teoria de probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADISTICAPROBABILIDAD Conceptos bsicos de probabilidad. Suponga que usted es el gerente general de la zona sureste de una compaa privada de paquetera, y que est preocupado por la posibilidad de que algunos de sus empleados se vayan a huelga. Usted estima que la probabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de 0.75, y la probabilidad de que sus choferes hagan huelga es de 0.65. Adems, sabe que si los choferes se van a huelga, existe el 90% de posibilidad de que los pilotos realicen un paro solidario de actividades. Usted quiere saber, Cul es la probabilidad de que los choferes se vayan a huelga como acto de solidaridad, si los pilotos hacen huelga ? Por medio de las herramientas que se le proporcionan en esta seccin usted podr contestar la pregunta planteada y as tomar una decisin. Introduccin La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos constantemente a la incertidumbre y es aqu donde precisamente se tiene que hacer uso de la probabilidad. Cuando en la radio se escucha que existe un 70% de posibilidad de que llueva, inmediatamente las personas cambian de planes de salir de da de campo y se quedan en casa divirtindose con juegos de mesa. Antes de establecer una definicin de probabilidad es necesario presentar y definir algunos conceptos, los cuales son utilizados constantemente en la teora probabilstica: EXPERIMENTO: Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observacin. Al menos conceptualmente es posible imaginar experimentos en los cuales el resultado puede anticiparse. En el dominio de la estadstica estos experimentos son de poco o ningn inters. Los experimentos de los que se ocuparn en esta seccin reciben el nombre de experimentos aleatorios. EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no son posibles de predecir antes de su realizacin y, por lo tanto, estn sujetos al azar. ESPACIO MUESTRAL: El conjunto integrado por todos los resultados posibles de un experimento, recibe el nombre de espacio muestral, el cual se identificar con la letra S. El espacio muestral en probabilidad es el conjunto universal de la teora de conjuntos. EVENTO: Un evento es uno o ms de los posibles resultados de un experimento. Un evento, haciendo uso de los trminos de la teora de conjunto, se puede definir como un subconjunto del espacio muestral. Cuando el evento consta de un slo posible resultado recibe el nombre de evento simple, pero si est integrado por dos o ms se llama evento compuesto. A continuacin se ejemplifica estos conceptos. EJEMPLO Suponga el lanzamiento de una moneda . a) Defina el experimento b) Indique el espacio muestral c) Indique los eventos posibles SOLUCION a) Lanzamiento de una moneda b) S = { C, X }, donde: C = cara y X = cruz c) Los eventos son cara o cruz. Es importante indicar que existe otro mtodo para representar el espacio muestral y sus posibles resultados: el diagrama de rbol o arborigrama.

Mtra. Patricia Muratalla Guzmn

PROBABILIDAD Y ESTADISTICAEJEMPLO Una caja contiene tres fichas de pker ( una roja, una blanca y otra verde ) y se seleccionan dos de ellas con reposicin o reemplazo ( esto significa que se selecciona una ficha, se observa su color, y se repone o devuelve a la caja antes de hacer la segundo seleccin ). Represente el espacio muestral por medio de un diagrama de rbol. SOLUCION

OBSERVE Y ANALICE: a) Como la extraccin se est realizando con reemplazo, en la segunda seleccin aparece la opcin de la primera seleccin. b) En un diagrama de rbol se generan pares ordenados ( a, b ), en donde el primer elemento lo forma la opcin de la primera seleccin y el segundo elemento la opcin de la segunda seleccin. Por lo tanto el espacio muestral est integrado por los siguientes eventos: S ={ ( R,R ), ( R,B ), ( R,V ), ( B,R ), ( B,B ), ( B,V ), ( V,R ), ( V,B ), (V,V ) } EJEMPLO Realice el mismo ejercicio anterior excepto que la extraccin se hace sin reemplazo o sin reposicin, es decir, la ficha se selecciona y no se devuelve a la caja antes de ser realizada la segunda seleccin. SOLUCION Realizando el diagrama de rbol:


PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

En forma de lista: S = { (R,B), (R,V), ( B,R), (B,V), (V,R), (V,B) } OBSERVE Y ANALICE: Como la extraccin fu sin reposicin, el elemento de la primera seleccin no aparece en la segunda seleccin. Probabilidad De Un Evento La probabilidad de que ocurra un evento se define como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra un evento. Existen tres maneras para calcular la probabilidad de un evento: a) Planteamiento clsico. b) Planteamiento de frecuencia relativa. c) Planteamiento subjetivo. PLANTEAMIENTO CLSICO El planteamiento clsico define la probabilidad de que ocurra un evento como: Probabilidad de que ocurra un evento = nmero de resultados posibles del evento nmero total de resultados posibles Simblicamente: P(A)= n(A) n(S) La utilizacin de esta frmula requiere de la existencia de un espacio muestral en donde cada resultado sea igualmente posible. EJEMPLO Considere el experimento del lanzamiento de una moneda, calcular la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento utilizando el planteamiento clsico. SOLUCION S = { Cara, Cruz } n(S)=2 Sea A ={ cara }, entonces: n ( A ) = 1, por lo tanto


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAP (A) = 1 2 nmero de resultados posibles de que se produzca una cara nmero total de resultados en el lanzamiento

PLANTEAMIENTO DE FRECUENCIA RELATIVA El planteamiento de la frecuencia relativa define la probabilidad de un evento como: a) La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran nmero de intentos o b) La fraccin de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Este mtodo utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. Se determina que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y se utiliza esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. EJEMPLO Suponga que una compaa de seguros sabe, por la informacin obtenida de los datos actuariales registrados, que de los hombres de 40 aos de edad, 60 de cada 100 000 morirn en un perodo de un ao. Utilizando el mtodo de frecuencia relativa estime la probabilidad de muerte de ese grupo de edad en particular. SOLUCION Sea S ={ Hombres que mueren en un periodo de un ao}, entonces, n ( S ) = 100 000 Sea D = {hombres de 40 aos de edad que murieron en un perodo de un ao}, entonces, n ( D ) = 60 Probabilidad de muerte de este grupo de edad = 60 0.0006 100000 PLANTEAMIENTO SUBJETIVO La probabilidad subjetiva se define como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.

EJEMPLO Un juez debe decidir si permite la construccin de una planta nuclear en un lugar donde hay evidencia de que exista una falla geolgica. Debe preguntarse a s mismo Cul es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio ?. El hecho de que no exista una frecuencia relativa de la presentacin de la evidencia de accidentes anteriores en este sitio, no es suficiente para liberarlo de tomar la decisin. Debe utilizar su mejor sentido comn para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear.

Reglas De Probabilidad Para poder calcular probabilidades de eventos es necesario conocer algunas reglas: 1.- La probabilidad del espacio muestral es igual a 1. P(S)=1 2.- La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1: Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es de 0, pero si ocurre siempre su probabilidad es igual a 1. 0P(A)1 3.- Si se suman las probabilidades de cada uno de los eventos que conforman el espacio muestral, la probabilidad total es igual a 1



P( A ) = 1n 1= 1 i

4.- La probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de sus posibles resultados. P ( A )=

P(E )n i =1 i

EJEMPLO Una encuesta sobre el trnsito demuestra que en cierta interseccin, la probabilidad de que los vehculos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. a) Represente el espacio muestral. b) Indique los resultados posibles. c) Sea el evento C = Vehculo seleccionado de vuelta a cualquier lado en la interseccin, calcular su probabilidad. SOLUCION a ) Sea: I = Vehculos que dan vuelta a la izquierda D = Vehculos que dan vuelta a la derecha L = Vehculos que se siguen de largo Entonces: S ={ I, D, L} b) P ( I ) = 0.15 P ( D ) = 0.31 P ( L ) = 0.54 c)La probabilidad de que un auto de vuelta en cualquier direccin = probabilidad del auto que de vuelta a la izquierda + probabilidad del auto que de vuelta a la derecha P ( C ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 =0.46 OBSERVE Y ANALICE: a) La probabilidad de cada evento se encuentra entre 0 y 1. b)La suma de las probabilidades es 1. c) La probabilidad de un evento es igual a la suma de los resultados que lo conforman. EJEMPLO En una universidad se han clasificado a los docentes en maestros de tiempo completo y maestros de tiempo parcial y segn su sexo. Esta clasificacin se presenta en la siguiente tabla: SEXO / DOCENTE MASCULINO FEMENINO TIEMPO COMPLETO 25 35 TIEMPO PARCIAL 20 20

Si se selecciona a un docente aleatoriamente, determine las siguientes probabilidades: a) Sea de sexo femenino. b) Sea de tiempo completo SOLUCION Para poder solucionar el problema se recomienda obtener los totales tanto de cada fila como de cada columna y dar a cada resultado un smbolo que los represente, para despus poder obtener las probabilidades correspondientes.


PROBABILIDAD Y ESTADISTICASEXO / DOCENTE MASCULINO (M) FEMENINO (F) TOTAL TIEMPO COMPLETO (C) 25 35 60 TIEMPO PARCIAL (P) 20 20 40 TOTAL 45 55 S =100

a) P ( F ) = 35 + 20 = 55 = 0.55 100 100 100 O bien se puede obtener la probabilidad observando directamente la columna de totales. b) P ( C ) = 60 = 0.60 100

Eventos excluyentes y no excluyentes. Eventos Mutuamente Excluyentes Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y slo uno de ellos puede tener lugar en un mismo tiempo. Es decir o uno o el otro, pero no pueden suceder ambos al mismo tiempo. Con frecuencia interesa encontrar la probabilidad de que un resultado u otro suceda, Si stos dos eventos son mutuamente excluyentes, se puede calcular esta probabilidad haciendo uso de la regla de adicin para eventos excluyentes. Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes entonces:

P(AoB)=P(AUB)=P(A)+P(B) Se lee la probabilidad de que suceda A o B es igual a la suma de sus probabilidades. OBSERVE Y ANALICE: a) La probabilidad de que suceda A y B o ambos ( A B ) es de 0, puesto que no existen interseccin entre los eventos. b) Note que se est utilizando el diagrama de Venn - Euler para representar la operacin, claro, esto es lgico puesto que los eventos son subconjuntos del espacio muestral, as como los conjuntos son subconjuntos del conjunto universal. EJEMPLO Una encuesta sobre el trnsito demuestra que en cierta interseccin, la probabilidad de que los vehculos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto de vuelta a la izquierda o a la derecha. SOLUCION Para calcular la probabilidad de eventos compuestos es aconsejable realizar un diagrama de Venn, para poder detectar el tipo de eventos.


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAEn este problema es claro que los eventos son mutuamente excluyentes, entonces su diagrama ser:

P ( I U D ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 = 0.46 Eventos Mutuamente No Excluyentes Sean los eventos A y B mutuamente no excluyentes y subconjuntos de un mismo espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) En la siguiente figura aparece el diagrama de Venn - Euler representando dos eventos mutuamente excluyentes

En la figura se puede observar que: P ( A ) = P ( r1 ) + P ( r2 ) P ( B ) = P ( r2 ) + P ( r3 ) P ( A B ) = P ( r2) Por lo tanto, si se quisiera sumar P ( A ) con la P ( B ) para encontrar la P(AUB ) se estara sumando la P (r2) dos veces, obtenindose una probabilidad errnea. Debido a esta explicacin es que para obtener la unin de dos eventos mutuamente no excluyentes es necesario sumar la probabilidad de los eventos analizados y restarle una vez su interseccin. EJEMPLO Calcular la probabilidad de extraer un as o una espada de una baraja de 52 cartas tipo americana, en un slo intento. SOLUCION S = {x / x sea una carta de una baraja americana de 52 cartas}; n ( S ) = 52 Sea los eventos: A = {x / x sea un as}; n ( A ) = 4 por lo tanto P ( A ) = 4 / 52 B = {x / x sea una espada}; n ( B ) = 13 por lo tanto P (B ) = 13 / 52 P(AUB)=? Como existe una carta que es a la vez as y espada, entonces la probabilidad de que suceda el evento as y espada es: P ( A B ) = 1 / 52. Habiendo detectado que existe una interseccin entre


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAlos eventos A y B, entonces se dice que son eventos mutuamente no excluyentes y por lo tanto para encontrar la probabilidad de extraer un as o una espada, es decir, P ( A U B ) , se tendr que aplicar su frmula correspondiente. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=

4 13 1 16 4 + = = 52 52 52 52 13

Representando esta operacin en un diagrama de Venn:

OBSERVE Y ANALICE: Siempre que en un problema se pida encontrar algn tipo de probabilidad es importante detectar el tipo de eventos a trabajar, puesto que existen diferentes frmulas segn sean los eventos. Si un problema de probabilidad involucra dos eventos, digamos A y B, entonces muchas de las probabilidades que entraan estos dos eventos pueden expresarse mediante una tabla o bien utilizando un diagrama de Venn - Euler, como se mostr anteriormente. A continuacin se explica el procedimiento por medio de una tabla. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral, entonces, la representacin tabular de su posibles probabilidades son: A P (A B); A y B P (AB); A y No B P ( A ); A A P ( A B ) AyB P(AB) y No B P ( A) ; No A Total P ( B ); B

B B Total

No

No A P ( B ) ; No B 1

Se puede observar: a) Los complementos de los conjuntos: A complemento de A, B complemento de B. b) Los totales tanto del evento A como del B, as como el de sus complementos. c) El espacio muestral ( P ( S ) = 1 ). Note que si se suman las columnas verticales como las filas horizontales se obtienen sus probabilidades totales respectivas, esto es: P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B) P ( B ) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B) P ( B ) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A ) + P ( A ) = 1 P ( B ) + P ( B ) = 1 EJEMPLO En una comunidad el 30% de las personas son fumadoras, 55% son bebedoras y 20% fumadoras y bebedoras ( tanto bebedoras como fumadoras ). Si se selecciona una persona al azar encontrar las siguientes probabilidades:


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAa) No fume b) No beba c) Fume pero no beba. d) Ni fume ni beba e) Beba pero no fume d) Fume o beba f) Fume o no beba SOLUCION A continuacin se indicar un procedimiento muy sencillo para el llenado de la tabla: 1.- Representar simblicamente a cada evento: Sean los eventos: F = {x / x sea un fumador}, por lo tanto, P ( F ) = 0.30 B = {x / x sea un bebedor}, por lo tanto, P ( B ) = 0.55 Por lo tanto, P ( F B ) = 0.20 2.- Llenar la tabla en forma parcial con las probabilidades totales de cada evento y con su interseccin F F Total B 0.20 0.55 B Total 0.30 1 3.- Llenar las celdas en la forma en que se indica a continuacin: F F Total B 0.20 0.55 - 0.20= 0.35 0.55 B 0.30 - 0.20 = 0.10 * 0.45 - 0.10 = 0.35 1 - 0.55 = 0.45 Total 0.30 1 - 0.30 = 0.70 1 * llenar al final esta celda 4.- Poner la tabla slo con las probabilidades F 0.20 0.10 0.30 F 0.35 0.35 0.70 Total 0.55 0.45 1

B B Total

5.- Ya elaborada la tabla, se procede a contestar las preguntas de probabilidad teniendo en cuenta que las celdas interiores son intersecciones de los eventos, y que la fila y columna final, son los totales de cada evento respectivo. a) No fume: P ( F) = 0.70 b) No beba: P ( B) = 0.45 c) Fume pero no beba: P ( F B) = 0.10 d) Ni fume ni beba: P ( F B) = 0.35 e) Beba pero no fume: P ( B F) =0.35 d) Fume o beba: P ( F U B ) = P ( F ) + P ( B ) - P ( F B ) = 0.30+0.55-0.20 =0.65 f) Fume o no beba: P ( F U B)= P (F) + P(B) - P ( F B) = 0.30+0.45- 0.10= 0.65 EJEMPLO Represente el ejemplo anterior por medio de un Diagrama de Venn Euler



OBSERVE Y ANALICE: Con el diagrama se puede contestar las preguntas establecidas, a continuacin se analizarn slo algunas de ellas: La probabilidad de que no fume: P ( F) = 1 - P ( F ) = 1- 0.30 = 0.70 La probabilidad de que fume o beba: P ( F U B ) = P ( F ) + P ( B ) - P ( F B ) = 0.30 + 0.55 - 0.20 = 0.65 La probabilidad que no fume ni beba: P ( F U B ) = 1 - P ( F U B ) = 1 - 0.65 = 0.35 La probabilidad de que fume pero no beba: P ( F B) = 0.10 Eventos complementarios. Los eventos compuestos se forman combinando varios eventos simples. A continuacin se estudiar la probabilidades de los eventos compuestos.

El evento complemento de evento A, es aqul que posee todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Simblicamente se representa: P ( A ) = P ( S ) - P ( A ) = 1 - P ( A ) EJEMPLO Una encuesta sobre el trnsito demuestra que en cierta interseccin, la probabilidad de que los vehculos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto no de vuelta a la izquierda. SOLUCION Siendo P ( I ) =0.15 Entonces la probabilidad de que no de vuelta un auto a la izquierda es su evento complemento: P ( I ) = 1 - P ( A ) = 1 - 0.15 = 0.85

Independencia y probabilidad condicional. Suponga que usted es gerente de una compaa seguros y elige a una persona para desempear cierta funcin entre 50 aspirantes. Entre los candidatos algunos poseen ttulo universitario, otros poseen experiencia previa en el rea de seguros y algunos cumplen ambos requisitos ( ver la siguiente tabla ) Ttulo (T) 5 15 20 Sin ttulo (T) 10 20 30 Total 15 35 50

Experiencia previa (E) Sin experiencia previa (E) Total


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAUsted quiere saber, Cul es la probabilidad de seleccionar una persona con experiencia previa?, pero tambin est interesado en conocer Cul es la probabilidad de seleccionar una persona que posea experiencia previa considerando slo aquellos candidatos que posean ttulo universitario ?, Ser el mismo resultando para las dos preguntas ?. La respuesta es NO. Para poder resolver ste tipo de problemas es necesario conocer dos tipos de eventos: Independientes y Dependientes, los cuales se tratarn en sta seccin. Cuando se presentan dos eventos el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo, esto es los eventos son dependientes o independientes respectivamente. En esta seccin se examinar primero los eventos que son estadsticamente independientes, y posteriormente los dependientes. Probabilidad Bajo Condiciones De Independencia Estadstica Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra alguno de ellos no depende de la ocurrencia del otro, es decir la presentacin de uno de ellos no tiene efecto sobre la probabilidad de presentacin de cualquier otro evento. Existen tres tipos de probabilidad que se presentan bajo la independencia estadstica: a) Marginal b) Conjunta c) Condicional a) Probabilidad marginal Una probabilidad marginal Considere el siguiente ejemplo: es la probabilidad simple de presentacin de un evento.

EJEMPLO Se lanza una moneda no cargada ( normal ), la probabilidad de que salga cara es de 0.5 y la probabilidad de que salga cruz es tambin del 0.5. Esto es cierto para cada lanzamiento, no importando cuntas veces se lance la moneda o cules hayan sido los resultados anteriores. En consecuencia, el resultado de cada lanzamiento de una moneda es estadsticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de ella. Este experimento se puede representar utilizando un diagrama de rbol de probabilidades, el cual se elabora de forma similar a la descrita en la seccin en donde se trato el tema de la representacin del espacio muestral, la diferencia est en que hay que presentar todos los resultados posibles con sus respectivas probabilidades. A continuacin se presenta el diagrama de rbol del lanzamiento de una moneda no cargada:


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAb) Probabilidad Conjunta La probabilidad de que dos o ms eventos independientes se presenten juntos o en sucesin es el producto de sus probabilidades marginales. Matemticamente se escribe como: P(AB)=P(A)P(B) Donde: P ( A B ) = Probabilidad de que los eventos A y B se presentes juntos o en sucesin, se le conoce como probabilidad conjunta. P ( A ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento A P ( B ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento B Para mostrar ste tipo de probabilidad, considrese el siguiente ejemplo. EJEMPLO Se lanzan una moneda dos veces, Cul es la probabilidad de obtener dos caras ?. SOLUCION La obtencin en el primer lanzamiento del evento cara es independiente de obtener en el segundo lanzamiento el evento cara por lo tanto, para obtener la probabilidad buscada, se aplicar la frmula de probabilidad conjunta, puesto que piden la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento. Sea el evento C1= Obtener el evento cara en el primer lanzamiento, P(C1)=0.5 C2= Obtener el evento cara en el segundo lanzamiento, P(C2)=0.5 Por lo tanto: P ( C1 C2 ) = P(C1) P(C2)=(0.5) (0.5)=0.25 Para elaborar el diagrama de rbol considrese lo siguiente: Si se realiza el primer lanzamiento, existen dos opciones posibles: cara y cruz, suponga que se obtiene cara, si se vuelve a lanzar la moneda tambin existen dos resultados posibles, cara y cruz, cada uno con probabilidad de 0.5, y as sucesivamente se va obteniendo el rbol:

A partiendo del diagrama de rbol se pueden obtener varias probabilidades, por ejemplo: a) La probabilidad de obtener cruz en el primer lanzamiento y cara en el segundo. b) La probabilidad de obtener por lo menos una cara


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAc) La probabilidad de no obtener caras. SOLUCION Analizando el diagrama: a) P(X1 C2)=0.25 b) Sea el evento A= {Obtener por lo menos una cara}, recuerde que el trmino por lo menos significa como mnimo, de aqu que sus eventos incluyen aquellos resultados en donde se obtiene una cara (CI y X2), (X1 y C2) y en donde se obtiene dos caras (C1 y C2), por lo tanto sus resultados posibles son: A = { (CI y X2), (X1 y C2) (C1 y C2) } Para encontrar la probabilidad del evento A( probabilidad marginal), es necesario sumar las probabilidades ( conjunta ) de cada resultado, las cuales se obtienen, analizando la rama correspondiente en el diagrama de rbol. P(A) = P(C1 X2) + P(X1 C2) + P(C1C2) = (0.25)+ (0.25)+ (0.25)= 0.75. c) La probabilidad de no obtener caras en dos lanzamientos de una moneda, se puede resolver de dos formas: 1.- Utilizando el diagrama: Sea el evento B={No obtener dos caras},por lo tanto sus resultados posibles son: (C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2), B= {(C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2)}, de aqu que la probabilidad marginal buscada es igual a la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes: P(B) = P (C1X1) + P(X1C2) + P(X1X2) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 2.- Utilizando el concepto de evento complemento: Si C={obtener dos caras}, su resultado es (C1yC2), por lo tanto, P(C)= P(C1C2)=0.25 C= { no obtener dos caras}, de aqu que: P(C)= 1 - P(C) = 1 - 0.25 = 0.75 OBSERVE Y ANALICE: a) La suma de las probabilidades en cada lanzamiento debe ser igual a 1. b) Para encontrar la probabilidad marginal de un evento se suman las probabilidades conjuntas de sus resultados posibles.

c) Probabilidad condicional A continuacin se definir el concepto de probabilidad condicional: Sean A y B dos eventos, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurri, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B). Note que el evento que va en el denominador de la expresin, es el que debe suceder primero, para que posteriormente pueda presentarse el segundo evento, el cual va en el numerador de la expresin. Para eventos independientes la probabilidad de que suceda el evento A dado que el evento B ya sucedi es simplemente la probabilidad de A. P( A / B ) = P ( A ) A esta relacin se le conoce como condicin de independencia.

En los experimentos que se realizan con reemplazo, se encuentran bajo independencia estadstica, puesto que al reemplazar la primera seleccin, la segunda seleccin no se ve influida por la primera. EJEMPLO


PROBABILIDAD Y ESTADISTICASuponga que se extraen 3 cartas, con reemplazo, de un conjunto de 52 cartas americanas. Cul es la probabilidad de que las tres sean ases ? SOLUCION Como la extraccin se realiz con reemplazo, se aplicar la frmula de probabilidad conjunta para eventos independientes: Sean los eventos A1= {Obtener as en la primera extraccin}, P(A1) = 4/52 A2= {Obtener as en la segunda extraccin}, P(A2) = 4/52 A3= {Obtener as en la segunda extraccin}, P)A3) = 4/52 Entonces la probabilidad de obtener tres ases es: P(A1 A2 A3 ) = P(A1) P(A2) P(A3) = (4/52) (4/52) (4/52) = 64/140608 = 0.0005 OBSERVE Y ANALICE: Al seleccionar el segundo as el espacio muestral (52) no disminuye puesto que el as obtenido en la primera extraccin se ha devuelto antes de seleccionar el segundo as, y la operacin se repite para la extraccin del tercer as Probabilidad Bajo Condiciones De Dependencia Estadstica Se dice que dos eventos A y B son dependientes si se cumple la siguiente condicin: P( A / B ) P ( A ), esto quiere decir que, para obtener la probabilidad de que ocurra A existe la condicin de que primero ocurra B. De la misma manera que los eventos independientes, existen tres tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadstica: a) Probabilidad condicional. b) Probabilidad Conjunta. c) Probabilidad marginal. a) Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos estadsticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurri. La frmula para calcular la probabilidad condicional para eventos dependientes es: P(A/B)=

P( A B) P( B)

Donde: P ( A / B ) = Probabilidad de que ocurra el segundo evento A, dado que el primer evento B ya ocurri. P (A B ) = Probabilidad de que ocurra A y B. P ( B ) = Probabilidad de que ocurra el primer evento B Se lee: la probabilidad de que ocurra A dado que B ya ocurri, es igual a la razn entre la probabilidad de que ocurra A y B, y la probabilidad de que se d el evento B, el cual tiene que haber sucedido primero. Es importante indicar que cuando se muestrea sin reemplazo en una poblacin finita, los valores de probabilidad asociados con los diversos eventos dependen de qu eventos han ocurrido. EJEMPLO En una muestra de 150 residentes, se pregunt a cada persona si estaba a favor de la propuesta de contar con un solo cuerpo policiaco en un distrito. El distrito esta formado por una ciudad grande y varios suburbios. En la siguiente tabla se resumen los datos obtenidos:


PROBABILIDAD Y ESTADISTICALugar de residencia En la ciudad (C) Fuera de la ciudad (C) Total A favor (F) 80 20 100 En contra (F) 40 10 50 Total 120 30 150

Si se selecciona al azar un de los residentes, Cul es la probabilidad ? a) De que est a favor b) De que est a favor dado que reside en la ciudad c) Son independientes los eventos a favor y reside en la ciudad SOLUCION a) P( F ) =

100 2 = 150 3 P( F C) 80 2 b) P ( F / C ) = = = P( C) 120 3c) Trabajando con la condicin de independencia P ( F / C ) = P ( F ) Por lo tanto los eventos a favor y reside en la ciudad son independientes. b) Probabilidad conjunta

Se haba definido a la probabilidad conjunta como la probabilidad de que dos o ms eventos se presenten juntos o en sucesin, es decir la P(A y B). En el caso de eventos dependientes, basta con despejar de la formula de probabilidad condicional, la probabilidad P(A B ): P(A B ) = P ( B ) P ( A / B ) Donde: P(A B )= Probabilidad de que suceda A y B ( probabilidad conjunta ) P ( B )= Probabilidad de que suceda el primer evento . P ( A / B )= Probabilidad de que suceda el segundo evento dado que el primero ya sucedi. EJEMPLO Segn una investigacin, la probabilidad de que una familia sea duea de dos automviles si sus entradas anuales son mayores a $35000 es de 0.75. De las amas de casa entrevistadas 0.60 tuvieron entradas superiores a $35000 y el 0.52 tenan dos autos. Cul es la probabilidad de que una familia tenga dos automviles y una entrada mayor a $ 35000? SOLUCION Sean los eventos: A= {x / x sea una familia que posee dos autos} , P(A)= 0.52 B= {x / x sea una familia con entradas superiores a $35000}, P(B)=0.60 Por lo tanto: P( A / B ) = 0.75 Como en el problema preguntan P(A B), entonces: P(A B ) = P ( B ) P ( A / B ) = ( 0.65 ) ( 0.75 ) = 0.49 c) Probabilidad marginal La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadstica se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAEJEMPLO De 12 cuentas que estn en un archivo cuatro contienen un error de procedimiento en su elaboracin de saldos. a) Si un auditor selecciona una cuenta el azar Cul es la probabilidad de que contenga un error de procedimiento? b) Si un auditor selecciona 2 cuentas al azar Cul es la probabilidad de que ninguna de las cuentas posean error de procedimiento? c) Si el auditor selecciona 3 de sus cuentas al azar Cul es la probabilidad de que por lo menos una de ellas tenga error de procedimiento? Realice un diagrama de rbol de probabilidad. SOLUCIN a)Sea el evento: E ={ Cuenta con error} , por lo tanto, P(E)=4/12 b) Nota: Cuando se realiza una seleccin al azar significa que se est realizando sin reemplazo, y que por lo tanto los eventos son estadsticamente dependientes. Sea el evento E= {Cuenta sin error}, por lo tanto, P(E)= 1 - P(E)= 1 - 4/12 = 8/12 A= {Ninguna de las dos cuentas posean error} Al realizarse la seleccin al azar, significa que al seleccionar la primera cuenta sta no es regresada al archivo, y por lo tanto la segunda seleccin est afectada por la primera, entonces: La probabilidad de que la primera cuenta no tenga error ser: P (E1) = 8/12 La probabilidad de la segunda cuenta no posea error depende de que la primera no haya tenido error, por lo tanto, tanto el nmero de cuentas sin error como el espacio muestral disminuye en una unidad, puesto que ya se extrajo una cuenta y sta fu sin error, de aqu que, la probabilidad de que la segunda cuenta no tenga error dado que la primera no tuvo es: P (E2/ E1) = 7 / 11 Como estn preguntando la probabilidad de que en la primera seleccin se obtenga una cuenta sin error y que en la segunda seleccin tambin la cuenta no posea error, se trata entonces de una probabilidad conjunta P ( E1 E2), de aqu que aplicando la frmula de probabilidad conjunta: P ( A ) = P( E1 E2) = P(E1) P( E2/ E1)= ( 8 / 12 ) ( 7 / 11) = 0.42 Este problema se puede resolver realizando un diagrama de rbol, considerando dos extraccin sin reemplazo.

OBSERVE Y ANALICE: a) En la primera extraccin puede salir un carta con error (E1) o bien sin error, (E1), siento ste evento el complemento, lo cual quiere decir que la suma de


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAambos debe dar 1 ( 4/12 + 8/12 = 12/12). b) En la segunda extraccin , cada opcin anterior, tendr 2 opciones: cuenta con error (E2) y cuenta sin error (E2), pero como los eventos son dependientes, es necesario considerar que la probabilidad cada evento va disminuyendo tanto en el numerador como en el denominador, segn sea el evento que haya sucedido anteriormente. Por ejemplo en la primera rama la probabilidad de que la segunda cuenta tenga error dado que la primera tuvo error es de 3/11, P(E2/E1)=3/11, puesto que ya se extrajo una con error. De manera similar se van calculando las probabilidades condicionales de las dems ramas. c) La suma de cada ramificacin tendr que ser igual a 1, por ejemplo, en la primera ramificacin : 3/11 + 8/11 = 1. d) La suma de las probabilidades conjuntas de las ramificaciones de cada rama tiene que ser igual a la probabilidad de la rama, por ejemplo, tomando como base la primera rama: P(E)=4/12=0.33, por lo tanto las sumas de la probabilidades conjuntas de sus ramificaciones, P(E1 y E2) + P( E1 y E2) = 0.09 + 0.24 = 0.33. e) Es importante agregar la columna de probabilidad conjunta para cada rama, claro est, aplicando la frmula correspondiente para eventos dependientes. Por ejemplo la probabilidad conjunta de la primera rama es: P ( E1 E2 )= P(E1) P ( E2/E1)= ( 4/12 )(3/12)= 0.09. El clculo de las probabilidades conjuntas facilitar la obtencin de las probabilidades marginales. c)Realizar el diagrama de rbol

La pregunta planteada en este inciso se puede resolver de dos maneras: a) Utilizando evento complemento Sea T={ Obtener por lo menos una cuenta con error } T={ Obtener una cuenta con ningn error }, entonces su resultado es: (E1, E2,E3), por lo tanto: P(T)= P(E1 E2 E3) = 0.26 P(T)= 1 - ( T)= 1 - 0.255 = 0.74. b) Obteniendo una probabilidad marginal, mediante la suma de las probabilidades conjuntas de los resultados que formen el evento. Sea T= { Obtener por lo menos una cuenta con error }, ste evento inmiscuye todos aquellos resultados que poseen una cuenta con error, dos errores y tres errores, de aqu que sus resultados son: T = { (E1,E2,E3), (E1,E2 ,E3), (E1,2, E3), (E1, E2, E3), (E1, E2, E3), (E1, E2, E3),(E1, E2, E3) }.


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAPara obtener la probabilidad marginal del evento T se tendr que sumar las probabilidades conjuntas de sus resultados: P(T) = P (E1E2E3) + P (E1E2E3) + P (E12E3) + P (E1E2E3) + P (E1 E2E3) + P (E1E2E3) + P (E1E2E3), por lo tanto: P(T)= 0.169 + 0.169 + 0.169 + 0.072 + 0.072 + 0.072 + 0.018 = 0.74

El teorema de Bayes

Si la administradora de una boutique encuentra que la mayora de las chamarras deportivas color negro y blanco que pens que se iban a vender muy bien, todava estn colgadas en los exhibidores, entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinacin diferente de color o ponerlas en oferta. En este caso, las probabilidades fueron alteradas despus que la interesada obtuvo informacin adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidad a posteriori. El origen del concepto de la obtencin de probabilidades posteriores con informacin limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes ( 1702 - 1761). El teorema de Bayes ofrece un mtodo estadstico poderoso para evaluar nueva informacin y revisar anteriores estimaciones de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado correctamente, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un perodo grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidad. La frmula bsica para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia se conoce como Teorema de Bayes . Partiendo de las frmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta para eventos estadsticamente dependientes P(A / B ) = Bayes.

P( A B) , P ( A B ) = P ( B ) P ( A / B ) se proceder a enunciar el teorema de P( B)

Sean A1, A2, ... An eventos mutuamente excluyentes tales que cualquier evento B en el espacio muestral pertenece a uno y slo a uno de estos evento. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento Ak dado que ha ocurrido el evento B se calcular por la siguiente frmula:

P( Ak B) =Donde:

P( Ak B) P( B)P( Ak B) = P( Ak ) P( B Ak )

El numerador es la probabilidad conjunta:

El denominador es la probabilidad marginal de que ocurra el evento B

P( B) = P( A1 ) P( B A1 ) + P( A2 ) P( B A2 )++ P( An ) P( B An )


PROBABILIDAD Y ESTADISTICAPor lo tanto, sustituyendo la frmula de probabilidad condicional:

P ( Ak / B ) =

P( A1 ) P( B A1 ) + P( A2 ) P( B A2 )++ P( An ) P( B An )

P( Ak ) P( B Ak )

Como son eventos estadsticamente dependientes, el teorema de Bayes se puede representar tambin utilizando un diagrama de rbol. EJEMPLO El empleado de prstamos de un banco sabe que el 5% de todos los solicitantes de prstamos representan riesgo de falta de pago, el 92% de todos los solicitantes que representan en realidad un cliente moroso tambin son considerados en la misma categora por una agencia sobre consultora de crdito y el 2% de todos los solicitantes que no representan en realidad un cliente moroso s son por parte de la agencia. Cul es la probabilidad de que un solicitante de prstamo que es clasificado como riesgo de falta de pago por la gerencia, en realidad lo sea ? Sean los eventos: a)Mutuamente excluyentes: A1= {Un solicitante represente en realidad un cliente moroso}, P(A1)=0.05 A2= {Un solicitante no represente en realidad un cliente moroso}, por lo tanto, P(A2) = 1 - P(A1) = 1 - 0.05 = 0.95 b) El evento que tiene que suceder primero: B= {La agencia considera a un solicitante como un riesgo de falta de pago} B= {La agencia no considera a un solicitante como un riesgo de falta de pago} Por lo tanto, en base a los datos del problema: P(B / A1 ) = 0.92 P(B / A2) = 0.02 P( A1 / B ) = ? Aplicando la frmula del teorema de Bayes:

P( A1 B ) =

P( A1 ) P( B A1 ) P( A1 ) P( B A1 ) + P( A2 ) P( B A2 )

Sustituyendo la frmula:

P( A1 B ) =

( 0.05)( 0.92) = ( 0.05)( 0.92) + ( 0.95)( 0.02)

0.046 = 0.71 0.065

Las operaciones realizadas en el Teorema pueden ser representadas en un diagrama de rbol. Para su elaboracin, se parte de los eventos mutuamente excluyentes y se contina con las ramificaciones, de igual manera como se ha indicado anteriormente.



OBSERVE Y ANALICE: Si se sustituye la frmula del teorema, el numerador ser la primera ramificacin P ( A B ), y el denominador P(B) se calcular sumando las dos probabilidades conjuntas indicada en el diagrama por **, debido que es una probabilidad marginal y se obtiene sumando sus probabilidades conjuntas:

P( A1 B ) =

0.046 0.046 = = 0.71 ( 0.046) + ( 0.019) 0.065

Teniendo el diagrama se pueden obtener otras probabilidades, por ejemplo: a) Cul es la probabilidad de que un solicitante de crdito que es clasificado por la agencia como una persona sin riesgo en la falta de sus pagos, en realidad no lo sea?

P( A2 / B) =

P( A2 B ) 0.931 0.931 = = = 0.995 P( B ) 0.004 + 0.931 0.935

De igual manera que en el ejercicio anterior, la probabilidad conjunta del numerador P(A2 B) se obtuvo de la rama correspondiente del rbol y la probabilidad marginal de P(B) se encontr sumando las probabilidades conjuntas de sus resultados: P(B) = P(A1 B) + P(A2 B).


teoria de probabilidad

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