memorias : tercer taller de teoría de números del centro

CENTRO-SURESTE UNIVERSIDAD ÂUTOacuteNOMA

METROPOLITANA

Casafabiena al [lempo Azcapotzalco

MEMORIAS

TERCER TALLER DE

TEORIacuteA DE NUacuteMEROS DEL

CENTRO-SURESTE A Z C A P O T Z A L C O

COBEI BIBLIOTECA

XALAPA-EQZ VER Abril 2008

Facultad de Matemaacuteticas Universidad Veracruzeina

2 8 9 1 7 7 0

MEMORIAS

TERCER TALLER DE


CENTRO-SURESTE

--^ Ate ^ P rgtr 2 MCO

UNIVERSIDAD MTW^TX

(jfM AUTONOMA JV mrL

METROPOLITANA MAumlîmm Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

^0 o UNIVERSIDAD AUTOacuteNOMA METROPOLITANA

Dr Enrique Pablo Alfonso Fernaacutendez Fassnacht Rector General

Mtra Iris Edith Santacruz Fabila Secretaria General

UNIDAD AZCAPOTZALCO

Mtra Gabriela Paloma Ibaacutentildeez Villalobos Rectora

Ing Dario Eduardo Guaycochea Guglielmi Secretario de Unidad

DIVISIOacuteN DE CIENCIAS BAacuteSICAS E INGENIERIacuteA

Dr Emilio Sordo Zabay Director

Dr Gabriel Soto Corteacutes Secretario Acadeacutemico

Dr Luis Enrique Norentildea Franco Jefe del Departamento de Ciencias Baacutesicas

OFICINA DE PROBUCCIOacuteN EDITORIAL Y DIFUSIOacuteN DE LA DCBI-A

CP Rosa Ma Beniacutetez Mendoza Jefa de la Oficina de Produccioacuten Editorial y Difusioacuten

DCG Ana Lilia Fonseca Garduntildeo Disentildeo graacutefico

MEMORIAS TERCER TALLER DE TEORIacuteA DE NUacuteMEROS DEL CENTRO-SURESTE

Primera edicioacuten 2011 DRcopy2011 Universidad Autoacutenoma Metropolitana

Universidad Autoacutenoma Metropolitana-Unidad Azcapotzalco Av San Pablo 180 Col Reynosa Tamaulipas

Del Azcapotzalco C R 02200 fêacutexico DF

ISBN del libro 978-607-477-483-2

impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Comiteacute Organizador

Dr Joseacute Rigoberto Gabriel Arguelles

Dr Raquial Rufino Loacutepez Martiacutenez

Dr Josueacute Ramiacuterez Ortega

Dr Mario Pineda Ruelas

M en C Rogelio Herrera Aguirre

Dr Arturo Cueto Hernaacutendez

Universidad Veracruzana



Universidad Autoacutenoma Metropolitana



Editor


Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE

Luz Garcia Serrano Juan Manuel Hernaacutendez Enriquez y Rodolfo Radillo Ruiz

Clasificacioacuten de los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica a traveacutes de Teoriacutea de Nuacutemeros 3

Gabriel Villa Salvador Temas diversos sobre los nuacutemeros primos 29

Adriana Ocejo Monge Factorizacioacuten de los nuacutemeros de Fibonacci 47

Arturo Cueto Hernaacutendez y Juan Manuel Hernaacutendez Enriquez Realizacioacuten de sucesiones en estructuras algebraicas 71

Francisco Gabriel Hernaacutendez Zamora Simetriacuteas Teoriacutea de Lie y Teoriacutea de Galois 105

Alfonso Anzaldo Meneses Dispositivos nanoscoacutepicos y relaciones de recmrencia 127

V Janitzio Mejiacutea Huguet La Razoacuten Dorada y los Nuacutemeros de Fibonacci 141

Felipe Zaldiacutevar Primos en una progresioacuten aritmeacutetica 161

VI

SEGUNDA PARTE

G Mauricio Bastieacuten Montoya Heuriacutestica y resolucioacuten paso-a-paso de problemas Dos estrategias de Resolucioacuten de problemas 187

Rogelio Herrera Aguirre Introduccioacuten a los Sistemas Dinaacutemicos mediante ejemplos de aplicacioacuten 205

Rauacutel Amezcua Goacutemez Pensamiento Matemaacutetico Innato 223

Progravelogo

En el mes de abril de 2008 se realizoacute el Tercer Taller de Teoriacutea de Nuacutemeros del Centro-Sureste en la Facultad de Matemaacuteticas de la Universidad Vera-cruzana situada en la Atenas veracruzana Xalapa-Eqz La experiencia de las dos primeras realizaciones nos ha permitido fortalecer la realizacioacuten del Taller En esta versioacuten la tercera se conto con la participacioacuten de un mayor nuacutemero de expositores los cuales a traveacutes de sus exposiciones les brindaron a los alumnos una visioacuten amplia de la Teoriacutea de Nuacutemeros y sus aplicaciones si bien no todas los conferencias fueron propiamente de Teoriacutea de Nuacutemeros esto propiciado por la especialidad de los expositores su profesionalismo y gusto por la matemaacutetica en general y en particular por la Teoriacutea de Nuacutemeros nos brindaron una visioacuten distinta de la matemaacutetica y sin duda enriquecieron el evento

Recordemos que el Taller ha tenido por finalidad contribuir a una forshymacioacuten integral de los alumnos de la Licenciatura en Matemaacuteticas de la Facultad de Matemaacuteticas de la Universidad Veracruzana por ser la sede del evento Se continuo con la estructura del Segundo Taller una seccioacuten dirigida a los alumnos de Licenciatura en Matemaacuteticas y otra dirigida a los alimmos de la Maestriacutea en Matemaacutetica Educativa

Dados los requerimientos del Taller conferencias para los alunmos de la licenciatiua y maestriacutea estos propiciaron el crecimiento en el nuacutemero de conshyferencias pero lo maacutes importante contar con la participacioacuten de colegas de otras instituciones como el CINVESTAV del IPN la Universidad Autoacutenoshyma del Estado de Hidalgo el Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM-Unidad Morella la UNISOacuteN y la ESIT del IPN En esta ocacioacuten tuvimos la oportushynidad de convivir cuatro diacuteas uno maacutes que la vez anterior entre actividades acadeacutemicas e intercambio de puntos de vista acerca de otros toacutepicos no necesariamente de matemaacuteticas en un ambiente sumamente agradable Coshymo se comento anteriormente no todas las conferencias fueron propiamente de Teoriacutea de Nuacutemeros pero sin duda enriquecieron el evento Creemos que la realizacioacuten del Taller realmente cumple con su finalidad y esto lo justifica

Debemos reconocer y agradecer a todos aquellos que contribuyeron a la realizacioacuten de este Tercer Taller de Teoriacutea de Nuacutemeros del Centro-Sureste primero a los alumnos por su entusiasta participacioacuten ya que ellos han sido la razoacuten para llevarlo a cabo sin su compromiso no habriacutea tenido sentido (esshyperamos no haberlos defraudado) A nuestros colegas conferencistas iexclgracias

v i l i

рог la calidad de sus presentaciones Al personal docente y administrativo de la Facultad de Matemaacuteticas de la Universidad Veracruzana por su apoyo logiacutestico y buena disposicioacuten y por uacuteltimo y no menos importante queremos agradecer a las autoridades tanto de la Universidad Veracruzana como de la Universidad Autoacutenoma MetropolitanaAzcapotzalco por el apoyo econoacutemishyco y las fiacuteieilidades para la realizacioacuten del Taller en particular al Dr Emilio Sordo Zabay Director de la Divisioacuten de Ciencias Baacutesicas e Ingenieriacutea de la Universidad Autoacutenoma Metropolitana-Azcapotzalco por el apoyo brindado a este evento

Quiero ofrecer una disculpa por la demora en la edicioacuten de estas memoshyrias a cada uno de los autores que en tiempo y forma cumplieron con su compromiso como responsable de este trabajo de edicioacuten uacutenicamente puedo apelar a su amistad gracias

EsperanK)S que estas Memorias den constancia de que nuestras institushyciones cumplen cabalmente con dos de sus funciones la preservacioacuten y la difusioacuten de la cultura en este caso de la matemaacutetica Reitero muchas grashycias a todos los que hicieron posible el Taller Cualquier omisioacuten o error es responsabilidad del que escribe estas liacuteneas

Arturo Cueto Hernaacutendez

Meacutexico DF abril 2010

PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA

Clasificacioacuten de los nanotubos de carboacuten de paree uacutenica a traveacutes de Teoriacutea de Nuacutemeros

Luz Garciacutea Serrano Juan Manuel Hernaacutendez Enriquez I n s t i t u t o Pol i teacutecnico ISacional I n s t i t u t o Pol i teacutecnico Naciona l

E S I T E S I T Av I P N s n Av I P N s n

Col L indav i s t a Col L indav i s t a G u s t a v o A M a d e r o G u s t a v o A M a d e r o 07738 Meacutexico D F 07738 Meacutexico D F

d r a l u z g reg g n i a U c o m j n i a n u e l h e r h o t i n a U c o m

Rodolfo Radillo Ruiz I n s t i t u t o Pol i teacutecnico Nacional

E S I T Av IPN sn

Col L indavis ta G u s t a v o A M a d e r o 07738 Meacutexico D F r r a d i U o l i p n n i x

Resumen

En este trabajo не presenta la clasificacioacuten de los uauotubos de carshyboacuten de pared uacutenica (SWCNI^) considerando los iacutendices de las sub-bandas de los niveles de Fermi en relacioacuten a las posiciones de los punshytos degenerados en las sub bandas de estos nanotubos de carboacuten Por meacutetodos algebraicos se tiene un esquema de clasificacioacuten natural para dichos nanotubos de carboacuten tenieacutendose ocho tipos dos para metales del tipo 1 dos para metales del tipo 2 y cuatro para semiconductores de tal forma que haciendo USIacuteJ de las argimientos generales de la teoriacutea de nuacutemeros utilizando loa iacutendices de las sub-bandas de los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica son formuladas los ^dgorigravetmos que ciacuteomputa-cionalmeute pueden ser resueltos faacutecilmente

1 Introduccioacuten

iquestLos nanotubos son un hallazgo de una investigacioacuten planificada o una se-rendipia la respuesta al parecer es que son un hallazgo meramente accidental como muchos otros que se han dado tanto en la ciencia como en la tecnologiacutea En el caso de los nanotubos tenemos que un investigador de la empresa NEC en Tsukuba el Dr Sumioacute lijima en 1991 encontroacute durante su investigacioacuten de materiales altamente simeacutetricos de carboacuten llamados fulerenos o tambieacuten conocidos como buckyball (balones de fuacutetbol soccer) unas estructuras de carboacuten que posteriormente seriacutean llamadas nanotubos (NTCs)

bull (A) (B)

Fig 1 (A) buckyball (baloacuten de fuacutetbol soccer) (B) Los nanotubos son

el suentildeo para la superconductividad con una resistencia cercana

a cero (Universidad de Houston 2001)

Estos NTCs son sistemas unidimensionales (ID) es decir son moleacuteculas cilindricas formadas por capas simples de aacutetomos de carboacuten ligados entre si con una configuracioacuten sp^ cuyas propiedades fiacutesicas mecaacutenicas teacutermicas eleacutectricas y electroacutenicas son extraordinariamente excepcionales y por conshysiguiente con un elevado nuacutemero de aplicaciones potenciales en los diversos campos de la nanociencia y la nanotecnologia (G Dresselhaus 2001) (S lijima 1991)

Esto ha llevado a que los nanotubos de carboacuten despierten un gran intereacutes en muchos investigadores de diversas disciplinas (S lijima 1991) (MS Dresshyselhaus 1998) (JWG Wildoer 1998) (TW Odom 1998) la estructura electroacutenica de nanotubos de carboacuten de pared uacutenica (SWCNTs) ha sido esshytudiada usando un esquema de zona plegada o zona comprimida de la termishynologiacutea anglosajona Zone Folding (ZF) (R Saito 1994) (N Hamada 1992) (RA Jishi 1993) (CT White 1993) (RA Jishi 1994) (RA Jishi 1995) (R Saito 2000) apartir de los primeros principios computacionales (CT White 1998) (JW Mintmire 1998) (X Yang 2004) (В Shan 2005) (S Reich 2004) usando los esquemas de zona plegada basados en el meacutetodo de acoplo fuerte (tight binding) aplicados a las hojas de grafito y considerando

LGarc iacutea J M Hernaacutendez y R RadiUo dasintildecacioacuten de iexclos n a n o t u b o s de c a r b oacute n 5

SU caraacutecter ID en el caso de SWCNTs originan un confinamiento cuantizado de los estados de energiacutea electroacutenica y vibracional Estas transiciones oacutepticas en los NTCs ocurren entre las bandas electroacutenicas de valencia y conduccioacuten siendo transiciones discretas maacutes anchias que las habituales en soacutelidos no ID (S Reich 2004) (R Saito 1998)

Hay estudios de la conduccioacuten de los nanotubos con respecto a los gaps secundarios (M Damnjanovic 2000) en el esquema de zona plegada son capaces de producir estructuras electroacutenicas que estaacuten muy cercanos a los resultados obtenidos a partir de los caacutelculos de los primeros principios com-putacionales pero consumen menos recursos de computo S Reich 2004) Desde el punto de vista estructural los nanotubos son hojas de grafeno enshyrolladas formando un cilindro con media moleacutecula de fulereno Ceo en cada extremo con o sin costuras micrografias de estos nanotubos obtenidos por distintos meacutetodos se observan en la Fig 2

Fig 2 (A) Nanotubos generados por S-G dispersos en un soporte

carbonaceo (B) ES colectados en placa a lumiacutenica (IPN-UAM)

Donde en cada veacutertice del hexaacutegono hay un aacutetomo y estos aacutetomos tienen un enlace covalente hacia cada uno de sus tres aacutetomos vecinos maacutes cercanos dado que el carboacuten tiene cuatro electrones de valencia tres son utilizados para el ya mencionado enlace covalente y el que queda libre contribuye a la conductividad del cristal esto estaacute asociado a los meacutetodos de los terceros veshycinos maacutes cercanos en el esquema de zona plegada con los meacutetodos de fuerte acoploacute o vinculo ajustado (tight binding) donde se reproducen adecuadashymente los resultados de los primeros principios computacionales S Reich 2002)

Las sub-bandas del nivel de Fermi en los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica son las sub-bandas de los nanotubos que estaacuten maacutes cerca del nivel de Fermi en la nanoestructura (M Damnjanovic 2000) Estos iacutendices de las sub-bandas han sido analizados usando teoriacutea de grupos (M Damnjanovic 2000) M Damnjanovic 2000) (M Damnjanovic 2003) y tambieacuten con

meacutetodos algebraicos (RA Jishi 1995) (R Saito 2005)

Los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica fueron clasificados de acuerdo a sus espectros electroacutenicos y fotoacutenicos Este sistema de clasificacioacuten es casi completo (RA Jishi 1995) (R Saito 2005) Actualmente este esquema de clasificacioacuten es un problema abierto ya que fue desarrollado bajo el esquema de zona plegada (R Saito 1998) Hay un sinuacutemero de propiedades intereshysantes en los nanotubos entre las maacutes importantes estaacuten las electromagneacutetishycas las cuales estaacuten vinculadas al electroacuten libre de los enlaces covalentes lo que les permite tener la capacidad de manejar 1000 veces maacutes la potencia con respecto a los cables de cobre sin irradiar corriente lo cual favorece su manejabilidad (M Bockrath 1997) (SJ Tans 1998) (TW Odom 1998) (SB Lee 2003) (RD Antonov 1999) las propiedades mecaacutenicas los hacen siacutemiles del acero e incluso mejor que eacuteste Las propiedades electroacutenicas pershymiten clasificarlos en funcioacuten de su capacidad conductiva a partir de la forma en que se enrollan estas capas de grafeno dan lugar a tres tipos de nanotubos los de tipo silla descansa brazo y el de tipo quiral como se muestra en la Fig 3

Fig 3 Clasificacioacuten de los nanotubos en funcioacuten de la conformacioacuten de los arreglos espaciales (55) Descansa brazo (90) Zig-zag (105) Quiral

Es conocido que existe una dependencia entre la geometriacutea y sus propiedades electroacutenicas (JWG Wildoer 1998) (J Liu 1997) (SJ Tans 1997) esto hace que los nanotubos se comporten como conductores semiconductores o no conductores dependiendo de la relacioacuten entre el diaacutemetro y el aacutengulo de helicidad o quiralidad Este famoso aacutengulo es el formado entre el eje de su patroacuten hexagonal y el eje del tubo como se muestra en la Fig 4 Basados en esta propiedad Fiacutesica se han sugerido y observado numerosas aplicaciones de estos nanotubos (M Bockrath 1997) (SJ Tans 1998) (TW Odom 1998) (SB Lee 2003) (RD Antonov 1999)

bullJe dl nanotubo

Fig 4 Aacutengulo de quiralidad у eje del nanotubo

En cuanto a las predicciones de los iacutendices de la sub-banda del nivel de Fermi estas son importantes porque los fenoacutemenos fiacutesicos maacutes interesantes como las transiciones electroacutenicas ocurren cerca de la energiacutea de Fermi El conocimiento de las sub-bandas de los niveles de Fermi permite conocer las caracteriacutesticas espectroscoacutepicas de estos materiales- Usando la teoriacutea de mimeros en este trabajo se presenta una clasificacioacuten basada uacutenicamente en los iacutendices de las sub-bandas del nivel de Fermi y al compararlos con otros esquemas de clasificacioacuten este esquema es maacutes completo porque no existen nanotubos de carboacuten de pared uacutenica (SWCNTs) que no pertenezcan a uno de los ocho tipos que se proponen con esta clasificacioacuten Siguiendo la nashyturaleza de los iacutendices de las sub-bandas del nivel de Fermi los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica (SWCNTs) se clasifican en ocho tipos dos para metales de tipo 1 dos para metales de tipo 2 y cuatro tipos de semiconducshytores Este sistema de clasificacioacuten es especiacutefico asiacute como general Porque no se hacen suposiciones sobre los detalles de las estructuras de las bandas de los nanotubos tiacutenicamente se usa la teoriacutea de nuacutemeros como un esquema de clasificacioacuten general Por lo tanto si el anaacutelisis de los nanotubos de carboacuten de pared uacutenica se hace en base al esquema de clasificacioacuten se tiene la totalidad de los casos

Las sub-bandas del nivel de Fermi de los nanotubos se estudian medianshyte la exploracioacuten de las posiciones de puntos degenerados en la laacutemina de grafeno en relacioacuten con las sub-bandas de los nanotubos Por generalidad y simplicidad de estos meacutetodos algebraicos los iacutendices de las sub-bandas

del nivel de Fcrmi de los nanotubos estaacuten dctcrmiiuidos y se expresan en foacutermulas y algoritmos sencillos

2 Puntos degenerados del grafeno

El nanotubo estaacute formado por las hojas de grafeno enrolladas a largo de la del vector quiral Сд mdash nlii + m~a2 = n^rn) donde 01 y ~a2 son loti vectores de la base de la red grafeno y n y m son enteros (R Saito 3998) El nanotubo es un sistema unidimensional perioacutedico de periodicidad

determinada por el vector de traslacioacuten T mdash iquesti ai + iquest2^2 donde tiexcl y iquest2 son enteros

ti = [n--2m)dn y t2 mdash-2n + m)djigrave

con dfiacute = mcd2n+m тг+2ш) Se puede demostrar que dft = dsi SdKnmdashm) y dfiacute mdash d si 3d I (n mdash m) donde d mdash mcd(7i m) Notaciones a | b y а b para enteros a y b significa o divide a 6 y laquo no divide a oacute respectivamente

Como se ilustra en la Fig 5 el reciacuteproco de la red grafeno es una red que tiene celdas primitivas romboeacutedricas generadas por la base del espacio vecshytorial r(Xiacuteproc(j b y Ograve 2- Cada celda contiene nn par de pmitos denotados por К y К Las bandas ile enlace y ant i-enlace del grafeno se unen soacutelo en los veacutertices de los hexaacutegonos etiquetados con К y К en este contexto

Fig 5 Los pantoiacutei K y K rtUicionadns con el hexaacutegono

centrado en C en la red reciacuteproca de la graacutefica

Los pmxtos A y A son los puntos degenerados en el grafeno La estructura electroacutenica de los nanotubos que se obtiene por el esquema de zona plegada

LGarcia J M Haruandez у R Radillo Ciaîfiacutecatioacuteii de ios naiintubaf de carboacuten

(RA JisM 1994) (R Saito 2000) puede ser caracterizada por las posiciones de los puntos К y К con respecto a los vectores de onda admisibles de los nanotubos dados por

к mdash fiKi к К о lt м lt iV (1)

donde Ki y K2 son la base de vectores reciacuteproca de los nanotubos de carboacuten^ y mdashttT lt k lt TTT con T = I r j es el nuacutemero de hexaacutegonos del grafeno en im periacuteodo del nanotubo El entero iexclj es el iacutendice de las sub-bandas del nanotubo

De la Fig 3 se tiene que la posicioacuten relativa entre los centros de dos hexaacutegonos se expresa por

rc = abi + pb2 = iad) (2)

donde r se toma como el origen a y iexcl3 son enteros Tambieacuten se tiene que

(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)

Por lo tanto las posiciones de los veacutertices del hexaacutegono K y K se pueden expresar por las siguientes foacutermulas generales

rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)

donde a y 0 tambieacuten son enteros En las dos ecuaciones anteriores los puntos K y K estaacuten asociados con hexaacutegonos centrados en fa 0 ) y a 0 ) respectivamente Noacutetese que la base de vectores 6 2 y b i puede expresarse en teacuterminos de Ki y K^- b mdash nKi + iquest1Iacute2 y b 2 = mKi + Iacute2K2- Los vectores de posicioacuten de los pimtos K y K en las ecuaciones (4) y (5) se reescriben como

[noiacute + тЗ) mdash -n + 2m) o (Iacute1Q + Iacute2i3) + n

R (6)

1 0

тк (na + miexcl3 ) - -(2n + m) Ki + (ha + Iacute 2 3 ) ~ m

donde hemos usado las siguientes foacuternmlas

1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)

En las ecuaciones (6) y (7) los puntos K y K se han expresado en teacuterminos de las componentes a lo largo de K2 y Ki a fin de i^tar en concordancia con el esquema de zona plegada donde las bandas de las estructuras grafeno son capas paralelas a K2 en los muacuteltiplos enteros de i iacute i como es indicado en la ecuacioacuten (1) por los vectores de onda permitidos Si K y K son puntos que estaacuten o se proyectan sobre los vectores de onda permitidos de los nanotubos

las A2-componentes de TK y TK deben ciunpfir las siguientes condiciones respectivamente

1

- 2 lt (iquestia-t-iquest2) + n R

1 lt -- 2

(10)

1 - 2 lt ( Iacute i a 4 iacute 2 ) -

dR lt i - 2

(11)

porque de la ecuacioacuten (1) se tiene lt kK2 lt | - Las sub-bandas que contienen o estaacuten cercanas a los puntos K y K son aquellas que pasan a traveacutes del nivel de Fermi oacute estaacuten cerca de eacuteste Por esta razoacuten estas sub-bandas se llaman en este trabajo sub-bandas de nivel de Fermi

3 Sub-bandas del nivel de Fermi

Los meacutetodos utilizados para determinar los iacutendices de las sub-bandas de nivel de Fermi para nanotubos de metales tipo 1 tipo 2 y semiconductores se presentan en esta seccioacuten

Para cualquier vector quiral nm) por la divisibilidad de la diferencia de las componentes por 3 y Sd los nanotubos naturalmente se clasifican en tres tipos Estos tres tipos dan una clasificacioacuten completa y son dadas por

De la ecuacioacuten (6) se tiene que la iiacutei-componente de FK es un entero ya que 3 | (n + 2m) si 3 | (n mdash m) es decir

(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)

donde fif es un entero Tambieacuten de la ecuacioacuten (6 ) se signe que la K-^-componente de TK es un entero ya que dn = d y d n Ademaacutes de la condicioacuten de la ecuacioacuten (10) esta componente debe anularse si el pimto K estaacute sobre el vector de onda del nanotubo

(iquestia+iquest25) + -^ = 0 (13)

Si existe un par de enteros (Q3) tales que ambas ecuaciones (12) y (13)

se cumplan el punto K asociado con el hexaacutegono centrado en (ft 5) deberaacute estar dado por los vectores de onda permitidos de los nanotubos y la posicioacuten de estos estaacute dada por TK mdash IIFK^ Este punto K estaacute en la iexcljip-eacutesima subshybanda del nanotubo y eacutesta es la zona de plegado en el punto F Porque la degeneracioacuten de las bandas en la estructura de grafeno estaacute relacionada a los veacutertices del hexaacutegono los puntos K y K conforman las partes de enlace y antienlace de la ^mdasheacutesima sub-banda del nanotubo unido en el punto F Este tipo de nanotubos de carboacuten de pared uacutenica se llaman nanotubos metaacutelicos do tipo 1 o simplemente nanotubos de metal-] La iquest_F-eacutesima sub-banda del nanotubo que contiene el punto K se llaman las K sub-bandas Las K

(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)

(ii) 3 I (n - m) y 3rf I (n mdash m)

(iii) Sn-m)

Los tipos (i) (ii) y (iii) se identificaraacuten como nanotubos de metales tipo 1 tipo 2 y nanotubos de semiconductores en las siguientes subsecciones respectivamente

31 Nanotubos de metales t ipo 1

Supongamos que el vector quiral (n 7n) del nanotubo satisface (i) es decir 3 I (n mdash m) y 3rf(n mdash m) De esto se sigue que dji = d para este caso

sub-bandas son sub-bandas del nivel de Fermi porque pasan a traveacutes del nivel de Ferrai El punto К estaacute en el centro de la ip-eacutesima sub-banda

De las ecuaciones (8) y (13) y teniendo presente que mcd(iacuteiiquest2) = li se obtiene

5 ^ = ^ = ^ (14)

donde iquest es un entero Sustituyendo a y 0 obtenidas a partir de la ecuacioacuten (14) en la ecuacioacuten (12) se tiene

HF = lNe (15)

donde N = mti -nt2 - Para que Iacute F este en 1 2 Л mdash 1 como se requiere en la ecuacioacuten (1) y para que a y 0 sean nuacutemeros enteros se requiere que pound sea igual a 1 oacute 2 como veremos a continuacioacuten Primero veamos que para los nanotubos de metal-1 se tiene que 3 | IacuteV bull

Para los nanotubos de metal-1 se sabe que 3 | (n mdash m) y 3(iquest(n mdash m) Supoacutengase que 3 |d entonces 3 iexcl [n mdash m) o cual implica que 3 u mdash v) donde n = ud y m = vd Por lo tanto 3d u mdash v)d luego Sd (n mdash m) lo cual contradice la condicioacuten dada 3iacuteiacute|(n mdash m ) Asiacute 3 ciexcl De aquiacute se concluye que d I N (JK Strayer 1994) Por lo tanto para nanotubos de metal-1 se tiene que 3 I tiacute y 3 I TV

Si iquest = 1 por las ecuaciones (14) y (15) se sigue que

fiF = a = i ( l - Iacute2) y 3 = ^(2 4- h) (1С)

Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)

Los mismos meacutetodos pueden aplicarse a los puntos К usando las ecuaciones (7) (9) y (11) Obtenieacutendose

na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)

donde i y [Lp son enteros Entonces iacute mdash 2 o 1 El punto K asociado con el hexaacutegono centrado en (a 3 ) estaacute sobre la ij^-eacutesima sub-banda y es tambieacuten una zona de plegado en el punto F Las partes de enlace y antienlace de la j--eacutesima sub- banda del nanotubo tambieacuten coinciden en el punto F La iacute^-eacutesiraa sub-banda que contienen al punto K es llama la K sub-banda La K sub-banda es la sub-banda del nivel de Fermi ya que pasa a traveacutes del nivel de Fermi

Si i = 2 por las ecuaciones (20) y (21) se sigue que

i^F = a = | ( 1 - Iacute2) y P = ~(1 + 2poundi) (22)

Si pound = 1 se sigue que

iexclIJTÎn a=iacute2-t2y yP^îl + h) (23)

De la ecuacioacuten (14) y (20) se tiene que pound = (3Q mdash1) mdashiquest2 iquest 1 es equivalente a que 3a mdash 1 mdash Iacute2 f sto uacuteltimo si y soacutelo si 3 | ( 1 ~ Iacute2) t-iial es a su vez equivalente a 3 | ( 1 + (2n + m)d) cuando sustituimos Iacute2 = -(2n + m)d Como tenemos que 3 | (3nd) si y soacutelo si 3 | ((n - m)d - 1) concluimos que 3 1(1 + (2n + m)d) es equivalente a 3 | ( 1 + ( -n + m)d)

Por otra parte Eacute = 2 resulta ser equivalente a que 3a = 1 mdash 2Iacute2 esto se tiene si y soacutelo si 3 | (1 mdash 2 Iacute 2 ) lo cual es equivalente a que 3 | (i + (4n + 2m)d) Como 3 I [Snd] y 3 [ (3md) es equivalente a que 3 | ((n - m)d + 1 ) concluimos que 3 | (1 + (4n + 2m)d] si y soacutelo si 3 | (1 + (n - m)d)

Meacutetodos similares pueden aplicarse a iquest con la ecuacioacuten (20) Resumiendo tenemos

(ISlI^ _ 1^ si V soacutelo si tj) = (12) (24) d ) -

^ - ^ + 1^ si y soacutelo si iacutej) = (21) (25)

De estas relaciones se concluye que para un nanotubo de metal-1 se tiene iiacutei ) = (12) o tiquest) mdash (21) En otras palabras existe un y soacutelo un par de sub-bandas K y K Los iacutendices y centros de los hexaacutegonos asociados de las sub-bandas K y K estaacuten dadas por las ecuaciones (16) y (22) y (17) y (23) respectivamente Ambos puntos K y K estaacuten en el esquema de zona plegada en el punto F Ambas sub-bandas K y K son sub-bandas de niwles de Fermi

Se puede demostrar que las condiciones

3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )

son equivalentes a rfx = 1 y 2 respectivamente donde

dx =^ moacuted ((2n-|-7n)poundIacute3) (R Saito 2005)

De las ecuaciones (15) y (21) se puede observar que las sub-bandas que cruzan primeramente los puntos K o K estaacuten determinadas por el valor de i o iacute y esto a su vez estaacute determinado por las condiciones

3 n-m)dplusmnl)

debido a las relaciones de las ecuaciones (24) y (25) La quiralidad de un nanotubo estaacute determinado por una doceava parte del vector quiral del nashynotubo al que pertenece (GG Samsonidedze 2004) Por lo tanto en conshytrates con (R Saito 2005) las condiciones 3 ((n mdash m)d plusmn 1) o los valores de ) no estaacuten relacionados con la quiralidad de los nanotubos (GG Samsonidedze 2004) Los nanotubos (63) y (93) dados en (R Saito 2005) son metales Im y metales-lp y tienen pound = Igrave y 2 respectivamente Pero ambos nanotubos estaacuten asociados a una estructura de tipo silla izquierda o en zigzag derecho (GG Samsonidedze 2004) Por lo tanto la propuesta en (R Saito 2005) pai-a designar la quiralidad del nanotubo metaacutelico de tipo 1 estaacute dada por el valor de ^ (o x en la notacioacuten utilizada en (R Saito 2005)) no ftmcionariacutea

En este trabajo los nanotubos de mctal-1 que satisfagan las condiciones en las ecuaciones (24) y (25) son clasificados como nanotubos de metal-lm y metal-lp respectivamente La K sub-banda de los nanotubos de metal-lm tiene iacutendice menor que la K sub-banda Lo contrario ocurre para los nanotubos de metal-lp Para ambos nanotubos de metal-lm y metal-lp los puntos K y K estaacuten en la zona de plegado en el punto F

LGarc ia JM Hernaacutendez у R RadiUo Clarificacioacuten (it- ios rjaDltjtubos de carboacuten 15

32 Nanotubos de m e t a l - 2

Supongamos que el vector quiral del nanotubo (n m) satisfacê 3 | (nmdashm) y 3d iexcl n ~ m) Entonces se sabe que dji = Zd para es-te caso

De la ecuacioacuten (6) se observa que la iiacutei-componente de FK es un enshytero y esto nos lleva a una ecuacioacuten ideacutentica a la ecuacioacuten (12) Veamos a continuacioacuten que para los nanotubos de metal-2 se tiene que Sdj( n y 3d( m

Para nanotubos de tipo de metal-2 se sabe que 3 | (n mdash m) y Zd n mdash m) Supongamos que 3d ) n Como Sd (n mdash m) se sigue que

3d I [mdash(n mdash m) + n]

es decir 3d | m Asiacute mcd(n m) = 3rf lo cual es una contradiccioacuten ya que sabemos que mcd(iacutein) = d Por lo tanto 3rf|n En forma similar se deshymuestra que 3d | m

Por lo tanto la iv 2ôiDponcnte de FK no es un entero Aplicando la ecuacioacuten (10) al punto K se sigue que el punto К estaacute en el vector de onda del nanotubo

ta + b0 + ^^ = plusmniexcl si 31 ( - ^ plusmn l ) (26)

Donde el hecho de que nd es un entero es usado Si existe un par de enteros oiacute(3) tal que las ecuaciones (12) y (26) ambas son vaacutelidas el punto К asociado con el hexaacutegono centrado en (a 3) debe estar en el vector de onda del nanotubo y su posicioacuten estaacute dada por FK - fipKi plusmn El punto К asociado con el hexaacutegono centrado en (of3) estaacute en la F-eacutesima sub-banda y en la zona de plegado sobre plusmn^K2- Las partes de enlace y antienlace de la îr-eacutesima sub-banda del nanotubo se unen en it|iiacute 2^ es decir en un tercio de la longitud de la sub-banda desde el punto Г Este tipo de nanotubo de carbono de pared uacutenica se llama nanotubo de carbono metaacutelico de tipo-2 o simplemente nanotubo de metal-2 La ip-eacutesima sub-banda contiene el punto K y son llamadas la К sub-banda

La ecuacioacuten (26) puede reescribirse de la siguiente forma

( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)

son enteros Con x y y como arriba la ecuacioacuten (12) se reescribe para los nanotubos de metal-2 como

^F = - xti^yt2)d (29)

Como mcaacutendmd) = 1 las soluciones de la ecuacioacuten (27) existen (JK Strayer 1994) Supongamos que (х^^^уо) es una solucioacuten de la ecuacioacuten (27) con el correspondiente iquesto = ^(^ôî + yot2)d Luego la solucioacuten general es (xo mdash md)pound yo + nd)pound) para cualquier entero pound Por la ecuacioacuten (29) su correspondiente дг seraacute = до + Npound Asiacute цр cambia en el paso de N Por lo tanto la solucioacuten de la ecniacioacuten (27) con e 01 2 iV mdash 1 existe y es uacutenica Expresiones analiacuteticas expliacutecitas para дг se desconocen Sin embargo los argumentos anteriores sugieren el siguiente algoritmo para encontrar el iacutendice fip de las К sub-bandas y la localizacioacuten del centro del hexaacutegono asociado (a5)-

321 Algoritmo para encontrar las A sub-bandas de nanotubos de metaI-2

1 Escoger enteros xo y yo tales que xond) + yomd) = plusmn1 Si S -nd)plusmnl)

2 Calcular el correspondiente iexclIQ = mdashxotiacute + ynt2)d

3 Escoger un entero pound tal que др = ZQ + Npound G 01 2 Л - 1

4 Calcular X = XQ- (md)pound y y = yQ-- nd)pound

5 CalcularF = -xti--yt2)d a = ^-x--2y + l) y 0 = | ( - 2 x + y + 2 )

En el algoritmo anterior el лу que se obtiene en los pasos 3 y 5 es el mismo Por lo tanto si Q y iexcl3 no son necesarios el algoritmo puede parar en el paso 3

Aplicando las condiciones del nanotubo de metal-2 a las ecuaciones (7)

(9) y (11) para el punto К La iC2-componente de ГК estaacute dada por

t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)

Entonces la posicioacuten de K es FAT = ^pK =F K2- El punto K asociado con el hexaacutegono centrado en (a 3 ) estaacute en la ^-eacutesima sub-bandas y en

la zona de plegado en ^^K^- Los enlaces y antienlaces de la p^^-eacutesima sub-bandas junto a = f | Iacute Iacute 2 5 6 S decir a un tercio de la longitud de sub-banda desde el punto F pero en el lado opuesto del punto K que da origen a la sub-bandas Argumentando en forma similar que para el punto el iacutendice (ip de la K sub-bandas y la posicioacuten (a ) del hexaacutegono asociado pueden ser calculados por el siguiente algoritmo

322 Algoritmo para calcular la K sub-bandas de nanotubos de metalmdash2

1 Escoger enteros XQ y J Q tales que XQIacutend) + 7Q(mrf) = +1 si 3 I md^l)

2 Calcular el correspondiente iexclIQ = mdash(xoacuteiacutei + yoacute^2)ciacute-

3 Escoger un entero E tal que ^p fio + Niquest euro 012 A mdash 1

4 Calcular x mdash mdash md)(^ y y ~ yQ + (nd)^

5 Calcular fip = ~xti + yt2)d oiacute = mdashx + 2y + 2) y 3 = | ( - 2 x + y + l)

Dado que el ^p que se obtiene en IIacuteK pasos 3 y 5 del algoritmo anterior es el mismo no es necesario proceder maacutes allaacute del paso 3 si Q y 5 no son requeridos

Como 3 I (n mdash 7n)iexcld para nanotubos de metal-2 vemos que

3 | ( - ^ plusmn l ) si y soacutelo si 3|QTI) (31)

Por lo tanto se sigue de las ecuaciones (26) y (30) que para nanotubos de metal-2 existe uno y soacutelo un par aacutee K y K sub-bandas Si se tienen el signo maacutes en la ecuacioacuten (31) para nanotubos de metal-2 los puntos K y K estaacuten en la zona de plegado en y mdash r e s p e c t i v a m e n t e Si se tiene el signo menos los puntos K y K estaacuten en -K^ y respectivamente Ambas K y K sub-bandas son sub-bandas del nivel de Fermi

Puede demostrarse que por los nanotubos de metal-2 las condiciones

3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )

son equivalentes a las conaicioncs mod ( ^ 3 ) = 1 y 2 (R Saito 2005) respectivamente Por lo tanto los nanotubos de metal-2 que satisfacen las

condiciones 3 I -nd+igrave) y 3 | mdashndmdashigrave) son clasificados como metales-2p y metales-2m respectivamente R Saito 2005) La implementacioacuten computa-cional del algoritmo anterior demuestra que las condiciones 3 | mdashndplusmn 1) no bastan para determinar que K y K sub-bandas se dan Para nanotubos de metal-2m los puntos K y K estaacuten en la zona de plegado en mdash^K^ y respectivamente Paia nanotubos de metal-2p los pimtos K y K estaacuten en la zona de plegado en ^K^ y mdash^K^ respectivamente

4 Nanotubos semiconductores

Supongamos que el vector quiral del nanotubo (n m) satisface 3|(nmdashm) Entonces se sabe que dn mdash d en este CIacuteÔ

Como 3(n mdash m) se tiene que 3 | (n -|- 2m) De esto uacuteltimo se sigue que la i r ]-componente de FK en la ecuacioacuten (6) no es un nuacutemero entero La componente seraacute

na 4- m-p - n + 2m) = fiFplusmnl si 3 j (n - m plusmn 1) (32)

donde fip es un entero La A 2Componente de TK es un entero y satisface la ecuacioacuten (13) Con las componentes dadas por las ecuaciones (32) y (13) la posicioacuten del punto К es TK = (j^ plusmn ^)-î- El pimto К se desplaza desde el punto medio de la д^mdasheacutesima sub-bandas una longitud de plusmn^Ki Por lo tanto el punto К no estaacute en el vector de onda del nanotubo En consecuencia los nanotubos son semiconductores De los N pares de sub-bandas de nanotubo el par de sub-bandas etiquetadas por д^- es el que se encuentra maacutes cercano al punto K siendo la distancia igual a | |Ari| Por lo tanto la --csima sub-bandas son aquellas que tiene el menor gap de energiacutea entre los enlaces y antienlaces de las sub-bandas llamadas las К sub-bandas

Usando meacutetodos similares que para los nanotubos de metal-1 se ve que la ecuacioacuten (14) tambieacuten es vaacutelida para nanotubos semiconductores Sustishytuyendo la ecuacioacuten (14) en la ecuacioacuten (32) el iacutendice de las К sub-bandas es

fiF = lNpound^l) (33)

Para que este en el conjunto 01 2 mdash 1 se requiere que iquest mdash l o

2 en la ecuacioacuten (33)

Si iquest = 1 se sigue de las ecuaciones (14) y (33) que

MF = |(A^=Fl) a ^ 1 ( 1 - iquest 2 ) y 3 = ( 2 + iquesti) (34)

Si iquest = 2 se tiene que

f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)

Veamos que para los nanotubos semiconductores se tiene que 3 | d y 3|iV Sabemos que para los nanotubos semiconductores se tiene que 3(n mdash m) y dn = d De aquiacute se sigue que

N = hn^ + rriacute^ + nm) (36)

o bien

- 2 ( u 2 + u^ + ui)iacuteiacute (37)

donde n mdash ud y rn mdash vd y usamos que mcd(u v) = 1

Luego para nanotubos semiconductores la condicioacuten 3(n mdash m) implica que 3(u mdash v)d de aquiacute se sigue que 3 d y Siexcl(u mdash v) La uacuteltima condicioacuten ЗЩи mdash v) implica que ti mdash f plusmn 1 = 3w donde w es un entero Sustituyendo u mdash V 3w =F 1 en la ecuacioacuten (37) se sigue que

N = 23z + l)d (38)

donde z = f^+3t(^ + 3uuT2iacuteuumlTj es un entero Dado que ЗЦ dy 32(32-b 1) concluimos que ЗЦ N

Por lo tanto los iacutendices de sub-banda fip en las ecuaciones (34) y (35) son enteros

Aplicando las condiciones de los nanotubos semiconductores a la ecuacioacuten (7) para el punto К la i-componentc de ГК estaacute dada por

na + m0- 2n + m) = iquest ^ ^ si 3 | (n - m plusmn 1) (39)

donde ijy es un entero y es el iacutendice de la К sub-bandas La Iacuteiacute2~componente

deVK da origen a una relacioacuten similar a la ecuacioacuten (19) Por lo tanto la

posicioacuten del punto K es TK = iexcljp ^)Ki El punto K es trasladado de

la zona media de las iacute^~eacutesimas sub-bandas por ^^~Ki De la sustitucioacuten de

a y 0 obtenidas de la ecuacioacuten (20) en la ecuacioacuten (39) se sigue que

fiF = ^Neplusmn1) (40)

Para que fij^ este en 012 N mdash 1] se debe tener = 2 o 1 en la ecuacioacuten (40)


z - i ( 2 i V plusmn l ) a=^l-t-2) y 3 = i ( l + 2iacutei) (41)

Si ^ mdash 1 se tiene que

f^F^liNplusmnl) a =^2-t2)y Iacute3 = ^l + h) (42)

Paiâ nanotubos semiconductores se tiene que 3 | (n mdash m plusmn 1) esto implica que 3 I (n + 2 m plusmn 1 ) y 3 I (27 + m T 1)

Por la ecuacioacuten (14) cuando pound = [1 ~ 3Q)Iacute2 = 1 O equivalentemente a 3Q = 1 mdash Iacute2 o bien a 3a = 1-1- (2n + m)d donde hemos usado que t2 = mdash2n + m)d Asiacute tenemos que 3ad = 2n + m + d lo cual es equialente a que 3 | (2n -|- m -f rf) usando que 3 | (2n -f m f 1) se tiene 3 | [(2n 4-m + d) mdash (2n -I- m 1)] simplificando la expresioacuten obtenemos que 3 | (d plusmn 1) Resumiendo tenemos

3dplusmnl) si y soacutelo si ej) = (12) (43)

Cuando pound = ( 1 mdash 3a)iquest2 = 2 o equivalentemente a 3a = 1 mdash 2Iacute2 o bien a 3Q mdash 1 -H (4n + 2m)d donde hemos usado que iquest2 mdash mdash (2n + m)d Asiacute tenemos que 3ad = 4n+2m + d lo cual es equivalente a que 3 | (4n+2m + aacute) o bien a 3 j (iacute + 2m - I - d) usando que 3 n + 2m plusmn 1) se tiene

3 iexcl [(n + 2m + d)-n + 2mplusmn 1)] -

simplificando la expresioacuten obtenemos que 3 d^ 1) Resumiendo tenemos

3 I (rf T 1) si y soacutelo si (pound ) - (21) (44)

Meacutetodos similares pueden aplicarse a pound con la ecuacioacuten (20)

Como 3(iacute para un nanotubo semiconductor dado se tiene que i egrave) = (12) o ( pound = ^ (21) En otras palabras existe uno y soacutelo un par de К y К sub-bandas para nanotubos semiconductores Los iacutendices y centros de los hexaacutegonos asociados de las АГ y A se obtienen respectivamente de las ecuaciones (34) y (41) y (35) y (42) Recordemos que cuando 3 j ( n - m plusmn l )

TK = ^Fplusmn 5 ) ^ 1 y - (4 T Si el punto К estaacute ÎÂij por arriba de las К sub-bandas el punto A estaacute | |A i | por debajo de las A sub-bandas y viceversa Ambas К y К sub-bandas estaacuten maacutes cerca del nivel de Fermi que cualesquiera otras sub-bandas y son por lo tanto las sub-bandas de nivel de Fermi

Para nanotubos semiconductores se puede demostrar que las condiciones

3 I ( 7 7 mdash riacutei -b 1 ) y 3 I (n mdash m mdash 1)

son equivales a las condiciones mod (2n + m 3) = 12 respectivamente (R Saito 2005) y que las condiciones 3 | (d -b 1) y 3 | (d mdash 1) son las mismas condiciones mod (Л 3) mdash 12 respectivamente (R Saito 2005) Las condiciones 3 ] (n mdash m plusmn 1 ) y 3 | ( d plusmn 1) son independientes En este trabajo el siguiente esquema de clasificacioacuten se propone para nanotubos semiconductores En primer lugar los nanotubos semiconductores que sashytisfagan las condiciones 3 | (d mdash 1 ) y 3 | (d + 1 ) son clasificados como nanotubos scmiconductores-Л y semiconductores-P respectivamente En segundo lugar los nanotubos scmiconductorcs-M que satisfagan ademaacutes las condiciones 3 | (n mdash gtfiacute mdash 1) y 3 | n mdash m + 1) son clasificados como nanotubos semiconductores-Лт y semiconductores-Mp respectivamente Del mismo modo nanotubos semiconductores-P que satisfacen las condishyciones 3 I (n mdash m - 1) y 3 I (n mdash m -b 1) son clasificados como nanotushybos semiconductores-Pm y semiconductores-Pp respectivamente Aquiacute los iacutendices M y P se usan para hacer rciacuteferencia a las condiciones 3 | (d plusmn 1) y se anteponen a los iacutendices тур que se usan para hacer referencia a las condishyciones 3 I (n mdash m plusmn 1) porque los primeros tienen efectos maacutes significativos en la forma del iacutendice de la sub-banda del nivel de Fcmii que estos uacuteltishymos Los К y К iacutendices de sub-banda de nanotubos semiconductores- Mm (semiconductores-Pm) son los mismos que los ЙГ y AT iacutendices de sub-banda de nanotubos semiconductores-Mp (semiconductores-Pp) respectivamente Por lo tanto si los iacutendices de sub-banda no fueran i m a distincioacuten entre las A y A sub-bandas el iacutendice de sub-banda de nanotubos semiconductores-Mm (semiconductores-Pm) seria igual a la de los semiconductorcs-Ap

(semiconductores-Pp) En (R Saito 2005) los nanotubos semiconductores son clasificados uacutenicamente por las condiciones 3 | (n mdash m plusmn 1) como semishyconductores de tipo I y II Los semiconductores de tipo I incluyen a los semiconductores-Mp y semiconductores-Pp Los semiconductores de tipo II incluyen a los semiconductores-Mm y semiconductores-Pm

En (R Saito 2005) se propuso que el valor de modNS) se usara para identificar la quiralidad de los nanotubos semiconductores De las ecuaciones (43) y (44) se tiene que los valores de mod (Л 3) es-taacuten determinados por el valor de iquest y la condicioacuten de 3 | (n mdash m plusmn 1) por lo tanto no estaacuten relacionados con la parte quiral de los nanotubos (GG Samsodinedze 2004) Los nanotubos (61) y (64) dados en (R Saito 2005) son semiconductores-Mp y semiconductores- Pp y tienen valores para iquest de 2 y 1 respectivamente Pero ambos son quiralidades de silla izquierda AL o de zig-zag derecho ZR (GG Samsodinedzc 2004)

5 Resultados y discusiones

La foacutennula para calcular los iacutendices de sub-banda fip y fip y las coorshydenadas (q ) y (a 5 ) de los hexaacutegonos asociados para las K y K sub-bandas se resumen en la Tabla 1 para diferentes tipos de nanotubos Las posiciones de la zona plegada en esta tabla son referidas a Ick vectores de

posicioacuten TKmdash^pKi y TK mdashfipKi paacuteralos puntos K y K respectivamente

De la Tabla 1 se observa que los resultados para nanotxibos semiconshyductores y metaacutelicos de ambos tipos son compaiacuteSbles con los resultados reshyportados en la Uteratura (RA Jishi 1994) (R Saito 2005) Este trabajo presentan las sub-bandas del nivel de Fermi en ima forma maacutes completa Considerando los iacutendices de las sub-bandas del nivel de Fermi con los censhytros de los hexaacutegonos del grafeno estas asociaciones se muestran en la Tabla 1 con un sistema de clasificacioacuten completo considerando los iacutendices K y K El sistema de clasificacioacuten considera que todos los nanotubos de lee tipos que termina con un iacutendice m tiene K puntos en la zona plegada en la regioacuten negatia de K2 o v 1 los nanotubos de tipos que termina con iacutendice p tiene K puntos en la zona plegada en la regioacuten positiva de K2 o Ki

Se puede obtener inductivamente de la Tabla 1 que para todos los tipos de nanotubos de carbono

fip + ffr = N (45)

LCiacuteLiciii JM Hernaacutendez y R RadiUo CJasifiacutecarioacuteiiacute de ios nanutvbos de carboacuten 23

a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)

La ecuacioacuten (42) se puede tambieacuten deducir de la simetriacutea de la graacutefica de la red Si un observador en T ve las ip-eacutesimaa sub-bandas a traveacutes o cerca a un

punto K el observador en F con vera las sub-bandas etiqueshytadas como las (TV mdash r)-eacutesimas a saber las i^^-eacutesimas para el observador que observa a traveacutes o cerca del punto Sustituyendo las ecuaciones (46) y (47) en las ecuaciones (6) y (7) puede demostrase que

VK + FK =rT = NK (48)

La ecuacioacuten anterior es consistente con la simetriacutea de la graacutefica de la red y asiacute se confirman los resultados obtenidos por los meacutetodos algebraicos de este trabajo

bullESCAMSA BRAZO

Fig 6 Clasificacioacuten de los nanotubos de pared uacutenica

24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I

p-lt mdash bullmdashbull Clin

II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash

II II [l II Hlaquo II II liacute iq

M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=

Tabla 1 Las K y A sub-bandas de niveles de Fermi paia diferentes tipos do nanotubos de carbon de pared simple

LGarc ia JM Haniaacuteadez y R Rudillo Cigraveasifigravecacioacuten de los nanotubos de ci^fboacuten 25

En la parte inferior de la graacutefica anterior Fig 6 se observa una conshyformacioacuten de tipo descansa brazo donde tenemos metales del tipo 2p en el segundo rengloacuten se tiene nanotubos de los tipos semiconductores An en la tercera fila se tienen alternativamente semiconductores Pp y Mfn en la cuarta asociados a metales de tipo Im Ip 2m a medida que se va subiendo en el graacutefico los modelos asociados a los distintos renglones son maacutes comshyplejos como en el quinto donde hay semiconductores en alternancia Mm Mm Pm Mm Mm Pm En el anaacutelisis de las conformaciones en diagonal de tipo Zigzag aparecen ciacutecUcainente los nanotubos de los tipos semiconducshytores Mm Pp y metal de tipo Im Los diferentes tipos de nanotubos en los distintos renglones se dan como resultado de las foacutermulas o algoritmos tan simples como los asociados al primero segtmdo u octavo rengloacuten que son nanotubos del tipo metal 2p o semiconductores Mm cuando los patrones se hacen maacutes complicados es difiacutecil hacer la asociacioacuten a los tipos a que corresshyponden pero aun asiacute esta clasificacioacuten es simple y general e independiente de las propiedades de estos materiales

6 Conclusioacuten

En este trabajo se analizaron sistemaacuteticamente las posiciones de los punshytos degenerados del grafeno relativos a las sub-bandas de los nanotubos de carboacuten mediante meacutetodos algebraicc)s sencillos y generales

Los iacutendices de las sub-bandas del nivel de Fermi de los SWCNTs son clasificados y resumidos en la Tabla 1 seiacuteniconductores de cuatro tipos y en nanotubos metaacutelicos dos de tipo 1 y dos de tipo 2 Es importante sentildealar que esta clasificacioacuten de los SWCNTs esiaacute basada exclusivamente en el uso de foacuternmlas y algoritmos a traveacutes del uso de la teoriacutea de nuacutemeros la cual nos da ima clasificacioacuten general y completa de los nanotubos de carbono de pared uacutenica sin que se utilicen las propiedades electroacutenicas asociadas a la teoriacutea de bandas lo cual hace sumamente atractivo este sistema de clasificacioacuten porque no depende de estas propiedades electroacutenicas Cabe sentildealar que amshybas clasificaciones convergen en teacuterminos generales pero que la clasificacioacuten a traveacutes de meacutetodos algebraicos es maacutes completa lo cual nos permite tener un esquema sencillo y completo alternativo a los esquemas de clasificacioacuten basados en las distintas propiedades fiacutesicas quiacutemicas geomeacutetricas electroacutenishycas etc razoacuten por la cual estos meacutetodos algebraicos se han convertido en un esquema atractivo para la investigacioacuten de SWCNTs

26

Puntos a desarrollar en un futuro

bull DcsaiToUo de nuevos meacutetodos sinteacuteticos con su prediccioacuten teoacuterica coshyrrespondientes

bull Caracterizacioacuten experimental de los NTCs de pared muacuteltiple y su moshydelo de prediccioacuten por meacutetodos matemaacuteticos para la obtencioacuten de informacioacuten sobre eacutestas inusuales estructuras electroacutenicas

bull Definir teoacutericamente los distintos modos vibracionales de los NTCs que son origen de las excepcionales propiedades fiacutesicas ya mencionadas de estos materiales

La extrapolacioacuten de este tipo de anaacutelisis para la clasificacioacuten de muntildeeshycas rusas NTCs de pared muacuteltiple basado en la teoriacutea de nuacutemeros

Estos seriacutean algunos puntos de partida para el desarrollo de trabajos de investigacioacuten que tendriacutean como finafidad la obtencioacuten de predicciones teoacuterishycas maacutes completas para sistemas maacutes complejos donde se tengan NTCs fun-cionalizados en particular se esperariacutea contar- con un modelo y su alidacioacuten

Referencias

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[10] JW Mintmire C T Wlugravete Phys Rev Lett 81 (1998) 2506

I l l ] JWG Wildoer LC Venema AG Rinzier RE Smalley C Dekker Nature 391 (1998) 59

|12] M Bocki-ath DH Cobden PL McEuen NG Chopra A Zettl A Thcss RE Smalley Science 275 1922 (1997)

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[14] M Damnjanovic T Vukovic I Milosevic J Phys A 33 (2000) 6561

[15] M Danmjanovic T Vukovic I Milosevic Sohd State Commun 116(2000) 265

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[17] N Hamada S Sawada A Oshiyama Phys Rev Lett 68 (1992) 1579

|18] RD Antonov and AT Johnson Phys Rev Lett 83 3274 (1999)

[19| R Saito G Dresselhaus MS Dresselhaus Phys Rev B 61 (2000) 2981

(20) R Saito G Dresselhaus MS Dresselhaus Physical Properties of Carshybon Nanotubes Imperial College Press London ( 1998)

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|22| R Saito M Fujita G Dresselhaus MS Dresselhaus Appl Phys Lett 60 (1994) 2204

[23| RA Jishi D Inomata K Nakao MS Dresselhaus G Dresselhaus J Phys Soc Japan 63 (1994) 2252

[24| RA Jishi L Venkataraman MS Dresselhaus G Dresselhaus PhysRev B 51 (1995) 11176

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[26] S lijima Nature 354 (1991) 56

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[32] TW Odom JL Huang P Kim and CM Lieber Nature 391 62 (1998)

(33] TW Odom JL Huang P Kim CM Lieber Nature 393 (1998) 62

[34] X Yang J Chen H Jiang J Dong Phys Rev B 69 (2004) 193401

Temas diversos sobre los nuacutemeros primos

Gabriel Villa Salvador C e n t r o d e Inves t igac ioacuten y de Es tud ios Avanzados del I P N

D e p a r t a m e n t o d e C o n t r o A u t o m aacute t i c o

g v i l l a c t r l c i n v e s t a v i n x

Resumen

El eacutenfasis principal en este trabajo seraacute el de plantear algunas propiedades de los nuacutemeros primos en general y de algunas familias en particular Por ejemplo veremos que para cualesquiera dos nuacutemeros naturales ky n existen n enteros consecutivas que son divididos por al menos k nuacutemeros primos distintos Por otro lado veremos que si n es cualquier nuacutemero natural entre n y 2n siempre tiay un miraero primo (Postulado de Bertrand)

Mencionaremos algunas de las conjetmas maacutes famosas en Teoriacutea de Nuacutemeros una de las cuales acaba de ser probada hace unos cuantos antildeos y finalizamos dando una descripcioacuten breve del Ultimo Teorema de Fermacirct v del Teorema de Dirichlet

1 Criterios de Divisibilidad

Consideremos el siguiente cuento de mesa Diacuteganle a una persona de entre un grupo de gente que piense un nuacutemero de 3 cifras (que puede incluir ceros) Despueacutes diacutegale que componga dos veces el nuacutemero pensado para obtener un nuacutemero de 6 cifras 02(iiaoo2î^Q- Diacutegale a esta persona que pase el nuacutemero a otro del grupo A esta segunda persona piacutedale que divida al nuacutemero entre 7 A otro piacutedale que al resultado lo divida entre 13 y finalmente a un uacuteltimo personaje piacutedale que divida lo obtenido entre 11 Por uacuteltimo usted afirma que el nuacutemero obtenido es el original

El truco simplemente se basa en que el nuacutemero originalmente pensado al duplicarlo en la forma requerida en realidad fue multiplicado por 1001 pues

a20iaoa2aiao = 1001 x a2aigraveao

y tenemos que 1001 = 7 x 11 x 13

Podemos disentildear varios trucos maacutes de este estilo En esta primera seccioacuten nos proponemos estudiar que nuacutemeros son divisibles por 2 3 5 etc

Desde la primaria hemos utilizado el meacutetodo de la prueba del 9 para comprobar si una raultiphcacioacuten era correcta o no

El siguiente ejemplo muestra de que consiste el meacutetodo Consideremos la siguiente multiplicacioacuten

X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3

d por lo tanto la raultiplicacioacuten podriacutea estar bien

Este meacutetodo soacutelo significa que

348 X 26 = 9048 moacuted 9

Maacutes precisamente sea n e N Se dice que dos nuacutemeros a y 6 6 Z son congruentes moacutedulo n si n j amp mdash a y se escribe a = b moacuted n

Es faacutecil probar que si

a = b moacuted n y c = d moacuted n

entonces o + с = 6 ~i- d moacuted n y a bull с ^ b bull d moacuted n

Notemos en particular que a = O moacuted n si y soacutelo si a es de la forma a mdash к п es decir si y soacutelo si n iexcl a es decir n divide a a Ademaacutes n = O moacuted n (es en el caso n = 9n^^ = 0)

Queremos desarrollar criterios de divisibilidad esto es decidir cuando n X oacute X = O moacuted n)

Allora bien dado x euro Z el inverso de x moacutedulo n es un nuacutemero y eX tal que x bull y = Igrave moacuted n y se denota y mdash x~^ moacuted n

Notemos que si x bull y = 1 moacuted n entonces el maacuteximo comuacuten divisor de X y n es 1 pues si mcd x n = (x n) mdash d d | x d j n Por otro lado si X - y = 1 moacuted n entonces n | xy mdash 1 lo cual implica que x y mdash l mdash k n y por lo tanto xy mdash 1 + k n Se sigue que d | xy mdash fcn = 1 de donde obtenemos que d - 1

Reciacuteprocamente si (xn) mdash 1 sea

d = miacutena euro N a = ax + bn a amp euro Z

Sea d mdash aox + OgraveQU Por el algoritmo de la divisioacuten existen q r pound Z tales que X = dg ^ r con O lt г lt d Por tanto r = x - d q = x - qaQX + bon) =

(1 - дао)х -Ьбогг

Se sigue que г = О у d | x Similarmente d n Por lo tanto d = 1

bull Sea pues 1 = аох + Ьоп = оох moacuted n es decir ao = x~^ moacuted n

En resumen x tiene inverso moacutedulo n y si y soacutelo si x es primo relativo a n -

Sea X euro N arbitrario Puesto en cifras x = cxmCtm-i - - bull OIacuteIUumlQ significa

que

(i) Divisibilidad entre 2 Se tiene 10 = O moacuted 2 por iexclo que 10 O moacuted 2 para fc gt 1 Por tanto x = Q uumlm + O- Qm-i H h O bull a i -b Qo = ao moacuted 2

Por tanto 2 I X ltiacute Qo euro O 2468

(ii) Divisibilidad entre 3 Se tiene 10 = 1 moacuted 3 por lo que lO = 1 moacuted 3 para fe gt 1 Por tanto

x = l- am + l-ctm-i H h 1 bull a i + ao

= am + am-iH ha i + ao moacuted 3

Por tanto 3 I a -ФФ la suma de las cifras de x es muacuteltiplo de 3

(iii) Divisibilidad entre 5 Es completamente anaacutelogo al caso 2 y se tiene

5 iexcl X ao e 05

(iv) Divisibilidad entre 9 Es completamente anaacutelogo al caso 3 y se tiene

9 I X 4Ф la suma d e las cifras d e x e s muacuteltiplo d e 9

(v) Divisibilidad entre 7 Escribamos x = 10a + 6 y sea y = a mdash 2b

Entonces y = a-2b= -J^-^^ = l0-^x-b-20b) = 10-^x-2lb) -5x moacuted 7 (pues 10~^ = 5 moacuted 7) Por tanto 7 y lt^ 7 bx pero 7 y 5 son primos relativos Se sigue que 7 | 5a Фgt 7 j x

En otras palabras

7 divide a 10a + 6 ^ 7 divide a a - 26

(vi) Divisibilidad en t re 11 Se tiene 10 = - ] moacuted 11 por lo tanto 10 = (-l)^ nioacuted 31

De esto obtenemos

X = aârn-i bull bull bull OLiao = 10laquo^ + Ю^^аш-х + bullbullbull + lOai + ao - ( - l ) a m -b ( - 1 ) - ^ а ш - 1 + bull bull bull + ( - l ) iacute i i + Q uuml moacuted 11

Sin peacuterdida de generalidad podemos suponer que m es par (poniendo OLjn = O en caso necesario) y por tanto

^ ^ [Oiacutem + Ckm-2 H H laquoo) ^ OLTU-I + Q m - 3 t H ttl) mOacuted 11

De aquiacute se tiene que x es muacuteltiplo de 11 si y soacutelo si la suma de sus cifras en lugar par menos la suma de sus cifras en lugar impar es muacuteltiplo de 11

(vii) Divisibilidad entre 13 17 y 19 Sea x = lOa + 6 Ejercicio 11

13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26

2 Distribucioacuten de los nuacutemeros primos

Definicioacuten y Notacioacuten 21 Aquiacute Q denota al campo de los nuacutemeros racionales y Z al anillo de los enteros racionales

Un primo p euro S es un entero que satisface |p| gt 1 y si d | p entonces d = plusmnplusmnp

Supondremos a menos que se diga lo contrario que p gt l-Teorema 21 (EucUumldes) Hay una infinidad de nuacutemeros primos Demostracioacuten Sea p i bull bull bull bullPn un conjunto con n nuacutemeros primos distintos Sea A = pi-Pn + l

Entonces pi A l lti ltn Sea p cualquier nuacutemero primo tal que p A Entonces p ^ pi pn]- bull

Por otro lado tenemos que 2 8 9 1 7 7 0

Teorema 22 Para cualesquiera n к euro N existen n enteros consecutivos tales que cada uno de ellos es divisible por al menos к primos distintos En particular para toda n existen n enteros consecutivos compuestos

Demostracioacuten Lo haremos por induccioacuten en к con n arbitrario

Si fc = 1 sea m gt 2 cualquiera y sea mm + l m + n mdash 1 un conjunto de n enteros consecutivos mayores a 2 Entonces por el Teorema Fundamental de la Aritmeacutetica estos enteros son divisibles por al menos un nuacutemero primo

Suponemos cierto el resultado para к gt 1 es decir existe m gt 2 tal que mm + 1 m + n mdash 1 son divididos por al menos к primos distintos

Para -b 1 definimos ra-]

M = J J ( m + iquest)^ = mîm + 1)^ bull bull bull (m + n - if

y sea Mi = M + m

Consideremos Mi -b 1 Mi -|-nmdash 1 Sea iacute ^ M i + z O lt г lt п mdash 1 cualquiera de estos nuacutemeros Entonces

71 mdash 1 Ч t = Mj î = M^m + i= T T ( m + i)^ + (m + г) = (m + г) ( h i )

7=uuml т^г J

Se tiene que m + i es dividido por al menos к primos distintos

M Por otro lado тЛ-1 M por lo que se tiene que mdash + 1 e N Ademaacutes

m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1

Sea q cualquier primo que divide a ( M

m + г 7 + 1 Entonces por lo anshy

terior se tiene que q no divide a m -b г y por lo tanto i es dividido por al

menos + 1 primos distintos bull

Podemos dar una demostracioacuten maacutes elegante corta y general de este resultado usando el Teorema Chino del Residuo Escojamos nk primos disshytintos

V = pij 1 ltilt n 1 lt j lt k]

y seleccionemos nk nuacutemeros nattuâles Ofy a nuestro gusto Los nuacutemeros prishymos Pij pueden ser seleccionados de alguna forma en especial por ejemplo miembros de una progresioacuten aritmeacutetica en particular o pertenecientes a al-gima famiha especial en caso de que asiacute lo deseemos Definamos los nuacutemeros

fc

Ai mdash Ylptj г = 12 7 T

Por el Teorema Chino del Residuo se tiene que el homomorfismo de anillos

Z ^ Z AiZx bull bull bull X ZAn^

dado por fx) = x moacuted A i x moacuted An] es suprayectiл o pues AiAn son primos relativos a pares Por lo tanto existe a euro Z tal que

(x) mdash (O moacuted Aimdash moacuted Л2 bull bull bull bull mdashn + 1 moacuted

Por lo tanto Al X A2 X + 1 - bull bull An iexcl X -Ь n mdash 1

lo cual prueba que los n enteros consecutivos xx + l x - b n mdash 1 son diddidos por к primos distintos y a las potencias a j

El resultado principal que nos dice aproximadamente cuantos nuacutemeros primos hay en el intervalo [1x] x G E x gt 1 es

Teorema 23 (Teorema de los nuacutemeros primos) Sea

7x) = n l ltn lt xn es pntildemo j

X

Entonœs 7г(х) para x mdash 00 bull bull logx

Aquiacute log denota logaritmo natural y (x) ~ ^(x) para x mdash 0 0 denota Ишз^ос icircx)lgx) = 1

A continuacioacuten estudiamos una familia especial de la que Fermacirct origishynalmente pensoacute consistiacutea exclusivamente de nuacutemeros primos

Mp = 2 P - 1

donde P un nuacutemero primo

De hecho notemos que si a mdash 1 es nuacutemero primo entonces a = 2 y n es primo pues si o gt 2 entonces a mdash 1 gt 2 y a mdash 1 | a mdash 1 y si n = entonces 2 ^ - 1 I 2 - 1

Mersenne aseguroacute en 1644 que Mp es primo para

p = 23571317193167127257

Definicioacuten 21 Los nuacutemeros de Fermacirct son los nuacutemeros definidos рог

iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0

Se tiene que = 3 FX = 5 F2 = 17 3 = 257 F4 = 65537 son primos

Teorema 24 Se tiene que para toda n Ф m FNFM) = 1-

Demost racioacuten Sea г un entero tal que г FN y r FN^K con к gt 0 Entonces

FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^

por lo tanto FN I mdash 2 Se sigue que R | 2 pero por otro lado Fbdquo es impar de donde obtenemos r = 1 D

En particular si PN+i es el n + l)-eacutesimo nuacutemero primo Tîpn+i) = n+l PN+I ltFN = 2^ + 1 Entonces 7г(22 + l) gt n + 1

Ahora se tiene que F5 = 2^ + 1 = 641 bull 6700417 no es un nuacutemero primo

De hecho se sabe que Fn para 5 lt n lt 32 no son nuacutemeros primos El primer nuacutemero de Fermacirct FN que no se sabe si es primo o no es F33 Tampoco se sabe si hay una infinidad de nuacutemeros de Fermacirct que sean primea Se conjetura que FQF^F2F^F4 son los uacutenicos nuacutemeros de Fermacirct que son nuacutemeros primos

Otra familia especial de nuacutemeros de los cuales algunos son nuacutemeros primos es

Definicioacuten 22 Los nuacutemeros de Mersenne son

y compuesto para los otros 44 primos p menores que 257

Sin embargo en 1886 se descubrioacute que MQI es primo y posteriormente se hallaron 4 errores maacutes en la afirmacioacuten de Mersenne

Al estudiar los nuacutemeros primos una pregunta que ha interesado es en como puede ser descompuesto un nuacutemero primo como suma de cuadrados La respuesta nos la da el siguiente resultado

Teorema 25 Sea p un nuacutemero primo Si p = 2 oacute p= Igrave moacuted 4 entonces p se puede expresar como suma de 2 cuadrados Si p = S moacuted 4 entonces p no puede expresarse como suma de 2 cuadrados bull

Muchos resultados para nuacutemeros primos pueden ser obtenidas al consishyderar nuacutemeros primos en otros sistemas algebraicos que contienen al aniUo de los nuacutemeros enteros En el caso que nos ocupa se considera el anillo de los enteros gaussianos

Z[i] = a + biabe Z i V ^ D Z

Teorema 26 Los primos en son 1 plusmn iquest los elementos aplusmnbi tales que --b^ = p donde p es un primo racional congruente con 1 moacutedulo 4 y los

primos p en Z tales que p = 3 moacuted 4 bull

Como consecuencia de lo anterior tenemos la muy interesante caratiacutete-rizacioacuten de los nuacutemeros naturales que pueden ser escritos como la smna de dos cuadrados

Corolario 21 Se tiene que n G 3 es suma de 2 cuadrados n = 6 o n = 2^ bull pi bull bull - pr bull t^ donde p i pr son primos = 1 moacuted 4 bull

3 Nuacutemeros de Mersenne y nuacutemeros perfectos

Notemos que 6=^1-1-2-1-3= d o equivalentemente 12 = 6 + 6 = dfidyiacute6

dl6

Ejemplo 31

n Suma

6 1 + 2 + 3 = 6 = n perfecta 10 1-Ь2 + 5 = 8 lt n pequentildea 12 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 gt n grande 15 1 + 3 + 5 = 9 lt n pequentildea 20 1 + 2 + 4 + 5 +10 = 22 gt n grande 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = n perfecta 45 1 + 3 + 5 + 9 + 1 5 = 33 lt n pequentildea

Definicioacuten 31 Un nuacutemero г euro N se llama perfecto si = 2n din

Con el fin de estudiar los nuacutemeros perfectos definimos

Definicioacuten 32 Sea iacutet N N dada por a n ) = Poi lo tanto n es dn

perfecto lt^ an = 2n

Maacutes generalmente sea akn) = y ^ d ^ d|7i

Nota 31 pound5 dciacuteiacute ter ûe iacuteiacuteiquest nm euro N entonces

lt7knm) = o-fe(n)iacute7fc(m)

Teorema 31 5г n = pji - bull -p^- (т^(п) = J J г = 1

Pi - 1

Fn particular (7n) = Рг - 1

Demostracioacuten dn^d = p f - bull -piacute^ 3i lt Q Por lo tanto

bull

Por lo tanto b 2^+^ - 1

con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i

Asiacute pues obtenemos que

6 = (2trade-^^ - l)c (T(6) = 2-^^c c euro N

Si с gt 1 6 tiene al menos los divisor^ 6 c 1 Por lo tanto

(T(6) gt 6 - Ь г - Ы =2+^с-Ь 1 gt 2+c = iacute7(6)

lo cual es imposible Por lo tanto c= por lo que 6 = 2^ mdash 1 de donde

N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^

Si 2^ mdash 1 no fuese primo entonces puesto que 1 2^ mdash 1 son divisores de 2 П + 1 _ j y existe alguacuten otro divisor entonces (7(2^ - 1) gt 1 ~b (2^^ - 1) gt 2^ lo cual no es posible Por lo tanto tenemos que 2^^^ mdash 1 es primo Si n -H 1 no fuese primo entonces n + 1 = af3 con a 3 gt 1 y tendriacuteamos que 2 mdash 1 I 2deg^ mdash 1 lo cual es una contradiccioacuten Por tanto n + 1 = p en un nuacutemero primo y = 2 bull 6 = 2^^ bull (2^ - ] ) bull

Teorema 32 (Euclides) 5i 2 ^ mdash 1 es pntildemo es decir es un primo de Mersenne entonces 2^^2^ - 1) es un nuacutemero perfecto

Demostracioacuten Sea 2P - 1 = g iV = 2 ^ - ^ ( 2 ^ - 1) = 2^ ^ bull donde g es un nuacutemero primo Entonces

aN) = a2^-^)o(q)^^^-^mdash^ = 2P-l)q^l) = 2gt-l)2n

= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N

Por lo tanto N es perfecto n

Sorprendentemente para mimeros enteros pares el reciacuteproco del resulshytado anterior se cumple esto es

Teorema 33 Todo nuacutemero perfecto par N es un nuacutemero de Euclides es decir N = 2^~^ (2^ mdash 1) con 2^ mdash 1 un nuacutemero primo

Demostracioacuten Sea N = 2^ bull b donde n gt O y 6 es impar Entonces

(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b

Nota 32 No se sabe si existen nuacutemeros perfectos impares Se sabe que si N es impar perfecto entonces N gt 10^^^

En contraste con lo discutido al principio de este trabajo tenerneraquo

Teorema 34 (Postulado de Bertrand) Si n gt 1 entonces existe al menos un nuacutemero primo p tal que n lt p lt 2n esto es si Pr es el r-eacutesimo primo Pr+i lt 2pr para toda r gt 1 D

4 Conjeturas y resultados famosos en teoriacutea de nuacutemeros

Conjetura 41 (Conjetura de Goldbach) Si тг gt 4 es par entonces n es la siuna de 2 primos impares

Esta conjetura fue enunciada por Galdbach en una carta a Euler en 1742 En 1937 Vinogradov proboacute que cualquier nuacutemero impar suficienteshymente grande es la suma de 3 nuacutemeros primos impares Usando el meacutetodo de Vinogradov var der Corput y Estermann probaron que casi todos los nuacutemeros pares son suma de 2 primos

Conjetura 42 (Conjetura de los primos gemelcw) Hay una infinidad de primos p tales que p y p + 2 son primos

Hay suficiente evidencia de que esto es cierto Notemos que esto es el otro extremo de lo que probamos al principio para todo п у к existen n nuacutemeros naturales consecutivos mm + l m + n mdash 1 que son divididos por al menos к primos distintos

Conjetura 43 (La conjetm-a Л + 1 ) Hay una infinidad de primos de la foi-ma Л -b 1

Hasta ahora el mejor resultado es de Hendrik Iwaniec quien en 1978 proboacute que hay una infinidad de valores de N para los cuales iV^ + 1 es o bien un nuacutemero primo o bien un producto de 2 nuacutemeros primos

La referencia es IWANIEC HENRYK Almost-primes represented by quadratic polynomials

Invent Math 47 (1978) no 2 171-188

Conjetura 44 (La conjetura de Catalan) En 1844 Eugene Catalan afirmoacute que los uacutenicos 2 enteros positivos consecutivos que son potencias (gt 2) son

8 y 9 (8 = 2 9 = 3^) Equivalentemente las uacutenicas soluciones en M de la ecuacioacuten diofantina mdash y^ mdash son

X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3

Esta conjetura fue probada por Preda Mihaacuteilescu en el antildeo 2002 La referencia es MIHAacuteILESCU P Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalans

Conjecture J reine angew Math 572 167-195 2004

Los dos siguiente no son conjeturas sino resultadcs ambos de central importancia para esta exposicioacuten

Teorema 41 (Dirichlet) Para (a n) = i a n eN existen una infinidad de nuacutemeros primos p tales que p = a moacuted n bull

Teorema 42 (Ultimo Teorema de Fermacirct) No existen xyz e N tal que +2^ = 2^^ n gt 3 bull

La prueba de este uacuteltimo resultado cuyo establecimiento data de 1637 fue anunciada por el matemaacutetico ingleacutes A Wiles en 1993 Sin embargo exisshytiacutean algunas lagunas por lo que la demostracioacuten definitiva fue publicada hasta 1995 La demostracioacuten finalmente usoacute una teacutecnica que habiacutea intentado Wiles sin eacutexito pero al existir una laguna en su primera demostracioacuten dada a conocer al puacuteblico Wiles regresoacute a esta teacutecnica y con ayuda de su estudiante Taylor finalmente logroacute completar la demostracioacuten que ahora conocemos

En la siguiente seccioacuten presentaremos algunos hechos relacionados con este teorema que ha sido sin duda alguna el resultado maacutes famoso en la historia de las matemaacuteticas

Las dos referencias son TAYLOR RICH^RD WILES ANDREW Ring-theoretic properties of cershy

tain Hecke algebras Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 553-572 WlLES A N D R E W Modular elliptic curves and FermaVs last theorem

Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551

5 Ultimo Teorema de Fermacirct

La siguiente es una breve siacutentesis de la historia del Ultimo Teorema de Fermacirct (UTF)

Al margen de su hbro Arithmetica de Diofanto despueacutes del problema Vili del Libro 2 donde Diofanto resuelve un caso particular de escribir un

cuadrado como la suma de dos cuadrados Pierre de Fermacirct (1601-1665) escribioacute se cree que en 1637

F s imposible separar un cubo en dos cubos o un bicuadmdo en dos bicuadrados o en general cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencian similares he descubierto una prueba realmente maravillosa que no puede ser escrita en el margen de este libro por ser eacuteste demasiado pequentildeo

En otras palabras se tiene

Teorema 51 (Fermacirct iquest1637) Parangt2 no existen x y z tales que x^ -^y^ = z^ bull

Algunos resultados parciales de este teorema no son difiacuteciles de deshymostrar Por ejemplo se^ 2bdquo = (x + y)^ 2^ gt O n gt 1 x y G N fijos Digamos y gt entonces Zn es decreciente y liacutem Zn mdash y por lo que para

71-+00

toda n gt iiQ Zn lt y + l- Por otro lado 2 gt y para toda n gt 1 es decir y lt Zn lt y + l por lo que Zn para toda n gt UQ Esto prueba el siguiente

Teorema 52 Para xy e N existe no tal que pam n gt no la ecuacioacuten д п _|_ у П _ tiene solucioacuten 2 euro Z

Volviendo al UTF se fueron probando algunos casos

1640 n = 3(iquest) n = 4 Fermacirct 1753 n = 3 Euler 1825 oacute 1828 n = Ъ Dirichlet 1839 n = l Lameacute 1847 n regular Kummer 1930 тг lt 600 Vandiver 1951 n lt 4000 Lehmer 1977 n lt 125000 Wagstafi^ 1992 n lt 4000000 Buhler et 1993-1995 n gt 3 Wiles

Al estudiar curvas maacutes generales que las curvas de Fermacirct Mordell conshyjeturoacute

Conjetura 51 (Mordell 1922) Si una curva Fxyz) en Z tiene geacutenero ^ gt 2 el nuacutemero de soluciones en Q es finito

Faltings proboacute la conjetura de Mordell Este es el resultado que antes de Wuumles se acercoacute maacutes a la solucioacuten final del UTF

Galrie УШа Salvador Temas diversos аоЬгк Jos nuacutemeros primos 43

Teorema 53 (Faltiiigs 1983) Para n gt 3 el nuacutemero de soluciones x y z de la ecuacioacuten + y = iquest^ xyz euro N xyz primos relativos es (esencialmente) finita bull

Aquiacute esencialmente finita significa que si хоуо ZQ) es solucioacuten entonce las soluciones (xo уо ZQ) y Xxo Хуо Аго) А G N las consideramos como la misma solucioacuten

Para terminar la historia final de la demostracioacuten del UTF es la siguienshyte

Una curva eliacuteptica es ima curva del tipo = xx mdash A)x - Б) A В e Ж0]АфВ

En lugar de pregmitarnos que tan a menudo se tiene = Jx) nos preguntamos que tan a menudo tenemos y^ = fx) moacutedp p un nuacutemero primo arbitrario

Para cada nuacutemero primo p sea Np = nuacutemero de pares de enteros (x y) que satisfacen 0 lt x y lt p - l y mdash (x) ^ O moacuted p

En 1814 Gauss encontroacute una receta para calcular Np para la curva y^ = x^ mdash x De hecho

N2 = 2 TVp mdash p si p = 3 moacuted 4 Np = maacutes complicada si p = 1 moacuted 4

Una cmva eliacuteptica se llama modular si N2 N3 A^s satisfacen alguna regla que nos de una estructura similar a la foacutermula de Gauss Esta sucesioacuten debe ser muy especial para tener esta propiedad modular

Conjetura 52 Taniyama 1955 Shimura 1962) Toda cmva eliacuteptica es modular

Teorema 54 (Gerhard Frey (1985))- Supongamos que existe un contrashyejemplo al UTF a -b = c con n gt 2 a Ograve с G N Consideremos la curva eliacuteptica y^ bull= x(x mdash a)(x + 6) Esta curva parece ser no modular

Teorema 55 (Ribet (1986)) La curva de FYey es no modular

Teorema 56 (Wiles (1993)) La curva de Prey es modular

Conclusioacuten No hay contraejemplos al Ultimo Teorema de Fermacirct por lo cual eacuteste es cierto

6 Teorema de Dirichlet

Finalizamos nuestro artiacuteculo presentando el multimencigraveonado resultado de Dirichlet el cual estudia nuacutemeros primos en progresiones aritmeacuteticas

Teorema 61 (Dirichlet 1839-1840) Si ab G N ab) = 1 entonces si

A = p p primo y p = a moacuted b] se tiene - = oo En particular A es

infinito D

Podemos dar una demostracioacuten al teorema de Dirichlet en algunos casos particulares Por ejemplo cuando a = i y b = n es arbitrario usando polishynomios ciclotoacutemicos A continuacioacuten damos un esquema de demostracioacuten Tambieacuten podemos probar directamente el caso a = 3 6 = 4

Se define para n G N el n-eacutesimo polinomio ciclotoacutemico por

n-l

3=0 0 raquo = J

donde

iacutebdquo = exp 2 7 r A

n ) = eos 27r 27r

n j n J

Se sabe que n(^) euro I^x] y que es irreducible Ademaacutes el campo Q(^n) es isomorfo a (iacutegtbdquo(x)) es decir

QIacuten) = Q[x]l^rx))

El grado de ^n^) es ipn) |i G N | j lt n (jn) = 1|

Por induccioacuten se puede probar que x mdash mdash J ~ [ $ d ( a ) y por la foacutermula dn

de inversioacuten de Moumlbius se tendraacute que

donde

1 si n 1

szlign) mdash (mdash1) si n = p bull -pr^pi bull Pr primos distintos O si existe un nuacutemero primo p taJ que p^ 1 n

Se tiene que = $ 2 ( 3 ) = $3 (x) ~ x^+x+i ^4x) = x^--l mdash 1

$5(x) = x^ --x^ --x^ + + X + 1 p(x) = x^^ H hx + 1 p X mdash 1

un nuacutemero primo

Consideremos p n p primo y sea a e Z Entonces oiacutea moacuted p) = n p I iacuten(a) donde o(a moacuted p) = n significa que a = 1 moacuted p y que para toda O lt m lt n se tiene a^- ^ 1 moacuted p

En efecto si p iexcl bdquo(a) - ^ - 1 = ^^^t^) ~ ^ ^ 11 ^do) = O moacuted p dn dn

pues p I ltegravena) Por lo tanto a ^ 1 moacuted p Si m lt n y o(a moacuted p) mdash m entonces a mdash 1 = fldim tiacute(^) ^ O moacuted p por lo tanto p | $d(0) d lt m lt n pero puesto que iacutegtd son irreducibles distintos existen ax) 3(x) euro Z[x] tales que 1 = ax)^dx) + p(x)lt^nix) lo cual implica que

p | l = aa)^da)0a)^na)

lo cual es absm-do

Reciacuteprocamente si oa moacuted p) = n p | a mdash 1 por tanto p | iacuteda) para

alguacuten d n Si d lt n a^ mdash l = Y[ iacute(laquo) ^ O moacuted p lo cual es absurdo id

Como consecuencia tenemas que

p I $n(a) para alguacuten a e Z P = 1 moacuted n

En efecto si p iacuteraquon(lti) se tiene que a moacuted p tiene orden n Ahora bien el grupo de unidad^ de los enteros moacutedulo p tiene orden p ~ 1 por lo que n I p mdash 1

Reciacuteprocamente si n | p - 1 el grupo de unidades de los enterca moacutedulo p Up es ciacuteclico por lo que existe un elemento a tal que oa moacuted p) = n por lo que p iexcl $bdquo(a)

Con esto tenemos

Corolario 61 (caso especial del Teorema de Dirichlet) Dado n gt 1 hay una infinidad de primos p=l moacuted n

Demostracioacuten Supongamos que hay una cantidad finita de tales primos digamos pi - Ps-

Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto

bullPs y sea N euro Z Entonces por la foacutermula de inversioacuten de

Фbdquo(Л^т) = Фbdquo0) = plusmnimoacuteaacutem РОГ MOBILI К

ФnNm) = =Ы moacuted п Pi

de donde pi Фn(Nm) Para N suficientemente grande ФnNm) 7^ plusmn 1 puesto que ФnNm) gt 0 0 рог lo que existe p ^ pi ps p f n tal

Nmdashgtoo que pФniNbullm) Por tanto p=l moacuted n bull

Por ejemplo la demostracioacuten original de Euclides usa el caso n = 2 es decir el polinomio ^2x) = x + 1 para probar que hay una infinidad de nuacutemeros primos Para TI = 4 se usa ^4x) = + 1 para dar ima deshymostracioacuten amphamente conocida de que hay una infinidad de primos de la forma 4n + 1

Ejercicio 61 Probar directamente que hay una infinidad de primos de la x^ mdash 1 x^ mdash 1

fonna 8 n + l usando ^laquo(x) = Ф1(х)Ф2(х)Ф4(х) x - 1)(X -b l)(x2 + 1) x ^ - 1 x^ ~ 1 = x ^ + l

Factorizacioacuten de los nuacutemeros de Fibonacci

Adriana Ocejo Monge Univers idad de Sonora

Divisioacuten d e Ciencias E x a c t a s y N a t u r a l e s

D e p a r t a m e n t o de M a t e m aacute t i c a

o c e j o a d r i c o r r e o a u s o n m x

Resumen

Los nuacutemeros de Fibonacci Fn se definen por la relacioacuten de recu-rrencia Fi = F2 mdash l y Fr+2 mdash Fbdquo + Fn+j Dado que esta sucesioacuten es de nuacutemeros enteros es natural preguntarse por los factores primos de un nuacutemero de Fibonacci dado

En este trabajo rcvisai-emos algunas propiedades de divisibilidad y abordaremos el problema definiendo el rango de aparicioacuten de un primo Si iv es el nuacutemero de Fibonacci maacutes pequentildeo divisible por el primo p entonces г ~ r(p) se define como el rango de p Para encontrar el rango r de un primo p podemos generar la sucesioacuten de Fibonacci moacutedulo p hasta obtener un clenxento ^ O (moacuted p) Probaremos que p divide a f n si y soacutelo si n es divisible por г = rp) Este rebultado nos permitiraacute probar otros maacutes complejos por lo que seraacute nuestra herramienta central Al final sabremos coacutemo es el rango de aparicioacuten de un entero dado

1 Introduccioacuten

La sucesioacuten de Fibonacci tiene su origen en un problema trivial que formulo el italiano Leonardo de Pisa en su libro de caacutelculos Liber Abaci en 1202 El problema es el siguiente

Supongamos que una parejita de conejos puede procrear a partir de los dos meses de vida engendrando una uacutenica pareja macho y hembra cada mes con las mismas caracteriacutesticas de procreacioacuten que la original iquestCuaacutentas parejitas habraacute al final del antildeo

Asumiendo que la parejita original procrea hasta el tercer mes el primer y segundo mes tendremos una sola parejita Al tercer mes tendremos una nueva la cual podraacute procrear hasta los proacuteximos dos meses Entonces ai cuarto mes habraacute tres parejas y en el quinto aumentaraacuten en dos y asiacute suceshysivamente Al final del antildeo habraacute 144 parejitas de conejos (ver la siguiente Tabla)

mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Parejas al final de un antildeo

De manera maacutes general si Fn denota el nuacutemero de parejitas al cabo de n meses tendremos que al mes n + 2 estaacuten las parejitas del mes anterior Fn^ maacutes tantas parejitas nuevas como las hay en el n-eacutesimo mes esto es Fn ^

A la sucesioacuten generada por la relacioacuten de recurrencia

Fn+2 = Fn + Fn+i

se le conoce como la sucesioacuten de Fibonacci y al teacutermino Fn como el n-eacutesimo nuacutemero de Fibonacci Esta sucesioacuten aunque sencilla ofrece un fascinante mimdo de propiedades muchas de ellas sin descubrir que a traveacutes del tiempo ha cautivado y maravillado desde al lector curioso hasta al maacutes docto en la materia

En este trabajo veremos algunas de las propiedades de divisibilidad de la succioacuten El objetivo es conocer la relacioacuten entre los factores primos de un nuacutemero de Fibonacci dado Fn y el iacutendice n En particular responderemos a la pregunta iquestcuaacutel es el nniuacutemo F^ divisible por n

--Adriana Ocejo Monge Fac tor izac ioacuten d e los nuacutemeros d e Fibonucci 49

2 Propiedades Baacutesicas

En esta seccioacuten veremos algunas identidades y propiedades de divisibilishydad baacutesicas que usaremos posteriormente

Identidad 21 ^m+n mdash ^mmdashl Pn ~^ -^n+ l bull

Demostracioacuten Fijemos m y procedamos por induccioacuten fuerte sobre n Para n = 12 tenemos

^m+l = Frn~l bull Fi + Fm bull F2 = Frn-l + Fm

Fm+2 = Fm bull F] + iVt+l bull F2 mdash Fn + Fm+l bull

Entonces el caso base es cierto Ahora supongamos que la identidad es cierta para n mdash k mdash l k Entonces

mdash l^m-l bull Fk-1 + Fjjt bull Fk] H- [Fjn-l bull Fk + Frr bull -Pfc+l]

= Fm-AacuteFk + Fk-l) + FmFk+l + F^)

= Fm- bull + F-m bull Fk+2-

bull

Ahora realicemos algunas exploraciones con respecto a la divisibilidad de la sucesioacuten moacutedulo m

Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4

Cuadro 1 Sucesioacuten moacutedulo 2 3 4 y 5

Si observamos con cuidiacuteido notaremos que _Fbdquo es divisible por 2 cada tres nuacutemeros de la sucesioacuten Similarmente Fn GS divisible por 3 cada cuatro nuacutemeros y por 5 cada cinco nuacutemeros Note que F 3 = 2 F 4 mdash 3 y F 5 = 5 Ahora bien moacutedulo 4 tenemos que Fbdquo es cero cada seis nuacutemeros Es interesante el hecha de que el miacutenimo nuacutemero de Fibonacci con factor 4 es FQ = 8 Entonces una conjetura inmediata es la siguiente cada n-eacutesimo nuacutemero de Fibonacci es divisible por Fn- Esto es un hecho y a continuacioacuten veremos la prueba de ello

Proposicioacuten 21 Fn I Fkn potrade toda к eN

Demostracioacuten Fijemos n Lo demostraremos por induccioacuten sobre k Para = 1 es claro que Fn I Fn

Supongamos que Fn Fkn- Por la Identidad 21 tenemos

Fk+l)n mdash Pkn+n mdash Fkn- bull Fn + Fkn bull -Pn+ l )

lo que implica que Fn -Fiacutefc+i)- ^

Corolario 21 Sim Fn entonces m Fkn-

El corolario anterior nos dice que si m es factor de -Fbdquo entonces tambieacuten es factor de todos los nuacutemeros Ff-m- Si m es factor de un F^ iquestpodemos concluir que m es factor de un nuacutemero de Fibonacci anterior Si observamos el Cuadro 8 en el Apeacutendice A notaremos que en cada Fbdquo a excepcioacuten de Fq y F i 2 hay al menos un factor primo que no aparece como factor en ninguacuten nuacutemero que precede a F^ en la sucesioacuten (dichos factores son conocidos como factores caracteriacutesticos) De hecho la primer prueba de este resultado es debido a Carmichael en iexcl5] y una prueba maacutes reciente se puede encontrar en [6] Entonces concluimos que el reciacuteproco del corolaiio anterior no es cierto

Una caracteristica interesante de la sucesioacuten es que teacuterminos vecinos deben ser primos relativos

Proposicioacuten 22 Fn y Fn^ri son primos relativos esto es

mcd(FbdquoFbdquo+i) = 1

Demostracioacuten Supongamos que d = mcaacuteFn Fn--i) Entonces d divide a la diferencia Fji+i mdash Fr = Fn^j De igual manera d divide a Fbdquo mdash Fbdquo_i = Fn^2 y asiacute sucesivamente hasta obtener que d divide a F 2 = 1 y Fj = 1 Por lo tanto necesariamente d = 1 bull

Dado un par de nuacutemeros de Fibonacci nos preguntamos si existe alguna relacioacuten entre sus iacutendices y sus factores comunes Veamos un ejemplo

Ejemplo 21 Considere los nuacutemeros

F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23

Note que el maacuteximo comuacuten divisor de Fif y F24 es 3 x 7 el octavo nuacutemero de Fibonacci Similarmente considere

F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1

Resulta que el maacuteximo comuacuten divisor de F20 y F30 es 5 x 11 el cual coincide con Fio-

Intuitivamente dados Fj y F ^ si consideramos todos los divisores de n y m la Proposicioacuten 21 asegura que el nuacutemero de Fibonacci con iacutendice el mcd(mn) debe dividir a ambos F ^ y Fn- Resulta que el maacuteximo comuacuten divisor de dos nuacutemeros de Fibonacci tambieacuten es un nuacutemero de Fibonacci

Proposicioacuten 23 mcd(FmFn) = -flncdiacutemn) bull

Demostracioacuten Asumamos que n gt m Por el Algoritmo Euclideano

n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2

rk~2 = Qk-ir-k-i + n -

bull j t - i = Qk^k

donde mcd(m n) mdash rk- Por la Identidad 21 tenemos que

Fn mdash Fqjrfi^To ~ Fqm mdash l Fj-q -- Fqjn F)-q+1

Como Fm I Fqm- por propiedades de divisibilidad baacutesicas

mcdfF^Fbdquo) = mcagraveFmFqm-iFr^)

Dado que nuacutemeros de Fibonacci consecutivos son primos relativos

mcdCF^^-iFqm) = 1-

Se sigue que mcaacuteFmFn) = uicaacuteFr^Fm)-

Usando los mismos argumentos concluiremos que

mcdFr^Fm) = mcd(Fbdquo Fr^)

mcaacuteFr Fro ) - racd(F^2 gt -f n )

m c d ( F F _ J = F

Recordando que = racd(m тг) finalmente obtenemos

mcd(Fbdquoi-Fn) = -Fmcd(mri) bull

bull Como resultado imnediato de la proposicioacuten anterior obtenemos un imshy

portante teorema

Teorema 21 m n si y soacutelo si F^n iexcl F^

Demostracioacuten Supongamos que n = km Entonces la Proposicioacuten 2 1 implica que F^ Fbdquo

Por otro lado si Fm divide a Fn entonces mcaacuteFmFn) = F-m y por el resultado anterior debemos tener m = mcdmn) Se sigue que mn bull

Hay muchas otras propiedades interesantes que podriacuteamos mencionar pero en este trabajo nos enfocaremos a aquellas que nos serviraacuten para resshyponder a nuestra pregunta inicial dado un entero n 6 N iquestcuaacutel es el miacutenimo nuacutemero de Fibonacci que tiene a n como factor

Si el lector estaacute interesado en explorai- maacutes propiedades de la sucesioacuten recomiendo amphamente el texto de Steven Vajda [1] cuya edicioacuten es muy reciente (la versioacuten del antildeo 1989 se encontraba descontinuada)

3 El rango de aparicioacuten de un entero

En el Cuadro 2 vimos el comportamiento de la sucesioacuten bajo ciertce moacutedulos Notamos que Fbdquo aparece como factor de manera perioacutedica de hecho el periacuteodo es el subiacutendice n Ahora nos pregimtamos lo signiente

a) Dado un entero m iquestexiste un nuacutemero de Fibonacci que tiene a m como factor

b) Si m es factor de alguacuten teacutermino de la sucesioacuten iquesten queacute momento aparece рог primera vez

Para responder a la primer pregunta necesitamos encontrar un nuacutemero de Fibonacci cuyo residuo moacutedulo m sea cero Si el residuo de dos nuacutemeros de Fibonacci consecutivos Fn+i У Fn moacutedulo m es el mismo entonces la diferencia Fn--i mdash Fn = Fn-i es divisible por m Usaremos este hecho en la prueba del siguiente teorema

Dado un entero m los residuos moacutedulo m son 0 1 2 m mdash 1 y por tanto hay pares de residuos pcîbles Si denotamos por el residuo de Fn moacutedulo m y consideramos la serie de pares de residuos moacutedulo m

(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)

entonces en los primeros + 1 teacuterminos de la serie debe haber al menos uno que se repite Veamos un ejemplo

Ejemplo 31 Sea m = 8 La serie de pares de residuos moacutedulo 8 es

(11)12)(23)35)(50)(05)(55)

(52) (27) (71) (10) (01) (11) (1 2) Los puntos siLspensivos indican que la serie se repite Note que hay doce teacuterminos antes de la primera repeticioacuten que sucedioacute en el teacutermino ( 7 - 1 3 Г 1 4 ) =

(11) Luego el nuacutemero de Fibonacci

F12 = Iacute L 4 mdash Fi3

tiene a 8 como factor Efectivamente

Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2

En el ejemplo afirmamos que la serie se repite a partir de un teacutermino Esto es sencillo de verificar Supongamos que el primer teacutermino que se repite es (rbdquorbdquo+i) y que (rsrs+i) = (rfn+i)- Deseamos ver que rt+2 = El residuo de F1+2 moacutedulo rn es

TIacute+i + n (moacuted m]

pero por suposicioacuten r^+i = ^S+i У П = Рог tanto г ^ + 2 mdash fs+i-

Maacutes auacuten vimos en el ejemplo que el primer teacutermino que se repite es (11) En el teorema que sigue probamos que la sucesioacuten se repite moacutedulo cualquier m y que ademaacutes el teacutermino que se repite primero es (11) Con ello probamos que siempre se puede encontrar un nuacutemero de Fibonacci con dicho factor m

54

Teorema 31 Dado un entero m existe n con 1 lt n lt m ^ tal que Fn es divisible por m

Demostracioacuten Considere la serie de pares de residuos moacutedulo m

(n )2) (7-2ni) bull - - (rfcrfc+i)

Supongamos que el primer teacutermino que se repite es rsr+i) Probaremos por contradiccioacuten que 5 = 1 Supongamos que s gt Entonces podemos encontrar un teacutermino (r^ 7bullf^l) con s lt iquest lt + 1 tal que

Dado que s gt 1 usando un argumento similar al que vimos en paacuterrafos anteriores se tiene que rg-i = ^t-i- Luego

rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )

Esto implica п _ 1 Г ( ) es un teacutermino de la sucesioacuten que se repite antes que ( n r iacute + i ) lo cual es una contradiccioacuten Por lo tanto s = Igrave Esto quiere decir que el primer teacutermino que se repite es (11) Ahora bien como (11) = ( r iquest r + i ) tenemos que los nuacutemeros de Fibonacci Ft у Fi+i tienen el mismo residuo moacutedulo m Luego Ft_i = Ft+i mdash Ft es divisible por m bull

Ahora responderemos la pregunta planteada en el inciso b) del inicio de la seccioacuten

Definicioacuten 31 Sea m un entero positivo Al iacutendice maacutes pequentildeo rm) tal que Fr(^rn) = O (moacuted m ) se le llama el rango de aparicioacuten de m

El siguiente cuadro muestra el rango de aparicioacuten para los primeros diez primos

p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281

Cuadro 2 Aparicioacuten de los primeros primos como factor

Resulta que el rango de aparicioacuten de un primo nos da informacioacuten a-cerca de cuaacuteles nuacutemeros de la sucesioacuten poseen a dicho primo como factor Por ejemplo observemos en el Cuadro del Apeacutendice que p ^ 3 aparece en F4 Fg Fi2Fi6 bull bull bull bull Similarmente p mdash 7 aparece en F8Fi6Iacute24^-p32

Ahora es claro el sigintildeente teorema

Teorema 32 Sea p un primo Entonces p j Fbdquo si y soacutelo si rp) n

Demostracioacuten =gt) Supongamos que p Fbdquo y que r(p) f n Entonces

n mdash ar(p) + Ograve donde O lt 6 lt rp)

Por la Identidad 21

Fn = Far(p)+b = Far(p)-1 Fb + ir(p) -^f^+l-

Por el Teorema 21 tenemos que p ) Е^г^р) de aqm que

p I Fo r (p ) - i - Fb

Como Farp) y -â-r(p)-i soi primos relativos entonces p debe dividir a F^ Pero b lt rp) nos lleva a una contradiccioacuten ya que rp) es el imnimo iacutendice del nuacutemero de Fibonacci con p como factor

Supongamos que rp j n entonces por el Teorema 21 concluimos quep I F fp) I Fbdquo bull

Corolario 31 Sea m un entero positivo Entonces m | Fn si y soacutelo si r ( m ) I n

D emost rae ion Reemplace p por m en la prueba del teorema anterior bull

Como consecuencia del corolario anterior tenemos que cada entero TTJ divide a la sucesioacuten de Fibonacci de manera perioacutedica Esto es el factor m aparece en la sucesioacuten cada r ( m ) teacuterminos

31 Caracterizacioacuten de r(p^)

El objetivo de esta subseccioacuten es conocer la relacioacuten entre un primo p y el rango de aparicioacuten rp) para k E N

Primero veremos el caso mdash 1 El siguiente cuadro da una idea clara de la forma de rp)

p p = btplusmnl p = btplusmn2 rp) r ( p ) i ( p - l ) r(p) p + l) 2 3 V 3 V 4 V 7 8 V 11 V 10 V 13 7 V 17 V 9 19 V 18 23 V 24 29 V 14 V

Cuadro 3 Caracterizacioacuten de rp) para los primeros primos

Conjetura 3 1 La relacioacuten entre py Гр estaacute dada por

p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )

Para probar esta conjetura necesitamos algunas herramientas tales como reciprocidad cuadraacutetica e identidades relacionadas con nuacutemeros primos Para no distraer al lector decidimos incluir la teoriacutea baacutesica en el apeacutendice

Primeramente daremos tma nueva expresioacuten de Fn

Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten

En el Apeacutendice B se prueba que Fbdquo se puede escribir como

Fn = ^ 1 ( 1 + 5) - (1 - -En bullbull Usando el Teorema del Binomio obtenemos

Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +

bull Allora necesitamos las siguientes congruencias relaiacuteuumlonadas con un prishy

mo p-

V ^ I = ( -1) (moacuted i) para lltnltp-l

n )

n = 0 (raoacutedjo) para 2 lt n lt p - l

(1)

(2 )

Aplicamos la Identidad 31 con n = p - 1 y obtenemos

Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-

1 y^v 3 P- 2 Luego por la congruencia (1) tenemos

2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente

2PFp_i = l - 5 2 (moacutedp)

El Teorema de Fermacirct asegura que 2^ ^ = 1 (moacuted p) de modo que

2Fp_i = 1 - 5 ^ (moacutedp)

Anaacutelogamente aplicamos la Identidad 31 con n = p + 1 como sigue

1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J

Por la congruencia (2) obtenemos

p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^

= 1 + 5 2 (moacuted p)

y de nuevo por el Teorema de Fermacirct

2IacuteV+1 = 1 + 5 ^

Hemos probado el siguiente lema

Lema 31 Las siguientes congruencias se cumplen para p primo

2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)

En lo que sigue usaremos teoriacutea de residuos cuadraacuteticctoacute parte de la cual desarrollamos en el Apeacutendice C

Teorema 33

i) p I Fp-i si y soacutelo si p es un primo de la forma 5 iacute plusmn 1

Uuml) p I Fp-^-i si y soacutelo si p es un primo de la forma bt plusmn 2

Demostracioacuten i) De la teoriacutea de residues cuadraacuteticos p 5 t plusmn 1 es tma condicioacuten necesaria y suficiente para que

1 - 5 2 = 0 (moacuted p)

Entonces el lema anterior implica que

Fp_] ^ 2Fp_i = O (moacuted p) si y soacutelo si p = btplusmnl

ii) Anaacutelogamente p = 5f plusmn 2 es necesario y suficiente para que

1 + 5 ^ = O (moacuted p)

Luego del lema anterior obtenemos

Fp+] = 2-Fp+] = O (moacuted p) si y soacutelo si p = 5 iacute plusmn 2

bull

Como una consecuencia inmediata del resultado anterior obtenemos la prueba de la Conjetura 31

Teorema 34

i) r(p) I (p - 1) si y soacutelo Siacute p mdash 5 i 1

ii) r(p) p+ l) si y soacutelo si p mdash 5t plusmn2

Demostracioacuten La prueba se sigue de los Teoremas 32 y 33 bull

Una vez que conocemos la relacioacuten de un primo p con su rango de aparishycioacuten r(p) es natural preguntarse si hay alguna relacioacuten entre r(p) y r(p^) Veremos que en efecto r(p^) estaacute determinado por r(p) y que ademaacutes es directamente proporcional a r(p)

Una vez maacutes animamos al lector a observar el siguiente cuadro y verificar los resultados para que obtenga por siacute mismo una conjetura En la direccioacuten electroacutenica [10] se puede encontrar la factorizacioacuten de los primeros 10000 nuacutemeros de Fibonacci

к r2^) г7) 2 6 - 3 x 2 12 = 4 X 3 25 = 5 X 5 56 = 8 X 7 3 6 - 3 x 2 36 = 4 X 3^ 125 - 5 X 5^ 392 = 8 X 7 4 12 - 3 x 2 2 108 = 4 X 3^ 625 = 5 X 5^ 2 744 = 8 X 73 5 24 = 3 x 2 ^ 324 = 4 X 3^ 3125 = 5 X 5^

Cuadro 4 rp^) para los primeros primos

En el ultimo recuadro escribimos el siacutembolo ya que el autor no dispone de una tabla de factorizaciones para verificar dicho valor Sin emshybargo seguacuten el patroacuten que se observa claramente podemos adivinar que r(7^) = 19208 = 8 x 7 Tambieacuten es interesante observar que podemos esshycribir r(p^) en teacuterminos de rp) y p en el sentido de la siguiente conjetura

Conjetura 32 Sea p un primo Si p = 2 entonces

rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3

Si p gt 2 entonces rp) = rp) bull p^-^ V iquest gt 2

Hasta hoy no hay una prueba de este conjetura Sin embargo hay algunos resultados parciales que se acercan muy bien Una buena referencia es la tesis de Renault ([9] p 37-38) La parte con p = 2 se prueba de manera completa en su trabajo Es importante sentildealar que Renault primero muestra varios resultados relacionados con la periodicidad de la sucesioacuten moacutedulo p^ y luego prueba el siguiente teorema por partes como corolarios

Teorema 35 Sip = 2 entonces

r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3

Si pgt 2 y t es el miacutenimo entero positivo tal que rp^) = rp) entonces

rip) = rp) bull p^-^ ^kgtt

Recordemos que deseamos responder a la pregmita b) que nos planteamos al inicio de la seccioacuten Dicho en otras palabras nos preguntamos acerca de la forma de rm) para rm entero arbitrario m y cual es el comportamiento de m como factor en la sucesioacuten

Veamos si podemos conjetinar queacute sucede antes de enunciar los teoremas correspondientes Considere el siguiente cuadro en el que damos el rango de aparicioacuten de ciertos enteros Ayuacutedese de los Cuadros 3 y 5 para verificar los resultados

m = ni X П2 rni) Г(П2) r ( m )

10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168

Cuadro 5 r(m) para ciertos valores de m

iexclParece que rm) es el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de r(ni) y г(п2) Una vez maacutes la sucesioacuten habla por siacute misma y nos revela el siguiente impoitante teorema

Teorema 36 Sea m = p j -pj^ Pt- entonces el rango de aparicioacuten de m estaacute dado por

rm) - mcmr(pf ) г ( р Г ) r(p^^)

Demostracioacuten Supongamos que тп Fn- Entonces se cumple que

m I Fn ^ pTFn ltiltk rpf)n iltiltk

^ mcm(r(pj ) r(p^) r(pf-)) I n

La segunda liacutenea es consecuencia del Corolario 31 bull

Ejemplo 32 Cuaacute es el nuacutemero de Fibonacci maacutes pequentildeo que tiene en su factorizacioacuten a todos los primos menores que 100

Un meacutetodo rudimentario seriacutea generar la sucesioacuten de Fibonacci moacutedulo

100

donde Pi denota el iquest-eacutesimo primo hasta que encontremos un teacutermino F^ de la sucesioacuten tal que F bdquo = O (moacuted m) Pero realizar este procedimiento podriacutea tomarnos demasiado tiempo sobre todo porque no sabemos si hay

alguacuten tipo de patron en la sucesioacuten relacionada con la aparicioacuten de primos como factores Lo que esto significa es que cierto primo podriacutea aparecer por primera vez en un teacutermino muy lejano

El meacutetodo que usaremos es el descrito por el Teorema 36 Basta enshycontrar el rango de aparicioacuten de los primeros 100 primos y despueacutes tomar el nunirao comuacuten muacuteltiplo de ellos Considere el Cuadro 7 el cual es una extensioacuten del Cuadio 3

p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50

Cuadro 6 El rango de aparicioacuten para primos desde p = 2 hasta p mdash 100

El miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de los rpi) y por tanto el iacutendice del nuacutemero de Fibonacci maacutes pequentildeo con m como factor es

r(m) = 2^ bull 3^ - 5^ bull 7 -11 bull 13 - 17 bull 19 bull 37

r(m) =^904399095600

4 Problemas abiertos

Hay algunos problemas abiertos cuyos resultados dariacutean una respuesshyta maacutes completa al problema que nos planteamos Uno de ios principales concierne a la Conjetura 32 que segiiacuten Renault ha existido desde el trabajo de Wall [7] en 1960 Sin embargo hay sospechas de que esta conjetura podriacutea ser falsa

Otra cuestioacuten interesante es conocer la factorizacioacuten en primos de un nuacutemero de Fibonacci dado Si p es primo se puede probar de manera sencilla que Fp solo tiene factores caracteriacutesticos (factores que no aparecen antes en la sucesioacuten) Sin embargo encontrar la factorizacioacuten de Fp requiere maacutes herramientas de las que hemos dado aquiacute En el artiacuteculo de Daykin y Dresel [8] se ofrece una alternativa la cual consiste en fijar r y buscar los primos q para los cuales r = rq) En nuestro caso fijamos r = p Dichos primos seraacuten los factores de Fp El meacutetodo es un poco complicado por lo que auacuten se puede hacer maacutes investigacioacuten para disminuir las operaciones computacionales para encontrar dichos primos p

Ahora supongamos que n es compuesto Considere el siguiente meacutetodo para encontrar la factorizacioacuten de Fn-

1 Considere todos los divisores d de n Entonces los factores de F^ deben ser factores de Fn para cada divisor d

2 En el paso anterior encontroacute ciertos factores p con su respectivas potenshycias sin embargo podriacutea suceder que dichas potencias fueran mayores en Fn- Hav reglas para determinar queacute potencia de p dividiraacute a Fbdquo (ver [4 ] )

3 El resto de los factor^ de F^ son caractersticos Si Fn solo tiene un factor caractiacutestico entonces calcule mediante la foacutermula (7) y divida este nuacutemero entre el producto de los factores ya encontrados en el paso 1 con sus respectivas potencias

4 Si Fji tiene maacutes de un factor caracteriacutestico entonces habraacute que usar el meacutetodo en [8] para encontrar los primos p para los cuales n = rp)

Observacioacuten 4 1 En el paso 1 se puede usar el hecho de que Fn divide a Fnk- k pound N para no buscar en todos los Fd- Por ejemplo si deseamos encontrar la factorizacioacuten de -F20 solo usaremos los factores de F4 y Fio- A pesar de que 2 y 5 tambieacuten son divisores de 20 no es necesario considerarlos ya que F2 j F4 y F5 | Fio- Cuando n es mucho mayor esta observacioacuten podriacutea ahorrarnos mucho trabajo

Observacioacuten 42 En el paso 4 alguien preguntaraacute si puede suceder que la primera vez que aparece un primo p sea una potencia de eacuteste p^ con k gt Igrave Seguacuten la conjetura de Wall Conjetura 32 esto no sucede Pero no se puede asegurar hasta que alguien encuentre una prueba

Apeacutendice

A Factorizacioacuten hasta F50

En el siguiente cuadro se muestran las factorizaciones de los primeros 50 nuacutemeros de Fibonacci

n Fn n Fn 1 1 26 233 bull 521 2 1 27 2-17-53-109 3 2 28 3- 13-29-281 4 3 29 514229 5 5 30 23 -5 1131-61 6 23 31 557bull2417 7 13 32 3 bull 7 bull 47 bull 2207 8 3-7 33 2 bull 89 bull 19801 9 2-17 34 1597-3571 10 5-11 35 5- 13-141961 11 89 36 2 4 3 3 - 1 7 - 1 9 - 1 0 7 12 2^-32 37 73 149-2221 13 233 38 37- 113-9349 14 13-29 39 2-233-135721 15 2 bull 5 bull 61 40 3 -5 -7 -11-41-2161 16 3 bull 7bull47 41 2789 bull 59369 17 1597 42 23-13-29-211-421 18 2^- 17-19 43 433494437 19 37-113 44 3 - 43 bull 89 bull 199 - 307 20 3 -5-11-41 45 2 - 5 - 17 - 61 - 109441 21 2 bull 13 bull 421 46 139 bull 461 bull 28657 22 89 bull 199 47 2971215073 23 28657 48 2^-32 7-23-47-1103 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 49 13-97-6168709 25 52 bull 3001 50 52-11-101-151-3001

Cuadro 7 Factorizacioacuten de Fi a F50

B Solucioacuten de relaciones de recurrencia lineales

En esta seccioacuten daremos una foacutermula cerrada para el n-eacutesimo nuacutemero de Fibonacci

Considere la relacioacuten de recurrencia

un = Ciaji-i + C 2 0 n _ 2 H 1- CrUn-r (5)

donde Ci son constantes й п - г 7iquest O y los valores de los primeros r elementos son aooi bull a r - i

Deseamos encontrar una solucioacuten la cual consiste de una expresioacuten ceshyrrada para ttn esto es una que no estaacute determinada de manera recursiva sino que solo depende de n

Sea = uk- Stistituyendo en (5) obtenemos

= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^

y dividiendo ambos lados por a^~^ tenemos que

a = cia^ + 0 2 0 H -Cr

lo cual es equivalente a la ecuacioacuten

a - cia-^ - cia^ + = O (6)

conocida como la ecuacioacuten caracteriacutestica de la relacioacuten (5)

Si las raiacuteces de la ecuacioacuten (6) estaacuten dadas por a i O t 2 (i^ entonces un = a para algima 1 lt г lt r Maacutes auacuten cualquier combinacioacuten lineal de la forma

6 I Q 1 -b 020^ + bull - bull + Kar

es solucioacuten de (5) Ahora bien los bi deben ser elegidos de manera que la relacioacuten de recurrencia satisface las condiciones iniciales Esto es

O A - = + ^ 2 ^ 2 H -braiacute 0ltkltr-l

Entonces basta resolver el sistema de г ecuaciones lineales para determinar las constantes oiquest г = 12 r

Proposicioacuten B l Pam la relacioacuten de recurrencia de Fibonacci

Fn = Fn-i + Fn-2^

con condiciones iniciales FQ = 0 Fi = 1 la solucioacuten estaacute dada por

0 - (1 - 0 ) Fn =

donde 0 mdash (1 + 5)2 es conocida como la razoacuten aacuteurea

Demostracioacuten Haciendo F^ = a obtenemos la ecuacioacuten caracteriacutestica

cuyas raiacuteces estaacuten dadas por

laquo 1 2 =

Por tanto la solucioacuten general es

Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el sistema

0 =6i + 62

1 =ba + 630^2

el cual tiene solucioacuten 1

45 1

У5-Por lo tanto el Fn se puede escribir como

v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2

o bien tomando ф mdash -- уЪ)2 como en la ecuacioacuten (7)

(7)

bull Por supuesto que la foacutermula (7) se puede probar por induccioacuten partiendo

del supuesto de que conocemos que dicha expresioacuten es cierta En lo personal me agrada este enfoque porque la razoacuten aacuteurea surge de manera natural sin suponer su existencia antes

C Residuos cuadraacuteticos

Desarrollamos la teoriacutea baacutesica sobre Reciprocidad Cuadraacutetica y remitishymos al lectoi a [3] para maacutes detalles y pruebas

Definicioacuten C l Sea a un entero distinto de cero y p un primo Considere la congruencia

= a (moacuted p)

Si tiene solucioacuten decimos que a es un residuo cuadraacutetica (RC) moacutedulo p Si no tiene solucioacuten decimos que a es un residuo no cuadraacutetica (NR) moacutedulo P-

Las siguientes reglas de multiplicacioacuten de residuos se cumplen para p un primo impar (ver [3] pl47)

i) El producto de dos residuos cuadraacuteticos moacutedulo p es un residuo cuadraacutetico

RC xRC = RC

iexcli) El producto de un residuo cuadraacutetico y un no cuadraacutetico moacutedulo p es un residuo cuadraacutetico

RC X NR = NR

iii) El producto de dos residuos no cuadraacuteticos moacutedulo p es un residuo cuadraacutetico

NR X NR = RC

En vista de que los RCa se comportan como +1 y los NRs como mdash1 Legendre introdujo el siguiente siacutembolo conocido como el siacutembolo de Lienshydre de a moacutedulo p

copy J 1 si a es RC (moacuted p)

Igrave mdash 1 si a es NR (moacuted p)

De manera que las reglas del i)-iii) las podemos resumir con la foacutermula

p j p ) p )

Ahora bieii dado un entero a distinto de cero iquestpara cuaacuteles primos p la congruencia = a (moacuted p) tiene una solucioacuten

El Pequentildeo Teorema de Fermacirct dice que si a y p son primos relativos _ 1

entonces ^ = 1 (moacuted p) Ahora si hacemos A = a ^ entonces

А^ = аР~^~г (moacutedp)

Como la congruencia x^ = igrave (moacuted p) tiene exactamente las dos soluciones X ^ 1 у X = mdashl (moacuted p) entonces A debe ser congruente a +1 oacute mdash1 Se puede verificar que cuando A = Igrave (moacuted p) entonces a es RC y cuando A = mdashi (moacuted p) tenemos que a es NR Este resultado lleva el nombre de Criterio de Euler y lo enunciacuteame^ enseguida

Proposicioacuten C l (Criterio de Euler) Sea p un primo impar Entonces

LINI a 2 = (moacuted p)

Por otro lado tenemos el signiiente resultado (ver [3] p 165)

Proposicioacuten C2 (Ley de reciprocidad cuadraacutetica) Sean p y q primos impares y distintos Entonces

(mdash P

j l p = i (moacuted 4)

- l p = 3 (moacuted 4) (9)

1 p = l Oacute7 (moacuted 8)

- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)

g iacute(f) P - 1 ( m oacute d 4 ) o c = l (moacuted4)

[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)

La Ley de reciprocidad cuadraacutetica es sumamente uacutetil para nuestros propoacutesitos ya que para el caso particular g mdash 5 en la congruencia (11)

el problema difiacutecil de encontrar el siacutembolo de Legendre (^) se reduce a enshycontrar (I)

i) Si p es de la forma 5eacute plusmn 1 entonces

o 5 У

5 f - l Iacute-1 5 J b

= 1

La primera igualdad es directa ya que 1 es RC moacutedulo cualqier entero mientras que la segunda se sigue de la congruencia (9)

ii) Si p es de la forma 5iacute plusmn 2 entonces

Iacute5t + 2 Iacute2

5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1

La primera igualdad se debe a la congruencia (10) mientras que la segunda se puede deducir por observacioacuten directa o bien notar que

U -IacuteIacute2

es decir el producto es RC x NR = NR

Resumiendo los resultados anteriores tenemos y usando el Criterio de Euler obtenemos el siguiente teorema

Teorema Cl Sea p un primo impar

Si p = Ogravet plusmn1 entonces p-i

5 2 = 1 (moacuted p)

Si p = Ы plusmn2 entonaacuteis

Eirl

5 2 = mdash 1 (moacuted p)

70

Referencias

[l] Vajda S Fibonacci and Lucas Numbers and the Golden section theory and applications Dover Books on Mathematics Serie Dover Publicashytions Primera edicioacuten 2008

[2iexcl Vorobiev N- Fibonacci numbers Birkhuser Basel Primera edicioacuten 2003

[3] Silverman S A friendly introduction to number theory Prentice-Hall Segunda edicioacuten 2001

[4] Dickson L History of the theory of numbers Volume I divisibility and primarily History of the theoi-y of numbers serie Dover Publications 2005

[5] Carmichael R D On the numerical factors of the arithmetic forms a + z Annals of Mathematics Vol 15 1913 p 30-70

[6] Yabuta M A simple proof of CarmichaeVs theorem on primitive divishysors Fibonacci Quaterly Vol 39 2001 p 439-443

[7] Wall D Fibonacci series modulo m American Mathematical Monthly Vol 67 1960 p 525-532

[8] Daykin D y Dresel L Factorization of Fibonacci numbers Fibonacci Quaterly Vol 8 1970 p 23-30

[9] Rtmault Marc Properties of the Fibonacci sequence under vashyrious moduli Masters Thesis Wake Forest University 1996 httpni-wmathtempleedu renaultfibonaccifib

[10] Blair K Fibonacci and Lucas factorizations disponible en httphomeattnetblairkellymathematicsfibonacci

Realizacioacuten de sucesiones en estructuras algebraicas

Arturo Cueto Hernaacutendez Juan M Hernaacutendez Enriquez Univers idad A u t oacute n o m a M e t r o p o l i t a n a In s t i t u to Pol i teacutecnico Nacional

D e p a r t a m e n t o de Ciencias Baacutesicas E S I T Av San P a b b No 180 Av IPN s n

Col Reyuosa T a i n a u l i p a s Col L i n d a v i s t a Azcapo tza l co G u s t a v o A M a d e r o

02200 Meacutexico D F 07738 Meacutexico D F a r c h reg c o r r e o a z c i i a i n m x j m a n u e l h e n S l h o t m a i l c o m

Resumen Un problema que surge en el estudio de ios sistemas dinaacutemicos

es determinar los conjuntos de puntos de periacuteodo ra en particular la cardinalidad de estos asiacute en forma natural tenemos asociado a un sistema dinagravemico ima sucesioacuten de enteros no negativos

En este trabajo veremos bajo que condiciones una sucesioacuten de enshyteros no negativos representa la cardinalidad de los conjuntos de pimtos de periacuteodo n de un sistema que se da en un conjunto que tiene una es-tmctura algebraica ciacutegtmo es de esperar los problemas se vuelven maacutes complejas ya que la estructura algebraica impone restricciones para que una sucesioacuten este asociada a im sistema y que sea compatible con la estructura algebraica sin embargo veremos como esta amalgama entre sistemas dinaacutemicos y aacutelgebra nos permite obtener informacioacuten de la parte algebraica

Comenzamos dando las definiciones y algimos rtsultados baacutesicos acerca de sucesiones rciacuteiiizablcs para mas detalles se puede consultar [5] posteriormente presentamos los resultadcs correspondientes a sisshytemas asociados a conjuntos con estructura algebraica y continuamos con el estudio de ima clase particular de sucesiones las p-sucesiones Finalizamos con la propuesta de algunos temas de tesis

1 Introduccioacuten

Un aspecto importante en muchas ramas de la matemaacutetica es el conocishymiento del conjunto de puntos perioacutedicos de un mapeo T X mdashgt X donde tanto X y Г poseeraacuten algiin tipo de estructura matemaacutetica Por ejemplo X puede ser un espacio topologravegico compacto y Г un mapeo continuo o X puede ser un grupo y T un automorfismo La teoriacutea ergogravedica y el estudio de los sistemas dinaacutemicos proveen muchos ejemplos de estas categoriacuteas Una pregunta natural se origina del estudio de este tipo de sistemas eacutesta es acerca de las propiedades de sucesiones de enteros que cuentan el nuacutemero de puntos perioacutedicos

2 Teoriacutea Baacutesica

En esta seccioacuten daremos las definiciones esenciales respecto a la realizashycioacuten de sucesiones y aignni resultados baacutesicas

Definicioacuten 21 Sea X un conjunto no vacio y T -X X un mapeo el por XT) es un sistema

Definicioacuten 22

El conjunto de puntos fijos del mapeo T es

FixT) = xeX Tx) = x]

Definicioacuten 23

Para cada entero n gt 1 el conjunto de puntos perioacutedicos de periacuteodo n de T

РегпТ) - Fixr^) = xeX Tîx) = x Ejemplo 21 Consideremos el mapeo T mdash dado por Tz) = z^ donde denota el ciacuterculo unitario Este mapeo tiene un uacutenico punto fijo a saber 2 = 1

Si fn mdash РеГпТ) fn es una sucesioacuten de enteros no negativos iquestEs bdquo ima sucesioacuten conocida

Tenemos que Рег2Т) mdash 3 y РегзТ) = 7 Para determinar en general la cardinalidad del conjunto РеГп(Т) observemos que

PernT) = zeS z^ ^z

asiacute debemos determinar e] nuacutemero de soluciones de г^ mdash 2 mdash O que estaacuten en S eacutestas son las soluciones de z^^ mdash 1 = 0 por el teorema ftmdamental del aacutelgebra tenemos

| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1

pero eacutesta es la expresioacuten del n-eacutesimo nuacutemero de Merseime es decir

bdquo = Mn = n-eacutesimo nuacutemero de Mersenne

En este ejemplo hemos visto como a un sistema especiacutefico se asocia de manera natural una sucesioacuten de enteros no negativos

Problema Inverso

Dada una sucesioacuten de enteros no negativos n iquestexistiraacute un sistema (XT) tal quen = |Perbdquo(T)l

21 Sucesiones Realizables

Ahora expondremos la teoriacutea baacutesica de las sucesiones realizables

Definicioacuten 24 Una sucesioacuten Un de enteros no negativos se dice realizable si existe un sistema (X T) tal que para cada n gt 1 mdash РеГпТ)

Teorema 21 (Foacutermula de Inversioacuten de Moumlbius) Sean f y g sucesiones Entonces fn mdash ^ Z ^ d p a n i cada n gt l si y soacutelo si

d]n

gn = ^ p fd para cada n gt 1 dn

Demostracioacuten Hardy-Wright [7 Teoremas 266 y 267] bull

Definicioacuten 25 Dada una sucesioacuten f sea

dn

para cada n gt 1^ y denotamos por f la sucesioacuten cuyo n-eacutesimo teacutermino es fn

Por la Foacutermula de Inversioacuten de Moumlbius tenemos

fn mdash ^ fd- para cada n gt 1 (1) dn

22 P R O P I E D A D E S ELEMENTALES D E LOS P U N T O S PERIOacuteDICOS

Sea X un conjunto y T un mapeo de X en X Sea x euroX

Definicioacuten 26 Si n es un nuacutemero natural tal que Tx) = x entonces x se dice que es perioacutedico y que tiene periacuteodo n

Definicioacuten 27 Si X es perioacutedico entonces el periodo miacutenimo de x es el miacutenimo nuacutemero natural n para el cual T^x) mdash x

Definicioacuten 28

La oacuterbita Ox de x es el cxtnjunto T^x) 5 euro Z

Lema 21 Lema Baacutesico Sea f una sucesioacuten de enteros no negativos Entonces f es realizable si y soacutelo si para cada ngt 1

(i) bdquo es un entero no negativo

(ii) n divide a bdquo

Demostracioacuten

A Cueto [5 Lemas 32 y 33] bull

Definicioacuten 29 Un sistema dinaacutemico es un triada ( X t T) donde ( X r) es un espacio topo-loacutegico compacto yTiX^Xesun homeomorfismo of ( X r ) Definicioacuten 210 Dada una sucesioacuten decimos que f es realizable por un sistema dinaacutemico si existe un sistema dinaacutemico (XTT) tal que el sistema (XT) realiza a f

Lema 22 Si f es una sucesioacuten con fn G Z y nfr para cada n gt l entonces f es realizable por un sistemo dinaacutemico

En la demostracioacuten del Lema 23 [[5] Lema 33] se usa la nocioacuten de compactificacioacuten por tal motivo damos la definicioacuten de eacutesta

Definicioacuten 211 Sean (XR4) y ( X r ) espacios topoloacutegicos Entonces X t ) es miacutea compacshytificacioacuten de (XT) si XraquoTr) es compacto y contiene a un subespacio denso homeomorfo a Xr)

23 Posit ividad y Divisibi l idad

Definicioacuten 212 Una sucesioacuten T bdquo de reales no negativos tiene positividad siquest iacute bdquo gt O para cada n gt i

Definicioacuten 213

Una sucesioacuten Xn de enteros tiene divisibilidad si nxn para cada ngtl

Comentario 21 El Lema Baacutesico establece que una sucesioacuten es realizable si y soacutelo si tiene positividad y divisibilidad

Proposicioacuten 21 Seanp un nuacutemero primo y u = un una sucesioacuten de enteros no negativos Si u es una sucesioacuten realizable entonces

Ujj-Ui gt0 y pup - Ui

Demostracioacuten Directa de las definiciones y el Comentario 21 bull

3 Sistemas Algebraicos

En esta seccioacuten continuaremos con el estudio del problema bajo que condiciones una sucesioacuten de enteros no negativos representa la cardinalidad de los conjuntos de puntos de periacuteodo n de un sistema que se da en un conjunto que tiene una estructura algebraica

Definicioacuten 31 Un sistema donde X es un grapo y ip es un endomorfismo de X se llama un sistemu algebraico

Los sistemas algebraicos se dividen en abelianos y no abelianos

Cabe mencionar que la nocioacuten de sistema algebraico en la literatura es maacutes amplio del que hemos dado aquiacute sin embargo para los fines del presente trabajo la definicioacuten que hemos dado es suficiente y ha sido usada por V Chothi G Everest y T Ward [4] DA Lind [7] y T Ward [13]

Definicioacuten 32 Un sistema algebraico se compone de uno o maacutes conjuntos cerrados bajo una o maacutes operaciones

La siguiente definicioacuten establece una propiedad para una sucesioacuten coa respecto a sus subiacutendices posteriormente veremos que esta propiedad se relaciona con la propiedad de ser realizable a traveacutes de la estructura algeshybraica del sistema

Definicioacuten 33 Si и ^ Un es una sucesioacuten de enteros no cero entonces и es una sucesioacuten divisible si para cualesquiera enteros m n gt 1 tales que m n implica а^т I bull

Ejemplo 31 La sucesioacuten de Fibonacci F ^ 112358 es una sucesioacuten divisible pero eacutesta no es realizable ([5j Teorema 34)

Lema 31 Si la sucesioacuten и ~ es realizable por el sistema algebraico Xip) Enshytonces para cada entero n gt l Регпр) es un subgrupo finito ip^nvariante dcX

Demost racioacuten Si e Регпф) entonces ^(xy) = ф^х)ф^у) = xy asiacute xy e РеГпф) Ademaacutes ф^х~^) = (^(ж))~^ = asiacute x^^ e РеГпФ) Por lo tanshyto Регпф) es Ш1 subgrupo de X Por la definicioacuten de sucesioacuten realizable Pernia) es grupo finito ya que РеГп-ф) = Un lt oo Finalmente como ф^х) = X tenemos фgt^рх)) = фх) аampфх) e РеГпф) у concluimos que РeuroГп(Ф) es un subgrupo 0-invariante bull

Proposicioacuten 31 Si la sucesioacuten и es realizable por el sistema algebraico (X ф) entonces и es una sucesioacuten divisible

Demostracioacuten Sean m n gt 1 enteros tales que mn n = mk para alguacuten entero A gt 1 Si хеРеГгг1ф)

0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X

Рег^ф) lt Регbdquoф)

Регтф) Регпф) son subgrupos finitos de X por el Teorema de Lagrange tenemos Регтф) РеГпф) Por lo tanto и es una sucesioacuten divisible D

Lema 32 Supongamos que la sucesioacuten и mdash iiacutebdquo es realizable por el sistema algebraico (W 1) Entonces и puede realizarse por un sistema algebraico Xo) donde

X es un grupo localmente finito numerable y a e Au t (X) Ademaacutes si la sucesioacuten и es acotada y m es el menor entero positivo tal que

Ujn mdash тахиг I N gt 1

el sistema ( X a) puede seleccionarse con |X[ mdash Um y O ( Q ) mdash m

Demostracioacuten Sea X = Pernio) Si x y G X existen enteros positivos m n con

ngtl

X e Регт0) y y e Регп[д)

sea r = mcm(mn) Entonces PermiO) Регпд) lt Регг0) asiacute xy G PeVrid) Por el Lema 3 1 Реггamp) es un subgrupo de W asiacute xyx^^ G Реггд) Luego xyx~^ G X y por lo tanto X es un subgrupo de W Ahora como Pernio es iacute4nvariante para cada n gt 1 X es iacute-invariante Por lo tanto si a X mdash X estaacute dado por Q X dx) para todo з G X a es un endomorfismo en X y es inmediato que el sistema ( X a) realiza a la sucesioacuten u con РеГп(о) = Регпamp)

Sea ^ 1 Xk] un conjunto finito de elementos de X Existen enshyteros positivos N I RIFE tales que Xj G Perbdquo^ (Q) para j mdash 1 fc Si s mdash m c m (N I NFE) entonces xXk G Persot) luego xiXk) lt

РеГй(а) ya que Persioc) es un grupo Puesto que Persoc) es un grupo finito (Lema 31) xi Xk) lt oc Por lo tanto X es localmente finito Ahora si Ж G X es tal que a x ) mdash 1 como x G Регbdquoа) para alguacuten n gt 1

X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1

Concluimos que keurora) = 1 y como a X mdash gt X es sobreyectivo a es un automorfismo

Continuemos sea и acotada y seleccionemos m como en el enunciado del Lema Si existe un entero n gt 1 tal que Perri(Q) iquest РеГш(о) entonces РеГта) J РеГта) U Регпа) lo cual implica que Регта) ^ Pernia) donde r = mcmmn) Pero esto da Um lt Щ una contradiccioacuten Por lo tanto Р е г bdquo ( а ) lt Регта) para todo n gt 1 Asiacute en este caso X = Регтlt^] lo cual da a^x) = x para todo x G X asiacute concluimos que o(a) = m

Finalmente como X es la unioacuten nvunerable de conjuntos finitos se sigue que el grupo X es numerable bull

En la Proposicioacuten 31 se demostroacute que para que una susecioacuten и sea reashylizada por un sistema algebraico ( X г)) es necesario que и sea una sucesioacuten

divisible En el siguiente ejemplo mostramos que esto no es una condicioacuten suficiente

Ejemplo 32 La sucesioacuten и mdash 1 1 1 1 6 1 1 1 1 6 satisface la relacioacuten de recushyrrencia

UN+B = Wn n gt 1 Щ = U2 = U3 = Iacute Iacute4 = 1 liquest5 = 6

es una sucesioacuten divisible realizable que no es realizable por un sistema algeshybraico (Xiacute)

Primero es claro que и es una sucesioacuten divisible Ahora la permutacioacuten (7 = (12345) actuacutea en el conjunto 123456 y tenemos

Periia) = bullbullbull = Persia) = 1 Persia) = 6

de donde concluimos que и es realizable Sin embargo si (X bullamp) es un sistema algebraico que realiza a u por el Lema 32 podemos suponer que |X| = 6 y

G Aut(X) tal que -Ugrave^ mdash idx- Para cualquier X eX X e supongamos que existen enteros m n tales

0ltmltnlt4y tJÎX) - uacute4x)

Como uacute G Aut(X) se tiene uacute^^~^X) = X luego por la estructura de w X G Fixii)) Por lo tanto X = eo cual es una contradiccioacuten Asiacute se tiene que

= X-eX)^X)^^X)XF^X)

todos del mismo orden pero esto no es posible Asiacute concluimos que и no es realizable por un sistema algebraico

Definicioacuten 34 Un sistema (Xj) se llama nilpotente (sistema nilpotente) si X es un grupo localmente nilpotente y г G Aut(X)

De los Teoremas de Burnsiacutede-Wielandt y Sylow se tiene kmiediatamente la siguiente proposicioacuten

Proposicioacuten 32 Si F es un subgrupo finito de X X un grupo localmente nilpotente entonces los p-suhgrupos de Sylow de F son uacutenicos bull

Definicioacuten 35 La sucesioacuten и mdash UN] es гелИгаЫе nilpotentemente si existe un sistema nilpotente (Xi9) el cual realiza a u

A CUEFO 7AJ Hornaacutemiez RcaJizacioacuten de sucesiones en estructuras algebraicas 79

Definicioacuten 36 St a es un entero positivo y p un primo existen enteros k gt O y b gt 1 tales que a = p^b con piexcl( b p^ se llama la p-parte de a

Notacioacuten 31 [ap = y ordp(G) ^ k

Definicioacuten 37 Dada una sucesioacuten Un de enteros no negativos es localmente realishyzable en p si la sucesioacuten [un]pngti es realizable

Definicioacuten 38 Si existe un sistema nilpotente el cual realiza la sucesioacuten de p-partes de u para alguacuten primo p se dice que la sucesioacuten u es localmente realizable nilpotentemente en p

Definicioacuten 39 Una sucesioacuten la cual es localmente realizable nilpotentemente en todos los primos se dice localmente realizable nilpotentemente dondequiera

A continuacioacuten presentamos dos sucesiones las cuales son realizables nilpotentemente La primera es realizada por un sistema abeliano

Ejemplo 33 La sucesioacuten de Mersenne 2 - lngti es realizable por la accioacuten del endoshymorfismo T X x^ en el grupo

El siguiente ejemplo muestra que es posible tener sucesiones que son reashylizadas por sistemas nilpotentes pero que no se pueden realizar por sistemas abelianos

Ejemplo 34 Sea X = Dg el grupo dieacutedrico de orden 8 X es nilpotente es un 2-grupo finito Una representacioacuten de X es

X - aba^^lb^ = la = a-^)

Usando la representacioacuten sea Q X mdash X el mapeo dado por

X 1 a a b ab eacuteb ax) 1 a ab ciquest^b ciquest^b b

Se verifica faacutecilmente que a es un automorfismo exterior y que la sucesioacuten realizada por el sistema nilpotente es

u - 4 4 4 8 4 4 4 8

Ahora veremos que la sucesioacuten u no es realizable por un sistema abeliano Supongamos lo contrario sean W un grupo abeliano y tp euro Aut(W) taJ que u es realizable por el sistema (W ip) Por el Lema 32 podemos suponer que |W| -3 8 y e Aut(W) tal que

Fixip) = Per2Iacutei) ~ Persii) Fixip) 4 ip^ = id^

Asiacute se tiene que el grupo cociente WFixip) tiene orden 2 por lo tanto si

xeWFixip)

WFixil)) = O + Fixii^) X 4- Fixw)

De donde 2x euro Fixip) como Fixip) = 4

WFixip) = x + f feFixip)

Consideremos la oacuterbita de x bajo ip

71 = 0 1 2 Como ip^ mdash idw Oa mdash xtl^x)igravep^x)igravep^x) Los cuatro elementos de Ox son distintos y Fixip) nO^ En efecto si i^x) euro Fixip) para alguacuten n O lt n lt 3 Entonces

r-^x) = rix)

como iacuteiacute Aut(W) ijx) = x y asiacute x e Fixip) lo cual es una contradiccioacuten Ahora supongamos que ijjîx) mdash ip^x) para fe m enteros O lt fe lt m lt 3 sea n mdash TTIgrave mdash fe 0 lt n lt 3 Como tp G Aut(W) tenemos que ^x) = a lo cual es nuevamente una contradiccioacuten Asiacute tenemos que O iacute C W Fixip) y 0r ~ 4 Por lo tanto tenemos que

hx) mdash 2 + para alguacuten e Fixip)

Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f

se tiene 2 = O y dado que x y IacuteiexclPX) son distintos

X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x

Esta contradiccioacuten establece que la sucesioacuten u no es realizable por un sistema abeliano

Una clase de sucesiones que juegan un papel importante para la realizashycioacuten nilpotente de sucesiones son las p-sucesiones

Definicioacuten 310 Para un primo fijo p un se dice que es una p-sucesioacuten si para todo N gt 1 Un = p^ donde kn G No-

Lema 33 Sea p un primo y supoacutengase que la p-sucesioacuten и = un es realizada por el sistema algebraico (X a) Si

X = и Pernia)

entonces X es un p-grupo localmente finito numerable En particular X es un grupo localmente nilpotente

Demostracioacuten Por el Lema 32 sabemos que X es un grupo localmente finito numerable Supongamos que a G X es tal que su orden no es una potencia de p Como X es localmente finitO esto implica que existe un primo g ^ p tal que q j ox) Por otra parte x G РеГпа) para alguacuten N gt 1 asiacute q РеГп(У-) Luego g I Iacute Iacute I lo cual contradice el hecho de que и es una p-sucesioacuten Por lo tanto X es un p-grupo

Cualquier subgrupo finitamente generado Я de X es un subgrupo finito 5a que X es localmente finito y como un p-grupo finito es nilpotente H es un subgrupo nilpotente Por lo tanto X es localmente nilpotente bull

Lema 34 Supoacutengase que el grupo G estaacute dado por el producto cartesiano

p

donde este producto se toma sobre todos los priacutemos p y cada Gp es un p-grupo localmente finito Si el subgrupo X de G es localmente finito entonces X es localmente nilpotente

Demostracioacuten Sea R mdash Xp G X Como X es localmente finito 0(2) lt 00 sea к = ox) Para cada primo p tenemos Xp = 1 asiacute oXp) | k Pero como Xp G Gp oxp)

es una potencia de p lo que implica que = 1 para todos salvo un nugravemero finito de primos p Sea

suppx) = Xp i X = xp e X oXp) gt 1

asiacute supp(x) es un conjunto finito (posiblemente vaciacuteo) para todos los x G X Si x^^K x^^^ es un conjunto finito de elementos de X sea

5 = J supp(a) у para cada primo p definimos el subgrupo Xp de Gp

por Xp = ( 5 n Gp) donde convenimos que Xp mdash 1 si 5 П Gp = 0 Como S es un conjunto finito у Gp es un p-grupo localmente finito Xp es nilposhytente Ademaacutes tenemos que (x-^ x^^^^ = YXpy dado que soacutelo hay

p un numero finito de grupos no triviales en este producto х^^К ж^) es nilpotente Por lo tanto X es localmente nilpotente bull

Si tenemos que una sucesioacuten и mdash es localmente realizable dondeshyquiera entonces и es realizable el siguiente resultado es una reformulacioacuten de esto para la realizacioacuten nilpotente

Proposicioacuten 33 Si la sucesioacuten и = un es localmente realizable nilpotentemente dondequiera entonces и es realizable nilpotentemente

Demostracioacuten Para cada primo p existe un grupo localmente nilpotente Xp con un endoshymorfismo -uacutep Xp mdashgt Xp tal que (Xp uacutep) reaUza nilpotentemente la suceshysioacuten de p partes [un]pngti- Sin peacuterdida de generahdad podemos suponer que Xp = ^ Perniampp)- Dado que el sistema algebraico (Xpip) realiza una

тгgt1

p-sucesioacuten por el Lema 33 se tiene que Xp es im p-grupo localmente finito Definamos el grupo G por G = Xp y el endomorfismo -ф G mdash^ G co-

p mo el producto correspondiente ф = luumlp Entonces el sistema algebraico

p (G xjj) reahza la sucesioacuten u

Si X denota el subgrupo de G X = J Регпф) y a X mdashgt X estaacute dada

por a X tmdash ^(ж) X e X Luego por el Lema 32 X es un subgrupo localmente finito de G y por ei Lema 34 tenemos que X es localmente

nilpotente Por otra parte sabemos por el Lema 32 que и es realizable por el sistema nilpotente (Ж a) asiacute tenemos que и es realizable nilpotentemente

bull Lema 35 Sea G un grupo y p un primo Si G tiene un uacutenico p-subgrupo de Sylow P entonces cualquier subgrupo H lt G tiene un uacutenico p-subgrupo de Sylow dado por PnH bull

Teorema 31 Si la sucesioacuten и = Un es realizable por el sistema algebraico (X a) donde el grupo X tiene un uacutenico p-subgrupo de Sylow para alguacuten primo p entonces и es localmente realizable nilpotentemente en p

Demostracioacuten Por los Lemas 32 y 35 podemos suponer que X = J РЕГП(Й) asiacute que X

n gt l

es localmente finito y a X mdashraquo X un automorfismo Si P es el uacutenico p-subgrupo de Sylow de X entonces dado que X es localmente firntildeto cualquier subgrupo finitamente generado de P es un p-grupo finito tambieacuten es nilposhytente Por lo tanto P es localmente nilpotente Ademaacutes P es a-invariante por lo que podemos restringir el dominio de a a P Sea P -mdashgtbull P definida por P X I mdash gt QX) para todos los x euro P Entonces iexcl3 es un automorfismo de P y podemos considerar el sistema nilpotente (P3) mostraremos que este sistema realiza la sucesioacuten de las p-partes de la sucesioacuten u

Para cualquier n gt 1 si a G PeVniP) entonces x mdash f3^x) mdash a(a^) por lo que X G Perbdquo(a) Por lo tanto РеГп3) lt РеГпо] por el Teorema de Lagrange |Perbdquo(3)iexcl | РеГпа)- Ahora Регпр) es un subgrupo finito del p-grupo P asiacute РеГпР) es una potencia de p por lo tanto

Pern3) I [un]p

Si para alguacuten n gt 1 tenemos que РеГпР) ф entonces

punpiexclPernff

asiacute p I |РеГл (о) Perbdquo(3)| Esto implica que РеГп0) no es un p-subgrupo de Sylow de Perbdquo(o) y por el Lema 35 РеГп0) ф РпРеГпсх) Sin embarshygo si ж G P П РеГпа) como ж G P у por lo tanto aacute^x) = iexcl3^x) entonces se tiene que x G РеГпР) esto implica que Рег^Ш) = P Г Регbdquo(а) Esta contradiccioacuten significa que para todos ios n gt 1 РеГп13 = [unp y asiacute el sistema (P) realiza nilpotentemente la sucesioacuten [ип]рпgt1- Es decir и es localmente realizable nilpotentemente en p bull

Lema 36 Sean G un grupo localmente finito y localmente nilpotente y p un primo Entonces G tiene un uacutenico p-subgrupo de Sylow consistente de todos los elementos de G de orden una potencia de p О

El siguiente teorema es el resultado principal acerca de la realizacioacuten nilpotente

Teorema 32 Sea и = u-n una sucesioacuten de nuacutemeros enteros positivos Entonces и es reashylizable nilpotentemente si y soacutelo si и es localmente realizable nilpotentemente dondequiera

Demostracioacuten Primero supondremos que la sucesioacuten и es realizada por el sistema nilpotente (X a) Por el Lema 32 podemos suponer que X es un grupo localmente finito con a X mdash X un automorfismo Si p denota un nuacutemero primo por el Lema 36 X tiene un uacutenico p-subgrupo de Sylow Por lo tanto por el Teorema 31 и es localmente realizable mlpotentemente en p Esto es cierto para todos los primos p asiacute и es localmente realizable nilpotentemente en dondequiera

El reciacuteproco se proboacute en la Proposicioacuten 33 D

Lema 37 Si p denota un primo fijo y suponemos que la sucesioacuten и = un es igual a un producto de p-sucesiones realizables nilpotentemente Entonœs и es una p-sucesioacuten realizable nilpotentemente

Demostracioacuten Sea и el producto de las p-sucesiones u^^^^ uj G Q Para cualquier w G П supongamos que la sucesioacuten u^^gt es realizable nuumlpotentemente por el sistema nilpotente (Xîacuteu)- Entonces por el Lema 32 podemos suponer que X^ mdash J Perniûj) y se sigue del Lema 33 que X - es un p-grupo localmente

n gt l

finito Ahora si W es el grupo J][ X^ y t mdash W el endomorfismo шей

^ ~ П ^ subgrupo de W dado por X = Pernio)- con el wefi ngt1

mapeo q X mdashraquo X definido por a x raquomdash^ tx) Por el Lema 32 tenemos que X es localmente finito de aqm se obtiene inmediatamente que X ^ un

gt-grupo Por lo tanto X es localmente nilpotente y como el sistema (X a) realiza a u tenemos que и es realizable nilpotentemente bull

El siguiente resultado proporciona una visioacuten alternativa del Teorema 32 ya que se refiere a la factorizacioacuten de sucesiones realizables nilpotenteshymente

Teorema 33 La sucesioacuten и = un de enteros positivos es realizable nilpotentemente si y soacutelo si es el producto de p-sucesiones realizables nilpotentemente

Demostracioacuten Primero supongamos que и es realizable nilpotentemente Entonces por el Teorema 32 и es localmente realizable nilpotentemente en dondequiera Por lo tanto si para cualquier primo p escribimos u^^^ mdash [ U n ] p 7 I gt b entonces u^P^ es realizable nilpotentemente y como u = JJ[iacuten]p para n gt 1 la

p

sucesioacuten и es el producto de las sucesiones u^^ Esto completa la prueba en esta direccioacuten

Ahora supongamos que el reciacuteproco es verdadero es decir que u es el producto de p-sucesiones realizables nilpotentemente para varios nuacutemeros primos p Para un primo fijo p si se agrupan todas las p-sucesiones en este producto el Lema 37 impfica que este forma una p-sucesioacuten realizable nilpotentemente De aquiacute se sigue и es localmente realizable nilpotentemente en dondequiera luego por la Proposicioacuten 33 tenemos que и es reahzable nilpotentemente bull

4 p-Sucesiones Realizables Algebraicamente

En vista de lclaquo Lemas 32 y 33 si una p-sucesioacuten u es realizable algeshybraicamente entonces u es realizable nilpotentemente Asiacute para la clase de p-sucesiones podemos tomar las descripciones de las realizaciones algeshybraicamente y nilpotentemente como equivalentes En esta seccioacuten veremos varios tipos de p-sucesiones y estableceremos la realizacioacuten algebraica de algunas clases generales Los tipos considerados no comprende todas las p -sucesiones realizables algebraicamente pero consideramos que son un buen pretexto para motivar el estudio de astas Tambieacuten daremos ejemplos para mostrar algimas situaciones particulares comenzamos con un ejemplo el cual muestra que no todas las p-sucesiones reahzables son realizables algeshybraicamente

Ejemplo 41 La permutacioacuten (12 bull bull - 6) actuacutea en el conjunto 1 2 9 realizando la 3 -sucesioacuten perioacutedica u = 33 3 3 3 9 3 3 3 3 3 9 Demostraremos que u no es realizable por un sistema algebraico

Supongamos lo contrario que la sucesioacuten u puede ser realizable algeshybraicamente Entonces por el Lema 32 existe un grupo X de orden 9 el cual debe ser abeliano y un automorfismo a X mdash gt X tal que el sistema ( X Q) realiza a u Si т euro X Fixa) entonces es faacutecil ver que la oacuterbita Ox tiene orden 6 Sin embargo como debemos tener Ox | |X | esto da una contradiccoacuten asiacute la sucesioacuten u no es realizable algebraicamente

El ejemplo anterior establece el hecho de que el conjunto de todas las p sucesiones realizables contiene estrictamente al conjunto de p-sucesiones realizables algebraicamente- Ademaacutes este ejemplo demuestra que el conjunshyto de las p-sucesiones divisibles realizables las cuales satisfacen una relacioacuten lineal no estaacute contenido en el conjunto de p-sucesiones realizables algebraicashymente

Ahora consideremos algunos de los miembros de este uacuteltimo conjunto siendo la primera la sucesioacuten geomeacutetrica que es posiblemente la maacutes simshyple que se origina en una forma natural de la operacioacuten de desplazamiento en un grupo de sucesiones

En lo que resta de esta seccioacuten para un primo dado p representaremos el campo yenp con p elementos por el conjmito de enteros 0 1 p mdash 1 donde todas las operaciones se reahzan moacutedulo p

Proposicioacuten 41 Pam cada primo p la sucesioacuten geomeacutetrica p^]ngt es realizable algebraicashymente

Demostracioacuten Sea G el grupo aditivo del campo Fp Entonces X mdash G^ es un grupo abeliano en el cual la operacioacuten es la adicioacuten puntual de las sucesiones moacutedulo p Si A X mdashbull X se define como el desplazamiento a la izquierda entonces A 6 Aut (X) y el sistema ( X A) reahza algebraicamente a la sucesioacuten p

bull

A continuacioacuten consideramos varios tiptxs de p-sucesiones acotadas deshyrivadas de las acciones de los endomorfismos de p-grupos finitos Antes de esto enunciaremos algunos resultados de caraacutecter teacutecnico sin demostracioacuten que necesitaremos lt

U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n

es realizable algebraicamente

Demostracioacuten Primero veremos el caso m ~ Denotemos por ZP2 el grupo aditivo del anillo ZP2 y 7 Z^^ mdashgt Z a el automorfismo 7 T mdashraquo (p -|- l)x x G Z^ Entonces el sistema abeliano Zpiquest^) realiza la sucesioacuten u cuando m = 1

Ahora suponemos que m gt 1 Como en el Ejemplo 34 la sucesioacuten u es realizable algebraicamente por un sistema no abeliano Si p = 2 sean

= 2 y X el grupo dieacutedrico de orden 2k = 2+^ con la representacioacuten

(cdc = ld^ = c^ = c~^Y

Dado que X es un 2-giupo finito X es nilpotente El mapeo rp X mdashgt X el cual cumple con

êacute-)=cr y bulliiexcljed)=dÛ

para r = O mdash 1 es uno de automorfismo de X Es faacutecil ver que el sistema nilpotente (X ib) realiza a la sucesioacuten u en este caso p mdash 2

Ahora supongamos que el primo p es impar y sea el griiacutepo mlpotente G de orden p^+i como en el Lema 42 es decir sea

G = (ab flP = i)P = l a^â)

Lema 41 Si m p denotan enteros con m gt X y p un primo impar Entonces existe un entero r gt 1 tal que r^ = (moacuted p) y que r ^ 1 (moacuted p^] cuando el entero n estaacute en el rungo 1 lt n lt p O

Lema 42 Si m p denotan enteros con m gt 1 y p un primo impar Si el entero r es tal que l lt r lt p^ r^ = ] (moacuted p^) y r ^ 1 (moacuted p^) para todos los enteros n en el rungo 1 lt n lt p entonces existe un grupo nilpotente G de orden p^+^ con la representacioacuten (a b a^ = 1 ampP 1 a mdash a^) O

El siguiente resultado es una generalizacioacuten del Ejemplo 34

Proposicioacuten 42 Sea m un entero positivo y p un primo Entonces la p-sucesioacuten u = Un dada por

donde el entero r es tal que 1 lt r lt p = 1 (moacuted p) y y ^ (moacuted p^) para todos los enteros n en el rango 1 lt n lt p Definamos el automorfismo a G mdashgt G por a g raquomdashgt gdeg^ para todo 5 G G El sistema nilpotente (G a) realiza a la sucesioacuten u cuando p es impar bull

A continuacioacuten estudiaremos las sucesiones que se obtienen de grupos ciacuteclicos de orden una potencia de un primo Para facilitar esta tarea introshyducimos la siguiente notacioacuten

Definicioacuten 41 r Sean k m y p enteros no negativos con p primo Para cada entero ngt definimos

iacutebdquo(cmp) = mcd(p= [m - l]p)

Usando la notacioacuten de esta definicioacuten es claro que cualquier sucesioacuten de la forma ^n(^5 ^bulliacute)ngti una p-sucesioacuten acotada y perioacutedica El siguiente resultado muestra coacutemo pueden originarse tales sucesiones

Proposicioacuten 43 Sean k p enteros positivos con p primo Si C es un grupo ciacuteclico de orden p^ y amp -C mdashgt C es un endomorfismo entonces la p -sucesioacuten realizada por el sistema abeliano (G tiacute) es de la forma

C = ^nkmp)]ngt

donde m es un entero con O lt m lt p^

Demostracioacuten No hay peacuterdida de generalidad si suponemos que G es el grupo aditivo del anillo Zpfc asiacute podemos escribir

G = 0 l p ^ - 1

donde la operacioacuten en el grupo C es la adicioacuten moacutedulo p Sea m = Iacute(1) Claramente O lt m lt p^ y para todo x e G Iacute^X) = mx (reducido (moacuted p^)) Por lo tanto si n denota un entero positivo entonces x G Pernamp) si y soacutelo si

( m - l ) a - - 0 en G (2)

Ahora cuando [m mdash l]p lt p^ es faacutecil ver que el nuacutemero de soluciones de (2) es [m - l]p mientras que el nuacutemero de soluciones es p^ si [m mdash l]p gt De esto se sigue que |Pern(iacute)| mdash mcd(p^ [m mdash l]p) lo cual completa la demostracioacuten bull

Ejemplo 42 La 2-sucesioacuten

888888816888888816888888816 bull bull -

es realizable algebraicamente por la Proposicioacuten 42 mientras que las 2-sucesiones

iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416

son realizables algebraicamente por la Proposicioacuten 43

Dentildeniciacuteoacuten 42 Una p-sucesioacuten perioacutedica и mdash щ se llama simplemente perioacutedica si eris-ten enteros k m gt l tales que Urk mdash n^ mdash p^ para r = 123 Iacute = 1 si kfn el valor к se llama el periacuteodo de la sucesioacuten Lema 43 Sea и mdash [un] una p-sucesioacuten simplemente perioacutedica de periacuteodo k donde ffc = P^ Entonces и es una sucesioacuten realizable si y soacutelo si к p mdash 1

Demostracioacuten Si г = 1 entonces esto es trivial ya que tenemos una sucesioacuten constante Asiacute que supondremos que kgt

Supongamos que и es una sucesioacuten realizable Luego por el Lema 21 tenemos que

к I pkd)uiquest dk

Sin embargo como Un = 1 para todos los enteros n cuando 1 lt n lt fe tenemos

^ M ^ A iquest ) u d = J ^ M Iacute ^ V r f ) + - 1 ) =p^^ - 1 -

dk dk

La combinacioacuten de estos dos resultados da A | p - 1

Ahora supongamos qie fe | p mdash 1 y escribamos

Ц - y^^pniexcld)ud T iacute = 123 dn

Cuando n = l trivialmente tenemos u gt O y n j u por lo que suponemos que n gt 1 Hay dos casos a considerar к n y n la segunda de las cuales es faacutecil de descartar Si kiexcl( n entonces como = 1 para todo d n tenemos tiacute = O asiacute en este caso es cierto que Iacute Iacute gt O y n 1

Por otro parte si fe | n entonces n mdash fer para algiin entero r gt 1 Esto da

dlfer c |r

luego

lt = YpkTiexcld) + ( p - - i)Y^tiriexclc) dkr cr bull

De esto se sigue que

ы n = к

SI 71 gt

Por lo tanto tenemos que gt O y 7i | u para todos los valores de n gt 1 asiacute por el Lema 21 la sucesioacuten u es realizable bull

Demostraremos que una 7gt-sucesioacuten simplemente perioacutedica realizable es siempre realizable algebraicamente para esto necesitaremos el siguiente reshysultado

Lema 4 4 Sean p un nuacutemero primo m un entero positivo yX el grupo G donde G es el gr-upo aditivo del campo yenp Entonces existe un automorfismo a X mdash^ X tal que para todos los elementos distintos de c^ro x EX la oacuterbita de x tiene la propiedad de que OrbQx) =^ p mdash 1 bull

Proposicioacuten 4 4 Si u = un es una p-sucesioacuten simplemente perioacutedica realizable entonces u es realizable algebraicamente

Demostracioacuten Sea fe el periacuteodo de la sucesioacuten u con Uk = p^- Como u es realizable por el Lema 43 fe [ p - 1 sea c ^ (p - l)fe Si G es el grupo aditivo de Fp denotemos por X el grupo C^ Luego por el Lema 44 sabemos que existe un automorfismo a X mdash^ X con Orbax) = p^ mdash 1 para x e X X ^ 0 Si [3 6 Aut(X) estaacute definido por 0 = a^ entonces para todos los

elementos distintos de cero ж euro X se tiene |Orograve^(z)| = fc Si = 1 se tiene que ^(3^) = X para todo x euro X asiacute el sistema (X3) realiza algebraicamente la sucesioacuten p^p^^p^] Supongamos ahora que A gt 1 supongamos que X e РеГп0) ж О donde el entero n gt 1 es tal que kiexcln Entonces iexcl3^x) ~ X y como Orbffx = k ^^x) = x Existen enteras a b tales que n = акЛ-Ь con u gt O O lt 6 lt fc De esto se signe que 0^x) = x y asiacute Orb0x) ltbltk una contradiccioacuten Por lo tanto el uacutenico elemento de PeVniP) es el elemento cero y asiacute tenemos que X ) realiza algebraicamente a la sucesioacuten u bull

Corolario 41 Sea и = [Un] una p-sucesioacuten simplemente pentildeoacutedica de periacuteodo k donde Щ= p^ bull Entonces и es realizable algebraicamente si y soacutelo si к p^^ mdash 1

Demostracioacuten Esto se sigue del resultado anterior y el Lema 43 D

El conjunto de p sucesiones simplemente perioacutedicas realizables da origen a una clase no numerable de p-sucesiones realizables algebraicamente como lo demostraremos a continuacioacuten Empezaremos describiendo un meacutetodo general para la construccioacuten de una p-sucesioacuten para cualquier primo p pero primero observemos que para cualesqintildeera das primos py q distintos tenemos que para todo entero r gt 1 existe un nuacutemero entero miacutenimo s = sp g r) gt 1 tal que p = 1 moacuted q^) Esto se sigue del teorema de Euler-Fermat

Construccioacuten 41 Sea p un primo la sucesioacuten g = [gn] se construye de acuerdo a las siguientes reglas

(i) Sea дрг mdash 1 para r G NQ

(ii) Si q es un primo distinto de p eleghnos entre = 1 o = p donde s gt 1 es el menor entero taJ que p = 1 (moacuted q)

(iii) Supongamos que hemos seleccionado iacutegg^^k donde kgt Entonces g^k+i = g^k o g^k+i = Qqkp^ donde iacute gt 1 es el menor entero tal que p = 1 (moacuted q^-^^)

Asiacute tenemos g-a definida cuando n es una potencia entera no negativa de cualquier nuacutemero primo Para completar la construccioacuten

(iv) Supongamos que el entero n gt 1 tiene la descomposicioacuten en primos n = qi^ bullbull q^ donde los Qj son primos distintos y cada entero kjgt 1 para j = r Entonces definimos рbdquo = g^ki bull bull bull д^к^

La sucesioacuten y de la Construccioacuten 41 es obviamente una p-sucesioacuten Demostraremos que es realizable algebraicamente mostrando que es un proshyducto de p-sucesiones simplemente perioacutedicas realizables

Proposicioacuten 4-5 Con la notacioacuten de la Construccioacuten 4-i- la sucesioacuten g es realizable algeshybraicamente

Demostracioacuten Sea q Ф p- Entonces la sucesioacuten u^ = vn^ que se define por v^f mdash уп si n es un muacuteltiplo de q y Vn^ = 1 en caso contrario es faacutecil ver que es un producto de sucesiones simplemente perioacutedicas realizables Se sigue del Lema 37 que v^^^ es realizable algebraicamente

Ahora obsenâmos que

ff= П q p r imo

donde este producto se toma sobre todos los primos g ф p- Aplicando de nuevo el Lema 37 concluimos que la sucesioacuten g es realizable algebraicamente

bull

El siguiente resultado muestra que las p sucesiones realizables algebraicashymente para cualqiuumler primo p son no numerables

Proposicioacuten 46 Sea p primo la clase de p sucesiones realizables algebraicamente es no nushymerables

Demost rae ioacute n Existe una cantidad no numerable de p-sucesiones del tipo dado por la Contruccioacuten 41 Esto es porque para un primo q Ф p en la construccioacuten de los valores de д^2 р^з requerimos tomar la decisioacuten de si el proacuteximo teacutermino de la sucesioacuten seraacute igual o distinto del teacutermino anterior Dependishyendo de la eleccioacuten podemos asociar los diacutegitos binarios 01 es decir O si la eleccioacuten fue mantener ios teacuterminos iguales y 1 en caso contrario De esta manera asociamos a la sucesioacuten 9q-gq2gga con la expansioacuten binaria de tui nuacutemero en el intervalo cerrado [01] la asociacioacuten inversa es clara Dado que el conjunto de nuacutemeros reales [01] es no numerable se sigue que la cantidad de sucesiones construidas usando las reglas de 41 debe ser no

numerable Por lo tanto la clase de p-sucesiones reaJizables algebraicamente es no numerable bull

Es claro que no todas las p-sucesiones realizables dadas por productos de p-sucesiones simplemente perioacutedicas realizables se originan en la forma de la Construccioacuten 41 De hecho incluso si nos restringimos a las sucesiones cuyos primeros teacuterminos son 1 por ejemplo

11111251111125

de una 5-sucesioacuten simplemente perioacutedica realizable es faacutecil ver que es disshytinta de las sucesiones de la Contruccioacuten 41

Antes de considerar una clase de p-sucesiones realizables las cuales no se originan de sucesiones simplemente perioacutedicas veremos algunos ejemplos

Ejemplo 43 Si X representa el grupo G^ donde G denota el grupo aditivo del campo F31 El endomorfismo tiacute X mdash X definido por tiacute (a oacute) (oacute 23a -b 6) todos los caacutelculos se realizan moacutedulo 31 La sucesioacuten и = ubdquo la cual es realizada por el sistema (X tiacute) estaacute dada por

1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71

Es faacutecuuml ver que la 3i-sucesioacuten reahzable algebraicamente и descrita en este ejemplo no es im producto de 31-sucesiones simplemente perioacutedicas

Aunque en el ejemplo anterior la sucesioacuten no es simplemente perioacutedica porque estaacute definida en un grupo finito eacutesta es perioacutedica Es interesante observar que la sucesioacuten de este ejemplo tiene la forma ^n(2 2 31) En el siguiente ejemplo se define la sucesioacuten en un grupo abeliano infinito y es no perioacutedica

Ejemplo 44 Sea a T mdashgt el endomorfismo dado por la accioacuten de la matriz

0 1 0 0 0 1

l 1 0

sobre los elementos de representados como vectores columna La sucesioacuten и mdash un realizada por el sistema algebraico Tô) es de hecho la sucesioacuten Lehmer-Pierce para el polinomio moacutenico Fx) = mdash x mdash 1 Los primeros veinte teacuterminos de la sucesioacuten и son

111517851911233527646185137133229275

Las sucesiones de p-partes derivadas de u para varios primos p da como reshysultado la siguiente clase de p-sucesiones realizables algebraicamente Asiacute la sucesioacuten de 2-partes derivada de и es

11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512

mientras que la sucesioacuten de 5-partes es

1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5

Estas son claramente sucesiones no perioacutedicas ya que se puede verificar que ellas son no acotada El n-eacutesimo teacutermino de la sucesioacuten de 2-partes estaacute dashydo por

( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71

Sin embargo la sucesioacuten de 5-partes es el producto de dos 5-sucesiones con una de ellas teniendo n-eacutesimo teacutermino

J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п

y la otra siendo la 5-sucesioacuten con n-eacutesimo teacutermino dado por

52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n

Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente clase de p-sucesiones reashylizables algebraicamente Antes de ver esta clase necesitamos el siguiente resultado

Lema 45 Sean m un entero positivo y p un primo y q = p^- Entonces existe una matriz A euro ШтЩ con las propiedades

(1) deiacute^-)=EacuteO moacuted p) si q-liexcln

(2) AJ-^ =I + pB dondeBeuroMmZ) ydetB)^0 (moacuted p)

donde n es un entero positivo y I pound Mm(Z) es la matri-z identidad bull

La siguiente definicioacuten se hace con el fin de simplificar la notacioacuten posshyterior

Defiacutenicioacuten 43 Sean k m enteros positivos y p un primo tal que pj( k Pam cada entero ngt 1 el entero Abdquo(fe mp) se define por

pTn(i+uumlrdp(n)) ^ sikn

1 sikKn

Teorema 41 Sean k m enteros positivos y p un primo impar tal que pj( k Si la p-sucesioacuten u estaacute definida por

u = Xnknip)ngth

entonces u es realizable algebraicamente si y soacutelo si fe | p mdash 1

Demostracioacuten En una direccioacuten la demostraccioacuten es faacutecil Si u es una sucesioacuten realizable algebraicamente entonces es reahzable asiacute como en la demostraccioacuten del Lema 43 fe | p - 1

Ahora consideremos el reciacuteproco supongamos que la sucesioacuten u es tal que fe I p mdash 1 No es difiacutecil demostrar que u es una sucesioacuten realizable pero nuestro objetivo es construir un sistema que realice algebraicamente a u

El conjunto de nuacutemeros racionales

T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl

tiene la estructura de grupo abeliano bajo la operacioacuten de adicioacuten moacutedulo 1 Usando esto denotamos por X al grupo abehano Del Lema 45 tenemos que existe una matriz A e Mn(Z) con las propiedades

rfeiacute(^ - ) 0 (moacuted p) si p - 1 n

AP~i = + p 5 donde piexcldetB)

Sea с = (p mdash l)k y a X mdash X el endomorfismo a x imdashgt A^x para todo X EX X visto como un vector columna Demostraremos que el sistema algebraico (X a) realiza a u

Si a G РеГпа) y supongamos que kj(n entonces A^^^ mdash I)x = 0 por lo que p^ mdash l cn detiacute^ ^ mdash ) ^ 0 (moacuted p) Por lo tanto existe una matriz С e Mm(Z) tal que ( + pC)x = 0 De esto se sigue que ж = O luego РеГп(а) = 1 cuando кЦп

Ahora si I n escribimos n = p^kr para algmios enteros s gtQ y r gt 1 donde p r De = + p B obtenemos

donde D e Mm(Z) y detD)^0 (moacutedp) ya que piexcldetB) para esto es necesario que p sea impar Por lo tanto si x 6 Ferbdquo(a) tenemos que p^^^Dx = O y como РЛ detD) esto implica que р^^ з = 0 De esto se sigue que |Pe7(a)iacute = pîacute-^+i) es decir Pern(a) = pM^+^^M^))^ por lo que el sistema abehano (X o) realiza algebraicamente a la sucesioacuten u bull

Corolario 42 Sea p un primo impar entonces la sucesioacuten wn donde Wn = p^+deg^^p^^)

para ngt 1 es realizable algebraicamente

Demostracioacuten Esto se sigue del Teorema 41 ya que p ^^^^ = An(l lp) para todo n e N

bull

Aplicando los resultados de esta seccioacuten y el hecho de que si u = ubdquo es una sucesioacuten realizable y fe un entero positivo entonces la sucesioacuten v mdash Iacute Iacute bdquo definida por Vn = ubdquok n = 1 2 3 es realizable obtenemos el siguiente resultado

Proposicioacuten 47 Sean p un primo impar y r s enteros positivos Entonces la p-sucesioacuten con n-eacutesimo teacutermino p^^^^^^^ es realizable

Demostracioacuten Sea и = u n la sucesioacuten dada por Un = p^+ rdp(n) ômo podemos reescribir eacutesta como Un mdash p - pi+^ aacutepCn) sigue del Lema 43 y el Corolario 42 que la sucesioacuten и es realizable algebraicamente Denotemos por v mdash vn

la sucesioacuten Vn = tin- asiacute v es realizable y dado que Vn = ordpiacuten)^ gj

resultado se tiene bull

Los meacutetodos usados en la demostracioacuten del Teorema 41 no funcionan para el primo 2 Sin embargo es relativamente faacutecil demostrar un resultado similar al Corolario 42 para el primo 2

Sea X (2 ) el subgrupo del grupo multiplicativo = x euro С | = 1

bull X euro S 4 = 1 para alguacuten r gt 1 = | J e | O lt lt 2 - 1 r gt l

Para cualquier x euro X ( 2 ) sea px) = x^ Es faacutecil ver que p X ( 2 ) mdash X (2) es un endomorfismo La sucesioacuten realizada por el sistema algebraico (X(2)p) se demostraraacute que es 22+rd2(n)j_

Lema 46 Sea r un entero no negativo Para cualquier entero impar rrt gt l tenemos que 2+2 I 52 m _ 2 г - + 3 | 5 2 т _ ^

Demostracioacuten Como 5 = (1 + 2^^^ aplicando el Teorema del binomio obtenemos

para alguacuten entero К gt 0 el resultado se sigue de esto bull

Proposicioacuten 48

La 2-sucesioacuten 2^^^^^^bdquogti es realizable algebraicamente por el sistema

Demostracioacuten Si a euro Регпр) con n un entero n gt 1 pero fijo entonces por la definicioacuten del mapeo p tenemos que para x e X (2) se tiene que a ~ = 1 Podemos expresar a n en la forma n mdash 2m donde los enteros r m son tales que г gt O y 7П es impar m gt L Se sigue del Lema 46 que 5 - 1 = 2^+îquest donde 8 es impar 5 gt 1 Como x euro X ( 2 ) esto implica que x mdash e^ para O lt fe lt 2 -+2 - ] De esto se sigue que РеГпр) = 2+^ = г^+ ^Сп) bull Corolario 43 Sea r un entero fijo r gt 2 Entonces la 2-sucesioacuten г^^^^ es realizable algebraicamente

Demostracioacuten Esto se sigue del Lema 43 y la Proposicioacuten 48 bull

Finalizamos esta seccioacuten extendiendo el Corolario 42 al caso p = 2 Esto requiere nuevas teacutecnicas y eacutestas se desarrollaraacuten a continuacioacuten

Lema 47 Sea G i a i ) (6202) (^202) bullbull una cadena de sistemas algebraicos donde los grupos Gi G2 G 3 son tales que

G i g G2 ^ G3 g bull bull bull

y para cada entero n gt 1 los endomorfismos an satisfacen

ON-FI(^) mdash obdquo para todo x 6 Gn-

Entonces G = J Gn es un grupo y existe un endomorfismo natural a deG

en G tal que ax) = laquobdquo(ж) para x e Gn- D

Nuestro objetivo es demostrar que la 2-sucesioacuten An(l 12) es realishyzable algebraicamente Antes de hacer esto es necesario construir algunos 2-grupos y automorfismcKi de eUos Sea Z2 el grupo aditivo 01 del campo 1 21 y O lt Z2 el grupo trivial definimos las grupos Hn para n = 123 por

Z2 si n = 2 donde кеЩ

O en otro caso Los grupos Hn forman miacutea cadena ascendente de 2-grupos abelianos Deshynotemos por fCn el grupo de orden 2^ dado por

2П-1

fCn^Yl Hk 123

A continuacioacuten los grupos Л^п se definen para тг gt 1 por

00 Xn mdash K-n X П o

fc=2-l-i-l

Es claro de las definiciones que los grupos satisfacen Xji ~ Xn = 2

Ahora pai-a cada entero n gt 1 denotemos por euro M2raquo- i (LF2) la matriz triangnlar superior

1 1 i bullbull bull 1 0 1 1 bull bull 1 0 0 1 bull bull 1

0 0 bull bull 1 de modo que

Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0

Cada una de las matrices A^ da origen en forma natural a m automorfismo Fn ICn mdash ICn donde F^ x imdashgt AnX para todo x euro Kn-

A continuacioacuten extendemos la matriz An a la matriz An de tamantildeo (oo X oc) por medio de la matriz diagonal de bloques

(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Usando la matriz An- definimos un automorfismo Tbdquo Xn mdash Xn (la extenshysioacuten natural de Fn bull mdashbull ^ N ) Praquor ^ -^r para todo iexclr G Abdquo Esto da la cadena de sistemas abefianos

(ЛьГ1)(ЛГ272)(АзГз)

y es claro que para cada riacute gt 1

Tn+x) = 7iacutet(I-) para todo a G Xn-

Por lo tanto los requisitos de Lema 47 se satisfacen por lo que podemos definir el grupo abeliano X como J Xn y el endomorfismo r A mdashgt X por

N gt I

rx) = Tnix) para x euro Xn es faacutecil ver que r es de hecho un automorfismo del grupo л El sistema abeliano (Л г) se usaraacute para establecer la realizacioacuten algebraica de la 2-sucesigraveoacuten An(l 12) pero antes de hacerlo consideremos un ejemplo у determinemos algimos hechos acerca de los sistemas fCmy^migrave-

Ejemplo 45 Las 2-sucesiones realizadas por los sistemas abelianos fCiJ-i)y (^2)-^2) У КзТз) son

2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428

respectivamente Observemos que cada una de estas sucesiones es una aproshyximacioacuten (en cierto sentido) a la sucesioacuten

Abdquo(l 12) = 242824216

y que para m = 12 la sucesioacuten realizada por el sistema fCm+i-^m+i) se diferencia por primera vez de la realizada por (IacuteCm^Fm) en el 2-eacutesimo teacutermino

Lema 48 Sean m entero positivo y u^^^ = n^^ngti lo sucesioacuten realizada por el sistema Ют^^ш)- Entonces para todo entero ngt

и

2uiacuter^ si I n

Demostracioacuten Supondremos que m gt 3 ya que en el Ejemplo 45 se trataron los valores m = 12 Observemos primero que oTm^) = 2^ esto es faacutecil de ver a partir de la matriz ^ ^ + 1 sobre el campo F2 Luego utilizando la notacioacuten matricial por bloques podemos escribir

A-m Вт O Amj

donde Bm euro M 2 M - i ( F 2 ) es la matriz con cada entrada igual a 1 Para cualquier entero n gt 1 definamos las matrices Cm^ por Crri^ mdash Bm- y para n gt 1 - Arndm^^ + BmA^^ Eutouces

AU _ I ^m

Denotemos рог x ~ (жь X2 ) un elemento del grupo ICm+i- Luego por la construccioacuten tenemos que a2-i+i = bull bull bull = X2-i = O asiacute de la forma de la matriz ^ ^ ^ i se tiene que el nuacutemero de puntos fijos de donde el entero n estaacute en el rango 1 lt rz lt 2 estaacute determinado por el nuacutemero de soluciones de la ecuacioacuten A^x = ж iquest = (xiЖ2гlaquo-) )-^ junto con los posibles valores de Ж2 Es decir los puntos perioacutedicos de Fm+i estaacuten determinados por los puntos perioacutedicos de Fm y el teacutermino X2^ bull Por induccioacuten sobre m usando que oFm+iacute) = 2^ se completa la demostracioacuten

bull Lema 49 Sean m гт entero positivo y u^ = unjigti la sucesioacuten realizada por el sistema [KimigraveFm] entonces

= mcd(2^^ 2 ) bdquo gt

Demostracioacuten Del Ejemplo 45 tenemos que u^^^ = 2222 por lo que el resultado es verdadero cuando m = 1 Supongamos que es verdadero cuando m = kgt 1 entonces por el Lema 48

mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i

Ahora bien si 2 n entonces 1 + ord2(RJ) lt fe de modo que

mcd(2^2i-^^2Iacute^^) = mcd(2^+2i+deg^2()

En caso contrario si 2^ j n entonces 1 + ord2(n) gt fe + 1 por lo que

2mcd2^2^+^^bull^îacute^^) - 2 +^ -mcd(2^+2^+^^^^t))

Por lo tanto en ambos casos se obtiene

3mcd(2^+2+~^^f)

y por induccioacuten se completa la demostracioacuten bull

Lema 410 Sean n un entero positivo y m = Lôg2Iacute )J + 1 entonces

PerniTi) lt РеГпШ ltbullbulllt PerniTm) - P e r bdquo ( r bdquo ^ + i ) - bull bull bull -

Demostracioacuten Sea r cualquier entero positivo y supongamos que x e РеГпТг) Entonces como X e A +IX) = Trx) y dado que AV es 7-invariante x e Pernî) Por lo tanto Perbdquo(7) lt Perbdquo(7+i) lo cual da la cadena ascendente de subgrupos de A

PerniTi) lt РеГпГ2) lt РеГпЪ) ltbullbullbull

Demostraremos que esta cadena eventualmente se estabiliza Para esto veshyremos que РеГпТт) = |РеГпГbdquo+^)| donde т - [log2n) + 1 y s es un entero s gt 0

Por definicioacuten los sistemas lCjJ^j) y (A^ 7^) son esencialmente el mismo para todo j gt 1 y por lo tanto es faacutecil ver que

Perkrj) = PerkJ^j)l para fe - 123

Del Lema 49 tenemos

iexclPerkiyj)] = mcd(2^2 i+ ^ i2 (^ )

asiacute cuando j gt 1 + ord2(fe) se tiene PerkTj) 2 + -= Es claro que [log2 fej gt ord2(fe) luego para todo j gt [log2 fej + 1

jPer)t(7)iexcl =2^+lt^ ^2f^

De esto se sigue el resultado bull

En el siguiente resultado el Corolario 42 se extiende para incluir el caso p = 2 Observemos que la Proposicioacuten 48 es una consecuencia de este nuevo resultado pero dado que fue posible demostrarla sin recurrir a e-ste resultado maacutes general se prefirioacute dar ima demostracioacuten diferente

Teorema 42

La 2-sucesioacuten P mdash 2^deg ngti es realizable algebraicamente

Demostracioacuten Demostraremos que la sucesioacuten и es realizable algebraicamente por el sistema abeliano (A r) construido anteriormente

Sea n un entero positivo y m = [ b g 2 n j + 1 Si x G Регпг) entonces X e Xr para alguacuten entero positivo r por lo que x = r(x) = Tîx) Asiacute X euro Perbdquo(7^) por el Lema 410 x euro РеГпТт) de donde se concluye que Perbdquo(r) gt РегпТт) Dado que es evidente que la inclusioacuten inversa se tiene

tenemos que Pern(r) mdash Pern(Tm)- Aplicando el Lema 49 se tiene que PernT) = 2 ^ + ^ 2 ^ y esto completa la demostracioacuten bull

Observamos que el resultado obtenido no extiende completamente el Teoshyrema 41 para el caso en que p asiacute un problema pendiente seraacute extender el Teorema 41 para incluir el caso p = 2

5 Temas de Tesis

En esta seccioacuten presentamos una serie de posibles temas de tesis relashycionados con este trabajo como el lector se habraacute percatado en el trabajo se hizo referencia a algmios resultados y se mencionaron algunos toacutepicos partishyculares precisamente desarrollar un trabajo que contenga las demostraciones completas u otro que de ima presentacioacuten de los toacutepicos respectivamente dando los antecedentes necesarios constituyen los temas de tesis asiacute se proshyponen en concreto los siguientes temas

1 Realizar un trabajo el cual tenga por objetivo mostrar que toda sucesioacuten localnnente realizable dondequiera es realizable

2 Realizar un trabajo sobre las sucesiones Lehmei^Pierce

3 Realizar un trabajo el cual tenga por objetivo mostrar que las sucesiones v = vn definidas por mdash laquo n ^ son realizables si u bull= un es una sucesioacuten realizable y un entero positivo

4 Caracterizar las sucesiones que satisfacen una relacioacuten de recushyrrencia de segundo orden lineal con coeficientes enteros que son realizables

5 Realizar un trabajo sobre la representacioacuten de sucesiones r-Fibo-nacci en teacuterminos de F^ para r gt 3

6 Realizar un trabajo sobre funciones aritmeacuteticas y realizacioacuten de sucesiones

7 Realizar un trabajo sobre la estructura algebraica del conjunto de sucesiones realizables

La lista podriacutea continuarse pero consideramos pertinente no extenderla mas Sin embargo si alguacuten estudiante tuviera intereacutes en este tema pero en un contexto de anaacutelisis real o complejo topologiacutea teoriacutea de grupos de anillos o de campos podriacuteamos proponer un tema de tesis que se ajuste al intereacutes del aiiunno y a los requerimientos de la Institucioacuten

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[13] M Ward Memoir on elUptic divisibility sequences Amer J Math 70 (1948) 31-74

Simetriacuteas Teoriacutea de Lie y Teoriacutea de Galois

Francisco Gabriel Hernaacutendez Zamora Univers idad Verac ruzana Facu l tad d e M a t e m aacute t i c a s

Ci rcui to Gonza lo Agui r re Be l t r aacuten S N Zona Univers i ta r ia

XaJapa Veracniz C P 91090 f r a n c i s c b e r n a n d e z reg u v n i x

2000 Mathematics Subject Classification 22E20 22E25 22E60 39AOS Keywords and phrases Gi-upo de Lie algebra de Lie ecuaciones diferenciales simetriacutea

T r a b a j o financiado b a j o el proyecto PROMEP103 5 07 2753

1 Introduccioacuten

A mediados del siglo XIX la teoriacutea de Galois clarificoacute la relacioacuten existente entre la solubilidad de ecuaciones polinomiales por radicales y el grupo de simetriacuteas de la ecuacioacuten Sophus Lie hizo lo mismo para ecuaciones diferenshyciales y sus shnetriacuteas a finales del mismo siglo

Aunque no daremos un tratado general sobre la teoriacutea de Galois permishytamos al menos ver algunas definiciones y resultados del tema para comparar las analogiacuteas con los conceptos y propiedades encontrados en los grupos y aacutelgebras de Lie

Lo que hace Galois es ver que un grupo finito (el grupo de Galois) del campo de descomposicioacuten de un polinomio fx) euro F[x] que fija cada aeuro F permuta las soluciones de la ecuacioacuten fx) = 0 Con propiedades de este grupo finito liga el estudio con las permutaciones de raiacuteces de una ecuacioacuten

Por otro lado y en otro tiempo posterior a Galois Lie estudioacute y deshysarrolloacute inicialmente la teoriacutea de ecuaciones diferenciales en derivadas parshyciales las transformaciones diferenciales y las simetriacuteas estas uacuteltimas son las transformaciones que convierten soluciones de ima ecuacioacuten diferencial en soluciones de la misma Rieacute su amigo Felix Klein quien observa a Lie que sus meacutetodos son similares a los que desarrolloacute Galois en su teoriacutea Baacutesicamente lo que inspira a Lie en su estudio es el siguiente problema

Problema 11 Dada una ecuacioacuten en derivadas parciales que admita un grupo de transformaciones infinitesimales como simetriacuteas iquestcoacutemo se puede simphficar su resolucioacuten

La ecuacioacuten en derivadas parciales de primer orden maacutes general posible es

F ( i c i a bdquo mdash ) ^ 0 oxi dxji

y resolverla significa hallar todas las funciones z = fxi Xn) que la verifican Por supuesto en general hay luia infinidad de soluciones y es posishyble escribirlas en forma parameacutetrica o con otras representaciones Lagrange resuelve en 1772 la ecuacioacuten diferencial anterior para el caso de dos variashybles independientes Su meacutetodo consistioacute en que las soluciones se pueden obtener al resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias ya eran m trabajo que se veniacutea resolviendo desde que aparecioacute el caacutelculo diferencial y su resolucioacuten

era un problema maacutes faacuteeil de abordar que la resolucioacuten de una ecuacioacuten diferencial parcial

Otro avance en la resolucioacuten del problema de una ecuacioacuten diferencial parcial de primer orden en n variables lo hace Pfaff en 1815 donde bastaba resolver n sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias cada vez con un menor nuacutemeio de ecuaciones

En 1819 Cauchy da la resolucioacuten de la ecuacioacuten diferencial parcial de primer orden en n variables su meacutetodo consiste en resolver antes ecuaciones maacutes sencillas (ver [3]) La ecuacioacuten lineal homogeacutenea la ecuacioacuten semiuumlneal completa y el sistema de ecuaciones semilineal completa con la misma parte principal

Finalmente concluida la teoriacutea de las simetriacuteas de grupos de Lie se enshycuentra que todos los meacutetodos conocidos entonces para resolver ecuaciones diferenciales (variables separables ecuaciones homogeacuteneas ecuaciones exacshytas coeficientes indeterminados variacioacuten de paraacutemetros etc) son casos particulares del Meacutetodo de Lie (ver [7])

Las plaacuteticas de Lie con Klein inspiran al segundo a definir en su proshygrama de Erlangen lo que hoy en diacutea se acepta mejor como la definicioacuten de geometriacutea

Definicioacuten 11 (Programa de Erlangen de Klein 1872) Una geometriacutea es el estudio de aguumlellas propiedades de un conjunto que permanecen invariantes cuando sus elementos son sujetos a la aplicacioacuten de transformaciones

Despueacutes de Lie en 1920 Elie Cartan clasifica cierto tipo de grupos de Lie y sus aacutelgebras de Lie ademaacutes da una caracterizacioacuten geomeacutetrica para la equivalencia de ecuaciones diferenciales en teacuterminos de lo que se conoce como conexiones de Cartan o maacutes en general se han estudiado estructuras geomeacutetricas que definen ecuaciones diferenciales (ver [5])

La teoriacutea de simetriacuteas de Lie pasa desapercibida por unos 50 antildeos hasta que en 1970 G Birkhoff llama la atencioacuten a las aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales de la mecaacutenica de fluidos Despueacutes de lo cual Ovsiaimikov y su escuela empiezan un programa sistemaacutetico en la aplicacioacuten de grupos de Lie a ecuaciones importantes de la fiacutesica Entre las ecuaciones relevantes donde se usan los meacutetodos de Lie estaacuten la ecuacioacuten de Calor la ecuacioacuten de onda ecuaciones de Euler-Lagrange ecuacioacuten de Laplace ecuaciones de Burger ecuacioacuten de Korteweg-de Vries y la ecuacioacuten de Euler El lector interesado puede revisar e) libro [8] y el artiacuteculo [lOj

2 Solubilidad de ecuaciones polinomiales

En esta seccioacuten describimos brevemente la construccioacuten de simetriacuteas de ecuaciones polinomiales asiacute como los principales conceptos algebraicos que la envuelven

Definicioacuten 21 Un automorfismo de un campo F es una correspondencia biyectiva de F en F que preserva las operaciones del campo Un automorshyfismo a fija al elemento f e F si af = f Escribimos Aut(F) para los automorfismos del campo F

El siguiente resultado se prueba faacutecilmente y nos permitiraacute construir las simetriacuteas de una ecuacioacuten polinomial

Teorema 21 Sean D una extensioacuten finita de F y E un campo intermedio F С E С D Sean GDF) = ltт G AutD) a fija cada f e F y lo mismo para GDE) Entonces GDF] es un grupo bajo la composicioacuten y GDE) es un subgrupo de GDF)

A continuacioacuten damos el concepto de Grupo de Galois el cual determishynaraacute cuaacutendo una ecuacioacuten polinomial tiene solucioacuten por radicales

Definicioacuten 22 Sea E el campo de descomposicioacuten de un polinomio fx) G F[x] El grupo de automorfismos de E que fijan cada a amp F GEF) es el grupo de Galois de fx)

Observacioacuten 21 E es un campo de descomposicioacuten para fx) G F[x] si fx) se descompone en factores lineales en E[x] y no se descompone en F[x] a menos que E = F E es el maacutes pequentildeo con esa propiedad si Ex) contiene todos los factores lineales de fx) entonces E ~D E

Ejemplo 21 Sea F = f_x) = ax^bx + с e Qix] Sigrave в y в son los ceros de fx] en E entonces в e Q(^) Cada automorfismo cr G G(Qe)Q) estaacute determinado por 00 Es decir que si в no es racional el grupo de Galois es

GQe)Q) = Xo$ê Y cuando ^ G Q el grupo de Galois es trivial

GQe)Q) = 1

Observacioacuten 22 Propiedades del grupo de Galois de fx)

1 Cualquier automorfismo en GFe)F) es completamente determinado por ltтв)

2 Sea E el campo de descomposicioacuten de un polinomio irreducible px) euro E[x] El grupo de Galois GEF) es isomorfo al grupo de permutashyciones de los k ceros de px) en E asiacute que seraacute un subgrupo del grupo simeacutetrica) Sk-

Las propiedades anteriores ligan el estudio de giupos a las permutaciones de raiacuteces de una ecuacioacuten Histoacutericamente el desarrollo de grupos en el sentido abstracto viene del estudio de Abel y Galois sobre el grupo particular formado por permutaciones de raiacuteces de una ecuacioacuten y sus propiedades Fueacute Kronecker quien en 1870 definioacute en forma abstracta lo que es conocido como grupo

Es bien sabido que miacutea ecuacioacuten cuadraacutetica se puede resolver asando un nuacutemero finito de pasos por operaciones racionales y extraccioacuten de raiacuteces de sus coeficientes Esto no es maacutes que la foacuternmla general Hay tambieacuten foacutermushylas expliacutecitas para calcular las raiacuteces de polinomios de orden 3 y de orden 4 (ver [9]) Varias de las ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas usando operaciones racionales y extraccioacuten de raiacuteces comenzando con sus coeficientes sin embargo no hay una foacutermula general que deacute las raiacuteces en teacuterminos de los coeficientes De heclio para grado mayor oacute igual a 5 no hay dicha foacutermula como lo establece el teorema de Abel que enunciaremos maacutes adelante

Definicioacuten 23 Sea F un campo de camctertstica cero que tiene un subcamshypo isomorfo a Q Sea fx) un polinomio no constante en F[x] La ecuacioacuten polinomial f(x)=0 es soluble por radicales si todas sus raices pueden ser calshyculadas de sus coeficientes en un nuacutemero finito de pasos por operaciones racionales y extracioacuten de raiacuteces

Esta definicioacuten inmediatamente nos lleva a pensar en teacuterminos de extenshysions de campos lo que define una torre de raiacutez esto es la cadena

F = FoCFi = F ( r i ) C F2 - F(r2) C---CF = F _ i ( r )

donde ri r2 - r^ son las raiacuteces de la ecuacioacuten fx) mdash 0 soluble por radishycales

Definicioacuten 24 Sea G un grupo finito G es soluble si hay ima cadena de subgrupos

G = Go = GogtGigt--gtGk = 1

tales que GIacuteGIacute+I es abeliano para iquest ^ 01 h mdash 1

Teorema 22 (Galois) Una ecuacioacuten polinomial es soluble por radicales si y soacutelo si su grupo de Galois es soluble

Usando el resultado anterior Abel entonces pmeba que algunas ecuashyciones polinomiales tienen asociado su grupo de Galois de tal forma que es soluble Especiacuteficamente establece el siguiente resultado

Teorema 23 (Abel) Las ecuaciones polinomiales de grado mayor que 4 no son solubles por radicales

3 Correspondencia de las dos teoriacuteas

En la siguiente tabla mencionamos la correspondencia que hay entre las dos teoriacuteas que estamos abordando donde encontramos el paralelismo exisshytente que le menciona Klein a Lie La descripcioacuten de la Teoriacutea de simetriacuteas de Lie se daraacute en las secciones posteriores

Teoriacutea de Galois Simetriacuteas infinitesimales Grupos finitos

Ecuaciones polinomiales Solubilidad por radicales

Grupos de Galois solubles

Grupos continuos Ecuaciones diferenciales

Solubilidad por integracioacuten Grupos de Lie con aacutelgebras de Lie solubles

4 Ecuaciones diferenciales y grupos de Lie

iquestCoacutemo aparecen los grupos de simetriacutea en las ecuaciones diferenciales A continuacioacuten se daraacuten algunos ejemplos que motivaron el desarrollo de la teoriacutea general de grupos de Lie que espero al menos den una idea intuitiva de coacutemo un giupo de simetriacuteas estaacute involucrado en una ecuacioacuten diferencial

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias y teacutecnicas claacutesicas de integracioacuten

Ejemplo 41 La ecuacioacuten ordinaria maacutes simple que encontramos es la ecuacioacuten

xt) = at) (1)

donde a es una funcioacuten conocida de t La solucioacuten de esta ecuacioacuten es

xt) = Xo + J aT)dT O

El proceso de calcular una integral fueacute conocido como cuadratura en tiemshypos de Lie asiacute que se deciacutea que la ecuacioacuten diferencial (1) era resuelta por cuadratura En la actualidad decimos que (1) se puede resolver por inteshygracioacuten

En la solucioacuten de la ecuacioacuten presente notamos que una vez que se encuentra una solucioacuten particular todas las otras soluciones se obtienen trasladando la solucioacuten particular por una constante En otras palabras podemos decir que la ecuacioacuten (1) es invariante bajo (el grupo de) traslashyciones en 3 Estas traslaciones pretenden jugar el papel de los grupos de permutaciones de raiacuteces que encontramos en la teoriacutea de Galois P u ^ lo que hacen las traslaciones (actuacutean sobre el espacio de variables independientes y dependientes) es mover o permutar las soluciones de la ecuacioacuten diferencial ()bull

Ejemplo 42

Otro ejemplo auacuten dentro de los triviales es la ecuacioacuten lineal homogeacutenea

xt) = mx (2)

con д de nuevo una funcioacuten conocida de iacute Notamos que esta ecuacioacuten diferenciiacuteiJ es invariante bajo transforma^

ciones a escala x tmdashgt rx De hecho la ecuacioacuten 2 se puede resolver por cuadratura (por integracioacuten)

Observamos de nuevo que las simetriacuteas de la ecuacioacuten nos llevan a deducir la solucioacuten general de una particular

Ejemplo 43 Ahora consideremos la ecuacioacuten uumlneal general

xt) = a ( iacute ) + (3)

Esta ecuacioacuten es auacuten solul)le en forma general usando dos integraciones su solucioacuten se ve en un primer curso de ecuaciones diferenciales de la licenshyciatura

Ejemplo 44 El siguiente ejemplo es una ecuacioacuten diferencial cuadraacutetica conocido como ecuacioacuten de Riccati

xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)

Es conocido que no existe un meacutetodo para resolver esta ecuacioacuten diferencial usando manipulaciones algebraicas e integraciones solamente Sin embargo hay una manera de obtener la solucioacuten general de una solucioacuten particular

Ejemplo 45 En contraste con los ejemplos anteriores consideremos la ecuacioacuten diferencial cuacutebica

xt) = at) + 2fogravet)x + jt)x^ + oacutet)x^ (5)

Para la cual de una solucioacuten no se podraacute encontrar el r ^ t o de las soluciones

5 Variedades Diferenciales

Cuando uno estudia el caacutelctilo diferencial e integral en varias variables se ve en la necesidad de parametrizar los objetos de estudio como lo son las curvas superficies y soacutelidos Estas parametrizaciones permiten llevar el caacutelculo en espacios euclideanos a espacios topoloacutegiccs maacutes generales lo que trae consigo la teoriacutea de variedades diferenciales

Definicioacuten 51 Una Variedad n-dimensional es un espacio topologico Haus-dorff y segundo numerable M localmente homeomorfo a un subconjunto abierto deW^ Los homomorfismos locales junto con los abiertos donde estaacuten definidos se llaman cartas oacute sistema de coordenadas y se denotan (Iacute7 ip) con U abierto en M A las funciones inversas v^^ se les llama parametrizashyciones

La necesidad de pedirle condiciones a nuestro espacio topologravegico viene de lo siguiente Por un lado si queremos introducir el concepto de derivada eventualmente necesitaremos hablar de liacutemites y para el caacutelculo de limites necesitamos el concepto de punto de acumulacioacuten el cual soacutelo es aplicable a conjmitos infinitos (vecindades con nifinidad de puntos) Estando en un espacio Hausdorfl tenemos garantizado que podremos derivar en nuestra variedad Por otro lado para establecer algunos resultados baacutesicos de la geometriacutea diferencial (como los Teoremas de la Funcioacuten Inversa e Impliacutecita) se necesita la teacutecnica de construccioacuten de particiones de la unidad para lo cual es necesario asumir que el espacio en cuestioacuten es segundo ninnerable De hecho un resultado importante en geometriacutea diferencial es el siguiente

A todo espacio topologravegico HausdoriacuteT y segundo numerable se le puede dar la estructura de una variedad diferenciable

Un atlas en M es una coleccioacuten de cartas Uiipi iquest euro que cubren

a M y que son compatibles en el sentido que los cambios de coordenadas iacutepij ~ KpiO -pj^ son difcrenciablcs en -PjiUi П Uj)

Una variedad diferenciable es una variedad n-dimensional junto con un atlas maximal

Observacioacuten 51 Un atlas se extiende de manera uacutenica a un atlas maximal que lo contiene asiacute para definir una estr-uctura de variedad diferenciable en M basta con dar un atlas es decir una coleccioacuten de cartas compatibles que cubren a M

Ejemplo 51

1 M = W^ donde se puede considerar el atlas consistente de una carta

2 El ciacuterculo unitario S^

v) еШ^ u^ + = 1

es una variedad diferenciable de dimensioacuten i

3 La esfera unitaria 5 с R definida por

5 = (xiX2 Xn+i) euro bullxiexcl + xl + --- + = 1

Un atlas se construye por ejemplo viacutea proyeccioacuten estereograacutefica Lo cual nos da una variedad de dimensioacuten TIacute

4 Subconjuntos abiertos en variedades Si M es una variedad entonces cualquier abierto en Ai es de nuevo una variedad simplemente restringiendo el atlas a Uip) atlas para M UnNiplun^ atlas para Л

5 El grupo general lineal

GL(nR) = Ле Mr^n - IK detA) 0

es un abierto de R^ pues la funcioacuten

det Mnxn К

es continua asiacute

аеГГ^Ж0) ^ GLnR)

tiene una estructin-a de îedad diferenciable como en el ejemplo anshyterior

6 Si Л у N^ son variedades diferenciables al producto cartesiano

M X N = m n) m e Mn e N]

se le da una estructura de variedad diferenciable un atlas se toma como sigue Si (f if) es una carta en M y (K -ф) es una carta en N entonces

(f X К X ф)

seraacute una carta en M x TV donde

^хф-и xV R^+ [щ v) ^ ipu) ipv))

Ahora nos gustariacutea subir la estructura diferenciable de IR a nuestra variedad oacute maacutes en general nos gustariacutea traducir a nuestra variedad las propiedades locales de R como por ejemplo las derivadas diferenciales espacio tangente campos vectoriales etc Si tenemos dos variedades difeshyrenciales M^ y iV una funcioacuten M mdashgt TV se diraacute diferenciable en un punto p euro M s para cada carta (alrededor de p) p euro U (Iacute7 iacutep] y cada carta alrededor de fp) fp euro V (V ip) se tiene que la funcioacuten real

- 1 iacuteiquestlt o o V ipU) C R mdash

es diferenciable en ipp) Asiacute seraacute derivable en M si lo es en cada uno de sus puntos

Observacioacuten 52 Cada carta ip determina un difeomorfismo

Observacioacuten 53 Por supuesto que no se necesita comprobar la diferenda-bilidad en cadu carta dada la compatibilidad solo basta verlo con una carta en p y una en fp)-

Ejemplo 52 En GLnR) la funcioacuten determinante det GLn K) R es derivable Tambieacuten la funcioacuten que a cada matriz la manda a su transpuesta es derivable Al igual que la funcioacuten traza Tr GLn R) mdashgt R es derivable

Recordemos que si

f p=xiXn) ^ ifliXu Xm) JnXuXm))

que se considera como una transformacioacuten lineal entre los espacios tangentes a M en p y a en fp) Es costumbre identificar estos espacios tangentes con R y R respectivamente

dpf TpW ^ R mdashgt Tj^p)W ^ R

V mdash dpiexclv) = Jpf)v

Es posible introducir la nocioacuten de espacio tangente a una variedad pero en este caso no podemos en general identificar TpM con M mismo puesto que TpM es un espacio vectorial Pero siacute se identifica TpM con R de hecho la derivada local atraveacutes de una carta en p define el espacio tangente

Dentildeniciacuteoacuten 52 Sea M una variedad de dimensioacuten m Un vector v euro R es un vector tangente a M en el punto p si existe una curva

c C R mdash M

con c(0) = p y una carta ip U) tales que v = ipo c)(Uuml)

Definicioacuten 53 El conjunto de todos los vectores tangentes en p E M es un espacio vectorial de dimensioacuten finita (de hecho es identificado con M^) que denotaremos por TpM

Definicioacuten 54 Definimos el haz tangente de M como TM = Jp^fîexclTpM

Definicioacuten 55 Un campo vectorial X sobre una variedad M es una asigshynacioacuten suave de un vector Xp a cada plinto p E M Denotamos a los campos suaves en M por X(M)

Observacioacuten 54 XM) es un espacio vectorial bajo la adicioacuten natural y la multiplicacioacuten escalar Pero no es de dimensioacuten finita

Las siguientes definiciones seraacuten usadas con libertad en las secciones posshyteriores ejemplos de ellas las encontramos con curvas parametrizadas dentro del plano euclidiano Para profundizar en estos conceptos puede revisarse el libro [6]

es una funcioacuten diferenciable entonces la derivada oacute diferencial de en el punto p e R^ es la matriz Jacobiana

Definicioacuten 56 Sea f M mdashbull N derivable

a) f es una inmersioacuten si dpf es no singular para cadap 6 M

b) Miexcl) se llama una subvariedad de N si f es una inmersioacuten biyectiva

c) es un encaje si f es una inmersioacuten biyectiva y un homeomorfismo sobre su imagen con fM) llevando la topologiacutea relativa

d) es un difeomorfismo si es biyectiva y es derivable

6 Grupos de transformaciones de Lie

A continuacioacuten damos el concepto de mayor intereacutes en las presenta noshytas el de grupo de Lie En dicho concepto Sophus Lie combina las nociones de variedad y de estructura de grupo en un solo objeto cuya relacioacuten aparece de manera natural siendo la ganeralizacioacuten de los espacios eucHdeanos y de otros objetos de estudio como el de grupo ortogonal que aparece comuacutenmente en la fiacutesica

Definicioacuten 61 Un grupo de Lie es una variedad diferenciable con una estructura de grupo con operaciones diferenciables

Ejemplo 61 Ejemplos de Grupos de Lie

1 El grupo de traslaciones en E W +)

2 El grupo de transformaciones a escala (M bull)

3 El grupo general hneal con el producto de matrices GLnM)

4 El grupo ortogonal con el producto de matrices SOn)

5 El grupo ortogonal y de reflexiones 0n)

6 El grupo especial Hneal SL(riacuteM)

Los grupos de matrices son los llamados grupos de Lie claacutesicos y todos ellos son subgrupos de GLnM)

Como se mencionoacute en la introduccioacuten las simetriacuteas que buscamos van a mover soluciones del espacio de variables dependientes e independientiacute^ que definen una ecuacioacuten diferencial a soluciones de la misma El concepto que fundamenta esta idea estaacute contenido en la siguiente definicioacuten

(A XiX2]) ^ XXiacuteXX2)

3 Rotaciones SOnR) x R ^

Ax) Ax

4 Transformaciones que preservan volumen

SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira

Definicioacuten 62 Una accioacuten de un grupo de Lie G sobre una variedad M es un mapeo suave G x M mdash Aiacute gp) ^ g bull p tal que

1 e bull p mdash p para todo p 6 A

2- igig2)-p = 9ig2-p)-

G se llama grupo de transformaciones de Lie de M

Definicioacuten 63 La oacuterbita de p pound M es G bull p = g bull p g e G La isotropia enpe M es Gp = g e G gbull p = p

Se invita al lector a que pruebe que ias oacuterbitas de una accioacuten son sub-variedades de Ai y que la isotropia en cada punto nos da un subgrupo del grupo de Lie G

Ejemplo 62 Los siguientes son ejemplos de acciones de grupos de Lie

1 Traslaciones

(a a) H- a + X

2 Transformaciones a escala

E+ X

7 Espacio tangente de grupos de Lie

Para el estudio lineal de grupos de Lie se usa un objeto relacionado a cada uno de ellos su aacutelgebra de Lie

Definicioacuten 71 Un aacutelgebra de Lie es un espacio vectorial q (sobre Ш o sobre C) equipado con una aplicacioacuten bilineal (llamada operacioacuten de corchetes^

1 bull fl 0 ^ 0 9laquoe satisface i [XY = ~YX] para XY eg (antisimetria) ii [X [K Z]] + Y [Z X] + [Z [X Y]] = O pam XYZ e amp (identidad de Jacobi)

Definicioacuten 72 Un homomorfismo entre dos aacutelgebras de Lie es una transshyformacioacuten lineal p Q que preserva los corchetes

plXY]g) = [pXpY]iacute

Ejemplo 71 Los siguientes son de los ejemplos maacutes representativos de aacutelgebras de Lie

1 El espacio vectorial q = con la operacioacuten de corchetes definida por el producto cruz para u v e [u v] = и x v

2 Sea g un espacio vectorial sobre K Definimos para cada XY e q [X Y] = 0 entonces g es un aacutelgebra de Lie llamada aacutelgebra de Lie abeliana

3 Sea V un espacio vectorial sobre K El espacio de endomorfismos de V con la operacioacuten de corchetes [XY] = X o У mdash У o X es un aacutelgebra de Lie En particular- para V mdash W^ se tiene el aacutelgebra de Lie real que denotamos por glbdquoi

4 Aacutelgebra de Lie asociada a un grupo de Lie G Para a e G la traslacioacuten por la izquierda La g y- ag de G sobre G es un difeomorfismo analiacutetico Dado un vector tangente X euro T^G hay un uacutenico campo vectorial invariante bajo cada L^ (es decir invariante por la izquierda) X sobre G tal que Xg mdash X En campos vectoriales se tiene la operacioacuten de corchetes (como se definioacute en el ejemplo anterior) y los campos vecshytoriales invariantes por la izquierda son cerrados bajo esta operacioacuten Es decir si X y y son campos vectoriales invariantes por la izquiershyda entonces [ Х У ] es un campo vectorial invariante por la izquierda Finalmente en el espacio vectorial TeG definimos los corchetes por [ X y ] = [ X y ] e convirtieacutendolo en un aacutelgebra de Lie que denotamos por g oacute bien Lie(G) El aacutelgebra de Lie dada es definida sobre IR

El uacuteltimo ejemplo nos dice que cada grupo de Lie G tiene asociada un aacutelgebra de Lie g atraveacutes de campos vectoriales invariantes por la izquierda Cabe hacer notar que el reciacuteproco tambieacuten es vaacutelido y su demostracioacuten requiere de mucho trabajo y teacutecnicas que quedan fuera del alcance de las presentes notas Sin embargo el siguiente resultado nos da una aproximacioacuten

Teorema 71 (de Ado) Para cada aacutelgebra de Lie q existe un espacio vecshytorial V y un homomorfismo inyectivo de aacutelgebras de Lie p 0 mdash sK )-

El homomorfismo p se llama una representacioacuten de g en el espacio vectoshyrial V lo cual permite estudiar las aacutelgebras de Lie en teacuterminos de matrices Tambieacuten observamos que hay una representacioacuten natmal de g en g mismo llamada representacioacuten adjunta y que se denota por ad

adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]

Definicioacuten 73 Dados a y b subespacios vectoriales del aacutelgebra de Lie g denotamos por [a b] =lt [AacuteB]AeaBebgt el subespacio generado por los corchetes

1 a se llama una subaacutelgebra de g si [a a] С a

2 a se llama un ideal en g si [a g] С a

Observacioacuten 71 Las siguientes propiedades se verifican faacutecilmente

1 Si a es un ideal de g entonces ga se vuelve un aacutelgebra de Lie con los corchetes indvcidos

2 g es un aacutelgebra de Lie abeliana si y solo si [ 9 9 ] = 0

3 El aacutelgebra de Lie i = 0[g g] es abeliana

Definicioacuten 74 Sea g- - g ^ definimos inductivamente g = [g~^0~^] y consideramos la cadena

El aacutelgebra de Lie g se dice soluble яг hay un entero N tal que = 0 Y un grupo de Lie G es soluble si su aacutelgebra de Lie lo es

8 La aplicacioacuten Exponencial

En esta seccioacuten abordamos la funcioacuten que permite pasar del aacutelgebra de Lie a su gi-upo de Lie y que resulta ser una de las principales herramientas en el estudio de grupos de Lie

Dado f G g tomamos un homeomorfismo 7 R -gt G tal que 7(0) = e y y (0) = p

Definimos entonces exp g G

V 7(1)

Las propiedades que satisface esta aplicacioacuten hacen llamarla apficacioacuten exshyponencial

Proposicioacuten 81 Propiedades de la aplicacioacuten exponencial

1 exp(0t7) ~ e donde e es la identidad del grupo

2 exp(iacute-I-s)v mdash exp(poundiacute) expiacutesiacute)

3 exp-f)i (exp(pound))-^

4- do exp mdash Id

Para el caso de los grupos de Lie matriciales la aplicacioacuten exponencial se reduce a la exponencial de matrices usada en los cursos de ecuaciones diferenciales como la siguiente serie de potencias

6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +

9 Ecuaciones de tipo Lie

Desde los comienzos de la teoriacutea de Lie aparece una familia especial de ecuaciones diferenciales ordinarias la cual generaUza la teoriacutea de ecuaciones lineales y la ecuacioacuten de Riccati Dicha famiUa se contempla en la siguiente definicioacuten

Definicioacuten 91 Dados un homomorJi3mo de aacutelgebras de Lie g ^ XM) y una curva ^ E mdashbull g la EDO para 7 E mdashbull M

7 ( iacute ) -A[^( iacute ) ] (7 ( iacute ) )

se llama una ecuacioacuten de tipo Lie

Francisco Gabiiel Hernaacutendez Zamora Siacutemetriacuteafi Teoi-ja de Lie y T w n a de Galois 121

Por supuesto casos particulares de ecuaciones de tipo Lie seraacuten las ecua^ ciones uumlneales y la ecuacioacuten de Riccati Probamos solo el caso de las ecuashyciones lineales en el siguiente ejemplo

Ejemplo 91 Las ecuaciones lineales

Tomarnos G = (A-B01) | A e GL(nE)B e M lt iacuteL(n + lM) con accioacuten

GxW

(^S uuml 1) A T + S

Para n = 1 con At) = at) bt) Uuml 0) se tiene

d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)

Por lo que la ecuacioacuten de tipo Lie

xt) = X4Amxt))

es la ecuacioacuten lineal xt)=at)xt) + bt)

Proposicioacuten 9 1 Sean A Ж mdash g una cwva y S Ш ^ G la solucioacuten de la EDO

St) = YA^t)IacuteSt)] 5(0) - e

Entonces sobre cualquier varillad M con grupo de transformaciones G la ecuacioacuten de tipo Lie

7(iacute)-A[A(iacute)][7(iacute)] 7(0) = P

tiene solucioacuten 7(iacute) = St) -p

10 Meacutetodo de Reduccioacuten de Lie

Sea A G X A mdash M una accioacuten y AM g una curva suave

Suponga conocida una solucioacuten 7 R mdashraquo A de la ecuacioacuten de tipo Lie asociada a A

y(iacute) = A(^(iacute))(7(iacute)) 7(0) = m

Tomemos una curva p R mdash G tal que 7(iacute) = gt) bull ra Esta 5 no es en general uacutenica pero si hay otra g es de la forma ^(iacute) = gt)ht) donde h R ^ Gm = y e G g bull m = m

Nos gustariacutea elegir h tal que g sea una solucioacuten de la ecuacioacuten de tipo Lie asociada a A ie

Sustituj-endo se reduce a la ecuacioacuten de Lie para h

donde Bt) R gbdquo - LieGm)-

Es decir se reduce el grupo donde hay que resolver la ecuacioacuten de Lie de G al grupo de isotropiacutea Gm- Asiacute el conocimiento de una solucioacuten particular a la ecuacioacuten de Lie simplifica la buacutesqueda de la solucioacuten general

El meacutetodo de Lie se puede generalizar si conocemos k soluciones partishyculares con valores iniciales 7 7 7 ] rrik 6 M entonces se puede ver que se reduce el problema de encontrar la solucioacuten fundamental a encontrarla en la ecuacioacuten de Lie en

Gtnni)^ mdash Gmi n bull bull bull n Grnfc

Si la interseccioacuten es discreta entonces uno puede calcular expliacutecitamente una solucioacuten fundamental la cual finalmente llevaraacute a la solucioacuten general

Ejemplo 101 La ecuacioacuten de Riccati

st) = ao(iacute) + 2ait)st) + a2Iacutet)st)f

Suponer que sot) es una solucioacuten conocida y hacemos

1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j

Con la accioacuten SL2R) X

tenemos que Sot) mdash gt) - O

Luego el estabilizador en O es

ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como

La solucioacuten fundamental de St) = A(iacute) bull 5iacute) se escribe St) = gt)ht) = 1 so(iacute) f ut) o

( ht) O uuml j( iacute) +a2(iacute)Ao(iacute) O - 0 2 ( 0 - a i ( iacute ) - a2(iacute)(iacute)

O 1 y V Ht) (uit))-

Encontramos que la matriz Bt) debe ser

Bt)

por lo que se reduce el problema a resolver con la Bt) anterior el sistema

ht) = Bt)ht)

el cual es soluble por integracioacuten de manera usual

vt) = ut)r iacute b2Iacuter)ur)fdT Jo

Ejemplo 102 Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema no homogeacuteneo siguiente

xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B

A G GLn R) В euro R ^ lt GLn + 1

V 0 1 y -V ^^^ Encajando R en E ^ se extiende esta accioacuten a la accioacuten lineal estaacutendar

G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1

Obser^mos que esta uacuteltima accioacuten deja invariante el subespacio a^bdquo+i = O y soluciones de la ecuacioacuten de Lie que corresponden a

At) = ( ot) bt) o O J

que estaacuten en este subespacio son simplemente soluciones para la ecuacioacuten homogeacutenea xt) = at)xt)

Suponga conocida una base para las soluciones homogeacuteneas es decir soluciones fundamentales para

xt) = at)xty x0) =

Lo cual corresponde a conocer n soluciones particiuumlares de la ecuacioacuten de Lie sobre R^^^ con las condiciones iniciales c i euron-

El estabilizador simultaacuteneo de estos puntos en R^^ es el subgrupo H lt G dado por

Gej n bull bull bull n G bdquo = fiacute =

Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1

Francisco Gabriel Hernaacutendez Zamora Simetriacuteas Teorm de Lie y Tfiacuteoria de Gaiois 125

Entonces la solucioacuten fundamental tendraacute la forma

St) = gt)ht) ( xt) 0 ( In yt)

V 0 1 y V O W De St) - At)St) se sigue sustituyendo que soacutelo debe resolverse

yt) = ixt]rbt)

Lo cual es faacutecil de integrar Esto nos da el meacutetodo claacutesico de variacioacuten de paraacutemetros

Concluimos este trabajo presentando el resultado que es el anaacutelogo al teorema de Abel el cual describe la solubilidad de ecuaciones polinomiales por medio de radicales El meacutetodo de reduccioacuten de Lie nos da la condicioacuten para que una ecuacioacuten de tipo Lie pueda resolverse por integracioacuten

Teorema 101 Sea G un grupo de Lie conexo y simplemente conexo con aacutelgebra de Lie soluble Entonces cualquier ecuacioacuten de Lie para G puede resolverse por integracioacuten

Con respecto a este uacuteltimo resultado hacemos notar que en realidad hay muchas aacutelgebras de Lie solubles en el caso de dimensiones 2 y 3 todas las aacutelgebras de Lie son solubles excepto s[(2R) y so(3)

126

Referencias

[1] R- Berlanga L Hernaacutendez y A Saacutenchez Introduccioacuten a la Geometriacutea de los Grupos de Lie Aportaciones Matemaacuteticas de la IV Escuela de Verano de Geometriacutea y Sistemas Dinaacutemicos 21 1998 1-93

[2] S Gallot D Huhn and J Lafontaine Riemannian Geometry Second Edition Springer Verlag 1993

[3] J L Guijarro Lie maacutes allaacute de la geometriacutea Primera Edicioacuten Nivola hbros y ediciones 2007

[4] S Helgason Differential Geometiy Lie Groups and Symetric Spaces Academic Preess- 1978

[5] Shoshichi Kobayashi Transformation Groups in Differential Geometry Sprhiger 1972

[6] F W Warner Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups Springer-Verlag 1983

[7] Robert L Bryant An Introduction to Lie Groups and Simplectic Geoshymetry Lectures on Lie Groups 1991

[8] Peter J Giver Applications of Lie Groups to diferential equations Springer-Verlag 1993

[9] R Uspensky Theoiy of equations McGraw-Hill 1948

[10] B Mayil Vagmian M Senthil Kumaran Similarity solutions of the Burgers Equation with Linear Damping Applied Mathematics Letters 17 (2004) 1191-1196

Dispositivos nanoscoacutepicos y relaciones de recurrencia

Alfonso Anzaldo Meneses Univers idad A u t oacute n o m a M e t r o p o l i t a n a - A z c a p o t z a l c o

D e p a r t a m e n t o de Ciencias Baacutesicas A v San P a b l o No 180

Col R e y n o s a T a m a u l i p a s Azcapotza lco

0 2 2 0 0 Meacutexico D F a l f o n B - r e x l h o t i n a i l c o m

Resumen El estudio de sistemas nano-scoacutepieos (aquellos con dimensiones de

1 0 ~ ^ a 10~ metros) es im aacuterea de gran actividad en investigacioacuten baacutesica y aplicada E n este trabajo presentamos algunos resultados que h e m o s obten ido recientemente anal izando dichos s i s temas cuando estaacuten formados por secuencias de capas al ternadas de diversos materiales Dichas secuencias son conocidas c o m o s is temas mult icapas o superre-des y son de importancia central en el desarrollo de mievoH dispositivos e lectroacutenicos Aquiacute presentamos una formulacioacuten elemental en teacuterminos de teoriacutea cuaacutent ica de la dispersioacuten que nos lleva de manera natural al es tudio de relaciones de recurrencia entre los e lementos de u n a mar triz la cual nos sirve para describir el transporte electroacutenico por dichcfi d isposi t ivos As iacute pues nos abocamos al e s tudio de tales relaciones que nos condticen a su vez entre otros toacutepicos a e s tudio de fracciones continuas de la representacioacuten de nuacutemeros en teacuterminos de ellas y no por uacute l t imo al e s tud io de ecuaciones algebraicas y su relacioacuten con el grupo simeacutetrico Se presenta de es ta manera una introduccioacuten m u y accesible al e s tudio de disposit ivos electroacutenicos de las uacute l t imas generashyciones y un viacutenculo interesante con la teoriacutea de niimeros que merece mayor atencioacuten

E] antildeo pasado el premio Nobel en Fiacutesica fue otorgado a los investigadores Peter Gruumln de Alemania y Albert Fert franceacutes por el descubrimiento de un efecto fiacutesico (GMR Giani Magnetic Resonance) que revolucionoacute a los discos duros de las computadoras actuales (ver figura 1) como tambieacuten a los senshysores en sistemas ABS de frenado en automoacutebiles al control de bandas sinfiacuten a diversas aplicaciones en robogravetica y a muchos otros fines praacutecticos Los alshycances tecnoloacutegicos de su descubrimiento hecho en la deacutecada de los ochenta son un muy claro ejemplo de la importancia de la investigacioacuten baacutesica reashylizada en instituciones de investigacioacuten gubernamentales como el Centro de Investigaciones de Juumllich en donde Gruumlnberg y colaboradores trabajan No obstante aquiacute nos interesan mas los aspectos teoacutericos matemaacuteticos y fiacutesicos subyacentes

Bajo la pauta de aquella frase ceacutelebre de Wolfgang Goethe

Es geht nichts uumlber die Freude die das Studium der Natur beschert

es el propoacutesito de esta contribucioacuten explicar someramente porque la Teoriacutea de Nuacutemeros nos ayuda a comprender al transporte electroacutenico en nanoestruc-turas

Nuestro recorrido dirigido a estudiantes y profesores de Matemaacuteticas consta de tres etapas

i) Mecaacutenica Cuaacutentica

ii) Superredes y Teoriacutea Cuaacutentica de la Dispersioacuten

ili) Fracciones Continuas Generalizadas

Entenderemos por una superred a un sistema constituido por capas homogeacuteneas de diversos materiales (conductoies aislantes yo semiconducshytores) y de espesores del orden de las decenas a centenas de nanoacutemetros (1 nm = 10~^ metros) El dispositivo experimental utilizado por Gruumln Fert y

1 Introduccioacuten

colaboradores es de tal tipo asiacute conio sus muy diversas aplicaciones

Figura 1 Un disco duro de una pulgada^

2 Mecaacutenica Cuaacutentica Elemental

El tipo de fenoacutemenos que queremos entender aquiacute son de escala siib-raicroscoacutepica y por tanto requerimos de la Mecaacutenica Cuaacutentica Afortunadashymente no nos es menester de toda su magnitud sino que nos bastaraacute tan solo ton algunos rudimentos ver por ejemplo McrzbacluT 1970) Dicha teoriacutea fue elaborada durante las primeras deacutecadas del siglo XX mediante una rishygurosa aphcacioacuten del meacutetodo cientiacutefico Paia sistemas como las superredes la resumimos en los siguientes postulados

a) Las cantidades fiacutesicas observables corresponden a operadores Her-miteanos matrices cuyas entradas son nuacutemeros complejos y tales que son iguales a sus transpuestas conjugadas) Los uacutenicos valores observables en la naturaleza son los eigenvalores de dichos operadores

b) El estado de un sistema fiacutesico esta caiacterizado exhaustivamente por un vector Ф (de im espacio de Hilbert) sobre el que actuacutean los operadoreiacuteiacute de los observables Para ima partiacutecula de masa inercial m en un campo de fuerzas con potencial Vxyz) se satisface la ecuacioacuten de Schrodinger

д ri amp 92 д dt 2т от агу- аг-^

en donde la constante de Planck h tiene un valor aproximado de 11 x 10~^^Js Se exige ademaacutes que la funcioacuten de onda sea finita en todas partes y que eacutesta y su derivada sean continuas

c) La medicioacuten de un observable fiacutesico conduce a que cualquiera de los eigenvalores puede ser obtenido pero con probabilidades en general distintas

Îmagen tomada del portal del Ceutro de investigaciones de luumlUch

Si el estado del sistema estaacute caracterizado por Ф el valor esperado de la medicioacuten del observable con operador A es

Multiplicando por Ф a la ecuacioacuten de Schrodinger para Ф y a la ecuacioacuten para Ф por Ф es faacutecil obtener restaacutendolas a la ecuacioacuten de continuidad entre la densidad de probabilidad p y ia densidad de corriente de probabil idad j

en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m

Estas relaciones son fundamentales para estudiar el comportamiento de por ejemplo electrones desplazaacutendose por un dispositivo dado como veremos Al estudio del movimiento de partiacuteculas en presencia de campos de fuerzas dados digamos electromagneacuteticos se le denomina en mecaacutenica cuaacutentica Teoriacutea Cuaacutentica de la Dispersioacuten

Con el fin de aclarar la manera en que se aplica lo anterior consideremos ahora a un problema sencillo Supongamos que queremos saber el comporshytamiento de un electroacuten de masa m que se desplaza en la direccioacuten de las X y que pasa por una regioacuten situada entre x ~ mdasha y x = a de potencial constante con Vx) = Vq y cero fuera de tal regioacuten Esta situacioacuten es una aproximacioacuten burda pero fiacutesicamente razonable para el movimiento de un electroacuten en un dispositivo sencillo formado por ejemplo por un material conductor seguido por una capa de otro material de espesor 2a y seguido nuevamente por un conductor del mismo tipo que el primero

En la figura 2 mostramos a tal potencial para Vo gt O y a dos posibles valores de la energiacutea E En caso que la energiacutea sea menor que la altura del potencial claacutesicamente la partiacutecula no puede cruzar a la barrera No obsshytante cuaacutenticamente la probabilidad de que cruce al potencial no es nula situacioacuten conocida como efecto tuacutenel fenoacutemeno que tiene grandes repercushysiones Para Vo lt O las soluciones que obtendremos son similarmente vaacutelidas

y decimos que se trata de un pozo de potencial

-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a

Figura 2 Un potencial unidimensional

La ecuacioacuten de Schrodinger es simplemente

dt 2m ox^

en la regioacuten intermedia Fuera de tal regioacuten la ecuacioacuten es la misma pero con Vo mdash 0 Para resolverla usamos el meacutetodo de separacioacuten de variables y proponemos

^xJ) = e^^^îix)

en donde pound gt uuml es la energiacutea constante del electroacuten y la fmicioacuten ipix) depende solamente de x Exigiendo ahora que la funcioacuten de onda y su derivado sean continuas en las interfaces plusmna se llega a que

C_4^ ifcr _^ 5ê^^^^ para x lt -a

s + B2e^^ para - a lt x lt a

[ÎacuteC^^ + B-ie-^ para altx

con h k 2mE y tiK = i2mVo mdash E) Las constantes Aj y Bi dependen de los paraacutemetros a k y K Para Vo lt O las soluciones en la parte intermedia son tambieacuten oscilatorias ya que n es imaginaria en tal ctiso

Ahora interpretamos a las eonstmites A y A 3 como las amphtudes de ondas que viajan hacia la derecha y a Bi y Biquest como las amplitudes de ondas que viajan hacia la izquierda Supongamos para simplificar el caacutelculo que Biquest = O esto es que solo inciden electrones desde la izquierda Entonces

tendremos que usando las condiciones de continuidad mencionadas

A-iquest _ e ^ 2 ^ deg As _ 2

Al cosh2Ka) + iacutee2)sinh2iacuteG iacutesinh2iacutea

con

De aquiacute se sigue que

u h К к

Ai А 12

Dado que el primer cociente es el moacutedulo al cuadrado de la amplitud de la onda hacia la derecha despueacutes de la barrera de potencial dividido entre el moacutedulo al cuadrado de la amplitud de la onda incidente por la izquierda se le denomina coeficiente de transmisioacuten y escribimos

2 bull

El segundo cociente es el moacutedulo al cuadrado de la ampHtud de la onda hacia la izquierda antes de la barrera de potencial dividido entre el moacutedulo al cuadrado de la amplitud de la onda incidente por la izquierda y se le denomina coeficiente de reflexioacuten Escribimos

Asiacute que

nos resume la conservacioacuten de la probabilidad misma que se puede obtener tambieacuten utilizando la ecuacioacuten de continuidad Notemos que ргдга la barrera de potencial y energiacuteas lt VQ el coeficiente de transmisioacuten seraacute en general distinto de cero lo que es el mencionado efecto tunela mismo que no deberiacutea de observarse seguacuten la fiacutesica claacutesica pero si se observa experntildenentalmente como sucede en el decainuacuteenlo radiactivo y en muchos otros fenoacutemenos

3 Superredes y Teoriacutea Cuaacutentica de la Dispersioacuten

Consideremos a una superred formada por un nuacutemero de capas de material aeotadas solo en una direccioacuten transversal Supoacutengame^ que el poshytencial Vx y) es una funcioacuten constante por pedazos con discontinuidades

n gt l

de la que obtenemos al sistema de ecuaciones acopladas

-oacuteix) + ii^ltHx) = 0 (2)

con el vector cy^ mdash (oacutei y las matrices

uiexcl = m ~ El)^ + K K = diag[ki )

y los elementos de la matriz de acoplamiento Vijnm = agravenV(pru) para x e [xjXi-i-i] Dado que el sistema de ecuaciones resultante es infinito lo truncamos en tan solo A ecuaciones Definiendo fn mdash ltPn y f-n+N = ltPn^ obtenemos

fx) = Lhfx) xe[xix+i] ( 3 )

con la matriz de 2Л^ x 2Л

La solucioacuten e s t aacute d a d a p o r

f(x) - Widafx x lt xi ltX[ lt X (5)

d o n d e la matr iz de transferencia И de la celda es

- Wix - xiexcl)Wiexcl-ixi - a v - i ) Wix2 - xi)Woxi - x) (6a)

con

(ai biquest _ f cosb(cUiacute) iacute ~^sinh(aWi)

bull C i dij iacute smh(ru) cosh(xUi)

- P a r t e d e lo s d e y a i i o l l o s de esta seccioacuten fueron r e c i e n t e m e n t e publicadoH por el a u t o r

e n c o l a b o r a c i oacute n c o n P P e r e y r a 2 0 0 7

en los puntos X = X i i = 1 iacute e infinito fuera de la regioacuten O lt y lt w Hagamos Vx lt xi) = O y Vx gt xi) = 0 Estudiaremos a superredes forshymadas por un conjunto de barreras o pozos de potencial dados por Vx y) llamadas celdas y repetidas J veces^ Buscamos soluciones de la ecuacioacuten de Schrodinger de la forma

Para un conjunto de J celdas contiguas Wûperred = ^îquestida-

La matriz de dispersioacuten S relaciona ondas entrantes $iquestn con ondas salientes ôut^ de la siguiente manera

ir t âut = S ^ i n = ^ (7a iacute r)

donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-

Aqm r and r son las amplitudes (matriciales) de reflexioacuten y t and f las de transmisioacuten a la izquierda y a la derecha del potencial respectivamente Las (p^ son las funciones de onda asintoacuteticas en uumlnfinito Las amplitudes pueden escribirse en teacuterminos de los elementos de la matriz de transferencia W Por conservacioacuten de probabilidad tenemos que

S^S = l 2 i V x 2 A S

lo cual determina relaciones para las amplitudes como

rr^ +tt^ = 1N^^

Las cantidades R = rr^ y T = tt^ se denominan coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten respectivamente y nos dan probabilidades de reflexioacuten y de transmisioacuten Son las generalizaciones matriciales para superredes de los respectivos coeficientes que vimos en el ejemplo unidimensional de mecaacutenica cuaacutentica para una barrera de potencial Asiacute pues la expresioacuten anterior nos dice que la probabifidad de transmisioacuten mas la probabilidad de reflexioacuten es uno

4 Fracciones Continuas Generalizadas

En la seccioacuten anterior resultoacute que es necesario calcular ciertas funciones de variables matriciales

^ cosh(aWt) u-i ^sinhxui)^ U i smhxui) cosh(aUiacute) ^

Wiix] =^

en donde las Ui son matrices de N x N Ademaacutes

Wsuperred - ^^celda-

Es conveniente por tanto contar con meacutetodos para evaluar funciones mashytriciales Si dichas funciones se pueden expresar como series de potencias requerimos evaluar potencias de matrices El teorema de Cay ley-Hamilton nos da m camino Si A es una matriz (no singular) de K x A entonces sashytisface su propia ecuacioacuten caracteriacutestica

MA) = eoA^-eiA^~^^-bullbull + -bull[ feK-O con 7r(A) - J](A-A-) (8) i

en donde las e son las funciones homogeacuteneas simeacutetricas elementales en las K variables dadas por los eigenvalores Xi de A eg eo = 1 ti =

e2 = X ^ K j etc Para eigenvalores no degenerados se obtiene la descomposicioacuten espectral

(A) = ^ A ( A ) ( A )

en donde los proyectores piquest pueden expresarse como

HA)

El caso mas simple es el de un solo canal (A = ] TV de 2 x 2) para el cual la matriz de transferencia para n celdas es

H = (W - (A + A ) ) r bdquo _ i ( ^ i plusmn ^ ) + r bdquo ( ^ i Iacute ^ )

en donde es el polinomio de Chebyshev del segundo tipo de orden n

Asociada a la ecuacioacuten algebraica (8) se encuentra la relacioacuten de reshycurrencia

am- + K) ^ aiam -H A - 1) + h QKOin) m gt O (9)

que obtenemos multiplicando a (8) por -4 ^ escribiendo la relacioacuten para alguno de sus elementos y tomando o mdash ( mdashl)^^^êj La solucioacuten de esta relacioacuten nos lleva a

fA)=pound SjA^

que nos provee de una conexioacuten del desarrollo espectral con el grupo simeacutetrishyco dado que los coeficientes Sj son funciones de Schur

Sea uumljim) para i mdash 1 A una solucioacuten de la relacioacuten de recurrencia (9) con coeficientes Qiquest(m) dependientes de ni y con condiciones iniciales

a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1

Definicioacuten 41 Definimos a la fraccioacuten continua generalizada de dishymensioacuten К mdash l (FCG) por las К ~ l secuencias de aproximantes

iacuteaiim)^ iacute a 2 ( m )

Estas ftacciones son tan solo un ejemplo de las muchas generalizaciones de las fracciones continuas usuales estudiadas entre otros por Euler Dirichlet Jacobi Perron Poincare Hermite Hurwitz Klein Minkowsky Voronoi y muchos otros Nuestro tipo de fraccioacuten ha sido mas recientemente estudiado sobre todo por de Bruin desde 1974 (ver referencias citadas por de Bruin 2007)

Ejemplo 41 Sea A mdash 2 y щ constantes entonces las relaciones de recushyrrencia son de tres teacuterminos

ai(m -h 2) = aiaim + 1) 4 - o 2a i (m) con ai(0) = 1 ai(l) O

a2(m + 2) = a ia2(m + 1) + Q 2 a 2 ( m ) con a2(0) = O laquo2(1) = 1-

La FCG es iacutea usual dada por el (uacutenico) aproximante De la ecuacioacuten algebraica de segundo orden tenemos que

a mdash aiuuml + Q 2 =gt a = ai-

uuml

Iterando esta relacioacuten de la manera usual obtenemos

a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +

Ejemplo 42 Sea = 3 y Qiquest constantes ahora tenemos relaciones de cuatro teacuterminos

ai(m + 3) = aiQifm + 2) +a-2ai(m+ 1)-|- asaifm) ai(0) ^ 1 ai(l) = O ai(2) = O

a2 (m + 3) = aia-2m +2) + 0 2 n 2 m + 1) + laquo302(7) U2(0) ^ Uuml 02(1) = 1 (12(2) =0

a3(m + 3J = aia3(m--2) + ajasiacutem-|-1 + 0303(7laquo) 03(0) =0 03(1) =0 a3(2) = 1

^ E n l a s M e m o r i a s d e e s t e T a l l e r p u b l i c a d a s e u 2 0 0 7 h a y d o s a r t iacute c u l o s u n o p o r R

A m e z c u a G oacute m e z y o t r o p o r M P i n e d a R u e l a s s o b r e l a s f r a c c i o n e s c o n t i n u a s u s u a l e s

La ecuacioacuten cuacutebica asociada es

i 2 W O ^ Qia -t- Q2a + Q3 ^ rt - a i + - a2 + mdash

a La iteracioacuten de esta relacioacuten resulta en

a = Qi + 1 az a V a J

02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash

e iterando nuevamente a - ai-l-

1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y

La convergencia de las fracciones continuas ha sido ampliamente estushydiada Para las fracciones continuas usuales K = 2 Pringshcim obtuvo el siguiente criterio

Teorema 41 (Prigsheim 1899) La finccioacuten continua KQ2(nain)) converge a un valor finito ai

|oi(n gt |a2(n)| + 1

para toda n Si fn denota a su n-eacutesimo aproximante entonces para toda n se cmnple

fn lt 1

Gomo ya mencionamos K = 2 corresponde al caso de un solo canal En la figura siguiente se muestra al coeficiente de transmisioacuten (liacutenea continua) para una superred formada por 12 barreras de potencial iguales La liacutenea punteada muestra la mitad de la traza de la matriz de transferencia para una sola barrera y la liacutene^ horizontal estaacute a una altura uno Notemos que hay conjuntos de 11 maacuteximos y miacutemmos separados por zonas en donde el

coeficiente de transmisioacuten es mucho menor Estas zonas prohibidas corresshyponden a las regiones para las que la traza de la matriz de transferencia de una sola capa es mayor que 2 De acuerdo al criterio de Pringsheim con

ai = TT a2 = l = Det W

estas son justamente las regiones para las cuales la fraccioacuten continua asoshyciada a la ecuacioacuten cuadraacutetica que satisface W divergen Por lo que dicho criterio es justamente el que nos indica para superredes con un solo canal como diferenciar las regiones permitidas de las prohibidas de manera sencishylla

T

Tr W2

Figura 3 Coeficiente de transmisioacuten para ]6 barreras como funcioacuten de la energiacutea

El criterio de Pringsheim ha sido generalizado no hace mucho para las FCG Para ello requerimos primero una definicioacuten de que se entiende cuando se habla de convergencia de fracciones continuas generalizadas

Definicioacuten 42 Decimos que la FCG converge si

liacutem oo alt(m)

existe y es finito para i = l K ~ 1

Alkiiisd Anziiacuteldo Mcnesas Disponiti vos nanoscoacutepicos y mlacionus de recurrencia 1 3 9

Teorema 42 (Levne 1986) Si se satisface que

K

Yaim) + 1 lt laim)| bulliexcl=2

para toda m gt O entonces la FCG asociada converge El n-eacutesimo convershygente de la FCG esto es el vector Cn - (C^C^ C^^ con Q -Qin -i- K - l)aKn + K - 1) satisface

para toda n gt 0

Esto rosultaduuml c-s de gran importancia para nosotros dado que ademaacutes de ser la generalizacioacuten del conocido criterio de Pringsheim corresponde a una condicioacuten nueva para la t raza de la matriz de transferencia que deshytermina de manera sencilla las regiones prohibidas para una superred de dos o mas canales acoplados Con este resultado concluimos el presente trabajo habiendo mostrado mediante teacutecnicas propias de la Teoriacutea de Nuacutemeros una manera de entender mejor a ciertos fenoacutemenos de transporte electroacutenico en nanoestructuras Coiresponderaacute a un futuro trabajo tal vez alguna tesis la implementacioacuten del criterio establecido

Agradecimientos

Agradezco a los organizadores del Tercer Taller de Teoriacutea de Nuacutemeros del Centra Sureste su generosidad y a la Facultad de Matemaacuteticas de la Universidad Veracruzana su hospitalidad

140

Referencias

[1] Amezcua Goacutemez R Fracciones continuas en Memorias del Segundo Taller de Teoriacutea de Nuacutemeros del Centro-Sureste UAM-Azcapotzalco y Universidad Veracruzana 2007 paacutegs 3-7

[2] Anzaldo Meneses A Pereyra P Sylvester theorem and the multichanshynel transfer matrix method for arbitrarij transverse potential profile inshyside a wave guide Annais of Physics 322 (2007) 2114-2128

[3] De Bruin MG Classical convergence theorems for generalized conshytinued fractions Numer Algor 44 (2007) 367-380

[4] Levrie P Pringsheims theorem for generalized continued fractions Journal of Computational and Applied Mathematics 14 (1986) 439-445

[5] Merzbacher E Quantum Mechanics John Wiley and Sons New York 1970

[6] Pineda Ruelas M Fracciones continuaos cuatro aplicaciones en Memoshyrias del Segundo Taller de Teoriacutea de Nuacutemeros del Centro-Sureste UAM-Azcapotzalco y Universidad Veracruzana 2007 paacutegs 45-64

La Razoacuten Dorada v los Nuacutemeros de Fibonacci

V Janitzio Mejiacutea Huguet Univers idad A u t oacute n o m a Met ropol i t anamdashAztapotza leo

D e p a r t a m e n t o de Ciencias Baacutesicas Av San P a b l o No 180

Col Rcyriosa Tan ian i ipas Azcapo l zaleo

02200 Meacutexico D F viamtieiogmailcom

1 Introduccioacuten

La sucesioacuten de nuacutemeros de Fibonacci 01123581321345589 donde cada teacutermino es la suma de ios dos precedentes Aparecen en un proshyblema sobre la reproduccioacuten de conejos con ciertos patrones reproductivos en el libro Liber Abbaci publicado en 1202 por Leonardo de Pisa (tambieacuten conocido como Fibonacci) Antes estos nuacutemeros ya habiacutean sido estudiados por los hinduacutees Gopala (antes de 1135) y Heniachandra en relacioacuten con la prosodia Sucesiones de este tipo tambieacuten llamaron la atencioacuten de Fermacirct Euler y Pell pero fueacute Lucas quien las estudioacute maacutes sistemaacuteticamente

El artiacuteculo de Lucas que aparecioacute en 1878 en el Volumen I de la Ame-rican Journal of Mathematics es de un rico contenido matemaacutetico donde relaciona estas sucesiones con varios toacutepicos interesantes como las funciones trigonomeacutetricas fracciones continuas el algoritmo de la divisioacuten y pruebas de primalidad

Los cocientes de nuacutemeros de Fibonacci consecutivos F^Fn-i convergen a la llamada razoacuten auacuterea 0 cuando n tiende a infinito Es interesante la relacioacuten entre la sucesioacuten de Fibonacci y este nuacutemero que se ha convertido en siacutembolo de perfeccioacuten

Es curioso saber por ejemplo que los nuacutemeros de Fibonacci y la razoacuten auacuterea aparecen en l a novela El coacutedigo Da Vinci y en el episodio Sabotage (2005) de la serie de televisioacuten NUMB3RS se menciona que los nuacutemeros de Fibonacci se encuentran en la estructura de los cristales y en la espiral de las galaxias

Son muchas las propiedades y relaciones que satisfacen los nuacutemeros de Fibonacci y en este trabajo probamos solamente algimas de ellas Esperashymos que nuestro trabajo sea motivacioacuten para el estudio de tan relevantes nuacutemeros No se sabe si existen una infinidad de nuacutemeros de Fibonacci que sean primos

Hemos mantenido en lo posible un nivel elemental en la exposicioacuten e incluimos un par de apeacutendices que sin ser indispensables si dan maacutes formashylidad a nuestro trabajo y miacutea breve fista de referencias

Vaya mi agradecimiento para la Universidad Veracruzana por todas las atenciones recibidas durante mi estancia en la bella ciudad de Xalapa pero maacutes auacuten por coadyuvar a la realizacioacuten de eventos como eacuteste que son valiosos para la formacioacuten de matemaacuteticos en el paiacutes Agradezco tambieacuten a Rauacutel

V bull Jaiigraveitzigraveo Mcjia HiÛfiacutet La Hazon Рогяия у ios Nuacutemeros de FiЫтаса 143

Amezcua Goacutemez por las observaciones у sugerencias heclias a este trabajo

2 Algunas relaciones entre la razoacuten dorada y los nuacutemeros de Fibonacci

Las raiacuteces del polinomio

X^ = T + 1 (1)

son el llarnado nuacutemero de oro o la razoacuten aurea denotado por ф

y su conjugado - 1 - ч5 Ф = 2

Resulta natiual trabajar en Х[ф] esto es el anillo maacutes pequentildeo que conshytiene a los nuacutemeros enteros y a la razoacuten aurea ф Este es un dominio de factorizacioacuten uacutenica que ademaacutes es el anillo de enteros del campo Q5)

Ya que la norma Nф) mdash фф mdash mdash1 resulta que el nuacutemero ф es una umdad dentro del anillo Z[0] y se puede probar (ver Apeacutendice A) que el grupo de unidaiacuteles de este anillo es б) | n G Z

El campo Q(5) forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre Q cuya base canoacutenica es В = 1 oacute

Nos preguntamos por las coordenadas de las unidades tiacute) n G Z en esta base es decir si escribimos

Ф = abdquo(p + ograve bdquo

iquestquieacutenes son iexclos enteros ar y ograver

Para encontrar dichas coordenadas paitimos de que

Ф^ = ф + 1 (2)

y multiplicando esta ecuacioacuten por tiacutegt tenemos

iquest) = 1 -roacute + O

( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1

Tomando en cuenta que

y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (3) y (4) se tiene

071 = Fnybn- Fn~i

con Fn los nuacutemeros de Fibonacci Asiacute obtenemos una relacioacuten entre las potencias enteras del nuacutemero eacute y los nuacutemeros de Fibonacci

Iacutegt = IacuteV() + Iacute _ I (5)

Ya que 0 es raiacutez del mismo polinomio (1) (o conjugando en la ecuacioacuten anterior) se tiene tambieacuten la relacioacuten

+ (6)

Restando la ecuacioacuten (6) de la (5) llegamos a las conocidas foacutermulas de Binet

Fn = mdash mdash j - mdash ^mdash para todo entero n 17) oacute mdash oacute V5

Dado que (j)^ = mdash1 podemos obtener

v5

luego

de donde los coeficientes buscados satisfacen las relaciones de recurrencia

laquo n + 2 = laquon + l + iacute tR bull (3)

y

bn+2=K+-iacute + K (4)

y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)

Sumando ahora las relaciones (5) y (6) se tiene

= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)

donde Ln mdash F^+i Ч- Fbdquo_i es el r-eacutesimo nuacutemero de Lucas De esta relacioacuten entre los nuacutemeros de Luciacuteis y la razoacuten aurea se sigue faacutecilmente que

- ( - i r L bdquo

Si ahora multiplicamos las ecuaciones (5) y (6) y usamos el hecho de que Ф + Ф = 1 obtenemos la identidad de Cassini

МфП - -ir = Fr^îFnî - Fn^ (10)

de la que en particular se sigue que Fa es primo relativo a su antecesor y a su sucesor en la sucesioacuten de Fibonacci esto es

( iacuten_bFbdquo) = ( F n f n + i ) - l -

3 El maacuteximo comuacuten divisor La identidad de Cassini es un caso particular de considerar productos de

potencias enteras de ф y ф Ahora hagamos uso de las ecuaciones (-5) y (6) paia obtener

^ Fnograve + Fn-i)Fbdquoagravegt^-Fm-i)

= -FnFn + Fn-iFrr-i + Fn-iFni + FbdquoFn~i - Fbdquo-iFbdquo)oacute

luego tenemos

( - l ) ^ - = Fn+iFrî - FnFn + iacute-Fbdquo_iFbdquo - (11)

de donde obtenemos la llamada identidad dOcagne

mdashl)^Fn-jn mdash Fm-Fn mdash FjnFn-i (12)

Luego el maacuteximo comuacuten divisor es tambieacuten un divisor de Fn-m-Cambiamos ahora n por (n mdash m) en la relacioacuten (12) y tenemos que Fm-Fn) Fn-2m Continuando con este proceso obtenemos

Lema 31 Dados enteros m y n el maacuteximo comuacuten divisor de los nuacutemeros de Fibonacci Fm У Fn es un divisor del nuacutemero de Fibonacci Fn mdashqmgt con g eZ es decir (Fm-Fn) Fn-qm-

Sean m y n enteros positivos y тг mdash qm + r O lt г lt m Si Fm Fn por Lema 31 Fm iexcl Fr lo cual es imposible pues la sucesioacuten de nuacutemeros de Fibonacci es creciente Entonces para que Fm Fn es necesario que m | n

Por otra parte si en la relacioacuten (12) cambiacuteame^ m por mdashm y usamos (8) obtenemos la conocida relacioacuten para la suma de iacutendices

Fm+n = Fm+lFn + FmFn-l- (13)

Hacemos m mdash г en (13) y obtenemos Fn F2n- Despueacutes con m mdash 2n se obtiene Fn F^n- Continuando este proceso concluimos que Fn es divisor de Fqn para cuaJesqiuacuteer enteros q y n Tenemos entonces

Teorema 31 Sean m n nuacutemeros enteros Entonces Fm F^ si y soacutelo si m n

Tomando enteros arbitrarios x y y podemos escribir la identidad (13) como

F-xm+yn ~ Fxm-lFyn + Fxm-^yn-] bull

Ya que el maacuteximo comuacuten divisor de los enteros m n es combinacioacuten hneal de eacutestos sigue de inmediato que Fm Fj) es un divisor de F^mn)- La afirmacioacuten inversa es evidente por lo que tenemos

Teorema 32 Pam la sucesioacuten de nuacutemeros de Fibonacci F bdquo n euro N cumple que

Fm Fn) = i^(mn)-

Por uacuteltimo agregamos dos relaciones maacutes En la foacutermula (13) hacemos n = m y despueacutes 7iacute = ттг -4-1 y obtenemos

F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente

4 Caracterizacioacuten de los nuacutemeros de Fibonacci

De las foacutermulas de Biuet (7) tenemos

VograveFn = r ~ oacutec

y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)

Por otra parte tenemos

-tiacute)2^ + 2(-ir + 02

y podemos escribir entonces

5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)

Es decir los nuacutemeros de Fibonacci satisfacen la ecuacioacuten de Peli

N^-bZ^ = plusmn4 (18)

Es interesante que esta ecuacioacuten caracteriza a los nuacutemeros de Fibonacci Para verlo supongamos que Z es solucioacuten de la ecuaoioacuten (18) entonces N^ = Z^ (moacuted 4) Pero los cuadrados (moacuted 4) son O y 1 de manera que en cualquier caso N = Z (moacuted 2) Podemos entonces reescribir la ecuacioacuten (18) como

[N - EZ)iN + VTjZ) ^ plusmn4

((A _ Z ) + (1 - 5 ) Z ) ( ( yen - Z ) + (1 + v ^ ) Z ) = plusmn4

Pero esto uacuteltimo significa que el uuacutemero (^^^ + Z(p^ G Z[Iacuteamp] es ima unidad y por tanto ha de ser igual a tiacuteraquo = Fnoacute + Fn-i para alguacuten entero n De aquiacute se sigue que Z mdash Fn y N = Ln- Hemos pues probado

Teorema 41 Un entero Z es un nuacutemero de Fibonacci si y solamente si 5Z^ plusmn 4 es un cuadrado

5 Generalizacioacuten del Pequentildeo Teorema de Fermacirct

En esta seccioacuten hacemos uso del hecho siguiente

Teorema 51 (Criterio de Euler) Sea p un nuacutemero primo impar Tenemos

fn pound^ - = n 2 (mod p)

para todo entero n donde () el siacutembolo de Legendre

Tenemos el

Lema 51 iacute (fgt (moacuteaacutep) SI ( l ) - 1

0 (moacutedp) si

donde O es el siacutembolo de Liendre

Demostracioacuten

Por el hecho de que los coeficientes binomiaies son divisibles por p

tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)

2lti^ = lî^Vb (moacuted p)

de donde obtenemos lo afirmado bull

Es un ejercicio sencillo ver que el Teorema 62 se sigue de este lema

Si ahora consideramos mi nuacutemero a ^ a-- b4gt pound ^[ltiexclgt tal que ap) = bp) mdash 1 tendremos

- a-^b(iexcl)Y = a + biacutejf (moacuted p)

es decir tenemos

Teorema 52 Sea a euro Zloacute] ap) = 1 SIacute iquestiquestene

o (moacuted p) A i ( | = 1

o (moacuted p) Si ( ^ ) = - 1

Tambieacuten podemos escribir este teorema de la siguiente forma

Teorema 53 Sea a G Z [ ( Iacute ] ( O ) ) = 1 entonces

i-) ^ ] (moacuted p) si = 1

aiacute+ ^Na) (moacutedp) siquest

doride N es la norma

Una consecuencia de este teorema queda establecida en la siguiente secshycioacuten

6 Todo nuacutemero primo divide a alguacuten nuacutemero de Fibonacci

Como ya hemos mencionado el conjunto 0 | riacute G Z forma el giupo de unidades del dominio Z[iacutep] en particular son primos relativos i cualquier elemento no-unidad del dominio Aplicando el Teorema 52 a estos nuacutemeros y a p un primo racional obtenemos

o si

gtc si (p = - l

Fn0^Fbdquoî (moacutedp) si (^) - 1

Fr4gt~-Fr-i (moacutedp) si ( ^ ) - - l

Fn4gt + Fn-i (moacutedp) si ^ ) - l

^Fn0--Fbdquo+i (moacutedp) si (^) - - 1

asiacute tenemos

F = bullbull pri mdash I

-Fn moacuteaacutep) si ( | ) - - 1

Fprimdash] mdash Fn-i (moacuted p) si ^) = 1

lt

Fn+i moacuteaacutep) si ^) = - 1

El caso 77 = 1 en el Teorema 61 es particularmente interesante Teorema 62 Todo primo racional p es divisor de un nuacutemero de Fibonacci maacutes precisamente Un primo racional p es un divisor de Fp-i si ( | ) = 1 y

es divisor de Fp+i si (^) = ~ 1

Demost racioacute n Hacemos n = 1 en el Teorema 61 y tenemos

Fp= i 1 (moacutedp) si ( | ) ^ 1

- 1 (moacutedp) si ( sect ) - - l

0 (moacutedp) si ( | ) - 1

1 (moacuted p) si ( p = - l

Si ahora sumamos los segundos renglones en las llaves anteriores se sigue el teorema bull

7 Los nuacutemeros enteros son divisores de nuacutemeros de Fibonacci

Al igual que en los enteros en X[(iexcl)] podemos definir la relacioacuten de equishyvalencia

Definicioacuten 71 Q = iexcl3 (moacuted 7) si 7 | (3 mdash Uuml)

En particular si 7 m euro Z y escribimos a = a--bltp p = cdiacutef) ^ tiene el siguiente

Lema 71 a~ (5 (moacuted m ) si y soacutelo sia = b (moacuted m) yc = d (moacuted m )

Tenemos entonces que existen clases de equivalencia (moacuted m)

Teorema 61 Seanp un pntildemo racional y n un entero entonces

Fn [moacuteaacutep) SI ( | ) = 1

Proposicioacuten 71 Para a 6 Z[0] se tiene que a es un divisor de cero (moacuted m) o a es una unidad (nioacuted 7n)

Demostracioacuten

Ya que las clases de equivalencia son finitas necesariamente

a^ = a (moacuted m)

para algunos m77 e N luego

a ( a ~ - l ) = 0 (moacutediacuteTj)

y se sigue lo afirmado n

Puesto que tp es una unidad de Z[^] se tiene el siguiente Corolario 71 Para cada m G N existe un G N tal que 0^ = 1 (moacuted m)

En consecuencia tenemos

Teorema 71 Todo entero nt es divisor de un nuacutemero de Fibonacci (y por torito de una infinidad)

Demostracioacuten Sea m un entero el Corolario 71 nos garantiza la existencia de un nuacutemero natural A tal que oacute^ = Ffc(iacutegt + Fk- = 1 (moacuted ni) y por tanto

m I Fk- y m iexcl F A - 1 - 1

como se afirmoacute n

8 Maacutes relaciones

Volviendo a la ecuacioacuten (5) y despejando a 0 se tiene

0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn

Considerando esta ecuacioacuten para dos enteros mn e igualando obtenemos

- Fneacute = Fm-iFn - F^Fbdquoî

usamos ahora la identidad de dOcagnc ( 1 2 ) y obtenemos una interesante ecuacioacuten ( y otra anaacuteloga por conjugacioacuten)

F gt ^ ^ - F bdquo oacute = ( - I ) Iacute - bdquo

Si ahora sumamos estas dos ecuaciones tenemos

i-îrFn-m = FnLm - FmLn) (20)

ahora cambiamos m por mdashm y multiplicamos por ( mdash 1)^

Fn+ni = -^FmLn + FnLni)- (21)

9 La periodicidad de los nuacutemeros de Fibonacci

Resulta nmy curioso e interesante que los nuacutemeros de Fibonacci sean perioacutedicos (moacuted rn) cualquiera que sea el natural m

Teorema 91 Sea m G N Entonces existe k euro N tal que Fn+k = Fk (moacuted m) para todo n G Z

Demostracioacuten Existe un nuacutemero natural k tal que = 1 (moacuted m) luego multiphcamos por 0 para obtener

De aquiacute Fn+k ^ Fn (moacuted m )

n

A los periacuteodos miacutenimos en el teorema anterior se les conoce como los periacuteodos Pisano 7Trn) en cuanto a ellos podemos probar el siguiente

Lema 91 Los periacuteodos Pisano son siempre pares a menos que m = 2

Demost racioacute n Sean m G y k = ITM) su periodo Poniendo M = k en la ecuacioacuten 20 tenemos

i v - Ffciacutep - f-l)F^_fc para todo n 6

en particular para n mdash k mdash 1 se tiene que

1 = (-1)^ (moacuted m)

de donde que k es impar a menos que m = 2 (en este caso el periacuteodo es 3) bull

V 7tiijtzi)j Mejiacutea HiiîKft- La Razoacuten D o r a d a y loa Niimems tit Filgtonic-c 153

10 Sumas fiacuteniacutetas

Paia calcular ahora la suma de los primeros n nuacutemeros de Fibonacci consideramos la suma geomeacutetrica

n

y tenemos la suma buscada

^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)

Buscamos ahora generalizar la suma anterior Sea k un entero entonces

iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+

_^Fjltigt + Fi) ^ r -n^tuk

+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^

que tambieacuten podemos escribir como

Fkiacuten+l) - Ffcn - Ffc bull mdash - - - - - S I K es par

Lfc - 2

Fk(n+l) + mdash Fk = S I A es impar

Lk

(25)

1 = lt

~ FKRI-1 - Ffc-i + 1

^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar

Hacemos uso de la ecuacioacuten (21) en la ecuacioacuten (23) y obtenemos

_ FknLk-2~l)) + FkLkn~2)

2Lk-l + -m (27)

Podemos generalizai un poco maacutes tomemos otro entero l

1-4)^

iquest iacute - l + ( - l ) = ) Eiacute - iacute^WP+^fc j+ iacute - l ) = 3=1

Usando la foacutermula (21) varias veces obtenemos una foacutermula para sumar nuacutemeros de Fibonacci con subiacutendices en una clase de equivalencia a saber (moacuted k) y de la cual todas las anteriores son casos particulares

^ p _ FiLk[n+i) - (-l)^-Xfcn - Lk)

3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))

LiFkin+i) - -l)^Fkn - Fk) + 2-l)^Fi

2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas

Tenemos la serie geomeacutetrica

(28)

tambieacuten la serie alternante

j=ti bull ltgt

Es faacutecil ver qne la serie F[x) = ^ F J + I T - donde F bdquo es la sucesioacuten de

Fibonacci tiene radio de convergencia co ahora bien

Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2

de tal manera que se tiene

F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)

El polinomio 1 mdash X mdash x tiene por raiacuteces a mdash(j) y mdash(p luego entonces

Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^

Cabe sentildealar que todo lo anterior es vaacutelido dentro del radio de convergencia de la serie 0^ Lo que en particular nos da otra prueba de las foacutermulas de

Binet

Si tomamcffi x = obtenemos

Z^ lQj+ i 89 3=1

12 Apeacutendice A El grupo de unidades de Х[ф

Teorema 121 El grupo U = 0 n euro Z) es el grupo de unidades del anillo Х[ф]

Demost гас ion Solamente debemos probar que no hay unidades и euro Ж[ф] fuera del conjunto U Para ello supongamos que existe и = а + Ьф E Х[ф] unidad con Nu) mdash 1 (podemos suponer que a О у 6 7^ 0) tal que

1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф

и а + Ьф lt 1 lt аф mdash b

Ahora bien si а gt О (entonces 6 lt 0) la primera desigualdad del rengloacuten inmediato anterior es imposible Si a lt O es imposible la segunda desigualshydad luego no existen unidades en el uitervalo (1ф) El caso J V ( I Iacute ) = mdash1 se resuelve de manera anaacuteloga

De existir alguna и unidad fuera de nuestro conjunto U necesariamente

lt u lt 0- ^

para alguacuten nuacutemero natural n (el caso n negativo es similar) Dividiendo esta desigualdad por 0 regresamos al caso anterior y queda entonces probada nuestra afirmacioacuten bull

Luego tenemos

Proposicioacuten 131 5 a iacute3 (rn Z[(p]) entonces Na) | Niexcl3) (en Z)

Tenemos enton(es los signientes

Corolario 131 Sen u euro Z[eacute] Entonces u es una unidad del anillo si y soacutelo 67 Nu) = plusmn1

Corolario 132 Si Np) mdashp con p primo entonces p es primo en

El reciacuteproco a este uacuteltmio corolario no es cieito Sin embargo ya que p I Np) euro Z es sencillo probar que

Lema 131 Si p G Z[0] es primo en este anillo entonces es divisor de un nuacutemero primo de Z maacutes precisamente Si n es el primer natural tal que p I n entonces n es primo

Para encontrar a los primos de Z[eacute] necesitarcjnos del siguiente

Lema 132 Elprimo racionoacutela es un residuo cuadraacutetico (moacuted p) uacutep = plusmn1 (moacuted 5) y es un no-residuo cuadraacutetico (moacuted p) si p = plusmn2 (moacuted p)

Demostracioacuten Consideremos a todos los primos escritos cn la forma p = lOk + con l = 1379 Entonces la ley de reciprocidad cuadraacutetica nos dice que

pj ~ ^ J 5

donde O es el siacutembolo de Legendre y se sigue lo afirmado bull

Ahora poacutedeme^ probar

13 Apeacutendice В Los primos de [ф

La norma

dada por NQ) = oo es un homomorfismo multiplicativo con la interesante propiedad de que al restringirlo al anillo de enteros toma sus valores en los nuacutemeros enteros es decir

N Ш] ~ Z

158

Teorema 131 En Z[0] los primos son

(i)

(ii) los primos racionales de la forma bk plusmn2 y

(iii) los factores a + beacute de los primos racionales de la forma 5k aacuteil y stis asociados

Demostracioacuten La norma NyE) = mdash5 que es primo en los enteros y se sigue la primera afirmacioacuten

Si Na b4gt) = p un primo racional tenemos que

a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p

es decir (2o + bf = -p (moacuted 5)

lo cual es imposible si p = plusmn2 (moacuted 5) Lo que prueba la segunda afirmashycioacuten

Por otra parte si p = plusmn1 (moacuted 5) entonces 5 ^ un residuo cuadraacutetico (moacuted p) es decir

p I - 5 mdash ( x - 5 ) ( x + 5) para alguacuten x

Si p fuese primo tendriacutea que dividir a algtmo de estos factoreSj lo que es imposible Luego p es factorizable y se s igue nuestro teorema bull

V huumlijiacutezio Mejiacuteii Hiiffuor La figraveazoacuteii Doridn y ios Nuacutemeroraquo de Fibonacci 159

Referencias

[IJ G H Hardy and E M Wright bullAn Introduction To The Theory Of Numbers Fourth Edition Oxford At The Clarendon Press (1975)

[2] Mario Livio La Proporcioacuten Aurea Editorial Ariel S A Barcelona (2006)

[3] Thoniay Koshy Fibonacci and Lucas Numbers with Applications John Wiley and Sons Inc (2001)

[4] Paulo Ribenboim The new book of prime number records Springer-Verlag 3rd ed (1989)

[5] Steven Vajda Fibonacci and Lucas Numbers and the Golden Section (Theory and Applications)

Dover Pubhcations Inc Mineoacutela New York (1989 200S)

[6] http 11 enAuumlikipediaorg fwikiFibonacci mdash nuwher

Primos en una progresioacuten aritmeacutetica

Felipe Zaldiacutevar Univers idad A u t oacute n o m uuml M c t r o p o U t a n a - I z t a p a l a p a

D e p a r t a m e n t o de M a t e m aacute t i c a s 09340 Meacutexico D F

f z c o s o i z t u a m i n x

1 Introduccioacuten

El conjunto de nuacutemeros primos es infinito como lo demuestra un arshygumento elegante de Euclides (si soacutelo hubiera un nuacutemero finito de primos entonces sumando 1 a su producto se obtendriacutea un entero que no es divisible por ninguacuten primo una contradiccioacuten) pero su distribucioacuten es complicada por ejemplo en la sucesioacuten de enteros existen lagunas arbitrariamente grandes que no contienen primos y desde tiempos remotos ha interesado estudiar primos de algmia forma por ejemplo primos en clases residuales moacutedtuumlo un entero dado y eacuteste seraacute el problema que considerareraiacuteK en este artiacuteculo El objetivo es probar un teorema de Dirichlet que afirma que existe un nuacutemero infinito de primos en cualquier progresioacuten aritmeacutetica donde el primer teacutermishyno de la progresioacuten y la diferencia entre teacuterminos consecutivos sean coprimos Los meacutetodos que usaremos son una mezcla de anaacutelisis y aacutelgebra

2 La funcioacuten zeta de Riemann

Usando la identidad elemental

1 - - (1 - s)i -b 5 -b -b bull bull bull -b s)

se calcula la suma de una serle geomeacutetrica para s lt 1

1 -b s -b -b bull bull bull -b s + - bull - =

1-8 y en forma anaacuteloga se tiene que

1 Igrave-s--s-sbullbullbull =

1 + s de donde integrando teacutermino a teacutermino se obtiene la expansioacuten en serie del logaritmo absolutamente convergente para s lt 1

2 3 2 3 log(l - | - s ) z s - Iacute - + Iacute - - H y _ log(l _ s ) = s + i - + i +

De intereacutes maacutes aritmeacutetico es la convergencia de la serie que define la funcioacuten zeta de Riemann que para un real s gt 1 estaacute dada por

1

n = l

la cual converge uniformemente para s gt 1 -t- pound para toda e gt O jâ que

y - lt y mdash nmdash1 nmdash

3 Zeta y los primos

El intereacutes aritmeacutetico de la funcioacuten zeta de Riemann lo captura el reshysultado siguiente que esencialmente guarda el teorema fundamental de la aritmeacutetica (el hecho de que todo entero mayor que 1 se factoriza en forma uacutenica en producto de primos) en una sola funcioacuten

Teorema 31 (Euler) Si s gt l es un real entonces ((-s) = J][ -mdash p

p primo Demostracioacuten Para cada primo j) gt 2 y eacute- gt 1 observemos que el factor de Euler (i mdashp)^ es la suma de la serie geomeacutetrica con razoacuten r = p^- lt 1

(1) = l^p +p~2s+jr^^ +

Ahora hagamos variar al primo p entre 2 lt p lt q para q otro primo y multipliquemos las series (1) correspondientes El teacutennino general de este producto es de la forma

donde n=2^-3^--q^ cj gt 0)

Obseacutervese que un nuacutemero n aparece de esta forma siacute y soacutelo si sus divisores primos son lt q y por el teorema fundamental de la aritmeacutetica este n apai-ece soacutelo una vez Se sigue que

pltq pn pltq

donde la suma es sobre aquellos enteros positivos n cuyas factores primos son lt q Observêmos ahora que en la suma del lado derecho en particular aparecen todos los enteros del 1 al q se sigue entonces que

o lt E n- - E lt E 11=1 pn pltg n=q-i-l

y aquiacute n~^ mdashi- O cuando q mdashgtbull o o Por lo tanto

V n - ^ l iacute m V 7-^ = liacutem n = n n = l p jn pltq pltq p p r i m o

bull

Riemami considera a como una funcioacuten de una variable compleja observando que s i s euro C y gt l u n entero se tiene que

| F | - I exp(s bull logjt)| = exp(Re(s) bull logfe) = fcî

y consecuentemente n 1

k = l ^ bull fc=l

por lo que si Re(s) gt 1 + pound entonces

n n

E mdash k=l

у asiacute la serie

converge absoluta у uniformemente en s euro С Re(s) gt 1 + e у por lo tanto define una funcioacuten holomorfa en el semiplano s G С Re(s) gt 1 Riemann demuestra que esta funcioacuten tiene una continuacioacuten analiacutetica a todo el plano complejo con la sola excepcioacuten de un polo simple en 5 mdash 1 Se sigue que (s mdashl)i^(s) se puede continuar analiacuteticamente y en particular observamos que su liacutemite cuando s mdash 1 se puede entonces calcular aproximaacutendose al 1 en el eje real por la derecha usando caacutelculo elemental por ejemplo considerando la ntildemcioacuten fx) = x~^ con s real gt 1 aproximando el aacuterea bajo su graacutefica con rectaacutengulos circunscritos con base [nn -f 1] y altura dada por el punto a la izquierda ie altura n observamos que el aacuterea de los rectaacutengulos de n = 1 a n = oo es Cs) y por lo tanto

s - l Ji

dx lt C ( s )

y en forma anaacuteloga usando ahora rectaacutengulos inscritos de base iexcln n -I-1] y altura el punto a la derecha ie altura [n + 1)~ notamos que el aacuterea de los rectaacutengulos d e n = O a n = ooes C^s) y por lo tanto

^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l

Fehpc Zaldiacuteviacuteor rrimos en una piagresioacuteiigrave aiitineacutetica 165

por lo que 1 lt (s - l)C(s) lt s - 1 + 1 ya que s gt 1 de donde se sigue que

l iacute m ( s - l ) C ( s ) = l

La idea que subyace a los argumentos que usaremcxs para estudiar la disshytribucioacuten de primos es transformar im producto infinito de primos en una suma infinita mas una funcioacuten acotada en 8 = 1 Con este fin conviene hacer la definicioacuten siguiente

Definicioacuten 31 si fis) y 2 ( 5 ) son dos funciones complejas definidas para Res) gt 1 usaremos la notacioacuten

his)-^f2s)

pam decir que la diferencia gs) mdash mdash 2 ( 5 ) es acotada cuando s l en la interseccioacuten de los dominios de 1 y f2-

En particular lo anterior sucede si liacutems_i g(s) es finito o cuando gs) es holomorfa

Proposicioacuten 31 Si P es el conjunto de los enteros primos positivos de Z para la funcioacuten zeta de Riemann se tiene que

lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~

Demostracioacuten La funcioacuten zeta de Riemann se descompone en producto de Euler

C(6-) = N ( I - )

que converge miiformemente en su dominio lo cual nos permite hacer las mashynipulaciones siguientes donde log z es la rama holomorfa del logaritmo con parte imaginaria en -n2 n2) cuando Re 2 gt O y usamos que la expansioacuten de Taylor del logaritmo para z lt 1 es log(] - z) = - X]m=i -ri

OC bdquo

у donde notamos que la funcioacuten gs) mdash J2peF ^m~2P 7 ^ satisface que

ш lt E E p-

тп=2 m

donde a = Res) Ahora para la smna Interna en esta desigualdad se tiene la estimacioacuten

deg 1 ^ 1 lt (ya que m gt 2 y asiacute 1m lt 1 2

m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^

i l ^ i - l i - p - ^ J C l + f f - ) ^ ^ l ^ l - ( i - p - 2 - ) N 2 1 -p- ^

-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1

por lo que la convergencia de Ciâ) para 2Iacute7 gt 1 + e implica que gs) es acotada en a = 1 y en s = 1 Hemos asiacute mostrado que

con gs) acotada cuando s ^ 1 por lo que

logC(s) ~ ^ p ^ peP

lo cual prueba la primera parte de la proposicioacuten Para la segunda parte como tiene un polo simple en s = 1 entonces (s mdash 1)C(^ acotada en 5 = 1 y con hmite positivo cuando s mdashraquo 1 y por lo tanto tambieacuten lo es log(s-l)C(s)y asiacute

l o g ( s - l ) C ( s ) - l o g ( s - l ) + logC(s)

Felipe ZaldivHi- Primos an una piogvesioacuten uritrneacuteuumlca 167

рог lo que logC(iacuteiacute) ~ -log(s - 1)

como se queriacutea bull

Corolario 31 iquesta senR - diverge

Demostracioacuten

Por la proposicioacuten anterior logC(s) ~ ^ ^ ^ P ^ y como vimos antes liacutem 1) = l

4mdash] +

entonces liacutem Q[s) = oc y asiacute liacutem ogCs) = 0 0 П

Definicioacuten 32 Sea 5 С Z un subconjunto de enteros positivos Si el liacutemite

liacutem S

existe diremos que S tiene densidad de Dirichlet 6S) mdash 6 Por la Proposishycioacuten 31 se tiene que

J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )

y por lo tanto podemos reescribir la definicioacuten de densidad de Dirichlet como sS) = liacutem

s-î+ l o g ( l s - 1) Veamos algunos ejemplos como consecuencia de la proposicioacuten anterior

Ejemplo 31 Si S С N es un conjunto finito entonces iquest(5) = 0 En efecto si S es finito entonces Yljias

La densidad de Dirichlet provee una medida de la razoacuten entre los elemenshytos del conjunto S y el conjunto de todos los primos P Sin embargo esta medida es cruda ya que por el ejemplo anterior antildeadiendo o substrayendo un conjunto finito al conjunto S dado no se altera la densidad de Dirichlet

El ejemplo que sigue muestra que un conjunto infinito puede tener denshysidad de Dirichlet nula

Ejemplo 32 Si 5 = n^ n euro N es el conjunto de enteros cuadrados como J2n=i = C(2) = TrVe entonces OacuteS) = 0

Ejemplo 33 Si 5 C S C N tienen densidad de Diriclilet entonces OacuteS) lt OacuteS) Esto se sigue de la desigualdad

En realidad nos interesa estudiar la densidad de algunos conjuntos de enteros primos y los primeros ejemplos son

Ejemplo 34 Si 5 = P entonces claramente OacuteF) mdash 1 Note entonces que por el ejemplo 32 se sigue que los nuacutemeros primos son maacutes densos que los cuadrados

Ejemplo 35 Si 5 C P tiene densidad de Dirichlet entonces O lt 5S) lt 1 En efecto como 5 C P y iquest(P) = 1 entonces

SiS) lt 5(P) = 1

y finalmente como la funcioacuten X^p^ toma valores positivos cuando s mdash I entonces 6S] gt 0

Una pregunta natural en este contexto es por queacute no se definioacute mejor la nocioacuten de densidad de un subconjunto de primos S C P como el cociente

Mo 1 la G S alt n dS) lim ~ ~

^ nôc ]a e P alt n y la respuesta es que esta densidad natural se parece mucho a la densidad analiacutetica o de Dirichlet que hemos estado usando si un subconjunto 5 C P tiene densidad natural d entonces su densidad de Dirichlet existe y es igual de d Sin embargo existen subconjuntos 5 C P que tienen densidad de Dirichlet pero no tienen densidad natural

4 Primos en una progresioacuten aritmeacutetica

Un problema que le interesaba a Dirichlet era el de decidir si siempre habiacutea prunos en una progresioacuten aritmeacutetica arbitraria

a a--m a + 2m a + km

con a m G N a lt m y mcda m) mdash 1 Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa iquesthay un nuacutemero infinito de primos y iquestde queacute manera se distribuyen los primos en los conjxintos

âm ~ p primo p = a mod m

Las respuestas a estas preguntas son

(1) Siempre hay primos en Fam-

2 De liecho hay un nuacutemero infinito de primos en fam-

(3) Hay (pm) conjimtos Pbdquom disjuntos y eacutestos contienen asintoticamente el mismo nuacutemero de primos En otras palabras los primos estaacuten equidis-tribuidos entre las diferentes clases residuales coprimas con m

Estas respuestas se ven tentadoramente simples pero no se conoce una deshymostracioacuten sencilla de ellas de hecho todas las demostraciones conocidas de (1) usan (2) y este no e s maacutes faacutecil de probar que (3) Maacutes auacuten si recordamos que una forma de probar que el conjmito de primos P es infinito es probando que la serie

peP

diverge lo cual formulado en teacuternnnos de la densidad de Dirichlet es equishyvalente a decir que el liacutemite

dyen) = hm - T = 1

entonces lo anterior sugiere el probar en forma anaacuteloga que la serie

pePraquo

diverge mostrando que el liacutemite

- log(s - IJ (p[m)

lo cual es la formulacioacuten precisa de (3) Note ahora que (3) implica (2) ya que si fam fuera finito s u densidad seriacutea cero Claramente (2) implica ( 1 ) y asiacute soacutelo resta probar ()

5 Caracteres de Dirichlet

Una de las dificultades en la demostracioacuten de ) es que se tienen que aislar los primos en la clase residual moacutedulo m y Dirichlet pudo hacer eacutesto introduciendo una nueva idea a saber la nocioacuten de caraacutecter del grupo

abeliano aacutee elementos invertibles moacutedulo m ie (ZmZ) S imes un nuacutemero natural un caraacutecter de Dirichlet moacutedulo m es un homomorfismo

X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C

del grupo de unidades del anillo de enteros moacutedulo m al ciacuterculo unitario en С El caraacutecter x se extiende a todo Z para definir una fimcioacuten multipficativa X Z ~ С mediante

I хй mod m) si mcd(iacutei m) = 1 10 SI mcd(a m) f= 1

En general si G es un grupo abeliano finito un caraacutecter de G es un homoshymorfismo X bull G mdashf C Como G es finito digamos de orden n los valores de un caraacutecter x G son raiacuteces n-eacutesimas de la unidad ya que si 1 G G es el elemento neutro entonces para todo cr euro G se tiene que IacuteT = 1 y por lo tanto xi^) = XIacutelt^^) = Xi^) = 1- El conjrmto de caracteres de G es un grupo abehano con el producto definido usando el producto de C y su neushytro es el caraacutecter trivial o principal x G mdash C dado por Х (сг) = 1 para todo (7 G G El inverso del caraacutecter x es el caraacutecter x dado por conjugacioacuten compleja es decir x(a) = para a euro G Usaremos la notacioacuten G para el grupo de caracteres de G

Proposicioacuten 51 Si G es un grupo abeliano finito entonces se tiene un isomorfismo G G

Demostracioacuten Por el teorema de estructura de los grupos abehanos finitos G es producto directo de subgrupos ciacuteclicos asiacute que para demostrar el teorema comenzareshymos primero considerando el caso cuando G es ciacuteclico digamos de orden m y con generador o Entonces cr = 1 y por lo tanto para todo caraacutecter X euro G se tiene que xi^) m-eacutesima de la unidad y como un caraacutecter de un grupo ciacuteclico estaacute determinado por su valor en el generador entonces hay a lo maacutes m tales caracteres Ahora para cada raiacutez primitiva rri-eacutesima de la unidad digamos ^ G C y para cada entero fc la funcioacuten Xkio^) bullmdash i^^y es un caraacutecter de G y estas funciones son diferentes para O lt A lt m mdash 1 Maacutes auacuten como Xfc(f ) = ^^ = Xi(^)i entonces Xfc = xiacute У por lo tanto G es ciacutecUco generado por Xi de orden m Se sigue que G G ya que ambos son ciacuteclicas de orden m Para finalizar la demostracioacuten basta probar que si G Gi x G2 entonces G Gi x G2 Para ver esto uacuteltimo sea G mdash Gi X G2 la funcioacuten que manda x en ( x l d х к г ) У ^^ es un homomorfismo Su inverso es la funcioacuten que manda ( х ь Х г ) en el caraacutecter X G =i Gi X G2 ^ С dado por x(5iiacute2) Xi(9i)X2(52)- deg

( 1 ) Si X ^ G entonces

G si X = X

(2) Si g pound G entonces

|G | s]g = l

uuml si f 7 1

Demostracioacuten (1) Si X = X^ entonces x^(9) ~ 1 t-odo g G Gy asiacute la primera igualdad es obvia Si X 7 ^ Xî existe h pound G tal que xi^) ^ 1 y por lo tanto

seG oumlpound6- iacutee6 ltje(7

ya que hg recorre G cuando g lo hace Se sigue que

(X1)-1)XX(5) = 0 en C iexcljef

y como x C iacute ) - 1 O entonces Y^g^c XIacute9) = Uuml-

La parte (2) se sigue del corolario anterior y de la parte (1) bull

Corolario 51 Si G es un grupo abeliano finito entonces se tiene un isoshy

morfismo natural G c^G

Demostracioacuten Se tiene el apareamiento multiplicativo en cada una de sus dos variables)

GxG ^C dado por g x) ^ XIacute9)

que define el homomorfismo

(1) G mdash Hom (5 C ) = G dado por gîx^ хШ

y observamos que su nuacutecleo es trivial ya que si denotamos con H a este nuacutecleo entonces = 1 para todo X euro 6 y todo h e H por lo que todo caraacutecter de G induce un caraacutecter en el cociente GH y asiacute G lt GIH y por lo tanto G = |G| lt gJh = GH lo cual soacutelo es posible si Я - 1 Se sigue que el homomorfismo (1) es inyectivo y como el dominio y codomiuio tienen el mismo orden entonces (1) es tm isomorfismo bull

Proposicioacuten 52 Sea G un grupo abeliano finito

Observacioacuten Si m gt 1 es un entero dado y p n i sea p la imagen de p en (ZmZ) y sea fp) el orden de p en ese grupo Asiacute por definicioacuten fp) es el menor entero gt 1 tal que p^ = 1 mod тп у tambieacuten fp) es el orden del subgrupo ciacuteclico (p) generado por p Sea gp) el orden del grupo cociente (ZmZ)p) ie gp) = фт)р) Sea д(р) el grupo de raiacuteces (p)-eacutesimas de la unidad Observe que para los homomorfismos

como p tiene orden fp) la imagen de la competicioacuten anterior estaacute formada por raiacuteces (p)-eacutesimas de la unidad ie se tiene el homomorfismo

( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )

y afirmamos que eacuteste es suprayectivo Para ver eacutesto supongamos que su imar gen es el subgrupo ciacuteclico pf С iquest pj de tal forma que ffp)- Mostraremos que = fp)- En efecto si lt (p) entonces p^ ф 1 mod m y sin emshybargo ) = XP)^ ^ I 5 para todo X- lo cual contradice la Proposicioacuten 52 que dice que

mdash raquo Ч I si a = 1 mod m ^ y SI a ^ 1 mod m

Una consecuencia de la suprayectividad anterior es que para cada raiacutez LUacute E Pfp) existen gp) mdash фт)fp caracteres x tales que xp) = ^bull

6 Funciones L de Dirichlet

Usando la nocioacuten de caraacutecter Dirichlet introdujo ima generalizacioacuten de la fxincioacuten zeta de Riemann de la forma siguiente Dado un caraacutecter de Dirichlet X moacutedulo m se define su L-serie de Dirichlet mediante

n=l

para un complejo s tal que Re(s) gt 1 Que las L-series anteriores generalizan a la funcioacuten zeta de Riemann es parte del contenido del teorema siguiente para el cual necesitaremos un resultado preliminar sobre series de la forma

00

n=l

con uumln s G C y a las que se conoce como series de Dirichlet

Lema 61 Sea J2^=i (^nn^ una sentildee de Dirichlet

(1) Si la serie converge para s = SQ entonces converge uniforrnemente en conjuntos compactos para Rcs) gt Rc(so) V su suma define una funcioacuten holomorfa en esa re)ioacuten

(2) Si la serie converge absolutamente para s = SQ entonces converge absoluta y uniformemente para Re(s) gt Re(so-

(3) Si la serie converge para s = So entonces converge absolutamente para Re(s) gt Re(so) + 1-

( 4 ) Si la serie converge para s = SQ y su suma es cero en un semiplano derecho entonces todos sus coeficientes son cero

Para demostrar la parte (1) usaremos la foacuteijnula de suma por partes si [un] vr son sucesiones de complejos y si Un = Yk= para n gt 1 entonces para todo 1 lt M lt se tiene que

A N-l

) ^ UnVn = ^ UrgtVr - Vn+l) + UNVN - UM-IVM-

n=M n = M

Esto se demuestra simplemente reemplazando Un mdash Un - Un-i en la suma del lado izquierdo reagrupando los teacuterminos que resulten y separando el uacuteltimo sumando (ie el teacutermino correspondiente an = N)

Demostracioacuten Para (1) aplicando la foacutermula (+) a las sucesioucs dadas por

an _ laquo71 1 _ bdquo

notando que por hipoacutetesis la sucesioacuten Un = Y^lî iacutec convergente y ademaacutes claramente On O uniformemente en semiplanos Rea gt Resn Por lo tanto el segundo y tercer sumandos del lado derecho de () tienden a 0 uniformemente cuando M N ^ oc Para el primer teacutermino a la derecha de () se tiene que

oo degdeg I 1 () ^ Vn - Vn+l = E

converge uniformemente en conjuntos cerrados donde Res gt Re So ya que para n lt iacute lt n - M s e cumple que

1

5 - Sol

lt sup

lt

d 1 s - So mdash sup

nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1

ns-so ( n + l ) -so lt 5 - Sol 71 l + R e ( s - S o )

y asiacute la suma () converge imiformemente en subconjuntos compactos para Res gt Reso por la prueba M de Weierstrass Finalmente como un es acotada la convergencia uniforme de (+) y el criterio de Cauchy implican que el primer teacutermino del lado derecho de () converge uniformemente en conjuntos compactos para Re s gt Re SQI y observe que como cada teacutermino de ( es holomorfo en la regioacuten dada entonces la suma tambieacuten es holomorfa en esa regioacuten

Para (2) On 1

lt y como la suma o-nn^^ 1 converge por hipoacutetesis entonces la suma J2 laquonn es absoluta y uniformemente convergente para Re s gt Re So + 1 ptgtr la prueba M de Weierstrass

Para (3) dado e gt O

an 1

donde ann^deg es acotada por hipoacutetesis y el factor ln^+^ tiene suma finita Se sigue que onn^ converge absolutamente en s = So + 1 4- e y asiacute (3) se sigue de ( 2 )

Para (4) como la serie converge a O en un semiplano derecho por (3) podemos suponer que la serie converge absolutamente en SQ A S Iacute por (2)

0nn^ O para Res gt Reso y por lo tanto

n=2

FeJipe ZaidiViU Priim^ an una progresioacuten aritmeacutetira 175

donde рог la parte (2) Yl^=2 Wnt^^l ^ Uuml por lo que oi = 0 Supongamos ahora que = a2 = bull bull bull = QjV - i = 0 Por la parte (2) Xlnt^v^ ~ ^ para Res gt Reso у por hipoacutetesis la serie

о с

converge absolutamente en -So- Ahora para Res gt Reso se tiene que

lt

y por convergencia dominada podemos tomar el liacutemite en ( ) teacutermino a teacutermhio cuando s mdashbull o o notanto que el uacutenico teacutermino que sobrevive es av y como la suma de ( +) es O para toda s se sigue que mdash O como se queriacutea bull

Note que la parte (4) del teorema anterior es una propiedad de unicidad ya que si

oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1

en un semiplano derecho por (4) se tiene que un mdash bn- para toda n

Teorema 61

(1) La serie iquest(Xr converge absolutamente para Rc(s) gt l y cn ese semishyplano tiene una factorizacioacuten en producto de Euler

(2) Si caraacutecter trivial moacutedulo m entonces Lx^s) tiene una extensioacuten meromorfa al semiplano Re(s) gt O con wn mico polo en s = 1 y eacuteste es simple Maacutes auacuten se tiene la factorizacioacuten

Нх8) = ф)111-р-^) p | m

(3) Si x Ф X^- c-ntonces la serie Lxs) converge para Res) gt O y define una funcioacuten holomorfa en esa regioacuten

Demostracioacuten Para (1) como ^ 1 У Re(s) gt 1 la serie Lx-s) converge absolushytamente en ese dominio La multiplicatividad de i-e- = Х^)хФ) para todo a 6 G 2 y la condicioacuten de que Ixiacute ^ ) ^ 1raquo implican la existencia del producto de Euler en forma exactamente anaacuteloga a como sucede para la funcioacuten zeta

Para (2) si Re(s) gt 1 aplicando la descomposicioacuten de Euler anterior para X = x se tiene que

Lix^s) = П (1 - Xdeg(p)p-r = П (1 - P~T peP m

ya que si p|7T7

si рЦт

por lo que el resultado se sigue usando la factorizacioacuten de Euler de la fimcioacuten zeta Maacutes auacuten observe ahora que el factor Пр|т^ ~ P~^) es un producto finito que no se anula para Res) gt O y por lo tanto la segunda afirmacioacuten de (2) se sigue de las propiedades de la funcioacuten zeta que recordamos en la seccioacuten correspondiente

Para (3) como x X i entonces para todo a G Z por la Proposicioacuten 52

m

() 53^^ + deg)=^-Ahora para s gt O real escribamos

= Xin) bull ^ UnVbdquo

y note que poniendo Iacute7bdquo = Ylk=i ^k la igualdad () impHca que la sucesioacuten Iacute7bdquo estaacute acotada digamos Un lt C Usando la foacutermula de suma por partes (para las sucesiones ubdquo Vn y Un) y la desigualdad del triaacutengulo se sigue que SI 1 lt M lt N entonces

1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)

donde fp) es el orden de p en (ZmZ) y gp) = ( p ( n iacute ) ( p ) (veacutease la observacioacuten al final de la seccioacuten sobre caracteres de Dirichlet) Note entonces que el factor (l -p-f^^^) ~^ es la suma de una serie geomeacutetrica con todos sus coeficientes gt O por lo que tambieacuten sucede lo mismo para su potencia gp) esima y consecuentemente tambieacuten para el producto (+) Asiacute para probaiacute

porque la primera suma del lado derecho es telescoacutepica

Observamos ahora que el lado derecho de esta desigualdad tiende a cero cuando Ai oo y por tanto el lado izquierdo tiende a cero cuando M A oc Se sigue que la serie iquest ( x s) = Yl^=i xn)ln^ es convergente para s gt O real y consecuentemente convergente para Re(s) gt O y la suma es holomorfa en esa regioacuten bull

Por la parte (3) del teorema anterior si no es el caraacutecter trivial moacutedulo ra la funcioacuten Lxs) estaacute definida en s - 1 y el resultado principal en este contexto es

Teorema 62 Si x^X^ caraacutecter de (ZmZ) entonces LX 1) 0-

Demostracioacuten Consideremos el producto de todas las funciones L para m

Zs)=XLxs)

X

y notemos que este es uii producto finito ya que soacutelo hay un mimerograve finito de caracteres de Dirichlet moacutedulo rn Aliora por el teorema anterior soacutelo uno de los factores a saber s)- tiene un polo en s = 1 el cual es simple Asiacute si sucediera que alguacuten otro factor Lxs) con 7iquest x^^ tuviera mi cero en s mdash 1 entonces este cero cancelariacutea el polo simple del factor Lx^ s) y se tendriacutea que Zs) seriacutea holomorfa para Kes) gt 0 Veremos que eacutesto lleva a una contradiccioacuten

Para comenzai como Z(s) es un producto fiacuteiuacuteto de series de Dirichlet absolutamente convergentes para Re6) gt 1 entonces Zs) misma es una serie de Dirichlet absolutamente convergente en ese dominio Probaremos ahora que todos los coeficientes de la serie de Zs) son gt 0 De hecho probaremos que para Re(s) gt 1 se tiene que

() Zs) = n ^

que todos los coeficientes de la serie Z(s) son gt O soacutelo falta probar la igualdad (+) Con este fin notemos que para Re(s) gt 1

z(s) = n te) = nnTir^ = nn =nn

Ahora fijando un primo p que no divida a m mostraremos que

donde = fp) y g mdash gp)- Antes de demostrar eacutesto observe que () imphca () en vista de la igualdad desplegada antes de () Ahora siacute para probar () observe que si p m y T es una indeterminada por la observacioacuten al final de la seccioacuten sobre caracteres de Dirichlet para cada raiacutez u euro existen g = gp) caracteres x tales que = ^ y por lo tanto se tiene la identidad

(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)

lo cual prueba (+) reemplazando T con p~^ y consecuentemente () tambieacuten queda demostrada

Finalizamos allora la demostracioacuten del teorema Para eacutesto observe que como la serie de Dirichlet Zs) converge en Res) gt O y como hemos visto que sus coeficientes son positivos entonces la convergencia es absoluta para s gt O real y consecuentemente para s complejo tal que Re(s) gt 0 Asiacute la expansioacuten en producto de Euler () es vaacutelida en Re(s) gt O y veremos que eacutesto lleva a una contradiccioacuten En efecto p a r a p m y s gt O real el p-factor de Zs) es

gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^

mdash 1-1- p-iacute(m)5 _(_ p-2ltlgtm)s _|

1 1 _ p-ltigtm)s

FcUpe Zaiduacutevir Jrimgs on una piogriitiioacuteu aritnietica 1 7 9

у рог lo tanto usando ()

bullîacute^ П ( 1 _ p-oacute(7n)s ) П (] _ p-f(p)s)gp) П 1 _ рФт)^ pm pm^ pm

p^m pm ^

(por la desigualdad de los p factores desplegada arriba)

= n ~

i l 2 mdash bullp-4Krn)s P ^ oo

= Y ^ 11=1

y notamos que en la izquierda se tiene una funcioacuten definida en s = 1 l(lgtni) gt O mientras que en la derecha se tiene una serie que diverge a --oc en s = loacutem) lo cual es la contradiccioacuten anunciada bull

7 La densidad de los conjuntos ybdquo

Para probar qne

() îâm) = lim aacuteîacute+ - log(s- - 1 ) (^(m)

sea X un caraacutecter de Dirichlet del grupo de unidades (ZmZ) y pongamos

notando que esta serie converge para 5 gt 1 real

Lema 71

(1) Si x^ es el caraacutecter principal entonces

^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )

(2) Si X X -- entonces permanece acotada cuando s mdash 1

Demost racioacute n (1) Se sigue del laeclio de que la serie ô mdash J2pim VP^ difiere de la serie UpeP ^ ^ P ^ numero finito de teacuterminos a saber los divisores primos de rn

(2) Como iquest(x s) = Il ~ xP)P~^) P^ra Re(6) gt 1 y como xp) es un complejo de modulo 1 entonces en cada factor 1 mdash x(p)p~)~^ se tiene que |x(p)p~^| lt 1 por lo que podemos usar la expansioacuten de Taylor del logaritmo corno se recordoacute al principio del artiacuteculo para obtener la serie convergente para Re(5) gt 1

donde notamos que la primera suma del lado derecho es Jxs) ya que cuando pm se tiene que xp) = 0 allora si denotamos con F^îacutes) a la segunda suma del lado derecho observamos que esta serie estaacute acotada porque n gt 2 y por el argumento usado en la demostracioacuten de la proposicioacuten 2 Por otra parte como para x X ^ a serie que define a Lxs) converge (converge absolutamente) en el semipiano Re(s) gt O (respectivamente Re(s) gt 1) y como L[x^) 7 iquest O entonces logL(xs) permanece acotada cuando s mdash I Se sigue entonces que lo mismo es cierto para ^ ( S ) como se queriacutea bull

Teorema 71 (Dirichlet) Sean m a enteros tales que O lt a lt m y mcd(a m) = 1 Sea yenam = p G P p = a mod m Entonces

eacute(m)

Demostracioacuten ^ Ip^ 1

Queremos probar que liacutem ^ ^ mdash mdashmdash y para eacutesto consideremos a la funcioacuten definida por la suma en el numerador

ga[s)^ ^ l p^

Para comenzar mostraremos que

Fclipf Zahiiviacuteuuml- Primas on una progrc-sjoii aritmeacutetica 181

donde la smna recorre todos los caracteres de (ZmZ) En efecto reemshyplazando fxis) por su definicioacuten la suma del lado derecho puede escribirse como

- E ( E ^ ) p^m X

y como

oacutem) si a~^p = 1 mod m

o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m

]0 si iacutegt ^ laquo mod m

_ iacute(p(m) si p e Pbdquoriacute

donde la primera igualdad es porque el orden del grupo (ZmZ) es oacuteim) reemplazando eacutesto en las igualdades anteriores se tiene que

E ( E Xap) _ lEp^n 0(m)plaquo si p 6 P a ^

0 Sip^yenam

_U(m)Z^p sipGFbdquobdquobdquo o si p ^ P^^

= 4)m)gas)

como se queriacutea Finalmente observe que la igualdad que hemos probado dice que

3 ( laquo ) ~ iquest y E x W y si ahora recordamos que el lema 7 1 ( 1 ) dice que ^ ( s ) logls - 1) y

el lema 7 1 ( 2 ) dice que si x ^ x entonces Jxs) permanece acotada cuando s mdash 1 entonces

X

1821

y рог lo tanto

lo cual prueba el teorema bull

Felipe Zaiacutediacutevar j- ijijuw tm una progresioacuten aiitniPtica 183

Referencias

[1] Dirichlet J P G L Beweis eines Satzes uumlber die arithmetische Proshygression Bericht uumlber die Verhandlungen der Koumlnigl Preuszlig Altad der Wiss S 108-110 1837 Werke S 307-312 Editado por L Kronecker y L Fuchs 2a impresioacuten Chelsea Bronx NY 1969

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[4] Zaldiacutevar F Introduccioacuten a la teoria de grupos Monografiacuteas de la SMM Reverte Meacutexico 2006

[5] Zaldiacutevar F Introduccioacuten a la teoriacutea de nuacutemeros FCE Meacutexico en prensa

SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA

Heuriacutestica y resolucioacuten paso-a-paso de problemas Dos estrategias de Resolucioacuten de problemas

G Mauricio Bastieacuten Montoya Univers idad A u t oacute n o m a M e t r o p o l i t a n a - A z c a p o t z a l c o

Depar t amf in to de Cicncias Baacutesicas Av Sail P a b l o No 180

Col Reynosa T a m a u l i p a s Azcapfgttzalco

02200 Meacutexico D F g m b r a c o r r e o a z c u a m i n x

R e s u m e n

La mayoriacutea de los exaacutemenes de Matemaacutet icas y Fiacutes ica estaacuten basashydos cn pruumlblcma4 lo que t iene su origen cn la creencia de que siacute los a lumnos comprenden los conceptos entonces seraacuten capaces de resolver problemas y cuando los a lumnos tiene dificultades para resolverlos cu e x a m e n o fuera de eacutes te el profesor se sorprende Para comprender eacutesta s i tuacioacuten p o d e m o s iniciar por darnos cuenta que no liay equivalencia entre comjjrender coniacuteeptos y restilver problemas

Los liacuteriincros cn estudiar es te aspec to dol pensaraicnto fueron los psicoacutelogos y no fue sino hasta finales de los 60s que cientiacuteficos de otras ramas de la ciencia los estudiaron El libro de Simon (1972) marcoacute el inicio del es tudio s i s temaacutet ico de la resolucioacuten de problemas ( R P ) los matemaacutet i cos y fisicos tardaron mi po((iacute rnaacute-s liacia la d eacute c a d a de los 8Uuml se inicia por Schocnteacuteld (19831985) en matemaacutet icas y Reiiacutef ( 19791983) en fiacutesica

U n o aspec to que Schocnfeld detalloacute cn su libro sobre R P (Schoen-feld 1985) fue el arte de resolver probleuias o heuriacutestica que aunque y a tratado por P o l y a (1960) le inyecta una visioacuten s i s temaacutet ica y clashyrifica lo que ent iende por alumnos problema y heuriacutestica en el otro ex tremo de las metodo log iacuteas de R P не encuentran aquellas que intentan describir el proceso de R P en pasos e s ta metodolog iacutea es mucho maacutes estructurada y m e n o s abierta denominada geneacutericamente paso a paso y que se encuentra en el otro extremo del t ipo do razonamiento emshypleado para resolver problemas En este trabajo abordaremos a traveacutes de рго]gt1ешан ol funcionamiento de es tas metodolog iacuteas y revisaremos sus desventajas y ventajas

1 Introduccioacuten

El objetivo de este trabajo es conocer el desarrollo de la investigacioacuten en RP y revisar dos metodologiacuteas de la heuriacutestica y la resolucioacuten paso-a-paso que si bien son fundamentalmente diferentes permiten acercarse a las propuestas didaacutecticas que surgen de la investigacioacuten Veremos ventajas y desventajas y algunos ejemplos de su utilidad para la primera parte revisashyremos trabajos de dos de los maacutes conspicuos representantes de la heuriacutestica George Polya y Alan Schoenfeld y para la segunda parte a M Caillot y una experiencia didaacutectica basada en este autor

Los problemas siempre han ocupado un lugar preponderante en la enseshyntildeanza de las matemaacuteticas sin embargo no se contemplaba la resolucioacuten de problemas especiacuteficamente en el curriculum es maacutes el teacutermino resolucioacuten de problemas es muy amplio y se entienden cosas diferentes es como el clima se habla mucho de ello pero ni se entiende ni es predecible ni se controla

Hasta 1963 todaviacutea se hablaba de que una de las funciones de los proshyfesores de matemaacuteticas era la de crear series de problemas como los que se habiacutean desarrollado en mvichos lugares del mundo los autores no estaacuten de acuerdo pero se calcula que en matemaacuteticas hasta 1965 habiacutea unos 500 trabajos que se podriacutean decir estudios sobre RP y praacutecticamente todos en aritmeacutetica elemental No fue sino hasta 1966 que una comisioacuten internacional en ensentildeanza de las matemaacuteticas seleccionoacute el papel de los problemas en el desarrollo de la actividad matemaacutetica del estudiante como uno de los tres temas para dlsciitir en el Congreso Internacional de Matemaacuteticos este mismo antildeo los comiteacutes de ensentildeanza de las matemaacuteticas aconsejaban a los profesores de matemaacuteticas la importancia de los problemas en la ensentildeanza (Kilpatrick 1969)

Hacia 1970 se inicioacute el estudio sistemaacutetico sobre RP en matemaacuteticas es la eacutepoca en que queda claro que las habilidades de caacutelculo de los escoshylares estaacute muy por encima de sus habilidades de RP lo que preocupa a los profesionales de la ensentildeanza (Resnick 3000) tambieacuten es la eacutepoca en que se recuperaron trabajos de Polya como how to solve it y los de Simoacuten (1972) sobre RP en humanos (en contraposicioacuten a las computadoras) esto trajo como consecuencia el estudio de la RP en fiacutesica trabajos ceacutelebres como los de Reiiacutef (1983) Larkin (1979 1984) y Greeno (1978) o Cauumllot (1985) incluso podemos mencionar los programas de Edgard de Bono como una continuacioacuten de estos trabajos (De Bono 1985)

El NCTM (Krulickl 980) predijo que los 80s seriacutean la deacutecada de la resoshylucioacuten de problemas era el tiempo en que se pensaba que el fin de un curso de matemaacuteticas era el de que los estudiantes fueran buenos solucionadores de problemas El pmito iacutelestacado en la Agenda fue La resolucioacuten de problemas es el foco de la matemaacutetica escolar (NCTM Agenda1980) Cabe decir que hasta el reconocido P Halmos consideroacute que la RP era el corazoacuten de la matemaacutetica (Halmos 1980) Este afaacuten de que los alumnos fueran buenos solucionadores de problemas cambiariacutea con el tiempo Diez antildeos despueacutes el mismo NCTM (1989) enuncia lo siguiente

La matemaacutetica es una materia viva que busca comprender pashytrones tanto del mundo que nos rodea como de nuestra mente y a pesar de que el lenguaje de la matemaacutetica estaacute basada en reglas que uno debe aprender es importante para la motivacioacuten de los estudiantes ir maacutes allaacute de las reglas para que sean capaces de expresar las cosas en lenguaje matemaacutetico Esta transformacioacuten sugiere cambios tanto en el contenido curriciilar como en el estilo instruccional Requiere esfuerzos renovados para enfocaise en

bull Buscar soluciones no soacutelo memorizar procedimientos

Ш Explorar patrones no soacutelo memoiizor foacutermulas

bull Formular conjeturas no soacutelo hacer ejercicios

Un poco despueacutes Schoenfeld (1992) comienza a dimensionar la RP de otra manera maacutes equilibrada y menos como el fin de la ensentildeanza de la matemaacuteshytica Unos antildeos despueacutes sus ideas son retomadas por el NCTM y se enfocan en los fines de la ensentildeanza de la matemaacutetica En Principies and Standards of school mathematics la NCTM (2000) propone que la ensentildeanza de la matemaacutetica tiene fundamentalmente 4 destinos

bull Matemaacuteticas para la vida

bull Matemaacuteticas como herencia cultural

bull Matemaacuteticas para el trabajo

bull Matemaacuteticas para cientiacuteficos y teacutecnicos

En estas cuatro aacutereas seriacutea deseable que los estudiantes dispongan de una gran cantidad de recursos y sean flexibles para resolver problemas y que los profesores ayuden a los estudiantes a refiuar y explorar conjeturas sobre la

base de evidencias utilizando una gran variedad de razonamientos у teacutecnicas de para probarlas о reftiacutetarlas se afirma en dicho documento Como se ve el eacutenfasis en estos 20 uacuteltimos antildeos cambioacute y ya no se trata de formar un eficiente solucionador de problemas sino un estudiante o profesional que sea capaz de realizar conjeturas e imaginar caminos diferentes de solucioacuten de un problema con la habilidad de seguir los que le pernuacutetan resolverlo con eacutexito y abandonar las estrategias que no lo acerquen a la solucioacuten

Parece que ahora estamos llegando a una situacioacuten en que se le ha dado finalmente su justa dimensioacuten a la resolucioacuten de problemas Pasemos ahora a explorar la primera de las estrategias para la resolucioacuten de problemas

2 Heuriacutestica

La primera edicioacuten del libro de Polya How to solve it aparecioacute hacia mediados de los antildeos 40 y sin embargo tardo unos 20 antildeos en traducirse al espantildeol y otros idiomas esto nos da idea de que no se le daba mucha importancia a este aspecto de la matemaacutetica Ahiacute planteoacute sus famosos pasos paja la resolucioacuten de problemas

bull Entender el problema

bull Configurar un plan

bull Ejecutar el plan y

bull Mirar hacia atraacutes

A la vez con estos principias incluiacutea un breve diccionario de heuriacutestica y algunos consejuumls a los profesores por ejemplo con(jcer e interesarse por su materia y permitir conjeturar y probar a los alumnos

La heuriacutestica esta formada por las estrategias y teacutecnicas usadas para resolver descubrir e inventar problemas La palabra se deriva del griego encontrar de donde se deriva la expresioacuten eureka a tribuida a Arquiacutemedes La heuriacutestica ha existido por siglos pero la disciplma se olvidoacute hasta 1945 cuando G Polya la reintrodujo en How to solve it en 1945^

Conocido es el requisito de que para ser buen solucionador de problemas se debe haber resuelto un gran nuacutemero de ellos o bien dominar las teacutecnicas

^ Para los seguidores de Polj-a existe un excelente sitio polyapower littpwwwgeucttJescuumlmpolyapower

G MiLigraveiricigraveo ВиаШи Montoya HciirisLjca у resolucioacuten рн^о-и-раьо rie ргоЫстаа 191

baacutesicas de resolucioacuten de problemas ademaacutes de tener un buen razonamiento plausible Como ven parecen razonamientos circulares Sin embargo todo profesor de matemaacuteticas sabe que tambieacuten a resolver problemas se puede ayudar a nuestros alumnos

Ya para el antildeo 2000 la NCTM en Principies and Standard for school mathematics (2000) desplaza la RP del centro de la discusioacuten у se busca que los resuelvan para resolver retos de la vida diaria o del trabajo a traveacutes del desarrollo de ciertas habilidades

bull Confianza y disposicioacuten para enfrentar nuevos retos

bull Saber buscar informacioacuten y utilizar lo que saben

bull Conocer estrategias y poder considerar otras

bull Ver un problema desde diferentes perspectivas

bull Ser buen planeador de acercamientos sin seguirlos ciegajnente

bull Monitorcar su progreso y realizar ajustes para cicerceurou-se al objetivo

Para ejemplificar estas estrategias exploremos un par de problemas que nos ayudaraacuten a ejemplificar esta estrategia

iquestCuaacutento rectaacutengulos diferentes podemos dibujar en un tablero de ajedrez normal incluyendo casillas completas y donde las divisiones de las casillas son los lados de los rectaacutengulos

Podemos comenzar por discutir con nuestros alumnos algunas de las heuriacutesticas que seguramente se van a presentar

Heuriacutestica 0 Siempre tendremos alumnos que no utihcen un razonamienshyto antes de ponerse a resolver el problema por lo que sin heuriacutestica ni imaginacioacuten ni pensamiento matemaacutetico comiencen a dibujar y contar di-reiacutetamente y iexclpronto se pierde la cuenta Tenemos que mostrar con un poco de paciencia que asiacute no se va a ninguacuten lado

Heuriacutestica 1 (Polya) De entre los problemas maacutes faacuteciles que podemos resolver para llegar al de 8 x 8 lo primero que se nos ocurre es el de 7 x 7 6 x 6 etc es faacutecil convencerse de que debemos comenzar por el de 1 x 1 y

luego el 2 X 2 etc El primero no ofrece dificultad el de 2 x 2 es tambieacuten simple y encontramas 9 rectaacutengulos

Pasamos al de 3 x 3 y encontramos 36 para 4 x 4 encontramos 100 y para encontrar un camino que nos permita recuperar estos nuacutemeros tal vez tengamos que hacer un pareacutentesis que nos desviacutee un poco del tema pero vale la pena y tal vez ayudemos a qtie nuestro hipoteacutetico alumno encuentre que estos resultados 1936100 se obtienen a partir de (1 + 2 + bull bull bull n)^ pero aquiacute lo difiacutecil es guiar al alumno a su descubrimiento A todos los profesores se nos ocurre coacutemo

Tal vez valga la pena explicar a nuestros alumnos que para determinar los rectaacutengulos en 3 x 3 es conveniente obtener los de 1 x 3 (que son 6) y luego sumar las posibilidades en ti-es filas

Heuriacutestica 2 Podemos utilizar el de 1 x 2 y mostrar que tiene 3 rectaacutengushylos el de 1 X 3 tiene 6 el de 1 x 4 tiene 10 etc o sea 1 + 2-1-34- - n y mostrar con conteo (relativamente faacutecil) que el total en la fila de 1 x 8 es de l + 2-H3 + 4-f-5 + 6 + 74-8 = 36

Luego podemos ir al de 2 x 8 que es 36 de la fila de arriba maacutes 36 de la fila de ahajo y finalmente otros 36 del combinado tratado como una sola fila o sea 3G x 3

Ahora exploramos el de 3 x 8 que es 36 + 36 + 36 de cada tmo 36 del primer combinado y 36 del segundo combinado y 36 de las tres filas tomadas como una sola en total 36 -i- 36 -|- 36 + 36 -f- 36 + 36 = 36 x 6 esto significa que con 3 filas es de 36 x 6 para 4 filas obtenemos 36 x 10 etc

Asiacute que tenemos 36 X 1 36 X 3 36 X 6 36 X 10

36 X ( )

Pero en este momento es faacutecil ver que los nuacutemeros 1 3 610 son de la forma 1 + 2 + 3-1 h n asi que en 8 seraacute de 36 por lo que en la octava fila tendremos

36 X 36

G Maiiricuj Buumlfefiaacuten Montoya Heunsticii у resolurioacuten pasomdashяmdashрачо d e p fоЫсшas 193

Heuriacutestica 3 La maacutes matemaacutetica de todas las heuriacutesticas es la que nos pershymite recuperar el conteo viacutea las posibilidades por ejemplo un rectaacutengulo queda determinado por dos lineas una arriba y otra abajo y por dos vertishycales una a la izquierda y otra a la derecha iquestDe cuaacutentos modos se pueden acomodaiacute paralelamente dos liacuteneas de 9 tomadlas de 2 en 2 ademaacutes observeshymos que cn la vertical ocurre lo mismo por lo que hay que multiplicar estos dos arreglos

Este problema y su solucioacuten esta propuesto en la paacutegina de la NCTM

Ahora los invito a pensar en el siguiente problema Cuaacutentos cubos de un nuacutemero exacto de cms de lado se pueden hacer a partir de un cubo de 100 cm de lado

Las teacutecnicas de la hemiacutestica son muy amplias pero este pequentildeo ejemplo sirve para darnos idea de por donde podemos para abrir un panorama al alumno en la resolucioacuten de problemas con esta estrategia Tanto Polya como Schoenfeld suponen que el alumno tiene suficientes bases o conocimiento declarativo que les permite comprender los canuacutenos que descubren junto con el docente

Veamos ahora la estrategia de paso a paso mas restrictiva pero que funciona bien en otras circunstancias

3 Solucioacuten paso-a-paso

Esta estrategia de RP es algoriacutetmica y se deriva del cognoscitivismo por ejemplo la maacutes conocida es la de Caillot y la de Larkin-Iiacuteeiff

Caillot (1985) propone las siguientes fases en la representacioacuten del proshyblema

El inodeluuml desarrollado por Caillot es baacutesicamente el siguiente

FASE TIPO DE CONOCIMIENTO

ENTRADA SALIDA

JRADUCCION Linguumliacutesticos Siacutembolos Eiiunciaiacutelo letras y nuacutemeros

REPRESENTACIOacuteN Semaacutenticos Simboacutelicos

Escrita Representacioacuten n o unintildecada del problema

COMPRENSIOacuteN Esquemas de conocimiento

Repreaentacioacuten no unificada

Representacioacuten interna

PLANIFICACIOacuteN Estrategia interna


Plan de resolucioacuten

EJECUCIOacuteN Algoritmos Plan de resolucioacuten Respuesta

Tabla 1

Que es muy claro en cuanto a la situacioacuten interna de entrada y de salida de cada fase Ademaacutes permite desglosar los conocimientos necesarios para cada etapa y de aqui se pueden desprender faacutecilmente las caracteriacutesticas de una ensentildeanza orientada hacia la resolucioacuten de problemas

Por otro lado un anaacutehsis detallado de los pasos o etapas que utiliza un experto solucionador de problemas es el que presentan Larkin y Reiff (1979) en su anaacutelisis de la ensentildeanza de solucioacuten de problemas de fiacutesica el experto (que puede ser un alumno avanzado o bien un profesor) sigue los siguientes pasos para resolver el problema

Construccioacuten de una solucioacuten fiacutesica poco detallada

Seleccioacuten de un meacutetodo (Fierzas Energiacutea)

Seleccioacuten de puntos claves del problema

Aplicacioacuten de un principio fundamental

Aplicacioacuten de principios secundarios

Construccioacuten de una descripcioacuten matemaacutetica

Aplicacioacuten de un principio fundamental para obtener ecuaciones

Aplicacioacuten de principios secundarios para eliininar magnitudes

Combinacioacuten de ecuaciones v resolucioacuten

El experto tiene organizados de manera coigraveierente los principios no produce ecuaciones al azar como en el caso del novicio y tiene una jerarquizacioacuten del conocimiento que le permite utilizar las ecuaciones adecuadas cuando se requieren

Las anteriores estrategias para resolver problemas tienen una base cogshynoscitiva que tambieacuten fueron utilizadas por Ferguson-Hessler y de Jong (1987) quienes a partir de la estructura de base de conocimientos y hashybilidades y el anaacutelisis de RP presentados a estudiantes de nivel universitario llegaron a la conclusioacuten de que un esquema de RP que nos permita resolver problemas es decir que sea efectivo requiere de al menos cuatro diferentes tipos de conocimiento

Conocimiento estrateacutegico de meacutetodos y formas de atacar un problema anaacutelisis de la secuencia elaboracioacuten de im plan ejecucioacuten del mismo y comprobacioacuten

Conocimiento situacional necesario para reconocer el problema y clasishyficarlo para seleccionar el conocimiento declarativo que se utifizaraacute en la solucioacuten del problema

Conocimiento declarativo de hechos principios y leyes necesarios para la solucioacuten

Conocimiento Procedural para aplicar el conocimiento declarativo al aplicar el plan

Lo anterior implica que no soacutelo es importante para el alumno reconocer el campo en que se planteoacute el problema sino tambieacuten reconocer el conocimienshyto declarativo y procedural necesario para la solucioacuten del problema Esto es baacutesico en las metodologiacuteas de RP y no podemos pensar en una nietodoIogiacutea que soacutelo se aborde con actividades que ejerciten el conocimiento procedural pues estariacutea desligada de su base el conocimiento situacional y declarativo Si bien resolver problemas en clase es necesario de ninguna manera es saifi-ciente Se requiere explicar las bases de conocimiento necesarias en el campo de problemas

A continuacioacuten se muestra un ejemplo experimentado con eacutexito en la UAM~A en el Ti-onco General de las ingenieriacuteas basado en en las invesshytigaciones citadas maacutes arriba Se trata del problema del equilibrio en un plano de un cuerpo puntual que es un problema claacutesico de un curso baacutesico

de estagravetica y que ademaacutes es la base para resolver problemas mucho maacutes complicados

El siguiente dibujo nos muestra una pintildeata sostenida por dos cables

El problema consiste en determinar la tensioacuten en los cables si se conoce el aacutengulo que forman con la horizontal y el peso de la pintildeata Este caso se puede reducir al del equilibrio de un cuerpo puntual analizando el punto donde confluyen las fuerzas A continuacioacuten mostramos un diagrama simplificado de las fuerzas que actuacutean en el centro de masa

Este problema forma parte de una familia maacutes grande de problemas y el alumno tiene que comenzar a dominar las teacutecnicas de solucioacuten de problemas de equilibrio del cuerpo puntual

Para concretizar la estrategia enunciada en la Tabla 1 se partioacute de deshyterminar la base de c(jnocimientos declarativos y la base de conocimientt)S procedurales Si se dispone de tiempo se puede apficar un pequentildeo examen disentildeado para conocer la base de habilidades y conocimientos previas paia determinar razonamientos espontaacuteneos o lagunas matemaacuteticas y fiacutesicas que

se deben de cul^rir para poder llegar a la nueva base de conocimientos deshyseada

Una vez que se conocen estas bases se organizan las etapas o pasos en que se van a construir las habilidades el aspecto crucial de esta metodologiacutea es que el alumno debe dominar completamente una etapa antes de pasar a la otra asiacute por ejemplo una de las etapas en que se dividioacute esta estrategia es la de elaboracioacuten de diagramas de cuerpo hbre lo que implica un anaacutelisis fiacutesico y la etapa siguiente es la de elaboracioacuten de diagrama simplificado de ntildeierzas para poder pasar de una a otra el almnno debe dominar la etapa previa a la perfeccioacuten

Enseguida mostramos las habilidades que se requieren para resolver proshyblemas de estaacutetica de la partiacutecula en un plano

Determinar los lados y aacutengulos de un triaacutengulo

Analizar las fuerzas presentes en una partiacutecula en un plano

Utihzar la tercera ley de Newton en un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)

Dibujar DCL

Dibujar un diagrama simplificado de fuerzas (DSF)

Obtener componentes en los ejes xyy aplicando funciones trigonomeacutetrishycas

Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones

Presentar la solucioacuten en forma vectorial

Esta base de habilidades representa a su vez la organizacioacuten en etapas en el caso de la UAM~A estas etapas se concretizaron en un cuadernillo de trabajo que el alumno debiacutea resolver durante el curso En la praacutectica es atomizar demasiado los contenidos por lo que estas etapas se se agruparon en soacutelo cuatro

bull Trigonometriacutea

bull Dibujo de diagramas de cuerpo hbre y DSF

bull Descomposicioacuten ele fuerzas y ecuaciones de equilibrio

bull Resolucioacuten de ecuaciones

Descripcioacuten del cuaderno de trabajo

El material didaacutectico que se construyoacute para poner en praacutectica esta proshypuesta es un cuaderno de trabajo en el que los estudiantes leen analizan escrilgten y dibujan sin recmrir a otros cuadernos o libros de texto y casi todos los conocimientos estaacuten disponibles ahiacute mismo el docente es el que ayuda a construir la base de habilidades y conocimientos declarativos

En el cuaderno de trabajo el lenguaje es coloquial en la introduccioacuten y se torna teacutecnico en las actividades cognitivas el lenguaje empleado es el mismo que se utilizaraacute en los problemas que van a resolver

Los dibujos siempre son como los que aparecen en los libros de texto o en los exaacutemenes y en la presentacioacuten de nuevos conocimientos se pasa de dibujos de menor a mayor complejidad

Los enunciados poco a poco se estructiu-an hasta ser los de un tiacutepico hbro de texto o examen Este aspecto fue el que maacutes dificidtades planteoacute pues los enunciados dan por supuestos muchos aspectos que el alumno puede desconocer es mejor discutirlos con el profesor y aclarar las dudas en el saloacuten de clase a que se elaboren enunciados bien redactados pero que no reflejan lo que habraacuten de enfrentar los alumnos en una situacioacuten de examen

La longitud de las notas es suficiente para cubrir la mitad de las primeras 5 sesiones la otra mitad de las sesiones se vitiliza para presentar un panorama mucho maacutes amplio de los conceptos que se trabajan Por ejemplo la fuerza de friccioacuten se presenta soacutelo como una fuerza sin dar su origen ni otras aplicaciones que no sean la de oponerse al movimiento en cambio un profesor sabe que se debe profundizar en su origen y sus aplicaciones tecnoloacutegicas

La autonomiacutea de las notas se ha cuidado para que el alumno pueda reashylizar las actividades sin tener que consultar otras fuentes lo que obviamente lo hace de aplicacioacuten muy restringida pero muy uacutetil para nuestros fines

La parte escrita del material didaacutectico consta ademaacutes de una introducshycioacuten dirigida al estudiante tres partes que abordan los siguiente contenidos

Primera Parte

Triaacutengulos y funciones trigonomeacutetricas

Segunda Parte

Interpretacioacuten de diagramas de problemas de Equilibrio de la Paitiacutecula

Fuerzas que aparecen en problemas de estaacutetica de la partiacutecula

Definicioacuten de Diagrama de Cuerpo Libre (DCL)

Seleccioacuten del punto para realizar el DCL

Realizacioacuten de DCLs y DSF

Tercera Parte

Ecuacioacuten de equilibrio de la partiacutecula

Descomposicioacuten de fuerzas

Aplicacioacuten de la ecuacioacuten de equilibrio a los DSFs

Cuarta Parte

Ecuaciones simultaneas algebraicas

Ecuaciones simultaneas trigonomeacutetricas

Planteamiento y resolucioacuten de problemas de estaacutetica de la Partiacutecula

Enunciados de las soluciones en problemas de estaacutetica de la partiacutecula

En siacutentesiS esta propuesta de RP paso a poso impl ica que primero se estrucshyture el conocimiento cn bases de conocimiento se realice un pequentildeo examen para conocer lagimas y razonamientos espontaacuteneos despueacutes se organizan las etapas o pasos preferentemente entre tres y cinco se concretiza en alguacuten medio que puede ser el pizarroacuten apuntes cuaderno de trabajo plataforma a distancia etc Se escriben los ejercicios que representan las salidas que se describen en la Tabla 1 en creciente orden de dificultad para que el alumno sepa lo que se espera de eacutel y finalmente se verifica el avance eu los ejercicios finales que representan la integracioacuten del conocimiento El docente verifica el dominio de cada paso y procina tener el nuacutemero suficiente de ejercicios para lograr el dominio completo antes de que el alumno entre al siguiente paso

Observemos que se desarrolla una estrategia de solucioacuten no para un proshyblema especiacutefico sino que es toda una clase de problemas los que se abordan

Cierto que no se trata de lui aspecto de grado de dificultad elevado pero a los alumnos se les complica por su falta de preparacioacuten matemaacutetica Los resultados numeacutericos y el anaacutelisis de las entrevistas muestra que mediante esta metodologiacutea los alumnos disponen de una estructura firme para resolver problemas de estaacutetica del cuerpo puntual

4 Conclusiones

Cada vez maacutes en la ensentildeanza de la fiacutesica y las matemaacuteticas estamos lejos de pensar que el aprendizaje es la acunuuumlacioacuten de conceptos y asoshyciaciones y cada vez maacutes nos acercamos a la idea de que el aprendizaje es la reinterpretacioacuten estructuracioacuten y adaptacioacuten a nuevas situaciones de un conocimiento especiacutefico es precisamente en este proceso que la RP juega mi papel importante para lograrlo Lejos de proponer listas de ejercicios o problemas de fin de capiacutetulo la investigacioacuten en RP nos ha ensentildeado que la presentacioacuten de heuriacutesticas o metodologiacuteas paso a paso y explicitacioacuten de bases de conocimiento son mucho maacutes efectias para la RR

Los acercamientos a la solucioacuten de un problema dependen de la metoshydologiacutea empleada en un caso -heuriacutestica- se discuten las implicaciones de varios caminos de resolucioacuten y se logra un aprendizaje maacutes a fondo en una situacioacuten especiacutefica En el otro caso -paso a paso- se profundiza menos se abarcan menos problemas diferentes pero se logra que los alumnos resuelshyvan correctamente un conjunto de problemas y desarrollen una metodologiacutea de RP que en etapas tempranas de ima licenciatura es importante para estructurar el pensamiento del alumno

La heuriacutestica es sin duda una estrategia que requiere un excelente doshyminio de la materia por parte del profesor de otro modo se corre el riesgo de no poder dirigii adecuadamente id aliunno y hacerle sentir que en efecto resolver problemas es demasiado complicado

Una metodologiacutea paso a paso permite que el profesor elabore mas deshytalladamente la teoriacutea y prepare material masivo con calma y anticipacioacuten tambieacuten permite que el alumno empiece a construir estrategias de RP y cidquiera consciencia de que para resolver problemas de matemaacutetica o fiacutesica no soacutelo se requiere inspiracioacuten o mira-r fijamente el problema hasta que se ocurra la solucioacuten sino que se requiere de un trabajo previo de preparacioacuten para abordar con eacutexito la RP

Una es-trategia muy comuacuten entre quienes tienen una concepcioacuten muy

G Mauricio Bigraveugtli6ii Montoya Hciiristica y rfsoluvioacuten pft-so-a -potiacuteo de prohigraveeiiiiis 201

simplista de la ensentildeanza es la presentar y resolver dos o tres problemas y esperar que el alumno los resuelva por imitacioacuten Es una estrategia alejada de la estructuracioacuten del conocimiento que no distingue entre conocimienshytos declarativos y procedurales y produce una conducta que se extingue raacutepidamente en el alunuio

En cambio la heuriacutestica la estrategia de paso a paso y la estructuracioacuten y exphcitacioacuten de las bases de conocimiento muestran de modo natural la necesidad de interrelacionar el cont)cimiento procedural y el declarativo para obtener un buen resultado y desarrollan en el alumno herramientas de anaacuteU-sis con persistencia del aprendizaje por estar firmemente estructuradas Un anaacutelisis criacutetico de nuestra labor en la ensentildeanza de la fiacutesica y la matemaacutetica y en especial de la RP nos permite darnos cuenta de que es necesario amshypliar el panorama que tiene un alumno para abordar el anaacutelisis y solucioacuten de problemas para lo cual estas dos metodologiacuteas son un punto de partida conveniente y para comenzar a ensayarlas en el saloacuten de clase no se requiere de grandes dispositivos tecnoloacutegicos ui largas series de ejercicios repetitivos sino plantearnos una estrategia de RP para desarrollaila con nuestros alumshynos

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[7] Krulik S (ed) (1980) Problem solving in school mathematics (1980 Yearbook of the National Council of Teachers of Alathematics) Reston VA EUA

[8] Larkin J y Rainard B A (1984) Research methodology for studyng how people think Joumal of Research in Science Teaching 21(3) 1984 p 235- 254

[9] Larkin J ReifF (1979) Understanding and teaching problem solving in physics European Journal of Science Education V 1P 2 1979191-203

[10] Mathieu J Caillot M LEnseignement de la reacutesolution de problegravemes Annales de didactique des sciences V 11 1985 26-35

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G Mauricio Biistioacuten Montoyn fifurfcCkvi gtbull resolucioacuten piiso-a -paso de problemtbs 203

[13] NCTM Principies and Standard of school matematics (2000) (en liacutenea) disponible en httpstaudardstrialnctmorgdocumentchapterlindexhtm httpstandiirdstrialnctmorgdocumentchapterlindexhtm (consultado el 130108)

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[16] Reiff F and St John M (1979) Teaching physicists thinking skills in the laboratory American Journal of Physics 47 950-957

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[19] Schoenfeld A H (1992) Learning to think mathematically Proshyblem solving metacognition and sense-making in mathematics In D Grouws (Ed) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (pp 334-370) New York MacMillan

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[21] Simoacuten H A Newell A (1972) Human problem solving Englewood Cliffs N J Prentice-Hall 1972

[22] Vye N J Goldman S R et al (1997) Complex Mathematical Problem Solving by Individuals and Dyads Cognition and Instruction Vol 15 No 4 pp 435-484

204

Introduccioacuten a los Sistemas Dinaacutemicos mediante ejemplos de aplicacioacuten

Dedicado a la mcmoria de Rogelio Herrera Madrid El Mago (1920-2001)

Rogelio Herrera Aguirre Univers idad A u t oacute n o m a M e t r o p o l i t a n a - A z c iacute ^ o t z a l c o


Co R e y n o s a T a m a u l i p a s Azcapotza lco

02200 Meacutexico DF r h a reg c o r r e o a z c u a i n m x

Resumen U n primer curso de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en difeshy

rencias presentados para alumnos de diversas carrcriacuteis poi- ojeuiacuteplo economiacutea ingenieriacutea biologiacutea puede ser mot ivado mediante ejemplos de aplicacioacuten tlentro de sus aacutercfis de intereacutes y puede aprovecharse tamshybieacuten para presentar conceptos baacutesicos de los s is temas dinaacutemicos que a d e m aacute s de su importancia matemaacuteticra resulten de uti l idad dentro de tal contexto con esa idea eu es te triacuteibajo se presenta una forma de abordar dichos t emas de m o d o ciue resulte interesante para los a lmnnos mencionados este escrito tuvo s u origen en una ponencia presentada dentro del Tercer Taller de Teoriacutea de Niuneros del Centro -Sureste en la Factultad de Matemaacutet icas de la Universidad Veracruzana presentacioacuten que se relizoacute en la sesioacuten orientada a los estudiantes de la Maestriacutea en M a t e m aacute t i c a Educat iva de dicha inst itucioacuten

1 Introduccioacuten

En un curso como el aqm supuesto se presume por parte de los alumnos soacutelo conocimientos baacutesicos de caacutelculo de una variable es eacuteste el primero en que los alunmos trabajan con ecuaciones funcionales ie ecuaciones en donde las variables incoacutegnitas a determinar pertenecen a un conjunto adecuado de funciones en lugar de a uno de nuacutemeros como es usual en cursos previos

Por otro lado en la iniciacioacuten de los estudiantes en el uso de las Ecuashyciones Diferenciales y de las Ecuaciones en Diferencias se debe poner eacutenfasis en su utilidad como herramientas de modelacioacuten particularmente en el caso de alumnos como aquellos a los que estaacute dirigido este trabajo es en razoacuten de lo anterior que procedemos presentando ejemplos sencillos de aplicacioacuten para introducir nuestros objetos de estudio a saber las multicitadas ecuashyciones

Es importante anotar que se busca tambieacuten evidenciar el paralelismo de la modelacioacuten continua con la modelacioacuten discreta

2 Presentacioacuten

1 Considere que se invierte el capital CQ a una tasa de intereacutes i aphcable perioacutedicamente (el periacuteodo puede ser semanal mensual trimestral o alguacuten otro) queremos determinar como se acumula el capital en funcioacuten del tiempo que se mantenga la inversioacuten

a) Si suponemos que el tiempo se comporta como una variable discreta estamos buscando determinar G el capital en el periacuteodo t en fimcioacuten de t como variable discreta que aqm representa al tiempo Para conseguir esto iniciamos calculando los primeros valores de Q

Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2

C3 = (1 + iquest)^CQ

Rpiacutejclin HcrTcra Agtiiriv Inl nyduccioacuten a ios Sistemiis Diiiaacutemicoiacute 207

Con la ayuda de las identidades anteriores podemos plantear como hipoacutetesis inductiva

Ct-i = l + iyCo

obteniendo entonces para el periodo iacute

Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)

Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones funcionales donde la incoacutegnita a determinar es la funcioacuten Cf en f3) tenemos la expresioacuten de una solucioacuten de las ecuaciones mencionadas ie que si sustituimos dicha expresioacuten de manera adecuada en ( 1 ) o (2) las identidades correspondientes se satisfacen

b) Si suponemos que el tiempo se comporta como una variable continua estamos buscando determinar C() el capital en el tiempo iquest en funcioacuten de t como variable continua Para proceder consideremos que si el capital en vm mstante t toma el valor Ct despueacutes de un intervalo de tiempo Ai eacuteste se incrementa en iAtC(f) lo cual es exacto si At = 1 ya que en este caso dicho incremento corresponde a aphcar la tasa a un soacutelo periacuteodo pero en realidad aquiacute Ai corresponde a cualquier intervalo de tiempo No obstante el modelo que resulta al considerar que Ai tiende a cero es como veremos compatible con el modelo discreto el cual no requirioacute hipoacutetesis adicionales

Con las consideraciones anteriores se tienen las ecuaciones siguientes

Ci + At) = Ct)+iAtCit)

Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai

hm ^ T-^ mdash = hm iCU) Ai-Ô At A ^ Uuml

C(t) - iCt) (4)

Esta uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten funcional donde la incoacutegnita a deshyterminar es la funcioacuten Cf) obseacutervese que en la expresioacuten correspondiente aparece ademaacutes de la funcioacuten incoacutegnita su derivada por esta razoacuten se dice que tenemos una ecuacioacuten diferencial Para resolverla consideremos que

^ ^ dt

lo que sustituido en (4) da origen a las siguientes ecuaciones

dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)

iacute iacute bull H

inCt) ît + k

Ct) mdash exp(A) exp(iquestpound)

C[t) = aexpiit)

Esta uacuteltima expresioacuten corresponde a una familia de funciones que depende del paraacutemetro a el cual es un valor real por determinar obseacutervese que k era la constante de integracioacuten y que si bien expc) necesaiiamente es positivo a varia en todos los reales primero por el hecho de haber eliminado el valor absoluto que se aplicaba a la funcioacuten Ct) podemos considerar valores de a negativos y si bien dentro del procedimiento para resolver la ecuacioacuten al dishyvidir entre Ct) impliacutecitamente se estaacute tomando Ct) ^ O y en consecuencia uo valdriacutea tomar a = O es claro que la funcioacuten C(iacute) ^ O si es solucioacuten de la ecuacioacuten(4) y entonces podemos tomar tambieacuten a = 0 todas las funciones de la familia encontrada son soluciones de la ecuacioacuten diferencial (4) ie si sustituimos cualquiera de ellas en tal ecuacioacuten la identidad se satisface Para determinar cual de estas funciones es la que modela el comportamienshyto del capital en funcioacuten del tiempo consideremos que CQ) = Co y en consecuencia tenemos

Cfl - C(0) = acxp(iquest- 0) = a

Ct) = Cocxpit) (5)

si allora revisamos la ecuacioacuten (3) que es la prediccioacuten sobre el comporshytamiento del capital que se obtiene al considerar que el tiempo se comporta como una variable discreta teniendo en cuenta propiedades baacutesicas de las funciones logaritmo y exponencial se tiene

Q - (1 + ifCo = Co exp(ln(l + i)t

Obseacutervese de esta representacioacuten que la prediccioacuten discreta difiere de la continua dada en la ecuacioacuten (5) soacutelo por la aparicioacuten de ]n(l + i) en el lugar donde en eacutesta se encuentra i luego como se puede justificar que

entonces podemos afirmar que para valores pequentildeos de i

ki(l -Ьг) iacute=5 iacute

Ahora si en la ecuacioacuten (1) incrementamos en uno la variable iacute e introshyducimos un operador fundamental para las funciones de variable discreta el operador primera diferencia definido como sigue

ACi mdash C+1 mdash Ct

entonces obtenemos las siguientes expresiones

Ciacute+i mdash -b iCt

Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)

Esta uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten funcional donde la incoacutegnita a deshyterminar es la funcioacuten Ct observe que en la expresioacuten resultante aparecen tanto la funcioacuten incoacutegnita como su primera diferencia por esta razoacuten se dice que tenemos una ecuacioacuten en diferencias tambieacuten las dos ecuaciones previas a la (6) son ecuaciones en diferencias en general una ecuacioacuten funcional en la que la funcioacuten incoacutegnita dependa de una variable discreta y en la que aparezca evaluada en diferentes puntos de su dominio es una ecuacioacuten en diferencias Si por otro lado en la ecuacioacuten (4) denotamos C[t) mediante DCt) donde D es el operador derivada obtenemos la siguiente ecuacioacuten

DCt) = iCt) ( 7 )

Finalmente para este ejemplo podemos observar la semejanza entre las ecuaciones (G) y (7) la primera ecuacioacuten en diferencias y la segunda dishyferencial observe que para pasar de una a otra soacutelo hay que intercambiar los operadores A y D e intercambiar las representaciones de la funcioacuten incoacutegnita

2 Considere ahora un preacutestamo de monto A a una tasa de intereacutes i aplicable peiioacutedicamente (el periacuteodo puede ser semanal niensual trimestral o alguacuten otro) en el supuesto de que tal adeudo se salde mediante abonos fijos de monto a pagaderos en cada periacuteodo de capitalizacioacuten queremos determinar como se comporta el saldo S en funcioacuten del tiempo

a) Si suponemos que el tiempo se comporta como una variable discreta estamos buscando determinar 5 Iacute el saldo en el periacuteodo f en funcioacuten de t como ariable discreta que aquiacute representa al tiempo Para conseguir nuestro objetivo iniciamos (calculando los primeros valores de St

Si = So + iSo mdash a

Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a

3-2 = Si -- iSi mdash a

S2 = l + t)Si-a

S2 = l+i)[il+i)M ~a]-a

S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a


Si-i = i+ iy-^M - (1 + ( 1 + i) + ( 1 -h iacutef +

obtenieacutendose entonces para el periodo t

Si = St-i + iSt-i mdash a

+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J

St = (1 + iquest)(1 + i)-Hiacute - [1 + (1 + z) + bull bull bull + (1 + iy~^]a - a

St = l + ifM - [1 + (1 + iquest) + + (1 + i)iacute-ija

Por otro lado dada la identidad

a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O

si identifiacutecamos en (9) (1 - j - i) con q dado que i gt O obtenemos

fl+гУ-l

(9)

10

Si en la ecuacioacuten inmediata anterior a la (8) incrementamos en uno la variashyble discreta t obtenemos

5iacute+i = St + iSt - a

St+i mdash St = iSt mdash a

ASf = iquest5 mdash a (11)

Las ecuaciones (8) y (11) son expresiones diferentes de una misma ecuacioacuten en diferencias y en las foacutermulas (9) y (10) se dan dos representaciones de una solucioacuten de dicha ecuacioacuten solucioacuten que indica el comportamiento del saldo en funcioacuten del tiempo

6) Si suponemos que el tiempo se comporta como una variable contimia estamos Imscando determinar St] el saldo en el tiempo iacute en funcioacuten de f como variable continua

Haciendo consideraciones como las planteadas en la parte b] del ejemplo 1 obtenemos

5(iacute + Ai) = St) + iAtSit) - aAiacute

5(iacute -f Ai) - St) = iAtSt) - oAt

AimdashO

St) = iSt)-o (12)

Como en el primer ejemplo esta uacuteltima ecuacioacuten diferencial obtenida usanshydo el modelo continuo se corresponde con la ecuacioacuten en diferencias (11) la cual se sigue del mtjdelo discreto

Resolveremos la ecuacioacuten (12) mediante un artificio que nos remite a la ecuacioacuten (4) si bien este procedimiento no es el usual para resolver este tipo de ecuaciones siempre es uacutetil percatarse de diferentes formas de abordar un problema para proceder de esta forma a resolver la ecuacioacuten (12) usaremos que al derivarla se obtiene

St) = iSit)

Haciendo el cambio de rariable y = St) se llega a la ecuacioacuten

yt) = iyt)

Que es de la misma forma que la ecuacioacuten (4) y en consecuencia su solucioacuten general es

yf) = ampexp(iacuteiquest)

con b 1Ш paraacutemetro por determinar Luego como 6ехр() = y(t) mdash 5(iacute) entonces St) es una primitiva de

6exp(iiacutej de donde se tiene

St) = mdash 6 y exp(iquestiacute)ciacuteiacute

St) = ^ exp(iquestiacute) + B (13)

donde b y B son constantes de integracioacuten que deben determinarse para encontrar St) la funcioacuten que modela el comportamiento del saldo con el

St) = Mexpiiacutet) - | Ê(IacuteLJ^ a (15)

Si reescribimos las ecuaciones (10) y (12) usando el operador derivada y propiedades de las funciones logaritmo y exponencial obtenemos

X e x p ( I n ( l + 7 ) iacute ) - 1 5iacute = Mexp(ln(l + iquest ) iacute ) - W

DSt) - iSt - a (17)

Esta nueva forma de las ecuaciones permite percatarse del paralelismo entre las formas continua y discreta de modelar a saber las ecuaciones (11) y (17) son respectivamente la ecuacioacuten en diferencias y la ecuacioacuten diferencial que junto con la condicioacuten iniciar adecuada modelan el problema planteado ea este ejemplo y las ecuaciones (16) y (15) son las soluciones respectivas

objeto de conseguir esto sustituimos de manera adecuada la funcioacuten dada en (13) dentro de (12) obteniendo

bcxpit) = bexpii) + igraveB mdash a

y cu consecuencia

i sustituyendo esta expresioacuten para B en (13) se sigue

5(iacute) = -exp(iquestt) + (14) i i

luego observando que S(0) = A se sigue

M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a

Sustituyendo esta uacuteltima expresioacuten para h en (14) se obtiene la solucioacuten buscada

5 ( ) = f ^ Iacute ^ ) e x p ( iquest ) 4 - ^

de tales ecuaciones que prcdiccu el comportamiento del saldo respecto del tiempo

3 Las ecuaciones diferenciales que apaj-ecen cn los dos ejemplos anterioshyres representan casos muy particulares de una ecuacioacuten como la siguiente

donde y es la funcioacuten incoacutegnita la cual depende de la variable t esta es la fonna usual de las ecuaciones de primer orden que se estudian en un primer curso de ecuaciones diferenciales el orden de la ecuacioacuten se determina por el orden maacutes alto de derivacioacuten de la funcioacuten incoacutegnita que ocurra dentro de la misma dos casos particulares de este tipo de ecuacioacuten son

y - m (18)

y = fiy) (19)

para resolver la ecuacioacuten (18) soacutelo necesitamos poder calcular la integral de la funcioacuten ( ) lo cual no necesariamente es faacutecil en ocasiones ni siquiera posible como se habraacute observado en un curso previo de Caacutelculo Integral pero en todo caso la solucioacuten de dicha ecuacioacuten puede representarse como sigue

y = j ft)dt

la ecuacioacuten (19) se dice que es una ecuacioacuten autoacutenoma y puede observarse que si paia la funcioacuten () existe un valor yo que cumpla (yo) ^ O entonces la funcioacuten constante yt) = yo es una solucioacuten de la misma diclia solucioacuten se puede decir que es una solucioacuten de equilibrio por otro lado esta ecuacioacuten como la (4) es una ecuacioacuten que se dice de variables separables y se puede resolver como a continuacioacuten se indica

Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J

I m donde nuevamente como en el caso de la ecuacioacuten (18) la solucioacuten depende de la complejidad de calcular una integral en particular cuando

fy) = ay^ + by^c

el caacutelculo de ta integral se puede realizar usando la teacutecnica de fracciones parciales desarrollaremos dos casos para esta funcioacuten particular los cuales modelan el crecinntildeento de por ejemplo una poblacioacuten de peces en dos situashyciones ideales en seguida planteadas

o) Si suponemos que en el tiempo f = 0 la masa de peces en nuesshytra poblacioacuten medida en toneladas es m que la tasa de crecimiento de la poblacioacuten es i y que se captmra una masa de c toneladas por periacuteodo entonces procediendo como en el ejemplo 2b) se obtiene una ecuacioacuten semejante a la (12) a saber

y =îy~c (20)

con solucioacuten que cumpla la condicioacuten inicial como la dada en (15) ie

exp(iquestiacute) mdash l yt) = mcKp(it) -

yt)= ( m - | ) e x p ( iquest iacute ) + | (21)

puede observarse que la ecuacioacuten (20) tiene como solucioacuten de equilibrio la funcioacuten

yt) = ^ (22)

la cual se obtiene si la masa inicial m cumple a su vez la siguiente identidad

c m = -

i

como puede observarse de la ecuacioacuten (21) y considerando i gt 0 tenemos que si se cumple m gt ~ entonces yt) tiende a mas infinito cuando t tiende a infinito y en caso de que m lt j yt) tiende a menos infinito cuando t tiende a infinito en razoacuten de este comportamiento decimos que la solucioacuten dada en (22) es un equilibrio inestable obseacutervese que respecto del modelo

f dy

estudiado no tienen sentido valores negativos para la funcioacuten solucioacuten aun cuando formalmente los pueda tomar

Ograve) Si suponemos ahora que no hay captura pero que ademaacutes de la tasa de crecimiento se debe considerar una tasa de muerte por sobre poblacioacuten a enshytonces la ecuacioacuten diferencial que modela el comportamiento de la poblacioacuten seraacute

bullij = iy - ay^ ( 23 )

esta uacuteltima ecuacioacuten puede resolverse como a continuacioacuten se indica

dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y

usando la teacutecnica de firacciones parciales se tiene la siguiente igualdad

(24 )

( - oy)y iy i - ay)i

luego integrando la ecuacioacuten (24) se obtienen las siguientes identidades

1 fdy 1 iacute - j ^ ^ f^^

y i J i-ay

T l n ( iacute ) - T ln(iacute - ay) mdash t 6 i 1

ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y

= mdashit mdash ioacute

= expmdashit mdash ioacute)

~ exp(mdashiacute) exp(mdashiquestiacute)

mdasha Hmdash = ai exp( mdash it) y

Rogelio Hnirera Agiuacuterre Introdigraveiccioacuten a iexclos Sistc-mutiacute Dinaacutemictxi 217

mdasha i ai mdash + - = mdash e x p ( - 2 iacute i y t

1 a - = a e x p iacute mdash 7 iacute + -

y i

La ecuacioacuten (23) es una ecuacioacuten de BernouUi y puede ser resuelta con una teacutecnica diferente a la aquiacute presentada por otro lado puede observarse que tal ecuacioacuten tiene dos soluciones de equilibrio a saber

y i C iacute ) = 0 amp y2t) = -

a si bien en la ecuacioacuten (24) se excluyen estas posibilidades para las soluciones encontradas por el meacutetodo seguido el paraacutemetro a que aparece en (25) puede tomar cualquier valor real obsere un argumento semejante en el ejemplo (16) luego en particular si a = O se obtiene la solucioacuten de equilibrio y2 pero yi no puede obtenerse de (25) Antes de anotar otra diferencia importante entre estas dos soluciones de equilibrio conviene observar que el paraacutemetro a depende de los valores de las tasas de crecimiento y de muerte por sobrepoblacioacuten i y a respectivamente asiacute como de la condicioacuten inicial

y0) = m

sustituyendo esta condicioacuten en la ecuacioacuten (25) se obtiene lo siguiente

1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute

sustituyendo este valor de a en la ecuacioacuten (25) obtenemos una represhysentacioacuten de la solucioacuten en teacuterminos de los paraacutemetros iniciales

y(t) = 71=

de esta ultima ecuaiacuteîoacuten puede observare que si m = iquest entonces la solucioacuten es la solucioacuten de equilibrio y2 y que bajo la consideracioacuten de que nuestros paraacutemetros son positivos si m lt ~ la solucioacuten tiende asintoticamente de manera creciente a y2 y si m gt ~ la solucioacuten tiende asintoticamente de manera decreciente a eon lo cual para cualquier condicioacuten inicial la solushycioacuten correspondiente se acerca a y2 y se aleja de yi por este hecho decimos que y2 es una solucioacuten de equilibrio estable mientras que y2 es inestable

4 Consideremos ahora un problema discreto que ha sido usado por ejemshyplo para modelar el crecimiento de una poblacioacuten imaginaria de conejos que cumple las siguientes condiciones

i Se comienza con ima pareja de conejo y coneja recieacuten nacidos

ii Cada pareja de conejos tarda im periodo de tiempo para ser feacutertil

iii En cada periodo cada pareja en edad reproductiva procrea a su vez otra pareja

Con tales consideraciones y sin tomar en cuenta la mortahdad de los coneshyjos se busca estimar una funcioacuten yt que estime cuantas parejas de conejos existiraacuten en el periodo iacute en el supuesto de que el tiempo inicial se encuentra en iacute = Uuml se tiene para los primeros valores de t los siguientes valores de la funcioacuten if

yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b

donde yl es el nuacutemero de parejas procreadas por las parejas feacutertiles en el periodo k el cual por la condicioacuten iii coincide con y^-i y en consecuencia se tiene la siguiente ecuacioacuten en diferencias que modela el crecimiento de nuestra poblacioacuten

y+2 - yiîacute ~yi = 0 (2C)

Si ahora proponemos como una posible solucioacuten de tal ecuacioacuten a una funshycioacuten del tipo

yt - A

con A G IR entonces se debe cumplir las siguientes identidades

Rogelio Henera Aguirre Introduccioacuten a los Sistemas Dinaacutenticos 219

V ( A 2 - A - - 1 ) = 0

La uacuteltima identidad se ciurtple si

A = 0 o A ^ - A - l = 0

En el primer caso yt = O claramente es solucioacuten de (26) y en el segimdo existen dos raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica a saber

A = 1 + ^5 1 - v5

por lo tanto las ntildemciones

Uf = X amp Vt = X2

son soluciones de (26) aun maacutes se puede observar que dados a3 G M arbitrarios la funcioacuten

z t mdash(iut + (3vt

cumple

^+2 - - zt = aut+2 + - oUt+i + iexcl3vt+i) - aut + 0Vt

= a(nt+2 - ut+i - Ut) -I- f3vt+2 - vt+i - vt)

- o - 0 + 3-0 = 0

luego toda funcioacuten de la forma planteada es solucioacuten de (26) finalmente para calcular una solucioacuten que cumpla las condiciones iniciales

yo = 1 amp Vi = 1

se deben satisfacer las ecuaciones

1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi

ie las ecuaciones aA + 3A5 = 3

aA] + 13X2 ^ 1

Si procedemos a resolver el sistema matricialmente obtenemos

1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220

de donde 1 - A 2 bdquo I - A i

Al mdash A2 A2 mdash Al pero de la identidad

A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )

se sigue que Al + A2 - 1

luego tenemos Al -j A2 ft- ^ k P =

Al mdash A2 A2 mdash Ax y como Al mdash A2 = 5 obtenemos finalmente

con

La sucesioacuten aquiacute estudiada se conoce como sucesioacuten de Fibonacci

Rogelio Herrerti Aguirre IntroduccAaacuten a loa Sistemas Dinaacutemicos 221

Referencias

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222

Pensamiento Matemaacutetico Innato

Rauacutel Amezcua Goacutemez Univers idad A u t oacute n o m a M e t r o p o l i t a n a - A z c a p o t z a l c o

D e p a r t a m e n t o de Cicncias Baacutesicas A v S a n P a b l o N o 180

Col R e y n o s a JTamaulipas Vzcapot zaleo

02200 Meacutexico D F r a g t c o r r e o a a i c u a i n m x

Resumen En este trabajo se presenta algunas invastigaciones hechas en difeshy

rentes partes del mundo algunas consideraciones relacionadas con el pensamiento matemaacutet ico especia lmente el imiato y compart ido por todos los seres liiuniacuteuios Finalmente se hace una reflexioacuten de la edushycacioacuten matemaacutet ica

1 Introduccioacuten

Hugo Areacutechiga meacutedico mexicano senntildeala en su libro El Universo Inteshyrior que todo metazoario se desarrolla a partir de dos ceacutelulas el oacutevulo y el espermatozoide La partitura de la vida impresa en las variadas combinashyciones de los 30000 genes va desarrollaacutendose en tiempos precisos Todo esto fundamentalmente autientroacutepico y es producto de la interaccioacuten de nuestro programa geneacutetico con el medio ambiental El patroacuten temporal de la descarshyga de potenciales de accioacuten en las neuronas es determinante de la accioacuten sinaacuteptica y de la organizacioacuten misma de la actividad consciente que parece tener como sustrato la activacioacuten sincroacutenica y coordinada de amplios conshyjuntos de neuronas 100000 millones para ser maacutes precisos y cada una de ellas conectada con 10000 maacutes

2 Presentacioacuten

Tus alegriacuteas y tus pensamientos tus recuerdos y tus ambiciones tu idenshytidad y tu libre albedriacuteo no son sino el comportamiento de un vasto congloshymerado de ceacutelulas nerviosas como diriacutea F Crack en 1994 o seguacuten Charles Sherrington el cerebro es un telar encantado en el que millones de lanzaderas entretejen un vago disentildeo siempre significativo nunca permanente

El imiverso complejo que llevamos en nuestro cerebro nos confiere la calidad de seres humanos aimque algunas de sus funciones son parecidas a la de otros animales

Las enervaduras de la neurobiologia con las ciencias cognoscitivas estaacuten generando un caudal de nuevos conocimientos

Explicar tanto el comportamiento humano como la actividad mental en teacuterminos de funciones cerebrales es un gran reto Se han sentado las bases de la nuerobiologiacutea y se ha ido diluyendo el estrecho entre la bilogiacutea y la sicologiacutea

Por otra parte y en particular de una u otra manera todos hacemos matemaacuteticas cuando manipulamos uiimeros La fuente de toda la matemaacutetica se descubre dentro de un sentido de nuacutemero codificado dentro del cerebro

La sicoacuteloga Camilla Gilmore de la Universidad de Nottingham y Shan-non McCarthy y Elizabeth Spelke de la Universidad de Harvard observaron en nintildeos de 5 y 6 antildeos una edad en la que saben contar pero no calcular que

ante operaciones aproximativas contestaban correctamente ejemplo decidir si 24 + 27 es mayor o menor que 35 oacute 64 - 13 es mayor o menor que 34 Los nintildeos utilizaron los siacutembolos recieacuten adquiridos (los nuacutemeros) seguacuten reglas de la aritmeacutetica aproximativa ya codificada en sus cerebros

Cierta bruacutejula matemaacutetica se ha descubierto en los trabajos de Karen Gin (Yale) у E Spelke en bebeacutes de meses cinco objetos se meten en un bote luego cinco maacutes se destapa y con un truco de por medio siacuteo se ven cinco Los bebeacutes se quedan mirando largamente los cinco en lugar de los diez objetos que deberiacutea haber Responder como advierten esta incoherencia es todo el objetivo de estudios llevados para probar que existe en el hombre un sentido universal de nuacutemero independientemente de representacioacuten simboacutehca o linguumlistica

Ainsi Pierre Pica linguumlista del Laboratorio de Estructuras Formales de la Lengua del CNRS en Pariacutes Stanislas Dehaene profesor de sicologiacutea cogshynitiva experimental del Collegravege de France y E Spelke investigaron a los Mundurucus tribu del Amazonas en 2004 iexclConejillos perfectos para proshybar la hipoacutetesis de un sentido limato de las matemaacuteticas Soacutelo saben contar 1 2 3 4 y la palabra demasiado

Seguacuten Dehaene cuando las pruebas no se presentaron linguisticamente sino en forma de ensambles de objetos comprendieron inmediatamente que era una adicioacuten una sustraccioacuten o ima comparacioacuten aproximativa El conshycepto de nuacutemero precede luego al nuacutemero

Pierre Pica declaroacute que la aritmeacutetica aproximativa es parte de una base cultiual comuacuten a la especie humana

Estas capacidades rudimentarias seriacutean la base sobre la que se desarroshyllariacutea el conocimiento aritmeacutetico maacutes complejo de modo que como propone el grupo de E Spelke los bebeacutes llegan al mundo mentalmente equipados con ciertos sistemas baacutesicos para ordenar el mundo

Se ha exaininado actividad cerebral mediante tomografia por emisioacuten de positrones y resonancia magneacutetica funcional y se detecta consumo de oxiacutegeno y glucosa de los loacutebulos frontal y parietal en especial en el surco intraparietal o HIacutePS Pareceriacutea que el ШР8 tendriacutea una suerte de mapa espacial o liacutenea numeacuterica es decir una representacioacuten no verbal de cantidad y que dota del conocimiento intuitivo sobre el valor numeacuterico y la relacioacuten de proximidad entre estos Diferentes resultados obtenidos son consistentes con la hipoacutetesis de que el HlPS codifica de forma abstracta el significado cuantitativo de los

nuacutemeros maacutes que los siacutembolos numeacutericos en siacute Si bien el HIPS es la regioacuten maacutes importante para el correcto desarrollo de las habilidades numeacutericas no es el imico sistema involucrado en el procesamiento numeacuterico Estudios sugieren que procesos basados en el lenguaje desempentildean un papel importante en los caacutelculos exactos pero no en los aproximativos

Giacomo Rizzolati LakofF Fogassi y Gallese investigadores de la Univershysidad de Parma tienen estudios de la integracioacuten del sistema sensorio-motriz con la comprensioacuten y produccioacuten del lenguaje se han focalizado en las relashyciones entre accioacuten percepcioacuten y cognicioacuten

Finalmente y considerado por algunos como un descubrimiento sobre el cerebro de lo maacutes trascendental en la tiltima deacutecada Rizzolatti y sus colaboshyradores descubrieron un tipo de neuronas motoras con un (omportamiento inesperado al estudiar una regioacuten de la corteza motora de los monos macacos Cuando el mono tomaba comida y se la llevaba a la boca la neurona se activaba Entonces los cientficos se dieron cuenta accidentalmente de que las neuronas de los monos se activaban de la misma manera cuando veiacutean a uno de los cientiacutentildecos tomar comida y llevaacutersela a la boca Concluyeron que esas neuronas serviacutean para representar acciones en el cerebro del mono sin importar si el animal era el agente o soacutelo el testigo y las llamaron neuronas espejo y las encontraron tambieacuten en el cerebro humano Estas neuronas tienen la capacidad de indicarle al sujeto lo que eacutel hace es lo que eacutel ve hacer al otro ademaacutes son responsables de comportamientos como el reconocimiento y la imitacioacuten Tambieacuten podriacutean estar atraacutes de la empatia y quizaacute incluso de imitar sonidos Se puede inferir casi seguramente que intervienen en la adquisicioacuten del lenguaje

Estas neuronas espejo se podriacutea decir constituyen la base del proceso de comprensioacuten individual y del aprendizaje social En la Universidad de Calishyfornia Ramachandra y Hubbard (2001) sostienen que el origen del lenguaje reside en las capacidades de imitacioacuten

Si consideramos el aprendizaje como el efecto de extraer de la confusioacuten un disentildeo que tiene significado en esta buacutesqueda es importante la interaccioacuten con el ambiente La interaccioacuten con adultos y especialmente la estimulacioacuten linguumlistica es una de las ventajas maacutes importantes para el desarrollo mental y loacutegico-matemaacutetico

Maacutes allaacute del intereacutes acadeacutemico los resiuumltados que hemos comentado pueden ser utilizados en la educacioacuten escolar en general y en la ensentildean-

Rauacutel Amazrtia Goacutemez Pensamiento Matemaacutetico Innato 227

za de la matemaacutetica eu particular Esto es asiacute porque los conocimientos reshylatados permitiriacutean desarrollar estrategias basadas en el aprovechamiento de las intuiciones sobre aritmeacutetica para aumentar adquisicioacuten del conocimiento numeacuterico simboacutelico El pensamiento matemaacutetico innato tiene capacidades como agrupar ordenar contar realizar algimas operaciones aritmeacuteticas o transformaciones espaciales el cerebro tiene una estructura para que desshycubra y reconozca los disentildeos o modelos notando que es similar y lo que es diferente de las cosas y de los acontecimientos cotidianos pero el resto de las matemaacuteticas formales y caacutelculos maacutes complejos al igual que la escritura requieren de un aprendizaje constante y de praacutecticas educativas acordes con el contexto y la cultiura en que se desaxTolla y utiliza

228

Referencias

[1] Garciacutea Verruga Alicia La nueva visioacuten del cerebro iquestCoacutemo ves Antildeo 10 No 11 pp 10-14 Meacutexico

[2] Douacute viennent les matlis Reacutealiteacute du monde ou invention de Tespirit Science ampiquest Vie Septembre 2007 pp 52-67 France

[3] Martiacutenez J y Ai-gibay P El aprendizaje de las matemaacuteticas y el cerebro Ciencia Hoy No 99 Vol 17 junio-julio 2007 pp 46-51 Argentina

[4] Rizzolatti G Fugassi L Gallese V (2001) Neurophysiological meshychanism underlying tlie understanding and imitation of action Nature Reviews Neuroscience 2 pp661-670 2001

[5] Areacutechiga H El Universo Interior La ciencia para todos Vol 182 Fondo de Cultura SEP Meacutexico 2001

MEMORIAS TERCER TALLER DE TEORIacuteA DE NUacuteMEROS

DEL CENTRO-SURESTE

Se terminoacute de imprimir en ei mes de marzo de 2011 en los talleres de la Seccioacuten de Impresioacuten y Reproduccioacuten de la

Universidad Autoacutenoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco con domicilio en Av San Pablo 180 Col Reynosa Tamaulipas

Del Azcapotzalco CP 02200 Meacutexico DF

La edicioacuten estuvo a cargo de la Oficina de Produccioacuten Editorial y Difusioacuten de la Divisioacuten de Ciencias Baacutesicas e Ingenieriacutea con

un tiraje de 250 ejemplares

UNIVERSIDAD AUTONOMA

METROPOUTAISIA

C3S3 atigraveena al tiempo Azcapotzalco ltbullgt O O S E I

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2008

2891770 Memorias taller de teor Memorias tercer taller

2891770


METROPOLITANA Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

MEMORIAS

TERCER TALLER DE


CENTRO-SURESTE A Z C A P O T Z A L C O

COBEI BIBLIOTECA

XALAPA-EQZ VER Abril 2008

Facultad de Matemaacuteticas Universidad Veracruzeina

2 8 9 1 7 7 0

MEMORIAS

TERCER TALLER DE


CENTRO-SURESTE


UNIVERSIDAD MTW^TX






UNIDAD AZCAPOTZALCO














ISBN del libro 978-607-477-483-2















Editor


Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE










VI

SEGUNDA PARTE




Progravelogo





v i l i






PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA







E S I T Av IPN sn


Resumen


1 Introduccioacuten


bull (A) (B)

















bullJe dl nanotubo





















(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)


rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)



R (6)

1 0



1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)



1


1 lt -- 2

(10)


dR lt i - 2

(11)






(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)





(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)


(iii) Sn-m)






5 ^ = ^ = ^ (14)


HF = lNe (15)





Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)


na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)













3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )




3 n-m)dplusmnl)














( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)


^F = - xti^yt2)d (29)











t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)














3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )















f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)



o bien




N = 23z + l)d (38)




































fip + ffr = N (45)


a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)



VK + FK =rT = NK (48)


bullESCAMSA BRAZO


24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I


II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash


M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=




6 Conclusioacuten



26







Referencias


























[26] S lijima Nature 354 (1991) 56













Resumen











X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3



348 X 26 = 9048 moacuted 9

















que








5 iexcl X ao e 05





En otras palabras



De esto obtenemos






13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26













y sea Mi = M + m



7=uuml т^г J



m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1








fc











X




Mp = 2 P - 1




p = 23571317193167127257


iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0




FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^



















dl6

Ejemplo 31

n Suma










Pi - 1



bull


con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i






N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^





= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N





(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b












Invent Math 47 (1978) no 2 171-188



X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3










Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551









71-+00



























infinito D



n-l

3=0 0 raquo = J

donde


n ) = eos 27r 27r

n j n J






donde

1 si n 1









lo cual es absm-do







Con esto tenemos



Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto














Resumen



1 Introduccioacuten




mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144




Fn+2 = Fn + Fn+i














bull


Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4
















F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23


F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1





n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2


bull j t - i = Qk^k






mcdCF^^-iFqm) = 1-





m c d ( F F _ J = F




portante teorema












(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)



(11)12)(23)35)(50)(05)(55)





Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2





54






rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )





p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281







Por la Identidad 21















p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )



Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten



Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +


mo p-


n )


(1)

(2 )


Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-


2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente





1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J


p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^



2IacuteV+1 = 1 + 5 ^



2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)


Teorema 33




1 - 5 2 = 0 (moacuted p)







bull


Teorema 34










rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3




r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3






10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168











100




p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50




r(m) =^904399095600











Apeacutendice












= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^


a = cia^ + 0 2 0 H -Cr


a - cia-^ - cia^ + = O (6)








Fn = Fn-i + Fn-2^


0 - (1 - 0 ) Fn =




laquo 1 2 =


Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I


0 =6i + 62

1 =ba + 630^2


45 1


v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2


(7)






= a (moacuted p)




RC xRC = RC


RC X NR = NR


NR X NR = RC





p j p ) p )










(mdash P


- l p = 3 (moacuted 4) (9)


- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)


[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)




o 5 У


= 1




5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1


U -IacuteIacute2







Eirl


70

Referencias




















1 Introduccioacuten





Definicioacuten 22



Definicioacuten 23





PernT) = zeS z^ ^z


| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1




Problema Inverso






d]n




dn








Definicioacuten 28





Demostracioacuten








Definicioacuten 213



















0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X








ngtl





X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1















= X-eX)^X)^^X)XF^X)
















X - aba^^lb^ = la = a-^)




u - 4 4 4 8 4 4 4 8




xeWFixip)






r-^x) = rix)



Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f


X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x





X = и Pernia)





p












тгgt1










n gt l



Pern3) I [un]p


punpiexclPernff









n gt l








p












bull


U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n





(cdc = ld^ = c^ = c~^Y
















C = ^nkmp)]ngt



G = 0 l p ^ - 1


( m - l ) a - - 0 en G (2)



888888816888888816888888816 bull bull -


iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416





к I pkd)uiquest dk



dk dk






dlfer c |r

luego



ы n = к

SI 71 gt




















ff= П q p r imo


bull






11111251111125




1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71




0 1 0 0 0 1

l 1 0


111517851911233527646185137133229275


11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512


1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5


( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71


J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п


52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n









1 sikKn


u = Xnknip)ngth





T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl











bull













Proposicioacuten 48














2П-1

fCn^Yl Hk 123



fc=2-l-i-l





Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0



(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1






N gt I



2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428


Abdquo(l 12) = 242824216



и

2uiacuter^ si I n


A-m Вт O Amj


AU _ I ^m





mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i






3mcd(2^+2+~^^f)









Del Lema 49 tenemos






Teorema 42






5 Temas de Tesis










Referencias




















1 Introduccioacuten



























GQe)Q) = 1



























xt) = at) (1)





Ejemplo 42


xt) = mx (2)





xt) = a ( iacute ) + (3)



xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)














Ejemplo 51



v) еШ^ u^ + = 1









det Mnxn К







(f X К X ф)









Recordemos que si







c C R mdash M



























Ax) Ax


SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira



2- igig2)-p = 9ig2-p)-





1 Traslaciones

(a a) H- a + X


E+ X















adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]














V 7(1)






4- do exp mdash Id


6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +










GxW

(^S uuml 1) A T + S


d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)


xt) = X4Amxt))






















1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j




ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como



O 1 y V Ht) (uit))-


Bt)


ht) = Bt)ht)





xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B



G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1





xt) = at)xty x0) =




Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1





yt) = ixt]rbt)





126

Referencias



























1 Introduccioacuten













en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m





-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a



dt 2m ox^


^xJ) = e^^^îix)










con


u h К к

Ai А 12


2 bull


Asiacute que




n gt l












con









donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-


S^S = l 2 i V x 2 A S


rr^ +tt^ = 1N^^





Wiix] =^







(A) = ^ A ( A ) ( A )


HA)







fA)=pound SjA^



a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1









uuml


a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +











02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash


1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y



|oi(n gt |a2(n)| + 1


fn lt 1





T

Tr W2




liacutem oo alt(m)




K



para toda n gt 0


Agradecimientos


140

Referencias












1 Introduccioacuten












X^ = T + 1 (1)










Ф^ = ф + 1 (2)



( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1


y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0


071 = Fnybn- Fn~i




+ (6)




v5

luego



y


y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)


= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)


- ( - i r L bdquo









luego tenemos















Fm Fn) = i^(mn)-


F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente




y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)


-tiacute)2^ + 2(-ir + 02


5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)













Tenemos el


0 (moacutedp) si


Demostracioacuten


tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)






es decir tenemos












o si

gtc si (p = - l





asiacute tenemos




lt



















Demostracioacuten


a^ = a (moacuted m)












0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn














n











n


^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)


iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+


+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^



Lfc - 2


Lk

(25)

1 = lt


^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar



2Lk-l + -m (27)


1-4)^




3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))


2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas


(28)


j=ti bull ltgt



Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2


F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)


Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^


Binet


Z^ lQj+ i 89 3=1




1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф




lt u lt 0- ^


Luego tenemos










pj ~ ^ J 5




La norma


N Ш] ~ Z

158


(i)





a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p







Referencias












1 Introduccioacuten












1

n = l



3 Zeta y los primos




(1) = l^p +p~2s+jr^^ +




pltq pn pltq





bull




k = l ^ bull fc=l


n n

E mdash k=l



s - l Ji

dx lt C ( s )


^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l






his)-^f2s)




lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~


C(6-) = N ( I - )


OC bdquo


ш lt E E p-

тп=2 m



m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^


-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1



logC(s) ~ ^ p ^ peP







Demostracioacuten


4mdash] +



liacutem S


J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )











SiS) lt 5(P) = 1















peP


dyen) = hm - T = 1


pePraquo


- log(s - IJ (p[m)





X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C







G si X = X


|G | s]g = l

uuml si f 7 1

















( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )






n=l


00

n=l








A N-l


n=M n = M







1

5 - Sol

lt sup

lt


nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1



Para (2) On 1



an 1




n=2



о с


lt



oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1


Teorema 61



Нх8) = ф)111-р-^) p | m





ya que si p|7T7

si рЦт



m




1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)







Zs)=XLxs)

X



() Zs) = n ^





(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)



gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^


1 1 _ p-ltigtm)s




p^m pm ^


= n ~


= Y ^ 11=1



Para probar qne




Lema 71


^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )






eacute(m)



ga[s)^ ^ l p^




- E ( E ^ ) p^m X

y como


o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m





0 Sip^yenam


= 4)m)gas)




X

1821

y рог lo tanto



Referencias






SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA






R e s u m e n




1 Introduccioacuten


















2 Heuriacutestica































36 X ( )


36 X 36












ENTRADA SALIDA











Tabla 1































Dibujar DCL



Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones















Primera Parte


Segunda Parte






Tercera Parte




Cuarta Parte








4 Conclusiones









Referencias
























204









1 Introduccioacuten




2 Presentacioacuten



Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2




Ct-i = l + iyCo


Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)





Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai


C(t) - iCt) (4)


^ ^ dt


dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)


inCt) ît + k


C[t) = aexpiit)



Ct) = Cocxpit) (5)










Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)


DCt) = iCt) ( 7 )





Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a


S2 = l + t)Si-a


S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a





+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J




a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O


fl+гУ-l

(9)

10










AimdashO

St) = iSt)-o (12)



St) = iSit)


yt) = iyt)











DSt) - iSt - a (17)




y cu consecuencia




M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a






y - m (18)

y = fiy) (19)


y = j ft)dt


Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J


fy) = ay^ + by^c



y =îy~c (20)





yt) = ^ (22)


c m = -

i


f dy





dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y


(24 )




y i J i-ay


ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y








y i




y0) = m


1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute


y(t) = 71=







yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b




yt - A



V ( A 2 - A - - 1 ) = 0


A = 0 o A ^ - A - l = 0


A = 1 + ^5 1 - v5


Uf = X amp Vt = X2



cumple



- o - 0 + 3-0 = 0


yo = 1 amp Vi = 1


1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi


aA] + 13X2 ^ 1


1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220



A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )




con



Referencias




222








1 Introduccioacuten


2 Presentacioacuten






















228

Referencias







DEL CENTRO-SURESTE







METROPOUTAISIA






lo mas reciente




UAM

QA241

M466

2008


2891770



MEMORIAS

TERCER TALLER DE


CENTRO-SURESTE


UNIVERSIDAD MTW^TX






UNIDAD AZCAPOTZALCO














ISBN del libro 978-607-477-483-2















Editor


Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE










VI

SEGUNDA PARTE




Progravelogo





v i l i






PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA







E S I T Av IPN sn


Resumen


1 Introduccioacuten


bull (A) (B)

















bullJe dl nanotubo





















(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)


rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)



R (6)

1 0



1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)



1


1 lt -- 2

(10)


dR lt i - 2

(11)






(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)





(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)


(iii) Sn-m)






5 ^ = ^ = ^ (14)


HF = lNe (15)





Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)


na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)













3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )




3 n-m)dplusmnl)














( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)


^F = - xti^yt2)d (29)











t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)














3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )















f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)



o bien




N = 23z + l)d (38)




































fip + ffr = N (45)


a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)



VK + FK =rT = NK (48)


bullESCAMSA BRAZO


24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I


II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash


M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=




6 Conclusioacuten



26







Referencias


























[26] S lijima Nature 354 (1991) 56













Resumen











X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3



348 X 26 = 9048 moacuted 9

















que








5 iexcl X ao e 05





En otras palabras



De esto obtenemos






13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26













y sea Mi = M + m



7=uuml т^г J



m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1








fc











X




Mp = 2 P - 1




p = 23571317193167127257


iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0




FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^



















dl6

Ejemplo 31

n Suma










Pi - 1



bull


con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i






N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^





= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N





(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b












Invent Math 47 (1978) no 2 171-188



X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3










Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551









71-+00



























infinito D



n-l

3=0 0 raquo = J

donde


n ) = eos 27r 27r

n j n J






donde

1 si n 1









lo cual es absm-do







Con esto tenemos



Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto














Resumen



1 Introduccioacuten




mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144




Fn+2 = Fn + Fn+i














bull


Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4
















F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23


F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1





n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2


bull j t - i = Qk^k






mcdCF^^-iFqm) = 1-





m c d ( F F _ J = F




portante teorema












(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)



(11)12)(23)35)(50)(05)(55)





Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2





54






rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )





p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281







Por la Identidad 21















p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )



Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten



Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +


mo p-


n )


(1)

(2 )


Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-


2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente





1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J


p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^



2IacuteV+1 = 1 + 5 ^



2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)


Teorema 33




1 - 5 2 = 0 (moacuted p)







bull


Teorema 34










rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3




r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3






10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168











100




p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50




r(m) =^904399095600











Apeacutendice












= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^


a = cia^ + 0 2 0 H -Cr


a - cia-^ - cia^ + = O (6)








Fn = Fn-i + Fn-2^


0 - (1 - 0 ) Fn =




laquo 1 2 =


Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I


0 =6i + 62

1 =ba + 630^2


45 1


v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2


(7)






= a (moacuted p)




RC xRC = RC


RC X NR = NR


NR X NR = RC





p j p ) p )










(mdash P


- l p = 3 (moacuted 4) (9)


- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)


[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)




o 5 У


= 1




5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1


U -IacuteIacute2







Eirl


70

Referencias




















1 Introduccioacuten





Definicioacuten 22



Definicioacuten 23





PernT) = zeS z^ ^z


| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1




Problema Inverso






d]n




dn








Definicioacuten 28





Demostracioacuten








Definicioacuten 213



















0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X








ngtl





X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1















= X-eX)^X)^^X)XF^X)
















X - aba^^lb^ = la = a-^)




u - 4 4 4 8 4 4 4 8




xeWFixip)






r-^x) = rix)



Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f


X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x





X = и Pernia)





p












тгgt1










n gt l



Pern3) I [un]p


punpiexclPernff









n gt l








p












bull


U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n





(cdc = ld^ = c^ = c~^Y
















C = ^nkmp)]ngt



G = 0 l p ^ - 1


( m - l ) a - - 0 en G (2)



888888816888888816888888816 bull bull -


iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416





к I pkd)uiquest dk



dk dk






dlfer c |r

luego



ы n = к

SI 71 gt




















ff= П q p r imo


bull






11111251111125




1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71




0 1 0 0 0 1

l 1 0


111517851911233527646185137133229275


11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512


1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5


( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71


J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п


52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n









1 sikKn


u = Xnknip)ngth





T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl











bull













Proposicioacuten 48














2П-1

fCn^Yl Hk 123



fc=2-l-i-l





Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0



(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1






N gt I



2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428


Abdquo(l 12) = 242824216



и

2uiacuter^ si I n


A-m Вт O Amj


AU _ I ^m





mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i






3mcd(2^+2+~^^f)









Del Lema 49 tenemos






Teorema 42






5 Temas de Tesis










Referencias




















1 Introduccioacuten



























GQe)Q) = 1



























xt) = at) (1)





Ejemplo 42


xt) = mx (2)





xt) = a ( iacute ) + (3)



xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)














Ejemplo 51



v) еШ^ u^ + = 1









det Mnxn К







(f X К X ф)









Recordemos que si







c C R mdash M



























Ax) Ax


SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira



2- igig2)-p = 9ig2-p)-





1 Traslaciones

(a a) H- a + X


E+ X















adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]














V 7(1)






4- do exp mdash Id


6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +










GxW

(^S uuml 1) A T + S


d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)


xt) = X4Amxt))






















1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j




ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como



O 1 y V Ht) (uit))-


Bt)


ht) = Bt)ht)





xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B



G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1





xt) = at)xty x0) =




Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1





yt) = ixt]rbt)





126

Referencias



























1 Introduccioacuten













en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m





-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a



dt 2m ox^


^xJ) = e^^^îix)










con


u h К к

Ai А 12


2 bull


Asiacute que




n gt l












con









donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-


S^S = l 2 i V x 2 A S


rr^ +tt^ = 1N^^





Wiix] =^







(A) = ^ A ( A ) ( A )


HA)







fA)=pound SjA^



a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1









uuml


a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +











02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash


1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y



|oi(n gt |a2(n)| + 1


fn lt 1





T

Tr W2




liacutem oo alt(m)




K



para toda n gt 0


Agradecimientos


140

Referencias












1 Introduccioacuten












X^ = T + 1 (1)










Ф^ = ф + 1 (2)



( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1


y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0


071 = Fnybn- Fn~i




+ (6)




v5

luego



y


y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)


= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)


- ( - i r L bdquo









luego tenemos















Fm Fn) = i^(mn)-


F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente




y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)


-tiacute)2^ + 2(-ir + 02


5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)













Tenemos el


0 (moacutedp) si


Demostracioacuten


tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)






es decir tenemos












o si

gtc si (p = - l





asiacute tenemos




lt



















Demostracioacuten


a^ = a (moacuted m)












0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn














n











n


^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)


iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+


+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^



Lfc - 2


Lk

(25)

1 = lt


^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar



2Lk-l + -m (27)


1-4)^




3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))


2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas


(28)


j=ti bull ltgt



Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2


F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)


Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^


Binet


Z^ lQj+ i 89 3=1




1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф




lt u lt 0- ^


Luego tenemos










pj ~ ^ J 5




La norma


N Ш] ~ Z

158


(i)





a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p







Referencias












1 Introduccioacuten












1

n = l



3 Zeta y los primos




(1) = l^p +p~2s+jr^^ +




pltq pn pltq





bull




k = l ^ bull fc=l


n n

E mdash k=l



s - l Ji

dx lt C ( s )


^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l






his)-^f2s)




lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~


C(6-) = N ( I - )


OC bdquo


ш lt E E p-

тп=2 m



m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^


-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1



logC(s) ~ ^ p ^ peP







Demostracioacuten


4mdash] +



liacutem S


J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )











SiS) lt 5(P) = 1















peP


dyen) = hm - T = 1


pePraquo


- log(s - IJ (p[m)





X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C







G si X = X


|G | s]g = l

uuml si f 7 1

















( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )






n=l


00

n=l








A N-l


n=M n = M







1

5 - Sol

lt sup

lt


nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1



Para (2) On 1



an 1




n=2



о с


lt



oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1


Teorema 61



Нх8) = ф)111-р-^) p | m





ya que si p|7T7

si рЦт



m




1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)







Zs)=XLxs)

X



() Zs) = n ^





(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)



gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^


1 1 _ p-ltigtm)s




p^m pm ^


= n ~


= Y ^ 11=1



Para probar qne




Lema 71


^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )






eacute(m)



ga[s)^ ^ l p^




- E ( E ^ ) p^m X

y como


o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m





0 Sip^yenam


= 4)m)gas)




X

1821

y рог lo tanto



Referencias






SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA






R e s u m e n




1 Introduccioacuten


















2 Heuriacutestica































36 X ( )


36 X 36












ENTRADA SALIDA











Tabla 1































Dibujar DCL



Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones















Primera Parte


Segunda Parte






Tercera Parte




Cuarta Parte








4 Conclusiones









Referencias
























204









1 Introduccioacuten




2 Presentacioacuten



Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2




Ct-i = l + iyCo


Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)





Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai


C(t) - iCt) (4)


^ ^ dt


dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)


inCt) ît + k


C[t) = aexpiit)



Ct) = Cocxpit) (5)










Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)


DCt) = iCt) ( 7 )





Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a


S2 = l + t)Si-a


S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a





+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J




a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O


fl+гУ-l

(9)

10










AimdashO

St) = iSt)-o (12)



St) = iSit)


yt) = iyt)











DSt) - iSt - a (17)




y cu consecuencia




M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a






y - m (18)

y = fiy) (19)


y = j ft)dt


Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J


fy) = ay^ + by^c



y =îy~c (20)





yt) = ^ (22)


c m = -

i


f dy





dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y


(24 )




y i J i-ay


ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y








y i




y0) = m


1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute


y(t) = 71=







yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b




yt - A



V ( A 2 - A - - 1 ) = 0


A = 0 o A ^ - A - l = 0


A = 1 + ^5 1 - v5


Uf = X amp Vt = X2



cumple



- o - 0 + 3-0 = 0


yo = 1 amp Vi = 1


1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi


aA] + 13X2 ^ 1


1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220



A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )




con



Referencias




222








1 Introduccioacuten


2 Presentacioacuten






















228

Referencias







DEL CENTRO-SURESTE







METROPOUTAISIA






lo mas reciente




UAM

QA241

M466

2008


2891770



UNIVERSIDAD MTW^TX






UNIDAD AZCAPOTZALCO














ISBN del libro 978-607-477-483-2















Editor


Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE










VI

SEGUNDA PARTE




Progravelogo





v i l i






PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA







E S I T Av IPN sn


Resumen


1 Introduccioacuten


bull (A) (B)

















bullJe dl nanotubo





















(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)


rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)



R (6)

1 0



1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)



1


1 lt -- 2

(10)


dR lt i - 2

(11)






(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)





(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)


(iii) Sn-m)






5 ^ = ^ = ^ (14)


HF = lNe (15)





Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)


na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)













3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )




3 n-m)dplusmnl)














( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)


^F = - xti^yt2)d (29)











t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)














3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )















f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)



o bien




N = 23z + l)d (38)




































fip + ffr = N (45)


a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)



VK + FK =rT = NK (48)


bullESCAMSA BRAZO


24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I


II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash


M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=




6 Conclusioacuten



26







Referencias


























[26] S lijima Nature 354 (1991) 56













Resumen











X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3



348 X 26 = 9048 moacuted 9

















que








5 iexcl X ao e 05





En otras palabras



De esto obtenemos






13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26













y sea Mi = M + m



7=uuml т^г J



m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1








fc











X




Mp = 2 P - 1




p = 23571317193167127257


iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0




FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^



















dl6

Ejemplo 31

n Suma










Pi - 1



bull


con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i






N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^





= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N





(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b












Invent Math 47 (1978) no 2 171-188



X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3










Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551









71-+00



























infinito D



n-l

3=0 0 raquo = J

donde


n ) = eos 27r 27r

n j n J






donde

1 si n 1









lo cual es absm-do







Con esto tenemos



Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto














Resumen



1 Introduccioacuten




mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144




Fn+2 = Fn + Fn+i














bull


Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4
















F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23


F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1





n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2


bull j t - i = Qk^k






mcdCF^^-iFqm) = 1-





m c d ( F F _ J = F




portante teorema












(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)



(11)12)(23)35)(50)(05)(55)





Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2





54






rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )





p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281







Por la Identidad 21















p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )



Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten



Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +


mo p-


n )


(1)

(2 )


Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-


2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente





1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J


p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^



2IacuteV+1 = 1 + 5 ^



2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)


Teorema 33




1 - 5 2 = 0 (moacuted p)







bull


Teorema 34










rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3




r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3






10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168











100




p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50




r(m) =^904399095600











Apeacutendice












= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^


a = cia^ + 0 2 0 H -Cr


a - cia-^ - cia^ + = O (6)








Fn = Fn-i + Fn-2^


0 - (1 - 0 ) Fn =




laquo 1 2 =


Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I


0 =6i + 62

1 =ba + 630^2


45 1


v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2


(7)






= a (moacuted p)




RC xRC = RC


RC X NR = NR


NR X NR = RC





p j p ) p )










(mdash P


- l p = 3 (moacuted 4) (9)


- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)


[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)




o 5 У


= 1




5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1


U -IacuteIacute2







Eirl


70

Referencias




















1 Introduccioacuten





Definicioacuten 22



Definicioacuten 23





PernT) = zeS z^ ^z


| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1




Problema Inverso






d]n




dn








Definicioacuten 28





Demostracioacuten








Definicioacuten 213



















0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X








ngtl





X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1















= X-eX)^X)^^X)XF^X)
















X - aba^^lb^ = la = a-^)




u - 4 4 4 8 4 4 4 8




xeWFixip)






r-^x) = rix)



Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f


X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x





X = и Pernia)





p












тгgt1










n gt l



Pern3) I [un]p


punpiexclPernff









n gt l








p












bull


U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n





(cdc = ld^ = c^ = c~^Y
















C = ^nkmp)]ngt



G = 0 l p ^ - 1


( m - l ) a - - 0 en G (2)



888888816888888816888888816 bull bull -


iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416





к I pkd)uiquest dk



dk dk






dlfer c |r

luego



ы n = к

SI 71 gt




















ff= П q p r imo


bull






11111251111125




1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71




0 1 0 0 0 1

l 1 0


111517851911233527646185137133229275


11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512


1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5


( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71


J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п


52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n









1 sikKn


u = Xnknip)ngth





T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl











bull













Proposicioacuten 48














2П-1

fCn^Yl Hk 123



fc=2-l-i-l





Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0



(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1






N gt I



2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428


Abdquo(l 12) = 242824216



и

2uiacuter^ si I n


A-m Вт O Amj


AU _ I ^m





mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i






3mcd(2^+2+~^^f)









Del Lema 49 tenemos






Teorema 42






5 Temas de Tesis










Referencias




















1 Introduccioacuten



























GQe)Q) = 1



























xt) = at) (1)





Ejemplo 42


xt) = mx (2)





xt) = a ( iacute ) + (3)



xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)














Ejemplo 51



v) еШ^ u^ + = 1









det Mnxn К







(f X К X ф)









Recordemos que si







c C R mdash M



























Ax) Ax


SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira



2- igig2)-p = 9ig2-p)-





1 Traslaciones

(a a) H- a + X


E+ X















adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]














V 7(1)






4- do exp mdash Id


6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +










GxW

(^S uuml 1) A T + S


d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)


xt) = X4Amxt))






















1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j




ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como



O 1 y V Ht) (uit))-


Bt)


ht) = Bt)ht)





xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B



G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1





xt) = at)xty x0) =




Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1





yt) = ixt]rbt)





126

Referencias



























1 Introduccioacuten













en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m





-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a



dt 2m ox^


^xJ) = e^^^îix)










con


u h К к

Ai А 12


2 bull


Asiacute que




n gt l












con









donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-


S^S = l 2 i V x 2 A S


rr^ +tt^ = 1N^^





Wiix] =^







(A) = ^ A ( A ) ( A )


HA)







fA)=pound SjA^



a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1









uuml


a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +











02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash


1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y



|oi(n gt |a2(n)| + 1


fn lt 1





T

Tr W2




liacutem oo alt(m)




K



para toda n gt 0


Agradecimientos


140

Referencias












1 Introduccioacuten












X^ = T + 1 (1)










Ф^ = ф + 1 (2)



( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1


y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0


071 = Fnybn- Fn~i




+ (6)




v5

luego



y


y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)


= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)


- ( - i r L bdquo









luego tenemos















Fm Fn) = i^(mn)-


F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente




y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)


-tiacute)2^ + 2(-ir + 02


5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)













Tenemos el


0 (moacutedp) si


Demostracioacuten


tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)






es decir tenemos












o si

gtc si (p = - l





asiacute tenemos




lt



















Demostracioacuten


a^ = a (moacuted m)












0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn














n











n


^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)


iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+


+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^



Lfc - 2


Lk

(25)

1 = lt


^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar



2Lk-l + -m (27)


1-4)^




3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))


2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas


(28)


j=ti bull ltgt



Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2


F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)


Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^


Binet


Z^ lQj+ i 89 3=1




1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф




lt u lt 0- ^


Luego tenemos










pj ~ ^ J 5




La norma


N Ш] ~ Z

158


(i)





a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p







Referencias












1 Introduccioacuten












1

n = l



3 Zeta y los primos




(1) = l^p +p~2s+jr^^ +




pltq pn pltq





bull




k = l ^ bull fc=l


n n

E mdash k=l



s - l Ji

dx lt C ( s )


^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l






his)-^f2s)




lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~


C(6-) = N ( I - )


OC bdquo


ш lt E E p-

тп=2 m



m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^


-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1



logC(s) ~ ^ p ^ peP







Demostracioacuten


4mdash] +



liacutem S


J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )











SiS) lt 5(P) = 1















peP


dyen) = hm - T = 1


pePraquo


- log(s - IJ (p[m)





X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C







G si X = X


|G | s]g = l

uuml si f 7 1

















( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )






n=l


00

n=l








A N-l


n=M n = M







1

5 - Sol

lt sup

lt


nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1



Para (2) On 1



an 1




n=2



о с


lt



oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1


Teorema 61



Нх8) = ф)111-р-^) p | m





ya que si p|7T7

si рЦт



m




1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)







Zs)=XLxs)

X



() Zs) = n ^





(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)



gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^


1 1 _ p-ltigtm)s




p^m pm ^


= n ~


= Y ^ 11=1



Para probar qne




Lema 71


^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )






eacute(m)



ga[s)^ ^ l p^




- E ( E ^ ) p^m X

y como


o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m





0 Sip^yenam


= 4)m)gas)




X

1821

y рог lo tanto



Referencias






SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA






R e s u m e n




1 Introduccioacuten


















2 Heuriacutestica































36 X ( )


36 X 36












ENTRADA SALIDA











Tabla 1































Dibujar DCL



Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones















Primera Parte


Segunda Parte






Tercera Parte




Cuarta Parte








4 Conclusiones









Referencias
























204









1 Introduccioacuten




2 Presentacioacuten



Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2




Ct-i = l + iyCo


Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)





Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai


C(t) - iCt) (4)


^ ^ dt


dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)


inCt) ît + k


C[t) = aexpiit)



Ct) = Cocxpit) (5)










Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)


DCt) = iCt) ( 7 )





Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a


S2 = l + t)Si-a


S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a





+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J




a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O


fl+гУ-l

(9)

10










AimdashO

St) = iSt)-o (12)



St) = iSit)


yt) = iyt)











DSt) - iSt - a (17)




y cu consecuencia




M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a






y - m (18)

y = fiy) (19)


y = j ft)dt


Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J


fy) = ay^ + by^c



y =îy~c (20)





yt) = ^ (22)


c m = -

i


f dy





dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y


(24 )




y i J i-ay


ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y








y i




y0) = m


1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute


y(t) = 71=







yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b




yt - A



V ( A 2 - A - - 1 ) = 0


A = 0 o A ^ - A - l = 0


A = 1 + ^5 1 - v5


Uf = X amp Vt = X2



cumple



- o - 0 + 3-0 = 0


yo = 1 amp Vi = 1


1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi


aA] + 13X2 ^ 1


1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220



A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )




con



Referencias




222








1 Introduccioacuten


2 Presentacioacuten






















228

Referencias







DEL CENTRO-SURESTE







METROPOUTAISIA






lo mas reciente




UAM

QA241

M466

2008


2891770
















Editor


Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE










VI

SEGUNDA PARTE




Progravelogo





v i l i






PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA







E S I T Av IPN sn


Resumen


1 Introduccioacuten


bull (A) (B)

















bullJe dl nanotubo





















(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)


rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)



R (6)

1 0



1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)



1


1 lt -- 2

(10)


dR lt i - 2

(11)






(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)





(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)


(iii) Sn-m)






5 ^ = ^ = ^ (14)


HF = lNe (15)





Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)


na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)













3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )




3 n-m)dplusmnl)














( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)


^F = - xti^yt2)d (29)











t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)














3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )















f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)



o bien




N = 23z + l)d (38)




































fip + ffr = N (45)


a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)



VK + FK =rT = NK (48)


bullESCAMSA BRAZO


24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I


II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash


M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=




6 Conclusioacuten



26







Referencias


























[26] S lijima Nature 354 (1991) 56













Resumen











X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3



348 X 26 = 9048 moacuted 9

















que








5 iexcl X ao e 05





En otras palabras



De esto obtenemos






13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26













y sea Mi = M + m



7=uuml т^г J



m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1








fc











X




Mp = 2 P - 1




p = 23571317193167127257


iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0




FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^



















dl6

Ejemplo 31

n Suma










Pi - 1



bull


con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i






N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^





= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N





(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b












Invent Math 47 (1978) no 2 171-188



X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3










Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551









71-+00



























infinito D



n-l

3=0 0 raquo = J

donde


n ) = eos 27r 27r

n j n J






donde

1 si n 1









lo cual es absm-do







Con esto tenemos



Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto














Resumen



1 Introduccioacuten




mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144




Fn+2 = Fn + Fn+i














bull


Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4
















F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23


F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1





n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2


bull j t - i = Qk^k






mcdCF^^-iFqm) = 1-





m c d ( F F _ J = F




portante teorema












(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)



(11)12)(23)35)(50)(05)(55)





Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2





54






rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )





p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281







Por la Identidad 21















p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )



Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten



Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +


mo p-


n )


(1)

(2 )


Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-


2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente





1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J


p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^



2IacuteV+1 = 1 + 5 ^



2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)


Teorema 33




1 - 5 2 = 0 (moacuted p)







bull


Teorema 34










rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3




r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3






10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168











100




p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50




r(m) =^904399095600











Apeacutendice












= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^


a = cia^ + 0 2 0 H -Cr


a - cia-^ - cia^ + = O (6)








Fn = Fn-i + Fn-2^


0 - (1 - 0 ) Fn =




laquo 1 2 =


Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I


0 =6i + 62

1 =ba + 630^2


45 1


v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2


(7)






= a (moacuted p)




RC xRC = RC


RC X NR = NR


NR X NR = RC





p j p ) p )










(mdash P


- l p = 3 (moacuted 4) (9)


- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)


[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)




o 5 У


= 1




5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1


U -IacuteIacute2







Eirl


70

Referencias




















1 Introduccioacuten





Definicioacuten 22



Definicioacuten 23





PernT) = zeS z^ ^z


| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1




Problema Inverso






d]n




dn








Definicioacuten 28





Demostracioacuten








Definicioacuten 213



















0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X








ngtl





X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1















= X-eX)^X)^^X)XF^X)
















X - aba^^lb^ = la = a-^)




u - 4 4 4 8 4 4 4 8




xeWFixip)






r-^x) = rix)



Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f


X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x





X = и Pernia)





p












тгgt1










n gt l



Pern3) I [un]p


punpiexclPernff









n gt l








p












bull


U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n





(cdc = ld^ = c^ = c~^Y
















C = ^nkmp)]ngt



G = 0 l p ^ - 1


( m - l ) a - - 0 en G (2)



888888816888888816888888816 bull bull -


iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416





к I pkd)uiquest dk



dk dk






dlfer c |r

luego



ы n = к

SI 71 gt




















ff= П q p r imo


bull






11111251111125




1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71




0 1 0 0 0 1

l 1 0


111517851911233527646185137133229275


11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512


1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5


( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71


J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п


52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n









1 sikKn


u = Xnknip)ngth





T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl











bull













Proposicioacuten 48














2П-1

fCn^Yl Hk 123



fc=2-l-i-l





Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0



(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1






N gt I



2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428


Abdquo(l 12) = 242824216



и

2uiacuter^ si I n


A-m Вт O Amj


AU _ I ^m





mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i






3mcd(2^+2+~^^f)









Del Lema 49 tenemos






Teorema 42






5 Temas de Tesis










Referencias




















1 Introduccioacuten



























GQe)Q) = 1



























xt) = at) (1)





Ejemplo 42


xt) = mx (2)





xt) = a ( iacute ) + (3)



xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)














Ejemplo 51



v) еШ^ u^ + = 1









det Mnxn К







(f X К X ф)









Recordemos que si







c C R mdash M



























Ax) Ax


SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira



2- igig2)-p = 9ig2-p)-





1 Traslaciones

(a a) H- a + X


E+ X















adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]














V 7(1)






4- do exp mdash Id


6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +










GxW

(^S uuml 1) A T + S


d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)


xt) = X4Amxt))






















1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j




ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como



O 1 y V Ht) (uit))-


Bt)


ht) = Bt)ht)





xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B



G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1





xt) = at)xty x0) =




Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1





yt) = ixt]rbt)





126

Referencias



























1 Introduccioacuten













en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m





-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a



dt 2m ox^


^xJ) = e^^^îix)










con


u h К к

Ai А 12


2 bull


Asiacute que




n gt l












con









donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-


S^S = l 2 i V x 2 A S


rr^ +tt^ = 1N^^





Wiix] =^







(A) = ^ A ( A ) ( A )


HA)







fA)=pound SjA^



a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1









uuml


a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +











02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash


1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y



|oi(n gt |a2(n)| + 1


fn lt 1





T

Tr W2




liacutem oo alt(m)




K



para toda n gt 0


Agradecimientos


140

Referencias












1 Introduccioacuten












X^ = T + 1 (1)










Ф^ = ф + 1 (2)



( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1


y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0


071 = Fnybn- Fn~i




+ (6)




v5

luego



y


y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)


= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)


- ( - i r L bdquo









luego tenemos















Fm Fn) = i^(mn)-


F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente




y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)


-tiacute)2^ + 2(-ir + 02


5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)













Tenemos el


0 (moacutedp) si


Demostracioacuten


tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)






es decir tenemos












o si

gtc si (p = - l





asiacute tenemos




lt



















Demostracioacuten


a^ = a (moacuted m)












0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn














n











n


^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)


iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+


+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^



Lfc - 2


Lk

(25)

1 = lt


^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar



2Lk-l + -m (27)


1-4)^




3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))


2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas


(28)


j=ti bull ltgt



Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2


F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)


Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^


Binet


Z^ lQj+ i 89 3=1




1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф




lt u lt 0- ^


Luego tenemos










pj ~ ^ J 5




La norma


N Ш] ~ Z

158


(i)





a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p







Referencias












1 Introduccioacuten












1

n = l



3 Zeta y los primos




(1) = l^p +p~2s+jr^^ +




pltq pn pltq





bull




k = l ^ bull fc=l


n n

E mdash k=l



s - l Ji

dx lt C ( s )


^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l






his)-^f2s)




lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~


C(6-) = N ( I - )


OC bdquo


ш lt E E p-

тп=2 m



m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^


-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1



logC(s) ~ ^ p ^ peP







Demostracioacuten


4mdash] +



liacutem S


J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )











SiS) lt 5(P) = 1















peP


dyen) = hm - T = 1


pePraquo


- log(s - IJ (p[m)





X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C







G si X = X


|G | s]g = l

uuml si f 7 1

















( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )






n=l


00

n=l








A N-l


n=M n = M







1

5 - Sol

lt sup

lt


nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1



Para (2) On 1



an 1




n=2



о с


lt



oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1


Teorema 61



Нх8) = ф)111-р-^) p | m





ya que si p|7T7

si рЦт



m




1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)







Zs)=XLxs)

X



() Zs) = n ^





(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)



gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^


1 1 _ p-ltigtm)s




p^m pm ^


= n ~


= Y ^ 11=1



Para probar qne




Lema 71


^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )






eacute(m)



ga[s)^ ^ l p^




- E ( E ^ ) p^m X

y como


o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m





0 Sip^yenam


= 4)m)gas)




X

1821

y рог lo tanto



Referencias






SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA






R e s u m e n




1 Introduccioacuten


















2 Heuriacutestica































36 X ( )


36 X 36












ENTRADA SALIDA











Tabla 1































Dibujar DCL



Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones















Primera Parte


Segunda Parte






Tercera Parte




Cuarta Parte








4 Conclusiones









Referencias
























204









1 Introduccioacuten




2 Presentacioacuten



Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2




Ct-i = l + iyCo


Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)





Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai


C(t) - iCt) (4)


^ ^ dt


dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)


inCt) ît + k


C[t) = aexpiit)



Ct) = Cocxpit) (5)










Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)


DCt) = iCt) ( 7 )





Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a


S2 = l + t)Si-a


S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a





+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J




a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O


fl+гУ-l

(9)

10










AimdashO

St) = iSt)-o (12)



St) = iSit)


yt) = iyt)











DSt) - iSt - a (17)




y cu consecuencia




M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a






y - m (18)

y = fiy) (19)


y = j ft)dt


Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J


fy) = ay^ + by^c



y =îy~c (20)





yt) = ^ (22)


c m = -

i


f dy





dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y


(24 )




y i J i-ay


ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y








y i




y0) = m


1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute


y(t) = 71=







yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b




yt - A



V ( A 2 - A - - 1 ) = 0


A = 0 o A ^ - A - l = 0


A = 1 + ^5 1 - v5


Uf = X amp Vt = X2



cumple



- o - 0 + 3-0 = 0


yo = 1 amp Vi = 1


1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi


aA] + 13X2 ^ 1


1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220



A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )




con



Referencias




222








1 Introduccioacuten


2 Presentacioacuten






















228

Referencias







DEL CENTRO-SURESTE







METROPOUTAISIA






lo mas reciente




UAM

QA241

M466

2008


2891770



Contenido

Proacutelogo vii

PRIMERA PARTE










VI

SEGUNDA PARTE




Progravelogo





v i l i






PRIMERA PARTE

SECCIOacuteN

LICENCIATURA







E S I T Av IPN sn


Resumen


1 Introduccioacuten


bull (A) (B)

















bullJe dl nanotubo





















(3) 1

CK = --bi + 2h^) y CK =--2bi^ b2)


rK=â--)b^^--Jb 2

(4)

TK ( 2

a mdash - (5)



R (6)

1 0



1 ^ 4

UR oacute

A2 (7)

(8)

(9)



1


1 lt -- 2

(10)


dR lt i - 2

(11)






(na-i-mp)-^n + 2m) = fip (12)





(i) 3 I (n - m) y 3rf(n - m)


(iii) Sn-m)






5 ^ = ^ = ^ (14)


HF = lNe (15)





Si = 2 se sigue que

1лг = Q - ^(1 - 2Iacute2) y 3 = ^(1 + ti) (17)


na + mp) - i ( 2 n + m) = i^ (18) oacute

( iquest i a + Iacute 2 5 ) - ^ = 0 (19)

(20)

- iquest2 h

M f - ^ A ^ iacute (21)













3 | ( ( 7 i - m ) d + i ) y 3 i ( ( n - m ) d - 1 )




3 n-m)dplusmnl)














( ^ ) ( trade ) ^ plusmn (27)

donde

a-20^1 y y = 2o-Q (28)


^F = - xti^yt2)d (29)











t a + b l i - - = T - bdquo 31 ( - T i ) (30)














3 | -njd^l) y 3 | ( - n d - l )















f^F = 12N T i ) a = ~(1 - 2t2) y 0=^1(1 + t i) (35)



o bien




N = 23z + l)d (38)




































fip + ffr = N (45)


a + a - 1 - iquest2 (46)

y

0 + P = l + iacute i (47)



VK + FK =rT = NK (48)


bullESCAMSA BRAZO


24

I -If

3 te E

TIC r

tu c raquo mdash

^ ft

r + + ^

-mdashbull n I


II

2

-JJD Min II J

--1 + +

II II

ti

M 1

r-|C- II

l C bulliquest

u + V

iquestVI - o II

+

+

7

+

mdash t

+

7 11 VI

o 1 ^

^ - II o

^ II M +

iquestere iquest ^

+

+ lt

+ ^ mdash

+ + laquoinnraacute

+ + + mdash


M 1 1 r

1 1 ^ 7

mdash OT -I II

1 L ~^ ^ bull- es

bull-in -ire 1

-i II

-bdquo +

5 c o a 3

mdashw mdashiw

i a

pound El 1

S poundbull1 1 S

s uuml s

- + 7 er=




6 Conclusioacuten



26







Referencias


























[26] S lijima Nature 354 (1991) 56













Resumen











X

3 4 8 2 6

2 0 8 6 9 6 9 0 4

donde

a = 3 + 4 + 8 = 1 5 - M + 5=6

b = 2 + 6 - 8

o = a - 6 = 8 bull 6 = 48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3

d = 9 + 0 + 4 + 8 = 1 2 = 1 + 2 - 3



348 X 26 = 9048 moacuted 9

















que








5 iexcl X ao e 05





En otras palabras



De esto obtenemos






13 I X ^ 13 a -H 46 11 x ^ 17 I 3 a + 26

19 I з 19 I a + 26













y sea Mi = M + m



7=uuml т^г J



m + г puesto que

M + 1 2

m + i )

se sigue que M

77iacute + г - + 1

j = 0

= 1

(m + i) = 1








fc











X




Mp = 2 P - 1




p = 23571317193167127257


iacute ~ 2 ^ + 1 n 6 N U 0




FN 22^^ + 1 ~ x + 1 - ^ ^



















dl6

Ejemplo 31

n Suma










Pi - 1



bull


con ( 2 + ^ - l 2 + ^ J = l (7(6) 2+i






N = 2 (2-^^ - 1) y IacuteT (2Î - 1) = 2 + ^





= 2 bull 2^-2P - 1)) ^ 22P-^ bull q) = 2N





(TN) = (7(2^)a(6) = ab) - ( 2 + ^ - l)ob) = 2N = 2 + ^ - b












Invent Math 47 (1978) no 2 171-188



X ^ 3 n = 2

y = 2 m = 3










Ann of Math (2) 141 (1995) no 3 443-551









71-+00



























infinito D



n-l

3=0 0 raquo = J

donde


n ) = eos 27r 27r

n j n J






donde

1 si n 1









lo cual es absm-do







Con esto tenemos



Sea m = n Pi

Mogravebius

por tanto














Resumen



1 Introduccioacuten




mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144




Fn+2 = Fn + Fn+i














bull


Fn 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn (moacuted 2) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

Fn (moacuted 3) 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0

Fn (moacuted 4) 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

Fn (moacuted 5) 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4
















F]6 = 3 - 7 - 4 7

F 2 4 = 2^ bull 32 bull 7 bull 23


F 2 o - 3 - 5 - n - 4 1

bull 3 0 F 3 o - 2 ^ - 5 - l l - 3 1 - 6 1





n mdash gm 4 - ro

ro = giri - I - r2


bull j t - i = Qk^k






mcdCF^^-iFqm) = 1-





m c d ( F F _ J = F




portante teorema












(n Г 2 ) ( Г 2 Гз) ( г з Г 4 ) rkrk+l)



(11)12)(23)35)(50)(05)(55)





Fi2 = 144 = 2^ Х 3 2





54






rs-i^Tf) = ( г г _ 1 Г ( )





p rp) Fn

2 3 2 3 4 3 5 5 5 7 8 3-7 11 10 5-11 13 7 13 17 9 2-17 19 18 2^ 17 bull 19 23 24 2^ - 3^ bull 7 bull 23 29 28 3-13-29-281







Por la Identidad 21















p = btplusmnl

p = ogravetplusmn2

rp) I p - 1 )

r ( p ) I ( p + l )



Ident idad 31

Fn =

Demostracioacuten



Luego

n iacuten _ iacuten

+ 2 - i LVi V3

5 + 5^ +


mo p-


n )


(1)

(2 )


Fp- = mdash (p- (p- 1 (P-(p- (p-

5 + bull bull + (P-


2 P - 2 F p _ ] = - ( 1 + 5 + 5^ + bull bull - + 5 2 ) = - 5 ^ + 1 - 1

5 - 1 (moacuted p)

o equivalentemente





1 W 5 - h - - - +

p + AÊNA 5 2 P J


p + 1 1 + 5 2

= p + l ) + ( p + l 5 ^



2IacuteV+1 = 1 + 5 ^



2+1 (moacuted p )

2Fbdquo_ = 1 - 5 V p-i 2Fjî = 1 + 5 ^

(moacuted p)

(moacuted p)

(3)

(4)


Teorema 33




1 - 5 2 = 0 (moacuted p)







bull


Teorema 34










rC2 ) = r(2) bull 2^-2 VAgt3




r(2^) = r(2) bull 2^-2 VAgt3






10 = 2 X 5 3 5 15 15 = 3 x 7 4 8 8 65 = 5 X 13 5 7 35 24 2^ X 3 6 4 12 135 = 3^ X 5 36 5 180 1375 = 5^ X 11 125 10 250 108 - 22 X 3^ 6 36 36 200 = 2^ X 5^ 6 25 150 441 = 32 X 7 12 56 168











100




p r(p) P rp) 2 3 43 44 3 4 47 16 5 5 53 27 7 8 59 58 11 10 61 15 13 7 67 68 17 9 71 70 19 18 73 37 23 24 79 78 29 14 83 84 31 30 89 11 37 19 97 49 41 20 101 50




r(m) =^904399095600











Apeacutendice












= cia-^ + C 2 Q - 2 + + tva -^


a = cia^ + 0 2 0 H -Cr


a - cia-^ - cia^ + = O (6)








Fn = Fn-i + Fn-2^


0 - (1 - 0 ) Fn =




laquo 1 2 =


Fn^bi 1 + V ^ (l-^Ъ

+ bi I


0 =6i + 62

1 =ba + 630^2


45 1


v5 Л + ч5

L V I (-sfb 2


(7)






= a (moacuted p)




RC xRC = RC


RC X NR = NR


NR X NR = RC





p j p ) p )










(mdash P


- l p = 3 (moacuted 4) (9)


- l p = 3 d 5 (moacuted 8) (10)


[-(o) Р = Я^З (moacuted 4 ) (11)




o 5 У


= 1




5

5 iacute - 2 - 2

- - 1

- - 1


U -IacuteIacute2







Eirl


70

Referencias




















1 Introduccioacuten





Definicioacuten 22



Definicioacuten 23





PernT) = zeS z^ ^z


| P e r bdquo C r ) j - 2 ~ 1




Problema Inverso






d]n




dn








Definicioacuten 28





Demostracioacuten








Definicioacuten 213



















0 ( x ) - ф^х) - ( i ^ ) ^ X ^ ) = X








ngtl





X = u ( a ) - Q - ( Q ( 3 ^ ) ) = u - l ) - 1















= X-eX)^X)^^X)XF^X)
















X - aba^^lb^ = la = a-^)




u - 4 4 4 8 4 4 4 8




xeWFixip)






r-^x) = rix)



Como 2x G Fixtp)

2x = ii2x) = 2ipx) = 2x + 2f


X ^ i^x) = + iexcl) = x + f + f^x





X = и Pernia)





p












тгgt1










n gt l



Pern3) I [un]p


punpiexclPernff









n gt l








p












bull


U-n =

p sip^fn

p^-^^ sip^ n





(cdc = ld^ = c^ = c~^Y
















C = ^nkmp)]ngt



G = 0 l p ^ - 1


( m - l ) a - - 0 en G (2)



888888816888888816888888816 bull bull -


iacutebdquo(432) = 282162821628216

y

iacutenC452) = 4841648 4 16 4 8 416





к I pkd)uiquest dk



dk dk






dlfer c |r

luego



ы n = к

SI 71 gt




















ff= П q p r imo


bull






11111251111125




1 si 5 n

U n = ^ 31 si 5 i n pero 155n

961 si 155 I 71




0 1 0 0 0 1

l 1 0


111517851911233527646185137133229275


11 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 641 1 11 1 1 8 1 1 1 1 1 1 512


1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 25 1 1 1 1251 1 1 5


( ^Ч^+^gt^Мг^)) si 7 I n

si 7 71


J5l+Ord5n) ^ 4 I ^

1 814п


52(l+ord5(n)) ^ Hi 24 I n

1 s i 2 4 | n









1 sikKn


u = Xnknip)ngth





T p = | J r p | r = 0 l p - l ngtl











bull













Proposicioacuten 48














2П-1

fCn^Yl Hk 123



fc=2-l-i-l





Ал -

fl i 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0



(An О О О 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1






N gt I



2 2 2 2 2 4 2 4 y 24282428


Abdquo(l 12) = 242824216



и

2uiacuter^ si I n


A-m Вт O Amj


AU _ I ^m





mcd(2^2^+ ^^^2()) s i 2 ^ n

2mcd(2=2^+deg^=^) si 2 | 7i






3mcd(2^+2+~^^f)









Del Lema 49 tenemos






Teorema 42






5 Temas de Tesis










Referencias




















1 Introduccioacuten



























GQe)Q) = 1



























xt) = at) (1)





Ejemplo 42


xt) = mx (2)





xt) = a ( iacute ) + (3)



xit) - at) + 20t)x + -ft)x^ (4)














Ejemplo 51



v) еШ^ u^ + = 1









det Mnxn К







(f X К X ф)









Recordemos que si







c C R mdash M



























Ax) Ax


SL(nR)x

Ax) t-y Ax

bulliexcln ira



2- igig2)-p = 9ig2-p)-





1 Traslaciones

(a a) H- a + X


E+ X















adg^ gl(0)

X ^ adX) [XY]














V 7(1)






4- do exp mdash Id


6 ^ ^ 7 + ^ + 1 4 2 + ^ 4 3 +










GxW

(^S uuml 1) A T + S


d dr

Evaluando

T = 0

XAt))xt))=at)x--bf)


xt) = X4Amxt))






















1 so(iacute) ^ ^^ ^=^ o 1 j




ar--b cr --d

V u

Y tomamas A como



O 1 y V Ht) (uit))-


Bt)


ht) = Bt)ht)





xt) = at)xt)bt)

de nuevo

A В 0 1 J

con accioacuten

IacuteA B



G x R + i ^ R +

l O 1 V J

iacute A B o 1





xt) = at)xty x0) =




Ahora tomamos

9it)

o 1 iacute bull ^

( At) o o 1





yt) = ixt]rbt)





126

Referencias



























1 Introduccioacuten













en donde

p = фФ j = - ^ ф у ф - ФУФ) i2m





-a

V ( x )

Vf

E gt Y

E lt Y

a



dt 2m ox^


^xJ) = e^^^îix)










con


u h К к

Ai А 12


2 bull


Asiacute que




n gt l












con









donde

= Ax) ^-^^ = [Ax)) ^ ^ lt ^1 lt lt ^-


S^S = l 2 i V x 2 A S


rr^ +tt^ = 1N^^





Wiix] =^







(A) = ^ A ( A ) ( A )


HA)







fA)=pound SjA^



a-ds) ^ Si^s+i s = 0 1 A - 1









uuml


a2 a = ai--laquo 2

ucirc i +

ai -f a2

a i +











02 + laquo3

1 03 a i H- - Q2 + mdash


1

1

aj 1 ^ 03

CV2 + mdash V Qi +

Ql +

Q2 +

Q2 + 03

aj + cv-i + laquo3

03

laquo 1 + ai +

02 + v Q l + y



|oi(n gt |a2(n)| + 1


fn lt 1





T

Tr W2




liacutem oo alt(m)




K



para toda n gt 0


Agradecimientos


140

Referencias












1 Introduccioacuten












X^ = T + 1 (1)










Ф^ = ф + 1 (2)



( ^ 2 ^ 1 tiacute+ 1-1


y

obtenemos que

ai = a2 =^ b-2 ^ l y bi = 0


071 = Fnybn- Fn~i




+ (6)




v5

luego



y


y por lo tanto

F-n = -ir+Fr (8)


= ^ n + l + Fn-i

es decir

Ьп^ф^ + Г (9)


- ( - i r L bdquo









luego tenemos















Fm Fn) = i^(mn)-


F2n = FnLn (14)

F2n+i = -F^+i + Fl (15)

respect i vamente




y de aquiacute

5 F ^ - 0 2 - 2 ( - l ) ^ + c 2 (16)


-tiacute)2^ + 2(-ir + 02


5i + 4(-ir = L^

oacute

X ^ - 5F2 -4 ( ~ i r (17)













Tenemos el


0 (moacutedp) si


Demostracioacuten


tenemos que

2 V = l 4 - 5 ^ 5 (moacuted p)






es decir tenemos












o si

gtc si (p = - l





asiacute tenemos




lt



















Demostracioacuten


a^ = a (moacuted m)












0 - F n - i ^ bdquo G Z ( 19 )

bulltn














n











n


^ F ^ - F bdquo + 2 - l (22)


iquest1^(1-0^) (1-0^-) _ _ -i)^y _ (pf-^+


+

X - ( i + -i)^

fe(n + l)-

L - ( l + (-l)^^

luego

iquest^^^bull^-^ - X - ( i + (- l)^) ^ ^



Lfc - 2


Lk

(25)

1 = lt


^fc(Tt-H)-l + - Fk-1 - 1

si k es par (26)

si k es impar



2Lk-l + -m (27)


1-4)^




3 = Iacute 2 ( i f e - ( l + (-)))


2 ( L - ( l + (-l)))

11 Sumas infinitas


(28)


j=ti bull ltgt



Fx) = F + F 2 X + 5 ]F _ iX^

xFx) - F i T + ^F -rJ i - 2

7=2


F ( a ) l - r - c 2 ) = l (29)


Fx) = 1 - X - r2

1 1 1 7 5 x + 0 x--0_

1 1 1

( - y E

V ^


Binet


Z^ lQj+ i 89 3=1




1ltиltф (30)

entonces

ий ltu lt ф




lt u lt 0- ^


Luego tenemos










pj ~ ^ J 5




La norma


N Ш] ~ Z

158


(i)





a mdash b + ob ~ p^

lo que nos lleva a

(2a + bf - 56^ = 4p







Referencias












1 Introduccioacuten












1

n = l



3 Zeta y los primos




(1) = l^p +p~2s+jr^^ +




pltq pn pltq





bull




k = l ^ bull fc=l


n n

E mdash k=l



s - l Ji

dx lt C ( s )


^dx ^ 1 = 1 +

s - l

y asiacute

s-l s - l






his)-^f2s)




lOgC(s) E ~ ^^^^^ ~


C(6-) = N ( I - )


OC bdquo


ш lt E E p-

тп=2 m



m=2 mp m = 2 bullo

~ 2 ^ p^^ ~ 2 ^ 1

= r -p- ^ - i i-p-^


-2^ 1 1

l - p -

1

lt

2 ^ l - p - y 2 ^ ( l - p - ) r 1

2 ^p - (p^- l )y

p2c

y asiacute 1 ^ 1

l s W I ^ E ^ ^ E 2 F = C(2a) 11=1



logC(s) ~ ^ p ^ peP







Demostracioacuten


4mdash] +



liacutem S


J 3 p - ^ ^ l o g ( l 5 - l )











SiS) lt 5(P) = 1















peP


dyen) = hm - T = 1


pePraquo


- log(s - IJ (p[m)





X (2mZ) -^zeC |^| = 1 С C







G si X = X


|G | s]g = l

uuml si f 7 1

















( p ) - - ( Z m Z r - ^ M ^ p )






n=l


00

n=l








A N-l


n=M n = M







1

5 - Sol

lt sup

lt


nlttltn+l

l + R ( ( s - s o )

y por lo tanto

Vn-Vn+iacute = 1



Para (2) On 1



an 1




n=2



о с


lt



oc ^ I _ ^mdash^ On

f i = l nmdash1


Teorema 61



Нх8) = ф)111-р-^) p | m





ya que si p|7T7

si рЦт



m




1 С С

С С С С 2C + ^ + М-

^ ^ J l - p - ( ^ ) ^ ) 9(P)







Zs)=XLxs)

X



() Zs) = n ^





(1 - Tj = ( n (1 - ^T)y = n(i - xm)



gt l + p - - ^ ^ - | - p ^ 2 g 5 ^


1 1 _ p-ltigtm)s




p^m pm ^


= n ~


= Y ^ 11=1



Para probar qne




Lema 71


^ n ~ l o g ( l ( s - l ) )






eacute(m)



ga[s)^ ^ l p^




- E ( E ^ ) p^m X

y como


o S I a ^ 1 mod m

j si p ^ a mod m





0 Sip^yenam


= 4)m)gas)




X

1821

y рог lo tanto



Referencias






SEGUNDA PARTE

SECCIOacuteN

MAESTRIA






R e s u m e n




1 Introduccioacuten


















2 Heuriacutestica































36 X ( )


36 X 36












ENTRADA SALIDA











Tabla 1































Dibujar DCL



Plantear Ecuaciones

Resolver Ecuaciones















Primera Parte


Segunda Parte






Tercera Parte




Cuarta Parte








4 Conclusiones









Referencias
























204









1 Introduccioacuten




2 Presentacioacuten



Ci = Co + iCo

C - (1 + iacute)Co

Ci + iCi - (1 +

C2 = l+ifCo

C3 = C2 + l C 2 - ( l + Iacute)C2




Ct-i = l + iyCo


Ct = Ct^^ + iCt-i (1)

Ct = l + i)Ct-i (2)

Ct = l + iyCo (3)





Ct + M)-Cf) = iMCf)

Ct + At)~Ct) Ai


C(t) - iCt) (4)


^ ^ dt


dCt) di

dCt)

= iCt)

mdash idi C(t)


inCt) ît + k


C[t) = aexpiit)



Ct) = Cocxpit) (5)










Ct+i - Ci ~ iCt

AC = iCt (6)


DCt) = iCt) ( 7 )





Si = l + i)Soa

Si = l + i)M-a


S2 = l + t)Si-a


S2 = i^+i)^M-[l-^l + i]a

S^ = S2 --182 mdash a

^3 = (1 + 1)82 - a

3 = (1 + + ifU - [1 -h (1 + i)]a - a

5 3 = ( 1 + i)^M -[1 + ( 1 + i) ( 1 + if]a





+ ( l + iquest y - 2 ] a

5 = (l + iquest )S f_ i - a (8J




a - 1 l + q + q^ + bullbull-+ q^~^ - ^

^ - 1

si O


fl+гУ-l

(9)

10










AimdashO

St) = iSt)-o (12)



St) = iSit)


yt) = iyt)











DSt) - iSt - a (17)




y cu consecuencia




M = 5(0) = T exp(0) + ^ = -b + a) i 1 1

de donde b = Mi ~ a






y - m (18)

y = fiy) (19)


y = j ft)dt


Ti = bull^^^

= iexcldt J fiy) J


fy) = ay^ + by^c



y =îy~c (20)





yt) = ^ (22)


c m = -

i


f dy





dy 9

bulldi = - y

dy = dt

(i - ay)y


(24 )




y i J i-ay


ln

ln

y t mdash ny

i - ay

= it + i6

y

t mdash ay y

y








y i




y0) = m


1 m = y0) =

Q e x p ( - v - 0 ) + f

1 a mdash = a + ~ m

1 a m i i mdash ma

a = mdash miacute


y(t) = 71=







yo = 1 yi = 1 2 = iacutei + = 1 + 1 ^ 2

- + t2 = 1 + 2 - 3 y^ = yiexcl-^-yi = 2 + S^b




yt - A



V ( A 2 - A - - 1 ) = 0


A = 0 o A ^ - A - l = 0


A = 1 + ^5 1 - v5


Uf = X amp Vt = X2



cumple



- o - 0 + 3-0 = 0


yo = 1 amp Vi = 1


1 = io ^ auo + 0vo

l = yi = aui + l3vi


aA] + 13X2 ^ 1


1 1

Al A2

1 1

o A2 - Al

1

1 - A i

1 O

V o 1 A 2 - A ]

220



A 2 - A - 1 = A - A Iacute ) A - A 2 )




con



Referencias




222








1 Introduccioacuten


2 Presentacioacuten






















228

Referencias







DEL CENTRO-SURESTE







METROPOUTAISIA






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