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UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado
Trabajo Fin de Máster
TRIÁNGULOS: TEOREMA DE PITÁGORAS Y SEMEJANZA
EN 2º DE ESO
Alumno/a: García Castillo, Daniel Tutor/a: Prof. Dña. Consuelo Rosales Ródenas Dpto: Matemáticas
Octubre, 2019
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Tabla de contenido 1. Introducción .............................................................................................................. 4
2. Objetivos ................................................................................................................... 4
3. Fundamentación curricular ....................................................................................... 5
3.1. Análisis de las disposiciones curriculares vigentes ................................................ 5
3.2. Análisis del libro de texto ...................................................................................... 6
4. Fundamentación epistemológica .............................................................................. 9
4.1. Introducción .......................................................................................................... 9
4.1.1. Etimología .......................................................................................................... 9
4.1.2. Historia ............................................................................................................... 9
4.2. Triángulos y conceptos relacionados .................................................................. 10
4.2.1. Definición y nomenclatura ............................................................................... 10
4.2.2. Propiedades de los triángulos .......................................................................... 11
4.2.3. Tipos de triángulos ........................................................................................... 11
4.2.4. Rectas notables ................................................................................................ 13
4.2.5. Criterios de igualdad de triángulos .................................................................. 13
4.2.6. Relación ángulos-lados .................................................................................... 14
4.3. Relaciones métricas en un triángulo ................................................................... 15
4.3.1. Triángulos rectángulos ..................................................................................... 15
4.3.2. Teorema de Pitágoras ...................................................................................... 16
4.4. Área del triángulo ................................................................................................ 18
4.5. Semejanza de triángulos...................................................................................... 19
5. Fundamentación didáctica ...................................................................................... 20
5.1. Análisis de los errores más comunes en la enseñanza de la Geometría ............. 20
5.2. Análisis de los recursos TIC que complementan la enseñanza de la Geometría 22
5.3. Propuesta didáctica de actividades que integren las TIC en la enseñanza ......... 24
5.4. Propuestas de mejora en la enseñanza de las Matemáticas .............................. 25
6. Proyección didáctica ............................................................................................... 27
6.1. Título y justificación ............................................................................................. 27
6.2. Contextualización del centro y del aula .............................................................. 27
6.3. Objetivos .............................................................................................................. 28
6.3.1. Objetivos generales de etapa .......................................................................... 28
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6.3.2. Objetivos de área ............................................................................................. 29
6.3.3. Objetivos de la unidad ..................................................................................... 30
6.4. Competencias clave ............................................................................................. 30
6.5. Contenidos ........................................................................................................... 31
6.6. Metodología ........................................................................................................ 31
6.7. Actividades .......................................................................................................... 33
6.8. Temporalización y recursos ................................................................................. 40
6.8.1. Sesión 1 ............................................................................................................ 42
6.8.2. Sesión 2 ............................................................................................................ 43
6.8.3. Sesión 3 ............................................................................................................ 44
6.8.4. Sesión 4 ............................................................................................................ 45
6.8.5. Sesión 5 ............................................................................................................ 46
6.8.6. Sesión 6 ............................................................................................................ 47
6.8.7. Sesión 7 ............................................................................................................ 48
6.8.8. Sesión 8 ............................................................................................................ 49
6.8.9. Sesión 9 ............................................................................................................ 49
6.8.10. Sesión 10 ...................................................................................................... 50
6.9. Atención a la diversidad ...................................................................................... 51
6.10. Evaluación ........................................................................................................ 52
6.10.1. Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables ................ 52
6.10.2. Sistema de evaluación .................................................................................. 56
7. Conclusiones............................................................................................................ 62
8. Referencias bibliográficas ....................................................................................... 63
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1. Introducción
La realización de este Trabajo Fin de Máster (TFM) supone el punto final al Máster en
Profesorado de Educación Secundaria para la especialidad de Matemáticas. En este
proyecto he aplicado, de forma teórica, gran parte de lo aprendido durante el curso y
el período de prácticas docentes en un centro de secundaria. Al mismo tiempo, este
trabajo puede ser considerado como el punto de partida hacia un futuro laboral ligado
a la docencia y en él he reflejado, por primera vez, algunas de las directrices que
marcan mi pensamiento desde una perspectiva docente.
El objetivo principal de este TFM es el de mostrar el diseño de una unidad didáctica
específica. Para el desarrollo de esta unidad, he escogido el tema “Triángulos: Teorema
de Pitágoras y Semejanza” de 2º de ESO.
En cuanto a la estructura, tras describir los objetivos del TFM, se procede a la
realización de una serie de fundamentaciones teóricas con el objetivo de apoyar el
posterior desarrollo de la unidad didáctica. Las fundamentaciones desarrolladas son:
Fundamentación curricular. Se ha realizado un breve análisis del currículo
escolar, utilizando para ello un libro de texto, y centrado en el tema escogido
para el diseño de la unidad didáctica.
Fundamentación epistemológica. Se ha desarrollado el tema correspondiente a
los triángulos del temario de oposiciones desde una perspectiva matemática y
teórica más elevada.
Fundamentación didáctica. Se han relacionado algunos aspectos importantes
sobre la didáctica de las Matemáticas en el campo de la geometría aportados
por investigadores de esta área.
Finalmente, se presenta la unidad didáctica diseñada con sus correspondientes
objetivos, competencias clave, metodología, temporalización y evaluación entre otros
apartados a destacar.
2. Objetivos
Los objetivos principales que se persiguen con la realización de este TFM son:
Completar la formación como futuro docente: practicando la elaboración de
una unidad didáctica y materializando e integrando el aprendizaje adquirido
durante el Máster de Profesorado en Educación Secundaria y el Practicum.
Conocer los objetivos, contenidos, competencias y estándares de evaluación
del currículo de Matemáticas. Planificar, en base a ello, el proceso de
enseñanza.
Aprender a realizar una temporalización de aula y a diseñar actividades o tareas
para los alumnos.
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Completar la formación como futuro investigador: investigando sobre estudios
anteriores y adaptándolos o extrapolándolos a otros contextos, analizando los
libros de texto de secundaria y evaluando las oportunidades de mejora en el
ámbito de la docencia.
Potenciar una actitud crítica y proactiva en el ámbito de la docencia.
Reforzar la habilidad de autoaprendizaje e investigación autónoma, buscando
la originalidad y mejorando la capacidad para innovar en el ámbito educativo.
Aprender a aplicar los conocimientos adquiridos en entornos contextualizados
y a comunicar las conclusiones.
Comenzar la preparación de las oposiciones con el desarrollo de un tema de los
propuestos.
3. Fundamentación curricular
3.1. Análisis de las disposiciones curriculares vigentes
El objetivo de este apartado es el de realizar una comparativa entre el currículo escolar
propuesto por el BOJA para 2º de ESO y un libro de texto de dicho curso, utilizando
para este caso el libro de Matemáticas de Anaya de 2017.
El teorema de Pitágoras y la semejanza se incluyen en el bloque 3 de Geometría, según
la orden de 14 de julio de 2016 (BOJA). Según esta orden, el desarrollo del teorema de
Pitágoras debe estar precedido por el estudio de los triángulos rectángulos, sin
embargo, en el libro mencionado, el bloque de Geometría comienza directamente con
el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones, para luego dar paso al estudio de la
semejanza y de las figuras semejantes. Desde este punto de vista, creo que resulta más
práctico el orden propuesto por el BOJA ya que los triángulos rectángulos tendrán un
papel importante tanto en el estudio del teorema de Pitágoras como en el estudio de
la semejanza y, por ello, opino que en dicho libro se debería haber respetado dicho
orden.
Otra diferencia importante entre el orden de los contenidos que se presenta en el
BOJA y el que aparece en el libro de texto es que, en el BOJA, entre el teorema de
Pitágoras y la semejanza se incluyen antes los contenidos correspondientes al cálculo
de longitudes, áreas, volúmenes y poliedros, mientras que en el libro se estudia antes
la semejanza. En este caso, me parece más adecuada la disposición elegida por los
autores de libro, ya que la semejanza me parece un concepto más general y una
herramienta que puede utilizarse en el estudio de los cuerpos geométricos. Siguiendo
el orden propuesto por el libro de texto, el estudio de los poliedros quedaría menos
limitado ya que, al llegar a dicho tema, los alumnos poseen un conocimiento que les
permite trabajar con mayor amplitud o recursos los contenidos relacionados con los
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cuerpos geométricos. Al mismo tiempo, también los ejercicios propuestos para el
cálculo de distancias, áreas, volúmenes o poliedros podrán ser más completos si
primero se enseñan los contenidos relacionados con la semejanza.
Según el BOJA, al final del bloque de Geometría se incluyen contenidos relativos al uso
de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y relaciones
geométricas. En el libro de texto no se le da una gran importancia a este tipo de
contenidos y, bajo mi punto de vista, sería aconsejable integrar el uso de las
herramientas informáticas en todos los epígrafes que fuese posible, ya que se trata de
un elemento clave actualmente, tanto en la vida cotidiana como en el mundo laboral, y
que puede enriquecer enormemente el aprendizaje de los alumnos.
En resumen, el orden propuesto por el libro me parece más apropiado ya que permite
profundizar en los contenidos del resto del bloque de Geometría con un mayor
número de herramientas y, por lo tanto, de posibilidades, permitiendo también
proponer ejercicios más completos. En cuanto a los contenidos, creo que sería
aconsejable que el libro de texto incluyera un tema sobre las herramientas
informáticas, algo que puede ser fundamental en el desarrollo personal y profesional
del alumnado.
3.2. Análisis del libro de texto
En el libro de texto de Matemáticas para 2º ESO editorial Anaya, esta parte del bloque
de Geometría está dividida en dos temas, un dedicado al teorema de Pitágoras y otro a
la semejanza.
Para introducir el teorema de Pitágoras, el tema comienza con una introducción
histórica sobre Pitágoras y la demostración de Euclides. También incluye algunos
ejercicios propuestos para que el alumno realice la comprobación del teorema tal y
como propone Euclides.
A continuación, el tema se estructura en los siguientes apartados:
1. Teorema de Pitágoras
2. Cálculo de un lado conociendo los otros dos
3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras
El segundo tema, en el que se estudia la Semejanza, comienza con una introducción
histórica sobre dicho concepto. En esta introducción se relacionan los trabajos de Tales
de Mileto, Pitágoras y Euclides, y se ofrecen algunos ejemplos o ejercicios
introductorios para que el alumno empiece a pensar sobre el concepto de semejanza
sin conocer su definición.
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A continuación, el tema se estructura en los siguientes apartados:
1. Figuras semejantes
2. Planos, mapas y maquetas
3. Cómo construir figuras semejantes
4. Teorema de Tales
5. Semejanza entre triángulos rectángulos
6. Aplicaciones de la semejanza de triángulos
Para ambos temas, la estructura de cada apartado es similar:
Teoría: un texto introductorio, generalmente referido a una imagen, en el que
se describe un ejemplo relacionado con el concepto a tratar.
Cuadros amarillos: a continuación del apartado de teoría se da la definición del
concepto en un cuadro bien resaltado.
Notas aclaratorias: aclaraciones teóricas que se encuentran en los laterales de
las páginas.
Sección “En la web”: con propuestas de ejercicios o curiosidades para buscar
por internet.
Ejercicios resueltos: ejemplos en los que se muestran los procedimientos a
seguir.
“Piensa y practica”: problemas propuestos para que los resuelva el alumno.
Al final de la unidad podemos encontrar las siguientes secciones:
Ejercicios y problemas: apartado de ejercicios y problemas propuestos de
todos los puntos del tema.
“Aprende a resolver problemas”: apartado en el que se dan indicaciones para
resolver problemas y se pone un ejemplo, en el que se explica paso a paso, el
proceso mental que se recomienda seguir para su resolución.
Taller de matemáticas: ejercicios para construir, reflexionar e investigar.
“Lee e infórmate”: curiosidades de la vida real relacionadas con las
matemáticas.
“Entrénate resolviendo problemas”: problemas menos estandarizados,
generalmente contextualizados, en los que se pueden aplicar los conceptos
aprendidos pero en los que el alumno deberá razonar de una forma mucho más
amplia.
Autoevaluación: ejercicios y problemas con mayor dificultad.
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Aunque, desde mi punto de vista, se trata de un libro bastante actualizado
didácticamente y que incluye varias secciones muy interesantes de cara al aprendizaje
del alumnado, opino que el libro podría mejorar en los siguientes aspectos:
Justificación: incluyendo, cuando sea posible, justificaciones que sirvan para
introducir los conceptos teóricos.
Utilidad: resaltando con mayor frecuencia la utilidad de lo aprendido, conforme
se va presentando en el libro de texto, mediante ejemplos contextualizados o
listas que enumeren las aplicaciones más importantes del concepto
presentado.
Estimulación del pensamiento crítico: introduciendo ejercicios o propuestas de
problemas que requieran que los alumnos utilicen un pensamiento crítico.
Contextualización de problemas: aumentando el número de problemas y
ejemplos contextualizados e indicaciones a seguir para este tipo de problemas.
Dinamismo: incluyendo un mayor número de tareas de modelización o trabajo
en equipo.
Propuestas TIC: aumentando el número de propuestas que deban utilizar las
TIC. Creo que este apartado no debería quedar reducido tan solo a uno o dos
ejercicios propuestos para buscar por internet, sino que deberían incluirse
enlaces a webs o aplicaciones matemáticas que sean necesarias para el
desarrollo del epígrafe en cuestión, incluir problemas o ejercicios que deban
resolverse utilizando tablas Excel o similar, etc.
En general, creo que el libro cuenta con una propuesta interesante en relación a los
contenidos, aunque cambiaría la estructura en la que se desarrollan, incluso,
construiría epígrafes con una estructura invertida en la que primero se presente un
problema real o contextualizado, luego se resuelva y finalmente se exponga el
concepto teórico o herramienta matemática utilizada. De esta forma se pone el énfasis
en la utilidad pudiendo despertar un mayor interés en el alumnado.
En cuanto al tipo de actividades, aumentaría el número de actividades
contextualizadas, de modelización matemática e incluiría propuestas de tareas
matemáticas a resolver en grupo.
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4. Fundamentación epistemológica
4.1. Introducción
En este apartado de introducción se hará una revisión etimológica de la palabra
triángulo y se repasará la historia de la geometría en relación a este concepto.
4.1.1. Etimología
Según la RAE, la palabra triángulo tiene su origen en el latín, triangŭlus, cuya
traducción es “tres esquinas” ya que esta raíz está formada por los componentes
léxicos tri (tres) y angŭlus (esquina). Esto sugiere que el significado sería “algo que
tiene tres ángulos”.
Este análisis etimológico puede servir para hacerse una idea inicial sobre lo que es un
triángulo aunque el concepto es mucho más amplio y, por ello, tanto su definición
como sus propiedades serán completadas en los siguientes apartados.
4.1.2. Historia
La Geometría como disciplina matemática fue desarrollada por el ser humano con el
objetivo de explicar y medir la naturaleza. Los primeros conceptos geométricos
surgieron en el antiguo Egipto, hace más de 3.000 años, y tenían un carácter
principalmente práctico.
Los egipcios utilizaban la Geometría para resolver cuestiones elementales de su vida
cotidiana, tales como el cálculo de lindes o la construcción de diques para canalizar el
agua. Así, por ejemplo, para realizar mediciones en los terrenos, los egipcios
calculaban áreas de rectángulos y triángulos utilizando un sistema de cuerdas.
También los babilonios utilizaban conceptos de geometría para calcular áreas de
figuras simples. Resulta especialmente curioso que, para la construcción de ángulos
rectos o esquinas, egipcios y babilonios utilizaban propiedades de los triángulos, ya
que ellos sabían que determinados triángulos siempre contenían un ángulo recto.
Concretamente, los triángulos cuyos lados miden 3, 4, y 5 unidades, y los de medidas
5, 12, y 13. En este sentido, se puede considerar que estas civilizaciones hacían un uso
puramente práctico de los conceptos relacionados con la geometría y los triángulos,
por lo que se trataba de unas matemáticas funcionales.
La sabiduría geométrica de los antiguos egipcios y babilonios era muy dilatada pero
tenía un carácter exclusivamente pragmático o productivo. Fueron los griegos los que
acogieron este saber y le dieron un sentido teórico y cultural. Tales de Mileto (624 a.C.-
546 a.C.), conocido como el primero de los siete sabios de Grecia, impulsó el
pensamiento griego y, junto con sus discípulos, entre los que se encuentra Pitágoras,
fue el precursor de la matemática deductiva. Tales aprovechó sus numerosos viajes
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para aprender los conceptos geométricos utilizados por los egipcios y los babilonios.
Cuenta la historia que, para calcular la altura de la pirámide de Keops, Tales midió la
sombra que proyectaba la pirámide en un momento determinado del día y la comparó
con la sombra proyectada por su bastón, utilizando así conceptos relacionados con la
Semejanza de triángulos y dando lugar al famoso Teorema de Tales.
Pitágoras (569 a.C.-475 a.C.), discípulo de Tales, recogió y amplió el conocimiento
matemático de su maestro y, por ende, aprendió entre otras cosas la forma en que
egipcios y babilonios utilizaban las propiedades de los triángulos rectángulos. Uno de
los mayores méritos de Pitágoras fue enunciar su famoso teorema que relaciona las
áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo,
creando así un modelo general para la resolución de estos.
A pesar de la importancia de Tales y Pitágoras en el estudio de la teoría de los
triángulos, no fueron ellos quienes demostraron los teoremas que enunciaron, sino
Euclides dos siglos más tarde. Euclides de Alejandría (325 a.C.-265 a.C.), considerado
como “El Padre de la Geometría”, escribió la obra “Elementos” en torno al año 300 a.C.
Se trata de un conjunto de 13 libros en los que se recopila, amplía y organiza todo el
saber matemático de la época, aportándole una sólida estructura lógica. En esta obra,
Euclides demuestra los teoremas enunciados por Tales y Pitágoras.
En la actualidad, existe un gran número de estudios relacionados con la geometría de
los triángulos entre los que destacan aquellos que tratan de descubrir nuevos tipos de
centros. Como curiosidad, la Enciclopedia de Centros del Triángulo recoge una lista con
los miles de centros hallados hasta la fecha.
4.2. Triángulos y conceptos relacionados
En este apartado se definirán los elementos y conceptos fundamentales sobre los que
se va a desarrollar este tema.
4.2.1. Definición y nomenclatura
Definición. Un triángulo es una figura plana o un polígono convexo formado por tres
segmentos rectilíneos que, dos a dos, tienen un punto en común.
Como consecuencia de esta definición, se deduce que un triángulo es un polígono
cerrado que tiene tres lados (los tres segmentos) y tres ángulos internos.
Los triángulos determinan dos tipos de ángulos:
Los ángulos internos de un triángulo son aquellos ángulos convexos que se
forman mediante la unión de dos lados del triángulo.
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Los ángulos externos son los formados por un lado y la prolongación de otro,
quedando estos fuera del área delimitada por el polígono.
Nomenclatura. Por lo general, los vértices de un triángulo se expresan mediante letras
mayúsculas. Cada ángulo interno del triángulo se indica con la misma letra del vértice
coincidente o con letras del alfabeto griego. Cada lado de un triángulo se expresará
con la misma letra del ángulo o vértice opuesto pero utilizando letras minúsculas.
Fig 1. Nomenclatura del triángulo. Fuente: Elaboración propia.
Definición. Se denomina Perímetro de un triángulo al valor correspondiente a la suma
de las longitudes de sus tres lados.
Definición. El Área de un triángulo es la dimensión de la superficie cerrada del plano
delimitada por los tres lados del triángulo.
4.2.2. Propiedades de los triángulos
Enunciamos a continuación algunas propiedades básicas de los triángulos:
Para todos los triángulos:
o La suma de los ángulos internos es 180⁰.
o El valor de cada ángulo externo es igual a la suma del valor de los dos
ángulos internos no adyacentes.
Dos triángulos son iguales si:
o Los tres lados son iguales.
o Dos lados y el ángulo que forman son iguales.
o Un lado y los dos ángulos adyacentes son iguales.
Un triángulo que tiene dos lados iguales, también tiene iguales los ángulos
opuestos a dichos lados.
4.2.3. Tipos de triángulos
Existen dos clasificaciones para los triángulos, una basada en la comparación entre sus
lados y otra basada en el tipo de sus ángulos internos.
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Teniendo en cuenta sus lados:
Equiláteros. Aquellos en los que la longitud de sus tres lados es la misma.
Isósceles. Aquellos en los que dos de sus lados tienen la misma longitud.
Escalenos. Son aquellos en los que ninguno de sus tres lados tienen longitudes
iguales entre sí.
Teniendo en cuenta sus ángulos:
Acutángulos. Los tres ángulos son agudos.
Rectángulos. Uno de sus ángulos es recto (90⁰).
Obtusángulos. Uno de sus ángulos es obtuso.
Teorema. Un triángulo es isósceles si y solo si tiene dos ángulos iguales.
Demostración. Sea ABC un triángulo isósceles cuyos lados iguales son b y c, tal y como
se muestra en la Figura 2, se considera el triángulo A’B’C’ que se ha obtenido aplicando
una simetría con respecto a la bisectriz del ángulo α.
Fig 2. Triángulos simétricos. Fuente: Elaboración propia.
Se realiza un movimiento de forma que A coincida con A’. Dado que A=A’, el lado b
coincidirá con c’.
Así, ambos triángulos coincidirán, siendo γ’=β. Y como γ=γ’, tendremos que β=γ.
Suponiendo ahora que β=γ en el triángulo ABC y realizando un movimiento que sitúe el
punto A sobre A’ y el lado a sobre a’, tendremos que la recta que contiene a b’ tendrá
la misma dirección que la recta que contiene a c ya que β=γ’. Del mismo modo, la recta
que contiene a c’ tendrá la misma dirección que la recta que contiene a b ya que β’=γ.
Entonces c=b’ y b’=b, luego c=b y por tanto el triángulo ABC es isósceles.
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4.2.4. Rectas notables
A continuación, se definen las rectas y segmentos notables relacionados con el estudio
de los triángulos.
Definición. La Base de un triángulo es un segmento que puede corresponder a
cualquiera de sus tres lados.
Definición. La Altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que une a
este con el vértice opuesto. Los triángulos tienen tres alturas cuya intersección da
lugar a un punto que recibe el nombre de Ortocentro.
Definición. Llamaremos Mediana de un triángulo al segmento que une el punto medio
de un lado con el vértice opuesto. Los triángulos tienen tres medianas cuya
intersección da lugar a un punto llamado Baricentro.
Definición. Una Bisectriz Interior de un triángulo es la semirrecta que divide a un
ángulo del triángulo en dos partes iguales. La intersección de las bisectrices de los
ángulos internos de un triángulo da lugar a un punto conocido como Incentro. El
Incentro también es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Definición. Una Mediatriz de un triángulo es la recta perpendicular a un lado del
triángulo que pasa por su punto medio, dividiéndolo en dos partes iguales. Los
triángulos tienen tres mediatrices cuya intersección da lugar a un punto que recibe el
nombre de Circuncentro. El Circuncentro es también el centro de la circunferencia
circunscrita.
4.2.5. Criterios de igualdad de triángulos
En la geometría euclídea la igualdad equivale a congruencia. En este apartado se
analizan las condiciones que deben darse para que dos triángulos sean iguales o
congruentes.
Definición. Sean dos figuras de triángulos determinados por los vértices ABC y A’B’C’
respectivamente, se dice que ambos son congruentes si, cualquier movimiento
compuesto por traslaciones, rotaciones o reflexiones, permite transformar uno de
dichos triángulos en el otro. Por lo tanto, para dos triángulos congruentes sus lados
correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la
misma medida, esto es: a=a’, b=b’, c=c’, α=α’, β=β’, γ=γ’. (Figura 3).
Muchas veces es complicado encontrar la composición de movimientos que
demuestre la congruencia de dos triángulos. Otro camino para probar la congruencia
de dos triángulos es comprobando la igualdad entre lados y ángulos.
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Fig 3. Triángulos congruentes. Fuente: Elaboración propia.
Para que dos triángulos sean considerados iguales deben cumplir, al menos, una de las
siguientes condiciones que implican que esos dos triángulos son congruentes:
C1. Los triángulos tienen entre sí dos lados iguales y el ángulo que forman entre ambos
lados.
C2. Los triángulos tienen un lado y los dos ángulos contiguos a dicho lado iguales.
C3. Los triángulos tienen los tres lados iguales respectivamente.
C4. Los triángulos tienen dos lados de diferente longitud iguales y el ángulo opuesto al
mayor de esos lados.
En el caso concreto de los triángulos rectángulos, al estar determinado un ángulo de
90⁰ entre los dos catetos, los criterios de igualdad anteriormente definidos se pueden
particularizar de la siguiente manera:
C1. Dos triángulos rectángulos serán congruentes si sus catetos homólogos son iguales.
C2. Dos triángulos rectángulos serán congruentes si tienen iguales entre sí un cateto y
un ángulo agudo.
C3. Dos triángulos rectángulos serán congruentes si tienen iguales los tres lados
homólogos.
C4. Dos triángulos rectángulos serán congruentes si tienen un cateto y la hipotenusa
iguales.
4.2.6. Relación ángulos-lados
A continuación, se enuncian una serie de teoremas que establecen algunas de las
relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.
Teorema. Dado un triángulo, se verifica que:
Un ángulo externo cualquiera es mayor que cualquier ángulo interno no
adyacente.
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Cuanto mayor es un lado, mayor es el ángulo opuesto y viceversa.
Teorema. Dado un triángulo, se verifica que cualquiera de sus lados es menor que la
suma de los otros dos.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera cuyo lado mayor es AB tal y como se
muestra en la Figura 4, se considera el triángulo isósceles BCB’ que se ha obtenido
situando un el punto B’ en la prolongación del lado AC de tal forma que b=b’.
Fig 4. Triángulo de ejemplo. Fuente: Elaboración propia.
Así, el triángulo isósceles BCB’ verifica que: α=γ. Por otro lado, como C es un punto
interior del segmento AB’, verifica que: α
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Fig 5. Triángulos rectángulos. Fuente: Elaboración propia.
Es decir, se verifica que
; Por lo que .
Del mismo modo, se verifica que
; Por lo que .
Teorema de la altura. Para todo triángulo rectángulo, como el de la Figura 5, la altura
sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.
Es decir, se verifica que
; Por lo que
Demostración. Al ser los triángulos ABH y AHC semejantes, se verifica que:
, y por tanto,
Teorema. Si se cumple que
, siendo ABH y AHC triángulos rectángulos
como los de la Figura 5, el triángulo formado por los vértices A, B y C también es
rectángulo.
Demostración. De la igualdad obtenemos que
, por lo que ABH y AHC son
triángulos semejantes. Esto significa que ̂ ̂ ̂, por lo que
̂ .
4.3.2. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo cualquiera, como el de la Figura 6, el cuadrado del valor de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los valores de los catetos. Es decir,
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Fig 6. Triángulo rectángulo. Fuente: Elaboración propia.
Como consecuencia de este teorema es posible averiguar si un triángulo es rectángulo
conociendo el valor de sus lados ya que, para que el triángulo tenga un ángulo recto, el
cuadrado del lado de mayor longitud será igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados. El Teorema de Pitágoras tiene un gran número de aplicaciones; partiendo de
este teorema también se pueden calcular: la diagonal de un cuadrado o de un
rectángulo, el lado oblicuo de un trapecio rectángulo, la altura de un trapecio isósceles
o de un triángulo equilátero y la apotema de un polígono regular o de un hexágono
inscrito, entre otros.
A continuación veremos una generalización del Teorema de Pitágoras que permite
aplicarlo en otro tipo de triángulos.
Definición. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto.
Teorema de Pitágoras Generalizado. En un triángulo oblicuángulo, el cuadrado del
lado opuesto a uno de los ángulos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados más/menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre
dicho lado. El signo que antecede al producto dependerá del ángulo opuesto al lado
que se quiere calcular. (Ver Figura 7)
Fig 7. Triángulo oblicuángulo. Fuente: Elaboración propia.
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Por lo tanto, y siendo el ángulo opuesto al lado b, y n la proyección de c sobre a, se
tiene que:
, con {
El caso de n=0, corresponde a un triángulo rectángulo, por lo que la igualdad
coincidiría con el caso particular del Teorema de Pitágoras enunciado al principio de
este apartado.
Teniendo esto en cuenta y dadas las longitudes de los tres lados de un triángulo, y
suponiendo que a es el lado mayor, se verifica que:
Será acutángulo si
Será rectángulo si
Será obtusángulo si
4.4. Área del triángulo
Teorema. El valor del área de un triángulo cualquiera coincide con el valor del área de
un paralelogramo con longitud de base igual a la del triángulo y con altura la mitad de
la de dicho triángulo. (Ver Figura 8).
Fig 8. Área de un triángulo. Fuente: Elaboración propia.
Demostración. Dado un triángulo cualquiera ABC como el de la Figura 8, siendo D el
punto medio del lado AB, E el punto medio del lado AC y D’ el simétrico de D respecto
de E, el triángulo ADE es equivalente al triángulo D’CE. Por lo tanto, el área del
triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de BDEC y D’CE.
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19
El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. Utilizando el
paralelogramo de la Figura 8, el área del triángulo sería:
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
4.5. Semejanza de triángulos
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y
los lados homólogos proporcionales tal y como los de la Figura 9.
Fig 9. Triángulos semejantes. Fuente: Elaboración propia.
La proporción entre los lados homólogos es constante y se define como razón de
semejanza (R).
Teorema. Dado dos triángulos semejantes, se verifica que:
El cociente entre sus perímetros es igual a la razón de semejanza.
El cociente entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
Teorema de Tales. Si dos rectas secantes se cortan por otras dos rectas paralelas, los
segmentos resultantes en una de las rectas secantes son proporcionales a los
segmentos obtenidos en la otra recta secante. Ver Figura 10.
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Fig 10. Teorema de Tales. Fuente: https://www.edu.xunta.es/
Teorema de Tales aplicado a Triángulos. Sea un triángulo ABC, si se traza un segmento
paralelo a uno de los lados, se obtiene un triángulo semejante. Teniendo en cuenta el
Teorema de Tales y los criterios de Semejanza, en la Figura 10 se puede apreciar que el
triángulo OAB es semejante de O’A’B’, ya que tienen ángulos iguales y lados
proporcionales.
5. Fundamentación didáctica
La falta de motivación por parte de los alumnos a la hora de abordar el bloque de
geometría pone de manifiesto la necesidad de buscar alternativas o nuevas estrategias
de enseñanza cuyo objetivo sea el de aumentar el interés de los alumnos,
involucrándolos en mayor medida en el aprendizaje de dicho bloque. Para ello, la
utilización de las TIC puede resultar fundamental, ya que suelen atraer a las nuevas
generaciones aumentando su implicación en el aprendizaje. En relación a esta
cuestión, voy a analizar a continuación una serie de aportaciones didácticas que
señalan algunas de las principales dificultades en la enseñanza de las matemáticas y de
la geometría y que muestran propuestas con las que se pretende abordar dichos
obstáculos.
5.1. Análisis de los errores más comunes en la enseñanza de la
Geometría
Muchas veces, los alumnos pueden encontrar una mayor dificultad en un determinado
tema o cometer un error muy común, debido a una serie de circunstancias que,
normalmente, les vienen impuestas en el propio libro de texto o en la manera que
tiene el docente de presentar el tema. El estudio Obstáculos y errores en la enseñanza-
aprendizaje de las figuras geométricas realizado por Barrantes y Zapata (2008) analiza
algunos de estos patrones perjudiciales para la enseñanza, los cuales pueden ser:
Esquemas conceptuales erróneos. Los alumnos no son capaces de hacer un
esquema mental apropiado para una figura geométrica. Esto ocurre,
generalmente, por el uso exclusivo del libro de texto, dejando de lado otro tipo
de recursos que puedan complementar la enseñanza de la geometría. En estos
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21
casos, el alumno no tiene interiorizado un esquema conceptual de las
propiedades y la estructura de la figura, sino una simple imagen visual.
Estandarización del concepto visual. Ocurre cuando las figuras geométricas
son presentadas de una forma general, con pocas imágenes o representaciones
de la misma. Esto origina que los alumnos no sean capaces de ver una figura
geométrica desde distintas perspectivas o no sepan representarlas
correctamente.
Fig 11. Fuente: Elaboración propia.
Un claro ejemplo es el de la Figura 1, con el que, si solo se presenta esa imagen,
el alumno puede tener dudas sobre si se trata de un cuadrado y sus diagonales
o una pirámide cuadrada.
Distractores de la orientación. Se trata de un error muy común que sucede
cuando se incluyen propiedades visuales determinadas, que pueden focalizar a
casos concretos de la definición de cada figura. Por este motivo, el alumno
asocia el concepto de una determinada figura a un único esquema mental. Por
ejemplo: los triángulos se suelen presentar con uno de sus lados paralelo a los
bordes del libro de texto.
Distractores de la estructuración. Cuando el docente presenta una figura
geométrica a sus alumnos, este suele enseñar algunas de las propiedades de
dicha figura de una forma única. Así, el esquema mental del alumno queda
incompleto en lo referido a las figuras geométricas. Uno de los ejemplos más
típico sucede a la hora de explicar los triángulos isósceles, ya que se suele decir
que el lado desigual es la base, cuando no tiene por qué ser así.
Fig 12. Fuente: Barrantes y Zapata (2008)
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22
Errores de nomenclatura. A veces, el docente hace referencia una figura
geométrica concreta cuando en realidad quiere referirse al conjunto al que
pertenece. Por ejemplo, mencionar el cuadrado cuando a lo que se quiere
hacer referencia es a un cuadrilátero. Esto puede crear una gran confusión en
el alumno a la hora de asimilar el concepto real.
Limitaciones de la imagen real del concepto. Sucede cuando, para explicar las
propiedades de un concepto abstracto, se utiliza un objeto real. Aunque
pueden resultar útiles, estos objetos pueden generar una serie de conflictos o
limitaciones al concepto abstracto. Cuando el docente utilice este tipo de
objetos, deberá resaltar que se trata de una representación concreta de la idea
y no el concepto final.
Practicidad de las definiciones. Generalmente, las metodologías utilizadas por
los docentes, ponen el foco principal en la definición de las figuras geométricas
y no en los ejemplos de las mismas, que son los encargados de aportar la
imagen conceptual. Esto provoca que los alumnos memoricen las definiciones
pero no sepan utilizarlas para la resolución de ejercicios o problemas.
Métodos de clasificación. Normalmente, las clasificaciones que se hacen de las
figuras geométricas responden a unos determinados criterios de practicidad.
Pero el alumno debe saber que existen muchas formas de clasificar a las figuras
geométricas en función de sus numerosas propiedades.
En resumen, se puede concluir que la mayoría de los errores más comunes entre los
alumnos en el bloque de geometría se deben a una manera demasiado rígida de
explicar los conceptos. El uso de las TIC, con programas informáticos como Geogebra,
pueden ser de gran ayuda a la hora de que el alumno aprenda de una forma más
dinámica, pudiendo estudiar a fondo todas las propiedades de las figuras geométricas
y visualizándolas desde distintos puntos de vista.
5.2. Análisis de los recursos TIC que complementan la enseñanza
de la Geometría
Según un estudio realizado por Tejeda (2015), donde midió la utilización que se hacen
de las TIC en 3º de ESO, el uso planificado y estructurado de las TIC en la enseñanza de
la Geometría puede traducirse en un aprendizaje más significativo para el alumnado.
En los resultados de dicho estudio se observa como los alumnos responden de forma
positiva, tanto en satisfacción como en comprensión, a la resolución de ejercicios
sobre figuras planas con el apoyo de tablets y GeoGebra.
Los resultados del estudio también indican que los alumnos de la muestra emplean su
tiempo libre con el ordenador en tareas muy variadas, pero en lo referido al tipo de las
aplicaciones más utilizadas, la mayoría son aplicaciones de ocio o redes sociales.
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23
En principio, no parecen estar motivados para un aprendizaje por medio de foros o
software.
En lo referido a la utilización de las TIC en el centro, parece que sí se hace bastante uso
de los medios informáticos mientras que no tanto de los telemáticos. Sin embargo, al
puntualizar en la asignatura de Matemáticas, los alumnos la señalan como una de las
que menos utiliza estas tecnologías.
Los resultados también reflejan que los alumnos creen que las TIC son necesarias para
su aprendizaje y que una gran mayoría cree que deberían utilizarse igual o más que en
el presente y, especialmente, en Matemáticas.
Además, el estudio muestra que el tipo de actividades para el que están siendo
utilizadas las TIC son, habitualmente, ejercicios para afianzar conocimientos. Esto hace
indicar que posiblemente habría que trabajar en utilizar también estas tecnologías en
el aprendizaje de nuevos conceptos.
Para elegir los recursos que puedan ser más útiles en la enseñanza de la Geometría,
Tejeda (2015) analiza las posibilidades que ofrece cada uno. Las TIC más utilizadas en la
enseñanza se pueden clasificar en tres grandes grupos: Medios Audiovisuales, Medios
Informáticos y Medios Telemáticos. Tras el análisis de estos recursos disponibles, se
propone que algunos de los que pueden resultar más interesantes para aplicar en 3º
de ESO, son los siguientes:
Medios Audiovisuales. Proyector, pizarra digital interactiva y ordenadores. La
utilización de estos recursos puede ser muy interesante ya que, además de
permitir la selección de imágenes, permiten su manipulación, evitando así los
posibles errores que pueden inducir en los alumnos las imágenes estáticas de
los libros de texto. Además, el uso de internet ofrece la oportunidad de acceder
a diversas páginas webs que relacionan la geometría con otros ámbitos de la
vida cotidiana como el arte o la naturaleza, aportando esa visión de las
aplicaciones en la realidad de las matemáticas tan necesaria para su docencia.
Dentro de este grupo también se encuentra la radio, el cine y la televisión. Se
trata de recursos que pueden resultar útiles, ya que, por ejemplo, se pueden
encontrar programas culturales relacionados con la geometría que pueden ser
de utilidad.
Medios informáticos. La gran ventaja de estos medios es que, además de
visualizar, permiten manipular y construir. La utilización de software, como
Geogebra, que permite la representación dinámica de figuras geométricas,
posibilita que los alumnos puedan experimentar y aprender de forma
autónoma y mediante una metodología constructivista. Gracias a esto, los
alumnos podrán ser más conscientes de los procedimientos y conceptos
básicos de la geometría. Probablemente, la ventaja más interesante de
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Geogebra sea su interfaz, de gran sencillez y que permite al docente crear
ejercicios personalizados en poco tiempo. El inconveniente de este tipo de
programas es que el alumno puede acceder con demasiada facilidad a las
propiedades de las figuras pudiendo traducirse esto en un menor esfuerzo de
los alumnos a la hora de pensar y hacer un proceso de abstracción general.
Medios telemáticos. Hablar de medios telemáticos es hacerlo de la Web 2.0. Se
trata de plataformas para intercambio de los recursos como: foros, blogs, wikis
y otros tipos de aplicaciones informáticas. Gracias a este tipo de plataformas,
que permiten enlazar a los dos tipos de medios comentados anteriormente, se
puede almacenar y compartir conocimiento de una forma dinámica, no tan
estática como en un libro de texto sino fácilmente modificable y en tiempo real.
Es decir, la mayor ventaja de este tipo de medios es que la conectividad de
recursos que ofrece. Ejemplos: foro, blog, Wiki, Webquest, etc.
El análisis del uso de las TIC en la ESO y de los principales recursos disponibles que
hay en la actualidad pone de manifiesto la necesidad de una mayor utilización de
las TIC para impartir el bloque de Geometría. Al mismo tiempo, se ponen de
manifiesto las diferentes aplicaciones de las mismas en la docencia de las
Matemáticas en general.
5.3. Propuesta didáctica de actividades que integren las TIC en la
enseñanza
Me parece interesante destacar la propuesta didáctica de Tejeda (2015) en la que, en
base a sus análisis sobre los problemas más destacados en la enseñanza de la
geometría y las posibilidades ofrecidas por las TIC, recomienda la integración de una
serie de actividades en la temporalización del bloque de Geometría con el objetivo de
aumentar la motivación del alumno y ofrecer un aprendizaje más significativo.
La propuesta define cuatro bloques de actividades:
1. Actividades de introducción. El objetivo de estas actividades es el de introducir
un tema que despierte el interés del alumno relacionando la teoría con
ejemplos de la vida cotidiana. Se pueden incluir ejercicios de este tipo a modo
de evaluación inicial.
2. Actividades de enseñanza. Se pueden considerar como actividades principales
o básicas. Son aquellas actividades destinadas a transformar el conocimiento
del profesor y los contenidos del bloque en conocimientos para el alumnado.
Para la presentación y realización de estas actividades deben utilizarse las TIC
como un material de apoyo, con el objetivo de evitar los errores y dificultades
más comunes de los alumnos en el bloque de Geometría.
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3. Actividades de aprendizaje. Se trata de actividades que profundizan en los
conceptos aprendidos y que el alumno debe trabajar de forma autónoma, en el
aula o fuera de ella. Nuevamente las TIC deben estar presentes en estas
actividades de forma que faciliten al alumno marcar su ritmo de trabajo,
resolver las actividades de forma interactiva o preguntar dudas a través de
internet.
4. Actividades de ampliación y refuerzo. Son actividades diseñadas para la
atención a la diversidad. Estas actividades serán especialmente útiles para
aquellos alumnos que presenten mayores dificultades en puntos concretos de
un tema y, también, para que aquellos alumnos con mayor capacidad
profundicen en el conocimiento del tema.
Esta propuesta para el bloque de Geometría es extrapolable para desarrollar el tema
concreto de triángulos, adaptando este tipo de actividades a los contenidos
relacionados con los triángulos. La propuesta didáctica puede resultar muy
interesante, a la vez que práctica, y parece bastante viable de poner en marcha.
Además, hay que destacar que el tratamiento de la información y la competencia
digital es una competencia básica a día de hoy, por lo que esta propuesta puede
contribuir a que los alumnos mejoren en dicha competencia al utilizarla de forma
transversal en el aprendizaje de la Geometría.
5.4. Propuestas de mejora en la enseñanza de las Matemáticas
Tan importante resulta describir las principales dificultades en el aprendizaje y
enseñanza de las Matemáticas como describir la práctica docente, reflexionar sobre
ella y valorarla con el objetivo de crear propuestas para mejorar el trabajo docente.
A partir de un estudio de Godino (2018), en el que se analiza una clase grabada
correspondiente al bloque de Geometría, se pueden extraer una serie de valoraciones
con el objetivo de ofrecer una enseñanza de mayor calidad para los alumnos:
Valoraciones epistémicas. Sobre el contenido matemático.
- Estimular al alumnado para que formule conjeturas de forma autónoma.
- Evitar inducir al alumno a que resuelva los ejercicios o problemas mediante la
aplicación de un procedimiento previamente ejercitado.
- Demostrar la validez de los procedimientos, proponiendo como problema la
aplicación de los teoremas, cuando sea posible.
- Precisión en la utilización del lenguaje y en la conexión entre conceptos
matemáticos.
- Evitar la ambigüedad en la definición o utilización de conceptos.
- Eludir la resolución de actividades mediante la utilización de reglas de tres.
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- Generalizar cuando sea posible, favorecer la búsqueda de modelizaciones por
parte del alumno.
Valoraciones ecológicas. Conexiones con otros temas.
- Destacar las distintas relaciones entre los temas de la asignatura. Por ejemplo:
semejanza de triángulos, proporcionalidad y teorema de Thales.
- Correspondencia de los contenidos con el currículo.
- Estimular en el alumno el pensamiento crítico.
- Búsqueda de la practicidad mediante la realización de tareas en contextos
realistas o aplicaciones en la vida cotidiana.
Valoraciones cognitivas. Aprendizaje y conocimiento.
- Propuesta de retos accesibles y viables.
- Analizar los conocimientos previos del alumnado antes de abordar un tema.
- Adaptaciones curriculares si fuese preciso.
- Medición del aprendizaje logrado por el alumnado.
- Estimular el trabajo en equipo y la cooperación.
Valoraciones afectivas. Motivación e interés.
- Medir el interés del alumnado y proponer tareas que aumenten dicho interés.
- Utilización de contextos históricos o actuales en los que se apliquen los
conceptos enseñados.
- Búsqueda de ejercicios o tareas innovadoras.
Valoración interaccional. Interacción entre docente y alumnado.
- Cuando se realicen trabajos en equipo, que cada grupo exponga sus soluciones,
con la autonomía suficiente para debatir sobre los resultados.
- Institucionalización por parte del docente, cuando sea necesario.
Valoración mediacional. Recursos utilizados.
- Utilización de la calculadora como apoyo cuando sea necesario.
- Uso de las TIC disponibles en el aula.
A pesar de tratarse de unas valoraciones extraídas a partir del vídeo de una sesión
concreta, pienso que pueden aplicarse a un gran número de clases del bloque de
Geometría y contribuir a la mejora de la enseñanza de dicho bloque.
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6. Proyección didáctica
6.1. Título y justificación
La Unidad Didáctica que voy a desarrollar “Triángulos: Teorema de Pitágoras y
Semejanza” está dirigida al alumnado de 2º de ESO y pertenece al bloque de
Geometría, de Matemáticas, tal y como indica la Orden de 14 de julio de 2016 en el
Boletín Oficial de la Junta de Andalucía (BOJA).
La legislación educativa aplicable a este proyecto es la siguiente:
Decreto 111/2016, de 14 de junio, por el que se establece la ordenación y el
currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma
de Andalucía
Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el
currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Los triángulos y el teorema de Pitágoras, introducidos en 1º de ESO, cobran mayor
importancia en esta unidad donde también se introduce el concepto de Semejanza.
Se trata de un tema básico dentro del currículo y que puede ser relacionado con
multitud de conceptos y temas.
6.2. Contextualización del centro y del aula
Para la elaboración de la Unidad Didáctica, se tomará como centro de referencia el
I.E.S. Virgen del Carmen, instituto en el que realicé las prácticas del Máster.
Se trata del instituto más antiguo de Jaén y es uno de los centros más conocidos en
toda la ciudad, con gran capacidad y con una amplia oferta de estudios. Se encuentra
en una zona bastante concurrida, con fácil acceso y bien comunicada con los grandes
núcleos de la ciudad. Debido a su localización, el instituto se encuentra cerca de
barrios y zonas de la ciudad muy distintas entre sí y las familias que viven por los
alrededores pertenecen a estratos socio-económicos muy variados, aunque
generalmente de nivel medio, lo que se traduce en un perfil de alumnado muy
heterogéneo.
En el horario de mañana se imparten los cursos de ESO y Bachillerato para alumnos
menores de edad, mientras que el turno de las tardes está dedicado a los cursos de
Formación Profesional y estudios para personas adultas.
Las aulas normales tienen una capacidad para unos 30 alumnos y la mayoría cuentan
con una pantalla para proyecciones, un ordenador y una pizarra. También hay un aula
de informática para que los alumnos puedan trabajar utilizando los ordenadores.
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En este centro existe una modalidad de ESO llamada plurilingüe en la que el alumnado
puede estudiar las asignaturas al mismo tiempo que aprende idiomas. La
programación que voy a desarrollar en este proyecto va destinada a la asignatura de
Matemáticas en un curso de 2º ESO de la modalidad plurilingüe. En dicho curso los
alumnos se desdoblan en dos grupos, el primero de ellos da la asignatura en Francés
mientras que el segundo la da en Español. La programación está dirigida al grupo de
alumnos que no sigue la línea bilingüe y que está formado por 12 alumnos.
Aunque en principio no se detecta ningún alumno con Necesidades Específicas de
Apoyo Educativo (NEAE) dentro de este grupo, en la programación incluyo actividades
de refuerzo y de ampliación por si a lo largo del curso se encuentra algún caso de este
tipo.
6.3. Objetivos
6.3.1. Objetivos generales de etapa
Según el Real Decreto 1105-2014, por el que se establece el currículo de ESO, los
objetivos de etapa que están relacionados con la Unidad Didáctica que he desarrollado
contribuirán a desarrollar en el alumnado las capacidades que les permitan:
1. Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el
respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad
entre las personas y grupos.
2. Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en
equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del
aprendizaje y como medio de desarrollo personal.
3. Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y
oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón
de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social.
Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y
mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer.
4. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y
en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios
de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los
conflictos.
5. Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información
para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una
preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la
información y la comunicación.
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6. Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura
en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar
los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
6.3.2. Objetivos de área
Según la Orden de 14 de julio de 2016, por la que se establece el currículo ESO en
Andalucía, la enseñanza en esta área de las Matemáticas en la Educación Secundaria
Obligatoria en Andalucía contribuirá a desarrollar en el alumnado capacidades que le
permitan:
1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo y crítico e incorporar al lenguaje
y modos de argumentación, la racionalidad y las formas de expresión y
razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos, científicos y
tecnológicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana.
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos
matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.
3. Identificar los elementos matemáticos geométricos presentes en los medios de
comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar
críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y
valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes.
4. Identificar las formas y relaciones espaciales que encontramos en nuestro
entorno; analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan, al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginación.
5. Utilizar de forma adecuada las distintas herramientas tecnológicas como
calculadora, ordenador, dispositivo móvil o pizarra digital interactiva tanto para
realizar cálculos como para buscar, tratar y representar información de índole
diversa y también como ayuda en el aprendizaje.
6. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.
7. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar
confianza en su propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito,
adquiriendo un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los
aspectos creativos, manipulativos, estéticos, prácticos y utilitarios de las
matemáticas.
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6.3.3. Objetivos de la unidad
Con el desarrollo de esta Unidad Didáctica se pretende que el alumnado desarrolle
capacidades que le permitan:
Asentar los conceptos relacionados con el teorema de Pitágoras y reforzar las
destrezas procedimentales.
Comprender la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo que establece el teorema de Pitágoras.
Detectar si un triángulo es rectángulo o no a partir de las longitudes de sus
lados.
Saber aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas
en figuras planas y tridimensionales.
Saber reconocer figuras semejantes.
Obtener la razón de semejanza entre dos figuras semejantes.
Determinar las magnitudes de una figura conociendo las de una figura
semejante y la razón de semejanza.
Interpretar planos y mapas a partir de su escala y calcular distancias en la
realidad, en el plano o la escala de una representación.
Calcular distancias a partir de la semejanza de dos triángulos.
Potenciar un pensamiento crítico.
Desarrollar estrategias para la resolución de problemas.
Mejorar las habilidades de exposición y argumentación.
6.4. Competencias clave
Según el Real Decreto 1105-2014, por el que se establece el currículo de ESO, las
competencias clave que se trabajarán en esta Unidad Didáctica son:
Competencia en comunicación lingüística (CCL).
Comprender y saber utilizar el lenguaje matemático para expresar procesos,
razonamientos y conclusiones.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología
(CMCT).
Aplicar el razonamiento matemático para resolver problemas de la vida cotidiana,
utilizando para ello una metodología científica o tecnológica.
Competencia Digital (CD).
Saber utilizar las TIC como herramienta para la resolución de problemas
matemáticos y para la búsqueda, análisis y presentación de información.
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Competencia para Aprender a aprender (CAA).
Saber organizar las tareas y administrar el tiempo y recursos disponibles para el
trabajo individual y colectivo.
Sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor (SIEP).
Desarrollar habilidades que permitan gestionar un proyecto y plasmar las ideas en
productos.
Competencias Sociales y cívicas (CSC).
Fortalecer un comportamiento basado en la igualdad, el respeto, la tolerancia y el
bienestar personal y colectivo.
6.5. Contenidos
Los contenidos que se trabajarán en la Unidad Didáctica son los siguientes:
Teorema de Pitágoras.
o Justificación geométrica.
o Triángulos rectángulos. Cálculo de un lado conociendo los otros dos.
o Aplicaciones.
Semejanza.
o Criterios de semejanza y figuras semejantes.
o Razón de semejanza y escala.
o Planos, mapas y escalas.
o Cómo construir figuras semejantes.
o Teorema de Tales.
o Semejanza entre triángulos rectángulos.
o Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
6.6. Metodología
La metodología que se utilizará para la enseñanza de este tema será variada y
dependerá del contenido a impartir.
Una de las metodologías que se utilizará será la de aula invertida. Esta metodología se
utilizará para que los alumnos trabajen determinados contenidos y ejercicios en casa,
aprovechando así el tiempo de clase para las puntualizaciones del docente, el trabajo
colaborativo entre alumnos y la resolución de las dudas que le hayan podido surgir al
alumno fruto de su trabajo en casa.
Esta metodología será complementada con un uso frecuente de las TIC.
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Los objetivos principales que se pretenden alcanzar con su uso son los siguientes:
- Por un lado los alumnos se podrán familiarizar con las TIC, usándolas como
herramienta y reforzando sus habilidades informáticas tan útiles en el mundo
laboral a día de hoy.
- El uso de las TIC permitirá ampliar las posibilidades de aprendizaje que con el
uso exclusivo de los libros de texto y la pizarra pueden quedar muy limitadas.
Para ello se pueden utilizar wikis, vídeos e incluso videojuegos.
- Además, mediante la utilización de las TIC también se pretenden evitar los
errores más comunes en el aprendizaje de la Geometría citados en el apartado
de Fundamentación Didáctica. De esta forma se pretende ofrecer al alumno
una enseñanza más completa y desde distintos puntos de vista. La principal
herramienta que se utilizará para cumplir con este objetivo será el software
Geogebra, pudiéndose utilizar cualquier otro programa similar que permita al
alumno conocer y comprender en profundidad las propiedades geométricas.
También se utilizará una metodología de gamificación que se pondrá en práctica
mediante la utilización de la aplicación Kahoot. De esta forma los alumnos trabajarán
los contenidos mientras participan en un juego-concurso cuyo objetivo es el de
mantenerlos motivados al mismo tiempo que repasan los conceptos ya estudiados. Así
se espera que el alumno no se encuentre desmotivado a la hora de repasar contenidos
que ya han sido trabajados con anterioridad.
También se hará uso de problemas contextualizados, ejemplos de la vida cotidiana y el
estudio de las aplicaciones de los contenidos impartidos, con el objetivo de que el
alumno comprenda la practicidad de lo aprendido y muestre un mayor interés en el
aprendizaje de nuevos contenidos.
A menudo, a la hora de comenzar un nuevo apartado, las sesiones tendrán una
estructura “invertida” a la tradicional, en la que es frecuente que el docente introduzca
la teoría y luego se realicen ejercicios. En esta estructura “invertida”, inicialmente, se
propondrá a los alumnos un problema contextualizado o un problema de la vida
cotidiana sobre el que deberán reflexionar. Se les hará ver a los alumnos para qué
serviría solucionarlo y se les pedirá que ofrezcan su punto de vista o sugieran posibles
soluciones. El docente deberá actuar como guía, permitiendo libertad y flexibilidad en
las opiniones y debates pero interviniendo para que la clase siga la dirección adecuada
sin que se produzca una gran dispersión entre los alumnos. Una vez que se haya
despertado la curiosidad del alumno, se le enseñará cómo resolver el problema y se
pasará a explicar las nociones teóricas más relevantes y las aplicaciones más
importantes del teorema o concepto estudiado. Como alternativa, también se podrá
iniciar la sesión con el estudio de las aplicaciones más relevantes en lugar de con un
problema concreto. Con esta metodología se pretende conseguir que el alumno
-
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encuentre una mayor motivación a la hora de encarar el estudio de un nuevo concepto
al mismo tiempo que conoce su utilidad.
La idea no es utilizar estas metodologías de forma fija y estricta, si no alternarlas y
combinarlas según el tipo de contenido a enseñar y el tipo de sesión de forma que se
consiga una enseñanza y un aprendizaje amenos y efectivos.
6.7. Actividades
A continuación se recogen todas las actividades que se propondrán para la
consecución de los objetivos y el desarrollo de los contenidos de la Unidad Didáctica y
que serán referenciadas en las distintas sesiones de la Temporalización.
Actividades:
Actividad 1. Actividad de Introducción.
Se necesita atar un cable que vaya desde el punto más alto de un edificio que mide 25
metros de altura hasta otro punto ubicado a 50 metros de la base del edificio. ¿Qué
longitud debe tener el cable?
Fig 13. Aplicación del Teorema de Pitágoras. Fuente: https://www.problemasyecuaciones.com/
Actividad 2. Actividad de Enseñanza.
Utilizando Geogebra, dibuja la siguiente figura y complétala construyendo el cuadrado
que falta. ¿Cuál es el área del cuadrado desconocido? Modifica los lados del triángulo y
observa cómo cambian las áreas de los cuadrados.
Fig 14. Demostración de Euclides. Fuente: Elaboración propia.
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Actividad 3. Actividad de Introducción.
Halla la longitud del lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos.
Fig 15. Cálculo del lado. Fuente: http://www.elprofesorencasa.com/
Actividad 4. Actividad de Aprendizaje.
Se necesita construir una rampa que conecte dos plantas de un edificio. Se sabe que la
diferencia de altura entre los dos pisos es de 5 metros. La pendiente de la rampa no
debe ser demasiado pronunciada, ya que podría ser peligroso.
En esta actividad los alumnos, además de aplicar el teorema de Pitágoras, conectarán
con otros conceptos como el de pendiente, el cual deberán buscar en internet. Se
valorará que los alumnos sepan encontrar el concepto pendiente por su cuenta y
utilizarlo para aplicar en este ejercicio. Un ejemplo:
Fig 16. Aplicación de Pitágoras. Fuente: Elaboración propia.
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Actividad 5. Actividad de Aprendizaje.
Para que la vela de la Figura 17 pueda colocarse en el mástil del barco, uno de los
catetos debe medir 5 metros. Si se necesita que el área de dicha vela sea de 30 metros
cuadrados, ¿cuánto han de medir los otros dos lados?
Fig 17. Problema contextualizado del Teorema de Pitágoras. Fuente:
https://www.problemasyecuaciones.com/
Actividad 6. Actividad de Introducción.
Indica si estos leones son semejantes entre sí y por qué.
Fig 18. Aplicación de Semejanza. Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Actividad 7. Actividad de Enseñanza.
En un mapa, de escala 1:50000, la distancia entre dos ciudades es de 10 cm. ¿Cuál es la
distancia real entre esas dos ciudades? La distancia real entre otras dos ciudades es de
4 km, ¿a qué distancia estarán en este mapa?
Actividad 8. Actividad de Aprendizaje.
Sabiendo que la persona de la imagen mide 1,80 metros, calcula las dimensiones reales
de la puerta.
https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
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Fig 19. Razón de Semejanza. Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Actividad 9. Actividad de introducción.
El mapa de un país está elaborado a escala 1:2000000. ¿A qué distancia real se
encuentran dos pueblos que en el mapa están separados 5 cm?
Actividad 10. Actividad de Introducción.
Calcula la altura de Martín sabiendo que proyecta una sombra de 2 metros en el
momento que Javier, que mide 1,80 metros, proyecta una sombra de 2,25 metros.
Actividad 11. Actividad de Introducción.
Indica si los siguientes triángulos rectángulos son semejantes y razona la respuesta.
Fig 20. Triángulos rectángulos. Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Actividad 12. Actividad de Repaso.
Ejemplos de preguntas para Kahoot:
¿Son semejantes estas dos figuras?
¿Cuánto mide la sombra de Carlos?
¿Cuál es la altura de este edificio?
¿Cuál es la escala de este mapa si…?
Las preguntas irán acompañadas de las imágenes que sean necesarias para su
resolución.
https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
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Actividad 13. Actividad de Aprendizaje.
Calcular el perímetro y el área del siguiente trapecio:
Fig 21. Ejercicio tipo examen 1. Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Actividad 14. Actividad de Aprendizaje.
Calcular la altura del faro de la Figura 22.
Fig 22. Ejercicio tipo examen 2. Fuente: https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Actividad 15. Actividad de Refuerzo.
1- ¿Son los polígonos F y F’ son semejantes? Para ello, comprobar si se cumplen
los criterios de Semejanza.
2- Si lo son, indicar la razón de semejanza.
3- Dibujar sobre el papel de cuadrícula otro polígono semejante a F e indicar su
razón de semejanza.
Consejo: Utilizar el lado de un cuadrado del papel como unidad.
https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
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Fig 23. Actividad de Refuerzo. Fuente: https://www.matematicasonline.es/
Actividad 16. Actividad de Ampliación.
El aparcamiento de la Figura 24 tiene unas dimensiones de 35 metros de ancho y 98
metros de largo. Por seguridad, se han instalado cuatro cámaras de vigilancia que se
distribuyen así: la cámara A cubre el ángulo del Área 1, la cámara B cubre el ángulo del
Área 2, la cámara C cubre el Área 3 y la cámara D cubre el Área 4.
Calcular el tanto por ciento de área no vigilada por las cámaras de seguridad.
Fig 24. Actividad de Ampliación. Fuente: https://www.matesfacil.com
Actividad 17. Ejercicio de examen (1 punto).
Calcula el perímetro del cuadrado de la siguiente figura:
Fig 25. Ejercicio de examen 1. Fuente: Elaboración propia.
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Actividad 18. Ejercicio de examen (1 punto).
Si queremos cerrar un recinto con una cuerda y que quede con forma de rombo como
el la Figura 26, sabiendo que la diagonal menor de dicho rombo debe medir 42 metros
y que la distancia entre los puntos A y C es de 144 metros, ¿qué cantidad de cuerda
necesitaremos?
Fig 26. Ejercicio de examen 2. Fuente: Elaboración propia.
Actividad 19. Ejercicio de examen (3 puntos).
Calcula el área de la parte coloreada en cada una de las figuras que se muestran a
continuación:
Fig 27. Ejercicio de examen 3. Fuente: https://lasmatematicas.eu
Actividad 20. Ejercicio de examen (1,5 puntos).
¿Son semejantes las fotografías de la Figura 28? Razona la respuesta.
Fig 28. Ejercicio de examen 4. Fuente: http://boj.pntic.mec.es/jherna34/index.htm
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Actividad 21. Ejercicio de examen (1 punto).
Calcula la distancia real entre los pueblos A, B y C.
Fig 29. Ejercicio de examen 5. Fuente: http://boj.pntic.mec.es/jherna34/index.htm
Actividad 22. Ejercicio de examen (1 punto).
Sabiendo que los triángulos de la Figura 30 son semejantes, calcular la medida de los
lados y los ángulos restantes:
Fig 30. Ejercicio de examen 6. Fuente: https://lasmatematicas.eu
Actividad 23. Ejercicio de examen (1,5 puntos).
Calcular la longitud de los segmentos a y b de la siguiente figura:
Fig 31. Ejercicio de examen 7. Fuente: http://matematicas.torrealmirante.net/
6.8. Temporalización y recursos
En este apartado se detallan las sesiones a desarrollar para la enseñanza de los
contenidos de esta Unidad Didáctica. La temporalización de las sesiones y los
contenidos que se trabajarán en cada una aparecen resumidos en la Tabla 1.
http://matematicas.torrealmirante.net/
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Temporalización Contenidos Metodología Ponderación
Sesión 1: Teorema de Pitágoras I.
Justificación geométrica del Teorema de Pitágoras. Cálculo de un lado conociendo los otros dos.
Experimentación y utilización de las TIC.
No evaluable.
Sesión 2: Teorema de Pitágoras II.
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Investigación, cooperación y utilización de las TIC.
Se ponderará al 15% en la calificación final.
Sesión 3: Repaso del Teorema de Pitágoras.
Repaso del Teorema de Pitágoras. Aprendizaje Basado en el Pensamiento y cooperación.
15% (Alumnos no evaluados en la sesión 2).
Sesión 4: Semejanza I. Criterios de semejanza y figuras semejantes. Razón de semejanza y escala. Cómo construir figuras semejantes.
Aula invertida, autoaprendizaje y utilización de las TIC.
Se ponderará al 15% en la calificación final.
Sesión 5: Semejanza II. Teorema de Tales. Estructura invertida a la convencional.
No evaluable.
Sesión 6: Semejanza III. Semejanza entre triángulos rectángulos. Aplicaciones de la semejanza de triángulos.
Aula invertida y utilización de las TIC.
No evaluable.
Sesión 7: Repaso de la Semejanza.
Repaso de la Semejanza. Gamificación y cooperación. 15% (Alumnos no evaluados en la sesión 4).
Sesión 8: Repaso para examen.
Todos los contenidos. Resolución de ejercicios. No evaluable.
Sesión 9: Prueba escrita. Todos los contenidos. Evaluación de competencias clave.
Se ponderará al 30% en la calificación final.
Sesión 10: Exposiciones. Todos los contenidos. Evaluación de competencias clave.
Se ponderará al 30% en la calificación final.
Tabla 1. Temporalización. Fuente: Elaboración propia.
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6.8.1. Sesión 1
Contenidos
Los contenidos que se abordan en esta sesión son:
Justificación geométrica del Teorema de Pitágoras.
Cálculo de un lado conociendo los otros dos.
Descripción de la sesión (60 min)
Parte 1 (10 min). La sesión comenzará planteando a los alumnos la Actividad 1 y
preguntándoles qué herramienta matemática se puede utilizar para resolverla.
A continuación, se dedicarán los siguientes minutos de la sesión a detectar los
conocimientos previos de los alumnos sobre este tema. Con este objetivo se
plantearán cuestiones al grupo.
Parte 2 (15 min). Se hará una introducción histórica sobre la utilidad del teorema en la
antigüedad. Tras esta introducción, se planteará una justificación del teorema como
igualdad entre áreas de cuadrados, es decir, la demostración de Euclides (ver Figura
32). Una vez comprendidas las relaciones métricas, se enunciará el teorema de forma
general. Para complementar el aprendizaje de este contenido, los alumnos buscarán
en internet algunas comprobaciones del teorema de Pitágoras.
Fig 32. Justificación del Teorema de Pitágoras. Fuente: https://matematicasprofejuan.wordpress.com/
Para introducir el Teorema de Pitágoras y la demostración de Euclides se hará la
Actividad 2.
Parte 3 (30 min). Se harán ejercicios que utilicen el teorema como herramienta para su
resolución. Así, se plantearán problemas en los que haya que calcular un lado de un
triángulo conociendo los otros dos. Además, se utilizará Geogebra para que los
alumnos puedan comprobar si el teorema se verifica para cualquier triángulo.
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Para el cálculo de un lado conociendo los otros dos se realizarán actividades como la
Actividad 3.
Parte 4 (5 min). Al final de la sesión, se invitará al alumnado a que piensen en posibles
aplicaciones de este teorema en la vida cotidiana. Adicionalmente, se hará entrega al
alumnado de una relación que incluya un conjunto de ejercicios y problemas
relacionados con el Teorema de Pitágoras y se les pedirá que planteen e intenten
resolver algunos de ellos en casa. El objetivo de entregar la relación es que el alumno
pueda reflexionar y trabajar cada ejercicio de forma autónoma.
Metodología
Para la justificación geométrica del Teorema de Pitágoras la idea es primero justificar
el teorema para luego pasar a enunciarlo.
En la realización de ejercicios, la metodología empleada será una combinación entre
experimentación y utilización de las TIC.
Recursos
Ordenadores, acceso a internet, Geogebra y pizarra.
Relación de ejercicios correspondientes al apartado del Teorema de Pitágoras.
6.8.2. Sesión 2
Contenidos
Los contenidos que se abordan en esta sesión son:
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.
Descripción de la sesión (60 min)
Parte 1 (5 min). El objetivo de los primeros minutos será el de resolver posibles dudas
que los alumnos tengan de lo explicado en la sesión anterior.
Parte 2. (10 min). Los siguientes minutos de la sesión se utilizarán para que los
alumnos investiguen, por parejas y con la ayuda de internet, a encontrar las
aplicaciones más importantes del Teorema de Pitágoras para luego comentarlas en
clase. Después, el docente hará las aclaraciones oportunas.
Parte 3 (40 min). Los alumnos saldrán a la pizarra a resolver ejercicios de este apartado
explicando el proceso resolutivo a los compañeros. Se evaluará la resolución de dichos
ejercicios y formará parte de la evaluación final. No será la primera vez que el alumno
vea estas actividades o problemas, ya que estarán incluidos en la relación de ejercicios
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entregada al alumnado en la primera sesión. Cada alumno elegirá qué ejercicio quiere
resolver y serán actividades como la Actividad 4.
Parte 4 (5 min). Se encargará un trabajo al alumnado en el que, en grupos de tres
personas, busquen aplicaciones curiosas o menos conocidas del Teorema de Pitágoras.
El trabajo lo empezarán en clase, con la ayuda de internet, y lo podrán completar en
casa. Se trata de un trabajo corto, que será expuesto en la última sesión en formato
PowerPoint al resto de los compañeros.
Metodología empleada
Para el estudio de las aplicaciones del Teorema de Pitágoras, la metodología empleada
consistirá en una pequeña investigación por parte del alumnado mediante la
utilización de las TIC.
También se utilizará el aprendizaje cooperativo, ya que realizarán la investigación por
parejas.
Recursos
Ordenadores, acceso a internet y pizarra.
6.8.3. Sesión 3
Contenidos
Los contenidos que se abordan en esta sesión son:
Intervienen todos los contenidos relacionados con el Teorema de Pitágoras.
Descripción de la sesión (60 min)
Parte 1 (40 min). La primera parte de esta sesión estará dedicada a la resolución de los
ejercicios contextualizados propuestos. Se solicitará a los alumnos que participen y que
expliquen el proceso de resolución a los compañeros. Se evaluará la resolución de
dichos ejercicios y formará parte de la evaluación final, por lo que no deben salir a la
pizarra aquellos alumnos que ya lo hicieran en la sesión anterior, con el objetivo de
que todos los alumnos puedan ser evaluados de esta parte de la unidad. Para la
práctica de ejercicios contextualizados se realizarán actividades similares a las de la
sesión anterior y otras como la Actividad 5.
Parte 2 (20 min). Esta parte de la sesión estará dedicada a la resolución, por parte del
docente, de dudas que planteen los alumnos. Se incidirá en que se planteen dudas
sobre todo lo relacionado con el Teorema de Pitágoras o a la realización de ejercicios
de repaso no evaluables.
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Al final de la sesión se les pedirá a los alumnos que visualicen en casa un vídeo
explicativo grabado por el docente en el que él mismo expone la parte teórica de la
siguiente sesión, con el objetivo de aumentar el dinamismo de la misma. También se
entregará a los alumnos una relación con ejercicios relacionados con el apartado de
Semejanza que serán trabajados en las próximas sesiones. El objetivo de entregar la
relación es que el alumno pueda reflexionar y trabajar cada ejercicio por su cuenta.
Metodología empleada
Se planteará una metodología que combine características del aprendizaje basado en
el pensamiento (mediante la contextualización y los ejercicios propuestos) con la
colaboración entre alumno