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Queda hecho el deptcitc que pre:1~ir.r.e la. ley N'! 11.723 Toda.s las catacterlsticas grficas de esta. coleccin ha,n. 'fido rcg-i.strada~ en la oficina de Paientes 11 Ma.rcas de

la Naci&n.

Copuright b11 Cia.. Edito,::. Esp1Um-Calpe Argentina, S. A. 3"""'' A ir B, :i 945. ~

PRINTED IN ARGEN7'1NE

Acabado ck imprimir d dfo 20 de a.bril de 1945.

8ebnstin dt. A.m9_rrorfo e hij()s, S. R L .. C6rdoba. 2028. Bu.eno.-; Aire.e-

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INDICE

PREFACIO ................ .; .......... .. ...... .

CAPT ULO I LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLDEO

1-5.

6.

7-1 O.

El postulado de las para. las entre los ge-metras griegos . . . . . . . . ... ........ .

El po~t,1lado de las l)ataleias entre los rabe~ ............................... .

El po~tul 1do de las paraleias durante ei Re nacimiento y el siglo XVII ...........

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LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRA NO EUCLIDIANA

Pg.

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29

" 11-17. Gerolamo Saccheri (1667-1733) . . . . . . . . . . 37 18-22. Juan Emique Lambert (1728-1777) . . . . . . 56 23-26. Los gemetras franceses de fines del si-

27-28. 29. 30.

glo XVIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Adriano Maria Legendre (1752-1833) . . . . . . 66 Wolfgang Bolyai (1775-1856) . . . . . . . . . . . . 70 Federico Luis '\Yachter (1792-1817}....... 72

CAPTULO III

LOS FUNDADORES DE LA 1;EOMETRA NO EUCLIDIANA

31-34. 35. 36.:{8

Cados Federico Gau:;s (17"77-1855) ...... . . Femando Carlos Schweikart (1780-1859) .. Frar1cisco Adolf,-. Taurinus (1794-1874) ... .

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NOTA (1 )

En los ltimos aos se oye por dondequiera un mo-ntono treno sobre la cultura fracasa,da y concluda. Filisteos de todas la.s lenguas y todas las observancias se inclinan ficticianumte compungidos sobre el cadver de esa cultura, que ellos no han engendrado ni nutrido. La guerra mundial, que no ha sido tan mundial como se dice, parece ser el sntoma y, al par, la causa de la defflmei6n.

La verkd es que n-0 se comprende cmo una guer ra puede destruir la cultura. Lo ras a que puede aspirar el blico suceso es a supriniir las personas que la crean o transmiten. Per.o la cultura misma queda siempre intacta de la espada .y el plomo. Ni se sospecha de qu otro nwdo pueda sucumbir :u:na cultura que no sea por propia detencin, dejando de produdr nuevos pensa-mientos y nuevas normas. lrfientras la idea de ayer sea corregla por la idea de hoy, no podr hablarse de f rdcaso cultural.

Y, en efecto, Lejos de existir ste, acont~e que, al menos la ciencia, experimenta en nuestros df.as un in-comparable crecimiento de 1titalidad. Desde 1900, co-incidiendo peregrinamente en la.fecha inicial del nuevo siglo, comienza11. a elevarse sobre el ko:rizmte ir..te-Zectu.al pensamientos de nue11a trayectoria. Espordica-mente, sin percibir su radical parentesco, aparecen en unas y otras ciencias teorias que se caracterizan por disentir de las dominante3 en. el siglo XIX y lograr su superacin. Nadie hasta ahora se haba fijado en q.u.e toda.s esas ideas que se hallan en su hora de oriente, a pesar de referirse a los asuntos ms disparejos, po-seen una fisonoma comn, una rara y sugestiva uni-dad de estilo.

(1 ) Escrita por don Jos Ortega y Gasset para Ja 1~ ed., pu-b1icada por Calpe en su coleccin Bibliote~a de ideas del si-glo Xl:>.

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12 NOT A

Desde hace tiempo sosiengo en mis escritos que existe ya un organismo de ideas peculia1es a e,~te si glo XX que ahora pasa por nosotros. La ideologf.a, del siglo XIX, vista desde ese organismo, parece 1ma pobre cosa tosca, manitica, imprecis, inelegante y sin re-medio periclitada.

Esto, que era en 1nis escritos poco ?ns que una pri-vada afirmacin, podr recibir ahora und prueba bri-llante con la Biblioteca de Ideas del siglo XX.

Bn ella reno las obras ms caracterstica$ del tiem-po nuevo, donde principian su vida pensamientos antes no pensados. Desde la matemtic.a a la esttica y la historia, procurar esta coleccin mostrar el nuevo es-pritu labrando su miel futura sobre toda la flora in-telectual. Claro es que tratndose de una ideologL en plena mocedad no podr pedirse que extstan ya trata-dos clsicos donde aparezca con una perfeccin siste-mtica. Es ms, algunos de estos libros contienen, junto a las ideas de nuevo perfil, residuos de la anti-gua manera, y como las naves al ganar la ribera, mien-tras hincan ya la proa en la arena aun se hunde su timn en la niarina.

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Hablar de ideas del siglo XX frente a ideas del siglo XIX slo puede parecer caprichoso a quien no advierte que las ideas estn en ima relacin con las pocas muy parecida a. la que sufren las plantas en los climas. Una poca viene a ser un clima intelectual, el predominio de ciertos princ-ipios atmosfricos que fa-vorecen o agostan determinadas cosechas. Un claro ejemplo de esto es lo ocurrido con las tendencias de renovacin matemtica que bajo el ttulo de geome-tras no euclidianas se inid.aron en la pasada centuria. L

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PREFACIO

El material reunido hace ya tiempo acerca de los orgenes y desarrollo de la Geometra no euclidiana, el inters que han adquirido las exposicicnes histri-cocrticas de los fundamentos de las disciplinas cien-tficas, me han impelido a ensanchar los lmites de la primera parte de mi artculo iSobre la teora de las paralelas y la Geometra no euclidiana:., includo, aho-ra hace seis aos, entre las (1) , reunidas y coordinadas por el profesor F. ENRIQUES.

El artculo, completamente rehecho para la versin alemana de aquella obra, trata preferentemente la par-te constructiva del tema; este libro est dedicado, en cambio, a una difusa exposicin de la historia de las paralelas y al desarrollo histrico de las geometras de LoBATSCHEFSKI-B-OLYAl y de ,,RIEMANN.

En el captulo primero, partiendo de . EUCLIDES y de los comentadores ms antiguos del V postulado, he re-producido los razonamientos ms caractersticos, con los que los griegos, los rabes. y los gemetras del Re-nacimiento pretendieron establecer sobre bases ms slidas la teora de las paralelas. En el captulo II, principalmente con la obra de SACCHERI, LAMBERT y LEGENDRE, he procurado poner bien a la vista el trn-sito de las antiguas a las nuevas ideas, ocurrido a principios del siglo XIX; en los captulos III y IV, a travs de las investigaciones de GAUSS, SCHWEIKART,

TAURINUS, y la obra constructiva de LOBATSCHEFSKI y BOLYA, he expuesto los fundamentos del primero de los sistemas geomtricos edificados sobre la negacin de la hiptesis V de EUCLIDES. En el captulo V he trazado sintticamente los ulteriores desarrollos de la Geometra no euclidiana, que surgen de las indagacio-nes de RIEMANN y HELMHOLTZ sobre la estructura

( 1 J Bo!onia, ZanicheHi, 1900.

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16 PREFACIO

del espacio y de la extensin proyectiva de CAYLEY del concepto de propie

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PREFACIO 17 ---------

He aqu, brevemente, el contenido cter libro. Antes de confiar esta modesta obra al juicio de los

lectores benvolos, siento el deber de dar vivamente Is gracias a mi amado maestro, el profesor FEDERICO ENRIQUES, por los preciosos consejos con que me ha auxiliado en la disposicin y en el contenido. crtico de la materia; al profesor CoRRADO SEGRE, ql!e amabl&-mente ha puesto a mi disposicin el manuscrito de un Curso de lecciones sobre la Geomet:ra no euclidiana explicado por l, hace ahora tres aos, en la Univer-sidad de Turn; al querido amigo profesor JUAN V Al-LATI, por las preciosas indicachmes proporcionadas acerca de la Geometra griega y la ayuda prestada en la revisin de las pruebas.

Finalmente, tambin al inmejorable Comm. CSAR ZANICHELLI, que ha acogido solcitamente mi trabajo en su coleccin de obras cientficas, se dirige asimismo mi ms sentida gratitud.

Pava, marzo 1906. ROBERTO BONOLA.

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GEOMETRAS NO EUCLIDIANAS

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CAPITULO PRIMERO

LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLfDEO

EL POSTULADO DE LAS PARALELAS ENTRE LOS GEMETRAS GRIEGOS.

l. EUCLIDES ( 330-275, aproximadamente, antes de J. C. ) llama paralelas a dos rectas coplanarias que, prolongadas cuanto se quiera, no se encuentran ( Def. XXIII) (1). Demuestra (Prop. XXVII, XXVIII ) que dos rectas que forman con una transversal suya n-gulos alternos internos iguales, o bien ngulos corres-pondientes iguales, o ngulos internos de un mismo lado suplementarios, son paralelas .. Para demostrar despus las inversas- de estas proposiciones, EUCLIDES se apoya en el siguiente postulado (V) :

Si una lnea recta que corta a otras dos forma n-gulos internos del mmw lado de la secante cuya suma sea menor de dos rectos, aquellas dos, prolongadas ha-cia este lado, se encuentran.

La teora euddea de las paralelas se completa des-pus con los siguientes teoremas:

Lneas rectas paralelas a una misma recta son pa-raielas entre s (Prop. XXX).

Por un punto dado se puede trazar una sola recta paralela a una recta dada (Prop. XXXI).

Los segmentos comprendidos entre segmentos igua-les y paralelos son iguales y paralelos (Prov. XXXII).

Del ltimg teorema se deduce la equidistancia de las dos oaralelas. Entre las consecuencias ms notables de e.sta -teora se encuentra el conocido teorema sobre Ja

( 1 ) Para cuanto "e :elaciona con el texto eudideo nos refe-riremos siempre a la edicin crtica de J. L. HEIBERG (Leipzig, Teubner, 1883) .

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20 GEOMETRJAS NO EUC LIDIANAS

suma de los ngulos de un tringulo y las propiedades de las figuras semejantes.

2. Desde los ms antiguos, todos Jos comentado-res del texto eucldeo opinaron que el postulado V no era bastante evidente para aceptarlo sin demostracin, por lo cual trataron de deducirlo como"consecuencia de otras proposiciones. Para conseguir este objeto, substituyeron a veces la definicin eucldea de las paralelas, de forma gramatical negativa, con otras de-finiciones que no presentasen dicha forma, supuesta defectuosa.

PROCLO ( 410-485) , en su Comentario al libro l de Euclides (1 ), nos transmite preciosas noticias acerca de las primeras tentativas hechas con este propsito. RefieJ:"e, por ejemplo, que POSIDONIO (siglo I antes de J. C.) haba propuesto se llamasen paralelas a dos rectas coplanarias y equidistantes. Esta definicin y la eucldea corresponden, sin embargo, a dos hechos que pueden presentarse separadamente, y PROCLO (pgi-na 177), refirindose a un tratado de GEMINO (siglo I antes de J. C.), aduce a este propsito los ejemplos de la hiprbola y de la concoide y de su posicin con las respectivas asntotas, para mostrar que podra ha-ber lneas paralelas en el sentido eucldeo, esto es, l-neas que prolongadas hasta el infinito no se encuen-tran, y, sin embargo, no paralelas en el sentido de POSIDONIO, esto es, no equidistantes.

Tal hecho es calificado por GEMINO, siempre al de-cir de PROCLO, como el ms paradjico ( ?ta:pa:oo~'t"a:rnv) de toda la Geometra.

Queriendo luego concordar la definicin eucldea con la de PosIDONIO, es necesario demostrar que dos rec-tas que no se encuentran son equidistantes, o bien que el lugar de los puntos equidistantes de una recta es una recta. Para tal demostracin, EUCLIDES se apoya precisamente en su postulado.

PROcw (pg. 364) rehusa por elfo considerarlo en-tre los postulados, observando, en confirmacin de tal opinin suya, que su inversa (La suma' de dos ngulos

( 1 ) Para cuanto se relaciona con el texto de PROCLO nos re-eri:reinos a la edicin dirigida p-0.r G. FRIEDLEIN. Procli Diado-hi in primum Euclid;s eleme?ttOTtcm librum .Commcntarii ( Leip-zii., Teubner, 1873).

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LOS DEMOS1'RADORES DEL V POSTULADO EUCL!DEO 21 ---------+-----

de un tr.ngulo es m.enor que dos ngulos rectos) es un teorema demostrado por EUCLIDES (Prop. XVII), no parecindole posible que una proposicin cuya in-versa es demostrable no sea a su vez demostrabl~. Pone tambin en guardia contra las abusivas llamadas a la evidencia e insiste sobre la posible (hipottica) exis-tencia de rectas asintticas (pgs. 191-2).

TOLO MEO (siglo n despus de J. C.), siempre al de-cir de PROCLO (pgs. 362-5), intent resolver la cues-tin con este curioso razonamiento. Sean A B, CD

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dos paralelas; F G, una transversal; o; y p, los dos ngulos internos a la izquierda de F G, y o;' y r los dos ngulos internos de la derecha. Entonces la suma o; + p ser o mayor o menor o bien igual a dos ngulos rectos. Admtase que si para un par de paralelas se verifica, por ejemplo, el primer caso (a:+ p > 2 re~tos), otro tanto ocurrir. para todos los dems pares. En-tonces, puesto que las rectas F B, G D son paralelas entre s, como son paralelas las rectas F A, G C, de

......... /' a: + ~ > 2 rectos se deduce: a:' + p' > 2 rectos.

De aqu se sigue: ~ + p + a'+ ~ > 4 rectos, lo que es manifiestamente absurdo. Luego no puede ser a + ~ > 2 re-;t'os. Del mismo modo se de~uestra que no puede

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ser a + p < 2 rectos; por consiguiente, ser a: + ~ = .........

2 rectos (PROCLO, pg. 365) . De este resultado se deduce fcilmente el postulado

eucldeo.

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22 GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS

~ 3. PROCLO (pg. 371), despus de haber critica-do el razonamiento de TOLOMEO, intent alcanzar el mismo objeto por otro camino. La demostracin de PROCLO reposa sobre la siguiente proposicin, que l considera comQ evidente: La distancia entre dos puntos situados sobre dos rectas que se cOTtan puede hacerse tan grande como se quiera, prolongando suficiente-mente las dos rectas (1). De sta se deduct; el lema:

Una recta que encuentra a una de dos paralelas en-cuentra necesariamente tambin a la otra.

He aqu la demostracin del lema dada por PROCLO: Sean A B, C D dos paralelas, y E G una transversal,

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incidente en F sobre la primera. La distancia de un punto variable sobre el rayo F G a la recta A B crece ms all de todo lmite cuando el punto se aleja inde-finidamente de F, y puesto que la distancia de dos paralelas es finita, la recta E G deber necesariamen-te encontrar a CD.

PROCLO introduce, por consiguiente, la hiptesis de que la distancia de dos paralelas se mantiene finita, hiptesis de la que lgicamente se deduce la de EU-CLIDES.

4. Que el postulado de EucLides fuese objeto de discusiones e investigaciones entre los griegos, resul-ta tambin de la siguiente pradjica argumentacin, con la cual, al decir de PROCLO (pg. 369), se preten-da demostrar que dos rectas cortadas por una tercera no se encuentran, aun cuando la suma de los ngulos

( 1 ) Esta proposicin, considerada como evidente, es apoyada por PROCLO con la autoridad de .;\RISTT:::LES: Cfr. cDe Coelo, I, 6~. Una rigurosa demostracin de la proposicin en cuestin fu dada por el padre G. SACCHERI, en la obra -citada en la p-gina 37.

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LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLtDEO 2S

internos de un mismo lado sea menor que dos ngulos rectos.

Sea A Cuna transversal de las dos rectas A By CD, y E el punto medio de A C. Hacfa el lado de A C, en que la suma de .los ngulos internos es menor que dos ngulos rectos, se toman sobre A B y C D los segmen-

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Figura 3

tos A F y C G, iguales a A E. Las dos rectas A B y C D no pueden encontrarse entre los puntos A, F y C, G, porque, en un tringulo, cada lado es menor que la suma de Jos otros dos.

Uniendo despus los puntos F, G, a partir del seg-mento F G, se repite Ja precedente construccin, esto es, se determinan sobre A B y C D los dos segmentos F K, G L, cada uno igual a la mitad de F G. Las dos rectas A B y CD no podrn encontrarse entre los puntos F, K y G, L. Y puesto que esta operacin puede repetirse indefinidament e, se concluir que las dos rectas A B y CD no se pueden encontrar jams.

El vicio principal de la argumentacin reside ..131 emitJeQ del mfm1to, puesto que los segme~_AF, t . . . podran, por disminuciones sucesivas, tender a cero y su serie ser hnit. El autor de la-"Pa_r.a.do.ia ha hecho uso del mismo principio con el g_p~Z..ENN 1:495-435 antes de J. C.) pretella!ademostrar Qlle AquILEs no alcanzara a Ja foi.fiiiii, aun movindose con una velociaaa @e. de la veJocjdad a.e esta filtiii.

Esto fu ooservado, bajo otra forma, por PROCLO (pgs. 369-70), diciendo que lo que as se demuestra es que, con el susodicho proceso, no se puede alcan-zar el punto de encuentro (determinar: o(l!l:etv), no que ste no exista.

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24 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS

PROCLO observ adems que cpuesto que la suma de . dos ngulos de un tringulo es menor que dos ngulos

rectos (Eucr,IDES, XVII), existen rectas que, cortadas por una tercera, se encuentran hacia el lado en que la suma de los ngulos internos es menor que dos ngulos rectos; as, a quien afirme que para una diferencia cualquiera entre dicha suma y dos ngulos rectos lap dos rectas no se encuentran, se puede responder que para diferencias menores las . rectas se encuentram.

. De lo que siga resultar que la duda aqu presentada por PROCLO tiene fundamento solamente en el caso en que el segmento A C de la transversal (fig. 3) perma-nezca. invariable, mientras las dos rectas del par, gi-rando alrededor de los puntos A y G, hacen variar su diferencia.

5. Otra demostracin bastante antigua del pos-tulado V, referida en el Comento rabe d\f AL-NIRI-ZI (1) (siglo IX), llegada hasta nosotros a travs de la traduccin latina de GERARDO DE CREMONA (2 ) (si-glo XII), es atribuda a AGANJS ().

La parte de este comentario relativa a las defini-ciones, postulados y axiomas contiene frecuentes re-ferencias al nombre de SAMBELICHIUS, que se identi-fica fcilmente con SIMPLICIUS, el clebre comentaiis-

( 1 ) Cfr. R. 0. BESTHORN y J. L. HE:!BERG. Cod.$x Leid~s, 399, I. Euclid~ ElMtUmta. X intsrwetaticne Al-Ha

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26 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS

dos partes iguales, y as sucesivamente M Z, en dos partes iguales, etc ... , hasta que uno de los puntos me-dios P, M, ... caiga en el segmento L Z. Si ste, por ejemplo, es el punto M, trcese por M la recta perpen-dicular a E Z, que encontrar en N a la Z D. Constr-yase finalmente sobre Z D el segmento Z C, mltiplo de Z N, como Z E es mltiplo de Z M. En nuestro caso es: Z C = 4.Z N. El punto C as . obtenido es el punto de encuentro de las dos rectas A B y G D.

Para probar esto necesitaramoa demostrar que los segmentos consecutivos e iguales Z N, NS, ... de la recta Z D tienen pr,oyecciones iguales sobre la Z E. No nos detenemos en esto porque tendremos que volver a ello en seguida (pg. 27). Por lo dems, el razona-miento lo sugiere la figura misma de AGANIS.

Descubramos la caracterstica de la precedente cons-trucc~n: estriba en el uso (implcito) del llamado postulado de Arqumedes, necesario para fijar el seg-mento M Z, submltiplo del E Z y menor que el L Z.

.~ EL POSTULADO DE LAS PARALELAS ENTRE LOS ARABES

~. Los rabes, sucesores de los griegos en la su-premaca de las Matemticas, se ocuparon como stos en el V postulado. Algunos, sin embargo, aceptaron sin ms las ideas y las demostraciones de sus maestros, como, por ejemplo, AL-NIRIZI (siglo IX), cuyo comentario a \as definiciones, postulados y axiomas del libro I est modelado sobre la introduccin a los Elementos debida a SIMPLICIUS, y cuya demostracin de la V hiptesis eucldea. es la arriba indicada ( 5) de AGANIS.

Otros llevaron su contribucin personal a la cues-tin. NASiR-EDDiN (1201-1274), por ejemplo, aunque demuestra el postul,ado V, . adaptndose al criterio se-guido por AGANIS, merece ser. recordado por 1 idea original de anteponer explcitamente el teorema sobre la suma de losngulos de un tringulo y por la forma acabada de su razonamiento (1).

He aqu la parte esencial de la hiptesis que l ad-mite: Si dos rectas r y s, son la primera perpendicular,

l') Cfr. Euclidi8 elemento1-um libri XII ~tudio Nll.asiredini (Roma, 1594). Esta obra, escrita en rabe, iu reproducida en 1657 y 1801. No existe ninguna traduccin de ella en otra lengua.

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LOS DEM OSTRADORES DEL V POSTU LADO EUCLtDEO !l.7

la otra oblicua al segmento A B, los segmentos de las perpendiculares bajadas desde s sobre r son menores que A B en la regi6n en que A B forma con s ngulo agudo, y mayores que A B en la regin en que A B forma con s ngulo obtuso. Siguese inmediatamente que si dos segmentos iguales, A B, A' B', caen hacia una misma regin y perpendicularmente sobre la rec-ta B B', la recta A A' ser perpendicular tambin a los dos segmentos dados. Adems se tendrS.: AA'= BB', y, en suma, la figura AA' B'B es un cuadriltero con los ngulos rectos y los lados opuestos iguales, esto es, un rectngulo.

De este resultado NAsiR-EDDiN obtiene fcilmente que la suma de los ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos. Para el tringulo rectngulo la cosa es manifiesta, puesto que es la mitad de un rec-tngulo; para un tringulo cualquiera se obtiene el resultado mediante la descomposicin del tringulo en dos tringulos rectngulos.

Sentado esto, he aqu, rpidamente, cmo el gemetra rabe demuestra el postulado ewde-0 (cfr. AGANIS) :

Sean A B y C D dos rayos, uno oblicuo y otro per-pendicular a la recta A C. Sobre A B fjese el segmen-to A H, y desde H bjese la perpendicular H H' sobre A C. Si el punto H' ae en C, o -bien en la regin opues-ta a A respecto de C, los dos rayos A B y CD se en-

oc M. 'K.' H' A Figura 5

cuentran sin ms. Si H' cae entre A y C, trcese el segmento A L perpendicular a A C e igual a H H'. Entonces, por todo lo anteriormente dicho, ser: H L =AH'. Consecutivamente a AH tmese H K, igual

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28 GEDMETRtAS NO zuCLIDIANAS

'AH, y desde K _ bjes Ia ~pe~~ndfoular K K' sobre A C . Siendo K K' > ;H H'~ :t.lllgi,1$..f;;t!-)t~':~~,,;;.-.~ ~ .

. . .. : .. ~ ~~:ffi~~,i' .. , (?)_La, demo:rtnrei~;:;ae . NA!$~JQ.lB~~}~..:ffo~ V _est

. daarrollil.da,detalladamen~ por eF:~~ in~ J.- WALLIS, en~:.et ; vo1Um.e!Ll_ di;m:-_obr_U., (c#;~{jl...9'?.-~ ~.Ia;;:pgina 32), YPQr; G:1.C"..umr.r.oN, 'elf' 'm"trabafd11~-qumt!J .. , Npole11/cl-8'B}. /

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LOS Dt::!'>!OSTRADORES DJ::L V POSTULADO EUCLtDEO 28

EL POSTULADO DE LAS PARALELAS DURANTE EL RENACIMIENTO Y EL SIGLO XVII

7. Tanto las primeras versiones de los Elementos; hechas en los siglos m y XIII sobre. los textos rabes, como las sucesivas; redactada.a sobre. los textos griegos a fines del XV y en la primera mitad del .XVI, no llevan, en general, ninguna observacin- -crtica al V postulado. La critica renace despus de 1550, 0 principalmente a impulsos del Comento de .POOCLO (l}.' J>ara mejor .se-guirla; citemos brevemente los

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30 . -GEOMETJUAS NO EUCLIDIANAS

~tfa ,znea>recta. lit, .taciz.~ siempf,;cQtt stt. ,punto' 8Zt~enw, . y)m.todO su curso es>pet-p_endii.,UUir./ii:iJulla; su otro . .. )punt(i extremo describir_ ,?I- ~~mommientc '.una lnea . ..

. recta. . ;:;_- ~:-- .... . ,,,,:,:;.\(.';:.:,'. . . .. . >' , .-~.Sucesivamente . iie~u~tra __ Q.U:.;~(iSs rectas perpendi-. caja:rS: ~L' qna ter~ei:;;;:;~91{'.eqjqjfetantesijr: _9efine Ia.s

. P'aralelii.s como rectasfeqtiidistruif&i:Sigue Ia teora ' de -~a8,_~~:1~ (l)-. J .. '.~t ::;s~w4~;::-_ -.: .. ._ : .+ ft'; GIORDANO Vfl'ALE:.: (l~S:-"1711); volviendo al

concepto de equidistancia f on,i:il;ilajlt:} por ; PsmoNIO, siente con PROCLO la. ri.ecesidruf-;tl{.'rechazar qu,e las paralelas de EUCLIDES puedan eomportarse de un modo asinttico. A este fin define ~la8 ; ;paralelas como. dos rectas equidistantes, y trata .de\:probar que el lugar de los puntos equidistantes de..'una recta es una rec-ta (2). . '

La demostracin reposa substancialmente sobre es-~ te lema: Si entre dos puntos -A:;1J:C, . tomest -hacia X, se traza la recta A C, y si desde-Zs:'infini.tos puntos del arco A C se trazan perpendicUlres ,:a lguna recta;

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SZ GEOMETRtAS NO EUCLIDIANAS

+ s. J. W.ALL'I& (1616-1703); abandonando el con-. cepto de . equidi~cia, . explotado : in~ente por }?s

precedentes , geom~tras,. da :.una .;nue-ya demostracton .del postUlado :V, :fmld:ild0se eli ;~ .. nocin comn: . De toda f igu.ro, exis"te. #ita, semeic,,.Jite (Le magnitud a.rbi-trq,f'..ia,.: IIe aqu, rpidamente; c4mO:procede WALLIB ( 1}

/.s~: o,y b dos :r~cortada&:enAY B por la trans-.. ver-Sal 'e; y a. y ~ IosrigU1osintemos de i.ln mismo lado de "c itales que +~sea merior'tt,ue ~ dos ngulos rectos. Ti:azad por A la reeta b~~ de-Iiodo que b y b' formen con'i ' ngulos correspndien,teS~iguales, es claro que b' caer en el ngulo adyacente. a . %. ~ Si ahora transpor-t amos continuamente la recta--b-de modo que B recorra

b' 6 a b b.b.

ry"" r\rJr\rt "" e - B ~S

el segmento A B y que el nglo que forma con e se mantenga constantemente iguaJ ,a:. ~.J.a recta b, antes de alcanzar la posicin finar :bi~Jlbr necesariamente encontrar a. o,. Queda as .:dererminado: un tringulo A Bi C1 con los ngulos n/.~-,;-;.i''..B1 r~pectivamente iguales : a a y ~' Pero, por la ;hipts~s :,d~ ;WALLIS sobre Ja~ .eJQ5teJ:ici.a . _de. las figura(a,~J;iieJan~i .sobre A B, _eo;n~;rado : liom?Jogo .de. 4~~~~ef~;. co18tnrir un ttj~ito.19 A B,C semeJan~:_.l~WO. .NB1 C1, lo que \~)tX :; \; ... .. ,: .. : .. . :?':7JL:-1;ct'::.~: ". _ .. :: (.~).; (Jfr:. $ALI.IS: Da poat1'It0:. Q_;into; . 6' :P.efin.iti01U Qiiin.-

. ta;;. 111.dieada con Tll. d. P. ,,

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Ji. LOS DEM OSTR ADOR.ES DEL V POST ULADO EUCLJDEO 3 8

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significa que las rectas a y b deben Concurrir en .un punto, esto es, :fl el tercer vrtice C del tritjgulo A B"C.' Luego, etc . . ._. . .. . . . :'i'." .. ' .. "

WALLIS trata despuS d jffic'f:i i{ iiilnaf.idea obSel"Vando que EucLIDEs-,: potlando".Ia.wstencia''d~ un creUlo de centi:o: y radio daQos (po~ '111)", ad- . mi te en substazici: el pflcipi'.: e 18: 'semejanza pata. lo8 crculos. Pero1 aun ,. cando .'JA . intuicin: apoya fa~ rablemente este' punto ~ vista}: el eone'i>to de orii:la' independiente:de,la extensin . de un~digur constituye una. hiptesis no :ciertamente;zns evidente que el : pos-r tulado de . EUCLID!'.S. . -. : /-, ;

Observemos todava que WALi.rs poda .ms sencilla-mente admitir la existencia de .tringulos con ngulos iguale8, o, como veremos en lo , que sigue, de dos solos tringulos desiguales, con los ngulos dos a. . dos igua-les [cfr. pg. 43, nota (1) ].

10. La obra crtica de los precedentes gemetras es suficiente para dar a "conoeer-la evolucin histrica de nuestro problema en fos siglS XVI y XVII, por lo que juzgamos superfluo hablar de otros insignes investiga-dores, como fueron, por ejemplo, OLIYIERO DI BURY (1604), LUCA VALERIO (1613)/'H. SAVILE (1621), A. TAQUET (1654), 1( AltNAULD '(1667) (1), Estimamos ms necesario decir algunas pajabras sobre el lugar que ocupa en el organismo geomtrico la hiptesis eu-cLdea entre los . derentes comentaristas de los Ele-mentos. > ;

En fa edicin latina de los 'Elementos- (1482); hecha soore los textos rabes' por-CAMPANO (siglo xm); la hiptesis en cue8tin figura entre fos". postulados.-otro binto Curre en.' la traduccin latina hecha del griego por B. ZAMBERTr ( 1505); , en ls ediefones de LUCA PACIOLO . (1509), di N. TARTAGLI (1543)', de F; CoM-MANDINO (1572), de A. BoREI..L:; (1658)~ .

En cambio la primera impresin de lOs Elementos _en lengua griega (Basilea, 1533) ' contiene la hiptesis entre los axiomas ( awionio, XI) .

34 . GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS

VIO. J1574). _GIO&DANO ,Y~Ai: (1680) . y tambin G.B.E-GOd)Eu;Y::(l,79~ni: en su ~~~:.".ers.inJatjna d las obras e CLIDES ._. "'- '-. ' . '11'

. .'.;.PaJ.-.i,inte.ritar .wirse ,~~~. de '~~ diferencias, Jas c~~~t~-mas: que a Io~i'~:teaiclos~atres, se i:ejon:-~;:a ;'.98 CdieS -traBmtti4os>'.cfo.:os gtlegos,. con~ v.etrdri : abei,::qu sigf.fJ~o:~attihuyeron estos l-.

.. fiiif a:-..ia:s alabras':"''"' '-, s' iif, . . . axiomas .:xa,~i~~Y~{;; .-:N~;~;:4IBs.:) ~ palabra . ~aqu:; signi~(-lQ'~lie.~':ECI:dJJES, en . su texto; . ua..a ;~noCi(>ne.::comuni~(1'~~1:M~~i).:;. , .

~:e ~Eii' PRocLo estn indada.s:'tres" maneras diferentes de~:entender'. la derenci8;~.eXis.terite .:entre los axiomas y Is: .. postlados. :.''':t'ri'.gs. 575-681

t~~T~~l"i -1906).: .

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LOS DEMOSTRADORES DEL V POSTULADO EUCLJDEO 35

ximadamente al de las nociones C-Omunes de EUCLIDES, mientras la palabra postulado tiene en ARISTTELES. un sentido diferente de cada uno de los dos arriba in- dicados ( 1). , Ah.ora, segn que se adopte una u otra de estas dis-tinciones entre las dos palabras, una determinada . pro-posicin podr clasificarse entre:loa postuladas o entre los a;i;iomaa~ Aptando la pr imera, de los cinco . postu-lados eucldeos, slo los t res pr imeros; segn .PROCLO; mereceran' este nombre, por cuanto' en ellos solamente se pide poder hacer ula conatrccin (unir dos pun- ' tos, prolongar una recta, describir n circulo de centro y radio arbitrarios). El IV (los ngulos rectos son igales) y el V deberan, en cambio, clasificarse entre los axiomas (2). . . .

Aceptando, en cambio, la seginda o la tercera dis-tincin, los postulados eucldeos . deben todos, los cinco, incluirse entre los postulados.

(1} Cfr. lUSTTELES: An.alytica Poateriora, l , 10. Traslade-mos ntegramente el pasaje, nn poco obscuro, en que el filsof o habla del postulado:

~oO'a b . "" llrnmi 611r4 A4/3rn civrck 1 15"~"' -rawe ir O ooa:oirr .. A~ T~ .a.11fJl'Orr< irro'Tl8ercu. K .. i llO''TIJI ox ..iis irr08EU.M ff'/X>s . mi11011 6.,o,,. 'Ecfl U ~ Jl.1)/Se.la,s 11007s /S~s -l) "2 &a.nws bouo'i)s ')..4.fJ,,.,,, .,.; .. .,.,. ctlreTCJ,,. Kei -rofrnt ISUl.f/>ln v.,68e's , ir1d . ..;r1.a., O'-r ')..ii.p .,r1.a. ro lnraerrw ,....s JUU8110rros .Ti ~-. ~} Es ~porluiio observai-~qne el postulado. V: pnede enunciarse

asi: Se.~ con.-truir el 'plinto:'coma culos recta.., cuando;utai r~ cO'l"tadq por ua4 traiuvnal:fo'rmcin dos ngulos' iatehioa' cU :tm fniam, :la40 Cit11a hftA:.ff:menoi-' iu: ds ' xqulo rectos; De-esto TeSlllta .qeQ afirnia;.eomo1os' ti:-es primeros," la''poaibi: lidad de una. ccnatrw.:cin. Este. c:aieter.desapareee, sin. embargo,. totalmente si se le'. enuncii, wr ejemplo',~ a8: Por n Jiunto ptiaa. U1CCI sola 'Pf&~la: iittM. reda, o. bien( D06 f'fl= paral

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86. ' GEOMETRlAS NO EUCUDIANAS

.. ::~-~.~.~to. el.?rige. n:d~~ diver~~.ric~~s entre los varios c6di~ es4cilrilente '.iplicable::.: Para avalorar esta u-

... , ~plic3ci6x;i.; ' Pdemos aadir fa 1incettii0 EUCLIDI~A

GEROLAMO SACCHERI (1667-1733)

11. La obra del padre GEROLAMO SACCHERI Eu-clides ab omni naevo 'Vi:n.dicatus: sive cona.tus geome-tricus quo stabiliuntur prima . ipsa, universae Geome-triae Principi,a (Miln, 1733) est dedicada en su ma-yor parte a la demostracin del posttilado V. La idea directriz de las investigaciones geomtricas de SAc-CHERI se encuentra en su LOgica demonstrativa (Tu-rn, 1697), precisamente en un tipo especial de razo-namiento, ya usado por EUCLIDES (Lib. IX, Prop. XII), por el cual, aunque se admita como hiptesis la false-dad de la pro1J()sicii que se quiere demostrar, . se llega igualmente a. concluir. que es verdadera (1).

Conforme con esta idea, el autor toma como datos las veintisis primeras :Proposiciones de EUCLIDES, y supuesta como hiptesis la falsedad del . posttdado ' V, busca, entre las consecuencias de esta hiptesis, , una proposicin .cualquiera"' que , le autorice a afirmar .. la verdad del postulado mismo. . ,

AnteS de exponer la. obra saccheriana' recordemos que EUCLIDES, 'para demostrar su proposicin XVI (el ngulo externo de un tri.D.gulo e.s mayo!'. que cada' uilo d los niulos internos 'opuestos), adririte linplfciti:rien-te que la recia" sea infinita, estando' silbStanciablln~. filndad su razonamiento en la existencia"" de -.riD,;_.sego. ment doble de un segmento dado . : ' -; ~, ,, , . ~-' ;:,_:_;,;,

De la posibilidad de 'llegar esta hlpt:esitf ha~ en lo que sigue; por ahora obser'Vemo8 que SdHERI'

. ~ . ;L -~_~~~ -- . (1) Cfr. G. VAlLATI: Sobre una obro. oividad.a 1i"ej>.{:~b-.,ia...

mo Sa.cheri, Rvista Filosofica (1903) , :, ..

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68 GEOM.ET.R!AS 'NO l:UCLIDIANA.~

u( a4mite tcitamente, puegto,;que en el curso . de su -Ohra' h1lCe uso de la proposiCinc Q A, I>or-"ei ,'. . l . .

~ C

. ' .A 0 1 B

F'ia=a 9

citado lema ser A O > D O'; por tanto, A B > CD . En la hiptesis ngulo agudo estas desigualdades cam-bian de sentido; por tanto, A B < C D.

El teorema demostrado se invierte razonando por reduccin al absurdo (prop. IV).

Si en un solo caso es verdadera la hiptesis del n-gulo recto, es verdadera en todos los dems casos (prop. V).

Supongamos verificarla en el cuadriltero bir rectn-gulo issceles A BCD la hip. ng. recto. Tomados en AD y B C los . puntos JI y K, equidistantes de A B,

p Q M N

E> e H K

A B , J ~10

frmese el cuadriltero A B K H. Si H K ea jefI>enai:-cular a A H. y- B K. tambin en el nuev, '.c~ro sera verdadera la hip. ng. recto. Por.'. el :~ont6irlo, supngase AffK agudo y, por consi.gienie; -: 8~ :;~-

. /"'.. . .., . '-'. ~ '"t '-'"~-~ ... '

cente DHK obtuso. EntonceS, en el eudrl1.ter61A'BKH, po:c'la hip. .ng. agudo, sera .A: B '

r ,IR .. ,;;;;

:~1. l. .)/ : d : :~

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.&.! GEOM ETR1AS NO EUCLIDIANAS : . . ...-.. .,,,.....,,

:~Siendo Jos ngulos K y H obtusog;:- la perpendic~ en K a KB encontrar al segmento A H en el punto M, ':fubn~cio el ngulo A MK obtuso .. .(teor. ngUio . exte~n:o}: - -Entonces eri A B KM ser. (lema primero)

~B ); KM. Toriando ahora sobre A B el segmento H K MD "'

A N B Figura 12

B N igual a M K, puede construirse el cuadriltero birrectngulo issceles B KM N, con el ngulo MNB obtuso, como externo al tringulo A N M. Entonces en el nuevo cuadriltero vale tambin 1a hip. ng. obtuso.

Con esto el teorema est completamente demostrado. Si en un solo caso es verdadera la, hiptesis del n-

guJ,o agudo, es verdadera en todos los ca,sos (prop; VII). El teorema se demuestra inmediatamente por reduc-

cin al absurdo.

is. De estos ltimos teoremas deduce SACCRERI fcllriiente -iina importante consecuencia . re}~tiva a l.os trlrigruos.:-$egn que se verifique Za,hip6.te8i8:'del n-i;ul0.'f.ecto0:za ltiptesis &l .ngul-0 .obtus .o.lti 'litpOtesis

tUZ'~6:itgUUJ''aguao, la suma 'de los ngUfusc'lentrin-, ;~ :.~et~ '~eapectivamen~ .ig(z],; inayor o menor que

. c,.l/iiiz41:igif!)J8:iectos (pro:P: IX). - . -:.: .. : . - ; :.~~t~~~,~';B: c..,.tjri trWigulo ~ rectn~o en : B. Compltese

.Fizura 1S

tri.. ~~ii":;;q:-t~.~~~~~,~~~~~'-

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LOS PRECURSORES DE LA GEOM ET RtA NO EUCLIDIAN A . 4.f

el cuadriltero trazando AD igual a _B C y PerPendi.:. cular a A B, uniendo despus D con C. .

En la hip . . ng. recto, los dos tringulos A B C y - . . . ' ............. ,,,-....

A O D son iguales; por lo cual B A C.= D. C A. Sigue-se. inmediatamente,, en el tringulo .A B C :-.

............. ,/'.. ,,,,-.... . .,,,-....

A + B + C = 2 retos. En ia kip. ng. obtUBo, siendo A B> De, ser.

-.....-... .,,.,,......... . . ..

A C B > D AC (1), por lo cual en el tri.ngtilo en cues'-tin tendi"mos:

........... ,,-... ./"'... ............... A + B + C > 2 rectos.

En la hip. ng. agudo, siendo A B < D C, . sguese: /'-. ,.,....,,

A C B < D A C, y de aqu, en el mismo tringulo: ........... ,,,,,....... ,,,.,....... .,,,,,,.,......

A + B + C < 2 rectos. El teorema demostrado, que se extiende fcilmente

a un tringulo cualquiera, con la descomposicin. de la figura en. dos tringulos :rectngulos, viene invertido por SACCHERI en la proposicin XV, mediante un ra-zonamiento . por reduccin al . absurdo.

Una :fcil consecuencia de estos resultados es el si-guiente teorema:

Si en un. solo tringulo la suma de L.os ngUloB es igual, mayor o mnor que d

~

44 GEOMETR!AS -NO EUCLIDIANAS

un. siglo _despus. Debera llamarse, _ por consiguiente, terem': de SACCHERI, -y no teorema~ de LEGENDRE,

-como"."se hace ordinariamente. --- .e:: -~};" --" - ,_ - ;

AB,1 -

29 _Si o bien f los ngulos BAC y DCA son obtusos. E'F'FE A+ FE C = 2 rectos. Y puesto que se tiene

/""' B A I + D e I, se deduce:

~ ,......._ ,,,,,.,......,_ ,...... ,,,,.........

B A C + D CA > F I A + F I C > 2 rectos. 1

l Errtr ~ f " B F D

Fla=s 15

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46 GEOMETR!AS. NO EUCLIDIANAS

Ahora, por la igualdad de los dos Igulos :B AC y .,.,-.... . ' -

D C A, se obtiene:

- -B A C > 1 recto. l. q. d. cL . suPngamos, en segundo 1ugar; ':E' F' < A B. Enton-

ces prolonguemos F' E' hasta obtener el segmento F' r =A B y unamos I' con C y_ A.~ "' .

Verifcanse las siguientes ~aciones ~ F'f--A' = BAI'; F"-?= 'ncr; I'AE' >!'CE'; . F'I' A < F'? C.

Combinando estas relaciones,'. se deduce, en primer lugar:

BAI' 1 recto, entonces M N >A B; ./"'-. - -si B A C = D C A,< 1 recto, entonces M N

7;i.Sli; (~~;2~~-:tf:~

t~;~:~ll ,i~ :; ,;:,-

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t O~ 1 - , -

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48 GEOMETR1AS . NO EUCL!DIAN AS ~

ri ,B AM =1 ricio, tambiifi { ,,...._ 1 _;,...._

K H M -, = 1 recto; KRP s

,,,..... ,,...._ { si B A M > 1 recto, tambin ,.-._ 1 ,.-._ K H M l > 1 recto; ,,.... r KRP. J

. . f-"- 1 ,,...._ ,,--... * K H M L ,.-..

si B A _ M < 1 recto, tambin I ,.-.. J < 1 recto. L-KRP

Estas propiedades, como : fclmente se comprende, se verifican tambin si el punto P cae entre M y N.

En resumen, los tres ltimos teoremas, que mani-fiestamente coinciden con los de SACCHERI, relativos a los cuadrilteros birrect.Iigulos issceles, es decir: si en un. solo caso es verdadera, respectivamente, la hi-ptesis deL ngulo recto, del ngulo obtuso o del ngulo agwk>, seT verdadera en cualquir otro caso, estn demostrados independientemente del postulado de Ar-qumedes .

. Queriendo ahora pasar de los:. teoremas sobre los cuadrilteros a los teoremas -sobre: los tringulos, enun-ciados al principio de este pn:~o, podemos desde lue-

. go .referirnos a los razonamients .. de .SACCHERI (cfr. pg. 42), puesto que aquellos razruuriientos no depen-den- en absoluto del postulado :en;, cuestin. Con esto queda obtenido el resultadO- que nos babfamos pro-pusto.

15. Para hacer ms breve la"'exposicin de la obra E

A K fura 18

e : -~

. :~eriana~ extraigam08 -de las proposiciones XI y ~TI el contenido del siguiente lema.. segundo:

~~~:-.t..:'$~.,;~"""'"'.ct~s0.1':'r:~ti-J~~~~

j j ;J ,

,,,:_

LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRtA NO EUCLIDIANA 4!}. ' Sea A B C un trin,qulo rectngulo en C; sean H el pu,nto medio de . A B y K el pie de la perpendicular bajada desde H sobre A C.

Tendremos entonces: A K = K e, en za hip. ng. recto; A K < K C, en la hip. ng. obtuso; A K > K C, en la hip. ng. agudo.

La parte relativa a la ._}iip. ng. recto es inmediata. En la hip. .n.g. obtuso, siendo la suma de los ngulos de un cuadriltero mayor que cuatro ngulos rectos,

- .,,,...... ..,,,,,..... .

ser A H K < H B C. Bajada despus desde H la H L, perpendicular a B C, los dos tringulos A H K y H B L, con las hipotenusas iguales, en virtud de la precedente relacin, dan lugar a la siguiente desigualdad: A K < H L. P~ro en el cuadriltero trirrectngulo H K C L, el nguloH es obtuso (hip. ng. obtuso), por lo cual ser H L < K C, de donde A K < K C. - Del mismo modo se demuestra la tercera parte del lema.

/t. A ,.., A~ Ficura 19

La siguiente proposicin es una eXtensin fcil de este lema:

Si sobre un lado de un ngulo de vrtice A se tommi los segmentos consecuti-oos fguales A A 1, A 1 A 2, A 2 A,, _ . . y se cn3truyen las respectivas proyec~ A A'1 , A'1 A'2 , A'2 .4.'3 sobre el segundo lado del ngulo, se 1Je-rifican. las siguientes relaciones: A A' 1 = A' 1 A' 2 =A' 2 A' 3 = .... en la hip.- ng., recto; AA' 1 A''!, A'3 > ... , . en la .kip. : n{." ag'lido. Omitimos, por brevedad, la fcil deinostrcln~

Veamos desde luego qu imi>ortantes '_ con.Secencis pueden deducir8e de egta propo,scii{n' l Jiip; 11.g. recto y en la hip. .ng. obtwto.

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50 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS

Sean AC y B D dos reetas: la primera, oblicua.; la segtinda, "perpendictila.r; a la recia A B. Sobre A C, del

. . ............. . .: . . ;.. lado del ngul agudo CA By de l~)erpenaicular B D.

/\ At :s . . F'iS'= 20

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se toma el segmento arbitrario A A 1, y se construye su proyeccin A A' 1 sobre - A B. Determnese despus un nmero n bastante gJ:"ande, para que el ensimo mltiplo de A A' 1 sea mayor que A B; despus, sobr A C, del lado de A1, constryase el segment A An, mltiplo de A A 1, segn el nmero n (1 ). Bajando despus desde An la perpendicular An A' n sobre A B, tendremos: -

AA'n =(AA'!) n >A B, ~7t la, hip. ng. Tecto; AA'n > (AA'1 ) n >A B, en' l. hip. ng. obtuso. Por esto, la B D, perpendicUlar ai lado AA' n d~l

tringulo rectngulo. AAn A'n ncori.trar necesaria-mente la hipotenusa AA,,; es decir:

En la, hip6tesis del ngui ,.recto y e~ la hiptesis del .ngulo obtuso, una perpe'fi4,icula,r :Y una oblicua a na' misma recta. se encuentrii?t.':(p~p: XI; XII) (2).

.. De aqu. se .deduce el siguiente teorema: 5En la hiptesis del ng~)8c.to.~ii,.-en :za del ngulo

obiuiio es verdadero el V .posila4i(g,;EUdid (prop. . \X];II}. . , .-L ....

..

... (>,). El" postulado de ARQUMEDES, de que . .se .liare aquf uso, apa-rece : en tal forma. que incluye implcitainnte la .infinidad de la re~ . . .:. ~ ,,-; - ,'. -

:~)_' ~_l mtodo se~ido- por S:f"cc~'"'pm d#.ostrar esta pro- . posicin'\ es : s11bstanc1almente idntico ar. de; ~AS1K-EDDl.N. NA-

~-~E~Il;l.~ .se-}efere, sin embargo, solamen.te a --la hip. ?tg. recto, .li..~~_d9_, .. !lem,ostrado anteriormente:.~e la ~uma .de _los ngulos -de':uiitninglo es igual dos nglos rectos. Es oportuno ob-

. 5ervaiqu SA.CCHllRI conoci y 'critic la obra del gemetra rabe. . . .

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LOS PRECURSORES DE LA GEOMETR!A NO EUCLIDIAN A 51

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A H D Figura 21

Sean A B y C D dos rectas cortadas por la recta A C. Supongamos que sea

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B A C + A C D < 2 rectos . ,,,-.... ....--.

Entonces uno de los ngulos B A C o A CD, por ejemplo, el primero, ser agudo. Desde C bjese la per-pendicular CH sobre A B. En el tringulo A CH, en virtud de las hiptesis hechas, ser

_.-...,,,,,........ ,..........._ /""'-...

A + C + H 7 2 rectos. Pero por hiptesis tenemos tambin:

_,..._ ,,..... ....--.

B A C + A C D < 2 rectos. Combinando estas dos relaciones se obtiene:

_,,...., _,,,...._

H>HCD. ...-':.'< ~,, ,,,,,........

Y puesto que H es recto, el ngulo H C D resulta agudo. Luego, en virtud de las proposiciones XI y XII, las rectas CD y A B se encuentran (1).

Este resultado permite a SACCHERI concluir que la hiptesis .. del ngulo obtuso es .falsa, (prop. XIV). En .efecto,- en .. esta hiptesis se verifica el postulado eucldeo (prop. XIII), y, por consiguiente, se verifican los teoremas ordinarios que de este postulado se dedu-cen. Pero entonces en cl. cuadriltero fundamental la suma de los ngulos es igual a cuatro ngulos rectos, es decir, es verdadera la hip. rtg. recto (2) .

( 1 ) Tambin esta demostracin se encuentra en la obra de NASta-EDDN, en la .que evidentemente se ha- inspirado SA.CCHERI en sua investigaciones.

( 2 ) Es "oportuno observar que en esta demostracin SACCHE-RI hace ulio de aqul tipo especial de razonamiento de que b.ablamos .en el J 11. En efecto: au~ o admita como -verdaderB la. "J.ip. ng. obtiuo, ae UtJga. a concluir qUtJ eB- verda-deni l4 .Ji.ip;.,'1&g. recto. Es sta .una forma earacteiistica que en al~os asos puede tomar el razonamlent() ordinario por reduccin ar absurdo.

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52 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS-

~ 16. Queriendo SACCHERI probar que el postular do V -es vlido incondicionalmente, se dispone a des-truir tambin la hip. ng. agudo.

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Figura 22

Entre tanto ser bueno observar que en esta hip-tesis existen una perpendicular y una oblicua a una misma recta que no se encuentran (prop. XVII). Para construirlas, desde el vrtice B del tringulo A B C, rectngulo en C, trcese la recta B D, de modo que

_,..._ ,.,.--.

sea A B D = B A C. Entonces, por la hip. ng. agudo el ngulo e BD es agudo y las dos rectas e A y B D, que no se encuentran (EUCLIDES, XXVII), son una oblicua y la otra perpendicular a la B C.

.De ahora en adelante nos referiremos exclusivamen-te a la hip. ng. agudo.

Sean a y b dos rectas coplanarias no incidentes. Des-de .los puntos A 1 y A 2 de a bjense las perpendiculares

. ~. _,,,,......_~ .

A1 B1 y A2 B2 sobre b. Los ngulos A1 y A2 del cua-driltero obtenido pueden ser: 19, uno reeto y u:ri.o

~ Al ~ IZ

~ ~ 1 ' .1 'B,

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Figura 23

agdq-; 29, ambos agudos; 39, uno agudo y otro obtu!l(). Eii eCprinier caso existe_ desde luego la perpendicular

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54, GEOMETil.tAS NO EUCLIDIANAS

.En virtud del principio -O.e la. contirluidad, existen do8 ,rectas, p y q, que dividen al haz en dos parteS!" A

la~pnnera parte pertenecen.ias- rects incidentes so-bre ,b; a la segunda parte, _: _1a,s rectas no incidentes - so}?re b, y teniendo con b u na ~ prpendicular comn.

En cuanto a las rectas .p y. ,q, se demuestra que no per-teneeen ni a una ni a _la otra parte. En efecto, que p no ~ incidente sobre b . es maniestO. Para probar

,. que 0 p no admite perpendi~~ar icomn con b, razona-mos ~ por reduccin al absr do; . -Sea P B la hipottica

perpendicular a las dos reet3.a. _p y b. Bajada desde A I "perpendicular A M sobre b, y. tomando sobre b el

A p

LEE: ~ M B B' Figura 2S

punto B', del lado opuesto a M . respecto de B, elvese la B' P' perpendicularmente a b; luego bjese la per-pendicular A P' sobre B' P'. La .recta A P' no es inci-dente sobre B, porque admite con b una perpendicular comn y encuentra a la P B el un punto R, El ngulo

,......... .. ..: .--- -=-~/:_.-~ .- /". , A R .B, suplementario del ngulo agudo B R P, es ob-

. - - c.,~-. : , -- ~ - - - ~- . . . . - - ,,,,,-.... . tuso, por lo cual el rayo A R caer en el ngulo M A P. Pero entonces AR sera al mismo tiempo secante y no .secante respecto de b. Esta contradiccin 'obliga a ,desechar la hiptesis de una pe~dcular comn a .}> :-y) p. Concluiremos, por tanto; qu:Ja8_ dos rectas p y

q .son asintticas~ a la recta b (1).

C) En la . obra de SACCHERI, antes de- este resultado, se en-cuentran o_tras muchas., propos~cio_nes in;r~~iltes, entre las cuales e_s dlgna de mencion la s1gmente: s~ fB> ;ectaa se apro-:J:i1114n coda vez ms, y $2' distancia se man.tune s~mpre stt:pe-rior : a. . it ~rto . segnumto asignable, la kip_6u"8 del ngul-0 ai;rt.ido iieia: :Uutrula; Aai que postular ia auSencia de rectas asinttica8 . "equivale a admitir el postulado euclideo.

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56 GEOMETRJAS NO EUCLIDIANAS

JUAN ENRIQUE :~,-MBERT (i728-l 777). . . 18. Qu influencia 'tuviese la . obra de SACCRERI

sobre. los gemetras del;. sig-1 XVIII :no se puede prec~-sar; todava es . probabl~::que ,el .gei:netra suizo LAM-BERT la conociese (1-), P.J..~tO que en su Theorie der

Parallellinien . (1766) -:eiuF JJM-' disertacin de G. S. KL'OGEL (1739-1812) ' (~)'~ '.~iton'..is~ analiza detallada-mente la obra del ge6metratliano. . La Theorie dr Pa?:ciiie1li~/;de LAMBERT: publica-

da . en 1786, despus de}:l:'.nti.Jrte del autor, por G. BERNOULLI y C. F. HIN#~1JJ.tG . (3), est dividida en tres partes. La primera,-.de 'n~tiiraleza crtica y filos-fica, expone la doble cuestin . qtie podemos proponer-nos sobre el postulado V, :e8to. es, si puede demostrarse oon el simple auxilio . de "IOs ptecdentes, o si, por el contrario, 'no se exige el empIIX> de alguna otra hip-tesis. La segunda parte est dedicada a la exposicin de varias tentativas, en las que' el postulado eucldeo se reduce a proposiciones senciilisimas, las cuales, sin embargo, deberan ser a su vez 'l.emostradas. La ter-cera, la ms importante; contiene un sistema de in-vestigaciones semejante8 a laa: del padre SACCHERI, que rpidamente resumiremos.

~ 19. La figura fundamental . de LAMBERT es un cuadriltero trirrectngulo~ i~~;exponen las tres hip-tesis sobre la naturaleza del '.citarlo -ngulo. La primera es la hip. ng. recto; la sgund;:Ia hip~ ng. obtuso, y la tercera, la hip. ng. ttgUdO.:.Tambin en la manera de tratar estas hiptesis el autor' se aeerca al mtodo saccheriano.

. . .-

':p) Cfr.''SEG\U:: Cmjetu~ iz.c~~ .d-. ~ infltumcio. de Giro-lamo Saceheri sob-re la formaci.-n. -'de ]a.,g-fra no euelidi

~:!: .,,_.---1 --tii~~;

58'~ GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS

ttinguio,. es menor que dos ngulos . rectos; y, yendo in(Ls '. all que SACCHERI, descubre que la deficieru;ia, de

w,_:~igqnq, esto es, la derencia entre. 2 ( n - 2) n-g:iO,S-:rectos y la suma de los ngulos -de un poligono

ea:'~cional al rea del mismo "-Polgono. Este re-sulto se obtiene ms fcilmente observando que tanto el,: l:ea cuanto fa deficiencia -de un .polgofio suma,de otro8': varios son respectivamente fa suma -de las. reas :Y- ,de ;:las deficiencias de los polgonos que lo compo-nen/(-1,)~ -

-S 20. Otro descubrimiento notable de LAMBERT se . refiere a la medida de las magnitudes geomtricas. Consiste precisamente en que, mientras en la geome-tra ordinaria a la medida de los segment-Os correspon-de solamente un significado relativo a la eleccin de una particular unidad, en la geometra fundada en la tercera kipte:ris se puede, en cambio, conferirle un

-~ significado absoluto. Es necesario ante todo aclarar la. distincin "que se

presenta- entre absoluto y relativo. -En muchas cues-tiones acontece que los elementos que se suponen da-dos se pueden dividir en dos grupos, de modo que los del primer grupo permanezcan fijos en todo el campo de .nuestras consideraciones, mientras que los del se-gunil-0 . {J'MtPO puedan variar en una multiplicidad de

, casI' --Posibles. Cuando esto ocurre, . se suele frecuente-~te; :preaeindir de la , exjHcita ~mencin de los datos deL:J>:diner-grupo, y considerar como relati'UO'- todo lo

:_ 'q~~'-5;i' -ejemplo, en la tora de los citmps de ~ . :; _ -; _-i, .;::_.~;_se toman como datos del . seg!!tMo g~o ,(da-

:., ]!o~l~les-) ciertas irracionales elementales {cons-'titUyeh.~(1~-'!ma base), y como datos de~ Primr_ grupo

~3~(1},; . que frecuentemente se omite~ por. ser ~;~~~-:};1~~i~*~~. ~ . ~ . - .~ ... ~1);'-~!i! -observar que SACCHERI babia ya enc'!\':'~.>:::'..-=bit~."iiit@dJii!_,g;g

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60 GEOME'.l'R.tAS NO EUCLIDIAN A S

Para ver despus, del modo ms sencillo, cmo a to-do >segmento puede coordinarse un ngulo y obtener asFuna. representacin numrica absoluta de los seg-mentos; imaginemos construido. sobre todo segmento un tringulo equiltero . . Fodemos sociar a cada seg-mento . el ngulo del tringulo respectivo y luego la

:: medida de este ngulo; ya , qe .&iste una correspon-denCia .biunvoca entre ItiS\ seg-lDentos y los ngulos comprendidos entre ciertO)):ll.i_t~; . . ; La obtenida representacin .numrica de los segmen-tos ri~ goza, .sin embargo, P.e ia: propiedad distributiva que . corresponde a la long~tud1 porque sumando dog segmentos no resultan sumados: los ngulos correspon-dientes. Se puede, sin embargo, . determinar una fun-cin del ngulo que goce de . esta propiedad y asociar a un segmento, no el ngulo en cuestin, sino esta funcin del ngulo. Tal funcin, para todo valor del ngulo comprendido entre ciertos. limites, nos da una medida absoluta de los segmentos. La unidad absoluta es aquel segmento para el cual. la. funcin toma el va-lor l. ,

Si se observa despus qu'e cuando una cierta funcin del ngulo sea distributiva en el . sentido arriba indi-cado, tambin el producto de esta funcin por una constante arbitraria goza de : la .. niisnia.' propiedad, es claro que se podr disponer siempre. de esta constante, de modo que la unidad absolu~ .. de .}os segmentos sea aquel segmento que corres)ori.de.;;i ~un llgulo determi-nado;. por ejemplo, al ngulo::i de;~'.45~~ La posibilidad de construir, dado el . nguloi.( la"(lmidad absoluta de loi segmentos est ligada: -a ,lti .r~soluci6n del siguiente

!i- ptQblema: Construir en. za. hip; ''.dngc~;-Udo un trin-:iJ1d:'. equiltero de determiiUuf,::d/iCienCa. ::,. P.ara cuanto se refiere a la .-:Died.ida : bsoluta de las

.. :rji&S'h)oligonales; Qbservemoi; que 'st dada, desde lii'eg&/p

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62 G EOME TR1AS NO EUCLIDIAN AS

En Alemania, donde con frecuencia se sucedan los estudi0s sobre este asunto, la conviccin haba ya adop-tado una forma bastante preeisa~' -Lli. encontramos en A..:G . : KAEsTNER (1719-1800), -gran, cultivador de .las inveStigaciones sobre paralelas. ( 1);: y en su discpulo G. S. KLGEL, autor de la apreciable critica sobre 1as 'ms clebres tentativas para fa' 'Cfomostracin . del pos-tUlado V, citada en la pgina; 5tL(not 2) &n este .tra-bajo, KLGEL, hallando insufi_c.n,te cada una.- ie fas demdstraciones propuestas, . eXniina. -la posibilirui .- d~ que . -rectas que no se. encuentran . sean .divergentes (Moglieh ware es freitich dass: Girade die sich nwht schneiden, von einander abweichen), y aade que la apariencia de contrasentido que esto presenta no es el resultado de una prueba rigurosa ni una consecuencia de los determinados conceptos de las lneas rectas o curvas, sino ms bien algo que se deduce de la expe-riencia y del juicio de nuestros sentidos. (Dass so etwas widersinnig ist, wissen wir nicht in Folge strenger

_., Schlusse oder vermoge deutlicher .Begrif fe von der ge- . reden und der krummen Linie, vielmehr durch die Er-

fahrung und durch dass Urteil unserer Augen.) Las investigaciones de SACCHERI y LAMBERT propen-

den a apoyar la opinin de KLGEi.; pero no pueden suponerse como prueba de la indemostrabilidad de la hiptesis .eucldea. Y ni siquiera se alcanzara una prue-ba si, continuando el camino abierto por los dos ci-tados . gemetras, se dedujeran - todas cuantas proposi-d9n.e5 se quisieran, no contradictorias con loS .princi-.J>.ps:reocupacin saccheriana. de descubrir en l con-

-) :W~Jci.9!es, constituye, . en la_ hi.sfu.i:ii,' e1 .:P~~;~rw eiilidiiL'M8. -_

. ..f;:pfr~';l~e la obra de sA.ccm:Ifry .. LAMBE&T a la de >i3AT$CWSKI y BOLYAI, qrie;S~ ~fofrm:in err la idea aqut;: {!xpresada, debe pasar todava ms .de medo sig1?_.;'.. '.

( 1 ) Para cualquier noticia relativa a KAEBTNE2 cir. STlCX&Ii y ENGSL::Tk. de-r P., pgs. 139-141.

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LOS P RECURSORES DE L A G EOMETR!A NO EUCLI DIANA . 63

LOS GEMETRAS FRANCESES DE FINES DEL SIGLO :>..-VIII 23. La crtica sobre las paralelas, que ya en Ita-

lia y en Alemania haba conducido a resultados. de gran inters, tuvo tambin en Francia, a fines del siglo XVIII y 'principios del XIX. un notable impulso.

D'ALEMBERT. (1717.,.1783), en un articulo suyo sobre Geometra (1759), declara qu_e; La dfi'fl4ticm et les proprits de la ligne droite, ~insi qiie des lignes para],.. leles ~ s0nt l'cue et 'pur ain8i'.:dif e--f,e BCtLndale des lments de Gomtrie ( 1 ) . Sostiene que con una buena definicin de lnea recta se d'b'enan eVitr ambas difi-cultades. Propone llamar par.Iela a una recta dada, a cualquier ' otra recta coplanaria que line dos puntos equidistantes y situados en una misma regin de aqu-lla. Esta definicin permite construir inmediatamente las paralelas ; sin embargo, serla necesario demostrar que estas paralelas son equidistantes. Este teorema fu propuesto por D'ALEMBERT, casi .como desafo, a sus con temporneos.

24. DE M ORGAN, en su coleccin de paradojas, cuenta que LAGRANGE (1736-1813), hacia el fin de s u vida, escribi una Memoria sobre ' las paralelas. Pre-sentada a la Academi francesa; . interrumpi su lectu-ra exclamando: ll fa.ut que j'y songe encore!, y retir el manuscrito (2). . :

Adems, HOEL refiere que ' 4-GRANGE, conversando con BIOT, afirmaba la independ:l.i.cr&'. dtda: trigonome-tra esfrica del postulado de,:Efiffe.@'.(J/ Para ava~ lorar esta afirmain puede ''afidire',q,ti>LAGRANGE se ocup con especial inters''il.ega~.,trfgooometria es-frica ( 4 ) y que fu el inspirador;.-si 0rih .atitor, de una

. . ;~ -.. ~ .... -:_~ .... ~ . .

. ( 1 ) Cfr. D'AL!:llll!ERT: Mlanges ~:'~a'Nrfl, ffHiatcire et de Philogophie, t. V; 1 XI (1759)-.~;"tambin: Encycl-Op11difl

, M thodiq11.e M ath>rnatil{ll.fl, t . II, ' pg": .. 619, artculo Paro.Ue-IH (1785) , .. ,: .. ._

(') A. DE M;oBGAN: Budget of. Paradous, pg. 173 (Lon-dres, 1872) .

( 1 ) Cfr. J . HoiiEL: Eaaai critique aur lu priw.cipeB fonda mentauz de la Go1Mtris Um.mtawe, pg. 84, nota. (Paris, G. Villars, 1883.)

(')Mi sullanea Taurine-naia, t . II, pgs. 299- 822 (1760-61).

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1?6 GEOMET .RtA.S NO EUCLIDIA NAS" (W~ . J3@~YA.+, N. LoBATSCHEFSKI, DE _TILLY). E:ii ~ste s,~J!ti4 la discusin entre FouRr~ y MONGE tiene su p)iesto entre los primeros documentos que se refieren a:_-i Ge0metra no emlidiana (1 ). .

~ . . .

ADRIANO MARA LEGENDRE (1752-18S3) 27. Los precedente3 gemetras se limitaron a ex-

:Ponerlas dificultades y a emitir juicios acerca del pos..: tulado; quien. intent, en cambio,. transformarlo en teorema .fu LEGENDRE, cuyas investigaciones, espar-'idas en ls diferentes ediciones de sus Elments de Gomtrie (1794-1823), estn resumidas en las R,. flxions sur dif f rentes manieres de dmontrer la tho-rie des paralleles ou le thoreme sur la somme des trois angles du triangle (Mm. Academie Sciences, Pars, t. XIII, 1833) .

En las ms interesantes tentativas, LEGENDRE, como antes SACCHERI, ataca la cuestin por el lado de la ~ma de' los ngulos de un tringulo, suma que l quiere demostrar igual a dos ngulos rectos.

A este fin trata desde el principio de descartar la hiptesis saccheriana del . ngulo obtuso, estableciendo que en cual(uier tringtilo la suma de los ngulos es numor (hip. ng. agudo) o igual (hip. ng. recto) a dos ngulos rectos. r

. E~ongamos una sencilla y elegante demostracin de LEGENDRE.

Sean, sobre una recta, n segmentos iguales y con-secutivos A1A2, A2A3, A,,An+i, sobre los cuales, en-na.misma regn de Ja recta, se construyen n trin-itilos iguales, teniendo por terceros vrtices los puntes Bl,;B2, '-'. Bn.

:{:Ls '.segmentos B1B2, B2B3, ... Bn-1Bn, que unen e!!tos:, :ltimos vrtices, son iguales, y pueden conside-rarse '.como . bases de otros n - 1 tringulos iguales: Bi.A2B;; 'B2AaB3, ... Bn-1 AnBn. Compltese la figura .cQn'.,eJ,,;'tringulo B 11An+1 B n+1. igual a los precedentes. ; : : ... , .... -- ..

( 1 } .:Afiadain:

68 GEOMETRtAS NO EUCLIDIANAS'

_ .He.laqu ahora cmo LEGENDRE demuestra que lq; suma de los tres ngulos de un tring.ulo es igual a dos angulos rectos. .

. . .,,,........ ............. ,,,-...... ,,,-.....

.En eltringulo ABC supngase A+B+C ~

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LOS PRECURSORES DE LA GEOMETRiA NO EUCLIDIANA 69

'terior de un ngulo se puede siempre trazar una recta que encuentre a los dos. lados del ngulo (1).

:lle aqu cmo procede: Sea A B C . un tringulo, -en el cual, si es posible, la

sma de los ngulos sea menor que dos ngulos rectos~ ,/"'-... ....-..... ,,-...... .,,....... .

Siendo: 2 rectos - A - B - C = a: (deficiencia), constryase el punto A: simtrico del A respecto ~

L AA

A B B. Figura 29

lado B C. La deficiencia del nuevo tringulo C B A' es tambin a. Despus, en virtud de la hiptesis arriba enunciada, trces-e por A' uiia transversal que encuen-

~ tre en B 1 y C1 a los lados del ngulo A. La deficiencia del tringulo A B1 C1, como fcilmente se verifica, es Ja suma de las deficiencias de los cuatro tringul08 que lo componen (cfr. tambin L.urnERT, pg. 5-7), y, por tanto, mayor que 2 a;. Repitiendo,: a partir del tringu-lo A B1 C1, la precedente construccin, se obtendr n nuevo tringulo de deficiencia mayor que 4 a. Despu~ de n operaciones de igual naturaleza, .se habr construi-do un tringulo de deficiencia mayor que 2na. Pero para n bastante grande es 2na > 2 rectos (postulado

Arqui~des), lo que es absurdo. Por tanto, a= O, y de ~ /""--. ,,,,-..... ......-.

aqu: A+ B + C = 2 rectos. Esta demostracin est apoyada en el postulado. de

Arqumedes. He aqu cmo se podra evitar el uso de tal postulado:

(') De esta hiptesis ya se habia ser:vido J, F,_ Loro:NZ para el mismo fin: cfr. G-rundr".ss aer reien und att17

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70 GEOlr!ETRtAS NO EUCLIDIANAS

:S~ AB y HK una oblicua y una perpendicular a AH; Constryase la recta A B'; simtrica de A B re.s-Pctcde' A H. Por el punto H, en virtc:I de la hiptesis 'dk~RE. pasa una rectar, que 'ecuentra a Iosdqs fados del~-ngulci B A B' . . Si esta recta es distinta d la Ei>Jt tambin su simtrica r', respecto a A H, goza de ta lnislna propiedad, y, por consiguiente, tambin la

~ A

B Figura 30

H K. Entonces, una perpendicular y una oblicua a la ~ecta AH se encuentran siempre. De este resultado sguese la teora ordinaria de las paralelas, y, por

. ............... ..,.,,,.....__ ,,,........... .,,,........ -

tan_to, A + B + C = 2 rectos. En otras demostraciones, LEGENDRE hace uso de ra-

zonamientos analticos y, tambin errneamente, de magnitudes infinitas.

C.on esta obra tan varia LEGEND&E crey, al fin, re-suelta la inextricable aificultad escondida en el prin-cipfo de la Geometra. En substancia, sin embargo; no aade,Iiada de: verdaderamente nuevo al material; y a l.s-'.:con:Vicciones ganadas por sus predecesores. Su ma-ii' .~riti, est en la forma sencilla y elegante que sup0

4il;~:t~~~ de sus investigaciones, por 1 :que St.as hl~n; aquella difusin que tanto contribuy' a ilanciJar el crculo de los cultivadores de las nuevas f~;~q~~:~entonces estaban formndose.

:.: ~:~~~~~:~;~:~;.~ :~;_ /':.: WOLFGANG BOLYAI (1775-1856) ,-_ ., .......... _;.,.

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':29;':i'.E7i;este captulo se ha mencionado ya .al ge-me~L~~g~~o W. BOLYAI, que se ocup de las para-

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LOS PRECURSORES DE LA GEOMETR!A NO EUCLIDIAN.4. 71

lelas desde la poca en que estudiaba en Gottinga (1796:.. 1799), probablemente por consejo de KAEsTNER y del joven profesor de Astronoma K. F. SEYFFER (1762-1822), con quien teia relaciones de amistad.

En 1804 envi a GAuss, su compaero de estudio en Gottinga, una Theoria Parallelarum, conteniendo una tentativa para demostrar la existencia de rectas equi-distantes (1 ). GAuss impugn esta demostracin. BoL-YAI no ces por esto de ocuparse del axioma XI, consi-guiendo solamente substituir el axioma por otros de mayor o menor evidencia. Llega as a dudar de su de-mostrabilidad y a intuir la imposibilidad de reducir la hiptesis eucldea., porque (afirma) las consecuencias derivadas de la negacin del axioma XI no pueden con-tradecir los principios de la Geometria, en cuanto la ley de la interseccin de dos rectas, como quiera que sea admitida, representa un nuevo dato, independiente de los vtros que le preceden (2 ).

WOLFGANG rene sus ideas acerca de los principios de las matemticas en la obra Tentamen juventutem studiosa in elementa Matheseos (1832-33), y en par-ticular sus investigaciones sobre el axioma XI, rro-niendo en evidencia en cada- tentativa la nueva hip-tesis a introducir para hacer rigurosa la demostracin.

Un notable postulado, del que WoLFGANG deduce el de EUCLIDES, es el siguiente: Tres puntos no en lnea recta yacen siempre sobre .una esfera, o lo que .es lo mismo: tres puntos rw en lnea. recta pertenecen siempre a una. circunferencia (3 ).

He aqu cmo puede deducirse el postulado eucldeo, Sean A A' y B B' dos rectas, una oblicua y la otra

perpendicufar a A B. Tomado 'el punto M en el segmri:. to A B y los simtricos de M .respecto a las rectas A A' y B B', se obtendrn dos puntos, M', M", no en lfoea

( 1 ) La Theoria ParaZlela.rum fu publicada en latILY. tradu-cida al alemn por STACKEL y ENGEL en el t. XLIX de Math. Ann,, pgs. 168-205 (1897).

( 2 ) Cfr. STlCXEL: Die Entdeckung der Nchteuklidise~;. Geom.strie durch J. Bolyai. Math. u. Natnrwissenschaf . . Berich. AU$ Ungarn, t. XVII (1901) .

(') Cfr . . W. BOLYAI: Kurzer G.,-zmdriss Bines 'Vers11cha, etc., pg. 46 (Maros Vsrhely, J8fil ') .

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72 . GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS

recta-con . M. Estos t_res puntos M, M', M" pertenecen a . una c~r.cunferencia, y entoncs las dos rectas A A' Y.

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M" Figura 31

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B B', debiendo ambas pasar por el centro del crculo, se encuentran.

Pero del hecho que una perpendicular y una oblicua a una misma recta se encuentren se deduce, desde lue-go, la singularidad de la paralela.

FEDERICO LUIS WACHTER (1792-1817) ~ 30. Visto cmo el postulado eucldeo depende de

la posibilidad de trazar un circulo por tres puntos cua-lesquiera no en lnea recta, se presenta espontnea la idea ' de establecer la existencia- de tal crculo anterior-mente a -toda investigacin sobr~ las _ paralelas . . _;_ 1Jna tentativa en esta direccin fu hecha por F. L. WAbHTER. .

WACIITER, discpulo de GAUsS en Gottinga (1809) y pi'QfE!gr de Matemticas en. el gimnasio .de Dantzig, .se30e.u:P6 repetidas vees de la .demo8fracin del postu-

~~~'Y:. ~r~y haber alcanzado el objeto, primero en una , carp>)i.'-GAss (diciembre 1816), despus en un peque--

o'ti:ii~.lo impreso en Dantzig en 1817 (1.); :: -~rLesta publicacin es donde trata d establecer que

-p-OJ.:::uatro. puntos arbitrarios -del espacio (no perte-necientes-:a".'un pfano) pasa una esfera, sirvindose del

s~ente' .. postulado: Cuatro puntos _arbitrrio's dei es-pacpj ~_eJ?riinan completamente una iuperfcie (su-

pedfoi~~ d~c los cuatro puntos), y dos de estas superfi--(i)'i~2~~~1"atio aziomatis goomtrici in Euclideis undecimi.

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LOS PRECURSORES DE LA. GEOMETR1A NO EUCLIDIANA 73

ces se cortan en una sola lnea, completamente deter-minada por tres puntos.

Es intil seguir .el razonamiento con que W ACHTER trata de demostrar que la superficie de los cuatro pun-tos es una esfera, porque, faltando en su opsculo una definicin precisa de aquella superficie, sus deduccio-nes tienen solamente carcter . intuitivo.

Merece, en cambio, especial atencin un pasaje de su carta de 1816, escrita despus de una conversacin con GAUSS, en la que se haba hablado de -una geometra antieucldea .

En e11ta carta, W ACHTER, refirindose a la superfi-cie lmite de una esfera cuyo radio tiende al infinito, que en la hiptesis eucldea se identifica con el plano, afirma que sobre ella, aun en el caso de falsedad del postulado V, sera vlida una geometra idntica a la del plano ordinario.

La afirmacin e.s de la mayor importancia, porque nos presenta uno de los ms notables resultados vli-dos en el sistema geomtrico -correspondiente a la hi-ptesis saccheriana del ngulo agudo (cfr. LBATS-CHEFSKI, ~ 40) (1).

/

( 1 ) Para cuanto se refiere a W A.CHTER cfr. P. STACKEL: Frie-d.erich. Ltui'Wg WMh.ter, ein Beitrdge zu,. Guchichte der nicll.teuk-/idi.schMI. Geom~trie; lliath. An11., t. LIV, pgs. 49-85 (1901). En este articulo se exponen _ las cartas de WACHTER sobre este asunto y el opsculo de 1817 arriba citado,

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4-

CAPTULO. III

LOS FUNDADORES DE LA GEOMETRfA NO EUCLIDIANA

CARLOS FEDERICO GAUSS (1777-1855) ~ 31. Veinte siglos de intiles esfuerzos, y seala-

damente las ltimas investigaciones infructuosas sobre el postulado V, indujeron a muchos gemetras de prin-cipis del siglo pasado a la conviccin de que la orga-nizacin definitiva de la teora de las paralelas cons-tituye un problema irresoluble~ La escuela de Gottinga,

desd~ 1763, haba declarado oficialmente la necesidad de someterse a la hiptesis eucldea, y esta idea, ex-presada por KLGEL en su Conatuum (cfr. pg. 62), fu compartida y sostenida por su maestro A. G. KAEsTNE&, entonces profesor en la Universidad de Gottinga (1 ).

No obstante, el inters por nuestro asunto fu siem-pre vivo y, aun no dejando de fatigar intilmente a los indagadores de la presunta demostracin del postulad-O, gui finalmente al descubrimiento de los ntievos siste-mas geomtricos, los cuales, fundados tambin en la intuicin, se desarrollan en un campo ms vasto, ha-ciendi>, caso omiso del principio contenido en el !)Ostu~ lado eudideo.

Toda la dificultad para penetrar en el nuevo orden de ideas aparece manifiesta a quien, refirindose a aquel . tiempo, reflexiona en las concepciones entonces dominantes de la filosofa kantiana.

32. Fu GAUSS el primero en tener una VJSn clara de una geometra independiente del posttdado V, visin que durante unos cincuenta aos permaneci encerrada en la mente del ilustre gemetra y que di

( 1 ) Cfr. STACXELy ENGEL: Th. d~ P., pi

lf, li,il::\flf~ ~i~;f:L~ if1'.:'1~

'):~~ -~ -~-mrt

/:? . :

76 . GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS ~

ii"Juz solamente despus de las obras de LoBATSCHEFS-KI ,-.(1829-30) y BOLYAI (1832).

:Los documentos que permiten una reconstruccin a.proXimada de las investigaciones gaussianas sobre las p.ralelas son la correspondencia de GAuss con W. BoL-YAij'"OLBERS, SCHUMACHER, GERLING, TAURINUS y

)3EssEL (1799-1844); dos pequeas notas en Giitt. ge-_: Z6krt..Anzigen (1816-1822), y algunos .apuntes encon-

.. ,'fiados entre sus cartas (1831) . (1 ). t/CnfrOritando varios pasaje$ de las cartas de GAuss : '.es''P.sihle fijar como punto de partida de sus medita-

cio?ies el ao 1792. El siguiente trozo de una carta a W. BOLYAI (17 di-

ciembre 1799) prueba que GAuss, como antes SAcdHERI i. .LAMBERT, ha intentado demostrar el postulado V tomando como hiptesis su falsedad . .

. Casi todos, es cierto, quisieran dar a esto el ttulo qe:;a"xioma; yo no; podra, en efecto, .ocurrir que, por lejanosque entre s estuviesen los .vrtices de un trin-

. W

78 GEOMETR1AS NO EUCLIDIANAS

"Y-Los apuntes encontrados entre - 1~ manuscritos de

GAuss contienen un rpida .esbozo de la nueva teora de hts paralelas, y deball.: t

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80

GEOMETBIAS NO EUCLIDIANAS

la circunferencia; no es una. circunferencia . . _ljiJ tres . de. sus puntos. .-0 pertenecen nunca a:. una

circunferencm. Semejan . te linea puede concebirse como lmite de una cir-r . 1 . - :7 o . 'curiferencia cuyo . radio

tiende ' al infinito. ' GAUSS no prosigui .su

redaccin-porque en 1832 conoci la obra de JUAN BOLYAI sobre la Geome-ti-ia absoluta.

Por cartas anteriores Flirura 3 y posteriores a la inte-

rrumpida redaccin sabe-. . . mos tambin que GAUSS

haba , descubierto en su Geometra una unidad abso-luta_ para los segmentos (cfr. LAMBERT, LEGENDRE), ~- y~:que:.en sus frmulas aparece una constante k, cono-

cjda Ja; cul se: puede resolver cualquier problema ccart a: GERi.rna). . Con:ins precisin, en 1831 (carta a SCHUMACHER)

deteniilil.a la longitud de la circunferencia de:. radio r bajo la forma: . . r.k(} _;i).

'":A '.propsito 'Cie k.dice que cuando se quiera poner de _cuerdo.~ _nueva G:eoiJ?.etr.a coh la eX:periencia, preci-

. s 8uPQnerf infinitamente grande respecto a todas las magrutdeS merisurab1es:~/-.' ./ Para Je = co, .;l~~expres1n iaussiana se convierte en

'.. '._.:~~=~;i~f~~~~~~fa ~?~~~;;~~ h\ cttcunferencia (1 ). Esta : .,':-:-: \.~.{1)~-iPar.it .:,verlo . subs.!itYase. a ,ca~a exponencial el desarrollo

. - ?.i:j;:~~r~iw.~c:t)Il~~o~:: r . . r3 ~

~

82. GEOMETR!AS NO EUCLIDIANAS

_ 1~>.Si esta constante fUes~ . para , nosotros el semieje . l;err~tre (y en consecuencia de esto;''toda linea recta 'ttazada entre dos estrellas.fijas que:diStan entre si 90

.:serla . tangente a la esfera terresti~) .serla infinita-.ment grimde r~pecto a las dimerisiO:ri.es que se pre-

-:seritali. en la vida cotidiana. :;>La geometra euclidea se verifica en la hiptesis de

::que 'la constante sea infinitamente granP,e. Slo enton-.ces es verdad que la suma' de-los .tres. ngulos de todo ti-f.ngulo es igual a dos rectos, y esto se deja demos-

Figura 85

trar fcilmente, tan slo si se admite como dato que la constante sea infinitamente grande (1) .>

La Geometria astral de SCHWEIKART es la no eucli-diana. de GAUSS, correspondiendo enteramente al siste-. ma de SACCHERl y LAMBERT en la h.ip. ng. agdo. Ms 'bien el contenido de fa precedente noticia deriva inme-'di.tamente de 'las prposiicines de :SACcHERI expuestas

.,: ~~ el Conatuum, de KL'GEL, y dL teorema de"LAY-. --~ \ ; BERT sobre el rea del triri.gulo. Y ya que SCHWEIKART,

.: :_ :'-'": tn u TMrie de 1807, cita las obra de estos '-dos :l-< :;: \"~:riibs autores, queda as:a:fumad la 'inilueri.C,ia;--ditecta :X:-.;}/de:-~. indirecta, al menos;-de SACCHERIJ:SObre ..... ~ '~':)as':inveiitigaciones de ScRWEIKART (2). ~. :/En: marzo de 1819, GAUSS, respondiendo a:-GERLING ~to' a la. Geometra a.8tral, ensalza a:. SCHWEIKART,

_ .y :'deelara que~concuerda con todo cuanto contiene el fo-: ';:Jleto gue _le ha enviado. Aade que l ha desarrollado

~ ~ ~~ '.r~~-:~, :~:;/ ~ ,; , _ '_ :.'.

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84. GEOMETRtAS NO EUCLIDIANA S

ner., mejoradas, las investigaciones de 1825. El trabajo cilcluye con un importantsimo apndice en el que el autor' demuestra cmo se puede efectivamente construir

mi' sistema geomtrico (analtico) correspondiente a la M:p. ng. agudo (1). -~ A este fin TAURINOS parte de la frmula fundamen-

tal de la Trigonometra esfrica: a b e b -e

coa= cos k cos k + sen k sen k cos a; Y. en .ella substituye el radio real k por el radio ima -

gi,~ario ik (donde i = '\f=l). La frmula obten'id~ por TAURINOS puede escribirse, mediante el uso-de las fum;iones hiperblicas (2 ), en la siguiente forma:

a b e b e Ch-=Ch- Ch - - Sh-Sh- cosa k k k k k . [1] 'l' Esta es la frmula fundamental de la Geometra lo-

:-

gartmico-esfrica (logarithmisch-sphiLrischen Geome-trie) de TAURINUS .

Es fcil demostrar que en la Geometra log.-esf rica la suma de los ngulos de un tringulo es menor que 180. Refirmonos, para mayor sencillez, al tringulo

(1) Para cuanto se refiere a la eventual influencia de SA.CCHE-RI y LAMBERT sobre TAURlNUS cfr. las Con;eturas de SEGRE, citadas en Ja pg. 66. . _' (a) Para comodidad del lector recordamos ~ definicin .ana-lltica y las propiedades :fundamentales de las funcianu hip.r-

. bolicaa:

Sh X

.,,.(I) : ? Ch X ---~~~\' '.

Tb X=

-x xi xi ... c~e -~+-+-+ .... - 11 3! . 51 .

x' x+e-x -=-+-+. e = 1 + 2! .4!

- e-x

c+e-x

- -- -~.;:: .:;-';:" ~

Cth x = ex+e--x tf&-e-x

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LOS F UNDADORES DE LA G EOM E T RtA NO EUCLIDIANA 88

equiltero poniendo en la [1] a= b =c. Re.solvien!lo respecto a cos a, tendremos

~

Pero

cosa:

Ch2 .!!:.: _:_ ch _::_ k k

Ch.!:_ k

---------- = - ------

a Sh' 1 +Ch.!:_ k

a 1( )2 l()' Ch-=l+- - . +- - +-- k 2 1 k 4! k Notando luego que las :funciones circulares sen :z:, coa ii:,

tg :z: , son susceptibles tambin de una definicin analtica, Y qe precisamente

'"'. ~ "--;~-"' ~ ;, -;; + ~ - . (II) ix +. e -ix x2 X" cosx= " =l---"-+-- .... 2 21 41

tg 1 ix . x -- e -e-tz iix ix e +e -ix , ctg x = i e +e -tz eix . ,

-e-i.:z:

es fcil ver que las funciones circulares y las hiperblicaa estn ligadas por las aigmentes relaciones:

{ Sh x = sen (~); (III) Ch X= 008 (tz); iThx = tg (ix) - i Cth :t = ctg (iz).

Estas ltimas permiten transtormar las :f6rmulu :fundamen-tales , de la goniometrla, en las correspondientes para laa fun-ciones hiperblicas.. Las cuales son las siguientes:

f Ch.2 z-Sh'x= 1 ~i~~~=~x~y~y~z

l Ch (x y) = Ch x Ch y Sb z Sh y.

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... -~1 .

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86 GEOMETR!AS NO EUCLIDIANA S

_ pqr consiguiente, - . _. 1 ( a ) 2 1 ( a ) i +- -_ +- - + . . - 21 k 4! k

~ . 2+- ~ +- ~ + (*) cosa == 1 (. )! 1 ( ) 4 - 21 k 4! k

~

~.

Esta fraccin evidentemente es mayor._ que ~ , por fo cual ser a: < 60 , de donde la suma de los ngulos d~l tringulo es menor que 180

Adems es oportuno notar que l. 1 Im COS a;= - 2 '

a=O es decir, el lmite de a, tendiendo a- a cero, es 60. Por lo cual en la Geometr:L log.-esfrica la suma de los ngulos de un tringulo t iende a 180 cuando los lados tienden a cero. Sobre la frmula (*) podemos hacer las siguientes observaciones:

l. 1 un cosa:= - 2 k= ct:J

o bien: para k, tendiendo al infinito, - a tiende a 60 . Esto es: si se supone la constante k infinitamente grande, el ngulo del tringulo equiltero es de 60, como en la Geometria ordinaria. _ Ms generalmente se podrl.a.: ver que la [1], -para k == _oo, se convierte en

a,2 = b2 + c2 - 2bc cos a;, ,.-_ o . sea la frmula fundamental de la trigonometra pla-

( na' .euclidea. Este resu'ltado puede, ventajosamente, r-'-' lacion.rse con las afirmaciones de GAUSS y -ScHWEI-:ICABT.

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"-;c--37. La-segunda frmuia fundamental de la. trigo-nometra-esfrica -

. . G _ -. _ ._ cos a = - cos ~ cos + sen ~ sen 1'. co8c-,

. coi~:n: simple cambio del coseno circulti.r -en el coseno :- ~i~i.~~~ico,. se convierte en la segunda frmula -funda-

mentar~ de- la Geometra log.-esf rica:

t .

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LOS FUNIJADORES DE LA GEOll!ETRtA N O EVCLl DlANA 87 a

[2] cos a = - cos ~ cos + sen ~ sen "f Ch T Para a = O y~ =;= 90 se obtiene: ~

a 1 [3] Ch-k-= -- sen~

El tringulo correspondiente a esta frmula tiene un ngulo nulo y los dos lados que lo forman _de lon-

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