Transformaciones Isométricas

PROFESOR: GERMÁN OYARZÚN RETAMAL

Objetivo de aprendizaje: Comprender los movimientos geométricos en el plano.

Plano cartesiano

• El plano cartesiano está formado por los ejes cartesianos X e Y, perpendicularmente entre sí y el origen (0,0) que corresponde al punto de intersección entre ellos. El eje X es el eje de las abscisas, el eje Y de las ordenadas.

• Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro regiones llamados cuadrantes, numerados I, II, III y IV. Se ubican partiendo de arriba a la derecha y siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj

Plano Cartesiano

Notación de un punto en el plano cartesiano

• La notación de un punto en plano cartesiano se escribe P(X, Y).

Donde

• P (o cualquier otra letra) es el nombre del punto.

• X es el desplazamiento del punto en el eje X (abscisas), medidos a partir del origen.

• Y es el desplazamiento del punto sobre el eje Y (ordenadas), medidos a partir del origen.

Todo punto que se ubica en el eje X es de la forma (X, 0) y todo punto que se ubica en el eje Y, es de la forma (0,Y).

Actividad

I. Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano considerando para ambos ejes desde -8 hasta 8, y ubica los siguientes puntos.

1. A(5,8) 5. G(6,-7)

2. B(-3,6) 6. H(-8,0)

3. D(4,4) 7. J(-3,-4)

4. E(-1,-8) 8. K(-0,5; -2,5)

Actividad

II. Indica en que cuadrante se ubica un punto, según las siguientes condiciones

1. Su abscisa es negativa y su ordenada es positiva ___________________

2. Su abscisa es positiva y su ordenada negativa .____________________

3. Ambas coordenadas son negativa __________________

4. Ambas coordenadas son positivas _________________

Vectores en el Plano Cartesiano

Un vector es un segmento con magnitud,

dirección y sentido definidos.

Este se denota por o .

Magnitud: distancia entre el punto inicial y final

del vector.

𝑢 𝐴𝐵

A B

Vectores en el Plano Cartesiano

Dirección: se puede interpretar como la inclinación de la fecha con respecto a la horizontal.

Valdivia

Osorno

Vectores en el Plano Cartesiano

Sentido: hacia donde se realiza el desplazamiento, indicado por el extremo que corresponde a la cabeza de la flecha.

Sentido hacia la izquierda

Representación de Vectores en el plano Cartesiano

• Para representar un vector en el plano

Cartesiano se utiliza un par ordenado (X, Y),

llamados componentes del vector.

• La componente X representa el

desplazamiento horizontal positivo hacia la

derecha y negativo hacia la izquierda.

X-X

Hacia la derecha positivo

Hacia la izquierda negativo

Representación de Vectores en el plano Cartesiano

La componente Y representa el desplazamiento vertical, positivo hacia arriba y negativo hacia abajo.

Hacia Arriba Positivo

Hacia Abajo negativo

Y

-Y

Ejemplo de vector en el plano cartesiano.

Graficar el vector v=(4,3)

x

y

A

BD

C∙

∙

∙

∙

Actividad

Determina las componentes de los vectores: AB, BC, AC,AD

Transformación Isométrica

Una transformación Isométricas es aquel

movimiento que solo modifica la orientación y/o

posición de una figura, pero mantiene su forma

y sus medidas. Algunas Transformaciones

Isométricas que estudiaremos son:

Traslación Rotación Simetría

Traslaciones en el Plano Cartesiano

Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

Ejemplo:

El triángulo ABC de la figura se traslado según el vector de traslación , obteniéndose como imagen el triángulo A´B´C´.

𝑢=(−3,3)

Traslaciones en el plano cartesianos.

𝑢=(−3,3)Vértices ABC Traslación respecto a Vértices A´B´C´

A(1,-2) A’(1+-3,-2+3) A’(-2,1)

B(4,-1) B’(4+-3,-1+3) B’(1,2)

C (3,2) C’ (3+-3,2+3) C’(0,5)

Traslaciones en el plano cartesianos.

En síntesis

En el plano cartesiano, la imagen

de un punto P(x,y) que se

traslada según un vector

corresponde a:

P’( x + a, y + b)

𝑣=(𝑎 ,𝑏)

Actividad

Dibuja el triangulo ABC de vértices A(-4,-3), B(-4,2) y C(-1,2) en el plano cartesiano y trasládalo según los siguientes vectores.

1)

2)

3)

𝑎=(1,2)

𝑏=(−4,5)

𝑐=(6,5)

Simetrías en el plano cartesiano

• La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano, sin cambiar su forma ni su tamaño.

• Algunos ejemplo de simetría en la vida cotidiana.

Eje de Simetría

• El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

Simetría Axial

• Simetría Axial:

En la simetría axial cada punto de una figura se refleja respecto de una línea recta llamada eje de reflexión o simetría.

Simetría con respecto al eje Y

• En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje Y corresponde a P´(-X, Y).

A(5, 1) A’ (-

5, 1)

B(4, 5) B’ (-

4, 5)

C( 1, 5) C’ (-

1, 5)

Simetría con respecto al eje X

• En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P´(X, -Y).

A( 5, 1) A’’ (5,

-1)

B( 4, 5) B’’

(4,-5)

C( 1, 5) C’’ (1,

-5)

Actividad

• Determina la simetría de cada punto respecto al eje indicado.

P(3,2) respecto al eje X.

Q(0,2) respecto al eje X.

R(-3,0) respecto al eje X.

S(-5,-2) respecto al eje Y.

T(-3,0) respecto al eje Y.

U(0, -7) respecto al eje Y.

Simetría central

• La simetría central es una transformación isométrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo, llamado Centro de simetría. En las figuras siguientes se observan simetrías central.

En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al origen es P’(-X, -Y).

Al triángulo ABC se le ha realizado una simetría central Ejemplo:

A( 2, 2) A’ (-2,

-2)

B( 4, 2) B’ (-

4,-2)

C( 2, 5) C’ (-2,

-5)

Actividad

• Dadas las coordenadas de una figura, encuentra las coordenadas de su simétrica con respecto al origen, en cada uno de los siguientes ejercicios.

a) A(1,2) ; B(2,4); C(3,5)

b) A(-1,3) ; B(0,-3) ; C(-2,-4)

c) A(0,1) ; B(-3,4) ; C(4,2); D(6,2)

d) A(-1,1) ; B(-2,3); C(-5,2); D(-1,2)

Rotaciones

• La rotación es un movimiento en el que cada punto de una figura gira en torno a otro punto fijo, llamado centro de rotación, en cierto ángulo dado, como se muestra en las siguientes figuras. Además la figura no cambia ni la forma ni el tamaño en dicho movimiento.

Ejemplo

• Observa la siguiente rotación hecha en el plano cartesiano, con centro de rotación en el origen.

• El triangulo A’ B’ C’ resulta de rotar el triángulo ABC en un ángulo de 90°.

En síntesis

• Al rotar una figura con centro de rotación en el origen del plano cartesiano, en los ángulos 90°, 270° y 180°, encontramos ciertas regularidades que nos sirven para generalizar estas rotaciones.

Rotación en 90° Rotación en 270° Rotación en 180°

En el plano cartesiano,

la imagen de un punto

P(X,Y) que rota en 90°

con centro en el

origen corresponde a

P’(-Y, X).

En el plano cartesiano,

la imagen de un punto

P(X,Y) que rota en

270° con centro en el

origen corresponde a

P’(Y, -X).

En el plano cartesiano,

la imagen de un punto

P(X,Y) que rota en

180° con centro en el

origen corresponde a

P’(-X, -Y).

Actividad

Dado el triángulo de la figura, realiza las transformaciones siguientes indicando, en cada caso, las coordenadas de los vértices de la imagen.

a)Rota el triángulo ABC en 180°.

b)Rota el triangulo ABC en 270°.

Transformaciones Isométricas

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Objetivo de aprendizaje: Comprender los movimientos geométricos en el plano.