las geometrías no euclidianas en los programas de …

“Las Geometrías no Euclidianas en los programas de formación de

profesores de Matemáticas: el caso de las universidades Pedagógica

Nacional, de Antioquia, de Nariño, del Cauca y del Valle”

Jennifer Milagros Taba Jaramillo

Gerardo Andrés Ceballos Correa

Universidad del Valle

Instituto de Educación y Pedagogía

Licenciatura en Matemáticas y Física

2019

“Las Geometrías no Euclidianas en los programas de formación de

profesores de Matemáticas: el caso de la Universidad del Valle, de

Antioquia, del Cauca, de Nariño y la Pedagógica Nacional”

Jennifer Milagros Taba Jaramillo

Gerardo Andrés Ceballos Correa

Directora:

Ph.D Maribel Patricia Anacona

Universidad del Valle.

Instituto de Educación y Pedagogía.

Licenciatura en Matemáticas y Física

2019

v

Agradecimientos

Agradecemos a nuestras familias por el apoyo incondicional, por habernos dado la

oportunidad de estudiar y avanzar en nuestra formación profesional y las palabras

necesarias llenas de sabiduría para afrontar con éxito esta etapa de la vida.

Agradecemos a todos nuestros profesores por su formación y enseñanza; especialmente a

la profesora Maribel Anacona, por su apoyo incondicional, compromiso y dedicación en el

planteamiento y desarrollo de este proyecto; al igual que a los profesores de las

universidades mencionadas por su colaboración y disposición de tiempo.

Agradecemos a todos nuestros compañeros que se convirtieron en grandes amigos por su

apoyo, ánimo y compañía en momentos convenientes durante la carrera.

vi

Resumen

Es bien conocido, por lo menos en el mundo académico, el rol importante que las

Geometrías no Euclidianas jugaron en la difícil tarea de resolver el problema de la

fundamentación de las matemáticas y el papel relevante que tienen en los desarrollos de

campos científicos tan importantes como la teoría de la relatividad de Einstein. Entonces

parece razonable considerar que los futuros profesores de matemáticas adquieran durante

su formación, herramientas que les permitan conocer con un poco más de profundidad estos

temas, para que de a poco, en la sociedad de la cuarta revolución industrial, se empiece a

construir un nuevo tipo de cultura académica y científica permeada por estos desarrollos

matemáticos. Por tanto, nos interesa conocer qué tanto se estudia de estas geometrías en

los programas de formación de profesores de matemáticas y de qué manera que está

haciendo.

Para tal efecto, se realizó en primer lugar una contextualización histórica acerca del

surgimiento de las geometrías no euclidianas, abarcando un período de dos milenios; desde

Euclides, pasando por Proclo, hasta Saccheri, Lambert y Legendre, terminando con los

trabajos de Bolyai y Lobachévski. Posteriormente se estudiaron los planes de estudio de

los programas de formación de profesores de matemáticas de cinco universidades del país,

se identificaron en ellos las asignaturas que contenían temáticas relacionadas con

geometrías no euclidianas y finalmente se realizó la revisión y análisis de los contenidos

programáticos de dichas asignaturas.

Palabras claves: Geometrías no euclidianas, contenidos programáticos, planes de

estudio, formación docente, profesores de matemáticas.

vii

Índice General

Introducción ...................................................................................................................... 1

Contextualización histórica acerca del surgimiento de las geometrías no euclidianas7

1.1 Intentos por probar el quinto postulado. ............................................................... 8

1.2 Precursores de las Geometrías no Euclidianas ................................................... 20

1.3 Fundadores de las Geometrías no Euclidianas ................................................... 29

1.4 Controversia histórica en relación con la aceptación de las geometrías no

euclidianas en Europa y Colombia ..................................................................... 51

Presentación de asignaturas programadas en las universidades ................................ 56

2.1 Universidad del Valle .......................................................................................... 56

2.2 Universidad de Antioquia .................................................................................... 62

2.3 Universidad del Cauca ......................................................................................... 64

2.4 Universidad de Nariño ......................................................................................... 66

2.5 Universidad Pedagógica Nacional ....................................................................... 70

Análisis de los contenidos programáticos por asignatura ........................................... 73

3.1 Universidad del Valle .......................................................................................... 73

3.2 Universidad de Antioquia .................................................................................... 75

3.3 Universidad del Cauca ......................................................................................... 75

3.4 Universidad de Nariño ......................................................................................... 77

3.5 Universidad Pedagógica Nacional ....................................................................... 80

Conclusiones .................................................................................................................... 83

Referencias Bibliográficas .................................................................................... 92

viii

Anexos ..................................................................................................................... 94

1. Universidad del Valle ...................................................................................... 94

2. Universidad de Antioquia .............................................................................. 105

3. Universidad del Cauca ................................................................................... 109

4. Planes de estudio de la Universidad de Nariño ............................................. 113

5. Universidad Pedagógica Nacional ................................................................. 120

ix

Lista de tablas

Tabla 1. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico por programa

académico de la Universidad del Valle. .................................................................... 57


académico de la Universidad de Antioquia. ............................................................. 62

Tabla 3. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico de la Licenciatura

en Matemáticas de la Universidad del Cauca. .......................................................... 64


académico e la Universidad de Nariño. .................................................................... 66

Tabla 5. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico del programa

académico de la Universidad pedagógico Nacional. ................................................ 71

x

Lista de figuras

Figura 1. Construcción para la demostración de Ptolomeo. ............................................... 8

Figura 2. Paralelas de Proclo. ............................................................................................. 9

Figura 3. AB y CD iguales y paralelas ............................................................................. 10

Figura 4. Construcción de Al-Yâwhari ............................................................................. 11

Figura 5. Construcción de cuadriláteros de Tabit ............................................................. 12

Figura 6. Construcción de Tabit para la demostración del quinto postulado .................... 13

Figura 7. Construcción 1 para la demostración de Umar Jayyan...................................... 14



Figura 10. Criterio de Aganis tomado como hipótesis por Nasir-Edin. ............................ 17

Figura 11. Construcción de Nasir-Edin ............................................................................ 17

Figura 12. Construcción de Wallis. ................................................................................... 19

Figura 13. Cuadrilátero de Saccheri. ................................................................................. 21

Figura 14. Construcción de Lambert. ............................................................................... 23

Figura 15. Construcción de Legendre. .............................................................................. 26

Figura 16. Construcción de Farkas Bolyai ........................................................................ 28

Figura 17. Construcción de Gauss para demostración del postulado de las paralelas. ..... 31

Figura 18. Continuación de la construcción de Gauss a la derecha de A ......................... 32

Figura 19. Continuación de la construcción de Gauss a la izquierda de A ....................... 33

Figura 20. Construcción de Gauss para la reciprocidad en el paralelismo (caso i) .......... 34

Figura 21. Construcción de Gauss para la reciprocidad en el paralelismo (caso ii) ......... 35

Figura 22. Caso i, construcción, tercera demostración de Gauss ...................................... 36

Figura 23. Caso ii, construcción, tercera demostración de Gauss .................................... 36

Figura 24. Forma de los cuadrados para Scheweikart ...................................................... 40

Introducción

Actualmente, es bien conocido en el mundo científico el rol importante que las

Geometrías no Euclidianas (GNE) juegan en el conocimiento del espacio físico que

habitamos. Aunque en un principio las GNE parecían ajenas a la realidad y se veían tan

sólo como un constructo teórico, trabajos como el de Einstein en relación con la teoría de

la relatividad, permitieron que las GNE se convirtieran en uno de los pilares más

importantes sobre los que descansa el conocimiento actual que se tiene del Universo y de

la gravitación.

Nicolai Ivanovic Lobachévski (1792-1856), fue el primer matemático que desarrolló

de manera consciente una geometría no euclidiana entendiéndola precisamente como una

nueva geometría. Precisamente Lobachévsky publicó en 1829 en el Kazan Bulletin un

artículo que desplegaba una nueva geometría siguiendo la misma dirección que había

trabajado Saccheri un siglo antes, afirmando la pluralidad de paralelas que pasan por un

punto exterior a una recta. De manera casi simultánea, en 1832, pero de forma

independiente, el húngaro János Bolyai (1802-1860) escribió un apéndice al libro de su

padre, Wolfgang Farkas Bolyai, con el título de La ciencia absoluta del espacio (Senior

Martinez, 2001). Sin embargo, el proceso de aceptación de estas nuevas geometrías no fue

fácil. Su consideración teórica fue objeto de una amplia y nutrida discusión por la

comunidad de matemáticos y filósofos de la época.

En los albores del siglo XX Colombia no estuvo ajena a esta problemática y también

vivió un momento de discusión académica muy interesante. Prueba de ello es la posición

2 Introducción

dura y crítica que mantuvo el ingeniero Julio Garavito Armero en relación con dichas

geometrías, puesto que, Garavito había construido un orden del universo que tenía como

fundamento último al espacio euclidiano. Desde la perspectiva del ingeniero, este orden se

hallaría inscrito de alguna forma en la capacidad constructiva de los sujetos; admitir la

posibilidad de una nueva configuración espacial implicaba la destrucción del orden que

tenía el universo. Una nueva comprensión del espacio como la que se originó con el

surgimiento de las GNE y una nueva compresión de los fenómenos físicos como la que

obtuvo posteriormente con el desarrollo de la teoría de la relatividad, cambiaría totalmente

la forma en que el ingeniero entendía el mundo (Perez Ruiz, 2016a). Por ello la necesidad

de rechazar con vehemencia las nuevas geometrías sin importar las posibilidades

explicativas que pudieran tener, o el reconocimiento que habían logrado a nivel mundial,

su posición radical de rechazo absoluto queda evidenciada en su artículo ¿Bancarrota de

las ciencias? de 1917, donde expresa:

La poca labor ejecutada por un puñado de nuestros sabios modernos ha sido suficiente

para causar la ruina, que, con materiales acumulados durante treinta siglos, la

humanidad había elevado en honor del espíritu humano. Pero una chispa produce en

ocasiones un incendio que no deja pavesas. ¿Qué nuevas ideas sucederá? Los

cadáveres se convierten en gusanos. La ciencia nueva tomará una forma semejante.

Mejor hubiera sido habernos quedado en la cábala y las brujas. Pero quizás vuelvan a

surgir como surgen los animales nocturnos cuando muere la luz del día (citado en

Perez, 2016, p. 137).

La posición de Garavito podría entenderse si se tienen en cuenta dos aspectos;

primero, el pensamiento euclidiano arraigado durante dos milenios, incluso entre quienes

se dedicaban a la actividad intelectual o académica y la influencia que el pensamiento

kantiano ejerció en él; segundo, las necesidades en términos de desarrollo industrial,

comercial, transporte, entre otros, que requerían de cuestiones prácticas y tangibles

relacionadas con el mundo real de la época en cuestión (Arboleda y Anacona, 1994).

3 Introducción

Como se mencionó en un principio, las GNE son de vital importancia tanto en la

Física como dentro de la Matemática misma, a tal punto que siguen siendo un campo

fecundo de investigación, a partir del cual se generan nuevos conocimientos y

concepciones del universo y del mundo que nos rodea, y que no sólo marcan esta época,

sino que la diferencian de épocas pasadas. Parece pertinente entonces, que ese nuevo

conocimiento se movilice desde las esferas del conocimiento científico al grueso de la

sociedad, de tal manera que este se convierta en parte del acervo cultural de las nuevas

generaciones que deberían poder participar de una nueva y actualizada cultura matemática

acorde con los nuevos desarrollos y descubrimientos científicos.

No se pretende decir en este trabajo, que la geometría euclidiana sea obsoleta y

carente de toda utilidad, pues está claro que en un plano local, su aplicabilidad es

absolutamente innegable y su amplia utilidad en campos tan disimiles como la arquitectura,

mecánica, ingeniería, solo por nombrar algunos ejemplos; sin embargo, no puede ser, que

en tiempos de la cuarta revolución industrial en la que se habla de reevaluar los sistemas

educativos, y en la que las personas tienen nuevas y novedosas formas de acceder a la

información y al conocimiento, no conozcan por lo menos, a manera de cultural general,

la forma del universo en el que vivimos. El entendimiento de dicha forma requiere en gran

medida de las GNE; sin embargo, parece que los tópicos relacionados con estas nuevas

geometrías no se han incorporado dentro de los conocimientos básicos de la sociedad en

contraposición con lo que ocurre con la geometría euclidiana, de la cual casi cualquier

persona tiene algún conocimiento básico.

Por lo tanto, parece pertinente que los estudiantes de los programas de formación de

profesores de matemáticas, adquieran dicho conocimiento, de tal manera que, en el

ejercicio de su profesión, puedan transmitir a los estudiantes los conceptos básicos de las

GNE de modo que, este conocimiento pueda incorporarse de a poco en la sociedad.

4 Introducción

Dicho lo anterior y sin conocer los programas de Licenciaturas en Matemáticas de

otras universidades del país, surge el interés por indagar si en dichos programas al igual

que en las Licenciaturas en Matemáticas de la Universidad del Valle, se abordan contenidos

relacionados con las GNE, para conocer el estado actual de su incorporación.

En la actualidad, con la aceptación de la teoría de la relatividad, se ha generado una

mayor aplicación en campos de la física y las matemáticas, parecería absurdo que ese nuevo

conocimiento no este incorporado en la formación profesores en matemáticas. Con base en

lo mencionado anteriormente es razonable preguntarse: ¿Qué aspectos de las GNE se

encuentran en los programas de formación de profesores de matemáticas en la Universidad

Pedagógica Nacional, en la Universidad de Antioquia, en la Universidad de Nariño, en la

Universidad del Cauca y en la Universidad del Valle y de qué manera se implementan?

En relación con la pregunta anterior es necesario decir, que se escogieron las

universidades Pedagógica Nacional, de Antioquía y del Valle, porque son las universidades

públicas que forman profesores de matemáticas en las tres ciudades más grandes del país,

lo cual nos permite tener una mirada de lo que sucede en la región central que abarca el

triángulo geográfico que ellas conforman. Por su parte, las universidades Nariño y del

Cauca, junto con la del Valle, nos ofrecen un panorama particular de lo que pasa en nuestra

región sur occidental, una región que de manera natural tiene un gran interés para nosotros.

En virtud de lo anterior, creemos que esta selección nos permite tener una muestra

representativa del estado de incorporación de las GNE en los programas de formación de

matemáticas en el país. Obviamente un estudio más amplio y completo es de nuestro total

interés, pero se escapa por cuestiones de tiempo a las posibilidades de este trabajo de grado

y lo dejaremos como una posibilidad de indagación en estudios posteriores.

5 Introducción

El objetivo para la realización del proyecto es indagar qué aspectos de las geometrías

hiperbólica y esférica se encuentran en los programas de formación de profesores de

matemáticas de las universidades antes mencionadas, así como su forma de

implementación. Con el ánimo de alcanzar dicho objetivo, se realizó en primer lugar, una

revisión bibliográfica del desarrollo histórico de las GNE, y del proceso de recepción e

incorporación, tanto en Europa como en Colombia. Posteriormente, se hizo un inventario

de los actuales planes de estudio de las carreras de Licenciaturas en Matemáticas en dichas

universidades y finalmente, se analizaron los planes de estudio inventariados de los

programas académicos ya mencionados y se estudió el contenido programático de algunas

asignaturas en la que existe un fuerte componente geométrico.

Para tal efecto, se planteó una metodología de tipo descriptivo-exploratorio, dado que

se requiere consultar y revisar los planes de estudio de las carreras ya mencionadas, además

de hacer una revisión histórica del desarrollo de las GNE.

En un primer momento se realizó la consulta bibliográfica de tipo histórico, sobre

algunos de los intentos más relevantes que pretendían demostrar el quinto postulado;

también de aquellos personajes considerados por la historia como precursores y/o

fundadores de las GNE; igualmente de la controversia generada en el ámbito académico

con la aparición de estas nuevas geometrías. En un segundo momento se llevó a cabo la

búsqueda y clasificación de los planes de estudio en las respectivas universidades, para

realizar una lectura cuidadosa que permitió identificar aquellos planes de estudio en los

que aparecen o no tópicos relacionados con las GNE. Como tercer momento, se indagó a

los docentes que imparten las respectivas asignaturas, hecho que ayudó a identificar y

esclarecer la manera como se presentan las GNE en los planes de estudio en donde dichos

tópicos aparecen.

6 Introducción

Una vez ejecutados los momentos anteriores, se realizó un análisis cualitativo de los

planes de estudio y las entrevistas realizadas, que permitió identificar la manera cómo se

introducen los tópicos de las GNE, para finalmente escribir las conclusiones del trabajo.

Es menester obligado, agradecer desde estas líneas a la dirección de los programas

académicos con los que fue necesario establecer contacto para la realización de este

proyecto, pues en algunos casos fue gracias a esta interlocución que pudo materializarse el

dialogo con algunos de los docentes que de una u otra manera estaban relacionados con la

posibilidad de gestar el presente trabajo; pero además, y no menos importante, aprovechar

este espacio para demostrar nuestra gratitud con todos aquellos profesores con los que fue

posible dialogar: Luis Francisco Guayambuco Quintero, Edgar Guacaneme, Andrés

Chaves Beltrán, Gabriela Arbeláez, Ligia Amparo Torres, Sergio Marin, Ana Celi Tamayo

Acevedo, Celimo Alexander Peña Rengifo, Jonathan Esteban Lucero; pues la información

suministrada por ellos; vía virtual, telefónica e incluso personal como en el caso de la

Universidad de Nariño y la UPN, además de sus explicaciones y reflexiones fue

absolutamente relevante para la concreción de este proyecto.

Capítulo 1

Contextualización histórica acerca del surgimiento

de las geometrías no euclidianas

En el siglo III a.C., Euclides escribió el reconocido libro los Elementos, donde

recopila gran parte del saber matemático de su época. En este libro desarrolla el método

hipotético-deductivo, con el que logra, partiendo de proposiciones y postulados, construir

de una forma sencilla y lógica lo que hoy se conoce como Geometría euclidiana.

En el libro I, Euclides plantea cinco postulados, entre los que se encuentra, el

postulado de las paralelas, que dice:

Si una línea recta que cae sobre dos rectas, hace los ángulos adentro y contra la

misma, parte menores a dos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan

indefinidamente, se encuentran sobre el lado en el cual los ángulos son menores que

dos ángulos rectos (Puertas, 1991).

A lo largo de más de dos milenios el quinto postulado no se mostraba tan evidente

ante la mirada de los matemáticos de diferentes épocas, puesto que, consideraban que este

se podía deducir a partir de los otros cuatro postulados. Para poder proporcionar una

versión más evidente del quinto postulado, que lo volviera tan aceptable como los

postulados anteriores, o establecer que su negación, conducía a un absurdo; sin embargo,

por diferentes motivos todas estas tentativas fracasaron (Melogno, 2008).

A continuación, se muestran algunos de los intentos más significativos que se

realizaron a lo largo de la historia para deducir el quinto postulado.

8 Contextualización histórica acerca del surgimiento de las geometrías no euclidianas

1.1 Intentos por probar el quinto postulado.

Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.), célebre astrónomo, fue el primero que intentó dar

una demostración a partir de un enunciado equivalente al del quinto postulado de Euclides,

conocido como el postulado de Playfair que afirma que , “por un punto exterior a una recta

sólo cabe trazar una paralela” (Melogno, 2008). Sin embargo, la demostración resultó ser

falsa, hecho del que pudo percatarse Proclo en el siglo V.

A continuaron se muestra el razonamiento de Ptolomeo:

Sea 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, dos rectas paralelas y 𝐹𝐺 una transversal (Figura 1).

Sea 𝛼, 𝛽 los dos ángulos internos al lado izquierdo de 𝐹𝐺, y 𝛼’, 𝛽’ los dos ángulos

internos al lado derecho de 𝐹𝐺.

Figura 1. Construcción para la demostración de Ptolomeo.

Entonces 𝛼 + 𝛽 será más grande que, igual que o menor que 𝛼’ + 𝛽’. Asumiendo

que, si cualquiera de esos casos ocurre para un par de paralelas (e.g. 𝛼 + 𝛽 > 2 ángulos

rectos) también ocurrirá para cualquier otro par.


Ahora 𝐹𝐵, 𝐺𝐷, son paralelas; como también lo son 𝐹𝐴 y 𝐺𝐶. Entonces 𝛼 + 𝛽 > 2

ángulos rectos, se sigue que 𝛼’ + 𝛽’ > 2 ángulos rectos. Entonces 𝛼 + 𝛽 + 𝛼’ + 𝛽’ > 4

ángulos rectos, lo cual es obviamente absurdo. Por lo tanto, 𝛼 + 𝛽 no puede ser más

grande que 2 ángulos rectos. De la misma forma se puede mostrar que 𝛼 + 𝛽 no puede ser

menor que dos ángulos rectos. Por consiguiente, se tiene que 𝛼 + 𝛽 = 2 ángulos rectos.

De este resultado el postulado de Euclides puede ser fácilmente obtenido (Bonola, 1912).

Proclo, quien es señalado, como uno de los comentaristas más autorizados de los

Elementos de Euclides, considera que se le debe quitar el rango al quinto postulado, por

dos razones fundamentales; la primera porque no goza de una evidencia inmediata, propia

de los otros cuatro postulados debido a la posibilidad de la existencia de asíntotas. Dados

dos rectas puede ocurrir que ellas no se corten pero que al prolongarse se aproximen cada

vez más sin llegar a juntarse, el segundo aspecto en el que llama la atención Proclo, es que

Euclides ha demostrado la proposición recíproca del quinto postulado en la proposición

I.17 de los elementos (Bonola, 1912).

En su intento por demostrar el quinto postulado, Proclo presenta el siguiente

razonamiento:

Figura 2. Paralelas de Proclo.


Dadas dos rectas paralelas 𝑚 y 𝑙. Tales que la recta 𝑛 es distinta de 𝑚 y que corta

a 𝑚 en 𝑃, entonces también cortara a 𝑙. Proclo razona por contradicción,

suponiendo que 𝑛 no corta a 𝑙, lo que quiere decir que es una asíntota, sea 𝑄 el

punto de intersección de la perpendicular trazada de 𝑝 a 𝑙. Si n coincide con la recta

𝑃𝑄, entonces, trivialmente, 𝑛 corta a 𝑙. Si 𝑛 no coincide con la recta 𝑃𝑄 e 𝑌 es un

punto de la recta Pn, el cual está entre las rectas m y l, a partir de Y se traza la

perpendicular 𝑋𝑌, donde 𝑋 es el corte de la perpendicular con la recta 𝑚, si

𝑌 empieza a variar sobre la recta 𝑛, el segmento 𝑋𝑌 crece indefinidamente y como

la distancia entre 𝑚 y 𝑙 es contante, en algún momento deberá cruzar 𝑙 (Bonola,

1912).

Los anteriores son solo algunos de los intentos significativos para tratar de

demostrar el quinto postulado en el mundo griego; a continuación, se presentan algunos

intentos en el mundo árabe.

Al-Yâwhari (800-860), según Gray (1992), el primer estudio realmente original,

realizado por un matemático del mundo islámico sobre el postulado de las paralelas, lo

realizo Al-Yâwhari, quien definió líneas paralelas, como aquellas que estando en un

mismo plano no se cortan. Pretendió demostrar que si se tienen dos segmentos iguales y

paralelos como en la Figura 3 las líneas correspondientes a sus puntos finales 𝐴 y 𝐶, 𝐵 y

𝐷 son iguales, afirmación tal, que, de ser cierta, sería suficiente para establecer la validez

del quinto postulado. Tal proposición se prueba en los elementos (I, 33), pero resulta ser

equivalente al postulado de las paralelas.

Figura 3. AB y CD iguales y paralelas.


Al-Yâwhari, razona de la siguiente manera: si se tienen dos líneas, 𝑙 y 𝑚, y otra

transversal 𝑛 que las corta en los puntos 𝐴 y 𝐵 respectivamente tales que los ángulos 𝛼 y

𝛽 como en la Figura 4., sean iguales, entonces las líneas son paralelas. Al-Yawhari toma

el punto 𝐴’ de 𝑙 y 𝐵’ de 𝑚, de tal manera que 𝐴𝐴’ = 𝐵𝐵’, y prueba utilizando una

congruencia de triángulos, que 𝐴’𝐵 = 𝐵’𝐴. Así, toma otros dos puntos 𝐴” y 𝐵” tales que

𝐴′𝐴" = 𝐵′𝐵", para probar que 𝐴"𝐴 = 𝐵"𝐵, lo cual es cierto, pero de esto no se sigue que

las líneas 𝑙 y 𝑚 estén separadas en todo punto por la misma distancia.

Figura 4. Construcción de Al-Yâwhari.

Tabit ibn Qurra (836-901), es muy notable el hecho, que este autor en uno de sus

dos ensayos sobre el postulado de las paralelas haga uso de un aspecto de la geometría

euclidiana normalmente descuidado: el movimiento. Gray (1992) afirma que para Tabit

no era muy claro que un segmento pudiera desplazarse sin ver alterada su longitud, así

que propuso considerar todo segmento como parte de un cuerpo sólido, con el ánimo de

eliminar toda duda posible y dejar bien sentada la invariancia de longitudes. De esta

manera considero un cuerpo moviéndose en línea recta, e interpreto que un punto del


cuerpo se mueve también describiendo una línea recta, y se pregunta ¿qué puede decirse

de las trayectorias descritas por los demás puntos?, a lo que responde que también son

líneas rectas, y prosigue, son curvas equidistantes de la línea recta en todos sus puntos,

pero no es cierto que ellas mismas sean líneas rectas, y suponer que lo son es equivalente

a admitir el quinto postulado. (Gray 1992, p. 68-69)

Sin embargo, una vez admitida esta hipótesis, Tabit procede de la siguiente manera:

partiendo de un cuadrilátero, con dos lados iguales opuestos que forman el mismo ángulo

con la base como en la Figura 5(a), donde los lados 𝐷𝐴 y 𝐶𝐵 son iguales, y los ángulos

𝐷𝐴𝐵 y 𝐶𝐵𝐴 son iguales. Tabit demostró que los otros dos ángulos 𝐴𝐷𝐶 y 𝐵𝐶𝐷 también

son iguales; y que recíprocamente si los ángulos son iguales por parejas (𝐷𝐴𝐵 = 𝐶𝐵𝐴 y

𝐴𝐷𝐶 = 𝐵𝐶𝐷), los lados 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 son iguales. El argumento fundamental se aplica a un

cuadrilátero de Tabit en el que los ángulos de la base son rectos como en la Figura 5(b)

afirmando que, si se traza una perpendicular desde uno de estos lados al otro, esta deba

ser igual a la base. Así, en la figura 𝐸𝐹 es igual a 𝐴𝐵, de donde se sigue que en un

cuadrilátero con tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto.

(a)

(b)

Figura 5. Construcción de cuadriláteros de Tabit.


Ahora Tabit se dispone a demostrar el quinto postulado. Consideró el caso en que

dos líneas, 𝑙 y 𝑚, cortan una tercera recta 𝑛, suponiendo que 𝑙 y 𝑛 se cortan en ángulo

recto como en la Figura 6. Entonces toma un punto 𝑊 en 𝑚 y traza desde el la

perpendicular 𝑊𝑍 a 𝑛. Si 𝐴𝑍 es menor que 𝐴𝐸, un múltiplo de 𝐴𝑍, como 𝐴𝐻, excederá a

𝐴𝐸, y entonces es posible formar el triángulo rectángulo 𝐴𝐻𝑁, en el que 𝑁 esta sobre 𝑚.

Las consideraciones de Tabit en torno a estos cuadriláteros demostraron que 𝑁𝐻 y 𝑙 no

pueden cortarse, de manera que 𝑙 debe cortar a 𝑚, quedando así demostrado el quinto

postulado.

Figura 6. Construcción de Tabit para la demostración del quinto postulado.

‘Umar Jayyam (1050-1123). Para este autor es imposible aceptar el uso del

movimiento en la demostración de teoremas, en su lugar recurrió a una idea que el atribuye

a Aristóteles, según la cual, dos líneas que convergen se intersectan, y es imposible que

las rectas que convergen, diverjan en la dirección de convergencia. Jayyan utilizó la

suposición de Aristóteles en la demostración del quinto postulado como sigue:


Figura 7. Construcción 1 para la demostración de Umar Jayyan.

Tomó tres líneas 𝑙1, 𝑙2 y 𝑙3, todas ellas perpendiculares a la recta 𝑛, intersectándola

en los puntos 𝑃1, 𝑃2, y 𝑃3, respectivamente; si se supone que 𝑃1𝑃2 es igual a 𝑃2𝑃3 (Figura

7), entonces, si dos cualesquiera de esa líneas se cortan, puede demostrarse con una

sencilla congruencia que todas deben cortarse en el mismo punto, de manera que las líneas

no pueden converger ni divergir. Además, son paralelas, es decir que satisfacen la

construcción de paralelas dada en los elementos. Luego, tomó una línea 𝑚 que corta a 𝑛

formando un ángulo oblicuo, como se muestra en la Figura 8 con el punto 𝑃1, Esta línea

diverge de 𝑙1 y su divergencia puede ser tan grande como se quiera. Pero las líneas 𝑙1 y 𝑙2

están siempre separadas por la misma distancia, de tal manera que la línea 𝑚 debe cortar

a 𝑙2.



Terminó por deducir el mismo postulado de las paralelas mediante el siguiente

razonamiento. Sean las líneas 𝑙 y 𝑚, tales que corten a la recta 𝑛 en 𝐴 y 𝐵 respectivamente

como en la Figura 9, y supóngase que el ángulo de 𝐴 es menor que el de 𝐵. Seguidamente

se traza la paralela 𝑚′ a 𝑚 por 𝐴. Ahora bien, la línea 𝑙 corta a 𝑚′, e igualmente debe

cortar a 𝑚, ya que puede divergir todo lo que se quiera de 𝑚′, pero 𝑚 y 𝑚′ son

equidistantes (Gray 1992, p. 73-77).



El aporte de Nasir-Eddin, (1201-1274), si bien utiliza el mismo criterio utilizado

por Aganis, es digno de mencionarse dado la originalidad de su idea de poner

explícitamente el teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo y por la naturaleza

de su razonamiento. La parte esencial de la hipótesis que el admite es:

Si dos líneas rectas 𝑟 y 𝑠, la primera perpendicular y la otra oblicua el segmento

𝐴𝐵, las perpendiculares trazada desde 𝑠 sobre 𝑟 son menores que 𝐴𝐵 en el lado

en el que 𝑠 forma un ángulo agudo con 𝐴𝐵, y más grandes en el lado en el cual 𝑠

forma un ángulo obtuso con 𝐴𝐵 (Bonola, 1912, p. 10).


Figura 10. Criterio de Aganis tomado como hipótesis por Nasir-Edin.

Teniendo como fundamento la hipótesis anterior (Figura 10), Nasir-Edin deduce

fácilmente que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos. Para el

triángulo rectángulo el teorema es obvio, porque este es la mitad de un rectángulo; para

cualquier triangulo este resultado se obtiene al dividir el triángulo en dos triángulos

rectángulos y a partir de ello plantea el siguiente razonamiento:

Figura 11. Construcción de Nasir-Edin.


Sea 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 dos rayos, uno oblicuo y el otro perpendicular a la línea 𝐴𝐶 (Figura

11). De 𝐴𝐵 tomar la parte 𝐴𝐻, y desde 𝐻 trazar la perpendicular 𝐻𝐻’ a 𝐴𝐶. Si el punto 𝐻’

cae en 𝐶, o en el lado opuesto de 𝐴 desde 𝐶, los dos rayos 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 deben intersectarse.

Si acaso, 𝐻’ cae entre 𝐴 y 𝐶, trazar la línea 𝐴𝐿 perpendicular a 𝐴𝐶 e igual a 𝐻𝐻’. Entonces,

de lo dicho anteriormente, 𝐻𝐿 = 𝐴𝐻’. Sobre 𝐴𝐵 a partir de 𝐻 trazar 𝐻𝐾 igual a 𝐴𝐻. Desde

𝐾 trazar 𝐾𝐾′ perpendicular a 𝐴𝐶. Puesto que, 𝐾𝐾’ > 𝐻𝐻’, podemos tomar 𝐾’𝐿’ = 𝐻’𝐻, y

unir 𝐿’𝐻. Los cuadriláteros 𝐾’𝐻’𝐻𝐿’, 𝐻’𝐴𝐿𝐻 son ambos rectángulos. Por lo tanto, los tres

puntos 𝐿’, 𝐻, 𝐿 están en una línea recta. Se sigue que ∢𝐿’𝐻𝐾 = ∢𝐴𝐻𝐿, y que los triángulos

𝐴𝐻𝐿, 𝐻𝐿’𝐾 son iguales. Entonces 𝐿”𝐻 = 𝐻𝐿, y de las propiedades de los rectángulos,

𝐾’𝐻’ = 𝐻’𝐴. Sobre 𝐴𝐵 a partir de 𝐾 trazar 𝐾𝑀 igual a 𝐾𝐻. Desde 𝑀 trazar 𝑀𝑀′

perpendicular a 𝐴𝐶. Por un razonamiento similar al ya dado, se sigue que

𝑀’𝐾’ = 𝐾’𝐻’ = 𝐻’𝐴

Del resultado obtenido, tomamos un múltiplo de 𝐴𝐻’ más grande que 𝐴𝐶 (el

postulado de Arquímedes). Por ejemplo, sea 𝐴𝑂’, igual a 4𝐴𝐻’, más grande que 𝐴𝐶.

Entonces de 𝐴𝐵 se toma 𝐴𝑂 = 4𝐴𝐻, y se traza la perpendicular desde 𝑂 a 𝐴𝐶.

Esta perpendicular evidentemente será 𝑂𝑂’. Entonces, en el triángulo recto 𝐴𝑂’𝑂,

La línea 𝐶𝐷 la cual es perpendicular al lado 𝐴𝑂’, no puede encontrarse al otro lado de 𝑂𝑂’,

y esta por lo tanto debe encontrarse con la hipotenusa 𝑂𝐴.

Esto significa que hemos probado que dos líneas rectas 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, deben

intersectarse cuando 𝐶𝐷 es perpendicular a la transversal 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵 es oblicua a 𝐴𝐶. En

otras palabras, el postulado euclidiano ha sido probado para el caso en el cual, uno de los

ángulos internos es recto (Bonola, 1912, p. 11-12).


Del mundo occidental en el renacimiento, Mencionar a los que abordaban el

problema a partir de equidistancia

John Wallis (1616-1703), para realizar su demostración del quinto postulado, este

deja de un lado la idea de equidistancia, empleada sin éxito por los matemáticos que lo

antecedieron, y presento una nueva demostración, basando su prueba en el siguiente

axioma: “Para toda figura existe una figura similar de magnitud arbitraria” (Bonola, 1912,

p. 15).

Wallis procede de la siguiente manera:

Sean 𝑎, 𝑏 dos líneas rectas intersectadas en 𝐴, 𝐵 por la transversal 𝑐 (Figura 12). Sea

𝛼, 𝛽 ángulos interiores en el mismo lado de 𝑐, tal que 𝛼 + 𝛽 es menor que dos ángulos

rectos. Por 𝐴 trazar la línea 𝑏’ de modo que 𝑏 y 𝑏’ forme con 𝑐 ángulos

correspondientes iguales. Está claro que 𝑏’ estará en el ángulo adyacente a α. Sea la

línea 𝑏 ahora movida continuamente a lo largo del segmento 𝐴𝐵, tal que el ángulo que

esta hace con 𝑐 permanece siempre igual a 𝛽. Antes de que alcance la posición final

𝑏’, esta debe necesariamente interceptar 𝑎. De esta manera un triángulo 𝐴𝐵1𝐶1 es

determinado, con los ángulos en 𝐴 y 𝐵1 respectivamente iguales a 𝛼 y 𝛽 (Bonola,

1912, p.16).

Figura 12. Construcción de Wallis.


Pero, según la hipótesis de Wallis de la existencia de figuras similares, sobre 𝐴𝐵,

el lado homólogo a 𝐴𝐵1, debemos ser capaces de construir un triángulo ABC similar al

triangulo AB1C1. Esto equivale a decir que las líneas rectas 𝑎, 𝑏 deben encontrarse en un

punto, es decir, el tercer punto angular del triángulo 𝐴𝐵𝐶.

1.2 Precursores de las Geometrías no Euclidianas

Giavanni Gerolamo Saccheri (1667-1773), distinguido matemático jesuita italiano,

quien en 1697 publicó un notable tratado sobre lógica y en 1708 un tratado de estática; la

mayor parte de su trabajo Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus

quo stabiliuntur prima opsa universae Geometriae Principia, publicado en Milan en el

año de 1733 dedicado a la prueba del quinto postulado. La característica esencial que

distingue su trabajo se encuentra en su “Logica demonstrativa”, publicada en Turin en

1697. En su intento por demostrar el quinto postulado, usó su método favorito “la

reducción al absurdo”

Saccheri procede de la siguiente manera:

Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 un cuadrilátero con dos ángulos rectos 𝐴 y 𝐵, y dos lados iguales 𝐴𝐷 y

𝐵𝐶 (Figura 13). con base en la hipótesis euclidiana los ángulos 𝐶 y 𝐷 también son rectos.

Entonces, si asumimos que ambos ángulos son obtusos, o ambos agudos, implícitamente

negamos el quinto postulado. Saccheri discute esas tres hipótesis en relación con los

ángulos 𝐶, 𝐷; que el llamo:

La hipótesis del ángulo recto [∢𝐶 = ∢𝐷 = un ángulo recto]

La hipótesis del ángulo obtuso [∢𝐶 = ∢𝐷 > un ángulo recto]

La hipótesis del ángulo agudo [∢𝐶 = ∢𝐷 < un ángulo recto]


Figura 13. Cuadrilátero de Saccheri.

Uno de sus primeros resultados importantes es el siguiente:

De acuerdo con la hipótesis del ángulo recto, del ángulo obtuso o del ángulo agudo,

es verdad que en el cuadrilátero isósceles birrectángular, debemos tener que 𝐴𝐵 =

𝐶𝐷, 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷, o 𝐴𝐵 < 𝐶𝐵, respectivamente. (Prop. III, libro de Sacheri)

De hecho, en la hipótesis del ángulo recto, por el lema 1 (caso particular de la

proposición 1 del libro de Saccheri) tenemos inmediatamente que 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.

En la hipótesis del ángulo obtuso, la perpendicular 𝑂𝑂’ al punto medio del

segmento 𝐴𝐵 divide el cuadrilátero base en dos cuadriláteros, con ángulos rectos en 𝑂 y

𝑂’. Puesto que el ∢𝐷 > ∢𝐴, entonces tenemos que 𝐴𝑂 > 𝐷𝑂’, por este lema. Entonces

𝐴𝐵 > 𝐶𝐷.


En la hipótesis del ángulo agudo las desigualdades tienen sus sentidos cambiados

y tenemos que 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷.

Usando reducción al absurdo, obtenemos el inverso de este teorema (proposición

IV del libro de Saccheri).

Si la hipótesis del ángulo recto es verdadera en un solo caso, entonces, esta es

verdadera en los otros casos (proposición V del libro de Saccheri) (Bonola, 1912, p.22-

25).

Queriendo probar el primer caso, que es el de la geometría euclidiana, Saccheri

trató de demostrar que los otros dos casos llevan a contradicciones. Logró demostrar que

el caso del ángulo obtuso conduce a una contradicción: si los ángulos C y D fueran

obtusos, la suma de los ángulos del cuadrilátero sería más de 360° que contradice el

Corolario dos del teorema de Saccheri Legendre el cual establece que, “La suma de las

medidas en grados de los ángulos en cualquier cuadrilátero convexo es como máximo

360°” (Greenberg, 1994, p. 127).

Por mucho que lo intentó, no pudo obtener una contradicción del caso del ángulo

agudo, “la hipótesis del ángulo agudo hostil”, como lo llamó. Pudo deducir muchos

resultados extraños, pero no una contradicción. Finalmente, exclamó con frustración: “¡La

hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque es repugnante a la naturaleza

de la línea recta!” Es como si un hombre hubiera descubierto un diamante raro, pero,

incapaz de creer lo que vio, anunció que era un cristal. Aunque no lo reconoció, Saccheri

había descubierto una geometría no euclidiana (Greenberg, 1994, p. 155).

Es difícil decir que influencia ejerció el trabajo de Saccheri sobre los geómetras

del siglo XVIII. Sin embargo, es probable que el matemático suizo Johann Heinrich


Lambert (1728-1777) estuviera familiarizado con él, ya que en su teorie der parallellinien

(1766) él cita una disertación de G. S. Klugel (1739-1812), donde el trabajo del geómetra

italiano es cuidadosamente analizado. Teorie der parallellinien de Lambert fue publicada

después de la muerte del autor. Este trabajo está dividido en tres partes. La primera parte

es de carácter crítico y filosófico. Se trata de la doble cuestión que surge del quinto

postulado: si puede ser probado solamente con ayuda de las proposiciones anteriores, o si

la ayuda de algunas otra hipótesis es requerida. La segunda parte está dedicada a la

discusión de diferentes intentos en el que el postulado euclidiano es reducido a

proposiciones muy simples, que sin embargo a su vez exigen ser probadas. La tercera y

más importante parte contiene una investigación semejante a la de Saccheri de la cual

ahora damos un breve resumen.

La figura fundamental de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos, y

tres hipótesis se hacen a cerca de la naturaleza del cuarto ángulo. La primera es la hipótesis

del ángulo recto, la segunda, la hipótesis del ángulo obtuso; y la tercera, la hipótesis del

ángulo agudo. Además, en su tratamiento de esas hipótesis no se aleja mucho del método

de Saccheri.

Figura 14. Construcción de Lambert.


La primera hipótesis lleva fácilmente al sistema euclidiano. Para descartar la

segunda hipótesis, Lambert se basa en una figura formada dos líneas rectas 𝑎, 𝑏,

perpendiculares a una tercera línea 𝐴𝐵 (Figura 14). Desde los puntos 𝐵, 𝐵1, 𝐵2, . . . 𝐵𝑛 ,

tomados en sucesión sobre la línea 𝑏, las perpendiculares, 𝐵𝐴, 𝐵1𝐴1, 𝐵2𝐴2, … 𝐴𝑛𝐵𝑛, son

trazadas a la línea 𝑎. Él prueba, en primer lugar, que esas perpendiculares continuamente

disminuyen, comenzando desde la perpendicular 𝐵𝐴. Entonces la diferencia entre cada

una de las rectas y la que le sigue continuamente aumenta. Por lo tanto, tenemos que:

𝐵𝐴 − 𝐵𝑛𝐴𝑛 > 𝑛(𝐵𝐴 – 𝐵1𝐴1)

Pero, si 𝑛 se toma suficientemente grande, el segundo miembro de esta

desigualdad se vuelve tan grande como nos plazca, mientras que el primer miembro es

siempre menor que BA. Esta contradicción permite a Lambert afirmar que la segunda

hipótesis es falsa.

Para examinar la tercera hipótesis, Lambert de nuevo se sirve de la figura anterior.

Él prueba que las perpendiculares , 𝐵𝐴, 𝐵1𝐴1, 𝐵2𝐴2, … 𝐴𝑛𝐵𝑛 continuamente crecen, y que

al mismo tiempo la diferencia entre cada una de las rectas y la que le precede

continuamente aumenta. Como este resultado no lleva a contradicciones, igual que

Saccheri se ve obligado a llevar su argumento más lejos. Entonces, encuentra que, en la

tercera hipótesis la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos;

y yendo más lejos que Saccheri, descubre que el defecto de un polígono, que es, la

diferencia entre 2(𝑛 − 2) ángulos rectos y la suma de estos ángulos, es proporcional al

área del polígono. Este resultado puede ser obtenido más fácilmente observando que

ambos, el área y el defecto de un polígono, son la suma de otros varios, son

respectivamente, la suma de las áreas y los defectos de los polígonos de los que está

compuesto.


Adrien Marie Legendre (1752-1833), es tal vez uno de los grandes matemáticos

de la revolución francesa. En 1794 publico sus “Eléments de Geométrie” en el que

enfrento desde la primera edición al problema de la demostración del quinto postulado de

Euclides.

Los geómetras anteriores se dedicaron a señalar las dificultades del quinto

postulado y a dar sus opiniones en relación de este, por el contrario, Legendre intentó

transformarlo en un teorema. Sus investigaciones, dispersas entre las diferentes ediciones

de sus elementos de geometría1, están reunidas en su Refléxions sur di différentes

maniéres de démontrer la théorie des paralléles ou le théoréme sur la somme des trois

angles du triangle, publicado en 1833, año de su muerte.

Igual que Saccheri, Legendre en uno de sus más interesantes intentos, aborda la

cuestión desde la perpectiva de la suma de los ángulos de un triángulo, cuya suma el desea

probar que es igual a dos rectos.

Con esta meta a la vista, en el inicio de su trabajo tiene éxito rechazando la

hipótesis del ángulo obtuso de Sacceri, entonces, el establece que la suma de los ángulos

de cualquier triangulo es, ya sea menor que (hipótesis del ángulo agudo) o igual (hipótesis

del ángulo recto) a dos ángulos rectos.

1 En total se publicaron 13 ediciones entre 1794 y 1823.


A continuación, se presenta la prueba dada por Legendre de que la suma de los

tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.

Sea 𝐴𝐸 paralela a 𝐵𝐶 se traza 𝐴𝐶 como en la Figura 15; Los ángulos 𝐴𝐶𝐵, 𝐸𝐴𝐷,

son iguales por ser ángulos correspondientes, con respecto las paralelas BC, AE, cortadas

por la transversal 𝐴𝐶. Los ángulos 𝐶𝐵𝐴 y 𝐵𝐴𝐸, también son iguales por ser ángulos

alternos internos, con respecto a las paralelas 𝐵𝐶, 𝐴𝐸 y a la línea 𝐴𝐵: así, la suma de los

ángulos del triángulo es igual a la suma de los tres ángulos 𝐶𝐴𝐵, 𝐵𝐴𝐸, 𝐸𝐴𝐷, formados

alrededor del punto 𝐴, en el mismo lado de la línea 𝐴𝐶. Sin embargo, esta última suma es

igual a dos rectos. entonces la suma de los ángulos del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es igual a dos rectos.

(Legendre, 1849)

Figura 15. Construcción de Legendre.

Wolfgang (Farkas) Bolyai (1775-1856), en Alemania, desde niño se destacó por

su talento en las matemáticas, su interés en la teoría de las paralelas se remonta a la época

en que estudiaba en Götinga (1796-1799) y se debe probablemente al consejo de Kästner

y de su amigo, el joven profesor y astrónomo, Seyffer (1762 -1822). En 1804 envió a

Gauss, su theria parallelarum, que contenía un intento de probar la existencia de líneas


rectas equidistantes; Gauss demostró que esta prueba era errónea. Sin embargo, Bolyai no

abandonó por este motivo su estudio del axioma XI (quinto postulado euclidiano), aunque

solo logró sustituirlo por otros, más o menos evidentes, entre ellos, un postulado notable

al que Wolfgang reduce los de Euclides: Cuatro puntos, no coplanares, están siempre

sobre una esfera; o, de manera equivalente: un círculo siempre se puede dibujar a través

de tres puntos, que no están en línea recta. De esta manera llegó a dudar de la posibilidad

de una manifestación y a concebir la imposibilidad de acabar con la hipótesis euclidiana.

Dijo que los resultados derivados de la negación del axioma XI no podían contradecir los

principios de la geometría, ya que la ley de la intersección de dos líneas rectas, en su forma

habitual, representa un nuevo dato independiente de los que lo preceden.

Wolfgang reunió sus escritos sobre los principios de las matemáticas en el trabajo:

Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos (1832-1833); y, en particular, sus

investigaciones sobre el axioma XI, mientras que en cada intento señaló la nueva hipótesis

necesaria para hacer la demostración rigurosa.

Demostró el postulado euclidiano de la siguiente manera:

Sean 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ dos líneas rectas, una de ellas perpendicular a 𝐴𝐵, y la otra inclinada

a ella en un ángulo agudo. Si tomamos un punto 𝑀 en el segmento 𝐴𝐵 entre 𝐴 y 𝐵, y los

puntos 𝑀′, 𝑀′′ simétricos a 𝑀 con respecto a las líneas BB' y 𝐴𝐴′, obtenemos los dos

puntos 𝑀′, 𝑀′′ no en la misma línea recta con 𝑀. Estos tres puntos 𝑀, 𝑀′, 𝑀′' se

encuentran en la circunferencia de un círculo. También las líneas 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′ deben cruzarse

ya que ambas atraviesan el centro de este círculo.


Figura 16. Construcción de Farkas Bolyai.

Pero del hecho de que una línea que es perpendicular a otra línea recta y una línea

que corta en un ángulo agudo se intersecan, se deduce inmediatamente que solo puede

haber una línea paralela.

Por otro lado, es importante mencionar, al matemático alemán Bernhard Friedrich

Thibaut (1776-1832) quien da otra prueba errónea del teorema, de que la suma de los

ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos; Gauss se refiere a esta "prueba" en

cartas con Shumacher, y muestra que involucra una proposición que no solo necesita

prueba, sino que es, en esencia, la proposición misma a ser probada. Thibaut argumentó

lo siguiente:

Sea 𝐴𝐵𝐶 cualquier triángulo cuyos lados sean de 𝐴 a 𝐵, siempre miramos en la

dirección 𝐴𝐵𝑏 (𝐴𝐵 se predice en 𝑏), pero no giramos. Al llegar a 𝐵 giramos desde la

dirección 𝐵𝑏 en una rotación a través del ángulo 𝑏𝐵𝐶, hasta que miramos en la

dirección 𝐵𝐶𝑐. Luego procedemos en la dirección 𝐵𝐶𝑐 hasta 𝐶, donde nuevamente

giramos de 𝐶𝑐 a 𝐶𝐴𝑎 a través del ángulo 𝑐𝐶𝐴; y al llegar a 𝐴, giramos la dirección


𝐴𝑎 a la primera dirección 𝐴𝐵 a través del ángulo externo 𝑎𝐴𝐵. hecho esto, hemos

hecho una revolución completa, como si, parados en algún punto, hubiéramos girado

completamente, y la medida de esta rotación es 2𝜋. Entonces, los ángulos externos

del triángulo suman 2𝜋, y los ángulos internos 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝜋 (Bonola, 1912, p.

63).

1.3 Fundadores de las Geometrías no Euclidianas

Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Veinte siglos de esfuerzo inútil y, en aquella

época, las últimas investigaciones infructuosas sobre el quinto postulado, era el tema de

discusión, que no tuvo éxito en sus principios. La escuela de Gotinga había declarado

oficialmente la necesidad de admitir la hipótesis euclidiana; esta opinión, expresada por

Klügel en su conatuum, fue aceptada y apoyada por su maestro, A. G kästner, entonces

profesor de la universidad de Gotinga.

Gauss, fue el primero en tener una visión clara de una geometría independiente del

quinto postulado, pero solo se reveló después de los trabajos de Lobachévski (1829-1830).

Los documentos que permitieron una reconstrucción aproximada de las líneas de

investigación seguidas por Gauss en su trabajo sobre paralelas, son su correspondencia

con W. Bolyai, Olbers, Schumacher, Gerling, Taurinus y Bessel (1799-1844); dos

artículos cortos en el Göttingische gelehrten Anzeigen (1816, 1822); y algunas notas

encontradas entre sus papeles (1831). Comparando los diversos pasajes en las cartas de

Gauss, podemos fijar el año 1792 como la fecha en que comenzó sus 'meditaciones'.

La siguiente, es parte de una carta a W. Bolyai (17 de diciembre de 1799) donde

prueba que Gauss, como Saccheri y Lambert, han tratado de probar la verdad del

postulado:


En cuanto a mí, ya he progresado en mi trabajo. Sin embargo, estoy seguro de que

has llegado a ese punto. Parece ser más a la verdad de la geometría misma.

Es cierto que he encontrado muchas cosas que, según la mayoría de las personas, se

considerarían una prueba: pero a mis ojos resulta tan bueno como nada. por ejemplo,

si uno pudiera demostrar que es posible un triángulo rectilíneo, cuya área sería más

grande que cualquier área dada, entonces estaría listo para demostrar toda la

geometría de manera absolutamente rigurosa.

La mayoría de la gente ciertamente dejaría esto como un axioma; pero yo, ¡no! de

hecho, sería posible que el área siempre estuviera limitada en cierta medida, pero se

tomaron los tres puntos angulares del triángulo (Bonola, 1912, p. 65).

En 1804, respondiendo a W. Bolyai sobre la teoría de las paralelas, expresa la

esperanza de que los obstáculos por los cuales sus investigaciones se detuvieron,

finalmente dejarían una vía de avance abierta; a partir de esto, Stäckel y Engel, que

recopilaron y verificaron la correspondencia de Gauss sobre este tema, hasta la conclusión

de que el gran geómetra no reconoció la existencia de una geometría no euclidiana,

lógicamente sólida por intuición o por un destello de genio, sino que, por el contrario,

había dedicado muchas horas laboriosas a este tema antes de superar el prejuicio obtenido

en su contra.

Gauss define las paralelas de la siguiente manera:

Si las líneas rectas coplanares 𝐴𝑀, 𝐵𝑁, no se intersectan, mientras que, por otro

lado, cada línea recta a través de 𝐴 entre 𝐴𝑀 y 𝐴𝐵 corta 𝐵𝑁, entonces se dice que 𝐴𝑀 es

paralela a 𝐵𝑁 ( Figura 17).


Figura 17. Construcción de Gauss para demostración del postulado de las

paralelas.

Supone una línea recta que pasa a través de 𝐴, para comenzar desde la posición

𝐴𝐵, y luego rota continuamente hacia el lado del cual está trazada 𝐵𝑁, hasta llegar a la

posición 𝐴𝐶, desde 𝐵𝐴. Esta línea comienza por cortar 𝐵𝑁 y al final no la corta. Por lo

tanto, puede ser una y solo una posición, separando las líneas que intersectan 𝐵𝑁 delos

que no la intersectan.

Esta debe ser la primera de las líneas, que no corta 𝐵𝑁, y por lo tanto, la definen,

paralela a 𝐴𝑀; por lo cual, obviamente, a partir de allí, no puede haber una última línea

del conjunto de líneas que intersectan 𝐵𝑁.

Así podemos ver, que esta definición es diferente a la de Euclides. El postulado

Euclidiano es rechazado, puede haber diferentes líneas que pasen por 𝐴, al lado hacia

donde 𝐵𝑁 es trazado, las cuales no cortan 𝐵𝑁. Todas estas líneas serian paralelas a 𝐵𝑁,

según la definición Euclidiana. Según la definición de Gauss solo la primera es paralela a

𝐵𝑁.


Continuando con su argumento, ahora Gauss señala que en su definición los

puntos de partida de las líneas son 𝐴𝑀 y 𝐵𝑁, aunque se supone, que las líneas están

indefinidamente en las direcciones de 𝐴𝑀 y 𝐵𝑁. Consideremos las siguientes tres

demostraciones.

1. Se procede a demostrar que el paralelismo de la línea 𝐴𝑀 a la línea 𝐵𝑁 es

independiente de los puntos 𝐴 y 𝐵, dando la impresión que las líneas deben de ser

indefinidamente producidas manteniendo la misma forma.

Es obvio que obtendrá la misma paralela 𝐴𝑀 si mantenemos fija 𝐴, y en vez de

tomar 𝐵 tomamos otro punto 𝐵’ de la línea 𝐵𝑁, o en esa línea producida inversa.

Aún queda por comprobar que si 𝐴𝑀 es paralela a 𝐵𝑁 para el punto A, es también

paralela a 𝐵𝑁 para cualquier punto hacia 𝐴𝑀, o sobre 𝐴𝑀 producido inverso. En lugar de

𝐴 (Figura 18) tome otro punto de partida 𝐴′ sobre AM. Desde A’, entre 𝐴′𝐵 y 𝐴′𝑀, traza

la línea 𝐴′𝑃 en cualquier dirección.

Figura 18. Continuación de la construcción de Gauss a la derecha de A.


A través de 𝑄, cualquier punto en 𝐴′𝑃. entre 𝐴 ′ y 𝑃, dibuja la línea 𝐴𝑄. Luego, a

partir de la definición, 𝐴𝑄 debe cortar 𝐵𝑁, por lo que está claro que 𝑄𝑃 también debe

cortar 𝐵𝑁. Por lo tanto, 𝐴𝐴′𝑀 es la primera línea que no corta 𝐵𝑁, y 𝐴′𝑀 es paralela a

𝐵𝑁. Una vez más, tome el punto 𝐴 ′ sobre 𝐴𝑀 avanzado hacia atrás (Figura 19).

Figura 19. Continuación de la construcción de Gauss a la izquierda de A

Dibuje a través de 𝐴′, entre 𝐴′𝐵 y 𝐴′𝑀, la línea 𝐴′𝑃 en cualquier dirección. Trace

𝐴′𝑃 hacia atrás y luego tome cualquier punto 𝑄. Luego, por definición, 𝑄𝐴 debe cortar

𝐵𝑁, por ejemplo, en 𝑅. por lo tanto, la línea 𝐴′𝑃 queda dentro de la figura cerrada, 𝐴’𝐴𝑅𝐵,

y debe cortar uno de los cuatro lados de 𝐴’𝐴, 𝐴𝑅, 𝑅𝐵 y 𝐵𝐴′. Obviamente, debe ser el tercer

lado 𝑅𝐵 y, por lo tanto, 𝐴′𝑀 es paralela a 𝐵𝑁.

2. Así se puede establecer la reciprocidad del paralelismo.

En otras palabras, si 𝐴𝑀 es paralela a 𝐵𝑁, entonces 𝐵𝑁 es también paralela a 𝐴𝑀.

Gauss demuestra este resultado de la siguiente manera:

Desde cualquier punto 𝐵 sobre 𝐵𝑁 traza 𝐵𝐴 perpendicular a 𝐴𝑀. A través de 𝐵

dibuje cualquier línea 𝐵𝑁′ entre 𝐵𝐴 y 𝐵𝑁. En 𝐵, al mismo lado de 𝐴𝐵 como 𝐵𝑁, hacer:


∢𝐴𝐵𝐶 =1

2∢𝑁′𝐵𝑁.

Hay dos casos posibles:

Caso (i), cuando 𝐵𝐶 corta a 𝐴𝑀 (Figura 20).

Caso (ii), cuando 𝐵𝐶 no corta 𝐴𝑀 (Figura 21).

Figura 20. Construcción de Gauss para la reciprocidad en el paralelismo (caso i).

Caso (i) deja que 𝐵𝐶 corte 𝐴𝑀 en 𝐷. tome 𝐴𝐸 = 𝐴𝐷 y junte 𝐵𝐸. Hacer ∢𝐵𝐷𝐹 = ∢𝐵𝐸𝐷.

como 𝐴𝑀 es paralela a 𝐵𝑁, 𝐷𝐹 debe cortar 𝐵𝑀, por ejemplo, en 𝐺. Desde 𝐸𝑀, el

corte 𝐸𝐻 es igual a 𝐷𝐺. Luego, en los triángulos 𝐵𝐸𝐻 y 𝐵𝐷𝐺, se deduce que ∢ 𝐸𝐵𝐻 =

∢𝐷𝐵𝐺.

por lo tanto, ∢𝐸𝐵𝐷 = ∢𝐻𝐵𝐺. Pero ∢𝐸𝐵𝐷 = ∢𝑁′𝐵𝑁.

por lo tanto, 𝐵𝑁′ y 𝐵𝐻 coinciden, y 𝐵𝑁′debe cortar 𝐴𝑀. Pero 𝐵𝑁′ es cualquier línea

a través de 𝐵, entre 𝐵𝐴 y 𝐵𝑁. Por lo tanto, 𝐵𝑁 es paralela a 𝐴𝑀.


Figura 21. Construcción de Gauss para la reciprocidad en el paralelismo (caso ii).

Caso (ii). en este caso, deja que 𝐷 sea cualquier punto arbitrario sobre 𝐴𝑀, entonces

con el mismo argumento que el anterior,

∢𝐸𝐵𝐷 = ∢𝐺𝐵𝐻.

Pero ∢𝐴𝐵𝐷 < ∢𝐴𝐵𝐶.

pero ∢𝐸𝐵𝐷 < ∢𝑁 ′𝐵𝑁.

por lo tanto, ∢𝐺𝐵𝐻 < ∢𝑁′𝐵𝑁.

Por lo tanto, 𝐵𝑁′ debe cortar 𝐴𝑀.

Pero 𝐵𝑁′ es cualquier línea a través de 𝐵 entre 𝐵𝐴 y 𝐵𝑁.

Por lo cual BN es paralela a 𝐴𝑀.

Por lo tanto, en ambos casos hemos demostrado que si 𝐴𝑀 es paralela a 𝐵𝑁,

entonces 𝐵𝑁 es paralela a 𝐴𝑀.


Por último, se considera el siguiente teorema demostrado por Gauss:

3. Si la línea (1) es paralela a la línea (2) y hacia la línea (3), entonces (2) y (3) son

paralelas entre sí.

Caso (i). deja que la línea (1) quede entre (2) y (3) (Figura 22).

Deja que 𝐴 y 𝐵 sean dos puntos en (2) y (3), y deje que 𝐴𝐵 corte (1) en 𝐶.

Figura 22. Caso i, construcción, tercera demostración de Gauss.

Figura 23. Caso ii, construcción, tercera demostración de Gauss.


A través de 𝐴 deja una línea arbitraria 𝐴𝐷 trazada entre 𝐴𝐵 y (2). entonces debe

cortar (1), y al producirse también debe cortar (3) ya que esto se cumple para cada línea

como 𝐴𝐷, (2) es paralela a (3).

Caso (ii). deja que la línea (1) quede por fuera de ambos (2) y (3), y deja que (2)

quede encuentre entre (1) y (3) (Figura 23)

Si (2) no es paralela a (3), a partir de cualquier punto elegido al azar sobre (3), una

línea diferente (3) debe ser trazada paralela a (2).

En este caso (i), también es paralela a (1), lo cual es absurdo.

En resumen de las demostraciones de Gauss, sobre paralelas, se cierra con el

teorema de que, si dos líneas 𝐴𝑀 y 𝐵𝑁 son paralelas, estas líneas producidas inversas no

pueden encontrarse.

De todo esto, es evidente que el paralelismo de Gauss significa paralelismo en un

sentido dado. de hecho, su definición de paralelas trata con una línea trazada desde A en

un lado definido al lado de la transversal 𝐴𝐵: por ejemplo, la línea trazada a la derecha,

de modo que se puede decir que 𝐴𝑀 es la paralela de 𝐵𝑁 hacia la derecha.

la paralela de A hasta BN hacia la izquierda no es necesariamente AM. si fuese, se

obtendría la hipótesis euclidiana.

Si bien en un principio, Gauss intentó demostrar el quinto postulado, su pensamiento

rápidamente dio un giro para empezar a considerar la imposibilidad de una demostración

en el marco del sistema axiomático. Pues, este consideraba que la demostración del quinto

postulado implicaba, que un sistema lógicamente coherente garantizaba la naturaleza

euclidiana del espacio físico. Sin embargo, para Gauss, esto no era posible, en un marco


estrictamente euclidiano pues, dada la naturaleza de los objetos geométricos, en la

epistemología aristotélica, había un control del objeto físico sobre el objeto matemático,

no al revés. Al contrario, Gauss hizo explícito un cambio de reglas separando el problema

de la consistencia del sistema axiomático del problema de la naturaleza del espacio físico.

Gauss, a diferencia de Kant, pensaba que la decisión sobre la naturaleza del espacio

físico no podía ser un a priori. Sobre este punto, de la suma de los ángulos de un triángulo,

escribió a su amigo Taurinus en 1824, lo siguiente:

La hipótesis: “la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados” da

lugar a una geometría curiosa, muy diferente a la nuestra (la euclidiana) que he

desarrollado a mi entera satisfacción, tanto que puedo, en ella, resolver cualquier

problema excepto la determinación de una constante que no puede ser determinada a

priori... los teoremas de esta geometría parecen paradójicos y hasta absurdos... pero

calma, una reflexión sostenida revela que no contienen nada imposible. Por ejemplo,

los tres ángulos de un triángulo se hacen arbitrariamente pequeños si tomamos los

lados suficientemente grandes, a pesar de lo cual el área permanece siempre acotada...

No encuentro contradicciones en esta geometría no-euclidiana a pesar de todos mis

esfuerzos... varias veces he expresado mi deseo de que la geometría euclidiana no

fuera verdadera porque entonces tendríamos una unidad absoluta de longitud...

(Moreno, 1998, p.104-105).

Uno de los resultados aparentemente absurdos hace referencia a la fórmula mediante

la cual se haya el área de un triángulo. Suponer que por un punto externo a una recta pasa

más de una paralela implica que, dado un triángulo cuyos ángulos miden (en grados) a, b,

y c, su área es:

á𝑟𝑒𝑎 = 𝑘(180— (𝑎 + 𝑏 + 𝑐))

donde 𝑘 es una constante positiva que no es posible determinar a priori. Es evidente

que, a diferencia de lo que ocurre con la geometría euclidiana, el área de los triángulos


depende de la longitud de los lados así: a medida que aumenta la longitud de los lados,

disminuyen los ángulos, y por ende aumenta el área, pero permanece siempre acotada.

Ahora bien, ¿cuál es la geometría “verdadera”? de cara al resultado: á𝑟𝑒𝑎 =

𝑘(180– (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)), que se origina en el dominio matemático y, a los esfuerzos de Gauss

por darle un sustento experimental. Parece pues, que este es un aporte central de su gran

genio sobre la fundamentación de la geometría. Su búsqueda estuvo orientada a la

consecución de un modelo geométrico que sirviera para organizar la experiencia

geométrica, que Gauss no veía desvinculada de las capacidades cognoscitivas del ser

humano (Moreno, 1998).

Las investigaciones del profesor de jurisprudencia Ferdinand Karl Schweikart

(1780-1859), son del mismo periodo que los de Gauss, pero son independientes de ellos.

En 1807 el público Die Theorie der Parallellinien nebst dem vorschlage ihrer Verbannung

aus der Geometrie. Contrario a lo que se podría esperar de este título, este trabajo no

contiene un tratamiento de paralelas independientes del quinto postulado, pero únicamente

basado en la idea del paralelogramo.

En una fecha posterior, Scheweikart, descubrió un nuevo orden de ideas, desarrollo

una geometría independiente de la hipótesis de Euclides. Cuando en Marburg en

diciembre de 1818, el entrego el siguiente memorando a su colega Gerling, pidiéndole que

se lo comunique a Gauss y obtenga su opinión sobre esto:

Hay dos tipos de geometría -una geometría en el sentido estricto- la euclidiana;

y una geometría astral.

Los triángulos en esta última tienen la propiedad de que la suma de sus tres

ángulos no es igual a dos ángulos rectos

Asumiendo esto, se puede probar rigurosamente que:


a) La suma de los tres ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos;

b) La suma es cada vez menor, cuanto mayor sea el área del triángulo;

c) La altura de un triángulo rectángulo isósceles continuamente crece, a

medida que aumentan los lados, pero nunca puede ser mayor que una cierta longitud,

la cual la llamó, la constante.

Los cuadrados tienen, por lo tanto, la siguiente forma:

Figura 24. Forma de los cuadrados para Scheweikart.

Si esta constante, se supone que es el radio de la tierra, (tal que toda línea trazada en

el universo desde una estrella fija a otra, distante 90 grados de la otra, podría ser una

tangente a la superficie de la tierra), esta podría ser infinitamente grande en

comparación con los espacios que se presentan en la vida diaria. La geometría

euclidiana se sostiene solo en el supuesto de que la constante sea infinita. Solo en

este caso es cierto que los tres ángulos de todo triángulo es igual a dos ángulos rectos:

y esto puede fácilmente ser probado, tan pronto como se admita que la constante es

infinita” (Bonola 1912, p. 76).

La geometría astral de Scheweikart y la geometría no euclidiana de Gauss

corresponden exactamente a los sistemas de Saccheri y Lambert para la hipótesis del

ángulo agudo. En efecto los contenidos del memorando mencionado antes pueden ser

obtenido directamente de los teoremas de Saccheri, escritos en el Klugels Conatuum, y de

los teoremas de Lambert sobre el área de un triángulo. Además, desde Scheweikart en su

theorie de 1807 menciona los trabajos de los dos últimos autores, la directa influencia de


Lambert, y al menos, la influencia indirecta de Saccheri sobre sus investigaciones está

establecida.

En marzo de 1819, Gauss respondió a Gerlin en relación con la geometría astral. El

felicita a Scheweikart, y declara su acuerdo con todo lo que el documento enviado

contiene. El añade que ha extendido tanto la geometría astral que podría resolver

completamente todos estos problemas, si solamente la constante de Scheweikart fuera

dada. En conclusión, el da el límite superior para el área de un triángulo en la forma:

𝜋𝐶𝐶

[log ℎ𝑦𝑝(1 + √2)]2

Scheweikart, no publicó sus investigaciones.

Nicolai Ivanovitsch Lobachévski (1793-1856), gran matemático ruso del siglo XIX,

estudió en el gimnasio de Kazán desde 1802 hasta 1807, y en la Universidad de Kazán,

desde 1807 basta 1811.

La primera de las geometrías no euclidianas es la geometría hiperbólica, que es la

geometría resultante de sustituir el quinto postulado de Euclides por el siguiente: Por un

punto P exterior a una recta dada pasa más de una recta paralela a la dada. (Gómez,

2011, p. 53)

Con este enunciado Lobachévski y Bolyai resolvieron el enigma de las paralelas,

por lo que considera los matemáticos de referencia en la formalización de ésta, la primera

geometría no euclidiana. Ambos comparten la autoría de la geometría hiperbólica, pero ni

uno ni el otro se conocían ni sabían de los trabajos que estaban desarrollando en paralelo.


Muchas dificultades se conjugaban para impedirlo: Lobachévski escribió

exclusivamente en ruso y sus trabajos no tuvieron proyección hasta años después de su

muerte. Pese a todo, es su nombre el que se asocia popularmente a la geometría

hiperbólica, por encima de Bolyai, su colega de Hungría.

Disponiendo de brillantes aptitudes matemáticas, Lobachévski cursó exitosamente

los estudios y, una vez acabados éstos en la Universidad, fue retenido en ella para

prepararse a ser catedrático, título que le fue concedido en el año 1816.

La actividad pedagógica de Lobachévski dejó una viva impresión en la memoria de

sus discípulos. Sus conferencias se caracterizaban por la claridad y plenitud de exposición.

Los conocimientos de Lobachévski en las diversas ramas de la ciencia eran vastos y

multifacéticos, hecho que le permitía asumir sobre sí, ciclos de conferencias no sólo de

asignaturas de la serie matemática, sino también de mecánica, física, astronomía,

geodesia, topografía (Smogorzhevski, 1978).

Lobachévski, en aquella época hace referencia, que encuentra ciertamente

imperfección en la geometría, por lo cual sostiene que es la razón de esta ciencia, que

aparte de la transición al análisis, todavía no puede avanzar desde ese estado en el que ha

llegado a ser euclídea.

Como parte de esas imperfecciones, consideró la obscuridad en los conceptos

fundamentales de las magnitudes geométricas y en la forma y método de la representación

la medida de esas magnitudes, y finalmente la brecha trascendental en la teoría de las

paralelas, para completar lo que todos los esfuerzos de los matemáticos han realizado en

vano hasta ese momento.


Para esta teoría los esfuerzos de Legendre no han servido de nada, desde que se vio

obligado a dejar la única manera de convertirse en otra opción y refugiarse en teoremas

auxiliares que ilógicamente se esforzó por exhibir como axiomas necesarios.

Su primer ensayo sobre los fundamentos de la geometría lo publicó en el Kasan

Messenger en el año de 1829. Con la esperanza de haber satisfecho todos los requisitos,

emprendió allí un tratamiento de toda esta ciencia, y publicó su trabajo en partes separadas

en la “Gelehrten Schriften der Universitoet Kasan” en los años 1836, 1837, 1838 bajo el

título “nuevos elementos de Geometría, con una teoría completa de las paralelas”. La

extensión de este trabajo quizás impidió que sus compatriotas (así él lo menciona)

siguieran tal tema, que desde Legendre había perdido interés. Y justifica que la teoría de

las paralelas no debería dejar de reclamar la atención de los geómetras, y por lo tanto

pretende dar en sus escritos lo más relevante de su investigación, señalando de antemano

que contrario a la opinión de Legendre, todas las otras imperfecciones – por ejemplo, la

definición de línea recta– se muestran en sí mismas extrañas en su escrito y sin ninguna

influencia real en la teoría de las paralelas. En su obra, presenta algunos de los teoremas

cuyas pruebas no presentan dificultades y los cuales es necesario su conocimiento

(Lobachévski, 1914).

1. Una línea recta se contiene así misma en cualquier posición, con esto quiero decir

que durante la rotación de la superficie que la contiene, la línea recta no cambia su lugar

si pasa a través de dos puntos inmóviles. (i.e., si giramos la superficie que contiene la recta

sobre los dos puntos de la línea, la línea no se mueve.

2. Dos líneas rectas no se pueden intersectar en dos puntos.

3. Una línea recta suficientemente extendida en ambos sentidos debe ir más allá de

todo límite y de esta manera cortar el plano en dos partes.


4. Dos líneas perpendiculares a una tercera nunca se intersectan, sin importar cuanto

se extiendan.

5. una línea recta siempre corta a otra al pasar de un lado a otro de dicha: (i.e. una

línea recta debe cortar otra si esta tiene puntos a ambos lados de dicha recta).

6. Ángulos verticales2, donde los lados de uno son la extensión de los lados del otro,

son iguales.

7. Dos líneas rectas no pueden intersectarse, si una tercera recta las cortas con el

mismo ángulo.

8. En un triángulo rectilíneo3, los lados iguales son opuestos a ángulos iguales, y

viceversa.

9. En un triángulo rectilíneo en lado más grande se opone al ángulo más grande. En

un triángulo rectángulo la hipotenusa es más grande que los otros dos lados, y los dos

ángulos adyacentes a estos son ángulos agudos.

10. triángulos rectilíneos son congruentes si ellos tienen un lado y dos ángulos

iguales, o dos lados y el ángulo formado por ellos igual, o dos lados y el ángulo opuesto

al mayor de estos igual, o tres lados iguales.

2 Ángulos opuestos por el vértice.

3 Triángulos formados por segmentos de recta.


11. Una línea recta que se encuentra en ángulo recto con otras dos líneas rectas, que

no está en el plano formado por estas, es perpendicular a todas las líneas rectas trazadas a

través del punto de intersección común en el plano que forman las dos primeras rectas.

12. La intersección de una esfera con un plano es un circulo.

13. Una línea recta en ángulo recto con la intersección de dos planos

perpendiculares, entando ella en uno de estos, es perpendicular al otro plano.

14. En un triángulo esférico los lados iguales se oponen a ángulos iguales y

viceversa.

15. Triángulos esféricos son congruentes (o simétricos) si tienen dos lados y el

ángulo formado por ellos igual, un lado y los ángulos adyacentes iguales (Lobachévski,

1914, p. 11-12).

Para el Hungaro Janos Bolyai (1802-1860) las matemáticas eran sólo una afición,

ya que era oficial de caballería de profesión. Pero no cabe duda de que sus aptitudes

intelectuales debían de hacer su actividad profesional muy aburrida: además de cultivar

las matemáticas, János fue un experto violinista que actuó en Viena, también destacaba

como lingüista y hablaba nueve idiomas, entre ellos el chino y el tibetano.

La excelencia le venía de familia: su padre fue el matemático Farkas Bolyai, que le

enseño cálculo infinitesimal y mecánica analítica cuando sólo contaba con trece años.

Aunque en vida János Bolyai no publicó más que un trabajo de matemáticas,

después de su muerte se encontraron más de 20.000 páginas de manuscritos que en la

actualidad se conservan en la biblioteca Bolyai-Teleki, en la ciudad de Târgu-Mures.


János estudió el problema de las paralelas hasta llegar a la obsesión. Publicó sus

resultados en el anexo de un libro de su padre Intento de introducir a la juventud estudiosa

en los elementos de matemáticas puras (Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa

Matheseos Purae Introducenti), por lo que ha sido conocido como el Apéndice. De manera

parecida a Lobachévski, Bolyai no necesitó más que 24 paginas para presentar sus ideas

sobre geometría. Tras leerlas, Gauss se dirigió por carta a Farkas Bolyai, con las siguientes

palabras: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden.

Una breve descripción de los resultados más importantes contenidos en el trabajo

de Johann Bolyai son:

a) La definición de paralelos y sus propiedades independientes del postulado

euclidiano.

b) el círculo y el espectro de radio infinito. La geometría en la esfera de radio infinito

es idéntica a la geometría del plano ordinario.

c) La trigonometría esférica es independiente del postulado euclidiano.

Demostración directa de las formulas.

d) Trigonometría plana en geometría no euclidiana. Aplicaciones al cálculo de áreas

y volúmenes.

e) Problemas que pueden resolverse por métodos elementales. cuadratura del

círculo, en la hipótesis de que el quinto postulado es falso.

Mientras que Lobachévski le ha dado a la geometría imaginaria un desarrollo más

completo, especialmente en su lado analítico, Bolyai ha entrado más completamente en la


cuestión de la dependencia o independencia de los teoremas de la geometría sobre el

postulado de Euclides (Bonola, 1812).

1.4 La geometría de Riemann

Si bien, en la mayoría de la literatura existente, Georg Friedrich Bernhard Riemann

(1826 – 1886), matemático alemán del siglo XIX, no es mencionado entre los fundadores

iniciales de las GNE, anteriormente nombrados, su trabajo —posterior a los de

Lobachévski y Bolyai— es uno de los pilares fundamentales en el desarrollo de dichas

geometrías, pues, como es bien sabido, sus desarrollos sobre geometría elíptica, es de

lejos, mucho más general que los de Lobachévski y Bolyai, sin olvidar que además, sus

ideas referentes a la geometría del espacio tuvo profundos efectos en el desarrollo de la

física moderna en lo que tiene que ver con la teoría relativista de la gravitación; Tal es su

contribución en este sentido, que al respecto escribía Einstein en 1922:

Los conocimientos matemáticos que posibilitaron el establecimiento de la teoría de

la relatividad general, hemos de agradecérselos a las investigaciones geométricas de

Gauss y Riemann. El primero investigó en su teoría de superficies las propiedades

métricas de una superficie inmersa en un espacio euclideo tridimensional, y mostró

que éstas pueden ser descritas mediante conceptos que sólo guardan relación con la

propia superficie, y no con la inmersión [en el espacio] … Riemann extendió la línea

de pensamiento gaussiana a continuos de cualquier número de dimensiones, y previó

el significado físico de esta generalización de la geometría de Euclides con visión

profética. …las leyes naturales sólo adoptan su forma lógica más satisfactoria cuando

son expresadas como leyes del continuo cuatridimensional espacio-temporal

(Ferreirós, 2000, p.52).

Sin lugar a duda, la más celebré contribución del siglo XIX, son las GNE, puesto

que, esta innovación fue relevante para la comprensión de la naturaleza de la matemática;

el trabajo de Riemann se inscribe en este terreno, aunque hay que mencionar, que sus

desarrollos fueron incomparablemente más profundos que los de Lobachévski y Bolyai;

Estos dos celebres pensadores, fueron capaces de establecer ecuaciones para la geometría


no euclidea tridimensional, lo que les llevó a pensar, que no había en ello contradicción

alguna; sin embargo, figuraba, en dichas fórmulas una constante 𝐾 de la que dependía el

comportamiento de las figuras geométricas; 𝐾 podía variar continuamente, y así, la

geometría euclidea surgía como un caso degenerado de la geometría de Lobachévski –

Bolyai (𝐾 = 0). No obstante, con el trabajo de Riemann se alcanzó un punto de vista, de

lejos, muy superior en relación con el problema del espacio; Así pues, las geometrías de

Lobachévski–Bolyai vienen a ser, casos muy especiales y particulares de la geometría

Riemanniana.

Es necesario recordar, que hasta antes de Riemann, predominaba la idea de que,

existía plena identidad entre el espacio real y el espacio euclideo y, por lo tanto, la

geometría de Euclides, era la única posibilidad conceptual para describir dicho espacio;

en ese sentido, Riemann afirma en su famosa lección sobre las hipótesis en que se funda

la geometría, que para indagar en profundidad, sobre la interrelación entre los principios

básicos de la geometría, debe desarrollarse un concepto más general que abarque la idea

de espacio, es decir, que si se quiere una mejor comprensión de las presuposiciones detrás

de la idea habitual de espacio euclideo, es necesario vislumbrar dicha idea, desde un punto

de vista mucho más abstracto. El concepto de partida de Riemann, es de carácter

esencialmente topológico, el cual llamó, variedad n-dimensional; el espacio euclideo

resulta entonces ser, una variedad tridimensional con una métrica muy particular.

Los principios sobre los cuales se erige el trabajo de Riemann, conocidos para la

posteridad, como hipótesis de Riemann, vienen a ser una serie de enunciados cada vez

más restrictivos, a partir de los cuales se puede ir desde las nociones geométricas más

generales hasta la concreción del espacio euclideo; a continuación, se presentan las

principales hipótesis de Riemann para el caso de tres dimensiones:


1. El espacio es una variedad continua de 3 dimensiones y, concretamente, una

variedad diferenciable.

2. Las líneas dentro de esa variedad tridimensional son medibles y comparables, es

decir, cada segmento posee una longitud que no depende de la posición (no se ve afectada

por un movimiento en la variedad).

3. La longitud de un elemento o ‘porción infinitesimal’ de línea puede expresarse

por medio de una forma diferencial cuadrática definida positiva; esto determina la métrica

en la variedad y permite definir un concepto de medida de curvatura que generaliza la

noción de Gauss.

4. Los sólidos pueden moverse libremente en el espacio sin sufrir deformaciones

métricas, o como dice Riemann “estiramientos”; esto determina que la variedad tenga

curvatura constante (que es igual a 0 en el caso euclideo).

La primera de estas cuatro hipótesis, esta direccionado, al campo de la topología, es

decir, esta relacionada con el concepto de variedad continua n-dimensional; entre tanto,

la segunda y tercera hipótesis, introducen las consideraciones métricas de la geometría

diferencial (expresión para el elemento de línea 𝑑𝑠 y definición de curvatura).

De esta manera Riemann logra establecer un campo de partida enormemente

general, desde el cual, observar el caso particular del espacio euclideo, el cual, tiene la

característica de poseer una curvatura igual en todos los puntos y en todas las direcciones

de superficie; de hecho, la curvatura siempre es igual a cero. La cuarta hipótesis lleva al

concepto de variedades de curvatura constante, estableciendo una cierta homogeneidad

del espacio, que es la forma más simple de concebir los fenómenos de la realidad

circundante y que viene a ser la interpretación geométrica que había dominado hasta


entonces; sin embargo, ahora Riemann se encuentra en posición de afirmar que tal

supuesto no conduce directamente al espacio euclideo, sino sólo a variedades de curvatura

constante 𝐾 = 𝛼, en el que 𝛼 es un número que puede ser cero, positivo o negativo.

Riemann define para estas variedades la forma cuadrática fundamental que expresa el

elemento de línea 𝑑𝑠, que en el caso particular tridimensional, se expresa como:

𝑑𝑠 =1

1 +𝛼4 (𝑥1

2 + 𝑥22 + 𝑥3

2)√(𝑑𝑥1

2 + 𝑑𝑥22 + 𝑑𝑥3

2)

Para el caso del espacio euclideo se tiene que 𝛼 = 0 y la expresión para 𝑑𝑠 queda

reducida efectivamente a la forma pitagórica esperada. Para el caso en el que α es negativo,

lo que viene a obtenerse, es nada más y nada menos que las geometrías de Lobachévski–

Bolyai, es decir que, como ya se dijo anteriormente, estas quedan reducidas a un caso

particular dentro del marco riemanniano. En el caso de 𝛼 positivo lleva a las que a veces

se denominan —de forma equívoca— geometrías no euclideas de Riemann; sin embargo,

esta denominación no es precisamente la más adecuada, en realidad es más correcto

llamarlas geometrías elípticas, reservando la denominación de “riemannianas” para el

caso más general, que abarca además, los espacios de curvatura variable (Ferreirós, 2000).

Es bastante notable, que la relación entre el concepto de espacio físico real y

geometría, subyace de manera preponderante en el pensamiento geométrico de Riemann.

Ahora bien, ¿cómo puede saberse si el espacio físico es euclideo?, Riemann lo hace

explícito en el apartado III.1 de su lección sobre las hipótesis en que se funda la

geometría:

En primer lugar, se las puede expresar de suerte que la curvatura en cada punto sea

igual a cero en tres direcciones de superficie. Por lo tanto, las relaciones métricas del

espacio están determinadas si la suma de los ángulos de un triángulo es en todas

partes igual a dos rectos.


En segundo lugar, si se presupone con Euclides que no sólo las líneas sino también

los cuerpos tienen una existencia independiente de su colocación, resulta que la

curvatura es constante en todas partes. Entonces la suma de los ángulos está

determinada en todos los triángulos si está determinada en uno de ellos (Torretti,

1978 p. 162)

Además, en el apartado III.3, dice:

Si se presupone que los cuerpos existen independientemente de su posición, la

curvatura es constante en todas partes y se infiere entonces de las mediciones

astronómicas que no puede ser distinta de cero: en todo caso, su valor recíproco

tendría que ser igual a un área comparada con la cual la región accesible a nuestros

telescopios sería desdeñable (Torretti, 1978 p. 163).

Es necesario decir, que en general, el paso enorme de abstracción que dio Riemann,

en cuanto, a la fundamentación de la geometría, ha encontrado desde entonces aplicación

en los más diversos campos de estudio, sin importar, cuan alejados parezcan estos de la

idea tradicional del espacio, pues su trabajo no solamente hace parte de los fundamentos

formales de la teoría de la relatividad de Einstein, sino que además, tiene aplicaciones tan

disimiles, como la propagación del calor en un cuerpo rígido homogéneo, con

preservación de un sistema dado de isotermas y la teoría cuántica de la gravedad en la que

se emplean conceptos muy moderno de geometría y topología.

1.5 Controversia histórica en relación con la aceptación de las geometrías no

euclidianas en Europa y Colombia

Sin lugar a dudas, uno de los grandes hitos en el desarrollo de las matemáticas, tiene

que ver con el surgimiento de las GNE, no solamente, por su influencia en el desarrollo

de estas, sino porque además, fueron responsables de una revolución que estremeció hasta


las bases mismas sobre las cuales se erigieron las matemáticas durante dos milenios, es

decir, se puso en entredicho el concepto de axioma —Los axiomas son así como los pilares

del edificio matemático o al menos de cada teoría— entendido este, como una “verdad

evidente” que no necesita demostración, a partir del cual se derivan por deducción los

teoremas particulares, esto conllevará al debilitamiento de la visión intuicionista de las

matemáticas y a la crisis de fundamentos (Senior Martinez, 2013).

Como toda novedad en el campo científico, el proceso de recepción de las nuevas

geometrías que vivió la Europa del siglo XIX, fue duro y lento. Hasta muy avanzado este

procedimiento de incorporación se encuentran comentarios que rechazaban cualquier

cambio que pusiera en peligro el estatus de la geometría euclidiana (Arboleda y Anacona,

1994), muestra de este rechazo lo constituye la posición radical de algunas mentes

prominentes de la época, como la del notable matemático y astrónomo Nicolaus Fuss4

quien se opuso de forma vehemente a las ideas de Lobachévski planteadas en su trabajo

de 1823, cuando este se desempeñaba como decano de la facultad de ciencias físico-

matemáticas de la universidad de Kazán; al respecto Fuss manifiesta:

La presente composición no es una geometría, o sea una composición completa y

sistemática de esta disciplina; y si el autor cree que puede servir de texto, con ello

4 Nicolaus Fuss (1755-1826) fue un notable matemático y astrónomo que vivió desde la edad de 17

años en Rusia. Fue alumno y amigo personal de Euler, además de editor de sus obras completas. La mayoría

de sus trabajos contienen soluciones a problemas propuestos por Euler. En geometría resolvió importantes

problemas concernientes a triángulos y elipses esféricas. En geometría diferencial trabajó particularmente

en la determinación de las propiedades de ciertas curvas, las cuales se definen por específicas relaciones

entre el radio de curvatura, el radio vector y la longitud del arco.


sólo demuestra que no posee una idea exacta acerca de las exigencias de un libro

como tal, es decir, acerca de la completez de las verdades geométricas que

constituyen todo el sistema de un curso inicial sobre la ciencia, del método

matemático, de la necesidad de las definiciones claras y precisas de todos los

conceptos del orden lógico y metódico en la distribución de la materia, de la

conveniencia de la progresión escalonada de las aseveraciones geométricas, de lo

inomitible y en lo posible puramente geométrica rigurosidad de las demostraciones,

y así sucesivamente. De todas estas imprescindibles cualidades no hay ni rastros en

la geometría que he examinado (Arboleda y Anacona, 1994, p. 5).

Al ser este trabajo evaluado de forma negativa por Fuss, su publicación no fue posible,

sino hasta 1829-1830 cuando ya se desempeñaba como rector. Considerar la evaluación

de Fuss, sobre el trabajo de Lobachévsky es muy relevante, no solo por su estatura

académica e intelectual, sino porque, además, refleja el punto de vista imperante en los

más altos círculos matemáticos de su época sobre la naturaleza de la geometría.

Otro de los grandes críticos del trabajo de Lobachévski; Ostrogradsky5, quien después

de revisar dicho trabajo en la academia de ciencias de San Petersburgo presento un

informe donde concluye finalmente que:

5 Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1801-1862). En el campo de las matemáticas, hizo aportes

significativos al desarrollo del método de separación de variables, exitosamente aplicado por Fourier en el

trabajo sobre la conducción del calor. Fue el primero en formular un esquema general del método para

resolver problemas con valores de frontera, desarrolló investigaciones novedosas en ecuaciones

diferenciales, en funciones algebraicas y particularmente en mecánica, en donde generalizó algunos métodos

y principios básicos. Realizó originales contribuciones en matemática-física y cálculo integral.


Todo lo que yo entendí de la geometría del señor Lobachévski es menos que

mediocre. (...) El libro del señor rector está viciado de error; ha sido escrito

negligentemente y, por consiguiente, no merece la atención de la Academia

(Arboleda y Anacona, 1994, p. 6).

La postura hostil de Ostrogradsky, uno de los matemáticos que más familiarizado

estaba con la compleja relación entre geometría y experiencia, deja ver, tal vez como

ninguna otra, los problemas no solo epistemológicos, sino también culturales que se

oponían al proceso de aceptación de las GNE por parte de la comunidad académica de la

época (Arboleda y Anacona, 1994).

No sobra decir, que incluso el gran lógico Frege6, pensador, más de medio siglo

posterior a la obra de Lobachévski, fue uno de los más acérrimos adversarios de las ideas

planteadas por las GNE, este nunca se detuvo al momento de plantear criticas injuriosas

y apasionadas en contra de estas:

¿Podría alguien atreverse a calificar de astrología a los Elementos de Euclides, una

obra que goza de una autoridad incuestionable desde hace más de 2000 años? Pero si

nadie se atreve a ello, entonces será la geometría no euclidiana a la cual hay que

clasificarla entre las seudociencias (astrología, alquimia) (Arboleda y Anacona,

1994, p. 7).

6 Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 925) fue un matemático, lógico y filósofo alemán. Se le

considera el padre de la lógica matemática y de la filosofía analítica, concentrándose en la filosofía del

lenguaje y de las matemáticas.


No está demás mencionar un anónimo satírico publicado en la revista rusa El hijo

de la patria No. 41 de 1834 en contra de Lobachévski y su obra, en la que expresa lo

siguiente:

¿Cómo es posible creer que el señor Lobachévski, docente matemático de carrera,

haya escrito con algún propósito serio un libro que no haría ningún honor al último

de los maestros parroquiales? Si no ciencia, por lo menos sentido común debe poseer

todo maestro, y en la nueva geometría esto último falta con frecuencia.

Es fácil notar, después de revisar las citas anteriores, la resistencia a aceptar todas

aquellas nuevas ideas que no estén fundamentadas en el sentido común que se relaciona

con el mundo sensible y que hacen de los axiomas euclidianos, las únicas verdades

inherentes e inmutables a partir de la cuales puede describirse todo el mundo físico.

La reivindicación del trabajo de Lobachévski, llega por fin en 1868 con el trabajo

de Beltrami, quien construyó un modelo euclidiano de la nueva geometría, logrando

mostrar que la geometría intrínseca de una sección conveniente de la seudoesfera coincide

con la geometría sobre una parte del plano de Lobachévski, lo cual significa que cada

proposición de la nueva geometría referida a una parte del plano se corresponde

directamente con una proposición en la geometría intrínseca de la seudoesfera. Así, la

geometría de Lobachévski deja de ser una mera elucubración meramente abstracta de

ideas, para ser una teoría con significado real; Al respecto, Gray (1992) en ideas de

espacio afirma que, El modelo de Beltrami, antes que nada, revela que la nueva geometría

es consistente si la vieja lo es, demostrando que cualquier inconsistencia que esta tenga

aparecería como una inconsistencia en la geometría euclidiana (Gray, 1992, p. 206).

Capítulo 2

Presentación de asignaturas programadas en las

universidades

Los programas de formación de profesores de las cinco universidades mencionadas,

son los siguientes: en la Universidad del Valle, licenciatura en Matemáticas y Física, y

Licenciatura en Matemáticas7; en la Universidad de Antioquia y en la Universidad

Pedagógica Nacional Licenciatura en Matemáticas, en la universidad de Nariño y

Universidad del Cauca, Licenciatura en Matemáticas.

La descripción de cada una de las materias relacionadas en lo que sigue de este capítulo,

han sido tomadas de los programas de las asignaturas que fueron suministrados por las

respectivas universidades.

2.1 Universidad del Valle

En primer lugar, se revisaron los planes de estudio de dos de las Licenciaturas en

matemáticas ofrecidas por la Universidad del Valle.

7 Se realizó una reforma en las licenciaturas, unificando la Licenciatura en Matemáticas y Física y la

Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas en la Licenciatura en Matemáticas, razón por

la cual las dos primeras desaparecerán.

57 Presentación de asignaturas programadas en las universidades

A partir de la información hallada en los planes de estudio (ver anexo 1), se

seleccionaron algunas materias en las que parece probable que aparezcan contenidos

relacionados con las GNE dado su carácter histórico y/o geométrico.

Tabla 1. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico por programa académico

de la Universidad del Valle.

Licenciatura en

Matemáticas y Física

Licenciatura en

educación Básica con

énfasis en Matemáticas

Licenciatura en

Matemáticas

Matemáticas y experiencia

Historia y epistemología de

las matemáticas

Topología y geometría

diferencial

(Historia de las matemáticas

griegas)

(Geometría no euclidiana)

Historia de las

matemáticas griegas

Historia de las

matemáticas griegas

Historia y

epistemología de las

matemáticas

Filosofía de las

matemáticas

Tópicos de

matemáticas

modernas y

contemporáneas

Para efectos del presente trabajo se procedió a revisar el contenido programático de

cada una de las asignaturas anteriormente relacionadas.

El curso de Historia de las matemáticas griegas se ofrece para las tres licenciaturas

que actualmente se imparten en la Universidad del Valle, siendo este un curso de carácter

obligatorio, tanto para la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Educación

Matemática, como para la nueva Licenciatura en Matemáticas, mientras que, para el caso

de la Licenciatura en Matemáticas y Física, dicho curso es de carácter electivo. En los tres


casos, el curso se ofrece con una intensidad de tres horas semanales, y tiene como

pretensión, mostrar un panorama general de los problemas y conceptos fundamentales

sobre los cuales se han construido las matemáticas modernas; tales como número,

magnitud, proporción, infinito, continuo entre otros, siempre en el marco del mundo griego,

intentando además mostrar el desarrollo de las matemáticas como un producto de tipo

histórico relacionado con el desarrollo humano.

El curso abarca el periodo que va desde el siglo VII a.c hasta el siglo III a.c. Se inicia

con el estudio del trabajo de Tales de Mileto y, la aritmética y geometría del mundo

pitagórico, pasando por las paradojas de Zenón y el trabajo de Euclides, hasta el trabajo de

Arquímedes sobre la cuadratura de la parábola. Resulta evidente, después de revisar el

contenido programático de la asignatura, que en esta no se trabajan asuntos sobre GNE,

propiamente dichas, sin embargo, es importante mencionar que, en el apartado sobre el

trabajo de Euclides, se abordan los temas concernientes a triángulos y paralelismo; en este

último se realiza el estudio sobre el problema del quinto postulado, que sirve como

contextualización del desarrollo de las GNE.

A continuación, se presenta la descripción de la asignatura Historia y epistemología

de las matemáticas; la cual es ofrecida para la nueva licenciatura en Matemáticas al igual

que en la licenciatura en Matemáticas y Física, con una intensidad de tres horas semanales,

cuyo propósito es presentar un panorama general del desarrollo y fundamentación de las

matemáticas desde la antigüedad hasta el siglo XX, identificando desde el punto de vista

epistemológico, algunos de los problemas más relevantes en los procesos de constitución

histórica de disciplinas como la geometría, el cálculo, el álgebra y análisis. Como su

nombre lo indica, es un curso de carácter histórico en el que se abarcan contenidos que van

desde las matemáticas en la antigua Grecia hasta la geometría de Descartes y la resolución

de ecuaciones de segundo y tercer grado.


Sin embargo, es muy importante mencionar, que para el próximo periodo en el cual

se ofrecerá el curso, uno de los docentes a cargo está implementando algunos cambios, en

relación con el contenido programático de la asignatura, en los que se pretende abordar el

estudio de las GNE, a partir de los trabajos de Lobachévski y Riemann. No es posible

ahondar más, en relación con el trabajo que se lleve a cabo en esta sección, pues como ya

se dijo, recién se están construyendo los cambios; lo que sí es posible afirmar, es que la

parte de la contextualización histórica en términos del problema del quinto postulado, será

previamente abordado en el curso de historia de las matemáticas griegas, hecho que

permite, seguir un hilo conductor en términos del desarrollo histórico de estos temas, de tal

manera que se perciba una historicidad bien establecida.

Seguidamente, se hace la descripción de la asignatura Matemáticas y Experiencia,

ofrecida para la Licenciatura en Matemáticas y Física. Este curso pretende mostrar a partir

de algunos hitos históricos, cómo las matemáticas emergen y se desarrollan en medio de

ese tipo de reflexiones y prácticas, es decir, que intenta resaltar en términos generales la

fructífera relación entre el mundo de las matemáticas y el mundo de la experiencia sensible.

El curso es ofrecido con una intensidad de tres horas semanales, Se inicia con la

presentación del tema a cargo del profesor o de un grupo de estudiantes, previa lectura de

los documentos por parte de todos los asistentes. Cada semana un grupo de estudiantes

realiza una exposición, el grupo deberá entregar un ensayo sobre el tema a exponer.

Finalmente se realizará una discusión en la que los estudiantes presentarán sus puntos de

vista acerca de la temática, los textos, las exposiciones y en algunas sesiones se realizarán

talleres individuales o en grupo. Luego de revisar en contenido programático resulta obvio

que en este se abordan temas relacionados con las GNE.

A continuación, se presenta la descripción de la asignatura Topología y geometría

diferencial, la cual se ofrece únicamente para la Licenciatura en Matemáticas y Física, con


una intensidad de cuatro horas semanales; el profesor presenta de manera expositiva las

ideas centrales de un tema y luego, al final de la clase propone ejemplos, ejercicios y

talleres que se deben resolver en grupos pequeños o individualmente, en otros momentos

la metodología será la de seminario-taller; de acuerdo con esta metodología, el estudiante

debe realizar el estudio previo de determinadas secciones del texto guía, o de algún texto

de referencia que el profesor elegirá y designará oportunamente, el estudio previo consiste

en la lectura comprensiva del documento, incluyendo las definiciones, teoremas,

corolarios, demostraciones y resolución de ejemplos y algunos ejercicios propuestos.

En esta asignatura se introducen y trabajan conceptos básicos de Topología General

(espacios topológicos, vecindad, conjuntos abiertos y cerrados, continuidad, conexidad,

etc.) y de Geometría Diferencial (curvas, superficies, parametrización, longitud de arco,

funciones diferenciables sobre curvas y superficies, rectas y planos tangentes, etc.). La

aproximación cognitiva y didáctica a estos objetos o conceptos topológicos se hará

mediante procesos inductivos de construcción y de generalización a partir del estudio de

las propiedades principales de “espacios métricos”, como el de los números reales,

relativamente conocidos por los estudiantes en cursos previos de Geometría y Cálculo.

Por último, para el caso de las asignaturas, Filosofía de las Matemáticas y Tópicos de

matemáticas modernas y contemporáneas ofrecidas para la nueva Licenciatura en

Matemáticas, no es posible realizar la descripción ni el análisis de estas, puesto que, aun

no han sido diseñados los contenidos programáticos. Sin embargo, dada la manera como

se nombran estas dos asignaturas, parecen ser susceptibles de análisis, dado que, los

desarrollos en GNE hacen parte de los avances en matemáticas modernas y

contemporáneas; además estos desarrollos tuvieron una gran influencia en la filosofía de

las matemáticas a partir del siglo XIX.


El curso de Geometrías No Euclidianas, es una asignatura de carácter electivo, que

últimamente no se ofrece, al parecer en razón de los intereses académicos e intelectuales

en los que se direccionó la Licenciatura en matemáticas y Física, antes de la última reforma.

dicho curso se dictaba con una intensidad de tres horas semanales. Es necesario dejar claro

que, aunque últimamente el curso no se ofrece, por lo menos, algunas de las temáticas

tratadas en este trabajan en mayor o menor medida en asignaturas como Matemáticas y

experiencia e historia y Epistemología de las matemáticas de la nueva Licenciatura.

El curso se aborda a partir de tres grandes temas: génesis de las Geometrías no

Euclidianas, evolución conceptual de las nuevas Geometrías y el fenómeno de la recepción;

con los que se pretende, valorar a través del estudio histórico de la evolución de las

Geometrías no Euclidianas, la importancia de su surgimiento en el desarrollo teórico de las

matemáticas, además de, reconocer en la relación Matemáticas-experiencia una fuente de

conflictos teóricos y filosóficos que permearon el proceso de aceptación y recepción de las

nuevas geometrías, así como también, estudiar las implicaciones generadas en la

axiomática, en cuanto al estatus de la “verdad” en matemáticas y los orígenes del

formalismo.

.


2.2 Universidad de Antioquia

En segundo lugar, se revisaron los planes de estudio (ver anexo 2) de las tres

licenciaturas8 ofrecidas por la Universidad de Antioquia.

A continuación, se presentan las materias que probablemente estén permeadas por

contenidos relacionados con las GNE dado su carácter histórico y/o geométrico.

Tabla 2. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico por programa académico

de la Universidad de Antioquia.

Licenciatura en

educación Básica con

énfasis en Matemáticas

Licenciatura en

Matemáticas

Historia, filosofía y

epistemología de las

matemáticas.

Profundización en

geometría.

Electivas en matemáticas

I,II,III

A continuación, se presenta la descripción de cada una de las materias relacionadas

en:

- Licenciatura en educación básica con énfasis en Matemáticas

8 Actualmente la Universidad de Antioquia, ofrece la Licenciatura en Matemáticas que reemplazara

la antigua Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas la cual desde hace tres semestres no

es ofrecida y desaparecerá totalmente una vez todos los estudiantes matriculados en ella terminen su ciclo.


El curso de Historia, filosofía y epistemología de las matemáticas, se ofrece con

una intensidad de cuatro horas semanales. En este, se presenta de forma general una

estructura que tiene varios enfoques o miradas, pues no pretende discutir solamente

elementos históricos de una historia de las matemáticas, sino vislumbrar ciertos momentos

paradigmáticos en algunos procesos de conocimiento en el área, de tal modo que puedan

ser analizados con algunos fundamentos epistemológicos desde la educación matemática

como una disciplina científica.

Se abordan tres grandes tópicos, la cuestión de ¿Matemáticas o Matemática?, una

mirada de la historia occidental de las matemáticas —en el que se toca de forma tangencial

el tema de las GNE— y finalmente el tópico de historia, filosofía y educación matemática.

El curso de Profundización en Geometría es una asignatura ofrecida con una

intensidad de cuatro horas semanales; esta asignatura le da continuidad al estudio de la

geometría plana desarrollada anteriormente en Fundamentos de Geometría y en el que

además se realiza la introducción a la Geometría Analítica y Vectorial. El curso inicia

introduciendo elementos geométricos tales como: punto, distancia entre puntos, segmento

dirigido, recta, circunferencia, parábola, entre otros, desde un punto de vista analítico y

vectorial para aplicarlo en la modelación de problemas cotidianos.

La revisión del contenido programático de la asignatura mencionada, se llevó a

cabo, dado que este es un curso evidentemente geométrico, pero no se abordan en este,

tópicos relacionados con las GNE.

De las descripciones realizadas con anterioridad sobre las dos asignaturas

mencionadas, está claro que, únicamente en el curso Historia, filosofía y epistemología de

las matemáticas se presentan algunos elementos o tópicos relacionados con las GNE.

-Licenciatura en Matemáticas


Si bien, el curso Historia, filosofía y epistemología de las matemáticas, hace parte

de la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas, este no hace parte de

la programación académica de la nueva Licenciatura en Matemáticas. Queda por decir,

que aparecen programadas las asignaturas electivas en matemáticas I, II y III que fueron

consultadas, dado que, estas sugieren un contenido de carácter matemático, pero

desconocido, puesto que, la manera de nombrarlas no sugiere algún contenido en

particular; pero, además, no es posible realizar la descripción ni el análisis de sus

contenidos programáticos puesto que aún no se han creado dichos contenidos.

2.3 Universidad del Cauca

En tercer lugar, se revisó el plan de estudio de Licenciatura en Matemáticas, ofrecida

por la Universidad del Cauca (anexo 3).

En la siguiente tabla se muestra un listado de asignaturas, cuyo carácter histórico y/o

geométrico, hace parecer probable que en estas se encuentre algún tipo de contenido

relacionado con las GNE.

Tabla 3. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico de la Licenciatura en

Matemáticas de la Universidad del Cauca.

Licenciatura en Matemáticas

Matemáticas y experiencia I

Matemáticas y experiencia II

(Pruebas, demostraciones y

refutaciones)

A continuación se presenta la descripción de cada una de las materias relacionadas

en la Tabla 3.


Los Seminarios de matemáticas y experiencia I y II, son un par de cursos que se

ofrecen con una intensidad de cuatro horas semanales, en los que se intenta mostrar, a partir

de algunos hitos históricos, cómo las matemáticas emergen y se desarrollan en sociedades

y culturas determinadas y por ende como el desarrollo de estas esta solapado por valores e

intereses que son los que la dotan de significado. Así se deja de lado la idea de las

matemáticas como una ciencia autónoma que se sostiene en sí misma con sus propias reglas

y métodos. Para alcanzar tal propósito en el seminario Matemáticas y experiencia I se

realiza un estudio sobre el desarrollo histórico de las nociones de número y magnitud desde

la época griega hasta el siglo XVII; época en que se crea el cálculo diferencial e integral,

intentando evidenciar el contexto social y científico en que las teorías matemáticas

emergen.

En relación con el seminario Matemáticas y experiencia II, a partir de la expresión:

“la experiencia es el origen y límite del conocimiento” es posible en principio abordar la

discusión filosófica general sobre el empirismo, para culminar con los planteamientos

particulares de Hume, Stuart Mill, Kant, y otros en torno al conocimiento matemático. En

términos generales, se trata de rescatar algunos momentos históricos que reflejan cómo las

teorías matemáticas se han nutrido y enriquecido a partir del mundo de la experiencia;

dejando de lado así la idea de las matemáticas como una ciencia autónoma que se sostiene

a sí misma con sus propias reglas y métodos.

El curso Pruebas, demostraciones y refutaciones, es una asignatura de carácter

electivo, que se ofrece en el formato de seminario, donde los estudiantes realizan una

lectura previa del material a tratar, para luego, desarrollar la clase en tres fases: clarificación

y precisión de los conceptos del autor, discusión sobre el contenido del material de acuerdo

a la posición e interés de los participantes y finalmente, la solución de problemas

propuestos.


En este seminario se aborda el concepto de demostración a través de algunos hitos

históricos que sirven de excusa para enfrentarse a este tema, desde una perspectiva

filosófica e histórica y no desde un ámbito estrictamente matemático. El hilo conductor del

curso se centra alrededor de tres grandes temáticas: Teorema Fundamental del álgebra,

Geometrías no euclidianas e Hipótesis del continuo; a través de las cuales se realiza un

seguimiento que incluye pruebas, demostraciones y refutaciones para analizar la

construcción histórica de estos conceptos.

A lo largo del curso y como telón de fondo se abordan algunas preguntas relevantes:

¿qué es demostrar? ¿La demostración es un concepto cambiante a lo largo de la historia?

¿Cuál es su relación con el concepto de verdad? ¿Cuál es la naturaleza del conocimiento

matemático?, que sirven de guía para reflexionar sobre el tema.

2.4 Universidad de Nariño

En cuarto lugar, se revisaron los planes de estudio de la licenciatura en Matemáticas

ofrecida por la Universidad de Nariño (anexo 4).

A partir de la información anterior se seleccionaron algunas materias en las que

parece probable que aparezcan contenidos relacionados con las GNE dado su carácter

histórico y/o geométrico.

Tabla 4. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico por programa académico e

la Universidad de Nariño.


Geometrías No Euclidianas

Época contemporánea

Historia, epistemología y didáctica de las matemáticas I

Historia, epistemología y didáctica de las matemáticas II


El curso de Geometrías No Euclidianas, era una asignatura de carácter obligatorio

que dejo de ofrecerse en el año 2010, dado que en ese año se produjo una reforma en el

programa académico; a partir de ese año, se ofreció al menos una vez como una asignatura

de carácter electivo, dicho curso se dictaba con una intensidad de tres horas semanales.

Cuando se dice que el curso dejo de ofrecerse, no significa que las temáticas tratadas en

este hayan desaparecido por completo, pues es bastante probable que estos, o parte de ellos,

aparezcan en los contenidos programáticos de las asignaturas con contenido histórico que

se van incorporando al corpus del plan de estudios.

Lo que se pretende en este curso es estudiar de manera crítica los momentos de la

evolución de la geometría que finalmente llevaron a la emergencia de las GNE y los

avances, en los conceptos y en los métodos de la geometría, que se dieron a partir del

surgimiento de estas.

Si bien, en la programación de la asignatura, se menciona el seminario-taller, como

la metodología más adecuada para el desarrollo del curso; en dialogo con uno de los

profesores que alguna vez lo dirigió, quedo de manifiesto que dicha metodología dependía

del profesor responsable del curso y del enfoque que este le diera, así que, algunos docentes

preferían una clase de tipo magistral.

El curso de Época contemporánea es de carácter obligatorio, se ofrece con una

intensidad de cuatro horas semanales para los estudiantes de octavo semestre, y se ofrecerá

por última vez en el segundo semestre del año 2020, pues así quedó estipulado en una

reforma hecha en el año 2017. El propósito del curso es estudiar algunos de los principales

aspectos teóricos del desarrollo de las Matemáticas, desde el punto de vista epistemológico,

abarcando un periodo de tiempo que va desde 1820 hasta la época actual, en el que el eje


central, alrededor del cual giran las temáticas tratadas y las discusiones, es el problema

histórico de los fundamentos de las matemáticas. El curso está diseñado para ser abordado

en tres capítulos; los dos primeros, centrados en el estudio del problema de los fundamentos

de las matemáticas, el primero tiene que ver con el surgimiento de la teoría de conjuntos,

empezando por los desarrollos conjuntistas de Dedekind y Cantor, y la definición formal

de infinito, pasando por las paradojas de la teoría de conjuntos , hasta el programa

formalista de Hilbert y terminando con Gödel; el segundo, con el surgimiento de las

geometrías no euclidianas; mientras que en el tercer capítulo se realiza un estudio de la

evolución de las especializaciones en matemáticas, en este capítulo se revisan los 23

problemas de Hilbert y se estudia la clasificación por temáticas en los congresos

internacionales, además de revisar el panorama actual de las clasificaciones disciplinares.

Aunque no aparece en el contenido programático de la asignatura, se intenta trabajar —

siempre que el tiempo lo permita— un cuarto capítulo que pretende introducir de a poco,

aspectos de la historia de las matemáticas en Colombia.

El curso se trabaja en la modalidad de Seminario-Taller, los estudiantes deben

realizar una lectura previa de las exposiciones que sus compañeros realizan, con el ánimo

de poder generar la discusión alrededor de estas, y de las intervenciones del docente a cargo

del curso, que lo hace a través de preguntas orientadoras, complementaciones y

aclaraciones.

El curso de Historia, Epistemología y Didáctica de las Matemáticas I, es de carácter

obligatorio, se ofrece con una intensidad de cuatro horas semanales para los estudiantes de

tercer semestre, y se implementó por primera vez durante el primer semestre del año 2019,

pues este hace parte de la reforma que se llevó a cabo en el año 2017. El propósito del curso

es estudiar el surgimiento, evolución y consolidación de los conceptos, métodos, procesos


integradores y fundamentadores de las teorías y del pensamiento matemático entre los

siglos XVII y XIX, y su relación con la reforma de la matemática moderna.

El curso ha sido estructurado para ser abordado en dos grandes ejes temáticos; el

primero de ellos consta de tres temas, que son en su orden: las raíces de las matemáticas

modernas, las bases matemáticas de las nuevas teorías y las matemáticas en la confluencia

de los siglos XVIII y XIX, que abarca el estudio del surgimiento y desarrollo de la noción

de magnitud variable, pasando por los trabajos de Kepler , Galileo y Cavalieri hasta los

desarrollos de Leibnitz y Newton, para finalmente llegar a los trabajos de Gauss, Cauchy

y la transformación de los fundamentos del cálculo infinitesimal. El segundo gran eje

temático que aparece relacionado en el contenido programático, son los elementos

histórico-epistemológicos para abordar el estudio crítico de la reforma de las matemáticas

modernas; si bien en esta parte del curso se realiza una revisión de algunos de los

principales momentos en la evolución de la geometría, que condujeron al surgimiento de

las GNE, este tópico no es propiamente tratado en el curso. Es importante mencionar que

los tópicos tratados giran fundamentalmente en torno al desarrollo del cálculo y el análisis,

en la primera parte; y la fundamentación y rigurosidad en la reforma de la matemática

moderna en la segunda.

El curso se trabaja en la modalidad de Seminario-Taller, los estudiantes deben

realizar una lectura previa de las exposiciones que sus compañeros realizan con el ánimo

de poder generar la discusión alrededor de estas, y de las intervenciones del docente a cargo

del curso, que lo hace a través de preguntas orientadoras, complementaciones y

aclaraciones.

El curso de Historia, epistemología y didáctica de las matemáticas II, es

fundamentalmente igual al curso de Época contemporánea, en cuanto a contenido se refiere

—es decir que también contiene temas sobre GNE— con algunas diferencias de forma,


tales como que, si bien, está diseñado para ofrecerse con una intensidad horaria de cuatro

horas semanales, estas aparecen discriminadas en el contenido programático como dos

horas teóricas y dos horas practicas; además, se ofrece en principio, para estudiantes de

cuarto semestre y no de octavo como en el curso de Época contemporánea; otra diferencia

es que, el cuarto capítulo que aparece en la descripción del curso mencionado al principio

de este párrafo, en este caso si hace parte del contenido programático, en el que se abordan

tres grandes temas: bourbakismo y reforma de las matemáticas, propuesta de archivo

histórico de la matemáticas y las matemáticas en Nariño, Pasto y la Universidad de Nariño.

Es necesario mencionar que al igual que Historia, Epistemología y didáctica de las

Matemáticas I, ésta es una asignatura de carácter obligatorio, que aparece con la reforma

de 2017, es decir que se trata de un curso nuevo, que espera implementarse por primera

vez en el segundo semestre de 2019, además también hay que señalar que todos los

aspectos mencionados en la descripción de época contemporánea son igualmente válidos

para este curso, pues así, está estipulado en el contenido programático de la asignatura.

2.5 Universidad Pedagógica Nacional

Finalmente, se revisó el plan de estudio de la licenciatura en Matemáticas ofrecida

por la Universidad Pedagógica Nacional (anexo 5).

A partir de la información anterior se seleccionaron algunas materias en las que

parece probable que aparezcan contenidos relacionados con las GNE dado su carácter

histórico y/o geométrico.


Tabla 5. Materias con posible contenido histórico y/o geométrico del programa académico

de la Universidad pedagógico Nacional.


Geometría del espacio

(Geometrías no euclidianas)

Tópicos de historia de las matemáticas

La asignatura Geometría del Espacio es un curso que se ofrece con una intensidad

de cuatro horas semanales; continúa con el proceso de formación disciplinar del área de

geometría, en tal sentido, pretende repasar y afianzar los conceptos y teoremas relacionados

con puntos, rectas y planos, ángulos, congruencia de triángulos, entre otros, además de

fortalecer el desarrollo de las habilidades necesarias para construir demostraciones

formales, en el marco de la geometría del espacio, para tal efecto, en el curso se programa

el estudio de las propiedades de los cuadriláteros, la circunferencia y la esfera, la relación

de perpendicularidad y paralelismo en el espacio y semejanza de triángulos. Así mismo, se

abordan asuntos como la visualización en tres dimensiones (3D) y la exploración con

objetos virtuales que están en 3D.

Al observar el contenido programático de la asignatura en cuestión, resulta evidente

que los tópicos desarrollados en esta no incluyen temáticas relacionadas con las GNE,

puesto que, lo que se hace en esta, es estudiar el espacio euclidiano tridimensional.

El curso de Geometrías no Euclidianas, es una asignatura electiva de profundización,

que se trabaja con una intensidad de cuatro horas semanales, en el que se pretende construir

el concepto de espacio geométrico, estudiar la interdependencia lógica entre algunas

proposiciones geométricas, examinar el papel intrínseco que desempeña la teoría de las

paralelas en el desarrollo de la geometría e identificar las ideas centrales alrededor de las

cuales se construyen las diversas geometrías. El trabajo a lo largo del curso, se realiza a

través de la presentación de las ideas centrales por parte del profesor, así como también, de


las exposiciones de las lecturas asignadas a los estudiantes con el ánimo de propiciar el

diálogo participativo, en el que intervienen maestro-estudiante, estudiante-estudiante. Se

evalúa mediante las presentaciones realizadas por los estudiantes y dos o tres evaluaciones,

de acuerdo a la normalidad del semestre.

En la asignatura Tópicos de Historia de las Matemáticas, se trabaja con una

intensidad de cuatro horas semanales, donde se realiza el estudio del desarrollo histórico

de distintos campos de las matemáticas, abordando varios momentos de su evoluación a

través de cuatro grandes ejes temáticos, los cuales son: orígenes y evolución de las

matemáticas (sistemas numéricos, geometría, algebra, geometría analítica, trigonometría,

variación-calculo-análisis, entre otros), problemas matemáticos en la historia, matemáticos

reconocidos en la historia y usos de la historia en el aula de clases; dentro del primer gran

tópico, en la parte de geometría, se aborda el tema de GNE. El desarrollo de la asignatura

se llevará a cabo mediante el estudio, la socialización y la discusión por parte de los

estudiantes de las lecturas propuestas por el profesor y que estos deben realizar con

antelación, además de esto, los estudiantes deben presentar un trabajo escrito que debe ser

sustentado.

Capítulo 3

Análisis de los contenidos programáticos por asignatura

El análisis de cada una de las asignaturas en las que se trabajan algún tópico de GNE,

se realizó teniendo en cuenta los programas de las asignaturas, la revisión de la bibliografía

referenciada en estos y el dialogo con los docentes responsables de dichas asignaturas.

3.1 Universidad del Valle

Matemáticas y experiencia

Dentro de los ejes temáticos establecidos para el curso, aparecen cuatro temas, en los

que parece evidente que se aborda el asunto de las GNE. El primero de ellos aparece

mencionado como Geometría y experiencia: desde Euclides hasta Lobachévsky y Riemann

donde se trata el tema relacionado con el desarrollo histórico de estas geometrías, para tal

efecto, se presentan de manera rápida algunos antecedentes respecto del origen de la

geometría como una ciencia totalmente fundamentada en la experiencia sensible del

hombre, hasta la aparición del método hipotético-deductivo o axiomático, el cual es

presentado de forma sucinta, y cuyo máximo exponente son los Elementos de Euclides;

trabajo del cual se muestra una descripción muy general que incluye las 23 definiciones y

los 5 postulados. Seguidamente se abordan algunos de los intentos de demostración del

quinto postulado euclídeo, realizados a lo largo de la historia empezando por Proclo (410-

485) pasando por Nasir Edin (1201-1274), Saccheri (1667-1733) hasta Gauss (1777-1855),

Schweikart (1780-1859), Taurinus (1794-1874), Lobachévsky (1793-1856) y J. Bolyai

(1802-1860), considerados los fundadores de las GNE; es necesario aclarar que en este

apartado se presentan algunas ideas fundamentales sobre las cuales se sustentan los trabajos

74 Análisis de los contenidos programáticos por asignatura

que intentaban solucionar el problema del quinto postulado y no tanto las demostraciones

“rigurosas” que cada quien realizó. También es necesario mencionar que, si bien en el tema

se nombra a Riemann, este solo es mencionado de manera muy ligera en relación con el

desarrollo de la geometría esférica.

Posteriormente, es tratado el asunto de las GNE en Colombia teniendo como eje

central la posición radical en contra de estas nuevas teorías del notable ingeniero Julio

Garavito, quien las percibía como entes imaginarios, como artefactos y constructos

mentales, que epistemológicamente no pueden explicar la realidad, es decir el texto que se

trabaja en el curso para la cuestión aquí tratada muestra que el mencionado ingeniero no

rechaza la legitimidad de las GNE siempre y cuando aparezcan ubicadas en el terreno de

lo analítico, de lo abstracto y matemático (Arboleda y Anacona, 1994, p. 12-14). Esto

quiere decir, que cuando en el texto se habla de la posición radical del ingeniero se hace

referencia a lo que él considera la imposibilidad de que las nuevas geometrías describan la

realidad sensible, puesto que, dicha capacidad de descripción solo le corresponde a la

geometría Euclídea.

Una vez tratados los aspectos anteriores se aborda la temática que aparece presentada

en el contenido programático del curso como: Einstein: geometría y experiencia, en la que

se discuten las implicaciones ontológicas sobre la realidad física del espacio-tiempo a partir

de una reflexión filosófica enmarcada en el contexto de la relación entre teoría y

experiencia en las teorías de la relatividad especial y general de Einstein. Para tal efecto,

el articulo trabajado en el curso ilustra el debate entre realistas y convencionalistas,

mostrando como antecedente el debate Newton/Leibniz sobre la realidad del espacio y el

tiempo absolutos; una vez mostrados los antecedentes de dicha discusión, se plantean tres

posibles respuestas a la pregunta sobre la realidad física del espacio-tiempo; una, desde el

punto de vista realista de Einstein, otra, desde el punto de vista del empirismo moderado

(escéptico) y finalmente, una respuesta desde el lente del convencionalismo. (Guerrero

Pino, 2006).


Finalmente se trabaja la cuestión de la dicotomía entre axiomática e intuición en

donde se aborda el sisma generado por la ascensión de estas nuevas geometrías en el campo

tanto de la filosofía como de las matemáticas mismas e incluso de la ciencia en general.

3.2 Universidad de Antioquia

Historia, filosofía y epistemología de las Matemáticas

En el curso se hará un énfasis principal a la reflexión que movilice un análisis de las

formas e intencionalidades de las matemáticas que se comparten en el aula de clase, pues,

dependiendo de los contextos sociales, culturales, históricos, políticos, económicos, entre

otros, se carga de poder un paradigma, y son dichas manifestaciones de poder las que se

mueven en el currículo escolar, así, nosotros en el ámbito escolar percibimos y

promovemos una parcela de algunas realidades que se lograron instalar en el ámbito de un

conocimiento que algunos llamamos “conocimiento matemático”.

3.3 Universidad del Cauca

Pruebas, demostraciones y refutaciones

Como ya se dijo anteriormente, en la descripción de los cursos, el tema de las GNE

hace parte del contenido programático de esta asignatura. Dicho contenido, aparece

desglosado en cuatro capítulos a saber. El primero de ellos es El Método Axiomático de

Euclides, en el que se revisa el trabajo del geómetra en cuestión —primer libro de los

Elementos— con el ánimo de estudiar el método hipotético-deductivo y el segundo, tiene

que ver con los intentos de demostración del quinto postulado, que al igual que en otros

cursos, de igual índole, abarca el periodo de tiempo comprendido desde Proclo hasta

Saccheri, Lambert y Legendre. En estos dos primeros capítulos se revisan algunas


demostraciones significativas, realizando algo de trabajo matemático ya que es necesario

entender los argumentos y procedimientos empleados, sin embargo , el objetivo principal,

no es tanto la adquisición de habilidades matemáticas, como si lo es la reflexión, desde el

punto de vista filosófico e histórico, sobre lo que significa demostrar en matemáticas y la

manera como dicho concepto evoluciona a lo largo de la historia en términos de rigurosidad

y de las implicaciones filosóficas de tal evolución.

El tercer capítulo que se menciona es geometría y realidad, en este, se reflexiona

sobre la naturaleza del espacio físico tridimensional, a partir del surgimiento de las

geometrías no euclidianas y la discusión que en ese momento de la historia se daba en torno

a la naturaleza de los axiomas admitidos como fundamento de las nuevas geometrías,

además de las disquisiciones acerca de cuál era la verdadera geometría. Finalmente, el

cuarto capítulo trata de las GNE propiamente dichas, en este punto se trabajan los

desarrollos de Lobachévski y Riemann, sus ideas fundamentales, algunos resultados

notables; como son el ángulo de paralelismo, el concepto de geodésica y las bien conocidas

propiedades del área y la suma de ángulos internos en triángulos geodésicos, además de las

consecuencias altamente revolucionarias de su trabajo.

En estos dos últimos capítulos, el trabajo matemático propiamente dicho, es poco,

incluso menor que en los primeros dos, pues una vez más las reflexiones giran en torno a

las implicaciones filosóficas de los temas tratados, ya que, con el advenimiento de las

nuevas geometrías, se pone en entre dicho aquella vieja concepción de que es a partir del

mundo físico, que pueden emerger los axiomas sobre los cuales puede construirse una

geometría que describa adecuadamente la realidad, y se da inicio así, a una nueva

concepción, en la que la teoría debe ser independiente de preceptos físicos, y una vez que

se demuestra su consistencia —ausencia de contradicciones internas— puede ser cotejada

con la naturaleza para decidir cuál es la teoría correcta.


Finalmente, no está de más decir, qué si bien en este curso se intenta examinar con

un nivel de rigurosidad aceptable los temas tratados, esto no siempre es posible, dadas las

condiciones de tiempo, pues estos deben cubrirse en un periodo de tiempo que no supera

las cuatro semanas.

3.4 Universidad de Nariño

Geometría no Euclidiana

Luego de revisar el contenido programático, resulta obvio, que este es un curso

totalmente dedicado a tratar el asunto de las GNE en lo que tiene que ver con su desarrollo

y surgimiento. Los primeros cuatro tópicos que aparecen mencionados son: antecedentes

históricos de las geometrías no euclidianas, la geometría no euclidiana y el postulado de

las paralelas, consecuencias inmediatas del postulado de las paralelas y las investigaciones

de los matemáticos del islam; los cuales hacen parte de la contextualización histórica que

precede los primeros desarrollos obtenidos a partir de la negación del quinto postulado

euclideo. Lo que se pretende con estos cuatro tópicos, es mostrar el problema que desde un

principio generó el quinto postulado euclidiano, al no ser considerado este, como

independiente de los otros cuatro, también se estudian algunos de los intentos de

demostración más conocidos en el mundo occidental e islámico, que hacían uso de

enunciados que terminaban siendo equivalentes al postulado euclideo.

Los siguientes tres tópicos hacen referencia a los trabajos de Saccheri, Lambert y

Legendre en los que se llevaba a cabo una revisión —si bien no exhaustiva, por lo menos

de manera no muy vaga— de los resultados que estos tres personajes obtuvieron como

resultado del estudio de las tres hipótesis de los cuadriláteros de Saccheri; en esta parte del

curso, el tratamiento de los temas no se limitaba solamente a la presentación por parte del


profesor desde el punto de vista histórico y discusión con y entre los estudiantes, sino que

además, se planteaban algunos ejercicios de tipo demostrativo.

Para finalizar el curso, los tópicos tratados hacen alusión, en primera instancia, a los

desarrollos realizados de forma independiente por Gauss, Lobachévski y Bolyai, además

de revisar el trabajo posterior y más general realizado por Riemman; y luego, el tema de la

difusión y recepción de las GNE en Colombia, en el que se revisa la posición radical del

ingeniero Julio Garavito en contra de estas, presentando el contraste entre lo que el

ingeniero consideraba concepciones de tipo filosófico sobre la relación geometría y

experiencia, en la medida que ellas nos permiten entender mejor su obstinada negativa a

divulgar en el país las GNE.

Época contemporánea

Dentro de los tres capítulos que se han establecido para el curso, aparecen, en el

segundo de ellos, seis temas en los que se aborda el asunto de las GNE. En los dos primeros

se trata el asunto del quinto postulado de Euclides y los enunciados equivalentes que fueron

usados a lo largo de la historia con el propósito de demostrar que este no era independiente

de los otros cuatro, así que se muestran algunos de los intentos más reconocidos a lo largo

de la historia, por demostrar el quinto postulado, es decir, que estos dos ejes temáticos

hacen parte de una contextualización histórica en la que se muestra como las GNE que

alcanzaron su mayor nivel de generalización con los trabajos de Riemann, no son producto

de un descubrimiento espontaneo, sino que detrás de estas hay toda un serie de desarrollos

en diferentes etapas de la historia, pero además, y tal vez lo más importante, es que en esta

parte del curso las discusiones están encaminadas fundamentalmente a que los estudiantes

sean capaces de discernir las razones por las que, un determinado enunciado es equivalente

al quinto postulado euclidiano.


El tercer tema tratado en este capítulo, está dedicado a la obra de Saccheri, en este se

trabajan los desarrollos logrados por este, en relación con sus famosos cuadriláteros y sus

bien conocidas tres hipótesis, mediante el método de reducción al absurdo, además de

mostrar la influencia que este ejerció en los trabajos de Legendre; además aunque realizar

demostraciones, no es el objetivo de este tipo de cursos, se realiza un poco de trabajo en

ese sentido con la pretensión de que el estudiante comprenda las ideas fundamentales sobre

las cuales se sustenta el trabajo de Saccheri.

En el cuarto apartado, que, si bien aparece nombrado como Bolyai y Lobachévski,

este contempla fundamentalmente el trabajo del matemático ruso, mostrando algunos de

los resultados más relevantes en geometría hiperbólica obtenido por este. En el quinto

apartado, se revisan los desarrollos llevados a cabo por Riemann en relación con la

geometría esférica, sobre todo los resultados relacionados con el concepto de geodésica y

los triángulos sobre la esfera. Una vez más las discusiones en estos dos apartados, no giran

alrededor de los aspectos propiamente matemáticos de los desarrollos geométricos de

Lobachévski y Riemann, sino más bien en torno al concepto de realidad, que se genera a

partir de la discusión sobre cuál es la geometría que describe de manera más adecuada la

naturaleza del espacio físico.

Finalmente, se aborda el tema de las GNE, en relación con los fundamentos de las

matemáticas, en el que la idea es plantear, como las matemáticas amplían su enfoque, no

solo como descriptoras de la naturaleza sino como sistemas consistentes. Además, en este

punto se hace una conexión con el trabajo de formalización de Hilbert. Es necesario decir,

que si bien, en cada uno de los apartados tratados, las discusiones están encaminadas a

ciertos aspectos particulares, el eje central alrededor del cual se generan las reflexiones de

la asignatura, tiene que ver con el problema de la fundamentación de las matemáticas.

Historia, epistemología y didáctica de las matemáticas II


Como se mencionó anteriormente en la descripción del curso, este se encuentra en

proceso de ser implementado por primera vez en el segundo semestre del año 2019, y

aunque desde el punto de vista del contenido programático es igual al curso de Época

Contemporánea; dado que el nombre de la asignatura contiene la palabra didáctica, parece

razonable pensar que el docente a cargo pueda intentar modificar o enriquecer de alguna

manera el tratamiento y el enfoque que se da a los contenidos en comparación con el curso

ya mencionado, sin embargo no es posible hacer tal afirmación pues como se dijo antes,

este es un curso que aún no se ofrece.

3.5 Universidad Pedagógica Nacional

Geometrías no Euclidianas

Después de revisar el contenido programático de la asignatura, queda claro que está

dedicada totalmente al estudio de las GNE. El curso inicia con el estudio del primer libro

de los Elementos de Euclides, un referente ineludible, donde se realiza una vinculación del

método axiomático con la geometría y se estructuran los elementos propios de esta; las

discusiones están encaminadas a generar reflexiones sobre el problema de la

fundamentación de las matemáticas, que se presenta debido al concepto de verdad que se

tenía en aquella época. Si bien, en este capítulo no se aborda la temática de las GNE, es

claro que, este primer eje temático hace parte de una adecuada contextualización, dado que,

la génesis y desarrollo de las GNE están fundamentadas, en primera instancia, en el

problema de la demostración de la independencia del quinto postulado euclidiano y

posteriormente en la negación de este.

Seguidamente, se aborda un eje temático que aparece nombrado en el contenido

programático como reseña de las investigaciones sobre los fundamentos de la geometría,

en el que se aborda el estudio de la historia del quinto postulado en el marco de dos periodos


históricos; primero, el periodo que va desde Proclo en el siglo I hasta los trabajos de Wallis

en la segunda mitad del siglo XVII, etapa en la cual, los diferentes trabajos intentaban dar

una demostración directa del quinto postulado o de su independencia de los otros cuatro.

Parte de la discusión en este momento del curso, consiste en la reflexión que deben realizar

los estudiantes con el ánimo de identificar argumentos que hacen que un enunciado sea

equivalente al postulado euclidiano de las paralelas, además, es importante decir, que en

esta parte del curso, aparte del trabajo desde el punto de vista histórico, se realiza un poco

de trabajo de tipo matemático, no en el sentido estrictamente demostrativo, sino más bien,

orientado a la revisión de algunos desarrollos, con el ánimo de que los estudiantes sean

capaces de determinar el razonamiento débil que conlleva a la falacia en la demostración,

para que de esa manera, intenten concluir porque, determinado razonamiento es válido o

no.

Luego, se aborda el estudio de los desarrollos logrados por Saccheri, a partir de sus

célebres cuadriláteros, revisando con un grado de exhaustividad razonable, sus bien

conocidas, tres hipótesis, y seguidamente los trabajos de Lambert y Legendre que seguían

la misma línea que su antecesor. En este apartado, la dinámica de trabajo se concentra en

mostrar la ingeniosa y audaz solución, por reducción al absurdo que Sacheri plantea en su

obra Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima

opsa universae Geometriae, negando el V postulado, y los trabajos que, siguiendo esa

misma línea, desarrollaron Lambert y Legendre;

Una vez tratado el tema de los precursores de las GNE, se retoma el problema de los

fundamentos de la geometría euclidiana, tratado al inicio del curso; problema para el que

se presenta la solución, a partir de la fundamentación rigurosa de la geometría euclidiana


propuesta por Hilbert9. Debe quedar claro, que si bien, en este momento del curso, no se

pretende revisar exhaustivamente el trabajo de Hilbert, se hace por lo menos una revisión

de alguna manera laxa de los 21 axiomas10. Dado el enfoque de la asignatura, lo que

realmente interesa, es generar una reflexión en torno a la formalización de los fundamentos

de la geometría desde un punto de vista axiomático; entendidos los axiomas como

convenciones, a partir de los cuales pueden derivarse de manera formal los teoremas y no

como verdades evidentes a priori que emergen del mundo físico o de la experiencia; parte

esencial de las discusiones generadas en torno a estos temas, tienen que ver con el hecho

de entender que lo que realmente importa, no es el contenido per se de los axiomas, sino

que estos sean independientes entre sí y no exista contradicción entre ellos.

Finalmente, el curso aborda los trabajos de Lobachévski, Riemann y las aplicaciones

de las nuevas geometrías; una vez más, no se pretende hacer una revisión rigurosa y

exhaustiva de los desarrollos matemáticos, llevados a cabo por los autores anteriormente

mencionados, sin embargo, es necesario hacer notar, que el nivel de profundidad con el

que se trabaja cada uno de los tres temas anteriores depende en gran medida de los intereses

que el grupo manifieste a lo largo del semestre.

9 David Hilbert (1862-1943), en su Die Grundlagen der Geometrie (los fundamentos de la geometría),

enuncia un sistema completo de axiomas de la geometría euclidiana, es decir, una lista de premisas básicas

de las cuales se pueden obtener todos los demás resultados de esta geometría, por medio de deducciones

lógicas. También establece, asimismo, la independencia de los axiomas más importantes de su sistema, con

respecto a los restantes, contenidos en este.

10 Dichos axiomas más completos y abstractos que los originales, versan sobre puntos, líneas y planos

y abarcan seis tipos de relaciones que se pueden presentar entre ellos.

Conclusiones

Una vez revisados los planes de estudio de las Licenciaturas mencionadas a lo largo

de este documento y los contenidos programáticos de las asignaturas en las que aparece el

tema de las GNE, y teniendo en cuenta los diálogos establecidos con los profesores que

dirigen, o en algún momento dirigieron este tipo de cursos, es posible mencionar, por lo

menos cuatro ideas que parecen relevantes; a manera de conclusión, en relación con los

programas de formación de profesores, en las cinco universidades mencionadas con

anterioridad.

También es importante resaltar que, para llevar a cabo la investigación presentada en

este documento, se requería entrar en contacto con la dirección de los programas

académicos y con los profesores que estuvieran relacionados con cada una de las

Licenciaturas presentadas en este trabajo, bien porque dirigieran actualmente el curso de

interés, o porque en algún momento lo dirigieron. En la mayoría de los casos, los profesores

respondieron al llamado de colaboración, siempre en la medida de sus posibilidades, sin

embargo, también es cierto que, por razones de diversa índole, aunque siempre facilitaron

los contenidos programáticos que se requerían, no siempre fue posible establecer contacto

con ellos; condición sine qua non para realizar los respectivos análisis.

En particular, se presentaron dificultades para establecer dialogo con los docentes, a

cargo de las siguientes asignaturas: Tópicos de historia de las matemáticas de la

Universidad Pedagógica Nacional e Historia, filosofía y epistemología de las matemáticas

de la Universidad de Antioquia. Es en razón de esas dificultades, que si bien, se presenta

la descripción de los cursos, no fue posible desarrollar los respectivos análisis.

84

Referencias Bibliográficas

Para empezar, hay que decir, que en principio, todos los programas de formación de

profesores revisados, en estas cinco universidades están permeados por contenidos sobre

las GNE, cada uno de ellos dotados de sus propias particularidades; y una diferencia notoria

en relación con el tiempo dedicado, en cado uno de ellos a estos temas, y el nivel de

profundidad y rigurosidad con el que son tratados. Para ver esto, es necesario comparar,

por ejemplo, el tiempo dedicado a este asunto en el curso de Geometrías no euclidianas de

la UPN, el cual es un curso dedicado exclusivamente al estudio de las GNE, a lo largo de

todo un semestre, con el tiempo que se le dedica en asignaturas como Época

contemporánea y Matemáticas y experiencia en la Universidad de Nariño y en la

Universidad del Valle, respectivamente; es claro que el nivel de profundidad y rigurosidad,

con el que pueden ser tratados los temas no puede ser el mismo, dadas las condiciones de

tiempo; más aún, incluso entre aquellos programas que dedican una cantidad de tiempo

menor para el tratamiento de estos temas, parece haber diferencias en este sentido.

Veamos el caso, nuevamente, de asignaturas como Época contemporánea,

Matemáticas y experiencia; o Pruebas, demostraciones y refutaciones de la Universidad

del Cauca, en comparación con Epistemología e historia de las matemáticas de la

Universidad de Antioquia; si bien como ya se dijo con anterioridad, no fue posible

establecer en más de una ocasión, comunicación con el docente a cargo; teniendo en cuenta

el contenido programático de dicha asignatura y el único dialogo que pudo realizarse con

dicho docente —en el que manifestó, que el tema si se toca, pero sin entrar en detalles y

durante muy poco tiempo— parece plausible que las tres o cuatro semanas, que en general

se dedican a estos temas, en las asignaturas relacionadas al inicio de este párrafo, sea

superior al tiempo dedicado en la asignatura de la Universidad de Antioquia, razón por la

cual, es bastante probable que el nivel de rigurosidad y profundidad con el que se trabajan

estos temas, sea inferior en comparación con el de las tres asignaturas ya mencionadas.

85


No es la pretensión de este documento, decir que un programa o asignatura es de

mayor o menor calidad, en virtud de la cantidad de tiempo dedicado a estos asuntos, lo cual

sería por lo menos, irresponsable y falas; además, tal afirmación no está en línea con los

objetivos trazados para la realización de esta investigación.

En segundo lugar, es necesario decir, que si bien, todos los tópicos relacionados con

las GNE que de una u otra manera son tratados en los diferentes programas consultados; al

margen de algunas diferencias, son bastante similares en términos de contenidos —desde

el punto de vista histórico— independientemente del tiempo dedicado a su estudio. Sin

embargo, no es menos cierto, que, a pesar de las similitudes existentes, son notorias las

diferencias relacionadas con el enfoque que se les da en cada uno de los cursos, y esto es

válido para todos los programas revisados.

En principio, es posible afirmar, que, a pesar de las diferencias existentes, desde el

punto de vista del enfoque, en general los profesores a cargo de estos cursos pretenden—

al margen del tema tratado— que el estudio de la historia de las matemáticas, amplíe en

los futuros profesores el espectro de posibilidades para enfrentar su actividad profesional

y su capacidad de reflexión en torno a esta. Ahora bien, volviendo a las particularidades de

cada curso, en el caso de Matemáticas y experiencia de la Universidad del Valle, las

discusiones y reflexiones giran en torno a la relación histórica entre el desarrollo de las

matemáticas y los problemas a los que se ve enfrentada la sociedad y que emergen a partir

del mundo tangible, dichas discusiones y reflexiones son el eje director del curso,

incluyendo los demás temas abordados; en contraste, un curso como Pruebas,

demostraciones y refutaciones de la Universidad del Cauca, con contenidos similares sobre

GNE, gira en torno a la evolución del concepto de demostración, no desde el punto de vista

estrictamente matemático; aunque obvio, se realiza un poco de trabajo en ese sentido, la

discusión relevante, que sirve de hilo conductor a lo largo de todo el curso, tiene que ver

86


más bien, con el sentido filosófico e histórico de dicho concepto en relación con el concepto

de verdad y su evolución a través del tiempo.

En comparación con las asignaturas mencionadas en el párrafo anterior, y con las

demás asignaturas tratadas en este documento, el curso de Geometrías no euclidianas de

la UPN, tiene claramente un hilo conductor diferente, en relación al enfoque con el cual se

trabaja, pues en este caso las reflexiones más relevantes giran en torno al problema de la

fundamentación rigurosa de las matemáticas, razón por la cual, aunque este no es un curso

de corte estrictamente matemático, algo de trabajo en ese sentido se realiza, siendo de lejos

este curso, entre todos los revisados, el que más se enfoca en dicha dirección y el que más

tiempo le dedica a tal cuestión, entre otras razones porque este es un curso totalmente

dedicado al estudio de las GNE; y además, porque dado el problema de la fundamentación

como hilo conductor para la asignatura, es de vital importancia desarrollar en los

estudiantes la capacidad de descubrir los razonamientos débiles o falaces desarrollados a

través de la historia de la génesis, surgimiento y desarrollo de las GNE, pues en palabras

del docente a cargo, la razón fundamental por la que se plantea un curso como este en la

universidad, es la necesidad de desarrollar en el futuro profesor la capacidad de reflexionar

de manera crítica en torno a su quehacer matemático en el desarrollo de su actividad

profesional.

Por otro lado, también es posible observar similitudes entre los enfoques con los que

se abordan los cursos. En el caso de Época contemporánea de la Universidad de Nariño,

el hilo conductor que rige la asignatura al igual que en el curso de Geometrías no

euclidianas de la UPN es el problema de la fundamentación de las matemáticas. Por esta

razón, el trabajo de tipo matemático y las discusiones de tipo histórico y filosófico hacen

parte de los propósitos centrales y son de vital importancia para el desarrollo de estos

cursos. Sin embargo, es claro que el nivel de profundidad y rigurosidad con el que se

87


abordan los temas, no llega a ser el mismo, en razón del tiempo disponible, pues hay que

recordar que el tema de las GNE tratado en la Universidad de Nariño, hace parte de una

sección del contenido programático de una asignatura que también aborda otros temas.

En tercer lugar, es importante mencionar que los temas relacionados con las

geometrías hiperbólica y esférica, aparecen en cada una de las asignaturas relacionadas a

lo largo de este documento; sin embargo, la amplitud temática varía de una universidad a

otra. Aparentemente hay dos razones fundamentales por las que esto ocurre; en principio,

por la cantidad de tiempo estipulado para su estudio en cada una de ellas; y, además, porque

el enfoque planteado condiciona no solo el tratamiento que se les da, sino también el tiempo

dedicado a su estudio.

En relación con el tiempo dedicado en cada asignatura a estos estudios, la mayor

diferencia se presenta entre Geometrías no euclidianas de la UPN y las asignaturas

ofrecidas en las otras universidades, pues como ya se dijo antes en este documento, el curso

de la UPN es un curso totalmente dedicado al estudio de las GNE, mientras que, en todas

las demás asignaturas descritas en este trabajo, este tópico hace parte de un contenido

programático que abarca otros temas, así que el tiempo dedicado a su estudio es realmente

mucho menor. Para ver esto puede tomarse como referencia el caso de la Universidad del

Valle, en la que si bien, los temas de GNE son abordados, en el curso de Matemáticas y

experiencia el tiempo estipulado para su estudio varía entre dos a tres semanas,

dependiendo de cómo el docente programe las presentaciones de los estudiantes; y así, las

geometrías, propiamente dichas de Lobachévski y Riemann, se trabajan de manera más

bien rápida, y se hace referencia solo a algunos resultados fundamentales. Esto tiene que

ver con la segunda razón que se esgrime en el párrafo anterior, pues la idea relevante, que

sirve de hilo conductor para desarrollar el trabajo, es la relación entre el desarrollo de las

matemáticas y la experiencia del hombre con su entorno físico; mientras que, en el caso

88


del curso impartido en la UPN, no solo la disponibilidad de tiempo para el estudio de estos

temas es mayor, sino que además, el enfoque con el cual se trabaja —el problema de la

fundamentación— hace necesario, que un poco más de trabajo, de tipo matemático, se lleve

a cabo en relación con ambas geometrías propiamente dichas; razón por la cual se revisan

con más detalle y en mayor cantidad algunos resultados fundamentales de las geometrías

hiperbólica y esférica. Esta comparación entre la asignatura de la UPN y la de la

Universidad del Valle, aplica para el resto de las asignaturas revisadas en este trabajo; por

lo menos en razón del tiempo; pues si bien en el curso de Época contemporánea de la

Universidad de Nariño, se trabaja de forma similar al de Geometrías no euclidianas, en

cuanto al enfoque, no debe perderse de vista el hecho, de que la disponibilidad de tiempo,

para trabajar estos temas es muy superior en el curso de la UPN. Es importante mencionar,

que tal vez, el curso más similar al de Geometrías no euclidianas de la UPN —por lo menos

en razón del tiempo— es el de Geometrías no euclidianas de la Universidad de Nariño,

dado que este, al igual que el anterior, es un curso totalmente dedicado al estudio de las

GNE; sin embargo, hay que recordar que este curso no se ofrece desde el año 2010.

Por tanto, con excepción de la UPN el resto de universidades tratadas en este

documento, ofrecen programas en los que el tema de las GNE, hace parte de un contenido

programático más amplio dentro de la asignatura. Esto significa que, en estas

universidades, el estudio de las GNE y en particular de las geometrías hiperbólica y esférica

tiene una dedicación parcial y cumple con unos objetivos específicos en el desarrollo del

curso. Naturalmente, dependiendo del enfoque de cada una de las asignaturas, se

encuentran diferencias relacionadas con la metodología, la intensidad horaria y la forma de

evaluación.

Finalmente, parece pertinente, hacer un llamado a la incorporación en los currículos

de las licenciaturas, por lo menos, de algunos de los aspectos de las matemáticas modernas

89


y contemporáneas, que hallan ocasionado una ruptura relevante con respecto a la

Epistemología y Filosofía de las Matemáticas, dejando claro de antemano, que en ese

sentido, las GNE no son las únicas responsables del tremendo impacto que se produjo en

estos terrenos, dado que otros grandes desarrollos de las matemáticas y la lógica en el siglo

XIX, también fueron causa del gran sismo que estremeció las propias bases de estos

sectores de la cultura. Algunos de esos grandes desarrollos logrados durante el siglo XIX,

son producto del genio y la ardua labor llevada a cabo por hombres de la talla de Fourier,

Hamilton, Hilbert, Grassmann, Peirce, Cauchy, Abel, Galois, Weierstrass, Dirichlet,

Cantor, Bolzano, Boole, Poincaré, Gödel entre muchos otros.

Finalmente una reflexión, que no es otra cosa, que un llamado a la necesidad de

incorporar en los programas de formación de profesores, tópicos que estén relacionados

con las matemáticas modernas y contemporáneas, pues está claro que el surgimiento de las

GNE, no fue el único acontecimiento disruptivo en el mundo académico e intelectual del

siglo XIX, sino que más bien, hace parte de un conjunto de nuevos e innovadores

desarrollos en matemáticas realizados por hombres de la talla de Godel, Hilbert, Fourier,

Poincaré, Riemann, entre muchos otros notables nombres de este siglo, que sin duda alguna

contribuyeron con su trabajo al desarrollo de las matemáticas.

Basta con recordar, lo que viene a significar el trabajo del gran Hilbert, en cuanto a

la formalización de las matemáticas se refiere, pues sin lugar a dudas, su concepción de lo

que es un sistema formal axiomático, representa un punto de quiebre, no solamente en lo

que tiene que ver con lo estrictamente matemático, sino también con la filosofía de las

matemáticas; en comparación con el punto de vista Kantiano de las matemáticas, respecto

de la naturaleza a priori de estas. Ni que decir del trabajo de Godel; su afamado teorema

de incompletitud, que dio al traste, precisamente con el sueño de Hilbert, de poder

90


formalizar todo el razonamiento matemático y cuya culminación debería ser precisamente

la demostración de la consistencia de las matemáticas.

Los anteriores, solo son un par de ejemplos, que no solamente muestran lo que viene

a ser la génesis y desarrollo de las matemáticas modernas y contemporáneas, sino que

además dejan ver el tremendo impacto que en términos filosóficos y conceptuales,

ocasionaron estos desarrollos a lo largo del siglo XIX y posteriores, que por demás, fueron

la causa primigenia, —al igual que en el caso de las GNE— de nuevos logros en el campo,

cambios de perspectiva e incluso de los modos de trabajo, que con el tiempo se verían

reflejados, en la gran variedad de áreas del conocimiento humano en los que las

matemáticas, tienen hoy día, gran injerencia. Para observar la valides de tal información

basta con mencionar la revolución que hoy día se vive en términos del manejo de datos, las

finanzas, la ingeniería e incluso la ciencias de la vida y la manipulación del ADN; todos

estos, campos en los que sin lugar a dudas, las matemáticas han desempeñado un papel

fundamental.

Es en razón de lo expresado, en los dos párrafos anteriores, que parece pertinente,

mostrar a los profesores en formación, al menos parte de esa maravillosa historia. En ese

sentido hay que decir, que si bien, en la mayoría de los programas revisados, se tocan

algunos de los aspectos de las matemáticas modernas y contemporáneas, comentados aquí,

este tipo de desarrollos, siempre hacen parte, de un contenido programático mucho más

amplio, y que, por lo tanto, en razón del tiempo disponible suelen tocarse de manera más

bien tangencial, además, en general los temas abordados nunca van más allá de los autores

nombrados aquí con anterioridad en el primer párrafo.

Así, como ya se dijo, en el primer párrafo, este es un llamado a la incorporación de

las matemáticas modernas y contemporáneas en los programas de formación de profesores;

en ese sentido, es notable que un curso de esta índole sea ofrecido en el plan de estudios

91


de la nueva licenciatura en matemáticas de la Universidad del Valle, como un primer

intento para abordar estas cuestiones. Queda claro que este es un primer intento, y que si

bien se trata de un curso en construcción, el abanico de posibles temas tratados en un curso

como este, puede ir desde los trabajos de Hilbert y Godel mencionados con anterioridad,

así como también la conjetura de poincaré, la función zeta de Riemann, la hipótesis de

Riemann, las ecuaciones de Navier-Stokes, las lógicas no clásicas, entre otros, a manera de

casos puntuales; pero recordando siempre que durante el siglo XX hubo grandes

desarrollos en topología, geometría algebraica y fractal, teoría del caos; entre otras ramas

de las matemática que seguramente podrían ser un buen nicho en el cual indagar. Las

opciones tomadas dependerán seguramente del enfoque y los intereses particulares de

aquellas personas que intervengan en el diseño de los contenidos programáticos, además

de los intereses propios de cada institución; pero seguramente podrían brindar a los futuros

profesores una visión más amplia de lo que significa el quehacer matemático, no solo en el

ejercicio de su profesión, sino también en la capacidad de entender como este tipo de

problemas, son capaces de romper paradigmas, que logran cambiar la concepción, que de

las matemáticas tienen incluso quienes se dedican a estas, y hasta de los maneras y modos

de concebir la existencia misma.

92



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Anexos

A continuación, se presentan los planes de estudio de las licenciaturas relacionadas en este documento, junto a cada uno, el

contenido programático de las asignaturas identificadas con tópicos de GNE relacionadas en el análisis.

1. Universidad del Valle

1.1 Plan de estudio Licenciatura en matemáticas y Física

Líneas de formación Semestre I

Semestre II

Semestre III

Semestre IV

Semestre V

Semestre VI

Semestre VII

Semestre VIII Semestre IX

Semestre X

Matemáticas Matemáticas

Fundamenta

405036m

Fundamentos

de Geometría

Lógica Teoría

de Conjuntos

Cálculo (I)

Diferencial

Geo. Analític

Vectorial

Álgebra

Lineal

Cálculo (II) Integral

Ecuaciones

Diferenciales

Cálculo (III) Avanzado

Análisis

Exploratorio de Datos y

Estadística

Álgebra

Moderna

Métodos

Matemáticos

Para la Física

Inferencia

Estadística

Elementos de Topología y

Geometría

Diferencial

Análisis (I)

Matemático

PRÁCTICA

PROFESIONAL I

405094m SEMINARIO

DE

PRÁCTICA PROFESIONA

L I

TRABAJO DE

GRADO I

SEMINARIO DE TRABAJO

DE GRADO I

PRÁCTICA

PROFESIONAL II

405096m

SEMINARIO

DE PRÁCTICA PROFESIONA

L II

TRABAJO DE

GRADO II

SEMINARIO

DE TRABAJO DE GRADO II

Física Fundamental

Física Funda. I Lab. F.F.I

Física Fund. II Lab. F.F.II

Física Fund. III Lab. F.F.III

Física Fund. IV Lab. F.F.IV

Didáctica de las

Matemáticas

Elementos de

Educación

Matemática

Problemas en

Educación

Matemática

Evaluación y

Currículo en

Educación Matemática

Didáctica de

las Matemát.

Análisis de

Textos

Esc. de Mat.

Histórico -

Epistemológico

Matemáticas y

Experiencia

Historia Epist.

de las Matem.

Razonamiento y

Lenguaje

Conocimiento

y Cultura

Conocimiento

y Desarrollo

Lenguaje y

Comunicación

Razonamient

o Matemático

Nuevas Tecnologías NTIC I NTIC II

Idiomas Ingles I Ingles II

Electivas

Complementarias y Profesionales

COMPLEME

NT. I

COMPLEME

N.II

COMPLEME.

III

COMPLEMEN.

IV

PROFESIONA.

I

PROFESIO. II PROFESIO.

III

PROFESIO. IV PROFESIO. V PROFESIO VI

Otras Asignaturas Deporte

95 Anexos

1.1.1 A continuación, se presenta el contenido programático de las asignaturas con

tópicos de GNE del plan de estudios anterior.

La asignatura Matemáticas y Experiencia, a lo largo del semestre, trabaja los

siguientes temas:

• ¿Qué entendemos por experiencia?: abstracción y objetos concretos

• Los filósofos presocráticos: Thales de Mileto.

• Las ideas aritméticas de los pitagóricos.

• Las ideas de Zenón: Teoría vs Experiencia.

• Dos teóricos de la relación matemáticas y experiencia: Platón y Aristóteles.

• La cultura alejandrina: Arquímedes y su obra.

• El ideal de matematización en Galileo.

• Geometría y experiencia: Desde Euclides hasta Lobachévsky y Riemann.

• Einstein: geometría y experiencia.

• Axiomática e intuición.

La bibliografía utilizada para dichos temas, es la siguiente:

Anacona, M., Arbeláez, G., Recalde, L., y Arboleda, L.C. (1999). Matemáticas y

Experiencia. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Arbeláez, G.; Anacona, M. y Recalde, L., (1998). Número y magnitud: una perspectiva

histórica. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Boyer, C. (1987). Historia de la Matemática. Madrid, España: Alianza.

Grattan, G., (1982). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introducción

histórica. Madrid, España: Alianza.

96 Anexos

Klein, Morris (1994). El Pensamiento Matemático de la Antigüedad a nuestros días.

Madrid, España: Alianza

Recalde, L., (2018). Lecciones de historia de las matemáticas. Cali, Colombia:


97 Anexos

1.2 Plan de estudio Licenciatura en educación Básica con énfasis en Matemáticas

Líneas de

formación

Semestre I

Semestre II

Semestre III

Semestre IV

Semestre V

Semestre VI

Semestre VII

Semestre VIII Semestre IX

Semestre X

Matemáticas Elementos de

Lógica Matemá.

Números y

Operaciones

Iniciación al

Álgebra

Geometría I

Teoría de

Conjuntos

Geometría II

Álgebra Lineal

Cálculo l (I)

Diferencia

Álgebra

Moderna

Cálculo (II)

Integral

Análisis

Exploratorio

de Datos y Estadística

Inferencia

Estadística

PRÁCTICA

PROFESIONA

L I

SEMINARIO

DE PRÁCTICA

PROFESIONAL I

TRABAJO DE GRADO I

SEMINARIO

DE TRABAJO

DE GRADO I

PRÁCTICA

PROFESIONA

L II

SEMINARIO DE PRÁCTICA

PROFESIONAL II

TRABAJO DE

GRADO II

SEMINARIO

DE TRABAJO

DE GRADO II

Didáctica de las

Matemáticas

Elementos de

Educación

Matemática

Aspectos

Socioculturales

de la Educaci. Matemática

Problemas en

Educación

Matemática

Evaluación en

Educación

Matemática

Resolución de

Problemas

Currículo en

Educa.Matem

a. 405064m

Didáctica de las Matemát.

Análisis de Textos

Esc. de Mat.

Histórico -

Epistemológico

Historia de las

Matemáticas

Griegas

Historia del

Número y la

Magnitud

Elementos

Filosóficos de

las

Matemátic.

Razonamiento y

Lenguaje

Conocimiento y Cultura

Conocimiento y Desarrollo

Lenguaje y Comunicación

Conocimiento Matemático

Lenguaje Natural y Leng.

Formal

Razonamient

o Matemático

Nuevas

Tecnologías

NTIC I NTIC II

Idiomas Ingles I Ingles II

Electivas

Complementarias

y Profesionales

COMPLEMENT.

I

COMPLEMEN.

II

COMPLEME.

III

COMPLEMEN.

IV

PROFESIONA.

I

PROFESIO.

II

PROFESIO. III PROFESIO.

IV

PROFESIO. V PROFESIO VI

Otras

Asignaturas

Deporte

98 Anexos

1.3 Plan de estudio Licenciatura en Matemáticas

172 CICLO BÁSICO GENERAL CICLO ESPECIFICO CICLO PROFESIONAL

Líneas de

formación Semestre I Semestre II Semestre III Semestre IV Semestre V Semestre VI Semestre VII

Semestre

VIII Semestre IX Semestre X

Formación

disciplinar

Matemáticas

Elementos de lógica

matemática

Conjuntos

numéricos Algebra lineal

Algebra

moderna

Ecuaciones

diferenciales

Física

General Estadística Topología

Tópicos de

matemáticas moderna y

complementar

ias

Matemática fundamental

Geometría Calculo I Calculo II Análisis

matemático

Historia y

filosofía de las

matemáticas

Historia de las matemáticas

griegas

Historia y epistemologí

a de las matemáticas

Filosofía de

las

matemáticas

Didáctica

Didáctica de

las

matemáticas

Elementos de

educación matemática

Aspectos socioculturales

de la educación

matemática

Didáctica I: desarrollo del

pensamiento

numérico

Didáctica II: desarrollo del

geométrico y

métrico

Didáctica III:

desarrollo del

pensamiento estocástico y

aleatorio

Didáctica VI: desarrollo del

pensamiento

variacional

Didáctica V:

tópicos en

didáctica de las

matemáticas

Práctica

profesional I

Práctica

profesional II

Lenguaje y

razonamiento

Conocimiento

y cultura

Conocimiento y

desarrollo

Lenguaje y

comunicación

Discurso matemático

en el aula

Razonamient

o matemático

TIC

Tecnologías

digitales en EM

Integración de las

TIC con el currículo

Diseño de

actividades de

aprendizaje con apoyo de

las TIC

Implementac

ión de las TIC en la

enseñanza de

las matemáticas

PED Pedagogía Introducción a

la pedagogía

Historia de la

educación y la pedagogía

Trabajo de

grado I

Trabajo de

grado II

Fundamentos

generales

Idiomas Inglés I Inglés II Inglés III Inglés IV

Electivas

Complementa

ria I

Complementari

a II

Complementar

ia III

Complementari

a IV Profesional I Profesional II Profesional III

Profesional

IV

Deporte

PP Práctica

profesional 3 3 3 4 3 5 5 8 8 8

99 Anexos

A continuación, se presenta el contenido programático de las asignaturas con tópicos

de GNE del plan de estudios anterior.

La asignatura Historia de las Matemáticas Griegas, a lo largo del semestre, trabaja

los siguientes temas:

Las huellas geométricas de Tales de Mileto.

Aritmética y Geometría en el pensamiento pitagórico.

Los tres problemas clásicos griegos.

Las paradojas de Zenón.

Las Matemáticas en Platón y Aristóteles.

Los Elementos de Euclides.

Teoría de triángulos y paralelismo. (Libro I).

Método de aplicación de áreas. (Libro II).

La cuadratura de la parábola en Arquímedes


Anacona, M., Arbeláez, G., Recalde, L., y Arboleda, L.C. (1999). Matemáticas y

Experiencia. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Arbeláez, G.; Anacona, M. y Recalde, L., (1998). Número y magnitud: una perspectiva

histórica. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Boyer, C. (1987). Historia de la Matemática. Madrid, España: Alianza.

Campos, A, (2006). Introducción a la Historia y a la Filosofía de la Matemática. Bogotá,

Colombia: Universidad Nacional.

Euclides, (1991). Elementos. Madrid, España: Gredos.



La asignatura electiva Geometría no euclidiana, a lo largo del semestre, trabaja los

siguientes temas:

Génesis de las Geometrías no Euclidianas.

100 Anexos

Espacio, recta e infinito: en la antigüedad y en la modernidad.

Los sistemas axiomáticos y formales: Principales diferencias.

La axiómatica euclidiana y el problema del 5º. Postulado.

Aristóteles y el problema de las paralelas.

Las “pruebas” más famosas del 5º. Postulado.

“Pruebas” directas de la dependencia del 5º Postulado.

Demostración de la equivalencia entre el postulado de las paralelas el postulado de

playfair.

“Pruebas” del 5º. Postulado por contradicción. (Sacheri, Lambert y Lagrange).

Evolución conceptual de las nuevas Geometrías

Concepción Kantiana del espacio la geometría

Relación Geometría – experiencia

Gauss, Lobachevski y Riemann

Desarrollos técnicos

La Geometría de Lobachévski: Estudio de algunas proposiciones

La Geometría de Riemann: Estudio de algunas proposiciones.

Modelos euclidianos de las Geometrías no Euclidianas.

El problema de la consistencia de las nuevas geometrías.

Algunas consecuencias

Acerca de cuál es la “verdadera” geometría.

Implicaciones del surgimiento de las geometrías no Euclidianas en el

101 Anexos

formalismo en Matemáticas.

El fenómeno de la Recepción.

Avatares en la recepción de las geometrías no euclidianas en Europa.

El caso de lobachevski

Obstáculos epistemológicos para la recepción.

Recepción de las Geometrías no Euclidianas en Colombia.

Concepción filosófica de Espacio y Geometría del profesor Julio

Garavito.

“Demostración” del 5º. Postulado por Garavito.

Aceptación teórica de las Geometrías no Euclidianas por Garavito.

Postura euclidiana de Garavito frente a las Geometrías no Euclidianas.




Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología QUIPU, 11(67), 7–24.

Arboleda, Luis C. (1993). Dificultades estructurales de la profesionalización de las

matemáticas en Colombia en Historia Social de la Ciencia en Colombia. Tomo II,

Bogotá, Colombia: Colciencias, Tercer Mundo.

Dhombres, Jean, et al., (1987). Mathématiques au fils des áges. París, Fracia: Bordas.

Eves, H. (1969). Estudio de las Geometrías. México, D.F., México: Unión Gráfica, S.A.

Garavito, J. (1917). ¿Bancarrota de la ciencia?. Anales de ingeniería. (25).

Notas sobre las geometrías planas no euclídeas. (1938) Revista de la Academia

Colombiana de Ciencias Exactas. Físicas y Naturales. (2), Bogotá.

102 Anexos

Kant, Enmanuel. (1984) Crítica de la Razón Pura. Bogotá, Colombia: Talleres de Gráficas

modernas.

Martinez R., (1987). Ensayo sobre la penetración de las ideas relativistas y cuánticas en

Colombia. Universidad de Antioquia.

El pensamiento físico y epistemológico de Garavito en Naturaleza (Educación y Ciencia)

No. 4, Bogotá, 1986.

Paty, M., (1993). Einstein Philosophe. France, París: Press Univertaires

Poincarë, H., (1984). Filosofía de la Ciencia. México D. F., México: Consejo Nacional de

Ciencia y Tecnología

Rosenfeld, B., (1988). A history of non-euclidean geometry. Evolution of the concept of a

geometry space. New York, estados Unidos: Springer-verlag.

También se presenta, la asignatura Historia y epistemología de las Matemáticas,

donde el contenido que abarca es:

Las matemáticas en la antigüedad griega

Magnitudes conmensurables e inconmensurables. Medida de la diagonal del pentágono por

uno de sus lados. La medida de la diagonal y el lado del cuadrado.

La medida de figuras rectilíneas en los Elementos. El álgebra geométrica de Euclides y la

cuadratura de figuras poligonales.

El método exhaustivo de Arquímedes. Medida del círculo. Cuadratura de la parábola.

Las matemáticas clásicas (mediados del siglo XVII- mediados del siglo XIX)

Descartes y la resolución de la ecuación de segundo grado. La introducción de coordenadas

en Descartes. La solución de la ecuación de tercer grado en Descartes.

La emergencia del cálculo del lenguaje simbólico en Leibniz.

El concepto de límite en el análisis de Cauchy. La derivada y la integral de Cauchy, La

integral de Riemann.

103 Anexos

El surgimiento de las geometrías no euclidianas: Riemann y Lobachevky.

Las matemáticas modernas (mediados del siglo XIX- mediados del siglo XX)

La creación de los irracionales por Dedekind y la construcción de los reales por Cantor.

La génesis del estructuralismo en Dedekind y Hilbert y los comienzos de la topología de

vecindades.

El sistema axiomático para la teoría de conjuntos de Bourbaki y su propuesta

estructuralista.

Los reales de Bourbaki: elementos epistemológicos para la comprensión de la completitud.

Las matemáticas contemporáneas (mediados del siglo XX- hasta hoy)

Nociones básicas de categorías. La capacidad expresiva del lenguaje de categorías.

La caracterización de los números reales como coálgebras finales. Las lógicas

subyacentes a las matemáticas del siglo XX.


Arbeláez, G. & Gálvez, F. (2011). El conjunto de los Números Reales como objeto

Matemático: La Construcción de Dedekind. En recalde, L. & Arbelaez, G. (ed), Los

Números Reales como Objeto Matemático una perspectiva histórico-Epistemológica. (pp.

135-162). Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Corry, Leo. (1992). Nicolás Bourbaki and the concept of mathematical structures.

Synthese 92, pp. 315-348.e 92

Dedekind, R. (1998). ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza

Editorial. Traducción de José Ferreirós.

Edwards, C. H. Jr. (1979). The historical development of the calculus. New York.

Springer-Verlag,

104 Anexos

Gutierrez, J. (2009). Lógica intuicionista dual y álgebras de co-Heyting. Tesis de

grado. Universidad Nacional de Colombia.

Grattan-Guines I. (1992). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una

introducción histórica. Madrid, Alianza editorial.

Klein, M. (1972). Mathematical thought from ancient to modern times. New York,

Oxford University Press.

Lawvere, F.W., Schanuel, S. (2002). Matemáticas Conceptuales: una primera

aproximación a categorías. México D.F: Siglo veintiuno editores.

Mc Lane, S. E Birkhoff, C. (1980). Álgebra Moderna Básica. 4ª Edição. Rio de

Janeiro: Guanabara Dois

Mac Lane, S. (1998) Categories for the Working Mathematician. Second edition.

New York: Springer-Verlag.

Newton II, I. (2001). Tratado de método de series y fluxiones. México: Mathema.

Newton III, I. (1711). Análisis de cantidades mediante series, fluxiones y diferencias

con una enumeración de las líneas de tercer orden. (A. J. Duran Guardeño, F. J. Pérez

Fernandez, Edits., & J. L. Arantegui Tamayo, Trad.) Real Sociedad Matemática Española

SAEM " Thales".

Ortiz, G., Valencia, S. (2010). La categoricidad de los reales en Hilbert. Revista

Brasileira de História da Matemática. 10(19), pp.39-65.

Pavlovié, D., & Pratt, V. (2002, 09). The continuum as a final coalgebra. Theoretical

Computer Science (280),105-106.

Recalde, L. C. (2013). Lecciones de Historia de las Matemáticas. Cali, Universidad

del Valle.

Shapiro, S., (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford:

Oxford University Press.

Zalamea, F. (2009). Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas. Bogotá:

Editorial Universidad Nacional de Colombia.

105 Anexos

2. Universidad de Antioquia


Semestres

I II III IV V VI VII VIII IX X

Fundamentos de

Matemáticas:

Variación y

Cambio

Fundamentos de

Geometría:

Forma y Espacio

Fundamentos de

Estadística:

Tratamiento de

la Información

Cálculo

Diferencial Cálculo Integral

Cálculo en

Varias Variables

Geometría

Vectorial y

Álgebra Lineal

Electiva en

Matemáticas I

Electiva en

Matemáticas II

Electiva en

Matemáticas III

Fundamentos de

Aritmética:

Cantidades y

Magnitudes

Seminario

Didáctica de la

Aritmética

Seminario

Didáctica de la

Geometría

Seminario

Didáctica del

Álgebra

Fundamentos de

Lógica

Análisis

Numérico Análisis Real

Seminario de

Especialización I

Seminario de

Especialización II

Seminario de

Especialización III

Seminario

Didáctica de la

Estadística

Seminario

Epistemologías en

Educación

Matemática

Práctica

Pedagógica I

Práctica

Pedagógica II

Práctica

Pedagógica III

Práctica

Pedagógica IV

Práctica

Pedagógica V

Práctica

Pedagógica VI

Práctica

Pedagógica VII

Práctica Pedagógica

VIII

Práctica

Pedagógica IX

Práctica

Pedagógica X

TRABAJO DE

GRADO

Historia

Imágenes y

Concepciones de

Maestro

Didácticas,

saberes y

evaluación

Teorías

Curriculares y

Contextos

Educativos

Políticas

Públicas y

Legislación

Educativa

Sujetos en las

relaciones

pedagógicas

Cognición,

cultura y

aprendizaje

Tradiciones y

Paradigmas en

Pedagogía

Educación

Popular

Formación

Ciudadana y

Constitución

Educación e

Inclusión

English I English II English III English IV English V Electiva I Electiva II Electiva III Electiva IV Electiva V

106 Anexos

2.2 Plan de estudio Licenciatura en Educación básica con énfasis en Matemática

Semestres


Seminario de

introducción a

la educación

matemática

Seminario

Didáctica de la

Aritmética

Seminario

Didáctica de la

Geometría

Fundamentos

de análisis real

Fundamentos

de algebra

moderna

Profundización

en estadística

Práctica

Pedagógica I

Fundamentos de

lógica

Epistemología

en educación

matemática

Seminario de

profundización

en educación

matemática

Fundamentos

de Aritmética:

Cantidades y

Magnitudes

Profundización

en la

aritmética

Profundización

en la

geometría

Fundamentos

de Estadística:

Tratamiento de

la Información

Seminario

Didáctica de la

Estadística

Seminario

evaluación en

matemáticas

Historia,

epistemología y

filosofía de las

Matemáticas

Práctica

Pedagógica II

Tecnología en

educación

matemática

Smn interd

pedag-saberes

Fundamentos

de Geometría:

Forma y

Espacio

Sujetos en el

acto educativo

Fundamentos

del algebra

Fundamentos

de la medida

Seminario

Didáctica de la

medida

Matemáticas II

para las

ciencias

Seminario de

Especialización

I

Seminario de

Especialización II

Práctica

Pedagógica III

Trabajo de

grado

Historia

Imágenes y

Concepciones

de Maestro

Educación y

sociedad: Teor

y pra

Cognición,

cultura y

aprendizaje

Seminario

Didáctica del

algebra

Matemáticas I

para las

ciencias

Form y const

de sujectivi

Matemáticas III

para las ciencias

Gestión y cultura

escolar

Seminario de

Especialización

III

Seminario de

Especialización

IV

Tradiciones y

Paradigmas en

Pedagogía

Arte, estética y

educación

Teorías

Curriculares y

Contextos

Educativos

Eval, educac y

de los aprend

Infancias y

culturas

juveniles

Ética y

educación

política

Política publica

y legislación

educativa

Ciber, med y

proce educat

Pedagogía,

Inclusión y

discap.

Formación

Ciudadana y

Constitución

107 Anexos

2.2.1 A continuación, se presenta el contenido programático de las asignaturas con

tópicos de GNE del plan de estudios anterior.

La asignatura Historia, filosofía y epistemología de las matemáticas, a lo largo del

semestre, trabaja los siguientes temas:

¿Matemáticas o Matemática?

¿Historia de quien lee esta historia?

Documental, la historia del Uno y otras historias.

Una mirada de una historia occidental de las matemáticas.

Historia, filosofía, epistemología y educación matemática.

El teorema del Loro. Problemas clásicos

Matemáticas y culturas: Una relación pendiente de profundizar


Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática. La educación matemática desde una

perspectiva cultural. Barcelona, España: Paidos.

Bishop, A. (2005). Aproximación sociocultural a la Educación Matemática. Cali,

Colombia: IEP, Universidad del Valle.

Caraça, B.J.(1984). Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa, Portugal: Livraria Sà

Da Costa Editora.

Courant, R. y Robbins, H., (2002) ¿Qué son las matemáticas?. México: Fondo de Cultura

Económica.

Kline, F. (1985). Mathematics. The loss of certainty Matemáticas. Oxford University press,

New York. Traducción al español: La pérdida de la certidumbre. Madrid, España:

Siglo veintiuno.

108 Anexos

Lizcano, E. (2002). Etnomatemática, currículo e formação de professores. En Knijnik G,

Wanderer F; Oliveira C. (Eds.). Las matemáticas de la tribu europea: un estudio

de caso (pp. 124- 138). Santa Cruz do Sul, Brasil: Edunisc.

Miguel, A; Miorim, M. (2005). História na Educação Matemática: Propostas e desafios.

Belo Horizonte, Brasil: Autêntica.

109 Anexos

1.5 3. Universidad del Cauca


Semestre I

Semestre II Semestre III

• Matemáticas Generales

• Lógica y Conjuntos

• La Lectura y la Escritura

• Formación Ciudadana

• Cálculo I

• Geometría

Euclidiana

• Taller de la Lengua

Española

• Pensamiento

Matemático I

• Cálculo II

• Geometría Analítica

• Algebra lineal

• Estadística y Probabilidad

• Pensamiento Matemático II

Semestre IV Semestre V Semestre VI

• Ciencias Naturales I

• Laboratorio de Ciencias

Naturales I .

• Pedagogía y Currículo en

la enseñanza de las

Matemáticas

• Educación Matemática y

Matemática Escolar

• Programación básica

• Área de Interés

Personal

• Ciencias Naturales II

• Laboratorio de

Ciencias Naturales II

• Ecuaciones

Diferenciales

Ordinarias

• Educación

Matemática y

Matemática Escolar

• Ciencias Naturales III

• Laboratorio de Ciencias

Naturales III

• Programación básica

• Teoría de grupos

• Didáctica de las

Matemáticas I

Semestre VII Semestre VIII Semestre IX

• Electiva I

• Teoría de los anillos

• Didáctica de las

Matemáticas II

• Práctica Pedagógica I

• Análisis I

• Área de Interés

Personal II

• Electiva II

• Matemáticas y

Experiencia I

• Práctica Pedagógica

II

• Topología general

• Electiva III

• Matemáticas y Experiencia

II

• Práctica Pedagógica III

Semestre X

• Electiva IV

• Práctica Pedagógica IV

• Matemáticas y Realidad

110 Anexos

En la licenciatura anterior, se encuentran tópico de GNE, en una asignatura

obligatoria y una electivas, que no se refleja en el plan de estudios, puesto que este plan,

muestra solo las asignaturas obligatorias


de GNE de la licenciatura en Matemáticas.

3.1.1 La asignatura Matemáticas y experiencia II, es obligatoria y a lo largo del semestre,

trabaja los siguientes temas:

Objetividad Matemática, Historia y Educación Matemática

Los Elementos de Euclides (Axiomática)

Hilbert y la Axiomática

El quinto postulado y las geometrías no euclidianas

La desaxiomatización de las matemáticas. Frechet

El papel de la intuición en la constitución de teorías

Matemáticas, Poincaré

La constitución de los objetos matemáticos Enriko Giusti

Matematización de la física. Fourier

El movimiento de la aritmetización del análisis

El conjunto de los números reales como objeto matemático: la

construcción de Dedekind.

Lakatos y el cuasiempirismo de las matemáticas


Arbelaez G., Recalde L. (2011). Los números reales como objeto matemático: Una

perspectiva Histórico-epistemológica. Cali, Colombia: Universidad del Valle.

Anacona, M., (2003). La historia de las matemáticas en la educación matemática, Revista

EMA. (8-1), 30-46.

111 Anexos

Bobadilla, M.L., (2001). Las concepciones de Fourier sobre matemáticas y experiencia y

la instauración de la teoría analítica del calor (Tesis de maestría), Universidad del

Valle, Cali, Colombia.

Cavailles, J. (1938) Méthode axiomatique et formalisme. Hermann, Paris. Traducción al

español: Método Axiomático y Formalismo.(1992), Mexico D.F., Mexico: Facultad

de Ciencias, UNAM.

Cauchy, A. (1994). Curso de Análisis. Traducción el español: Carlos Alvarez. México:

Facultad de Ciencias, UNAM.

Euclides. (1970). Elementos de Geometría. En F. Vera, Científicos griegos (Vol. I, págs.

689-959). Madrid, España: Aguilar.

Fréchet, M., (1995). Les Mathématiques et le concret. Paris, Francia: P.U.F.

Giusti, E. (1999). Ipotesis ulla natura de glioggeti matematici. Traducción al francés: La

naissance des objets mathématiques (2000). París, Francia : Ellipses Édition

marketing S.A.

Grattan G., (1980). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910, Una introducción

histórica. Madrid, España: Alianza editorial.

Hilbert, D. Pensamiento Axiomático. Revista Galileo, Montevideo, segunda época, No. 1-

2, abril de 1989.

Israel,G. (1996). La mathématisation du réel. París, Francia : Du Sevil.

Kitcher, P., (1983) The Nature Of Mathematical Knowledge. New York, Oxford:

Universsity Press.

Kline, F. (1985). Mathematics. The loss of certainty Matemáticas. Oxford University press,

New York. Traducción al español: La pérdida de la certidumbre. Madrid, España:

Siglo veintiuno.

Poincaré, H. (1963). La ciencia y la hipótesis. Madrid, España: Espasa-Calpe S.A.

3.1.2 También, la electiva Pruebas, demostraciones y refutaciones, donde sus

contenidos son:

Teorema Fundamental del álgebra (TFA)

112 Anexos

Acercamiento entre número y magnitud

Resolución de ecuaciones polinómicas

Construcciones con regla y compás

Insolubilidad de los tres problemas griegos

Emergencia de los números complejos

TFA

Geometrías no euclidianas (GNE)

El método axiomático de Euclides

Intentos de demostración del quinto postulado de Euclides

Geometría y realidad

GNE

Hipótesis del continuo (HC)

Construcción de los números reales por sucesiones fundamentales

La numerabilidad de los racionales y la no numerabilidad de los irracionales

Emergencia de la teoría de conjuntos

Emergencia de la topología conjuntista de puntos

Ordinales y cardinales

Biyección entre R y Rn

HC




Courant, R. y Robbins, H., (2002) ¿Qué son las matemáticas?. México: Fondo de Cultura

Económica.

Euclides. (2000). Elementos de Geometría. Madrid, España: Gredos.

Newman, J., (1994) Sigma, El mundo de las matemáticas. Madrid, España: Grijalbo.



Moise, E. (1980). Geometría Elemental desde un punto de vista avanzado. México:

continental.

Dunham, W., (1991). Journey Through Genius. The great theorems of mathematics.

Londres, Inglaterra: Penguin Books.

113 Anexos

1.6 4. Planes de estudio de la Universidad de Nariño

4.1 Plan de estudio Licenciatura en Matemáticas, reforma del 2017

Semestre I Semestre II Semestre III

Fundamentos de matemáticas

Matemáticas generales

Historia y epistemología de la

pedagogía

Geometría euclidea

Calculo diferencial

Geometría analítica

Educación matemática y

cultura

Análisis numérico I

Corrientes pedagógicas

Algebra lineal

Calculo integral

Historia, epistemología y

didáctica de las matemáticas I

Laboratorio de Didáctica de

las matemáticas I

Transformaciones semióticas

en la constitución de las

matemáticas

Semestre IV Semestre V Semestre VI

Teoría de números

Calculo de varias variables y

vectorial

Historia, epistemología y

didáctica de las matemáticas

II


las matemáticas II

Análisis numérico II

Teoría de grupos

Ecuaciones diferenciales

Cálculo de probabilidades

Laboratorio de Didáctica

de las matemáticas III

Caracterización de

prácticas educativas I

Análisis matemático

Teoría de anillos y cuerpos


las matemáticas IV

Caracterización de prácticas

educativas II

Estadística

Semestre VII Semestre VIII Semestre IX

Variable compleja


las matemáticas V

Caracterización de prácticas

educativas III

Repensando el terreno de las

TIC

Electiva I

Geometría de

transformaciones

Laboratorio de Didáctica

de las matemáticas VI

Electiva II

Seminario de

investigación I

Elec. formación integral I

Electiva de formación

integral I

Practica educativa I

Seminario de investigación II

(Trabajo de grado)

Semestre X

Practica educativa II

Seminario de investigación

III (Trabajo de grado)



114 Anexos

4.1.1 La asignatura Historia, epistemología y didáctica de las matemáticas II, dentro

de sus contenidos, presenta tópicos específicos de GNE. La temática general

trabajada es la siguiente:

La emergencia de la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas:

Desarrollos conjuntistas en Dedekind y en Cantor

El infinito actual y potencial

Inicios de la topología conjuntista

Origen de los números transfinitos

Hipótesis del continuo

Marco General del surgimiento de la teoría de conjuntos

Paradojas de la teoría de conjuntos

Respuesta del constructivismo

Formalismo de Hilbert

Teorema de Gödel.

El surgimiento de las Geometrías no Euclidianas:

El postulado de las paralelas y equivalencias

Intentos fallidos para demostrar la dependencia del Postulado V

Saccheri y su obra

Lobachévski y Boyai

Geometría Riemanniana

Geometrías no euclidianas y fundamentos de las matemáticas.

Panorama disciplinar de las Matemáticas

Los 23 problemas de Hilbert

115 Anexos

Clasificaciones disciplinares de revistas

Clasificaciones por temáticas en los Congresos Internacionales de Matemáticas

Panorama actual de las clasificaciones disciplinares en matemáticas.

Aspectos de historia de la matemática colombiana:

Bourbakismo y reforma de las matemáticas,

Propuesta de archivo histórico de las matemáticas de Clara Helena Sánchez y

Víctor Albis, Trabajo de Luis Carlos Arboleda,

Matemáticas en Nariño-Pasto-Udenar.


Aleksandrov, A. y otros, La matemática: su Contenido, Métodos y Significado, tomo 1,

Madrid, 1973, Alianza Editorial: AU68.

Babini, J. (1980). Historia de las ideas modernas en matemáticas. Buenos aires,

Argentina: O.E.A.



Bourbaki, N., (1962). Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Buenos Aires

Argentina: Editorial Universitaria de Buenos Aires.

Bourbaki, N., (1976). Elementos de Historia de las Matemáticas, Madrid, España: Alianza.

Boyer, C., (1986). Historia de las matemáticas, Madrid, España: Alianza.

Campos, A. (1994). Axiomática y Geometría: desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki.

Bogotá, Colombia: Universidad Nacional.

Chaves, A., (2014). La teoría de conjuntos en el periodo Entreguerras: la

internacionalización de la matemática polaca a través de Fundamenta

Mathematicae y Sierpinski (Tesis doctoral). Universidad Autónoma de Barcelona,

España.

Collete, J., (1986). Historia de las Matemáticas, Tomo I, II, México 1986, Siglo XXI

Editores.

116 Anexos

Eves, H., (1969). Estudio de las geometrías, 1. México: Unión Tipográfica Editorial

Hispanoamericana.

Kline, M., (1992). El pensamiento Matemático de la Antigüedad a Nuestros días, Tomo

III, Madrid, España: Alianza.

Odifredi, Piergiogio. (2006) La matemática del siglo XX. De los conjuntos a la

complejidad. Buenos Aires, Argentina: Katz.



Ríbnikov, K. (1987). Historia de las matemáticas, Moscú, Rusia: MIR.

Vasco, C. (1991) Conjuntos, Estructuras y Sistemas. Revista de la Academia Colombiana

de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Número 69.

Wussing, H. (1998). Lecciones de historia de las matemáticas. Madrid: Siglo XXI.

4.1.2 También, se presentan tópicos en la asignatura electiva Época contemporánea, la

temática que trabaja en el semestre es la siguiente:

El caso del último teorema de Fermat.

Internalismo, externalismo y más.

La emergencia de la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas

Desarrollos conjuntistas en Dedekind y en Cantor

La definición formal de conjunto infinito

Las Diversas Clases de Infinitos y el Continuo

Cantor y la potencia del plano

El problema de la dimensión en Cantor

De los conjuntos derivados a los números transfinitos

Formalización de los números transfinitos

De los ordinales transfinitos a los alephs

La Hipótesis del Continuo y la Topología de la Recta

Las paradojas de la teoría de conjuntos

Axiomáticas

117 Anexos

El logicismo

La respuesta desde el constructivismo

El programa formalista de Hilbert

Gödel

El surgimiento de las geometrías no euclidianas

El postulado de las paralelas y equivalencias

Intentos fallidos para demostrar la dependencia del Postulado V

Saccheri y su obra

Lobachévski y Boyai

Geometría Riemanniana

Geometrías no euclidianas y fundamentos de las matemáticas.

Panorama disciplinar de las matemáticas

Los 23 problemas de Hilbert

Clasificaciones disciplinares de revistas

Clasificaciones por temáticas en los Congresos Internacionales de Matemáticas

Panorama actual de las clasificaciones disciplinares en matemáticas.


Aleksandrov, A. y otros, La matemática: su Contenido, Métodos y Significado, tomo 1,

Madrid, 1973, Alianza Editorial: AU68.


Argentina: O.E.A.



118 Anexos

Bourbaki, N., (1962). Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Buenos Aires

Argentina: Editorial Universitaria de Buenos Aires.

Bourbaki, N., (1976). Elementos de Historia de las Matemáticas, Madrid, España: Alianza.

Boyer, C., (1986). Historia de las matemáticas, Madrid, España: Alianza.



Chaves, A., (2014). La teoría de conjuntos en el periodo Entreguerras: la

internacionalización de la matemática polaca a través de Fundamenta

Mathematicae y Sierpinski (Tesis doctoral). Universidad Autónoma de Barcelona,

España.

Collete, J., (1986). Historia de las Matemáticas, Tomo I, II, México 1986, Siglo XXI

Editores.

Eves, H., (1969). Estudio de las geometrías, 1. México: Unión Tipográfica Editorial

Hispanoamericana.

Kline, M., (1992). El pensamiento Matemático de la Antigüedad a Nuestros días, Tomo

III, Madrid, España: Alianza.

Odifredi, Piergiogio. (2006) La matemática del siglo XX. De los conjuntos a la

complejidad. Buenos Aires, Argentina: Katz.



Ríbnikov, K. (1987). Historia de las matemáticas, Moscú, Rusia: MIR.

Vasco, C. (1991) Conjuntos, Estructuras y Sistemas. Revista de la Academia Colombiana

de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Número 69.

Wussing, H. (1998). Lecciones de historia de las matemáticas. Madrid: Siglo XXI.

4.1.3 La asignatura Geometrías No Euclidianas, es una asignatura que estuvo vigente

hasta el (2010) después de la reforma, por lo tanto, no se refleja en el plan de

estudios presentado, esta asignatura a lo largo del semestre, trabajó los siguientes

temas:

Antecedentes históricos de las geometrías no euclidianas.

La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas.

119 Anexos

Consecuencias inmediatas del postulado de las paralelas.

Las investigaciones de los matemáticos del Islam sobre las paralelas.

Los trabajos de Saccheri y sus predecesores occidentales.

La obra de Lambert.

La obra de Legendre.

El surgimiento de las primeras geometrías no Euclidianas.

Los aportes de Gauss, Lobachévski, Bolyai y Riemann sobre las geometrías no

euclidianas.

La difusión y la recepción de las geometrías no euclidianas en Colombia.

Análisis epistemológico de las geometrías no euclidianas.


Aleksandrov, A, (1981). La matemática: su contenido, métodos y significado, Madrid,

España: Alianza.



Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología QUIPU, 11(67), 7–

24.





Coxeter, H., (1971). Fundamentos de Geometría. México D.F, México: Limusa-Wiley.

Eves, H., (1965). Estudio de las Geometrías. México D.F, México, Vol. I: Uthea.

Gamow, G., (1983). Biografía de la física. Madrid, España: Alianza.

120 Anexos

1.7 5. Universidad Pedagógica Nacional

5.1 Plan de estudio Licenciatura en matemática PLAN DE ESTUDIOS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UPN(2018)


IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr IHP Cr

Aritmética Sistemas

Numéricos Álgebra Lineal

Teoría de

Números

Teoría de

Grupos y

Anillos

Teoría de

Campos

Profundización

en Álgebra

Asig

natu

ras

Precálculo Cálculo

Diferencial Cálculo Integral

Sucesiones y

Series

Cálculo en

Varias

Variables

Ecuaciones

Diferenciales

Análisis

Matemático

Profundización

en Cálculo

Elementos

de

Geometría

Geometría

Plana

Geometría del

Espacio

Geometría

Analítica

Geometrías no

euclidianas Topología

Profundización

de Geometría

op

tativas

Estadística Probabilidad

Inferencia y

Métodos

Estadísticos

Análisis de

Varianza y

Regresión

Lineal

Profundización

de Estadística

Fundamentos de

Programación

Programación

en

Matemáticas

Teoría de

Conjuntos

Tópicos de

Historia de las

Matemáticas

Física I Física II

Sensibilizac

ión e

Interaccione

s en la

Escuela

Educación

Cultura y

Sociedad

Modelos

Pedagógicos

Conocimiento

curricular para

la Enseñanza

y Aprendizaje

de las

Matemáticas

Enseñanza y

Aprendizaje

de Aritmética

y Álgebra

Enseñanza y

Aprendizaje

de la

Estocástica

Evaluación de

las

Matemáticas

Escolares

Seminario de

Práctica en Aula

Seminario

Integración

Profesional a la

Escuela

Seminario de

Práctica en

Contextos

Diversos

Tecnología y

Mediación

Tecnológica

en el Aula de

Matemáticas

Enseñanza y

Aprendizaje

de la

Geometría

Enseñanza y

Aprendizaje

del Cálculo

Enseñanza y

Aprendizaje

de las

Matemáticas

Escolares

Práctica en Aula

Práctica

Integración

Profesional a la

Escuela

Práctica en

Contextos

Diversos

Taller de

Expresión

Oral

Taller de

Escritura y

Redacción

Inglés I Inglés II Didáctica de las

Matemáticas

Trabajo de

Grado

121 Anexos



5.1.1 La asignatura Geometrías No Euclidianas, se presenta como electiva y a lo largo

del semestre, trabaja los siguientes temas

Estudio del libro 1 de los Elementos de Euclides.

Reseña de las investigaciones sobre los fundamentos de la geometría. Historia del

quinto postulado. Trabajos de Saccheri, Lambert y Legendre.

Fundamentación rigurosa de la geometría euclidiana. Geometría absoluta.

Proposiciones equivalentes al quinto postulado.

Teoría no euclidiana de las paralelas. Vida y obra de Lobachévski. Construcción el

Modelo de Poincaré. Geometría de Riemann. Aplicaciones de las geometrías.

Geometría proyectiva.

La bibliografía que utiliza es:

Aleksandrov, A, (1979). La matemática: su contenido, métodos y significado, Madrid,

España: Alianza.


Argentina: O.E.A.

Campos, A. (1994). Axiomática y Geometría desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki.

Bogotá, Colombia: Universidad Nacional

Courant, R. (1979) ¿Qué es la matemática?. Madrid, España: Aguilar

Efimov, N.V. (1984). Geometría superior. Moscú, Rusia: MIR.

Kagan, V.F. (1986). Lobachévski. Moscú, Rusia: MIR.

Vera, F. (1970). Científicos griegos. Madrid, España: Aguilar.

las geometrías no euclidianas en los programas de …

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