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NMEROSMara Luisa Prez Segu

CUADERNOS DE OLIMPIADAS DE MATEMTICAS

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UNAS PALABRAS DE LOS EDITORES

Disfrut ese momento como ningn otro en su vida. Ah estaba de pie,recibiendo la primera medalla de oro para un estudiante mexicano en unaolimpiada internacional de matemticas. Muchos pensamientos se arre-molinaron en su cabeza. Por un momento record a muchos compaeros,

concentraciones, ciudades, la palabra sacrificios alcanz a asomarse ligera-mente, pero no alcanz a cristalizarse, la verdad es que haba trabajadointensamente y, sin embargo, tambin haba disfrutado, pues resolver pro-blemas de matemticas se haba convertido en una pasin que no lo iba aabandonar nunca. Pens en su regreso a Mxico, en sus amigos y en sufamilia. TGLlllbin, sin saber por qu, record a un periodista tonto quecritic a un atleta mexicano que haba obtenido un quinto lugar en los

pasados juegos olmpicos, cmo si eso no fuera una hazaa! Se distrajosaludando a sus compaeros de delegacin...

Las olimpiadas mexicanas de matemticas se han realizado desde 1987.Profesores, matemticos y muchos jvenes han dedicado esfuerzos loablespor hacerlas crecer. Todos ellos comparten la aficin, que en muchos ca-sos se acerca a la adiccin, y que en otros se vuelve una forma de "vida,por los problemas matemticos. El edificio que han construido ha permi-tido detectar y preparar a muchos de los jvenes ms talentosos para estadisciplina. '

Los mejores logros que ha conseguido Mxico son:-trigsimo lugar en la Olimpiada Internacional de Matemticas, Corea,2000,-segundo lugar en las Olimpiadas Iberoamericanas de Matemticas de CostaRica en 1996 y de Venezuela en 2000,-primer lugar en las Olimpiadas Centroamericanas y del Caribe de Mxicoen 2002 y de Costa Rica en 2003,-tres medallas de plata en las olimpiadas internacionales de matemticas,

ganadas por: Patricio T. Alva Pufteau (Argentina, 1997), Omar AntolnCamarena (Taiwan, 1998) y Carlos A. Villalvazo Jauregui (Corea, 2000),-diez medallas de oro en la olimpiadas iberoamericanas de matemticas,

ganadas por: Bernardo Abrego Lerma (Argentina, 1991), Patricio T. AlvaPufteau (Costa Rica, 1996), Jess Rodrguez Viorato (Mxico, 1997), Roberto

-

D. Chvez Gndara (R. Dominicana, 1998), Carlos Ramos Cuevas (Cuba,1999), Javier A. Chvez Domnguez, Carlos A.Villalvazo Jauregui (ambosen Venezuela, 2000), David J. Mireles Morales (Uruguay, 2001) y EdgardoRoldn Pensado (El Salvador, 2002).

Esta serie est diseada como material de apoyo a los jvenes que sepreparan para la olimpiada nacional de matemticas. Nuestro deseo es queestos cuadernos sirvan como un bloque ms de la pirmide que algn datendr en su cspide a un joven como el que describimos al principio deesta presentacin.

Queremos agradecer al Instituto de Matemticas de la UNAM, en par-ticular a su director, el DI. Jos Antonio de la Pea Mena, por su apoyopara la publicacin de estos cuadernos.

Los Editores, agosto de 2003.

Contenido

Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i

PRIMERA PARTE

1. Aritmtica y lgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1Reacomodos 2Exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8Ecuaciones y desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11Polinomios 15Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

2. Divisibilidad 23

Propiedades bsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30Criterios de divisibilidad 34

Algoritmo de la Divisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39Mximo comn divisor ... ... ... ... ... 41

Mnimo comn mltiplo 51Ecuaciones diofantinas 58

3. Congruencias 64Conceptos y propiedades bsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64Conjuntos de residuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71Ms propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74Solucin de congruencias lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 84

,Teorema de Euler 90

SEGUNDA PARTE

4. Problemas 95

5. Sugerencias 1016. Soluciones 106

Lecturas complementarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123ndice alfabtico 124

INTRODUCCIN

El presente tiene el propsito de presentar de manera lo ms completa posible elmaterial de Teora de Nmeros que le conviene conocer a un alumno en las primerasetapas de la Olimpiada de Matemticas (antes del Ooncurso Nacional) e, incluso, al iniciode una preparacin para olimpjadas de nivel internacional.

La filosofa que hemos seguido los profesores entrenadores de alumnos para las olim-piadas de matemticas ha sido que se puede aprender matemticas de la misma maneraque uno aprende a hablar: sin que se le definan todas las palabras que va a utilizar. Porotro lado, las matemticas deben ser precisas y no debe haber ambigedades. Tratandode equilibrar estas dos ideas he dejado sin definicin conceptos que el alumno seguramenteaprendi en la escuela como positivo, ecuacin, coleccin, etc. El significado de otraspalabras como coeficiente, trmino, sucesin se deduce fcilmente del contexto; muchasde ellas se marcan con letras inclinadas y se les hace referencia en el ndice alfabticola primera vez que aparecen en el texto. Finalmente, se incluye una definicin precisade palabras que, aunque conocidas probablemente por el alumno, requieren de una granprecisin para el desarrollo de estas notas (como primo, mximo comn divisor, etc.).

Los temas de Divisibilidad (Seccin 2) y Congruencias (Seccin 3) pueden resultar aveces un poco ridos; sobre todo si se pretende enunciar y demostrar todas las propiedadessin trabajar con los nmeros. En general es difcil motivar a los alumnos para que vean laimportancia de las demostraciones, y esto es an peor cuando son totalmente algebraicas.Por esta razn he incluido una seccin de Aritmtica y lgebra (Seccin 1), en la que sepractican las tcnicas algebraicas bsicas, sin nomenclatura excesiva ni largos enunciadosde propiedades. As mismo, durante un entrenamiento completo para las olimpiadas, meparece apropiado iniciar con un poco de combinatoria (en donde el manejo de los nmeroses ms g~l) y, posteriormente, ir intercalando sesiones en Teora de Nmeros. Siguiendoesta idea, he intentado incluir lo ms posible ejercicios en los que se "juegue" un pococon los nmeros para que las propiedades salgan de manera natural. En una primeralectura conviene, entonces, saltarse la mayor parte de las demostraciones, y slo convencera los alumnos que son vlidas ilustrando con ejemplos. Tambin conviene eliminar en unaprimera lectura los temas de ecuaciones diofantinas y del Teorema de Euler, as como laSegunda Parte: Problemas (Seccin 4), Sugerencias (Seccin 5) y Soluciones (Seccin 6),pues la mayor parte de los problemas son de un nivel ms elevado.

En la teora se han incluido un gran nmero de ejercicios, muchos de ellos rutinarios,que el alumno deber ir resolviendo conforme se le aparezcan. De la misma manera,es conveniente que el alumno intente, antes de ver la solucin, los ejemplos que vienenresueltos, sin temor a equivocarse, pues slo as se dar cuenta de las dificultades quepueden presentarse.

--

En algunas partes del libro se necesitan conceptos bsicos de combinatoria y manejode la induccin matemtica; todo esto puede encontrarse en el libro de Combinatoria deesta misma serie.

La mayor parte de los problemas incluidos son del dominio pblico o de mi propiacreacin. He tratado, dentro de lo posible, de hacer referencia al autor del problema,as como al primer examen de olimpiadas donde apareci. Pido disculpas por cualquieromisin o error a este respecto y agradecera que me las hicieran notar para poder incluirlasen una segunda edicin. Las referencias son:

[LMGV] Luis Miguel Garca Velzquez

[JLLL] Jorge Luis Lpez Lpez

[HMG] Humberto Montalvn Gmez

[MLPS] Mara Luisa Prez Segu

Estas notas son el producto de una gran cantidad de sesiones de entrenamiento paraalumnos en Olimpiadas de Matemticas. Sus incontables e invaluables comentarios, ascomo muchas de las soluciones que ellos daban a los problemas han quedado incluidos aqu.

Agradezco a los MC Ma. Elena Aguilera, MC Julio Csar Aguilar y MC Luis .MiguelGarca Velzquez sus correcciones, comentarios, ayuda y amistad incodicionales. Estetrabajo se llev a cabo gracias al apoyo de la Universidad Michoacana de San Nicols deHidalgo, en la cual soy profesora-investigadora de tiempo completo.

Finalmente quiero dedicar este trabajo a todos mis hijos (ellos saben quines son).

~

Seccin 1

,Aritmtica y AIgebra

El propsito de esta seccin es practicar algunos conceptos de a-ritmtica y lgebra que estudiamos desde los primeros aos de nuestra

educacin, pero que a veces nos .han resultado tediosos pues se nos hahecho trabajados de forma mecnica, con cuentas y ecuaciones cuyaspropiedades debemos memorizar sin comprender realmente. Queremosentonces, con esta seccin, eliminar el miedo que se le tiene a este tipo deestudio. Propondremos problemas que iremos resolviendo y analizando.

Haremos comentarios para resaltar las propiedades que se apliquen encada caso y aprenderemos algunas frmulas y terminologa importantes.Todos los nmeros que consideramos en esta seccin son los llamados

nmeros ,reales, es decir, los que nos sirven para medir distancias y sus

negativos (por ejemplo son reales: 19, O, -31.8, 1r, yI3, -1~' etc).

.......-..

Reacomodos

En muchas ocasiones, antes de hacer cuentas, conviene analizarsi alguna forma de agrupar o de ordenar los trminos con los cualesvamos a operar puede simplificarnos el trabajo. A continuacin veremosalgunos ejemplos de esto.

[1.1] Ejemplo. Qu dgito debe sustituirse por * para que seacierta la igualdad

*1996 = *444?9

Solucin. Basta hacer la multiplicacin *444 x 9. Se obtendr* = 2. .

[1.2] Ejercicio. Calcular 99 - 97 + 95 - 93 + 91 - . . . + 3 - 1.

[1.3] Ejemplo. Ral ley un libro. El primer da leyo 5 pginas,y cada da siguiente ley 2 pginas ms que el anterior. Si la lectura lellev un total de 20 das, cuntas pginas tena el libro?

Solucin. El nmero de pginas del libro es

5 + (5 + 2) + (5 + 2 . 2) + . . . + (5 + 19 . 2)=20.5+ (1 + 2 + . . . + 19) .2 = 20.5 + 190 . 2 = 480. .

[1.4] Nota. En el ejemplo anterior aparece la suma de los primerosenteros positivos. Al ser pocos los nmeros a sumar, es fcil hacer lascuentas directamente; sin embargo ste no es siempre el caso, por loque conviene conocer la frmula general para la suma de los primerosn enteros positivos, llamada Frmula de Gauss:

n(n + 1)1+2+3+...+n-

- 2 .

Esta frmula se comprueba fcilmente llamando S a la suma 1 + 2 +

2

~

. . . + n, escribiendo S de dos maneras diferentes y sumando miembroa miembro:

55

25

1 + 2 +n + n-1 +

- (n + 1) + (n + 1) + ...

+ n-1 + n+ 2 + 1

+ (n + 1) + (n + 1).

De la ltima ecuacin tenemos la frmula buscada. -

-..-

[1.5] Ejercicio. Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 300.

[1.6] Ejemplo. Calcular la suma de los 100 quebrados que seobtienen formando todos los cocientes de cada par de nmeros de lasiguiente lista

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512

Solucin. Pongamos los quebrados en una tabla:1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 4 8 16 32 64 128 256 512

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 4 8 16 32 64 128 256 512

4 4 4 4 4 4 4 4 4 41 2 4 8 16 32 64 128 256 512

8 . 8 . 8 8 8 81 2 4 8 16 32 64 128 256 512

16 16 16 16 16 16 16 16 161 2 4 8 16 32 64 128 256 512

32 32 32 32 32 32 32 32 R R1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

64 64 64 64 64 64 64 64 64 641 2 4 8 16 32 64 128 256 512

128 128 128 128 128 128 128 128 128 1281 2 4 8 16 32 64 128 256 512

256 256 256 256 256 256 256 256 256 2561 2 4 8 16 32 64 128 256 512

512 512 512 512 512 512 512 512 512 5121 2 4 8 16 32 64 128 256 512

El trabajo se simplifica mucho si agrupamos correctamente antes dehacer la suma. Por ejemplo, observemos que en una misma columna de

3

la tabla todos tienen el mismo denominador, as que la suma de cadacolumna es fcil de calcular; adems, en cada caso los numeradores son

los mismos y su suma es 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023.Ahora debemos calcular la suma de las sumas de las columnas:

1023 1023 1023 1023 1023

--- + ~ + -- + --S + 161023 1023 1023 1023 1023

+3"2 + 64 + 128 + 256 + 512

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

)=1023 i + "2+ "4+ 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512(

512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1)=1023 512

10232-- .- 512 .

[1.7] Nota. A veces en problemas de matemticas aparecen sumasde potencias como en el ejemplo anterior, en el cual observamos que1 + 2 + . . .+ 29= 210 - 1. Conviene saberse la frmula correspondientepara el caso general:

xn+1 - 11 + x + X2 + . . . + xn = ,x-1

la cual se comprueba fcilmente haciendo la multiplicacin

(1 + x + X2+ . . . + xn)(x - 1). .

[1.8] Ejercicio. Usar la frmula de [1.7] para calcular la suma

1 - 3 + 9 - 27 + 81 - 243 + 729,

y comprobar el resultado obtenido haciendo la suma directamente.

[1.9] Ejercicio. Hacer un dibujo de la recta numrica para ob-servar que ~ + t + ~ + . . . + 2~ se va aproximando cada vez ms a 1(conforme n crece). Encontrar a partir de qu n la suma ya tiene una

distancia a 1 menor a lO.

4

~

[1.10] Ejercicio. Escribir el nmero 111111111 como suma de

potencias de 10 y verificar la frmula de [1.7] en este caso.

[1.11] Ejercicio. Escribir el nmero 1001001001 como suma depotencias de 103 y verificar la frmula de [1.7] en este caso.

[1.12] Ejemplo. Probar que el nmero

111 . . . 1 - 222 . . . 2----2r res el cuadrado de un entero para toda r. [Por ejemplo, para r = 2 setrata del nmero 1111 - 22 = 1089 = 332.]

Solucin. Observemos primero que

~ = 1 + 10 + 102+ . . . + 102r-l2r

y que

~ = (1 + 10+ 102+... + lOr-l) + (1 + 10+ 102+... + lOr-l).r

Obtenemos el resultado de la siguiente cadena de igualdades (usando[1.7]):

111 . . . 1 - 222 . . .2----2r r

= (1 + 10+ 102+ . . . + 102r-l) - 2 (1 + 10+ 102+ . . . + lOr-l)

- (1 + 10+ 102+ . . . + lOr-l + lOr + lOrH + . . . + 102r-l)

- (1 + 10+ 102+ . . . + lOr-l) - (1 + 10+ 102+ . . . + lOr-l)

=10r + lOr+l + . . . + 102r-l - (1 + 10+ 102+ . . . + lOr-l)

=10r (1 + 10 + 102+ ... + lOr-l) - (1 + 10+ 102+... + lOr-l)

(1W 1

)= (10r - 1) (1 + 10 + 102 +... + 10r-l) = (10r - 1) 10 -=-1(lW - 1)2 1= = - (999. . .9 )2 = (333. .. 3)2. .

32 32 ----r r5

-

[1.13] Ejemplo. Cuntos ceros hayal final de 1000!? [Nota:1000! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . x 999 x 1000.]

Solucin. Los ceros al final de un nmero se obtienen cada vezque 10 = 2 x 5 es factor del nmero. Contemos cuntas veces aparece 2como factor en 1000!: Por cada nmero par entre 1 y 1000 tenemos un2, es decir un total de 500; los mltiplos de 4 agregan un 2 ms (que nose haba considerado en la cuenta anterior), as tenemos 250 ms; porcada mltiplo de 8 tenemos otro 2 ms, lo que agrega otros 125 ms;as sucesivamente. En total tendremos

500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 994.

[Observemos que cada uno de los nmeros en la suma anterior se obtuvo

de tomar la parte entera de 19~Opara n = 1,2,...,9 (es decir, el mayorentero menor o igual que 19~O),usualmente denotada por [lg~O].]

De la misma manera podemos contar el nmero de veces que aparece5 como factor:

[

1000

] [

1000] [

1000

] [

1000

]51 + 52 + 53 + 54 = 200+ 40+ 8 + 1 = 249.

As, en total el nmero de veces que podemos juntar 2's con 5's es 249y sta es la respuesta. -

[1.14] Ejemplo. Se efecta el producto de todos los nmeros im-pares que no son mltiplos de 5 y que estn comprendidos entre el 1 yel 1994. Cul es la cifra de las unidades del resultado?

Solucin. Para calcular la cifra de las unidades de un productopodemos olvidarnos de todas las dems cifras en cada momento dela multiplicacin. Adems sabemos que los nmeros impares son losterminados en 1, 3, 5, 7 y 9, y que entre el1 y el 1990 hay 199 nmerosterminados en cada cifra. Nos olvidamos de los 5's porque no hay queconsiderar los mltiplos de 5. Nos podemos olvidar tambin de los l' sy cancelar cada 7 con un 3 (pues 3 x 7 = 21 que termina en 1). Ademscada par de 9' s tambin se puede cancelar (pues 9 x 9 = 81 que terminaen 1). Hechas todas estas consideraciones, la cifra de las unidades quebuscamos es la misma que en el producto 9 x 3 (pues un 9 no se apare,

6

~

y entre el 1990 y el 1994 hay que considerar tambin el 1993). Entoncesla respuesta es 7. .

[1.15] Ejemplo. Una escalera tiene numerados los escalones comoO, 1, 2, 3, 4, ... Una rana est en el escaln O;salta 5 escalones haciaarriba hasta el escaln 5 y luego 2 para abajo hasta el escaln 3; despussigue saltando alternando 5 escalones hacia arriba y 2 hacia abajo.Cules de los escalones 1997, 1998, 1999 Y 2000 no pisa la rana?

Solucin. Los escalones que toca son los que se pueden obtenercon una suma:

0+5-2+5-2+5-2+...

Agrupando de dos en dos, observamos que los escalones que toca sonde la forma 3k o 3k + 5, para k entero; en otra palabras, los escalonesque toca son los mltiplos de 3 y aqullos que disminuidos en 5 sonmltiplos de 3. Tenemos que 1997- 5, 1998 Y 2000- 5 son mltiplosde 3, pero que ni 1999 ni 1999- 5 son mltiplos de 5, as que el nicoque no pisa es el 1999. -

[1.16] Ejemplo. Una sucesin (es decir, una lista) de nmerosal, a2, a3, . .. est definida por:

111al = 1, a2 = , a3 = , a4 = - ,. . .

1 + al 1 + a2 1 + a3

Calcular el producto al x a2 x a3 x . . . x a15 de los primeros 15 trminosde la sucesin. [MLPS, 7 Examen Eliminatorio de Michoacn]

Solucin. Empecemos por buscar un patrn en los trminos defi-nidos. Tenemos que

al = 1,1 1

a2 = 1 + 1 = "2'1 1 2

a3 = ~ = 1"= 3'1 + 2 21 1 3

a4 = 1 + ~ = I - 5".

7

-

Observemos que cada uno se obtiene del anterior poniendo el denomi-nador como numerador, y el denominador como la suma del numeradory el denominador anteriores. Al multiplicados se cancelan todos salvoel denominador de a15; para calcular ste construyamos los denomi-

nadores anteriores (siempre sumando los dos que preceden):

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987.

La respuesta es 9~7' .

Exponentes

En muchas ocasiones tratamos de memorizar las propiedades de losexponentes sin comprenderlas; esto lleva a cometer graves errores ensu manejo. Realmente, en cada caso, lo importante es recordar queelevar a un cierto exponente n (con n un entero positivo) simplementesignifica multipicar el nmero por s mismo el nmero de veces quemarca el exponente:

n - aa . . .a .a - '--v--"n

Debemos tambin tomar en cuenta que: aO= 1, a-1 = ~ y a~= \f(i,para n entero positivo. Las reglas conocidas de los exponentes sonfciles de recordar si se toma siempre en cuenta la definicin. stasson:

(a) a(x+y) = aXaY.(b) aXY = (aX)Y.Aqu, x y y son nmeros enteros o fraccionarios, y a es cualquier

nmero real tal que la operacin indicada tenga sentido (por ejemplo

0-1 y (-1)~ no tienen sentido pues en el primer caso nos indicara unadivisin entre O y en el segundo caso se buscara un nmero real cuyo

cuadrado fuera -1.)

En los siguientes ejercicios y ejemplos practicaremos el concepto deexponenciacin y en algunos aplicaremos tambin lo visto antes sobre

8

""""""'"

agrupamiento de trminos.

[1.17] Ejercicio. Escribir 25+ 25 como potencia de 2.

[1.18] Ejercicio. Cul es la mitad de 298?

[1.19] Ejercicio. En cierto planeta hay tantos das en una semanacomo semanas en un mes como meses en un ao. Si un ao tiene 1331

das, cuntos das tiene cada semana?

[1.20] Ejercicio. Sea 1,4,9,16,... la sucesin de los cuadradosde los enteros positivos. El nmero 108 es un trmino de esta sucesin.Cul es el trmino de la sucesin que sigue despus de 1O8?

[1.21] Ejemplo. Cuntas cifras tiene el nmero 21996x 52ooo?

Solucin. Agrupemos todos los 2' s y 5' s que podamos: 21996x52000= (2X 5)1996 x 54 = 625 X 101996.Entonces son 1999 cifras. .

[1.22] Ejemplo. Si m y n son enteros positivos que satisfacenmn + mn+1 + mn+2 = 39, entonces, cunto vale nffi?

Solucin. Consideremos la factorizacin siguiente:

mn + mn+1 + mn+2 = mn(l + m + m2).

Entonces mn es un factor de 39, o sea, mn = 1,3,13 o 39. Analizandotodas las posibilidades y considerando que el cociente de 39 entre mndebe ser 1 +m+m2, tenemos que m = 3 Y n = 1, as que nffi = 1. .

En el ejemplo anterior nos encontramos con una factorizacin enenteros de 39. Encontramos la solucin considerando la factorizacin

en primos de 39 y, a partir de ella, analizando todas las posibilidades.La propiedad de que cada entero se factoriza como producto de primos

de manera nica (salvo orden) es bsica en la Teora de Nmeros; la es-tudiaremos con mayor detalle en la seccin de Divisibilidad (ver[2.21]).

9

--

[1.23] Ejemplo. Ordenar los nmeros V5, 0) y 2 de menor amayor (usando slo propiedades de los exponentes y no la calculadora).

Solucin. Al elevar los nmeros a la sexta potencia, el orden detamao se conserva. Calculemos entonces las sextas potencias de losnmeros dados y comparemos los resultados:

(V5")6= 53 = 125,

(~)6= 92 = 81 Y26 = 64.

Tenemos entonces que 2 < 0) < V5. .[1.24] Ejercicio. Poner los siguientes nmeros en orden de menor

a mayor:

2(34), 3(42) Y 4(23).

[1.25] Ejemplo. Encontrar y (en trminos de x) de tal maneraque

2Y = 16x+l + 24x+4.Solucin. Observemos que 16x+l = (24)x+1 = 24(x+1) = 24x+4. En-tonces 16x+l+24x+4 = 2. (24x+4)= 2(4x+4)+1= 24x+5. As y = 4x+5. .

[1.26] Ejemplo. Si 2a = 5b = 10, cunto vale ~ + i?Solucin. Observemos que 10~ = 2 y que lOt = 5, as que

1 1 1 110a-+"6 = loa- .10"6 = 2.5 = 10.

De aqu que ~ + i = 1. .En el siguiente ejemplo es importante el conocimiento del Teorema

del Binomio (ver [Combinatoria 2.1]): Sean a y b nmeros arbitrariosy sea n un nmero natural. Entonces

(a+b)n= (Z)an+ (~)an-lb+'''+ (~)an-rbr+...+ (~)bn.

10

~

[1.27] Ejemplo. En el desarrollo de

(~+ Jxrencontrar el trmino que no contiene a x.

Solucin. Debemos tener k tal que6-k

(vx)k (Jx) = 1.Pero

( )

6-k k

( 4C )k 1 X4 li_6-k

yX - = - = X4 2.VX X6;k

Entonces queremos que

k 6 - k---=04 "2 '

de donde k = 4. El coeficiente de este trmino (y, por tanto, el trmino

buscado) es (~) = 6~5 = 15. .

Ecuaciones y desigualdades

Veremos ahora algunos ejemplos en donde el planteo y la manipu-

lacin correcta de ecuaciones o desigualdades son la base de la solucin.

[1.28] Ejemplo. El promedio de las primeras 5 calificaciones deJuan durante el semestre es 5.4. Cul debe ser su promedio en lassiguientes 4 calificaciones para que su promedio global sea 6?

Solucin. El puntaje acumulado hasta el momento por Juan es5.4 x 5 = 27. Para que su promedio en 9 calificaciones sea 6, debellegar a 9 x 6 = 54 puntos, as que le faltan 27 en las siguientes 4calificaciones, es decir, un promedio de 2; = 6.75. .

[1.29] Ejemplo. Sean x, y y z tres nmeros reales positivos dife-rentes entre s. Si --1L-= x+y = ~ cunto vale ~?x-z z y , y

11

...--

Solucin. Observemos que si a, b, e y d son reales positivos talesque ~ = ~,entonces ~~~ = ~ (para ver esto basta multiplicar "cruzado"y ver que da el mismo resultado). Aplicando esto a la igualdad ~ =X+Y, tenemos que tambin x+2y = 3:.. Otra vez, por el mismo resultado,z x ytenemos que 2X++2Y = 3:.. Pero el miembro izquierdo es 2, as que 3:.=x y y y2. -

[1.30] Ejemplo. Los nios A, B Y e tomaron 13 dulces de unamesa. Al final A dijo que tom 2 dulces ms que B; B dijo que tomla mitad de dulces que A y 5 menos que e; finalmente e dijo que tomun nmero par de dulces. Si sabemos que a lo ms uno de ellos minti,quin fue el mentiroso?

Solucin. Digamos que a, b y e son las cantidades de dulces quetomaron A, B y e, respectivamente. Tenemos que

(*): a + b+ e = 13.

Adems, segn A,

y segn e, e es par.Analicemos todas las posibilidades que dos de ellos no hayan men-

tido: I

Si A Y B no mintieron, entonces, resolviendo (Al) y (Bl) si-multneamente, tenemos que a = 4 y b = 2. Entonces, por (B2)tenemos que e = 7. Comprobamos que adems (*) s se satisface paraestos valores, pero que e no es par, as que este caso es posible y esera el mentiroso.

Si B Y e no mintieron, usando (Bl) y (B2) y sustituyendo en (*),tenemos que (2b) + b + (b + 5) = 13, de donde b = 2 y e = 2 + 5 = 7,que no es par, as que e s minti y este caso no es posible.

Si A y e no mintieron, usando (*) Y (Al), tenemos que (b + 2) +b + e = 13, de donde e = 13 - 2b - 2, que es un nmero impar, as quee minti y tampoco este caso es posible. -

12

""""""""

(Al) : a = b + 2;segn B,

(Bl): b= y (B2): b = e - 5;2

[1.31] Ejemplo. Tres trabajadores necesitan 36 das para pintarun edificio. Cuntos trabajadores pueden hacerlo en a lo ms 9 das?

Solucin. Se quiere acortar el tiempo de trabajo al menos a lacuarta parte, as que se necesita al menos 4 veces el nmero de traba-jadores, es decir, al menos 12. 8

[1.32] Ejemplo. Una manguera llena un estanque de agua en 12horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y un tubo de desage lovaca en 6 horas. En cunto tiempo se llena el estanque si las dosmangueras y el desage estn abiertos?

Solucin. En una hora la porcin del estanque que se ha llenado1 1 1 - 5+6-10 - 1 E t

.t 60 hes 12 + 10 - '6 - ~ - 60. n onces se neces1 an oras para

llenado. 8 .

[1.33] Ejemplo. Un nio tiene fichas redondas que pondr dentrode los cuadros blancos de una cuadrcula coloreada como el tablero de

ajedrez. Seguir los siguientes pasos: En el primer paso colocar unaficha en un cuadro blanco. En el segundo paso pondr fichas en todaslas casillas blancas que rodean la ficha colocada en el primer paso.En cada uno de los siguientes pasos colocar fichas sobre todos loscuadros blancos que rodean las fichas puestas en el paso anterior. Parailustrar, en la figura se han hecho los primeros cuatro pasos indicandocon nm,eros en las casillas segn el paso en que se le colocaron fichasencima. Si el nio dispone de 5000 fichas (y la cuadrcula es tan grandecomo sea necesario), para cuntos pasos completos le alcanzarn susfichas? [MLPS, 5 Examen Eliminatorio de Michoacn]

13

...--

Solucin. Observemos que para n 2: 2 el nmero de fichas que secolocan en el paso n es 4(n -1). Entonces, en total, el nmero de fichasque quedan colocadas hasta el paso n es 1 + 4 + 4 x 2 +. . .+ 4(n -1) =1 + 4(1 + 2 + . .. + (n - 1)). Se quiere que este nmero sea menor o

igual que 5000, as que 1 + 2 + . . . + (n - 1) :::;500~-1,o sea que (ver[1.4]) n debe cumplir n(~-l) :::;500~-1,de donde n(n - 1) :::;2499.5. Esfcil comprobar entonces que n :::;50. .

.

[1.34] Ejemplo. Ana compr 3 plumas, 7 lpices y una regla, ypag 31.50 pesos. Sofa compr 4 plumas, 10 lpices y una regla y pag42 pesos. Pedro compr una pluma, un lpiz y una regla. Cunto pagPedro?

Solucin. Llamemos p al precio de las plumas, l al precio de loslpices, r al precio de las reglas y C a la cantidad pagada por Pedro.Sabemos que:

3p + 7l + 1r = 31. 54p + 10l + Ir = 42

1p + II + Ir = C.Los datos que tenemos corresponden a dos ecuaciones con tres variables,por lo que no es posible encontrar el valor preciso de las incgnitas. Elproblema tendr solucin si hay una determinada combinacin de lasdos primeras ecuaciones que nos d la tercera, es decir, queremos versi es posible multiplicar la primera y segunda ecuaciones por nmeros,digamos a y b respectivamente, de tal manera que al sumarlas el resul-tado sea la tercera ecuacin. En otras palabras buscamos a y b talesque

3a + 4b = 17a + lOb = 1

a+b=1.Encontramos que la solucin de las dos primeras ecuaciones es a = 3Y b = - 2, Y que tambin estos nmeros constituyen una solucin de latercera, por lo cual el problema s tiene solucin. Entonces al multiplicar

14

~

la primera ecuacin por 3 y restarle dos veces la segunda, obtenemos

exactamente los coeficientes de la tercera y as e = 3(31.5) - 2(42) =10.5. 8

[1.35] Ejemplo. Dos nmeros reales x y y suman A; cul es elmximo producto que pueden tener?

Solucin. Veamos que el mximo producto se alcanza cuando los

nmeros son iguales entre s (es decir, iguales a ~). Para ello probare-

mos que si x + y = A entonces xy :s; (~) 2. Tenemos que y = A - x, as

que queremos probar que x(A - x) :s; (~) 2, o sea que Ax - X2 :s; ~2 ,es decir, que ~2 - Ax + X2 :::: O. Pero el miembro izquierdo de la de-

sigualdad es (~- x) 2, as que la desigualdad buscada es obviamenteverdadera. 8

[1.36] Ejercicio. Una mquina corta una pieza de madera en trespartes en un minuto y despus corta en tres las partes resultantes, cadauna en un minuto. En el momento en que hayal menos 317 piezas demadera la mquina se detiene. Cuando la mquina se detenga, cuntosminutos habrn pasado? [LMGV, 15 Examen Eliminatorio Estatal]

Polinomios

Si nos dicen que un polinomio f (x) est dado por la expresinf (x) = X3 - 7x, entonces es muy fcil encontrar el valor de f (2) puessimplemente sustituimos 2 en lugar de x en la expresin de f(x) yas f(2) = 23 - 7 x 2 = -6. Las races de f(x) son los valores dex para los cuales f(x) = O. En este caso, como es fcil observar quef(x) = X(X2 - 7) = x(x - J7)(x + J7), vemos que las races son O, J7y -J7.

Los siguientes tres ejemplos tratan con expresiones algebraicas enlas que la sustitucin de valores no es directa; trabajaremos la infor-macin disponible de manera "implicita" (como lo hicimos ya en [1.33]).

15

..--

[1.37] Ejemplo. Dado que p(x) = X3 + ax + 1 y que p(l) = 1,cunto vale p(2)?

Solucin. Tenemos que 1 = p(l) = 13+ a. 1 + 1 = a + 2, as quea = -1. Entonces, p(2) = 23 - 1 .2+ 1 = 8 - 2 + 1 = 7. .

[1.38] Ejemplo. Si X3 + 8x - 2 = O, cunto vale X5 + 10x3 -2X2 + 16x + lO?

Solucin. Si supiramos cules son las races del polinomio X3 +8x - 2 = O,podramos sustituir x por esos valores en X5+ 10x3- 2X2+16x + 10 y as hallar el resultado. Sin embargo, no es fcil encontrardichas races, as que debemos buscar otro procedimiento que, en rea-lidad, es mucho ms simple: extraer de la expresin X5+ 10x3 - 2X2+16x + 10 la otra expresin X3+ 8x - 2 lo ms que podamos y utilizarque el valor de esta ltima es O:

X5 + lOx3 - 2X2 + 16x + 10 = X2 (X3 + 8x - 2) + 2X3+ 16x + 10= X2(0) + 2(X3 + 8x - 2) + 10+ 4= 2(0)+ 14= 14. .

[1.39] Ejemplo. Si a y b son las soluciones de X2 + 7x + 15 = O,cunto vale a2 + b2 + 12ab?

Solucin. Aqu tambin, en lugar de encontrar directamente losvalores de a y b, nos conviene escribir X2+ 7x + 15= (x - a)(x - b) Ycomparar coeficientes en ambas expresiones:

a+b=-7 yab = 15.

Sustituyendo estos valores obtenemos

a2 + b2 + 12ab = (a + b)2+ 10ab= (-7)2 + (10)(15) = 199. .

[1.40] Ejemplo.(a) Encontrar un polinomio f (x) tal que al multiplicado por la

expresin ~ - X~l el resultado sea la constante 1.

16

=-

(b) Encontrar a y b enteros de tal manera que

111 1 a1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + . . . + 999 x 1001 = -,;.

[MLPS, 6 Examen Final de Michoacn]Solucin.(a) Tenemos que

1 1 x+1-x 1- -;; - x + 1 - (x + l)x - ::r:(x + 1).

Entonces f(x) = X2 + x.(b) Observemos que ~ - X~2= X(X~2). Entonces

~ = ~ [(t- ~) + (~ - ~) + (~ - ~)+ . . . + (9~9 - 10101)]1

(1 1

)11000 500

= 2" 1 - 1001 = 2"1001 = 1001. .

Bases

Desde nuestro primer contacto escolar con los nmeros trabajamosla llamada expansin decimal o escritura en base 10 de los nmeros yas en la: escuela se nos ensea a hablar de unidades, decenas, centenas,

etc. Sin embargo, pocas veces relexionamos en lo que esto significa yen la gran utilidad de esa escritura en comparacion con, por ejemplo,la escritura en nmeros romanos. Tambin desde muy pequeos hemosodo hablar de las culturas que han trabajado con el O, y muchos enten-demos de manera ingenua que se habla simplemente de una cantidadpara representar la "nada". Esto, desde luego, hasta cierto punto escierto, pero la verdadera importancia del uso del O en un sistema posi-cional como el decimal radica en que sirve para "guardar" posiciones:El nmero 903 representa 3 unidades, O decenas y 9 centenas; en otraspalabras,

903 = 9 x 102+ Ox 10 + 3.

17

-...-

Con la notacin posicional es fcil sumar, multiplicar, etc., pues se vanhaciendo las operaciones parcialmente y agrupando conforme va siendonecesario. A continuacin resolveremos algunos problemas que tienenque ver con escritura tanto en base 10 como en otras bases. De maneraexplcita, la representacin de un nmero en una base b significa que seescribe el nmero como suma de potencias de b donde los coeficientesson nmeros enteros entre O y b - 1; por ejemplo el nmero 903 seescribe como suma de potencias de 2 de la siguiente manera:

29 + 28+ 27+ 22+ 2 + 1,

y como suma de potencias de 5 como:

54 + 2 x 53+ 52+ 3.

Entonces, usando slo los coeficientes e indicando la base de la que setrata con un subndice (no ponemos subndice para base 10) escribimos:

903 = 11100001112 = 121035,

Para una explicacin un poco ms completa (y algunos ejemplos) sobreoperaciones en base 2 ver [Combinatoria, Seccin 12].

[1.41] Ejemplo. Encontrar la suma de todos los nmeros de 4cifras en los que los dgitos 1, 2, 3 y 4 aparecen exactamente una vez.

Solucin. Primero observemos que cada dgito aparece 6 veces encada posicin (por ejemplo, el1 aparece en la posicin de las decenas enlos siguientes nmeros: 2314, 2413, 3214, 3412, 4213 Y4312). Entoncescada dgito deber multiplicarse por 6 y por cada una de las potenciasde 10 (1,10,102 Y 103). Factoripando obtenemos la suma:

6(1 + 2 + 3 + 4)(1 + 10+ 102+ 103)= 60(1111) = 66660. .

[1.42] Ejemplo. En una balanza se utilizan pesas marcadas engramos (cantidades enteras) para determinar el peso de objetos de lamanera usual, es decir, colocando las pesas necesarias en cada lado dela balanza para que se equilibre. Decir los pesos de una coleccin de 4

18

............

pesas con las cuales se puedan determinar todos los pesos del 1 al 40.[JLLL, 8 Examen Eliminatorio de Michoacn]

Solucin. En este problema est escondida una expansin ternaria(es decir, en base 3). Sabemos que todo nmero N se puede expresar(de manera nica) en base 3 con coeficientes ao, al,..., ak) iguales a O,1 o 2:

N = ao + a13+ a232+ . . . + ak3k.Cuando algunos de los coeficientes son 2, pueden sustituirse por 3 - 1Y volver a agrupar de manera que se obtenga una nueva expresin deN en una suma:

N = Co + c13 + c232 + . . . + ck3k,

donde los nuevos coeficientes Ci sean O, 1 o -1. Por ejemplo,

16 = 32 + 2 x 3 + 1= 32+ (3 - 1)3 + 1= 32 + 32 - 3 + 1.= 2 X 32 - 3 + 1.

=(3-1)32-3+1.

= 33 - 32 - 3 + 1.

En otras palabras, el problema dice: Con qu coleccin inicial de

nmeros (valores en gramos para las pesas) es posible obtener todoslos nmeros del 1 al 40 con sumas y restas de algunos de ellos? En-

tonces, la solucin es: Como son 4 nmeros iniciales, el nmero total de

expresiones de ellos usando O, 1 Y -1 como coeficientes es 34 = 81; sinembargo una de ellas da como resultado O (todos los coeficientes iguales

a O) y del resto la mitad son negativas y la otra mitad son positivas, esdecir, hay 40 positivas. Usando los valores 1, 3, 32 Y 33 el valor mximoes cuando todos los coeficientes son 1, es decir 1 + 3 + 32 + 33 = 40, as

que todos los valores entre 1 y 40 son posibles. -

[1.43] Ejemplo. Sea f(m) la mxima potencia de 2 que dividea m!. Probar que m - f(m) es el nmero de l's que aparecen en laexpansin binaria (en base 2) de m.

19

-

Solucin. Escribamos m = an2n+an-12n-1+.. .+a12+ao, con losai iguales a Oo 1 para toda i. Entonces el nmero de l's que aparecenen la expansin binaria de m es an + an-1 + . . . + al + ao. Calculemosf (m) usando la expresin binaria de m y recordando que

f(m) = [;] + [;] + [;] +...,donde [~] denota la parte entera de ~. (ver[1.13].) Tenemos que

[;] = an2n-1 + an-12n-2 + .. o+ a322 + a22 + al[;] = an2n-2 + an-12n-3 + . oo + a32 + a2

[2: 1]

[~]

= an2 + an-1

= ano

Entonces calculemos m - f (m) factorizando las a~s:

m - f(m) =an (2n - (2n-1 + 2n-2 + ... + 1))

+ an-1 (2n-1 - (2n-2 + 2n-3 + o.. + 1))

+ . . . + a2 (22 - (21 + 1)) + al (2 - 1) + ao= an + an-1 +... + al + ao,

que es lo que queramos. -

Ejercicios

[1.44] Ejercicio. Un barril lleno de leche pesa 34 Kg Y cuandoest lleno a la mitad pesa 17.5 Kg. Cul es el peso del barril?

[1.45] Ejercicio. A un nmero se le suma su 10%, Y al nmeroas obtenido se le resta su 10%. Qu porcentaje del nmero originalqueda?

20

~~

[1.46] Ejercicio. En un recipiente se tiene 1 litro de lquido delcual 5% es jugo de limn y el resto es agua. Cunta agua debe agre-garse si se quiere tener una mezcla con slo 2% de limn?

[1.47] Ejercicio. En el piso se va a pintar un tringulo equilterode 1 m de lado. Dentro de l se pintarn lneas paralelas a los ladospartiendo de los puntos medios de los lados para formar tringulosequilteros ms chicos; los nuevos tringulos as obtenidos se dividirnsiguiendo el mismo procedimiento y as sucesivamente. Se dispone depintura para pintar hasta 200 m. Cul es la longitud de los tringulosms chicos que se pueden pintar? (Nota: Puede sobrar pintura puesse quiere que la figura que quede tenga todos los tringulos del mismotamao.) [MLPS, 8 Examen Eliminatorio de Michoacn]

[1.48] Ejercicio. Ayer en clase el 12.5% de los alumnos falt. Hoyhay un alumno ausente ms, y el nmero de presentes es 5 veces el deausentes. Cul es el nmero total de alumnos de la clase?

[1.49] Ejercicio. En cierta novela de ciencia ficcin se describenpersonajes que, si bien son inmortales, su forma y color vara da conda. Dichos personajes son de tres colores: rojo, azul y verde. De ellosalgunos son de forma esfrica y otros de forma piramidal. Da con da el80% de los rojos se vuelven azules; el 80% de los azules se convierten enverdes, yel 80% de los verdes, en rojos. Tambin ellos mismos varan deforma diariamente: el 40% de los esfricos pasan a ser piramidales y, asu vez, el 40% de los piramidales se convierten en esfricos. Supngaseque cierto da la distribucin de la poblacin es como se muestra en lasiguiente tabla:

EsfricosPiramidales

Rojos60009000

Azules500010000

Verdes30004000.

Cuntos personajes azules esfricos habr al da siguiente? (Cabeaclarar que todas las mutaciones ocurren en forma homognea; es decir,por ejemplo, el 80% de los rojos esfricos cambiar su color cada da y

21

....--

lo mismo ocurrir con el 80% de los rojos piramidales.) [MLPS, 1988]

[1.50] Ejercicio. Los nmeros enteros a, b, e, d estn en progresinaritmtica (en ese orden). [Recordemos que una progresin aritmticaes aqulla en la que a cada trmino se le suma una misma constantepara obtener el siguiente trmino.] Demostrar que

1 1 1 3+ + -va+ v1J v1J + ve ve +../d - va+../d'

[1.51] Ejercicio. Si a y b son nmeros positivos distintos que

cumplen 0,2 + b2 = 4ab, hallar el valor de (:~~) 2.

[1.52] Ejercicio. La suma de los 1993 elementos de un ciertoconjunto de nmeros es 19931993. Hallar el promedio de los elementosde ese conjunto.

22

~

Seccin 2

Divisibilidad

sta y la siguiente seccin son una breve introduccin al estudio deuna rama de las Matemticas llamada Teora de Nmeros, cuyo origenes el estudio del conjunto de los nmeros enteros

Z = {..., -2, -1, 0,1,2,3,.. .}.

As como dentro del conjunto de los nmeros naturales

N = {1, 2, 3, . . .}

no siempre se pueden considerar restas (para a y b naturales, a - bes natural si y slo si a > b), dentro del conjunto Z no siempre hay

cocientes (por ejemplo, ~ es entero pero ~ no lo es). Sin embargo lacondicin de divisibilidad de enteros (es decir, la condicin para deter-minar cundo el cociente de dos enteros es otro entero) no se expresade manera tan sencilla como la de diferencia en los nmeros naturales.

Estudiaremos aqu algunos aspectos de este tema de divisibilidad.

En toda la seccin, las letras a, b, e, etc. representarn enteros.

-

Propiedades bsicas

[2.1] Definicin. Si a y b son enteros, decimos que a divide a b,

en smbolos a lb, si es posible encontrar un entero x de tal manera queax = b. Otras formas de expresar que a divide a b son:

a es divisor de b,a es factor de b,b es divisible entre a yb es mltiplo de a.

Si a no divide a b escribimos a {b.[2.2] Ejemplos.(i) Los nmeros ps-res, ..., -4, -2, O,2, 4, 6, . .., son precisamente

aqullos que son divisibles por el entero 2, pues son los de la forma 2xcon x entero.

(ii) -12\36 (aqu x = -3).(iii) 171O (aqu x = O; en general, para todo entero a se tiene

a I O).

(iv) 11- 11 (aqu x = -11; en general, para todo entero a se tiene11 a).

[2.3] Nota. Cuando a =1- O, son equivalentes el que al b Yel que ~sea un entero (en este caso slo hay una solucin de la ecuacin ax = b,que es x = ~). Por otro lado, aun cuando no podemos hablar del "en-tero ", segn la definicin que acabamos de dar podemos afirmar queO divide a O pues la ecuacin O = Ox tiene solucin entera (cualquierentero sirve como solucin).

Recordemos que si x es un nmero real cualquiera, entonces el

valor absoluto de x, denotado por Ixl, es su distancia al O en la rectanumrica real. Entonces, por ejemplo, 171= 7, 1 - 71 = 7, 101= O,1- 1.431= 1.43, 1J21= J2,

24

~

[2.4] Propiedades.

(i) Para a y b enteros, al b si y slo si lal/lbl.

(ii) Si al b Y b i= O, entonces lal ::; Ibl.

(iii) Para todo entero a se tiene a la. (Se dice que la relacin dedivisibilidad es reflexiva.)

(iv) Si a, b Y c son enteros tales que al b Y b Ic entonces a Ic. (Sedice que la relacin de divisibilidad es transitiva.)

(v) Es posible que al b pero que b {a. (Se dice que la relacin dedivisibilidad no es simtrica.)

(vi) Para a y b enteros, al b Y b Ia si y slo si lal = Ibl (es decir,a = ::I::b).

Demostracin.

(i) En cada caso, basta ajustar el signo de la solucin x segnse necesite: Si b = ax, entonces Ibl = lal(::I::x). Recprocamente, siIbl = lalx,entoncesb = a(::I::x).

(ii) Tenemos que b = ax, as que Ibl= lallxl. Como b i=O,entonceslal, Ibl y x son todos naturales, as que Ibl se obtiene sumando Ixl vecesel nmero lal y entonces es claro que lal ::; Ibl.

(iii) Para x = 1 tenemos a = ax, por tanto a la.(iv) Sean x y y enteros con ax = b Y by = c; entonces axy = by =

c, de donde concluimos que al c.(v) Tomar, por ejemplo, a = 3 Y b = 6.(vi)' Supongamos primero que al b Y que b Ia, y vamos a probar

que lal = Ibl. Si alguno de los dos es cero, digamos a = O, como ax = bpara algn entero x, entonces tambin b = O, as que laI = O= lbl. Sininguno de los dos es cero entonces, por (ii), lal ::; Ibl y Ibl ::; lal, por

tanto lal = Ibl. Ahora supongamos que lal = Ibl; para ver que al b Yb Ia basta usar (iii) y (i). .

[2.5] Nota. La propiedad (i) nos dice que la mayor parte del tra-bajo sobre divisibilidad con nmeros enteros se puede hacer dentro delconjunto No := {O,1,2,3, . ..} (y despus agregar los signos en caso

25

..--

necesario). La ventaja de trabajar dentro de No es que ah tenemosuna poderosa herramienta de demostracin que es la induccin (ver

[Combinatoria, Seccin 4]).

[2.6] Proposicin. Para a, b Y e enteros, tenemos que a I b Y a I e

si y slo si a I rb + se para cualesquiera r y s enteros.

Demostracin. Primero supongamos que a I b Y que a I e y tome-

mos un nmero rb + se con r y s enteros; queremos probar que a I rb +se. Tenemos que b = ax y que e = ay para algunos enteros x y y.Entonces rb + se = rax + say = a(rx + sy), por lo cual rb + se tienecomo factor a a, es decir, al rb + se, como queramos probar. Ahora

supongamos que a I rb + se para cualquier eleccin de r y s enteros.Entonces, al tomar r = 1 Y s = O, vemos que a lb pues lb + Oe= b;anlogamente, al tomar r = O Y s = 1 vemos que a le. . .

Si b Y e son enteros, todo nmero que pueda expresarse en la formarb + se (para r y s enteros) se llama combinacin lineal (entera) de by e. Como observamos en la proposicin [2.6], los mismos enteros b ye son combinacin lineal de b y e. Tambin es fcil convencerse de quetodos los mltiplos de b y todos los mltiplos de e son combinacinlineal de b y e (basta tomar s = O o r = O, segn sea el caso). Pode-mos usa,.r la proposicin anterior para ver que no cualquier nmero escombinacin lineal de dos nmeros escogidos b y c, como en el ejemploque sIgue.

[2.7] Ejemplo. Probar que ningn nmero impar es combinacinlineal de 4 y 6.

Solucin. Aplicamos la proposicin con a = 2, b = 4 Y e = 6.Supongamos que un cierto nmero impar h es combinacin lineal de 4

y 6; entonces, utilizando la proposicin [2.6], tenemos que 21 h, lo cuales falso pues h es impar. De aqu concluimos que no es posible que hsea combinacin lineal de 4 y 6. .

26

" ,.

[2.8] Nota. La proposicin [2.6] no nos da una respuesta sobre qunmeros exactamente son combinacin lineal de dos nmeros fijos da-dos, slo nos da un criterio para saber que algunos no lo son: si logramosencontrar un factor comn de b y e que no sea factor de h, entoncessabremos que h no es combinacin lineal de b y e, sin embargo, sino encontramos tal factor, la proposicin no nos dar respuesta alguna.Para obtener una respuesta completa necesitamos avanzar bastante msen nuestro tema; haremos esto en [2.63] e incluso proporcionaremos unalgoritmo (mtodo) para escribir cualquier nmero que s sea combi-nacin lineal de un par de nmeros dados como combinacin lineal delos mismos. Queremos hacer notar tambin que, en caso de que ciertonmero h sea combinacin lineal de otros dos b y e, la pareja de enterosr y s no es nica (es decir, hay muchas formas de expresar determinadonmero como combinacin lineal de otros dos); por ejemplo, si h = 1,b = 2 Y e = 3, entonces 1 = 2 x t-1) + 3 x (1) (aqu r = -1 Y s = 1)o tambin 1 = 2 x 2 + 3 x (-1) (aqu r = 2 Iy S = -1). Ms adelantediremos cmo encontrar todas las formas de escribir un nmero como

combinacin lineal de otros dos nmeros enteros dados (ver [2.100]).

Un caso particular de la proposicin [2.6] que se utiliza con frecuen-cia en problemas de divisibilidad es el siguiente corolario.

[2.9] Corolario. Si b, e y d estn relacionados por la ecuacinb+e = d, Y un nmero a es divisor de cualesquiera dos de ellos, entoncestambin lo es del tercero.

Demostracin. Para deducir este corolario a partir de la proposi-cin [2.6] basta observar que cada uno de b, e y d es combinacin linealde los otros dos. .

[2.10] Ejemplo. Encontrar 100 enteros consecutivos tales queninguno de ellos es primo.

Solucin. Consideremos los lll~meros an = 101! + n, para n =2,3, . . .,101. Observemos que la sucesin a2, a3, . . ., alO1consta de 100

trminos y, como n ::; 101, entonces n es divisor de 101!, as que n I an

27

--

para toda n; adems es claro que an > n, por lo que concluimos quean no puede ser primo. .

En la siguiente proposicin veremos algunas factorizaciones que nossern de utilidad en varios problemas. Las plantearemos en lenguaje dedivisibilidad.

[2.11] Proposicin.lesquiera. Entonces

(i) a - b I an - bn.

(ii) Si n es impar, tenemos que a + b I an + bn.(iii) Si d es un divisor de n, entonces ad - bd I an - bn.

Solucin. En cada caso, es fcil comprobar la factorizacin queproponemos abajo; se dejan los detalles al lector .

(i) an - bn = (a - b)(an-l + an-2b +... + abn-2 + bn-l).(ii) Por ser n impar tenemos que bn = -( -b)n, por tanto

an + bn = an - (-b)n

= (a - (-b)) (an-l + an-2(-b) +... + a(-b)n-2 + (_b)n-l),

Sean n un natural y a y b enteros cua-

con lo que queda establecido que a + b es factor de an + bn.(iii) Escribamos n = dk. Tenemos entonces an - bn = (ad_-

bd)(ad(k-l) + ad(k-2)bd+ ... + adbd(k-2)+ bd(k-l)). .Observemos que las factorizaciones que vimos en [2.11] son tambin

ciertas para a y b nmeros cualesquiera (e incluso, expresiones alge-

braicas), no necesariamente enteros. Tambin es claro que el inciso (iii)implica los otros, e incluso de l se deducen factorizaciones tambinimportantes como a2d- b2d= (ad - bd)(ad + bd).

28

~

Ejercicios

[2.12] Ejercicio. Aplicar la proposicin [2.6]para probar los cono-cidos resultados siguientes:

(i) La suma de dos nmeros pares es tambin un nmero par.(ii) La suma de un nmero par con un impar es impar.(iii) El producto de un nmero par con cualquier otro entero es un

nmero par.

[2.13] Ejercicio. Expresar O como combinacin lineal de 3 y 11de dos maneras distintas.

[2.14] Ejercicio. Expresar 1 como combinacin lineal de -3 y 4de tres formas distintas.

[2.15] Ejercicio. Expresar 20 como combinacin lineal de 7 y 4.

[2.16] Ejercicio. Es posible utilizar la proposicin [2.6] para de-cidir si 4 es combinacin lineal de 18 y 12 o no?

[2.17] Ejercicio. Es posible utilizar la proposicin [2.6] para de-cidir si -2 es combinacin lineal de 20 y -12 o no?

[2.18] Ejercicio. Es posible utilizar la proposicin [2.6] para de-cidir si 22 es combinacin lineal de 60 y 14 o no?

[2.19] Ejercicio. Deducir de la proposicin [2.6] que si al b, en-tonces a divide a cualquier mltiplo de b.

29

--

Primos

Los nmeros enteros "indivisibles" juegan un papel muy importantedentro de la teora de la divisibilidad pues a partir de productos de

ellos se construyen todos los dems enteros, y muchas preguntas sobredivisibilidad tienen respuesta en el anlisis de esa construccin; a esosnmeros bsicos les llamaremos primos. Ms concretamente, decimos

que un entero p #- ::1:1es primo si sus nicos divisores son ::1:1y ::I:p. Unentero no cero y distinto de ::1:1es compuesto si no es primo. Los enteros

1 y -1 no son primos ni compuestos, se llaman unidades. Al nmero Ono lo consideraremos dentro de ninguna de estas categoras. Tenemos

entonces que son nmeros primos: ::1:2,::1:3,::1:5,::1:7,::1:11,::1:13,::1:17,. . .Son compuestos: ::1:4,::1:6,::1:8,::1:9,::1:10,::1:12,::1:14,::1:15,::1:16,. .. Un n-

mero a se llamar divisor propio de otro nmero b si al b pero a#- ::1:1ya#- ::I:b;en este caso tambin diremos que b es m ltiplo propio de a;as, un nmero primo ser aqul que sea distinto de ::1:1y que no tenga

divisores propios.

En el siguiente ejemplo aplicaremos [2.9]en un problema de nmerospnmos.

[2.20] Ejemplo. Probar que ninguno de los enteros 1573, 157573,15757573, ... es un nmero primo.

Solucin. Podemos observar que las diferencias de dos trminosconsecutivos de la sucesin son de la forma 156 x lOr para alguna r.

Como 131156, entonces 13 divide a todas las diferencias. Observemos

adems que 1311573 (pues 1573 = 13 x 112). Afirmamos que esto essuficiente para concluir que 13 es divisor de todos los dems trminos.Para ver esto llamemos a los trminos de la sucesin al, a2, . . .; entonces

an = (an - an-l) + (an-l - an-2) + ... + (a2 - al) + al'

As vemos que cada an es suma de mltiplos de 13 y, por lo tanto, lmismo lo es. 8

30

""""""'"

A continuacin veremos el importante resultado llamado TeoremaFundamental de la Aritmtica, que habla sobre la construccin de losenteros a partir de productos de primos; el contenido del teorema es unresultado que hemos manejado con familiaridad desde nuestros primeros'cursos de aritmtica: el de escribir nmeros como producto de primos(por ejemplo, 12 = 2 x 2 x 3). Tambin sabemos que la forma dehacerlo no es nica (por ejemplo, 12 = 2 x 3 x 2 = (-2) x 2 x (-3) =. . . ); sin embargo el orden y el signo de los primos es lo nico queestorba en la unicidad de la descomposicin segn nos dir tambin elTeorema Fundamental de la Aritmtica. Por el momento no podremosprobar esta parte de que la descomposicin es esencialmente nica puesnecesitamos desarrollar ms herramientas en nuestra teora; por estarazn por el momento enunciaremos y probaremos slo la primera parte.

[2.21] Teorema Fundamental de la Aritmtica (primeraparte).Todo entero distinto de O y de :::1:::1es producto de primos.

Demostracin. Sea a i- 0,:::1:::1Y consideremos primero el caso en

que a sea positivo. Si a es primo, entonces no hay nada que probar

(permitimos productos de un solo factor). Si a no es primo entonces escompuesto, as que podemos escribir a = be, con b y e enteros positivosy distintos de 1 y de a; adems tenemos que b y e son ambos menores

I

que a. Otra vez, si b y e son primos, entonces ya acabamos. Si alguno

de ellos (o los dos) no lo es, lo escribimos como producto de otros dosms chicos, y as sucesivamente. Este procedimiento debe terminar en

algn momento (en menos de a pasos) pues cada vez los nmeros sonmenores y positivos; cuando termine el procedimiento habremos encon-

trado la descomposicin de a en producto de primos como queramos.El caso en que a sea negativo se reduce al anterior pues podemos

aplicar el resultado a -a (que es positivo) y despus agregar el signo aalguno de los primos en la descomposicin de -a. .

[2.22] Nota. El "as sucesivamente" que usamos en la demostra-cin anterior lleva implcita una induccin; utilizando el lenguaje ms

31

...--

elegante de la induccin matemtica, la demostracin (para el caso denmeros positivos) podra escribirse como sigue:

Base de induccin: El resultado es obviamente cierto para los nme-ros primos.

Hiptesis de induccin: Sea a ~ 3 Ysupongamos que el resultado escierto para todos los naturales entre 2 y a-l. Si a es primo, entonces labase de induccin nos da el resultado; si a no es primo entonces a = bc,con b y c enteros entre 2 y a - 1; utilizando la hiptesis de induccinescribamos b y c como producto de primos; la descomposicin de a seobtendr juntando las dos descomposiciones.

[2.23] Nota. Como dijimos arriba, posteriorI?ente completaremosel Teorema Fundamental de la Aritmtica demostrando que la descom-posicin es nica salvo orden y signo. Usando este resultado con toda sufuerza, podemos hacer la factorizacin en primos poniendo primero elsigno y despus escribiendo slo primos positivos en orden creciente demagnitud y agrupando los primos que son iguales en la potencia corres-pondiente. A esta forma la llamaremos descomposicin cannica delnmero. Por ejemplo, la descomposicin cannica de -180 es -22325.

En lo que sigue estudiaremos mtodos para encontrar la descom-posicin cannica de nmeros pequeos. Para ello necesitaremos sabertambin cmo decidir si cierto nmero es primo o no.,

El siguiente lema est basado en el simple hecho de que si un nmeropositivo a es producto de dos divisores positivos, entonces alguno deellos debe ser menor o igual que va (pues el producto de dos nmerospositivos mayores que va es mayor que a). Por ejemplo, si a = 24, encualquiera de las siguientes descomposiciones de a como producto dedos nmeros observamos que uno de los factores es menor o igual queV24 = 4.8 . . .: 24 = 3 x 8 = 6 x 4 = 2 x 12.

[2.24] Lema. Sea a un nmero entero mayor que 1 con la pro-piedad de que ningn nmero primo menor o igual que va lo divida.Entonces a es primo.

32

~

Demostracin.Supongamos que a no es primo y escribamos a =be con 1 < b,e < a. Como estamos suponiendo que a no tiene factoresprimos menores o iguales que va, entonces tampoco los tienen ni bni e, as que b y e son ellos mismos mayores que va; pero entonces,a = be > vava = a. Esta cadena de igualdades y desigualdades nosdice que a > a, lo cual es un absurdo, as que nuestra suposicin nopuede ser cierta y a debe ser primo. -

[2.25] Ejemplo. Probar que 61 es un nmero primo.

Solucin. Aplicando el lema, como J6I < 8, basta que compro-bemos que 61 no es divisible por ninguno de los primos 2,3,5 y 7, locual es claramente cierto. -

Si queremos dar una lista de todos los primos hasta un cierto lugar(por ejemplo, la lista de todos los primos menores que 60), el lema an-terior no resulta prctico pues al aplicarlo tendramos que analizar cadanmero por separado y esto nos llevara a hacer demasiadas divisiones.Describiremos ahora el mtodo de la Criba de Eratstenes para deter-minar todos los primos positivos menores que un cierto nmero elegidoR (en la figura de abajo se ilustra el mtodo para cuando R = 60):

Se escriben todos los nmeros enteros entre 1 y R. La idea es irsealando los nmeros primos y tachando los no primos como sigue: Setacha primero el 1; despus se pone entre parntesis el 2 y se tachan to-dos los mltiplos propios de 2; a continuacin se busca el primer nmerono marcado todava (en este caso el 3) y se pone entre parntesis; setachan todos los mltiplos propios de l que an no hayan sido tachadosy se repite el procedimiento hasta tener todos los nmeros marcados,ya sea entre parntesis o tachados.

Observemos que en cualquier paso, el primer nmero que se en-cuentra sin marca es primo pues si tuviera algn factor propio a > O,entonces el nmero habra sido ya tachado al tachar todos los mltiplosde a. Observemos tambin que, gracias al lema, todos los nmeros queno han sido marcados hasta el momento en que se tachan los mltiplosdel ltimo primo menor o igual que VIi son primos, lo que permiteterminar el procedimiento relativamente pronto (en nuestro ejemplo, al

33

~

llegar al primo 7, pues el siguiente nmero sin marca sera 11, pero 11ya es mayor que y'6O).

t(11)q1.

(31)(41)fY1

(2)

1/2q2:y24/2fI2

(3) 1(13) 1/4(23) ~~ ~(43) f4(53) E(4

(5)15q5:}545&5

f)1Pq6~46&6

(7) ~(17) 182fT q8

(37) ~(47) 4Bf/l &8

fJ 10(19) ~(29) ~:w 4049 &D

(59) qo

[2.26] Ejemplo. Determinar si 1517 es primo o no.

Solucin. Desde luego, en este caso no necesitamos conocer todoslos primos del 1 al 1517; bastar conocer todos los primos menores queV1517 y revisar si alguno de ellos es di visor de 1517. Como 402 = 1600,es suficiente considerar los primos menores que 40 que son: 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37. Al hacer la divisin de 1517 con cadauno de stos (a mano o con una calculadora) vemos que 37 es el nicoque s lo divide (y que 1517 = 37 x 41), por lo que concluimos que noes primo. -

[2.27] Ejercicio. Determinar si 557 es o no primo.

Criterios de divisibilidad

Enunciaremos ahora algunos criterios de divisibilidad por nmerospequeos, algunos de los cuales son bien conocidos por nosotros desdenuestros primeros cursos de lgebra.

[2.28] Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisiblepor 2 si y slo si a termina en O,2, 4, 6 u 8. (Por ejemplo, 38 es divisiblepor 2 pero 35 no lo es.)

[2.29] Criterio de di visibilidad por 3. Un entero a es divisiblepor 3 si y slo si la suma de las cifras de a es divisible por 3. (Por

34

~

ejemplo, 228 es divisible por 3 pues 2 + 2 + 8 = 12, que es mltiplode 3; sin embargo 343 no lo es puesto que 3 + 4 + 3 = 10, que no esmltiplo de 3.)

[2.30] Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisiblepor 4 si y slo si el nmero formado por las dos ltimas cifras de a loes. (Por ejemplo 3128 es divisible por 4 pues 28 lo es; sin embargo 411

no lo es pues 11 no es mltiplo de 4).

[2.31] Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisiblepor 5 si y slo si termina en O o 5. (Por ejemplo 2515 es divisible por5 pero 217 no.)

[2.32] Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisiblepor 6 si y slo a si es divisible por 2 y por 3. (Por ejemplo 43644 s esdivisible por 6 pues es mltiplo de 2 y de 3; sin embargo, 364 no lo espues es mltiplo de 2 pero no de 3.)

[2.33] Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisiblepor 8 si y slo si el nmero formado por las ltimas tres cifras de a loes. (Por ejemplo 27256 es divisible por 8 pues 256 lo es; sin embargo23420 no es divisible por 8 pues tampoco lo es 420.)

[2.34] Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisibleIpor 9 si y slo si la suma de las cifras de a es divisible por 9. (Porejemplo 23985 s es divisible por 9 pues 2 + 3,+ 9 + 8 + 5 = 27,que es mltiplo de 9; sin embargo 386754 no es mltiplo de 9 pues3 + 8 + 6 + 7 + 5 + 4 = 33, que no es mltiplo de 9.)

[2.35] Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisiblepor 10 si y slo si a termina en O. (Por ejemplo 29853780 es divisiblepor 10 pero 38475 no lo es.)

[2.36] Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisiblepor 11 si y slo si la diferencia de la suma de las cifras en posicin impar

35

..--

de a menos la suma de las cifras en posicin par de a es divisible por11. (Por ejemplo 82817053 s es divisible por 11 pues (2 + 1 + O+ 3) -(8 + 8 + 7 + 5) = 6 - 28 = -22, que es divisible por 11; sin embargo2759 no lo es pues (7 + 9) - (2+ 5) = 9, que no es divisible por 11.

[2.37] Criterio de divisibilidad por 12. Un entero a es divisiblepor 12 si y slo a es divisible por 4 y por 3. (Por ejemplo 771 084 s esdivisible por 12 pues es mltiplo de 4 y de 3; sin embargo, 438 no lo espues es mltiplo de 3 pero no de 4.)

Existen diversos criterios de divisibilidad por 7 pero ninguno deellos es realmente prctico como los que hemos mencionado arriba en

los que el anlisis de divisibilidad de cierto nmero posiblemente grandese reduce al de otro nmero bastante menor.

Las demostraciones de los criterios de divisibilidad por 2, por 4, por5, por 8 y por 10 son muy parecidas entre s; haremos aqu la de divisinpor 4, dejando las otras como ejercicio. Los criterios de divisibilidad por3, por 9 y por 11 se dejarn para la seccin de Congruencias (ver [3.14]y[3.16]), pues con las herramientas desarrolladas en esa seccin son muysencillos de probar. Los criterios que mencionamos sobre la divisibilidadpor 6 y por 12 se deducen fcilmente del Teorema Fundamental de laAritmtica.

[2.38] Ejemplo. Demostrar el criterio de divisibilidad por 4.

Solucin. Sea a = anan-l. . . alaO la expresin decimal de a (porejemplo, si a ,= 20328, entonces n = 4, a4 = 2, a3 = O, a2 = 3, al = 2

y ao = 8). Sea b = al ao. Queremos probar que 41a si y slo si 41b.Recordemqs que la expresin decimal de a significa que a - an10n +an-l10n-l+.. .+al10l+ao10o. Sea e = an10n+an-l10n-l+.. '+a2102,de manera que a = e + b. Podemos observar que 41e pues 41100 y100 Ie, as que por el corolario [2.7] tenemos que 41 a es equivalente a

41b, como queramos probar. .

36

[2.39] Ejemplo. Exactamente una de las siguientes afirmacionesacerca del nmero de mi casa es falso.

(a) La suma de los cifras del nmero es 6.(b) Dos de las cifras del nmero son iguales.(c) El nmero es menor que 110.(d) El nmero es mayor que 40.(e) El nmero es primo.Cul es el nmero de mi casa? [MLPS, 17 Examen Estatal Semi-

final]

Solucin. Los nmeros cuyos dgitos suman 6 son mltiplos de 3y, por lo tanto, no pueden ser primos. Entonces (a) y (e) se contradicenuno al otro as que el inciso falso es uno de ellos y los otros incisos debenser ciertos. Los nmeros entre 40 y 110 que tienen dos dgitos igualesson: 44, 55, 66, 77, 88, 99, 100 y 101. La suma de las cifras de ningunode ellos es 6, pero 101 es primo, as que se es el nmero de mi casa. -

[2.40] Ejemplo. Encontrar la descomposicin cannica de losnmeros a = 660, b = -1573 y e = 1200.

Solucin. En todos los casos consideramos primero lal (al finalagregamos el signo si es necesario) y le buscamos el menor divisor primopositivo; despus dividimos a entre ese divisor y al resultado se le hacelo mismo hasta obtener el nmero 1; los resultados parciales de lasdivision~s se van poniendo en fila por debajo de a y los divisores cor-respondientes se escriben a la derecha de stos; los factores primos delal son precisamente los que quedan en la columna de la derecha:

6602330 2165355 51111

1

1573 11143 11

13 131

1200 260023002150275325 55 51

37

.....-..

Entonces a = 22 X 3 x 5 x 11, b = -112 x 13 y e = 24 x 3 X 52. .[2.41] Ejemplo. Encontrar un entero positivo a tal que la suma

a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a + 7a + 8a + 9a

resulta ser un nmero con todas sus cifras iguales. [MLPS, 6 ExamenEliminatorio de Michoacn]

Solucin. Escribamos

a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a + 7a + 8a + 9a = bbb . . .b,

con b un dgito. Entonces 45a = bbb... b. Ahora observemos que,como 45 es mltiplo de 5, tambin lo debe ser bbb... b, as que lanica posibilidad es b = 5 (b no puede ser O pues el enunciado diceque a debe ser positivo). Por otro lado, el nmero tambin debe sermltiplo de 9, as que la suma de las b's tambin debe serlo y el menornmero con esta propiedad es 555555555 (y a = 12345679). .

Ejercicios

[2.42] Ejercicio. Determinar todos los primos entre 1 y 80.

[2.43] Ejercicio. Encontrar la descomposicin cannica de 6916.

[2.44] Ejercicio. Encontrar la descomposicin cannica del n-mero -6511131.

[2.45] Ejercicio. El producto de tres enteros mayores que 1 ydistintos entre s es 100. Cules son los tres enteros?

[2.46] Ejercicio. Encontrar todas las parejas (a, b) de nmerosenteros positivos tales que ab - 3a - 2b = 6.

[2.47] Ejercicio. Cuntos nmeros de tres dgitos abc (con a =1=O) son tales que a + 3b + e es mltiplo de 3?

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Algoritmo de la Divisin.

En mucho de lo que sigue necesitamos la segunda parte del Teo-rema Fundamental de la Aritmtica (unicidad de la descomposicin delos enteros como producto de primos); para probar esto necesitamosdesarrollar ms la teora, cosa que haremos a continuacin.

[2.48] Algoritmo de la Divisin. Dados dos enteros a y b conb =1= O existen enteros nicos q y r de tal forma que

a = bq + r, yO::;r < lbl.

Demostracin. Primero probaremos la existencia de los enterosq y r. Por simplicidad, consideraremos slo el caso en que b > O Ya ~ O. Los dems casos pueden deducirse de ste fcilmente (ver [2.49]y [2.50]). Consideremos todos los mltiplos no negativos de b:

O, b, 2b, 3b,...

Sea qb el mayor mltiplo de b tal que qb ::; a, es decir a se encuentraentre qb y (q + l)b en la recta numrica (permitindose el caso en quea = qb). Definimos r := a - qb.

_~bb b

r~qb a (q+l)b

t=t::::Jb

Entonces a = qb + r y, como la distancia entre dos mltiplos consecu-tivos de b es Ibl (que en este caso es b mismo), tenemos que O::; r < Ibl,como queramos.

Por ejemplo, si a = 20 Y b = 6, entonces, 3 x 6 = 18 es el mltiplo de6 ms cercano por la izquierda a 20, as que q = 3 Y r = 20 - 18 = 2.Entonces el Algoritmo de la Divisin en este caso nos da 20 = 6 x 3 + 2.

39

...--..

Probaremos ahora que para cada pareja (a, b) slo hay una parejade enteros (q, T) que cumple las dos condiciones del algoritmo. Supon-gamos que (qI, TI) Y (q2,T2)' son parejas de enteros que satisfacen lascondiciones, es decir, a = bqI + TI, O :S TI < Ibl y a = bq2+ T2,O :S T2 < Ibl. Tenemos que bqI + TI = bq2+ T2 (pues ambos miembrosson iguales a a), de donde bqI- bq2 = T2 - TI ; tomando valores absolutosy factorizando b obtenemos

(*) IbllqI-q21=IT2-TII.

Si IT2- TII fuera distinto de O, sin prdida de generalidad podramos

suponer que T2 > TI; entonces por [2.4](ii), tenemos que Ibl :S IT2-TII =T2 - TI, lo cual es absurdo pues T2- TI :ST2 < Ibl. Concluimos entoncesque IT2 - TII no puede ser distinto de O, o sea que T2 = TI. Ahorasustituyamos esto en la ecuacin (*) para obtener IbllqI - q21 = O, Ycomo Ibl =1- O, entonces IqI - q21 = O, es decir, qI = q2. .

[2.49] Ejemplo. Encontrar q y T del Algoritmo de la Divisin sia=20yb=-6.

Solucin. Usando 20 = 6 x 3 + 2, obtenemos 20 = (-6) x (-3) + 2,as que q = -3 Y T = 2. .

[2.50] Ejercicio. Encontrar q y T del Algoritmo de la Divisin enel caso a = -20 Y b = 6 Y en el caso a = -20 Y b = -6.

El nmero q en la proposicin anterior es el cociente (de la divisinde a entre b) Yel nmero T es el residuo (de la divisin de a entre b).

Desde luego, si no pidiramos la condicin O :S T < Ibl, los enterosq y T no seran nicos; por ejemplo, si a = 20 Y b = 6, la ecuacina = bq + T podra ser cualquiera de las siguientes: 20 = 6 x 3 + 2,20=6x4+(-4), 20=6xO+20, 20=6x(-1)+26,etc. (De hecho,para cada valor entero de q obtenemos un valor de T.)

[2.51] Observacin. Si a y b son enteros y b =1- O, entonces b I asi y slo si el residuo T de la divisin de a entre b es O. .

40

. -

[2.52] Ejercicio. Encontrar los enteros q y r del Algoritmo de laDivisin correspondientes a:

(i) a=-19yb=7.(ii) a = 3 Y b = -8.(iii) a = 12 Y b = 3.(iv) a = -9 Y b = - 2.En cada caso hacer una ilustracin de los nmeros en la recta

numrica.

[2.53] Ejemplo. En la divisin de 999 entre n, donde n es unentero de dos cifras, el residuo es 3. Cul es el residuo de la divisinde 2001 entre n?

Solucin. Tenemos que 999 = nq + 3, para algn entero q. En-tonces 1000 = nq + 4, 2000 = n(2q) + 8 y 2001 = n(2q) + 9. Como ntiene dos cifras, 9 es el residuo. 8

Mximo comn divisor

Sea n 2': 2 un natural. Dada una coleccin de nmeros enterosdistintos de cero al, a2, . . ., an su mximo comn divisor, en smbolosmcd(al, a2, . . . , an), es el mayor de sus divisores comunes, es decir, d =mcd(al' a2, . . . , an) si di al, di a2, . . ., di an, y cualquier nmero enteroque cumpla estas condiciones es menor o igual que d.

[2.54] Ejemplo. Hallar el mximo comn divisor d de los nmeros12, 30 y 18.

Solucin. Encontremos primero los divisores de cada uno de estosnmeros. Los divisores de 12 son:

::1::1, ::1::2, ::1::3, ::1::4,::1::6 y ::1::12.

41

...---

Los divisores de 30 son:

::1:1,::1:2,::1:3,::1:5,::1:6,::1:10, ::1:15Y ::1:30.

Los divisores de 18 son:

::1:1,::1:2,::1:3,::1:6,::1:9Y ::1:18.

Entonces los divisores comunes son:

::1:1, ::1:2, ::1:3 Y ::1:6,

y el mayor de ellos es 6, as que ste ltimo es el mximo comn divi-sor. 11

El mtodo usado en el ejemplo anterior para encontrar el mximocomn divisor de dos nmeros no resulta muy prctico. En [2.59] y[2.75] aparecen dos formas ms simples.

Estudiaremos a continuacin algunas propiedades del mximo co-mn divisor; consideraremos slo el caso n = 2, es decir el caso delmximo comn divisor entre dos nmeros; la generalizacin al cason > 2 es sencilla usando la frmula recursiva

[2.55] mcd(al, a2,"', an) = mcd(al, mcd(a2,"', an)),cuya demostracin se deja como ejercicio.

En ocasiones se define mcd(a, O) = mcd{O,a) = O para cualquierentero a (inclusive para a = O). Nosotros aqu no trabajaremos msque el caso en que ambos son distintos de cero.

[2.56] Propiedades. Sean a y b enteros no cero. Entonces(i) mcd(a, b) = mcd(lal, Ibl);(ii) mcd( a, b) > O;

(iii) si al b, entonces mcd(a, b) = lal; y(iv) si d = mcd(a, b), a = da' y b = db' (es decir, a' y b' son los

respectivos cocientes de a y b entre d), entonces mcd(a', b') = 1.

42

......-

Demostracin. Las pruebas de (i) de (ii) y de (iii) son obvias;slo probaremos (iv). Supongamos que el entero k > O es un divisorcomn de a' y b'; bastar probar que k = 1. Sean a" y b" los res-pectivos cocientes de a' y b' entre k: a' = ka" y b' = kb". Entoncesa = da' = dka" y b = db' = dkb", as que dk es divisor comn de ay b, pero d es el mayor divisor comn y k > O, por lo que la nicaposibilidad es k = 1, como queramos probar. -

[2.57] Nota. En la proposicin anterior, (i) nos dice que podemosrestringir nuestra atencin a enteros positivos cuando se trata de es-tudiar el mximo comn divisor, con la ventaja de que dentro de losnmeros naturales disponemos del Principio de Induccin. Intuitiva-mente (iv) nos dice que "si a a y a b les 'quitamos' todo lo que tienenen comn (es decir d), entonces lo nmeros que quedan (a' y b') notienen 'nada' en comn".

Si mcd( a, b) = 1, decimos que a y b son primos relativos o primosentre si.

[2.58] Lema. Sean a y b enteros no cero con b 1 a. Si q y r sonenteros tales que a = bq + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r).

Demostracin. Utilizando [2.6]tenemos que los divisores comunesde a y b tambin lo son de r, y que los de b y r tambin lo son de a.En particular el mayor de los divisores comunes de a y b es el mismoque el de b y r. -

El siguiente resultado es muy importante. Su demostracin utilizael Algoritmo de la Divisin.

[2.59] Algoritmo de Euclides. Sean a y b enteros no cero. En-tonces mcd( a, b) es combinacin lineal de a y b.

Demostracin. Por simplicidad supondremos que a y b son po-sitivos (el caso general se deduce trivialmente de ste ajustando signos).Si b Ia entonces mcd( a, b) = b que, obviamente, es combinacin lineal

43

...--

de a y b. Supongamos entonces que b {a. Utilizando el Algoritmo dela Divisin consideremos enteros qi y ri de tal manera que

a = bq+ rl,b = rlql + r2,

rl = r2q2+ r3,

o < rl < b,O < r2 < rl,O< r3 < r2,

(*)

rn-2 = rn-lqn-l + rn, O < rn < rn-l,rn-l = rnqn'

Por el lema anterior tenemos que

mcd(a, b) = mcd(b, rl) = mcd(rl, r2) = ... = mcd(rn-l, rn) = rn.

Ahora probaremos por induccin que todos los residuos rl,"', rn soncombinacin lineal de a y b. La base de induccin consiste en probarque rl Y r2 son combinacin lineal de a y b (si n = 1, entonces enel primer paso podemos terminar la prueba). Despejando rl de laprimera ecuacin tenemos que rl = a - bq, combinacin lineal de a yb. Entonces en la segunda ecuacin, r2 = b - rlql = b - (a - bq)ql =a( -ql) + b(l + qql); con esto termina la base de la induccin. Ahorasupongamos que para cierta i 2: 3 los dos residuos anteriores ri-l Yri-2 son combinacin lineal de a y b; como ri es combinacin lineal deri-l Y de ri-2 es fcil lograr ri tambin como combinacin lineal de ay b utilizando la hiptesis de induccin. -

[2.60] Nota. La demostracin anterior nos da tambin un mtodomuy sencillo para obtener el mximo comn divisor entre dos nmeros:es el ltimo residuo no Ode las divisiones sucesivas en (*).

En la prctica, para escribir mcd(a, b) como combinacin lineal dea y b conviene seguir el procedimiento inverso del que se sigui enla demostracin anterior, es decir, ir despejando los residuos de lasecuaciones de abajo hacia arriba. Adems conviene marcar de algunamanera los nmeros a, b y rn , por ejemplo, escribindolos entre llaves, y

44

~

tambin marcar de otra forma los residuos, por ejemplo, subrayndolos.De esta manera sabremos que los nmeros subrayados son los que setienen que ir primero despejando, luego sustituyendo y, por ltimo,factorizando. Tambin es conveniente verificar la respuesta final pues esfcil equivocarse en el camino. Ilustraremos el mtodo con un ejemplo.

[2.61] Ejemplo. Escribir el mximo comn divisor de 94 y 34como combinacin lineal de estos nmeros.

Solucin. Apliquemos el Algoritmo de la Divisin varias vecescomo nos indica el Algoritmo de Euclides hasta encontrar el mcd(94, 34)y marquemos a, b y los residuos:

{94} = {34}x 2 + 26{34} = 26 x 1 + E

26 = E x 3 + {2}E = {2} x 4

(*)(**)

(***)

Entonces mcd(94,34) = 2. Ahora para escribir 2 como combinacinlineal de 94 y 34 primero despejamos 2 de la ltima ecuacin y luegorepetimos sucesivamente los siguientes pasos de abajo hacia arriba:sustitucin del residuo de la ecuacin precedente, factorizacin de losnmeros marcados y operaciones de los nmeros no marcados:Despeje en (* * *) :

{2} = 26 - E x 3,(Ntese que 2 = mcd(26,8) y hasta aqu tenemos escrito a 2combinacin lineal de 26 y 8.)Sustitucin del residuo de (**):

como

{2} = 26 - ({34} - 26 x 1) x 3.

Factorizacin y operaciones:

{2} = 26(1+ 3) + {34}(-3)= 26(4) + {34}( -3).

(Ntese que 2 = mcd(34,26) y hasta aqu tenemos escrito a 2 comocombinacin lineal de 34 y 26.)

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--

Sustitucin del residuo de (*):

{2} = ({94} - {34} x 2) (4) + {34}(- 3).

Factorizacin y operaciones:

{2} = {94}(4)+ {34}(-8 - 3)

= {94}(4) + {34}(-11). .

Utilizaremos ahora la parte terica del Algoritmo de Euclides: "queel mximo comn divisor de dos nmeros se puede escribir como com-binacin lineal de los mismos" para obtener algunos otros resultadosque nos permitirn demostrar la unicidad en la descomposicin comoproducto de primos de los nmeros. Ms adelante utilizaremos la parteprctica del resultado para resolver ecuaciones diofantinas (es decir,para encontrar todas las soluciones enteras de ecuaciones de la formaax + by = e, donde a, b y e son enteros).

[2.62] Corolario. Sean a y b dos enteros no cero y sea d sumximo comn divisor. Entonces cualquier divisor comn de a y btambin es divisor de d.

Demostracin. Como e divide a a y a b, tambin divide acualquier combinacin lineal de ellos, en particular a d. .

El siguiente corolario nos dice exactamente qu nmeros pueden sercombinacin lineal de dos enteros distintos de cero a y b.

[2.63] Corolario. Sean a y b enteros no cero y sea d su mximocomn divisor. Un nmero e es combinacin lineal de a y b si y slosi es mltiplo de d.

Demostracin. Por la proposicin [2.6]tenemos que si e es com-binacin lineal de a y b, entonces die. Recprocamente, supongamosque e es un mltiplo de d y probemos que e se puede expresar comocombinacin lineal de a y b. Escribamos e = de' y d = ar + bs (cone', r y s enteros). Entonces, multiplicando la ltima ecuacin por e',

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---

tenemos e = a(re') + b(se'). .[2.64] Ejemplo. Determinar si 7 y 20 son combinacin lineal de

12 y 28; en caso afirmativo, escribir una combinacin lineal en cadacaso.

Solucin. Como mcd(12, 28) = 4 Y 4~ 7, entonces 7 no es combi-nacin lineal de 12 y 28. Por otro lado, 4 s es divisor de 20. Adems,es fcil expresar 4 como combinacin lineal de 12 y 28 ("al tanteo"):4 = 12(-2) + 28. Multiplicando por 5 esta ecuacin (aqu e' del coro-lario anterior es 5), obtenemos 20 = 12(-10) + 28(5). .

Ejercicios

[2.65] Ejercicio. Escribir el mximo comn divisor de 99 y 68como combinacin lineal de estos nmeros.

[2.66] Ejercicio. Determinar si 15, -9 Y 61 son combinacinlineal de -24 y 93; en caso afirmativo, escribir una combinacin linealpara cada caso.

[2.67] Ejercicio. Determinar si 156, -12 Y 60 son combinacinlineal de 132 y -92; en caso afirmativo, escribir una combinacin lineal

para cada caso.

[2.68] Corolario. Sean a, b y e enteros tales que a Ibe. Si a y bson primos relativos entonces a le.

Demostracin. Sean r y s enteros tales que ar + bs = 1 Y mul-tipliquemos esta ecuacin por e: are + bse = e. Como a I are y a I bse,entonces a le. .

[2.69] Corolario. Si b1, b2, . . ., bk son enteros y un primo p esdivisor del producto b1b2. . . bk, entonces p divide a alguna de las b~s.

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...--

Demostracin.Haremos una induccin sobre k. La base de in-

duccin es para k = 2. Si P I b1, entonces no hay nada que probar. Si

P ~ b1, entonces por ser p primo, p es primo relativo con b1, as quepor el corolario anterior, p I b2. Ahora supongamos que k 2::3 Y que elresultado es cierto para k - 1 factores. Como arriba, si p I b1, entonces

no hay nada que probar, as que supongamos que p {b1 Y concluyamosque p I b2 . . . bk. Ahora aplicando la hiptesis de induccin tenemos elresultado. .

[2.70] Nota. El resultado anterior no es cierto si no pedimos quep sea un nmero primo, es decir, es posible que un nmero divida a unproducto sin que divida a ninguno de sus factores como lo muestra elejemplo 614 x 3.

Como corolario del resultado anterior obtenemos la unicidad en la

descomposicin de los enteros como producto de primos, como probare-mos a continuacin.

[2.71] Teorema Fundamental de la Aritmtica (segundaparte). Todo entero distinto de O y de ::f::1es producto de primos enforma nica salvo orden y signo.

Demostracin. Por [2.21], ya sabemos que todo entero distintode O y de ::f::1es producto de primos. Para ver la unicidad supongamosque a I ::f::PIP2'" Ps = ::f::qlq2 . . .qt, donde 8 y t son naturales y los PiY los qj son primos. Queremos probar que 8 = t ,Y que, salvo el signo,cada primo aparece exactamente el mismo nmero de veces en la lista

Pl,P2,...,Ps que en la lista ql,q2,...,qt. Sin prdida de generalidad,podemos suponer que los Pi y los qj son todos positivos. Hagamosinduccin sobre 8. Para 8 = 1 el resultado es claro pues a sera primo.Entonces supongamos que 8 2::2 y que el resultado es verdadero para

8 - 1 factores (es decir, la hiptesis de induccin es que si un nmeroacepta una descomposicin en producto 8-1 primos positivos, entoncescualquier otra descomposicin de ese nmero en producto de primos

positivos es igual a ella excepto, tal vez, por el orden de los factores).

48

-...

Como Pl la, entonces Pl Iql q2 . . .qt. Por el corolario anterior, Pl debedividir a algn qj que, sin prdida de generalidad, supongamos es ql;pero ste ltimo es primo, as que Pl = ql. Cancelando entonces Pl y qlen la ecuacin PlP2 . . .Ps = ql q2 . . . qt, tenemos que P2 . . .Ps = q2 . . . qt .La hiptesis de induccin se aplica aqu para obtener s - 1 = t - 1Y los primos P2, . . . ,Ps son los mismos que q2,..., qt, de donde quedaprobado el teorema. -

Gracias al Teorema Fundamental de la Aritmtica, cada nmero en-tero distinto de Oy de :i::l tiene una sola descomposicin cannica (ver[2.23]). Agregando potencias cero a las descomposiciones cannicas dedos o ms nmeros se pueden usar los mismos primos en las factoriza-ciones de todos ellos. Por ejemplo si a = 675 = 33 x 52 y b = 20 = 22 X 5,entonces podemos escribir a = 2 x 33X52 Y b = 22X3 x 5. Con estaescritura es muy fcil determinar si un nmero es divisible por otro ono, como nos dice el siguiente importante corolario, cuya demostracinse deja como ejercicio.

[2.72] Corolario. Sean a = :i::p~lp~2. . . p~k Y b = :i::p{lp~2 . . .p{k,donde Pl < P2 < ... < Pk son primos positivos y las ei Y las h sonenteros no negativos. Entonces a I b si y slo si para toda i = 1, . . . , k,se tiene que ei :s; fi. -

[2.7~] Ejercicio. Utilizar el corolario anterior para encontrar lacantidad de divisores positivos de 600.

[2.74] Ejercicio. Si a = :i::p~l p~2 . . .p~k es la descomposicin can-nica del entero a, probar que el nmero de divisores positivos de a es(el + 1)(e2 + 1) . . . (ek + 1) .

[2.75] Corolario. Sean a y b como en el corolario anterior y sead = p"tlp;;:2. . .p"!:kdonde, para cada i, mi es el mnimo entre ei Y fi(denotado por min{ ei, Ji}). Entonces d = mcd(a, b).

Demostracin. Por el corolario [2.74], es claro que d es divisorcomn de a y b. Para ver que es el mayor, tomemos otro divisor comn

49

c. Tambin por el mismo corolario, c = prl p~2 . . .p%k , con cada Ui :::;eiy Ui :::; fi; pero entonces Ui :::; mi para toda i, as que, otra vez por

[2.74], cid, de donde c:::; Icl :::;d. .[2.76] Nota. De la demostracin anterior podemos concluir que el

mximo comn divisor d de dos nmeros no cero a y b est caracteri-zado por las siguientes propiedades:

(i)dla,dlb,y

(ii) si cla y clb entonces cid.

[2.77] Ejemplo. Encontrar el mcd(16 500,1050).

Solucin. Tenemos que 16500 = 22 X 3 X 53 X 11 Y que 1050 =2 x 3 X 52 X 7, por tanto mcd(16 500,1050) = 2 x 3 X 52 = 150. .

[2.78] Ejemplo. Encontrar el mcd( 44,531).

Solucin. Como 44 = 22 x 11 y 531 = 32 x 59, entonces se tieneque mcd( 44,531) = 1. .

Es fcil convencerse de que para calcular el mximo comn divisorde ms de dos nmeros podemos usar [2.55] o simplemente en cadaprimo tomar la potencia menor, como lo muestra el siguiente ejemplo.

[2.7,9] Ejemplo. Encontrar el mcd(16 500,1050,70).

Solucin. Las descomposiciones cannicas de 16500 Y de 1050aparecen en el ejemplo [2.77]. Tenemos que 70 --' 2 x 5 x 7, de dondemcd(16 500,1050,70) = 21 X 3 X 51 X 7 x 11 = 10. .

[2.80] Ejercicio. Probar que mcd(2n - 1, 2m - 1) = 2d - 1, donded = mcd(n, m). (Sugerencia: Usar [2.11].)

50

.....--

Mnimo comn mltiplo

[2.81] Definicin. Sean al, a2,"', ak enteros no cero. Defini-

mos el mnimo comn mltiplo de ellos, en smbolos mcm[al, a2,"', ak]como el menor de todos los mltiplos comunes positivos de ellos. (Nota:En muchos textos se usa simplemente la notacin [al, a2, . . ., ak]')

Ejemplos.(i) Si a = 10 Y b = 6, entonces los mltiplos positivos de a son:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, etc.; y los de b son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,48, 60, 66, etc. Entonces mcm[10,6] = 30.

(ii) Si a = 4, b = 6 Y e = 10, entonces mcm[4,6,10] = 60.

Al igual que con el mximo comn divisor, estudiaremos aqu sloel mnimo comn mltiplo de dos nmeros y dejaremos como ejerciciopara el lector el caso de ms nmeros. La frmula recursiva aqu es:

[2.82] mcm[al, a2,..., ak] = mcm[al, mcm[a2"'" ak]]'

[2.83] Proposicin. Sean a y b enteros no cero. Entonces(i) mcm[a, b] es divisor de cualquier mltiplo comn de a y b.(

") S

.::1::el e2 ek b ::1:: h 12 fk 1

.11 1 a = Pl P2 ... Pk Y = Pl P2 ... Pk , con os Pi pn-

mas distintos y los ei Y los fi no negativos, entonces mcm[a, b] =p~l p~2 ',' .p~k , donde, para cada i, Mi = max{ ei, fi} (el mximo valorentre ei Y fi)'

(iii) mcd(a, b) . mcm[a, b]= labl.Demostracin. La demostracin de (i) y (ii) es como en la propo-

sicin [2.62] y se deja como ejercicio para el lector. Para probar (iii),observemos que

labl = p~l+hp~2+12 ... p~k+fk

y que, para cada i, min{ ei, fi} es uno de los dos valores ei o fi, ymax{ ei, fi} es el otro, de manera que tambin

mcd(a, b) . mcm[a, b] = p~l+hp~2+12 ... p~k+fk..

51

....-...

El resultado del Teorema Fundamental de la Aritmtica es tan claro

que ya 10 hemos usado de manera intuitiva en varias ocasiones e inclu-

sive hemos hablado ya de la descomposicin cannica de los nmerosdesde el principio de esta seccin (ver [2.23]). En los siguientes ejem-plos volveremos a usarlo, ahora ya con una mejor comprensin de loque hacemos. Utilizaremos tambin sus corolarios.

[2.84] Ejemplo. Probar que si p es un nmero primo entoncesvPno es un nmero racional (es decir, cociente de dos enteros).

Solucin. Supongamos que (%)2 = p, con a y b primos relativos.

Entonces a2 = b2p, de donde p I a2 y, por ser p primo, p la. Sea a = pc.Entonces (pc? = b2p, por lo tanto pC2 = b2, de donde p lb, lo cual esuna contradiccin pues supusimos que a y b eran primos relativos. -

[2.85] Ejemplo.(i) Encontrar la suma de todos los divisores positivos de 360.(ii) Encontrar el producto de todos los divisores positivos de 360.

(Escribir el resultado como potencia de 360.)(iii) Proponer una frmula para calcular la suma de los divisores

positivos de n y otra para calcular el producto, si la descomposicincannica de n es n = p~lp~2. . .p~k.

Solucin.(i) Tenemos que 360 = 23 X 32 X 5. Sus divisores son:

2 x 3 x 5,2 x 3 X 51,2 X 31 X 5,2 X 31 X 51,2 X 32 X 5,2 X 32 X 51,

21 X 3 x 5,21 X 3 X 51,21 X 31 X 5,21 X 31 X 51 ,21 X 32 X 5,21 X 32 X 51,

22 X 3 x 5 ',22 X 3 X 51 ,22 X 31 X 5 ,22 X 31 X 51 ,22 X 32 X 5 ,22 X 32 X 51 ,

23x30x5,23 x 3 x 51,23x31x5,23 x 31 X 51,23 X 32 X 5,23x32x51.

Para considerar la suma vamos a factorizar; al hacerlo en la primeracolumna tenemos 2(3(5 + 51) + 31(5 + 51) + 32(5 + 51)) = 2((3 +31 + 32)(5 + 51)). En las otras columnas tenemos esto mismo excepto

52

...

que las potencias de 2 cambian. Por tanto la suma es

(20 + 21 + 22 + 23)(30 + 31 + 32)(50 + 51) = 1170.

(ii) Si d /360, entonces tambin 3~01360. As que los divisores de360 se