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Un Modelo de Programación Matemática con RestriccionesDifusas para Transformaciones en Análisis de Regresión

Múltiple

Christian Camilo Rodríguez CárdenasIngeniero Industrial

Código: 80832618

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de EstadísticaBogotá, D.C.Mayo de 2016

Un Modelo de Programación Matemática con RestriccionesDifusas para Transformaciones en Análisis de Regresión

Múltiple

Christian Camilo Rodríguez CárdenasIngeniero Industrial

Código: 80832618

Tesis presentada para optar al título deMagister en Ciencias - Estadística

DirectorRamón Giraldo Henao, Ph.D.

Doctor en Estadística

Línea de investigaciónModelos Lineales

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de EstadísticaBogotá, D.C.Mayo de 2016

Título en EspañolUn Modelo de Programación Matemática con Restricciones Difusas para Transformaciones enAnálisis de Regresión Múltiple

Title in EnglishA Mathematical Programming Model with Fuzzy Restrictions for Transformations in MultipleRegression Analysis

Resumen: En esta tesis de maestría, se propone un modelo de programación matemática ge-neral para una óptima estimación de la potencia de transformación de Box-Cox que aproximenormalidad y varianza constante, evaluando el grado subjetivo de satisfacción global con el usode números difusos.

Abstract: In this master’s thesis, a general mathematical programming model is proposedfor an optimal estimation of the Box-Cox transformation power that approximates normalityand constant variance, evaluating the subjective degree of global satisfaction with the use ofdiffuse numbers.

Palabras clave: Box-Cox, Programación Matemática, Números Difusos, Modelos Lineales,Análisis de Regresión, Transformaciones de Potencia.

Keywords: Box-Cox, Mathematical Programming, Fuzzy Numbers, Linear Models, Regres-sion Analysis, Power Transformations.

Bogotá, D.C., Mayo 26 de 2016 Nota de aceptación

Trabajo de tesis

Jurado

Jurado

DirectorRamón Giraldo Henao, Ph.D.

Dedicatoria

A mis viejos Esperanza Cárdenas y Pedro Rodríguez, mi hermana Liseth Rodríguez, misobrina Lorena Romero y el pequeño mordelón Miausy.

i

Agradecimientos

Nada de esto hubiera sido posible sin el apoyo de mi núcleo familiar, mis viejos EsperanzaCárdenas y Pedro Rodríguez, mi hermana Liseth Rodríguez, mi sobrina Lorena Romero, y elpequeño mordelón Miausy. Asimismo a mis grandes profesores del pregrado en la UniversidadDistrital Francisco José de Caldas, Alfi Jiménez M.Sc., Guillermo Real M.Eng. y Juan CarlosFigueroa Ph.D.; a mis compañeros y amigos del pregrado con quienes resolvíamos modelos deprogramación matemática. Un agradecimiento muy especial a mis profesores de la maestría enla Universidad Nacional Ramón Giraldo Ph.D. y Edilberto Cepeda Ph.D., a mis compañeros yamigos con quienes resolvimos distintos ejercicios de estadística matemática y modelos lineales.En general, quiero agradecer a todas las personas que me han enseñado pequeñas cosas a lolargo de mi vida.

iii

Abreviaturas

Por el uso de las mismas palabras y para evitar discrepancias, se referirá a parámetros, va-riables y restricciones de acuerdo a la teoría en contexto en que sean usadas en este documentoincluyendo una distinción entre paréntesis, por ejemplo: parámetros (ML) cuando se hable de losmismos en modelos lineales y parámetros (PM) cuando se refiera a programación matemática.

MCO: Mínimos Cuadrados Ordinarios.

ML: Modelos Lineales.

MLG: Modelos Lineales Generalizados.

MV: Máxima Verosimilitud.

PL: Programación Lineal.

PM: Programación Matemática.

PMD: Programación Matemática Difusa.

SCE: Suma de Cuadrados del Error.

v

Índice general

Dedicatoria I

Agradecimientos III

Abreviaturas V

I Preliminares 1

1. Introducción y Motivación 3

2. Propuesta Inicial 52.1. Identificación del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. El Modelo Lineal 73.1. Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. El Método de Transformación Box-Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3. Residuales Recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Conceptos Básicos en la Teoría de Conjuntos Difusos 154.1. Imprecisión y Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Conjuntos Precisos y Conjuntos Difusos Tipo-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. El Problema de Programación Matemática 215.1. Métodos y Algoritmos de Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

vii

viii ÍNDICE GENERAL

5.2. Programación Matemática con Restricciones (PM) Difusas y Función ObjetivoPrecisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Propuesta 27

6. Modelos de Programación Matemática Precisa 296.1. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.1. Transformación bajo Normalidad y Homocedasticidad . . . . . . . . . . . 296.1.2. Transformación bajo Errores Normales Heterocedásticos y una Variable

Independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1.3. Transformación bajo Errores no Normales Heterocedásticos y una Variable

Independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1. Transformación de la Variable Dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2.2. Transformación de las Variables Independientes . . . . . . . . . . . . . . . 406.2.3. Transformación de Todas las Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7. Modelos de Programación Matemática con Restricciones (PM) Difusas 497.1. Transformación de la Variable Dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2. Transformación de las Variables Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3. Transformación de Todas las Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8. Conclusiones Finales 59

III Apéndice 61

Apéndice A. Modelos de Programación Matemática Precisa para otras Trans-formaciones 63A.1. Transformación de Manly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.2. Transformación de John & Draper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.3. Transformación de Bickel & Doksum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A.4. Transformación de Yeo & Johnson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Índice de figuras

4.1. Números reales cercanos a 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Un conjunto difuso triangular A = (a, a, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Ejemplo de α-corte de un conjunto difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1. Funciones de pertenencia para los números difusos de las restricciones (PM) enlos modelos PMD-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1. Datos normales homocedásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías para

datos normales homocedásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3. Datos normales heterocedásticos con una variable independiente . . . . . . . . . 346.4. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías para

datos normales heterocedásticos y una variable independiente . . . . . . . . . . . 366.5. Datos no normales heterocedásticos con una variable independiente . . . . . . . . 376.6. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías para

datos no normales heterocedásticos y una variable independiente . . . . . . . . . 376.7. Gráfica de SCE(λ) en función de λ del Ejemplo 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.8. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj de la transformación bajo

ambas metodologías en el Ejemplo 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.9. Gráfica de SCE(λ) en función de λ del Ejemplo 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.10. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj de la transformación bajo

ambas metodologías en el Ejemplo 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.11. Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj de la transformación bajo

ambas metodologías en el Ejemplo 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1. Gráfica del número difuso λ ∈ F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ix

x ÍNDICE DE FIGURAS

Índice de cuadros

6.1. Simulaciones bajo normalidad homocedástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2. Simulaciones bajo errores con normalidad heterocedástica y una variable inde-

pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3. Simulaciones bajo errores no normales heterocedásticos y una variable independiente 386.4. Resultados del Ejemplo 6.1 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5. Resultados del Ejemplo 6.2 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6. Resultados del Ejemplo 6.3 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.1. Resultados del Ejemplo 7.1 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 527.2. Resultados del Ejemplo 7.2 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3. Resultados del Ejemplo 7.3 bajo ambas metodologías . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xi

xii ÍNDICE DE CUADROS

Parte I

Preliminares

1

Capítulo 1

Introducción y Motivación

Una de las metodologías más utilizadas en el ámbito de análisis de datos es la que correspondea los modelos lineales (ML) también conocidos como modelos de regresión. Galton [39] introducela palabra ’regresión’ de su frase ’regresión hacia la media’ también usada como un sinónimopara decir modelos de regresión lineal o modelos de regresión múltiple. Desde hace décadaslos modelos de regresión han sido usados para analizar relaciones lineales entre el valor espe-rado de una variable yj que se presume depende de una o más variables xij con i ∈ Nn y j ∈ Nm.

Diferentes supuestos deben ser probados antes y después del uso de la metodología de ML.Cuando estos supuestos son comprobados satisfactoriamente, toda una teoría de estadística in-ferencial es aplicable para plantear conclusiones válidas. Asimismo, en diversas situaciones dondelos supuestos no son satisfechos, metodologías y teorías han sido desarrolladas a lo largo de lahistoria para sobrellevar este problema. Dos posibles soluciones, sin ser estas las únicas pero síunas de las más usadas son: una transformación de potencias sobre las variables para aproximarnormalidad, estudiada por Bartlett [3] y cuya propuesta más usada ha sido la de Box & Cox[11]; o el uso de modelos lineales generalizados (MLG) propuesto por Nelder y Wedderburn [69].A diferencia de los MLG, con las transformaciones de potencia se puede hacer inferencia bajonormalidad una vez que la escogencia de un λ apropiado se haya hecho. Asimismo, la estimacióndel λ por el clásico método de máxima verosimilitud (MV) no garantiza la mínima suma decuadrados del error (SCE) posible.

En 1949 Dantzig [21] acuña el término programación lineal (PL) para el método de determinarun óptimo máximo o mínimo de la combinación lineal de variables sujeta a ciertas restricciones.La formulación de modelos de PL ha sido extensa no sólo para combinaciones lineales de varia-

3

4

bles sino también para combinaciones no lineales e incluso variables enteras y binarias [38]. A loanterior se le conoce como la teoría de programación matemática (PM).

Cuando se quiere medir de forma numérica la incertidumbre relacionada con una palabra oun concepto, surge la idea de los conjuntos difusos propuesta por Zadeh en 1965 [92]. El análisisde una incertidumbre no probabilística o mejor aún, una incertidumbre difusa ofrece un campode aplicación a situaciones reales donde existe la presencia de subjetividad cuando por ejemplo,no hay datos o información histórica disponible y se depende únicamente de la experiencia oexperticia del decisor. Dicho esto y tomando como base el método de transformación de potenciaen los ML, ¿cómo se podría medir el grado de satisfacción subjetivo del investigador ante un λ?.

Este trabajo muestra una forma de usar la teoría de PM para hacer esimaciones óptimas entransformaciones de potencia de ML apoyado en el uso de conjuntos difusos cuando existe per-cepción subjetiva del decisor. No sobra aclarar que por el uso de las mismas palabras y paraevitar discrepancias, se referirá a parámetros, variables y restricciones de acuerdo a la teoríaen contexto en que sean usadas en este documento incluyendo una distinción entre paréntesis,por ejemplo: parámetros (ML) cuando se hable de los mismos en modelos lineales y parámetros(PM) cuando se refiera a programación matemática.

La presente tesis de maestría se divide en tres partes principales: la primera presenta los as-pectos preliminares y conceptos teóricos que sustentan las propuestas creadas; la segunda partemuestra los resultados del trabajo hecho incluyendo los novedosos modelos de PM propuestosjunto con sus respectivos ejemplos de aplicación y finalmente, se mencionan las conclusionesy posibles nuevas investigaciones; una tercera y última parte extiende el trabajo para futurasinvestigaciones con otras transformaciones de potencia, así como se enlista la bibliografía con-sultada.

Capítulo 2

Propuesta Inicial

2.1. Identificación del Problema

En el análisis de regresión lineal se establece la relación entre un conjunto de variables in-dependientes y una dependiente. Ciertas características de los errores son deseables y asumidascomo lo son: normalidad y varianza constante u homocedasticidad. Sin embargo, existen múlti-ples situaciones en la vida real en las cuales, estos supuestos no pueden ser justificados con baseen la evidencia.

Como previamente sostuvieron Box y Cox en [11], si tales supuestos no son satisfechos en tér-minos de las observaciones originales, una transformación no lineal de las variables dependientey/o independientes puede mejorar el asunto. Se busca entonces estimar un valor de potencia,llámese λ que produzca una distribución ’más normal’ [25] por el método de máxima verosimili-tud (MV). Una vez obtenido el λ, el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) esseguido para encontrar la mínima suma de cuadrados de los errores (SCEλ) posible [64] [20], sinembargo, este valor de λ, no es el que realmente nos brinda la mínima SCEλ posible, es entoncescuando la búsqueda de un λ óptimo por medio de MV se convierte en un constante ensayo yerror. Se complica aún más cuando se busca un vector de potencias Λ para las transformaciones.

Es en este punto donde la PM surge como herramienta de apoyo para encontrar dicho λ óptimoque permita estimar simultáneamente el cálculo de la SCEλ mínima, sujeto a restricciones (PM)no lineales en el modelo. El grado de satisfacción subjetivo de la estimación del λ óptimo, seplantea como un número difuso.

5

6 2.2. OBJETIVOS

2.2. Objetivos

2.2.1. Objetivo General

Presentar un modelo de programación matemática con restricciones difusas para transforma-ciones en análisis de regresión múltiple que estime los coeficientes de potencia Λ, garantizandola SCEΛ óptima con base en la metodología de Box-Cox para aproximar normalidad y varianzaconstante en los errores.

2.2.2. Objetivos Específicos

Aplicar la teoría de programación matemática a la estimación de parámetros (ML) enmodelos lineales considerando el uso de ecuaciones relacionales difusas.

Implementar algoritmos computacionales para la estimación de parámetros (ML) en mo-delos lineales considerando el uso de ecuaciones relacionales difusas.

Validar el modelo propuesto con ejemplos planteados en la literatura donde no se cumplanlos supuestos.

Capítulo 3

El Modelo Lineal

La forma de un modelo lineal es como sigue:

y = Xβ + ε (3.1)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1 y ε(m×1) ∈ Rm×1.

Asimismo, una presentación discreta del modelo lineal se presenta a continuación [35]:

yj = β0 +n∑i=1

βixij + εj ; ∀j ∈ Nm (3.2)

Donde yj es una variable dependiente, xij son las variables observadas, βi es el peso de la i-ésimavariable independiente y εj es el error de la j-ésima observación; i ∈ Nn y j ∈ Nm.

De acuerdo con Searle [80] y Ravishanker & Dey [72] este modelo asume supuestos de normali-dad y varianza constante u homocedasticidad en los errores. Lo anterior debe ser comprobadouna vez se estimen los parámetros (ML) del vector β. La violación de los supuestos mencionadosanteriormente conllevan no sólo a estimaciones equívocas sino también inferencia errónea.

El problema de estimación en ML se reduce a hallar los valores para el vector de paráme-tros (ML) β que representen en mejor medida la relación entre las variables y y X. Diferentesmétodos de estimación pueden ser consultados en Searle [80], Ravishanker & Dey [72], Dobson[25] y McCulloch et al. [62]. El método más comúnmente usado es el conocido como mínimoscuadrados ordinarios (MCO) debido a su procedimiento de estimación bastante satisfactorio

7

8 3.1. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

que está muy bien justificado en muchos libros estándares de estadística y sus aplicaciones seextienden a múltiples disciplinas, como la geoestadística y estadística espacial, en Giraldo [42]y Pineda et al. [60].

3.1. Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios

La estimación por MCO {β | ε′ε} se basa en minimizar la suma de los cuadrados de lasdesviaciones de las variables observadas y respecto a sus valores esperados, esto es, encontrarun vector de estimaciones β ∈ R(n+1)×1 que minimice ε′ε ∈ R.

Dada la existencia de (X ′X)−1 cuando X ′X es de rango completo, las ecuaciones normalestienen una única solución muy bien probada en Harville [46] y Searle [81]:

β = (X ′X)−1X ′y (3.3)

Una solución óptima β∗ es un vector extremo con (β0,β1, ...,βn) para el que no existe mejoríade ε′ε, esto es β∗ = sup{β | ε′ε}, con (ε′ε)∗ ≤ ε′ε.

Una demostración para la estimación por MCO del modelo (3.2) puede ser consultada en Bickel& Doksum [8], Casella & Berger [18] y Mora [65]. Asimismo, la PM se puede utilizar comométodo alternativo para la estimación por MCO como se mostrará posteriormente, sin embargocabe resaltar el prominente trabajo hecho por Charnes & Cooper [19], Arthanari & Dodge [2],Rustagi [74] [75], Everitt [32] y Gentle [41].

3.2. El Método de Transformación Box-Cox

Box & Cox [11] plantearon un método general para seleccionar una transformación de lavariable respuesta aplicable en modelos de regresión simple y múltiple. El método de Box-Coxtiene como objetivo encontrar esa potencia de yj satisface los supuestos de normalidad y varianzaconstante u homocedasticidad. En este sentido, Box-Cox identifica el estimador de MV de λ.

Observación. El objetivo de este trabajo está enmarcado en el uso de la PM para encontrar un

CAPÍTULO 3. EL MODELO LINEAL 9

coeficiente de transformación λ óptimo, para ello, en este trabajo sólo se usará la metodologíade estimación que minimiza la SCEλ.

El procedimiento entonces es usar:

y(λ) =

yλ−1λyλ−1 para λ 6= 0y ln y para λ = 0

(3.4)

En donde y es la media geométrica de yj ,

y =m∏j=1

(yj)1m (3.5)

Una vez estimado λ, (3.1) es transformado en

y(λ) = Xβ(λ) + ε(λ) (3.6)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y λ ∈ R.Para encontrar un vector de estimaciones β que minimice ε′ε por medio de MCO.

El método de Box-Cox también produce un intervalo de confianza para el parámetro (ML)de transformación λ. Un intervalo de confianza del 100(1− α) % para λ, consiste en los valoresde λ que satisfacen la desigualdad:

L(λ)− L(λ) ≤ 12χ

21(1− α) (3.7)

Donde L es la función de verosimilitud. Si se grafica la suma de cuadrados de los errores (SCE)de la solución de (3.6) en función de λ, entonces una recta horizontal que representa el intervalode confianza, debería cortar la curva de L(λ) a la altura de

SCE(λ) = SCE(λ)eχ2

1(1−α)/n (3.8)

Extensa literatura que se ha escrito sobre la transformación de Box-Cox se puede encontrar enBickel & Doksum [9], Box & Cox [12], Hinkley & Runger [48], y Wood [90]. Libros que contienen

10 3.2. EL MÉTODO DE TRANSFORMACIÓN BOX-COX

la explicación teórica y aplicaciones como Sheather [83], Weisberg [89], Kutner et al. [57], Draper& Smith [27], Montgomery & Peck [64], Hocking [49] y Faraway [33].

La transformación de Box-Cox puede ser extendida para aproximar normalidad en las varia-bles independientes o predictoras xij como lo plantearon en 1971 Andrews et al. [1],

y = X(Λ)β(Λ) + ε(Λ) (3.9)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y Λ(1×n) ∈R1×n.

Λ = (λ1,λ2, . . . ,λn) (3.10)

Usar la aproximación de Box-Cox para cada una de las variables independientes o predictoras xijescogiendo la transformación que minimice SCE(Λ) toma tiempo. El procedimiento es homólogoal de la transformación de la variable dependiente o respuesta como lo afirman Sheather [83],Cook & Weisberg [20], y Faraway [33].

Observación. En esta propuesta de tesis de maestría, se propondrá un modelo para solucionarel problema de encontrar cada λi de forma heurística con inversión de tiempo.

En 1993 Velilla [84] propuso una extensión del método de Box-Cox para transformar una omás variables a ’ambos lados’ con el fin de lograr normalidad conjunta,

y(λ0) = X(Λ)β(λ0,Λ) + ε(λ0,Λ) (3.11)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1, λ0 ∈ R yΛ(1×n) ∈ R1×n. Aplicaciones del método de Box-Cox para transformación de ’ambos lados’ dela regresión pueden ser consultados en Weisberg [89], Sheather [83] y el gran trabajo realizadopor Carroll & Ruppert [17].


3.3. Residuales Recursivos

Los residuales bajo MCO son

εmco = y − y = y −Hy = (I −H)y (3.12)

Con εmco(m×1) ∈ Rm×1, y(m×1) ∈ Rm×1 y I(m×m),H(m×m) ∈ Rm×m. De acuerdo con Schaben-berger & Gotway [79] los elementos de εmco presentan los siguientes problemas:

1. Son rango deficientes: Si X tiene rango k, entonces

H = X(X ′X)−1X ′ (3.13)

es de rango k con X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1) y H(m×m) ∈ Rm×m. Los valores ajustados de yson una proyección de y en un subespacio k-dimensional de Rm. Como consecuencia, sólom− k de los residuales MCO tienen información de las perturbaciones del modelo ε. Losdemás k residuales son redundantes.

2. Son correlacionados: La varianza de los residuales MCO es

V ar[εmco] = σ2(I −H) (3.14)

una matriz no diagonal con εmco(m×1) ∈ Rm×1 y I(m×m),H(m×m) ∈ Rm×m. Los residualesestán correlacionados porque resultan de ajustar un modelo a los datos obedeciendo cier-tas restricciones (ML). Por ejemplo X ′εmco = 0. Los residuales ajustados muestran unacorrelación más negativa que los errores del modelo.

3. Son heterocedásticos: La matriz H(m×m) ∈ Rm×m es el gradiente de los valores ajus-tados con respecto a los datos observados. Un elemento de la diagonal hii refleja el pesode una observación en la determinación de su valor predicho. Con excepción de algunosmodelos balanceados de clasificación, los hii no tienen el mismo valor y los residuales noson entonces equidispersos.

En 1975 Brown et al. [14] proponen los residuales recursivos cuyos objetivos son [78]:

1. Remover la correlación entre los residuales ajustados.

12 3.3. RESIDUALES RECURSIVOS

2. Recuperar las variables homocedásticas.

3. Evadir la ilusión de que existen m observaciones.

El proceso inicia con ajustar el ML a k = rango(X) datos. Los restantes m − k datos sonentonces ingresados secuencialmente y el j-ésimo residual recursivo es la diferencia escalada depredecir la siguiente observación del modelo, ajustado a la observación previa. Formalmente, seaXj−1 ∀j ∈ Nm la matriz de las primeras j − 1 ∀j ∈ Nm filas de X. Si X ′j−1Xj−1 es no singulary j ≥ k + 1 el vector de parámetros (ML) β puede ser estimado como

βj−1 = (X ′j−1Xj−1)−1X ′j−1yj−1 ∀j ≥ k + 1 ∈ Nm (3.15)

Con β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, X((m−1)×(n+1)) ∈ R(m−1)×(n+1) y y((m−1)×1) ∈ R(m−1)×1. Ahora seconsidera agregar la siguiente observación yj . Se define entonces

Definición 3.1. Residual Recursivo (No Estandarizado) (Schabenberger & Pierce[78]): Sea w∗j la diferencia entre yj y el valor predicho basado en ajustar el modelo a las obser-vaciones precedentes:

w∗j = yj − x′jβj−1 ∀j ≥ k + 1 ∈ Nm (3.16)

Donde w∗j , yj ∈ R; xj(n×1) ∈ Rn×1 y βj−1((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1.

Finalmente, se escala w∗j y se definen los residuales recursivos

Definición 3.2. Residual Recursivo (Brown et al. [14]): Con base en las primeras jobservaciones, un residual recursivo se define formalmente como:

wj =w∗j√

1 + x′j(X ′j−1Xj−1)−1xj∀j ≥ k + 1 ∈ Nm (3.17)

Donde wj ,w∗j ∈ R; xj(n×1) ∈ Rn×1 y X((m−1)×(n+1)) ∈ R(m−1)×(n+1).

Los wj son variables i.i.d con media 0 y varianza V ar[wj ] = σ2 ∀j ≥ k + 1 ∈ Nm . Sinembargo sólo m − k de ellos están disponibles, es por esto que las pruebas tradicionales para


homocedasticidad como Breusch-Pagan [13] y de Goldfeld-Quandt [43] no pueden ser aplicadasapropiadamente.

La suma cumulativa (CUSUM) de residuales recursivos sugerida también por Brown et al. [14]se basa en

Wj = 1σ

j∑j∗=k+1

wj∗ ∀j ≥ k + 1 ∈ Nm (3.18)

donde

σ2 =

m∑j∗=k+1

(wj∗ − w)2

m− k − 1 (3.19)

Se grafica entonces Wj contra j delimitados por un intervalo de confianza

±

a√m− k + 2a(j − k)√m− k

(3.20)

El valor de a es escogido de acuerdo al nivel de significancia α. Brown et al. [14] postularona =1.143,0.948 y 0.850 para α = 0.01, 0.05 y 0.1. Cuando las cantidades graficadas fallan dra-máticamente en permanecer en el intervalo, se sospecha heterocedasticidad.

Las pruebas para normalidad diseñadas por Shapiro & Wilk [82], y Lilliefors [59] son aplicablesa los residuales recursivos, mientras que para homocedasticidad, Harvey [44] [45] y, Kianifard &Swallow [54] sugieren que el gráfico CUSUM puede ser usado para detectar heterocedasticidadcuando existe desviación en los límites (6.5) [14] [44] [56].

14 3.3. RESIDUALES RECURSIVOS

Capítulo 4

Conceptos Básicos en la Teoría deConjuntos Difusos

4.1. Imprecisión y Conjuntos Difusos

En un constante entorno de sistemas complejos, toma de decisiones e incertidumbre, el pen-samiento humano es ambiguo y las palabras significan diferentes cosas para diferentes personas,la lógica clásica o aristotélica pierde su alcance.

Desde un punto de vista clásico la incertidumbre ha sido explicada desde la teoría de la pro-babilidad con base en observaciones experimentales cuyas estimaciones están sujetas a erroresteóricamente bien fundamentados. Pero cuando existe imprecisión en la información, o peor aún,falta de esta en un contexto que exige inmediatez en la toma de decisiones, lo más común esacudir a la opinión de los expertos. Cada experto puede tener una percepción distinta con baseen su formación y/o experiencia.

Uno de los ejemplos más usados para expresar la versatilidad del uso de los conjuntos difu-sos es el que exponen Klir & Yuan en [55]: supóngase que en lugar de referirnos al porcentaje denubosidad en el cielo, queremos describirlo como soleado. Soleado es un término vago y no muyespecífico, pero de hecho es el más usado. No debemos usarlo únicamente cuando hay un 0%de nubosidad, pero de hecho un 100% de nubosidad definitivamente no es soleado, tampoco loes un 80%. Podemos aceptar ciertos estados intermedios como el 10% o el 20% de nubosidadcomo soleado. Pero ¿dónde están los límites?, si por ejemplo un 25% de nubosidad o menoses considerado soleado, ¿un 26% no lo es?. Esto último es inaceptable, un 1% de nubosidad

15

16 4.2. CONJUNTOS PRECISOS Y CONJUNTOS DIFUSOS TIPO-1

difícilmente parece una característica distinguible entre soleado y no soleado. Al término solea-do se le introduce un cierto nivel de transición gradual desde los grados de nubosidad que sonconsiderados como soleados hasta aquellos que no lo son.

En el 2009 Figueroa et al. [36] discutieron un interesante ejemplo en el contexto de estadís-tica inferencial obteniendo después de una prueba ANOVA un p-valor de 0.054, aplicando dospruebas robustas adicionales, sus resultados con un α de significancia del 0.05 fueron: un p-valorde 0.053 para la prueba de Welch y un p-valor de 0.054 para la prueba de Brown-Forsythe. Loanterior genera muchas dudas sobre su significancia y recordando el ejemplo del párrafo anterior,¿qué tan diferente es un p-valor de 0.05 y uno de 0.053?

4.2. Conjuntos Precisos y Conjuntos Difusos Tipo-1

El término conjuntos precisos es el ahora aceptado en la literatura técnica [55] para hacerreferencia a los conjuntos clásicos.

Definición 4.1. Conjunto Preciso (Klir & Yuan [55]): Si X es una colección de objetosdenotada genéricamente por x, entonces un conjunto preciso a, en X es un conjunto de paresordenados:

a = {(x,µa(x)) | x ∈ X} (4.1)

Donde µa(x) es la función característica o pertenencia definida como:

µa(x) =

1 para x ∈ a0 para x 6∈ a

(4.2)

Para un conjunto difuso, la función característica le permite varios grados de pertenencia alos elementos del conjunto dado.

Definición 4.2. Conjunto Difuso Tipo-1 (Zimmermann [95]): Si X es una colección deobjetos denotada genéricamente por x, entonces un conjunto difuso A, en X es un conjunto depares ordenados:

A = {(x,µA(x)) | x ∈ X} (4.3)

CAPÍTULO 4. CONCEPTOS BÁSICOS EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS 17

Figura 4.1: Números reales cercanos a 10

Donde µA es la función de pertenencia definida como:

µA(x) : X → [0, 1] (4.4)

Con A contenida dentro de una familia de conjuntos difusos F = {A1,A2, . . . ,Am}, cadauno con una función de pertenencia {µA1(x),µA2(x), ...,µAm(x)}. µA(x) es llamada la funcióno grado de pertenencia (también grado de compatibilidad o grado de verdad) de x en A quemapea X al espacio de pertenencia M . Cuando M contiene sólo los dos puntos 0 y 1, A no esdifuso y µA(x) es la función característica de un conjunto preciso.

Ejemplo 4.3. (Zimmermann [95]): Defínase el conjunto A ="Números reales cercanos a 10"

A = {(x,µA(x)) | µA(x) = (1 + (x− 102)−1)} (4.5)

Véase la Figura 4.1

Definición 4.4. Conjunto Triangular Difuso Tipo-1 (CTD) (Bector & Chandra [6]):Un conjunto difuso A se llama CTD si su función de pertenencia µA está dada por:

µA(x) =

0 para x < a,x > ax−aa−a para a ≤ x ≤ aa−xa−a para a ≤ x ≤ a

(4.6)


Figura 4.2: Un conjunto difuso triangular A = (a, a, a)

El CTD A se denota por la tripleta A = (a, a, a) y tiene la forma de un triángulo (Figura 4.2).

El uso de CTD ha sido extensivo en la literatura por su simplicidad e interpretabilidad. Paramás tipos de conjuntos difusos se pueden consultar Klir & Yuan [55], Zimmermann [94] [95],DuBois & Prade [29], y Mendel [63].

Observación. Por las características previamente mencionadas, en este trabajo sólo se usaránCTD.

Definición 4.5. α-corte (Zimmermann [95]): El conjunto (preciso) de elementos que perte-necen al conjunto difuso A al menos al grado α de pertenencia, se denomina el conjunto α-corte:

αA = {x ∈ X | µA(x) ≥ α} (4.7)

Donde el intervalo de valores que satisface a αA está definido por:

αA ∈[infx

αµA(x), supx

αµA(x)]

(4.8)

Un ejemplo de α-corte en un conjunto difuso triangular se puede ver en la Figura 4.3

CAPÍTULO 4. CONCEPTOS BÁSICOS EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS 19

Figura 4.3: Ejemplo de α-corte de un conjunto difuso

Las nociones de convexividad juegan un papel importante en la PM precisa y también en lateoría de conjuntos difusos. En contraste a la teoría clásica de conjuntos, las condiciones deconvexividad son definidas con referencia a la función de pertenencia.

Teorema 4.6. Conjuntos Difusos Convexos (Zimmermann [95]): Un conjunto difusoA es convexo si y sólo si:

µA(δx1 + (1− δ)x2) ≥ mın{µA(x1),µA(x2)} (4.9)

Donde:x1,x2 ∈ X; δ ∈ [0, 1] (4.10)

Alternativamente, un conjunto difuso es convexo si sus conjuntos α-nivel son convexos.

Observación. Por simplicidad, todos los conjuntos difusos usados en este trabajo son conve-xos, también conocidos como α-convexos. Los conjuntos mostrados en las Figuras 4.2 y 4.3 sonejemplos de conjuntos α-convexos.

Existen tres operaciones teóricas básicas para conjuntos difusos como lo son [55]:


1. La función de pertenencia del complemento de un conjunto difuso está definida por:

µA′(x) = 1− µA(x) ; x ∈ X (4.11)

2. La función de pertenencia de la intersección C = A∩B está puntualmente definida como:

µC(x) = mın{µA,µB} ; x ∈ X (4.12)

3. La función de pertenencia de la unión D = A ∪B está puntualmente definida como:

µD(x) = max{µA,µB} ; x ∈ X (4.13)

Definición 4.7. Números Difusos (Klir & Yuan [55], y Zimmermann [95]): Un númerodifuso B es un conjunto difuso normalizado y convexo B en el dominio real R tal que:

1. Existe exactamente un x0 ∈ R con µB(x0) = 1. A x0 se le denomina el núcleo (core) deB.

2. B es puntualmente continuo.

3. αB debe ser un intervalo cerrado para cada α ∈ (0, 1].

Definición 4.8. El Principio de Extensión (DuBois & Prade [29]): Sea X un productocartesiano de universos, X = X1 × ...×Xr, y A1, ...,Ar sean r conjuntos difusos en X1, ...,Xr

respectivamente. Sea f una función que mapea desde X a un universo Y , y = f(x1, ...,xr).Entonces el principio de extensión permite definir un conjunto difuso B en Y por:

B = {(y,µB(y)) | y = f(x1, ...,xr), (x1, ...,xr) ∈ X} (4.14)

Donde:

µB(y) =

sup

(x1,...,xr)∈f−1(y)mın{µA1(x1), ...,µAR(xr)} para f−1(y) 6= ∅

0 para f−1(y) = ∅(4.15)

Importantes aplicaciones se han desarrollado con base en la teoría de conjuntos y lógicadifusa, asimismo, diversas teorías se han aventurado al cambio de paradigma implementandonúmeros difusos. Una completa fundamentación en la teoría de conjuntos y lógica difusa puedeconsultarse en Klir & Yuan [55], Zimmermann [94] [95], DuBois & Prade [29] [30], y Mendel [63].Aportes significativos sobre probabilidad y estadística con el uso de números difusos se puedenencontrar en Wang & Klir [88], Ross et al. [73], Bertoluzza et al. [7], Buckley [15] [16], Nguyenet al. [70] [71], Viertl [87] y Donoso [26].

Capítulo 5

El Problema de ProgramaciónMatemática

Un problema de PM puede enunciarse como:

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x) ≤ b

x ≥ 0

(5.1)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), b(m×1) ∈ R(m×1) y j ∈ Nm. A f(x) se le conoce como la función objetivo,gj(x) ≤ b son conocidas como las restricciones (PM) del problema y a x ≥ 0 se le conoce comola restricción (PM) de no negatividad.

Observación. Las restricciones (PM) pueden ser desigualdades o igualdades de acuerdo al con-texto de la formulación del problema; asimismo, la restricción (PM) de no negatividad puede ono aplicar.

De acuerdo a Figueroa en [37], el objetivo de un problema de PM {f(x) | gj(x) ≤ b,x ≥ 0}es entonces encontrar un vector x ∈ Rn que satisfaga todas las restricciones (PM) gj(x) ≤ bmaximizando o minimizando (según sea el caso) la función objetivo f(x). Una solución ópti-ma x∗ es un vector extremo con (x1,x2, ...,xn) para el que no existe mejoría de f(x), esto esf(x∗) = sup{f(x) | gj(x) ≤ b,x ≥ 0}, con f(x∗) ≥ f(x) ∀x ∈ Rn.

21

22 5.1. MÉTODOS Y ALGORITMOS DE SOLUCIÓN

5.1. Métodos y Algoritmos de Solución

Diversos métodos de optimización se han desarrollado a lo largo de los años para los pro-blemas de PM. El muy bien método Simplex conocido para problemas de programación linealpropuesto por Dantzig [22] y, Dantzig & Thapa [23] [24], así como algunos métodos de puntointerior que pueden ser consultados en Karmarkar [53], Rustagi [75], Mora [66] y Bazaraa et al.[5]. Métodos para la solución de problemas de programación no lineal, entera y dinámica puedenser consultados en Rustagi [75], Mora [65] [67] y Bazaraa et al. [4].

Observación. Si bien algunos algoritmos son más complejos y/o eficientes que otros, este tra-bajo no está enfocado a ese estudio por lo que se usarán rutinas de solución por defecto enGAMS R©. Como lo menciona Figueroa en [37] la selección de un algoritmo eficiente es un aspec-to computacional importante en optimización, aún así, la meta de este trabajo es encontrar unasolución al problema propuesto antes que diseñar algoritmos especializados.

El uso de R para modelos de PM es bastante limitado cuando hablamos de modelos mixtos,es decir, modelos que pueden combinar variables enteras, continuas en un ambiente no lineal ydinámico. Específicamente Nash en el 2014 [68] muestra el uso de distintos paquetes para progra-mación lineal y no lineal en R pero es enfático en la carencia de paquetes que puedan apoyar latoma de decisiones en modelos mixtos. Un buen recurso para modelos simples de programaciónlineal es el escrito por Sallan et al. en [77].

5.2. Programación Matemática con Restricciones (PM) Difusasy Función Objetivo Precisa

El modelo general de un problema de PM con restricciones (PM) difusas y función objetivoprecisa (PMD-1) es como sigue:

CAPÍTULO 5. EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 23

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x) . Bj

x ≥ 0

(5.2)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), j ∈ Nm y B ∈ F , siendo B el conjunto de restricciones (PM) difusas.

En este sentido, . denota la versión difusa de ≤ y de acuerdo a Zimmermann [94] tiene unainterpretación lingüística como ’esencialmente más pequeña o igual que’. Bector & Chandra en2005 [6] clasificaron los problemas de programación lineal difusa en cuatro categorías:

1. El problema de programación lineal con restricciones (PM) difusas y función objetivoprecisa (PMD-1).

2. El problema de programación lineal con restricciones (PM) precisas y función objetivodifusa (PMD-2).

3. El problema de programación lineal con restricciones (PM) difusas y función objetivodifusa (PMD-3).

4. El problema de programación lineal con parámetros (PM) difusos (PMD-4).

Observación. La clasificación de modelos de programación lineal difusa es extensible a los mo-delos de PM difusa. Asimismo, se recalca que en este trabajo se usará el tipo de modelo PMD-1debido a su simplicidad y al uso específico del número difuso dentro de los modelos propuestos,que dicho sea de paso, definirá de forma lingüística un nivel de aspiración para la potencia detransformación en el ML.

Todas las restricciones (PM) difusas deben ser transformadas en restricciones (PM) precisaseligiendo la función de pertenencia apropiada para lo cual Figueroa [34] sostiene que es mono-tónicamente decreciente (función (5.4) y Figura 5.1a) para el orden parcial . en el modelo (5.3)y monotónicamente creciente (función (5.6) y Figura 5.1b) para el orden parcial & en el modelo(5.5).

245.2. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CON RESTRICCIONES (PM) DIFUSAS Y

FUNCIÓN OBJETIVO PRECISA

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x) . Bj

x ≥ 0

(5.3)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), j ∈ Nm y Bj ∈ F con función de pertenencia:

µB(x) =

1 para x < bb−xb−b

para b ≤ x ≤ b0 para x > b

(5.4)

Por otro lado,

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x) & Bj

x ≥ 0

(5.5)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), j ∈ Nm y Bj ∈ F con función de pertenencia:

µB(x) =

0 para x < bx−bb−b

para b ≤ x ≤ b1 para x > b

(5.6)

Ahora bien, se pueden sustituir las expresiones de las funciones de pertenencia (5.4) y (5.6),en los modelos (5.3) y (5.5)

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x) + α(bj − bj) ≤ bj

x ≥ 0

(5.7)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), j ∈ Nm, α ∈ [0, 1] y bj , bj ∈ Bj ∈ F . Para el segundo caso,

CAPÍTULO 5. EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 25

(a) Monotónicamente decreciente (b) Monotónicamente creciente

Figura 5.1: Funciones de pertenencia para los números difusos de las restricciones (PM) en losmodelos PMD-1

Optimizar f(x)

Sujeto a:

gj(x)− α(bj − bj) ≥ bj

x ≥ 0

(5.8)

Donde x(n×1) ∈ R(n×1), j ∈ Nm, α ∈ [0, 1] y bj , bj ∈ Bj ∈ F . De acuerdo a Verdegay [85] [86] losmodelos (5.7) y (5.8) son equivalentes a un problema de PM precisa, es decir, se pueden usarmétodos clásicos (sección 4.1) para solucionar dichos modelos.

De acuerdo a Figueroa en [37], el objetivo entonces del problema de PMD-1 {f(x) | gj(x) .

Bj ,x ≥ 0} es entonces encontrar un vector x ∈ Rn que satisfaga todas las restricciones (PM)gj(x) . Bj maximizando o minimizando (según sea el caso) la función objetivo f(x). Una solu-ción óptima x∗ es un vector extremo con (x1,x2, ...,xn) para el que no existe mejoría de f(x),esto es f(x∗) = sup{f(x) | gj(x) . Bj ,x ≥ 0}, con f(x∗) ≥ f(x) ∀x ∈ Rn, resultando en ungrado coyuntural de satisfacción α ∈ [0, 1] que de acuerdo a la definición del decisor será, porejemplo, ’bueno’ o ’malo’.

La bibliografía sobre los métodos y aplicaciones de la PMD es extensa, cabe entonces sobre-saltar el trabajo realizado por Klir & Yuan [55], Zimmermann [94] [95], Lai & Hwang [58],Sakawa [76], Kacprzyk & Orlovski [52], Huang & Teghem [50], y Bector & Chandra [6].

265.2. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CON RESTRICCIONES (PM) DIFUSAS Y

FUNCIÓN OBJETIVO PRECISA

Parte II

Propuesta

27

Capítulo 6

Modelos de ProgramaciónMatemática Precisa

En este capítulo se presentarán 4 simulaciones para conjuntos de datos con diferentes ca-racterísticas de normalidad y varianza con el fin de comprobar la utilidad de la metodologíapropuesta. Asimismo, se presentarán 3 modelos generales para n ∈ N variables independientescon ejemplos de aplicación así: transformación de la variable dependiente, transformación de lavariable independiente y transformación simultánea de variables dependiente e independientes.

Los modelos propuestos se computan en GAMS R© con el solver BARON R© y los errores sontratados en R.

6.1. Simulaciones

6.1.1. Transformación bajo Normalidad y Homocedasticidad

Sea

y = µ+ ε (6.1)

Con y(m×1), ε(m×1) ∈ Rm×1 y µ ∈ R el modelo lineal más simple. El modelo propuesto con baseen la metodología heurística de Box-Cox con λ ∈ R es:

29

30 6.1. SIMULACIONES

Minimizar ε′(λ)ε(λ)

Sujeto a:

y(λ) = µ(λ) + ε(λ)

(6.2)

Ahora bien, de forma discreta el modelo (6.2) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v

(yλj − 1λyλ−1

)+ (1− v)

(y ln (yj)

)− µ = εj ∀j ∈ Nm

(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(6.3)

Donde yj , εj ,µ,λ ∈ R ∀j ∈ Nm; y v = {0 ∨ 1} es una variable binaria definida como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(6.4)

El uso de la variable binaria v es justificada debido al procedimiento dado en la sección 3.2. Loque se quiere aquí es deshabilitar (v = 0) o habilitar (v = 1) la parte superior de la función (3.4).

Para ilustrar el uso del modelo (6.3) propuesto, se simularon distintas muestras normales ho-mocedásticas Figura 6.1. Los resultados de los análisis sin transformación, bajo la metodologíatradicional Box-Cox y el modelo (6.3) se muestran en el Cuadro 6.1 y los gráficos CUSUM enla Figura 6.2.

Para datos normales homocedásticos simulados, los intervalos de confianza del 95% de lametodología Box-Cox y el modelo propuesto (6.3) contienen el número 1, lo cual es consistentecon la suposición original de no transformar.

CAPÍTULO 6. MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PRECISA 31

Figura 6.1: Datos normales homocedásticos

(a) CUSUM Box & Cox (b) CUSUM Rodríguez & Giraldo

Figura 6.2: Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías paradatos normales homocedásticos


Cuadro 6.1: Simulaciones bajo normalidad homocedástica

n = 10 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 1.3939 1.40595 %IC(λ) N/A (-1.8939,4.6817) (-1.8828,4.6928)µ(λ) 4.9661 3.2545 3.238SCE(λ) 10.76 10.693 10.693Shapiro-Wilk(wj) 0.6783 0.6264 0.6246Lilliefors(wj) 0.9166 0.8828 0.8818n = 25 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.303 0.30195 %IC(λ) N/A (-0.993,1.599) (-0.995,1.597)µ(λ) 5.0541 6.214 6.2228SCE(λ) 41.306 39.46 39.46Shapiro-Wilk(wj) 0.6153 0.8025 0.8021Lilliefors(wj) 0.3372 0.616 0.6171n = 50 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.3434 0.34795 %IC(λ) N/A (-0.7534,1.4402) (-0.7498,1.4438)µ(λ) 5.0779 6.1464 6.131SCE(λ) 61.389 59.448 59.447Shapiro-Wilk(wj) 0.4643 0.8198 0.8204Lilliefors(wj) 0.4135 0.6335 0.6319n = 100 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.7474 0.73795 %IC(λ) N/A (0.0443,1.4505) (0.0339,1.4401)µ(λ) 5.0292 4.6481 4.6773SCE(λ) 136.39 135.7 135.7Shapiro-Wilk(wj) 0.8255 0.8508 0.8479Lilliefors(wj) 0.8918 0.7461 0.7393


6.1.2. Transformación bajo Errores Normales Heterocedásticos y una Varia-ble Independiente

Sea

y = β0 + β1x+ ε (6.5)

Con y(m×1),x(m×1), ε(m×1) ∈ Rm×1 y β0,β1 ∈ R el modelo lineal simple. El modelo propuestocon base en la metodología heurística de Box-Cox con λ ∈ R es:


Sujeto a:

y(λ) = β0(λ) + β1(λ)x+ ε(λ)

(6.6)

Ahora bien, de forma discreta el modelo (6.6) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v


)+ (1− v)

(y ln (yj)

)− β0 − β1xj = εj ∀j ∈ Nm

(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(6.7)

Donde yj , εj ,β0,β1,xj ,λ ∈ R ∀j ∈ Nm; y v = {0 ∨ 1} es una variable binaria definida como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(6.8)


Para ilustrar el uso del modelo (6.7) propuesto, se simulan diferentes muestras normales hete-rocedásticas para ε así: Cada muestra se dividirá en 5 partes iguales con µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5;y σ2

1 = 1, σ22 = 1,44, σ2

3 = 1,96, σ24 = 2,89, σ2

5 = 4 Figura 6.3. Se fija también un vector de una


Figura 6.3: Datos normales heterocedásticos con una variable independiente

variable independiente x. Los resultados de los análisis sin transformación, bajo la metodologíatradicional Box-Cox y el modelo (6.7) se muestran en el Cuadro 6.2 y los gráficos CUSUM enla Figura 6.4.

Para datos normales heterocedásticos simulados, 2 de los intervalos de confianza del 95%por la metodología Box-Cox indican que para n = 10 y n = 50 no se hace necesario transformar,algo bastante discutible si se tiene en cuenta que los p-valores de las pruebas de Shapiro-Wilka un nivel de confianza de 0.05, no son satisfactorios. Por otro lado, el intervalo de confianzadel 95% dado por el modelo propuesto (6.7) sugiere transformación a medida que el tamañode la muestra crece. Es evidente también que el modelo propuesto logra una mejor normalidada medida que el tamaño de muestra crece, esto es evidente en los saltos de los p-valores. Losgráficos CUSUM de la Figura 6.4 muestran una mejor estabilización de la varianza por el modelo(6.7) haciendo que la suma acumulada tienda a oscilar más cerca del cero.


Cuadro 6.2: Simulaciones bajo errores con normalidad heterocedástica y una variable indepen-diente

n = 10 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 -1.1515 -1.15895 %IC(λ) N/A (-7.5151,5.2121) (-7.5216,5.2056)[β0(λ) β1(λ)]

′ [17.5207 1.6187]′ [67070 1.62]′ [69010 1.62]′

SCE(λ) 6.425 6.189 6.189Shapiro-Wilk(wj) 0.865 0.57 0.5689Lilliefors(wj) 0.4322 0.2844 0.284n = 25 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 -0.3434 -0.33395 %IC(λ) N/A (-1.3935,0.7067) (-1.3831,0.7171)[β0(λ) β1(λ)]

′ [17.5207 1.6187]′ [2819 1.653]′ [2714 1.653]′

SCE(λ) 29.6 23.0 23.0Shapiro-Wilk(wj) 0.049 0.3241 0.3215Lilliefors(wj) 0.2502 0.7141 0.7064n = 50 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.8686 0.795 %IC(λ) N/A (0.6178,1.1196) (0.4491,0.9509)[β0(λ) β1(λ)]

′ [10.2852 1.6887]′ [41.0837 1.6881]′ [97.2858 1.6855]′

SCE(λ) 63.5 62.4 56.3Shapiro-Wilk(wj) 0.0913 0.2858 0.4045Lilliefors(wj) 0.5753 0.8528 0.4702n = 100 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.909 0.92895 %IC(λ) N/A (0.8954,0.9226) (0.9144,0.9416)[β0(λ) β1(λ)]

′ [9.4298 1.697]′ [33.2706 1.6959]′ [27.7332 1.6961]′

SCE(λ) 136 127 126Shapiro-Wilk(wj) 0.0012 0.0161 0.0586Lilliefors(wj) 0.0369 0.1965 0.1375



Figura 6.4: Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías paradatos normales heterocedásticos y una variable independiente

6.1.3. Transformación bajo Errores no Normales Heterocedásticos y una Va-riable Independiente

Se simulan entonces diferentes muestras Gamma heterocedásticas así: Cada muestra se dividi-rá en 5 partes iguales con parámetros de forma y escala G(2; 0,2), G(3; 0,5), G(1; 0,3), G(2,1; 0,3),G(3,4; 0,4) Figura 6.5. Se hace uso entonces del modelo (6.7) propuesto. Los resultados de losanálisis sin transformación, bajo la metodología tradicional Box-Cox y el modelo (6.7) se mues-tran en el Cuadro 6.3 y los gráficos CUSUM en la Figura 6.6.

Para datos no normales heterocedásticos simulados, fijaremos nuestra atención en la muestramás grande donde el intervalo de confianza del 95% por la metodología Box-Cox indica que nose hace necesario transformar, algo bastante discutible si se tiene en cuenta que el p-valor delas pruebas de Shapiro-Wilk a un nivel de confianza de 0.05, no es satisfactorio. Por otro lado,el intervalo de confianza del 95% dado por el modelo propuesto (6.7) sugiere transformación amedida que el tamaño de la muestra crece. Los gráficos CUSUM de la Figura 6.6 muestran una


Figura 6.5: Datos no normales heterocedásticos con una variable independiente


Figura 6.6: Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj bajo ambas metodologías paradatos no normales heterocedásticos y una variable independiente


Cuadro 6.3: Simulaciones bajo errores no normales heterocedásticos y una variable independiente

n = 10 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 2 4.65595 %IC(λ) N/A (-0.7503,4.7503) (1.9047,7.4053)[β0(λ) β1(λ)]

′ [7.6288 1.6734]′ [-83.7811 1.672]′ [-135.90497 1.6727]′

SCE(λ) 3.036 2.684 2.296Shapiro-Wilk(wj) 0.4456 0.9367 0.9533Lilliefors(wj) 0.4168 0.586 0.7592n = 25 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 1.0707 1.08495 %IC(λ) N/A (-0.4911,2.6325) (-0.4778,2.6458)[β0(λ) β1(λ)]

′ [3.773 1.7092]′ [-9.771 1.7093]′ [-11.9576 1.7093]′

SCE(λ) 8 8 7.967Shapiro-Wilk(wj) 0.8606 0.8237 0.8211Lilliefors(wj) 0.9337 0.835 0.8113n = 50 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.9899 0.97195 %IC(λ) N/A (0.8278,1.152) (0.8089,1.1331)[β0(λ) β1(λ)]

′ [3.6629 1.7094]′ [4.7903 1.7093]′ [8.8809 1.7092]′

SCE(λ) 16 16 15.84Shapiro-Wilk(wj) 0.8606 0.9426 0.9335Lilliefors(wj) 0.9337 0.9895 0.9232n = 100 Sin Transformación Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 1 0.9898 0.92895 %IC(λ) N/A (0.9692,1.0104) (0.9144,0.9416)[β0(λ) β1(λ)]

′ [4.0985 1.7053]′ [5.603 1.7052]′ [4.3323 1.7052]′

SCE(λ) 54 54 53.97Shapiro-Wilk(wj) 0.0118 0.0417 0.0983Lilliefors(wj) 0.768 0.7618 0.8339


mejor estabilización de la varianza por el modelo (6.7) haciendo que la suma acumulada quedepor dentro de los límites de especificación y que dicha suma acumulada tienda a oscilar máscerca del cero.

6.2. Aplicaciones

6.2.1. Transformación de la Variable Dependiente

Para la transformación de y ∈ Rm×1 con base en la metodología heurística de Box-Cox, sepropone el siguiente modelo:


Sujeto a:

y(λ) = Xβ(λ) + ε(λ)

(6.9)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y λ ∈ R.Ahora bien, de forma discreta el modelo (6.9) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v


)+ (1− v)

(y ln (yj)

)−

n∑i=0

βixij = εj ∀j ∈ Nm

(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(6.10)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λ ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y v = {0∨1} es una variable binaria definida como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(6.11)


40 6.2. APLICACIONES

Figura 6.7: Gráfica de SCE(λ) en función de λ del Ejemplo 6.1

Ejemplo 6.1. En Montgomery & Peck [64], el ejemplo 3.9 relaciona los datos de una compañíaeléctrica con x como el consumo en Kw/H y y como la demanda de energía en Kw en horaspico. Los autores escogieron 12 distintos λ de forma arbitraria en un intervalo [−2, 2] para des-pués aplicar la metodología de MCO y computar los 12 SCE(λ). En la Figura 6.7 se encuentrangraficados los SCE(λ) computados, en función de los λ preseleccionados. Con base en el gráfico,ellos toman su decisión. El valor tomado es aproximado y es escogido por un criterio visual quepuede depender, entre otras cosas, de la calidad y criterio del observador.

El modelo propuesto (6.10) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros y p-valores con significancia 0.05, para laspruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, se puede ver en el Cuadro6.4 y los gráficos CUSUM en la Figura 6.8.

Se demuestra entonces que existe un λ óptimo que garantiza una SCE(λ) realmente mínimaaproximando normalidad en los errores.

6.2.2. Transformación de las Variables Independientes

Para la transformación de X ∈ Rm×(n+1) con base en la metodología heurística de Box-Cox,se propone el siguiente modelo:


Cuadro 6.4: Resultados del Ejemplo 6.1 bajo ambas metodologías

Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 0.5 0.55295 %IC(λ) (0.26,0.8) (0.312,0.852)β′ [-1.241 0.003]′ [-1.273 0.003]′

SCE(λ) 96.949 96.635Shapiro-Wilk(wj) 0.1073 0.1411Lilliefors(wj) 0.4428 0.4121

(a) CUSUM Box & Cox λ = 0,5 (b) CUSUM Rodríguez & Giraldo λ = 0,552

Figura 6.8: Gráficos CUSUM para los residuales recursivos wj de la transformación bajo ambasmetodologías en el Ejemplo 6.1


Minimizar ε′(Λ)ε(Λ)

Sujeto a:

y = X(Λ)β(Λ) + ε(Λ)

(6.12)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y Λ(1×n) ∈R1×n. Ahora bien, de forma discreta el modelo (6.12) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

yj − β0 −n∑i=1

βivi

(xλiij − 1λix

λi−1j

)−

n∑i=1

βi(1− vi)(xj ln (xij)

)= εj ∀j ∈ Nm

(1− vi) + vi|λi| > 0 ∀i ∈ Nn

λi(1− vi) = 0 ∀i ∈ Nn

(6.13)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λi ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y vi = {0 ∨ 1} ∀i ∈ Nn es una variable binariadefinida como:

vi =

0 para λi = 01 para |λi| > 0

∀i ∈ Nn (6.14)

El uso de la variable binaria vi ∀i ∈ Nn es justificada debido al procedimiento dado en la sección3.2. Lo que se quiere aquí es deshabilitar (vi = 0∀i ∈ Nn) o habilitar (vi = 1∀i ∈ Nn) la partesuperior de la función (3.4).

Ejemplo 6.2. En Montgomery & Peck [64], el ejemplo 3.10 relaciona los datos de un molino deviento con x como la velocidad del viento en mph y y como la corriente directa producida por elmolino. Aunque los autores usan el procedimiento propuesto por Box & Tidwell en 1962 [10], sedemostrará que este heurístico también consume tiempo y no garantiza un λ de transformaciónóptimo. En la Figura 6.9 se encuentran graficados los SCE(λ) computados, en función de los λpreseleccionados. Con base en el procedimiento heurístico, ellos toman su decisión.

El modelo propuesto (6.13) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros y p-valores con significancia 0.05, para las


Figura 6.9: Gráfica de SCE(λ) en función de λ del Ejemplo 6.2


Box & Tidwell Rodríguez & Giraldoλ -1 -0.88495 %IC(λ) (-1.15,-0.68) (-1.034,-0.564)β′ [-3.955 0.221]′ [-3.423 0.227]′

SCE(λ) 0.204 0.1956Shapiro-Wilk(wj) 0.1202 0.1374Lilliefors(wj) 0.1031 0.192

pruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, se puede ver en el Cuadro6.5 y los gráficos CUSUM en la Figura 6.10.

Se demuestra entonces que existe un Λ óptimo que garantiza una SCE(Λ) realmente mínimaaproximando normalidad en los errores.

6.2.3. Transformación de Todas las Variables

Para la transformación de y ∈ Rm×1 y X ∈ Rm×(n+1) con base en la metodología heurísticade Box-Cox, se propone el siguiente modelo:


(a) CUSUM Box & Tidwell λ = −1 (b) CUSUM Rodríguez & Giraldo λ = −0,884


Minimizar ε′(λ0,Λ)ε(λ0,Λ)

Sujeto a:

y(λ0) = X(Λ)β(λ0,Λ) + ε(λ0,Λ)

(6.15)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1, λ0 ∈ R yΛ(1×n) ∈ R1×n. Ahora bien, de forma discreta el modelo (6.15) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v0

(yλ0j − 1λ0yλ0−1

)+ (1− v0)

(y ln (yj)

)

−β0 −n∑i=1

βivi

(xλiij − 1λix

λi−1j

)−

n∑i=1


)= εj ∀j ∈ Nm

(1− vi) + vi|λi| > 0 ∀i ∈ Nn

λi(1− vi) = 0 ∀i ∈ Nn

(6.16)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λi ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y vi = {0 ∨ 1} ∀i ∈ Nn es una variable binaria


definida como:

vi =


∀i ∈ Nn (6.17)

El uso de la variable binaria vi ∀i ∈ Nn es justificada debido al procedimiento dado en la sección3.2. Lo que se quiere aquí es deshabilitar (vi = 0∀i ∈ Nn) o habilitar (vi = 1∀i ∈ Nn) la partesuperior de la función (3.4).

Ejemplo 6.3. En Weisberg [89], el ejemplo de la página 157 relaciona los datos de la tasa deaccidentes en autopistas registrada en el año de 1973 y en Mill.V eh/Milla con la longitud delsegmento enMillas, la media diaria de tráfico estimada en miles, el volumen de camiones comoporcentaje del volumen total, la distancia entre los autos y la calzada en pies y el número deintercambios señalizados por milla en el un segmento, es decir, xi ∀i = 1, 2, 3, 4, 5. El autor usala generalización multivariada de Box-Cox para lograr normalidad conjunta. Cabe resaltar queaunque se obtienen λ0 y Λ por MV, este procedimiento no considera SCE(Λ) como criterio dedecisión. Es entendible que tener el criterio de decisión adicional SCE(Λ) es dispendioso puestoque supone hacer tantas regresiones como combinaciones de coeficientes λi hayamos preseleccio-nado. Con base en el procedimiento heurístico, el autor toma su decisión.

El modelo propuesto (6.16) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros y p-valores con significancia 0.05, para laspruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, se puede ver en el Cuadro6.6 y los gráficos CUSUM en la Figura 6.11.

466.2.

APLIC

ACIO

NES


Box & Cox Rodríguez & GiraldoΛ′ [-0.2 0.1429 0.0501 -0.7019 1.3455 -0.2440]′ [-0.37 -0.24 -1.094 0.294 2.256 -0.086]′

β′ [16.5966 -0.0904 -0.0141 -0.1592 -0.2019 1.7449]′ [14.0413 -0.0919 -0.0105 -0.161 -0.1607 2.0294]′

SCE(Λ) 33.345 29.233S-W(wj) 0.7092 0.5349L(wj) 0.7642 0.6666




La generalización multivariada de Box-Cox usada por Weisberg y la propuesta aquí presen-tada, aproximan de manera adecuada normalidad y varianza constante para los errores de laregresión. Sin embargo, el modelo propuesto (6.16) garantiza una SCE(Λ) mínima y óptima,asimismo, se puede ver en los gráficos CUSUM como los errores tienen un mejor ajuste hacia elorigen.

Capítulo 7

Modelos de ProgramaciónMatemática con Restricciones (PM)Difusas

Se define el número difuso λ ∈ F con función de pertenencia (7.1) representada en la Figura7.1:

µλ(λ) =

0 para λ < λ,λ > λλ−λλ−λ

para λ ≤ λ ≤ λλ−xλ−λ

para λ ≤ λ ≤ λ(7.1)

Se pretende modelar entonces con el número difuso (7.1) el grado coyuntural de satisfacciónα ∈ [0, 1].

7.1. Transformación de la Variable Dependiente

Para la transformación de y ∈ Rm×1 con base en la metodología heurística de Box-Cox, sepropone el siguiente modelo:

49

50 7.1. TRANSFORMACIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE

Figura 7.1: Gráfica del número difuso λ ∈ F


Sujeto a:

y(λ) =∼Xβ(λ) + ε(λ)

(7.2)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y λ ∈ F .Ahora bien, de forma discreta el modelo (7.2) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v


)+ (1− v)

(y ln (yj)

)−

n∑i=0


(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

u

(α(λ− λ)− (λ− λ)

)= 0

(1− u)(α(λ− λ)− (λ− λ)

)= 0

0 ≤ α ≤ 1

(7.3)

Donde yj , εj ,βi,xij ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; α ∈ [0, 1]; λ = [λ, λ, λ] ∈ F ; y v,u = {0 ∨ 1} sonvariables binarias definidas como:

CAPÍTULO 7. MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CONRESTRICCIONES (PM) DIFUSAS 51

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(7.4)

u =

0 para λ < λ ≤ λ1 para λ ≤ λ ≤ λ

(7.5)

El uso de la variable binaria v es justificada debido al procedimiento dado en la sección 3.2. Loque se quiere aquí es deshabilitar (v = 0) o habilitar (v = 1) la parte superior de la función(3.4). Asimismo, el uso de la variable binaria u es justificada debido a que en PM se esperaque todas las restricciones y funciones sean continuas, luego entonces para modelar una variableque pueda tomar cualquier valor en una función definida por partes (7.1), es necesario modelartantas restricciones como número de partes esté dividida la función.

Ejemplo 7.1. Retomando el ejemplo de Montgomery & Peck [64] de la sección 6.2.1. del pre-sente trabajo de tesis donde se relacionan los datos de una compañía eléctrica con x como elconsumo en Kw/H y y como la demanda de energía en Kw en horas pico. Apoyado en losautores que escogieron el intervalo [−2, 2] para λ, se definirá el número difuso λ = [−2, 1, 2] ∈ Fcomo en la Ecuación (7.1) y la Figura 7.1. Se le quiere dar un grado de pertenencia µλ(λ) = 1 aλ para modelar el criterio de un decisor averso a las transformaciones, es decir, con un λ = 1 elgrado de satisfacción coyuntural es máximo. La metodología de MCO se aplica de forma idénticacomo en la sección 6.2.1.

El modelo propuesto (7.3) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros, grado de satisfacción y p-valores con signi-ficancia 0.05, para las pruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, sepuede ver en el Cuadro 7.1. Los gráficos CUSUM son iguales a su contraparte precisa en laFigura 6.8.

Además de demostrar una vez más que existe un λ ∈ λ óptimo que garantiza una SCE(λ)

realmente mínima aproximando normalidad en los errores, se demuestra un grado de satisfacciónglobal αλ superior al método tradicional.

52 7.2. TRANSFORMACIÓN DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES


Box & Cox Rodríguez & Giraldoλ 0.5 0.55295 %IC(λ) (0.26,0.8) (0.312,0.852)β′ [-1.241 0.003]′ [-1.273 0.003]′

SCE(λ) 96.949 96.635αλ 0.833 0.851Shapiro-Wilk(wj) 0.1073 0.1411Lilliefors(wj) 0.4428 0.4121

7.2. Transformación de las Variables Independientes

Para la transformación de X ∈ Rm×(n+1) con base en la metodología heurística de Box-Cox,se propone el siguiente modelo:

Minimizar ε′(Λ)ε(Λ)

Sujeto a:

y =∼X(Λ)β(Λ) + ε(Λ)

(7.6)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1 y Λ(1×n) ∈F1×n. Ahora bien, de forma discreta el modelo (7.6) es:

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

yj − β0 −n∑i=1

βivi

(xλiij − 1λix

λi−1j

)−

n∑i=1


)= εj ∀j ∈ Nm

(1− vi) + vi|λi| > 0 ∀i ∈ Nn

λi(1− vi) = 0 ∀i ∈ Nn

ui

(αi(λi − λi)− (λi − λi)

)= 0 ∀i ∈ Nn

(1− ui)(αi(λi − λi)− (λi − λi)

)= 0 ∀i ∈ Nn

0 ≤ αi ≤ 1 ∀i ∈ Nn

(7.7)


Donde yj , εj ,βi,xij ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; αi ∈ [0, 1]∀i ∈ Nn; λi = [λi, λi, λi] ∈ F ∀i ∈ Nn; yvi,ui = {0 ∨ 1} ∀i ∈ Nn son variables binarias definidas como:

vi =


∀i ∈ Nn (7.8)

ui =

0 para λi < λi ≤ λi1 para λi ≤ λi ≤ λi

∀i ∈ Nn (7.9)

El uso de la variable binaria vi ∀i ∈ Nn es justificada debido al procedimiento dado en la sección3.2. Lo que se quiere aquí es deshabilitar (vi = 0∀i ∈ Nn) o habilitar (vi = 1∀i ∈ Nn) la partesuperior de la función (3.4). Asimismo, el uso de la variable binaria ui ∀i ∈ Nn es justificadadebido a que en PM se espera que todas las restricciones y funciones sean continuas, luego en-tonces para modelar una variable que pueda tomar cualquier valor en una función definida porpartes (7.1), es necesario modelar tantas restricciones como número de partes esté dividida lafunción.

Ejemplo 7.2. Retomando el ejemplo de Montgomery & Peck [64] de la sección 6.2.2. del presen-te trabajo de tesis donde se relacionan los datos de un molino de viento con x como la velocidaddel viento en mph y y como la corriente directa producida por el molino. Se definirá el númerodifuso λ = [−2, 1, 2] ∈ F como en la Ecuación (7.1) y la Figura 7.1. Se le quiere dar un grado depertenencia µλ(λ) = 1 a λ para modelar el criterio de un decisor averso a las transformaciones,es decir, con un λ = 1 el grado de satisfacción coyuntural es máximo. La metodología de MCOse aplica de forma idéntica como en la sección 6.2.2.

El modelo propuesto (7.7) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros, grado de satisfacción y p-valores con signi-ficancia 0.05, para las pruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, sepuede ver en el Cuadro 7.2. Los CUSUM son iguales a su contraparte precisa en la Figura y 6.10.

Además de demostrar una vez más que existe un λ ∈ Λ óptimo que garantiza una SCE(Λ)

realmente mínima aproximando normalidad en los errores, se evidencia un grado de satisfacciónglobal αΛ superior al método tradicional.

54 7.3. TRANSFORMACIÓN DE TODAS LAS VARIABLES


Box & Tidwell Rodríguez & Giraldoλ -1 -0.88495 %IC(λ) (-1.15,-0.68) (-1.034,-0.564)β′ [-3.955 0.221]′ [-3.423 0.227]′

SCE(λ) 0.204 0.1956αλ 0.333 0.372Shapiro-Wilk(wj) 0.1202 0.1374Lilliefors(wj) 0.1031 0.192

7.3. Transformación de Todas las Variables

Para la transformación de y ∈ Rm×1 y X ∈ Rm×(n+1) con base en la metodología heurísticade Box-Cox, se propone el siguiente modelo:

Minimizar ε′(λ0,Λ)ε(λ0,Λ)

Sujeto a:

y(λ0) =∼X(Λ)β(λ0,Λ) + ε(λ0,Λ)

(7.10)

Con y(m×1) ∈ Rm×1, X(m×(n+1)) ∈ Rm×(n+1), β((n+1)×1) ∈ R(n+1)×1, ε(m×1) ∈ Rm×1, λ0 ∈ F yΛ(1×n) ∈ F1×n. Ahora bien, de forma discreta el modelo (7.10) es:


Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v0

(yλ0j − 1λ0yλ0−1

)+ (1− v0)

(y ln (yj)

)

−β0 −n∑i=1

βivi

(xλiij − 1λix

λi−1j

)−

n∑i=1


)= εj ∀j ∈ Nm

(1− vi) + vi|λi| > 0 ∀i ∈ Nn

λi(1− vi) = 0 ∀i ∈ Nn

ui

(αi(λi − λi)− (λi − λi)

)= 0 ∀i ∈ Nn

(1− ui)(αi(λi − λi)− (λi − λi)

)= 0 ∀i ∈ Nn

0 ≤ αi ≤ 1 ∀i ∈ Nn

(7.11)

Donde yj , εj ,βi,xij ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; αi ∈ [0, 1]∀i ∈ Nn; λi = [λi, λi, λi] ∈ F ∀i ∈ Nn; yvi,ui = {0 ∨ 1} ∀i ∈ Nn son variables binarias definidas como:

vi =


∀i ∈ Nn (7.12)

ui =

0 para λi < λi ≤ λi1 para λi ≤ λi ≤ λi

∀i ∈ Nn (7.13)

El uso de la variable binaria vi ∀i ∈ Nn es justificada debido al procedimiento dado en la sección3.2. Lo que se quiere aquí es deshabilitar (vi = 0∀i ∈ Nn) o habilitar (vi = 1∀i ∈ Nn) la partesuperior de la función (3.4). Asimismo, el uso de la variable binaria ui ∀i ∈ Nn es justificadadebido a que en PM se espera que todas las restricciones y funciones sean continuas, luego en-tonces para modelar una variable que pueda tomar cualquier valor en una función definida porpartes (7.1), es necesario modelar tantas restricciones como número de partes esté dividida lafunción.

Ejemplo 7.3. Retomando el ejemplo de Weisberg [89]de la sección 6.2.3. del presente tra-bajo de tesis donde se relacionan los datos de la tasa de accidentes en autopistas registrada


en el año de 1973 y en Mill.V eh/Milla con la longitud del segmento en Millas, la mediadiaria de tráfico estimada en miles, el volumen de camiones como porcentaje del volumen to-tal, la distancia entre los autos y la calzada en pies y el número de intercambios señalizadospor milla en el un segmento, es decir, xi ∀i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Se definirán los números difusosλi = [−3, 1, 3] ∈ F ∀i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 como en la Ecuación (7.1) y la Figura 7.1. Se le quiere darun grado de pertenencia µλi(λi) = 1 ∀i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 a λi ∀i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 para modelar elcriterio de un decisor averso a las transformaciones, es decir, con un λi = 1∀i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 elgrado de satisfacción coyuntural es máximo. La metodología de MCO se aplica de forma idénticacomo en la sección 6.2.3.

El modelo propuesto (6.16) se computa en GAMS R© con el solver BARON R©, los errores sontratados en R. La comparación de los parámetros y p-valores con significancia 0.05, para laspruebas de normalidad y homocedasticidad de ambas metodologías, se puede ver en el Cuadro7.3. Los gráficos CUSUM son iguales a su contraparte precisa en la Figura 6.11.

CAPÍT

ULO

7.MODELO

SDE

PROGRAMACIÓ

NMAT

EMÁT

ICA

CON

REST

RIC

CIO

NES

(PM)DIFU

SAS

57


Box & Cox Rodríguez & GiraldoΛ′ [-0.2 0.1429 0.0501 -0.7019 1.3455 -0.2440]′ [-0.37 -0.24 -1.094 0.294 2.256 -0.086]′

β′ [16.5966 -0.0904 -0.0141 -0.1592 -0.2019 1.7449]′ [14.0413 -0.0919 -0.0105 -0.161 -0.1607 2.0294]′

αΛ′ [0.7 0.786 0.763 0.575 0.827 0.689]′ [0.658 0.69 0.477 0.824 0.372 0.729]′

SCE(Λ) 33.345 29.233S-W(wj) 0.7092 0.5349L(wj) 0.7642 0.6666


La generalización multivariada de Box-Cox usada por Weisberg y la propuesta aquí presen-tada, aproximan de manera adecuada normalidad y varianza constante para los errores de laregresión. Sin embargo, el modelo propuesto (6.16) garantiza una SCE(Λ) mínima y óptima.En este caso particular, se se logran grados de satisfacción mixtos αΛ con respecto al métodotradicional, es decir, el decisor podría estar más satisfecho con la metodología tradicional conbase en su medición de aversión a las transformaciones aunque se le puede demostrar que obje-tivamente, es mejor tener un SCE(Λ) mínimo para hacer inferencia.

Capítulo 8

Conclusiones Finales

La presente tesis de maestría muestra varios modelos de PM que permiten estimar paráme-tros (ML) óptimos en modelos de regresión múltiple divididos así: un modelo de PM precisapara el caso particular de transformación de una sola variable (6.2), también muestra un modelode PM para el caso general de transformaciones de las variables dependiente e independientes(6.16) y, sus casos específicos (6.10) y (6.13). Los modelos propuestos se computaron en GAMS R©

con el solver BARON R© y los errores fueron tratados en R.

Se comprueba la utilidad de los modelos propuestos con simulaciones y ejemplos de aplicaciónde cada modelo cuyos resultados se comparan contra el método tradicional de transformaciónde Box-Cox por MV en los cuadros 6.1-6.3, 6.4-6.6 y 7.1-7.3. Una revisión de los resultadosmencionados, muestran el apropiado uso de los modelos de PM al estimar de la mejor forma elmenor valor óptimo para SCE(Λ) por la metodología de Box-Cox, obteniendo simultáneamen-te una mejor aproximación a normalidad y varianza constante, teniendo los modelos un mejordesempeño en los casos donde transformación múltiple es requerida. Asimismo, muestra cómoincluyendo 2i ∀i ∈ Nn restricciones adicionales, se puede medir de manera objetiva el grado desatisfacción subjetivo representado por un número difuso computando un modelo de PM conrestricciones difusas para el caso general de transformaciones de las variables dependiente e in-dependientes (7.11) y, sus casos específicos (7.3) y (7.7).

Es importante anotar, que a pesar de que Box-Cox es el método de transformación más usado,no se pueden ignorar los estudios existentes sobre la robustez de la metodología para homoce-dasticidad [28] [93]. Debido a esto, diversas alternativas de transformación se han presentado alo largo de la historia, entre las más conocidas, los trabajos de Manly [61], John & Draper [51],

59

60

Bickel & Doksum [9], y Yeo & Johnson [91]. Modelos propuestos de PM para las transforma-ciones previamente mencionadas, pueden ser consultados en el apéndice A, a manera de puntoinicial para trabajos futuros sobre optimización en las transformaciones.

Con la inclusión de restricciones difusas para medir de forma objetiva el grado de satisfacciónsubjetiva del decisor, los modelos propuestos tienen también un mejor resultado obteniendo unαΛ más alto que los métodos tradicionales de transformación de Box-Cox por MV. De acuerdoal diseño del número difuso en los ejemplos 7.1-7.3, obtener un grado de pertenencia más altopara la transformación usando PM en lugar de el método por MV, demuestra también que lapotencia de transformación encontrada estaba más cerca a la unidad, en otras palabras, se puededecir que estamos más próximos a los datos en su forma original.

Como se evidencia en el presente trabajo de tesis de maestría, la PM tiene un amplio cam-po de aplicaciones en estadística si se tiene en cuenta que mucho trabajo teórico se basa enencontrar la mejor estimación puntual o por intervalo, de un parámetro o una variable. Una es-timación óptima es garantizada con el uso de la PM formulando modelos adecuados que tenganen cuenta las relaciones matemáticas más significativas y un objetivo claro a la hora de abstraerel problema. Para más referencias del uso de la PM aplicado a problemas en estadística, el tra-bajo de Arthanari & Dodge [2] es sumamente recomendado.

Parte III

Apéndice

61

Apéndice A

Modelos de ProgramaciónMatemática Precisa para otrasTransformaciones

A.1. Transformación de Manly

Con base en Manly [61] se propone entonces minimizar con respecto a la SCE(λ):

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v

(eλyj − 1

λ

)+ (1− v)(yj)−

n∑i=0


(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(A.1)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λ ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y v = {0∨1} es una variable binaria definida como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(A.2)


63

64 A.2. TRANSFORMACIÓN DE JOHN & DRAPER

A.2. Transformación de John & Draper

Con base en John & Draper [51] se propone entonces minimizar con respecto a la SCE(λ):

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

v

([uj − (1− uj)]

(|yj |+ 1)λ

λ

)+ (1− v)

([uj − (1− uj)][ln (|yj |+ 1)]

)−

n∑i=0


yjuj ≥ 0 ∀j ∈ Nm

yj(1− uj)− (1× 10−10) < 0 ∀j ∈ Nm

(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(A.3)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λ ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y uj , v = {0 ∨ 1} ∀j ∈ Nm son variables binariasdefinidas como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(A.4)

uj =

0 para yj < 01 para yj ≥ 0

∀j ∈ Nm (A.5)

El uso de la variable binaria v es justificada debido al procedimiento dado en la sección 3.2.Lo que se quiere aquí es deshabilitar (v = 0) o habilitar (v = 1) la parte superior de la función(3.4). El uso de las variables binarias uj se justifica debido al hecho que la transformación esaplicada con distinto signo de acuerdo al signo de cada yj .

APÉNDICE A. MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PRECISA PARAOTRAS TRANSFORMACIONES 65

A.3. Transformación de Bickel & Doksum

Con base en Bickel & Doksum [9] se propone entonces minimizar con respecto a la SCE(λ):

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:( |yj |λ[uj − (1− uj)]− 1λ

)−

n∑i=0



yj(1− uj)− (1× 10−10) < 0 ∀j ∈ Nm

λ > 0

(A.6)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λ ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y uj = {0 ∨ 1} ∀j ∈ Nm son variables binariasdefinidas como:

uj =


∀j ∈ Nm (A.7)

El uso de las variables binarias uj se justifica debido al hecho que la transformación es apli-cada con distinto signo de acuerdo al signo de cada yj .

66 A.4. TRANSFORMACIÓN DE YEO & JOHNSON

A.4. Transformación de Yeo & Johnson

Con base en Yeo & Johnson [91] se propone entonces minimizar con respecto a la SCE(λ):

Minimizarm∑j=1

ε2j

Sujeto a:

uj

[v

((yj + 1)λ − 1λ

)+ (1− v)

(ln (yj + 1)

)](1− uj)

[h

((1− yj)(2−λ) − 1λ− 2

)+ (1− h)

(− ln (1− yj)

)]−

n∑i=0



yj(1− uj)− (1× 10−10) < 0 ∀j ∈ Nm

(1− v) + v|λ| > 0

λ(1− v) = 0

(1− h) + h|λ− 2| > 0

(1− h)(λ− 2) = 0

v + h = 1

(A.8)

Donde yj , εj ,βi,xij ,λ ∈ R ∀i ∈ Nn, j ∈ Nm; y uj , v,h = {0 ∨ 1} ∀j ∈ Nm son variables bina-rias definidas como:

v =

0 para λ = 01 para |λ| > 0

(A.9)

h =

0 para λ = 21 para λ 6= 2

(A.10)

uj =


∀j ∈ Nm (A.11)

APÉNDICE A. MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PRECISA PARAOTRAS TRANSFORMACIONES 67

El uso de la variable binaria v es justificada debido al procedimiento dado en la sección 3.2.Lo que se quiere aquí es deshabilitar (v = 0) o habilitar (v = 1) la parte superior de la función(3.4). El uso de la variable binaria h es justificada debido al procedimiento dado por Yeo &Johnson [91]. Lo que se quiere aquí es deshabilitar (h = 0) o habilitar (h = 1). El uso de lasvariables binarias uj se justifica debido al hecho que la transformación es aplicada con distintosigno de acuerdo al signo de cada yj .

68 A.4. TRANSFORMACIÓN DE YEO & JOHNSON

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