Universidad Autonoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa

Reporte de Investigacion

El Analisis Dimensional y la Teorıa Economica1

Miguel Alvarez Texocotitla2

M. David Alvarez Hernandez 3

Mayo 2015

1El presente reporte de investigacion constituye un insumo importante para mi proyecto de investiga-cion titulado: Deuda, Crisis Financiera y Desarrollo Economico.

2Doctor en Ciencias Sociales. Profesor-Investigador del Departamento de Economıa de la UniversidadAutonoma Metropolita-Iztapalapa.

3Licenciado en Fısica por la Universidad Autonoma Metropolita-Iztapalapa.

Introduccion

Para profundizar en el analisis de los sistemas complejos, los investigadores a menudoestablecen relaciones y construyen modelos que involucran cantidades que describen losfenomenos bajo investigacion. Estas cantidades, que pueden ser variables, constantes, oparametros son cantidades dimensionales, es decir, son cantidades cuyo valor numericodepende de la unidad de medida utilizada. La utilizacion de estas cantidades exigecumplir ciertos principios y reglas, los cuales son el campo de estudio de lo que seconoce como analisis dimensional. Es otras palabras, el analisis dimensional se ocupaparticularmente de estudiar las propiedades de las cantidades con dimensiones y de lasrelaciones matematicas, que las incorporan y que se proponen para describir un fenomeno.

El analisis dimensional tiene sus origenes en la naturaleza de los instrumentosintelectuales que se han construido con el fin de describir el mundo fısico y explicar sufuncionamiento en terminos cuantitativos. El matematico Leonhard Euler, en 1765, fueuno de los primeros en interesarse en el problema de las unidades y las dimensionesen el campo de la fısica. Las ideas de Euler estaban adelantadas a su epoca, al igualque las ideas de Joseph Fourier, cuyo libro The Analytic Theory of Heat, publicado en1822, remarco lo que ahora se conoce como el principio de la homogeneidad dimensional,quien ademas desarrollo algunas de las reglas que se utilizan actualmente en el analisisdimensional. Despues de ellos, no ocurrieron avances significativos hasta la publicaciondel libro de Lord Rayleigh en 1877, The Theory of Sound, el cual proponıa un metodo dedimensiones y daba numerosos ejemplos de como utilizar el analisis dimensional.

Mas recientemente, la contribucion mas notoria, que establecio el metodo y lasreglas actuales, fue la de E. Buckingham en 1914, cuyo artıculo establecio lo que ahoraes nombrado como el Teorema Pi de Buckingham. Sin embargo, los matematicos A.Vaschy en 1892 y D. Riabouchinsky en 1911 habıan publicado independientemente dosartıculos en los cuales se reportaban resultados similares al teorema de Buckingham.Posteriormente, en 1922, P.W. Bridgman publico una obra clasica que ha delineado lateorıa del Analisis Dimensional (utilizando como base el artıculo de Buckingham). DesdeBridgman se han publicado mas de una docena de obras relacionadas al tema, las cualesno solo estan especializadas en problemas y aplicaciones a la fısica o a la ingenierıa, sinotambien han sido escritos libros sobre analisis dimensional enfocado a problemas de pro-cesos quımicos, de las ciencias biomedicas, de metrologıa, e incluso de las ciencias sociales.

En consecuencia, en las ciencias naturales el analisis dimensional es importante porsus implicaciones. Sin embargo, en otras disciplinas, como es el caso de la economıa, elconcepto de dimension y sus respectivos principios son practicamente desconocidos. Soncontadas las excepciones en economıa donde se hace analisis dimensional. En particular,en el area del crecimiento economico se omite el analisis dimensional o en el mejor delos casos no se hace explıcito dicho analisis. Esta situacion plantea una debilidad de lametodologıa que se sigue en la modelacion economica. Aunque los modelos economicospuedan estar sustentados en una teorıa solida, en la construccion de los mismos no se

1

contemplan las restricciones que existen entre modelar fenomenos de distinta ındole.Esta situacion hace necesaria una revision cuidadosa de los modelos economicos desdela perspectiva del analisis dimensional. Los economistas deben considerar este aspectodel modelado matematico ya que ası podrıan identificar y corregir ciertos errores en eldiseno de modelos economicos.

Considerando lo anterior, el presente reporte de investigacion tiene como propositoexplorar analıticamente este analisis dimensional en economıa. En la primera seccionse exponen y analizan los aspectos basicos del analisis dimensional, principalmente elconcepto de homogeneidad dimensional, el cual tiene sus raıces en la teorıa fundamentalde la medicion, la cual ha sido extrapolada a otros campos de la ciencia. En la segundaseccion, seguimos con nuestra explicacion del analisis dimensional, pero ahora enfocadoal campo de la ciencia economica.

2

1. Aspectos basicos del Analisis Dimensional

1.1. Observables fısicas y dimensiones

La construccion de cualquier teorıa cientıfica inicia con la observacion y precisala descripcion de los fenomenos o eventos de interes, con el proposito final de inferir,de aquellas observaciones y descripciones, leyes, patrones y relaciones que representenal fenomeno de interes en la forma mas simple y general posible. Para cumplir dichoproposito, la ciencia se vale de la matematica para construir los edificios teoricos quela sustentan, de hecho se podrıa aseverar que mientras una teorıa no este formuladacon precision en el lenguaje de la matematica, no es posible evaluar su relevancia ni sucapacidad de prediccion.

Sin embargo, el uso del lenguaje matematico establece restricciones, ya que su usoexige cumplir ciertas reglas. Estas reglas que se imponen en las posibles leyes y relacionesque surgen de la aplicacion de las leyes y teorıas matematicas estan relacionadas conlas propiedades de las cantidades4 que son posibles de incluirse en un analisis cuantitativo.

Las cantidades que son posibles de cuantificar y de describirse por medio del lenguajematematico, o dicho de otra forma, que son posibles de medir y de asignar un valornumerico, reciben la denominacion de observables fısicas5. Para referirnos en forma generala dichas cantidades denotemos con O al conjunto de todas las posibles observables fısicasque puedan existir.

O = {A,B,C,...} (1)

Cada observable fısica representa diferentes propiedades, por lo tanto, para poder de-terminar las posibles interrelaciones entre dichas observables es necesario contar con alguntipo de operacion de comparacion. Basicamente, para poder comparar dos observables fısi-cas distintas, ambas deben tener definidas una operacion de equivalencia fısica y una deadicion fısica:

1. La equivalencia fısica es una operacion que permite determinar si dos observables,son iguales, (A = B), o son desiguales, (A 6= B).

2. La adicion fısica es una operacion que define lo que se entiende por la suma dedos observables fısicas. Es decir, esta definida la existencia de una observable fısicaC que tenga las mismas propiedades fısicas de las partes que conforman el total(A + B = C).

En adicion, las anteriores operaciones deben cumplir las siguientes propiedades:

4Aquı entendemos por cantidad a la descripcion de alguna percepcion sensorial o propiedad fısicatangible. Por ejemplo, la nocion de espacio (una propiedad fısica) es perceptible a traves de multiplescantidades, ya sea como altura, longitud o profundidad.

5Balaguer (2013), Bunge (1971), Carlson (1979), Sonin (2001) y White (2011).

3

La operacion de equivalencia debe cumplir la ley de identidad. Si A = B y B = C,entonces, A = C.

La operacion de adicion debe ser conmutativa (A + B = B + A), asociativa [A +(B + C) = (A + B) + C], y unica (si A + B = C, entonces no existe otra muestraD tal que A + B + D = C).

Por lo tanto, considerando las anteriores propiedades, las dos operaciones (equivalenciay adicion) permiten definir:

1. El concepto de mayor o menor entre observables fısicas (si existe un B tal queA + B = C, entonces C > A)

2. La sustraccion de observables fısicas (si A + B = C, entonces, A ≡ C−B)

3. La multiplicacion de una observable fısica por un numero puro. Si B = A + A + A,entonces B ≡ 3A.

4. La division de una observable fısica por un numero puro. Si B = A + A + A,entonces, A ≡ B/3.

Las operaciones de equivalencia y de adicion tienen su justificacion en la experienciareal, ya que la accion de comparar dos observables esta relacionada con la posibilidad derealizar manipulaciones de objetos o eventos que permitan realizar alguna medicion6. Porejemplo, no existe manera alguna de comparar una observable espacial (que representela propiedad de espacio) con una observable temporal (que represente la propiedadde tiempo), ya que en principio no es posible definir una relacion de equivalencia queproporcione un resultado con sentido fısico, y ni mucho menos una operacion de adicionque preserve las propiedades de ambas observables y que posea de igual forma algunsentido con la realidad.

Las observables fısicas que son susceptibles de comparacion, o dicho de otra forma, quecomparten las mismas operaciones de equivalencia y adicion, forman especies o categorıasdentro del grupo de observables fısicas O. Estas categorıas reciben el nombre de dimen-siones7. Denotemos de forma general con D al conjunto de todas las posibles dimensionesque se pueden construir:

D = {A,B,C, ...} (2)

Las dimensiones no representan en sı mismas alguna propiedad fısica, solamentedenotan al conjunto de observables fısicas que comparten una operacion de equivalencia,y una operacion de adicion.

6Sonin (2001)7Bunge (1971)

4

La asignacion de observables fısicas a dimensiones se representa por medio deuna funcion que se indica por medio del siguiente sımbolo [ ], denominada funciondimension. Esta funcion asigna a cada elemento de O un correspondiente elemento en D.Por ejemplo, consideremos que tenemos una observable fısica L, si la dimension de dichaobservable es L, entonces [L] = L.

Es importante notar que otras operaciones matematicas diferentes de las mencionadasno tienen una correspondencia fısica. Por ejemplo, no existe una operacion definidaque forme una entidad tangible que represente el producto cuadrado de la masa, o, nopodemos pensar un objeto tangible que represente el logaritmo natural de la cantidad.Es decir, los productos, razones, potencias, exponenciales y otros tipos de funcio-nes tales como las trigonometricas o logarıtmicas estan definidas para numeros, perono tienen una correspondencia fısica en operaciones que involucren entidades fısicas reales.

Resumimos los anteriores puntos con las siguientes definiciones:

Definicion 2.1

Una observable fısica es una cantidad susceptible de ser cuantificable.

Definicion 2.2

Una dimension es un conjunto de observables fısicas que tienen definidas dos operacionesbasicas: equivalencia y adicion. De estas operaciones se pueden definir otras operaciones(sustraccion, multiplicacion por un numero puro y division por un numero puro), las cualespermiten establecer relaciones de comparacion entre dichas observables.

1.2. Unidades y el Principio de Homogeneidad

Las dos operaciones que definen la dimension de un conjunto de observables fısicaspermiten expresar cualquier cantidad como un multiplo de un patron estandar. Dicho deotra forma, la observable fısica puede ser medida en terminos de un patron o unidad.

La unidad puede ser escogida arbitrariamente. La operacion de equivalencia permitela replicacion de la unidad, y la operacion de adicion permite la replicacion de fraccionesde la unidad. De esta forma el proceso de medicion consiste en adicionar fısicamentereplicas de la unidad y de las fracciones de la misma, hasta que sean equiparables lasuma de las unidades y sus fracciones con la observable que se esta midiendo. Un conteodel numero entero y fraccional de unidades que fueron necesarias para equiparar a laobservable original da como resultado el valor numerico de la observable fısica.

Por ejemplo, si a es la unidad escogida para medir las observables fısicas de tipo A,el proceso de medida da como resultado un valor numerico A (un numero real), tal que:

A = aA

5

El valor numerico de una observable fısica depende de la eleccion de la unidad,pero la cantidad fısica en sı misma existe independientemente de la unidad de medidaescogida. Considerese por ejemplo, la velocidad de la luz, una constante fısica que puederepresentarse en diferentes unidades, ya sea en metros por segundo o en pulgadas porsegundo, pero la relacion entre las diferentes unidades es constante.

Por lo tanto, una cantidad fısica A puede ser medida en terminos de una unidad ao en terminos de otra unidad a′, pero la observable fısica en sı misma no cambia, solocambia el valor numerico asociado a dicha cantidad:

A = aA = a′A′

Si la unidad a′ es n veces mas grande que a:

a′ = na

Entonces se obtiene que el valor numerico de la observable fısica cambia por un factorde n−1 cuando cambiamos de la unidad a a la unidad a′.

A = nA′

La anterior propiedad forma el fundamento de los factores de conversion. Existen nu-merosos tipos de unidades, tantos como el numero de observables fısicas. Este sistema deunidades se clasifica en dos grupos: las unidades fundamentales y las unidades derivadas.Las unidades fundamentales estan asociadas directamente a las observables fısicas. Lasunidades derivadas se crean cuando es necesario medir algun tipo de observable derivadade alguna relacion matematica.

A las observables que se obtienen de introducir observables fısicas en formulas ma-tematicas se denominan observables derivadas. Por ejemplo, si consideramos la longitudL que recorre un objeto en un tiempo t, podemos derivar una nueva observable fısica delas anteriores cantidades a traves de la siguiente formula matematica:

V = Lt−1

La observable fısica que se deriva de la anterior ecuacion es la velocidad. Las obser-vables derivadas tambien puede expresarse en terminos de un valor numerico V y unaunidad de medida v. Sin embargo, no todas las cantidades derivadas se pueden considerarcomo observables fısicas. Un criterio para determinar si una cantidad derivada es unacantidad fısica es el principio de la significancia absoluta de la magnitud relativa:

6

Una cantidad Q obtenida de insertar los valores numericos de cantidades fısi-cas en una formula matematica es una cantidad fısica si la razon de cualesquiera dosejemplos de dicha cantidad permanece constante cuando la unidad de medida es cambiada.

Este principio es consecuencia directa de la independencia de las cantidades fısicasrespecto a cambios en la unidad de medida. Bridgman mostro que una formula matematicaque satisfaga el anterior principio debe tener necesariamente la forma de una ley depotencias.

Definicion 2.2 Sea Q una cantidad derivada. Esta cantidad es una cantidad fısica sitiene la estructura de una ley de potencias:

Q = αAaBbCc...

donde A, B, C, etc, son valores numericos de cantidades fısicas, el coeficiente α y losexponentes a, b, c, etc, son numeros reales que distinguen de un tipo de cantidad derivadade otro.

En resumen, todas las cantidades derivadas y que ademas sean fısicas, tienen la formade una ley de potencias.

1.3. Constantes, parametros y variables

Las observables fısicas pueden ser agrupadas de diversas maneras, sin embargo, doscaracterısticas son de la mayor importancia al momento de clasificar las cantidades fısicas:

La variabilidad

La dimensionalidad

Una cantidad fısica puede ser, en un orden creciente de variabilidad, una constante,un parametro o una variable.

Una constante es una cantidad fısica que nunca cambia, es decir, es invariante alos cambios en las circunstancias del sistema. Por ejemplo, en fısica existen diversasconstantes (la constante de gravitacion universal, la constante de Planck, la velocidad dela luz, etc.) que son invariantes a cambios en el espacio y del tiempo (independientementede la posicion espacial o del momento temporal, estas constantes siguen preservando suvalor).

En el contexto de otras disciplinas, como la economıa, es difıcil proponer algun tipode constantes que tengan la universalidad de las constantes de la fısica, ya que en granmedida estas disciplinas estan basadas en modelos mas no en teorıas 8. Es por eso que la

8Esta distincion es discutida ampliamente en Baiocchi (2012)

7

introduccion de constantes en modelos empıricos dependera de la eleccion del sistema dedimensiones fundamentales que se utilizara.

Un tipo particular de constantes son las constantes matematicas. Por ejemplo, laconstante Pi (π = 3,1415...), es la razon de la longitud de una circunferencia de uncırculo entre su diametro. Similarmente, la base del logaritmo natural (e = 2,718...), esotra constante obtenida de las matematicas. Una caracterıstica interesante de dichasconstantes es que son independientes de cualquier propiedad fısica del universo. Enprincipio, estas constantes se pueden obtener sin realizar algun tipo de medicion.

Un parametro es una cantidad fısica que es constante en el contexto en el queaparece, pero puede ser modificada a voluntad, o puede asumir diferentes valores silas circunstancias cambian. En otras palabras, un parametro no es derivado de unacaracterıstica invariante del universo (como si lo son las constantes), mas bien sonel resultado de algun conjunto razonable de condiciones o propiedades constantes ocuasiconstantes de la realidad. Por ejemplo, la aceleracion de la gravedad g es unacantidad fısica que usualmente se toma por una constante, sin embargo su valor dependede la locacion en la que se realize la medicion o el analisis del sistema de cantidadesfısicas (para poner un ejemplo, el valor promedio de la aceleracion de la gravedad en laTierra es de 9,81m/s2, mientras que en Jupiter el valor de g es de 22,0m/s2).

Mas ejemplos sobre parametros son: el modulo de elasticidad de Young o los coefi-cientes de conductividad electrica y termica (en fısica), las tasas de crecimiento de unapoblacion (en demografıa), el coeficiente de participacion del capital (α) en la producciono la tasa de ahorro (s) de los hogares (en economıa), etc.

Una variable es una cantidad fısica que puede cambiar (variar) ya sea directamenteo indirectamente. En el primer caso la cantidad fısica serıa una variable independiente;en el segundo caso (en el cual, el valor de la variable cambia a traves de su dependenciafuncional con otras variables independientes) serıa una variable dependiente.

Por ejemplo la formula:

A = πR2

expresa el area (A) de un cırculo de radio R; la variable dependiente es en este caso A,y la variable independiente es R. La anterior ecuacion implica una relacion de una solavariable dependiente, sin emabrgo tambien existen casos (los cuales forman la mayorıa)donde pueden haber multiples variables independientes en una relacion matematica. Lasvariables son los insumos fundamentales de todas las relaciones matematicas y delosmodelos que se construyen para analizar los fenomenos, tanto del mundo fısico, como elde otras disciplinas.

8

2. El Analisis Dimensional y la Teorıa Economica

Las teorıas cientıficas son construcciones logico abstractas que buscan explicar ypredecir fenomenos, ya sean naturales, biologicos o sociales. El poder predictivo de estasteorıas radica esencialmente en el uso de la matematica como la principal herramientateorico-deductiva. Sin embargo, hay que tener presente que las teorıas cientıficas sondiferentes a las teorıas matematicas, en cuanto estas ultimas no buscan ofrecer unaexplicacion de la realidad. La comprobacion y validez de las teorıas matematicas serealizan de forma independiente a la realidad fısica o social. Sobre este aspecto Einstein(1933) menciono: “el pensamiento logico puro no puede proporcionar ningun conoci-miento del mundo empırico; todo el conocimiento empieza de la experiencia y terminaen ella. Proposiciones obtenidas enteramente por medios logicos son completamentevacıas en cuanto se comparan con la realidad”. En consecuencia, es de suma importan-cia tomar en consideracion esta diferencia en la construccion de cualquier teorıa cientıfica.

Para mejor comprender la diferencia entre el mundo de las teorıas matematicas y elmundo de las teorıas cientıficas es necesario entender que es lo que una teorıa cientıficapretende explicar, o dicho en otras palabras, cuales son las caracterısticas o fenomenosque son susceptibles de incluirse en un marco teorico cientıfico. En las ciencias naturaleses costumbre recalcar que esencialmente, las teorıas cientıficas solo se limitan a modelarefectos, relaciones o fenomenos fısicos o reales, es decir, las teorıas solo tratan conobservables.9

Por otro lado, el uso de las herramientas matematicas es enriquecido con un axioma,el cual se deriva de una idea muy simple pero fundamental: las relaciones matematicasque se derivan de una teorıa cientıfica deben relacionar fenomenos de una naturalezasimilar, tal que pueda establecerse una relacion de causa/efecto o, utilizando la jerga delanalisis dimensional, las relaciones matematicas de la teorıa deben ser equidimensionales.

La adopcion de este axioma implica adoptar el siguiente criterio de validacion: unarelacion matematica es valida si en ambos lados de una igualdad (por ejemplo, unaecuacion algebraica) se encuentran terminos que sean iguales o similares. Sin embargo,decir solo de forma intuitiva que dos observables son similares o iguales deja un profundosentido de insuficiencia, ya que, ¿como definir que es similar, o que es diferente? Es eneste contexto que se introdujo el concepto de dimension10, el cual permite manejar, conun formalismo matematico mas fundamentado, el axioma de similaridad.

El axioma de similaridad, o como se conoce en la literatura, el principio de Homoge-neidad Dimensional, dice basicamente lo siguiente:

9Se recomienda revisar Bunge (1971), Shone (2002) y Balaguer (2013) para una explicacion mas ampliasobre este y otros conceptos del analisis dimensional.

10En este contexto, el concepto de dimension se puede entender como la descripcion cualitativa dealguna propiedad fısica, la cual pueden compartir diferentes tipos de observables.

9

“Si una relacion matematica representa realmente un relacion adecuada entre diversasobservables de una cierta teorıa, entonces dicha relacion es homogenea, es decir, cadauno de los terminos aditivos de dicha relacion seran equidimensionales”.

¿Pero, como se enfrenta la congruencia dimensional de las observables economicas?Desafortunadamente, solo en pocos textos de Economıa se hace referencia a las dimen-siones y unidades que se utilizan para clasificar las observables economicas; y cuandoestas se consideran, el analisis es insuficiente. Por ejemplo, algunas nociones sobre lasdimensiones se discuten en De Jong (1972) y en Shone (2002).

Shone senala dos tipos principales de observables economicas, las de tipo stock(acervo) y las de tipo flujo. Las primeras hacen referencia al valor de una cierta cantidadeconomica en un momento determinado de tiempo. Si la observable economica es lacantidad de dinero (Ms) en la economıa, esta tendra un valor definido para cada instantedel tiempo, por ejemplo al 31 de diciembre, y tendra otro valor definido (M ′

s) paracualquier otro instante de tiempo anterior o posterior. Es decir, el caracter de unaobservable stock es independiente del tiempo. Por el contrario, una observable de tipoflujo hace referencia al valor total o ”promedio”de una cierta cantidad economica enun intervalo de tiempo. Por ejemplo, si consideramos la demanda de bienes (D) en unperiodo de tiempo determinado, digamos un ano, dicha observable es de tipo flujo, yaque es una cantidad economica que se distribuye en el tiempo, y por ende su valor estadefinido en dicho intervalo; ası, estas observables tienen una dependencia directa con eltiempo.

Asumiendo que las observables de stock y flujo estan representadas por funciones con-tinuas y diferenciables, la relacion que existe entre un stock y un flujo puede representarsematematicamente como:

dQ(t)

dt= F (t) (3)

donde Q(t) es la funcion asociada a una observable tipo stock y F (t) es la funcionasociada a la observable tipo flujo.11.

Otra manera de ver la diferencia entre un stock y un flujo es pensar a F (t) comoel equivalente a una tasa de cambio de una determinada cantidad, en este caso Q(t).En consecuencia, dada su diferencia, la unica forma en que ambas observables pudieranser iguales, o equidimensionales, serıa a traves de la utilizacion de otro termino que”homogeneize”las dimensiones de la relacion. En este caso, el termino que homogeneizala relacion serıa el operador derivada, ya que dicho operador transforma Q(t) de un stocka un flujo F (t). En consecuencia, un stock y un flujo no son equidimensionales, es decir,

11Aunque las variables sean funciones del tiempo, eso no implica que ellas incorporen alguna dimensiontemporal, solo cuando esta incorporada explıcitamente alguna variable temporal, como es el caso deloperador derivada, las dimensiones de la variable incorporan una dimension temporal (T ).

10

no pueden ser comparados, igualados, sumados o restados, ya que dichas operacionesno estan definidas para operar entre observables no equidimensionales. Esta diferenciaen las dimensiones de los stocks y de los flujos impone restricciones que se deben to-mar en consideracion, sobre todo cuando se combinan observables de diferente naturaleza.

En el campo de la economıa parecerıa ser suficiente tener como dimensiones fun-damentales el tiempo (T ), el valor monetario (M), la cantidad de bienes (Q), y lautilidad (U). Dicho conjunto de dimensiones se proponen en Shone (2002). Con estasdimensiones se intenta expresar todas las dimensiones de las observables economicas.La justificacion de por que dicho conjunto es adecuado y suficiente es una cuestion queaun esta por determinar. No obstante, dicho conjunto de dimensiones presenta un buenpunto de partida para incorporar la cuestion de las dimensiones a la teorıa economicaneoclasica, ya que no parece haber caracterısticas economicas mas fundamentales que lasrepresentadas por estas cuatro dimensiones.

2.1. El analisis dimensional y la teorıa cuantitativa del dinero.

Para clarificar como puede usarse este sistema de dimensiones consideremos el siguienteejemplo.12 Tomemos la siguiente relacion economica, la ecuacion de la teorıa cuantitativadel dinero:

MV = Py (4)

donde M es el stock de dinero, V es la velocidad ingreso de circulacion del dinero (indicael numero promedio de veces que una unidad de dinero circula en un periodo de tiempodeterminado), y es la variable que representa el nivel de produccion real y P es el preciomonetario del bien de produccion.

Verifiquemos la consistencia dimensional de la relacion anterior. Necesitamos asumirque la produccion hace referencia a un solo bien, el cual se produce en un periodo detiempo determinado, por ejemplo en un ano.13 Por lo tanto, se puede asumir que lasdimensiones asociadas a la produccion real son [y] = Q

T, es decir, dicha variable representa

un flujo, en este caso, la cantidad del bien que se produce en un ano. Por otro lado, comoM es el stock de dinero, de manera directa se puede establecer la dimension asociada adicha variable, [M ] = M , ya que por la misma definicion de la variable, esta no tienedimension de tiempo al tratarse de un stock. La variable P , la cual al ser el precio delbien de produccion representa cuantas unidades monetarias equivalen a una unidad deproduccion, tendra asociado a ella las dimensiones [P ] = M

Q.

12Este ejemplo es presentado en Shone (2002, pp. 10).13Es decir, existe solo una dimension de cantidad Q en la relacion, ya que de otra forma, si tuvieramos

numerosos bienes se tendrıa que especificar la dimension particular de cada bien, es decir, tendrıamosQ1, Q2, .., etc.

11

Habiendo establecido las dimensiones de las anteriores tres variables, ¿cuales deberıanser las dimensiones/dimension asociadas a V ?

Si quisieramos conocer el valor de V a partir de la expresion inicial necesitarıamosexpresar V como funcion de los otros terminos de la relacion, es decir, tendrıamos quereescribir la relacion original como:

V =Py

M

De igual forma, si desearamos calcular a partir de la relacion las dimensiones de V ,tendrıamos que hacer exactamente lo mismo, solo que ahora en lugar de expresar lasvariables, escribirıamos las dimensiones asociadas a ellas, es decir:

[V ] =[P ][y]

[M ]=

(MQ

)(QT

)

M

En consecuencia, estamos tratando a las dimensiones como un tipo de “algebra”, lo cualnos permite operar con dichos elementos, tal que podemos calcular, en este caso, lasdimensiones asociadas a V :14

[V ] =1

T

La interpretacion que nos devuelve este sencillo analisis dimensional de la relacionMV = Py es que la naturaleza de la variable V corresponde a la de una variable tipoflujo, ya que tiene una dependencia directa con la dimension temporal T , y es mas, estadependencia va como T−1, es decir, esta variable representa en sı una velocidad o razonde cambio. La interpretacion obtenida del analisis dimensional no entra en contradiccioncon la formulacion inicial de la relacion, ya que desde un inicio se definio la variable Vcomo la velocidad con la que circula el dinero. Dicho de otra forma, la relacion economicapropuesta es dimensionalmente homogenea, ya que la relacion es equidimensional:

[M ][V ] = [P ][y]

(M)

(1

T

)=

(M

Q

)(Q

T

)(5)

Por lo tanto, desde el punto de vista dimensional, la relacion no presenta ningunainconsistencia en su formulacion. Sin embargo, este nos es el caso para numerosasrelaciones economicas que se proponen en otros contextos, en particular en los modelosde crecimiento economico.

14Vease la bibliografıa, para una presentacion formal y mas detallada de dicha algebra.

12

2.2. El analisis dimensional de un sistema economico simple.

Revisemos el caso mas sencillo de un sistema economico. Consideremos el caso de unaeconomıa cerrada que contiene solo dos agentes economicos, un hogar y una empresa.Tanto el hogar como la empresa van a interactuar por medio de un mercado, en el cualexiste un solo bien de consumo/produccion que se intercambia, el cual denotamos comocapital fısico. Este unico bien representativo se utiliza simultaneamente como un insumode produccion y como un bien de consumo.

Asimismo, aparte de la existencia de un solo bien de consumo/produccion, suponga-mos que existe otro factor economico, el trabajo. La combinacion del capital fısico y eltrabajo tiene lugar en el proceso productivo y se traduce en la produccion de mas capitalfısico, el cual puede ser, o no ser, utilizado nuevamente en el proceso productivo.

Ademas, considerese una estructura del mercado de competencia perfecta. Es decir,el hogar y la empresa actuan como agentes que toman sus decisiones independientementede los precios de mercado asociados a los insumos de produccion y del bien representativode consumo/produccion.

Suponemos tambien que el hogar es el propietario de factores. Como el hogar es elpropietario, su ingreso por la renta de dichos insumos a la empresa, tal como lo expresala teorıa, estarıa dado por:

YH = wKKH + wLLH (6)

donde wK y wL denotan los precios del capital fısico KH y del trabajo LH rentados porel hogar.

Consideremos ahora las dimensiones de cada termino de la ecuacion (6) y verifiquemossu congruencia dimensional. El ingreso se expresa en terminos de unidades monetariasrecibidas en un intervalo de tiempo. Ası, el ingreso es una observable economica de tipoflujo, y sus dimensiones se expresan como:

[YH ] =M

T

Por otro lado, el capital fısico es una observable de tipo stock, representa la cantidad debienes que existe en un instante de tiempo. Por el contrario, el trabajo es una observablede tipo flujo, ya que se mide en terminos de unidades de trabajo utilizadas en un intervalode tiempo. A su vez, los precios representan cuantas unidades monetarias equivalen a unaunidad de capital fısico o a una unidad de trabajo. Ası:

[KH ] = QK , [LH ] =QL

T, [wK ] =

M

QK

, [wL] =M

QL

13

En terminos de las dimensiones de cada variable la ecuacion (6) serıa :

[YH ] = [wKKH + wLLH ]

M

T=

(M

QK

)(QK

)+

(M

QL

)(QL

T

)Y las dimensiones asociadas a la ecuacion (6) resultarıan ser:(

M

T

)6= (M)+

(M

T

)(7)

Lo cual revela que la ecuacion (6): la relacion matematica que describe el ingreso delhogar no es dimensionalmente congruente, ya que en ambos lados de la igualdad no seencuentren las mismas dimensiones. Esta se genera por la naturaleza dimensional distintadel capital. En la ecuacion (6) se asume que ambos factores, capital y trabajo, puedensumarse entre sı, simplemente porque ambos factores se ven convertidos a unidadesmonetarias por medio de la multiplicacion con sus precios, sin embargo ambos facto-res tienen una naturaleza distinta, ya que uno es un stock, mientras que el otro es un flujo.

Por otra parte, se acepta que el proceso productivo y las utilidades de una empresapueden ser descritos mediante las siguientes expresiones:

YF = wKF (KF , LF ) (8)

π = wKF (KF , LF )− (wKKF + wLLF ) (9)

donde π denota las utilidades de la empresa reportadas en unidades monetarias obtenidasen un intervalo de tiempo, YF denota la produccion realizada por la empresa expresada deigual forma en unidades monetarias por periodo de tiempo, wK y wL son los precios delcapital fısico y del trabajo, y KF , LF representan la cantidad de capital fısico utilizadopor la empresa y la cantidad de unidades de trabajo utilizadas en un intervalo de tiempo.

Si reescribimos la ecuacion (9) en terminos de las dimensiones de cada termino, tambientendremos una inconsistencia en las dimensiones de la expresion (9):

[π] = [YF ] =M

T, [F (KF , LF )] =

QK

T, [KF ] = QK , [LF ] =

QL

T

[wK ] =M

QK

, [wL] =M

QL

14

[π] = [wKF (KF , LF )− (wKKF + wLLF )]

(M

T

)=

(M

QK

)(QK

T

)−(M

QK

)(QK

)+

(M

QL

)(QL

T

)

(M

T

)6=(M

T

)− (M) +

(M

T

)(10)

La inconsistencia de la ecuacion es el resultado de que estamos comparando (sumando)dos terminos de distinta naturaleza, estamos comparando una cantidad de tipo stock(capital fısico) y una cantidad de tipo flujo (trabajo).

Proponemos corregir esta inconsistencia dimensional reinterpretando de formadistinta el termino K. No es la cantidad de capital fısico la que afecta al ingreso y albeneficio; mas bien, es la cantidad de capital fısico utilizada en un intervalo de tiempo.El capital fısico puede incorporarse o salir del mercado de los insumos productivoscomportandose como un flujo. Es decir, se incorpora a ese mercado el nuevo capitalo el ya existente cuando este estaba temporalmente ocioso. Sale del mercado al serdestruido, al dejar de funcionar por averıa, al ser obsoleto o cuando una determinadaempresa cierra por sucumbir a la competencia. Bajo esas consideraciones se justificapensar al capital fısico como una variable de tipo flujo y no como una variable de tipo stock.

La nueva interpretacion del capital fısico, la cual denominaremos como K, es total-mente distinta a la de K, ya que la primera representa un termino con la naturaleza deun flujo, el cual podrıa verse como la cantidad de capital fısico utilizado en un intervalode tiempo. Llamemos a este nuevo termino, K, capital efectivo, el cual tiene asociado lasdimensiones de un flujo de stock de capital fısico:

[K] =QK

T(11)

Considerando la nueva interpretacion del termino K se resuelve la inconsistencia di-mensional de las ecuaciones (6) y (9), las cuales reescritas con la incorporacion de Ktendrıamos:

YH = wKKH + wLLH (12)

π = wKF (KF , LF )− (wKKF + wLLF ) (13)

A pesar de que se modifican las ecuaciones de ingreso y beneficio con la incorporaciondel nuevo termino, aun se podrıan establecer esas ecuaciones en funcion del stock de

15

capital fısico K, siempre y cuando se establezca la conexion apropiada entre K y K. Loque sigue tiene este proposito.

Para eliminar la notacion de ındices, supongamos que el mercado se encuentra en sucondicion de equilibrio, por lo tanto, la cantidades de trabajo, de capital fısico y de capitalefectivo que utilice la empresa es igual a las cantidades de trabajo, de capital fısico y decapital efectivo que renta el hogar representativo.

LF = LH = L, KF = KH = K, KF = KH = K

Definamos el capital efectivo como la cantidad maxima utilizada de capital fısico (K) porunidad de tiempo menos la cantidad no utilizada de capital fısico (Kn) por unidad detiempo:

K =Kt+1 −Kt

(t+ 1)− t− Knt+1 −Knt

(t+ 1)− t= ∆Kt −∆Knt (14)

Como estamos en una situacion de competencia perfecta, no puede quedar sin ser utilizadaninguna cantidad de los insumos de produccion, entonces bajo esta situacion, Kn = 0, elcapital efectivo corresponde solo a la variacion del stock maximo de capital fısico:

K =Kt+1 −Kt

(t+ 1)− t= ∆Kt (15)

La formulacion continua del capital efectivo15 se obtiene directamente a partir de la ecua-cion (15): 16

K(t) =d

dtK(t) = K(t) (16)

Es tambien conveniente revisar como el factor trabajo puede ser reformulado en termi-nos del stock de poblacion (numero de habitantes). Supongamos que toda la poblacion,P , se encuentra trabajando en todo instante de tiempo t, es decir, no consideramos lasituacion de un mercado laboral imperfecto. Todos pueden otorgar una unidad de trabajo,por lo tanto, al igual que en el caso del capital efectivo, el trabajo se puede definir enterminos de la variacion del stock de poblacion:

L =Pt+1 − Pt(t+ 1)− t

= ∆Pt (17)

15Considerando que cada termino economico puede ser expresado a traves de una funcion continua ydiferenciable.

16Esta definicion es el eje principal de las modificaciones que se realizan en el presente trabajo deinvestigacion al modelo Neoclasico.

16

De igual forma, pasando a la formulacion en tiempo continuo:

L(t) =d

dtP (t) = P (t) (18)

Esta formulacion del factor trabajo en terminos de la variacion del stock de poblaciones congruente desde el punto de vista dimensional. La introduccion de un operador, en estecaso del operador derivada respecto al tiempo, no contraviene las dimensiones originalesde L:

[L] =QL

T=

[d

dtP

]=

(1

T

)(QL)

Por lo tanto, la correcta formulacion de las ecuaciones de ingreso y beneficio (en tiempocontinuo), considerando la condicion de homogeneidad de las dimensiones y tomando comofactores a los stocks de capital fısico (K) y de poblacion (P ), es la siguiente:

YH(t) = wKK(t) + wLP (t) (19)

π(t) = wKF (K, P )− (wKK(t) + wLP (t)) (20)

Una vez formuladas las ecuaciones (12), (14), (19) y (20) es importante considerar lasconsecuencias de las modificaciones realizadas a las relaciones de ingreso y beneficio.

Por ejemplo, vemos que el termino del ingreso (19) involucra solo el cambio en losniveles de stock del capital fısico y poblacion, sin embargo, tambien podrıa incorporarseel cambio que pueden sufrir los precios de los stocks. Reformulemos ligeramente la ecuacion(19):

YH(t) =d

dt(wK(t)K(t) + wL(t)P (t)) (21)

Desarrollando la expresion propuesta en (21) se obtiene una formulacion mas generaldel ingreso del hogar representativo:

YH(t) = wK(t)K(t) +K(t)wK(t) + wLP (t) + P (t)wL(t) (22)

La interpretacion de (22) es facil de intuir. El ingreso puede cambiar si la cantidad decapital fısico o de poblacion cambia, pero asimismo, el ingreso tambien puede cambiar silos precios de los factores cambia, lo cual queda expresado claramente en la ecuacion (22).Podemos volver a la formulacion original si consideramos que los precios de los factorespermanecen constantes, es decir, wK = wL = 0:

17

YH(t) = wKK(t) + wLP (t) (23)

Lo mismo ocurre en la relacion de las ganancias de la empresa representativa. Noobstante que es mas general la relacion (22), seguiremos la costumbre y consideraremosque en el contexto del largo plazo, en el cual estan inscritos los modelos de crecimientoeconomico, los precios de los factores no juegan ningun papel importante, y permanecenconstantes.

Volvamos a la ecuacion de los beneficios (20) y analicemos como cambia la relacionentre los precios y la productividad marginal. La determinacion del nivel optimo de losprecios de los factores de produccion wi(t), y de la variacion de los factores de produccionK, L se obtiene de la maximizacion de la ecuacion (20):

maxK, P

[π(t)] = maxK, P

[wKF (K, P )− (wKK + wLP )

](24)

La maximizacion del beneficio ocurre solo cuando se cumplen las siguientes relaciones:17

∂F

∂K=wKwK

,∂F

∂P=wLwK

(25)

Como se puede observar, el resultado de que los precios de los factores de produccionalcanzan su valor de equilibrio, solo cuando tienen el mismo valor que los productosmarginales, permanece inalterado ante la modificacion introducida en las relaciones deingreso y beneficio.

2.3. El analisis dimensional de la funcion de produccion.

Considerese una funcion de Cobb-Douglas con dos factores, el capital efectivo (K) yel trabajo (L); y especifiquemos sus dimensiones

F (K, L) = AKαL1−α (26)

[F (K, L)] =QK

T

[AKαL1−α] = [A][K]α[L]1−α = [A]

(QK

T

)α(QP

T

)1−α

17Estas relaciones surgen de las condiciones de maximizacion: ∂π(t)∂K

= 0 y ∂π(t)

∂P= 0 Asimismo, tambien

se debe especificar la condicion de convexidad negativa de π(t) para garantizar la existencia del maximo:∂2π(t)

∂K2< 0 y ∂2π(t)

∂P 2< 0.

18

Tenemos una inconsistencia en las dimensiones:(QK

T

)6= [A]

(QK

T

)α(QP

T

)1−α

(27)

No se han especificado las unidades de la constante A, ya que no se sabe con certezacomo deberıan ser las dimensiones de una constante que representa el efecto de latecnologıa sobre la produccion. En general se considera a A simplemente como unaconstante adimensional que aumenta el nivel de produccion; sin embargo, si aceptamosque esta es adimensional, es decir, ([A] = 1), la incongruencia dimensional de la funcionCobb-Douglas no se resuelve. Por consiguiente, ¿que dimensiones deberıa tener laconstante A, considerando que los factores capital efectivo y trabajo tienen asociados,respectivamente, las dimensiones QK

Ty QP

Ty estas se ven afectadas por el coeficiente de

elasticidad α?

Si se observan las dimensiones de la funcion de produccion, se puede ver que las dimen-siones de A dependeran explıcitamente del valor que adopte el parametro α e involucrarauna combinacion de dimensiones. Con algo de algebra obtenemos las dimensiones de A:

[A] =

(QK

QP

)1−α

(28)

Esta constante dimensional homogeneiza toda la funcion de produccion, dando comoresultado global que las dimensiones sean de unidades de capital fısico por unidad detiempo (QK

T).

Por otra parte, notamos que cuando se incorpora la funcion de produccion equidi-mensional, F (K, L), y ademas, se transforman las variables originales de dicha funciona variables tipo per capita, la funcion no se transforma en una funcion univariable; adiferencia de la funcion de produccion sin la correccion dimensional, la cual sı se transfor-ma en una funcion de una sola variable. Por lo tanto, considerese nuevamente la funcionde produccion propuesta, la cual tiene como variables al capital efectivo K y al trabajolaboral L, las cuales se relacionan con los stocks de capital fısico K y de poblacion (P ) atraves de las siguientes relaciones:18

K(t) = K(t), L(t) = P (t) (29)

Por lo tanto, la funcion de produccion es equivalente a:

F (K(t), L(t)) = F (K(t), P (t)) (30)

18Ver las ecuaciones (14) y (16).

19

La funcion (30) sigue preservando su naturaleza de funcion homogenea de grado uno,en K y P , y su caracter de convexidad negativa, pero no respecto a las variables destock de capital fısico y poblacion, en su lugar las variables son las razones de cambio dedichos stocks, es decir las variables flujo K y L. Calculemos la funcion (30) en terminosde produccion per capita:

1

P (t)F (K(t), L(t)) = f

(K(t)

P (t),P (t)

P (t)

)(31)

Utilizando el supuesto de que el stock de poblacion crece a una tasa constante n:

P (t)

P (t)= n (32)

y la definicion de capital fısico per capita:

k(t) ≡ K(t)

P (t)(33)

se obtiene la expresion para el capital efectivo per capita:

KP

=K(t)

P (t)=

(P (t)

P (t)

)k(t)+

(P (t)

P (t)

)k(t) = nk(t) + k(t) (34)

Por lo tanto, con la correccion propuesta, se obtiene una nueva funcion de produccionexpresada solo en terminos del capital per capita; sin embargo, se ha obtenido una expre-sion mas complicada ya que la funcion de produccion ahora va a depender de la tasa decrecimiento de la poblacion y de la combinacion del stock y del flujo de stock del capitalfısico.

1

P (t)F (K(t), L(t)) = f(nk(t) + k(t), n) (35)

Veamos un caso concreto. Consideremos nuevamente la funcion de Cobb-Douglas des-crita anteriormente, ecuacion (26), y obtengamos su expresion en terminos del capitalfısico per capita: (

1

P

)F (K, L) = A

(1

P

)KαL1−α (36)

Considerando la relacion entre los flujos de stock K y L con sus respectivos stocks, K yP , y considerando la ecuacion (32), se obtiene:

20

f(nk(t) + k(t), n) = An

(K

P

)α(37)

Utilizando la definicion del capital fısico per capita (36) se puede demostrar que:

K = P k + kP (38)

En consecuencia, la funcion de produccion per capita de tipo Cobb-Douglas, con la nuevaincorporacion de las variables flujo es:

f(nk(t) + k(t), n) = An

(k(t) +

k(t)

n

)α(39)

y efectivamente, la funcion de produccion per capita depende de la tasa de crecimientode la poblacion n y tambien depende de una combinacion del stock y del flujo de stockdel capital fısico per capita.

El calculo de las dimensiones de la nueva funcion de produccion (39) no muestra ninguntipo de inconsistencia dimensional, como veremos a continuacion:

[f(nk(t) + k(t), n)] = [A][n]

[k(t) +

k(t)

n

]α

QK

QPT=

(QK

QP

)1−α(1

T

)(QK

QP

+QKT

QPT

)α(40)

21

Bibliografıa

[1] Aragon, Sergio. (2004) “The algebraic structure of physical quantities ”. Journal ofMathematical Chemistry, Vol. 36, pp. 55-74.

[2] Barnett II, William. (2004) “Dimensions and Economics: Some Problems ”. THEQUARTERLY JOURNAL OF AUSTRIAN ECONOMICS, Vol. 7, pp. 95-104.

[3] Baiocchi, Giovanni. (2012) “On dimensions of ecological economics ”. Ecological Eco-nomics, Vol. 74, pp. 1-9.

[4] Balaguer, Pedro. (2013). Application of Dimensional Analysis in Systems Modelingand Control Design, Control Engineering Series. The Institution of Engineering andTechnology, London, United Kingdom.

[5] Bunge, Mario & et al. (1971) Problems in the Foundations of Physics: A MathematicalTheory of Dimensions and Units of Physical Quantities. Springer-Verlag, Montreal,Canada.

[6] Carlson, Donald E. (1979) “A Mathematical Theory of Physical Units, Dimensions,and Measures ”. Rational Mechanics and Analysis, Vol. 70, pp. 289-304.

[7] De Jong, Frits J. & Kumar, T. Krishna. (1972) “Some Considerations on a Class ofMacro-Economic Production Functions ”. De Economist, 120, pp. 134-152.

[8] Lomelı, Hector E. y Rumbros, Irma B. (2005) Metodos dinamicos en economıa. Thom-son Editores, Mexico D.F, Mexico.

[9] Shone, Ronald. (2002). Economic Dynamics. Cambridge University Press, USA.

[10] Sonin, Ain A. (2001). The Physical Basis of Dimensional Analysis. Department ofMechanical Engineering MIT, Cambridge, MA, USA.

[11] White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics. Mcgraw-Hill series in mechanical enginee-ring, USA.

22