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Repuacuteblica Bolivariana de Venezuela
Facultad de Humanidades
Escuela de Educacioacuten mencioacuten Preescolar
Conjunto Numeacuterico
Participantes
Mariacutea Alejandra Meacutendez CI 20831204
Yanny Rios CI 17771060
Yurkleis Vielma CI 16306456
Introduccioacuten
El conocimiento matemaacutetico es una herramienta baacutesica para la
comprensioacuten y manejo de la realidad en que vivimos
Su aprendizaje ademaacutes de durar toda la vida debe comenzar lo antes
posible para que el nintildeo se familiarice con su lenguaje su manera de
razonar y de deducir
Desde la clase debemos ir evolucionando a traveacutes de distintos medios
buscar planteos de preguntas otros enfoques imaginativos y permitir
el desarrollo de ideas Por mucho tiempo se creyoacute que los nintildeos eran
piezas en blanco en los que los adultos escribiriacutean los primeros
aprendizajes solo lo que el maestro le permitiera aprender como una
masa para moldear Estas concepciones han quedo atraacutes como hoy
sabemos lo expresan algunos teoacutericos los nintildeos son capaces de
construir sus propios aprendizajes a traveacutes de experiencias variadas
en su contexto familiar y social por medio de su curiosidad y
exploracioacuten para conocer el mundo en el que viven Al integrarse en la
Educacioacuten Inicial se complementaraacuten y enriqueceraacuten estas
experiencias que son la base de los nuevos conocimientos
Es necesario por lo tanto que apliquemos la matemaacutetica a la vida
cotidiana asiacute el aprenderla se hace maacutes dinaacutemico interesante
comprensible y lo maacutes importante uacutetil
En la etapa de la Educacioacuten Inicial el conocimiento se construye de
manera global y eacutesta disciplina no es una excepcioacuten Cualquier
situacioacuten puede aprovecharse para el desarrollo de los conceptos
matemaacuteticos
1 Los nuacutemeros y su estudio inicial
Los contextos numeacutericos iniciales del nuacutemero en la
educacioacuten infantil
Hay una idea clara que subyace en la ensentildeanza del nuacutemero a los
nintildeos no les surge la necesidad de medir contar lo primero que
conoce es el siacutembolo
El nintildeo de 2-3 antildeos su madre le ensentildea a contar y cuenta de la
misma forma que si fuera una cancioacuten no hay una comprensioacuten del
nuacutemero
Hay una serie de conceptos nociones loacutegicas antes del nuacutemero que
el nintildeo tiene que conocer para comprender el nuacutemero que son
La conservacioacuten de la cantidad
La correspondencia teacutermino a teacutermino
La seriacioacuten
La inclusioacuten de las partes en el todo
La conservacioacuten de la cantidad es la capacidad de percibir que
una cantidad no variacutea cualquiera que sea las modificaciones que
se introducen en su configuracioacuten total Por ejemplo se les
muestra a los nintildeos 2 vasijas iguales llenas de liacutequido Delante de
eacutel se vaciacutea una de las vasijas en otras dos maacutes pequentildeas Ahora
si se le pregunta al nintildeo iquestdoacutende hay maacutes liacutequido Hay 3 fases
1 Fase de geacutenesis (antes de los 5 antildeos) los nintildeos no
dominan el concepto de conservacioacuten de la cantidad Nos
pueden decir que hay maacutes liacutequido en la grande o en la maacutes
ancha
2 Fase de transicioacuten (de 5-6 antildeos) a veces contesta bien y
a veces no
3 fase de logro (de 6 antildeos en adelante) lo consigue porque
es capaz de comprender la identidad ha alcanzado el
concepto de reversibilidad
Correspondencia teacutermino a teacutermino para la adquisicioacuten de
este concepto tambieacuten hay diversas etapas
1 Etapa de ausencia de correspondencia no es capaz de
establecer una correspondencia entre dos elementos
2 Etapa de transicioacuten no hay una equivalencia duradera a
veces lo hace y otras no
3 Etapa de logro cuando lo dominan perfectamente
establecen una correspondencia
Seriacioacuten tambieacuten incluye las nociones de mayor y menor
Asiacute si queremos ordenar laacutepices de mayor a menor se
pueden ver 3 etapas
1 Seriacioacuten global decimos al nintildeo que coloque una serie de
laacutepices Como mucho puede fijarse en los dos extremos
2 Seriacioacuten intuitiva los coloca bien pero si le damos otro
nuevo no es capaz de colocarlo
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Introduccioacuten
El conocimiento matemaacutetico es una herramienta baacutesica para la
comprensioacuten y manejo de la realidad en que vivimos
Su aprendizaje ademaacutes de durar toda la vida debe comenzar lo antes
posible para que el nintildeo se familiarice con su lenguaje su manera de
razonar y de deducir
Desde la clase debemos ir evolucionando a traveacutes de distintos medios
buscar planteos de preguntas otros enfoques imaginativos y permitir
el desarrollo de ideas Por mucho tiempo se creyoacute que los nintildeos eran
piezas en blanco en los que los adultos escribiriacutean los primeros
aprendizajes solo lo que el maestro le permitiera aprender como una
masa para moldear Estas concepciones han quedo atraacutes como hoy
sabemos lo expresan algunos teoacutericos los nintildeos son capaces de
construir sus propios aprendizajes a traveacutes de experiencias variadas
en su contexto familiar y social por medio de su curiosidad y
exploracioacuten para conocer el mundo en el que viven Al integrarse en la
Educacioacuten Inicial se complementaraacuten y enriqueceraacuten estas
experiencias que son la base de los nuevos conocimientos
Es necesario por lo tanto que apliquemos la matemaacutetica a la vida
cotidiana asiacute el aprenderla se hace maacutes dinaacutemico interesante
comprensible y lo maacutes importante uacutetil
En la etapa de la Educacioacuten Inicial el conocimiento se construye de
manera global y eacutesta disciplina no es una excepcioacuten Cualquier
situacioacuten puede aprovecharse para el desarrollo de los conceptos
matemaacuteticos
1 Los nuacutemeros y su estudio inicial
Los contextos numeacutericos iniciales del nuacutemero en la
educacioacuten infantil
Hay una idea clara que subyace en la ensentildeanza del nuacutemero a los
nintildeos no les surge la necesidad de medir contar lo primero que
conoce es el siacutembolo
El nintildeo de 2-3 antildeos su madre le ensentildea a contar y cuenta de la
misma forma que si fuera una cancioacuten no hay una comprensioacuten del
nuacutemero
Hay una serie de conceptos nociones loacutegicas antes del nuacutemero que
el nintildeo tiene que conocer para comprender el nuacutemero que son
La conservacioacuten de la cantidad
La correspondencia teacutermino a teacutermino
La seriacioacuten
La inclusioacuten de las partes en el todo
La conservacioacuten de la cantidad es la capacidad de percibir que
una cantidad no variacutea cualquiera que sea las modificaciones que
se introducen en su configuracioacuten total Por ejemplo se les
muestra a los nintildeos 2 vasijas iguales llenas de liacutequido Delante de
eacutel se vaciacutea una de las vasijas en otras dos maacutes pequentildeas Ahora
si se le pregunta al nintildeo iquestdoacutende hay maacutes liacutequido Hay 3 fases
1 Fase de geacutenesis (antes de los 5 antildeos) los nintildeos no
dominan el concepto de conservacioacuten de la cantidad Nos
pueden decir que hay maacutes liacutequido en la grande o en la maacutes
ancha
2 Fase de transicioacuten (de 5-6 antildeos) a veces contesta bien y
a veces no
3 fase de logro (de 6 antildeos en adelante) lo consigue porque
es capaz de comprender la identidad ha alcanzado el
concepto de reversibilidad
Correspondencia teacutermino a teacutermino para la adquisicioacuten de
este concepto tambieacuten hay diversas etapas
1 Etapa de ausencia de correspondencia no es capaz de
establecer una correspondencia entre dos elementos
2 Etapa de transicioacuten no hay una equivalencia duradera a
veces lo hace y otras no
3 Etapa de logro cuando lo dominan perfectamente
establecen una correspondencia
Seriacioacuten tambieacuten incluye las nociones de mayor y menor
Asiacute si queremos ordenar laacutepices de mayor a menor se
pueden ver 3 etapas
1 Seriacioacuten global decimos al nintildeo que coloque una serie de
laacutepices Como mucho puede fijarse en los dos extremos
2 Seriacioacuten intuitiva los coloca bien pero si le damos otro
nuevo no es capaz de colocarlo
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
situacioacuten puede aprovecharse para el desarrollo de los conceptos
matemaacuteticos
1 Los nuacutemeros y su estudio inicial
Los contextos numeacutericos iniciales del nuacutemero en la
educacioacuten infantil
Hay una idea clara que subyace en la ensentildeanza del nuacutemero a los
nintildeos no les surge la necesidad de medir contar lo primero que
conoce es el siacutembolo
El nintildeo de 2-3 antildeos su madre le ensentildea a contar y cuenta de la
misma forma que si fuera una cancioacuten no hay una comprensioacuten del
nuacutemero
Hay una serie de conceptos nociones loacutegicas antes del nuacutemero que
el nintildeo tiene que conocer para comprender el nuacutemero que son
La conservacioacuten de la cantidad
La correspondencia teacutermino a teacutermino
La seriacioacuten
La inclusioacuten de las partes en el todo
La conservacioacuten de la cantidad es la capacidad de percibir que
una cantidad no variacutea cualquiera que sea las modificaciones que
se introducen en su configuracioacuten total Por ejemplo se les
muestra a los nintildeos 2 vasijas iguales llenas de liacutequido Delante de
eacutel se vaciacutea una de las vasijas en otras dos maacutes pequentildeas Ahora
si se le pregunta al nintildeo iquestdoacutende hay maacutes liacutequido Hay 3 fases
1 Fase de geacutenesis (antes de los 5 antildeos) los nintildeos no
dominan el concepto de conservacioacuten de la cantidad Nos
pueden decir que hay maacutes liacutequido en la grande o en la maacutes
ancha
2 Fase de transicioacuten (de 5-6 antildeos) a veces contesta bien y
a veces no
3 fase de logro (de 6 antildeos en adelante) lo consigue porque
es capaz de comprender la identidad ha alcanzado el
concepto de reversibilidad
Correspondencia teacutermino a teacutermino para la adquisicioacuten de
este concepto tambieacuten hay diversas etapas
1 Etapa de ausencia de correspondencia no es capaz de
establecer una correspondencia entre dos elementos
2 Etapa de transicioacuten no hay una equivalencia duradera a
veces lo hace y otras no
3 Etapa de logro cuando lo dominan perfectamente
establecen una correspondencia
Seriacioacuten tambieacuten incluye las nociones de mayor y menor
Asiacute si queremos ordenar laacutepices de mayor a menor se
pueden ver 3 etapas
1 Seriacioacuten global decimos al nintildeo que coloque una serie de
laacutepices Como mucho puede fijarse en los dos extremos
2 Seriacioacuten intuitiva los coloca bien pero si le damos otro
nuevo no es capaz de colocarlo
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
1 Los nuacutemeros y su estudio inicial
Los contextos numeacutericos iniciales del nuacutemero en la
educacioacuten infantil
Hay una idea clara que subyace en la ensentildeanza del nuacutemero a los
nintildeos no les surge la necesidad de medir contar lo primero que
conoce es el siacutembolo
El nintildeo de 2-3 antildeos su madre le ensentildea a contar y cuenta de la
misma forma que si fuera una cancioacuten no hay una comprensioacuten del
nuacutemero
Hay una serie de conceptos nociones loacutegicas antes del nuacutemero que
el nintildeo tiene que conocer para comprender el nuacutemero que son
La conservacioacuten de la cantidad
La correspondencia teacutermino a teacutermino
La seriacioacuten
La inclusioacuten de las partes en el todo
La conservacioacuten de la cantidad es la capacidad de percibir que
una cantidad no variacutea cualquiera que sea las modificaciones que
se introducen en su configuracioacuten total Por ejemplo se les
muestra a los nintildeos 2 vasijas iguales llenas de liacutequido Delante de
eacutel se vaciacutea una de las vasijas en otras dos maacutes pequentildeas Ahora
si se le pregunta al nintildeo iquestdoacutende hay maacutes liacutequido Hay 3 fases
1 Fase de geacutenesis (antes de los 5 antildeos) los nintildeos no
dominan el concepto de conservacioacuten de la cantidad Nos
pueden decir que hay maacutes liacutequido en la grande o en la maacutes
ancha
2 Fase de transicioacuten (de 5-6 antildeos) a veces contesta bien y
a veces no
3 fase de logro (de 6 antildeos en adelante) lo consigue porque
es capaz de comprender la identidad ha alcanzado el
concepto de reversibilidad
Correspondencia teacutermino a teacutermino para la adquisicioacuten de
este concepto tambieacuten hay diversas etapas
1 Etapa de ausencia de correspondencia no es capaz de
establecer una correspondencia entre dos elementos
2 Etapa de transicioacuten no hay una equivalencia duradera a
veces lo hace y otras no
3 Etapa de logro cuando lo dominan perfectamente
establecen una correspondencia
Seriacioacuten tambieacuten incluye las nociones de mayor y menor
Asiacute si queremos ordenar laacutepices de mayor a menor se
pueden ver 3 etapas
1 Seriacioacuten global decimos al nintildeo que coloque una serie de
laacutepices Como mucho puede fijarse en los dos extremos
2 Seriacioacuten intuitiva los coloca bien pero si le damos otro
nuevo no es capaz de colocarlo
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
pueden decir que hay maacutes liacutequido en la grande o en la maacutes
ancha
2 Fase de transicioacuten (de 5-6 antildeos) a veces contesta bien y
a veces no
3 fase de logro (de 6 antildeos en adelante) lo consigue porque
es capaz de comprender la identidad ha alcanzado el
concepto de reversibilidad
Correspondencia teacutermino a teacutermino para la adquisicioacuten de
este concepto tambieacuten hay diversas etapas
1 Etapa de ausencia de correspondencia no es capaz de
establecer una correspondencia entre dos elementos
2 Etapa de transicioacuten no hay una equivalencia duradera a
veces lo hace y otras no
3 Etapa de logro cuando lo dominan perfectamente
establecen una correspondencia
Seriacioacuten tambieacuten incluye las nociones de mayor y menor
Asiacute si queremos ordenar laacutepices de mayor a menor se
pueden ver 3 etapas
1 Seriacioacuten global decimos al nintildeo que coloque una serie de
laacutepices Como mucho puede fijarse en los dos extremos
2 Seriacioacuten intuitiva los coloca bien pero si le damos otro
nuevo no es capaz de colocarlo
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
3 Seriacioacuten operacional ya es capaz de ver que para todos
los elementos hay uno inmediatamente inferior e
inmediatamente superior
Inclusioacuten de las partes en el todo La nocioacuten de nuacutemero
implica la inclusioacuten de dos cosas la cardinalidad y la
ordinalidad
La inclusioacuten de las partes en un todo significa que si tengo un
todo es porque he sumado las partes (asociado a la cardinalidad
del nuacutemero) La suma de las dos partes forman un todo
Ademaacutes de manejar estas nociones los nintildeos tienen que dominar los
cuantificadores que son palabras o unidades leacutexicas que distinguen
cantidades globales Por ejemplo mucho poco todo nada algunos
ningunohellippero sin la precisioacuten del nuacutemero
Nocioacuten del nuacutemero y forma de adquirirlo
Secuencia Numeacuterica
El recitado de los nuacutemeros es uno de los primeros aprendizajes de los
procesos matemaacuteticos se consideroacute como un aprendizaje memoriacutestico
y de poca importancia sin embargo constituye una tarea compleja y
valiosa para la adquisicioacuten de la nocioacuten de nuacutemero y aprendizaje
posterior de los mismos
Existe cierta loacutegica en algunos errores que cometen los nintildeos y nintildeas
al decir la serie o al contar Ejemplo hemos escuchado muchas veces
a los nintildeos(as) decir en voz alta uno dos tres cinco ocho nueve
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
seis diez cuando juegan al escondite o dicen los antildeos que tienen o
cuando realizan cualquier otra actividad de conteo oral
Este tipo de recitado nos hace pensar que los nintildeos(as) nada saben
de los nuacutemeros lo cual no es cierto porque han aprendido que al decir
la serie numeacuterica no dicen otras cosas maacutes que el nombre de los
nuacutemeros Se trataraacute entonces de favorecer el recitado de los nuacutemeros
ya que lejos de ser una actividad mecaacutenica y despojada de sentido
para el nintildeo(a) le ofrece datos sobre la organizacioacuten de eacutestos
Ademaacutes los primeros conocimientos numeacutericos serviraacuten tanto para
comparar nuacutemeros como para calcular
Se debe de proponer situaciones didaacutecticas donde se utilice el nuacutemero
en diferentes contextos para contar para saber cuaacutentos objetos hay
para comparar colecciones para construir una coleccioacuten compuesta
por una determinada cantidad de objetos buscaacutendolos e
interpretaacutendolos en objetos de uso social (numeracioacuten de las casas
calendarios envases el nuacutemero del ascensor otros) tratando de
comprender la funcioacuten que ellos cumplen
La serie de los nuacutemeros naturales la construye ella nintildeoa poco a
poco creando y coordinando relaciones de correspondencia de
ordenacioacuten de cuantificacioacuten de numeracioacuten de relacioacuten nuacutemero-
cantidad y cifra- cantidad
Podemos decir que el nintildeo o la nintildea construye el concepto de nuacutemero
natural a partir de los conocimientos previos que proporciona el medio
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
en que vive y coordinando las actividades sistemaacuteticas de aprendizaje
que le brinda el contexto educativo
El aspecto cardinal y ordinal del nuacutemero
Es importante destacar que la buena combinacioacuten de la
comprensioacuten de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de
ordenamiento) de los nuacutemeros aparece como una necesidad
baacutesica inicial para que el nintildeo pequentildeo desarrolle una buena
comprensioacuten cuantitativa y clasificatoria de su mundo Los siacutembolos
numeacutericos son tambieacuten usados como etiquetas o identificadores
pero eacuteste no es un aspecto matemaacutetico sino maacutes bien de la
escritura y sus simplificaciones aunque muchas veces relacionado
con ordenamientos nos referimos a los nuacutemeros de las liacuteneas de
autobuses los que indican a la dureza de un laacutepiz etc
El aspecto ordinal se refiere a la sucesioacuten numeacuterica al uso de los
nuacutemeros para ordenar objetos para identificarlos para darles un
nombre que a su vez indique su posicioacuten relativa con otros
elementos del mismo tipo La numeracioacuten de las paacuteginas de un
libro de los cuartos de un hotel de los alumnos en la lista de un
curso las fechas en el calendario las horas de cada diacutea son usos
corrientes de este aspecto
Esto se destaca con los adjetivos lsquoprimerorsquo lsquosegundorsquohellip con que
suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto
ordenado
Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse
memoriacutesticamente cantos repeticioacuten de la sucesioacuten de los
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
primeros nuacutemeros etc Esto es razonable porque diversos procesos
ordenadores se basan en la aplicacioacuten de buenas rutinas de saber
utilizar procedimientos estandarizados
Lo que resulta paradojal es coacutemo este aspecto de los nuacutemeros se
combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del nintildeo No
hay teoriacuteas aceptadas con generalidad sobre estos asuntos Desde
el punto de vista histoacuterico ambos aspectos tuvieron evoluciones
diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo entre los
mayas la aparicioacuten de los nuacutemeros estaacute directamente relacionada
con sus usos para los calendarios o sea elementos de ordenacioacuten
aunque es claro que tambieacuten los utilizaron como cardinales
El proceso de Contar
Contar es establecer una correspondencia uno a uno entre los objetos
de una coleccioacuten de grupos de objetos (3 pares de zapatos) de
acontecimientos sucesivos (5 campanadas del reloj) de conceptos
(los 7 pecados capitales) etc y la lista de las palabras-nuacutemero
respetando el orden convencional De modo maacutes general para contar
es necesario que la primera mitad contada asiacute como las siguientes
puedan emparejarse con la palabra-nuacutemero de este modo se puede
contar todo lo que los sentidos y la razoacuten nos permiten
El anterior concepto resulta insuficiente si se trata de entender el
conteo que llevan a cabo las nintildeas y los nintildeos pequentildeos ya que si se
compara con el que realizan los adultos es muy diferente porque las
acciones mentales son distintos entre unos y otros
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
El conteo es un proceso que el nintildeo y la nintildea va construyendo
gradualmente en estrecha relacioacuten con el lenguaje cultural de su
entorno Al ingreso al nivel preescolar los nintildeos y las nintildeas tienen ya
experiencias con el acto de contar que fueron adquiridas en contextos
sociales principalmente en la familia Sin embargo el hecho de que
los menores puedan recitar los nombres de los nuacutemeros en forma
convencional no demuestra que saben efectivamente contar ldquocuando
el nintildeo estaacute recitando nombres numeacutericos aisladamente de hecho no
estaacute contandordquo es frecuente que este suceso llegue a confundir a
algunos adultos al hacerlos creer que es sentildeal de que los nintildeos ya
comprenden el significado de contar en realidad lo que ocurre es que
han aprendido de memoria los nombres de los nuacutemeros y los recitan
como cuando repiten nombres de personas de objetos o cantan
tambieacuten se piensa que si saben ldquoescribirrdquo los numerales conocen el
concepto de nuacutemero ldquoEsto es erroacuteneo puesto que una cosa es repetir
una palabra o bien copiar una grafiacutea y otra comprender el conceptordquo
El aprendizaje tambieacuten se lleva a cabo en forma social y en el caso de
los nombres de los nuacutemeros eacutestos se transmiten de los adultos a los
nintildeos a traveacutes del lenguaje donde cada cultura ha construido sus
sistemas de numeracioacuten verbal que tienen un conjunto de reglas con
las cuales se designa a los nuacutemeros los nintildeos aprenden tales reglas
de los sistemas de numeracioacuten verbal de manera paulatina y
cometiendo muchos errores en el intento de generalizar lo que deriva
de lo que escuchan
Ed Labinowicz dividioacute el proceso de conteo que los nintildeos recorren en
tres niveles que al observarse permiten conocer las condiciones en
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
que llegan a preescolar para asiacute adecuar las actividades de manera
que se favorezca dicho proceso Los niveles generales son
- El conteo de rutina que tiene como caracteriacutesticas que el nintildeo y la
nintildea reciten oralmente la serie numeacuterica en este nivel se puede
observar un conteo convencional y estable (uno dos tres cuatro uno
dos tres cuatro) un conteo no convencional pero estable (diez once
ocho diez once ocho) y un conteo al azar y no estable (tres ocho
doce quince tres ocho doce quince)
- Contar objetos o eventos es cuando se le asigna una etiqueta
verbal (palabra o nuacutemero) a cada uno de los objetos contados es
decir se establece una correspondencia biuniacutevoca entre el objeto que
se cuenta y el nombre o nuacutemero que se le asigna esta accioacuten se
denomina enumerar La investigacioacuten hecha por Fuson y Hall reporta
un conteo promedio de 13 para el grupo de tres y medio a los cuatro
antildeos y un incremento hasta el 31 para el grupo de cinco y medio a los
seis antildeos de edad en forma oral este uacuteltimo grupo solo podraacute contar
hasta 8 oacute 9 elementos en un arreglo lineal y si los elementos se
acomodan en un arreglo circular o en desorden ya implica dificultades
y un nivel superior
- Atribucioacuten de significados numeacutericos es cuando la uacuteltima palabra
contada tiene un significado numeacuterico especial porque se considera
como el grupo total de elementos aquiacute las comparaciones que se
establecen no son entre elementos sino entre grupos de elementos o
conjuntos por ejemplo en un conjunto de cinco elementos el 5 es la
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
uacuteltima palabra y la que designa el total de elementos del mismo y a la
vez un nuacutemero para contar En ese sentido cuando un nintildeo enumera
un grupo de elementos al preguntarle iquestcuaacutentos son los vuelve a
enumerar lo que significa que no ha comprendido que el uacuteltimo
nuacutemero contado representa al conjunto total y que dicho proceso se
puede resumir con ese nuacutemero y que es innecesario volver a
enumerar toda la coleccioacuten esta teacutecnica se denomina regla de valor
cardinal y su construccioacuten depende de que el nintildeo comprenda que si
se mueven de lugar los elementos de un conjunto la cantidad no
cambia se conserva esto indica que el nintildeo ha llegado al estadio
operacional a la adquisicioacuten del pensamiento loacutegico de las clases las
relaciones y correspondencias biuniacutevocas
La accioacuten entre contar-numerar y enumerar representa una transicioacuten
difiacutecil para los nintildeos y las nintildeas porque se le debe atribuir un doble
significado a la uacuteltima palabra-nuacutemero pronunciada porque al emitirla
por primera vez tiene la misma categoriacutea que las demaacutes ya que se
trata de un nuacutemero que distingue un objeto por ejemplo en el ldquosieterdquo
el nintildeo debe cambiar el significado de esta palabra-nuacutemero para que
represente la cantidad de todos los objetos ya que pasa del ldquosieterdquo a
ldquolos sietesrdquo
Para favorecer dicha transicioacuten el empleo de juegos con dados o
dominoacute son recomendables ya que las cantidades se representan por
configuraciones que se denominan constelaciones de puntos que
facilitan su reconocimiento ldquocon este tipo de juegos el infante tiene la
posibilidad de darse cuenta de que una misma palabra-nuacutemero puede
significar un nuacutemero y una constelacioacuten al mismo tiempordquo
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Ahora bien de igual modo al observar los ldquoerroresrdquo que los nintildeos
cometen son muestra de que no imitan a los adultos sino que tratan
de construir sus propios sistemas de reglas por ejemplo en la
comprensioacuten de las decenas sustituyen 30 por ldquoveintidiezrdquo en este tipo
de situaciones la educadora debe intervenir dicieacutendole que otro
nombre para ldquoventidiezrdquo es 30 En realidad los desaciertos de los nintildeos
no deben considerarse como ldquoerroresrdquo pues es la interpretacioacuten que
ellos dan en el desarrollo de sus procesos
A traveacutes del disentildeo de estrategias variadas y sencillas es posible
favorecer los procesos de conteo en los nintildeos y nintildeas y ello
aprovechando todas las situaciones cotidianas que vayan surgiendo
durante la realizacioacuten de actividades lo que permitiraacute que se
desarrollen en contextos naturales
El juego ofrece una amplia gama de posibilidades y ademaacutes es parte
fundamental de la etapa infantil y por lo tanto acorde a sus
necesidades e intereses ldquoLa participacioacuten en juegos sencillos es una
forma ideal de estimular y motivar a los nintildeos pequentildeos porque creo
que solo asiacute estaraacuten en condiciones de aprovechar plenamente su
potencialrdquo
Existe una gran variedad de juegos ya sea colectivos psicomotores
de mesa etc que brindan la oportunidad a los nintildeos y nintildeas de
avanzar hacia la siguiente etapa
Algunos contextos naturales en los que puede favorecerse el conteo
son
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
- Distribucioacuten de materiales o de alimentos
- Coleccioacuten de herramientas de trabajo
- Conteo diario de nintildeos y nintildeas
- Juegos en el patio aquiacute se puede contar todo lo que vean llantas
columpios los
botes que da la pelota los brincos etc
- Juegos de mesa memoramas loteriacuteas laberintos serpientes y
escaleras
- Juegos colectivos juego de persecucioacuten corre caballo corre la isla
del tesoro
parchiacutes etc todos aquellos en los que se emplea un tablero y unos
dados
Martiacuten Hughes sugiere que al principio cuando se utilicen dados se
juegue solo con los puntos que eacutestos traen en cada una de sus caras y
que representan cantidades y posteriormente cuando el nintildeo se
familiarice con las nociones baacutesicas del juego se sustituyan los puntos
por nuacutemeros convencionales es decir tapar cada cara del dado con la
cifra que le corresponde de este modo se traduce con facilidad la cifra
y el nuacutemero de puntos
Determinar con queacute capacidades de conteo se recibe a cada uno de
los alumnos y alumnas da la pauta para saber desarrollaacuterselas y a la
vez llevar un seguimiento que indique la ruta a seguir con ellos Es
verdad que cada etapa de conteo que siguen los nintildeos y las nintildeas
preescolares pueden pasarlas en su construccioacuten personal pero si la
educadora como facilitadora le apoya proporcionaacutendole los estiacutemulos
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
suficientes y que ademaacutes sean atractivos a traveacutes de juegos este
paso se lograraacute con mayor facilidad y en menos tiempo
Tipos de Investigaciones (estadios dados por las
investigaciones de Piaget y otros)
En sus estudios Piaget notoacute que existen periodos o estadios de
desarrollo En algunos prevalece la asimilacioacuten (comprender lo que se
aprende) en otros la acomodacioacuten (ajustarse de forma personal o
sociocultural a los modelos o normas de una sociedad determinada)
De este modo definioacute una secuencia de cuatro estadios
epistemoloacutegicos (actualmente llamados cognitivos) muy definidos en
el humano
1er estadio Inteligencia Sensorio-Motriz (dos primeros antildeos de
vida)
Hay tres momentos fundamentales Al principio no hay sino actos
reflejos que se basan en tendencias instintivas por ejemplo el reflejo
de succioacuten del pecho de la madre Los reflejos se van perfeccionando
y generalizando `el nintildeo lo chupa todo y este esquema le permite
situarse en el mundo para eacutel el mundo es esencialmente una realidad
que pude ser chupada
Despueacutes segundo momento los reflejos se organizan en haacutebitos y la
percepcioacuten se hace discriminativa distingue la imagen de su madre de
otras imaacutegenes de personas distintas Un paso maacutes movimiento y
percepcioacuten se coordinan entre si y ya es capaz de coger los objetos
que percibe (prensioacuten)
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Por fin tercer momento aparece la inteligencia practica o sensorio-
motriz que se aplica a manipular objetos Es sensorio-motriz porque
soacutelo utiliza percepciones (de objetos presentes) y movimientos Ambos
coordinados entre siacute (no hay palabras ni conceptos hay inteligencia
pero no hay pensamiento) El nintildeo es pues capaz de `resolver
problemas de un modo parecido a como lo hacen los animales
inteligentes Por ejemplo tira del mantel para acercarse un trozo de
pan lo cual es un acto inteligente (medio fin) y tambieacuten un desastre
domestico (con el pan arrastra tambieacuten los vasos y los platos)
Para el nintildeo de menos de un antildeo el mundo se compone uacutenicamente
de imaacutegenes que aparecen y luego desaparecen algo asiacute como
sucede en la pantalla de cine Si se le muestra un objeto y luego se
oculta debajo de un lienzo el nintildeo llorara si el objeto le gustaba pero
no intentara levantar el lienzo ya que todo sucede como si el objeto no
existiera y es que para eacutel todaviacutea no existen objetos permanentes
(nocioacuten que no es innata y que por lo tanto deberaacute aprender) En el
segundo antildeo de vida adquiriraacute esta nocioacuten (que no es un concepto
auacuten) y seraacute capaz de ir a buscar el objeto oculto Tambieacuten aprenderaacute
la nocioacuten de causalidad y podraacute organizar rudimentariamente un
espacio uacutenico y la sucesioacuten temporal
Estos avances permitiraacuten que se realice en el nintildeo una verdadera
`inversioacuten copernicana Seguacuten Piaget al principio no hay distincioacuten
ninguna en el nintildeo entre su mundo interior y el mundo exterior todas
las impresiones que recibe del mundo y de su cuerpo forman un
bloque indiferenciado Pero cuando el nintildeo comienza a percibir un
espacio uacutenico en torno suyo su cuerpo no es sino un cuerpo maacutes
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
entre otros cuerpos y es capaz de distinguir entre el `dentro (de su
cuerpo) y `fuera (en el espacio) Con ello el nintildeo supera su radical
egocentrismo -que es bastante paradoacutejico por cierto ya que es un
egocentrismo sin `ego- y situarse en el mundo La superacioacuten
progresiva de las diversas formas de egocentrismo tendraacute una gran
importancia en el desarrollo del individuo
2do estadio Representacioacuten Pre-operativa (de 2 a 6 antildeos)
Imitando a los adultos el nintildeo aprende el lenguaje lo cual le permitiraacute
dar un enorme paso adelante (algo que los animales ya no pueden
hacer) El lenguaje le permite `reconstruir sus acciones pasadas bajo
la forma de relato y anticipar sus acciones futuras mediante la
representacioacuten verbal Ello supondraacute la posibilidad de hacer
intercambios verbales con los demaacutes y ademaacutes al interiorizarse la
palabra surge el pensamiento como dialogo consigo mismo (al
principio el uno que ha aprendido a hablar habla mucho pero habla
sobre todo consigo mismo) Asiacute pues surgen dos nuevos mundos el
mundo social y el mundo interior
Este `pensamiento infantil posee caracteriacutesticas muy peculiares
1-ANIMISMO el nintildeo tiende a concebir las cosas como si estuvieran
vivas y dotadas de intenciones (las nubes se mueven por siacute mismas
para llevar la lluvia y la noche -que es como una gran nube negra-
avanza para cubrir el cielo y que podamos dormir)
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
2-ARTIFICIALISMO todas las cosas han sido construidas por el
hombre o por alguna actividad divina que actuacutea de un modo parecido a
los hombres (`iquestquieacuten ha hecho la luna)
3-CAUSALIDAD estaacute penetrada de elementos morales (los barcos
flotan porque `deben flotar) De este modo se explica coacutemo los `iquestpor
queacute de los nintildeos son tan desconcertantes para los adultos Cuando
un nintildeo pregunta el por queacute de algo pregunta simultaacuteneamente por la
causa eficiente y la finalidad `iquestpor queacute sale la luna de noche es una
pregunta insoacutelita para un adulto un nintildeo responderiacutea -o le gustariacutea
escuchar esa respuesta- que sale de noche para iluminar los caminos
y que si no sale de diacutea es porque entonces no la necesitamos porque
hay sol otra cosa es que haya que contestar asiacute a los nintildeos
Esta forma de pensamiento denota una nueva forma de egocentrismo
Como ya se dijo anteriormente la inteligencia y el pensamiento son
funciones de `asimilacioacuten de lo que se experimenta a los `esquemas
de la mente El nintildeo es pues egoceacutentrico por que asimila todas sus
experiencias del mundo al modelo de su mundo interior
3er estadio Operaciones Concretas (de 7 a 11 antildeos)
En este momento el nintildeo se hace capaz de una cierta `loacutegica (por
algo es el comienzo de la edad escolar y la sabiduriacutea popular situacutea en
este momento la conquista del `uso de razoacuten) Lo que se adquiere es
la capacidad de hacer `operaciones mentales (`mentales en el
sentido que se veraacute enseguida) Estas operaciones son concretas se
opera con objetos que tienen que estar presentes deben poder ser
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
percibidos y manipulados Se podriacutea decir que el nintildeo piensa `con los
ojos y con las manos Y este tipo de pensamiento es fundamental
para la etapa siguiente el adolescente haraacute mentalmente lo que
primero hizo de nintildeo con las manos y con la vista
Seguacuten Piaget la posibilidad de las `operaciones viene dada por la
conquista del `esquema fundamental del pensamiento la
reversibilidad
Por ejemplo a un nintildeo se le muestran dos pastillas de pasta para
modelar (moldear) y con una de ellas hace una bola luego una
salchicha etc Antes de los siete antildeos el nintildeo cree con respecto a la
otra se ha modificado la cantidad de materia el peso y el volumen
hacia los siete antildeos admite la constancia de la materia a los nueve la
conservacioacuten del peso y a los once lo del volumen iquestEn queacute se basa
En la posibilidad de invertir la operacioacuten la bola pesa tanto como la
pastilla porque puede volver a hacer una pastilla con la bola
Igualmente puede ordenar una serie de varitas de la maacutes corta a maacutes
larga a partir de los siete antildeos ya que entonces descubre el modo de
hacer la operacioacuten primero escoge la maacutes pequentildea de todas luego la
maacutes pequentildea de las que quedan etc Esta `operacioacuten tan sencilla no
puede hacerla un nintildeo maacutes pequentildeo ya que presupone tambieacuten la
reversibilidad Cada varita es concebida simultaacuteneamente como maacutes
pequentildea que la siguiente y mayor que la anterior En cambio un nintildeo
de esta edad no es capaz de resolver un problema del mismo tipo si
se le plantea a nivel verbal sin la presencia del objeto Un problema
del tipo `Maria es maacutes rubia que Susana y maacutes morena que Ana
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestcuaacutel es maacutes rubia de las tres esta maacutes allaacute de sus posibilidades (no
es una operacioacuten concreta)
La reversibilidad se manifiesta a nivel social como reciprocidad el nintildeo
se convierte en cooperativo puesto que es capaz de ponerse en el
punto de vista de los demaacutes superaacutendose asiacute el egocentrismo del
periodo anterior
4to estadio Operaciones Formales (desde los 12 antildeos)
A partir de este momento es posible ya hacer operaciones no
concretas es decir operaciones que no requieren el apoyo de la
percepcioacuten o de la manipulacioacuten sino que se realizan puramente a un
nivel verbal o conceptual Los objetos son substituidos por
proposiciones con lo que el pensamiento se libera de lo real-presente
y penetra en el campo de la reflexioacuten las teoriacuteas y las hipoacutetesis
Lo que resulta sorprendente en el adolescente es su intereacutes por todos
los problemas inactuales sin relacioacuten con las realidades vivida
diariamente o que anticipan con una desarmante candidez
situaciones futuras de mundo que a menudo son quimeacutericas Lo que
resulta maacutes sorprendente es su facilidad para elaborar teoriacuteas
abstractas Hay algunos que escriben y crean una filosofiacutea una
poliacutetica o una esteacutetica Otros no escriben pero todos tienen teoriacuteas o
sistemas La inteligencia formal sentildeala el despegue del pensamiento
y no debe sorprendernos que eacuteste use y abuse para empezar del
imprevisto poder que se le ha concedido
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Pero existe un egocentrismo intelectual de la adolescencia que se
manifiesta mediante la creencia en el infinito poder de la reflexioacuten
como si el mundo debiera someterse a los sistemas y no los sistemas
a la realidad Posteriormente el egocentrismo metafiacutesico de la
adolescencia encuentra paulatinamente su correccioacuten en una
reconciliacioacuten entre el pensamiento formal y la realidad El equilibrio se
alcanza cuando la reflexioacuten comprende que su funcioacuten caracteriacutestica
no es contradecir sino proceder e interpretar la experiencia
Otras investigaciones
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los nintildeos de 2 a 5 antildeos Se caracteriza porque los nintildeos no
son capaces de contar un conjunto de maacutes de cinco objetos Seguacuten
Sche-affer distinguen como diferente el nuacutemero de objetos de dos
conjuntos basaacutendose en su configuracioacuten perceptual Gelman sin
embargo asegura que en este estadio el nintildeo es capaz de reconocer
colecciones pequentildeas de objetos contando En su opinioacuten los nintildeos
han captado el aspecto cardinal del nuacutemero en colecciones muy
pequentildeas pero no disponen de un aspecto ordinal impliacutecito que le
permita asignar una secuencia de nombres de nuacutemeros a una serie de
objetos En este estadio las tareas que los nintildeos son capaces de
realizar son
bull Reconocer el nuacutemero de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea
menor que cincobull
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Distinguir queacute coleccioacuten es mayor en el caso que al menos una de
ellas tenga menos de cinco elementos
bull Reconocer entre colecciones maacutes amplias relaciones de mayor y
menor cuando los objetos estaacuten alineados y vea la existencia o no de
correspondencias biuniacutevocas
Segundo estadio de Schaeffer
Nintildeos de 39 antildeos La edad de los nintildeos es en algunos casos menor
que la de los nintildeos del estadio anterior En este estadio los nintildeos
bull Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila
bull No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los casos
bull Con nuacutemeros mayores el recuento no estaacute dominado cometen
errores en la separacioacuten de los elementos ya contados o en la
coordinacioacuten entre palabra y objeto
bull No se ha captado auacuten la conexioacuten entre el proceso de recuento y su
resultado que es el uacuteltimo nuacutemero recitado y que representa la
numerosidad de la coleccioacuten ni que dicho nuacutemero es invariante frente
al orden que presenten los elementos del conjunto
La explicacioacuten de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da
mayor seguridad a no equivocarse La de Gelman es que el nintildeo
todaviacutea no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones esto
ocurriraacute cuando esteacute familiarizado con el nuacutemero
Tercer estadio de Schaeffer
Nintildeos de edad entre 33 y 53 antildeos En este estadio los nintildeos
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
bull Saben aplicar la regla de cardinalidad pero todaviacutea no conocen
cuando un nuacutemero es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5)
bull Conectan el proceso de recuento con la regla de cardinalidad
bull Los nintildeos muestran mayor disposicioacuten para reconocer el nuacutemero de
elementos de una coleccioacuten pequentildea de objetos sin contarlos
Cuarto estadio de Schaeffer
Nintildeos de 5 a 511 antildeos Se caracteriza por la capacidad que
presentan los nintildeos para
bull Reconocer el mayor de dos nuacutemeros
bull Contar sin cometer erroresbull
Comparar el tamantildeo de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que
los conjuntos no sobrepasan los diez elementos
Conclusiones de otros investigadores
Case citado por Fuson y Hall asegura que las tareas de contar dan al
nintildeo capacidad para aplicar el recuento automaacuteticamente por lo que el
nintildeo se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numeacutericas
como por ejemplo establecer relaciones entre recuento y tamantildeo de
una coleccioacuten Brianerd (citado por Dickson y Col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones con el fin de
comparar sus tamantildeos es un logro relativamente tardiacuteo
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Want sentildeala que el emparejamiento biuniacutevoco y las destrezas de
recuento se desarrollan simultaacuteneamente Hay varias consecuencias
de estos estudios los nintildeos a las cinco antildeos poseen una
comprensioacuten adecuada y operativa de los diez primeros nuacutemeros
naturales al menos en su forma oral el conocimiento oral da
suficiente capacidad para resolver problemas aritmeacuteticos sencillos
expuestos oralmente y es muy importante el papel del recuento para
adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del nuacutemero
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el nintildeo en su camino
hacia la comprensioacuten de la idea de nuacutemero Se detecta (como sentildealan
Diksony col 1991) que en los uacuteltimos antildeos se ha concedido una
excesiva importancia a las correspondencias biuniacutevocas en el
aprendizaje infantil en detrimento de uso de la praacutectica de contar
Aprendizaje de los Nuacutemeros
La habilidad de escribir cifras al igual que la de escribir letras es una
destreza que requiere una maduracioacuten del sistema motor y una
coordinacioacuten entre la vista y el movimiento de la mano En algunos
individuos existe descoordinacioacuten entre estas dos destrezas por lo que
se requiere maacutes adiestramiento en una de ellas para conseguir su
dominio Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinacioacuten
entre la vista y la mano
bull Pintar con los dedos siguiendo un camino
bull Alinear objetos sobre una marca
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
bull Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
bull Dibujar las cifras sobre alguacuten material continuo (ejemplo arena) o en
el aire
bull Moldear las cifras con plastilina o arcilla No se debe pensar que este
es un aprendizaje matemaacutetico ya que la habilidad para escribir cifras
no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y
utilizarlas correctamente asiacute mismo la incapacidad para escribir un
nuacutemero no debe confundirse con la in capacidad para comprender las
matemaacuteticas
La numeracioacuten y los caacutelculos son ante todo una manera de codificar
y comunicar informacioacuten resumida por lo que requiere gran
importancia el que dicha escritura sea legible esto obliga a cuidar el
dominio de las teacutecnicas de pre escritura necesaria para conseguir el
eacutexito Entre estas teacutecnicas podemos sentildealar
bull Coger el laacutepiz correctamente
bull Colocar el papel de forma adecuada
bull Copiar de un modelo etc
Consideraciones sobre el nuacutemero cero
El nuacutemero cero fue la uacuteltima cifra que se incorporoacute a nuestro sistema
de numeracioacuten Durante mucho tiempo se pensoacute que los nuacutemeros
expresaban la esencia de lo existente por ello lo que ldquono esrdquo no puede
ser expresado de aquiacute que para el cero no se tuviera ninguna razoacuten
que impulsara su aparicioacuten Esto nos puede dar idea de la dificultad
de tipo loacutegico que su aprendizaje representa para el nintildeo Otro motivo
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
que aumenta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoriacutea
de los contextos numeacutericos veamos
bull En la secuencia numeacuterica no se suele comenzar por el cero
bull En el recuento lo usual es empezar a contar desde el uno
bull El contexto cardinal es el uacutenico que lo contempla al considerarlo
como cardinal del conjunto vaciacuteo
bull En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida
cero
Sin embargo hay un contexto en donde resulta muy graacutefico hablar de
cero la calificacioacuten de cero dada a algo indica su falta de valor Estas
consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la ensentildeanza del
cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos pueden
facilitar su introduccioacuten e incorporacioacuten al resto de los nuacutemeros
Estructura Aditiva
La estructura aditiva de la que la suma y la resta son sus
representaciones maacutes sencillas subyace (seguacuten Carpenter y Moser)
en gran nuacutemero de conceptos matemaacuteticos y su desarrollo en el nintildeo
ocupa un extenso periacuteodo de tiempo ya que ha de cubrir la transicioacuten
desde los recuentos informales y las estrategias propias que los nintildeos
realizan al margen de su instruccioacuten hasta el uso de datos numeacutericos
memorizados y los algoritmos formales de la adicioacuten y sustraccioacuten
Este es un periacuteodo criacutetico para el aprendizaje de las matemaacuteticas por
los nintildeos y se creeacute que algunas de las dificultades posteriores en
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
matemaacuteticas tienen su origen en la deficiente instruccioacuten inicial de la
suma y la resta
Seguacuten Piaget los conceptos maacutes elementales del nuacutemero no estaacuten
completamente desarrollados en los nintildeos antes de los 7 antildeos de
edad (aproximadamente) auacuten cuando los conceptos de adicioacuten y
substraccioacuten que suponen conocimientos de conceptos numeacutericos
baacutesicos empiecen a la edad de 6 antildeos Muy pronto los nintildeos entienden
que la secuencia numeacuterica se puede utilizar para realizar operaciones
aritmeacuteticas Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones
del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5) maacutes tarde apareceraacuten
situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las
del tipo n + m
Las situaciones de suma y resta entre nuacutemeros naturales estaacute
basada en la idea de que juntando elementos a una coleccioacuten dada
aumenta su nuacutemero y separando elementos disminuye su nuacutemero
Pero una comprensioacuten operatoria de la adicioacuten requiere (seguacuten Piaget)
que un nintildeo reconozca que el todo permanece constante
independientemente de la composicioacuten de sus partes Sus estudios le
llevaron a sentildealar una serie de estadios en el desarrollo de este
concepto paralelo al desarrollo de la conservacioacuten
I estadio
Los nintildeos no entienden que un conjunto de ocho objetos dividido en
dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
II estadio
Se resuelve bien la tarea despueacutes de verificaciones empiacutericas
III estadio
Reconoce que la composicioacuten de las colecciones no afecta al
conjunto final En principio los nintildeos no reconocen que el efecto de
antildeadir elementos a una coleccioacuten pueda ser neutralizado separando el
mismo nuacutemero de elementos y que antildeadir elementos a una coleccioacuten
equivalente a otra puede compensarse antildeadieacutendole a la otra el mismo
nuacutemero de elementos Las investigaciones realizadas sobre las
dificultades que los nintildeos encuentran cuando realizan operaciones de
suma y resta han dado los siguientes resultados
bull Las dificultades aumentan a medida que aumentan los nuacutemeros
bull Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo
ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando
es menor que el segundo
bull Las sumas cuyos sumandos son pares son maacutes sencillas que
aquellas que presentan algunos de ellos impar
bull El caso de tener los dos sumandos iguales presenta menos
dificultad que en cualquier otro caso
Estrategias que los nintildeos utilizan para realizar sus primeras
operaciones de suma y resta
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Se han determinado y clasificado las estrategias que los nintildeos utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta
Para la suma
Elaboracioacuten de un modelo con dedos u objetos Se presentan dos
casos en el primero se construyen dos colecciones cuyo nuacutemero de
elementos sean los nuacutemeros dados y se precede de dos formas
distintas juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la
unioacuten fiacutesica de las colecciones en el segundo se construye una sola
coleccioacuten y se incrementa en tantos elementos como indique el
segundo sumando
Secuencias de recuento
Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar
ninguna accioacuten fiacutesica se trata de conductas puramente verbales y se
puede proceder de varias formas contar todo (el nintildeo cuenta todos los
objetos) contar a partir del primero de los nuacutemeros dados o contar a
partir del mayor de los nuacutemeros
Datos numeacutericos recordados
Emplean combinaciones numeacutericas que recuerdan como son
aplicacioacuten de la idea de doble o aplicacioacuten de sumas conocidas como
6 + 4 = 10
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Para la resta
Modelos directos con objetos
Se construye una coleccioacuten de objetos que represente al minuendo y
de esta se van quitando objetos esto se puede realizar de varias
formas quitando de (se quitan tantos objetos como indica el
sustraendo) quitando hasta (se van quitando al minuendo elementos
hasta que quede el sustraendo el recuento de lo que se ha quitado
daraacute el resto) antildeadiendo hasta (se forma un conjunto que representa
al sustraendo se van antildeadiendo objetos hasta tener el minuendo el
numero de objetos antildeadidos es el resto) emparejamiento(los
conjuntos formados se tratan de emparejar contando los elementos
no emparejados se obtiene la respuesta)
Recuento
Sin utilizar objetos fiacutesicos se pueden considerar varias contar hacia
atraacutes desde (contar hacia atraacutes desde el minuendo tantas veces como
indica el sustraendo el nuacutemero anterior al uacuteltimo contado es la
diferencia) contar hacia atraacutes hasta (contar hacia atraacutes desde el
minuendo hasta alcanzar el substraendo el nuacutemero de pasos dados
es el resto) contar hacia delante desde (se cuenta desde el
sustraendo hasta el minuendo el nuacutemero de pasos dados es la
diferencia)
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Datos numeacutericos recordados
Utilizacioacuten de alguacuten hecho numeacuterico que conozcan Estas estrategias
no se ensentildean ni se aprenden en la escuela el nintildeo las elabora para
resolver los problemas que encuentra en su medio y a veces las
mantiene por encima de su aprendizaje escolar Es conveniente que el
profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasioacuten y para cada nintildeo
su campo de utilidad
COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE
NUacuteMERO
La adquisicioacuten del concepto de nuacutemero por parte del nintildeo y la nintildea es
un proceso muy complejo asiacute los nintildeos de Educacioacuten Inicial cuando
llegan a la escuela tienen experiencias adquiridas con los nuacutemeros
saben los antildeos que tienen el nuacutemero de hermanos nuacutemero de
juguetes que les han traiacutedo los reyes pero realmente no tienen
adquirido el concepto de nuacutemero
Seguacuten Piaget para la consecucioacuten del concepto de nuacutemero seraacute
necesaria la comprensioacuten del aspecto cardinal y del aspecto ordinal
- El aspecto cardinal
Estaacute asociado con la actividad de contar es decir se trata de asignar
a cada elemento de un conjunto un nuacutemero o sea que es hacer el
recuento de los objetos que hay en cada conjunto y el uacuteltimo nuacutemero
de ese recuento seriacutea el cardinal del mismo
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
- El aspecto ordinal
Consiste en ordenar conjuntos seguacuten sus elementos estableciendo
entre ellos relaciones de jerarquiacutea
Fases para la adquisicioacuten
Piaget tambieacuten establece que para que el nintildeo adquiera y aprenda el
concepto de nuacutemero debe pasar por una serie de fases que son las
siguientes
1-Fase de la fundamentacioacuten loacutegica
Aquiacute el nintildeoa aprende a formar conjuntos con cosas loacutegicas en base a
cualidades fiacutesicas (cuadrados ciacuterculos triaacutengulos rojos azuleshellip) o
sea a realizar primero clasificaciones y posteriormente seriaciones con
los elementos de esos conjuntos estableciendo relaciones loacutegicas
2-Fase de la conservacioacuten
En esta fase el nintildeo tiene que captar que a cada elemento de un
conjunto le corresponde un nuacutemero una palabra numeacuterica para que
posteriormente pueda comparar numeacutericamente los conjuntos
3-Fase de la coordinacioacuten cardinal-ordinal
Aquiacute el nintildeo debe hacer recuento de los elementos de un conjunto y
dotar a la uacuteltima palabra de un significado especial ya que esta va a
representar la totalidad de elementos del conjunto
4-Fase de la aplicacioacuten del nuacutemero
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
En esta fase el nintildeo tiene que componer y descomponer los nuacutemeros
lo que supone el inicio de las operaciones de suma y resta a un nivel
muy primario
El conteo esta actividad es muy necesaria para la adquisicioacuten del
concepto de nuacutemero y sobre ella se asientan las bases de las
actividades matemaacuteticas posteriores
Contar no es tarea sencilla y para llegar a conseguirlo el nintildeo ha de
adquirir primero diferentes aprendizajes
- Primero debe conocer la lista de los nombres de los nuacutemeros
- El segundo paso supone asignar a cada elemento un nuacutemero es
decir que se trata de contar objetos manipulaacutendolos
- El tercer paso consiste en emitir la lista acorde con el total de
elementos del conjunto contados
Por otra parte para empezar a contar los nintildeos y nintildeas pasan por las
siguientes etapas
a) Recita la lista numeacuterica de memoria de rutina pero sin reflexionar
b) Posteriormente la va ampliando progresivamente saltaacutendose
alguno
c) La lista numeacuterica no se puede parar o romper si se le interrumpe
comenzaraacute de nuevo
d) La lista es flexible y se puede empezar a contar por cualquier
nuacutemero no necesariamente tiene que ser por el uno
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
En cuanto a los errores maacutes frecuentes que los nintildeos cometen a la
hora de contar tenemos los siguientes
- Omitir alguacuten elemento en la cuenta o
- Repetir un nuacutemero ya emitido anteriormente
Construyendo Problemas Aditivos para nintildeos
Problemas de cambio problemas que indican accioacuten
La categoriacutea de cambio en la que los problemas implican un
incremento o disminucioacuten de una cantidad inicial hasta crear una serie
final En estos problemas hay impliacutecita una accioacuten Intervienen tres
cantidades una inicial otra de cambio y una final La cantidad
desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres
tipos de problemas El cambio puede ser de aumento (cambio-unioacuten) o
de disminucioacuten (cambio-separacioacuten) por lo que hay dos modalidades
para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el
nuacutemero de problemas de cambio que se pueden formular En todos los
casos el cambio ocurre en el tiempo la condicioacuten inicial se da en un
tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resultado se
alcanza en un tiempo T3
Ejemplo
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas
- Luis teniacutea 5 metras y compra 3 metras maacutes iquestcuaacutentas metras tiene
ahora
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
- Lili teniacutea 9 metras dio 5 a su amiga Gaby iquestcuaacutentos metras le han
quedado
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos la incoacutegnita en este
caso es la magnitud del cambio
- Joseacute tiene 6 pelotas y quiere comprar algunas para tener 9
iquestcuaacutentas pelotas ha de comprar
- Antonio tiene 7 pelotas da algunas a su primo y le quedan 4
iquestcuaacutentas pelotas da Antonio a su primo
La incoacutegnita es la magnitud inicial conocieacutendose la magnitud del
cambio y el resultado final
Erica teniacutea algunos creyones su hermano le dio 4 y ahora tiene 7
iquestcuaacutentos creyones teniacutea Erica
Problemas de combinacioacuten conjunto subconjuntos
Hacen referencia a la relacioacuten que existe entre un conjunto y dos
subconjuntos disjuntos del mismo La diferencia fundamental entre
estas dos categoriacuteas de problemas es que la combinacioacuten no
implica accioacuten Un problema de combinacioacuten tiene tres cantidades
relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Ejemplo
Conocer el conjunto total y uno de los subconjuntos y desconocer el
otro sub-conjunto
- Pedro tiene 10 caramelos de ellos 3 son azules y el resto son
amarillos iquestcuaacutentos caramelos amarillos tiene Pedro
Conocer los dos subconjuntos y desconocer la coleccioacuten total
- Mariacutea tiene 4 caramelos rojos y 5 azules iquestcuaacutentos caramelos
tiene Mariacutea
Problemas de Comparacioacuten ldquomaacutes querdquo y ldquomenos
querdquo
Implica una comparacioacuten entre dos conjuntos La relacioacuten entre las
cantidades se establece utilizando los teacuterminos ldquomaacutes querdquo ldquomenos
querdquo Cada problema de comparacioacuten tiene tres cantidades
expresadas Una cantidad de referencia una cantidad comparativa y
otra de diferencia Hay seis tipos de problemas de comparacioacuten La
cantidad desconocida puede ser la cantidad de referencia la
comparativa o la diferencia para cada una de estas posibilidades la
comparacioacuten puede hacerse de dos formas la cantidad comparada
(maacutes grande) es maacutes que la cantidad de referencia (maacutes pequentildea) la
cantidad comparada es menos que la de referencia
Ejemplo
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Referente y referido conocidos se desconoce la comparacioacuten
- Emily tiene 6 galletas y Luis 4 galletas iquestcuaacutentas galletas tiene
Emily maacutes que Luis
- Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3 iquestcuaacutentas galletas tiene
Carlos menos que Jaime
Referente y comparacioacuten conocidos se desconoce el referido
- Guillermo tiene 5 caramelos y Mariacutea tiene 3 caramelos maacutes que eacutel
iquestcuaacutentos caramelos tiene Mariacutea
- Nury tiene 8 caramelos y Adriana tiene 4 caramelos menos que
ella iquestcuaacutentos caramelos tiene Alberto
Referido y comparacioacuten conocidos referente desconocido
- Pilar tiene 3 galletas ella tiene 2 galletas maacutes que Pedro
iquestcuaacutentas galletas tiene Pedro
- Lola tiene 4 galletas y Jesuacutes tiene 3 galletas menos que ella
iquestcuaacutentas galletas tiene Jesuacutes
Problemas de Igualacioacuten cambio y comparacioacuten
Se produce alguna accioacuten relacionada con la comparacioacuten entre
dos conjuntos disjuntos Hay que responder queacute hacer con uno de
los conjuntos para que presente el mismo nuacutemero de elementos
que el otro
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Ejemplo
La accioacuten hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo
caso setiene una separacioacuten-igualacioacuten
- Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6 para tener tantos globos
como Cesar iquestCuaacutentos globos ha de romper Carmen
- Andreacutes tiene 5 globos y Tomaacutes tiene unos cuantos si Tomaacutes
rompe 3 globos tendraacute tantos como Andreacutes iquestcuaacutentos globos tiene
Tomaacutes
- Luciacutea tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos si Luciacutea rompe4
globos tendraacute el mismo nuacutemero que Miguel iquestcuaacutentos globos tiene
Miguel
La accioacuten se realiza sobre el menor de las conjuntos en este caso se tiene
una unioacuten-igualacioacuten
- Ineacutes tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos iquestcuaacutentos cromos
tiene que ganar Pablo para tener tantos como Ineacutes
- Enrique tiene 5 cromos y Elena tiene unos cuantos si Elena gana
2 cromos tendraacute el mismo nuacutemero que Enrique iquestcuaacutentos cromos
tiene Elena
- Margarita tiene 6 cromos y Juliaacuten tiene unos cuantos si Margarita
gana dos cromos tendraacute tantos como Juliaacuten iquestcuaacutentos cromos
tiene Margarita
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Problemas Simboacutelicos de sentencias abiertas con
estructura aditiva (suma-resta)
Los problemas simboacutelicos de estructura aditiva variaraacuten seguacuten la
sentencia abierta dada en el problema Cambiando la incoacutegnita
se generan abiertas para la suma y otras para la diferencia
Ejemplo
Incoacutegnita Suma Resta
Cantidad final 5 + 2 = 1048646 8 ndash 3 = 1048646
Cantidad de cambio 5 + 1048646 = 7 8 ndash 1048646 = 5
Cantidad inicial 1048646 + 2 = 7 1048646 ndash 3 = 5
Niveles de Abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas en
los nintildeos
En relacioacuten con la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales
numerosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de
diferentes factores intervinientes Riley y otros (1983) diferencian
entre factores globales y factores especiacuteficos refirieacutendose estos
uacuteltimos a las caracteriacutesticas estructurales de las oraciones de los
problemas a la habilidad lectora a la repercusioacuten del meacutetodo de
instruccioacuten seguido y sobre todo a la presencia de ayuda en el
momento de dar solucioacuten a un problema Con respecto a la influencia
de las ayudas dichos autores consideran que la presencia de objetos
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
manipulables conduce a una mejora en la ejecucioacuten de los nintildeos
siendo incluso necesaria en algunos casos
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas bloques etc) durante la resolucioacuten
de problemas tanto si se manipulan como cuando se trata de una
mera observacioacuten de los mismos Quizaacute la incidencia de la presencia
de objetos en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos elementales sea
maacutes notable en la etapa pre numeacuterica durante la cual se hace
patente la necesidad de apoyos externos de representacioacuten
Fucson (1986) considera que la utilizacioacuten simultaacutenea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instruccioacuten de la estrategia
de contar a partir de un sumando el manejo de los materiales parece
organizar el conocimiento de algunos nintildeos y facilitar el cambio hacia
la estrategia maacutes avanzada de contar a partir de uno de los
sumandos
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los
nintildeos hasta llegar a la abstraccioacuten en la resolucioacuten de problemas
Nivel conceptual
Es el nivel maacutes primitivo es aquel en el que los nintildeos modelan
completamente la accioacuten o las relaciones que se dan en el problema
usando ob jetos fiacutesicos o dedos En este nivel se caracteriza por el
uso de materiales concretos y descripciones verbales Por ejemplo
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
con una situacioacuten de ldquoquitarrdquo un nintildeo cuenta en voz baja una
coleccioacuten de objetos y los coloca debajo de un recipiente a
continuacioacuten saca de debajo del recipiente y desplaza algunos
objetos para que un compantildeero vea lo que ha sacado El segundo
nintildeo ha de describir verbalmente la accioacuten realizada por el primero
asiacute como el resultado de la misma Puede ser ldquotuacute has puesto cinco
metras debajo de tu pantildeuelo y despueacutes has sacado tres por lo que
debajo del pantildeuelo quedan dos metrasrdquo El primer nintildeo retira el
pantildeuelo y se verificaraacute la respuesta
Nivel de conexioacuten
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y
descripciones verbales pero ademaacutes se van introduciendo los
siacutembolos escritos correspondientes Los nintildeos tenderaacuten a no
representar fiacutesicamente las cantidades descritas en el problema y
poco a poco seraacuten capaces de realizar la operacioacuten de recuento por
siacute sola En la situacioacuten de juego descrita anteriormente uno de los
nintildeos ha de crear la sentencia numeacuterica correspondiente a la
situacioacuten utilizando alguacuten tipo de material como pueden ser tarjetas
en las que aparezcan los nuacutemeros y los signos implicados en el
problema Posteriormente se crearaacute la sentencia numeacuterica
escribieacutendola sobre el papel
Nivel abstracto
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
En este tercer nivel las teacutecnicas de recuento han dado paso a la
utilizacioacuten de los algoritmos para llegar a la solucioacuten del problema Se
presenta una sentencia numeacuterica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma
Juegos
Disponemos de una coleccioacuten de objetos los nintildeos han de
conocerlos bien para ello se procederaacute a una etapa de juego libre
posteriormente se pasaraacute al juego que consiste en esconder varios
objetos en la clase y tratar de encontrarlos Se pueden ir planteando
preguntas sobre el nuacutemero de objetos encontrados el nuacutemero de los
mismos que falta por encontrar introduciendo asiacute a los nintildeos en las
nociones de suma y resta El juego de las canicas se presta tambieacuten a
planteamientos de preguntas sobre cuantificacioacuten cuya respuesta por
parte del nintildeo requiere que este resuelva un verdadero problema de
estructura aditiva Los juegos de cartas son uacutetiles para el desarrollo del
pensamiento numeacuterico Estos pueden ser muy variados tanto por la
cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de
complejidad de los mismos Como ejemplo tomamos el siguiente de
Garzoacuten y Martiacutenez Se eligen las cartas de menor puntuacioacuten (del uno
al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa cada
jugador tomaraacute una carta y la pondraacute boca arriba el que saque la carta
maacutes alta se llevaraacute todas las demaacutes Los juegos del dado y del dominoacute
ayudan al nintildeo a adquirir la habilidad de conocer los nuacutemeros que
estaacuten representados en las caras por la disposicioacuten que presentan los
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
puntos sin necesidad de contar La variedad de ellos es tambieacuten muy
grande y las posibilidades tambieacuten pues se pueden utilizar un solo
dado o maacutes de uno Por ejemplo parados jugadores Con dos dados y
unas fichas para apostar los dos jugadores tiran los dos dados gana
el que sume mayor puntuacioacuten este juego permite desarrollar gran
cantidad de relaciones entre los nuacutemeros Asiacute por ejemplo si uno de
los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis
los nintildeos llegan a darse cuenta que no es necesario contar ni sumar
ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el
otro sumando
2 Sobre los nuacutemeros naturales
a) Un narrador deportivo de TV lee la siguiente noticia
ldquoUn corredor X con el dorsal 51 despueacutes de haberse escapado
durante 110 km llego a la quinta posicioacuten a la meta Un grupo de 10
corredores salioacute a la caza del corredor X Cuando faltan 10 Km para
meta pasan uno dos tres hasta 4 corredores El pintildeoacuten que estaacute
utilizando es el 22
Sentildeal e cual es el significado que tiene cada uno de los nuacutemeros
que aparecen en esta narracioacuten
1 Dorsal 51 Numero que identifica al corredor X
2 110 km Distancia recorrida por el corredor X para llegar a
la quinta posicioacuten a la meta
3 10 Grupo d corredores que salioacute a la casa del corredor X
4 10 km Distancia que los corredores uno dos tres y cuatro
le han adelantado al corredor X antes de llegar a la meta
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
5 22 Tipo de bicicleta que estaacuten utilizando
b) Elabore una lista de 10 juegos infantiles en los que de alguacuten
modo se utilicen nuacutemeros Indique como se emplea el nuacutemero en
cada uno de ellos y a que contexto corresponde
1 Caceria Numerica
Queacute necesita
Tres huevitos de plaacutestico que abren y cierran (o algo similar)
Botones
Bolsitas o redecillas de plaacutestico
Queacute hacer
En las bolsitas o redecillas ponga varios botones en distintas
cantidades y meta los paquetitos en cada huevoMientars los
nintildeos estan jugando esconda los huevitos
Llame al nintildeo y diacutegale que ha escondido tres huevitos y que le
ayude a encontrarlos Cada vez que encuentra uno pida que
cuente en voz alta (1 2 3)
Cuando haya encontrado todos los huevitos piacutedale que los abra
y saque los botones y haga que cuente en voz alta con su
ayuda cuantos botomes hay en cada paquete
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
A veces los nintildeos muy pequentildeos no entienden que contar significa
nombrar los nuacutemeros en un orden especiacutefico Este punto fundamental
debe ser reforzado frecuentemente en este juego los numeros se
emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego pertenece al contexto cardinal porque
los numeros se asocian a los botones que estan dentro del huevo y a
travez de los mismos el nintildeo cuenta en un orden especifico
2 Memoria de frutas
La memoria estaacute compuesta por 20 cartas donde
El juego se compone de 10 pares de cartas
Las cartas poseen frutas en cantidades del 1 al 10 cada carta
con su respectivo par
El nintildeo deberaacute contar el conjunto de frutas que se encuentran
en la carta y visualizar el numero que se encuentra en la parte
inferior derecha de la carta asiacute se iraacute familiarizando con los
nuacutemeros y su representacioacuten grafica
Al mismo tiempo el nintildeo debe encontrar el par que le
corresponde a la carta que a selecionado
Ejemplo
1 1
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
2 2
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En la memoria de frutas los numeros se emplean en las cartasse ah
disentildeado de este modo para que el nintildeo progresivamente logre
identificar los numeros al mirarlos Tambien incluimos cantidades
diferentes de frutas para que sean contadas por el nintildeo la cantidad
corresponde al numero que se le ah indicado en la parte inferior de la
barajita
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal ya
que el nintildeo describe con numeros naturales la cantidad de frutas que
se encuentran en la carta
3 Bloques
El juego se compone de una cantidad de bloques de
madera con los numeros del uno al 10
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Diacutegale al nintildeo que busque el bloque con el nuacutemero 1
Pida que construya una torre escogiendo y usando los
bloques numeacutericos en el orden correcto Pida que diga
el nombre de cada nuacutemero al colocar cada bloque en su
lugar
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
pertenece
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear el nintildeo a contar
u ordenar los numeros en su respectivo lugar que le corresponde
Contexto Ordinal Este juego pertenece al contexto ordinal ya que el
nintildeo toma el numero 1 como elemento inicial y va contruyendo la torre
de numeros ordenadamente colocando cada bloque con el en el lugar
correcto
4 Cancion para aprender los numeros
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
El juego consite en cantar junto a los nintildeos la siguiente cancion
1ratoncito de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
2 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
6 ratoncitos de colita gris
mueven las orejas
mueven la nariacutez
Y asi progresivamente mientras se entona la cancion los nintildeos
deeben ir contando con los dedos Por ejemplo
1ratoncitos de colita gris
mueve las orejas
mueve la nariacutez
Los nintildeos deben hacer el numero1con los dedos de sus manos
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea la pronunciacion de los numeros y los nintildeos
aprenden a contar con sus dedos
Contexto de secuencia Este juego corresponde al Contexto de
secuencia ya que el nintildeo al cantar asocia los numeros a los ratoncitos
progresiva y ordenadamente
5 Jugar con globos
El juego consiste en inflar varios globos de diferentes
colores
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Deben haver por lo menos 5 globos de cada color
Despues de inflarlos se esparcen en un area todos
juntos
El nintildeo deberaacute agrupar los globos por color con su ayuda y
contar el nuacutemero de globos que hay del mismo color en
cada grupo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplea los numeros para idendifar los globos ya que
el nintildeo debe contar los mismos asi se ira familiarizando con la
pronunciacion de los numeros
Contexto de secuencia Este juego coresponde al contexto de
secuencia ya que el nintildeo asocia los numeros a los globos
6 Jugamos con moldes de numeros para aprender y comer
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Los moldes para aprender y comer cuentan con 10 cavidades con
forma de nuacutemeros que se pueden rellenar con caramelo o chocolate
luego se puede llevar a la nevera el microondas o el congelador
dependiendo del uso que quiera daacutersele Una vez rellenos los
espacios solamente hace falta colocar cada uno de los palitos de
plaacutestico y llevar a hornear o a congelar para que las piruletas queden
listas para comer
En el proceso los pequentildeos se van familiarizando con las formas de
los numeros y sus nombres
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego se emplean la representacion numerica en moldes el
nintildeo puede identificar los numeros y sus nombres
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Contexto de secuencia este juego corresponde al contexto de
secuencia ya que los numeros se emplean en forma de moldes para
aprender
7 La caja numerica
El juego consiste en construir una caja con la ayuda de los
nintildeos en el salon
Tambien se deben recortar y coloreaar diferentes numeros
identificando sus nombres
Luego se introducen los numeros en la caja
Cada nintildeo de pasar por la caja a sacar un numero y decir
cual es
iquestComo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros son empleados para ensentildear a los nintildeos a
identificar su nombre y forma
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Contexto de secuencia Este juego pertenece al contexto de
secuencia ya que los numeros no tiene un orden particular el nintildeo
solo debe identificarlo al sacarlo de la caja
8 Describe la cantidad
En este juego se deben construir diversos carteles con un
conjunto de animales determinado en cada uno
Luego se escriben los numeros del 1 al 10 en carteles mas
pequentildeos
Dependiendo de la cantidad de animales que se presenten en el
cartel el nintildeo deberaacute contarlos y pegarle el nuacutemero que
representa la cantidad por ejemplo
iquestComo se emplean los numeros
en este juego y a que contexto numerico pertenece
46
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Los numeros en este juego se emplean para ensentildear al nintildeo a contar
y distinguir diversas cantidades de animales propuesas en los cartles
Contexto de codigo Este juego corresponde a este contexto ya que
en el mismo los numeros se emplean como etiquetas para distinguir
cuantos animales posee un grupo determinado propuesto en un cartel
9 Camina y Cuenta
El juego consiste en salir a caminar con los nintildeos a un parque o
un lugar donde puedan estar seguros
Mientras caminan pidale a cada nintildeo que haga cosas como
Pasosgrandes
Pasos equentildeos
Saltos
Vueltas entre otras
Cuente con el cada uno de los pasos que da o las piruetas que hace
elogielo por sus saltos y hagale saber lo bien que cuenta o que
pronuncia los numeros
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
Los numeros se emplean en este juego para ayudar a los nintildeos
asociandolos con cada paso que damos al caminar Tambien este
juego ofrece reforzar el sentido numeacuterico de los nintildeos
10 Contemos Piedritas
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Buscamos piedritas si no podemos conseguirlas en el jardiacuten seriacutea un
lindo paseo de recoleccioacuten a la plaza maacutes cercana
Observamos iquestcoacutemo son iquestqueacute colores tienen iquestson todas
iguales
Las podemos pintar con plasticola de color o teacutemperas dejarlas
secar y luego guardarlas en cajitas una para la roja otra para
las verdes etc
Despueacutes podemos usarlas para diferentes juegos
Podemos contar cuaacutentas piedritas de cada color tenemos
Clasificarlas por tamantildeo
iquestCoacutemo se emplean los numeros en este juego y a que contexto
numerico pertenece
En este juego los numeros se emplean para aprender a contar
Contexto cardinal Este juego corresponde al contexto cardinal
por que los numeros se asocian con las piedritas para calsificarlas
por color y contar en un orden especifico cuantas tenemos de cada
color
c) Elabore una tabla de doble entrada cuyas filas sean los
diferentes contextos numericos y en las columnas aparezcan
una relacion de los juegos de azar mas conocidos (loto
quinielas bingo loteria dados etc) Marque con una x los
significados que aparezcan en cada juego
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Tipos
de
juegos
Context
os
numeric
os
Loto
Serie de
nuacutemeros
de los
cuales
una
cantidad
son los
que
resultan
ganador
es
Quiniela
Su acierto
depende
del
nuacutemero
de
posibilidad
es o
posibles
elecciones
Bingo
Cartones
con nuacutemeros
aleatorios
escritos en
ellos dentro
del rango
correspondie
nte 1-75 o 1-
90
Dados
Los
resultad
os
numeacuteric
os
estaacuten
marcad
os en
cada
una de
las
caras
del
dado se
elige el
quede
haciacutea
arriba
loteria
Sorteo de
un cupoacuten
la
probabilid
ad de que
te toque
depende
del
nuacutemero
de
billetes
en juego
asiacute como
del
nuacutemero
de series
Contexto
Cardinal
X X
Contexto
Ordinal
X
Contexto X
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
de
secuenci
a
Contexto
de
codigo
X
d) Busque el significado de los teacuterminos axioma axiomaacutetico
deducir deduccioacuten loacutegica induccioacuten Sentildeale las ventajas e
inconvenientes de estudiar axiomaacuteticamente el concepto de
nuacutemero natural
Axioma
Un axioma es una proposicioacuten clara y evidente que no necesita
demostracioacuten
En matemaacuteticas un axioma es una premisa que por considerarse
evidente (Cierto claro indudable patente) se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demaacutes foacutermulas
Axiomaacutetico
En matemaacuteticas un sistema axiomaacutetico consiste en un conjunto de
axiomas que se utilizan mediante deducciones para demostrar
teoremas (afirmaciones de gran importancia)
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Deducir Sacar una conclusioacuten por medio de un razonamiento a
partir de una situacioacuten anterior o de un principio general Deducir
es obtener conclusiones a partir de un conocimiento previo
Ejemplo Vi la luz encendida y deduje que estariacuteas en casa
Deduccioacuten loacutegica La deduccioacuten loacutegica consiste en que a partir
de unas premisas representadas con siacutembolos y a traveacutes de
unas reglas obtenemos una conclusioacuten (deducimos la
conclusioacuten)
Los siacutembolos en la loacutegica pueden ser
Los conectores not amp V - gt lt - gt
Letras enunciativas p q rhellip entre otras que representan los
enunciados de la argumentacioacuten
Siacutembolos auxiliares ( ) I- (este uacuteltimo signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusioacuten)
Ejemplo ldquoSi graniza (g) o nieva (n) entonces uso paraguas (p) o no
salgo de casa (nots) Se da el caso de que graniza (g) Por lo tanto no
salgo de casardquo
La formalizacioacuten de este argumento es la siguiente
( g V n ) -gt (p V nots) g I- nots
La deduccioacuten puede ser directa o indirecta
Induccioacuten
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
En matemaacuteticas la induccioacuten es un razonamiento que permite
demostrar una infinidad de proposiciones
Construccioacuten del conjunto N sistema axiomaacutetico
Sistema axiomaacutetico de Peano
Para definir el conjunto N de los nuacutemeros naturales se puede recurrir a
la siguiente construccioacuten es un conjunto que verifica los axiomas que
se enuncian a continuacioacuten
1 Cero es un nuacutemero natural es decir cero pertenece a N
2 A cada nuacutemero natural x del conjunto N le corresponde otro nuacutemero
natural uacutenico que se llama sucesor o siguiente de x y que se puede
denotar por x Es decir que si x pertenece al conjunto N Entonces x
tambieacuten pertenece a N
3 Cero no es el siguiente de ninguacuten otro nuacutemero natural Asiacute pues
nunca se puede cumplir que sea x = 0
4 Dados dos nuacutemeros naturales distintos les corresponden siguientes
distintos por tanto si los siguientes de dos nuacutemeros naturales son
iguales entonces ambos nuacutemeros naturales son iguales
5 Si un conjunto de nuacutemeros naturales C contiene al elemento cero y
tambieacuten al sucesor de cualquier nuacutemero natural que pertenezca a C
entonces todo nuacutemero natural pertenece al conjunto C
Con respecto a estos axiomas hay que tener en cuenta varias
observaciones importantes
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Observacioacuten 1 En su formulacioacuten original Peano dio como primer
nuacutemero natural el 1 y no el 0 como aquiacute aparece
Observacioacuten 2 Aunque se han propuesto otros sistemas axiomaacuteticos
parecidos a este e incluso maacutes simples en determinados aspectos
son menos intuitivos A partir del sistema de Peano se puede deducir
de forma loacutegica toda la aritmeacutetica aunque no es enteramente
satisfactorio
Observacioacuten 3 El primer axioma garantiza que el conjunto N no es
vaciacuteo al menos contiene al elemento cero El segundo de los axiomas
ofrece un procedimiento para la construccioacuten del conjunto N a traveacutes
del elemento siguiente de cero que se puede denotar con cualquier
siacutembolo por ejemplo 0 =
El tercer axioma impide que pudiera ser = 0 Gracias al axioma
cuarto se garantiza que la correspondencia Φ NrarrN es una inyeccioacuten
asiacute el siguiente de cada nuacutemero natural no puede ser ninguno de los
ya obtenidos anteriormente
Observacioacuten 4 La construccioacuten del conjunto N lleva impliacutecita la
implicacioacuten de ser un conjunto con un nuacutemero infinito de elementos El
axioma quinto tambieacuten conocido como axioma de recurrencia da una
idea de coacutemo concebir el conjunto N
e) Delimite que idea son las que forman parte en cada una de las
fundamentaciones axiomaacuteticas del concepto de numero natural
sentildeale los elementos comunes y diferentes
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
f) Investigue la diferencia entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo Determine el papel que representan
cada uno de estos tipos de razonamientos en matemaacuteticas
Diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo
El razonamiento inductivo va de
lo particular a lo general
El razonamiento deductivo
argumenta a partir de lo general
a un caso particular
El razonamiento inductivo
Razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que
consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas
que contienen datos particulares o individuales
En matemaacuteticas se usa como el el proceso de observar datos
reconocer patrones y hacer generalizaciones basaacutendose en esos
patrones Es probable que uses el razonamiento inductivo todo el
tiempo sin darte cuenta de ello
Ejemplo Observe la siguiente secuencia
1 2 3 4
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestQue figura debe encerrar el 5
a)
b)
c)
R la opcioacuten a
Ejemplo numero 2
Manuel es humano tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
La conclusioacuten es Por lo tanto los humanos tiene ojos
Razonamiento deductivo
En matemaacuteticas es una Forma de razonamiento de la que se
desprende una conclusioacuten a partir de una o varias premisas va de
lo general a lo particular El razonamiento deductivo es el proceso
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
de mostrar que ciertas afirmaciones son los resultados loacutegicos de
hechos aceptados
Ejemplo
En la calce de matemaacutetica una profesora mostro el siguiente
problema
P O L O N I A
2 4 16 32 64 128 256
R U S I A
iquestQueacute nuacutemeros deberiacutean ir en el recuadro en blanco
R 2 4 16 32 64
Ejemplo numero 2
La premisa mayor es Toda planta nace se reproduce y muere
La premisa menor es la Rosa e es una planta
La conclusioacuten es La rosa nace se reproduce y muere
3 Elabore una propuesta basada en tener gastar deber para
la ensentildeanza de la adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros
enteros
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
iquestQue son los nuacutemeros enteros
Los nuacutemeros enteros son un conjunto de nuacutemeros que incluye a
los nuacutemeros naturales distintos de cero (1 2 3) los negativos de
los nuacutemeros naturales ( minus3 minus2 minus1) y al cero 0 Los enteros
negativos como minus1 o minus3 (se leen menos uno menos tres) son
menores que todos los enteros positivos (1 23) y que el cero
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos a veces
tambieacuten se escribe un signo (maacutes) delante de los positivos (+1
+5) Cuando no se le escribe signo al nuacutemero se asume que es
positivo
Propuesta
Resolver las siguientes situaciones problemaacuteticas
1 Macarena tiene 7 Bs su mamaacute le regala 23Bs su papaacute 10Bs y
gasta 18 comprando un helado iquestCuaacutento dinero tiene en total
Macarena
Datos
Tiene 7Bs
Su mama le regala 23Bs
Su papa le regala 10Bs
Gasta 18Bs
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Operacioacuten
7 + 23 + 10 = 40
40 ndash 18 = 22
Respuesta Macarena tiene 22 Boliacutevares
2 Sofiacutea se compro un helado de 8Bs y a Consuelo uno de 15Bs
iquestCuaacutento gasto Sofiacutea en los dos helados
Datos
Compra un helado por 8Bs
Compra un segundo helado por 15Bs
Operacioacuten
8 + 15 = 23Bs
Respuesta Sofiacutea gasto 23Bs comprando los dos helados
4 Justificacioacuten de la regla de los signos
Con motivo del curso ldquoHistoria y educacioacuten matemaacuteticardquo del
programa de doctorado ldquoDidaacutectica de las matemaacuteticasrdquo del
Departamento homoacutenimo de la Universidad de Valencia se realizoacute
un trabajo de exploracioacuten sobre la evolucioacuten de los conceptos de
nuacutemero unidad cantidad y magnitud Una parte de este trabajo se
centroacute en ldquola regla de los signosrdquo A continuacioacuten sepresenta una
siacutentesis de la informacioacuten recogida
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
El problema a investigar
En la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos se considera que la
regla de los signos es algo faacutecil para los estudiantes no hay nada
que comprender soacutelo hay que memorizarla y saberla aplicar En los
manuales escolares la suma de los nuacutemeros con signo se suele
justificar con la ayuda de deudas y ganancias cargos y abonos
(SM 2ordm curso 1998 p 39) etc Cuando se aborda la multiplicacioacuten
este modelo no funciona El producto de peacuterdidas no puede ser una
ganancia En este momento el modelo debe ser abandonado y
bien se propone una alternativa o se guarda silencio para siempre
Si se opta por guardar silencio se iraacute contra la imagen de
racionalidad de las matemaacuteticas y esto dejaraacute insatisfechos a
profesores y estudiante mientras que si se opta por proponer una
alternativa habraacute que buscarla y una vez elegida habraacute que
fundamentar la propuesta de tal modo que sea suficientemente
convincente y satisfactoria desde el punto de vista de la loacutegica
matemaacutetica y de los requerimientos de los niveles educativos
escolares
Propoacutesito
Con el fin de aportar informacioacuten que contribuya a facilitar el
proceso de buacutesqueda y seleccioacuten de un modelo alternativo para la
regla de los signos a continuacioacuten se recogen y organizan las
principales justificaciones de la misma que se pueden encontrar en
los libros que han sido utilizados en la ensentildeanza
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Las justificaciones de la regla y las
Conceptualizaciones de los negativos
Indagando en las fuentes originales relevantes por su prestigio por
su originalidad o por su influencia en nuestro paiacutes se puede
constatar que los intentos para justificar la regla de los signos han
sido una constante a lo largo del tiempo y que cuando una
argumentacioacuten pareciacutea que iba a consolidarse pronto apareciacutea otra
que si no la revocaba era aparentemente maacutes soacutelida o cuando
menos maacutes coherente con una determinada conceptualizacioacuten de
los negativos maacutes o menos dominante Por ello para entender
estas argumentaciones no hay que perder de vista las distintas
conceptualizaciones de los nuacutemeros negativos a lo largo de su
evolucioacuten histoacuterica para constituirse como concepto matemaacutetico
legiacutetimo
Justificaciones principales
Teniendo en cuenta lo anterior y a los efectos de la presentacioacuten de
las diversas justificaciones de la regla de los signos que se pueden
encontrar en los textos escogidos estas justificaciones se han
organizado bajo los siguientes epiacutegrafes
bull La regla sin Justificacioacuten
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las restas indicadas con
solucioacuten positiva
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las cantidades negativas
aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco en el que se evitan las
cantidades negativas aisladas
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de la teoriacutea de pares
ordenados
bull La justificacioacuten de la regla en el marco de las modelizaciones
intuitivas
5 Un modelo para los nuacutemeros racionales
Conocida la operatoria con fracciones (nuacutemeros racionales)
queremos idear un modelo para hacer eacutenfasis en la
comprensioacuten y manejo de las distintas acepciones que tienen
las fracciones para involucrar el concepto en la vida
cotidiana
Te proponemos elegir una fraccioacuten cualquiera (que no sea un
nuacutemero entero) y manejarla como un operador como razoacuten
como cociente como porcentaje y como nuacutemero Esto lo
puede plasmar por medio de un relato o cuento creado por ti
Un diacutea teniacutea 300 bs para compras El jueves gaste 25 de
esa cantidad y el saacutebado los 34 de lo que le quedaba
iquestCuaacutento gaste cada diacutea y cuaacutento le queda al final
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Jueves 25 300 = 300 2 = 600 divide 5 = 120 Bs
Sabado 300 ndash 120 =180 180 frac34 =540 divide 4 = 135 Bs
Resto 180 ndash 135 = 45 Bs
Me quedo 45 Bs
6 Los dos sistemas de numeracioacuten maacutes utilizados son
El sistema de numeracioacuten decimal y el sistema de numeracioacuten binario
ambos son sistemas de numeracioacuten posicionales
a) Investigar en que consiste cada sistema de numeracioacuten
ilustraacutendolos con ejemplos
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero
diez El conjunto de siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten
araacutebiga) se compone de diez cifras diferentes cero (0) uno (1) dos
(2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete (7) ocho (8) y nueve
(9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en
todo el mundo y en todas las aacutereas que requieren de un sistema de
numeracioacuten Sin embargo hay ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la
informaacutetica donde se utilizan sistemas de numeracioacuten adaptados al
meacutetodo de el binario o el hexadecimal
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Notacioacuten decimal
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el
sistema decimal es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de
cada diacutegito depende de su posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero
corresponde el lugar de la unidades el diacutegito se multiplica por (es
decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por 10) centenas (se
multiplica por 100) etc
Ejemplo
Otro ejemplo
O tambieacuten
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Se puede extender este meacutetodo para los decimales utilizando las
potencias negativas de diez y un separador decimal entre la parte
entera y la parte fraccionaria
Ejemplo
El sistema de numeracioacuten romano es decimal pero no-posicional
Sistema de numeracioacuten binario
El sistema de numeracioacuten binario utiliza soacutelo dos diacutegitos el cero (0) y
el uno (1)
En una cifra binaria cada diacutegito tiene distinto valor dependiendo de la
posicioacuten que ocupe El valor de cada posicioacuten es el de una potencia
de base 2 elevada a un exponente igual a la posicioacuten del diacutegito menos
uno Se puede observar que tal y como ocurriacutea con el sistema
decimal la base de la potencia coincide con la cantidad de diacutegitos
utilizados (2) para representar los nuacutemeros
De acuerdo con estas reglas el nuacutemero binario 1011 tiene un valor
que se calcula asiacute
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
123 + 022 + 121 + 120 es decir
8 + 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo
escribimos asiacute
10112 = 11
Sistema binario o de base 2 En este sistema los diacutegitos vaacutelidos son
01 y dos unidades forman una unidad de orden superior
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la
numeracioacuten aplicado al sistema binario
Seguimos con el ejemplo del cuentakiloacutemetros visto arriba En este
caso las ruedas no tienen 10 siacutembolos (0 al 9) como en el caso del
sistema decimal En el sistema binario la base es 2 lo que quiere decir
que soacutelo disponemos de 2 siacutembolos 01 para construir todos los
nuacutemeros binarios
En el sistema binario para representar cifras mayores que 1 se
combinan los 2 siacutembolos 01 y agrega una segunda columna de un
orden superior
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Aquiacute las ruedas del cuentakiloacutemetros dan una vuelta cada dos
unidades Por tanto una vez que contamos (sumamos) dos
hemos agotado los siacutembolos disponibles para esa columna y
debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda
Asiacute si contamos en binario tras el nuacutemero viene el pero si
contamos una unidad maacutes debemos usar otra columna resultando
Sigamos contando Al antildeadir una unidad a la columna
de las unidades esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los
siacutembolos disponibles) y debemos formar una unidad de segundo
orden pero como ya hay una tambieacuten agotaremos los siacutembolos
disponibles para esa columna y debemos formar una unidad de tercer
orden o Asiacute en el sistema binario
Ejemplos
El nuacutemero estaacute formado por un solo siacutembolo repetido tres
veces No obstante cada uno de esos siacutembolos tiene un valor
diferente que depende de la posicioacuten que ocupa en el nuacutemero Asiacute
el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor
de el segundo de y el tercero de dando como
resultado el valor del
nuacutemero
b)iquestQueacute es un sistema de numeracioacuten de base b
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Sea b un entero superior a uno Escribir un entero n en la base
b significa descomponerlo en las potencias de b es decir determinar
los coeficientes (tambieacuten llamados cifras) ak tales que
0 le ak le b-1
n es la suma de los akbk con k gt 0
Por ejemplo
Convertir 3278a la base decimal
3278= 382+28+7
iquest3 64 +16+7
3278=215
c) iquestcoacutemo se escribe un nuacutemero natural en una determinada base
Todo nuacutemero real se puede escribir en base b es decir descomponer
en la potencia de b las bk con K entero positivo o negativo Por
ejemplo en base 10
4258=4101+2100+5 10minus1+8 10minus2
Si la descomposicioacuten necesita una infinidad de cifras se dice que el
nuacutemero no es decimal 13 = 0333333333333333333hellip No es
decimal pero en base tres in tercio es 110= 01 que si lo es
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
No hay unidad de la escritura de un real en una base como lo muestra
la igualdad 1=0999999999999999hellip Pero si se decide que no se
autoriza la sucesioacuten infinita de diacutegitos b-1 en base b se demuestra que
si hay una uacutenica manera de escribir un real en base b
d)Escribir los siguientes nuacutemeros en las bases indicadas
1995 b=2= 1 23+922+9 2+5
=8+36+18+5
19952=67
1223 b=4 12234=143+242+2 41+3
= 64+32+8+3
12234=103
67043 b=8 670438=684+783+0 82+4 8+3
= 24576+3584+0+32+3
670438=28195
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
Conclusioacuten
Es soacutelo a traveacutes de lo que haga del dominio que vaya construyendo
que el nintildeo elaboraraacute sus propias concepciones del nuacutemero no
definitivas
Nosotros docentes del Nivel Inicial debemos proponer situaciones
que le permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que
los designan se impregnen de sentido para los nintildeos Es decir
permitir que los chicos se vinculen con los nuacutemeros funcionando como
respuesta a problemas
La Matemaacutetica tambieacuten se ocupa de la resolucioacuten de problemas
espaciales como respuesta a necesidades sociales Los nintildeos desde
muy pequentildeos experimentan con las formas de los objetos y con las
relaciones espaciales Este conocimiento espacial permite adaptarnos
a nuestro mundo tridimensional y comprender las distintas formas y
expresiones espaciales de nuestra cultura (Gonzaacutelez 2000)
Es necesario plantearle verdaderas situaciones problemaacuteticas que al
resolverlas le permitan al nintildeo dominar el espacio circundante y
pasar de lo concreto y vivido a un mundo de representaciones e
internalizaciones (Gonzaacutelez 2000) es decir el nintildeo va a ampliar
organizar construir sus conocimientos espaciales
Ejemplos maacutes claros de todo lo expuesto son las actividades
cotidianas que incluso los nintildeos realizan en su casa
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
En el momento de la merienda los ayudantes deben salir de la sala a
buscar vasos previamente cuentan la cantidad de nintildeos que hay en
una o dos mesas a veces se ayudan de los dedos otras memorizan la
cantidad En esas situaciones particularmente no intervengo Dejo
que prueben que cuenten que algunos intenten sumar la cantidad de
nintildeos de ambas mesas Algunas veces se olvidan los conteos que
realizaron otras traen maacutes vasos de los que necesitan y ante la
pregunta iquestEsos son los vasos que necesitas para tu mesa
responden que trajeron de maacutes por si alguacuten nene quiere cambiar de
color para no tener que ir de nuevo a buscar
Al proponer actividades matemaacuteticas intento que sean verdaderos
problemas por resolver en los que puedan utilizar los conocimientos
anteriores y a la vez les ofrezcan una resistencia suficiente para
llevarlos a evolucionar sus conocimientos anteriores a cuestionarlos a
elaborar nuevos Esto no es suficiente si luego no hay una reflexioacuten
compartida con los compantildeeros y la maestra En esos momentos
intervengo motivando a mis alumnos a explicar lo realizado aceptando
todas las respuestas y sin validar de entrada la correcta retomando lo
que dicen algunos planteando contraejemplos ayudaacutendolos a llegar a
acuerdos etc Con esto logro que los nintildeos construyan los
conocimientos partiendo del uso y de la reflexioacuten que puedan hacer
acerca de ellos
Ademaacutes es necesario seleccionar el contexto que le deacute sentido a un
conocimiento en particular es decir hay que descartar propuestas que
generen una ensentildeanza directa de transmisioacuten lineal del docente al
alumno y descartar intervenciones directas que obstaculicen el
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
-
descubrimiento de los alumnos o que lo a apresure a utilizar
formalizaciones carentes de sentido
Hay que permitirle a los nintildeos que exploren investiguen y darles un
tiempo para que resuelvan lo que se les plantea desde sus
aproximaciones y en interaccioacuten con los otros repetir las actividades
ya que una sola aproximacioacuten al conocimiento no es suficiente para
aprenderlo
Al evaluar los conocimientos ensentildeados registrando lo observado se
comprende la evolucioacuten de los aprendizajes de los nintildeos Esto puede
llevarse a cabo a partir de nuevas jugadas o repitiendo actividades
planteando nuevas situaciones etc
Las actividades preferiblemente deben ser grupales en un primer
momento pero luego debe disminuir la cantidad de nintildeos de lo
contrario no se permite una participacioacuten igualitaria entre los alumnos
- COacuteMO ADQUIEREN LOS NINtildeOS EL CONCEPTO DE NUacuteMERO
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