topolog atopologiaparausuarios.es/apuntestop_2020.pdf3. dibujad una bola abierta del espacio...

Topologıa

Irene Llerena

El triple tor

Revisado en 2020

Indice

Introduccion 5

Algunas notaciones 7

1. Espacios metricos 9

1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Abiertos y cerrados de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Espacios metricos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Espacios topologicos 23

2.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Bases y subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Entornos. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Interiores, adherencias, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Homeomorfismos. Aplicaciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7. Funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8. Cerrados, continuidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Construccion de espacios 41

3.1. Subespacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Producto topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Union disjunta de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Espacios cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5. Ejemplos de espacios cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Identificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7. Topologıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.8. Topologıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

4 INDICE

4. Propiedades de separacion 554.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3. Conservacion de las propiedades de separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4. Retractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. Lema de Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6. Teorema de extension de Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Compacidad 675.1. Espacios casi-compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2. Conservacion de la casi-compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3. Casi-compacidad y propiedades de separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4. Espacios localmente casi-compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5. Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6. Compactificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6. Propiedades de conexion 816.1. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3. Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.4. Espacios arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5. Componentes arco-conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.6. Espacios localmente arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A. Conjuntos numerables 91

Introduccion

La Topologıa es una rama bastante joven de las Matematicas pero ha encontrado ya aplica-cion en muchos campos, no solo de las Matematicas sino tambien de areas tan diferentes comola Fısica, la Mecanica Cuantica, o la Sociologıa. La terminologıa y los conceptos topologicos soncada vez mas presentes en todas las ciencias, e incluso en el lenguaje ordinario.

La Topologıa es una especie de geometrıa en la que lo importante no son las medidas de losobjetos, sino su forma. Ası, un objecto no deja de ser el mismo si lo estiramos o lo estrujamoso lo doblamos, pero no lo podemos rasgar, ni agujerear, ni romper, ni pegar. Se suele decirque un topologo es un matematico que no sabe distinguir entre una taza de cafe y un donut,simplemente porque una taza de cafe la podemos moldear (imaginemosla de pastilina) hastadarle la forma de un donut. En el proceso, todos los objetos intermedios son el mismo espaciodesde el punto de vista de la Topologıa.

Naturalmente, la Topologıa es mucho mas que eso pero para comprobarlo es necesario aden-trarse en su estudio y en los problemas que aborda. El camino no es facil, exige un cierto esfuerzo.El motivo es que requiere un mayor grado de abstraccion que en otro tipo de matematicas elemen-tales, como el Algebra Lineal o el Calculo. En estos el enfasis esta en la resolucion de problemasespecıficos; los teoremas se pueden considerar a menudo como herramientas para resolver estosproblemas. En un curso basico de Topologıa el interes esta centrado sobretodo en comprenderlas propiedades que puede tener un espacio y las consecuencias que se derivan. Los ejercicios conlos que intentamos familiarizarnos con los nuevos conceptos consisten a menudo en averiguarque propiedades tiene un determinado espacio o bien deducir propiedades de un espacio a partirde otras propiedades ya conocidas.

En todo el texto se toman como sinonimos los terminos aplicacion y funcion. Tambien hemosadoptado el nombre de compacto para espacios que son Hausdorff, que, adems de tener la pro-piedad de que todo recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito. Cuando el espaciono es Hausdorff (o no sabemos si lo es) utilizamos el nombre de casi-compacto

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6 INDICE

Algunas notaciones

⊂ incluido o igualC numeros complejosR numeros realesQ numeros racionalesZ numeros enterosN numeros naturales|a| valor absoluto‖v‖ normal (de un vector)⇒ implica⇔ si, y solo si,∀ para todo∃ existe[a, b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}[a, b) {x ∈ R | a ≤ x < b}(a, b] {x ∈ R | a < x ≤ b}(a, b) {x ∈ R | a < x < b}I [0, 1], intervalo unidadSn {(x1, . . . , xn+1 ∈ Rn+1 | x21 + · · ·+ x2n+1 = 1}En {(x1, . . . , xn ∈ Rn | x21 + · · ·+ x2n ≤ 1}P(X) familia de subconjuntos de Xτd topologıa inducida por una distancia dτg, τdis topologıas burda (o indiscreta, o gruesa), discretaτY topologıa inducida en un subconjunto Y≺, � menos, mas fina (para topologıas)N (x) sistema de entornos de un punto x◦A interior de A

A adherencia de A∂A conjunto frontera de AX/∼ espacio cociente de X por una relacion de equivalencia ∼X/A espacio cociente de X por un subespacio A

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8 INDICE

Capıtulo 1

Espacios metricos

Indicamos el conjunto de los numeros reales por R y por Rn el conjunto de las n-plas denumeros reales:

Rn = {(x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn ∈ R}En este conjunto tenemos definida una distancia que nos proporciona una nocion de proximidadentre los puntos. El conjunto Rn y sus subespacios, junto con la nocion de proximidad, son losejemplos mas importantes de espacios topologicos. Aparte de Rn existen muchos otros conjuntosen los que hay definida una distancia que da lugar a una estructura de espacio topologico. Estosespacios se denominan espacios metricos y a ellos vamos a dedicar este primer capıtulo.

1.1. Definicion

Sea X un conjunto. Una aplicacion d : X ×X → R se llama una distancia o metrica en Xsi cumple las siguientes condiciones

1. d(x, y) ≥ 0, para todo par x, y ∈ X.

2. d(x, y) = 0 si, y solo si, x = y.

3. d(x, y) = d(y, x), para todo par x, y ∈ X.

4. Desigualdad triangular : Para toda terna x, y, z ∈ X, d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

x

y z

Un espacio metrico es un conjunto X junto con una distancia d. Lo indicaremos por (X, d)o simplemente por X si no es necesario recordar cual es la distancia. Sus elementos se llamanpuntos .

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10 1. Espacios metricos

Sea (X, d) un espacio metrico, x un punto de X y r un real positivo. Se llama bola abiertade centro x y radio r al conjunto

BdX(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) < r}.

Si no hay peligro de confusion, escribiremos simplemente B(x, r).

1.2. Ejemplos

Existe una gran variedad de espacios metricos. Veamos ahora unos cuantos ejemplos .

Ejemplo 1.2.1. En Rn se pueden definir muchas distancias. La mas usual es la distanciaeuclidiana d2 que se define como

d2(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn

Otras distancies en Rn son:

d∞(x, y) = max16i6n

|xi − yi|, d1(x, y) =

n∑i=1

|xi − yi|

Bolas de R2 con el mismo radio, respecto d2, d∞ y d1, respectivamente

Ejemplo 1.2.2. En cualquier conjunto X podemos definir la distancia

d(x, y) = 1 si x 6= y, d(x, x) = 0 para todo x.

que se denomina distancia discreta . En este caso las unicas bolas son

B(x, r) = {x} si 0 < r ≤ 1, B(x, r) = X si r > 1

1.2. Ejemplos 11

Ejemplo 1.2.3. En el conjunto C([a, b],R) de todas las funciones continuas de un intervalo[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} en R, se pueden definir diferentes distancias. Dos muy comunes son

d∞(f, g) = sup{|f(x)− g(x)| ; x ∈ [a, b]}, d(f, g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx

En las figuras que siguen hemos considerado las funciones coseno y seno definidas en el intervalo[0, 2π]; la distancia d∞(cos, sin) es la longitud del segmento verde; d(cos, sin) es el area entrelas dos curvas:

Ejemplo 1.2.4. Fijado un numero primo p se define la distancia p-adica en Z, dp, como

dp(x, y) =

{0, si x = y1pn , si x 6= y

donde n es el exponente de p en la descomposicion en factores primos de (x− y). Las bolas decentro x y radio r son

B(x, r) = {x+ pnq | q ∈ R} con n = mın{k | 1

pk< r}

La distancia p-adica cumple, para toda terna x, y, z ∈ Z,

dp(x, z) ≤ max {dp(x, y), dp(y, z)}

que es una propiedad mas fuerte que la desigualdad triangular. Los espacios con esta propiedad sellaman espacios ultrametricos . Los espacios ultrametricos cumplen una propiedad muy curiosa:cualquier punto de una bola abierta es centro de la bola

y ∈ BdX(x, r) ⇒ Bd

X(x, r) = BdX(y, r)


Ejemplo 1.2.5. En todo subconjunto Y de un espacio metrico (X, dX) se puede definir unadistancia poniendo: dY (y1, y2) = dX(y1, y2), para todo y1, y2 ∈ Y . Tenemos

BY (y, r) = BX(y, r) ∩ Y

Se dice que el espacio metrico (Y, dY ) es un subespacio de (X, dX). Si no hay peligro de equivo-cacion, utilizaremos el mismo sımbolo para la distancia de X y la de Y .

Ejemplo 1.2.6. Dados dos espacios metricos (X1, d1) y (X2, d2) se puede definir una distanciaen X1 ×X2, denominada distancia producto , poniendo:

d ((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2), (x1, y1), (x2, y2) ∈ X1 ×X2

Se dice que el espacio metrico (X1×X2, d) es el espacio metrico producto de (X1, d1) y (X2, d2).Observemos que la metrica producto de Rn = Rn−1×R, tomando en Rn−1 y R las distancias

euclidianas, no coincide con la metrica euclidiana de Rn.

Ejercicios.

1. Probad que todas las distancias definidas en los ejemplos cumplen las condiciones de ladefinicion.

2. Sea (X, d) un espacio metrico. Probad que, si la distancia d es ultrametrica, cualquierpunto de una bola abierta es centro de la bola

y ∈ BdX(x, r) ⇒ Bd

X(x, r) = BdX(y, r)

3. Dibujad una bola abierta del espacio producto R3 = R2 × R, tomando en R2 y R lasdistancias euclidianas. Comprobad que no coincide con ninguna bola de R3 con la metricaeuclidiana.

1.3. Abiertos y cerrados de un espacio metrico

Se llama abierto de un espacio metrico (X, d) a todo subconjunto A ⊂ X union de bolasabiertas. Se llama cerrado de un espacio metrico (X, d) a todo subconjunto C cuyo complemen-tario (X − C) sea abierto.

Para probar que un subconjunto A ⊂ X de un espacio metrico X es un abierto es necesarioprobar que todo punto x ∈ A esta contenido en una bola contenida en A. El lema que sigue nospermite considerar solo bolas centradas en x.

Lema 1.3.1. Un subconjunto A ⊂ X es abierto si, y solo si, para todo punto x ∈ A existe unabola abierta de centro x contenida en A: B(x, ε) ⊂ A.

1.3. Abiertos y cerrados de un espacio metrico 13

Demostracion. Si para todo punto x ∈ A existe una bola abierta de centro x contenida en A,A es union de bolas abiertas y, por la definicion de abierto, es un abierto.

Si A es abierto y x ∈ A, existe una bola que contiene x y esta contenida en A. La definicionde abierto no dice que esta bola tenga que estar centrada en x:

x ∈ B(y, r) ⊂ A

Ahora bien, si escogemos ε ≤ r − d(x, y), aplicando la de-sigualdad triangular, tenemos

z ∈ B(x, ε)⇒ d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z) < d(x, y) + ε < r

es decir, B(x, ε) ⊂ B(y, r) ⊂ A.

x

z

A

r

y

Por lo tanto, existe una bola con centro x contenida en A, como querıamos probar. �

Dos distancias, d1 y d2, definidas en el mismo conjunto X pueden dar lugar a los mismosabiertos. Esto pasara siempre que las bolas respecto d1 sean union de bolas respecto d2 y vice-versa. Diremos entonces que las dos distancias son topologicamente equivalentes .

Dos distancias d1, d2 se dice que son numericamente equivalentes, o tambien fuertementeequivalentes, si existen constantes reales c1, c2 > 0 tales que, para todo par de puntos x, y ∈ X

c1 d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2 d1(x, y), es decir,1

c2d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ 1

c1d2(x, y).

La relacion es simetrica.

Ejemplo 1.3.2. Las distancias de Rn definidas en el ejemplo 1.2.1 son numericamente equiva-lentes.

Demostracion. Probaremos que

d2(x, y) ≤√nd∞(x, y) ≤

√nd1(x, y) ≤ nd2(x, y)

Sean x, y ∈ R y designemos por ai = |xi − yi| los valores absolutos de las diferencias de coorde-nadas. Para probar la primera desigualdad observemos que

d2(x, y)2 =∑i

a2i ≤∑i

(max{ai | i})2 = nd∞(x, y)2

La segunda desigualdad es muy inmediata. Para probar la tercera consideremos la siguientesuma de cuadrados, que tiene que ser forzosamente positiva o 0:

0 ≤∑

i

(ai −

∑j ajn

)2=∑

i

(a2i − 2ai

∑j ajn +

(∑j ajn

)2)=∑

i a2i − 2(

∑i ai)

∑j ajn +

∑i

(∑j ajn

)2=∑

i a2i − 2(

∑i ai)

∑j ajn + n

(∑j ajn

)2= d2(x, y)2 − d1(x,y)2

n

�


r

Cuando dos distancias son numericamente equivalentes, ca-da bola respecto una de las distancias contiene una bola conel mismo centro, respecto a la otra distancia.

La figura muestra inclusiones de bolas de R2 respecto lastres distancias que hemos definido en R2.

Proposicion 1.3.3. Dos distancias numericamente equivalentes son tambien topologicamenteequivalentes. El recıproco no es cierto.

Demostracion. Sean d1 y d2 dos distancias numericamente equivalentes en un conjunto X, ysean c1, c2 ∈ R tales que c1 d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2 d1(x, y), para todo x, y ∈ R. Para probarque toda bola Bd1(x, r) es union de bolas respecto d2 consideremos un punto de esta bola,y ∈ Bd1(x, r), y probemos que existe Bd2(y, ε) ⊂ Bd1(x, r). En efecto,

z ∈ Bd2(y, ε)⇒ d1(x, z) ≤ d1(x, y) + d1(y, z) ≤ d1(x, y) +1

c1d2(y, z) < d1(x, y) +

1

c1ε

Por lo tanto, si escogemos ε < c1 (r − d1(x, y)) resulta que d1(x, z) < r para todo z ∈ Bd2(y, ε).Es decir, Bd2(y, ε) ⊂ Bd1(x, r).

Como la relacion es simetrica, tambien es cierto que las bolas respecto a d2 son union debolas respecto d1.

El ejemplo 1.3.4 demuestra que hay distancias que son topologicamente equivalentes pero nonumericamente equivalentes. �

Ejemplo 1.3.4. Consideremos en Rn la distancia

d′(x, y) = mın {d2(x, y), 1} donde d2 es la distancia euclidiana

Las bolas abiertas de radio ≤ 1 son las mismas respecto d′ y respecto d2. Si el radio es mayorque 1, entonces las bolas respecto d′ son todo R. Como cualquier bola, respecto a d′ o respectoa d2, se puede poner como union de bolas de radios < 1 resulta que d′ y d2 son topologicamenteequivalentes. Ahora bien, d′ y d2 no son numericamente equivalentes. En efecto, fijado x, existenpuntos y con d2(x, y) tan grande como se quiera, pero d′(x, y) ≤ 1 siempre y, por tanto, no puedeexistir ninguna constante c tal que d2(x, y) ≤ cd′(x, y) para todos los puntos y.

La union de abiertos es claramente abierta. En cambio, la interseccion de abiertos no tienepor que serlo. Para los cerrados pasa al reves, la union de cerrados no tiene por que ser cerrada,pero la interseccion de cerrados es siempre cerrada. Ahora bien, la interseccion de un numerofinito de abiertos es abierta y la union de un numero finito de cerrados es cerrada.

Ejemplo 1.3.5.⋂nB(x, 1 + 1

n) = {y | d(x, y) ≤ 1} es un cerrado.⋃n{y | d(x, y) ≤ 1 − 1

n} =B(x, 1) es abierto.

1.4. Convergencia 15

Es importante observar que las bolas, y los abiertos y los cerrados, de un subespacio Y deun espacio metrico X pueden no serlo del espacio X.

Ejemplo 1.3.6. Consideremos (0, 1] como subespacio de R con la distancia euclidiana.

(12 , 1] es abierto en (0, 1] pero no en R; y no es cerrado en (0, 1] ni en R.

(0, 12 ] es cerrado en (0, 1] y no en R; y no es abierto ni en (0, 1] ni en R.

(0, 1] es abierto y cerrado en (0, 1] ∪ [2, 3] pero no es ni abierto ni cerrado en R.

Ejercicio. Comprobad que son ciertas todas las afirmaciones hechas en esta seccion.

1.4. Convergencia

Una sucesion (xn) de puntos de un espacio metrico (X, d) se dice que es una sucesion con-vergente, si existe un punto x ∈ X tal que toda bola abierta B(x, ε) contiene todos los terminosde la sucesion a partir de un lugar; es decir, para todo ε ∈ R existe un nε tal que, para todon ≥ nε se tiene xn ∈ B(x, ε). El punto x se llama lımite de la sucesion.

Sea Y un subconjunto de un espacio metrico (X, d). Se dice que un punto x es un punto deacumulacion de Y si toda bola B(x, r) contiene puntos de Y diferentes de x; el punto x puedeser o no de Y .

Ejemplo 1.4.1. R es un espacio metrico en el que la sucesion(1n

)converge a 0.

(0, 1] es un espacio metrico en el que la sucesion(1n

)no converge.

Proposicion 1.4.2. Sea Y un subconjunto de un espacio metrico (X, d). Y es cerrado en X si,y solo si, para toda sucesion (yn) ⊂ Y convergente a un x ∈ X, se cumple x ∈ Y .

Demostracion. Supogamos que Y es cerrado en X y sea (yn) una sucesion de puntos de Yque converge a x ∈ X. Si x /∈ Y , por ser Y cerrado, existe una bola B(x, ε) que no corta Y , enparticular no contiene puntos de (yn), y x no puede ser lımite de la sucesion.

Supongamos que se cumple la condicion del enunciado y sea x /∈ Y . Consideremos las bolasB(x, 1n). Si todas cortan a Y podemos construir una sucesion tomando yn ∈ B(x, 1n)∩Y que serıaconvergente con lımite x /∈ Y , en contra de la hipotesis. Por tanto, existe una bola B(x, 1

N )∩Y =∅. Esto demuestra que X − Y es abierto en X y que Y es cerrado en X. �

Ejercicios.

1. Probad que una sucesion solo puede tener un lımite, como maximo.

2. Estudiad la convergencia de sucesiones en un espacio X con la metrica discreta.


1.5. Aplicaciones continuas

Diremos que una aplicacion f : X → Y entre dos espacios metricos es continua si cumple lassiguientes condiciones equivalentes:

1. Para todo x ∈ X y todo abierto U de Y que contenga a f(x), f(x) ∈ U, existe un abiertoV de X que contiene x, tal que f(x) ∈ f(V ) ⊂ U .

2. Para todo x ∈ X y toda bola B(f(x), ε) existe una bola B(x, δ) con f (B(x, δ)) ⊂B(f(x), ε).

3. Toda sucesion (xn) de X convergente a un punto x, se aplica en una sucesion (f(xn)) deY convergente a f(x).

Proposicion 1.5.1. Las tres condiciones anteriores son equivalentes.

Demostracion. Dejamos la demostracion de 1⇔ 2 como ejercicio.

2 ⇒ 3. Sea (xn) una sucesion de X convergente a x. Para que la sucesion (f(xn)) convergaa f(x) es necesario que para toda bola abierta B(f(x), ε) exista un ındice N tal que, si i ≥ N ,f(xi) ∈ B(f(x), ε).

x

f(x)

B(x, )� B(f(x), )�

X

Y

f

Ahora bien, por 2, existe B(x, δ) con imagen en B(f(x), ε). Por la convergecia de (xn), existeun N tal que, si i ≥ N , xi ∈ B(x, δ) y, por lo tanto, f(xi) ∈ B(f(x), ε).

3 ⇒ 2. Si f no cumple 2, existe un x ∈ X y un radio ε > 0 tales que ninguna bola abiertaB(x, δ) se aplica en B(f(x), ε). Construimos una sucesion de la siguiente forma

xn ∈ B(x,1

n), f(x1) /∈ B(f(x), ε)

Esta sucesion converge a x y la imagen no converge a f(x). Esto contradice la hipotesis; portanto, f debe cumplir 2. �

Ejemplo 1.5.2. Para funciones f : Rn → Rm, esta definicion de continuidad coincide con lausual en Calculo. En particular, todas las funciones definidas por expresiones algebraicas, lasfunciones trigonometricas, las funciones exponencial y logarıtmica, etc, son continuas en susdominios de definicion.

1.5. Aplicaciones continuas 17

Ejemplo 1.5.3. La inclusion ι : Y ↪→ X de un subespacio Y en el espacio del que es subespacioes continua. En efecto, si B es una bola abierta de X, ι−1(B) = B ∩ Y es una bola abierta deY .

Ejemplo 1.5.4. La projeccion π : X1×X2 � X1 de un espacio producto en uno de los espaciosfactores es continua. En efecto, dado un punto (x1, x2) ∈ X1×X2 y una bola BX1(x1, ε), la bola

BX1×X2 ((x1, x2), ε) = {(y1, y2) | dX1(x1, y1) + dX2(x2, y2) < ε}

se aplica por π en BX1(x1, ε).

Ejemplo 1.5.5. La funcion f : [0, 1) → S1 = {(x, y) ∈ R | x2 + y2 = 1} definida por f(t) =(cos(2πt), sin(2πt)) es biyectiva y continua.

f

S1

(1, 0)

0 1)

-1

Ahora bien, la funcion inversa no es continua, ya que la sucesion(xn = n−1

n

)no es conver-

gente en [0, 1) (1 no es del intervalo), pero la sucesion de imagenes converge a (cos(2π), sin(2π)) =(1, 0).

Diremos que una funcion f : X → Y entre dos espacios metricos es un homeomorfismo si esbiyectiva, continua y la inversa tambien es continua. En este caso, se dice que los dos espaciosson homeomorfos, y escribiremos

X ∼= Y

Ejemplo 1.5.6. Las funciones f : (−1,+1)→ R y g : R→ (−1,+1) definidas por

f(x) =x

(1− x2), g(y) =

(−1 +√

1 + 4y2)

2y, g(0) = 0

son continuas y una inversa de la otra, por tanto definen un homeomorfismo:

(−1,+1) ∼= R

−1 +1


Ejemplo 1.5.7. La funcion f : (0,+∞) → R definida por f(x) = ln(x) y la funcion g :R → (0,+∞), g(y) = ey, son continuas y una inversa de la otra. Por lo tanto definen unhomeomorfismo: (0,+∞) ∼= R .

Ejemplo 1.5.8. Consideremos la esfera Sn = {x ∈ Rn+1 | d(0, x) = 1} y sea P := (0, . . . , 0, 1)el polo norte. Para todo x ∈ Sn−{P}, definimos f(x) como el punto interseccion de la semirrectade origen P que pasa por x y el hiperplano de puntos con la ultima coordenada 0. Omitiendo laultima coordenada 0 podemos identificar este hiperplano con Rn. Obtenimos ası una aplicacionf : Sn → Rn

f(x1, . . . , xn+1) =1

1− xn+1(x1, . . . , xn)

La inversa tambien es continua

f−1(y1, . . . , yn) =1

1 + ‖y‖2(2y1, . . . , 2yn, ‖y‖2 − 1)

El homeomorfismo f se denomina proyeccion estereografica de Sn − {P} sobre Rn.

P

x

y

f(x)

f (y)-1

Ejemplo 1.5.9. Se llama toro al espacio producto T = S1 × S1 ⊂ R4. Este espacio es homeo-morfo a la superficie T ⊂ R3 obtenida haciendo girar la circunferencia C = {(x, 0, z) ∈ R3 |(x− 2)2 + z2 = 1} alrededor del eje x = y = 0.

Podemos definir homeomorfismos f : T→ T y f−1 de la siguiente forma

f(cosϕ, sinϕ, x, y) = ((x+ 2) cosϕ, (x+ 2) sinϕ, y)

f−1(x, y, z) =

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

,1

4(x2 + y2 + z2 − 5), z

)

1.6. Espacios metricos compactos 19

Ejercicios.

1. Probad que una funcion f : X → Y es continua si, y solo si, para todo abierto U ⊂ Y laantiimagen f−1(U) es un abierto de X.

2. Averiguad si es cierto que una funcion f : X → Y es continua si, y solo si, para todocerrado F ⊂ Y la antiimagen f−1(F ) es un cerrado de X.

3. Averiguad si la imagen f(V ) de un abierto V ⊂ X por una aplicacion continua f : X → Yes siempre un abierto. Considerar, por ejemplo, la aplicacion f : R2 → R2 definida porf(x, y) = (x, 0).

4. Averiguad si la imagen f(F ) de un cerrado F ⊂ X por una aplicacion continua f : X → Yes siempre un cerrado. Considerar, por ejemplo, la aplicacion f : R2 → R definida porf(x, y) = y, y el conjunto F = {(x, y) ∈ R2 | y = ex}.

5. Sea f : Rn → R una funcion continua. Demostrad que, para todo k ∈ R, el conjunto{x ∈ Rn | f(x) ≤ k} es cerrado.

6. ¿Que aplicaciones f : X → Y entre dos espaicos metricos son continuas cuando X tienela distancia discreta?

1.6. Espacios metricos compactos

Llamaremos recubrimiento de un conjunto X, a una familia de subconjuntos de X, R ={Rj | j}, tal que

⋃j Rj = X. Un subrecubrimiento de R es un recubrimiento de X formado

por conjuntos Rj ∈ R. Si X es un espacio metrico, diremos que un recubrimiento R es abierto(cerrado ) si esta formado por conjuntos abiertos (respectivamente, cerrados).

Un espacio metrico (X, d) se llama compacto si cumple las siguientes condiciones equivalentes

1. Todo recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito.

2. Todo recubrimiento formado por bolas abiertas tiene un subrecubrimiento finito.

3. Toda sucesion (xn) de X tiene una sucesion parcial (xni) convergente.

4. Todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulacion.

Proposicion 1.6.1. Las condiciones anteriores son equivalentes.

Demostracion. 1⇒ 2) . Esta implicacion es clara puesto que las bolas abiertas son abiertos.

2⇒ 1) . Sea A = {Aj | j ∈ J} un recubrimiento abierto. Cada Aj es union de bolas abiertasy el conjunto de todas estas bolas abiertas, para todos los Aj , es un recubrimiento de X. Por2. un numero finito de estas bolas recubren X. Para cada una de ellas escogemos uno de losabiertos Aj que la contenga y obtendremos un conjunto finito de abiertos Aj que recubren X.


2⇒ 3) . Dada una sucesion (xn), consideremos el conjunto de todas las bolas abiertas con-tenidas en los conjuntos Sn = X − {xn, xn+1, . . . }, n ∈ N. La union de un numero finito de losSn es

Sn1 ∪ · · · ∪ Snk= Sm, con m = max{n1, . . . , nk}

y, en particular, no es nunca todo X. Por tanto, la union de un numero finito de bolas contenidasen estos conjuntos tampoco puede ser nunca todo X. Por 2, esto implica que la union de todaslas bolas contenidas en los Sn no recubren X. Sea x un punt no contenido en ninguna de lasbolas contenidas en un Sn. En otras palabras, todas las bolas que contienen a x tienen puntosfuera de todos los Sn. (Observad que x sı podrıa estar en todos los Sn.)

Escogemos ahora puntos xnj de la siguiente forma:

xn1 ∈ B(x, 1)− S1 = B(x, 1) ∩ {x1, x2, . . . },xn2 ∈ B(x, 12)− Sn1+1 = B(x, 12) ∩ {xn1+1, xn1+2, . . . }, . . .

y en general, xnj ∈ B(x, 1j ) ∩ {xnj−1+1, . . . }.La sucesion (xnj ) converge a x y es una parcial de (xn).

x

xnj

3⇔ 4) son claramente equivalentes.

3⇒ 1) . Para demostrar esta implicacion necesitemos el siguiente lema:

Lema 1.6.2. de Lebesgue Sea (X, d) un espacio metrico en el que toda sucesion tiene unaparcial convergente. Entonces, para todo conjunto de abiertos A = {Aj | j ∈ J} que recubrantodo el espacio: X =

⋃j∈J Aj, hay un numero real positivo δ, que se llama numero de Lebesgue

de A, tal que todas las bolas abiertas de radio δ estan contenidas en alguno de los abiertos Aj.

Demostracion. (del lema) Demostraremos el recıproco: si no existe un numero de Lebesgue,entonces podemos construir una sucesion que no tiene ninguna parcial convergente.

En efecto, supongamos que no existiera este numero de Lebesgue δ. Significarıa que, paratodo δ existirıa una bola con este radio no contenida en ningun abierto Aj . En particular,podemos escoger puntos xn tales que las bolas B(xn,

1n) no pertenecen a ningun Aj .

Supongamos que existe una parcial (xni) de (xn) convergente a un punto x ∈ X. Escogemosun abierto del recubrimiento que contenga este lımite x ∈ Ak. Por ser Ak abierto, existe unabola con centro x contenida en Ak: x ∈ B(x, ε) ⊂ Ak.

Ak

�/2�/2

�/2�/2

� xnix

1.6. Espacios metricos compactos 21

A partir de un cierto lugar xnN , los terminos de la sucesion parcial estan en la bola abiertaxni ∈ B(x, ε2), para ni ≥ nN . Escogemos un ni0 > nN suficientemente grande para que 1

ni0< ε

2 .

Entonces, para todo ni ≥ ni0 ,

B(xni ,1

ni) ⊂ B(xni ,

ε

2) ⊂ B(x, ε) ⊂ Ak,

en contra de la condicion impuesta al escoger los xn. Por lo tanto, si no existe numero deLebesgue δ, la sucesion no tienen ninguna parcial convergente. �

Continuemos con la demostracion de que 3 ⇒ 1. Supongamos que X cumple 3. Por el lema,dado un conjunto de abiertos A = {Aj | j} tales que X =

⋃j Aj , existe un numero de Lebesgue

δ. Escogemos sucesivamente puntos xn y abiertos de A de la siguiente forma:

x1 ∈ B(x1, δ) ⊂ Aj1 ,x2 6∈ Aj1 , x2 ∈ B(x2, δ) ⊂ Aj2 ,x3 6∈ Aj1 ∪Aj2 , x3 ∈ B(x3, δ) ⊂ Aj3 , ...

y, en general, siempre que X − (Aj1 ∪ · · · ∪Ajn−1) 6= ∅,

xn 6∈ Aj1 ∪ · · · ∪Ajn−1 , xn ∈ B(xn, δ) ⊂ Ajn .

Si ninguna union finita de abiertos de A recubre X, el proceso puede continuar indefinidamentey obtindrıamos una sucesion (xn) tal que, d(xi, xj) > δ, para todo par i, j. Esta sucesion nopuede tener ninguna parcial convergente en contra de 3. Por tanto X tiene que ser union finitade abiertos de A. �

Ejemplo 1.6.3. R no es compacto ya que la sucesion (1, 2, 3, . . . ) no tiene ninguna parcialconvergente. Ninguno de los espacios Rn es compacto.

Ejemplo 1.6.4. El espacio (0, 1] no es compacto porque la sucesion (1, 12 ,13 , . . . ) no tiene ninguna

parcial convergente. De la misma manera, todos los intervalos semi-abiertos (a, b] y los intervalosabiertos (a, b) no son compactos.

Proposicion 1.6.5. Los intervalos cerrados [a, b] ⊂ R son compactos.

Demostracion. Sea A = {Aj}j un conjunto de intervalos abiertos de [a, b] tales que [a, b] =⋃j Aj . Sean Bj intervalos abiertos de R tales que Aj = Bj ∩ [a, b]. Consideremos el conjunto

S = {x ∈ [a, b] | [a, x] puede ser recubierto por un numero finito de los Aj }.

S no es vacıo ya que a ∈ S. Por otra parte, si c ∈ S se tiene [a, c] ⊂ S.S es un conjunto acotado de reales y, por tanto, existe un supremo: supS = d. La demostra-

cion consiste en ver que d = b. En efecto, escogemos un Ak que contenga d

d ∈ Ak = Bk ∩ [a, b]

Si d < b , existe un ε > 0 suficientemente pequeno tal que d ∈ (d− ε, d+ ε) ⊂ Bk y d+ ε < b.


( )[ ]| |

a c d

d - � d + �

b

Por ser d el supremo de S, existe un c ∈ S , d − ε < c ≤ d . Esto significa que hay unnumero finito de los Aj que recubren [a, c]. Estos, junto con Ak, recubriran [a, d + ε

2 ] ⊂ [a, b].Esto contradice que d sea el supremo de S. Por tanto, tiene que ser d = b. �

Proposicion 1.6.6. Todo subespacio cerrado Y de un espacio metrico compacto X, es tambiencompacto.

Demostracion. Sea (yn) una sucesion de Y . (yn) tambien es una sucesion de X y, por tanto,tiene una parcial (ynj ) que converge a un punt x ∈ X. Por ser Y cerrado en X, x ∈ Y (1.4.2).�

Proposicion 1.6.7. Si (X, dX) y (Y, dY ) son espacios metricos compactos, el espacio metrico(X × Y, dX × dY ) tambien es compacto. En particular, los cubos [0, 1]n son compactos.

Demostracion. Sea ((xn, yn)) una sucesion de X×Y . Por ser X compacto, existe una sucesionparcial (xnj ) convergente a un punto x ∈ X.

Consideremos ahora la sucesion (ynj ) de Y . Por ser Y compacto existe una parcial conver-gente (ynk

) a un y ∈ Y . La sucesion ((xnk, ynk

)) converge a (x, y). �

Un espacio metrico X se llama acotado si esta contenido en una bola.

Teorema 1.6.8 (de Heine-Borel). Un subespacio X ⊂ Rn es compacto si, y solo si, es cerradoy acotado.

Demostracion. Supongamos que X es compacto. Vamos a probar que el complementario esabierto. Sea y /∈ X. Si todas las bolas B(y, 1n), n ∈ N, cortan a X, podemos escoger puntosyn ∈ B(y, 1n) ∩X para formar una sucesion (yn) de X con lımite y. Por ser X compacto, (yn)tiene una parcial convergente a un punto x ∈ X. Esto no es posible ya que todas las parcialesde (yn) convergen a y /∈ X y en un espacio metrico el lımite, de existir, es unico.

Para ver que X es acotado escogemos un punto x ∈ X y consideremos el conjunto de lasbolas B(x, n), para todo entero positivo n. Por ser X compacto un numero finito de ellas recubreX y, en particular, la de radio mayor contiene a X. Ası pues, X es acotado.

Supongamos ahora X cerrado y acotado. Entonces X esta contenido en una bola X ⊂B(x, r) ⊂ [−r,+r]n. En particular, X es un cerrado del compacto [−r, r]n y, por la Proposicion1.6.6, X es compacto. �

Ejercicio. Probad los pasos que faltan en la demostracion de la equivalencia de las condi-ciones para que un espacio metrico sea compacto.

Capıtulo 2

Espacios topologicos

Los espacios metricos que hemos estudiado en el capıtulo anterior son una generalizacionde los espacios euclidianos Rn. En los dos casos, la distancia juega un papel importante en lasdefiniciones de convergencia, de continuidad y de compacidad, pero todos estos conceptos puedenser definidos tambien a partir de los abiertos. Es mas, de hecho estos conceptos dependen mas delos abiertos del espacio que de la propia distancia. En efecto, si dos distancies son equivalentes, esdecir, dan lugar a los mismos abiertos, las nociones de convergencia, continuidad y compacidadcoinciden.

Un espacio topologico es un conjunto con unos subconjuntos que se denominan abiertos yque se comportan de forma similar a los abiertos de los espacios metricos. Esto no solo permiteaplicar los resultados topologicos a espacios que no son metricos, sino tambien a espacios en losque la definicion de una metrica serıa laboriosa e innecesaria.

2.1. Definicion y ejemplos

Sea X un conjunto. Designaremos por P(X) la familia de todos los subconjuntos de X y, enparticular, el vacıo ∅, y el conjunto total X. Una topologıa en X es una familia de subconjuntosde X, τ ⊂ P(X), que cumple

(T1) ∅, X ∈ τ

(T2) Si U1, . . . , Uk ∈ τ , tambien U1 ∩ · · · ∩ Uk ∈ τ .

(T3) Si Uj ∈ τ para todo j ∈ J , J familia arbitraria de ındices, entonces⋃j∈J Uj ∈ τ .

Observad que para probar (T2) es suficiente probar el caso k = 2.

Un espacio topologico (X, τ) es un conjunto X junto con una topologıa τ en X. Los elementosde τ se llaman abiertos; los elementos de X se llaman puntos.

Un subconjunto C de un espacio topologico (X, τ) (es decir, un subconjunto C ⊂ X) se llamacerrado si el complementario es abierto: X − C ∈ τ . Obviamente, dar la familia de cerrados Cde un espacio topologico (X, τ) equivale a dar la familia de abiertos τ .

23

24 2. Espacios topologicos

Proposicion 2.1.1. Una familia de subconjuntos C de un conjunto X es la familia de loscerrados de una topologıa de X si, y solo si, C cumple

(T1’) X, ∅ ∈ C

(T2’) Si C1, . . . , Ck ∈ C , tambien C1 ∪ · · · ∪ Ck ∈ C.

(T3’) Si Cj ∈ C para todo j ∈ J , J familia de ındices arbitraria, entonces⋂j∈J Cj ∈ C.

Demostracion. Resulta facilmente del hecho que la union de complementarios de una familiade subconjuntos es el complementario de la interseccion, y la interseccion de complementarioses el complementario de la union:⋃

i

(X −Ai) = X −⋂i

Ai,⋂i

(X −Ai) = X −⋃i

Ai.

�

Ejemplo 2.1.2. Los abiertos de un espacio metrico (X, d) definen una topologıa τd en X.Distancias topologicamente equivalentes definen la misma topologıa.

Sean τ1, τ2 dos topologıas en un conjunto X. Si τ1 ⊂ τ2 se dice que τ2 es mas fina que τ1, oque τ1 es menos fina que τ2. Se suele indicar por τ1 ≺ τ2.

Ejemplo 2.1.3. En un conjunto X cualquiera podemos definir las siguientes topologıas:

Topologıa indiscreta o burda : τg = {∅, X}.

Topologıa discreta : τdis = P(X).

Para cualquier topologıa τ en X tenemos: τg ≺ τ ≺ τdis.

En los espacios metricos, la topologıa discreta coincide con la topologıa asociada a la distanciadiscreta. En cambio, no existe ninguna distancia que de lugar a la topologıa burda.

Ejemplo 2.1.4. Topologıa de los complementarios finitos :

τcf = {U ⊂ X |X − U finito} ∪ {∅}

Topologıa de los complementarios numerables

τcn = {U ⊂ X |X − U numerable} ∪ {∅}

Topologıa del punto p ∈ X excluido

τpe = {U ⊂ X | p 6∈ U o U = X}

2.2. Bases y subbases 25

Topologıa del punto particular p ∈ X

τp = {U ⊂ X | p ∈ U o U = ∅}

Topologıa inducida en un subconjunto Y de un espacio topologico (X, τ)

τY = {U ∩ Y para todo U ∈ τ}

A (Y, τY ) se le denomina subespacio topologico de (X, τ).

Ejercicios.

1. Demostrad que todas las topologıas definidas en esta seccion cumplen las condicionesexigidas en la definicion de topologıa. En particular, probad que la familia de abiertos deun espacio metrico es una topologıa.

2. Escribid los detalles de la demostracion de la Proposicion 2.1.1.

3. Probad que, si X tiene mas de un punto, ninguna distancia puede dar lugar a la topologıaburda.

4. Probad que si A es un abierto del espacio topologico (X, τ), todo abierto de A es tambienabierto de X.

5. Probad que si F es un cerrado del espacio topologico (X, τ), todo cerrado de F es tambiencerrado de X.

2.2. Bases y subbases

A menudo, para definir una topologıa en un conjunto X, no se da la familia τ de todoslos abiertos, sino que se da solo una subfamilia β y se construyen los abiertos U ∈ τ comolas uniones de conjuntos de β. Es el caso de las bolas en los espacios metricos. Otro ejemplointeresante es el de la topologıa producto.

Ejemplo 2.2.1. Sean (Xi, τi), i = 1, 2, dos espacios topologicos. Una manera natural de defi-nir una topologıa en el conjunto producto serıa tomar como abiertos productos cartesianos deabiertos de los dos espacios:

bX = {U1 × U2 con U1 ∈ τ1, U2 ∈ τ2}.

Ahora bien, esta familia no es una topologıa ya que, aunque que cumple (T1) y (T2), no cumple(T3), es decir, la union de conjuntos de bX puede no ser de bX . La topologıa producto es la familiade uniones de conjuntos de bX .


Se llama base de la topologıa τ de un espacio (X, τ) a una familia de abiertos β ⊂ τ tal quetodo abierto U ∈ τ es union de abiertos de β.

Se plantean ahora dos cuestiones. Primera: dada una subfamilia β ⊂ τ de la topologıa de unespacio (X, τ), ¿ como podemos comprobar facilmente si β es base de τ ? Segunda: dada unafamilia β de subconjuntos de un conjunto X, ¿ como podemos comprobar facilmente si β es basede alguna topologıa de X ? Las dos proposiciones que siguen responden a estas cuestiones.

Proposicion 2.2.2. Sea (X, τ) un espacio topologico. Una subfamilia β ⊂ τ es base de τ si, ysolo si,

(i) ∅ ∈ β.

(ii) Para todo x ∈ U con U ∈ τ , existe un B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ U .

Proposicion 2.2.3. Sea X un conjunto. Una familia de subconjuntos de X, β ⊂ P(X), es basede una topologıa de X si, y solo si,

(B1) ∅ ∈ β.

(B2) Todo x ∈ X esta en un B ∈ β: x ∈ B.

(B3) Para todo x ∈ B1 ∩B2 con B1, B2 ∈ β, existe un B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Dejamos las dos demostraciones como ejercicios.

Un subconjunto S ⊂ τ de una topologıa τ , se llama una subbase de τ si todo abierto U ∈ τes union de intersecciones finitas de abiertos de S.

Proposicion 2.2.4. Sea (X, τ) un espacio topologico. Una subfamilia S ⊂ τ es subbase de τ si,y solo si,

(i) Alguna de las intersecciones finitas de elementos de S es vacıa.

(ii) Para todo x ∈ U ∈ τ existe un numero finito S1, . . . , Sk ∈ S tal que x ∈ S1 ∩ · · · ∩ Sk ⊂ U.

Proposicion 2.2.5. Sea X un conjunto. Una familia S de subconjuntos de X es subbase dealguna topologıa de X si, y solo si,

(i) Alguna de las intersecciones finitas de elementos de S es vacıa.

(ii) Para todo x ∈ X existe un S ∈ S que lo contiene: x ∈ S.

Cualquier subconjunto S ⊂ P(X), eventualmente junto con ∅ y X, es subbase de algunatopologıa τ de X. Las subbases aparecen de manera natural cuando se quiere dotar un conjuntoX de una topologıa en la que interesa que ciertos subconjuntos sean abiertos.

Proposicion 2.2.6. Sean β1, β2 bases de las topologıas τ1, τ2 en X respectivamente. Entonces

τ1 ≺ τ2 ⇔ ∀ p ∈ B1 ∈ β1, existe B2 ∈ β2 tal que p ∈ B2 ⊂ B1

Dejamos la demostracion como ejercicio.

2.3. Entornos. Axiomas de numerabilidad 27

Ejercicios.

1. Demostrad todas las proposiciones enunciadas en esta seccion.

2. En un espacio metrico las bolas abiertas forman una base de la topologıa. Probad quelas bolas abiertas de radios 1/n, para todo entero n positivo, tambien son una base de latopologıa.

3. Probad que en Rn, con la distancia euclidiana, las bolas B(x, q) con radio racional, q ∈ Q,y centradas en puntos de coordenadas racionales, x ∈ Qn, forman una base.

4. Probad que las semirrectas (a,+∞) y (−∞, b), variando a, b ∈ R, forman una subbase dela topologıa euclidiana de RProbad que, en general, los semiespacios

Hk,>1/n = {(x1, . . . , xn) | xk > 1/n}, Hk,<1/n = {(x1, . . . , xn) | xk < 1/n}

para todas las coordenadas k-esimes y todo entero positivo n, es una subbase de Rn (conla topologıa euclidiana).

5. Probad que, para cualquier conjunto X, el conjunto de los subconjuntos del tipo X−{x},para todo x ∈ X, es una subbase de la topologıa de los complementarios finitos.

2.3. Entornos. Axiomas de numerabilidad

Sea (X, τ) un espacio topologico. Se dice que un conjunto N es un entorno de un puntox ∈ X, si existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ N . Un entorno no es necesariamente abierto.

x

U

N

Se llama sistema de entornos de x al conjunto de entornos de x y lo denotaremos por N (x).

Una base de entornos de x es un subconjunto βx ⊂ N (x) tal que todo entorno x ∈ N ∈ N (x)contiene un B ∈ βx: x ∈ B ⊂ N .

Ejemplo 2.3.1. En un espacio metrico, las bolas {B(x, 1n) |n ∈ N } forman una base de entornosde x.

Se dice que un espacio topologico (X, τ) cumple el primer axioma de numerabilidad si todopunto tiene una base de entornos numerable. En particular, todos los espacios metricos cumplenel primer axioma de numerabilidad (ejemplo 2.3.1).


Proposicion 2.3.2. Si un punto x de un espacio topologico tiene una base de entornos nume-rable, entonces tiene una base de entornos abiertos {Bn | n ∈ N} tal que

B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bn−1 ⊃ Bn ⊃ Bn+1 ⊃ · · · 3 x

Demostracion. Sea {Nn | n ∈ N} una base numerable de entornos de x. Por ser los Nj entornos,existen abiertos Uj con x ∈ Uj ⊂ Nj . Definimos Bn = U1 ∩ · · · ∩ Un. �

Se dice que un espacio topologico (X, τ) cumple el segundo axioma de numerabilidad si tieneuna base β (de la topologıa) numerable.

Ejemplo 2.3.3. En Rn con la topologıa euclidiana, las bolas B(x, q) con centro x ∈ Qn y radioq ∈ Q, forman una base de abiertos numerable. Por tanto, Rn cumple el segundo axioma denumerabilidad.

Proposicion 2.3.4. Si el espacio topologico (X, τ) cumple el segundo axioma de numerabilidad,entonces (X, τ) tambien cumple el primer axioma de numerabilidad.

Demostracion. Los abiertos de una base numerable β de la topologıa que contienen un ciertopunto x forman una base de entornos numerable de x. �

El recıproco no es cierto como demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.5. Cualquier base β de un espacio (X, τdis) con la topologıa discreta tiene quecontener los conjuntos formados por un solo punto:

{ {x}, para todo x ∈ X} ⊂ β

Si X no es numerable, ninguna base puede ser numerable. En cambio, el conjunto formado porel unico conjunto {x} es una base de entornos de x y, por tanto, X cumple el primer axioma denumerabilidad.

Un punto de un subespacio a ∈ A ⊂ X es un punto aislado de A si tiene un entorno N enX tal que N ∩A = {a}.

Un punto de un subespacio a ∈ X es un punto de acumulacion de A ⊂ X si todo sus entornosN en X cortan A en algun punto diferente de a (si es que a ∈ A).

Observad que para ver si un punto es aislado o de acumulacion solo es necesario comprobar lacondicion correspondiente para los entornos abiertos, o mas general, para una base de entornos.

Ejercicios

1. Escribid con detalle las demostraciones de las afirmaciones contenidas en los ejemplos deesta seccion.

2. Averiguad en que condiciones un conjunto X con la topologıa de los complementariosfinitos cumple el primer axioma de numerabilidad.

2.4. Interiores, adherencias, etc. 29

3. Averiguad en que condiciones un conjunto X con la topologıa del punto particular cumpleel primer axioma de numerabilidad y en que condiciones cumple el segundo axioma.

4. Sea Y un subespacio de un espacio topologico X. Averiguad si el que X cumpla alguno delos axiomas de numerabilidad implica que Y tambien lo cumpla. Y recıprocamente, averi-guad si el que Y cumpla alguno de los axiomas de numerabilidad implica que X tambienlo cumpla. (Para las afirmaciones positivas dar una demostracion; para las negativas uncontraejemplo).

2.4. Interiores, adherencias, etc.

Sea A ⊂ X un subconjunto de un espacio topologico (X, τ).

Se denomina interior de A a la union de todos los abiertos contenidos en A. Se designa por◦A y es el “mayor” abierto contenido en A, en el sentido de que cualquier otro abierto contenido

en A esta contenido en◦A. Un punto x ∈

◦A se llama punto interior de A.

Se denomina adherencia de A a la interseccion de todos los cerrados que contienen a A. Sedesigna por A y es el “menor” cerrado que contiene a A, en el sentido de que cualquier otrocerrado que contenga a A, contiene tambien a A. Un punto x ∈ A se llama punto adherente deA.

El conjunto ∂(A) = A−◦A se denomina frontera de A.

Ejemplo 2.4.1. En R con la topologıa euclidiana,

◦[a, b] =

◦[a, b) =

◦(a, b] =

◦(a, b) = (a, b), [a, b] = [a, b) = (a, b] = (a, b) = [a, b]

Ejemplo 2.4.2. En R con la topologıa de los complementarios finitos,

◦(a, b) = ∅, (a, b) = R

Ejemplo 2.4.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces, para cualquier bola abierta B(x, r),

◦B(x, r) = B(x, r), B(x, r) ⊂ Bc(x, r) = { y ∈ Rn | d(x, y) ≤ r },

El conjunto Bc(x, r) se denomina bola cerrada de centro x y radio r, y es siempre un conjuntocerrado, pero no es siempre la adherencia de B(x, r), puede ser mayor. Por ejemplo, si (X, ddis)es un espacio con mas de un punto y con la metrica discreta, todos los subconjuntos son abiertosy cerrados, y

◦B(x, 1) = B(x, 1) = {x}, B(x, 1) = B(x, 1) = {x} ⊂

6=Bc(x, 1) = X


Proposicion 2.4.4. Sea (X, τ) un espacio topologico y sea x ∈ X, A ⊂ X.

1. x ∈ A si, y solo si, todo abierto U con x ∈ U corta a A: U ∩A 6= ∅.

2. x ∈◦A si, y solo si, existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ A.

Dejamos la demostracion como ejercicio.

Proposicion 2.4.5. Sean A, B y Aj, j ∈ J , subconjuntos de un espacio topologico (X, τ).

1. A ∪B = A∪B. En el caso infinito, siempre es cierto que⋃j Aj ⊂

⋃j Aj, pero la inclusion

puede ser estricta.

2. A ∩B ⊂ A ∩ B; la inclusion puede ser estricta. La inclusion tambien vale para familiasno finitas.

3.◦A ∪

◦B⊂

◦(A ∪B); la inclusion puede ser estricta. La inclusion tambien vale para familias

no finitas.

4.◦A ∩

◦B=

◦(A ∩B). En el cas infinito, siempre es cierto que

◦(⋂j Aj)⊂

⋂j

◦Aj pero la inclusion

puede ser estricta.

5. X−◦A= X −A, X −A =

◦(X −A), ∂A = A ∩X −A.

Demostracion.

1. Para todo subındice j, Aj ⊂⋃j Aj y Aj ⊂

⋃j Aj . Por tanto

⋃j Aj ⊂

⋃j Aj .

La inclusion en el otro sentido no funciona en el siguiente ejemplo: Consideremos R con latopologıa euclidiana y los conjuntos cerrados Aj = [−1 + 1

j , 1−1j ], con j ∈ N. Tenemos⋃

j

Aj =⋃j

Aj = (−1, 1) ⊂6=

[−1, 1] =⋃j

Aj

En el caso de dos conjuntos, como A∪B ⊂ A∪B y este segundo subconjunto es cerrado,A ∪B ⊂ A ∪B.

2. A ∩ B esta contenido en A y en B; por tanto A ∩B esta contenido en A y en B. Estodemuestra la inclusion A ∩B ⊂ A∩B. Ahora bien, tomando, por ejemplo, los subespaciosA = [0, 1) y B = (1, 2] de la recta R, tenemos que

A ∩B = A ∩B = ∅ ⊂6=A ∩B = {1}.

Por lo tanto, no es cierta la igualdad.

3. A y B estan contenidos en A∪B; por tanto◦A,

◦B ⊂

◦A ∪B y

◦A∪

◦B ⊂

◦A ∪B. Para probar

que la inclusion puede ser estricta, podemos tomar A = [0, 1) y B = [1, 2]. Entonces,

◦A ∪

◦B= (0, 1) ∪ (1, 2) ⊂

6=

◦(A ∪B)= (0, 2)

2.4. Interiores, adherencias, etc. 31

4. Para todo k,⋂j Aj ⊂ Ak; por tanto,

◦⋂j Aj ⊂

⋂k

◦Ak.

Cuando la familia no es finita, la interseccion⋂j

◦A puede no ser abierta y, entonces,

no puede coincidir con◦

(⋂j Aj). Por ejemplo, en R con la topologıa euclidiana, si Aj =

(−1− 1j , 1 + 1

j ),

◦⋂j

Aj =◦

[−1,+1] = (−1,+1) ⊂6=

⋂j

◦Aj =

⋂j

Aj = [−1,+1]

5.

x ∈ X −◦A⇔ x /∈

◦A ⇔ ∀ U abierto x ∈ U, se tiene U 6⊂ A⇔ ∀ U abierto x ∈ U, se tiene U ∩ (X −A) 6= ∅ ⇔ x ∈ X −A

x ∈ X −A⇔ x /∈ A ⇔ ∃ U abierto x ∈ U, tal que U ∩A = ∅

⇔ ∃ U abierto x ∈ U, tal que x ∈ U ⊂ X −A⇔ x ∈◦

(X −A)

∂A = A−◦A = A ∩ (X −

◦A) = A ∩X −A

�

Un subespacio A ⊂ X se dice que es denso si A = X o, equivalentemente, si todo abierto deX corta a A.

Un espacio topologico se llama separable si tiene un subconjunto denso numerable.

Ejemplo 2.4.6. Rn es separable ya que el subconjunto Qn es denso y numerable.

Ejercicios.

1. Justificad las afirmaciones de que el interior de un subconjunto es un abierto, y de que laadherencia de un subconjunto es un cerrado.

2. Probad que la frontera ∂A es un cerrado.

3. Escribid el detalle de las demostraciones de las afirmaciones que se hacen en los dos pri-meros ejemplos de esta seccion.

4. Probad la Proposicion 2.4.4.

5. Probad que en Rn con la topologıa euclidiana la adherencia de la bola abierta B(x, r) esB(x, r) = { y ∈ X | d(x, y) ≤ r }.


2.5. Aplicaciones continuas

Una aplicacion f : X → Y entre dos espacios topologicos (X, τX) y (Y, τY ), se dice que escontinua si las antiimagenes de los abiertos son abiertas. Es decir, para todo U ∈ τY , tenemosf−1(U) ∈ τX .

Ejemplo 2.5.1. Sean τ1, τ2 dos topologıas en X y Id : (X, τ1)→ (X, τ2) la aplicacion identidad:Id(x) = x para todo x ∈ X. La aplicacion Id es continua si, y solo si, τ1 � τ2.

Ejemplo 2.5.2. Sea f : (X1, d1) → (X2, d2) una funcion entre dos espacios metricos. f escontinua respecto la metrica si, y solo si, es continua respecto las topologıas asociadas.

Una aplicacion f : X → Y entre dos espacios topologicos (X, τX) y (Y, τY ), se dice que escontinua en un punto x ∈ X si la antiimagen de cualquier entorno de f(x), es un entorno de x.Es decir, para todo f(x) ∈ N ∈ Nf(x) existe un abierto U ∈ Nx tal que x ∈ U ⊂ f−1(N).

Proposicion 2.5.3. Sea f : X → Y una aplicacion entre dos espacios topologicos (X, τX) y(Y, τY ). Sean βY y SY una base y subbase, respectivamente, de τY . Las siguientes condicionesson equivalentes:

1. f es continua.

2. f es continua en todo x ∈ X.

3. Para todo cerrado C ⊂ Y , la antiimagen f−1(C) es un cerrado en X.

4. Para todo U ∈ βY , la antiimagen es un abierto: f−1(U) ∈ τX .

5. Para todo U ∈ SY , la antiimagen es un abierto: f−1(U) ∈ τX .

Demostracion. 1⇒ 2). Sea x ∈ X y un entorno N ∈ N (f(x)). Por la definicion de entorno

∃ V abierto, f(x) ∈ V ⊂ N ⇒ x ∈ f−1(V )

Por ser f continua, f−1(V ) es un abierto y, por lo tanto, es un entorno de x que se aplica en N .Esto demuestra que f es continua en x.

2⇒ 1). Dado U ∈ τY , para ver que la antiimagen f−1(U) es abierta, veremos que todo x ∈f−1(U) esta en un abierto contenido en f−1(U). En efecto, tenemos f(x) ∈ U y U es un entornoabierto de f(x). Por 2, existe un entorno M de x tal que f(M) ⊂ U . Por la definicion de entorno,existe un abierto V que contiene a x y esta contenido en M , por tanto, x ∈ V ⊂M ⊂ f−1(U).

2.5. Aplicaciones continuas 33

X

f(x)M

V

Uf (U)-1

f(V)

1⇔ 3). Sea C un cerrado arbitrario y, por tanto, X − C un abierto arbitrario. Entonces,

f−1(C) cerrado ⇔ X − f−1(C) = f−1(Y − C) abierto

Es decir, la antiimagen de todo cerrado es cerrada si, y solo si, la antiimagen de todo abierto esabierta.

1⇒ 4 y 1⇒ 5 ) son inmediatas a partir de la definicion de continuidad, ya que βY , SY ⊂ τY .

4⇒ 1). Sea U ∈ τY . Entonces,

U =⋃j

Bj , Bj ∈ βY , ∀ j ⇒ f−1(U) =⋃j

f−1(Bj) ∈ τX

ya que todos los f−1(Bj) son abiertos, por 4.

5 ⇒ 1). Sea U ∈ τY . Que SY sea subbase significa que U es union de intersecciones de unnumero finito de conjuntos de SY :

U =⋃j

Bj , Bj =

nj⋂i=1

Sj,i, Sj,i ∈ SY , ∀ j

Entonces,

f−1(U) =⋃j

f−1(Bj) =⋃j

( nj⋂i=1

f−1(Sj,i)

)∈ τX

ya que todos los f−1(Sj,i) son abiertos, por 5. �

Proposicion 2.5.4. La composicion de aplicaciones continuas es continua.

Ejercicios.

1. Escribid el detalle de los ejemplos de esta seccion.



2.6. Homeomorfismos. Aplicaciones abiertas y cerradas

Un homeomorfismo es una aplicacion biyectiva continua tal que la inversa tambien es conti-nua.

Proposicion 2.6.1. Sea f : (X, τX)→ (Y, τY ) continua y biyectiva. f−1 es continua si, y solosi, las imagenes por f de los abiertos son abiertas: U ∈ τX implica f(U) ∈ τY .

Demostracion. Por ser f biyectiva, para todo U , f(U) =(f−1

)−1(U). Por tanto, el que f

transforme abiertos en abiertos equivale a que la antiimagen por f−1 de cualquier abierto seaun abierto, es decir, que f−1 sea continua. �

Dos espacios topologicos X, Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo de uno en el

otro. Escribiremos entonces X ∼= Y o Xf∼= Y , si queremos indicar que f es un homeomorfismo

entre estos espacios.

Si f es un homeomorfismo, existe una biyeccion entre los abiertos deX y los de Y que preservauniones, intersecciones, etc. y que hace que los dos espacios tengan las mismas propiedades quedependan exclusivamente de los abiertos. Se dice que una propiedad de un espacio topologico Xes una propiedad topologica si se conserva por homeomorfismos. Es decir, la propiedad es ciertapara todos los espacios homeomorfos a X.

Una aplicacion se llama abierta si la imagen de un abierto es siempre abierta. Una aplicacionse llama cerrada si la imagen de un cerrado es siempre cerrada. Los homeomorfismos son abiertosy cerrados.

Ejemplo 2.6.2. La aplicacion exponencial p : R→ S1, definida por p(t) = e2πt = (cos 2πt, sin 2πt),es continua, abierta y cerrada, pero no es un homeomorfismo, porque no es biyectiva.

La restriccion de la exponencial a [0, 1] es continua y cerrada pero no abierta. En efecto,[0, 12) es un abierto de [0, 1] pero p([0, 12)) no es un abierto de S1.

| |)

1½0

S1

Proposicion 2.6.3. Sea X1 × X2 el producto de dos espacios tolpologicos, con la topologıaproducto. Las proyecciones pj : X1 ×X2 → Xj, pj(x1, x2) = xj, j = 1, 2, son abiertas.

2.7. Funciones definidas a trozos 35

Demostracion. Solo es necesario demostrar que las imagenes de los abiertos de una base β sonabiertas. En efecto, todo abierto U es union de abiertos de la base, U =

⋃j Bj , Bj ∈ β, y, por

tanto, f(U) =⋃j f(Bj) es union de abiertos.

Los abiertos U1 × U2, con Uj abierto de Xj , forman una base de X1 × X2. Sus imagenespj(U1 × U2) = Uj son abiertos de Xj . �

Ejemplos de homeomorfismos son todos los que vimos para espacios metricos. Veremos mascuando estudiemos la construccion de nuevos espacios a partir de unos conocidos.

2.7. Funciones definidas a trozos

A menudo se define una funcion explicitando las restricciones a diferentes conjuntos querecubren el espacio. Si todas estas restricciones son continuas, ¿ podemos asegurar que la funciones continua? La respuesta es que no.

Ejemplo 2.7.1. La aplicacion f : R→ R, definida por f(x) = 0 si x ≤ 0, y f(x) = 1 si x > 0,no es continua. En cambio, las restricciones a los intervalos (−∞, 0] y (0,∞) son continuas.

Si X =⋃j Aj es dice que {Aj}j es un recubrimiento de X. Un recubrimiento abierto es

un recubrimiento por conjuntos abiertos. Un recubrimiento cerrado es un recubrimiento porconjuntos cerrados.

En esta seccion vamos a deducir, bajo ciertas condiciones, la continuidad de una aplicacionde la continuidad de las restricciones a los conjuntos de un recubrimiento. Si se trata de unrecubrimiento abierto, esto es siempre cierto.

Proposicion 2.7.2. Sea f : X → Y una aplicacion entre dos espacios topologicos y sea {Uj}j∈Jun recubrimiento abierto de X. Designemos por fj : Uj → Y la restriccion de f a Uj. Si fj escontinua para todo j ∈ J , entonces f es continua.

Demostracion. Para todo abierto U ⊂ Y , tenemos f−1(U) =⋃j f−1j (U). Cada f−1j (U) es un

abierto de X (por ser un abierto de un abierto Uj de X). Ası f−1(U) es union de abiertos de Xy, por tanto, abierto de X. �


Como la definicion de continuidad es local, es decir se traduce en continuidad en cada punto,es natural que para recubrimentos abiertos no haya habido ningun problema. Para adaptar lademostracion hecha para recubrimientos abiertos a recubrimientos cerrados tenemos que im-poner que estos sean finitos. De hecho, el resultado es cierto un poco mas en general: pararecubrimientos cerrados localmente finitos.

Un recubrimiento localmente finito es un recubrimiento {Aj}j tal que todo x ∈ X tiene unentorno abierto U ∈ Nx que corta solo a un numero finito de los conjuntos Aj .

Proposicion 2.7.3. Sea f : X → Y una aplicacion entre dos espacios topologicos y sea {Cj}j∈Jun recubrimiento cerrado localmente finito de X. Designemos por fj : Cj → Y la restriccion def a Cj. Si todas las restricciones fj son continuas, f es continua.

Demostracion. Supongamos primero que el recubrimiento es finito. Entonces, para todo cerra-do A ⊂ Y , tenemos f−1(A) =

⋃j f−1j (A). Cada f−1j (A) es un cerrado de X (por ser un cerrado

de un cerrado Cj de X). Ası f−1(A) es union finita de cerrados de X y, por tanto, cerrado enX.

En el caso general, para cada x ∈ X escogemos un entorno abierto Ux que corte solo unnumero finito de cerrados Cj . La restriccion de fj a Ux ∩ Cj es continua y {Ux ∩ Cj ; j ∈ J} esun recubrimiento cerrado finito de Ux. Por la primera parte de la demostracion, la restriccionf|Ux

, de f a Ux es continua, para tot x. Como {Ux; x ∈ X} es un recubrimiento abierto de X,la Proposicion 2.7.2 asegura que f es continua. �

Ejercicio. Probad que el recubrimiento cerrado de R formado por los conjuntos (−∞, 0] y[ 1n ,+∞), para todo n, no es localmente finito. Observad que la funcion f : R → R, f(x) = 0si x ≤ 0, f(x) = 1 si x > 0, no es continua pero las restricciones a los subconjuntos delrecubrimiento sı lo son.

2.8. Cerrados, continuidad y convergencia

Una sucesion (xn) de puntos de un espacio topologico es una sucesion convergente, si existeun punto x ∈ X tal que todo entorno U de x contiene todos los terminos de la sucesion a partirde un lugar. Es decir, si existe un n0 tal que, para todo n ≥ n0 se cumple xn ∈ U . El punto xse llama punto lımite de la sucesion .

Ejemplo 2.8.1. Una sucesion puede tener muchos lımites. Por ejemplo, en el caso de la topologıaburda toda sucesion converge a todos los puntos.

Si la topologıa es la discreta, una sucesion converge a un punto x si, y solo si, la sucesion esconstantemente x a partir de algun lugar.

En el caso de espacios metricos las sucesiones tienen, como maximo, un unico lımite.

2.9. Convergencia uniforme 37

Si el espacio cumple el primer axioma de numerabilidad los cerrados y las aplicaciones con-tinuas se pueden caracterizar por las siguientes propiedades que generalizan dos resultados queya vimos para espacios metricos.

Proposicion 2.8.2. Si un subconjunto A ⊂ X es cerrado y una sucesion (an) de puntos de Aconverge a un punto x ∈ X, entonces x ∈ A.

Si X cumple el primer axioma de numerabilidad y el subconjunto A ⊂ X cumple que todaslas sucesiones convergentes de puntos de A tienen punto lımite en A, entonces A es cerrado.

Demostracion. Si (an), con an ∈ A para todo n, converge a x, todo entorno de x contienepuntos de la sucesion y, por tanto, contiene puntos de A. Lo que significa que x ∈ A = A, porser A cerrado.

Para demostrar la segunda afirmacion veremos que todo punto adherente a A, x ∈ A, esta enA. En efecto, sea B0 ⊃ B1 ⊃ · · · 3 x una base numerable de entornos de x (Proposicion 2.3.2).Por ser x ∈ A, podemos escoger puntos an ∈ Bn ∩ A. La sucesion (an) converge a x y, porhipotesis, esto implica que x ∈ A. �

Proposicion 2.8.3. Si f : X → Y es continua y (xn) es una sucesion de X convergente a unpunto x, entonces (f(xn)) converge a f(x).

Supongamos que X cumple el primer axioma de numerabilidad. Si una aplicacion f : X → Ycumple que, para toda sucesion (xn) de X convergente a un punto x, la sucesion (f(xn)) convergea f(x), entonces f es continua en x.

Demostracion. Supongamos que f : X → Y es continua y que (xn) converge a x ∈ X. Paratodo entorno abierto U 3 f(x) la antiimagen f−1(U) es un entorno abierto de x. Como x eslımite de (xn), existira un n0 tal que xn ∈ f−1(U) siempre que n ≥ n0. De donde resulta quef(xn) ∈ U para todo n ≥ n0, lo que nos dice que la sucesion (f(xn)) converge a f(x).

Supongamos ahora que X cumple el primer axioma de numerabilidad, y supongamos quef : X → Y no es continua en x. Esto significa que existe un entorno U 3 f(x) tal que ningunentorno de x se aplica dentro de U . Sea {Bn |n ∈ N} una base de entornos numerables de xtal que Bn ⊃ Bn+1 para todo n (Proposicion 2.3.2). En cada Bn escogemos un punto xn queno tenga su imagen en U . Entonces la sucesion (xn) converge a x, pero la sucesion (f(xn)) noconverge a f(x). Esto demuestra la segunda afirmacion del enunciado. �

Ejercicio. Demostrad con detalle las afirmaciones del ejemplo.

2.9. Convergencia uniforme

Se puede definir la convergencia de una sucesion de funciones fn : X → Y entre espaciostopologicos a una cierta funcion f : X → Y exigiendo que, para cada punto x ∈ X, la sucesion(fn(x)) tenga lımite f(x). Ahora bien, con esta definicion la continuidad de las funciones fn noasegura la continuidad de f . Veamos un ejemplo.


Ejemplo 2.9.1. La sucesion de las aplicaciones continuas fn : R→ R

fn(x) =

0, si x ≤ 0nx, si x ∈ [0, 1n ]1, si x ≥ 1

n

converge a la aplicacion f(x) = 0, si x ≤ 0,f(x) = 1, si x > 0, que no es continua.

En los espacios metricos, se puede definir una condicion de convergencia mas fuerte de formaque la funcion lımite de funciones continuas sea continua.

Sea fn : (X, τ) → (M,d), n ∈ N, una sucesion de funciones de un espacio topologico enun espacio metrico. Se dice que la sucesion (fn) es uniformemente convergente a una funcionf : X →M si, para todo real ε > 0, existe un entero positivo n0 tal que

d (fn(x), f(x)) < ε, para todo n > n0, y para todo x ∈ X

Teorema 2.9.2. Si fn : (X, τ) → (M,d), n ∈ N, es una sucesion de funciones continuasde un espacio topologico en un espacio metrico, que converge uniformemente a una funcionf : X →M , entonces f es continua.

Demostracion. Tenemos que demostrar que, dado un abierto V de M , f−1(V ) es abierto; esdecir, para todo x0 ∈ f−1(V ), debemos construir un entorno U de x0 que se aplique dentro deV . Por ser V abierto, existe una bola B(f(xo), ε) ⊂ V ; construiremos U que se aplique dentrode esta bola.

Por la convergencia uniforme, existeN tal que, para todo n ≥ N y todo x ∈ X, d (fn(x), f(x)) <ε/3. Por la continuidad de fN , existe un entorno U de x0 tal que fN (U) ⊂ B (fN (xo), ε/3).

x0

z

f (V)-1

V

f (x )N 0

f (z)N

f(z)

f(x )0

U

Entonces, para todo z ∈ U , tenemos

d (f(z), f(x0)) ≤ d (f(z), fN (z)) + d (fN (z), fN (x0)) + d (fN (x0), f(x0)) < ε

2.9. Convergencia uniforme 39

El primer y el tercer sumando son menores que ε/3 por la eleccion de N ; el segundo sumandoes menor que ε/3 por la eleccion de U . �

Capıtulo 3

Construccion de espacios

Existen varıas formas de construir nuevos conjuntos a partir de otros: subconjuntos, conjun-tos productos, uniones disjuntas, conjuntos cocientes por una relacion de equivalencia. En estecapıtulo estudiaremos como dotar a estos nuevos conjuntos de topologıas cuando los conjuntosde partida son espacios topologicos.

3.1. Subespacios topologicos

Sea (X, τ) un espacio topologico y A ⊂ X. La topologıa inducida por τ en A es la topologıa

τA = {V ⊂ A | existe U ∈ τ tal que V = U ∩A}.

(A, τA) se denomina subespacio topologico de X.

Proposicion 3.1.1. La inclusion (A, τA) ↪→ (X, τ) es continua. Cualquier otra topologıa τ ′ deA que haga la inclusion ι : (A, τ ′) ↪→ (X, τ) continua, es mas fina que τA.

Demostracion. En efecto, para todo abierto U ∈ τ , la continuidad de ι implica que ι−1(U) =U ∩A sea abierto en toda topologıa de A que haga ι continua. �

Proposicion 3.1.2. i) La restriccion de una aplicacion continua f : (X, τ) → (Y, ρ) a unsubespacio (A, τA) de X, es continua.

ii) Sea (Y, ρ) un espacio topologico, B ⊂ Y y ρB la topologıa inducida por ρ en B. Unaaplicacion f : (X, τ)→ (B, ρB) es continua si, y solo si, la composicion

ιB ◦ f : (X, τ)→ (B, ρB)ιB↪→ (Y, ρ)

es continua.

Demostracion.

41

42 3. Construccion de espacios

i) En efecto, sea ιA : A ↪→ X la inclusion; la restriccion fA = f ◦ ιA es continua por sercomposicion de dos aplicaciones continuas.

ii) Si ιB es continua, la composicion ιB ◦ f es continua. Reciprocamente, si ιB ◦ f es continua,para todo abierto V = U ∩B ∈ ρB, con U ∈ ρ,

f−1(V ) = f−1(U ∩B) = f−1(ι−1B (U)) = (ιB ◦ f)−1(U) ∈ τ

�

3.2. Producto topologico

Dados espacios topologicos (Xj , τj), con j = 1, . . . , k, se llama topologıa producto a la topo-logıa del producto cartesiano X = X1 × · · · ×Xk que tiene como base de abiertos la familia detodos los subconjuntos de X de la forma

U1 × · · · × Uk, donde Uj ∈ τj , j = 1, . . . , k.

La topologıa producto esta caracterizada por la continuidad de las proyecciones, de manerasimilar a como la topologıa inducida en un subconjunto esta caracterizada por la continuidadde la inclusion. Concretamente, tenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 3.2.1. Sea X = X1 × · · · ×Xk el espacio producto de k espacios topologicos.

i) Las proyecciones pj : X → Xj son continuas.

ii) La topologıa producto en X es la topologıa menos fina que hace continuas todas las proyec-ciones pj : X → Xj.

iii) Una aplicacion f : Y → X1×· · ·×Xk de un espacio topologico (Y, ρ) en un espacio productoes continua si, y solo si, todas las composiciones con las proyecciones, pjf son continuas.

Dejamos la demostracion como ejercicio. Mas adelante tomaremos la condicion 2 de la Pro-posicion 3.2.1 como definicion en el caso de productos arbitrarios, finitos o no.

En el caso del producto de una familia infinita de espacios topologicos, las uniones de pro-ductos de un abierto de cada uno de los espacios es una topologıa que se llama la topologıade cajas. Ahora bien, esta topologıa tiene inconvenientes, uno de los mas evidentes es que unaaplicacion

f : Y −→∏j∈J

Xj

puede no ser continua aunque todas las fk = pk ◦ f sean continuas, donde pk :∏j∈J Xj → Xk

es la projeccion sobre la k-esima coordenada. Demos un ejemplo.

3.2. Producto topologico 43

Ejemplo 3.2.2. Consideremos el producto de una infinidad numerable de copias de R y laaplicacion

f : R −→∏j∈N

R, f(t) = (t, t, t, . . . )

Las composiciones con las proyecciones son la identidad y, en particular, continuas. Si dotamosal producto con la topologıa de cajas, que tiene como base los productos de un abierto de cadacomponente, f no es continua. En efecto, con esta topologıa U =

∏j∈N(−1

j ,+1j ) es un abierto

que contiene f(0). Ahora bien, cualquier entorno de 0 ∈ R contiene un intervalo (−ε, ε), conε > 0. Para j suficientemente grande

1

j< ε ⇒ (−ε, ε) 6⊂ (−1

j,+

1

j) ⇒ f(−ε, ε) 6⊂ U ⇒ (−ε, ε) 6⊂ f−1(U)

Es decir, f−1(U) no contiene ningun entorno de 0 y, por tanto, f no es continua.

Para definir una topologıa en el producto cartesiano de espacios topologicos, se consideraprioritario que la continuidad de las composiciones con las proyecciones asegure la continuidadde f . El tomar productos de abiertos de cada espacio es, en el caso infinito, tomar demasiadosabiertos. La solucion es tomar solo los que no impiden que las composiciones con las proyeccionessean continuas. Escogemos pues la siguiente definicion:

Sea {(Xj , τj) | j ∈ J} una familia arbitraria de espacios topologicos y sea X =∏j∈J Xj

su producto cartesiano. Se llama topologıa producto en X a la topologıa menos fina que hacecontinuas todas las proyecciones pi : X → Xi.

Observemos que, para que las proyecciones sean continuas,es necesario que todos los conjuntos

p−1i (Ui) = {(xj) ∈∏j∈J

Xj | xi ∈ Ui} ∀ Ui ∈ τi

sean abiertos. Por tanto, la topologıa producto es la que tie-ne estos conjuntos, junto con ∅, como subbase de abiertos.Las intersecciones finitas de estos conjuntos son conjuntosde puntos (xj)j∈J ∈ X con un numero finito de las coor-denadas obligadas a estar en unos abiertos de los espacioscorrespondientes: xj1 ∈ Uj1 , . . . , xjk ∈ Ujk , y sin ningunacondicion sobre el resto de coordenadas. Podemos decir queson conjuntos “muy grandes”.

U1

U2

xXj

Ası hemos conseguido que sea cierta la siguiente propiedad como querıamos.

Proposicion 3.2.3. Una aplicacion f : Y → X de un espacio topologico (Y, ρ) en un espacioproducto X =

∏j Xj es continua si, y solo si, todas las composiciones con las proyecciones:

Yf−→ X =

∏j∈J

Xjpj−→ Xj .


son continuas.

Demostracion. Si f es continua, como las pj tambien lo son por la definicion, las composicionesson continuas. Supongamos que las composiciones pj ◦ f son continuas. Para cualquier abiertop−1j (Uj) de la subbase de X, f−1(p−1j (Uj)) = (pj ◦f)−1(Uj) es abierto. Por lo tanto f es continua.�

En particular, una funcion f : Rn → Rm, con

f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

es continua si, y solo si, lo son las funciones fj : Rn → R, j = 1, . . . ,m.

Proposicion 3.2.4. Las proyecciones X =∏j∈J Xj

pi−→ Xi son abiertas.

Demostracion. Como la imagen de una union es union de las imagenes, solo es necesario probarque las imagenes de los abiertos de una base son abiertas. Los abiertos del tipo

p−1j1 (Uj1) ∩ · · · ∩ p−1jk (Ujk)

forman una base de X. La imagen por una proyeccion pi

pi

(p−1j1 (Uj1) ∩ . . . p−1jk (Ujk)

)=

{Ujm si i = jmXi si i 6∈ {j1, . . . , jk}

es siempre abierta. �

Ejercicios.

1. Dado un producto finito X1 × · · · × Xk, probad que los conjuntos U1 × · · · × Uk, dondelos Uj recorren los abiertos de los espacios Xj , cumplen las condiciones para formar unabase de una topologıa del producto.

2. Demostrad la Proposicion 3.2.1

3.3. Union disjunta de espacios topologicos

Sean (Xj , τj), j ∈ J , espacios topologicos sin puntos en comun y sea X =∐j Xj su union.

La union de todas las topologıas τj es base de una topologıa de X que llamaremos topologıasuma o topologıa de la union disjunta .

Proposicion 3.3.1. 1. Sea X =∐j Xj con la topologıa suma. Entonces, todas las inclusio-

nes Xj ↪→ X son continuas.

3.4. Espacios cocientes 45

2. Cualquier topologıa de X que haga todas las inclusiones ιj : Xj ↪→ X continuas, es menosfina que la topologıa suma.

Proposicion 3.3.2. Sea X =∐j Xj la union disjunta con la topologıa suma. Una aplicacion

f : X → Y es continua si, y solo si, todas las composiciones f ◦ ιj son continuas, dondeιj : Xj ↪→ X son las inclusiones naturales.

Ejercicio. Demostrad las Proposiciones de esta seccion.

3.4. Espacios cocientes

Sea (X, τ) un espacio topologico, ∼ una relacion de equivalencia en X, y X/∼ el conjuntocociente de X por esta relacion: los elementos de X/∼ son los subconjuntos de X formados portodos los elementos relacionados entre sı. Indicaremos por [x] el conjunto formado por x y todoslos relacionados con l. Diremos que [x] es la clase (de equivalencia) de x.

Definimos la topologıa cociente en X/∼ como aquella en la que W ⊂ X/∼ es abierto si, ysolo si, la antiimagen de W por la proyeccion canonica

p : X −→ X/∼, p(x) = [x]

es un abierto de X. El conjunto X/∼ con esta topologıa se llama espacio topologico cociente deX por la relacion ∼.

Proposicion 3.4.1. 1. La topologıa cociente hace la proyeccion canonica X → X/∼ conti-nua.

2. Cualquier otra topologıa de X/∼ que haga continua la proyeccion es menos fina que latopologıa cociente.

Proposicion 3.4.2. Sea p : X → X/∼ la proyeccion de X en un espacio topologico cociente.Una aplicacion f : X/∼ → Y es continua si, y solo si, la composicion f ◦p : X → Y es continua.

Demostracion. Si f es continua, como p lo es por la definicion, la composicion tambien lo es.Supongamos que las composiciones son continuas. Para todo abierto V ⊂ Y , f−1(V ) sera abiertosi p−1(f−1(V )) = (f ◦ p)−1(V ) es abierto, y esto es cierto por ser (f ◦ p) continua. �

Importante. Cuando tenemos una aplicacion definida sobre un espacio cociente, la manerade demostrar que es continua es demostrar que la composicion con la proyeccion es continua.

Ejercicio. Demostrad la Proposicion 3.4.1.


3.5. Ejemplos de espacios cocientes

Ejemplo 3.5.1. Se llama toro al espacio cociente de I × I, con I = [0, 1], por la relacion:

(x, 0) ∼ (x, 1), (0, y) ∼ (1, y), para todo x, y ∈ I

Lo denotaremos por T y es homeomorfo al toro definido en el ejemplo 1.5.9. En efecto,consideremos la aplicacion continua

f : I × I −→ S1 × S1, f(x, y) = (eix2π, eiy2π)

y la aplicacion ϕ : T→ S1 × S1 que induce en el espacio cociente T

I × I f //

p

��

S1 × S1

T = I × I/∼ϕ

55

ϕp = f es biyectiva y continua (Proposicion 3.4.2). Ademas f es cerrada por ser una aplicacionde un subespacio cerrado y acotado de R2 en un subespacio de R4; demostraremos este hecho,en un caso mas general, mas adelante, 5.3.3.

El que f sea cerrada implica que ϕ es cerrada. En efecto, para todo cerrado C ⊂ T,

ϕ(C) = f(p−1(C)

)y p−1(C) es cerrado, por ser p continua.

ϕ es, por tanto, una aplicacion biyectiva, continua y cerrada, es decir, un homeomorfismo.

Ejemplo 3.5.2. Se llama banda de Mobius al espacio cociente de [0, 1] × [0, 1] por la relacion(0, y) ∼ (1, 1− y)

3.5. Ejemplos de espacios cocientes 47

a

a

a

b

bb

Ejemplo 3.5.3. Se llama botella de Klein , y denotaremos por K, al espacio cociente de I × Ipor la relacion

(x, 0) ∼ (1− x, 1), (0, y) ∼ (1, y) para todo x, y ∈ [0, 1]

Comparad las identificaciones que se hacen para obtener la botella de Klein y las que se hacenpara obtener un toro. En el caso del toro obtenemos un espacio homeomorfo a un subespaciode R3, que queda dividido en una parte interior al toro y una parte exterior. En otras palabras,un lıquido contenido en el interior de un toro no se puede extraer sin romperlo. En el caso de labotella de Klein se adivina (y se puede demostrar) que no es homeomorfo a ningun subespaciode R3. Tampoco tiene parte interior y parte exterior; en otras palabras, un lıquido contenido enla botella de Klein en la parte aparentemente interior se puede extraer sin romper la botella. Elenunciado preciso de estos hechos y su demostracion es un problema genuınamente topologico.

Ejemplo 3.5.4. Se llama espacio proyectivo real de dimension n, al espacio cociente de Sn poridentificacion de puntos antipodales. Lo denotaremos por Pn.Un espacio proyectivo real se puede obtener tambien comocociente de Rn+1 − {0} identificando dos puntos si estanalineados con el origen.

x ∼ y ⇔ existe r ∈ R tal que y = rx

Y es tambien homeomorfo al espacio cociente del disco En

identificando puntos antipodales de Sn−1 ⊂ En:

-p

p

q

-q


Enj //

p1

��

Snι //

p2

��

Rn+1 − {0}

p

��En/∼ ϕ1 // Sn/∼ =: RPn ϕ2 // Rn+1/∼

Donde ι es la inclusion; j(x1, . . . , xn) =(x1, . . . , xn,+

√1− (x21 + · · ·+ x2n)

). ϕ1 y ϕ2 son conti-

nuas, por la Proposicion 3.4.2, y biyectivas. Tambien son cerradas, por un razonamiento similaral que hemos hecho en el caso del toro; por tanto, son homeomorfismos.

Dado un subconjunto A de un espacio topologico X, designaremos por X/A al cociente deX por la relacion de equivalencia

x ∼ y ⇔ x = y o x, y ∈ A

Ejemplo 3.5.5. Se llama cono de un espacio topologico X al espacio cociente

CX = X × I/X × {1}

En particular,CSn ∼= En+1

Para demostrar este homeomorfismo podemos proceder como en el caso del toro o del espacioproyectivo: Consideremos

Sn × I f //

p

��

En+1

CSnϕ

::

con f(x, t) = tx. Entonces, ϕ es biyectiva, continua y cerrada por ser entre subespacios deespacios euclidianos cerrados y acotados; por tanto es un homeomorfismo.

Ejemplo 3.5.6. Se llama suspension de un espacio topologico X al espacio cociente ΣX =X × I/∼, con

(x, 0) ∼ (y, 0), (x, 1) ∼ (y, 1), para todo x, y ∈ X

En el caso de X = Sn tenemos

Sn × I f //

p

��

Sn+1

ΣSnϕ

::

con f(x, t) =(

2x√t(1− t), 2t− 1

)y ϕ es un homeomorfismo.

3.6. Identificaciones 49

Ejemplo 3.5.7. En todos los ejemplos que hemos visto hasta ahora, la demostracion de queel espacio cociente era homeomorfo a un subespacio de un Rn, resultaba del hecho que estehomeomorfismo estaba inducido por una aplicacion cerrada. Pero esto no es siempre ası. Con-sideremos, por ejemplo, en R2 la relacion: (x, y) ∼ (x′, y′) si, y solo si, y = y′. La proyeccionsobre la segunda coordenada, f : R2 → R, f(x, y) = y, es abierta por la Proposicion 3.2.4, perono es cerrada. f induce una biyeccion ϕ del espacio cociente:

R2 f //

p��

R

R2/∼ϕ

==

Para todo abierto U ∈ R2/∼, ϕ(U) = f(p−1(U)

)es abierto y, por tanto, ϕ es abierta. Como

tambien es continua y biyectiva, ϕ es un homeomorfismo.

Veremos mas ejemplos al hablar de identificaciones.

3.6. Identificaciones

Dada una aplicacion continua y exhaustiva f : X → Y la relacion Rf definida por

x1Rf x2 ⇔ f(x1) = f(x2).

es una relacion de equivalencia y f induce una aplicacion continua y biyectiva entre el espaciocociente X/Rf y Y :

Xf //

p

��

Y

X/Rf

ϕ

<< ϕ(p(x)) = f(x), ∀ x ∈ X

Se dice que f es una identificacion si ϕ es un homeomorfismo.

La diferencia entre una identificacion y una proyeccion en un espacio cociente es simplementede punto de vista. En un caso partimos de un conjunto cociente y lo dotemos de una topologıa,la mas fina que hace la proyeccion continua. En el otro caso, partimos de una aplicacion continuay exhaustiva f , en la que el segundo espacio tiene la topologıa mas fina que hace f continua.


Enunciemos ahora un resultado que ya hemos demostrado en los ejemplos 3.5.1 y 3.5.7 deespacios cocientes.

Proposicion 3.6.1. Si una aplicacion continua y exhaustiva f : X → Y es abierta o cerrada,entonces f es una identificacion.

Ejemplo 3.6.2. Las proyecciones pk :∏j Xj → Xk de un espacio producto en cada uno de los

factores son abiertas y, en particular, son identificaciones.

Ahora bien, pk no siempre es cerrada; por ejemplo p : R2 → R, donde p(x, y) = y no escerrada. En efecto,

C = {(x, ex) | x ∈ R} es un cerrado de R2, pero p(C) = (0,+∞) no es un cerrado de R.

Ejemplo 3.6.3. La identificacion p : R → R/[0, 1] no es abierta, aunque sı es cerrada. Enefecto, denotemos por ∗ := p([0, 1]) ∈ R/[0, 1]. Tenemos

p

((1

4,3

4)

)= {∗} que no es abierto, ya que p−1(∗) = [0, 1] no es abierto

p es cerrada. En efecto, si C es cualquier cerrado de R,

p−1(p(C)) =

{C, si C ∩ [0, 1] = ∅C ∪ [0, 1], si C ∩ [0, 1] 6= ∅

En los dos casos p−1(p(C)) es cerrado y, por tanto, p(C) es cerrado.

Para acabar damos un ejemplo que muestra muy claramente el cuidado con el que hay queir al identificar un espacio cociente con un espacio ya conocido.

Ejemplo 3.6.4. Consideremos los conos de [−1, 1] y de (−1, 1). Tenemos

[−1, 1]× [0, 1]p //

f''

C[−1, 1]

ϕ

��K

(−1, 1)× [0, 1]p′ //

f ′ ))

C(−1, 1)

ϕ′

��f ((−1, 1)× [0, 1])

donde

K = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 + x, −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1− x, 0 ≤ x ≤ 1}

y f(x, y) = ((1− y)x, y). f es cerrada y ϕ es un homeomorfismo.

3.6. Identificaciones 51

f

(-1,0)(-1,0) (+1,0)(+1,0)

(-1,1) (+1,1) (0,1)

En el segundo diagrama, f ′ y ϕ′ son las restricciones de f y ϕ respectivamente. p′ es laproyeccion en el espacio cociente, con la correspondiente topologıa cociente. ϕ′ es continua ybiyectiva; su imagen:

A := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y < 1+x, −1 < x ≤ 0}∪{(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y < 1−x, 0 ≤ x < 1}∪{(0, 1)}

incluye el punto (0, 1) pero no dos de los lados del triangulo K. Consideremos el abierto U de(−1, 1)× [0, 1]

U = {(t, s) ∈ (−1, 1)× [0, 1] ; s >t+ 1

2}

Como p−1(p(U)) = U , p(U) es un abierto de C(−1, 1) con la topologıa cociente. Ahora bien,ϕ′p(U) = f ′(U) no es un abierto de A ⊂ R2, ya que (0, 1) ∈ f ′(U) no es punto interior def ′(U).

f´(U)

Uf´

Observacion. El ejemplo 3.6.4 demuestra que, si f : X → Y es una identificacion y A ⊂ X,la aplicacion fA : A→ f(A) puede no ser una identificacion.

Tampoco es cierto que si p1 : X1 → Y1 y p2 : X2 → Y2 son identificaciones, el producto

p1 × p2 : X1 ×X2 → Y1 × Y2

sea siempre una identificacion. Un caso interesante en el que sı se obtiene una identificacion esel siguiente resultado que demostraremos mas adelante con un enunciado un poco mas general(5.5.4).

Proposicion 3.6.5. Si f : X → Y es una identificacion, f × Id : X × I → Y × I tambien esuna identificacion.


Ejercicios.

1. Demostrad que la composicion de identificaciones es una identificacion.

2. Para cualquier aplicacion f : X → Y se puede definir una relacion de equivalencia Rf :xRf y si, y solo si, f(x) = f(y). Demostrad que entonces f induce una aplicacion inyectivaϕ : X/Rf → Y cuya imagen coincide con la imagen de f .

3. Probad que la identificacion R→ R/(0, 1] no es abierta ni cerrada.


3.7. Topologıa final

Cuando se tiene una aplicacion f : (X, τ) → Y de un espacio topologico en un conjuntointeresa, a veces, dotar a Y de una topologıa que haga f continua. Evidentemente, si dotamos Yde la topologıa burda, f sera continua. Pero interesa considerar abiertos de Y todos los conjuntosposibles; por eso escogemos la topologıa mas fina que hace f continua.

En ocasiones, no es una unica aplicacion sino una familia de aplicaciones las que nos interesaque sean continuas. Es el caso, por ejemplo, del conjunto union disjunta de espacios topologicosy las inclusiones en ella de cada uno de los espacios.

Sean fj : (Xj , τj) → Y aplicaciones de espacios topologicos (Xj , τj), j ∈ J , en un conjuntoY . La topologıa final en Y inducida por este conjunto de aplicaciones es la topologıa de Y masfina que hace continuas todas las fj :

τf = {U ⊂ Y | tal que f−1j (U) ∈ τj , para todo j ∈ J, Uj ∈ τj}.

Se ve facilmente que τf es una topologıa.

Proposicion 3.7.1. Sean fj : (Xj , τj)→ Y aplicaciones de espacios topologicos (Xj , τj), j ∈ J ,en un conjunto Y . Denotemos por τf la topologıa final en Y .

1. Una aplicacion g : (Y, τf )→ (Z, ρ) es continua si, y solo si, todas las composiciones g ◦ fjson continuas.

2. Recıprocamente, si una topologıa τ de Y cumple que una aplicacion g : (Y, τ)→ (Z, ρ) escontinua si, y solo si, lo son todas las composiciones g ◦fj, entonces τ es la topologıa final.

Demostracion.

1. Si g es continua, como fj es continua, la composicion g ◦ fj es continua.

Supongamos ahora que, para todo j, g ◦ fj es continua, y sea V un abierto de Z. Entonces(g ◦ fj)−1(V ) = f−1j

(g−1(V )

)es abierto y, por la definicion de topologıa final, g−1(V ) es

abierto. Por lo tanto, g es continua.

3.8. Topologıa inicial 53

2. Consideremos los diagramas, para todo j,

Xjfj //

fj ""

(Y, τ)

Id1��

(Y, τf )

Xjfj //

fj ""

(Y, τf )

Id2��

(Y, τ)

En el primer diagrama, la identidad Id1 es continua por la hipotesis sobre τ , ya que lacomposicion Id1 ◦ fj = fj es continua. Esto nos dice que τ es mas fina que τf .

En el segundo diagrama Id2 es continua por la definicion de τf , ya que la composicionId2 ◦ fj = fj es continua. Esto nos dice que τf es mas fina que τ .

Por tanto, τ = τf .

�

La caracterizacion de la topologıa cociente por la propiedad de la Proposicion 3.7.1 es elmotivo para escoger como topologıa final la mas fina posible entre las que hacen continuas lasaplicaciones fj .

Ejemplo 3.7.2. La topologıa cociente en X/∼ es la topologıa final respecto la proyeccionX → X/∼.

La topologıa suma es la topologıa final de las inclusiones de cada espacio en la union disjunta.

La topologıa final respecto una aplicacion constante f : (X, τ) → Y , f(x) = y0 para todox ∈ X, es la topologıa burda.

3.8. Topologıa inicial

Cuando se tiene una aplicacion f : X → (Y, τ) de un conjunto en un espacio topologicointeresa, a veces, dotar a X de una topologıa que haga f continua. Evidentemente, si dotamosX de la topologıa discreta, f sera continua. Pero no interesa considerar abiertos de X masconjuntos de los estrictamente necesarios; por eso escogemos la topologıa menos fina que hacef continua.

En ocasiones, no es una unica aplicacion sino una familia de aplicaciones las que nos interesaque sean continuas. Es el caso, por ejemplo, del conjunto producto de espacios topologicos y lasproyecciones sobre cada uno de los espacios.

Sean fj : X → (Yj , τj) aplicaciones de un conjunto X en espacios topologicos (Yj , τj), j ∈ J .La topologıa inicial en X inducida por este conjunto de aplicaciones es la topologıa en X menosfina que hace continuas todas las fj . Esta topologıa tiene como subbase la familia de subconjuntos

S = {f−1j (Uj), para todo j ∈ J, Uj ∈ τj}.


Proposicion 3.8.1. Sea τi la topologıa inicial en X respecto a una familia de aplicacionesfj : X → (Yj , τj).

1. Una aplicacion g : (Z, ρ)→ (X, τi) es continua si, y solo si, todas las composiciones fj ◦ gson continuas.

2. Recıprocamente, si una topologıa τ de X cumple que una aplicacion g : (Z, ρ) → (X, τ)es continua si, y solo si, lo son todas las composiciones fj ◦ g, entonces τ es la topologıainicial.

Demostracion.

1. Para todo abierto V ⊂ Z, (fj ◦ g)−1(V ) = g−1(f−1j (V )

), donde f−1j (V ) es abierto en

(X, τi). Por tanto, g es continua si, y solo si, g−1(f−1j (V )

)es abierto para todo V y,

entonces (fj ◦ g)−1(V ) es abierto y, por tanto, fj ◦ g continua.

2. Consideremos los diagramas

(X, τ)fj // (Yj , τj)

(X, τi)

Id1

OO

fj

::(X, τi)

fj // (Yj , τj)

(X, τ)

Id2

OO

fj

::

Por hipotesis, la identidad Id1 es continua y eso nos dice que τi � τ . Per 1, Id2 es continuay eso nos dice que τ � τi. Por tanto, τ = τi.

�

La caracterizacion de la topologıa inicial por la propiedad de la Proposicion 3.8.1 es el motivopara escoger como topologıa final la menos fina posible.

Ejemplo 3.8.2. La topologıa producto y la topologıa inducida en un subconjunto son ejemplosde topologıas iniciales.

Capıtulo 4

Propiedades de separacion

Ya hemos mencionado que los entornos de un punto miden el grado de proximidad del restode puntos de una manera similar a como la distancia la mide en el caso de los espacios metricos.Si, por ejemplo, un punto q esta en todos los entornos de un punto p, podemos considerar queentre p y q no existe ninguna separacion. Este es el tipo de propiedades que vamos a consideraren este capıtulo.

4.1. Definiciones

Sea (X, τ) un espacio topologico.Se dice que X es T0 si, para todo par de puntos x, y ∈ X, existe un entorno (abierto) U de

uno de los puntos, que no contiene al otro punto. Es decir, o bien x ∈ U , y 6∈ U , o bien x 6∈ U ,y ∈ U .

Se dice que X es T1 o Frechet, si para todo par de puntos x, y ∈ X existen entornos(abiertos), x ∈ U , y ∈ V , tales que x 6∈ V , y 6∈ U .

Se dice que X es T2 o Hausdorff, si para todo par de puntos x, y ∈ X existen entornos(abiertos) x ∈ U , y ∈ V , disjuntos: U ∩ V = ∅.

Se dice que X es T3 si para todo punto x ∈ X y todo cerrado A que no lo contenga, x 6∈ A,existen abiertos U, V tales que x ∈ U , A ⊂ V y U ∩ V = ∅.

Se dice que X es T4 si para todo par de cerrados A,B disjuntos, A∩B = ∅, existen abiertosU, V , tales que A ⊂ U , B ⊂ V y U ∩ V = ∅.

Antes de dar ejemplos, vamos a examinar un poco mas a fondo estas definiciones.

Proposicion 4.1.1. 1. Un espacio topologico X es T1 si, y solo si, sus puntos son cerrados.

2. Un espacio topologico X es T2 si, y solo si, la diagonal ∆ = {(x, x) ∈ X ×X |x ∈ X} esun cerrado de X ×X.

3. Un espacio topologico X es T3 si, y solo si, dado un punto y un abierto que lo contenga,x ∈ U , existe un abierto V tal que x ∈ V ⊂ V ⊂ U .

4. Un espacio topologico X es T4 si, y solo si, dado un cerrado y un abierto que lo contenga,A ⊂ U , existe un abierto V tal que A ⊂ V ⊂ V ⊂ U .

55

56 4. Propiedades de separacion

5. Si un espacio topologico X es T3 y T0, entonces tambien es T2.

6. Un espacio topologico T2 es T1. Un espacio T1 es T0. Un espacio topologico T4 y T1, tambienes T2.

Demostracion.

1. Si un espacio X es T1 el complementario de cualquier punto X−{x} es un abierto, ya quetodos los y ∈ X − {x} tienen un entorno que no contiene x. Por tanto, {x} es cerrado.

Recıprocamente, dados x, y ∈ X, por ser {x} cerrado, si y 6= x, es decir si y ∈ X − {x},existe un abierto V que contiene y y esta contenido en X − {x}: x 6∈ V . Analogamente,por ser {y} cerrado, existe un abierto U tal que x ∈ U pero y 6∈ U .

2. Supongamos que X es T2. Para ver que ∆ es un cerrado veremos que su complementarioes abierto.

(

(

)

)

( )U

V

V

�

X

X

x

y

Sea (x, y) ∈ X × X − ∆, es decir x 6= y. Sean U, V abiertos disjuntos tales que x ∈ U ,y ∈ V . Entonces, U × V es un abierto de X × X y, por ser U y V disjuntos, (x, y) ∈U × V ⊂ X ×X −∆.

Recıprocamente, supongamos la diagonal ∆ cerrada. Dados x 6= y, el punto (x, y) 6∈ ∆ tieneun entorno abierto W contenido en X ×X −∆. Por definicion de la topologıa producto,existen abiertos U , V tales que (x, y) ∈ U × V ⊂ W . En particular, U × V no corta a ladiagonal ∆ lo que quiere decir que todos los puntos (x′, y′) ∈ U × V tienen x′ 6= y′. Portanto, U y V no tienen ningun punto en comun.

3. Dados x ∈ U , con U abierto, consideremos el cerrado X − U . Por ser X un espacio T3,existen abiertos disjuntos V , W , tales que x ∈ V y X −U ⊂W . El que V ∩W = ∅ quieredecir que V ⊂ X −W . Por ser X −W cerrado, contiene a la adherencia de V . Es decir,tenemos x ∈ V ⊂ V ⊂ X −W ⊂ U.

4.1. Definiciones 57

W

V

V

X-U

xA

U

X-U

V

V

4. La demostracion es similar a la de 3 substituyendo x por A: escogemos abiertos disjuntosV ⊃ A y W ⊃ X − U y se cumple que A ⊂ V ⊂ V ⊂ X −W ⊂ U.

5. Supongamos dados x 6= y. Por ser X un espacio T0, existe un abierto W que contieneuno de los puntos y no al otro: supongamos que x ∈ W , y 6∈ W . Por ser X un espacio T3existen abiertos disjuntos U, V , que contienen uno al punto x y el otro al cerrado X −W .Tenemos pues que x ∈ U y y ∈ X −W ⊂ V .

6. Las dos primeras afirmaciones son inmediatas por sus definiciones. Para probar la ultimaobservemos que dados x, y ∈ X, x 6= y, por ser el espacio T1, los puntos {x}, {y} soncerrados (ver 1 mas arriba). Entonces T4 nos dice que estos puntos tienen entornos abiertosdisjuntos.

�

Diremos que un espacio es regular si es T3 y T2. La Proposicion anterior nos dice que soloes necesario suponer T3 y T0.

Diremos que un espacio es normal si es T4 y T2. La Proposicion anterior nos dice que soloes necesario suponer T4 y T1. Todo espacio normal es regular.

Nota. No existe completa unanimidad en la definicion de espacios regulares y espacios nor-males. Algunos llaman espacios regulares a los espacios T3 y espacios normales a los espacios T4,sin exigir que sean T1.

Ejercicios.

1. Escribid las demostraciones que faltan en esta seccion.

2. Demostrad que todo espacio metrico con mas de un punto, es T2.

3. Estudiad que propiedades de separacion tiene un espacio X con cada una de las siguientestopologıas: a) complementarios finitos; b) complementarios numerables; c) punto incluido;d) punto particular; e) indiscreta.


4.2. Ejemplos

Ejemplo 4.2.1. Consideremos un conjunto con solo tres elementos, X = {a, b, c}, con la topo-logıa τ = {∅, {a, b}, {b}, {b, c}, X}. El espacio (X, τ) es T0 pero no es T1, ya que el punto b ∈ Xno es cerrado. Tampoco es T2, ni T3, ni T4; en efecto, los cerrados {a} y {c} no tienen entornosdisjuntos.

Ejemplo 4.2.2. Un espacio infinito X con la topologıa de los complementarios finitos es T1 (yT0), pero no es ni T2, ni T3, ni T4.

Ejemplo 4.2.3. Sea X un espacio infinito con la topologıa de los complementarios finitos, yconsideremos {0, 1} con la topologıa burda. El espacio producto X × {0, 1} no cumple ningunade las propiedades de separacion.

Proposicion 4.2.4. Todo espacio metrico es normal.

Demostracion. Veamos primero que es T2. Sean x 6= y, y d = d(x, y) > 0. Las bolas B(x, ε),B(y, ε) con ε < d

2 , son abiertos disjuntos que contienen uno de los puntos y no al otro.

Sean ahora A,B dos cerrados disjuntos. Para cada x ∈ A, consideremos dx = ınf{d(x, y) | y ∈B}. Si dx = 0, querrıa decir que, para todo ε habrıa un y ∈ B con d(x, y) < ε, y por tanto,B(x, ε) ∩ B 6= ∅. Entonces, tendrıamos x ∈ B = B por ser B cerrado. Esto significarıa quex ∈ A ∩B, en contra de la hipotesis A ∩B = ∅. Pongamos

U =⋃x∈A

B(x,dx2

)

U es un abierto que contiene A. Analogamente, para cada y ∈ B, sea ry = ınf{d(y, z) | z ∈ A},y pongamos

V =⋃y∈B

B(y,ry2

)

V es un abierto que contiene B.

B(x, d /2)x

xA

B

UV

Supongamos que p ∈ U ∩ V . Sea p ∈ B(x0,dx02 ) ∩ B(y0,

ry02 ). Por definicion de los dx y los

ry, la distancia d(x0, y0) es mayor que dx0 y que ry0 . Por tanto,

dx02

+ry02≤ d(x0, y0) ≤ d(x0, p) + d(p, y0) <

dx02

+ry02

4.3. Conservacion de las propiedades de separacion 59

lo que es imposible. Tenemos pues que U ∩ V = ∅. �

Damos ahora dos ejemplos un poco mas sofisticados.

Ejemplo 4.2.5. Sea Y = (0, 1) × (0, 1) con la topologıa euclidiana τe. Sean p, q 6∈ Y y seaX = Y ∪ {p, q}, con la topologıa que tiene como base de abiertos los subconjuntos

τe ∪{{p}∪ ((0,1

2)× (0, r)), {q}∪ ((

1

2, 1)× (0, r)), 0 < r < 1}

p q

½

r

Con esta topologıa X es T2, pero no es ni T3, ni T4. El punto q y el cerrado A = {p} ∪((0, 12 ]× (0, 1)) no tienen entornos (abiertos) disjuntos.

Ejemplo 4.2.6. Consideremos el semiplano H = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} con la topologıa que tienecomo base la union de la topologıa euclidiana de H y la familia de los conjuntos de la forma{(x, 0)} ∪B((x, y), y), con y > 0.

Observad que esta topologıa induce la topologıa euclidiana en {(x, y) ∈ R2 | y > 0} y latopologıa discreta en R × {0}. Es una topologıa mas fina que la topologia euclidiana y, por lotanto, tambien es T2. Tambien es T3, pero no es T4, ya que los conjuntos A = {(x, 0) |x 6∈ Q} yB = {(x, 0) |x ∈ Q}, son cerrados pero cualquier par de abiertos U y V con A ⊂ U y B ⊂ V , secortan (aunque esto no es facil de demostrar).

4.3. Conservacion de las propiedades de separacion

Proposicion 4.3.1. Para j = 0, 1, 2 o 3, todo subespacio de un espacio Tj es tambien Tj. Todosubespacio cerrado de un espacio T4 es T4.

Demostracion. De la primera parte demostraremos el caso T3; los otros son mas faciles. SeanY ⊂ X, x ∈ Y , C un cerrado de Y , y x 6∈ C. Por la definicion de la topologıa de un subespacio,C = A∩ Y con A cerrado de X. Como x 6∈ A, existen abiertos disjuntos de X, U y V , tales quex ∈ U y A ⊂ V . Entonces, U ∩ Y y V ∩ Y son abiertos disjuntos de Y , el primero contiene a xy el segundo contiene a C.


Supongamos ahora que Y es un subespacio cerrado del espacio X, y que X es T4. Cualquierpar de cerrados disjuntos de Y , A y B, son tambien cerrados en X. Por tanto, existen abiertosdisjuntos, U y V , tales que A ⊂ U y B ⊂ V . Entonces, A ⊂ U ∩ Y y B ⊂ V ∩ Y , y U ∩ Y yV ∩ Y son abiertos disjuntos de Y . �

Sea X =∏j Xj el espacio topologico producto de la familia de espacios {Xj ; j ∈ J}. X

contiene subespacios homeomorfos a los Xj . En efecto, fijemos x ∈ X =∏j Xj ; las siguientes

inclusiones son homeomorfismos en los subespacios imagen:

gk : Xk →∏j

Xj , gk(y) = z = (zj) con zj =

{y, si j = kxj , si j 6= k

Es decir, y ∈ Xk se aplica en el punto que tiene las mismas coordenadas que x salvo la coordenadak que es y.

Proposicion 4.3.2. Si i = 0, 1, 2 o 3, un producto de espacios Ti es un espacio Ti si, y solo si,todos los espacios son Ti.

Demostracion. Supongamos que X =∏j Xj es Ti, con i = 0, 1, 2 o 3. Acabamos de ver que

X contiene subespacios homeomorfos los Xk y, por la Proposicion 4.3.1, estos subespacios sontambien Ti. Por lo tanto los espacios Xk son tambien Ti.

Supongamos ahora que los espacios Xj son Ti. Dejamos los casos i = 0, 1, 2 como ejercicio.Demostraremos solo el caso de espacios T3 que es el menos claro.

Supongamos x ∈ U , donde U es un abierto de∏j Xj , producto de espacios Xj que son T3.

Por definicion de la topologıa producto, existe

x ∈ p−1j0 (Uj0) ∩ · · · ∩ p−1jk (Ujk) ⊂ U,

donde cada Uji es un abierto de Xji y pji es la proyeccion de∏j Xj sobre Xji . En particular, la

coordenada xji = pji(x) ∈ Uji . Por la propiedad T3, existe un abierto Wji tal que

xji = pji(x) ∈Wji ⊂Wji ⊂ Uji .

Por tanto,

x ∈ p−1j0 (Wj0) ∩ · · · ∩ p−1jk (Wjk) ⊂ p−1j0 (Wj0) ∩ · · · ∩ p−1jk (Wjk) ⊂ p−1j0 (Uj0) ∩ · · · ∩ p−1jk (Ujk) ⊂ U.

El subespacio del medio p−1j0 (Wj0)∩· · ·∩p−1jk (Wjk) es cerrado y, por tanto, contiene la adherencia

del abierto p−1j0 (Wj0) ∩ · · · ∩ p−1jk (Wjk). Esto acaba la demostracion. �

Sea f : X → Y una identificacion. El que X cumpla una de las propiedades de separacionno implica que Y la cumpla.

4.4. Retractos 61

Ejemplo 4.3.3. El espacio R con la topologıa euclidiana cumple todas las propiedades deseparacion, pero el cociente por la relacion x ∼ y ⇔ x− y ∈ Q, tiene la topologıa burda y, portanto, no cumple ninguna propiedad de separacion.

Ejercicios

1. Demostrad la Proposicion 4.3.1, en los casos i = 0, 1, 2.

2. ¿Por que no es valida la demostracion de la Proposicion 4.3.1 en el caso j = 4, si elsubespacio Y no es cerrado?

3. Completad la demostracion de la Proposicion 4.3.2.

4.4. Retractos

Una clase de subespacios especialmente interesantes son los retractos. Un subespacio A ⊂ Xse denomina un retracto de X si existe una aplicacion continua, r : X → A tal que r(a) = a,para todo a ∈ A. r se llama una retraccion de X sobre A.

Ejemplo 4.4.1. Para todo p ∈ X la aplicacion X → {p} es una retraccion.La aplicacion r : Rn → En definida por

r(x) =x

‖x‖si ‖x‖ ≥ 1; r(x) = x si ‖x‖ ≤ 1

es una retraccion.La aplicacion r : Rn+1 − {0} → Sn definida por r(x) = x

‖x‖ es una retraccion. La restriccion

de r a En+1 − {0} tambien es una retraccion.

Proposicion 4.4.2. A es un retracto de X si, y solo si, toda aplicacion continua f : A → Ytiene una extension a todo X.

Demostracion. Supongamos que A es un retracto de X y que r : X → A es una retraccion.Dada f : A→ Y , la aplicacion f ◦ r : X → Y es una extension de f .

Supongamos ahora que toda aplicacion f : A → Y tiene una extension. En particular, laaplicacion identidad Id : A→ A tiene una extension r : X → A. Esta r es una retraccion. �

Proposicion 4.4.3. Todo retracto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Demostracion. Sea A un retracto del espacio de Hausdorff X y sea r : X → A una retraccion.Consideremos la aplicacion

f : X −→ X ×X, definida por f(x) = (x, r(x)).


f es continua porque al componer con las proyecciones se obtienen dos aplicaciones continuas:la identidad y r. Como A = f−1(∆) y la diagonal ∆ = {(x, x) |x ∈ X} ⊂ X ×X es cerrada,por ser X de Hausdorff (Proposicion 4.1.1), A es un cerrado. �

4.5. Lema de Urysohn

Proposicion 4.5.1 (Lema d’Urysohn). Un espacio X es T4 si, y solo si, para todo par decerrados disjuntos, A y B, existe una aplicacion continua f : X → [0, 1] tal que f(A) = 0 yf(B) = 1.

Demostracion. Supongamos que, dados dos cerrados disjuntos, A y B, existe una aplicacionf : X → [0, 1] tal que f(A) = 0 y f(B) = 1. Entonces U = f−1([0, 12) y V = f−1((12 , 1]) sonabiertos disjuntos que contienen A y B respectivamente. Por tanto X es T4.

Supongamos ahora que X es T4, y A,B dos cerrados disjuntos de X. Sea U1 = X − B.Tenemos A ⊂ U1 y, por ser X un espacio T4, existe un abierto U0 tal que A ⊂ U0 ⊂ U0 ⊂ U1.

Aplicando de nuevo la propiedad T4, tenemos que existe un abierto U 12

tal que

U0 ⊂ U0 ⊂ U 12⊂ U 1

2⊂ U1

De nuevo por la propiedad T4, existen abiertos U 14

y U 34

tales que

U0 ⊂ U0 ⊂ U 14⊂ U 1

4⊂ U 1

2⊂ U 1

2⊂ U 3

4⊂ U 3

4⊂ U1

De la misma manera, existen abiertos U 18, U 3

8, U 5

8y U 7

8tales que

U0 ⊂ U0 ⊂ U 18⊂ U 1

8⊂ U 1

4⊂ U 1

4⊂ U 3

8⊂ U 3

8⊂ U 1

2· · · ⊂ U 7

8⊂ U 7

8⊂ U1

Iterando el proceso obtenemos, para todo m ∈ N− {0}, n ∈ N, con m ≤ 2n, abiertos U m2n

talesque

U0 ⊂ U0 ⊂ · · · ⊂ U m2n⊂ U m

2n⊂ Um+1

2n⊂ · · · ⊂ U1 = X −B

Definimos ahora f : X → [0, 1] por f(x) = ınf {t |x ∈ Ut}, si x 6∈ B , y ponemos f(x) = 1 six ∈ B.

Claramente, f(A) = 0 y f(B) = 1.Para acabar la demostracion solo nos queda ver que f es continua y lo haremos viendo que

las antiimagenes de abiertos de la subbase {[0, a), (b, 1], ∀a, b ∈ (0, 1)} son abiertas. En efecto,

f−1([0, a)) =⋃t<a

Ut

que es abierto por ser union de abiertos. Para ver que f−1((b, 1]) es abierto, probaremos que elcomplementario es cerrado:

X − f−1((b, 1]) = f−1([0, 1]− (b, 1]) = {x ∈ X | f(x) ≤ b} =⋂t>b

Ut ⊂⋂t>b

Ut.

4.5. Lema de Urysohn 63

La ultima inclusion es una igualdad. En efecto, dado Ut , con t > b, para toda s tal que b < t <s < 1,

Ut ⊂ Ut ⊂ Us ⇒ Ut ⊂⋂s>t

Us ⊂⋂s>b

Us ⇒⋂t>b

Ut ⊂⋂s>b

Us

y el subconjunto X − f−1((b, 1]) es cerrado. �


Podemos considerar el Lema de Urysohn como otra manera de separar los cerrados disjun-tos: dando una aplicacion continua en I que tome los valores 0 y 1 respectivamente, sobre losconjuntos. Podrıa parecer que, si la existencia de esta aplicacion para cerrados disjuntos equivalea la existencia de abiertos disjuntos que los contengan, es decir, que el espacio sea T4, lo mismopodrıa pasar para los espacios T3. Pero no es cierto: no existe un resultado similar al Lema deUrysohn para espacios T3. Esto sugiere la definicion de una nueva propiedad de separacion.

Un espacio topologico X se llama completamente regular si, para todo punto x y todo cerradoA, con x 6∈ A, existe una aplicacion f : X → [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(A) = 1. Todo espaciocompletamente regular es T3, pero el recıproco no es cierto.

Un espacio T2 y completamente regular se llama un espacio de Tychonoff .

Ejercicios.

1. Intentad adaptar la demostracion del Lema de Urysohn al caso de espacios T3 y determinadel punto en que eso no es posible. ¿Vale la implicacion en algun sentido?

2. Tal como esta redactada la demostracion del Lema de Urysohn la antiimagen de {0} puedeser mas grande que A. Modificad la eleccion de los Uj iniciales para que sea exactamenteA.

4.6. Teorema de extension de Tietze

El Lema de Urysohn se puede interpretar como un teorema de extension: asegura la existenciade una extension a todo el espacio de la funcion f : A∪B → [0, 1] que toma el valor 0 sobre uncerrado A y el valor 1 sobre otro cerrado B.

Los teoremas que garantizan la existencia de ex-tensiones de aplicaciones son muy importantes,porque dan lugar a resultados interesantes, perono son nada triviales de demostrar y, en general,no son ciertos.

Por ejemplo, la funcion f(x) = sin(1/x) defini-da sobre (0, 1] no se puede extender al intervalocerrado [0, 1].

En la seccion 4.4 ya hemos visto un caso, el de los retractos, para los que se puede asegurar laexistencia de una extension. Ahora vamos a ver un teorema de extension para espacios normales.Fue demostrado por Tietze para espacios metricos y generalizado por Urysohn para espaciosnormales.

Teorema 4.6.1. X es T4 si, y solo si, toda aplicacion continua definida en un subespacio cerradoA ⊂ X, f : A→ [−a.+ a] tiene una extension continua F : X → [−a,+a].

4.6. Teorema de extension de Tietze 65

Demostracion.⇐) Sean A y B dos cerrados disjuntos. Por hipotesis existe una extension a todoX de la aplicacion f : A∪B → [−a,+a] tal que f(A) = −a, f(B) = +a. Sea F : X → [−a,+a]esta extension. Los conjuntos F−1([−a, 0)) y F−1((0,+a]) son abiertos disjuntos de X quecontienen A y B respectivamente. Por tanto, X es normal.

⇒) Supongamos ahora que X es T4 y sean A un cerrado y f : A→ [−a,+a] una aplicacioncontinua. Consideremos los cerrados disjuntos

A− = f−1([−a,−1

3a]), A+ = f−1([

1

3a, a])

Por el Lema de Urysohn existe una aplicacion h : X → [0, 1] que toma el valor 0 sobre A− yel valor 1 sobre A+. Hacemos la composicion con el homeomorfismo t 7→ a

3 (2t − 1) de [0, 1] ∼=[−1

3a,13a]:

g0 : X −→ [−1

3a,

1

3a], g0(x) =

a

3(2h(x)− 1)

Observemos que, si x ∈ A, la diferencia entre los valores |g0(x)− f(x)| ≤ 23a. Es decir,

f − g0 : A −→ [−2

3a,+

2

3a]

A- A+

a/3 a/3-- a a

g(x) = - a / 3 g(x) = a / 3

-a/3 < f(x) < a/3

-a/3 < g(x) < a/3

f(x) f(x)

Iteramos la construccion anterior y, para cada x ∈ A, obtenemos:

f : A→ [−a,+a] Xg0−→ [−1

3 a,+13 a] |(f − g0)(x)| < 2

3 a

f − g0 : A→ J1 Xg1−→ [−(13)(23)a,+(13)(23)a], |(f − g0 − g1)(x)| < (23)2 a

. . . . . .

f −∑n−1

j=0 gj : A→ Jn Xgn−→ [−1

3(23)n a,+13(23)n) a], |

(f −

∑nj=0 gj

)(x)| < (23)n+1 a

. . . . . .

donde Jn = [−(23)na, (23)na].

Definimos F (x) =∑∞

j=0 gj(x), para todo x ∈ X.

Para x ∈ A la diferencia de f con las sumas parciales tiende a cero; por tanto, F (x) = f(x),si x ∈ A.


Probemos que F : X → [−a, a] es continua en todos los puntos. Fijados x ∈ X y un ε > 0,

escogemos un ındice N tal que∑∞

j=N+1

(23

)j< ε

2 .Para cada j = 0, . . . , N , por la continuidad de gj , existe un abierto x ∈ Uj tal que gj(Uj) ∈(

gj(x)− ε2N , gj(x) + ε

2N

). Entonces, para todo y ∈ U0 ∩ · · · ∩ UN ,

|F (x)− F (y)| ≤N∑j=0

|gj(x)− gj(y)|+∞∑

j=N+1

(2

3

)j< N

ε

2N+ε

2= ε

Por lo tanto F es continua. �

Capıtulo 5

Compacidad

La compacidad pertenece al grup de propiedades llamadas de finitud, no por el numero deelementos sino en el sentido de que implican que el espacio no es excesivamente grande. Tambienson propiedades de este tipo los axiomas de numerabilidad. Estas propiedades tienen un papelimportante en la demostracion de muchos resultados.

No existe unanimidad en la nomenclatura. Los topologos prefieren llamar compactos a losque cumplen cierta propiedad de finitud que enunciaremos. En muchas aplicaciones los objetosson subespacios de espacios euclidianos o metricos y son siempre Hausdorff. Ası pues, cuando sehace mencion de que el espacio es compacto implıcitamente se usa tambien que es Hausdorff, loque suele ser importante para el resultado que se quiere aplicar.

Nosotros hemos optado por llamar compactos a los que tienen la propiedad de Hausdorff. Paralos resultados en que no es necesaria esta propiedad de separacion utilizaremos la nomenclaturade casi-compactos.

5.1. Espacios casi-compactos

Diremos que un espacio topologico (X, τ) es casi-compacto si todo recubrimiento abiertoU = {Uj ; j ∈ J} ⊂ τ , X =

⋃j Uj , tiene un subrecubrimiento finito, es decir, existe un numero

finito de abiertos, Uj1 , . . . , Ujm ∈ U , tales que X = Uj1 ∪ · · · ∪ Ujm .

Proposicion 5.1.1. Un espacio X es casi-compacto si, y solo si, para toda familia de cerrados{Fj ; j ∈ J} con interseccion vacıa,

⋂j Fj = ∅, existe una subfamilia finita, {Fj1 , . . . , Fjm}, tal

que Fj1 ∩ · · · ∩ Fjm = ∅.

Demostracion.⋂j Fj = ∅ ⇔

⋃j(X − Fj) = X. El que X sea casi-compacto equivale a la

existencia de un numero finito de los abiertos (X − Fj) que recubran X:

X = (X − Fj1) ∪ · · · ∪ (X − Fjm) = X − (Fj1 ∩ · · · ∩ Fjm)⇔ Fj1 ∩ · · · ∩ Fjm = ∅

�

67

68 5. Compacidad

Ejemplo 5.1.2. La recta euclidiana R no es casi-compacta ya que los abiertos { (−n, n) ; n ∈ N}recubren R y ningun numero finito de ellos recubre R. Analogamente, ningun subespacio noacotado X ⊂ R es casi-compacto, ya que el recubrimiento abierto {X ∩ (−n, n) ; n ∈ N} notiene ningun subrecubrimiento finito.

Los intervalos abiertos (a, b) no son casi-compactos ya que son homeomorfos a R que no escasi-compacto.

Ejemplo 5.1.3. El subespacio X = {0} ∪ { 1n , n ∈ N − {0} } de la recta euclidiana es casi-compacto.

En efecto, sea {Uj}j un recubrimiento abierto de X. Supongamos que 0 ∈ Uk. Entoncesexiste un intervalo abierto (−ε, ε) tal que (−ε, ε) ∩ X ⊂ Uk. Sea N tal que 1

N < ε. Entonces,1n ∈ Uk para todo n ≥ N . Escogemos ahora N − 1 abiertos del recubrimiento tales que

1 ∈ Uj1 ,1

2∈ Uj2 , . . . ,

1

N − 1∈ UjN−1

Estos abiertos, junto con Uk forman un recubrimiento finito de X.

Ejemplo 5.1.4. El subespacio Y = { 1n , n ∈ N−{0} } de la recta euclidiana no es casi-compacto.

En efecto, {1} = (12 , 2) ∩ Y es un abierto de Y y, para todo n ≥ 2, { 1n} = ( 1n+1 ,

1n−1) ∩ Y es

abierto en Y. Por tanto, Y tiene la topologıa discreta, los conjuntos { 1n} forman un recubrimientoabierto de Y y ningun numero finito de ellos recubren Y .

Proposicion 5.1.5. Los intervalos cerrados de la recta euclidiana son casi-compactos.

Demostracion. En efecto, sea {Uj}j un recubrimiento abierto de [a, b]. Sean Vj abiertos de Rtales que Uj = Vj ∩ [a, b]. Consideremos el conjunto

S = {x ∈ [a, b] | [a, x] se puede recubrir por un numero finito de los Uj }.

S no es vacıo puesto que a ∈ S. Por otra parte, si c ∈ S se tiene [a, c] ⊂ S.S es un conjunto acotado de reales y, por tanto, existe un supremo: supS = d. La demostra-

cion consiste en ver que d = b. En efecto, escogemos un abierto del recubrimiento que contengad

d ∈ Uk = Vk ∩ [a, b], Vk abierto de R

Si d < b , existe ε > 0 tal que

d ∈ (d− ε, d+ ε) ⊂ Vk y d+ ε < b

( )[ ]| |

a c d

d - � d + �

b

5.2. Conservacion de la casi-compacidad 69

Por ser d el supremo de S, existe un c ∈ S , d − ε < c ≤ d . Esto significa que existe unnumero finito de abiertos Uj que recubren [a, c]. Estos junto con Uk recubriran [a, d+ ε

2 ] ⊂ [a, b].Lo que contradirıa el que d sea el supremo de S. Por tanto, tiene que ser d = b. (Este ejemploya lo pusimos en 1.6.5) �

Ejercicio. Probad que el subconjunto N ⊂ R no es casi-compacto. Comprobad tambien queN ∼= Y = { 1n , n ∈ N− {0} }. Esto serıa otra manera de demostrar que Y no es casi- compacto.

5.2. Conservacion de la casi-compacidad

Empezaremos por estudiar si un subespacio A de un espacio casi-compacto (X, τ) es tambiencasi-compacto. Supongamos dado un recubrimiento abierto de A: A =

⋃j Vj , donde los Vj sean

abiertos de A; es decir, Vj = Uj ∩ A con los Uj abiertos de X y A ⊂⋃j Uj . La condicion de

que A sea casi-compacto equivale a decir que existe siempre un numero finito de los abiertos Ujtales que A ⊂ Uj1 ∪ · · · ∪ Ujm .

Proposicion 5.2.1. Un subespacio cerrado de un espacio casi-compacto es casi-compacto. Unsubespacio arbitrario de un espacio casi-compacto puede no ser casi-compacto.

Demostracion. Sea F un cerrado del espacio casi-compacto X. Por la Proposicion 5.1.1, paraprobar que F es casi-compacto solo es necesario que, para toda familia de cerrados Fj de F coninterseccion vacıa, exista un numero finito de cerrados de la familia cuya interseccion sea vacıa.Esto es consecuencia de que los Fj tambien son cerrados de X y este espacio es casi-compacto.

El subespacio (a, b) del espacio casi-compacto [a, b] no es casi-compacto. Por lo tanto, lossubespacios no cerrados de un espacio casi-compacto pueden no ser casi-compactos. �

Proposicion 5.2.2. Si f : X → Y es una aplicacion continua y exhaustiva, con X casi-compacto, entonces Y es casi-compacto. En particular, los espacios cocientes de un espaciocasi-compacto son casi-compactos.

Demostracion. Dada una aplicacion continua y exhaustiva f : X → Y , sea {Uj}j un re-cubrimiento abierto de Y . Por ser f continua los subconjuntos f−1(Uj) forman un recubri-miento abierto de X. Por ser X casi-compacto, existen un numero finito que recubren X:X = f−1Uj1 ∪ · · · ∪ f−1Ujm . Entonces, Y = f

(f−1Uj1

)∪ · · · ∪ f

(f−1Ujm

)= Uj1 ∪ · · · ∪Ujm . �

Proposicion 5.2.3. El producto de dos espacios casi-compactos es casi-compacto.

Demostracion. Sean X y Y espacios casi-compactos y sea {Wj ; j ∈ J} un recubrimientoabierto del producto X × Y .

Fijemos x ∈ X. Para cada y ∈ Y , escogemos un abierto W(x,y) del recubrimiento dado, quecontenga (x, y) y abiertos Ux y Vy de X y Y respectivamente, tales que

70 5. Compacidad

(x, y) ∈ U(x,y) × V(x,y) ⊂W(x,y).

Los abiertos V(x,y) forman un recubrimiento deY y, por ser este espacio casi-compacto, existeun numero finito de ellos que recubren Y : seanV(x,y1), . . . , V(x,ym).

U(x,y) (x,y)x V

x

y

X

Y

Pongamos Ux =⋂mi=1 U(x,yi). Cada “tubo”Ux × Y es union de un numero finito de abiertos

del recubrimiento

Ux × Y ⊂m⋃i=1

U(x,yi) × V(x,yi) ⊂m⋃i1

W(x,yi)

Los Ux forman un recubrimiento abierto de X y, por ser este espacio casi-compacto, existeun numero finito que recubren X. Sea X = Ux1∪· · ·∪Uxk . Como X×Y =

⋃kh=1 Uxh×Y , y cada

Uxh×Y esta recubierto por un numero finito de los abiertos Wj , el espacio X×Y esta recubiertopor un numero finito de abiertos del recubrimiento {Wj}j . Esto acaba la demostracion de lacasi-compacidad de X × Y . �

Esta proposicion implica que el producto de un numero finito de espacios casi-compactos escasi-compacto. El resultado es cierto para cualquier familia de espacios, finita o no. Podeis veruna demostracion en el libro Topologia de James R. Munkres, 2a edicion (2000).

5.3. Casi-compacidad y propiedades de separacion

Un espacio casi-compacto y T2 (Hausdorff) se denomina un espacio compacto.

Proposicion 5.3.1. Sea X un espacio de Hausdorff y K un subespacio casi-compacto (y portanto compacto). Si x 6∈ K, existen abiertos disjuntos U y V , U ∩ V = ∅, tales que x ∈ U ,K ⊂ V .

Demostracion. Para cada y ∈ K escogemos abiertos Uy y Vy disjuntos, Uy∩Vy = ∅, con x ∈ Uy,y ∈ Vy. Por ser K compacto, un numero finito de los abiertos Vy ∩K recubren K. Tenemos

K = (Vy1 ∩K) ∪ · · · ∪ (Vym ∩K) ⊂ Vy1 ∪ · · · ∪ Vym = V.

donde V es un abierto que contiene a K. La interseccion U = Uy1 ∩ · · · ∩ Uym es un abierto quecontiene x. Y estos dos abiertos son disjuntos: U ∩ V = ∅. �

Corolario 5.3.2. Todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado. �

Proposicion 5.3.3. Toda aplicacion continua, f : X → Y , de un espacio casi-compacto X enun espacio de Hausdorff Y , es cerrada.

5.3. Casi-compacidad y propiedades de separacion 71

Demostracion. Sea A un cerrado de X. A es casi-compacto, por ser un cerrado de un espaciocasi-compacto. Por ser f continua, f(A) es casi-compacto. (Proposicion 5.2.2). Por ultimo, f(A)es un subespacio casi-compacto de un espacio de Hausdorff, y por el Corolario 5.3.2, f(A) escerrado. �

Corolario 5.3.4. Toda aplicacion f : X → Y continua y biyectiva, de un espacio casi-compactoX en un espacio de Hausdorff Y , es un homeomorfismo. �

Proposicion 5.3.5. Todo espacio compacto es normal.

Demostracion. Sea X un espacio compacto y A, B, dos cerrados de X. Por las Proposiciones4.3.1 y 5.2.1, A y B son compactos. Por la Proposicion 5.3.1, para cada punto a ∈ A existenabiertos disjuntos Ua, Va tales que a ∈ Ua, B ⊂ Va. Los conjuntos {Ua ∩ A}a∈A forman unrecubrimiento abierto del compacto A. Por tanto, existe un numero finito que recubren: A ⊂Ua1 ∪ · · · ∪ Uam = U . El abierto V = Va1 ∩ · · · ∩ Vam contiene a B y es disjunto del abierto U :U ∩ V = ∅. �

Proposicion 5.3.6. Sea K ⊂ U ⊂ X, donde X es T3, K es casi-compacto y U es abierto.Entonces existe un abierto V tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.

Demostracion. Por ser X un espacio T3, para cada x ∈ K existe un abierto Vx, tal quex ∈ Vx ⊂ Vx ⊂ U . Los conjuntos {Vx ∩K}x∈K forman un recubrimiento abierto del compactoK. Por tanto, existe un numero finito que recubren K. Sea K ⊂ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxm = V . Entonces,

K ⊂ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxm = V ⊂ V = Vx1 ∪ · · · ∪ Vxm ⊂ U

donde V ⊂ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxm , por ser este segundo espacio cerrado. �

Proposicion 5.3.7. Si X es un espacio casi-compacto, el que X sea T3 implica que tambien esT4.

Demostracion. Sea A ⊂ U ⊂ X, con A cerrado, U abierto y X un espacio T3 y casi-compacto.A es casi-compacto por la Proposicion 5.2.1. Entonces, por la Proposicion anterior, existe unabierto V tal que A ⊂ V ⊂ V ⊂ U , lo que demuestra que X es T4. �

Proposicion 5.3.8. Un subespacio de Rn es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.

Demostracion. Sea K un compacto de Rn. Por ser Rn de Hausdorff, K es cerrado (Corolario dela Proposicion 5.3.1). Consideremos el recubrimiento abierto {B(0,m)∩K}m∈N de K. Por ser Kcompacto un numero finito de estos abiertos recubren K y, tomando de estos el correspondientea la bola de radio maximo m0, tenemos que K ⊂ B(0,m0), es decir K es acotado.

72 5. Compacidad

Sea ahora A un cerrado acotado. Por ser acotado existe un intervalo [−N,N ] tal que A ⊂[−N,N ]n ⊂ Rn. El producto [−N,N ]n es compacto, por ser cada uno de los intervalos cerrados[−N,N ] compacto. Es decir, A es subespacio cerrado de un espacio compacto y, por tanto, escompacto. �

Ejercicios.

1. Probad que los subespacios cerrados de espacios compactos son siempre compactos.

2. El producto de espacios compactos, ¿es siempre compacto?

3. La imagen por una aplicacion continua de un espacio compacto, ¿es siempre compacta?

5.4. Espacios localmente casi-compactos

Un espacio se llama localmente casi-compacto si todo punto tiene un entorno casi-compacto.

Ejemplo 5.4.1. Todo espacio casi-compacto X es localmente casi-compacto, puesto que elespacio X es entorno casi-compacto de cualquiera de sus puntos.

Ejemplo 5.4.2. Rn es localmente casi-compacto, aunque no es casi-compacto. En efecto, paratodo punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn tenemos

x ∈ (x1 − 1, x1 + 1)× · · · × (xn − 1, xn + 1) ⊂ [x1 − 1, x1 + 1]× · · · × [xn − 1, xn + 1] ⊂ Rn

El subconjunto (x1−1, x1+1)×· · ·×(xn−1, xn+1) es abierto y [x1−1, x1+1]×· · ·×[xn−1, xn+1]es un entorno casi-compacto de x (por ser producto de casi-compactos).

Ejemplo 5.4.3. El subespacio Q ⊂ R no es localmente casi-compacto. En efecto, sea N unentorno de q ∈ Q. Existe un ε ∈ R−Q tal que

q ∈ (q − ε, q + ε) ∩Q ⊂ N ⊂ Q.

Sean r1, r2, . . . , ri, · · · ∈ R − Q, una sucesion estrictamente creciente contenida en (q − ε, q + ε)con lımite q + ε. Entonces, los abiertos

(−∞, r1) ∩N, (ri, ri+1) ∩N, i ∈ N− {0}, (q + ε,∞) ∩N

forman un recubrimiento abierto de N que no tiene ningun subrecubrimiento finito. Por tanto,N no es casi-compacto y Q no es localmente casi-compacto.

Un subespacio de un espacio localmente casi-compacto puede no serlo. Por ejemplo, R eslocalmente casi-compacto y Q no lo es.

5.5. Espacios localmente compactos 73

Proposicion 5.4.4. Un subespacio cerrado de un espacio localmente casi-compacto es localmen-te casi-compacto.

Demostracion. En efecto, sea A un cerrado de un espacio localmente casi-compacto X. Dadox ∈ A, sea K un entorno casi-compacto de x en X; existe pues un abierto U tal que x ∈ U ⊂ K.Entonces, x ∈ U ∩ A ⊂ K ∩ A. U ∩ A es abierto en A y K ∩ A es casi-compacto, por ser uncerrado del casi-compacto K. Por tanto, K ∩A es un entorno casi-compacto de x en A. �

Proposicion 5.4.5. El producto de un numero finito de espacios localmente casi-compactos eslocalmente casi-compacto.

Demostracion. En efecto, seanX y Y espacios localmente casi-compactos. Dado (x, y) ∈ X×Y ,escogemos entornos casi-compactos de x en X y de y en Y : x ∈ U ⊂ K, y ∈ V ⊂ K ′, con U yV abiertos en X y Y respectivamente, y K y K ′ casi-compactos. Entonces,

(x, y) ∈ U × V ⊂ K ×K ′

con U × V abierto de X × Y y K ×K ′ casi-compacto. �

Se puede demostrar que el producto de una infinidad de espacios localmente casi-compactoses localmente casi-compacto si, y solo si, un numero finito de los espacios son localmente casi-compactos y el resto son casi-compactos.

La imagen por una aplicacion continua de un espacio localmente casi-compacto puede noserlo.

Ejemplo 5.4.6. N y Q son numerables, es decir, existe una aplicacion biyectiva f : N→ Q, quees continua porque N tiene la topologııa discreta. Pero N es localmente compacto y Q no lo es.

5.5. Espacios localmente compactos

Un espacio se llama localmente compacto si es T2 y localmente casi-compacto.

Proposicion 5.5.1. Si X es localmente compacto, para todo entorno U de un punto x ∈ Xexiste un entorno compacto de x contenido en U .

Demostracion. Sea x ∈ U , U abierto de X. Por ser X localmente compacto existe un entornocompacto de x

x ∈W ⊂ K ⊂ X, W abierto en X, K compacto

Por ser compacto, K es T4 y T3. Por tanto, existe un entorno de x, abierto de K, con adherenciaen W ∩ U :

x ∈ V ∩K ⊂ V ∩K ⊂W ∩ U, V abierto en X

74 5. Compacidad

(Observad que, por 5.3.2, K es cerrado en X y la adherencia de V ∩K en K y en X coinciden.) Elcerrado V ∩K deK es compacto, y es entorno de x porque contiene un abierto x ∈ V ∩(W∩U) ⊂V ∩K ⊂ V ∩K. �

En general, se dice que un espacio tiene localmente una cierta propiedad si todo entorno Ude un punto x contiene un entorno V de x con esa propiedad. La idea es que el espacio tieneentornos de sus puntos “tan pequenos como se quiera” con la propiedad en cuestion.

En el caso de espacios localmente casi-compactos, no se sigue este criterio. Si el espaciototal es casi-compacto, el espacio es localmente casi-compacto aunque no tenga entornos casi-compactos “pequenos”. Las Proposiciones 5.5.1 y 5.5.3 nos dicen que en el caso de espacios T2o T3, la nocion de localmente casi-compacto corresponde a la usual para otras propiedades.

Proposicion 5.5.2. Todo espacio localmente compacto es regular.

Demostracion. Dado x ∈ U , U abierto, existe un entorno compacto K de x, es decir, x ∈ V ⊂K ⊂ U , con V abierto. Por el Corolario 5.3.2, K es cerrado. �

Proposicion 5.5.3. Si X es localmente casi-compacto y T3, todo entorno U de un punto, x ∈ X,contiene un entorno casi-compacto y cerrado. Es decir, existen W abierto y K casi-compacto ycerrado, tales que x ∈W ⊂ K ⊂ U .

Demostracion. Sea U un entorno abierto del punto x ∈ X. Por ser X localmente casi-compactoexiste un entorno casi-compacto C de x; sea x ∈W ′ ⊂ C, con W ′ abierto en X.

Por ser X un espacio T3, existe un abierto V de X tal que

x ∈ V ⊂ V ⊂ U ∩W ′ ⊂ C,

donde V es casi-compacto, por ser un cerrado de un espacio C casi-compacto. �

La Proposicion 5.5.2 nos dice que todo espacio localmente casi-compacto y T2 es tambienT3. No es cierto que todo espacio localmente casi-compacto y T3 sea T2. Por ejemplo, Z con latopologıa que tiene como base los conjuntos de la forma {2n − 1, 2n}, para todo n ∈ Z, y elconjunto ∅, es localmente casi-compacto y T3, pero no es T2.

Los espacios localmente compactos se comportan bien respecto productos de identificacionesen el sentido de la siguiente proposicion.

Proposicion 5.5.4. Sea p : X → Y una identificacion y Z un espacio localmente compacto.Entonces, p× IZ : X × Z → Y × Z es una identificacion.

Demostracion. Tenemos que probar que W ⊂ Y × Z es abierto si, y solo si, (p × IZ)−1(W )es abierto en X × Z. Veamos primero que (p × IZ) es continua. En efecto, sabemos que unaaplicacion en un producto es continua si, y solo si, lo son las composiciones con las proyecciones.En este caso las proyecciones son

X × Z p×IZ−→ Y × Z πY−→ Y, X × Z p×IZ−→ Y × Z πZ−→ Z,

5.5. Espacios localmente compactos 75

que coinciden respectivamente con las composiciones de aplicaciones continuas

X × Z πX−→ Xp−→ Y, X × Z πZ−→ Z.

donde πX , πY y πZ son proyecciones.Probaremos ahora que (p× IZ)−1(W ) abierto en X ×Z implica que W es abierto en Y ×Z.

Sea (y0, z0) ∈W . Escogemos x0 ∈ X tal que p(x0) = y0 y un entorno

(x0, z0) ∈ U × V ⊂ (p× IZ)−1(W ).

Por ser Z localmente compacto podemos escoger un entorno compacto K de z0 dentro de V(Proposicion 5.5.1): Sea z0 ∈ L ⊂ K ⊂ V con L abierto de Z y K compacto. Entonces,(x0, z0) ∈ U ×K ⊂ (p× IZ)−1(W ). Consideremos el subespacio de X

x0 ∈ U ⊂M = {x ∈ X | {x} ×K ⊂ (p× IZ)−1(W ) }.

Es dcir, M es el mayor subespacio de X tal que M ×K ⊂ (p× IZ)−1(W ).

X Y

Z Z

x0 y0

z0 z0

V

K K

L L

M p(M)

p x IZ

U

(p x I )z (W)-1 W

Paso 1: M es abierto.

En efecto, dado x ∈M , para cada z ∈ K escogemos abiertos Az y Bz tales que

(x, z) ∈ Az ×Bz ⊂ (p× IZ)−1(W ).

Por ser K compacto, un numero finito de los abiertos {Bz}z recubren K : K ⊂Bz1 ∪ · · · ∪Bzk . Pongamos Ax =

⋂ki=1Azi , Bx =

⋃ki=1Bzi . Tenemos

Ax ×K ⊂ Ax ×Bx ⊂ (p× IZ)−1(W )

y, por tanto, x ∈ Ax ⊂M . Lo que demuestra que M es abierto.

Paso 2: Se cumple que p−1(p(M)) = M

Siempre M ⊂ p−1(p(M)). Sea ahora z ∈ p−1(p(M)). Escogemos un x ∈ M tal quep(z) = p(x). Por tanto,

{p(z)} ×K = {p(x)} ×K = (p× IZ)({x} ×K) ⊂W,

por ser x ∈M . Entonces, {z} ×K ⊂ (p× IZ)−1(W ), de donde resulta que z ∈M .

76 5. Compacidad

Paso 3: p(M) es abierto.

En efecto, por hipotesis p es una identificacion y, por tanto, p(M) es abierto sip−1(p(M)) = M lo es, y ya hemos visto que M es efectivamente un abierto de X.

Tenemos pues

(y0, z0) ∈ p(M)× L ⊂ p(M)×K ⊂W

con p(M) × L abierto de Y × Z. Por tanto, W es un abierto de Y × Z y esto demuestra que(p× IZ) es una identificacion. �

Corolario 5.5.5. Sean p : X → Y y q : W → Z dos identificaciones, con Y y W espacioslocalmente compactos. Entonces, p× q : X ×W → Y × Z es una identificacion.

Demostracion. p× q es composicion de

p× IW : X ×W → Y ×W, y IY × q : Y ×W → Y × Z,

que son identificaciones por la Proposicion anterior. Como la composicion de dos identificacioneses una identificacion, p× q es una identificacion. �

5.6. Compactificacion

Los espacios compactos tienen buenas propiedades que permiten trabajar bien con ellos.Por eso, cuando el espacio con el que se trabaja no es compacto, resulta util encontrar unespacio compacto que lo contenga como subespacio. No siempre podremos hacerlo. Por ejemplo,claramente es condicion necesaria que el espacio de partida sea ya T2.

Observemos que si X ⊂ Y , con Y compacte, entonces X ⊂ X ⊂ Y , donde X es cerrado enY y, por tanto, tambien compacto. Esto justifica que pidamos, ya de entrada, que X sea densoen el espacio compacto que lo contiene.

Sea X un espacio T2. Una compactificacion de X es un espacio compacto Y y una aplicacioncontinua

h : X −→ Y,

tal que: (i) h es un homeomorfismo de X en h(X), (ii) Y es compacto y (iii) h(X) = Y.

Existen diferentes formas de construir compactificaciones de un espacio X. Dependiendo de laconstruccion que se haga, X debera cumplir algunas propiedades que permitan la construccion.Las compactificaciones mas usuales son las de Alexandroff y la de Stone-Cech. Nosotros nosocuparemos de la primera.

5.6. Compactificacion 77

Dado un espacio topologico (X, τ) definimos un nuevo espacio topologico (X, τ) de la si-guiente forma: Sea ∗ 6∈ X, ponemos

X = X ∪ {∗}, τ = τ ∪ {U | ∗ ∈ U, X − U es un compacto de X }.

(Comprobad que τ es una topologıa.) Consideremos la inclusion

h : X −→ X, definida por h(x) = x,∀x ∈ X.

h es continua si, y solo si, los complementarios de subconjuntos compactos de X son abiertosde X, es decir si los compactos de X son cerrados. Esto es cierto si suponemos que X es unespacio T2 (cosa que ya hemos dicho que tambien es necesaria si queremos obtener un espaciocompacto que contenga X). h tambien es abierta. Por tanto, h es un homeomorfismo de (X, τ)en su imagen (h(X), τ|h(X)).

h(X) = X si todo entorno U del punto ∗ corta h(X) = X. Es decir, si {∗} no es abierto oequivalentmente si X−{∗} = X no es compacto. Ahora bien, si X fuera compacto no estarıamosbuscando ninguna compactificacion de X! Supongamos pues que X no es compacto.

¿Es (X, τ) un espacio casi-compacto? Sı. En efecto, supongamos que {Uj}j es un recubri-miento abierto de X. Escogemos uno de los abiertos que contenga ∗: sea ∗ ∈ Uj0 . Por la definicionde τ , X − Uj0 = K es un compacto de X y, para todo j, los subconjuntos Uj ∩ X son abier-tos de X. K esta recubierto por estos abiertos y, por ser compacto, por un numero finito deellos: K ⊂ (Uj1 ∩ X) ∪ · · · ∪ (Ujm ∩ X). Por tanto, X =

⋃mk=0 Ujk . Esto demuestra que X es

casi-compacto.

¿Es (X, τ) un espacio de Hausdorff? Sean x 6= y dos puntos de X = h(X) ⊂ X. Por ser Xde Hausdorff, existen abiertos disjuntos de X tales que x ∈ U y y ∈ V . Por definicion de τ , U yV son tambien abiertos de τ .

Consideremos ahora el caso ∗ 6= x. Los entornos de ∗ son de la forma U = X −K con K uncompacto de X. El que x no sea de este entorno U equivale a que x ∈ K. Si un entorno abierto Vde x no corta U quiere decir que x ∈ V ⊂ K. Por tanto, ∗ y x tienen entornos abiertos disjuntossi, y solo si, x tiene un entorno compacto en X. Es decir, el espacio (X, τ) es de Hausdorff si, ysolo si, el espacio X es localmente compacto.

Resumimos la construccion de X en el siguiente teorema.

Teorema 5.6.1. Sea (X, τ) un espacio topologico localmente compacto y no compacto. Sea(X, τ) definido por

X = X ∪ {∗}, τ = τ ∪ {U | ∗ ∈ U, X − U es un compacto de (X, τ) }.

Entonces (X, τ) es un espacio topologico y, junto con la inclusion h : X ↪→ X, es una compac-tificacion de (X, τ). �

El espacio (X, τ) se llama la compactificacion de Alexandroff o compactificacion por un puntode X.

78 5. Compacidad

Observemos que, con la notacion del Teorema 5.6.1, h(X) = X es un abierto de X. Elteorema que sigue demuestra que la compactificacion por un punto es unica.

Proposicion 5.6.2. Sea (X, τ) un espacio topologico localmente compacto, no compacto, y sea(X, τ) la compactificacion de Alexandroff. Sea (X∗, τ∗) y h∗ : X → X∗, otra compactificacionde X tal que X∗ = h∗(X) ∪ {z0}, con z0 6∈ h∗(X). Entonces, la aplicacion ϕ:

X

h∗

~~

h

��X∗

ϕ // X

ϕ(h∗(x)) = h(x),∀x ∈ X, ϕ(z0) = ∗

es un homeomorfismo.

Demostracion. ϕ es una aplicacion biyectiva entre dos espacios compactos. Por tanto, si de-mostramos que es continua tendremos que es un homeomorfismo.

Dado un abierto U ∈ τ ⊂ τ tenemos que ϕ−1(U) = h∗(h−1(U)). Por ser h y h∗ homeomor-fismos en sus imagenes, ϕ−1(U) es un abierto de h∗(X) = X∗ − {z0}, y este conjunto es abiertopor ser el complementario de un punto en un espacio T2. Por tanto ϕ−1(U) es abierto en X∗.

Si U = X −K con K compacto de X, tenemos que

ϕ−1(U) = X∗ − ϕ−1(K) = X∗ − h∗(h−1(K)) = X∗ − h∗(K)

donde h∗(K) es casi-compacto, por ser imagen de un compacto, y es cerrado por ser un casi-compacto de un espacio de Hausdorff. Por tanto, ϕ−1(U) es abierto para todo abierto U , y ϕ escontinua. �

Ejemplo 5.6.3. S1 es la compactificacion por un punto de (0, 1), via la inclusion

h : (0, 1) −→ S1, definida por h(t) = (cos 2πt, sin 2πt).

S1 es compacto por ser un cerrado y acotado de R2. h es un homeomorfismo de (0, 1) sobre S1−{(1, 0)}, que es abierto y denso en S1. Por la Proposicion 5.6.2, S1 resulta ser la compactificacionde Alexandroff de (0, 1).

Ejemplo 5.6.4. Sn es la compactificacion por un punto de Rn. En efecto, por la Proposicion5.6.2, Sn es la compactificacion por un punto de Sn−{(0, . . . , 0, 1)}, y este espacio es homeomorfoa Rn.

Ejemplo 5.6.5. Consideremos los siguientes subespacios de la recta R: X = {0} ∪ { 1n , n ∈N−{0} } y Y = { 1n , n ∈ N−{0} }. El espacio X es la compactificacion por un punto del espacioY .

5.6. Compactificacion 79

Ejemplo 5.6.6. La inclusion (0, 1)→ [0, 1] es una compactificacion, que no es compactificacionpor un punto.

Ejemplo 5.6.7. Sea X = X ∪ {∗} y Y = Y ∪ {+} las compactificaciones por un punto de X yY respectivamente. Designemos por X ∨ Y el espacio cociente de la union disjunta X t Y por{∗,+}. Entonces X ∨ Y es la compactificacion por un punto de X t Y , via

h : X t Y ↪→ X t Y π−→ X ∨ Y , ∞ = h ({∗,+})

En efecto, X ∨ Y es casi-compacto por ser imagen del casi-compacto X t Y . Ademas, X t Yes compacte y, por tanto, T4 (Proposicion 5.3.5); de aquı resulta facilmente que el cociente por

un cerrado,(X t Y

)/{∗,+}, es un espacio T2. Por ultimo, todo entorno abierto W de ∞ tiene

antiimagen por ππ−1(W ) = U t V, ∗ ∈ U, + ∈ V

con U ∩X 6= ∅ y V ∩ Y 6= ∅; por tanto W corta a h(X t Y ). Es decir, h(X t Y ) = X ∨ Y .

Ejemplo 5.6.8. De los ejemplos 5.6.3 y 5.6.7 resulta que la compactificacion por un punto deX = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ · · · ∪ (k − 1, k) es la union puntual de k circunferencias, S1 ∨ · · · ∨ S1.

80 5. Compacidad

Capıtulo 6

Propiedades de conexion

6.1. Espacios conexos

Se dice que un espacio topologico (X, τ) no es conexo si se puede poner como union de dossubconjuntos abiertos no vacıos disjuntos (y que, por tanto, son tambien cerrados)

X = U ∪ V, U, V ∈ τ, U 6= ∅, V 6= ∅

Es decir, un espacio X es conexo si, y solo si, los unicos subconjuntos que son simultaneamenteabiertos y cerrados son X y ∅.

Ejemplo 6.1.1. Todo espacio con la topologıa burda es conexo.Ningun espacio con mas de un punto y la topologıa discreta es conexo.

Ejemplo 6.1.2. El conjunto de los racionales Q con la topologıa euclidiana no es conexo.El subespacio (0, 1) ∪ [2, 4] de R no es conexo.

Proposicion 6.1.3. Un subespacio X ⊂ R es conexo si, y solo si, X es un intervalo: X = [a, b],o X = (a, b) o X = [a, b) o X = (a, b], donde a y b pueden ser ±∞.

Demostracion. ⇒ ) Sea X un espacio conexo. Para todo par x, y ∈ X tenemos [x, y] ∈ X . Enefecto, si z ∈ [x, y] no es de X, entonces X es union de dos abiertos no vacıos disjuntos:

X = ((−∞, z) ∩X) ∪ ((z,+∞) ∩X) ,

en contra de que X sea conexo. Por tanto, si a y b son el ınfimo y el supremo de X, X es elintervalo (cerrado, abierto o semiabierto) determinado por estos puntos.

⇐ ) Supongamos ahora que X es un intervalo (cerrado, abierto o semiabierto) con extremosa y b. Supongamos que X no es conexo

X = H ∪K, H ∩K = ∅, H y K abiertos y cerrados no vacıos de X

81

82 6. Propiedades de conexion

Sea x ∈ H, z ∈ K. Podemos suponer que x es menor que z: x < z. Por ser X un intervalo,[x, z] ⊂ X. Consideremos

y = sup{t ∈ [x, z] ; t ∈ H}

y es de la adherencia de H y, por ser H un cerrado de X, y ∈ H. Ahora bien, H tambien esabierto y existe ε tal que (y − ε, y + ε) ∩X ⊂ H

[ ]( )Ix z

y y+�y-�

y < z ya que z ∈ K. Por tanto, ∅ 6= (y − ε, y + ε) ∩ [x, z] ⊂ (y − ε, y + ε) ∩ X ⊂ H lo queimplica que y no serıa el supremo de los puntos de [x, z] ∩H. �

Ya hemos visto en ejemplos anteriores que un subespacio de un espacio conexo puede no serconexo.

Proposicion 6.1.4. (i) Sea C un subespacio conexo de un espacio X. Todo subespacio A talque C ⊂ A ⊂ C es tambien conexo.

(ii) Si {Cj | j ∈ J} es una familia de subespacios conexos de X tal que uno de los subespacios,Cj0 corta al resto, Cj ∩ Cj0 6= ∅ para todo j, entonces

⋃j Cj es conexo.

Demostracion. (i) Supongamos que A = U ′ ∪ V ′, donde U ′ ∩ V ′ = ∅ y U ′, V ′ son abiertos deA. Es decir, U ′ = U ∩A y V ′ = V ∩A, con U y V abiertos de X (no necesariamente disjuntos).Entonces, C es tambien union de dos abiertos (de C) disjuntos

C = (U ′ ∩ C) ∪ (V ′ ∩ C) = (U ∩ C) ∪ (V ∩ C)

y, por ser C conexo, uno de estos abiertos tiene que ser C y el otro vacıo. Sea C ∩ V = ∅. Estoimplica que C es subconjunto del cerrado X−V , de donde C ⊂ X−V y, por tanto, A ⊂ X−Vy V ′ = A ∩ V = ∅. Esto prueba que A es conexo.

(ii) Supongamos que⋃j Cj = U ∪ V , donde U y V son abiertos disjuntos. Para todo j

tenemos Cj = (Cj ∩ U) ∪ (Cj ∩ V ) y, por ser Cj conexo, uno de estos conjuntos tiene que servacıo y el otro todo Cj . Supongamos que, en el caso de j0 tenemos Cj0 ∩ V = ∅. Entonces, paracualquier otro Cj , como Cj ∩ Cj0 6= ∅, se debera cumplir tambien Cj ∩ V = ∅ y, por tanto,(⋃j Cj) ∩ V = ∅. Esto prueba que

⋃j Cj es conexo. �

El producto de una familia de espacios conexos es conexo. Dare ahora la demostracionpara el caso de una familia finita y, cuando hayamos hablado de componentes conexas, dare lademostracion para cualquier familia.

Proposicion 6.1.5. El producto de una familia finita de espacios conexos es conexo.

6.1. Espacios conexos 83

Demostracion. Basta con demostrarlo para el producto de dos espacios conexos X×Y. Fijemosy0 ∈ Y . Las aplicaciones

X −→ X × {y0}, Y −→ {x} × Y, para todo x ∈ X

son homeomorfismos de X y Y en subespacios de X × Y que son, por tanto, tambien conexos.Ademas, el subespacio X × {y0} corta a todos los subespacios {x} × Y . Podemos aplicar ahorala Proposicion 6.1.4 (ii), para deducir que X × Y es conexo. �

Proposicion 6.1.6. La imagen por una aplicacion continua de un espacio conexo es conexa.

Demostracion. Sea f : X → Y una aplicacion continua y exhaustiva. Supongamos que Y esunion de dos abiertos disjuntos: Y = U ∪ V . Entonces, X = f−1(U) ∪ f−1(V ), donde f−1(U) yf−1(V ) son abiertos disjuntos de X. Por ser X conexo, uno de estos abiertos es vacıo y el otrotodo X. Sea f−1(U) = X. Entonces, U = Y y V = ∅, lo que demuestra que Y es conexo. �

Corolario 6.1.7. Teorema de Bolzano. Si X es conexo y f : X → R es una aplicacioncontinua tal que f(x) 6= f(y), para ciertos x, y ∈ X, entonces para todo real r ∈ ( f(x), f(y)) ,existe un z ∈ X tal que f(z) = r.

Demostracion. Si r 6∈ Im f tendrıamos Im f = ((−∞, r) ∩ Im f) ∪ ((r,+∞) ∩ Im f), y Im fserıa union de dos abiertos disjuntos no vacıos. Eso no es posible ya que Im f es conexo, por serimagen de un conexo. �

Corolario 6.1.8. Si f : [a, b]→ R es una aplicacion continua tal que f(a) · f(b) < 0, entoncesexiste un t ∈ [a, b] tal que f(t) = 0. �

Proposicion 6.1.9. Si f : S1 → R es una aplicacion continua, existe un z ∈ S1 tal quef(z) = f(−z).

Demostracion. Definimos la aplicacion F : S1 → R por F (z) = f(z)−f(−z). Si F (z) = 0 paratodo z ∈ R, entonces f(z) = f(−z) para todo z . Si F (z) 6= 0, tenemos que F (z) = −F (−z) yuno de los reales F (z), F (−z), es positivo y el otro negativo. Por la Proposicion 6.1.7 existe z0tal que F (z0) = 0 y f(z0) = f(−z0). �

La Proposicion 6.1.9 tiene consecuencias curiosas. Por ejemplo, si suponemos que la tempe-ratura (o la presion o cualquier otra medida) varıan con continuidad sobre la superficie terrestre,en cada momento hay dos puntos antipodales sobre el mismo meridiano con la misma tempera-tura. Naturalmente lo mismo cierto sobre un paralelo o sobre cualquier otra circunferencia sobrela Tierra.


6.2. Componentes conexas

Dado un espacio topologico X consideremos la siguiente relacion: x ∼ y ⇔ existe un sub-conjunto conexo C de X, que contiene estos puntos: x, y ∈ C. Esta relacion es de equivalencia(la Proposicion 6.1.4 prueba la transitividad). Las clases de equivalencia por esta relacion sellaman componentes conexas de X. La componente conexa de un punto x ∈ X es la clase deequivalencia que contiene el punto x.

Proposicion 6.2.1. La componente conexa C de un punto x ∈ X es el mayor de los subespaciosconexos de X que contiene x, en el sentido de que todo subespacio conexo A que contenga xesta contenido en C: x ∈ A ⊂ C.

Demostracion. Consideremos la union de todos los subespacios conexos que contienen a x. Estaunion es precisamente la clase de equivalencia que contiene x, es decir su componente conexaC. La Proposicion 6.1.4 (ii) nos dice que C es conexo y, por ser union de todos los conexos quecontienen a x, es el mayor de todos ellos en el sentido del enunciado. �

Como consecuencia de la Proposicion 6.1.4 resulta:

Proposicion 6.2.2. Las componentes conexas de un espacio son cerradas. �

Ejemplo 6.2.3. En un espacio con la topologıa discreta la componente conexa de cada puntoes el propio punto.

La componente conexa de un punto q de Q es {q}.

Ejemplo 6.2.4. Sea X = A ∪B con

A = {(x, sin πx ) | ∀x ∈ (0, 1)}, y

B = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}.

y la topologıa inducida por la topologıa eucli-diana de R2. El subespacio A es conexo ya quees la imagen del espacio conexo (0, 1) por laaplicacion continua f : (0, 1) → A definida porf(x) = (x, sin π

x ). Como X = A, la Proposicion6.1.4 (i) nos dice que X tambien es conexo.

Proposicion 6.2.5. El producto de una familia arbitraria de espacios conexos es conexo.

Demostracion. Sea X =∏j∈J Xj el producto de los espacios conexos Xj . Fijemos un punto

x = (xj) y designemos por C la componente conexa de x. Tenemos que probar que C = C = X,es decir, que C corta a todos los abiertos B de la base usual de X.

6.3. Espacios localmente conexos 85

Sean pj : X → Xj las proyeciones del producto en cada espacio Xj y sea

B = p−1j1 (Uj1) ∩ · · · ∩ p−1jk (Ujk) con Uji abierto de Xji para todo i = 1, . . . , k.

Escogemos un punto y = (yj) ⊂ X tal que yj = xj , si j 6= j1, . . . , jk , y yji ∈ Uji , si i = 1, . . . , k .En particular y ∈ B . Entonces,

x, y ∈ S = {p = (pj) ∈ X | pj = xj , ∀ j 6= j1, . . . , jk}

S es la imagen de la aplicacion continua

ϕ : Xj1 × · · · ×Xjk −→ X =∏j∈J

Xj , ϕ(zj1 , . . . zjk) = (zj), zj = xj , si j 6= j1, . . . , jk

Xj1×· · ·×Xjk es conexo por ser producto de un numero finito de conjuntos conexos (Proposicion6.1.5). Por tanto, S = Imϕ tambien es conexo y, como contiene a x, esta contenido en sucomponente conexa:

y ∈ B ∩ S ⊂ B ∩ C ⇒ B ∩ C 6= ∅

lo que demuestra que C es denso en X: C = C = X. �

6.3. Espacios localmente conexos

Un espacio X se llama localmente conexo si para todo punto x ∈ X y todo entorno U de x,existe un entorno conexo de x contenido en U .

Ejemplo 6.3.1. Rn es conexo y localmente conexo, para todo n ≥ 1. Q no es ni conexo nilocalmente conexo.

El subespacio (0, 1) ∪ [2, 3] de R no es conexo, pero es localmente conexo.

Ejemplo 6.3.2. El subespacio de R2, X = A ∪B con

A = {(x, sin πx

) | ∀x ∈ (0, 1)} y B = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}

del ejemplo 6.2.3, es conexo, pero no es localmente conexo. En efecto, B((0, 12), 1

4

)∩ X no

contiene ningun entorno conexo, de su centro.

Estos ejemplos demuestran que ni conexo implica localmente conexo, ni localmente conexoimplica conexo. (Recordad que casi-compacto sı implica localmente casi-compacto.)

Proposicion 6.3.3. Las componentes conexas de un espacio localmente conexo son abiertas (ycerradas).


Demostracion. Sea C una componente conexa de un espacio X, y sea x ∈ C. Por ser Xlocalmente conexo, x tiene un entorno conexo N : x ∈ U ⊂ N ⊂ C, con U abierto. Lo queprueba que C es abierto. �

Un subespacio de un espacio localmente conexo puede no ser localmente conexo. Por ejemploQ no es localmente conexo y R sı es localmente conexo.

Proposicion 6.3.4. Un subespacio abierto de un espacio localmente conexo es localmente co-nexo.

Demostracion. Sea A un subespacio abierto del espacio localmente conexo X, a ∈ A y U unentorno de a en A. Por ser A abierto, U tambien es entorno de a en X. Por ser X localmenteconexo, existe un entorno V de a en X, que es conexo y contenido en U . V es tambien entorno(conexo) de a en A. �

Proposicion 6.3.5. El producto de un numero finito de espacios localmente conexos es local-mente conexo.

Demostracion. Si X y Y son localmente conexos y W es un entorno de un punto (x, y) deX × Y , podemos escoger abiertos U y V de X y Y respectivamente tales que (x, y) ∈ U × V ⊂W ⊂ X×Y . Por ser X y Y localmente conexos, existen abiertos U ′ y V ′ y conexos N y M talesque x ∈ U ′ ⊂ N ⊂ U , y ∈ V ′ ⊂M ⊂ V . Entonces

(x, y) ∈ U ′ × V ′ ⊂ N ×M ⊂ U × V ⊂W,

y N ×M es un entorno conexo de (x, y) contenido en W . �

Se puede demostrar (pero no lo haremos), que el producto de una familia arbitraria deespacios es localmente conexo si, y solo si, todos los espacios son conexos y localmente conexos,salvo un numero finito de ellos que pueden ser solo localmente conexos.

Proposicion 6.3.6. Si f : X → Y es una aplicacion exhaustiva, continua y abierta, y X eslocalmente conexo, entonces Y es localmente conexo.

Demostracion. Si f(x) ∈ U con U abierto de Y , tenemos que x ∈ f−1(U), con f−1(U) abiertode X. Sea N un entorno conexo de x tal que x ∈ V ⊂ N ⊂ f−1(U), donde V es abierto y existepor ser N entorno. Entonces,

f(x) ∈ f(V ) ⊂ f(N) ⊂ U,donde f(V ) es abierto, por ser f abierta, y por tanto f(N) es entorno de f(x). f(N) es conexopor ser imagen de un conexo. �

En general, la imagen por una identificacion de un espacio localmente conexo es localmenteconexa.

6.4. Espacios arco-conexos 87

Proposicion 6.3.7. Sea f : X → Y una identificacion; si X es localmente conexo, Y tambeenes localmente conexo.

Demostracion. Sea U un entorno abierto de un punto y ∈ Y . Designemos por E la componenteconexa de y en U : y ∈ E ⊂ U . La demostracion consiste en probar que E es abierto.

f−1(U) es un abierto de un espacio localmente conexo y, por tanto, sus componentes conexasson abiertas. Las imagenes (de estas componentes) son conexas y, por tanto, contenidas encomponentes conexas de U . Designemos por {Cj | j ∈ J} las componentes conexas de f−1(U)que se aplican dentro de E.

f−1(E) =⋃j∈J Cj es abierto de X (por ser union de abiertos de f−1(U), que es abierto de

X). Entonces, por ser f una identificacion, E es abierto. Por lo tanto, E es un entorno conexode y contenido en U . �

6.4. Espacios arco-conexos

Un espacio topologico X se llama arco-conexo si para todo par de puntos p, q ∈ X existe unaaplicacion continua f : [0, 1] → X tal que f(0) = p, f(1) = q. La aplicacion f se llama camino(o arco) con origen el punt p y final el punt q.

Proposicion 6.4.1. Todo espacio arco-conexo es conexo.

Demostracion. Si p, q son dos puntos arbitrarios de X y f : [0, 1]→ X es un camino con origenp y final q, resulta que p, q ∈ f([0, 1]) y f([0, 1]) es conexo. Es decir, todos los puntos de X estanen la misma componente conexa. Por tanto, X es conexo. �

Ejemplo 6.4.2. Rn es arco-conexo. En efecto, dados p, q ∈ Rn la aplicacion f : [0, 1] → Rn,definida por f(t) = (1− t)p+ tq, es un camino con origen p y final q.

Ejemplo 6.4.3. Sn es arco-conexo para n ≥ 1. En efecto, dados p, q ∈ Sn que no sean antipo-dales, el camino:

ω : [0, 1] −→ Sn, ω(t) =(1− t)p+ tq

‖(1− t)p+ tq‖tiene origen en p y final en q. Para unir dos puntos antipodales p,−p podemos utilizar un tercerpunto q y componer el camino ω1 con origen p y final q, con el camino ω2, con origen q y final−p:

p

q

ω(t) = ω1(2t) si 0 ≤ t ≤ 12

ω(t) = ω2(2t− 1) si 12 ≤ t ≤ 1

}


Ejemplo 6.4.4. El espacio Rn − {0} es arco-conexo si n ≥ 2. Para n = 1, como R− {0} no esconexo, tampoco es arco-conexo.

Ejemplo 6.4.5. El subespacio de R2, X = A ∪B donde

A = {(x, sin πx

) | ∀x ∈ (0, 1)} y B = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}

del ejemplo 6.2.3 es conexo, como vimos en el ejemplo 6.2.4, pero no es arco-conexo.En efecto, sea f : [0, 1] → X un camino de X. Supon-gamos que f(t0) ∈ B para un cierto t0 ∈ [0, 1]. Dado ε,existe un entorno U = (t0 − δ, t0 + δ) ∩ [0, 1] de t0 tal quef(U) ⊂ B(f(t0), ε) ∩ X. Como f(U) es conexo, por ser-lo U , su imagen tiene que estar dentro de la componenteconexa de B(f(t0), ε) ∩ X que contiene f(t0). Tomando εsuficientemente pequen o resulta que esta componente esB(f(t0), ε) ∩ B. Por tanto, f(U) ⊂ B. Esto demuestra queel conjunto f−1(B) de puntos que se aplican en B es abierto.Pero, por ser B cerrado en X, f−1(B) tambien es cerrado.Como [0, 1] es conexo, f−1(B) tiene que ser todo [0, 1]. Enparticular, no existe ningun camino con origen en B y finalen A.

f(to)

B

B(f(to), )�

A

Un subespacio de un espacio arco-conexo, puede no ser arco-conexo.

Proposicion 6.4.6. Si {Cj | j ∈ J} es una familia de subespacios arco-conexos de X tal queuno de los subespacios, Cj0 corta o todos los demas, Cj ∩ Cj0 6= ∅ para todo j, entonces

⋃j Cj

es arco-conexo.

Demostracion. Dados dos puntos x, y ∈⋃j Cj supongamos que x ∈ Ck, y ∈ Ch. Escogemos

puntos xk ∈ Ck ∩ Cj0 , xh ∈ Ch ∩ Cj0 y caminos ωk, ωj0 , ωh en los espacios Ck, Cj0 y Chrespectivamente tales que ωk(0) = x, ωk(1) = xk = ωj0(0), ωj0(1) = xh = ωh(0) y ωh(1) = y.Entonces, la aplicacion f : [0, 1]→

⋃j Cj definida por

f(t) = ωk(3t) si 0 ≤ t ≤ 1

3, f(t) = ωj0(3t−1) si

1

3≤ t ≤ 2

3, f(t) = ωh(3t−2) si

2

3≤ t ≤ 1

es un camino con origen x, final y. �

Proposicion 6.4.7. El producto de espacios arco-conexos es arco-conexo.

Demostracion. Sean x = (xj), y = (yj) ∈ X =∏j∈J Xj . Si todos los espacios Xj son arco-

conexos existen caminos fj : [0, 1] → Xj con origen xj y final yj . Entonces, la aplicacionf : [0, 1]→ X definida por f(t) = (fj(t)) es un camino con origen x, final y. �

6.5. Componentes arco-conexas 89

Proposicion 6.4.8. La imagen por una aplicacion continua de un espacio arco-conexo es arco-conexa.

Demostracion. En efecto, sea f : X → Y una aplicacion continua y exhaustiva. Dados dospuntos y1, y2 ∈ Y , escogemos dos antiimagenes, f(x1) = y1, f(x2) = y2, y un camino ω : [0, 1]→X con origen x1 y final x2. Entonces f ◦ω : [0, 1]→ Y es un camino con origen y1 y final y2. �

6.5. Componentes arco-conexas

Dado un espacio topologico X consideremos la siguiente relacion de equivalencia: x ∼ y ⇔existe un camino ω : [0, 1] → X con origen x y final y. Las clases de equivalencia por estarelacion se llaman componentes arco-conexas o arco-componentes de X. La arco-componente deun punto x ∈ X es la clase de equivalencia que contiene el punto x.

Proposicion 6.5.1. La arco-componente C de un punto x ∈ X es el mayor de los subespaciosarco-conexos de X que contiene x, en el sentido que todo subespacio arco-conexo A que contengax esta contenido en C: x ∈ A ⊂ C.

Demostracion. Consideremos la union de todos los subespacios arco-conexos que contienenx. Esta union es precisamente la clase de equivalencia que contiene x, es decir su componentearco-conexa C. Entonces la Proposicion 6.4.6 nos dice que C es arco-conexo y, por ser union detodos los arco-conexos que contienen x, es el mayor de todos ellos en el sentido del enunciado.�

Ejemplo 6.5.2. Las componentes arco-conexas de Q estan formadas por un unico punto.

Ejemplo 6.5.3. El subespacio de R2, X = A ∪B con

A = {(x, sin πx

) | ∀x ∈ (0, 1)} y B = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}

del ejemplo 6.2.3 tiene dos componentes arco-conexas A y B. La arco-componente A es abierta,pero no cerrada; la arco-componente B es cerrada, pero no abierta.

6.6. Espacios localmente arco-conexos

Un espacio topologico X se llama localmente arco-conexo si para todo punto x ∈ X y todoentorno U de x existe un entorno arco-conexo de x contenido en U .

Si X es localmente arco-conexo, sus arco-componentes son abiertas. Tambien son cerradas,ya que cada una de ellas es el complementario de la union de las demas.


Proposicion 6.6.1. Si un espacio X es localmente arco-conexo, sus componentes conexas y lasarco-componentes coinciden y son abiertas y cerradas.

Demostracion. Sean C y Ca la componente conexa y la arco-componente del punto x ∈ Xrespectivamente. Ca es conexa y, por tanto, Ca ⊂ C. Pero, por ser X localmente arco-conexo,Ca es simultaneamente abierta y cerrada. Por tanto, tiene que ser todo C. �

Corolario 6.6.2. Todo espacio conexo y localmente arco-conexo es arco-conexo. �

Ejemplo 6.6.3. El espacio A = {(x, x sin πx ) | ∀x ∈ (0, 1)} ∪ {(0, 0)} es conexo, arco-conexo y

localmente arco-conexo.

●

Apendice A

Conjuntos numerables

Un conjunto A es finito si existe una aplicacion biyectiva f : A → {1, 2, . . . , n} , para uncierto n ∈ N. Con la notacion aj ∈ A, si f(aj) = j escribiremos: A = {a1, a2, . . . , an}.

Un conjunto A se denomina infinito numerable si existe una aplicacion biyectiva de A en losnumeros naturales:

f : A −→ N

Con la notacion de mas arriba tenemos: A = {a1, a2, . . . , an, . . . }. Llamaremos numerable a unconjunto si es finito o infinito numerable.

Proposicion A.1

1. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

2. Si A y B son numerables, A×B es numerable.

3. Si {Aj | j ∈ N } es una familia infinita numerable de conjuntos infinito numerables, elproducto cartesiano

∏j Aj no es numerable.

Demostracion.

1. Sea A numerable y B ⊂ A. Pongamos

b1 = an1 , donde n1 = mın{n | an ∈ B},. . .bk = ank

donde nk = mın{n | n > nk−1, an ∈ B}

2. Distribuyamos los elementos de A×B de la siguiente forma

(a1, b1) (a1, b2) (a1, b3) (a1, b4) . . .(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3) (a2, b4) . . .(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3) (a3, b4) . . .(a4, b1) (a4, b2) (a4, b3) (a4, b4) . . .. . .

91

92 A. Conjuntos numerables

Ordenemos los subconjuntos diagonales Dk = {(ai, bj) | i+ j = k } por orden creciente dek = 2, 3, 4, . . . , y dentro de cada Dk por orden lexicografico:

(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a1, b3), (a2, b2), (a3, b1), (a4, b1), (a3, b2), . . .

3. Podemos considerar los elementos de∏j∈NAj como sucesiones a = (aj), con aj ∈ Aj .

Vamos a ver que, para todo conjunto numerable C = {ai = (aj,i)j | i ∈ N} , existe unelemento del producto que no esta en C. En efecto, construimos b = (bj)j de la siguienteforma

b1 6= a1,1 ∈ A1, b2 6= a2,2 ∈ A2, . . . bn 6= an,n ∈ An, . . .

Tenemos b 6= ai, para todo i.

�

Corolario A.2 N, Z y Q son numerables. R no es numerable.

Demostracion. Z = ({1, 2, 3, . . . } × {1,−1}) ∪ {0}, es numerable.Q = {pq | p, q primos } ⊂ Z× Z, es numerable.Si vemos que (0, 1) no es numerable, quedara probado que R no es numerable. Consideremos

un conjunto numerable de reales: aj ∈ (0, 1) expresados decimalmente

a1 = 0, a1,1a1,2a1,3 . . . , an = 0, an,1an,2an,3 . . . an,j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ∀n, j

Definimos bj = aj,j +1 si aj,j 6= 0; bj = 0, si aj,j = 9. El numero decimal b = 0, b1b2b3 · · · ∈ (0, 1)es distinto de todos los an. �

Indice alfabetico

abiertode un espacio metrico, 12de un espacio topologico, 23

adherencia, 29aplicacion

abierta, 34cerrada, 34continua, 16

arco, 87arco-componente, 89arco-conexo, 87

localmente, 89axioma de numerabilidad

primer, 27segundo, 28

banda de Mobius, 46base

de entornos, 27de una topologıa, 26

bolaabierta, 10cerrada, 29

botella de Klein, 47

camino, 87casi-compacto, 67

localmente, 72cerrado

de un espacio metrico, 12de un espacio topologico, 23

compactificacion, 76de Alexandroff, 77por un punto, 77

compacto, 19, 70localmente, 73

componentearco-conexa, 89conexa, 84

conexo, 81localmente, 85

cono, 48continua, 32

en un punto, 32convergencia uniforme, 38convergente uniformemente, 38

denso, 31desigualdad triangular, 9distancia, 9

p-adica, 11discreta, 10euclidiana, 10producto, 12

distanciasfuertemente equivalentes, 13numericamente equivalentes, 13topologicamente equivalentes, 13

entorno, 27espacio

T0, 55T1, 55T2, 55T3, 55T4, 55acotado, 22cociente, 45, 48completamente regular, 64de Frechet, 55de Hausdorff, 55de Tychonoff, 64

93

94 INDICE ALFABETICO

metrico, 9metrico compacto, 19normal, 57regular, 57separable, 31topologico, 23topologico cociente, 45ultrametrico, 11

espacio proyectivo real, 47espacios

homeomorfos, 17, 34

finalde un camino, 87

fontera, 29

homeomorfismo, 17, 34

interior, 29

lımite, 15lema de Lebesgue, 20localmente

arco-conexo, 89casi-compacto, 72compacto, 73conexo, 85

metrica, 9

normal, 57numerable, 91

origende un camino, 87

propiedad topologica, 34proyeccion estereografica, 18punto, 9, 23

adherente, 29aislado, 28de acumulacion, 15, 28interior, 29lımite, 36

recubrimiento, 19, 35

abierto, 19, 35cerrado, 19, 35localmente finito, 36

regular, 57retraccion, 61retracto, 61

sistema de entornos, 27subbase

de una topologıa, 26subespacio

de un espacio metric, 12topologico, 25, 41

subrecubrimiento, 19sucesion

convergente, 36convergente en un espacio metrico, 15

suspension, 48

topologıa, 23burda, 24cociente, 45de cajas, 42de la union disjunta, 44de los complementarios finitos, 24de los complementarios numerables, 24del punto excluido, 24del punto particular, 25discreta, 24final, 52indiscreta, 24inducida, 25, 41inicial, 53mas fina, 24menos fina, 24producto, 25, 42, 43suma, 44

toro, 18, 46

topolog atopologiaparausuarios.es/apuntestop_2020.pdf3. dibujad una bola abierta del espacio...

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