37702305 teoria de la probabilidad

Teora de la Probabilidadwww.cbr.edu.mx

Unidad IV. Teora de la Probabilidad.La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicacin de la inferencia estadstica porque una decisin cuyo fundamento se encuentra en la informacin contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada sin una adecuada comprensin de las leyes bsicas de la probabilidad, y por lo cual ser difcil utilizar la metodologa estadstica de manera efectiva.

4.1 Probabilidad.Es un numero real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleva a cabo.

S A

Resultados del EVENTO

Resultados del EXPERIMENTO

Ejemplos de Espacios Muestrales considerando los experimentos aleatorios siguientes: 1. Un dado es lanzado cinco veces consecutivas.

2.

Una moneda es lanzada hasta que salen dos caras o dos cruces consecutivas.

Ing Idalia G. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 26

P r e p a r a t o r i a

R o y a l

3. Cuatro bolas son extradas aleatoriamente y sin reemplazo de una urna que contiene ocho bolas blancas y seis azules.


Ejemplo 4.1.1 Cual es la probabilidad de obtener un as en una sola extraccin de un mazo de 52 cartas?. A: numero de ases = 4 : Resultados del Evento S: numero de cartas = 52: Resultados del Experimento

p ( A) =

4 = 52

Resultados del evento Resultados del Espacio muestral

Probabilidad Clsica. Si un experimento que esta sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes y si nA de estos resultados tienen un atributo A la probabilidad de A es la proporcin de nA con respecto a n.

p ( A) =

nA nA = = n N

Resultados del evento Resultados del Experimento

Probabilidad de Frecuencia Relativa Esta plantea: 1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran numero de intentos o, 2. La fraccin de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Determinamos que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro Ejemplo 2.2. una compaa de seguros, por informacin anterior sabe que los hombres de 40 aos, 60 de cada 100 000 morirn en un periodo de un ao dado. Entonces:

60 = 0.0006 100,000Es la probabilidad de muerte de un hombre de 40 aos en un ao cualquiera. Probabilidad subjetiva o personal. Basada en las creencias de las personas que efectan estimaciones de probabilidad por ejemplo: me duelen los huesos, creo que va a llover. Mezcla la probabilidad de frecuencia relativa e intuicin. Representa un juicio personal sobre un fenmeno impredecible.



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Donde la notacin indica que los resultados de todos los eventos es:

p(S) = 1

4.2 Axiomas o Probabilsticos Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio oi los resultados bsicos y A un evento o suceso. Entonces denominando la probabilidad de que A ocurra como p(A), enunciamos:

Si A es un evento cualesquiera en el espacio muestral S entonces: Postulados

Sea A un evento en S, y sean oi los resultados bsicos, entonces:

4. 3 Tipos de EventosRegla Multiplicativa Eventos Independientes Dos eventos A y B son independientes si y solo si: p(B = p(B) A) y p(A = p(A) B)R o y a l P r e p a r a t o r i aIng Idalia G. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 28

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B entonces: p(AB) = p(A)p(B = p(A)*p(B) A) p(AB) = p(A)*p(B)


Ejemplo 4.3.1 Suponga que tenemos una clase de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 estn defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno despus del otro sin reemplazar el primero. Cul es la probabilidad de que ambos fusibles estn defectuosas?

5 4 20 1 * = = 20 19 20(19) 19o bien:15

C0 *5 C2 (1)(10) 1 = = 190 19 20 C2

Principio de Adicin. Eventos Mutuamente ExcluyentesSon aquellos que no pueden ocurrir simultneamente, es decir, la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro: p(AUB) = p(A) + p(B) donde:

A B =

p( A B ) =

p ( A1 A2 ... An ) = p ( A1 ) + p( A2 ) + ... + p ( An )y si A1, A2, ... An es una particin del espacio muestral S entonces:

p ( A1 A2 ... An ) = p ( A1 ) + p( A2 ) + ... + p ( An )= p(S) =1 Ejemplo 4.3.2 Determine la probabilidad de sacar un as o un rey de un mazo de 52 cartas.

p( A B ) = p( A) + p( B ) =

4 4 8 + = 52 52 52S = 52R o y a l P r e p a r a t o r i a

A 4

B4



Ejercicios del Tema:Ejemplo 4.3.3 Un Gerente tiene disponible un grupo de 8 empleados a los que les podra ser asignada la supervisin de un proyecto. Cuatro de los empleados son mujeres y cuatro son hombres. Dos de los hombres son hermanos. El Gerente debe realizar la asignacin al azar, de manera que cada uno de los ocho empleados tiene la misma probabilidad de salir elegido. Sea A el suceso el empleado elegido es un hombre y sea B el suceso el empleado elegido es uno de los dos hermanos. Calcular: a) La probabilidad del suceso A b) La probabilidad del suceso B c) La probabilidad de seleccionar un hombre o una mujer

d)

La probabilidad de seleccionar primero un hombre y que sea uno de los dos hermanos.

Ejemplo 4.3.4 Una Compaa recibe un determinado componente en remesas de 100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientes a los componentes defectuosos de una Empresa. No de defectuosos Probabilidad 0 0.29 1 0.36 2 0.22 3 0.10 Mas de 3 0.03 Determinar: a) La probabilidad de que haya mas de tres componentes defectuosos en una remesa b) La probabilidad de que haya mas de un componente defectuoso en una remesa c) Por qu la suma de las probabilidades de la Tabla suman uno?



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Ejemplo 4.3.5 Imagina que eres una de las siete candidatas a las que se les estn haciendo una audicin para dos papeles la herona y su mejor amiga- en una obra de teatro. Antes de las audiciones no sabes nada sobre las otras candidatas y supones que todas tienen las mismas probabilidades para cada uno de los dos papeles. a) Cuantas elecciones son posibles para el reparto de los dos papeles? b) Cual es la probabilidad de ser elegida para interpretar el papel de la mejor amiga?

Ejemplo 4.3.6 Se sacan tres cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja ordinaria, encuentre la probabilidad de : a) La primera extraccin sea un as rojo, las otras no importan b) La primera es un as rojo y la segunda es un 10 o un rey, la tercera no importa. c) La primera es un rey, la segunda un as negro y la tercera es mayor a tres pero menor a 7

Eventos no ExcluyentesSon aquellos que tienen gran probabilidad de ocurrir simultneamente. Donde:

p( A B ) = p( A) + p( B ) p( A B )ya que sumamos dos veces p(A B) en p(A) + p(B) a menos que p(A B) = entonces serian eventos mutuamente excluyentes.

S A

B

Excluye la interseccin que al sumar los eventos se suman dos veces.



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Ejemplo 4.3.7 En un grupo de 300 estudiantes, 100 cursan contabilidad y 80 estadstica, adems 30 de estos estudian ambos cursos. Cual es la probabilidad de: a. Estudien ambos cursos?

p( C E ) =b.

30 = 0.3 100

Estudien contabilidad o estadstica?

p( C E ) =

100 80 30 150 + = = 0.50 300 300 300 300

c.

Estudien contabilidad o estadstica pero no ambas?

p( C E ) 2 p ( C E ) =

100 80 30 120 + 2 = 0.4 = 300 300 300 300

Ejercicios del Tema:Ejemplo 4.3.8 Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18 % de los adultos vieron un programa de televisin orientados a temas financieros y el 12 % leen una publicacin orientada a esta temtica y el 10 % realizan ambas actividades. a) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisin, lea la publicacin mencionada. b) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lee la publicacin vea dicho programa de televisin.



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Ejemplo 4.3.9 Para matrimonios que viven en cierto suburbio la probabilidad de que el esposo vote es de 0.21, la probabilidad de que su esposa vote es de 0.28 y la probabilidad de que ambos voten es de 0.15. Determinar: a) La probabilidad de que al menos un miembro del matrimonio vote b) La probabilidad de que la esposa vote. c) La probabilidad de que el esposo vote dado que su esposa no vote.


Ejemplo 4.3.10 La probabilidad de que un vehculo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canad es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con placas de Canad es de 0.09. Determinar la probabilidad de que: a) Una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canad. b) Un vehculo con placas de Canad que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante c) Un vehculo que entra a las Cavernas Luray no tenga placas de Canad o que no sea una casa rodante.

Eventos ComplementariosSi A es un evento en el espacio muestral S y A es su complemento y son mutuamente excluyentes entonces:

p( A A' ) = 1 = p( A) + p( A' ) = 1donde:

p( A' ) = 1 p( A)Ejemplo 4.3.11 Determine la probabilidad de no obtener un as o un rey en la primera extraccin de un mazo de 52 cartas.

p( B ) =

4 52

p( A B ) =

8 52

p( A B )' = 1 p( A B ) = 1

8 44 = 52 52



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Ejemplo 4.3.12 Si cada artculo codificado en un catalogo comienza con tres letras distintas seguidas por cuatro dgitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artculos codificados que tenga: a) Como primera letra una vocal y el ultimo digito sea par b) Como primer letra una consonante y el ultimo digito es un 5 c) La primer letra no es consonante y el ultimo digito no es 5


Ejemplo 4.3.13 De acuerdo con la Consumer Digest, la ubicacin probable de las PC en una casa son: UBICACION Recamara de adultos Recamara de nios Otra recamara Oficina o estudio otros PROBABILIDAD 0.03 0.15 0.14 0.40 0.28

Determinar la probabilidad: a) De que una PC este en una recamara. b) De que no este en una recamara. c) De no este en una recamara de adultos d) De que este en un estudio o en la recamara de los nios.

Probabilidad Condicional Eventos Dependientes.Dos eventos A y B son dependientes, cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. es decir:

p( AB ) =siempre que p(B) > 0. de igual manera :

p( A B ) p( B )

p( BA) =

p( A B ) p( A)

donde p(A) > 0



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Ejercicios del Tema:Ejemplo 4.3.14 La probabilidad de que un estudiante obtenga una calificacin aprobatoria en estadstica es 0.75, en filosofa 0.84 y en ambas 0.63. Cul es la probabilidad de que apruebe estadstica si aprueba filosofa?

Ejemplo 4.3.15 En una agencia automotriz la probabilidad de que aumenten los eventos de automviles durante el prximo mes se estima en 40 %. La probabilidad de que aumenten las ventas en refacciones es de 50 % y de que aumenten en ambas es del 10 %. Cual es la probabilidad de: a. Las ventas de autos haya aumentado en el mes, si se informa que las ventas de refacciones han aumentado. b. Las refacciones hayan aumentado, si las ventas de autos se ha incrementado en el mes.

Ejemplo 4.3.16 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es de 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.82 ; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Determinar la probabilidad de: a) Llegue a tiempo dado que sali a tiempo. b) Sali a tiempo dado que llego a tiempo.



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Teorema de Bayes.Sean los eventos B1, B2, ...Bn mutuamente excluyentes y constituyen una particin del espacio muestral S donde: p(Bj) 0 para j=1,2,3,...n, entonces:

p( BA) =

p( B j ) p ( AB j )

j =1

n

p ( B j ) * p( AB j )

de donde:

Bj =1

n

j

=1

p( B ) * p( AB )j j j =1

n

Probabilidad Total

A B1 B2

A

S

La expresin anterior fue desarrollada por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761). A primera vista no es mas que una aplicacin de las probabilidades condicionales. Sin embargo, ha sido clave en el desarrollo de la inferencia estadstica bayesiana en la que se emplea la interpretacin subjetiva de la probabilidad.

Ejercicios del Tema:Ejemplo 4.3.17 Durante los ltimos aos se ha escrito mucho sobre la posible relacin entre fumar y el cncer pulmonar. En un centro medico el 90 % de fumadores tenia cncer pulmonar, mientras que el 5 % de los no fumadores lo padecan. Si la proporcin de fumadores es 0.45. Cual es la probabilidad de que un paciente: a. Tenga cncer pulmonar? b. Con cncer pulmonar sea fumador? c. Con cncer pulmonar no sea fumador?R o y a lIng Idalia G. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 36



Ejemplo 4.3.18. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes. El 50 % del total se compra al proveedor uno mientras que al dos y al tres se le compra el 25 % respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para cada embarque del proveedor es 5 %, 10% y 12 %. a. Si un circuito no esta defectuoso, cual es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor 2? b. Cul es la probabilidad de que un circuito este defectuoso? c. Cul es la probabilidad de que un circuito no defectuoso provenga del proveedor tres?

Ejemplo 4.3.19 En cierta planta de montaje, tres maquinas B 1, B2, y B3, montan 30 %, 45 % y 25 % de los productos respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2 %, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada maquina, respectivamente tienen defectos. Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. Cual es la probabilidad de que este defectuoso?

Ejemplo 4.3.20 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de latex y semi esmaltada. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre latex es 0.75. de los que compran pintura de latex, 60 % tambin compran rodillos. Pero 30 % de los compradores de pintura semiesmaltada compran rodillos. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. Cual es la probabilidad de que la pintura sea de latex?



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Tablas de Probabilidad Conjunta.En estas se enumeran todos los eventos posibles para una variable como encabezamiento de columnas; todos los eventos posibles para una segunda variable se enumeran como encabezamiento de filas y el valor incluido en cada casilla resultante es la probabilidad de cada ocurrencia conjunta.

Ejercicios del Tema:Ejemplo 4.3.21 Los empleados de una gran compaa se encuentran separados como se muestra en la siguiente tabla: Departamento Administracin Produccin Mercadotecnia Total Hombres 20 60 100 180 Mujeres 30 140 50 220 Total 50 200 150 400

Determine la probabilidad de que al ser seleccionado aleatoriamente: a. Sea hombre b. Sea hombre y trabaje en produccin c. Trabaje en mercadotecnia d. Trabaje en administracin y sea mujer e. Sea mujer dado que trabaja en administracin f. Sea hombre dado que trabaja en mercadotecnia g. Sea de produccin dado que es mujer.



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Ejemplo 4.3.22 En una investigacin de mercado efectuada en un Centro Comercial se recopil la siguiente informacin: Edad > 30 30 Gnero Ranchero 28 25 Gnero Romntico 58 45 Rock en Espaol 23 40

Determine la probabilidad: a. Una meloda romntica sea un evento b. Una meloda de rock o ranchera sea un xito c. Una meloda romntica sea un xito entre los jvenes d. Una meloda de rock sea un fracaso en mayores de 30 aos e. Una meloda ranchera sea un xito dado que fue lanzada en una estacin para jvenes.



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REPASO DEL CAPITULO

Marque con un circulo la respuesta correcta. recuerde que solo una es verdadera 1. A B C D E SI SE DIBUJARA UN DIAGRAMA DE VENN PARA LOS EVENTOS A Y B, QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. QUE COSA DE LO SIGUIENTE NO SERA SIEMPRE VERDADERO PARA A Y B: a) Sus representaciones en el rectngulo se traslaparan b) Sus representaciones en el rectngulo no tendrn reas iguales. c) Sus representaciones en el rectngulo no se traslaparan d) Todas las anteriores e) a) y b), pero no c) 2. a b c d e Cual de las siguientes afirmaciones no es correcta? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento a, es igual a los resultados del evento a entre los resultados del espacio muestral s. b) La probabilidad se define como: resultados del evento entre resultados del espacio muestral. c) Los eventos no excluyentes al ser representados en un diagrama de Venn tienen un rea en la que no se traslapan. d) a) y c), pero no b) Ninguna 3. a b c d e Si un evento no se ve afectado por el resultado de otro evento, se dice que ambos eventos son: a) Dependientes b) Independientes c) Mutuamente excluyentes d) Todas las anteriores. e) Ninguno. 4. a b c d e Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento nunca excede a uno. b) La probabilidad de ocurrencia de un evento del espacio muestral S cuando mucho es igual a 0.93 c) La probabilidad de ocurrencia al extraer una pelota amarilla de un total de 4 azules y 5 amarillas es 5/ 9 d) Todas las anteriores. e) a) y c) pero no b) 5. a b c d e La probabilidad de que dos eventos estadsticamente independientes se presenten de manera consecutiva es igual a: a) La suma de sus probabilidades. b) La suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su conjuncin. c) Al producto de ocurrencia del primero, por la ocurrencia del segundo. d) Todas las anteriores. e) Ninguna



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Ejercicios propuestos 1. Una tienda de autoservicio ha sido victima de muchos ladrones durante el mes pasado, pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda, se ha podido aprehender a 250 ladrones. se registro el sexo de cada infractor y si este era su primer robo o si ya haba sido sorprendido con anterioridad. los datos fueron: Sexo Hombre Mujer Total Primera Aprehensin 60 44 104 Reincidente 70 76 146

Suponiendo que un infractor aprehendido es escogido al azar, determine la probabilidad de: a. Que sea hombre b. Que sea mujer, dado que es su primera aprehensin.

RESPUESTAS:a) b)

p( H ) =

130 = 0.52 250 44 / 250 p( MPA ) = = 0.423 104 / 250

2.

Un terapeuta fsico sabe que el equipo de ftbol jugara 40 % de sus juegos con pasto artificial en la presente temporada. tambin sabe que las posibilidades de que un jugador de ftbol sufra una lesin en la rodilla son 50 % mas altas, si juega en este tipo de pasto. si la probabilidad de que un jugador sufra una lesin en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 42 %, determine la probabilidad de que: a. Un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesin en la rodilla. b. Un jugador elegido aleatoriamente con lesin en la rodilla haya sufrido esta mientras jugaba en un campo con pasto natural RESPUESTAS: 0.4 2 0.2 8

a) Si el 42 %= 150% entonces el 100% esel 28 %,

p ( LJ ) = (0.42 )( 0.40 ) + (0.28 )( 0.60 ) = 0.336R o y a l P r e p a r a t o r i a

PASTO ARTIFICIAL 0.40

PASTO NATURAL 0.60

b)

p ( PN L) =

(0.28 )( 0.60 ) = 0.50 (0.42 )( 0.40 ) + (0.28 )( 0.60 )



3.

Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de manera independiente. la probabilidad de que un carro especifico este disponible cuando se le necesite es 0.96. determine la probabilidad de: a. Que ninguno este disponible cuando se le necesite b. Que al menos uno este disponible cuando se le necesite.DIS=0.9 6 DIS=0.9 6 NO DIS=0.0 4 DIS=0.9 6 NO DIS=0.0 4 CARRO 2

RESPUESTAS: a) p(NO DIS)=(0.04) (0.04)=0.0016 b)

NO DIS=0.0 4 CARRO 1

p (1) =1 (0.04 )( 0.04 ) = 0.9984

4.

En una clase de 100 estudiantes de preparatoria, 54 estudiaron matemticas; 69 historia y 35 cursaron matemticas e historia. si se selecciona aleatoriamente a uno de estos estudiantes determine la probabilidad de: a. El estudiante curso matemticas e historia b. El estudiante no curso alguna de estas asignaturas RESPUESTAS: 19 35 34 a) b)

12

M5.

H

35 = 0.35 100 12 p ( NM NH ) = = 0.12 100 p( M H ) =

En una tmbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, cul es la probabilidad de sacar una blanca y despus una negra? RESPUESTAS:

2 3 6 p( B N ) = = = 0.3 5 4 206. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen terico como el prctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte terica es 0,68, la de que apruebe la parte prctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, cul es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia? RESPUESTAS:

7.

65 5 10 20

RESPUESTAS:

p ( NA NF ) = 0.65

A

F



En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemn, el 30% estudia francs y el 10% ambas materias. Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francs ni alemn

R o y a l

p (T P ) = p (T ) + p ( P ) p (T P ) 0.82 = 0.68 + 0.72 p (T P ) p (T P ) = 0.58


8.

Un ladrn, al huir de un polica, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades p(A)=0,25, p (B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0,4, si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6. a. Calcule la probabilidad de que la polica alcance al ladrn Si el ladrn ha sido alcanzado, cul es la probabilidad de que haya sido en la calle A? RESPUESTAS: c)

b.

0.4

0.5

0.6

p (C AL ) = (0.25 )( 0.4) +(0.6)( 0.5) +(0.15 )( 0. A p (CA A) = (0.25 )( 0.4) = 0.204 (0.49 )

d) CALLE A 0.25 CALLE B 0.60 CALLE C 0.15

9.

De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazo, al extraer dos bolas

a.b. c.

Cul es la probabilidad de que las bolas extradas sean blancas? Si la segunda bola ha resultado ser negra, cul es la probabilidad de que la primera tambin lo haya sido? Cual es la probabilidad de que ambas sean blancas?

RESPUESTAS: a)

4 3 12 p ( B B ) = = = 0.4 6 5 30

b)

2 1 p( N N ) 6 5 1 p ( NN ) = = = = 0.20 p( N ) 5 2 6 4 3 12 p ( B B ) = = = 0.4 6 5 30

c)

0.20 NO 0.65 COM 0.80 SI 0.25 NO COM

RESPUESTAS:

p ( SI COM ) = (0.80 )( 0.65 ) = 0.52



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10. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes pblicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes pblicos tambin hacen uso del comedor universitario. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes pblicos y del comedor universitario.


11. Se le pregunto a los estudiantes de una clase de Estadstica cuales eran las notas que esperaban obtener en el curso y si haban o no tratado de resolver problemas a parte de los asignados por el profesor, en la tabla que se muestra a continuacin aparecen las proporciones correspondientes a cada uno de los ocho grupos resultantes: Problemas adicionales sobresalient e 0.12 0.13 Nota esperada notable 0.06 0.21 aprobado 0.12 0.26 reprobado 0.02 0.08

Si no

a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolver problemas adicionales b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota sobresaliente c) Calculara la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya realizado problemas adicionales, espere una nota sobresaliente. d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, no haya realizado problemas adicionales, espere una nota aprobatoria. RESPUESTAS: a) p(PA)=0.32 b) p(NS)=0.25 c) d)

p ( NS PA ) 0.12 = = 0.375 p ( PA ) 0.32 p ( NA NPA ) 0.26 p ( NA NPA ) = = = 0.382 p ( NPA ) 0.68 p ( NS PA ) =



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