Unidad 2 Sistemas de amortización

Los sistemas de amortización o formas de pago se refieren a la forma en que se paga un

préstamo, dichos sistemas se pueden clasificar en:

1. Pago único

2. Series uniformes o cuotas iguales

3. Series de amortización constante

4. Series gradientes (crecientes o decrecientes):

Aritmético

Geométrico

La importancia de estos sistemas radica en saber elegir el sistema que más nos conviene,

teniendo en cuenta los temas de liquidez, costo de oportunidad y comportamiento de las tasas

de interés a futuro (es decir: conocimiento de la política económica)

A continuación, abordaremos cada una de ellos:

1. Pago único:

Esta forma de pago implica que tanto los intereses como el principal de un préstamo se pagan al

finalizar el tiempo o plazo estipulado para el pago del mismo, por tal razón esta figura de préstamo

no se presenta en el sistema financiero. Es posible que, entre amigos o familiares, incluso en

“natilleras” este aplique, o que se presente como parte de un sistema de pago adicional, en cuyo

caso si es posible verlo en funcionamiento dentro del sistema financiero.

Gráficamente un crédito que se cancele bajo esta modalidad, tendría la siguiente forma:

Ejemplos 1.

a. Se hace un préstamo de $2’000.000 al 30% E.A. para pagarlo en un solo pago al final de 5

años. ¿Cuál será el pago futuro?

Solución:

Reemplazando en la formula F = P(1+i)n , queda:

F = 2’000.000*(1+0.3)5 = $7’425860

b. Si se deben entregar dentro de dos años $3’500.000 de un préstamo que se hizo a una

tasa del 22% E.A ¿cuál fue el valor del préstamo o valor presente?

Solución:

Reemplazando en la formula F = P(1+i)n , queda:

3500.000 = P (1+0.22)2

P = 3’500.000/1.4484 = $2’351.518

c. Si deposito hoy $4’000.000 en una cuenta que paga anualmente el 20% TA, ¿cuánto

acumularé en un año?

Solución:

Note que la tasa que nos dan es una tasa anticipada periódica con capitalización su

periódica, por lo que primero debemos llevarla a una tasa anticipada anual o a una tasa

efectiva anual, ya que el prestamos es por un año. Entonces, reemplazando los valores en

la formula i = [c / (c – ra)]n - 1, nos queda:

i = [4 / (4 – 0.2) ]4 - 1 = 0,22773766, ahora aplicamos la formula F = P(1 – ia)-n

F = 4’000.000 * (1 - 0,22773766)-1 = $5’179.587,05

Nota: Comprueba si llevando la tasa a efectiva anual, se obtiene el mismo monto de dinero

acumulado un año después. Además, soluciona los ejercicios con el uso de Excel y compara

tus resultados.

2. Series uniformes o cuotas iguales

Son créditos que se pagan con cuotas iguales en magnitud, que se repiten periódicamente

durante cierto tiempo, a una tasa de interés determinada.

Esta forma de pago está relacionada con las llamadas anualidades, las cuales son pagos que

cumplen con las características descritas.

Las anualidades pueden ser vencidas o anticipadas, así:

Anualidades vencidas:

Se puede representar gráficamente con la siguiente imagen:

En esta forma de pago se pueden calcular, el valor del préstamo y el valor cuota, con la siguiente

formula:

𝑷 = 𝑨 ∗(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊 ≈ P = A *( P/A, i, n)

𝑨 = 𝑷 ∗(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 ≈ A = P* (A/P, i, n)

También es posible calcular el saldo de una deuda una vez pagada la cuota del período, para lo

cual podemos usar la siguiente ecuación

Sk= A[ ((1+i)n-k - 1) / i (1+i)n-k ] ≈ Sk = A (P/A, i, n-k)

Graficamente, consistiria en saber cuánto se debe en el momento Sk

Otro uso de la serie uniforme son los Fondos de Capitalización, en los que se hacen depósitos

iguales al final del mes o del año, de manera periódica, y permiten acumular, después de n ahorros

un fondo F. Para ello se usa una fórmula que se extrae de la usada para las series uniformes, y que

permite hallar el valor acumulado o el valor depositado periódicamente:

𝐅 = 𝐀 ∗(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏

𝐢 ≈ F = A *(F/A, i, n) y 𝐀 = 𝐅 ∗

𝐢

(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏

y su representación gráfica puede ser:

P

1 2 n períodos

0

A A A A

P

Sk = ?

k pagadas (n - k)

1 2 k k + 1 n

0

A A A A A A

F

0 n períodos

A A

Donde A representa el valor de las

cuotas durante n períodos

Ejemplo 2:

a. La financiación de un carro se hace con un pago al recibir este, de $2’000.000 y el resto se

cancela en 36 cuotas mensuales de $550.000. Si el concesionario cobra una tasa del 34.5%

E.A ¿cuál es el valor del carro?

Solución:

Al igual que en todos los ejercicios de matemática financiera, es necesario tener claro que

existen muchas formas de solucionar los ejercicios. Desde que tenga lógica el desarrollo,

se puede experimentar.

Adicionalmente, sería conveniente construir la gráfica que representa el problema e

identificar que datos nos están dando y que nos piden, así:

El ejercicio nos da el valor de la cuota A ($550.000), el número de cuotas n (36), la tasa de

interés i, para la cual es necesario calcular la tasa equivalente mensual, ya que las cuotas

son mensuales, y nos piden el valor del crédito, en este caso P:

Ahora sustituyendo en la formula 𝑃 = 𝐴 ∗(1+𝑖)𝑛−1

(1+𝑖)𝑛∗𝑖, queda:

𝑃 = 550.000 ∗(1+0.025)36−1

(1+0.025)36∗0.025 = 12’955.938 + la cuota inicial = $14’955.938

A través de las funciones de Excel, por VA podemos calcular el valor del carro, así:

b. Un administrador necesita acumular en un fondo $10’000.000 para comprar un lote en

el campo al final de su carrera (5 años), ¿cuánto deberá ahorrar uniformemente en una

entidad que le reconoce el 2.5% mensual sobre saldos?

Solución:

En este ejercicio nos dan la tasa mensual (2.5 % EM) y se supone que los depósitos son

mensuales, igualmente nos proporciona el número de depósitos (n = 60 meses) y el valor

a acumular (F = 10’000.000), y nos piden calcular el valor del depósito (A= ?), por lo tanto,

al reemplazar los datos en la formula y graficar el problema, tenemos:

Reemplazando los valores en la formula

A= 𝟏𝟎′𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗𝟎.𝟎𝟐𝟓

(𝟏+𝟎.𝟎𝟐𝟓)𝟔𝟎−𝟏 = $73.533,96

Con ayuda de la función PAGO de Excel también podemos solucionar el ejercicio, así:

NOTA: OTRA HERRAMIENTA QUE PUEDES USAR PARA RESOLVER ESTOS PROBLEMAS ES EL

CONOCIDO buscar objetivo DE EXCEL, CONSULTA COMO SE USA Y PRESENTA TUS INQUIETUDES

EN CLASE.

También es posible fusionar las series uniformes con los pagos únicos y/o con otras series

uniformes. Un ejemplo de ello es cuando para pagar un crédito que tomamos por ejemplo a un

año, el banco nos propone abonar a mitad de año la prima de vacaciones, y adicionalmente

entregar una cuota mensual igual. En este caso tendríamos una serie uniforme con pagos

mensuales y un pago único semestral.

Para una mejor compresión, resolvamos el siguiente ejemplo:

Suponga que un préstamo de un $1’000.000 se paga en cuotas iguales a una tasa del 2% efectivo

mensual, pero además se hace un abono a mitad de año de $200.000. ¿Cuál es el valor de la cuota

ordinaria mensual?

Solución:

¡Construye la gráfica!

Una forma de solucionarlo sería:

Primero traer a presente la cuota que conocemos, es decir los $200.000, para lo cual

podemos usar la tasa mensual que da el ejercicio y el período sería 6, ya que dicho pago

está plateando hacerse a mitad de año. Como es un pago único usamos la formula

P = F/(1+i)n

P = 200.000/(1+0.02)6 = $177.594,276

El procedimiento de traer al presente se conoce como DESCONTAR UN VALOR. Por el contrario,

si lo que hacemos es llevarlo al futuro, lo llamamos CAPITALIZAR un valor.

Posteriormente restamos al valor del préstamo el valor presente que calculamos en el

paso anterior, es decir: $1’000.000 - 177.594,276 = $822.405,724

Por último, con este nuevo valor de $822.405,724, calculamos el valor de las cuotas

mensuales, es decir el valor de A, que en este caso es de $77.766

Nota: confirma a través de cualquier método que la respuesta anterior es la correcta

Otro ejemplo (intenta solucionarlo en casa y comparte tu desarrollo en clase)

Si en el ejemplo anterior, el préstamo del $1’000.000 se propusiera cancelarlo en 12 cuotas iguales

mensuales y dos cuotas extras de $200.000 cada seis meses, a una tasa del 2% mensual, ¿cuál sería

el valor de la cuota mensual?

Anualidades anticipadas

Son aquellas anualidades en las que el pago de las cuotas o depósitos de ahorro se hace al principio

de cada período, como se ilustra a continuación:

El efecto de este pago al principio se traduce en un incremento de la tasa, en términos reales, ya

que al préstamo que se desembolsa, de entrada, se le deduce una cantidad, lo que hace que el

monto realmente prestado sea inferior al que cobra la entidad financiera.

Tal y como se propone en la siguiente gráfica:

Como su pago o desembolso se hace al inicio del período, para realizar los cálculos de valor

presente, valor futuro, etc., se puede crear un período ficticio antes del primer pago o desembolso.

Veamos un par de ejemplos y las formas de resolverlos:

Ejemplo 3:

A. Si se paga un prestamo con 9 cuotas iguales a principio de período, de $250.000 a una tasa

del 2% mensual, ¿cuàl fue el monto del prestamo?

Alternativas de soluciòn:

a. Podemos usar las siguientes formulas

VP = A *(1 + i) * 𝟏 −(𝟏+𝒊)−𝒏

𝒊 o VP = A *[

(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏∗𝒊 ]* (1 + i)

Notese que al elevar el factor (1 + i) a la – n o a la n estamos indirectamente creando un

periodo ficitico, pues si simplemente traemos hasta el perìodo 0 los flujos, tendrìamos n-

1, valores. Veamoslo en la representaciòn grafica de nuestro ejemplo:

En el ejemplo son 9 pagos, pero si los traigo hasta el perìdo 0, tendrìamos 8 valores

Devolución

préstamo

CI

0 1 año

PRESTAMO

Lo que implica que el presente del valor que está en el perìdo cero será un periodo antes

de él, al cual podemos numerar como -1, así:

Posteriormente, dicho valor se multiplica por el factor (1 + i) y el resultado sería la

respuesta.

VP = 250.000 *(1 + 0.02) * 𝟏 −(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)−𝟗

𝟎.𝟎𝟐 o VP = 250.000 *[ (𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟗 −𝟏

(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟗∗𝟎.𝟎𝟐 ] *(1 + i ) = $2’081.370,36

b. Otra alternativa sería traer los flujos de caja hasta el período cero y al valor resultante

sumarle el flujo de dicho año, en cuyo caso se usaría la siguiente formula:

VP = A *[ (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 −𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 ∗ 𝒊 ]+ A o por excel ingresar los datos normales y en tipo ingresar 1

VP = 250.000 *[ (𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟖 −𝟏

(𝟏+𝟎.𝟎𝟐)𝟖∗𝟎.𝟎𝟐 ] + 250.000 = $2’0.81.370,36

B. Un individuo deposita en su cuenta de ahorros la suma de $ 250 al principio de cada año.

¿Cuánto tendrá al final de 8 años, si su Banco le reconoce una tasa de interés del 3%?

Soluciòn:

a. A diferencia del caso anterior, aquì creamos un período ficticio, despues del último

depòsito de dinero y llevamos al futuro dichos valores multiplicandolos por el factor

(1+ i)

VF = A *(1 + i) * (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

𝒊 VF = 250 *(1 + 0.03) *

(1+0.03)8−1

0.03 = $2289,78

Otra forma sería: VF = A * (𝟏+𝒊)𝒏+𝟏−(𝟏+𝒊)

𝒊 , o en excel ingresa los datos tal cual, pero en tipo

ingresar 1

b. Otra forma de resolver el problema sería traer a presente los flujos de caja por 8 períodos

y después dicho valor llevarlo al futuro (capitalizarlo) como un pago único por 9 períodos

VF = A *[ (𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏 ∗ 𝒊 ]* (1 + i)n+1 VF = A*(P/A,i,n)*(1 + i)n+1

VF = 250 *[ (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟖 −𝟏

(𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟖 ∗ 𝟎.𝟎𝟑 ]*(1+0.03)9 = $2289.78

Tambien se puede calcular para este tipo de anualidades el valor de la cuota A, bien sea para

situaciones en las que se trata de un pago o de un ahorro. Para ello se pueden usar las siguientes

formulas (respectivamente):

NOTA: calcula en tu casa la cuota para los dos ejercicios anteriores y comparta sus resultados en

clase

De igual forma se puede calcular n, para problemas donde se conoce el valor presente o el valor

futuro, respectivamente

Ejemplo 4:

Su padre consigna $ 60.000 al principio de cada trimestre en una cuenta de ahorros que paga el

15% ATV ¿en cuánto tiempo logrará ahorrar $ 6000.000?

Solución:

𝑛 =log[6000.000∗0,0375+60000∗(1+0,0375)]−log[60000∗(1+0.0375)]

log(1+0.0375) = 41,5384228234916

Entonces, se requieren 41 trimestres en los cuales se deben depositar $60.000 y en el último trimestre se depositarían 0,5384228234916 * $60.000 = $32305,369… NOTA: propón una forma de cómo demostrar que dicho resultado es el adecuado. Comparte tu propuesta en clase. Dentro del sistema de series uniformes existen las series diferidas y las series perpetuas, veamos

en que consiste cada una:

Series diferidas:

Una anualidad diferida es aquella en la que el primer pago se efectúa después de transcurrido

cierto número de periodos, es decir que, en un arreglo con la entidad financiera, esta permite que

se genere un periodo de gracia en el cual no se abona dinero a la deuda, pero si se pagan intereses.

Ejemplo 5:

Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos iguales trimestrales de $A cada uno.

Si el primer pago se efectúa exactamente al FINALIZAR EL año de haberse prestado el dinero,

calcular A si la tasa de interés es del 36% ATV.

Solución:

Para resolver el ejemplo podemos:

Llevar a presente los $800.000 hasta el 3 trimestre como un pago único, ya que durante

ese lapso de tiempo los intereses se acumularon para constituir un nuevo valor de la

deuda, así:

F=800000* (1+ 0,09)^3 = 1’036.023, 2

Este resultado se convierte en el nuevo P con el que se calculará el valor de A como una

serie uniforme, así:

𝑨 = 𝟏’𝟎𝟑𝟔. 𝟎𝟐𝟑, 𝟐 ∗(𝟏+𝟎.𝟎𝟗)𝟐𝟎∗𝒊

(𝟏+𝟎.𝟎𝟗)𝟐𝟎−𝟏= $113.429,69

Nota: intenta resolverlo a través del Excel y si quieres de otra forma. Presenta tus

resultados en clase

Series Perpetuas

Son aquellas anualidades que tiene infinito número de pagos.

Aunque en la vida real las anualidades infinitas no existen, porque en este mundo todo tiene fin,

si podemos suponer que es infinita cuando el número de pagos es muy grande.

Este tipo de anualidades se presenta cuando se coloca un capital y únicamente se retiran los

intereses (similar a lo que se conoce como Rollover)

Gráficamente tendría esta forma:

Y la fórmula para calcular el valor de la cuota o el valor del préstamo o la tasa de interés es:

VP = A/i

Donde:

A:es el valor de la cuota

i: tasa de interés

Ejemplo 6:

Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000 mensuales, suponiendo un interés del

33% AMV.

VP = A/i

VP = 10.000/0.0275 = 363.636,36

3. Series de amortización constante Prestamos donde el contenido de amortización es igual en todos los períodos. Su valor se

calcula con la formula P/n, donde:

P: es el valor del préstamo

n: número de cuotas en que se cancelará el crédito

En este sistema de amortización se pretende calcular:

El valor de la cuota A al final del periodo K, es decir AK

El saldo de la deuda después de pagar la cuota AK, es decir Sk

En este sentido si la cuota 1 es igual a:

Entonces, el saldo después de pagar dicha cuota es:

Así mismo A2 y S2 se calculan con:

Ahora define la fórmula para A3 y S3

A3 = _______________________________ y S3 ___________________________________________

Resumiendo:

Ejemplo 7:

En un préstamo de $1´000.000 al 37,0908% ATV, que se paga en 10 cuotas mensuales de

amortización constante, ¿cuál es el valor de la 1 y la 3 cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la

tercera cuota?

Solución:

A1 = $130.000

A3= 0.03*$1’000.000*(1 – (3-1)/10) + $1000.000/10 = $124.000

S3= $1’000.000*(1 – 3/10)= $700.000

A1= P*i + P/n

S1= P – P/n = P(1-1/n)

S2= P – 2*(P/n) =P*(1- 2/n). A

2= i * S

1 + P/n = i * P*(1-1/n) + P/n

Ik= I*P [1 – (K-1)/n] Sk= P- KP/n = P*[1-k/n] Ak= iP*[ 1- (K-1)/n] + P/n

4. Serie gradiente aritmética

También llamada “progresión aritmética”. En este sistema, las cuotas se incrementan o decrecen

en una en una cantidad igual de dinero que llamaremos gradiente “g”

Se trata de calcular Ak y Sk

Su representación gráfica es:

En este sistema si:

A1= A1

A2= A1 + g

A3= A2 + g = A1 + g +g = A1 + 2g

Entonces a que es igual Ak = ? _____________________

Los pagos hechos bajo este sistema se pueden descomponer en una serie parte uniforme del

tamaño A1 y otra parte que corresponde a los aumentos o gradientes, así:

En este sentido una serie gradiente se podría pensar de la siguiente forma

Donde:

A1: Serie parte uniforme.

Ag: Serie uniforme equivalente a la parte gradiente.

At: Serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original

P

1 2 3 k n - 1 n

0

A1

A2

A3

Ak

An-1

An

P

1 2 3 n + n

0

A1 A1 A1 g

2g

(n - 1)g

P

1 2 3 n

0

A1

+

Ag

At

¿Este es un gradiente creciente o

decreciente? _______________

Para calcular A1 podemos partir de la siguiente ecuación: si At = A1 + Ag, entonces A1 = At - Ag ahora

como At se maneja como una serie uniforme A=P*(A/P, i, n) y Ag es igual a:

Ag= g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)] ≈ Ag = g(A/g, i, n), entonces la fórmula para calcular A1 sería:

A1= P[ i(1+i)n/((1+i)n-1)] - g[(1/i) – (n / ((1+i)n -1)] equivalente a A1 = P(A/P, i, n) - g(A/g, i, n)

Ejemplo 8:

A. En un préstamo de $1000 a una tasa anual del 30%, que se paga en 5 cuotas anuales, las cuales

se incrementan $200, ¿cuál es el valor de la primera y la última cuota?

REEMPLAZA LOS VALORES EN LAS FORMULAS Y HALLA LAS RESPUESTAS

B. ¿Cómo se resolvería el ejercicio si tuviésemos que hallar el valor de todas las cuotas?

Solución:

Para desarrollar el ejercicio con Excel a través de la herramienta solver tenemos que:

Construir una tabla de amortización con los datos del ejercicio, pero dando un valor aleatorio al

valor de la cuota A1(en este caso $50) donde:

El interés del periodo t es el producto del saldo en t-1 por la tasa de interés

El abono en el período t es la diferencia entre la cuota en t y el interés en t

La cuota A1 es el valor que aleatoriamente se colocó en los datos como A1

Las siguientes cuotas son el resultado de la cuota anterior más el gradiente

A continuación, se presenta la información (reconstruye tú mismo la tabla)

Nota: todos los valores dentro de la tabla (excepto el período) son resultado de fórmulas o son

tomados de los datos que se presentan en la parte superior de la tabla.

Una vez construida la tabla de amortización se aplica el solver, así:

Por la opción DATOS y posteriormente por la opción ANÁLISIS Y SI, y dentro de esta la opción

BUSCAR OBJETIVO, sobre la cual, al hacer clic se despliega una caja que pide la información para

hacer el cálculo

DATOS

P 1000i 0.3

n 5

g 200

A1 50

Período Interes Abono Cuota Saldo

0 1000

1 300 -250 50 1250

2 375 -125 250 1375

3 413 38 450 1338

4 401 249 650 1089

5 327 523 850 565

Al ingresar los datos en la caja y finalmente ACEPTAR los cambios, esto es lo que obtendrán:

Para las series de amortización constante también se pueden calcular el valor presente, el valor

futuro y el saldo de la deuda, así:

En DEFINIR CELDA debemos señalar la celda donde

se encuentra el último saldo

En CON EL VALOR debemos ingresar el valor de 0

(ya que al final, es decir en el período 5 la deuda

debe ser 0

En PARA CAMBIAR CELDA, debemos señalar la

celda donde encuentra en valor aleatorio de A1

Sk=[A1+K*g + g*(A/g, i, n-k)]/(A/P, i, n-k)

Ejemplo 9: (Resuelve estos ejercicios con las formulas y posteriormente intenta hacerlo con

solver, presenta tus inquietudes en la clase)

A. Una deuda que se cancela en 5 cuotas anuales que crecen $200 cada año, siendo la primera

cuota $112,52, ¿cuál es el valor de la obligación si la tasa anual es del 30%?

B. Si se abre una cuenta con $112,52 el fin de año y posteriormente se hacen cuatro depósitos

anuales que aumentan $200 cada año y el banco reconoce una tasa anual del 30%, ¿cuánto

acumulara al final del 5 año?

C. Para los datos del primer ejemplo de serie aritmética calcula el saldo después de pagar la 3 cuota

Nota: la serie gradiente aritmética decreciente tiene las mismas formulas de la creciente, pero se

cambia g por - g

5. Serie gradiente porcentual

También llamada “Serie de pagos en progresión geométrica”.

Las cuotas se incrementan o decrecen un porcentaje igual cada período, dicho incremento lo

designaremos por ig

Su representación gráfica es similar a la de la serie gradiente aritmética, pero el crecimiento en las

cuotas es más acelerado

Se pretende calcular el saldo Sk y la cuota Ak, entonces:

A1= A1

A2= A1 + A1*ig = A1*(1+ig)

A3= A2 +A2*ig = A2*(1+ig) = A1*(1+ig)2

¿Entonces a que es igual Ak=? ____________________________

La pregunta ahora sería ¿Cómo hallar A1?: Si traemos a valor presenta cada cuota, el valor de

esta será Pk, por tanto, P = ΣPk, y a su vez Pk= Ak(1+i)-n

P

1 2 K K+1 n-1 n

0

AK

AK +1

An -1

An

Entonces: Pk= {A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k, luego

P= Σ A1(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

P= A1Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

A1= P/ Σ(1 + ig)k-1}*(1+i)-k

Resolviendo la sumatoria: A1 = P [ (i – ig) / (1- ((1+ig)/(1+i))n)], sólo valido para i ≠ ig.

De la formula anterior se puede despejar P y hallar un valor presente, así:

P= A1[(1-((1+ig)/(1+i))n)/(i-ig)]

Igualmente podemos calcular el saldo después de pagar la cuota Ak

Nota: Si la serie es creciente se aplica i - ig y si es decreciente se cambia a: i + ig

𝑆𝑘 = 𝐴1 * (1 + ig)k * [ (1 – ((1+ig)/(1+i))^(n-k))/(i – ig)]

Ejemplo 10: (resuelve estos ejercicios con las formulas y posteriormente intenta hacerlo con

solver, presenta tus inquietudes en la clase)

A. En la compra de un vehículo, usted paga una cuota inicial de $6’000.000 y el resto lo paga en

36 cuotas mensuales que se aumentan en 5% cada mes. Si la primera cuota es de $550.000 y

el concesionario cobra una tasa de interés de 4% mensual, ¿cuál es el valor de la deuda?

B. Un préstamo de $1000.000 para pagarlo en cinco cuotas anuales que se van incrementado el

20% anual, si la tasa de interés es de 14.017543% efectiva semestral, ¿cuál es el valor de la

primera y la quinta cuota?

C. Para el préstamo del ejemplo 2, ¿cuál es el saldo una vez paga la tercera cuota?

Para este sistema de amortización, también se puedo calcular el valor futuro, a partir de la

siguiente formula:

A manera de resumen, analiza y completa las siguientes oraciones:

ii

iiAF

g

nng

gg

)1()1(1

El saldo en los sistemas de pago de serie uniforme y amortización constante es ________

y siempre será _________ al préstamo inicial. Es posible que esto mismo ocurra para los

pagos en forma gradiente, pero no es lo usual, lo normal es que tenga el siguiente

comportamiento:

Entonces según la gráfica, completa las siguientes oraciones:

El intervalo I el saldo es creciente: Sk> Sk – 1 > P, la amortización ak es __________. La cuota

es totalmente ____________, entonces Ak = Ik < i*Sk–1.

El. Intervalo II es decreciente P< Sk <Sk – 1. La amortización es ____________ la cuota de

interés es igual a ____________. La cuota paga intereses acumulados e intereses del

periodo Ak=Ik>i*Sk-1

El intervalo III Saldo decreciente e inferior a P, P>Sk-1>Sk. La amortización ak es

___________, entonces ak= Sk -1 – Sk y los intereses de la cuota son Ik= Ak – ak = i*Sk-1

Una propuesta para elaborar las tablas de amortización de los diferentes créditos es:

Sk

P

k

0 I II III n

Cont. Interes Cont. Amortiz

k Ak Sk Ik ak

0

1

2

2

4

5

6

7

8

9

10

TOTAL

En la cuota Ak

Fin de perído

Intereses del

peíodo Pago cuota

Saldo despues

de pago

Para terminar esta unidad, plateemos un crédito de vivienda con UVR, haz clic DERECHO en el

siguiente enlace para ver el ejemplo.

EJERCICIO UVR1.xls

Finalmente aprende a solucionar ejercicios de préstamos a través del leasing. Pero antes

entendamos algunos conceptos:

Arrendamiento Financiero o Leasing:

Es una modalidad de contrato de alquiler con opción de compra, que permite la financiación de

bienes (muebles o inmuebles)

Dicha opción se ejerce cuando se paga el valor residual, que suele ser igual al valor de una cuota,

y es el último pago que se hace. En ese momento la empresa que hace el pago es la propietaria

del activo. Si la empresa no lo desea, puede no ejercer la opción de compra y devolver el bien a

la entidad financiera del leasing.

Las cuotas que paga quien tomo el leasing, deben cubrir el coste del bien (excluyendo el valor de

la opción de compra) y los intereses que se generen en la operación.

Las cuotas que se pagan deben permanecer constantes o ser crecientes a lo largo del contrato.

Los contratos de arredramiento financiero tendrán una duración mínima de dos años cuando

sean sobre bienes muebles y de diez años cuando sean sobre inmuebles o establecimientos

industriales

Modalidades de contratos de leasing

a. Leasing financiero: una sociedad especializada adquiere el bien que requiere un usuario y

se lo arrienda, pero no corre con los gastos de mantenimiento o reparación. Al final del

contrato, el cliente o arrendatario puede ejercer o no la opción de compra y no suele ser

posible la renovación del contrato. Por lo tanto, el bien se suele amortizar en un solo

contrato.

b. Leasing operativo: promovido normalmente por el fabricante o distribuidor. Consiste en

ofrecer en arrendamiento un bien con opción de compra, generalmente a corto o mediano

plazo, incluyendo el mantenimiento y reparación del mismo. Este leasing en revocable por

el arrendatario en cualquier momento (con previo aviso), por lo tanto, suelen precisarse

varios contratos para la amortización total del bien

c. Leasing- back o retroleasing: representado por la venta de un bien por parte del

propietario del mismo, a una compañía de leasing, para que esta realice un arrendamiento

con opción de recompra sobre dicho bien.

Ventajas y desventajas del leasing

Ventajas:

Se financia el 100% del valor del activo

Son contratos flexibles, adaptables a las necesidades del usuario

Presenta un tratamiento fiscal favorable, etc.

Desventajas:

El carácter irrevocable que presenta el leasing financiero

La existencia de cláusulas penales, en caso de incumplimiento de las obligaciones del

contrato

Un costo a veces mayor que el de otras fuentes de financiación, etc.

Consideraciones para los cálculos Matemático Financieros del leasing

Generalmente las cuotas (k) son anticipadas o prepagables, realizando el primer pago al

momento de firmar el contrato.

El pago de la opción de compra suele ser igual al valor de una cuota

En este sentido la representación gráfica es:

Donde:

Vc es el valor del contrato

OC, es la opción de compra, que generalmente es igual al valor de las cuotas K.

Entonces, desde el punto de vista financiero, la prestación (Vc) y la contraprestación (las cuotas y

el valor de la opción de compra) deben ser equivalente. Es decir que Vc en el origen debe

coincidir con el valor presente de las cuotas + el valor presente de la opción de compra

En este caso la fórmula para calcular el valor del contrato es:

Y el valor de la cuota será:

También se pueden presentar los siguientes casos:

La opción de compra no es igual al resto de pagos, en cuyo caso la representación gráfica

y las formulas sería:

La cuota inicial no es igual al resto de pagos

La cuota inicial y la opción de compra no son iguales al resto de pagos

Ejemplo:

Se adquieren con un contrato de arrendamiento financiero equipos informáticos por valor de

30.000 €. Las condiciones de pago de las cuotas son las siguientes:

Duración del contrato 2 años

Pagos semestrales prepagables con una cuota al final (OC)

Interés semestral de 5%

Se pide:

a) Calcular el valor de las cuotas y construir el cuadro de amortización

b) Calcular la tasa de interese y la tabla de amortización, si las cuotas semestrales son de

7000 y la opción de compra es de 4000

c) Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización si el primer pago es de

10000 y la opción de compra es de 2000

d) Calcular el valor de las cuotas, incluida la OC y construir la tabla de amortización, si el

primer pago es de 8000

Desarrollo:

a)

Como se puede ver, la primera `parte de la formula se puede resolver con las ecuaciones para

series uniformes anticipadas:

VP = A *[ ((1+i)n -1 -1)/((1+i)n-1*i) ]+ A

CUADRO DE LEASING A

Valor inmovilizado 30.000

Tipo de interés 5%

K 6.952,66

PERIODO SALDO INTERESES AMORTIZACIÓN

CUOTA PAGO

0 23.047,34 6.952,66 6.952,66

1 17.247,05 1.152,37 5.800,29 6.952,66

2 11.156,74 862,35 6.090,31 6.952,66

3 4.761,92 557,84 6.394,82 6.952,66

4 0,01 238,10 4.761,90 5.000,00

2.810,65 29.999,99 32.810,64

Intenta resolver los tres ejercicios restantes y comparte tus resultados en clase