TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

¿QUÉ SON LAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS?

Son aquellos movimientos de una figura que no modifican las medidas ni la forma del objeto sobre el cual actúan; solo cambian la posición y el sentido.Actividad: Identificar cuales pares de imágenes son transformaciones Isométricas.

Transformaciones Isométricas

Traslaciones

Rotaciones

Simetría Rotaciona

l

Simetría Central

Reflexiones

Simetría axial

Simetría Central

VECTOR

Se representa gráficamente por una flecha o un segmento de recta dirigido:

u

Un vector indica:

Dirección: Horizontal, vertical u oblicua.

Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.

Distancia o Magnitud : Es la distancia que existe entre el punto inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza.

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Por ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

El producto de un número k por un vector  es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector,  si k es positivo.

De sentido contrario del vector,  si k es negativo.Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las coordenadas del vector.

Por ejemplo:

MÓDULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Por Ejemplo:

TRASLACIÓN

Es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.Ejemplo 1:A se ha trasladado hasta coincidir con el punto B.Dirección: verticalSentido: abajo Distancia o magnitud AB: 6cms.

Ejemplo 2:Dirección: diagonalSentido: 4 cm derecha

1 cm abajo Magnitud AB: 4,1 cms.

ALGUNOS EJERCICIOS DE TRASLACIÓN

Traslade la figura conforme al vector dado.

ALGUNOS EJERCICIOS DE TRASLACIÓN

Traslade la figura conforme al vector dado.

Verifiquemos lo aprendido, indicando una definición para uno de los siguientes conceptos.

Transformación Isométrica

Tipos de transformaciones Isométricas

Vector

Suma de vectores

Multiplicación de un vector por un escalar

Módulo de un vector

Traslación

RESUMEN CLASE ANTERIOR

Transformaciones Isométricas

Traslaciones

Rotaciones

Simetría Rotaciona

l

Simetría Central

Reflexiones

Simetría axial

Simetría Central

ROTACIÓN

Es una transformación isométrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado “centro de rotación” y en un determinado ángulo α denominado “ángulo de rotación”.

Si α se desplaza en contra de las manecillas del reloj es positivo en caso contrario es negativo.

O: centro α : ángulo de rotación positivo

El centro puede estar dentro o

fuera de la imagen

Rotar este paralelogramo con respecto al punto O en un ángulo de 80°

SIMETRIA ROTACIONAL

Se dice que una figura posee simetría rotacional cuando, al girar sobre su centro, coincide con su posición inicial con una rotación menor o igual a 360°.

Orden de Simetría: es cuantos ángulos ≠ generan simetría rotacional.

Ángulo de giro: 120°Orden: 3Ángulos ≠s:120° ,240°, 360°

Ángulo de giro: 72°Orden: 5Ángulos ≠s: 72°, 144°, 216°, 288° y 360°

SIMETRIA CENTRAL

Se dice que una figura posee simetría central cuando tiene simetría rotacional en 180°

Por ejemplo un rectángulo tiene simetría central ya que con un giro de 180° logra quedar sobre en su posición original.

Existen figuras que poseen tanto simetría rotacional como central. Como es el caso del cuadrado.

ROTACIÓN EN UN SISTEMA DE COORDENADASUna rotación con centro P y ángulo de giro α , se representa

por R (P, α ). Si la rotación es negativa, se representa por R (P, -α).

Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º o 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.

Punto inicial

R(O, 90°) R(O,180°) R(O,270°) R(O,360°)

( X,Y ) (-Y,X ) (-X,-Y ) ( Y,-X ) ( X,Y )Por ejemplo: A( 2,3 )

R(O,90°) = (-3,2 )

R(O,180°) = (-2,-3 )

R(O,270°) = ( 3,-2 )

R(O,360°) = ( 2,3 )

Verifiquemos lo aprendido, indicando una definición para uno de los siguientes conceptos.

Rotación

Simetría rotacional

Simetría central

Rotación en un sistema de coordenadas

Ángulo y centro de rotación

RESUMEN CLASE ANTERIOR

Transformaciones Isométricas

Traslaciones

Rotaciones

Simetría Rotaciona

l

Simetría Central

Reflexiones

Simetría axial

Simetría Central

REFLEXION CON RESPECTO A UNA RECTA O SIMETRIA AXIAL

Transformación isométrica de una figura geométrica, fijada por una recta llamada eje de simetría.

Construir una simetría axial de la siguiente figura dada la recta L

L

REFLEXIÓN CON RESPECTO A UN PUNTO O SIMETRIA CENTRAL

Transformación isométrica en la que cada punto del plano se asocia a otro punto llamado imagen que cumple: El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Construir una simetría central de la siguiente figura dado el punto O

SIMETRIA AXIAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

La simetría axial se puede representar en un sistema de coordenadas, dado un punto ( X ,Y ) se puede encontrar su simétrico (X’, Y’).

Punto Inicial Simétrico eje X Simétrico eje Y

A( X, Y) A’( X,-Y ) A’’(-X,Y )

Por ejemplo:

A(1,1) A’(1,-1) A’’(-1,1)

B(1,3) B’(1,-3) B’’(-1,3)

C(2,4) C’(2,-4) C’’(-2,4)

D(4,4) D’(4,-4) D’’(-4,4)

Construir una simetría axial en el sistema de coordenadas con respecto a los ejes X e Y.

Punto Inicial Simétrico eje X Simétrico eje Y

A( X, Y) A’( X,-Y ) A’’(-X,Y )

SIMETRIA AXIAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

A(1,1) A’( , )

A’’( , )

B(3,1) B’( , ) B’’( ,

)

C(4,2) C’( , ) C’’( ,

)

D(3,3) D’( , ) D’’( ,

)

E(1,3) E’( , ) E’’( ,

)

F(2,2) F’( , ) F’’( ,

)

SIMETRIA CENTRAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

La simetría central se puede representar en un sistema de coordenadas, dado un punto ( X ,Y ) se puede encontrar su simétrico con respecto al origen (X’, Y’).

Punto Inicial Simétrico punto O

A( X, Y) A’( -X,-Y ) Por ejemplo: Simetría axial con respecto a los ejes origen O.

A(2,1) A’(-2,-1)B(1,1) B’ (-1,-1)C(1,3) C’(-1,-3)D(2,3) D’(-2,-3)E(2,4) E’(-2,-4)F(3,4) F’(-3,-4)G(3,2) G’(-3,-2)

Construir una simetría central en el sistema de coordenadas con respecto al origen.

Punto Inicial Simétrico punto O

A( X, Y) A’( -X,-Y )

A(1,3)

A’( , )

B(3,4)

B’( , )

C(5,2)

C’( , )

D(3,1)

D’( , )

EJE DE SIMETRIA

Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a ella.

Existen figuras que:

No tienen eje de simetría. Tienen sólo un eje de simetría. Tienen más de un eje de simetría. Tienen infinitos ejes de simetría como la circunferencia

Triángulo Equilátero:

3 ejes de simetría

Flecha: un eje de simetría

Cuadrado:4 ejes de simetría

Figura: no posee ejes de simetría