Introduccin

Introduccin

En una pequea introduccin que dio uno de mis compaeros a los datos o mas bien temas de exposicin fue la de variables no entro tanto en los temas ya que posteriormente lo pasaran a explicar otros compaeros pero esto es lo mas sobre saliente en los temas as como pues yo lo entend.

Este se podra explicar de la manera ms lgica de organizar datos es crear categoras y luego asimilarle algunas observaciones a una categora. Pero nuestra capacidad de categorizar esta limitada por las variables que usamos, adems de que no todas las variables se pueden categorizar con la misma facilidad. En trminos de estadstica las variables a medir pueden ser discretas o continuas.

Variable Discreta:

Unavariable discretaes unavariableque slo puede tomar valores dentro de un conjunto numerable, es decir, no acepta cualquier valor sino slo aquellos que pertenecen al conjunto. En estas variables se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho con ms rigor, se define una variable discreta como la variable que hay entre dos valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente). Como ejemplo, el nmero de animales en una granja (0, 1, 2, 3...).Unavariable discretaes unavariable cuantitativaque tomavalores aislados, es deciradmitevalores intermediosentre dos valores especficos. Por ejemplo:

El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable Continua:Unavariable continuapuede tomar un valor cualquiera dentro de un intervalo predeterminado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que tambin podra tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo unintervalode valores. Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisin de losinstrumentos de medicin. Con una variable continua hay inevitablemente unerror de medida. Como ejemplo, la estatura de una persona (1.71m, 1.715m, 1.7154m....)Este es un ejemplo ms o menos entendible

Unavariable continuaes unavariable cuantitativaque puede tomarvalores comprendidos entre dos nmeros. Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin se podra dar con tres decimales.

Ejemplos:

Distribucin de una variable continaLas distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadsticas de variable continua. Estas se obtienen empricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones tericas. Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una funcin y = f(x) que se llama funcin de probabilidad o funcin de densidad. Ha de 0 para todo x.(ser f(x) Las probabilidades vienen dadas por el rea bajo la curva. Por tanto, el rea encerrada bajo la totalidad de la curva es 1. Es decir, tomamos como unidad el rea bajo la curva completa.Para que f(x) sea la funcin de densidad o de probabilidad de una variable aleatoria es necesario que: - f(x) se no negativa para todo x - El rea bajo la curva y = f(x) sea igual a 1 b], obtendremos el rea que hay bajo la curva en el( x (Para hallar la probabilidad P[a intervalo [a,b] Las probabilidades de sucesos puntuales son cero: P[x = a] = 0. b] = P[a( x (Por tanto: P[a < x < b] La media y la desviacin tpica tienen los mismos significados que en las distribuciones estadsticas pero su clculo exacto no corresponde a este curso.

Distribucin Normal:En la industria la calidad final que se obtiene en un proceso depende de muchos factores: experiencia de los operarios, calidad de las materias primas, estado de las herramientas, etc. Algunos de estos parmetros se conocen de forma exacta (variables asignables), mientras que otros se sabe que siguen una tendencia (variables aleatorias). La estadstica nos proporciona una herramienta muy interesante para poder trabajar con estos casos en los que se conoce slo el comportamiento pero no el valor preciso:la variable aleatoria.

Variable aleatoriaes una funcin que asocia un nmero a cada suceso elemental de un espacio muestral.

Supongamos que hacemos unos histogramas de frecuencias relativas de la intensidad de disparo de un interruptor automtico. El histograma tendr la forma de la figura izquierda de debajo. A medida que los intervalos se van haciendo ms pequeos, la lnea poligonal de frecuencias relativas tiende hacia una lnea curva. Esta curva es la grfica de una funcin f(x) llamadafuncin de densidad,figura debajo derecha, que est asociada a una distribucin de probabilidades de unavariable aleatoria continua.

Cuando se trabaja con una variable aleatoria continua siempre se determinan probabilidades de que la variable aleatoria X pertenezca a un cierto intervaloP(x1 X x2), ya que la probabilidad en un punto es cero.

La funcin de densidad f(x)es una funcin asociada a una variable aleatoria continua X que permite hallar mediante el clculo de reas las probabilidades en las distribuciones continuas.

La funcin de distribucinde una variable aleatoria continua es la funcin que determina la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a xi:F(xi) = P(X xi)

El rea de la regin comprendida entre f(x), OX y dos rectas x1y x2es la probabilidad de que la variable aleatoria X est en el intervalo [x1, x2].

La distribucin normalN (,es un modelo matemtico que rige muchos fenmenos. La experiencia demuestra que las distribuciones de la mayora de las muestras tomadas en el campo de la industria se aproximan a la distribucin normal si el tamao de la muestra es grande. Esta distribucin queda definida por dos parmetros:la mediam yla desviacin tpica s. Se presenta mediante una curva simtrica conocida comocampana de Gauss. Esta distribucin nos da la probabilidad de que al elegir un valor, ste tenga una medida contenida en unos intervalos definidos. esto permitir predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo los datos del presente.

Distribucin Gama

Este modelo es una generalizacin del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describenel tiempo hasta que se producepveces un determinado suceso.

Su funcin de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parmetros positivos:yp. La funcin (p) es la denominadafuncin Gamma de Eulerque representa la siguiente integral:

que verifica(p+ 1) =p(p), con lo que, sipes un nmero entero positivo,(p+ 1) =p!

El siguiente programa permite visualizar la forma de la funcin de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en quepes un nmero entero).

Propiedades de la distribucin Gamma1. Su esperanza esp.2. Su varianza esp23. La distribucin Gamma (, p= 1)es una distribucin Exponencial de parmetro . Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma conp= 1.

4. Dadas dos variables aleatorias con distribucin Gamma y parmetro comn

X~G(,p1)yY~G(,p2)

se cumplir que la suma tambin sigue una distribucin Gamma

X+Y~G(,p1+p2).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemoskvariables aleatorias con distribucin Exponencial de parmetro (comn) e independientes, la suma de todas ellas seguir una distribucinG(,k).

Ejemplo 1.En cierta ciudad el consumo diario de energa elctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribucin GAMMA de parmetros= 3 y= 0.5.La planta de energa de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/horaCul es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a. Insuficiente en un da cualquiera?.b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?c. Encuentre E(x) y V(x).

Solucin:

Ejemplo 2.Suponga que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviacin con respecto del tiempo promedio.

b. A ms de dos desviaciones por encima de la media.

Solucin:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.Y: Nmero de ciclos / 100 horas----Y ~P(=2) E(Y) = 2Y': Nmero de ciclos / hora---------Y'~P(=0.02) E(Y') = 0.02 =X ~ G(2, 0.02)

Distribucin ji cuadradaEntrando un poco en detalle esta distribucin es un poco compleja ya que son varias constantes que en ella existen.llamada tambinji cuadradaochi cuadrado() es unadistribucin de probabilidad continuacon un parmetroque representa losgrados de libertadde lavariable aleatoria

La distribucin tiene muchas aplicaciones eninferencia estadstica. La ms conocida es la de la denominadaprueba utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimacin de varianzas. Pero tambin est involucrada en el problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta deregresin lineal, a travs de su papel en ladistribucin t de Student.

Dondeson variables aleatoriasnormalesindependientes demediacero yvarianzauno. El que la variable aleatoriatenga esta distribucin se representa habitualmente as: .

Funcin de distribucin acumulada[editar]

Sufuncin de distribucines

Donde: es lafuncin gamma incompleta.

Elvalor esperadoy lavarianzade unavariable aleatoriaX con distribucin son, respectivamente,ky 2k.

Relacin con otras distribucionesLa distribucin es un caso especial de ladistribucin gamma. De hecho,Como consecuencia, cuando, la distribucin es unadistribucin exponencialde media.

Cuandokes suficientemente grande, como consecuencia delteorema central del lmite, puede aproximarse por una distribucin normal:

Distribucin t de Student

Enprobabilidadyestadstica, ladistribucin t(de Student) es unadistribucin de probabilidadque surge del problema deestimarlamediade unapoblacinnormalmente distribuida cuando eltamao de la muestraes pequeo.

Aparece de manera natural al realizar laprueba t de Studentpara la determinacin de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccin delintervalo de confianzapara la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacin tpicade una poblacin y sta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Caracterizacin

La distribucin t de Student es la distribucin de probabilidad del cociente

Donde:

Zes unavariable aleatoriadistribuida segn unanormaltpica (de media nula yvarianza1).

Ves una variable aleatoria que sigue unadistribucin congrados de libertad.

ZyVsonindependientesSies una constante no nula, el cocientees una variable aleatoria que sigue ladistribucin t de Student no central con parmetro de no-centralidad.

Distribucin t de Student no estandarizadaLa distribucin t puede generalizarse a 3 parmetros, introduciendo un parmero locacionaly otro de escala. El resultado es unadistribucin t de Student no estandarizadacuya densidad est definida por:2

Equivalentemente, puede escribirse en trminos de(correspondiente a lavarianzaen vez de a ladesviacin estndar):

Otras propiedades de esta versin de la distribucin t son:2