una función es una relación entre dos magnitudes

5/17/2018 Una funci n es una relaci n entre dos magnitudes - slidepdf.com

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Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le

corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y.

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX

es agudo.

Formatted: No Spacing, Left, InFirst line: 0", Right: 0", Space B After: 0 pt, Line spacing: single

Formatted: No Spacing, Left, Lisingle








Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX

es obtuso.

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el o rigen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de

ordenadas.

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas .



El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R , cualquier número real tiene imagen.

f(x)= x2

- 5x + 6 D=R

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un

número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irrracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea

mayor o igual que cero.



Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los va lores que hacen que el radicando sea

mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R. Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante



Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par, es decir:

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es una función impar, es decir:f(-x) = -f(x)



Encontrar las imagenes corresponde a encontrar el recorrido de la función, es decir todos los

números que resultan de evaluar (reemplazar "x") la función por un elemento de su dominio.

Por ejemplo:

f: R->R (función con Dominio en los reales y Codominio en los reales), definida por:

f(x)= 2x+1

recordemos que f(x)=y,

*El Dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar "x".

*Las preimagenes son cada uno de los elementos que del Dominio.

*El Recorrido es el conjunto de los valores que resultan de reemplazar "x" en "2x+1". (Evaluar la

función).*Las Imagenes son todos los elementos del conjunto Recorrido.

Entonces, si deceas saber la imagen de la función de una preimagen deveras simplemente evaluar

la función en esa preimagen. Por ejemplo:

Preimagen: 3 ¿Imagen de 3 en la función?:

f(3)=2(3)+1

f(3)=7, por lo tanto la imagen de 3 en la función "f(x)" es 7.

Ahora, teniendo esto claro, si deseas saber el conjunto de todas las imagenes debes sacar el

recorrido, que es lo mismo saber cuantos números pueden resultar de "x", entonces se debe

despejar "x":

f(x)= 2x+1

y=2x+1

(y-1) / 2=x

Formatted: No Spacing



Entonces el recorrido (conjunto de las imagenes) son todos los valores que puede tomar "y" que

no indeterminen la función. En este caso son todos los números reales (R)

Otro ejemplo:

g(x)= 4/ x

y=4/ x

yx= 4

x= 4/y

Entonces "y" no puede tomar el valor 0, pues 4/0 no existe (no está determinado), por lo cual el

recorrido es:

R- {0}............(los números reales menos el cero)

Lo que significa que las imagenes de g(x) pueden ser todos los valores en ese conjunto (R-{0})

Asíntotas

Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x

tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Definición

Asíntota vertical

La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.

DefiniciónAsíntota horizontal

La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.

Ejemplo

Formatted: No Spacing, Line spPattern: Clear


Formatted: No Spacing, Space Line spacing: single, Pattern: Cle





f(x) = x/(x-1)

limx->1+ f(x) = +inf

limx->1- f(x) = -inf

=> x=1 es AV de f(x)

limx->inf f(x) = 1

=> y=1 es AH de f(x)

Definición

Asíntota oblicua

La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si lim x->inf f(x) - (mx + n) = 0.

Ejemplo

f(x) = x + 1/x

limx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0

=> y=x es AO de f(x)

Además,

limx->0+ f(x) = +inf limx->0- f(x) = -inf

=> x=0 es AV de f(x)

Teorema

y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=>

n = limx->inf f(x) - mx

m = limx->inf f(x)/x

Demostración:

Directo:

Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx - n = 0

x->inf

=> lim f(x) - mx = n

x->inf

n

---^---

Formatted: No Spacing, Line sp




Formatted: No Spacing, Line sp



Formatted: No Spacing, Line spPattern: Clear



f(x) f(x) f(x) - mx

=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m

x->inf x x->inf x x->inf x

Recíproco:

lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0x->inf x->inf

=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x). Formatted: No Spacing

http://matematica.50webs.com/asintotas.html#defao

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una función es una relación entre dos magnitudes

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