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UNIVERSIDAD DE JAÉN Departamento de Física

Prácticas de Física Para la asignatura FÍSICA MECÁNICA

TITULACIONES:

Grado en Ingeniería Civil

Grado en Ingeniería en Tecnologías Mineras

Grado en Ingeniería de Recursos Energéticos

Grados Dobles

Alumno:

Grupo: 1 2

Pareja:

Curso 2017-2018

RELACIÓN DE PRÁCTICAS PARA LA ASIGNATURA “FÍSICA MECÁNICA”

M3 - Conservación de la Energía

M4 – Composición de Momentos de Fuerza

M5 – Oscilador Armónico

M7- Péndulo de Torsión.

M8 - Estudio Experimental de la Flexión de una Viga

M9 – Determinación Experimental de la Ventaja Mecánica de un Polipasto

M11 – Determinación del coeficiente de Restitución Mediante una Rueda de Maxwell

F1 – Determinación de Densidades de Sólidos con el Picnómetro

PROGRAMACIÓN CURSO 2017/2018:

Nº Pareja

de cada

grupo

Semana

1ª

Semana

2ª

Semana

3ª

Semana

4ª

Semana

5ª

Semana

6ª

Semana

7ª

Resto de semanas

1 Presentación

M5 M5 M4 F1 M11 M3 Recuperación y

ampliación

2 Presentación

M5 M5 M8 M3 M9 M11 Recuperación y

ampliación

3 Presentación

M4 F1 M5 M5 M3 M7 Recuperación y

ampliación

4 Presentación

F1 M11 M5 M5 M7 M4 Recuperación y

ampliación

5 Presentación

M8 M4 F1 M7 M5 M5 Recuperación y

ampliación

6 Presentación


ampliación

7 Presentación

M7 M3 M9 M8 M4 F1 Recuperación y

ampliación

8 Presentación

M3 M9 M7 M11 F1 M8 Recuperación y

ampliación

9 Presentación


ampliación

LABORATORIO DE FÍSICA GRADOS I. CIVIL, TEC. MINERAS Y

RECURSOS ENERGÉTICOS

Grupos A y B

HORARIOS:

Grupo 1: Miércoles de 9:30 h a 10:30 h

FECHAS:

1ª Semana: 14 de febrero 5ª Semana: 21 de marzo

2ª Semana: 21 de febrero 6ª Semana: 4 de abril

3ª Semana: 7 de marzo 7ª Semana: 11 de abril

4ª Semana: 14 de marzo

LUGAR:

Todas las sesiones programadas en la tabla anterior se realizarán en el laboratorio de

Física de la Escuela Politécnica Superior de Linares (Campus Científico Tecnológico),

dependencia L-122.

Fdo: José Alberto Maroto Centeno

Dpto. Física (U. Jaén)

Fecha y hora límite de entrega: 18/05/2018 (9:30 horas)

cuaderno de prácticas

Entregar en mano al profesor de prácticas en la dependencia

D - 160

MEDIDAS Y ERRORES

1.-Introducción.

La Física y la mayoría de las ciencias persiguen la descripción cualitativa y cuantitativa

de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Para conseguir este objetivo un aspecto básico es

la medida de las magnitudes que intervienen en el fenómeno.

Cuando se mide una cierta cantidad de una magnitud, el resultado es un número. Si

repetimos varias veces la medida (en las mismas condiciones) los resultados serán en general

diferentes. Esto indica que toda medida tendrá una cierta imprecisión, debida a multitud de

factores, instrumentos, agentes físicos como la temperatura, presión atmosférica, etc.

Nuestro trabajo en el laboratorio será establecer los límites dentro de los que se

encuentra el valor real de la magnitud medida. Este es el objetivo del Cálculo de errores, indicar

el valor más probable de la medida con el margen de error que estamos cometiendo. Por tanto,

toda medida deberá ir acompañada de su error de forma que sepamos su calidad y su exactitud.

Aquellas magnitudes físicas que se puedan medir con algún dispositivo se llaman

magnitudes directas. Las que se deban calcular con ecuaciones matemáticas serán indirectas

Es conveniente advertir que el fin de un experimentador no es solo procurar que sus

errores sean mínimos, sino que sean lo suficientemente pequeños para que no afecten a los

cálculos o resultados y a las conclusiones que se puedan inferir de las medidas experimentales.

En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que

vamos a definir: exactitud, precisión y sensibilidad.

- Un aparato será exacto si las medidas que se realizan con él son todas muy próximas al

valor cierto de la magnitud medida.

- Un aparato será preciso si la diferencia entre diferentes medidas de la misma magnitud

es muy pequeña.

La exactitud implica normalmente precisión, pero la inversa no es cierta, ya que pueden

existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a errores sistemáticos.

- La sensibilidad de un aparato es la división más pequeña de su escala o la última cifra

de su pantalla. Este valor se asocia con el llamado Error Instrumental del aparato.

Si medimos una magnitud física cuyo valor exacto es x0, obteniendo el número x,

definimos el Error Absoluto de la medida, ∆x = | x - x0 |

Y el Error Relativo como εr = ∆x / x0 Que multiplicado por 100, quedará expresado en %.

Ahora bien, como es imposible conocer el valor cierto de la magnitud, lo único que

podemos hacer es tomar siempre varias medidas repetitivas, lo que permite reducir posibilidades

de errores accidentales y, más importante, permitirá tomar como valor exacto (x0) de la medida,

la Media Aritmética de las mismas

x0 = ∑ xi / N siendo xi cada medida tomada

N el número total de medidas.

2

2.- Medidas Directas.

En las medidas directas para conocer el número de repeticiones que debemos realizar

tendremos en cuenta lo siguiente:

En general se realizarán tres medidas (x1, x2, x3). A partir de éstas se calcula la media

(xm).

También se calcula la dispersión (D) que es la diferencia entre los valores extremos de

las medidas realizadas:

D = Max [x1, x2, x3] - Min [x1, x2, x3] (1)

Y el tanto por ciento de la dispersión: m

Dx

DT

100= (2)

Si TD < 2 %, se tomará como valor cierto de la medida x0, la media y como error

absoluto ∆x, la sensibilidad del aparato de medida usado.

Si 2 % < TD < 8 %, se realizaran otras 3 medidas más, tomando como valor x0, la

nueva media de esas medidas, y como error absoluto:

∆x = Mayor de {D/4, error instrumental}.

3.- Expresión de las medidas. Redondeo.

Para expresar el error, dado el significado de cota que tiene, debemos poner como mucho

2 cifras significativas, entendiendo por significativas aquellas cifras distintas de cero (sin

importar que estén antes o después de la coma decimal).

Se admite por convenio, que el error se expresará con dos cifras si la primera

significativa es "1" o "2". En todos los demás casos solo se dará una cifra significativa.

Para despreciar el resto de cifras del error deberemos redondear según el valor de la

siguiente cifra que vamos a despreciar (si es mayor de "5" se añade una unidad a la anterior). Por

ejemplo 83 y 246 se redondean a 80 y 250.

El valor de la magnitud medida está acotada por su error, por tanto debe tener sólo las

cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última

del error. Para despreciar las restantes cifras se procederá a redondear también su valor.

Por tanto toda medida se debe dar con su número correcto de cifras ± su cota de error,

seguido de las unidades correspondientes de la magnitud de la medida.

4.- Medidas Indirectas.

Las medidas indirectas son aquellas que se obtienen a través de ecuaciones que las

relacionan con medidas directas.

3

Supongamos que una magnitud física "y", depende de un conjunto de magnitudes

directas x1, x2, x3, …, xn, es decir:

y = f (x1, x2, x3, …, xn)

donde conocemos: xi = x0i ± ∆xi i = 1, …. N

el valor cierto y0, viene dado por: y0 = f (x01, x02, x03, …, x0n)

y el error absoluto: i

n

i i

xx

fy ∆

∂∂=∆ ∑

=1

(3)

El valor absoluto evita que los errores se puedan restar o salir negativos.

Ejemplos: 1) y = a x ∆y = a ∆x

2) y = x/z ∆y = (1/z) ∆x + (x/z2) ∆z

5.- Representación Gráfica.

En la práctica es útil representar gráficamente los resultados experimentales, debido a

que una gráfica permite destacar el conjunto del fenómeno en el intervalo en que se han hecho

las medidas, permite conocer otros valores de la variable dependiente sin necesidad de

determinación experimental y pone de manifiesto medidas afectadas de un error anormal.

Ahora bien, para que de la representación gráfica se obtenga la máxima información ha

de ajustarse a ciertas normas que vamos a dar a continuación:

1) La gráfica debe representarse en papel milimetrado o logarítmico. Y llevar un título

suficientemente explícito en la parte superior y, sobre los extremos de los ejes la indicación de la

magnitud representada en cada uno de ellos, así como sus unidades. También puede anotarse

una tabla de valores de las variables obtenidos en la experiencia.

2) Deben escogerse las escalas correspondientes a ambos ejes, de forma que comprendan

solamente los intervalos dentro de los cuales se van a representar las medidas realizadas. Por

tanto, puede ocurrir que las escalas no comiencen en cero o no sean iguales en los dos ejes.

3) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de

la escala. No deben escribirse sobre ellos los valores correspondientes a las medidas realizadas.

4) Los valores medidos se representan por un punto, correspondiente a sus dos

coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya base abarca desde (x0 - ∆x) hasta (x0 + ∆x) y cuya altura va desde (y0 - ∆y) hasta (y0 + ∆y). Si alguno de los errores es

despreciable en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error se reduce a un simple

segmento vertical u horizontal, e incluso a un punto cuando ambos errores sean despreciables.

4

5) Cuando la representación de un conjunto de N puntos experimentales (xi , yi) se ajuste

a una línea recta, se trazará la recta de regresión lineal con ajuste por el método de Mínimos

Cuadrados. Este método consiste en ajustar los valores por la ecuación teórica de una recta:

Y = a X + b (4)

donde a y b son la pendiente de la recta y la ordenada en el origen, respectivamente;

parámetros que se determinan con la condición de que se ajuste la recta lo mejor posible a los

datos experimentales. De esta forma se obtienen las siguientes expresiones:

)x( - xN

yx - yxN = a

2

i2i

iiii

∑∑

∑∑∑

)x( - xN

yxx - yx = b

2

i2i

iiii2i

∑∑

∑∑∑∑ (5)

Y se define el factor de correlación, r, como:

( ) ( ) 2/1222/122 )()( yyNxxN

yx x yN= r

iiii

iiii

∑−∑∑−∑

∑∑−∑ (6)

este parámetro nos proporciona información acerca de la validez del ajuste; cuanto más se

aproxime (en valor absoluto) a la unidad, tanto mejor se ajusta la recta al conjunto de puntos

experimentales.

Los errores cometidos en la determinación de estos parámetros son los siguientes:

2/12

()2(

)(

∑−−∑

∆)x - xN

bx a - y = a

2

i

ii (7)

2/12/1

2

)2(

(·

(

1

−−∑

∑+∆

N

)bxa - y

)x -x

x

N = b

2

ii

2

i

Con ayuda del análisis de regresión ya no es necesario trazar la recta en la gráfica de

forma aproximada. Para eso se eligen dos valores de abscisas (eje x) dentro del intervalo de

valores experimentales, con ellos y con la expresión (4), usando los valores obtenidos de a y b,

se calculan sus correspondientes ordenadas (eje y). Con estos dos puntos ya podemos trazar la

recta que mejor ajusta al experimento.

M-3 1

OBJETIVO: Comprobar la ley de

conservación de la energía mecánica

mediante la utilización de un disco de

Maxwell.

MATERIAL: Disco de Maxwell, contador

digital, barrera fotoeléctrica, cinta métrica,

cables de conexión, soportes, nueces.

Un disco de Maxwell es un sistema

compuesto por un disco rígido de masa m

solidariamente unido a un eje (de radio r)

perpendicular a su plano y que pasa por su

centro de masas; el disco cuelga de un

soporte mediante dos cuerdas inextensibles y

de masa despreciable. Las cuerdas se

enrollan en torno al eje del disco, sujetándose

éste a una cierta altura mediante algún dispositivo de fijación (en nuestro caso nuestras

propias manos). Cuando se deja libre el disco, éste cae a medida que se van desenrollando

las cuerdas que lo sujetan, como si fuese un yoyó, describiendo su centro de masas un

movimiento de traslación (caída) simultáneo con la rotación del disco en torno al eje que

pasa por su centro de masas. En esta práctica analizaremos el proceso de transformación

de energía potencial gravitatoria a cinética de traslación y rotación que tiene lugar durante

el descenso del disco de Maxwell y, más concretamente, llevaremos a cabo una

verificación de la ley de conservación de la energía mecánica.

Para este disco, m = (0.5007 ± 0.0001) kg, el diámetro interior del disco viene dado por

Din = (98.35 ± 0.05) mm y el diámetro exterior del disco viene dado por

Dex = (128.00 ± 0.05) mm. El eje del disco tiene un diámetro d = (4.49 ± 0.01) mm.

Evidentemente d =2r.

FUNDAMENTO TEÓRICO Aplicando la ley o teorema de conservación de la energía

mecánica se llega a la siguiente expresión que relaciona la velocidad del centro de masas

del disco de Maxwell, vcm, con la distancia vertical recorrida, h.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA M-3

ADVERTENCIAS: 1) NO ALTERES LA CONEXIÓN DE LOS CABLES SIN AYUDA DEL PROFESOR. 2) El enrollado de los hilos en el eje del disco ha de ser uniforme. Evita que los hilos se enrollen unos sobre otros.

)1(2

2/1

2

+=

r

Im

mghvcm

M-3 2

Donde I es el momento de inercia del disco de Maxwell respecto a su eje generatriz. Para

llevar a cabo su evaluación podemos aproximar el disco Maxwell de que disponemos (de

color naranja) a un cilindro hueco de pared gruesa, así como despreciar la masa de los

radios que lo unen a su eje, al igual que la masa del mencionado eje. Una vez llevada a

cabo esta razonable aproximación, el momento de inercia del disco de Maxwell, I, viene

dado por:

Evidentemente, con la aproximación realizada al utilizar la expresión (2) estamos

sobrevalorando ligeramente el momento de inercia del disco de Maxwell.

PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS

Antes de enrollar los hilos al disco de Maxwell se debe nivelar horizontalmente el eje.

Pregunta a tu profesor de prácticas de laboratorio si el eje está nivelado. Por otro lado,

los hilos se deberán enrollar hacia dentro del eje y con cierta habilidad para así evitar

cabeceos durante el movimiento descendente del disco de Maxwell. Esta habilidad se

adquiere con la experiencia; no obstante, puedes pedir ayuda a tu profesor de prácticas de

laboratorio.

Los pasos a seguir en esta experiencia son:

1.- La célula fotoeléctrica inferior (de color negro y con forma de U) no debe desplazarse

en ningún momento; es decir, su posición es fija. Por el contrario, sitúa la pequeña barra

metálica indicadora de la posición a una distancia h de 20 cm. Utiliza una cinta métrica

para realizar esta operación. Para determinar la velocidad que lleva el disco cuando pasa

por la célula inferior mediremos el brevísimo intervalo de tiempo t durante el cual su eje

obstruye el paso de luz. Para medir ese tiempo hay que proceder de la siguiente forma:

1.1.- Primero asegúrate que el cable de la salida de la célula fotoeléctrica inferior

está conectado a ‘START/STOP’.

1.2.- Si es necesario, selecciona con el botón ‘Funktion’ la opción ‘TIMER’y pulsa

‘Trigger’ hasta que el led ilumine la última de las opciones.

2.- Eleva el disco de Maxwell hasta que quede justo a la altura del sensor de la célula

superior. Pulsa ‘RESET’ y ‘START’. Ya estamos en condiciones de realizar la

experiencia. Cuando lo desees y con sumo cuidado, para evitar cabeceos del disco, deja en

libertad el disco. Apreciarás que cuando el eje del disco cruza la célula fotoeléctrica

inferior, ésta registra el tiempo invertido por el eje del disco en la obstrucción del paso de

luz. En ese momento ya disponemos del tiempo t1 invertido en obstruir el paso de luz tras

caer una altura h. Ten en cuenta que si en el momento de atravesar la célula fotoeléctrica el

eje del disco de Maxwell roza con la mencionada célula (es decir, no la cruza

limpiamente, deberás repetir la experiencia). A continuación, debes repetir la experiencia

hasta tres veces obteniendo valores que denominaremos t1, t2 y t3; en ese momento

debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para ello calcula el tanto por ciento de

( ) )2(2

1 22inex RRmI +=

M-3 3

dispersión de las mismas. Si ese parámetro toma un valor inferior al 2% sabemos que las

tres medidas son suficientes. En caso contrario realiza otras tres nuevas medidas que

denominamos t4, t5 y t6. Finalmente, se determina el tiempo t que se desea medir y que será

la media de las medidas anteriores (3 o 6, según hayan sido necesarias).

3.- Repite los pasos 1 y 2 hasta completar la tabla 1 con 6 alturas diferentes.

h (cm) t1 (ms) t2 (ms) t3 (ms)

TD (tanto por

ciento de

dispersión

en t)

t4(ms) t5 (ms) t6 (ms) tmedia

(ms)

20

25

30

35

40

45

Tabla 1.

4.- A partir de los datos de la Tabla 1, calcula el error del tiempo asociado a cada una de

las alturas, ∆tmedia. Indícalo en la Tabla 2. Recuerda que este tiempo lo has obtenido

mediante un proceso de medición directa, por lo que deberá aplicar el protocolo de

tratamiento de datos experimentales explicado en clase. Escribe los resultados con el

número correcto de cifras significativas.

h (cm)

tmedia (ms) valor medio sin redondear

∆∆∆∆tmedia (ms) valor redondeado

tmedia ±±±± ∆∆∆∆tmedia (ms)

valor redondeado

20

25

30

35

40

45

Tabla 2.

M-3 4

5.- La velocidad de translación, vcm , que posee el disco de Maxwell una vez recorrida una

distancia h se puede obtener dividiendo el diámetro del eje (d = 0,490 ± 0,005) cm por el

tiempo tmedia que el eje impide el paso de luz, que es el tiempo que ha medido, es decir,

mediacm tdv /= . Realiza los cálculos correspondientes y apúntalos en la tabla 3. Para ello,

debes tener en cuenta que vcm es un parámetro que depende de dos variables afectadas por

errores, a saber, d y tmedia; por lo tanto, para su evaluación debes aplicar que:

h (cm) vcm (cm/s) valor sin redondear

∆∆∆∆ vcm (cm/s) valor redondeado

vcm ±±±± ∆∆∆∆ vcm (cm/s)

valor redondeado

(valor experimental)

vcm (cm/s) valor obtenido

teóricamente

(expresiones (1) y

(2))

20

25

30

35

40

45

Tabla 3.

6.- Dibuja en una gráfica los valores de velocidad obtenidos experimentalmente

acompañados de su error (cuarta columna de la Tabla 3) en función de la altura. Utiliza,

al tratarse de valores experimentales, puntos sin unir. Los errores asociados (∆vcm)

aparecerán en la forma de barra de error. Representa también los valores que predice la

teoría (quinta columna de la Tabla 3). Utiliza para su evaluación las ecuaciones (1) y

(2). En este caso, como sabes, la predicción teórica no aparecerá en la gráfica en la

forma de puntos, sino como una curva continua que pasa por ellos.

)3(mediamedia

cmcmcm t

t

vd

d

vv ∆

∂∂+∆

∂∂=∆

M-3 5

vcm (cm/s)

h(cm)

CUESTIONES 1.- Aplica la ley de conservación de la energía mecánica al movimiento descendente de

un disco de Maxwell y obtén la expresión (1).

2.- Desarrolla la expresión (3) y obtén la expresión explícita para ∆vcm.

3.- A la vista de la gráfica obtenida: ¿consideras que se cumple en esta experiencia la ley

de conservación de la energía mecánica?

4.- Razona sobre las razones que pueden explicar las discrepancias observadas entre los

valores experimentales y teóricos de vcm.

M-4 1

OBJETIVO: Estudiar experimentalmente las leyes

que satisfacen las fuerzas que actúan sobre un

cuerpo en equilibrio.

MATERIAL: Tablero cuadriculado, barra con pivote para fijar en el tablero, dinamómetro con

perno de sujeción al borde del tablero, cuerda larga,

cuerda corta, portapesas de 0.5 N, portapesas de 5

N, pesas de 5 N (4), pesa de 0.5 N, pesas de 1 N

(2), pesa de 2 N, medidor de ángulos.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido

sobre el que actúa un sistema de N fuerzas

aplicadas iFr (i=1,2,..,N) en los puntos cuyos vectores de posición son ir

r son

∑=

=N

i

iF1

0r

(1)

∑=

=×N

i

ii Fr1

0rr

(2)

Observa que ha ecuación (2) establece que la resultante de los momentos de fuerza debe

ser nula. En la discusión de las diversas experiencias se particularizarán estas expresiones.

PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS Experiencia 1.

En la primera de las experiencias estudiarás qué ocurre si se varía una de las fuerzas que

actúan sobre la barra sin variar su punto de aplicación. Procede de la siguiente manera:

1.- La barra debe fijarse al pivote que le permite girar por su centro y situarse en

horizontal. En principio, deberás encontrarla en este estado y no deberás hacer nada salvo

comprobar este extremo.

COMPOSICIÓN DE MOMENTOS DE FUERZA M-4

M-4

2.- El dinamómetro debe unirse a la hendidura

de la barra que está separada de su ce

(entre cada dos hendiduras hay 5 cm) mediante

la cuerda más corta, de forma que haya un

ángulo de 90º entre la cuerda tensa y la barra.

Las fuerzas que se lean en el dinamómetro se

designarán por F1 y la distancia

de la barra donde se ajusta

dinamómetro hasta el centro de la barra

designa por r1 (que vale 25 cm en este caso)

3.- Coloca el portapesas de 5 N en la hendidura

que se encuentra a 15 cm del centro de la barra

en el mismo lado de la barra donde se ha

ajustado la cuerda del dinamómetro

manera, se ejerce una fuerza

distancia r2 = 15 cm. Anot

observa en el dinamómetro (

4.- Añade pesas de 5 N al portapesas

hasta que se alcance un peso total de

Anota los valores que se leen en el dinamómetro (

largo de toda la experiencia, la barra

mantenga este ángulo de 90º. De esta manera, las fuerzas

la barra.

Anota los resultados de esta experiencia en la tabla

experimental. Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.

F

Tabla 1

A continuación, representa

El dinamómetro debe unirse a la hendidura

de la barra que está separada de su centro 25 cm

(entre cada dos hendiduras hay 5 cm) mediante

la cuerda más corta, de forma que haya un

ángulo de 90º entre la cuerda tensa y la barra.

Las fuerzas que se lean en el dinamómetro se

y la distancia desde el punto

e se ajusta la cuerda del

centro de la barra se

25 cm en este caso).

el portapesas de 5 N en la hendidura

que se encuentra a 15 cm del centro de la barra y

en el mismo lado de la barra donde se ha

ajustado la cuerda del dinamómetro. De esta

ejerce una fuerza F2 de 5 N a una

= 15 cm. Anota la reacción que se

observa en el dinamómetro (F1).

al portapesas para ir aumentando progresivamente la fuerza

que se alcance un peso total de 25 N (es decir, hasta añadir 4 pesas adicionales)

los valores que se leen en el dinamómetro (F1) en la tabla 1. Es importante

largo de toda la experiencia, la barra no se desvíe notablemente de la hor

e 90º. De esta manera, las fuerzas 1Fr y 2F

rserán perpendiculares a

los resultados de esta experiencia en la tabla 1 y no olvides añadir el error

Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.

F2 (N) F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)

5

10

15

20

25

a la gráfica F1-F2 y obtén (mediante un ajuste por mínimos 2

para ir aumentando progresivamente la fuerza F2

(es decir, hasta añadir 4 pesas adicionales).

importante que, a lo no se desvíe notablemente de la horizontal y que se

perpendiculares a

1 y no olvides añadir el error

Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.

(mediante un ajuste por mínimos

M-4 3

cuadrados) la recta F1 = a F2 + b que mejor se aproxima a los resultados experimentales

(dibújala también). No olvides los errores y unidades que deben acompañar a los

coeficientes a y b y apúntalos en la tabla 2. Incluye en esta tabla también, y a efectos de

futuras discusiones, el valor del cociente r2 / r1.

a = ±

b = ±

r =

r2 /r1 =

Tabla 2.

F1 (N)

F2 (N)

Como las fuerzas F1 y F2 se encuentran en el mismo plano y son perpendiculares a la

barra, se puede demostrar que, en el equilibrio y aplicando la expresión (2) tomando el

pivote como punto de reducción de momentos de fuerza, quedan relacionadas mediante:

M-4 4

2

1

21 F

r

rF = (3)

Esta ecuación predice que F1 es proporcional a F2, y la constante de proporcionalidad

viene dada por el cociente r2/r1. ¿Cuánto tiene que valer el coeficiente b según la ecuación

teórica (3)?

¿Se ajustan los resultados experimentales a esta predicción?

Sí � No �

Experiencia 2.

En la experiencia anterior se ha mantenido fijo el punto de aplicación de la fuerza F2,

mientras que se ha ido variando su módulo. Ahora se pretende mantener fija la fuerza, y

cambiar su punto de aplicación. Para ello, sitúa el portapesas con un peso total de 20 N en

las distintas hendiduras que hay en la barra desde su centro hasta uno de sus extremos. De

esta manera se tendrá que r2 tomará los siguientes valores r2 = 5, 10, 15 y 20 cm. Anota las

correspondientes fuerzas que mide el dinamómetro en cada configuración, F1. De nuevo,

procure que la barra no se desvíe apenas de la horizontal a lo largo de toda la experiencia.

Anota los resultados en la tabla 3.

r2 (cm) F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)

5

10

15

20

Tabla 3.

Representa la gráfica F1-r2 y obtén (mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta

F1 = a r2 + b que mejor se aproxima a los resultados experimentales (dibújala también). No

olvides tampoco los errores y unidades (si las tienen) de los coeficientes a y b y apúntalos en la tabla 4.

La ecuación (3) también predice que F1 es proporcional a r2, pero ¿cuál es ahora la

M-4 5

constante de proporcionalidad según esta ecuación y qué valor toma?

¿Verifican los resultados experimentales esta predicción?

Sí � No �

F1 (N)

r2 (cm)

a = ±

b = ±

r =

Constante de

Proporcionalidad =

(valor cuantitativo)

Tabla 4.

M-4

Experiencia 3.

En esta ocasión repetiremos la experiencia 1 pero

aplicando una tercera fuerza

en la barra, F3 = 5 N, a una distancia

cm, del centro de la barra.

ayudaremos del portapesas de 0.5 N y de las

pesas más pequeñas. Anot

obtenidos en la tabla 5.

Representa de nuevo F1-F2 y obt

= a F2 + b que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibúj

olvides tampoco los erroresen la tabla 6.

En esta ocasión se puede demostrar que

tomando el pivote como punto de reducción de momentos de fuerza,

¿Se obtiene en este caso el mismo coeficiente experimental

Sí �

¿Cómo interpretas ahora el coeficiente

corresponde?

F2 (N)

5

10

15

20

25

n esta ocasión repetiremos la experiencia 1 pero

aplicando una tercera fuerza de valor constante

a una distancia fija, r3 = 20

del centro de la barra. Para ello nos

ayudaremos del portapesas de 0.5 N y de las

pesas más pequeñas. Anota los resultados

Tabla 5.

y obtén (mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta

que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibúj

errores y unidades (si las tienen) de los coeficientes

En esta ocasión se puede demostrar que (en equilibrio), y aplicando

tomando el pivote como punto de reducción de momentos de fuerza, se cumple que:

3

1

3

2

1

2

1 Fr

rF

r

rF +=

el mismo coeficiente experimental a que en la experiencia 1?

No

ahora el coeficiente b?. Es decir: ¿Con qué valor teórico se

F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)

6

(mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta F1 que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibújala también). No

(si las tienen) de los coeficientes a y b y apúntalos

(en equilibrio), y aplicando la expresión (2)

se cumple que:

(4)

que en la experiencia 1?

No �

Es decir: ¿Con qué valor teórico se

M-4 7

Tabla 6.

F1 (N)

F2 (N)

CUESTIONES 1.- Demuestra razonadamente las ecuaciones (3) y (4). ¿Por qué en ninguna de ellas

aparece el peso de la barra?

2.- El pivote que sujeta la barra por su centro ejerce una fuerza sobre ella. ¿Por qué esta

fuerza no aparece tampoco en las ecuaciones anteriores? ¿Cómo podrías calcularla?.

Ilustra la respuesta a esta última cuestión con un ejemplo (calcula dicha fuerza para uno

de los casos analizados en la experiencia 1).

a = ±

b = ±

r =

r2 /r1 =

3

1

3 Fr

r =

M-5 1

OBJETIVOS: Determinación de a constante elástica

de un muelle mediante los métodos estático y

dinámico.

MATERIAL: Trípode, tabla vertical con dos

correderas, cinta métrica, muelles, pesas, cronómetro.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Cuando a un muelle se aplica una fuerza F

experimenta una deformación, x, que viene dada por la

ley de Hooke:

kxF = (1)

donde k es una constante característica del muelle que recibe el nombre de constante

de recuperación. Observe que en la expresión (1) sólo se tienen en cuenta los módulos de

las magnitudes (habitualmente encontrará dicha expresión con un signo menos). Si del

muelle colgamos una masa m y la desplazamos de su posición de equilibrio, se puede

demostrar que el periodo de la oscilación viene dado por:

k

mT π= 2 (2)


Seleccionaremos dos muelles que evidencien una distinta constate elástica (es decir,

que se requiera distinta fuerza para estirarlos). Para cada uno de esos muelles vamos a

determinar su constante elástica siguiendo dos métodos distintos (estático y dinámico).

Evidentemente, cabe esperar que los resultados obtenidos para cada muelle por ambos

métodos sean concordantes.

Método estático.

Habrá que realizar los siguientes pasos:

1.- Suspende uno de los muelles de un punto fijo (sin ninguna masa) y coloca la corredera

superior coincidiendo con su extremo inferior.

(nota: reconocerás las correderas por su color naranja)

2.- Cuelga una pesa de masa conocida (con ayuda del porta pesas) y desplaza la corredera

OSCILADOR ARMÓNICO M-5

M-5 2

inferior hasta el extremo de muelle. La distancia entre ambas correderas (que puedes leerla

sobre la escala de la tabla vertical) es el alargamiento del muelle x cuando se somete a una

fuerza mg.

(nota 1: la masa total m viene dada por la suma de la masa del porta pesas más la suma de

las masas de cada una de las pesas utilizadas).

(nota 2: masa del porta pesas: 20 g; masa de cada una de las pesas utilizadas: 50 g).

3.- Vuelve a repetir la operación anterior añadiendo cada vez más pesas hasta completar la

siguiente tabla.

4.- Repite los pasos 1-3 con el otro muelle.

Anota sus resultados en las siguientes tablas.

Muelle 1

m (kg)

F

(F = mg)

(N)

x

(m)

0,120 (porta pesas + 2 pesas)







M-5 3

Muelle 2

m (kg)

F

(F = mg)

(N)

x

(m)








A partir de estos datos, representa en una sola gráfica y para los dos muelles la

fuerza frente al alargamiento, F-x . Ajusta por mínimos cuadrados la línea obtenida:

F = a x + b. Representa en la gráfica también estas rectas de ajuste. Apunta en la tabla

adjunta los parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de correlación rc .

Determina para cada muelle el valor de su constante elástica k, utilizando la

pendiente (a) de la recta anterior y comparando con la ecuación (1).

Muelle 1

a = ( ± ) N/m

b = ( ± ) N

rc = ; coeficiente de correlación

k ± ∆ k = ( ± ) N/m

(valor sin redondear)

k ± ∆ k = ( ± ) N/m

(valor redondeado)

M-5 4

Muelle 2

a = ( ± ) N/m

b = ( ± ) N


k ± ∆ k = ( ± ) N/m


k ± ∆ k = ( ± ) N/m

(valor redondeado)

F (N)

x (m)

M-5 5

Método dinámico

Habrá que realizar los siguientes pasos:

2.- Utilizando el muelle 1, carga el porta pesas con una masa total m de 120 g y desplázalo

ligeramente de la posición de equilibrio (tirando del porta pesas hacia abajo, es decir,

estirando el muelle, pero sólo LIGERAMENTE) y mide con el cronómetro el tiempo t

empleado en realizar una serie de N oscilaciones (por ejemplo, N = 10). Evidentemente el

periodo de una oscilación, T, se calcula mediante la expresión T = t / N.

3.- Debes repetir la experiencia anterior hasta tres veces, obteniendo valores que

denominaremos t1, t2 y t3; ahora debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para

ello calcula el tanto por ciento de dispersión de las mismas y apúntalo. Si ese parámetro

toma un valor inferior al 2% sabemos que las tres medidas son suficientes. En caso

contrario debes realizar otras tres nuevas medidas que denominamos t4, t5 y t6.

Finalmente, se determina el tiempo t invertido para esa masa m, que será la media de las

medidas anteriores (tres o seis, según el caso). Y a partir de t determina fácilmente,

como sabemos, el valor del periodo de oscilación, T.

3.- Repite las operaciones anteriores variando la masa m hasta completar la siguiente tabla.

4.- Repite los pasos 1-3 con el otro muelle y completa las siguientes tablas:

Muelle 1

m (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s)

TD Tanto por

ciento de

dispersión

en t

t4 (s) t5 (s) t6 (s)

t (s) Valor

medio

de las

medidas

realizadas

T = t/10 Dividimos

los valores

de la

columna

anterior

entre 10

T2 (s2) Elevamos

al cuadrado

los valores

de la

columna

anterior

0,120 (portapesas + 2 pesas)






M-5 6

Muelle 2

m (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s)

TD Tanto por

ciento de

dispersión

en t

t4 (s) t5 (s) t6 (s)

t (s) Valor

medio

de las

medidas

realizadas

T = t/10 Dividimos

los valores

de la

columna

anterior

entre 10

T2 (s2) Elevamos

al cuadrado

los valores

de la

columna

anterior

0,120 (portapesas + 2 pesas)






A continuación, representa gráficamente T2-m para los muelles 1 y 2, y ajusta por

Mínimos Cuadrados la línea obtenida: T2

= a m + b. Apunta en la tabla adjunta los

parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de correlación rc. Representa en la gráfica

también estas rectas de ajuste (correspondientes a los muelles 1 y 2).

Determina el valor de la constante elástica k, utilizando la pendiente (a) de la recta

anterior y comparando con la expresión (2) en la forma:

04 2

2 +mk

= Tπ

M-5 7

Muelle 1

a = ( ± ) s2/kg

b = ( ± ) s2


k ± ∆ k = ( ± ) N/m


k ± ∆ k = ( ± ) N/m

(valor redondeado)

Muelle 2

a = ( ± ) s2/kg

b = ( ± ) s2


k ± ∆ k = ( ± ) N/m


k ± ∆ k = ( ± ) N/m

(valor redondeado)

Con el objeto de completar la tabla anterior recuerda que k es en esta práctica un

parámetro experimental cuyo valor depende directamente del valor de la variable a;

puesto que a viene afectada de un cierto error, es evidente que:

(3)

aa

kk ∆

∂∂=∆

M-5 8

A la vista de los resultados obtenidos mediante los métodos estático y dinámico:

¿Podemos afirmar que se obtiene un valor semejante de la constante elástica k para el

muelle 1?

Sí � No �

A la vista de los resultados obtenidos mediante los métodos estático y dinámico:

¿Podemos afirmar que se obtiene un valor semejante de la constante elástica k para el

muelle 2?

Sí � No �

Para terminar, dibuja en la siguiente gráfica los puntos experimentales de las dos

tablas anteriores así como las líneas teóricas obtenidas mediante el ajuste por mínimos

cuadrados.

T2 (s

2)

m (kg)

CUESTIONES 2.- Encuentra la expresión del error de k, ∆k, dado por la expresión (3).

M-7 1

OBJETIVOS: Determinación de la constante de recuperación de un muelle espiral y

cálculo de diversos momentos de inercia a partir de los periodos de oscilación.

MATERIAL: Diferentes cuerpos. Soporte. Eje de rotación con muelle de torsión. Cinta

métrica. Cronómetro. Barrera fotoeléctrica.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Si se fija un sólido rígido a una plataforma con muelle en espiral o se aplica una

fuerza cuyo momento respecto al eje es M, el sólido gira un ángulo que viene dado por la

ley de Hooke:

θ= kM (1)

donde k es una constante característica del muelle que recibe el nombre de constante

de recuperación angular. Observe que en la expresión (1) sólo se tienen en cuenta los

módulos de las magnitudes. Si el sólido se gira un cierto ángulo respecto a su posición de

equilibrio se puede demostrar que el periodo de la oscilación del movimiento armónico

resultante, T, viene dado por:

k

IT π= 2 (2)

donde I es el momento de inercia del sólido.


Determinación de la constante de recuperación angular.

Habrá que seguir los siguientes pasos:

1.- Fija la varilla por su centro de masas al muelle en espiral.

PÉNDULO DE TORSIÓN M-7

M-7 2

2.- Gira la varilla (comprimiendo el muelle) 180 º (π rad) y coloca el dinamómetro de 1N

de fondo de escala en alguna de las hendiduras que tiene más próximas a sus extremos.

Anota el valor de la fuerza necesaria para mantener la varilla en esta posición y con el

dinamómetro perpendicular a ella. En tal caso, como sabemos, el momento vendrá dado

simplemente por el producto M = F d, donde d distancia que separa el centro de masas de

la varilla de cualquiera de las dos hendiduras que tiene más próximas a sus extremos.

(nota: el parámetro d tiene un valor de 29 cm)

3.- Vuelve a repetir la operación anterior para 2π, 3π y 4π rad (dos vueltas) y completa la

tabla que figura a continuación.

θθθθ (rad) F (N)

(sin su error pero redondeado) M (N·m)

π

2π

3π

4π (utiliza el dinamómetro de

2 N de fondo de escala)

A partir de estos datos, representa en una gráfica M-θ. Ajusta por mínimos

cuadrados la recta M = a θ + b. Representa en la gráfica también esta recta de regresión.

Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de

correlación rc.

Determina la constante de recuperación del muelle en espiral, k, utilizando la

pendiente (a) de la recta anterior y comparando con la expresión (1).

M-7 3

M (N·m)

θ (rad)

a = ( ± ) N·m/rad

b = ( ± ) N·m


k ± ∆ k = ( ± ) N·m/rad

(valor redondeado)

Determinación de momentos de inercia.

Habrá que seguir los siguientes pasos:

1.- Fija la varilla por su centro de masas al muelle en espiral.

2.- Desplázala de la posición de equilibrio (girando un ángulo aproximado de 90º) y mide

el tiempo t invertido en realizar 3 oscilaciones completas.

M-7 4

3.- Debes repetir la experiencia anterior hasta tres veces, obteniendo valores que

denominaremos t1, t2 y t3; ahora debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para

ello calcula el tanto por ciento de dispersión de las mismas y apúntalo. Si ese parámetro

toma un valor inferior al 2% sabemos que las tres medidas son suficientes. En caso

contrario debes realizar otras tres nuevas medidas que denominamos t4, t5 y t6.

Finalmente, se determina el tiempo t realizando la media de las medidas anteriores (tres

o seis, según el caso). Y a partir de t determina fácilmente, como sabemos, el valor del

periodo de oscilación, T, como T = t/3.

3.- Repite los pasos 1, 2 y 3 para el disco, el cilindro macizo, el cilindro hueco y la esfera.

Completa la siguiente tabla:

Objeto t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

TD tanto por

ciento de

dispersión

en t

t4 (s)

t5 (s)

t6 (s)

t (s) Valor medio

de las

medidas

realizadas

(T = t/3) Valores de la

columna

anterior

divididos

entre 3

Varilla

Disco

Cilindro macizo

Cilindro hueco

Esfera

En cuanto el error asociado al período T, ∆T, debes tener en cuenta que su valor

depende directamente del error instrumental del cronómetro, ∆tinstr (que normalmente será

de 0.1 s o 0.01 s). En el caso de que basten 3 medidas de t (es decir, cuando el tanto por

ciento de dispersión sea inferior al 2%) se puede demostrar que ∆T = ∆tinstr /3, mientras

que si se requieren 6 medidas de t habrá que comparar ∆tinstr con la dispersión de las 6

medidas de t dividida entre 4, Dt/4; en este caso si ∆tinstr ≥ Dt/4 entonces ∆T = ∆tinstr /3,

mientras que si ∆tinstr < Dt/4 entonces ∆T = Dt/12. Apunta los resultados de estos cálculos

en la siguiente tabla.

M-7 5

Objeto ∆tinstr (s)

Indica el

número de

medidas

de t que

has

necesitado

realizar

(3 o 6)

Dt/4 (s)

(en el caso

de haber

realizado 6 medidas)

∆T(s)

T ± ∆T (s)

Valores sin

redondear

T ± ∆T (s)

Valores

redondeados

Varilla

Disco

Cilindro

macizo

Cilindro

hueco

Esfera

A partir del periodo T y la constante k, y utilizando la expresión (2) puedes evaluar

experimentalmente los momentos de inercia de los distintos objetos estudiados. Para ello

rescribimos la expresión (2) en la forma:

(3)

No obstante, debemos tener en cuenta que puesto que los momentos de inercia

evaluados mediante la expresión (3) tienen un carácter experimental, llevan asociados un

cierto error, dependiente a su vez de los errores que acompañan a las magnitudes k y T.

Por lo tanto, la expresión de ∆I viene dada por:

(4)

Finalmente, puedes evaluar los momentos de inercia teóricos de cada objeto

teniendo en cuenta los datos (masas y características geométricas) que se incluyen en una

tabla anexa y las expresiones teóricas de momentos de inercia que puedes encontrar

2

2

4π= kTI

TT

Ik

k

II ∆

∂∂+∆

∂∂=∆

M-7 6

ojeando los correspondientes libros de texto.

Con toda la información anterior estás en condiciones de completar la siguiente

tabla:

Objeto I ±±±± ∆∆∆∆I (kg·m2) (experimental)

(valores sin redondear)

I ±±±± ∆∆∆∆I (kg·m2) (experimental)

(valores redondeados)

I (kg·m2) (teórico)

Varilla

Disco

Cilindro macizo

Cilindro hueco

Esfera

Tabla anexa

Objeto masa (kg) radio exterior (m) radio interior (m)

Varilla 0.133 0.3 (media longitud) -

Disco 0.284 0.108 -

Cilindro Macizo 0.367 0.0495 -

Cilindro Hueco 0.372 0.050 0.046

Esfera 0.761 0.070 -

M-7 7

CUESTIONES 1.- Escribe las expresiones teóricas de los momentos de inercia de los cinco objetos

estudiados.

2.- Aplica las derivadas parciales expresadas en (4) a la expresión (3) y obtén la

expresión de ∆I que has utilizado para tus cálculos.

4.- ¿Se asemejan los momentos de inercia evaluados teóricamente a partir de la masa y

la geometría de los cuerpos a los obtenidos experimentalmente a partir del periodo?.

Comenta las semejanzas o discrepancias de los resultados obtenidos para los cinco

objetos.

M-8 1

OBJETIVO: Simular

experimentalmente la deformación de

una viga horizontal apoyada en sus

extremos y sometida a una carga en su

punto medio.

MATERIAL: Varilla de acero, trípodes,

reloj indicador, soporte del reloj

indicador, portapesas, pesas, cinta

métrica y palmer.

FUNDAMENTO TEÓRICO.

Los Alumnos de primer curso de los Grados de Ingeniería Civil, Tecnologías Mineras y

Recursos Energéticos han estudiado en clase de teoría el problema de una viga rectangular

de longitud L apoyada en sus extremos y sometida a una carga en su punto medio. Para

este caso, la deformación viene caracterizada por el valor de la flecha h, que depende de la

carga F a la que está sometida la viga, de su módulo de Young Y, de su longitud L, y de

sus otras dimensiones de interés (a y b) que quedan claramente descritas en la figura

inferior. Cuantitativamente:

)1(

24 3

3

FYab

Lh=


En esta práctica una varilla rectangular de acero con un valor del módulo de Young

proporcionado por la casa fabricante 1,7·1011

N/m2 simulará a una viga real de sección

rectangular. Antes de iniciar la experiencia se debe medir con el palmer las dimensiones

características de la varilla, a y b, y con una cinta métrica la longitud L mostrada en la

figura (ver en la fotografía de la portada que L no coincide con la longitud total de la

ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA FLEXIÓN DE UNA VIGA M-8

M-8 2

varilla, sino que es la distancia entre los puntos de apoyo), y se completa la siguiente tabla:

a ± ∆a ( ) mm ( ) m

b ± ∆b ( ) mm ( ) m

L ± ∆L ( ) mm ( ) m

Con el esquema de trabajo mostrado en la fotografía de la portada toma una primera

lectura del reloj indicador sin el portapesas, a la que denominamos Li, y apuntala en la

tabla inferior. A continuación coloca con sumo cuidado el portapesas con dos pesas sobre

el soporte del reloj indicador y se espera en torno a un minuto a que se estabilice la medida

del reloj indicador. El valor que entonces marque es Lf; apuntalo en la tabla. Repite la

experiencia añadiendo sucesivamente pesas con gran cuidado hasta un número de 8, sin

soltarlas de golpe, y completa la tabla siguiente.

A partir de estos datos, se debe representa en una gráfica el valor de la flecha h (en

metros) en función de la carga F (en N). Por otro lado, ajusta por mínimos cuadrados la

Varilla de acero

m (kg)

F

(F = mg) (N)

Lectura

inicial reloj

Li (mm)

Lectura final

reloj

Lf (mm)

Flecha de la

varilla

h = Li - Lf (mm)

Flecha de la

varilla

h = Li - Lf (m)








M-8 3

línea obtenida: h = c F + d. A continuación, incluye en la gráfica anterior esta recta de

ajuste. Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste proporcionados por el

programa que has utilizado: c, ∆c, d, ∆d, así como el coeficiente de correlación rc .

Finalmente, determina el valor experimental del módulo de Young de la varilla de

acero objeto de estudio, Y, utilizando la pendiente de la recta anterior, c, y comparando

con la ecuación (1) en la forma:

)2(0

24 3

3

+= FYab

Lh

Varilla de acero. Y teórico = 1,7·1011 N/m2

c = ( ± ) m/N

d = ( ± ) m


Y ± ∆ Y = ( ± ) N/m2


Y ± ∆ Y = ( ± ) N/m2

(valor redondeado)

Con el objeto de completar la tabla anterior recuerda que Y es en esta práctica un

parámetro experimental cuyo valor depende directamente del valor de la pendiente c, de la

longitud de la varilla L, y de sus dimensiones características a y b, todas ellas magnitudes

afectadas de error. Por lo tanto, es evidente que:

)3(LL

Yc

c

Yb

b

Ya

a

YY ∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂=∆

M-8 4

h(m)

F (N)

CUESTIONES.

1.- Compara el valor del módulo de Young del acero teórico con el obtenido

experimentalmente. ¿Existe un parecido razonable?.

2.- Realiza las correspondientes derivadas parciales a fin de obtener la expresión del

error experimental asociado al módulo de Young, ∆Y, dado por la expresión (3) .

M-9

OBJETIVO: El objetivo de esta

estudiar experimentalmente un polipasto,

determinando su ventaja mecánica mediante un

ajuste por mínimos cuadrados.

MATERIAL: Polipasto, juego de dinamómetros,

juegos de pesas, soportes.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Un polipasto es una máquina compuesta por un

cierto número de poleas; su principal utilidad es

proporcionar una cierta ventaja mecánica (

que, como recordarás, es de for

cociente entre la carga y el

un polipasto, VM viene dada por la siguiente

expresión:

( )( ) (·ºnúmeroeVM

cuerdasden=

Donde e es la eficiencia de cada una de las poleas

componentes, al término

denomina eficiencia total, y

refiere al número de cuerdas del polipasto que

soportan la carga. En el caso ideal de que

cumple que VM = número de cuerdas.


En la cabecera de este guión aparece una imagen del polipasto que vas a analizar así como

de uno de los dinamómetros que serán utilizados para mediar el esfuerzo en cada una de

las experiencias. Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estud

en la tabla inferior el número de cuerdas

del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación,

del dinamómetro se engancha en un clip que se ha insertado en un

elegir convenientemente entre el juego de dinamómetros disponibles (de fondo de escala

1N, 2N y 5N) el que más interese en cada experiencia.

dinamómetro ya enganchado

ascienda muy lentamente, de forma que aproximadamente lo haga con velocidad constante

y aceleración nula. Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas

correspondientes con el juego de dinamómetros

la siguiente tabla:

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA

MECÁNICA DE UN POLIPASTO

El objetivo de esta práctica es

estudiar experimentalmente un polipasto,

determinando su ventaja mecánica mediante un

ajuste por mínimos cuadrados.

Polipasto, juego de dinamómetros,

FUNDAMENTO TEÓRICO.

Un polipasto es una máquina compuesta por un

cierto número de poleas; su principal utilidad es

proporcionar una cierta ventaja mecánica (VM)

, como recordarás, es de forma general el

y el esfuerzo. En el caso de

viene dada por la siguiente

) )1(cuerdasdenúmero

es la eficiencia de cada una de las poleas

componentes, al término e (nº de cuerdas)

se le

denomina eficiencia total, y número de cuerdas, se

refiere al número de cuerdas del polipasto que

soportan la carga. En el caso ideal de que e = 1 se

= número de cuerdas.




Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estud

número de cuerdas que lo compone. Para medir, primero se cuelga

del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación,

del dinamómetro se engancha en un clip que se ha insertado en una de las cuerdas. Debes


1N, 2N y 5N) el que más interese en cada experiencia. A continuación,

ya enganchado tirarás suavemente hacia abajo hasta logr


Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas

correspondientes con el juego de dinamómetros, irás completando los dato

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA

MECÁNICA DE UN POLIPASTO

1



Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estudio y apunta

primero se cuelga

del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación, el gancho

a de las cuerdas. Debes


A continuación, con el

hasta lograr que la carga


Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas

, irás completando los datos requeridos en

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA M-9

M-9 2

Número de cuerdas del polipasto:

Carga (Kg) Carga (N)

(mg)

Esfuerzo (N) (acompañado de su error)

VM = (Carga)/(Esfuerzo)

0,294

0,494

1

1,114

A partir de estos datos, representa en una gráfica el valor de la carga (expresada en

N) en función del esfuerzo (expresado en N). Por otro lado, ajusta por mínimos cuadrados

la línea obtenida: carga = a esfuerzo + b. A continuación, incluye en la gráfica anterior

esta recta de ajuste. Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste proporcionados

por el programa que has utilizado: a, ∆a, b, ∆b, así como el coeficiente de correlación rc .

Finalmente, determina el valor experimental de la ventaja mecánica del polipasto

objeto de estudio, recordando que:

)2(· esfuerzoVMcarga =

a ± ∆a = ( ± )

b ± ∆b = ( ± )


VM ± ∆ VM = ( ± )


VM ± ∆ VM = ( ± )

(valor redondeado)

M-9 3

Carga(N)

Esfuerzo (N)

CUESTIONES.

1.- Compara el valor teórico de la ventaja mecánica ideal del polipasto estudiado con el

valor experimental que has obtenido. ¿Qué puedes decir a cerca de la eficiencia total del

polipasto?. ¿Hay rozamientos presentes en el funcionamiento de este polipasto?.

M-11 1

OBJETIVO: Determinar experimentalmente

el coeficiente de restitución experimentado por

una rueda de Maxwell en sucesivos rebotes.

MATERIAL: Disco de Maxwell, regla

graduada en centímetros, soportes, nueces.

Un disco de Maxwell es un sistema compuesto

por un disco rígido de masa m solidariamente

unido a un eje (de radio r) perpendicular a su

plano y que pasa por su centro de masas; el

disco cuelga de un soporte mediante dos

cuerdas (inextensibles y de masa despreciable).

Las cuerdas se enrollan en torno al eje del

disco, sujetándose éste a una cierta altura

mediante algún dispositivo de fijación (en

nuestro caso nuestras propias manos). Cuando

se deja libre el disco, éste cae a medida que se

van desenrollando las cuerdas que lo sujetan,

como si fuese un yoyó, describiendo su centro

de masas un movimiento de traslación (caída)

simultáneo con la rotación del disco en torno al

eje que pasa por su centro de masas. Cuando el disco se desenrolla totalmente (alcanzando

una distancia igual a la longitud de las mismas) experimenta un rebote como consecuencia

de las fuerzas elásticas a las que se ven sometidas las cuerdas de las que cuelga el disco.

En esta práctica determinaremos el coeficiente de restitución que caracteriza este rebote,

que puede ser interpretado desde el punto de vista mecánico como una colisión producida

al desenrollarse totalmente el disco.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Al final de este guión puedes encontrar una referencia bibliográfica donde se analiza

físicamente el proceso de enrollado y desenrollado sucesivo de una rueda de Maxwell que

experimenta sucesivos rebotes hasta alcanzar el reposo debido a la disipación de la energía

mecánica.

En este análisis se llega a la siguiente expresión de interés que relaciona la altura

alcanzada por la rueda de Maxwell tras n colisiones, hn, con la altura inicial, ho:

DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN

MEDIANTE UNA RUEDA DE MAXWELL M-11

)1(2o

n

nhh ε=

M-11 2

donde ε es el coeficiente de restitución que caracteriza cada colisión o rebote.

Ahora podemos aplicar el logaritmo neperiano a ambos términos de la expresión (1),

obteniendo:

La expresión (2) será nuestra expresión de trabajo. Evidentemente, si representamos Ln hn

frente a n, cabe esperar una relación lineal cuya pendiente es 2·Ln ε y cuya ordenada en el

origen es Ln ho. Por lo tanto, el valor de la pendiente será utilizado para determinar el

coeficiente de restitución, ε, mientras que la ordenada en el origen se utilizará como medio

de comprobación de la validez de los resultados obtenidos.


Antes de enrollar los hilos al disco de Maxwell se debe nivelar horizontalmente el eje.

Pregunte a tu profesor de prácticas de laboratorio si el eje está nivelado.

Los pasos a seguir en esta experiencia son:

1.- Enrolla cuidadosamente la rueda de Maxwell hasta que el eje del disco intercepte el

centímetro 75 de la escala graduada, que se corresponderá con la altura inicial ho. La

siguiente figura, extremadamente ilustrativa, muestra como se lleva a cabo esta lectura así

como todas las restantes. En el caso de la figura, no obstante, la rueda alcanza una altura

de 56 cm.

2.- Deja en libertad la rueda de Maxwell con el

máximo cuidado, de forma que ésta no cabecee

en su descenso. Aguarda a que se produzca el

primer rebote y comience su movimiento

ascendente. Sigue atentamente tal movimiento

ascendente hasta que la rueda se detenga

momentáneamente. La lectura ofrecida en ese

momento por la regla graduada se corresponde

con la altura alcanzada tras el primer rebote, es

decir, h1. Asegúrate de realizar la lectura de la

regla de forma que tus ojos y el eje se hallen a la

misma altura para así evitar errores de paralaje.

3.- Sigue observando la experiencia sin intervenir

en ningún momento. Se producirán sucesivos

rebotes que conducirán a alturas máximas que denominaremos h2, h3, h4, etc. Ve rellenando

con todos estos datos la primera columna de la tabla 1, teniendo en cuenta que la

experiencia se considerará concluida cuando se hayan producido n = 12 rebotes.

)2(··2 εLnnhLnhLnon

+=

M-11 3

n hn (cm) hn (cm) hn (cm)

TD

tanto por ciento de dispersión en

h

hn (cm) hn (cm) hn (cm)

hn valor medio (cm)

0 75 75 75 - 75 75 75

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Tabla 1

4.- Repite la anterior experiencia otras dos veces más (3 en total). En ese momento habrás

completado las tres primeras columnas de la tabla 1. Toma la calculadora y evalúa el tanto

por ciento de dispersión de los resultados asociado a cada valor de n y apúntalo en la tabla

1. Una vez que hayas evaluado todos los tantos por ciento de dispersión observa si todos

ellos son menores del 2%. En este caso ya no deberás realizar más medidas. En el caso de

que alguno o algunos de ellos hayan superado el 2% de dispersión pregunta a tu profesor

sobre la idoneidad de realizar 3 medidas adicionales.

5.- Una vez concluidas las 3 o 6 experiencias, calcula el valor medio de las medidas

realizadas para cada valor de n y completa la última columna de la tabla 1.

6.- A partir de los datos anteriores, representa en una gráfica Ln hn – n y ajústala por

mínimos cuadrados: Ln hn = a·n + b. Apunta en la tabla adjunta (tabla 2) los parámetros

del ajuste, a, ∆a, b, ∆b y coeficiente de correlación, rc. A continuación, haciendo uso de la

expresión (2), determina los valores experimentales, acompañados de su error, del

coeficiente de correlación, ε, y ho(exp). Para ello ten en cuenta que de la mencionada

comparación se desprende que a = 2·Lnε y que b = Ln ho(exp).

M-11 4

Ln (hn/cm)

n

a = ( ± )

b = ( ± )


ε ± ∆ε = ( ± )

ho(exp) ± ∆ ho(exp) = ( ± ) cm

Tabla 2.

A fin de completar la tabla anterior recuerda que ε es un parámetro que depende de sólo

una variable afectada por errores (a); por lo tanto, es evidente que:

Y lo mismo se puede decir en relación a ho(exp) que, en este caso, es un parámetro que

)3(aaD

D ∆=∆ εε

M-11 5

depende de sólo una variable afectada por errores (b); por lo tanto, es evidente que:

CUESTIONES

1.- Desarrolla las expresiones (3) y (4) y obtén las expresiones explícitas para ∆ε y

∆ ho(exp).

2.- Compara el valor de ho(exp) ± ∆ ho(exp) con el valor que cabe esperar para este

parámetro (75 cm). A la vista de esta comparación y teniendo en cuenta también el valor

del coeficiente de correlación obtenido en el ajuste, rc : ¿qué confianza te merecen las

medidas realizadas y, por lo tanto, el valor que has obtenido experimentalmente para el

coeficiente de restitución?

BIBLIOGRAFÍA El alumno debe saber que esta práctica de laboratorio está basada en una publicación

realizada por dos profesores del Departamento de Física de la Universidad de Jaén. Si

deseas profundizar en el estudio y propiedades de este interesante montaje experimental

puedes consultar:

J.A. Maroto-Centeno y M. Quesada-Pérez, “Determinación del Coeficiente de Restitución

Mediante la Utilización de una Rueda de Maxwell”, Revista Iberoamericana de Física,

Vol. 5, nº 1 (2009).

)4((exp)

(exp) bbD

hDh

o

o∆=∆

F-1 1

OBJETIVO: Determinar la

densidad de un sólido utilizando

un picnómetro.

MATERIAL: Picnómetro,

balanza electrónica, cuerpo

problema dividido en pequeños

trozos, pipeta, vaso de vidrio,

termómetro, platillo, agua

destilada.

FUNDAMENTO TEÓRICO

La densidad absoluta, o simplemente densidad, ρ, de una sustancia de masa m y

volumen V, viene dada por:

V

m = ρ (1)

La densidad, para el caso de un sólido más denso que el agua, puede determinarse

experimentalmente haciendo uso de un picnómetro.

El picnómetro es un pequeño frasco de vidrio, cerrado por un tapón taladrado (hueco)

que se prolonga en un tubo vertical de pequeño diámetro, en el que hay marcada una

señal de enrase que debe alcanzarse en todas las medidas, a fin de disponer siempre de

un volumen constante.

Si m1 es la masa del picnómetro lleno de agua, m2 la masa del sólido problema y m3 la

masa del picnómetro lleno de agua destilada y con el sólido en su interior, de acuerdo

con el principio de Arquímedes, se tiene que:

Peso (H2O + sólido) (enrase) = Peso H2O (enrase) + Peso del sólido – Peso del V de H2O desalojado

que, numéricamente, se puede escribir como:

gV - gm + gm = gm 0213 ρ (2)

donde ρ0 es la densidad del agua destilada a la temperatura de trabajo y V el volumen

del cuerpo problema.

De esta forma, es evidente que la densidad del sólido problema, ρs, utilizando (2),

viene dada por:

DETERMINACIÓN DE DENSIDADES DE SÓLIDOS CON EL

PICNÓMETRO F-1

F-1 2

ρρ 0

321

22

s

m - m + m

m =

V

m = (3)

de manera que es posible determinar ρs en función de m1, m2 y m3, que serán evaluadas

experimentalmente.


Es importante asegurarse que durante la realización de la práctica tanto el agua

destilada como el sólido problema se mantengan a temperatura constante (que será la

determinada por el termómetro). En consecuencia, se procurará tener el picnómetro en

las manos el menor tiempo posible, una vez que esté lleno de líquido.

Para realizar esta práctica se procede del siguiente modo:

1.- Mide con el termómetro la temperatura del agua destilada contenida en el vaso de

vidrio. A continuación, llena el picnómetro de agua hasta el enrase y seca el exterior

con el papel secante. Para esta operación, que debe realizarse con cierta paciencia, te

ayudarás de la pipeta e irás añadiendo agua poco a poco y colocando el tapón hasta que

compruebes que el nivel de agua coincide exactamente con la marca de enrase.

2.- Enciende la balanza electrónica. Para ello deberás pulsar brevemente el botón

ON/OFF. Tras unos instantes, se apreciará en la pantalla 0.0 g, lo que indica que ya está preparada para pesar. A continuación, introduce el picnómetro lleno de agua. A la

lectura ofrecida por la balanza la llamaremos m1. Apúntala en la tabla 1. Retira el

picnómetro de la balanza y vacíalo de agua.

3.- En la mesa de trabajo hay un platillo de vidrio (designado con la letra A) lleno con

diversos trozos del primer cuerpo problema. Toma el platillo de vidrio (vacío) y sitúalo

en la balanza. A continuación pulsa el botón TARE; observarás que, tras unos instantes, la pantalla indica una lectura de 0.0 g . Se dice entonces que la balanza está

tarada, de manera que sólo medirá la masa de aquellos cuerpos que a continuación se

depositen en ella. Deposita todos los trozos del cuerpo problema y anota su masa, m2 en la tabla 1. Saca el platillo con los trozos del cuerpo problema y pulsa de nuevo el

botón TARE.

4.- Introduce los trozos del cuerpo problema en el interior del picnómetro, llénalo de

agua hasta el enrase siguiendo los pasos descritos en el paso 1 y seca el exterior.

5.- Determina en la balanza la masa del picnómetro lleno de agua con el cuerpo en su

interior, m3. Una vez tomada la lectura y apuntada en la tabla inferior, retira el

picnómetro de la balanza y vacíalo de agua y de los trozos del cuerpo problema.

6.- Repite las operaciones 3, 4 y 5 utilizando trozos del segundo y tercer cuerpo

F-1 3

problema contenidos en los platillos designados con las letras B y C, respectivamente.

(Nota: para los errores en las masas, toma la sensibilidad de la balanza, es decir,

0.1 g).

Cuerpo problema m1 ± ∆∆∆∆m1 ( g ) m2 ± ∆∆∆∆m2 ( g ) m3 ± ∆∆∆∆m3 ( g )

A

B

C

Tabla 1.

Para finalizar, debes obtener el valor de la densidad del sólido, ρs ± ∆ρs. En cuanto a

ρs , debes sustituir los valores anteriores en la expresión (3). En esta expresión aparece

la densidad del agua ρo que depende de la temperatura. La tabla 2 ofrece algunos

valores de este parámetro para diferentes temperaturas. Si la temperatura medida con el

termómetro (paso 1) no coincide con alguna de las tabuladas, deberás interpolar

linealmente.

t (ºC) ρρρρo (g/cm3)

5 0,99996

10 0,99970

15 0,99910

20 0,99820

25 0,99705

30 0,99565

35 0,99403

Tabla 2.

El valor de ∆ρs se obtiene mediante cálculo de errores. Una vez obtenidos los valores

de ρs y ∆ρs debes rellenar las tablas 3 y 4:

F-1 4

Cuerpo problema ρρρρs ± ∆∆∆∆ρρρρs (g/cm

3) (valores sin redondear)

A

B

C

Tabla 2.

Cuerpo problema ρρρρs ± ∆∆∆∆ρρρρs (g/cm

3) (valores redondeados)

A

B

C

Tabla 3.

CUESTIONES

1.- El Picnómetro también sirve para la determinación de la densidad de un líquido

desconocido. Demostrar que la densidad de un líquido ρl a una temperatura t se puede

determinar mediante la fórmula:

donde ml es la masa del picnómetro lleno de líquido hasta el enrase, mp es la masa del

picnómetro vacío, mo es la masa del picnómetro lleno de agua destilada hasta el enrase

y ρo es la densidad del agua a la temperatura t.

2.- Como hemos aclarado antes, el valor de ∆ρs se obtiene mediante cálculo de errores.

En este caso, a la vista la expresión (3) es evidente que ρs = f (m1, m2, m3), de manera

que podemos escribir:

o

po

pl

lmm

mmρ

−−

=ρ

3

3

2

2

1

1

mm

fm

m

fm

m

fs ∆

∂∂

+∆

∂∂

+∆

∂∂

=ρ∆

F-1 5

A la vista de la expresión anterior, realiza las oportunas derivadas parciales y escribe

en la siguiente tabla la función obtenida tras ése proceso.

∆∆∆∆ρρρρs

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