unidad iv. probabilidad - utntyh.com · probabilidad y estadística - unidad iv - probabilidad mayo...

Probabilidad y Estadística - Unidad IV -Probabilidad

mayo de 2010

1

Unidad IV. Probabilidad

Lic. Eduardo Grossi

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Objetiva

Enfoques de la definición

Aunque parece un concepto simple, debido a que esutilizado cotidianamente de manera intuitiva, sudefinición formal puede ser un poco complicada desde elpunto de vista matemático.

Subjetiva

EnfoquesClásica o a priori

Frecuencia relativa o a posteriori


mayo de 2010

2


Probabilidad subjetiva o personalística

(Savage 1950) La probabilidad mide la confianzaque el individuo tiene sobre la certeza de unaproposición determinada.

Ejemplo

Basado en su experiencia, un Lic. en turismo puede afirmar que este verano tendremos una ocupación hotelera del 80% con una probabilidad de 90%. Este concepto de las probabilidades ha dado lugar a un enfoque del análisis de datos estadísticos denominado “ Estadística Bayesiana”.

En este enfoque, se define la probabilidad como:

P = Casos Favorables / Total de Casos Posibles

donde “Casos Favorables” son aquellos que nos interesan poralgún motivo

De la definición se desprende que 0 P 1


Probabilidad Objetiva


mayo de 2010

3

Probabilidad Clasica o apriori

Data del siglo XVIII (Pascal, Fermat), sedesarrolla al intentar resolver problemasrelacionados con juegos de azar (dados,monedas, ruleta, etc.)

Se calculan las probabilidades medianteun razonamiento abstracto. Se determinala probabilidad de ocurrencia de unevento, sin necesidad de llevar a cabo unaprueba previa. (No es necesario lanzaruna moneda para saber que laprobabilidad de obtener ceca es ½).

Probabilidad Clásica o a priori

Definición .- Si un evento puede ocurrir de N,formas, las cuales se excluyen mutuamente yson igualmente probables, y si m de estoseventos poseen una característica E, laprobabilidad de ocurrencia de E es igual am/N.

( )m

P E =N

para m ≤ N


mayo de 2010

4

Frecuencia relativa o a posteriori

Se determina la posibilidad numérica de ocurrencia deun evento (elemento de un conjunto), mediante unaprueba previa (experimento).

La probabilidad es el cociente entre los resultadosfavorables (m) y los resultados obtenidos (n).

para m ≤ n

mP =n

A medida que el número de experimentos crece (n), la probabilidad a

posteriori tiende a la probabilidad a priori (Probabilidad Ideal) (n -> N)

La probabilidad de obtener el 4 al arrojar un dado común será:

Casos Favorables =

Casos Posibles =

1/6 = 0,1667 ó P = 16,67 %

Ejemplos

La probabilidad de extraer un rey de un mazo de 48 cartas será:

Los ejemplos anteriores ilustran el cálculo de probabilidades de

sucesos simples, en los que se impone una única condición.

P = 4/48 = 0,0833 = 8,33 %

1 (sólo interesa el Nº 4)

6

P =


mayo de 2010

5

1. Probabilidad del Espacio Muestral

Espacio muestral: Conjunto que contiene todos los eventos que pueden ocurrir, por lo tanto la probabilidad es igual a uno.

P(S) = 1 o 100%

2. Probabilidad del los Eventos del Espacio Muestral

Si los eventos del espacio muestral son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de cada uno debe ser menor a 100% y mayor al 0%. La suma de las probabilidades de todos los eventos debe ser igual a la probabilidad del espacio muestral.

Características Principales para el

manejo de probabilidades

3. Probabilidad del Evento Imposible

Todo Conjunto de elementos tiene comosubconjunto al conjunto vacío, por lo tanto si laprobabilidad del conjunto es 100%, laprobabilidad del conjunto vacío es 0%;

P(Ø) = 0; donde Ø es el conjunto vacío


mayo de 2010

6

Probabilidad de ocurrencia de

dos o más eventos

Operaciones Con Sucesos


mayo de 2010

7

• Sean A1, A2,....., An conjuntos de sucesos

mutuamente excluyentes (no existe intersección entre

ellos). La probabilidad de que un suceso pertenezca a

cualquiera de los conjuntos A1, A2,......, An es igual a

la suma de las probabilidades de que el suceso

pertenezca a los conjuntos individuales.

Eventos mutuamente excluyentes


mayo de 2010

8

A1 A2 An

Es decir:

P (A1+A2+.....+An) = P(A1) + P(A2) + ...... + P(An)

Dicho de otro modo: La probabilidad de que ocurra un suceso

compuesto de dos o más sucesos que se excluyen entre sí,

es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de

cada uno de estos sucesos.

NOTA: Dos sucesos se excluyen entre sí (o son mutuamente excluyentes) si la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro.

Ejemplo:

Calcular la probabilidad de que al arrojarun dado normal salga un 4 ó un 5.

Estamos ante un caso de sucesosmutuamente excluyentes ya que si sale unNº no sale el otro y viceversa.

Entonces:

P4 ó 5 = P4 + P5 = 1/6 + 1/6 = 1/3 = 0,3333 = 33,33 %


mayo de 2010

9

Eventos Independientes

La probabilidad de que ocurra un suceso compuesto de dos omás sucesos que no se excluyen entre sí y que sonindependientes, es igual al producto de las probabilidadesde ocurrencia de cada uno de estos sucesos.

P (E1 y E2) = P (E1 E2) = P (E1) x P(E2)

En este caso la probabilidad de ocurrencia de un evento

no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento

dentro del mismo espacio muestral.

NOTA: dos sucesos son independientes si laprobabilidad de ocurrencia de uno no depende de laocurrencia o no del otro y viceversa.

Ejemplos:

Se arrojan dos dados normales, uno rojo y otro azul.Calcular la probabilidad de obtener un 4 en el dado rojoy un 5 en el dado azul.

Los sucesos no son excluyentes (el hecho de que salgael 4 en el dado rojo no imposibilita que salga el 5 en elazul) y son independientes (la probabilidad de que salgael 4 en el rojo es independiente de que en el azul salga el5 ó cualquier otro número). Entonces:

P4R y 5A = P4R x P5A = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,0278 = 2,78%


mayo de 2010

10

En el caso de que dos conjuntos A1 y A2 no sean mutuamente

excluyentes (es decir que se intersectan), la probabilidad de que

un suceso pertenezca a un conjunto o a otro es igual a la suma de

las probabilidades de que el suceso pertenezca a los conjuntos

individuales menos la probabilidad de que el suceso pertenezca a

ambos conjuntos simultáneamente (es decir menos la

probabilidad de que el suceso pertenezca a la intersección).

P (A1oA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 A2)

E1 E2

Eventos que se traslapan

parcialmente

a1 A1A2 a2

• Cuando los eventos de un espacio muestral

contienen elementos en común, se dice que son

DEPENDIENTES, esto es que la probabilidad

de ocurrencia de un evento afecta a la de otros

eventos dentro del mismo conjunto:

P (A1yA2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 A2)


mayo de 2010

11

• Eventos mutuamente excluyentes:

• Eventos que no son mutuamente excluyentes:

– Eventos Independientes

– Eventos que se traslapan parcialmente

P (E1o E2) = P (E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)

– Eventos Dependientes

Resumen

P (E1 E2) = P(E1) + P(E2)

P (E1 y E2) = P (E1 E2) = P (E1) x P(E2)

P (E1y E2) = P (E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2)

Ayuda Memoria: cuando se está ante una condición lógica “O” se deben

SUMAR las probabilidades individuales; cuando se está ante una condición

lógica “Y” se deben MULTIPLICAR las probabilidades individuales. (Salvo

para eventos dependientes)

Clase

Social

Uso más Frecuente de la Tarjeta de Crédito

TotalEntretenimiento

(E)

Adquisición

de Bs (A)

Pago de

Servicios (P)

Superior (S) 112 120 43 275

Media (M) 234 429 137 800

Inferior (I) 89 286 50 425

Total 435 835 230 1.500

Ejemplo: Para tratar de determinar la relación entre clase

socio-económica y tipo más frecuente de uso de la tarjeta de crédito, se

entrevistaron a 1.500 poseedores de tarjeta y se obtuvo la siguiente

información

a) Si se selecciona al Azar uno de los entrevistados, ¿Cuál es las

Probabilidad de que:

i. Use la tarjeta con más frecuencia para la adquisición de bienes?

ii. Pertenezca a la clase socio-económica media?

iii. Pertenezca a la clase socioeconómica media y utilice la tarjeta con

mas frecuencia para la adquisición de bienes?

b) Son los sucesos M y A independientes?


mayo de 2010

12

Resolución

a – i)

P(A) = 835/1.500 = 0,5567

a – ii)

P(M) = 800/1.500 = 0,5333

a – iii)

P(M A) = 429 / 1.500 = 0,286

b) Si A y M son independendientes entonces:

P(M A) = P(A) * P(M)

Comprobación:

0,286 [0,5333 * 0,5567]

0,2969

M y A NO SON

INDEPENDIENTES

Probabilidad Condicional


mayo de 2010

13

Si la probabilidad de ocurrencia de un evento

depende completamente de la ocurrencia de

otros eventos, dentro del mismo espacio

muestral, se dice que el segundo evento esta

condicionado a la ocurrencia del primer evento.

Es decir que la ocurrencia de B depende de que

ocurra A

P(B\A) = P(A B)

P(A)

• Utilizando los datos del ejemplo anterior, calcular:

a) La probabilidad de que dado que un entrevistado

pertenece a la clase socio-económica Superior,

utilice su tarjeta con más frecuencia en

entretenimientos

b) La probabilidad de que el entrevistado no

pertenezca la clase socio-económica inferior dado

que utiliza su tarjeta de crédito con más

frecuencia para el pago de servicios

Ejemplo:


mayo de 2010

14

a)

P(E\S) = P(E S) =

P(S)

Resolución

P(P\Ī) = 0.0287 + 0.0913 = 0.1674

0.7167

112/1.500 = 0,4072

275/1.500

b)

P(P\Ī) = P[P\(M S)] = P[P (M S)] = P[(P S)] + P[(P M)]

P(M S) P(M S)

P[(P S)] =

P[(P M)] =

P(M S) =

43/1.500 = 0,02867

P(M) + P(S) = 800 + 275 = 0,7167

1.500 1.500

137/1.500 = 0,0913

Clase

Social

Uso más Frecuente de la

Tarjeta de Crédito Total

E A P

S 112 120 43 275

M 234 429 137 800

I 89 286 50 425

Total 435 835 230 1.500

Regla de Eliminación y

Teorema de Bayes


mayo de 2010

15

• El espacio muestral está formado por eventos MUTUAMENTE EXCLUYENTES

• Un evento se TRASLAPA parcialmente,

• La ocurrencia del evento traslapado, depende de la ocurrencia de al menos uno de los eventos del espacio muestral

La ocurrencia de e1 está condicionada por la ocurrencia de E1 y no viceversa; lo mismo para el resto de los eventos

E1 E2 E3 …... En

e1 e2 e3 …... en

S

Regla de Eliminación


mayo de 2010

16

Durante un mes de la temporada de Invierno, el Hotel “El Indio”, vende, en

promedio, 10 habitaciones triples, 80 habitaciones dobles y 50 simples.

Sus estadísticas muestran que por lo general, y también como promedio

mensual, le cancelan 2 habitaciones triples, 10 dobles y 5 simples. El hotel

desea saber cuál es la probabilidad de tener al menos una cancelación

durante el próximo mes de julio.

Ejemplo:

Habitaciones triples Habitaciones Dobles Habitaciones simples

T = 10 D = 80 S = 50

Cancelación Cancelación Cancelación

Hab. Triples Hab. Dobles Hab. Simples

t = 2 d = 10 s = 5

S = Ventas Mensuales promedio, durante

temporada de Invierno, del Hotel “El Indio”

P(T) = 10/140 = 0,0714 = 7,14%

P(D) = 80/140 = 0,5714 = 57,14%

P(S) = 50/140 = 0,3571 = 35,71%

Luego

P(t\T)= P(probabilidad de cancelación dado que se venden hab. Triples) = 2/10 = 0,20 = 20%

P(d\D) = 10/80 = 0,125 = 12,5%

P(s\S) = 5/50 = 0,10 = 10%

Por lo tanto la probabilidad de obtener una cancelación será

P = P(T)*P(t\T) + P(D)*P(d\D) + P(S)*P(s\S)

= 0,0714 * 0,20 + 0,5714 * 0,125 + 0,3571 * 0,10

= 0,121415 = 12,14%


mayo de 2010

17

TEOREMA DE BAYES

Ejemplo

Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?

b) Sabiendo que el artículo seleccionado es de primera calidad, ¿Cuál es la

probabilidad de que el mismo haya sido producido por la máquina A?


mayo de 2010

18

P(A) = 0.30 P(B) = 0.50 P(C) = 0.20

I = Artículo de Primera Calidad

Ī: artículo que no es de primera calidad

Entonces:

P(I\A) = 0,8 P(Ī\A) = 1- P(I\A) = 0,20

P(I\B) = 0,7 P(Ī\B) = 1- P(I\B) = 0,30

P(I\C) = 0,9 P(Ī\C) = 1- P(I\C) = 0,10

Por lo tanto, y haciendo uso de la def. de probabilidad condicional:

P(A I) = P(A) * P(I\A) = 0,30 * 0,80 = 0,24

P(A Ī) = P(A) * P(Ī\A) = 0,30 * 0,20 = 0,06

P(B I) = P(B) * P(I\B) = 0,50 * 0,70 = 0,35

P(B Ī) = P(B) * P(Ī\B) = 0,50 * 0,30 = 0,15

P(C I) = P(C) * P(I\C) = 0,20 * 0,90 = 0,18

P(C Ī) = P(C) * P(Ī\C) = 0,20 * 0,10 = 0,02

Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?

P(I) = P[P(A I) P(B I) P(B I)]

P(I)= P(A I) + P(B I) + P(B I)

= 0,24 + 0,35 + 0,18

= 0,77 = 77%

b) Sabiendo que el artículo seleccionado es de primera calidad, ¿Cuál

es la probabilidad de que el mismo haya sido producido por la

máquina A?

P(A\I) )= P(A) * P(I\A) = 0,30 * 0,80 = 0,24 = 0,31 ó 31%

P(I) 0,77 0,77

Por lo tanto la probabilidad de que la máquina A haya

producido un artículo de 1º Calidad elegido al Azar es del

31%


mayo de 2010

19

DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDADES

1. Introducción

2. Distribución de probabilidad por probabilidad1. Binomial (discreta)

a. Binomial con tendencia a normal

2. Poisson (discreta

a. Poission con tendencia a Normal

3. Normal (Normal)

Definición

• Una distribución de probabilidad indica toda la gama devalores que pueden representarse como resultado de unexperimento si éste se llevase a cabo. Es por lo tanto larelación existente entre los diferentes eventos de un espaciomuestral y sus respectivas probabilidades de ocurrencia.

• Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realiceen el futuro.

• Constituye una herramienta fundamental para la prospectiva,puesto que se puede diseñar un escenario deacontecimientos futuros considerando las tendencias actualesde diversos fenómenos.

1. Introducción


mayo de 2010

20

• Otra manera de identificar la distribución de

probabilidades es relacionando los elementos

de un arreglo o una distribución de frecuencias,

con su respectiva frecuencia relativa, la cual se

considera como la probabilidad de ocurrencia de

los elementos o las clases.

• Entonces trabajamos con estadística inductiva,

con información proveniente de la estadística

descriptiva.

Valores de la

variableXi =

Cantidadde

paquetes vendidos

Frecuencia absoluta

Fi

Frecuencia relativa Fr=Fi/N

PorcentajeFi/N x 100

Fr*100

1 9 0,1169 11,69%

2 11 0,1429 14,29%

3 15 0,1948 19,48%

4 15 0,1948 19,48%

5 10 0,1299 12,99%

6 7 0,0909 9,09%

7 5 0,0649 6,49%

8 4 0,0519 5,19%

10 1 0,0130 1,30%

N= Fi=77 Fr=1.00 =100,00%

La probabilidad que la

empresa venda 3

paquetes turísticos en un

mes es

P(Xi = 5) = 12,99%

Los eventos son cada uno

de los valores posibles de

la variable,

independientemente de la

cantidad de veces que

cada uno de ellos se

repita

La mayor probabilidad de

ocurrencia la tiene aquel

evento que se

corresponde con el valor

Modal.


mayo de 2010

21

Clase Fi Xi Fr

1 - 50 80 25,5 80/489 = 0,1636 = 16,36%

51 - 100 130 75,5 130/489 = 0,2658 = 26,58%

101 - 150 120 125,5 120/489 = 0,2454 = 24,54%

151 - 200 80 175,5 80/489 = 0,1636 = 16,36%

201 - 250 67 225,5 67/489 = 0,1370 = 13,70%

251 - 300 12 275,5 12/489 = 0,0245 = 2,45%

489

La probabilidad de que el gasto en sábanas del hotel sea igual a $ 225,5 es

P(X=225,5) = 13,7%

Nuevamente el evento que tiene mayor probabilidad de ocurrencia es aquel

que se corresponde con el valor modal de la distribución.

Concepto de variable

Una variable es una propiedad o atributo que puedevariar de un individuo (u objeto) a otro y que essusceptible de ser medida.

Clasificación de variables :

Cualitativas (Categóricas).- Las mediciones solo

expresan cualidades (Turista/No turista, Extranjero/Nacional, Varón/Mujer)

Cuantitativas (Numéricas).- Cantidad del atributo(edad, gasto promedio por día, cantidad de camasinstaladas, número de mesas ocupadas, etc.)


mayo de 2010

22

• Toda distribución de probabilidad es generada poruna variable aleatoria (porque el valor tomado estotalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

1. Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomarvalores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

• x Variable que nos define el número de alumnosaprobados en la materia Probabilidad y Estadística en ungrupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

• PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA(X)

a) 0 ≤ p(xi) 1 Las probabilidades asociadas a cada uno de losvalores que toma x deben ser mayores o iguales a cero ymenores o iguales a 1.

b) p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cadauno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar

tanto valores enteros como fraccionarios y un número

infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Por ejemplo:• x Variable que nos define el gasto promedio diario de los

turistas que visitan la ciudad de Mendoza en un año ($100,20 ;

$121,50; $200,25; $315,80; $ 400,00; …; )

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (X)

– p(x) 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x

deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de

densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

• El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.


mayo de 2010

23

Binomial

• Discreta

Poisson

• Continua: Normal

Principal Característica: Existe una probabilidad

de base de ocurrencia, p, y esta se aplica a una

serie de N eventos sucesivos

2. Distribución de Probabilidad por

Probabilidad

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de

variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es

posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento

aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

• Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso

k, llamado éxito, o su contrario k’ , llamado fracaso.

• Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente

de los resultados obtenidos anteriormente.

• La probabilidad del suceso k es constante, es decir, no varía de una

prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de k,

p(k) = P, entonces p(k’)= 1 – p = q

• En cada experimento se realizan N pruebas idénticas.

2.1 Distribución Binomial


mayo de 2010

24

• P(k; N, p) = pk qN – k

Donde:

k: Nº de éxitos

N: Cantidad de observaciones o experimentos

p: Probabilidad de obtener un éxito

q: Probabilidad de no obtener un éxito (q=1-p)

Ejemplo de cálculo de un número factorial

8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40.320

N

k

P(k; N, p) = N!

k! * (N – k)!pk qN - k

• En esta distribución, los diferentes valores de k representan a la V.A, cuando se conocen todos los resultados posibles de éxito que se pueden lograr. Sin embargo, para el análisis estadístico no se requiere más que conocer el valor esperado que viene dado por la siguiente expresión:

μ = N*p

así como la Varianza y la Desviación Estándar por:

σ 2 = N*p*q σ = √N*p*q


mayo de 2010

25

• Un restaurante recién inaugura y contrató dos mozas y 8 mozos, para decidir que mozo atiende a los próximos 3 clientes que lleguen al restaurante, se selecciona a uno de ellos al azar considerando a los 10 cada vez.

¿Cuál es la probabilidad de que:

a – ninguno de los 3 clientes sea atendido por una mujer?

b – dos de los 3 clientes sean atendidos por una mujer?

c – menos de un cliente sea atendido por una mujer?

d – menos de tres clientes sean atendidos por una mujer?

e – Calcule el valor esperado de ser atendido por una moza mujer.

f – Interprete los resultados a partir de σ 2 y σ.

Ejemplo:

k = “Nº de clientes atendidos por una mujer en 3”

p = 2/10 = 0,20. La probabilidad de base es mayor a 5% y menor al 95% por lo tanto se tiene una distribución Binomial.

N = 3

a – ninguno de los 3 clientes sea atendido por una mujer?

k = 0

Reemplazando:

= 1 * 1 * 0.512 = 0.512 = 51,20%

b – dos de los 3 clientes sean atendidos por una mujer?

k = 2

Reemplazando:

= 3*2*1 * 0,04 * 0,8 = 0,0960= 9,6%

(2*1)*(1)

P(0; 3, 0,20) = 3!0! * (3 – 0)!

0,200 0,83

P(2; 3, 0,20) = 3!2! * (3 – 2)!

* 0,202 * 0,8


mayo de 2010

26

c – menos de un cliente sea atendido por una mujer?

k < 1 => k=0 P(0; 3;0.20) = 51,20%

d – menos de tres clientes sean atendidos por una mujer?

k<3 => k ≤ 2 => P(2) + P(1) + P(0)

P(k<3; 3, 0.20) = 0,9920

e – Calcule el valor esperado de ser atendido por una moza mujer.

μ = 3*0.20 = 0.60 => 1 persona de cada 3 será atendida por una mujer

f – Interprete los resultados a partir de σ 2 y σ.

σ 2 = 3*0,20*0,8 = 0,48 => σ = 0,6928

Se utiliza para distribuciones asimétricas (Binomial y Poisson).

Establece que:

a) En el intervalo comprendido entre sumarle y restarla la desviación estándar al valor esperado, μ± 2σ, se tiene al menos el 75% de los valores de la variable aleatoria.

b) En el intervalo comprendido entre sumarle tres veces la desviación estándar al valor esperado, μ ± 3σ, se tiene al menos el 89% de los valores de la variable aleatoria.

Teorema de Chebyshev


mayo de 2010

27

Entonces:

a) μ ± 2σ = 0,60 2 x 0,6928

Se tiene un 75% de probabilidad de que la verdadera media se encuentre en el intervalo (0 – 2), (El verdadero intervalo es (-0,7856 – 1,858) pero se redondea por ser resultados puntuales).

Otra manera de interpretarlo: El 75% de los resultados tendrán entre 0 y 2 mozas en su solución.

b) μ ± 3σ = 0,60 3 x 0,6928

Se tiene un 89% de probabilidad de que la verdadera media se encuentre en el intervalo 0– 2 (el intervalo verdadero es (-1.4784 – 2,6784) pero se redondea por ser resultados puntuales.)

El 89% de los posibles resultados tendrán entre 0 y 2 mozas de los 10 mozos.

• Se presenta cuando a la probabilidad es

centralizada, pero el número de observaciones

o experimentos es mayor a 10 (5%≤ p ≤ 95% y

N>10)

• Forma de cálculo:

Calcular μ y σ y resolver el problema como una

distribución continua. (ver resolución de la

distribución Normal)

2.1.a Caso especial – Distribución

Binomial con tendencia a normal


mayo de 2010

28

La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de

variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis

Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios

que realizó durante la última etapa de su vida.

Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad

de área, tiempo, pieza, etc:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- # de huéspedes que arriba a un hotel por día, mes, año, etc.

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.

2.2 Distribución de Poisson

¿Cómo identificarla?

1. La probabilidad de base es extrema

5% > p > 95%

2. N > 10

3. μ ≤ 10

Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k éxitos de un total de N observaciones o experimentos.

P(X, ) =λ xe-λ

X!


mayo de 2010

29

P(k; N, p) =μ k e-μ

k!donde:

p(k) = probabilidad de que ocurran k éxitos, cuando el número promedio de

ocurrencia de ellos es μμ= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718 (base de logaritmo natural)

k= variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

! Símbolo de factorial

En esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo,

área o producto es totalmente al azar y cada intervalo de tiempo es

independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente

de otra área dada o cada producto es independiente de otro producto dado.

Los diferentes valores que puede adoptar k representan a la Variable

Aleatoria.

Para el análisis estadístico debemos conocer:

μ = N.p

σ2 = μ

σ = √ μ

La varianza y la media o valor esperado son

iguales en magnitud pero no en unidades.


mayo de 2010

30

Un estudio realizado por un Supermercado indicó que el promedio del número de errores cometidos por los cajeros al entregar el vuelto por día es de 1,5. El Supermercado cuenta en total con 50 cajeros/día.

a) Defina la v. a de interés e indique el modelo que utilizaría para realizar la situación.

b) ¿Cuál es la probabilidad, para un cajero cualquiera, de que:

i. no cometa errores en un día?

ii. cometa más de cuatro errores por día?

iii. cometa menos de dos errores por día?

Ejemplo:

a) V. A = k: “nro de errores de transacciones, por cajero y por día”

μ = 1,5 ≤

Si μ = N.p => p= μ/N = 1,5/50 = 0,03

=> Corresponde el modelo de Poisson

b) i. k = 0

Solución

P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,50 x (2,7183)-1,5

o!= = 0,2231 = 22,31%


mayo de 2010

31

b) ii. P(k > 4) = 1- P( k ≤ 4)

P(1; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,51 x (2,7183)-1,5

1!= = 0,3347 = 33,47%

P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,50 x (2,7183)-1,5

o!= = 0,2231 = 22,31%

P(2; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,52 x (2,7183)-1,5

2!= = 0,2510 = 25,10%

P(3; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,53 x (2,7183)-1,5

3!= = 0,1255 = 12,55%

P(4; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,54 x (2,7183)-1,5

4!= = 0,0471 = 4,71%

P( k ≤ 4) = P(0;50, 0,03) + P(1;50, 0,03) + P(2;50, 0,03) + P(3;50, 0,03) + P(4;50, 0,03)

= 0,9814

= 98,14%

Por lo tanto P(k>4) = 1 - P( k ≤ 4) = 1- 0,9814 = 0,0186 = 1,86%

b) iii. k < 2

P(1; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,51 x (2,7183)-1,5

1!= = 0,3347 = 33,47%

P(0; 50, 0,03) =μ k e-μ

k!1,50 x (2,7183)-1,5

o!= = 0,2231 = 22,31%

P( k < 2) = P(0;50, 0,03) + P(1;50, 0,03)

= 0,5578

= 55,78%

Por lo tanto P(k<2) = 0,5578 = 55,78%


mayo de 2010

32

• Se presenta cuando a la probabilidad es

centralizada, pero el número de observaciones

o experimentos es mayor a 10 y el valor

esperado es mayor a 10 (5%> p > 95% ; N>10 y

μ>10 y N x p = 0,5 y N x q= 0,5)

• Forma de cálculo:

Calcular μ y σ y resolver el problema como una

distribución continua. (Ver resolución de la

distribución Normal)

2.2.a Caso especial – Distribución

Poisson con tendencia a normal

• Cuando las variables aleatorias son continuas, lasdistribuciones de probabilidad asociadas sonmodelos matemáticos que dan lugar a curvas, por lotanto, las probabilidades son áreas bajo las curvas.

• La Distribución Normal fue reconocida por primera vezpor el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló laecuación de la curva; de ahí que también se le conozca,más comúnmente, como la "campana de Gauss". Ladistribución de una variable normal está completamentedeterminada por dos parámetros, su media (µ) y sudesviación estándar (σ).

2.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL


mayo de 2010

33

La densidad de la normal viene dada por la ecuación:

(1)

Dada la imposibilidad de determinar la curva para cada caso en

particular, se empela la curva normal estándar con base en el calor

estándar de normalización, z, el cual se define como :

Zi = Xi – μ

σ

f(z) =1

√2πe

(x - µ)2

2σ2-

∫x

-α

dx


mayo de 2010

34

• Procedimiento para el cálculo:

1. Identificar la distribución:

1. Binomial con tendencia a normal

2. Possion con tendencia a normal

3. Sólo conocemos N, μ y σ (Normal estándar)

2. Calcular el valor de zi para normalizar el intervalo:

Recuerde que los valores de μ y σ dependen del modelo

identificado en el paso anterior.

3. Obtener de la tabla del área bajo la curva normal la

correspondiente a cada valor de z

4. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva

5. Conclusiones al problema

• Ud. implementó un programa de entrenamientodiseñado para mejorar el inglés de los recepcionistas desu Hotel. Debido a que el programa esautoadministrado, los recepcionistas requieren unnúmero diferente de horas para terminarlo. Un estudiode los participantes anteriores indica que el tiempomedio que lleva completar el programa es de 500 horas,y que esta variable aleatoria tiene una desviaciónestándar de 100 horas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegidoal azar requiera más de 500 horas para completar elprograma de entrenamiento?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un recepcionistaelegido al azar se tome entre 495y 650 horas encompletar el programa de entrenamiento?

Ejemplo


mayo de 2010

35

1.

a. Identificar la alternativa de aplicación

Dado que sólo conocemos μ y σ y que se trata de una variable aleatoria CONTINUA => Distribución Normal

b. Calcular los zi

Si x = 500 => z = 500-500 = 0 => buscamos z0 en la

100 Tabla Normal

z > 500 todos los valores acumulados a => buscamos en la

la derecha de z0 Tabla Normal el valor para z+4 σ

c. Obtener por medio de la tabla el valor correspondiente para cada zi

Solución

Por lo tanto A zo =0 y A (z > 0) = 0,5


mayo de 2010

36

900500100

d. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva

e. Conclusiones al problema

La probabilidad de que una persona utilice más de

500 horas para realizar el curso es del 50 %.

0 0+ 4σ0 - 4σ

2.

a. Identificar la alternativa de aplicación

Dado que sólo conocemos μ y σ y que se trata de una variable aleatoria CONTINUA => Distribución Normal

b. Calcular zi

Si X=495 =>z= 495-500 = - 0.05

100

Si X = 650=>z = 650-500 = 1.5

100

c. Obtener por medio de la tabla el valor correspondiente para cada z

Buscar en la Tabla de

la Normal z-0,05 = z0,05

Buscar en la Tabla de

la Normal z1,5


mayo de 2010

37

1º

2º

1º

2º

Por lo tanto

A z0.05=0,0199 y Az1.5= 0.4332

d. Graficar e indicar los zi y el área bajo la curva

e. Conclusiones

P(495 ≤ Xi ≤650) = A z-0,05 + A z1,5= 0,0199 + 0,4332 = 0,4531 = 45,31%

La Probabilidad de que un recepcionista emplee entre 495 y 650 horas para terminar el curso es de 45,31%

z=1.5

Z= -0.05

P(-0.05≤z ≤0) = P(495≤X ≤ 500) =

0.01994

P(0≤z ≤1,5)=P(500≤X ≤650) = 0,4332

unidad iv. probabilidad - utntyh.com · probabilidad y estadística - unidad iv - probabilidad mayo...

Documents