 Fre/AS5

AN2, 3 3 3 0 AN2, 4 3 2 1 AN2, 5 5 - 5

Tabla A-8

Observamos que los niños de 3 años que están en el nivel 2 están en el subnivel AS4, los de 4 están en una “fase intermedia” ya que nos encontramos a niños en AS5 y en AS4, mientras que los de 5 años están todos en AS5. (Debemos recordar que tanto en los subniveles ASi, como en los niveles ANi, cuanto mayor sea i más evolucionadas son las respuestas). Los niños de 3 años de este nivel, como son Mar (3, 3), Sal (3,4) e Ir (3,9)5 se diferencian, fundamentalmente, de los de 5 años del mismo nivel en que los primeros 5 Ver Anexo 4.2.


consiguen realizar la alternancia con dudas y equivocaciones mientras que los segundos entienden de primera instancia el criterio. También encontramos diferencia en las respuestas del tercer bloque, aunque todos ellos (los del nivel 2) han respondido de la forma 3A2 (cuestión: “anticipar lo que va a ocurrir en una posición determinada dando otra como dato; y las respuestas se caracterizan porque son correctas pero sin justificación), los niños de 3 años dudan y cambian el criterio a lo largo de la entrevista aunque consiguen realizar con éxito la tarea, mientras que en 5 años nos encontramos con niños de 3A23 y 3A22, al igual que en 4 años. Todo ello queda reflejado en la tabla A-9:

Nivel 2/Años Frecuencia Fr/3A21 Fr/3A22 Fr/3A23

AN2, 3 3 3 - - AN2, 4 3 2 - 1 AN2, 5 5 2 1 2

Tabla A-9

Concluyendo, la diferencia por edades en el nivel AN2, se encuentra: a) Los niños de 3 años dudan y cambian el criterio a lo largo de la entrevista al

realizar la alternancia, cosa que no ocurre con los de 5 años (Tabla A-8). b) Los niños de 3 años dudan y cambian la respuesta cuando tienen que anticipar

lo que ocurrirá en una posición ordinal determinada respecto a la alternancia, mientras que los de 5 años se encuentran en la misma proporción con respecto a los niños de la misma edad y del mismo nivel que siempre dan la respuesta correcta con respecto a la anticipación pero sin justificación (ver tabla A-9).

c) Los niños de 4 años se mantienen en una posición intermedia aunque son más

frecuente los casos en los que los niños dudan que los que dan la respuesta correcta de primera instancia.

4) No hay diferencias significativas en las respuestas de los niños del nivel AN3

por edades. Si observamos el cuadro de frecuencia por edades de éste nivel:

Nivel 3/Años Frecuencia

AN3, 3 1 AN3, 4 2 AN3, 5 6

Tabla A-10

Vemos que el número de niños de 5 años de este nivel aumenta considerablemente respecto a los de 4 y éstos con respecto a los de 3. Por tanto, es un conocimiento que evoluciona con la edad.


Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de distintos niveles

1) 3 Años. Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por

niveles es la siguiente:

AN0 AN1 AN2 AN3 3 años 2 2 3 1

Observaciones: a) La mitad de los niños de 3 años están en los niveles AN3 y AN2, y la otra mitad

la encontramos en los niveles más bajos. Esto significa que la mitad de los niños entrevistados o bien responden al azar o bien no entienden las cuestiones planteadas sobre posiciones ordinales usando la alternancia como instrumento de comparación de posiciones.

b) El número de niños de los niveles AN3 y AN2 no se reparte por igual entre

ellos; la proporción es de tres veces más el número del nivel AN2 que en el AN3, lo cual significa que la mayoría de los niños de 3 años que describen y usan la alternancia para realizar comparaciones ordinales no introducen la secuencia numérica ni usan la alternancia para explicar una situación ordinal.



AN0 AN1 AN2 AN3 4 años 2 1 3 2

Observaciones: a) La frecuencia de niños de 4 años en los niveles AN3 y AN2 es superior a la de

los niveles AN1 y AN0; por tanto, hay menos niños de 4 años que o bien no entienden las cuestiones planteadas o bien responden al azar que niños capaces de usar la alternancia para determinar posiciones ordinales.

b) El aumento de esta frecuencia a favor de los niveles AN3 y AN2 con respecto a

los niños de 3 años, se establece para incrementar el nivel AN3 manteniéndose la misma frecuencia para el nivel AN2. Por tanto, los niños de 4 años, con respecto a los de 3, usan más frecuentemente la secuencia numérica para describir una realidad ordinal en la que interviene una serie sencilla, como es la alternancia, como instrumento de comparación.


3) 5 Años. Once de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por


AN0 AN1 AN2 AN3 5 años - - 5 6

Observaciones: a) Todos los niños de 5 años entrevistados están en los niveles AN3 y AN2, por

tanto no hay niños en los niveles más bajos, luego no hay niños de 5 años que no entiendan las cuestiones planteadas.

b) La frecuencia del nivel AN3 es superior a la del nivel AN2, por tanto más de la

mitad de los niños de 5 años usan, por propia iniciativa, la secuencia numérica para explicar una realidad en la que interviene cuestiones ordinales a través de una serie sencilla como es la alternancia.

Conclusiones de los estudios I y II. 1) Es un conocimiento que evoluciona con la edad ya que más de la mitad de los

niños de 5 años se encuentran en el nivel AN3, siendo sólo un niño de los ocho de 3 años y dos de los también ocho niños de 4 años de este nivel.

Conclusión 6-A. A medida que van creciendo los niños es más frecuente el uso de

la secuencia numérica para explicar una realidad ordinal

2) Los niños que usan la alternancia para comparar posiciones ordinales (nivel AN2) se diferencian, también, por edades: mientras que los de 3 años, en su mayoría, dudan y cambian el criterio a lo largo de la entrevista, los de 4 y, fundamentalmente los de 5, se dirigen hacia respuestas más evolucionadas caracterizándose, éstas, por ser siempre correctas pero carentes de justificación.

Conclusión 7-A. Los niños de 5 años están capacitados para comparar posiciones

ordinales a través de la alternancia.

3) Los niños de 4 años del nivel AN1 se diferencian de los niños de 3 años del mismo nivel en que éstos responden al azar mienta que los de 4 años responden al azar las cuestiones de anticipación aunque previamente han sido capaces de describir la alternancia.

Conclusión 8-A. La descripción de la alternancia no es condición suficiente para

anticipar una posición ordinal.


9.4. Resumen y conclusiones generales. Teniendo en cuenta todo el estudio previo y observando en la tabla cómo hay un

total de 21 niños de los 27 entrevistados que llegan a realizar la alternancia y describirla cuando no la perciben (categorías de respuestas 1A3, 1A2 del bloque 1A y 2A3, 2A2 del bloque 2A), obtenemos la siguiente conclusión general:

Los niños prefieren resolver problemas ordinales a través de la secuencia numérica

frente al uso de otras secuencias como la alternancia. Ningún niño hace uso de la alternancia como método para determinar el siguiente

inmediato, los niños que usan un método sistemático son los de la secuencia numérica, por tanto:

• Los hechos psicológicos no justifican una tarea matemática • El aprendizaje de la Matemática es necesario en estas edades posibilitando

resolver problemas • La secuencia numérica básica es fundamental para estos niños como

herramienta de conocimiento.

10. Resultados y conclusiones de la tarea 2: Contar. En esta tarea el niño tiene que realizar la acción de contar sobre la escalera y determinar una posición ordinal mediante un término numérico, además tiene que anticipar la posición ordinal de un peldaño conociendo otra como dato.

Vamos a considerar para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla C-2 si la hace explícita al menos una vez en el transcurso de la entrevista.

10.1. Codificación y categorías de respuestas

La codificación de las respuestas de los niños referentes a la tarea de contar se inicia con la consideración de estos tres bloques de respuestas referentes a las tres fases de esta tarea expuestas en el punto 6.2.2 de este mismo capítulo:

1C. Categorías de respuestas relativas a la realización de la acción de contar.

2C. Es el bloque correspondiente a la descripción de una posición ordinal mediante un término numérico

3C. Son las respuestas relativas a la determinación de una posición ordinal mediante un término numérico conociendo otra como dato.

Con la división en estos tres bloques pretendemos analizar como se da la

transformación mental en los niños que llegan a determinar mediante un término


numérico el siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie a través de la acción de contar.

Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la siguiente

categorización (Tabla C-1): Para la interpretación correcta de la tabla C-1 nos remitimos a los puntos ya considerados en el apartado 9.1 de este mismo capítulo para la tabla A-1 Estas puntualizaciones serán análogas en ambas tablas, sólo hay que cambiar la letra A (de Alternancia) por C (de Contar) y adaptar el último punto a las especificaciones de cada tabla.

1C0 No sabe o no contesta

1C1 El orden estable y convencional llega a 4 ó menos de 4, algunos errores en la correspondencia uno a uno

1C2 Comete algunos errores previos al conteo 1C

1C3 Contar correctamente


2C1 Al azar

2C21 Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la entrevista. 2C2

2C22 Da la respuesta correcta pero sin justificación

2C31 Da la respuesta correcta y la justifica de manera espontánea a través del conteo.

2C

2C3 2C32 Da la respuesta correcta y la justifica de manera espontánea usando

siguiente inmediato ó alguna relación lógica ordinal.


3C1 Al azar

3C21 Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la entrevista. 3C2

3C22 Da la respuesta correcta pero sin justificación

3C31 Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica ordinal. No tiene en cuenta el dato.

3C

3C3 3C32 Da la respuesta correcta y justificarla usando alguna relación lógica

ordinal. Tiene en cuenta el dato

Tabla C-1. Codificación y categorización de respuestas de la tarea de Contar Análogamente a lo que ocurría en la codificación de las respuestas de la primera tarea, tenemos que en cualquier categoría kCi con K variando de 1 a 3 e i variando de 0 a 3, una vez fijado k, las respuestas más evolucionadas son cuando i=3 y las menos se dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3 podemos medir de la menos a la más evolucionada a medida que aumenta i.


10.2. Análisis de respuestas .En el Anexo 4.3 (pags. 317-321) podemos encontrar las respuestas verbales respecto a la tarea de contar, de todos y cada uno de los niños entrevistados, que hacen que presenten una categoría determinada. La codificación de respuestas de la tabla C-1 nos ha proporcionado una categorización de las mismas. En la tabla C-2 se recogen las respuestas de cada uno de los niños según los bloques y categorías consideradas en esta tarea. Para la interpretación de dicha tabla debemos tener en cuenta las mismas matizaciones consideradas para la tabla A-2 en el apartado 9.2 de este mismo capítulo..

1C0 1C1 1C2 1C3 2C0 2C1 2C21 2C22 2C31 2C32 3C0 3C1 3C21 3C22 3C31 3C32


Tabla C-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la tarea de contar.

Si para un niño cualquiera las respuestas obtenidas en esta tarea son: 1Ci, 2Cj, 3Ck, entonces i es mayor o igual que j y éste mayor o igual que k. Ello significa que los niños entrevistados pueden ser capaces de contar los elementos de una serie pero no por ello tienen que ser capaces de resolver los problemas ordinales planteados en el bloque 3C.

La observación en la tabla C-2 de este hecho se da en que a medida que nos desplazamos en ella de izquierda a derecha según los bloques de respuestas, el desplazamiento en una misma fila en cuanto a las categorías de respuestas presentadas por ese niño se da en sentido contrario, exceptuando el caso de Sal (4,11) que del bloque 2 al bloque 3 pasa de izquierda a derecha pero hay que tener en cuenta que en definitiva


este niño pasa de la categoría 2C3 a la 3C3 que es realmente el comportamiento que se desea destacar. El paso del bloque 1C al 3C significa:

“Realización previa de la acción de contar para manifestar la capacidad de anticipación del siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie usando la secuencia numérica para su determinación”.

Según podemos observar en la tabla C-2, para los niños entrevistados es condición necesaria que realicen la acción de contar los escalones correctamente para llegar a la descripción por un término numérico del siguiente inmediato de un término de la serie, pero no es condición suficiente. Observando la tabla C-2 podemos hacer las siguientes afirmaciones:

• Todos los que están en el 3C3 previamente han estado en el 1C3 pasando por el 2C3

• Todos los que están en el 3C2 vienen del 1C3 y con respecto al bloque 2 están en el 2C3 ó en el 2C2.

• Todos los que están en el 3C1 vienen del 2C1 y con respecto al bloque 1 se reparten entre las categorías 1C1, 1C2 ó 1C3

• Todos los que están en el 3C0 son los mismos que los del 2C0 y con respecto al primer bloque están en el 1C1 ó 1C0.

De la observación y análisis la tabla C-2 podemos considerar el siguiente diagrama

(Fig. 1-C) que da una visión gráfica de la escalabilidad de las respuestas.

Fig. 1-C. Escalabilidad en las respuestas de la tarea de contar

Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-C) debemos tener en cuenta los puntos análogos considerados para la figura 1-A en el apartado 9.2 de este mismo capítulo.

3C2

1C0

1C1

1C2

1C3

2C1=3C1

2C22C3

3C3

2C0=3C0


10.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas Analizando el diagrama de la figura 1-C determinamos lo siguiente:

I Teniendo en cuenta que el conjunto de niños cuyas respuestas están en la

categoría 3C3 es un subconjunto de la categoría 2C3 y que las respuestas de todos ellos están en la categoría 1C3 se obtiene la siguiente conclusión:

Conclusión 1-C. Todos los niños que determinan una posición ordinal a partir de otra han descubierto, previamente, que contar es un procedimiento válido para obtener el número que ocupa un elemento en una serie. Hay niños que están en 2C3 pero no en 3C3, son los niños que responden de la forma: 1C3, 2C3, 3C2, como por ejemplo: Pat. (4, 6), o más claramente se da entre los niños de 5 años como Par. (5,11) ó Cri. (5, 5)6, estos niños han descubierto que contando se determina una posición ordinal pero no son capaces de determinar una posición ordinal a partir de otra dada como dato, aunque en alguna ocasión llegan a usar una relación lógica ordinal, es el caso de Pat. (4, 6):

Pat. (4, 6): “E. Colocamos a Saltarín en éste escalón (en el 6), ¿cuál es?. P. El 5. E. ¿Cómo sabes que ese es el 5?. P. No me acuerdo. –E. Si lo piensas seguro que me lo puedes decir. –P. Entonces hay que contarlo, 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), es el 6”. Pat. (4, 6): “-E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7?. –P. Éste (señala el 7). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 5?. –P. Éste (señala el 5). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 4?. –P. Éste (señala el 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –P. Porque este es el 3 (señala el 3) y yo sé contar hasta 4”.

De las consideraciones anteriores obtenemos la segunda conclusión en la tarea de contar:

Conclusión 2-C. Existen niños que son capaces de determinar una posición ordinal usando una relación lógica ordinal como la de siguiente inmediato, pero no son capaces de tener en cuenta una posición ordinal dada como dato para la determinación de otra.

II. Los niños del 2C21, es decir los que al contestar sobre la posición ordinal de un elemento en una serie dudan y cambian la respuesta a lo largo de la entrevista, sin llegar a descubrir que contar es un procedimiento válido para resolver el problema, como es el caso de Nar (4, 8)7, son niños que previamente han realizado correctamente el conteo, 1C3, pero que en cuanto a la tercera cuestión planteada tienen la misma actuación, 3C21: dudan y cambian el juicio a lo largo de la entrevista. III. Dentro de los niños que cuentan correctamente, nos encontramos con respuestas respecto a la segunda tarea hasta 3 categorías: 2C3, 2C2 ó 2C1, lo cual quiere decir que un niño puede realizar correctamente la acción de contar y sin embargo no ser

6 Ver Anexo 4.3, ps. 317-321 7 Ver Anexo 4.3.


capaz de resolver cuestiones sencillas sobre posiciones ordinales, es decir no usan el conteo como instrumento en la resolución de tareas ordinales.

Conclusión 3-C. La realización correcta de la acción de contar es condición necesaria pero no suficiente para garantizar el carácter funcional del conteo.

IV. Los niños que responden al azar en cuanto a la segunda cuestión, 2C1, son los mismos niños que responden de esta forma en cuanto a la tercera 3C1, sin embargo en esta categoría de niños encontramos con algunos que cuentan correctamente 1C3, como es el caso de Mar. (3, 3) ó Sal. (3, 4)8, mientras que otros lo hacen al azar, sin coordinación alguna entre el principio de orden estable y el principio de cardinalidad, y con un tramo de la secuencia estable y convencional inferior a 3 ó 4 como es el caso de algunos niños de 3 años. V. Los niños cuyas respuestas son de las categorías 1C0, 2C0, 3C0 son los que no comprenden ni hacen nada.

10.3. Niveles en la tarea de Contar. CN

Análogamente a como se hiciera en el apartado 9.3 de este mismo capítulo para la tarea de Alternancia, podemos definir los niveles correspondientes en la tarea de Contar atendiendo a la escalabilidad en las distintas categorías de respuestas de los tres bloques considerados en esta tarea y que acabamos de presentar en el apartado anterior.

De esta forma empezamos por definir los subniveles según aparecen en la tabla

C-3:

CS0 1C0 2C0 3C0 CS1 1C1 2C0 3C0 CS2 1C1 2C1 3C1 CS3 1C2 2C1 3C1 CS4 1C3 2C1 3C2 CS5 1C3 2C31 3C21 CS6 1C3 2C32 3C21 CS7 1C3 2C31 3C22 CS8 1C3 2C32 3C22 CS9 1C3 2C31 3C31 CS10 1C3 2C32 3C31 CS11 1C3 2C31 3C32 CS12 1C3 2C32 3C32

Tabla C-3. Definición de subniveles de la tarea de Contar

Debemos hacer notar que, como consecuencia de la codificación usada en las

respuestas según la cual kCi es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de 8 Ver Anexo 4.3.


0 a 3, tenemos que CSi es más evolucionado cuanto meyor sea i, con i variando de 0 a 12. En los casos en los que las categorías de respuestas sean del tipo kCij con i variando de 0 a 3 y j entre 1 y 2, tenemos que la evolución de las respuestas es fijada por el subíndice i según se ha considerado en el diagrama de la figura 1-C del apartado 10.2 del presente capitulo.

A partir de los subniveles establecemos los niveles para la tarea de contar en la

tabla C-4, siguiendo el orden natural de los números de 0 a 3 para indicar del menos al más evolucionado, es decir CN0 es el menos evolucionado mientras que CN3 es el más:

NIVELES EN LA TAREA DE CONTAR

CN0 CS0 CS1

CN1 CS2 CS3 CS4

CN2 CS5 CS6 CS7 CS8

CN3 CS9 CS10 CS11 CS12

Tabla C-4. Definición de niveles en la tarea de contar

Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido:

• CN0 lo caracteriza las respuestas menos evolucionadas de los dos últimos bloques

• CN1 es la reagrupación de subniveles donde los niños responden al azar sobre las descripciones de posiciones ordinales a través de un término numérico.

• De CS5 al CS8 se reagrupan para dar CN2 porque en todos ellos están las categorías de respuestas 1C3, 2C3

• Para CN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque, teniendo en cuenta que las categorías de respuestas 2C3 y 3C3 se desdoblan respectivamente en 2C31 y 2C32, y en 3C31 y 3C32.

Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla C-5 en la que todos

y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:


CN0 CN1 CN2 CN3 Pab. 3,1 Lou. 3,3 Mar. 3,3 Sal. 3,4 Luc. 3,9 Ir. 3,9 Mi. 3,10 Nu. 3,11 Fr. 4,0 Adr., 4,1 An. 4,3 Beg. 4,6 Pat. 4,6 Nar. 4,8 Sal. 4,11 Ver. 4,11 Jav. 5,0 Esp. 5,2 Non. 5,2 Cri. 5,5 Is. 5,6 Clar. 5,7 Ari. 5,7 Ant. 5,9 Mar. 5,9 Par.5,11 Mab.5,11

Tabla C-5. Distribución por niveles en la tarea de contar de los niños de la muestra

Si tenemos en cuenta la tabla C-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en cada

uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (C-1), cuyo análisis lo detallaremos en los estudios I y II del próximo apartado, sin embargo, podemos adelantar el carácter más significativo del mismo y es que los niños de 3 años se sitúan en su mayoría en el nivel CN1.

Gráfico C-1. Distribución de frecuencias por edades en cada uno de los niveles considerados

0

2

4

6

8

CN0 CN1 CN2 CN3



10.3.1. Caracterización de los niveles

I. CN0. (1C0, 2C0, 3C0) ó (1C1, 2C0, 3C0) Los niños de este nivel se caracterizan porque: • No entienden ninguna de las cuestiones planteadas sobre posiciones ordinales • Carecen de los principios de orden estable y correspondencia uno a uno del

conteo. En éste nivel se encuentra 3 niños de los 27, lo que representa un 11,11%, su


3 años 4 años 5 años CN0 2 1 -

II. CN1. (1C1, 2C1, 3C1) ó (1C2, 2C1, 3C1) ó (1C3, 2C1, 3C1). Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Responden al azar en las cuestiones referentes a la determinación de una

posición ordinal, no usan el conteo como método sistemático para resolver esas cuestiones

• Carecen de método sistemático para determinar una posición a partir de otra El 25,92%, es decir 7 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su

distribución por edades es:

3 años 4 años 5 años CN1 5 2 -

En este nivel no encontramos a niños de 5 años siendo su mayoría de 3. III. CN2. (1C3, 2C3, 3C2) Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Saben contar • Utilizan el conteo como instrumento para determinar una posición ordinal • No relacionan una posición ordinal con otra para su determinación

De los 27 niños entrevistados, 6 son de este nivel, o sea un 22,22% y su


3 años 4 años 5 años CN2 - 1 5

En este nivel están los niños de 5 años que no están en el nivel CN3


IV. CN3. (1C3, 2C3, 3C3). Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Saben contar • Usan la secuencia numérica para determinar una posición ordinal y llegar a

manifestar que contar es un instrumento válido para resolver la cuestión planteada

• Determinan una posición ordinal a partir de otra que puede ser el dato o no.



CN3 1 4 6 Por tanto, es un conocimiento que evoluciona con la edad; los de 3 años no llegan

al 10% mientras que los de 5 son más de la mitad, observándose un claro ascenso con los niños de 4 años respecto a los de 3.

A continuación realizaremos dos estudios comparativos para los niveles del conteo y las edades de los niños de la muestra, análogos a los ya realizados para la tarea de alternancia, por tanto las consideraciones sobre los diseños de las tablas serán las mismas a las ya realizadas.

Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de

distintas edades. 1) El nivel CN0 por edades según los subniveles CS0 y CS1 . Teniendo en cuenta la tabla C-6:

Nivel 0/Años Frecuencia Fre/CS0 Fre/CS1

CN0, 3 2 1 1 CN0, 4 1 1 0 CN0, 5 - - -

Tabla C-6

Observamos que la frecuencia de niños de este nivel disminuye con la edad,

tendiendo a desaparecer a partir de los 5 años.

2) El nivel CN1 por edades según los subniveles CS2, CS3 y CS4. Considerando la tabla C-7


Nivel 1/Años Frecuencia Fr/CS2 Fr/CS3 Fr/CS4 CN1, 3 5 2 1 2 CN1, 4 2 1 - 1 CN1, 5 - - - -

Tabla C-7

Hacemos las siguientes observaciones:

• No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos están en niveles superiores. • En 3 años encontramos igual número de niños en el nivel CN1 que no

cometen errores al contar los elementos de una serie (1C3) como los que no aplican ningún principio del conteo (1C1). Por lo que obtenemos la siguiente conclusión:

Conclusión 4-C. Que un niño no cometa errores en el conteo no garantiza que lo

use como estrategia para resolver problemas ordinales.

• Entre los niños de 4 años también encontramos un caso de niños que no saben contar (CS2) y otro niño que sabiendo contar no usa el conteo (CS4).

Resumiendo, tenemos que la principal característica, respecto a la edad, del nivel

CN1 se encuentra en que disminuye a menos de la mitad los niños de 4 años que están en éste nivel con respecto a los de 3, y desaparece con 5 años.

3) Estudio del nivel CN2 por edades según los subniveles CS5,CS6, CS7 y CS8. Consideramos la siguiente tabla C-8

Nivel 2/Años Frecuencia Fr/CS5 Fr/CS6 Fr/CS7 Fr/CS8 CN2, 3 - - - - - CN2, 4 1 1 - - - CN2, 5 5 - - 4 1

Tabla C-8

Observamos que los niños de 3 años no están en este nivel porque o bien se quedan en niveles inferiores (su gran mayoría) o existe una minoría que llega al nivel superior, pero podemos considerar que son casos excepcionales. El prototipo de respuestas del niño de 4 años del nivel 2 es:

Nar (4, 8). –E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala el 3). –N. Es el 3. –E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –N. En el 6. –E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7? –N. Este (señala el 8) –E. No ese no es. –N. Este (señala el 9). –E. Pero si el osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. –N. Este (señala el 6). –E. Pero ese es el 6 ya que el osito está en el 6. Vamos a ponerlo en el 7. –N. Lo pone en el 9. –E. ¿Ese es el 7?. _N. No. –E. ¿Cuál es?. –N. El 9. –E. Si ese es el 9 ¿cuál es el 10?. –N. Este (señala el 10).

Observamos que el niño infiere que contar es un procedimiento válido para

determinar una posición ordinal, pero se detecta una gran inseguridad en su respuesta a


la hora de determinar una posición ordinal a partir de otra, no aplica la misma estrategia (el conteo) cuando se plantea el mismo problema ordinal introduciendo un dato. Los niños de 5 años del nivel 2, CN2, están en su gran mayoría en el subnivel CS7, son niños que usan la estrategia del conteo frente a estrategias lógicas ordinales; y posteriormente no recurren a relaciones lógicas-ordinales para justificar las respuestas sobre la determinación de una posición ordinal a partir de otra (3C22) Como consecuencia de las observaciones realizadas se tiene la siguiente conclusión:

Conclusión 5-C. Existen niños de los niveles intermedios que usan preferentemente el conteo como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal frente a estrategias de siguiente inmediato. Ninguno de estos niños tienen en cuenta una posición dada como dato para obtener otra.

4) El nivel CN3 por edades según los subniveles CS9, CS10, CS11 y CS12. Considerando la tabla C-9

Nivel 3/Años Frecuencia Fr/CS9 Fr/CS10 Fr/CS11 Fr/CS12 CN3, 3 1 - - - 1 CN3, 4 4 2 1 1 - CN3, 5 6 - - - 6

Tabla C-9

Tenemos que los niños de 5 años del nivel 3 (CN3) basan su estrategia para

localizar una posición ordinal en alguna relación lógica ordinal (2C32) y en cuestiones en las que tienen que localizar una posición ordinal a partir de otra tienen en cuenta el dato (3C32), mientras que, entre los niños de 4 años de este nivel, nos encontramos con algunos que o bien no tienen en cuenta el dato en las cuestiones planteadas (subniveles CS9 y CS10), o bien el conteo es la única estrategia utilizada para la determinación de una posición ordinal (subnivel CS11).

A partir de esas consideraciones tenemos la siguiente conclusión: Conclusión 6-C. Para determinar una posición ordinal, los niños mayores (de 5

años) usan preferentemente estrategias de “siguiente inmediato” y tienen en cuenta una posición dada como dato para obtener otra.

Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de

distintos niveles 1) 3 Años. Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por



CN0 CN1 CN2 CN3 3 años 2 5 - 1

Observaciones:

Muchos de los niños de 3 años cuentan correctamente (1C3), pero otros muchos (CN1) cometen errores drásticos contra los principios del conteo (1C1) (orden estable y correspondencia uno a uno), pero en su gran mayoría no usan la secuencia numérica como procedimiento o estrategia para resolver problemas ordinales.



CN0 CN1 CN2 CN3 4 años 1 2 1 4

La mitad de los niños de 4 años están en el nivel CN3 lo cual quiere decir que realizan un uso funcional ordinal de la secuencia numérica; además, seis de los ocho cuentan sin cometer errores.



CN0 CN1 CN2 CN3 5 años - - 5 6

Más de la mitad de los niños de 5 años se encuentran en el nivel más

evolucionado del conteo y el resto en el nivel anterior. Todos los niños de 5 años cuentan correctamente hasta 10 (1C3), son capaces de determinar una posición ordinal en una serie dada de 10 elementos (2C2 ó 2C3), mientras que algunos de ellos son capaces de determinar una posición ordinal a partir de otra dada como dato mediante relaciones lógicas ordinales (3C3), otros no lo son (3C2)..

11. Estudio comparativo de los niveles de Alternancia y Conteo Consideraremos la tabla A-C-1 de distribución de niveles de las tareas: Alternancia y Contar de cada uno de los niños de la muestra. Para un mejor entendimiento de la misma debemos precisar lo siguiente:


• La tabla está dividida en tres bloques por columnas, en cada una de ellas aparecen los niños de la muestra por edades, así, el primer bloque de columnas es para los niños de 3 años, el segundo para los de 4 y el tercero para los de 5.

• Cada uno de los bloques de las columnas, a su vez está dividido en tres: en la primera aparecen las iniciales de los nombres de cada niño, en la segunda los niveles de Alternancia y Contar de cada uno de ellos y en la tercera aparecen casillas en blanco y otras con asteriscos señalando, así, los niños que cambian de nivel en cuanto a las dos tareas consideradas

3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS

AN3 Ja, 5, o AN2 y CN2

Pab, 3,1 AN0 CN0 Fr 4,0

CN3 Esp. 5, 2 AN3 y CN3

Lou. 3,3 AN0

CN0 Adr. 4,1 AN0 CN0

Non. 5, 2 AN3 y CN3

Mar. 3,3 AN2

CN1 * An. 4, 3 AN1 CN1

Cri. 5, 5 AN2 y CN2

Sal. 4, 3 AN2 CN1 * Beg. 4,6 AN0

CN0

Is. 5, 6 AN3 y CN3

Luc. 3,9 AN1 CN1 Pat. 4, 6 AN2

CN3 * Clar. 5,7 AN3 y

CN3

Ari. 5, 7 AN3 y CN3 Ir. 3, 9 AN2

CN1 * Nar. 4,8 AN2 CN2

Ant. 5, 9 AN2 y CN2

Mi.3,10 AN1 CN1 Sal.4,11 AN2

CN3 * Mar. 5, 9 AN2 y

CN2

Par. 5,11 AN2 y CN2 Nu. 3,11 AN3

CN3 Ve.4,11 AN3 CN3

Mab. 5,11 AN3 y CN3

Tabla A-C-1. Distribución de niveles de las tareas: Alternancia y Contar de cada uno de los niños de la

muestra Teniendo en cuenta la tabla anterior, podemos hacer las siguientes observaciones:


1. Los niños de 3 años que estaban en el nivel 2 de la alternancia (AN2), han pasado al nivel 1 en la tarea de contar (CN1). Son niños que con respecto a la tarea 1, llegan a realizar bien la alternancia pero sin introducir la secuencia numérica para explicar la situación planteada (AN2), y con respecta a la tarea 2 pueden llegar a realizar la acción de contar sin cometer errores, sin embargo, no usan la secuencia numérica para determinar una posición ordinal.

Conclusión 1-A-C. Los niños de 3 años resuelven mejor las cuestiones sobre el

siguiente inmediato con la alternancia como instrumento de comparación que con el conteo. 2. Dos de los ocho niños de 4 años cambian de nivel, del AN2 pasan al CN3. En los

niños de 4 años se da el efecto contrario de lo que ocurría para los de 3: contesta mejor el conteo que la alternancia. Los niños de 4 años están:

En el mismo nivel en la alternancia que en el conteo, o bien Mejoran el conteo con respecto a la alternancia. Los niños que

mejoran son los que pasan del nivel 2 de la alternancia (AN2) al nivel 3 del conteo (CN3)

Son niños que conocen el criterio de la alternancia pero no usan la secuencia

numérica para explicarlo, es decir son niños que no usan la secuencia numérica en un contexto no numérico y, sin embargo, son capaces de usarla como instrumento para resolver problemas ordinales en contextos numéricos.

Conclusión 2-A-C. A medida que los niños crecen, resuelven mejor los problemas ordinales en contextos numéricos que los mismos problemas en contextos no numéricos. 3. Los niños de 5 años no cambian de nivel en cuanto a la alternancia y el conteo

Conclusión 3-A-C. Los niños de 5 años llegan a tener una representación mental de la secuencia numérica que le permite trasladar las relaciones lógicas ordinales entre sus términos a otros tipos de secuencias como la alternancia para la resolución de problemas ordinales.

12. Resultados y conclusiones de la tarea 3:

Secuencia Numérica / Alternancia En esta tarea el niño tiene que realizar y describir la correspondencia serial entre la alternancia sí-no y los términos de la secuencia numérica aplicada a los peldaños de la escalera, a continuación debe, primero, describir una posición ordinal determinada según la correspondencia serial y terminar con la anticipación y determinación de una posición ordinal conociendo lo que ocurre en una posición dada como dato.


Consideraremos para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla S/A-2 si la hace explícita al menos una vez en el transcurso de la entrevista.

12.1 Codificación y caracterización de respuestas. La codificación de las respuestas de los niños respecto de la tarea de correspondencia serial se realiza según los tres bloques siguientes, que corresponden, cada uno de ellos, a las tres fases de esta tarea expuestas en el punto 6.3.2 de este mismo capítulo:

1S/A Categorías de respuestas relativas a la realización de la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia.

2S/A Es el bloque correspondiente a la descripción de una posición ordinal respecto a la correspondencia serial considerada en el bloque anterior.

3S/A Son las respuestas relativas a la anticipación y determinación de una posición ordinal respecto de la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia conociendo lo que ocurre en una posición dada como dato, que con respecto a la incógnita tiene una relación lógica ordinal de siguiente inmediato, pasando posteriormente a cuestiones sobre cualquier siguiente.

. Estos tres bloques nos permite analizar la transformación mental llevada a cabo

en los niños que llegan a establecer la relación lógica ordinal de siguiente inmediato entre los términos de la secuencia numérica mediante la comparación vía correspondencia serial realizada previamente.

Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la categorización de

respuestas que exponemos en la tabla S/A-1.

Para la interpretación correcta de dicha tabla nos remitimos a los puntos ya considerados en el apartado 9.1 de este mismo capítulo para la tabla A-1 Estas puntualizaciones serán análogas en ambas tablas, sólo hay que cambiar la letra A (de Alternancia) por las siglas S/A (de Secuencia Numérica/Alternancia) y adaptar el último punto a las especificaciones de cada tabla.

Análogamente a lo que ocurría en la codificación de las respuestas de las dos tareas anteriores, se da que en cualquier categoría kS/Ai con K variando de 1 a 3 e i variando de 0 a 3, una vez fijado k, las respuestas más evolucionadas son cuando i=3 y las menos se dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3 podemos medir de la menos a la más evolucionada.


1S/A0 No sabe o no contesta

1S/A1 Al azar

1S/A21 Tiene dudas y equivocaciones, no llega a realizar la correspondencia serial 1S/A2

1S/A22 Llega a realizar la correspondencia serial Secuencia Numérica /Alternancia con dudas y equivocaciones.

1S/A

1S/A3 Entiende de primera instancia el criterio y realiza correctamente la correspondencia serial. Aparece un razonamiento inductivo con la secuencia numérica a partir de dos términos.

2S/A0 No sabe o no contesta 2S/A1 Al azar

2S/A21 Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la entrevista. No usa la correspondencia serial. 2S/A2

2S/A22 Da la respuesta correcta sin justificación 2S/A

2S/A3 Da la respuesta correcta y la justifica usando una relación lógica ordinal de la secuencia numérica.

3S/A0 No sabe o no contesta 3S/A1 Al azar

3S/A21 Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la entrevista 3S/A2

3S/A22 Da la respuesta correcta pero sin justificación

3S/A31 Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica ordinal. No tiene en cuenta el dato.

3S/A

3S/A3 3S/A32 Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica

ordinal. Tiene en cuenta el dato.

Tabla S/A-1. Codificación y categorización de respuestas de la tarea de correspondencia serial

12.2. Análisis de respuestas

Una vez codificadas y categorizadas las respuestas, podemos encontrar en el Anexo 4.4 las respuestas verbales respecto a la tarea de correspondencia serial, de todos y cada uno de los niños entrevistados, que hacen que presenten una categoría determinada.

En la tabla S/A-2 se recogen las respuestas de cada uno de los niños según los bloques y categorías consideradas en esta tarea. Para la interpretación de dicha tabla debemos añadir las mismas precisiones que ya hiciéramos para las tablas A-2 y C-2 de este mismo capitulo.


1S/A0 1S/A1 1S/A21 1S/A22 1S/A3 2S/A0 2S/A1 2S/A21 2S/A22 2S/A3 3S/A0 3S/A1 3S/A21 3S/A22 3S/A31 3S/A32


Tabla S/A-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la correspondencia serial

Al igual que en los casos anteriores, en esta tarea nos volvemos a encontrar en la situación concreta de que si un niño responde, con respecto a las categorías de respuestas señaladas en la tabla S/A-1, de la forma 1S/Ai, 2S/Aj, 3S/Ak entonces i es mayor o igual que j y éste mayor o igual que k. Ello significa que los niños entrevistados pueden ser capaces de realizar la correspondencia serial sin ser, por ello capaces de resolver los problemas ordinales, respecto a esa misma correspondencia, planteados en el bloque 3S/A.

La observación en la tabla S/A-2 de este hecho se presenta de la misma forma a la ya expuesta en el caso de la tabla C-2, y por tanto nos remitimos al apartado 10.2 de este mismo capitulo para su especificación, teniendo en cuenta que en este caso no hay que hacer ninguna salvedad.

El paso del bloque 1S/A al 3S/A significa:

“Realización previa de la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia para establecer la relación lógica ordinal de siguiente inmediato que se da entre dos términos consecutivos de la secuencia numérica mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación establecida por la correspondencia serial dada”.


Según podemos observar en la tabla S/A-2, para los niños entrevistados es condición necesaria que realicen y describan la correspondencia serial considerada para llegar al establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos numéricos mediante la comparación entre ellos vía correspondencia serial, pero no es condición suficiente. Observando la tabla S/A-2 podemos hacer las siguientes afirmaciones:

• Todos los que están en el 3S/A3 previamente han estado en el 1S/A3 pasando por 2S/A3

• Los que están en el 3S/A2 vienen del 1S/A2 ó 1S/A3 y con respecto al bloque 2 están en el 2S/A2 ó en el 2S/A3.

• Todos los que están en el 3S/A1 vienen del 2S/A1 ó 2S/A2 y con respecto al bloque 1 se reparten entre la segunda y tercera categoría.

• Todos los que están en el 2S/A0 son los mismos que los del 1S/A0. Los del 3S/A0 vienen del 1S/A0 ó 1S/A1 y con respecto al bloque 2 están en el 2S/A0 ó en el 2S/A1.

De la observación y análisis la tabla S/A-2 podemos considerar el siguiente

diagrama (Fig. 1-S/A) que da una visión gráfica de la escalabilidad de las respuestas.

Fig. 1-S/A. Escalabilidad en las respuestas

Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-S/A) debemos tener en cuenta los

mismos puntos explicativos de la Fig.1-A en el apartado 9.2 de este mismo capítulo.

12.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas

Interpretamos las respuestas de los niños, conforme a lo establecido en el diagrama de la figura 1-S/A, de la siguiente forma:

I. El que la respuesta de un niño esté en la categoría más evolucionada de

3S/A, es decir en 3S/A3, quiere decir que el niño anticipa lo que sucederá, con respecto a la correspondencia serial, en una posición determinada teniendo en cuenta lo que ocurre en otra dada como dato. Al ser la correspondencia serial entre la secuencia numérica y la alternancia,

1S/A0=2S/A0

1S/A1 1S/A2

1S/A3

2S/A1 2S/A2

3S/A03S/A1

3S/A2

2S/A3=3S/A3


ésta se convierte en un instrumento de comparación de términos de la primera, y ello significa que el niño es capaz de comparar (frente a la acción de etiquetar) dos términos consecutivos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento de comparación. Con ello obtenemos la primera conclusión:

Conclusión 1-S/A. - El niño que anticipa lo que sucederá, respecto a la alternancia,

en una posición ordinal determinada de la secuencia conociendo lo que ocurre en otra dada como dato, es porque establece relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica mediante la comparación dada por la correspondencia serial

Si las respuestas de los niños son de la categoría 3S/A3, entonces las respuestas de esos niños también están en la categoría más evolucionada de 1S/A y 2S/A, es decir están en 1S/A3 y 2S/A3, por tanto son niños que han realizado y comprendido de primera instancia el criterio de la correspondencia serial (1S/A3) y han sido capaces de determinar y describir una posición ordinal usando la secuencia numérica/alternancia (2S/A3), de ahí que obtengamos la segunda conclusión de nuestro análisis:

Conclusión 2-S/A. – Los niños que comparan los términos numéricos a través de la alternancia, y que por tanto establecen relaciones lógicas ordinales entre ellos, son los que usan la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia, que previamente han realizado, para describir una posición ordinal en una serie. Hay que hacer notar que todos los niños cuyas respuestas están en 2S/A3 son los mismos que dan la respuesta 3S/A3, y teniendo en cuenta la conclusión 1-S/A y que todos estos están en 1S/A3, tenemos la siguiente conclusión recíproca a la anterior

Conclusión 3-S/A. Los niños que describen una posición ordinal mediante la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia, que previamente han realizado, son los mismos niños capaces de establecer las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica vía la alternancia.

II. Todos los niños que dan la respuesta 3S/A2 están dentro de la categoría 2S/A2, algunos de ellos están en 1S/A3 mientras que otros están en el 1S/A2.

El paso del 1S/A3 al 2S/A2, como es el caso de Cri (5,5) significa que hay niños

que realizan correctamente la correspondencia serial, pero cuando deben usarla para describir una posición ordinal o bien lo hacen con dificultad, o simplemente lo hacen pero sin expresar ninguna justificación vía correspondencia serial realizada previamente

Cri. (5,5). E. Es en 1-sí, en 2-no,, venga sigue tú. C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no,

en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí, en el 10-no. E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. ¿come?. C. En el sí. E. En el 7 ¿come?. C. No. E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no?. C. Que sí come.. Para los niños que están en el 3S/A2, 2S/A2, 1S/A3 se puede interpretar lo

siguiente:


Los niños que realizan de primera instancia la correspondencia serial sin dificultad aparente (1S/A3) y no la usan para justificar la descripción de una posición ordinal (2S/A2), son niños que no justifican las relaciones lógicas ordinales que se da entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento de comparación.

Con esta interpretación llegamos a la siguiente conclusión:

Conclusión 4-S/A. El hecho de realizar con éxito la correspondencia serial

secuencia numérica/alternancia no garantiza el uso para determinar y describir una posición ordinal a través de ella, ni tampoco que la alternancia sea instrumento de comparación en la justificación del establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

Análogamente, para los niños que presentan estas categorías de respuestas:

3S/A2, 2S/A2 y 1S/A2 se interpreta como que los niños que ya presentan algún tipo de dificultad en la realización de la correspondencia serial (1S/A2) no dan justificaciones ni de la descripción de una posición ordinal a través de ella ni de la anticipación, respecto a la correspondencia serial, del siguiente inmediato de una posición ordinal dada como dato.

III. Dentro de los niños que llegan a realizar la correspondencia serial con algún tipo de dificultad (1S/A2), nos encontramos con respuestas respecto al segundo bloque de dos categorías: 2S/A2, como es el caso de Pat. (4,6), Nar. (4,8) ó Sal. (4,11)9, o bien 2S/A1 como por ejemplo Mar. (3,3) ó Sal (3,4)10.

Por tanto, los niños de respuestas 1S/A2 no tienen porqué ser capaces de resolver

cuestiones sobre posiciones ordinales en las que interviene dicha correspondencia. Con ello se corrobora la conclusión anterior.

IV. Los niños que responden al azar en cuanto a la tercera cuestión, 3S/A1, son niños que con respecto al segundo bloque están en: 2S/A1 ó 2S/A2, y con respecto al primero: 1S/A1 ó 1S/A2.

Hay niños que llegan a dar la respuesta correcta con ayuda del entrevistador en

las dos primera cuestiones y sin embargo responden al azar en las cuestiones en las que tienen que usar la alternancia para comparar, términos consecutivos de la secuencia numérica y con ello establecer relaciones lógicas ordinales, como es el caso de Nar. (4,8):

Nar. (4,8). E. En el 1- sí, en el 2-no, …,venga sigue tú. N. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 7-sí (señala el 9). E. ¿Este es el 7?. N. ¿El 8? … E. Venga empezamos de nuevo. N. En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 8-no (señala el 10)…. E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿sabes en qué escalón está?, ¿Ahí come?. N. Es el 3 y sí come. E. ¿Por qué?. N. Porque me acuerdo. E. ¿Y éste? (Señala el 4), ¿come?. N. Es el 4 y no come. E. ¿Por qué?. N. Porque me acuerdo…. E. El osito está en el 6 y no come pan, ¿qué ocurre en el 7?. N. No come porque me acuerdo. E. Te recuerdo que en el 6 no come, ¿cuál es el 7?. N. Este (señala el 7). E. ¿Come?. N. Sí come porque me acuerdo. E. ¿Y en el 8?. N. Sí porque me acuerdo.

9 Ver Anexo 4.4, ps. 321-326 10 Ver Anexo 4.4.


Por lo tanto deducimos la siguiente conclusión: Conclusión 5-S/A. Un niño puede resolver (aunque con cierta dificultad) las dos

primeras cuestiones sobre la correspondencia serial y la determinación a través de ella de una posición ordinal y no tener totalmente construidas las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica y que responden al azar cuando se trata de comparar dos términos consecutivos de la misma

V. Los niños que no entienden nada cuando se les pide que realicen la correspondencia serial, es decir los que responden de la forma 1S/A0, coincide con el conjunto de niños que no entienden nada con respecto a la segunda cuestión (2S/A0) y estos mismos niños siguen sin entender nada cuando planteamos las cuestiones del tercer bloque (3S/A0).

Sin embargo, algunos niños, como es el caso de Ir. (3,9)11, mejoran la respuesta del

1S/A y 2S/A con respecto al tercer bloque, es decir, llega a hacer algo con respecto a la realización de la correspondencia serial (1S/A1) y la descripción de las posiciones ordinales (2S/A1) pero no entienden nada de la comparación de términos a través de la correspondencia. (3S/A0).

12.3. Niveles en la tarea Secuencia Numérica / Alternancia. S/AN

Definimos los siguientes subniveles (Tabla S/A-3) para la correspondencia serial al tener en cuenta la escalabilidad en las respuestas expuesta en el diagrama de la fig. 1-S/A y cuya interpretación se ha presentado en el apartado anterior:

S/AS0 1S/A0 2S/A0 3S/A0 S/AS1 1S/A1 2S/A1 3S/A0 S/AS2 1S/A1 2S/A1 3S/A1 S/AS3 1S/A2 2S/A1 3S/A1 S/AS4 1S/A2 2S/A2 3S/A1 S/AS5 1S/A2 2S/A2 3S/A2 S/AS6 1S/A3 2S/A2 3S/A2 S/AS7 1S/A3 2S/A3 3S/A3

Tabla S/A-3. Definición de subniveles de la correspondencia serial

Al igual que venimos haciendo en las dos tareas anteriores, debemos hacer notar

que, como consecuencia de la codificación usada en las respuestas según la cual kS/Ai es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 3, tenemos que S/ASi es más evolucionado cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 7.

A partir de los subniveles y con la reagrupación de los mismos establecemos los

niveles para la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia en la tabla S/A-4,

11 Ver Anexo 4.4.


siguiendo el orden natural de los números de 0 a 3 para indicar del menos al más evolucionado, es decir S/AN0 es el menos evolucionado mientras que S/AN3 es el más:

NIVELES DE SECUENCIA NUMÉRICA/ALTERNANCIA

S/AN0 S/AS0 S/AS1 S/AS2

S/AN1 S/AS3 S/AS4

S/AN2 S/AS5 S/AS6

S/AN3 S/AS7

Tabla S/A-4. Definición de niveles en la tarea de correspondencia serial

Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido: • Los subniveles en los que aparece la respuesta menos evolucionada del tercer

bloque se reagrupan en el nivel S/AN0, incluyendo también aquel en el que aparecen las respuestas que se dan al azar.

• El nivel S/AN1 es la reagrupación de subniveles caracterizados porque en cuanto al tercer bloque se responde al azar, pero responden de forma algo más evolucionada en los otros dos bloques.

• S/AS5 y S/AS6 se reagrupan para dar S/AN2 porque en ambos se llega al mismo grado en cuento la comparación de dos términos consecutivos de la secuencia numérica mediante la alternancia (3S/A2)

• Para S/AN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque. Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla S/A-5 en la que

todos y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:


S/AN0 S/AN1 S/AN2 S/AN3 Pab. 3,1 Lou. 3,3 Mar. 3,3 Sal. 3,4 Luc. 3,9 Ir. 3,9 Mi. 3,10 Nu. 3,11 Fr. 4,0 Adr. , 4,1 An. 4,3 Beg. 4,6 Pat. 4,6 Nar. 4,8 Sal. 4,11 Ver. 4,11 Ja. 5,0 Esp. 5,2 Non. 5,2 Cri. 5,5 Is. 5,6 Clar. 5,7 Ari. 5,7 Ant. 5,9 Mar. 5,9 Par.5, 11 Mab.5,11

Tabla S/A-5. Distribución por niveles en la tarea de correspondencia serial de los niños de la

muestra Si tenemos en cuenta la tabla S/A-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en

cada uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (S/A-1), cuyo análisis lo detallaremos cuando realicemos los estudios I y II del próximo apartado.

Gráfico S/A-1. Distribución de frecuencias por edades

en cada uno de los niveles considerados

0

2

4

6

8

S/AN0 S/AN1 S/AN2 S/AN3



12.3.1. Caracterización de los niveles

I. S/AN0. (1C0, 2C0, 3C0) ó (1C1, 2C1, 3C0) ó (1C1, 2C1, 3C1) Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Son incapaces de realizar la correspondencia serial. • Responden al azar o no entienden nada sobre las cuestiones planteadas de

posiciones ordinales usando la correspondencia serial. En éste nivel se encuentra 8 niños de los 27, lo que representa un 29,61%, su


3 años 4 años 5 años S/AN0 5 3 -

II. S/AN1. (1S/A2, 2S/A1, 3S/A1) ó (1S/A2, 2S/A2, 3S/A1) Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Llegan a realizar la correspondencia serial aunque no sea de primera instancia. • Responden al azar o sin argumentos en las cuestiones referentes a la

determinación de una posición ordinal mediante la correspondencia serial. • Carecen de método sistemático para comparar un término numérico con otro a

través de la alternancia

En definitiva, los niños de este nivel se caracterizan porque son incapaces de anticipar qué ocurrirá, respecto a la correspondencia serial, en una posición ordinal determinada teniendo como dato lo que ocurre en otra.

El 11,1%, es decir 3 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su


3 años 4 años 5 años S/AN1 2 1 -

III. S/AN2. (1S/A2, 2S/A2, 3S/A2) ó (1S/A3, 2S/A2, 3S/A2) Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Llegan a realizar la correspondencia serial • No comparan un término numérico con otro mediante la alternancia para la

descripción (a través de la correspondencia serial) de una posición ordinal. En este nivel están los niños que realizan la correspondencia. Dan siempre la

respuesta correcta cuando tienen que determinar qué ocurrirá en una posición determinada respecto a la correspondencia serial dando como dato lo que ocurre en otra, pero no tienen argumentos para justificar su decisión. Esta falta de argumentación nos


hace pensar que los niños no disponen de una representación mental de la correspondencia serial previamente realizada que les permita establecer relaciones lógicas ordinales en una de las series usando la otra como instrumento.

De los 27 niños entrevistados, 7 son de este nivel, o sea un 25,925%, y su


3 años 4 años 5 años S/AN2 - 2 5

En este nivel están los niños de 5 años que no están en el nivel S/AN3

IV. S/AN3. (1S/A3, 2S/A3, 3S/A3). Los niños de este nivel se caracterizan porque: • Realizan de primera instancia la correspondencia serial • Usan dicha correspondencia para determinar y describir una posición ordinal y

relacionarla con su anterior inmediato. • Comparan, mediante la correspondencia serial, una posición ordinal con otra

que puede ser el dato o no. En definitiva, son los niños capaces de relacionar y comparar términos de la

secuencia numérica, estableciendo relaciones lógicas ordinales entre ellos, cuando tienen que determinar posiciones ordinales mediante una correspondencia serial en la que una de las series en litigio es dicha secuencia y la otra es una alternancia.

Conclusión 6-S/A. Los niños del nivel de correspondencia serial más evolucionado usan la alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la secuencia numérica.



S/AN3 1 2 6

A continuación realizaremos dos estudios comparativos para los niveles de la correspondencia serial y las edades de los niños de la muestra, análogos a los ya realizados para las dos tareas previas. Las consideraciones sobre los diseños de las tablas serán las mismas a las ya realizadas en la tarea de alternancia.

Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de distintas edades.

1) El nivel S/AN0 por edades según los subniveles S/AS0, S/AS1 y S/AS2 . Teniendo en cuenta la tabla S/A-6:


Nivel 0/Años Frecuencia Fre/S/AS0 Fre/S/AS1 Fre/S/AS2

S/AN0, 3 5 4 1 - S/AN0, 4 3 2 - 1 S/AN0, 5 - - - -

Tabla S/A-6

Observamos que la frecuencia de niños de este nivel disminuye con la edad, tendiendo a desaparecer a partir de los 5 años. Observamos:

a) No hay niños de 5 años en este nivel b) Encontramos a niños de 3 y 4 años, aunque son más frecuentes los

primeros, situándose en su gran mayoría en el subnivel menos evolucionado.

2) El nivel S/AN1 por edades según los subniveles S/AS3 y S/AS4. Considerando la tabla S/A-7

Nivel 1/Años Frecuencia Fr/S/AS3 Fr/S/AS4

S/AN1, 3 2 2 - S/AN1, 4 1 - 1 S/AN1, 5 - - -

Tabla S/A-7

Hacemos las siguientes observaciones:

a) No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos los niños entrevistados están en niveles superiores.

b) Los niños de 3 años de este nivel responden peor que los de 4 años, ya que los primeros se encuentran en S/AS3, y los segundos son de S/AS4. La diferencia se encuentra en que los niños de 3 años responden al azar las cuestiones en las que tienen que usar la correspondencia serial en la determinación de posiciones ordinales, mientras que los de 4 años llegan incluso a determinarla.

3) Vamos a estudiar los del nivel S/AN2 por edades según los subniveles S/AS5 y

S/AS6. Consideramos la siguiente tabla,


Nivel 2/Años Frecuencia Fre/S/AS5 Fre/S/AS6 S/AN2, 3 - - - S/AN2, 4 2 2 - S/AN2, 5 5 4 1

Tabla S/A-8

Observamos que no hay niños de 3 años en el nivel 2; al igual que en la tarea de contar, estos niños se quedan en niveles inferiores (su gran mayoría) o existe una minoría que llega al nivel superior. Los de 4 años que están en éste nivel se encuentran en el subnivel S/AS5, y tenemos que ir a los de 5 para encontrar niños en el subnivel S/AS6 Los niños de 4 años de este nivel, como son Pat (4, 6), Sal (4,11)12 se diferencian, fundamentalmente, de los de 5 años del mismo nivel en que los primeros consiguen realizar la correspondencia serial con dudas y equivocaciones mientras que entre los segundos nos encontramos con aquellos que entienden de primera instancia el criterio.

No hay diferencias significativas por edades entre los niños de este nivel.

4) El nivel S/AN3 por edades. Considerando la tabla S/A-9

Nivel 3/Años Frecuencia Fr/3S/A31 Fr/3S/A32 S/AN3, 3 1 1 - S/AN3, 4 2 2 - S/AN3, 5 6 1 5

Tabla S/A-9

Encontramos diferencia en las respuestas del tercer bloque, aunque todos ellos (los del nivel 3) han respondido de la forma 3S/A3 (cuestión: “anticipar lo que va a ocurrir respecto a la correspondencia serial, en una posición determinada dando otra como dato numérico; y las respuestas se caracterizan porque son correctas y la justifican con una relación lógica ordinal), los niños de 3 y 4 años no tienen en cuenta el dato (3S/A31) mientras que en 5 años nos encontramos con niños de 3S/A31 y 3S/A32.

Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de

distintos niveles 1) 3 Años. Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por


12 Ver Anexo 4.4.


S/AN0 S/AN1 S/AN2 S/AN3 3 años 5 2 - 1

Observaciones:

a) Siete de los ocho niños de 3 años están en los niveles S/AN0 y S/AN1. Esto significa que la mayoría de los niños entrevistados o bien responden al azar o bien no entienden las cuestiones planteadas en las que tienen que usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la secuencia numérica.

b) Tan sólo nos encontramos con un niño en el nivel S/AN3 y ninguno en S/AN2, por lo tanto, la mayoría de los niños de tres años aún llegando a realizar la correspondencia serial (hay dos que sí lo hacen además del niño del nivel S/NA3) no la tienen como representación mental que resuelve problemas.



S/AN0 S/AN1 S/AN2 S/AN3 4 años 3 1 2 2

Observaciones:

a) La mitad de los niños de 4 años están en los niveles S/AN3 y S/AN2, y la otra mitad la encontramos en los niveles más bajos. Esto significa que la mitad de los niños entrevistados o bien responden al azar o bien, mayoritariamente, no entienden las cuestiones planteadas sobre posiciones ordinales usando la alternancia como instrumento de comparación de términos numéricos.

b) El número de niños de los niveles S/AN3 y S/AN2 se reparte por igual entre ellos, lo cual significa que los niños de 4 años que describen y usan la correspondencia serial para realizar comparaciones ordinales entre los términos numéricos pueden llegar a justificar su razonamiento o no.

c) El aumento de esta frecuencia a favor de los niveles S/AN3 y S/AN2 con respecto a los niños de 3 años, se establece para incrementar el nivel S/AN3 y se dé la aparición de casos para el segundo nivel. Por tanto, los niños de 4 años, con respecto a los de 3, usan instrumentos como la alternancia para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.




S/AN0 S/AN1 S/AN2 S/AN3 5 años - - 5 6

Observaciones:

a) Todos los niños de 5 años entrevistados están en los niveles S/AN2 y S/AN3, por tanto no hay niños de 5 años que no entiendan las cuestiones planteadas.

b) Todos los niños de 5 años son capaces de usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos numéricos, muchos de ellos llegan incluso a justificar el razonamiento que ponen en funcionamiento cuando resuelven problemas ordinales en los que deben manifestar relaciones lógicas ordinales dadas por la correspondencia serial previamente construida.

13. Estudio comparativo de las tres tareas

Para ello consideraremos la tabla 1 que es síntesis de las tablas A-2, C-2 y S/A-2 expuestas en este mismo capitulo, donde aparece la distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre cada una de las tareas T1, T2 y T3.

En dicha tabla se introduce una novedad en la forma de codificar las respuestas. Para su interpretación debemos añadir a las precisiones de cualquiera de las tablas de la que es síntesis, lo siguiente: • Cada casilla de la primera fila indica un bloque de respuestas en cada una de las

tareas consideradas (Alternancia, Contar, Secuencia Numérica/Alternancia). Cuando se pasa de un bloque de una tarea a otro en la tabla, la línea de separación entre columnas queda marcada por el grosor de la misma.

• Para cada una de las tres tareas se considera los bloques establecidos en la

codificación realizada en el capítulo anterior, estas son: iA, iC, iS/A con i variando de 1 a 3. Cuando se pasa de un bloque a otro la línea de separación entre columnas es diferente.

• Cada una de las casillas de la primera fila divide al resto de la tabla en cuatro

columnas. Las cuatro casillas de la segunda fila correspondientes a una celda determinada de la primera constan cada una de ellas de un número k entre 0 y 3. Ello significa, y aquí está la novedad de esta nueva codificación, que si la respuesta de un niño en el bloque 1A fue, por ejemplo, 1A3 entonces se marca la casilla correspondiente al número 3.


1A 2A 3A 1C 2C 3C 1S/A 2S/A 3S/A

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3


Tabla 1. Síntesis de las tablas de distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre cada

una de las tareas T1, T2 y T3 del estudio exploratorio.

Con la nueva codificación podemos evaluar la respuesta de cada niño con un número k que varía de 0 a 3. De esta forma, que un niño obtenga la puntuación: 0, 1, 2 ó 3 en cada uno de los bloques de respuestas iA, iC ó iS/A significa que su respuesta corresponde a la categoría de ese bloque es iAk, iCk ó iS/Ak siendo k la puntuación, entre 0 y 3, que hubiera obtenido (debemos puntualizar que k no tienen porqué ser el mismo número en los tres casos). Con esta evaluación de respuestas podemos ver que las tareas T1, T2 y T3 están jerarquizadas en el sentido que se expresa en la figuna 1 que es el siguiente: Si la puntuación de un niño en el bloque iS/A es z, en iA es x y en iC es y entonces “z es menor o igual que x”, y “z es menor o igual que y”.

:

Fig. 1. Esquema arbóreo evolutivo de las tres tareas del estudio exploratorio


Ello significa que si un niño realiza bien alguna de las actividades de la tarea T3 es porque ha respondido con éxito a las actividades homólogas13de las tareas T1 y T2, presentándose ese mismo esquema arbóreo entre dichas actividades homologas (fig. 2) Entre las tareas T1 y T2 no se dan la comparación en el sentido que estamos definiendo, ya que como pudimos ver en el apartado 11 de este mismo capítulo, existen niños de la muestra, de 3 años, que empeoran la respuesta en la tarea de contar con respecto a la alternancia, mientras que encontramos niños de 4 años a los que ocurre lo contrario; siendo ese el motivo por el que las tareas T1 y T2 aparecen en el mismo nivel en el diagrama jerárquico de la figura 1.

Fig. 2. Esquema arbóreo evolutivo de las fases homólogas en cada una de las tareas del estudio exploratorio

Todo ello indica que hay niños que usan la alternancia y/o el conteo adecuadamente14 y sin embargo no son capaces de usar la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternacia como instrumento secuencial para resolver los mismos problemas ordinales. Estos niños se encuentran, mirando en la tabla 1, a partir de los cuatro años y medio. Esta jerarquía, desde el punto de vista evolutivo, muestra que en primer lugar los niños son capaces de realizar con un cierto nivel de éxito (este éxito se evalúa de 0 a 3) actividades en las que usan la acción de contar o la alternancia para determinar o resolver problemas ordinales antes que la resolución de los mismos problemas ordinales en la propia secuencia numérica.

14. Conclusiones evolutivas del estudio exploratorio En las páginas anteriores se ha detallado los análisis efectuados sobre las respuestas dadas por los niños de la muestra a la entrevista del estudio exploratorio. En dichos análisis se apunta hacia una evolución marcada por la permanencia de algunas características del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica y, al mismo tiempo, por la aparición de otras nuevas al pasar de una fase de una tarea dada (alternancia, contar, secuencia numérica/alternancia) a otra y de unas edades a las siguientes. Con la intención de aportar una visión global de los resultados obtenidos, realizamos a continuación una síntesis de los mismos desde la óptica de las competencias lógicas-ordinales involucrando su evolución: 13 Son actividades homólogas: iA, iC, iS/A con i variando de 1 a 3,siendo iA, iC, iS/A los bloques considerados en cada una de las tareas correspondientes. 14 Esto se observa en el Anexo 2.5, mirando los bloques 2S/A y 3S/A que son donde se usan una secuencia como instrumento para resolver un problema ordinal. En estos bloques encontramos niños con la puntuación 3 en 2A, 2C y 3A, 3C, mientras que en 2S/A y 3S/A obtiene un 2.


a) La realización correcta de la acción de contar no garantiza que se use como estrategia para resolver problemas ordinales.

b) Los niños mayores (5 años) usan preferentemente estrategias de siguiente

inmediato teniendo en cuenta una posición dada como dato para obtener otra; mientras que niños más pequeños (4 años) usan preferentemente el conteo como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal15.

c) Los niños más pequeños (3 años) resuelven mejor las cuestiones de

“siguiente inmediato” relativos a la alternancia que las relativas al conteo. A los 4 años les ocurre lo contrario. Los de 5 llegan a trasladar mentalmente las relaciones lógicas ordinales presentes entre los términos de la secuencia numérica a otro tipo de secuencia, como la alternancia, para la resolución de problemas ordinales usando como herramienta dicha secuencia.

d) La comparación de términos numérico mediante la alternancia denota la

capacidad de establecer las relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica. Los niños que establecen dichas relaciones son los que describen una posición lógica-ordinal mediante la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia.

e) El éxito en la construcción de la correspondencia serial secuencia

numérica/alternancia no garantiza su uso como herramienta para la determinación de una posición lógica-ordinal, y por tanto no se garantiza el éxito en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

f) Las respuestas que manifiestan relaciones lógicas ordinales entre los

términos de la secuencia numérica están presentes en los tres cursos que intervienen en el estudio, con un aumento considerable al pasar de 4 a 5 años. Estos niños son capaces de usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la secuencia numérica.

Del análisis de la tabla 1 (apartado 13) en la que se recoge todas y cada una de

las respuestas de los niños de la muestra en todas y cada una de las tareas presentadas observamos lo siguiente: a partir de los cuatro años y medio16 todos los niños obtienen la puntuación 2 ó 3 en todas y cada una de las pruebas realizadas. Las respuestas tienden a la no-dispersión que se da en la parte de arriba de la tabla hasta llegar a Pat (4,6). Dentro de esta no-dispersión de respuestas vemos como las correspondientes a las actividades de la tarea 2: Contar, obtienen una mayor homogeneización17con respecto a las otras dos. En particular si comparamos las respuestas del segundo bloque de esta tarea (columna 2C) con la correspondiente a la Alternancia (2A) vemos como la primera está totalmente concentrada en una única columna mientras que la segunda se distribuye en dos. A partir de ello obtenemos la siguiente conclusión importante desde el punto de vista evolutivo:

15 Llamamos “posición lógica-ordinal” a la comparación de una posición ordinal con otra dada como dato. 16 A partir de Pat (4,6) en la tabla. 17 Se concentra mayor número de respuestas en la misma columna (la de puntuación 3).


“A partir de los cuatro años y medio los niños tienen un dominio del conteo18 que les permite determinar posiciones ordinales y lógicas-ordinales” El conteo es determinante en la homogeneización de los otros bloques de

actividades, ello quiere decir que cuando se da el dominio del conteo empieza la homogeneización en el resto de tareas y con ello se llega al dominio de alternancia y al de Secuencia Numérica/Alternancia, entendiendo ésto como la generalización del dominio del conteo, sólo que en cada caso se coge como instrumento secuencial (ó sucesión de siguientes) la alternancia, secuencia numérica, ó correspondencia serial entre ambas.

La dispersión de respuestas presente antes de los cuatro años y medio, manifiesta

que los niños están construyendo esquemas mentales secuenciales (relaciones lógicas ordinales) que se manifiestan más claramente en series no numéricas como la alternancia antes que en la propia secuencia numérica, y es que no han alcanzado, aún, el dominio del conteo que es el determinante de las dos clases de niños. Ello justifica el que los niños de tres años respondan mejor a las cuestiones sobre siguiente ó siguiente inmediato usando la alternancia como instrumento secuencial que a las mismas cuestiones pero con el conteo como instrumento.

18 Denominamos dominio de conteo al uso de éste en la determinación de posiciones ordinales y lógicas-ordinales.

CAPITULO V MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES

1. Introducción. El principal objetivo de la investigación es describir el conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años. El estudio exploratorio desarrollado en el capítulo anterior permitió, en tal sentido, abordar el problema y obtener resultados relevantes. En el citado estudio hemos caracterizado y analizado los resultados de las tres tareas ordinales tratadas en la entrevista para dar significado a los comportamientos generales y a las situaciones singulares encontradas, así como a los procedimientos, destrezas y estrategias ordinales en niños de 3 a 6 años, y con ello dirigirnos hacia un modelo evolutivo que explique las competencias ordinales en estos niños (Hipótesis H6).

Las respuestas a las tareas analizadas en el capítulo anterior denotan la existencia de regularidades y la posibilidad de clasificarlas, con una evidente evolución de las distintas categorías. Ello nos permitirá caracterizar diferentes perfiles del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica, así como su evolución.

Tales tareas sirven para detectar diferencias en las competencias ordinales de los niños, debido a la jerarquía que se da entre ellas. Todo ello nos conducirá a clasificar los niños de la muestra en distintos niveles de competencias lógico-ordinales de la secuencia numérica. Debemos hacer constar que con este capítulo no pretendemos realizar una clasificación generalizable, sino tan sólo clasificar a los individuos de nuestra población y poder relacionar las categorías que obtengamos con distintos estados intelectuales o con distintas habilidades lógicas ordinales. Todo ello independientemente de su posible generalización.

Los aspectos mencionados se abordan en el presente capítulo como consecuencias importantes del estudio exploratorio y del análisis didáctico. Del primero tomamos las categorías que determinan la jerarquía de las tres tareas y perfilamos el conocimiento evolutivo de las competencias lógicas ordinales según todas las conclusiones parciales obtenidas en el capítulo anterior, y del segundo (junto con el

Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales. 162

primero) obtenemos los distintos estados intelectuales que relacionan las distintas categorías.

2. Modelo evolutivo del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica Nos proponemos desarrollar un modelo de competencias cognitivas de carácter evolutivo sobre el conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica que explique e integre los siguientes factores:

La progresión en el descubrimiento de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica por parte del sujeto individual Las características en el uso de la secuencia para determinar una posición

ordinal ó lógica-ordinal Los tipos de relaciones lógicas ordinales que se toman en consideración La evolución de las competencias lógicas-ordinales al pasar de un nivel

evolutivo a otro superior

Para ello además de tener en cuenta los resultados del estudio exploratorio como información fundamental es necesario:

• Realizar un análisis exhaustivo de cada una de las tareas ordinales

propuestas, así como de los esquemas secuenciales (relaciones lógicas ordinales) atribuibles a cada uno de los instrumentos secuenciales presentados: alternancia, secuencia numérica y correspondencia serial entre ambas.

• Determinar las posibles interpretaciones que pueda establecer el niño acerca

de las relaciones lógicas ordinales cuando describe una posición ordinal ó lógica ordinal y asignar a cada una de ellas un estatus evolutivo que tenga en cuenta los datos conocidos sobre la evolución del conocimiento involucrado, tanto en su filogénesis, expuesta en el análisis didáctico, como en la ontogénesis de determinados conceptos, tales como el espacio, el tiempo, el lenguaje, etc.

• Delimitar los distintos tipos de tareas ordinales y construir las que se puedan

adaptar mejor a las distintas interpretaciones y niveles de competencias

• Examinar el desarrollo curricular de la acción de contar1 y analizar su incidencia en las tareas y competencias en estudio, teniendo en cuenta que el desconocimiento, por ejemplo, del principio de orden estable puede dificultar o impedir la ejecución de algunas tareas ordinales.

• Ordenar los tipos de respuestas en categorías y delimitar las características

que las definen (lo que luego llamaremos “perfiles del conocimiento lógico ordinal”) teniendo en cuenta los resultados de todos los puntos anteriores expuestos, es decir, la construcción del modelo.

1 En el examen del desarrollo curricular se involucra los principios del conteo de Gelman y Gallistel.


La opción que hemos elegido para la exposición del modelo teórico es la de un

razonamiento progresivo, a partir de los aspectos más elementales hasta los más complejos y de las edades inferiores a las superiores, resumido y estructurado por etapas o aproximaciones. Cada aproximación corresponde a un estado diferente, que viene especificado por su descripción y justificación así como por las competencias teóricas que le corresponden desde un punto de vista de la progresión de las capacidades correspondientes en un sujeto individual ideal.

Estado I. Etiquetaje. En el inicio de las primeras nociones ordinales, el niño no está aún en

disposición de interpretar una secuencia desde el punto de vista lógico-ordinal. Teniendo en cuenta el subsistema lingüístico relativo a la seriación (Sinclair de Zwart, 1978), el niño pasa por tres fases previas hasta alcanzar la “serie comparativa en un sentido” y culminar con la “serie comparativa en los dos sentidos”; dichas fases consisten en asignar un término a cada elemento de la serie2 para diferenciarlos pero no para compararlos. Por consiguiente, establecemos que la primera aproximación para alcanzar las relaciones lógicas ordinales en cualquier serie es la diferenciación de sus elementos, para lo cual se debe indicar, bien de manera motora con el señalamiento, ó bien mediante el lenguaje con una etiqueta ó palabra, cada elemento de la serie; es decir, a cada elemento le corresponde un único señalamiento o ser etiquetado una sola vez. Los niños que hacen un gesto rasante para describir la serie estarán por debajo de este estado.

Estado II. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie

cualquiera usando esquemas infralógicos.

Una vez diferenciados los términos de una serie mediante el etiquetaje podemos aplicar una interpretación espacial ó temporal de la misma y manifestar con ello los primeros esquemas comparativos entre los términos de la serie.

Según Piaget (1981), la construcción del espacio matemático, por parte del niño,

comienza en los aspectos topológicos, para pasar, posteriormente, a los proyectivos y euclídeos. Uno de estos aspectos es el orden de los puntos sobre una línea, el cual hace posible la construcción de referencias ordinales: al lado de, para adelante ó para atrás, que se transfieren a las series. De este modo, al indicar que un elemento está al lado del otro estaremos indicando el “siguiente inmediato”, y la cuestión de cómo se comparan dos términos cualesquiera no consecutivos se resuelve con las relaciones “hacia delante” ó “hacia atrás” tomando como referencia uno de los términos a comparar que de esta forma se convierte en “primer y último elemento” al dividir la línea de puntos en dos clases: todos los que están delante y todos los que están detrás.

2 Estos términos son de tipo dicotómico, como por ejemplo grande-pequeño, en la fase dicotómica; ó tricotómico: grande-mediano-pequeño en la fase tricotómica ó todos distintos para cada uno de los elementos de la serie en la fase de etiquetaje.


Asimismo, el orden lineal espacial es considerado por muchos autores como una

noción primitiva para la comparación ordinal de los números:

“La idea de orden de los puntos sobre una recta es una de las nociones geométricas primitivas. Es un modelo matemático de la concepción intuitiva de comparación de números enteros” (Dieudonné, J. 1989, p. 194). Por consiguiente, establecemos que el primer soporte intuitivo-espacial del que el

niño dispone para organizar e interpretar una realidad ordinal está relacionado con el concepto de línea y, en particular, con el concepto de orden topológico de un conjunto finito de puntos pertenecientes a una línea (conjunto que debe contener al menos tres puntos).

Análogamente, el orden temporal, como conocimiento igualmente infralógico

(según taxonomía piagetiana), constituye un soporte intuitivo importante de referencias ordinales que se transfieren a las series.

Estado III. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie

cualquiera usando la alternancia como instrumento secuencial.

Se utiliza una secuencia para etiquetar los elementos de una serie. Dicha secuencia es la que permite el estudio de la comparación ordinal entre los elementos de la misma.

En el estado anterior la secuencia que se usaba como instrumento de etiquetación

y comparación era la línea topológica en la que no era necesaria la verbalización ni el conocimiento memorístico. En este estado es necesario que el niño aplique esquemas secuenciales y relaciones lógicas ordinales tales como:

Encadenamiento aditivo3 para la construcción de la alternancia que se usa

como instrumento, basados en esquemas infralógicos temporales: “y después, y después, …”

Correspondencia serial entre orden lineal y alternancia

. Cada elemento ocupa un lugar determinado: se empieza a caracterizar cada

elemento de la serie como único al compararlo con el anterior inmediato y el siguiente inmediato.

3 Ver Anexos V, Apartado 5.1.


En la alternancia, las relaciones ordinales entre elementos consecutivos se manifiestan mediante una dicotomía, y esto, evolutivamente hablando, son conceptos primarios según: clasificación conceptual de Stegmüller (1970), la génesis de la clasificación de Piaget e Inhelder (1976), el lenguaje subyacente a la seriación de Sinclair-Zwart (1978), entre otros.

Al aparecer en primer lugar la dicotomía se favorece la descripción de la serie por

alternancia. Pero además, usando la alternancia como instrumento secuencial, se puede llegar a lo más alto teniendo en cuenta las ideas evolutivas de los autores citados anteriormente:

a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los términos de la serie con un

sí ó un no. b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que

describir lo que ocurre en una posición dada, es decir determinar una posición ordinal a través de la alternancia empezando por el primer elemento. Esto corresponde, según nuestro análisis lógico-matemático de la secuencia, a que la alternancia (identificada como un instrumento secuencial) es una sucesión de siguientes que empieza en el primer elemento.

c) Serie comparativa en los dos sentidos: se alcanza cuando el niño determina

una posición lógica ordinal usando la alternancia, es decir, llega a determinar una posición ordinal a partir de otra dada como dato usando la alternancia como instrumento secuencial. Según el estudio realizado en el análisis didáctico de la estructura lógica de seriación, los esquemas lógicos matemáticos que se manifiestan son (entre otros):

Tramo finito en la sucesión de siguientes: esquemas de primero y

último Cada elemento ocupa un lugar determinado: el sí siempre está entre

dos noes. Comparativa en dos sentidos: Un término cualquiera es anterior a

uno y posterior a otro. Un término cualquiera de la clase de los síes es anterior y posterior de un no.

Según el estudio exploratorio, a los tres años los niños empiezan a aplicar

esquemas lógicos-matemáticos propios de este estado.

Estado IV. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera usando el conteo como instrumento de comparación.

Se utiliza la acción de contar para la comparación lógica-ordinal entre los

elementos de la serie. En el estado anterior la secuencia que se usaba como instrumento de etiquetación

y comparación era la alternancia en la que el esquema lógico-matemático subyacente era la dicotomía, mientras que en este estado es necesario que el niño disponga de una


secuencia estable y convencional (principio de orden estable según Gelman y Gallistel, 1978) y del principio de correspondencia uno a uno de la acción de contar.

Además de aplicar los mismos esquemas secuenciales que en el estado anterior

(cambiando el instrumento secuencial), será necesario que el niño aplique esquemas secuenciales y relaciones lógicas ordinales propias del conteo tales como:

Relación antisimétrica: alude a la comparación a través de la terminología

ordinal de dos términos cualesquiera de la serie usando el isomorfismo con el orden secuencial de la secuencia numérica que se establece en la acción de contar. Por lo tanto, con la acción de contar se establece una relación de orden total, que además es orden completo y buena ordenación, entre los elementos de la serie.

Todo elemento es primero y último: el elemento contado es tratado

simultáneamente como primero y último: primero de los que quedan por contar y último de los que ya han sido contados.

Con el dominio del conteo se da: a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los elementos de la serie con

un término numérico. b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que

describir lo que ocurre en una posición dada, es decir determinar una posición ordinal a través del conteo empezando por el primer elemento Esto corresponde, según nuestro análisis lógico-matemático de la secuencia, a que es una sucesión de siguientes que empieza por uno


una posición lógica ordinal usando el conteo. Siguiendo el estudio realizado en el análisis didáctico de la estructura lógica de seriación, los esquemas lógicos matemáticos que se manifiestan son:

La sucesión de siguientes es una caracteristica que se mantiene ante

cualquier división realizada en la secuencia numérica: el que un término sea el siguiente de otro es independiente del término elegido para el inicio. Esquemas acumulativos del conteo: Al contar a partir de un término

a, dado como dato, para localizar otra posición ordinal b, establecemos, paso a paso, el esquema acumulativo siguiente: “Un término al ser enumerado, pasa de ser siguiente de uno dado a ser el primero de una nueva división de la secuencia a partir del cuál se puede empezar a contar”

Según el estudio exploratorio, a los cuatro años y medio los niños manifiestan

esquemas lógicos-matemáticos propios de este estado.


Estado V. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento de comparación.

Se relacionan4 dos términos cualquiera de la secuencia numérica a la que se ha

sometido, previamente, a una correspondencia serial con la alternancia.

En los estados anteriores se comparaban dos elementos de una serie lineal discreta

usando como instrumento de comparación la alternancia (Estado III) o el conteo (Estado IV). Pues bien, en este estado se sustituye la serie lineal por la secuencia numérica y tratamos de comparar5 sus términos a través de la alternancia.

Desde el punto de vista evolutivo este estado es posterior a los anteriores según

los resultados del estudio exploratorio. En este estado el niño aplicaría esquemas secuenciales y relaciones lógicas

ordinales tales como: Primer y último elemento: se dan las relaciones inversas “anterior” y

“posterior” mediante un método sistemático de construir la secuencia numérica vía la correspondencia serial.

Generación de series: cogiendo los correspondientes a los síes se da la

secuencia “contar de dos en dos empezando por uno”, es decir la serie de los impares; y tomando los correspondientes a los noes se genera la serie de los pares.

El dominio de la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia supone: a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los elementos numéricos con

un término de la alternancia b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que

describir lo que ocurre, respecto a la alternancia, en una posición numérica. Aquí el niño establece la correspondencia serial de manera “global” empezando desde uno. No tiene en cuenta, explícitamente, las relaciones lógicas ordinales como la de siguiente inmediato, es decir, no manifiesta que el homólogo de un número respecto a la alternancia es complementario a los homólogos correspondientes al anterior y siguiente inmediatos.


una posición lógica ordinal de la secuencia numérica usando la correspondencia serial dada.

La correspondencia serial conduce a la comparación ordinal entre dos

términos cualesquiera de la secuencia numérica a través de la relación 4 Relaciones lógicas-ordinales 5 El término “comparar” se debe entender como el establecimiento de relaciones lógicas ordinales.


establecida por la alternancia, las relaciones dejarían de estar sometidas a la conexión rígida de la comparación en un sentido y, ello, permitiría la conservación de dichas relaciones establecidas en la descripción de la correspondencia serial en la particularización de sus elementos; en este sentido, el siguiente inmediato adquiere su significado según la alternancia, o mejor dicho, el siguiente inmediato se traduce en ”si en a-sí entonces en a+-no” desde que se descompone la correspondencia serial para examinar las relaciones lógicas ordinales de un elemento particular con su siguiente inmediato ó con cualquier siguiente.

Según el estudio exploratorio, a los cinco años los niños aplican esquemas

lógicos-matemáticos propios de este estado. Estado VI. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia

numérica. Se relacionan ordinalmente dos términos cualquiera de la secuencia numérica, en

ella cada término puede ser considerado en sí mismo en cuanto a sus relaciones lógicas-ordinales con todos los demás.

En este estado los niños alcanzan la sistematización de la secuencia numérica

según la estructura lógica de seriación6, y actúan sobre ella con estrategias ligadas a la estructura serial (seriación cíclica y doble); todo ello hace que los niños sean capaces de razonar ordinalmente sobre la secuencia numérica, tienen un dominio de la misma lo que permite:

Contar de n en n

Solucionar ordinalmente a+b con el llamado recuento progresivo

Solucionar ordinalmente a-b con el llamado recuento regresivo

Estar en disposición de interpretar las tablas de multiplicar como

correspondencias seriales entre los términos de la secuencia numérica y las series generadas a partir de ella como contar de n en n.

Afrontar toda la aritmética a partir del dominio ordinal de la secuencia

numérica.

Dado que este estado se puede identificar con el Bloque Numérico del Modelo Teórico de Desarrollo del Razonamiento Inductivo Numérico (Ortiz Comas, A. 1997), podemos indicar que los niños lo alcanzarían alrededor de los siete años.

El modelo teórico que acabamos de determinar se visualiza sintéticamente en la

tabla 1. Se produce el dominio de una visión totalizadora de los números naturales en su aspecto ordinal desde el desarrollo del lenguaje, se aprecia una evolución que comienza en el etiquetaje para pasar posteriormente, a un lenguaje secuencial y a un lenguaje numérico específico. Además, desde las relaciones lógicas ordinales, se contempla una 6 Ver esquema de la figura 9 de Cap. III de este Informe.


evolución desde estados con ausencias de las mismas, pasando por estados de descubrimiento de relaciones con instrumentos secuenciales sencillos, a un estado en el que la estructura operatoria de seriación se refleja en la secuencia numérica.

MODELO EVOLUTIVO

I. Etiquetaje. Diferenciar los elementos.

II. Relaciones lógicas-ordinales entre los términos de una serie cualquiera usando esquemas infralógicos

Linealidad y orden topológico Orden temporal

III. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera usando la alternancia como instrumento secuencial.

Posiciones lógicas ordinales con la alternancia

IV. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera usando el conteo como instrumento de comparación.

Posiciones lógicas ordinales con el conteo

V Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento de comparación.

Posiciones lógicas ordinales de la secuencia numérica con la alternancia.

VI Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de seriación

Dominio ordinal de la secuencia numérica: Contar de n en n, recuento progresivo,

recuento regresivo, cálculo mental.

Tabla 1.Caracterización de los estados del modelo evolutivo.

ESTADOS CARACTERISTICAS LÓGICAS MATEMÁTICAS


3. Plan de trabajo En este apartado haremos referencia a la proyección del modelo que se acaba de exponer en relación con la continuación del presente informe. Con la construcción del modelo tenemos el propósito de validar la Hipótesis H6:

H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.

Pero en el proceso de validación, debemos distinguir dos etapas desde el punto de vista metodológico:

1ª Construcción del modelo 2ª Valoración empírica del modelo.

Con respecto a la primera etapa, se realizó el análisis didáctico para tener un

marco referencial y explicativo en el que se construye y justifica el modelo de desarrollo de las competencias ordinales en niños de 3 a 6 años. Además de ello, se realiza un estudio empírico exploratorio para obtener información de las habilidades y estrategias utilizadas por los niños como indicadores de pautas ordinales que quedasen reflejadas en el modelo. El hecho de considerar un estudio empírico exploratorio en la construcción del modelo evolutivo teórico, hace que éste sea susceptible de una validación empírica y con ello se da paso a la siguiente etapa.

La segunda etapa se orienta hacia la evaluación empírica del modelo, para ello

consideramos dos subetapas: Construcción de una prueba adaptada al modelo. Para la preparación de

dicha prueba es necesario determinar tareas de competencias ordinales de acuerdo con los esquemas lógicos matemáticos que aparecen en cada uno de los estados del modelo teórico (Berthoud y Ackermann, 1986, Lagos, 1992, Ortiz, 1997).

Una vez preparada la prueba sobre el universo de tareas considerado, será

necesario realizar un estudio empírico para confirmar la validación y contrastación del modelo.

Hasta ahora llevamos desarrollada la primera etapa del plan indicado. Con

respecto a la segunda, vamos a dedicar lo que resta de capítulo a la primera subetapa, es decir, a la construcción de una prueba adaptada al modelo evolutivo teórico. El próximo capítulo estará destinado a concluir la segunda etapa realizando un estudio empírico cualitativo en base a la prueba que determinemos.


4. Viabilidad de una prueba asociada al modelo evolutivo. En este apartado buscamos una prueba que forme parte de un diseño experimental adecuado para un propósito muy concreto dentro de esta investigación, que no es otro que el de validar empíricamente el modelo teórico evolutivo ya expuesto. Al tratarse de un modelo evolutivo se pretende determinar diferentes estados de conocimiento y las transiciones de unos estados a otros. En este sentido, no basta con los métodos de observación pura y pruebas de rendimiento, sino que se hace más adecuado un método clínico, esencialmente individual, cualitativo y no estandarizado (Claparède, 1976; Vinh-Bang, 1966; Inhelder, Sinclair y Bovet, 1974). Dicho método puede tener la siguiente forma:

Niño y experimentador actúan y hablan sobre una situación concreta. Según las acciones individuales de los niños, las observaciones y las respuestas a preguntas, el experimentador puede modificar la situación concreta, ofrecer sugerencias o pedir explicaciones (Piaget y Apostel 1986; Bermejo y Lago 1991; Sophian, 1995, Ortiz, 2001).

En este sentido, hemos considerado adecuado aplicar el método anteriormente expuesto en la construcción de la prueba, sin perder de vista que nuestras pretensiones son las de evaluación de distintos estados que entran a formar parte de un modelo evolutivo y la comparación entre los mismos. Es por ello que la prueba la conforma un conjunto de tareas destinadas cada una de ellas al estudio y análisis de las características lógicas matemáticas que se dan en cada uno de los estados. Por tanto, la prueba consta de seis tareas, una por cada estado. Debemos hacer notar que una vez que se construya la prueba, estaremos ante la validación de la hipótesis H5 expuesta en el apart. 7 del capítulo I: H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un


En los apartados sucesivos definimos las tareas mediante un método sistemático que hace que todas ellas tengan unas características comunes para conformar la prueba en el sentido del método anteriormente señalado. Para ello, debemos partir de situaciones concretas con materiales y presentación comunes. Estas situaciones concretas de las que hablamos se plantean a partir de un material concreto7: escalera (de unos 25 cm. de ancho por 10 cm. de alto), Piolínes ( 5cm. de alto), dos tabiques (10x14 cm.) y migas de pan. Dependiendo de los estados, los niños deben colocar pan, colocar Piolines según datos previos, contar escalones, realizar correspondencias seriales, etc.

7 De los materiales y del diseño de la prueba en general se hablará más extensamente en el siguiente capítulo.


4.1. Tareas asociadas a los Estados del Modelo Evolutivo. Para cada uno de los estados pasamos una tarea que conlleva las características lógico matemáticas del mismo8 El procedimiento seguido queda sistematizado en el cuadro de la figura 1; lo explicamos a continuación:

• Cuando indicamos Estado K, la letra K toma sucesivamente los valores I, II, III, IV, V y VI.

• La tarea específica para cada uno de los estados, se inicia con una situación

de partida que llamaremos Situación K1.

• La situación K1 divide a los niños en dos categorías: los que la resuelven y los que no lo hacen. La primera queda codificada como K1a, y la segunda como K1b

• A los niños de la categoría K1b se les presenta otra situación, llamada

Situación K2.

• La situación K2 divide a los niños de K1b en dos categorías: los que la resuelven, codificada como K2a, y los que no lo hacen, codificada como K2b.

• Los niños de la categoría K2b no siguen la prueba, o bien pasan a otra tarea,

y son de un estado inferior al considerado.

• A los niños de la categoría K2a se les presenta otra situación, llamada Situación K3.

• La situación K3 divide a los niños de K2a en dos categorías: los que la

resuelven, codificada como K3a, y los que no lo hacen, codificada como K3b

• Los niños de la categoría K3b no siguen la prueba, o bien pasan a otra tarea, y son de un estado inferior al considerado

• A los niños de la categoría K3a se les presenta la situación de partida, es

decir la Situación K1

• Los niños de la categoría K3a, que son parte de los que inicialmente no habían resuelto la situación K1, pueden, ahora, llegar a resolverla una vez que han realizado con éxito las situaciones K2 y K39.

8 Estas características se muestran en la tabla 1 de este capitulo. 9 Las situaciones K2 y K3 contienen algunos aspectos lógicos matemáticos de la situación K1 pero no todos, en ese sentido, la situación K1 es la más completa. Igualmente, entre las situaciones K2 y K3 se da que la K3 es más completa que la K2 en el sentido de completitud anteriormente señalado.


• Los niños que después del proceso precedente están en K1b no siguen la

prueba, o bien pasan a otra tarea, y están en un estado inferior al considerado

• Los niños que están en K1a, bien desde el principio de la prueba o una vez seguido el proceso, son los niños del estado en cuestión.

Figura 1. Sistematización en las tareas realizadas para cada uno de los estados del modelo teórico

Todas las situaciones de cada una de las tareas están planteadas con el material que hemos reseñado en el apartado anterior, y cada una de ellas se pretende adaptar al nivel lógico matemático del estado.

Situación1

K1a

K1b

K2a K2b

K3a K3b

K1a K1b

Estrategia 1. Estados inferiores

Estrategia 2. Estados inferiores

Estrategia 3. Propias del Estado

Estrategia 4. Propias del Estado

Otras:. Estados superiores

Tarea del Estado K

Situación K1

Situación K2

Situación K3

Situación K1


Teniendo en cuenta las características lógico matemáticas del Estado K y el método sistemático, anteriormente señalado en la figura 1, se determina la tarea asociada al mismo perfilando las tres situaciones que la componen.

A continuación, y para cada uno de los estados, veremos, algunas

consideraciones generales sobre las tres situaciones que conformarían la tarea asociada al mismo, la información que se pretende obtener con cada una de ellas y la justificación de las mismas desde el punto de vista de las características lógicas-ordinales del estado. 1. Tarea asociada al Estado I.

ESTADO I CARACTERÍSTICAS

LÓGICO-MATEMÁTICAS

Etiquetaje. Diferenciar los elementos.

Situación I1. Al niño se le muestra la escalera con 10 peldaños, debe etiquetar todos

los escalones diferenciando cada uno de ellos (colocar un único trocito de pan en todos y cada uno de los escalones conforme se vaya subiendo).

Con esta situación se pretende que el niño diferencie cada uno de los elementos que compone una serie.

Situación I2. El niño está viendo etiquetado los cinco primeros elementos, se le

muestra como se etiqueta el siguiente diferenciándolo de los anteriores y él debe continuar hasta el final (colocar un único trocito de pan en los peldaños que van del 7 al 10).

Esta situación difiere de la anterior en cuanto que el niño percibe la diferenciación de los primeros elementos a través del etiquetaje realizado y el proceso que se sigue en la diferenciación de los elementos sucesivos de la serie, ellos deben continuar el proceso.

Situación I3. Se le muestra al niño la forma de diferenciar los primeros elementos y él

debe continuar hasta el final (se coloca un trocito de pan en el primero, otro en el segundo y otro en el tercero, el niño debe continuar colocando pan hasta el final de la escalera).

En este caso sólo se le muestra el proceso de los tres primeros elementos. Se

pretende que el niño aplique el mismo criterio de diferenciación de elementos a toda la serie.


2. Tarea asociada al Estado II.

ESTADO II CARACTERISTICAS


Relaciones lógicas-ordinales entre los

términos de una serie cualquiera usando

esquemas infralógicos

Linealidad y orden topológico

Orden temporal

Situación II1. El niño a partir de un elemento determinado en una serie lineal y

topológica debe determinar el siguiente inmediato usando criterios infralógicos. A continuación también se pide de manera sucesiva el siguiente inmediato de cada uno de los elementos que se van obteniendo. Igual para el anterior inmediato (se le pide al niño que determine el pan que se comerá justamente después de haberse comido el del quinto peldaño…).

Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie usando esquemas infralógicos.

Situación II2. Esta situación es igual que la anterior pero sólo se pide aplicar los

esquemas infralógicos en un sentido y se empieza por el primer elemento en lugar de considerar un elemento determinado en la serie (el niño debe continuar diciendo el pan que el pajarito se comerá después de haberse comido el 1, el 2,…)

Esta situación difiere de la anterior en cuanto que al niño se le está indicando el proceso que se sigue en la determinación del siguiente inmediato con un criterio infralógico.

Situación II3. Al igual que en la situación II1 el niño debe determinar el siguiente

inmediato de un elemento determinado en una serie lineal y los sucesivos a éste, pero el elemento determinado está casi al final del tramo y no se pide la determinación de los anteriores. .

En este caso no se le indica el proceso que se sigue10 y se pretende que el niño

establezca relaciones lógicas ordinales sólo en una dirección. 10 Hay que tener en cuenta que los niños que pasan a esta situación son los que han superado la situación II2 han aplicado el proceso empezando desde uno.


3. Tarea asociada al Estado III.

ESTADO III CARACTERISTICAS


Relaciones lógicas ordinales entre los

términos de una serie cualquiera usando la

alternancia como instrumento secuencial.

Posiciones lógicas ordinales con la

alternancia

Situación III1. El niño a partir de un elemento determinado en una serie y sin percibir la

alternancia debe de determinar posiciones lógicas ordinales usando la alternancia como instrumento. (Habiendo pan en un escalón sí y en otro no y sin que esta alternancia sea perceptiva en los tramos 1-3 y 7-10, se le pide al niño que determine el pan que se comerá justamente después de haberse comido el del quinto peldaño y dada una posición cualquiera el niño debe determinar si come o no come).

Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento secuencial.

Situación III2. Se pide que el niño establezca la alternancia como instrumento

secuencial (el niño debe colocar pan en un escalón sí y en otro no y en el primero es que sí)

Únicamente se pretende que el niño establezca la alternancia sin tener que particularizar en ninguno de sus términos.

Situación III3. Al igual que en la situación II1 el niño debe determinar posiciones

lógicas ordinales usando el criterio de la alternancia, pero sólo se piden en una dirección, es decir se hablarían de siguientes y no de anteriores, y en este caso las posiciones a determinar serían “próximas” al elemento dado.

En este caso se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales versus

alternancia sólo en una dirección.


4. Tarea asociada al Estado IV.

ESTADO IV CARACTERISTICAS



términos de una serie cualquiera usando el

conteo como instrumento de comparación.

Posiciones lógicas ordinales con el conteo

Situación IV1. El niño debe determinar una posición ordinal a partir de otra dada como

dato en ambos sentidos ascendente y descendente. (Habiendo un pajarito colocado en un escalón determinado debe colocar otro en otra posición teniendo en cuenta la primera. Esto se repite para varias posiciones en ambos sentidos)

Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo

Situación IV2. Se pide que el niño que cuente los escalones.

Únicamente se pretende que el niño establezca el conteo sin tener que determinar ninguna posición ordinal a partir del mismo.

Situación IV3. El niño debe determinar una posición ordinal cualquiera mediante

el número correspondiente. Es igual que la situación IV1 pero sin dato, sólo se trabaja con un número..

En este caso se pretende que el niño use el conteo para determinar posiciones

ordinales..


5. Tarea asociada al Estado V.

ESTADO V CARACTERISTICAS



términos de la secuencia numérica

usando la alternancia como instrumento de

comparación.

Posiciones lógicas ordinales de la secuencia

numérica con la alternancia.

Situación V1. El niño debe anticipar qué ocurrirá en una posición determinada

conociendo lo que ocurre en otra dada como dato, pero en este caso el dato que se da es numérico y el niño debe responder igualmente con una posición numérica de la secuencia describiéndola mediante la alternancia. (Habiendo pan en un escalón sí y en otro no y sin que esta alternancia sea perceptiva en los tramos 1-3 y 7-10, se le pide al niño que determine el siguiente número después del 5 en el que comerá pan, y esto sucesivamente para otros números, y dado un número cualquiera el niño debe determinar si come o no come a partir de otro dado como dato).

Se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia como instrumento comparativo.

Situación V2. Se pide que el niño establezca la correspondencia serial secuencia

numérica/alternancia.

Sólo se pretende que el niño establezca la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia sin tener que particularizar en ninguno de sus términos.

Situación V3. Se le da el dato numérico y el niño tiene que determinarlo en la

correspondencia serial secuencia numérica/alternancia. En este caso se pretende que el niño use la correspondencia serial como

instrumento secuencial para determinar posiciones ordinales.


6. Tarea asociada al Estado VI.

ESTADO VI CARACTERISTICAS



términos de la secuencia numérica.

Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de seriación

Dominio ordinal de la secuencia numérica:

Contar de n en n, recuento progresivo, recuento regresivo,

cálculo mental Situación VI1. El niño debe averiguar qué ocurrirá en una posición determinada

conociendo lo que ocurre en el tramo 1-10. Una vez averiguado se considerará como dato y se pide que describa las posiciones sucesivas a la misma. ( Siendo perceptiva la alternancia en la escalera, el niño debe averiguar qué ocurre en un número mayor o igual que 15. A continuación debe de decir números que le siguen a ese en los que sí come).

Se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica haciendo valer la estructura lógica de seriación subyacente a la misma, especialmente el aspecto de seriación cíclica que se da en el encadenamiento aditivo.

Situación VI2. Es igual que la anterior pero las posiciones a determinar se van

dando de forma sucesiva a partir de 10.

Se pretende que el niño extienda la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia más allá del tramo 1-10.

Situación VI3. Se le da el dato numérico mayor que 10 y el niño debe continuar

describiendo las posiciones sucesivas al mismo. En este caso se pretende lo mismo que en la situación VI1 pero quitando la

dificultad del primer elemento.

CAPITULO VI ESTUDIO EMPÍRICO CUALITATIVO

1. Introducción. El fin primordial de esta investigación, de acuerdo con el marco metodológico y el esquema general que se incluyen en los capítulos I y II, es indagar en determinados aspectos del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años. Para ello hemos realizado un estudio empírico exploratorio y un estudio teórico que han servido para fundamentar la investigación, construir un modelo teórico evolutivo susceptible de comparación empírica y orientar el resto del trabajo con ciertas garantías de éxito. La contrastación y validación del modelo mencionado requiere, a nuestro juicio, de un estudio empírico cualitativo para el análisis y predicción de la evolución del conocimiento lógico-ordinal en los niños. En el presente capítulo se exponen el diseño y los resultados del estudio empírico cualitativo, que en su parte fundamental tiene un carácter transversal (grupos diferentes de sujetos de distintas edades, 3, 4 y 5 años, y niveles escolares, los tres cursos de Educación Infantil correspondientes a esas edades) y se ha realizado con un enfoque de presente. La información que se requiere obtener se refiere a la categorización de los niños según el rendimiento obtenido en las tareas asociadas a los estados del modelo evolutivo teórico señaladas en el capítulo anterior. Como la pretensión general del estudio empírico, es validar un modelo evolutivo sobre un conocimiento concreto: las relaciones lógicas-ordinales, la prueba que consideramos adecuada es la entrevista clínica semiestructurada en base a lo que reseña: White y Gunstone (1992) refiriéndose a las entrevistas sobre conceptos; Cohen (1990) en cuanto a las entrevistas semiestructuradas y al análisis de tareas; ó Piaget y Apostel (1976) sobre el método clínico y las entrevistas clínicas. Cuando los niños se enfrentan a tareas no usuales en la enseñanza pueden manifestar, como así se ha comprobado en el trabajo, el estado real de comprensión de los conocimientos, a diferencia de otras tareas rutinarias, en las que diversos factores

Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo. 182

pueden llegar a enmascarar la verdadera situación de dicha comprensión. En este sentido y como ya hemos apuntado en el capítulo anterior, las tareas que hemos considerado en la prueba (entrevistas clínicas semiestructuradas) creemos que son adecuadas para analizar el estado real de comprensión de relaciones lógicas ordinales en los niños por varios motivos: • Las situaciones concretas pensadas para la prueba, parten de un material original en

el que confluyen esquemas lógicos-matemáticos como son: la seriación entre los peldaños de la escalera; aspectos infralógicos del espacio topológico cuando, por ejemplo, se consideran los tabiques para realizar una separación en un conjunto de peldaños; ó el conjunto de piolínes todos iguales y sin diferencias perceptivas entre ellos para realizar seriaciones topológicas en un conjunto seriado como es la escalera.

• No son tareas usuales en la educación reglada, con lo cuál evitamos los aspectos

rutinarios que se puedan dar y permitir que aflore la comprensión del conocimiento deseado.

• La determinación de las tareas viene precedida por la construcción de un modelo

evolutivo que a su vez está avalado por el análisis didáctico realizado en el capítulo III y el estudio empírico exploratorio del capitulo IV.

• Las tareas asociadas a los estados del modelo teórico manifiestan las características

lógico-matemáticas de cada uno de los mismos. En los apartados correspondientes a la primera parte del capítulo se exponen los objetivos del estudio, la metodología y los aspectos fundamentales del diseño. La segunda parte se dedica a la exposición de los resultados y las conclusiones del trabajo.

2. Propósito del estudio Con esta parte de la investigación se pretende alcanzar los siguientes objetivos de los enunciados en el capítulo I:

O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-

ordinal de la secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6 años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

O6. Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en

términos de estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal

Junto a éstos también se pretenden conseguir el objetivo complementario

siguiente:


C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de investigaciones en las que se estudian conceptos lógicos-matemáticos en niños de Educación Infantil

Para alcanzar los objetivos anteriores se ha de comprobar la bondad de la hipótesis H6:

Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.

Como se ha visto en el capítulo anterior, la primera parte de construcción del

modelo evolutivo teórico ya se ha realizado. En el presente capítulo se exponen los trabajos para llevar a cabo la valoración empírica del modelo y concluir con ello la segunda parte antes reseñada, obteniendo así, la validación total de la Hipótesis H6. Previamente y para poder constractar la hipótesis H6, debemos construir la prueba que nos permita realizar el estudio empírico cualitativo deseado, es entonces cuando validaremos la hipótesis H5:

Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.

Y con ello se alcanzaría el objetivo complementario C3.

3. Metodología. Se trata de una investigación empírica cualitativa basada en la recogida de información mediante una entrevista clínica semiestructurada y en el análisis cualitativo de los resultados. En principio, a cada alumno entrevistado se le propone la realización de seis tareas, una por cada estado del modelo teórico, compuesta, a su vez, cada una de ellas por varias situaciones. Todas tienen en común el material manipulativo y concreto que sirve como soporte a la entrevista.

Aún teniendo las tareas un grado creciente de dificultad en cuanto están asociadas a estados evolutivos de un modelo teórico, todas ellas parten del mismo material manipulativo y concreto, pues creemos conveniente que la dificultad esté en los esquemas lógicos matemáticos empleados para resolver las cuestiones planteadas y no en hacer variar un material que conllevaría, colateralmente, aspectos estructurales propios y ello haría variar la situación didáctica y dificultaría la evaluación del conocimiento que queremos ver aparecer en los niños.

En el transcurso de la entrevista se provoca, intencionadamente, la interacción constante entre el entrevistador y el entrevistado, dependiendo el desarrollo de la misma


de las respuestas de cada sujeto. Es por ello, por lo que a pesar de tener preparadas seis tareas para cada niño, no todos realizan la prueba en su totalidad debido fundamentalmente a dos razones:

A los niños que no superan las tareas de dos estados consecutivos no se

les pasa la tarea del estado siguiente Los niños que para realizar un número de tareas han necesitado media

hora no se pasa la tarea del estado siguiente al último realizado.

Las seis tareas de la prueba se pueden denominar de la siguiente forma:

1. Etiquetaje 2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos 3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento

secuencial 4. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento

comparativo 5. Relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia

como instrumento comparativo. 6. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

Cada una de ellas presenta las características lógico-matemáticas propias de cada

estado del modelo evolutivo teórico, en este sentido presentan una jerarquización de menor a mayor dificultad en cuanto que los esquemas lógicos matemáticos implicados para su resolución sean más o menos evolucionados. Por ello, cuando un niño no realiza dos tareas consecutivas no se le pasa la siguiente.

Cada una de las tareas consta de tres situaciones, así para la tarea asociada al

Estado K, las situaciones serían K1, K2 y K3. Para el desarrollo de la entrevista, en cada una de las tareas, se sigue el esquema de la figura 1 del capítulo V (apartado 4.1) en el que queda sistematizado el desarrollo de la prueba.

.

4. Elección y distribución de la muestra De acuerdo con los propósitos de la investigación tomamos como referencia la población de escolares correspondientes al segundo ciclo de Educación Infantil de Málaga capital y provincia. Por razones de tamaño y teniendo en cuenta los propósitos limitados de la investigación, decidimos elegir una muestra que tuviera una cierta representatividad con respecto a la población mencionada. Todo ello se justifica sobre la base de los siguientes motivos:

Puede haber diferencias significativas en los resultados según el medio sociocultural, urbano o rural, y según el tipo de enseñanza, pública o privada Para el estudio cualitativo nos interesa confrontar los resultados de alumnos de

distintos cursos y que hayan seguido procesos de enseñanza tanto iguales como distintos. Esta semejanza o diferencia en el proceso de enseñanza-aprendizaje no es determinante para nuestro trabajo, pero puede ser un factor a tener en cuenta para la interpretación de nuestro trabajo. Pretendemos realizar un estudio transversal


El estudio no tiene la intención de generalizar resultados.

En definitiva se eligen cinco centros escolares con las siguientes características:

a. Dos centros de la capital, uno público y otro privado (que denominaremos B y C respectivamente)1

b. Tres centros de la provincia: b1. Dos urbanos, uno público y otro privado (se denominan M y R) b2. Uno público rural (al que asignamos la letra H)

La muestra de escolares para la realización del estudio empírico cualitativo sale de

estos cinco centros. El criterio para la elección de dicha muestra viene dado por una distribución por edades dentro de cada curso de los tres considerados en Educación Infantil.

Los niños que participan son elegidos entre aquellos que se ofrecen voluntarios para

realizar la entrevista una vez que la investigadora es presentada a los niños por sus maestras correspondientes. El sistema de elección es el siguiente: se elige el quinto de la lista, si ese no está en las condiciones anteriormente señaladas, entonces se elige el siguiente y así sucesivamente.

Nos hemos encontrado algunas particularidades

En el colegio privado, R, de la provincia, se necesitó tener autorización escrita de los padres para que los niños fuesen entrevistados. Por ello la muestra fue elegida entre aquellos niños que contaban con la misma.

El colegio rural, H, es de Media Línea. Sólo cuenta con una clase de

Educación Infantil y en ella hay: 9 niños de 3 años, 4 niños de 4 años y 3 niños de 5 años, y los días que visitamos el centro faltó un niño de 4 años. Por ello, en este colegio sólo hubo procedimiento al azar entre los de 3 años.

Con todo ello la composición de la muestra fue la siguiente:

Centros de la capital

1 Colegio Público B. Clase de 3 años 3 niños Clase de 4 años 3 niños Clase de 5 años 3 niños.

Un total de 9 niños de este colegio participaron en la muestra, de los cuales 4 son

niños y 5 niñas 2 Escuela Infantil C. Clase de 3 años 3 niños Clase de 4 años 3 niños

1 Las letras con las que asignamos a los colegios coinciden con las iniciales de sus nombres.


Clase de 5 años 3 niños.

Delos 9 niños de este centro hay 4 niños y 5 niñas

Centros urbanos de la provincia 1 Colegio Público M. Clase de 3 años 3 niños Clase de 4 años 3 niños Clase de 5 años 4 niños.

Se entrevistaron a 10 niños de este centro: 5 niños y 5 niñas. 2 Colegio Concertado R. Clase de 3 años 3 niños Clase de 4 años 4 niños Clase de 5 años 3 niños.

De los 10 niños del centro 6 fueron niños y 4 niñas.

Centro rural de la provincia 1 Colegio Público H. Clase de 3 años 3 niños Clase de 4 años 3 niños Clase de 5 años 3 niños

Entre los niños entrevistados de este centro 3 son niños y 6 son niñas. En total la muestra está compuesta por 47 escolares del segundo ciclo de Educación

Infantil, de los cuales 22 son niños y 25 son niñas. Hacemos notar que nuestra intención era que el número de niñas y niños estuviesen igualados (salvo uno de diferencia porque el número de la muestra es impar), pero las características peculiares del colegio rural H, anteriormente señalada, hicieron que el número de niñas aumentara ya que los tres alumnos de cinco años con los que contaba el centro, y que por consiguiente participaron en la prueba, eran niñas.

5. Materiales

El material empleado en esta prueba consta de:

• Una escalera con 10 escalones. Los peldaños son todos iguales, están unidos unos a otros constituyendo una escalera en bloque. El ancho de cada uno de ellos es de 4 cm. El primer peldaño tiene 1 cm. de alto y esta dimensión es la que se mantiene


constante al pasar de un escalón a otro, por ello la escalera tiene una altura total de 10 cm.

• 10 Piolínes, cada uno de ellos mide 4 cm de alto y están pegados a una base circular

de unos 3 cm de diámetro para poderlos colocar en los peldaños de la escalera. • Trocitos de pan para colocar en los lugares correspondientes de la escalera. • Dos tabiques de 14 cm. de alto; ambos tiene en la base marcas de los escalones para

apoyarlos en la escalera. Uno de ellos tiene tres marcas y se colocaría sobre los peldaños 1, 2 y 3, y el otro tiene 4 marcas para tapar el tramo de escalera 7-10.

6. Actividades

Al igual que ya se considerara en el estudio exploratorio del capítulo IV, se trata de una entrevista semiestructurada, y por ello es necesario especificar en el diseño previo tanto el contenido como los procedimientos (Cohen, 1990, p. 379). Por tanto exponemos a continuación el objetivo pretendido, el desarrollo de la entrevista, así como los aspectos a observar en el conjunto de la prueba.

6.1. Tareas.

Las tareas consisten en lo siguiente: 1. Etiquetaje. Se trata de colocar pan en todos y cada uno de los escalones

siguiendo el orden de sucesión de la escalera 2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos. Se trata de

determinar qué pan comerá después de uno dado cuando se sube. Igual para el sentido descendente.

3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento

secuencial. El niño tiene que averiguar el lugar donde comerá pan el Piolín teniendo otro como dato y usando la alternancia como instrumento secuencial

Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral 188

4 Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo.

El niño a partir de una posición ordinal debe localizar una lógica ordinal a través del conteo.

5 Relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia

como instrumento comparativo. Sabiendo que los piolínes comen pan en un escalón sí y en otro no, el niño debe determinar el siguiente número a uno dado en el que sí come.

6 Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica. El

niño debe averiguar en cualquier término de la secuencia numérica (los números dados son menores que 100) si el pajarito va a comer o no, y a partir de un término dado el niño debe continuar diciendo los números en los que sí come.

6.2. Objetivo

Con estas tareas se pretende estudiar la evolución de las relaciones lógicas ordinales desde los esquemas infralógicos hasta las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica pasando por relaciones prenuméricas sencillas como es la alternancia.

6.3. Desarrollo de la entrevista A continuación expresamos la forma de proceder en las entrevistas para todas y cada una de las tareas asociadas a los estados del modelo evolutivo teórico. El desarrollo completo de las mismas se encuentra en los Anexos VI, apartado Anexo 6.1 de este informe. El procedimiento general según figura 1 del apartado 4.1 del capítulo V, es el siguiente:

Para cada uno de los estados su tarea asociada1 conlleva, a su vez tres situaciones. Para la situación K1 (primera de la tarea K) se ha realizado una clasificación de respuestas atendiendo a que el niño realizara o no la actividad. Si la realiza correctamente se analiza el tipo de estrategia y procedimiento seguido, si no lo hace entonces pasa a realizar la situación K2 (segunda de la tarea K). Si no realiza con éxito esta nueva situación se da por finalizada la tarea K, mientras que si la realiza correctamente entonces pasa a realizar la situación K3 (tercera de la tarea K). Si no realiza con éxito esta nueva situación se da por finalizada la tarea K, mientras que si la realiza correctamente entonces pasa a realizar nuevamente la situación K1 (primera de la tarea K). Si la realiza correctamente se analiza el tipo de estrategia y procedimiento seguido, si no lo hace entonces se da por finalizada la tarea.

1 La tarea asociada al estado K la denominamos tarea K, K varía de I a VI.


En los apartados sucesivos, exponemos el procedimiento seguido en el desarrollo de las entrevistas para cada una de las tareas asociadas a los estados, así como el protocolo seguido.

6.3.1. Presentación esquemática del desarrollo de la entrevista para cada una de las tareas asociadas a los estados.

Considerando las características lógicas-matemáticas asociadas a las tareas y el

procedimiento general señalado en el apartado anterior tenemos lo siguiente: Tarea 1. Situación I1. El niño ve la escalera con 10 peldaños y sobre la mesa hay 15 trocitos de pan amontonados. La investigadora plantea: Vamos a poner en todos y cada uno de los escalones un trocito de pan. Solo colocaremos uno en cada escalón y lo haremos según se vaya subiendo.

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación I1 que llamaremos I1a y I1b (I1 indica que estamos en la primera situación del primer estado) y que son respectivamente: La resuelve y no la resuelve. La investigadora observa las distintas estrategias de los niños que presentan la opción I1a. Situación I2. Para los niños de la categoría I1b se presenta la situación I2. En ella, el niño ve la escalera con 10 peldaños, hay un trocito de pan en cada uno de los cinco primeros escalones, sobre la mesa hay 10 trocitos de pan amontonados. La investigadora plantea: En cada uno de estos escalones (señala del uno al cinco) hay un trocito de pan. Ahora colacamos un trocito aquí (en el 6), otro aquí (en el 7), venga ahora sigue tú hasta llegar aquí (señala el final de la escalera).

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación I2 que llamaremos I2a y I2b: la resuelve y no la resuelve Los niños de la categoría I2b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría I2a les hacemos continuar con la situación I3. Situación I3. El niño ve la escalera con 10 peldaños y sobre la mesa hay 15 trocitos de pan amontonados. La investigadora plantea: Vamos a poner en todos y cada uno de los escalones un trocito de pan. Colacaremos un trocito de pan aquí (en el 1), otro aquí (en el 2), otro aquí (en el 3), venga ahora sigue tú hasta llegar aquí (señala el final de la escalera).

Las opciones existentes respecto a la resolución son: I3a si la resuelve y I3b si

no lo hace


Los niños de la categoría I3b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría I3a les volvemos a pasar la situación I1: si están en I1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en I1b se quedan por debajo del primer estado considerado en el modelo evolutivo teórico. Este procedimiento queda recogido en el esquema de la figura 1.

I1a. Resuelve I1

I1a. Resuelve I1

I1b. No resuelve I1

I1b. No resuelve I1

I2a. Resuelve I2

I2a. Resuelve I2 I2b. No resuelve

I2

I2b. No resuelve I2

I3a. Resuelve I3

I3a. Resuelve I3 I3b. No

resuelve I3.

I3b. No resuelve I3.

I1a. Resuelve I1

I1a. Resuelve I1

I1b. No resuelve I1

I1b. No resuelve I1

Tarea del Estado I: Diferenciar los elementosTarea del Estado I:

Diferenciar los elementos

I1. Poner en todos y cada uno de los

escalones un trocito de pan. Solo colocaremos

uno en cada escalón y lo haremos según se vaya

subiendo.

I2. Hay pan en cada uno de estos

escalones (del 1 al 5). Colocamos aquí (en el 6), otro aquí (en el

7), ahora sigue tú hasta llegar aquí

(señala el 10)

I3. Colocaremos pan en todos los escalones, aquí (en el 1), aquí (en el 2),

aquí (en el 3), venga sigue tú hasta llegar aquí.

I1. Volvemos a la situación I1

1. Ensayo y error 1. Coloca varios en un escalón y deja otros sin pan. Termina por corregirlo.

1. Ensayo y error 1. Coloca varios en un escalón y deja otros sin pan. Termina por corregirlo.

2. Ensayo y error 2. Coloca varios en un escalón pero todos tienen. Termina por corregirlo.

2. Ensayo y error 2. Coloca varios en un escalón pero todos tienen. Termina por corregirlo.

3. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones. Los ha puesto sin geguir el orden de sucesión de la escalera.

3. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones. Los ha puesto sin geguir el orden de sucesión de la escalera.

4. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera.

4. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera.

5. A medida que coloca el pan verbaliza con términos propios del orden topológico, orden temporal u orden numérico.

5. A medida que coloca el pan verbaliza con términos propios del orden topológico, orden temporal u orden numérico.

Tarea 1. Etiquetaje

Fig. 1 Desarrollo de la entrevista para la tarea 1.


Tarea 2. Situación II1. El niño ve la escalera con 10 peldaños, hay pan en todos los escalones, el pan está colocado en un extremo del escalón, en el quinto escalón además del pan hay un pajarito. La investigadora plantea: El pajarito se come el pan de ese escalón (señala el 5). Y va subiendo, ¿qué pan comerá después de ese, ¿y después?…¿Qué pan se comió el pajarito justamente antes de llegar aquí (señala el 5)?, ¿y antes de ese?…

Se pueden presentar dos opciones II1a y II1b y se procede igual que en la tarea anterior. Situación II2. El niño ve la escalera con 10 peldaños y hay pan en todos los escalones. Se plantea: El pajarito va subiendo y en todos los escalones se detiene para comer pan. “En este (señala 1) va y se lo come, venga sigue tú, vamos a ver como se come el pajarito todo el pan”.

Las opciones presentadas son II2a y II2b, y se procede como en la tarea anterior . Situación II3. El niño ve la escalera con 10 peldaños; hay pan en los escalones ocho, nueve y diez; hay un pajarito en el escalón número ocho junto al pan. Se planteada: El pajarito se come el pan de ese escalón (señala el 8) y va subiendo¿qué pan comerá después de ese?. ¿Y después?

Dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación II3

que llamaremos II3a y II3b: La resuelve y no la resuelve Los niños de la categoría II3b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría II3a les volvemos a pasar la situación II1: si están en II1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en II1b son del estado anterior. De forma esquemática el procedimiento se describe en la figura 2:


II1a. Resuelve II1

II1a. Resuelve II1

II1b. No resuelve II1


II2a. Resuelve II2

II2a. Resuelve II2 II2b. No

resuelve II2


II3a. Resuelve II3

II3a. Resuelve II3 II3b. No

resuelve II3.

II3b. No resuelve II3.

II1a. Resuelve II1

II1a. Resuelve II1



Tarea del Estado II: Linealidad y orden topológico. Oreden

temporal

Tarea del Estado II: Linealidad y orden topológico. Oreden

temporal

II1. El pajarito se come este pan (el 5) y va

subiendo, ¿qué pan se comerá después de ese?, ¿y

después?… ¿Qué pan se comió el pajarito

justamente antes de llegar aquí (señala el 5), ¿y antes

de ese?... .

II2. El pajarito va subiendo y en todos los

escalones se detiene para comer. “En este (señala 1) va y se lo

come, venga sigue tú”.

II3. El pajarito se come el pan de aquí (señala 8) y va subiendo, ¿qué pan comerá

después de ese?, ¿y después?

II1. Volvemos a la situación II1

1. Ensayo y error1. Ensayo y error

2. Realiza el ascendente y en el descendente no tiene en cuenta anterir inmediato

2. Realiza el ascendente y en el descendente no tiene en cuenta anterir inmediato

3. Igual que 1 ó 2 pero con justificación verbal

3. Igual que 1 ó 2 pero con justificación verbal

4. Igual que dos pero bidireccional4. Igual que dos pero bidireccional

5. Bidireccional y con justificación verbal

5. Bidireccional y con justificación verbal

Tarea 2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos

Fig. 2 Procedimiento para la tarea 2.


Tarea 3. Situación III1. El niño ve la escalera con 10 peldaños. Hay pan en un escalón sí y en otro no. El pan está colocado en un extremo del escalón. En presencia del niño se coloca un tabique que separa cada escalón, del 1 al 3, en dos partes: una que oculta el pan y, otra, que queda libre y que el niño ve. Igualmente, aparece un tabique para los escalones 7, 8, 9 y 10. Los escalones 4, 5, y 6 se ven en su totalidad. Sobre una mesa hemos colocado nueve pajaritos amontonados. El niño ve un tramo de la escalera (el correspondiente al 4, 5y 6) en el que hay pan en un extremo del peldaño que está en la posición entre, en el otro extremo se coloca un pajarito. El niño debe colocar pajaritos donde haya pan y determinar qué ocurre en una posición dada

Las dos opciones se denominarán III1a y III1b y se procede como en tareas anteriores Situación III2. Para los niños de la categoría III1b se presenta la situación III2, ésta consiste en establecer la alternancia.

Se pueden presentar dos opciones :III2a y III2b según la resuelvan o no

respectivamente. Los niños de la categoría III2b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría III2a les hacemos continuar con la situación III3. Situación III3. Igual que la situación III1, pero en este caso es visible el tramo 1-6 ó sólo se pregunta en una dirección.

Las dos opciones son III3a y III3b y se procede como en los casos anteriores. Presentamos el esquema del desarrollo de esta tarea en la figura 3.


III1a. Resuelve III1


III1b. No resuelve III1



III2a. Resuelve III2 III2b. No

resuelve III2


III3a. Resuelve

III3

III3a. Resuelve

III3

III3b. No resuelve III3.

III3b. No resuelve III3.

III1a. Resuelve

III1

III1a. Resuelve

III1



Tarea del Estado III: Posiciones lógicas ordinales con la

alternancia

Tarea del Estado III: Posiciones lógicas ordinales con la

alternancia

III1. Se ve únicamente el tramo correspondiente al 4, 5 y 6, en el que hay pan en un extremo del peldaño de la posición entre, en el otro

extremo se coloca un pajarito. El niño debe colocar pajaritos donde haya pan y determinar qué ocurre en una posición

dada

III2. Establecer la alternancia

III3. Igual que III1 pero en este caso es visible el

tramo 1-6 ó preguntar sólo en una dirección

III1. Volvemos a la situación III1

1. Ensayo y error. Duda, lo quita y lo vuelve a poner en el mismo lugar


2. Intenta explicar el criterio2. Intenta explicar el criterio

3. Empieza desde el principio. No tiene en cuenta el dato pero aplica la alternancia

3. Empieza desde el principio. No tiene en cuenta el dato pero aplica la alternancia

4 Tienen en cuenta el dato y aplica el criterio de la alternancia

4 Tienen en cuenta el dato y aplica el criterio de la alternancia

5. Introduce la secuencia numérica5. Introduce la secuencia numérica

Tarea 3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento secuencial

Figura 3. Procedimiento en el desarrollo de la entrevista para la tarea 3


Tarea 4. Situación IV1. El niño debe colocar pajaritos en posiciones ordinales dando otra como dato en ambos sentidos: ascendente y descendente (según hemos indicado en el estudio exploratorio, a este tipo de situaciones las llamamos “determinar posiciones ordinales”).

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación IV1 que llamaremos IV1a y IV1b según la resuelva o no. Situación IV2. Si no ha resuelto la situación anterior entonces se le pide al niño que cuente los escalones. Se procede igual que en la tarea anterior. 3ª) Situación IV3. Para los que han resuelto la situación anterior correctamente se le pide que determinen posiciones ordinales.

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación IV3 que llamaremos IV3a y IV3b: que la resuelvan o no. Los niños de la categoría IV3b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría IV3a les volvemos a pasar la situación IV1: si están en IV1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en IV1b no son de este estado y tenemos que averiguar al pasar la prueba si son de estados inferiores ó de cualquier estado. La forma esquemática se presenta en la figura 4.


IV1a. Resuelve IV1

IV1a. Resuelve IV1

IV1b. No resuelve IV1


IV2a. Resuelve IV2

IV2a. Resuelve IV2 IV2b. No

resuelve IV2


IV3a. Resuelve IV3

IV3a. Resuelve IV3 IV3b. No

resuelve IV3.

IV3b. No resuelve IV3.

IV1a. Resuelve IV1

IV1a. Resuelve IV1



Tarea del Estado IV: Posiciones lógicas

ordinales con el conteo

Tarea del Estado IV: Posiciones lógicas

ordinales con el conteoIV1. Determinar posicones lógicas

ordinales en ambos sentidos: ascendente y

descendente

IV2. El niño debe contar los escalones.

IV3. Determinar posiciones ordinales.

IV1. Volvemos a la situación IV1



2. Porque me acuerdo2. Porque me acuerdo

3. Empieza desde el principio a contar. Si tiene en cuenta el dato es en el ascendente.

3. Empieza desde el principio a contar. Si tiene en cuenta el dato es en el ascendente.

4. En el ascendente tiene en cuenta el dato, y en el descendente coge otro número para razonar sobre él

4. En el ascendente tiene en cuenta el dato, y en el descendente coge otro número para razonar sobre él

5. Tiene en cuenta el dato en los dos sentidos.

5. Tiene en cuenta el dato en los dos sentidos.

Preguntar si ha tenido en cuenta el dato

Tarea 4. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo

Figura 4. Desarrollo de la entrevista para la tarea 4.


Tarea 5 Situación V1. Se ve el tramo 4-6.En el 5 hay pan y un pajarito. “El pajarito está en el 5 y sí come, ¿cuál es el siguiente número en el que sí come?”. Dado un número determinar el siguiente o el anterior en el que sí come.

Las opciones se llaman V1a y V1b según la resuelvan o no. Se observan las distintas estrategias seguidas si la opción es V1a. Situación V2. Los niños de la categoría V1b deben establecer la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia..

Las opciones son V2a y V2b. Los niños de la categoría V2b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría V2a les hacemos continuar con la situación V3. Situación V3. Dado un dato numérico determinar si come o no come.

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación V3 que llamaremos V3a y V3b: Los niños de la categoría V3b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría V3a les volvemos a pasar la situación V1: si están en V1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en V1b pueden ser de estados inferiores. Esquemáticamente el procedimiento está en la figura 5.


V1a. Resuelve V1

V1a. Resuelve V1

V1b. No resuelve V1

V1b. No resuelve V1

V2a. Resuelve V2

V2a. Resuelve V2 V2b. No

resuelve V2

V2b. No resuelve V2

V3a. Resuelve V3

V3a. Resuelve V3 V3b. No

resuelve V3.

V3b. No resuelve V3.

V1a. Resuelve V1

V1a. Resuelve V1

V1b. No resuelve V1

V1b. No resuelve V1

Tarea del Estado V: Posiciones lógicas

ordinales de la secuencia numérica con la

alternancia

Tarea del Estado V: Posiciones lógicas

ordinales de la secuencia numérica con la

alternancia

V1. Se ve el tramo 4, 5 y 6. En el 5 hay pan y un

pajarito. “El pajarito está en el 5 y sí come: ¿cuál es el siguiente número

que come? . Dado un nº determinar el siguiente ó

el anterior en el que sí come

V2. Esrtablecer la correspondencia serial secuencia

numérica/alternancia

V3. Dado un dato numérico determinar si come o no en

ese número

V1. Volvemos a la situación V1


2. Usa la alternancia pero no la secuencia numérica. Estrategia del Estado III

2. Usa la alternancia pero no la secuencia numérica. Estrategia del Estado III

3. Porque come en el 1, 3, 5, 7 y 9, ó 1-sí, 2-no…

3. Porque come en el 1, 3, 5, 7 y 9, ó 1-sí, 2-no…

4. Tiene en cuenta el dato numérico

4. Tiene en cuenta el dato numérico

5. Cuenta de dos en dos y tiene en cuenta el dato numérico.Bidireccional

5. Cuenta de dos en dos y tiene en cuenta el dato numérico.Bidireccional

Tarea 5. Relaciones lógicas pordinales en la s.n. Versus alternancia como instrumento comparativo

Figura 5. Procedimiento para la entrevista para la tarea 5.


Tarea 6. Situación VI1. El niño ve la escalera con 10 peldaños. Hay pan en un escalón sí y en otro no. Se imagina la escalera más larga, ¿come en el número m (con m mayor ó igual a 15). Decir los números que sí come en un tramo cuyo extremo inferior es m.

Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación VI1 que llamaremos VI1a y VI1b, según la resuelva o no.

Con la opción VI1a, se observa la estrategia seguida. Situación VI2. Para los niños de la categoría VI1b se presenta la situación VI2: “Si la escalera fuese más larga ¿en qué número después del 9 comería pan?, ó recíprocamente ¿come en el 11?”.

Las opciones se llaman VI2a y VI2b si la resuelven o no. Los niños de la categoría VI2b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría VI2a les hacemos continuar con la situación VI3. Situación VI3. Se ve la alternancia en el tramo 1-10 y se plantea: En el 11 come pan, ¿en qué número después del 11 come pan?. ¿En qué número después del 13 come pan?. ¿En qué número después del 15 come pan?.

Análogamente las opciones se llaman VI3a y VI3b. Los niños de la categoría VI3b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría VI3a les volvemos a pasar la situación VI1: si están en VI1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en VI1b son de estados inferiores.

En la figura 6 se presenta de forma esquemática:


VI1a. Resuelve VI1

VI1a. Resuelve VI1

VI1b. No resuelve VI1


VI2a. Resuelve VI2

VI2a. Resuelve VI2 VI2b. No

resuelve VI2


VI3a. Resuelve VI3

VI3a. Resuelve VI3 VI3b. No

resuelve VI3.

VI3b. No resuelve VI3.

VI1a. Resuelve VI1

VI1a. Resuelve VI1



Tarea del Estado VI: Sistematización de la

secuencia numérica según la estructura lógica de

seriación

Tarea del Estado VI: Sistematización de la

secuencia numérica según la estructura lógica de

seriación

VI1. Se imagina la escalera más larga.

¿Come en el nº m (con m mayor que 15). Decir los números que sí come

en un tramo cuyo extremo inferior es m.

VI2. Si la escalera fuese más larga, ¿en qué otro nº después del 9 comería?, ó recíprocamente ¿come en el 11?

VI3. Se ve la alternancia, en el 11 sí come, ¿en qué nº después del 11 come?, ¿y

después del 13?, ¿y del 15?.

VI1. Volvemos a la situación VI1


2. Porque es en uno sí y en otro no

2. Porque es en uno sí y en otro no

3. Empieza desde el principio3. Empieza desde el principio

4. Empieza a partir de un número que sabe que es que sí

4. Empieza a partir de un número que sabe que es que sí

5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la secuencia.

5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la secuencia.

Tarea 6. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

Figura 6. Procedimiento para la tarea 6.

El desarrollo completo de las entrevistas se puede ver en los Anexos VI. Según los esquemas presentados, se observa que las estrategias son tenidas en cuenta si se supera la Situación 1 de cada tarea, bien inicialmente o después de haber pasado las situaciones 2 y 3. Esto es debido, como se verá en los apartados correspondientes a que la única situación que marca el paso de un estado a otro es la primera.


6.3.2. Aspectos protocolarios en el desarrollo de la entrevista.

Toda vez que hemos visto el procedimiento en cuanto a su forma sistemática y esquematizada del desarrollo de las entrevistas en cada una de las tareas, es momento de indicar el formalismo y la parte protocolaria que hemos considerado.

El comienzo de las tareas de cada uno de los estados en las entrevistas se realiza de la siguiente forma por parte de la investigadora (lo indicamos con la letra I): Tarea 1 I. Vamos a jugar con los Piolines, la escalera y el pan (señala cada uno de

esos objetos que se encuentran sobre la mesa). Todos los días los Piolines suben por esta escalera para ir a su casa. Su mamá le ha dicho que coman pan en todos y cada uno de estos escalones cuando van subiendo. Tú vas a ayudar a los Piolines a obedecer a su madre, entonces tienes que colocar pan en todos los escalones conforme se sube.

Tarea 2 I. (Coge un Piolín va subiendo la escalera hasta dejarlo en el 5). Cuando

está aquí se come este pan. ¿Qué pan se comerá después de ese (señalando el Piolín del escalón 5)?.

Tarea 3. I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro)1. ¿Lo ves cómo está?

Es en uno sí y en otro no. Ponemos el pajarito aquí (5) porque hay pan. (Saca un muro de cartulina para ponerlo en la escalera). Colocaremos este tabique aquí (lo pone en la parte inferior de la escalera, en los escalones del 1 al 4 y tapando con ello los trozos de pan que estaban en el 1 y el 3 de la vista del niño/a) para que no veas tú si hay o no hay pan. Colocaremos esta otra pared aquí (pone otro muro en la parte superior de la escalera, tapando los escalones del 7 al 10) para que tú no veas si hay o no hay. Entonces, el pajarito está aquí (señala el Piolín que está en el escalón 5) que sí hay pan (señala el pan). Ahora tienes que poner pajaritos donde haya pan detrás de la pared.

Tarea 4. I. Ahora sólo la escalera, sin pan (quita los trocitos de pan y los

Piolínes). Colocamos a este Piolín aquí (en el 5), (pone un muro tapando los primeros escalones) Lo hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que colocar tú un pajarito en el número N2.

Tarea 5. I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro no)3. Colocaremos de

nuevo los tabiques (en los tramos 1-3 y 7-10). También ponemos un Piolín en el 5, éste (5) es el número 5 y come pan (señala el pan), ¿en qué otro número después del 5 come también pan?

1 El niño realiza la alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín ya no come en todos, ahora come en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. Venga, colócalos así”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado III. Si la respuesta ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado. 2 N es un número del tramo 5-10. 3 El niño realiza la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín come en uno sí y en otro no, 1-sí… Me tienes que decir los números en los que hay pan.”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado V. Si la respuesta ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado.


Tarea 6 – (Sobre la escalera hay pan y Piolín en uno sí y en otro no). La escalera llega hasta el 10, y hemos visto en los números que se come. Ahora debemos imaginar que la escalera es más larga y que después del 10 hay otro escalón que es el 11, después otro que es el 12, otro el 13…¿Tú crees que en el T4 habrá pan?.

. Las intervenciones de la investigadora, para iniciar cada uno de los estados, se marcan con un asterisco en las transcripciones de las entrevistas que se pueden seguir en el apartado Anexo 6.1 de los Anexos VI. Debemos interpretar que estas intervenciones siempre se inician de la misma forma según los puntos dados anteriormente, por ello aparecen puntos suspensivos antes de iniciar la frase en dicha transcripción.

6.4. Aspectos a considerar

Pretendemos lo siguiente: • Comprobar si el niño es capaz de diferenciar los elementos de una serie mediante un

etiquetaje sencillo. Relacionarlo con los puntos siguientes • Comprobar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas e

infralógicas al comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos consecutivos en la escalera, usando como instrumento de comparación el orden topológico. Relacionarlo con los demás puntos de este apartado

• Averiguar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas al comparar

dos elementos consecutivos en la escalera, usando como instrumento de comparación una alternancia en una correspondencia serial. Ver qué ocurre con los demás puntos de este apartado.

• Estudiar las relaciones lógicas ordinales numéricas usando el conteo como

instrumento comparativo y ponerlo en relación con el resto de puntos que estamos considerando.

• Averiguar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales en la secuencia numérica

al comparar dos números consecutivos, usando como instrumento de comparación una alternancia en una correspondencia serial, y todo ello en función del resto de los puntos.

• Estudiar las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

teniendo en cuenta todos los puntos anteriores.

7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información Para la recogida de datos hemos utilizado un instrumento común que ha sido la grabación en vídeo además de un reproductor del mismo. 4 T es un número que la investigadora considera adecuado para realizar la entrevista según proceda, toma valores mayores ó iguales a 15.


Con estos instrumentos hemos podido reproducir las entrevistas en su totalidad con todos aquellos detalles que de otra manera nos hubiera sido imposible de conseguir. Una vez realizada todas las entrevistas se hace la trascripción de las mismas con ayuda del reproductor de vídeo (trascripción que puede verse en el Anexo VI, apartado Anexo 6.1). Además de las grabaciones, la investigadora llevaba preparado los cuadros-esquemas de las tareas que pueden verse en los Anexos VI, apartado Anexo 6.2. Se utilizan para registrar por escrito datos concretos, controlar el desarrollo de la entrevista y prevenir posibles fallos en la grabación.

8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista Las entrevistas se realizaron en el mes de Abril del curso 2000/2001. Para su efecto, el orden de colegios seguido fue: colegios urbanos provinciales: privado y público, centros de la capital (escuela infantil y público) y, por último, centro provincial rural. En todos y cada uno de los centros, las entrevistas se realizaron a puerta cerrada en un despacho preparado para ello y pasando, uno por uno, todos los alumnos seleccionados.

Cada entrevista tuvo una duración que osciló entre 20 y 30 minutos, por lo que, si tenemos en cuenta que no se permitieron interrupciones y que era obligado respetar el horario de los alumnos, incluido el recreo, se realizaron entre 4 y 5 entrevistas diarias, por tanto, fueron necesario dos días por cada colegio para completar la prueba.

Por último hemos de decir que todas las entrevistas tuvieron un desarrollo

adecuado, incluso más satisfactorio de lo previsto teniendo en cuenta la corta edad de los entrevistados, sólo volver a reseñar que el colegio rural es de Media Línea y que únicamente contaba con tres niñas de Infantil 5 años, a las cuales se les pasó la prueba, pero descompensó el número de niñas y niños que teníamos pensado que fuese el mismo mas/menos uno por ser impar el número de la muestra.

Agradecemos a todos los niños, maestros y directores su colaboración.

En los apartados que siguen hasta el final del capítulo, se exponen los resultados y conclusiones de dichas entrevistas teniendo en cuenta las tareas consideradas asociadas al modelo evolutivo.


9. Resultados y conclusiones de la prueba. Diremos que un niño ha superado con éxito la tarea del Estado K si realiza correctamente la situación K1 en cualquiera de sus dos presentaciones, es decir, si están en la categoría K1a. En el caso que un niño se encuentre en esta situación se observará la estrategia seguida y se codificará con un número del 1 al 5 según se indicó en el apartado 6.3.1 de este capítulo.

Vamos a considerar para todos los estudios realizados, que el alumno da la respuesta que se le asignará en las tablas correspondientes si la hace explícita al menos una vez en el transcurso de la entrevista.

9.1. Análisis de respuestas La serie de cuadros-esquemas presentados en las figuras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 del apartado 6.3.1 de este mismo capítulo nos ha proporcionado una posible categorización de respuestas para su análisis desde el punto de vista del modelo evolutivo.

En el Anexo VI, apartado Anexo 6.1, podemos encontrar algunas anotaciones para justificar que el niño presenta una categoría determinada de respuestas. Aunque dichas anotaciones aparezcan en una intervención concreta tenemos que considerar, para que sirva de justificante en la categoría, algunas preguntas y respuestas que le anteceden así como algunas otras que le suceden. En este sentido, tenemos:

• Las anotaciones del tipo (Ki) que aparecen en algunas intervenciones de la

investigadora significa que está planteando la situación i (con i variando de 1 a 3) de la tarea asociada al estado K (K toma los valores de I a VI)

• En algunas respuestas de los niños aparece entre paréntesis notas del tipo:

(Kim)5 que será el justificante de señalar en la tabla6 la celda de coordenadas (m, Estado K, i), es decir, justificará que el niño ha superado la situación i del estado K si m toma el valor a, y que no lo ha superado si m toma el valor b.

• En algunas respuestas aparece (KEttt), K indica el estado, Ettt significa estrategia

seguida, siendo E fijo y ttt variando de 111 a 555... Si para un niño y estado determinado aparece (KEggg) y (KEhhh), con ggg mayor que hhh , entonces consideramos que la estrategia usada en el estado considerado es la mayor A continuación presentamos una serie de tablas, una por cada colegio que

participan en la prueba, que recogen las respuestas de cada uno de los niños según las tareas, situaciones dentro de las tareas y, si procede, la estrategia utilizada.

Para la interpretación correcta de las tablas debemos tener en cuenta los siguientes

puntos:

5 K representa el estado, i la situación de la tarea asociada al estado y m toma los valores a ó b 6 Nos estamos refiriendo a las tablas que determinaremos en este mismo apartado


• Cada casilla de la primera fila indica que se va a evaluar la resolución de la tarea asociada al estado correspondiente. Cuando se pasa de un estado a otro en la tabla, la línea de separación entre columnas queda marcada por el grosor de la misma.

• Para cada una de las tareas asociada a un estado, se consideran las situaciones

que la determinan. Se empieza con la situación 1 y se termina con la misma. Esto se refleja en la segunda fila de las tablas.

• La primera columna indica el centro al que pertenecen los niños de la tabla • Cada casilla de la segunda columna indica las iniciales del nombre del niño

cuyas respuestas se registran en esa misma fila. Los números que aparecen a continuación de las iniciales expresan la edad, indicando, el primero de ellos, los años y el segundo los meses.

• Los niños están agrupados por edades prevaleciendo el curso de Educación

Infantil en el que se encuentran, cuando se pasa de un curso a otro en la tabla, la línea de separación entre filas queda marcada por el grosor de la misma.

• Las casillas correspondientes a las coordenadas (i, Estado K, 2)7 se rellenan si

aparecen en blanco las casillas (a, Estado K, 1)8. Para cada niño la casilla (i, Estado K, 3) se rellena si anteriormente ha sido marcada la casilla (a, Estado K, 2). Análogamente se da esa misma situación entre las casillas (i, Estado K, 1)9 y (a, Estado K, 3)

• Los recuadros correspondientes a las coordenadas (a, Estado IV, 2) indican que

los niños realizan el conteo correctamente atendiendo a los principios de orden estable y correspondencia uno a uno de Gelman y Gallistel

• Los recuadros de coordenadas (a, Estado K, 1), con K variando entre I y VI,

indican que los niños han superado el estado que se indica en la terna.

• El número que aparece en las casillas sombreadas correspondientes a las coordenadas (a, Estado K, 1), indica la estrategia seguida por el niño en la tarea asociada al estado que se considera en la terna.

La codificación de las estrategias se registra en el siguiente cuadro:

7 La primera componente de la terna, i,, toma los valores a ó b. Respecto a la segunda componente, la letra K varía entre I y VI 8 El 1 que aparece en esta terna se refiere a la primera columna del Estado K en la tabla 9 El 1 que aparece en esta terna se refiere a la cuarta columna del Estado K en la tabla


ESTADOS ESTRATEGIAS

I. Etiquetaje

1. Ensayo y error 110 2. Ensayo y error 211 3. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los

escalones. Los ha puesto sin seguir el orden de sucesión de la escalera

4. Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera

5. A medida que etiqueta verbaliza con términos propios del orden topológico, temporal o numérico.

II. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos

1. Ensayo y error12. 2. En el descendente no tiene en cuenta el anterior

inmediato sino cualquier anterior13 3. Igual que el 111 ó 222 pero con justificación verbal 4. Lo hace correctamente en los dos sentidos 5. Igual que 444 pero con justificación verbal

III. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento secuencial

1. “Porque me acuerdo”. 2. Intenta explicar el criterio 3. Empieza desde el principio, no tiene en cuenta el

dato pero aplica el criterio de la alternancia. 4. Tiene en cuenta el dato y aplica el criterio de la

alternancia. 5. Introduce la secuencia numérica ó alude a la

alternancia como instrumento para contar

IV. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo

1. Ensayo y error 2. “Porque sí”. 3. Empieza desde el principio a contar. Tiene en

cuenta el dato si es ascendente, cuando es descendente empieza desde uno.

4. Tiene en cuenta el dato si es ascendente y en ocasiones cuando es descendente. En algunos casos y si es descendente, coge otro número para razonar sobre él14.

5. Cuenta desde 5 e introduce términos ordinales, cuenta de dos en dos, etc. Bidireccional.

V. Relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia como instrumento comparativo

1. Porque sí. 2. Usa la alternancia pero no la secuencia numérica. 3. Empieza desde el principio 4. Tiene en cuenta el dato 5. Tiene en cuenta el dato y cuenta de dos en dos.

Bidireccional

VI. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

1. Porque sí. 2. Porque es en uno sí y en otro no 3. Porque come en el 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 4. Porque van de dos en dos y tiene en cuenta un

número distinto de uno. 5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la

secuencia 10 En un principio no etiqueta según la correspondencia uno a uno: coloca varios en un mismo lugar dejando algunos otros vacíos. Termina por conseguirlo 11 Coloca varios en un mismo escalón pero todos tienen. 12 En un principio confunde ascendente y descendente, contesta cuando le dices el primero. 13 Es , de nuevo, ensayo y error. 14 La diferencia entre 333 y 444 , es que en 333 empieza desde uno cuando es descendente y en 444 coge otro número distinto de 1 para razonar sobre él, pero en ambos casos es unidireccional al menos en alguna ocasión.


Debemos puntualizar que, para cada uno de los estados, las estrategias

codificadas como 111 y 222 son propias de estados inferiores, 333 y 444 corresponden a esquemas lógicos matemáticos propias del estado en cuestión, mientras que la estrategia 555 corresponde a estados superiores.

Una vez realizadas todas las aclaraciones pertinentes pasamos a presentar las

tablas de los distintos centros.

ESTADO I ESTADO II ESTADO III ESTADO IV ESTADO V ESTADO VI

11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11

a 444 333 Ro. 3,4 b

a 444 444 222 333 222 Ju. 3,11 b

a 444 444 222 333 An. 4,2 b

a 333 444 111 333 Ja. 4,6 b

a 444 444 222 333 Ma. 4,11 b

a 444 555 444 555 444 Je. 4,11 b

a 444 444 222 222 Ol. 5,3 b

a 444 555 555 555 555 555 Em. 5,4 b

a 444 555 555 555 444 Al. 5,8 b

a 444 555 333 333 333

Col

egio

Con

cert

ado

Prov

inci

al U

rban

o, R

.

El. 6,2 b

Tabla 1. Distribución de respuestas de cada niño del colegio concertado provincial urbano, R, por tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados



11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11

a 444 222 Al. 3,4 b

a 444 111 Mar. 3,11 b

a 444 555 333 333 222 Ju. 4,2 b

a 444 444 Ra. 4,4 b

a 333 222 Al. 5,1 b

a 444 444 Ma. 5,1 b

a 444 555 333 333 Ma. 5,5 b

a 444 444 111 333 Pa. 5,8 b

a 444 555 444 555 444 555 Ma. 5,8 b

a 444 555 444 555 444

Col

egio

Púb

lico

Prov

inci

al U

rban

o, M

.

Nu. 6,3 b

Tabla 2. Distribución de respuestas de cada niño del colegio M, por tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados


11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11

a 444 111 An. 3,5 b

a 111 111 Ro. 3,6 b

a 111 333 111 111 Fe. 3,11 b

a 444 333 Ad. 4,8 b

a 444 222 222 333 Su. 4,10 b

a 444 444 444 555 444 555 Ed. 4,11 b

a 444 444 333 444 222 Lu. 5,4 b

a 444 444 444 444 222 Na. 5,7 b

a 444 444 333 333

Col

egio

Infa

ntil

de la

Cap

ital,

C.

Pa. 5,9 b

Tabla 3. Distribución de respuestas de cada niño de la Escuela Infantil C, por tareas, situaciones y estrategias asociadas

a los estados



11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11

a 222 111 No. 3,6 b

a 444 333 Ke. 3,9 b

a 444 111 Jo. 3,10 b

a 444 333 111 333 Ma. 4,4 b

a 444 333 Li. 4,4 b

a 444 333 111 333 Ru. 4,10 b

a 444 333 222 444 222 Ju. 5,4 b

a 444 333 222 111 Lo. 5,7 b

a 444 333

Col

egio

Púb

lico

de la

cap

ital,

B.

In 6,2 b

Tabla 4. Distribución de respuestas de cada niño del colegio público de Málaga capital, B, por tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados


11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11 11 2 3 11

a 111 111 Ma. 3,5 b

a 222 Ju. 3,9 b

a 444 333 Ma. 3,11 b

a 444 111 Da. 4,4 b

a 444 Jo. 4,4 b

a 444 333 333 Lo. 4,7 b

a 444 444 444 333 222 Ci 5,8 b

a 444 333 111 222 111 Sa. 5,8 b

a 444 333

Col

egio

Púb

lico

(Med

ia L

ínea

) Rur

al, H

.

Pa. 5,10 b

Tabla 5. Distribución de respuestas de cada niño del colegio público rural provincial H, por

tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados


Antes de empezar con el análisis de respuestas, y para saber a qué niños nos estamos refiriendo cuando hagamos alusión a algunos de ellos en concreto y poder localizarlos en las tablas, a las iniciales del nombre se le añadirá por la izquierda la letra correspondiente al centro donde se encuentra, así, por ejemplo HMa. (3,5) es Ma (3,5) del centro rural H.

Una primera lectura de las tablas indica que las casillas con números15 señaladas de los niños que resuelven con mayor facilidad una tarea asociada a un estado, se encuentran pegadas a la izquierda de cada bloque16, quedando en blanco el resto de casillas del mismo.

Las tareas asociadas a los Estados I y II han sido realizadas con éxito en la

totalidad de los casos, mientras que, por el otro extremo, la tarea del estado VI sólo se ha superado en 3 de los 47. Con ello ratificamos el grado creciente de dificultad de las tareas en cuanto a los esquemas lógico matemáticos implicados. Ello se visualiza en las tablas observando que a medida que nos movemos de izquierda a derecha, las casillas con números señaladas en cada bloque de una misma fila17, están en lugares consecutivos18 y en el momento que desaparecen los números ya no vuelven a aparecer.

De acuerdo con el grado creciente de dificultad de los esquemas lógicos

matemáticos implicados, en lo que sigue interpretaremos las respuestas de los niños desde los esquemas más evolucionados hasta los menos. Para ello, analizaremos los casos que se dan en las tablas denominándolos por sus coordenadas.

1. Realizar con éxito la tarea asociada al Estado VI: (VI1a) ó (VI1b,VI2a,

VI3a, VI1a)

Si el niño ha superado la tarea asociada al Estado VI con la estrategia más evolucionada (555), quiere decir que es capaz de aplicar esquemas lógicos de seriación cíclica a la secuencia numérica, trasladando las relaciones lógicas ordinales entre los términos presentes en el tramo 1-10 a toda la secuencia. En esta situación nos encontramos a REm. (5,4) y a MMa. (5,8), CEd. (4,11):

MMa (5,8). I – … ¿Y en el 45 hay pan?. N – Dice que sí con la cabeza.. I – ¿Por qué?. N –Porque es igual que el 5 y el 35. I – Ah, ¿y en el 47?. N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿También? ¿Por qué?. N – Porque es igual que el 7. I – ¿Y en el 36?. N – Dice que no con la cabeza.. I – ¿Por qué?. N – Porque el 6 (señala el 6) está sin pan. REm. (5,4). I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 49 sí come?. N – Porque....Porque ha cogido dos escalones del 17 al 19. I –. ¿En el 66, come?. N – No. I – ¿Por qué?. N – Porque en el 65 come y en el 66 no, en el 67 sí. I – Pero, ¿tú por qué sabes que en el 65 es que sí?. N – En el ...sí, sí. I – Ah, en el 65 es que sí, ¿por qué los sabes?. N – Porque del 3 al , digo del 63 al 65 come. I – Y..¿Tú sabes si come en el 92?. N – No.. I – ¿No come en el 92? ¿Por qué?. N – Porque ha cogido uno, ...¿en el 42 has dicho?. I – En el 92. N – Porque tenía que comer en el 93. I –¿Por qué sabes tú que en el 93 sí? N – Porque del 91 al 93 se come. I Venga, dime en todos los que come. En el 83 sí, ¿después? N – En el 85 sí, en el 87 también, en el 89 también, en el 91

15 Las casillas con números son las que marcan que se ha superado la tarea del estado correspondiente. 16 Según se indica en las tablas, cada estado se considera un bloque. 17 Estamos considerando una fila como el conjunto de casillas que siguen horizontalmente a las iniciales de un niño, es decir, se consideran conjuntamente las opciones a y b. 18 Lugares consecutivos se refiere a dos bloques consecutivos


también, en el 93 también, en el 95 también, en el noventa y ..., a ver, en el 97 también, en el 99 también, en el noventa y....noventa y.. también come. CEd. (4,11). N – En el 21 sí comía, en el 22 no, no en el 23 sí, 24 no, en el 25 sí y en el 26 no, y en el 27 sí y en el 28 no y en el 29 sí. I – Yo te he dicho en el 32. N – En el 31 sí y en el 32 no. I –. Y si yo te digo en el 48. N – Piensa en silencio. I – Pero, ¿cómo lo estás pensando? Dilo en voz alta. N – 26, 27, 28, 29, ,30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 sí, en el 42 no, en el 43 sí, en el 44 no, en el 45 sí, en el 46 no. 47 sí, en el 48 no y en el 49 sí. I – Pero yo te he dicho 48. N – En el 48 no come I – Y si yo ahora te digo en el ..., 57. N – Piensa callada. I – ¿En el 57 qué? Dilo en voz alta lo que estás pensando. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ...40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 5 sí, en el 8 ..., en el 7 sí, en el 9 sí. I – Entonces, ¿qué pasa en el 57?. N – En el 57 sí, cuenta.

Si el niño es capaz de superar la tarea asociada al estado VI pero usando estrategias

menos evolucionadas que la 555 , caso que no hemos encontrado, significará que no ha llegado a extrapolar el tramo 1-10 al resto de la secuencia (en el sentido de seriación cíclica) pero conoce la relación lógica ordinal entre los términos de la secuencia numérica, con números mayores que 10, versus alternancia como instrumento comparativo, por tanto aplica esquemas lógicos-matemáticos propios del estado V a un tramo de secuencia cuyo extremo inferior es mayor que 10.

El hecho de no encontrar niños en esta situación nos lleva a presentar lo siguiente

Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.

2. Realizar con éxito la tarea asociada al Estado V: (V1a) ó (V1b,V2a, V3a,

V1a)

En este caso consideraremos los niños que han superado con éxito la tarea asociada al Estado V, son niños que en sus tablas correspondientes se dan las coordenadas:

(V1a), como es el caso de: RJe (4,11), REm (5,4), RAl (5,8), REl (6,2), MJu

(4,2), MMa. (5,8), MNu (6,3), CLu (5,4), CNa (5,7), HCi (5,8), HSa (5,8).

Estos niños, siempre y cuando la estrategia seguida sea 333 o mayor que 333 ( la 222 es una estrategia propia de estados inferiores) estarán usando relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus la alternancia como instrumento de comparación, pues son capaces de establecer el instrumento secuencial, determinar posiciones ordinales y lógicas ordinales con ese instrumento y usarlo mentalmente prevaleciendo el criterio numérico (al ser estrategias mayores o iguales a 333).

(V1b, V2a, V3a, V1a), como es el caso RJu (3,11) CEd. (4,11), BJu. (5,4).

No es significativo que haya superado la tarea en la segunda ocasión que se presenta la situación V1, ya que CEd (4,11) es uno de los tres niños que después realizarán con éxito la tarea del estado siguiente, pero hay que tener en cuenta que esta niña ha superado la situación con una estrategia del tipo 4, es


decir tiene en cuenta el dato y actúa mentalmente de forma sintética ante la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia.

3. Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados V y VI.

En el Estado V se da la construcción del instrumento serial en el tramo 1-10, hay por tanto un soporte concreto material, mientras que en las tareas del Estado VI se da la aplicación de ese soporte a otros tramos de la secuencia numérica distinto del 1-10.

Nos encontramos con los siguientes casos:

3.1 Hay niños que no alcanzan a resolver la tarea asociada al Estado VI pero

han llegado a superar las situaciones VI2 y VI3 además de la tarea asociada al Estado V. Estos niños presentan una de estas dos opciones:

No determinan el primer elemento del tramo al que aplicar el instrumento

secuencial “a-sí, a+-no….” del que disponen y conocen (pues son niños que han superado la tarea del Estado V) como es el caso, por ejemplo, de RJa (4,11), RAl (5,8) ó MNu. (6,2) RAl (5,8) I.Cuando lleguemos al 20, en el 20 ¿habrá pan o no?. N – No. I – ¿Por qué? N – Sí, sí, sí. I – ¿Por qué?. N – Por ... porque en el 20 hay pan ...hasta el 22... Entonces en el 20 y el 22...

Tienen un método sistemático para averiguarlo: “empezar desde 1 con el

instrumento secuencial “a-sí, a+-no….”, pero ese método se dificulta cuando se trata de un número grande (resuelven el problema del primer elemento) y no llegan a dar la solución. En esta situación estarían, por ejemplo, CNa. (5,7) ó REl. (6,2)19 REl. (6,2). I –Entonces, ahora, Elena, dime desde el 45,... ¿en el 45 come?.N – (Se queda un rato en silencio pensando.) I – ¿Cómo lo estás pensando? ¿Contando desde el 19? N – Es que ....(se pone la mano en la cabeza pensativa). I – ¿Qué has empezado desde el 1? N – Porque es que como...I – ¿Qué has empezado desde el 1 a contar? En el 1, en el 3,... ¿todo eso?. N – Y si no, ¿cómo? Las consideraciones realizadas en este punto nos lleva a las siguientes

reflexiones: Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica.

No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar posiciones ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones lógicas ordinales en cualquier tramo de la secuencia.

19 En el caso de REl. (6,2), como se puede observar en la tabla 1 de este mismo apartado, las tareas de los estados III, IV y V las resuelve con la estrategia 333 , es decir usando el instrumento secuencial desde el primer elemento (desde uno).


Debemos hacer notar los casos de HCi 5,8 y HSa 5,8 que logran realizar la tarea del estado V pero no llegan a realizar la situación VI3 pero sí VI2, ello es debido a que, aunque consiguen extender el instrumento secuencial más allá de 10, justifican mediante la alternancia, nunca cuentan de dos en dos y tienen dificultades al decir en el siguiente número que sí come. Estas dificultades se reflejan en las estrategias usadas en la resolución de la tarea del estado V, que son en el primer caso 2 y en el segundo 1.

3.2 Consideramos, en este punto, los niños que no llegan a resolver la tarea asociada al estado V pero han realizado la segunda y tercera situación, es decir están en V2a y V3a, y que con respecto a la tarea del estado VI no ha superado la segunda situación.

En este caso los niños no saben determinar el siguiente número en el que sí come en el tramo 1-10, por eso no superan con éxito la tarea asociada al Estado V, pero al realizar correctamente las situaciones V2 y V3 muestran competencias en la construcción del instrumento secuencial secuencia numérica/alternancia (situación V2) y en la determinación de una posición lógica ordinal con ese instrumento en el tramo 1-10 (situación V3). Y con respecto al Estado VI no construyen el instrumento secuencial precisamente porque no saben decir el siguiente número en el que sí come y por tanto a partir de 9 no saben continuar, por lo que no superan la situación VI2, es decir son niños que aunque les resuelva el problema del primer elemento no saben continuar con el instrumento secuencial en tramos cuyo extremo inferior es superior a 10 Niños que están en esta situación son: RAn. (4,2), CSu. (4,10), BIn. (6,2), CPa (5,9)20

RAn. (4,2), I – Y así van todos, vale. Entonces, ¿en el 12 hay pan?.N – No. I – ¿Por qué?. N – Porque yo cuento en el 1 y en el 2 y en el 3 y en el 4 y en el 5 y en el 6 en el 7 y en el 8 y en el 9 y en el 10 y en el 7 y en el 8 y en el 9 y en el 10 y en el 12 y en el 13, y en el 14 y en el 12 no hay pan21. …I – Muy bien, Antonio, entonces después del 13 ¿en qué número come?. N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13, el ...14. I –Es el número que le sigue a 13 que sí come. N –¿Qué?… I – ¿Y en el 22 hay pan?. N – No. I – ¿Por qué?. N – Sí, sí, sí. N – Porque... es que, es que, es que... el primero que sí22. I –Después del 22 ¿qué números vienen en los que sí come?. N –¿Qué?…

Tenemos lo siguiente: El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 secuencia numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese instrumento en ese tramo, no es condición suficiente para: Determinar posiciones lógicas ordinales23 en el tramo 1-10 versus alternancia como instrumento comparativo, y extender el instrumento secuencial a tramos cuyos extremos inferiores sean mayores que 10 20 El caso de CPa (5,9) difiere un poco de los anteriores pues el problema de ella con respecto a la tarea VI es que no sabe continuar aplicando el instrumento secuencial con número que estén alejados de 10, por eso supera la situación VI2 y no la VI3. 21 Aplica sí-no a la secuencia, pero no sabe determinar el siguiente en la secuencia que es sí por eso es V1b 22 La determinación del primer elemento es capital 23 Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.


3.3.En este punto vamos a considerar las respuestas de los niños que con respecto a la tarea V presentan, en las tablas correspondientes, las coordenadas siguientes: (V1b, V2a,V3b), y con respecto a la tarea del estado VI se da: (VI1b, VI2b, VI3b).

En esta situación se encuentran RJa (4,6), y la cuestión central está en que este niño no sabe determinar el siguiente número a uno dado en el que sí come, tanto en el tramo 1-10, como en otros tramos de la secuencia numérica. La construcción del instrumento secuencial secuencia numérica alternancia no es sintética24, dividiendo ese instrumento en dos: por una parte está al alternacia y por otra la secuencia numérica

3.4.Este punto es igual que el anterior pero con respecto a la tarea del estado

VI los niños no han superado la situación VI2, por tanto en las tablas correspondientes presentan las coordenadas, con respecto a la tarea del estado V, siguiente: (V1b, V2a,V3b), y con respecto a la tarea del estado VI se da: (VI1b, VI2b).

Están en esta situación: RMa (4,11), ROl. (5,3). Estos niños construyen el instrumento secuencial secuencia numérica/alternancia en el tramo 1-10, pero no lo usan para determinar posiciones ordinales, ni lógicas ordinales en ese tramo, ni son capaces de extender el instrumento secuencial construido a otros tramos distintos del señalado. RMa. (4,11) I –¿En qué número, después del 5,... el Piolín come? N – ¿Qué número? I – Después del 5 come. -N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Pero, ¿qué número es ese? N – Ese, el 725. … I – La escalera es más larga, ¿eh? Está el 11, el 12, el 13, ... ¿ En qué número después del 9 come, cariño?. N – En el 3. I – ¿En el 3 come después del 9? ¿Por qué?. N – Porque... porque está mirando a los otros y por eso... quiere comer, pero ya no quiere comer.

Tenemos lo siguiente: El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia como instrumento de comparación El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial para manifestar relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus alternancia como instrumento de comparación; no es condición suficiente para extender el instrumento secuencial construido a otros tramos distintos del señalado

24 En el sentido piagetiano (Piaget., Morf 1970) 25 Se mueve mentalmente con la alternancia y con los números por separado.


3.5.Consideramos las respuestas de los niños con respecto a la tarea asociada al estado V con las coordenadas: (V1b, V2b), y con respecto al estado VI presentan: (VI1b, VI2b)

En esta situación se encuentran: MMa (5,5), MPa. (5,8), CFe. (3,11), BMa (4,4), BLi. (4,4), BRu (4,10), BLo (5,7). Estos niños y niñas no han sido capaces de establecer el instrumento secuencial secuencia numérica/alternancia en el tramo 1-10, ni en ningún otro tramo de la secuencia numérica. Lo cuál es lógico, pues si no lo consiguen en 1-10 difícilmente lo harán en otro.

MMa (5,5). I – Mira los piolínes están colocados en uno sí y en otro no, y este (1) es el 1, dime los números en los que están colocados estos piolines (señala los de los escalones 3, 5, 7 y 9. N – (Empieza hablando muy bajito) ...el 8 y el ... el 9. (señala el Piolín del escalón 9. I – Dime los números sólo de los escalones que tiene pajaritos.. N – El 1 y el ... el 2 (3).... el 3, el 4(5), el 5(7), el 6 (9) (V2b).

4. Realizar con éxito la tarea asociada al Estado IV: (IV1a) ó (IV1b,IV2a, IV3a, IV1a)

Empezamos el análisis con los niños que de primera instancia han resuelto la

situación IV1 de la tarea asociada al estado IV; estos niños son los que desde el principio cuando se plantea la primera situación tienen en cuenta el dato numérico para determinar otra posición ordinal a partir de él mediante la acción de contar.

Entre los niños que están en esa situación nos encontramos con los que superan la

tarea con estrategias:

555 , como es el caso de REm (5,4), RAl (5,8), MMa (5,8), MNu (6,3), CEd (4,11). Entre ellos se encuentran los niños que llegarán a lo más alto en la prueba, es decir que lograrán realizar con éxito la tarea del estado VI.

Que realicen la tarea del estado IV con la estrategia 555 significa que

tienen en cuenta el dato de manera bidireccional, es decir en sentido ascendente y descendente, cuentan de dos en dos, introducen términos ordinales, etc. Diremos entonces que estos niños son capaces de establecer relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo. Esto lo podemos observar en el siguiente ejemplo:

MMa, (5,8). I – … Éste (5) es el 5, ¿por qué sabes que éste (7) es el 7?. N – Porque me paso el 6. I – Ahora sólo dejamos este que está en el 7. Quiero que sabiendo que ese es el 7 pongas uno en el 3. N – Coloca uno en el 3. I–¿Por qué sabes que éste (3) es el 3?. N – Porque he contado para abajo. I – ¿Cómo?. N – Porque me paso al 6, al 5, al 4 y al 3

Los que pasan la tarea con la estrategia 444 significa que tienen en cuenta el

dato de manera unidireccional, pero en sentido descendente cogen otro dato y a partir de él razonan como es el caso de CLu. (5,4)

CLu. (5,4). I – Claro, pero si uno está aquí, ese es el número 5, ¿qué has hecho para adivinar que éste (9) es el número 9. N – Pues he hecho 5, 6, 7, 8 y 9 (va señalando con el dedo los escalones). I Ahora (quita el Piolín 9) éste (5) es el número 5, yo quiero que sabiendo que es el número 5 coloques uno en el número 3. N – Yo lo he puesto porque yo sé


cual es el número 3. (Coloca uno en el escalón 3). I – Ahora ponemos uno en el número 9 (lo pone) como tú habías dicho antes. Quiero que pongas uno en el número 7, ¿de acuerdo? Pero sabiendo que éste (9) es el número 9 N – Está chupao, porque el 6 es ahí (pone un Piolín en el escalón 6). I – ¿Y por qué sabes que es ahí?. N – Porque, mira, aquí éste el 6 (6). y este (7) es el 7.

Además de esta niña encontramos otros niños que también resuelven la tarea del Estado IV con la estrategia 444 , como son: CNa (5,7) ó BJu (5,4). Para estos niños, también entendemos que establecen relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo, pues parten de un dato, aunque no sea el dado, para a partir de él razonar y encontrar una posición ordinal, lo que ocurre es que las relaciones lógicas ordinales elegidas para realizar la actividad serán del tipo “siguiente inmediato ó siguiente” y se omiten los esquemas lógicos matemáticos de “anterior inmediato ó anterior” en la forma de proceder.

Resuelven la tarea con la estrategia 333 los siguientes niños: REl (6,2), RJu

(3,11), RAn (4,2), RJa (4,6), REl (6,2), MJu 4,2, MPa (5,8), CSu (4,10), HCi (5,8). Estos niños se caracterizan porque en sentido ascendente tienen en cuenta el dato para localizar una posición ordinal a partir de otra a través del conteo, pero en sentido descendente empiezan desde uno, y, en ese sentido, es una estrategia menos evolucionada que la anterior pero se siguen manteniendo los mismos logros, en cuanto a las relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo, que en el punto anterior.

Los niños que resuelven la tarea con estrategias inferiores a 333 son los que lo

hacen por ensayo y error.

Los niños que para resolver la tarea asociada al estado IV presentan las coordenadas (IV1b, IV2a, IV3a, IV1a) son los que han tenido dificultad a la hora de considerar dos números simultáneamente, al tener que localizar una posición ordinal a partir de otra, pero que resuelven fácilmente el problema de localizar una posición ordinal a través del conteo y por supuesto cuentan correctamente los escalones.

5. Realizar con éxito la tarea asociada al Estado III: (III1a) ó (III1b, III2a,

III3a, III1a)

Los niños que han superado con éxito la tarea asociada al Estado III, son niños que en sus tablas correspondientes se dan las coordenadas:

(III1a), como es el caso de: RJu 3,11, RJa 4,6, RMa 4,11, RJe 4,11, ROl 5,3,

REm 5,4, RAl 5,8, REl 6,2, MJu 4,2, MMa. 5,5, MMa. 5,8, MNu 6,3, CSu 4,10, CLu 5,4, CNa 5,7, BMa 4,4, BJu 5,4, HCi 5,8, HSa 5,8.

Estos niños, cuando la estrategia seguida sea 222 significará que conoce el criterio de la alternancia y actúan con ese razonamiento (“porque en uno hay y en otro no”, “porque da un salto”, etc.) pero no tienen en cuenta el dato, ni empiezan desde uno (les faltaría un método sistemático) para determinar una posición lógica ordinal usando la alternancia como instrumento secuencial, por tanto actuarían por ensayo y error hasta encontrar la solución, aunque cuenrtan


con un instrumento secuencial, conocen el criterio pero les faltan el primer elemento que genera la sucesión.

Los que actúan con una estrategia mayor ó igual que 333 han sido capaces de construir un instrumento secuencial como es la alternancia mediante el cuál pueden determinar posiciones lógicas ordinales de una manera sistemática empezando desde el primero ó bien estableciendo relaciones lógicas ordinales usando la alternancia a partir de un elemento de la serie para determinar otro. Es significativo la frase de RAl (5,8) cuando se refiere a la alternancia como instrumento secuencial para contar RAl (5,8). N – Porque...porque he contado y habías dicho uno sí, otro no, otro sí. (Coloca los dedos en los escalones 1, 2, 3 y 4)

(III1b, III2a, III3a, III1a), como es el caso RAn (4,2), MPa (5,8), CFe (3,11),

CEd. (4,11), CPa (5,9), BRu. (4,10).

De los 6 niños que están en esta situación, 4 niños la realizan con estrategia menor ó igual a 2, y uno con la estrategia 3, ninguno de ellos lograrán, posteriormente, realizar la tarea del estado V.

6. Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados III, IV y V.

En estos tres estados se da la construcción de un instrumento secuencial: en el III

tenemos la alternancia, en el IV el conteo y en el V la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia, por tanto se trata de analizar y estudiar cuando los niños usan el instrumento secuencial propio del estado V en función de los instrumentos construidos en los dos estados previos.

Nos encontramos con los siguientes casos:

6.1 Realizan correctamente cada una de las tareas asociadas, respectivamente, a

cada uno de los tres estados Los niños que están en esta situación presentan alguna de estas ternas de estrategias: (2, 3, 2)26, (4,5,4), (5, 5, 5), (5, 5, 4), (3,3,3), (3, 3, 2) (3,4,2) (4,4,2), (2,4,2) (4, 3, 2) (1,2,1). La estrategia del estado V nunca mejora la del estado III, en todo caso la iguala.

Las actuaciones del tipo (x, y, 2) muestran que, los niños que así proceden, aún sabiendo encontrar el siguiente número a uno dado en el que sí come, es decir pensar con el instrumento del estado V, a la hora de justificar sus respuestas prefieren usar los instrumentos secuenciales propios de los estados III y IV por separado para resolver problemas propios del estado V. Pero ninguno de estos niños al final alcanzan el estado VI.

26 Cada componente de la terna representa la estrategia de los estados III, IV y V respectivamente.


Hay niños, los que actúan de la forma (4, 4, 2), que a pesar de conseguir buenos rendimientos en las tareas asociadas a los estados III y IV, no consiguen razonar con los esquemas lógicos matemáticos propios del Estado V y estarán resolviendo tareas de este estado sin la síntesis que debe comportar la alternancia y la secuencia numérica. Las ternas del tipo (x, y, 3) únicamente aparecen cuando x e y toman también el valor 3, ello significa que los niños que así proceden, para usar los instrumentos secuenciales de cualquier estado disponen de un método sistemático: el de empezar por uno. Cuando tenemos (x, y, 4) ó (x, y, 5), se da que x e y toman valores mayores ó iguales a 4, y ello significa que los niños utilizan la alternancia y el conteo para determinar posiciones lógicas ordinales pues tienen en cuenta el dato, y es entonces cuando usan la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia como instrumento secuencial para determinar posiciones lógicas ordinales. Estos niños son los que presentan la posibilidad de alcanzar el Estado VI.

6.2. Resuelven las tareas asociadas a los estados III y IV pero no resuelven la

del estado V. Consideraremos el caso en el que no se resuelve la tarea asociada al estado V, pero se superan las situaciones V2 y V3. Los niños que están en esa situación, como por ejemplo RAn 4,2, son capaces de aplicar sí-no a la secuencia a partir de un término cualquiera distinto de uno, pero no saben determinar el siguiente de un término cualquiera que es que sí, por ello decimos que no logran determinar relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento secuencial. Estos niños han superado los estados III y IV con estrategias: (2,3), (3,3), por tanto son niños que usan los instrumentos secuenciales de forma sistemática empezando por uno (caso 3,3), ó bien conocen el criterio y lo aplican pero no saben justificarlo (caso 2,3). Cuando no se supera la situación V3, es decir cuando con respecto al estado V se tienen las coordenadas (V1b, V2a, V3b), y se han superado las tareas correspondientes a los estados III y IV, podemos considerar que aunque logren establecer el instrumento secuencial secuencia numérica/ alternancia, éste no le sirve para resolver problemas de ordinación, a pesar de que con los instrumentos secuenciales propios de los estados III y IV sí han resuelto tareas de esos estados. En esta situación se encuentran: RJa (4,6), RMa (4,11), ROl (5,3). Las estrategias que presentan estos niños en los estados III y IV no pasan de 2 para el III y de 3 para el IV. Considerando, ahora el caso en el que no se llega a resolver la tarea del Estado V dándose estas coordenadas (V1b, V2b) pero habiéndose realizado con éxito las tareas asociadas a los estados III y IV, tenemos que para estos casos los niños han sido capaces de establecer, por separado, la alternancia y conteo como instrumentos secuenciales llegando, con ellos, incluso a determinar posiciones lógicas ordinales pero son incapaces de establecer un nuevo instrumento que sintetice los dos anteriores mediante una correspondencia serial. En este caso nos encontramos a MMa (5,5), MPa (5,8),CFe (3,11).


6.3.Resuelven las tareas asociadas al estado III pero no resuelven las de los estados IV y V.

En esta situación nos encontramos sólo un caso: HLo (4,7), con coordenadas respecto a las tareas de los tres estados siguientes: (III1a), (IV1b, IV2a, IV3b) y (V1b,V2b). Esta niña tiene muy claro el criterio de la alternancia y no se equivoca nunca con el razonamiento “porque en uno hay y en otro no”, sin embargo con respecto al conteo, a pesar de que cuenta los escalones correctamente (IV2a), se equivoca a la hora de localizar posiciones ordinales (IV3b) y lógicas ordinales (IV1b) usando el conteo como instrumento secuencial. Y en cuanto a la secuencia numérica/alternancia no llega ni siquiera a construir la correspondencia serial. Este es un caso, de los ya contemplados en el estudio exploratorio, en el que los niños resuelven mejor tareas de ordinación con instrumentos secuenciales sencillos como la alternancia que las mismas tareas con el conteo como instrumento.

6.4.Resuelven la tarea asociadas al estado IV pero no resuelven las de los estados III y V.

No hemos encontrado casos en esta situación, todos los niños entrevistados que han resuelto la tarea de conteo, habían resuelto previamente la tarea de la alternancia.

6.5.Resuelven la tarea asociadas al estado V pero no resuelven las de los estados III

y IV.

No se da esta situación, todos los niños entrevistados que han resuelto la tarea de la correspondencia serial como instrumento, habían resuelto previamente las tareas de la alternancia y el conteo como era de esperar según los resultados del estudio exploratorio.

6.6.No resuelven ninguna de las tareas asociadas los estados III, IV y V.

Según el aspecto técnico y protocolario del desarrollo de las entrevistas27, cuando un niño no llega a realizar con éxito las tareas asociadas a dos estados consecutivos entonces no se pasa la del estado siguiente. Por consiguiente, si no han superado las tareas de los estados III y IV no se pasa la del V porque suponemos que no la va a superar. Existen algunas excepciones en las que se llegaron a pasar la prueba completa para reafirmar nuestro supuesto.

Nos encontramos con niños que construyen los instrumentos secuenciales con la alternancia y el conteo pero no resuelven con ellos los problemas de ordinación planteados en las tareas III y IV; son los que, en las tablas correspondientes, aparecen marcadas las casillas correspondientes a III2a y IV2a pero no llegan a

27 Ver apartado 6.3 de esta mismo capítulo


realizar con éxito las tareas en cuestión. En esta situación se encuentran: MRa (4,4), MAl (5,1), CAd (4,8), BIn (6,2), HDa (4,4). Debemos hacer hincapié en el caso en que para la tarea del Estado IV se dan las coordenadas (IV1b, IV2a, IV3b) y no se resuelven las tareas asociadas a los estados III y V. Esto significa que los niños han contado correctamente los escalones del 1 al 10 (IV2a) pero no han resuelto ningún problema de ordinación con el conteo, ni han sido capaces de construir otros instrumentos secuenciales, prenuméricos y numéricos, con los que actuar ordinalmente. El caso señalado anteriormente es el de coordenadas (III1b, III2b), (IV1b, IV2a, IV3b). En este caso se encuentran: MAl (3,4), BNo (3,6), HJo (4,4), y el caso de HPa (5,10) que llega incluso a contar y localizar una posición ordinal mediante el conteo, pero no construye otros instrumentos secuenciales, por ello sus coordenadas, con respecto a la cuarta tarea, son: (IV1b, IV2a, IV3a. IV1b) Hay niños, que por el contrario al caso señalado anteriormente, construyen el instrumento secuencial de la alternancia pero no realizan el conteo correctamente, son los casos en los que marcamos las casillas correspondientes a III2a y IV2b, como son: MMar (3,11), MMa (5,1), CAn (3,5), CRo (3,6). Finalmente, nos encontramos con niños que no establecen ninguno de los dos instrumentos (ni la alternancia ni cuentan correctamente), en estos casos no encontramos marcadas las casillas correspondientes a III2b y IVb. En esta situación se encuentran: RRo (3,4), BKe (3,9), BJo (3,10), HMa (3,5), HJu (3,9), HMa (3,11).

7. Realizar con éxito la tarea asociada a los Estado I y II: ((I1a) ó (I1b, I2a, I3a, I1a)) y ((II1a) ó (II1b, II2a, II3a, II1a))

La gran mayoría de niños (38 de los 47) han superado con éxito las tareas asociadas

a los estados I y II, con coordenadas (I1a) y (II1a) es decir de primera instancia, en su mayoría (todos salvo tres) con estrategias mayores ó iguales que 333 con respecto a la segunda tarea y con estrategias mayores o iguales que 444 respecto a la primera.

Para estos casos, se entiende que los niños son capaces de diferenciar los elementos

de una serie (la escalera) al tener que etiquetarlos siguiendo el orden de sucesión de los peldaños (esto es lo que significa que los niños resuelvan la tarea I con la estrategia 444). Por otra parte, el niño es capaz de comparar dos elementos consecutivos de la escalera mediante la relación infralógica de orden topológico “estar al lado de” cuando resuelve la tarea asociada al estado II con una estrategia mayor o igual a 333 .

Algunos niños resuelven las tareas I y II en otras condiciones distintas a las

señaladas anteriormente (5 de los 47), es decir resuelven de segunda instancia. Estos niños no llegan a realizar las tareas del estado siguiente salvo el caso de MPa (5,8) que llega a realizar correctamente hasta la tarea del estado IV, pero este niño procede con la estrategia 444 en el estado II.


Todos los niños entrevistados han superado las tareas asociadas a los estados I y II salvo HJu (3,9) y HJo (4,4) que no han realizado con éxito la tarea asociada al estado II

8. Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados I y II con respecto a los demás estados.

Como ya hemos indicado en los párrafos anteriores, la gran mayoría de niños

resuelven las tareas asociadas a los estados I y II de primera instancia y con estrategias mayores o iguales que 3. Por este motivo nos vamos a centrar en los casos que ésto no es así, considerando los siguientes puntos:

Resuelven de primera instancia pero con estrategias menores que 3 en alguna de

las dos tareas. En esta situación están: CAn (3,5), CFe (3,11), HMa (3,5), HDa (4,4), estos niños actúan en algún caso por ensayo y error, no consiguen buenos resultados en las tareas de los estados sucesivos. Resuelven las dos tareas pero no de primera instancia, al menos, en alguno de

los dos casos.

El aspecto a destacar dentro de este punto se da cuando se presentas las coordenadas (II1b, II2a, II3a, II1a) con respecto a la segunda tarea. Ello significa que los niños identifican a nivel verbal antes y después, ó frases como “justamente antes” y “antes de”, dado un término de una serie sólo ven un sentido, por eso en un principio es II1b, pero después de plantear las situaciones II2 y II3 el niño toma en consideración que estamos hablando de dos sentidos: ascendente y descendente. Los niños que están en la situación marcada por este punto son: MAl (3,4), MMar (3,11), MPa (5,8), CRo (3,6), BJo (3,10). Como ya hemos indicado, estos niños no llegan a realizar las tareas del estado siguiente salvo el caso de MPa (5,8) que llega a realizar correctamente hasta la tarea del estado IV, pero este niño procede con la estrategia 444 en el estado II. No resuelven la tarea asociada al estado II

En esta situación se encuentran HJu (3,9) y HJo (4,4), ninguno de estos niños alcanzan a realizar ninguna de las tareas de los estados sucesivos. Debemos destacar que HJo (4,4) que consigue pasar la tarea I con una estrategia del tipo 4, cuenta los escalones correctamente en la tarea asociada al estado IV pero no consigue por ello resolver ningún problema de ordinación.

9.2. Niveles asociados al modelo evolutivo teórico.


Pretendemos determinar los perfiles de los niños que conforman una categoría determinada atendiendo a que en la prueba, del estudio empírico cualitativo que estamos realizando, hayan sido capaces de realizar o no la tarea asociada a un estado k del modelo evolutivo.

Para ello consideraremos las tablas (6-10) siguientes que sintetizan los

resultados de las tablas 1-5 del punto anterior. Previamente, aclararemos que:

Cada casilla de la primera fila indica la tarea asociada a un estado En la primera columna se indica el centro del que se trata

Cada casilla de la segunda columna indica las iniciales del nombre del niño y

su edad, el primer número indica los años y el segundo los meses.

Cada casilla marcada, de una fila y columna dadas, representará que el niño, de esa fila, ha superado la tarea asociada al estado correspondiente, de esa columna.

I II III IV V VI

Ro. 3,4 Ju. 3,11 An. 4,2 Ja. 4,6

Ma. 4,11 Je. 4,11 Ol. 5,3 Em. 5,4 Al. 5,8

Col

egio

Con

certa

do

Prov

inci

al U

rban

o, R

El. 6,2

Tabla 6. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio privado urbano R.

I II III IV V VI Al. 3,4

Mar. 3,11 Ju. 4,2 Ra. 4,4 Al. 5,1 Ma. 5,1 Ma. 5,5 Pa. 5,8

Ma. 5,8 Col

egio

Púb

lico

Prov

inci

al

Urb

ano

M.

Nu. 6,3

Tabla 7. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público, provincial, urbano M.


I II III IV V VI

An. 3,5 Ro. 3,61 Fe. 3,11 Ad. 4,8 Su. 4,10 Ed. 4,11 Lu. 5,4 Na. 5,7 C

oleg

io In

fant

il: d

e la

C

apita

l, C

.

Pa. 5,9 Tabla 8. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio infantil de

la capital C.

I II III IV V VI No. 3,6 Ke. 3,9 Jo. 3,10 Ma. 4,4 Li. 4,4

Ru. 4,10 Ju. 5,4 Lo. 5,7 C

oleg

io P

úblic

o: d

e la

C

apita

l, B

.

In. 6,2 Tabla 9. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público de

la capital B.

I II III IV V VI Ma. 3,5 Ju. 3,9

Ma. 3,11 Da. 4,4 Jo. 4,4 Lo. 4,7 Ci. 5,8 Sa. 5,8 C

oleg

io P

úblic

o (M

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Lí

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Rur

al, H

.

Pa. 5,10

Tabla 10. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público, provincial, rural H.

De la observación de las tablas podemos decir que todos los niños que han

realizado con éxito la tarea asociada al Estado K del modelo evolutivo, realizan correctamente todas las tareas asociadas a estados inferiores. Este hecho se visualiza en las tablas de la siguiente forma: si consideramos una casilla marcada cualquiera,


entonces están marcadas todas las que se encuentran a la izquierda de la misma, y si por la derecha aparece una casilla en blanco entonces todas las que le siguen, por la derecha, están también en blanco; es decir, dada una fila cualquiera no encontramos casillas en blanco entre casillas marcadas, no hay huecos.

Todo ello contribuye a confirmar que la prueba que estamos considerando ha

funcionado en el sentido que los esquemas lógicos matemáticos implicados en los estados del modelo teórico están escalonados de menor a mayor dificultad y la realidad empírica lo corrobora. Por tanto, podemos categorizar a los niños en niveles creciente evolutivos, en los que en cada nivel se perfilan unas características lógicas matemáticas propias de cada uno de los estados del modelo teórico. En este sentido, los niveles quedan definidos como sigue:

Nivel I. Los niños de este nivel son los que consiguen realizar con éxito tareas

asociadas al estado I, pero no superan tareas propias del estado II del modelo evolutivo.

Nivel II. Aquí se encuentran aquellos niños que consiguen realizar con éxito tareas

asociadas a los estados I y II del modelo evolutivo y no realizan las propias del estado III.

Nivel III. En este nivel están los niños que realizan correctamente tareas asociadas

a los estados I, II y III del modelo evolutivo, pero no logran las propias del estado IV

Nivel IV. Los niños de este nivel son los que logran la realización correcta de las

tareas propias de los estados I, II, III y IV del modelo evolutivo, y no hacen lo mismo con tareas del estado V.

Nivel V. Pertenecen a este nivel todos aquellos niños que realizan tareas asociadas

a los estados I, II, III, IV y V del modelo evolutivo pero no con tareas del estado VI.

Nivel VI. Se encuentran los niños que han logrado realizar con éxito todas las

tareas propias de todos los estados del modelo evolutivo presentado.

Comparando las frecuencias28 de los distintos niveles en un curso determinado de Educación Infantil tenemos para cada uno de ellos lo siguiente:

1) Educación Infantil 3 Años. Quince de los cuarenta y siete niños entrevistados son de esta edad y su distribución

por niveles es la siguiente:

I II III IV V VI 3 años 1 10 - 2 2 -

Observaciones:

28 Estas se obtienen a partir de las tablas 6-10 de este apartado.


a) El 73,3% de los niños de Infantil 3 años entrevistados son de los niveles I ó II, de

los cuales el 90,9% son del nivel II, con lo cual podemos afirmar que un porcentaje alto (más del 70%) de niños de Infantil de 3 años únicamente llegan a comparar los elementos de una serie con esquemas infralógicos de espacio y tiempo sin llegar a aplicar otros instrumentos más evolucionados de comparación.

b) El resto de niños que no están en los niveles I y II, están en los niveles IV y V, por tanto, en Educación Infantil de 3 años podemos encontrar algunos niños que establecen relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie usando el conteo ó la alternancia, y otros niños que incluso llegan a establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento.

2) Educaciín Infantil 4 Años. Dieciséis de los cuarenta y siete niños entrevistados son de esta edad y su

distribución por niveles es la siguiente:

I II III IV V VI 4 años 1 6 1 6 1 1

Observaciones:

a) Encontramos de 4 años en todos los niveles, con mayor frecuencia se dan los de los niveles II y IV. Por tanto, podemos decir que los niños de 4 años, en su mayoría (un 75%) bien utilizan sólo esquemas infralógicos para comparar los elementos de una serie, o bien usan instrumento secuenciales como la alternancia o el conteo para determinar posiciones ordinales y lógicas ordinales y comparar así los elementos de una serie. Podemos encontrar algunos niños que incluso aplican esquemas de seriación cíclica para generalizar relaciones ordinales del tramo 1-10 a otros tramos.

b) El aumento de la frecuencia a favor del nivel IV con respecto a los niños de 3 años,

significa que los niños de 4 años, con respecto a los de 3, usan instrumentos secuenciales más evolucionados que los infralógicos como son la alternancia y el conteo para comparar elementos de una serie.

3) Educación Infantil 5 Años. Dieciséis de los cuarenta y siete niños entrevistados son de este curso de Educación

Infantil y su distribución por niveles es la siguiente:

I II III IV V VI 5 años - 2 - 4 8 2

Observaciones:


a) El 87,5% de los niños entrevistados de Educación Infantil de 5 años se encuentran en niveles mayores o iguales a IV. Ningún niño se encuentra en el primer nivel y encontramos algunos en el nivel II.

b) El nivel más frecuente es el V, por lo tanto la mayoría de los niños de 5 años son

capaces de usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos numéricos, y algunos de ellos llegan a aplicar esquemas lógicos matemáticos de seriación cíclica al tramo 1-10 y extrapolar las relaciones lógicas ordinales entre esos términos numéricos a otros de cualquier tramo con extremo superior menor que 100.

Observamos que los niños de 3 años tienen mayor representatividad en los dos

primeros niveles, los de 4 están repartidos por todos los niveles y en los que tienen mayores frecuencias no son consecutivos, y por último, los de 5 años están mayoritariamente en los tres niveles superiores, por consiguiente, podemos decir que se trata de un conocimiento que evoluciona con la edad.

10. Resultados y conclusiones. Uno de los propósitos de este estudio era caracterizar y justificar los resultados de la prueba asociada al modelo evolutivo, y dar significado a los comportamientos generales encontrados, así como a los procedimientos, destrezas y estrategias ordinales que los niños de Educación infantil utilizan para resolver problemas de ordinación, es decir, completar los perfiles de competencias ordinales correspondientes a cada uno de los niveles establecidos tras el estudio cualitativo. Dicha caracterización es:

Nivel I.

Se caracterizan porque son capaces de etiquetar los elementos de una serie diferenciándolos unos de otros, pero sin establecer comparaciones entre ellos

Nivel II.

Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie son capaces de compararlos mediante el orden temporal o topológico pero no con otro instrumento secuencial sencillo como la alternancia.

Nivel III.

Las características fundamentales son : diferenciar los elementos de una serie, comparar dichos elementos mediante el orden temporal o topológico y además establecer relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento secuencial, pero no logran hacer esas comparaciones con la secuencia numérica como instrumento.

Nivel IV.


Sus características son: diferencian los elementos de una serie, comparan dichos elementos mediante el orden temporal o topológico, establecen relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento secuencial y, además, aplican relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie usando el conteo como instrumento comparativo, sin llegar a comparar los elementos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento comparativo.

Nivel V.

Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie, compararlos mediante el orden temporal ó topológico, también con la alternancia y el conteo como instrumentos secuenciales; son capaces de diferenciar, y con ello, establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento comparativo, todo ello en el tramo 1-10, pero no son capaces de extrapolar estas capacidades a otros tramos de la secuencia con extremos inferiores mayores que 10.

Nivel VI.

Un niño que se encuentre en este nivel tiene todas las características del nivel anterior y además es capaz de aplicar esquemas lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10 a otros tramos de la secuencia.

Como última observación, debemos hacer notar lo que ocurre en el nivel VI en cuanto que, los niños que alcanzan ese nivel son los que resuelven la tarea asociada al estado VI con estrategias de tipo 555 y de ahí se obtiene las siguientes conclusiones:

• Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.

• Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar

esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica

• No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar

posiciones ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones lógicas ordinales en cualquier tramo de la secuencia.

• El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 de la

secuencia numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese instrumento en ese tramo, no es condición suficiente para: Determinar posiciones lógicas ordinales29 en el tramo 1-10 versus alternancia como instrumento comparativo, y extender el instrumento secuencial a tramos cuyos extremos inferiores sean mayores que 10

29 Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.


• El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia

numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia como instrumento de comparación. Ni siquiera, tampoco lo es, el que el niño establezca el instrumento secuencial para manifestar relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus alternancia como instrumento de comparación.

Como conclusión final a todo el estudio exploratorio realizado hemos de señalar la culminación de P.E.R.T. (Planned Evaluation and Review Technique), propuesto en el apartado 4 del capítulo II de este informe, para la evaluación del modelo teórico de competencias ordinales que se expone en el capítulo V. Esto significa que se confirman las hipótesis H5 y H6, y se alcanzan con ello los objetivos O5 y O6 además del objetivo complementario C3.

CAPITULO VII CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS FUTURAS

1. Introducción.

En este informe presentamos un trabajo en la línea de investigación Pensamiento Numérico, con la intención de complementar, desde la perspectiva del conocimiento ordinal, y en relación con los procesos de enseñanza aprendizaje de la serie numérica básica, los trabajos ya realizados en el tópico de las relaciones numéricas y secuencias de números naturales.

En este capítulo exponemos los aspectos fundamentales del trabajo, haciendo

referencia a los siguientes puntos:

• Objetivo general, objetivos específicos, hipótesis y metodología, indicando los estudios en los que nos hemos basado para la confirmación de las hipótesis

• Exposición de las conclusiones generales y logros más relevantes

• Perspectivas futuras, indicando vías abiertas para la realización de

investigaciones que aporten nuevos conocimientos a los logros conseguidos.

• Análisis de las consecuencias del trabajo sobre diversos aspectos

relacionados con la enseñanza aprendizaje del número natural en Educación Infantil.

2. Objetivos e hipótesis de la investigación Dentro de la línea de pensamiento numérico, el objetivo más general de esta

investigación es el siguiente (apartado 6, cap. I):

Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras 230

"Analizar la naturaleza y evolución del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica en los escolares de Educación Infantil (3 a 6 años)"

Entendiendo por secuencia numérica lo siguiente:

"La secuencia numérica es una progresión dada por la relación generatriz

de Bolzano, es decir, es una progresión en el sentido de Bertrand Russell"

Y definiendo las relaciones lógicas ordinales como:

"Las relaciones generatrices de las progresiones de Bertrand Russell, la función sucesor de Peano, o la representación ordenatriz de Dedekind".

El objetivo general anterior se concretó en los siguientes objetivos específicos:

O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco

general del número natural O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural

O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la secuencia

numérica en la acción de contar . O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la

secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6 años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.


estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal Objetivos complementarios:

C1. Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación Infantil,

dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo nivel de concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".

C2. Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y contextualizar

investigaciones en Educación Matemática. C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de



Para conseguir estos objetivos se han sometido a prueba las siguientes hipótesis (apartado 7., cap. I):


ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática H2. Existen líneas en Educación Matemática que priman el aspecto ordinal del

número natural frente a su aspecto cardinal. H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de

Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.

H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un


H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones


3. Estudios realizados Para confirmar las hipótesis se han realizado dos tipos de estudios: estudios

teóricos y estudios empíricos cualitativos. Para cada uno de ellos se han utilizado técnicas metodológicas concretas:

o Estudios teóricos: Análisis Didáctico

o Estudios empíricos cualitativos: entrevistas clínicas individuales y

semiestructuradas a niños de 3 a 6 años. Han sido dos estudios empíricos: uno exploratorio, previo a la construcción del

modelo evolutivo definido en el capítulo V, y otro para determinar la validez empírica de dicho modelo.

Las conclusiones del análisis didáctico (cap. III) y del estudio exploratorio (cap.

IV) han justificado la construcción de un modelo teórico de la evolución de las competencias lógicas ordinales en la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, que explica el desarrollo del conocimiento lógico ordinal en términos de competencias prenuméricas y numéricas.


Debemos indicar que junto a los resultados del estudio exploratorio y del análisis didáctico tenemos que añadir los resultados, ya conocidos, sobre la evolución del conocimiento según Piaget, punto de referencia en nuestros planteamientos (apdo 2. cap.II), para explicar y justificar el modelo construido.

Este modelo consta de seis estados evolutivos, que significan un dominio

progresivo de las relaciones lógicas ordinales versus instrumentos secuenciales prenuméricos hasta evolucionar a la secuencia numérica. Así, pasamos desde un estado de etiquetaje en el que sólo se diferencian elementos, hasta el logro de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica que representa el último estado.

Para la validación empírica del modelo se creó una prueba constituida por seis

tareas, cada una de las cuales estaba asociada a un estado del modelo, por tanto, en cada tarea se dan los esquemas lógicos matemáticos implicados en el estado correspondiente (apdo. 4.1 Cap. V).

En el estudio empírico exploratorio, realizado con entrevistas clínicas

individualizadas a niños de 3 a 6 años, se llegó a establecer una escalabilidad entre las categorías de respuestas que implicaban la pertinencia e idoneidad de un modelo de desarrollo de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica. Dicha escalabilidad se da según los parámetros siguientes:

1. Relaciones ordinales previas al conteo 2. Relaciones ordinales en el conteo 3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta

Estos parámetros aparecían en una especie de jerarquización que nos permitió

delimitar estados evolutivos de conocimiento lógico ordinal en situaciones prenuméricas y numéricas (ap. 3, cap. IV)..

El estudio empírico cualitativo (cap. VI) nos ha posibilitado: • Verificar, en una nueva muestra, los resultados del estudio exploratorio • Investigar la evolución de las competencias lógicas ordinales de los niños

de 3 a 6 años en tareas asociadas a estados de conocimiento ordinal • Investigar la distribución de los alumnos del segundo ciclo de Educación

Infantil según los distintos niveles asociados a los estados


4. Resultados y conclusiones de los diferentes estudios

4.1. Conclusiones del análisis didáctico Si reflexionamos sobre la relación existente entre la interpretación y construcción del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos ordinales del número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series1, se llega a la conclusión de que dicho conocimiento no se aplica en el vacío, es decir, subyace a la sucesión de términos numéricos un entramado de relaciones lógicas ordinales que hacen posible la construcción del número natural en su aspecto ordinal. Tal y como se ha puesto de manifiesto en el análisis logicista (apartado 3.2. del cap. III) de la secuencia numérica, a ella, se llega, a través de las relaciones ordinales que se dan en un sistema de progresiones. Por tanto la secuencia numérica, independientemente de la naturaleza de sus términos, posee un soporte conceptual ordinal para su construcción. Tener en cuenta ese soporte conceptual ordinal2 nos lleva a su integración en un sistema conceptual e interpretativo coherente. Dicha coherencia pasa por las concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo que remite inmediatamente a consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y didáctico. Las consideraciones epistemológicas se circunscriben al problema de la naturaleza, origen y el modo de existencia del número natural y de la aritmética elemental, de manera que la construcción de la secuencia numérica va a depender, en este punto, de las conclusiones que se establezcan en torno al problema mencionado. Tal y como se desprende del análisis didáctico, coexisten varios planteamientos epistemológicos sobre el número natural que condicionan el significado de construcción de la secuencia, estos son:

• La postura convencionalista está basada en los aspectos ordinales para la construcción del número natural. El soporte inicial es la acción de contar y la verbalización de la secuencia numérica. Para este enfoque, que parte de la estructura superficial sin considerar la estructura profunda, los numerales y los signos numéricos son convenciones, o normas, que actúan mediante unos criterios.

• La secuencia numérica en el seno de la corriente logicista se desarrolla

dentro del sistema de progresiones que, según Bertand Rusell (1982), coincide con el sistema de Peano y con el de Dedekind. Las relaciones ordinales y el número ordinal bastan para desarrollar la secuencia y el número natural. Existen modelos de construcción de la secuencia numérica que no precisan de la definición previa de los términos numéricos y, por tanto, son independientes del número cardinal.

1 Son las relaciones lógicas-ordinales definidas a partir de las relaciones asimétricas y biunívocas de Bolzano. 2 Bajo la óptica de ese soporte conceptual ordinal hemos analizado la secuencia numérica en otros campos


• Para la epistemología genética el número natural es síntesis de dos estructuras operatorias: clasificación y seriación. Como consecuencia, el número es cardinal y ordinal construyéndose ambos aspectos simultáneamente, es por ello que se da la correlación entre ambas génesis. La estructura operatoria de seriación deriva en la ordinación3 y, entonces, el tratamiento de la secuencia numérica, en este modelo, es el de una serie.

Las diferentes posiciones epistemológicas ante el número natural condicionan la

transmisión escolar de la aritmética, pero en todos los casos la secuencia numérica es importante para su aprendizaje. Nos encontramos con prioridades opuestas como:

• Prioridad del número ordinal. Atendiendo a la Fenomenología de

Freudenthal, el número para contar es el pilar sobre el cual se sustenta toda la Matemática y también su Didáctica, siendo el número para cardinar matemática y didácticamente insuficiente.

• Prioridad del número cardinal. Se intenta una construcción lógica de la

aritmética a partir de nociones previas a la de número como es la noción de conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad. Dienes es defensor de este modelo.

En cuanto a las consideraciones psicológicas, en el estudio del desarrollo del

número en el niño han aparecido dos grandes líneas de investigación, que se han proyectado igualmente en los trabajos sobre enseñanza y aprendizaje de éste concepto: por una parte el modelo lógico piagetiano y, por otra, el modelo de integración de habilidades seguido ampliamente en nuestros días (véase, por ejemplo, Kints 1988, Schaeffer y otros, 1974; Unglaub, 1997.)

Desde una perspectiva del desarrollo del conocimiento (que está en relación con los planteamientos de la epistemología genética), hemos de basarnos en la psicología evolutiva de Piaget. En este modelo la evolución del desarrollo infantil suele ser más exigente, preocupándose menos de la precocidad de sus adquisiciones que de la madurez cognitiva de las mismas. En cambio, el enfoque de procesamiento de la información favorece más bien la detección de la precocidad y la cuantificación de lo adquirido. Tanto la correspondencia uno a uno como la secuencia ordenada de numerales son componentes propias de los modelos procesuales del conteo (Gelman y Gallistel, 1978) presentándose en los dos principios: de correspondencia uno a uno y de orden estable. Uno de los rasgos definitorios del principio de correspondencia uno a uno es que todos los elementos gozan de igual status (i.e. no tienen propiedades, o las pierden, que permitan a un elemento constituirse en distinto o diferenciable de los demás cuando va a ser etiquetado), mientras que en el principio de orden estable los elementos se caracterizan por las relaciones de orden que mantienen con los inmediatamente anteriores y posteriores, que los hacen únicos e irrepetibles (Gelman y Gallistel 1978, Fuson et al. 1982, Baroody 1986, Fuson 1988).

3 Terminología usada por Piaget para referirse al aspecto ordinal.


Esta interpretación de los principios está estrechamente relaciona con la concepción del número según Piaget (identificando, el principio de correspondencia uno a uno con la inclusión jerárquica y el del orden estable con la seriación). Piaget concibe el número como resultado de la síntesis de la clasificación y la seriación, ya que cada número es un todo formado por elementos, que son al mismo tiempo equivalente (clasificación), y distintos, por lo que están también seriados u ordenados (véase, para más detalles: Piaget y Szeminska 1941, Flavell 1982, Kamii 1982, Fuson 1988). En consecuencia, la adquisición del número estará estrechamente ligada con la inclusión y la seriación, tal como afirman Piaget y Szeminska (1941):

"La clase, la relación asimétrica y el número son tres manifestaciones complementarias de la misma construcción operatoria aplicada sea a las equivalencias, sea a las diferencias, sea a las equivalencias y diferencias reunidas" (p. 235).

Aunque se dan las relaciones anteriormente indicadas entre los modelos procesuales y la teoria lógica de Piaget, debemos hacer hincapié en que ambos marcos teóricos no son paralelamente comparables. El primero permite la creación de un modelo de conteo mientras que el segundo hace referencia a la construcción conceptual y operatoria del número en el niño. En el primero se parte del conteo, como una concepción primaria en el desarrollo del número (teniendo en cuenta que esta habilidad suele aparecer tempranamente en el desarrollo infantil), a partir del cual se llega a la comprensión de su significado en cuanto operador cuantificador y la generalización de su uso a diferentes tareas o contextos (Klahr y Wallace 1976, Saxe 1977, Sophian 1987); es decir, esta referencia teórica desembocaría en la construcción de modelos de desarrollo del número partiendo de la acción de contar y usando el propio conteo como un "operador cuantificador" (Klahr y Wallace 1976), mientras que el segundo marco teórico considerado rechaza las posturas de conteo. Piaget y Szeminska (1941) restan todo interés al conteo memorístico del niño preescolar porque el concepto de número piagetiano es abstracto, surgido del funcionamiento de la abstracción reflexionante, y muy distinto, por tanto, del concepto práctico o empírico que suele adquirirse precozmente, gracias a al abstracción simple. En consecuencia, el conteo conceptual u operatorio sería una habilidad que el niño alcanzaría sólo después de haber consolidado lógicamente la correspondencia biunívoca, la conservación y el número. Esta postura es contraria a la de muchos autores quienes afirman que el conteo, la cardinalidad y otras habilidades numéricas inciden en la conservación y otras estructuras operatorias (Acredolo 1982, Fuson 1988, Gelman 1982, Saxe 1979, Siegler 1981, Souviney, 1980, etc.), y todo ello debido a diferencias en la concepción misma del conteo con referencia a la postura piagetiana.

Por tanto, si tomamos como marco referencial la teoria de procesamiento de la información, el análisis de la secuencia numérica pasa por ser considerada como una componente del conteo; mientras que si tomamos como referencia las teorías lógicas, pasaremos a estudiar la secuencia numérica como una serie bajo la estructura de seriación, sería aplicar el estructuralismo de Piaget a la secuencia numérica como serie.


Las principales conclusiones del estudio se pueden resumir en los siguientes apartados y puntos concretos: 1. Secuencia numérica y relaciones lógicas ordinales en el origen del número natural.

Que los números naturales están dados en secuencia es el único punto incuestionable en todas las teorías explicativas del origen del número. La interpretación de su papel elaborador depende de la concepción epistemológica del número natural.

Para el convencionalismo, el principio del número radica en la secuencia

numérica y en la acción de contar, la serie ordinal es suficiente para construir el número.

Para los logicistas existen conceptos primarios que determinan la secuencia

numérica y por tanto el número. Estos tienen como referencia relaciones seriales4 como son las asimétrica-biunívocas de Bolzano o las asimétricas-transitivas de Vivanti-Gilman.

Desde la epistemología genética, el problema de construcción de la

secuencia numérica sólo puede ser resuelto en función de su desarrollo. 2. Secuencia numérica y enseñanza del número en la escuela.

Las distintas interpretaciones epistemológicas sobre la secuencia numérica se han reflejado en la enseñanza del número en la escuela, así, los planteamientos conjuntistas introducen los conceptos de cardinal y de correspondencia, produciéndose intentos de reducir la aritmética a la lógica y el número natural a las clases; mientras que los planteamientos aritmetistas abogan por el número ordinal.

En cuanto al número cardinal, se intenta una construcción lógica de la

aritmética a partir de la noción de conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad.

En cuanto al número ordinal, se intenta que la secuencia numérica5 sea

matemática y didácticamente suficiente. 3. Secuencia numérica y desarrollo del número en el niño en los modelos: piagetiano, y procesamiento de la información.

Desde el modelo piagetiano se puede analizar la estructura lógica de

seriación subyacente a la secuencia numérica.

Desde el procesamiento de la información, la secuencia numérica se analiza como componente del conteo pero sin tener en cuenta las relaciones lógicas

4 Relaciones que generan series o progresiones. 5 Se identifica, según la Fenomenología de Freudenthal, con el número para contar.


ordinales que existen entre sus términos. En este modelo, las investigaciones sobre la funcionalidad del conteo apuntan hacia el “operador cuantificador”, comparando los números cardinales para posteriormente localizarlos en la secuencia.

Las relaciones lógicas ordinales no han sido objeto específico de estudio ni

en el modelo piagetiano, ni en el modelo de integración de habilidades (procesamiento de la información).

• Es posible determinar tareas específicas del número ordinal que reflejen las

relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica sin tener que tratar estos términos como magnitudes.

4.2.- Conclusiones del estudio empírico exploratorio. Del análisis de las respuestas dadas por los niños de la muestra a la entrevista del estudio exploratorio, se evidencia una evolución marcada por la permanencia de algunas características del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica y, al mismo tiempo, por la aparición de otras nuevas al pasar de una fase de una tarea dada (alternancia, contar, secuencia numérica/alternancia) a otra y de unas edades a las siguientes. En este sentido, tenemos las siguientes conclusiones del estudio exploratorio desde la óptica de las competencias lógicas-ordinales involucrando su evolución:

a) La realización correcta de la acción de contar no garantiza que se use como estrategia para resolver problemas ordinales.

b) Los niños mayores (5 años) usan preferentemente estrategias de siguiente

inmediato teniendo en cuenta una posición dada como dato para obtener otra; mientras que niños más pequeños (4 años) usan preferentemente el conteo como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal6.

c) Los niños más pequeños (3 años) resuelven mejor las cuestiones de

“siguiente inmediato” relativos a la alternancia que las relativas al conteo. A los 4 años les ocurre lo contrario. Los de 5 llegan a trasladar mentalmente las relaciones lógicas ordinales presentes entre los términos de la secuencia numérica a otro tipo de secuencia, como la alternancia, para la resolución de problemas ordinales usando como herramienta dicha secuencia.

d) La comparación de términos numérico mediante la alternancia denota la

capacidad de establecer las relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica. Los niños que establecen dichas relaciones son los que describen una posición lógica-ordinal mediante la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia.

e) El éxito en la construcción de la correspondencia serial secuencia

numérica/alternancia no garantiza su uso como herramienta para la

6 Llamamos “posición lógica-ordinal” a la comparación de una posición ordinal con otra dada como dato.


determinación de una posición lógica-ordinal, y por tanto no se garantiza el éxito en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

f) Las respuestas que manifiestan relaciones lógicas ordinales entre los

términos de la secuencia numérica están presentes en los tres cursos que intervienen en el estudio, con un aumento considerable al pasar de 4 a 5 años. Estos niños son capaces de usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la secuencia numérica.

En general tenemos que:

“A partir de los cuatro años y medio los niños tienen un dominio del conteo que les permite determinar posiciones ordinales y lógicas-ordinales” El conteo es determinante en la homogeneización de los otros bloques de

actividades, ello quiere decir que cuando se da el dominio del conteo empieza la homogeneización en el resto de tareas y con ello se llega al dominio de alternancia y al de Secuencia Numérica/Alternancia, entendiendo esto como la generalización del dominio del conteo, sólo que en cada caso se coge como instrumento secuencial (ó sucesión de siguientes) la alternancia, secuencia numérica, ó correspondencia serial entre ambas.

La dispersión de respuestas presente antes de los cuatro años y medio, manifiesta

que los niños están construyendo esquemas mentales secuenciales (relaciones lógicas ordinales) que se manifiestan más claramente en series no numéricas como la alternancia antes que en la propia secuencia numérica, y es que no han alcanzado, aún, el dominio del conteo que es el determinante de las dos clases de niños. Ello justifica el que los niños de tres años respondan mejor a las cuestiones sobre siguiente ó siguiente inmediato usando la alternancia como instrumento secuencial que a las mismas cuestiones pero con el conteo como instrumento.

4.3.- Modelo evolutivo de competencias lógicas ordinales

En el capítulo V se justifica un modelo teórico de competencias cognitivas de carácter evolutivo sobre el conocimiento lógico ordinal que, explica la progresión en el descubrimiento de relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.

En resumen, el modelo consta de seis estados de dominio progresivo de las

relaciones lógicas ordinales, cada uno de ellos tiene unas características lógico matemáticas propias.

Los estados y sus características lógicas matemáticas son:

Estado I. Etiquetaje. Diferenciar los elementos.


Estado II. Relaciones lógicas-ordinales entre los términos de una serie cualquiera usando esquemas infralógicos

Linealidad y orden topológico Orden temporal

Estado III. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera

usando la alternancia como instrumento secuencial. Posiciones lógicas ordinales con la alternancia

Estado IV. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera

usando el conteo como instrumento de comparación. Posiciones lógicas ordinales con el conteo

Estado V Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica

usando la alternancia como instrumento de comparación. Posiciones lógicas ordinales de la secuencia numérica con la alternancia.

Estado VI Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia

numérica. Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de

seriación Dominio ordinal de la secuencia numérica: Contar de n en n, recuento progresivo, recuento regresivo, cálculo mental.

4.4.- Conclusiones del estudio empírico cualitativo Hemos desarrollado un estudio empírico cualitativo que ha permitido obtener y

valorar la información sobre la evolución del conocimiento lógico ordinal en la secuencia numérica en escolares de segundo ciclo de Educación Infantil, en concreto en los escolares que han formado nuestra muestra.

Hemos tomado las pautas de las tres tareas del estudio empírico exploratorio (cap.

IV) para establecer algunos estados del modelo teórico, concretamente los estados III, IV y V. Por otra parte, el estudio empírico cualitativo, desarrollado en el capítulo VI, está basado en una prueba que consta, a su vez, de seis tareas cada una de las cuales está asociada a un estado del modelo, en el sentido que cada tarea comporta las características lógicas matemáticas propias del estado correspondiente; y en este estudio hemos probado que las tareas se realizan con éxito de una manera acumulativa, es decir, que si un niño hace la tarea K entonces ha realizado todas las tareas asociadas a los estados anteriores a K7. En este sentido son compatibles los resultados del estudio exploratorio con estos nuevos, en cuanto que estos no difieren en las respuestas verbales de tareas homólogas en ambos estudios. El que se hayan realizado los dos estudios con muestras distintas de niños y colegios, corrobora la consistencia interna del método seguido. Con el estudio empírico cualitativo hemos logrado una categorización de niños por niveles evolutivos según sus competencias lógicas ordinales. Estos niveles son:

7 K toma valores entre I y VI


Nivel I.

Se caracterizan porque son capaces de etiquetar los elementos de una serie diferenciándolos unos de otros, pero sin establecer comparaciones entre ellos

Nivel II.

Los niños de este nivel se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie, son capaces de compararlos mediante el orden temporal o topológico pero no con otro instrumento secuencial sencillo como la alternancia.

Nivel III.

Un niño está en este nivel si es capaz de: diferenciar los elementos de una serie, comparar dichos elementos mediante el orden temporal o topológico y además establecer relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento secuencial, pero no logran hacer esas comparaciones con la secuencia numérica como instrumento.

Nivel IV.

Sus características son: diferencian los elementos de una serie, comparan dichos elementos mediante el orden temporal o topológico, establecen relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento secuencial y, además, aplican relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie usando el conteo como instrumento comparativo, sin llegar a comparar los elementos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento comparativo.

Nivel V.

Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie, compararlos mediante el orden temporal ó topológico, también con la alternancia y el conteo como instrumentos secuenciales; son capaces de diferenciar, y con ello, establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento comparativo, todo ello en el tramo 1-10, pero no son capaces de extrapolar estas capacidades a otros tramos de la secuencia con extremos inferiores mayores que 10.

Nivel VI.

Un niño que se encuentre en este nivel tiene todas las características del nivel anterior y además es capaz de aplicar esquemas lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10 a otros tramos de la secuencia.

Otras conclusiones del estudio empírico cualitativo son:


• Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.

• Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar

esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica

• No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar

posiciones ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones lógicas ordinales en cualquier tramo de la secuencia.

• El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 de la

secuencia numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese instrumento en ese tramo, no es condición suficiente para: Determinar posiciones lógicas ordinales8 en el tramo 1-10 versus alternancia como instrumento comparativo, y extender el instrumento secuencial a tramos cuyos extremos inferiores sean mayores que 10

• El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia

numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia como instrumento de comparación. Ni siquiera, tampoco lo es, el que el niño establezca el instrumento secuencial para manifestar relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus alternancia como instrumento de comparación.

5. Logros y hallazgos.

Esta investigación aporta datos concretos que avalan la bondad de las hipótesis y por tanto el logro de nuestros objetivos:

Con respecto de las hipótesis:



Los resultados y conclusiones del análisis didáctico (cap. III) basados en el análisis epistemológico de la secuencia numérica aportan evidencian la veracidad de la hipótesis H1.

H2. Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto

ordinal del número natural frente a su aspecto cardinal.

8 Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.


La bondad de esta hipótesis queda de manifiesto cuando se

analiza la Fenomenología de Freudenthal (cap. III) y se aboga por el número para contar.

H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación

de Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.

La veracidad de esta hipótesis se demuestra gracias a los

resultados y conclusiones del análisis didáctico (cap. III) en cuanto a los análisis: epistemología genética y la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica. Y se reafirma con las conclusiones generales del estudio empírico cualitativo del capítulo VI.

H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones

lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Se verifica la hipótesis gracias al análisis didáctico (cap. III) basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia numérica.

H5 Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte

de un diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.

Se verifica con la construcción de la prueba del capítulo V, ya

que, dicha prueba, reúne las condiciones que la hipótesis indica.

H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.

El estudio empírico cualitativo expuesto en el capítulo VI, confirma

la adecuación de la prueba definida en el capítulo V para validar empíricamente el modelo evolutivo de competencias ordinales, y consecuentemente, queda validado con niños del segundo ciclo de Educación infantil; por tanto, se confirma la hipótesis.

Con respecto a los objetivos:

Las pruebas presentadas para confirmar las diferentes hipótesis son garantía del logro de los distintos objetivos:

O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco general del número natural


Para el logro de este objetivo realizamos una revisión epistemológica del

número natural atendiendo a varias corrientes importantes: convencionalismo, logicismo y epistemología genética. Se consigue por la confirmación de la hipótesis H1.

O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural

Al realizar una revisión de la secuencia numérica en el campo de la

Didáctica del Número Natural, incidiendo en la visión ordinal de “número para contar” de Freudenthal (1983) frente al “número para cardinar”, estamos validando H2 y con ello conseguimos el objetivo.

O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la

secuencia numérica en la acción de contar

Se consigue con el análisis de la secuencia numérica como una componente del conteo que se realiza en el marco psicológico general: procesamiento de la información.

O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia

numérica

Se consigue cuando realizamos una revisión de la secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano dentro del marco de la estructura operatoria de seriación y validamos la hipótesis H3

O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6 años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.

Queda confirmado con la Hipótesis H6 y H5


estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal

También queda confirmado con la hipótesis H6 y con las conclusiones del capítulo VI.

Objetivos complementarios.

C1. Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación Infantil, dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo nivel de concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".


Siguiendo la línea investigación de Ortiz (1997) en su aspecto metodológico y de forma, hemos conseguido realizar este trabajo, por ello se consigue el objetivo.

C2. Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y

contextualizar investigaciones en Educación Matemática.

Ha quedado claro la importancia en nuestro tema del análisis didáctico ya que ha posibilitado dar significado a nuestra investigación y determinar los elementos básicos de un modelo evolutivo de conocimiento lógico ordinal que se ha podido contrastar de modo empírico.

C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de


Consideramos que este trabajo es un ejemplo de investigaciones

cualitativas en Educación infantil sobre conceptos lógicos matemático

6. Perspectivas futuras

A continuación comentamos vías por las que encaminar los esfuerzos en futuras investigaciones.

1) Con el estudio empírico cualitativo, hemos demostrado a través de los alumnos investigados, que los niños del nivel VI son capaces de aplicar esquemas lógicos de seriación cíclica, usando como ciclo el tramo 1-10, para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica según las tareas asociadas al modelo evolutivo.

De acuerdo con los resultados expuestos anteriormente se nos plantea algunos

interrogantes a constatar empíricamente como son: “Estudiar el alcance, real, aritmético de los niños del nivel VI”, ó también “Analizar el alcance en razonamiento inductivo numérico de este nivel”. Al mismo tiempo se podría realizar la comparación de esto con los niños del nivel 5, que son capaces de establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica pero únicamente en el tramo 1-10, sin llegar a extrapolar esos resultados a otros tramos. En este sentido, se podrían dar respuestas a las preguntas: ¿Por qué un niño si conoce el resultado de a+b, con a y b menores que 10, no conoce el resultado de 2a+b, ó 3a+b, 4a+b, etc.?9, ó ¿Por qué si se conoce el siguiente de un número en el tramo 1-10, no siempre sabe cuál es el siguiente de un número cualquiera en otro tramo distinto al señalado?, etc. Estas y otras cuestiones se pueden considerar en investigaciones futuras que traten de determinar el verdadero alcance de los niños de un determinado nivel, de competencias lógicas ordinales, en la aritmética.

2) En otro orden de cosas podemos considerar que: Hemos obtenido unos 9 2a, 3a, 4a, etc. representan respectivamente un número entre 20 y 29, 30 y 39, 40 y 49, etc.


resultados a partir de una muestra intencional de alumnos de Educación Infantil, que confirman los ya obtenidos en una muestra anterior. Estos resultados tienen un significado debido a un análisis didáctico que nos ha permitido construir un modelo evolutivo en competencias lógicas ordinales. Pensamos que con un diseño estadístico adecuado a los fines pretendidos, los resultados cualitativos obtenidos en las muestras analizadas son generalizables a todos los niños del segundo ciclo de Educación Infantil y todo ello podría configurar una nueva investigación.

3) Otra perspectiva sería la de ampliar el estudio a toda la Educación infantil: ¿Qué hay, en cuanto a las relaciones lógicas ordinales, antes del estado de etiquetaje? ¿Se pueden disponer en estados evolutivos?, ¿Cuáles serían esos estados?, etc. Estos serían los planteamientos generales para poder determinar estados evolutivos de 0 a 3 años de competencias lógicas ordinales prenuméricas.

4) No nos podemos olvidar del aspecto cardinal, y con ello preguntarnos

¿qué ocurre con el número cardinal en niños de 3 a 6 años?, ¿Se puede organizar el conocimiento cardinal en un modelo evolutivo?, ¿Ese modelo evolutivo sería comparable con el nuestro?.

Teniendo en cuenta el cuadro 1 que figura en el apartado 2 del capítulo I, que

contextualiza la secuencia numérica en el marco del número natural y de las relaciones ordinales, y sobre el que hemos partido para realizar toda nuestra investigación, nos podríamos preguntar qué ocurre con el aspecto cardinal si lo enmarcamos dentro del número natural y de las relaciones de equivalencia (todo ello con niños de 3 a 6 años), sería seguir el camino de la flecha de la figura 1 siguiente:

Figura 1. Contextualizar posibles investigaciones del número cardinal en el marco de las relaciones de

equivalencia.

7. Aplicabilidad de los resultados

Teniendo en cuenta la gran importancia que tiene la secuencia numérica en el currículum de Educación Infantil, consideramos que los resultados obtenidos, y los que se puedan obtener en un futuro, son de gran valor ya que posibilitan una adaptación curricular a las posibilidades reales de los niños de Educación Infantil, con unos currículums que se adapten a los niveles adecuados del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica

Número natural

Relaciones

Relaciones de orden

Progresiones Número ordinal

Relaciones de equivalencia

Equipotencia de conjuntos: Número cardinal


La investigación plantea un reto a los maestros de Educación Infantil: conseguir

en sus alumnos la integración de las habilidades y rutinas presentes en la acción de contar en estrategias que manifiesten algún tipo de relación lógica ordinal entre los términos numéricos.

Un hecho a tener en cuenta es que no todos los alumnos de un curso están en el

mismo nivel de conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica lo que justifica, en parte, la diferencia de rendimientos entre los alumnos en cuanto a la asimilación de los conocimientos que se les pretenden enseñar. Por otra parte, por el hecho de que un niño sepa contar no está garantizado que se encuentre en el nivel IV ó más, ello significa que debemos ser cautos a la hora de presentar conocimientos numéricos a los niños para su aprendizaje.

Consideramos que los profesores pueden utilizar los niveles del conocimiento

lógico ordinal para obtener una información del estado en competencias ordinales de sus alumnos como indicador de sus potencialidades en actividades numéricas.

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ANEXOS

ANEXOS I. El Problema de Investigación

Anexo 1.1. Relaciones asimétricas biunívocas de Bolzano Sea R una relación entre los términos de una colección conexa, tal que todo elemento (con la posible excepción de uno sólo) guarde respecto a uno y sólo uno de la colección una cierta relación asimétrica (que debe ser intransitiva), y que todo término (nuevamente con una posible excepción) guarde respecto a uno y sólo uno de la colección la relación que es recíproca de la primera, la cual notaremos por Ř. Entonces si e es cualquier término de nuestra colección, existen dos, d f, tales que:

dRe y eRf

como cada término sólo tiene la relación R con otro, no podemos tener dRf ( pues ya se tiene dRe), tampoco se puede tener fRd (pues eRf si y sólo si fŘe y por tanto la relación recíproca de f está con e y ésta debe ser única. Por lo tanto e se halla entre1 d y f). Entonces todo término de la relación menos los dos peculiares (que serán los extremos), guardan una relación con un segundo término, y la recíproca con un tercero, mientras que los mismos no tienen con ningún otro alguna de las relaciones en cuestión2. En consecuencia, por la definición de entre, nuestro término e se halla entre d y f. El término con el cual el dado tiene una de las relaciones consideras se llama inmediato posterior al lado; y aquél con el que tiene la relación recíproca recibe el nombre de inmediato anterior al lado. Dos términos entre los que existen las relaciones en cuestión se llaman consecutivos. 1 Se define entre como sigue: “b está entre a y c si y sólo si existe una relación de a a b y de b a c y no sea relación de b a a, de c a b ó de c a a. 2 Cada par de términos tiene una relación única que no se tiene para otro par, es para definir de manera única el inmediato posterior y el inmediato anterior.

Anexos I. El problema de investigación 264

Cada lugar en la serie está determinado de manera única, esto se pone de manifiesto en la definición cuando se dice que cada término guarde respecto a uno y sólo uno de la colección una cierta relación.

Anexo 1.2. Relaciones asimétricas transitivas de Vivanti Otro tipo de relaciones ordinales generadoras de series son las asimétricas transitivas (Vivanti, 1985)

Sea R una relación transitiva y asimétrica entre los términos de una colección, mediante la cual dos elementos cualesquiera son

xRy ó yRx

Por cumplirse estas condiciones se tiene que la colección inicial forma necesariamente una serie singular3 Como la relación es asimétrica podemos distinguir

xRy de yRx

y ambas no pueden subsistir simultáneamente4. Como R es transitiva, xRy e yRz involucran xRz. Se deduce que Ř es también asimétrica y transitiva. De modo que respecto a cualquier término x de nuestra colección todos los demás inciden en dos clases:

{y/ xRy} {z/ zRx}

Llamando respectivamente a estas dos clases:

Ãx→ Clase de los siguientes Ax→ Clase de los anteriores

tenemos que:

a) xRy⇒ Ãy⊂Ãx

En efecto, sea a∈Ãy ⇒ yRa

3 Es decir, todos los términos están relacionados. 4 En vez de admitir que R sea asimétrica podemos formular una hipótesis equivalente, es lo que Pierce llama un aliorrelativo, es decir, una relación que no tiene ningún término con sí mismo; esta hipótesis no es equivalente a la asimétrica en general, sino sólo cuando se combina con la transitividad.


como xRy y R es transitiva, se deduce que xRa ⇒ a∈Ãx

b) zRx⇒ Az⊂Ax

La demostración de esta proposición es análoga a la anterior.

Tomando, ahora, dos términos x,y para los que xRy, todos los demás inciden en tres clases:

1. Los que pertenecen a Ax y por tanto a Ay 2. Los que pertenecen a Ãy y por tanto a Ãx 3. Los que pertenecen a Ãx pero no pertenecen a Ãy

Si z es de la primera clase tenemos que

zRx, zRy si v es de la segunda clase tenemos que

xRv, yRv y si w es de la tercera se tiene que

xRw, wRy

Se excluye el caso yRu y uRx, pues si xRy, yRu implica xRu, que es inconsistente con uRx. De modo que tenemos en los tres casos:

1. x está entre z e y 2. y está entre x y v 3. w está entre x e y.

En consecuencia, tres términos cualesquiera de nuestra colección son tales que uno está entre otros dos, y toda la colección forma una serie singular. Si la clase tres no contuviera ningún término entonces se dice que x e y son términos consecutivos, y en consecuencia "y es siguiente inmediato de x". Con esta construcción el siguiente inmediato se define como consecuencia de las clases de los siguientes y la de los anteriores de este modo: Diremos que y es siguiente inmediato de x si y sólo si se cumple lo siguiente:

xRy ∧(Ãx ∩ Ay=ø)

Anexo 1.3. Las relaciones asimétricas biunívocas y las asimétricas transitivas son equivalentes Como con cualquiera de las dos relaciones queda generada la serie, la cuestión que se plantea es cómo pasar de una relación asimétrica biunívoca a una asimétrica transitiva. El paso de la transitiva a la biunívoca ya se ha expuesto en el apartado anterior cuando se definía el "siguiente inmediato" bajo la condición de que una cierta clase fuese vacía.


El problema planteado se resuelve a través de las sucesivas potencias de la relación R, la que se supone que es asimétrica-biunívoca y sin perder de vista que la colección sobre la cuál actúa la relación es una serie finita y abierta (en oposición a las series cerradas, que entonces la generación de relaciones a partir de otra tendría otras consecuencias). Dada una relación R asimétrica y biunívoca sobre una serie abierta y finita, la relación asimétrica y transitiva obtenida a partir de ella, R’, se define como sigue:

xR’y⇔∃nxy, xRny

es decir, xR’y, si y sólo si existe una potencia de R, que estará en función de los términos x e y, tal que xRny. Es fácil comprobar que esta relación es asimétrica y transitiva. En efecto, es asimétrica porque R lo es y por tanto sus sucesivas potencias. Veamos que es transitiva: sea xR’y, yR’z, entonces existen dos números, n y m, tales que xRny , yRmz, entonces xRn+mz, y por lo tanto xR’z. Es obvio, que al considerar las sucesivas potencias, está considerando a los números, si se quiere, como términos de la secuencia numérica; que, por otra parte, es lo que queremos construir. Para evitar este circulo vicioso, podemos optar por otras vías de construcción. Es uno de los triunfos de la matemática moderna haber adaptado un antiguo principio a las necesidades de este caso, nos estamos refiriendo al principio de inducción matemática, que por otra parte, y según Bertrand Russell (1903), de él depende todo lo que respecta a los ordinales. Este principio es la señal inequívoca de las progresiones, y en este sentido puede formularse de la siguiente forma:

Sea ϕ(x) una función proposicional que es una proposición determinada en cuanto se da x. Entonces ϕ(x) es una función de x, y será en general verdadera o falsa de acuerdo con el valor de x. Si x es miembro de una progresión, indiquemos sig(x) por el término inmediato posterior al lado de x. Sea ϕ(x) verdadera cuando x es cualquier término de una cierta progresión, y sea ϕ(sig(x)) verdadera siempre que ϕ(x) lo sea, donde x es cualquier término de la progresión. Se deduce entonces, por el principio de inducción matemática, que ϕ(x) es siempre verdadera si x es cualquier término de la progresión en cuestión".(Russell, 1903, § 229)

Nos volvemos a centrar en la pregunta clave de este punto: ¿cómo evitar las sucesivas potencias y por tanto el número?. Se trataría del paso del "siguiente inmediato" a "todos los siguientes" a través de la inducción matemática.


Sea R una relación asimétrica y biunívoca definida en una serie abierta, finita y conexa. Sea x un término cualquiera de esa progresión, y sea y el único término que guarda la relación R con x, entonces5

xRy⇔y=si(x)

Sea R’ una relación definida a través de la inducción matemática del siguiente

modo:

aR’x, para todo x siendo a el primer elemento (tiene sentido considerar el primer elemento pues estamos hablando de progresiones), y si xR’y, entonces x R’(si(y))

La relación R’ dada por el principio de inducción matemática a partir de

la relación asimétrica y biunívoca R, es asimétrica y transitiva (Russell, 1903); y de esta forma hemos conseguido lo que pretendíamos, es decir pasar del "siguiente inmediato" a "todos los siguientes" sin usar el número.

5 Por si(x) denotamos “el posterior inmediato al lado de x”.

ANEXOS I I. Marco Metodológico

Anexo 2.1. Palabras claves y número de registros encontrados en la base de dato ERIC. No. Records Request 1 642 "NUMBER-CONCEPTS" IN DEM,DER 2 6794 "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" IN DEM,DER 3 4805 "MATHEMATICS-EDUCATION" IN DEM,DER 4 28 "SERIAL-ORDERING" IN DEM,DER 5 88 "MATHEMATICAL-LOGIC" IN DEM,DER 6 112 "INDUCTION-" IN DEM,DER 7 90 "NUMBERS-" IN DEM,DER 8 15 #1 and #2 9 324 #1 and #3 10 5896 PY = "2000" 11 3 #9 and (PY = "2000") 12 7 #1 and #5 13 0 #4 and #5 14 0 #5 and #6 15 9 #7 and #2 Searches and records above from: The ERIC Database (92 - Dec/0) 16 36 #1 and #2 17 795 #1 and #3 18 4784 "PRESCHOOL-CHILDREN" IN DE 19 5 #18 and #17 20 5994 "CHILDREN-" IN DE 21 0 #20 and #17 22 19 #1 and #5 23 0 #4 and #5 24 5 #5 and #6 * 25 4 #7 and #2 Searches and records above from: ERIC (1966 - 1981) 26 26 #1 and #2 27 225 #1 and #3 28 2625 "INFANTS-" IN DE 29 0 #28 and #27 30 5514 "CHILDREN-" IN DE 31 40 330 32 0 #27 and 330 33 2825 "PRESCHOOL-CHILDREN" IN DE 34 1 #27 and #33

Anexos II. Marco Metodológico 270

35 13 #1 and #5 36 0 #4 and #5 37 1 #5 and #6 38 1 #5 and #6 * 39 12 #7 and #2 Searches and records above from: ERIC 1982-1991 Búsqueda realizada el 15 de Marzo de 1998 que recoge el período 1992/1997. No. Registros Solicitud 1 319 explode "NUMBER-CONCEPTS" 2 291 "NUMBER-CONCEPTS" IN DE 3 11792 explode "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" 4 68 #2 and #3 5 3337 "MATHEMATICS-EDUCATION" IN DE 6 201 #3 and #5 7 31 #4 and #5 8 23 "SERIAL-ORDERING" IN DE 9 817 explode "MATHEMATICAL-LOGIC" 10 0 #8 and #9 11 15 #2 and #9 12 81 "INDUCTION-" IN DE 13 3 #9 and #12 14 0 #2 and #12 15 65 "NUMBERS-" IN DE * 16 14 #3 and #15 Actualización de la búsqueda anterior para los años 1998-1999. No. Registros Solicitud 1 474 "NUMBER-CONCEPTS" IN DEM,DER 2 18738 PY>=1998 3 5713 "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" IN DEM,DER 4 1 #1 and #2 and #3 5 4102 "MATHEMATICS-EDUCATION" IN DEM,DER 6 5 #2 and #3 and #5 7 26 "SERIAL-ORDERING" IN DEM,DER 8 82 "MATHEMATICAL-LOGIC" IN DEM,DER 9 0 #7 and #8 10 0 #1 and #2 and #8 11 104 "INDUCTION-" IN DEM,DER 12 0 #2 and #8 and #11 13 0 #2 and #1 and #11 14 74 "NUMBERS-" IN DEM,DER 15 0 #2 and #3 and #14 16 308 "NUMERACY-" IN DEM,DER * 17 3 #2 and #3 and #16

Anexo 2.2. Búsqueda en la base de dato CSIC, en Junio de 2001. Realizada la búsqueda entre los artículos de revistas españolas en primer lugar dentro del área de Ciencias Sociales y Humanidades (ISOC), y posteriormente en las especializadas en Ciencia y Tecnología (ICYT), hemos obtenido lo siguiente: 1. ISOC Palabras claves en descriptores


No. Archivos Solicitud 1 21 "concepto de número" 2 236 "educación infantil" 3 0 "Educación matemática" 4 4 "ordinal" 5 51 "Lógica matemática" 6 97 "INDUCcION-" 7 63 "número-" 8 3034 "niños-" 9 1 #1 y #2 10 0 #1 y #8 11 2 #1 y #5 12 0 #4 y #5 13 1 #5 y #6 14 0 #5, #6 y #2 15 0 "conteo" 16 0 #1 y #4 17 0 #7 y #2 18 9 #7 y #8 19 2 #7 y #4 Palabras claves en texto libre

No. Archivos Solicitud 1 10 "conteo" 2 299 "contar" 3 27 "concepto de número" 4 212 "educación infantil" 5 77 "Educación matemática 6 19 "ordinales-" 7 59 "Lógica matemática-" 8 177 "Inducción-" 9 382 "número" 10 4675 "niños" 11 2 #3 y #4 12 1 #3 y #10 13 1 #3 y #5 14 2 #3 y #7 15 0 #6 y #7 16 2 #7 y #8 17 0 #4, #7 y #8 18 1 #2 y #4 19 1 #2 y #3 20 0 #2 y #5 21 0 #2 y #6 22 1 #2 y #7 23 0 #2 y #8 24 3 #2 y #9 25 1 #2 y #10 2. ICYT Palabras claves en descriptores

No. Archivos Solicitud 1 No entra "concepto de número" 2 No entra "número natural"


3 9 "número entero" 4 2 "ordinal" 5 0 "Educación Matemática" 6 51 "Lógica matemática" 7 146 "INDUCcION-" 8 63 "Aritmética" 9 0 #4 y #6 10 0 #3 y #6 11 0 #7 y #6

ANEXOS III. Análisis Didáctico

Anexo 3.1. Definición de Dedekind de sistema singularmente infinito La definición de Dedekind de sistema singularmente infinito, que se halla

contenida en Was sind und was sollen die Zahlen? (2ª edición, 1893, § 71), es la siguiente:

"Es una clase que puede representarse en sí misma por medio de una relación biunívoca, y que además es tal que llega a ser la cadena, respecto a esa relación biunívoca, de un término singular de la clase no contenido en la imagen de la misma. Llamando R a la relación biunívoca y N a la clase, existen cuatro puntos en esta definición:

1) La imagen de N está contenida en N; es decir, todo término con el que N guarde relación R está en N.

2) N es la cadena de uno de sus términos. 3) Este término es tal que ningún N tiene la relación R con él. 4) La relación R es biunívoca. El sistema abstracto definido

simplemente por la posesión de esas propiedades son los números ordinales."

Anexo 3.2. Diferencia entre procedimiento de conteo y emisión de numerales.

Quisiéramos dejar constancia de un fenómeno muy frecuente aunque no por ello correcto; se trata de la confusión entre el procedimiento de conteo y la mera emisión de la "secuencia de conteo" o "secuencia de numerales" (esto en la terminología procesual) o "recitado de la secuencia numérica" en nuestra terminología.

En efecto, algunos autores como, por ejemplo, Siegler y Robinson (1982), denominan la pura emisión de numerales como "conteo abstracto", y otros como "conteo memorístico" tal es el caso de Fuson y otros (1982) ó Baroody (1986). Sin

Anexos III. Análisis Didáctico. 274

embargo, estas denominaciones son pocos afortunadas en tanto que la recitación de numerales es sólo una parte del proceso de conteo, por el que se entiende el establecimiento de correspondencias biyectivas entre los elementos del conjunto de objetos y la secuencia numérica, para dar a continuación, si procede, el cardinal del conjunto (número cardinal) o la posición relativa de un elemento en el conjunto (número ordinal) en cuanto a las implicaciones de las diferentes relaciones numéricas elementales extraídas del valor funcional del conteo.

Anexo 3.3. Niveles de dominio de la secuencia numérica de Fuson.

El período de elaboración de la secuencia numérica, según Fuson, Richards y Briars (1982), se subdivide en cinco niveles:

1) Nivel cuerda (string level), en el que los numerales no son objeto de reflexión y sólo pueden emitirse ordenadamente.

2) Nivel de cadena irrompible (unbreakeable chain level), durante el cual los

numerales se convierten en objeto de reflexión, ya que se ha iniciado el proceso de diferenciación entre los términos de la secuencia.

3) Nivel de cadena fragmentable (breakeable chain level), momento en que

las partes de la secuencia pueden emitirse comenzando a partir de un punto cualquiera de la secuencia de numerales, en vez de tener que comenzar siempre por el primer elemento como ocurría en el nivel anterior.

4) Nivel de cadena numerable (numerable chain level), nivel en el que los

numerales alcanzan un mayor grado de abstracción y se convierten en unidades que pueden contarse..

5) Nivel de cadena bidireccional (bidireccional chain level), que supone la

culminación de proceso de elaboración, ya que los numerales pueden emitirse con gran facilidad y flexibilidad en cualquier dirección (creciente o decreciente).

Análisis didáctico de los niveles. Realizamos la siguiente reflexión general sobre cada uno de los niveles: Nivel.1 En el primer nivel sólo se puede emitir la secuencia como un "todo" sin

diferenciar las palabras numéricas que aparecen dentro de la misma. La falta de diferenciación hace que los términos sean considerados como etiquetas sin existir ningún nexo comparativo entre ellos. Esto conlleva a la no obtención de éxito en tareas relativas a la acción de contar por la falta de coordinación de las dos componentes básicas del conteo: correspondencia uno a uno y secuencia de numerales.


Nivel.2 Cada una de las palabras que se emiten dentro de la secuencia son términos distinguibles los unos de los otros, y así la secuencia no está constituida como un “todo” sino que está integrada por una sucesión de términos. Dicha diferenciación de términos, permite entre otras cosas, que se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre los términos de la secuencia y los objetos de una colección contable

. Nivel.3 Se da una mayor comprensión de las relaciones existentes entre las palabras

numéricas dentro de la sucesión.

Nivel.4 Se puede contar a partir de un término cualquiera "a" hasta llegar a otro término "b". Al tener que recordar continuamente el término de llegada, aparecen nuevas conexiones entre un término determinado, el anterior a éste y el siguiente. Si tiene que llegar al término "b", cuando va contando y llega al "b-1" tiene que saber que el siguiente de ese número es "b". Pero igualmente se da la relación contraria, es decir, un niño que tiene la habilidad de contar desde un término "a" n-términos y dar otro término "b" como respuesta, sabe que el término "b-1" es anterior a "b" y que cuando llegue a alcanzar dicho término, el siguiente será con el que ha de finalizar

Nivel.5 En este nivel se da la culminación de la fase de elaboración de la secuencia, cada

término en la secuencia ocupa un lugar determinado porque es posterior a todos los que le anteceden y anterior a todos los que le suceden

Se puede reinterpretar los niveles de Fuson en base a la estructura lógica de

seriación y las relaciones lógicas ordinales como sigue: I La relación entre los términos de la secuencia numérica es antisimétrica.

Quiere decir que cada término de la secuencia ocupa un lugar único y se emite una sola vez. En las actuaciones de los niños ante una situación de conteo o simplemente en una situación de recitado de la secuencia este esquema se pone de manifiesto si los niños emiten la secuencia sin repetir ningún término de la misma (esto en cuanto al recitado) y no cuentan un lugar dos veces (esto en cuanto a situaciones de conteo)

II La secuencia numérica es una sucesión de siguientes que empieza en uno.

Quiere decir que la secuencia numérica no se emite como un "todo" sino que hay diferenciación entre los términos ya que cada uno de ellos, excepto el primero, se emite a continuación de otro. Esto, junto con lo anterior, determina que cada término tiene un único siguiente, pero hasta este momento, para los niños, estos siguientes aparecen siempre que la secuencia se emita empezando por uno. En cuanto a las actuaciones de los niños, este esquema se pone de manifiesto si son capaces de establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos del conjunto contable y la secuencia numérica en oposición al "gesto rasante" propio de los niños que emiten la secuencia como un "todo".


III. La sucesión de siguientes es una característica que se mantiene ante cualquier división realizada en la secuencia numérica.

El que un término sea el siguiente de otro es independiente del primer término elegido para el inicio del conteo. Por lo tanto es una propiedad que se conserva con independencia de la referencia inicial. En las actuaciones de los niños, y siguiendo un orden lógico de evolución según los niveles de Fuson, este aspecto se manifiesta cuando los niños son capaces de contar a partir de un término cualquiera sin tener que empezar por uno. Pero además, se da otra circunstancia y es la del "siguiente inmediato" presentándose, en este nivel, un "esquema acumulativo". Si los niños saben contar a partir de un término "a" es porque saben cuál es el "siguiente de a", por lo tanto es el establecimiento paso a paso de un término que, al ser enumerado, pasa de ser siguiente de uno dado a ser el primero en una nueva división de la secuencia a partir del cuálse puede empezar a contar. En conclusión, tenemos que en las situaciones cognoscitivas de este nivel se dan actuaciones de "siguiente inmediato" en las que el niño es capaz de reconocer el siguiente de un término cualquiera de la secuencia numérica, y se pueden realizar comparaciones entre dos términos cualesquiera a través del esquema acumulativo de siguiente.

IV. Tramo finito en la sucesión de siguientes.

El primer elemento es considerado como aquel que es anterior a todos los dados y el último como aquel que es posterior. En las actuaciones de los niños que tienen en cuenta este esquema lógico-matemático está el poder contar o emitir la secuencia desde un término cualquiera "a" hasta otro término cualquiera "b", considerado "a" y "b", respectivamente, como primero y último. Los niños que tienen adquiridos estos conocimientos aplicaran esquemas de actuación en situaciones cognoscitivas en las que daban contemplar "todos los posteriores a un término dado hasta llegar a otro" y con ello podrán determinar una posición cualquiera (posterior) teniendo como referencia otra sin necesidad de ser el uno.

V. Diferentes sentidos: ascendente y descendente en la sucesión de siguientes.

En la emisión de la secuencia, tanto en un sentido ascendente como descendente, se manifiestan varios esquemas lógicos:

Se puede determinar tanto el siguiente como el anterior de un

elemento dado cualquiera. Análogo a la sucesión de siguientes a partir de un término "a"

cualquiera se tendría una sucesión de anteriores. Al igual que se adquiere el conocimiento de "todos los posteriores" se

obtiene la clase de "todos los anteriores"


Del mismo modo que se puede determinar la posición de un término tomando como referencia una posición anterior a través del recuento progresivo, se puede determinar la posición de un término tomando como referencia una posición posterior a través del recuento regresivo.

Anexo 3.4. Sistematización de la secuencia en un estudio transcultural.

En los estudios transculturales de Song y Ginsburg (1988) se observa que, en casi todos los lenguajes, los numerales hasta 100 se producen a través de un sistema basado en las reglas:

1. Denominación de las unidades (1 a 9) 2. Denominación de las decenas (10 a 90) 3. Reglas para combinar las unidades y las decenas.

Según estos autores los pasos seguidos por los niños para aprender este sistema numérico serían los siguientes:

1. Memorizar mecánicamente los nombres de las unidades, ya que son denominaciones arbitrarias que deben recordarse como "sílabas carentes de sentido"

2. Producir las decenas a partir de las unidades 3. Aprender las reglas que indican el modo en que deben combinarse las

unidades y las decenas para formar números mayores. Estas reglas evitan que el aprendizaje de la secuencia de numerales tenga que ser aprendido hasta 100.

La secuencia numérica cuenta con un sistema de generación que sustituye al

aprendizaje memorístico a partir de 10.

Anexo 3.5. Encadenamiento aditivo como componente de la seriación. 1. Definiciones.

Sea R una relación asimétrica y biunívoca que genera una progresión P, entonces cualquier término a de la progresión mantiene la relación R con algún otro término b de la misma. Los términos a y b constituyen lo que llamaremos sucesión de dos términos1.

Si al coger un término cualquiera siempre existe la relación R con algún otro término (según la definición de progresión), entonces si tomamos el segundo elemento de la "sucesión de dos términos" y aplicamos lo anterior tenemos que existe otro elemento c de P tal que bRc, con lo cual se añade un nuevo término a la sucesión de dos anteriormente construida, aplicándose, así, un procedimiento que llamaremos

1 Por la relación asimétrica R un término será primero y otro segundo.


"encadenamiento aditivo". Por consiguiente el "encadenamiento aditivo" es un procedimiento recursivo, a partir del cuál se obtiene la "sucesión de siguientes". En definitiva, la sucesión de siguientes es una serie discreta y conexa que está generada por una relación asimétrica y biunívoca, por lo tanto es una progresión en el sentido de Bertrand Russell; mientras que el encadenamiento aditivo es relativo al proceso de ir añadiendo cada término en la sucesión de siguientes, así, al mencionar un nuevo término se añade a la lista de los ya mencionados, y este nuevo término se pone a continuación del último término considerado hasta ese momento porque es el siguiente inmediato de éste según la relación biunívoca que ha generado la sucesión de siguientes. 2. Encadenamiento aditivo en la sistematización de la secuencia numérica.

En la tabla 1, la fila y la columna "generatriz" (la primera fila y la primera columna) indican, respectivamente, el ciclo y el criterio de seriación doble, de manera que si nos encontramos, por ejemplo, en "la fila del uno", la regla es poner delante de cada uno de los términos del ciclo un "1"; lo mismo con la fila del dos, el tres, hasta considerar la fila del nueve, y así obtenemos la sucesión de los números naturales de los cien primeros términos. El encadenamiento aditivo para obtener el "tramo" que va del 100 al 199 sigue la misma regla de formación pero sustituyendo la columna generatriz por los números: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

5 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

7 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Tabla 1

Para continuar sustituiremos la columna geratriz de la figura 1, sucesivamente, por:

20, 21,…,29 30, 31,…,39

............................... 90, 91,…,99

Según este procedimiento, cada fila de la tabla de doble entrada daría lugar a cien números una vez que se han combinado con el ciclo. Este juego se puede prolongar


todo lo que se quiera, puesto que no hay ninguna restricción, generándose una sucesión infinita de términos. 3. Relativo a la psicogénesis del encadenamiento aditivo.

Atendiendo a la psicogénesis de la seriación, nos encontramos tres etapas de

maduración hasta conseguir el éxito operatorio. Las actuaciones de los niños, en lo que hemos llamado la primera fase de la evolución (seriación sin criterio de orden), vendría dada por los tres apartados siguientes: i) Ausencia de seriación. Los niños son incapaces de mantener el criterio de la

serie y ante tareas como ensartar bolas siguiendo la alternancia rojo-azul, ellos cambian el criterio fijándose más en los aspectos figurales y hacen otra cosa.

ii) Seriación por "tanteos". Es la capacidad de seriar correctamente a través de

tanteos empíricos. Esta actuación conlleva realizar la serie con éxito, pero es una tarea hecha sin seguridad, por ensayo y error, prueban con un elemento si está bien lo dejan y si está mal lo quitan, son incapaces de anticipar un resultado, de decir cuál va a ser el siguiente. Es una seriación intuitiva, es decir, el encadenamiento aditivo sólo se comprende en función de la serie total percibida y éste se pierde cuando la serie queda dispersada desde el punto de vista de la percepción.

iii) Seriación operatoria. Es donde aparece el éxito operatorio y se caracteriza

porque el niño es capaz de anticipar la serie y la realiza usando un método sistemático.

Para las series con un criterio de orden se dan las mismas actuaciones anteriores

pero se da la circunstancia de que a medida que el criterio es más complicado la edad en la que se dan dichas actuaciones aumenta, de manera que un niño puede realizar bien una serie sencilla y acto seguido, realizar mal otra en la que el criterio es más complicado. La interpretación de las tres conductas anteriores en el caso concreto de seriación con un criterio antisimétrico y transitivo (relación de orden), como, por ejemplo, ordenar diez bastones de tamaño creciente es la siguiente (Sinclair de Zwart, 1978):

i) El niño no consigue realizar la serie, pero aunque fracasa en la ordenación

completa sí es capaz de construir pequeñas series yuxtapuestas, como por ejemplo coger dos bastones de los diez y decir cuál es el más pequeño y el más grande, es decir series de dos elementos, o coger un grupo de tres bastones y ordenarlos.

ii) Consiguen realizar por tanteo una escalera inicial, pero este procedimiento no

conlleva el sistema de relaciones necesarios que origina una ordenación sistemática, por lo tanto se da la incapacidad para intercalar elementos en una serie dada.

iii) Se da la seriación operatoria. Seriar operatoriamente significa coordinar las dos

relaciones inversas, "menor que" y "mayor que". Un bastón ocupa un lugar


determinado en la serie porque es mayor que el anterior y menor que el siguiente, lo cuál implica usar un método sistemático para la realización de la tarea de ordenar bastones (primero se busca el elemento más pequeño, luego el más pequeño de los que quedan, etc.). El niño es capaz de anticipar el resultado de la ordenación mediante un procedimiento seguro.

En resumen, la evolución que sigue el encadenamiento aditivo pasa por: una

primera etapa de seriación arbitraria en la que sólo se da una yuxtaposición de términos y carece de una ley de sucesión; le sigue la seriación intuitiva realizada por tanteos empíricos que no conlleva capacidad de anticipación, método sistemático, etc. y caracterizada porque mientras se percibe se mantienen las relaciones entre los términos pero cuando se destruye dejan de existir en la mente del niño; para terminar con el éxito operatorio de la tercera etapa en las que se dan las relaciones inversas "mayor que" y "menor que" lo cuál implica la posibilidad de desarrollar la serie en los dos sentidos.

En una supuesta extrapolación de las actuaciones de los niños (anteriormente

citadas) a la serie numérica y partiendo de que el niño domina la secuencia del uno al diez, nos encontraríamos lo siguiente:

i) El niño no consigue repetir la secuencia del uno al cien por ejemplo, pero sí es

capaz de reproducir pequeñas tramos de la misma ii) El niño es capaz de contar del uno al cien pero recibiendo ayuda en el cambio

de decenas iii) Se da el éxito operatorio. El niño conoce un método sistemático para repetir la

serie numérica, sabe que cuando se “agotan” los números que empiezan por "1" el siguiente es empezar por "2" y unir éste a todos los del ciclo, y cuando ésto se termina se debe continuar con el "3", y así sucesivamente.

En resumen, la psicogénesis de la seriación se puede aplicar al desarrollo de la serie numérica.

Anexo 3.6. Cálculo del anterior y siguiente inmediato con la seriación cíclica.

Se puede hacer uso de la seriación cíclica para determinar algunas propiedades importantes de la secuencia numérica como, por ejemplo, calcular el anterior y siguiente inmediato de cualquier número de este modo:

1. Para números de dos cifras: A=x1x2

i) El siguiente inmediato de A es

x1(x2+1) si x2≠9, y (x1+1)0 si x2=9

ii) El anterior inmediato de A es


x1(x2−1) si x2≠0, y (x1−1)9 si x2=0 y x1≠1 9 si A=10

2 Para números de tres cifras: A=x1x2x3

i) El siguiente inmediato de A es

x1x2(x3+1) si x3≠9 x1(x2+1)0 si x3=9 y x2≠9 (x1+1)00 si x3=9 y x2=9 1000 si x3=9, x2=9 y x1=9

ii) El anterior inmediato de A es

x1x2(x3−1) si x3≠0, y x1(x2−1)9 si x3=0 y x2≠0 (x1−1)99 si x3=0 y x2=0 99 si A=100

- y así sucesivamente.

Anexo 3.7. Etapas para determinar el lugar que ocupa un término cualquiera en una serie:

De los estudios psicogenéticos de la estructura operatoria de seriación podemos inferir las siguientes etapas para determinar el lugar que ocupa un término cualquiera en una serie:

I. El niño responde de forma arbitraria, indicando el primer lugar que se le ocurre, es puro azar.

II. El niño actúa por ensayo y error, por tanteo, prueba a decir un lugar y

cuando tiene que razonar su respuesta, duda y cambia el criterio.

III. Se da el éxito operatorio. Los niños responden correctamente aludiendo a los elementos "vecinos", es decir, al anterior y al posterior; o bien utilizando una terminología espacial: "entre" (el elemento en cuestión se encuentra entre este y este otro); temporal: "antes de" y "después de", etc., pero en todos los casos, son capaces de describir la posición que ocupa un elemento determinado en una serie que no perciben.

El desarrollo de esta capacidad advierte que el niño ha superado la etapa de seriación intuitiva en la que sólo puede describir una serie cuando ésta es percibida y deja de establecer relaciones entre sus elementos cuando ya no la tienen presente físicamente.


Anexo 3.8. Proceso de generación de las series numéricas aditivas a partir de la secuencia de números naturales

El proceso de generación vendría dado por los pasos siguientes: 1º) Construcción de la serie S1.

Realizamos una correspondencia serial entre la secuencia numérica2 (que llamaremos S) y la alternancia: sí-no-sí-no-sí-no-sí-no… Consideramos, ahora, la serie de la secuencia correspondiente a los "síes" y obtenemos:

(S1) 1-3-5-7-9……

La serie así construida la podemos llamar "alternancia de la primera serie", y el siguiente de un elemento en S1 es el "siguiente del siguiente en S", es decir, que si α es la función sucesor de S y α1 es la correspondiente a S1, entonces:

α1(x) = α(α(x))

siendo x un elemento cualquiera de S1.

Si usáramos una terminología cardinal junto a la ordinal podríamos decir que la serie, así construida, S1, es la que sigue el criterio: "dos lugares después de", pero precisamente nuestras pretensiones son trabajar el aspecto ordinal lo más aisladamente posible, por eso usamos la función sucesor y las correspondencias seriales. 2º) Construcción de la serie S2.

En el segundo paso aplicamos el mismo método generativo que hemos usado en el primero. Así a la serie S le aplicamos la correspondencia serial con esta otra:

sí-no-no-sí-no-no-sí-............

y obtenemos S2 que sería:

1-4-7-10.............

y si α2 es la función sucesor de S2, se cumple:

α2(x) = α(α(α(x)))

3º) . Construcción de la serie S3. Obtenemos S3 a partir de la correspondencia serial con la serie:

2 Consideramos que S es la secuencia numérica empezando en 1.


sí-no-no-no-sí-no-no-no-sí-..........

entonces, S3 es:

1-5-9-...............

y si α3 es la función sucesor de S3 , se cumple:

α3(x) = α(α(α(α(x))))

De esta forma en el n-ésimo paso se obtiene la sucesión Sn a partir de la correspondencia serial:

sí-(n-noes)-sí-(n-noes)-sí-.......

y si αn es la función sucesor de Sn , se cumple:

αn(x) = α(n+1)(x)

Con este proceso se ha creado un método de construcción de las series numéricas aditivas a partir de la secuencia numérica de los números naturales con la particularidad de que es un proceso ordinal, y así hemos obtenido:

S. 1, 2, 3, 4, 5,.................... S1. 1, 3, 5, 7, 9,....................

S2. 1, 4, 7, 10,13,........................ S3. 1, 5, 9, 13, 17,...........................

y así sucesivamente.

ANEXOS IV. Estudio Exploratorio Cualitativo

Anexo 4.1. Trascripción de las entrevistas del estudio exploratorio Trascripción completa de las entrevistas en la misma secuencia en las que sucedieron. Se empieza con la clase de 4 años, para seguir con la de 5 y finalizar con la de 3. Cada niño entrevistado está identificado por las dos o tres primeras letras de su nombre de pila; entre paréntesis mostramos dos números que reflejan su edad: el primero indica los años y el segundo los meses. La secuencia en la presentación del material durante la entrevista es la siguiente

La entrevista la inicia siempre la experimentadora con esta frase: "Tú te llamas

Tal y el osito Saltarín, tiene K1 años los mismos que tú; el osito va subiendo por esta escalera que le lleva a su casa”. Y se termina con esta otra: “A Saltarín le ha gustado jugar contigo, y ahora tiene que despedirse ¡Hasta pronto amiguito!”.

Clase de 4 años

La experimentadora:

• Presenta el material.

1 K toma, en cada caso los valores: 3, 4 y 5 años


• Hace subir al osito por la escalera, recorriendo los escalones de uno en uno. Coloca dos escaleras con 5 escalones cada una, y trabaja sólo con una. Le pide al niño que haga, al osito, subir los escalones y cuente al mismo tiempo.

• Cuenta al niño que el osito come pan en un escalón sí y en otro no: “La mamá del osito Saltarín ha dicho que tiene que comer pan en un escalón sí y en otro no. En éste, que es el 1, sí come pan; ahora sigue tú poniendo el pan en los escalones que sí tienen que tener, te recuerdo que come en uno sí y en otro no, y en este (señala 1) ya hemos puesto”1.

• .Deja que el niño ponga el pan en los escalones correspondientes. • Va contando y dice "en el uno sí, en el dos no, etc.". Se pretende que el niño prosiga

la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia • Oculta el pan con un trapo. Motiva al niño diciendo que el osito ahora no sabe

dónde está el pan, pero que nosotros somos "magos" y se lo vamos a decir. • Construye la escalera con 10 escalones y le pide al niño su colaboración. Pide que

cuente los escalones. Se repite todo el proceso anterior, pero ahora con 10 peldaños en lugar de 5.

1) Ver. (4, 11)

1 Tenemos que exceptuar el caso de Ver. (4, 11) que se trabajó con la correspondencia: 1-no, 2-sí, 3-no, 4-sí, 5-no, 6-sí, 7-no, 8-sí, 9-no, 10-sí

-E. Cuenta los escalones -V. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5). -E. Coloca el pan en uno sí y en otro no -V. Va colocando pan en uno sí y en otro no. -E. En el 1-sí, en el 2-no…, venga sigue tú. -V. Silencio -E. En el 1-sí, en el 2… -V. No, en el 3-sí, en el 4-no y en el 5-sí.. -E. Ahora con el pan oculto: En el 1… -V. Sí hay -E. En el 2... -V. No hay -E. ¿Cuál es? (Señala 3) -V. El 3 -E. ¿Hay? -V. Sí. - E. ¿Cuál es? (Señala 4). - V. Es el 4 y no hay. -E. ¿Cuál es? (Señala 5). -V. En el 5 sí hay -E. ¿Cuál es?( Señala 3), ¿Hay pan en ese escalón? -V. Es el 3 y sí hay porque me acuerdo. -E. Si en el 3 hay ¿qué ocurre en éste? (señala el 4) -V. No hay porque me acuerdo y en éste (señala el quinto) sí hay porque me acuerdo

-E. (Escalera con 10 escalones). Cuenta los escalones. -V. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. En el 1 no hay, en el 2... -V. 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí, en el 5 no, en el 6 sí, en el 7 sí... -E. Repítelo -V. En el 1 no, en el 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí, en el 5 no, en el 6 sí, en el 7 no, en el 8 sí, en el 9 no y en el 10 sí. -E. Lo tapa. El experimentador señala uno a uno y la niña va diciendo correctamente si hay o no. - E. En el 3 ¿hay? -V. Sí -E. ¿Por qué? -V. Porque lo he puesto. -E. ¿Cuál es el 3? -V..Éste (señala el 3) y no hay porque me acuerdo -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el 4?, ¿Hay pan en el 4? -V.. Éste (señala 4) y sí hay pan porque en el 3 no hay. -E..El osito está en el 3 y no hay, entonces: "En el 6 ¿hay?" -V.. En el 6 sí porque en el 5 no hay

Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo 287

-E. ¿Y en el 8? (Deja el osito en el 3 y recuerda que ahí no había) -V.. En el 8 sí hay. -E.. ¿Por qué? -V.. Porque en el 7 no hay -E.. ¿Y por qué no hay en el 7? -V.. Porque en el 6 hay -E.. ¿Y en el 10 hay? -V. Sí, porque en el 9 no hay

-E. ¿Por qué? -V.. Porque en el 8 hay. -E. Sabemos que en el 3 (donde está sentado el osito) no hay ¿qué pasa en el 1? -V.. No hay. -E. ¿Y en el 2? -V.. Sí hay -E.. ¿Por qué? -V. Porque en el uno no hay.

2). Nar. (4, 8). -E. Tienes que contar los escalones. -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5). -E. El osito se salta en escalón cuando come, come pan en un escalón sí y en otro no. Ahora ponlo tú. -N. Coloca pan en un escalón sí y en otro no. -E. En el 1-sí, en el 2-no…, sigue tú -N. En el 3-sí, en el 4-no y en el 5-sí. -E. Tapamos la parte de la escalera donde está el pan con un trapo, y, claro está, el osito no sabe ahora donde está el pan, pero, nosotros somos "magos” y se lo vamos a decir ¿verdad?. -N. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4) y en éste sí (señala 5). - E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala 3). ¿Aquí come pan el osito?. -N. Es el 3 y sí come pan. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. -E. ¿Cuál es éste? (Señala 4) ¿Come pan?. -N. Es el 4 y no come pan. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. - E. ¿Sabes contarlo?.(La escalera tiene ahora 10 peldaños) -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. Entonces ahora la escalera es muy larga. -N. Tiene 10. - E.. El osito come pan en uno sí y en otro no. Tienes que poner pan en los escalones donde el osito va a comer -N. duda bastante y realiza la alternancia con ayuda de la experimentadora. - E. Dime en el 1-sí (señala el 1), en el 2-no, venga sigue tú. -N. 2-no (señala 2), 3-sí (señala 3), 4-no (señala 4), 5-sí(señala 5), 7-sí (señala 6). - E. ¿Este es el 7? (Señala 6). -N. ¿El 8?. - E. ¡Ah el 8!. -N. Es el 7.

- E. ¿Y éste? (Señala 8). -N 9. - E. Sigue señalando el 8. -N. El 7. - E. Sigue señalando el 8. -N. Es el 15 y no hay. - E. ¡Ah el 15!, Este es el 7 y éste también (señala los dos escalones que el niño ha etiquetado con 7) ¿Cuántos sietes hay?. -N. Sólo tiene que haber uno y señala el primer peldaño que él etiquetó con 7. - E. ¿Por qué no lo hacemos de nuevo?, venga, en el 1-sí... -N. 2-no (señala 2), 3-sí (señala 3), 4-no (señala 4), 5-sí (señala 5), 6-no (señala 6), 7-sí (señala 7), 8-no (señala 8), 9-sí (señala 9) y en el 8 no (señala 10) - E Cuenta los escalones. -N 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10). - E. Tapamos el pan y colocamos el osito en el número 3 ¿comerá pan el osito en este escalón?. -N. Sí. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. -E. Si lo pongo en el 6 ¿come?. -N. No come. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. - E. Dejamos al osito en el 6. ¿Qué ocurre en el 7?, ¿Comerá el osito pan en el 7 o no comerá?. -N. No come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. -E. Te recuerdo que en el 6, donde está el osito, no come, ¿cuál es el 7?. -N. Este (señala 7) -E. ¿Come?. -N. Sí come. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. -E. En el 6 no come, ¿come en el 8? -N. En el ocho come bizcocho. E. ¿Come pan?.


-N. Sí porque me acuerdo. - E. ¿En el 9?. -N. No come. -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 3?, ¿Come en el 3?. -N. Aquí, señalando el 4 (puede ser porque el 1 es muy pequeño y no lo considera), sí come porque me acuerdo. - E. ¿Y en el 4?. -N. Aquí (señala 5), sí come porque me acuerdo. -E. Sentaremos al osito en el escalón número 6 y ahora me tienes que decir de otra forma que no sea "porque me acuerdo" si hay pan en este escalón o no hay. -N. Sí hay. - E. ¿Por qué?. -N. Porque sí. - E. Levantaremos el trapo, ¡oh!, no hay, pero ¿por qué no hay?. -N. Porque me acuerdo. - E. Sabemos que en el 6 no hay, pero ¿y en el 7? ¿cuál es el 7?. -N. Este es el 7 (señala 8). - E. ¿En qué escalón está sentado el osito?. -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). Está en el 6 - E. ¿El 7 cuál es?. -N. Señala el 9. - E. Pero el osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. -N. Señala el 6. - E. Pero ese es el 6. -N. ¿Lo ponemos aquí? (Señala el 9). - E. Quiero que sientes al osito en el 7. -N. Lo pone en el 9. - E ¿Ese es el 7?.

-N. No. - E. Entonces cuál es ese. -N. El 9. - E. ¿Ese es el 9?. -N. Sí. - E. ¿Por qué sabes que ese es el 9?. -N. Porque me acuerdo. - E. ¿Hay pan en el 9?. -N. Sí. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. - E. Si en el 9 sí hay, en el 10 ¿hay?. -N. No. - E ¿Cuál es el 10?. -N. Este (señala 10). - E. Comprueba que efectivamente no hay. - E. El osito está en el 9 y no hay. ¿Cuál es el 8?, ¿hay pan en el 8?. -N. Este (Señala 8) y no hay. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. - E. ¿Y en el 7?. -N. No. - E. ¿Cuál es el 7?. -N. Este (señala el 9) donde está el osito. - E. ¿Cuál es el 9?. -N. Señala el 5, pero rectifica al instante y señala el escalón donde se encuentra el osito. - E. Entonces, ¿cuál es el 7?. -N. Señala el 7. - E. ¿Hay pan?. -N. No. - E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo.

3) Pat. (4, 6). -E. Cuenta los escalones. -P. con el osito en la mano, hace que éste recorra los escalones uno a uno. -E. Tienes que contar en voz alta. -P. 1 (señal 1), 2 (señal 2), 3 (señal 3), 4 (señal 4) y 5 (señal 5), -E. Coloca el pan en uno sí y en otro no -P. Va colocando pan en uno sí y en otro no. -E. En el 1- sí, en el 2- no, … -P. En el 4-sí (señala 3) -E. ¿Por qué ese es el 4? (señala 3) -P. Porque va después que el 3 y el 3 es éste (señala el4) -E ¿Y el 2? -P Este es el 2 (señala 2). -E. Entonces, ¿cuál es el 3? -P. Este (señala 4). -E. ¿Por qué?. -P. Porque va después del 2.

-E. Ahora vamos a decirlo todo, decimos en el 1-sí,.... -E. Señala el 2 -P. El 2 no hay. -E Señala el 3. -P. El 3 sí hay. -E. Señala el 4. -P. En el 4 sí hay (con muchas dudas). -E. Señala el 5. -P. El 5 sí hay. (A partir de este momento se oculta el pan) -E. Este es el uno, ¿hay pan? -P. Sí hay (Para dar esta respuesta ha tenido que mirar por debajo del trapo). -E. En el 2 ¿hay? (señala 2) -P. No hay (mira por debajo del trapo). -E. En el 3 ¿hay? (señala 3) -P. Sí hay (mira por debajo del trapo). -E. En el 4 ¿hay? (señala 4)


-P. No hay (mira por debajo del trapo). -E. En el 5 ¿hay? (señala 5) -P. No hay (mira por debajo del trapo). -E. El osito está cansado y se va a sentar aquí (en el 3)), ¿en qué escalón está sentado el osito?. -P. En el 4 -E. ¿Por qué ese es el 4? -P. Porque viene después del 3 -E ¿Y dónde está el 3?. -P. señala el 4 -E. ¿Ahí está el 3?. -P. Sí. -E ¿Por qué el 3 es éste (señala el 4)?. -P. Porque este es el 3 (señala el escalón donde está el osito) y éste es el 4 (señala 4) -E Entonces este es el 3 y este es el 4 (señala 3 y 4) -P. ¡Sí!, ¡Te estaba gastando una broma!. -E. El osito está en el 3, ¿hay pan?. -P. intenta averiguarlo mirando por debajo del trapo. -E. ¡No puedes verlo! -P. Sí hay. -E. ¿Por qué?. -P. Porque sí. -E. Pero, ¿porqué sabes que hay pan en el 3? -P. Porque lo sé. -E.. Vale, bueno en el 3 sí hay pan porque lo sabes, y en el 4 ¿hay?¿, ¿Cuál es el 4?. -P. Este (señala 4) y no hay. -E. ¿Por qué?. -P. Porque no quiere comer (mira por debajo del trapo). A partir de este momento la escalera tiene 10 escalones. -E. Quiero que cuentes los escalones. -P 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. En el 1 sí come pan y lo ponemos, ¿cuál es éste? (señala 2) -P. El 2 y no come -E. ¿Y éste?, (Señala el 3). -P. El 3 -E. ¿Y éste? (señala el 4) -P. El 4 -E. ¿Ponemos pan? -P. Sí -E. ¿Sí?. -P.. No -E. ¿Y éste? (señala el 5) -P. El 5 -E. ¿Hay pan? -P. Sí -E. ¿Y aquí? (señala el 6) -P. Sí. (Cuando coloca pan en el 6 se da cuenta que no puede ser pues ya había colocado pan en el 5, por tanto, lo quita y dice que no hay). -E. ¿Y aquí? (señala 7) -P. Sí

-E. ¿Y aquí? (señala 8) -P. No -E. ¿Y aquí? (señala 9) -P. Sí -E. ¿Y aquí? (señala 10) -P. No -E. Entonces dime como ha quedado para decírselo al osito. -E. Este es el....(señalando el 1). -P. El 1 y sí hay (ha cogido al osito para enseñárselo) -E. Este es el....(señalando el 2). -P. El 2 y no hay -E. Este es el....(señalando el 3). -P. El 3 y sí hay -E. Este es el....(señalando el 4). -P. El 4 y no hay -E. Este es el....(señalando el 5). -P. El 9 y sí hay -E. ¿El 9?. -P. No, es el 5 y sí hay. -E. Este es el....(señalando el 6). -P. El 9 y sí hay -E. ¿El 9?. -P. El 10. -E. Mira éste es el 5 (señala 5) entonces éste es el... (señala 6) -P. El 7. -E. ¿Después de 5 va el 7? -P. Sí. -E. Este es el ....(señala el 7). -P. El 9 y sí hay. -E. Este es el ....(señala el 8) -P. No sé... ¡el 9!. -E. Tienes que decírmelo pensando, tienes que pensar y cuando estés segura me lo dices. El experimentador empieza de nuevo todo el proceso. -P. Ese es el 1y sí hay (señala 1), este es el 2 y no hay (el experimentador señala el 2), este es el ....¿4?, ¡No! es el 3, este es el 4 (el experimentador señala el 4), este es el 9 (el experimentador señala el 5) y sí hay. -E. Tienes, ahora, que contar los escalones sin decir si hay pan o no. -P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 9). Este (señala 10) no lo he contado porque no había pan. El experimentador coloca el trapo ocultando el pan. -E. Yo voy a colocar a Saltarín en este escalón (lo sienta en el 6), ¿en qué escalón está?. -P. En el 5. -E. ¿Por qué en el 5?. -P. No me acuerdo. -E. Pero no te tienes que acordar, tú lo puedes adivinar, ¿cómo lo adivinas?. -P. ¡El 7!


-E. ¿Porqué en el 7?. -P. Entonces hay que contarlo. -E. Pues cuéntalo. -P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6), entonces está en el 6 -E. Ahora quiero que me digas si en el 6 come pan o no come. -P. Sí -E. ¿Por qué?. -P. (No sabe qué contestar y quita el trapo) ¡Oh!, ¡No hay!. -E. ¿Cuál es el 3? -P. Este es el 3 (señala el 4, puede ser porque el 1 sea muy pequeño). -E. ¿Porqué ese es el 3?.

-P. Porque después del 2 viene el 3 y este es el 3 (señala el 3 por el 2). En el 2 sí hay (después de quitar el trapo). En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sì (esto lo hace viendo el pan, sin trapo). -E. El osito está en el 6 y no come, en el 7 ¿come?, ¿Cuál es el 7?. -P. Este es el 7 (señala 7), y no sé si come o no come. ¡No come! (quita ella misma el trapo y ve que sí come). -E. El osito está en el 6 y no come, en el 4 ¿come?, ¿cuál es el 4?. -P. Este es el 4 (señala 4) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. -P. Porque este es el 3 (señala 3) y yo sé contar hasta 4.

4) An. (4, 3) -E. Cuenta los escalones. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 6 (señala 5), 9 (señala 5). -E. Debes colocar pan en un escalón sí y en otro no -A. Sí. -E. Venga pon tú el pan en los escalones en los que el osito va a comer. -A. Coloca pan en el primer escalón. -E. En el 1 come. -A. Coloca pan en el segundo escalón. -E. Te recuerdo que en el 2 no come y en el 3 sí come. -A. Coloca otro trocito de pan en el segundo escalón. -E. ¿Ese es el 3? -A. Sí. -E. Cuenta, de nuevo los escalones. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 2), 4 (señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5), -E. Aquí sí come pan (colocando al osito en el 1). -A. Coloca el pan en ese escalón. -E. Aquí... (coloca el osito en el 2) -A. No come. -E. Aquí... (coloca el osito en el 3) -A. Sí come (colocando el pan) -E. Aquí... (coloca el osito en el 4) -A. No come. -E. Aquí... (coloca el osito en el 5) -A. Sí come (colocando el pan). -E. Estás viendo la escalera y el pan en la escalera; me tienes que decir "el número de cada escalón y si come o no come pan", "mira, este es el 1 (señala 1) y sí hay, entonces en el 1 sí come", y así todos ¿vale?. -A. Silencio. -E. ¿Cuál es? (Señala 1)

-A. El que come (está viendo el pan en ese escalón). -E. Sí, aquí sí come (señala el 1), pero, ¿qué número es? -A. El 3 -E. ¿Por qué? -A. Porque come. -E. Y éste, ¿cuál es? (señala el 2). -A, El 6 -E. ¿Por qué es el 6? -A. Porque come. -E. Pero tú habías dicho que éste (señala el 1) era el 3, entonces ¿cuál es éste? (señala el 2). -A. El 5 -E. ¿Por qué? -A. Porque no come. -E. Pero después del 3, ¿cuál viene?. -A. El que no come. -E. Pero, ¿cuál es el 3?. -A Este (señala 3). -E. Venga, cuéntalo otra vez. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 2), 4 (señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5). A partir de ahora se oculta el pan -E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 1). -A. Sí puede comer. -E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 2). -A. No puede comer. -E Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 3). -A. Sí puede comer. -E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 4). -A. No puede comer. -E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 5). -A. Sí puede comer. -E. Vamos a sentar a Saltarín en este escalón (lo sienta en el 3), ¿come pan en este escalón? -A. No.


E. ¡Oh, sí come! (descubre el pan), entonces en este come (señala 3), ¿come en este? (señala 4). -A. Sí -E. ¿Por qué? -A. Porque come. -E. El osito está en este (señala 5), ¿En qué escalón está?, ¿qué número es?. -A. El 5 -E. ¿Por qué? -A. Porque come. -E. En el 1, ¿come?. -A. No. -E. En el 2, ¿come?. -A. No. -E.. En el 3, ¿come?. -A. Sí. -E. En el 4, ¿come?. -A. Sí. -E. En el 5, ¿come?. -A. Sí.

-E. ¿En qué número de escalón está sentado el osito? (sigue en el 3) -A. En el 6 -E. ¿Por qué?. -A. Porque hay comida. -E. Bueno, no importa si hay comida o no, ¿en qué escalón está?. -A. ¿El 5?. -E. Mira el osito está en el 3 porque este es el 1 (señala 1), este es el 2 (señala 2) y este es el 3 (señala 3). Bien si este es el 3 (señala 3), ¿cuál es el 4? -A. Este (señala 3) -E. ¿Y el 5? -A. Este (señala 3) -E. El osito está en el 3 y sí come, vamos a levantar el trapo para verlo ¿lo ves?. Bien si en el 3 come ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4? -A. Este (señala 5) porque hay comida -E. ¿Y en el 5?, ¿cuál es el 5? -A. Este (señala 3) porque no hay comida.

5) Adr. (4, 1). -E. Cuenta los escalones. -A. Silencio. -E. Hay que ir señalando y contando, -A. 1, 2, (muy bajito y sin señalar). -E. ¿No quieres señalarlos? -A. señala algunos escalones pero no los cuenta. -A. 1 (y mira al experimentador pero no señala), y 2 (mira la escalera y al experimentador sin señalar) y 9, y 4, -E. El osito, Saltarin, come pan en uno sí y en otro no, tienes que ponerle el pan. -A. pone pan en el primer escalón, también en el segundo. -E. Es en uno sí y en otro no. -A. omite la consigna del experimentador, deja el pan que ya había puesto y sigue poniendo en el 3, en el 4 y en el 5. -E. ¿Qué come en todos?. -A. Sí -E. Es un Saltarín; en este (señala el 1) sí, en este (señala el 2) no come y se lo quitamos, en este(señala el 3) sí, en éste (señala el 4) no come y se lo quitamos, y en este (señala el 5) sí. -E. Es en 1-sí, 2-no, sigue tú -A. Silencio

-E. En el 1 ¿come? (señala 1). -A. Sí -E. En el 2 ¿come? (señala 2). -A. Sí (está viendo la escalera con el pan en los escalones correspondientes y aún así dice que sí hay en el 2). -E. En el 3 ¿come? (señala 3). -A. Sí -E. En el 4 ¿come? (señala 4). -A. El 4 -E. En el 5 ¿come? (señala el 5). -A. Sí -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está? -A. Silencio -E. En ese escalón ¿come? (señala 3). -A. Sí -E. ¿Qué número es? (señala 3) -A. El 7 (respuesta que da después de algunos minutos) -E. Vamos a comprobar, levantando el trapo si hay pan en ese escalón que es el 3. Mira, ¡no hay!. ¿En este hay? (señala 4) -A. Sí

6) Fr. (4, 0). -E. Cuenta los escalones que hay. -F. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3(señala3), 4

(señala4) y 5 (señala 5).


-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no. -F. Coloca el pan en los escalones correspondientes -E. Ahora le vamos a decir al osito: "mira en el 1 sí comes pan (señalando el 1 y el pan)", ahora sigue tú. -F. En el 2 no come pan (señalando el 2), en el 3 sí come pan (señalando el tercer escalón y el pan), en el 4 no come pan (señalando el 4) y en el 5 sí come pan (señalando el escalón y el pan). -E. Ahora tapamos el pan. Colocamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -F. En el 3 -E. En el 3 ¿come pan?. -F. Sí. -E. ¿Por qué sabes que en el 3 come pan?. -F. Porque sí. -E. Pero, ¿por qué sí?. -F. Porque antes lo había hecho. -E. Vale, en el 3 come pan (se comprueba levantando el trapo), ¿y en el 4?, ¿cuál es el 4?. -F. Este (señala 4) y no come pan. -E. ¿Por qué no come pan? -F. En el tres...,(silencio), y en el 4 no come porque me acuerdo. -E. En el 3 come; en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?. -F. Este (Señala el 2) y no come. -E. ¿Por qué no come pan? -F. Porque me acuerdo. -E. Vamos a hacer la escalera más larga. Cuenta los escalones. -F 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. Ahora, igual que antes, ponemos pan en un escalón sí y en otro no. -F. Coloca el pan en uno sí y en otro no empezando por el primero que sí. -E. Entonces en el 1-sí, venga sigue tú. -F. En el 2 no come; en el 3 sí come; en el 4 no come, en el 5 sí come. Cuando llega al 6 lo señala y dice "éste antes no estaba" -E. Es verdad antes no estaba. -F. no recuerda por donde se había quedado -E. Mira este es el 5 (señala el 5) y sí hay pan. ¿este cuál es? (señala el 6). -F Es el 6. -E. ¿Come? -F. No lo sé -E. Es: en uno sí y en otro no. -F. No. -E. Este es el 6 (señala el 6), ¿este es el...? (señala el 7). -F. El 7. -E. ¿Por qué sabes que es el 7?. -F. Porque sé contar. -E. En el 7 hay pan. ¿Este es el ...? (señala el 8) -F El 9. (mira desde 1 y es como si lo estuviera contando)

-E. ¿El 9?. -F El 8 -E ¿Come? -F. No -E. Este es el 8 (señala el 8), ¿este es el ...? (señala el 9) -F. El 9 (después de contar desde uno) -E. ¿Come en el 9?. -F .Sí -E. Este es el 9 (señala el 9), ¿este es el ...? (señala el 10). -F. El 10 (después de contar mentalmente desde uno) -E. ¿Come en el 10? -F. No. -E. Tapa el pan y coloca al osito en el 6. ¿En qué escalón está?. -F. En el 6 -E. ¿Come en el 6?. -F. Sí come. -E. ¿Por qué?, ¿cómo lo has averiguado?. -F. Porque antes lo he hecho. -E. Levanta el trapo y comprueba que no come. -E. Bueno en el 6 no come, y en el 7 ¿come?, ¿cuál es el 7?. -F Señala el 8. -E. Bueno, vamos a colocar al osito aquí (lo sienta en el 3), ¿en qué escalón está sentado? -F. En el 3 -E. ¿Come?. -F. No. -E. (Levanta el trapo y comprueba que sí come). Bueno, ya sabes que en el 3 sí come, ¿comerá en el 4?, ¿cuál es el 4?. -F. Éste (señala el 4). -E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. -F. Porque después del 3 viene el 4 -E. ¿Qué pasa en el 4? -F. No come -E. ¿Por qué? -F. Porque yo lo he pensado. -E. Levanta el trapo y comprueba que la respuesta es correcta. -E. Y en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2? -F. El 2 (señala 2). -E. ¿Por qué sabes que ese es el 2? -F. Porque después del 1 viene el 2. -E. Y qué pasa en el 2, ¿come? -F. No -E. ¿Por qué? -F. Porque lo he hecho y se que en el 2 no hay. -E. ¿Y como lo has hecho? -F. En el 1 hay y en el 2 no hay -E. El osito está en el 3 y sí come, ¿qué pasa en el 5?, ¿cuál es el 5?. -F. Este es el 5 (señala 5) -E. ¿Por qué ese es el 5? -F. Porque este es el 4 (señala 4) y después del 4 va el 5. -E. En el 3 sí come ¿y en el 5?.


-F. Sí -E. ¿Por qué? -F. Porque lo he pensado. -E. ¿Cómo lo has pensado? -F. En el 4 no come y después del 4 viene el 5. -E. Sentamos al osito en el 5, ¿cuál es el 6? -F. Este es el 6 (señala el 6). -E. ¿Por qué lo sabes? -F. Porque lo he pensado. -E. ¿Cómo lo has pensado?. -F. Tú lo sabes porque la gente mayor lo sabe.

-E. Vamos a sentar al osito en el 6 y aquí no come (levanta el trapo para comprobarlo), ¿qué ocurre en el 7?, ¿cuál es el 7?. -F. Este es el 7 (señala el 7) -E. ¿Qué hace en el 7? -F. Sí come -E. Este es el 6 (Señala el 6 que es donde está sentado el osito), entonces ¿cuál es el 8? -F Señala el 8. -E. ¿Por qué? -F. Porque lo he pensado.

7) Sal. (4, 11) . -E. Cuenta los escalones. -S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4) y 5 (señala 5). -E. El osito come pan en un escalón si y en otro no, debes ponerlo donde corresponda -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así. ¿En el 1? -S. Sí -E. Lo ponemos, ¿en el 2? -S. No. -E. ¿En el 3? -S. Sí, en el 4 sí (y pone pan también en el 4). -E. ¿En éste come? (señalando el 4) -S. No (lo quita). -E. ¿Este cuál es? (señalando el 4). -S. El 2 -E. ¿El 2? -S. No sé -E. Piénsalo, seguro que lo sabes. -S. El 4 -E. ¿Cómo lo has averiguado? -S. Lo he contado -E. ¡Ah!, has empezado desde aquí (señala el 1) -S. Sí, 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala3) y 4 (señala 4). -E. Bueno, entonces ha quedado así: en el 1 sí, en el 2 no, venga sigue tú. -S. En el 3 sí, en el 2 no -E. Este no es el 2 (señalando el 4), es el que viene después del 3. -S. No lo sé. -E. ¿No sabes cuál viene después del 3?. -S. No -E. Venga, yo sé que tú sabes cuál es éste (señala el 4). -S. El 4. -E. Sí, ¿por qué? -S. Porque lo he contado. -E. Bueno en el 4 no y en ¿éste? (señala el 5) -S. En este sí. -E. Ahora tapamos el pan y colocaremos al osito aquí (en el 3), ¿cuál es éste? -S. Es el 3 -E. ¿Come?

-S. Sí -E. ¿Por qué? -S. Porque sí -E. Este es el 3 y sí come. En el 4 ¿come?, ¿cuál es el 4? -S. Este es el 4 (señala el 4) y no come. -E. ¿Por qué? -S. Porque lo sé -E. (Comprueban que no come tocando el escalón por encima del trapo). En el 5 ¿come?, ¿cuál es el 5?. -S. Este es el 5 (señala el 5) y sí come. -E. El osito está en el 3 y sí come. En el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?. -S. Este es el 2 (señala el 2) y sí come. -E. ¿Si come? -S. No hay. -E. En el 1 ¿come?, ¿cuál es el 1? -S. Este es el 1 (señala el 1) y sí hay (toca por encima del trapo) -E. Pero sin tocarlo, ¿hay aquí? (señala el 1) -S. Sí hay porque lo sé. Aquí sí hay (señalando el 1) y aquí no (señalando el 2), aquí sí (señala el 3) y aquí no (señala el 4), y aquí sí (señala el 5). -E Vamos a hacer la escalera más larga (pone 10 escalones con ayuda del niño). -E Venga, cuenta los escalones. -S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10), -E. Ahora, el osito, igual que antes, come en uno sí y en otro no, venga pon el pan donde sí come. -S. Coloca el pan en los lugares correspondientes. -E. En el 1 sí, en el 2 no, venga continúa tú. -S. En el 3 sí, en éste no (señala el 4), en este sí (señala el 5), en este no (señala el 6), en este sí (señala el 7), en este no (señala el 8), en este sí (señala el 9), en este no (señala el 10), -E. Este es el 3 y sí come, ¿este es el ...? (señala el 4) -S. El 4


-E. Este es el 4 (señala el 4) y este es el... (señala el 5). -S. El 7. -E. ¿El 7?. -S. En este sí come (señala el 5) -E. Este es el 4 (señala el 4) y no come, este es el 5 (señala el 5) y sí come, ¿éste es el...? (señala el 6) -S. El 6 y no come, el 7 (señala el 7) y sí come, en este no come (señala el 8) y en este sí come (señala el 9). -E. Este es el 8 (señala el 8) y no come, ¿este el el...? (señala el 9). -S. ¿El 9? -E. ¿ Este es el 8 (señala el 8), entonces ¿este es el...? (señala el 9). -S. El 5 (abre los dedos de su mano y cuenta) -E. Sí, pero éste es el 8 (señala el 8), entonces ¿este es el...?. -S. El 7 (después de pensar bastante) -E. ¿Por qué? -S. Porque sí. -E. ¿Y el otro? (refiriéndose al 10) -S El 7. -E. ¿También el 7?. -S. No el 8 (señala el 8), entonces es el 5. -E. ¿También es el 5?, ¿por qué?. -S. Porque lo sé. -E. Bueno, entonces vamos a colocar al osito aquí (lo pone en el 7), ¿dónde está el osito?. -S. Aquí (señala el escalón con el osito) -E. Bueno, sí, pero ¿qué número es?. -S. El 3. -E. ¿Por qué?. -S. Es que no lo sé.

-E. Vale, no le sabe, pero seguro que tú lo puedes averiguar. -S. En el 5. -E. Pero porqué dices en el 5, seguro que no lo has pensado bien. -S. No lo sé averiguar. -E. Sí, seguro que lo sabes. -S. No..., en el 2 (lo dice al azar). -E. ¿el 2?, entonces ¿éste cuál es? (señala el 2) -S piensa mucho, mira el 2 y el 7 (escalón donde está sentado el osito) y finalmente dice ¡el 7! (señala el escalón donde está el osito). -E. ¿Por qué sabes que es el 7? (señala el 7). -S. Cuenta desde 1 pero se equivoca al contar llegando hasta 4 cuando señala el escalón donde está el osito; dice que no puede ser. -E. Venga, cuéntalo de nuevo. -S. 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) y 7 (señala 7), es el 7 -E. El osito está sentado en el 7 y sí come pan, ¿qué hace en el 8?, ¿cuál es el 8?. -S. Este es el 8 (señala el 8). -E. ¿Por qué sabes que es el 8?. -S. Porque sí y no lo he contado (entonces empieza a contar y llega hasta el 8 y dice que es el 8) -E. El osito está en el 7 (señala el 7), ¿cuál es el 6?. -S. Entonces tengo que contar (empieza a contar pero sólo cuenta los que tienen pan, por eso el 9 es el 5 y después dice que el 10 es el 6). -E. Entonces, ¿cómo es que el osito está en el 7? (señala el 7). -S. Porque sí, porque lo sé.

8) Beg. (4, 6) -E. Cuenta los escalones. -B. 1 (señala1), 2 (señala2), 3 (señala3), 4 (señala4) y 5 (señala5). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes ponerlo en los escalones correspondientes -B. coge el pan y lo pone en el 4 -E. Este osito come pan en un escalón sí y en otro no, entonces en el 1 sí come, en el 2 no come..., venga pon tú el pan ¿vale?. -B. Silencio -E. ¿Este es el 1? (señala el 4). -B quita el pan de ese escalón y lo pone en el 1. -E. En el 1 sí, en el 2 no..., es en uno sí y en otro no. Mira en un escalón come pan y en otro no come. -B. pone pan en el 2. -E. ¿Aquí come? (señala el 2). -B. lo quita y lo pone en el 3. -E. En el 4 no y en el 5 sí, ¿cuál es el 5?.

-B. señala el 4 y coloca el pan en ese escalón. -E. ¿Ese es el 5? (señala 4) -B. rectifica y coloca el pan en el 5. -E. Vamos a sentar al osito en este escalón (en el 3), ¿en qué escalón hemos sentado al osito?. -B.. En el 1. -E. Este es el 1 (señala el 1), ¿en qué escalón se ha sentado el osito?. -B. En el 3 -E. ¿Cómo lo sabes?. -B. Porque se ha sentado en el 3 -E. Vale, en el 3 come pan, en el 4 ¿come?. -B. No come. -E. ¿Cuál es el 4?. -B. Este (Señala el 5) -E. ¿Ese es el 4?. (Señala 5) -B. No, es este (señala 1). -E. No, ese es el 1, ¿cuál es el 4?. -B Este (señala el 3)


-E. ¿Cuál es el 4?, el osito está sentado en el 3, mira 1, 2, y 3 (cuenta desde uno), entonces ¿cuál es el 4?. -B Este (señala el 5) -E. ¿Cuál es el 1? -B Este (señala 1) -E. ¿Cuál es el 2?. -B. Este (señala el 5). -E. ¿Qué número viene después del 1? -B Este (señala el 3) -E. ¿Por qué?. -B. Porque está el osito. -E. Pero, ¿por qué sabes que se ha sentado en el 3 y no en otro número?. -B. Porque está el pan. -E. Pero, el pan también está aquí (señala el 5), ¿éste cuál es? (señala el 5). -B. No sé. -E. Cuenta los escalones. -B. 1 (señala1), 2 (señala2), 3 (señala3), 4 (señala4) y 5 (señala5). -E. Mira este es el 1 (sienta al osito en el 1), ¿cuál es el 2?. -B Este (señala el 5). -E. ¿Ese es el 2? (señala el 5). -B señala el 5. -E. ¿Ese es el 2? -B señala el 3. -E. ¿Ese es el 2?. -B señala el 4. -E. ¿Ese es el 2?, ¿cuál viene después del 1?. -B. El 2 -E. Entonces, ¿cuál es el 2 si éste es el 1? (señala el 1).

-B señala el 4. -E. Este es el 1 (señala el 1) ¿cuál es el 2?. -B señala el 5 (donde hay pan). -E. ¿Y el 3? -B señala el 3. -E. ¿Y el 4?. -B señala el 5. -E. ¿Y el 5?. -B señala el 3. -E. Bueno, vamos a quitar el pan. El osito está en el 1 ¿cuál es el 2?. -B señala el 2. -E. ¿Y el 3? -B señala el 3. -E. ¿Y el 4? -B. señala el 5. -E. ¿Y el 5? -B señala el 4. -E. Sentamos al osito aquí (lo sienta en el 4), ¿en qué escalón está sentado el osito?. -B. En el que no había pan. -E. Pero, ¿en qué número?. -B. En el 2. -E. ¿Por qué?. -B. No sé. -E. Bueno, sentaremos al osito en el 3, mira este es el 1, este es el 2 y este es el 3, ¿lo ves?. -B. Sí. -E. Entonces, ¿éste cuál es? (señala el 4). -B. El 4. -E. ¿Y éste? (señala el 5). -B. El 5. -E. ¿Y éste? (señala el 2). -B. El 4.

Clase de 5 años. En el desarrollo de la entrevista la experimentadora realiza los mismos puntos que con la clase de los 4 años, con la salvedad que en 5 años se empieza directamente con 10 escalones, suprimiéndose los puntos relativos a los cinco peldaños. Se tienen en cuenta por si en algún momento determinado de la entrevista con algún niño se requiere el trabajar con 5 en lugar de 10, pero no se dio el caso. 9) Non. (5, 2). -E. Cuenta los escalones. -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes

-N. Coloca pan en los escalones correspondientes. -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así... -N. Come pan en el 1, en el 3, en el 5, en el 8, no, digo en el 9, éste es el 9 (señala el 9 y cuenta desde uno para comprobarlo). -E. Dime otra vez en los que come pan. -N. En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9


-E. Ahora tapamos el pan y tienes que adivinar, sin verlo, donde come pan. ¿En éste come pan? (señala el 1). -N. Sí. -E. ¿Por qué? -N. Porque empezando come. -E. En éste ¿come pan? (señala el 2) -N. No -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 1 come -E. En éste ¿come pan? (señala el 3) -N. Sí -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 2 no come -E. En éste ¿come pan? (señala el 4) -N. No -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 3 come -E. En éste ¿come pan? (señala el 5) -N. Sí -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 4 no come -E. En éste ¿come pan? (señala el 6) -N. No -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 5 come -E. En éste ¿come pan? (señala el 7) -N. Sí -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 6 no come -E. En éste ¿come pan? (señala el 8) -N. No -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 7 come -E. En éste ¿come pan? (señala el 9) -N. Sí -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 8 no come -E. En éste ¿come pan? (señala el 10) -N. No -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 9 come

-E. Colocaremos al osito en este escalón (en el 7), ¿en qué escalón está?. -N. En el 7. -E. ¿Por qué lo sabes?. -N. Porque lo he contado. -N. En el 7 sí come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 6 no come, ¡veras! (levanta el trapo para comprobarlo) -E. El osito está en el 7 y sí come, en el 8 ¿come?, ¿cuál es el 8?. -N. Este es el 8 (señala el 8) y no come porque come en el 7. -E. ¿Y en el 9?. -N. En el 9 sí come porque en el 8 no come. -E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 9?. -N. Este es el 9 (señala el 9). -E. ¿Y el 10?. -N. Este es el 10 (señala el 10) y no come porque en el 9 sí come. -E. Sólo hay 10 escalones, pero si hubiera más ¿cómo sería?. Mira vamos a poner al osito en el 10 que no come, en el 11 ¿come?. -N. Sí porque en el 10 no comía. -E. ¿En el 12?. -N. No porque en el 11 sí comía. -E. ¿En el 13?. -N. Sí porque en el 12 no comía. -E. ¿En el 14?. -N. No porque en el 13 sí comía. -Er. ¿En el...? -N. ¿15?, sí porque en el 14 no comía. -E. Vamos a poner al osito aquí (en el 9), ¿qué número es?, ¿en qué escalón está sentado?. -N. En el 9. -E. ¿Por qué lo sabes?. -N. Porque antes estaba en el 10. -E. En el 9 ¿come?. -N. Sí porque en el 10 no comía. -E. Y en el 6 ¿come?. -N. No come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque en el 8 no, en el 7 sí y en el 6 no.

10) Ant. (5, 9) -E. Cuenta los escalones. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5), 7 (señala 7), 8 (señala 9) y 9 (señala 10). -E. Venga, como lo has hecho muy deprisa vamos a contar de nuevo. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 5 (señala 10) -E. ¿Después del 9 va el 5?.. -A. No.

-E. Entonces, ¿cuál va después del 9? -A. El 7. -E. ¿El 7 va después del 9?. -A. No. -E. Entonces ¿cuál?. -A. No lo sé. -E. Entonces cuéntalo de nuevo -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 6 (señala 7), 7 (señala 8), 8 (señala 9) y 9 (señala 10)


-E. Bueno, ahora con el osito, vamos subiendo mientras contamos. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no, debes ponerlo en los lugares correspondientes. -A. Coloca el pan correctamente -E. En el 1 sí come, en el 2 no come, y así; venga sigue tú. -A. En el 3 sí come, en el 4 no come pan, en el 5 sí come pan, en el 7 no come pan (señalando el 6). -E. Después del 5, ¿cuál viene? -A. El 7. -E. ¿Y el 6? -A. Después del 7. -E. Venga este es el 6 (señala el 6) y no come. -A. En el 5 sí come pan (señala el 7). -E. Es el 7. -A. En el 8 no come pan (señala el 8), en el 9 no come pan (señala el 9). -E. Aquí ¿no come? (Señala 9). -A. Sí. -E. ¿Por qué? -A. Porque en este no comía (señala el 8 y ve que no hay pan en ese escalón). -E. ¿Y en éste? (Señala 10). -A. No come pan. -E. Dime de nuevo 1-sí, … -A. En el 1 sí come pan. En el 2 no come pan. En el 3 sí come pan. En el 4 no come pan. En el ¿5? sí come pan. En el ¿6? no come pan. En el ¿7? sí come pan. En el ¿8? no come pan. En el 7 sí come pan. Aquí no come pan (señala 10). -E. Cuéntalo otra vez, sin decir si come o no come. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. Tapamos el pan. Vamos a colocar al osito aquí (en el 6) y tú vas a decir en qué escalón está y si come o no. -A. levanta el trapo para verlo. -E. No, sin mirar. -A. Está en el 5 -E. ¿Por qué? -A. Porque el 4 está detrás del 5. -E. ¿Dónde está el 4? -A Este (señala 5) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 4? -A. Porque antes lo he contado. -E. A ver, cuéntalo de nuevo. -A 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala3 y 4), 4 (señala 5), 5 (señala 6). -E. Entonces ¿en qué escalón está el osito? -A. En el 5 -E. Venga, cuéntalo otra vez.

-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) -E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. -A. En el 5 -E. ¿Por qué?. -A. Porque come pan. -E. Bueno, tú todavía no sabes si come pan o no. Pero independientemente dime en qué escalón está, cuéntalo otra vez. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), cin-co (señala 5 y 6), entonces está en el cinco. -E. Tú has dicho cin-co y has señalado éste y éste (el 5 y el 6), entonces ¿en qué escalón está?. ¿Cuál es éste? (señala 5) -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), (se detiene en este escalón que es donde la entrevistadora tiene puesto el dedo). -E. Entonces si este es el 5 (señala 5), ¿dónde está el osito?. -A. En el 7 -E. ¿Por qué? -A. No lo sé. -E. Venga cuéntalo otra vez. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). -E. Entonces ¿dónde está el osito?. -A. En el 6 -E. ¿Por qué sabes que es el 6?. -A. Porque lo he contado. -E. Ahora como eres mago y todo lo puedes adivinar, me tienes que decir si come o no come pan en el 6. -A. Sí come. -E. ¿Por qué?. -A. Porque hay. -E. Y ¿por qué sabes que hay? -A. Porque sí. -E. Tienes que decir, pensando, si en el 6 hay o no hay pan. -A. Porque hay. -E. No lo sabemos, ya que en algunos hay y en otros no, debemos pensar para averiguar si en el 6 hay o no hay. -A. Sí hay. -E. ¿Por qué?, ¿Puedes contarlo? -A. 1, 2, 3, 4, 5, y 6. -E. ¿Te acuerdas que en el 1 sí habíamos puesto?. -A. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste sí (señala 6) y después no. -E. Entonces, ¿come pan el osito en el 6 que es donde está? -A. No hay. -E. ¿Por qué? -A. Porque no hemos puesto.


-E. ¿Por qué no hemos puesto pan en ese escalón? -A. Para que no coma. -E. Pero hemos puesto en uno sí y en otro no, ¿por qué no hemos puesto aquí? (señala 6) -A. Porque no hemos puesto. -E. Entonces ¿dónde hemos puesto?. -A. En éste sí (señala 5) y en este sí (señala 7). -E. Colocamos al osito en este escalón (en el 4), ¿dónde está?. -A. En el 4. -E. ¿Come?. -A. Sí -E. ¿Por qué?. -A. Porque en este come (señala 4) -E. Y ¿qué pasa en el 3?, ¿Cuál es el 3? -A. Señala el 3 y sí hay. -E. Y ¿qué pasa en el 5?, ¿Cuál es el 5?. -A. Este (señala 5) y no hay. -E. ¿Por qué?. -A. Porque me sé todos los números. -E. En este sí hay (señala 5) ¿lo ves?; en el 6 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 6?. -A. No hay. -E. ¿Por qué?. -A. Porque en uno le pones y en otro no.

-E. Sabemos que el osito está en el 5 y que come pan, me tienes que decir qué pasa en el 7, ¿cuál es el 7?. -A. Este es el 7 (señala el 7) -E. ¿Por qué? -A. Me sé todos los números. -E. ¿Hay pan? -A. No sé. -E. Este es el 7, ¿come pan? -A. Sí lo sé porque antes lo he visto. -E. Antonio lo tienes que adivinar sabiendo que en el 5 sí hay pan. -A. Sí hay. -E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8?. -A. Este (señala 8) -E. ¿Hay pan?. -A. No -E. ¿Por qué?. -A. Porque lo sabia antes. -E. ¿Cuál es el 10? -A. Este (Señala 9) -E. ¿Ese es el 10? -A. Este (Señala 10) -E. ¿Come?. -A. No lo sé.

11) Mab. (5, 11) -E. Cuenta los escalones. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -M.. Coloca el pan en los escalones correspondientes. -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así... -M. 1 (señala 1), 3 (señala 3), 5 (señala 5), 6 (señala 7) y señala 9. -E. ¿Este es el 6? (Señala 7). -M. Sí -E. ¿Por qué? -M. Porque va después del 5 -E. ¿Y el 7? -M. El que va después del 6. -E. En el 1-sí come (señala el 1), en el 2-no come (señala el 2), venga sigue tú. -M. En el 3- sí come (señala 3), en el 4-no come (señala 4), en el 5-sí come (señala 5), en el 6-no come (señala 6), en el 7-sí come (señala 7), en el 8-no come (señala 8), en el 9-sí come (señala 9) y en el 10-no come (señala 10). -E. Tapamos el pan y le vamos a decir al osito donde come pan y donde no. El osito va

subiendo y se sienta aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. -M. En el 7 -E. ¿Por qué? -M Porque come pan. -E. Sí, pero eso lo averiguaremos después, ahora quiero que me digas por qué es el 7. -M Porque lo sé. -E. ¿Porque lo has contado? -M. ¡Sí!, ¡Porque lo he contado!. -E. Sí, y ¿desde donde lo has contado? -M. Desde éste (señala 1). -E. Vamos a ver si es el 7. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) y 7 (señala 7). -E. Y en el 7 ¿come pan? -M. Sí. -E. ¿Por qué?. -M. Porque lo he contado -E. ¿Cómo lo has contado?. -M. Mira en el 1 sí come pan, en el 2 no y así. -E. Vamos a comprobarlo (quitan el trapo y ven que sí hay). Este es el 7 (señala 7 que es donde está el osito sentado), si el osito está aquí que es el 7 y sí come pan, qué pasaría si se va al 8 ¿cuál es el 8?. -M. Este es el 8 (señala 8) y no come pan.


-E. ¿Por qué? -M. Porque este es el 1 (señala el 1) y sí come y éste es el 2 (señala el 2) y no come. -E. Sí, pero ¿has tenido en cuenta que en el 7, donde está el osito, sí come?. -M. No. -E. ¿Por qué sabes que en el 8 no? -M. Porque lo he pensado. -E. (Lo comprueban). ¿Y en el 9? -M. Sí come. -E. ¿Por qué? -M. Porque éste es el 7 (señala 7), entonces este es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9) y sí come -E. ¿Y en el 5, hay pan?, ¿Cuál es el 5?. -M. Este es el 5 (señala 5) -E. ¿Por qué lo sabes?. -M. Porque lo he contado. -E. ¿Cómo lo has contado?, ¿Por donde has empezado? -M. Por aquí (señala 1) -E. Y ¿en el 6?, ¿Cuál es el 6? -M. Este (señala 6). -E. ¿Por qué lo sabes? -M. Porque este es el 5 (señala 5) y este es el 6 (señala 6). -E. Este es el 6 y ¿come pan?. -M. No. -E. ¿Por qué? -M. Si este es el 5 y hay pan, entonces éste es el 6 y no hay. -E. Y si ahora cogemos al osito y lo ponemos aquí que es el 10, sabemos que no hay pan; en el 9 ¿hay?, ¿Cuál es el 9?. -M. Este es el 9 (señala 9) -E. ¿Come pan?. -M. Sí. -E. ¿Por qué? -M. Porque este es el 8 (señala 8) y no hay, entonces en este (señala 9) sí hay y en este no hay (señala 10). -E. El osito está en el 10. ¿Cuál es el 8?. -M. Este (señala 8). -E. ¿Por qué?.

-M. Porque este es el 9 (señala 9) y éste es el 8 (señala 8). -E. Este es el 10 (señala 10) y el osito está en el 10, pero si tú ahora te imaginas la escalera más larga, ¿cuál vendría después del 10?. -M. El 11. -E. Y en el 11, ¿comería pan? -M. Sí, porque si en el 10 no come, en el 11 tiene que comer. -E. Y en el 12, ¿comería pan? -M. No, porque si en el 11 sí come entonces en el 12 no tiene. -E. ¿Y en el 13?. -M. Sí -E. ¿Por qué? -M. Porque si en el 12 no tiene, en el 13 sí tiene. -E. ¿En el 16? -M. Es muy difícil porque el 16 no va después del 13. -E. ¿Cuál va después del 13?. -M. El 14. -E. Y en el 14, ¿hay? -M. No porque en el 13 sí hay. -E. ¿Cuál va después del 14?. -M. El 15 -E. Y en el 15, ¿hay? -M. Sí porque en el 14 no hay. E. ¿Cuál va después del 15?. -M. El 16. -E. Y en el 16, ¿hay? -M. No porque en el 15 sí hay. -E. Entonces ya lo puedes adivinar todos ¿verdad?. En el 20 ¿hay?. -M. No te entiendo. -E. Sí, mira en el 10 no hay, entonces en el 11 sí, en el 12 no y así lo vamos viendo, entonces ¿cómo podemos adivinar si hay pan en el 20?, ¿Se puede hacer o es muy difícil?. -M. Sí se puede adivinar. -E. ¿Cómo?. -M. Sí, mira en el 1 hay y en el 2 no hay. -E. ¡Ah!, Entonces así se puede adivinar, pero es muy difícil. -M. Sí.

12) Is. (5, 6) -E. Cuenta los escalones. -I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -I. Coloca el pan en los escalones correspondientes. -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así...

-I. En el 1-sí (señala 1), en el 2-no (señala 2), en el 3-sí (señala 3), en el 4-no (señala 4), en el 5-sí (señala 5), en el 6-no (señala 6), en el 7-sí (señala 7), en el 8-no (señala 8), en el 9-sí (señala 9) y en el 10-no (señala 10). -E. Tapamos el pan y le vamos a decir al osito donde hay pan y donde no. El osito sube y se sienta aquí (en el 7), ¿dónde está el osito?. -I. En el 7.


-E. ¿Por qué sabes que es el 7?, ¿Qué has hecho para adivinarlo?. -I. Porque sí. -E ¿Qué magia has hecho?. -I. Porque aquí hay poco (señala la parte de la escalera que va del 7 al 10) y aquí hay mucho (señala la parte de la escalera que va del 1 al 7), entonces este es el 7 (señala 7). -E. Y ¿éste cuál es? (Coloca al osito en el 6). -I. El 6. -E. ¿Por qué?. -I. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la escalera que va del 6 al 10) y aquí muchos (señala del 1 al 6) -E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 5) -I. Es el 5. -E. ¿Por qué?. -I. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la escalera que va del 1 al 5) y aquí muchos (señala del 5 al 10) -E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 8) -I. El 8 -E. ¿Por qué?. -I. Porque ahora aquí hay muchos (señala la parte de la escalera que va del 1 al 8) y ahora aquí hay dos (señala 9 y 10) -E. Sí, pero me parece que tú has contado desde aquí (señala el 1). -I. No, lo he visto porque aquí hay muchos (del 1 al 8) y aquí hay dos (señala 9 y 10). -E. Vale, ¿y éste? (Coloca al osito en el 9). -I. El 9. -E. ¿Por qué? -I. Porque aquí hay muchos (señala del 1 al 9) y aquí hay uno (señala 10). -E. Colocaremos al osito aquí (en el 7). ¿Cuál es este escalón? -I. El 7. -E.. En el 7 ¿come pan?. -I. Sí. -E. ¿Por qué? -I. Porque sí. -E. Venga dímelo. -I. Porque lo hemos puesto. -E. Y ¿por qué lo hemos puesto?. -I. Porque me acuerdo. -E. ¿Lo comprobamos? (Lo comprueban y sí hay). En el 7 sí hay, en el 8 ¿hay?, ¿Cuál es el 8?. -I. Este es el 8 (señala el 8) y no hay. -E. ¿Por qué?. -I. Porque lo sé. -E. ¿Y en el 9? -I. En el 9 sí

-E. ¿Por qué?. -I. Porque en uno se come y en otro no. -E. ¿Y en el 10? -I. No. -E. ¿Por qué? -I. Porque no lo hemos puesto. -E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 6? -I. Este (señala 6) -E. ¿Por qué lo sabes? -I. Porque el osito está en el 7 entonces éste (señala 6) es el 6. -E. En el 7 sí come pan... -I. Entonces en el 6 no come. -E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5? -I. Este es el 5 (señala 5) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 5? -I. Porque estos son 4 (señala englobando los 4 primeros) y entonces éste es el 5. -E. ¿Tú no lo has sabido porque éste es el 7 y éste es el 6? -I. No. -E. ¿En el 5 come pan?. -I. Sí porque lo hemos puesto, porque en uno se come pan y en el 6 no se come. -E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4? -I. Este (señala 4). En el 4 no se come pan porque en el 5 sí se come. -E. ¿Y en el 3?, ¿Cuál es el 3? -I. Este (señala 3). En el 3 sí se come pan porque en el 4 no se come. -E. Si ponemos el osito aquí (en el 10), ¿come?. -I. No. -E. Ahora vamos a imaginar que la escalera es más larga y que podemos seguir subiendo, entonces ¿en el 11 comería pan? -I. Sí -E. ¿En el 12? -I. No. -E. ¿En el 13? -I. Sí. -E. ¿En el 14? -I. No. -E. ¿En el 15? -I. Sí. -E. ¿En el 20? -I. Es en el 16. -E. Sí, después del 15 va el 16, pero yo quiero saber si en el 20 se come o no. -I. No. -E. ¿En el 23? -I. Sí. -E. ¿Cuál es el truco de esta maga que sabe tanto? -I. Porque en uno se come y en otro no.

13) Clar. (5, 7). -E. Cuenta los escalones.


-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -C. Coloca el pan en los escalones correspondientes. -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así. -C. Hay pan en el 1, 3, 5, 7 y 9 (lo dice sin señalar). -E. Tapamos el pan. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está el osito?. -C. En el 7. -E. ¿Por qué? -C. Porque va detrás del 6. -E. ¿Come pan o no? -C. Sí -E. ¿Por qué? -C. Porque he puesto un pan -E. ¿Por qué has puesto en ese? -C. Porque se tenía que poner -E. ¿Por qué? -C. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no. -E. Y ¿por qué ha tocado en ese que sí? -C. Porque en el 7 se tiene que poner pan. -E. Vamos a comprobarlo. ¡Sí, en el 7 sí hay!, ¿En el 8 hay?, ¿Cuál es el 8?. -C. Este (señala 8) -E. ¿Come?.

-C. No porque no tiene que haber un pan -E. ¿Y en el 9?, ¿Cuál es el 9?. -C. Este (señala 9) y sí come porque tenía que haber un pan -E. ¿Y en el 10?, ¿Cuál es el 10?. -C. Este (señala 10) y no come porque no tenía que haber un pan -E. Vamos a comprobarlo. El osito está en el 7, en el 6 ¿come?, ¿Cuál es el 6? -C. Este (señala 6) y no come porque no había pan -E. ¿Por qué? -C. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no. -E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5?. -C. Este (señala 5) -E. ¿Por qué? -C. Porque este es el 6 (señala 6), y este es el 5 (señala 5) -E. ¿Come? -C. Sí -E. ¿Por qué? -C. Porque en este no come (señala el 6) y en este come (señala el 5) -E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4? -C. Este (señala 4) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 4? -C. Porque va delante del 5 -E. ¿Come? -C. No

14) Esp. (5, 2) -E. Cuenta los escalones. -Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -Es. Coloca el pan en los escalones correspondientes. -E. Dime los números y si hay o no hay pan. -Es. En el 1 come, en el 3 come, en el 5 come, en el 7 come, en el 9 come. -E. Tapamos el pan. Vas a decir donde come pan y donde no. -Es. Comes en el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. -E. Vamos a sentar al osito en el 5, ¿cuál es el 5?, ¿Come en el 5?. -Es. Este (señala el 5). -E. ¿Come? (sienta al osito en el 5) -Es. Sí -E. ¿Por qué?

-Es. Entonces en el 5 sí (después de haber señalado el 1 y el 3). -E. El osito está en el 5 y come. En el 6 ¿come?, ¿Cuál es el 6? -Es. Este (señala el 9) -E. ¿Ese es el 6? ,¿por qué? -Es. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 3 (señala 5), 4 (señala 6), 5 (señala 8), 6 (señala 9). -E. El osito, ¿dónde está? -Es. En el 5 -E. ¿Por qué? -Es. Porque ahí es donde come, (señala el 6 y el 7 y dice que en el 7 está el 6) -E. Entonces, ¿éste cuál es? (señala 6) -Es. El 6 -E. ¿Por qué? -Es. Porque detrás del 5 va el 6 -E. ¿Come en el 6? -Es. No. -E. ¿Por qué? -Es. Porque van de dos en dos -E. ¿Por qué sabes que en el 6 no le toca? -Es. Porque saltamos uno


-E. Ponemos al osito aquí (en el 8), ¿cuál es? -Es. El 7 -E. ¿Por qué? -Es. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 3 (señala 5), 4 (señala 6), 5 (señala 7), 6 (señala 7), 7 (señala 8). -E. ¿Ese es el 7? -Es. Sí, si van de dos en dos sí. -E. (Coloca al osito en el 9), ¿cuál es? -Es. El 7 -E. ¿El 7 también? -Es. El 5 (señala 7), 6 (señala 8) y 7 (señala 9). -E. (Coloca al osito en el 10), ¿cuál es? -Es. El 9 -E. ¿Por qué? -Es. Porque son de dos en dos. -E. Tenemos que contarlos todos, lo que ocurre es que en uno come pan y en otro no. ¿Cuál es el 5?. -Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4) y 5 (señala 5). -E. Entonces éste es el 5 (señala 5), ¿y el 6? -Es. Este (señala 6) -E. ¿Y el 7? -Es. Este (señala 7) -E. ¿Y el 8? -Es. Este (señala 8) -E. ¿Y el 9? -Es. Este (señala 9) -E. ¿Y el 10? -Es. Este (señala 10) -E. Entonces, el osito está en el 10, ¿come pan en el 10?. -Es. No -E. ¿Por qué? -Es. Porque es de dos en dos (va señalando la escalera) -E. Entonces, en el 9 ¿come?. -Es. Sí -E. ¿Por qué?

-Es. Porque hay miguitas de pan. -E. Quitamos las miguitas, y me tienes que decir, ahora, si en el 8 come o no come pan, ¿cuál es el 8?. -Es. Este (señala 8) -E. ¿Por qué? -Es. Porque este es el 9 (señala 9) y éste es el 8 (señala 8) -E. ¿Hay pan? -Es. Sí. -E. ¿Por qué? -Es. Porque sí, porque yo creo que hay pan. -E. Le tienes que decir al osito porqué hay pan en el 8. -Es. Porque yo creo que hay. -E. Destapan el pan y comprueban que no hay. Ahora que sabemos que no hay, me tienes que decir porqué no lo hemos puesto. -Es. Porque van de dos en dos. -E. Si lo ponemos aquí (en el 8) ¿estaría bien?. -Es. No porque van de dos en dos y éste (señala el 8) se lo salta. -E. ¿Aquí hay? (Señala el 7, el trapo está tapando hasta el 7). -Es. Sí (lo comprueban) -E. ¿Aquí hay? (Señala el 6, el trapo está tapando hasta el 6, del 7 en adelante se ve). -Es. No -E. ¿Aquí hay? (Señala el 5, el trapo está tapando hasta el 5, del 6 en adelante se ve). -Es. Sí -E. ¿Aquí hay? (Señala el 4, el trapo está tapando hasta el 4, del 5 en adelante se ve). -Es. No -E. ¿Aquí hay? (Señala el 3, el trapo está tapando hasta el 3, del 4 en adelante se ve). -Es. Sí -E. ¿Aquí hay? (Señala el 6, el trapo está tapando hasta el 6, del 7 en adelante se ve). -Es. No

15) Mar. (5, 9) -E. Cuenta los escalones. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -M.. Coloca el pan en los escalones correspondientes. -E. En el 1 come pan, en el 2 no y así -M. Sí (señala 3), no (señala 4), sí (señala 5), no (señala 6), sí (señala 7), no (señala 8), sí (señala 9) y no (señala 10).'

-E. Tienes que decir el número y si come o no come. En el 1 sí (señala 1), en éste (señala 2)..... -M. No. -E. ¿En éste? (Señala 3), ¿cuál es? -M. El 3-sí. -E. ¿En éste? (señala 4) -M. No. -E. ¿Cuál es? -M. El 4. -E. ¿En éste? (señala 5) -M. El 5-sí -E. Tapamos el pan y tienes que adivinar donde hay pan y donde no hay.


-M. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10), -E. Sentaremos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?, ¿Come pan?. -M. Es el 6 (cuenta desde uno). No come.' -E. En el 7 ¿come pan?, ¿Cuál es el 7? -M. Este (señala 7) y sí come -E. ¿Por qué come? -M. Porque lo hemos puesto -E. ¿Por qué lo hemos puesto? -M. Porque sí. -E. En el 8 ¿come pan?, ¿Cuál es el 8? -M. Este (señala 8) y no come -E. ¿Por qué no come? -M. Porque no lo hemos puesto -E. ¿Por qué no lo hemos puesto? -M. Porque no.

-E. En el 9 ¿come pan?, ¿Cuál es el 9? -M. Este (señala 9) y sí come -E. ¿Por qué come? -M. Porque lo hemos puesto -E. ¿Por qué lo hemos puesto? -M. Porque sí. -E. En el 10 ¿come pan?, ¿Cuál es el 10? -M. Este (señala el 10) y no come -E. ¿Por qué no come? -M. Porque no lo hemos puesto -E. ¿Por qué no lo hemos puesto? -M. Porque no. -E. ¿Y en el 5? -M. Sí (señala el 5 y cuenta desde uno) -E. ¿Y en el 4? -M. No (señala el 4 y cuenta desde uno) -E. ¿Y en el 3? -M. Sí (señala el 3 y cuenta desde uno) -E. ¿Y en el 2? -M. No.

16) Ari. (5, 7) -E. Cuenta los escalones. -A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes colocar el pan en los lugares correspondientes -A coloca el pan en la escalera en uno sí y en otro no, empezando desde uno, pero al llegar al 10 coloca pan. -E. ¿Por qué pones aquí pan? (Señala 10). -A. Lo quita. -E. ¿Por qué lo quitas? -A. Porque ahí no va. -E. Es en 1-sí, en 2-no, y así, venga sigue tú. -A. En 3-sí (señala 3), en 4-no (señala 4), en 5-sí (señala 5), en 6-no (señala 6), en 7-sí (señala 7), en 8-no (señala 8), en 9-sí (señala 9) y en 10-no (señala 10), -E. Tapamos el pan y nosotros le vamos a decir al osito si come o no come pan. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. -A. No lo sé. -E. Adivínalo, piensa y dímelo. -A. En donde come pan. -E. Sí, pero dime como lo puedes adivinar. -A. En el 7 -E. ¿Come pan? -A. Sí -E. ¿Por qué? -A. Porque sí -E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8? -A. Este (señala 8) -E. ¿Por qué?

-A. Porque detrás del 7 va el 8. -E. Y, ¿come? -A. No, porque si ponemos pan aquí (señala 7) en el otro no hay (señala 8). -E.. ¿Cuál es el 9? -A. Este (señala 9). -E. ¿Por qué? -A. Porque detrás del 8 va el 9. -E. ¿Y come? -A. Sí porque si en éste no hemos puesto (señala 8) en éste sí (señala 9). -E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4? -A. Este (señala el 4). -E. ¿Por qué? -A. Porque si aquí hay dos escaleras (señala los dos primeros escalones) y aquí hay otras dos (señala 3 y 4), entonces este es el 4 (señala 4). Es que yo estoy sumando en el colegio y ya sé cuál es el 4. -E. Ya sabes cuál es el 4; y en el 4 ¿come pan el osito?. -A. No. -E. ¿Por qué? -A. Porque lo sé. -E. Vamos a colocar al osito aquí (en el 5), ¿dónde está? -A. En el 5. -E. ¿Por qué lo sabes? -A. Porque 3 más 1 son 5 -E. ¿3 más 1 son 5? -A. Sí. -E. En el 5 ¿come pan?. -A. Sí -E. ¿Por qué?


-A. Porque sí -E. Vamos a comprobarlo. Entonces está en el 5 y sí come pan, en el 6 ¿come?, ¿Cuál es el 6?. -A. Este (señala el 6) y no come. -E. ¿Por qué? -A. Porque si en éste hay pan (señala 5) en éste no hay (señala 6) -E. En el 7 ¿come?, ¿cuál es el 7?. -A. Este (señala el 7) y sí come. -E. ¿Por qué? -A. Porque si en éste no hay pan (señala 6) en éste hay (señala 7) -E. En el 9 ¿come?, ¿Cuál es el 9?.

-A. Este (señala 8) -E. ¿Este es el 9? (señala 8) -A. No, es éste (señala 9) -E. Y ahí ¿come? -A. Sí -E. ¿Por qué? -A. Porque si en éste no hay pan (señala 8) en éste hay (señala 9) -E. ¿Por qué no come en éste? (señala 8) -A. No sé -E. Sí lo sabes, piensa un poco y dímelo. -A. No lo sé (después de pensar un tiempo).

17) Par. (5, 11) -E. Cuenta los escalones. -P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no -P Pone pan en un escalón sí y en otro no. -E. En el 1-sí, en el 2- no, sigue tú. -P. En el 1 sí hay, en el 2, en el 3 sí hay, después el 4 no hay, después el 5 sí hay, después el 7 (señala 6) -E. Este es el 5 (señala 5) y sí hay, entonces ¿éste es el...? (señala 6) -P. El 6, después el 7 (señala 7) sí hay, después el 8 y no hay, después el 9 y sí hay, y éste (señala 10) no hay. -E. ¿Este es el ...? (señala 10) -P. El 10 y no hay. -E. Vamos a tapar el pan, y vamos a adivinar dónde hay pan y dónde no. -P. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10), -E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5), ¿dónde está el osito?. -P. Aquí (señala al osito) -E. Sí, pero ¿qué número es? -P. En el 5 (empieza a contar desde uno) -E. En el 5 ¿come? -P. Sí -E. ¿Por qué? -P. Porque aquí hay migas -E. Vamos a quitar las migas, y me tienes que decir porqué hay pan, lo tienes que pensar y decírmelo. -P. Porque sí, porque antes habíamos puesto. -E. Bien, en el 5 hay pan, en el 6 ¿hay?. -P. No, porque yo sé que no hay. -E. En el 7 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 7?

-P. Este (señala 7), y sí hay porque lo he puesto. -E. En el 8 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 8? -P. Este (señala 8), y no hay porque no lo he puesto. -E. En el 9 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 9? -P. Este (señala el 9), y sí hay porque lo he puesto. -E. En el 10 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 10? -P. Este (señala 10), y no hay porque no lo he puesto. -E. Vamos a comprobarlo. En el 4 ¿hay?, ¿Cuál es el 4? -P. Este (señala el 4) y no hay. -E. En el 3 ¿hay?, ¿Cuál es el 3? -P. Este (señala el 3) y sí hay -E. ¿Por qué hay en el 3? -P. Porque lo he puesto yo. -E. En el 2 ¿hay?, ¿Cuál es el 2? -P. Este (señala el 2) y sí hay -E. ¿Por qué hay en el 2? -P. Porque lo he puesto yo. -E. Vamos a comprobarlo, ¡Ah!, ¡No hay!. Vamos a colocar al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está el osito? -P. En el 8. -E. ¿Por qué sabes que es el 8? -P. Porque sí. -E. Venga, cuenta. -P. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (cuenta sin señalar). -E. Bien, si éste es el 8 (señala el 7), ¿cuál es éste? (Señala el 8). -P. El 9. -E. ¿Y éste? (señala el 9) -P. El 10. -E. ¿Y éste? (señala el 10) -P. El 11. -E. ¡Ah!, ¿había 11? -P. No. -E. Sentamos al osito aquí (en el 8), ¿cuál es? -P. El 8 -E. ¿Come pan?


-P. Sí porque lo he puesto. -E. Vamos a comprobarlo, ¡Oh!, No come. ¿En el 9 come?, ¿Cuál es el 9? -P. Este (señala el 9) -E. ¿Por qué sabes que es el 9? -P. Porque yo cuento en mi casa. -E. ¿Pero en tu casa hay esta escalera y este osito?

-P. No, pero cuento en mi casa. -E. Pero ¿porqué sabes que ese escalón es el 9? -P. Porque sí. -E. El osito está en el 8 ¿cuál es el 7?, ¿Come en el 7? -P. Este (señala 7), y sí come porque lo he puesto.

18) Jav. (5, 0) -E. Cuenta los escalones. -J. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10). -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no, venga ponlo tú. -J. Coloca el pan en el 1, 3, 5, 7, 8 y 9. -E. ¿Está bien?, ¿Lo has hecho bien?, Es en uno sí y en otro no. -J. Mira la escalera con el pan y quita el que había puesto en el 8. -E. El osito dice: "En el 1 como pan, en el 2 no como pan...", venga sigue tú. -J. En el 3 sí como pan (señala 3), en el 4 no como pan (señala 4), en el 5 sí como pan (señala 5), en el 6 no como pan (señala 6, contando bajito, sin señalar, desde uno), en el 8 sí como pan (señala 7) -E. ¿Este es el 8? (señala 7) -J. Es el 7 (después de pensar durante un tiempo) -E. En el 7 ¿come pan? -J. Sí come pan, en el ... (señala 8) no como pan. -E. ¿Cuál es? (señala 8) -J. El 8 (después de pensar durante un tiempo) -E. ¿Come o no come? -J. No como. -E. ¿Cuál es? (señala el 9) -J. El 8 ó el 9 -E. Tienes que decir uno -J. ¿Es el 9? -E. ¿Por qué lo sabes? -J. Porque me lo ha dicho mi madre. -E. Este, ¿cuál es? (señala 10) -J. El 10 (después de pensar durante un tiempo) -E. Entonces ya sabes como es: en uno come pan y en otro no, por eso en el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí y así todos. Vamos a decirle al osito donde come pan y donde no. -E. En éste sí (señala 1), ¿en éste? (señala 2) -J. No -E. ¿En éste? (señala 3) -J. Sí -E. ¿En éste? (señala 4) -J. No

-E. ¿En éste? (señala 5) -J. Sí -E. ¿En éste? (señala 6) -J. No -E. ¿En éste? (señala 7) -J. Sí -E. ¿En éste? (señala 8) -J. No -E. ¿En éste? (señala 9) -J. Sí -E. ¿En éste? (señala 10) -J. Sí -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. -J. ¿En el 7? -E. ¿Por qué? -J. El 6 -E. ¿Por qué? -J. Porque aquí está el pan. -E. ¿En qué escalón está el osito? -J. En el 7, ¡no! En el 6. -E. ¿Qué has hecho para saber que ese es el 6? -J. Porque mi madre me lo ha dicho. -E. ¿Ahí come pan? -J. Sí -E. ¿Por qué dices tú que ahí come pan? -J. Porque sí -E. Vamos a comprobarlo, ¡oh! No come. Es el 6 y no come pan, en el 7 ¿come? ¿Cuál es el 7? -J. ¿Este? (señala 7) -E. Ahí ¿come? -J. Sí -E. ¿Por qué? -J. Porque aquí hay una chispita de pan. -E. Pero por eso no lo debes adivinar, eres mago y tienes que decirme porqué; ¿come en el 7? -J. ¿Sí? -E. ¿Por qué? -J. Porque mi madre me lo ha dicho -E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8? -J. ¿Este? (señala el 8) -E. Sí ese es el 8, ¿por qué lo sabes? -J. Porque he contado todo el día. -E. Y ahí ¿come? -J. ¿No?


-E. ¿Por qué sabes que no come? -J. Porque lo aprendí en mi campo. -E. ¡Ah! En tu campo aprendiste que el osito en el 8 no comía. En el 9 ¿come?, ¿Cuál es el 9?. -J. ¿Este? (señala el 9) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 9? -J. Porque lo aprendí yo solo -E. Y en el 9 ¿come? -J. No -E. ¿Por qué? -J. Porque me lo ha dicho mi madre. -E. Vamos a comprobarlo, ¡oh! En el 9 sí come. El osito está en el 6, ¿cuál es el 5? -J. ¿Este? (Señala el 4), ¡no!, ¡Es éste! (Señala el 5).

-E. ¿Por qué este es el 5? (señala el 5) -J. Porque éste es el 4 (señala el 4) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 4? -J. Porque me lo ha dicho mi madre. -E. Entonces ¿cuál es el 5? -J. Este (señala el 5) -E. Tú sabes que en el 6, donde está sentado el osito, no come, entonces ¿en el 5 come? -J. No. -E. Te recuerdo que es en uno sí y en otro no, y en éste, donde está sentado el osito no come (señala 6), entonces ¿en éste come? (señala 5) -J. ¿Sí? -E. ¿Por qué? -J. Porque lo aprendí yo

19) Cri. (5, 5). -E. Cuenta los escalones. -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10) -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no -C Coloca pan en un escalón sí y en otro no. -E Es en el 1-sí, en el 2- no, ..., venga, sigue tú. -C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 10-no. -E. Vamos a tapar el pan y vamos a adivinar si el osito come o no come pan. -C. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10). -E. Sentaremos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está el osito? -C. En el sí -E. Me tienes que decir el número en el que está. -C. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 4 (señala 5), 5 (señala 9). -E. Tienes que contarlos todos, sin saltarte ninguno y decirme en qué escalón está. -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), está en el 7. -E. En el 7 ¿come? -C. No -E. ¿Por qué?, ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no? ¿Qué forma tienes para averiguarlo? -C. Que sí come -E. ¿Por qué? -C. Sí hay, ¡no hay!. -E. Tienes que decir sí o no pero no las dos cosas. Vamos a ponerlo en otro sitio, lo ponemos aquí (en el 3), ¿hay pan?.'

-C. Sí -E. ¿Por qué? -C. Porque lo sé -E. ¿Por qué lo sabes? -C. No me acuerdo -E. En el 1 hay, en el 2 no hay,... -C. En el 3 sí hay. -E. El osito está en el 3 y sí hay. En el 4 ¿hay?, ¿Cuál es el 4? -C. Este (señala el 5) -E. ¿Por qué? -C. Porque sí -E. ¿Cuál es el 2? -C. Este (señala el 2) -E. ¿Cuál es el 4? -C. Este (señala el 5) -E. Entonces ¿éste cuál es? (señala 4) -C. El 4 -E. Ahí ¿come? -C. No. -E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5? -C. Este (señala el 6) -E. Sentamos al osito aquí (en el 9), ¿en qué escalón está? -C. En el 7 -E. ¿Seguro?, cuéntalo -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7) (mira al osito) ¡ah! entonces está en el 9. -E. Sí, en el 9 ¿come? -C. No -E. ¿Por qué?, te recuerdo que es en el 1-sí, en el 2-no ....y así todos. Vamos a comprobar que en el 9 sí hay pan. En el 9 hay, en el 8 ¿hay?, ¿Cuál es el 8? -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8). -E. ¿Hay pan?


-C. No me acuerdo -E. El osito está en el 9 y sí hay pan, ¿cuál es el 7? -C. Este (señala el 7) -E. ¿Hay pan en el 7? -C. No me acuerdo -E. El osito está en el 9 y sí hay pan, en el 10 ¿come?, ¿Cuál es el 10? -C. Este (señala el 10) -E. ¿Hay pan en el 10? -C. No -E. Sentamos al osito aquí (en el 7) ¿en qué escaló está? -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7) -E. ¿Come?

-C. No me acuerdo -E. En el 7 sí come, en el 8 ¿come?, ¿Cuál es el 8? -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8) -E. ¿Come? -C. No me acuerdo -E. En el 7 sí come, en el 9 ¿come?, ¿Cuál es el 9? -C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) -E. ¿Come? -C. No me acuerdo

Clase de 3 años El desarrollo de la entrevista se realiza siguiendo los mismos puntos que en la clase de los 4 años. 20) Nu. (3, 11) -E. Cuenta los escalones. -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4) y 5 (señala 5) -E. El osito come pan en uno sí y en otro no. -N. Coloca el pan en los escalones correspondientes -E. En el 1-sí, 2-no..., venga ahora tú. -N. Coloca el pan en el 1, "en el 2 no come"; coloca pan en el 3 y en el 5. -E. En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no y en el 5-sí. Ahora tú. -N. En el 1-sí, en el 2 no come, en el 3 sí come, en el 4 no come y en el 5 sí. -E. Tapamos el pan y adivinaremos si hay o no hay. Sentamos al osito en este escalón (en el 3), ¿en qué escalón está sentado? -N. En el 3 -E. En el 3 ¿come? -N. Sí -E. ¿Por qué? -N. Porque lo sé -E. Vamos a comprobarlo, ¡sí!, en el 3 hay, en el 4 ¿hay?, ¿Cuál es el 4? -N. No hay, éste es el 4 (señala 4) -E. ¿Por qué no hay? -N. No hay porque lo sé, vamos a comprobarlo. -E. Vale, lo comprobamos, ¡no hay!. El osito está en el 3 y come pan, ¿cuál es el 5?, ¿Come en el 5?. -N. Este (señala 5) y sí come.

-E. ¿Por qué? -N. Porque lo sé -E. ¿Por qué sabes que come en el 5? -N. Porque sí -E. Vamos a hacer la escalera más larga (entre las dos hacen la escalera con 10 peldaños). Ahora con la escalera larga tienes que contar con el osito. -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10) -E. Ahora, igual que antes, en uno come pan y en otro no. -N Coloca el pan en uno sí y en otro no. -E. Tienes que decir en 1-sí, en el 2-no, ..., venga sigue tú. -N. En el 1-sí (señala el 1), en el 2-no (señala el 2), en el 3-sí (señala el 3), en el 4-no (señala el 4), en el 5-sí (señala el 5), en el..... -E. Este es el 5 (señala el 5), entonces ¿este es el ...? (señala 6) -N. (Cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, mientras señala el 6) el 6-no, el... (cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 mientras señala el 7) el 7 sí, el... (cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 mientras señala el 8) el 8 no, el... (cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 mientras señala el 9) el 9 sí, el... (cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 mientras señala el 10) el 10 no.


-E. Tapamos el pan, colocamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está? -N. En el 4 -E. ¿Sí?, entonces ¿éste cuál es? (señala 4) -N. El 3 -E. Entonces ¿éste cuál es? (señala el 5) -N. El 4 -E. ¿Y donde está el osito es también el 4? -N. No, el 5. -E. Venga, puedes contarlo -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), es el 6. -E. En el 6, ¿hay pan?. -N. Sí -E. ¿Por qué? -N. Porque en uno sí y en otro no -E. Vale, pero por qué dices que en ese (señala el 6) es que sí, podría ser que no. -N. Vamos a verlo. -E. Bueno vamos a comprobarlo, ¡oh! No hay. Vamos a colocarlo aquí (en el 5) ¿cuál es?, ¿Hay? -N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), es el 5 y no hay. -E. Es en el 1-sí...., entonces... -N. En el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí. -E. ¿Entonces?

-N. Sí hay. -E. Vamos a comprobarlo, ¡sí hay!. Vamos a colocarlo aquí (en el 7), ¿hay?. -N. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7). Sí hay, ¡vamos a verlo!. -E. Vale, lo comprobamos, ¡sí hay!. El osito está en el 7 ¿cuál es el 8? -N. Este (señala el 8) -E. ¿Por qué sabes que ese es el 8? -N. Porque lo sé -E. ¿Por qué? -N. Porque sé contar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, después del 7 viene el 8. -E. Si después del 7 va el 8 y en el 7 come pan, en el 8 ¿come? -N. No -E. Vamos a comprobarlo, ¿cuál es el 9? -N. Este (señala el 9) -E. ¿Por qué? -N. Porque lo sé -E. El osito está en el 7 y come pan, en el 9 ¿come? -N. Sí, ¿vamos a verlo? -E. Vale lo comprobamos, ¡sí!.

21) Lou. (3, 3) -E. Cuenta los escalones -L. No (tímidamente) -E. Venga que el osito es tu amigo y quiere jugar contigo, ¿por qué no le ayudas a contar los escalones?

-L. No (tímidamente) -E. ¿Te quieres ir a la clase? -L. Sí (tímidamente) -E. Venga vamos.

22) Luc. (3, 9) -E. Cuenta los escalones -L. 1, 2, 3 (coloca al osito al azar en un escalón al mismo tiempo que dice 1, 2, 3) -E. Tienes que ir sentando al osito en los escalones al mismo tiempo que dices los números. -L. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5). -E. El osito quiere que tú lo vuelvas a contar. -L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5) -E. Ahora vamos a hacerlo entre las dos, yo lo coloco y tú lo cuentas. -L. 1 (colocan al osito en el 1), 2 (lo colocan en el 2), 3 (lo colocan en el 3), 4 (lo colocan en el 4) y 5 (lo colocan en el 5).

-E. Al osito le gusta mucho comer, ¿sabes lo que hace?, que en un escalón come pan y en otro no; debes colocar pan en un escalón sí y en otro no -L Coloca pan en el 1, vuelve a colocar pan en el 1 -E. No, es en uno sí y en otro no. En éste (señala 1) sí, que ya lo has puesto, en ¿éste? (señala 2). -L. Sí (y pone pan) -E. No es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) ya has puesto, en ¿éste? (señala 2) -L. No -E. En ¿éste? (señala 3) -L. No


-E. Es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) sí y ya lo has puesto, en éste (señala 2) no hay, en ¿éste? (señala 3). -L. Sí (lo pone) -E. En ¿éste? (señala 4) -L. Sí (lo pone) -E. Es en uno sí y en otro no. -L. No (lo quita) -E. En ¿éste? (señala 5) -L. Sí (lo pone) -E. Entonces ¿en el 1? -L. Sí come (entre la entrevistadora y la niña cogen al osito y lo colocan en el 1) -E. ¿En el 2? -L. No come (cogen al osito y lo colocan en el 2) -E. ¿En el 3? -L. Sí come (cogen al osito y lo colocan en el 3) -E. ¿En el 4? -L. No come (cogen al osito y lo colocan en el 4) -E. ¿En el 5? -L. Sí come (cogen al osito y lo colocan en el 5) -E. Es en el 1-sí, en el 2-no, venga sigue tú -L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5). -E. Tapamos el pan y sin verlo vamos a decir si come o no come. ¿En el 1? (coloca al osito en el 1)

-L. Sí -E. ¿En el 2? (coloca al osito en el 2) -L. Sí -E. Vamos a verlo (levanta el trapo y ven que no hay), ¿en el 3? -L. No -E. Vamos a verlo, ¡oh! Sí; ¿en el 4? -L. Sí -E. Vamos a verlo, ¡oh! no; ¿En el 5? -L. Sí -E. Vamos a verlo, ¡sí! . Bien, como tú eres pequeña vamos a dejar que se vea el pan, y vamos a colocar al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -L. Silencio -E. ¿Este cuál es? (señala 1) -L. El 4 -E. No es el 1, y éste (señala el 2) -L. El 3 -E. ¿Tú sabes contar? -L. No -E. ¿Por qué? -L. Porque no sabo. -E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4? -L. Silencio.

23) Mi. (3, 10) -E. Cuenta los escalones -M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala 5) -E. Es de uno en uno, venga cuéntalo de nuevo. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5) -E. El osito en un escalón come pan y en otro no, es en uno sí y en otro no -M. Silencio -E. ¿Tú sabes poner pan en el sitio que es sí y no en el sitio del no? -M. Silencio. -E. ¿En éste? (señala 1) -M. Sí (lo pone) -E. ¿En éste? (señala 2) -M. No -E. ¿En éste? (señala 3) -M. Sí (lo pone) -E. ¿En éste? (señala 4) -M. No -E. ¿En éste? (señala 5) -M. Sí (lo pone) -E. Venga, ahora tienes que coger al osito y decir en el 1-sí, en el 2-no y así ¿vale? -M coloca al osito en el 1 y silencio. -E. ¿Este es el...? (señala el 1)

-M. Silencio -E. ¿Cuál es éste? (señala 1) -M. El 5 -E. ¿Este es el...? (señala el 2) -M. El 4. -E. ¿Este es el...? (señala el 3) -M. El 5 -E. ¿Por qué? -M. Porque salta. -E. Sentamos al osito aquí (en el 4), ¿en qué escalón está el osito? -M. En éste (señala al osito) -E. Sí pero ¿qué número es? -M. El 2 -E. ¿Estás seguro? -M. Sí -E. Entonces ¿éste cuál es? (señala el 2) -M. El 1 -E. ¿Por qué? -M. Porque sube -E. ¿Entonces éste cuál es? (señala el 1) -M. Porque cuando sale el niño le da un pelotazo. -E. Sí, pero éste escalón ¿cuál es? (señala el 1) -M. No lo sé


-E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 3), si tú empiezas a contar desde abajo ¿en qué escalón está el osito? -M. Aquí (señala el 2) -E. No, el osito está aquí (señala el 3) ¿no lo ves? -M. Coge al osito y recorre la escalera con él. -E. ¿Quieres contar los escalones otra vez con el osito? -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5)

-E. Vamos a hacer la escalera más larga (ahora con 10 escalones), ¿quieres contar los escalones ahora? -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala 6), 8 (señala 7), 9 (señala 7), 10 (señala 8), 4 (señala 9), 6 (señala 10). -E. Sentamos al osito en el 3 que sabemos que sí come, ¿come en el 4?. -M. Silencio.

24) Pab. (3, 1). -E. Cuenta los escalones -P. Coge al osito y recorre la escalera con él. -E. Tienes que ir contando al mismo tiempo que el osito sube. -P. Coloca al osito en el 1, en el 2 -E. Este ¿cuál es? (con el osito en el 2) -P. El 2, coloca al osito en el 3. -E. ¿Cuál es? (señala el 3) -P. El 14 -E. ¿Y éste? (señala el 4) -P. El 6 -E. ¿Y éste? (señal 5) -P. El 11. -E. Cuéntalo otra vez -P. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 5 (señala 2), 2 (señala 3), 3 (señala 4), 4 (señala 5) -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no, en el 1-sí, en el 2-no,... y así; es en uno sí y en otro no, en éste sí (señala 1), venga ahora ponlo tú. -P. Coloca pan en el 1 (y se para) -E. ¿En éste? (señala 2)

-P. Sí -E. Es en uno sí y en otro no -P. No (en el 2) -E. ¿En éste? (señala 3) -P. No -E. Es en uno sí y en otro no. Venga tú sólo vas a colocar pan donde creas que debe estar porque es en uno sí y en otro no. -P. Coloca pan al lado del que ya había puesto (en el 1) -E. ¿Así está bien? -P. No. -E. Entonces ¿cómo es bien? -P. Coloca más pan en el 1. -E. Vamos a hacer la escalera más larga para que tú cuentes los escalones (con 10 peldaños). -P. 1 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala 6), 8 (señala 7), 9 (señala 8), 14 (señala 9), 15 (señala 10) -E. Es en 1-sí, 2-no, venga sigue tú -P. 1, 14.

25) Mar. (3, 3) -E. Cuenta los escalones. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) -E. El osito cuando sube la escalera come pan en un escalón sí y en otro no. Es en uno sí y en otro no y empieza por éste que es el 1 en el que sí come. -M. Coloca en el 1, 3 y 4. -E. ¿En éste? (señala 4), es en uno sí y en otro no. -M Lo quita del 4 y lo coloca en el 2 -E. Es en uno sí y en otro no -M Quita el pan del 2 -E. ¿En éste? (señala 4) -M. No

-E. ¿En éste? (señala 5) -M. Sí (lo pone) -E. Es en uno sí y en otro no, entonces en el 1-sí, en el 2-no,..., venga sigue tú. -M. Silencio -E. En el 1-sí (señala 1)..... -M. En éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5). -E. Tienes que decir los números al mismo tiempo, en el 1-sí, ¿en éste? (señala el 2) -M. No -E. Pero ¿cuál es? -M. El 2 -E. ¿En éste? (señala el 3) -M. Sí


-E. Pero ¿cuál es? -M. El 5 -E. No, éste era el 2 (señala 2), entonces ¿éste? (señala el 3) -M. El 3 -E. ¿En éste? (señala 4) -M. En el 4, no. -E. ¿En éste? (señala 5) -M. En el 8, no. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está? -M. En el 3 -E. ¿Come pan en el 4? -M. No -E. ¿Cuál es el 4? -M. Este (señala el 2) -E. ¿Este? (señala el 2) -M. Sí -E. ¿Por qué? -M. Porque no come -E. Bien, vamos a quitar el pan de todos los sitios. El osito está sentado en el 3, ¿cuál es el 4? -M. Este (señala el 4) -E. ¿Por qué? -M. Porque había un pan -E. Vamos a poner la escalera más larga para que contemos más. Venga cuéntala. -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10) -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, venga coloca el pan -M. Coloca el pan en los escalones correspondientes

-E. Tapamos el pan. En éste come (señala 1), en ¿éste? (señala 2) -M. No -E. ¿En éste? (señala 3) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 4) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 5) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 6) -M. Sí -E. ¿Sí? -M. No -E. ¿En éste? (señala 7) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 8) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 9) -M. Sí -E. ¿En éste? (señala 10) -M. No -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es? -M. El 6 -E. Cuéntalo -M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7? -M. Este (señala 9) -E. ¿Y el 8? -M. Este (señala 10) -E. ¿Y el 5? -M. Este (señala 9) -E. ¿Y el 2? -M. Este (señala 4)

26) Sal. (4, 3) -E. Cuenta los escalones -S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) -E. El osito cada vez que sube la escalera come pan en un escalón sí y en otro no, ¿quieres poner tú el pan donde sí come? -S Coloca pan en el 1. -E. Se salta uno, en uno come y en otro no, entonces ¿en éste? (señala 2) -S. No -E. ¿En éste? (señala 3) -S. Sí (lo pone) -E. ¿En éste? (señala 4) -S. No -E. ¿En éste? (señala 5) -S. Sí (lo pone). -E. Ahora que está el pan puesto en un escalón sí y en otro no, le tienes que decir en qué

números hay pan, entonces en el 1-sí (señala el 1), ¿en éste? (señala el 2) -S No -E. Pero ¿cuál es? -S. El 2 -E. ¿En éste? (señala el 3) ¿cuál es? -S El 3, sí -E. ¿En éste? (señala el 4) ¿cuál es? -S El 2 -E. ¿Este es el 2? (señala el 4) -S. Sí -E. ¿Y éste? (señala el 5) -S. El 1 -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está? -S. En el 3 -E. Está en el 3, ¿cuál es el 4? -S Este (señala el 4) -E. ¿Por qué?


-S. Porque no tiene pan -E. ¿Cuál es el 2? -S. Este (señala el 4) -E. ¿Por qué? -S. Porque no tiene pan -E. ¿Te acuerdas en qué escalón está el osito? -S. En el 3 -E. ¿Cuál es el 2? -S. Este (señala el 5) -E. ¿Por qué? -S. Porque tiene pan. -E. Vamos a poner la escalera más larga para contar más. Venga cuéntala. -S 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10) -E. Ahora, igual que antes el osito come pan en uno sí y en otro no -S. Coloca el pan en los lugares correspondientes -E. Vamos a tapar el pan y vas a decirme en cuál sí y en cuál no -S. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10). -E. ¿Come en éste? (señala 3) -S. No -E. ¿Por qué? -S. Porque es muy bonito -E. Ahora colocaremos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está? -S. En el 2 -E. ¿Por qué? -S. Porque es muy bonito -E. Venga vamos a contarlo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ¡oh!, está en el 6, ¿en qué escalón está? -S. En el 3

-E. Y ¿cuál es el 4? -S. Este (señala 10) -E. ¿Y el 3? -S. Este (señala 7) -E. ¿Y el 2? -S. Este (señala 2) -E. ¿Y el 6? -S. Este (señala 7) -E. ¿Por qué? -S. Porque no tiene pan -E. Bueno ninguno tiene pan, ¿por qué ese es el 6? -S. Porque es muy bonito -E. Entonces ¿éste es feo? (señala 5) -S. No, pero éste es más bonito (señala 7) -E. ¿Quieres poner el osito en el 10? -S. Lo coge del 6 y lo pone en el 7 -E. ¿Quieres poner el osito en el 1? -S. Lo coge del 7 y lo pone en el 9 -E. ¿Quieres contar de nuevo los escalones? -S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) (se detiene donde está el osito) -E. ¿Por qué te has parado ahí? (en el 9) -S. Porque es grande -E. ¿En qué escalón está el osito? -S. En éste (señala 9) -E. ¿Y ese cuál es? -S. El grande -E. Bien, vamos a colocar al osito aquí (en el 5), ¿come? -S. No -E ¿Por qué? -S. Porque no come -E. Es en uno sí y en otro no -S. Sí come

27) Ir. (3, 9) -E. Cuenta los escalones. -I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) -E. El osito cada vez que sube la escalera come pan en un escalón sí y en otro no, ponlo tú. -I. Coloca pan en el 1. -E. Se salta uno, en uno come y en otro no, entonces ¿en éste? (señala 2) -I. No -E. ¿En éste? (señala 3) -I Sí (lo pone). -E. ¿En éste? (señala 4) -I. No -E. ¿En éste? (señala 5) -I. Sí (lo pone). -E. Es en 1-sí, 2-no, venga sigue tú -I. Silencio.

-E. Tapamos el pan y sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿Come? -I. En éste (señala el 3) -E. Sí pero ¿cuál es? -I. No sé -E. Es el 3, ¿come? -I. No -E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4? ¿come? -I. Este (señala 1) -E. ¿Por qué dices que ese (señala 1) es el 4? -I. No sé -E. Vamos a hacer la escalera más larga (10 peldaños), cuenta ahora -I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 7), 9 (señala 8), 10 (señala 9), 11 (señala 10)


-E. En esta escalera larga el osito come pan en uno sí y en otro no, venga ponlo tú. -I. Coloca el pan en los escalones correspondientes -E. Si tapamos el pan ¿sabes decírmelo? -I. Silencio -E. Es en uno sí y en otro no, en éste (señala1) es sí, ¿en éste? (señala2) -I. No -E. ¿En éste? (señala 3) -I. Sí -E. ¿En éste? (señala 4) -I. Sí -E. ¿Sí? -I. No sé -E. ¿En éste? (señala 5) -I. Sí -E. ¿En éste? (6) -I. Sí -E. ¿Sí? -I. No -E. ¿En éste? (señala 7) -I. Sí -E. ¿En éste? (señala 8) -I. No -E. ¿En éste? (señala 9) -I. Sí -E. ¿en éste? (señala 10)

-I. No -E. Colocaremos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está? -I. Aquí -E. ¿Cuál es? -I. No sé -E. Cuéntalo -I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) -E. Entonces ¿en qué escalón está? -I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) -E. Bien el osito está en el 6, ¿cuál es el 7? -I. No sé -E. ¿Y el 5? -I. Este (señala el 10) -E. ¿Y el 3? -I. Este (señala 4) -E. Bueno, ahora sin números, ponemos al osito aquí (en el 5) ¿come? -I. Sí -E. ¿Por qué? -I. No sé -E. Vamos a comprobarlo. ¡Sí come!. Ya sabemos que come en este (señala 5), ¿come en este? (señala 6) -I. No sé

Anexo 4.2. Categorización de las respuestas de la entrevista de cada niño en la tarea 1: Alternancia De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente a la tarea 1: Alternancia, que justifica la inclusión de las respuestas de cada niño en una categoría determinada según la codificación y categorización establecidas en la tabla A-1 del apartado 9.1 del capítulo

Alternancia. Clase de los 3 años Pab. (3,1). 1A0, 2A0, 3A0 -E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no, en éste sí (señala 1), venga ahora ponlo tú. -P. coloca el pan en el 1 (y se para). -E. ¿En éste? (señala 2). -P. Sí. -E. Es en uno sí y en otro no. -P. No (en el 2). -E. ¿En éste? (señala 3). -P. No. -E. Es en uno sí y en otro no. -P. coloca el pan al lado del que ya había puesto (en el 1). -E. ¿Así está bien?. -P. No. -E. Entonces ¿cómo es bien?. -P. coloca más pan en el 1. Lou. (3,3). 1A0, 2A0, 3A0 No contesta Mar. (3,3). 1A2, 2A2, 3A21


-E. El osito cuando sube la escalera come pan en un escalón sí y en otro no ¿vale?, es en uno sí y en otro no y empieza por éste que es el 1 en el que sí come, venga ponlo tú. -M. coloca en el 1, 3 y 4. -E. ¿En éste? (señala 4), es en uno sí y en otro no. -M quita el pan del 4 y lo coloca en el 2. -E. Es en uno sí y en otro no. -M quita el pan del 2. -E. ¿En éste? (señala el 4). -M. No. -E. ¿En éste? (señala el 5). -M. Sí (lo pone) Sal. (3,4) 1A2, 2A2, 3A21 -E. Aquí sí come (señala 3), ¿come aquí? (señala 4). -S. No. -E. ¿Y aquí? (señala 5). -S. Sí. -E. ¿Por qué?. -S. Porque es muy bonito. Luc. (3,9) 1A1, 2A1, 3A0 -E. Al osito le gusta mucho comer, ¿sabes lo que hace?, en un escalón come pan y en otro no; debes colocar pan en un escalón sí y en otro no. -L. Coloca pan en el 1, vuelve a colocar pan en el 1. -E. No, es en uno sí y en otro no. En éste (señala 1) sí, que ya lo has puesto, en ¿éste? (señala 2). -L. Sí (y pone pan). -E. No es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) ya has puesto, en ¿éste? (señala 2). -L. No. -E. En ¿éste? (señala 3). -L. No. -E. Es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) sí y ya lo has puesto, en éste (señala 2) no hay, en ¿éste? (señala 3). -L. Sí (lo pone). -E. En ¿éste? (señala 4). -L. Sí (lo pone). -E. Es en uno sí y en otro no.. -L. No (lo quita). -E. En ¿éste? (señala 5). -L. Sí (lo pone) Ir. (3,9) 1A2, 2A2, 3A21 -E. Si tapamos el pan ¿sabes decírmelo?. -I. Silencio. -E. Es en uno sí y en otro no, en éste (señala1) es sí, ¿en éste? (señala 2). -I. No. -E. ¿En éste? (señala 3). -I. Sí. -E. ¿En éste? (señala 4). -I. Sí. -E. ¿Sí?. -I. No sé. -E. ¿En éste? (señala 5). -I. Sí. -E. ¿En éste? (6). -I. Sí. -E. ¿Sí?- -I. No. -E. ¿En éste? (señala 7). -I. Sí.. -E. ¿En éste? (señala 8). -I. No. -E. ¿En éste? (señala 9). -I. Sí. -E. ¿en éste? (señala 10). -I. No Mi. (3,10) 1A1, 2A0, 3A0 -E. El osito en un escalón come pan y en otro no, es en uno sí y en otro no. -M. Silencio. -E. ¿Tú sabes poner pan en el sitio que es sí y no en el sitio del no?. -M. Silencio. -E. ¿En éste? (señala 1). -M. Sí (lo pone). -E. ¿En éste? (señala 2). -M. No. -E. ¿En éste? (señala 3). -M. Sí (lo pone). -E. ¿En éste? (señala 4). -M. No. -E. ¿En éste? (señala 5). -M. Sí (lo pone) Nu. (3,11) 1A3, 2A3, 3A3 -N. Es en uno sí y en otro no. -E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala 7). -N. En este sí (señala 1), en este no (señala 2), en este sí (señala 3), en este no (señala 4), en este sí (señala 5), en este no (señala 6) y en este sí (señala 7), ¡Sí hay!

Alternancia. Clase de los 4 años Fr. (4,0) 1A3, 2A3, 3A3 -E. Si en éste (señala 3) el osito come, ¿come en éste? (señala 4) -F. No come porque en el 3 (silencio), en el 4 no come. -E. ¿En éste come? (señala 2). -F. No come porque lo he hecho. -E. ¿Y en éste? (señala 8). –F. No come porque lo he pensado. Adr. (4,1) 1A0, 2A0, 3A0 -E. El osito, Saltarin, come pan en uno sí y en otro no. Tienes que ponerle el pan. -A. Coloca pan en el primer escalón, también en el segundo. -E. Es en uno sí y en otro no. -A. Omite la consigna del


experimentador y deja el pan que ya había puesto; sigue poniendo en el 3, en el 4 y en el 5. -E. ¿Qué come en todos?. -A. Sí An. (4,3) 1A2, 2A2, 3A1 -A. Coloca pan en el 2. -E. Es en uno sí y en otro no y aquí (señala 1) ya hemos puesto. -A. Coloca más pan en el 2. -E. Empezamos de nuevo, aquí come (señala 1), ¿aquí? (señala 2). -A. No como. -E. ¿Aquí? (señala 3). -A. Sí. -E. ¿Aquí? (señala 4). -A. No. -E. ¿Aquí? (señala 5). -A. Sí. -E. El osito está aquí (en el 3) y sí come, ¿come en este? (señala 4). -A. Sí. -E. ¿Por qué?. -A. Porque come. -E. ¿En este come? (señala 1). -A. No. -E. ¿En este? (señala 2). -A. No. -E. ¿En este? (señala 3). -A. Sí. -E. ¿En este? (señala 4). -A. Sí. -E. ¿En este? (señala 5). -A. Sí Beg. (4,6) 1A0, 2A0, 3A0 -E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes ponerlo en los escalones correspondientes. -B. coge el pan y lo pone en el 4. -E En un escalón come pan y en otro no come. -B. pone pan en el 2. -E. ¿Aquí come? (señala 2). -B. lo quita y lo pone en el 3 Pat. (4,6) 1A2, 2A2, 3A21 -E. Si ponemos aquí al osito (en el 6), ¿come?. -P. No come porque me acuerdo (toca por encima del trapo). -E. El osito está aquí (en el 6) y no come, ¿come en éste? (señala 7). -P. No come porque me acuerdo. -E. Pero sabemos que aquí no come (señala 6), ¿come en éste? (señala 7). -P. Sí come porque me acuerdo (levanta el trapo para comprobarlo) Nar. (4, 8) 1A2, 2A2, 3A21 -E. Si ponemos aquí al osito (en el 6), ¿come?. -N. No come porque me acuerdo -E. El osito está aquí (en el 6) y no come, ¿come en éste? (señala 7). -N. No come porque me acuerdo. -E. Pero sabemos que aquí no come (señala 6), ¿come en éste? (señala 7). -N. Sí come porque me acuerdo Sal. (4,11) 1A3, 2A2, 3A23 -E. Si ponemos aquí al osito (en el 3), ¿come?. –S. Es el 3 y sí come porque me acuerdo. -E. En el 3 come, ¿en éste? (señala 4). -S. No come porque lo sé. –E. ¿Y en éste? (señala 5). –S. Sí come porque lo sé. -E. El osito está en el 3 y sí hay, ¿en éste hay? (señala 2). –S. Sí. –E. ¿Sí?. –S. No. –E. ¿Y en éste? (señala 1). –S. Sí. Ver (4,11) 1A3, 2A3, 3A3 -E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala el 3). -V. Sí hay porque me acuerdo. -E. Si en éste hay (señala 3), ¿qué ocurre en éste? (Señala 4). -V. Que no hay porque me acuerdo y en este (señala 5) sí hay, y en este (señala 6) no hay.

Alternancia. Clase de los 5 años Jav. (5,0) 1A3, 2A2. 3A21 -E. Sabemos que en éste (señala 6), donde está sentado el osito, no hay pan, ¿hay en éste? (señala 7). -J. Sí. -E. ¿Por qué?. -J. Porque me lo ha dicho mi madre. -E. En éste (señala 6) no hay pan, ¿hay en éste? (señala 5). -J. No. -E. Es en uno sí y en otro no. -J. ¿Sí?. -E. ¿Por qué?. -J. Porque me lo ha dicho mi madre. Esp. (5,2) 1A3, 2A3, 3A3


-E. Ahora vamos a tapar el pan y tú me vas a decir donde hay pan y dónde no. -Es. Comes en el 1, en el 3, en el 5 y en el 9. –E. En el 5 ¿come?. –Es. Sí porque en el 1, en el 3 y en el 5. –E. Si en el 5 come, ¿come en éste? (señala 6). –Es. No, porque se salta uno, van de dos en dos. Non. (5,2) 1A3, 2A3, 3A3 -N. En este come (señala 1) porque empezando come. -E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala el 2). -N. No porque en el 1 come. -E. ¿Y en este? (señala 3). -N. Sí porque en el 2 come. -E. Si en éste hay (señala 7), ¿qué ocurre en éste? (señala 8). –N. Este es el 8 y no come porque en el 7 sí come. Cri. (5,5) 1A3, 2A2. 3A21 -E. ¿En éste come? (señala 7). –C. No. –E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no?. –C. Sí hay…¡No hay!. -E. Tienes que decir sí o no pero no las dos cosas. Venga, vamos a ponerlo en otro sitio, lo ponemos aquí (en el 3), ¿hay pan?.' -C. Sí. -E. ¿Por qué? –C. Porque lo sé. -E. ¿Por qué lo sabes?. -C. No me acuerdo Is. (5,6) 1A3, 2A3, 3A3 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7). ¿hay pan?. –I. Sí porque me acuerdo. –E. En éste (señala 8) ¿hay?. –I. En el 8 no hay. - -E. ¿Por qué?. –I. Porque en uno se come y en otro no. Clar. (5,7) 1A3, 2A3, 3A3 -E. Ahora vamos a tapar el pan y tú me vas a decir donde hay pan y dónde no. -C. Hemos puesto en el 1, 3, 5, 7 y 9. –E. En el 7 ¿hay?. –C. Sí. –E. ¿Por qué?. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no y en éste (señala 7) toca. Ari. (5,7) 1A3, 2A3, 3A3 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), -E. ¿Come pan?. -A. Sí. -E. ¿Por qué? -A. Porque sí. -E. Y, ¿come? (en el 8). -A. No, porque si ponemos pan aquí (señala 7) en el otro no hay (señala 8) (previamente ha dicho, señalando el 8, que era el ocho porque va detrás del 7). -E. ¿Y come? (en el 9). -A. Sí porque si en éste no hemos puesto (señala 8) en éste sí (señala 9). Ant. (5,9) 1A3, 2A2. 3A23 -E. Pero hemos puesto en uno sí y en otro no, ¿por qué no hemos puesto aquí? (señala 6). -A. Porque no hemos puesto. -E. Entonces ¿dónde hemos puesto?. -A. En éste sí (señala 5) y en este sí (señala 7). –E. Aquí ¿come? (señala 9). –A. Sí. -E. ¿Por qué?. –A. Porque en éste no comía (señala 8). -E. ¿Come? (señala 10). -A. No lo sé. Mar. (5,9) 1A3, 2A2. 3A23 -E. Tapamos el pan y tienes que adivinar donde hay pan y donde no hay. -M. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10), -E. ¿Por qué come? (en el 7). -M. Porque lo hemos puesto. -E. ¿Por qué lo hemos puesto?. -M. Porque sí.. -E. ¿Por qué no come? (en el 8). -M. Porque no lo hemos puesto. -E. ¿Por qué no lo hemos puesto?. -M. Porque no Par. (5,11) 1A3, 2A2. 3A22 -E. ¿En éste, hay pan? (señala 8). –P. Sí porque lo he puesto. –E. En el 8 no hay (lo comprueban), ¿hay en éste? (señala 9). –P. Sí porque lo he puesto. –E. ¿Hay en éste? (señala 7). –P. Sí porque lo he puesto.


Mab. (5,11) 1A3, 2A3, 3A3 -E. ¿Cómo lo has contado?. –M. Mira en el 1 come pan, en el 2 no y así. –E. En el 5 ¿hay?. –M. Sí porque lo he contado. –E. Si en el 5 hay ¿en éste hay? (señala 6). –M. No porque si en este, que es el 5, sí hay entonces en éste, que es el 6, no hay.

Anexo 4.3. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños en la tarea 2: Contar.

De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente a la tarea 2: Contar, que justifica la inclusión de las respuestas de cada niño en una categoría determinada según la codificación y categorización establecidas en la tabla C-1 del apartado 10.1 del capítulo

Contar. Clase de los 3 años Pab. (3,1) 1C1, 2C0, 3C0 -E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –P. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 5 (señala 2), 2 (señala 3), 3 (señala 4), 4 (señala 5). –E. ¿Este cuál es? (señala 2). –P. El 2. –E. ¿Este cuál es? (señala 3). –P. El 14. –E. ¿Y éste? (señala 4). –P. El 6. –E. ¿Y éste? (señala 5). –P. El 11 Lou. (3,3) 1C0, 2C0, 3C0 No contesta Mar. (3,3) 1C3, 2C1, 3C1 -M. Cuenta correctamente los escalones. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -M. En el 3. -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cúal es?. -M. El 8. -E. Sentamos al osito aquí (en el 8), ¿cúal es?. -M. El 5 Sal. (3,4) 1C3, 2C1, 3C1 -S. Cuenta correctamente los escalones. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -S. En el 3. -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cúal es?. -S. El 2. -E. ¿Por qué?. –S. Porque es muy bonito. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –S. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –S. Porque tiene pan. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 2?. –S. Este (señala 5). –E. ¿Por qué?. –S. Porque tiene pan. - Luc.(3,9) 1C1, 2C1, 3C1 -E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5). –E. ¿Este cuál es? (señala 1). –L. El 4. –E. ¿Y éste? (señala 2). –L. El 3. –E. Este es el 1, ¿cuál es este? (señala 2). –L. El 3. Ir. (3,9) 1C2, 2C1, 3C1


-E. Cuenta los escalones. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7), 8 (señala 7), 9 (señala 8), 10 (señala 9), 11 (señala 10). –E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –I. No sé. –E. Cuéntalo. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). –E. Entonces, ¿en qué escalón está?. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). –E. El osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. –I. No sé. –E. ¿Y el 5?. I. Este (señala 10). Mi. (3,10) 1C1, 2C1, 3C1 -E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5). –E. Sentamos al osito aquí (en el 4) ¿cuál es?. –M. El 2. –E. Entonces ¿éste cuál es? (señala 2). –M. El 1–E. ¿Por qué?. –M. Porque sube. Nu. (3,11) 1C3, 2C32, 3C32 -E. ¿Este es el …? (señala 7). –N. El 7 (cuenta en voz baja desde uno). –E. Sentamos al osito en el 7 ¿cuál es el 8? –N. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –N. Porque se contar y después del 7 viene el 8.

Contar. Clase de los 4 años Fr. (4,0). 1C3, 2C31, 3C31 –E. Vamos a sentar a Saltarín aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿qué número es?. –F. El 3. –E. ¿Cuál es éste? (señala 6). –F. El 6. –E. ¿Cuál es éste? (señala 7). –F. El 7. –E. ¿Por qué sabes que ese es el 7?. –F. Porque se contar. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –F. Este (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –F. Porque después del 3 viene el 4. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 2?. –F. Este (señala 2). ). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 2?. –F. Porque después del 1 viene el 2. Adr. (4,1) 1C0, 2C0, 3C0 -E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). -A. Silencio. -E. Hay que ir señalando y contando. -A. 1, 2, (muy bajito y sin señalar). -E. ¿No quieres señalarlos?. -A. señala algunos escalones pero no los cuenta. -A. 1 (y mira al experimentador pero no señala), y 2 (mira la escalera y al experimentador sin señalar) y 9, y 4. -E. ¿Qué número es? (señala 3). -A. El 7 (respuesta que da después de algunos minutos) . -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -A. Silencio An. (4,3) 1C1, 2C1, 3C1 Tramo estable y convencional del 1 al 4. –E. Vamos a sentar a Saltarín aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿qué número es?. –A. El 5. –E. ¿Por qué?. –A. Porque come. –E. Me tienes que decir el número. –A. El 6. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –A. Este (señala 5). –E. ¿Y el 5?. –A. Este (señala 3). Beg. (4,6) 1C3, 2C1, 3C1 Cuenta correctamente los escalones. –E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. –B. En el 1. –E. No, el uno es éste (señala 1), ¿en qué escalón está el osito?. –B. El 3. –E. ¿Cómo lo sabes?. –B. Porque se ha sentado. -E. ¿Cuál es el 1?. –B. Este (señala 1). -E. ¿Cuál es el 2?. –B. Este (señala 2). -E. ¿Cuál es el 3?. –B. Este (señala31). -E. ¿Cuál es el 4?. –B. Este (señala 5). -E. Entonces, ¿cuál es éste (señala 4)?. –B. El 4. –E. ¿Y éste (señala 5)? –B. El 5. –E. ¿Y éste (señala 2)? –B. El 4. –E. Sentamos al osito en el 3, ¿cuál es el 4?. –B. Este (señala 5). –E. ¿Ese es el 4?. –B. No (señala 1). –E. Mira ese es el 1 (sienta al osito en el 1), ¿cuál es el 2?. –B Este (señala 5). Pat. (4,6) 1C3, 2C31, 3C31


-E. Colocamos a Saltarín en éste escalón (en el 6), ¿cuál es?. -P. El 5. -E. ¿Cómo sabes que ese es el 5?. -P. No me acuerdo. –E. Si piensas seguro que me lo puedes decir. –P. Entonces hay que contarlo, 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), es el 6. -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7?. –P. Éste (señala 7). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 5?. –P. Éste (señala 5). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 4?. –P. Éste (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –P. Porque este es el 3 (señala el 3) y yo sé contar hasta 4. Nar. (4, 8) 1C3, 2C22, 3C21 –E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala 3). –N. Es el 3. –E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –N. En el 6. –E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7? –N. Este (señala 8) –E. No ese no es. –N. Este (señala el 9). –E. Pero si el osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. –N. Este (señala el 6). –E. Pero ese es el 6 ya que el osito está en el 6. Vamos a ponerlo en el 7. –N. Lo pone en el 9. –E. ¿Ese es el 7?. _N. No. –E. ¿Cuál es?. –N. El 9. –E. Si ese es el 9 ¿cuál es el 10?. –N. Este (señala 10). Sal. (4,11) 1C3, 2C31, 3C32 -E. ¿Este cuál es? (señala 4). –S. El 4. –E. ¿Por qué lo sabes?. –S. Porque lo he contado. -E. ¿Has empezado a contar desde aquí (señala 1)?. –S. Sí. – E. Este es el 3 (sienta al osito), ¿cuál es éste (señala 4)?. –S. El 2. –E. No, es el que viene después del 3. –S. No lo sé. –E. Venga, ¿cuál es éste (señala 4)?. –S. El 4. -E. ¿Por qué?. –S. Porque lo he contado. –E. El osito está sentado en el 7, ¿cuál es el 8?. –S. Este (señala 8) y no lo he contado (en ese momento cuenta, llega hasta el 8 y dice “es el 8”). Ver (4,11) 1C3, 2C32, 3C31 -E. ¿Cuál es? (señala 3). –V. El 3. -E. ¿Cuál es? (señala 4). –V. El 4. -E. ¿Cuál es? (señala 5). –V. El 5. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el 4?.-V. Éste (señala 4). –E .¿Y el 8? (Deja el osito en el 3). -V. En el 8 sí hay. -E.. ¿Por qué?. -V.. Porque en el 7 no hay. -E.. ¿Y por qué no hay en el 7?. -.. Porque en el 6 hay. -E.. ¿Y en el 10 hay?. -V. Sí, porque en el 9 no hay .

Contar. Clase de los 5 años Jav. (5,0) 1C3, 2C31, 3C22 -E. ¿Cuál es éste? (señala 9). –J. El 8 ó el 9. –E. Tienes que decir uno. –J. ¿El 9?. –E. ¿Por qué lo sabes?. –J. Porque me lo ha dicho mi madre. –E. El osito está en el 6 ¿cuál es el 5?. –J. Este (señala 4), ¡no! Es éste (señala 5). –E. ¿Por qué?. –J. Porque este es el 4 (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –J. Porque me lo ha dicho mi madre. Esp. (5,2) 1C3, 2C32, 3C32 -E. Sentamos al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?. –Es. En el 5. –E. ¿Por qué sabes que es el 5?. –Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4) y 5 (señala 5). –E. El osito está en el 5, ¿éste cuál es? (señala 6). –Es. El 6. –E. ¿Por qué?. –Es. Porque detrás del 5 va el 6. –E. Sentamos al osito en el 10, ¿cuál es el 9?. –Es. Este (señala 9) –E. ¿Y el 8?. –Es. Este (señal 8). –E. ¿Por qué?. –Es. Porque éste es el 9 (señala 9) y éste es el 8 (señala 8). Non. (5,2) 1C3, 2C32, 3C32 -E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –N. En el 7. –E. ¿Por qué lo sabes?. –N. Porque lo he contado?. –E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 8?. –N. Este (señala 8). –E. ¿Y el 9?. –N. Este (señala 9). –E. Ahora colocamos al osito aquí (en el 10), ¿cuál es el 9?. –N. Este (señala 9). –E. ¿Por qué lo sabes?. –N. Porque el osito está en el 10 y éste (señala 9) es el 9. –E. ¿Y el 6?. –N. Este (señala 6). . –E. ¿Por qué lo sabes?. –N. Porque este es el 8 (señala 8), este es el 7 (señala 7) y éste es el 6 (señala 6).


Cri. (5,5) 1C3, 2C31, 3C22 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7). ¿en qué escalón está?. –C. En el que sí. –E. Me tienes que decir el número. –C. En el 7 (cuenta desde uno después de haberle dicho que tenía que contarlos todos). –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –C. Este (señala 5). –E. ¿Por qué? –C. Porque sí. –E. ¿Cuál es el 2?. –C. Este (señala 2). –E. ¿Cuál es el 4?. –C. Este (señala 4). –E. ¿Por qué? –C. Porque sí. Is. (5,6) 1C3, 2C32, 3C32 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –I. En el 7. –E. ¿Por qué sabes que es el 7. –I. Porque aquí hay poco (señala del 7 al 10) y aquí hay mucho (señala del 1 al 7). -E.Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 5). -I. Es el 5. -E. ¿Por qué?. -l. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la escalera que va del 1 al 5) y aquí muchos (señala del 5 al 10). -E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 8).-I. El 8. -E. ¿Por qué?. -I. Porque ahora aquí hay muchos (señala la parte de la escalera que va del 1 al 8) y ahora aquí hay dos (señala el 9 y el 10). -E. Sí, pero me parece que tú has contado desde aquí (señala el 1).-I. No, lo he visto porque aquí hay muchos (del 1 al 8) y aquí hay dos (señala el 9 y el 10). –E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 6?. –I. Este (señala 6). –E. ¿Por qué?. –I. Porque éste es el 7 (señala 7) y entonces éste es el 6 (señala 6). Clar. (5,7) 1C3, 2C32, 3C32 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –C. En el 7. –E. ¿Por qué sabes que es el 7?. –C. Porque va detrás del 6. –E. El osito está en el 7, ¿Cuál es el 5?. –C. Este (señala 5). –E. ¿Por qué?. –C. Porque éste es el 6 (señala 6) y éste es el 5 (señala 5). –E. ¿Y el 4?. –C. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –C. Porque va delante del 5 y éste es el 5 (señala 5). Ari. (5,7) 1C3, 2C32, 3C32 -E. ¿Cuál es el 4?. –A. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –A. Porque aquí hay dos (señala 1 y 2) y aquí hay otros dos (señala 3 y 4), entonces este es el 4 (señala 4). –E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es el 8?. –A. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 7 viene el 8. –E. ¿Y el 9?. –A. Este (señala 9). –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 8 viene el 9. Ant. (5,9) 1C3, 2C31, 3C22 Cuenta correctamente después de varios ensayos. –E. Colocamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –A. En el 5. –E. ¿Por qué?. –A. Porque el 4 está detrás del 5. –E. ¿Dónde está el 4?. –A. Este (señala 5). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –A. Porque antes lo he contado. –E. Cuéntalo de nuevo. –A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3 y 4), 4 (señala 5), 5 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. –A. En el 5. –E. Venga, cuéntalo otra vez. –A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. –A. En el 5. –E. ¿Por qué?. –A. Porque come pan. –E. Olvídate del pan y dime en qué escalón está. –A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. –A. En el 6. –E. ¿Por qué?. –A. Porque lo he contado. –E. Colocamos al osito en el 4, ¿cuál es el 3?. –A. Este (señala 3). –E. ¿Y el 5?. –A. Este (señala 5). –E. ¿Por qué? –A. Porque me sé todos los números. –E. ¿Y el 7?. –A. Este (señala 7). –E. ¿Por qué? –A. Porque me sé todos los números. –E. ¿Y el 10?. –A. Este (señala 9). –E. No. –A. Este (señala 10). Mar. (5,9) 1C3, 2C32, 3C22 -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –M. En el 6 (cuenta desde 1). –E. Este es el 7 (señala7), ¿cuál es el 8?. –M. Este (señala 8). –E. ¿Y el 9?. –M. Este (señala 9). –E. ¿Y el 10?. –M. Este (señala 10). Par. (5,11) 1C3, 2C31, 3C22


-E. Sentamos al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?. –P. En el 5. –E. ¿Por qué?. –P. Porque cuento en mi casa. –E. El osito está sentado en el 8 ¿Cuál es el 9?.-P. Este (señala 9). –E. ¿Por qué?. –P. Porque cuento en mi casa. Mab. (5,11) 1C3, 2C32, 3C32 -E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –M. En el 7.-M. ¿Por qué sabes que es el 7?. –M. Porque lo he pensado. -E. ¿Lo has contado?. –M. ¡Sí, lo he contado!. . –E. Desde dónde has contado. –M. Desde éste (señala 1). –E. Si el osito está en el 7 ¿cuál es el 8?. –M. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –M. Porque éste es el 1 (señala 1), éste es el 2 (señala 2), éste es el 3 (señala 3), éste es el 4 (señala 4), éste es el 5 (señala 5), éste es el 6 (señala 6), éste es el 7 (señala 7) y éste es el 8 (señala 8). –E. Si, pero ¿has tenido en cuenta que éste (señala 7) es el 7?. –M. No. –E. ¿Y el 9?. –M. Este (señala 9). –E. ¿Por qué?. –M. Porque éste es el 7 (señala 7), éste es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9).

Anexo 4.4. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños en la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia.

De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente a la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia, que justifica la inclusión de las respuestas de cada niño en una categoría determinada según la codificación y categorización establecidas en la tabla S/A-1 del apartado 11.1 del capítulo

Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 3 años Pab. (3,1) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0 -E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –P. 1, 14. –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –. P. El 11. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?. –P. Silencio. Lou. (3,3) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0 No contesta Mar.( 3,3) 1S/A21, 2S/A1, 3S/A1 -E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –M. Silencio. –E. Tienes que decir los números al mismo tiempo, en el 1-sí, ¿en éste? (señala 2). –M. No. –E. Pero, ¿cuál es?. –M. El 2. –E. ¿En éste? (señala 3). –M. Sí. –E. ¿Cuál es?. –M. El 5. –E. El osito está aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –M. En el 8. –E. ¿Come?. –M. No. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –M. No come, este es el 4 (señala 2). Sal. (3,4) 1S/A21, 2S/A1, 3S/A1 -E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –S. No. –E. ¿Cuál es?. –S. El 2, en éste sí (señala 3). –E. ¿Cuál es?. –S. El 3-sí. –E. ¿En éste?. (señala 4). –S. El 2-sí. –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –S. En el 3. –E. ¿Come?. –S. Sí. –E. ¿Por qué?. –S. Porque es muy bonito. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 2?, ¿cuál es el 2?. –S. Este (señala 5) porque tiene pan. Luc. (3,9) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0


-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5). –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –L. Silencio. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?. –L. Silencio. Ir. (3,9) 1S/A1, 2S/A1, 3S/A0 -E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –I.. 1-sí (señala 1), 4-no (señala 3. –E. Sentamos al osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –I. En éste (señala 3). –E. Sí, pero ¿cuál es?. –I. No sé. –E. Es el 3, ¿Come?. –I. No. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –I. Este (señala 1). Mi. (3,10) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0 -E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –M. Coloca al osito en el 1 y silencio –E. El osito está aquí (en el 3), si tú empiezas a contar desde abajo ¿en qué escalón está?, ¿come?. –M. Aquí (señala 2). –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?. –M. Silencio. Nu. (3,11) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A31 -E. Es en el 1-sí, 2-n0,…. –N. En el 3-sí (señala 3), en el 4-no (señala 4), en el 5-sí, en el …(cuenta en voz bajia 1, 2, 3, 4, 5, 6, mientras señala 6) 6-no,…(repite el proceso hasta 10). –E. El osito está en el 7 y sí hay, ¿hay en el 8?, ¿cuál es el 8?. –N. Este (señala 8) porque después del 7 viene el 8. –E. ¿come?. –N. No.

Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 4 años Fr. (4,0) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A31 -E. Y en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?. -F. El 2 (señala 2). -E. Y qué pasa en el 2, ¿come?. -F. No. -E. ¿Por qué?. -F. Porque lo he hecho y sé que en el 2 no hay. -E. ¿Y como lo has hecho? -F. En el 1 hay y en el 2 no hay. -E. El osito está en el 3 y sí come, ¿qué pasa en el 5?, ¿cuál es el 5?. -F. Este es el 5 (señala 5). -E. En el 3 sí come ¿y en el 5?. -F. Sí . -E. ¿Por qué? -F. Porque lo he pensado. -E. ¿Cómo lo has pensado?.-F. En el 4 no come y después del 4 viene el 5. Adr. (4,1) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0 -E. En el 1-sí, en el 2-no,..venga sigue tú. –A. Silencio. –E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come pan ahí?. –A. Silencio. –E. En el 3, donde está sentado el osito hay pan, ¿en el 4, hay pan?, ¿cuál es el 4?. –A. Sí An. (4,3) 1S/A1, 2S/A1, 3S/A1 -E. Estás viendo la escalera y el pan en la escalera; me tienes que decir "el número de cada escalón y si come o no come pan", "mira, este es el 1 -señala el primer escalón- y sí hay, entonces en el 1 sí come", y así todos ¿vale?. -A. Silencio. -E. ¿Cuál es? (Señala 1). -A. El que come (está viendo el pan en ese escalón). -E. Sí, aquí sí come (señala el 1), pero, ¿qué número es?. -A. El 3. –E. Al osito lo sentamos aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –A. En el 5 porque come. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –A. Este (señala 5) porque hay comida. –E. ¿Y en el 5?, ¿cuál es el 5?. –A. Este (señala 3) porque no hay comida. Beg. (4,6) 1S/A0, 2S/A0, 3S/A0 -E. En el 1-sí, en el 2-no, …venga sigue tú. –B. Coge pan y lo pone en el 4. –E. Sentamos al osito aquí (en el 4), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –B. En el que no había pan.


Pat. (4,6) 1S/A21, 2S/A21, 3S/A21 -E. En el 1- sí, en el 2- no, …-P. En el 4-sí (señala 3). -E. Ahora vamos a decirlo todo, decimos en el 1-sí,....-E. Señala el 2.-P. El 2 no hay.. -E Señala el 3.. -P. El 3 sí hay. -E. Señala el 4. -P. duda pero finalmente dice "en el 4 sí hay". -E. Señala el 5. -P. El 5 sí hay. -E. ¡Está (el osito) en el 6!. Ahora quiero que me digas si en el 6 come pan o no come. -P. Sí -E. ¿Por qué?. -P. (No sabe qué contestar y quita el trapo) ¡oh!, ¡No hay!. -E. El osito está en el 6 y no come, en el 7 ¿come?, ¿cuál es el 7?. -P. Este es el 7 (señala 7), y no se si come o no come. ¡No come! (quita ella misma el trapo y ve que sí come). Nar. (4, 8) 1S/A21, 2S/A21, 3S/A1 -E. En el 1- sí, en el 2-no, …,venga sigue tú. -N. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 7-sí (señala 9). -E. ¿Este es el 7?. -N. ¿El 8? … -E. Venga empezamos de nuevo. -N. En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 8-no (señala el 10)…. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿sabes en qué escalón está?, ¿Ahí come?. -N. Es el 3 y sí come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo. -E. ¿Y éste? (Señala 4), ¿come?. -N. Es el 4 y no come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me acuerdo…. -E. El osito está en el 6 y no come pan, ¿qué ocurre en el 7?. -N. No come porque me acuerdo. -E. Te recuerdo que en el 6 no come, ¿cuál es el 7?. -N. Este (señala 7). -E. ¿Come?. -N. Sí come porque me acuerdo. -E. ¿Y en el 8?. -N. Sí porque me acuerdo. Sal. (4,11) 1S/A22, 2S/A22, 3S/A22 -E. En el 1-sí, 2-n0, venga sigue tú. –S. 3-sí, en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5),…-E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿cuál es?, ¿come?. –S. Es el 3 y sí come. –E. ¿Por qué?. –S. Porque sí. –E. Este es el 3 y sí come, en el 4 ¿come?, ¿cuál es el 4?. –S. Este (señala 4) y no come. –E. ¿Por qué?. –S. Porque sí. Ver (4,11) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A31 -E. En el 1 no hay, en el 2...-V. En el 1 no, en el 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí, en el 5 no, en el 6 sí, en el 7 no, en el 8 sí, en el 9 no y en el 10 sí. - E. ¿Cuál es? (Señala 4). - V. Es el 4 y no hay. -E. ¿Cuál es? (Señala 5). -V. En el 5 sí hay. -E. ¿Cuál es?( Señala 3), ¿Hay pan en ese escalón?. -V. Es el 3 y sí hay porque me acuerdo. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el 4?, ¿Hay pan en el 4?. -V.. Éste (señala 4) y sí hay pan porque en el 3 no hay. -E. ¿Y en el 8? (Deja el osito en el 3 y recuerda que ahí no había).-V. En el 8 sí hay. -E.. ¿Por qué?. -V.. Porque en el 7 no hay.

Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 5 años Jav. (5,0) 1S/A22, 2S/A21, 3S/A21 -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –J. ¿En el 7?. –E. Piénsalo. –J. El 6. –E. ¿Por qué?. –J. Porque aquí está el pan (señala 6). –E. El osito está en el 6 y no come, ¿come en el 7?, ¿cuál es el 7?. –J. Este (señala 7), -E. ¿Come?. –J. Sí. –E. ¿Por qué?. –J. Porque sí. Esp. (5,2) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A32 -E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5), ¿qué número es?, ¿come?. –Es. Sí. –E. ¿Por qué?. –Es. Entonces en el 5 sí (después de haber señalado el 1 y el 3). –E. El osito está en el 5 y sí come, en el 6 ¿come?. –Es. No. –E, ¿Por qué?. –Es. Porque van de dos en dos. –E. ¿Por qué sabes que en el 6 no toca?. –Es. Porque saltamos uno Non. (5,2) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A32 -E. El osito está en el 7 y sí come. En el 8, ¿come?. -N. No come porque en el 7 sí come. -E. ¿Y en el 9?


-N. Sí come porque en el 8 no come. -E. El osito está ahora en el 10 y no come. En el 9 ¿come?. -N. Sí porque en el 10 no comía. -E. En el 6 ¿come?. -N. No come porque en el 8 no, en el 7 sí y en el 6 no. Cri. (5,5) 1S/A3, 2S/A21, 3S/A21 -E. Es en 1-sí, en 2-no,, venga sigue tú. -C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí, en el 10-no. -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. ¿come?. -C. En el sí. -E. En el 7 ¿come?.- C. No. -E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no?. -C. Que sí come.. Is. (5,6) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A32 -E. El osito se sienta aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –I. El 7 y sí come. –E. Y en el 4 ¿come?, ¿cuál es el 4?. –I. Este (señala 4). En el 4 no come pero en el 5 sí. –E. En el 7 sí hay, en el 8 ¿hay?, ¿cuál es el 8?. –I. Este es el 8 (señala 8) y no hay. –E. ¿Por qué?. –I. Porque en uno se come y en otro no. Clar. (5,7) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A31 -E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –C. En el 7 y sí come. -E ¿Por qué?. -C. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no. -E. Y ¿por qué ha tocado en ese que sí?. -C. Porque en el 7 se tiene que poner pan. –E. En el 7 hay, ¿en el 6 hay?. –C. No porque no tenía que haber un pan. –E. ¿Y en el 5?. –C. Sí porque en éste no come (señala 6) y en este come (señala 5). Ari. (5,7) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A32 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es?, ¿come?. –A. El 7 y sí come. –E. En el 7 sí come, ¿come en el 8?, ¿cuál es el 8?. –E. Este (señala 8) y no come. –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 7 viene el 8 y si ponemos pan aquí (señala 7) en el otro no hay (señala 8). Ant. (5,9) 1S/A22, 2S/A21, 3S/A21 -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?, ¿come?. –A. En el 6. –E. ¿Come?. –A. Sí. –E. ¿Por qué?. –A. Porque hemos puesto. –E. Sabemos que el osito está en el 5 y que come pan, me tienes que decir qué pasa en el 7, ¿cuál es el 7?. –A. Este (señala 7). –E. ¿Hay pan?. –A. No lo sé. –E. Lo puedes adivinar sabiendo que en el 5 sí hay. –A. Sí hay. Mar. (5,9) 1S/A22, 2S/A22, 3S/A22 -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?, ¿come?. –M. Es el 6 (cuenta desde 1) y no come. –E. ¿Por qué?. –M. Porque lo hemos puesto. –E. El osito está en el 6 y no come, ¿come en el 8?, ¿cuál es el 8?. –M. Este (señala 8) y no come. –E. ¿Por qué?. –M. Porque no lo hemos puesto. Par. (5,11) 1S/A22, 2S/A22, 3S/A22 -E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?, ¿hay pan?. –P. En el 5 y sí hay. –E. ¿Por qué?. –P. Porque hay migas. –E. Sentamos al osito aquí (en el 8), ¿en qué escalón está?, ¿hay pan?. –P. En el 8 y sí hay porque lo he puesto. –E. El osito está en el 5 y sí hay pan, ¿hay en el 6?, ¿cuál es el 6?. –P. Este (señala 6) y no hay porque yo se que no hay. Mab. (5,11) 1S/A3, 2S/A3, 3S/A32 -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es?, ¿come?. –M. El 7 y sí come. –E. ¿Por qué?. –M. Mira en el 1 come pan, en el 2 no y así. –E. Si el osito está aquí que es el 7 y sí come pan, qué pasaría si se va al 8 ¿cuál es el 8?. -M. Este es el 8 (señala el 8) y no come pan. -E. ¿Por qué?. -M. Porque este es el 1 (señala el 1) y sí come y éste es el 2 (señala el 2) y no come. -E. Sí, pero ¿has tenido en cuenta que en el 7, donde


está el osito, sí come?. -M. No. –E .¿Y en el 9?. -M. Sí come.. -E. ¿Por qué?. -M. Porque éste es el 7 (señala 7), entonces este es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9) y sí come

ANEXOS V. MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES

Anexo 5.1. Sucesión de siguientes y encadenamiento aditivo.

Llamamos sucesión de siguientes a: Una serie discreta y conexa que está generada por una relación asimétrica y biunívoca, es una progresión en el sentido de Bertrand Russell.

Encadenamiento aditivo es relativo al proceso de ir añadiendo cada término en la sucesión de siguientes, así, al mencionar un nuevo término se añade a la lista de los ya mencionados, y este nuevo término se pone a continuación del último término considerado hasta ese momento porque es el siguiente inmediato de éste según la relación biunívoca que ha generado la sucesión de siguientes.

ANEXOS VI. Estudio Empírico Cualitativo

Anexo 6.1. Trascripción de las entrevistas del estudio empírico

En las trascripciones de las entrevistas aparecen códigos y signos que debemos aclarar:

• Las intervenciones de la investigadora se marcan con la letra I y las del niño con la letra N

• Los asteriscos en las intervenciones de la investigadora indican que se inicia la tarea asociada a un estado.

• Las anotaciones del tipo (Ki) que aparecen en algunas intervenciones de la investigadora significa que está planteando la situación i de la tarea asociada al estado K

• En algunas respuestas de los niños aparece entre paréntesis notas del tipo: (Kim)1 que será el justificante de señalar en la tabla2 la celda de coordenadas (m, Estado K, i)

••• En algunas respuestas aparece (KEttt), K indica el estado, Ettt significa estrategia seguida, siendo E fijo y ttt variando de 111 a 555

• Si para un niño y estado determinado aparece (KEggg) y (KEhhh), con ggg mayor que hhh , entonces consideramos que la estrategia usada en el estado considerado es la mayor.

• Igualmente predominará a sobre b en las situaciones 2 y 3 en cada uno de los estados. Así, por ejemplo, si para un niño encontramos (III2b) en una intervención y encontramos en otra (III2a), consideraremos que ha superado la situación 2 de la tarea asociada al estado III.

Para facilitar la lectura y aunque ya se ha indicado en el apartado 6.3.2. del capítulo

VI, el comienzo de cada uno de las tareas asociadas a los estados en las entrevistas se realiza de la siguiente forma por parte de la investigadora: 1 K representa el estado, i la situación de la tarea asociada al estado y m toma los valores a ó b 2 Nos estamos refiriendo a las tablas del apartado 9.1 del capítulo VI.

Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo. 330

Estado I. I. Vamos a jugar con los Piolines, la escalera y el pan (señala cada uno de

esos objetos que se encuentran sobre la mesa). Todos los días los Piolines suben por esta escalera para ir a su casa. Su mamá le ha dicho que coman pan en todos y cada uno de estos escalones cuando van subiendo. Tú vas a ayudar a los Piolines a obedecer a su madre, entonces tienes que colocar pan en todos los escalones conforme se sube.

Estado II. I. (Coge un Piolín va subiendo la escalera hasta dejarlo en el 5). Cuando

está aquí se come este pan. ¿Qué pan se comerá después de ese (señalando el Piolín del escalón 5)?.

Estado III. I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro)3. ¿Lo ves cómo está?

Es en uno sí y en otro no. Ponemos el pajarito aquí (5) porque hay pan. (Saca un muro de cartulina para ponerlo en la escalera). Colocaremos este tabique aquí (lo pone en la parte inferior de la escalera, en los escalones del 1 al 4 y tapando con ello los trozos de pan que estaban en el 1 y el 3 de la vista del niño/a) para que no veas tú si hay o no hay pan. Colocaremos esta otra pared aquí (pone otro muro en la parte superior de la escalera, tapando los escalones del 7 al 10) para que tú no veas si hay o no hay. Entonces, el pajarito está aquí (señala el Piolín que está en el escalón 5) que sí hay pan (señala el pan). Ahora tienes que poner pajaritos donde haya pan detrás de la pared.

Estado IV. I. Ahora sólo la escalera, sin pan (quita los trocitos de pan y los

Piolínes). Colocamos a este Piolín aquí (en el 5), (pone un muro tapando los primeros escalones) Lo hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que colocar tú un pajarito en el número N4.

Estado V. I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro no)5. Colocaremos de

nuevo los tabiques (en los tramos 1-3 y 7-10). También ponemos un Piolín en el 5, éste (5) es el número 5 y come pan (señala el pan), ¿en qué otro número después del 5 come también pan?

Estado VI. –(Sobre la escalera hay pan y Piolín en uno sí y en otro no). La escalera

llega hasta el 10, y hemos visto en los números que se come. Ahora debemos imaginar que la escalera es más larga y que después del 10 hay otro escalón que es el 11, después otro que es el 12, otro el 13…¿Tú crees que en el T6 habrá pan?.

. Las intervenciones de la investigadora para iniciar cada uno de los estados se marcan con un asterisco. Debemos interpretar que estas intervenciones siempre se

3 El niño realiza la alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín ya no come en todos, ahora come en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. Venga, colócalos así”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado III. Si la respuesta ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado. 4 N es un número del tramo 5-10. 5 El niño realiza la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín come en uno sí y en otro no, 1-sí… Me tienes que decir los números en los que hay pan.”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado V. Si la respuesta ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado. 6 T es un número que la investigadora considera adecuado para realizar la entrevista según proceda, normalmente toma valores entre 15 y 29


inician de la misma forma según los puntos dados anteriormente, por ello aparecen puntos suspensivos antes de iniciar la frase en la trascripción. Los Estados I y II se desarrollan mayoritariamente de la forma que a continuación se expresa: *I – … Ponles pan en todos los escalones, conforme se sube. Un pan en cada escalón. (I1) N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – …. ¿Después de comerse éste (5), cuál se come? (II1) N – Señala el pan del escalón 6. I –¿Y después de ese, cariño? N – Señala el pan del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 9.

I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 10. (II1a) I – Ha ido subiendo y se ha puesto aquí (5), entonces, ¿antes de comerse éste (5), antes, cuál se había comido?. N – Antes.... (se queda pensativo). I – Iba subiendo. Justamente antes. N – Ese ( Señala el pan del escalón 4.) I – ¿Y antes? N – Ese (señala el pan del escalón 3). I – ¿Y antes? N – Ese (señala el pan del escalón 2). I – ¿Y antes? N – Señala el pan del escalón 1. (II1a, IIE444

Ese es el motivo por el cuál en la trascripción se omite lo referente a los estados I y II, exponiéndose, sólo, aquellos casos en los que se produce alguna variación.

6.1.1. Colegio Concertado Provincial Urbano R. 1) Al. 5,8. Nombre: Alba. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Agosto. I –¿Por qué, cuando va subiendo, se come éste (6), después de comerse éste (5)? (IIE) N – Porque va subiendo y está al lado (IIE555 ) I –Ahora vamos a hacer otra cosa. (Va quitando los trozos de pan y el Piolín) Entonces, ahora en lugar de comer pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Y en el primero es que sí. Venga, colócalo. N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. *I – …. Hay aquí un Piolín (pone un Piolín en el escalón 5) porque aquí come pan, Ahora tienes que poner Piolines donde haya pan (III1) N – Pone un Piolín detrás del muro. I – No, pero ponlo aquí delante, después lo quitamos y vemos si hay o no. N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – En todos, cariño, en todos donde haya pan. N – (Coloca Piolines en los escalones 7 y 3) ¿Aquí (9) es, no? I – Tú lo pones y después... Si tú lo crees, pues lo pones y después lo vemos. N – Es que si éste está juntado... (III1a…) I – Pues entonces, arréglalo.

N – Pone un Piolín en el escalón 9 y quita el del escalón 10. I – ¿Y por allí abajo, ya no hay más? N – Pone un Piolín en el escalón 1y 3 I –¿Por qué pones éste (7) aquí? ¿Por qué después de éste (5) que es donde hay pan, por qué lo pones aquí (7), cariño? (IIIE) N – Porque me dijiste que uno sí y otro no, uno sí. (Va señalando los escalones 5, 6 y 7) I – (Quita los Piolines) Si coloco uno aquí (3) ¿Por qué come? N – Porque...porque he contado y habías dicho uno sí, otro no, otro sí. (Coloca los dedos en los escalones 1, 2, 3 y 4) (…III1a, IIIE555) I – Ahá, ¿y éste (5) aquí? N – Porque aquí (4) venía que no en uno y aquí tiene que venir. Aquí (6) viene que no, y aquí (7) viene que sí, aquí (8) viene que no, aquí (9) viene que sí, y aquí (10) viene que no. (IIIE555 ) *I – … Está en el número 5, pon ahora otro en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. (IV1a) I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?


N – Porque lo he pensado sin contarlo. I – ¿Y cómo lo has pensado sin contarlo?. N – Porque me he saltado uno (señala el escalón 6) que era el 6 y éste (7) era el 7. I –. Y ahora (coloca un muro tapando los últimos escalones y quita el muro de abajo) sabiendo que éste (5) es el 5, pon uno en el 3. N – (Coloca un Piolín en el escalón 3) Lo he contado pensándolo. I – ¿Cómo lo has pensado, cariño? N – Cuando lo has dicho lo he pensado contándolo. I – Pero, ¿cómo lo has...? ¿Cómo se piensa contándolo que no lo sé? N – Pues con... con el celebro. Y haces como si estuvieras contándolo con los dedos, pero sin verlo. Y viéndolo así, sin decirlo.. I –. Yo quiero saber si tú puedes adivinarlo sabiendo que este es el 5 ¿comprendes? Empezando por el 5. ¿Cómo lo puedes hacer? N – Si es que desde aquí yo (5) he pensado, he ido bajando y he visto el 3 y lo he puesto. (IVE555 ) I – Ahora vamos a hacerlo con Piolines, pan y números, ¿de acuerdo? (Quita todo de la escalera) Entonces, venga, como antes, pon pan en un escalón sí y en otro no. N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. I –. Ahora, vas a ir colocando los Piolines y me vas a decir en qué números lo vas colocando para que coma. Tienes que colocar los Piolines donde hay pan. N – En el 1 (coloca un Piolín en el escalón 1), en el (coloca un Piolín en el escalón 3). En el 5 (coloca un Piolín en el escalón 5). En el 7 (coloca un Piolín en el escalón 7). En el 9 (coloca un Piolín en el escalón 9). *I – … Alba, mira, en el 5 hay pajarito porque hay pan. ¿Después del 5 en qué número hay también pan? (V1) N – En el 7 (coge un Piolín y lo coloca en el escalón 7). (V1a) I – En el 7 hay pan, ¿en el 9 hay pan? N – No, ay, sí . I – ¿Cuál es el 9, cariño? N – (Coge un Piolín y lo coloca en el escalón 9). I – ¿Y hay pan? N – Si. I – ¿Por qué? N – Porque hay en uno sí y en otro no, en uno sí. I – Ahá, ¿ por eso hay en el 9? ¿Y en el 9, por qué le ha tocado que hay pan? N – ¿Qué? I – En el 7 hay pan. Éste (7) es el 7. ¿Por qué en el 9 le ha tocado que hay pan? N – Porque me he acordado. Y también aquí había pan, ... en uno sí y en otro no, en uno sí...

I – Y otro no, muy bien. Ahora, en el 5 hay pan, ¿hay pan en el 3? N – ¿En el 3? I – ¿Cuál es el 3? N – (Piensa en silencio moviendo la cabeza como si contara.) Sí hay. (Coloca un Piolín en el escalón 3) I – ¿Y en qué otro número hay pan? N – En el 1. I –. (Pone los muros, tapando los escalones a partir del 2) Ahora, aquí así, ¿vale?. Entonces, mira, en éste (9) ¿qué número es? N – 9. I – 9. ¿Por qué sabes que éste es el 9? N – Porque aquí (10) falta uno que es el 10 y éste el 9. I –. Entonces, en el 9 hay pan, ¿qué número, bajando la escalera, qué número viene ahora para que haya pan? N – Coloca un Piolín en el escalón 7. I – ¿Y ese qué número es? N – El 7. I – ¿Y por qué sabes que ese es el 7? N – Porque baja un escaloncito que era el 8 , y ahora viene también el 5 (va bajando un Piolín por la escalera desde el 8 y lo coloca en el escalón 5). (VE444 ) I –Sí, ¿por qué sabes que ese es el 5? N – Porque también igual que antes, porque voy bajando.... Y también aquí (coloca otro Piolín en el escalón 3). I – ¿Que ese qué número es? N – 3. I –. (Quita los muros) Ahora, dime en qué números hay pan y Piolines, ya para terminar. N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. I – Muy bien, entonces, tú te imaginas ahora que esta escalera es más larga, más larga, más larga, sube, sube, sube, sube, sube, sube ... y llega muy lejos y hay muchos números, porque la escalera sube. Aunque tú no la veas, pero como tú es que lo sabes todo tan bien porque lo piensas, ¿a que tú te imaginas que la escalera es más larga para que los Piolines, pongamos muchos Piolines? N – Sí, lo que pasa es que no se pueden poner porque se caen. I – Se caen, pero tú te lo imaginas en tu cabeza. N – Vale. [...] I –Ahora, tú, como la escalera es más larga, más larga, más larga... Tú piensa ahora en un número después del 20 que sí coma. N – En el ... ¿22? I – En el 22, ¿crees tú que sí come pan? N – ¿En el 21. I – ¿En el 21 por qué? N – Porque ..., no, en el 22 no, en el 21 I – ¿Tú cuál crees? Si tú dices el 22, ¿por qué? ¿Por qué dices que es el 22?


N – Porque me salto el 21. I – ¿Y por qué te lo has saltado el 21? N – ¿Te doy un Piolín? *I – Sí, no, es que te lo tienes que imaginar. Igual que tú contaste aquello sin tocarlo, porque lo pensaste con tú cabeza. Ahora te lo tienes que imaginar la escalera mucho más larga y cuando llegamos al 20... Aquí (10) hemos llegado al 10, el 11, el 12, el 13, el 14, el 15, el 16, el 17el 18, el 19 y el 20. Cuando lleguemos al 20, en el 20 ¿habrá pan o no? (VI1) N – No. I – ¿Por qué? N – Sí, sí, sí. I – ¿Por qué? N – Por ... porque en el 20 hay pan ...hasta el 22... Entonces en el 20 y el 22... (VI1b) I – Mira Alba, vamos a empezar por números más pequeños, aquí (9,) que es el 9, come, ¿en qué otro número después de éste comería si la escalera fuese más larga? N – Aquí (pone un Piolín detrás de la escalera). I – Sí, pero ¿ese qué número sería? N – El 11. (VI2a) I – El 11, muy bien. ¿Y después? N – El 13. (VI3a) I – ¿Y después? N – El 15. I – Ahá, ¿y por qué sabes que en el 15 come? N – Porque me he saltado uno.

I – Te saltas uno, muy bien. ¿Y después del 15? N – 17. I –Entonces en el 17 come. En el 20 ¿hay? (VI1) N – Porque hay... En el 20... I – ¿En el 20 qué? N – Porque en el 20 hasta el 21, ...en el 20 hasta el 22... En el 20 hay pan y en el 22 también. I – Pero, ¿por qué? ¿Tú no lo puedes pensar viendo esto (señala la escalera con los Piolines) que hay pan en el 1, en el 3,... y así. N – Porque en el 20 ...., porque en el 15 y en el 20 ... , y yo me imagino que en el 20 hay pan. (VI1b) I – Te lo imaginas. N – Yo creo que en el 20 hay pan. I – ¿Por qué? N – Porque dijiste vamos al 20.... hay pan y después me he pasado el 21 y me voy al 22........ I – Venga. ¿Y entre el 45 y el 50 hay pan? Dime los números que sí puede haber pan. N – Si no quedan más Piolines. (Enseña la caja vacía) I – No quedan más, pero tú te lo imaginas, tampoco quedan más escalones N – El cua... el cincuenta... ¿El 52? I – No. Bueno, ya está Alba, porque como todo lo has hecho tan bien, lo vamos a dejar, ¿vale? Di adiós Alba a la cámara. N – Adiós.

2) Em. 5,4. Nombre: Emilio. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Diciembre. I.-¿Por qué cuando va subiendo, después de comerse éste (5) se come éste (6)? (IIE) N – Porque de abajo-arriba. (IIE555 ) I –Ahora, Emilio, ya no come pan en todos los escalones, porque ya el Piolín pues se ha hartado de comer pan. Ahora, mira lo que hace, (va quitando todo de la escalera) va a comer pan en un escalón sí y en otro no, es en uno sí y en otro no, y en el primero sí come. Venga, coloca tú el pan en uno sí y en otro no. N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … Aquí (5) hay pan y tú lo estás viendo, entonces, ponemos un Piolín porque aquí (5) hay pan, pon Piolines en los demás sitios donde sí hay pan. (III1) N – ¿Dónde hay más? I – Pon Piolines. Están aquí (señala los muros), acuérdate de que yo he puesto esto, pero que el pan siguen ahí, ahora después lo quitamos para ver si lo has adivinado. N – Pone Piolines en los escalones 9 y 7. Y pone otro en el escalón 2, pero lo cambia al 1. (III1a)

I – ¿Y ya no hay más? ¿Por aquí en medio (señala los escalones que quedan en medio de los escalones 1 y 5) ya no hay más? N – ¿Dónde? (Se encoge de hombros) I – ¿Seguro? N – ¡Ay! (Pone un Piolín en el escalón 3) (III1a) I – Has puesto éste aquí (7), ¿por qué has puesto éste (7) aquí? N – Porque aquí (6) no hay pan y aquí (7) sí. (IIIE444 ) I – (Quita los muros) Sí lo has adivinado. Ahora vamos a hacer esto (pone el muro inferior), lo vamos a poner en otro sitio porque tú no lo vas a ver, ¿vale? (Quita los Piolines de la escalera y pone el otro muro tapando los trozos de pan de los escalones 5 y 7) Venga, ahora, pon Piolines donde haya pan. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – No, espérate. Aquí (9) ponemos un Piolín porque aquí estás viendo el pan. Cuando va bajando, después de éste, ¿dónde tienes que poner pan? N – Aquí (señala el escalón 8). I – Después de éste (9).


N – Digo, aquí (señala el escalón 7). I – Venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué sabes tú que ahí sí tienes que poner pan? N – Porque hay pan y aquí no. I – ¿Y después? N – Pone Piolines en los escalones 5, 3 y 1. I – Emilio, mira (quita los Piolines), si yo coloco aquí un pajarito, si yo lo pongo aquí (4), ¿tú crees que va a comer pan el pajarito? N – No. I – ¿Por qué sabes que no? N – Porque ha cogido 4 escalones. (IIIE555 ) I – ¿Y por qué si ha cogido 4 escalones no come? N – Porque no hay pan. I – (Levanta el muro inferior, quita los Piolines y corre el muro superior unos escalones hacia arriba). Aquí (5) hay un pajarito y lo pongo, ¿lo ves? porque hay pan. ¿Si yo pongo aquí (8) un pajarito, tú crees que va a comer ahí pan? N – No, no. I – ¿Por qué? N – Porque no tiene pan ahí. I – ¿Y por qué sabes tú que no? N – Porque ha cogido cuatro escalones. I – ¿He cogido cuatro? ¿Dónde están los cuatro,? N – 1, 2, 3 y 4 (señala los escalones 5, 6, 7 y 8). I – ¿Y siempre que cojo cuatro no? N – No. I –Y si lo pongo aquí (9), ¿aquí va a comer? N – (Se encoge de hombros) No. I – ¿Por qué? N – Porque ha cogido muchos escalones. Ha cogido 1, 2, 3, 4 (señala los escalones 6, 7, 8 y 9) I – ¿Y por eso no va a comer? N – Porque tenías que ponerlo aquí (10). I – Pero si aquí no hay (recorre todo el escalón 10 con el dedo). N – Es verdad. I – Yo veo que aquí ya no hay. ¿Entonces, qué? N – Está bien. I – ¿Está bien puesto? (Levanta el muro superior) Muy bien, perfecto. Ahora, lo vamos a poner aquí (pone el Piolín que estaba en el escalón 9 en el escalón 3). Aquí hay un pajarito (baja el muro superior unos escalones, dejando ver el pan del 9). ¿Tú crees que ahí hay pan? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque ha cogido dos escalones. I – ¿Qué dos? N – Uno, que diga. Ha cogido uno, éste (2). Porque aquí no había pan. I – ¿No? ¿Y dónde más había pan? N – Aquí (9), también aquí (5) y aquí (7).

I – Vale, mira, ¿lo ves? (levanta el muro inferior). Sí lo has adivinado, un pajarito y hay pan. Muy bien. Ahora, yo sé que aquí (3) hay pan, me lo has dicho (pone un trozo de pan). Aquí hay pan, si yo cojo y pongo aquí (6) el pajarito, ¿comerá pan? N – Dice no con el dedo. I – ¿Por qué? N – Porque ha cogido dos escalones. I – ¿Y cuántos tengo que coger para que coma? N – Uno. (IIIE5) *I –....Está en el 5. Coloca ahora otro en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. (IV1a) I – ¿Por qué sabes que ese es el 7,? N – Porque éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. I –Ahora (coloca el muro tapando los escalones a partir del 5), coloca otro en el número 3. Éste (5) es el 5, piensa uno en el 3. N – Coloca un Piolín en el escalón 3. I – ¿Por qué sabes que ese es el 3? N – Porque hay dos escalones. I – Muy bien, ahora (quita los Piolines colocados en el 3 y el 5 y pone el muro a partir del escalón 7) ese (7) ¿en qué escalón está? ¿Hemos dicho? ¿Este pajarito en qué escalón está? N – En el 7. I –Éste (7) está en el 7 y sabiendo que éste está en el 7 se tiene que poner en el número 5. Coge otro y lo pones en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Por qué sabes que es el 5? N – Porque he cogido un nu... un escalón (señala el escalón 6). (IVE555 ) I – ¿Sí? Has cogido un escalón ¿y qué pasa? N – Que ese es el número 5 ese. I – Que ese es el número 5, ¿no? ¿Y por qué sabes que ese es el número 5? N – Porque ese es el 6. (IVE555 ) I – Ah, estupendo. Ahora, éste (7) es el 7, tienes que poner...Éste va aquí otra vez (pone el Piolín del escalón 5 en la caja). Y tienes que poner otro en el número 3. N – Coloca un Piolín en el escalón 3. I – ¿Y por qué sabes que ese es el número 3? N – Porque aquí hay dos escalones (señala los escalones 1 y 2). I – Sí, pero yo quiero que tú me lo digas sabiendo que éste es el 7. N – Porque ha cogido tres escalones (señaliza tres con los dedos, 4, 5, 6). I – ¿Y cuáles son los que ha cogido? N – Porque aquí (señala los dos primeros escalones) hay dos y si ponemos tres aquí (señala los tres primeros escalones), y tres aquí (señala tres escalones por encima del Piolín) pues son 6


I – Ahora vamos a hacerlo, como tú te sabes todos los números… N – Me sé hasta el 100. I – ¡Anda! Entonces, ahora tienes que poner pan igual que antes, en uno sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I –Ahora coges pajaritos y me vas diciendo los números en los que los pone. N – El 1, éste es el 3, éste es el 5, éste es el 7 y éste es el 9. (Va poniendo Piolines en los escalones que nombra) I – Muy bien, entonces ahora ya sabes en los números que hay pajaritos, ¿de acuerdo? Pues entonces, vamos a hacerlo como que antes pero me tienes que ir diciendo los números, ¿sí? (Quita los Piolines, menos el del escalón 5 y pone los muros) Mira, dejamos el pajarito en el número 5 N – 1, 3, 5... *I – En el número 5 hay pan, ¿En qué número después del 5 hay pan? (V1) N –En el 7 (V1a) I – Eso es, entonces, ahora, en el 5 hay pan, ¿en el número 8 come pan? N – No. (V1a) I – ¿Y por qué sabes que no hay pan? N – Porque no hay pan. I –En el 5 sí hay. ¿Hay en el 8? N – No, no. I – ¿Por qué? N – Porque aquí, ... Porque ha cogido uno (señala del 7 al 8). Así que lo quitamos. (Quita el Piolín del escalón 8) (VE555 ). I – Y dime ahora los números en los que sí hay pan, otra vez me lo dices. N – En el 1, en el 3, en el 5, en el ... en el 7 y en el... 9. *I –. ...Ahora quiero que me digas los números en los que come pan, que están entre el 30 y el 40. Los números que van del 30 al 40 en los que sí come pan. N – Elllll 31. (VI1a) I – ¿Por qué en el 31, cariño? ¿Por qué en el 31 come pan? N – Porque hemos cogido,... Porque si lo pones en el 30 no come. I – ¿Por qué? N – Porque no está el pan. I – ¿Y por qué sabes tú que no está el pan? N – Porque... porque, ...a ver, ...porque en el 30 no puede estar el pan. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque ha cogido un escalón. I – ¿Qué escalón? N – Pues, el 30. I – Entonces, en el 31, ¿y en cuál más? Desde el 30 al 40. N – En el 33, ...33, 35, 37, 39. I – Muy bien, ¿y en el 40 come?

N – Noo. I – ¿Por qué? N – Porque hemos cogido un escalón y no hay pan... y es en el 40. I – Ah. Y ahora, entre el 51 y el 60. N – Entonces, 53... I – ¿Y en el 51? N – En el 51 y 53. I – Pero, ¿en el 51 come? N – Síí. I – ¿Por qué? N – Porque ha cogido un escalón y lo ha puesto en el otro. I – ¿Y por qué en el 51 sí? N – Porque ... I – ¿Podría ser que no? N – Si estaba en el cuarenta...., no, en el ...49, pues ahí come y después en el otro no come. I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 49 sí come? N – Porque....Porque ha cogido dos escalones del 17 al 19. (VIE555 ) I – Del 17 al 19. Bueno, ahora dime del 66 al 73 los que comen. ¿En el 66, come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque en el 65 come y en el 66 no, en el 67 sí. I – Pero, ¿tú por qué sabes que en el 65 es que no? N – En el ...sí, sí. I – Ah, en el 65 es que sí, ¿por qué los sabes?, es verdad. N – Porque del 3 al , digo del 63 al 65 come. I – Y..¿Tú sabes si come en el 92? N – No. I – ¿No come en el 92? ¿Por qué, vida mía? N – Porque ha cogido uno, ...¿en el 42 has dicho? I – En el 92. N – Porque tenía que comer en el 93. I –¿Por qué sabes tú que en el 93 sí? N – Porque del 91 al 93 se come. I – Muy bien. ¿Y en el 46, come? N – ¿En el 46? Noo. I – ¿Por qué? N – Porque ...porque.... porque tendría que coger un escalón y después al otro, coger un escalón y 1 y 2. I – ¡Oy, qué bien sabe! Sabes bien, bien, bien, ¿eh? Emilio. Muy bien. ¿Y tú sabes decirme desde el noventa y...desde el 83 hasta el 91 en los que come? Desde el 83. ¿En el 83 come, cariño? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque ha cogido dos escalones I – Venga, dime en todos los que come. En el 83 sí, ¿después?


N – En el 85 sí, en el 87 también, en el 89 también, en el 91 también, en el 93 también, en el 95 también, en el noventa y ..., a ver, en el 97

también, en el 99 también, en el noventa y....noventa y.. también come. I – Muy bien, bien y bien, Emilio. Bueno, di adiós.

3) El. 6,2. Nombre: Elena. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Febrero. I –. ¿Por qué después de comerse éste (5), se come éste (6)? N – Porque está al lado, este (5) y este (6) (IIE555 ) I – (Quita todo de la escalera). Ahora, el Piolín ya no come pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no, y en el primero es que sí. Venga, ponlo. N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5 , 7 y 9. *I – … Pon Piolines en los sitios que sí hay (III1) N – Pone Piolines en los escalones 9, 7, 3 y 1. (III1a) I –.¿Por qué lo has puesto aquí (7)? N – Porque aquí era uno sí, uno no, uno sí, uno no, uno sí, uno no, uno sí, uno no y uno sí. (va señalando los escalones del 1 al 9). (IIIE333 ) I –. (Levanta los muros) Mira, ¿Ves como eres maga? Porque tú tienes el truco para adivinarlo, uno sí y otro no, pues lo adivinas. (Coloca de nuevo los muros). Ahora yo coloco éste aquí (8) ¿el Piolín comería pan? N – (Se queda un momento callada pensando) No. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque ahí no creo que haya pan. I – ¿Por qué crees tú que no? N – Porque era uno sí, uno no, uno sí, uno no, uno sí, uno no, uno sí y uno no (va señalando los escalones desde el 1 al 8). I – (Levanta el muro superior), ahí no come pan, perfecto. Y si yo lo pongo aquí (2), ¿come pan? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque aquí es uno sí (1) y uno no (2). I – Entonces, ahora (pone los muros juntos y dejan a la vista a partir del escalón 8) yo voy a poner aquí (9) el Piolín, ahí sí come pan. Si yo pongo aquí (4) un Piolín, ¿come pan? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque come en uno sí y uno no, uno sí y uno no *I – El 5, muy bien. Entonces, éste (5) es el 5, perfecto. (Coloca un muro tapando los primeros escalones) Si tú sabes que éste es el 5, coloca otro en el 7. (IV1)

N – Coloca un Piolín en el escalón 7. (IV1) I – ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque aquí es el 1, aquí el 2, aquí el 3, aquí el 4, aquí el 5, aquí el 6 y aquí el 7 (va señalando por el borde de la escalera los escalones correspondientes). (IVE333 ) I –.. (Quita el Piolín del escalón 7) Coloca ahora otro en el 8. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Por qué sabes que ese es el número 8? N – Porque éste es el 1, éste el 2, éste el 3, éste el 4, éste el 5, éste el 6, éste el 7 y éste el 8 (va señalando por el borde de la escalera los escalones correspondientes). I –Mira, hay uno en el 5, ¿vale? Coloca ahora uno ... (pone el muro delante de la escalera como queriendo tapar los primeros escalones). Éste es el 5. Coloca ahora uno en el 9 N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué sabes que ese es el 9? N – Porque éste es el 1, éste el 2, éste el 3, éste el 4, éste el 5, éste el 6, éste el 7, éste el 8 y éste es el 9 (va señalando por el borde de la escalera los escalones correspondientes). I – (Quita todo de la escalera) vamos a hacer lo mismo que hicimos antes, pero con números y panes, ¿vale?. Vamos a poner pan en uno sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I –Ahora ponemos los Piolines donde hay pan, pero decimos los números en los que sí come pan, ¿vale? Venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Tienes que decirme el número. N – El 1, el 2 (pone un Piolín en el escalón 3). I – No, el número en el que hay, el 2....¿por qué ese es el 2, cariño? N – El 3, porque éste (1) es el 1, éste (2) el 2 que no hay pan y éste es el 3. I – Venga, ahora venga, sigue. N – Éste el 5, el 7 y el 9 (coloca Piolines en los escalones correspondientes). I –Ya lo has puesto todo en los números en los que sí hay pan. Dilos otra vez, cariño N – 1, 3, 5, 7, 9 (va señalando los Piolines de los escalones que va nombrando el número). *I – … Éste es el 5 y hay pan, ¿en qué número viene después del 5 hay pan? (V1) N – 7. (V1a)


I – Muy bien, pues colócalo, cariño. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – En el 3, ¿hay pan? N – (Se queda un momento pensativa, mirando a la escalera como si contara) Sí. I – ¿Por qué? N – Porque éste (1) es el 1 hay, éste (2) el 2 y no hay, éste es el 3 y sí hay. I – Pues ponlo, cariño. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Qué número viene después del 7 en el que sí hay pan? N – El 9. (Pone un Piolín en el escalón 9). I – ¿Y qué número hay antes del 3 en el que sí hay pan? N – El 1. (Pone un Piolín en el escalón 1). I – (Quita los Piolines, menos el del escalón 5). Éste (5) es el 5, yo quiero que sepas que éste es el 5 y que hay. Aquí (coloca un Piolín en el escalón 8), ¿qué número es? Y ¿come o no come? N – (Se queda pensativa) No come. I – ¿Por qué? N – Porque éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí, éste (4) no, éste (5) sí, éste (6) no, éste (7) sí y éste (8) no. (VE333 ) I – Y ese qué... Pero, ¿qué número es? N – El 8. I – El 8. Vamos a colocar esto aquí así (pone los muros juntos y deja a la vista los escalones del 8 en adelante,) ¿de acuerdo? Aquí así y quiero que me digas (cambia el Piolín del escalón 8 al 6) éste qué número es y si hay o no hay. N – El 6. I – ¿Y hay? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí, éste (4) no y éste (5) sí y éste (6) no. I –¿En el 7 hay? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque es en éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí, éste (4) no, éste (5) sí, éste (6) no y éste (7) sí. I – Mira, éste es el 9. Éste es el 9 y sí hay, ¿en el 4 hay? N – (Se queda callada mirando la escalera un momento) No. I – ¿Por qué? N – Porque éste (1) hay, éste (2) no, éste (3) hay y éste (4) no. I – Muy bien, entonces ya lo sabes. Ahora, mira (quita los muros), vamos a hacer ya lo último para no cansarte, cariño, Elena, porque lo estás haciendo tan bien... Vamos a poner el pan y los Piolines en los sitios correspondientes porque los Piolines son tus amiguitos, tú le has puesto el pan para que se lo coman (coloca Piolines donde hay pan, los escalones 1, 3, 5, 7 y 9).

Mira, aquí están todos los Piolines, mira la carita que tiene el Piolín tan bonita. Dime otra vez en los números que sí hay pan. N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9 (va señalando los Piolines). I –. Ahora, Elena, mira, la escalera llega hasta aquí (10), éste es el 10. Éste (9) es el 9 y éste (10) es el 10, pero tú te imaginas... Tú en tu cabecita, te imaginas, cierras los ojitos y te imaginas que esto es más laaaaaarga, más alta, más alta, más alta y llega muy lejos. Que después está el 11, el 12, el 13, el 14, el 15, el 16, así llega hasta el 100, ¿vale? Aunque tú no la veas, pero tú te la imaginas más larga, más larga, más larga, ¿vale? ¿Te la imaginas? ¿Vale? N – Sí. I – Entonces yo quiero que tú me digas si después del 9, ¿en qué número come pan? N – El 9....... En el 11. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque hay, no hay, hay, no hay, hay, no hay, hay, no hay, hay, no hay y el otro es hay (va señalando los escalones desde el primero hasta el imaginario 11). I – Y el otro ya era el 11, ¿no? ¿Y después del 11? N – El 12, pero no hay. I – Entonces, ¿en qué número hay después de 11? N – El 13. I – ¿Y después del 13 en qué número hay? N – El 14. I – No. En qué número hay pan, no que número viene después del 13, sino qué número hay pan. N – (Se queda pensativa un momento en silencio) El 15. I – Y después del 15, ¿en qué número sí hay pan? N – El 17. I – Y después del 17, ¿en qué número hay pan? N – En el 19. I – Muy bien. ¿Y después del 19 en qué número hay pan? N – (Se queda pensativa un momento en silencio) En el 21. (VI2a, VI3a) *I –Entonces, ahora, Elena, dime desde el 45,... ¿en el 45 come? (VI1) N – (Se queda un rato en silencio pensando.) I – ¿Cómo lo estás pensando? ¿Contando desde el 19? N – Es que ....(se pone la mano en la cabeza pensativa). I – ¿Qué has empezado desde el 1? N – Porque es que como... I – ¿Qué has empezado desde el 1 a contar? En el 1, en el 3,... ¿todo eso? N – Y si no, ¿cómo? I – Si no, no sabes, ¿no? ¿Y por dónde ibas ya? N – Por el 40.


I – ¿Y en el 40 qué te había salido, qué sí o que no? N – No me acuerdo. (Se queda pensando y se le escucha como murmurando números) I – Bueno, ya está, Elena, no lo pienses más, te voy a decir otros numeritos más fáciles, ¿vale? ¿En el 21 come? ¿Come en el 21? N – (Se queda callada pensando) ¿De cuánto era? I – Del 21 ¿o antes? N – Sí, del 21. (Se vuelve a quedar por un buen rato callada y pensando) ¿Qué era del 15? I – Sí. N – (Se queda de nuevo pensando en silencio) Sí hay. I – ¿Sí? ¿Por que lo has pensado desde el principio o cómo? N – Porque mira, 1 hay, 2 no hay, 3 hay, 4 no hay, 5 hay, 6 no hay, 7 no hay (dice no con la

cabeza), 7 hay, 8 no hay, 9 hay, 10 no hay (va señalando con el dedo los escalones y vuelve a empezar por el primer escalón cuando nombra el 11), 11 hay, 12 no hay, 13 hay, 14 no hay, 15 hay. I – Si yo te digo ahora, en vez del 15, en el 23, ¿lo piensas otra vez igual? Piénsalo señalando la escalera como antes otra vez. N – Voy a contarlo otra vez (Va señalando los escalones 1, 2 y 3) 4, 5, 6. Y otra vez 7, 8, 9. 10, 11, 12. 13, 14, 15. 16, 17, 18. 19, 20, 21. 22, 23. I – Y si te hubiera dicho 25, ¿qué hacías, desde dónde contabas? N – 25.... (Cuenta hasta el 25 señalando sólo los 5 escalones primeros una y otra vez. I –, Elena, ya lo has hecho todo muy bien. Adiós.

4) Ol. 5,3. Nombre: Oliva. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Enero. I –¿Por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – No lo sé. I – (Va quitando todo de la escalera). Entonces, ahora el Piolín en vez de comer pan en todos los escalones come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el primero come. Entonces, venga, ponlo, cariño. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … ¿Después de éste (5) dónde colocamos un Piolín para que coma pan? (III1) N – Intenta mirar detrás del muro. I – No, no lo veas, tú lo tienes que adivinar pensando. N – No lo sé. I – ¿No? ¿No lo sabes?. Si yo pongo aquí (pone un Piolín en el escalón 8) un Piolín, ¿aquí come pan? ¿Tú crees que detrás de la pared hay pan? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? Aquí (5) hay pan. ¿Tú crees que ahí come el Piolín pan? N – No lo sé. I – ¿Y lo puedes adivinar? ¿Tú te acuerdas cómo lo pusimos el pan? En uno sí y en otro no. N – Ya s´. I – ¿Te acuerdas, no? Entonces, aquí (5) hay pan, ¿tú crees que aquí (8) va a comer pan el Piolín? ¿Ese Piolín comerá pan? N – No lo sé. I – No lo sabes, pero tú eres una maga, tú lo puedes pensar y adivinarlo. ¿Tú crees que sí o no? N – Que no. I – ¿Qué no? ¿Que no lo sabes o que no come? N – Que no come.

I – ¿Por qué? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? (Levanta el muro superior) Pues es que no come. Lo has adivinado, aunque no sabes por qué pero es así. Bueno, entonces ahora nosotros ...(quita el muro inferior) Esto no lo ves (señala la parte de arriba de la escalera), pero esto (la parte inferior) sí lo ves, ¿vale?. Entonces hay pan y hay Piolín (pone Piolines en los escalones 1 y 3), ¿Dónde colocamos Piolín para que coma? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? ¿Lo colocamos aquí (señala el escalón 6)? ¿Aquí come? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y aquí (7)? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No come? N – (Dice sí con la cabeza.) I – ¿Por qué? N – No lo sé. I – ¿Y aquí (8) come? N – No lo sé. I – ¿Y aquí (9)? N – Tampoco. I – ¿Y aquí (10)? N – Tampoco. I – Muy bien, Oliva. Entonces, (va quitando todo de la escalera) vamos a hacer una cosa pero con números, con números, ¿vale? Ya quitamos el pan y ahora vamos a hacer con números. Quiero que pongas un Piolín en el número 5. N – Vale. I – Pon un Piolín en el número 5, cariño N – Pone un Piolín en el escalón 5.


I – ¿Ese es el 5? N – Creo que sí. I – ¿Por qué? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? Bueno, ahora, ¿tú sabes contar los escalones, cariño? (Quita los Piolines de la escalera) Cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando el escalón correspondiente). (IV2a) I –Entonces, ahora voy a poner un Piolín aquí, ¿vale?. Ese es el número 5, ¿vale? Pon tú otro en el número 6. N – (Se queda callada un rato.) No sé. I – Ese está en el número 5, pon tú otro en el número 6. N – No sé. I – ¿No lo sabes? Bueno, y ahora, ¿sabes hacerlo con números y con pan? ¿Lo sabrías hacer? Por ejemplo, pon pan en un escalón sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I – . Ahora, pon los Piolines donde hay pan y me dices los números. Por ejemplo (pone un Piolín en el escalón 1), en el 1 sí hay. Venga, pon Piolines donde hay pan y me dices los números. N – En el 2 sí hay (pone un Piolín en el escalón 3). I – No, el 2 no es ese. Éste (1) es el 1 y éste (2) es el 2. N – En el 3 sí hay, en el 4 no hay, en el 5 sí hay (pone un Piolín en el escalón 5), en el 6 no hay y en el 7 sí hay (pone un Piolín en el escalón 7), en el 8 no hay..., en el 8 no hay, ..., en el 9 sí hay (pone otro Piolín en el escalón 9). *I – Muy bien. Entonces, lo sabes hacer muy bien, has dicho los números en los que sí hay, ¿vale?. Ahora vamos a hacer igual que antes, que antes no lo supiste hacer sin números, pero ahora vamos a ver con números a ver si eres una maga y sabes hacerlo, ¿vale? (Pone los muros) Guardamos aquí los estos, entonces, mira, en el 5 sí hay pan, éste es el 5. Si yo pongo aquí uno (pone un Piolín en el escalón 7), ¿en qué número lo he puesto y si hay o no hay? (V1) N – No hay. I – ¿No hay? ¿Por qué? N – Porque ...,creo que sí. I – ¿Por qué? Crees que sí, pero no lo sabes. ¿Y en qué número lo he puesto? N – En el 7. (IV1a) I – Ahora, dime si en el 8... Coloca un Piolín en el 8 y dime si hay o no hay. N – (Pone un Piolín en el escalón 8) Aquí y creo que no hay. I – ¿Por qué? ¿No sabes?, pero crees que no, pero no lo sabes, vale. Ahora coloca uno en el 3,..., coloca uno en el 3 y dime si hay o no hay.

N – (Pone un Piolín en el escalón 3 y se encoge de hombros) Creo que sí hay. I – ¿Por qué? N – Pero no sé por qué. I – Coloca uno en el 2 y dime si hay o no hay. N – Creo que sí. I – ¿Que sí hay? ¿Por qué? N – No sé por qué, porque sí. I – ¿Tú me sabes decir los números en los que sí hay? N – En el 6..., no. *I – ¿No te acuerdas? Bueno, (mueve el muro superior unos escalones más abajo) Éste (9) es el número 9,¿Cuál es el 8? (IV1) N – (Señala el escalón 8). Este. (IV1a) I –. ¿Y cómo lo sabes que ese es el 8? ¿Por qué lo sabes? N – No lo sé. I – Pero, ¿cómo lo has adivinado? ¿Qué has hecho para decirme que ese es el 8? N – Lo he pensado. (IVE222 ) I – Pero, ¿cómo lo has pensado? Yo quiero tú que me digas cómo lo has pensado para decirme que ese es el 8. N – No sé. I – ¿No sabes cómo lo has pensado?. Yo quiero que pongas un Piolín en el número 6 y me digas si come o no come. Pon un Piolín en el número 6. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el número 6? ¿Por qué sabes que es el 6? N – No sé. I – ¿Y come o no come ahí? (III1) N – No, creo que no. (III1a) I – ¿Por qué? N – No sé, creo que no. (IIIE222 ) I – Crees que no, ¿no? Crees que no, pero, ¿por qué? N – Creo algunas veces que sí, pero otras veces que no. I – Que no lo sabes. Algunas veces crees que sí y otras veces crees que no. Pues mira, (quita los muros) es que no (señala el Piolín colocado en el escalón 6 sin pan), porque es en éste (9) sí, en éste (8) no, en éste (7) sí y en éste (6) no, ¿vale? Ahora (va poniendo Piolines en los escalones que hay pan). ¿Sabes en qué números hay pan? N – En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no, en el 5 sí, en el 6 no, en el 7 sí, en el 8 no, en el 9 sí y en el 10 no. (VI2a) I – Después del 5 ¿qué número viene en el que sí come? N – No sé (V1b) I – ¿Come en el 7? N – No sé (V3b) *I – Pues entonces esto llega hasta el 10, pero imagínate que es más larga, más larga, más larga, está el 11, el 12, el 13, el 14, ..., están todos esos números. Ahora quiero que me digas


qué número viene después del 9 en el que sí come. (VI3) N – No tengo ni idea. (VI3b)

I – ¿No sabes? Muy bien, Olivia. Pues entonces vamos a irnos a la clase.

5) Je. 4,11. Nombre: Jesús. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Abril. I –Jesús, cuando se come éste (5), ¿por qué después se come éste (6)? N – Porque está en la siguiente escalera. (IIE555 ). I –. Ahora vamos a hacer otra cosa. (Va quitando todo de la escalera) Ahora, cuando el Piolín sube ya no va a comer pan en todos los escalones, va a comer pan en uno sí y en otro no, ¿vale? Venga, ponlo. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … Entonces aquí (5) vamos a poner un Piolín porque aquí come pan, ¿de acuerdo? Entonces ahora cuando va subiendo pon otro Piolín donde sí va a comer pan también. (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. (III1a) I –. ¿Vas a poner más? N – Dice sí con la cabeza. I – Venga, ponlo. N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Y por abajo? N – Coloca Piolines en los escalones 3 y 1. I –¿Por qué después de ponerlo aquí (5), de comer pan, pones uno aquí (7)? N – Porque ahí hay otro. I – ¿Y por qué sabes que hay otro? N – Pone cara de “no sé”. I – ¿No sabes por qué hay otro? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Te acuerdas que era en uno sí y en otro no? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué hay ahí otro? N – Se queda callado mirando hacia arriba. I – Bueno, aquí hay (levanta los muros), mira ¿lo ves? Eres mago, porque lo has puesto en los que hay. ¿Lo ves como eres mago? Porque tú sabes hacerlo. Ahora (quita los Piolines de la escalera), vamos a hacer esto, verás, en vez de tapar esos, vamos a tapar por ejemplo estos (pone un muro tapando los escalones de arriba), estos y todos estos (pone el otro muro tapando los escalones del 5 al 3), vamos a taparlo, ¿vale? Así. Entonces, ahora está el Piolín aquí (pone un Piolín en el escalón 1), si yo pongo un Piolín aquí (6), ¿tú crees que ahí va a comer pan el Piolín ese que yo he puesto? N – Dice no con la cabeza. I –¿Por qué? N – Porque ahí tocaba que no.

I – Ahí tocaba que no, ¿y por qué sabes que tocaba que no, cariño? ¿Cómo lo has adivinado? Dime el truco. N – Porque... I – Ahí tocaba que no, ¿por qué? N – Porque lo sabía. I – Ah, ¿porque lo sabías? Pero ¿me lo puedes decir? A ver, piénsalo y me lo dices por qué crees tú que tocaba que no. N – Porque... he contado la escalera. I – Ah, que has contado la escalera. ¿Y cómo lo has contado? N – Pues sí, no, sí, no, sí, no. (IIIE333 ) I – Ah, has contado diciendo no, sí, no, sí, no. Ah, muy bien. (Levanta el muro superior) ¿Lo ves? Ahora, si yo lo pongo por ejemplo aquí (4), aquí ¿qué crees tú, que va a comer o que no? N – No. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque otra vez lo he contado. I – Ah, otra vez lo has contado, muy bien, vale. Ahora vamos a poner esto (mueve el muro inferior unos escalones más abajo, deja a la vista el pan del escalón 5) ahí es que sí, ¿lo ves? Ahí es que sí, ¿de acuerdo? Ahí es que sí, ¿aquí (pone un Piolín en el escalón 8) qué será, que sí o que no? N – Que no. I – ¿Por qué? N – Porque otra vez lo he contado. I – Pero, ¿desde dónde lo has contado? ¿Cómo lo has contado? N – Desde aquí (señala el escalón 5). (IIIE444 ) I – (Va quitando todo de la escalera) ahora vamos a contar con los números, en vez de con el sí y con el no. Entonces, pon ahora un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – En el número 5, muy bien. ¿Por qué sabes que ese es el número 5, cariño? N – Porque lo he contado. I – Porque lo has contado, perfecto. Ahora, éste es el número 5, ¿de acuerdo? Quiero que pongas otro en el número 7. (IV1) N – Pone otro Piolín en el escalón 7. (IV1a) I –. ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque otra vez lo he contado. I – Pero, ¿cómo lo has contado? N – Así, (señala el escalón 6) 6. (IVE444 ) I –. Pon ahora otro en el número 3.


N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Por qué sabes que es el 3? N – Porque ahora lo he contado para atrás. (IVE555 ) I – Ah, que lo has contado para atrás. Ahora, vamos a hacer otra cosita. (Quita los Piolines de la escalera) Vamos a hacerlo con números y con panes, igual que antes, sí, no y números, ¿vale? Las dos cositas juntas. Entonces, vamos a poner otra vez pan en uno sí y en otro no, venga (pone un trozo de pan en el escalón 1), pon pan en uno sí y en otro no. N – Pone pan en los escalones 3, 5, 7 y 9. I –. Ahora, pon los Piolines, ...ponemos los Piolines (pone un Piolín en el escalón 1) y me tienes que decir los números en los que sí los vamos a poner. En el 1 es que sí. Venga, pon Piolines y me dices los números. N – En el tercero también. (Pone un Piolín en el escalón 3) I – En el 3 sí. N – En el 5, en el 7 y en el 9. (Pone Piolines en los escalones correspondientes) *I – … Entonces, nosotros sabemos que éste (5) es el 5, y el 5 sí hay. ¿Qué número después del 5 sí hay? (V1) N – 7. (V1a) I – Pues ponlo, cariño. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I. Ahora, dime después de éste (7) en qué número sí hay. N – En el 9. I – Pues venga, ponlo. N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Y por qué hay ahí? ¿Por qué en el 9 sí hay? N – Porque veo un trocillo. I – No, pero sin verlo. Pero, dime que eres un mago, sin verlo me lo tienes que decir. En el 7 hay, ¿ por qué en el 9 hay? N – Porque tocaba. I – ¿Y por qué toca, cariño? N – Porque en el 7 era y aquí (8) no y aquí (9) sí. (VE444 ) I – En el 7 era, aquí no y ahí sí. ¿Y ese cuál es? N – El 9. I – Muy bien. Y ahora, por abajo, ¿qué número toca? Éste (5) es el 5, ¿qué número toca ahora por abajo? N – El 3. I – El 3, y¿ por qué en el 3 toca? N – Porque aquí (4) no hay nada y aquí ... I – Sí hay. Vale, pues ponlo. N – Pone otro Piolín en el escalón 3. I – ¿En el 2 hay? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no toca. I – Porque no toca. N – Porque lo he contado.

I – No toca porque lo has contado y ¿cómo lo has contado? N – Pues así, no (señala el escalón 2), sí (1). I – (Quita los muros y va poniendo Piolines en los escalones que tienen pan). Mira, dime los números otra vez en los que sí hay. N – Yo sé sumar de dos en dos. I – ¿Sí? ¿Lo sabes sumar de dos en dos? Pues venga, dímelo, cariño. N – 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... I – Muy bien. Entonces dime los números que hay, aquí es desde el 1. N – 1, 3, 5, 7, 9. I – En el 9 sí hay, en el 10 no. Ahora, imagínate que la escalera es más larga, 11, 12, 13, 14, 15, 16... y llega hasta el 100, ¿de acuerdo? ¿Te lo imaginas? Entonces ahora, en el 9 es que sí. Después del 9, ¿en qué número es que sí también? (VI3) N – 11. I – ¿Y después del 11? N – 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, ... (VI3a) I – Bueno Jesús, ya lo sabes hacer todo muy bien, muy bien. Ahora dime si en el 31 come. ¿Tú crees que en el 31 comería el Piolin pan?. (VI1) N – Pone cara como de “no sé”. I – ¿No lo sabes? Entre el... Imagínate que ya va el Piolín va ya por el número 42, va subiendo, subiendo, subiendo,... y está en el escalón número 42. Entonces, desde el 42 hasta el 51, en esos escalones ¿en cuáles comería? ¿En el 42 come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque ahí empieza. I – Porque empieza ahí, ¿no? N – Después el 44, después el 46, el 48, 50... I – Ah, pero es que el pajarito ha ido subiendo, por ejemplo, tú dices éste (4) es el 4, ¿no? aquí no hay. ¿Desde el 4 hasta el 8 en cuáles come? ¿Desde aquí (4), hasta aquí (8)? N – En el 5, en el 7 y en el 8 ya no come. I – Eso. Entonces, ¿tú me puedes decir si en el 86 come? N – Ni idea. I – ¿En el 86 va a comer? ¿Sí? N – No sé. I – ¿No sabes? N – Se queda callado. I – ¿En el 86 comerá o no? ¿Tú que crees? (VI1) N – No sé. (VI1b) I – ¿Y en el 95? N – Tampoco sé. I – ¿No lo sabes? Y entre el 32 y el 43, ¿en cuáles come? N – 34, 36, 38, 40, 42. I – Ah, que en el que yo te digo siempre hay, ¿no?


N – Afirma con la cabeza y parece que duda I – Bueno ya estamos cansados, vamos a decir adiós.

6) Ja. 4,6. Nombre: Javi. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Octubre. I –. ¿Por qué cuando se come éste pan (5), después se come éste (6)? (IIE) N – Se encoge de hombros. I – (Quita todo de la escalera). El Piolín ya no come pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no y en el primero es que sí, venga, ponlo. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1 y mira a la investigadora. I – En uno sí y en otro no, venga, ponlo en los sitios que sí come. N – Pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7 y 9. *I – ...Aquí, éste (5) que sí lo ves ponemos un Piolín porque aquí come pan, ¿lo ves? Entonces yo quiero que ahora tú me pongas Piolines en los sitios que sí hay pan (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ahí hay pan?. Aquí (5) sí hay, ¿lo ves? Venga, ponlo en todos los que sí hay. N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7 y pone otros en los escalones 9, 2. I – ¿Aquí (7), por qué has puesto el Piolín? N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué sabes que hay pan, cariño? N – Lo sabía. I –¿Y aquí (9)? N – Porque también lo sabía. I – ¿Y aquí (2) por qué has puesto pan? N – Lo quita. I – (Levanta los muros para comprobar), (Coloca de nuevo los tabiques y retira los Piolines excepto el del 5) Si yo pongo un Piolín aquí (pone un Piolín en el escalón 8), ¿ahí comerá pan? ¿Tú qué crees? N – No. I –¿Por qué? N – Porque me acordaba. (IIIE111 ) I – Porque te acordabas. Y si yo pongo un Piolín aquí (3), ¿hay pan? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque hay pan. I – (Va quitando todo de la escalera) Ahora lo hacemos con números. Quiero que pongas un Piolín en el escalón número 5. N – Coloca un Piolín en el escalón 5. I – ¿Por qué ese es el número 5? N – Porque yo sé sumar. I – Ahora ponemos un muro delante de los primeros escalones para que no veas esto. Quiero que coloques uno en el número 7 y ya sabes que este(5) es el 5. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7.

I – ¿Por qué ese es el número 7? N – Porque éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. (IV1) I – Quiero que pongas ahora en el número 9. N – Pone otro Piolín en el escalón 10. I – ¿Por qué ese es el número 9? N – Porque éste (9) es el 8. I – Sí, pero éste (7) está en el 7, ¿eh? Éste Piolín está en el 7. N – Cambia el Piolín del escalón 10 al 9. I –(Va quitando los Piolines de la escalera, menos el del 5), éste (5) está en el 5, ¿de acuerdo? Éste está en el 5, ha subido todos los escalones que hay detrás de esto (el muro), está en el 5. (Pone un Piolín en el escalón 8) ¿En qué escalón he puesto este Piolín? N – En el 8. I – (Quita el Piolín del escalón 8, pone el muro tapando los escalones superiores), vamos a poner el Piolín en el 7, ¿de acuerdo? Éste está en el 7, yo quiero que, sabiendo que éste está en el 7, que me pongas uno en el 4. N – Pone un Piolín en el escalón 4. I – Pero, ¿por qué sabes que ese es el 4? Tienes que pensarlo sabiendo que éste es el 7, N – Porque dos y dos son cuatro y yo sé sumar el cuatro. , (IVE333 ) I – Pero, ¿tú has tenido en cuenta que éste estaba en el 7? N – Sí. I – ¿Sí? ¿Y cómo? Porque 2 más 2 son cuatro y ¿qué pasa con el 7? N – Se queda callado. I – ¿Qué pasa con el 7? N – Tengo que sumar siete. I – (Quita todo de la escalera) (Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Ahora ponemos los Piolines y tú me dices en el número que lo he puesto. (Pone un Piolín en el escalón 1) En el 1, sí. Ahora, pon Piolín donde hay pan y me dices el número. N – (Pone un Piolín en el escalón 3) El 2. I – No, el 2 es éste (señala el escalón 2) N – 3, 5, 7 y 9 (pone Piolines en los respectivos escalones). *I – ...¿En qué número después del 5 hay pan? (V1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Qué número es ese? N – 6, 7. I –¿Y en qué otro número después del 7 hay? N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Y qué número es? N – 9.


I – ¿Y en el 9 hay? N – Pan. I – (Levanta el muro superior) Sí, lo has adivinado. ¿Y por aquí abajo, en qué números? N – En el 1 (pone un Piolín en el escalón 1). I – ¿Y en qué más? N – Ya está. (V1b) I – ¿Y ya está? (Levanta el muro inferior) Aquí también había (pone un Piolín en el escalón 3 y quita los muros). Ahora me tienes que decir en los números estos que hay, mira, éste (1) era... Dímelo otra vez en los números en los que sí hay. N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9. (V2a) I – (Coloca el muro en el tramo superior) Dime todos los números después del 5 en los que sí hay N – En el 6… I –Ëste (10) es el 10 y ahora tú te imaginas que la escalera es más larga, 11, 12, 13, 14, 15,... hasta llegar al 100. Entonces, éste (9) es el 9 y sí hay, ¿qué número después del 9 también habría pan? (VI2) N – En el.... 11. (VI2a) I –¿Y en qué otro número? N – En el ...13 I –¿Y en qué otro número? N – En el 14. (VI3b)

I – ¿En el 14 habría pan? En el 13 hay. ¿Hay pan en el 14? N – Se queda callado. I – ¿Hay pan en el 14, cariño? N – Me acuerdo que había pan. I – ¿Te acuerdas que había pan? Pero si no lo has visto, porque el 14 no está aquí (señala por encima de la escalera), ¿cómo te acuerdas? ¿Con estos que tú ves aquí, puedes saber si en el 14 hay pan? N – Sí. I – ¿Cómo? N – Porque yo lo sabía. I – Ah, porque tú lo sabías, ¿no? ¿Tú sabes si hay pan en el 25? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque.... I – ¿Por qué? N – Porque lo sabía y .... porque lo sabía. I – Porque lo sabías, ¿no?. ¿Y tú sabes si hay pan en el 36? N – Sí. (VI1b) I – ¿También? ¿Por qué? N – Porque lo sé. I – Muy bien, Javier, cómete los ositos que nos vamos.

7) Ma. 4,11. Nombre: Manuel. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Mayo. I –Manuel, éste (5) está aquí y se come éste, ¿por qué, cuando va subiendo, después de éste (5) se come éste (6)? N – Porque se lo quiere comer porque está en el sitio equivocado.) I –(Va quitando todo de la escalera) y ahora hacemos otra cosita, que tú sabes hacer muy bien, porque eres amigo de los Piolines y eres muy listo. Entonces, ahora el pan ya no está en todos los escalones, ahora le vamos a hacer un truco a los Piolines, ¿eh?. Entonces, ahora va a comer pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no, y en el primero es que sí. Venga, colócalo así como yo te he dicho. N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – ... Entonces, yo aquí (5) pongo un Piolín porque aquí hay pan y come, entonces tú debes colocar Piolines en los sitios que sí hay pan. (III1) N – Coloca Piolines en los escalones 1, 3, 7 y 9. (III1a) I – Sabes cuando está y cuando no está, ¿eh? Entonces, mira como va. Ahora, vamos a quitar otra vez todo esto (quita los Piolines) y en vez de que se vean unas cosas, vamos a ver otras,

¿vale? Por ejemplo, vamos a ver esto, o mejor así (pone los muros tapando los panes de los escalones 3, 5, 7 y 9, dejando entre los dos muros el escalón 6), ¿ves ese (1)? Y entonces colocamos éste aquí (pone un Piolín en el escalón 1). Colocamos ahí el Piolín porque come pan, ¿vale?. Si yo coloco aquí (4) un Piolín ¿tú crees que ahí comerá pan el Piolín? N – Dice no con la cabeza.. I – ¿Por qué? ¿Por qué no, cariño? N – Porque, ...,no come, porque es que no quiere comer. I – Pero, ¿por qué no quiere comer? N – Porque... Porque ahí hay un pan y ahí hay dos (señala los muros inferior y superior respectivamente), o ahí hay dos y ahí hay uno (señala los muros superior y inferior respectivamente). I –Entonces, aquí (4) no hay y aquí (6) tampoco hay, porque se está viendo, ¿vale? Si yo pongo el Piolín aquí (7), ¿éste va a comer? ¿Éste va a ser listo y va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque quiere comer, porque tiene mucha hambre.


I – Tiene mucha hambre. Pero si yo quito esto, ¿tú crees que aquí detrás, cuando quite esto, detrás va a haber pan para que coma este Piolín? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué crees que sí? N – Porque hay otro, por ejemplo, eso aquí hay un pan y ahí hay otro. I – ¿Dónde hay un pan, cariño? N – Aquí (señala de lejos con la mano entre los Piolines 5 y 7). I – ¿Aquí en éste (7) donde está el Piolín hay un pan? N – Umm.... I – Entonces, ¿qué crees, que sí o que no? N – Que sí. I – Que sí, bueno, pero, ¿por qué? N – Porque ... porque... por eso tiene mucha hambre y después... I – ¿Por qué hay? N – Porque hay pan y ... I – Pero aquí, si te das cuenta, aquí (6) no hay, éste lo estás viendo. Lo estás viendo, ¿a qué si, cariño? N – Sí. I –¿Tú crees que éste (7) se ha puesto en el sitio que sí hay? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque ahí está el sitio muy bien, ...,sí, pero éste está, ... no está en el sitio equivocado, pero ese sí, pero eso no (señala desde lejos con el dedo). Pero ese (7) está bien, ese (4) está mal, pero ese está bien (1), porque... porque aquí (4) no hay pan, pero ahí (1) sí hay pan. (IIIE222 ). I – . Quiero saber si en éste lugar (8) come. Si yo pongo aquí un Piolín, (Pone un Piolín en el escalón 8) ¿ahí qué pasa? N – Que no hay pan. I – ¿Por qué? N – Porque ha puesto un hueco y no hay. I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay? N – Porque... porque tiene que haber pan y come y por eso como no hay... Y también ... I – Y no hay, ¿no? N – Dice no con la cabeza. *I –...Ya sabes que el Piolín está en el número 5, coloca un Piolín en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7 (IV1a). I – ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque... porque hago cuando llego todos los días, hasta las seis y media hago los números y podemos hacer los números ya. I –. Entonces, éste (7) es el número 7 y éste (5) es el número 5. (Quita el muro) éste es el número 7, ¿de acuerdo? Quiero que coloques uno en el número 9. N – (Señala con el dedo los escalones 8 y 9 y pone un Piolín en el escalón 9)

I – (Quita los Piolines) Ahora, éste (pone un Piolín en el escalón 6), ¿qué número es? ¿En qué número he colocado yo el Piolín? N – (Cuenta los escalones desde abajo) En el 6. I –Si tú sabes que éste es el número 6, coloca uno en el número 4. N – (Cuenta los escalones desde abajo y pone un Piolín en el escalón 4.) (IVE333 ) I –Ahora, yo voy a colocar ese (quita los Piolines de los escalones 6 y 4 y pone uno en el escalón 5) en el número 5. Ese es el número 5, ¿de acuerdo? N – Dice sí con la cabeza. I – Éste es el número 5. (Pone un muro en los escalones superiores) Coloca uno en el número 3. N – Cuenta los escalones desde abajo hasta llegar al 3 y pone un Piolín en éste escalón. I – (Quita los Piolines) Ahora, éste Piolín está en el número, por ejemplo, 9 (coloca un Piolín en el escalón 9). Yo quiero que, si tú sabes que éste es el 9, coloques uno en el número 7. Pero, tú tienes que saber que éste es el 9. Coloca uno en el número 7. N – (Señala los escalones 8 y 7 y pone un Piolín en el escalón 7) I – ¿Por qué ese es el número 7, cariño? ¿Cómo lo has pensado? Dímelo, porque tú has hecho una cosa ahí y has pensado. N – Porque he pensado con, ahora con eso he hecho una ficha, así grande que tiene los números y por eso lo sé yo I – ¡Todos los números!. N – Hasta el 10. I – ¡Anda, estupendo! Manuel. Vamos a colocar el pan en uno sí y en otro no (Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Ahora, vas a ir colocando Piolines en los sitios que haya pan y me vas diciendo los números en los que hay, ¿de acuerdo?. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Ese qué número es? N – El 1. I – En el 1 sí. N – En el 3, en el 5, en el 7 y en el 9 (pone Piolines en los escalones correspondientes). *I – ... Y en el 5 come, ¿de acuerdo? ¿En qué número, después del 5 come también ? (V1) N – Pone un Piolín en el escalón 4. (V1b) I – ¿Ahí come?, si ahí lo estás viendo. ¿Ahí come? N – Dice no con la cabeza. I – Pues entonces no lo tienes que poner, tienes que ponerlo en los que sí come y me tienes que decir el número. ¿En qué número tienes que poner el Piolín para que coma? N – (Agacha la cabeza para ver el pan por debajo del muro) I – No lo mires por debajo.


N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Me tienes que decir los números. ¿Ese qué número es? N – Ese, el 1. I – ¿En el 1 come? N – No. I – ¿En el 1 no come? N – Dice sí con la cabeza. I – Dime otros números en los que sí come. N – Pone otro Piolín en el escalón 7. (V1b) I – Me tienes que decir los números, cariño. N – (Pone otro Piolín en el escalón 9.) 1 (1), 2 (5),... I – No, 2 no, el 2 es éste (2). N – (Cuenta mentalmente los escalones 2, 3 y 4) 1, 5, 7 y 9. I –¿Y por aquí (señala los escalones inferiores) hay alguno más donde sí come? N – Por ahí (señala desde lejos hacia el hueco). I – Vale, pues ponlo, cariño, en el que sí come. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – (Quita los muros). Entonces, ¿los números en los que sí come cuáles son? Dime los números en los que sí come. (V2) N – 1. (V2a) I – Sí. N – 3. . (V2a) I – Sí. N – 5. . (V2a) I – Ahá. N – 7. . (V2a) I – Ahá. N – 9. . (V2a) I –. Ahora, vamos a tapar otra vez los Piolines, para adivinar otra cosa. (Quita los Piolines y pone los muros) Vamos a tapar, igual que antes así, ¿vale? Y yo te voy a poner aquí un Piolín (pone un Piolín en el escalón 5) Éste está en el 5 y come. Yo quiero saber si colocamos un Piolín en el 8,... va a comer. N – Dice sí con la cabeza. I – ¿El Piolín va a comer en el número 8? N – (Dice no con la cabeza.) No. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque no hay pan. I –¿En qué número, después del 5,... el Piolín come? (V1) N – ¿Qué número? I – Después del 5 come. N – Coge el Piolín del escalón 5. I – Coge otro Piolín de aquí y me lo dices con otro. N – Pone un Piolín en el escalón 7. (V3b) I – Pero, ¿qué número es ese?

N – Ese, el 7. . I – ¿Y por qué después del 5, por qué come después en el 7? N – Porque tiene un montón de hambre y ... y tiene mucha hambre y quiere comer toda la comida para que no le...para que se lo coma y para que no se le deje ninguno. I –Vamos a quitar esto (quita los muros), ponemos otra vez los Piolines en el sitio que hay pan. Venga, ayúdame. (Colocan Piolines en los escalones que hay pan.). Dime otra vez en los números en los que sí hay pan y Piolines. N – 1, 3, 5, 7 y 9. I –Entonces, éste (10) es el 10 y en el 10 no come. Tú te imaginas ahora la escalera más larga, después del 10 viene el 11, después el 12, el 13, ¿vale? Porque tú sabes contar mucho y la escalera es muy larga, ¿de acuerdo? Entonces, yo quiero saber en qué número comería pan después del 9. (VI2) N – El 9. I – La escalera es más larga, ¿eh? Está el 11, el 12, el 13, ... ¿Qué número después del 9 come, cariño? N – En el 3. (VI2b) I – ¿En el 3 come después del 9? ¿Por qué? N – Porque... porque está mirando a los otros y por eso... quiere comer, pero ya no quiere comer. I –Bueno, ¿tú crees que en el número 15 come pan el pajarito? Cuando va subiendo el 10, después el 11, el 12, el 13,.. , cuando llegue al 15, ¿tú crees que en el 15 va a comer pan? (VI1) N – Dice no con la cabeza. (VI1b) I –. ¿Y en el 26 tendrá hambre el pajarito? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no tiene hambre. I – ¿Y en el 55? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque tiene mucha hambre. I – ¿Y en el 63? N – No, porque no tiene hambre. I – ¿Y en el 79? N – No quiere comer, porque tiene mucha hambre. I – Dime los números en los que comería entre el 42 y el 51. ¿En qué números comería entre el 42 y el 51? N – En el 42 sí come, pero en el cuarenta.... No lo sé. I – ¿No lo sabes, cariño? Bueno, pues déjalo, vida mía que lo has hecho todo muy bien.

8) An. 4,2. Nombre: Antonio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Febrero.


I – ¿Por qué cuando se come éste(5), se come después éste (6)? N –Porque tiene hambre I – Bueno, Antonio, ahora el Piolín no come pan en todos los escalones, sino que va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿ de acuerdo? Y en el primero es que sí. Pues entonces, colócalo, coloca el pan. N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 8. I – Es en uno sí y en otro no, Antonio. N – ¿Así? (Pone otro trozo de pan en el escalón 10.) I – ¿Está todo bien? Es en uno sí y en otro no. N – ¿Así? (Quita el pan del escalón 7) I – ¿Lo has colocado bien? N – Sí. I – Es en uno sí (señala el trozo de pan del escalón 5) y en otro no, en uno sí y en otro no. ¿Lo has colocado bien? N – Sí. I – Cariño, en éste (5) sí, en éste (6) no, ahora en éste (7) es sí (cambia el pan del escalón 8 al 7), en éste (8) no y en éste (9) sí (cambia el pan del escalón 10 al 9), ¿de acuerdo? N – Sí. *I – … Venga, coloca Piolines donde sí hay pan. (III1) N – ¿Aquí? (Pone un Piolín en el escalón 8) (III1b) I – Tú lo colocas y después me dices por qué lo has colocado. ¿Aquí (8) por qué has puesto éste Piolín? N – Porque ahí detrás puede, ..., puede, puede, puede,.... y se pone ahí atrás y después se lo come. I – Claro, pero, ¿por qué sabes tú que cuando yo quite esto ahí detrás va a haber un pan, aquí (8), en éste escalón? N – Porque es que yo lo he puesto ahí para que cuando, cuando, cuando, encuentre un pan y se lo comerá. I – ¿Seguro? Pero, los magos tienen que pensar y saber por qué lo ponen, ¿eh? Es en uno sí y en otro no, cariño. Aquí (5) sí hay. N – Entonces, en todos estos escalones ahí, ¿no? I –. Ponlo en los que tú crees que sí hay, ¿vale? N – Vale. (Coge el Piolín del escalón 8). Pone el Piolín en el escalón 1. I –Ve poniéndolo en todos los que tú creas que sí. N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 2). I – ¿Ahí sí? Es en uno sí y en otro no, ¿eh? N – Entonces, éste (2) no, ¿no? Éte no. ¿Sí o no? I – Tú me lo dices y después lo vemos. N – Pone otro Piolín en el escalón 4. I – ¿Ahí come pan? ¿Éste Piolín (4) come pan? N – No. I – ¿Entonces? No lo puedes poner ahí.

N – Es que siempre soy muy torpe. I – No, tú eres muy listo. Bueno, cariño, vamos a hacer una cosa, (quita el muro) vamos a hacerlo un poquitín más fácil, ¿de acuerdo? Solamente vas a adivinar ésta parte que tienes aquí arriba y entonces, ahí come y aquí come (pone un Piolín en el escalón 3) y aquí (5) come y ponemos uno. En todos estos que te quedan ¿en cuál tienes que poner? (III3) N – En... aquí (señala el escalón 7). (III3a) I – Muy bien. N – Aquí (señala el escalón 9). I – Pues venga, coloca. N – Pone trozos de pan en los escalones 7 y 9. I – Ahá. Bueno, tienes que poner Piolines, pan no. Aquí y aquí (quita los panes y pone Piolines en su lugar y levanta el muro superior). Lo has adivinado, ¿lo ves como sabes? ¿Tú sabes por qué hemos puesto éste (7) aquí? N – Porque detrás había pan. I – Sí, pero, ¿por qué hay pan detrás? N – Porque lo ha tapado, lo has tapado. I – Lo he tapado, ¿no? N – Sí. I – Ahá, muy bien, vale. Pues entonces, ahora vamos a hacer otra cosita, pero tapando esto (quita los Piolines, menos el del escalón 1 y pone un muro tapando los panes de los escalones 3 y 5) vamos a tapar esto y vamos a ver solamente el 1. Éste de aquí es el que vamos a ver, ¿no?. Si yo coloco aquí (4) un Piolín,..., si lo coloco aquí, ¿tú crees que ese Piolín va a comer pan cuando quitemos esto (el muro inferior)? ¿Lo habré puesto en un sitio donde sí hay pan? (III1) N – Sí. (III1b) I – ¿Por qué? N – Porque detrás hay pan. I – Pero, ¿por qué en ese hay pan? N – Porque ha comido tres. I – ¿Cómo? N – Que ha comido tres panes. I – ¿Que he puesto tres? N – Sí. I – ¿Y tú crees que ahí sí he puesto? N – Sí. I – ¿Seguro? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Seguro? N – (Dice sí con la cabeza.) Sí, seguro. I – (Levanta el muro inferior) Pues no, no he puesto. No he puesto, ¿eh? No he puesto. Vamos a ver ahora la magia cómo va. Si yo coloco uno aquí (pone el Piolín en el escalón 5), ¿aquí hay pan? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque lo has tapado.


I – Te acuerdas, ¿no? ¿Porque te acuerdas? N – Sí y lo has tapado. I – Vale. Aquí (5) hay pan. Si yo coloco uno aquí (9), ¿tú crees que aquí hay pan? N – No. I – ¿Ahí no? ¿Por qué? N – Porque no está junto el pan. Si estuviera junto entonces se comía los trozos de pan. I – ¿Aquí (9) no hay? N – No. I – (Levanta el muro superior) Pues sí hay. ¡Ay, el truco! Bueno, entonces ahora vamos a hacer ahora otro (va quitando todo de la escalera), pero contando. Vamos a quitar el pan para que no lo coma y lo vas a contar. Coloca un Piolín en el número 5. A ver si tú sabes dónde está el número 5. Coloca un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese es el número 5? N – No I – Pues colócalo en el 5. N – Pone el Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese es el 5? N – 1, 2, 3, 4, 5 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). *I –Ese está en el número 5, quiero que coloques ahora otro en el número 7 (pone el muro delante de los escalones inferiores). Coloca otro en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese es el 7? N – Sí. I – ¿Por qué? N – 1, 2, 3 (señala los escalones 5, 6 y 7). Es que aquí has tapado. I –Pero, ¿por qué éste (7) es el número 7? N – Porque ese es el 5, después del 5 viene el 6 y después del 6 el 7. (IV1a, IVE444 ) I –. (Quita el muro y quita el Piolín del escalón 5, dejando sólo el del escalón 7) Ese está en el 7. Si yo pongo aquí uno (pone un Piolín en el escalón 2 y el muro tapando el primer escalón), ¿en qué número lo he puesto? N – En el 2. I – ¿Por qué? N – Porque después del 1 viene el 2. IVE333 I – (Quita el muro y el Piolín del escalón 7) Si ese es el 2, coloca uno en el 8. N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 8) I – ¿Ese es el 8? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque después del 7 viene el 8. I – ¡Ah! N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va contando los escalones, coincide el 7 con la posición del Piolín del escalón 8), en el 7 y después del 7 está aquí (9), en el 8 (cambia el Piolín al escalón 9). . IVE111 I –¿Sí?

N – Sí, así. I – Así es, ¿no? N – Sí, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (va señalando el escalón correspondiente), aquí está (cambia el Piolín del escalón 9 al 8). I –. (Pone el muro delante de los escalones a partir del escalón 3) Éste es el 2 (Lo señala), éste es el 8, coloca uno en el 7. N – Pone otro Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque aquí lo he puesto el 7. I – Pero, ¿por qué sabes que ese es el 7? N – Porque 1, 2, 3, 4, 5 (va como contando los escalones con el dedo)... porque aquí cuento muy rápido y aquí (8) estaba el 8, ¿verdad? Así que éste es el 7. I – (Quita los Piolines de la escalera). Vamos a coger el pan igual que antes, colócalo en uno sí y en otro no y lo hacemos con números. N – ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el escalón 1) ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el escalón 3) ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el escalón 5) ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el escalón 7) ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el escalón 9) ¿Y ya está no? I – (Va afirmando) Muy bien. Ahora pones los Piolines donde has puesto pan y me dices el número que es. N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 1.) I – ¿Qué número es? N – El 1. I – En el 1 hay pan, de acuerdo. ¿Qué más? N – (Pone otro Piolín en el escalón 3) El 2. I – ¿Cómo? N – Éste es el 2. I – ¿Cuál es el 2? N – Éste (señala el escalón 2). I – Ese es el 2. Entonces, donde has puesto el Piolín, ¿cuál es? N – El 3. I – En el 3 hay también pan, de acuerdo. Venga, dime más. N – (Pone otro Piolín en el escalón 5.) El 5. I – En el 5 también, muy bien. N – 1, 2, 3, 4, 5 (señala los escalones correspondientes) (Pone otro Piolín en el escalón 7) ¿Éste cuál es el número? El 6. I – ¿El 6? N – Sí, porque éste (5) es el 5, después éste (6) es el 6... I – Éste (6) es el 6 y éste (7) es el ... N – 9. I – ¿Después del 6 viene el 9? N – El 7. I – El 7, muy bien. Venga, ¿qué más? N – (Pone otro Piolín en el escalón 9) El 9. I – Entonces, ¿ya sabes en los números que hay pan? N – Sí. I – ¿En qué números? ¿Me lo dices otra vez?


N – Sí. 1,...3, ... 5,... 7,....9 (va señalando) (V2a) *I –…¿Después del 5 qué número viene en el que sí come? (V1) N – El 6. (V1b) I – Es en el que sí come, no después del 5. Después del 5 viene el 6, pero ¿qué número de todos estos (señala la parte superior de la escalera) es el que le sigue a éste (5) en el que sí come? N – 6 (señala el escalón 6 y a continuación el 7), aquí. I – ¿Y ese qué número es? N – El 6,... el 7. (V2a) I –El 7, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Y por qué come ahí? N – Porque ahí está separado. (IIIE222 ) I – ¿Y después de ese qué número viene en el que sí come? N – El 8. I – Es en el que sí come, ¿eh? N – ¿Éste? (Señala el escalón 8) I – El 7, en el 7 come. Entonces, ¿en qué otro número come? N – Pone un Piolín en el escalón 9. (V3b) I – ¿Y ese qué número es? N – El 9. I – El 9. (Quita el muro) bien… Antonio. vamos a hacer esto (pone los muros tapando los panes de los escalones 3, 5, 7, y 9, deja libre el escalón 6 entre los muros), vamos a ver.., estos son los que vemos (1) y estos son los que no vemos (quita los Piolines). Ese es el 1 y en el 1 come, ¿de acuerdo? En el 1 come, quiero saber si en el 6 come. N –Éste ( señala el escalón 7) es el 6, ¿no? I – Tú mira a ver cuál es el 6, cariño. N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6 (va señalando y pone el Piolín en el escalón 6) No come. I – Porque ya lo has visto, ¿eh? Porque eso se ve. Entonces, en el 6 no come. ¿En el 9 come? N – Después del 6 viene el 7, ¿no?, después del 8, el 9. Aquí el 7, aquí el 8 y aquí el 9 (va señalando los escalones correspondientes y pone el Piolín en el 9). I – ¿Y ahí come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque está separado el pan. I – (Levanta el muro superior) Muy bien, ahí sí come. Tú el truco ya lo estás haciendo todo, ¿eh? Ya estás conociendo el truco. Y en el 3, ¿come? N – Éste (3) es el 3, ¿no? I – ¿En el 3 come? N – (Pone un Piolín en el escalón 3) No. I – ¿Por qué?

N – Porque está separado el pan. Sí, que diga. Creo que sí. I – ¿Por qué? N – Porque ... creo que no. I – ¿Qué crees que sí o que no? N – Que no. I – Que no. (Levanta el muro inferior) Todavía te queda un poquitín de truco por saber, ¿eh? Todavía una chispita de truco sí que te queda por saber. (Pone los muros pegados desde el escalón 4 y quita los Piolines de la parte superior) Y ahora, en el 1 y en el 3 sí come. ¿En el 10 come? N – Éste (10) es el 10, ¿no? I – ¿En el 10 come? N – (Pone un Piolín en el escalón 10) No come. I – ¿Por qué? N – Porque está separado del pan. I – Y si está separado ¿ahí toca que no? N – Éste (7) y éste (9), ahí está el pan. Éste (7) con éste (9), separado, así. I – Muy bien, lo has acertado (quita los muros). Ahora ya por último vamos a hacer una cosa, Antonio, (pone Piolines donde hay pan) tú ya sabes los números en los que hay. ¿Me lo dices en los números en los que hay otra vez pan? N – Va señalando donde están los Piolines. I – Pero dime los números. N – ¿Qué? I – Dime los números. N – Aquí (1) hay pan, aquí (2) no hay pan, aquí (3) hay pan... I – Sí, pero dime los números. N – Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2 y no hay pan, éste (3) es el 3 sí hay pan, éste (4) es el 4 no hay pan, éste (5) es el 5, si que hay pan, éste (6) es el 6 no hay pan, éste (7) es el 7, sí que hay pan, éste (8) es el 8, no hay pan, éste (9) es el 9, sí que hay pan y éste (10) es el 10 y no hay pan. (V2a) I –Ahora, éste (10) es el 10, pero la escalera se termina aquí, pero tú sabes que los números continúan, está el 11, el 12, el 13, el 14, ...hay muchísimos más números…Ëste (9) es el 9 que sí hay pan. Entonces, yo quiero saber en qué número después del 9 sí come pan el pajarito. N – Después del 9 el 10. (VI2b) I – El 10 es éste (señala el escalón 10) y no come. Entonces, ¿en qué número sí habría pan otra vez? N – En ese. I – ¿En éste (7)? Pero, lo que continúan la escalera más larga. N –Después de que no hay pan, hay pan. (IIIE222 ) I – Después de que no hay pan, hay pan, vale. Entonces, ¿en el 11 hay pan? N – Sí. I – ¿Por qué?


N – Porque primero hay pan, después no hay pan, después de que no hay pan, ...después de que no hay pan hay pan, (sigue con este razonamiento (V3a) I – Y así van todos, vale. Entonces, ¿en el 12 hay pan? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque yo cuento en el 1 y en el 2 y en el 3 y en el 4 y en el 5 y en el 6 en el 7 y en el 8 y en el 9 y en el 10 y en el 7 y en el 8 y en el 9 y en el 10 y en el 12 y en el 13, y en el 14 y en el 12 no hay pan. (V3a) I – De acuerdo, ¿y en el 13? N – Sí. I –Y después del 13 ¿qué número viene en el que sí hay pan? N – Después... Voy a contar otra vez, que no me lo sé después del 13. Mi padre sabe todos los números, que está en Kosovo ayudando a unos niños. I – ¿Sí, cariño? ¿Tú padre sabe todos los números y se lo está enseñando a todos los niños de Kosovo? N – Sí. Y también le están ayudando y le están acompañando a ir a colegios. I – Muy bien, Antonio, entonces después del 13 ¿en qué número come? N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13, el ...14 (VI3b) I –Es el número que le sigue a 13 que sí come N –¿Qué? I –Bueno…¿Tú crees que en el 25 va a comer pan, en el 25? N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13, el ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 13, 14, ... I – No, 19 y 20. N – 20, 21, 22, 23, 24, 25... I – 25, ya me has dicho el 25, ¿en el 25 come?

N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque, porque en el 24 no había pan y en el 25 sí que hay pan. I – ¿Y en el 22 hay pan? N – No. I – ¿Por qué? N – Sí, sí, sí. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque... es que, es que, es que... el primero que sí. I – ¿Por qué? N – Porque en el 22 hay pan, porque en el diecidos hay pan. I – ¿En el diecidos hay pan? N – Sí porque mira, aquí hay dos (señala los Piolines de los escalones 7 y 9) y aquí hay pan y aquí hay pan, por eso en el 22 hay pan. I –Después del 22 ¿qué números vienen en los que sí come?. N –¿Qué?… I –Vale, ¿Y en el 28, come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque, porque tiene que ir aquí (señala en medio de dos Piolines) y no tiene pan. Y éste es el 28... (señala el escalón 6) I – ¿Y por qué sabes que ese es el 28, cariño? N – Porque, porque, porque, después sigo contando, después sigo contando de abajo, después sigo contando de abajo, después en el primero (1), en el segundo (2), en el tercero (3), en el cuarto (4), en el segun (5), en el primero (7), en el ... y aquí (8) no hay pan, ¿no?, ni aquí (6), ni aquí (4), ni aquí (2), ni aquí (10). En el que no hay pan son el que, el que... el malo y en el que hay pan son el bueno. I – Y entonces, ¿tú crees que el 36 hay pan, en el 36? N – No lo sé. I – Muy bien, Antonio, vamos a ir a por otro amiguito tuyo, ¿vale?

9) Ju. 3,11. Nombre: Juan Luis. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo. I – ¿Por qué cuando se come éste(5), se come después éste (6)? N –Porque sí I –Ahora ya el Piolín no come pan en todos los escalones, (va quitando todo de la escalera) ahora come en uno sí y en otro no y en el primero es que sí, venga, colócalos tú, para que coma pan en uno sí y en otro no. N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – …. Ahora tienes que colocar un Piolín después de éste (5) para que sí coma pan. (III1)

N – Pone el Piolín en el escalón 7, sin soltarlo y la mira. I –Venga, sigue poniendo, a ver, para que cuando quitemos los tabiques, si hay pan en los sitios que tú has colocado Piolínes. Venga, ponlo. N – (Señala al escalón 7) Ahí va a haber pan. I – Porque lo has visto, ¿no? Venga, pues a ver en los demás N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Ahí? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué?


N – Porque ahí iba. I – ¿Por qué ahí puede comer, cariño? N – Porque es en uno sí y en otro no. (III1a, IIIE222 ) I – Ah, porque es en uno sí y en otro no. Vale, vida mía. ¿Y por ahí abajo, come pan en alguno? N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Y en cúal más? N – Pone otro Piolín en el escalón 1. I – (Levanta los muros) Muy bien, ¿lo ves come eres un mago? Porque sabes el truco, tú sabes el truco para hacer magia. Ahora vamos a poner aquí esto aquí así (quita los Piolines menos el del escalón 1 y pone los muros tapando los panes de los escalones 3, 5, 7 y 9, dejando el escalón 6 a la vista) y lo colocamos esto aquí así. Vamos a hacer, igual que antes, pero lo vamos a colocar así. Si yo coloco un Piolín aquí (8), ¿tú crees que aquí va a comer pan? N – Se queda callado mirando la escalera. I – ¿Tú crees que ahí va a comer pan el Piolín? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque ahí no hay. I – Pero, ¿por qué sabes que no? N – Porque ahí no hay pan. I – Pero, ¿por qué no? N – Se queda callado mirando hacia el suelo. I – Dime por qué, ¿cómo lo adivinas?, ¿qué truco usas? N – (Señala el escalón 7 y dice sí con la cabeza) El pan. I –¿Aquí (4) hay? N – (Mira como por abajo del muro.) No. N – Porque no hay. N – Aquí (3) sí hay I – ¿Sí? N – Creo que sí (mira detrás del muro). Sí, sí hay. I – (Quita los muros y va quitando los trozos de pan) vamos a hacer esto, pero sin pan, con números, ¿vale? Quiero que coloques un Piolín en el número 5. N – (Va contando los escalones en silencio y pone el Piolín en el escalón 5) Aquí. *I –…Ëste es el 5 porque tú lo has dicho (pone el muro delante de los primeros escalones). Coloca uno en el 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. (IV1a) I – ¿Por qué ese es el 7? N – Porque antes va el 6. I – Ahá. Coloca uno en el 10. N – Aquí (señala el escalón 10) I – ¿Por qué sabes que es el 10? N – (Pone un Piolín en el escalón 10) Porque es el de arriba.

I – Mira, vamos a poner uno en el 8. Sabiendo que éste es el 8, ¿cuál es éste (señala el escalón 6)? N – El 6. I – ¿Por qué? N – Porque antes va el 5. (IVE333 ) I – Antes va el 5, ¿no? N – Sí. I – (Deja en la escalera sólo un Piolín en el escalón 4) , éste es el 4, ¿vale? Coloca uno en el 9. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Coloca uno en el 2. N – Pone un Piolín en el escalón 2. I – Pero tú sabes que éste (4) es el 4, tú para colocar éste (9) ¿cómo has hecho? ¿Por qué éste es el 9? Tú sabes que éste (4) es el 4, ¿por qué éste es el 9? N – Porque antes va el 8. I – Porque antes va el 8, ¿no? Vale, muy bien, ahora, (quita los Piolines de la escalera) vamos a hacer números y panes, ¿vale?. Coloca el pan, igual que antes, en uno sí y en otro no. N – (Coloca panes en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9.) Ya. I – Ya has colocado el pan en uno sí y en otro no, ¿vale?. Ahora coloca los Piolines y vas diciendo los números en los que hay. En el 1 hay (pone un Piolín en el escalón 1), venga, ¿qué más números? Coloca el Piolín y me dices el número. N – En el 3 (pone un Piolín en el escalón 3). I – Ahá, muy bien. N – En el 5 (pone un Piolín en el escalón 5). En el 7 (pone un Piolín en el escalón 7). Y en el 9 (pone un Piolín en el escalón 9). *I – … En el 5 hay, ¿qué numero viene después del 5 en el que sí hay pan? (V1) N – El 6. (V1b) I – El 6 es éste y... N – El 7. I – El 7. Venga, coloca uno en el 7 que sí hay pan. ¿Qué número viene después del 7 que sí hay pan? N – 8. (V1b) I – En el 8. ¿Cuál es el 8? N – Éste (señala el escalón 8). I – ¿Y en el 8 hay pan? N – No. I – Entonces no digas el 8. N – Ah, el 9. I – En el 9 hay pan. ¿Qué número viene antes del 5 en el que sí hay pan? N – El 6. En el 6, no hay. I – ¿Cuál es el 6? N – Éste (señala el escalón 6). I – En ese no hay. N – Y el 4 (señala el escalón 4). I – Ahá.


N – En el 3 sí hay (pone un Piolín en el escalón 3). En el 1. (V1a) I – Ahá, muy bien. (Levanta los muros y quita los Piolines y vuelve a poner los muros) Ahora yo te voy a preguntar cosas igual que antes, a ver si sabes. En el 5 sí come, ¿en el 8 come? N – (Se queda pensativo) Sí. I – ¿Cuál es el 8? N – Señala el escalón 8. I – ¿Y en el 8 come? colócalo en el 8. N – No. I – ¿Por qué no? N – Porque no come. I – ¿Por qué no come en el 8, cariño? N – Porque es uno sí y otro no. (VE222) I – Porque es uno sí y otro no, muy bien. En el 8 no come. ¿En el 2 come? N – Tampoco. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque es uno sí y otro no. I – ¿Y por qué le toca al 2 no comer? N – Porque no hay pan. I – Pero, ¿por qué no hay? Si es en uno sí y en otro no, ¿por qué en el 2 es que no? N – En el 1 sí. I – Ahá, muy bien. ¿Y en el 4 come? N – No. I – ¿Por qué? N – No hay pan. I – ¿Y por qué sabes que no hay pan? No hemos puesto pan, pero ¿por qué no lo hemos puesto aquí (4)? N – Porque no lo ... I –¿Y en el 6 hay pan? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque es en uno sí y en otro no. I – Es en uno sí y en otro no ¿Y qué pasa en el 6 qué es que no? N – Se queda callado. I – Entonces, ésta escalera llega hasta el 10, pero los números continúan y después del 10 el 11, el 12, el 13, el 14, el 15... N – El 16, 17, 18, ... (sigue contando hasta el 39) I – Muy bien, Juanlu, ya está, que te voy a preguntar otra cosita. Este niño sabe contar muchísimo. N – Hasta el do.. I – ¿Hasta el 200? N – Hasta el doscientos. I – Ya sabes contar un montón de números. Entonces, éste (9) es el 9 y come, ¿después del 9 en qué número come también si la escalera fuese más larga? (VI2) N – Se queda callado, mirando la mesa. I –. ¿Come en el 11? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque es uno sí y otro no.

I – ¿Y en el 12? N – No. I – ¿Y en el 13? N – Sí. I – ¿Y en el 14? N – No. I – ¿Y en el 15? N – Sí. I – Ahá, muy bien. Y ahora si da un salto y nos ponemos en el 25, ¿en el 25 come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque es uno sí y otro no. I – ¿Y por qué le toca al 25 que sí? N – Porque es uno sí, uno no, uno sí, uno no. I – Ahá, y ¿en el 32 come? N – Se queda callado pensativo. I – ¿Come en el 32? N – (Cuenta con los dedos.) En el 25 no come (VI1b) I – ¿Y cómo lo has hecho? N – Vuelve a contar con los dedos. I – Bueno, solamente una cosita. ¿Cómo lo estabas haciendo? ¿Contando desde el 1? En el 1 sí, en el 2 no ¿y así lo has hecho? Y tú sabes decirme entre el 20 y el 30 en los números que sí come. N – En el 20 no, en el ... I – Entonces, ¿me lo puedes decir? Venga, ve diciéndome mientras terminamos. Entre el 20 y el 30 ¿en qué números sí comería pan el pajarito? ¿En qué números entre el 20 y el 30 come pan el pajarito? N – Voy a contar. (Cuenta con los dedos, pero en silencio y se pone con la cabeza entre los brazos) I – Juanlu, piensa en voz alta y me cuenta lo que estás pensando. Dilo en voz alta lo que piensas. N – Sigue con la cabeza entre los brazos en la mesa. I – Venga, Juanlu. ¿Por dónde vas? N – (Sigue pensando con la cabeza escondida) Sí, en el 30 y sí. En el 30, el 30 sí. I – ¿En el 30 sí come? N – Sí. I – ¿Y en el 20 come? N – No. I – ¿Y después del 20 en cuál come? N – En el 21 sí come. I – ¿Y despés? N – En el 22 no come, en el 23 sí come, en el 24 no come, en el 25 sí come, en el 26 no come, en el 27 sí come, en el 28 no come, en el 29 come y en el 30 no come. (VI3a) I – Muy bien. ¿Y entre el 35 y el 40 dónde come? N – No hasta el 10.. I – Te lo sabes. N – Sí. No, desde el 10... Desde el 11 hasta el 13.


I – Sí, pero si tú has dicho que en el 30 no come, piensa ahora del 35 al 40. N – No, del 40 hasta el 60. I – ¿Ahí vas a pensar? N – Sí. I – Pero tú sabes que en el 30 no, no come. ¿Qué vas a empezar desde el 1? N – Desde el 39 al 40 y desde el 40 hasta el 60. I – ¿Vas a pensar desde el 30? N – No, desde el 39. I – Pues venga, piensa desde el 39. ¿En el 39 qué pasa? N – En el 39 que ... En el 38 come y en el 39 no come. (VI1b) I – ¿Y por qué? N – Porque es uno sí y uno no. I – ¿Y por qué sabes que en el 38 que sí? N – No, es al revés, es al revés, que en el 38 no come y el 39 come y el 40 no come. I – ¿Y por qué sabes tú que en el 39 es que sí? N – ¿Qué? I – Que ¿por qué sabes que en el 39 es que sí? N – Porque es uno sí, uno no, uno sí... I – Sí, pero ¿por qué le toca al 39 que sí?

N – Se queda callado. I – ¿Por qué le toca al 39 que sí, cariño? N – Porque el 40 no. I – ¿El 40 no? N – Y el 41 sí. I – Pero, ¿por qué en el 40 es que no? N – Voy a empezar desde el 30. I – Venga. N – No, desde el 1. I – ¿Desde el 1 vas a empezar? N – No, eso es mucho. I – Entonces, ¿desde cuál vas a empezar? N – Desde el ,... desde el ... I – ¿Desde cuál va a empezar? ¿No sabes desde cuál vas a empezar? N – No, porque son mucho. I – Porque son mucho. N – Desde el 1 hasta el 11. I – ¿Vas a empezar hasta el 11 nada más? N – No, hasta el 20. I – ¿Hasta el 20 vas a pensar? N – Se queda pensativo.. I –. Bueno ya está Juanlu, porque ya lo has hecho muy bien y ya estamos muy cansados.

10) Ro. 3,4. Nombre: Rocío. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Diciembre. *I – … Coge el pan y lo vas colocando en todos conforme se sube (I1). N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – … ¿Después de comerse ese pan (5), qué pan se come? (II1) N – Señala el pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 8? I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 9. I – Ahá, ¿y después? N – Señala el pan del escalón 10. I –Y cuando iba subiendo, antes de comerse éste pan (5), ¿qué pan se había comido? N – Señala el pan del escalón 1. I – ¿Y antes de ese? N – Señala el pan del escalón 2. I – ¿Y antes? N – Señala el pan del escalón 3 y después el del 4. (II1a) I – Y después ese, vale. Cuando va subiendo y se come éste pan (5), ¿por qué después se come éste (6), cariño? ¿Por qué? N – Porque va subiendo la escalera. (IIE333))) I – (Va quitando todo de la escalera), ahora ya el Piolín ya no come pan en todos los sitios,

ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, y en el primero es que sí. Venga, coloca el pan en uno sí y en otro no. N – Pone pan en los escalones 1 y 2. . (III2b) I – Cariño, es en un escalón sí y en otro no N – Quita el pan del escalón 2. I – Venga, coloca pan en un escalón sí y en otro no. En éste (1) es que sí, en éste (2) es que no, y ahora (3) es que sí (pone pan). ¿Y en éste? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y en éste? N – Dice sí con la cabeza. I – Entonces ponlo. N – Pone un trozo de pan en el escalón 5. I – ¿Y en éste (6)? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y en éste (7)? N – Dice sí con la cabeza. I – Pues colócalo. N – Pone pan en el escalón 7. I – ¿Y en éste (8)? N – Dice sí con la cabeza, pero rectifica y dice que no. I – ¿Y en éste? N – Dice sí con la cabeza. *I – …Coge de aquí (caja) pajaritos y los pones en los que sí hay pan. (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 5.


I – Sí, ahí ya hemos puesto. En ese escalón ya hemos puesto un pajarito. Tienes que ponerlos en los demás. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ahí come pan? N – Dice no con la cabeza. I – Pues entonces quítalo. Tiene que ser en los sitios que sí coma pan. Cariño, colócalo en los sitios que sí come pan. N – Mira el Piolín que sostiene en la mano. I – Venga, cariño. Coge el pajarito... N – Sólo hay un pan. I – No, es que detrás hay (levanta el muro superior), ¿lo ves? Colocamos esto, tú no lo ves, pero detrás hay. Colócalo en los sitios que sí haya pan. N – Dubitativa no sabe dónde coloca el Piolín. I – Come pan en uno sí y en otro no, ¿eh? En éste (5) sí come, pero come pan en uno sí y en otro no. N – Pone el Piolín en el escalón 4, pero detrás del muro. (III1b) I – ¿Ahí come pan? N – Coge el Piolín y lo pone en el escalón 1 detrás del muro. I – Lo puedes poner delante, cariño. Lo pones aquí (lo cambia hacia la parte delante del muro), después lo quitamos y vemos si hay pan, ¿vale? Venga, tú lo vas colocando aquí, después quitamos esto para ver si hay o no. N – Quita el muro inferior. I – Mira, aquí hay pan (pone un Piolín en el escalón 3), ¿no?, que ponemos pajarito. En éstos de aquí (señala la parte superior de la escsalera), aunque tú no los veas, ¿dónde hay pan? N – Está ahí detrás. I – ¿Qué? N – Detrás. I – Detrás está el pan, ¿no? Pero, tú no sabes dónde hay, ¿no? Si ponemos aquí (8) un pajarito, ¿tú crees que detrás hay pan? ¿Aquí va a comer pan el pajarito? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no hay, porque está el pan detrás. I – Está el pan detrás, sí, pero ¿tú crees que detrás de este escalón hay pan, detrás? ¿Tú crees que aquí va a haber pan detrás? N – Intenta mirar por detrás del muro. Dice no con la cabeza. I – ¿No sabes? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Hay o no? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí hay? (Levanta el muro) No, aquí no hay, ¿lo ves? Ahora, vamos a hacer una cosa, ¿vale? Ahora vamos a contar (va quitando todo de la escalera), ya no vamos a hacerlo con panes, vamos a contar. Quiero que coloques un Piolín

en el número 5. Coloca un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Ese es el número 5? N – Parece que dice sí con la cabeza. I – ¿Eh? ¿Ese es el número 5? N – Dice no con la cabeza. I – Pues, ponlo en el número 5. N – Pasa el Piolín por los escalones 3 y 4. I – Coloca un Piolín en el número 5, cariño. N – Pone el Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice no con la cabeza y cambia el Piolín al escalón 7. I – ¿Ese? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Cuál es el número 5? N – Pasa el Piolín por los escalones 8, 9 y lo deja en el 10. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque el pajarito va subiendo la escalera y ve las miguitas de pan. I –. ¿Tú sabes contar estos escalones? . (IV2) N – Dice sí con la cabeza. 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). I – ¿Cuál es el número 5? N – Señala el escalón 5. I – Ahá, pues coloca un Piolín en el número 5. N – Pone el Piolín en el escalón 6. I – (Quita el Piolín de la escalera) Entonces, ¿tú sabes ya poner el Piolín en el número 5? Pon el Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque el pajarito va subiendo y en las miguillas de pan. Y ahí se encuentra el número 5. I – ¿Tú puedes contar los escalones? Cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4, 5 (va señalando los escalones, pero se salta el escalón 5). I – ¿Ese es el 5? N – Dice sí con la cabeza. I – Bueno, si tú... Ponemos,... mira, 1, 2, 3 (pone un Piolín en el escalón 3) Éste es el número 3. Si éste Piolín está en el número 3, pon otro Piolín en el número 4. N –Pone un Piolín en el escalón 5. (IV1b) I – ¿Ese es el número 4? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque el pajarito va subiendo, subiendo y se cuenta las miguitas de pan y luego se cuenta el número 4.


I – (Quita los Piolines de la escalera) Ahora vamos a poner pan en uno sí y en otro no, igual que antes ¿vale?. (Va poniendo pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9) Es en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Ahora yo quiero que pongas Piolines y me digas los números que hay pan. N – Pone un Piolín en el escalón 1 I – ¿Ese qué número es? N – El que hay pan. (VI2b) I – ¿Y qué número es ese? N – El 1. I – Muy bien. Pon otro Piolín dónde hay pan y me dices el número en el que hay pan. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 2. I – ¿El 2? N – Dice sí con la cabeza. I – El 2 es éste (2), cariño. ¿Ese qué número es? N – El 3. I – Muy bien. Ahora venga, pon Piolín donde hay pan y me lo dices. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese qué número es? N – El 4. I – El 4 es éste (4).

N – El 6. I – El 6 es éste (6). N – El 5. I – Muy bien, venga, sigue, cariño. N – Pone otro Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese qué número es? N – El 4. I – Éste (5) es el 5. ¿Éste (7) qué número es? N – ¿Éste (7)? I – Ahá. N – El 6. I – El 6 es éste (6). N – El 7. I – Ahá. Y ya el que te queda, venga. Dime qué número es ese N – (Pone un Piolín en el escalón 9.) El 6. I – No, el 6 no es, ¿por qué ese es el 6? ¿Por qué dices tú que es el 6? N – Porque el pajarito, el Piolín no sabe cuál número son. I – ¿Lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, Rocío, ya está, ya hemos terminado con los Piolines, ¿te han gustado? Di adiós

6.1.2. Colegio Público Provincial Urbano M. 11) Ma. 3,11. Nombre: María. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo. . *I – …Coloca pan en todos los escalones conforme vaya subiendo. (I1) N – Pone un trocito de pan en el escalón de arriba (10) y mira a la investigadora como para pedir aprobación. (I1b) I – Conforme vaya subiendo. Un pan sólo, venga. En todos los escalones. (I1b) N – Coloca en 9,8,7, en el 6 no pone, en el 5 sí, en el 4 no, y en 3, 2, 1 sí. (I1b) I – Pero, ¿ya lo has puesto en todos? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿En todos los escalones lo has puesto? N – Afirma con la cabeza. I – ¿Has puesto el pan en todos los escalones? N – Afirma de nuevo con la cabeza. I – Mira, María, ¿hay pan? (señala con un bolígrafo cada uno de los escalones empezando desde abajo). N – Va afirmando con la cabeza. I – En el escalón 4 se detiene con el bolígrafo. ¿Hay pan? N – Dice no con la cabeza. I – Pone un trozo de pan en el escalón 4. Deja los panes que están en los primeros seis

escalones y los demás los quita. Mira, María, hay pan, aquí, aquí, aquí, ... (va señalando de abajo hacia arriba donde hay pan). Venga, pon pan en todos los escalones, para que los pajaritos coman en todos. (I2) N – Coloca pan en todos los escalones continuando hacia arriba, sin dejar ninguno libre. (I2a) I – Mi niña, como pone el pan en todos los escalones. En todos los pone. N – Me quedan tres panes (pone 3 dedos). I – ¿Tres panes te quedan? Qué bien pone pan en todos los escalones. Ahora, los quitamos todos otra vez y ahora otra vez lo haces, ¿vale? N – Vale. I – Tienes que poner conforme vayas subiendo. Va subiendo la escalera y pones pan en todos los escalones, ¿vale? Venga, ponlo. (I1) N – Coloca un trozo en todos los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (11a , IE444 ) *I – …¿Dónde come después de este? (Señala 5). (I1) N – Señala el escalón 6. (I1a).


I – ¿Y después de ese? N – Señala el escalón 7. (I1a) I – ¿Y después de ese? N – Señala y pone un trozo en el 8. I – ¿Y después? N – Pone un trozo en el escalón 9. I – Cuando sube, justamente antes de éste (5) ¿què pan se había comido? N – Pone un trozo en el escalón 9 (IIE111 ) I – No, es cuando va subiendo (señala los escalones hasta llegar a 5) N – Señala el escalón 3 (IIE111 ) I –¿Y antes? N –Señala 1 I –¿Y antes de éste (3)? N –Señala 4 I –No, es antes N –Señala 1 I –¿Por qué después de éste (5) viene este (6)? (IIE) N – Porque en éste no hay ninguno (señala 6). (IIE111 ) I – ¿No hay ningún pajarito? Pero, bueno, por qué después de éste (5), viene éste (6)? N – Se queda unos instantes mirando las escaleras y encoge los hombros) Porque hay pan. I – Sí, pero lo has puesto tú. Ahora, vamos a hacer otro juego. Metemos esto y eso (Va quitando el pajarito y los trozos de pan de la escalera), ahora, como el pajarito ya está harto de comer pan en todos los escalones, ¿sabes lo que hace? Que come pan en uno sí y en otro no. Mira, en éste (pone un trozo de pan en el lado izquierdo del escalón 1) en uno sí y en otro no. (Señala escalón 2) entonces, en éste no, en éste (3) sí (pone un trozo de pan en el escalón 3), en éste (4) no, en éste (5) sí, ¿en éste (señala escalón 6)? N – No. I –¿En éste (7)? N – Sí. (Pone un trozo de pan.) I – ¿Y en éste (8)? N – No. I – ¿Y en éste? N – Sí. I – Ahá, y lo pones, ¿lo ves? ¿y en éste (10)? N – No. *I –…Ahora tienes que poner pajaritos donde haya pan detrás de la pared. Tú tienes que poner el pajarito en los sitios que haya pan. (III1) N – Coge un Piolín y lo pone por detrás de la pared. I – ¿Porque lo ves? N – Porque lo veo, sí. I – Pero, no lo pongas al lado, tú lo pones en este sitio (señala la parte derecha de las escaleras, delante del muro o pared). Ahí lo pones, ¿vale?

N – Pone un Piolín en la parte derecha del escalón 7. (III1) I – ¿Dónde lo pones más?, pon otro pajarito donde haya también pan.. N – ¿A dónde? I – Donde tú creas que hay pan. Hay pan en uno sí y en otro no. N – Señala con el dedo detrás de la pared. I – Venga, ponlo, pero no detrás. Donde tú creas que haya lo pones. N – Deja el Piolín en el escalón 3. (III1) I – Venga, ahí crees que hay, ¿no? Muy bien, venga, ¿dónde más, cariño? Venga, ponlo donde hay. Que es en uno sí y en otro no. N – ¿A dónde? (Coge un Piolín y mira la escalera) I – Donde haya. N – No hay más pared. I – ¿Ya no hay más panes? (III1) N – Dice que no con la cabeza. (III1b) I – No, más pared no, donde haya pan. Es en uno sí y en otro no,... de escalones. N – Sostiene el pajarito, mira la escalera y después a la investigadora. I – ¿Dónde hay más? Vamos a hacer una cosa, vamos a quitar esto (quita las paredes y los pajaritos, menos el que está en el escalón 5) para que tú veas donde hay pan. Y ahora, pones los pajaritos donde haya pan. (III2) N – Coloca un pájaro en el escalón 9. (III2a) I – En todos los que haya pan tienes que poner un pajarito. En todos los que haya pan. N – Pone un pajarito en el 7. (III2a) I – En todos los que haya pan. ¿Y lo has puesto en todos los que hay pan? N – No. I – Pues venga, ponlo. N – Coloca uno en el escalón 3 y otro en el 1. . (III2a) I – ¿Lo has puesto todos en los que hay pan? N – Dice sí con la cabeza. . (III2a) I – ¿Has visto cómo es? N – Asiente con la cabeza. I –Vamos a hacer una cosa, vamos a tapar esto (coge un tabique tapando el tramo 7-10, entre los trozos de panes y los Piolines y quita los Piolines menos el que está en el escalón 5) para que tú no lo veas, porque es que tú lo tienes que adivinar. Tienes que tener una forma de adivinar dónde hay pan. Aquí hay pan (señala el pan del escalón 1), aquí hay pan y pajarito (señalando al escalón 3). Aquí hay pan y pajarito (señalando al escalón 5). ¿Dónde tienes que poner un pajarito para que después, cuando quitemos esto (señala la pared) haya pan? . (III3) N – Aquí (señala el escalón 7). I – Ponlo.


N – Pone un Piolín en el escalón 7. . (III3a) I – ¿Y dónde más? N – Se queda un momento pensando mirando la escalera. En ningún sitio I – ¿En ningún sitio más? ¿Por qué? N – Porque no hay más pared. I – ¿Ya no hay más? No, no, pared no, panes, panes. N – ¿Pan? I – Tiene que haber donde haya pan. Es que tú ten en cuenta que yo he puesto (levanta la pared unos instantes) ¿lo ves?, yo he quitado y he puesto la pared, pero aquí detrás de la pared hay pan. Tienen que ser pajaritos para que cuando yo quite la pared haya pan. ¿Comprendes? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Dónde más tienes que poner pajaritos? . (III3a) N – Pone un Piolín en el escalón 9. . (III3a) I – (Quita la pared). Anda, mira! Todos los pajaritos tienen pan. Ahora vamos a hacerlo como al principio, para que ya te salga todo bien (quita los Piolines, menos el del escalón 5). Mira, ¿has visto dónde está el pan? N – Aquí te falta uno (señala el Piolín del escalón 5). I – Bueno, pero ese lo dejamos para que tú lo veas. ¿Has visto dónde hay pan, cariño? ¿Lo has visto? Ahora lo tapamos y éste también lo tapamos (pone los dos muros delante de los panes para ocultarlos). Y ahora tienes que poner pajaritos donde haya pan, ¿te acuerdas? . (III1) N – Sí. (Coge un pajarito y lo pone en el escalón 8 y mira a la investigadora) I – ¿Ahí hay pan? N – Afirma con la cabeza (III1b). I – Venga, pues sigue poniéndolos en todos los sitios. ¿Ya no hay más pan en ningún otro sitio? N – Coge otro Piolín y lo pone en el escalón 2. I – ¿Ya está? ¿Ya no pones nada más? N – Dice no con la cabeza. I – A ver (quita las paredes). ¿Te has equivocado o qué? N – Mira. I – ¿Has puesto los pajaritos donde había pan? N – Mira a la investigadora y sonríe. I – Bueno, María, ahora, vamos a hacer otra cosita ¿vale? (Quita los Piolines, menos el del escalón 5)

N – ¿El qué? I – Ahora lo mismo pero sin pan, sólo con los pajaritos, ¿vale? N – Vale. *I – …Colocamos un Piolín aquí (en el 5). Lo hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que colocar tú un pajarito en el número 7. (IV1) N – ¿Aquí van los pan? (Señala la parte de la mesa donde ha puesto los panes) I – No, ahí van los pajaritos (señala la escalera). Ahora, venga, mira este pajarito, ¿sabes en qué número está?... Está en el 5, ¿te acuerdas? Este pajarito está en el número 5. Pon otro en el número 7. N – ¿En cual? I – En el número 7. N – Pone el Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese cual es? Este (5) es el 5, ¿ese cual es? N – El 6. I – El 6, muy bien. Pero, yo quiero que me pongas uno en el 7. N – Pone el Piolín que estaba en el 6 en el escalón 7. I – Eso es, muy bien. Ahora, pon uno en el 9. N – ¿En el 9? I – Si, en el 9. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9. (IV1b) I – Ahora pon uno en el 3. (IV1b) N – Pone el Piolín en el escalón 10 y después lo cambia al 8. (IV1b) I – En el tres. Este (5) es el 5. (IV1b) N – Suelta el Piolín en el 8. (IV1b) I – (Retira todos los Piolines de la escalera). Cogemos este pajarito porque le gusta mucho contar. Coge el pajarito y cuenta los escalones. (IV2) N – ¿Cual? I – Todos los escalones, empieza 1, 2, (va señalando con el dedo). Empieza a contar. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( va señalando con el dedo, hasta el 4 se corresponde el conteo con el número del escalón , después va más rápido el dedo que el conteo y llega hasta el escalón 7). (IV2b) I – ¿Y ya está? N – No, (mira la escalera y el escalón 8) cuatro. I –Como ya estás cansada y tienes ahí los ositos y tienes que comértelos, pues ya les dices adiós a los Piolines.

12) Ju. 4,2. Nombre: Juan Ignacio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Febrero. I – ¿Por qué sabes tú que después de comerse éste pan (5) se come éste (6).

N – Porque hace así (señala con un dedo en el 5 y después sube al escalón 6) y cuando se come este (5) después se come este (6). (IIE555 )


I – Ahora vamos a hacer otra cosa, no vamos a poner pan en todos. Lo vamos a poner sólo en uno sí y en otro no (quita todos los trozos de pan). Para que el Piolín en algunos coma y en otros descanse o cante la Bella y la Bestia, o haga cosas, ¿vale? N – Sí, porque yo tengo el juego de la Bella y la Bestia y... y el que caiga luego, empieza otra vez. I – Pues aquí vamos a hacer una cosa. En un escalón pones (pone un trozo de pan en el escalón 1) entonces en el primero va a comer ¿no? N – En éste (2) no. I – Eso, en éste (2) no. N – En ese (3) sí ( va poniendo sólo un trozo de pan en cada uno de los escalones 3, 5, 7, 9, en la parte derecha. I –¿Y aquí (señala el escalón 10) no? Es en uno sí y en otro no. Porque en uno come y en otro baila, en uno come, pues en otro no come, ¿vale? Lo dejamos para que descanse. N – Asiente con la cabeza. *I –…Ahora tienes que poner pajarito donde sí haya pan. (III1) N – Pone un pajarito en el escalón 3. I – En todos. N – Ahí (3) sí hay pan porque hay uno. (III1a) I – Vale. N – Aquí también (pone un pajarito en el escalón 1). Y aquí (7). Y aquí también (9). (III1a) I – Sabemos que aquí (5) hay un pajarito, ¿Por qué has puesto aquí (7) un pajarito?. (IIIE) N – Porque ahí hay un pan. I – Porque los ves, ¿no? N – Aquí también hay pan (5). I – Y si lo pones aquí (7), ¿por qué lo pones aquí (9)? N – Porque hay un pan. I – Porque hay un pan, muy bien. N – Porque es sí, no, sí, no (señala con el dedo por la escalera). (IIIE333 ) *I –…El Piolín está en el número 5. Coloca ahora otro Piolín en el número 7. (IV1) N – ¿Aquí? (7) I – Tú me lo pones, cariño. Yo te lo digo que está en el número 5 y tú eres un adivino, tú eres un mago, muy adivino y muy guapo y tú adivinas cual es el número 7. N – ¿Por qué? I – Porque tú eres un adivino. Porque tú pensando sabes cual es el 7. Este (5) es el 5. N – Pues el 6 va después del 5. (IV1a, IVE444 ) I – Pero yo te he dicho el 7. N – Después del 6. Aquí (lo pone en el 7). (IV1a, IVE444 ) I – Muy bien.

N – Porque el 6 va aquí (6) y el 7 va después del 6. I – De acuerdo. Ahora en el 9. Está en el 7. Tú lo has colocado en el 7. Ahora colócalo en el 9. N – Señala con el dedo el 9. I – ¿Por qué? N – Porque éste (7) es el 7, y aquí (8) el 8 y aquí (9) el 9. I – Ahora colócalo en el 3. Éste es el 5. Colócalo en el 3. N – ¿En el 3? (Señala el escalón 3). I – ¿Por qué lo sabes? ¿Por qué sabes que ese es el 3? N – Porque he visto los escalones, 1,2 y 3 (IVE333 ) I – Pero lo tienes que decir sabiendo que éste es el 5. N – Coloca un Piolín en el 1. *I –… El pajarito está en el 5 y sí come,¿qué número viene después del 5 donde sí come el pajarito? (V1) N – Señala el 7. I – Pero, ¿ese qué número es? N – ¿Este? (7) I – Sí, éste (5) es el 5. N – ¿Qué? I – Que éste es el 5. N – Pero, si aquí no hay (6), éste tiene que ser el 6 (7). I – ¿El 6?. N – Vuelve a decir sí con la cabeza. I – ¿El 6 es el número que viene después del 5 que sí come? N – Asiente con la cabeza. Porque el 6 va después que el 5. I – Exactamente. El 6 va después del 5, pero éste (6) ¿cual es? N – El 6. I – Pero aquí no come. Entonces, ¿en qué número come? N – En el 7. (V1a) I – En el 7 come. N – Pero en el 8 no come y en el 9 sí come porque hay uno. Lo he visto por abajo. (V1a) I – ¿Y en cual más? Y en éstos de aquí abajo, ¿en cuál come? ¿En qué número come? N – (Se queda pensativo). Sí, voy a pensar porque he dicho sí, no, sí, no. (VE222 ) I – Exacto, entonces, ¿en cuál come? N – Aquí (dubitativo señala con el dedo el escalón 1 e intenta mirar por debajo del muro para ver el pan. I – Mira, éste es el 5, cariño. Y en el 5 sí come. N – Aquí sí (señala el escalón 1) I – ¿Y ese qué número es? N – El 1. Al.... el..... 2 ... (mira por detrás de los muros de cartulina) Sí porque hay detrás. I – En el 1, ¿y cuál más? N – ¿Qué?


I – ¿En qué número más come? N – (Mira por debajo de la cartulina) En éste (señala escalón 3) hay uno, lo he visto. I – Pero, ¿ese qué número es? N – ¿Qué? I – ¿Qué número es ese? N – ¿Este (3)? I – Sí. N – El 3. I – Bueno, … N – Mira el bolígrafo de la investigadora. Pues mi papá tiene un rotulador azul. I – ¿Azul? ¿y te gusta el que tengo? Éste es muy bonito, ¿a qué si? N – Sí. Mi papá tiene dos rotuladores azules. Me gustan mucho. I – ¿Si? *I –…En el 15, ¿habría? (VI1) N – Asiente con la cabeza. I – En el 15, ¿habría pan o no? Ahí llega hasta el 9, pero, ¿tú crees que en el 15 sí habría pan? N – Espera, que lo tengo que contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... 10 y después el 11. I – ¿Hay pan en el 15? N – ¿Qué? I – ¿Hay pan en el 15? N – No sé. (VI1b) I – ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Ahora, bueno, como el 15 es que está muy lejos, porque tú has dicho que después del 10 viene el 11, el 15, mira que lejos está. N – Hombre, está muy lejos, ... porque... pues será por la puerta (señala la puerta de la habitación). I – Más o menos. N – Porque hay muchos números. Porque ... hay muchos números. Después empiezan otra vez. I – ¿Otra vez empiezan? Sí. Entonces puede estar muy lejos. Entonces, en el 9, que está allí. N –Señala el 9. I – Sí hay, ¿lo ves? N – Mira un momento y piensa. I – Y en el 11¿hay? ¿Habría en el 11? (VI2) N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Después del 11 ... Después del 10 va el 11. I – Pero, ¿hay o no? ¿Habría pan o no, en el 11? N – No sé. I – ¿No sabes? Mira, ¿tú con lo que estás viendo no sabes si en el 11...? N – Sí (señalando al 7). No (señalando en el 8). Sí (9). No (10). Sí (11). (VI2a) I – Pero, ¿hay en el 11? N – ¿Qué? I – ¿En el 11 hay? N – Lo voy a contar otra vez, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.

I – Pero, ¿hay en el 11 pan o no? N – ¿En el 11? I – Sí. No lo sabes, ¿no? N – No. I – Y... en el 11 no lo sabes. Pero, ¿qué número, después del 9 sí tendría pan, ¿qué número? Ese de aquí, éste (9) es el 9 y sí hay pan, ¿qué número de la escalera si siguiera más largo habría pan después del 9? ¿En qué número? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 11, en el 11 tendría el pan (señala al aire después de terminar la escalera) I – Tendría pan, en el 11 tendría pan. Y ¿en qué número después del 11 habría pan? N – ¿Qué? I – ¿Qué número después del 11? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. En el 12. I – ¿En el 12 habría pan? En el 11 hay, ¿en el 12 habría?¿sí? N – ¿Qué? I – ¿En el 12 sí habría pan? En el 11 sí hay. N – Asiente con la cabeza. I – Y entonces, ¿en el 12 hay? (VI3a) N – No. (VI3a) I – ¿No? N – Porque es sí, no, sí, no.. (VI3a) I – Muy bien. Entonces en el 12 no, y ¿en el 13? N – Piensa. Sí. (VI3a) I – Y ¿en qué número después del 13 sí habría? N – El ...el... (piensa callado). Lo estoy pensando. I – ¿Lo estás pensando? N – (Asiente. Se pone el dedo en la boca como para pensar.)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. En el 12 ... (VI3a) I – En el 13 sí. (VI3a) N – Porque es sí, no, sí, no. I – Exactamente, porque sí, no N – Sí, porque si ... si aquí no había (7) ... I – Exacto, pero como hay... N – Claro. I – ¿En qué número, entonces? N – En el 1 y en el 6 también hay pan. I – Muy bien. Y entonces en el 15, ¿hay o no? N – ¿Qué? I – En el 15, ¿hay pan o no? N – Sí. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque sí, no, sí, no, .. I –En el 15 hay ¿y qué número después de 15 habría? ¿Qué número? (VI1) N – No, no. I –¿Qué número detrás del 15 sí habría? N – Pero, nosotros lo hacemos sí, no, sí, no,... I – Dime los números a partir de 15 que sí hay. N – Porque sí, no, sí, no. (VI1b) I – Porque sí, no,… muy bien. Lo has hecho todo muy bien. Despídete de los Piolines

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13) Al. 3,4. Nombre: Alberto. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Diciembre. *I – … Conforme va subiendo la escalera vas a poner pan en todos los escalones, un pan sólo en cada escalón. (I1) N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I …Después de ese (5) ¿cuál se come? (II1) N – Pone un Piolín en el escalón 4. (II1b) I – Después, después. Va subiendo, ¿eh?. Va subiendo la escalera, ¿eh?(quita el Piolín del escalón 4) ¿Cuál se come después? N – Vuelve a poner el Piolín en 4. (II1b) I – ¿Y después? N – Pone otro Piolín en el escalón 3. I – ¿Y después? N – Pone otro en 2. I – ¿Y después? N – Pone en 1. I – Vale, ¿y por el otro lado? Está aquí (5), ¿cual se come después? (II2) N – Pone un Piolín en el escalón 6. (II2a) I – ¿Y después? N – Pone en 7 y otro en 8. I – ¿Y después? (II3a) N – Pone en 9. (II3a) I – ¿Y después? (II3a) N – Pone otro Piolín en el escalón 10. (II3a) I –Cuando va subiendo, justamente antes de comerse éste (5) ¿cuál se come? (II1) N – Este (3). I –Cuando va subiendo, ¿por qué después de éste (5) viene éste (6)? (II1) N – Porque sí. I – ¿Por qué? ¿Por qué después de éste (5) viene éste (6)? N – Porque sí (señala el del escalón 5 y el del 6). (II1a, IIE222 ) I – ¿Porque sí? N – Asiente con la cabeza. I – Vale. Ahora vamos a poner otra vez en la cajita para empezar otro juego con los pajaritos y los escalones. (Guarda todos los Piolines en la caja). Mira, ahora, el pajarito ya no come pan en todos los escalones, ahora come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. En éste (1) es que sí. entonces ¿dónde tienes que poner pan?. N – En el 1 sí. I – Venga, pon pan. Pon pan en uno sí y en otro no. N – Coge el trozo del escalón 1 y lo pone en el escalón 10. Coge otro trozo y lo pone en el 8,

después va poniendo en todos los escalones siguiendo el orden hacia abajo. I –Has puesto pan en todos. ¿Lo ves que en todos los escalones has puesto? Así no dijimos. Dijimos que era en uno sí (quita los trozos de pan de la escalera). Era en uno sí y en otro no. Entonces, venga, en uno sí (pone un trozo en el escalón 1), en éste (2) no, en éste (3) sí (lo pone), ¿en éste? N – No. I – ¿En éste (5)? N – Sí. I – Pues, venga, ponlo. Continúa tú. N – Éste no (6). Éste sí (coge un trozo de pan y lo pone en 7). Éste (8) no, éste sí (pone un trozo de pan en escalón 9). I –¿Has visto que ya hay pan en un sí y en otro no? N – Dice sí con la cabeza. *I – … ¿Dónde pones los pajaritos para qu coman pan? (III1) N – Aquí (señala detrás del muro). I – Pues venga, ponlo. Pon pajaritos donde haya. N – He visto uno. I – Pues ponlo. N – (Pone un Piolín en escaló 4) Dos. I – Pon donde haya N – Es que ya, ..., ya no hay más. (III1b) I – ¿Ya no hay más? N – Niega con la cabeza. No, de momento, no. I – Mira, (quita los muros) aquí no hay y has puesto. Así que el mago es regular de mago. Ahora viéndolo. Viéndolo, pon pajaritos donde haya pan. (III2) N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – En todos, en todos. N – Pone en 7, en 9 y en 1. I –Ahora vamos a tapar estos (pone muro en la parte superior de la escalera) y quitamos estos pajaritos (7, 9). Entonces, mira, aquí (1) hay pajarito y pan, pajarito y pan (señalando los del escalón 3), pajarito y pan (señalando los del 5). Coloca, ahora, pajaritos en estos (señala escalones de la parte superior) donde sí haya pan. Para cuando quitemos el tabique... Cuando quitemos esto haya pan detrás. N – Intenta mirar por detrás del muro. I – Pero no mires. N – ¿Hay pan? I – Tú lo pones, mira como va (señala los de abajo) y pon donde haya pan. N – (Mira la parte superior de la escalera) No hay, no he visto más. (III2b) I – ¿Ya no hay más? N – No. I – ¿Por qué sabes que no hay más?


N – Porque no, porque no lo he visto. Además que ... I – ¿Ya no pones más? N – No. I – Pero, ten en cuenta que ahora cuando quitemos éste (señala el muro) sí hay detrás. N – Lo voy a quitar yo. (Quita el muro) Ya está. I – ¿Lo ves que hay? ¿Lo ves que hay? ¿Lo ves o no? Vamos a poner esto (vuelve a colocar el muro en la parte de arriba, ocultando los trozos del 7 y el 9). ¿Donde ... Dónde estaba el pan? N – Aquí (señala la parte inferior donde está el pan) I – Mira, ves, hay pan (levanta un momento el muro para dejarle ver los trozos) ¿lo ves? Y aquí (parte superior derecha de la escalera) y aquí no hay pajaritos. Ahora tienes que poner pajaritos donde haya pan, ¿lo ves? N – Sí. I – Pues le ponemos esto (coloca de nuevo el muro) para que no veas tú e pan. ¿Donde ... donde está el pan? N – Aquí (señala en el muro a la altura del escalón 7). I – Venga, coge el pajarito, donde tú creas que haya el pan. N – Vuelve a señalar al muro. I – Venga, ponlo. N – Pero, hasta que no me quites esto ... (coge el muro de cartulina) I – ¿Lo vas a quitar? N – Sí (quita el muro y pone Piolines en los escalones 7 y 9). Ya. *I – …Hay un pajarito en el número 5, pon un pajarito en el número 7. (IV1)

N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4. (IV1b) I – En el 7, ¿ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque sí. I – Vale, ahora, vamos a ponerlos aquí (coge los Piolines y los pone en la caja). Cuenta los escalones . (IV2) N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando con el dedo los escalones a la vez que cuenta). (IV2a) I –. Ahora éste (5) es el número 5. Vamos a colocar un pajarito en el número 5 (lo pone) ¿vale? Coloca otro pajarito en el número 6 (IV3) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10. (IV3b) I – ¿Ese es el 6? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Ese es el 6? N – Sí. I – Ah. N – Cuenta con el dedo algunos escalones. I – Coloca uno en el número 1. N – En el número 1. (Coge un Piolín y lo pone en el escalón 6) I –Como salen los niños al recreo, pues ya nos vamos.

14) Ma. 5,8. Nombre: Marcos. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Agosto. I – ¿Por qué después de éste (5) viene éste (6)? (IIE) N – Porque es el siguiente. (IE555 ) I –Ahora vamos a hacer otra cosa con los panes y los Piolines. (Quita los trozos de pan y el Piolín). Ahora el Piolín va a comer pan en un escalón sí y en otro no. Venga, ponlo. en uno sí y en otro no. N – Coloca trozos de panes en 1, 3, 5, 7, y 9 por orden. *I – … Tienes que poner Piolines donde hay pan. Aunque tú no lo veas, pero hay pan en los escalones porque lo hemos tapado. Pon Piolines ... (III1) N – Coge el Piolín del 5 y lo pone en el escalón 1. I – Cogelo de aquí (señala la caja). N – Pone Piolines en 1, 3, 7, 9. (III1a) I –¿Ves que tú eres un mago? ¿Por qué pones aquí (7) un Piolín?

N – Porque hay pan. I – ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y por qué sabes que hay pan? N – Porque sé que en éste (6) no hay. (IIIE444 ) I – Si coloco un Piolín aquí (8), ¿va a comer? N –No, porque sé que en éste (6) no hay, en éste (7) sí hay y en éste (8) no hay (IIIE444 ) *I –... Ese Piolín que hemos dejado está en el número 5. Ahora coloca tú un Piolín en el número 7. (IV1) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7. (IV1a) I –. Coloca ahora uno en el número 9. N – Lo pone. I – Coloca uno en el número 3. N – Pone un Piolín en el número 3. I – Ahora uno en el número 1. N – Lo pone en el escalón 1.


I – Ahora dime por qué éste (7) que has puesto aquí... Estaba éste (5) que estaba en el número 5 y éste (7), ... por qué éste (7) es el número 7. (IVE) N – Porque lo sé. I – ¿Y por qué lo sabes? N – Porque me paso. I – ¿Uh? N – Me paso un número al otro. (IVE555 ) I – Porque te pasas un número al otro. Pero, ¿por qué sabes ...? Éste (5) es el 5, ¿por qué sabes que éste (7) es el 7? N – Porque me paso el 6. (IVE555 ) I – Ahora sólo dejamos este que está en el 7. Quiero que sabiendo que ese es el 7 pongas uno en el 3 N – Coloca uno en el 3 I–¿Por qué sabes que éste (3) es el 3? N – Porque he contado para abajo I – ¿Cómo? N – Porque me paso al 6, al 5, al 4 y al 3 I –. Ahora vamos a hacerlo con pan y con pajaritos, con las dos cosas, ¿vale? N – Dice sí con la cabeza. I – Entonces ponemos pan, otra vez pan en uno sí y en otro no.(Pone un trozo de pan en el escalón 1). Ve poniéndolo en uno sí y en otro no el pan. N – Coloca en 3, 5, 7, 9. *I –... El pajarito que está ahí está en el número 5 ¿sí? ¿En qué número, después del 5, tienes que poner un pajarito para que haya pan? (V1) N – Coge el Piolín del 5 y lo pone en el escalón 7). Siete. (V1a) I – El 7,¿Y en qué otro número para que haya pan? N – Pone el pan en el escalón 9. Nueve. I –En qué otro número para que haya pan por aquí abajo (señala la parte inferior de la escalera). N – Pone el pajarito en el escalón 3. I – ¿Y ese qué número es? N – Tres. I –¿Y en qué otro número para que haya pan? N – Lo pone en el 5. I – El 5 sí, ese ya lo habías puesto. Ahora dime, ... El pajarito está aquí en el 5 y hay pan. Si quieres coge otro pajarito pero si quieres con éste. Entonces el pajarito está aquí que hay pan, ¿vale?, dime ¿por qué después de éste, que es el 5, viene el 7 donde sí come pan? (VE) N – Porque me paso el 6. (VE444 ) I – Porque te pasas el 6, ¿y por qué te pasas el 6? N – Porque no puede subir. I – ¿Por qué no? N – Porque ... (Coge el Piolín lo mueve en 5, 6, 7 y después del 5 al 7 y lo vuelve a dejar en 5).

I – Ese pajarito está en el 5, ¿vale? Y come pan. Y tú has dicho que después del 5 ... N – El 7. I – El 7, muy bien. Pon un pajarito en el 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Eso. Ahí come pan ¿por qué después de éste (5) pones un pajarito aquí? N – Porque ahí (6) no hay pan. I – Porque ahí no hay pan, muy bien. (Levanta el muro para que compruebe que en el 7 había pan) (Quita los dos muros) Ahora, hay pan y pajaritos (coloca pan y pajaritos en 1, 3, 5, 7, 9) ¿En qué número... ¿ Dime los número en los que hay pan. N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9. *I –... Si ahí estuviera el número 15, ¿habría pan o no, en el número 15?. (VI1) N – Sí. I – ¿Por qué,? N – Porque es igual que el 5. (VI1a, VIE555 ) I – Porque es igual que el 5, vale. Y dime otros números más grandes que el 15. A partir del 15, dime otro número que sí tiene que haber pan. N – En el 100. I – Sí, pero el 100 es muy lejos. El siguiente del 15 donde sí hay pan. N – El 17. I – ¿Y el siguiente de ese donde sí hay pan? N – 19. I – Muy bien. ¿Y el siguiente donde también hay pan? N – 21. I – ¡Qué bien! ¿Y el siguiente donde también hay pan? N – 23. I – ¿Y el siguiente donde también hay pan? N – 25 I – ¿Y el siguiente? N – 27. I – ¿Y el siguiente? N – 29 I – ¿Y el siguiente? N – 31. I – Perfecto. ¿Y en el 45 hay pan? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque es igual que el 5 y el 35. I – Ah, ¿y en el 47? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿También? ¿Por qué? N – Porque es igual que el 7. I – ¿Y en el 36? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque ésta (señala el 6) está sin pan. I – Muy bien. Dile adiós a la cámara.


15) Nu. 6,3. Nombre: Nuria. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en : Enero. I –¿Por qué después de éste (5) viene éste (6)? N – Porque viene después de éste (señala al 5). (IIE555 ). I –.(Quita todos los trozos de pan). El pajarito va a comer pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Venga, ponlo. N – (Pone trozos de pan en 1, 3, 5, 7, 9). Ya. *I – … Ahora pon pajaritos tú en todos los que sí hay. (III1). N – Sí hay (señala el escalón (). I – Pon pajaritos en todos los que sí hay. N – Coge un pajarito y lo pone en 8. I – En todos los que sí hay, venga, pon pajaritos. N – Mira y piensa un momento. I – Era en uno sí y en otro no. N – Mueve el pajarito que estaba en el 8 y lo pone en el 7. (III1a). I – Venga, pues en todos los demás. N – Pone uno en el 9, otro en el 3 y otro en el 1 (III1a).. I – ¿Por qué has puesto aquí (7) un pajarito? N – Porque ...(se tapa la cara con el jersey) ¿Me puedo ir? I – ¿Por qué sabes que hay pan? N – Porque lo he puesto yo. I – Pero, ¿por qué sabes que ahí hay pan? Aquí hay pan (señala 5) ¿lo ves está el pajarito y hay pan. ¿Por qué sabes que aquí (7) hay pan? N – Porque,... porque ... Aquí está el pajarito porque hay pan. Aqhí no hay (6) y aquí sí hay (7) (IIIE444 ) *I – …(Quita los trozos de pan y los Piolines, menos el del 5). Este Piolín está en el 5, pon otro en el número 7. (IV1) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7. (IV1a) I – Pon un pajarito en el número 9. N – Lo pone en el escalón 9. (IV1a) I – Pon un pajarito en el número 3. N – Lo pone en el 3. (IV1a) I – Pon un pajarito en el número 1. N – Lo pone en 1. (IV1a) I –Este (5) es el número 5. ¿Por qué sabes tú que éste (7) es el número 7? N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. (IVE555 ) I –Este (5) es el número 5. ¿Por qué sabes tú que éste (9) es el número 9? N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es el 6, éste (7) es el 7, éste (8) es el 8 y éste (9) es el 9 N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. (IVE555 ) I –Este (5) es el número 5. y lo tienes que trener en cuenta para decirme que este (3) es el 3 N – ¿Qué?

N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. (IVE555 ) I –Sí, mira este (5) es el número 5. ¿Por qué sabes tú que éste (3) es el número 3? N – Porque lo he contado N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7. (IVE555 ) I –Pero yo quiero que me lo digas teniendo en cuenta que este (5) es el número 5. N –¿Ah, sí!, se cuenta para abajo, éste (5) es el 5, éste (4) es el4, éste (3) es el 3 I –Ahora vamos a hacerlo con los pajaritos y el pan, N – ¿Los pajaritos y el pan? I – Vamos a poner el pan donde están los pajaritos (en 1,3 y 5), en uno sí y en otro no. N – Pone pan en 7 y 9. *I – El pajarito que está en el número 5 y sí come pan, ¿en qué, después del 5, tienes que poner pajaritos? (V1) N – Coge pan. I – No, un pajarito, ¿en qué número para que coma pan? N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Ahí, ¿y ese qué número es? N – El 7. I – El 7, muy bien. Y ¿en qué número tienes que poner el pajarito donde haya pan? N – (Pone Piolín en el escalón 9). En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. (V1a) I –¿Por qué detrás de éste (5) que es el 5, viene el 7? N – Porque éste es el 6 y no come (señala escalón 6) y éste (7) el 7 y sí come. (VE444 ) I – (Quita los muros de cartulina y pone pajaritos en 1 y 3). ¿En qué número comen pan los pajaritos?. N – En el 1, e el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. *I – … en el 15, ¿come pan el pajarito? (VI1) N – Éste (9) es el 9, ¿no? (Piensa en silencio y mueve los dedos como contando). No. I – ¿En el 15 no come? ¿por qué? N – Porque viene ..... el 12. I – ¿Después del 9 cual viene? ¿El 12? N – (Va moviendo los dedos) El 11, 1l 11. Viene el 10, pero ... va 11, 13, 14, y 15. I – Entonces, ¿en el 15 come o no? N – Hace un ruido como diciendo que no. I – ¿En el 15 no come? (VI1) N – Dice no con la cabeza (VI1b). I – Entonces, éste (9) es el 9. ¿Qué número viene desués del 9 en el que sí come? (VI2) N – 11 (VI2a) I – En el 11. ¿Y después del 11?


N – El 13. I – ¿Y después del 13? (VI3) N – El 15. (VI3a) I – Ah, el 15, muy bien. Entonces, ¿en el 15 come? N – No. I – Pues ¿no me acabas de decir que sí? N – Síí. I – ¿En el 15 come? (VI1) N – Sí. I – En el 15 come. ¿Y después del 15 en cual come? N – En el 17. (VI1a, VIE3) I – ¿Y después del 17? N – El ... 19. I – ¿Y después del 19? N – El 21. I – ¿Y después del 21?

N – El 23. I – ¿Y por qué come? ¿y en el 25? N – ¿ 25 come? No ... sí, sí. I – Entonces, en el 15 sí come ¿por qué come? Y después del 15 ¿cual come también? N – En el 17. I – ¿Y por qué? N – Porque después del 15 viene el 16 y después el 17. I – ¿Y por qué come en el 17? N – Porque va de 2 en 2. I –¿Y en el 32? N – Um… sí, ah!, no I –¿Y en el 43? N – No lo sé I – Muy bien. Bueno, Nuria, di adiós a los pajaritos que ya has terminado.

16) Ma. 5,5. Nombre: Marina. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños : Noviembre. I –¿Por qué después de éste (5) se come éste (6)? N – Porque ha comido éste (5), ha saltado (señala el escalón 6), y entonces se come el otro. (IIE555 ))) I –. Vamos a poner el pan aquí (en la caja). Ahora vamos a hacer otro juego. N – Quita los trozos de pan y los mete en la caja. I –. Ahora, Marina, el pajarito en vez de comer pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no. En un escalón sí y en otro no. N – Asiente con la cabeza. I – Pues entonces, venga, ponlo tú. Pon tú el pan en un escalón sí y en otro ... N – Pone trozos de pan en 1, 3, 5, 7 y 9. *I – …Este Piolin (5) sí come. Pon pajaritos en todos donde sí haya pan detrás de la valla. (III1) N – Coloca un pajarito en el escalón 7. (III1a) I – Ponlos en todos en los que sí come pan. N – Pone pan en los escalones 9, 1 y 3. (III1a) I –Y ¿por qué si aquí (5) hay pan, por qué has puesto aquí (7) un pajarito? N – Porque .... (se queda pensativo). Porque ahí hay un pan. I – ¿Y por qué sabes que ahí hay un pan? N – Porque se ve. I – … Y aquí (9), ¿por qué has puesto un pajarito? Aquí (7) has puesto un pajarito porque hay pan y lo ves, ¿y aquí?, ¿por qué los pones? N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué sabes que hay pan? N – Porque, mira, éste (1) tiene pan, éste (3) tiene pan y ahora éste (5) tiene pan, éste (7)

tiene pan y éste (9) tiene pan y éste (10) no (IIIE333 ). *I –…Éste está en el número 5, pon ahora otro pajarito en el número 7. (IV1) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7. (IV1a) I –Ahora, tienes que coger otro pajarito y ponerlo en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – ¿Ese es el 9? N – Coge el del 10 y lo baja al 9. I – Ahora coge otro pajarito y lo pones en el número 3. N – Eso va abajo. I – Coge otro y lo pones en el 3. N – Pone otro Piolín en el escalón 3. I – Y coge otro y lo pones en el 1. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 1. I –Ahora, dime, ... Éste (5) es el número 5, ¿por qué éste (7) es el número 7? N – (Piensa mirando al techo) Porque el 1 es aquí, el 2 está detrás del 1 y detrás del 2, .. el 3 y ahora luego el 5 está ahí (señala el escalón 5) y el 6 no está ahí, pues ahora el 7 va ahí. I – Vale, y ¿cual es el 8? N – (Va siguiendo con la vista la escalera y se queda callada pensando.) Éste (señala el escalón 8). I – ¿Por qué ese es el 8? N – Porque el 1 es el primero, el 2 es detrás del 1, el 3 ... el cuatro, y el 5 ... y el 8. (IVE333 ) I – ¿Cual es el 8, me dices? N – Éste (parece que señala el escalón 9) I – ¿Cual es? Es que no ... Señálalo N – Señala con el dedo el pajarito que está en el escalón 9.


I – ¿Ese es el 8? O, si quieres quitamos todos los pajaritos (quita todos los Piolines) y ahora tienes que ponerme tú el pajarito en el número 8. Pon el pajarito en el número 8. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Ese es el número 8? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque el 1 es aquí (1), el 2 aquí (2), el 1 aquí (3), el 3 aquí (5), el 4 aquí (7), el 5 aquí (8) y ahora el 8 aquí (9). I – Y pon otro en el 9. N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – ¿Ese es el 9? N – Dice sí con la cabeza. I – Y pon otro en el 10. N – Coge un Piolín de la caja, pero se queda un rato pensantiva mirando el final de la escalera. Después hace un recorrido de abajo arriba por toda la escalera como si contara. ¿El 10 qué va, aquí? (10) I – ¿El 10 va ahí? N – Dice que sí con la cabeza I – Bueno... N – Pone el Piolín en el escalón 10. I – Entonces, ¿cual es el 8? N – Este. (Señala al Piolín que está en el escalón 9). I – ¿Y el 9? N – El 9 éste (señala el Piolín que puso primero en el escalón 10) I – ¿Y el 10? N – Señala el otro Piolín que está en el escalón 10. I – ¿El mismo? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Es el mismo el 9 que el 10? N – Dice que no con la cabeza. I – Entonces, quita los Piolines. N – Los quita. I – Pon uno en el 9. N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – ¿Ese es el 9? N – Asiente con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque el 1 es éste (1), el 2 éste (2), el 3 éste (3), el 4 éste (4), el 5 éste (5), 6 éste (6), ... el 8 éste(8) y el ...... (señala escalón 9)... Ummm... El 1 (señala el escalón 1), el 2 éste (3), el 4 éste (5) .. éste el 5 (8) y el número 9 aquí y (señala al Piolín del escalón 10). (IV1b) I – Bueno, Marina, quita El Piolín de ahí, anda. Cuenta los escalones. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando con el dedo los escalones y se corresponden con el número nombrado). (IV2a) I – Ahora, ya has contado los escalones y lo has hecho muy bien. Ahora, pon un Piolín en el número 5.

N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese el es 5? N – Asiente con la cabeza. I – ¿Por qué sabes que ese es el 5? N – Porque ... (pasa el dedo por los escalones) éste (5) es el 4 y el 6 es... el 1 (1) éste. I – Ese, ¿qué es, el número 5?, bueno. El número 5 Marina, (cambia el Piolín del escalón 6 al 5). Mira, aquí está. Este (señala Piolín del escalón 5) es el número 5, Marina ¿eh? Pon uno en el número 6. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7 I – Pon otro en el número 7. N – Lo pone en el escalón 9. I – ¿Y por qué sabes ...? ¿Y esto qué número es (6)? N – El 6. I – Pues entonces ponlo en el 6. N – Pone el Piolín que estaba en el escalón 7 en el escalón 6. I – Ahora, pon otro en el número 7. N – El 7,.. éste no (Baja el Piolín que estaba en el escalón 9 al 7). I – Pon otro en el número 8. N – Pone uno en el escalón 8. Y coge otro Piolín para ponerlo en el mismo escalón) ¿Pongo otro aquí? I – ¿Para qué? Si tú lo pones ahí, ¿ese qué número es? N – Se queda callada mirando. I – ¿Qué número es éste (7)? N – El 7. I – ¿Por qué sabes que es el 7? N – Porque el 5 (5), el 6 ese (6) y el 7 y el 8 (los señala tambien). I – Pon otro en el número 9. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9. I – Otro en el número 10. N – Pone otro en el escalón 10. I – Otro en el número 4. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4. I – ¿Por qué sabes que ese es el 5? N – Porque éste (5) es el 5. I – Pon otro en el número 3. N – Coge uno y lo pon en el escalón 2 y al momento lo cambia al 3. I – Pon otro en el número 2. N – Lo pone. I –Ahora quita todos los Piolines. Los ponemos en la cajita (entre las dos quitan todos los Piolines y los meten en la caja). Pon uno en el número 5. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 5. I – ¿Por qué sabes que ese es el 5? N – Porque éste (1) es el 1 ... El cuatro va aquí (4). No ves que éste (1) es el 1 y después del 2 (2) el 3 (3) y ahora como el 4 es éste (4), pues el 5 va (señala el Piolín del escalón 5). (IV3a) I –Si ese es el 5, pon otro en el 8.


N – Coge un Piolín, cuenta los escalones y lo pone en el escalón 8. I – El 8, ¿por qué sabes que ese es el 8? N – Porque el 5 es éste (señala con la mirada el escalón 5) y ahora el 6 va ahí y el 7 ahí (señala los escalones de lejos) I – El 8, ¿por qué sabes que ese es el 8? I –Bien, si ese es el 5, pon otro en el 83. N – Coge un Piolín, cuenta los escalones y lo pone en el escalón 3. I – ¿Por qué sabes que ese es el 3? N – Porque 1, 2 y 3 (señala con la mirada los tres primeros escalones ) (IVE333 ) I – (Quita los Piolines de la escalera). Ahora vamos a hacer las dos cosas. ¿Te acuerdas que antes pusimos el pan? Bueno, pues ahora, entonces vamos a poner el pan igual que antes en uno sí y en otro no. Pon el pan en uno sí y en otro no N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.. *I –…En el número 5 hay pan, ¿En qué número después del 5? (V1) N – En éste (1). I – ¿Y ese qué número es? N – El 1. I – Venga. Lo pones y me lo dices. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿En qué número tienes que poner pajaritos para que haya pan? N – En éste (3). (V1b) I – ¿Y ese qué número es? N – El 3. I – Ahá. Pues, ponlo. Venga, más. N – Pone Piolín en el escalón 7. (V1b) I – ¿Ese qué número es? Me tienes que decir los número. N – El 8 y el ... el 9. Pone un Piolín en el escalón 9. I – Mira los piolínes están colocados en uno sí y en otro no, y este (1) es el 1, dime los números

en los que están colocados estos piolines (señala los de los escalones 3, 5, 7 y 9 N – (Empieza hablando muy bajito) ...el 8 y el ... el 9. (señala el Piolín del escalón 9. I – Dime los números sólo de los escalones que tiene pasjaritos. N – El 1 y el ... el 2 (3).... el 3, el 4(5), el 5(7), el 6 (9) (V2b). I –Éste (5) es el 5 y hay pan y éste es el 7. Y éste (7) es el 7 y hay pan también. ¿Por qué después del 5 viene el 7 para que haya pan? N – (Piensa) Porque el 6 queda aquí (señala el escalón 6). Y va aquí (7) y aquí (5). I – ¿Y por qué? N – Porque cada número ... El 1 es más poco, que es una cosa, el 2, dos cosas, el 3 tres cosas, ahora el 5 es más cosas. *I – …Entonces, si la escalera fuese más larga, ¿tú sabes si en el 15, cuando el pajarito está en el 15, come pan? (VI1) N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque hay mucho. I – ¿Porque hay mucho? ¿Y después del 15 en cual come? N – Piensa durante un rato callado. I – ¿En cual come? ¿Sabes en cual come después del 15? N – Mueve la cabeza diciendo que no. (VI1b) I – Bueno… Entonces, éste (1) es el 1 y come, éste (3) el 3 , el 5, el 7 y el 9 y come. Entonces, después del 9, ¿en qué número come, después del 9? N – En el 10. (VI2b) I – ¿En el 10? El 10 está ahí. ¿En el 10 come? N – Sí. I – Bueno, ya está. Ya no te canso más. Di adiós.

17) Pa. 5,8. Nombre: Pablo. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Agosto. *I – …Pon pan en cada uno de los escalones conforme va subiendo (I1). N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ). *I – … Después de comerse éste pan (5), ¿qué pan se come el pajarito después de éste? (II1). N – La bebida. (II1b). I – Ahí no hay bebida. Hay pan sólo. Se va comiendo el pan cuando va subiendo. Cuando se come ese (5), después, ¿cual se come? N – Otro pan.

I – Otro pan, ¿no? Pero, ¿qué pan? N – Pan tierno. I –. El pajarito va subiendo. En éste (1) se come. Cuando sube, aquí (pone el Piolín en el escalón 1), se come éste pan. Cuando sube aquí (2) se come éste. Cuando sube aquí (sube el Piolín al escalón 3) se come éste. Entonces, después de éste (3) ¿cual se come? (II2). N – Éste (señala el pan del escalón 4). (II2a). I –Cuando va subiendo (mueve el Piolín por los escalones, subiendo desde el escalón 3 al 8). Y después de éste (8) ¿cual se come?


N – Éste (9). (II3a). I – Y después ¿cuál se come? N – Éste (10). I –Entonces, cuando está aquí (pone el Piolín en el escalón 5) ¿cual se come? (II1). N –Éste (6). (II1a). I –¿Y después de ese cual se come? N – Éste (7). I –Y después de éste (7). N – Señala el 8. I – ¿Y después? N – Señala el 9. I – ¿Y antes de este (5) cuando sube? N – Señala el 4. I – ¿Y antes? N – Señala el 3 I – ¿Y antes? N – Señala el 2 I – ¿Y antes? N – Señala el 1. . (IIE444 ). I –¿Por qué cuando se come éste (5) , después se come ese (6)? ¿Por qué? N – Porque tiene mucha hambre. (IIE444 ). I –Ahora vamos a hacer otro juego. (Empieza a retirar el pan) N – Quita todo el pan y lo pone en la cajita. I – El pajarito va a comer pan en uno sí y en otro no. Ya en todos no, sino en uno sí y en otro no. Venga, ponlo. Pon el pan en uno sí y en otro no. N – Señala con el dedo el escalón 4 y 5 y mira a la investigadora. I – Ponlo. Es en uno sí y en otro no. N – Coge un trozo de pan y lo pone en el escalón 4. I – Venga, va subiendo la escalera y entonces pone pan en uno sí y en otro no. Venga. En éste, empieza aquí (pone un trozo en el escalón 1) en éste sí, ahora sigue tú poniendo N – Pone un trozo en el escalón 2. I – Es en uno sí y en otro no. N – ¿Aquí también? (Señala con un pan el escalón 2). I – Es en uno sí y ... En un escalón come y en otro no come. Entonces, tienes que ponerlo como es. N – Pone 4 trozos en 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. I – Es en uno sí y en otro no, Pablo, vamos a quitar esto (quita los trozos de los escalones 2, 4, 6, 8, 10). Porque mira, es en éste (1) sí, en éste (2) no, en éste (3) sí, en éste (4) no ¿lo ves? (Corre los trozos de pan hacia la izquierda de la escalera) ¿eh? N – Sí *I –…Tienes que poner un pajarito donde sí hay pan (III1) N – Señala el pan del escalón 5. (III1b) I – Venga, pues ponlo. Coge un pajarito de aquí y lo pones.

N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 5, entre el pan y el otro Piolín. I – Pero, en estos escalones (señala los de la parte inferior) en ese ya hemos puesto. Quita el pajarito, porque en ese ya hay un pajarito. N – Quita el pajarito que puso en el escalón 5. ¿Cual? I – Éste, (5). Tienes que poner pajaritos en los escalones que sí hay. N – Coge un pajarito, mira la escalera y después mira al Piolín y le va dando vueltas para verlo por todos lados. I – Vamos a hacerlo primero viéndolo (quita los muros) y después lo hacemos sin ver. Pon un pajarito en los sitios que sí hay pan. (III2) N – Pone pajaritos en 1, 3, 7 y 9. (III2a) I – Has puesto pajaritos ya en los sitios que sí hay pan. Ahora voy a tapar esto, estos sitios te los voy a tapar (pone el muro superior) y voy a quitar de aquí los pajaritos (quita los Piolines del 7 y el 9) y ahora sin verlo tú me vas a poner los pajaritos donde sí hay pan, en esos escalones que yo te lo he quitado. (III3) N – Mira la escalera pensativo. I – Porque detrás de esa pared que hemos puesto, detrás, hay pan en algunos escalones. Entonces tú lo tienes que poner en los sitios que sí hay. N – Señala los Piolines de 1, 3, 5. I – Ya está puesto ahí. Pero, ahí porque lo estás viendo, pero más para arriba también hay en algunos sitios. Venga, ponlo donde hay. Y después quitamos la pared ésta y ya vemos si lo has hecho bien o no. N – (Mira la escalera y señala el escalón 7). Ahí hay. (III3a) I – Venga, pues pon un pajarito. Tú pones pajaritos donde tú creas que hay. N – Coloca un Piolín en el escalón 9. (III3a) I – ¿Y por qué sabes que ahí había? N – Porque, ... Porque,... I – ¿Por qué? N – Porque ... porque yo lo sé muy bien. I –A ver (quita el muro). Pues sí, lo sabes bien, porque has puesto que aquí había y aquí hay. Ahora te voy a quitar esto (quita los Piolines menos el del escalón 5) y vamos a poner aquí otra vez el tablero éste (pon muro). Y ahora aquí hay un pajarito (5) y hay aquí pan ( señala el pan del 5), ¿lo ves? Ahora me tienes que poner pajaritos donde sí hay pan. Ponlos. Pon pajaritos donde sí hay pan. (III1) N – Coge el Piolín del escalón 5. I – No, coge otros de allí de la cajita. Cógelo de la caja y pones donde sí hay pan. N – Ahí (señala el pan de la escalera 5).


I – Sí ahí hay pan, sí, pero en la escalera, en otros escalones que sí hay pan. Pues venga, ponlo. N – Señala escalón 7. (III1a) I – Tú pon tú pajarito, cariño. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Venga, más, ponlo en todos los sitios que sí haya, pues venga, ponlo. N – Señala escalón 9. I – ¿Y por qué lo sabes? ¿Por que lo ves? N – Dice que no con la cabeza. Y pone un Piolín en el escalón 9. I – Venga, más, ahora por aquí abajo. Pon pajaritos donde sí haya pan. N – Señala escalón 3. I – Venga, pues ponlo. N – Pone uno en escalón 3. I – Venga. N – Señala escalón 1. I – Ahá, pues lo pones. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Muy bien. ¿Por qué sabes tú...? Si aquí hay pan (5), ¿lo ves? y hay pajarito ¿Por qué has puesto aquí (7) éste? (IIIE) N – Porque,.... porque... eh..... había ahí pan (señala con el dedo el escalón). I – ¿Y por qué sabías que había pan? N – Porque ... porque hay niños que lo saben todo. I – ¿Y tú lo sabes todo, todo? ¿Y por qué sabes que había ahí pan, hijo? N – Porque yo he pensado. I – ¿Has pensado? ¿Y qué es lo que has pensado? N – Del pan. I – ¿Y por qué sabes que ahí había? N – Porque sí. (IIIE111 ) *I – … Es un pajarito que está en el número 5, ¿vale? Ahora, pon tú otro pajarito en el número 7. (IV1) N – Cuenta con el dedo los escalones desde el primero al 7, coge un Piolín y lo pone en el escalón 7. (IV1a, IVE333 ) I – Pon otro pajarito en el número 9. N – Vuelve a contar los escalones hasta el 9 y lo pone. I – Pon otro pajarito en el número 3. N – Cuenta y lo pone en el 3. I – Y pon otro pajarito en el número 1. N – Pone otro en el escalón 1. I –Éste (5) es el 5. ¿Por qué sabes que éste (7) es el 7? N – Porque he saltado. I –Sí, pero tú puedes adivinar que éste es el 7 teniendo en cuenta que este es el 5 N – Porque he saltado. I –Ahora hacemos el pan y los número ¿vale?, entonces pon otra vez pan en uno sí y en otro no, igual que antes, N – Pone pan en 1, 3, 5, 7, 9.

*I – … Éste (5) pajarito está en el número 5, ¿En qué número tienes que poner otro pajarito para que coma pan también? (V1) N – Ahí (señala escalón 7). I – ¿Y ese qué número es? N – (Cuenta con el dedo los escalones desde abajo hasta llegar al escalón 7). El 7. I – Pues venga, ponlo. N – Lo pone. I – ¿En qué números tienes ahora que poner el pajarito para que coma pan? N – Vuelve a contar con el dedo los escalones hasta llegar al escalón 9. Y pone el Piolín en el escalón 9 (V1b). I – ¿En qué número? N – Vuelve a contar con el dedo los escalones y en voz baja va diciendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I – ¿En qué número? N – En el 9. I –¿Ahora en qué número tienes que poner el pajarito también para que coma pan? N – Señala el escalón 3. I – ¿Y ese qué número es? N – El 3 (lo pone). I – ¿Y en qué número tienes que poner el pajarito para que coma pan? N – ¿El 2? (V1b) I – ¿En el 2 come pan? ¿Cual es el 2? N – Señala con el dedo el escalón 2. I – ¿Y ahí come pan? N – No. I – Entonces, ¿cual te queda para que coma pan? N – El 1 ... I – Come, y ¿en qué más? Venga, dime los números. N – El 3, el 4, .. I – ¿En el 4 come pan? N – 5 y el 9. Cuenta los escalones. I – ¿En qué número come pan el pajarito? (V2) N – En el 1, en el 2, en el 4, en el 5 y en el 9. (Señalando con el dedo los Piolines colocados). (V2b) I – ¿En qué número come pan? N – Señala con el dedo los Piolines. I – ¿Cuáles son esos números? N – (Va pasando el dedo por los Piolines). En el 1, en el 2, el 4, el 5 y el 9. I – ¿Sí? ¿Ahí es donde come pan? Bueno, ahora, mira, esta es la escalera (quita los muros) ¿lo ves? Va comiendo pan el Piolín. Aquí come pan (1), aquí (3) come pan y va comiendo pan. ¿Éste (9) cual es? N – El Piolín. I – El Piolín, sí, pero ¿qué número es ese? N – (Cuenta con el dedo desde el principio de la escalera por donde están los Piolines, cuando va por el 5 vuelve a empezar un par de veces, sin subir más allá del 5). El 1 (1)... el 3 (3), ... 4 (5), 5 (7) y el 6 (9).


*I – Bueno, mira, Pablo. Este es el número 9 (señala el escalón 9). Si contamos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (va señalando los escalones a la vez que cuenta). Ese (9) es el 9, ¿lo ves? Imagínate la escalera más larga. Llega hasta allí, pero tú te la imaginas más larga ¿vale? Después del 9 ¿qué número viene para que coma pan el pajarito? (VI2) N – El 10. (VI2b)

I – ¿Sí? ¿Y después? N – El doce. I – ¿Y después? N – El 13. I – Para que coma pan. ¿Por qué? N – Porque,... para que tenga mucha comida. I – Muy bien, Pablito. Despídete de tus amiguitos los pajaritos..

18) Ra. 4,4. Nombre: Raquel. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños : Diciembre. I –¿Por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Toca el Piolín del escalón 5. I – Venga, dímelo, para que yo después se lo diga a Nuria. N – Mira a la hoja en la que escribe la investigadora. I – Ahora los pajaritos comen pan en todos los escalones, pero ahora en vez de comer pan en todos los escalones va a comer en uno sí y en otro no ¿vale? (Quita todos los trocitos de pan). Come pan en un escalón sí y en otro no ¿eh? Entonces, ponlo tú. Pon pan en un escalón sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I – Venga, ponlo, en uno sí y en otro no. N – Pone pan en el escalón 2 y mira a la investigadora. I – Es en uno sí y en otro no. N – Cambia el trozo de pan del escalón 2 al 3. I – Venga. Pon en uno sí y en otro no, venga. N – Pone pan en los escalones 5, 7 y 9. *I – … Ahora pon tú en los sitios donde sí come pan, donde sí puede comer pan. (III1) N – Pone Piolines en los escalones 7, 8, 9, 10, 4, 3, 2, 1. (III1b) I – Mira, Raquel (quita los muros) ¿has visto? Aquí (2) has puesto y aquí no hay pan. Aquí (4) has puesto y aquí no hay pan, ¿lo ves?. Vamos a hacerlo viéndolo. Vamos a poner aquí todos (pone todos, menos el Piolín que están en el escalón 5, en la caja). Pon pajaritos en los sitios donde sí hay pan. (III2) N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. (III2a)

I – Ya lo has puesto donde sí hay pan. Y ahora para ver si lo adivinas sin verlo, quitamos los de esta parte y los ponemos aquí (quita los Piolines de los escalones 7 y 9 y pone un muro en la parte superior de la escalera). Mira como va, aquí (1) hay pan , hemos puesto, aquí (3) hay pan , hemos puesto y aquí (5) hay pan y hemos puesto. Ahora sigue poniendo donde sí hay pan. (III3). N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – Pero ahí ya hay uno. Tiene que ser uno. N – Pone Piolines en los escalones 8, 9, 10. (III3b) I – Mira, Raquel.(Quita el muro para dejar ver los trozos de pan). Has puesto aquí (8) un pajarito y aquí no hay pan, ¿lo ves? N – Quita los Piolines de los escalones 8 y 10. *I – … Este pajarito (5) está en el número 5, ¿vale?, en el escalón número 5. Pon tú otro pajarito en el escalón número 6. (IV1) N – Pone un pajarito en el escalón 8. (IV1b) I –Cuenta los escalones (IV2) N –Cuenta correctamente (IV2a) I – ¿Ese (6) es el número 6? (IV3) N – Mueve la cabeza y toca el pajarito del escalón 8. (IV3b) I – ¿Ese es el número 6? N – Mueve la cabeza diciendo que no. I – Pon un pajarito en el escalón número 1. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – Bueno, Raquel, ya está. Dile adiós a los Piolines.

19) Al. 5,1. Nombre: Alberto. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Marzo. *I – … Cuando va subiendo pon pan en cada uno de los escalones. (I1). N – ¿Aquí? (Pone un pan en el escalón 4 y la mira).

I – En cada uno, cuando va subiendo, desde el principio. N – ¿Aquí? (Pone uno en el 5 y mira, después pone en los escalones 6, 7, 8, 9, 10 y mira de nuevo a la investigadora). . (I1a)


I – Pero tiene que ser en todos, en todos los escalones. N – Señala con el dedo los escalones 3, 2, 1. ¿Aquí? . (I1a, IE333 ). I – Sí. N – (Pone pan en los escalones 3, 2, 1.) Ya. *I – … Después de ese (5) ¿qué pan se come? . (II1). N – Señala el pan del escalón 6. Éste. (II1a). I – ¿Y después?. N – Señala 7 (II1a) I – ¿Y después? (II1a) N – Señala el escalón 8. (II1a) I – ¿Y después?. N – Señala97 (II1a) I – ¿Y después? (II1a) N – Señala el escalón 10. ( I –. ¿Y antes de comerse éste,...?antes ¿cual se había comido? (II1a) N – Señala el escalón 3 (II1a, IIE222 ). I –. Es justamente antes N – Mira a la investigadora (IIE222 ). I – ¿Y antes que ese? N – Señala el escalón 2.. I – ¿Y antes? N – Señala escalón 1. . I –¿Por qué come ese después de este (5)? N – Se encoge de hombros como diciendo no sé. I – ¿No lo sabes?. Ahora vamos a hacer otra cosa (quita los panes y el Piolín de la escalera). El Piolín te va a pedir que pongas pan en un escalón sí y en otro no, venga, pon pan en un escalón sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. *I – … Entonces, tienes que poner Piolín en los sitios que sí hay pan sabiendo que aquí (5) hemos puesto uno (III1) N – Pone Piolines en 3, 1, 8 y 9. (III1b) I – ¿Ahí hay pan? En los sitios que tú has dicho, ¿estás seguro que sí? N – Mira de nuevo la escalera y cambia el Piolín del escalón 9 al 10. I – Pues ahora lo vamos a ver, (quita los muros) ¿lo has hecho bien o mal? N – Mal. I –Quitamos los Piolines y dejamos el pan. Tienes que colocar pajaritos en los sitios que hay pan. (III2) N – (Los coloca correctamente) (III2a) I – (Quita los Piolines de la parte superior). Vamos a dejar esto (coloca el muro en la parte de arriba) ¿lo ves? Aquí (1) hemos dejado el Piolín, aquí también (3) y aquí también (5). Allí tienes que decirme dónde se ponen. (III3) N – Aquí (señala con el dedo en el escalón 10). I – Venga, ponlo. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10.

I – ¿Ahí lo tienes que poner? N – Sí. I – Es donde haya pan, acuérdate. N – Cambia el Piolín del escalón 10 al 9. I – Tú ponlo en los sitios que tú creas que hay pan. N – Aquí (pone un Piolín en el escalón 8). I – Es en los sitios que tú creas. Mira los sitios que vienen por aquí. N – Cambia el del escalón 8 al 7. (III3a) I –¿Por qué crees tú que ahí hay pan. N – Porque sí (lo dice muy bajito). *I –… Ahora dime en qué escalón, detrás de éste (5) hay pan, ¿dónde tienes que poner el Piolín ahora, conforme va subiendo? (III1) N – Señala con dos dedos, con uno el escalón 7 y con otro el 8. I – Venga, ponlo. N –Lo pone en el 8 (III1b) I –¿Por qué? N – Porque sí. I –¿Ahí por qué? Aquí (5) come, ¿por qué lo pones allí (8)? N – Se le queda mirando. I –¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. *I – … El Piolín está en el número 5, ese es el número 5. Pon otro Piolín en el número 7. (IV1) N – Aquí (señala el escalón 7). I – En el número 7. Venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Pon otro en el número 9. N –¿Aquí? (Señala el escalón 8) (IV1b) I – Tú ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – Otro en el número 3. N – Pone uno en el escalón 9. (IV1b) I – Otro en el número 1. N – Lo pone en el escalón 10. I –¿Lo has hecho bien?.Cuenta los escalones. (IV2) N – 1, 2, 3, 4, 5 (señala con el dedo los escalones 5, 7, 8, 9, 10.) I –¿Has dicho 5? N – Dice sí con la cabeza. I – Cuenta los escalones, todos los escalones. N – Se escucha una voz: Ha contado bien, pero ha empezado por la mitad. I – Cuéntalo otra vez. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando con el dedo los escalones). (IV2a) I – Ahora ponemos el pajarito en el número 5. Pon otro en el número 6. (IV3) N – Señala el 7. I – Está en el 5, el pajarito está en el 5. N – ¿Aquí? (Señala el 4) I – No, ese pajarito que hemos puesto está en el número 5.


N – Sí. I – Pon otro en el 6. N – ¿Dónde? I – ¿Cual es el 6? N – Aquí (señala el escalón 7). I – ¿Ese es el 6? ¿Por qué? N – Porque sí. I – Vamos a contar. Éste es el 1, Alberto. Éste es el 1 (señala el escalón 1), éste el 2 (2), éste es el 3 (3) éste es el 4 (4) y éste el 5 (5). Pon otro

en el 6. El pajarito está en el 5, pon uno, coge un pajarito y lo pones en el 6. N – Señala escalón 7. (IV3b) I – En el 6 ¿Ese es el 6? ¿Por qué ese es el 6, cariño? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? Bueno, Alberto, ya está. ¿O tú lo quieres hacer con números y con pan? N – No. I – Bueno, di adiós a los pajaritos

. 20) Ma. 5,1. Nombre: Marina. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Marzo. I –¿Por qué después de este (5) se come éste (6)? N – Porque sí.. I – (Quita Piolines y pan). Ahora el Piolín en vez de comer pan en todos los escalones, come pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Venga, ponlo, pan en un escalón sí... N – Coge un Piolín. I – No. El pan lo pones en un escalón sí y en otro no. Venga, ponlo. N – Pone un pan en el escalón 1 y mira a la investigadora. I – En uno sí y en otro no ¿de acuerdo? N – Dice sí con la cabeza y pone pan en 3, 6, 8 y 10. *I – … Y aquí (5) ponemos un Piolín porque aquí sí come pan (pone un Piolín) ¿de acuerdo? Ahora sigue poniendo tú Piolines donde sí coma pan. (III1) N – ¿Dónde? I – Donde tú creas. Es en uno sí y en otro no. Ahí ha comido pan , sigue tú poniendo donde sí come pan. N – Pone un Piolín en el escalón 6. (III1b) I – ¿Ahí come pan? N – No. ¿Y dónde? I – Donde tú lo creas. Porque el pan sigue aquí, lo que pasa es que tú no lo ves, pero sigue. N – ¿Lo pongo detrás? I – No, no, no, mira (quita los muros), pon Piolines donde hay pan. Pon Piolines donde sí hay pan. (III2) N – Pone Piolines en 1,3, 7, 9. (III2a) I – Entonces ahora vamos a ponerlos aquí, (corre los Piolines hacia la derecha) los Piolines, para poner delante el muro. Aquí está donde hay pan. Pero ahora tú vas a adivinar en estos sitios donde tienes que poner Piolines. (Pone muro en la parte superior de la escalera)

Estos (7,9) los quitamos y ahora lo pones tú, donde sí hay pan. (III3) N – Pone uno en el escalón 7. I – ¿Y dónde hay más? N – Aquí (señala el escalón 9) hay otro. I – Pues venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ahí hay pan? N – No (señala escalón 9) I – ¿Ese (8) está bien puesto? ¿Ahí hay pan? N – Dice que sí con la cabeza. (III3b) *I – … El Piolín está en el número 5. Pon otro en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Ese es el 7, pon otro en el número 9. N – Pone uno en escalón 8, pero rectifica y lo pone en el 9. I – Pon otro en el 3. (IV1b) N – Pone uno en el escalón 4. . (IV1b) I – Pon otro en el número 1. . N – Señala primero el escalón 3 y después lo pone. (IV1b) I –. Ahora vamos a quitar los Piolines y vas a contar los escalones. (IV2) N – (Empieza contando por el escalón 10 hacia abajo) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. I – Cuéntalo otra vez. N – 1 (10, 2 (9), 3 (8), 8 (7), 9 (6), 10 (5), 11 (4), 12 (3), 13 (2), cuatroce. (IV2b) I – ¿14?. N – Es que ya me lo he aprendido yo. I – Ya lo has aprendido tú hasta el 14, anda, mira que bien. El pajarito éste está en el 5 (pone un Piolín en el escalón 5). Pon otro en el 6. N – Coge un Piolín y empieza como a contar desde arriba de la escalera, finalmente lo pone en el escalón 1. I – Muy bien, Marina. Bueno, ya está vamos a ir, ¿vale?


6.1.3. Colegio Infantil de la Capital C. 21) Lu. 5,4. Nombre: Lucía. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Diciembre. I –. ¿Y tú sabes cuando está subiendo porque después de comerse éste (5) se come éste(6)? N – Mira la escalera. I – (Va quitando el pan de todos los escalones). Ahora el Piolín ya no come pan en todos los escalones. Ahora, Lucía, va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el primero es que sí. Venga, colócalo, cariño, N – Coloca pan en los escalones 1,3, 5, 7, y 9. (III2a) *I – … Coloca otros Piolines donde sí hay pan. (III1) N – Coloca Piolines en el escalón 9. I – Venga, más. N – Pone Piolines en 10, 7, 1, 2, 3. (III1b que se transforma en III1a) I – Lucía ¿tú crees que cuando quitemos éste (muro), este Piolín (señala el del escalón 10) va a comer pan? N – Dice sí tímidamente con la cabeza. I – ¿Tú crees que sí? Mira este sí come (5) aquí. ¿Éste (10) va a comer pan? N – Dice que no con la cabeza también tímidamente. I – ¿No? Di sí o no. Habla para que después salga en la tele. N – No. I –Entonces, ¿por qué lo has puesto? N – Porque me he equivocado. (III1a) I – Pues ponlo bien, cariño. Ponlo donde tú crees que sí va a comer pan. N –Lo pone en escalón 9 I –¿Por qué va a comer pan éste (7)? N – Piensa en silencio. I – ¿Por qué has puesto ese ahí, cariño? N – Porque tiene que ir ahí. I –Piénsalo y me lo dices que seguro que lo sabes. N – (Callada mira la escalera) Porque ahí seguro que hay uno. (IIIE222 ) I – ¿Ahí seguro que hay uno? ¿Por qué, cariño? N – Porque sí. I – (Quita Piolines, menos el del 5) Venga, Lucía. Aquí (5) hay y lo estás viendo, coloca en los sitios que sí debe haber pan. (III1) N – Coloca Piolines en 7, 9, 1 y 3. (III1a) I –¿Por qué crees tú que está bien? N – Porque creo que ahí, donde yo le he puesto los Piolines hay uno. I – ¿Y por qué crees tú eso? N – Porque sí. I –Yo también creo lo mismo que tú, (levanta los muros y los vuelve a colocar. Quita los

Piolines). Ahora ese (5) está aquí y lo dejamos porque lo estás viendo, ¿vale? Ahora si yo coloco aquí un Piolín (pone un Piolín en el escalón 8) ¿Tú crees que ese Piolín va a comer pan? N – Dice que no enérgicamente con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque ahí no hay uno. I – Pero, ¿por qué ahí no hay uno? N – Porque yo lo sé. I –¿Cómo piensas para saber que ahí no hay?. N – Porque antes tú lo has levantado eso ... (señala el muro). I –Si yo coloco ahora aquí uno (pone un Piolín en el escalón3) ¿ahí va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿por qué, cariño? N – Porque yo antes he puesto una ahí. *I –…Si este es el 5, quiero que coloques otro en el número 9. (IV1) N – Coloca un Piolín en el escalón 9. (IV1a) I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9, cariño? N – Porque si uno está ahí (5), pues el otro está aquí (señala hacia el Piolín 9). I – Claro, pero si uno está aquí, ese es el número 5, ¿qué has hecho para adivinar que éste (9) es el número 9. N – Pues he hecho 5, 6, 7, 8 y 9 (va señalando con el dedo los escalones). (IVE444 ) I Ahora (quita el Piolín 9) éste (5) es el número 5, yo quiero que sabiendo que es el número 5 coloques uno en el número 3. N – Yo lo he puesto porque yo sé cual es el número 3. (Coloca uno en el escalón 3). I – Ahora ponemos uno en el número 9 (lo pone) como tú habías dicho antes. Quiero que pongas uno en el número 7, ¿de acuerdo? Pero sabiendo que éste (9) es el número 9 N – Está chupao, porque el 6 es ahí (pone un Piolín en el escalón 6). I – ¿Y por qué sabes que es ahí? N – Porque, mira, aquí éste el 6 (6) y este (7) es el 7. I – Ahá, ¿y teniendo en cuenta que éste es el 9 (9)? ¿Sabiendo que éste es el 9? ¿Lo puedes tener en cuenta? N – Se queda pensando y mirando la escalera. I –Está en el 9. Coloca uno en el número 5. N – Coloca un Piolín en el escalón 5. I – ¿Por qué sabes que ese es el 5? Pero sabiendo que éste (9) es el 9 ¿eh?, tienes que


partir que éste es el 9, ¿de acuerdo? ¿por qué sabes que ese es el número 5? N – Porque antes yo lo he puesto. I – Porque tú antes ya lo habías puesto, vale, muy bien, Lucía. Ahora vamos a hacer con números y con el pan, ¿vale? Entonces, igual que antes tienes que poner en uno sí y en otro no, cariño. Pon pan en uno sí y en otro no. N – Coloca pan en 1, 3, 5, 7,9. I –Ya has puesto pan en uno sí y en otro no. Ahora, pones Piolines en los escalones que hay pan y decirme el número que es, ¿vale? N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Me tienes que ir diciendo los números, si tú quieres puedes empezar por abajo. N – 9.(pone un Piolín en el escalón 7) 7? 5 (lo pone), 3 (lo pone) y 1 (lo pone). I –Ya sabes los números en los que hay pan. Repítelo otra vez. Y empieza desde aquí (señala el escalón 1). N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. *I – … ¿Qué números va a haber pan? (V1) N – Está chupao, yo lo sé aún. I – ¿Sí? Dímelo. N – Aquí hay en el 1 y en el 3 (señala ambos escalones). (V1a) I – De acuerdo, ¿y aquí? ¿por arriba? N – Pues aquí en el 7 y en el 9 (los señala). I – Entonces, ¿Después del 5 en qué número come? N – Pues aquí en el 7 (V1a) I –Pon uno en el número 8, y dime si en el 8 come o no come, cariño. N – (Pone un Piolín en el escalón 8). No come. I – ¿Por qué no come, cariño? N – Porque yo lo sabía desde antes. I –Pon uno en el número 10. N – Pone Piolín en el escalón 10. I – Dime si come o no come. N – No. I – ¿Por qué? N – Porque antes yo he puesto, tú has destapado eso y yo antes he visto que ... era sí (1), no (3), sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (5), no (6), y aquí (7), sí va a comer, y aquí no (8) y aquí (9) sí y aquí (10) no. (IIIE333 ) I – Muy bien, entonces dime ahora si en el 3 come y sabemos que en el 5 sí come N – En el 3 sí come. I – ¿Por qué? N – Porque sí (1), no (2), sí (3) (VE222 ) I –Entonces ahora (quita muros) vamos a imaginarnos cosas (hay Piolínes en 1, 3, 5, 7 y 9) Estos son todos los Piolines. Entonces Lucía, dime, en los números, otra vez que están los Piolines. N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. I – Muy bien. Entonces, Lucía, esta escalera llega hasta el 10 (señala escalón 10) ¿de

acuerdo? Este es el 9 (lo señala) y luego éste (10) es el 10. N – Claro, yo sé... I – Como tú sabes contar mucho, imagínate ahora... N – Hasta cuando yo tenía 4 años y cumplí los 5, todavía sabía contar hasta 20. I – Hasta 20, ¿cuando tenías 4 años? Ahora que tienes 5 sabes contar mucho más, Lucía. Entonces, éste (10) es el 10, ¿de acuerdo? Imagínate la escalera más larga, más larga, más larga… Entonces después de 10, el 11, el 12, el 13,... ¿a que sí? Después el 14, el 15, ¿verdad?. Con esta escalera tan larga, dime tú si en el 11 el Piolín come pan N – Creo que sí. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque mira, sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (5), no (6), sí (7), no (8), sí (9), no (10), sí (señala al aire como si hubiera otro escalón). (VI2a) I – Ahá, entonces en el 11 es sí ¿y en el 12? N –Sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (5), no (6), sí (7), no (8), sí (9), no (10), sí (11 imaginario), no (12 imaginario). I – ¿Y en el 13? N – Sí porque si, no, si, no, ... y sí. I – ¿Y en el 14? N – Dice no con la cabeza. No. I – ¿Por qué? N – Porque es como una serie, si, no, si, no (continúa así hasta el 14). I – Ahá, como una serie. Entonces, yo te he dicho el 14 y todo eso, pero como tú sabes contar hasta el 69, fíjate. Si llegáramos, por ejemplo, a decir el 25, ¿tú crees que en el 25 va a comer? (VI1) N – Se queda callada. I – ¿No lo sabes? Pero, ¿tienes alguna forma de adivinarlo? N – Sí, ¿qué has dicho? ¿el 50? I –No, 25. ¿Tú crees que en el 25 va a comer? N – (Mira la escalera y piensa). Yo creo que sí. I – ¿Por qué crees que sí, cariño? N – Porque lo he pensado. I – Pero, ¿cómo lo has pensado? N – Es que cuando piensas salen de la cabeza, cuando piensas,... I – Cuando piensas salen de la cabeza, entonces, tú crees que en el 25 es que sí. ¿Y en el 33? ¿Qué crees tú que ocurrirá en el 33? (VI1) N – Que no. (VI1b) I – ¿En el 33 es que no? Pero, ¿por qué? ¿Y cómo lo has pensado? N – Con la cabeza. I – Pero, en el 33, ¿por qué es no? Me tienes que dar una razón. Tú antes me dijiste porque era una serie, porque en el 9 sí, ... Entonces me


tienes que decir por qué en el 33 dices tú que no. N – Porque es una serie. I – ¿Y ahora la serie te ha dicho que en el 33 no? N – Creo que no. I – ¿Y en el 34? N – Que sí (lo dice bajito). I –¿Y en el 35? N – Que no. I – Y tú dime ahora, entre los números que van del 42 al 50 en los que sí hay. Dímelos. N – Se queda callada. I – ¿Sabes lo que te estoy preguntando? Sí, como la escalera es más larga, hay un número de la escalera ... el 11, el 12, el 13, el 14, 15, ... Entonces, hay un número que es el 42, ¿a que sí? Y entonces, ¿en el 42 va a comer? N – Yo creo que sí. I – Que sí come, ¿no? Dímelo ahora desde el 42 al 50 los que sí va a comer. N – Piensa. Que... en el 49 que sí va a comer. I – ¿Sí? En el 49 que sí. ¿Y en cual más? N – Silencio I –¿Y en el que va después del 49, cariño?

N – 48 I – No, ese es el que va antes. N – Se queda callada pensando. El 50 que no. I – Eso, en el 50 es que no. Dime ahora si en el 65, que también sabes contar hasta 65, va a comer. N – Yo creo que sí. I – ¿Por qué? N – Porque yo he pensao. I – ¿Y cómo lo has pensado, cariño? N – He pensado con la cabeza. I – Si, bueno. Y dime ahora si en el 23 va a comer. N – No. I – ¿En el 23 es que no? Y dime si en el 17 va a comer. N – Piensa un momento en silencio. Creo que sí. I – ¿En el 17 sí? ¿Por qué? N – Porque yo he pensao. I – ¿En qué número después del 17 come? N – En el 18. I – Y dime si en el 37 va a comer. N – No. I – Bueno, ya está, Lucía, que lo sabes todo muy bien. Vamos a despedirnos de los Piolines.

22) Na. 5,7. Nombre: Nacho. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Septiembre. I – ¿Por qué cuando se come éste (5), por qué después se come éste (6)? N –Porque sube ahí (señala 5). I Ahora Nacho, vamos a hacer otra cosita. (Quita todo lo de los escalones). Ahora ya comen los Piolines en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no y el primero es que sí. Venga, cariño, colócalo en uno sí y en otro no. N – Coloca pan en los escalones 1,3, 5, 7 y 9. *I – … ¿Tú sabes colocar Piolines en los sitios que sí hay pan detrás de esto? (III1) N – Umm, ... Sí. I – Venga, colócalo. Coloca Piolines donde sí hay pan, no lo tienes que ver. Colócalo de ahí (señala la caja donde están los Piolines). N – Pone Piolines en 1, 3, 5, 7, 9. I – (Levanta los muros para que lo vea y lo vuelve a poner). Este es un mago total, sabe que detrás donde hay, aunque no lo ve pero sabe adivinarlo. Sin verlo lo adivina. Eso, ..., eso son los trucos de magia, ¿sabes? (quita los Piolines menos el del 5). Entonces el Piolín está aquí (señala escalón 5), si yo coloco un Piolín aquí (8), ¿tú crees que éste va a comer, cuando quite esto (muro) va a tener pan? N – Dice no con el dedo. I – ¿Por qué no? N – Porque aquí (6) no hay pan, aquí (7) sí, aquí (8) no. (IIIE444 )

I –. ¿Y si yo lo pongo aquí (10)? N – No hay. I – ¿Por qué? N – Pasa el dedo por el escalón 9 y 10 e intenta mirar por debajo. I – Pero no lo mires por debajo, dime por qué. Dímelo en voz alta, ¿por qué no? N – Por,..por,... porque aquí (8) no hay, aquí (9) sí y aquí (10) no. I – Perfecto, Nacho (levanta el muro). Lo adivina todo, todo. Muy bien y si yo coloco uno aquí (2), ¿va a comer? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque el pan está aquí (1) y aquí sí, sí va a comer porque aquí (1) no, aquí sí, aquí (3) no. I – No, bueno, piénsalo bien. Tú estás viendo éste (5) ¿eh? Esto es una información. ¿Ahí va a comer? N – Dice no con gesto. I – No, ¿por qué? Dímelo en voz alta como lo has visto que no. N – Porque sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (3), no (4). I – Sí, ¿y dónde hay pan? N – Pues... aquí (9) y aquí (8) no. I – Y aquí (9), ¿por qué sabes tú que había pan?


N – Porque ahora lo he numerado, si tiene que haber pan aquí (5), tiene que haber , tiene que haber y aquí (8) no. I – Pero, ¿por qué lo sabes? ¿Has tenido en cuenta que aquí (5) hay pan? N – Dice que sí con la cabeza. I – Dime si en este (10) va a comer pan. N – No. I – ¿Por qué? N – Pues, porque si aquí (8) no come, aquí sí y aquí no, pues en ninguno come.. I – ¿En este (7) come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque aquí (8) no come, aquí (7) sí. I – Ahora, por abajo.¿En este (2) come? N – Eh...Sí. I – ¿Por qué? N – Porque aquí (1) no y aquí sí (2). I – Bueno, yo quiero que sepas que aquí (5) sí come, porque lo estás viendo. ¿Te viene bien que en este (2) coma? N – Se queda callado. I – A ver, venga, si aquí (5) come, ¿Qué pasa en este (2)? ¿Come? N – Eh... No. I – ¿Por qué? N – Porque aquí (1) tiene que haber y aquí (2) no, si, no,... no. I –. Ahora, vamos a contar (va quitando todo de la escalera). Pon un Piolín en el número 5. N – Parece que va contando los escalones mentalmente y señalando con el dedo y pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Por qué sabes que ese es el 5, cariño? N – Porque (pasa el dedo por los escalones 1, 2, 3) 4 (4) y 5 (5). *I – Ahá, muy bien. Entonces, este Piolín está en el número 5, muy bien. Ahora yo quiero que (pone el muro de cartulina delante de los primeros escalones para que no se vean) tú sepas que éste es el 5. Y sabiendo que éste (5) es el número 5, pongas uno en el número 9. (IV1) N – Pasa el dedo por los escalones 5, 6, 7, 8, 9. Coge un Piolín y lo pone en el 9. I – ¿Y por qué sabes que ese es el 9? Dímelo en voz alta lo que has hecho. N – Porque aquí está el 5 (5) 6, 7, 8 y 9. I –Pon ahora otro en el número 8. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Por qué sabes que ese es el 8? N – Porque primero del 9 viene el otro. I –Ahora (quita el muro) yo quiero que tú sepas que éste (8) es el 8 ¿de acuerdo? Ya sabiendo que éste es el 8 coloques uno en el número 4. N – Coloca un Piolín en el escalón 4. I – ¿Y por qué sabes que es el 4? N – Porque si aquí está el 5 (lo señala), aquí va el 4 (4). (IVE444 )

I – Pero, ¿y sabiendo que éste (8) es el 8? Yo quiero que me lo averigües sabiendo que es el 8 éste. N – Porque si éste (5) va atrás, aquí atrás tiene que ... va ese. I – Tiene que venir ese ¿no? Muy bien, Nacho, ahora quiero que hagas lo mismo que antes con el pan y con los números (quita los Piolines). Vamos a poner pan en uno sí y en otro no (pone un Piolín en el escalón 1). Colócalo. N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. I – Y ahora me tienes que decir los número en los que el Piolín come pan. N – El 9, el ... aquí (1) en el 1, aquí (3) el 3, aquí (5) el 5, aquí (7) el 7 y aquí (9) el 9. (V2a) *I – … El Piolín está en el 5 y en el 5 come pan. ¿En qué otro número después del 5 come pan? (V1) N – El 6. I – No, es en el que come y está después del 5. N – Ah!, el 7 (V1a) I – ¿Y por qué después del 5 come en el 7?. N – Porque sí I –Ahora yo quiero que tú me digas si en el 8 va a comer pan. N – Sí. I – Colócalo en el 8 y dime si va a comer pan en el 8. N – El de aquí (coge Piolín del escalón 5). I – No, coge otro (señala la caja de los Piolines). N – Coge uno y lo coloca en el escalón 8. I – ¿Y en el 8 va a comer pan? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué va a comer pan? N – Porque (señala el 5) pan, no (6), no (7), sí (8). I – ¿Seguro? A ver. Éste (5) es el 5 y en el 5 come pan. Dime si en el 8 come pan. N – (Se queda callado un rato pensando.) No, no come. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque aquí (7) hay pan y aquí (8) no. (VE222 ) I – (Quita los muros y mueve los Piolines y los pone en 1, 3, 5, 7 y 9). Di los números en los que sí come, cariño. N – Aquí (1), aquí (3), aquí (5),... I – Sí, pero dime los números. N – Aquí el 1 (1) sí, aquí el 2 (3) sí, aquí (5) el 3 sí ... I – No, no, no, el 2 es éste (2), vida mía, que no come. Éste es el 1, sí come, éste es el 2, no come. N – Sí (señala un Piolín en el escalón 3). I – Pero, dime el número. N – Éste (3) es el 3 sí come. Éste (4) es el 4 no come. Éste es el 5 (5), sí come, éste (6) es el 6 y


no come, éste (7) es el 7 sí come, éste (8) es el 8 y no come y en el 9 (9) sí come. I – Y éste (10) es el 10 y no come. Yo ya te he dicho que los Piolines viven muy lejos, ¿no? Tú te imaginas ahora ... Ésta escalera llega hasta el 10, porque éste (10) es el 10. Pero tú te imaginas que ahora éste el 11, después está el 12, después el 13, después está el 14,... ¿a que sí? ¿a que tú te sabes todos esos números? Entonces, en el 9 sí come y en el 10 no. ¿Tú crees que en el 11 comerá? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque si en el 10 no come, en el 11 sí. (VI2a) I –En el 11 come, ¿en qué número después del 11 come? N – En el 12 I –Mira, en el 11 come ¿ en el 12 come? N – No. I –Pues entonces, ¿en qué número después del 11 come? N –En el 13 (después de pensar un tiempo) I – Entonces en el 13 come, ¿Y en el 14? N – No. *I – Bueno, vale, pero yo ya no te lo voy a decir así de seguido uno detrás de otro. Tú te imaginas la escalera más larga y llegará un momento que sea el 25. ¿En el 25 va a comer? (VI1) N – Pues (señala con el dedo como si quisiera contar la escalera imaginaria). No. I – ¿Por qué? N – Bueno, sí, porque si aquí viene, en el 5 tiene que comer. I – ¿Porque en el 5 tiene que comer, cariño? N – Porque ... (señala el escalón 10 y se queda pensando). No. I – ¿No come? ¿Por qué? N – Porque si en el 10 no come, en el 25 no come. (VI1b)

I – O sea, ¿si en el 10 no come en el 25 no come? N – Dice sí con la cabeza. I – Yo te he escuchado. Lo has dicho bajito, pero lo has pensado así. Diciendo, en el 10 no, en el 11 sí, en el 12 no, en el 13 sí, ¿a que lo has pensado así? (IIIE444 ) N – Dice que sí con la cabeza. I – Yo te he escuchado, los has dicho bajito, pero lo has pensado así. Diciendo en el 11 sí, en el 12 no, en el 13 sí, en el 14 no, ... hasta llegar al 25, ¿a que sí? N – Sí. I –.Pero si yo de digo ahora un número más grande, por ejemplo, yo te digo en el 55… N – Umm... I – ¿En el 55 tú que crees, que sí o que no? N – Pues,... que no. I – En el 55 tú crees que no, bueno, ¿y en el 38? N – (Piensa callado un rato y después va diciendo algo en voz bajita.) Pues yo digo que ... sí. I –Lo que pasa es que te has equivocado porque en el 38 no come. ¿Y tú sabes decirme todos los número en los que come desde el 22 al 30? N – En el 22 no come ... I – ¿En el 22 no come? ¿Por qué? N – Pues, bueno, sí come, ... bueno, no sé. I – No sabes si come o no en el 22 ¿no? En el 22 no come, te lo digo yo. Entonces sigue tú hasta el 30. Y dime los números que sí come. N – Veinti... I – Pero dime los números. N – En el 22 no ... y en el 22 no, pues ..., 21 tam... I – Sí. N – 24, 23 sí, venti..., venti... 24 no, 22 no, 23 sí, venti... venti.., 24 eh ... no, 25 sí, 26 no, 27 sí, 28 no, 28 no ... 29 eee... sí y .... 30 no. (VI3a) I – Bueno, Nacho ya no te canso más. Vamos a por unos amiguitos tuyos.

23) Pa. 5,9. Nombre: Paloma. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Julio. I –¿Por qué cuando va subiendo después de éste (5) se come éste (6)? N – Mira a la escalera, piensa un momento callada y finalmente dice: No sé. I – (Va quitando los panes y el Piolín de la escalera). Ahora come pan en uno sí y en otor no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿de acuerdo? Y en el primero es que sí. Entonces, venga, colócalo. N – Coloca trozos en los escalones 1, 4. I – En uno sí y en otro no, cariño, Paloma. N – Coloca un trozo en el escalón 7.

I – Mira, Paloma, en éste (1) sí, ¿en éste? N – No. I – ¿En éste (3)? N – Sí. I – Entonces, coloca aquí el pan. N – Coloca el pan que estaba en el 4 en el 3. I – ¿En éste (4)? N – No. I – ¿En éste? N – No..., sí (mueve la cabeza afirmando). I – Pues entonces, coloca el pan. N – Pone pan en el escalón 5.


I – ¿En éste? N – No. I – ¿En éste? N – Sí. I – Coloca entonces el pan, cariño. N – Coloca pan en el escalón 7. I – ¿En éste (8)? N – No. I – ¿Y en éste (9)? N – Sí. I – Pues, entonces pon. ¿Has visto ya? En uno sí y en otro no. N – Afirma con la cabeza. *I – …Coloca Piolines donde sí haya pan. (III1) N – Coloca en el 7 y 9. y en el 1 y 3. (III2a) I – (Levanta muros para comprobar las respuestas y los vuelve a poner). Venga, Paloma, ahora sigue el pan detrás (quita los Piolines) y éste lo vamos a dejar aquí (pone un Piolín en el escalón 5). Si yo ahora coloco un Piolín aquí (8), ¿éste va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – Venga, adivínalo. N – Se queda callada. I –¿Estás segura que ahí va a comer? Mira, éste (5) está aquí y éste está comiendo, ¿lo ves? Venga, ¿ese que yo he colocado ahí arriba (8) va a comer? N – Dice sí con la cabeza. (III1b) I – ¿Lo comprobamos a ver? N – Dice sí con la cabeza. I – (Levanta el muro) No va a comer, ¿eh? No va a comer y habías dicho que sí. Bueno, ahora yo te voy a colocar otro en otro sitio y tú me vas a decir si va a comer o no. Aquí (coloca un Piolín en el escalón 9). ¿Va a comer? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque sí, porque está el pan. I – ¿Pero por qué lo sabes? N – Porque se ve. I –¿Y si yo coloco aquí (2) uno, éste va a comer? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque ahí no está el pan. I – Pero, ¿por qué sabes que no? N – Porque ahí no está el pan.. I –. Aquí (señala el Piolín del escalón 5) éste lo estas viendo, y aquí sabes que sí hay. ¿Tú no puedes averiguar si allí (2) hay o no? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no. I –Y si yo coloco uno aquí (10), ¿éste va a comer?

N – Sí. (III1b) I – ¿Éste va a comer? ¿Por qué? N – Porque hay pan. I – Pero, ¿por qué sabes que hay pan? N – Porque sí. I – (Levanta el muro) Pues, no, éste no va a comer (señala el Piolín 10 y el escalón vacío), sin embargo éste (2) dijiste que no y es que no, ¿lo ves? Eso sí lo has adivinado, pero esto de aquí arriba no (va quitando Piolines y panes y la niña le ayuda). Lo vamos a hacer con números, ¿vale? Coloca un Piolín en el número 5, cariño. N – Coloca un Piolín en el escalón 5. (IV2a) I – ¿Por qué sabes tú que ese es el número 5? N – Porque sí. I – Ahora éste está en el número 5. Y voy a tapar esto (pone el muro delante de los primeros escalones ocultándolos) para que no lo puedas contar por ahí, pero tú sabes que lo has puesto en el número 5. Pon uno en el número 9. (IV1) N – Va contando como desde el 5, piensa un momento y pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué sabes que es el número 9. N – Porque sí.. I – ¿Cómo lo has adivinado? Si por aquí abajo no has podido contar? ¿Por qué sabes que es el número 9? N – Callada. I – ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, ahora, éste (9) es el número 9 (quita el Piolín 5), ¿vale?. Tú tienes que saber que éste (9) es el número 9. Coloca uno en el número 6. N – Coge un Piolín, lo pone en el escalón 8, pero sin soltarlo, lo levanta y mira la escalera. (IV1b) I – En el número 6. N – Coloca el Piolín en el escalón 7. I –Éste (9) es el 9, ¿eh? ¿Por qué sabes que éste (6) es el 6? N – Se queda callada. I – ¿No lo sabes? Bueno, (quita el Piolín del escalón 7). Éste (9) es el 9, coloca uno en el número 8. N – Piensa un momento mirando la escalera y lo pone en el escalón 7. ¿Éste? I – Este (9) es el 9, ¿eh? N – Lo cambia del escalón 7 al 8. (IV3a) I – ¿Por qué ese es el número 8? N – Se queda callada con la mano en la boca. I – ¿No sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Coloca uno en el número 10. N – Mira la escalera y piensa un rato callada, finalmente coge un Piolín y lo pone en el escalón 10. (III3a) I – Ahá, coloca uno en el número 7.


N – Piensa unos instantes y lo pone en el escalón 7. (IV1a) I – Coloca uno en el número 5. N – Pone otro Piolín en el escalón 5. (IV1a) I – ¿Por qué sabes que es el número 5, cariño? N – Porque ... (mira los Piolines de arriba, señala con el dedo la escalera) porque... como éste (señala la parte del muro) está tapado pues... I – Sí, pero tú sabes que éste (7) es el 7. ¿Tú has tenido en cuenta que éste es el 7? N – Dice que sí con la cabeza. (IVE333 ) I – ¿Cómo? N – Se queda callada. (IVE333 ) I – ¿Cómo lo has tenido en cuenta, hija? N – Se queda callada mirando al frente. I –Bueno, (Va quitando todo de la escalera) Ahora, igual que antes los Piolines van a comer pan en uno sí y en otro no, venga, ponlo desde el principio en uno sí y en otro no. N – Pone pan en los escalones 1, 3, 6, 8 y 10. (V2b) I – Muy bien. Ahora pon los Piolines al lado de los sitios donde hay pan. N – Coloca Piolines al lado de los panes 6, 8, 10, 3, 1. I – Pero, ¿lo has hecho bien? ¿Lo has puesto en uno sí y en otro no? N – Mira los escalones. I – Éste (3) come, aquí (4) no come, ¿y aquí? N – No. I – ¿Por qué? Es en uno sí y en otro no. N – Porque aquí no hay pan ni Piolín. I – Ni Piolín, pero porque tú no lo has puesto. Si en éste come (3) en éste es que ... N – No. I – ¿Y en éste? N – Sí. I –Entonces tenemos que poner éste (coge el Piolín del 6 y lo cambia al escalón 5) y éste, lo ponemos aquí (6) es que ... N – No. I – ¿Y aquí (7)? N – No. I – Es en uno sí y en otro no, cariño. ¿Así está bien? (Señala tramo de escalera del 5 al 8) ¿Esto lo has hecho bien? N – (Mira la escalera) Yo creo que no. I – ¿Que no? Pues, venga, ponlo bien. N – Coloca un pan y un Piolín en el escalón 7. I – Y ahora, ¿esto está bien? (Señala los Piolines colocados en 7 y 8) N – Dice que sí con la cabeza. I – Es en uno sí y en otro no. Si en éste (7) come, ¿en éste que pasa? N – Que no. I – Pues entonces, quita éste (8). N – Los quita. I – Si en éste no (8) ¿en éste?

N – Sí. I – Entonces, ¿qué pasa? N – Pone pan y Piolín en el escalón 9. I – ¿Y en éste (10)? N – No. I – Pues entonces, quítalo. N – Lo quita. I – Ahora, ... Es en uno sí y en otro no. Dime los números en los que sí hay. N – 1 (señala el escalón 1), 2 (señala el escalón 3). (V2b) I – No, 2 no. El 2 es éste (señala el escalón 2) en el 2 no hay. N – En el 1 (1), en el 3 (3), en el 4 (5). I – No, el 4 es éste (4). N – En el 5 (5), en el 6 (7). I – No, en el 6 no, el 6 es éste. N – En el 7 y en el 10. I – No, no lo has hecho bien. Si quieres ve diciéndome: en el 1 sí, en el 2 no y así todo. N – (Va señalando los escalones) En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no, en el 5 ...(señala el escalón 4 y mira a la investigadora), en el 5... I – en el 5 sí, éste (5) es el 5. N – En el 6 sí. I – No, éste es el 6. N – En el 6 no, en el 7 sí, en el 9 ... en el 8 no y en el 9 sí. (V3a) I – (Pone muros) Éste (5) es el número 5 en el que sí come, ¿de acuerdo? Yo quiero que me coloques un pan en el número 8 y me digas si en el 8 hay o no hay. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 8. I – Ese es el 8 y ahí ¿hay o no hay? N – Se encoge de hombros. (V1b) I – ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I –¿Hay o no hay pan aquí? ¿El Piolín va a comer pan (8) cuando yo quite esto o no? N – No. I – No, ¿por qué? N – Porque ..(se queda mirando a un punto lejano). Porque ...Porque no hay puesto. I – Pero, ¿por qué no hay puesto? N – (Se queda callado pensando) Porque... I – Bueno, en el 8 no hay puesto pan, de acuerdo, en el 8 no he puesto. En el 9, ¿he puesto o no? N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Ese es el 9, ¿y ahí he puesto? N – Sí. (III3a) I – ¿Por qué? N – Porque... (se queda callada mirando a lo lejos y mordiéndose el labio, como pensando) Porque... I –En el 8 no hay, ¿por qué en el 9 hay? N – Porque en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. (III1a, IIIE222 ) I – Ah, porque es en uno sí y en otro no, ¿no? ¿Y en el 9, qué le ha tocado que sí?


N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Se queda callada. I – Tú sabes que aquí sí, éste (5) es el 5 y en el 5 sí hay. ¿Por qué si en el 5 hay en el 9 también le toca que hay? N – Porque mira, aquí (1) sí, aquí (3) ... sí, aquí (4)..., aquí (1) sí, aquí (2) no, aquí (3) sí, aquí (4) no, aquí (5) sí, aquí (6) no, aquí (7) sí, aquí (8) no, aquí (9) sí, aquí (10) no. (III1a, IIIE333 ) I – De acuerdo, y ahora coloca uno en el 2. N – Pon un Piolín en el escalón 2. I – ¿En el 2 hay? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque... Porque yo no he puesto. I –. Ahora yo quiero que tú me digas otra vez los números en los que sí hay pan, en los que sí hay Piolines y comen pan. Dime otra vez los números. N – Sí, no (señalando los escalones)... I – Pero el número, me tienes que decir los números también. N – En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no, el 5 sí, en el 6 no, en 7 sí , en el 8 no y en el 9 sí. (V2a) I – Bien…, ¿después del 5 en qué número come?. N – En el 6 no I – Entonces, ¿dónde come?. N – Se queda pensando (V1b) I – De acuerdo, entonces tú ahora te imaginas la escalera más larga. Éste es el 10 y el 10 es que no. Y entonces vendría el 11, después el 12, después el 13 y todo eso. Entonces yo quiero saber si en el 11, cuando el Piolín esté en el 11, ¿en el 11 va a comer pan? N – Dice que sí con la cabeza. (VI2a) I –¿Por qué? N – Se queda callada pensando. I – Y en el 12, ¿va a comer? N – Dice que no con la cabeza y se mete un osito en la boca. (VI2a) I – ¿Por qué? N – Mira a lo lejos y para arriba mientras mastica. I – ¿Y en el 13? N – Dice que sí con la cabeza. (VI2a) I – ¿Por qué? N – Porque... (se queda callada, mueve los ojos como si estuviera pensando) I – ¿Por qué en el 13 sí, cariño? N – _Callada mirando hacia arriba. I – ¿Y en el 14?

N – Dice que no con la cabeza. (VI2a) I – ¿No? ¿Por qué? N – Se queda callada. I – ¿Y en el 15? N – Dice que sí con la cabeza. (VI2a) I – Después del 9, ¿en qué número come? N – Se queda callada (VI3b) I –Ahora imagínate, ya no te voy a decir ni el 11, , en el 12, en el 13... Como la escalera es mucho más larga, pues ahora yo pienso qué puede pasar con el 35 ¿en el 35 comerá pan? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Sí? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Se queda callada. I – ¿Por qué crees tú que en el 35 va a comer pan? N – Porque ... porque sí, porque ... (se queda mirando hacia arriba). I – ¿Y en el 42? ¿Tú crees que en el 42 va a comer pan? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Se queda callada. I – Dime ahora todos los números en los que tú crees que va a comer pan desde el 22 en adelante. N – En el 1 sí, el 2,... I – No, es desde el 22, cariño. Empieza en el 22. En el 22, ¿qué va a pasar? N – Que no. I –¿Por qué? N – Porque... I – Bueno, continúa, en el 22 es que no… N – Silencio (VI3b) I – Me tienes que decir cómo siguen los números desde el 22 que es que no come. N – Silencio I – ¿Y tú crees que va a comer pan en el 46? N – Sí. (VI1b) I – ¿En el 46 sí? ¿Y en el 58? N – Sí. I – ¿Y en el 72? N – No. I – ¿Y en el 32? N – Sí. I – ¿Y en el 12? N – No. I – ¿Y en el 92? N – Sí. I – Muy bien, Paloma. Ya no te voy a preguntar más. Vamos a terminar.

24) Ro. 3,6. Nombre: Rocío. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Octubre..


*I – …Debes colocar pan cpnforme va subiendo (I1) N – Dice sí con la cabeza. I – Vale, ponle pan para que los Piolines se lo coman. Empezamos por este (1), coloca pan. N – Pone pan en el escalón 2. I – Porque los Piolines tienen que comer pan. Venga, en todos. N – Pone en el escalón 3. I –Pónselo en todos. N – Pone pan en los escalones 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (I1b) I –Pónselo en todos, también por aquí (señala del 1 al 4) N – Pone pan en los escalones 2,3 y 1. (I2a, I3a, IE1) I –Entonces el Piolín va subiendo (va pasando un Piolín por la escalera hasta llegar al 5 y lo deja allí) y se coloca aquí. Entonces cuando está aquí se come éste pan ( el del 5), después de comerse ese, ¿qué pan se come, cariño? ¿Qué pan come después de ese? N – Señala el del escalón 6. I –¿Y después? N – Señala el del 7. I – ¿Y después? N – Señala el del 8. I – ¿Y después? N – Señala el del 9. I – ¿Y después? N – Señala el del 10. (II2a, II3a) I –. Entonces, ha ido subiendo, cuando ha llegado aquí (5) se ha comido éste (señala el pan del 5). ¿Antes de comerse éste (5) qué pan se come? N – Señala el del 7. (IIE111 ) I – No, antes, de los que están aquí abajo. Antes de éste (5) ¿qué pan se había comido? N – Mira la escalera y después mira a la investigadora. I – ¿Qué pan, cariño? Rocío, mira. Después de éste (5) está éste (6). Pero antes de éste, ¿cual está, antes? N – Señala el pan del escalón 4. . (IIE111 ) I –Cuando va subiendo, ¿por qué después de comerse éste se come éste? N – Mira los escalones y a la investigadora. I –Quitamos el pan. Porque ahora el Piolín ya no come pan en todos, ahora come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿de acuerdo? Y en el primero es que sí, venga, colócalo tú. Coloca el pan en uno sí y e otro no. N – Coge un trozo y mira a la investigadora. I – Venga, en el primero es que sí y en otro no. Venga, colócalo. N – La mira. I – Venga, Rocío. Es en uno sí y en otro no, vida mía. Colócalo, Rocío, ¿quieres un

caramelito? ¿Estos ositos que también son amiguitos tuyos? Venga, todos estos caramelos para ti, cariño. Venga, es en uno sí y en otro no. N – Se queda mirando la escalera y masticando caramelo. I – Rocío, en éste (1) es que sí, ¿en éste (2)? N – Se queda callada. I – ¿Aquí (2) tienes que poner pan o no? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Y aquí (3)? N – Dice sí con la cabeza. I – Pues, venga, colócalo. ¿Y aquí (4)? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y aquí (5)? N – Dice que sí con la cabeza y pone un trozo. I – ¿Y aquí (6)? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Aquí (7)? N – Dice sí con la cabeza y pone otro. I – ¿Y aquí (8)? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Y aquí (9)? N – Dice que sí con la cabeza y lo pone. I – Señala el escalón 10. N – Dice que no con la cabeza. (III2a) *I – …Coge de aquí Piolines y ponlos en los sitios que sí hay pan. (III1) N – Mira a la investigadora. I – Venga, Rocío, coge de aquí Piolines y los colocas, ¿vale? N – Dice que sí con la cabeza, se queda callada y mira a la investigadora. I – ¿No quieres? Venga, Rocío, coge de aquí Piolines y los vas colocando. N – Vuelve a mirar a la escalera y a la investigadora. I – Rocío, si yo pongo aquí (7) un Piolín, ¿este Piolín va a comer pan? ¿eh? ¿va a comer? N – Mira a la escalera como pensando y dice sí con la cabeza I – ¿Sí? ¿Por qué? N – La mira. I – Bueno, Rocío, si yo pongo un Piolín aquí (2) ¿éste va a comer pan? N – Dice que sí con la cabeza. (III1b) I – ¿Por qué? N – Se queda callada. I – No, Rocío, mira (levanta el muro de la parte de abajo) éste (señala el Piolín del escalón 2) no come pan y habías dicho que sí. Ahora, éste (quita el muro de los escalones de arriba y señala el 7) sí come pan. (Coloca el muro de arriba y deja el de abajo). En este (5) es que sí, ¿en éste (7) come? N – Dice que no con la cabeza. (III3b) I – Quitamos todo lo de la escalera y ahora, así vacía vamos a contar los escalones. Cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 8, 9 y 11 y ..(va señalando con el dedo los escalones). (IV2b)


I – ¿Sí? Rocío, coloca este Piolín en el número 5. N – No lo sé dónde es. I – ¿No sabes dónde es? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, pues yo te voy a poner aquí (5) un Piolín y yo quiero que tú me digas en qué número lo he puesto. ¿En qué número he puesto ese? N – A ese (señala al Piolín). I – Pero, ¿ese qué número es? N – No lo sé. (IV3b) I – ¿No lo sabes? Muy bien. Éste (5) es el número 5, Rocío porque se cuenta 1, 2, 3, 4, 5 (va señalando los escalones correspondientes) y éste es el número 5. Entonces, si éste es el número 5, coloca uno en el número 6. N – La mira. I – ¿Cual es? Coge uno y lo pones en el número 6. N – Mira a la investigadora. (IV1b) I – ¿No lo sabes? ¿No sabes cuál es el 6? N – Dice no con la cabeza. I – Vale, muy bien. Ahora, Rocío, ¿tú sabes poner pan en uno sí y en otro no, igual que antes? N – Dice sí con la cabeza. I – Pues pon pan en uno sí y en otro no. N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. (III2a) I – Muy bien, Rocío, ahora pones los Piolines en los sitios que hay pan. Coloca el piolín en los sitios que hay pan. N – Pone Piolines en 9, 7, 5, 3, 1. I – Muy bien, Rocío. Rocío, ahora tú me vas a decir los números y donde sí hay pan. Por ejemplo, en el 1 sí hay, en el 2 no hay, ahora éste es el ... N – Mira a la investigadora.

I – ¿Cuál es ese? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Tú me puedes decir los números en los que hay pan? N – Dice que sí con la cabeza. I – Venga, dime los números en los que hay pan. N – Se queda callada mirando la escalera de arriba a abajo. I – Dilo, Rocío, ¿no sabes decirlo? N – Dice que no con la cabeza. I – Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2, éste (3) es el ... N – Se queda callada. I – ¿Éste cuál es? ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – Bueno, Rocío, mira (quita los Piolines). Mira, Rocío, éste (coge un muro y lo pone en la parte de arriba) igual que antes vamos a tapar esto, ¿vale? Lo tapamos (pone también el otro muro en la de abajo) y éste (pone un Piolín en el escalón 5) es el número 5. ¿Tú puedes colocar un Piolín en el número 8? N – Dice que sí con la cabeza. I – Coloca un Piolín en el número 8, cariño. N – Coge un Piolín en la mano y mira a la investigadora. I – Venga,... Pon un Piolín en el número 8, ¿vale? N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es e número 8? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Se queda callada. I – Bueno, ya está bien, porque ya vamos a ir a jugar con unos niños que están abajo.

25) Fe. 3,11. Nombre: Fernando. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo. *I – … Vas a poner pan en todos los escalones, conforme va subiendo, ¿de acuerdo? (I1) N – Dice que sí con la cabeza I – Venga, pues ponlo, hijo. N – Coge un Piolín. I – No, el Piolín no, el pan. N – Pone pan en el escalón 1 y otro más en el mismo escalón. I – No, en todos los escalones. N – (Rectifica y pone uno de los dos trozos del escalón 1, en el 2. Y sigue poniendo trozos en los escalones 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.) Ya está. I – ¿Y en éste (10) qué? ¿Qué me vas a poner? N – (Pone uno en el escalón 10). Ya está. (I1a, IE1)

*I –...(Coge un Piolín y lo va subiendo por la escalera) Ponemos aquí (5) el Piolín, entonces éste Piolín se come este pan. “Me lo como porque tengo que ponerme grande y fuerte”. Entonces, tiene que comerse este pan, después de comerse este pan (5) ¿qué pan se come, cariño? Va subiendo. (II1) N – Éste (6), éste (7) y éste (8) y éste (9) y ahora ese (10) y ya está. I – Ahá. Entonces, después de comerse éste (5) se come éste (6), pero antes, antes , .. Está aquí el 5, ¿antes de comerse éste (5), cual se había comido antes? N – Éste (señala el pan del escalón 5).


I – Sí, éste se lo había comido, pero antes de comerse éste (5), ¿cual? Antes, por ahí abajo, antes de éste (5), ¿cual? N – Pues ...éste (1). (IIE333 ) I – Vale. Entonces, si el Piolín va subiendo, ¿por qué después de comerse éste (5), se come éste (6)? ¿Por qué? N – Porque éste,... llevo 3, este escalón. I – ¿Cómo? N – Que está éste (6) escalón, luego de éste (5). I –. Entonces ahora, mira, Fernando va a hacer otra cosita. Ya los Piolines no comen pan en todos los escalones, ya no. Ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. En el primero es que sí, ¿vale? Venga, cariño, pues ponlo. N – Pone pan en el escalón 1. I – Ahá. Hay en uno sí y en otro no. N – Va a coger un Piolín. I – Pero no pongas el Piolín, pon solamente el pan primero y después ponemos los Piolines, ¿vale? N – Pone pan en los escalones 3, 5, 6 y mira a la investigadora. I – Es en uno sí y en otro no. N – Cambia rápidamente el del 6 al 7 y pone pan en el 9. Coge otro pan, lo pone en el escalón 6 sin soltarlo y mira a la investigadora I – Es en uno sí y en otro no. N – Aquí (lo pone en el 4). I – ¿Por qué ahí? N – Al lado (pone uno al lado del otro del 9) Aquí (10). I – En uno sí y en otro no. N – Ya no hay más. *I –… Entonces, ahora, tú vas a colocar Piolines en los sitios que sí hay pan detrás de esta pared. Que cuando lo levantemos (levanta el muro) hay pan, ¿vale? Pon Piolines en los sitios que haya pan. (III1) N – ¿Aquí (8)? (III1b) I – Donde tú creas que hay pan. Tu tienes que ver que aquí (5) sí hay y que es en uno sí y en otro no. N – Aquí sí hay (pone uno en el escalón5). I – Bueno, pero ese no, ese ya tiene su Piolín, ahí no tienes que poner más. N – Aquí sí (pone un Piolín en el escalón 2). (III1b) I – Ahí tú lo pones y después me dices por qué. ¿Por qué va a haber ahí pan? ¿Ahí por qué hay pan? N – Porque,... porque tiene... cuando, cuando me lo has hecho lo he visto. I – Ah, que te acuerdas, ¿no? Bueno, venga, sigue colocando. N – ¿Aquí? (Pone uno en el escalón 8). I – Ya después voy a ver si eres mago o no, ¿eh? Tienes que tener un truco para saberlo.

N – Pasa el Piolín por encima de la escalera. Ya no hay más. I – Donde tú creas. N – Aquí (pone un Piolín en el escalón 9) y a...quí. I – ¿Y eso está bien? Es en uno sí y en otro no. ¿Esto (señala el Piolín del 8 y el 9) está bien? Es en uno sí y en otro no. N – Sí, está bien. I – Está bien. Vamos a levantarlo (levanta el muro superior). Mira, ¿está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Cómo va a estar bien?, ¿éste come? (Mueve el Piolín que está en el escalón 8 por el escalón) ¿Aquí hay pan? N – Dice que no con la cabeza. I – No estaba bien, ¿eh? Éste (9) sí, pero éste (8). Es que el pan es uno sí (7) y en otro no (8). Es que el pan es en uno sí (7) y en otro no (8), en uno sí (9). N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Lo ves? Así es. Ahora (quita los Piolines de los escalones 8 y 9 y el muro inferior), estos de aquí abajo tampoco. ¿Esto está bien? N – Dice que no con la cabeza y señala el Piolín del escalón 1. I – Ese sí está bien, pero ese (2) no. Entonces mira, esto es así (pone Piolín del escalón 2 en el 3). (Queda en la escalera Piolines en 1, 3, 5 y panes sólo en 7 y 9) porque... (pone muro). Coloca pan por aquí arriba, a ver. No, pan no, que diga, Piolines por los sitios que sigan. (III3) N – ¿Aquí (4)? Aquí hay (pone un Piolín en el escalón 5). I – Pero ahí no tienes que poner porque ya lo hemos puesto. Tiene que ser en éstos (señala la parte de arriba) que tú no ves. N – Pone Piolín en el 6 sin soltarlo. I – ¿Ahí hay? N – No. I – Entonces ¿para qué pones el Piolín? N – Dirige el Piolín hacia los escalones de abajo. I – Por aquí, por estos sitios (señala la parte superior). N – Ah, ya, ya. (pone uno en el escalón 8). I – ¿Ahí va a comer pan? N – (Levanta el Piolín del escalón 8). No, por aquí, ... por aquí no hay ningún de esto que tenga pan. (III3b) I – Es que detrás de esto sí. Cuando yo levante esto (muro). N – Ah, ya, ya. I – Tú tienes que ver si hay pan o no. Venga, dímelo. N – Ahí (señala hacia el muro por el escalón 7). I – Pues ponme el Piolín para que cuando levantemos esto veamos si hay o no.


N – Con el Piolín da golecitos en el escalón 8 y lo pone en 9. I – Ahí, ¿no? ¿Tú crees que ahí va a comer pan el Piolín? N – Levanta el Piolín. I – Déjalo en su sitio y me dices si crees que va a haber pan o no. N – Pone el Piolín en el escalón 8. I – ¿Tú crees que ahí va a comer pan? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque lo he visto cuando lo has apartado. I – Pero, ¿estás seguro? Tú piénsalo, no porque lo hayas visto, sino porque aquí (5) sí. ¿Tú crees que ahí va a comer pan? N – Dice que sí con la cabeza. I – … Yo quiero saber, si yo coloco aquí (8) un Piolín ¿ahí va a comer? N – Dice que no con la cabeza. (III3a). I – Vamos a verlo (levanta el muro). Pues no, Fernando, no va a comer, fíjate (quita el Piolín del escalón 8). Lo adivinas sólo algunas veces, otras veces...(III1a, IIIE111 ) Hay un pequeño corte en la grabación. N – Tengo que contar los escalones. I – Sí, cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los escalones). (IV2a) I – Muy bien. N – ¿Lo pongo aquí? I – Yo quiero que me lo pongas en el número 5, cariño. Colócalo en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 2. I – ¿Por qué los pones en todos? Colócalo en el número 5. N – Entonces (coge los dos Piolines puestos en la escalera con la mano)... Entonces, sí, 1, 2, 3, 4 y 5 (contando con el dedo los escalones). I – Exactamente. N – Ahí (pone el Piolín en el número 5). I – Pues muy bien, Fernando, está en el número 5. Yo quiero que tú sepas que está en el número 5. Porque tú lo has contado y has visto que está en el número 5. Ahora vamos a tapar esto. N – ¿El Piolín? I – El Piolín no, vamos a tapar estos escalones (pone el muro delante de los primeros escalones), para que tú sepas que está en el número 5, coloca uno en el número 9. N – 9, ¿lo cuento? 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los escalones desde el 6 al 10). I – No, éste (5) está en el 5. N – Ah, lo cuento por aquí (señala parte de abajo)? Aquí 3, hay 3 aquí y 5 escalones. I – Sólo hay 5 escalones, ¿no? N – Sí y no puedo contar hasta el 9. I – Vale, entonces, éste (5) es el 5, ¿de acuerdo? ¿Cuál es el 6?

N – Señala con golpecitos el escalón 6. (IV3a) I – Muy bien, entonces, ¿cuál es el 8? Este (6) es el 6, ¿cuál es el 8? N – Éste, 7 y 8 (señala los escalones 7 y 8). I – Muy bien, entonces, ¿cuál es el 9? N – Señala con golpecitos el escalón 8 y cambia al 9. I – Señala uno. N – Éste (9). I – Ese, colócalo en el número 9. N – Coloca un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué ese es el número 9? N – Porque... 8 (7), no, 8 (8) y 9 (9). I – 8 y 9, muy bien. Entonces éste (9) está en el número 9, ¿vale? Y yo quiero, ...Éste está en el número 9. Yo quiero que coloques uno en el número 6. N – &? I – Sí, éste es el número 9. N – 4, 5 y 6 (señala los escalones). Éste. I – Ese es el 6, vale. Yo quiero que coloques ahora uno en el número 8. N – Éste (va dando golpecitos en los escalones 6 y 7), no , éste, éste es ...(8). (IVE111 ) I – ¿Por qué ese es el 8? N – Siete... (6), 7 (7) y 8 (8). I – ¿Por qué sabes que ese es el 8, cariño? N – Porque si éste ... está lleno de escalones, este ... tiene cada número (va pasando el dedo por la escalera a saltitos). I – ¿Cómo? N – Que tiene cada ....cada...cosa. I – Que tiene cada cosa. N – Que es 1, 2, , 3, 4, 5, 6, 7, 8, donde es 8 y ya lo sé. I – Entonces, éste (9) está en el 9. ¿Cuál es el 10? N – (Señala es el escalón 10). Éste. I –…Ahora, yo quiero igual que antes que pongas pan (quita el muro y los Piolines) en un escalón sí y en otro no, ¿de acuerdo? Venga coloca el pan en uno sí y en otro no. N – Primero sí (pone un pan en el escalón 1), el segundo... (pone pan en los escalones 3, 5, 7 y 9). I –Entonces, ahora quiero que pongas los Piolines al lado del pan y me digas el número. (Pone un Piolín en el escalón 1) En el 1 hay pan. Ahora, me vas diciendo los Piolines al lado... N – En el 2 no hay. I – Exacto. N – Y en el 3 sí (coge un Piolín y lo pone en el escalón 3). El 3, aquí sí hay (pone un Piolín en el escalón 3). I – Sí, pero ese, ¿qué número es? N – El 2. I – No, el 2 no es. N – El 3.


I – El 3, muy bien. Venga, ¿qué más? N – A...(Coge un Piolín y lo pone en el escalón 5). I – ¿Ese qué número es? N – El 4. I – No, el 4 es éste, cariño. N – El 5. I – Éste es el 3 (3) y éste es el 4 (4). N – 5. I – Eso es. N – Éste (coge un Piolín y lo pone en el escalón 7)... Éste es el 6. I – No, el 6 es éste. N – Ah. I – Éste es el 5 (5) éste 6 (6) éste es el .... (señalando el escalón 9). N – 7. El 7. I – Muy bien, ¿Y éste (9)? N – (Pone un Piolín en el escalón 9). Ese es el 9. I – El 9, muy bien. Venga, repite otra vez los número en los que sí hay pan. Venga, repítelo otra vez. N – Comen aquí... (señala la caja de los Piolines). I – Sí, pero tú me lo vas diciendo, aquí (1), en los números. N – Ah, 1 (1). I – En el 1 come. N – 1, en el 2 no. I – En el en el 2 no come. N – En el 3 (3) sí, en el 7 (7) sí, en el 6 (6) no, en el 8 (8) no, en el 9 (9) sí y en el 10 no (10) (V2a). *I –. Ahora (corre los panes del 7 y el 9 y quita los correspondientes Piolines) vamos a taparlo igual que antes (pone el muro delante de los panes), lo tapamos como antes lo habíamos tapado (quita los Piolines 1, 3 y pone muro). Y éste (5) ¿en qué escalón está? ¿En qué escalón esta el Piolín que ese ve? N – Aquí (5). I – Sí ¿y ese que número es? N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (3), 5 (4), 6 (5). 6. I – No, no lo has contado bien. N – Ah, vale. 1, 2, 3, 4, 5. I – Entonces, ¿en qué escalón está? N – En el 5. I – En el 5 sí come, ¿lo ves? En el 5 come (señala el Piolín y el pan del escalón 5). En el 8 ¿come? N – No. I – ¿Cuál es el 8? N – (Señala con el dedo los escalones 6, 7, 8.) 6, 7, 8. No ves que no hay, ... aquí no hay Piolín. I – Pero puede estar detrás, cariño. En el 8 no. ¿come en el 2? N – No (señala el escalón 2). I – ¿Por qué?

N – Porque no hay, no hay pan. I – ¿Come en el 3? N – Tampoco (señala el escalón 3). I – Es que el pan está aquí, cariño (levanta un momento el muro para dejarle ver el pan). N – Ah. I – O sea, tú tienes que saber si detrás hay pan. ¿En el 3 come? N – Ummm... sí I – ¿Por qué? N – Porque hay pan. I – Porque lo has visto, ¿no? N – Sí, porque tú antes me lo has sacado. I – ¿En el 9 come? N – En el 9 ...sí. I – ¿Cuál es el 9? N – Parece que lo va a señalar directamente, pero señala el escalón 1) ¿Lo cuento? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (Va señalando con el dedo los escalones). I – Ahí, ¿ahí come? El 9 es éste (9). Pon un Piolín ahí, ¿ahí va a comer el Piolín? N –Pone un Piolín en el 9. I – ¿Va a comer? N – Umm... (Dice que sí con la cabeza.) I – ¿Por qué? N – Estoy viendo por ese agujerillo pan. I – Ah, porque lo estás viendo, pero no porque seas un mago. N – No, no, no, porque lo estoy viendo... por ese agujerillo. I –. En el 9 come, en el 10, ¿come? N – (Mueve un poco la cabeza). Ahí no estoy viendo nada. No I – Pero ¿porque no lo ves? ¿No es que tú lo puedas adivinar? N – No, no, no come, no. I – Y en el 7, ¿come? Éste (9) es el 9. N – Sí el 7 sí, me parece que sí. I – ¿Por qué? N – No, en el 7 no. (V3b) I – ¿En el 7 no? ¿Cuál es el 7? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo los correspondientes escalones). I – ¿En el 7 come? N – Umm... no,...no, sí, sí, sí. I – ¿Por qué? ¿Por qué dices que sí? Dime por qué. N – Porque... estoy viendo yo a través el pan. I – ¿Porque lo estás viendo? ¿Por eso sabes tú que sí? ¿Porque lo estás viendo? N – Un poquillo. I – ¿Sí? ¿Y en el 3 come? ¿Cuál es el 3? N – 1, 2, 3. Sí. I – ¿Por qué? N – (Intenta mirar por debajo del muro). No, no come. (V1b) I – ¿En el 3 no come? ¿Por qué? Pero tú sabes que en el 5 (5) donde está el osito... Éste es el 5, en el 5 sí come. Entonces, ¿qué pasa en el 3?


N – En el 3... no sé que pasa. I – ¿No sabes que pasa en el 3? Éste (5) es el 5. Coloca un Piolín en el 3. N – 1, 2, 3. (Pone un Piolín en el escalón 3) I – ¿Ahí come? N – Depende. I – ¿Depende de qué? N – De... del... pan. I – Ah, del pan depende. Pero, ¿no depende de que en el 5 come? Es en uno sí y en otro no. N – Porque en el 5 ya está el pan. I – Eso, y entonces, ¿en el 3 come? N – ¿En el 3? Pues... también.. I – ¿Y en el 2 hay? N – En el 2...también. I – ¿En el 2 también hay? N – Dice que sí con la cabeza. I – Bueno, mira (quita los muros). El 2 es éste (2) en el 2, ¿ves que en el 2 no hay? Los panes te lo sabes regular, los números muy bien, pero los panes te salen regular el sí, no. (Pone un Piolín en el escalón 1 y vuelve a quedar Piolines en 1, 3, 5, 7 y 9) Mira, di otra vez los números. N – 1 (1), 2 (3), 3 (4), 4 (5), 5 (6), 5 (7). Mira a la investigadora. (V2b) I – Tienes que contarlos todos. N – Ah, 1... I – En el 1 hay. N – 3, en el 2 no. I – En el 3 sí. Tienes que decir si hay o no hay. N – 4, no hay. I – En el 4 no. N – 5, sí hay, 6 hay, 7 sí hay, 8, no hay, 9 sí hay y 10 no hay.

I –Imagínate ahora la escalera más larga, ¿de acuerdo? Imagínate que éste (10) es el 10, después viene el 11, después viene el 12, después viene el 13, después viene el 14... ¿a que tú te lo sabes todos estos números? Tú te sabes todos esos números, ¿verdad? Entonces, éste (9) es el 9 y sí come, en el 10 no come, en el 11, ¿comerá? N – No hay 11. I – No, pero tú te lo imaginas que sí. ¿En el 11... N – Sí, sí. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Y en el 12? N – También. I – ¿Y en el 13? N – No. I – ¿Y en el 14? N – Sí. I – ¿Y en el 15? N – También. I – ¿Y en el 16? N – También. I – ¿Y en el 17? N – También. I –Y ¿tú crees que comerá en el 25? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Y en el 22? N – También. I – ¿Y en el 38? N – También. I – Muy bien, entonces va a comer mucho, se va a poner gordísimo. Vamos para la clase a recoger a otro nene.

26) An. 3,5. Nombre: Antonio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Noviembre.. *I – ….Venga, Antonio, coge el pan y lo vas colocando en todos los escalones, un pan en cada escalón. (I1) N – Coloca un único trozo de pan en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – …Entonces, cuando se come éste pan (5), ¿qué pan se come después cuando está subiendo? (II1) N – Mira toda la escalera y piensa en silencio. I – Venga, Antonio dímelo. Se come éste (5), ¿después de éste cual viene? N – No dice nada. I – ¿No sabes? Después de éste (5) viene éste (6). Después de éste (5) viene éste (6). ¿Y después cuál viene, vida mía? N – Señala el pan del escalón 7. I – ¿y después?

N – Señala el escalón 8. I Antonio, ¿y después? N – Señala el escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el escalón 10. I – Ahá, muy bien. Entonces, antes... Éste (6) está después de éste (5) ¿Antes de éste (5) cuál está, cariño? N – Señala el escalón 6. I – Antes está éste (4), vida mía. (II1a, IIE111 ) N – Señala escalón 4. I – ¿Y antes? ¿Antes de ese? ¿Y antes de ese cuál está? N – Señala el escalón 3. I – ¿Y antes? N – Señala el escalón 2. I – ¿Y antes? N – Señala el escalón 1.


I – Antonio, ¿por qué después de éste (5) se come éste (6)? N – Mira a la investigadora. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque... (mira a la escalera) se come ese antes (6). I – (Quita todo de la escalera) Entonces, ahora los Piolines ya no comen pan en todos los escalones, ahora comen pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale, cariño? Y en el primero es que sí. Venga, coloca el pan, ahora en uno sí y en otro no, N – Pone pan en el escalón 2. I – Es en uno sí y en otro no, Antonio. N – Pone pan en el escalón 3. I – Mira, Antonio. En éste (1) es que sí, en éste (2) es que no (quita el pan de ese escalón), en éste (3) es que sí, ahora viene.... Venga, hazlo. Hazlo, en uno sí y en otro no, cariño. N – Éste (4) no. I – Eso es. N – Pone pan en el escalón 5. I – Muy bien, Antonio, ponlo tú, cariño. N – (Pone pan en el escalón 7. Señala el escalón 6) Éste tampoco. I – Ese tampoco, muy bien. N – Pone pan en el 9 y señala escalón 7. Éste tampoco. (III2a) *I – …Coloca Piolínes donde haya pan (III1) N – Pone Piolines en los escalones 9 y 10. (III1b) I – ¿Éste (10) va a comer pan? N – Mira a la investigadora. I – Es en uno sí y en otro no, ¿está bien puesto? N – Vuelve a mirarla en silencio. I – ¿Está bien puesto? ¿Está bien? ¿Sí? ¿Y por aquí (señala la parte inferior de la escalera) abajo no pones nada? N – Vuelve a mirarla callada. I – (Quita los Piolines que estaban en el 9 y en el 10 y pone el muro) Mira, Antonio, vamos a hacerlo así (quita el muro de la pare inferior) éste lo vamos a poner aquí (3) y éste lo vamos a poner aquí (coge otro y lo pone en el escalón 1), porque sí come ¿ves? Éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí, éste (4) no, éste (5) sí y éste (6) no,

¿de acuerdo? Coloca por aquí (señala la parte superior de la escalera) arriba donde sea que sí, ¿vale? (III3) N – Coloca uno en el 8 y otro en el 9. (III3b) I – ¿Éste (8) va a comer? ¿Está bien puesto? Aquí (5) es que sí. ¿Ese que tú has puesto va a comer? N – Mira a la escalera y a la cámara. I – Dímelo, Antonio. N – Mira la escalera de un lado a otro y se queda callado. I – Antonio, ¿va a comer o no? Venga, ahora Antonio, (quita el muro, los Piolines y los panes) vamos a hacer una cosita. Quiero, Antonio, que cuentes los escalones. Cuenta los escalones, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, (va señalando los escalones correspondientes), 8 (6), 9 (8), 10 (9). Este... 4 (10). (IV2b) I –¿Ese es el 4? Ahora, Antonio coloca un Piolín en el número 5. Venga, Antonio. (IV3) N – Señala hacia la escalera y mira a la investigadora. I –Cuéntalo. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 3, 4. (III3b) I – Bueno, Antonio, mira (quita todo), ponemos igual que antes un pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? (pone panes en 1, 3, 5, 7 y 9) Pon tú los Piolines donde hay pan. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Tú me puedes decir ¿en los números que sí has puesto Piolines? ¿Los números que has puesto los Piolines? ¿En qué número lo has puesto? N – Los señala. I – A ver, ¿qué has dicho? 1 (1), 2 (3), ...(señala el escalón 5) N – 3 I – Señala el escalón 6. N – ¿El 3? I – Bueno, ya está Antonio, que ya nos tenemos que ir a comer, ¿vale? Muy bien.

27) Ed. 4,11. Nombre: Edurne. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Mayo. I –. Cuando va subiendo, ¿por qué el Piolín después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Umm..., porque ya se ha comido ese (5) y después se tiene que comer ese (5). I –Ahora, vamos a hacer, en vez de comer pan..., ya los Piolines no comen pan en todos los escalones (quita todo de la escalera). Come en

uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, y en el primero es que sí, cariño, venga, colócalo. N – Los panes en 1, 3, 5, 7, 9. (III2a) *I –…Piolín aquí (5) para que coma este pan (señala el pan del escalón 5). Yo quiero que tú pongas (III1)


N – (Coge un Piolín, pero antes de dejarlo en un escalón mira a la investigadora.) I – Sabes tú que aquí (5) sí hay, ¿eh,cariño? N – Sí. (Pone uno por la parte inferior de la escalera, pero no se ve en la grabación, después coloca otros en los escalones 7 y 9.) I – ¿Por ahí abajo lo has puesto bien? N – Mira. I – Si aquí come (5), ¿qué pasa después con todo esto? ¿Está bien puesto así? N – (Coloca los Piolines mirando hacia arriba). Así. I – Así está bien puesto, ¿no? Pero éste (señala al escalón2), éste que has puesto aquí, ¿éste está bien? N – Umm.... I – ¿Ese está bien puesto? ¿Ahí (2) va a comer pan el pajarito? N – No, ... sí... sí. I – Dime sí o no, me tienes que decir una de las dos cosas y me tienes que decir por qué. N – Sí. (III1b) I – Sí, ¿por qué? ¿Por qué come ahí pan el pajarito? N – Porque está ahí el pan. I – Pero, ¿por qué hay pan? En algunos hay y en otro no, ¿por qué crees tú que en éste (2) sí hay? N – Porque aquí no hay (parece que señala el escalón 1). I – Ahí, ... pero, ... ¿tú has visto que aquí (5) sí hay? N – Sí. I – ¿Y te queda bien si aquí (2) pones el pajarito? N – (Se queda pensativa) I – ¿Te queda bien? N – Sí. I – ¿Y por qué dices tú que aquí no hay? (1), ¿por qué no hay ahí? N – Porque... porque yo lo he pensado. I – ¿Vamos a quitarlo para verlo? N – Sí. I – Pues mira, Edurne, (quita el muro) no había, porque es éste (1) sí que hay, es que si aquí (2) hay, tú te... ves que aquí no....hay (5). Aquí es que no (4), aquí es que sí (3) y aquí es que no (2), ¿lo ves? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Vale? N – Vale. I – Entonces, ahora, (quita los Piolines 2, 9, 7) si quieres lo ponemos aquí así. Aquí (5) come ¿vale? ¿Éste pajarito (pone un Piolín en el escalón 8) comerá aquí? ¿Ahí va a comer? N – Sí. (III1b) I – ¿Por qué? N – (Se queda callada un momento) Porque... I – Tú lo tienes que pensar, aquí (5) hay, ¿eh? Tienes que ver que aquí hay. N – Pasa el dedo subiendo la escalera hasta 5.

I – ¿Aquí (8) va a comer el pajarito pan? ¿Cuando nosotros quitemos esto (muro) aquí va a haber pan? N – No. I – ¿Por qué, cariño? Dímelo. N – Porque no está. I – Pero, ¿por qué no está? N – Porque en uno hay que ponerlo y en otro no. I – Ah, en uno hay que ponerlo y en otro no. Y en éste, ¿qué toca que sí o que no? N – Que no. I – ¿Por qué? N – Porque no está. I – Pero, ya sé que no está, ¿pero por qué no está? En uno toca y en otro no, pero en éste (8), ¿tocará? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque... I – Mira, éste, aquí (5) sí hay. Piénsalo así. N – Mira para otra parte. I – (Pone un Piolín en el escalón 9) Tú me has dicho que aquí (8) no come ¿éste (9) pajarito va a comer? N – (Piensa callada un momento como contando.) No. I – ¿Éste (9) va a comer? Éste dices tú que no, ¿por qué? N – Porque... I – ¿Ninguno de estos dos? (señala los escalones 8 y9) N – Éste (9) sí. (III3a) I – Ah, éste (9) sí, ¿por qué sabes que éste sí, cariño? N – Porque... porque ahí está. I – Aquí está, ¿no? ¿Por qué sabes tú que ahí hemos puesto? N – Porque ahí no hemos puesto. I – ¿Hemos puesto o no? (señala el escalón 9) N – Sí. I – Mira éste (5) come (pone un Piolín en el escalón 7), ¿ahí va a comer? N – Sí. I –¿Por qué? N – Porque aquí no (6) y aquí sí (7). (IIIE444 ). I – Ahora vamos a hacerlo con los números, contando, ¿de acuerdo? (Quita todo de la escalera) N – Vale. I – Venga, Edurne, coloca un Piolín en el número 5. N – Cuenta los escalones un par de veces y coloca el Piolín en el escalón 5. (IV3a) I – Muy bien, ¿por qué ese es el 5? N – Porque ... éste (4) es el 4 y ese (5) es el 5. *I –Entonces, si éste es el 5, coloca otro en el 9. (IV1)


N – Mueve el dedo como subiendo la escalera y pone un Piolín en el escalón 9 (IV1a). I – ¿Por qué sabes que ese es el 9? N – Porque éste (6) es el 6, éste (7) el 7, éste (8) es el 8 y éste (9) el 9. I –Este (9) es el 9. Coloca otro en el 7. Tú sabes que éste (9) es el 9. ¿Cuál es el 7? N – Cuenta con el dedo los escalones desde el 5 y pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué ese es el 7, cariño? ¿Qué has hecho para saberlo? N – Porque éste era el 6 (6) y éste (7) el 7. I – Muy bien, pero, ¿tú no lo has hecho pensando que éste (9) era el 9? N – Sí. I – ¿También? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y por qué si éste (9) es el 9, éste (7) es el 7? N – Éste (8) es el 8. (IV555 ) I – Muy bien, Edurne, muy bien. (quita el muro). Entonces, ahora vamos a hacerlo con número y con pan, ¿vale? N – Vale. I – Coloca otra vez el pan en uno sí y en otro no, igual que antes. N – Señala los escalones. I – En el primero es que sí, venga, pon el pan. Ahora, en uno sí y en otro no, venga. N – Pone pan en el escalón 4. I – Es en uno sí y en otro no, cariño. N – Cambia el pan del escalón 4 al 3 y pone otro en los escalones 5, 7 y 9. I –Entonces, tú hora vas a colocar los Piolines al lado de donde hay pan y vas a decirme los números, ¿vale? Venga, hazlo. N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 1) I – ¿Ese qué número es? N – El 1. I – Muy bien, en el 1 come pan. N – Pone Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 3. I – En el 3 come pan. N – (Pone Piolines en los escalones 5, 7 y 9 mientras va diciendo los números) El 5, el 7 y el 9. I – Muy bien, guapa, ¿entonces en qué números hay pan? Venga, dímelo, otra vez. N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. (V2a) *I – …Entonces come en el 5, ¿qué número viene después en el que también come? N – El 6 (V1b) I – No, tiene que ser en el que sí come. Bueno, el Piolín en el 5 come, ¿de acuerdo? Ese es el 5 y come. Pues si come en el 5, ¿come el 8? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no está.

I – Pero, ¿por qué no está? N – Umm...(señala con el dedo de lejos mientras piensa) I – ¿Cuál es el 8? N – Éste (9). I – Coloca el Piolín en el 8. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Ese es el (8)? N – Dice que sí con la cabeza. I – Éste es el 5, ¿eh? Mira a ver si ese es el 8. N – ¿Quito esto (el muro)? I – No, no, ahí no se ve si ese es el 8. Éste (8) tú dices que es el 8, ¿por qué éste es el 8? N – Porque éste (10) es el 9. I – Dice que no con la cabeza. Entonces, éste (8) ¿cual es? Cuéntalo, cuéntalo a ver. N – Éste (7) es el 7. I – Ese es el 7, entonces el 8, ¿cuál es, cariño? N – Éste (8). I – Muy bien, pues entonces pon el Piolín en el 8. N – Pone el Piolín del escalón 9, en el 8. I – Ese, en el 8. ¿Ahí va a comer? ¿En el 8 come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no está. I – Pero, ¿por qué no está? Tienes que saber que en el 5, ... éste (5) es el 5, que en el 5 sí come. En el 5 sí come. En el 8, ¿come? Tienes que pensarlo y decirme por qué. N – Vale (se queda pensativo). I – ¿Come en el 8 o no? N – Dice que no con la cabeza. I – No, ¿por qué? N – Umm... I – Piensa en voz alta. N – ¿Qué? I – Que me digas lo que estás pensando. En el 8 dices tú que no, ¿por qué? N – Piensa callada. I – en el 5 es que sí y en el 7 (señala 7) es que sí también, entonces ¿en el 8? N – Es no porque en el 7 comía y en el 8 no. (V3a) I –. Entonces en el 7 comía y en el 8 no. ¿En el 2 come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque en el 1 sí comía y en el 2 no. I – Muy bien, en el 9, ¿come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque aquí no. En el ... I – ¿El 9 cual es? N – Éste (7). I – No, ese no es el 9. N – Éste. I – ¿Por qué? En el 9 dices que sí comía, ¿por qué?


N – Porque en el 8 no comía y en el 9 sí. I – Entonces, después del 7, ¿en qué número come? N – En el 8 I – El 8 es el que viene después del 7 pero es en el que sí come N – En el 8 no comía y en el 9 sí. (VE444 ) I – (Quita los muros y pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Mira, dime otra vez los números en los que come pan el Piolín. N – En el 1, en el 3, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9. *I –Entonces, éste (9) es el 9 y éste es el 10, ¿no? Imagínate, esto llega hasta aquí, pero tú en tu cabeza te imaginas que la escalera es más larga y que tiene el 11 y que tiene el 12 y que tiene el 13 y que tiene el 14..., se pone el Piolín en el 25, tú te imaginas que va andando y se para en el 25, ¿tú crees que en el 25 va a comer? (VI1) N – Umm... I – ¿Tú qué crees? N – Que no (V1b). I – Mira en el 9 come (señala el 9), ¿en el 11 come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque en el 10 no comía y en el 11 sí. I – Muy bien, y en el 12 ¿come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque en el 11 comía y en el 12 no. I – Muy bien, ¿y en el 13 come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque en el 12 comía y en el 13 sí. (VI 2a, VI3a) I – Entonces si ahora el pajarito se va volando del 13 al 25, ¿comerá? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque en el 24 no comía y en el 25 sí. I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 24 no comía? ¿Eh? ¿Por qué? N – Porque en el 23 comía y en el 24 no y en el 25 sí. I – Muy bien. ¿Y tú crees que en el 32 va a comer?

N – Piensa en silencio. I – ¿Cómo lo estás pensando? N – En el 21 sí comía, en el 22 no, no en el 23 sí, 24 no, en el 25 sí y en el 26 no, y en el 27 sí y en el 28 no y en el 29 sí. I – Yo te he dicho en el 32. N – En el 31 sí y en el 32 no. I – Muy bien, guapa. Y si yo te digo en el 48. ¿En el 48 come? N – Piensa en silencio. I – Pero, ¿cómo lo estás pensando? Dilo en voz alta. N – 26, 27, 28, 29, ,30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 sí, en el 42 no, en el 43 sí, en el 44 no, en el 45 sí, en el 46 no. 47 sí, en el 48 no y en el 49 sí. I – Pero yo te he dicho 48. N – En el 48 no come. I – Y si yo ahora te digo en el ..., 57. N – Piensa callada. I – ¿En el 57 qué? Dilo en voz alta lo que estás pensando. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ...40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 5 sí, en el 8 ..., en el 7 sí, en el 9 sí. I – Entonces, ¿qué pasa en el 57? N –En el ... 51 sí, en el 52 no, en el 53 sí, en 54 no, y en el 55 sí, en el 54 .... 56 no, en el 57 no. I – En el 57 sí. N – En el 57 sí, cuenta. I – Entonces, ¿qué pasa en el 57? Es lo que yo te estaba preguntando. N – En el 57 ... (señala la escalera) en el 7 sí. I – Muy bien. N – En el 57 sí. I – ¿Y en el 68?. N – En el 67 sí y en el 68 no I – ¿Por qué?. N – ... (señala la escalera) en el 7 sí. I – Muy bien, Edurne, muy bien. Vamos a por otro niño de la clase.

28) Ad. 4,8. Nombre: Adolfo. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Agosto. I – ¿por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? ¿Por qué? N – Porque,... ponerse muy fuerte y grande. I – (Quita los panes y el Piolín de la escalera) y en lugar de comer ahora el Piolín en todos los escalones. Ahora va a comer en uno sí y en otro

no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el primero es que sí. Venga, coloca ahora pan en uno sí y en otro no. En uno sí y en otro no, cariño. Ahí no, ahí lo está colocando todos en el mismo. Yo quiero en un escalón y en otro no. Mira, Adolfo, un


momentito, cariño. En éste es que sí (pone pan en el escalón 3), ahora éste es que no, ahora éste (3) es que sí venga, sigue tú. N – Pone pan en los escalones 5, 7 y 9. (IV2a) *I – …Mira en éste (5) está el Piolín porque hay pan, coloca pajaritos en los escalones que sí tengan pan (III1) N – Pone Piolines en 7, va a poner otro en 8, pero lo cambia al 9 y pone otro en el escalón 3 y el último lo iba a poner en el 2, pero lo cambia al 1. I – Muy bien, Adolfo, mira (levanta muro y señala) éste come (7), éste (9) come, ¡qué bien lo hace! (levanta el muro inferior) y éste (1) come, éste (3) come. Este niño es un mago. Adolfo, mira, (quitando los Piolines menos el del 5) éste está aquí porque se come este pan (señala el pan del escalón 5). Si yo pongo este aquí (8), un Piolín, ¿ese va a comer? N – Dice sí con la cabeza. (III1b) I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer, Adolfo? N – Porque... porque...porque... porque sí... porque... I – Sí, pero tienes que decir pensándolo, aquí (5) come, en algunos come y en otros no. ¿Tú crees que ha caído en el escalón que sí come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque... I – Y si yo lo pongo aquí (pone un Piolín en 7), ¿éste va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿También va a comer? ¿Sí? ¿Éste (8) come y éste (9) come también? ¿Los dos comen? ¿Está así bien puesto? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? Pero, ¿no era en uno sí y en otro no? N – Mira hacia la escalera. I – ¿Están los dos bien puestos? ¿Así van a comer los dos?, ¿eh? N – Se queda callado mirando la escalera. I – ¿Va a comer? ¿Éstos dos van a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? ¿Los dos van a comer? Pero, ¿porque van a comer los dos si era en uno sí y en otro no? Mira, Adolfo (levanta el muro) éste (señala el Piolín del escalón 8) no come, porque es en éste (7) sí come y ahora en éste (8) es que no. Tú antes me lo dijiste bien, ¿vale? (pone muro y quita los Piolines) Si yo ahora pongo éste aquí (en el escalón 2) ¿ese va a comer? N – Dice sí con la cabeza y después dice que no. I – ¿Por qué? ¿Va a comer si o no? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque no está el pan. I – ¿Y por qué no está el pan, cariño?

N – Porque... I – Y si yo coloco uno aquí (3) ¿éste come? N – Dice sí con la cabeza (IV3a) I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque... está el pan. I – ¿Y por qué está ahí el pan? ¿Por qué sabes tú que está el pan? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? Vale, mira. Muy bien (levanta los muros y los quita) aquí está el pan y ahí no está el pan, muy bien Adolfo. Venga, Adolfo (quita todo de la escalera). Mira, Adolfo, ahora quiero que pongas un Piolín en el número 5. N – Mira los escalones y después coge un Piolín y lo pone en el escalón 10. I – ¿Ese es el número 5? ¿Por qué ese es el número 5, Adolfo? Adolfo, cuenta los escalones (quita el Piolín de la escalera), cuéntalos, cariño. N – Pasa el dedo por los escalones como contando desde el escalón 1 al 4. I – Pero, en voz alta. N – 4, 5, 6, 7, 8, 9. I – Empieza otra vez y lo cuentas en voz alta, venga. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (se corresponde el conteo con el movimiento en el dedo). (IV2a) I –Entonces pon un Piolín en el número 5. N – Coge un Piolín, parece que cuenta los escalones con la mirada y lo pone en el 6. (IV3b) I – ¿Ese es el número 5? N – Dice sí con la cabeza. I – Dilo en voz alta, cariño. ¿Por qué ese es el número 5? N – Porque... porque sí. I – ¿Porque sí? Bueno, Adolfo, el 5, éste. 1, 2, 3, 4, 5 (va subiendo por la escalera). El 5 es éste. Si éste está en el 5, ..., si éste está en el 5, coloca otro en el número 9. (IV1b) N – Pone un Piolín en el escalón 10 rápidamente. I –¿Por qué ese es el 9? N – Porque sí. I – ¿Por qué sí? Bueno, Adolfo, (quita los Piolines), mira, ahora vamos a colocar panes en uno sí y en otro no, igual que antes, ¿vale? Venga, colócalo, el pan, en uno sí y en otro no (pone un trozo de pan en el escalón 1). N – Pone pan en 3, 5, 7 y 9. I – Y ahora coloca Piolines al lado de los panes. Vamos a ir colocando... Coloca un Piolín donde hay pan. N – Pone Piolines en 3, 5, 7 y 9. I – Y dime los números donde has puesto los Piolines, donde comen. Éste (1) es el 1. En el 1 come. Venga, sigue tú. N – Pasa el dedo por los tres primeros escalones.


I – ¿Ese cual es? N – El... el 2. I – El 2 no, el 2 es éste (2), cariño, éste (1) es el 1. Y éste (2) el 2. N – El 3. I – El 3 come. Venga, sigue. N – El 4 (señala el escalón 5). (V2b) I – El 4 es éste (4). N – (Señala hacia el escalón 5) Uhmm.... El 5. I – El 5, venga, sigue. N – Uhmm... (Señala el escalón 7. Va recorriendo la escalera con la mirada y se queda pensativo.) I – ¿No me puedes decir los número? ¿Lo estás pensando? N – Dice sí con la cabeza. I – Éste (5) es el 5, ¿cuál más? N – El... (Se queda callado mirando a la escalera) I – Bueno, mira, vamos a tapar el pan como antes, ¿no? (quita los Piolines y pone el muro delante de los panes) Vamos a tapar el pan igual que antes, lo vamos a tapar, ¿vale? Entonces, éste (5) es el número 5, ¿eh? Éste es el número 5 (pone un Piolín) en el número 5 hay un Piolín porque hay pan. Coloca un Piolín en el número 8. Y dime si en el 8 come pan o no. Me tienes que decir si en el número 8 va a comer pan el Piolín o no. N – Va señalando los escalones con el dedo y murmurando, como contando, desde el principio de la escalera hasta el final) I – Colócalo en el número 8 y me dices si tiene pan o no. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (no se corresponde el conteo con el escalón al que señala) I – ¿Va a comer pan en el número 8? ¿Cuál es el número 8? Coge un Piolín y lo colocas en el número 8.

N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – ¿Ese es el número 8? ¿Por qué es el número 8? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? ¿Ahí va a comer pan? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque ahí no. I – Y en el número 7, ¿cuál es el número 7? El Piolín está en el 5, ¿eh? Te lo digo, el Piolín está en el 5, ¿cuál es el 7? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (Parece que la vista se corresponde con el escalón, pero finalmente pone un Piolín en es escalón 9. I – ¿Por qué ese es el 7? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? Pero, ¿por qué es el 7? Éste (5) es el 5, ¿eh? ¿Por qué éste (9) es el 7? N – Porque... I – ¿Porque sí? Bueno, mira, ahora (quita los muros y pone Piolines en 9, 7, 5, 3, 1) lo tenemos aquí así, ¿vale? Lo vas a ver todo. Porque éste (1) es el 1, éste (3) es el 3, éste (5) es el 5 , éste (7) es el 7 y éste (9) es el 9. Si tú la escalera te la imaginas más larga, en el 11, ¿come? N – Mira la escalera y dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no hay pan. I – Porque no hay pan, ¿no? ¿Y en el 12? N – Mira hacia abajo. I – ¿Tampoco? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Tampoco come en el 13? Entonces no come en ninguno. Pues, ya está Adolfo, nos vamos a despedir para coger a otro niñito.

29) Su. 4,10. Nombre: Susana. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Junio. *I – …Venga, ponlo. Conforme va subiendo un pan en cada uno de los escalones. (I1) N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – … Después de comerse este (5) pan ¿qué pan come, cariño? (II1) N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el escalón 8. (II1a) I – Muy bien, cariño. Entonces está aquí (5), después de comer éste (5) se come éste (6), pero

como ha ido subiendo antes de comerse éste (5) ¿Cuál se había comido antes de éste (5)? N – Señala los escalones 1, 2, 3, 4. (II1a, IIE222 ) I – Sí, todos esos se los ha comido antes, pero éste (6) está justo después de éste (5), ¿y justamente antes de ese (5) cuál está? N – Señala el escalón 1. I – ¿Por qué después de este (5), cuando sube, se come este (6)? N – Señala el escalón 1. I – (Quita todo de los escalones) ya el Piolín va a comer pan en todos los escalones. Ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en


otro no. Y en el primero es que sí, venga, coloca pan en el primero. N – Pone pan en el escalón 1. I – Ahá y ahora es en uno sí y en otro no. N – Coloca en los escalones 3, 5, 7 y 9. (III2a) *I – … Venga, pon un Piolín en los sitios que sí va a haber pan. (III1) N – Pone Piolines en 1, 3, 7 y 9. (III1a) I –Bueno, si yo ahora pongo aquí (8) un Piolín, ¿tú crees que este Piolín va a comer pan? N – Dice no con la cabeza. (III1a) I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque no hay pan. I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay pan, en algunos sitios hay... N – Porque no lo he puesto. I – Pero, ¿por qué no lo has puesto ahí? N – Porque tú me lo has explicado. I –. Y si yo pongo éste aquí (pone un Piolín en el escalón 9) ¿éste va a comer pan? N – No. I – ¿Ese tampoco va a comer pan? N – Ese sí. I – ¿Ese sí come pan? ¿Por qué? N – Porque lo he puesto. I – Pero, ¿por qué lo has puesto? N – Porque... tú me lo has explicado. I – Pero, ¿cómo te lo he explicado yo? Venga, dímelo tú como yo te he explicado. N – Pon un pan uno sí , otro no, uno sí, otro no. (IIIE222 ) I – ¿Y en éste (9) tocaba que sí? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque ... me lo has explicado. I – Pero, ¿aquí si tocaba? N – Dice sí con la cabeza. I –Ahora, yo quiero, Susana, que pongas un Piolín en el escalón número 5. N – Primero lo cuento, ¿no? I – Vale. N – 1, 2, 3, 4, 5 (va contando con el dedo y pone un Piolín en el escalón 5). I – Muy bien, Susana. Éste es el número 5 porque ya lo has contado. Ahora yo voy a poner éste (pone el muro delante de los primeros cuatro escalones) para que ya esto no lo puedes contar, pero tú sabes que éste (5) está en el 5 porque tú lo has puesto en el 5. Coloca ahora otro en el número 9. N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9)... se para y mira a la investigadora. I – Susana, éste (5) está en el 5, ¿de acuerdo? Tú tienes que saber que éste (5) es el 5. Aunque tú no veas esto (levanta el muro) esto sigue aquí. N – 6 (6), 7, 8, 9 (se corresponde conteo con la señalización y pone un Piolín en el escalón 9.

I – Ahá, muy bien, Susana. Entonces éste (9) es el 9 (quita el Piolín del escalón 5). Éste es el 9. Yo quiero, que sabiendo tú que éste (9) es el 9, pongas uno en el 7, ¿cuál es el 7? N –1 (5), 2 (6), 3 (7)... I – No, no. Ese no es el 1 porque aunque tú aquí no veas (levanta el muro un momento), aquí hay. Éste (9) es el 9. N – 5 (5), 6 (6), 7 (7). Pone un Piolín en el escalón 8. (IVE333 ) I – ¿Ese es el 7? N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7. I – Ahá, vale, coloca uno en el número 10. N – ¿En el 10? I – En el 10. N – 5 (5), 6 (6), 7 (7), 8 (8), 9 (9), 10 (10). Pone un Piolín en el escalón 10. (IV1a) I –Bueno, Susana, vale, perfecto, ahora vamos a hacerlo con números y con pan, ¿de acuerdo?, igual que antes. Pon el pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. I –Ahora vas a ir colocando los Piolines en los sitios que hay pan y me va a decir en los números que son, ¿vale? N – Pone un Piolín en el 1. I – ¿Ese cuál es? N – El 1. I – Muy bien, venga, colócalo en todos y me dices los números. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Cuál es ese, cariño? N – Ese el... el 3. I – Muy bien, guapa, venga, sigue. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Y es? ¿Éste cuál es? N – El 5. I – Venga, sigue. N – Pone en el escalón 7. I – ¿Y ese? N – El 7. I – ¿Y en cuál más? N – Coloca en el escalón 9. I – ¿Ese cuál es, vida mía? N – El 8. I – No, el 8 no, el 8 es éste, cariño (8) ¿Cuál es ese? N – El 9. *I – …. Éste (5) es el número 5 y aquí come pan. ¿Después del 5 qué número viene para que coma pan?. (V1) N – En éste (7) I –¿Cuál es ese? N – El 7 I – Después de 7 ¿qué número viene para que coma? N – Este (8) (V1b) I –Éste (5) es el número 5 y aquí come pan. Entonces yo quiero saber si en el 8 come pan el Piolín..


N – (Dice no con la cabeza.) No come. I – ¿Y cuál es el número 8? Coge un Piolín de aquí y lo pones en el número 8.. N – Señala el escalón 8.. I – Coge un Piolín y lo colocas ahí. N – Lo pone. I – ¿Por qué sabes tú que ese es el 8? N – Porque no hay pan. I – ¿Porque no hay pan? N – Porque no lo he puesto. I – Pero, ¿por qué sabes tú que no lo has puesto? N – Porque tú me has dicho uno sí y otro no, uno sí y otro no. I – Vale, y en ese escalón ¿qué tocaba, que no? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – No había pan. I – Bueno, coloca ahora un Piolín en el número 6. N – Mira los escalones y señala el 5. I – Ese es el 5. El Piolín está en el 5. N – Señala el escalón 6. I –Venga, coloca un Piolín en el número 6. N – Coloca un Piolín en el escalón 6. I –¿En el número 6 come? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no hay pan. I – ¿Y por qué sabes que no hay pan? N – Porque tú me has dicho uno sí y otro no, uno sí y otro no. I – Vale, ahora, ¿en el 9 come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque he puesto un pan. I – Pero, ¿por qué has puesto un pan? N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no, uno sí y otro no. I – Muy bien, ¿en el 2 come? N – Sssss.... No. I – ¿Por qué? ¿Cuál es el 2, cariño? N – Señala el escalón 2. I – ¿Y por qué no come? N – Porque no he puesto pan. I – ¿No has puesto pan? Pero, éste (5) es el 5, en el 5 sí hay. ¿Tú puedes adivinar sabiendo que en el 5 sí hay, lo que ocurre en el 2? N – Que no hay pan. I – Pero, ¿por qué? N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no, uno sí, otro no.) I – ¿Y en el 2 qué, no toca? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? ¿Pero por qué no toca en el 2? N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no. (V3a) I – Vale, ¿y en el 3? N – Señala el escalón 3. Sí hay. I – ¿En el 3 sí hay?

N – Dice sí con la cabeza. I – (Quita el muro y pone Piolines donde hay pan). Entonces, dime otra vez los números donde están los Piolines. N – Éste (1), el 1, éste (3) el 3, éste (5) el 5, éste (7) el 7, éste (9) el 9 y... (V2a) I – Entonces, ¿después del 5 ¿en qué número come? N – En el 6 (V1b) *I –…En el escalón número 25, ¿en el 25 tú crees que va a comer? (VI1) N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? N – Sssss... I – ¿Sí o no? N – No. (VI1b) I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer en el 25? N – Porque está en medio. I – Bien, ¿en el 32 va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque está al lado. I – ¿Y en el 41? N – Está en medio. I – ¿Y en el 48? N – No, porque está en medio. I – El 48 también está en medio. ¿Y el 63? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque está al lado. I – Dime entre el .... 81 en adelante, ¿dónde comería? N – Señala el escalón 5. I – Vale, vamos de nuevo aquí abajo, entonces en el 9 hay pan, en el 10 no hay. Pero tú te imaginas ahora que la escalera sea más larga, ¿en el 11 qué sería? N – Ninguno. I – Ninguno, ¿qué? ¿En el 11 qué ocurriría, habría pan o no? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque está en medio. I – ¿Porque está en medio el 11? ¿Y en el 12? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque está al lado. I – Porque está al lado. ¿Y en el 13? N – Porque está en medio. I – Pero, ¿en el 13 qué pasaría? N – Que no hay. I – ¿Que no? ¿Y en el 14? N – Que sí. I – ¿Y en el 15? N – Que no. (VI2b) I – Si la escalera fuese más larga, ¿después del 9 qué número viene en el que sí come? N – El 10 (VI3b) I –Lo dejamos ya, cómete los ositos ya, porque eres una niña muy guapa.

6.1.4. Colegio Público de la Capital, B. 30) Ma. 4,4. Nombre: Mª del Mar. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Diciembre. I – ¿Por qué después de este (5) se come este (6)?. N – Silencio I – (Quita todo) Ahora el Piolín en lugar de comer pan en todos, come en uno sí y en otro no, ¿vale? N – Vale. I – Empieza por el que sí. Entonces, ponlo, cariño, donde come y donde no come, es en uno sí y en otro no. N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. (III2a) *I – …Entonces, tú ahora tienes que poner aquí, de estos Piolines, en los sitios donde hay pan, pero que tú no lo ves. ¿Después de éste (5) dónde tienes que poner pan? (III1) N – Intenta poner un Piolín detrás del muro inferior. I – No, cariño, pero aquí (señala la parte de la escalera de delante del muro) delante de... en éste sitio, después lo vemos. N – Coloca un Piolín en el escalón 3. I – Tienes que poner todos donde siempre haya pan. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Ya está? N – ¿Y ahora los de arriba? I – Venga. N – Pone Piolines en los escalones 7 y 9. (III1a) I –. Dime por qué has puesto aquí (9) un pajarito. N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué sabes tú que hay pan? N – Porque lo pienso. I – ¿Y no me quieres decir cómo lo piensas? N – Con los ojos cerrados. I – Entonces, aquí (5) hay un pajarito porque hay pan (quita todos los pajaritos excepto el 5), si ponemos aquí uno (7) ¿hay pan? N – Sí. I – ¿Y por qué sabes que hay pan? N – Porque se ve. I – ¿Y aquí (9)? N – Porque he pensado. I – ¿Y cómo lo has pensado? Venga, cuéntamelo, cariño.

N – Con los ojitos cerrados. I – Ah, que lo piensas con los ojos cerrados, ¡qué bien sabe pensar esta niña! ¿Y aquí (3) por qué hay pan? N –Porque está el Piolín. I – ¿Y aquí (1) por qué has puesto el Piolín? N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué sabes que hay pan ahí, cariño? N – Porque también lo he pensado. (IIIE111 ) *I –…Mira, este Piolín está en el 5, entonces, yo quiero que pongas ahora otro Piolín en el 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 10. (IV1b) I – Es en el 7. Éste (5) Piolín está en el 5, pon otro en el 7. N – Pone un Piolín en el 9. I – ¿Por qué sabes que ese es el 7? N – Porque éste (10) es arriba y éste (9) abajo. I – Sí, éste (5) ¿éste en qué número está? N – En el 5. I – ¿Por qué sabes tú que ese es el 5, cariño? N – Porque pienso. I – Sabes que es el 5, pues entonces ahora yo quiero que tú pienses y que lo pongas en el 7. Éste (señala el Piolín colocado en el escalón 9) lo pongas en el 7. N – Se queda callada mirando la escalera y coloca el Piolín en el escalón 10. I –Vamos a hacer una cosita que tú sabes hacer muy bien, ¿vale? Yo quiero,... (quita los Piolines de la escalera) ahora, Mª del Mar, que cuentes los escalones. Cuenta los escalones, vida mía. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando con el dedo los escalones correspondientes). I –Ahora, como has contado muy bien los escalones, voy a poner un escalón, igual que antes un Piolín en el número 5. Quiero que pongas otro en el número 6. (IV3) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10. I – ¿Ese es el 6, cariño? N – Sí. I – En el número 6. Éste (5) es el 5, ¿por qué éste (señala el Piolín que ha colocado la niña en el escalón 10) es el 6? N – Porque deja 6 escalones. I – ¿Y dónde están los 6 e que se deja?


N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9), 5 (10)... 1 (5), 2 (6), 3 (7), 4 (8), 5 (9), 6 (10). I – Ah, ¿por eso está en el 6? N – Sí. I – No, pero yo quiero que lo pongas en el número 6, ... en el número 6, contándolo desde aquí (señala el escalón 1), o sea , empieza desde aquí (1) y lo pongas en el número 6. N – 1 (1), ..., 3 (3), 4 (4), 5 (5) y 6 (pone un Piolín en el escalón 6). (IV3a) I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el número 7. N – (Coge un Piolín) 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (va subiendo la escalera con el Piolín hasta que lo deja en el escalón 7). I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el número 8. N – (Coge un Piolín y lo va subiendo por los escalones hasta el escalón 8 mientras cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el número 9. N – (Coge otro Piolín y lo sube por los escalones hasta llegar al escalón 9 y lo deja allí) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. I – Ahora uno en el número 10. N – (Repite la misma operación, coge un Piolín y lo va subiendo mientras cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 I – Muy bien, Mª del Mar. Entonces, ahora quitamos (va quitando los Piolines puestos en la escalera) los Piolines y dejamos solamente el que está en el número 5, ¿vale? Éste (5) es el número 5, ¿de acuerdo? N – Sí. I – Entonces, éste (5) es el número 5, porque es 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los escalones que cuenta). Ahora, pon uno en el número 7, sabiendo que ese es el 5, ¿eh? N – (Coge un Piolín y lo sube por la escalera a la vez que cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. (IV1a, IVE333 ) I – Muy bien, ahora pon otro en el número 9. N – (Vuelve a coger otro Piolín y a la vez que cuenta lo sube por los escalones que nombra) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I – Muy bien, ahora pon uno en el número 3. N – (Coge otro y lo sube hasta el escalón 3) 1, 2 y 3. I – Y ahora pon uno en el número 1. N – (Coge un Piolín y lo pone en el escalón 1) Uno. I – (Quita los Piolines, menos el del escalón 5) ponemos pan, ... Pon pan en uno sí y en otro no, igual que antes. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … Está en el número 5 y come pan ¿Cuál es el siguiente número en el que sí come? (V1)

N – Coge un Piolín y parece que lo pone en el escalón 9. (V1b) I – El siguiente número, cariño, espérate. (Quita el Piolín del escalón) Está en el número 5 y come, ¿cuál es el siguiente número en el que sí come pan? ¿En qué número de escalón tienes que ponerlo para que coma pan? N – Aquí y aquí ( pareces que señala con el dedo los escalones 8 y 10) I – ¿Y ese qué número es? ¿Éste (8)..? Venga, ponlo, ponlo, cariño. Pon el siguiente. N – Coloca un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ese qué número es? N – El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo, pero se salta un escalón y al final termina el conteo señalando al escalón 8). I – ¿Lo has contado bien? Cuéntalo otra vez, vida mía. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (señala los escalones mientras cuenta). I – Entonces, ¿en qué número después del 5 sí come pan? N – Éste (pone un Piolín en el escalón 10). I – ¿Y ese qué número es? N – El 9. I – Entonces, ¿en qué número come pan? N – El 10. I – El 10, bueno. Vamos a hacer una cosa, vamos a hacer... Mira, cariño, (quita el muro superior) te has equivocado, porque aquí (10) no hay pan y aquí (8) tampoco, y sí habías puesto un pajarito (quita el otro muro y los Piolines de los escalones 8 y 10). Vamos a hacerlo viéndolo, ¿vale? Primero viéndolo y después sin verlo, ¿de acuerdo, cariño? Mira, está en el 5 y sí come pan (lo señala) Ahora, ponlo... Éste es el 1 (pone un Piolín en el escalón 1) y sí hay pan. N – Pone un Piolín en el 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 3. I – Y come pan. ¿Éste (5) es el ...? N – El 5 (coloca un Piolín en el escalón 7). I – ¿Ese es el ...? N – El 7 (pon un Piolín en el escalón 9). El 8. I – ¿El 8? N – Sí. I – Cuéntalo, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8 y 9. I – Entonces, ¿en qué número, en qué número hay pan? ¿En qué número el pajarito come pan? Dime todos los números en los que sí come pan. (V2) N – En el 1, en el 3, en el 5, en el sie.., en el 8 y en el 9. (V2b) I – ¿Sí? N – Sí. I – ¿En esos come pan? Ahá, vale. Dime, ¿éste (7) qué número es?


N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7 (va señalando cada escalón). I – Entonces es el 7 en el que come pan, no en el 8, ¿vale? N – Vale. I – Entonces, ahora, vamos a tapar esto (pone el muro superior) para que tú no veas esto (quita los Piolines de los escalones 7 y 9) y me tienes que decir otra vez esto, mira. En el 1.... come. N – En el 2 come, en el 3 ... I – ¿En el 2 come? N – En el 3 come, en el 5 come. I – Ahora, pon un pajarito en el número que viene después. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ese qué número es? N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7, el 8. I – ¿Y ahí come? N – No (cambia el Piolín al escalón 7). I – ¿Ese qué número es? N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7. I – Muy bien. N – Pone Piolín en el escalón 9. I – ¿Y ese qué número es? N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7, el 8, el 9. (V2b) I – Entonces, ¿en qué números come pan? (Quita el muro) ¿En qué números come? N – En el 9. I – (Quita los Piolines menos el que está en el escalón 5). Está en el 5 y sí come, tapamos (pone los muros) aquí y tapamos aquí. Está en el 5 que sí come, ¿de acuerdo, cariño? En el 5 come. Ahora, dime el número de aquí arriba (señala la parte superior de la escalera), el número que está después del 5 en el que también come. (V3) N – Aquí (pone el Piolín en el escalón 1). I – Bueno, pero me tienes que decir el número que es. N – El 5. I – Ese (5) es el 5, ¿y después que has puesto ahí (1), cariño? N – El 1. I – En el 1 come, venga, ¿qué más?

N – Y en el 2 y en el 3. (V3b) I – ¿En el 2 come? N – En el 3. I – En el 3, ¿qué números más? Venga, dime. N – Y en el 6. I – ¿En el 6 come? N – Sí. I – Pero, si estás viendo que no come. N – (Pone el Piolín del escalón 6 en el 7) En el 7. I – Ahá. N – Y en el 9. *I – … Si tú te imaginas más larga, ¿tú crees que en el número 15 el pajarito come pan? (VI1) N – Sí. (VI1b) I – ¿Por qué? N – Porque va subiendo la escalera. I – ¿Y en el 16 come pan? N – También . I – ¿Por qué, cariño? N – Porque está mirando la escalera y está subiendo. I – Sí, pero es que es en uno sí y en otro no, ¿a que sí? N – Sí. I – Pues, venga. ¿En el 11 comería? En el 11. (VI2b) N – También. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque en ... porque está mirando la escalera. I – Ah, ¿y en el 12? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque en el 12 no puede estar. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque tiene que dejar algo sin hacer. I – Y dime todos los números en los que comen pan después del 15 hasta llegar a 30. (VI1) N – Después de 15,... 19. (VI1b) I – ¿Después del 15 en el 19? N – En el 18. I –Muy bien, Mª del Mar. Dile adiós a los Piolines.

31) Ru. 4, 10. Nombre: Rubén. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Junio. I –. ¿Por qué después de éste (5), cuando va subiendo, se come éste (6)? N – Porque quiere comerse todos los pan. I – (Quita todo de la escalera). Verás, cuando va subiendo ya no come pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Y empieza con el que es sí, venga ponlo. Es en uno sí y en otro no.

N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I – Venga, sigue poniendo a ver como se lo come. N – Coloca pan en los escalones 3, 5, 7, 9. (III2a) *I – … Y en éste (5) sí come. Ahora tienes que poner Piolines en los que sí come, aunque no los


veas tú pero tú lo sabes. Tienes que poner Piolines en los que sí come. (III1) N – Coge un Piolín y lo va a poner en el escalón 3, junto al pan detrás del muro. I – Pero ponlo delante de esto, cariño. Después quitamos el tabique y lo vemos. N – Coge otro Piolín y lo coloca en el escalón 2. I – ¿Ahí come? N – Dice no con la cabeza. I – Venga, ponlo donde come. N – Pone el Piolín que había puesto en el 2, en el escalón 1. I – Ahá, venga. Y ahora... N – Coloca Piolines en los escalones 9 y 7. (III3a) I – ¿Están en todos los que comen? N – Dice sí con la cabeza. (III1b) I –¿Por qué después de éste (5) has puesto uno aquí (7)? N – Porque aquí (señala el escalón 7) no hay pan. I – ¿Ahí no hay? N – Dice no con la cabeza. I – Entonces, ¿por qué lo has puesto? N – Se queda callado mirando la escalera. I – ¿Por qué lo has puesto si no hay, cariño? N – Se me ha olvidado. I – Entonces, tú lo pones donde hay. ¿Está bien así? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ahí hay pan? ¿Tú estás seguro de que ahí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – Vale. ¿Y por qué lo has puesto aquí (7), por qué no lo has puesto aquí (8) o aquí (6)? ¿Por qué lo has puesto aquí (7)? N – Porque ahí hay pan. I – ¿Por qué sabes que hay? N – Porque ...tengo un juego de magia. I – ¿Ah, sí? Por eso lo sabes tú. N – Y mi primo... Pero yo no tengo la barita. I – ¿No? ¿Y por qué pones aquí (9) uno y no lo pones aquí (8), por ejemplo? ¿Por qué lo pones aquí? N – Porque ahí, aquí (8) no hay pan. I – ¿Por qué sabes que no hay? N – Porque no hay. (III1a, IIIE111 ) *I – … Ese está en el escalón 5, pon otro en el número 7. (IV1) N – Coge un Piolín, lo iba a poner en el escalón 8, pero finalmente lo pone en el escalón 10 y mira a la investigadora. (IV1b) I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque he contado. I – ¿Y cómo lo has contado? N – Pensando.

I – Venga, dímelo, para que yo vea cómo lo has contado. N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9), 5 (10) (se queda mirando la escalera de arriba a abajo, pasa el dedo por el filo de los escalones del 5 al 9) I – ¿Éste (5) por qué está en el 5? (Quita el Piolín del escalón 10) Venga, dime ¿por qué está ese en el 5? N – Porque es el escalón 5. I – ¿Y por qué sabes que es el escalón 5? N – Porque estoy contando estos (pasa el dedo por los escalones, del 1 al 5) también. (IV2a, IV3a) I – Ah, venga. Pues entonces, ahora ponlo (señala un Piolín de fuera de la escalera) en el número 7. Éste (5) es el 5 porque es 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando los escalones). Ahora ponlo en el número 7. N – Coge un Piolín y lo vuelve a poner en el escalón 10. I – ¿Por qué ese es el 7, cariño? N – Porque aquí (5) está el 5. I – Y si ese es el 5, ¿por qué ese es el 7? N – Porque (pasa el dedo por los escalones del 5 al 9) después de éste (9) viene éste (10). I – Sí, pero yo quiero que lo pongas en el 7. N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y por qué ese es el 7? N – Porque lo cuento pensando. I – Pues dime como lo cuentas para que yo lo sepa. N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando los escalones desde el 6 hasta el 10). I – Bueno, cuenta los escalones, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). I – ¿Cuál es el 5? N – Señala el escalón 6. I – A ver, ¿Por qué ese es el 5? N – Porque lo he contado. I – Venga, pues cuéntalo otra vez. N – 1, 2, 3,4,...,5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando los escalones). I – Pues entonces pon un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – Ahora pon un Piolín en el número 6. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese es el 6? N – Dice no con la cabeza. I – Pues ponlo en el 6. N – Cambia el Piolín que había puesto en el escalón 7 al 6. I – Ahora, pon uno en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Ahora, otro en el número 8. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – Otro en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Y otro en el número 10. N – Pone un Piolín en el escalón 10.


I – Muy bien, Rubén, lo sabes hacer todo bien, bien, bien. Ahora, entonces, como ya esto lo sabes hacer (va quitando los Piolines, deja el del escalón 5), entonces vamos a hacer igual que al principio a ver si ahora ya te sale. Éste (5) está en el número 5, ¿de acuerdo? Pon otro en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué ese es el 7? N – Porque lo he contado. (IV1a, IVE333 ) I –. Vale, Rubén. Ahora vamos a hacerlo con pan y con números, ¿de acuerdo? Vamos a colocar pan en uno sí y en otro no, igual que están ahora. Ponlo, pon el pan en un escalón sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. *I – … Entonces, ¿en qué número después del 5 hay pan? . (V1) N – Señala el escalón 7. (V1b) I – Ese que...Pero, me tienes que decir el número, ¿ese qué número es? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando los escalones correspondientes). I – Venga, sigue diciéndome sólo los números donde hay pan. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9. I – ¿Ahí ? ¿Qué número es? N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9. I – ¿Qué más? Y ahora por el de abajo. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Ese qué número es? N – El 1. (Pone otro Piolín en el escalón 2) El 2. I – ¿En el 2 come pan? (V3b) N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué hay pan ahí? N – Porque cuento.

I – Vale, Rubén, vale, vale, vale. Pero yo te voy a hacer esto (quita el muro inferior) y fíjate que no hay, ¿lo ves que no hay? N – Dice que sí con la cabeza. I – (Quita tabiques y deja piolines en 1, 3, 5, 7 y 9). Ahora lo vemos todo, pero tú me tienes que ir diciendo los números en los que hay pan y Piolines, claro. Los números. N – Señala el escalón 9. I – Empieza desde abajo y me vas diciendo los números. N – 1 (1), 2 (3), 3 (5), 4 (7), 5 (9). (V2b) I – No, éste (2) es el 2, éste no es el dos, este escalón no es el número 2. El 2 es éste. N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Éste (3) qué número es? N – El 3. I – Eso es, entonces en el 1, en el 3, aquí... (señala el Piolín del escalón 5). N – El ...5 (5), el...9 (7), el... 8 (9). I – ¿Sí? N – Dice que sí con la cabeza. *I – … Y entonces, ¿tú sabes si en el número 15 come pan? (VI1) N – Dice que no con la cabeza. (VI1b) I – ¿En el número 15 no come? N – (Dice que no con la cabeza) No hay pan. I – No hay pan. Y ... éste (9) es el 9 y hay pan, ¿en el 11 hay pan? (VI2) N – Dice que no con la cabeza. (VI2b) I – ¿No? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Y en el 13 hay pan? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Entonces dónde hay pan, en qué números? N – En el 14. I – ¿Por qué? N – Porque no lo estoy viendo y lo pienso. I – Ahá. Vale, pues ya está. Rubén eres muy guapo

. 32) Li. 4,4. Nombre: Lidia. Curso: 4 años. Cumpleaños en: Diciembre. I –¿Por qué cuando se come éste (5), después se come éste (6)? N – Porque tiene ganas de comer. I –Pues ahora ya en vez de comer en todos, va a comer pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no y en el primero sí come, venga ponlo. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I –. Pon pan en uno sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 2. I – Es en uno sí y en otro no, Lidia. N – Pone trozos de pan en los escalones 4, 5, 7, 8 y 9. (III2b)

I – Lidia, algunos los has puesto juntos, porque mira, éste (2) lo has puesto junto. Es en uno sí y en otro no. Entonces, en éste (1) sí, ahora (2) es no. N – Cambia el pan del escalón 2 al 3. I – Ahora (3) es sí. Ahora estos dos los has puesto juntos (señala los panes de los escalones 3 y 4). N – Corre el pan del escalón 4 hacia la izquierda. I – (Quita el pan del escalón 4) Es en uno sí y en otro no. Entonces, en éste (3) sí y en éste (4) no, en éste (5) sí y en éste (6) no, en éste (7) sí y en éste (8) no (quita el trozo de pan de ese


escalón), en éste (9) sí y en éste (9) no, ¿vale? ¿Ya has visto cómo es? N – Dice sí con la cabeza. *I – … Entonces, aquí ponemos un Piolín porque aquí hay pan (pone un Piolín en el escalón 5), ¿de acuerdo? Ahora, tú tienes que poner aquí (señala la parte superior de la escalera) Piolines donde haya pan detrás de esta pared. Pon Piolines donde haya pan. Coge un Piolín y los vas poniendo en los sitios que haya pan. (III1) N – Pone Piolines en los escalones 2 y 9. (III1b) I – ¿Ya está? N – Dice sí con la cabeza. I – Vamos a ver si te has equivocado (levanta el muro superior) ¡Uy! Éste sí, pero, mira, aquí (7) no has puesto y había. Espérate, espérate un momento (Quita el muro inferior). Y aquí (2), ¿lo ves? no había y has puesto. Osea que no lo has hecho bien del todo. Todavía no lo has hecho bien (quita los Piolines de los escalones 2 y 9). Ahora, viéndolo, viéndolo pon Piolines donde hay pan. Ahora lo estás viendo. N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I – Muy bien, has puesto Piolines donde hay pan, perfecto. Ahora vamos a quitar estos de aquí (quita los Piolines de los escalones 9 y 7) y vas a ver los que hay ahí, los de abajo sí los vas a ver, pero estos de aquí arriba no (pone el muro en la parte superior) a ver si lo puedes adivinar, a ver si ahora sí haces una magia. Pon Piolines donde sí hay pan. N – Aquí hay. I – Tú lo pones y ahora lo vemos. Venga, cariño, pon Piolines donde haya pan. N – Pone Piolines en los escalones 8 y 7. I – ¿Lo has puesto bien? N – Se queda callada mirando la escalera. I – ¿Está bien? N – Parece que dice que no con la cabeza. I – ¿Tú crees que está bien, cariño? ¿Tú lo puedes averiguar según esto que estás viendo? ¿Lo puedes averiguar? N – Porque yo antes éste, éste, éste, éste (va señalando los Piolines de lejos). I – ¿Así lo has puesto? ¿Así está bien puesto? N – (Pone un carilla como diciendo que sí, pero no con mucha seguridad) I – ¿ Vemos si está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – A ver si está bien, cariño (levanta el muro). ¡Oh! No, cariño. Aquí (8) has puesto uno y aquí no hay. Y ahora aquí (9) no has puesto y aquí sí hay. ¡Oh! Bueno, ahora, como me ha dicho tú señorita que sabes contar muy bien... (va quitando los panes y los Piolines menos el del escalón 5)

N – Sí. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando los escalones correspondientes). (IV2a) *I –…Mira, ese está en el número 5, ¿de acuerdo? Pon otro Piolín en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 6. (IV1b) I – Pon otro Piolín en el número 9. N – Pone otro Piolín en el escalón 7. I –. ¿Cuál es el número 9?. N – Señala el Piolín del escalón 7. I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9? N – Porque lo he contado. I – Venga, cuéntalo. Cuenta los escalones. N – 1, 2, 3, 4, 5, 9...(va señalando con el dedo el escalón correspondiente, menos cuando dice el 9 que señala el escalón 6). I – Vamos a quitarlos (quita los tres Piolines de la escalera) y cuenta los escalones, cariño, cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... (y se sonríe). I – Entonces, coloca un Piolín en el número 5.. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Por qué ese es el número 5? N – Porque yo lo sé. I – Venga, dime por qué ese es el número 5, cariño. N – Porque yo lo he contado éste (1), éste (2), éste (3), éste (4), éste (5) y éste (6). I – Lo ves, ¿entonces cuál es el 5? N – Cambia el Piolín del escalón 6 al escalón 7. I – ¿Ese es el 5? N – Dice sí con la cabeza. I – Bueno, mira, 1, 2, 3, 4 y 5 (va subiendo el Piolín por la escalera hasta dejarlo en el 5). Éste es el 5, coloca uno en el número 6. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 (va señalando con el dedo los escalones mientras cuenta y después coloca un Piolín en el escalón 6). 6. I – Coloca otro en el número 7. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo los escalones mientras cuenta y después coloca un Piolín en el escalón 7). I – Coloca otro en el número 8. N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (4), 5 (5), 10 (7), 11 (8), 12 (9), 8 (10). El 8 (señala el escalón 10 y pone un Piolín) (IV3b) I – ¿Sí? ¿Ese es el 8? Coloca otro en el número 9. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (va señalando con el dedo los escalones, pero empieza a contar desde arriba, el 9 se corresponde con el escalón 1 y sin embargo pone el Piolín en el escalón 3) I – Vale. Ahora vamos a ver con el pan y los Piolines, ¿de acuerdo? (quita todo de la escalera) Con el pan y los Piolines, entonces... Mira, come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no (va poniendo trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9), ¿de acuerdo?


N – Está separado. I – Eso, pero ahora los Piolines... (pone un Piolín en el escalón 1) Tú me tienes que decir en los números que hay Piolines y que hay pan. Éste (1) es el 1 y sí hay, venga, dime los números en los que hay pan N – Señala el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 9. (V2b) I – ¿El 9? N – 1, 2, 3 (señala con el dedo). El 3. I – Venga, coloca los Piolines... N – 1, 2, 3, 4... 1, 2, 3...4 (1). 1, 2, 3, 4, 5. El 5 (coloca un Piolín en el escalón 5). I – Venga, coloca donde hay Piolines. N – 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. El 7 (coloca un Piolín en el escalón 7). I – Venga, y el otro Piolín... N – Coloca un Piolín en el escalón 9. I – Entonces, ¿en qué números hay Piolines? Venga, dímelo en qué números hay. N – En éste (1), en éste (3), en éste (5) I – Sí, pero me tienes que decir los números, no señalarlos. N – 1, 2, 3, 4 (va señalando los Piolines colocados). I – No sólo... Los números que hay Piolines, los números. N – 1, 2, 3, 4. 5 (señala de nuevo los Piolines colocados). I – Sí, hay 5 Piolines. Pero, éste (1) es el 1, éste (2) es el 2 y en el 2 no hay, éste (3)es el 3 y en el 3 sí hay. Venga, ve diciéndome.

N – 1, 2, 3, 4, 5 (vuelve a contar los Piolines colocados). I – ¿Esos son los números? N – En éste (2) no he contado, ni en éste (4), ni en éste (6), ni en éste (8). Ese (9) sí. I – ¿Ese lo has contado? N – Ese sí. I – Muy bien. Ahora, Lidia viene, si esta escalera fuese más larga, ¿en el número 15 habría pan? N – Pasa el dedo por el escalón 10. I – No, no más para acá, sino éste (10) es el 10 y después el 11, el 12, el 13, el 14, el 15... y siguiera la escalera para arriba, ¿en el 15 comería pan el Piolín? N – No. I – ¿Por qué? N – Sí. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque tiene que comer pan....(señala a los escalones). I – En todos, ¿no? N – Si. I – Y después del 9, ¿qué número vendría en el que sí come pan? N – En el 2. I – En el 2. Muy bien, Lidia. N – Creo que es en el 2. I – Muy bien, Lidia di adiós, que nos vamos a tú clase.

33) Ju. 5,4. Nombre: Juan José. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Diciembre. I – ¿Por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Porque es más chico. I –Ahora, el pajarito va comiendo pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. (Quita los panes y el Piolín) En el primero es que sí. Venga, pues, pon pan en uno sí y en otro no.. N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9, *I – … Después de éste (5) ¿dónde ponemos un pajarito para que coma pan? (III1) N – Va a coger el Piolín del escalón 5. I – Cógelo de aquí, cariño, y lo vas poniendo. N – Coloca un Piolín en el escalón 7. (III1a) I – ¿Y después de ese dónde ponemos un pajarito para que coma pan? N – Señala el escalón 9. I – Pues venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 9.

I – Y ahora por allí abajo. N – Pone un Piolín en el escalón 3 y otro en el 1. I – Y hemos puesto el pajarito. Éste estaba (señala el Piolín del escalón 5) porque tú lo estás viendo. ¿Por qué después de éste (5) has puesto aquí (7) un pajarito para que coma pan? N – Porque da un salto. I – Da un salto, muy bien. Y aquí (7) después de éste, ¿por qué lo has puesto aquí (9)? N – Porque da un salto (lo dice muy bajito). (IIIE222 ) I – ¿Y por qué no lo has puesto aquí (señala el escalón 10) que también daría un salto? N – Se queda callado mirando la escalera y a la investigadora. Y se encoge de hombros. *I –...Éste pajarito ya sabemos que está en el número 5. Pon ahora un pajarito en el número 7. (IV1) N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7.


I – ¿Por qué sabes que ese es el 7, cariño? N – Porque detrás del 5 viene el 6. I – Vale. Pon ahora uno en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9? N – Porque antes del 9 viene el 8. (IV1a, IVE444 ) I – Que es éste (8), ¿no? ¿Y por qué sabes que éste (8) es el 8?¿Por qué lo sabes? N – Porque... antes del 8 viene el ssssss, el 6. I – ¿El 6? N – (Dice no con la cabeza) El 7. I – ¿Y por qué sabes que éste (7) es el 7? N – Porque cuento. I – Vale, pon ahora otro en el número 3. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Por qué ese es el 3? N – Porque lo he adivinado yo. I – Quiero que lo pienses a partir de este (5) que es el 5. N – Piensa. *I –…Ahora sabemos que éste (5) es el número 5. Porque ya lo hemos contado y sabemos que en el 5 hay pan. Entonces, ¿en qué número, después del 5, tienes que poner un Piolín para que haya pan?, ¿en qué número? (V1) N – Señala el escalón 3 (V1b). I – ¿Y ese qué número es? N – El 3. I – Pues venga, ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – Venga, dime, en qué números. En todos los números que tienes que poner un Piolín. Y lo vas poniendo. N – Señala el escalón 1. I – ¿Ese qué número es? N – (Pone un Piolín en el escalón 7). El 1. (Señala el escalón 7) I – ¿Ese cuál es? N – 7. I – ¿Y cuál más? N – (Pone un Piolín en el escalón 9.) 9.

I –Entonces ¿en qué número hay Piolines y hay pan? ¿En qué números? Venga, dímelos todos desde el principio. N – En el 7, en el 9, en el 3 y en el 1. (V2a) I –¿Por qué sabes tú que detrás del 5, viene el 7 para que sí coma? N – Porque da un salto. (V1a, VE2) I – ¿Y por qué da ese salto y cae en el 7 y no en el el 8,..? N – Porque no hay pan. (V3a) I – ¿Y por qué no hay pan? N – Se enconge de hombros. *I – … Dime si en el 15 come pan el Piolín. (VI1) N – En un principio dice no con la cabeza, pero rectifica y dice que sí también con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque lo he pensado. I – ¿Y cómo lo has pensado? N – Contando. I – ¿Cómo lo has contado? N – Pensando. I – Vale. Y después del 15, dime todos los números en los que come después del 15 hasta llegar al 30. N – 17, 19, 21, 23, 25, 27, 24. (VI3a) I – ¿27, 24? N – 27, 29. I – ¿Y en el 45 comería? N – Se queda callado pensando y se encoge de hombros. (VI1b) I – No lo sabes, ¿no? ¿Por qué come en el 15, me has dicho? ¿Si come en el 15, por qué come en el 17? Tú me has dicho el 15 y después me has dicho el 17. ¿Por qué come en el 15 y come en el 17? N – Porque da un salto. I –Juan José di adiós que lo has hecho muy bien. N – Adiós.

34) In. 6,2. Nombre: Inma. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Febrero. I –¿Por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Con una voz muy bajita, parece que dice no sé. I – ( Quita el Piolín y los trozos de pan). Va subiendo, pero ahora el Piolín ya no come pan en todos los escalones, come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. En el primero sí come. Venga, ponlo. N – Pone un trozo en el escalón 1. I – Y ahora, come pan en uno sí y en otro no, a ver dónde lo tienes que poner.

N – Pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7, .9 *I – … Yo quiero que tú pongas pajaritos en los sitios que sí hay pan, aunque no los veas, pero tú sabes que hay pan.. N – Pone Piolines en los escalones 3, 1, 7 y 9. I –. ¿Por qué pones un pajarito aquí (7)? N – ¿Aquí (6)? I – No, aquí (7). Tú has puesto aquí un pajarito, ¿por qué lo has puesto aquí? N – Es que me he equivocado, porque es como no sabía hacer un juego magia, ...


I – Entonces, ¿ahí estaría bien puesto el pajarito? N – Dice no con la cabeza. (III1b) I – ¿Dónde lo pondrías? N – ¿Aquí (parece que señala el escalón 9) hay? I – Tú lo tienes que saber es en uno sí y en otro no. Tú lo tienes que adivinar porque eres maga. Aquí (5) hay pan, ¿eh? Ese lo estás viendo. N – Ya no sé dónde hay pan. I – Es en uno sí y en otro no. N – En éste (6). I – En ese no, porque se está viendo. N – (Señala el escalón 7, mira a la investigadora, pero como no recibe respuesta lo cambia al escalón 8.) Creo que es ahí, ...no lo sé. Yo creo que si no es... I –.(Quita el muro inferior) Hay pan en un escalón sí y en otro no, ¿lo ves? Entonces los pajaritos están así bien colocados, ¿vale? N – Éste se llama Piolín. I – Sí, el Piolín está bien colocado. Entonces ahora, estos no lo vemos (quita los Piolines de los escalones 7 y 9) N – Coge los Piolines de los escalones 5 y 3. I – Sí, deja ese (señala el escalón 5), deja esto donde hay pan. N – Pone los Piolines en los escalones 3 y 5. I – Ahí sí. ¿Lo ves? Es en uno sí y en otro no. Ahora colocamos aquí esto (coloca el muro superior) Coloca Piolines donde hay pan. Estos sitios (señala los escalones de arriba) donde hay pan. (III3) N – Pone Piolines en los escalones 8 y 9. (III3b) I – ¿Por qué hay aquí (8) pan? ¿Por qué pones aquí un Piolín? N – (Quita inmediatamente el Piolín del escalón 8.) ¿Ya? I – ¿Tú crees que están todos? Es en uno sí y en otro no. ¿Tú crees que ya están todos? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – Levanta el muro superior. N –Pone rápidamente un Piolín en el escalón 7. I – Porque te equivocas. N – Siempre me equivoco. I – (Quita el muro) Ahora vamos a hacer lo mismo, pero sin pan (empieza a quitar los trozos de pan) N – Le ayuda a quitar los trozos de pan. I – Pero, vamos a hacerlo con números, ¿de acuerdo? (quita los Piolines) Mira, Inma, éste Piolín va subiendo (coge un Piolín y lo va subiendo escalón por escalón hasta llegar al 5), tan, tan, tan, y lo colocamos aquí. Ahí está en el número 5. Éste es el número 5. ¿Por qué sabes...? ¿por qué crees tú que éste es el número 5?

N – Porque si el Piolín sube todos estos números (pasa el dedo como subiendo los escalones inferiores hasta llegar al escalón 5), entonces, éste número lo sé, porque los niños de mi clase tienen 5 años, porque si yo cuento 1, 2, 3, 4 y 5 (señala con el dedo cada uno de los escalones correspondientes mientras cuenta). Es que,... yo eso lo sé porque lo estoy leyendo con mi profesor, porque yo ya lo sé. Cuando...., cuando sé el número 5. I – ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – Muy bien, cariño. Pues, entonces, pon ahora otro Piolín en el número 7. N – ¿Éste (señala el Piolín coloca en el escalón 5)? I – No, coge otro. En el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el 7? N – Coge rápidamente el Piolín del escalón 6, se queda pensando un momento mirando la escalera y lo pone en el escalón 7. I – Ahora, pon otro en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Pon otro en el número 3. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – Y pon otro en el número 1. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Por qué sabes que éste (7) es el número 7? N – Porque yo lo voy contando a poquito a poco, porque es que si me equivoco, entonces, cojo éste y después lo cambio (hace el gesto con la mano) I – Ahá. ¿Y éste (9) qué número es? ¿En qué número está? N – (Se queda mirando la escalera, callada, como si estuviera contando los escalones) Nueve. I – ¿Y cómo lo sabes que es el 9? N – Porque voy contando cada escalerita I – Pero tú has tenido en cuenta que este es el número 5? N – ¿Qué? I – Bueno, vamos a hacerlo con otros números. Este es el 9, quiero que pongas uno en el 7 pero teniendo en cuenta que este es el 9 N – Coloca uno en el nueve I – Vale. Ahora están los pajaritos y los panes, ¿vale? Vamos a poner,...Pon un pan donde están los pajaritos. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. El Piolín no quiere.... El gatito lindo quiere comerse al Piolín, ...pero el gatito lindo ... él siempre le gustan mucho los Piolines. I – ¿Sí? ¡Qué bien! Bueno, entonces hay pan en uno sí y en otro no. Ahora vamos a ver,... Yo quiero que me digas con los números, con los números donde hay pan. Pero primero te voy a tapar esto para que me lo digas, ¿vale? (pone los muros)


N – Vale. I – Sin que tú veas. (Quita todos los Piolines, menos el del escalón número 5). Éste (5) es el número 5 y hay pan. Este Piolín está en el número 5 y hay pan, ¿de acuerdo? ¿En qué número...? ¿Qué número viene ahora para que haya pan? ¿Qué número viene ahora, después del 5, en el que sí hay pan? N – Siete. I – Pues, venga, ponlo. Ponlo en el 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Y qué número viene ahora, después del 7, para que haya pan? N – 8. (Pone un Piolín en el escalón 9) I – ¿Ese es el 8? ¿Has puesto el Piolín en el número 8? N – Quita rápidamente el Piolín del escalón 9. Y dice no con la cabeza. I – ¿Dónde lo has puesto? N – (En silencio va señalando los escalones 5, 7, 9, como contando. Empieza de nuevo por el primer escalón como contando y se detiene en el 8, pero dubitativa.) ¿Aquí? I – Tú ponlo, cariño, donde tú creas que viene... Me tienes que decir el número en el que hay pan. N – Se queda callada mirando la escalera y pensando. Y pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Ese qué número es? N – El 8. I – Vale, ahora vamos a poner esto (pone Piolines en los escalones 3 y 1 y quita los muros) y vamos ver el pan y entera la escalera. Mira, éste (1) es el 1 y hay pan, éste (2) es el 2 y no hay pan, éste (3) es el ... Venga, continúa tú, diciendo el número y si hay o no hay. N – Éste es el 3 que sí, éste es el 4 que no hay pan, éste es el 5 que sí hay pan, el 6 que no hay pan, el 7 que sí hay pan, el 8 no hay pan, en el 9 sí hay pan. I – De acuerdo. Entonces dime, ¿en qué número hay pan? N – En ese (señala el 9). I – Dímelos todos, desde abajo. Dime en qué números hay pan. N – En el número 1 (1), en el número 2 (3), en el número 3 (5), en el número I – No, en el número 2.... Es éste (2) el número 2. N – El 1 (1), el número 2 no hay. I – Sí, pero me tienes que decir sólo en los números que sí hay. N – ¿Éste (3) sí hay? I – Sí, dime el número. Me tienes que decir los números que sí hay. N – En el 3 sí hay, en el 5 sí hay, en el 7 sí hay, en el 9 sí hay (Va señalando los Piolines correspondientes). ... (V2a) I – Ahá, muy bien. Ahora vamos a tapar esto, cariño, para que tú no los veas (pone el muro

superior y quita los Piolines 7 y 9). Y ahora, mira, en el 1 sí hay, en el 3 sí hay, en el 5 sí hay. Ahora dime tú en los números que vienen ahora, en el que sí hay N – Se queda un momento pensando callada mirando los escalones de arriba a abajo) En éste (señala con el dedo el escalón 7) sí hay. (V3b) I – Sí, pero me tienes que decir el número. N – (Va como contando mentalmente los escalones) El 7. I – Muy bien, ¿y después del 7? N – El 8 es que no hay. I – Dice sí con la cabeza. N – En el 9 sí hay. I – Muy bien, pues pon los pajaritos. N – Pone Piolines en los escalones 9 y 7. I – Muy bien. (Quita el muro) ¡Oy, qué maga! Eres una supermagísima. Ahora vamos a hacerlos igual que al principio (pone los muros y quita los Piolines, menos el del 5), quitando esto y me tienes que decir en los números que hay. Éste (5) es el 5 y hay. Si ese es el 5, dime qué número hay después del 5 en el que sí hay. ¿Qué número hay después del 5 en el que sí hay? N – Éste (señala el escalón 1). I – No, después del 5. N – (Parece que cuenta los escalones mentalmente). El 7. I – Venga, pues ponlo. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Qué número hay después del 7 en el que sí hay? N – Se queda pensativa mirando la escalera y señala el escalón 9. I – ¿Y ese qué número es? N – En el 9. (Pone un Piolín en el escalón 9.) I – ¿Qué número hay antes del 5 en el que sí hay? N – ¿Ahí (señala el escalón 3)? I – ¿Ese qué número es? N – El 3. (Pone un Piolín en el escalón 3) I – ¿Y qué número hay antes del 3 en el que sí hay? N – El 1 (Pone un Piolín en el escalón 1). I –Éste (señala el escalón 5) es el 5. ¿Por qué el 7 es el número que viene después del 5 en el que sí hay? N – Porque eso la señorita nos enseñó a... contar. Así, mira, en éste (1) sí hay, en éste (2) no hay, en éste (3) sí hay, en éste (4) no hay, en éste (5) sí hay, en éste (6) no hay, en éste (7) sí hay, en éste (8) no hay, en éste (9) sí hay. I –Ahora, (quita los Piolines, menos el del 5) dime, éste (5) es el 5 y sí hay, ¿no? ¿En éste (9) hay o no hay? ¿Aquí tenemos que poner un pajarito o no? N – Dice no con la cabeza. (V1b)


I – ¿Por qué? ¿Por qué sabes tú que aquí no tenemos que poner pajarito? N – Pero es que eso es difícil para , para ... a ver... Porque eso es un poquillo más difícil y esas cositas un poco ...no me salen tan bien. I –¿Aquí (9) hay que poner un pajarito o no? N – Se encoge de hombros. Ni idea. I – ¿No lo puedes adivinar tú?¿ Sabiendo que aquí (5) sí hay? N – Ahí no hay. I – ¿Por qué? ¿Por qué lo sabes? N – Es que se ve esto (señala la parte superior de la escalera delante del muro) y yo no lo veo. I – No pero si tenemos... Hay pan detrás de aquí, si aquí hay pan, si quitamos este tabique detrás hay pan en algunos. Yo si lo quito... ¿Tú crees que si yo quito esto (señala al muro) detrás de esto va a haber pan? ¿Aquí (9) en este sitio? Si yo pongo aquí (pone un Piolín en el escalón 9) un pajarito, ¿aquí este pajarito comerá pan, cuando yo quite esto? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? N – Se encoge de hombros. I – ¿Come o no? N – Dice no con la cabeza, pero con cara de extrañeza. I – No lo sabes, o no sabes si come. N – Es que no sé si come o no come. I – ¿No? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, entonces tú ahora,... Mira, éste (5) está en el 5, ¿no?

N – Dice sí con la cabeza. *I – … ¿Tú crees que en el 15, cuando lleguemos al 15, allí habrá pan? (VI1) N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque es que en éste (señala el escalón 10) ya no hemos contado pan. I – ¿Y por qué en el 15 sí crees tú que hay? N – Porque es que sólo hemos leído éste (1), éste (3), éste (5) y éste (7) y éste (9) , pero en éste (10)... I – Sí, pero en el 15 podemos poner o no podemos poner, no lo sabemos. ¿Tú qué crees que en el 15 hay o no? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y en qué números habría hasta el 30? ¿En qué números? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? Ahá. Mira, éste (9)... Di todos los números otra vez donde hay pan. N – En el 1 sí hay, en el 3, en el 5 sí hay, en el 7 sí hay, en el 9 sí hay. I – ¿Qué número vendría después del 9 en el que sí hay? N – Creo, que en éste (10) no. I –¿En qué número? Tienes que decir el número. ¿Qué número viene después del 9 en el que sí come? N – (Se queda callada mirando la escalera.) El 10. (VI2b) I – Bueno, pues ya está Inma. Yo le voy a decir a tu seño que tú eres una supermaga.

35) Lo. 5,7. Nombre: Lorena. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Septiembre. . I – ¿Por qué, cuando va subiendo, después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque como encuentra uno y se come uno, cuando encuentra otro se come otro. I –Entonces ahora (va quitando todo de la escalera) ya no se va a comer en todos, ahora va a comer en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no y en el primero es que sí, venga, colócalo. N – Pone caramelos en todos los escalones hasta llegar al 9. I – Es en uno sí y en otro no Lorena, ¿así lo has hecho bien? Es en un escalón sí... N – Ah, en uno y aquí (3) no, en uno y aquí (4) no. I – Exacto, venga, ves quitando los que no son. N – (Quita los caramelos de los escalones 2, 4) ¿Éste (6) también lo quito? I – Claro.

N – Quita también el del 8). *I – … Entonces, pon tú pajaritos donde sí haya caramelos, ¿vale? Porque aunque tú no los veas detrás sí hay. (III1) N – Coge el Piolín del escalón 5. I – Pon aquí pajaritos, tienes más, venga, deja ese ahí. Lo vas poniendo en los sitios que tú creas que hay. N – Pone Piolines en los escalones 7, 8, 9 10. (III1b) I – ¿Ahí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – Lorena, mira (levanta el muro superior), aquí (8) has puesto y aquí no hay, aquí (10) has puesto y aquí no hay. ¿Lo ves? N – Quita los Piolines del 8 y el 10. I – ¿Has visto? Y ahora por abajo, ponlo donde tú creas que sí hay. N – Pone Piolines en los escalones 3 y 1. I –. ¿Por qué has puesto éste (3) aquí? N – Porque hay detrás caramelo.


I –¿Por qué sabes tú que hay? N – Porque antes yo lo he puesto. I –. (Coloca un Piolín en el escalón 8) ¿Si yo pongo aquí (8) un pajarito ahí va a comer? ¿Ahí hay caramelo? ¿Ahí va a comer? N – No. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque no hay caramelo. I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay caramelo? N – Porque yo no veo caramelo. I – (Quita todo de la escalera). Coloa caramelos en uno sí y en otro no N – Coloca en 1, 3, 5, 7 y9 (III2a) I – (Pone muros y el piolín en el 5) Si aquí hay (5) ¿hay aquí (8)? N – No I – ¿Po qué? N – Porque yo no veo caramelo I – No, pero aquí detrás, ..., puede haber ahí detrás. ¿Por qué ahí no hay? N – Porque lo hemos quitado. I – ¿Seguro? (Levanta el muro superior) mira, no lo hemos quitado siguen ahí. Ahora yo te pongo en un sitio y tú me dices si hay o no. (Pone un Piolín en el escalón 9). ¿Aquí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I –Si yo lo pongo aquí (2), ¿aquí va a comer? N – Ahí no. I – ¿Por qué? N – Porque ahí detrás no hay. I – Pero, ¿ por qué sabes que no hay? N – Porque aquí (1) y aquí (3) sí hay. (IIIE2) *I – … Ésta en el número 5. Pon un pajarito en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 10. (IV1b) I – ¿Por qué ese es el 7? N – Porque es más alto. I – Es más alto que el 5. Pero, ¿no has hecho nada para saber si es el 7? ¿No? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, ahora, pon tú un pajarito en el número 6. N – ¿El 6? I – Sí. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – Ese es el número 6, muy bien. ¿Por qué? N – Porque es el escalón 6. I – Es el escalón 6, ¿y qué has hecho para adivinarlo? N – Porque lo he sabio, porque yo cuento los escalones y lo he sabido. (IV3a) I –Tú sabes que éste es el número 6, ¿de acuerdo? Pon otro en el número 9. N – ¿9? I – Ese está en el 6.

N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué sabes que ese es el 9? N – Porque un día yo estaba haciendo una ficha y estaba haciendo escaleras y he puesto el 9, entonces lo he sabido. (IV1a, IVE333 ) I –Éste es el número 9, pon uno en el número 8. N – 8. (Pone un Piolín en el escalón 8). I – Pon uno en el número 3. N – Pone un Piolín en el número 3. I – (Quita todo de la escalera) Lorena, quiero que pongas, igual que antes, en uno sí y en otro no, los caramelitos. Ponlo en uno sí y en otro no, igual que antes. N – Pone caramelos en los escalones 1, 3, 5, 7, 9. I – Muy bien. Ahora, Lorena, quiero que me digas los números donde están. Éste (pone un Piolín en el escalón 1) es el uno, en el 1 hay un Piolín. Venga, ve diciéndome los números y colocando los Piolines en los sitios que sí hay caramelo. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 2. I – No. El 2 es éste (señala el escalón 2), cariño. N – El 3. I – El 3, muy bien. N – Pone otro Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese cuál es? N – El 4. I – No, el 4 es éste (señala el escalón 4), cariño. N – El 5. (Pone otro Piolín en el escalón 7) El 7. (Pone otro Piolín en el escalón 9) Y el 8. I – No, el 8 es éste. N – Porque es que no hay caramelo. I – Entonces dime los números en los que sí hay caramelo. N – El 1 (señala el escalón 1), el 3 (señala el escalón 3), el 5 (señala el escalón 5), éste (7) no me acuerdo. I – Éste (5) es el 5, ¿cuál es éste (7)? N – El 7. Y el 8. I – No, el 8, no. N – El 9. I – ¿Vale? Entonces, ahora lo vas a hacer con números, e igual que antes lo tapamos como si fuese... Éste (5) está en el 5 y sí come (coloca los muros). En el 8, ¿come? ¿Cuál es el 8? Éste (5) es el 5. ¿Cuál es el 8? N – Señala el escalón 8. I – Venga, pon ahí un Piolín. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ahí, come? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no hay comida. I – No, pero porque están detrás de esto. Los caramelos pueden estar ahí detrás. ¿Tú crees que si yo quito esto, detrás va a haber un caramelo? ¿Detrás hay un caramelo?


N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque yo no lo veo que sea eso. I – Porque no lo ves. ¿Y aquí (7) hay caramelo? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Tampoco? N – Tampoco. I – ¿Por qué? N – Porque como ahí lo veo. Éste sí lo veo. I – Porque lo ves. Pero tú no lo tienes que ver, lo tienes que adivinar pensando, sin verlo. Bueno, pon uno en el 10, en el 5 sí hay, pon uno en el 10. N – Pone un Piolín en el escalón 10. I – ¿En 10 hay? ¿Come en el 10? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque como he puesto caramelos detrás, pues yo lo he sabido. I – Tú lo has sabido porque has puesto caramelos detrás, ¿no? Entonces, en el 10 ¿hay caramelos detrás? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? N – Sí. I – (Levanta el muro superior) Pues en el 10 no hay. ¿Lo ves? No hay. No hay caramelo detrás del 10. No hay. Éste (5) está en el 5, ¿de acuerdo? ¿Cuál es el 3? N – Señala el escalón 3. I – ¿Por qué sabes que ese es el 3? N – Porque he contado los escalones. I – Pero, ¿cómo lo has contado? N – Pues así, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando con el dedo los escalones, pero empieza por el escalón 3) I – Muy bien. Bueno, en el 3. Coloca uno en el 3. ¿En el 3 hay? N – Coloca un Piolín en el escalón 3. I – ¿Hay caramelo en el 3? ¿Ahí come caramelo? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque yo no lo veo. I – (Levanta el muro) Pues sí hay. ¿Ves cómo había? Tú no lo veías pero sí había. En el 3 sí hay. Ahora, coloca... Éste (5) es el 5, ¿de acuerdo?, el 5, Pon uno en el 9. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ese es e 9? N – No. I – Pues pon uno en el 9. Éste es el 5, ¿eh? Coloca uno en el 9. N – Voy a contarlo todo porque si no, no lo sé. I – Muy bien. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I – ¿Cuál es el 9? N – (Cambia el Piolín del escalón 8 al 9) I – Ese. ¿Aquí come? N – Dice sí con la cabeza.

I – ¿Por qué? N – Porque hemos puesto caramelo ya, pero yo no lo veo. I – ¿Y por qué en éste hemos puesto? N – Porque yo lo sé que hemos puesto. I – Porque tú lo sabes. N – Porque como un día yo estaba jugando a esto con mi padre y mi hermano, pues yo he puesto un caramelo ahí, entonces dice: “tú tienes...”, dice mi padre “¿tú crees que hay un caramelo ahí?” Y dice: “yo creo que sí hay”. Y lo levanta y sí hay. I – ¿Sí? Por eso sabes tú que había, ¿no? (Levanta el muro superior) Muy bien, ahí sí hay. Ahora vamos a poner esto aquí (pone un muro a partir del escalón 3), ¿vale? y esto aquí (pone el otro muro a continuación del otro), ¿de acuerdo? ¿Lo ves? Así lo vamos a poner. Aquí, éste (pone un Piolín en el escalón 10) es el 10 y en el 10 no hay, ¿de acuerdo? Éste es el 10 y en el 10 no hay. ¿En el 8 hay? N – Éste (señala el escalón 9). I – ¿Ese es el 8? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Estás segura de que ese es el 8? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué ese es el 8? N – Porque el 8 yo lo he coloreado y lo sé si es el 8. I – Bueno, ponlo en el 8. Coge un Piolín y lo pones en el 8. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9. I – Ese es el 8. Entonces, éste (8), ¿cuál es? N – El 9. I – ¿El 9? ¿El 9 que está antes que el 8? N – No. I – Entonces, ¿éste (8) cuál es? N – El 8. I – ¿Y entonces éste (9)? N – El 9. I – Vale, pues yo quiero que lo pongas en el 8. N – Pone el Piolín del escalón 9 en el 8. I – ¿Ahí come? Fíjate que en el 10, donde está en el pajarito no come. ¿Aquí come? N – Sí, yo creo que sí. I – (Levanta el muro) No come, en el 8 no come. Bueno, pues entonces ahora, vamos a coger y vamos a poner los pajaritos (va poniendo los pajaritos en los escalones 1, 3, 5, 7, 9). Mira, hemos puesto los pajaritos aquí. Di otra vez los números en los que están los pajaritos. N – 1, 2, 3, 4 y 5. 5. I – Hay 5 pajaritos, sí. Pero los números de los escalones. En el 1 hay, en el 2 no, en el 3 sí, ¿en cuál más? N – En el 5 sí come, en el 6 no come, en el 8 sí come. (V2b) I – No, en el 8 no, éste no es el 8.


N – (Se queda callada mirando a la escalera) Es que no me acuerdo como se llamaba. I – No te acuerdas cómo se llamaba qué. N – Éste (7) escalón. I – El 7. N – Pues en el 7 sí hay. I – ¿En cuál más? N – El 8. I – No, el 8 no. Éste (7) es el 7 y éste (8) el 8. N – Entonces en el 8 sí hay. I – No, ¿después del 8 cuál viene? N – El 9. I – El 9. ¿Y después? N – El 10. I – Muy bien. Entonces ahora éste (10) es el 10, después del 10 viene el 11, después viene el 12,

después viene el 13, después viene el 14, después viene el 15 y así la escalera podría seguir muy alta, ¿vale? Entonces éste (9) es el 9 y sí come, en el 10 no come, ¿en el 11 come? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no hay caramelo. I – ¿No? N – Dice no con la cabeza. No. I – ¿Y en el 12? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – ¿Por qué se ha roto? I – Porque se ha caído. Bueno, Lorena, pues ya está nos vamos a ir a la clase.

36) No. 3,6. Nombre: Noelia. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Octubre. *I – … Pon pan aquí en todos los escalones conforme vaya subiendo. (I1). N – Coge un Piolín. I – No, pero pan, después ponemos los Piolines, pon el pan. (Le cambia el Piolín por un trozo de pan). Coge el pan y lo pones en todos los escalones de la escalera conforme va subiendo. N – Para que coma. (Coloca pan en los escalones 1, 2, 3, 4, 5 y coloca otro más en el escalón 5) Pero un montón no, ¿No? I – Un pan, un pan en cada escalón. N – Continúa poniendo trozos de pan en los escalones 6, 7, 8, 9, 10. (I1a, IE2) *I – … Cuando se come el pan éste (5),¿qué pan se come después? (II1) N – Ese (señala el pan del escalón 4). I – ¿Y antes? N – Éste (señala el pan del escalón 5). I – Ese se lo ha comido ya. ¿Qué pan se come después que ese? N – Éste (señala el escalón 4). I – ¿Y después? N – Éste (señala el escalón 3). I – ¿Y después? N – Éste (señala el escalón 2). I – ¿Y después? N – Éste (señala el escalón 1). I – ¿Y antes? Se come éste (5) pan. ¿Antes de comerse éste cual se come? N – Éste ya se lo ha comido (señala el Piolín del escalón 5). Entonces éste no abre la boca, ¿no? I – No, no la abre porque es un dibujito. Entonces, ¿qué pan se come antes que ese? N – Bueno, voy a poner un pan aquí (señala el escalón 4) I – Ya lo has puesto. Venga Noelia.

N – No, los dos. (Se pone a contar trozos de pan de la caja) 1, 2, 3, 4. Bueno, vamos a poner dos pan, 1, 2 y 3 y 4(pone dos trozos más de pan en el escalón 5 y otro en el escalón 6) ¡Ah! Ya he ponio los pan. Ahora los Polines (pone un Piolín en el escalón 6) 1... I – Sí cariño, venga, (quita los Piolines y los trozos de más del escalón 5) vamos a ver, mira, el Piolín va subiendo, se come éste pan (coge un Piolín y toca el trozo de pan del escalón 1), después se come éste (2), después se come éste (3), después se come éste (deja al Piolín en el escalón 4), ¿después cuál se come? N – Éste (3). I – Ese, ¿después cuál? N – Éste (2). I – ¿Y después? N – Éste (1). I – ¿Y después cuál? N – Éste (señala el pan del escalón 4). I – El osito, el pajarito va subiendo, se come primero éste (pone un Piolín en el escalón 1), ¿después de comerse ese cual se come? N – Señala el pan del escalón 1. I – Ese se lo come, ¿después cuál se come, cariño? N – Señala el pan del escalón 2. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 3. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 4. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 5. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 7. I – ¿Y después?


N – Señala el pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 10. I – Y está, ¿no? Ahora, el pajarito va subiendo, y se come (va poniendo el Piolín en los escalones) éste (1), éste (2), después éste (3), después éste (4), después éste (5), éste (6), éste (7) y después éste (deja el Piolín en el escalón 8) y después de comerse éste (señala el pan del escalón 7) ¿cuál se come, cariño? N – Señala el pan del escalón 8. I – ¿Después cuál? N – Señala el pan del escalón 9 y después el del 10. I – Señala sólo uno. N – Pone el Piolín en el escalón 9. I – ¿Y después cuál? N – Pone el Piolín en el escalón 10. I – Vale. Entonces el pajarito está aquí (pone el Piolín que estaba en el escalón 9, en el escalón 5) ¿Cuál se pone después de que ese? Una vez que se ha comido este, ¿cuál viene después? ¿ Cuál se come? ¿Cuál se come? N – Señala el pan del escalón 6. I (Quita todo de la escalera) Entonces, ahora el pajarito come en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no. En el primero es que sí. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Y ahora es en uno sí y en otro no. N – Pone un Piolín en el escalón 2. I – Es en uno sí y en otro no. N – (Pone Piolines en los escalones 3 y 4 y señala con el dedo los que lleva como si contara.) ¿Pongo otro en el 1, 2 y 3? (III2b) I – Bueno. ¿Tú estás poniendo uno sí y en otro no? N – (Pone otro Piolín en el escalón 5 va señalando con el dedo los Piolines colocados, pero no se corresponde con el conteo) 1, 2, 3, 4. (Pone otro Piolín en el escalón 6) 1, 2, 3, 4, 5 y 6. (Pone otro Piolín en el escalón 7) 1, 2, 3, 4, 5 y 6. (Pone otro Piolín en el escalón 7) 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1, 2, 3 y 4. I – Bueno, mira, te lo voy a poner yo y después tú vas a poner los Piolines. Yo pongo el pan y tú pones los Piolines (quita los trozos de pan de la escalera). Mira, el pajarito come en un escalón sí y en otro no, en éste (1) es que sí (pone un trozo de pan en el escalón), en éste (2) no, en éste (3) sí, en éste no (pone un trozo de pan en el escalón 5) sí, sí (pone un trozo de pan en el escalón 7), sí (pone un trozo de pan en el escalón 8). ¿Ves? En uno sí (1) y en otro (2) no.

En éste (3) sí, en éste (4) no, en éste (5) sí, en éste (6) no, y así, ¿vale? N – En éste sí... (señala el escalón 10). I – Pon pajaritos donde hay pan. N – (Coge un Piolín y lo pone en el escalón 2) ¿En éste? I – Donde hay pan. ¿Tú no lo ves que ahí no hay pan? N – (Cambia el Piolín al escalón 1 y pone otro en el 3. Pone otro en el escalón 4.)¿En éste? 1, 2, 3 (señala a los Piolines). ¡Ah! Todos juntos no. (III2b) I – No, juntos no. Es en uno sí y en otro no, cariño. N – (Pone un Piolín en el escalón 5) ¿En éste? I – Donde está el pan. Tú tienes que poner pajaritos donde hay pan. N – Pero mira, esto es pan. I – Claro. N – Vamos a ponerlo... (pone otro Piolín en el escalón 6). Entonces le ponemos un pan (pone un trozo de pan al lado del Piolín que ha puesto en el escalón 6). Y en éste (pone otro trozo de pan en el escalón 4). (Pone un trozo de pan y un Piolín en el escalón 10, pero después coge el Piolín recién puesto y lo pone en el escalón 7) ¿Aquí, no? Y éste aquí (pone otro Piolín en el escalón 8). *I – … Ese es el número 5. Pon uno en el número 7, cariño. (IV1) N – Coge un Piolín y lo va subiendo por toda la escalera. (IV1b) I – Pon un pajarito en el número 7. N – Deja el Piolín en el escalón 1. I – ¿Ese es el número 7? N – Pone otro Piolín en el escalón 2. I – Ahora, (quita los Piolines) mira, cuenta los escalones. Cuéntalos. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y 9 y 10 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes) (IV2a) I – Ahora, hay un pajarito en el número 5. Venga, vamos a colocar un pajarito en el número 5 (va subiendo la escalera con un Piolín) 1, 2, 3, 4 y 5 (lo deja en el escalón 5). Éste es el número 5, hemos contado y éste es el número 5. Pon uno en el número 6. N – No, pero éste no (quita el Piolín del escalón 5). I – Bueno, pues pon tú uno en el número 5. N – (Coge un Piolín y va subiéndolo por la escalera a la vez que cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10. (IV3b) I – Vale, muy bien. Dile adiós que ya nos vamos, cariño.

37) Jo. 3, 10. Nombre: Jose. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Junio.


*I – … Entonces tú tienes que poner de estos caramelos en todos y cada uno de los escalones conforme va subiendo. (I1) N – Pone caramelo en el escalón 8. I – En todos tienes que poner, conforme va subiendo. Tienes que poner en todos, para que los coma en todos, ¿vale? N – Pone 7 caramelos en el mismo escalón 8. (I1b) I –El Piolín va subiendo y se come los caramelos, mira. Se come en éste (pone caramelo en el escalón 1), después se come éste (pone caramelo en escalón 2) y así . N – Pone caramelo en los escalones 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (I2a, I3a, I1a, IE444 ) *I –…Después de comerse éste (5), ¿cuál se come? Como va subiendo... (II1) N – Señala el caramelo del escalón 6. I – Ese, ¿después cuál, cariño? N – Señala el caramelo del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el caramelo del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el caramelo del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el caramelo del escalón 10. I –entonces, antes de comerse éste, ¿cuál se había comido? ¿Antes? N – Señala el caramelo del escalón 4. I – ¿Y antes de ese? N – Señala el caramelo del escalón 6. I – Antes, antes, cariño. Cuando iba subiendo antes ¿cuál se comía? Antes se había comido éste (señala el caramelo del escalón 4) ¿Y antes de ese, cuál, cariño? N – Señala el caramelo del escalón 1. I – ¿Y antes? N – Señala el caramelo del escalón 2. I – ¿Y antes? N – Señala el caramelo del escalón 3. I – ¿Y antes? N – Señala el caramelo del escalón 4. I – Vale, bueno Jose, Ahora come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, y en el primero es que sí. Venga, ponlo cariño, N – Pone un caramelo en el escalón 1. I – Eso es, venga, sigue poniendo. N – Pone un caramelo en el escalón 3. I – Ahá. Venga, ponlo. N – Pone un caramelo en el escalón 2. (III2b) I – Es en uno sí y en otro no, cariño. N – Pone un caramelo en el escalón 4. I – ¿Está bien puesto? ¿Éste (2) está bien puesto? ¿Éste es en uno sí y en otro no? ¿Éste está bien puesto? ¿Eh? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Está bien puesto ese, Jose? ¿Sí? En éste (1) come, ahora en éste (2) no come. En éste (2) no

(quita un caramelo del escalón 2). En éste es que sí, ahora es que no (quita el del escalón ) Venga, ponlo. Sigue tú, cariño, es en uno sí y en otro no. N – Pone un caramelo en el escalón 4. I – ¿Por qué come aquí? ¿Por qué has puesto uno aquí? N – Cambia el caramelo del escalón 4 al escalón 5. I – Ahá, venga, ponlo. N – Coloca otro caramelo en el escalón 6. I – Es en uno sí y en otro no, vida mía. ¿Lo pones? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Esto (señala el caramelo del escalón 6) está bien puesto aquí? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿Ahí es en uno sí y en otro no? ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – Jose, mira, (coge el del escalón 6 y lo pone en el escalón 7) es en uno sí (señala el del escalón 5) y en otro no (6), en uno sí (7), ahora en éste (8) no y éste (señala el escalón 9) es que... ¿A éste qué le toca? N – Señala donde están los caramelos. I – Que sí, ¿no? Pues, ponlo. N – Pone un caramelo en el escalón 9. *I – … Pon Piolín en los sitios que sí hay. (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 6. (III1b) I – ¿Ahí hay? Aquí no hay (pasa el dedo a lo largo del escalón 6). ¿Por qué lo has puesto? N – Cambia el Piolín del 6 al 7. I – Venga, pon más. ¿Aquí (7) hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No hay? N – Dice no con la cabeza y pone el Piolín en el escalón 8. I – ¿Ahí hay? N – Primero mueve la cabeza como diciendo no y después como diciendo sí. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No hay? N – Dice no con la cabeza y señala el escalón 9. I – ¿Y ahí hay? ¿Por qué? N – Porque sí. I – … Cuenta los escalones, cariño. N – (Va señalando los escalones uy bajito va diciendo los números ). I – Voy a colocar éste (coge un Piolín y lo pone en el escalón 5) aquí. ¿En qué número lo he puesto? N – Señala el escalón 5. I – Ahí, ¿ese qué número es? N – El 4.


I – ¿Por qué? N – Porque sí.. I – ¿El 4? ¿Porque sí, no? Bueno, Jose, venga, éste es el 5, ¿eh? N – Dice sí con la cabeza. I – Éste es el número 5, sino cuéntalo, verás como es el número 5, cuéntalo. N – 1, 2, 3, 5, 6, ... (va señalando por toda la escalera se corresponde hasta el 3, después no y dice los números a partir del 6 tan bajito que no se le escucha). (IV2b) I – Vale, éste (5) es el 5, pon otro en el 7. N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4. I – ¿Ese es el 7? N – Lo cambia del escalón 4 al 6. I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza.

I – ¿Por qué? N – Aquí... I – Bueno, Jose, ahora (quita los Piolines de la escalera) coloca otra vez esto(señala la caja de los caramelos) en uno sí y en otro no. N – Pone uno en el escalón 1 y mira a la investigadora. I – Bueno, Jose, (pone un caramelo en el escalón 3), mira, éste es el 1 y es que sí, ¿éste (3) qué número es? N – 1. I – ¿El 1 también? N – Dice sí con la cabeza. I – Bueno Jose, lo quitamos porque los Piolines ya van a descansar para comerse todos los caramelitos y tú te comes estos.

38) Ke. 3, 9. Nombre: Kevin. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Julio. I – ¿Por qué después de este (5) se come este (6)? N – Se queda callado mirando la escalera. I – Bueno, no importa Kevin. Ahora, vamos a hacer otra cosita. Ya el Piolín no se lo come en todos (va quitando todo de la escalera), en todos ya no se lo come, porque ahora vamos a hacer otra cosa. Ahora el Piolín se va a comer los caramelitos en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? En el primero es que sí, venga ponlo. Pon en uno sí y en otro no, cariño. Coge uno y lo pones. Allí en el primero es que sí. N – Coloca un caramelo en el escalón 1. I – Venga, ahora colócalo en uno sí y en otro no. Venga, colócalo, cariño. N – Pone otro caramelo en el escalón 2. I – Es en uno sí y en otro no, vida mía. Kevin, ¿lo has puesto bien? Es en uno sí y en otro no. En éste escalón (1) come, ¿en éste (2) come? N – No. I – Pues entonces quítalo, no lo pongas. N – (Quita el caramelo del escalón 2) I – Es en uno sí y en otro no. ¿En éste (3) come? N – Dice sí con la cabeza. I – Pues ponlo, cariño. N – Pone uno en el escalón 3. I – Es en uno sí y en otro no, venga sigue poniendo, en uno sí y en otro no. N – Coloca otro caramelo en el escalón 5. I – Muy bien, Kevin. Venga, ponlo. N – Coloca caramelos en los escalones 7 y 9. *I – … coloca un Piolín en los sitios que sí hay. (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ahí come, cariño? N – Se queda callado mirándolo.

I – Venga, colócalo, coloca en todos los que tú creas que hay. N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Ya está? ¿Y por abajo? N – Pone Piolines en los escalones 4 y 3. (III1b) I – Cariño, ¿aquí come? ¿Éste come aquí (señala el Piolín del escalón 4)? Éste (4) se ve. N – Cambia el Piolín del escalón 3 al 2. I – ¿Éste (4) come? Mira, ¿éste de aquí (4) come? N – Se queda callado mirando. I – ¿Ese está bien puesto, Kevin? N – Se encoge de hombros y dice que no con la cabeza. I – Ponlo donde tú crees que está bien puesto. N – Se queda callado mirando. I – ¿Ese come? ¿Éste come, cariño? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ese come? Si estás viendo que no (señala con el dedo todo el escalón). ¿Lo ves? Este se ve, aquí no hay. N – Se queda callado mirando y quita el Piolín del escalón 4. I – ¿Éste de aquí (2) come, cariño? N – Dice sí con la cabeza. I – No, ese no come. (Levanta el muro inferior) ¿Lo ves?, no come. Colócalo en los sitios donde tú crees que come. N – Cambia el Piolín del escalón 2 al 3. I – Ahá. ¿Y dónde más? N – Se queda callado mirando. I – ¿Ya no pones más? ¿No? Kevin, mira (levanta el muro), aquí (señala el escalón 1) te falta. Pon otra vez que ahí sí. N – Pone un Piolín en el escalón 1.


I Éste (5) está comiendo aquí ¿Por qué este (7) come? N – Se queda callado. I – ¿Lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? Bueno, Kevin, lo has hecho bien (quita los muros), ¿lo ves? Aquí hay y lo has puesto en los sitios que hay, muy bien. (Vuelve a colocar los muros) Ahora vamos a seguir viendo ese, ¿vale? (quita todos los Piolines, menos el del escalón 5) Ahora, yo lo voy a poner en un sitio, por ejemplo lo pongo aquí (8). ¿Aquí va a comer el pajarito? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Porque hay. I – ¿Y por qué hay, cariño? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – No cariño, aquí no hay (levanta el muro superior). ¿Ves que no hay? Bueno, y si yo coloco uno aquí (pone un Piolín en el escalón 3) ¿aquí hay? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Porque no. *I – … Éste es el número 5, está en el número 5, ¿vale?. Pon otro en el número 7. (IV1) N – Pone un Piolín en el escalón 6. (IV1b) I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por es el 7 ese? N – Porque sí. I – Cuenta los escalones, cariño. A ver cómo los cuentas. Kevin, cuenta los escalones. N – Callado va recorriendo con la mirada los escalones. I – Pero, en voz alta que yo te escuche. Cuéntalos, vida mía. N – Se queda callado mirando los escalones. I – ¿Qué lo estás contando bajito? ¿Lo estás contando bajito? Bueno, Kevin, si yo pongo éste aquí (quita los Piolines y pone otro en el escalón 7), ¿en qué número lo he puesto? N – Se queda callado mirando los escalones. I – No lo sabes o que no me quieres contestar. ¿Lo sabes, cariño? N – Dice sí con la cabeza. I – Venga, dímelo, vida mía. N – En el 7. I – En el 7. ¡Qué bien sabe este niño! ¿Y cómo lo has adivinado que es el 7? Venga, dímelo. ¿Cómo lo has adivinado, Kevin? ¿Lo has contado? N – Dice no con la cabeza.

I – Entonces, ¿cómo? Bueno, pero lo has adivinado, venga. Si ahora yo lo pongo aquí (coloca el Piolín en el escalón 9), ¿en qué número lo he puesto, cariño? N – En el 6. I – ¿En el 6? ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Sí? Y si yo ahora lo pongo aquí (coloca el Piolín en el escalón 5), ¿en qué número lo he puesto? N – En el 8. I – ¿En el 8? ¿Sí? Y si lo pongo aquí (3), ¿en qué número lo pongo? N – En el ... en el 1. I – ¿En el 1? Anda, ¿y cómo lo sabes? N – Porque sí. I – Venga, ahora ponlo tú... Yo te digo un número y tú lo pones. Ponlo en el número 5. N – Lo pone en el escalón 6. I – ¿Ese es el 5? ¿Por qué? N – Porque sí. I – ¿Porque sí? Bueno, mira, Kevin, ahora vamos a hacerlo igual que antes, en uno sí y en otro no y con números, ¿vale? Coge los caramelitos y los pones en uno sí y en otro no. N – Coge un caramelo y lo sostiene en el aire y mira a la escalera. I – ¿Lo ponemos en uno sí y en otro no, vida mía? N – Se queda quieto mirando la escalera. I – Bueno, yo te ayudo y lo ponemos, ¿vale? Es un uno sí (pone un caramelo en el escalón 1) y en uno no, ahora sí (pone un caramelo en el escalón 3), éste (4) no, éste (5) sí (pone otro caramelo), éste (6) no, éste (7) sí (lo pone), éste (8) no y éste (9) sí (pone un caramielo). Ahora, éste es el 1 (pone un Piolín en el escalón 1) el 1 es que sí. Venga ves poniendo los pajaritos donde hay y ve diciéndome los números. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese cuál es? N – El 1. I – El 1 es éste (lo señala), cariño. Éste (2) es el 2 y éste (3) es el ... ¿Cuál es ese? N – Se queda callado. I – ¿Cuál es, Kevin? ¿No lo sabes? ¿Cuál es, vida mía? ¿Lo sabes o no? ¿No lo sabes? ¿Sabes decir los números? N – Dice sí con la cabeza. I – Venga, dímelo. ¿Sabes decir los números, vida mía? ¿Éste (3) qué número es? ¿Qué número está ahora el pajarito? ¿No sabes los números o que no me lo quieres decir? N – Se queda callado. I – Bueno, Kevin, ya está, vámonos para la clase, coge tus caramelitos.


6.1.5. Colegio Público (Media Línea) Rural, H. 39) Ma. 3,5. Nombre: María. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Noviembre. *I – … Tú tienes que poner pan en todos los escalones conforme va subiendo, cariño. (I1). N – Pone un trozo de pan en el escalón 8. I – En todos, cariños. N – Pone otro trozo en el escalón 9. I – En todos. N – Pone otro en el escalón 7. I – ¿Ya están en todos? N – Dice no con la cabeza. I – Pues venga, ponlo en todos. N – Pone trozos de pan en los escalones 6, 5, 4, 3, 2, 1. I – ¿Ya están en todos, vida mía? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí, seguro? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Lo has mirado ya en todos? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y en éste (señala el escalón 10)? N – Pone un trozo en el escalón 10. (IE111 ) I – ¿Ya están en todos? N – Dice sí con la cabeza. *I – Vale, entonces ahora, conforme va subiendo el Piolín se coloca aquí (5), entonces se come éste pan y después sigue subiendo. ¿Después de comerse este pan (5) qué pan se come? (II1) N – Señala el pan del escalón 5. I – Se come ese, y después, ¿cuál se come? N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 8. I – ¿Después de ese cuál? N – Señala el trozo de pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 10. I – Ahá. Y como ha ido subiendo, cuando se ha comido éste (5) ¿qué pan se ha comido antes que ese? N – Señala el trozo de pan del escalón 10. (IIE111 ) I – No, por ahí abajo, por abajo. N – Señala el trozo de pan del escalón3. I – ¿Y antes? N – Señala el trozo de pan del escalón 2. I – ¿Y antes? N – Señala el trozo de pan del escalón 1.

I –Cuando se come éste (5), ¿por qué se come después éste (6)? N – Dice sí con la cabeza. I –Quita todo de los escalones. Venga, María, mira, ahora, ya el Piolín no come pan en todos los escalones, ahora come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el primero es que sí. Venga, ponlo.. N – Pone un trozo de pan en el escalón 8. (III1b, III2b, III3b) I – ¿Así está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Así has puesto en uno sí y en otro no? N – Dice no con la cabeza. I – Venga, ponlo. N – Pone otro trozo en el escalón 7. I – ¿Así está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – No, mira María, cariño. Es así: en éste come (pone un trozo de pan en el escalón 1), en éste (2) no come, en éste sí come (pone otro trozo en el escalón 3), sigue tú. En uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 4. I – Es en uno sí y en otro no. ¿Ahí lo has puesto bien? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Lo has puesto bien ahí? ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – Cariño, es en uno sí y en otro no. Aquí sí (cambia el trozo de pan del escalón 4 al 5). Ahora sigue tú, venga, sigue cariño. N – Pone un trozo en el escalón 4. I – No, María, es en uno sí y en otro no (quita los trozos de los escalones 4 y 5). Bueno, venga , en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no (pone trozos de pan en los escalones 5, 7 y 9), ¿vale? ¿Lo ves que es en uno sí y en otro no? Bueno, entonces ahora los Piolines se ponen en el sitio que come pan. Venga, pon Piolín en los sitios que come pan. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – Ponlo en todos los que sí come pan, cariño. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ya lo has puesto en todos? N – No. (Pone otro Piolín en el escalón 9) I – ¿Ya lo has puesto en todos? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿ En todo lo has puesto ya? N – En eso me falta. (Pone un Piolín en el escalón 3) *I – … Ponlo en los sitios que hay pan detrás, cariño (III1).


N – Pone en los escalones 7, 4, 3, 2, 1, 8, 9, 10. I – Has puesto todo. Mira (levanta el muro superior) éste (10) no come, éste (8) no come. Lo has puesto en todos los sitios. Bueno, cariño, ahora vamos a hacer otra cosita, ¿vale? (Va quitando todo de la escalera) Venga, María, vamos a ver... María, cuenta los escalones N – Va pasando el dedo por los escalones, como contando, desde el primer escalón hasta el último. I – En voz alta, vida mía, que no te escucho. Cuéntalos. N – 2, 3 y 4. (Va pasando el dedo por la escalera de abajo a arriba). (IV2b).

I – Pon un Piolín en el escalón número 5. N – Pone un Piolín en el escalón número 4. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Se encoge de hombros. I – Ese no es el número 5 N – Cambia el Piolín del escalón 4 al 3. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – Bueno, ya está María, vámonos.

40) Ma. 3,11. Nombre: Marta. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo. *I – … Ponle pan a los Piolines en todos los escalones, conforme van subiendo (I1) N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – … Después de comerse ese qué pan (5) ¿Cuál se come? (II1) N – Este (señala el pan del escalón 6). I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 10. I – Ahá, y ha ido subiendo. Entonces, ¿antes de comerse éste (5) qué pan se había comido, antes? N – Éste (señala el pan del escalón 6). (IIE111 ) I – No, ese es después. N – Éste (Señala el pan del escalón 1). I – ¿Y antes que ese? N – Señala el pan del escalón 2. I – ¿Ese que se lo come antes o después? N – Después. I – ¿Y antes? ¿Cuál se comía? N – Dice que sí con la cabeza y señala el pan del escalón 3. I – ¿Y antes? N – Señala el pan del escalón 4. I – Bueno. Si se come éste (5), ¿por qué después se come éste (6)? ¿Por qué? N – Porque va del uno al otro. (IIE333 ) I – (Va quitando todo de la escalera), cariño, lo quitamos porque ahora el Piolín ya no va a comer pan en todos los escalones, ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en

otro no. Y en el primero es que sí. Venga, pon en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. N – Pon un trozo de pan en el escalón 1. I – Venga, coloca el pan en uno sí y en otro no. N – Pone otro trozo de pan en el escalón 2. I – En uno sí y en otro no, vida mía. N – Pone otro trozo en el escalón 3. I – ¿Está bien puesto así? N – Quita el pan del escalón 2. I – Ahá, venga en uno sí y en otro no. Continúa. N – Pone trozos de pan en los escalones 8 y 6. (III2b) I – ¿Ya está así bien puesto? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Seguro? N – Dice sí con la cabeza. I – Mira, Marta, en éste (1) es que sí, en éste (2) es que no, en éste (3) es que sí, ahora (señala el escalón 4) viene que no, ¿después cómo continúa? N – Que sí. I – Y ¿por qué aquí....? ¿Esto está bien (señala el tramo de los escalones del 4 al 6)? N – Dice no con la cabeza. I – Pues ponlo bien. N – Cambia el trozo del escalón 6 al 5 y el del 8 al 4. I – ¿Así está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – Es en uno sí y en otro no. N – Cambia el trozo de pan del escalón 5 al 9. I – ¿Así está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – Mira, en éste (3) sí, en éste (4) no, estaba mal puesto (cambia el pan del escalón 4 al 5) en éste (5) sí, en éste (6) no, ahora (cambia el pan del escalón 9 al 7) en éste sí, ¿ahora cómo continúa?


N – Señala el escalón 6. I – ¿Sí? N – Dice sí con la cabeza. I – No, es en éste (6) no, en éste (7) sí, en éste (8) no, y en éste (9) sí y en éste (10) no. Es así, ¿vale? N – Dice sí con la cabeza. *I –…Venga, coloca los Piolines en los sitios para que cuando quitemos los tabiques haya pan. (III1) N – Coloca Piolines en los escalones 7, 6, 3, 9, 4, 10, 2, 1. (III1b) I – Pero, mira Marta (levanta el muro superior) éste (10) no come, éste (7) lo habías puesto bien, pero éste, fíjate, lo has puesto en todos. En todos no, era únicamente en los sitios donde sí comía pan. Bueno, vamos a hacer otra cosa, cariño. Vamos a quitar este de aquí, vamos a dejarlo como estaba antes (va quitando todos los Piolines menos el del 5) y yo únicamente te voy a hacer una preguntita con esto. Si yo pongo este Piolín aquí (8), ¿éste come pan? ¿Ese va a comer pan? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no tiene pan. I – Pero, ¿por qué sabes que no? N – Porque está comiendo este pan (señala el pan del escalón 5). I – Porque el otro está comiendo, ¿no? De acuerdo. Si yo lo pongo aquí (pone un Piolín en el escalón 9), ¿éste va a comer pan? N – Dice no con la cabeza. (III3b) I – No va a comer pan. ¿Por qué? N – Porque el otro está comiendo. I – Porque el otro está comiendo, ¿no? Vale. (Levanta el muro) Pues éste (9) sí come, porque aunque coma éste (5), éste puede comer, pero éste (8) no come, ¿de acuerdo? Bueno, Marta, ahora vamos a contar, ¿de acuerdo? (Va quitando todo de los escalones) Cuenta los escalones. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (va señalando con el dedo los escalones, pero no se corresponden con los número nombrados). (IV2b) I – Coloca un Piolín en el número 5, en el escalón número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese es el 5? N – No (quita el Piolín y va señalando con el dedo los escalones a la vez que cuenta) 1, 2, 3, 4 y 5 (deja el Piolín en el escalón 5). I – Ahá, ese es el 5, coloca otro en el número 7. N – 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo desde el principio de la escalera y deja el Piolín en el escalón 7). I – Coloca otro en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Por qué ese es el 9?

N – (Lo quita y va contando señalando con el dedo, pero no se corresponde) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (vuelve a poner el Piolín en el escalón 9). I – Coloca otro en el número 3. N – 1, 2, 1, 2, 3 (va señalando los escalones correspondientes con el dedo y pone un Piolín en el escalón 3). I – Vale, muy bien Marta. Ahora, Marta vamos a hacerlo con pan, como antes, y con los números, ¿de acuerdo? Coloca pan en un escalón sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I – En uno sí y en otro no, vida mía. N – Pone otro trozo de pan en el escalón 6. ¿Así? I – No, es: en éste (1) sí, en éste (2) no, en éste (3) sí (coloca el pan del escalón 6 en el 3). Sí (1), no (2), sí (3), ahora (4) vendría no. N – En éste (5) (pone un trozo de pan en el escalón 5). I – Que sí. N – En éste (pone un trozo en el escalón 7). I – Exacto. N – Éste (pone pan en el escalón 8 sin soltarlo). I – En ese que no N – Pone el trozo en el escalón 9. I – Y ese que sí, de acuerdo. Ahora, vas poniendo los Piolines al lado del pan y me dices en el número que está. N – En el 1 (pone un Piolín en el escalón1), en el 2 (pone otro Piolín en el escalón 3). I – No, el 2 es éste. N – En el 2 (deja el Piolín en el escalón 3). I – No, ese no es el 2, cariño. N – ¿En el 2 éste? (Pone un Piolín en el escalón 2) I – En ese no hay, y entonces, ¿dónde ponemos el Piolín? N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Y ese qué número es? N – El 7. I – No. N – El 9. I – No. N – El 27. I – ¿El 27? N – Yo he dicho 1, 2 éste va aquí (va señalando con el dedo los escalones y coge el Piolín del escalón 5 y lo cambia al 3). I – ¿Y ese cuál es? N – El,... mira, 1, 2, 3 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). 3. I – En el 3, sí hay. Venga, sigue colocando Piolines y me dices en el número en el que está. N – 1, 2, 3, 4 y 5 (señala con el dedo los escalones correspondientes mientras cuenta y deja el Piolín en el escalón 5). I – Ahá.


N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (4), 5 (5), 6 (6), 7 (6), 7 (6), 8 (7) (deja el Piolín en el escalón 7). 8. (Coge otro Piolín y vuelve a contar desde el principio) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (hasta aquí hay correspondencia), 7 (6), 8 (7), 9 (7), 10 (8), 11 (9) (pone un Piolín en el escalón 9). I – Mira, Marta, es: 1, en el 1 sí hay, en el 2 no hay, en el 3 sí hay, en el 4 no hay, en el 5 sí hay, en el 6 no hay, en el 7 sí hay, en el 8 no hay y en el 9 sí hay y en el 10 no hay. (Va señalando con el bolígrafo los escalones correspondientes) ¿De acuerdo? ¿Lo has visto como es? Entonces yo ahora voy a tapar esto (va quitando los Piolines de la escalera, menos el del escalón 5) y tú me dices los números y si hay o no hay, ¿vale? Yo por ejemplo, taparía aquí (pone el muro inferior) y tapo aquí (pone el muro superior). Yo te digo, ¿en el 8 come el pajarito pan? N – No. I – ¿Cuál es el 8? N – Señala el escalón 9. I – Ponlo, pon un pajarito ahí. ¿Ese es el 8? N – Coloca un Piolín en el escalón 9. I – ¿Por qué ese es el 8? N – Porque... I – Éste es el 5 (lo señala), ¿eh? En el 5 sí hay, ¿ese es el 8? N – No. I – ¿Es el 8 o no es el 8? N – No. I – Yo quiero que lo pongas en el 8 Pon un pajarito en el 8.

N – Señala el Piolín colocado en el escalón 9. I – Ese es el 8, ¿por qué es el 8? N – Porque, ..., el 8,... Porque antes no había ahí Piolín. I – Pero, ¿ese es el 8? El pajarito está en el 5 y sí come. Quiero que lo coloques en el 8. N – Pero el otro está comiendo, ... el otro no había antes, y ... el otro no había antes, y el otro,....y como el otro está comiendo, el otro no está comiendo. I – Pero, ¿ese es el 8? N – Dice no con la cabeza. I – Yo quiero que lo pongas en el 8. N – (Se queda mirando a la mesa y murmura.) Es que el otro está comiendo... I – Sí, Marta, pero ¿por qué no pones un Piolín en el 8? N – Lo he puesto (señala el Piolín colocado en el escalón 9). I – Pero, ¿por qué ese es el 8? Dímelo. Entonces, ¿éste (8) cuál es? (Se queda señalando con el dedo el escalón 8) N – El 9. I – ¿El 9? N – (Dice sí con la cabeza.) Mira, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (se corresponde) 9 (señala de nuevo el escalón 8) 9. I – ¿Sí? Bueno, Marta, (levanta el muro superior), ahí sí come y ahí también (señala los escalones 9 y 7). Bien, Marta, pues ya hemos terminado

41) Ju. 3,9. Nombre: Juan. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Julio. *I – … Entonces, coloca pan en todos los escalones conforme va subiendo. Venga, ponlo, cariño. (I1) N – Pone un trozo de pan en el escalón 2. I – En todos, cariño, en todos. Tienes que poner pan en todos. N – Pone pan en los escalones 4, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10. I – ¿Ya has puesto en todos? N – Sí I – No, te falta uno. N – ¿A dónde? I – En el tercero. N – Pone otro trozo en el escalón 3. (I1a, IE222 ) *I – …Entonces cuando está aquí se come este pan y después sigue subiendo. Entonces, ¿qué pan se come después que ese(5)? (II1) N – Señala el pan del escalón 6. I –¿Y después? N – Señala el pan de la cajita. I – No, esos no están ahí. Va subiendo la escalera. Se come los que están en la escalera.

Después de éste (5) has dicho tú que se come éste (6), ¿y después? N – Señala el pan de la caja. (II1b) I – ¿Y después? N – Vuelve a señalar el pan de la escalera. I – ¿Y después? N – Señala el pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Vuelve a señalar el pan de la caja. I –Como ha ido subiendo, cuando ya ha llegado aquí (5), ¿antes de comerse éste (5), qué pan se come? N – Señala el pan del escalón 10. I – Mira, Juan, el pajarito va subiendo, está aquí (pone el Piolín en el escalón 1) va subiendo, cuando está aquí (1) se come éste pan, después se come éste (2), después se come éste (3), después se come éste (4), venga sigue tú, ¿después cuál se come? N – Señala el trozo de pan del escalón 1. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 2. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 3.


I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 4. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 5. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 7. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 10. (II2a) I – Vale. El pajarito va subiendo. Ha subido todo esto, todo esto y se ha puesto aquí (pone el Piolín en el escalón 8) y se come éste. ¿Después de comerse éste (8), cuál se come? N – Señala el trozo de pan del escalón 9. (II3a) I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 10. I – Ahá. Muy bien. Entonces, si el pajarito lo ponemos aquí (5), se come éste, ¿cuál se come después? N – Señala el trozo de pan del escalón 4. I – Es al subir, va subiendo. Ya ese se lo ha comido, ¿cuál se come después? N – Señala el trozo de pan del escalón 4. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 3. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 2. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 1. I – ¿Qué escalón viene antes que éste (5)? N – Señala el pan del escalón 4. I – ¿Y cuál está después de éste (5)? N – Señala el trozo del escalón 3. I – Después de éste (5), de éste que estoy señalando. ¿Cuál es el que viene después? N – Señala el trozo del escalón 6. I – Vale, ¿y antes de éste (5)?. N – Porque viene éste de aquí. I – (Va quitando todo de la escalera). Lo vamos a quitar todo, ¿sabes? Lo quitamos todo porque ahora ya no come pan en todos los escalones. Ahora come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Venga, ponlo tú en uno sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I – En uno sí y en otro no. N – Pone otro trozo de pan en el escalón 2. I – Es en uno sí... En un escalón come y después es que no, ¿de acuerdo? Entonces, ¿eso está bien puesto? N – Dice sí con la cabeza. I – Venga, ponlo en uno sí y en otro no. N – Pone un trozo de pan en el escalón 3.

I – ¿Está bien puesto eso? N – Dice sí con la cabeza. I – Mira, Juan, es en uno sí (1), en éste (2) no (quita el pan de ese escalón), en éste (3) sí, ahora es que no, ahora es que... ¿En éste (5) qué es, que sí o que no? N – Que no. (III2b) *I – … Coloca tú Piolines en los sitios que sí va a comer, que detrás hay pan. (III1) N – Va a ponerlo detrás del muro. I – No, lo colocas aquí y después lo vemos, lo quitamos y ya lo vemos. Venga. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Venga, sigue colocando Piolines en los sitios que sí come. N – Pone otro Piolín en el escalón 8. (III1b) I – ¿Ahí va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? ¿Sí va a comer? Venga, sigue colocando en los sitios que sí come. N – Pone Piolines en los escalones 9 y 10. I – ¿Y por abajo? N – Pone Piolines en los escalones 3, 2 y 1. I – No, mira Juan, has puesto Piolines, mira, aquí (10) has puesto y aquí no se come, ¿lo ves? Eres un mago regular, porque aquí (8) has puesto, pero aquí no come pan, ¿lo ves? Y lo mismo pasa por ahí abajo, ¿de acuerdo? Vamos a quitar los Piolines y vamos a hacerlo ahora conforme yo te vaya diciendo, ¿de acuerdo? Mira, Juan, en éste sí come, si yo coloco aquí un Piolín (pone un Piolín en el escalón 7), ¿aquí va a comer? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Ahí va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Tú qué dices que sí o que no? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Que no? N – No. I – ¿Por qué? ¿Por qué no come? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque no hay trozo de pan ahí. I – ¿Y por qué crees tú que no hay pan? N – Porque aquí (señala el escalón 10) no hay pan. I – No, pero tú estás viendo que aquí (5) sí hay, ¿lo ves como aquí sí hay? ¿Aquí (7) hay? N – No. I – ¿Por qué? N – Porque no hay. I – ¿No hay? (Levanta el muro para dejar ver los trozos de pan) Sí hay, aquí has dicho que no hay y sí hay. Mira, Juan (quita el muro inferior y pone Piolines en los escalones 2 y 1), aquí ponemos un Piolín y aquí ponemos un Piolín porque comen pan. ¿Dónde más tienes que poner Piolines? Coge un Piolín y lo colocas.


N – Pone un Piolín en el escalón 8. I – ¿Ahí? (Quita el muro superior) Juan, mira, aquí (8) no hay, ¿lo ves? y tú habías dicho que sí había. Bueno, Juan, vamos a ver, cuenta los escalones (va quitando todo de la escalera). Ahora vas a contar los escalones, ¿de acuerdo? Quiero que los cuentes. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12 (empieza a contar desde arriba de la escalera) (IV2b). I – Bueno, Juan, coloca un Piolín en el número 5. N – Coloca un Piolín en el escalón 7. (III3b, IIIb) I – ¿Ese es el número 5? N – ¿Y éste? (Cambia el Piolín del escalón 7 al 8) I – ¿Ese qué número es? N – El 5. I – No, mira. (Coge un Piolín y lo va pasando por los escalones desde abajo) 1, 2, 3, 4 y 5, éste es el número 5. Ese es el número 5. Coloca un Piolín en el número 8. N – (Pone un Piolín en el escalón 9) ¿Éste es? I – No. N – Este no es (coge el Piolín que había colocado en el escalón 9). I – Pues venga, colócalo en el sitio que sí es. N – (Pone el Piolín en el escalón 8) ¿Aquí? I – ¿Ese es el número 8? N – No. I – Pues entonces colócalo en el número 8. N – ¿Éste? (Pone el Piolín en el escalón 7). I – ¿Ese es? N – No.

I – ¿Cuál es? El que yo he puesto, éste (5) está en el número 5 N – ¿A dónde lo pongo? I – En el número 8. N – ¿Aquí? (Pone el Piolín en el escalón 4) I – ¿Cómo puedes averiguar si es el 8 o no? N – Sí es el 8. I – Ese es el 8, ¿no? Bueno, Juan, mira, ahora vamos a hacer una cosa, ponemos pan en uno sí y en otro no, igual que antes, ¿vale? Colocamos el pan en uno sí y en otro no. Ahora tienes que poner Piolines donde hay pan y decirme en el número en el que está, ¿de acuerdo? Por ejemplo, éste está aquí (pone un Piolín en el escalón 1), éste es el 1, en el 1 sí hay pan. Sigue colocando Piolines donde hay pan y me dices el número. N – (Pone un Piolín en el escalón 5) I – ¿Qué número es ese? N – El 3. I – ¿Por qué ese es el 3? N – Porque sí. I – Venga, sigue colocando y me dices los números. N – Coloca otro Piolín en el escalón 3. I – ¿Qué número es ese? N – El 9. (Pone otro Piolín en el escalón 7) I – ¿Y ese? N – El 3. (Pone otro Piolín en el escalón 9) I – ¿Y ese? N – El 3. I – ¿El 3 también? Bueno, ya está Juan, vamos a dejarlo ya, cariño, para que tú puedas hacer tu gimnasia.

42) Da. 4,4. Nombre: David. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Diciembre. *I – … Tú tienes que poner pan en todos los escalones, conforme va subiendo tienes que poner uno en cada uno (I1). N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ). *I –…¿Después de comerse éste (5) cuál se come? (II1) N – Señala el pan del escalón 8. I – ¿Ese? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y todos esto qué (señala los trozos desde donde está colocado el Piolín hacia arriba), no se los come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Después de comerse éste (5), cuál se come? N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 7. I – ¿Y después?

N – Señala los trozos de los escalones 8, 9 y 10. I – Y cuando iba subiendo, hasta llegar aquí (5), ¿antes de éste (5) cuál se había comido, antes? N – Señala el trozo de pan del escalón 1. I – ¿Y éste (4)? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Antes de éste (5), cuál está? ¿Cuál está antes? N – Señala el trozo de pan del escalón 1. I – ¿Y después? ¿Cuál está después de éste (5)? N – Señala el trozo de pan del escalón 2. I – Después de éste(5). N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – Ahá. ¿Y antes de éste (5)? N – Señala el trozo de pan del escalón 7. I – ¿Antes de éste (5) que estoy señalando? N – Señala el trozo de pan del escalón 4. I – ¿Antes de éste (4) que estoy señalando? N – Señala el trozo de pan del escalón 3 I – ¿Antes de éste (3) que estoy señalando?


N – Señala el trozo de pan del escalón 2 I – ¿Antes de éste (2) que estoy señalando? N – Señala el trozo de pan del escalón 1 (II1a, IIE111 ) I – Bueno, David, quita el pan y vamos a hacer otra cosa. N – Lo quita todo de la escalera. I – Mira, David, cuando va subiendo, ahora ya no se lo come en todo, ahora se come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. Venga, colócalo, a ver si tú sabes cómo lo tienes que poner. N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. (III2a) *I –…Colócalos aquí los Piolines en los sitios que sí hay pan detrás de la pared. (III1) N – Pone Piolines en los escalones 10, 9, 8 y 7. (III1b) I – ¿Tú crees que éste Piolín (10) va a comer pan? ¿Detrás, cuando yo quite esto ahí va a haber pan? N – Quita los Piolines de los escalones 10 y 9 y cambia el del escalón 8 al 9. I – ¿Así está bien? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Éste Piolín (7) va a comer pan? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque hay pan. I – ¿Y por qué hay? N – Porque está el Piolín. I – Sí, porque tú lo has puesto el Piolín, pero ¿por qué hay pan detrás de esto? Cuando yo quite esto ¿por qué va a haber pan ahí detrás? ¿Por qué? N – No sé. I –¿Y éste (9), comerá pan? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Tú crees que cuando yo quite esto, éste (9) va a comer pan? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer pan éste? N – No lo sé. I – ¿No lo sabes? ¿No sabes por qué va a comer pan? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y por ahí abajo, comerá pan alguno? N – Pone Piolines en los escalones 1 y 3. (III3a) I – ¿Por qué va a comer pan éste (3), cariño? N – Se encoge de hombros. I – ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – Pero, ¿por qué va a haber pan detrás de la valla? N – Se encoge de hombros. I – Bueno, (levanta el muro superior) pues lo has adivinado, eres mago, no sabes el truco, pero lo has adivinado, ¿lo ves? éste (9) come y aquí (7) come, y aquí (levanta el muro inferior)

exactamente igual, ¿lo ves? Lo has hecho bien, bien, bien, bien, lo has hecho perfecto. Ahora, (vuelve a poner los muros) yo te voy a preguntar una cosita y tú me lo vas a decir (quita los Piolines de la escalera, menos el del escalón 5). Mira, éste (5) sí come, tú lo estás viendo, éste sí come, y por aquí tú tienes que saber el truco. Éste sí come, y aquí (6) no come. Entonces, si yo coloco uno aquí (pone un Piolín en el escalón 8), ¿Lo he puesto en un sitio que hay pan o en un sitio que no hay? N – Hay pan. I – ¿Que sí hay? ¿Por qué? N – Se encoge de hombros. I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No sabes? (Levanta el muro superior) Pues no eres mago, porque éste (8) lo he puesto en un sitio que no hay. Tú tienes que adivinarlo (pone el muro de nuevo), aunque no lo veas lo tienes que adivinar, ¿vale? (Pone el Piolín en el escalón 10) N – No, ahí tampoco. I – ¿Ahí no come?, ¿por qué? N – Se encoge de hombros. I – ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – Aquí sí lo has adivinado (levanta el muro), aquí sí sabes que no come. Muy bien. Si yo coloco uno aquí (pone un Piolín en el escalón 7), aquí es que sí o que no? N – Dice que no con la cabeza (III3b). I – Mira, en este (5) come porque lo estás viendo, ¿en qué escalón después de éste tenemos que pones el Piolín para que coma? N – Se encoge de hombros. (III3b) I –Vale, y si coloco uno aquí (3) ¿es que sí o que no? N – Dice que no con la cabeza. I – (Va quitando todo de la escalera) Yo quiero que cojas un Piolín y lo coloques en el número 5. N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando el escalón correspondiente y pone el Piolín en el escalón 5). (IV2a, IV3a) I – Eso es, muy bien. Ese está en el número 5, ¿tú sabes colocar, ahora, uno en el número 3? N – 1, 2, 3 (coloca el Piolín del escalón 3). I – ¿Vale? Éste (5) está en el 5, ¿tú has tenido en cuenta que éste está en el 5 para poner éste (3) en el 3? N – Dice no con la cabeza.(IV1b) I – No lo has tenido en cuenta, yo quiero que lo tengas en cuenta. Si éste (5) está en el 5... (Quita el Piolín del escalón 3) Éste (5) está en el 5, (pone un muro delante de los primeros escalones de la escalera). Quiero que coloques uno en el número 7. N – 1 ... (señala el escalón 10) I – No, se empieza a contar por abajo.


N – Es que no llego. I – Pero tú puedes pensar otra forma, porque éste (5) es el 5. N – 1, 2, 3, 4, y 5 (va señalando desde el escalón 6 al 10). I – No, éste (5) no es el 1, éste es el 5, cariño. N – 1, 2, ... (de nuevo empieza a contar a partir del escalón 6) I – No, no, éste (5) es el 5. ¿Cuál es el 6? El 5 es éste (5). N – Señala el escalón 6. I – Ahá. ¿Y cuál es el 8? N – (Señala el escalón 8) El 7 es éste. I – ¿Ese es el 7? N – Y éste es el 8 (señala el escalón 9). I – ¿Si? vale,. (Quita todo de la escalera) Venga, cuenta los escalones. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y 10 (va señalando los escalones correspondientes). I – Muy bien, ahora, vas a poner pan en uno sí y en otro no, igual que antes. Ponlo. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I – Ya has colocado pan en uno sí y en otro no, ¿no?, muy bien. Ahora, quiero que pongas los Piolines en los sitios donde hay pan y me digas los números. N – Coloca un Piolín en el escalón 1 I – ¿Ese qué número es? N – El 1. I – En el 1 sí hay. N – (Coloca otro Piolín en el escalón 2) El 2. I – No. N – Ay, no (cambia el Piolín del escalón 2 al 3). El 2. I – No, el 2 es éste (lo señala), en el 2 no hay. ¿Éste (3) cuál es? N – El 3. I – El 3. Venga, pues ponlo. N – Coloca otro Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese qué número es? N – (Se queda mirando por un momento la escalera) El 1 (1), el 2 (3) y ... I – No, no, el 2 es éste (2), en el 2 no hay pan. N – El 4. (V2b) I – No, el 4 no es. N – El 5. I – Muy bien, venga sigue. N – Coloca otro Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese qué número es? N – El 7. I – Muy bien. N – Coloca otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Y ese qué número es? N – El 8. I – No. N – El 10. I – Dice no con la cabeza. N – No sé.

I – ¿No sabes? Pues, venga, cuenta, a ver qué número es. N – 1 (1), 2 (2),.. I – No, no, no... N – 3 (3), ... I – Eso es, 3. N – 4 (5)... I – No, 4 no es ese. N – 5 (5), 6 (7)... I – No, 6 no es ese. N – 7 (7), 8 (9). I – No, tienes que contarlos todos, aunque no tenga pan esto es un escalón, le tienes que contar. Empieza otra vez, 1, 2,... (va señalando los escalones). N – 3 (4)... I – No, 3, no es ese. N – 3 (5). I – Empieza otra vez. N – 1 (1), 2 (3), I – El 2 no, tienes que contar... N – 3, el 3, 4 (5). I – No, el 4 no. N – El 5. I – Eso. N – El 6 (7). I – No, el 6 es éste (señala el escalón 6). N – El 7. I – Eso. N – Éste (8) es el 8 y éste (9)... I – ¿Cuál es ese? N – El 12. I – ¿El 12? N – El 9. I – Eso es. ¿Y éste? N – El 9. I – No, no. N – El 10. I – Eso es, muy bien. Entonces ya sabes en los números que hay, ¿lo ves? En los números que hay (va quitando los Piolines de la escalera). Ahora, quita los Piolines y vamos a tapar... N – Quita los Piolines que quedaban. I – Ahora, vamos a tapar esto (va poniendo los muros superior), vamos a taparlo con este... pared, igual que antes lo vamos a tapar. N – ¿Para qué? I – Para que tú no lo veas, para que no veas donde hay pan y lo adivines, ¿de acuerdo? N – Aquí atrás. I – Pero no lo mires. Éste es el número 5 (coloca un Piolín en el escalón 5) y en el 5 hay Piolín porque come pan. Pon un Piolín en el número... ¿En el número 7 va a comer pan, el Piolín? ¿En el número 7? N – ¿Aquí (7)? I – Ese es el número 7, bien, colócalo ahí. N – (Mira por detrás del muro) Sí hay (pone el Piolín en el escalón 7.


I – Ah, ¿por qué lo has mirado? Ese es el número 7, ¿por qué es el número 7, cariño? N – Porque hay atrás. I – ¿Porque hay pan? Pero, ¿por qué es el 7? ¿No sabes? Bueno, coloca uno en el número 3 y dime si hay pan en el número 3. N – (Intenta mirar por debajo del muro superior) Lo he mirado por ahí y no lo veo (coloca el Piolín en el escalón 8). I – ¿Por qué ese es el número 3? N – No sé. I – Pero tienes que empezar por abajo a contar, ¿eh? N – Toca el Piolín del escalón 5. I – Ese es el 5, ¿cuál es el 3? N – Señala el escalón 7 con golpecitos. I – ¿Ese es el 3? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí? ¿Por qué ese es el 3? N – No sé. I – ¿No lo sabes? ¿Y ahí come pan el pajarito? ¿Come o no? N – Por aquí (7) come. I – Ahí come. N – Señala el Piolín colocado en el escalón 8. I – Entonces, ¿en ese come? N – No (cambia el Piolín del escalón 8 al 9). I – ¿Ahí come?

N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y cuál es ese? N – Se encoge de hombros. I – ¿No sabes que número es? Éste (5) es el 5, vida mía y éste (7) es el 7. ¿Éste (9) cuál es? N – El 8. I – No, el 8 es éste (señala el escalón 8). N – El 9. I – Ahá, el 9. ¿Y en el 3, come? ¿Cuál es el 3? N – Aquí atrás no hay (señala el escalón 1 con el Piolín), (2) tampoco, aquí (3) sí hay I – ¿Y ese...? Pero, ponlo en el 3, yo quiero que me pongas en el 3. N – Cambia el Piolín colocado en el escalón 3 al 1. I – ¿Ese es el 3? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Cuál es el 3? N – Hace un gesto como diciendo “no sé”. I – ¿No sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿No sabes cuál es el 3? N – Señala el escalón 3. I – Ese es el 3. ¿Por qué ese es el 3? N – Porque hay pan. I – Porque hay pan, ¿no? Bueno, ya está David, despídete de todos.

43) Jo. 4,4. Nombre: José Luis. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Diciembre. *I – … Conforme va subiendo tienes que poner pan en todos los escalones (I1) N – Coloca un único trozo en todos y cada uno de los escalones siguiendo el orden de sucesión de la escalera. (I1a, IE444 ) *I – … ¿Después de comerse éste (5), qué pan se come después? (II1) N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I –. ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 8. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 9. I – ¿Y después? N – Señala el trozo de pan del escalón 10. I – Ha ido subiendo, ¿antes de comerse éste (5), cuál está? N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – Ese está después. ¿Cuál está antes? N – Señala el trozo de pan del escalón 5. I – ¿Y antes de ese cuál está? N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – Antes, antes. N – Señala el trozo de pan del escalón 6. I – Ese está después, cariño. Antes. N – Señala el trozo de pan del escalón 7. I –. (Va recogiendo todo de la escalera) Ya no come pan en todos los escalones, ahora come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro

no, y en el primero es que sí. Venga, pon los panes ahora en uno sí y en otro no. N – Coloca un trozo de pan en el escalón 1. I – Ahá, y ahora en uno sí y en otro no, ¿vale? N – Pone un trozo de pan en el escalón 2, pero no lo suelta y mira a la investigadora. I – Es en uno sí y en otro no, cariño. N – Pone el trozo en el escalón 4. I – Mira, en éste (1) es que sí, en éste (2) es que no, ahora en éste (3) ¿qué toca? ¿Qué toca aquí? N – Sí. I – Pues venga, colócalo, cariño. N – Cambia el trozo de pan del escalón 4 al 3. I – ¿En éste (4)? N – Dice no con la cabeza. I – Ahá, ¿y en éste (5)? N – Dice sí con la cabeza. I – Pues venga, coloca. N – Pone un trozo de pan en el escalón 5. I – ¿En éste? N – Primero dice que sí y después que no con la cabeza. I – Ahá, ¿y en éste (7)? N – Dice sí con la cabeza. I – Coloca. N – Pone un trozo de pan en el escalón 7. I – ¿En éste (8)? N – Dice que no con la cabeza.


I – ¿Y en éste? N – Dice que sí con la cabeza. I – Pues, coloca. N – Pone un trozo de pan en el escalón 9. I – Muy bien. ¿Y en éste 10? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Qué sí? ¿En éste (10) que sí? N – Dice que no con la cabeza. *I – … Coloca aquí Piolines en los sitios que sí hay pan. (III1) N – Va a poner el Piolín del escalón 5 detrás del muro. I – No, no, cariño, deja ese Piolín aquí. Ahora coloca en los sitios que sí hay pan, lo colocas por aquí, para que cuando lo quitemos veamos si come o no. N – Coloca un Piolín en el escalón 8. (III1b) I – ¿Ahí come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? En éste (5) come. ¿Ahí (8)come? N – Dice que no con la cabeza y mueve el Piolín del escalón 8 más hacia la derecha. I – ¿Ahí come? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Lo vemos? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Tú que dices que sí come o que no come? N – Sí come. I – ¿Que sí come? Vamos a verlo. (Levanta el muro superior) No come, ¿lo ves? En éste no come, aquí no hay, mira, (coge el Piolín y lo pasa de un lado a otro del escalón) aquí, ¿dónde está el pan? N – Señala el escalón 7. I – En ese de abajo, pero aquí no, ¿lo ves? N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7. I –Tienes que ponerlo en los que sí come. Lo vamos a tapar (pone el muro superior) y ahí sí come. ¿Por qué come aquí (7), cariño? ¿Por qué has puesto ahí uno? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Porque come? Bueno, sigue poniendo donde sí come. N – Pone el Piolín del escalón 7 en el 9. I – ¿Ahí come? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Sí (lo dice muy bajito). I – ¿Sí? ¿Por qué? N – Se queda callado.. I – ¿Y por abajo? Venga, sigue, pon ahora por abajo. N – Coge el Piolín del escalón 8 y lo pone en el 7. I – No, yo digo por abajo. En éste (5) come. Pon por aquí (señala la parte inferior de la escalera) en los escalones que sí come.

N – Pone el Piolín en el escalón 2. I – ¿Ahí come? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? ¿Por qué? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Sí come? ¿Por qué? N – Se encoge de hombros. I – No sabes, ¿no? Bueno, venga José Luis (va quitando todo de los escalones), ahora vamos a coger y vas a contar los escalones. Cuéntalos, cariño. N – Cuenta los escalones señalándolos correctamente (IV2a). I – Muy bien, ahora, pon un Piolín en el número 5. N – ¿El número 5? I – Sí en el número 5 coloca un Piolín. Cuéntalos y di cuál es el número 5. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6. El 5, éste (no se corresponde y finalmente señala el escalón 8). (IV3b) I – ¿Ese es el número 5? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿No es el número 5? N – Señala el escalón 6. I – ¿Ese es el número 5? Tú coloca un Piolín y me dices si está en el número 5 o no. Coge un Piolín y lo pones en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el número 5? N – Dice que no con la cabeza. I – Pues entonces ponlo en el número 5. N – Cambia el Piolín al escalón 8. I – Mira José Luis, 1, 2, 3, 4 y 5 (va subiendo el Piolín por la escalera y lo deja en el escalón 5), éste es el número 5, coloca uno en el número 7. Coge un Piolín y lo colocas ahora en el número 7. N – 1 (señala el escalón 6). (IV1b) I – ¿Ese es el 1? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Cuál es el 1? N – No sé. I – ¿No sabes, cariño? Bueno, venga, ahora vamos a hacer igual que antes, come pan en uno sí y en otro no, (pone un trozo de pan en el escalón 1)venga, colócalo en uno sí y en otro no, igual que antes. N – Pone un trozo en el escalón 4. I – No, cariño. Vamos a colocarlo (pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7 y 9). Ya. Ahora, pon los Piolines y me dices los números. Éste (1) es el 1, hay pan. Coloca los Piolines donde hay pan y me dices los números. N – En éste (3). I – Venga, coloca un Piolín y me dices qué número es. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – Uhmm... I – ¿No sabes qué número es ese?


N – Dice que no con la cabeza. I – Aquél es el 1, dónde está el Piolín es el 1. Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2, éste (3) es el ... N – 4. I – No. N – El 5. I – No, el que viene después del 2.

N – El 3. I – El 3. Éste (4) es el ... N – El 6. I – ¿El 6? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Cuál es? ¿No lo sabes? Ya está, ya hemos terminado.

44) Lo. 4,7. Nombre: Lore. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Septiembre. I –Cuando va subiendo el Piolín se come éste pan (5), ¿por qué después de éste se come éste (6)? N – Porque es que si no su madre le regaña. I – (Va quitando todo de la escalera) ahora, ya, el Piolín no come pan en todos los escalones, ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no. Entonces coloca tú el pan en uno sí y en otro no, cariño. N – Pone un trozo de pan en el escalón 1. I – Venga, en uno sí y en otro no. N – Coloca trozos de pan en los escalones 3, 5, 7 y 9. *I – …. Coloca Piolines en los sitios que sí hay pan. (III1) N – Pone un trozo de pan en el escalón 3. I – Quita el pan. El pan está aquí detrás (levanta el muro inferior), aunque no lo veas está aquí, cariño. N – Pone un Piolín detrás del muro en el escalón 1. I – Pero ponlo delante. Delante, después le quitamos eso y ya se lo come. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Ahá, ¿y dónde más? N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – Ahá, ¿y por aquí arriba? N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – ¿Y dónde más, cariño? N – Pone un Piolín en el escalón 7. (III1a) I –. ¿Por qué has puesto aquí (7) un Piolín? ¿Por qué? N – Gira el Piolín. I – (Levanta los muros). Loren es una maga, sin verlo sabe donde está. (Quita los Piolines menos el del escalón 5). Vas a ver sólo ese (5), ese sí lo vas a ver. Ahora, ¿si yo coloco un Piolín aquí (pone un Piolín en el escalón 8), éste Piolín va a comer pan? ¿Si yo quito esto, tú crees que aquí va a haber pan detrás de esto? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque, ... ahí no hay porque.... (se toca la garganta). I – ¿Por qué, cariño? [...] Venga, Lore, ¿por qué aquí (8) no hay?

N – Porque es en uno y en otro no. (III1a, IIIE222 ) I – Ah, en uno sí y en otro no, muy bien. ¿Y aquí qué le toca que sí o que no? N – Que no. I – ¿Por qué, cariño? N – Porque no hay pan. I – No hay, muy bien. Ahora, si yo lo coloco, aquí (pone otro Piolín en el escalón 9), ¿éste va a comer o no va a comer? N – Sí va a comer. I – ¿Por qué? N – Porque en uno hay y en otro no. I – Muy bien. ¿Y en éste le toca que sí? N – Que sí. I – ¿Por qué le toca que sí? N – Porque en ese hay un pan. I Mira aquí (7) sí hay, ¿eh?. Ya lo has visto. Si yo coloco uno aquí (4), ¿aquí hay o no hay? N – No hay. I – ¿Por qué? N – Porque... I – ¿Por qué? N – Porque en uno hay y en otro no. (IIIE333 ) I – ¿Y en ese por qué le toca que no? N – Uhm... I – (Va quitando todo de la escalera), vamos a contar los escalones. Cuenta los escalones. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). I – Muy bien. Coloca, ahora, un Piolín en el número 5. N – Pone el Piolín en el escalón 1. I – En el número 5. N – Pone el Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el 5? ¿Por qué? N – Cambia el Piolín al escalón 5. I –¿Ese por qué es el número 5, cariño? N – No sé. I – Coloca ahora uno en el número 7. Un Piolín en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí, ... No sé.


I – Coloca uno en el número 9, un Piolín en el número 9. N – Pone un Piolín en el escalón 9.. I – Lorena, mira, (quita los Piolines de la escalera, menos el del escalón 5) éste (5) está en el número 5, ¿lo ves? 1, 2, 3, 4 y 5 (vuelve a señalar con el dedo los escalones correspondientes). Éste (5) es el 5, coloca uno en el 6. N – Pone un Piolín en el escalón 4. I – El 6, ¿ese es el 6? N – Dice que sí con la cabeza. I – Coloca uno en el 7. N – Pone un Piolín en el escalón 6. (IV3b) I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – Bueno, venga, Lorena. Ahora, vamos a hacer una cosa (quita todo de la escalera), con número y con pan. Vamos a colocar pan en uno sí y en otro no, igual que antes (pone trozos de pan en los escalones 1 y 3). Venga, ve colocándolo en uno sí y en otro no.

N – Coloca pan en los escalones 5, 7 y 9. I – Ahora, vas colocando Piolines al lado del pan, empezando por aquí (1) y diciendo los números. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Ese es el 1, en el 1 hay. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese cuál es? N – El 2. I – No, el 2 es éste (2), cariño. Éste es el 2, no hay. Éste (3) es el 3 y sí hay. Colócalo en el 3. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – Venga, sigue colocando y diciéndome los números. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese cuál es? N – El 6. I – Dime los números en los que hay pan N – el 1 (1), 2 (3), 5(5), 6 (7) 8(9) (VIb) I – ¿Después del 5 en qué número come? N – Silencio (V1b) I – Bueno Lorena vamonos a la clase.

45) Pa. 5,10. Nombre: Patricia. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Junio. I –. ¿Por qué el Piolín cuando va subiendo, después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Porque está aquí (6). I –(Quita todo de la escalera). Ahora, Patricia, el Piolín come pan en un escalón sí y en otro no, ya no come en todos, ahora es en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, y en aquel, en el primero come. Venga, colócalo en uno sí y en otro no. N – (Pone un trozo de pan en el escalón 1) ¿En éste? I – Ahá, ¿en cuál más? N – Coloca otro pan en el escalón 4 . I – No, es en uno sí y en otro no. Es en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿de acuerdo? N – Pone otro trozo en el escalón 8. I – ¿Así está bien? ¿Así está bien, cariño? N – Dice que no con la cabeza. I – Es en uno sí y en otro no. (Quitan los trozos de los escalones 4 y 8). Venga, Patricia, en éste (1) es que sí, en éste (2)... N – Dice que no con la cabeza. I – Es que no, en éste (3)... N – Dice que sí con la cabeza. I – Venga, colócalo. N – Pone un trozo de pan en el escalón 3. I – ¿En éste (4)? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿En éste (5)? N – Dice que sí con la cabeza y pone un trozo de pan en el escalón 5.

I – ¿En éste (6)? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿En éste (7)? N – Dice que sí con la cabeza y pone un trozo de pan en el escalón 7. I – Señala los escalones 8 y 9. N – En el 8 dice que no y en el 9 dice que sí y coloca un trozo de pan en el escalón 9. *I – … Entonces, aquí (5) hay un Piolín porque come, coloca Piolines por aquí en los sitios que sí come. (III1) N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – ¿Ahí come? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. I – Venga, sigue colocando. N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – ¿Ahí come? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – ¿Ahí (8) pongo uno? I – En los que sí coma. Tú lo tienes que poner en los que sí coma. N – Pone un Piolín en el escalón 8. (III1b) I – ¿Ahí come? N – Dice que sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque sí. Aquí (7) no. ¿En éste (4)?


I – En ese lo estás viendo, cariño. Patricia, en ese lo ves. N – Pone un Piolín en el escalón 4. I – ¿Ya? N – Dice que sí con la cabeza. I – Mira, Patricia (quita el muro superior), has puesto aquí (8) y aquí no hay. Y aquí (4) lo has puesto y aquí lo estabas viendo, aquí estabas viendo que no había, ¿por qué lo has puesto? N – Coge el Piolín del escalón 4 y lo pone en el 7. I – (Va quitando los Piolines), ahora, espérate, deja el pan.. Ya ves donde hay, ¿lo ves? Lo vamos a tapar para que no lo veas y lo adivines, ¿de acuerdo? Si yo pongo aquí un Piolín (pone un Piolín en el escalón 8), ¿ahí va a comer? ¿Detrás cuando quite esto va a haber pan? N – Dice no con la cabeza. I –¿Por qué dices tú que no? N – Porque no hay. I – Pero, ¿por qué dices tú que no? N – Porque no hay.. I –Y si yo lo coloco aquí (pone otro Piolín en el escalón 10), ¿aquí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ahí sí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque le gusta mucho el pan. I – Porque le gusta mucho el pan y ahí hay, ¿no? Bueno, y si yo coloco aquí (pone otro Piolín en el escalón 3) uno, ¿aquí va a comer? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ahí sí? ¿Por qué? N – No lo sé. I – Y si yo coloco uno aquí (9), ¿aquí come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Sí, por qué? N – Porque sí. I – (Levanta el muro superior), aquí (10) dijiste que sí y era que no, aquí (8) dijiste que sí y era que no, o sea, que lo has adivinado regular. Ahora, Patricia (va quitando todo de la escalera), vamos a hacer contando, ¿vale? Vamos a contar, vamos a quitar el pan y contamos, ¿de acuerdo? Venga, cuenta los escalones, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando el escalón correspondiente) (IV2a) I – Muy bien, Patricia. Coloca un Piolín en el número 5. N – Cuenta una primera vez señalando con el dedo hasta el 5 y hay correspondencia, pero cuenta una segunda vez y ya no se corresponden y finalmente coloca el Piolín en el escalón 6. I – ¿Ese es el 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué ese es el 5?

N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes y cambia el Piolín del escalón 6 al 5). Éste es el 6. (IV3a) I – Eso es. Ese es el 5, coloca un Piolín en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué sabes que es el 7? N – Porque sí. I – Porque lo sabes. Coloca uno en el número 9. N – Pone otro Piolín en el escalón 9. I – Coloca uno en el número 3. N – Pone otro Piolín en el escalón 3. I – Coloca uno en el número 8. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes yu pone otro Piolín en el escalón 8). I – Pero has tenido en cuentoa que este es el 5 N – No sé (IV1b) I – (Va quitando todo de la escalera). Ahora, vamos a hacerlo con pan y con números, ¿de acuerdo? N – Empieza a poner pan en la escalera, en el escalón 1 y en el 2. I – En uno sí y en otro no, cariño. N – ¿Otra vez? (Coloca un trozo de pan en el escalón 4). I – No, en uno sí y en otro no. N – Cambia el trozo del escalón 4 al 3. I – Eso es. N – Pone trozos de pan en los escalones 6, 8 y 9. I – ¿Ya lo has puesto en uno sí y en otro no? ¿Está bien? Mira (señala los escalones 4 y 5), eso está mal. N – Pone un trozo de pan en el escalón 4. I – No, no, no lo estás haciendo bien. Éste (4) es que no, éste (5) es ... N – Que sí (pone un trozo de pan en el escalón 5). I – Ahora, éste (6) es que... N – No (quita el trozo y lo pone en el escalón 7). I – Éste (7) es que sí y éste (8) es que... N – No (quita el trozo del escalón 8). I – Exacto, y éste (9) es ... N – Que sí. I – Eso es. Ahora, coloca Piolines donde hay pan y me dices los números. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – En el 1 hay pan, venga. N – En el 2. I – Ese no es el 2. N – El 3. I – En el 3 hay. N – (Pone otro Piolín en el escalón 5) En el 4. I – Ese no es el 4. N – El 5. (Pone otro Piolín en el escalón 7) El 6... el 7. (Empieza a señalar los escalones desde el principio como contando varias veces. 1 (1), 5 (5), 6, 7(7)).El 8.


I – El 8 es éste (8). N – El 9. I – El 9, muy bien. Ese es el 9, ¿de acuerdo? Entonces, dime otra vez en los números que sí hay pan. N – 1 (1), 2 (3)... (V2b) I – No, el 2 es éste (2), cariño. N – 1 (1), 3 (3), 5 (5), 6 (7)... I – No, no, 6 no. N – 7 y 8. I – No, 8 no. N – 9. I – Eso. ¿Sabes ya en los números que hay? ¿Me lo dices otra vez? N – 1, 3, 5 (se corresponde con el escalón que señala y que tiene Piolín y pan), 6 (7). I – No, 6 no. N – 7 y och..., 9. I –. Ahora, yo voy a tapar el pan, igual que antes, y voy a decir unos números y me vas a decir si en esos números hay o no hay, ¿de acuerdo?(quita los Piolines menos el del escalón 5) N – ¿En los números? I – En los números, yo te digo, por ejemplo, ¿en el 7 hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Cuál es el 7, cariño? N – Señala el escalón 8. I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ese es el 7? N – Dice sí con la cabeza. I – Ese no es el 7. N – Señala el escalón 7. I – ¿En el 7 hay? N – Dice sí con la cabeza. I – Pon un Piolín ahí y me dices si hay o no. N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Ahí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque hay mucho pan. I – Venga, dime, ¿en el 7 hay? Ahora, éste (5) es el 5, cariño, coloca uno en el 9. N – Coloca un Piolín en el escalón 9. I – ¿En el 9 hay? N – Sí. I – ¿Por qué? N – Porque no sé. I – ¿No lo sabes? ¿En el 8 hay? N – Dice no con la cabeza.

I – ¿No? ¿Cuál es el 8? N – Señala el escalón 10. I – ¿Ese es e 8? ¿Por qué ese es el 8? N – Porque sí. I – ¿Por qué es el 8? N – Porque es el más grande, está más arriba. I – ¿Porque está más arriba del 8? ¿En el 3 hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Cuál es el 3? N – Señala el escalón 3 y pone un Piolín. I – ¿Por qué hay? N – Mi madre dice que el escalón es muy bajo. I – Tu madre dice que el 3 el escalón es muy bajo, ¿no?. ¿Y por eso hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y cómo sabes que ese es el 3? ¿Por qué ese es el 3? N – Porque es el 1, 2 y 3 (señala los escalones correspondientes). I – Muy bien. ¿Y en el 6 hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Cuál es el 6? N – Señala el escalón 8. I – ¿Ese es el 6? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – El 6 es éste (7). I – ¿Por qué es el 6? N – Porque dice mi mamá que el escalón que sea el 6 está más arriba del 3. I – Ah, porque dice tu mamá que el escalón que sea el 6 tiene que estar más arriba del 3. Ah, muy bien. Y este es el 5, ¿cuál es el 6? N – Señala el escalón 7. I – ¿Ese es? N – Este. (Señala el escalón 6.) I – Ah, ese. ¿Y ahí hay? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué no hay? N – Porque no está el Piolín. I – Bueno, Patricia, en el 1 hay, en el 3 hay, en el 5 hay, en el 7 hay y en el 9 hay. Imagínate la escalera más larga, éste (10) es el 10, el 11, el 12, el 13,... Imagínate que sea más larga. Éste (9) es el 9, y hay ¿en el 11 hay? N – Dice no con la cabeza. I – En el 11 no, ¿por qué? N – Porque no hay Piolín. I – No está el Piolín, tampoco había escalera. Bueno, Patricia, pues ya está, vámonos al recreo, ¿vale?

46) Ci. 5,8. Nombre: Cintia (hermana gemela de Saray). Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Agosto.

I – ¿Por qué cuando se come este (5) se come este (6)?. N – Porque sube. (IIE444 ) I – (Va quitando todo de la escalera) ahora come pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale, cariño? Y en el primero es que sí. Entonces pon pan en uno sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … Entonces, tú ahora, coloca Piolines en los sitios que sí hay pan detrás de la valla. Coge de aquí (caja) y lo colocas. (III1) N – Intenta colocar un Piolín detrás de la valla. I – No, lo puedes poner aquí (delante de la valla) y después lo vemos si quitamos la valla. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Ahá, sigue poniendo en los sitios que sí hay. N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Ahá, ¿qué más? ¿Dónde más? Por abajo, pon ahora por abajo. N – Pone Piolines en los escalones 3 y 1. (III1a) I – (Va quitando los Piolines, menos el del escalón 5). El Piolín está aquí (5) y aquí sí come, ¿de acuerdo? Si yo coloco aquí (pone un Piolín en el escalón 8), ¿aquí come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Dice no con la cabeza. I – Ahí no come, ¿por qué? N – Porque en éste escalón (6) no come, en éste (7) sí... (IIIE444 ) I – Y ahí no, muy bien. Cintia, eres una maga, sabes el truco para saber si come o no come.. Y si yo lo coloco (pone el Piolín en el escalón 2), ¿aquí come? N – No. I – Ahí no come, ¿por qué? N – Porque éste (5) sí come, aquí (4) no y aquí (3) sí. I – Muy bien. Ahora, sabes tú perfectamente donde comen y donde no comen, Ahora vamos a contar. (Va quitando todo de la escalera) Vas a contar. Cuenta los escalones, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando los escalones correspondientes). I – Muy bien, coloca un Piolín en el número 5. N – Va como contando los escalones desde abajo y deja el Piolín en el escalón 5. I – Ese es el 5, ¿de acuerdo? Ahora, sabiendo que éste es el 5, coloca uno en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – ¿Por qué ese es el 7? N – Porque aquí (6) está el 6 y aquí (7) el 7. (IV1a) I – Muy bien, coloca uno en el número 3, sabiendo que éste (5) es el 5, ¿eh? Tienes que saber que éste es el 5. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Por qué ese es el número 3?

N – 1, 2 y 3 (señala los escalones correspondientes). (IVE333 ) I – Ahá, vale, de acuerdo. (Coloca un Piolín en el escalón 8 y quita los demás) Éste es el número 8. Lo he puesto en el número 8. Sabiendo que éste es el 8, coloca uno en el número 6. Pero, pensando que éste es el 8. Coloca uno en el número 6. N – (Va como contando mentalmente desde abajo y coloca un Piolín en el escalón 6.) I – ¿Cómo lo has puesto? N – Porque lo cuento. I – Porque lo has contado, ¿no? Pero, ¿qué lo has contado desde el principio, desde allí, diciendo 1, 2,...? N – Dice sí con la cabeza. I –¿Así lo has contado? Muy bien. Ahora, (va quitando los Piolines de la escalera) vamos a hacer igual, pero con números y con el pan, ¿de acuerdo? Coloca el pan en uno sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. I – Ahora, coloca los Piolines en los sitios que hay pan y me dices los números. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – En el 1 sí. N – Pone otro Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 2. I – No, el 2 es el que no tiene. ¿Ese qué número es? N – El 3. I – El 3. N – Pone otro Piolín en el escalón 5. I – ¿Y ese? N – El 5. I – Ahá. N – (Pone otro Piolín en el escalón 7) El 6. I – No, el 6 es el que no tiene, cariño. ¿Ese cuál es? N – El 7. I – Ahá. N – 9 (Pone otro Piolín en el escalón 9). *I –Mira, (coloca los muros), éste (5) es el 5 y en el 5 hay ¿En qué número comerá también? (V1 N – (Pone otro Piolín en el escalón 7) El 7 I -Éste (5) es el 5 y en el 5 hay ¿En el 8 come? (V1) N – No. I – ¿Por qué? N – Porque aquí (1) come, no come (2), come (3), no come (4), come (5), no come (6), come (7), no come (8). I –¿El Piolín si lo ponemos en el 9 come? N – (Se ve como contando desde el principio de la escalera y dice no con la cabeza.) No. I – ¿Cuál es el 9? N – Señala el escalón 9. I – Coloca un Piolín ahí en el 9.


N – Pone un Piolín en el escalón 9. I – Dime si va a comer. N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque come (1), no come (2), come (3), no come (4), come (5), no come (6), come (7), no come (8), come (9). (V1a, VE222 ) I – Ahá, ¿y en el 9 comerá? N – Dice sí con la cabeza. I – Ahá, ¿y en el 6 comerá? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque come (1), no come (2), come (3), no come (4), come (5), no come (6). *I – Imagínate que la escalera es más larga, éste (10) es el 10, pero también está el 11, después está el 12, después está el 13, después está el 14, después está el 15, ¿vale? Y sigue más larga. Sigue mucho más, imagínatela más larga.¿En el 15 comería? N – No sé. (VI1b) I – ¿No lo sabes? ¿No sabes si en el 15 comería? ¿Y no tienes una forma para saberlo? N – No. I – Mira, en el 9 (señala 9) es que sí come. ¿En el 11 come? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Cuál es el 11? N – Señala el escalón 10. I – Éste es el 10. ¿En el 11 come? N – Dice sí con la cabeza I – Sí, ¿por qué? N – Porque aquí (9) come, aquí (10) no come. I – ¿Y en el 12 come? N – Se queda callada.

I – ¿Come en el 12? N – ¿Cuál es el 12? I – El que viene después del 11. N – Se queda mirando la esccalera y dice no con la cabeza. I – No come. ¿Por qué, cariño? N – Porque éste (9) come, éste (10) no come, come (señalando al aire). I – ¿Y qué pasa en el 12? N – Asiente con la cabeza. I – ¿Que come? ¿Y en el 13? N – Dice no con la cabeza. I – ¿No? Mira, en el 11 sí come, en el 12 no come, ¿y en el 13? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y en el 14? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y en el 15? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y en el 16? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Y en el 17? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Y en el 18? N – Dice no con la cabeza. (VI2a) I – Entonces, después del 9 viene el 11 en el que sí come. ¿Cómo se sigue despús del 11) N – Silencio. (VI3b) I – Y si yo te digo, por ejemplo, en el 24, ¿come? N – Sí. (VI1b) I – ¿En el 24 sí? ¿Por qué? ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No lo sabes? Bueno, Cintia, di adiós que ahora vamos a ir a por tu hermana, ¿vale?

47) Sa. 5,8. Nombre: Saray (hermana gemela de Cintia). Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Agosto. I – ¿Por qué después de comerse éste (5) se come éste (6)? N – Se encoge de hombros. I – Ahora vamos a quitar el pan (quita todo de la escalera). Ahora ya el Piolín no come pan en todos los escalones, ahora come en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? y en el primero es que sí. Venga, colócalo, cariño N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9. *I – … Pon Piolín donde haya pan. (III1) N – Pone Piolines en los escalones 7 y 9. I – ¿Y por abajo? N – Pone Piolines en los escalones 3 y 1. (III1a) I – (Quita los Piolines que ha colocado la niña). Aquí (5), fíjate, aquí sí come,¿Aquí (8) come? N – Dice sí con la cabeza.

I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – (Levanta el muro) Oh, Saray, aquí no come, aquí no hay pan. (Pone el Piolín en el escalón 10) ¿Aquí va a comer? N – Dice no con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Porque no hay pan. I – ¿No hay pan? Pero, ¿por qué no hay? N – Se queda callada y encoge los hombros. I – Saray, y si yo pongo aquí el Piolín (pone el Piolín en el escalón 3), ¿ahí va a comer? N – (Se encoge de hombros) No sé. I – ¿No sabes? Mira, aquí (5) sí, ¿te acuerdas? Aquí estás viendo que sí. ¿Ahí (3) va a comer? N – Dice sí con la cabeza.


I – ¿Por qué? N – Hay pan. I – ¿Por qué hay pan ahí, cariño? N – (Se queda un momento mirando la escalera y como con intención de decir algo) No sé. I –¿No sabes? Ahá, aquí sí hay pan, ¿y dónde más hay pan ahí, en ese sitio? N – Señala el escalón 1. I – Pues pon el Piolín. N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Muy bien, Saray. Ahora voy a poner esto aquí, (pone el muro inferior a partir del escalón 3) voy a tapar esto y lo voy a traer aquí (quita los Piolines de los escalones 3 y 5), así. Ahí (1) sí hay, ¿lo ves que sí hay, cariño? Ahí sí hay, ¿aquí (pone un Piolín en el escalón 7) hay? N – No sé. I – ¿No sabes? ¿Tú no lo puedes adivinar? En aquel hay, allí abajo sí hay. N – Sí. I – ¿Aquí hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No lo sabes? ¿Ahí hay o no? N – Sí. I – ¿Hay? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué, cariño? ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Entonces, ¿qué hacemos para adivinarlo? N – Se queda callada. I – ¿Qué hacemos? N – No sé. (IIIE111 ) I – ¿No sabes? Bueno, Saray, lo has adivinado, ¿lo ves? (Quita los muros) Lo que pasa es que no sabes como adivinarlo, pero lo has adivinado. Es en uno sí y en otro no, ¿de acuerdo? Es en uno sí y en otro no, ¿vale?. (Va quitando todo de la escalera) Ahora, vas a contar. Cuenta los escalones, cariño. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando con el dedo los escalones correspondientes). I – Vale. Ahora, pon un Piolín en el número 5. N – Pone un Piolín en el escalón 5. I – ¿Ese es el 5? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué sabes que es el 5? ¿Qué has hecho para saber que es el 5? N – Se encoge de hombros. I – ¿No sabes? Bueno, está bien que este sea el 5. Sabiendo que éste es el 5, coloca uno en el número 7. Coloca un Piolín en el número 7. N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Ahá, ¿por qué sabes que es el 7, cariño? N – Se encoge de hombros. I – ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Coloca un Piolín en el número 9 sabiendo que este es el 7

N – Pone un Piolín en el escalón 9. (IV1a) I – Muy bien, ¿por qué sabes que es el número 9? N – Se encoge de hombros. (IVE222 ) I – Dímelo como lo has adivinado, cariño, es que lo adivinas todo, pero yo quiero saber cómo lo haces, para hacerlo yo también. ¿Cómo lo haces? N – Se encoge de hombros. I – ¿No lo sabes? N – Dice no con la cabeza. I – Bueno, (va quitando los Piolines de la escalera) entonces ahora vamos a hacerlo con pan y con Piolines, ¿de acuerdo? Como antes ponemos en uno sí y en otro no (pone un trozo de pan en el escalón 1). Ve poniendo el pan en uno sí y en otro no. N – Pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7 y 9. I – Muy bien, ahora vas poniendo Piolines al lado de donde hay pan y me dices el número. Pon un Piolín allí y me dices... N – Pone un Piolín en el escalón 1. I – Ese es el 1, en el 1 hay, venga ve diciéndome el número y coloca el Piolín al lado del pan. N – Pone un Piolín en el escalón 3. I – ¿Ese qué número es? N – El 3. I – Muy bien. Venga, sigue. N – (Pone un Piolín en el escalón 5) El 5. I – El 5, muy bien. Venga, sigue. N – (Pone un Piolín en el escalón 7) 7. I – Ahá. N – 9 (Pone un Piolín en el escalón). I – 9, muy bien, Saray. Ahora, vamos a hacerlo igual que antes. Yo voy a tapar, porque tú lo adivinas, eres una maga muy bonita. Yo lo voy a tapar y tapo esto(pone el muro superior) y quito esto y lo ponemos aquí así ( pone el otro muro). En el 5 hay pan, ¿de acuerdo? En el 5, en el 8... pon un Piolín en el 8, ¿en el 8 comerá pan el Piolín? En el 8, ¿come pan? N – No hay. I – ¿Cuál es el 8? Antes me lo dijiste. Ese es el 5, ¿cuál es el 8? N – Señala el escalón 8. I – Ese, coloca ahí un Piolín y dime si ahí va a comer pan, ¿ahí va a comer? N – Dice no con la cabza. I – No, ¿por qué? N – Se encoge de hombros. I – En el 5 come, que es éste (lo señala). Éste es el 5 y come. Éste es el 5 y come. ¿En el 8 come? ¿En el 8 come?, ¿sí o no? ¿Come en el 8? N – No. I – ¿Por qué? N – (Se encoge de hombros.) No sé.


I – ¿No sabes? Coloca... éste es el 8 y no come. Yo sé que en el 8, mira (levanta el muro) no come. Éste es el 8 y no come, ¿en el 9 come? N – Se encoge de hombros. I – ¿Cuál es el 9? Éste (8) es el 8, cariño. N – Señala el escalón 9. I – ¿Ahí come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Se encoge de hombros. I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No sabes por qué come? N – Dice no con la cabeza. I – Vale. En el 5 come, que es éste (lo señala), ¿aquí (pone un Piolín en el escalón 3) va a comer? ¿Éste qué número es? Dime el número y si come o no come. N – El 3. I – ¿Y come? N – Sí. I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No lo sabes? Pero, dime cómo lo adivinas, porque es que lo adivinas todo pero me tienes que decir el truco cómo lo adivinas. ¿En el 2...? Éste (3) es el 3 y en el 3 sí come, ¿en el 2 come? ¿Cuál es el 2? N – Dice que no con la cabeza y señala el escalón 2. I – ¿Y come? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Por qué? ¿Por qué no come en el 2? N – No sé. I – ¿No sabes? Venga, dime cómo lo adivinas. Sí lo sabes porque lo estás adivinando, lo tienes que saber. Pero me tienes que decir cómo lo piensas. N – No lo sé. (VE111 ) I – ¿No lo sabes? Bueno, Saray, mira (quita los muros y va poniendo Piolines en los escalones que hay pan), dime los números otra vez en los que sí come. Dime los números. N – El 1, el 3, 5, 7, 9.

I – Muy bien. La escalera llega hasta el 10, éste (9) es el 9 y éste (10) es el 10. Imagínate que la escalera es más larga, después viene el 11, el 12, el 13, el 14..., ¿vale? Y así todo. Imagínate que es más larga. En el 9 come, en el 10 no come, ¿en el 11 come? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Si va por aquí (señala el escalón 10 y sube) la escalera sí come. I – Ahá, si no come aquí (10), arriba sí come, muy bien. En el 11 come, ¿en el 12? N – No. I – ¿Por qué? N – No sé. I – ¿No lo sabes? ¿En el 13? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿Por qué? N – Se encoge de hombros. I – ¿En el 14? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿En el 14 come? N – Dice no con la cabeza. I – ¿En el 15? N – Dice sí con la cabeza. I – ¿En el 16? N – Dice no con la cabeza. (VI2a) I – ¿Por qué? ¿Por qué en el 16 no, cariño? N – Se encoge de hombros. I – ¿Después del 11 en qué numero come? N – Se encoge de hombros I – Sí lo sabes. Y si yo te digo ahora en el 26, ¿en el 26 sabes tú si come o no? N – Se encoge de hombros y dice no con la cabeza. I – ¿No lo sabes? N – Dice que no con la cabeza. I – ¿Y lo podrías adivinar de alguna forma? N – Dice no con la cabeza. I –Y si yo te digo ahora en el 29, ¿en el 29 sabes tú si come o no? N – Se encoge de hombros y dice no con la cabeza (VI1b) I – ¿No? ¿No lo podrías adivinar? Bueno, Saray, ya hemos terminado.

Anexo 6.2. Cuadros –fichas de las tareas en el desarrollo de la entrevista A continuación presentamos los cuadro- esquema de las tareas que la investigadora llevaba presente en las entrevistas para controlar el desarrollo de la misma y prevenir posibles fallos en la grabación.

I1a. Resuelve I1I1a. Resuelve I1 I1b. No resuelve I1I1b. No resuelve I1


I3a. Resuelve I3I3a. Resuelve I3 I3b. No resuelve I3.I3b. No resuelve I3.


Tarea del Estado I: Diferenciar los elementosTarea del Estado I: Diferenciar los

elementosI1. Poner en todos y cada uno de los escalones un trocito de pan. Solo colocaremos uno en

cada escalón y lo haremos según se vaya subiendo.

I2. Hay pan en cada uno de estos escalones (del 1 al 5). Colocamos aquí (en el 6), otro aquí (en el 7), ahora sigue tú hasta llegar aquí

(señala el 10)

I3. Colocaremos pan en todos los escalones, aquí (en el 1), aquí (en el 2), aquí (en el 3),

venga sigue tú hasta llegar aquí.

I1. Volvemos a la situación I1

1. Ensayo y error 1. 1. Ensayo y error 1.

2. Ensayo y error 2..2. Ensayo y error 2..

3..E3.3..E3.

4. E4.4. E4.

5..E5.5..E5.

Estado I. EtiquetajeAlumno Colegio Curso Edad

II1a. Resuelve II1II1a. Resuelve II1 II1b. No resuelve II1II1b. No resuelve II1


II3a. Resuelve II3II3a. Resuelve II3 II3b. No resuelve II3.II3b. No resuelve II3.


Tarea del Estado II: Linealidad y orden topológico. Oreden temporalTarea del Estado II: Linealidad y orden

topológico. Oreden temporal

II1. El pajarito se come este pan (el 5) y va subiendo, ¿qué pan se comerá después de ese?, ¿y

después?… ¿Qué pan se comió el pajarito antes de llegar aquí (señala

el 5), ¿y antes de ese?... .

II2. El pajarito va subiendo y en todos los escalones se detiene para comer. “En este (señala 1) va y se

lo come, venga sigue tú”.

II3. El pajarito se come el pan de aquí (señala 8) y va subiendo, ¿qué pan comerá después de

ese?, ¿y después?

II1. Volvemos a la situación II1



3. E3.3. E3.

4. E4.4. E4.

5. E55. E5

Estado II. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicosAlumno Colegio Curso Edad

III1a. Resuelve III1III1a. Resuelve III1 III1b. No resuelve III1III1b. No resuelve III1


III3a. Resuelve III3III3a. Resuelve III3 III3b. No resuelve III3.III3b. No resuelve III3.


Tarea del Estado III: Posiciones lógicas ordinales con la alternanciaTarea del Estado III: Posiciones lógicas

ordinales con la alternancia

III1. Se ve únicamente el tramo correspondiente al 4, 5 y 6, en el que hay pan en un extremo del

peldaño de la posición entre, en el otro extremo se coloca un pajarito. El niño debe colocar pajaritos donde haya pan y determinar qué ocurre en una

posición dada

III2. Establecer la alternancia.

III3. Igual que III1 pero en este caso es visible el tramo 1-6, ó preguntar sólo en una

dirección

III1. Volvemos a la situación III1

1. Ensayo y error. 1. Ensayo y error.

2. Intenta explicar el criterio2. Intenta explicar el criterio


4. Tiene en cuenta el dato4. Tiene en cuenta el dato

5. Introduce la secuencia numérica5. Introduce la secuencia numérica

Estado III. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento secuencialAlumno Colegio Curso Edad

IV1a. Resuelve IV1IV1a. Resuelve IV1 IV1b. No resuelve IV1IV1b. No resuelve IV1


IV3a. Resuelve IV3IV3a. Resuelve IV3 IV3b. No resuelve IV3.IV3b. No resuelve IV3.


Tarea del Estado IV: Posiciones lógicas ordinales con el conteoTarea del Estado IV: Posiciones lógicas

ordinales con el conteoIV1. Determinar posiciones lógicas

ordinales en ambos sentidos: ascendente y descendente

IV2. El niño debe contar los escalones.

IV3. Determinar posiciones ordinales

IV1. Volvemos a la situación IV1

1. Ensayo y error 1. 1. Ensayo y error 1.

2. Ensayo y error 22. Ensayo y error 2


4. Tiene en cuenta el dato. Uniridiccional4. Tiene en cuenta el dato. Uniridiccional

5. Bidiriccional5. Bidiriccional

Preguntar si ha tenido en cuenta el dato

Estado IV. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativoAlumno Colegio Curso Edad

V1a. Resuelve V1V1a. Resuelve V1 V1b. No resuelve V1V1b. No resuelve V1


V3a. Resuelve V3V3a. Resuelve V3 V3b. No resuelve V3.V3b. No resuelve V3.


Tarea del Estado V: Posiciones lógicas ordinales de la secuencia numérica con la

alternancia

Tarea del Estado V: Posiciones lógicas ordinales de la secuencia numérica con la

alternancia

V1. Se ve el tramo 4, 5 y 6. En el 5 hay pan y un pajarito. “El pajarito está en el 5 y sí come: ¿cuál es el siguiente número que

come? Dado un nº determinar el siguiente o el anterior en el que sí com.

V2. Establecer la correspondencia serial: secuencia numérica/alternancia

V3. Dado un dato numérico determinar si come o no en ese número

V1. Volvemos a la situación V1


2. Usa la alternancia2. Usa la alternancia

3. Usa la correspondencia serial3. Usa la correspondencia serial

4. Tiene en cuenta el dato4. Tiene en cuenta el dato

5. Bidireccional5. Bidireccional

Estado V. Relaciones lógicas ordinales en la s.n. versus alternancia como instrumento comparativoAlumno Colegio Curso Edad

VI1a. Resuelve VI1VI1a. Resuelve VI1 VI1b. No resuelve VI1VI1b. No resuelve VI1


VI3a. Resuelve VI3VI3a. Resuelve VI3 VI3b. No resuelve VI3.VI3b. No resuelve VI3.


Tarea del Estado VI: Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de seriación

Tarea del Estado VI: Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de seriación

VI1. Se imagina la escalera más larga. En el nº m come, ¿en qué otro nº después de m

come también?. Decir los números en los que sí come en un tramo de extremo inferior m

VI2. Si la escalera fuese más larga, ¿en qué otro nº después del 9

comería?, ó/y ¿come en el 11?

VI3. Se ve la alternancia, en el 11 sí come, ¿en qué nº después del 11 come?, ¿y después del 13?, ¿y del

15?.

VI1. Volvemos a la situación VI1

1. Ensayo y errror1. Ensayo y errror

2. Justifica con la alternancia2. Justifica con la alternancia

3. Justifica con la secuencia numérica3. Justifica con la secuencia numérica

4. Toma siempre un número como referencia4. Toma siempre un número como referencia

5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la secuencia5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la secuencia

En el 15 sí come, ¿por qué come en el 17?

Estado VI. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numéricaAlumno Colegio Curso Edad

universidad de mÁlaga - atarazanas.sci.uma.esatarazanas.sci.uma.es/docs/tesisuma/16275913.pdf ·...

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