Objetivo General.1. Compilar la teora bsica en un nico documento destinado al estudiante defsica, matemtica o ciencias en general; como apoyo bibliogrco paracursos sobre teora de nmeros.Objetivos Especcos.1. Reunir en un nico tratado los tpicos fundamentales y recurrentes en losprogramas de teora de nmeros, con la nalidad de dirigirlo a estudiantescomo material bibliogrco, para apoyo de la asignatura y consulta.2. Mostrar en un lenguaje sencillo los principales resultados de la teora denmeros, acompaado de buena ejercitacin, adems de algunas aplica-ciones y actualizaciones en este campo.1IntroduccinLa teora de nmeros o aritmtica como tambin es llamada es quizs juntocon la geometra la rama de la matemtica ms antigua, pero a diferencia de estaen la cual pueden recrearse formas y cuerpos para ser estudiados, la aritmticasuele ser rida, abstracta y desprovista de atractivo para casi cualquier lector,muchos matemticos han llamado a la teora de nmeros como la rama msdifcil de esta ciencia, otros le han dado el ttulo de Reina de las matemticas,sea cual sea el calicativo la aritmtica siempre ha estado rodeada de un aura demisticismo y escepticismo para el lector. A pesar de que esta rama cuenta conun gran campo de aplicacin en disciplinas como la computacin, criptografa,nanzas, biologa, fsica y las matemticas mismas.Sin mencionar que ha en-gendrado los problemas ms famosos y difciles de las matemticas, algunos aunsin solucin en la actualidad; as tambin ha dado lugar a la creacin de nuevas ymodernas ramas de las matemticas tales como: la teora analtica de nmeros,la teora algebraica de nmeros, teora de curvas elpticas, entre otras.La teora de nmeros no es propia de un nivel particular de educacin,podemos encontrar tpicos de sta desde la escuela primaria hasta la univer-sidad. Propiamente dicho, en nuestro pas se forman profesionales en educacincon mencin en matemticas donde deben estudiar teora de nmeros. Es pre-cisamente por estos ltimos que escribimos este trabajo.Por las caractersticas socioculturales y econmicas de nuestro pas, es difcilacceder a bibliografa actualizada y adecuada para ciertos niveles educativos ypara determinados nes acadmicos, motivados por esta causa hemos decididoescribir este trabajo compilatorio en su gran medida, pero con las particulari-dades de: mostrar la teora expuesta con una claridad de lenguaje y explicacinpaso a paso, presentar una variedad de ejercicios resueltos y otra gama de ejer-cicios propuestos con su respuesta o sugerencias para su solucin, un materialautosuciente en el sentido que cada captulo dota de lo necesario para el sigu-iente sin la necesidad de recurrir a otros medios y nalmente las aplicaciones aotras ciencias o dentro de las matemticas mismas y los resultados ms recientesen esta rama.La intencin de este documento es crear, no un recetario sino, un mediodidctico-tcnico, dirigido a estudiantes de nivel universitario que tengan queenfrentarse a un curso de teora de nmeros, pues aqu podrn adquirir unaformacin terica-prctica en cuanto a conocimiento terico y estrategia parala solucin de problemas.2Resea Histrica De La Teora De Nmeros.Construyendo el nmeroHoy en da encontramos nmeros en casi cualquier disciplina cientca, tec-nologa o incluso en el ambiente ordinario, pero este conjunto de grafos son elresultado de mucho tiempo de evolucin y complejas relaciones culturales quedatan desde tiempos del origen de la humanidad misma.El concepto de nmero surgi como consecuencia de la necesidad prcticade contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios quese dispona: dedos,piedras,conos de abetos,etc. Huellas de estos se hanconservado en las denominaciones de los clculos matemticos: Por ejemplo,calculus en su traduccin del latn signica cuenta con piedras. Debido a losmedios utilizados para contar, la serie natural se conceba nita y se contaba de5 en 5 (para el caso de los dedos de las manos) y luego se iniciaba nuevamentela cuenta formando paquetes de 5. Presumiblemente esta sea la razn de tenerun sistema decimal por poseer 10 dedos en las manos utilizados como mediosde clculo.Junto a la utilizacin de ms y ms nmeros surgieron y se desarrollaron sussmbolos, y los propios nmeros formaron sistemas. Para los primeros perodosde la historia de la humanidad es caracterstico encontrarse con una diversidadde sistemas numricos. Que paulatinamente se perfeccionaron y unicaron comoconsecuencia de las interacciones culturales entre las distintas razas.Algunos ejemplos se muestran en las guras siguientes:Numeracin Egipcia3Numeracin EslavaNuestros numerales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9) se suelen llamar rabes oarbigos a pesar que se parecen muy poco a los utilizados en los pases de laregin rabe como Egipto, Irak, Siria, Arabia, etc. Pero esta denominacinde nmeros arbigos se debe a que los principios en los que se basan los dossistemas es el mismo y a que los signos usados pueden haberse derivado de losrabes.Con esta universalizacin del sistema numrico, la conciencia del nmero sevolvi lo sucientemente extendida y clara como para llegar al punto de sentirla necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al inicio presumible-mente solo en un lenguaje simblico.4Nacimiento De La AritmticaLa aritmtica de la traduccin griega arihtmos o nmero tiene su origen en elmisticismo numerolgico de los griegos o ms especcamente de la escuela de lospitagricos. Los pitagricos fueron con mucha seguridad los primeros en estudiaralgunas de las propiedades de los nmeros y a dar las primeras clasicacionescomo pares, impares, primos, compuestos, nmeros gurados, entre otros.En la poca moderna la Aritmtica o Teora de nmeros como tambin esllamada se concibe como la rama de las matemticas encargada de estudiar laspropiedades de los nmeros naturales (0, 1, 2,. . . ) o enteros (. . . ,-2, -1, 0, 1,2,. . . ). Entre las propiedades de mayor inters se cuentan: la divisibilidad ycuando un nmero es primo o compuesto.La poca de EuclidesCercano al 300 a .c ocurri uno de los principales sucesos para la historia delas matemticas, la aparicin de los Elementos de Euclides obra monumental de13 libros que recoge el conocimiento matemtico alcanzado hasta la poca, quesacara a la aritmtica de la numerologa y del misticismo, para convertirla enuna ciencia estricta y deductiva. Existe la concepcin errnea que los elementoses una obra enteramente dedicada a la geometra, los libros VII, VIII y IX estndedicados enteramente a la teora de nmeros.El libro VII comienza con dos proposiciones que constituyen lo que hoyconocemos como el algoritmo de Euclides para obtener el mximo comn divisorde dos nmeros dados. El libro VIII trata las propiedades de los cuadrados y loscubos. Y por ltimo y el que posee un inters especial el libro IX, que contiene elteorema y la demostracin del mismo sobre la innitud de los primos. Tambinatac el problema de los nmeros perfectos, dando la demostracin de que todonmero perfecto es de la forma 21(21),en donde j y 21son primos. Dosmil aos ms tarde Euler demostr el recproco del teorema diciendo que todonmero par perfecto debe ser del tipo descrito por Euclides.Por ejemplo. Para 6 tenemos:6 = 221_221_= 23Todo nmero de la forma 21, en donde j es primo se conocen como nmerosde Mersenne, que los estudi en 1644. An hoy no se conoce si existen nmerosperfectos impares.La Aritmtica De DiofantoLos 250 aos que siguieron a la desaparicin de Euclides la teora de nmerosentr en un periodo de oscuridad hasta la llegada de Diofanto de Alejandra,quin public 13 libros, de los cuales se han conservado 6.5La aritmtica de Diofanto en lo que ha llegado hasta nosotros, est dedicadacasi completamente a la resolucin exacta de ecuaciones determinadas e inde-terminadas.Una de los principales aportes de Diofanto a las matemticas fuehaber introducido la notacin algebraica que precedi a lo que hoy utilizamos.La arithmetica no consiste en exposicin sistemtica sobre las operaciones ofunciones algebraicas, sino en una coleccin de 150 problemas, resueltos todosen trminos de ejemplos numricos completos y especcos.Diofanto fue hbil para resolver ecuaciones algebraicas con dos o tres incg-nitas. Muchos de estos problemas se originaron en la teora de nmeros y a l lepareci natural encontrar soluciones enteras. Las ecuaciones que deben ser re-sueltas por medio de valores enteros reciben el nombre de ecuaciones difnticasy el estudio de tales ecuaciones anlisis diofntico.Pierre de Fermat y La Teora De NmerosEl trabajo de Diofanto encuentra en el siglo diecisiete a su mejor intrprete,Pierre de Fermat quien se convertira en el creador de la moderna teora denmeros.Dentro de los resultados obtenidos por Fermat tenemos que armaba quelos nmeros de la forma )n = 22n+ 1 es un nmero primo \: N, pero estaconjetura resulto errnea, Euler demostrara que para : = 5 es compuesto.El conocido teorema de Pitgoras, inspir el resultado ms famoso y quizsel ms difcil planteado por Fermat.El llamado ltimo teorema de Fermat, laecuacin diofntica r2+ j2= .2; \:2 , no tiene solucin en los nmerosenteros. Este fue un problema que se resisti 350 aos a las mejores mentesmatemticas hasta que un joven matemtico ingls, Andrew Wiles, en mayode 1995 publicar un artculo de 130 pginas en Annals of Mathematics con lasolucin al problema.Aunque tal vez menos impresionante, pero otra gran paso en la teora denmeros debido a Fermat es el pequeo teorema que lleva su nombre:si j esprimo positivo y a es un entero coprimo de j, entonces j divide a, a1 1 a1= 1 modj , cuya demostracin se la debemos a Euler.Fermat logr verdaderos y muy profundos avances en esta rama de lasmatemticas, a pesar que su forma de razonar era muy intuitiva y casi nuncadaba una demostracin general, sin embargo dio algunas muy interesantes paralos siguientes teoremas:Todo nmero entero o es un nmero triangular o una suma de 2 3 nmerostriangulares; todo entero o es cuadrtico o suma de 2, 3, 4 cuadrticos; todonmero o es pentagonal o es suma de 2, 3, 4 5 pentagonales, y as sucesiva-mente.6Tambin se le debe el resultado de que todo nmero primo de la forma 4:+1,es suma de dos cuadrados.Por ejemplo.5 = 12+ 22, 13 = 22+ 32, 17 = 12+ 42Un nuevo rumbo para La AritmticaPosterior al trabajo de Fermat, resuenan los nombres de las que quizs seanlas guras ms representativas de la moderna teora de nmeros: Leonard Euler(1707-1783), Lagrange (1763-1813), K.F Gauss ( 1777-1855) y Dirichlet (1805-1859).Gracias a Euler se vericaron o refutaron algunos de los ya mencionadosproblemas planteados por Fermat. Dictada por Euler, ya ciego, alrededor delao 1767, la Aritmtica Universal apareci, obra monogrca que consta de dospartes; en los tres pargrafos de la primera parte dirigi una atencin especiala las reglas de resolucin de problemas aritmticos y al desarrollo del aparatosimblico-lingstico del lgebra. El ltimo pargrafo incluye preferentementelos mtodos para buscar soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadasde primer grado y grados superiores. Aqu se le agrega la resolucin del granteorema de Fermat para : = 3 j : = 4.Todo hace indicar que la motivacin especial por la teora de nmeros,provino de la correspondencia mantenida entre Euler y Goldbach otro brillantematemtico. En una de estas cartas, fechada de 1 de diciembre de 1729, Gold-bach pregunta a Euler si conoce el resultado donde Fermat arma que todonmero de la forma )n = 22n+ 1 es primo, Euler contesta con un contra ejem-plo, )5 = 225+ 1 = 4294967297, el cual es divisible por 641 refutando as elresultado de Fermat.Adems de este hecho demostr el pequeo teorema de Fermat, introdujola funcin ,(:), cuyos valores son iguales a la cantidad de nmeros menoresque : y que son coprimos con l, en 1722 cre la ley de reciprocidad cuadrticay todo lo concerniente al problema de la representacin de nmeros en formascuadrticas.Los trabajos de Euler determinaron la problemtica, la estructura, y losmtodos de la teora algebraica de los nmeros.7Despus de Euler, la ley de reciprocidad cuadrtica la demostr Legendre(dio una demostracin incompleta). Gauss, hasta el ao 1801 dio ocho demostra-ciones de esta ley. No obstante Legendre en 1880 encontr la forma ms cmodade escribir esta ley:_j__j_= (1)p12,q12Entre los problemas aditivos de la teora de nmeros, propuestos en el sigloXVIII, se encuentra tambin el problema de Waring (1770), cualquier nmeronatural : _ 2 es representable como la suma de : c:i:a: potencias de nmerosnaturales, adems el nmero r de trminos de la suma depende solo de n. Waringno dio su demostracin.Como en la mayora de los problemas de la teora denmeros, el xito se logr con mucha dicultad. As, Lagrange demostr quesi : = 2, entonces r = 4. Posterior a esto se encontraron otros resultadosparticulares hasta que en 1909, Hilbert dio la primera demostracin general.En los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre, Lambert y otros matemticos,fueron elaborados y renados numerosos e ingeniosos mtodos de la teora denmeros, tanto algebraicos como analticos. Todas estas investigaciones, natu-ralmente, necesitaban sistematizacin, reduccin a una estructura lgica y bienestructurada de manera original. Esta dura tarea fue iniciada por Legendre enlos aos de 1797-1798 que titul Experiencia de la teora de nmeros, teniendocomo objetivo construir un sistema de resultados sobre las propiedades de losnmeros enteros. En posteriores ediciones fue completado con el trabajo deGauss, Abel y otros brillantes matemticos del siglo XIX. En esta presentacinest contenida el enorme cmulo de conocimiento sobre teora de nmeros, loque le da un signicado histrico y un signicado intelectual invaluable comogua para iniciar el camino de los nmeros.81 Nmeros Enteros Naturales"Dios hizo los nmeros naturales; el resto es obra del hombre"Leopold Kronecker.En este captulo abordaremos los principios fundamentales que rigen a losnmeros naturales, El principio del buen orden y el Principio de Induccinmatemtica. Adems de estudiar el sistema de los naturales desde la pticaaxiomtica de Peano.1.1 Principio del Buen Orden (PBO)1.1.1 Denicin. Decimos que a es mayor que / (simbolizado a/), si laecuacin / + r = a es soluble para algn nmero natural r.(para el casor = 0, se obtiene la igualdad / = a)La relacin a es mayor que /, puede expresarse equivalentemente as: / < aLa relacin "mayor que" antes denida tiene las siguientes propiedades:1. Tricotoma. Una y solamente una de las relaciones siguientes debe cumplirse:a/, a = /, a < /Demostracin.Supongamos que se cumplen a/ y a = /. De la denicin de mayor,tenemos la existencia de algn r natural, tal que a = / + r, por hiptesisy transitividad se sigue que / = / + r, lo cual es absurdo.Ahora supongamoscomo cierto que a < / y a = /, anlogamente, se tiene un r tal que / = a+r, porhiptesis y transitividad de la igualdad pasa que a = a + r, lo que nuevamentees absurdo. As, puede concluirse que solo una de las relaciones puede cumplirse

2. Propiedad transitiva.Si a/ y /c, entonces acDemostracin. Si a/ y /c, esto implica la existencia de naturalesr y j tales que a = / + r y / = c + j. Podemos entonces reemplazar / porc + j en la primera ecuacin as: a = (c + j) + r = c + (j + r) , por propiedadasociativa. Sin embargo (j + r) = . es un nmero natural por cerradura de laadicin. Esto prueba que a = c + . y por tanto ac 93. Si a/, entonces a + c/ + cDemostracin.Para realizar esta demostracin empezaremos por escribirla en la forma sim-blica:Si a/ == a + c/ + cTomando su contrarrecproco~ (a + c/ + c ) == ~ (a/)que equivalentemente esa + c _ / + c == a _ /Aqu el smbolo _ lo utilizamos a n de simplicar la escritura de " < = "i.a + c < / + c == a + c + r = / + c def. mayor que== a + r = / prop. cancelativa== a < / def. mayor queii. Si a + c = / + c, entonces a = / por la propiedad cancelativa. La demostracin de la propiedad nmero 3 se realiz en la base de la leycancelativa, de la cual se dar una demostracin ms adelante.Principio de Buen Orden (PBO): Cualquier conjunto de nmeros nat-urales que contenga al menos un elemento, contiene un elemento mnimo.1.1.1 Teorema. No hay ningn natural entre 0 y 1.Demostracin.Supongamos que existe un nmero a, con la siguiente propiedad, 0 < a < 1.Entonces, existe un conjunto no vaco de elementos menores que 1. Luego,por PBO, tiene elemento mnimo, llammosle :, ser tal que 0 < : < 1.Mutiplicando toda la desigualdad por :, 0 < :2< :. Entonces :2es otronatural del conjunto , menor que el supuesto elemento mnimo de . Estacontradiccin demuestra el teorema. 1.1.2 Teorema : Un conjunto H de enteros naturales que incluya al 1 y queincluya al :+1 siempre que incluya al :, incluye tambin a cualquierentero natural.10Demostracin.La prueba consiste en demostrar que el conjunto H0 de los naturales queno estn en H es vaco, esto es H0 = r N : r , H = c. Supongamos locontrario, esto es H0 contiene al menos un elemento; luego por PBO, H0 tieneelemento mnimo :. Pero : ,= 1, por hiptesis 1 H; luego por el teoremaanterior :1, y : 11. Adems 1 < : 1 < :, resulta que, como :es elemento mnimo de H0, : 1 debe estar en H. Segn la hiptesis puedededucirse que (:1) + 1 = : H. Lo que contradice nuestro supuesto. 1.2 Principio de Induccin Matemtica (PIM)1.2.1 Teorema. Principio de induccin Completa. Asociemos a cadanmero natural : una proposicin 1 (:), la cual puede ser verdadera ofalsa. Si, primero, 1 (1) es verdadera y, segundo, para cualquier / laverdad de 1 (/) implica la de 1 (/ + 1) , entonces 1 (:) es verdadera paratodo natural :.Demostracin.Una proposicin 1 (:) , es vlida para todo nmero natural : si:1. Es vlida para : = 12. De su validez para un nmero natural cualquiera : = / se deduce suvalidez para : = / + 1Supongamos lo contrario,es decir,que la proposicin no es vlida paracualquier nmero natural :. Entonces, existe un nmero natural :0 tal que,la proposicin es falsa; por la condicin 1. :0 ,= 1. Luego, existe un nmeronatural :1 tal que :0 = :1 + 1. Armamos que:0:1y1n1 es falsa.Porque :1 < :1 +1 = :0 y si 1n1 es verdadera, entonces por la condicin 2la proposicin 1n1+1 = 1n0 sera verdadera, lo cual contradice nuestro supuesto.(existe un nmero natural :0 tal que, la proposicin es falsa). Aplicando a :1 elmismo razonamiento que a :0, encontramos que existe un nmero natural :2,tal que:0:1:2 y 1n2 es falsacontinuando de esta manera obtenemos una sucesin innita decreciente denmeros naturales:0:1:2:3:I

11Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de nmeros naturalestiene elemento mnimo (PBO). La demostracin se ha podido completar en la base del PBO, as mismo,tomando como fundamento el PIM puede probarse el PBO.Ejemplos de algunas demostraciones usando PIM1. Demustrese que para todo natural :, la suma de los primeros : trminos es:(: + 1)2Demostracin.1 + 2 + 3 + + : = :(: + 1)2Primeramente vericamos el caso particular : = 1, esto es1 = 1 (1 + 1)2= 22 = 1Por tanto, 11 es vlida.Ahora, supongamos que 1| es vlida. Entonces la hiptesis de induccin es:1 + 2 + 3 + + / = / (/ + 1)2Nuestro objetivo es demostrar la validez de 1|+1; esto es1 + 2 + 3 + + (/ + 1) = (/ + 1) [(/ + 1) + 1]2Reescribiendo el primer trmino de la igualdad y aplicando la hiptesis induc-tiva; como sigue:(1 + 2 + 3 + + /) + / + 1 Agrupamos los primeros / trminos(1 + 2 + 3 + + /) + (/ + 1) =|(|+1)2+ (/ + 1) hiptesis de induccin(1 + 2 + 3 + + /) + (/ + 1) =|(|+1)+2(|+1)2Suma de naturales(1 + +3 + + /) + (/ + 1) =(1+1)(|+2)2P. Distributiva(1 + 2 + 3 + + /) + (/ + 1) =(|+1)[(|+1)+1]2/ + 2 = (/ + 1) + 1Con lo que se demuestra que 1|+1 es cierta. 122. Demustre la validez de la siguiente armacin:2 + 4 + 6 + + 2: = :(: + 1)Demostracin.Para el caso particular : = 12 = 1(1 + 1) = 2por tanto la proposicin es verdadera para : = 1Suponiendo la validez de la expresin para algn / N. La hiptesis resulta2 + 4 + 6 + + 2/ = /(/ + 1)As, la tesis a probar es2 + 4 + 6 + + 2 (/ + 1) = (/ + 1) [(/ + 1) + 1]Luego(2 + 4 + 6 + + 2/) + 2 (/ + 1) Agrupamos los primeros / trminos(2 + 4 + 6 + + 2/) + 2 (/ + 1) = /(/ + 1) + 2 (/ + 1) hiptesis de induccin(2 + 4 + 6 + + 2/) + 2 (/ + 1) = (/ + 1) (/ + 2) P. Distributiva(2 + 4 + 6 + + 2/) + 2 (/ + 1) = (/ + 1) [(/ + 1) + 1] / + 2 = (/ + 1) + 1Con lo que se demuestra que 1|+1 es cierta. 1.3 Nmeros Naturales y Axiomas de PeanoSe dene el conjunto N de los nmeros naturales como un conjunto que vericalos cinco axiomas siguientes:1. Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es,0 N2. Existe la aplicacin siguiente, :iq : N N ::iq : N N, \: N, :iq (:) N3. El cero no es imagen por la aplicacin siguiente:\: N, :iq (:) ,= 0134. La aplicacin siguiente es inyectiva:\:, : N, :i :iq (:) = :iq (:) == : = :5. Se verica la induccin completa: Si o N y satisface0 o\: o == :iq (:) o_== o = NA partir de estos cinco axiomas, y usando sistemticamente la induccincompleta, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.1.3.1 Denicin. Denimos la suma de nmeros naturales como una apli-cacin + : NN N; de forma tal que (:, :) : + : y secumple que:1. 0 + : = :2. :iq(:) + : = :iq (: + :)Tomemos por ejemplo: : = 1 j : = 3 e ilustremos las dos condicionesanteriores.0 + 3 = 3:iq (1) + 3 = 2 + 3 = 5 = :iq (1 + 3) = :iq (4)1.3.2 Denicin. Denimos la multiplicacin de nmeros naturales como unaaplicacin: NN N; de forma tal que (:, :) :: y se cumpleque:1. 0: = 02. : :iq(:) = : : + :Tomemos por ejemplo: : = 2 y : = 3 e ilustremos las dos condiciones.03 = 03:iq (2) = 32 + 3 = 6 + 3 = 91.3.1 Teorema.Se verican las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para lasuma de nmeros naturales:1. Propiedad asociativa: \a, /, c N, (a + /) + c = a + (/ + c)142. Propiedad conmutativa: \a, / N, a + / = / + a3. Propiedad cancelativa: \a, /, c N, a + c = / + c == a = /Demostracin:1. Propiedad Asociativa. \a, /, c N, (a + /) + c = a + (/ + c)Haremos induccin sobre a.Si a = 0, entonces(0 + /) + c = / + c = 0 + (/ + c)podemos asumir, la hiptesis de induccin(a + /) + c = a + (/ + c)Ahora debemos probar para :iq(a) = a + 1, esto es[:iq (a) + /] + c = :iq (a) + (/ + c)[:iq (a) + /] + c == :iq (a + /) + c def. de sig== :iq [(a + /) + c] def. de sig== :iq [a + (/ + c)] hip. inductiva== :iq (a) + (/ + c) def. de sig2. Propiedad Conmutativa: \a, / N, a + / = / + aHaremos induccin sobre a.Si a = 0, entonces0 + / = / = 0 + /podemos asumir, la hiptesis de induccina + / = / + aAhora debemos probar para :iq(a) = a + 1, esto es:iq (a) + / = / + :iq (a):iq (a) + / == :iq(a + /) def. sig== :iq (/ + a) hip. inductiva== (/ + a) + 1 def. sig== / + (a + 1) prop. asociativa== / + :iq(a) def. sig153. Propiedad Cancelativa: \a, /, c N, a + c = / + c == a = /Haremos esta demostracin haciendo induccin sobre c.Si c = 0, entoncesa + 0 = / + 0 == a = /Asumimos la hiptesis inductivaa + c = / + c == a = /Ahora debemos probar para :iq(c) = c + 1, esto esa + (c + 1) = / + (c + 1) == a = /a + (c + 1) = / + (c + 1) == (a + c) + 1 = (/ + c) + 1 prop. asociativa== :iq (a + c) = :iq (/ + c) def. siguiente== a + c = / + c inyectividad de la aplicacin sig== a = c hiptesis inductiva1.3.2 Teorema.Se verican las propiedades asociativa, conmutativa, cancelativa y distribu-tiva (respecto a la suma) para el producto de nmeros naturales:1. Propiedad asociativa: \a, /, c N, (a/)c = a(/c)2. Propiedad conmutativa: \a, / N, a/ = /a3. Propiedad cancelativa: \a, /, c N, ac = /c == a = /4. Propiedad didtributiva: \a, /, c N, a (/ + c) = a/ + ac1.4 Exponenciacin en N1.4.1 Denicin. Para cualesquiera nmeros naturales aj : se tiene que:i.an: = aaaaa..: ccc:ii.a0= 116iii.asI(n)= an a1.4.1 Teorema. \a, / N y para cualquier :, : N :1.anan= an+n2.(an)n= ann3.(a/)n= an/nDemostracin:1. Vamos a probar la primera parte del teorema 1.4.1, esto es: anan= an+ni) Para : = 0, la propiedad es vlida puesto que: an+0= an= an1 = ana0.ii) Ahora vamos a suponer que existen nmeros a, :, : tales que no cumplenla propiedad, es decir: anan,= an+nPor lo dicho en i) : ,= 0 y por lo tanto debe existir :1 de forma que :1+1 = :.Se sigue entonces que::1 y anan1,= an+n1Esto ltimo porque :1 < :1 + 1 = : y si anan1= an+n1, entonces anan=anan1+1= (anan1) a1= (an+n1) a1= an+(n1+1)= an+n, que contradicenuestro supuesto inicial.Aplicando el mismo razonamiento a :1 encontramos otro nmero natural :2tal que::1:2yanan1,= an+n1Continuamos de este modo para cada :I, encontramos que existe una suce-sin innita decreciente ::1:2:3...:I... de nmeros naturales.Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de nmeros naturalestiene elemento mnimo (PBO). Por lo tanto, anan= an+npara cualesquieranmeros naturales :, : y a.172. Continuaremos con la segunda parte del teorema: (an)n= annParticularmente, : = 0 tenemos la clara igualdad; (an)0= 1 = a0= an0en el caso : = 1, tambin vericamos que; (an)1= an= an1As,asumimos que esto es cierto para algn nmero natural /, nuestrahiptesis inductiva es entonces; (an)|= an|debemos probar que es cierta para :iq (/) = / + 1, i.e, (an)|+1= an(|+1)Procedemos como sigue:(an)|+1= an an an an an. .= (an an an an). .an= (an)| an= an| an(/ + 1) ccc: / ccc:esto por denicin de potencia e hiptesis inductiva. Luego por la parte 1)del teorema, tenemos lo siguiente:an| an= a|n+n= an(|+1)que es lo que queriamos demostrar,por tanto (an)n= annes vlido,\a, :, : N. La tercera parte, para completar el teorema, queda como ejercicio.181.5 Ejercicios resueltos sobre axiomas de Peano e Induc-cin.1. Denimos la relacin "menor o igual que" (_) de modo siguiente: \a, / N, a _ / == r N : a + r = /.Probar que (_) es relacin de orden, es decir, es reexiva, antisimtrica ytransitiva.Demostracin.i. Es reexiva: \a N, 0 N : a + 0 = 0 + a = a == a _ aii. Antisimtrica: \a, / N; a _ / . / _ a == a = /Si a _ / == r N : a + r = /, luego, Si / _ a == j N : / + j = a,Escribamos ahora: a + r = / = / + (j + r) == j = r = 0 y de aqu a = /iii. Transitiva: Si a _ / . / _ c == a _ c.Si a _ / == r N : a +r = / . si / _ c == j N : / +j = c, entoncesc = / +j = (a + r) +j = a+(r + j) , es decir existe el nmero (r + j) = . N,tal que c = a + . == a _ c. 2. Ningn nmero natural coincide con su siguiente: \: N, : ,= :iq (:)Demostracin.Sea = : N : : ,= :iq (:) . Veamos que tal conjunto coincide con N. 0 , puesto que por axioma 3 0 ,= :iq (0) \: , : ,= :iq(:) == :iq(:) ,= :iq(:iq(:)) , por axioma 4 (inyectividadde la funcin siguiente). Luego:iq(:) Y del axioma quinto, se sigue que = N.3. Todo nmero natural es estrictamente menor que su siguiente: \a N, a