trigonometría

Trigonometra

x

y

A

ca

b

B

C

D

EO

Representacin grca de un tringulo rectngulo en un sistemade coordenadas cartesianas.

La trigonometra es una rama de la matemtica, cuyosignicado etimolgico es 'la medicin de los tringulos'.Deriva de los trminos griegos trignos 'trin-gulo' y metron 'medida'.[1]

En trminos generales, la trigonometra es el estudiode las razones trigonomtricas: seno, coseno; tangente,cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o in-directamente en las dems ramas de la matemtica y seaplica en todos aquellos mbitos donde se requieren me-didas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ra-mas de la geometra, como es el caso del estudio de lasesferas en la geometra del espacio.Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuen-tran: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, sonusadas en astronoma para medir distancias a estrellasprximas, en la medicin de distancias entre puntosgeogrcos, y en sistemas global de navegacin por sa-tlites.

1 HistoriaLos antiguos egipcios y los babilonios conocan ya losteoremas sobre las proporciones de los lados de los trin-gulos semejantes. Pero las sociedades prehelnicas care-can de la nocin de una medida del ngulo y por lo tanto,los lados de los tringulos se estudiaron en su medida, uncampo que se podra llamar trilaterometra.Los astrnomos babilonios llevaron registros detalladossobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento delos planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual

El Canadarm 2, un brazo manipulador robtico gigantesco de laEstacin Espacial Internacional. Este manipulador es operadocontrolando los ngulos de sus articulaciones. Calcular la posi-cin nal del astronauta en el extremo del brazo requiere un usorepetido de las funciones trigonomtricas de esos ngulos que seforman por los varios movimientos que se realizan.

Tablilla babilonia Plimpton 322.

requiere la familiaridad con la distancia angular medidasobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretacinde una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.),algunos incluso han armado que los antiguos babiloniostenan una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay ungran debate acerca de si se trata de una tabla de ternaspitagricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de se-gundo grado, o una tabla trigonomtrica.Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, uti-lizaban una forma primitiva de la trigonometra, para laconstruccin de las pirmides. El Papiro de Ahmes, es-crito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.),contiene el siguiente problema relacionado con la trigo-nometra:

1

2 3 LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Papiro de Ahmes

Si una pirmide es de 250 codos de alto y ellado de su base es de 360 codos de largo, cules su Seked?

La solucin al problema es la relacin entre la mitad dellado de la base de la pirmide y su altura. En otras pa-labras, la medida que se encuentra para la seked es lacotangente del ngulo que forman la base de la pirmi-de y su respectiva cara.

2 Unidades angularesEn la medicin de ngulos y, por tanto, en trigonometra,se emplean tres unidades, si bien la ms utilizada en lavida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemticases el radin la ms utilizada, y se dene como la unidadnatural para medir ngulos, el grado centesimal se desa-rroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, seusa en topografa, arquitectura o en construccin.

Radin: unidad angular natural en trigonometra. Enuna circunferencia completa hay 2 radianes (algoms de 6,28).

Grado sexagesimal: unidad angular que divide unacircunferencia en 360 grados.

Grado centesimal: unidad angular que divide la cir-cunferencia en 400 grados centesimales.

Mil angular: unidad angular que divide la circunfe-rencia en 6400 unidades.

3 Las funciones trigonomtricasLa trigonometra es una rama importante de las matem-ticas dedicada al estudio de la relacin entre los lados yngulos de un tringulo rectngulo y una circunferencia.Con este propsito se denieron una serie de funciones,las que han sobrepasado su n original para convertirseen elementos matemticos estudiados en s mismos y conaplicaciones en los campos ms diversos.

3.1 Razones trigonomtricas

OA

B

C

y

x

c

b

a

El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C; lo usa-remos para denir las razones seno, coseno y tangente,del ngulo , correspondiente al vrtice A, situado enel centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse s-nus en latn) es la razn entre el cateto opuesto so-bre la hipotenusa.

sin = CBAB

=a

c

El coseno (abreviado como cos) es la razn entre elcateto adyacente sobre la hipotenusa,

cos = ACAB

=b

c

La tangente (abreviado como tan o tg) es la raznentre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

tan = CBAC

=a

b

3.1.1 Representacin grca

3.2 Razones trigonomtricas inversas La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es larazn inversa de seno, o tambin su inverso multi-plicativo:

csc = 1sin =c

a

En el esquema su representacin geomtrica es:

csc = AG

3.3 Otras funciones trigonomtricas 3

0-0,5 0,5 1,5 2 2,50

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

4

-4

y = sen (x)

y = cos (x)

y = tan (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas en el plano car-tesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

OA

BD

C E

r

F G

Tringulo ABC proporcional con un ngulo inscrito en una cir-cunferencia de centro A y radio 1

La Secante: (abreviado como sec) es la razn inversade coseno, o tambin su inverso multiplicativo:

sec = 1cos =c

bEn el esquema su representacin geomtrica es:

sec = AD

La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) esla razn inversa de la tangente, o tambin su inversomultiplicativo:

cot = 1tan =b

aEn el esquema su representacin geomtrica es:

cot = GFNormalmente se emplean las relaciones trigonomtricasseno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters es-pecco en hablar de ellos o las expresiones matemticasse simpliquen mucho, los trminos cosecante, secante ycotangente no suelen utilizarse


0-0,5 0,5 1,5 2 2,50

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

4

-4

y = csc (x)

y = sec (x)

y = cot (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas inversas en elplano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados enradianes.

3.3 Otras funciones trigonomtricasAdems de las funciones anteriores, existen otras funcio-nes trigonomtricas. Matemticamente se pueden denirempleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, peros se emplean, dado su sentido geomtrico. Veamos:El seno cardinal o funcin sinc (x) denida:

sinc (x) = sin(x)x

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y elarco en una circunferencia, tambin se denomina sagita oecha, se dene:

versin = 1 cosEl semiverseno, se utiliza en navegacin al intervenir enel clculo esfrico:

semiversin = versin 2

El coverseno,

coversin = 1 sin El semicoverseno

semicoversin = coversin 2

La exsecante:

exsec = sec 1

4 3 LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

3.4 Funciones trigonomtricas recprocas

En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes(dado que un radin es el arco de circunferencia de lon-gitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquiercantidad expresada en radianes; por eso las funciones re-cproca se denominan con el prejo arco, cada razn tri-gonomtrica posee su propia funcin recproca:

y = sin x

y es igual al seno de x, la funcin recproca:

x = arcsin y

x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcosenode y.si:

y = cosx

y es igual al coseno de x, la funcin recproca:

x = arccos y

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es elarcocoseno de y.si:

y = tanx

y es igual al tangente de x, la funcin recproca:

x = arctan y

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual alarcotangente de y.NOTA: Es comn, que las funciones recprocas sean es-critas de esta manera:

y = arcsin x ! y = sin1 x

pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

y =1

sinx ! y = cscx

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arcsen (x)y = arccos (x)y = arctan (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas reciprocas en elplano cartesiano (x,y), como la recproca del seno, el coseno y latangente, los valores en el eje y expresados en radianes.


Si aplicamos el criterio para obtener las funciones rec-procas en el sentido estricto, deniendo el arcoseno comola recproca del seno, el arcocoseno como la recproca delcoseno y el arco tangente como la recproca de la tangen-te, lo obtenido es la grca de la derecha. Es fcil perca-tarse que estas representaciones no cumplen la unicidadde la imagen, que forma parte de la denicin de funcin,eso es para un valor de x dado existen un nmero innitode valore que son su funcin, por ejemplo: el arcoseno de0 es 0, pero tambin lo son cualquier mltiplo entero de .

arcsin(0) = nPara cualquier n nmero entero.Dado que la recproca de una funcin no tiene que cum-plir necesariamente la unicidad de imagen, solo la funcio-nes inyectivas y biyectivas dan funciones recprocas conesta propiedad, esta situacin se repite para el resto de lasfunciones recprocas trigonomtricas.A n de garantizar el cumplimiento de la denicin defuncin, en cuanto a la unicidad de imagen, y que portanto las funciones trigonomtricas recprocas cumplanlos criterios de la denicin de funcin, se suele restrin-gir tanto el dominio como el codominio, esta correccin

3.5 Funciones trigonomtricas inversas recprocas 5

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arcsen (x)y = arccos (x)y = arctan (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas reciprocas, co-rregidas.

permite un anlisis correcto de la funcin, a pesar de queno coincida exactamente con la reciproca de la funcintrigonomtrica original. As tenemos que:La funcin arcoseno se dene:

arcsin : [1; 1] ! [0; 5 ; 0; 5]x ! y = arcsin(x)

La funcin arcocoseno se dene:

arccos : [1; 1] ! [0 ; ]x ! y = arccos(x)

La funcin arcotangente se dene:

arctan : R ! [0; 5 ; 0; 5]x ! y = arctan(x)

Esta restriccin garantiza el cumplimiento de la deni-cin de funcin, en cuanto a la existencia y unicidad dela imagen, si bien tiene inconvenientes como el no podercomparar el arcoseno y el arcocoseno al estar denidos encodominios diferentes, o el de presentar discontinuidadesinexistentes, tanto si se emplean las funciones trigonom-tricas reciprocas en su forma directa como corregida seha de ser consciente de ello, y comprender las ventajas einconvenientes que esto supone.

3.5 Funciones trigonomtricas inversasrecprocas

Del mismo modo que las funciones trigonomtricas di-rectas recprocas, cuando el ngulo se expresa en radia-nes, se denomina arco a ese ngulo, y se emplea el prejoarco para la funcin trigonomtrica recproca, as tene-mos que:

y = csc x

y es igual a la cosecante de x, la funcin recproca:

x = arccsc y

x es el arco cuya cosecante vale y, o tambin x es laarcocosecante de y.si:

y = secx

y es igual al secante de x, la funcin recproca:

x = arcsec y

x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es elarcosecante de y.si:

y = cotx

y es igual al cotangente de x, la funcin recproca:

x = arccot y

x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual alarcocotangente de y.


Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el cri-terio para obtener las funciones recprocas, dado que lasfunciones trigonomtricas inversas no son inyectivas, loobtenido es la grca de la derecha, que no cumplen launicidad de la imagen, que forma parte de la denicinde funcin.Para que se cumpla la denicin de funcin, denimos undominio y un codominio restrijido. As tenemos que:La funcin arcocosecante se dene:

6 5 VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arccsc (x)y = arcsec (x)y = arccot (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas inversas reci-procas en el plano cartesiano (x,y), como la recproca de la co-secante, secante y cotangente, los valores en el eje y expresadosen radianes.

arccsc : (1;1] [ [1;1) ! [0; 5 ; 0; 5]x ! y = arccsc(x)

La funcin arcosecante se dene:

arcsec : (1;1] [ [1;1) ! [0 ; ]x ! y = arcsec(x)

La funcin arcocotangente se dene:

arccot : R ! [0 ; ]x ! y = arccot(x)

Esta restriccin garantiza el cumplimiento de la denicinde funcin.

4 Equivalencia entre las funcionestrigonomtricas

0

-0,5

-

0,5

1,5

2

-4x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = arccsc (x)y = arcsec (x)y = arccot (x)

Representacin de las funciones trigonomtricas inversas reci-procas, corregidas.

5 Valor de las funciones trigono-mtricas

A continuacin algunos valores de las funciones que esconveniente recordar:

Para el clculo del valor de las funciones trigonomtri-cas se confeccionaron tablas trigonomtricas. La primerade estas tablas fue desarrollada por Johann Mller Regio-montano en 1467, que nos permiten, conocido un ngu-lo, calcular los valores de sus funciones trigonomtricas.En la actualidad dado el desarrollo de la informtica, enprcticamente todos los lenguajes de programacin exis-ten bibliotecas de funciones que realizan estos clculos,incorporadas incluso en calculadoras electrnicas de bol-sillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta ob-soleto.

6.1 Primer cuadrante 7

OA

B D

C E

y

x

6 Sentido de las funciones trigono-mtricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centroO, y una circunferencia goniomtrica (circunferencia deradio la unidad) con centro en O; el punto de corte de lacircunferencia con el lado positivo de las x, lo sealamoscomo punto E.Ntese que el punto A es el vrtice del tringulo, y O esel centro de coordenada del sistema de referencia:

A Oa todos los efectos.La recta r, que pasa por O y forma un ngulo sobreel eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, lavertical que pasa por B, corta al eje x enC, la vertical quepasa por E corta a la recta r en el punto D.Por semejanza de tringulos:

CB

OC=

ED

OE

Los puntos E y B estn en la circunferencia de centro O,por eso la distanciaOE yOB son el radio de la circunfe-rencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1,y dadas las deniciones de las funciones trigonomtricas:

sin = CBcos = OCtan = ED

tenemos:

sincos =

tan1

La tangente es la relacin del seno entre el coseno, segnla denicin ya expuesta.

6.1 Primer cuadrante

OA B D

C E x

y

OA

B D

C E

y

x

y

OA

B

D

C E x

Para ver la evolucin de las funciones trigonomtricas se-gn aumenta el ngulo, daremos una vuelta completa a

8 6 SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

y

OA

B

C E x

la circunferencia, vindolo por cuadrantes, los segmentoscorrespondientes a cada funcin trigonomtrica variarande longitud, siendo esta variacin funcin del ngulo, par-tiendo en el primer cuadrante de un ngulo cero.Partiendo de esta representacin geomtrica de las fun-ciones trigonomtricas, podemos ver las variaciones delas funciones a medida que aumenta el ngulo .Para = 0 , tenemos que B, D, y C coinciden en E, portanto:

sin 0 = 0cos 0 = 1tan 0 = 0

Si aumentamos progresivamente el valor de , las dis-tanciasCB yED aumentarn progresivamente, mientrasque OC disminuir.Percatarse que el puntoB es de la circunferencia y cuandoel ngulo aumenta se desplaza sobre ella.El punto E es la interseccin de la circunferencia con eleje x y no varia de posicin.Los segmentos: OC y CB estn limitados por la circun-ferencia y por tanto su mximo valor absoluto ser 1, peroED no est limitado, dado que D es el punto de corte dela recta r que pasa porO, y la vertical que pasa por E, enel momento en el que el ngulo = 0; 5 rad, la rectar ser la vertical que pasa por O. Dos rectas verticalesno se cortan, o lo que es lo mismo la distancia ED serinnita.El puntoC coincide conA y el coseno vale cero. El puntoB esta en el eje y en el punto ms alto de la circunferenciay el seno toma su mayor valor: uno.Para un ngulo recto las funciones toman los valores:

sin(/2) = 1cos(/2) = 0tan(/2) = 1! No definida

6.2 Segundo cuadrante

OA

B

D

C E x

y

OA

B

D

C E x

y

Cuando el ngulo supera el ngulo recto, el valor delseno empieza a disminuir segn el segmento CB , el co-seno aumenta segn el segmento OC , pero en el sentidonegativo de las x, el valor del coseno toma sentido nega-tivo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ngulosigue creciendo.La tangente para un ngulo inferior a /2 rad se haceinnita en el sentido positivo de las y, para el ngulo rectola recta vertical r que pasa porO y la vertical que pasa porE no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningnvalor real, cuando el ngulo supera los /2 rad y pasa alsegundo cuadrante la prolongacin de r corta a la vertical

6.3 Tercer cuadrante 9

OA

BD

C E x

y

que pasa por E en el punto D real, en el lado negativode las y, la tangente ED por tanto toma valor negativoen el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye amedida que el ngulo aumenta progresivamente hastalos rad.Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , CB, disminuye progresivamente su valor desde 1, que tomapara = /2 rad, hasta que valga 0, para = rad, elcoseno, OC , toma valor negativo y su valor varia desde0 para = /2 rad, hasta 1, para = rad.La tangente conserva la relacin:

tan = sincosincluyendo el signo de estos valores.Para un ngulo llano tenemos que el punto D esta en E,y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto deE, con lo que tenemos:

sin = 0cos = 1tan = 0

6.3 Tercer cuadranteEn el tercer cuadrante, comprendido entre los valores delngulo = rad a = 3/2 rad, se produce un cam-bio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desdelos que toman para rad:

sin(3/2) = 1cos(3/2) = 0tan(3/2) = 1! denida No

Cuando el ngulo aumenta progresivamente, el senoaumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y,el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo

O A

B

D

C E x

y

OA

B

D

C E x

y

de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lohacia en el primer cuadrante.A medida que el ngulo crece el punto C se acerca a O,y el segmentoOC , el coseno, se hace ms pequeo en ellado negativo de las x.El punto B, interseccin de la circunferencia y la verticalque pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentidonegativo de las y, el seno, CB .Y el punto D, interseccin de la prolongacin de la rectar y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x enel sentido positivo de las y, con lo que la tangente, ED ,aumenta igual que en el primer cuadranteCuando el ngulo alcance 3/2 rad, el punto C coin-cide conO y el coseno valdr cero, el segmento CB serigual al radio de la circunferencia, en el lado negativo delas y, y el seno valdr 1, la recta r del ngulo y la verticalque pasa por E sern paralelas y la tangente tomara valorinnito por el lado positivo de las y.

10 6 SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

OA

B

C E x

y

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la mis-ma relacin:

tan = sincos

que se cumple tanto en valor como en signo, ntese quea medida que el coseno se acerca a valores cercanos acero, la tangente tiende a innito.

6.4 Cuarto cuadrante

OA

B

D

C E x

y

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores delngulo entre 3/2 rad y 2 rad, las variables trigono-

OA

B D

C E x

y

OA B D

C E x

y

mtricas varan desde los valores que toman para 3/2rad:

sin(3/2) = 1cos(3/2) = 0tan(3/2) = 1! denida No

hasta los que toman para 2 rad pasando al primer cua-drante, completando una rotacin:

sin(2) = sin 0 = 0cos(2) = cos 0 = 1tan(2) = tan 0 = 0

como puede verse a medida que el ngulo aumenta,aumenta el cosenoOC en el lado positivo de las x, el senoCB disminuye en el lado negativo de las y, y la tangenteED tambin disminuye en el lado negativo de las y.Cuando , vale 2 0 al completar una rotacin com-pleta los puntosB,C yD, coinciden enE, haciendo que elseno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismomodo que al comenzarse el primer cuadrante.Dado el carcter rotativo de las funciones trigonomtri-cas, se puede armar en todos los casos:

7.1 Para 90- 11

sin = sin(+ 2 n)cos = cos(+ 2 n)tan = tan(+ 2 n)

Que cualquier funcin trigonomtrica toma el mismo va-lor si se incrementa el ngulo un nmero entero de rota-ciones completas.

7 Clculo de algunos casos

AO

B

D

C E

FG

r

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida encuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que secortan en el centro de la circunferencia O, estas rectascortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, larecta horizonte AC tambin la podemos llamar eje x y larecta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa porel centro de la circunferencia y forma un ngulo conOA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos quela vertical que pasa por F corta al eje x en E, la verticalque pasa por A corta a la recta r en G. Con todo estodenimos, como ya se vio anteriormente, las funcionestrigonomtricas:para el seno:

sen =EF

OF= EF

dado que:

OF = 1

Para el coseno:

cos =OE

OF= OE

dado que:

OF = 1

Para la tangente:

tan =EF

OE=

AG

OA= AG

dado que:

OA = 1

partiendo de estas deniciones, podemos ver algunos casoimportantes:

7.1 Para 90-

AO

B

D

C E

F

G

r

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a unngulo en el sentido horario, la recta r forma con el eje xun ngulo 90-, el valor de las funciones trigonomtricasde este ngulo conocidas las de sern:El tringulo OEF rectngulo en E, siendo el ngulo en F, por lo tanto:

cos =EF

OFOF = 1EF = sen (90 )

9>>=>>; ! sen (90) = cos

12 7 CLCULO DE ALGUNOS CASOS

en el mismo tringulo OEF, tenemos que:

sen =OE

OFOF = 1OE = cos (90 )

9>>=>>; ! cos (90) = sen viendo el tringulo OAG, rectngulo en A, siendo el n-gulo en G igual a , podemos ver:

tan =OA

AGOA = 1AG = tan (90 )

9>>=>>; ! tan (90) =1

tan

7.2 Para 90+

AO

B

D

C E

F

G

r

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a unngulo , medido en sentido trigonomtrico, el nguloformado por el eje horizontal OA y la recta r ser 90+.La prolongacin de la recta r corta a la circunferencia enF y a la vertical que pasa por A en G.El tringulo OEF es rectngulo en E y su ngulo en F es, por lo tanto tenemos que:

cos =EF

OFOF = 1EF = sen (90 + )

9>>=>>; ! sen (90+) = cos En el mismo tringulo OEF podemos ver:

sen =OE

OFOF = 1OE = cos (90 + )

9>>=>>; ! cos (90+) = sen

En el tringulos OAG rectngulo A y siendo el nguloen G, tenemos:

tan =OA

AGOA = 1AG = tan (90 + )

9>>=>>; ! tan (90+) = 1tan

7.3 Para 180-

AO

B

D

C E

F

G

r

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a unngulo , el ngulo entre el eje OA y la recta r es de 180-, dado el tringulo OEF rectngulo en E y cuyo nguloen O es , tenemos:

sen =EF

OFOF = 1EF = sen (180 )

9>>=>>; ! sen (180) = sen en el mismo tringulo OEF:

cos =OE

OFOF = 1OE = cos (180 )

9>>=>>; ! cos (180) = cos En el tringuloOAG, rectngulo en A y con ngulo enOigual a , tenemos:

tan =AG

OAOA = 1AG = tan (180 )

9>>=>>; ! tan (180) = tan

7.6 Para 270+ 13

7.4 Para 180+

AO

B

D

C E

F

G

r

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OCcon un ngulo trazados la recta r, el ngulo del eje OAy la recta r es de 180+, como se ve en la gura. En eltringulo OEF rectngulo en E se puede deducir:

sen =EF

OFOF = 1EF = sen (180 + )

9>>=>>; ! sen (180+) = sen en el mismo tringulo OEF tenemos:

cos =OE

OFOF = 1OE = cos (180 + )

9>>=>>; ! cos (180+) = cos en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

tan =AG

OAOA = 1AG = tan (180 + )

9>>=>>; ! tan (180+) = tan

7.5 Para 270-

Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentidohorario trazamos la recta r. El ngulo entre el eje OA yla recta r es de 270-. En el tringulo OEF, rectnguloen E, tenemos:

AO

B

D

C E

F

G

r

cos =EF

OFOF = 1EF = sen (270 )

9>>=>>; ! sen (270) = cos por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

sen =OE

OFOF = 1OE = cos (270 )

9>>=>>; ! cos (270) = sen en el tringuloOAG rectngulo enA, y siendo el nguloen G, tenemos;

tan =OA

AGOA = 1AG = tan (270 )

9>>=>>; ! tan (270) =1

tan

7.6 Para 270+Sobre el eje OD y con un ngulo medido en sentido tri-gonomtrico, trazamos la recta r. El ngulo entre el ejeOA y la recta r es de 270+. En el tringulo OEF, rec-tngulo en E, tenemos:

cos =EF

OFOF = 1EF = sen (270 + )

9>>=>>; ! sen (270+) = cos por otra parte en el mismo tringulo OEF, tenemos:

14 8 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

AO

B

D

C E

F

G r

sen =OE

OFOF = 1OE = cos (270 + )

9>>=>>; ! cos (270+) = sen en el tringuloOAG rectngulo enA, y siendo el nguloen G, tenemos;

tan =OA

AGOA = 1AG = tan (270 + )

9>>=>>; ! tan (270+) = 1tan

7.7 Para -

AO

B

D

CE

FG

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OAcon un ngulo medido en sentido horario trazados larecta r, el ngulo del eje OA y la recta r es de -, o loque es lo mismo 360- como se ve en la gura. En eltringulo OEF rectngulo en E se puede deducir:

sen =EF

OFOF = 1EF = sen ()

9>>=>>; ! sen () = sen en el mismo tringulo OEF tenemos:

cos =OE

OFOF = 1OE = cos ()

9>>=>>; ! cos () = cos en el tringulo OAG, rectngulo en A, vemos que:

tan =AG

OAOA = 1AG = tan ()

9>>=>>; ! tan () = tan

8 Identidades trigonomtricasUna identidad es una igualdad en que se cumple para to-dos los valores permisibles de la variable. En trigonome-tra existen seis identidades fundamentales:

8.1 Recprocas

sin() csc() = 1cos() sec() = 1tan() cot() = 1

8.2 De divisin

tan() = sin()cos()

cot() = cos()sin()

csc() = 1()sin()

sec() = 1()cos()

15

A

B

C

c

b

a

8.3 Por el teorema de PitgorasComo en el tringulo rectngulo cumple la funcin que:

a2 + b2 = c2

de la gura anterior se tiene que:

sin() = ac ; cos() = bcpor tanto:

sin2 +cos2 =a

c

2+

b

c

2=

a2 + b2

c2=

c2

c2= 1

entonces para todo ngulo , se cumple la identidad Pi-tagrica:

sin2 + cos2 = 1que tambin puede expresarse:

tan2 + 1 = sec2 1 + cot2 = csc2

9 Seno y coseno, funciones comple-jas

El seno y coseno se denen en matemtica compleja, gra-cias a la frmula de Euler como:

sin = ei ei

2i; cos =

ei+ei2

Por lo tanto, la tangente quedar denida como:

tan = 1i

ei eiei + ei

= iei eiei + ei

Siendo i = p1 .

10 Vase tambin Historia de la trigonometra Funcin trigonomtrica Identidad trigonomtrica Funciones hiperblicas Hexgono trigonomtrico. Recurso mnemnico pa-ra ayudar a recordar relaciones e identidades trigo-nomtricas.

Lista de integrales de funciones trigonomtricas Frmula de Euler y Nmero complejo, para funcio-nes trigonomtricas complejas

Trigonometra esfrica

11 Referencias[1] Etimologa de la palabra trigonometra". Diccionario

web de etimologa (ingls).

11.1 Bibliografa Corts Espinosa de los Monteros, Nuria. EdicionesDidcticas y Pedaggicas S. L., ed. Actividades paraunidad didctica sobre trigonometra [Recurso elec-trnico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9.

Domnguez Muro, Mariano. Universidad de Sala-manca. Ediciones Universidad Salamanca, ed. Tri-gonometra activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.

11.2 Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Trigonometra. Commons

Wikcionario tiene deniciones y otra informa-cin sobre trigonometra.Wikcionario

Wikilibros

Wikilibros alberga un libro o manual sobreTrigonometra.

Ejercicios de Trigonometra (Proyecto Descartespara Educacin Secundaria del Ministerio de Edu-cacin de Espaa).

lgebra y Trigonometra. Universidad de Chile Orgenes de la trigonometra (Webquest).

16 11 REFERENCIAS

Matemtica - Trigonometra (Apuntes y ejerciciosde Trigonometra en Fisicanet).

La trigonometra, para qu sirve? Funciones trigonomtricas (Proyecto Descartes paraEducacin Secundaria del Ministerio de Educacinde Espaa).

17

12 Origen del texto y las imgenes, colaboradores y licencias12.1 Texto

Trigonometra Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa?oldid=88361662 Colaboradores:Maveric149, Youssefsan,PACO, Urko1982, Kristobal, Sabbut, Moriel, Sauron, JorgeGG, Wesisnay, Larocka, Angus, Aparejador, Comae, Pinzo~eswiki, Tartaglia,Interwiki, Dodo, Ascnder, Sms, Cookie, Tano4595, Jsanchezes, Galio, Milu~eswiki, Joselarrucea, Dianai, Gengiskanhg, Cinabrium, Po-rao, Fmariluis, Huhsunqu, Balderai, Benjavalero, Txuspe, FAR, Reignerok, Boticario, Jhoropopo, Soulreaper, Peejayem, AlfonsoERomero,Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Lukillas, Magister Mathematicae, RedTony, Dominican, RobotQuistnix, Kiroh, Palica, Yrbot, Amads,FlaBot, Vitamine, YurikBot, Cameri, GermanX, Beto29, Armin76, KnightRider, The Photographer, YoaR, No s qu nick poner, Eskim-bot, Baneld, Maldoror, Er Komandante, Chlewbot, Rodriguillo, Tuncket, Paintman, Sigmanexus6, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty,CEM-bot, JMCC1, Alexav8, Xexito, Marianov, Baiji, Pacovila, Karshan, Davius, Rastrojo, Antur, Julian Mendez, Jjafjjaf, FrancoGG,Fsd141, Thijs!bot, Mahadeva, Diosa, RoyFocker, LMLM, Botones, Isha, Hanjin, Gngora, JAnDbot, Johns, Y0rx, Mysthique, Kved,DerHexer, Mansoncc, Muro de Aguas, Klystrode, Limbo@MX, Gsrdzl, TXiKiBoT, Otravolta, HiTe, Linkedark, Elisardojm, Humber-to, Netito777, Ale ashero, Xsm34, Nioger, Idioma-bot, Plux, Magnanimo, Almendro, Bucephala, VolkovBot, Technopat, Queninosta,Belgrano, Josell2, Matdrodes, Fiquei, Fernando Estel, House, BlackBeast, Lucien leGrey, AlleborgoBot, Muro Bot, Komputisto, Bucho,3damplied, BotMultichill, Mjollnir1984, SieBot, Mushii, Camr, PaintBot, Loveless, Rimac, Cobalttempest, Rigenea, Drinibot, Dark,Deivi1753, BOTarate, Manw, Ugly, Pascow, Seth66, Greek, Joelperez, Belb, Mafores, Blithfeorthelife, Ivanics, Tirithel, Prietoquilmes,Jarisleif, Dnu72, Miguel Roldan, Antn Francho, Nicop, Daniel Carracelas, Farisori, Eduardosalg, Mparri, Veon, Qwertymith, Leonpo-lanco, Charly genio, Mar del Sur, Alecs.bot, Petruss, Elalumnocabron, Netito, Jorge Ianis, Alexbot, Dominguillo, BodhisattvaBot, Raulshc,Aipni-Lovrij, Razr Nation, Camilo, UA31, Thingg, AVBOT, Ellinik, David0811, Dermot, Diegusjaimes, JohnManuel, HerculeBot, An-dreasmperu, Luckas-bot, Nallimbot, Jotterbot, Vic Fede, Manuel Gonzlvez, Draxtreme, Hampcky, Kakashi the best, Nixn, ArthurBot,SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, GNM, GhalyBot, Dreitmen, Chtristian, Eocampos, Math Master, Ricardogpn, Zeoroth, Kisma-lac, Torrente, Botarel, UDCONGO, Tegustamiculo, RitX, BOTirithel, TobeBot, Halfdrag, Jerowiki, PatruBOT, TheRandyAlex, Angelito7,TjBot, Alph Bot, Humbefa, Rick.bass, Tarawa1943, Dadidu 74, Foundling, EmausBot, Savh, Allforrous, Sergio Andres Segovia, Rubpe19,Emiduronte, Jcaraballo, ChuispastonBot, Khiari, Waka Waka, Mjbmrbot, Movses-bot, Azuladoconella, MerlIwBot, KLBot2, TeleMania,Daikixniimura, Marcela Corbaln, Sebrev, Travelour, Gins90, RollbackerBOT, Ninrouter, DARIO SEVERI, Devilman1, Josher8a, Bue-nisimo, Acratta, LlamaAl, Elvisor, Elvin Lazo, Asqueladd, Helmy oved, Alex Filth, Kenny Olivares, Saul2310, Legobot, Leitoxx, Lautaro97, Igns, Addbot, Balles2601, Jarmizz, Nahirunsa, Pancho6265, Adrian martinez torres, Crist510, Jarould, Jessi.R.27, BenjaBot, Din-mondin, Lectorina, Dorituchi, Deyanir felix, Mikumiau19 y Annimos: 897

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18 12 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

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12.3 Licencia del contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Historia Unidades angulares Las funciones trigonomtricas Razones trigonomtricas Representacin grfica

Razones trigonomtricas inversas Representacin grfica

Otras funciones trigonomtricas Funciones trigonomtricas recprocas Representacin grfica

Funciones trigonomtricas inversas recprocas Representacin grfica

Equivalencia entre las funciones trigonomtricas Valor de las funciones trigonomtricas Sentido de las funciones trigonomtricas Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Clculo de algunos casos Para 90- Para 90+ Para 180- Para 180+ Para 270- Para 270+ Para -

Identidades trigonomtricas Recprocas De divisin Por el teorema de Pitgoras

Seno y coseno, funciones complejas Vase tambin Referencias Bibliografa Enlaces externos

Origen del texto y las imgenes, colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia del contenido

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