Introducción a la geometría euclidiana - Axiomas y sistemas axiomáticosMiremos el siguiente teorema:“Al interceptarse dos rectas, los ángulos opuestos por el vértice son congruentes”

Su demostración es:

“Observemos que los ángulos A y C son adyacentes. Forman un ángulo llano. Pero también son adyacentes B y C. Entonces, los ángulos A y B deben ser congruentes, ya que se los obtiene a ambos restando el ángulo C a un ángulo llano”

Puede parecernos un razonamiento poco dudoso pero solamente es admisible si intuitivamente admitimos que:

“Si a dos cosas iguales les restamos la misma cosa, los resultados son iguales”

A partir de esto podemos pensar ¿Qué cosas podemos tomar como ciertas sin necesidad de demostrarlas? ¿Cuáles están permitidas?La geometría euclidea esta llena de afirmaciones cuya validez parece obvia pero debería demostrarse, sin embargo, sabemos que es imposible demostrar todo. Habrá un conjunto de afirmaciones iniciales que debemos aceptar sin demostración y serán las bases de las siguientes demostracionesEsas afirmaciones que aceptamos sin discusión son los axiomas y en su conjunto forman un sistema axiomático que constituyen la herramienta para construir el resto de la geometría euclidea.En términos generales, el punto de vista axiomático puede describirse de la siguiente manera: probar un teorema es hacerlo ver como una consecuencia lógica y necesaria de ciertas proposiciones previamente establecidas, que a su vez deben ser probadas, y así sucesivamente, hasta detenerse en un punto permitido.Las proposiciones en las que uno se detiene se llaman POSTULADOS o AXIOMAS y son aceptados como proposiciones verdaderas sin necesidad de ninguna demostración. De estas deben poderse deducir todos los teoremas mediante argumentos puramente lógicos.Estas proposiciones, a las que desde ahora llamaremos axiomas, deben ser previamente elegidas y ser preferentemente pocas, sencillas y adecuadas. Con este grupo de axiomas conformamos un sistema axiomático si, además cumple con las propiedades de COMPATIBILIDAD(o consistencia), INDEPENDENCIA, SUFICIENCIA y PLENITUD.Un sistema es compatible, si no se pueden deducir de sus postulados dos teoremas contradictorios. A un sistema no compatible se lo denomina Sistema Contradictorio. En este punto cabe preguntarse como probar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema axiomático, ya que por mas que hallamos probado muchos teoremas sin encontrar contradicción, no podremos jamás asegurar que o la encontraremos mas adelante.

Para probar la compatibilidad se usan modelos, de los cuales señalaremos solamente dos: MODELOS FINITOS : en este modelo existen un número finito de objetos que se

explicitan y se los designa por un símbolo. En virtud de esta finitud de elementos, la compatibilidad de los axiomas se hace en un número finito de pasos.

COMPATIBILIDAD RELATIVA : consiste en probar la compatibilidad de una teoría matemática interpretándola en el marco de otra teoría matemática. De esta manera, a partir de la compatibilidad de una teoría, se prueba la compatibilidad de otra.

La propiedad de INDEPENDENCIA, se refiere a que ninguno de los axiomas debe ser consecuencia de los restantes, ya que de ser así no seria un axioma, sino un teorema.Para probar la independencia de un axioma respecto de los demás, se debe probar que su negación es compatible con ellos. De esta manera el problema de la dependencia se reduce al de compatibilidad.El ejemplo mas notable de la importancia del concepto de independencia, es el V postulado de Euclides o axioma de las paralelas: con los mismos axiomas usados por Euclides, excepto el V, y reemplazándolo por otro contradictorio a el, se construyen otras geometrías llamadas no euclidianas, lo que no seria posible, por la propiedad de compatibilidad, si el V postulado de Euclides fuese dependiente de los demás.Además, los axiomas de un sistema axiomático deben ser SUFICIENTES, es decir que todos los teoremas del sistema deben poder deducirse de ellos.Del concepto de SUFICIENCIA no surge la distinción entre proposiciones falsas o verdaderas. Se agrega entonces otra propiedad llamada de PLENITUD o COMPLETIDAD, según la cual asignando a los axiomas una interpretación adecuada, toda proposición verdadera corresponde a un teorema del modelo. Cabe destacar que en un sistema axiomático deben cumplirse las cuatro propiedades a la vez, de manera que la definición dada sobre una ellas se restringe, de manera que cumpla con las restantes.

Los axiomas de la geometría euclidiana

En el libro fundacional de la geometría clásica titulado “Elementos”, su autor Euclides separa dos grupos de afirmaciones: unos de carácter general (llamados Nociones Comunes) y otro especifico de objetos geométricos (llamados Postulados). Además, se establecen las Definiciones o concepto primitivo de punto, recta y otras tantas ideas como por ejemplo rectas paralelas (def.Nº23) “Son aquellas que no se interceptan si son prolongadas indefinidamente en uno u otro sentido” u otro ejemplo es la de Punto (def.Nº01) “punto es todo aquello que no tiene parte”.En total son 23 Definiciones.Con lo antes explicado, Euclides expone sus Proposiciones y para argumentar razonaba con la definición, el postulado o la noción común que lo justifica.

Nociones comunes:1. Cosas iguales a una misma, son iguales ente si2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales4. Cosas coincidentes son iguales entre si5. El todo es mayor que la parte

Postulados:1. Por dos puntos puede trazarse una recta2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente

3. Dado un centro y un radio puede trazarse un circulo4. Todos los ángulos rectos son congruentes a uno dado5. Si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos

interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente.

La polémica y controversia del quinto postulado y las rectas paralelas

La teoría euclidiana de las paralelas incluye los siguientes puntos principales: Definición 23. Son rectas paralelas las que, estando en un mismo plano y siendo

prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido.

Postulado 5. Si una recta que corta a otras dos, forma con éstas ángulos internos del mismo lado, que sumados sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

Proposición I.27   Si una recta al caer sobre dos rectas hace ángulos alternos internos iguales entre sí, entonces tales rectas serán paralelas entre sí.

Proposición I.28   Si una recta al caer sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado, o los dos ángulos internos del mismo lado suman dos ángulos rectos, entonces las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición I.29   Una recta al caer sobre dos rectas paralelas hace los ángulos alternos internos iguales entre sí, el ángulo externo igual al ángulo interno y opuesto del mismo lado, y la suma de los dos ángulos internos del mismo lado igual a dos ángulos rectos.

Proposición I.30   Dos rectas paralelas a una misma recta, son paralelas entre sí. Proposición I.31   Dibujar una recta que pasa por un punto dado paralela a una

recta dada. Proposición I.32   En cualquier triángulo, si uno de sus lados es prolongado,

entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos opuestos e internos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos ángulos rectos.

Desde la antigüedad los matemáticos opinaron que el quinto postulado no era bastante evidente para aceptarlo sin demostración y trataron de deducirlo como consecuencia de otras proposiciones o buscaron demostrarlo como un teorema que se desprendía de los primeros cuatro postulados. Tales ideas se apoyaban en que, considerando que las 28 proposiciones primeras son independientes del quinto postulado, recién en la proposición 29 Euclides aplicaba el quinto Postulado y esto tenia una razón.Muchos intentos se hicieron para demostrar el quinto postulado; muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos periodos de tiempo hasta que se encontraba el

error. Invariablemente el error consistía en suponer alguna propiedad 'obvia' la cual resultaba ser el quinto postuladoEs muy importante el concepto de líneas paralelas que da Euclides y que muchos matemáticos proponían modificarlo, ya que solamente habla de si se cortan o no las rectas. Si nos abstraemos lo suficiente podemos ver que el concepto de paralelismo y las propiedades que tenemos en mente no surgen de la definición del mismo, sino que se apoyan y son consecuencia del quinto postulado (como el de equidistancia).A modo de ejemplo, analizaremos el intento de demostración de Proclo (410 - 485)La demostración de Proclo reposa sobre la siguiente proposición que el considera como evidente: “La distancia entre dos puntos situados sobre dos rectas que se cortan puede hacerse tan grande como se quiera, prolongando suficientemente las dos rectas” y en la deducción del siguiente lema: “Una recta que encuentra a una de dos paralelas encuentra necesariamente también a la otra”

“Sean AB, CD dos paralelas, y EG una transversal, incidente en F sobre la primera. La distancia sobre un punto variable sobre el rayo FG a la recta AB crece mas allá de todo limite cuando el punto se aleja indefinidamente de F, y puesto que la distancia de dos paralelas es finita, la recta EG deberá necesariamente encontrar a CD”.Su principal error es suponer implícitamente la hipótesis de que la distancia de dos paralelas se mantiene finita. Si se dice que son paralelas, son paralelas (no se cortan) y nada más. Esta hipótesis solo se deduce del quinto postulado. Otra orientación en la forma de intentar demostrar el quinto postulado aceptando los primeros cuatro postulados y negando el quinto la realizo Saccheri (1667 – 1733), en la búsqueda de una contradicción por el absurdo que valide la tan buscada demostración; pero es de esta manera como se originaron otros tipos de geometría al no encontrar contradicción algunaEn muchos casos se ha llegado a obtener proposiciones equivalentes al quinto postulado que hoy en día son más conocidas que la de Euclides, algunas de ellas son:

Playfair Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una. Proclo Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita. Saccheri La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos rectos Legendre y Lorentz Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo. Gauss Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k.

Bolyai Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.

Surgimiento de las geometrías No Euclidianas

Unos 22 siglos después de que se escribieran los Elementos por fin se llega a una conclusión: el V postulado es independiente de los otros cuatro. Y se llega a esta respuesta mediante un camino sorprendente. La prueba de la independencia del V

G

BF

E

DC

A

postulado lleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.Parece difícil comprender esta afirmación, puesto que en la experiencia común sabemos que (excepto errores de dibujo), el V postulado es cierto. Para comprenderlo debemos hacer un esfuerzo de abstracción por intentar olvidar nuestro significado intuitivo de qué es una recta y acudir únicamente a las definiciones de Euclides.Uno de los primeros casos notables que posibilito el descubrimiento es el del matemático Jesuita Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), el cual al ver que no había forma obvia de obtener el quinto postulado de los otros cuatro postulados, optó por cambiar de estrategia y empezó intentando demostrar la validez del quinto postulado de Euclides usando el truco más viejo en el costal de trucos de los matemáticos: dada una proposición que se supone como verdadera, se empieza suponiendo que la proposición es falsa y se empieza a trabajar con tal suposición en mente, hasta que invariablemente vamos llegar a un punto en el cual obtenemos un absurdo (entendiblemente este método es conocido en lógica como el método de reducción al absurdo), con lo cual queda demostrado que la proposición no era falsa sino verdadera, ya que por lógica elemental (desarrollada por un contemporáneo de Euclides, Aristóteles) no es posible obtener una conclusión falsa partiendo de una proposición verdadera.Veamos un ejemplo de una demostración por reducción al absurdo:

P1. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces nes par.

Solución. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción.

Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n2 + n3, se tiene que m + m2 es impar.Sin embargo m+m2 es siempre par (ya que m+m2 = m(m+1) y necesariamente alguno de los números m o m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar.

Según la historia, Saccheri intento reivindicar a Euclides e intentó probar el quinto postulado mediante el recurso de demostrar todas las demás alternativas como absurdas,

para lo cual construyó lo que hoy se conoce como el “cuadrilátero de Saccheri”

El problema que se le presentó aquí a Saccheri es que, usando precisamente este cuadrilátero, fue elaborando teorema tras teorema, siempre buscando algún absurdo. Pero

no le fue posible encontrar ninguno. Acababa de descubrir lo que hoy se conoce como Geometría Hiperbólica sin darse cuenta de ello. Varios de los teoremas que descubrió y que rechazó “por absurdos”, son de hecho teoremas plenamente válidos dentro de la geometría hiperbólica. Incapaz de comprender y aceptar los alcances de su descubrimiento, tras haber desechado la tercera hipótesis (la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es mayor que cuatro ángulos rectos) Saccheri desechó también la primera (la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos) ya no sobre argumentos lógicos sino sobre argumentos teológicos.Comenzando con la idea de Saccheri demostremos que:

Teorema: Los ángulos en los vértices C y D de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son iguales.Demostración: A continuación, trazamos dos diagonales para unir a los vértices opuestos del cuadrilátero

Los triángulos BAC y ABD son congruentes (figuras geométricamente iguales) por tener dos lados iguales (el lado común AB, y el lado AC igual al lado BD por construcción) y un ángulo interior (el ángulo recto) igual. –Ver Euclides Proposición 4-Por ser triángulos congruentes, entonces las rectas AD y BC deben tener la misma longitud. Este resultado intermedio puede ser expresado como un teorema: Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri son iguales. Y esto nos permite hallar dentro del cuadrilátero otros dos triángulos congruentes, los triángulos ACD y CDB, los cuales son congruentes esta vez por tener sus tres lados iguales (la misma base común en la recta CD, el lado AD es igual al lado BC, y el lado AC es igual al lado BD por construcción). –Ver Euclides Proposición 8-Y si tienen sus tres lados iguales, al ser congruentes entonces sus ángulos correspondientes en los vértices C y D deben ser también iguales, lo cual concluye la demostración.Si los ángulos en los vértices C y D son iguales, como lo acabamos de demostrar, ¿puede decirse algo más acerca de ellos?. En realidad esto es todo lo que podemos afirmar acerca de estos ángulos. No sabemos aún si son ángulos rectos, agudos u obtusos y estas son las tres hipótesis que planteó Saccheri. Aunque resulta fácil ceder a la tentación de proclamarlos como ángulos rectos, esto no demuestra que lo sean. De hecho, a menos de que echemos recurso del quinto postulado de Euclides, no hay forma alguna de demostrar que sean ángulos rectos. Si el quinto postulado de Euclides es válido, entonces se puede demostrar fácilmente que deben ser ángulos rectos. Pero si no hacemos uso del quinto postulado, entonces nos queda la duda de que puedan ser ángulos agudos ó ángulos obtusos. Lo único que sabemos es que deben ser iguales.Sabiendo que C=D Saccheri trabajo con la hipótesis de que eran ángulos menores que un recto y desecho la tercer hipótesis de mayores que un recto por contradicciones lógicas, ¿por qué razón una de las hipótesis alternas de Saccheri lo condujo a contradicciones lógicas? La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Para que en esa “geometría alterna” Saccheri no llegara a contradicciones, no bastaba con modificar el

postulado de las paralelas; había que modificar también el segundo postulado que nos dice que una línea se puede extender infinitamente en ambas direcciones, el cual no consideraba la posibilidad de que una recta extendida hacia el infinito en uno de sus lados pudiera regresar por una curvatura del espacio del Universo al punto de partida, en cuyo caso tendríamos no una línea abierta sino una línea cerrada.Como para no dejar de asombrarnos, vamos a usar el supuesto de que C y D son iguales (ya demostrado) y agudos, demostraremos que:

Teorema: La línea que une a los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero de Saccheri es una línea que será perpendicular a ambas rectas.Demostración: A continuación, trazamos una recta que une a los puntos medios del cuadrilátero, los cuales designaremos como E y F. Ahora del punto E trazamos rectas a los vértices C y D del cuadrilátero.

Nuevamente, tenemos que se forman dos triángulos congruentes. Los triángulos AEC y BED son congruentes por tener dos lados iguales (por construcción, el lado AE es igual al lado EB, y el lado AC es igual al lado BD) y un ángulo recto (el ángulo en el vértice A y el ángulo en el vértice B son ambos rectos por construcción). Entonces la recta CE es igual a la recta ED por la relación de congruencia. Pero esto a su vez implica que tenemos otros dos triángulos congruentes, los triángulos CEF y DEF, al tener sus tres lados iguales (el lado CF es igual al lado FD por ser el punto medio de la recta en la cumbre del cuadrilátero). Entonces el ángulo q debe ser igual al ángulo r, lo cual sólo es posible si ambos son ángulos rectos. Esto ya nos dice que la línea EF es una perpendicular a la línea CD. Por otro lado, por la misma congruencia de los triángulos, el ángulo s debe ser igual al ángulo t, de modo tal que:

o + s = p + tEsto solo puede ser posible si ambos miembros de la igualdad son un ángulo recto. Por lo tanto, la línea EF también es perpendicular a la recta AB, siendo por lo tanto perpendicular a ambas rectas, lo cual concluye la demostración.

La Geometría Hiperbólica

Estos son sus axiomas:

Postulado 1: Por dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una, recta hiperbólica.Postulado 2: Una recta hiperbólica se puede extender indefinidamente en ambas direcciones sin que se lleguen a tocar jamás sus puntos extremos.Postulado 3: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.Postulado 5: Por el punto P, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a P.

Gauss fue el primero que obtuvo resultados interesantes con este nuevo enfoque de la geometría, pero no publicó sus resultados. Los primeros matemáticos que publicaron trabajos y estudios sobre esta nueva geometría fueron Nikolai Lobachevsky y Janos Bolyai de forma independiente a principios del siglo XIX, aunque los de Lobachevski tuvieron más trascendencia. Desafortunadamente, Lobachevski no concibió alguna manera gráfica que permitiese representar de algún modo los objetos geométricos dentro de su geometría hiperbólica, con lo cual la visualización de los teoremas que derivó recurriendo meramente al simbolismo algebraico puro. De todas formas su imposibilidad de aplicación al mundo físico los redujo a un simple juego de deducción matemática si trascendencia en el mundo real.Fue a mediados de este siglo cuando Beltrami publicó un trabajo que proporcionó un modelo para la geometría no euclidiana de Lobachevski dentro de la geometría tridimensional:Consideró una curva denominada tractriz

Girando esta curva respecto al eje Y obtenemos una superficie denominada Pseudoesfera:

En el dibujo se observa que la conclusión de nuestra demostración es ilógica desde nuestra conocida geometría euclidiana, pero la construcción es posible al librarnos del quinto postulado.En general, cuesta pensar de una manera diferente

El trabajo de Beltrami demostró que la geometría hiperbólica de Lobachevski no era más que la geometría intrínseca de la pseudoesfera, dotando entonces a esta geometría de significado físico.Las contribuciones posteriores a esta geometría por parte de matemáticos como Weierestrass, Klein y sobre todo Poincaré consiguieron que la geometría hiperbólica de Lobachevski terminara siendo aceptada.

El modelo geométrico de Poincare para comprender la geometría hiperbólica

Este modelo utiliza cierto tipo de transformación matemática, la inversión del plano en un círculo. El interior del círculo reflejará todos los puntos, líneas, e inclusive figuras geométricas, que podamos dibujar en el exterior del mismo, para lo cual proyectamos una figura exterior, punto por punto, hacia el interior del círculo.¿Cómo lo proyectamos?, con la siguiente regla:

¿Existe alguna forma práctica de dibujar un punto externo dentro del disco? Si, de esta forma y solamente usando un compás:

OP•OP' = r²

Tómese un punto P exterior a un disco de inversión del cual queremos encontrar, mediante el uso de un compás únicamente, la imagen P' que le corresponde dentro del disco. Para esto, haciendo centro en el punto P, trazamos primero un arco de circunferencia que pase por el punto O del disco de inversión y que intersecte al disco en los puntos T y S. A continuación, usando estos puntos como centros, trazamos dos circunferencias de radio r (el radio del círculo de inversión). ¡Y ya está! El punto P' en donde se intersectan las curvas es precisamente la imagen del punto exterior P

Con este modelo vamos a conceptualizar nuestra nueva geometría, recordando que sus postulados no son demostrables y los usaremos sin cuestionarlos. Claro que de alguna manera tenemos que poder “verlos” o que se vuelvan “evidentes” para entenderlos.

Postulado 1: Por dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una, recta hiperbólica.

Definiremos los "P-puntos" de este modelo de Poincaré de geometría hiperbólica como los puntos que son interiores al círculo delimitado por C.Definiremos las "P-rectas", que están formadas por los P-puntos de las líneas de cualquiera de los dos tipos siguientes:

Diámetro de C Arco de una circunferencia ortogonal a C. (Recordemos que dos circunferencias

son ortogonales si las rectas tangentes en sus puntos de intersección son perpendiculares entre sí).

Razonando de esta forma nos encontramos con que todo los puntos del plano euclidiano pueden ser ”transportados” dentro del disco por inversión. Por lo tanto, todos los infinitos puntos del plano están representados dentro del disco.En cuanto a las rectas de nuestra geometría, habrá que acostumbrarse a esto:

¿Cómo se traza la P-recta que pasa por dos P-puntos dados?Si los puntos están alineados sobre un diámetro (A1 y B1), dicho diámetro será la solución, pero si los puntos no están alineados con el centro O de la circunferencia C se procede así:

¿Cuál es la causa por la que no puedo trazar otra recta hiperbólica que pase por esos dos puntos? Sabemos que un arco de circunsferencia queda determinado por tres puntos, nosotros tenemos A y B, y nuestro tercer punto es implícitamente conocido por la condición de ortogonalidad a C de la recta hiperbólica. Dicho de otra forma, cualquier otro punto del perímetro de la circunsferencia que tome NO cumplirá con la condición de ortogonalidad mencionada

Plano de Poincarè con un P-punto y tres P-rectas. La P-recta l es diámetro y las otras dos son arcos y se interceptan

Se traza la recta perpendicular a la recta OA por el punto A. Su intersección con la circunferencia C proporciona los puntos P y Q.Se trazan las tangentes a la circunferencia C por P y Q. Ambas tangentes se cortan en el punto A´.Se traza la circunferencia C´ que pasa por A, B y A´. Los puntos de C´, interiores al círculo limitado por C, forman la P-recta solución.

Postulado 2: Una recta hiperbólica se puede extender indefinidamente en ambas direcciones sin que se lleguen a tocar jamás sus puntos extremos.

en nuestra inversión estamos moviendo todo lo que está a distancias enormes, en el infinito, hacia adentro del círculo. De hecho, el infinito que no alcanzamos a ver en la lejanía del Universo corresponde al centro del círculo. Esto quiere decir que conforme nos vamos acercando a lo largo de una recta hiperbólica hacia el centro del círculo, nuestra proyección fuera del círculo se va ampliando adquiriendo distancias enormes. Movimientos cada vez más microscópicos dentro del círculo al acercarnos al centro corresponden a distancias cada vez más inconmensurables fuera del mismo. Y como ninguna recta hiperbólica puede salirse "fuera" del disco y todos los puntos del plano euclidiano están representados dentro del mismo, los puntos extremos de una recta hiperbólica jamás se llegarán a tocar por más que sean extendidos.

Postulado 3: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.Aquí conviene saber como queda modelizada una circunsferencia externa en el disco de Poincaré

También debemos apreciar que el concepto de distancia es diferente dentro del disco

Una circunferencia fuera del disco de Poincaré tendrá de imagen dentro del disco otra circunferencia que no pasará por el centro O del disco.

Vemos que dentro del disco la circunsferencia sigue siendo circunsferencia pero el centro esta “descentrado” debido a que hacia el centro O del disco nos acercamos al infinito y por inversión alteramos las distancias euclidianas.Nuestra definición de lo que viene siendo una circunferencia tiene que ser modificada, dentro del disco, de la siguiente manera:"P-Circunferencia es el lugar de los puntos tales cuya P-distancia a un punto fijo llamado centro es constante." En esta definición se sobreentiende que todos los radios trazados desde el centro de la circunferencia hasta la circunferencia misma tienen la misma longitud. Pero si por la forma en la cual está definida la inversión todas las distancias son alteradas al llevarse a cabo la inversión, e inclusive todas las rectas exceptuando aquellas que están alineadas con el centro del disco terminan siendo convertidas en arcos de círculo, entonces ¿cómo es posible que sigamos teniendo una circunferencia después de haber llevado a cabo la inversión de una circunferencia exterior? ¿Cómo es posible que los radios permanezcan inalterados para seguir teniendo también una circunferencia dentro del disco de inversión? La respuesta a esto es que los radios equidistantes que corresponden a la circunferencia exterior de hecho son distorsionados. Para aclarar el asunto, a continuación se muestra la circunferencia interior con varios de sus "radios" trazados dentro de ella:

Tenemos que recordar que las distancias se miden a través de arcos de círculos y por lo tanto es diferente a la distancia Euclidiana. Sin embargo, una simple observación deja al descubierto que la recta hiperbólica que pasa por O es también una recta euclidiana y es evidente que la distancia al centro K es diferente. Pero nos falta definir el concepto de distancia en el Plano de Poincarè. Daremos la siguiente definición de P-distancia: P-distancia. Sean P y Q dos P-puntos, que determinan una única P-recta que corta a la circunferencia frontera C en los puntos euclídeos A y B. La fórmula siguiente da la P-distancia entre P y Q a partir de las distancias euclídeas entre P y A, P y B, Q y A, Q y B:

K

Como puede verse, los radios de esta circunferencia c no son "líneas rectas" en el sentido al cual estamos acostumbrados en la geometría Euclideana. Es más, el "centro" de la circunferencia c ni siquiera coincide con el punto central al cual estamos acostumbrados a llamar "centro". Sin embargo, dentro del disco de Poincarè, la definición de circunferencia sigue siendo rigurosamente válida, siempre y cuando estemos dispuestos a modificar nuestro modo de pensar adaptándolo a la nueva geometría, a la geometría hiperbólica.

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

En nuestro caso, mediremos ángulos ente dos rectas hiperbólicas a partir de las rectas tangentes (euclidianas) a las curvas en el punto de intersección.

Postulado 5: Por el punto P, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a P.

Dentro de la geometría hiperbólica definimos como "líneas paralelas" aquellas rectas infinitas trazadas dentro de un plano hiperbólico que no se cruzan jamás. Esto es lo que tenemos en la siguiente figura:

en donde las "rectas" hiperbólicas de color negro l1, l2 y l3 que se cortan en el punto p pese a no ser paralelas entre sí son paralelas todas ellas a la "recta" hiperbólica de color magenta l, lo cual muestra algo importante: en una geometría hiperbólica, a través de un punto p externo a una recta dada se puede trazar no sólo una sino una cantidad infinita de rectas paralelas a la recta dada. Contrástese esto con lo que ocurre en la geometría Euclidiana, en donde a través de un punto p externo a una recta dada sólo es posible trazar una sola recta paralela a la recta dada.

Puesto que la única diferencia entre la geometría hiperbólica y la geometría Euclidiana es el quinto postulado, el postulado de las paralelas, esto significa que cualquier

demostración que se lleve a cabo en la geometría Euclidiana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida en la geometría hiperbólica. Esto nos permite incorporar de inmediato muchas demostraciones de la geometría Euclidiana dentro de la geometría hiperbólica. Del mismo modo, esto significa que todos los teoremas en la geometría Euclidiana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría hiperbólica y tendrán que ser modificadosEjemplo de teorema de la geometría hiperbólica cuya demostración se puede llevar a cabo por procedimientos semejantes a los utilizados en la geometría EuclidianaGeometría Euclidiana: "En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)". Geometría Hiperbólica: En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es menor a dos ángulos rectos".

La noción de semejanzaLlamaremos defecto de un triángulo (δ ) a la suma de los ángulos internos de un triángulo Saccheriano para ser 180 grados. Se puede demostrar por aplicación directa de los elementos del cálculo infinitesimal que la definición de área hiperbólica infinitesimal nos conduce de manera directa al siguiente resultado para el área de un triángulo hiperbólico con ángulos interiores p, q y r:

S = π - (p + q + r)Como la expresión puede ser obtenida formalmente a partir de los procedimientos del cálculo infinitesimal, la expresión se puede expresar como un teorema:Teorema: El área de un triángulo hiperbólico es igual al defecto δ del triángulo.De este teorema podemos deducir de inmediato que dos triángulos tienen una misma área hiperbólica si y solo si tienen la misma suma de ángulos internos.Podemos fijar un sistema consistente de unidades introduciendo una constante de proporcionalidad k que nos defina las unidades hiperbólicas que serán usadas como sistema de medición (metros hiperbólicos, yardas hiperbólicas, etc.), con lo cual el área de un triángulo hiperbólico ABC estará dada por:

S = k • δ(ABC)

De este modo, mientras que en la geometría Euclidiana para medir el área interior de un triángulo hiperbólico utilizamos una dimensión propia para una superficie en unidades cuadradas, en la geometría hiperbólica tenemos que utilizar, además de la constante de proporcionalidad k que nos proporciona el equivalente de nuestro "sistema métrico

decimal hiperbólico", la suma de los ángulos internos del triángulo, algo que no se necesita en la geometría Euclidiana. Pero esta no es la única diferencia. Hay otra diferencia que puede resultar impactante para muchos que la tratan de asimilar por vez primera. Para simplificar la siguiente discusión, seleccionemos un sistema de unidades (hiperbólicas) tal que la constante k sea (arbitrariamente) igual a 10, de modo tal que el área de un triángulo hiperbólico ABC estará dada por:

S = 10 • δ(ABC)

En la geometría Euclidiana, el área de un triángulo está dada por la fórmula usual del producto de la base por la altura divido entre dos (bh/2), con lo cual al ir aumentando el tamaño del triángulo el número que nos expresa el área del triángulo Euclidiano también va aumentando sin tener ningún limite superior; podemos tener un triángulo de cien metros cuadrados de área, cien mil metros cuadrados de área, o mil billones de kilómetros cuadrados de área, no hay un límite superior para este número. Pero en la geometría hiperbólica, como la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que π (180) grados y ciertamente no puede ser cero, ¡las áreas de todos los triángulos hiperbólicos están limitadas a tener un valor (suponiendo un sistema de unidades en el que la constante k sea 10) entre 31.415 unidades hiperbólicas (π multiplicado por 10) y cero! Aquí ningún triángulo puede contener más de 31.45 unidades de área hiperbólica. Un triángulo de cien unidades hiperbólicas no puede existir en este universo. Sin embargo, este hecho aparentemente desconcertante resulta del que no hayamos ajustado nuestra forma de pensar a la nueva realidad del universo hiperbólico. Entre mayor sea el defecto de un triángulo, ciertamente mayor será el área hiperbólica que contiene, lo cual sólo se logra con triángulos cuya suma interior de ángulos sea cada vez más diferente de los 180 grados usuales de la geometría Euclidiana, lo cual sólo se logra con triángulos hiperbólicos cada vez más grandes. A medida que la suma de los ángulos internos de un triángulo se va acercando al límite de 180 grados, el tamaño del triángulo hiperbólico irá creciendo desproporcionadamente hasta alcanzar dimensiones astronómicas, siempre sin llegar a los 180 grados exactos. En cambio, entre más pequeño sea un triángulo hiperbólico, tanto menor tendrá que ser para ello su defecto, lo cual implica que la suma interna de los ángulos se irá aproximando cada vez más a los 180 grados límite de la geometría Euclidiana. En pocas palabras, entre más pequeña sea una figura en el universo hiperbólico, sus propiedades se irán asemejando más y más a las propiedades que encontramos en la geometría Euclidiana.Así pues, podemos hacer la siguiente comparación entre la geometría Euclidiana y la geometría hiperbólica:

geometría Euclidiana: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son triángulos semejantes". Geometría hiperbólica: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son iguales".

En tres dimensiones, se puede construir una geometría hiperbólica sobre una superficie conocida como el paraboloide hiperbólico, la cual tiene la forma de una "silla de montar" como las que utilizan los jinetes. En la siguiente figura tenemos un triángulo dibujado sobre la superficie de un paraboloide hiperbólico así como un par de rectas "paralelas" que como podemos ver nunca se tocarán sino que cada vez se irán separando

más y más con respecto a la perpendicular trazada a dichas rectas "paralelas" en donde estas alcanzaron su mayor cercanía (la perpendicular que forma divide internamente a las dos rectas hiperbólicas en dos ángulos rectos, de 90 grados):

Primeras ideas sobre la geometría Elíptica o esférica

Sachceri no fue el único en revolucionar la geometría, Carl Gauss (1777-1855) se topó también con el hecho de que el quinto postulado de Euclides no era una verdad absoluta como muchos suponían; podía ser reemplazado por una suposición alterna, tras lo cual se podía construír toda una nueva geometría perfectamente consistente, sin contradicciones, con sus propios teoremas. Gauss llegó a estas conclusiones siguiendo un camino totalmente diferente. Uno de los más importantes contribuyentes a la geometría diferencial, descubrió el teorema de que la “curvatura” de una superficie no-planar estaba relacionada a la métrica usada para medir dicha curvatura (la métrica se define como la expresión matemática usada para medir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una superficie, y si la superficie no es plana, entonces la línea más corta trazada sobre dicha superficie de un punto a otro recibe un nombre más elaborado: la geodésica. Gauss logró demostrar, en su Theorema Egregium, que la curvatura de una superficie es independiente del espacio dentro del cual existe esa superficie, siendo esto una propiedad intrínseca a la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre dicha superficie, lo cual conducía directamente a la conclusión lógica de que no sólo la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre una superficie determinaba podía ser diferente de los 180 grados que obtenía la geometría Euclideana, sino inclusive dicha suma podía ser utilizada para calcular la curvatura de la superficie. En otras palabras, para poder determinar la curvatura de la superficie de la Tierra, no es necesario llevar a cabo una medición externa; basta con trazar con mucho cuidado un triángulo grande sobre dicha superficie, y sumando los ángulos internos podemos saber si la Tierra es “plana” como lo suponían muchos contemporáneos de Cristóbal Colón (en cuyo caso la medición arrojaría 180 grados) o podemos saber si la superficie de la Tierra es una superficie curva. Y se repite que para obtener esta información no es necesario salir fuera del triángulo, basta con medir los ángulos interiores del triángulo, los cuales son una propiedad intrínseca de dicha figura geométrica.Antes que Gauss, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) descubrió que las tres hipótesis de Saccheri eran equivalentes a la afirmación de que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser igual, mayor o menor que dos ángulos rectos (180 grados); y demostró también que la Geometría Esférica era similar al tercer caso, especulando que la primera geometría pudiera corresponder a una geometría trazada sobre una esfera con radio imaginario (en donde la base unitaria es la raíz cuadrada del número negativo 1, o sea -1, denotada en matemáticas como i)

En resumen, la posibilidad de negar el quinto postulado deriva en nuevas geometrías que, contrariamente a la intuición nuestra, pueden postular:“La suma de los ángulos interiores a un triangulo es menor a 180º” G. Hiperbólica“La suma de los ángulos interiores a un triangulo es mayor a 180º” G. Esférica o Elíptica“Por un punto exterior a la recta dada, se pueden trazar infinitas rectas paralelas” G. Hiperbólica“Por un punto exterior a la recta dada, no se pueden trazar rectas paralelas” G. Esférica o Elíptica

Geometría Elíptica

La geometría esférica o elíptica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es un sólido de revolución que se obtiene haciendo girar una elipse alrededor de uno de sus ejes de simetría. Entendiblemente, a este tipo de geometría se le llama geometría elíptica. Cuando los semiejes a y b y c del elipsoide son todos iguales, entonces el elipsoide se convierte en una esfera.

Estos son sus axiomas:

Postulado 1: Entre dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una rectaPostulado 2: Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongadoPostulado 3: Se puede dibujar en la superficie elíptica un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.Postulado 5: Por un punto P, que no pertenezca a una recta, no es posible otra recta que sea paralela a la recta dada, ya que todas las rectas trazadas fuera de la recta dada eventualmente se encontrarán con ella.

Vamos a trabajar con el modelo esférico por simplicidad, recordando que sus postulados no son demostrables y los usaremos sin cuestionarlos. Claro que de alguna manera tenemos que poder “verlos” o que se vuelvan “evidentes” para entenderlos.

Postulado 1: Entre dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una recta

Previamente y de manera necesaria debemos definir que entendemos como punto y recta es esta geometría. En un plano elíptico un "punto" es una pareja de puntos antipodales (diametralmente opuestos) sobre la esfera. En cuanto a la recta, solo podemos trazar arcos de círculo, entre dos puntos podemos trazar muchos arcos, pero de todos ellos sólo uno será el más corto entre dichos puntos. Y resulta que este arco es parte de un círculo

máximo de la esfera, definido como el que se obtiene al atravesar la esfera por su centro con un plano que la corta en dos partes iguales.En este caso, las rectas esféricas a y b son círculos máximos trazados en la superficie de la esfera, mientras que la línea c claramente no es una recta ya que no es un círculo máximo. Estos arcos con distancias mínimas entre dos puntos, tanto para la esfera como para el elipsoide, reciben el nombre de geodésicas. Una característica interesante de la geometría esférica (elíptica) es que, como se dijo al principio, no solo no es posible trazar dos rectas que nunca se crucen, sino inclusive todas las rectas trazadas en una geometría esférica (elíptica) se encontrarán dos veces, como en el caso de las rectas esféricas a y b en el dibujo de arriba.

A partir de esto se aprecian diferencias:En la geometría de Euclides: Dados tres puntos distintos A, B y C de una recta, sólo uno de ellos está en medio de los otros dos

En la geometría esférica: Dados tres puntos arbitrarios C, D, E, distintos en una recta, hay tres casos que se cumplen simultáneamente, a saber: a) D está entre E y C; b) C está entre D y E;c) E está entre C y D

Postulado 2: Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado

El problema aquí es que mientras una recta en el plano Euclidiano se puede extender indefinidamente en ambas direcciones, en el plano elíptico no se puede hacer tal cosa sin que la línea termine regresando al punto de donde partió después de dar “una vuelta completa”. Esta es la verdadera razón por la cual Saccheri llegó rápidamente a contradicciones cuando investigó su “tercera” hipótesis sobre el supuesto de que dentro de su cuadrilátero, el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos es mayor que 180 grados. Si hubiese modificado aquí no sólo el quinto postulado sino también el segundo, entonces su “tercera hipótesis” tampoco habría llegado a contradicciones, y habría descubierto las dos geometrías no-Euclidianas alternas a la geometría plana.

La geometría elíptica satisface algunos de los postulados de la geometría euclidiana, pero no todos aún con todas las interpretaciones que se den de ellos. La noción “para prolongar una recta finita de manera continua en una recta”, es algunas veces interpretado para incluir la condición de que sus extremos no se juntarán por más que sea prolongada. Bajo esta interpretación, la geometría elíptica no satisface el Postulado 2 pero nosotros no usaremos esta interpretación.

Postulado 3: Se puede dibujar en la superficie elíptica un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio (¡este radio será un arco de círculo!).

Tomando como definición de circunferencia el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia fija (radio) de un punto fijo (centro), medida según círculos máximos, entonces el tercer postulado también se cumple.

Siguiendo con el ejemplo de La Tierra se puede ver que “Todas las perpendiculares a una recta dada, se encuentran en un punto”; estas rectas en la geometría euclidianas serían paralelas.

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Debemos recordar que en el plano un ángulo es la región limitada por dos semirrectas, y, como en la esfera un ángulo está limitado por dos semicircunferencias máximas (lados), entonces, estas rectas (círculos máximos) son perpendiculares si el ángulo que forman mide 90º, y por ello el cuarto postulado también se cumple.

Observemos la circunsferencia menor en la figura de la Tierra. Representa la circunsferencia buscada con centro NP y los meridianos son las rectas que contienen los segmentos que forman su radio.

Por ejemplo los meridianos son perpendiculares al Ecuador y se encuentran en el Polo Norte.

Postulado 5: Por un punto P, que no pertenezca a una recta, no es posible otra recta que sea paralela a la recta dada, ya que todas las rectas trazadas fuera de la recta dada eventualmente se encontrarán con ella.

Este postulado parece ser el más evidente. Como ya dijimos, dos rectas (= círculos máximos) siempre se cortan, y por tanto no hay paralela por un punto exterior a una recta.

Comparación de TeoremasGeometría Euclidiana: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)”.Geometría Elíptica: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es mayor a dos ángulos rectos”.En la geometría esférica (elíptica) siempre podemos construir un triángulo usando arcos de círculos máximos, como se muestra en el siguiente dibujo en el cual se ha trazado un triángulo esférico:

Una forma sencilla de ilustrar lo anterior es considerar el siguiente problema:

Obsérvese que continuando los arcos de los círculos máximos que definen a un triángulo esférico de manera que den una vuelta completa, siempre se formará otro triángulo del otro lado de la esfera, algo que ciertamente nunca ocurrirá en la geometría Euclidiana

Una persona sale de su casa un día y viaja con un avión la distancia equivalente a medio meridiano hacia el sur, después 10 Km. Al oeste y después la distancia equivalente a medio meridiano hacia el norte para encontrarse de nuevo en su casa. ¿Como es esto posible?Una de las soluciones posibles es pensar que vive en el Polo Norte

Podemos decir por lo aprendido que APB forman un triangulo esférico, que las distancias AP y BP se realizan sobre meridianos y que AB esta sobre el Ecuador. Con estas condiciones podemos afirmar que el ángulo en A y B son rectos y suman 180º cuando aún nos falta sumar el ángulo en P.Se confirma que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es superior a dos rectos

A diferencia de como ocurre en la geometría Euclidiana, en la superficie de una esfera no existen triángulos semejantes por el hecho de tener ángulos internos iguales, los triángulos necesariamente son iguales Llegamos a esta conclusión por esta formula:

S= (a + b + c - π)R²Donde a, b y c son los ángulos del triángulo esféricoS es el área del triangulo esféricoR es el radio de la esferaLo demostraremos. Primero dejaremos definido el ángulo esférico como el ángulo formado por dos círculos máximos que se intersectan en un punto. En la siguiente figura tenemos dos ángulos esféricos que se forman en los vértices A y A' (los cuales generan dos áreas en lados opuestos en la esfera), ángulos esféricos en los vértices B y B' y en los vértices C y C':

S = área A + área A' + área B + área B' + área C + área C' - 4(área del triángulo esférico ABC)

S = 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B) - 4(área del triángulo esférico ABC)

Sabemos que el área total de la superficie es S = 4πR²

Parte de P, viaja al sur hasta B, luego al oeste hasta A y por ultimo vuelve al norte hasta P

4πR²= 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B) - 4(área del triángulo esférico ABC)

4πR² = 2(2aR²) + 2(2bR²) + 2(2cR²) - 4(área del triángulo esférico ABC)

4πR² = 4aR² + 4bR² + 4cR² - 4(área del triángulo esférico ABC)

Despejando nos queda:S= (a + b + c - π)R² teorema de Girard

A diferencia de como ocurre en la geometría Euclidiana, en la superficie de una esfera no existen triángulos semejantes por el hecho de tener ángulos internos iguales, los triángulos necesariamente son iguales.