las magnitudes y su medida en la educación...

Las magnitudes y su medidaen la Educación Primaria

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Introducción

Las magnitudes y su medida constituyen una parte fundamental del conocimiento matemático de

la Educación Primaria; por un lado está su valor funcional, debido a su aplicabilidad en diferentes cam-

pos y situaciones, y por otro, porque constituyen nociones organizadoras que ponen en relación múlti-

ples conocimientos y son, a su vez, elementos básicos de otros conocimientos matemáticos.

En la Educación Primaria se introducen las ideas de magnitud y medida y se desarrollan sistemas

de medidas convencionales como el Sistema Métrico Decimal, aspectos de medidas angulares y de tiempo.

En esta etapa educativa no se aborda la posibilidad de utilizar con agilidad fórmulas que permitan el cál-

culo por medios indirectos de medidas de longitud, superficie y volumen; en cualquier caso, se trata más

que de aplicar fórmulas, facilitar situaciones en la que los alumnos pongan en juego las nociones de lon-

gitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo, dinero, superficie y volumen.

Debemos resaltar que en el tratamiento de la medida se conjugan dos aspectos complementarios:

la cualidad o magnitud y la medida de la cualidad para lo que es necesario utilizar conocimientos y des-

trezas del campo numérico y geométrico, entre otros. Se debe prestar atención a ambos aspectos tanto

en el caso de las magnitudes lineales: longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero, como en el

trabajo inicial de las de superficie y volumen, aunque éstas por su especial dificultad tienen aquí un tra-

tamiento limitado que se completa posteriormente en la ESO.

El tratamiento didáctico de las magnitudes supone considerar dos fases diferenciadas en el proceso

de aprendizaje y enseñanza: la percepción y el reconocimiento de la magnitud, cuya importancia estriba

en la consideración de las magnitudes como atributos o propiedades de colecciones de objetos suscepti-

bles de ser medidos, que el alumno debe conocer por su capacidad para organizar, estructurar y generar

otros conocimientos que pueden ser transferidos y generalizados; y la noción de medida de magnitudes,

de gran importancia por su valor funcional, que constituye un elemento de referencia en la construcción

de nuevos conocimientos matemáticos. A pesar de que en todas las magnitudes estas dos fases deben

estar siempre presentes, nosotros vamos a diferenciar entre magnitudes lineales y no lineales en la Edu-

cación Primaria. Las primeras constituyen una consolidación del Sistema de Numeración Decimal, mien-

tras que las segundas son una extensión de este sistema de numeración que se inicia en esta etapa edu-

cativa y se completará más tarde en la Educación Secundaria Obligatoria.

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En este capítulo se reflexiona, inicialmente, sobre cuestiones generales de la medida con la inten-ción de poner de manifiesto los diferentes aspectos que caracterizan a la misma: complejidad del procesode construcción de los conceptos de medida, análisis de la medida en su aspecto dinámico y en su cone-xión con la realidad, así como resaltar el interés de la estimación en la medida como un proceso cogni-tivo relevante para planificar, más tarde, su enseñanza-aprendizaje en esta etapa educativa. Su presenta-ción se hará mostrando, en primer lugar, unas breves referencias a los aspectos matemáticos generalesde la Medida para centrarnos especialmente, más tarde, en los aspectos didácticos.

La Medida en la Educación Primaria

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� Consideraciones generales sobre la Medida

En relación con los conceptos matemáticos de magnitud, cantidad y medida es obvio que no es nece-sario una formalización rigurosa en esta etapa educativa; sin embargo, si parece con vistas al profeso-rado de Educación Primaria presentar una aproximación no formalizada, pero que tenga en cuenta losaspectos esenciales que caracterizan a la medida, como la diferenciación entre propiedades medibles(magnitudes) y no medibles, establecer definiciones informales de los aspectos a tratar, y, por último, pre-sentar el concepto matemático de magnitud ejemplificado, al menos en este trabajo para el caso de lalongitud y con menos detalle para las restantes magnitudes. Señalar finalmente que un desarrollo másformal de las cuestiones relativas a la medida la podemos encontrar, por ejemplo, en los textos de Roa-nes (1969) y de Prada (1990), en los que se desarrollan la mayor parte de los conceptos de las diferentesmagnitudes.

Las situaciones problemáticas o fenómenos físicos o sociales son organizados mediante modelosmatemáticos; esto nos lleva a analizar el difícil problema de las relaciones entre matemáticas y realidad.Las magnitudes y su medida constituyen un buen ejemplo de esta problemática. Las ideas de magnitud,cantidad y medida varían según los diferentes contextos en que se analicen. Por ejemplo, en la vida coti-diana y en las ciencias experimentales se habla de magnitudes para referirse a propiedades o cualidadesde los objetos o fenómenos susceptibles de tomar diferentes valores numéricos. En Matemática la pala-bra magnitud designa un conjunto de objetos abstractos (cantidades) dotado de una cierta estructuraalgebraica. La medida se expresará como el isomorfismo que podemos establecer entre dicha estructuray un subconjunto apropiado de números reales.

■ Aspectos informales de la Medida

Hablar de medir supone realizar una acción que asigna un código identificativo a determinadascaracterísticas perceptibles de un objeto. De esta manera, medir es asignar una categoría tanto a carac-terísticas cuantitativas y continuas como longitud, masa, capacidad..., como a rasgos cualitativos, comoel país de nacimiento o el color del pelo...

El nombre de magnitud se atribuye a los atributos que varían de manera cuantitativa y continuacomo la longitud, el peso, la densidad, etc., o también de manera discreta como la cantidad de objetosen una colección.

El término cantidad se refiere habitualmente al valor que toma la magnitud en un objeto particu-lar, como por ejemplo: el alto de esta puerta es de 2 metros.

Precisemos un poco más este término y tomemos como referencia la magnitud longitud. Conside-remos como punto de partida una colección de tiras de cartón. Diremos que dos tiras son congruentes si

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al superponerse sus extremos coinciden. Físicamente podemos realizar comparaciones entre las dife-rentes tiras de cartón y comprobar su igualdad o desigualdad; como consecuencia de ello obtenemos cla-ses de objetos (tiras cartón) que son iguales entre sí respecto de la cualidad longitud. De esta manerapodemos decir que cada clase de objetos (con la misma longitud) es una cantidad de longitud.

En el trabajo con magnitudes, como por ejemplo la longitud, es necesario comparar distintas can-tidades. La comparación se facilita si se toma una cierta cantidad como referente o término de compa-ración [u] y se determina cuántas veces contiene una cantidad dada [a] a la que se ha tomado como refe-rente [u]; este número de veces, si existe, es lo que se denomina medida de la cantidad [a] con la unidad[u].

Si consideramos ahora, por ejemplo, la mezcla de dos cantidades de un líquido a temperaturas de10 y 40 grados, respectivamente, que pesan cada uno 20 kilogramos, la cantidad que se obtiene agre-gando los dos líquidos sigue teniendo los rasgos de la temperatura y el peso, pero en el primer caso éstano es la suma de las temperaturas de los dos líquidos en cuestión; en el segundo caso sí es la suma de losdos pesos. Hablamos entonces de magnitudes intensivas como aquellas en las que existen rasgos paralos que tiene sentido agregar los objetos que los soportan, pero en los que la cantidad de rasgo en el objetoobtenido por agregación no es proporcionalmente aditiva, como, por ejemplo, la temperatura, la pre-sión o la densidad. Otras magnitudes, por el contrario, como el peso, la longitud, el área, etc., la canti-dad de magnitud de un objeto compuesto de partes se obtiene agregando las cantidades de cada parte;en este caso las magnitudes se llaman extensivas o sumables.

Para que en un conjunto de objetos homogéneos podamos hablar de magnitud extensiva, por ejem-plo, la longitud, es necesario definir en el conjunto de las cantidades de longitud la operación suma delongitudes, producto de una longitud por un número natural y ordenar las longitudes, resultando mag-nitudes extensivas distintas según las propiedades que se cumplan en relación con las operaciones y laordenación anterior. En este sentido podemos hablar de magnitudes discretas (“cantidad de personas”,“cantidad de caramelos”...) y continuas (longitud, peso, área, volumen...); absolutas (no existe para cadacantidad su opuesta para la suma, como, por ejemplo, la longitud, la masa, la capacidad, etc.; de estanaturaleza es la mayor parte de las magnitudes que se trabajan en la Educación Primaria) y relativas(existe para cada cantidad su opuesta para la suma, como por ejemplo los segmentos orientados (vecto-res libres) en la recta); escalares (son aquellas que admiten una representación mediante escalas, es decir,mediante un subconjunto de puntos de una recta, por ejemplo, los ángulos, los arcos, la amplitud, etc.)y vectoriales (las magnitudes que no son escalares como los vectores libres del plano, etc.).

A modo de resumen y a efecto de señalar la complejidad de acciones y conocimientos implicadosen el proceso de enseñanza y aprendizaje de los objetos magnitud y medida, presentamos la síntesissiguiente relativa a los conocimientos implicados.

En primer lugar, tenemos los conocimientos previos que en esta situación se refieren a los cálculosaritméticos de sumas y productos.


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En segundo lugar, tenemos los conocimientos específicos de las magnitudes y medidas que se refie-ren a lo que sigue:

� Magnitud como cualidad designada (longitud, peso...) atribuible a todos los objetos materiales. Setrata de una abstracción empírica a partir de cierto tipo de experiencias con objetos materiales.

� Magnitud desde la perspectiva matemática como un conjunto de objetos homogéneos entre cuyoselementos se puede definir la suma y una ordenación que le dota de estructura de Semimódulo(M, +, ≤).

� Cantidad de longitud, peso... de un objeto material, es decir, cada uno de los elementos del con-junto M.

� Tipos de magnitudes: intensivas y extensivas. Discretas, continuas, absolutas, relativas, escalares,vectoriales.

� La medida como la acción que establece la equivalencia entre una cantidad y una colección decantidades tomadas como unidades.

� La medida como la aplicación entre el conjunto M y un conjunto numérico.� La unidad de medida como la cantidad usada como elemento de comparación reiterada.� El valor de la medida como una unidad particular expresada mediante un número real positivo.� La medida concreta como el par formado por número, unidad de medida.� Los invariantes del proceso de medida entendida como función matemática:

m (a + b) = m (a) + m (b) y m (ka) = k m (a)� La precisión en la medida y los errores.� Los sistemas regulares de medidas (El Sistema Métrico Decimal).

En tercer lugar, a las acciones físicas y mentales que se desarrollan a partir de una situación pro-blemática susceptible de medir:

� Necesidad de medir.� Dominio de técnicas para medir.� Instrumentos de medida. Representaciones de los objetos.� Justificaciones de las técnicas de medir.� Necesidad de un sistema regular de medidas.

Pasamos a considerar ahora las relaciones que se dan entre distintas magnitudes. Comenzamos porel número natural y las magnitudes discretas. En muchas situaciones concretas nos interesamos por unacaracterística de la colección de objetos, por ejemplo, el “número de alumnos” en una clase o el “ númerohabitantes” de un país; se trata de magnitudes discretas. Podemos observar que hay diferencias entre lascantidades de estas magnitudes con las que se pueden realizar determinadas operaciones y los elementosdel conjunto N con los que también se pueden realizar operaciones que obviamente son de naturalezadiferente; sin embargo, podemos establecer un isomorfismo entre el conjunto (N, +, ≤) y cualquier mag-nitud discreta de manera que podemos considerar al conjunto (N, +, ≤) como una magnitud discreta otambién decir que el conjunto de cantidades de cualquier magnitud discreta es un conjunto naturalmenteordenado. En este sentido nos encontramos que matemáticamente podemos decir que los números natu-rales son un conjunto de signos para medir las magnitudes discretas, pero que ellos en sí mismo puedenser considerados como una magnitud discreta.

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La masa y el peso son magnitudes que se identifican por lo general socialmente; sin embargo, desdeun punto de vista físico son magnitudes diferentes. La masa de un cuerpo es el contenido en materia dedicho cuerpo, mientras que el peso es la fuerza con que la tierra atrae a este cuerpo. La diferencia se aclaracuando especificamos, por ejemplo, que dos cuerpos con la misma masa tienen pesos distintos en la Tie-rra y en la Luna. No obstante, dos objetos con igual masa tienen el mismo peso en un mismo lugar en laTierra. En la Educación Primaria no parece procedente hacer distinciones entre ambas magnitudes, yaque en la práctica escolar es casi imposible que ambas características de los cuerpos puedan ser distin-guidas, pero aún hay más: los instrumentos usados para medir masas en realidad miden pesos.

El volumen y capacidad son magnitudes obviamente diferentes: mientras el volumen se usa paradesignar la característica que tienen todos los cuerpos para ocupar un espacio, la capacidad designa lacualidad de ciertos objetos (recipientes) de poder contener líquidos o materiales sueltos (arenas, cerea-les, etc.). Ahora bien, la capacidad de un recipiente coincide con el volumen del espacio interior delimi-tado por las paredes del recipiente, y viceversa, el volumen de un cuerpo coincide con la capacidad de unrecipiente que envolviera completamente a dicho cuerpo.

Los términos área y superficie son usados de manera indistinta y es lo aconsejable en esta etapa edu-cativa; con todo, son dos conceptos diferentes aunque fuertemente relacionados. Si nos fijamos en uncuerpo o figura geométrica debemos distinguir entre la forma que tiene (plana, curva, cilíndrica, esférica,alabeada, cónica...) y la mayor o menor extensión que ocupa. El término superficie se debería reservarpara designar la forma del cuerpo, mientras que el área designa la extensión de la superficie. De estamanera, hablaríamos de la magnitud área o extensión como el rasgo o característica de los cuerpos quese mide cuantitativamente.

■ El Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional (SI) de Unidades es el nombre adoptado por la XI Conferencia General dePasos y Medidas (celebrada en París en 1960) para establecer un sistema universal y unificado de uni-dades de medidas, basado en el sistema mks (metro-kilogramo-segundo).

En la tabla siguiente se indican las unidades fundamentales y complemantarias:


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Magnitud Nombre de la unidad básica Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Intensidad de corriente eléctrica Amperio A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Magnitudes complementarias

Ángulo plano Radián rad

Ángulo sólido Estereorradián sr

Como sabemos la unidad de medida del SI para la longitud es el metro. Veamos algunas de sus defi-niciones más conocidas:

� Es la diezmillonésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre.� Es la distancia, a 0º C, entre dos trazos de una barra de platino iridiado (90% de platino, 10% de

iridio) depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sevrés (1889-1960).� Es 1650763.73 veces la longitud de onda, en el vacío, de la radiación correspondiente a la tran-

sición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de kriptón 86 (1960).� Es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz láser durante un tiempo de 1/299 792

458 de segundo (XXVII Conferencia General de Pesos y Medidas, 1983).

Los múltiplos y divisores del metro son:

decímetro (= 10-1) dm decámetro (= 10) dam

centímetro (= 10-2) cm hectómetro (= 102) hm

milímetro (= 10-3) mm kilómetro (= 103) km

micrómetro (= 10-6) mm megámetro (= 106) Mm

nanómetro (= 10-9) nm gigámetro (= 109) Gm

picómetro (= 10-12) pm terámetro (= 1012) Tm

femtómetro (= 10-15) fm petámetro (= 1015) Pm

attómetro (= 10-18) am exámetro (= 1018) Em

La unidad de medida del tiempo en el segundo(s). Sus múltiplos son:

minuto m (= 60 s); hora h (= 602 s); día d (= 24 h).

Otros múltiplos no aceptados por el SI son:

semana (7 días); mes (30 días, en general);

año (12 meses); siglo (100 años).

Es común referirse al Sistema Internacional de medidas como sistema métrico decimal, para desta-

car que la estructura decimal del sistema de medidas es “similar” a la del sistema de numeración deci-

mal.

No ocurre así con el tiempo que siguen otros sistemas tradicionales de medida, que se remontan a

los babilonios, y en lugar de la base decimal utilizan la sexagesimal (con agrupamientos de 60).


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� Aspectos didácticos de la Medida

En este apartado haremos una breve presentación de la naturaleza didáctica de las magnitudes y lamedida en la Educación Primaria, diferenciado entre medidas lineales y no lineales. Se terminará con untercer subapartado en el que se considerarán los contenidos canarios de Matemáticas y especialmente lasmedidas canarias.

La presentación de las medidas lineales y no lineales se desarrollará mediante el siguiente esquema:en primer lugar, se hará una breve presentación de naturaleza histórica y epistemológica; en segundolugar, comentaremos tres elementos básicos del análisis didáctico: currículo, dificultades y errores y repre-sentaciones, para finalizar con una reflexión y propuesta de enseñanza y aprendizaje.

■ Medidas lineales

El desarrollo histórico de la medida está unido al desarrollo de las nociones numéricas, y presentaun punto de interés particular en los aspectos históricos de la construcción y adopción de los sistemas yunidades de medida.

Cuestiones históricas de la medida de magnitudes que aparecen como relevantes son, por ejemplo,los sistemas de medida de los egipcios, babilonios, hebreos, griegos y romanos, o la medición de ángu-los y el tiempo en los astrónomos babilónicos; un paso cualitativo y cuantitativo importante se da en lospitagóricos y las longitudes inconmensurables; es de resaltar las unidades de medida en la Edad Mediay la búsqueda de patrones universales del Renacimiento, pero el momento determinante lo constituye elestablecimiento del Sistema Métrico Decimal y el Sistema Internacional de Medidas.

En este desarrollo histórico aparecen hechos que son de destacar por su relación directa con el pro-ceso de enseñanza/aprendizaje, entre otros, las relaciones entre la medición y la ampliación de los con-juntos numéricos, puesto que dicha necesidad de ampliación tuvo su origen, en algunos casos, en nece-sidades de medición (Chamorro y Belmonte, 1988). Así mismo, hemos de resaltar la importancia de laevolución de las formas de medición y de los sistemas de medidas hasta llegar al Sistema Métrico Deci-mal, así como las necesidades de medición a lo largo de la historia (Dickson, Brown y Gibson, 1991).Especialmente, constituyen una fuente de interés las unidades de medida antiguas, que aún persisten enmuchos lugares como, por ejemplo, Canarias.

En lo que se refiere a la medida del tiempo, son especialmente interesantes los intentos para elabo-rar un calendario y los distintos tipos de calendarios surgidos a través de la historia.

Los fenómenos y las situaciones que dan sentido y se organizan sobre la base de las magnitudes ysu medida, abarcan un amplio espectro que va desde la realidad cotidiana a las ciencias. En relación conlos diferentes campos científicos, las magnitudes y las medidas están presentes en todos ellos: física, geo-metría, astronomía, etc.

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Por ejemplo, en el caso de la longitud, el lenguaje es un factor clarificador sobre los fenómenos yaplicaciones de la misma. Un análisis fenomenológico de la longitud deberá tener en cuenta la invarian-cia ante determinados movimientos y descomposiciones así como los tres contextos que intervienen:dimensiones, distancias y trayectorias. En el primer caso, las dimensiones se perciben como propiedadesde los cuerpos y en los otros dos, más abstractos, se requieren dos puntos entre los que hay que interca-lar o imaginar un cuerpo; las distancias expresan ausencia de continuidad entre dos cuerpos, mientrasque las trayectorias incluyen un carácter dinámico.

De igual manera, una reflexión fenomenológica de la magnitud tiempo nos lleva a observar cómoel lenguaje juega un papel esencial para establecer los distintos contextos fenomenológicos. La distinciónentre ellos permite identificar fenómenos horarios, de estaciones, cronológicos, etc. Los contextos y situa-ciones son también variados, abarcando situaciones tan dispares como duración de los sucesos (horarioescolar, un partido de fútbol, etc.); periodicidad de ocurrencia de sucesos (horario de un determinadoprograma de TV); tiempo transcurrido entre sucesos, etc.

También, las magnitudes físicas como la masa, el peso y otras, tienen sus propios contextos, fenó-menos y aplicaciones, al igual que el dinero que está asociado a los precios, pagos, etc., en el que las apli-caciones son enormemente familiares.

Currículo

Son aspectos a trabajar en este tópico en la Educación Primaria conceptos como magnitud, canti-dad y medida. La medida y la unidad de medida. La medida de las magnitudes lineales: longitud, ampli-tud, capacidad, masa, tiempo y dinero. Sistema métrico decimal: múltiplos y submúltiplos. Medidas apro-ximadas. Estimación de medidas.

Procedimientos como distinción entre cualidades cuantificables y no cuantificables. Comparación,composición y ordenación de cantidades. Empleo de unidades de medida. Utilización de diferentes sis-temas de medición. Cambios de unidades de medida. Utilización de instrumentos de medida. Medicióndirecta. Estimación. Decisiones sobre la medida más adecuada.

Actitudes como valoración, precisión y cuidado en la utilización de instrumentos, gusto por la pre-cisión, interés en averiguar medidas, tendencia a manifestar las unidades, disposición favorable a esti-mar.

Dificultades y errores

Como señala el Grupo Cero (1987), cada magnitud tiene asociadas sus propias dificultades; así, porejemplo, la magnitud longitud y su medida están implicadas en importantes destrezas perceptivas, arit-


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méticas y geométricas, junto a su carácter eminentemente práctico y utilitario. En el caso del tiempo, seproducen confusiones por la mezcla de mediadores poco fiables para su medición. En el dinero se pre-senta la particularidad de las distintas monedas y la equivalencia entre ellas; la comprensión de estas equi-valencias es una cuestión difícil de aprender y de abordar, a la vez que importante, ya que muchos pro-blemas de enunciado verbal se refieren a situaciones monetarias.

En el proceso de aprendizaje, que va desde la percepción de la magnitud a la comparación de can-tidades y de ésta a la estimación y a la medida mediante el empleo de unidades convencionales y no con-vencionales, intervienen de manera efectiva la conservación y la transitividad (Chamorro y Belmonte,1988), (Dickson et al., 1991).

Podemos señalar que la primera dificultad en el estudio de las magnitudes nace al abordar éstasseparadas de los fenómenos y situaciones en los que se presentan. Podemos distinguir dificultades aso-ciadas al concepto de magnitud y medida y dificultades asociadas a los procesos de medición. En gene-ral, se presenta confusión entre los conceptos de volumen y capacidad, volumen y peso, volumen y super-ficie, área y perímetro, masa y peso, etc.

Entre los errores y dificultades que se dan en las mediciones directas, podemos señalar los siguien-tes: evaluar la magnitud de una medida sólo por el número que la expresa, olvidando la unidad que seha utilizado; no reconocer la invariancia de la medida bajo ciertas transformaciones; elección de una uni-dad de medida inadecuada; uso incorrecto de los instrumentos de medida; uso erróneo de los sentidos;escritura errónea o sin sentido de los resultados de la medición; problemas con las representaciones enlas que interviene un origen y una escala; abuso de la medida entera. Muchos de estos errores están pro-vocados por seguir una metodología de enseñanza en la que los alumnos no participan activamente enla realización de medidas (Chamorro y Belmonte, 1988).

En resumen, podemos señalar que en los procesos directos de medición se originan errores por eluso indebido de los sentidos, por la utilización de instrumentos inadecuados, por el uso incorrecto de losinstrumentos de medida, por la elección de una unidad de medida inadecuada, etc. Surgen también difi-cultades para medir superficies que no son rectangulares, para contar unidades no enteras, etc.

Los errores de las mediciones indirectas asociados con el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes,se pueden concretar en dificultades con el lenguaje algebraico; resolución de problemas con datos erró-neos o no reales; confusión entre área y perímetro, confusión entre área y volumen. En conclusión, loserrores en los procesos indirectos de medición están asociados por una parte al mal uso de las fórmulasy por otra a los cambios de unidades o a la omisión de la unidad cuando se expresa una cantidad.

Como hemos visto, las dificultades en el aprendizaje de la magnitud y su medida tienen su origenen múltiples causas que van desde la confusión entre magnitudes, como es el caso del área y el períme-tro o del peso y el volumen, hasta los errores debidos al empleo de una metodología tradicional poco onada manipulativa (Chamorro y Belmonte, 1988), que da lugar al uso inadecuado de instrumentos o

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unidades de medida, y a la carencia de estrategias para realizar medidas de objetos comunes. En todas

ellas se puede identificar la ausencia de significado de las distintas unidades. La superación de algunos

de estos errores requiere identificar correctamente su procedencia y luego poner más énfasis en los aspec-

tos conceptuales, en el uso de material didáctico o en la presentación dinámica de las figuras, como medio

de corrección de errores y poner menos énfasis en el trabajo directo con fórmulas.

Representaciones

Los modelos para las magnitudes lineales, de área y volumen, responden evidentemente a modelos

lineales, cuadráticos y cúbicos, pero todos ellos tienen una representación gráfica que sobresale de las

demás, la recta numérica; es posible representar en ella pesos, longitudes, tiempos, cantidades moneta-

rias, capacidades y masas, es decir, mediante un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta

numérica. El área y el volumen también admiten una representación de este tipo, pero requiere además

referencias a representaciones que aludan a dos y tres dimensiones, respectivamente. Sin embargo, este

modelo lineal no ha dado resultado en la enseñanza, como ponen de manifiesto Chamorro y Belmonte

(1988).

Además de las representaciones gráficas, las medidas tienen una representación simbólica, que llega

a constituirse con el tiempo en la representación preferente por su sencillez y viabilidad. En este sentido,

conviene distinguir entre reproducir una longitud (duración, capacidad, masa, etc.) y representar esa

misma longitud, lo que conlleva apreciar las ventajas de las notaciones simbólicas y gráficas, además de

la propia reproducción. Por ello es importante trabajar simultáneamente los distintos sistemas de repre-

sentación (gráfico, numérico, escalas, otros), y emplear unidades de otros sistemas, como por ejemplo,

las unidades tradicionales Canarias, que además de la componente cultural, aportan referencias para a

la comprensión de la estructura y el proceso de la medida.

Dentro de las representaciones simbólicas podemos encontrar diferentes registros para una misma

magnitud, por ejemplo, la amplitud es una magnitud que utiliza en la actualidad tres registros distintos:

sexagesimal, centesimal y radián; lo que implica contemplar la práctica mediante la realización de acti-

vidades y ejercicios en los tres sistemas.

Las representaciones están claramente asociadas a los materiales y utensilios que se emplean para

medir y a los diferentes contextos en los que son útiles: metro de carpintero, cinta métrica, calibre, pie

de rey, regla graduada, rueda-metrocompás, escuadra, cartabón, trasportador, reloj, recipientes, balanza,

etc., además de las unidades naturales como el palmo, el pie, el paso y los propios materiales didácticos

construidos “ad hoc” (cuerdas con nudos, varas, relojes de arena, etc.). También es evidente que las repre-

sentaciones gráficas para las magnitudes lineales se pueden condensar en uno solo: la recta numérica; es

posible imaginar, e incluso representar, pesos, longitudes, tiempos, cantidades monetarias, capacidades

y masas en un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta numérica.


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Entre los materiales y recursos didácticos tenemos:

� Instrumentos de medida: metro de carpintero, cinta métrica, calibre, pie de rey, regla graduada,

escuadra, cartabón, reloj, cronómetro, recipientes, balanza, transportador de ángulos, termóme-

tros, metros lineales y circulares, brújula, goniómetro, etc.

� Materiales didácticos estructurados como las regletas de Cuisenaire o juegos de medidas estándar.

� Recursos extraídos del entorno como varillas, tiras de cartón, alambres, pastas, hilos y cuerdas,

envases desechables, velas de cera, etc.

Enseñanza y aprendizaje

En el proceso de aprendizaje de la magnitud longitud y su medida están implicadas una mezcla de

importantes destrezas perceptivas, aritméticas y geométricas junto al carácter eminentemente práctico y

utilitario. El proceso de aprendizaje va desde la percepción de la magnitud a la comparación de cantida-

des, y de esta a la estimación y a la medida mediante el empleo de unidades convencionales y no con-

vencionales. En este proceso intervienen de manera efectiva la conservación y la transitividad (Piaget e

Inhelder, 1982); (Chamorro y Belmonte, 1988); (Dickson, Brown y Gibson, 1991). Así, para Piaget exis-

ten varios estadios en el desarrollo del concepto de medida: estadio inicial (no conservación y no transi-

tividad), estadios de iniciación y consolidación de ambas capacidades, estadio en que se identifica la uni-

dad de medida y estadio final (medida operatoria).

Recogemos ahora en forma de síntesis tres propuestas apropiadas para desarrollar con garantías la

enseñanza/aprendizaje de la medida en la educación básica que denominaremos propuestas de Inskeep

(1976), Chamorro y Belmonte (1988) y de Olmo, Moreno y Gil (1989).

La propuesta de Inskeep (1976) muestra que en el aprendizaje de la medida se da una mezcla de

importantes destrezas sensoriales y perceptivas que involucran aspectos de aritmética y geometría. El

área afectiva aparece también implicada y proporciona al alumnado la oportunidad de apreciar la utili-

dad del sistema de medidas en sus vidas y en la sociedad, además de la autoconfianza que genera el sen-

tirse capaz de medir por sí mismo. El proceso de enseñanza/aprendizaje que propone va secuencialmente

desde la percepción a la comparación para pasar luego a la aplicación de una medida mediante un refe-

rente no estándar que llevará a la necesidad de utilizar estándares de medidas y a la necesaria organiza-

ción de un sistema que sistematice los referentes estándar.

En resumen, la propuesta de Inskeep la podemos concretar en los siguientes momentos:

� Percepción.

� Comparación y ordenación.

� Búsqueda de un referente:

� Hacer estimaciones sobre las cantidades a medir.

� Elegir el instrumento más adecuado para realizar la medida

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� Medición como un sistema:� Considerar la unidad más adecuada a la magnitud que hay que medir, eligiendo entre los múl-

tiplos y divisores que forman el sistema de medida.� Realizar la medición.

� Comprobación de la medida realizada:� Relación con la estimación.� Valoración del error.

La propuesta requiere para su desarrollo un trabajo en clase en un ambiente de taller bajo el lema:“a medir se aprende midiendo y analizando las estrategias usadas”.

La propuesta de Chamorro y Belmonte (1988) parte de que la medida es un acto complejo que requiereen el alumnado práctica y soltura en los procesos de clasificación y seriación; en consecuencia, es necesa-rio que los alumnos tengan desde el principio la oportunidad de entrar en contacto, en su medio, con situa-ciones físicas que les permitan inicialmente una exploración intuitiva y a través de los sentidos de la medida.Proponen una sucesión de procesos ligados con la medida, que se concretan en los siguientes:

� Procesos de clasificación y seriación:� Estimación sensorial.� Comparación directa.� Comparación indirecta.� La transitividad en las comparaciones.

� La elección de la unidad:� Arbitrariedad.� Adecuación.� Encuadramientos.

� Cambios entre distintas unidades.� Necesidad de un sistema de medidas.� Sistema regular de medidas. El Sistema Métrico Decimal.� Estimación y aproximación:

� Errores en la medida

Estos procesos tienen sentido según los autores si la progresión de los mismos va seguida de unaserie de recomendaciones:

� Ir de lo concreto a lo abstracto, de lo fácil a lo difícil, según las fases manipulativas, verbal, grá-fica y simbólica.

� Cuidar los procesos de reversibilidad.� Seguir una enseñanza no lineal.� Permitir al alumno que descubra y aprenda de sus errores.� Fomentar las discusiones en grupo o colectivas, permitiendo el aprendizaje mediante el diálogo y

la confrontación de ideas.� Utilizar la vida como fuente de situaciones problemáticas.� Utilizar y fomentar el sentido común.


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La propuesta de Olmo, Moreno y Gil (1989) es formulada inicialmente para el tratamiento didác-tico del área y del volumen pero puede considerarse válida en el tratamiento de las medidas lineales,consta de cinco momentos que son necesarios tener en cuenta a la hora de diseñar actividades para orga-nizar la enseñanza: percepción, comparación, medida, aritmetización y estimación.

� Percepción de la cualidad que se va a medir distinguiéndola de las restantes cualidades de losobjetos.

� Comparación de los objetos respecto de esa cualidad mediante los términos relacionales “másque”, “menos que”, “tanto como”; este último nos conduce a la noción de igualdad respecto deesa cualidad y, por tanto, de cantidad de magnitud. Es necesario tomar en consideración las dife-rentes situaciones que se pueden presentar en relación con el entorno particular así como el usoadecuado de la terminología; siempre que sea posible, se ha de emplear algún tipo de propuestalúdica.

� Medidas por medio del empleo de unidades no convencionales, entre las que destacan las corpo-rales; incluir algunas referencias de carácter histórico de Canarias así como actividades sobre lasunidades propias de la localidad; prever la realización de prácticas de medida en los distintos con-textos y empleando la terminología apropiada.

� Medida con unidades del Sistema Internacional; en esta situación es conveniente contemplar aspec-tos como el carácter convencional del sistema, su necesidad, para lo que se pueden preparar acti-vidades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Se han de presentar los dife-rentes sistemas de medida y unidades y prever la realización de prácticas de medida en una granvariedad de situaciones y con distintos instrumentos.

� En la fase de aritmetización, establecer una secuenciación de las actividades hasta llegar a los pro-blemas de enunciado verbal.

� En la fase de estimación, tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de medida y larealización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos.

En las tres propuestas se encuentran bastantes elementos comunes, pero entre todos ellos queremosdestacar uno que quizás se olvida con demasiada frecuencia en la escuela: la estimación. Como señalaBrigth (1976), la realización de actividades de estimación de cantidades debe combinar la presencia oausencia del objeto a medir y la presencia o ausencia de la unidad de medida; por ejemplo: estimar el áreadel tablero de una mesa estando presente o no la unidad de medida. Señala el autor diferentes grupos deactividades consistentes en asociar objetos, ausentes o presentes a una medida dada, con o sin la unidadde medida, como buscar longitudes, áreas, masas o capacidades..., de objetos que tengan, por ejemplo,una medida aproximada de 1 metro, 1 decímetro cuadrado, 1 kilogramo, 1 litro, respectivamente.

En la historia de la Matemática las magnitudes y las medidas juegan un papel fundamental, y éstasdeben ser incorporadas al proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática facilitando en el con-texto escolar estudios sobre unidades de medida aún vigentes en el entorno sociocultural del centro; paraello se pueden utilizar los trabajos desarrollados por González (1999) y otros autores sobre unidades einstrumentos de medida tradicionales en Canarias, que se recogen ampliamente en las referencias biblio-gráficas.

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En el ámbito de la enseñanza y aprendizaje de las magnitudes y la medida ocupa un lugar esencialla resolución de problemas, que debe estar centrada en problemas prácticos sobre experiencias senso-riales en relación con la cualidad, con la identificación de la magnitud y con la comparación de cantida-des; problemas prácticos relacionados con la unidad de medida, con la medición directa e indirecta ycon el empleo de instrumentos de medida; problemas de enunciado verbal en relación con las situacio-nes de medida, con las expresiones numéricas de las medidas y con el sistema métrico decimal (equiva-lencia de unidades, etc.), en íntima relación con los problemas sobre números y operaciones. Los pro-blemas pueden ser, además de los de enunciado verbal, manipulativos, lúdicos, sobre situaciones familiareso personales, de exploración e investigación, etc. Como ejemplos de problemas prácticos del primer tipopodemos considerar aquellos relacionados con la búsqueda o identificación de situaciones de medida deuna magnitud en un contexto determinado, por ejemplo, en una casa, en la escuela, en el mercado, etc.

Es de destacar finalmente que los ejercicios tradicionales de medidas relativos a cambios de unida-des y resolución de problemas no deben abandonarse sino completar estos ejercicios dirigiéndolos a tomarconciencia de la necesidad de la medición en sus tres vertientes básicas: precisión, aproximación y esti-mación.

■ Medidas no lineales

Muchos de los aspectos tratados en las magnitudes lineales son también de aplicación en las mag-nitudes no lineales, especialmente los que se refieren a los principios generales de la medida de magnitu-des así como a las estrategias a seguir en su enseñanza y aprendizaje. Sin embargo, pensamos que debendiferenciarse por diferentes razones: por una parte, la no linealidad de estas magnitudes implica una con-sideración diferenciada en el tratamiento de las unidades de medida; por otra, se trata de magnitudes ymedidas más complejas y difíciles de comprender y dominar que las magnitudes lineales, por lo que reci-ben un tratamiento introductorio y en consecuencia menos profundo que aquéllas en los niveles supe-riores de Primaria; por ejemplo, el volumen y su medida forman parte en la actualidad del currículo deEnseñanza Secundaria, pero a pesar de ello pensamos que es posible iniciar las primeras fases del desa-rrollo de dichas nociones en el último nivel de Primaria. Conviene tener en cuenta que las nociones deárea y volumen no aparecen desconectadas de las otras magnitudes y de los conocimientos anteriores delos alumnos, sino que, por el contrario, estas tienen su origen en las propiedades topológicas del planoy del espacio. La apreciación de huecos y regiones o el cubrimiento o llenado del plano y el espacio seconstituyen en ideas intuitivas mucho antes de su tratamiento matemático en el currículo escolar, y espor ello por lo que pensamos que es razonable que el profesorado de Educación Primaria reflexione sobreestas magnitudes, lo que contribuirá a tener una visión completa sobre las magnitudes y medidas ele-mentales, lineales y no lineales, así como del papel que juegan las magnitudes no lineales en esta etapaeducativa.

Las primeras referencias sobre la medición del área y del volumen están asociadas al almacena-miento de granos, alimentos y líquidos, así como a la fabricación de vasijas y recipientes de cerámica. En


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Babilonia y en el antiguo Egipto, el área y el volumen estaban relacionados con problemas reales (movi-

mientos de tierras, cosechas, construcciones, etc.), y conocían las áreas de varias figuras geométricas así

como el volumen de prismas y cilindros; no obstante, daban a la longitud de la circunferencia el valor de

tres diámetros y al área del círculo el triple del valor del radio (Olmo, Moreno y Gil, 1989). De igual

forma, en la matemática china se plantean y resuelven problemas prácticos sobre el volumen de paredes

y presas, en las que intervenían piezas de diferentes formas (prismas y pirámides) y se utilizaban reglas

para el cálculo de distintas figuras planas. La civilización hindú usa diferentes reglas de cálculo y obtie-

nen relaciones entre diagonales y lados en el rectángulo y el cuadrado y entre radio y longitud y el cír-

culo. En Grecia es donde surgen dos de los problemas esenciales relacionados con el tema y que se cono-

cen como la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo (Collette, 1985). Igualmente corresponden

a esta época numerosas aportaciones sobre el área y el volumen, como es el caso de las fórmulas del volu-

men de un cono o de una pirámide, del área de la esfera, etc.

La evolución histórica hasta nuestros días de las cuestiones relacionadas con la medida ha estado

plagada de hechos y conocimientos matemáticos destacados, por ejemplo, la medida del área es insepa-

rable de la longitud y la medida del volumen de las medidas del área, situaciones que se manifiestan his-

tóricamente desde las aproximaciones realizadas por egipcios y babilonios hasta los problemas de cua-

draturas de los griegos, y de aquí al establecimiento de fórmulas a partir del razonamiento proporcional.

Las magnitudes geométricas, como el área y el volumen, tienen una fenomenología bastante amplia.

Se pueden organizar, por similitud con la clasificación realizada para longitudes, en los siguientes con-

textos: el área representa la extensión de un cuerpo, el área representa un hueco, el área se corresponde

con la huella barrida en el desplazamiento de un móvil (Olmo et al., 1989). De manera similar puede

hacerse una clasificación para las situaciones en las que se presenta el volumen: espacio ocupado por un

cuerpo, hueco dejado por un cuerpo, espacio barrido por una superficie.

Currículo

Aspectos básicos en el tratamiento de las magnitudes área y volumen que se inician en la Educación

Primaria y se completa en la Educación Secundaria Obligatoria son los siguientes:

Conceptos como superficie, polígono. Recubrimiento del plano; unidad de medida. Área. Áreas de

polígonos sencillos. Longitud de la circunferencia y área del círculo. Aproximación al área de figuras irre-

gulares. Estimación de áreas. Volumen. Medida y su necesidad. Estimación de volúmenes.

Procedimientos como cubrimiento de superficies. Comparación de superficies por descomposición,

superposición, cubrimiento con la misma unidad, transformaciones planas, cambios de unidad. Medi-

ción de áreas y volúmenes sencillos. Cálculo de áreas y perímetros. Estimación de perímetros, áreas y

volúmenes. Resolución de problemas.

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Actitudes como disposición favorable a identificar, calcular y estimar perímetros, áreas y volúme-nes sencillos. Interés por justificar procedimientos informales para averiguar el área y el volumen. Reco-nocimiento de la utilidad de la medida del perímetro, del área y del volumen. Cuidado y precisión en elmanejo de recursos. Confianza en el propio pensamiento para estimar áreas y volúmenes sencillos.

Dificultades y errores

Las dificultades y errores relacionados con las nociones de perímetro, área y volumen son diversasy abundantes: confusión entre el perímetro y el área, errores en la medida, errores en la determinacióndel número de cubos unidad incluidos en un volumen, etc. Dificultades asociadas a la medida del áreaaparecen cuando las figuras son más complicadas que el rectángulo; las figuras no aparecen pavimenta-das, se da una proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad de medida y la medida o cuandose han de contar unidades no enteras.

La magnitud área es fácil de percibir visualmente (Grupo Cero, 1987), pero presenta dificultadespara la estimación directa. También suelen existir dificultades con las relaciones ante reproducciones aescala. Por otra parte, la determinación del área es difícil cuando la figura presenta cierta complejidadgeométrica, como se pone de manifiesto en la tarea de determinar el área de un triángulo a partir del áreade un rectángulo (Dickson, Brown y Gibson, 1991).

Representaciones

Los sistemas de representación simbólicos usuales asociados a la magnitud área toman el cuadradocomo medida unidad, variando la longitud del lado para dar lugar a distintas unidades del sistemamétrico. El volumen toma el cubo como unidad de medida, mientras que los modelos para esta magni-tud están relacionados con los cuerpos geométricos: cubo, paralelepípedo recto, pirámide, prisma, cilin-dro, cono y esfera.

El área y el volumen también admiten una representación en un diagrama lineal tomando comosoporte la semirrecta numérica, aunque estas magnitudes requieren preferentemente referencias a lasrepresentaciones en dos y tres dimensiones, respectivamente. Hemos de indicar que el modelo lineal noha dado mucho resultado en la enseñanza, como ponen de manifiesto Chamorro y Belmonte (1988).

Entre los materiales y recursos, tenemos los siguientes:� Instrumentos para medir longitudes, tramas cuadradas de distintos tamaños, instrumentos de

dibujo, tramas de puntos, papel cuadriculado, papel normal para plegado y recortado, papel mili-metrado, cartulinas, tijeras, etc.

� Poliminós, tangrams, papel isométrico, cuerpos geométricos, policubos, polidiamantes, cuerposgeométricos huecos, unidades cúbicas, mosaicos y frisos, etc.

� Arena para rellenado, recipientes, balanza, imprenta, juegos de huellas, etc.


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Enseñanza y aprendizaje

Los estudios sobre el aprendizaje y el desarrollo cognitivo de las nociones de área y volumen sonescasos (Olmo, Moreno y Gil, 1989).

Los conceptos de área y volumen son complejos y difíciles de aprender. Es necesario desarrollar pau-tas y orientaciones didácticas y estar atentos a la evolución de los conocimientos y destrezas de los alum-nos de Primaria, para lo que se ha de plantear el trabajo procurando que éstos experimenten por sí mis-mos los aspectos fundamentales. La construcción formal no es necesaria en esta etapa educativa; de todosmodos, es útil que el alumno comience a utilizar los elementos básicos que facilite una mejor compren-sión de los conceptos de área y volumen, lo que se puede hacer mediante el desarrollo de los aspectos deequivalencia y descomposición de figuras. En este sentido, el planteamiento seguido es análogo al pro-puesto para las magnitudes lineales.

Al igual que en las magnitudes lineales, la enseñanza y el aprendizaje del área y el volumen puedenseguir el mismo proceso descrito con anterioridad para las magnitudes lineales:

� En las fases de percepción y comparación, se han de tener en cuenta las diferentes situaciones quese pueden presentar en relación con el entorno particular así como el uso adecuado de la termi-nología; siempre que sea posible, hay que emplear algún tipo de juego; las actividades de compa-ración deben graduarse en función de su dificultad, y deben tenerse en cuenta los errores que sehan indicado.Por ejemplo, desarrollar la percepción de la magnitud mediante la idea de recubrir / rellenar super-ficies / volúmenes; los poliminós, polidiamantes, tangram, pueden emplearse para realizar activi-dades de este tipo.

� En la planificación de la fase de medida mediante el empleo de unidades no convencionales (inclui-das las corporales) conviene incluir algunos aspectos de carácter histórico así como actividadessobre las unidades propias de la localidad; se debe prever la realización de prácticas de medida enlos distintos contextos y empleando la terminología apropiada.Por ejemplo, realizar la comparación directa o indirecta de cantidades mediante superposición,recortado y añadido, descomposición en partes elementales, mediante el uso de mallas, etc.

� En la fase de medida con unidades del SI es conveniente contemplar los siguientes aspectos: elcarácter convencional del sistema, la necesidad del mismo, para lo que se pueden preparar acti-vidades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Es necesario presentar dife-rentes sistemas de medida y unidades y prever la realización de prácticas de medida en una granvariedad de situaciones y con distintos instrumentos.

� En la fase de aritmetización hay que establecer una secuenciación de las actividades hasta llegara los problemas de enunciado verbal.

� En la fase de estimación debemos tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de mediday la realización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos.

El proceso de enseñanza se desarrollará en el tercer ciclo de Educación Primaria, si bien se puedecomenzar con algunos aspectos de la percepción y de comparación en el segundo ciclo.

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En consecuencia, las ideas desarrolladas en las medidas lineales en relación con los cambios de uni-

dades de medida y de estimación pueden ser aplicadas al caso del área y del volumen, con la particulari-

dad de que en este caso la medición directa, aunque es posible, las situaciones reales que podemos utili-

zar son más escasas. Esto lleva consigo tener en cuenta que el procedimiento usual de medida por medio

de la aplicación de fórmulas, debe ser completado con otros procedimientos que utilicen la descomposi-

ción y composición a partir de elementos más simples, es decir, en el caso de la superficie, con la práctica

de medidas directas mediante el recubrimiento o indirectas mediante la longitud. No olvidemos que es

frecuente asociar las medidas a meras fórmulas de aplicación, lo que se puede corregir a partir de la medi-

ción directa con materiales que recubren el plano, como por ejemplo las mallas, como señalan Olmo,

Moreno y Gil (1989).

En la resolución de problemas con medidas no lineales caben aquí las mismas recomendaciones y

orientaciones hechas para las medidas lineales, distinguiendo entre los problemas constructivos, mani-

pulativos, etc., y los problemas de enunciado verbal. A su vez, dentro de estos distinguiremos entre pro-

blemas de carácter aritmético (cálculo de áreas y volúmenes) y otros. Los problemas aritméticos, en los

que se han de emplear fórmulas y estrategias de este tipo para su resolución, están estrechamente liga-

dos a los problemas multiplicativos.

La determinación de cantidades a partir del empleo de fórmulas tiene interés si ello implica un aná-

lisis que involucre la percepción y comprensión de las magnitudes y medidas, como, por ejemplo, la deter-

minación del área de un polígono irregular por descomposición en triángulos. También tiene interés la

resolución de problemas de áreas de figuras construidas sobre una malla cuadriculada; en estos casos el

alumno tiene dos opciones: el empleo de una fórmula o la determinación exacta o aproximada del número

de cuadrados por descomposición y recomposición de la superficie.

■ Medidas Canarias

Comenzamos este apartado con una reflexión general sobre los contenidos canarios en el currículo

de Matemáticas. Hemos de señalar que muchos son los enfoques que se pueden dar a estos contenidos

en éste; nosotros optamos por un enfoque que trataría de incorporar a la propuesta curricular diferen-

tes temas transversales que presentasen los aspectos matemáticos insertados en un contexto de la reali-

dad canaria, con características interdisciplinares y metodología de investigación o trabajo de campo, en

ambiente de taller, en el marco de un diseño general común pero que destaque los aspectos diferenciados

y adaptados a cada isla.

La propuesta se concreta de manera general en tres fases:

� La primera consiste en determinar temas generales, motivadores de la experiencia, con aspectos

múltiples que puedan ser seleccionados por el profesor según el lugar donde se encuentre el cen-

tro escolar.


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� La segunda consiste en abordar cada tema con la profundidad adecuada, dependiendo del niveleducativo de los alumnos y utilizando las matemáticas necesarias y el tratamiento didáctico opor-tuno.

� La tercera consiste en la elección del momento del curso en que se realice la experiencia, y éstadependerá, por un lado, de la oportunidad deseada y, por otro, de la idoneidad de las cuestionesa considerar en relación con sus diferentes aspectos.

Estas tres fases se concretan de manera práctica en elaborar y facilitar al profesorado unos instru-mentos curriculares que faciliten la incorporación e implementación de los contenidos canarios en elcurrículo de matemáticas. En primer lugar, se trata de diseñar un conjunto de unidades temáticas aptaspara desarrollar los aspectos de contenidos canarios deseables. En segundo lugar, conviene desarrollaruna metodología en ambiente de taller adecuada al tratamiento de los mismos en relación con el niveleducativo elegido. Y finalmente, en tercer lugar, proporcionar un modelo de programación coherente yuna batería de actividades apropiadas a cada una de las unidades temáticas posibles.

De manera práctica, en la propuesta que hacemos, los Departamentos de Matemáticas deberán rea-lizar en los centros una programación por niveles, de modo que un alumno, a lo largo de su trayectoriaeducativa en el centro, haya tocado al menos un tema por curso o varios aspectos de un mismo tema envarios cursos. En concreto, proponemos, al menos una unidad temática al año, si es de tratamiento largo,o un aspecto de la unidad temática por trimestre, si se trata de un tratamiento puntual. Este plantea-miento sería el mínimo deseable. En el marco de una metodología en ambiente de taller, es decir, prác-tica y en forma de investigación en el aula, se dará el tratamiento matemático a cada aspecto. El alumno,con la guía del profesor, buscará la información en situaciones reales, de forma directa, o bien a travésde la información bibliográfica o audiovisual que pueda conseguir. Los aspectos matemáticos investiga-dos se agruparán por materias y se realizará un trabajo final que será expuesto, especialmente al final decurso, preferentemente durante la semana canaria que gira alrededor del Día de Canarias (30 de mayo).Dicho trabajo se podrá presentar en el formato más adecuado: panel, exposición, memoria, conferencia,etc., o mediante la combinación de varios formatos.

Consideramos, a título de ejemplo, diferentes unidades temáticas generales de la realidad canaria:el mar, el campo, el arte, la ciencia, la historia, la casa, la calle, el banco, el restaurante, el hotel, los trans-portes...

Igualmente, mostramos diferentes aspectos de una unidad temática general: El mar, que podemossubdividir en otras unidades temáticas más específicas relacionadas con éste: los barcos, la pesca, losdeportes marítimos...

1. El mar: el puerto, el tráfico portuario, la carga y descarga, el faro, las señales marítimas, la orga-nización marítima...Currículo de matemáticas implicadas: Estadística, Codificación, Optimización, Medida...

2. Los barcos: la construcción, las velas, las herramientas, la navegación...Currículo de matemáticas implicadas: Geometría, Medida, Trigonometría...

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3. La pesca: los utensilios, las marcas, la venta...

Currículo de matemáticas implicadas: Medida, Localización, Aritmética mercantil...

4. Los deportes marítimos: las regatas, la natación, el submarinismo...

Currículo de matemáticas implicadas: Medida, Geometría, Estadística...

De igual forma, podemos considerar diferentes aspectos de la realidad canaria en los otros temas.

El campoLas faenas agrícolas. Las herramientas. Las medidas tradicionales. Agrimensura.

El arteArquitectura. Decoración. Elementos arquitectónicos o decorativos. Planos y mapas antiguos. Tra-

zado urbanístico. Diseño.

La cienciaMatemáticos. Otros científicos o técnicos. Acontecimientos. Laboratorios o Instituciones científi-

cas. Grandes industrias y su tecnología. Elementos científicos o tecnológicos y su fundamentación.

La historiaPrehistoria: monumentos. Calendario. Astronomía. Utensilios. Aspectos históricos de la ciudad o

pueblo.

La casaEl plano. La construcción. El presupuesto. La distribución. Los elementos prácticos. La decoración.

Los objetos. La matemática de la cocina. Las cuentas de la luz y el teléfono.

Vamos a tomar como ejemplo el campo y consideraremos algunos aspectos relativos a las medidas

tradicionales canarias, que es el bloque de contenidos que tratamos en este libro.

Comenzaremos por presentar un breve inventario de estas medidas tradicionales.

Vamos a detallar algunos sistemas de medidas muy populares en Canarias, característicos de la

medición de longitudes, superficies, y capacidades de líquidos y áridos.

Las pesas y medidas desarrolladas en nuestra cultura nos facilitan también un material valioso para

precisar los conceptos de estimación, error y redondeo.

Por otra parte, el uso y la conversión entre distintos sistemas de medida, en los que se manipulan

patrones de naturaleza diferente a la métrica, se entenderá como un trabajo previo y necesario para la

estructura formal y abstracta de nuestro Sistema Métrico Decimal.


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A continuación presentamos un resumen de las unidades de medida más utilizadas en Canarias;algunas eran comunes en todas las islas y otras eran específicas de cada una de ellas o de comarcas con-cretas en cada isla.

En relación con las medidas de longitud que eran comunes en todas las islas, tenemos:

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LONGITUD

LÍNEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.0019 mPULGADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.0232 mPIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2786 m = 12 pulgadasVARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.8359 m = 3 pies = 36 pulgadasBRAZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6718 m = 2 varasCABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.6160 m

RAPOSA........................................................................25 kg de papasBOLSO DE PAPAS...................................50 kg de papasSACO DE PAPAS........................................100 kg de papas

MASA

ADARME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.700 gONZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.200 g = 16 adarmesLIBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460.093 gARROBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.500 kg = 25 librasQUINTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.000 kg = 100 libras = 4 arrobas

En relación con las medidas de masa, también comunes en todas las islas, tenemos las siguientes:

Sin embargo, en el municipio de Vilaflor, en Tenerife, se utilizan otras referencias para las papas:

En la isla de La Gomera el quintal de papas es 50 kg.

Las medidas de superficie presentan también diferencias entre las distintas islas y municipios.

En Gran Canaria:


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SUPERFICIE

MUNICIPIO FANEGADA CELEMÍN CUARTILLO BRAZA

GÁLDAR 5553.00 m2 464.00 m2 116.00 m2 3.515 m2

MOGÁN 5555.00 m2 463.00 m2 115.75 m2 3.508 m2

STA BRÍGIDA 5550.00 m2 460.00 m2 115.00 m2 3.485 m2

SARDINA SUR 5555.00 m2 462.91 m2 115.73 m2 3.507 m2

STA LUCÍA 5503.66 m2 458.64 m2 114.66 m2 3.475 m2

TELDE 5503.55 m2 458.64 m2 114.66 m2 3.475 m2

TEROR 5248.00 m2 437.33 m2 109.33 m2 3.313 m2

En Lanzarote y Fuerteventura se utilizan otras medidas para las fanegadas, celemines y cuartillos.

LANZAROTE

FANEGADA......................................................................13692.00 m2

CELEMÍN...................................................................................1141.00 m2

CUARTILLO..............................................................................285.25 m2

FUERTEVENTURA

FANEGADA......................................................................13695.24 m2

ALMUD...........................................................................................1141.27 m2

CUARTILLO..............................................................................285.31 m2

En estas dos islas se mantienen las siguientes equivalencias:1 fanegada = 12 celemines; 1 celemín = 4 cuartillos y 1 cuartillo = 33 brazas.

En la isla de Tenerife tenemos las siguientes medidas de superficie:

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243MUNICIPIO HORA AZADA CUARTA

NORTE 28.8 m3 345.6 m3 —

CENTRO 36.0 m3 432.0 m3 108.0 m3

SUR 36.0 m3 432.0 m3 216. m3

ARGUINEGUÍN 43.2 m3 518.4 m3 —

SUPERFICIE

MUNICIPIO FANEGADA CELEMÍN o ALMUD CUARTILLO BRAZA

GUÍA DE ISORA 5248.00 m2 437.33 m2 109.33 m2 3.288 m2

ADEJE 5555.00 m2 463.00 m2 115.75 m2 3.481 m2

GÜIMAR 5248.00 m2 430.00 m2 107.50 m2 3.233 m2

ICOD 5248.00 m2 436.60 m2 109.15 m2 3.283 m2

LA LAGUNA 5248.00 m2 438.00 m2 109.50 m2 3.293 m2

LA OROTAVA 5400.00 m2 455.00 m2 113.75 m2 3.421 m2

BUENAVISTA 5250.00 m2 438.00 m2 109.50 m2 3.293 m2

Las medidas de capacidad para el agua y en algunos momentos para el vino u otros líquidos tam-bién varían dependiendo de las islas y los municipios.

En Gran canaria:

En Lanzarote, la pipa es de 500 litros, mientras que en Fuerteventura es de 450 litros.

En la isla de Tenerife se utilizan las siguientes medidas:

MUNICIPIO PIPA HORA AZADA CUARTA

BUENAVISTA DEL NORTE 482 l — — —

ADEJE 480 l 40 m3 480 m3 —

RESTO DE LA ISLA 480 l — — —

GÜÍMAR 480 l — — 35 l

ICOD 480 l — — 40 l

LA LAGUNA 480 l — — 25-30 l

VILAFLOR 480 l — — 30 l

Los áridos tenían medidas diferenciadas en las distintas islas.


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En Gran canaria:

FANEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.365 1 = 12 almudes

ALMUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.697 1 = 4 cuarticas

MEDIO ALMUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.750 1

CUARTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.375 1

En Lanzarote:

FANEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69.852 1

ALMUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.821 1

En Fuerteventura:

FANEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.888 1

ALMUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.324 1

En Tenerife:

FANEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.660 1 = 4 cuartillas = 12 almudes

En La Gomera:

FANEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.764 1 = 12 almudes

Enseñanza y aprendizaje de la Medida

Se organizará la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos, a partir de la experiencia cotidianade los alumnos y de la manipulación de aquellos recursos, que permita, a su vez, motivar la introducciónde nuevos conceptos. Todo ello se debe desarrollar en un ambiente de Taller de Matemáticas en el que elalumno además de construir conocimiento matemático recupera conocimiento de su propio entornosociocultural. Debemos recordar que estas aplicaciones de la medida han sido atesoradas por siglos decultura oral y escrita que, en cada comunidad, comprende todo un cuerpo de conocimientos tácitos pro-pios del saber popular y se encuentra íntimamente imbricado en la idiosincrasia particular y propia delos pueblos isleños. Es posible desarrollar, como señala González (1999), un diálogo dialéctico entre laciencia reglada escolar y la ciencia del pueblo, lo que permitirá al alumno apreciar en su justa medidatanto la validez de los contenidos que estudia en el aula, como la aplicabilidad de dicha teoría abstractaen su vida cotidiana y en la de sus progenitores.

El tratamiento didáctico debe orientarse a proporcionar situaciones de enseñanza y aprendizaje quefaciliten el recorrido desde su concepción concreta, expresada en patrones antropométricos, hasta su for-malización abstracta y formal expresada en el Sistema Métrico Decimal. Se propone desarrollar expe-

riencias con ayuda de patrones lineales de longitud, masa o capacidad, siempre que se disponga en la

localidad de unidades y subunidades del modelo usado en la comarca canaria en la que está ubicado el

centro.

Parece razonable proponer que el trabajo se realice de manera completa en el tercer ciclo de Edu-

cación Primaria y que sirva de consolidación de los contenidos teóricos del bloque de Medida y Estima-

ción. Su tratamiento contará con las mismas pautas de organización que las tareas que ya fueran asu-

midas en la programación de la enseñanza del SMD y que se recogen en las directrices generales

propuestas por la programación global del ciclo.

Se seguirán algunas de las propuestas teóricas ya comentadas con anterioridad (Inskeep, 1976; Cha-

morro y Belmonte, 1988; y del Olmo, Moreno y Gil, 1989) que pretenden facilitar en el ámbito escolar

el desarrollo del proceso de abstracción progresiva que ha seguido la humanidad en la formalización de

un Sistema Único y Universal de Medidas, el SMD. En este sentido, se tendrán en cuenta las siguientes

etapas que se ilustrarán para el caso de una magnitud lineal (González, 1999):

� Motivación inicial: se desea construir un mueble aparador que quepa en un espacio concreto del

aula.

� Estimación sensorial: valoración de las dimensiones de dicho mueble.

� Se propone el uso de las distintas partes del cuerpo: palmo, pie, mano, etc.

� Se realiza la comparación directa: elegir uno de estos patrones antropométricos (por ejemplo el

palmo) y materializar su dimensión en plantillas de cartulina. Práctica de estimación personal.

� Se analiza el problema de la elección de la unidad: arbitrariedad. Selección de un único patrón de

acuerdo con la dimensión media, computada entre los alumnos.

� Se introduce el sistema de múltiplos y divisores: bondad de ajuste en la medida, necesidad de uni-

dades de menor dimensión que abarquen el espacio elegido en la clase.

� Se establece la conversión entre divisores y el patrón: sistema irregular.

� Se trabaja con el sistema regular: números con coma.

� Se introduce la vara y sus divisores.

� Se compara con el metro y sus divisores.

� Discriminación entre la elección de ambos sistemas regulares y complejos:

� Uso de los divisores: construir tres "gavetas" o cajones en el mueble.

� Discriminar si la división en tres partes alícuotas se ejecuta con mejor precisión en un sistema o

en otro.

� Ídem, dividiendo cada gaveta en cuatro partes.

� Se analizan errores en el redondeo: uso de decimales o de divisores de la vara: pie, pulgada, etc.

Proponemos en los cuadros siguientes, adaptados de González (1999), sugerencias de usos y situa-

ciones, contenidos y actividades para trabajar en la medida en relación con contenidos canarios.

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Medidas lineales


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Descripción Usos y Situaciones Contenidos Actividades

Braza = 2 varas

� Medidas en textiles: endesuso.

� Para medir las liñas lospescadores: en uso.

� Diferente a la castellanapero común en toda Ca-narias.

� Sistema Métrico Deci-mal y unidades de usoen Canarias.

� Expresión compleja ydecimal.

� Adoptar un sistema demedidas antropométri-co, de acuerdo con lasdimensiones corporalesde cada alumno.

Vara =3 pies =

4 palmos

� En telares y textiles: endesuso.

� Dimensión distinta a lacastellana.

� Instrumentos de medi-da.

� Margen de error en laestimación.

� Comparar con unidadesforáneas: yarda y otras.

Pie o tercia =12 pulgadas

� En albañilería, cantone-ría e hidromensura: endesuso.

� Divisor de la vara exclu-sivo de las Islas.

� Aproximación de medi-das.

� Rescatar su uso en do-cumentos históricos.

� Utilizar como modelo decómputo en base duode-cimal.

Palmo o cuarta= 9 pulgadas

� En el peso de animalesde tiro.

� En estanques y atarjeas.� En cestería.� Uso común y frecuente.

� Aproximación por re-dondeo.

� Establecer equivalen-cias entre distintas di-mensiones.

� Comparar la divisibili-dad en base 12 con laconocida decimal.

Pulgada =12 líneas

� Uso común en ferrete-ría.

� No coincide con su equi-valente anglosajón.

� Discriminar en el uso demedidas de pequeña di-mensión y el uso de cen-tímetros y milímetros.

Línea � En desuso.

Comentarios:

Se puede proceder también al rescate de otras unidades de uso local: el jeme, de uso en cestería; lalegua y la milla marina, con sus equivalencias con el grado terrestre; el dedo, en cantoneras y arquillasde riego; el cable; el cordel; o la jornada de camino, que valora la distancia por la duración del recorrido.

Es conveniente resaltar que al convertir en unidades métricas y proceder a su valoración, puedenaparecer contradicciones y dificultades. Es procedente en algunos casos el análisis de las variantes loca-les y el rescate de su uso en la actualidad.

Sería aconsejable trabajar, en lo posible, con las unidades inicialmente introducidas por los con-quistadores y no con sus equivalencias métricas, ya que estas han variado considerablemente.

Medidas agrarias y áreas

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Medidasagrarias

Fanegada =12 almudes o

celemines

� En todo tipo de terre-nos.

� De dimensiones distin-tas en cada isla y en dife-rentes comarcas.

� La medida como infor-mación cuanti-tativa detamaños.

� Sistema Métrico Deci-mal y unidades de usoen Canarias.

� Identificar superficies derecintos conocidos (ejem-plo: fanegada = mediocampo de fútbol).

Almud ocelemín =2 mediosalmudes

� En terrenos plantadosde viña.

� Se denomina indistin-tamente almud o cele-mín.

� Instrumentos de medi-da.

� Margen de error en laestimación.

� Acotación de los erro-res.

� Encontrar equiva-len-cias métricas de la uni-dad.

Medio almud = 2 cuartillosCuartillo

� En desuso. � Aproximación de medi-das por redondeo.

Patrones desuperficie

Braza cuadrada = 4 varascuadradas

� De uso histórico en al-bañilería.

� Desaparecida.

� Medidas indirectas: re-lación entre las medidaslineales y las de área.

� Concepto de área.

� Operar con las poten-cias de las unidades line-ales.

� Discriminar entre uni-dades lineales y de área.

Vara cuadrada = 9 Pies

cuadrados

� Observaciones iguales alpatrón anterior.

Comentarios:

Se puede proceder a rescatar algunos patrones en desuso.

Hay que tener cuidado al estudiar las equivalencias métricas de cada fanegada, por la disparidadde dimensiones. Sería interesante averiguar la conversión de éstas en múltiplos y divisores, en busca defactores duodecimales que simplifiquen los cálculos.

Medidas de capacidad (líquidos)


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Casco o tonel

� De capacidades varia-bles.

� Uso en el arqueo de na-ves, infrecuente.

� En el comercio del vino.� Existen denominaciones

diferentes en las distin-tas Islas.

� Estimación de medidas.� Conceptos de volumen

y capacidad.

� Establecer relacionesentre la tonelada depeso y las capacidadesde los barriles, como sehacía en el arqueo debuques.

� Precisar si las capacida-des de los barriles estánen orden decimal.

Pipa = 12barriles

� Su capacidad más fre-cuente es de 480 litros,pero las variaciones sonmuy abundantes.

� Uso frecuente en el co-mercio del vino.

� Medida usual de los cau-dales de riego.

� Sistema Métrico Deci-mal.

� Unidades canarias.

� Identificar su origen enel mercado de caldos deJerez y en las unidadesanglosajonas.

� Estudiar posibles equi-valencias.

Comentarios:

Se puede proceder también al rescate de otras unidades de uso local: barril de cuentas; arrobas; cuar-

tillos.

De igual forma, sería conveniente recopilar, por ejemplo, las diferentes denominaciones utilizadas

para identificar recipientes: barril, barrica, fole, barrilete, etc. Analizar las variantes por islas.

Estas medidas han sido y, en muchos casos, siguen siendo utilizadas y manipuladas por nuestros

hombres del campo y del mar. Hemos de señalar que dependiendo de la isla o comarca encontraremos

variantes de las técnicas y de los conocimientos usados, lo que en lugar de considerase como una difi-

cultad servirá para enriquecer la experiencia del alumno en el conocimiento de su entorno.

La Metrología tradicional nos facilita situaciones problemáticas que permiten materializar las apli-

caciones prácticas de los contenidos teóricos en Matemática que atañen a la medida y al cálculo aritmé-

tico. Su operatividad se fundamenta en la sucesión de múltiplos y divisores, casi siempre distribuidos en

progresión duodecimal contando con los divisores de la docena o dicotómica, en factores crecientes de

dos. Esta regularidad aritmética facilita los cálculos y recuentos por cuanto no exige en ningún caso el

uso de decimales ni fracciones.

Estos tipos de actividades que proponemos, a título de ejemplo, no agotan, por supuesto, otras apli-caciones propias del entorno donde esté ubicado el centro escolar o extraídas de los diferentes docu-mentos que se relacionan en este mismo apartado.

Conviene recordar que el nivel de desarrollo de estas actividades deberá estar en sintonía con elgrado de formalización que se haya alcanzado en los contenidos teóricos, y, sin duda, acorde con el gradode maduración formal alcanzado por cada uno de los alumnos.

Estos recursos se pueden ampliar utilizando algunas referencias que comentamos a continuación:

� González, J. M. (1991). Medidas y Contabilidades populares: Las Cuentas de las pescadoras yventeras del Valle de la Orotava, Premio de Investigación José Álvarez Rixo, 1990. Centro de laCultura Popular Canaria y Ayuntamiento del Puerto de la Cruz.

Primer estudio detallado y completo de nuestras medidas tradicionales y de los cálculos sin núme-ros.

� González, J. M. (1993). La sabiduría Popular: Técnicas y Conocimientos científicos tradiciona-les en Canarias, Centro de la Cultura Popular Canaria, La Laguna.

Recopilación de varios tópicos sobre la Física y la Matemática de nuestros mayores.

� Estévez, J. (1959). Problemas de Matemáticas, edición propia, Santa Cruz de Tenerife.

Espléndido libro que debe entenderse como el primer texto que aplica los contenidos canarios enla enseñanza de la Matemática.

� González, J. M. (1999). Los contenidos canarios en el área de matemáticas.

http://educa.rcanaria.es/culturacanaria/asmat/asmat.htm

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Recursos didácticos

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� Material didáctico

La percepción, la atención o la memoria están determinadas en su actividad y resultados por laestructura lógica que posee el niño.

El conocimiento lógico-matemático es producto de una actividad interna, de una abstracción refle-xiva realizada a partir de las relaciones entre los objetos.

Esto no se puede obtener por transmisión verbal; las explicaciones del profesor a toda la clase sobreconocimientos matemáticos no sirven; el niño no tiene la capacidad abstracta suficiente para compren-der los conceptos matemáticos a partir sólo de las palabras.

La libre manipulación de los objetos tampoco es el medio para llegar al conocimiento matemático,ya que a través de ella sólo puede obtenerse un conocimiento físico.

Cuando hablamos de manipulación en matemáticas, se está haciendo referencia a una serie de acti-vidades específicas con materiales concretos que faciliten la adquisición de determinados conceptos mate-máticos. La manipulación no es un fin en sí mismo, ni tampoco provoca un paso automático al conceptomatemático. Es preciso la propuesta de actividades dirigidas al fin que queramos conseguir. Estas activi-dades tienen que estar auxiliadas de un material concreto, ya que los niños no tienen capacidad suficientepara hacerlas sobre un material abstracto como es el discurso verbal.

Las ideas abstractas llegan a través de operaciones que se realizan con los objetos y que se interio-rizan, para más adelante llegar a la operación mental sin soporte concreto.

El material auxiliar posibilita el aprendizaje real de los conceptos sin esperar a que surjan espontá-neamente, y ejerce una función motivadora para el aprendizaje.

Entre los recursos didácticos utilizados para facilitar la enseñanza de las matemáticas figura de formadestacada el material didáctico.

Bajo las palabras recurso didáctico se agrupan todos aquellos objetos, aparatos o medios de comu-nicación que puedan ayudar a descubrir, entender o consolidar conceptos fundamentales en las diversas

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fases del aprendizaje escolar. Cuando éstos están orientados al aprendizaje concreto de conceptos, pro-

piedades o relaciones de una materia, los consideramos un material didáctico.

La manipulación es la transformación de la realidad mediante acciones y operaciones para llegar a

captar las cualidades de los objetos y las relaciones entre ellos, lo cual hace posible el desarrollo del pen-

samiento lógico-matemático.

Sin un material sobre el que actuar es muy difícil para el niño llegar a la comprensión y aplicación

de las nociones matemáticas.

El material didáctico posibilita el aprendizaje, motiva al alumno y favorece la experimentación y la

creatividad.

Un material didáctico eficaz es aquel que es símbolo o modelo de una estructura matemática valiosa;

el material no es simplemente un ejemplo o intuición divulgadora, sino que, cuando está fuertemente

estructurado, refleja ideas matemáticas y, por ello, es capaz de crear, de facilitar situaciones activas de

aprendizaje. Hay que disminuir la importancia de los materiales verbales del profesor, materiales intui-

tivos pobres o erróneos y los materiales exclusivamente operativos, para imponer decididamente mate-

riales y modelos dinámicos, multivalentes, reversibles, que al ser manejados por los niños de acuerdo con

un guión o esquema de investigación, derraman y dejan entre sus manos y en su mente las ideas mate-

máticas de la situación o las estructuras que hay que considerar.

Hay un material no ideado ni organizado con una finalidad determinada, sino que se puede encon-

trar en el entorno del niño.

Se trata de objetos de la vida diaria, de uso habitual (botones, cubiertos, ropa, pinzas, lápices, pali-

llos, frutas...), juguetes (balones, cochecitos, muñecos...), juegos de mesa (la oca, barajas, dominó...), con

los que se pueden efectuar numerosas actividades con un objetivo matemático, aprovechando el interés

de los niños, del que el profesor puede sacar partido si cuenta con imaginación y creatividad para impro-

visar, instrumentalizando de acuerdo con sus fines los objetos que tiene a su alrededor.

Los materiales didácticos están concebidos y elaborados con la finalidad expresa de proporcionar

modelos que motiven una actividad matemática concreta y que posibiliten la elaboración de conceptos

y el establecimiento de relaciones matemáticas.

Aunque cada tipo de material didáctico ha sido diseñado para favorecer la adquisición de determi-

nados conceptos, la mayor parte de ellos podríamos decir que son multiuso o multivalentes, en la medida

en que pueden utilizarse para varios conceptos y objetivos. Un material determinado no es tampoco pri-

vativo de una edad muy específica. El mismo material puede utilizarse de forma más o menos compleja

en diferentes edades.


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Un material didáctico es un modelo sacado de la realidad a la que se le han eliminado las caracte-rísticas que pueden estorbar a la observación del concepto matemático, y se han dejado solo aquéllas queinteresan. Esto es prácticamente imposible en la realidad, de manera que los modelos resaltan el con-cepto o la parte de él que más nos interesa, pero eliminan algunos aspectos que conforman o contribu-yen a ese concepto y dejan otros que confunden la observación del alumno o la enmascaran.

Por esa razón es conveniente analizar detalladamente esos materiales didácticos antes de utilizar-los, para conocer sus virtudes y sus defectos y tratar de minimizar estos últimos.

El material didáctico no se utiliza para explicaciones, ilustraciones o ejemplos intuitivos del maes-tro en su clase, sino para facilitar al niño la investigación personal, dirigida, y de acuerdo con un guión,una situación matemática. El material didáctico es para el niño y no para el maestro.

Es muy fácil caer en la tentación de utilizar cuanto material didáctico caiga en nuestras manos. Seríaun grave error.

Es necesario conocer a la perfección las características de cada material, su adecuación al conceptoque queremos enseñar y su técnica de trabajo. Eso supone bastante trabajo inicialmente. Pretender hacerlocon muchos materiales a la vez es arriesgado.

Hay un número mínimo de materiales didácticos adecuados para trabajar en la escuela primaria,pero al ser éste un libro dedicado al bloque de La Medida trataremos sólo aquéllos que se refieren almismo:

LA CAJA DE METROLOGÍA

Contiene instrumentos de medida, como las reglas, cintas métricas, escuadra y cartabón, portaán-gulos, compás, etc. El CALENDARIO METEOROLÓGICO, las medidas del cuerpo humano, reloj dearena, etc.

También incluirá, para los niños más pequeños, numerosos objetos que puedan utilizarse para cla-sificar y contar, así como materiales que sirvan para medir: arena, una pila con diversas medidas de capa-cidad, balanzas sencillas con pesas apropiadas, etc. Los niños mayores necesitan otros instrumentos demedida tales como reglas y cintas de medir, balanzas y escalas de varios tipos, y asimismo dispositivospara medir el tiempo.

Hay que proporcionarles, de igual modo, monedas reales o de plástico, con las que se acostumbrena manejar el dinero y que puedan utilizar como una modalidad más de aparato numérico.

Han de disponer de instrumentos de dibujo sencillos como plantillas, reglas, transportadores y com-pases, y han de utilizar, también, hilos de plomada y niveles de burbuja.

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LA COLECCIÓN DE OBJETOS COTIDIANOS Y LAS ETIQUETAS

Las etiquetas son los nombres de las colecciones de objetos.

Pueden ser palabras, símbolos o números. El alumno debe disponer de abundantes etiquetas cuandorealiza las actividades.

Tiene validez una colección de gráficos de distinto tipo que pueda utilizar en todas las actividadespropuestas para ordenar, seriar, clasificar, buscar caminos, etc.

Necesitarán papel impreso con cuadrículas de varias formas y tamaños, tramas de líneas o de pun-tos, para hacer algunos tipos de actividades gráficas y para trabajar con patrones y formas. Su empleolos ayudará a comprender el concepto de área.

Podemos usar dados, cartas y tableros de juegos adaptados al aprendizaje de los conceptos de lamedida.

Debe contarse también con algunas calculadoras electrónicas. Todos estos materiales, junto conotros como tijeras, papel de colores, cinta adhesiva, cartulina, cinta elástica, cordel y cola, han de estarfácilmente disponibles cuando se precisen, y hay que velar por su organización y conservación. Convieneque en cada aula haya un juego de los materiales de uso frecuente.

La mejor manera de entrar en contacto con un determinado material consiste en buscar la infor-mación pertinente, comprar o fabricar el material, experimentar con él.

Si desean tener mayor y más detallada información sobre materiales y recursos para la enseñanzay aprendizaje de la medida en la Educación Primaria, recomendamos la lectura de los siguientes libros:

En el libro de M.ª Teresa Cascallana, Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticosde Editorial Santillana, en los capítulos 14: “El metro”, 15: “La balanza” y 16: “Vasos graduados”, hayuna exhaustiva descripción de estos materiales con una amplia muestra de actividades modelo para suconstrucción y uso.

En el libro de Chamorro y Belmonte, El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes line-ales de Editorial Síntesis, el capítulo 4: “Juegos y actividades para trabajar las magnitudes lineales” con-tiene una buena descripción de abundantes materiales y actividades con los mismos para desarrollar elaprendizaje de las medidas de capacidad, masa, tiempo y longitud.


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� Bibliografía comentada

Presentamos en este último apartado una colección comentada de libros relativos a la Medida quepueden servir de ayuda al profesorado a la hora de organizar las actividades relacionadas con el bloquede la Medida en la Educación Primaria.

� AFONSO, C.; CAMACHO, M.; GARCÍA, M.; PLASENCIA, I.; SOCAS, M. (2000). La Geometría

en la Educación Primaria. Santa Cruz de Tenerife: Consejería de Educación, Cultura y Deporte delGobierno de Canarias. Dirección General de Ordenación e Innovación Educativa.

Aporta una guía práctica para los profesores de Primaria sobre la problemática de la Geometría en laEducación Primaria, con un doble objetivo: ofrecer una reflexión y organización del bloque “Formasgeométricas y situación en el espacio”, y presentar una propuesta de material curricular en Geometríaque facilite la enseñanza y el aprendizaje de la misma. En él se encuentra el complemento geométricoa este libro de la Medida. Muchos de los aspectos teóricos pueden ser utilizados para interpretar algu-nas de las actividades que aparecen en este libro.

� ALSINA CATALÁ, C. (1989). Medidas españolas tradicionales. Madrid: MEC.

Documentos y propuestas de trabajo.

Es un libro donde se trata del estudio de la medida a partir de las medidas tradicionales españolas. Sialgún enseñante desea presentar en su clase las medidas tradicionales utilizadas en Canarias, aquí tieneuna buena ayuda teórica para preparar adecuadamente el camino. Contiene una descripción de dichasmedidas y unas tablas por comunidades. Además, presenta una serie de actividades y talleres de medi-das que son excelentes ideas para diseñar una unidad de aprendizaje.

� ANTÓN, J. L. y otros (1994). Taller de Matemáticas. Colección “Materiales 12-16 para EducaciónSecundaria Madrid: Centro de Publicaciones MEC-NARCEA, S. A. de Ediciones.

Se trata de una carpeta con materiales de apoyo para el profesorado de Matemáticas. Contiene dise-ños de Unidades Didácticas, propuestas de Proyectos Curriculares, orientaciones didácticas para eldesarrollo del currículo, recursos diversos, sugerencias de trabajo, pautas de evaluación, etc.

Aunque está diseñado para Educación Secundaria, algunos de los materiales propuestos pueden serutilizados en la Educación Primaria, previa adaptación de los objetivos y actividades a las edades delos alumnos de esta etapa educativa.

� AA. VV. School Mathematical Project 7-13. Cambridge: Cambridge University Press.

Colección de fichas de trabajo muy interesantes en la que el bloque dedicado a la medida presenta unconjunto de actividades trasladables a nuestras aulas. Perfectamente secuenciadas, constituye un mate-rial curricular básico para los profesores.

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� BOLT, B. (1987; 1988; 1988) Divertimentos matemáticos; Actividades matemáticas; Más actividadesmatemáticas. Barcelona: Editorial Labor, S. A.

Constituyen los tres libros una colección amplia y variada de propuestas de actividades matemáticasde todo tipo. Problemas y juegos sobre todo, donde abundan los de contenido geométrico. Necesitanelaborarse un poco para proponerlos a los alumnos de una manera adecuada, pero son muy estimu-lantes. Están ilustrados y al final de cada libro aparecen incluso las soluciones de la mayoría de las pro-puestas.

� CALVO, C.; CALLEJO, I.; AGUILERA, M.; MARTÍNEZ, L. (1989) Matemáticas: Proporcionalidad.Madrid: MEC.

Contiene documentos y propuestas de trabajo.

Se trata de dos Unidades Didácticas realizadas por el Gabinete de la Reforma del MEC a partir de docu-mentos elaborados por los profesores experimentadores. Hechas, en principio, para los alumnos de6.º, 7.º y 8.º de EGB hoy pueden ser un referente para los alumnos del tercer ciclo de Educación Pri-maria, si bien necesitan adecuación y, sobre todo, disminuir el elevado nivel conceptual que contienen.Son unas ideas excelentes para elaborar a partir de ellas nuestras propias fichas de trabajo.

� CASCALLANA, M. T. (1988). Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Madrid:Aula XXI-Santillana.

Es un libro importante. Presenta una completa selección de materiales didácticos. Primero hace unaintroducción sobre el funcionamiento cognitivo del niño y la evolución de su conocimiento lógico-matemático. Después hace una propuesta metodológica a partir del uso de material didáctico. Y final-mente dedica un capítulo a cada uno de los materiales seleccionados: bloques lógicos, ábaco, bloquesmultibásicos, regletas Cuisenaire, juegos de números, juegos de cálculo, formas geométricas, geoplano,tangram, mecanos, simetrías, el metro, la balanza, vasos graduados y juegos de probabilidad. En cadacapítulo hace una descripción del material, propone unas actividades de construcción y una batería deactividades de aplicación y termina con unas orientaciones prácticas para el empleo de dicho material.

� CASTELNUOVO, E. (1970). Didáctica de la matemática moderna. México: Editorial Trillas S. A.

El libro está dirigido tanto a la enseñanza Primaria como a la Secundaria; las ideas que contiene sobrela enseñanza de la geometría han contribuido de manera especial a renovar el trabajo en las escuelasde todo el mundo. En Canarias hemos tenido la oportunidad de tener en persona a la profesora Cas-telnuovo en tres ocasiones, por lo cual sus ideas están muy extendidas entre el profesorado de las islas.

� CASTELNUOVO, E. (1981). La Geometría. Barcelona: Ketres.

Es uno de los libros básicos, aunque escrito en catalán, que dieron un fuerte impulso a la enseñanza dela Geometría al ser utilizado por todos los grupos de innovación en Matemáticas surgidos durante ladécada de los ochenta.


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� CASTRO, E. (Editor). (2001) Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid: Edito-rial Síntesis S. A.

El objetivo de este manual es proporcionar una marco conceptual sólido y unas herramientas útilestanto para la formación del profesorado de Matemáticas de Educación Primaria como para su trabajoen el aula.

Los capítulos relacionados con la medida son los siguientes:

20. “Introducción a las magnitudes y la medida. Longitud, masa, amplitud, tiempo.” Antonio Frías,Francisco Gil y M.ª Francisca Moreno.21. “Área y volumen.” M.ª Francisca Moreno, Francisco Gil y Antonio Frías.22. “Proporcionalidad entre magnitudes.” Francisco Fernández García.

� COCKROFT, W. H. (1985). Las Matemáticas sí cuentan. Informe Cockroft. Madrid: MEC.

Es el estudio más completo publicado sobre la enseñanza de las matemáticas que se haya publicado encualquier país. Ha sido fruto del trabajo de tres años de una amplia comisión investigadora y en él setrata exhaustivamente la situación de esta enseñanza en Inglaterra y Gales. La principal cuestión quese plantea es ¿qué matemáticas han de aprender los alumnos y cómo han de enseñarse? Analiza conclaridad los aspectos sociales, didácticos y organizativos, y realiza recomendaciones certeras y pro-puestas coherentes que se refieren a programas, a métodos, a exámenes y a personal docente, entreotros asuntos.

� COLERUS, E. (1972). Breve historia de las matemáticas (2 tomos). Madrid: Doncel.

Se presenta aquí una visión general de cómo se han ido forjando las matemáticas a lo largo de la his-toria. Aunque es una edición expresamente preparada para niños, con un lenguaje adecuado y una pre-sentación muy simple, en Primaria debe ser un libro de consulta del maestro que le permite prepararalgunas charlas sobre la historia de las matemáticas y, en algún caso, ha de dejar leer algún capítulo ofragmento a algunos de los niños mayores.

� CHAMORRO, C.; BELMONTE, J. M. (1988). El problema de la medida. Didáctica de las magnitu-des lineales (n.º 17). Madrid: Editorial Síntesis S. A.

El libro pretende ayudar a reflexionar al maestro en ejercicio sobre uno de los problemas capitales quese plantean en la enseñanza elemental: la medida. Trata de responder en concreto a preguntas como:¿qué se puede medir? ¿Cómo y cuándo enseñar a medir? Se proporcionan las bases psicológicas míni-mas para abordar una progresión didáctica que incluye numerosos juegos y actividades, fundamenta-dos desde un punto de vista estrictamente matemático, atendiendo, además, a su viabilidad en el aulaen los distintos niveles. Se ofrece una didáctica dirigida al concepto de magnitud.

� DEL OLMO, M. A.; MORENO, M. F.; GIL, F. (1989). Superficie y volumen, ¿algo más que el trabajocon fórmulas? (n.º 19). Madrid: Editorial Síntesis S. A.

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Es una aportación desde la reflexión didáctica a unos tópicos cuya enseñanza aún no se ha actualizadosuficientemente. En él se sugieren ideas y actividades para un trabajo más creativo que permita ponerde relieve los variados y ricos matices de estos conceptos.

� DICKSON, L. y otros (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: MEC y Editorial LaborS. A.

Es un libro de consulta permanente. Contiene una reflexión sobre cada uno de los aspectos: pensa-miento espacial, medida, número y lenguaje (palabras y símbolos), pero tratado con tal exhaustividadque difícilmente se puede leer en su totalidad. En realidad es un compendio de todas las investigacio-nes que se han hecho en el mundo acerca de los anteriores aspectos. Está tratado con sencillez, sin tér-minos complejos y trae ilustraciones y ejemplos que aclaran aún más el contenido.

� FERNÁNDEZ BAROJA, F. y otros (1991). Matemáticas Básicas: Dificultades de aprendizaje; recu-peración. Madrid: Aula XXI-Santillana.

Se trata de un libro dedicado al tratamiento de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.Pero, aparte de su valor como tal, muy necesario en nuestras escuelas, tiene un interés muy especial.Presenta una primera parte de fundamentos psicopedagógicos sobre el aprendizaje de las matemáticasy una segunda de análisis sobre las dificultades específicas. En esta segunda se ofrece una serie de mate-riales apropiados y, sobre todo, una metodología basada en la construcción activa del conocimiento.

� FIOL, M. L.; FORTUNY, J. M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número (n.º 20).Madrid: Editorial Síntesis S. A.

La proporcionalidad es un concepto fundamental tanto en las Matemáticas como en las Ciencias Expe-rimentales y Sociales. Precisamente, el espíritu interdisciplinar y didáctico es el que ha inspirado la pre-paración de esta obra. Por ello, los educadores pueden encontrar en este libro una serie de ideas estruc-turadas y ordenadas para plantear una didáctica eficaz de la proporcionalidad.

� FISHER, R.; VINCE, A. (1990). Investigando las Matemáticas (1, 2, 3 y 4). Madrid: Ediciones AkalS. A.

Es una serie de cuatro libros de actividades, con permiso expreso para ser fotocopiados, donde se pre-sentan diversas actividades enormemente creativas planteadas casi siempre como investigaciones parael alumno. Cada hoja es una actividad para presentar a los alumnos tal y como aparece en el texto, conunas notas para el profesor acerca del desarrollo de la misma que se presentan al lado, y unos mate-riales complementarios que figuran al final de cada libro. Todos ellos presentan la misma introducciónen la que se explica la intención de los materiales, el uso del libro y la metodología a aplicar, así comouna tabla resumen de los contenidos matemáticos que se corresponden con cada actividad.

� GARCÍA DÉNIZ, M. (1996). Guía de Recursos. Educación Primaria. Matemáticas. Canarias: Con-sejería de Educación, Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias. Dirección General de Ordenacióne Innovación Educativa.


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Es una publicación en la que se pretende dar una fundamentación del uso de los recursos para la ense-ñanza de las matemáticas en el aula y un listado descriptivo de los principales recursos disponibles porel profesorado.

� GARDNER, M. Todos los títulos disponibles en castellano (Son numerosos). Alianza, Labor, Granica,Zugarto.

Casi todos sus trabajos son colecciones de artículos publicados anteriormente en Investigación y Cien-

cia, revisados y ampliados. Suponen una riquísima colección de ideas y recursos para hacer una mate-mática diferente en el aula. Significan un esfuerzo de lectura y recreación por parte del profesor, paraseleccionar primero y dar forma más tarde a las actividades adecuadas al nivel y edad de sus alumnos.

� GIMENEZ, J.; GIRONDO L. (1993). Cálculo en la escuela. Reflexiones y propuestas. Barcelona: Ed.Graó.

Es un libro muy interesante. A partir de la pregunta ¿qué es el cálculo?, se inicia un estudio del trata-miento del cálculo en la escuela; sigue con el análisis de dónde viene y a dónde va, los elementos querodean el aprendizaje del cálculo y el marco general en que se desarrolla; pasa al estudio de las técni-cas de aprendizaje, al cálculo mental, la estimación y cálculo aproximado, las técnicas algorítmicas ycálculo con medidas; y finalmente, termina con la evaluación del aprendizaje del cálculo. Aunque requie-ren una lectura muy atenta, constituye un buen libro para leer, comentar y discutir con los compañe-ros, y sacar conclusiones aplicables en el aula.

� GONZÁLEZ, J. M. (1991). Medidas y contabilidades populares. Las cuentas de las pescadoras y ven-

teras del Valle de la Orotava. La Laguna: Centro de la Cultura Popular Canaria.

Constituye un buen ejemplo de etnomatemáticas. Para preparar una unidad sobre las medidas popu-lares en nuestra Comunidad es imprescindible. Contiene una buena introducción sobre la numeracióny la medida y un trabajo de recopilación sobre la forma de echar las cuentas y de medir de nuestrosantepasados más recientes. Se incluyen también tablas de medidas y equivalencias.

� GUIBERT, A.; LEBEAUME, J.; MOUSSET, R. (1993) Actividades para Educación Infantil y Prima-

ria. Madrid: Narcea S. A. de editores.

Utilizando fundamentalmente el dibujo, el plegado y el recortado de papel y algunos puzzles, presentauna colección de actividades geométricas muy interesantes.

A partir de la manipulación, comparación, análisis y descripción de los objetos geométricos que rodeana los niños y niñas, se propone el estudio de los objetos de tres dimensiones (volúmenes), los objetosrepresentados (del volumen al plano, papel plegado), y acciones sobre estos objetos (construcción,medida, simetría...), despertando así la motivación y un acercamiento activo y reflexivo a la Geome-tría desde los primeros momentos de la escolaridad, tal y como sugerían las orientaciones didácticasde la Reforma de los Ciclos en la Educación General Básica.

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Están expuestas con claridad y sencillez, ayudándose mucho de dibujos explicativos. Resultan muyinteresantes.

� GUZMÁN, M. de (1984). Cuentos con cuentas. Barcelona: Editorial Labor S. A.

Es un ejemplo de lo que puede ser la matemática divertida. En forma narrativa se presentan problemasy juegos que constituyen en realidad problemas matemáticos de gran complejidad. El tratamiento queda el autor consigue descargar los problemas de sus aparentes dificultades y presenta formas de reso-lución al alcance de los alumnos, con ayuda de material didáctico apropiado.

� HERNÁN, F.; CARRILLO E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas (n.º 34). Madrid: EditorialSíntesis S. A.

Son ideas y recursos para que la clase resulte agradable y divertida. Los autores proponen situacionesabiertas y materiales para utilizar en el trabajo sobre contenidos geométricos. Se completa el libro conun capítulo dedicado al cálculo mental y al uso de la calculadora en el aula.

� LANGDON, N.; COOK, J. (1987). Introducción a las matemáticas. Madrid: PLESA-S. M.

Se efectúa un recorrido por las matemáticas, muy bien ilustrado, al alcance de los niños. Incluye algunasactividades para el alumno. Es un libro de lectura lenta y trabajada. Despierta fácilmente el deseo de sabermás. El maestro ha de tener cuidado al responder a las preguntas planteadas por los alumnos cuando rea-lizan dichas actividades para mantener la motivación y utilizarla en beneficio del aprendizaje.

� LANGDON, N.; SNAPE, C. (1989). El fascinante mundo de las matemáticas. México: Ed. Limusa S. A.

Es un libro sobre las matemáticas, presentadas a partir de situaciones originales, poco habituales. Estánalternadas con actividades sencillas y muy lúdicas, con ilustraciones a todo color que hacen aun másatractivo el libro. Presentan una matemática intuitiva pero muy amplia; algún aspecto incluso está muylejos del alcance del niño, si bien despierta la curiosidad por saber más y prepara muy bien al alumnopara esa matemática que recibirá más tarde en Secundaria. Recomendado especialmente para los niñosdel tercer ciclo.

� MARTÍN, P. y otros (1991). La medida. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia.

Pertenece a una colección de cuadernos editados por el MEC. Presenta primero una reflexión sobre lamedida en la enseñanza elemental y, posteriormente, los materiales adecuados para su aprendizaje, ter-minando con una colección de actividades sobre las unidades de longitud, de capacidad, de masa, detiempo y actividades recreativas sobre todas ellas.

� MARTÍN SALAZAR, M.ª C.; PEÑA MENDOZA, T. de J.; REAL BUENO, M.ª C.; YONTE COE-LLO, M.ª T. (1997). Iniciación en las medidas de longitud. ¡Vamos a medir! Canarias: Consejería deEducación, Cultura y Deportes. Dirección General de Ordenación e Innovación Educativa.


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Unidad Didáctica para el Primer Ciclo de Educación Primaria.

El libro es un dossier de actividades que comienza con una sencilla introducción en la que se explicanlas intenciones del documento, los objetivos en el currículo de Canarias y unas líneas sobre la progra-mación, evaluación y metodología aplicadas en el desarrollo de la Unidad.

Las actividades, en número de 24, traen las fichas para el alumno elaboradas y acompañadas siemprepor una ficha para el profesor con el planteamiento siguiente: objetivos, instrucciones para los alum-nos, descripción de la actividad, aspectos a tener en cuenta y observaciones.

� MIALARET, G. (1984). Las Matemáticas: cómo se aprenden, cómo se enseñan. Madrid: Visor Libros.

Es otro de esos libros capitales en la renovación de la escuela. Es un tratado pequeño pero de densocontenido. Curiosamente está dirigido a psicólogos, enseñantes y padres por el propio autor. En él seanalizan los problemas generales de la enseñanza del cálculo y la matemática, la resolución de proble-mas en la escuela primaria y el razonamiento matemático a lo largo de la iniciación matemática. Ellibro termina con unas conclusiones generales expuestas en once páginas que han constituido el ger-men de toda la revolución en la enseñanza de las matemáticas que ha venido después.

� NCTM (2000). Principles and Standards for school Mathematics. Reston: NTCM.

Son las recomendaciones curriculares para la década actual que propone la asociación de profesoresde Matemáticas de mayor prestigio internacional. Uno de sus estándares es la Medida y sus indicacio-nes, que aparece para los alumnos de todos los cursos, tanto de Primaria como de Secundaria.

� PEREDA ORTIZ DEL RÍO, L. (1985). Didáctica de las magnitudes y de su medida. Bilbao: Ed. Des-clée de Brouwer S. A.

Constituyen una colección de libros con una estructura basada en presentar una reflexión didáctica yuna propuesta metodológica sobre el tema central del libro, y luego una batería de actividades paraproponer a los alumnos. Suponen una excelente colección de actividades de gran ayuda para el maes-tro que pretende prescindir del libro de texto. Muchas de las actividades presentadas lo están en cali-dad de modelos que el maestro puede adaptar o incluso modificar creativamente.

� PUIG ADAM, P. (1960). La matemática y su enseñanza actual. Madrid: MEC.

Es un libro fundamental, un clásico. Ningún profesor debe dejar de leerlo. Es el primer y mejor libroque se ha escrito en España sobre la didáctica de la matemática. Algunas de las ideas que se predicanhoy sobre el material didáctico y la enseñanza de la matemática ya figuran aquí. El profesor Puig Adammerece el reconocimiento general de todos los que nos dedicamos a esto, y la mejor manera de pagarese tributo consiste en leer este precioso libro, aunque sea a retazos.

� SEGOVIA, I.; CASTRO, E.; CASTRO, E.; RICO, L. (1989). Estimación en cálculo y medida (n.º 9).Madrid: Editorial Síntesis S. A.

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Este libro parte de una exploración exhaustiva de las nociones de estimación y aproximación, dandolugar a una relación detallada de las razones por las que estimar es un procedimiento usual y conve-niente de realizar cálculos y valorar cantidades; de aquí que su inclusión en los programas escolares seaimprescindible. El análisis de los hechos, técnicas y destrezas, estructuras conceptuales y estrategias enestimación, constituye la parte central del libro.

� TAHAN, M. (1988). El hombre que calculaba. Barcelona: Verón editor.

Es una novela en forma de libro de cuentos; cada capítulo tiene la estructura de "Las Mil y Una Noches"y también se desarrolla en el mundo árabe. La originalidad está en que cada cuento plantea un pro-blema matemático que hay que resolver para seguir leyendo. Se incluye al final un glosario de térmi-nos árabes y las soluciones comentadas a los problemas.

� VALLEJO-NÁGERA, A. (1998). ¿Odias las matemáticas? (Ilustraciones de Cristina Belmonte; aseso-ría técnica de Luis Guijarro). Barcelona: Ediciones MARTÍNEZ ROCA.

Un libro de divulgación matemática contado especialmente para niños y jóvenes, ilustrado muy desen-fadadamente. Presenta de una manera amena una colección de juegos, problemas y divertimentos decontenido matemático. Resulta, cuando menos, interesante.


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las magnitudes y su medida en la educación...

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