UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNOFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA, ELECTRONICA Y SISTEMAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE GRAFOS

Ing. ELMER COYLA IDME

PUNO PERU 2008

Teora de Grafos

ELMER COYLA IDME ecoylai@hotmail.com DOCENTE DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE GRAFOS

PUNO PER

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Elmer Coyla Idme

INDICE

Pg.

I. Generalidades de teora de grafos. 5 II. Caminos y ciclos. .16 III. Representaciones de grafos. .23 IV. Isomorfismo de grafos. ...26 V. Algoritmos para la ruta ms corta. 28 VI. Coloracin de grafos. ..34 VII. Redes de planificacin. ...37

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Teora de Grafos

PRESENTACION

Esta obra Titulada, PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE GRAFOS, est dirigido a estudiantes de ingeniera y especialidades afines. Es un aporte de las experiencias cotidianas forjadas en las aulas universitarias para suplir la escasez de una bibliografa adecuada por carencia de textos. Estos problemas fueron planteados en las aulas de la Universidad Nacional del Altiplano, durante los semestres acadmicos 2004-I, 2004-II, 2005-I, 2005-II, 2006-I, 2006-II y 2007-I Esta edicin sale a la luz con el propsito de brindar un mejor servicio acadmico a los estudiantes de la Escuela Profesional de Ingeniera de Sistemas de la Universidad Nacional del Altiplano de Puno. Este texto, proporciona los fundamentos bsicos para estudiar con ventaja las asignaturas de: Anlisis y Diseo de Algoritmos, Teora de Lenguajes y Autmatas y Compiladores. El autor

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GENERALIDADES DE TEORIA DE GRAFOS

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1. Explique porqu ninguna de las grficas tiene un camino de a a a que pase por cada arista exactamente una vez.

2. Muestre que cada grfica tiene un camino de a a a que pasa por cada arista exactamente una vez, determine tal camino por inspeccin.

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3. En el grfico, los vrtices representan ciudades y los nmeros sobre las aristas representan los costos de construccin de los caminos indicados. Determine el sistema de carreteras ms barato que una todas las ciudades.

4. En los siguientes ejercicios, trace una grfica con las propiedades dadas o explique porque no existe tal grfica. a. b. c. d. e. f. g. h. i. Seis vrtices, cada uno de grado 3. Cinco vrtices, cada uno de grado 3. Cuatro Vrtices, cada uno de grado 1. Seis vrtices, cuatro aristas. Cuatro aristas, 4 vrtices con grados 1,2,3,4. Cuatro vrtices, con grados 1,2,3,4. Grfica simple; seis vrtices con grados 1,2,3,4,5,5. Grfica simple; cinco vrtices con grados 2,3,3,4,4. Grfica simple; cinco vrtices con grados 2,2,4,4,4.

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5. En las siguientes graficas proporcione V (el conjunto de vrtices), E (el conjunto de aristas) y F (la funcin que asigna a cada arista el par de vrtices que son los extremos de cada arista).

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6. Trace una imagen de la grafica G=(V,E,F) donde V={A,B,C,D,E,F,G,H}, E={e1,e2e9} F(e1)={A,C},F(e2)={A,B},F(e3)={D,C},F(e4)={B,D}, F(e5)={E,A}, F(e6)={E,D}, F(e7)={F,E}, F(e8)={E,G}, F(e9)={F,G} 7. Trazar la grafica de K6 8. Halle a lo ms 3 circuitos simples y 3 trayectorias simples si es posible de las graficas de las preguntas 1 y 5 del presente capitulo. 9. Cuales de las graficas de los problemas 1 y 5 del presente capitulo, son regulares. 10. En las siguientes graficas cuales son conexas y cuales disconexas.

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11. Grafique el grafo de Hanoi de tres discos. 12. Dse un ejemplo de grafo conexo que: a) No tenga ni ciclo de Euler ni ciclo de Hamilton. b) Tenga un ciclo de Euler, pero ningn ciclo de Hamilton. c) Tenga un ciclo de Hamilton, pero ningn ciclo de Euler. d) Tenga un ciclo de Hamilton y otro de Euler. 13. Trace una grafica simple; seis vrtices con grados 1,2,3,4,5,5. 14. Podra un caballo de ajedrez moverse en un tablero y regresar a su posicin original realizando cada movimiento exactamente una vez (Un movimiento se considera efectuando cuando el movimiento se hace en cualquier direccin) ? 15. Cuntas aristas tiene un grafo simple si sus vrtices tienen los siguientes grados 4,3,3,2,2?. Dibuje tal grafo. 16. Demostrar que un dgrafo completo con n nodos tiene un nmero mximo de aristas igual a n(n-1), suponiendo que no hay bucles. Nota: Un grafo es completo si todos sus nodos son adyacentes a todos los nodos del grafo. Los grafos completos de n nodos se denotan en la forma Kn 17. Para el grafo de la Figura. Determinar si es fuertemente conexo y Unilateralmente conexo. Nota: Se dice Unilateralmente Conexo, si para toda pareja de nodos del grafo al menos uno de los nodos de esta pareja se puede alcanzar desde el otro. Si para toda pareja de nodos del grafo los dos nodos de la pareja se pueden alcanzar uno desde el otro, entonces se dice que el grafo es Fuertemente Conexo.

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V1

V4

V2

V3

18. Realizar un algoritmo para detectar si un grafo es bipartido. 19. Un museo de arte ha ordenado la exposicin que actualmente presenta en cinco salas, como muestra la figura Existe alguna forma de recorrer la exposicin de modo que usted pase por cada puerta slo una vez.? En este caso, trace su recorrido.

20. En la puerta de una mansin histrica, usted recibe una copia del plano de la casa, como muestra la figura. es posible visitar cada cuarto de la casa pasando por cada puerta slo una vez?. Explique su razonamiento.

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21. Dibuje todos los Subgrafos del siguiente Grafo.

22. Cuntas aristas tiene un grafo si los grados de sus vrtices son 5,2,2,2,2,1? Dibuje el grafo correspondiente. 23. Cuntas aristas tiene un grafo si los grados de sus vrtices son 4,3,3,2,2? Dibuje el grafo correspondiente. 24. Indique razonadamente si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) Todos los rboles son bipartitos. b) Todos los rboles son eulerianos. c) Los dos grafos siguientes son isomorfos:

25. Sean: G = ({1, 2, 3},{{1, 2},{2, 3}}, H = ({a, b, c, d},{{a, b}, {c, d}}) dos grafos . a) b) c) d) Construye el grafo producto P = G x H. Construye una matriz de adyacencias de P. Determine si P es Euleriano. Determine si P es conexo.

26. Demuestre que en todo grafo G conexo con ms de dos vrtices tiene que haber al menos 2 vrtices con el mismo grado. 27. Dibujar el circuito mgico en el recorrido del caballo en un tablero de ajedrez.

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28. Escriba el conjunto de vrtices y el conjunto de aristas para cada una de las siguientes grficas.

29. Considere las siguientes graficas:

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Cules de estas graficas a) b) c) d) Contienen aristas mltiples. Contiene lazo. No contiene ni aristas mltiples ni lazos Son conexas.

30. Dibujar los siguientes grafos. a) Dibuja una grafica con 4 vrtices en la que cada vrtice tenga grado 2. b) Dibuja una grfica con 6 vrtices en la que cada vrtice tenga grado 3. c) Dibuja una grfica con 4 vrtices en la que cada vrtice tenga grado 1. d) Dibuja una grfica con 8 vrtices en la que cada vrtice tenga grado 3. 31. Dibuje una grfica con 4 vrtices, cada vrtice de grado 3, en la que. a) No haya lazos ni aristas mltiples. b) Si haya lazos pero no aristas mltiples. c) Si haya aristas mltiples pero no lazos. d) Haya lazos y aristas mltiples. 32. Dibuje una grfica con 5 vrtices, cada vrtice de grado 4, en la que. a) No haya lazos ni aristas mltiples. b) Si haya lazos pero no aristas mltiples. c) Si haya aristas mltiples pero no lazos. d) Haya lazos y aristas mltiples.

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33. Considere la siguiente grfica.

a) Encuentre una trayectoria del vrtice C al vrtice F que pase por el vrtice B pero no por el vrtice D. b) Encuentre una trayectoria del vrtice C al vrtice F que pase por los vrtices B y D. c) Cuntas trayectorias hay del vrtice C al vrtice A? d) Cuntas trayectorias hay del vrtice H al vrtice F? e) Cuntas trayectorias hay del vrtice C al vrtice F? f) Encuentre un circuito que pase por el vrtice D. g) Cuntos circuitos empiezan y terminan en el vrtice D? h) Cules aristas son puentes?

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CAMINOS Y CICLOS

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1. Para cada una de las siguientes grficas, determine si hay un Circuito de Euler, una Trayectoria de Euler o ninguno de los dos. Explique su respuesta.

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2. Utilizando algn algoritmo construir los circuitos eulerianos en las Cimitarras de Mahoma e indicar cual es su nmero cromtico.

3. Determine el Ciclo de Euler de la siguiente grafica.

4. Indique en el grafo si el camino dado es:

Un camino simple, Un ciclo y Un ciclo simple a. (b,b) b. (e,d,c,b) c. (a,b,c,d,e) d. (d,c,b,e,d) e. (b,c,d,a,b,e,d,c,b) f. (b,c,d,e,b,b) g. (a,d,c,b,e) h. (d) i. (d,c,b) 18

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5. En las siguientes graficas indique si la grafica tiene una Trayectoria de Euler, un Circuito de Euler o ninguno de los dos justifique su respuesta.

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6. Proporcione un ejemplo de una grfica que tenga un Ciclo de Euler pero no un Ciclo Hamiltoniano.

7. Proporcione un ejemplo de una grfica que tenga un Ciclo de Euler que tambin se un Ciclo de Hamilton. 8. Proporcione un ejemplo de una grfica que tenga un Ciclo de Euler y un Ciclo Hamiltoniano pero que no sean idnticos. 9. Identificar los posibles circuitos de Hamilton y su costo total utilizando fuerza bruta, identificar el circuito de Hamilton ptimo.

10. En las figuras. Hallar algunas trayectorias y circuitos de Hamilton y de Euler si es posible.

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11. Construir un algoritmo que dado un grafo Euleriano obtenga un Circuito

Euleriano. 12. Indicar si el Grafo de Herschel y el Grafo de Peterson son Grafos Hamiltonianos, justifique su respuesta. 13. Qu graficas tienen Circuitos Eulerianos? Para los que no lo tengan de una explicacin.

14 Qu graficas tienen Circuitos Eulerianos?. Cules tienen circuitos hamiltonianos?. De la sucesin de vrtices de un Circuito Hamiltoniano o Euleriano en caso que exista alguno.

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REPRESENTACIONES DE GRAFOS

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1. En cada grafo. Hallar el grado de cada vrtice, adems hallar la matriz que representa a cada grafo.

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2. Dada la matriz de incidencia: 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 -1 0 -1 1 Representar el Grafo correspondiente. 3. Dada la matriz de incidencias de un grafo:

1 0 0 -1 0 0

0 1 -1 0 0 0

0 1 0 -1 0 0

0 -1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 -1

-1 0 0 1 0 0

0 -1 0 1 0 0

0 0 0 1 -1 0

0 0 0 1 0 -1

0 -1 0 0 1 0

-1 0 0 0 0 1

0 -1 0 0 0 1

a) Obtener la matriz de caminos mnimos por algoritmo de Warschall. b) Realizar la representacin en memoria. 4. Realizar la matriz de adyacencia de los siguientes grafos.

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ISOMORFISMO DE GRAFOS

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1. Dos graficas son esencialmente iguales es decir isomorfos, si sus vrtices se pueden ordenar de manera que las matrices de los dos grficos sean idnticas.

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ALGORITMOS PARA LA RUTA MAS CORTA

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1. Una compaa de comunicacin investiga el costo de la actualizacin de las conexiones entre sus estaciones de transmisin. La grafica siguiente muestra las estaciones y el costo en millones de dlares para la actualizacin de cada estacin. Desarrolle un rbol de expansin mnima usando el algoritmo de Prim y Kruskal.

2. En los siguientes ejercicios, determine el rbol de expansin mnima por el algoritmo de Prim y Kruskal.

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3. Utilizar el algoritmo de Dijkstra en el grafo (a), para calcular el rbol de caminos mnimos desde el vrtice a.

Grafo (a)

Grafo (b)4. Calcular un rbol generador de peso mnimo del grafo (b), utilizando el

Algoritmo de Kruskal y Prim 30

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5. Una compaa de comunicacin investiga el costo de la actualizacin de las conexiones entre sus estaciones de transmisin. El grafo (c) muestra las estaciones y el costo en millones de dlares para la actualizacin de cada conexin. Desarrollar un rbol de expansin mnima.

Grafo ( c )

Grafo (d) 6. Para mejorar la comunicacin de los habitantes de 6 pequeos pueblos del Distrito de Puno (grafo (d)) se tiene planeado una red regional de telefona usando cable de fibra ptica de manera subterranea. Se muestra la distribucin de los 6 pueblos (vrtices), las aristas representan los caminos y los pesos los costos en millones de dlares de tender el cable de fibra ptica, es importante que el cableado se efecte a lo largo de los caminos existentes, pues abrir nuevos caminos

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resultara demasiado caro. Hallar la red que debe conectar a todos los pueblos gastando la menor cantidad de dinero. 7. Utilizar el algoritmo de Dijkstra, para calcular el rbol de caminos mnimos desde el vrtice s.

8. Cada maana el cartero perezoso toma un micro en la oficina postal. Desde ah elige una ruta para llegar a su casa lo antes posible (no finaliza en la oficina postal). El mapa muestra las calles a lo largo de las cuales debe repartir la correspondencia, y el nmero indica los minutos requeridos. p es la oficina postal y h su casa. Cual es el recorrido optimo?. (Indicar que algoritmo se utilizo para su resolucin y desarrollar los pasos respectivos de la resolucin)

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9. Realizar diagramas de flujo para los siguientes algoritmos: Kruskal, Floyd, Prim y Fleury. 10. En la Facultad FIMEES de la Universidad Nacional del Altiplano, se celebrara un Seminario sobre Grafos, de una semana de duracin, en el que se impartirn 8 cursos, que se designan con las etiquetas a, b, c, d, e, f, g y h. Los cursos se impartirn en horario de 10 a 13 horas, con una hora por curso. Hay alumnos matriculados en ms de un curso. En el grafo de la figura se representa este hecho con etiquetas en las aristas. Por ejemplo, la etiqueta 4 de la arista ab significa que hay 4 alumnos matriculados simultneamente en los cursos a y b. Hay que planificar el horario de las conferencias. a) Disear un algoritmo que resuelva el problema de forma que se minimice el nmero de alumnos perjudicados (que no pueden asistir a alguno de los cursos programados). b) Comprobar su funcionamiento, paso a paso, con los datos anteriores

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COLORACION DE GRAFOS

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1. Hallar el nmero cromtico de los siguientes grafos.

2. Hallar el nmero cromtico de los siguientes grafos.

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3. El condado de Malasaa se compone de las seis villas Almagro, Buitrago, Coca, Doana, Ereso y Figo, conectadas entre s por un total de nueve rutas con longitudes diversas. Las rutas Almagro Buitrago y Ereso Doana miden 100 leguas cada una; las rutas Almagro Ereso y Buitrago Doana miden 200 leguas cada una; finalmente, las rutas Figo Almagro, Figo Ereso, Coca Buitrago, Coca Doana y Ereso Buitrago miden 300 leguas cada una. Todas las rutas se pueden transitar en cualquiera de los dos sentidos. Dibuje un grafo no dirigido y valorado G que represente esta situacin y responde razonadamente a cada uno de los apartados que siguen, explicando qu teoremas o algoritmos utilizaras (5 Puntos) a) El conde de Malasaa quiere inspeccionar todas las villas, haciendo un viaje que comience en una de ellas y visite todas las dems una nica vez antes de regresar a la villa de partida. Es posible? En caso afirmativo, construye un recorrido en G que represente el viaje deseado. b) El conde de Malasaa ordena colocar estandartes de colores en las puertas de entrada de todas las villas, de modo que siempre se vean estandartes de distinto color en la villa de partida y en la villa de llegada de cualquiera de las nueve rutas del condado. Encuentra una solucin a este problema, usando el menor nmero posible de colores. c) El conde de Malasaa quiere ahora inspeccionar las nueve rutas del condado, haciendo un viaje que pase una sola vez por cada una de ellas. Es posible? En caso afirmativo, construye un recorrido en G que represente el viaje deseado. d) Con el fin de ahorrar dineros en las pagas de los guardianes de las rutas del condado, el conde de Malasaa ordena ahora suprimir el mayor nmero posible de rutas, pero manteniendo rutas suficientes para que se pueda viajar de cualquier villa del condado a cualquier otra, y eligiendo las rutas que se mantengan de tal manera que la suma de sus longitudes sea lo menor posible. Encuentra una solucin a este problema. 4. Hallar el Nmero cromtico de los siguientes grafos. a) De un grafo Dodecaedro. b) De un grafo de Herschel. c) De un grafo de Peterson. 5. Defina el Teorema de los Cuatro Colores y cuales son sus condiciones. 6. Cual es el Nmero Cromtico del Grafo de Hanoi de Tres discos.

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REDES DE PLANIFICACION

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1. Un egresado de la E.P. de Ingeniera de Sistemas de la UNA est plantendose desarrollar un proyecto de investigacin denominado Uso del Software Libre y el Rendimiento Acadmico de los estudiantes de la Asignatura de Fundamentos de Programacin de la E.P. de Ingeniera de Sistemas. El proyecto se compone de las siguientes actividades:Actividad A B C D E F G H I J K L Descripcin Planteamiento de Objetivos Planteamiento de Hiptesis Desarrollo de Instrumentos Juicio de Expertos Aprobacin del Proyecto Revisin de Bibliografa Ejecucin de la Prueba Pretest Aplicacin del Prueba Piloto Anlisis de Confiabilidad Desarrollo del Modulo Ejecucin de la Prueba Postest Procesamiento y Sustentacin Antecesores ---C A,B,D A,B,D E,F A,B,D H G G I,J,K Duracin (semanas) 4 3 3 2 1 2 3 3 5 2 4 2

a) Disear la red de planificacin. b) Identificar el camino crtico. 2. Representar las actividades y las relaciones de prioridad mediante una red de planificacin.ACTIVIDAD A B C D E F G H I RELACIONES DE PRIORIDAD A B A A C,D D D,E F,G,H DURACIN 8 4 14 10 9 18 25 27 6

3. Construya el Diagrama de red e identifique las rutas criticas y no criticas, para el proyecto X, tomando en cuenta el siguiente Cuadro:ACTIVIDAD A B C D E F G H I J PROCEDENCIA TIEMPOS 5 3 2 3 4 3 1 5 4 6

A B C DE DE F GI

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Representar mediante una matriz de adyacencia y listas enlazadas el grafo del Diagrama de Red. Utilizando la Bsqueda en amplitud y profundidad, recorrer el grafo del Diagrama de Red. Identificar los rboles de expansin mnima del Diagrama de Red. 4. Una empresa est plantendose el proyecto de diseo, desarrollo y lanzamiento al mercado de un nuevo modelo de bicicleta de carreras. El proyecto se compone de las siguientes actividades:Actividad A B C D E F G H I J K L Descripcin Diseo del armazn Diseo de las ruedas Diseo de las marchas Diseo del manillar Test la direccin Test de las marchas Test de funcionamiento Layout de fabricacin Fabricacin Preparacin del anuncio Preparacin del manual del usuario Reparto a los distribuidores Antecesores ---C A,B,D A,B,D E,F A,B,D H G G I,J,K Duracin (semanas) 4 3 3 2 1 2 3 3 5 2 4 2

a) Calcular el camino crtico y las holguras de las actividades. b) La empresa quiere entregar la bicicleta a sus distribuidores en slo 15 semanas. Qu pasara si se tomaran las siguientes medidas?: Trabajar horas extras para conseguir el diseo del armazn en 3 semanas. Trabajar horas extras para conseguir el diseo de las ruedas en slo 2 semanas. Asignar ms ingenieros al diseo de las marchas. Empezar el reparto a los distribuidores una semana antes de que finalice la preparacin del anuncio. Empezar el reparto a los distribuidores una semana antes de que el manual del usuario est listo.

c) Un deportista no puede esperar a que el nuevo modelo de bicicleta est listo ms de 12 semanas para poder comenzar su entrenamiento. Para ello basta que se complete la actividad I. Indique si seran adecuadas las siguientes medidas. Reducir el test de funcionamiento a 2 semanas. Comenzar el layout de fabricacin una semana antes de que el manillar se haya terminado de disear. Prescindir del test de funcionamiento y empezar el entrenamiento sin ese test.

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5. Construya el Diagrama de red para el proyecto del traslado de las oficinas de una financiera de crdito, de acuerdo con la siguiente lista d actividades.Actividad A B C D E F G H I J Descripcin Seleccionar el sitio de las oficinas Crear el plan organizacional y financiero Determinar necesidades de personal Disear la instalacin Construir el interior de la instalacin Seleccionar el personal que ser transferido Contratar nuevos empleados Trasladar registros, personal y otros Hacer los arreglos financieros con otras sedes Capacitar al nuevo personal Predecesores

B A,C D C F F B H, E, G

6. Para elaborar el presupuesto del ao siguiente, una empresa debe recolectar informacin de sus departamentos de Ventas, Produccin, Contabilidad y Tesorera, La tabla siguiente indica las actividades y sus duraciones. Construir el modelo de red del problema y realizar los clculos de Ruta Critica.Actividad A B C D E F G Descripcin Pronstico sobre Ventas Estudio del mercado competitivo Diseo del articulo e instalaciones Creacin del programa de produccin Estimacin del costo de produccin Fijacin del precio de venta Elaboracin del presupuesto Precedentes Das de Duracin 10 7 5 3 2 1 14

A C D B,E E,F

7. La instalacin de un nuevo computador que trabajar como servidor de archivos de la universidad en Internet, puede presentarse por la siguiente lista de actividades. Construir el modelo de red del problema y realizar los clculos de Ruta Critica.Actividad A B C D E F G H I J K L M N O Descripcin Establecer las especificaciones Solicitar los catlogos Construir facilidades externas Esperar los catlogos Evaluar los catlogos Construir facilidades internas Seleccionar el computador Escoger el equipo de comunicacin Escoger el Software necesario Construir las redes elctricas Llegada e instalacin del computador Construir las redes de comunicacin Instalacin del equipo e comunicacin Montaje del software Probar el Sistema Precedentes A A B D C E G G,H F,G,H G,J F,K H.L K,M M,N Semanas de Duracin 10 1 16 3 2 12 1 1 3 6 2 6 3 4 3

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BIBLIOGRAFIA

1. GRASSMANN W. K. y TREMBLAY J. P., Matemticas Discretas y Lgica, Editorial Prentice Hall, Espaa, 1996. 2. GRIMALDY RALFH, Matemticas Discretas y Combinatoria, Editorial Addison Wesley, Mxico, 1989. 3. JOHNSONBAUGH RICHARD, Matemticas Discretas, Editorial Prentice Hall, Mxico, 1999. 4. KENNETH H. ROSEN, Matemticas Discretas, Editorial McGRAW-HILL, Espaa, 2004. 5. KOLMAN B., BUSBY R. y ROSS S., Estructuras de Matemticas Discretas para la Computacin, Editorial Prentice Hall, Mxico, 1997. 6. LIPSCHUTZ SEYMOUR, Matemticas para Computacin. Editorial

McGRAW-HILL, Mxico, 1983. 7. MEZA H. OSCAR y ORTEGA F. MARUJA, Grafos y Algoritmos. Editorial Equinoccio, Venezuela, 2004. 8. MICHA ELIAS, Matemticas Discretas, Editorial Limusa S.A. Mxico, 2003.

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Ser maestro en el Per es una forma muy peligrosa de vivir y una forma muy hermosa de morir.

Ricardo Dolorier.

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