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“PRECIPITACION Y PROBABILIDAD DE LLUVIA

EN LOS ESTADOS DE QUERETARO E HIDALGO ”

A P E N D I C E

I. INTRODUCCION

II. GRAFICAS DE PRECIPITACION Y PROBABILIDAD DE

LLUVIA EN EL ESTADO DE QUERETARO

III. GRAFICAS DE PRECIPITACION Y PROBABILIDAD DE

LLUVIA EN EL ESTADO DE HIDALGO

IV. ISOYETAS MEDIAS Y PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

DEL VALOR INDICADO Y MAYOR.

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PRECIPITACION EN LA REPUBLICA MEXICANA Y EVALUACION DE SU PROBABILIDAD.

Enriqueta García, Rosalía Vidal, Luz Ma. Tamayo l, Teresa Reyna, Rubén Sánchez2, Margarita Soto 3 y Enrique Soto4.*

INTRODUCCION:

Este trabajo intenta describir la distribución de la lluvia en la República Mexicana y evaluar la probabilidad de *ener determinadas cantidades mensuales, anuales y en los períodos de mayo a octubre y de noviembre a abril. Fue elaborado conjuntamente por el Instituto de Geografía de la UNAM y la Comisión de Estudios del Territorio Nacional dependiente de la Secretaría de la Presidencia .

Consta de 20 volúmenes que cubren íntegramente el territorio nacional y 15 cartas generales del país. Cada volumen comprende una serie de mapas y de graficas; los mapas contienen las precipitaciones medias de cada uno de los meses del año, las anuales y las de los períodos mayo a octubre, y noviembre a abril, así como las isolíneas de probabilidad de que dicha precipitación media o mayor se presente. Las gráficas relacionan la cantidad de precipitación y la probabilidad de obtener esa cantidad o más.

La aplicación práctica de este estudio puede ser muy amplia como auxiliar en el planeamiento de obras de riego, de construcción de presas y otras obras de ingeniería, en el de cultivos, en el turismo, en la conservación de vías de comunicación, etc., puesto que in

dica estadísticamente la cantidad media de lluvia mensual, anual, de mayo a octubre y de noviembre a abril, en cada región, y la probabilidad de tenerla.

En esta primera parte se explica en qué consiste la función gama incompleta que fué la que se empleó en el presente trabajo y su aplicación en estudios de precipitación, aspecto muy importante desde el punto de vista climático. Debe hacerse notar que en nuestro país es la primera vez que se realiza un trabajo de esta naturaleza y magnitud.

Los datos de precipitación fueron obtenidos de los archivos del Servicio Meteorológico Nacional, de la Secretaría de Recursos Hidráulicos y de la Comisión Federal de Electricidad.

LA FUNCION GAMA INCOMPLETA.

Muchos fenómenos atmosféricos se comportan, desde el punto de vista estadístico , de acuerdo con una distribución normal; es decir, que si trazamos una grafica de distribución en la cual el eje de las X represente los valores de variable que se estudia y el de las Y las frecuencias, o sea, el número de veces que un determinado valor de la variable se presenta, la gráfica tendrá la forma de un curva de campana, también conocida como curva de Gauss (Fig. 1)

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X = VALOR DE LA VARIABLE EN UNA DISTRIBUCION NORM AL

1) Sección de Climatología y 2) Sección de Geoecología del Instituto de Geografía, 3)Instituto de Biología , UNAM. 4) CETENAL* Los autores desean expresar su agradecimiento al Ing. Pedro A. Mosiño. por sus atinadassugerencias.

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La parte m ás alta de la curva representa la m oda o sea el valor m ás frecuente de la variable; en el c aso de una distribución norm al la moda coincide con la m edia aritm ética de la serie y la curva es s im étrica respecto a la ordenada en ese valor.

La precipitación dista mucho de tener una distribución norm al, puesto que su valor

m ás frecuente (moda) no coincide con la m edia aritm ética de la serie, sino que es m enor que ella: esto se acentúa en meses o años secos. Las figuras 2, 3 y 4 ilustran este hecho.

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La figura 2 representa una curva de frecuencias de la precipitación del mes de julio, que es húmedo en la ciudad de Puebla; el período considerado es de 50 años (1921 a 1970). Como puede observarse, el valor más frecuente, o moda de la lluvia, se encuentra en 112 mm, en cambio, la media aritmética de la serie es de 140 mm; esto quiere decir que la curva no es simétrica respecto a la media aritmética. La asimetría se nota más claramente en la figura 3, que es la gráfica de distribución de la lluvia en el mes de abril (mes seco), de la misma estación meteorológica. En esta gráfica se aprecia que la moda es de 5 mm, en cambio, la media aritmética es de 22 mm. La figura 4, representa la gráfica de diciembre, en ella el valor más frecuente es cero, y la media es de 7 mm. Como puede observarse, la curva de las dos últimas figuras distan mucho de tener una forma de campana, es decir, no presentan una distribución normal por lo que los métodos estadísticos que deben emplearse para evaluar la distribución de la precipiatación tienen que ser métodos especiales.

Una distribución normal puede representarse también teniendo en cuenta, las frecuencias acumuladas, en vez de frecuencias reales lo cual da una gráfica ojival. La figura 5 muestra este tipo de gráfica.

La figura 6 muestra la gráfica de frecuencias acumuladas reales de la precipitación de julio (pequeños círculos) en ella puede verse cierta semejanza con la gráfica ojival de la función normal.

La figura 7 es. también, una gráfica de frecuencias acumuladas de los datos de precipitación del mes de abril, y la figura 8 de los de diciembre; como se ve, las curvas de estas no se parecen a la forma de “S” de las dos gráficas anteriores. Además, como estas gráficas se trazaron utilizando los valores reales de la lluvia, son muy irregulares y, para aplicar métodos matemáticos, es necesario ajustar una curva a ellas.

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en la que In X es el logaritmo natural del promedio o media de los valores de las X, siendo éstos los valores individuales de la precipitación.

Los valores óptimos estimados de^y dej3se expresan por las fórmulas siguientes:

x1 - I + \/l + A ' d _J*L* 4A ’

La media de la función es M-La desviación estándar es cr = JlVlT \ UJ = I / \ÍW

Como el coeficiente de asimetría es 2UJ,la asimetría tiende a cero al aumentar el parámetro gama, mostrando que la función se vuelve simétrica para grandes valores de ella; de hecho, la distribución tiende a la normalidad a medida que gama aumenta. En Climatología, una serie con gama mayor a 100 puede considerarse, prácticamente, como representativa de una función normal.

E l interés principal de la aplicación de esta función en análisis climáticos no es la función (1) que es una función de frecuencias, sino su integral de la se obtienen probabilidades de una precipitación menor o igual a una X determinada. Para calcular la integral se desarrolla en serie de potencias la fórmula. La integral de esta función, desde cero hasta cualquier valor de la variable, ha sido tabulada por Pearson; y sus tablas dan la probabilidad I de tener cualquier valor igual o inferior a la variable X.

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Como las tablas de Pearson son muy grandes, lo que las hace poco prácticas para ser trabajadas en una computadora, se usaron las ecuaciones con que fueron elaboradas. Cuando el valor de era menor de 5.6 se incluyó una corrección contenida en una de las tablas de Pearson.

En climas áridos, o en la época seca, cuando en uno o más meses del periodo considerado no hay lluvia, el valor de X es de cero; debido a que la fórmula incluye logaritmos y el logaritmo de cero es infinito, la fórmula no sería aplicable. Para solucionar este problema se consideró para cada cero un valor de X = 1/(N + 1) siendo N el número de años de observación. Por ejemplo: en caso de tener 50 años el valor de la X calculada para el mes con cero milímetros de lluvia sería de 1/51 =0.02 mm, número sumamente pequeño que no afecta la cantidad de lluvia y que sin embargo, tiene logaritmo, lo que permite la ejecución de los cálculos.

Con el valor de I para cada valor de X se construyó la curva de la función ajustada a los datos. La línea continua de la figura 6 muestra la curva ajustada a los datos de precipitación de julio, en la ciudad de Puebla, durante un periodo de 50 años. Si en lugar de la probabilidad de tener un valor menor a X, deseamos conocer la de valores mayores a X, se cambia la escala de las Y en la gráfica, marcando 100% en el origen y cero en el tope de la misma, o sea, la diferencia con 100 %; esta escala que fué la que se empleó se encuentra del lado izquierdo de las gráficas correspondientes, siendo las absisas los límites matemáticos superiores de los datos y las ordenadas el porcentaje de frecuencia menor que cada límite matemático, o la frecuencia acumulada. Estos puntos son graficados y unidos por líneas o por una curva suave.

Si “ f” es la frecuencia de un determinado evento y “n” es el número total de los eventos, la relación f/n es llamada la probabilidad de ese evento. La probabilidad puede ser expresada como fracción o como porcentaje, obviamente no puede exceder de 100% o ser menor a cero.

No, necesariamente “ n” deber ser grande, pero diferirá grandemente de un caso a otro, especialmente si “n” es pequeño. Para este estudio sólo se tomaron en cuenta casos con un mínimo de 15 años de registros

La aplicación de este tipo de graficas se observa en el siguiente ejemplo: si deseamos conocer la probabilidad de tener iOOmm de lluvia o más en julio en la ciudad de Puebla, entramos a la gráfica correspondiente a esta estación fig. 6 con una X = 100 mm, la ordenada para este valor deX nos da, en este caso particular, 70%, que es la probabilidad para 100 mmo más. Por otra parte, la probabilidad de tener la media, (140 mm) es sólo de 43%.

En la figura 7 tenemos la curva de la función gama ajustada a los valores de lluvia de abril, y en la figura 8 a los valores de diciembre (líneas continuas en las gráficas).

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PROCESO DE DATOS

Formato de perforación.- Los datos se vaciaron en tarjetas, la primera contiene el número de observaciones, el nombre y número del Estado, y el número de cada estación en las siguientes tarjetas se perforaron las precipitaciones mensuales, de enero a diciembre (una tarjeta por año).

Procesamiento.- Al leer cada tarjeta se obtuvieron ios acumulados (Precipitaciones y frecuencias) de los periodos mayo a octubre, noviembre a abril y los anuales. A continuación se acumulan los datos para cada periodo asi como la suma de sus logaritmos naturales.

Una vez terminados los datos correspondientes a la Estación se calcularon las medias. En función de éstas se calcularon los valores “A” , “tí” , , “o” y “CV'’ descritos anteriormente.

Con estos parámetros, se obtuvieron los valores de I (u,p) considerando un incremento: ñx = 0/10

P artiendo desde X = O e incrementando en A x se obtuvo una serie de valores de X que al entrar a la ecuación da como resultado una serie de puntos que definen la curva de la distribución.

A precipitaciones medias grandes, los valores de tí son grandes también, siendo algunos mayores a 30; ésto presentó problemas pues tí trabaja como exponente y en estos casos los resultados llegaron a sobrepasar la capacidad numérica de la computadora, así que hubo que trabaj arlo en forma logarítmica y al final convertir los resultados obtenidos en ios casos en que los valores de tí fueron menores a uno, la curva calculada quedara por abajo de la de frecuencias reales; para resolver este problema se recurrió a los métodos empleados por Pearson en la elaboración de las tablas de la Función Incompleta de Gama. El criterio para determinar la ecuación a emplear se indica en la siguiente tabla, donde como se definió anteriormente: u= x /oy p = tf - 1

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Gráficas.- Dado que el tiempo de graficación era mucho y por lo tanto costoso, sólo se graficaron los parámetros variables es decir los que definen la curva que relaciona la precipitación con la probabilidad y se colocó una mascarilla transparente para obtener la composición que se empleó en producción.

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Además de las gráficas se dan para cada estación meteorológica los siguientes datos: X, = cantidad mínima de lluvia registrada para el período considerado; X 2= cantidad máxima; CV =100 or/Xm coeficiente de variación; Xm = precipitación media; a= desviación estándar y P = probabilidad de tener una precipitación igual o mayor a la media.

ELABORACION DE MAPAS

Se trazó una serie de 15 mapas generales del país a escala original de 1: 2 000 000, de los cuales 12 representan la lluvia media de todos los meses del año; uno la lluvia media anual; otro la de mayo a octubre (época húmeda en las porciones central y sur de México) y uno más la de noviembre de abril (época seca en las mismas áreas). Sobre las 15 cartas de isoyetas se superpusieron otras tantas que representan las isolíneas de probabilidades de que se presente la precipitación media indicada o más.

Asimismo se elaboró otra serie de mapas por zonas que incluye: un mapa de localización de estaciones por Estados de la zona correspondiente y los de isoyetas medias mensuales, anuales, del periodo mayo a octubre y del de noviembre a abril, a estos se superpusieron los de isoprobabilidades de las precipitaciones.

Como se observa en los mapas,la precipitación media tiene una probabilidad muy ba- j a, siempre menor de 50%, lo que muestra que las cartas de isoyetas medias aunque indican la distribución geográfica de la lluvia no representan la cantidad más probable; igualmente puede advertirse, que las probabilidades son menores en la época seca que en la húmeda y que las zonas áridas son también las que presentan los valores más bajos de probabilidad.

La utilidad de este trabajo recae principalmente en la agricultura, por ejemplo: si para un cultivo determinado en cierta área se requiere de una precipitación mayor o igual a X cantidad durante uno o más meses, se pueden consultar, además de los mapas, las gráficas correspondientes a las estaciones cercanas al área en cuestión para conocer, en función de las probabilidades, el riesgo de intentarlo. Las gráficas son un complemento de los mapas, aunque también pueden usarse independientemente en diversos tipos de trabajos.

Referencias Bibliográficas

Brooks, C.E.P. and Carruthers, N., Handbook of Statistical Methods in Meteorology, Chapters 6 - 8. Her Majesty’s Satationery Office, London, 1953.

Panofsky, H. A. and Brier, G.W. Some applications of Statistics to Meteorology. University Park, Pensilvania, 1968.

Pearson, K Tables of the Incomplete function,, Cambridge University Press., 1951.

Thom H.C.S. 1958 A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review. Vol. 86 No 4 1117-122.

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