transparencias tema 3 m.quina inducci.n · 2011-09-20 · 1 l 1 2 p fe ≈ m 1 v 1 l 0 cos ϕ 0 p a...

MÁQUINAS ELÉCTRICAS

1

MÁQUINAS DE INDUCCIÓN

4.1.- INTRODUCCIÓN. Las máquinas de corriente alterna se clasifican en dos grandes grupos: máquinas síncronas y máquinas de inducción (también llamadas asíncronas). 4.2.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN SISTEMA DE CORRIENTES TRIFÁSICAS. Supongamos una máquina trifásica, donde para comprender con mayor simplicidad el fenómeno, representaremos cada una de las fases por una sola espira.

Alimentemos este conjunto de espiras con un sistema de corrientes trifásicas, definidas por las siguientes ecuaciones:

i1(t) = I0 sen ωt

i2(t) = I0 sen (ωt - 120º)

i3(t) = I0 sen (ωt - 240º)


2

Los campos resultantes serán perpendiculares a las superficies de cada una de las espiras, siendo de forma:

β β ω1 0 1( sent) t u=

β β ω2 0 2120( sen( )t) t u= −

β β ω3 0 3240( sen( )t) t u= −

β β ω1 0( sent) t x=

β β ω β ω2 0 0120 12 120 3

2( sen( )( ) sen( )( )t) t x t y= − − + −

β β ω β ω3 0 0240 12 240 3

2( sen( )( ) sen( )( )t) t x t y= − − + − −

β β β βT t) t) t) t)( ( ( (= + +1 2 3


3

β β ω β ω β ω

β ω β ω

T t) t t t x

t t y

( sen sen( ) sen( )

sen( ) sen( )

= − − − −

+

+ − − −

0 0 0

0 0

12 120 1

2 240

32 120 3

2 240

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica:

sen( ) sen cos cos senA B A B A B− = ⋅ − ⋅

β β ω β ω ω β ω ω

β ω ω β ω ω

T t t t t t t x

t t t t y

( ) sen (sen ( ) cos ) (sen ( ) cos ( )

(sen ( ) cos ) (sen ( ) cos ( )

= − − − − − − −

+

+ − − − − − −

0 0 0

0 0

12

12

32

12

12

32

32

12

32

32

12

32

β β ω β ω β ω β ω β ω

β ω β ω β ω β ω

T t t t t t t x

t t t t y

( ) sen sen cos sen cos

sen cos sen cos

= + + + −

+

+ − − + −

0 0 0 0 0

0 0 0 0

14

34

14

34

34

34

34

34

β β ω β ωT t) t x t y( sen cos= + −

32

320 0

Para un valor " ωt = 0", tendremos:

β βT t) y( = −

32 0

En expresiones polares:


4

β β πT = ∠−3

2 20

Para otro valor cualquiera, por ejemplo "ωt = π / 2", tendremos:

β βT t) x( =

32 0

En expresiones polares:

β βT = ∠32 00 º

Es interesante observar que cada vez que se completa un ciclo eléctrico ( 360º ), se completa igualmente un ciclo mecánico ( 1 vuelta ). Consideremos el caso de un bobinado estatórico, donde el conjunto de bobinas están distribuidas configurando un sistema de 4 polos.


5


6

En este caso, cuando las corrientes que circulan por el devanado completan un ciclo eléctrico (360 º), los polos han recorrido "π" grados mecánicos; luego la relación entre los grados eléctricos y mecánicos, en este caso, será:

αe = 2 αm

Si la máquina fuese de 6 polos, la relación sería:

αe = 3 αm

Luego, para un número cualquiera de pares de polos (P), se cumplirá:

αe = P αm

En términos de frecuencias, por cada ciclo eléctrico tendremos "P" ciclos mecánicos.

fe = P fm

Siendo fm = nº r.p.m. / 60.

fe = P n / 60


7

4.3.- PRINCIPIOS DE FUNCIONAMIENTO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN. Nos centraremos, en principio, en el análisis de la máquina de inducción trifásica, funcionando como motor. Desde el punto de vista constructivo, esta máquina está constituida por un órgano fijo y otro móvil. Desde el punto de vista eléctrico, existen dos circuitos independientes situados sobre el estátor y el rótor, respectivamente. Su principio de funcionamiento está basado en la presencia de un conjunto de conductores en el interior de un campo giratorio. Al aplicar un sistema trifásico de tensiones, de frecuencia "f1", al devanado estatórico, se origina un campo magnético giratorio de velocidad:

n fP1

160=

A la diferencia entre la velocidad de sincronismo (n1) y la del rótor (n), expresada en tanto por ciento respecto de la de sincronismo, se le llama deslizamiento.

s n nn= −1

1

100

campo f n P nf

P fP⇒ = = = =1

11

1

1

1

60260

2 60

602,, ω

π π π


8

rótor n

⇒ =ωπ2

60

s = −ω ωω

1

1

100

ω ω ωπ

2 122

= − =f

P

s s= − ⇒ − = −ω ωω ω ω ω1

11 1

Sustituyendo en la expresión de "ω2".

ω ω ω ω ω ω ω2 1 1 1 1 1= − = + − =s s

En función de la frecuencia:

2 22 12 1

π πfP s f

P f s f= ⇒ =

Cuando el rótor se encuentra bloqueado (n = 0), el valor del deslizamiento será el máximo.

s n nn

nn= − = =1

1

1

1

1

f2 = f1


9

El valor de la f.e.m. inducida en el devanado del rótor por fase será:

E f N2 2 2 2 04 44= , ξ Φ

Siendo: - ξ2 ⇒ Factor de devanado del rótor. - f2 ⇒ Frecuencia de las corrientes rotóricas. - N2 ⇒ nº de espiras por fase. - Φ0 ⇒ Flujo máximo por polo. Al estar el devanado del rótor en cortocircuito circularán unas corrientes que darán origen a un número de polos igual al del estátor y que producirán un campo giratorio, cuya velocidad en este caso será:

n fP

fP n2

2 11

60 60= = =

La reactancia que presenta el rótor será en este caso:

X2 = L2 ω2 = L2 ω1 De la misma forma que en el caso de los transformadores, la f.m.m. en el estátor estará en función de la f.m.m. en el rótor, siendo esta tanto mayor cuanto mayor sea la carga acoplada en el eje del motor. Cuando la máquina funciona a una velocidad "n", el deslizamiento ya no es 1, y por tanto los nuevos valores serán:

f2 = s f1


10

La nueva f.e.m. en el rótor será:

E2s =4,44 ξ2 N2 f2 Φ0

Sustituyendo "f2" por su valor en función de "f1":

E2s = 4,44 ξ2 N2 (s f1) Φ0 = s E2 Los valores de la reactancia del rótor, al depender de la frecuencia serán:

X2s = L2 ω2 = L2 s ω1 = s X2

La velocidad del campo giratorio en el rótor será ahora:

n fP

sfP sn2

2 11

60 60= = =

Teniendo en cuenta que el rótor se desplaza a una velocidad "n", la velocidad neta del campo del rótor será:

n2 + n = s n1 + n

El deslizamiento nos viene dado por:

s n nn n n n s n s= − ⇒ = − = −1

11 1 1 1( )

n2 + n =s n1 + n = s n1+ n1(1-s) = s n1+ n1- n1s = n1


11

4.4.- RELACION DE TENSIONES Y CORRIENTES EN LA MÁQUINA ASÍNCRONA. Las f.m.m.s del rótor y del estátor giran a la velocidad de sincronismo. Desde este punto de vista, el funcionamiento del motor es similar al del transformador pudiendo representarse, vectorialmente, de forma análoga a como se estudió en el caso de los transformadores. Como en el caso de los transformadores, parte del flujo de la máquina se dispersa dando lugar a una reactancia de dispersión en el primario y secundario de valores:

X1 = ω1 L1 X2 = ω2 L2

El flujo común resultante de los devanados del estátor y rótor inducen unas f.e.m.s. cuyos valores son:

E1 = 4,44 ξ1N1 f1 Φ0 E2s = 4,44 ξ2 N2 f2 Φ0 = s E2

La ecuación correspondiente en el primario será:

U E R I j L I1 1 1 1 1 1= − + + ω

La ecuación de tensiones del secundario será:

E R I j X IS S2 2 2 2 2= +

De donde podemos deducir el valor de la corriente por el rótor de la máquina.

I ER X

sER s X

s

s

22

22

22

2

22 2

22

=+

=+


12

La relación de corrientes es:

m1 N1 ξ1 I1 + m2 N2 ξ2 I2 = m1 N1 ξ1 I0

El valor de I1 será:

I Im Nm N I1 0

2 2 2

1 1 12= −

ξξ

Llamando:

− = ′m Nm N I I2 2 2

1 1 12 2

ξξ

La expresión anterior nos queda:

I1 = I0 + I´2

m Nm N mi

1 1 1

2 2 2

ξξ =

I Imi

′ = −22


13

4.5.- DIAGRAMA VECTORIAL DEL MOTOR ASÍNCRONO. La relación de tensiones en el motor, a rótor parado, es:

U E R I j X I= − + +1 1 1 1 1

E R I j X I2 2 2 2 2= +

La corriente por el devanado rotórico será:

I ER X2

2

22

22

=+

Esta corriente, debido al carácter inductivo del circuito, irá en retraso respecto de E2 un ángulo “ϕ2” dado por:

ϕ21 2

2

= −tg XR

I I Im a0 = +

La corriente por el devanado del estátor se obtiene a partir de la relación:

I I I1 0 2= + ′

Siendo:

I Imi

′ = −22

La representación vectorial del motor será:


14

La representación vectorial del motor en movimiento impone, inicialmente, la necesidad de representar separadamente el primario y el secundario al tener distintas frecuencias. Partimos de la expresión de la corriente rotórica cuando la máquina se encuentra en movimiento.

I ER X

sER s X

s

s2

2

22

22

2

22 2

22

=+

=+

Dividiendo la expresión anterior por el deslizamiento "s".

I ERs X

22

2

2

22

=

+


15

" La corriente que circula por el devanado rotórico es la misma que circularía, a rótor parado, por estos devanados, con la salvedad de que la resistencia del rótor no sería R2 sino una resistencia ficticia de valor R2/s "


16

4.6.- CIRCUITO EQUIVALENTE DEL MOTOR ASÍNCRONO.

RS R R S

S2

2 2

1= + −

La relación entre las corrientes primaria y secundaria es:

m Nm N mi

1 1 1

2 2 2

ξξ =

E f N1 1 1 1 04 44= , ξ Φ

E f N2 2 2 2 04 44= , ξ Φ

A rótor parado: f1 = f2

EE

NN mv

1

2

1 1

2 2

= =ξξ


17

Si el número de fases del primario y secundario son iguales, se cumplirá:

mi = mv

Siendo:

E´2 = mv E2 R´2 = mi mv R2

I´2 = - I2 / mi X´2 = mi mv X2

4.7.- BALANCE DE POTENCIAS. Llamando V1 la tensión de fase, l1 la corriente de fase, m1 al número de fases y cos ϕ1 al factor de potencia del motor, la potencia absorbida valdrá:

P1 = m1 V1 l1 cos ϕ1


18

Parte de esta potencia será disipada en forma de calor en el devanado del estátor.

PCU1 = m1 R1 l12 Pfe ≈ m1 V1 l0 cos ϕ0 Pa = P1 - PCU1 - Pfe

Si a esta potencia transmitida al rótor a través del campo giratorio, se le resta la disipada por efecto Joule en el devanado del rótor, obtendremos la potencia mecánica interna en el motor.

PCU2 = m2 R2 l22 = m1 R´2 l´22

PMi = Pa - PCU2

Según el circuito equivalente, esta potencia será la disipada por la resistencia de carga R2 (1-S / S).

P m R SS I m R S

S IMi =−

= ′

−

′2 2 2

21 2 2

21 1

PU = PMi - Pm

η =PP

U

1


19

Relacionando las expresiones de la potencia en el cobre del rótor y la mecánica interna, obtenemos.

PP

m R I

m R SS Í

SS

CU

Mi

2 1 2 22

1 2 22

1 1=′ ′

′ − ′= −

P P P m R SS I m R I m R

S I PSa Mi CUCU= + = ′ − ′ + ′ ′ = ′ ′ =2 1 2 2

21 2 2

21

222 21

PCU2 = s Pa

Otra relación que presenta especial interés es la variación de la potencia mecánica interna con el deslizamiento.

La corriente l´2 vale:

( )l U

R Rs X X

U

R Rs XCC

′ =+ ′

+ + ′

=+ ′

+

21

12

2

1 2

2

1

12

22


20

P m R SS I m R S

SU

R RS X

Mi

CC

= ′ − ′ = ′ −

+ ′

+

1 2 22

1 212

12

22

1 1

( ) ( )dPdS S R

R R R X XMi

Pmx= ⇒ =′

′ ± + ′ + + ′0 2

2 1 2

2

1 2

2

( )P m UR ZMi

CC CCmax= ±

± +1 1

2

2

4.8.- EXPRESIÓN DEL PAR EN EL MOTOR ASÍNCRONO. - PM i = Potencia mecánica interna. - Mi = Par interno. - ω = Velocidad angular del rótor. La potencia mecánica interna podemos expresarla:

P m R SS I

P M

Mi

Mi i

= ′−

′

= ⋅

1 2 22

1

ω

Igualando ambas expresiones:

m R SS I Mi1 2 2

21

′−

′ = ω


21

( )S S S= − ⇒ = − = −ω ωω ω ω ω ω1

11 1 1 1

Sustituyendo:

( )m R SS I M Si1 2 2

21

1 1′−

′ = −ω

( )Mm R S

S I

S m RS Ii =

′ −

′

− =′′

1 2 22

1 11

222

1

11

ω ω

Siendo:

m1 (R´2 / S) l´2

2 ⇒ Potencia entregada al rótor.

A través de la expresión del par interno podemos deducir que el par es proporcional a la potencia entregada al rótor.

( )Mm R S

S I

S m RS I m R

SU

R RS X

i

CC

=′ −

′

− = ′ ′ = ′

+ ′

+

′

1 2 22

1 11

222 1

1

2 12

12

2

2

1

11

ω ω ω

Del circuito equivalente:

Potencia en el rótor = m2 E2 l2 cos ϕ2 = m1 E1 l´2 cos ϕ2

Mi = (1 / ω1) m1 E1 l´2 cos ϕ2

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:


22

− =E f N1 1 1 1 04 44, ξ Φ

− =m N mN m relación de transformacióni

ξξ

1 1 1

2 2 2

( )

− ′ = =I Im

m Nm N I en módulo

i2

2 2 2 2

1 1 12

ξξ ( )

Sustituyendo en la expresión del par:

M m N f m Nm N Ii =

1 4 441

1 1 1 1 02 2 2

1 1 12 2ω ξ

ξξ ϕ, cosΦ

K m N f m Nm N=

1 4 441

1 1 1 12 2 2

1 1 1ω ξξξ,

La expresión del par nos queda:

Mi = K Φ0 l2 cos ϕ2

( ) ( )

Siendo RZ

RR SX

RR SX

cosϕ22

2

2

22

2

22

22

2

2= =+

=′

′ + ′


23

4.9.- CARACTERÍSTICA PAR-DESLIZAMIENTO

[Mi = f (s)]. Esta característica, llamada característica mecánica, nos indica para un valor constante de la tensión aplicada U1, los valores que toma el par (Mi ó M) en función del deslizamiento. Para deducir la forma de variación del par con el deslizamiento partiremos de la expresión del par deducida en el apartado anterior.

Mi = K Φ0 l2 cos ϕ2

Sustituyendo los valores de l2 y cos ϕ2.

I ERS X

N fRS X

R SRS X

22

2

2

22

2 2 2 0

2

2

22

22

2

2

22

4 44=

+

=

+

=

+

,

cos /

ξ

ϕ

Φ

Finalmente nos queda:

M K R SR S Xi = +1 0

2 2

22 2

22Φ

Para simplificar la función podemos despreciar la caída de tensión en Z1 frente a la tensión de red. Ello supone:


24

U1 = cte. ⇒ E1 = cte. ⇒ Φ = cte.

M K R SR S Xi = +2

2

22 2

22

- Para valores pequeños del deslizamiento (S ≈ 0), podemos despreciar el valor de S2 X2

2 frente a R22.

M KR Si =

2

2

Ecuación de una recta de pendiente K2 / R2.


25

Para deslizamientos elevados, podemos despreciar R2 frente a S2 X2

2, quedando:

M K RS Xi = 2

2

22

Ecuación correspondiente a una hipérbola equilátera.


26

( )dMdS K R R S X

R S Xi =

−+

=2 222 2

22

22 2

22

2 0

De donde:

R2 = S X2

Mi max ⇒ R2 = S X2

El deslizamiento correspondiente al par máximo será:

S RXMimax =

2

2

M R K R X

R RX X

KXimax =

+

=2 22 2

22 2

2

2

22

2

22/

La curva representativa de la variación del par con el deslizamiento es la que se indica.


27

Se puede utilizar, igualmente, el circuito equivalente aproximado del motor para deducir la curva Mi = f (S).

U1 = E1 ⇒ U = cte. ⇒ Φ = cte.


28

( )I U

R RS X X

X X

R RS

′ =+ ′

+ + ′

=+ ′

+ ′

21

12

2

1 2

2

21 2

12

tgϕ

Sustituyendo en la expresión del par:

( )M K U

R RS X X

i =+ ′

+ + ′

12

12

2

2

2

Ecuación que nos indica que, a deslizamiento constante, el par es proporcional al cuadrado de la tensión de alimentación.

dMdS

i = 0

( )S R

R X XMimax = ±

′

+ + ′2

12

12

2

El par máximo será:

( )M K UR R X Ximx = + + +

1

1 12

1 2

2

2 2

Como generalmente R1

2 << (X1 + X´2)2, podemos simplificar.

S RX XMimx =

′+ ′

2

1 2


29

- El valor del par máximo no depende de la resistencia del rótor.

M KXimx = 2

22

- El valor del deslizamiento correspondiente a Mimx si depende del valor de R2.

S RX XMimx =

′+ ′

2

1 2

- Para obtener el par máximo en el arranque, se deberá cumplir:

RX X R X X′+ ′ = ⇒ ′ = + ′2

1 22 1 21

4.10.- CRITERIOS DE ESTABILIDAD. Analicemos la respuesta en el motor ante una variación en el par resistente a partir de la característica mecánica del motor.


30

- Si el par resistente Mr aumenta: n ⇒ Disminuye. s ⇒ Aumenta Mi ⇒ Aumenta (A1) - Si el par Mr disminuye: n ⇒ Aumenta. s ⇒ Disminuye. Mi ⇒ Disminuye (A2) Podemos observar que para s < sMimx la marcha del motor será estable. Para valores del deslizamiento s > sMimx - Si Mr aumenta: n ⇒ Disminuye. s ⇒ Aumenta. Mi ⇒ Disminuye. En estas condiciones el motor llega a pararse. - Si Mr disminuye: n ⇒ Aumenta. s ⇒ Disminuye. Mi ⇒ Aumenta. Al ser Mi > Mr la velocidad del motor aumenta, lo que proporciona un menor deslizamiento y en consecuencia un aumento del par siendo, por tanto una zona inestable de funcionamiento.

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