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8/12/2019 V. Albis - Teoría de Números Algebraicos.pdf

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El senor de Fermat y sus problemas

1.1. Introduccion

El proposito de este capıtulo es introducirnos en la obra germinal de Fer-

mat

1

y mostrar como sus ideas han influido en el desarrollo ulterior de la teorıade los numeros.2 Para ello, empezamos por transcribir apartes de una carta3

de Fermat a Pierre Carcavi (1600–1684), fechada el 14 de agosto de 1659,en la cual curiosamente aparecen, junto con otros no menos interesantes, losproblemas de los cuales arranca el desarrollo del cual queremos hablar:

“Y, como los metodos que estan en los libros eran insuficientes para

demostrar proposiciones tan difıciles, he encontrado al fin un camino

verdaderamente singular, para hacerlas. He llamado esta manera

de demostrar el descenso infinito o indefinido, etc.; y al principiome he servido de el para demostrar proposiciones negativas, como,

por ejemplo, ..., que no hay ningun triangulo rectangulo, expresado

en numeros enteros cuya area sea un cuadrado. La demostracion

se hace por reduccion al absurdo, de esta manera: si hubiese un

triangulo en numeros enteros que tuviese area igual a un cuadrado,

habrıa otro triangulo menor que este, que tendrıa la misma pro-

piedad. Si hubiese un segundo menor que el primero que tuviese

esta misma propiedad, habrıa, por un razonamiento parecido, un

tercero menor que el segundo, que tendrıa la misma propiedad y

en fin, un cuarto, un quinto y ası descendiendo hasta el infinito;

pero, dado un numero entero, no existe mas que un numero finito

de numeros enteros menores que aquel. De donde se concluye que

es pues imposible que haya un triangulo rectangulo cuya area sea

un cuadrado... No anado la razon de la cual infiero que, si hubiese

un triangulo de esta naturaleza, habrıa otro de la misma naturale-

za [menor] que el primero, pues el discurso se harıa muy largo y es

allı donde esta todo el misterio de mi metodo. Me gustarıa que los

1Pierre S. de Fermat nacio el 17 de agosto de 1601 en Beaumont–de–Lomagne ymurio en Castres el 12 de enero de 1665. Para mas detalles de la vida y obra de Fermatvease [26].

2De hecho este capıtulo es una adaptacion de [1], usando informacion aparecida despuesde 1976 en [23], [?] y [43].

3Una traduccion completa de esta carta se encuentra en [2].



2 El senor de Fermat y sus problemas

Pascales y los Roverbales y tantos otros sabios lo busquen segun mi

indicacion. . . Por mucho tiempo no pude aplicar mi metodo a las

proposiciones afirmativas porque el rodeo y el prejuicio para llegar

allı eran mucho mas difıciles. De suerte que cuando me fue necesario

probar que todo primo que sobrepasa la unidad a un multiplo decuatro, esta compuesto de dos cuadrados, me encontraba en gran

dificultad. . . Pero nuevos principios me permitieron lograrlo. Este

progreso de mi razonamiento sobre las cuestiones afirmativas es ası:

si un numero primo tomado a discrecion, no es el compuesto de dos

cuadrados, habrıa un numero de la misma naturaleza menor que el

dado, y ası sucesivamente, descendiendo hasta el infinito, hasta que

llegarıais a 5, que es el menor, el cual, se seguirıa, no es el compuesto

de dos cuadrados, y sin embargo lo es, de donde se debe inferir, por

la reduccion al imposible, que todos aquellos de la misma naturaleza

son, en consecuencia, compuestos de dos cuadrados. . . He conside-

rado enseguida ciertas cuestiones que, si bien negativas, contienen

grandes dificultades y el metodo para practicar el descenso es de

hecho diferente a los precedentes, como sera facil comprobar. Tales

son las siguientes: No hay ningun cubo dividido en dos cubos. Solo

hay un cuadrado en enteros que aumentado del binario haga un

cubo. Dicho cuadrado es (25). Solo hay dos cuadrados, los cuales

aumentados de cuatro hagan un cubo. Los dichos cuadrados son (4)y (121). . .”

Analizando estos apartes de la carta, observamos que, usando su metodo

del descenso infinito, Fermat dice que es capaz de demostrar las siguientesproposiciones:

A. El area de un triangulo rectangulo de lados enteros no puede ser un

cuadrado perfecto.

B. x3 + y3 = z3 no tiene soluciones en numeros enteros x, y, z, con xyz = 0.

C . y2 + 2 = x3 tiene como unicas soluciones enteras a x = 3, y = ±5.

C . y2 + 4 = x3 tiene como unicas soluciones enteras a x = 2, y = ±2 y x = 5, y = ±11.

D. Todo primo de la forma p = 4n + 1 es unıvocamente la suma de dos cuadrados.

El metodo del descenso infinito consiste en lo siguiente:

Se supone que existe un numero natural n que posee una cierta propiedad P (esta es la hip´ otesis de descenso). Esta suposicion implica entonces la existenciade un numero natural m menor que el dado, el cual posee tambien posee la



Teorıa de los numeros. Capıtulo 1 3

propiedad P (este es el paso de descenso); pero esto nos lleva a una contradic-cion, pues siempre existirıa un menor numero natural que posee la propiedadP , lo cual es imposible. En consecuencia, la hipotesis de descenso es falsa paratodo numero natural.

La dificultad del metodo, tal como lo senala Fermat en la cita anterior,estriba usualmente en hallar el esencial paso de descenso.

Las proposiciones A, B, C , C y D han conducido a tres areas de intensainvestigacion –en diferentes epocas– en la teorıa de los numeros. Todas ellas sereducen a la determinacion de soluciones enteras de ecuaciones algebraicas decoeficientes enteros –las llamadas ecuaciones diof´ anticas – uno de los problemasmas difıciles y antiguos de la matematica. Un primer estudio sistematico de

estas ecuaciones fue hecho por Diofanto (¿siglo III d. de J.C.?), a quien enprincipio tambien le interesaban las soluciones racionales, no solo las enteras.4

Veamos como plantean hoy en dıa los matematicos el problema de las ecua-ciones diofanticas: Dados los polinomios P j(x1, · · · , xn), j = 1, 2, · · · , m, decoeficientes enteros, determinar:

a) si existen soluciones racionales (o solamente enteras) del sistema

P 1(x1, · · · , xn) = 0 ,P 2(x1, · · · , xn) = 0 ,

· · ·P m(x1, · · · , xn) = 0 ;

(1)

b) en caso de que existan estas soluciones, como se obtienen y cuantas de ellas existen.

4Sobre quien fue exactamente Diofanto sabemos muy poco, en su mayor parte conjeturas.Lo unico que sabrıamos con certeza, si el siguiente epitafio es historicamente correcto, es laedad que alcanzo: 84 anos. Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto. Es verdadera-mente maravillosa porque, gracias a un artificio aritmetico, descubre toda su existencia. Diosle permiti´ o ser ni˜ no durante un 1/6 de su vida; luego de un 1/12 sus mejillas se cubrieron de barba; despues de un 1/7 se encendio la llama del matrimonio, del que, a los cinco a˜ nos, tuvoun hijo; pero este ni˜ no desgraciado aunque amado apasionadamente, muri´ o apenas llegadoa la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cual vivi´ o cuatro a˜ nos m´ as mitigando su labor con investigaciones sobre la ciencia de los n´ umeros. Usando n´ umeros dinos su edad.

Traduciendo lo anterior, encontramos la ecuacion lineal x

6

+ x

12

+ x

7

+ 5 + x

2

+ 4 = x, cuya

solucion es x = 84. Este epitafio aparece en la compilacion Antologıa griega de un tal Me-teodoro, personaje difıcilmente identificable (veanse [10, Vol. 2, pags. 1020–1021] y [5, pags.1–4]). Los libros supuestamente escritos por Diofanto son 13, de los cuales se conocıan 6.Sin embargo, en una traduccion arabe de los libros IV a VII (J. Sesiano, The Arabic Text of Books IV to VII of Diophantus Aριϑµητιχα in the translation of Qusta ibn Luq a , XeroxUniversity Films, Ann Arbor, 1976, o J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus Arithmeti-

ca , Springer–Verlag: New York, 1982) nos permitirıa anadir hoy un septimo libro. EduardLucas en el siglo xix hace un interesante estudio de los libros de Diofanto [25].




La similitud con la geometrıa algebraica, es decir, el estudio de las variedadesalgebraicas, i.e., conjuntos definidos por ecuaciones algebraicas, no es una meracoincidencia, pues los metodos de esta pueden utilizarse con sumo exito en losproblemas diofanticos.

1.2. La conjetura de Fermat o el teorema de Fermat–Wiles

En esta seccion nos limitaremos a analizar las proposiciones A y B, lascuales estan ıntimamente ligadas entre sı. Cuando aquı hablemos de las solu-ciones de una ecuacion o de un sistema de ecuaciones diofanticas, entenderemossiempre soluciones enteras, salvo indicacion de lo contrario. Usaremos, ademas,libremente algunos conceptos y resultados de la aritmetica del anillo Z de losnumeros enteros. En particular, el lector debe recordar las nociones basicasde divisibilidad de los numeros enteros. Especialmente, las de maximo comundivisor, mınimo comun multiplo, descomposicion en factores primos y de larelacion de congruencia modulo un entero positivo y las propiedades basicas deesta relacion. Mas adelante, especialmente en el capıtulo 2, todas estas nocionesse explicaran o demostraran en un marco mas general.

Soluciones enteras x, y, z, de la ecuacion diofanticax2 + y2 = z2 (2)

ya se encuentran en antiquısimas tabletas babilonicas. Por su parte, los pitagori-cos encontraron formulas para hallarlas, las cuales explicitamos en la siguienteproposicion:

Proposicion 1.2.1. La ecuacion diofantica (2) admite un numero infinito de soluciones (x,y,z), todas ellas satisfaciendo las condiciones xyz

= 0 donde

los numeros x, y, z, son primos entre sı de dos en dos. Estas soluciones estandadas por x = 2ab, y = a2 − b2, z = a2 + b2, o bien por x = a2 − b2, y = 2ab,z = a2 + b2, donde a y b son primos entre sı y solo uno de ellos es impar.

Demostraci´ on. Es claro que si (2) tiene una solucion (x,y,z), entonces x, y, z,no pueden ser todos impares y, en consecuencia, 2 es un divisor de xyz. Porlo tanto, si m. c. d.(x, y) = m. c. d.(x, z) = m. c. d.(y, z) = 1, solo uno de losnumeros x, y, z es par. Si suponemos que x = 2m + 1, y = 2n + 1, z = 2k,encontramos que

x2 + y2 ≡ 2(mod 4) y z2 ≡ 0(mod 4) ,

lo cual es imposible pues 2 ≡ 0(mod 4). Podemos, en consecuencia, suponer enprimer lugar que x = 2q y que z e y son impares. De modo que z + y = 2m yz − y = 2n son numeros pares, pudiendose escribir (2) en la forma

x2 = 4q2 = z2 − y2 = (2m)(2n) = 4mn ,




es decir, q 2 = mn. Pero m. c. d.(m, n) = 1. En efecto: tenemos z = m + n,y = m−n, de modo que todo divisor comun d = 1 de m y n es tambien divisorcomun de y y z, lo cual contradice que m. c. d.(y, z) = 1. Consecuentemente,m = a2, n = b2 con m. c. d.(a, b) = 1. De aquı resulta que

z = m + n = a2 + b2 , y = m − n = a2 − b2 , x = 2ab , m. c. d.(a, b) = 1 .

Finalmente, a y b no son simultaneamente impares, pues de otro modo 2 serıaun divisor tanto de x como de y, lo cual no es posible ya que m. c. d.(x, y) = 1.Trastrocando los papeles desempenados por x e y en el anterior argumento,completamos la demostracion de la proposicion.

Estamos ahora en posicion de demostrar la

Proposicion A. Si los lados de un triangulo rectangulo son numeros enteros,entonces el area del triangulo no es un cuadrado perfecto.

Demostraci´ on. Nos serviremos del metodo del descenso infinito. De acuerdo conla carta de Fermat, nos basta demostrar que dado un triangulo rectangulo delados enteros y cuya area sea un cuadrado, es posible construir un triangulo conla misma propiedad cuya area sea menor que la del primero. Por la proposicionanterior y el teorema de Pitagoras, tenemos

(a2 + b2)2 = (a2 − b2)2 + (2ab)2 , m. c. d.(a, b) = 1 ,

donde a y b son numeros enteros positivos, a2 + b2 representa la hipotenusadel triangulo, y 2ab y a2 − b2 sus catetos. Por hipotesis, el area ab(a2 − b2) deeste triangulo es un cuadrado perfecto, de donde resulta que a = m2, b = n2,a2 − b2 = t2, donde m,n,t son enteros positivos, puesto que m. c. d.(a, b) =m. c. d.(a, a2 − b2) = m. c. d.(b, a2 − b2) = 1. Es decir,

m

4

= t

2

+ n

4

(3)tiene soluciones enteras que satisfacen

m. c. d.(m, n) = m. c. d.(m, t) = m. c. d.(n, t) = 1 .

Ahora bien, si a es par, m es par y n y t son impares. Si a es impar, la proposicion1.2.1 nos dice que necesariamente b es par. Por lo tanto, m es impar y n es par;luego t es impar. Es decir, en cualquier caso, t es impar. Escribiendo

(m2

)2

= t2

+ (n2

)2

y usando de nuevo la proposicion 1.2.1, deducimos que m2 = α2+β 2, n2 = 2αβ ,t = α2−β 2, donde m. c. d.(α, β ) = 1, y solo uno de entre α y β es impar. Resultaentonces que 1

2αβ = (n/2)2 es el area del triangulo rectangulo de lados m, α y

β . Pero el area del triangulo original esta dada por

ab(a2 − b2) = 2αβ(mt)2 > 0 .




Como entonces mt ≥ 1, es claro que (mt)2 > 1

4, lo cual implica que

2αβ (mt)2 > (2αβ )1

4 =

1

2αβ .

Hemos, pues, dado el paso de descenso, y, por consiguiente, resulta la validezde la proposicion.

Corolario A.1. La ecuacion diofantica

m4 = t2 + n4 (4)

no tiene soluciones enteras que satisfagan m. c. d.(m, n) = m. c. d.(m, t) =m. c. d.(n, t) = 1 y mtn = 0.

Demostraci´ on. En el curso de la demostracion de la proposicion anterior, hemosvisto que si (4) admite soluciones con las condiciones dadas, existen entoncesα y β tales que

m2 = α2 + β 2 , n2 = 2αβ , t = α2 − β 2 donde m. c. d.(α, β ) = 1 .

De m2 = α2 + β 2 y observando que m, α, β son primos entre sı de dos en dos,deducimos, nuevamente de la proposicion 1.2.1, la existencia de enteros p y q ,tales que, sin perdida sustancial de la generalidad, cumplen

m = p2 + q 2 , β = 2 pq , α = p2

−q 2 , m. c. d.( p, q ) = 1 .

De aquı resulta quen2 = 4 pq ( p2 − q 2) ,

y, por lo tanto, existen r, s, u, enteros positivos, tales que

p = r2 , q = s2 , p2 − q 2 = u2 = r4 − s4 ,

conm. c. d.( p, q ) = m. c. d.( p, u) = m. c. d.(q, u) = 1 .

Ahora bien,

m2 = ( p2 + q 2)2 = (r4 + s4)2 > r4 ,es decir,

m > r2 ≥ r .

Por el descenso infinito, llegamos a una contradiccion que demuestra el coro-lario.

Corolario A.2. La ecuacion diofantica

x4 + y4 = z4 (5)

no tiene soluciones enteras.

Demostraci´ on. Podemos suponer que

m. c. d.(x, y) = m. c. d.(y, z) = m. c. d.(x, z) = 1 .

En tal caso, por el corolario A.1,

z4 = (x2)2 + y4




no tiene soluciones de esta naturaleza y, en consecuencia, tampoco (5) las tiene.

El anterior corolario, ası como tambien la proposicion B, son casos parti-

culares de la siguiente proposicion, conocida como la conjetura de Fermat o el´ ultimo teorema de Fermat .

La ecuacion

xn + yn = zn (6)

no tiene soluciones en numeros enteros x, y, z, que satisfagan xyz = 0, si n > 2.

Esto no es mas que la version actual de la archifamosa afirmacion hechapor Fermat, en uno de los margenes de su copia del libro de aritmetica deDiofanto en la edicion latina de Claude G. Bachet de Meriziac (1581–1638):

Cubum in duos cubos, aut quadrato–quadratum in duos quadrato–

quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potes-

tatem in duos ejusdem nominis fas est dividere. Cujus rei demostra-

tionem mirabilem sane detexi: hanc marginis exiguitas non caperet.

Veamos como es posible hacer algunas simplificaciones al enunciado de laconjetura. Si n > 2 no es un numero primo, entonces n es una potencia de2 o admite un divisor primo impar p. En el primer caso, n = 4k y podemosescribir (xk)4 + (yk)4 = (zk)4, la cual no tiene soluciones enteras, en virtuddel corolario A.2 de la proposicion A. En el segundo caso, n = pr implicaque (xr) p + (xr) p = (zr) p; luego para demostrar que (6) no admite soluciones

enteras, basta demostrar que no las tiene cuando n = p es un numero primoimpar. Pero en este caso, la conjetura es equivalente a la afirmacion de que

x p + y p + z p = 0 (7)

no tiene soluciones enteras con xyz = 0, si p es un numero primo impar.Podemos por ultimo suponer que m. c. d.(x, y) = m. c. d.(y, z) = m. c. d.(x, z) =

1. Las tripletas (x,y,z) que satisfacen las anteriores condiciones y son solucionesde (7) se dicen soluciones primitivas .

La historia de los esfuerzos para demostrar este resultado coincide en buenaparte con la del desarrollo de la teorıa de los numeros algebraicos (veanse, porejemplo, [27] o [33]). Con otras palabras, estos esfuerzos produjeron hermosos yenormes beneficios marginales, lo que ha dado lugar a la legendaria respuesta deDavid Hilbert (1862–1943) a la pregunta de por que no intentaba demostrar




el ultimo teorema de Fermat: No quiero matar a la gallina de los huevos de

oro.5

Continuemos sucintamente con esta historia. Euler (1707–1783) produjo

una demostracion incompleta para el caso n = 3 (Fermat en su carta solodice que posee una demostracion por descenso infinito para este caso).

En en 1847, Gabriel Lame (1795–1870) anuncio a la Academia de Cienciasde Parıs que habıa podido demostrar la afirmacion de Fermat. Su demostra-cion se basaba en la posibilidad de factorizar (7) en la siguiente forma [19]:

x p + y p = (x + y)(x + ζ py) · · · (x + ζ p−1 p y) = z p , (7)

donde ζ p es una raız primitiva p–esima de 1, p es un numero primo, x, y, z ∈Z y pensar erroneamente que cada uno de estos factores era una potencia p−esima, para concluir la imposibilidad de (7). Despues de la publicacion dela comunicacion, en el mismo numero de los Comptes Rendus de la Academiade Ciencias de Parıs en que aparecio, en las dos paginas siguientes, JosephLiouville (1809–1882) se preguntaba si allı no habıa una laguna que llenar(N’y a-t-il pas la une lacune a remplir ? ) [24, pag. 316]. Como veremos enseguida, ¡sı la habıa!

En efecto, los elementos x + ζ k py (k = 0,

· · · , p

− 1) pertenecen al cuerpo

Q[ζ p] conformado por todos los numeros complejos de la forma

a0 + a1ζ p + · · · + a p−2ζ p−2 p , ak ∈ Q , (8)

con respecto a la adicion y multiplicacion ordinarias de numeros complejos(usando la relacion ζ p−1

p + ζ p−2 p + · · · + ζ p + 1 = 0, se ve que ζ p−1 p ∈ Q[ζ p],lo cual facilita la verificacion de que Q[ζ p] es cerrado para la multiplicacion denumeros complejos). Este cuerpo se llama el p-esimo cuerpo ciclot´ omico.

Cuando todos los ak en la expresion (8) son numeros enteros, decimos que e-

lla representa un entero algebraico de Q[ζ p]. Veremos, mas tarde, que el conjunto

Z[ζ p] = {a0 + a1ζ p + · · · + a p−2ζ p−2 p ; ak ∈ Z}de todos los enteros algebraicos conforma, para la suma y multiplicacion denumeros complejos, un anillo, llamado el anillo de los enteros algebraicos deQ[ζ p].

Como bien lo senalo Liouville [24], Lame usa en su demostracion que elsiguiente principio:

Si el producto de dos numeros que no tienen factores comunes es una poten-cia n–esima, entonces cada uno de los dos numeros es una potencia n–esima ,

5En Fermat’s Last Stand [36, pag. 69], S. Singh & K. Ribet dicen que a esta mismapregunta, Hilbert respondio ası, de manera un poco diferente: Antes de empezar su de-mostraci´ on necesitarıa tres a˜ nos previos de estudio intenso y no dispongo de tanto tiempopara malgastarlo en un probable fracaso.




es valido en todo Z[ζ p], basando su argumento en una supuesta factorizaci´ on

´ unica de sus elementos en elementos irreducibles o elementos primos (esta es lalaguna de que habla Liouville). Pero esta factorizacion no se da generalmenteen un Z[ζ p] arbitrario.

El mismo L.-A. Cauchy (1789–1857) (quien intervino en la misma sesion dela Academia en la que se presento el resultado de Lame) estaba convencido deque para valores grandes de p los anillos Z[ζ p] eran euclıdeos para la norma , talcomo lo habıa sugerido ya Pierre Laurent Wantzel (1814–1848). Es decir,que dados α, β elementos arbitrarios de Z[ζ p], con β = 0, existıan γ , δ ∈ Z[ζ p]tales que α = βγ + δ , donde o bien δ = 0 o bien |δ | < |β |, y |x| representa alvalor absoluto del producto de los conjugados algebraicos del numero x. Comoveremos en el capıtulo 11,

|x

| resulta un numero entero si x

∈Z[ζ p].

Esta conviccion de Cauchy indicaba en su momento un camino promiso-rio, pues como mostraremos en el capıtulo 3, todo dominio euclıdeo A admitenecesariamente la descomposicion de sus elementos (distintos de cero y lasunidades) en un numero finito de factores primos, descomposicion que es unicacon excepcion del orden en que aparecen y la multiplicacion por unidades delanillo A.

Para el mismo ano del fallido intento de Lame, Ernest E. Kummer (1810–

1893), envio a la Academia de Ciencias de Berlın un manuscrito (¡publicadotan solo en 1977 !) en el cual creıa haber demostrado (7) irrestrictamente. Peropoco despues descubrio que Z[ζ 23] no satisfacıa el anterior principio. Tambien,para esa epoca, se conocio por Richard Dedekind (1831–1916) que el anilloZ[√ −5] no admitıa descomposicion unica en elementos primos (vease el ejemplo

2.1.1 del capıtulo 2).

Buscando subsanar esta carencia, Kummer introdujo sus n´ umeros ideales

para Q[ζ p], los cuales, mas tarde, en las manos de Dedekind se convirtieronen los ideales de un anillo.6 Mas precisamente, hoy decimos que un ideal frac-

cionario a de Q[ζ p] es un conjunto que satisface las siguientes condiciones:

1. Si α, β ∈ a, entonces λα + µβ ∈ a para cualesquiera λ y µ en Q[ζ p].2. Existe ν ∈ Z[ζ p], ν = 0, que cumple να ∈ Z[ζ p], para todo α ∈ a.

Es claro que {0} es un ideal fraccionario en cualquier cuerpo ciclotomico.

El producto de dos ideales fraccionarios a y b se define como el conjunto

ab = nj=1

αjβ j ; αj ∈ a, β j ∈ b, j ≥ 1

.

Es facil verificar que ab es tambien un ideal fraccionario de Q[ζ p] y que la mul-tiplicacion de ideales fraccionarios es una operacion asociativa y conmutativa.

6Una corta pero clara exposicion de los numeros ideales de Kummer se encuentra en [?]




A partir de este momento supondremos que todos los ideales fraccionariosson diferentes del ideal {0}.

Dados los ideales fraccionarios a y b de Q[ζ p] es posible definir un unico

ideal c tal que b = ac; este ideal lo notamos b/a. El ideal (1) = Z[ζ p] satisfacea(1) = a para todo ideal a, y al unico ideal c que satisface (1) = ac le llamamosel inverso de a y lo denotamos con a−1.

Podemos concluir, si se ha demostrado todo lo anterior, que el conjunto I de todos los ideales fraccionarios de Q[ζ p], distintos del ideal {0}, conforma ungrupo abeliano con respecto a la multiplicacion de ideales que acabamos de definir .

Si el ideal fraccionario a esta contenido en Z[ζ p], decimos que es un ideal entero, nocion que coincide con la nocion que ya conocemos de ideal de unanillo . Si ab−1 es un ideal entero, decimos que el ideal b divide al ideal a.Una definicion mas: si los unicos divisores de un ideal entero p son el mismoy (1), decimos que p es un ideal primo de Q[ζ p]. Veremos mas tarde que p esefectivamente un ideal primo en el sentido del algebra abstracta, es decir, queel anillo cociente Z[ζ p]/p es un dominio de integridad.

El teorema fundamental encontrado por Dedekind y que sustituye la falta

de factorizacion unica en Q[ζ p], es el siguiente:

Todo ideal fraccionario a de Q[ζ p] se escribe de manera unica, con excepciondel orden de los factores, en la forma

a = pα11 · · · pαnn ,

donde los pj son ideales primos y αj ∈ Z, para j = 1, · · · , n.

Es decir, los ideales primos constituyen una Z–base del grupo abeliano I .Si α ∈ Q[ζ p], el ideal (α) = {λα ; λ ∈ Q[ζ p]} se denomina principal . Es facil

verificar ahora que el conjunto P de todos los ideales principales es un subgrupode I . El grupo cociente I /P = C (Q[ζ p]) se llama el grupo de clases de Q[ζ p], yes un teorema fundamental de la teorıa de los numeros algebraicos el hecho deque es un grupo finito, cuyo orden h se denomina el n´ umero de clases (vease elcapıtulo 11).

Si p h, decimos que p es un primo regular

o kummeriano

. En particular, sih = 1, todo ideal de Q[ζ p] es principal. En el capıtulo siguiente, veremos que estacondicion implica en Z[ζ p]) la factorizacion de sus elementos no nulos y distintosde las unidades, en un numero finito de elementos primos. Los dominios quetienen esta propiedad se llaman anillos factoriales (vease el capıtulo 2).

Kummer logra demostrar que para los n´ umeros primos regulares , la conje-tura es correcta (vease, por ejemplo, una demostracion de este hecho en [15,




pags. 200–212]). Hoy sabemos que el numero de primos irregulares es infinito ,pero no sabemos si el numero de los regulares es infinito. Con la demostracionde la conjetura de Fermat realizada por Andrew Wiles y R. L. Taylor(vide infra ) esta distincion entre regulares e irregulares pierde importancia. Sin

embargo, hasta bien entrado el siglo XX, era el paso mas general y relevantehacia la comprobacion de la conjetura.

El teorema demostrado por Kummer es el siguiente:

Proposicion 1.2.2. Si p es un primo regular, entonces Z[ζ p] es factorial.

Hilbert en su Zahlbericht [16] (que no es otra cosa que un detallado informesobre el estado de la teorıa de los numeros escrito por encargo de la Sociedad

Matematica de Alemania) ofrece una nueva demostracion de este teorema. Valela pena anotar que la mayorıa de las demostraciones conocidas de este resultadoutilizan en alguna forma el descenso infinito.

Kummer encontro tambien curiosas condiciones necesarias y suficientes parala regularidad de un primo. Por ejemplo, la contenida en la siguiente proposi-cion:

Proposicion 1.2.3. El primo p

≥3 es regular si, y solo si, los numeradores de

los numeros de Bernoulli B1, B2, · · · , B( p−3)/2 no son divisibles por p.

Los primeros numeros de Bernoulli son:

B1 = 1

6 , B2 =

1

30 , B3 =

1

42 , B4 = − 1

30 , B5 =

5

66 , B6 = − 691

2730 , . . .

Usando una lista mas completa de estos numeros, podemos verificar que losnumeros primos menores que 100 para los cuales la condicion de la proposicion1.2.3 no se cumple son p = 37, 59, 67, de donde podemos concluir que (7) es

imposible para todo numero menor que 100, con la excepcion de los primos 37,59 y 67.

Estos numeros fueron introducidos por Jacob Bernoulli (1654–1705) ensus estudios sobre la teorıa de la probabilidades y reaparecen en varias partesde la matematica, como, por ejemplo, en el desarrollo en serie

z

ez

−1

= 1 − z

2 +

∞n=1

(−1)n−1 Bn

(2n)!z2n, z ∈ C ,

expresion que puede servir tambien como punto de partida de su definicion.

Finalmente queremos indicar que los estudiosos encontraron conveniente dis-tinguir dos casos para estudiar la conjetura:

I. p xyz.II. p | xyz .




En 1909, Arthur J. A. Wieferich (1884–1954) [45] demostro que en elprimer caso, si existe una solucion de (7), entonces

2 p−1 − 1

p ≡0(mod p) .

En los anos 40 del siglo XX, con ayuda de las computadoras electronicas sehabıa podido verificar con este criterio que la conjetura era cierta para primos p < 253’747.889, en el caso I [20], y hasta p < 4.001, en el caso II [34].

Cabe anotar que el interes de los matematicos alemanes del siglo XIX en lafactorialidad de los anillos Z[ζ p] provenıa mas que todo de su deseo de generali-zar la ley de reciprocidad cuadr´ atica demostrada por Gauss (vease el capıtulo6) y no tanto por un interes en demostrar la conjetura de Fermat [23].

Los esfuerzos para demostrar esta conjetura durante el siglo XX,7 redujeronsu validez a la de otras afirmaciones relativas a las curvas elıpticas , las cualestambien curiosamente se mencionan en la carta de Fermat y de las cualesharemos una pequena introduccion en la seccion siguiente.

En los anos 90 del siglo XX, Andrew Wiles, con la colaboracion de R.L. Taylor (veanse [38] y [?]), logra finalmente una demostracion irrestrictadel hoy teorema de Fermat-Wiles. A los lectores interesados en entender con

profundidad esta demostracion les recomendamos leer la obra Modular forms and Fermat’s last theorem [9], editada por G. Cornell, J. H. Silverman& Glenn Stevens, a traves de la cual varios especialistas les conduciranprogresivamente a un cabal entendimiento de la misma. El libro de I. Stewart[37] y el artıculo de C. J. Moreno [29] son alternativas para aquellos lectoresque solo desean tener una idea sobre la demostracion, sin llegar a cubrir todossus detalles.

1.3. La ecuacion y2 + k = x3

Los problemas C y C son casos particulares de la ecuacion y2 + k = x3,la cual, segun el decir de L. J. Mordell [28, pag. 238], ha representado unpapel fundamental en el desarrollo de la teorıa de los numeros.

La ecuacion

y2 + 2 = x3 (9)

ya habıa sido estudiada por Bachet, quien, en 1621, indico tambien un me-todo para obtener otras soluciones racionales cuando una de ellas (x, y) eraconocida; este es el llamado metodo de las tangentes y secantes al grafico de laecuacion (9), el cual discutiremos en un capıtulo posterior (capıtulo xxx).

7Una excelente y mas completa introduccion a la historia de estos esfuerzos es el libro dePaulo Ribenboim Fermat’s Last Theorem for Amateurs [33].




En las demostraciones de las proposiciones C y C usaremos el hecho de quelos anillos Z[

√ −2] y Z[√ −1] son factoriales (vease la proposicion 3.3.12 del

capıtulo 3). Como veremos en el capıtulo siguiente, en este caso la existenciadel maximo divisor de dos de sus elementos esta garantizada de manera unica,

salvo multiplicacion por unidades del anillo.

Tambien usaremos que las unicas unidades de Z[√ −2] son ±1 y las de

Z[√ −1] son ±1, ±i (vease la proposicion 3.3.7).

El siguiente resultado (proposicion 2.1.5 del capıtulo 2), sera clave en estasdemostraciones:

Proposicion 1.3.1. Si en un anillo factorial A tenemos xy = an, n entero

≥1,

y si m. c. d.(x, y) es una unidad, existen entonces b, c ∈ A, 1, 2 ∈ A×

tales que x = 1bn, y = 2cn.

Proposicion 1.3.2. En el anillo Z[√ −2]

m.c.d.(y +√ −2, y −√ −2)

es una unidad si y es un numero impar.

Demostraci´ on. Si d = u + w√ −

2 es el maximo comun divisor de y +√ −

2 yy −√ −2, de

(y +√ −2) − (y −√ −2) = 2

√ −2

resulta que d | 2√ −2. Por lo tanto existen s, t ∈ Z tales que

2√ −2 = (u + w

√ −2)(s + t√ −2) ,

−2√ −2 = (u − w

√ −2)(s − t√ −2) ,

(10)

de donde 8 = (u2 + 2w2)(s2 + 2t2). Luego los posible valores de u2 + 2w2

son 1, 2, 4, 8. Si u2

+ 2w2

= 1, entonces u = ±1, w = 0 y d = ±1. Si u2

+2w2 = 2, entonces u = 0, w = ±1 y d = ±√ −2. Si u2 + 2w2 = 4, entoncesu = ±2, w = 0 y d = ±2. Si u2 + 2w2 = 8, entonces u = 0, w = ±2 yd = ±2

√ −2. Si d = ±√ −2, tendrıamos y+√ −2 = ±√ −2(m+n

√ −2) = ±2n∓m√ −2, lo que indicarıa que y es par, contrario a lo supuesto. Por argumentos

semejantes, descartamos las posibilidades d = ±2,±2√ −2. Por consiguiente la

unica posibilidad es d = ±1.

Demostraci´ on de C . En el anillo Z[√ −

2] podemos escribir

x3 = y2 + 2 = (y +√ −2)(y −√ −2) .

Observemos que no podemos tener x ≡ 0(mod 2), pues si ası fuese tendrıamosy2 = 8t−2, para algun t ∈ Z, con lo cual 2 | y2 pero 22 y2, lo cual no es posibleen Z. Pero entonces resulta que y tambien debe ser impar. Por consiguiente,m.c.d.(y +

√ −2, y − √ −2) = ±1, en virtud de la proposicion anterior. Peroahora la proposicion 1.3.1 nos permite escribir y +

√ −2 = (a + b√ −2)3, donde




a, b ∈ Z. Desarrollando por la formula del binomio el miembro derecho de estaecuacion, e igualando luego las partes reales e imaginarias de lo que resulta,encontramos que 1 = b(3a2− 2b2) e y = a3− 6ab2. De la primera resulta b = 1,a =

±1, de modo que y =

±5. Finalmente, x3 = 25 + 2 = 27, es decir x = 3,

pues x debe ser positivo.

La anterior demostracion se debe esencialmente a Euler. El mismo Euler,en 1788, demostro la proposicion C usando el metodo del descenso infinito.Sin embargo, para demostrarla aquı preferimos usar una variacion de la tecnicausada por este matematico para demostrar C .

Proposicion 1.3.3. Sean x, y, z ∈ Z. Si x3 = y2 + z2, x > 0 y m.c.d.(y, z) es

una unidad de Z, entonces el maximo comun divisor de y + iz e y − iz es una unidad de Z[i]

Demostraci´ on. Sea

d = m.c.d.(y + iz, y − iz) = u + wi

en Z[i]. De 2y = (y + iz) + (y − iz) y 2zi = (y + iz) − (y − iz) resulta qued | 2y, d | 2z (recordemos que i es una unidad del anillo). En consecuencia, enZ[i], tenemos d

| m.c.d(2y, 2z) = 2, puesto que, por hipotesis, m.c.d.(y, z) = 1.

Existen entonces s, t ∈ Z que cumplen las condiciones

2 = (u + wi)(s + ti) ,

2 = (u − wi)(s − ti) ,

Luego 4 = (u2 + v2)(s2 + t2) ∈ Z. Las posibilidades para u2 + w2 son ahora1, 2, 4.

Las unicas soluciones enteras de la ecuacion u2 + w2 = 1 a (u, w) = (0, 1),

(1, 0). En el primer caso, d = ±i y en el segundo d = ±1, es decir, siempretendremos una unidad de Z[i].

Si u2 + w2 = 2, las unicas soluciones enteras de esta ecuacion son (u, w) =(1, 1), (1,−1), (−1, 1), (−1,−1). De manera que d = (1 + i)ik, donde k = 0, 1,2, 3. Por consiguiente, podemos suponer que d = 1 + i.

Las unicas soluciones enteras de la ecuacion u2 + w2 = 4 son las siguientes:(u, w) = (±2, 0), (0,±2). Es decir, las posibilidades para d estan dadas por ±2,

±2i. Como i es una unidad podemos tomar d = 2.

Si d = 2, entonces y + iz = 2(s + it) = 2s + 2ti, s, t ∈ Z; es decir, y = 2s,z = 2t, lo cual contradirıa que m.c.d.(y, z) = 1. Luego d = 2.

Si fuese d = 1 + i, tendrıamos

y + iz

1 + i =

y + z

2 + i

z − y

2 ,




donde (y + z)/2 y (y − z)/2 deben ser enteros. Esto implica que y ≡ z(mod2)(tienen la misma paridad). Como m.c.d.(y, z) = 1, y y z deben ser ambosimpares: y = 2m + 1, z = 2n + 1, de donde

x3 = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4k + 2≡

2(mod4) .

Pero esto es imposible. Luego la unica posibilidad es d = ±1.

Demostraci´ on de la proposici´ on C . Teniendo en cuenta que

y2 + 4 = (2 + y√ −1)(2 − y

√ −1) = x3 , (11)

nos situamos en el anillo Z[√ −1]. Si y es impar y tomamos z = 2 en la proposi-

cion 1.3.3, vemos que m.c.d.(y, 2) = 1, de modo que en virtud de la mismaproposicion,

m.c.d. (y + 2i, y − 2i) = 1 .

Luego, debemos tener, usando (11) y la proposicion 1.3.1,

(y − 2i)i = 2 + iy = (a + bi)3 , 2 = a(a2 − 3b2) .

Si a = 2, 1 = a2 − 3b3 = 4− 3b2, de donde 3b2 = 3, y por consiguiente b = ±1.Luego (2 + iy) = (2 + i)3 = 2 + 11i, de donde finalmente, y = 11. De aquı:121 + 4 = 125 = x3, es decir, x = 5.

Si y es par, por fuerza x es par. Podemos pues poner y = 2Y , x = 2X , demodo que

Y 2 + 1 = 2X 3 .

Resulta entonces que Y debe ser impar.

Veamos que m. c. d.(Y + i, Y − i) = 1 + i. Nuestro razonamiento imita lademostracion de la proposicion anterior: empezamos por observar que d | 2Y ,d | 2i. Como i es una unidad, d | 2. Luego deben existir s, t ∈ Z tales que2 = (u + iw)(s + ti). Como en la proposicion encontramos que las posibilidades

para d son 1, 2, 1 + i. Veamos que 2 no es posible, pues en caso contrario,y + i = 2(m + ni) = 2m + (2n)i implicarıa que 2n = 1, lo cual es contradictorioen Z. Veamos que finalmente d = 1 + i es posible. En efecto, como Y es impar,tenemos

Y + i

1 + i =

Y − i

2 + i

Y + 1

2 .

Luego m.c.d.(Y + i, Y − i) = 1 + i. Por consiguiente,

m.c.d.Y + i

1 + i

, Y − i

1 + i

es una unidad. Como (1 + i)2 = 2i, vemos que

Y + i

1 + i · Y − i

1 + i =

2X 3

2i =

X 3

i =

−X

i

3

,

pues i3 = −i. Luego, por la proposicion 1.3.1, en el anillo factorial Z[i] tenemos

Y + i = (1 + i)(a + bi)3 .




Al efectuar las operaciones indicadas e igualando luego las partes imaginariasde ambos lados del resultado, encontramos que

1 = a3 + 3a2b − 3ab2 − b3

= (a − b)(a2 + 4ab + b2) .

Luego a−b = ±1, a2+4ab+b2 = ±1. Un estudio cuidadoso de las posibilidadesnos dice finalmente que a = ±1, b = 0 o a = 0, b = ±1. Por lo tanto, si a = ±1,Y = 1, y = 2 y x = 2.

De acuerdo con la anterior discusion, en el estudio de la ecuacion

y2 + k = x3 (12)

aparecen naturalmente dos problemas que investigar:

(a) La determinacion de las soluciones enteras de (12) [Fermat].(b) Como obtener soluciones racionales de (12) a partir de otras [Bachet].

La primera de estas preguntas es un problema delicado. Se puede demostrarque (12) solo tiene un numero finito de soluciones enteras. La demostracion sebasa en el siguiente teorema de Axel Thue [39]:

Proposicion 1.3.4. La ecuacion

f (X, Y ) = a0X n + a1X n−1Y + · · · + anY n = m (m = 0) ,

cuando n ≥ 3 y f (X, Y ) ∈ Z[X, Y ] es irreducible sobre los racionales, tiene solamente un numero finito de soluciones enteras.

Una discusion de este resultado y otros que le son conexos se encuentra en

[28, 186–199]. Ellos dependen en buena parte de la teorıa de aproximaciones diof´ anticas de n´ umeros algebraicos , un tema fascinante, del cual infortunada-mente no nos ocuparemos en este libro.

El problema siguiente, al saber que el numero de soluciones es finito, consisteen obtener cotas para su numero. En este sentido los resultados de A. Bakerson notables; ası, por ejemplo, ha demostrado que

max

{|x

|,

|y

|} ≤exp (1010

· |k

|104) ,

si x e y deben ser soluciones de (12).

El segundo problema conduce al estudio de cierto tipo de curvas cubicas,las llamadas curvas elıpticas . Su tratamiento, aun el mas elemental, requieretecnicas elaboradas cuyo estudio preferimos posponer para capıtulos posterio-res. Anotemos finalmente que la teorıa avanzada de las curvas elıpticas es parteesencial de la demostracion de Wiles del ultimo teorema de Fermat.




1.4. La genesis de la teorıa aritmetica de las formascuadraticas

Nos proponemos mostrar en esta seccion que en la Proposicion D, es posible

encontrar el germen fecundo de la teorıa aritmetica de las formas cuadr´ aticas ,una de las ramas mas hermosas y venerables de la matematica. Los metodosque usaremos aquı son todos elementales.

Es posible encontrar rastros de esta teorıa en la Aritmetica de Diofanto,pero no de manera sistematica. Por ejemplo, ya hemos visto que allı proponıaencontrar las soluciones de

Q(x,y,z) = x2 + y2 − z2 = 0 . (13)

Ahora bien, la expresion Q(x,y,z) = x2 + y2 − z2 es un ejemplo de una formacuadratica, y la situacion descrita en la proposicion 1.2.1, es un ejemplo delproblema general de la teorıa aritmetica de las formas cuadraticas.

Este problema consiste en lo siguiente:

Dada la forma cuadratica, de coeficientes enteros,

Q(x1,

· · · , xn) =

i,j

aijxixj ,

determinar los numeros enteros m para los cuales la ecuacion

Q(x1, · · · , xn) = m (14)

tiene soluciones enteras. En caso de que (14) tenga soluciones, encontrar alguna manera de determinarlas.

Cuando existe una solucion de (14) decimos que Q(x1, · · · , xn) represen-

ta al n´ umero m; luego el problema puede expresarse de esta otra manera:determinar los m que son representables por la forma cuadratica Q(x1, · · · , xn),y determinar esas representaciones. Ası, la proposicion de Diofanto dirıa que0 es representable por Q(x,y,z) = x2 + y2 − z2 (y de manera no trivial, esdecir, con (x,y,z) = (0, 0, 0)) y provee un metodo para hallarlas, mientras quela proposicion D dirıa que los primos impares de la forma 4n + 1 son represen-tables por Q(x, y) = x2 + y2.

Para seguir ilustrando la teorıa aritmetica de las formas cuadraticas, haremos

aquı un estudio bastante completo, aunque elemental, de la formaQ(x, y) = x2 + y2 . (15)

El hecho siguiente:

(x2 + y2)(x21 + y2

1) = (xx1 − yy1)2 + (xy1 + x1y)2 , (16)

o bien,Q(x, y)Q(x1, y1) = Q(ax1 − yy1, xy1 + x1y) , (17)




era conocido por Fermat8. A partir de el es facil convencerse de que parasaber si pα11 · · · pαrr > 0 es representable por Q(x, y), basta saber si cada pαi loes. Dado que Q(x, y) = x2 + y2 > 0, solo son de interes los enteros positivos.Parece, pues, posible que partiendo de la proposicion D y la relacion (17),

podamos obtener todos los m representables por la forma (16). Como veremos,esto es bastante exacto. Un teorema como el contenido en la proposicion D, quenos indica que primos son representables por una forma cuadratica, se llamaun teorema de genero, mientras que una relacion como la (17), que nos indicacomo componer Q(x, y) consigo misma para obtener, a partir de un teoremade genero, nuevos numeros representables por la forma cuadratica, se llamaun teorema de composici´ on . Es claro ahora por que decıamos antes que esteresultado de Fermat era germinal.

Para ilustrar lo anterior, tomemos

32 + 22 = 13 , (x, y) = (3, 2) ,

22 + 12 = 5 , (x1, y1) = (2, 1) .(18)

Usando (16), obtenemos

42 + 72 = 65 , (xx1 − yy1, xy1 + x1y) = (4, 7) .

Mientras que haciendo

(−3)2 + 22 = 13 , (x, y) = (−3, 2) ,

22 + 12 = 5 , (x1, y1) = (2, 1) ,

obtenemos

(−8)2 + 12 = 65 , (xx1 − yy1, xy1 + x1y) = (−8, 1) .

Es facil verificar, ademas, que 42 + 72 = 82 + 12 son las unicas representacionesde 65 en la forma x2 + y2, salvo el orden o los cambios de signo.

Cabe observar que A. Girard (1590–1633) ya habıa hecho, en 1625, unadeterminacion de los numeros expresables como suma de cuadrados; pero pareceque Fermat fue quien indico la importancia de este resultado, llamandole depaso el teorema fundamental de los tri´ angulos rect´ angulos [12]. Pasemos ahorası a demostrar los resultados anunciados e ilustrados anteriormente, anticipandoel siguiente lema, que forma parte de la ley de la reciprocidad cuadr atica, lacual demostraremos en el capıtulo 6:

8La identidad (16) en un caso particular aparece en los Elementos de Euclides [11, LibroII, 9–10, pag. 774]: (2a + b)2 + b2 = 2[a2 + (a + b)2]. Por su parte, Andre Weil [43] estimaque Diofanto debio conocer (16), pues en [10, pag. 1080], este ultimo escribe: . . . y como 65se descompone naturalmente en cuadrados de dos maneras: 16, 49 y 64, 1 y es el productode 13 por 5, que se descomponen tambien en dos cuadrados. De modo que (16) debio seruno de sus porismos perdidos, que Bachet en la edicion de su Aritmetica incluye como unode sus propios porismos. La primera demostracion conocida de (16) la da Fibonacci en 1225[13, Prop. VII].




Lema. La congruencia x2 + 1 ≡ 0(mod p), p primo, es soluble si y solo si p ≡ 1(mod 4).

Proposicion 1.4.1. Un primo p es representable por x2 + y2 ( xy

= 0) si, y

solo si, p = 2 o p ≡ 1(mod 4).

La demostracion de este resultado, debida esencialmente a Euler en laforma en que vamos a presentarla, la desglosaremos en varias partes:

Proposicion 1.4.2. Ningun entero de la forma 4n + 3 es la suma de dos cuadrados.

Demostraci´ on. En efecto, si x2+y2 = 4n+3, entonces serıa x2+y2 ≡ 3(mod 4);pero esto es imposible, pues siempre tendremos

x2 + y2 ≡ 0, 1, 2(mod 4).

Proposicion 1.4.3. [Euler] Si p = 4n + 1 es un primo, entonces existe una solucion en enteros (x,y,m) de la ecuacion

x2 + y2 = pm

que satisface 0 < m < p.Demostraci´ on. En efecto, como p ≡ 1(mod 4), por el lema anterior existe s ∈ Ztal que s2 + 1 ≡ 0(mod p). Por otra parte, siempre es posible encontrar S ≡±s(mod p) que cumpla |S | < p/2. Luego 0 < mp = 1 + S 2 < 1 + p2/4 < p2,para algun entero m; y como 0 < mp < p2 implica que 0 < m < p, resulta que(1, S , m) satisface la ecuacion dada y la condicion adicional requerida.

Proposicion 1.4.4. [Paso de descenso] Si p = 4n + 1 es un primo y x2 + y2 =

mp, con 1 < m < p, entonces existen enteros x1, y1 y m1 tales que x21+y

21 = pm1

con 1 ≤ m1 < m.

Demostraci´ on. En efecto, si m es par, x e y tienen entonces la misma paridad(i.e., x ≡ y(mod 2)); por consiguiente, podemos escribir

x + y

2

2

+

x − y

2

2

= m

2 p ,

y la proposicion resulta entonces con x1 = (x+y)/2, y1 = (x

−y)/2 y m1 = m/2.

Si m es impar, usando la parte 8 del ejercicio 1.11, podemos escribir

x = am + a1 , con |a1| < m

2 ,

y = bm + b1 , con |b1| < m

2 ;

luegoa21 + b21 + 2Am + (a2 + b2)m2 = mp , (19)




donde A = aa1 + bb1; por lo tanto

a21 + b21 = m1m , con m1 + 2A + (a2 + b2)m = p .

De aquı resulta que:

m21 + 2Am1 + (a2 + b2)(a21 + b21) = (m1 + A)2 + B2 = m1 p ,

donde B = ab1 − ba1.

Si m1 = 0, tendrıamos a1 = b1 = 0 y A = 0, lo cual implicarıa que

(a2 + b2)m = p

y, por consiguiente, que m = 1 o m = p. Como por hipotesis 1 < m < p, estoes imposible. Por lo tanto, m1

≥1. Pero entonces, dado que

|a1

|,

|b1

|< m/2

m1m = a21 + b21 <

m2

2 < m2 ⇒ m1 < m ;

luego x1 = m1 + A, y1 = B y m1 satisfacen las condiciones requeridas por laproposicion.

Demostraci´ on de la proposici´ on 1.4.1. Por la proposicion 1.4.3, existen x, y talesque x2 + y2 = mp, con 1 ≤ m < p. Si m > 1, aplicamos la proposicion 1.4.4varias veces para descender hasta x2

k

+ y2

k

= p. Luego si p≡

1(mod 4), Q(x, y)representa a p. Como 2 = 12 + 12, el primo 2 es tambien representable porQ(x, y). Lo recıproco resulta finalmente de la proposicion 1.4.2.

Senalemos ahora que es posible demostrar con cierta facilidad que las solu-ciones de Q(x, y) = p son esencialmente ´ unicas , con excepcion hecha de lossignos y el orden en que aparecen x e y. Sin embargo, es importante distinguirentre las soluciones que difieren por los signos ya que esta distincion nos permi-tira en general encontrar nuevos numeros representables por Q(x, y), tal como

lo hemos observado en el ejemplo que hemos discutido anteriormente.

Proposicion 1.4.5. Si m = x2 + y2 tiene una solucion (x, y) que cumple m. c. d.(x, y) = 1, entonces

m = 2α pα11 · · · pαrr , (20)

en donde pi ≡ 1(mod 4), i = 1, · · · , r. Recıprocamente, todo m de la forma (20) es representable por Q(x, y) = x2 + y2.

Demostraci´ on. En efecto, en virtud de (17) y la proposicion 1.4.1, todo entero dela forma (20) es representable por Q(x, y). Recıprocamente, si m = x2 + y2 ≡0(mod p), en donde m. c. d.(x, y) = 1 y p es un divisor primo impar de m,vemos que necesariamente m. c. d.(y, p) = 1. Pero entonces existe z ∈ Z tal quezy ≡ 1(mod p). Entonces

y2z2 + x2z2 ≡ (yz)2 + 1 ≡ 0(mod p) ;




pero esta congruencia tiene solucion si, y solo si, p ≡ 1(mod 4) (por el Lema).

Es importante ahora anotar que los numeros de la forma (20) no agotan el

conjunto de los numeros representables por Q(x, y), puesto que 245 = 5 · 72 nola tiene y sin embargo

5 · 72 = 72(12 + 22) = (7 · 1)2 + (7 · 2)2 .

A tıtulo de ejercicio proponemos el siguiente corolario de la proposicion 1.4.5,el cual aclara la situacion que se presenta en el anterior ejemplo:

Corolario 1.4.5.1. Sea

m = 2α pα11 · · · pαrr q 2β11 · · · q 2βss ,

en donde pi ≡ 1(mod 4) y q j ≡ 3(mod 4), la descomposicion canonica de m.Entonces m es representable por Q(x, y) = x2 + y2. Recıprocamente, si m es representable por Q(x, y), los factores primos de m que son congruentes con3 (mod 4) aparecen con exponente par en la descomposicion canonica de m.

Por otra parte, dado que k2m = (kx)2 + (ky)2, es facil convencerse, tenien-do en cuenta el anterior resultado, que siempre podemos limitarnos al casom. c. d.(x, y) = 1.

Pasamos ahora a ilustrar una extension de lo que hemos hecho hasta aquı,con la intencion de esclarecer aun mas la nocion de composicion de formas

cuadr´ aticas . Sea, pues, el par de formas cuadraticas:

Q1(x, y) = x2 + 5y2 ,Q2(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 .

Preguntamos entonces por los numeros enteros m representados sea porQ1(x, y) sea por Q2(x, y). Para empezar, observemos que

Q1(x, y)Q1(x1, y1) = Q1(xx1 − 5yy1, x1y + xy1) ,

Q1(x, y)Q2(x1, y1) = Q2(xx1 − x1y − 3yy1, xy1 + 2x1y + yy1) ,

Q2(x, y)Q2(x1, y1) = Q1(2xx1 + xy1 + x1y − 2yy1, xy1 + x1y + yy1) ,

(21)

relaciones que podemos obtener por verificacion directa. Ellas nos dicen quesi, por ejemplo, m es representable por Q1 y n es representable por Q2, suproducto mn sera representable por Q2; luego para obtener los numeros re-presentables sea por Q1 sea por Q2, basta obtener aquellos numeros primosque lo son por una de ellas. Estos a su vez estan determinados por el siguienteteorema de genero:




Proposicion 1.4.6. a) Q1(x, y) representa al primo al primo p si, y solo si, p ≡ 1, 9(mod 20) o p = 5 = Q1(0, 1).

b) Q2(x, y) representa al primo p si, y solo si, p ≡ 3, 7(mod 20) o p = 2 =Q2(1, 0).

Este resultado lo demostraremos en el capıtulo Xxxx. Sin embargo, veamoscomo usarlo en combinacion con las relaciones (21) (teorema de composicion):tenemos

Q2(1, 1) = 7 y Q2(0, 1) = 3 ,

por la proposicion 1.4.6. Luego

21 = 7 · 3 = Q2(1, 1)Q2(0, 1) = Q1(−1, 2) ,

usando la ultima de las relaciones (21). ´Estas, entre otras cosas, insinuan una estructura de grupo; mas precisamente, veremos que las formas cuadraticas

pueden agruparse en clases de equivalencia Q, con lo cual {Q1, Q2} es un

grupo que satisface Q1Q1 = Q1, Q1Q2 = Q2, Q2Q2 = Q1.

En la situacion descrita antes para el caso Q(x, y) = x2 + y2, {Q} es ungrupo que satisface QQ = Q. Empezamos, pues, a sospechar la intromision delalgebra en nuestro problema original. Este en toda su originalidad fue discutidobrillantemente por Gauss en sus Disquisitiones Arithmetica [14]. Hoy en dıa en

vez de trabajar directamente con las formas cuadraticas, como Gauss, podemoshacerlo con ideales de un cuerpo cuadratico Q(

√ d), asociando a cierta clase de

formas cuadraticas un ideal de Q(√

d). En [22] el lector puede encontrar unainteresante discusion historica y matematica de estos temas.

Ejercicios del capıtulo 1

1.1. ¿Que relacion existe, si alguna, entre el metodo del descenso infinito y elprincipio de la buena ordenacion en N?

1.3. Considere la ecuacion diofantica lineal ax+by = c, donde a, b, c ∈ Z, Demuestreque:

1. Esta ecuacion tiene soluciones cuando, y solo cuando, m. c. d.(a, b) = d | c.2. Si (x0, y0) ∈ Z

2 es una solucion particular de la ecuacion, entonces las otrassoluciones estaran dadas por x = x0 + kb, y = y0 − ka, k ∈ Z.

3. Si en la ecuacion, m. c. d.(a, b) = 1, a, b, c > 0, ella tiene una solucion positiva

si c > ba.4. Si c ≥ ba, la ecuacion tiene a lo sumo una solucion positiva.

1.4. Usando el problema anterior, encuentre las soluciones positivas (si las hay) de53x + 85y = 361.

1.5. Estudie la ecuacion diofantica lineal 10x + 22y + 13z = 53, buscando unamanera de obtener sus soluciones enteras.




1.6. Estudie el sistema de ecuaciones diofanticas lineales:

10x + 22y + 13z = 53

x + 15y + 26z = 104 .

1.7. Demuestre que:

1. En cada tripleta pitagorica (x,y,z ) por lo menos uno de entre x e y esdivisible por 3, y que por lo menos uno de entre x, y, z es divisible por 5.

2. Si (x,y,z ) es una tripleta pitagorica, entonces 60 | xyz .

1.8. Considere la ecuacion diofantica

1 + y2 = x3 , x > 0.

1. Verifique que en Z[i] el m.c.d.(1 + iy, 1 − iy) es una unidad.2. Concluya que existen a, b ∈ Z tales que

1 + iy = (a + bi)3 , 1− iy = (a − bi)3 , x = a2 + b2 .

3. Demuestre que necesariamente a = ±1, b = 0, de modo que x = 1, y = 0.

1.9. Verifique que la proposicion 1.3.3 sigue siendo valida si consideramos

z 2 + y2 = x , ≥ 3 , x > 0 , m. c. d.(z, y) = 1 .

1.10. Use el ejercicio anterior para encontrar todas soluciones enteras de la ecuacion1 + y2 = x4 (x > 0).

1.11. Considere la funcion parte entera de x: [x] = n, donde n el unico entero quesatisface x − 1 < n ≤ x. Si n ∈ Z y x ∈ R, demuestre las siguientes propiedades:

1. [x + n] = [x] + n;

2. Si n > 0 ⇒

[x]

n

=x

n

;

3.

1≤n≤x

1 = [x]; 0 ≤ x − [x] < 1;

4.x − [x] − 1

2

≤ 12 ;

5. [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1;

6. Si x /∈ Z entonces [−x] = −[x] − 1

7. [2x] − 2[x] =

1 si [2x] es impar,

0 si [2x] es par.

1.12. Demuestre que si m es un numero entero impar, existen entre −[m/2] y [m/2]exactamente m numeros enteros consecutivos. Deduzca ahora que para cada a = 0, 1,

. . ., m−1 existe un unico b entre −[m/2] y [m/2] tal que b ≡ a(mod m), con |b| < m

2 .




1.13. Demuestre que n! =p≤n

nprimo

pep , donde ep =m≥1

n

pm

. Observe que para

pm > n se tiene [n/pm] = 0. de modo que esta suma es finita.

1.14. Si m = x2 + y2 ≡ 0(mod p), con p ≡ 3(mod 4), demuestre que x ≡ 0(mod p).

1.15. Demuestre el corolario 1.4.5.1.

∗ 1.5. Demuestre que el numero de soluciones de x2 + y2 = m, m = 2αr, donde res impar, esta dado por

U (m) = 4u|r

(−1)(u−1)/2 = 4τ (m)

donde τ (m) designa al numero de divisores positivos de m.

Referencias

[1] Albis, Vıctor S. El se˜ nor de Fermat y sus problemas. I, II, III , Boletın de Matema-ticas 7, 8, 10 (1973, 1974, 1976), 219–232, 198-210, 86–95.

[2] Albis, Vıctor S. Cl´ asicos de la matem´ atica: La carta de Fermat a Carcavi. Agostode 1659 , Lecturas Matematicas 20 (1999), 137–152.

[3] Arquimedes. Medida del cırculo. En F. Vera, Cientıficos griegos. Vol. 2. Aguilar:Madrid, 1970.

[4] Barnes, E. S. & H. P. F. Swinnerton–Dyer. The inhomogeneous minima of binary quadratic forms. I. Acta Math. Stockh. 87 (1952), 259–323.

[5] I. G. Bashmakova. Diophantus and Diophantine Equations, The Mathematical Asso-ciation of America: Washington DC, 2000.

[6] Borevich & Shafarevich. Number Theory . Academic Press: New York, 1966.[7] Cauchy, L. A. Oeuvres completes. Serie 1, Tome X. Gauthiers–Villars: Paris, 1897.[8] Cohn, Harvey. A Second Course in Number Theory . Wiley: New York, 1964.[9] Cornell, G., J. H. Silvermann & G. Stevens (eds.). Modular Forms and Fermat’s

Last Theorem . Springer–Verlag: New York, 1997.[10] Diofanto. Aritmetica . En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo II, pags. 1019–

1140. Aguilar: Madrid, 1970.[11] Euclides. Elementos. En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo I, pags. 702–980.Aguilar: Madrid, 1970.

[12] Fermat, Pierre de. Oeuvres, vols. I et II. Publiees par Paul Tannery & CharlesHenry. Gauthiers–Villars: Paris, 1891–1912.

[13] Fibonacci (Leonardo de Pisa). El libro de los n´ umeros cuadrados. Editorial Univer-sitaria de Buenos Aires: Buenos Aires, 1973.

[14] Gauss, C. F. Diquisitiones Arithmeticae . Traduccion de Hugo Barrantes, Michael

Josephy & Angel Ruiz Zuniga. Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fısicasy Naturales: Bogota, 1995.

[15] Grosswald, Emil. Topics from the Theory of Numbers. MacMillan Co.: Nueva York,1966.[16] Hilbert, David. Theorie des corps de nombres algebriques. Hermann: Paris, 1913

=Zahlbericht...[17] Jones, Burton W. The Arithmetic theory of quadratic forms. Wiley: New York, 1950.[18] Kummer, E. E. Collected Papers. Springer–Verlag: Berlin, 1975.[19] Lame, Gabriel. Demonstration generale du theoreme de Fermat sur l’impossibilite en

nombres entiers de l’equation xn + yn = zn . C. Rendus Acad. Sci. Paris 24 (1847),310–314.




[20] Lehmer, D. H. & E. Lehmer. On the first case of Fermat’s last theorem . Bull. Amer.Math. Soc. 47 (1941), 139-142.

[21] Lehmer, D. H. Computer technology applied to the theory of numbers. En: Studies inNumber Theory, W. J. LeVeque, editor. The Mathematical Association of America:

[22] Lemmermeyer, Franz. The development of the principal genus theorem . Preprint, 33pags.

[23] Lenstra, Hendrik W. Euclidean number fields. 1. The Mathematical Intelligencer 2

(1) (1980), 6–15.[24] Liouville, Joseph. Remarques a l’ocassion d’une communication de M. Lame sur un

theoreme de Fermat . C. Rendus Acad. Sci. Paris 24 (1847), 315–316.

[25] Lucas, Eduard. Recherches sus l’analyse indeterminee et l’arithmetique de Diophante .Desrosiers: Moulins, 1873.

[26] Mahoney, M. S. The Mathematical Career of Pierre de Fermat (1601–1665). Prince-ton University Press: Princeton NJ, 1973.

[27] Mordell, L. J. Three Lectures on Fermat’s Last Theorem . Cambridge University

Press: Cambridge, Inglaterra, 1921 = Tres lecciones sobre el ´ ultimo teorema de Fermat ,Lecturas Matematicas 14 (1993), 1–35, traduccion de Vıctor S. Albis.

[28] Mordell, L. J. Diophantine Equations. Academic Press: London & New York, 1969.[29] Moreno, Carlos Julio. Fermat’s last theorem . Rev. Colombiana Mat. 29 (1995),

49–88.[30] Muskat, xxx xxxx . Math. of Computation xx (1966), 141–144.[31] Nagell, T. Introduction to Number Theory . Chelsea Pub. Co: Nueva York, 1964.[32] Nougues, R. Theoreme de Fermat, son histoire . Vuibert: Paris, 1932.[33] Ribenboim, P. Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer–Verlag: Berlin, 1999.[34] Selfridge, J. L., H. S. Vandiver & C. A. Nicol. Proof of Fermat’s last theorem

for all primes exponents less than 4002 . Proceedings Nat. Acad, Sciences (USA) 41(1955), 970–973.

[35] Shepherdson, J. C. Weak and strong induction . Amer. Math. Monthly xxx (1969),984–1004.

[36] Singh, S. & K. Ribet. Fermat’s last stand . Sci. Amer. 277 (5) (1997), 36–41.[37] Stewart, I. De aquı al infinito. Las matem´ aticas de hoy . Crıtica: Barcelona, 1998.[38] Taylor, R. L. & Andrew Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras.

Annals of Math. 141 (1995), 443–551.

[39] Thue, A. ¨ Uber Ann¨ aherungswerte algebraischer Zahlen . J. reine angew. Math. 135

(1909), 284–305.

[40] Vallee–Poussin, Charles de la. Recherches analytiques sur la theorie des nombres(premiere et seconde parties), Annales de la Soc. Sciences Bruxelles 20 (1896), 183–256;281–297.

[41] Washington, Lawrence C. Introduction to Cyclotomic Fields. Springer–Verlag:Berlin: 1908.

[42] Weil, Andre. Two lectures on number theory, past and present . L’Enseignement Ma-thematique 20 (1974), 87–110.

[43] Weil, Andre. Number Theory. An Approach through History from Hammurapi toLegendre . Birkhauser: Basel, 1983.

[44] Weinberger, Peter J. On Euclidean rings of algebraic integers. Proc. Symp. Pure

Math. 24 (1973), 321–332.[45] Wieferich, A. Zum letzten Fermat’schen Theorem . J. f. reine u. angew. Mathem. 136

(1909), 293–302.[46] Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem . Annals of Math.

141 (1995), 553–572.



2

La aritmetica de los anillos

factoriales

En este capıtulo estudiaremos la aritmetica de los anillos factoriales, loscuales, como senalamos en la seccion 1.2, tuvieron un papel fundamental enlos intentos de demostracion de la conjetura de Fermat. En particular, estudia-remos las propiedades aritmeticas del anillo Z de los enteros racionales. En la

seccion 2.2 la nocion de congruencia modulo un ideal mZ en los numeros en-teros, introducida por Gauss en sus celebres Disquisitiones Arithmeticae [10],la extendemos al ambito mas general de los anillos conmutativos modulo susideales, con miras a su uso posterior. En la seccion 2.3, obtenemos los resul-tados clasicos basicos de las congruencias tal como las definio Gauss en Z.Luego, en la seccion 2.4, haremos una corta discusion sobre la distribucion delos numeros primos y su relacion con la funcion ζ (s) de Riemann. Finalmente,en la seccion 2.5, realizamos una corta discusion de tipo logico sobre el teoremafundamental de la aritmetica de los numeros enteros

2.1. Anillos factoriales

Todos los anillos que consideraremos se supondran conmutativos y unitarios(es decir, con elemento unidad), y nunca consideraremos el caso trivial en que1 = 0. (¿Por que es trivial este caso?) Por otra parte, salvo indicacion contraria,todos los homomorfismos de anillos se supondran unıferos , es decir, transfor-maran el elemento unidad del anillo de partida en el elemento unidad del de

llegada. En particular, todos los subanillos de un anillo comparten el elementounidad con el anillo. Como es costumbre, el grupo de las unidades de un anilloA (o sea, el de sus elementos invertibles) lo designaremos con A×.

Dados dos elementos a y b de un anillo A, decimos que a divide a b si existec ∈ A tal que b = ac, en cuyo caso escribimos a | b. Segun esta definicion, todoelemento a ∈ A divide a 0. Por otra parte, si tenemos b = 0 · a, necesariamenteb = 0. Luego, segun esta definicion 0 solamente puede dividir a 0. Si a no dividea b, escribimos a b. Si ak | b pero ak+1 b, escribimos ak b.

La relacion

|se dice de divisibilidad . Algunas de sus propiedades se enuncian

en la siguiente proposicion.

Proposicion 2.1.1. En un anillo A la relacion de divisibilidad tiene las si-

guientes propiedades:

(a) a | a, para todo a ∈ A.

(b) Si a | b y b | c, entonces a | c.

(c) Si a | b, entonces a | bc, para todo c ∈ A.



46 La aritmetica de los anillos factoriales

(d) Si a | bi (i = 1, · · · , n), entonces a | (m1b1 + · · ·mnbn), para mi ∈ A(i = 1, · · · , n), arbitrarios.

(e) Si A es ademas un dominio, entonces a | b y b | a implican que a = ub,

donde u ∈ A×.

Demostraci´ on. Solo demostramos (e), dejando las demostraciones de las otrasafirmaciones al cuidado del lector. De b = au, a = bv (u, v ∈ A), deducimosque b = b(uv), o, equivalentemente, b(1 − uv) = 0. Si b = 0, como estamos enun dominio, tenemos uv = 1, es decir, u ∈ A×. Si b = 0, entonces a = 0, y esclaro que a = 1 · b.

Corolario 2.1.1.1. La relacion de divisibilidad es una relacion de preorden.

Demostraci´ on. La afirmacion del corolario no es otra cosa que la conjuncion de

las afirmaciones (a) y (b) de la proposicion.

Es facil ver que la relacion aRb, definida por a = ub, donde u ∈ A×, es unarelacion de equivalencia. Si aRb, decimos tambien que a y b est´ an asociados .

Proposicion 2.1.2. En un anillo arbitrario A las siguientes afirmaciones son

validas:

(a) Si a | b y aRa, entonces a | b.

(b) Si aRb, entonces a | b y b | a.

Demostraci´ on. Al cuidado del lector.

Dado un elemento a de un dominio A, sus asociados y las unidades de A sedicen los divisores impropios de a. Los otros divisores, cuando existen, se dicendivisores propios .

Un elemento p ∈ A que no tiene divisores propios y no es una unidad, sedice un elemento irreducible del dominio A. Esto es equivalente a decir que si p = xy, entonces uno de los factores x, y debe ser una unidad. Por otra parte,es evidente que todo elemento asociado con un elemento irreducible de A es

tambien irreducible.En un dominio A podemos definir las nociones de m´ aximo com´ un divisor yde mınimo com un m´ ultiplo. Mas precisamente, d ∈ A se dice un m´ aximo com´ un

divisor (m. c. d.) de a, b ∈ A, ab = 0, si:

(a) d | a y d | b.(a) Si d | a y d | b, entonces d | d.

Ahora bien, si d1 ∈ A es otro elemento de A que satisface las dos anterio-res condiciones, entonces dRd1. Luego, en un dominio dos maximos comunes

divisores de a y b solo difieren por una unidad.Si a = 0 y b = 0, definimos m. c. d.(0, b) = b. Como para a = 0, tenemosm. c. d.(a, a) = a, por extension definimos m. c. d.(0, 0) = 0.

La nocion dual de mınimo com un m´ ultiplo (m. c. m.) de a y b, ab = 0,esta definida por las condiciones:

(a) a | m y b | m.(b) Si a | m y b | m, entonces m | m.




Como antes, un mınimo comun multiplo de a y b esta determinado unıvoca-mente salvo unidades.

Un dominio A se dice un anillo factorial si:

i) Todo elemento a de A, a

= 0, que no es una unidad, es el producto

finito de elementos irreducibles (distintos o no):

a = p1 · · · pr .

ii) La anterior descomposicion es unica, con excepcion hecha del orden yunidades.

Como veremos mas adelante, existe una abundancia de anillos, importantesen la teorıa de los numeros, en los cuales se da la descomposicion en irreducibles,sin que se tenga la unicidad requerida por la condicion ii). Uno de estos anillos

es el del ejemplo siguiente.Ejemplo 2.1.1. [Dedekind] Sea el dominio unitario

Z[√ −5] = {a + b

√ −5 ; a, b ∈ Z} .

Para que x + y√ −5 (x, y ∈ Z) divida a a + b

√ −5, es decir, para que se tenga

a + b√ −5 = (x + y

√ −5)(x + y√ −5) , (1)

es necesario y suficiente que el sistema

a = xx

− 5yy

b = xy + yx

tenga soluciones enteras. Por otra parte, por conjugacion,

a − b√ −5 = (x− y

√ −5)(x − y√ −5) . (2)

Multiplicando (1) y (2), obtenemos

a2 + 5b2 = (x2 + 5y2)(x2

+ 5y2

) .

Luego, para que x + y√ −5 divida a a + b√ −5 es necesario que x2

+ 5y2

dividaa a2 + 5b2, lo cual nos permite encontrar los divisores de a + b√ −5. Vemos demanera evidente que su numero es finito. En particular, encontramos que lasunicas unidades de A son +1 y −1. En efecto, de

(x2 + 5y2)(x2

+ 5y2

) = 1

resulta que y = y = 0 y x = x = ±1. Ahora bien, de

32 = 9 = (2 +√ −5)(2 −√ −5) = (x2 + 5y2)(x

2+ 5y

2),

y si x + y√ −5 no es una unidad, debemos tener 3 = x2 + 5y2, lo cual implicaque y = 0 y, por lo tanto, 3 = x2, lo cual no es posible en numeros enteros.Luego 3, 2 +

√ −5 y 2−√ −5 son elementos irreducibles de A. Por otra parte,

32 = (2 +√ −5)(2−√ −5) .

Pero 2 +√ −5 no divide a 3, pues el sistema

3 = 2x − 5y , 0 = 2y + x




no tiene soluciones enteras. Luego 9 admite dos descomposiciones esencialmentedistintas en factores irreducibles.

La anterior situacion ha dado lugar a la busqueda de criterios necesarios y

suficientes para decidir cuando anillos que tengan la propiedad i) son factoriales.Uno de ellos es el siguiente resultado, atribuido a Gauss.

Proposicion 2.1.3. Sea A un dominio en el cual todo elemento no nulo, que no

es una unidad, admite una descomposicion como producto finito de elementos

de irreducibles de A. Entonces A es factorial cuando, y solo cuando, para p ∈ A,

irreducible, la relacion p | ab implica que p divide a por lo menos uno de los

dos factores.

Demostraci´ on. Supongamos primero que A sea factorial. Sea p ∈ A un irreduci-

ble tal que ab = pc, a, b, c ∈ A. Los elementos a y b no pueden simultaneamenteser unidades (pues de lo contrario, p serıa una unidad). Si ahora a, por ejemplo,es un unidad, resulta de inmediato que p | b. Si ni a ni b son unidades, entonces

a =r

i=1

pi , b =s

j=1

pj , c =t

k=1

q k ,

donde los pi, pj, q k ∈ A son irreducibles. Podemos, pues escribir

ab =

ri=1

pi

si=j

pi = p ·t

k=1

q k .

Como A es factorial, p por fuerza esta asociado con algun pi o algun pj. Esdecir, o bien p | a o bien p | b.

Recıprocamente, supongamos que

a =r

i=1

pi =s

j=1

q j , (3)

donde los pi y los q j son elementos irreducibles de A. Si r = 1, por la definicionde elemento irreducible, vemos que s = 1 y p1Rq 1. Supongamos ahora quer > 1. De (3) resulta que p1 divide a

q 1 ·s

j=2

q j .

Por la hipotesis hecha, p1 divide a q 1 o a

sj=2 aj. Si p1 q 1, entonces p1 |

q 2·

sj=3 q j, y ası recurrentemente. En definitiva, p1 debe dividir a uno de los

q j . No perdemos generalidad, si suponemos que p1 | q 1. Como q 1 es irreducibley p1 no es una unidad, vemos que p1Rq 1: q 1 = up1, donde u ∈ A×. En (3)podemos entonces simplificar p1 a ambos lados, y ası obtener

p2 · · · pr = uq 2 · · · q s = q 2 · · · q s , donde q 2 = uq 2 .

Si ahora suponemos que el resultado es cierto para r−1 factores, la proposicionqueda demostrada por induccion.




En un anillo factorial, si a, b = 0 (pueden ser unidades), a = pα11 · · · pαrr divide

a b = pβ11 · · · pβrr , αi, β i ≥ 0, cuando, y solo cuando, αi ≤ β i, i = 1, · · · , r. Es

claro ahora que ab =r

i=1

pγ ii , donde γ i = αi + β i, i = 1, · · · , r.

Proposicion 2.1.4. En un anillo factorial A existen el m. c. d. y el m. c. m. de

dos elementos a, b ∈ A.

Demostraci´ on. Podemos suponer que ab = 0, de modo que

a = pα11 · · · pαrr , b = pβ11 · · · pβrr , αi , β i ≥ 0 .

Si hacemos δ i = mın{αi, β i}, el lector podra comprobar facilmente que

d = pδ11 · · ·

pδrr

es un m. c. d.(a, b). Dualmente, si µi = max{αi, β i}, el elemento

m = pµ11 · · · pµrres un m. c. m.(a, b).

Corolario 2.1.4.1. En un anillo factorial A, si a, b ∈ A, entonces dm = ab,

donde d = m. c. d.(a, b) y m = m. c. m.(a, b).

Demostraci´ on. Resulta de

mın{α, β } + max{α, β } = α + β.

Corolario 2.1.4.2. En un anillo factorial A, si d = m. c. d.(a, b) = 0, entonces

m. c. d.

a

d, b

d

es una unidad de A.


Proposicion 2.1.5. En un anillo factorial si xy = an, n entero ≥ 1, y

m. c. d.(x, y) = 1, existen entonces b y c ∈ A tales que x = ubn, y = vcn,

donde u y v son unidades del anillo.


Recordemos que un ideal p de un anillo de un anillo A se dice primo sixy ∈ p implica que o bien x ∈ p o bien y ∈ p y que un ideal m se dice maximal

si m a ⊆ A, donde a es otro ideal, implica que a = A.Por otra parte, como A es conmutativo y unitario sabemos [6, pags. 161–170]

que

(a) un ideal p de A es primo si, y solo si, A/p es un dominio de integridad,

y(b) un ideal m de A es maximal si, y solo si, A/m es un cuerpo.

No todo ideal primo de un anillo factorial es maximal, como lo muestra elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1.2. Si k es un cuerpo, consideremos el anillo A = k[x, y] y elepimorfismo de anillos θ : k[x, y] → k[y], definido por θ : f (x, y) → f(0, y).




El nucleo de este epimorfismo es el ideal (x) de k[x, y]. Luego, por el primerteorema de isomorfıa de los anillos, tenemos k[x, y]/(x) ≈ k[y], y como k[y] esun dominio, (x) es un ideal primo. Pero no es maximal puesto que (x) (x, y).El ideal (x, y), por su parte, es maximal, pues k[x, y]/(x, y)

≈ k, como podemos

comprobar usando el epimorfismo ψ : k[x, y] → k, definido por ψ : f (x, y) →f (0, 0) y verificando que ker ψ = (x, y).

• Ejercicios sugeridos: 2.1 – 2.14

2.2. Congruencias en un anillo arbitrario

En un anillo arbitrario A, tomemos un ideal a, y consideremos el anillo

residual A/a y la aplicacion canonica ψ : A → A/a, definida por ψ(a) = a =a + a. Se acostumbra a escribir a ≡ b(mod a) para indicar que a y b estan enla misma clase residual modulo a. El lector podra verificar facilmente que larelacion ≡ satisface las siguientes propiedades para a, b y c ∈ A:

(a) a ≡ a(mod a),(b) a ≡ b(mod a) y b ≡ c(mod a) ⇒ a ≡ c(mod a)(c) a ≡ b(mod a) y c ≡ d(mod a) ⇒ a+c ≡ b+d(mod a) y ac ≡ bd(mod a).

Si f (x1, x2, · · · , xn) = ai1i2···inxi11 xi22 · · ·xinn ∈ A[x1, x2 · · ·xn], el poli-

nomiof (x1, x2, · · · , xn) :=

ai1i2···inxi11 xi22 · · ·xinn ∈ (A/a)[x1, x2, · · · , xn]

se dice la reducci´ on de f (x) modulo a. De hecho, estamos en presencia de unepimorfismo de anillos

ψ : f (x1, x2 · · ·xn) → f (x1, x2, · · · , xn)

de A[x1, x2, · · ·xn] en (A/a)[x1, x2, · · ·xn]. Es claro ahora que la reduccionmodulo a puede rebajar los grados (totales o parciales) de un polinomio de

A[x1, x2 · · ·xn] y que un polinomio reducido puede provenir de varios poli-nomios en A[x1, x2, · · · , xn]. De hecho, dos polinomios f (x1, x2, · · · , xn) yg(x1, x2, · · · , xn) en A[x1, x2, · · · , xn] tienen el mismo polinomio reducido si,

y solo si, los coeficientes correspondientes a los monomios xi11 · · ·xinn de sus de-sarrollos son congruentes modulo a. Cuando esto ocurre decimos que los dospolinomios son equivalentes m´ odulo a y escribimos

f (x1, x2, · · · , xn) ≡ g(x1, x2, · · · , xn)(mod a).

Pero ahora no es dıficil verificar que ker ψ y aA[x1, . . . , xn] coinciden, dondeaA[x1, . . . , xn] := {

finita

ajgj(x1, . . . , xn) ; aj ∈ a, gj ∈ A[x1, . . . , xn]}.

Hemos, pues, demostrado la siguiente proposicion:

Proposicion 2.2.1. Si a es un ideal del anillo A, entonces

(A/a)[x1, · · · , xn] ≈ A[x1, . . . , xn]/aA[x1, · · · , xn] ,




donde aA[x1, · · · , xn] es el ideal generado por a en A[x1, · · · , xn].

Proposicion 2.2.2. Si

f (x1, x2,

· · · , xn) = ai1i2···inxi11 xi22

· · ·xinn

∈A[x1, x2

· · ·xn]

es un polinomio de coeficientes en A, en las indeterminadas x1, x2, · · ·xn, y si

ai ≡ bi (mod a), entonces f (a1, a2, · · · an) ≡ f (b1, b2, · · · bn) (mod a).


De la misma manera que pensamos en encontrar las raıces del polinomiof (x1, x2, · · · , xn), en algun superanillo de A, podemos intentar encontrar lasde f (x1, x2, · · · , xn) en A/a. En virtud de la proposicion anterior, “resolver” laecuacion

f (x1, x2, · · · , xn) =

ai1i2···inxi1

1 xi2

2 · · ·xinn = 0 ,

es equivalente a encontrar n–plas de elementos (a1, a2, · · · , an) ∈ An que satis-fagan la congruencia

f (a1, a2, · · · , an) =

ai1i2···inai11 ai22 · · · ainn ≡ 0 (mod a) . (4)

Las expresiones del tipo (4) se denominan congruencias polinomias o algebraicas

modulo a.Tambien podemos considerar sistemas de congruencias polinomias modulo

a: f k(x1, · · · , xn) ≡ 0(mod a), k = 1, · · · , m.

En particular, sistemas lineales

ak1x1 + · · · + akn + bk ≡ 0(mod a), k = 1, · · · , m.

• Ejercicios sugeridos: 2.15.

2.3. El anillo de los enteros es factorial

En esta seccion supondremos conocidas las propiedades algebraicas y deorden del dominio Z de los numeros enteros, mas no ası las aritmeticas, o seaaquellas que se refieren a la divisibilidad. En particular, supondremos conocidoel llamado principio de la buena ordenaci´ on :

[Principio de la buena ordenacion] Si S es un conjunto no vacıo de numeros

enteros, acotado inferiormente, entonces S posee un elemento mınimo.

Este principio, equivalente al principio de inducci´ on , resulta un instrumentoeficaz en la demostracion de las propiedades aritmeticas del anillo

Z, como lo

comprobaremos en seguida.

Proposicion 2.3.1. [Teorema de la division o lema de Euclides] Si a y b son

numeros enteros, con b > 0, entonces existen enteros q y r tales que a = bq + r,

donde 0 ≤ r < b.

Demostraci´ on. El conjunto S = { a−bx ≥ 0 ; x ∈ Z } no es vacıo, pues si a ≥ 0es claro que a = a−0·1 ≥ 0, y si a < 0, vemos que a−b(a−1) = (−a)(b−1)+b ≥




0. Por otra parte, S esta acotado inferiormente, de manera obvia, por 0. Enconsecuencia, el principio de la buena ordenacion nos garantiza que S tieneun elemento mınimo. Llamemosle r = a − bq ≥ 0. Luego, para completar lademostracion de la proposicion, basta comprobar que r < b. Supongamos, pues,

por un momento que r ≥ b, de modo que

r ≥ r − b = a − bq − b = a − b(q + 1) ≥ 0 ;

pero r − b = a − b(q + 1) ≥ 0, implica que r − b ∈ S , es decir, r − b ≥ r y, porconsiguiente, r = r − b, de donde b = 0, lo cual es contradictorio.

En Z las unicas unidades son ±1. Luego dados a, b ∈ Z, solo pueden existirdos m. c. d.(a, b): d y −d. De entre los dos posible valores ±d, es costumbretomar el positivo. Con esta convencion, se tiene claramente d = m. c. d.(a, b) =

m. c. d.(−a, b) = m. c. d.(a,−b) = m. c. d.(−a,−b). Si b = 0, m. c. d.(0, b) = b.Finalmente, ya hemos convenimos que m. c. d.(0, 0) = 0.

Proposicion 2.3.2. Si a y b son enteros existe d = m. c. d.(a, b) y ademas

d = ax + by, donde x, y ∈ Z.

Demostraci´ on. Si a = b = 0, la conclusion de la proposicion es clara, pueshemos convenido que m. c. d.(0, 0) = 0. Para los otros casos, consideremos elconjunto S = { ax + by ; x, y ∈ Z }. Ahora si, por ejemplo, a = 0, no perdemosgeneralidad si suponemos a > 0. Pero entonces S

=

∅, pues a = a

·1 + b

·0

∈S .

Como a > 0, tambien tenemos S = S ∩N∗ = ∅, y, por el principio de la buenaordenacion, existe d = ax0 + by0 = mın S . Supongamos ahora que d a. Porla proposicion 2.3.1, existen enteros q y r tales que a = dq + r, con 0 < r < d.Pero entonces d > r = a − dq = a(1− qx0) + b(−qy0) > 0, lo que contradice laminimalidad de d. Luego por fuerza debemos tener d | a. De manera analogase ve que d | b. Finalmente, si a = ea y b = eb, vemos que d = e(ax0 + by0),es decir, e | d.

Corolario 2.3.2.1. Si d = m. c. d.(a, b) entonces subsiste la siguiente igualdad

de ideales (d) = (a, b).


Un n´ umero primo p es un entero positivo que tiene exactamente dos divisorespositivos distintos. Como p = 1 · p, vemos que lo que se llama en Z un numeroprimo es un elemento irreducible de este anillo.

Proposicion 2.3.3. Sea p un numero primo y sean a, b enteros positivos. Si

p | ab, entonces p divide a por lo menos uno de los dos factores.

Demostraci´ on. Supongamos que p b, de modo que p = b. Si p < b, existenq, r ∈ Z tales que b = pq + r, con 0 < r < p. Multiplicando ambos miembrosde esta igualdad por a, vemos que p | ar y p r (si p | r, entonces p dividirıa ab). Luego, podemos remitirnos al caso en que p > b. El producto ab perteneceal conjunto S = {ka ; k = 1, · · · , p− 1}, porque b < p. Sea m el entero positivomas pequeno que cumple p | ma; entonces 1 ≤ m ≤ b ≤ p − 1. Si m = 1, laproposicion esta demostrada. Si m > 1, tendrıamos p = qm + r, 0 ≤ r < m.




Como p es primo, necesariamente 0 < r. Luego al multiplicar por a, tenemosap = q ma + ra, de donde p | ra, contrariando la minimalidad de m.

Corolario 2.3.3.1. [Teorema fundamental de la aritmetica] Z es un anillo

factorial.

Demostraci´ on. En virtud de la proposicion 2.1.3, basta demostrar que todoelemento de Z puede expresarse como el producto finito de numeros primos.Tambien es claro que basta verificar la descomposicion para un entero n > 1.Ahora bien, la proposicion es cierta si n es un numero primo. Supongamosahora que la proposicion es valida para 2, 3, · · · , n. Si n + 1 es primo, no haynada que demostrar. Si n + 1 no es primo, existen enteros a y b tales quen + 1 = ab, donde 1 < a, b < n + 1. Por la hipotesis de induccion, a = p1 · · · ps,b = q

1 · · ·q t, de modo que n + 1 = p

1 · · · psq

1 · · ·q t.

Corolario 2.3.3.2. [Euclides] Hay un numero infinito de numeros primos.

Demostraci´ on. Supongamos que solo hay un numero finito de numeros primosy sean ellos p1, · · · , pn. Consideremos el numero entero

N = ( p1 · · · pn) + 1.

Este numero, por el corolario 2.3.3.1, es divisible por lo menos por uno delos primos pi, digamos que por p1. Entonces 1 = p1(N − p2 · · · pn), donde

N = N

p1, implica que p1 = 1, lo que es contradictorio pues todo numeroprimo es > 1. Esta contradiccion demuestra que el conjunto de los numerosprimos no es finito.

Observemos que no podemos concluir apresuradamente que p1 · · · pn + 1 seaprimo si p1, · · · , pn son los primeros n numeros primos. En efecto,

2 + 1 = 3

2× 3 + 1 = 7

2× 3× 5 + 1 = 312 × 3× 5× 7 + 1 = 211

2 × 3 × 5× 7 × 11 + 1 = 2311

son todos primos, pero

2× 3 × 5 × 7× 11 × 13 + 1 = 300,031 = 59 × 509 .

Luego p1 p2 · · · pk + 1 no es una “f´ ormula” para obtener primos .Si para los enteros a y c se tiene m. c. d.(a, c) = 1, decimos que a y c son

primos relativos o primos entre sı .Proposicion 2.3.4. Si a y c son primos relativos y a | bc, entonces a | b.

Demostraci´ on. Como m. c. d.(a, c) = 1, existen enteros x e y que cumplen ax +by = 1. Luego (ab)x + (bc)y = b, lo que implica que a | b, en virtud de la parte(d) de la proposicion 2.1.1, puesto que a | bc, por hipotesis.

Proposicion 2.3.5. Z es un anillo principal.




Demostraci´ on. Sea a un ideal de Z, a = (0). El conjunto S = {|a| = 0 ; a ∈ a}esta acotado inferiormente por 0 y es, por su definicion, no vacıo. Por el principiode la buena ordenacion, existe a0 ∈ Z tal que |a0| = mın S , el cual podemossuponer > 0, pues

|a0

|=

|−a0

|. Es evidente que (a0)

⊆a. Veamos que a

⊆(a0).

Para ello tomemos a ∈ a, el cual podemos suponer > 0. Con esto a ≥ a0, demodo que a = a0q +r, donde 0 ≤ r < a0. Como r = a−a0q ∈ a, necesariamenter = 0, pues de otro modo contradirıamos la minimalidad de a0. Luego, a = a0q .

Como (−m)Z = mZ, podemos suponer siempre que los ideales de Z sontodos de la forma mZ, m ≥ 0.

En el caso del anillo Z, el ideal (0) es claramente primo, pues xy = 0 ⇒ x = 0o y = 0. Por otra parte, si p

= 0, el ideal ( p) = pZ es primo si xy

∈ pZ implica

que x ∈ pZ o y ∈ pZ. O lo que es lo mismo: si p | xy, entonces p divide por lomenos a uno de los dos factores. La proposicion 2.3.3, nos dice entonces que si p es un numero primo, el ideal pZ es un ideal primo. Por otra parte, si mZ esun ideal primo y si m no fuese primo, tendrıamos m = ab, donde 1 < a, b < m.Es decir, o bien a ∈ mZ o bien b ∈ mZ. Supongamos que a ∈ mZ. Entoncesm | a, lo cual es imposible pues a < m. Hemos, pues, demostrado la siguienteproposicion.

Proposicion 2.3.6. Un ideal pZ, con p

= 0, es primo si, y solo si, p es un

numero primo.

Proposicion 2.3.7. Todo ideal primo de Z, distinto del ideal (0), es maximal.

Demostraci´ on. Sea p un numero primo y supongamos que pZ mZ ⊆ Z.Esto significa que p = mx, con m = p. Luego m = ±1, y, consecuentemente,mZ = (1) = Z.

Corolario 2.3.7.1. El anillo residual Z/mZ es un cuerpo si, y solo si, m es un

numero primo.Demostraci´ on. Basta recordar que un ideal m de un anillo A es maximal si, ysolo si, A/m es un cuerpo.

El cuerpo finito Z/pZ, p primo, se denota tambien con F p.

Proposicion 2.3.8. Para todo m > 1, el anillo residual Z/mZ es finito.

Esquema de la demostraci´ on. Se considera el conjunto

M ={

0, 1,· · ·

, m−

1}

y se demuestra primero que sus elementos son incongruentes entre sı modulom. Finalmente, se verifica que un elemento arbitrario de Z necesariamente escongruente a un elemento de M .

Si m = 1, observemos que Z/Z = {0}, con lo cual 0 = 1, caso que hemosdicho no encontramos interesante. Podemos, pues, suponer en lo sucesivo quem > 1.




Un conjunto {a1, · · · , am}, m > 1, de numeros enteros, incongruentes entresı modulo m, y tal que para cada x ∈ Z existe ai para el cual x ≡ ai(mod m), esdecir, un conjunto de representantes de los elementos de Z/mZ, se suele llamarun sistema completo de restos m´ odulo m .

Corolario 2.3.8.1. [Teorema de Fermat] Si p es un numero primo, a p−1 ≡1(mod p) si p a. O tambien, a p ≡ a(mod p), para todo a ∈ Z.

Demostraci´ on. Como Z/pZ es un cuerpo (corolario 2.3.7.1) finito (por la pro-posicion 2.3.8) con p elementos, su grupo de unidades (Z/pZ)× = {k ; 1 ≤ k ≤ p − 1} tiene p − 1 elementos. La primera afirmacion contenida en el corolarioes ahora una consecuencia inmmediata del teorema de Lagrange sobre losgrupos finitos. La segunda es inmediata a partir de la primera.

Corolario 2.3.8.2. Si p es un numero primo y p a, la congruencia ax ≡ 1(mod p)

tiene solucion.

Demostraci´ on. Como (Z/pZ)× es un grupo multiplicativo, todo elemento deeste grupo admite un inverso.

Proposicion 2.3.9. Sea m > 1. La congruencia

ax≡

1(mod m) (5)

tiene solucion si, y solo si, m. c. d.(a, m) = 1.

Demostraci´ on. Si (5) tiene una solucion x0, existe entonces y0 ∈ Z tal queax0 − 1 = my0, lo cual muestra que m. c. d.(a, m) = 1. Recıprocamente, sim. c. d.(a, m) = 1 existen x0, y0 ∈ Z tales que 1 = ax0 + my0, lo cual esequivalente a que (5) tenga una solucion.

Corolario 2.3.9.1. Si m > 1, el grupo de las unidades (Z/mZ)× de Z/mZesta conformado por las clases a modulo m para las cuales m. c. d.(a, m) = 1.

Si m > 1, es costumbre escribir U(m) en vez de (Z/mZ)× y designar conϕ(m) su orden. Es claro que si hacemos

ϕ(m) =

1 si m = 1 ;

o(U(m)) si m > 1 ,

entonces ϕ(m) define una funcion ϕ : N∗ → N∗, llamada la funci´ on indicatriz

de Euler.Sea m > 1. Un conjunto de ϕ(m) elementos de Z que represente a los

elementos de U(m) se llama un sistema reducido de restos m´ odulo m.

Proposicion 2.3.10. [Euler] Si m > 1, entonces aϕ(m) ≡ 1(mod m), para

todo a ∈ Z.

Demostraci´ on. Como U(m) es un grupo finito de orden ϕ(m), usamos nueva-mente el teorema de Lagrange sobre los grupos finitos.




Esta proposicion es claramente una generalizacion del corolario2.3.8.1.

El valor ϕ(m) no es necesariamente el orden de a en U(m). Es decir, ϕ(m) noes el menor exponente s para el cual as

≡ 1(mod m). Resultados elementales

de la teorıa de los grupos finitos, nos permiten afirmar que si s es el orden dea modulo m, con m. c. d.(a, m) = 1, y si ar ≡ 1(mod m), entonces s | r. Enparticular, s | ϕ(m).

La siguiente proposicion nos da condiciones necesarias y suficientes para lasolubilidad de la congruencia lineal particular ax ≡ b(mod m).

Proposicion 2.3.11. La congruencia

ax ≡ b(mod m) (6)

tiene soluciones si, y solo si, m. c. d.(m, a) | b. En este caso hay exactamente d = m. c. d.(m, a) soluciones.

Demostraci´ on. Si (6) tiene una solucion x1, debemos tener ax1+my = b, lo quemuestra que d | b. Recıprocamente, si d = αa + µm (α, µ ∈ Z) y d | b, entoncesb = (αa + µm)c, para algun c ∈ Z, lo cual implica que ax1 ≡ b(mod m), dondex1 = αc. Supongamos ahora que x1 y x2 son dos soluciones de (6). Es decir,

b ≡ ax1 ≡ ax2(mod m). Si d = m. c. d.(m, a) y dado que m. c. d.

a

d, m

d = 1

(corolario 2.1.4.2), subsiste la congruencia

x1 ≡ x2

mod

m

d

, (7)

pues a/d es invertible modulo m/d, en virtud del corolario 2.3.9.1. Luego, sim. c. d.(m, a) = 1, (7) nos dice que solo hay una solucion de (6) modulo m. Sid > 1 y x1 es solucion de (6), cada uno de los numeros

x1 + km

d , k = 0, 1, · · · , d − 1 ,

es una solucion de (6), como se puede verificar con facilidad. Pero tambien sontodos incongruentes modulo m. En efecto, si

x1 + jm

d ≡ x1 + k

m

d (mod m),

con 0 ≤ j < k ≤ d − 1, encontramos que m

d (k − j) ≡ 0(mod m) y, por

consiguiente, d | k− j, lo cual es imposible pues 0 < k− j ≤ d−1 < d. Luego elnumero de soluciones distintas de la congruencia (6) modulo m es precisamented.

Lo anterior ejemplifica el hecho de que en un anillo, que no sea un cuerpo,un polinomio de grado n puede tener mas de n raıces distintas.


2.4. La distribucion de los primos y la cribade Eratostenes




En esta seccion haremos algunos comentarios sobre la distribucion de losnumeros primos y de un viejo algoritmo para determinarlos.

Sobre esta distribucion existe un famoso resultado, conocido como el teorema

de los n´ umeros primos , conjeturado por Euler, Legendre y Gauss, entre

otros, y demostrado simultaneamente en 1896 por Jacques Hadamard (1865–1963) [12] y Charles–Jean de la Vallee–Poussin (1866–1962) [23], usandometodos de la teorıa de funciones de una variable compleja o simplemente teorıa

de funciones .1 Para enunciarlo introduciremos la notacion

π(x) =

p primo p≤x

1

para designar al numero de primos menores que el numero real x > 0. El

resultado anunciado es el siguiente:Proposicion 2.4.1. [Teorema de los numeros primos]

lımx→∞

π(x)

x/ log x = 1 . (8)

Esta formula es sorprendentemente precisa como lo insinua la siguiente tablaincompleta:

x x

log x π(x)

103 144, 7 · · · 168106 72,382, 4 · · · 78,489109 48254,942, 4 · · · 50847,478

Su demostracion, que no daremos aquı, esta ıntimamente relacionada con la

celebre funcion ζ (s) de Riemann:

ζ (s) =∞n=1

1

ns ,

donde s = σ + it ∈ C. En efecto, se sabıa que (8) era equivalente a ζ (1 + it) =0 (t ∈ R), de modo que tanto Hadamard como de la Vallee-Poussin selimitaron a demostrar esta ultima. Versiones de sus demostraciones originalesse pueden consultar en [11, pags. 142–157] o en [7, cap. 4]. Este resultado,

profundamente analıtico, hizo suponer a muchos que serıa futil intentar una“demostracion elemental” de la proposicion 2.4.1, es decir, una demostracionque no usase la variable compleja. Por eso cuando Atlee Selberg [21] yPaul Erdos [8], de manera independiente, encontraron entre 1948 y 1949 unademostracion elemental del teorema de los numeros primos, el mundo cientıfico

1En cierta forma buena parte de esta teorıa debe su desarrollo posterior a los trabajosfundamentales de Cauchy sobre el tema, a los esfuerzos hechos para demostrar este resultado.




contemplo un soberbio logro matematico. Presentaciones de esta demostracionelemental se hallan, por ejemplo, en [7, 288–297] o [18, 275–298].

Pero las sorpresas continuaron en 1980: en ese ano D. J. Newman [19]publico dos demostraciones analıticas del teorema que evitan tanto el uso de

complicadas estimativas de funciones e integrales en el ∞ (como es el caso delas de Hadamard y de la Vallee-Poussin) como el uso de transformadasde Fourier en las demostraciones posteriores de Wiener e Ikehara.2

Ya hemos observado que la expresion p1 p2 . . . pk + 1, donde los pi designana los k primeros numeros primos, no siempre produce numeros primos. Natu-ralmente, si tuvieramos una “formula” o “maquina” de producir primos, nosserıa muy facil elaborar una tabla de n´ umeros primos .3

Desde la antiguedad ha existido interes en la elaboracion de una tal tabla

(el analisis de las existentes en su epoca, mas una gran perspicacia, con todaseguridad, les permitieron a Euler, Legendre y Gauss conjeturar el teore-ma). Eratostenes (276–192 a. de J. C.) establecio una criba 4 para obtenerprimos, cuya sencillez es realmente encantadora. Veamos como funciona.

Si escribimos la sucesion de los primeros N − 1 numeros positivos mayoresque 1,

2, 3, 4, 5, · · · , N, (8)

podemos, en primer lugar, borrar de ella todos los multiplos de 2, exceptuandoa 2. El primer numero no borrado que le sigue al 2, es 3, el cual no es divisible

por 2, pues en caso contrario estarıa borrado, por lo cual 3 solo es divisiblepor 1 y por sı mismo. Por consiguiente, es primo. Si borramos en seguida dela sucesion (8) todos los multiplos de 3, a excepcion de 3, encontramos que

el primer numero no borrado que le sigue a 3 es el 5. Este no es divisible nipor 2 ni por 3 (pues en caso contrario ya estarıa borrado). Luego 5 solamentees divisible por 1 y por sı mismo y, en consecuencia, es primo. Etc. Cuandose hayan borrado del modo indicado todos los numeros de la sucesion que sonmultiplos de los numeros primos menores que un numero primo p, todos los

numeros no borrados y menores que p2

, seran primos. En efecto, cualquiernumero compuesto a menor que p2 ya esta borrado por ser multiplo de sudivisor primo mas pequeno q , el cual satisface las desigualdades q ≤ √ a < p.De aquı se deduce que

1. Al comenzar a borrar los multiplos de un numero primo p, podemosempezar a borrar desde p2.

2Informacion mas completa sobre la historia y la teorıa de la funcion ζ (s) puede encon-trarse en [7], en particular sobre la celebre hip otesis de Riemann :

Los ceros complejos de ζ (s) tienen todos parte real igual a 12

,

considerada como uno de los grandes problemas que deben resolverse en este nuevo milenio.3Tener formulas que produzcan una gran cantidad de numeros primos o solo primos es

algo que siempre ha intrigado a los matematicos. Sobre este tema recomendamos como lecturaintroductoria los artıculos de R. de Castro [3] y J. Almansa & L. Prieto [1].

4Una criba es una aparato para separar las partes menudas de las gruesas, es un mediode seleccion. Los mineros usan ciertos tipos de criba para sacar pepitas de oro de las arenasaurıferas de un rıo En nuestro caso las pepitas doradas serıan los numeros primos




2. La formacion de la tabla de numeros primos < N se termina cuandohayamos borrado todos los numeros compuestos que son multiplos delos primos que no son superiores a

√ N .

Hoy en dıa, cribar primos es una ocupacion muy respetable, pues, por razonescriptogr´ aficas , se necesitan con urgencia primos muy grandes. Teoricamente, lacriba de Eratostenes continuada indefinidamente permitirıa encontrar todoslos numeros primos menores que una cota dada. Pero esto no es posible por elfactor tiempo, pues “algorıtmicamente es muy lenta.” Por esto en los ultimosdecenios se han desarrollado otros “metodos cribatorios” efectivamente masrapidos que el de Eratostenes, aunque todos ellos finalmente se inspiran dealguna manera en este (algunos de estos metodos se encuentran explicados en[16]).

Para terminar esta seccion informativa, mostremos que existen grandes in-tervalos (tan grandes como se quiera) de numeros naturales que no contienenningun numero primo.

Proposicion 2.4.2. La diferencia entre dos primos consecutivos puede exceder

cualquier numero N − 1 dado.

Primera demostraci´ on . En efecto, si p1, . . ., pk son los primos menores que N , ytomamos p1 · · · pk+1 y p1 · · · pk+1+N , puede suceder que uno de ellos o ambossean primos, pero todos los numeros comprendidos entre ellos son compuestos.Es decir, la diferencia de dos primos consecutivos en este intervalo es por lomenos N . Tomando N arbitrariamente grande obtenemos lo pedido.

Segunda demostraci´ on. Sea N un entero positivo y consideremos N ! EntoncesN !+2 es divisible por 2, N !+3 es divisible por 3 y, en general, para 2 ≤ q ≤ N ,N ! + q es divisible por q . Luego ninguno de estos N −1 enteros es primo. Luegola diferencia entre dos primos consecutivos es por lo menos N . Tomando N arbitrariamente grande, terminamos la demostracion.

La primera de estas demostraciones la publico Arthur Cayley en 1866[4], y esta en el espıritu de la demostracion de Euclides de la infinitud del

conjunto de los numeros primos. Luego la reproduce Eduard M. Lucas en[17], de donde al parecer la toman luego G. H. Hardy & E. M. Wright

para reproducirla en su ya clasico libro [13]. Sin embargo, dado el interes queexistıa entonces en la distribucion de los numeros primos es muy posible queeste resultado y su demostracion formasen parte del folclor matematico dela epoca. Por eso es interesante destacar que la demostracion de Cayley no

aparece en sus Collected Papers [5], publicados antes de su muerte en 1895. locual nos hace suponer que posiblemente tanto Cayley como los editores deesta coleccion pensasen que no valıa la pena incluirla.

A aquellos lectores que quieran saber mas sobre la historia y resultados sobrelos numeros primos les recomendamos leer el libro de Paulo Ribenboim [20].

2.5. Una disgresion historico–logica




3. m. c. m.(x, y) = y .

2.7. En un anillo factorial, defina m. c. d.(a,b,c) y m. c. m.(a,b,c). Luego demuestreque

1. m. c. d.(a,b,c) m. c. m.(ab, bc, ac) = abc.2. m. c. m.(a,b,c) m. c. d.(ab, bc, ac) = abc.3. m. c. d.(a, m. c. m.(b, c)) = m. c. m.(m. c. d.(a, b), m. c. d.(a, c)).4. m. c. m.(a, m. c. d.(b, c)) = m. c. d.(m. c. m.(a, b), m. c. m.(a, c)).

2.8. Sea A un anillo factorial. Demuestre que si (a1) ⊆ · · · ⊆ (an) ⊆ · · · es unacadena de ideales principales de A, entonces esta cadena es finita en el conjuntoordenado (por inclusion) de los ideales principales de A.

2.9. Considere el anillo A = a

2n ∈ Q ; a, n ∈ Z

.

1. Demuestre que A es factorial y determine sus elementos irreducibles.2. Determine A× y muestre que es infinito.

2.10. Sea A un anillo arbitrario. Si a = (a1, . . . , am) y b = (b1, . . . , bn), demuestreque

ab = (a1b1, a1b2, . . . , a1bn, a2b1, . . . , ambn) .

Seccion 2.2

2.16. Demuestre la proposicion 2.2.1.

2.17. En el anillo Z[√ −3] = {a + b

√ −3 ; a, b ∈ Z}, verifique que√ −3 ≡ 1(mod 2).

Seccion 2.3En los ejercicios siguientes se supone que se est´ a trabajando en el anillo Z.

2.18. Demuestre los corolarios 2.3.8.2 y 2.3.9.1.

2.19. Si p es un numero primo y m. c. d.( p, ab) = 1, demuestre que pk+1 | (apk+bps)solo cuando k = s y p | a + b.

2.20. Demuestre que si m. c. d.(a, b) = 1 y r | ab, entonces r = st donde s y t,determinados de manera unica salvo el signo, son tales que s | b y t | a (s y t puedenser iguales a uno).

2.21. Demuestre que si ab/d es un multiplo de a y de b, entonces d divide a a y ab. Deduzca que ab/d es el m. c. m.(a, b) si, y solo si, d = m. c. d.(a, b).

2.22. Demuestre que todo entero que no es divisible por 3 es de una de las formas3n + 1 o 3n + 2. Demuestre, ademas, que si un entero es de la forma 3n + 2, entonces,por lo menos, uno de sus factores es de la misma forma.

2.23. Demuestre que si ar ≡ b(mod m), entonces ars ≡ bs(mod m) (r y s en-teros positivos). Usando este resultado encuentre el ultimo dıgito de la representaciondecimal de 340 y de 720.

2.24. Si a2 = c2

−b2, con m. c. d.(a, b) = 1, a impar, demuestre que existen enteros

m y n tales que a = mn, c − b = m2 y c + b = n2.2.25. Sea p un numero primo impar. Demuestre que mp + np ≡ 0(mod p) implica

que mp + np ≡ 0(mod p2).

2.26. a) Si m. c. d.(a, b) = 1, ¿cuales son las posibilidades para m. c. d.(a + b, a−b)?b) Si ad − bc = 1, demuestre que m. c. d.(a + b, c + d) = 1.

2.27. Demuestre que si 57 ≡ 1(mod p), donde p es un numero primo, entoncesp = 2 o p ≡ 1(mod 14). Verifique ademas que 57 − 1 = 4q, donde q es primo.




2.28. Si m. c. d.(a, m) = 1 y si s1 ≡ s2(mod ϕ(n)), demostrar que

as1 ≡ as2(mod n) .

2.29. Sea el anillo Z[√ −1] = {a + b

√ −1 ; a, b ∈ Z}. Demuestre que el conjunto de

los η ∈ Z

[

√ −1] tales que η

p

≡ η(mod p), donde p ∈ Z

es primo, es un subanillo deZ[√ −1], el cual contiene a Z. [Sugerencia : Use el corolario 2.3.8.1 y la formula delbinomio de Newton.]

2.30. Si p es un numero primo, demuestre que (1+ · · ·+ 1)p ≡ (1 + · · · +1)(mod p),donde el numero a de unos que aparecen a ambos lados de la congruencia cumple0 < a ≤ p. Deduzca de lo anterior el corolario 2.3.8.1.

2.31. Si a, b ∈ Z y d = m. c. d.(a, b), m = m. c. m.(a, b), demuestre que

1. dZ = (a, b) = aZ + bZ.2. mZ = aZ ∩ bZ.

2.32. Verifique que el ultimo dıgito a (0 ≤ a ≤ 9) del desarrollo decimal del numeroentero n esta caracterizado por la congruencia n ≡ a(mod 10).

2.33. Sea p un numero primo.

1. Demuestre que apn ≡ a(mod p), para n ≥ 1.

2. Deduzca que si m = pn + 1, entonces 2m+1 + 3m − 17 es divisible por p.[Sugerencia : 2p

n+2 + 3p

n+1 − 17 = 4(2p

n − 2) + 3(3pn − 3).]

2.34. Verifique que el recıproco del pequeno teorema de Fermat no es cierto, mos-trando que

1. 341 | 2341

− 2 (para esto use un programa de computador para mostrar queel resto de la division indicada es cero).

2. 341 = 11 × 31.

2.35. ¿Puede a2 ≡ b2(mod m) implicar que a ≡ b(mod m) o que a ≡ −b(mod m)?¿Cual es su respuesta si m es un numero primo o una potencia de un numero primo?

Referencias

[1] Almansa, Jesus & Leonardo Prieto. Nuevas f´ ormulas para el n−

esimo primo. Lec-turas Matematicas 15 (1994), 227–231.[2] Bochner, S. Mathematical Reflections. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 827–852.[3] Castro, Rodrigo de. Mitos y realidades sobre f´ ormulas para calcular n´ umeros primos.

Lecturas Matematicas 14 (1993), 77–101.[4] Cayley, A. xxxx . Proc. London Math. Soc. 2 (1866–1869), xxx.[5] Cayley, A. Collected Papers. XXXX. Cambridge, 1893.[6] Dubreil, Paul & M. L. Dubreil–Jacotin. Lecons d’algebre moderne . Dunod: Parıs,

1961.[7] Eduards, H. M. Riemann’s Zeta Function . Academic Press: New York, 1974.[8] Erdos, Paul. On a new method in elementary number theory . Proc. Nat. Ac. Sc. 35

(1949), 374–384.[9] Euclides. Elementos. En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo I, pags. 702–980.

Aguilar: Madrid, 1970.[10] Gauss, C. F.. Diquisitiones Arithmeticae . Traduccion de Hugo Barrantes, Michael

Josephy & Angel Ruiz Zuniga. Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fısicasy Naturales: Bogota, 1995.

[11] Grosswald, Emil. Topics from the Theory of Numbers. MacMillan Co.: Nueva York,1966.




[12] Hadamard, Jacques. Sur la distribution des zeros de la fonctiom ζ (s) et ses conse-

quences arithmetiques. Bull. Soc. Math. France 24 (1886), 199–200.[13] Hardy, G. H. & E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 4ta ed.

Oxford University Press: Oxford, 1960.[14] Ingham, A. E. The distribution of prime numbers. Cambridge: CUP, 1932.[15] Itard, Jean. Les livres arithmetiques de’Euclide . Hermann: Paris, 1961.[16] Knuth. The Art of Computer Programming . Vol. 1: Fundamental Algorithms. 2nd. ed.

Addison–Wesley, Reading, 1973.[17] Lucas, Edouard. Theorie des nombres, I. Editions Jean Gabay: Paris, 1891.[18] Nagell, T. Introduction to Number Theory . Chelsea Pub. Co: Nueva York, 1964.[19] Newman, D. J. Simple analytic proof of the prime number theorem . Amer. Math.

Monthly 87 (1980), 693–696. 221–226.[20] Ribenboim, P. The Little Book of Prime Numbers. Springer–Verlag: Berlin, 19xx.[21] Selberg, Atlee. An elementary proof of the prime number theorem . Annals of Math-

ematics 50 (1949), 305–313.


[23] Vallee–Poussin, Charles de la. Recherches analytiques sur la theorie des nombres

(premiere et seconde parties), Annales de la Soc. Sciences Bruxelles 20 (1896), 183–256;281–297.



3

Anillos euclıdeos

El capıtulo comienza con una definicion muy general de anillo euclıdeo, laintroduccion de la construccion euclıdea de Motzkin [16] y la deduccion dealgunas de sus consecuencias. Luego definimos los anillos de fracciones, herra-mienta muy util no solo en la teorıa de los numeros sino tambien en otras ramasde la matematica. En particular, explicitaremos ademas su estrecha relacion conla factorialidad. Finalmente, mostramos que todo dominio euclıdeo es factorial

y discutiremos la euclideneidad y la factorialidad de los enteros cuadraticos.

3.1. Anillos euclıdeos

Sea W un conjunto bien ordenado. Un anillo A se dice euclıdeo con respectoa una funcion φ : A → W si satisface la siguiente condicion:

Dados a, b ∈ A, con b = 0, existen q, r ∈ A, con a = bq + r y φ(r) < φ(b).

En este caso, a φ lo llamamos un algoritmo euclıdeo sobre A. Ademas, escostumbre llamar a q el cociente y a r el resto que resultan de la aplicacionde φ a la pareja (a, b).

Ejemplo 3.1.1. Todo cuerpo conmutativo K es un anillo euclıdeo. Basta tomarφ(x) = 1 para todo x ∈ K × y φ(0) = 0, pues dados a, b ∈ K , b = 0, existe ununico q ∈ K tal que a = bq + 0 = bq , donde r = 0.

Ejemplo 3.1.2. A = Z, con W = N y φ(n) = |n|. En efecto, dados a, b ∈ Z y

si b > 0, la proposicion 2.3.1 nos dice que existen q, r ∈ Z tales que a = bq + r,0 ≤ r < b. Si b < 0, la misma proposicion nos da la existencia de q, r ∈ Z talesque a = (−b)q + r, donde 0 ≤ r < −b = |b|. Observemos que 7 = (−5)(−1)+2,2 < | − 5| y que tambien 7 = (−5)(−2) − 3, | − 3| < | − 5|, lo cual nos muestraque en Z el cociente y el resto no son unicos.

Ejemplo 3.1.3. El anillo A = K [x], donde K es un cuerpo conmutativo, conφ(f (x)) = gr (f (x)), si f (x) = 0, y φ(0) = −1, es un anillo euclıdeo, dondeW = {−1} ∪ N. En este caso, podemos tambien tomar como algoritmo a la

funcion definida por f (x) → gr (f (x)) + 1, 0 → 0. con valores en N. En loscursos iniciales de algebra (veanse, por ejemplo, [7, pag. 133] o [12, pag. 136]) sedemuestra que si a(x) = b(x)q (x)+r(x), donde r(x) = 0 o gr (r(x)) < gr (b(x)),entonces r(x) y q (x) son unicos. Por otra parte, en [17] y [13, pag. 17] sedemuestra que un anillo euclıdeo conmutativo en el cual el cociente q y el restor son unicos es isomorfo sea a K [x], donde K es un cuerpo, cuando el anillo notiene divisores de cero, sea a F2 × F2, cuando el anillo tiene divisores de cero.




Ejemplo 3.1.4. Mas tarde (proposicion 3.3.12) veremos que los anillosZ[

√ −1] = {a + b√ −1 ; a, b ∈ Z} y Z[

√ −2] = {a + b√ −2 ; a, b ∈ Z} son eu-

clıdeos para las funciones φ1(a + b√ −1) = a2 + b2 y φ2(a + b

√ −2) = a2 + 2b2,respectivamente.

Lo que sigue se ha tomado esencialmente del hermoso artıculo de PierreSamuel [18]. Empecemos por generalizar la proposicion 2.3.5, imitando, depaso, su demostracion.

Proposicion 3.1.1. Todo anillo euclıdeo es principal.

Demostraci´ on. Sea a un ideal del anillo euclıdeo A. O bien a = (0), y es porlo tanto principal, o bien a = (0). En este ultimo caso, existe a ∈ a, a = 0 talque φ(a) = mın {φ(y) ; y ∈ a , y = 0}. Ahora bien, todo x ∈ a puede ahoraescribirse como x = aq + r, donde φ(r) < φ(a). Si r = 0, es evidente que

x = aq ∈ aA. Si r = 0, tendrıamos x − aq = r ∈ a, con φ(r) < φ(a), lo cual escontradictorio. Luego necesariamente a = (a).

Proposicion 3.1.2. En un anillo euclıdeo A, φ(b) > φ(0), para todo b = 0.Mas aun, si φ(b) = φ(0), entonces b = 0.

Demostraci´ on. Sabemos que existen elementos q 1 y r1 de A tales que 0 =bq 1 + b1, donde φ(b1) < φ(b). Si b1 = 0, entonces φ(0) < φ(b). Si b1 = 0,entonces 0 = b1q 2 + b2, con φ(b2) < φ(b1). Si b2 = 0, todo termina aquı. Sino, podemos continuar de manera recurrente la construccion de una sucesionestrictamente decreciente de elementos de W :

· · · < φ(bn) < · · · < φ(b2) < φ(b1) < φ(b) ,

la cual debe detenerse puesto que W esta bien ordenado. Es decir, existe n ∈ Ntal que φ(bn) = φ(0) < φ(b). La ultima afirmacion de la proposicion es ahoraevidente.

Observemos que la demostracion anterior es de hecho una demostracion pordescenso infinito a la Fermat en el conjunto bien ordenado W .

La proposicion anterior nos permite ahora afirmar que A es euclıdeo si, ysolo si, dados a y b ∈ A, b = 0, existen q y r ∈ A tales que a = bq + r, conφ(0) ≤ φ(r) < φ(b), o tambien r = 0 o φ(0) < φ(r) < φ(b).

Como subconjunto de W , el conjunto φ(A) {φ(0)} tiene un elemento mıni-mo, el cual denotaremos con α.

Proposicion 3.1.3. En un anillo euclıdeo A, si φ(a) = α, entonces a ∈ A×.

Demostraci´ on. Sabemos que si φ(a) = α, entonces a = 0. Tomemos arbi-trariamente c

∈ A. Entonces existen q, r

∈ A tales que c = aq + r, con

φ(r) < φ(a) = α. En consecuencia, φ(r) = φ(0), y entonces r = 0, usandola proposicion anterior. De modo que c = aq , es decir, A ⊆ aA, o tambien quea es una unidad del anillo A.

Ahora bien, comenzando con a, b ∈ A, b = 0, obtenemos sucesivamentea = q 1b + r1, con r1 = 0 o φ(r1) < φ(b), · · · , rn−2 = q nrn−1 + rn, con rn = 0o φ(rn) < φ(rn−1), e inevitablemente llegaremos a tener rn+1 = 0, en virtud



46 Anillos euclıdeos

del buen orden de W . Como en el caso de Z o de K [x], podemos ahora, sindificultad, demostrar que rn es un maximo comun divisor de a y b.

Este proceso tiene un evidente sabor algorıtmico, razon por la cual hemosllamado antes a φ un algoritmo euclıdeo o simplemente un algoritmo. Ob-

servemos que un algoritmo euclıdeo depende tanto de φ como de a y b. Luego,cualquier otra funcion ψ : A → W que haga de A un anillo euclıdeo puederesultar en un algoritmo “mas rapido” para calcular un m. c. d.(a, b), b = 0.

Si φ1 y φ2 son dos algoritmos sobre el mismo anillo euclıdeo A, con valoresen W , decimos que φ1 ≤ φ2 si φ1(a) ≤ φ2(a) para todo a ∈ A. Claramente estarelacion es un orden sobre el conjunto E de todos los algoritmos sobre A convalores en W .

Proposicion 3.1.4. Sea (φα : A → W )α una familia de algoritmos euclıde-

os. Entonces la funcion φ = ınf α φα, definida por φ(a) := ınf α φα(a), es unalgoritmo euclıdeo.

Demostraci´ on. Sean a, b ∈ A, b = 0. Como φ(b) = ınf α φα(b), existe un ındice β tal que φβ(b) = ınf α φα(b), en cuyo caso existen q, r ∈ A que cumplen a = bq +r,φβ(r) < φβ(b). Por consiguiente, φ(r) ≤ φβ(r) < φβ(b) = φ(b).

En particular, existe ınf E , el cual llamamos el algoritmo mınimo sobreA, y lo designamos con θA. En [13] se calculan los algoritmos mınimos deZ[

√ −

1] y Z[ 12(1 +√

−3] (vide infra ) y de Z. El de este ultimo esta dado por:

θ(a) = [log2 |a|], si a = 0, y θ(0) = 0. En el mismo libro, se demuestra que elalgoritmo mınimo de K [x] esta dado por θ( p(x)) = gr ( p(x)) + 1, si p(x) = 0,y θ(0) = 1.

Proposicion 3.1.5. Sea A un anillo euclıdeo de algoritmo φ. Si

φ1(a) =

φ(0)

mın{φ(ax) ; ax = 0, x ∈ A} ,

entonces φ1

es un algoritmo euclıdeo sobre A que cumple las siguientes condi-ciones:

(a) φ1(ax) ≥ φ1(a) si ax = 0.(b) φ1(ax) = φ1(a) ⇔ Aax = Aa.(c) φ1(a) ≤ φ(a), para todo a ∈ A.

Demostraci´ on. Empezamos por observar que (c) resulta inmediatamente de ladefinicion de φ1, tomando x = 1. Como

φ1(a) = mınc=0a|c

φ(c) y φ1(ax) = mınc=0ax|c

φ(c) .

y como

{c = 0 ; ax | c} ⊆ {c = 0 ; a | c} ,

vemos que φ1(ax) ≥ φ1(a). Esto demuestra (a). Para demostrar (b), mos-traremos primero que efectivamente φ1 es un algoritmo euclıdeo. Sean, pues,a, b ∈ A, b = 0. Entonces φ1(b) = φ(bc), para algun c ∈ A, que cumpla bc = 0.




Ahora bien, existen q, r ∈ A tales a = (bc)q + r, donde φ(r) < φ(bc). Usando(c),

φ1(r) ≤ φ(r) < φ(bc) = φ1(b) .

Es decir, φ1 es un algoritmo euclıdeo.Pasamos ahora a la demostracion de (b): (⇐) Si Aax = Aa, entonces ax y

a tienen los mismo multiplos, lo cual implica que φ1(ax) = φ1(a). (⇒) Su-pongamos que φ1(ax) = φ1(a). Si a = 0, no hay nada que demostrar. Sia = 0, entonces ax = 0. Pero, como φ1 es un algoritmo euclıdeo, existenq, r ∈ A tales que a = (ax)q + r, con φ1(r) < φ1(ax) = φ1(a). Por otra parte,r = a(1 − xq ), y φ1(r) = φ1[a(1 − qx)]. Si a(1 − qx) = 0, por la parte (a)tenemos φ1(r) ≥ φ1(a) = φ1(ax), lo cual es contradictorio. Luego r = 0 y, porconsiguiente, Aa

⊆ Aax. Como de manera obvia se tiene la inclusion Aax

⊆ Aa,

sera Aax = Aa.

Corolario 3.1.5.1. A× = {a ∈ A ; a = 0 , φ1(a) = φ1(1)}.

Demostraci´ on. Al cuidado del lector [Sugerencia: use (b) de la proposicion3.1.5].

Con la anterior proposicion recobramos la definicion de anillo euclıdeo queusualmente aparece en la mayorıa de los textos:

Un anillo A se dice euclıdeo si existe φ : A → N tal que

1. φ(0) = 0.2. Si a | b, b = 0, entonces φ(a) ≤ φ(b).3. Dados a, b ∈ A, b = 0, existen q, r ∈ A tales que a = bq +r, φ(r) < φ(b).

En las siguientes lıneas obtendremos una condicion necesaria y suficientepara que un anillo sea euclıdeo. Aunque nuestros razonamientos, con algunaspequenas variaciones, son validos para algoritmos con valores en cualquier conjunto bien ordenado W (vease [18]), en lo que sigue tomaremos siempre W = N.

Empecemos con algunas definiciones.

Si A es euclıdeo para el algoritmo φ, con valores en N, definamos recurren-temente

Aφ0 = {0} , Aφ

n = {0} ∪ {a ∈ A ; φ(a) ≤ n}.

Observemos que Aφn ⊆ Aφ

n+1 y que A = ∞

n=0 Aφn. Este hecho sugirio a

Motzkin [16] la siguiente construccion en un anillo arbitrario A: definamosinductivamente

A0 = {0} , An−1 ⊆ An,

An An−1 = {b ∈ A ; An−1 → A/bA es sobreyectiva }.

Por ejemplo, A1 A0 = A×, pues la aplicacion {0} → A/bA es sobreyectiva si,y solo si, b es invertible. Con estas definiciones podemos enunciar el resultadoque hemos anunciado arriba:




Proposicion 3.1.6. [Criterio de Motzkin] Un anillo A es euclıdeo si, y solo si,

∞

n=0

An = A ,

en cuyo caso θA(a) = n cuando a ∈ An An−1. O lo que es lo mismo, si An = AθA

n .

Demostraci´ on. (⇒) Supongamos que A sea euclıdeo para el algoritmo φ. Sabe-mos que A =

∞n=0 Aφ

n. Para demostrar lo pedido, basta ver que Aφn ⊆ An, para

todo n ≥ 0. La demostracion de estas inclusiones la haremos por induccion so-bre n. Claramente Aφ

0 ⊆ A0. Si ahora suponemos que Aφn−1 ⊆ An−1, vemos

que Aφn−1 ⊆ An−1 ⊆ An. Sea ahora b ∈ Aφ

n Aφn−1. Sea t = t + bA una clase

modulo el ideal bA, y tomemos x ∈ t; por el algoritmo, existen q, r ∈ A tales quex = bq + r, donde r = 0 o φ(r) < φ(b). Si r = 0, es claro que r ∈ Aφn−1 y como

entonces r = x, todo elemento de A/bA distinto de la clase del 0 esta represen-

tado por un elemento de Aφn−1. Si r = 0, entonces r = x = 0 y como 0 ∈ Aφ

n−1,

podemos concluir que Aφn−1 → A/bA es sobreyectiva. Esto, por la hipotesis de

induccion, implica que An−1 → A/bA tambien es sobreyectiva, es decir, b ∈ An.(⇐) Definamos θ(a) = n cuando a ∈ An An−1. Es facil ver ahora que θ es

un algoritmo. Si ahora θA es el algoritmo mınimo, tenemos AθAn ⊆ An (por la

primera parte) y Aθ

n = A

n, pues θ(b) = n equivale a que b

∈ A

n An−1

. LuegoAθAn ⊆ Aθ

n. Pero si φ1 ≤ φ2 son algoritmos, es claro que Aφ2n ⊆ Aφ1

n . Luego,Aθn ⊆ AθA

n , pues θA ≤ θ. En consecuencia, Aθn = AθA

n y θ = θA.

Recordemos que un elemento p de un anillo A se dice primo si el ideal( p) = Ap es un ideal primo de A. Vale la pena mencionar que un elemento

irreducible de un anillo no es necesariamente primo. Por ejemplo, en Z[√ −5]

el elemento 2 +√ −5 es irreducible pero no es primo, como puede deducirse

facilmente de la parte final del ejemplo 2.1.1.

Corolario 3.1.6.1. Sea A un anillo euclıdeo. Si a ∈ A2 A1, entonces a es unelemento primo de A.

Demostraci´ on. Sabemos que A1 = {0} ∪ A×. Luego, si a ∈ A2 A1 entonces{0}∪ A× → A/aA es sobreyectiva, lo que por fuerza hace que A× → (A/aA) {0} sea tambien sobreyectiva. Es decir, todo elemento de A/aA distinto de 0,proviene de un elemento invertible de A y, por lo tanto, es invertible en el anillocociente. Es decir, A/aA es un cuerpo y, consecuentemente, a es un elementoprimo de A.

Corolario 3.1.6.2. Si para un anillo A tenemos An = An+1, para algun n,entonces A no es euclıdeo, a menos que A = An.

Demostraci´ on. An = An+1 implica que An = An+1 = An+2 = · · · .

Corolario 3.1.6.3. Si el anillo A no es un cuerpo y si A1 = A2, entonces A no es euclıdeo.





3.2. Anillos de fracciones

Nuestro proposito inmediato es generalizar la construccion del cuerpo Q delos numeros racionales a partir del anillo Z de los numeros enteros. Para elloprocedemos como sigue.

Un subconjunto S de un anillo unitario A se dice un conjunto multiplica-

tivo o parte multiplicativa de A, si

(a) 1 ∈ S ,(b) si a, b ∈ S implica que ab ∈ S .

Es decir, un conjunto S que contiene a la unidad del anillo es multiplicativocuando, y solo cuando, es estable para la multiplicacion del anillo.

Consideremos el conjunto A × S = {(a, s) ; a ∈ A, s ∈ S } y la siguienterelacion entre sus elementos:

(a1, s1) ∼ (a2, s2) ⇔ ∃s ∈ S tal que s(a1s2 − a2s1) = 0 .

Verificar que ∼ es una relacion de equivalencia es un excelente ejercicio, quedejamos al cuidado del lector. Denotemos con [a/s] la clase de equivalencia de(a, s) modulo ∼, y con AS al conjunto de todas las clases de equivalencia segunesta relacion. En AS definamos las siguientes operaciones:

[a1/s1] + [a2/s2] = [(a1s2 + a2s1)/s1s2]

[a1/s1]·

[a2/s2] = [a1a2/s1s2]

Se puede verificar que estas operaciones no dependen de los representanteselegidos de las clases de equivalencia y que, ademas, con ellas AS es un anillo,al cual llamamos el anillo de cocientes de A con respecto a S . En AS loselementos [0/1] y [1/1] hacen los papeles del cero y de la unidad, respectiva-mente. Por otra parte, la aplicacion

ϕ : A → AS , ϕ(a) = [a/1]

es un homomorfismo (unıfero) de anillos, como puede comprobarse facilmente.

A este homomorfismo lo llamamos canonico. Es claro que si s ∈ S entoncesϕ(s) es una unidad de AS . Por esto, en AS hay, en general, mas unidades queen A.

Proposicion 3.2.1. Si A es un anillo y S es un parte multiplicativa de A, se tienen las siguientes proposiciones

(a) Si 0 ∈ S , entonces AS = {0}.(b) El homomorfismo canonico ϕ de A en AS es inyectivo si, y solo si, S

no contiene divisores de cero.(c) ϕ(a) es invertible en AS si, y solo si, aA ∩ S = ∅.

Demostraci´ on. (a) Si 0 ∈ S y [a/s] ∈ AS , entonces [a/s] = [0/1] puesto que0(a · 1 − 0 · s) = 0.

(b) Como ϕ(a) = [a/1] = [0/1] cuando, y solo cuando, existe s ∈ S tal quesa = 0, vemos obviamente que ker(ϕ) = {0} si, y solo si, S contiene divisoresde cero no triviales.




(c) Supongamos que [a/1][b/t] = [ab/t] = [1/1]. Esto equivale a tener laexistencia de s ∈ S tal que s(ab − t) = 0 ⇔ a(sb) = st ∈ S . Luego aA ∩ S = ∅.Recıprocamente, si aA ∩ S = ∅, existen s ∈ S y x ∈ A que cumplen ax = s.Luego [a/1][x/s] = [ax/s] = [s/s] = [1/1].

Los siguientes son ejemplos interesantes por sı solos.

Ejemplo 3.2.1. Sea A un anillo y tomemos como S al conjunto de los elementosde A que no son divisores de 0. Comprobemos que S es una parte multiplicativa.En efecto, es claro que 1 ∈ S . Por otra parte, si para s, t ∈ S y a ∈ A tenemos(st)a = 0, entonces s(ta) = 0 implica que ta = 0, puesto que s ∈ S , lo cual asu vez nos conduce a que a = 0, por la misma razon. Luego st ∈ S . En estecaso AS se llama el anillo total de cocientes de A.

Ejemplo 3.2.2. Sea p un ideal primo del anillo A. La misma definicion deideal primo nos muestra que S = A p es una parte multiplicativa de A. Eneste caso escribimos Ap en vez de AAp, y a este nuevo anillo lo llamamos lalocalizacion de A en el ideal primo p.

Ejemplo 3.2.3. En particular, si A es un dominio de integridad, el ideal (0)es primo y S = A (0) es una parte multiplicativa. La localizacion de Aen (0) se llama el cuerpo de cocientes de A y se denota con Q(A). Masparticularmente, tenemos los clasicos dos ejemplos siguientes: Q = Q(Z) y

Q(k[T ]) := k(T ) =

p(T )

q (T ) ; p(T ), q (T ) ∈ k[T ], q (T ) = 0

,

cuerpo de las funciones racionales de coeficientes en un cuerpo k, en laindeterminada T .

El anillo AS se acostumbra tambien escribir como S −1A, notacion que sinembargo no usaremos aquı aun siendo la preferida de muchos autores debido asu caracter funtorial.

Si a es un ideal del anillo conmutativo unitario A, definimos

aAS = {y[a/1] ; a ∈ a, y ∈ AS }como la extension de a a AS . Ahora bien, aAS es un ideal de AS , pues

[z/t] [a/1] + [w/s] [b/1] = [1/ts] [(za + wb)/1] ∈ aAS ,

dado que za + wb ∈ a si a, b ∈ a, y la multiplicacion de un elemento de aAS

por otro de AS esta nuevamente en aAS , como es sencillo comprobar. Si ahoraB es un ideal de AS , definimos

Bc = ϕ−1(B) ,

donde ϕ : A → AS es el homomorfismo canonico, como la contraccion de Ba A. Como la imagen recıproca de un ideal por un homomorfismo sigue siendoun ideal, Bc es un ideal de A.

Por otra parte, si a ⊆ b son ideales de A, entonces aAS ⊆ bAS . Tambien, siA ⊆ B, entonces Ac ⊆ Bc.




Observemos que cuando el homomorfismo canonico ϕ : A → AS es inyectivo,aAS no es otra cosa que el ideal generado en AS por los elementos de a. En lamisma situacion, se ve claramente que Bc = B ∩ A.

Proposicion 3.2.2. Si S es una parte multiplicativa de un anillo A, existe una correspondencia biunıvoca entre el conjunto de los ideales primos p de A que cumplen p ∩ S = ∅ y los ideales primos de AS , distintos de AS .

Demostraci´ on. Si 0 ∈ S ambas clases de ideales son vacıas. Podemos, pues,suponer que 0 /∈ S . Sea ahora un ideal primo p de A y supongamos que p∩S = ∅.Veamos, en primer lugar, que pAS = AS , pues si [1/1] ∈ pAS , entonces [1/1] =[(ap)/s], con a ∈ A, p ∈ p, s ∈ S , lo cual equivale a la existencia de s ∈ S tal quess = aps; pero ss ∈ S y aps ∈ p, luego p ∩ S = ∅, lo cual es contradictorio.

En consecuencia pAS es un ideal propio de AS . Veamos, en segundo lugar, quepAS es un ideal primo. Supongamos, pues, que [a/s][b/t] = [(ab)/(st)] ∈ pAS .Esto implica que existen p ∈ p, x ∈ A y s ∈ S tales que [(ab)/(st)] = [(xp)/s].Luego existe s ∈ S tal que s(abs − stxp) = 0, es decir: sabs = sstxp ∈ p.Pero s /∈ p fuerza a que sab ∈ p, y como tambien s /∈ p, tenemos ab ∈ p.Como este ideal es primo, vemos que o bien a ∈ p o bien b ∈ p, lo cual conducefinalmente a que o bien [a/s] ∈ pAS o bien [b/t] ∈ pAS .

Si P es un ideal primo de AS , entonces Pc es primo en A. En efecto, siab

∈ Pc, entonces ϕ(ab) = [a/1][b/1]

∈ P implica que o bien [a/1]

∈ P o bien

[b/1] ∈ P, lo cual a su vez conduce de necesidad a que a ∈ Pc o b ∈ Pc. Porotra parte, Pc ∩ S = ∅, pues si s ∈ Pc ∩ S , entonces ϕ(s) = [s/1] ∈ P, es decir,[s/1][1/s] = [1/1] ∈ P = AS , lo cual no es posible. En particular, Pc = A,pues Pc ∩ S = ∅ implica que 1 /∈ Pc. Finalmente, no es difıcil comprobar quese tienen las igualdades siguientes:

PcAS = P , (pAS )c = p ,

las cuales muestran que p →

pAS y P →

Pc son biyecciones recıprocas la unade lo otra.

Proposicion 3.2.3. Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Sean S y M partes multiplicativas de A y B, respectivamente. Si f (S ) ⊆ M , entonces existe un unico homomorfismo de anillos f S,M : AS → BM tal que f S,M ([a/1]) =[f (a)/1], para todo a ∈ A.

Demostraci´ on. Si definimos f S,M ([a/s]) := [f (a)/f (s)], es facil verificar quef S,M es un homomorfismo de anillos que cumple la condicion requerida. Ob-

servemos que esta condicion equivale a f S,M ◦ϕS = ϕM ◦f , donde ϕS : A → AS

y ϕM : B → BM son las aplicaciones canonicas. Por otra parte, si h : AS → AM

es otro homomorfismo que satisface la condicion dada, es facil verificar que hcoincide con f S,M .

La anterior proposicion establece esencialmente el caracter funtorial de laconstruccion de los anillos de fracciones.




Corolario 3.2.3.1. Si en la proposicion anterior f : A → B es un monomorfis-mo de dominios, entonces f S,M es un monomorfismo. En particular, si S ⊆ M tenemos AS ⊆ AM .

Las siguientes proposiciones se demuestran usualmente en los libros de alge-bra abstracta. Para comodidad del lector las incluimos aquı con sus demostra-ciones.

Proposicion 3.2.4. Sea A un anillo unitario. Todo ideal a = A esta contenido en un ideal maximal de A.

Demostraci´ on. Consideremos la familia F = {b ; b es un ideal de A, a ⊆ b A}, ordenada por inclusion, la cual no es vacıa pues a ∈ F . Si (bi)i∈I esuna cadena de

F , entonces i

∈I bi = b

∈ F , puesto que a

⊆ b y b

= A.

Efectivamente, si fuese A =i∈I bi, entonces 1 ∈ bi, para algun i ∈ I , lo

cual nos conduce a bi = A, cosa que es contradictoria. Es claro ahora queesta cadena de F esta acotada superiormente por b. En consecuencia, por ellema de Zorn, F admite un elemento maximal m. Para finalizar la demostra-cion, debemos mostrar que m es un ideal maximal. Para ello supongamos quem n ⊆ A. Esto significa que existe n ∈ n tal que n /∈ m, lo cual nos conducea las siguientes relaciones:

a

⊆ m m + (n)

⊆ n

⊆ A.

Entonces m + (n) /∈ F ; pero a m + (n) implica entonces que m + (n) = A y,finalmente, n = A.

Proposicion 3.2.5. Las siguientes proposiciones son equivalentes en un anillo conmutativo unitario:

(a) A A× es un ideal de A.(b) A tiene un unico ideal maximal.

Demostraci´ on. (a)⇒

(b). Hagamos m = A A× y supongamos que m a ⊆

A.Como a = m, existe x ∈ a m, elemento que es necesariamente una unidadde A y por consiguiente, a = A. Luego m es maximal. Si ahora m es otroideal maximal, sabemos que ninguno de sus elementos es invertible, es decir,m ⊆ A A× = m A. Luego, m = m.

(b) ⇒ (a). Supongamos que m es el unico ideal maximal de A y tomemosm = A A×. Como ningun elemento de m es invertible, entonces m ⊆ m. Siahora x ∈ m es claro, por la proposicion 3.2.4, que (x) ⊆ m, pues m es el unicoideal maximal de A. Por consiguiente, x ∈ m, o sea m ⊆ m. Es decir, m = m

es un ideal de A.

Un anillo A que satisface una de las dos condiciones equivalentes de la pro-posicion 3.2.5, se dice un anillo semilocal. El cuerpo A/m se llama el cuerpo

residual de A.

Corolario 3.2.5.1. Sean A un anillo semilocal y m su ideal maximal. Entonces 1 + m ∈ A× para todo m ∈ m.




Demostraci´ on. En la proposicion hemos visto que m = A A× es el idealmaximal de A. Como 1 + m pertenece al ideal generado por (1) y m el cualcontiene a este ultimo, vemos que (1) + m = A, es decir, 1 + m es una unidadde A.

Proposicion 3.2.6. Sea p un ideal primo de un anillo conmutativo y unitario A. Entonces

(a) Ap es un anillo semilocal cuyo unico ideal maximal es pAp.(b) Ap/pAp es isomorfo al cuerpo de cocientes del dominio A/p.

Demostraci´ on. (a) Los ideales primos Q de Ap son los de la forma Q = qAp,donde q es un ideal primo de A que satisface las relaciones

q ∩ (A p) = ∅ ⇔ q ⊆ p .

Luego todos los ideales primos Q de Ap estan contenidos en pAp. Como todoideal maximal es primo, vemos que pAp es el unico ideal maximal de Ap.

(b) Sabemos que A/p es un dominio. Ademas, K = Q(A/p) =(A/p){0} (recordemos que en este caso {0} es un ideal primo). Definamos

ρ : (A/p){0} → Ap/pAp, por la ecuacion ρ([r/s] ) = [r/s] donde r y s son

las clases de r y s modulo p, respectivamente, y [r/s] es la clase de [r/s]modulo pAp. Veamos que la funcion ρ esta bien definida. Supongamos que

[a1/s1] = [a2/s2]. Existe entonces s

= 0 en A/p tal que s(a1s2

−a2s1) = 0, o lo

que es lo mismo, que s(a1s2 − a2s1) ∈ p. Como s /∈ p, necesariamente debemostener (a1s2−a2s1) ∈ p, lo cual nos lleva a que [(a1s2−a2s1)/s1s2] ∈ pAp, y esto

a su vez a [(a1s2 − a2s1)/s1s2] = 0 en Ap/pAp, lo cual es equivalente a decir

que [a1/s1] = [a2/s2]. Es facil comprobar que ρ es un epimorfismo de anillos.Calculemos ahora su nucleo: supongamos que [a1/s1] ∈ ker ρ, lo cual significaque [a1/s1] ∈ pAp. En consecuencia, existen a ∈ A, p ∈ p y s ∈ S tales que[a1/s1] = [(ap)/s], y finalmente existe s ∈ S que cumple sa1s = ss1ap. Comos, s /

∈ p, necesariamente a1

∈ p. Esto es, a1 = 0 y, por lo tanto, [a1/s1] = [0/1],

lo cual muestra que ρ es inyectiva.

Corolario 3.2.6.1. Si p es un ideal maximal de un anillo conmutativo y uni-tario A, entonces Ap/pAp es isomorfo al cuerpo residual A/p.

Ejemplo 3.2.4. Si A = Z y p = ( p), p primo, sabemos (proposicion 2.3.7) quep es primo maximal. Por las definiciones, vemos que

Z( p) =

a

b ; a, b ∈ Z , p b

.

El corolario 3.2.6.1 nos dice ahora que Z( p)/pZ( p) ≈ Z/pZ.

Proposicion 3.2.7. Todo elemento primo de un dominio A es irreducible.

Demostraci´ on. Supongamos que p = ab, de modo que ab ∈ ( p), y como esteideal es primo debemos tener o bien a ∈ ( p) o bien b ∈ ( p). Si, por ejemplo,a ∈ ( p), entonces a = xp, donde x ∈ A. Luego p = ab = xpb, y como estamosen un dominio vemos que 1 = xb, es decir, b ∈ A×.




La recıproca de la anterior proposicion no es cierta.

Ejemplo 3.2.5. En efecto, en el ejemplo 2.1.1 hemos visto que 2, 3, 1+√ −5, 1−√ −5 son elementos irreducibles de Z[

√ −5]. Sin embargo, ninguno de ellos esprimo, pues, por ejemplo, 2

·3 ∈

(1+√

−5), pero 2 /

∈ (1+

√ −

5) ni 3 /∈

(1+√

−5),

como puede verificar facilmente el lector.

Proposicion 3.2.8. Un dominio A es factorial si, y solo si, todo elemento no nulo y distinto de una unidad puede escribirse como un producto de elementos primos.

Demostraci´ on. Supongamos que en A todo elemento no nulo y distinto deuna unidad puede descomponerse como el producto de un numero finito deelementos primos. Como todo primo es irreducible, basta, pues, demostrar que

esta descomposicion en primos es unica, salvo unidades. Supongamos entoncesque p1 · · · pr = q 1 · · · q s, donde los pi y los q j son primos y r ≤ s. Esto implicaque p1 | q j , para algun j, el cual, sin perder generalidad, podemos suponer esel de ındice 1. Esto implica que q 1 = u1 p1, donde u1 ∈ A×, lo cual nos conducea la igualdad p2 · · · pr = u1q 2 · · · q s, etc.

Recıprocamente, si el anillo A es factorial, basta demostrar que en este casotodo irreducible es primo. En efecto, si p es un irreducible de A y si ab ∈ ( p),entonces ab = xp, con x ∈ A. Escribamos a = p1 · · · pr y b = q 1 · · · ps, x = p1

· · · pt, donde los pi, q j y pk son irreducibles. Por lo tanto,

ab = p1 · · · prq 1 · · · q s = ( p1 · · · pt) p.

Esto fuerza a que p = upi, con u ∈ A×, para algun i, o a que p = vq j , conv ∈ A×, para algun j. Es decir, o bien a ∈ ( p), o bien b ∈ ( p). Esto indica que p es un elemento primo.

Dado un subconjunto arbitrario M del anillo A, al conjunto formado por launion de {1} y los productos finitos de elementos de M lo llamamos el conjunto

multiplicativo generado por M . El lector puede verificar con facilidad que

efectivamente es un conjunto multiplicativo.Proposicion 3.2.9. Sea S la parte multiplicativa generada por 1 y todos los primos de un dominio A. Entonces A es factorial si, y solo si, AS es un cuerpo conmutativo.

Demostraci´ on. Es claro que S = {1} ∪ { pi1 · · · pir ; pij es primo, r = 1, 2, . . .}.Si A es factorial, se verifica facilmente que A (A× ∪ {0}) ⊆ S . Como en AS

todos los elementos de S son unidades, resulta que todo elemento no nulo deAS es una unidad. Es decir, AS es un cuerpo.

Recıprocamente, si A no es factorial, entonces existe a ∈ A (A× ∪ {0})que no se puede escribir como producto de elementos primos. Esto implica que(a) ∩ S = ∅. En efecto, si ax = p1 p2 · · · pt, donde cada pi es un primo, y dadoque, por hipotesis, ningun primo divide a a, vemos que necesariamente p1 | x, esdecir, x = ui p1, u1 ∈ A, de donde ax = au1 p1 = p1 p2 · · · pt, lo cual implica queau1 = p2 · · · pt. Razonando recurrentemente, encontraremos que aut−1 = pt, yque, ademas, ut−1 = ut pt, o lo que es lo mismo, aut = 1, lo cual es contrario a




la escogencia de a. Por otra parte, (0) = (a)S = AS pues si (a)S = AS , entonces[1/1] = [a/s], donde s ∈ S . Por lo tanto, existe t ∈ S tal que t(s − a) = 0, conlo cual s = a, lo cual es contradictorio. Luego AS tiene ideales no triviales y,por consiguiente, no es un cuerpo.

Corolario 3.2.9.1. Si A es un dominio principal, entonces A es factorial.

Demostraci´ on. Sea S el conjunto multiplicativo definido en la demostracion dela proposicion anterior y consideremos AS . Queremos demostrar que este ultimoanillo es un cuerpo. Efectivamente, si suponemos que AS no es un cuerpo,existen ideales A de AS distintos del anillo mismo y la familia de estos idealestiene un elemento maximal P que es un ideal maximal de AS tal que (0) =P AS . Sabemos que p = P∩ A es un ideal primo de A que cumple p∩S = ∅.Por hipotesis, existe p

∈ A, tal que p = ( p). Luego, p es un elemento primo

de A, y pertenece a S , por definicion. Esto claramente contradice que se tengap ∩ S = ∅. Luego no existen en AS ideales diferentes a (0) y AS , es decir, AS

es un cuerpo.

Corolario 3.2.9.2. Si A es un dominio euclıdeo, entonces A es factorial.

Una parte multiplicativa S de un anillo A se dice saturada si xy ∈ S ⇔x ∈ S e y ∈ S .

Proposicion 3.2.10. Si S es una parte multiplicativa del anillo A, entonces

(a) S es saturada ⇔ A S es la union de ideales primos.(b) Si S es una parte multiplicativa de A entonces

S = A

p primop∩S =∅

p

es una parte multiplicativa saturada de A, que es la mas peque˜ na que contiene a S .

(c) AS = AS si S no contiene divisores de 0.


Algunas propiedades de A pueden transferirse a AS . Por ejemplo:

Proposicion 3.2.11. Si A es un dominio euclıdeo y S es una parte multiplica-tiva saturada de A, tal que 0 /∈ S , entonces AS es euclıdeo.

Demostraci´ on. Tomemos AS = {a/s ; a ∈ A, s ∈ S }. Como S es saturadatodos los divisores de s ∈ S estan en S . Como A es factorial, S esta generadopor las unidades y conjunto de elementos primos de A. Por consiguiente, todo

elemento x ∈ AS , x = 0, puede escribirse en la formax =

s

tx , (1)

donde s, t ∈ S y x es primo con todos los elementos de S . En efecto, si x = a/t,a ∈ A y escribimos a = p1 · · · pnq 1 · · · q , donde pi ∈ S y q j /∈ S , podemos tomarx = q 1 · · · q para obtener (1). El lector podra comprobar que x esta determi-nado unıvocamente salvo unidades. Si φ es el algoritmo de A, en virtud de la




proposicion 3.1.5, podemos suponer que φ(a) ≤ φ(ab), si ab = 0 y φ(a) = φ(ab)

si, y solo si, b es una unidad de A. Si x = s

tx ∈ AS , definimos φ1(x) := φ(x) y

nuestro siguiente objetivo es mostrar que φ1 es un algoritmo de AS . Para em-pezar, observemos que se tienen de manera evidente las siguientes propiedades:

i) Si s ∈ S , entonces φ1(s) = φ(s).

ii) Si s, t ∈ S , entonces φ1

s

tx

= φ1(x).

iii) Si x ∈ A, entonces φ1(x) ≤ φ(x).

Tomemos ahora x, y ∈ AS , con x = 0. En este caso tendremos

AS /xAS ≈ A/Ax , (2)

donde x = s

tx. Efectivamente, xAS ∩ A = Ax, como lo puede verificar el

lector. Esto nos permite tener la inclusion θ : A/xA → AS /xAS . Por otraparte, los ideales primos que contienen a Ax son maximales, lo que muestraque θ es tambien sobreyectiva. Usando (2) podemos concluir que existe a ∈ Atal que

t

sy ≡ a

1(mod xAS ).

Pero a = xq + c, donde φ(c) < φ(x). Luego

y

≡

s

t

c(mod xAS )

y, por consiguiente,

φ1

s

tc

= φ(c) ≤ φ(c) < φ(x) = φ1(x) ,

donde hemos usado las propiedades i)-iii) cada una en el momento oportuno.

Otra es la siguiente:

Proposicion 3.2.12. Si A es factorial y si S es una parte multiplicativa de A,

tal que 0 /∈ S , entonces AS es factorial.

Demostraci´ on. Por la parte (c) de la proposicion 3.2.1, sabemos que si p ∈ Aes irreducible, entonces es invertible en AS si, y solo si, pA ∩ S = ∅. Veamosahora que si [ p/1] no es invertible, entonces es irreducible en AS . En efecto, sifuese [ p/1] = [x/s][y/t], tendrıamos p(st) = xy (pues estamos en un dominio).Luego p | xy, y, por la proposicion 2.1.3, o bien p | x o bien p | y. Ahora bien, p solo puede dividir a uno de los dos, pues en caso contrario x = pu, y = pw

⇒ st = p(uw)

∈ S

∩Ap, lo cual no es posible. Un razonamiento semejante a

este nos muestra que p || x si p | x, por ejemplo. Luego, sin perdida sustancialde la generalidad, podemos suponer que [x/s] = [ pu/s], donde p u, p y. Esdecir, [ p/1] = [ p/1][uy/st] y, por consiguiente, [u/t][y/s] = [1/1], pudiendoseconcluir que [u/t] es una unidad de AS . Luego [ p/1] es irreducible en AS .

Finalmente, todo elemento a ∈ A (A× ∪ {0}), puede escribirse unıvoca-mente en la forma

a = pα11 · · · pαkk q β11 · · · q βnn ,




donde los [q j/1] son unidades de AS y los [ pi/1] son irreducibles de AS . Enconsecuencia,

[a/s] = [ p1/1]α1 · · · [ p1/1]α1 ,

donde es una unidad de AS . Luego todo elemento de AS se puede expresar

como un producto finito de irreducibles. El lector podra ahora (en verdad, devarias maneras) demostrar que esta descomposicion es unica.


3.3. La euclideneidad de los anillos de enteros cuadraticos

Dado D ∈ Z que no sea un cuadrado perfecto, el numero

ξ = a + b

√ D

c , a, b, c ∈ Z , c = 0 ,

es un cero del polinomio

p(x) = c2x2 − 2acx + (a2 − b2d) ∈ Z[x] .

Su otro cero es

ξ = a − b

√ D

c .

Como D no es un cuadrado perfecto, ni ξ ni ξ pertenecen a Q. Luego p(x) es

irreducible sobre Q y, por consiguiente, [Q(ξ ) : Q] = 2 y {1, ξ } es una Q−base deQ(ξ ). Como ξξ = (a2 − b2D)/c2 ∈ Q, es claro que ξ ∈ Q(ξ ). En consecuencia,

ξ −ξ = 2b√

D/c ∈ Q(ξ ) y√

D = (ξ −ξ )c/2b ∈ Q(ξ ). Es decir, Q(√

D) ⊆ Q(ξ ).

Como claramente ξ ∈ Q(√

D), concluimos que Q(√

D) = Q(ξ ).Podemos escribir D = m2D0, donde |D0| > 1 no tiene factores cuadraticos.

Comoa + b

√ D

c =

a + mb√

Do

c ,

esto fuerza a que Q(√

D)

⊆Q(

√ D0). Por otra parte,

e + d√ D0

f =

e + (d/m)√ Df

= em + d√ D

mf ,

muestra que Q(√

D0) ⊆ Q(√

D). Es decir, Q(√

D0) = Q(√

D). Podemos, pues,suponer siempre que D no tiene factores cuadr´ aticos .

En virtud del lema de Gauss, un polinomio irreducible sobre Q puede “susti-tuirse” por un polinomio irreducible de coeficientes en Z. Supongamos de ahoraen adelante que p(x) = Ax2 + Bx + C sea un polinomio irreducible de Z[x].

Sus dos raıces B ± √ B2 − 4AC

2Ano pueden estar en Q. Luego, si hacemos D = B2 − 4AC , es claro que D nopuede ser un cuadrado perfecto.

Los elementos α de C que satisfacen una ecuacion de la forma

α2 + a1α + a0 = 0 , a1, a0 ∈ Z




se dicen enteros cuadraticos sobre Z. De aquı resulta que α + α = −a1,αα = a0 ∈ Z. Queremos ahora saber cuando un entero cuadratico perteneceal cuerpo

Q(√ D) =

α = a + b

√ D

c ; a,b,c ∈ Z

,

donde podemos suponer que a, b, c ∈ Z no tienen factores comunes. En virtudde lo anterior, si esto ocurre debemos tener

2a

c = −a1 y

a2 − b2D

c2 = a0 . (3)

En primer lugar, necesariamente m.c.d (a, c) = 1, pues en caso contrario, exis-

tirıa un numero primo p tal que p | a y p | c. Como a0 es un entero, p

2

debedividir a a2 − b2D, es decir, a2 − b2D ≡ 0(mod p2). Pero a2 ≡ 0(mod p2),luego b2D ≡ 0(mod p2) y como D no tiene factores cuadraticos, p2 | b2 y,consecuentemente, p | b. Esto contradice la hipotesis de que a, b y c no tienenfactores comunes.

De a1 = −2a/c ∈ Z resulta que si c = 1, entonces de necesidad c = 2, puesm. c. d.(a, c) = 1. Por lo tanto,

a2 − b2D = c2a0 ≡ 0(mod 4) (4)

si c = 2. Bajo estas hipotesis, pasamos a examinar todas las posibilidadesconcernientes a la paridad de a y b. Es claro que a y b no pueden ser ambos pares,porque hemos supuesto que a, b y c no tienen factores comunes. Si ahora a es pary b es impar, de (4) resulta b2D ≡ 0(mod 4). Como b2 ≡ 1(mod 4), resulta queD ≡ 0(mod 4), lo cual contradice que D no tiene factores cuadraticos. Luegola unica posibilidad es que a2 ≡ b2 ≡ 1(mod 4), de modo que D ≡ 1(mod 4),en virtud de (4). Es claro ahora que si D ≡ 1(mod 4), necesariamente c = 1.

Recıprocamente, si D ≡ 1(mod 4) y si a y b son ambos impares, entonces

a2

− b2

D ≡ 0(mod 4), pues a2

≡ b2

≡ 1(mod 4). Podemos, pues, tomar c = 2,con lo cual a1 y a0 son enteros y ası α = (a + b

√ D)/2 es un entero cuadratico.

De manera semejante, si a y b son ambos pares y c = 2,

α = a + b

√ D

2 = a + b

√ D

es un entero cuadratico, donde hemos tomado a = a/2 y b = b/2. Si a y btienen paridad mezclada, no podemos tomar c = 2. Hemos, pues, demostradola siguiente proposicion:

Proposicion 3.3.1. Si O designa al conjunto de los enteros cuadraticos sobre Z contenidos en Q(

√ D), entonces

(a) O =

a + b

√ D

2 ; a ≡ b(mod 2) , a , b ∈ Z

si D ≡ 1(mod 4) ,

(b) O = {a + b√

D ; a, b ∈ Z} si D ≡ 1(mod 4).




Corolario 3.3.1.1. O es un subanillo de Q(√

D), que contiene a Z, y es por lo tanto un Z−modulo.

O se llama el orden maximal de Q(√

D) (la razon de este nombre seencuentra en el resultado del corolario 3.3.2.1).

Queremos ahora calcular una base de O como Z−modulo. Para ello observe-mos que

a + b√

D

2 =

a − b

2 +

b

2(1 +

√ D) .

Luego, si a ≡ b(mod 2) y hacemos ω0 = (1 +√

D)/2, cuando D ≡ 1(mod 4),vemos que O coincide con el Z−modulo Z + Zω0. Si D ≡ 1(mod 4), O coincide

con el Z−modulo Z + Zω0, si tomamos ω0 =√

D. Por otra parte, en cada caso

{1, ω0

} es un sistema libre sobre Z, lo cual nos permite concluir que

O es un

Z−modulo de rango 2.La siguiente tabla nos muestra algunos ejemplos:

Q(√

D) O

Q(√ −1) Z[

√ −1] = Z + Z√ −1

Q(√

2) Z[√

2] = Z + Z√

2

Q(√ −2) Z[

√ −2] = Z + Z√ −2

Q(√

3) Z[√

3] = Z + Z√

3

Q(√ −3) Z + Z

1 +√ −3

2

Q(√

5) Z + Z1 +

√ 5

2

En los dos ultimos ejemplos observemos que Z[√ D] O. Es decir, existensubanillos de enteros cuadraticos estrictamente contenidos en O. De hecho,hay una cantidad enumerable de ellos.

Proposicion 3.3.2. Sea Q(√

D)/Q una extension cuadratica. Si O∗ es unanillo que cumple Z O∗ ⊆ O, existe entonces un entero n > 0 tal que O∗

coincide con el anillo

On = {α ∈ O ; existe m ∈ Z tal que α ≡ m(mod n)} .

Demostraci´ on. Supongamos que α1 ≡ m1(mod n), α2 ≡ m2(mod n), dondem1, m2 ∈ Z. Por las propiedades de las congruencias en un anillo arbitrario, esclaro que α1 ± α2 ≡ m1 ± m2(mod n) y α1α2 ≡ m1m2(mod n). Luego On esun subanillo de O para cada n ≥ 1 que contiene al elemento unidad 1. Comonω0 ≡ 0(mod n), resulta de inmediato que nω0 ∈ On y de contera Z On.Recıprocamente, sea a + bω0 ∈ O∗. Dado que O∗ = Z, existe por lo menos un




b ∈ Z distinto de 0 con esta propiedad. Por otra parte, bω0 ∈ O∗, puesto quepor hipotesis Z O∗. El conjunto a = {b ∈ Z ; bwo ∈ O∗} es entonces un idealde Z distinto del ideal (0). Existe, pues, n ∈ Z, n ≥ 0, tal que a = nZ. Porconsiguiente, si α ∈ O∗, necesariamente, α = a + ynω0, donde a, y ∈ Z. Es

decir, α ≡ a(mod n).

Es claro que O1 = O. En los dos ultimos ejemplos de la tabla anteriortenemos O2 = Z[

√ −3] y O2 = Z[√

5], respectivamente. Mas generalmente, si

D ≡ 1(mod 4) entonces O2 = Z[√

D]. En efecto, a + b√

D = a + 2

b√

D

2

si, y solo si, a + b√

D ≡ a(mod 2). Es decir, Z[√

D] ⊆ O2. Recıprocamente, siα ∈ O2, existe a ∈ Z tal que α ≡ a(mod 2) o, equivalentemente,

α = a + 2

c + d 1 + √ D2

= (a + 2c + d) + d√ D ∈ Z[√ D] .

Corolario 3.3.2.1. Om ⊆ On si y solo si n | m.

Demostraci´ on. Facilmente se comprueba que n | m implica que Om ⊆ On.Ahora bien, los elementos de Om son de la forma x + ymω0, donde x, y ∈ Z.Luego, si Om ⊆ On entonces α = x + ymω0 = x + ynω0 (x, y ∈ Z) implicaque x = x , ym = y n. En particular, si α = mω0, debe existir y

∈ Z tal que

m = y n, es decir, n | m.

En Q(√

D) los On forman un retıculo de subanillos de O para la relacionde inclusion, el cual admite a O1 como elemento maximal. Este retıculo esisomorfo al retıculo N∗ con el orden dual de la divisibilidad: n | m. Por estarazon, los On han recibido el nombre de ordenes.

Proposicion 3.3.3. Para todo n ≥ 1, Q(√

D) es el cuerpo de fracciones de On .


Si

ξ = a + b

√ D

c , a, b, c ∈ Z , c = 0 ,

definamos una funcion de Q(√

D) en Q ası:

N Q(√ D)/Q(ξ ) = N (ξ ) = ξξ =

a2 − b2D

c2 .

Esta funcion la llamamos la norma de Q

(√

D) sobre Q

.

Proposicion 3.3.4. Esta funcion goza de las siguientes propiedades:

(a) N (ξ ) = N (ξ ) ; N (0) = 0.(b) N (a/c) = a2/c2, si a, c ∈ Z, c = 0.(c) N (ξ 1ξ 2) = N (ξ 1)Nξ 2).(d) Si D < 0, N (ξ ) = |ξ |2, donde | | es el valor absoluto usual de los

numeros complejos.




(e) N (On ) ⊆ Z.


En seguida, pasamos a examinar la estructura del grupo

O×n .

Proposicion 3.3.5. η ∈ O×n si, y solo si, |N (η)| = 1.

Demostraci´ on. Si η ∈ O×n , existe ω ∈ On tal que ηω = 1. Luego N (η)N (ω) = 1

y como las unicas unidades de Z son −1 y +1, necesariamente |N (η)| = 1.Recıprocamente, de N (η) = ηη y tomando ω = ηN (η), vemos que ηω =(ηη)N (η) = [N (η)]2 = 1 si |N (η)| = 1.

Proposicion 3.3.6. Todo elemento de On , distinto de cero y de una unidad,admite una descomposicion en un producto finito de irreducibles.

Demostraci´ on. Sea α ∈ On O×n , α = 0. Si α es un irreducible, todo esta dicho.

En caso contrario, existen α1, α2 ∈ On tales que α = α1α2, donde ningunode los factores es una unidad. Luego |N (α)| = |N (α1)||N (α2)| > |N (α1)|,|N (α2)| > 1. Sin perdida substancial de la generalidad, podemos suponer que|N (α)| > |N (α1)| ≥ |N (α2)| > 1. Apliquemos entonces a α2 el anterior razo-namiento de modo que, recurrentemente, obtenemos una sucesion decrecientede numeros enteros positivos

|N (α)| > |N (α1)| ≥ |N (α2)| > |N (α3)| ≥ |N (α4)| > · · · > 1 .

Por el descenso infinito, esta sucesion debe parar. Es decir, existe un ındice kpara el cual |N (αk)| = 1 y tendremos α = α1α2 · · · αk−1.

Sin embargo, no todo On es factorial, como ya lo hemos visto en el caso deO1 = Z[

√ −5].

Proposicion 3.3.7. Si Q(√

D), D < 0, es un cuerpo cuadratico imaginario,tenemos:

(a) O×1 = {±i, ±1} si D = −1.

(b) O×1 =

±1,

±1 ± √ −3

2

si D = −3.

(c) O×1 = {±1} en los otros casos.

(d) Si n > 1, entonces O×n = {±1}.

Demostraci´ on. Como D < 0 y no tiene factores cuadraticos, todo elementoα

∈ O1 puede escribirse en la forma

α = a + b

√ D

2

donde a2 ≡ b2 ≡ 1(mod 4) si D ≡ 1(mod 4) o son ambos pares si D ≡1(mod 4). Debemos, pues, resolver en enteros la ecuacion diofantica

4N (α) = a2 + b2(−D) = ±4 .




Como D < 0, una solucion con b = 0 solo es posible si D = −1, −3. Si n > 1,todo elemento de α ∈ On es de la forma

α = a + bn

√ D

2

donde a y b satisfacen las mismas condiciones anteriores. Luego en este casodebemos resolver la ecuacion diofantica

a2 + b2n2(−D) = ±4 ,

la cual no tiene soluciones enteras si b = 0, pues −Dn2 ≥ 4.

Si D > 0, Q(√

D) es un cuerpo cuadratico real. En este caso las On tienenunidades distintas de ±1. De hecho, demostraremos mas tarde (capıtulo 12)que tienen un numero infinito de unidades. Cabe senalar aquı que Euclides

manejo las unidades de O1 en Q(√ 2) y Arquımedes hizo lo mismo en Q(√ 3).En Q(

√ D) consideremos el Z−modulo M = Zξ 1 + Zξ 2, ξ 1, ξ 2 ∈ On . Clara-

mente M ⊆ On . Definamos la diferente de M por la relacion

∆(ξ 1, ξ 2) = ∆(M ) = det

ξ 1 ξ 2ξ 1 ξ 2

= ξ 1ξ 2 − ξ 1ξ 2 .

Existe otro numero asociado a M , su discriminante, definido por

d(ξ 1, ξ 2) = [∆(M )]2 = ∆(ξ 1, ξ 2)2.

Proposicion 3.3.8. Sea M = Zξ 1 + Zξ 2, donde ξ 1, ξ 2 = 0. Entonces {ξ 1, ξ 2}es una base de M cuando, y solo cuando, ∆(M n) = 0.

Demostraci´ on. Como

∆(M n) = ξ 2ξ 2

ξ 1ξ 2

− ξ 1ξ 2

,

vemos que ∆(M n) = 0 si , y s olo si, ξ 1/ξ 2 = ξ 1/ξ 2. Es decir, si, y solo si,

ξ 1/ξ 2 = r/s ∈ Q ⇔ son linealmente dependientes sobre Q.

Corolario 3.3.8.1. En Q(√

D) tenemos

|∆(On )| = |n(ω0 − ω0)| =

n√

D si D ≡ 1(mod 4) ,

2n√

D si D ≡ 1(mod 4) .

Corolario 3.3.8.2. En Q(√

D) tenemos

d(On ) =n2D si D

≡ 1(mod 4) ,

4n2D si D ≡ 1(mod 4) .

El discriminante d = d(O1) se llama el discriminante de Q(√

D). Es claroentonces que

d =

D si D ≡ 1(mod 4) ,

4D si D ≡ 1(mod 4) .




Con las notaciones establecidas anteriormente, On = 1, wnZ, n ≥ 1, donde

wn = n

1 − √

d

2

,

con∆(On ) = n

√ d , d(On ) = n2d .

Proposicion 3.3.9. Sea ε ∈ O× tal que N (ε) = 1. Entonces existe γ ∈ O tal que ε = γ/γ .

Demostraci´ on. Si ε = −1, tomamos γ =√

D. Si ε = −1, vemos que ε(1 + ε) =ε + εε = ε + N (ε) = 1 + ε.

Corolario 3.3.9.1. Si N (α) = N (β ), α, β ∈ O, entonces existe γ ∈ O tal que α

β =

γ

γ .

Demostraci´ on. N (α/β ) = N (α)/N (β ) = 1.

La proposicion anterior y su corolario (cuyas demostraciones resultaron bas-tantes faciles) son un caso particular del llamado teorema 90 de Hilbert, validoen el ambito mas general de los enteros algebraicos (vease el capıtulo xxx). En

este nuevo ambito, la condicion ε = γ/γ es trivialmente suficiente y profun-damente necesaria para que N (ε) = 1.

Ya hemos visto que todo On admite una descomposicion como productofinito de irreducibles. Para demostrar que es factorial bastarıa ver que es eu-clıdeo. Como veremos en seguida, este camino no es fructıfero. Por ejemp-lo, tenemos la siguiente proposicion, para cuya demostracion usaremos que|N (π)| = card(A/πA) (vease el capıtulo 11, proposicion 11.1.4).

Proposicion 3.3.10. Si Q

(√

D), D < 0 y D ≡

1(mod 4), entonces O

no es euclıdeo para ningun algoritmo si |D| > 3.

Demostraci´ on. Hagamos A = O. Como |D| > 3, sabemos que A× = {±1}.Usando la construccion de Motzkin vemos que A1 = {0}∪{±1} tiene exacta-mente tres elementos. Si O fuese euclıdeo, deberıamos tener que A1 → A/πAserıa sobreyectiva, para algun primo π de A (corolario 3.1.6.1). Por otra parte,veremos en el capıtulo 11 que

|N (π)| = a2 + |D|b2

si π = a + b√ D. Luego necesariamente a2 + |D|b2 ≤ 3 y dado que |D| > 3,forzosamente b = 0 y a = 0, ±1. Luego π no es primo.

Un argumento parecido nos permite demostrar la siguiente proposicion.

Proposicion 3.3.11. Si Q(√

D), D < 0 y D ≡ 1(mod 4), entonces O no es euclıdeo para ningun algoritmo si |D| > 12 y los enteros 2 y 3 no son elementos primos de O.




Demostraci´ on. Hagamos A = O. Nuevamente A× = {±1}, de modo que A1 ={0}∪{±1} tiene exactamente tres elementos. Si A fuese euclıdeo, A1 → A/πA

serıa sobreyectiva para algun elemento primo π = (a + b√

D)/2. Pero

|N (π)| = (a2

+ |D|b2

)/4 ≤ 3

equivale a a2 + |D|b2 ≤ 12. Como |D| > 12, forzosamente b = 0, a = 0, ±1, ±2,±3. Ahora bien, por hipotesis, ni 2 n 3 son primos en O, luego es claro que untal primo no existe.

Veremos luego que existen Q(√

D) (D < 0) para los cuales ni 2 ni 3 sonelementos primos de O, pero que tambien existen otros en los que 2 y 3 sonprimos de O. Serıa muy interesante tener una demostracion de que ningun

O para |D| > 12 es euclıdeo. Esto porque vamos a demostrar que los unicosO “euclıdeos para la norma” son precisamente aquellos que corresponden aD = −1, −2, −3, −7, −11.

En efecto, es natural pensar, dado que N (a) = |a|2 si a ∈ Z, que la normaN (α) serıa una buena extension del algoritmo euclıdeo ordinario de Z. Estafuncion sera un algoritmo si, y solo si, dados α, β ∈ On , β = 0, existe γ ∈ On

tal que

|N (α

−βγ )

| <

|N (β )

| ⇔ N α

β −γ < 1 .

Si esto sucede decimos que On es euclıdeo para la norma.Observemos ahora que siempre podremos escribir α/β = αβ /B, donde B =

N (β ) ∈ Z. Luego, si On = 1, ωnZ, tenemos

α

β =

A1 − A2ωn

B , A1, A2 ∈ Z ,

donde tambien podemos suponer que B > 0. En consecuencia, si γ = a + bω

(a, b ∈ Z), para verificar que On es euclıdeo para la norma basta encontrarenteros a, b que cumplanN

A1

B − a

+ ωn

A2

B − b

< 1 . (5)

En el caso en que Q(√

D) es imaginario, determinaremos a continuacion losunicos O1 que son euclıdeos para la norma.

Para empezar, recordemos que en el caso imaginario todo elemento de O

1

esta dado por a + bω0, donde w0 = (1 + √ D)/2 si D ≡ 1(mod 4) y w0 = √ D siD ≡ 1(mod 4). Los puntos que representan a los elementos de O1 en R2 formanun retıculo de R2. Para cada punto reticular α ∈ O1, consideremos el conjunto

Z (α) =

(x1, x2) = x ∈ R2 ; |x − α| < |β − α|, ∀β ∈ O1, β = α

.

Estos conjuntos se llaman zonas.




√ D

1

2

√ D

0 1

2 1 2

(a) D ≡ 1(mod 4)

1

ω + 1ωω − 1

−1

−ω − 1 −ω −ω + 1

Qi

(b) D

≡ 1(mod 4)

Si ω0 =√

D (D ≡ 1(mod 4)), las zonas son rectangulitos como los senaladosen la Figura 1, (a): Los puntos mas alejados del origen en la zona alrededor delorigen estan a la distancia

1

2 +

1

2

|D|

= (1 + |D|)1/2

4 , D < 0 . (6)




Si ω0 = (1+√

D)/2, las zonas se forman tomando las bisectrices perpendicularesen los paralelogramos, como se muestra en la figura 1, (b). El punto mas alejadodel origen en la zona alrededor del origen sobre el eje imaginario esta dado por

|iQ| = |iQ − ω0| = iQ − 12 − i |D|2

, Q ∈ R ,

el cual equidista de 0 y de ω0. Es decir,

Q2 = 1

4 +

Q −

|D|2

2

= 1

4 + Q2 − Q

|D| +

|D|4

,

o, equivalentemente,

Q = 1 + |D|4 |D| , D ≡ 1(mod 4) . (7)

Por consiguiente,

−iQ = 1 − D

4√

D∈ O . (8)

Ahora bien, usando (5) vemos que una condicion necesaria y suficiente paraque la norma sea un algoritmo es que podamos meter la zona alrededor de 0totalmente dentro del cırculo unidad. Como tanto Qi como

−Qi

∈ Q(

√ D),

esto ocurre cuando o bien (6) es estrictamente menor que 1 o bien cuando (7)es estrictamente menor que 1. Un simple calculo de desigualdades nos muestraque esto ocurre cuando, y solamente cuando, D = −1, −2 si D ≡ 1(mod 4)y D = −3, −7, −11 si D ≡ 1(mod 4). Hemos pues demostrado la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3.12. El orden maximal de Q(√ −D) ( D > 0) es euclıdeo para

la norma unicamente si D = −1, −2, −3, −7, −11.

El problema de la euclideneidad para los On

(n > 1) no ha sido tampocoresuelto completamente que sepamos. Para n > 1 los anillos On no son nece-sariamente euclıdeos para la norma y posiblemente para ningun otro algoritmo,como lo mostrarıa el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.3.1. Hemos visto (proposicion 3.3.12) que en Q(√ −3) el orden

maximal O1 es euclıdeo para la norma. Sin embargo, O2 = Z + Z[√ −3] no es

euclıdeo, pues si α = 1 +√ −3, entonces

4 = 2

·2 = (1 +

√

−3)(1

−

√

−3)

admite en O2 dos descomposiciones distintas en irreducibles (el lector debe ve-rificar esta afirmacion). Es decir, no es factorial y, en consecuencia, no puede sereuclıdeo para ningun algoritmo (proposicion 3.1.1 y corolario 3.2.9.1). De pasovemos que un subanillo de un anillo euclıdeo no es necesariamente euclıdeo.

En el caso real (D > 0) se ha demostrado, con tecnicas por fuera del alcance

de estas lecciones [4], que los unicos ordenes maximales de Q(√

D) que son




euclıdeos para la norma corresponden a los valores

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 . (9)

(Vease [2].)

En seguida veremos como demostrar algunos de estos casos sin recurrir a lastecnicas mencionadas.

Proposicion 3.3.13. Los ordenes maximales de Q(√

2) y Q(√

3) son euclıdeos para la norma.

Demostraci´ on. En este caso D ≡ 1(mod 4). La desigualdad (5) puede escribirseahora como

A1

B − a

2

− DA2

B − b

2

< 1 . (10)

El problema se reduce entonces a encontrar a, b ∈ Z que cumplan (10). Comosiempre a, b ∈ Z son tales queA1

B − a

< 1

2 ,

A2

B − b

< 1

2 ,

vemos que

A1

B − a

2

− DA2

B − b

2

≤ 4 < 1

si D = 2, 3. Pero tambien tenemos

−1 < −D

4 ≤

A1

B − a

2

− D

A2

B − b

2

si D = 2, 3. De estas desigualdades resulta (9).

La siguiente proposicion nos permitira demostrar que los ordenes maximalesde Q(

√ 5) y Q(

√ 13) son euclıdeos para la norma.

Proposicion 3.3.14. Sea la forma cuadratica

Q(x, y) = x2 + xy − sy2 ,

donde s ∈ R y s > 1. Entonces

max(x,y)∈K |Q(x, y)| = Q

−1

4, 1

2

=

4s + 1

6 ,

en el cuadrado K =

(x, y) ∈ R2 ; |x| ≤ 1

2 , |y| ≤ 1

2

.

Demostraci´ on. En esta demostracion usaremos resultados de la teorıa de fun-ciones de dos variables reales con valores reales, que supondremos conoci-dos del lector. Como K es un compacto y Q(x, y) es una funcion continua,max(x,y)∈K |Q(x, y)| existe. Por otra parte, tenemos Q(λx, λy) = λ2Q(x, y),

de modo que |Q(λx, λy) = λ2|Q(x, y)|. Queremos mostrar ahora que el maxi-mo valor |Q(x0, y0)| se alcanza en la frontera ∂K de K . En efecto, si (x0, y0)estuviera en el interior de K , entonces |Q(λx0, λy0) = λ2|Q(x0, y0)| crecerıa




con |λ| y la recta (λx0, λy0) cortarıa a ∂K en algun punto (por un cele-bre teorema de Jordan [1, pag. 184]), en el cual obviamente tendrıamos|Q(λx0, λy0)| > |Q(x0, y0)|, contrariando la maximalidad de |Q(x0, y0)|.

Observemos ahora que Q(x, y) = Q(−x, −y), de manera que Q(x, 1/2) y

Q(1/2, y) representan todos los puntos de ∂K . Como el maximo aparece en∂K , estudiamos sus derivadas allı y vemos que

∂Q

∂x

x,

1

2

= 0 en (x, y) =

−1

4, 1

2

∂Q

∂y

1

2, y

= 0 en (x, y) =

−1

2,

1

4s

Pero Q−1

4, 1

2

= 4s + 116

,Q

12

, 14s

= 4s + 116sQ

−1

2, 1

2

= s

4 ,

Q

1

2, 1

2

=

2 − s

4

,

lo cual nos permite concluir que (x0, y0) = (−1/4, 1/2).

Proposicion 3.3.15. El orden maximal es euclıdeo para la norma si Q(√

5) y

Q(√

13).

Demostraci´ on. En ambos casos D ≡ 1(mod 4), ω0 = (1 + √ D)/2 (lo cualimplica que D ≥ 5). Escribamos

α

β =

A1

B + ω0

A2

B

y consideremos

N α

β = A1

B − a

2

+A1

B − a

A1

B − b− D − 1

4 A2

B − b

2

.

Si hacemos x = A1/B − a, y = A2/B − b, vemos que

N

α

β − γ

= x2 + xy − D − 1

4 y2 .

Luego si |x| ≤ 12

, |y| ≤ 12

y tomamos s = (D − 1)/4, vemos que (4s + 1)/16 < 1si D = 5, 13. Luego

N α

β − γ .

Por los resultados de Barnes & Swinnerton-Dyer [2], sabemos que el

anillo Z[√

14] no es euclıdeo para la norma. Como el trabajo de estos autoresrequiere para su comprension de conceptos que no desarrollaremos aquı, valela pena dar una demostracion de este hecho.

Proposicion 3.3.16. Z[√

14] no es euclıdeo para la norma.




Demostraci´ on. Tomemos α = 1 +√

14 y β = 2. Vamos a mostrar que no existeγ = a + b

√ 14 tal que

N α

β − γ < 1 . (11)

Esta desigualdad puede escribirse como(1 − 2a)2 − 14(1 − 2b)2 < 1 , (12)

donde x = 1 − 2a, y = 1 − 2b son impares. Luego, para demostrar que no existeγ = a − b

√ 14 que cumpla (11), basta verificar que las ecuaciones

x2 − 14y2 = ±1 , ±2 , ±3 , (13)

no tienen soluciones enteras impares. Por ejemplo, si

x2 + 14y2 = 1 ,

vemos que esta expresion se convierte en x2 − 6y2 ≡ 1(mod 8). Si x = 2n + 1,y = 2m+1 y reemplazamos en la anterior congruencia, vemos que 4n(n+1)−5 ≡−5 ≡ 0(mod 8), lo cual es contradictorio. Si ahora x2 − 14y2 = −1, vemos que4n(n + 1) ≡ 4(mod 8) ⇔ n(n + 1) ≡ 1(mod 2), lo cual es contradictorio puestoque n(n+1) es par. A una contradiccion tambien llegamos si en (9) tomamos ±2y tomamos ambos miembros congruentes modulo 8. Si en el segundo miembroponemos

−3 y tomamos ambos miembros modulo 8, tambien llegamos a una

contradiccion si x e y son ambos impares. Finalmente, para el caso +3, sitomamos ambos miembros modulo 7, obtenemos x2 ≡ 3(mod 7), congruencia

que no tiene solucion, como veremos en el capıtulo siguiente. Luego Z[√

14] noes euclıdeo para la norma.

En 1972, Samuel [18], basandose en una fuerte evidencia numerica propor-cionada por el algoritmo de Motzkin, conjeturo que Z[

√ 14] es euclıdeo para

algun algoritmo. Casi inmediatamente (1973), inspirado siempre por el trabajode Samuel, Peter J. Weinberger [19], bajo la suposici´ on de una hip´ otesis

generalizada de Riemann (que no explicitaremos aquı) demostro que Z[√ 14] yuna mas amplia clase de anillos principales de enteros numericos algebraicoseran euclıdeos para algun algoritmo(vease el capıtulo 11 para la definicionde lo que es un entero algebraico). Mas tarde, en 200x. M. Harper [10] de-mostro que efectivamente Z[

√ 14] es euclıdeo para algun algoritmo.

Otra de las preguntas suscitadas por Samuel en [18] era la de explorar laposibilidad de la existencia de una parte multiplicativa S de un dominio A quehiciese de AS un dominio euclıdeo. Una respuesta a esta pregunta la obtuvo

Markanda [15] para una amplia e importante clase de dominios. La siguienteproposicion es un caso particular de sus resultados:

Proposicion 3.3.16. [Markanda] Sea K = Q(√

D). Si m es el entero positivo mas peque˜ no para el cual

1

m ≤ 1

2

3

|D|1/2

,




Entonces el anillo de fracciones OS es euclıdeo para la norma si S es la parte multiplicativa generada por todos los primos ≤ m.

Ejemplo 3.3.2. Para Q(√

15) tenemos S = {2n3m; n, m = 0, 1, 2, . . .} de modoque

OS =

α2n3m

; α ∈ O , m, n = 0, 1, 2, . . .

es euclıdeo en virtud de la proposicion anterior.


Seccion 3.1


3.2. Demuestre que todo ideal primo de un dominio euclıdeo es maximal.

3.3. Muestre como el algoritmo euclıdeo de Z conduce a un metodo para expresar elm. c. d.(a, b) = d en la forma d = ax+by. Use este metodo para calcular m. c. d.(12, 22).

3.4. En este problema vamos a mostrar que un subanillo de un anillo euclıdeo noes necesariamente euclıdeo. Sea k un cuerpo conmutativo y considere k[X ] el cualsabemos es euclıdeo.

1. Demuestre que k[X 2, X 3] es un subanillo de k[X ].2. Verifique que todo elemento f (X ) ∈ k[X 2, X 3] es de la forma

f (X ) = aX 2f 1+3f 2 + · · · (a ∈ k, a = 0 y f 1, f 2 son enteros ≥ 0) ,

donde aX 2f 1+3f 2 es su termino de grado superior en X .3. Deduzca que X /∈ k[X 2, X 3] y que, por lo tanto, k[X 2, X 3] = k[X ].4. Demuestre que el ideal generado por X 2 y X 3 en k[X 2, X 3] no es principal y

concluya que k[X 2, X 3] no es euclıdeo para ningun algoritmo. (De contera seha demostrado que un subanillo de un anillo principal no es necesariamenteprincipal.)

3.5. Sea φ : A → W un algoritmo sobre A y suponga que para cualquier par a, b,b = 0, el resto r en a = bq + r esta determinado unıvocamente. Demuestre que

1. Si A es un dominio, entonces tambien q queda determinado unıvocamente.2. Para todos los x, y ∈ A, x = y, se tiene φ(x − y) ≤ max {φ(x), φ(y)}.3. φ(x) ≤ φ(ax) para x, a ∈ A arbitrarios.

Seccion 3.2

3.6. a) Verifique que ∼ es una relacion de equivalencia sobre A × S y que con lasoperaciones definidas, AS es un anillo.

b) Verifique tambien que ϕ : A → AS es un homomorfismo (unıfero) de anillos.c) Finalmente, verifique que para todo s

∈ S , el elemento ϕ(s) es invertible en AS .

3.7. Demuestre la proposicion 3.2.3.


3.9. Dado un subconjunto arbitrario M de un anillo A, demuestre que el conjuntoformado por la union de {1} y el conjunto de los productos finitos de elementos de M ,es una parte multiplicativa de A. Es la parte multiplicativa mas pequena que contienea M .




3.10. Demuestre que la interseccion de una familia arbitraria de partes multiplica-tivas de un anillo es tambien una parte multiplicativa.

3.11. Si S y T son partes multiplicativas de un anillo A, demuestre que ST ={st ; s ∈ S, t ∈ T } es tambien una parte multiplicativa.

3.12. Sean A un anillo y S una parte multiplicativa de A. Demuestre que S essaturada si, y solo si, S = {a ∈ A ; ϕ(a) es invertible}.

3.13. Sea S una parte multiplicativa de un anillo A. a) Demuestre que N = {x ∈A ; ∃ ∈ S tal que sx = 0} es un ideal de A. b) Si 0 /∈ S , demuestre que N ∩ S = ∅.

3.14. Demuestre que Q(A) es efectivamente un cuerpo si A es un dominio.

3.15. Sean f : A → B un homomorfismo de anillos y S una parte multiplicativa deA tales que f (s) ∈ B× para todo s ∈ S . Demuestre que existe un unico homomorfismode anillos h : AS → B que cumple f = h ◦ ϕ, donde ϕ es el homomorfismo canonico

de A en AS. [Sugerencia : h estarıa determinado por h([1/s]) = h(s)−1

.]3.16. Si A es un anillo conmutativo unitario y p1, · · · , pm son ideales primos de A,

demuestre que A (p1 ∪ · · · ∪ pm) es una parte multiplicativa de A.

3.17. Demuestre que el cuerpo de cocientes del anillo Z[i] es isomorfo a Q(i) ={a + bi ; a, b ∈ Q}.

3.18. Describa el anillo total de cocientes de Z/nZ.

3.19. Sea A un dominio de integridad con cuerpo de cocientes K . Si S ⊆ A es unaparte multiplicativa de A, que no contiene a 0, demuestre que AS es un dominio de

integridad y que Q(AS) = K .3.20. Demuestre que efectivamente ρ : Q(A/p) → Ap/p/Ap , en la demostracion de

la proposicion 3.2.6, define un epimorfismo de anillos.

3.21. Sea S una parte multiplicativa de un anillo A tal que 0 /∈ S .

1. Usando el lema de Zorn, demuestre que el conjunto de todos los ideales atales que a ∩ S = ∅ admite un elemento maximal.

2. Demuestre que este elemento maximal es un ideal primo.

3.22. Si en el anillo conmutativo unitario A todo ideal primo p = (0) es maximal,

demuestre que1. El unico ideal primo distinto de (0) del anillo Ap es pAp .2. pAp es maximal.

3.23. Considere un cuerpo k y sea V ⊂ kn, V = ∅. Defina S (V ) como

{f (x1, · · · , xn) ∈ k[x1, · · · , xn] ; f (a1, · · · , an) = 0 , ∀(a1, · · · , an) ∈ V }.

Compruebe que S (V ) es una parte multiplicativa de k[x1, · · · , xn].

3.24. Sabemos que Z[√ −5] no es principal pues no es factorial. Sea σ : Z[

√ −5] →Z[√ −5] definida por σ(ξ ) = ξ

.1. Demuestre que σ es un automorfismo de anillos.2. Demuestre que si a y b son ideales de Z[

√ −5], se tiene σ(ab) = σ(a)σ(b).3. Si a = (2, 1 +

√ −5), b = (3, 1 +√ −5) y c = (3, 1 − √ −5), verifique que:

a2 = (2) , bc = (3) , b2 = (2 − √ −5) , ab = (1 +

√ −5) ,

ac = (1 − √ −5) , c2 = (2 +√ −5) , a2bc = (6) , σ(a)c = (1 − √ −5).



4

El teorema chino de los restos

El fundamental teorema chino de los restos, conocido desde la antiguedadpara los numeros enteros, admite en un anillo arbitrario una generalizacion,cuya demostracion tiene una dificultad que no sobrepasa la del caso de los en-teros. Su version generalizada nos sera util en muchas situaciones de interes.Por ejemplo, en este capıtulo, su conocimiento nos permitira remitir el estu-dio de sistemas de congruencias polinomias modulo m al de las congruencias

modulo pα

, donde p es un numero primo. En este tema de las congruenciasalgebraicas demostraremos algunos casos particulares de un profundo teoremade Borievich–Shafarievich–Igusa sobre la racionalidad de ciertas seriesformales asociadas con las congruencias polinomias.

4.1. El teorema chino de los restos

Un conjunto de ideales a1, · · · , an de un anillo A se dice comaximal siai + aj = A si i = j. Si a es otro ideal de A, decimos que a es comaximal con

a1, · · · ,

an si

a

+ ai = A para i = 1, · · · , n.

Proposicion 4.1.1. Si el ideal a es comaximal con a1, · · · , an, entonces a es

comaximal conn

i=1 ai.

Demostraci´ on . La hacemos por induccion sobre n. Si n = 2, las hipotesis nosdicen de la existencia de a, a ∈ a, a1 ∈ a1 y a2 ∈ a2 tales que 1 = a + a1 y1 = a + a2. Luego

1 = (a + a1)(a + a2) = aa + aa2 + a1a + a1a2 .

Como a es un ideal, los tres primeros sumandos estan en a, mientras que elultimo pertenece claramente a a1 ∩ a2. Por consiguiente, a es comaximal cona1 ∩ a2. Supongamos ahora que la proposicion es valida para n − 1, y tomemosb =

n−1i=1 ai. Por la hipotesis de induccion, a y b son comaximales. Como a es

comaximal con an, el caso n = 2 nos muestra que a es tambien comaximal conb ∩ an =

ni=1 ai.

Proposicion 4.1.2. Si a y b son ideales comaximales en un anillo conmutativo

A, entonces ab = a ∩ b.

Demostraci´ on . Sabemos que siempre se tiene ab ⊆ a ∩ b. Recıprocamente,tomemos x ∈ a ∩ b. Como a y b son comaximales, existen entonces a ∈ a yb ∈ b tales que 1 = a + b. Es claro entonces que x = xa + xb ∈ ab.

Sean A1, · · · , An anillos. Recordemos que el conjuntoi∈I

Ai = {(ai, · · · , an) ; ai ∈ Ai}




es un anillo cuando se le dota con las operaciones de suma y multiplicaciondefinidas componente por componente. Este anillo se llama el producto directo

de los anillos Ai.El siguiente resultado generaliza un teorema, conocido por los matematicos

chinos desde muy antiguo, sobre la resolucion de un sistema de congruenciasde coeficientes en Z.

Proposicion 4.1.3. [Teorema chino de los restos] Sean a1, · · · , an ideales de

un anillo A y consideremos

ϕ : A →ni=1

A/ai , (1)

definida por

ϕ(a) = (ϕ1(a), · · · , ϕn(a)), donde cada ϕi : A → A/ai (i = 1, · · · , n),

es el correspondiente homomorfismo canonico. Entonces ϕ es un homomorfismo

de anillos y

(a) ϕ es un monomorfismo ⇔ a1 ∩ · · · ∩ an = 0.

(b) ϕ es un epimorfismo ⇔ a1, · · · , an son comaximales.

Demostraci´ on . (a) Tenemos: a ∈ ker ϕ ⇔ ϕi(a) = 0 ⇔ a ∈ ker ϕi = ai,para todo i = 1, · · · , n. Esto significa que ker ϕ = n

i=1 ai. Luego ϕ es un

monomorfismo si, y solo si,

ni=1 ai = (0).(b) Supongamos que ai, i = 1, · · · , n, son comaximales. Si n = 1, es claro

que ϕ es un epimorfismo. Si n = 2, dado que por hipotesis a1 + a2 = A,podemos escribir 1 = x1 + x2, donde x1 ∈ a1 y x2 ∈ a2. Si ahora (a1, a2) ∈A/a1 × A/a2, entonces ϕ(x1a2 + x2a1) = (a1, a2), porque ϕ1(x1a2 + x2a1) =

x2a1 = (1 − x1)a1 = a1 − x1a1 = a1. De manera semejante se verifica queϕ2(x1a2 + x2a1) = a2. Luego ϕ es un epimorfismo. Supongamos en seguidaque hemos demostrado que ϕ es un epimorfismo para el caso de n − 1 ideales

comaximales ai, i = 1, · · · , n − 1. La proposicion 4.1.1 nos dice ahora que

an escomaximal con

n−1i=1 ai. Luego, como en el caso anterior, existen x ∈ an e y ∈n−1

i=1 ai que cumplen x + y = 1. Sea ahora (a1, · · · , an−1, an) ∈n

i=1 A/ai. Porla hipotesis de induccion, existe b ∈ A tal que ϕi(b) = ai, para i = 1, · · · , n − 1.Hagamos a = xb + any. Como x ∈ an e y = 1 − x, vemos que ϕn(a) = an. Por

otra parte, ϕi(a) = ϕi(bx) = ai si i = 1, · · · , n − 1, puesto que y ∈n−1

i=1 ai ⊆ ai

y x = 1 − y.

Recıprocamente, supongamos que ϕ es un epimorfismo. Esto implica que

para i = j el homomorfismo ϕij : A → A/ai × A/

aj definido por ϕij(a) =(ϕi(a), ϕi(a)) es tambien un epimorfismo. En consecuencia, existen ai, aj ∈ A

que cumplen ϕij(ai) = (0, 1) y ϕij(aj) = (1, 0). Si calculamos

ϕij(1 − (ai + aj)) = (1, 1) − (0, 1) − (1, 0) = (0, 0),

vemos que 1 −(ai+aj) ∈ ker ϕij = ai∩aj ⊆ ai+aj. Pero como ai+aj ∈ ai+aj,vemos que 1 ∈ ai + aj , es decir A = ai + aj.



74 El teorema chino de los restos

Corolario 4.1.3.1. Sea m un ideal del anillo A tal que m = a1 · · · an, donde

los ai son comaximales. Entonces

A/m ≈ (A/a1) × · · · × (A/an) (2)

Demostraci´ on . En este caso ker ϕ = m (por la proposicion 4.1.2), de modo queϕ es un epimorfismo, por la parte (b) de la proposicion. Finalmente, por elprimer teorema de isomorfıa de los anillos, resulta lo pedido.

Corolario 4.1.3.2. Bajo las hipotesis del corolario anterior,

(A/m)× ≈ (A/a1)× × · · · × (A/an)× . (3)

Demostraci´ on . Es claro que si xy ≡ 1(mod m), m = a1 · · · an, tendremos nece-sariamente xy ≡ 1(mod ai) para cada i = 1, · · · , n. La demostracion de larecıproca la haremos para n = 2, dejando al cuidado del lector el caso general,quien puede lograrla usando induccion sobre n. Como a1 y a2 son comaxi-males, existen a1 ∈ a1 y a2 ∈ a2 tales que a1 + a2 = 1. Supongamos ahora quexy1 − 1 ∈ a1 y que xy2 − 1 ∈ a2, de modo que

a1(xy2 − 1) + a2(xy1 − 1) ∈ a1a2 .

Pero

a1(xy2 − 1) + a2(xy1 − 1) = x(a1y2 + a2y1) − 1 ,puesto que a1 + a2 = 1. Luego x(a1y2 + a2y1) − 1 ∈ m, es decir, x es invertiblemodulo m.

Continuamos suponiendo que m = a1∩···∩an, donde los ai son comaximales.Sea f (x1, · · · , xs) ∈ A[x1, · · · , xs]. Claramente, si cj ∈ A, j = 1, . . . , s, entonces

f (c1, · · · , cs) ≡ 0(mod m) ⇒ f (c1, · · · , cs) ≡ 0(mod ai) ,

para cada i, puesto que m = a1∩ · · · ∩an ⊆ ai. Recıprocamente, si f (c1i, · · · , csi)

≡ 0(mod ai), para cada j, entonces f (c1i, · · · , csi) ≡ 0(mod

m), puesto que

m = a1 ∩ · · · ∩an. Por otra parte, para cada cji ( j = 1, · · · , s), el teorema chinode los restos nos dice que existe cj (mod m), tal que cj ≡ cji(mod ai), implicaque cj ≡ cji(mod m), i = 1, · · · , n. Usando las propiedades elementales de lascongruencias, vemos que dcrj ≡ dcrji(mod m) para todo d ∈ A y todo r entero≥ 0. De modo que f (c1, · · · , cs) ≡ f (c1i, · · · , csi)(mod m). Pero ya hemos vistoque f (c1i, · · · , csi) ≡ 0(mod m), luego f (c1, · · · , cs) ≡ 0(mod m).

Observemos que lo que acabamos de demostrar es equivalente a lo siguiente:si (c1i, · · · , csi) es un cero de f (x1, · · · , xs) ∈ (A/ai)[x1, · · · , xs], entonces exis-

te un unico cero (c1, · · · , cs) ∈ (A/m)s de f (x1, · · · , xs) ∈ (A/m)[x1, · · · , xs]tal que cj ≡ cji(mod m). Hemos, pues, demostrado la siguiente proposicion:

Proposicion 4.1.4. Si un ideal m de un anillo A puede escribirse como m =a1 · · · an, donde los ai son comaximales, y si f (x1, · · · , xs) ∈ A[x1, · · · , xs],

entonces la congruencia

f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod m)




es soluble si, y solo si, cada una de las congruencias

f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod ai) (i = 1, · · · , n)

es soluble.

• Ejercicios sugeridos: 4.1–4.3

4.2. Congruencias polinomias de coeficientes enteros

Pasamos en esta seccion a interpretar los resultados anteriores en el casoclasico del anillo Z de los numeros enteros.

Como cada entero m > 1 puede escribirse unıvocamente en la forma m = pk11 · · · pknn , donde los pi son numeros primos y los ni son enteros ≥ 1, y dado

que todo ideal de Z es principal, las formulas (2) y (3) se convierten en lassiguientes

Z/mZ ≈ (Z/pk11 Z) × · · · × (Z/pknn Z) (2)

y Z/mZ

×≈Z/pk11 Z)

×× · · · ×

Z/pknn Z

×, (3)

respectivamente. Tambien tenemos, si m. c. d.(m, n) = 1, que

(Z/mnZ)× ≈ (Z/mZ)× × (Z/nZ)× , (3)

pues la condicion sobre el m.c.d. es equivalente a que Zm y Zn sean comaxi-males.

De (3) y (3) resultan inmediatamente las siguientes propiedades de la fun-cion indicatriz de Euler:

Proposicion 4.2.1. Si ϕ es la funcion indicatriz de Euler, entonces ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n) si m. c. d.(m.n) = 1.

Corolario 4.2.1.1. La funcion ϕ tiene las siguientes propiedades:

(a) ϕ( p

r

) = p

r

− p

r−1

= p

r−1

( p − 1) .(b) ϕ(m) = m

p|m

p primo

1 −

1

p

.

Demostraci´ on . (a) Basta observar que entre 1 y pr hay exactamente pr−1 enterosdivisibles por p, dados por n = kp, k = 1, · · · , pr−1. (b) Resulta de (a), (3) yla proposicion.

Por su parte, la version clasica del teorema chino de los restos toma ahorala siguiente forma:

Proposicion 4.2.2. En Z un sistema de congruencias lineales

x ≡ ci(mod mi) , i = 1, · · · , n , (4)

es soluble para los valores de ci si, y solo si, m. c. d.(mi, mj) = 1, para i = j .

Demostraci´ on . Decir que el sistema (4) es soluble equivale a decir que el homo-morfismo ϕ : Z → (Z/m1Z)× · · · ×(Z/mnZ) es sobreyectivo. Por la proposicion




4.1.3, esto sucede cuando, y solo cuando, los ideales miZ = (mi) son comaxi-males. Pero sabemos que (mi) + (mj) = (mi, mj) = Z ⇔ 1 = tmi + smj ,para algun t ∈ Z y algun s ∈ Z, es decir, cuando m. c. d.(mi, mj) = 1.

La siguiente proposicion es un caso particular de la proposicion 4.1.4, cuandoA = Z.

Proposicion 4.2.3. Sea f (x1, · · · , xs) un polinomio de coeficientes en Z, y sea

m = pk11 · · · pknn la descomposicion canonica de m en factores primos. Entonces

la congruencia

f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod m) (5)

es soluble si, y solo si, cada una de las congruencias

f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod pkii ) , i = 1, · · · , n, (5a)

es soluble. Si T i es el numero de soluciones de (5a) entonces el numero de

soluciones de (5) esta dado por T 1 · · · T n.

Demostraci´ on . Al cuidado del lector.

Ejemplo 4.2.1. El siguiente problema fue resuelto por Sun-Tsu: Hallar elmenor entero positivo que al dividirlo por 3 deja como resto a 2, al dividirlopor 5 deja el resto 3 y al dividirlo por 7 deja el resto dos. En nuestro lenguaje,esto equivale a resolver el sistema

x ≡ 2(mod 3) , x ≡ 3(mod 5) , x ≡ 2(mod 7) .

El procedimiento que usaremos para resolver este sistema es el que hemosusado en la demostracion de la proposicion 4.1.3. Consideramos primero lasdos primeras congruencias, de modo que podemos tomar x1 = 6, x2 = −5.Entonces, 1 = 3 × 2 + (−1) × 5. Luego como a1 = 2, a2 = 3, vemos quex1a2 + x2a1 = 6 × 3 + (−5) × 2 = 8 es solucion de x ≡ 2(mod 3) y x ≡ 3(mod 5)y es claro que 8 es solucion de x ≡ 8(mod 15). En seguida consideramos elpar de congruencias x ≡ 8(mod 15) y x ≡ 2(mod 7). Encontramos ahora que

1 = 15 × 1 + 7 × (−2), y tomamos x1 = 15, x2 = −14. Luego, como en este casoa1 = 8 y a2 = 2, el numero 15×2+(−14)×8 = −82 es tal que −82 ≡ 8(mod 15)y −82 ≡ 2(mod 7) y −82 ≡ 23(mod 105). Luego 23 es la solucion positiva maspequena del sistema del sistema de congruencias dado.

Ejemplo 4.2.2. Queremos hallar las soluciones de la congruencia

x2 ≡ 70(mod 99) . (6)

Por la proposicion 4.2.3, esto es equivalente a resolverx2 ≡ 70(mod 9)

x2 ≡ 70(mod 11)⇔

x2 ≡ 7(mod 9)

x2 ≡ 4(mod 11)⇔

x2 ≡ 16(mod 9)

x2 ≡ 4(mod 11) .⇒

(x − 4)(x + 4) ≡ 0(mod 9)

(x − 2)(x + 2) ≡ 0(mod 11).




Esto se tiene si (x − 4) ≡ 0(mod 9) o (x + 4) ≡ 0(mod 9) y (x − 2) ≡ 0(mod 11)o (x + 2) ≡ 0(mod 11). Existen, pues, cuatro posibilidades:

x ≡ 4(mod 9) , x ≡ 2(mod 11); x ≡ −4(mod 9) , x ≡ 2(mod 11);

x ≡ −4(mod 9) , x ≡ −2(mod 11); x ≡ 4(mod 9) , x ≡ −2(mod 11),que nos dan cuatro soluciones de (6) modulo 99. Por ejemplo, si x ≡ 4(mod 9)y x ≡ 2(mod 11), entonces x = 4 + 9y ≡ 2(mod 11) ⇔ 9y ≡ −2(mod 11)⇔ −2y ≡ −2(mod 11) ⇔ y ≡ 1(mod 11), de manera que x ≡ 13(mod 99) y132 = 169 ≡ 70(mod 99).

Ejemplo 4.2.3. Queremos hallar las soluciones de la congruencia f (x) =x4 + 2x3 + 8x + 9 ≡ 0(mod 35). Por la proposicion 4.2.3, basta encontrarlas soluciones de f (x) ≡ 0(mod 5) y f (x) ≡ 0(mod 7). Las soluciones de la

primera son b1 ≡ 1, 4(mod 5) y las de la segunda b2 ≡ 3, 5, 6(mod 7). Por elprocedemiento que hemos empleado antes, los numeros x = 21b1 + 15b2 sonsoluciones de de f (x) ≡ 0(mod 35). De aquı resulta que 31, 26, 6, 24, 19 y 34son las soluciones de la congruencia original.

• Ejercicios sugeridos: 4.4–4.9

4.3. Un teorema de Borievich, Shafarievich e Igusa

Recordemos ahora que Z/mZ es un anillo finito para todo m ≥ 1 (propo-sicion 2.3.8, del capıtulo 2). Si m = pk es la potencia de un numero primo py si f (x1, · · · , xs) ∈ Z[x1, · · · , xs], designemos con N (f ; k; p) al cardinal delconjunto finito

Z (f ; k; p) = {(c1, · · · , cs) ∈ (Z/pkZ)s ; f (c1, · · · , cs) = 0} .

Introducimos ahora la llamada serie de Poincare de f (x1, · · · , xs) modulo laspotencias del primo p, ası:

P (f ; p) := 1 +

∞k=1

N (f ; k; p)T k . (7)

Esta serie es claramente un elemento del anillo Z[[T ]] de las series formales decoeficientes en Z.

Un teorema de Borievich, Shafarievich e Igusa afirma que la serie (7)es efectivamente el cociente de dos polinomios p(T ), q (T ) ∈ Z[T ]. En realidadeste teorema fue conjeturado por Borievich y Shafarievich [3] y finalmente

demostrado por Igusa en 1975 [8], en un marco mas general, usando unamezcla de metodos analıticos y algebraicos, en el cual la herramienta clave esla resolucion de singularidades de variedades algebraicas en caracterıstica cero.

Mas tarde, Denef [5] dio una demostracion usando eliminacion de cuantifi-cadores en el cuerpo Q p de los numeros p−adicos, evitando ası los teoremas deresolucion de singularidades usados por Igusa (para el tema de la resolucionde singularidades, el lector puede consultar en [4]).




Dedicaremos el resto de esta seccion a demostrar este teorema en el casoparticular, muy clasico, de una sola indeterminada. Para otro tipo de situa-ciones, en las cuales se calcula explıcitamente la serie de Poincare de ciertasclases de polinomios, remitimos a [6], [7] y, en una situacion mas general, pero

al alcance de muchos lectores, a [1].Cuando K es un cuerpo, las nociones y propiedades basicas del anillo de

polinomios K [x] en la indeterminada x y coeficientes en K , las hemos aprendidoen los cursos basicos de algebra abstracta. En particular, las que recogemos enla siguiente proposicion.

Proposicion 4.3.1 Sea f (x) ∈ K [x] un polinomio de grado n. Entonces

(a) Si a ∈ K , tenemos f (a) = r ∈ K . Si f (a) = 0, entonces f (x) =(x − a)q (x) para algun q (x) ∈ K [x].

(b) f (x) tiene a lo sumo n raıces en K .(c) a ∈ K es una raız multiple de f (x) si, y solo si, f (a) = 0

Proposicion 4.3.2 Sean un polinomio f (x) ∈ Z[x], de grado n, y a ∈ Z.

Entonces el desarrollo de Taylor de f (x) esta dado por

f (a) + f (a)

1! (x − a) +

f (a)

2! (x − a)2 + · · · +

f (n)(a)

n! (x − a)n (8)

y cada f (k)(a)/k! es un numero entero.

Demostraci´ on . Solo demostraremos que los coeficientes de este desarrollo sonnumeros enteros. Para ello hagamos el cambio de variable x = t + a, de modoque

G(t) = f (t + a) = G(0) + G(0)

1! t +

G(0)

2! t2 + · · · +

G(n)(0)

n! tn ,

como puede comprobar facilmente el lector, usando G(k)(t) = f (k)(t+a). Comoevidentemente G(t) ∈ Z[t], vemos que cada G(k)(0)/k! es un numero entero.

Pero, G(k)(0)/k! = f (k)(a)/k!, luego los coeficientes de (8) son todos numerosenteros.

Si f (x) ∈ Z[x] y a1, · · · , as representan a las raıces distintas modulo p de lacongruencia

f (x) ≡ 0(mod p) , (9)

es facil verificar que la serie (7) puede escribirse en la forma

P (f ; p) := 1 +∞

k=1

N (f ; k; p)T k = 1 +s

i=1

P (ai) ,

donde

P (ai) =∞k=1

N k(ai)T k

y N k(ai) designa el numero de soluciones de f (x) ≡ 0(mod pk) que descienden

de la raız ai de (9). Es decir, aquellas soluciones aik, modulo pk, que cumplen




aik ≡ ai(mod p). Luego para demostrar que la serie (7) es el cociente de dospolinomios, basta ver que cada P (ai) es el cociente de dos polinomios.

Proposicion 4.3.3. Sea la congruencia polinomia (9). Entonces:

(a) Si a es una raız simple de (9), tenemos N k(a) = 1 para todo k ≥ 1 y

P (a) = T

1 − T .

(b) Si p | f (a) y f (a) ≡ 0(mod pk) implica que f (a) ≡ 0(mod pk+1), para

todo k ≥ s, entonces N s+k(a) = pkN s(a), si k ≥ s + 1, y

P (a) = N 1(a)T + · · · + N s−1(a)T s−1 + N s(a)T s

1 − pT .

(c) Si p | f (a) y existe r ≥ 1 tal que f (a) ≡ 0(mod pr) pero f (a) ≡0(mod pr+1), entonces P (a) es un polinomio en T .

Demostraci´ on . En primer verifiquemos que si conocemos las soluciones de lacongruencia

f (x) ≡ 0(mod pk) , k ≥ 1 , (10)

podemos deducir de ellas las soluciones de

f (x) ≡ 0(mod pk+1) , (11)

si las tiene. En efecto, toda raız de (11), si existe, es de la forma a + tpk, dondea es una raız de (10) y t ∈ Z. Debemos pues encontrar las condiciones para queexista un tal t. Por el desarrollo de Taylor, tenemos

f (a + tpk) = f (a) + f (a)tpk + f (a)

2! (tpk)2 + · · · .

O sea,

f (a + tpk) ≡ f (a) + f (a)tpk(mod pk+1). (12)

Ahora bien, f (a + tpk) ≡ 0(mod pk+1) si, y solo si,

f (a)t ≡ −f (a)

pk (mod p) , (12a)

congruencia que tiene sentido, puesto que f (a) ≡ 0(mod pk) lo cual es equiva-

lente a decir que f (a)

pk ∈ Z.

(a) Por la parte (c) de la proposicion 4.3.1, sabemos que a es una raız simple

de (9) si, y solo si, p f

(a). En este caso, (12a) solo tiene una solucion t modulo p, es decir, N k(a) = 1, para todo k. Luego,

P (a) =∞k=1

T k = T

1 − T .

(b) Si estamos en las condiciones dadas, la congruencia (12a) tiene p solu-ciones, en virtud de la proposicion 2.3.11. Luego N s+k(a) = pkN s(a), si k ≥ s.




Por consiguiente,

P (a) = N 1(a)T + · · · + N s−1(a)T s−1 + N s(a)T s

1 − pT .

(c) En este caso la descendencia de a se detiene, por lo cual P (a) es unpolinomio en T .

Corolario 4.3.3.1. Para cada primo p la serie de Poincare P (f ; p) de un

polinomio f (x) ∈ Z[x] es un una funcion racional.

La demostracion de la proposicion 4.3.4 contiene un metodo para calcularlas raıces de congruencias de la forma (10). Este metodo lo usaremos en elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 4.3.1 Consideremos la congruencia f (x) = x4 + 7x + 4 ≡ 0(mod 27).

Entonces f (x) = x4 + x + 1 ≡ 0(mod 3). Su unica solucion es x ≡ 1(mod 3).Como f (x) = 4x3 + 1 y f (1) ≡ 2 ≡ 0(mod 3), vemos por la parte (a) de laproposicion 4.3.4 que f (x) ≡ 0(mod 27) tiene exactamente una solucion. Parahallarla, tomemos x = 1 + 3t1 y usemos (12) para escribir

f (1 + 3t1) ≡ f (1) + 3t1f (1) ≡ 0(mod 32) .

Como f (1) ≡ 3(mod 9) y f (1) ≡ 2(mod 9), tenemos 3 + 3t12 ≡ 0(mod 9)⇔ 2t1 + 1 ≡ 0(mod 3) ⇔ t1 ≡ 1(mod 3) ⇒ t1 = 1 + 3t2 ⇒ x =4+9t

2. Usando el mismo procedimiento, encontraremos que f (4+9t

2) = f (4)+

9t2f (4) ≡ 0(mod 27) ⇔ 18 + 18t2 ≡ 0(mod 27) ⇔ 2 + 2t2 ≡ 0(mod 3)⇔ t2 ≡ 2(mod 3) ⇒ t2 = 2 + 3t3. Luego x = 4 + 9(2 + 3t2) = 22 + 27t3,y x ≡ 22(mod 27) es la unica solucion de la congruencia original.


4.1. Sean a1, · · · an ideales comaximales de un anillo A. Demuestre queam1

1 , · · · ,amn

n son comaximales si m1, · · · , mn son enteros positivos arbitrarios.4.2. Recuerde que un grupo finito monogeno se dice un grupo cıclico. Demuestre

que si G × H es cıclico tanto G como H son cıclicos.

4.3. Demuestre que si G y H son cıclicos (finitos), entonces G × H es cıclicocuando, y solo cuando, m. c. d.(o(G), o(H )) = 1. [Sugerencia : Use el teorema chino delos restos.] ¿Puede extender este resultado a un numero finito de grupos cıclicos?

4.4. Verifique que:

1. x2 + 1 ≡ 0(mod 7) no tiene soluciones.2. x2 − 3 ≡ 0(mod 6) tiene la solucion x ≡ 3(mod 6).

3. x2 + 1 ≡ 0(mod 17) tiene las soluciones x ≡ 4, 13 (mod 17).4. x2 − 1 ≡ 0(mod 8) tiene las soluciones x ≡ 1, 3, 5, 7(mod 8).

4.5. Si m = m1 · · · mk, donde m. c. d.(mi, mj) = 1 si i = j, demuestre que:

1. La congruencia f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod m) es soluble, si, y solo si, cada unade las congruencias f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod mj) es soluble.

2. Si T j es el numero de soluciones de f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod mj), entonces elnumero de soluciones de f (x1, · · · , xs) ≡ 0(mod m) esta dado por T 1 · · · T k.




4.6. Sea m > 1 un entero y considere la congruencia lineal

a1x1 + · · · + asxs + b ≡ 0(mod m) .

Si d = m. c. d.(a1, · · · , as, m), demuestre que el numero T de soluciones de esta con-gruencia esta dado por

T =

ms−1d si d | b ,

0 si d b .

[Sugerencia : use induccion sobre el numero s de indeterminadas.]

4.7. Sean m1, · · · , mk numeros enteros positivos y designemos con m1,··· ,k al mıni-mo comun multiplo de los mj.

1. Si d = m. c. d.(m1, m2), demuestre que el sistema

x ≡ b1(mod m1) ,

x ≡ b2(mod m2) ,

es soluble si, y solo si, d | (b1 − b2).2. Si el anterior sistema es soluble, demuestre que los valores de x que lo satis-

facen estan determinados por una congruencia de la forma

x ≡ x1,2(mod m1,2) .

3. Demuestre que si el sistema

x ≡ b1(mod m1) , · · · , x ≡ bk(mod mk)

es soluble, los valores de x que lo satisfacen estan determinados por unacongruencia de la forma x ≡ x1,··· ,k(mod m1,··· ,k).

4.8. Sean p y q dos numeros primos diferentes y sea a ∈ Z tal que m. c. d.(a, p) =m. c. d.(a, q ) = 1. Demuestre que

apq−1 ≡ a

p−1aq−1(mod pq ).

Sea f (x) = a0 + · · · + anxn ∈ C[x] un polinomio de grado n. Si α1, · · · , αn ∈ Cson los ceros de f (x), contandolos con sus multiplicidades, de modo que f (x) =an(x − α1) · · · (x − αn), se acostumbra llamar discriminante de f (x) al numero

D(f ) := a2n−

2ni<k

(αi − αk)2 .

Tambien se demuestra en los cursos de algebra abstracta que

D(f ) = (−1)n(n−1)/a−1n R(f, f

) ,

donde

R(f, f ) =

an an−1 · · · a0 0 0 · · · 00 an · · · a1 a0 0 · · · 0

· · · · · ·

0 0 · · · an an−1 an−2 · · · a0

nan (n − 1)an−1 · · · 2a2 a1 0 · · · 00 nan · · · 3a3 2a2 a1 · · · 0

· · · · · ·0 0 · · · 0 nan (n − 1)an−1 · · · a0

es la llamada resultante de f (x) y f (x).

4.9. Calcule D(f ) de dos maneras si f (x) = 3x3 − x2 − 8x + 4.




4.10. Demuestre que los polinomios a0xn + a1xn−1 + · · · + an y anxn + an−1xn−1 +· · · + a0 ∈ C[x] tienen el mismo discriminante.

4.11. Demuestre que si a es una raız multiple de f (x) ∈ Z[x], entonces D(f ) = 0.

4.12. Demuestre que si f (x) ≡ 0(mod p), p primo, f (x) ∈ Z[x], tiene una solucion

multiple, entonces p | D(f ).4.13. Demuestre que D((x − a)f (x)) = D(f (x))[f (a)]2.

4.14. Demuestre que el discriminante del producto de dos polinomios de coeficientes

en C es igual al producto de los discriminantes multiplicado por el cuadrado de su

resultante.

Referencias

[1] Albis, V. S. & W. A. Zuniga. Una introducci´ on elemental a la teorıa de las funciones

zeta locales de Igusa . Lecturas Matematicas 20 (1999), 5-33.[2] Barshay, Jacob. Topics in Ring Theory . W. A. Benjamin: New York, 1969.[3] Borevich & Shafarevich. Number Theory . Academic Press: New York, 1966.[4] Cutkovsky, S. D.. Resolution of Singularities. Graduate Studies in Mathematics, vol.

63. Amer. Math. Soc.: Providence RI, 2004.[5] Denef, J. The rationality of the Poincare series associated to the p−adic points on a

variety . Inv. Mathematicae 77 (1984), 1–23.[6] Goldman, J. Number of solutions of congruences. Poincare series for strongly non–

degenerated forms. Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), 586–590.[7] Goldman, J. Number of solutions of congruences. Poincare series for algebraic curves.

Adv. in Math. 62 (1986), 68–83.

[8] Igusa, J. I. Complex powers and asymptotic expansions, I, II . J. reine u. angew. Math.268/269,278/279 (1974–1975) 110–130; 307–321.



5

Raıces primitivas

En este capıtulo introduciremos el concepto de raız primitiva , idea fe-cunda y fascinante que le permitio, por ejemplo, al joven Gauss (a los 17

anos) reducir la ecuacion x17 − 1

x − 1

= x16 + x15 + · · · + x + 1 = 0 a varias

ecuaciones cuadraticas que le permitieron construir, con regla y compas, elpolıgono regular de 17 lados [45, Arts. 343 y sigs.]. El estudio de las raıcesprimitivas y el calculo de ındices proporcionan herramientas utiles en temascriptograficos, sobre los cuales pasaremos someramente.

5.1. Raıces primitivas segun un modulo m

Como suponemos que el lector conoce los elementos basicos de la teorıade los grupos, usaremos sin demostraciones y a discrecion los resultados deesta teorıa. En particular, los siguientes:

Lema 5.1.1. Si G es un grupo finito y x ∈ G es un elemento de orden

o(x) = r, entonces el orden de xt esta dado por o(xt) = r/d, donde d =m. c. d.(t, r).

Lema 5.1.2. Si H y K son dos grupos cıclicos finitos, entonces el producto

directo H × K es cıclico si, y solo si, o(H ) y o(K ) son enteros primos entre sı.

Lema 5.1.3. Sean G un grupo finito y a, b ∈ G. Si o(a) y o(b) son primos

entre sı entonces o(ab) = o(a) o(b).

Lema 5.1.4. Sean G un grupo cıclico finito, de orden n, y g uno de sus gene-

radores. Entonces gk es un generador del grupo si, y solo si, m. c. d.(k, n) = 1 y el numero de generadores distintos del grupo esta dado por ϕ(n).

En el cuerpo C de los numeros complejos el grupo Gn = {1, ζ n, . . . , ζ n−1n }

de las raıces n−esimas de la unidad es cıclico y generado por ζ n pues ζ kn =

cos 2kπ

n + isen

2kπ

n , k = 1, . . . , n − 1. Cualquier otro generador de Gn se



84 Raıces primitivas

dice una raız primitiva n−esima de la unidad y es bien sabido que ζ kn esuna una raız primitiva de la unidad si y solo si m. c. d.(k, n) = 1.

En seguida veremos que este resultado es un caso particular de algo masgeneral. Mas precisamente, si K es un cuerpo, designamos con µm = {x ∈

K ; xm − 1 = 0}. Claro esta, es muy posible que µm se reduzca a {1}, locual no es muy interesante. Afortunadamente, existe un supercuerpo K deK , el llamado cuerpo de descomposici´ on del polinomio xm − 1 ∈ K [x], quecontiene a µm.

Proposicion 5.1.1. Sean K un cuerpo y supongamos que µm ⊂ K . Si la

caracterıstica p de K no divide a m, tenemos:

(a) µm es un subgrupo finito de K × de orden m.

(b) µm es cıclico.

Demostraci´ on. Que µm es un subgrupo multiplicativo de K × es de facildemostracion. Para demostrar el resto de la proposicion, observemos quecomo f (x) = xm − 1 ∈ K [x], entonces f (x) = mxm−1 solo se anula enx = 0 puesto que p m. Es decir todas las raıces del polinomio f (x) sondistintas, de modo que µm tiene orden m. Hagamos m = pα11 · · · pαkk . Es

claro que p m/pi, de modo que g(x) = xm/pi − 1 ∈ K [x] admite m/pi

raıces distintas puesto que g

(x) = (m/pi)xm/pi−

1 solo se anula en 0. Comom/pi < m podemos encontrar ai ∈ µm tal que a

m/pii = 1. Hagamos ahora

ci = am/p

αii

i ∈ µm ,

de modo que

c pαii

i = ami = 1 .

Luego el orden de ci divide a pαii , es decir, oci es una potencia de pi. Pero

c pαi−1

i

i = am/pii = 1 ,

lo cual fuerza a que o(ci) = pαii . En virtud del lema 5.1.3, el elementob = c1 · · · ck tiene orden pα11 · · · pαkk = m, de manera que µm = b.

Corolario 5.1.1.1. Si K es un cuerpo finito, entonces K × es cıclico. En

particular, F p× = U p es cıclico. O, equivalentemente, todo numero primo

admite raıces primitivas.

Demostraci´ on. Si K es finito de caracterıstica p > 0, p primo, entoncesF p ⊂ K . Esto implica que K es un F p−espacio vectorial de dimension ny por ende CardF p = q = pn. En consecuencia K × tiene q − 1 elementos.Luego para todo a ∈ K × se tiene aq−1 − 1 = 0, es decir, los elementos de




K × son precisamente las raıces (q − 1)−esimas de la unidad, pues p q − 1.Por la proposicion vemos que K × es cıclico.

Un pregunta natural, dada la simplicidad de los grupos cıclicos, es la si-guiente: ¿Cuando es Um un grupo cıclico? Cuando este es el caso, es decir,cuando Um admite un generador g, decimos que cualquier respresentante deg es una raız primitiva modulo m.1 El corolario anterior nos muestra que to-do numero primo admite raıces primitivas. Nuestro proposito inmediato es,pues, determinar cuales son los otros enteros que admiten raıces primitivas.

Proposicion 5.1.2. Sea p un numero primo impar. Si g es una raız primitiva

modulo p, entonces g es una raız primitiva modulo pn, para todo n ≥ 1.

Demostraci´ on. Por induccion sobre n. Si n = 1, estamos en la proposicionanterior. Supongamos ahora que g es una raız primitiva modulo pn. Sea d elorden de g modulo pn+1, de modo que gd ≡ 1(mod pn+1). Obviamente, estacongruencia implica la siguiente: gd ≡ 1(mod pn). Como el orden de U pn esϕ( pn) = pn−1( p − 1), necesariamente ϕ( pn) | d. Por otra parte, el teorema

de Euler nos dice que gϕ( pn+1) ≡ 1(mod pn+1), de modo que forzosamente

d | ϕ( pn+1). Concluimos, pues, que pn−1( p − 1) | d | pn( p − 1), lo cual

fuerza a que d = pn−1

( p − 1) o d = pn

( p − 1). Veamos que la primera deestas igualdades no es posible, lo que mostrara finalmente que g tiene ordenϕ( pn+1) modulo pn+1. En efecto, usando nuevamente el teorema de Euler,tenemos

gϕ( pn−1)) = g p

n−2( p−1) ≡ 1(mod pn−1) ,

donde g, por la hipotesis de induccion, es todavıa una raız primitiva modulo pn−1. Por lo tanto,

g pn−2

( p−1) = 1 + kpn−1 ,

1Segun Leonard E. Dickson [32, Vol. 1, pag. 181], el primero en afirmar la exis-tencia de raıces primitivas modulo un primo impar p fue Johann Heinrich Lambert(1728-1777), en 1769, aunque no dio demostracion alguna. Segun Gauss [45, art. 56, pag.46], en 1773, Euler introdujo el apelativo primitiva en [40, pags. 240–281]: Huiusmodi

radices progressiones geometricae, qua series residuorum completas producunt, primiti-

vas appellabo [Llamo primitivas a las raıces de progresiones geometricas que producen

series completas de restos]. Como en su epoca los generadores del grupo cıclico Gn ya seconocıan como las raıces primitivas n−esimas de la unidad, y como g como raız primitivaes un generador del grupo cıclico Up, es facil entender el por que de la denominacion de

Euler. Este propuso tambien una demostracion, cuyas fallas senalo Gauss en el artıculo56 de sus Disquisitiones. Allı mismo, en los artıculos 65–67, Gauss da dos demostracionesde la existencia de raıces primitivas modulo p.




donde k ≡ 0(mod p), puesto que el orden de g modulo pn es pn−1( p − 1) > pn−2( p − 1). En consecuencia,

g pn−1( p−1) = gϕ( p

n) = (1 + kpn−1) p

≡ 1 + pkpn−1 ≡ 1 + kpn(mod pn+1) .

De aquı resulta que

g pn−1( p−1) = gϕ( p

n) ≡ 1(mod pn+1),

puesto que k ≡ 0(mod p). En conclusion, el orden d de g modulo pn+1 noes ϕ( pn).

Corolario 5.1.2.1. Si p es un primo impar, U pn

es cıclico para todo n ≥ 1.

Corolario 5.1.2.2. El numero de raıces primitivas incongruentes modulo

pn esta dado por ϕ(ϕ( pn)), n ≥ 1.

Demostraci´ on. Resulta del lema 5.1.4.

El caso m = 2n, es, como siempre, sui generis . Cuando n = 1, 2 tenemosU2 = {1} y U4 = {−1, 1}, respectivamente, los cuales son evidentemente

cıclicos. Debemos, pues, preocuparnos unicamente de los casos 2n, para n ≥3. En este caso, veremos que U2n no es cıclico. Esencialmente lo que haremospara demostrar este hecho es determinar un sistema de dos generadores deU2n para n ≥ 3. Empezamos con la siguiente proposicion:

Proposicion 5.1.3. Sean a un entero impar y n otro entero ≥ 3. Entonces

a2n−2

≡ 1(mod 2n) . (1)

Demostraci´ on. Si n = 3, tenemos a2 ≡ 1(mod 2), puesto que siendo a =1 + 2k impar tenemos a2 = (1 + 2k)2 = 1 + 4k + 4k2 = 1 + 4k(1 + k). Comok(1 + k) es par, resulta que a2 ≡ 1(mod 8). Es decir, la afirmacion es validapara n = 3. Procediendo ahora recurrentemente, supongamos que (1) seacierta para n ≥ 3. Entonces

a2n−2

≡ 1(mod 2n) ⇔ a2n−2

= 1 + k2n , k ∈ Z ,

de modo que

a2n−1

= (1 + k2n)2 = 1 + k2n+1 + k222n ≡ 1(mod 2n+1) ,

pues n + 1 < 2n si 3 ≤ n.

Proposicion 5.1.4. Si n ≥ 3, entonces el orden de 5 en U2n es 2n−2.




Proposicion 5.1.6. Si los numeros enteros m y n son mayores que 2 y tales

que m. c. d.(m, n) = 1, entonces Umn no es cıclico.

Demostraci´ on. Sean d = m. c. d.(ϕ(m), ϕ(n)) y c = m. c. m.(ϕ(m), ϕ(n)).

Sabemos que dc = ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn). Como ϕ(m) y ϕ(n) son ambos pares(Corolario 3.2.2.2), vemos que d ≥ 2, implica que c < ϕ(mn). Supongamosque la clase de g, modulo mn, genere a Umn. Como m. c. d.(g,mn) = 1, nece-sariamente m. c. d.(g, m) = m. c. d.(g, n) = 1. Ahora bien, por el teorema deEuler,

gϕ(m) ≡ 1(mod m) , gϕ(n) ≡ 1(mod n) .

Tomemos k1 y k2 tales que k1ϕ(m) = c y k2ϕ(n) = c, con lo cual verificamos

que tambien gc ≡ 1(mod m) , gc ≡ 1(mod n) .

El teorema chino de los restos nos dice ahora que gc ≡ 1(mod mm), puestoque m. c. d.(m, n) = 1. Pero esto es imposible, ya que o(Umn) = ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n) = o(g) > c.

Demostraci´ on alternativa . Ya hemos visto que si m, n > 2, entonces

m. c. d.(ϕ(m), ϕ(n)) ≥ 2 .

La demostracion resulta entonces del lema 5.1.2.

Proposicion 5.1.7. Um es cıclico cuando, y solo cuando, m = 2, 4, pn,

2 pn, n ≥ 1, donde p es un primo impar.

Demostraci´ on. Por la proposicion 5.1.6, si m,n > 2 y m. c. m.(m, n) = 1,Umn no es cıclico. Como U2 y U4 son cıclicos, el corolario 5.1.2.1 y la pro-posicion 5.1.4, nos indican que las unicas posibilidades de m son las delenunciado. Luego, para la completar la demostracion, solo falta demostrarque los grupos U2 pn , n ≥ 1, son cıclicos. Pero U2 pn ≈ U2 × U pn , en virtuddel corolario 3.1.3.2. Como U2 = {1}, tenemos U2 × U pn ≈ U pn .

El isomorfismo (3) establecido en el corolario 4.1.4.2 y la proposicion5.1.7, nos permiten enunciar el siguiente corolario, donde escribimos U( pn)en vez de U pn :

Corolario 5.1.7.1 Si m = 2n pn22 · · · pnss es par, entonces

(a) Um ≈ U(2) × U( pn22 ) × · · · × U( p

nss ) si n = 1 .

(b) Um ≈ U(4) × U( pn22 ) × · · · × U( pnss ) si n = 2 .

(c) Um ≈ H × K n × U( pn22 ) × · · · × U( pnss ) si n ≥ 3 .




Si m = pn22 · · · pnss es impar, entonces

Um ≈ U( pn22 ) × · · · × U( pnss ) .

5.2. Calculo de ındices

Si m admite una raız primitiva g, el grupo Um esta generado por g, ypara cada a ∈ Um, existe t ≥ 0 tal que

a = gt ⇔ a ≡ gt(mod m) .

El menor de estos enteros se llama el ındice de a m´ odulo m en la base g, yse designa con t = Indga. Podemos entonces escribir

gIndga = a .

Esta relacion se asemeja a la relacion analıtica blogb x = x, que usamos en elanalisis matematico.2 La semejanza es mayor si observamos que

gIndg(ab) = ab = gIndgagIndgb = gIndga+Indgb .

Esta ultima relacion es equivalente a la siguiente:

Indg(ab) ≡ Indga + Indgb(mod ϕ(m)) . (3)

Lo anterior nos sugiere usar (3) en los calculos numericos. En particular,para resolver congruencias exponenciales, con x entero positivo:

ax ≡ b(mod m) ⇔ x · Indga ≡ Indgb(mod ϕ(m)) ,

si g es una raız primitiva modulo m, la cual tiene solucion si, y solo si,

m. c. d.(Indga, ϕ(m)) | Indgb ,

por la proposicion 2.3.11.

Ejemplo 5.2.1. Para resolver la congruencia 3

x

≡ 2(mod 5), usamos elhecho de que 2 es una raız primitiva modulo 5. La congruencia original esequivalente entonces a la congruencia

x · Ind23 ≡ Ind22(mod 4) ⇔ 3x ≡ 1(mod 4) ,

la cual tiene una unica solucion x ≡ 3(mod 4), puesto que m. c. d.(3, 4) = 1.

Ejemplo 5.2.2. Si ahora tomamos 7x ≡ 5(mod 17) y usamos que 3 es una

raız primitiva modulo 17, obtenemos 11x ≡ 5(mod 16). Como m. c. d.(11, 16)= 1, vemos que solo hay una solucion dada por x ≡ 15(mod 16).

2La notacion que usamos de ındice se encuentra en Gauss (Disquisitiones, art. 58).Recientemente se usa con mas frecuencia la expresion logaritmo discreto, mucho masdescriptiva que el termino ındice .




Otras propiedades del ındice son las siguientes:

Proposicion 5.2.1. Si g es una raız primitiva modulo m, entonces

(a) Indg(1) = 0, independientemente de la escogencia de la raız primi-

tiva.

(b Indg(g) = 1.

(c) Indg(−1) = 1

2ϕ(m) si m > 2.

Demostraci´ on. Tan solo demostraremos (c). Sea u = Indg(−1), de modo que(−1) ≡ gu(mod m) y, en consecuencia, 1 = (−1)2 ≡ g2u(mod m). Pero en-tonces 2u ≡ 0(mod ϕ(m)) lo cual a su vez implica que u ≡ 0(mod ϕ(m)/2),

pues ϕ(m) es par. Es decir, ϕ(m)/2 divide a u, de modo que u = t ϕ(m)2

,

para algun t. Pero como (−1)ϕ(m) ≡ 1(mod m), por el teorema de Eu-ler, vemos que u ≤ ϕ(m) y, por lo tanto, t ≤ 2. Si tuviesemos t = 2,resultarıa u = ϕ(m) y entonces (−1) ≡ gϕ(m)(mod m), lo cual es imposiblepues −1 ≡ 1(mod m) si m > 2. Luego necesariamente t = 1 y finalmente

Indg(−1) = 1

2ϕ(m).

5.3. Congruencias binomias

Las raıces primitivas permiten demostrar teoremas sobre la solubilidadde ciertas congruencias. Uno de ellos es el que sigue.

Proposicion 5.3.1. Si m. c. d.(a, pr) = 1, donde p es un primo impar, la

congruencia binomia

xn ≡ a(mod pr) (4)

tiene una solucion si, y solo si,

aϕ( pr)/d ≡ 1(mod pr) ,

donde d = m. c. d.(n, ϕ( pr)). Si (4) tiene una solucion, entonces tiene dsoluciones incongruentes modulo pr.

Demostraci´ on. Sea g una raız primitiva modulo pr. Existe entonces un enterou ≥ 0 tal que a ≡ gu(mod pr), pues, por hipotesis, m. c. d.(a, pr) = 1 .Ahora bien, una solucion x de (4), modulo pr, puede escribirse en la forma

x ≡ gy(mod pr), de modo que

gyn ≡ gu(mod pr) ⇔ yn ≡ u(mod ϕ( pr)) .

Pero esta ultima congruencia tiene solucion cuando, y, solamente cuando,d = m. c. d.(n, ϕ( pr)) | u, y si tiene solucion, hay d soluciones incongruentes




modulo ϕ( pr) (por el corolario 2.3.8.2, del capıtulo 2). Finalmente, de a ≡gu(mod pr) es facil deducir que

aϕ( pr)/d ≡ guϕ( p

r)/d ≡ (gϕ( pr))u/d ≡ 1(mod pr)

si, y solo si, d | u.

En los siguientes ejemplos mostramos como usar esta proposicion en lasolucion de congruencias binomias .

Ejemplo 5.3.1. Para hallar las soluciones de la congruencia

x3 ≡ 5(mod 13) ,

podemos usar el criterio la proposicion 5.3.1 y las tablas de raıces primitivas,ası: como m. c. d.(5, 13) = 1, ϕ(13) = 12 y d = m. c. d.(3, 12) = 3, vemos que

512/3 = 54 ≡ (73)4 ≡ 712 ≡ 1(mod 13) ,

donde hemos usado que 7 es una raız primitiva 13. Como

x3 ≡ 73y ≡ 73 ≡ 5(mod 13) ⇔ 3y ≡ 3(mod 12) ⇔ y ≡ 1(mod 4) ,

las soluciones de 3y ≡ 3(mod 12) menores que 12 son y = 1, 5, 9. Luego

x = 7, 75, 79 ≡ 7, 11, 8(mod 13), respectivamente, son las soluciones modulo13 de la congruencia inicial.

Ejemplo 5.3.2. De igual manera podemos resolver la congruencia

x5 ≡ 5(mod 13) ,

puesto que

75y ≡ 73(mod 13) ⇔ 5y ≡ 3(mod 12) ⇒ y = 3 ,

de donde, finalmente, x = 73 ≡ 5(mod 13).

Un interesante corolario de la proposicion anterior es un caso particularde un celebre teorema de Dirichlet, sobre la existencia de un numeroinfinito de primos en una progresi´ on aritmetica .

Corolario 5.3.1.1. En la progresion aritmetica infinita

{1 + 8 · 1 , 1 + 8 · 2 , · · · , 1 + 8t , · · · } (5)

hay un numero infinito de numeros primos.

Demostraci´ on. Es evidente que el enunciado es equivalente a afirmar la exis-tencia de un numero infinito de primos p impares que cumplen p ≡ 1(mod 8).Sea, pues p un primo impar. Si p ≡ 1(mod 8), entonces m. c. d.(4, p − 1) = 4,




implica que (−1)( p−1)/4 ≡ 1(mod p); por la proposicion anterior, esto impli-ca la existencia de soluciones de x4 ≡ −1(mod p). Ahora si p ≡ 5(mod 8),y x4 ≡ −1(mod p), tendrıamos

x p−1 ≡ (x4)( p−1)/4 ≡ (−1)( p−1)/4 ≡ −1(mod p),

lo cual contradice el pequeno teorema de Fermat. Observemos que si p ≡3, 7(mod 8), entonces p ≡ 3(mod 4). Podemos, pues, restringirnos al caso p ≡ 3(mod 4). En este caso la congruencia x4 ≡ −1(mod p) tiene solucionsi, y solo si, (−1)( p−1)/d ≡ 1(mod p), donde d = m. c. d.(4, p − 1). Es claroque d = 2 o d = 4. Si d = 4, resulta que 4 | ( p − 1), es decir, p ≡ 1(mod 4),

lo cual no es posible. Si d = 2 y como p ≡ 3(mod 4) ⇔ p − 1

2

= 1 + 2t,

resulta que

(−1)( p−1)/2 = (−1)(−1)2t = −1 ≡ 1(mod p) ,

es decir, x4 ≡ −1(mod p) tampoco tiene solucion.Luego todos los factores primos impares de x4 + 1 son congruentes a 1

modulo 8. Es decir, pertenecen a la progresion aritmetica (5). Supongamosahora que solo hay un numero finito de primos p1, p2, · · · , pn congruentes a1 modulo 8, y consideremos el numero

N = (2 p1 p2 · · · pn)4 + 1 .

Evidentemente N ≡ 1(mod 8). Si N fuese primo y como N > pi, para i =1, · · · n, entrarıamos en contradiccion con la supuesta finitud del conjuntode los primos en la progresion aritmetica (3). Si N no es primo, entoncesun divisor primo impar de N debe ser congruente con 1 modulo 8 y, porlo tanto, igual a uno de los pi. Digamos, sin perder generalidad, que esteprimo sea p1. Entonces

N = kp1 = 1 + p41(2 p2 · · · pn)4 para algun k ∈ Z ,

lo cual implica que p1 | 1, lo cual es tambien imposible. Luego, para cadan ≥ 1 hay mas de n primos impares congruentes con 1 modulo 8.

Observemos que los elementos de una progresion aritmetica P (a; m) ge-neral, de termino inicial a ≥ 0 y raz´ on m > 0, forman parte de una clasede equivalencia modulo m

P (a; m) = {x = a + tm ; t ≥ 0} = {x ≡ a(mod m); x > 0} .

El teorema de Dirichlet que mencionamos arriba es el siguiente: En la

progresion aritmetica P (a; m) hay una cantidad infinita de numeros primos

si m. c. d.(a, m) = 1. Cabe anotar que Dirichlet usa en su demostracion no




solo analisis complejo sino tambien propiedades de las formas cuadraticas,para resolver un problema expresado por una funci´ on lineal : x = a + tm.

5.4. El teorema de Wilson

Como otra aplicacion de las raıces primitivas, demostramos en seguida el“elegante teorema” (segun la expresion de Gauss) de Wilson:3

Proposicion 5.4.1 [Wilson] Si p es un numero primo, entonces

( p − 1)! ≡ −1(mod p) . (6)

Recıprocamente, si tenemos (4), entonces p es primo.

Demostraci´ on. Si p = 2, es claro que 1! ≡ −1(mod 2). Supongamos que psea impar, y sea g una de sus raıces primitivas. Tenemos

F× p = {1, 2, · · · , p − 1} = {g, g2 · · · , g p−1} .

Por lo tanto,

( p − 1)! ≡ g · g2 · · · g p−1 ≡ g p( p−1)/2 ≡ (g p)( p−1)/2 ≡ g( p−1)/2(mod p) ,

dado que g p ≡ g(mod p), en virtud del teorema de Fermat. Como g p−1 ≡1(mod p) ( nuevamente por el teorema de Fermat) y p − 1 es par, vemosque g( p−1)/2 ≡ ±1(mod p). Pero g( p−1)/2 ≡ 1(mod p) es imposible, pues g esuna raız primitiva. Recıprocamente, si p no es primo, p = ab, 1 < a < p, demodo que a | ( p − 1)!, a (( p − 1)!+1) y, por fuerza, ( p − 1)!+1 ≡ 0(mod p).

• Ejercicios sugeridos:

Ejercicios del capıtulo VSeccion 5.1

5.1. Demuestre que las siguientes congruencias subsisten para todo enteron > 0:

1. 22n − 1 ≡ 0(mod3)

3Segun Gauss, el teorema de Wilson “fue publicado por el celebre Waring y adscritoal primero [Medit. algebraicae , tercera edicion, pag. 380]. Pero ninguno pudo demostrarlo,

y Waring confeso que la demostracion parecıa mas difıcil porque ninguna notaci´ on puedeconfeccionarse para expresar un numero primo. Pero a nuestro juicio tales verdades debıanpercibirse por medio de las nociones mas que por las notaciones. Despues, el ilustre

Lagrange presento una demostracion (Nou. Mem. de l’Ac. Berlin , 1771) . . . Finalmente,el ilustre Euler presento otra demostracion en Opusc. analyt., tomo I, pag. 329) queconcuerda con la expuesta por nosotros” [45, art. 76, pags. 60-61].




2. 23n − 1 ≡ 0(mod7)3. 24n − 1 ≡ 0(mod15)

5.2. Sea g una raız primitiva modulo el primo impar p. Demuestre que:

1. p − g es una raız primitiva modulo p si p ≡ 1(mod 4).2. p − g pertenece al exponente ( p − 1)/2 si p ≡ 3(mod4)

5.3. Usando la tabla de raıces primitivas y las correspondientes tablas deındices modulo 19, halle todas las soluciones de las congruencias siguientes:

1. x12 ≡ 7(mod 19).2. x12 ≡ 13(mod 19).3. x5 ≡ 11(mod 19).

5.4. ¿Cuantas soluciones tiene la congruencia x2 ≡ 1(mod m) si m =2a pbq c, con a, b, c enteros no negativos y 2, p , q primos distintos enter sı?

5.5. Encuentre la solucion positiva mas pequena de la congruencia 24037 ≡x(mod 7). 5.6. Sean a > 1 un entero y p un numero primo impar.

1. Demuestre que todo divisor primo q de a p − 1 es un divisor de a − 1o es de la forma q = 2 pt + 1, t ∈ Z.

2. Demuestre que todo divisor primo q de a p + 1 es un divisor de a + 1

o es de la forma q = 2 pt + 1, t ∈ Z.3. Demuestre que existe un numero infinito de primos de la forma

2 pt + 1.4. Si n es un entero positivo demuestre que los divisores primos de

22n

+ 1 son de la forma 2n+1t + 1, t ∈ Z.

5.7. Sean a, n > 1 enteros. Demuestre que ϕ(an − 1) es un multiplo de n.

5.8. Demuestre que 3 es una raız primitiva de cualquier primo de la forma2n + 1, n > 1.

5.9. (a) Del desarrollo en serie

− log(1 − x) = log 1

1 − x = x +

x2

2 +

x3

3 + · · ·

deduzca que

exp

x + x2

2 + x

3

3 + · · ·

= 1

1 − x = 1 + x + x2 + · · ·

= exex2/2ex

3/3 · · · .

(b) Demuestre que formalmente




exex2/2ex

3/3 · · · =

1 +

x

1! +

x2

2! + · · ·

1 +

x2/2

1! +

(x2/2)2

2! + · · ·

· · ·

1 + x p/p

1! + (x p/p)2

2! + · · ·

· · ·

= 1 + x

1! + x2

1

2! +

1

2

+ x3

1

3! +

1

1!

1/2

1! +

1/3

1!

+ · · ·

+ x p

1

p! +

1

( p − 2)!

1/2

1! + · · · +

1/p

1!

+ · · ·

y concluya que si p es un numero primo, entonces el coeficiente de x p es

de la forma 1/p! + r/s + 1/p, donde r/s es la suma de un numero finito defracciones racionales que no tiene a p como factor de sus denominadores.Deduzca que si m. c. d.(r, s) = 1 entonces p s.

(c) Deduzca que 1 = 1

p! +

r

s +

1

p y, por consiguiente, que

1 − r

s =

(1 + ( p − 1)!)

p! .

(d) Use lo anterior para dar una nueva demostracion del teorema deWilson.

5.10. Usando una tabla de ındices halle el numero de soluciones de lascongruencias

(a) x60 ≡ 79(mod 97);(b) x55 ≡ 17(mod 97) ;(c) x15 ≡ 46(mod 97) .

5.11. Si m. c. d.(a, m) = 1 y s1 ≡ s2(mod ϕ(m)), demuestre que as1

≡as2(mod m). 5.12. Demuestre que si p es un numero impar, r = ( p − 1)/2 y

r ≡ −1(mod 2), entonces p ≡ −1(mod 4). ¿Es la recıproca verdadera?

5.13. Bajo el supuesto de que x2 ≡ −1(mod p) sea soluble, p primo,demuestre que

( p − 1)! ≡ (−1)r+1(mod p), si r = p − 1

2 .

5.14. Si p es un numero primo > 3, demuestre que el producto de lasraıces primitivas modulo p es congruente a −1 modulo p.

5.15. Si g es una raız primitiva modulo p, p primo, demuestre que elconjunto {gn ; 1 ≤ n ≤ ϕ( p − 1), m. c. d.(n, p − 1) = 1} coincide con elconjunto de las raıces primitivas modulo p menores que p.




5.16. [Gauss] Sean p un numero primo y g1 y g2 dos raıces primitivasmodulo p.

1. Demuestre que gIndg2(g1)Indg1(g2)2 ≡ g2(mod p).

2. Demuestre que Indg2(g1)Indg1(g2) ≡ 1(mod p − 1).3. Deduzca de lo anterior un procedimiento para calcular los ındices

con respecto a g2 cuando se tiene una tabla de ındices con respectoa g1.

4. Demuestre que

m. c. d.(Indg2(g1), p − 1) = m. c. d.(Indg1(g2), p − 1) .

Referencias

[1] Albis, Vıctor S. El se˜ nor de Fermat y sus problemas. I, II, III , Boletın de Mate-maticas 7, 8, 10 (1973, 1974, 1976), 219–232, 198-210, 86–95.

[2] Albis, Vıctor S. A remark on primitive roots and ramification . Rev. ColombianaMat. 7 (1973), 93–98. [MR: 49 255] [ZB: 0289.12019]

[3] Albis, Vıctor S. Cl´ asicos de la matem´ atica: La carta de Fermat a Carcavi. Agostode 1659 , Lecturas Matematicas 20 (1999), 137–152.

[4] Albis, V. S. & W. A. Zuniga. Una introducci´ on elemental a la teorıa de las funciones zeta locales de Igusa . Lecturas Matematicas 20 (1999), 5-33.

[5] Albis, Vıctor. Temas de aritmetica y ´ algebra , 2a. edicion. Departamento deMatematicas, Universidad Nacional de Colombia: Bogota, 1984.

[6] Almansa, Jesus & Leonardo Prieto. Nuevas f´ ormulas para el n−esimo primo.Lecturas Matematicas 15 (1994), 227–231.

[7] Apostol, T. M. Mathematical Analysis. Addison–Wesley: Reading, 1957.[8] Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory . Springer–Verlag: New

York, 1976.[9] Arquimedes. Medida del cırculo. En F. Vera, Cientıficos griegos. Vol. 2. Aguilar:

Madrid, 1970.[10] Artin, E. The Collected Papers of Emil Artin . Edited by S. Lang & J. T. Tate.

Addison–Wesley: Reading, 1965. [MR 31 #1159][11] Attiyah, Introduction to Commutative Algebra ,[12] Barnes, E. S. & H. P. F. Swinnerton–Dyer. The inhomogeneous Minima of

Binary Quadratic Formss. I. Acta Math. Stockh. 87 (1952), 259–323.[13] Barshay, Jacob. Topics in Ring Theory . W. A. Benjamin: New York, 1969.[14] I. G. Bashmakova. Diophantus and Diophantine Equations, The Mathematical

Association of America: Washington DC, 2000.[15] Berberian, Sterling K. Measue and Integration , MacMillan: New York, 1965.[16] Bochner, S. Mathematical Reflections. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 827–852.

[17] Borevich & Shafarevich. Number Theory . Academic Press: New York, 1966.[18] Brent, R. P. & G. L. Cohen. A New Bound for Odd Perfect Numbers. Math.

Comput. 53 (1989), 431-437 & S7-S24.[19] Brent, R. P., G. L. Cohen & H. J. J te Riele. Improved Techniques for Lower

Bounds for Odd Perfect Numbers. Math. Comput. 57 (1991), 857-868.[20] Brezinski, Claude. History of Continued Fractions and Pade Aproximations.




[21] Cashwell, E. D. & C. J. Everett. The ring of number theoretic functions. PacificJ. Math. 9 (1959), 975–985.

[22] Castro, Rodrigo de. Mitos y realidades sobre f´ ormulas para calcular n´ umerosprimos. Lecturas Matematicas 14 (1993), 77–101.

[23] Cauchy, L. A. Oeuvres completes. Serie 1, Tome X. Gauthiers–Villars: Paris, 1897.[24] Cayley, A. xxxx . Proc. London Math. Soc. 2 (1866–1869), xxx.[25] Cayley, A. Collected Papers. XXXX. Cambridge, 1893.[26] Chatland, H. & H. Davenport. Euclid’s algorithm in real quadratic fields. Canad.

J. Math. 2 (1950), 289–296.[27] Cohn, Harvey. A Second Course in Number Theory . Wiley: New York, 1964.[28] Cornell, G., J. H. Silvermann & G. Stevens (eds.). Modular Forms and Fer-

mat’s Last Theorem . Springer–Verlag: New York, 1997.[29] Cox, David A. Primes of the forms x2 − y2. Wiley: New York, 1989.[30] Cutkovsky, S. D.. Resolution of Singularities. Graduate Studies in Mathematics,

vol. 63. Amer. Math. Soc.: Providence RI, 2004.[31] Denef, J. The rationality of the Poincare series associated to the p−adic points

on a variety . Inv. Mathematicae 77 (1984), 1–23.[32] Dickson, Leonard E. History of the Theory of Numbers. 3 vols. Chelsea Pub. Co.:

Nueva York, 1966.[33] Diofanto. Aritmetica . En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo II, pags.

1019–1140. Aguilar: Madrid, 1970.[34] Dubreil, Paul & M. L. Dubreil–Jacotin. Lecons d’algebre moderne . Dunod:

Parıs, 1961.

[35] Eduards, H. M. Riemann’s Zeta Function . Academic Press: New York, 1974.[36] M. Eichler.[37] Eisenstein, G. Geometrische Beweis des Fundamentaltheorems f¨ ur die quadratis-

chen Resten . J. reine angew. Math. 28 (1844), 246–248 = Mathematische Werke ,Band I. Chelsea Pub. Co.: New York, 1975, pags. 164–166.

[38] Erdos, Paul. On a new method in elementary number theory . Proc. Nat. Ac. Sc.35 (1949), 374–384.

[39] Euclides. Elementos. En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo I, pags. 702–980. Aguilar: Madrid, 1970.

[40] Euler, Leonhard. Demostrationes circa residua ex divisiones potestatum per nu-

meros primos resultantia , Comment. nov. Ac. Pretop. 18 (1773) = Opera omnia II, pags. 240–281].

[41] Fermat, Pierre de. Oeuvres, vols. I et II. Publiees par Paul Tannery & CharlesHenry. Gauthiers–Villars: Paris, 1891–1912.

[42] Fibonacci (Leonardo de Pisa). El libro de los n´ umeros cuadrados. Editorial Uni-versitaria de Buenos Aires: Buenos Aires, 1973.

[43] Frame, J. S. A short proof of quadratic reciprocity . Amer. Math. Monthly xx(197x), 818–819.

[44] Frei, G. The reciprocity law from Euler to Eisenstein . In S. Chikara, S. Mitsuo& J. W. Dauben, The Intersection of History and Mathematics. Birhauser: Basel,1994.

[45] Gauss, C. F.. Diquisitiones Arithmeticae . Traduccion de Hugo Barrantes,

Michael Josephy & Angel Ruiz Zuniga. Academia Colombiana de Ciencias Ex-actas, Fısicas y Naturales: Bogota, 1995.




[46] Goldman, J. Number of solutions of congruences. Poincare series for strongly non–degenerated forms. Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), 586–590.

[47] Goldman, J. Number of solutions of congruences. Poincare series for algebraic curves. Adv. in Math. 62 (1986), 68–83.

[48] Grosswald, Emil. Topics from the Theory of Numbers. MacMillan Co.: NuevaYork, 1966.

[49] Gupta, Rajiv & M. Ram Murty. A remark on Artin’s conjecture . Inven. Math.78 (1984), 127–130.

[50] Hadamard, Jacques. Sur la distribution des zeros de la fonctiom ζ (s) et ses con-sequences arithmetiques. Bull. Soc. Math. France 24 (1886), 199–200.

[51] Hadlock, Charles.[52] Hagis, P. Jr. & G. L. Cohen. Every Odd Perfect Number Has a Prime Factor

Which Exceeds 106. Math. Comput. 67 (1998), 1323-1330.[53] Hardy, G. H. & E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 4ta

ed. Oxford University Press: Oxford, 1960.[54] Hardy, G. H. Divergent Series, Clarendon Press: Oxford, 1949.[55] Hare, K. More on the total number of prime factors of an odd perfect number .

Math. Comput. 74 :250 (2005) 1003–1008 (electronic).

[56] Harper, M. Z[√

14] is Euclidean . Canadian J. Math. xx (200xx), xx–xx.[57] D. R., Heath–Brown. Artin’s conjecture for primitive roots. Quart. J. Math. Ox-

ford Ser. (2) 37 (1986), 27–38.[58] Hilbert, David. Theorie des corps de nombres algebriques. Hermann: Paris, 1913

=Zahlbericht...

[59] Hooley, Chistopher. On Artin’s conjecture . J. reine angew. Math. 225 (1967,209–220. [MR 34 #7445]

[60] Iannucci, D. E. The Second Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number Exceeds Ten Thousand . Math. Comput. 68 (1999), 1749-1760

[61] Igusa, J. I. Complex powers and asymptotic expansions, I, II . J. reine u. angew.Math. 268/269,278/279 (1974–1975) 110–130; 307–321.

[62] Ingham, A. E. The distribution of prime numbers. Cambridge: CUP, 1932.[63] Itard, Jean. Les livres arithmetiques de’Euclide . Hermann: Paris, 1961.[64] Jones, Burton W. The Arithmetic theory of quadratic forms. Wiley: New York,

1950.

[65] Jones, B. W. Teorıa de los n´ umeros. Trillas: Mexico, 1969.[66] Jones, B. W. Introducci´ on a la teorıa de los n´ umeros. Monografıas matematicas

No. 4. Sociedad Colombiana de Matematicas & Departamento de Matematicas yEstadıstica de la Universidad Nacional de Colombia, 1968.

[67] Jones, Burton W. An Introductiom to Modern Algebra . MacMillan Puc. Co.: NewYork, 1975.

[68] Klein, Felix. Famous Problems of Elementary Mathematics. Hafner: New York,1950.

[69] Knuth. The Art of Computer Programming . Vol. 1: Fundamental Algorithms. 2nd.ed. Addison–Wesley, Reading, 1973.

[70] Kummer, E. E. Collected Papers. Springer–Verlag: Berlin, 1975.[71] Kurosh, A. G. Curso de ´ algebra superior . Editorial Mir: Moscu, 1968.[72] Lame, Gabriel. Demonstration generale du theoreme de Fermat sur

l’impossibilite en nombres entiers de l’equation xn + yn = zn . C. RendusAcad. Sci. Paris 24 (1847), 310–314.




[73] Lehmer, D. H. & E. Lehmer. On the first case of Fermat’s last theorem . Bull.Amer. Math. Soc. 47 (1941), 139-142.

[74] Lehmer, D. H. Computer technology applied to the theory of numbers. En: Stud-ies in Number Theory, W. J. LeVeque, editor. The Mathematical Association of

America:[75] Lemmermeyer, Franz. The development of the principal genus theorem . Preprint,

33 pags.[76] Lenstra, Jr., H. W. Lectures on Euclidean Rings. Bielefeld, 1974.[77] Lenstra, Hendrik W. Euclidean number fields. 1. The Mathematical Intelligencer

2 (1) (1980), 6–15.[78] Liouville, Joseph. Remarques a l’ocassion d’une communication de M. Lame sur

un theoreme de Fermat . C. Rendus Acad. Sci. Paris 24 (1847), 315–316.

[79] Lucas, Eduard. Recherches sus l’analyse indeterminee et l’arithmetique de Dio-phante . Desrosiers: Moulins, 1873.

[80] Lucas, Edouard. Theorie des nombres, I. Editions Jean Gabay: Paris, 1891.[81] Mahoney, M. S. The Mathematical Career of Pierre de Fermat (1601–1665).

Princeton University Press: Princeton NJ, 1973.[82] Markanda, Raj K. Euclidean rings of algebraic numbers and function fields. J.

Alg. (1975), 425–446.[83] Milne, J. S. Algebraic Number Theory. Preprint.[84] Mordell, L. J. Three Lectures on Fermat’s Last Theorem . Cambridge University

Press: Cambridge, Inglaterra, 1921 = Tres lecciones sobre el ´ ultimo teorema de Fermat , Lecturas Matematicas 14 (1993), 1–35, traduccion de Vıctor S. Albis.

[85] Mordell, L. J.. Diophantine Equations. Academic Press: London & New York,1969.

[86] Moreno, Carlos Julio. Fermat’s last theorem . Rev. Colombiana Mat. 29 (1995),49–88.

[87] Masi, Michael. Boethian Number Theory. A translation of the De Institutione Arithmetica . Studies in Classical Antiquity, 6. Rodopi: Amsterdam, 1983.

[88] Motzkin, Theodor. On Euclidean algorithm . Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949),1142–1146.

[89] Muskat, xxx xxxx . Math. of Computation xx (1966), 141–144.[90] Nagell, T. Introduction to Number Theory . Chelsea Pub. Co: Nueva York, 1964.

[91] Nagell, T. Introduction to Number Theory . Chelsea Pub. Co: Nueva York, 1964.[92] Newman, D. J. Simple analytic proof of the prime number theorem . Amer. Math.

Monthly 87 (1980), 693–696.[93] Nougues, R. Theoreme de Fermat, son histoire . Vuibert: Paris, 1932.[94] Palacios, Ricardo. ¿Cu´ ando son dos n´ umeros primos entre sı? Lecturas

Matematicas 15 (1994), 221–226.[95] Picavet, Gabriel. Caracterisation de certains types d’anneaux euclidiens. L’En-

seignement Math. 18 (1972), 245–254.[96] Restrepo, Guillermo. Teorıa de la integraci´ on , Edicion privada: Cali, 2003.[97] Ribenboim, P. The Little Book of Prime Numbers. Springer–Verlag: Berlin, 19xx.[98] Ribenboim, P. Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer–Verlag: Berlin,

1999.[99] Samuel, Pierre. Theorie algebrique des nombres.Hermann: Paris, 19xx.

[100] Samuel, Pierre. About Euclidean rings. J. Algebra 19 (1971), 282–301.




[101] Scharlau, W. & H. Opolka. From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory of Numbers and its Historical Development . Springer–Verlag: Berlin, 1984.

[102] Schroeder, M. R. Number Theory in Science and Communications. Springer–Verlag: Berlin, 1984.

[103] Scott, J. F. The Mathematical Work of John Wallis. Chelsea Pub. Co.: New York,1981.

[104] Selberg, Atlee. An elementary proof of the prime number theorem . Annals of Mathematics 50 (1949), 305–313.

[105] Selfridge, J. L., H. S. Vandiver & C. A. Nicol. Proof of Fermat’s last theorem for all primes exponents less than 4002 . Proceedings Nat. Acad, Sciences (USA)41 (1955), 970–973.


[107] Singh, S. & K. Ribet. Fermat’s last stand . Sci. Amer. 277 (5) (1997), 36–41.[108] Soublin, J.-P. Prehistoire des ideaux . Cahiers du Seminaire d’Histoire des

Mathematiques 5 (1984), 13–20.[109] Stewart, I. De aquı al infinito. Las matem´ aticas de hoy . Crıtica: Barcelona, 1998.[110] Taylor, R. L. & Andrew Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke alge-

bras. Annals of Math. 141 (1995), 443–551.

[111] Thue, A. ¨ Uber Ann¨ aherungswerte algebraischer Zahlen . J. reine angew. Math. 135(1909), 284–305.

[112] Vallee–Poussin, Charlesde la. Recherches analytiques sur la theorie des nom-bres (premiere et seconde parties), Annales de la Soc. Sciences Bruxelles 20 (1896),

183–256; 281–297.[113] Washington, Lawrence C. Introduction to Cyclotomic Fields. Springer–Verlag:

Berlin: 1908.[114] Weil, Andre. Two lectures on number theory, past and present . L’Enseignement

Mathematique 20 (1974), 87–110.[115] Weil, Andre. Number Theory. An Approach through History from Hammurapi to

Legendre . Birkhauser: Basel, 1983.[116] Weinberger, Peter J. On Euclidean rings of algebraic integers. Proc. Symp. Pure

Math. 24 (1973), 321–332.[117] Wieferich, A. Zum letzten Fermat’schen heorem . J. f. reine u. angew. Mathem.

136 (1909), 293–302.[118] Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem . Annals of

Math. 141 (1995), 553–572.



6

La ley de reciprocidad cuadratica

El punto culminante de este capıtulo sera la demostracion de la leyrecıproca de los restos cuadraticos, una verdadera gema de la arit-

metica y cuyas generalizaciones sucesivas por Gauss, Eisenstein,

Hilbert, Artin y Chevalley forman el nucleo de la teorıa del

cuerpo de clases o teorıa de las extensiones abelianas . En la primeraseccion del capıtulo estudiaremos las congruencias cuadraticas, enla segunda demostraremos la ley recıproca de los restos cuadraticos,y en la tercera presentaremos una hermosa conjetura sobre raıcesprimitivas, la cual arranca de Gauss y precisa mas tarde E. Artin.

6.1. Congruencias cuadraticas

Gauss y otros antes que el se preguntaron: dados p y q , primosimpares, ¿que se puede decir de la solubilidad de

x2 ≡ q (mod p)

si sabemos algo sobre la solubilidad de

x2 ≡ p(mod q ) ,

y recıprocamente?

La respuesta a esta pregunta se encuentra en una celebre relacion:la ley de reciprocidad cuadr´ atica o ley recıproca de los restos cuadr´ ati-

cos debida a Euler, Legendre y Gauss, de la cual nos ocuparemosmas adelante en detalle. Como veremos en la seccion 6.5, la pregunta

nace primigeniamente del estudio de las formas cuadraticas binariasdel tipo Q(x, y) = x2 + N y2, algunas de las cuales ya habıan llamadola atencion de Fermat:

Q(x, y) = x2 + y2 , x2 + 2y2 , x2 + 3y2 ,




como lo hemos indicado en el capıtulo 1.Como en este problema intervienen congruencias cuadraticas,

creemos conveniente realizar un rapido estudio de las mismas antes

de atacar el problema central que hemos mencionado arriba.Consideremos, pues, la congruencia cuadratica

x2 ≡ a(mod m) .

Si esta congruencia tiene una solucion, decimos que a es un resto cua-

dr´ atico modulo m. En caso contrario, decimos que a es un no resto

cuadr´ atico modulo m. Estas denominaciones de deben a Euler. Deacuerdo con la proposicion 4.2.3, para resolver esta congruencia basta

resolver las congruencias

x2 ≡ a(mod pk) , k = 1, 2, . . . (1)

donde p es un divisor primo de m. Ahora bien, si p es un primo imparla proposicion 5.3.1 nos dice que la congruencia (1) tiene solucion,cuando m. c. d.(a, pk) = 1, k ≥ 1, si, y solo si,

a

ϕ( pk)/2

≡ 1(mod p

k

) , (2)puesto que 2 = m. c. d.(2, ϕ( pk)). Ademas, siempre bajo la hipotesisde que m. c. d.(a, pk) = 1, la congruencia (1) tiene exactamente 2soluciones si se tiene (2), y ninguna en caso contrario. De aquı elsiguiente resultado debido a Euler:

Proposicion 6.1.1 Si p es un primo impar y m. c. d.(a, p) = 1, en-tonces a es un resto cuadratico modulo p si, y solo si,

a( p−1)/2 ≡ 1(mod p).

Como siempre, el primo 2 requiere un tratamiento especial:

Proposicion 6.1.2. Si a es un numero entero impar y m. c. d.(a, 2) =1, la congruencia

x2 ≡ a(mod 2k) (3)

es soluble si, y solo si,(a) a ≡ 1(mod 2) si k = 1 ;(b) a ≡ 1(mod 4) si k = 2 ;(c) a ≡ 1(mod 8) si k ≥ 3.



98 La ley de reciprocidad cuadratica

Demostraci´ on. Si k = 1, entonces (3) tiene la unica solucion 1 modulo2 (recuerdese que modulo 2, tenemos 1 = −1). Si k = 2, necesaria-mente una solucion x0 de (3) es impar: x0 = 1 + 2t, con t ∈ Z. Pero

entoncesx20 = 1 + 4t(t + 1) ≡ a(mod 4) .

Es decir, por fuerza, a ≡ 1(mod 4) si (3) admite una solucion, parak = 2. Pero entonces la congruencia (3) se convierte en la x2 ≡1(mod 4), la cual tiene exactamente las soluciones x0 ≡ 1, 3(mod 4).

La congruencia x2 ≡ a(mod 23) tiene solucion si y solo si a ≡1(mod 8), en virtud de la proposicion 5.3.1. Veamos ahora, por re-

currencia, que (3) tiene solucion si k ≥ 3. Supongamos que x20 ≡a(mod 2k), con k ≥ 3, es decir, existe t ∈ Z tal que x2

0 = a + t2k.Es claro que forzosamente x0 es impar. Si s ∈ Z consideremos lasiguiente congruencia

(x0 + s2k−1)2 ≡ x20 + 2ksx0 ≡ a + 2k(sx0 + t)(mod 2k+1) ,

donde hemos usado que 2k − 2 ≥ k + 1. Pero, siempre podremos

escoger s de tal forma que sx0 + t sea par (¿por que?). Luego,

(x0 + s2k−1)2 ≡ a(mod 2k+1) ,

lo cual muestra que x2 ≡ a(mod 2k+1) tiene solucion si x2 ≡a(mod 2k) la tiene.

Recıprocamente, si x2 ≡ a(mod 2k) tiene solucion para k ≥ 3,entonces x2 ≡ a(mod 23) tiene solucion, y, por consiguiente, a ≡

1(mod 8).

Para finalizar esta seccion diremos algunas palabras sobre la con-gruencia cuadratica general

ax2 + bx + c ≡ 0(mod m) , m > 0 . (4)

En primer lugar, observemos que si m. c. d.(2a, m) = 1, la congruencia(4) equivale a la siguiente

z2 ≡ b2 − 4ac(mod m) . (5)

Efectivamente,

4a(ax2 + bx + c) ≡ (2ax + b)2 + (4ac − b2) ≡ 0(mod m)




de donde obtenemos (5) haciendo z = 2ax + b. Si x0 es una solucionde (4) es evidente que 2ax0 + b es una solucion de (5). Recıprocamen-te, si z0 es una solucion de (5), entonces 2ax + (b − z0) ≡ 0(mod m)

tiene una unica solucion x0 modulo m, puesto que m. c. d.(2a, m) = 1.Veamos que este x0 es una solucion de (4). En efecto, se tiene

4a(ax20 + bx0 + c) ≡ (2ax0 + b)2 − (b2 − 4ac)

≡ z20 − (b2 − 4ac) ≡ 0(mod m) .

Como m. c. d.(4a, m) = 1, resulta que

ax20 + bx0 + c ≡ 0(mod m) ,

tal como querıamos demostrar.Con otras palabras, si m. c. d.(2a, m) = 1, el estudio de (4) se

reduce al estudio de x2 ≡ d(mod p), donde p es un divisor primoimpar de m.

El raciocinio que nos permitio llegar a este resultado no es aplicablesi 2 | m, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.1.1. Si consideramos la congruencia x2 + 6x + 4 ≡0(mod 8), y efectuamos en ella las transformaciones indicadas antes,obtenemos z2 ≡ 4(mod 8), congruencia que tiene las solucionesz ≡ 2, 6 (mod 8). Sirviendonos de z = 2x + 6, obtendrıamos x ≡0, 2, 4, 6 (mod 8) como soluciones de la congruencia original, la cualno tiene ninguna solucion modulo 8.

6.2. La ley de la reciprocidad cuadratica

De la ley de reciprocidad cuadratica existen numerosas demostra-ciones (mas de 169 hasta hace algunos anos). Una de las mas recientesse encuentra en [4].

Definimos ahora el sımbolo de Legendre para los primos impares

ası: Si p es numero primo impar,

(a | p) :=

0 si p | a ,

1 si x2 ≡ a(mod p) es soluble,

−1 si no es soluble.




Proposicion 6.2.1. Si p es un numero primo impar, el sımbolo de Legendre tiene las siguientes propiedades:

(a) Si m. c. d.(a, p) = 1 ⇒ (a | p) ≡ a( p−1)/2(mod p).

(b) (a | p)(b | p) = (ab | p). En particular, (1 | p) = 1.(c) Si a ≡ b(mod p) ⇒ (a | p) = (b | p).(d) Si m. c. d.(r, p) = 1 ⇒ (a | p) = (ar2 | p).(e)

(−1 | p) = (−1)( p−1)/2 =

1 si p ≡ 1(mod 4),

−1 si p ≡ 3(mod 4) .

Demostraci´ on. (a) Sabemos que x2 ≡ a(mod p) tiene solucion si, ysolo si, a( p−1)/2 ≡ 1(mod p). Es decir,

(a | p) = 1 ≡ a( p−1)/2(mod p) .

Si a no es un resto cuadratico de p, entonces

(a( p−1)/2 − 1)(a( p−1)/2 + 1) = (a p−1 − 1) ≡ 0(mod p) ,

en virtud del teorema de Fermat. Luego o bien a( p−1)/2

≡ 1(mod p)o bien a( p−1)/2 ≡ −1(mod p). Pero como ahora, por fuerza,)

a( p−1)/2 − 1 ≡ 0(mod p) ,

vemos que

(a | p) = −1 ≡ a( p−1)/2(mod p) .

(b) Si p | a (o bien si p | b), el resultado es trivial. Si m. c. d.(ab,p) = 1,

tenemos(a | p)(b | p) ≡ a( p−1)/2b( p−1)/2

≡ (ab)( p−1)/2 ≡ (ab | p)(mod p) ,

donde hemos usado la parte (a). Por consiguiente, tenemos la primeraparte de (b). La segunda parte resulta de la primera, pues

(1 | p) = (12 | p) = (1 | p)(1 | p) = 1 .

(c) Es trivial, y la (d) resulta de la (b). (e) Es evidente a partir de(a).

La parte (a) de la anterior proposicion se conoce como el criterio

de Euler .




Sean ahora p un numero primo impar y g una raız primitiva modulo p. Entonces, existe un entero positivo u tal que a ≡ gu(mod p). Porconsiguiente,

a( p−1)/2 ≡ gu( p−1)/2(mod p) .

Como o(g) = p − 1, si a( p−1)/2 ≡ 1(mod p), vemos que t( p − 1) =u( p − 1)/2, lo cual implica que u es par. Hemos, pues, demostrado lasiguiente proposicion:

Proposicion 6.2.2 Sean p un numero primo impar y g una de sus raıces primitivas. Entonces a es un resto cuadratico modulo p si, y

solo si, Indga es par.

Corolario 6.2.2.1. Si p es un numero primo impar hay exactamente ( p − 1)/2 restos cuadraticos (respectivamente, ( p − 1)/2 no restos cuadraticos).


Consideremos ahora el grupo µ p−1 = {ζ ∈ C ; ζ p−1 = 1} de las

raıces ( p − 1)–esimas de la unidad. Observemos que −1 ∈ µ p−1 pues(−1) p−1 = 1 ya que p − 1 es par. Por su parte, el grupo multiplica-tivo F× p es generado por la clase de una raız primitiva g modulo p.

Definamos para cada ζ ∈ µ p−1 una funcion χζ : F× p → µ p−1 por la

relacion a → ζ Indga. Es casi evidente que cada χζ es un homomorfismode grupos. En particular, si tomamos ζ = −1, vemos que

χ(a) = (a | p) ,

porque si a ≡ gIndga( mod p), entonces χ(a) = (−1)Indga es igual a+1 si Indga es par, e igual a −1 si Indga es impar.

Hemos, pues, demostrado la siguiente proposicion:

Proposicion 6.2.3. Si p es un numero primo impar, a un entero tal que m. c. d.(a, p) = 1 y g es una raız primitiva modulo p, entonces

(a | p) = (−1)Indga .

Los homomorfismos que acabamos de definir son un caso particularde los llamados caracteres de un grupo finito. Sobre esta nocion decar´ acter de un grupo finito volveremos mas adelante.




Cuando m. c. d.(a, p) = 1 existe un algoritmo para calcular (a | p).Veamos en que consiste: como p es un numero primo impar, k =( p − 1)/2 es un numero entero. Consideremos ahora el conjunto

S = {a, 2a, · · · , ka}.

Los elementos de este conjunto son todos incongruentes modulo p,pues si ra ≡ sa(mod p), 1 ≤ r < s ≤ k, entonces (s − r)a ≡ 0(mod p)y como p a, vemos que s − r ≡ 0(mod p); en consecuencia, p | s − ry como

0 < s − r ≤ k < 2k = p − 1 < p ,

esto es imposible. Luego cada uno de ellos es congruente a uno y soloa uno de los elementos del sistema reducido de restos

C = {1, 2, · · · , p − 1} .

Designemos con a1, a2, · · · , at a los elementos de C menores que p/2que son congruentes con elementos de S , y con b1, b2, · · · , bu a loselementos de C mayores que p/2 que son congruentes con elementos

de S y observemos que t + u = k. Entoncesa(2a) · · · (ka) = k!ak ≡ (a1a2 · · · at)(b1b2 · · · bu)(mod p) . (6)

Por otra parte, p − b j ≡ ai(mod p), i y j arbitrarios, porque de locontrario existirıan 1 ≤ r, s ≤ k tales que

0 ≡ ai + b j ≡ (ra + sa) ≡ (r + s)a(mod p) ,

lo cual no es posible, pues 0 < s + r < 2k = p − 1 < p. Dado que

p − b j < p/2 y t + u = k, vemos que

{a1, · · · , at, p − b1, · · · , p − bu} = {1, · · · , p − 1

2 }.

Luego

a1a2 · · · at( p − b1)( p − b2) · · · ( p − bu) = k!,

es decir,

(a1a2 · · · at)(b1b2 · · · bu)(−1)u ≡ k!(mod p) , (7)donde hemos usado que p − b j ≡ −b j(mod p). De (6) y (7) resulta lacongruencia

a1a2 · · · atb1b2 · · · bu(−1)u ≡ k!ak(−1)u ≡ k!(mod p) .




Como p k!, sale que

1 ≡ ak(−1)u(mod p) ⇒ a( p−1)/2 ≡ (−1)u(mod p) .

Luego (−1)u = (a | p). En consecuencia, u ≡ Indg a(mod 2), en virtudde la proposicion 6.2.3.

En el siguiente ejemplo veremos como usar lo anterior para el calcu-lo de (a | p).

Ejemplo 6.2.1 Si p = 11 y a = 3, tenemos S = {3, 6, 9, 12, 15} ysolamente 6 y 9 tienen restos mınimos mayores que 11/2. Luego u = 2

y (3 | 11) = (−1)2

= 1. En particular, x2

≡ 3(mod 11) tiene solucion.La siguiente proposicion nos permite calcular mas rapidamente el

sımbolo (2 | p). Su demostracion se basa en el anterior algoritmo. Esteresultado y el expresado por la formula (e) de la proposicion 6.2.1,se acostumbran llamar las leyes complementarias de la reciprocidad

cuadr´ atica .

Proposicion 6.2.4. Sea p un primo impar. Entonces

(2 | p) = (−1)( p2−1)/8 =

1 si p ≡ ±1(mod 8) ,

−1 si p ≡ ±3(mod 8) .

Demostraci´ on. En el algoritmo anterior tomemos a = 2, de modo que

S = {2, 2 · 2, 2 · 3, · · · , 2( p − 1)/2} .

Como todos los elementos de S son menores que p, vemos que S ⊆C = {1, 2, · · · , p − 1}. Debemos, pues, determinar cuantos elementosde S son mayores que p/2. Si p ≡ 1(mod 4), las desigualdades

2( p − 1)

4 <

p

2 y 2

p − 1

4 + 1

=

2( p + 3)

4 >

p

2

muestran que t = ( p − 1)/4. Luego,

u = ( p − 1)

2 −

( p − 1)

4 =

p − 1

4 .

Es decir, u es par si p ≡ 1(mod 8), e impar si p ≡ −3(mod 8). Si ahora p ≡ −1(mod 4), un razonamiento parecido al anterior nos muestra




anteriormente, tenemos, para todo a ∈ Z:

( p−1)/2

i=1

ia = pM + a1 + · · · + at + b1 + · · · + bu

= pM + a1 + · · · + at + up −u

j=1

( p − b j)

≡ pM + a1 + · · · + at − up +

u j=1

( p − b j)(mod 2).

donde hemos usado que a ≡ −a(mod 2) Por otra parte, sabemos que

{a1, · · · , at, p − b1, · · · , p − bu} = {1, 2, , · · · , p − 1

2 } .

Luego( p−1)/2

i=1

ia ≡ pM − pu +

( p−1)/2

i=1

i (mod 2),

de donde

u ≡ M + (1 − a)( p2 − 1

8 )(mod 2) ,

ya que p ≡ 1(mod 2) y

( p−1)/2

i=1

i = p2 − 1

8 ∈ Z.

Finalmente, dado que 1 − a ≡ a − 1(mod 2), la afirmacion de la pro-posicion resulta de inmediato.

Corolario 6.2.5.1. Si p y q son primos impares distintos, entonces

(q | p) = (−1)M .

Demostraci´ on. La relacion resulta de (8) y de

(q | p) = (−1)u = (−1)M +

( p2 − 1)(q − 1)

8

al observar que q − 1 es par pues q es impar.




Proposicion 6.2.6. [Euler & Gauss] Si p y q son dos primos impares distintos, entonces

(q | p)( p | q ) = (−1)

( p−1)(q−1)/4

.Es decir,

(q | p) = ( p | q ) si p ≡ 1(mod 4) o q ≡ 1(mod 4) ,

( p | q ) = −(q | p) si p ≡ q ≡ 3(mod 4)

Demostraci´ on. Daremos la siguiente demostracion geometrica debidaa G. Eisenstein [2]. En un sistema rectangular de coordenadas,

consideremos la recta L que une el origen con el punto ( p, q ). Sea Rla region limitada por las rectas x = p/2, y = q/2, x = 0 e y = 0, sinincluir los puntos de estas rectas fronteras. La demostracion consisteesenciamente en contar convenientemente de dos maneras distintastodos los puntos reticulares que se encuentren dentro de la regi onR. En primer lugar, es facil verificar que solo hay ( p − 1)(q − 1)/4

puntos reticulares en el interior de R. Si N es el entero definido porla proposicion 6.2.5, cuando intercambiamos allı los papeles de p y q ,vemos que, en virtud del corolario 6.2.5.1,

( p | q ) = (−1)M y (q | p) = (−1)N ,

de modo que (q | p)( p | q ) = (−1)M (−1)N = (−1)M +N . La proposi-cion quedara demostrada si verificamos lo siguiente:

1. L no tiene puntos reticulares de R,2. Hay M puntos reticulares de R debajo de L,3. Hay N puntos reticulares R encima de L,

puesto que entonces M + N = ( p − 1)(q − 1)/4.En efecto, como la ecuacion de la recta L es py = qx y

m. c. d.( p, q ) = 1, el primo p debe dividir a la primera coordenadade cualquier punto reticular que se encuentre en L, y el primo q debe

dividir a la segunda coordenada de un tal punto. Por consiguiente,no hay ningun punto reticular sobre L mas cercano al origen que elpunto ( p, q ). Este punto no pertenece a R. Lo anterior significa queen R ∩ L no contiene puntos reticulares.




L( p, q )

( p, 0) p

2 , 0

0,

q

2

(0, q )

En el dibujo p = 11 y q = 5

Por otra parte, sobre la recta x = 1, las segundas coordenadasde los puntos reticulares que se encuentran debajo de la recta L yque estan en R son precisamente 1, 2, · · · , [q/p]. Esto es, hay [q/p]puntos reticulares en R, debajo de L, con primera componente 1. Demanera semejante, para los de primera componente igual a 2, hay[2q/p] puntos reticulares, etc. En total habra, pues,

M =

( p−1)/2i=1

iq

p

puntos reticulares de R debajo de L. De manera muy parecida, semuestra que los puntos reticulares de R que se encuentran encima de

L son, en numero,

N =

(q−1)/2 j=1

jp

q

,

lo cual completa la demostracion de la proposicion.

Los siguientes ejemplos muestran como usar la ley de reciprocidadcuadratica y las leyes complementarias en el calculo del sımbolo de

Legendre.Ejemplo 6.2.2. Queremos hallar (71 | 73). Como 73 ≡ 1(mod 4),tenemos

(71 | 73) = (73 | 71) y (73 | 71) = (2 | 71)




usando las propiedades del sımbolo de Legendre. Finalmente,(2 | 71) = 1, por la proposicion 6.2.4, ya que 71 ≡ −1(mod 8).

Ejemplo 6.2.3. Tenemos(11 | 23) = −(23 | 11) = −(1 | 11) = −1 ,

lo cual muestra que 11 no es un resto cuadratico modulo 23.

Ejemplo 6.2.4 Tenemos

(1003 | 1151) = (17 | 1151)(59 | 1151)

= (1151 | 17)(−1)(1151 | 59)= −(12 | 17)(30 | 59)

= −(4 | 17)(3 | 17)(2 | 59)(3 | 59)(5 | 59)

= −(3 | 17)(−1)(3 | 59)(5 | 59)

= −(17 | 3)(−1)(−1)(59 | 3)(59 | 5)

= −(2 | 3)(2 | 3)(4 | 5) = −1

lo cual comprueba que 1003 no es un resto cuadratico modulo 1151.El algoritmo provisto por el sımbolo (a | p) solo nos permite decidir

si x2 ≡ a(mod p) tiene solucion o no. No nos dice nada sobre cualesson las soluciones. La siguiente proposicion nos procura informacionsobre este asunto.

Proposicion 6.2.7. Sean p un numero primo impar y a > 0 un entero

no divisible por p. Si (a | p) = 1, tenemos las siguientes proposiciones:

(a) Si p = 3 + 4k entonces x ≡ ak+1(mod p) es solucion de

x2 ≡ a(mod p) . (9)

(b) Si p = 5 + 8k y a2k+1 ≡ 1(mod p), entonces x ≡ ak+1(mod p)es solucion de (9).

(c) Si p = 5 + 8k y a2k+1 ≡ −1(mod p), entonces

x ≡ (4a)k+1

p + 1

2

(mod p)

es solucion de (9).




Demostraci´ on. (a) Como (a | p) = 1, sabemos que a( p−1)/2 ≡

1(mod p). Pero p − 1

2 = (2k + 1) por la hipotesis. En consecuencia,

(ak+1)2 = a2k+2 = a · a2k+1 = a · a( p−1)/2 ≡ a(mod p) .

(b) y (c) Si p = 5 + 8k, vemos que p − 1

2 = 4k + 2, de modo que

a4k+2 = a( p−1)/2 ≡ 1(mod p) .

Ahora bien, si a2k+1 ≡ 1(mod p), tenemos

(ak+1)2 = a · a2k+1 ≡ a(mod p) ,

lo cual demuestra (b). Si ahora a2k+1 ≡ −1(mod p), obtenemos(4a)k+1

p − 1

2

2= 24k+2a · a2k+1 ≡ (−1)a · a2k+1 ≡ a(mod p) ,

puesto que 24k+2

= 2( p−1)/2

≡ −1(mod p) ya que 2 no es un restocuadratico modulo p = 5 + 8k. Esto demuestra la proposicion (c).

Otra manera de mirar el sımbolo (· | p) ( p primo impar) es consi-derarlo como un epimorfismo de grupos (· | p) : F× p → {−1, +1}. Loselementos del nucleo N de este homomorfismo son precisamente lasclases de los restos cuadraticos modulo p. Como F× p /N ≈ {−1, +1},

obtenemos otra demostracion del corolario 6.2.2.1.

6.3. El sımbolo de Jacobi

Los ejemplos 6.2.2–6.2.4 nos muestran que la ley de reciprocidadcuadratica es una herramienta poderosa para calcular (a | p) cuandoconocemos la factorizacion de a. En general, cuando a es muy grande

su factorizacion puede presentar problemas y el uso del sımbolo deLegendre no es entonces muy adecuado. Este obstaculo fue removidopor C. G. J. Jacobi con la introduccion de un nuevo sımbolo quegeneraliza el de Legendre. Como veremos (proposicion 6.3.1), estesımbolo satisface las mismas reglas de calculo que el de Legendre.




Consideremos un numero impar P = p1 · · · pk > 1, donde algunosde los numeros primos pi pueden ser iguales. Jacobi propuso la si-guiente generalizacion del sımbolo de Legendre: si m. c. d.(a, P ) = 1

(a | P ) := (a | p1) · · · (a | pk)

donde los (a | pi) son sımbolos de Legendre.La siguiente proposicion contiene las propiedades basicas de este

nuevo sımbolo.

Proposicion 6.3.1. Sea P = p1 · · · pk > 1 un numero impar. En-tonces

(a) Si a ≡ b(mod P ) entonces (a | P ) = (b | P ).(b) (1 | P ) = 1.

(c) (−1 | P ) = (−1)(P −1)/2.(d) (a1 · · · ar | P ) = (a1 | P ) · · · (ar | P ).(e) (ab2 | P ) = (a | P ).

(f) (2 | P ) = (−1)(P 2−1)/8.

(g) Si P y Q son numeros impares > 1 y tales que m. c. d.(P, Q) =

1, entonces (P | Q) = (Q | P )(−1)(P −1)(Q−1)/4 .

Demostraci´ on. Las propiedades (a), (b), (d) y (e) resultan inmediata-mente de las propiedades del sımbolo de Legendre. La relacion (c),resulta de

P − 1

2 =

p1 · · · pk − 1

2 =

1 + 2 p1 − 1

2 · · ·

1 + 2

pk − 1

2 − 1

2

= p1 − 1

2 + · · · +

pk − 1

2 + 2t , t ∈ Z ,

y de las definiciones. De

(2 | P ) = (2 | p1) · · · (2 | pk) = (−1)k

i=1( p2

i−1)/8

y usando

P 2 − 1

8 =

p21 · · · p2k − 1

8 =

1 +

8( p21 − 1)

8

· · ·

1 +

8( p2k − 1)

8

− 1

8

= p21 − 1

8 + · · · +

p2k − 1

8 + 2n , n ∈ Z ,




resulta (f). Veamos finalmente la demostracion de (g): Si Q = q 1 · · · q r,tenemos

(Q | P ) = (Q | p1) · · · (Q | pk) =

ki=1

r j=1

(q j | pi)

= (−1)k

i=1

rj=1

pi−1

2

qj−1

2

ki=1

r j=1

( pi | q j)

= (−1)

ki=1

pi−1

2

rj=1

qj−1

2

(P | Q) .

Pero

P − 1

2 =

ki=1

pi − 1

2 + 2N, N ∈ Z ,

Q − 1

2 =

r j=1

q j − 1

2 + 2M, M ∈ Z ,

lo cual demuestra (g).

Ejemplo 6.3.1. Queremos demostrar que la congruenciax2 ≡ 219(mod 383) tiene soluciones. Observemos que 383 es unnumero primo. En vez de calcular directamente (219 | 383), usaremosel sımbolo de Jacobi para calcular

(383 | 219) = (383 | 3)(383 | 73) = (2 | 3)(2 | 73)(9 | 73)

= (2 | 3)(2 | 73) = (−1)(+1) = −1 ,

pues 3 ≡ 3(mod 8) y 73 ≡ 1(mod 8). Usando ahora la regla (g) dela proposicion 6.3.1, vemos que (219 | 383) = (−1)(−1)191×109 = 1.Luego la congruencia original tiene soluciones.

Es facil verificar que si para P y Q el sımbolo de Jacobi (P | Q) vale−1, entonces P no es un resto cuadratico modulo Q. Sin embargo,




si (P | Q) = +1 no podemos decidir si P es un resto cuadraticomodulo Q. En efecto, tomemos Q = q 1q 2, donde q 1, q 2 son numerosprimos impares, distintos, tales que (P | q 1) = (P | q 2) = −1, de

modo que x2 ≡ P (mod q 1) y x2 ≡ P (mod q 2) no sean solubles. Perosabemos que x2 ≡ P (mod q 1q 2) es soluble si y solo si, cada una delas anteriores congruencias es soluble. Luego x2 ≡ P (mod Q) no essoluble.

6.4. La conjetura de Gauss–Artin

El problema de determinar los numeros primos p para los cuales

el entero a es una raız primitiva modulo p lo investigo Gauss

en elArtıculo 315 de sus Disquisitiones Arithmeticae , dedicado al desarro-llo decimal periodico de fracciones de denominador p. PrecisamenteGauss conjeturo que:

El numero de primos p para los cuales 10 es raız primitiva modulo p es infinito.

Una condicion necesaria y suficiente para que a sea una raız pri-

mitiva modulo el primo p esta contenida en la siguiente proposicion:

Proposicion 6.4.1. Si m. c. d.(a, p) = 1, entonces a es raız primi-tiva del numero primo p si, y solo si, a no satisface ninguna de las congruencias

a( p−1)/q ≡ 1(mod p) , (10)

cuando q recorre los distintos divisores primos de p − 1.

Demostraci´ on. En efecto, si alguna de las congruencias (10) subsistey dado que ( p − 1)/q < ( p − 1), es imposible que a pueda ser raızprimitiva modulo p. Recıprocamente, supongamos que m. c. d.(a, p) =1 y que a no satisface ninguna de las congruencias anteriores. Sabemosque a p−1 ≡ 1(mod p). Veamos que ad ≡ 1(mod p) para todo d <

p − 1, lo cual implica que a es raız primitiva modulo p. En efecto, sisuponemos que ad ≡ 1(mod p), para algun d < p − 1, sabemos que

d | ( p − 1), de modo que tendrıamos ( p − 1)/d = uq , donde q es undivisor primo de ( p − 1). Por consiguiente,

a( p−1)/q ≡ aud ≡ 1(mod p) ,

lo cual contradice la hipotesis hecha.




Ejemplo 6.4.1. Si a = x2 es un cuadrado perfecto (x ∈ Z) y p esun primo impar que no divide a x, tenemos a( p−1)/2 = (x2)( p−1)/2 =x p−1 ≡ 1(mod p) por el pequeno teorema de Fermat, la cual indica

que p /∈ A(a). Pero si p | x, es claro que p /∈ A(a). Luego A(a) = ∅.

Ejemplo 6.4.2. Dado que (−1)2 = 1, vemos que

(−1 | p) = (−1)( p−1)/2 ≡ 1(mod p) si p ≡ 1(mod 4)

(−1)( p−1)/q ≡ 1(mod p) si p ≡ 3(mod 4) ,

donde p − 1 = 2(1 + 4t) = 2qx, donde q es un primo impar. Luego

p /∈ A(−1) si p − 1 > 2. Es decir, A(−1) = {3}, pues claramente3 ∈ A(−1).

Todo lo anterior, mas un razonamiento heurıstico de tipo proba-bilıstico –ademas de seductor– llevo a E. Artin, en el curso de unaconversacion con H. Hasse, a proponer la siguiente conjetura:

Si a = 0, −1, no es un cuadrado perfecto, entonces A(a) es infinito.

Esta conjetura aguarda todavıa respuesta. Sin embargo, bajo elsupuesto de que la extension natural de la hipotesis de Riemann ala funcion zeta de Dedekind de ciertas extensiones galoisianas de Qes valida, Hooley [9] ha podido demostrar su validez condicionada.

Un primo de la forma p = 2q + 1, donde q es un numero primo,se dice un primo seguro. Los siguientes primos p = 5, 7, 11, 23 son

primos seguros.

Proposicion 6.4.4. Si p = 2q + 1 es un primo seguro, entonces p ∈A(a) si, y solo si, m. c. d.(a, p) = 1 y (a | p) = −1 y a ≡ −1(mod p).

Demostraci´ on. Por la proposicion 6.4.1, a, con m. c. d.(a, p) = 1, esuna raız primitiva modulo p si, y solo si, a no satisface ninguna delas congruencias

a( p−1)/2 ≡ 1(mod p) ,

a2 ≡ 1(mod p) .




Pero a( p−1)/2 ≡ 1(mod p) equivale a (a | p) = −1. Por otra parte, sia ≡ −1(mod p), tendrıamos a2 ≡ 1( mod p), lo cual no es posiblepor nuestras hipotesis. Luego a ≡ −1(mod p).

Recıprocamente, supongamos que (a | p) = −1 y a ≡ −1(mod p).Si a2 ≡ 1(mod p), entonces o bien a ≡ 1(mod p) o bien a ≡−1(mod p). Por hipotesis, a ≡ −1(mod p), luego necesariamentea ≡ 1(mod p), y, en consecuencia, (a | p) = (1 | p) = 1, lo cualcontradice que (a | p) = −1.

Proposicion 6.4.5. Si p = 2q + 1 es un primo seguro > 11, entonces

(a) p ≡ 2(mod 3),(b) p ≡ 3(mod 4), y (c) p ≡ 2, 3, o 4(mod 5).

En consecuencia, p ≡ 23, 47, o 59(mod 60).

Demostraci´ on. (a) Si q ≡ 0(mod 3), q no es primo. Si q ≡ 1(mod 3),entonces p = 2q + 1 ≡ 3(mod 3), con lo cual p no serıa primo. Siq = 2 + 3t (t = 0, 1, 2, · · · ), vemos que p = 5 + 6t. Luego si p > 11,

entonces p ≡ 2(mod 3).Las congruencias (b) y (c) de demuestran de manera analoga. Laafirmacion final es una consecuencia del teorema chino de los restos.

Proposicion 6.4.6. Si p es un primo seguro entonces p /∈ A(3).Demostraci´ on. Basta demostrar que (3 | p) = 1. Usando la ley dereciprocidad cuadratica, vemos que

(3 | p) = ( p | 3)(−1)( p−1)/2 .

Como p ≡ 2(mod 3) (por la proposicion anterior), tenemos

( p | 3) = (2 | 3) = (−1)(9−1)/8 = −1 ,

donde hemos usado la proposicion 6.2.4. Pero como tambien p ≡3(mod 4), sabemos que ( p − 1)/2 es impar. Luego (3 | p) = 1.

A continuacion presentamos algunos indicios de por que la conje-tura de Gauss puede ser cierta.

Proposicion 6.4.7. Un primo seguro p = 2q + 1 pertenece a A(10)si, y solo si, (10 | p) = −1.




(a) Si p = 4n + 1, entonces

p | x2 − qy2 ⇔ q | x2 − py2.

(b) Si p = 4n + 3, entonces p | x2 − qy2 ⇔ q | x2 + py2.

Demostraci´ on. El enunciado de la proposicion no es sino otra manerade expresar la ley de reciprocidad cuadratica.

Ejercicios

6.1. Escriba un programa que encuentre todas las soluciones de ax2

+bx + c ≡ 0(mod m) si m es impar y m. c. d.(m, 2) = 1.

6.2. Calcule la serie de Poincare del polinomio f (x) = x2 − a ∈ Z[x].

6.3. Demuestre que si n es un entero, entonces 3n2− 1 no es un cuadrado.

6.4. Sea p un numero primo impar.

1. Demuestre que

p−1

k=0(k | p) = 0.

2. Use (1) para demostrar que si p a, entonces p−1

k=0

(ka + b | p) = 0.

3. Mas generalmente, si f (x) ∈ Z[x] es un polinomio que toma valoresenteros cuando x es entero, y si p a, demuestre que

p−1

0(f (ak + b) | p) =

p−1

k=0(f (k) | p) .

6.5. Sirviendose del metodo empleado en el ejemplo 6.2.1, determine (5 |7), (3 | 11), (6 | 13) y (−1 | p).

6.6. Si p a, demuestre que el numero de soluciones de ax2 + bx + c ≡0(mod p) esta dado por 1 + (b2 − 4ac | p).

6.7. Sirviendose de la ciclicidad de U p, de una demostracion directa de larelacion (−3 | p) = 1 cuando p ≡ 1(mod 3), verificando que en U p existe unelemento r de orden 3, que cumple (2r + 1)2 = −3.

6.8. Usando la ley de reciprocidad cuadratica, encuentre los primos paralos cuales 7 es un resto cuadratico.

6.9. Si p ≡ 1(mod 4), demuestre la existencia de enteros s y t tales que pt = 1 + s2. Deduzca que entonces p no es un elemento primo de Z[i].Recuerde que es un anillo factorial.




6.10. Un entero a se dice un resto bicuadr´ atico modulo el primo p si lacongruencia x4 ≡ a(mod p) es soluble. Sirviendose de la identidad x4 + 4 =((x + 1)2 + 1)((x − 1)2 + 1), demuestre que −4 es un resto bicuadratico

modulo p si, y solo si, p ≡ 1(mod 4).6.11. Sea p un numero primo. Demuestre las siguientes formulas:

1.

p−1k=1

k(k | p) = 0 si p ≡ 1(mod 4).

2.

p−1k=1

k2(k | p) = p

p−1k=1

k(k | p) si p ≡ 3(mod 4).

6.12. Demuestre las siguientes proposiciones relativas al sımbolo de Ja-cobi:

1. Si se fija el entero b, el sımbolo de Jacobi (a | b) es una funcionperiodica de a. Determine su perıodo mas pequeno.

2. Si se fija el entero a, el sımbolo de Jacobi (a | b) es una funcionperiodica de b. Determine su perıodo mas pequeno.

6.13. Si p = 2q + 1, donde q es un primo impar, es un primo seguro,demuestre que

1. q + 1 es una raız primitiva modulo p si q ≡ 1(mod 4).2. q es una raız primitiva modulo p si q ≡ 3(mod 4).

Referencias

[1] Artin, E. The Collected Papers of Emil Artin . Edited by S. Lang & J. T.Tate. Addison–Wesley: Reading, 1965. [MR 31 #1159]

[2] Eisenstein, G. Geometrische Beweis des Fundamentaltheorems f¨ ur die

quadratischen Resten . J. reine angew. Math. 28 (1844), 246–248 = Mathe-

matische Werke , Band I. Chelsea Pub. Co.: New York, 1975, pags. 164–166.[3] Euler, Leonhard. Demostrationes circa residua ex divisiones potestatum

per numeros primos resultantia , Comment. nov. Ac. Pretop. 18 (1773) =Opera omnia II, pags. 240–281].

[4] Frame, J. S. A short proof of quadratic reciprocity . Amer. Math. Monthlyxx (197x), 818–819.

[5] Frei, G. The reciprocity law from Euler to Eisenstein . In S. Chikara, S.Mitsuo & J. W. Dauben, The Intersection of History and Mathematics .Birhauser: Basel, 1994.

[6] Gauss, C. F.. Diquisitiones Arithmeticae . Traduccion de Hugo Bar-

rantes, Michael Josephy & Angel Ruiz Zuniga. Academia Colombianade Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales: Bogota, 1995.

[7] Gupta, Rajiv & M. Ram Murty. A remark on Artin’s conjecture . Inven.Math. 78 (1984), 127–130.




[8] D. R., Heath–Brown. Artin’s conjecture for primitive roots . Quart. J.Math. Oxford Ser. (2) 37 (1986), 27–38.

[9] Hooley, Chistopher. On Artin’s conjecture . J. reine angew. Math. 225(1967, 209–220. [MR 34 #7445]

[10] Jones, B. W. Introducci´ on a la teorıa de los n´ umeros . Monografıasmatematicas No. 4. Sociedad Colombiana de Matematicas & Departamen-to de Matematicas y Estadıstica de la Universidad Nacional de Colombia,1968.



7

Funciones aritmeticas

En este capıtulo estudiaremos las funciones definidas en el conjunto N∗

con valores complejos. Estas funciones, llamadas funciones aritmeticas, tieneun papel muy importante en la teorıa de los numeros y sus generalizaciones

encuentran fecundas aplicaciones en la teorıa combinatoria y en otras ramasde la matematica.

7.1. El algebra de las funciones aritmeticas

Una funcion f : N∗ → C se dice una funcion aritmetica. Observemosque en definitiva una funcion aritmetica no es otra cosa que una sucesionde elementos de C. Por razones que se explicitaran mas tarde, designamos

con Dir(N∗), o sencillamente Dir, al conjunto de tales funciones. Un primerejemplo puede ser la funcion indicatriz de Euler ϕ : N∗ → C que hemosintroducido en el capıtulo III, y para la cual hemos mostrado que ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b) cada vez que m. c. d.(a, b) = 1 (proposicion 3.2.1). Esta propiedades compartida por numerosas funciones aritmeticas de interes, por lo quebien vale la pena distinguirlas con una definicion. Mas precisamente, decimosque f ∈ Dir es multiplicativa si

i) f = 0 ;

ii) m. c. d.(a, b) = 1 ⇒ f (ab) = f (a)f (b) .

Las funciones aritmeticas para las que f (ab) = f (a)f (b) para todo para y b, se dicen completamente multiplicativas. En ellos la condicionm. c. d.(a, b) = 1 es, pues, superflua.

Ejemplo 7.1.1 Ejemplos triviales de funciones multiplicativas son lossiguientes:

u(n) = 1 , para todo n ∈N∗

;gs(n) = ns , para todo n ∈ N

∗ ,

donde s ∈ C. Estas funciones son claramente completamente multiplicativas.




Si definimos en Dir las siguientes operaciones

(f + g)(n) : = f (n) + g(n), para todo n ∈ N∗ , (1)

(f ∗ g)(n) : = d|n

f (d)gn

d para todo n ∈ N

∗ , (2)

(λf )(n) : = λf (n) para todo λ ∈ C , n ∈ N∗ , (3)

donded|n

indica la suma extendida a todos los divisores d del entero n, la

siguiente proposicion nos muestra que Dir conforma una C–algebra conmu-tativa para estas operaciones.

Proposicion 7.1.1. Las operaciones definidas por (1), (2 ) y (3 ) tienen las

siguientes propiedades, donde f , g, h, · · · designan elementos de Dir:

(a) f + g = g + f (conmutatividad de la suma ).

(b) (f + g) + h = f + (g + h) (asociatividad de la suma ).

(c) Si 0 esta definida por 0(n) = 0 para todo n ∈ N∗, entonces para

toda f ∈ Dir se tiene

0 + f = f + 0 (existencia de la funcion cero ).

(d) Dada f ∈ Dir, la funcion −f , definida por (−f )(n) : = −f (n), para

todo n ∈ N∗, satisface

f + (−f ) = 0 (existencia de los inversos aditivos ).

(e) f ∗ g = g ∗ f (conmutatividad del producto ∗).

(f) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) (asociatividad del producto ∗).

(g) Si I esta definida por I (1) = 1, I (n) = 0 para n = 1, entonces para

toda f ∈ Dir

I ∗ g = g (existencia de la unidad para la multiplicacion ∗).

(h) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h ( propiedad distributiva ).

(i) λ(f + g) = λf + λg, para todo λ ∈ C.

(j) (λ + µ)f = λf + µf para todo λ, µ ∈ C.

(k) (λµ)f = λ(µf ) para todo λ, µ ∈ C.

Demostraci´ on. A tıtulo de ejemplo, solo demostraremos la parte (f), dejandoal cuidado del lector la demostracion de las otras. Si hacemos v = g ∗ h,obtenemos

(f ∗ v)(n) =ad=n

f (a)v(d) =ad=n

f (a)bc=d

g(b)h(c)

=abc=n

f (a)g(b)h(c)



122 Funciones aritmeticas

De manera semejante, haciendo w = f ∗ g, encontramos

(w ∗ h)(n) =

dc=nw(d)h(c) =

dc=nab=d

f (a)g(b)

h(c)

=abc=n

f (a)g(b)h(c) .

Las propiedades (a)–(g) nos muestran que Dir conforma un anillo con ele-mento unidad para las operaciones definidas por (1) y (2), y la conjunci onde aquellas con las propiedades (h)–(k) nos muestran que es, ademas, unaC–algebra con las operaciones definidas por (1), (2) y (3).

La operacion ∗ se acostumbra llamar la convolucion de Dirichlet, lo

cual explica la notacion Dir.Una pregunta pertinente es la siguiente: ¿Cuales son los elementos inver-

tibles del algebra Dir? Es decir, ¿bajo que condiciones existe para f ∈ Diruna funcion g ∈ Dir tal que f ∗ g = I ?

Supongamos por un momento que

(f ∗ g)(n) =d|n

f (d)gn

d

= I (n) .

Si n = 1, obtenemos (f ∗g)(1) = f (1)g(1) = 1, lo que implica que f (1) = 0 yg(1) = 1/f (1). Recıprocamente, si f (1) = 0, podemos definir g(1) = 1/f (1).En seguida, de

(f ∗ g)(2) = f (1)g(2) + f (2)g(1) = 0 ,

resulta

g(2) = −f (2)g(1)

f (1) ,

lo que nos sugiere que si f (1) = 0, podemos definir su inversa g recurrente-mente. En efecto, supongamos que hemos definido g(n − 1) en terminos def (1), · · · , f (n − 1) y g(1), · · · , g(n − 2). Como queremos que

(f ∗ g)(n) =d|n

f (d)gn

d

= 0 ,

debemos tener

f (1)g(n) = −

d|nd=1

f (d)g

n

dy, por lo tanto,

g(n) = − 1

f (1)

d|nd=1

f (d)gn

d

. (4)




Si designamos con Dir× al grupo multiplicativo de los elementos de Dir,vemos, pues, que hemos demostrado el siguiente resultado.

Proposicion 7.1.2. f ∈ Dir× si, y solo si, f (1) = 0. La inversa de f se

calcula entonces recurrentemente mediante la formula (4).

Si usamos la notacion usual f −1 para designar la inversa de f ∈ Dir×,podemos escribir (f ∗ g)−1 = f −1 ∗ g−1.

Corolario 7.1.2.1. Toda funcion multiplicativa f es invertible en Dir. Ade-

mas f (1) = 1.

Demostraci´ on. Como f = 0, existe n ∈ N∗ para el cual f (n) = 0. Pero

m. c. d.(1, n) = 1 implica que f (n) = f (1 ·n) = f (1)f (n), de donde f (1) = 1.El corolario es ahora consecuencia directa de la proposicion.

Proposicion 7.1.3 Si f y g son multiplicativas, entonces f ∗ g es multi-

plicativa.

Demostraci´ on. Si m. c. d.(m, n) = 1 y designamos con h al producto f ∗ g,obtenemos de las definiciones

h(mn) = d|mn

f (d)g mn

d =

r|ms|n

f (rs)g m

r

· n

s ,

porque si d | mn, entonces d = rs, con r | m, s | n, m. c. d.(r, s) = 1 =

m. c. d.m

r ,

n

s

, puesto que m. c. d.(m, n) = 1, segun lo supuesto. En con-

secuencia, usando que f y g son multiplicativas, vemos que

h(mn) =

r|ms|n

f (r)g

m

r f (s)g

n

s =r|m

f (r)gm

r

s|n

f (s)gn

s

=r|m

f (r)gm

r

h(n) = h(m)h(n) .

Luego el conjunto de las funciones multiplicativas, designado con M, esuna parte estable del grupo multiplicativo Dir×. Queremos ahora mostrarque es en realidad un subgrupo de este grupo. Para esto necesitaremos dela siguiente

Proposicion 7.1.4. Si f es multiplicativa y f ∗g es multiplicativa, entonces

g es multiplicativa.




Demostraci´ on. Sea h = f ∗ g y supongamos que g no sea multiplicativa.Existen entonces m y n tales que m. c. d.(m, c) = 1 tales que g(mn) =g(m)g(n). Luego el conjunto

E = {m ∈ N∗ ; ∃n ∈ N∗, tal que m. c. d.(m, n) = 1, g(mn) = g(m)g(n)}no es vacıo y admite, en consecuencia, un mınimo m0. Por lo tanto, elconjunto

F = {n ∈ N∗ ; m. c. d.(m0, n) = 1, g(m0n) = g(m0)g(n)}

tampoco es vacıo. Sea n0 su mınimo. Es claro ahora que

i) m. c. d.(m0, n0) = 1 y g(m0n0) = g(m0)g(n0);ii) g(mn) = g(m)g(n) si m. c. d.(m, n) = 1, 1 ≤ m < m0 y n es arbi-

trario;iii) g(m0n) = g(m0)g(n) si m. c. d.(m0, n) = 1, 1 ≤ n < n0,

de donde resulta qued|m0n0

f (d)gm0n0

d

= h(m0n0) = h(m0)h(n0)

=

r|m0

f (r)gm0

r

s|n0f (s)g

n0

s

=r|m0

s|s0

f (r)f (s)gm0

r

gno

s

,

o sea

r|mo

s|n0

f (r)f (s)g

m0n0

rs − f (r)f (s)g

m0

r g

n0s

= 0 (5)

Pero m0/r y n0/s son menores que m0 y n0, respectivamente, si r, s = 1.Luego, en virtud de ii) y iii), (5) se convierte en

g(m0n0) − g(m0)g(n0) = 0 ,

lo cual contradice i). Por consiguiente, g(mn) = g(m)g(n) sera siempreverdadero si m. c. d.(m, n) = 1, como querıamos demostrar.

Corolario 7.1.4.1. M es un subgrupo multiplicativo de Dir

×

.Demostraci´ on. Por la proposicion 7.1.3, el producto de dos funciones multi-plicativas es una funcion multiplicativa. Por otra parte, si f ∈ M, entoncesf ∗ f −1 = I . Como I es multiplicativa, la proposicion nos dice que f −1

tambien lo es.




Corolario 7.1.4.2. f ∈ M ⇔ f ∗ u ∈ M. Es decir, si f ∈ M, la funcion

definida por

g(n) = d|n

f (d) (6)

es multiplicativa. Recıprocamente, si g esta definida por (6) y es multiplica-

tiva, entonces f tambien lo es.

Demostraci´ on. (⇒) Como f y u son multiplicativas, la proposicion 7.1.3 nosdice que f ∗ u ∈ M.

(⇐) Si f ∗ u ∈ M, entonces f ∈ M, pues u ∈ M (en virtud de laproposicion 7.1.4).

Corolario 7.1.4.3. σ0(n) :=

d|n 1 y σ(n) =

d|n d ∈ M.

Demostraci´ on. Como u(n) = 1 y v(n) = n son multiplicativas, el corolarioresulta de

σ0(n) =d|n

u(d) =d|n

1

y

σ(n) =d|n

v(d) =d|n

d .

Corolario 7.1.4.4. Si n =

i peii entonces σ0(n) =

i(ei + 1).

Demostraci´ on. Como σ0( peii ) = ei+1, el resultado es consecuencia inmediatade la multiplicatividad de la funcion σ0.

La siguiente proposicion, con interesantes consecuencias, es inmediata.

Proposicion 7.1.5. Si f y g son funciones multiplicativas, entonces la funcion definida por (f g)(n) : = f (n)g(n) para todo n ∈ N∗, tambien es

multiplicativa.

Proposicion 7.1.6. Si f es una funcion multiplicativa y n = pe11 · · · pekk > 1,

entonces

d|nf (d) =

1 + f ( p1) + · · · + f ( pe11 )

× · · · ×

1 + f ( pk) + · · · + f ( pekk )

.

Demostraci´ on. Los divisores de n son exactamente todas las expresiones dela forma

pf 11 · · · pf kk , 0 ≤ f i ≤ ei, i = 1, · · · , k .




Cuando multiplicamos todas las sumas del miembro derecho de la expresionque aparece en el enunciado, es claro que encontramos una suma cuyos ter-minos, dada la multiplicatividad de f , son todos de la forma

f ( pf 11 ) · · · f ( pf kk ) = f ( pf 11 · · · pf kk ) ,

donde 0 ≤ f i ≤ ei, i = 1, · · · , k. Es decir, la suma del miembro izquierdode esa expresion.

Corolario 7.1.6.1. Para gs(n) = ns, n = pe11 · · · pekk y s ∈ C, tenemos

(a)

σs(n) := d|n

ds = 1 + ps1 + · · · + pse11 × · · · × 1 + psk + · · · + psekk (7)

(b) Si en a) hacemos s = 1, obtenemos

σ(n) : = σ1(n) =d|n

d =k

i=1

pei+1i − 1

pi − 1 . (8)


Las funciones σs se denominan funciones divisionales. En particular,el valor σ1(n) = σ(n) designa la suma de los divisores del numero n yσ0(n) = τ (n) el numero de divisores de n.

Corolario 7.1.6.2.

d|n ϕ(d) = n.

Demostraci´ on . Tenemos para p primo, usando que ϕ( pe) = pe−1( p − 1),

1 + ϕ( p) + · · · + ϕ( pe) = pe .

Usando la proposicion 7.1.6 para n = pe11 · · · p

ekk obtenemos lo pedido.

Proposicion 7.1.7. Dir es un dominio.


El siguiente resultado es mas profundo:

Proposicion 7.1.8. Dir es un dominio factorial

Demostraci´ on. Vease [5].

7.2. La funcion de Mobius

Un numero n > 1 tal que n = p1 · · · pk, donde los pi son primos distintosdos a dos, se dice primitivo o cuadrado-independiente. La siguiente




funcion aritmetica, introducida por Mobius, puede considerarse como unacaracterizacion de los enteros primitivos:

µ(n) : =

1 si n = 1 ,

(−1)k si n = p1 · · · pk (n es primitivo) ,

0 si n no es primitivo .

(9)

Claramente la siguiente proposicion es inmediata:

Proposicion 7.2.1. µ es una funcion multiplicativa.

Proposicion 7.2.2. Sean f una funcion multiplicativa y n = pe11 · · · pekk > 1la descomposicion canonica del numero n. Entonces

d|n

µ(d)f (d) =

1 − f ( p1)

· · ·

1 − f ( pk)

=k

i=1

(1 − f ( pi)) .

Demostraci´ on. De la proposicion 7.1.5 resulta que µ(n)f (n) es multiplica-tiva. Finalmente, de la definicion de µ y la proposicion 7.1.6, obtenemos lopedido.

Corolario 7.2.2.1. d|n

µ(d) =

1 si n = 1

0 si n = 1 .(10)

Es decir, µ ∗ u = I .


Corolario 7.2.2.2. Si n = pe11 · · · pekk > 1, entonces

d|n

µ(d)

d =

1 si n = 1 ,k

i=1

1 −

1

pi

si n = 1 .

(11)


Proposicion 7.2.3. [Formula de inversion de Mobius] Sean f y g funciones

aritmeticas. Entonces

g = f ∗ u ⇐⇒ f = µ ∗ g . (12)

O tambien,

g(n) =d|n

f (d) ⇐⇒ f (n) =d|n

µ(d)gn

d

.




Mas aun: Si f y g satisfacen (12), entonces f ∈ M ⇔ g ∈ M.

Demostraci´ on. (⇒) De g = u ∗ f resulta

µ ∗ g = µ ∗ (u ∗ f ) = (µ ∗ u) ∗ f = I ∗ f = f ,

usando el corolario 7.2.2.2.(⇐) De f = µ ∗ g obtenemos

u ∗ f = u ∗ (µ ∗ g) = (u ∗ µ) ∗ g = g ,

usando de nuevo el corolario 7.2.2.2. La ultima afirmacion resulta de laproposicion 7.1.4, teniendo en cuenta que µ y u son multiplicativas.

En los resultados que siguen usaremos la funcion de Mobius para obtener

interesantes relaciones entre funciones aritmeticas.

Corolario 7.2.3.1. Si n > 0, entonces

ϕ(n) =d|n

µ(d)n

d .

Demostraci´ on. De n =

d|n ϕ(d) el resultado es inmediato.

Para terminar esta seccion introducimos la llamada funcion de Liou-

ville: para n = pe11 · · · pekk

λ(n) : =

1 si n = 1,

(−1)e donde e =k

i=1 ei, si n > 1.

Es claro que esta funcion es completamente multiplicativa.

Proposicion 7.2.5. Si n > 0, entonces

d|n

λ(d) =

1 si n es un cuadrado ,0 en el caso contrario .

(13)

Ademas, λ−1(n) = |µ(n)|.

Demostraci´ on. Como g(n) =d|n

λ(d) es multiplicativa, basta encontrar

g( pα) para p primo y α ≥ 1:

g( pα

) =d| pα

λ(d) = 1 + λ( p) + · · · + λ( pα

)

= 1 − 1 + 1 − · · · + (−1)α =

0 si α es impar,

1 si α es par.




Luego para n =

i pαii ,

g(n) = i

g( pαii ) = 0 si alguno de los αi es impar ,

1 si todos los αi son pares ,de donde resulta (13). Ahora bien, si h(n) = µ(n)λ(n), vemos que

(h ∗ λ)(n) =d|n

µ(d)λ(d)λ(n

d) =

d|n

µ(d)λ(n) ,

puesto que λ es completamente multiplicativa. Por lo tanto,

(h ∗ λ)(n) = λ(n)d|n

µ(d) = λ(n)I (n) = I (n) ,

pues λ(1) = 1 e I (n) = 0 si n > 1. Consecuentemente, λ−1(n) = µ(n)λ(n) =µ2(n) = |µ(n)|.

7.3. Numeros perfectos y numeros de Fermat

Un numero entero n se dice perfecto si

2n =d|n

d = σ(n) ⇐⇒ n =d|n

0<d<n

d .

Todos los numeros perfectos conocidos son pares. Por ejemplo

6 = 1 + 2 + 3 ,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

La siguiente proposicion, que se remonta a Euclides [7], caracteriza alos numeros perfectos pares:

Proposicion 7.3.1. Un numero par n es perfecto cuando, y solo cuando,

n = 2q−1(2q − 1), donde q y 2q − 1 son numeros primos.

Demostraci´ on. Observemos en primer lugar que si 2n − 1 es primo, entoncesn es primo. En efecto, si n = ab, con a, b > 1, vemos que (2a−1) | (2a)b−1 =2n − 1, lo cual no es posible porque, por hipotesis, 2n − 1 es primo. Pasemos,ahora sı, a la demostracion de la proposicion: podemos escribir n = 2rm,con m impar y r > 0. Luego,

2r+1m = 2n =d|n

d = σ(n) = σ(2r)σ(m) = (2r+1 − 1)σ(m) ,




puesto que σ es multiplicativa. Como m. c. d.(2r+1 − 1, 2r+1) = 1, tenemos2r+1 − 1 | m, de modo que m = s(2r+1 − 1), para algun entero s. Entonces

σ(m) ≥ s(2r+1 − 1) + s = s2r+1 ;

por otra parte,

s(2r+1 − 1)2r+1 = (2r+1 − 1)σ(m) ⇒ σ(m) = s2r+1 .

En consecuencia, s y s(2r+1−1) son los unicos divisores de m, lo cual fuerzaa que s = 1 y m = 2r+1 − 1 sea primo. Por lo tanto,

n = 2r(2r+1 − 1) = 2q−1(2q − 1) ,

si hacemos q = r + 1. Pero ya hemos visto que en este caso, q es primo.

Recıprocamente, si n = 2q−1

(2q

− 1), con q y 2q

− 1 primos, es claro queσ(n) = σ(2q−1)σ(2q − 1) = [(2q − 1) + 1] σ(2q − 1)

= 2q(2q − 1) = 2

2q−1(2q − 1)

= 2n .

En su Isagoge o Introducci´ on a la aritmetica , Nicomaco de Gerasa

(siglo ii d. de J. C.), sin prueba alguna, dice que los siguientes hechos,expresados en la terminologıa moderna, son verdaderos:

(a) El n−esimo numero perfecto tiene n dıgitos.

(b) Todos los numeros perfectos son pares.(c) Todos los numeros perfectos terminan alternadamente en 6 y en 8.(d) Todo numero perfecto es de la forma 2q−1(2q − 1), para algun q , si

2q − 1 es primo.(e) Existe un cantidad infinita de numeros perfectos.

Ahora bien, para la epoca de Nicomaco los unicos numeros perfectosconocidos eran

6, 28, 496, 8.128 ,

de modo que sus aseveraciones, al parecer, son el fruto de una ingenuainduccion baconiana. Ası, el quinto numero perfecto es

212(213 − 1) = 33.550.336,

el cual tiene 8 dıgitos. Esto invalida (a). Por otra parte, Pietro Antonio

Cataldi (1548–1626), en 1603, encontro el sexto numero perfecto:

216(217 − 1) = 8.589.869.056 ,

con lo cual invalido la alternancia del 6 y del 8 como dıgitos finales delos numeros perfectos expresada en (c). Mas adelante (proposicion 7.3.2),mostraremos que el ultimo dıgito de un numero perfecto par necesariamentees 6 u 8. En cuanto a (d), ya observamos, en la demostraci on de la proposi-cion 7.3.1, que si 2q − 1 es primo entonces q es primo y que, en tal caso,




2q−1(2q − 1) es un numero perfecto par. Luego este criterio no puede apli-carse para determinar si existen o no numeros perfectos impares. Esto haconducido a la siguiente conjetura: No existen numeros perfectos impares .

En esta direccion, Muskat [16] ha mostrado lo siguiente: Si n es un numero perfecto impar, entonces n tiene un divisor de la forma pm > 102, donde

p es un numero primo impar . De manera que si n es perfecto e impar, ndebe ser bastante grande. En la misma direccion, es decir, en la busquedadel tamano de un eventual numero perfecto impar o de sus factores primos,estan los siguientes trabajos: [3], [4], [10] y [12].1

El resultado que demostramos en seguida resulta de ayuda cuando que-remos verificar si un numero par es o no perfecto.

Proposicion 7.3.2. Si n es un numero perfecto par, entonces su ultimo dıgito es o bien 6 o bien 8.

Demostraci´ on. Sabemos que n = 2q−1(2q − 1), donde q es un primo. Siq = 2, entonces n = 6. Supongamos, pues, que que q es impar. Por elpequeno teorema de Fermat tenemos 24 ≡ 1(mod 5). Como q − 1 es par,entonces q − 1 = 4m o q − 1 = 4m + 2, para algun m ∈ Z. Consideremos laprimera posibilidad. En este caso:

2q−1 = (24)m ≡ 1(mod 5)

2q − 1 = 2q−1 · 2 − 1 ≡ 2 − 1 ≡ (mod 5) ,

es decir,

n ≡ 1(mod 5)

n ≡ 1 o 6(mod 10) .

Como n es par, por fuerza n ≡ 6(mod 10).

Si q − 1 = 4m + 2, tenemos

2q−1 = (24)m22 ≡ 4(mod 5)

2q − 1 = 2q−1 · 2 − 1 ≡ 7(mod 5) ,

es decir,

n ≡ 4 · 7 ≡ 3(mod 5)

n ≡ 3 o 8(mod 10) .

Como n es par, forzosamente n ≡ 8(mod 10).

1El problema de la existencia de numeros perfectos impares es quiza el problema noresuelto mas antiguo de la matematica.




Existe una curiosa relacion entre numeros perfectos pares y los llamadosnumeros triangulares, definidos por

∆k =

0 si k = 0

1 + · · · + k = 12

k(k + 1) si n ≥ 1

En efecto, tenemos la siguiente proposicion:

Proposicion 7.3.3. Todo numero perfecto par es un numero triangular.

Demostraci´ on. Tenemos

2q−1(2q − 1) = 1

22q(2q − 1) = ∆2q−1 .

Si 2n − 1 es primo, decimos que 2n − 1 es un numero de Mersenne. Esclaro que si n es primo un numero de Mersenne produce un numero perfectopar: 2n(2n − 1).

Mersenne conjeturo que para q primo, 2q − 1 es primo si q ≤ 257.Hoy sabemos que existen primos de Mersenne muy grandes. De hecho, enlos ultimos anos, los numeros primos mas grandes conocidos han sido deMersenne. El n-esimo primo de Mersenne se suele indicar con M (n). Tablascontinentes de los numeros de Mersenne conocidos se mantienen al dıa en

sitios como el siguiente:http://primes.utm.edu/mersenne/

Segun esta tabla, hasta 2012 se conocıan 47 numeros de Mersenne, el masgrande los cuales es 243112609 − 1 el cual tiene 12978.189 dıgitos.

Un numero de la formaF n = 22

n

+ 1

se dice un numero de Fermat. Los siguientes son numeros de Fermat:

F 0 = 3 , F 1 = 5 , F 2 = 17 , F 3 = 257 ,F 4 = 65537 , F 5 = (641)(6700.417)

F 6 = (274117)(67280421310721) .

Observemos que los cinco primeros numeros de Fermat son primos, peroque el sexto F 5 ya no lo es. Con esta precaria evidencia, en 1650 Fermat

conjeturo que todo numero que lleve su nombre es primo. El numero F 6lo factorizo Landry en 1880, hecho notable pues no disponıa de una com-

putadora. Hoy no se conocen mas primos de Fermat que los que aparecenen la anterior lista. Tambien se sabe que F 7, F 8, F 9, F 10 y F 11 y otros masno son numeros primos. En 1999, John B. Cosgrave anuncio que F 382447admite el factor primo

p = 3 × 2382449 + 1 .




Proposicion 7.3.4. If 2n + 1 is an odd prime, then n is a power of 2.

Demostraci´ on . If n is a positive integer but not a power of 2, then n = rsdonde 1 ≤ r < n, 1 < s ≤ n and s es impar. Pero sabemos que (a − b) |

(am

− bm

) si m es entero positivo. Sustituyendo a = 2r

, b = −1, m = s yrecordando que s es impar, obtenemos que (2r + 1) | (2rs + 1) = 2n + 1.Como 1 < 2r + 1 < 2n + 1, vemos que 2r + 1 es un divisor propio de 2n + 1,lo cual contradice que este sea primo.

Corolario 7.3.4.1. Todo primo de la forma 2n+1 es un numero de Fermat.

La siguiente es una curiosa propiedad de los numeros de Fermat:

Proposicion 7.3.5. [Polya] Si m = n, entonces m. c. d.(F m, F n) = 1.

Demostraci´ on. Supongamos que m < n y hagamos r = n − m, de modo que2n = 2m2r. Si hacemos a = 22

m

, tenemos F m = a + 1. Por otra parte,

F n − 2 = 22n

− 1 = (22m

)2r

− 1 = a2r

− 1

= (a − 1)(1 + a + a2 + · · · + a2r−2

+ a2r−1

= (a − 1)[(1 + a) + a2(1 + a) + · · · + a2r−2

(1 + a)]

= (a − 1)(1 + a)(1 + a2 + · · · + a2r−2

) .

Luego F m = 1 + a divide a F n − 2. Es decir, F n − 2 = qF m. Si ahora d esun divisor comun de F n y F m, es claro que d debe dividir a 2. Pero tantoF m como F n son impares, lo que fuerza a que d = 1.

Como corolario de esta proposicion obtenemos una nueva demostracionde la infinitud del conjunto de los numeros primos.

Corolario 7.3.5.1. El conjunto de los numeros primos es infinito.

Demostraci´ on. Sean pm un primo que divida a F m y pn uno que divida aF n. Entonces por la proposicion, pm = pn y como la sucesion infinita de losnumeros de Fermat esta conformada por elementos distintos, el corolarioresulta.

El siguiente resultado, al cual Gauss dedica el ultimo capıtulo de susDisquisitiones Arithmeticae [8], no lo probaremos aquı:

Un polıgono regular de n lados puede construirse con regla y compas si, y

solo si,

n = 2k p1 p2 · · · pr , (k ∈ N)

donde los pi son primos distintos entre sı y de la forma pi = 22si

+ 1.




Este resultado, cuya demostracion puede encontrarse en [1], [8], [13] o[14], muestra que existe una estrecha relacion entre la constructibilidad deun polıgono regular y los numeros de Fermat.

Monoides aritmeticos

Ejercicios del capıtulo VII

7.1. Demuestre que τ (n) es un numero impar si, y solo si, n es un cuadrado.

7.2. Usando la parte a) del corolario 7.1, demuestre que ϕ es multiplicativa.

7.3. Demuestre que la funcion µ de Mobius es la unica funcion aritmetica quesatisface g = f

∗u

⇔ f = µ

∗g.

7.4. Demuestre que la funcion µ de Mobius es la unica funcion aritmetica quesatisface µ ∗ u = I .

7.5. Considere un conjunto arbitrario de n parejas {(αj , dj) ; αj ∈ C , dj ∈ N∗}.

Para m > 1, considere

S m =

dj≡0(mod m)

αj y S =

dj=1

αj .

Demuestre que

S =

∞m=1

µ(m)S m .

[Sugerencia : µ ∗ u = I .]

7.6. Use el resultado anterior para demostrar:

1. Para todo numero real x ≥ 1,

1 =

[x]k=1

µ(k)x

k

.

2. Si M (x) =

0<k≤x µ(x) usar a) para verificar que para n ≥ 1 se tiene

1 =d≥1

M n

d

.

7.7. Demuestre la siguiente asercion o encuentre un contraejemplo: Si f : N → C

es una funcion multiplicativa, entonces

F (n) =d|n

f (d)

es multiplicativa.

7.8. a) Demuestre que si f (n) = [√

n] − √ n − 1

, entonces

f (n) =

1 si n es un cuadrado,

0 si n no es un cuadrado .




b) Deduzca que f es multiplicativa pero que no es completamente multiplicativa.

7.9. Si f es multiplicativa, demuestre que:

1. f −1(n) = µ(n)f (n) si n es primitivo.

2. f

−1

( p2

) = [f ( p)]2

− f ( p), para todo primo p.3. f −1(n) = µ(n)f (n), para todo n ≥ 1 si f es completamente multiplicati-va.

7.10. ¿Para que numeros es ϕ(m) par? ¿Cuando se tiene ϕ(m) = m

2 ?

7.11. Muestre que ϕ(7.186) = ϕ(7.187) = ϕ(7.188) = 2.593.

7.12. Demuestre que σ0(n) es impar cuando, y solo cuando, n es un cuadrado.

7.13. Si n > 0, demuestre que ϕ(n) | n cuando, y solo cuando, n = 2r, r ≥ 0, on = 2r3s, r, s > 0.

7.14. Demuestre que

d|6.000

ϕ(d) = 6.000.

7.15. Halle formulas para

1.d|n

µ(d)ϕ(d),

2.d|n

µ(d)2ϕ(d)2,

3. d|n

µ(d)

ϕ(d).

7.16. Demuestre qued|n

µ(d)σ0

n

d

= 1, para todo n > 0.

7.17. Demuestre qued|n

µ(d)σn

d

= n, para todo n > 0.

7.18. Demuestre que ϕ(n)ϕ(m) = ϕ(m. c. d.(m, n))ϕ(m. c. m.(m, n)).

7.19. Demuestre que 1≤t≤m

m.c.d.(t,m)=1

t = 1

2

mϕ(m).

7.20. Determine todos los numeros enteros positivos m para los cuales: a)ϕ(m) = 10; b) ϕ(m) = 8.

7.21. Muestre que no existe ningun numero natural para el cual ϕ(m) = 14.

7.22. Demuestre qued2|n

µ(d) = µ(n)2.

7.23. Calcule d|n

µ(d)λn

d.

7.24. Demuestre que la suma de las raıces primitivas modulo p, p primo, escongruente a µ( p − 1) modulo p.

7.25. Si h es una funcion completamente multiplicativa y f, g son funcionesaritmeticas arbitrarias, demuestre que




1. (f h) ∗ (gh) = (f ∗ g)h.2. Si f es invertible en Dir, entonces (f h)−1 = f −1h.

7.26. Si X = [1, +∞), considere el C−espacio vectorial F (X ) de las funciones

definidas sobre X con valores en C

. Si f ∈ Dir y F ∈ F (X ), defina la accion : Dir × F (X ) → F (X ) mediante la formula

(f F )(x) =n≤x

f (n)F x

n

, ∀x ∈ X .

(Es decir, el anillo Dir opera sobre F (X ).)

(1) Para cada f ∈ Dir, demuestre que F → f F es un C−endomorfismo deespacios vectoriales de F (X ).

(2) Demuestre que I

F = F para todo F

∈ F (X ).

(3) ¿Por que podemos suponer que f g = f ∗ g si f, g ∈ Dir?

(4) Demuestre que para f, g ∈ Dir, F ∈ F (X ), se tiene

(f + g)F = f F + gF ,

(f g)F = (f ∗ g)F .

(5) Demuestre que para f ∈ Dir, λ ∈ C, f ∈ F (X ), se tiene

(λf )F = λ(f F ) .

(6) Deduzca de (2) y (4) que si f ∈ Dir, F, G ∈ F (X ), entoncesG = f F ⇐⇒ F = f

−1G ,

donde f ∗ f −1 = I .

(7) Deduzca de lo anterior que

G = uF ⇐⇒ F = µG .

Con otras palabras:

G(x) =n≤x

F x

n ⇐⇒ F (x) =

n≤x

µ(n)Gx

n

, ∀x ≥ 1 .

Este resultado se llama la segunda formula de inversion de Mobius.

(8) ([x] designa a la parte entera de x.) Si F (x) = 1 para todo x ≥ 1, use (7)para demostrar que

n≤x

µ(n)x

n

= 1 , ∀x ≥ 1 .

[Sugerencia : Observe que n≤x 1 = [x], para x ≥ 1.]

7.27. Demuestre que ∆k ∼ k2

2 cuando k → ∞.

7.28. En 1796, Gauss demostro que todo numero entero n ≥ 0 es la suma detres numeros triangulares. Es decir.

n = ∆k1 + ∆k2 + ∆k3 .




donde los ∆ki son numeros triangulares. Esta descomposicion no es unica, pues,por ejemplo, 7 = 3 + 3 + 1 = 6 + 1 + 0.

1. Demuestre que (2k + 1)2 = 8∆k + 1

2. Deduzca que para todo n

≥ 1, la ecuacion diofantica no lineal(2x1 + 1)2 + (2x2 + 1)2 + (2x3 + 1)2 = 8n + 3

siempre es soluble. Es decir, todo numero congruente a 3 modulo 8 puedeescribirse como la suma de tres cuadrados.

7.29. Demuestre por induccion que F n − 2 = 22n − 1 es divisible por lo menos

por n primos diferentes. Concluya de aquı que el numero de primos es infinito.

7.30. Sea p = 2q − 1 un primo de Mersenne. Demuestre que 10 no es una raızprimitiva modulo p si q

≡1(mod 4).

7.31. Sea p = 22n − 1 un primo de Fermat.

1. Demuestre que g es raız primitiva modulo p si, y solo si, (g | p) = −1.2. Demuestre que 7 es raız primitiva modulo cualquier primo de Fermat.

Referencias

[1] Albis, Vıctor S. Temas de aritmetica y ´ algebra . 2a. edicion. Universidad Nacionalde Colombia: Bogota, 1984.

[2] Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory . Springer–Verlag: New

York, 1976.[3] Brent, R. P. & G. L. Cohen. A New Bound for Odd Perfect Numbers. Math.

Comput. 53 (1989), 431-437 & S7-S24.[4] Brent, R. P., G. L. Cohen & H. J. J te Riele . Improved Techniques for Lower

Bounds for Odd Perfect Numbers. Math. Comput. 57 (1991), 857-868.[5] Cashwell, E. D. & C. J. Everett. The ring of number–theoretic functions. Pacific

J. Math. 9 (1959), 975–985.[6] Dickson, Leonard E. History of the Theory of Numbers. 3 vols. Chelsea Pub. Co.:

Nueva York, 1966.[7] Euclides. Elementos. En Francisco Vera, Cientıficos griegos, tomo I, pags. 702–

980. Aguilar: Madrid, 1970.[8] Gauss, C. F.. Diquisitiones Arithmeticae . Traduccion de Hugo Barrantes,

Michael Josephy & Angel Ruiz Zuniga. Academia Colombiana de CienciasExactas, Fısicas y Naturales: Bogota, 1995.

[9] Grosswald, Emil. Topics from the Theory of Numbers. MacMillan Co.: NuevaYork, 1966.

[10] Hagis, P. Jr. & G. L. Cohen. Every Odd Perfect Number Has a Prime Factor

Which Exceeds 106. Math. Comput. 67 (1998), 1323-1330.[11] Hare, K. More on the total number of prime factors of an odd perfect number .

Math. Comput. 74 :250 (2005) 1003–1008 (electronic).[12] Iannucci, D. E. The Second Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number

Exceeds Ten Thousand . Math. Comput. 68 (1999), 1749-1760[13] Jones, B. W. Introducci´ on a la teorıa de los n´ umeros. Monografıas matematicas

No. 4. Sociedad Colombiana de Matematicas & Departamento de Matematicas yEstadıstica de la Universidad Nacional de Colombia, 1968.




[14] Klein, Felix. Famous Problems of Elementary Mathematics. Hafner: New York,1950.

[15] Lehmer, D. H. Computer technology applied to the theory of numbers. En: Stud-ies in Number Theory, W. J. LeVeque, editor. The Mathematical Association of

America:[16] Muskat, J. B. On divisors of odd perfect numbers. Math. of Computation 20

(1966), 141–144.[17] Nagell, T. Introduction to Number Theory . Chelsea Pub. Co: Nueva York, 1964.[18] Ribenboim, P. The Little Book of Prime Numbers. Springer–Verlag: Berlin, 19xx.



8

Las fracciones continuas y lasucesion de Fibonacci

Las fracciones continuas constituyen un tema muy descuidado porlos autores de textos. Sin embargo, existen hermosas relaciones entre ellasy cierto tipo de sucesiones recurrentes de numeros enteros. Estas frac-ciones fueron durante mucho tiempo parte del conocimiento basico de losmatematicos. Las ideas basicas de su teorıa fueron extendidas al desarrolloen fracciones continuas de funciones de variable compleja y uso en el analisiscontinua hoy en el campo de los polinomios ortogonales. El lector interesadopuede encontrar mayor informacion historica sobre el tema en [3].

8.1. Propiedades fundamentales de las fracciones continuasunitarias

Lo que se llama el desarrollo en fraccion continua de un numero realα > 0 es el resultado del algoritmo que describimos a continuacion.

Dado α ∈ R, sea q 1 = [α] su parte entera. Si α no es un numero entero,podemos escribir

α = q 1 +

1

α2 , con α2 > 1 .

Ahora bien, o α2 es entero, en cuyo caso α es racional, o bien se puede poner

α2 = q 2 + 1

α3, con q 3 entero y α3 > 1 .

Recurrentemente, si α2, · · · , αn−1 no son enteros, obtenemos

α3 = q 3 +

1

α4 , con q 2 entero y α4 > 1;. . . . . .

αn−1 = q n−1 + 1

αn, con q n−1 entero y αn > 1.




Usando lo anterior vemos que podemos escribir

α = q 1 +

1

q 2 + 1

q 3 + · · · + 1

q n−1 + 1

αn

(1)

Ahora bien, si αn es un numero entero, el algoritmo se detiene y es clarofinalmente que α es entonces un numero racional. Decimos en este caso

que hemos obtenido una fraccion continua limitada. Recıprocamente, siα = a/b > 0, donde a y b son enteros que cumplen b > 0 y m. c. d.(a, b) = 1,veamos que α admite un desarrollo en fraccion continua limitada. En efecto,por el algoritmo de Euclides, tenemos

a = bq 1 + r1 , a

b = q 1 +

1

b/r1,

b = r1q 2 + r2 , b

b1= q 2 +

1

r1/r2,

· · · · · ·rn−3 = rn−2q n−1 + rn−1 ,

rn−3rn−2

= q n−1 + 1

rn−2/rn−1,

rn−2 = rn−1q n , rn−2rn−1

= q n ,

tal como querıamos demostrar.Si el algoritmo no se detiene, hablamos de una fraccion continua ili-

mitada. Por lo anterior, es claro que en este caso α es un numero irracionaly escribimos formalmente

α = q 1 + 1

q 2 + 1

q 3 + · · ·

(1’)



140 Las fracciones continuas y la sucesion de Fibonacci

Cabe anotar que el desarrollo (1) no representa la expresion mas generalde una fraccion continua. De hecho la mas general tiene la forma

α = q 1 + p1

q 2 + p2

q 3 + p3

q 4 + · · ·

(2)

donde ningun q i, excepto posiblemente q 1, es cero. La expresion (1) en laque todos los pi son iguales a 1, se dice una fraccion continua unitaria

o simple.

Las q i se dicen los cocientes incompletos del desarrollo en fraccioncontinua.

Para simplificar la notacion, designaremos tambien una fraccion continua,limitada o no, ası:

[q 1; q 2, · · · , q n, · · · ].

Las fracciones

P 1Q1

= q 1 , P 2

Q2= q 1 +

1

q 2,

P 3Q3

= q 1 + 1

q 2 + 1

q 3

, · · · ,

se llaman las reducidas o convergentes de la fraccion continua[q 1; q 2, · · · , q n, · · · ]. De aquı en adelante supondremos que (P n, Qn) = 1,para todo n ≥ 1.

Para n ≥ 1, la expresion

P n+1

Qn+1

= [q 1; q 2,

· · · , q n, q n+1]

se obtiene de

P nQn

= [q 1; q 2, · · · , q n]




donde P n = q nQn−1 + P n−2, Qn = q nQn−1 + Qn−2 y P nQn−1 − QnP n−1 =(−1)n. Entonces

P n+1

Qn+1=

q n +

1

q n+1

P n−1 + P n−2q n +

1

q n+1

Qn−1 + Qn−2

=

(q nP n−1 + P n−2) + P n−1q n+1

(q nQn−1 + Qn−2) + Qn−1

q n+1

= q n+1P n + P n−1q n+1P n + P n−1

.

Como hemos supuesto que m. c. d.(P n+1, Qn+1) = 1, para completar la de-mostracion de (3) y (4), basta ver que d = m. c. d.(q n+1P n+P n−1, q n+1Qn+Qn−1) = 1. En efecto, supongamos por un momento que d > 1. Pero en-tonces d dividirıa a

(q n+1Qn + Qn−1)P n − (q n+1P n + P n−1)Qn = P nQn−1 − QnP n−1 = (−1)n ;

pero esto es contradictorio. Luego necesariamente d = 1. Finalmente, por

induccion sobre n, (5) resulta usando (3) y (4):

P n+1Qn − P nQn+1 =

P n+1 P nQn+1 Qn

=

q k+1P n + P n−1 P nq k+1Qn + Qn−1 Qn

= −

P n P n−1Qn Qn−1

= (−1)n+1 .

Si hacemos P 1 = 1 y Q1 = 0, las formulas (3) y (4) son validas tambienpara n = 1.Las formulas (3) y (4) fueron indicadas por vez primera por Wallis

(1616–1703), quien tambien introdujo el termino “fraccion continua” [9].1

1El primero en utilizar la notacion (2) fue William Brouncker para representar eldesarrollo de la primera fracion continua de 4/π:

4

π

= 1 +12

2 + 32

2 +52

2 +72

2 + · · ·




Proposicion 8.1.2. Si α > 0 es un numero real irracional su desarrollo enfraccion continua es unico. Todo numero racional positivo tiene dos desar-rollos

[q 1; q 2, · · · , q n−1, q

n] y [q 1; q 2, · · · , q n−1, q n, 1] .

Demostraci´ on. Hagamos αn = q n + 1

αn+1, n ≥ 2. Si αn+1 > 1, entonces

q n = [αn], lo que muestra que esta determinado unıvocamente. Si αn+1 = 1,

la fraccion continua puede terminar con q n = q n + 1 o con q n + 1

1.

Ejemplo 8.1.1. Para desarrollar en fraccion continua el numero racional

105/38, usamos el algoritmo de Euclides para obtener las siguientes rela-ciones:

105 = 2 × 38 + 29 , q 1 = 2 ,

38 = 1 × 29 + 9 , q 2 = 1 ,

29 = 3 × 9 + 2 , q 3 = 3 ,

9 = 4 × 2 + 1 , q 4 = 4 ,

2 = 2 × 1 , q 5 = 2 ,de modo que

105

38 = [2;1, 3, 4, 2] .

Usando (3) y (4) obtenemos la tabla siguiente:

0 1 2 3 4 5

q n ∗ 2 1 3 4 2

P n 1 2 3 11 47 105

Qn 0 1 1 4 17 38

de la cual podemos calcular facilmente sus reducidas.

Ejemplo 8.1.2. El siguiente metodo para calcular el desarrollo en fraccion

continua de √ a2

+ 1, donde a es un numero entero positivo, se remonta aBombelli (1526–1572) [2, (1572)]. De a < √ a2 + 1 < a + 1, resulta que

[√

a2 + 1] = a y a2 + 1 = a +

1

α2, con α2 > 1 .




Pero

α2 = 1√ a2 + 1 − a

=

a2 + 1 + a .

Luego 2a < α2 < 2a + 1 y, por tanto,

α2 = 2a + 1

α3, con α2 = α3 ,

pues 1

α3= α2 − 2a =

√ a2 + 1 − a =

1

α2. Recurrentemente, para n ≥ 2

vemos que αn = 2a + 1

α2, de modo que

a2 + 1 = [a; 2a, 2a, · · · ] .

Por ejemplo:√

2 = [1; 2, 2, · · · ] ,√

5 = [2; 4, 4, · · · ] ,√

17 = [4; 8, 8, · · · ] ,√

26 = [5; 10, 10, · · · ] .

Usando nuevamente (3) y (4), para√

17 construimos la tabla

0 1 2 3 4 · · ·

q n ∗ 4 8 8 8 · · ·

P n 1 4 33 268 2.177 · · ·

Qn 0 1 8 65 528 · · ·para obtener las reducidas

P 1Q1

= 4 , P 2

Q2=

33

8 ,

P 3Q3

= 268

65 ,

P 4Q4

= 2.177

528 , · · · .

Observemos que las reducidas de ındice impar “aproximan” a√

17 por la

izquierda y las de ındice par por la derecha. En particular, P 4Q4

− √ 17 ≈

0, 000000475, lo que es ya una excelente aproximacion de √ 17.Ejemplo 8.1.3. Euler encontro el siguiente desarrollo de π en fraccioncontinua ilimitada:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 14, 2, 1,...] .




Sus primeras reducidas son las siguientes:

P 1Q1

= 22

7 = 3 +

1

7 = 3, 142857

P 2Q2

= 3 + 1

7 + 1

15

,

P 3Q3

= 355

113 = 3 +

1

7 + 1

15 + 1

1

= 3 + 1

7 + 1

16

= 3, 1415929 .

Este ultimo fue utilizado por los antiguos chinos y los babilonios para apro-ximar el valor de π. Usando esta “aproximacion” el error cometido paracalcular el diametro de la tierra en el ecuador produce tan solo un error de4 metros. Por su parte, Arquımedes, en su opusculo Medida del cırculo [1,pags. 94–100], usando un polıgono de 96 lados, “aproximo” π mediante lafraccion racional

3.123

994 = 3 +

1

7 + 1

20 + 1

7

= 3, 1418511 .

El numero π pertenece a la categorıa de los llamados numeros trascen-

dentes, es decir, aquellos numeros complejos que no satisfacen ninguna

ecuacion algebraica de la forma a0 + a1x + · · · + anx

n

= 0, ai ∈Q

.Ejemplo 8.1.4. Otro numero trascendente famoso es el numero e =2, 718281828 · · · de Euler, cuyo desarrollo en fraccion continua

e = [2 : 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, · · · ]

presenta cierta regularidad, pero que al principio no produce una rapidaaproximacion.

Los ejemplos anteriores nos han conducido a hablar heurısticamente dela aproximacion de un numero real α > 0 por las reducidas de su desa-rrollo en fraccion continua, lo que tambien sugiere que ultimadamente lasucesion (P n/Qn) de sus reducidas tiende a α. Para ver que esto es ası, pri-mero demostraremos que esta sucesion es convergente usando el siguiente




argumento de Euler (1737): de (5) obtenemos

P nQn

− P n−1Qn−1

= (−1)n 1

QnQn−1. (6)

La serie

q 1 + 1

Q1Q2− 1

Q2Q3+

1

Q3Q4− · · · (7)

tiene como suma parcial n-esima a

P 1Q1

+

P 2Q2

− P 1Q1

+ · · · +

P nQn

− P n−1Qn−1

=

P nQn

.

Pero la serie (7) es alternada y como Qn > Qn−1, en virtud de (4), resultaque la sucesion

1

QnQn−1

es decreciente y como Qn−1 ≥ n−1, para n ≥ 2

(lo que se comprueba por induccion), vemos que

1

(n − 2)(n − 1) >

1

QnQn−1> 0 ;

es decir, lımn→∞

P n

Qn

existe y es igual a la suma de la serie (7), por el criterio

de convergencia de Leibniz.

Para continuar con la demostracion de que α = lımn→∞

P nQn

, podemos usar

las siguientes proposiciones.

Proposicion 8.1.3. Las reducidas P n/Qn de ındice par forman una suce-sion decreciente y las de ındice impar una sucesion creciente.

Demostraci´ on . La proposicion resulta inmediatamente de las igualdades

P nQn−2 − QnP n−2 =

P n P n−2Qn Qn−2

=

q nP n−1 + P n−2 P n−2q nQn−1 + Qn−2 Qn−2

= q n

P n−1 P n−2Qn−1 Qn−2

= q n(−1)n−1.

Proposicion 8.1.4. Si α es irracional y n

≥2, entonces α esta entre P n/Qn

y P n−1/Qn−1.

Demostraci´ on. Como

α2n+1 = q 2n+1 + 1

α2n+2> q 2n+1 ,




resulta que

1

q 2n+1>

1

α2n+1

y, por tanto,

P 2n+1

Q2n+1= q 1 +

1

q 2 + · · · + 1

q 2n + 1

q 2n+1

< q 1 + 1

q 2 + · · · + 1

q 2n + 1

α2n+1

= α

< q 1 + 1

q 2 + · · · + 1

q 2n−1 + 1

q 2n

= P 2nQ2n

.

Corolario 8.1.4.1. Si α = [q 1; q 2, · · · , q n, · · · ] entonces lımn→∞

P nQn

= α.

Demostraci´ on. Resulta de P 2n+1

Q2n+1≤ α ≤ P 2n

Q2n.

La siguiente proposicion nos permite decir algo sobre la calidad de la a-proximacion que al valor de α dan las reducidas de su desarrollo en fraccioncontinua.

Proposicion 8.1.5. Sea α > 0 un numero real. Si P/Q es una reducida del desarrollo de α en fraccion continua y a/b es una fraccion racional tal que

0 <α − a

b

<

α − P

Q

,

entonces b > Q. Ademas, a > P .

Demostraci´ on. Sea P n/Qn, con n impar (lo cual no implica ninguna perdidasustancial de la generalidad). Supongamos que b ≤ Qn. En este caso nopodemos tener

P nQn

< a

b <

P n+1

Qn+1,




Por consiguiente,

α − P n−1Qn−1 =

αn+1

Qn−1(αn+1Qn + Qn−1) ≥ 1

Qn−1(αn+1Qn + Qn−1) .

Pero de Qn−1 = Qn+1 − q n+1Qn, obtenemos

αn+1Qn + Qn−1 = (αn+1 − q n+1)Qn + Qn+1 < Qn + Qn+1 < 2Qn+1 ,

donde hemos usado que αn+1 − q n+1 = 1

αn+1< 1. Luego

α − P n−1Qn−1

>

1

Qn(Qn + Qn+1) >

1

2QnQn+1 .

8.2. La sucesion de Fibonacci y otras maravillas

Decimos que una funcion f : N → C esta definida recurrentemente

cuando especificamos el valor de f en 1 y para cada n ∈ N existe una regla

para determinar el valor f (n + 1) a partir del valor f (n). Como una funcionf : N → C no es otra cosa que una sucesion de elementos de C, la anteriores tambien una definicion de una sucesion recurrente.

Ejemplo 8.2.1. Las relaciones

f (1) = 1, f (n + 1) = n · f (n) ,

definen la funcion factorial f (n) = n!.

La sucesion recurrente definida por las formulas

F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n = F n−1 + F n−2 para n ≥ 2 (8)

se llama la sucesion de Fibonacci. Sus primeros terminos son

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, · · · .

La siguiente proposicion contiene algunas de las propiedades basicas deesta sucesion.

Proposicion 8.2.1. La sucesion de (F n) de Fibonacci tiene las siguientes propiedades:




(a) Para n ≥ 1,

F n+1

F n= [1; 1, 1, 1,

· · · , 1] = 1 +

1

1 + · · · + 1

1 + 1

1

,

donde en la expresion compacta de la fraccion continua aparecen n unos como cocientes incompletos.

(b) F n−1F n − F n−2F n+1 = (−1)n, si n ≥ 2.

(c) m. c. d.(F n, F n+1) = 1 si n ≥ 1.

(d) F n = 1 +n−2

k=1 F k.

(e) F 2n = n

k=1 F 2k−1.

(f) F 2n+1 = 1 +

nk=1 F 2k.

Demostraci´ on. (a) Partiendo de

F 2F 1

= 1 , F 3

F 2= 1 +

1

1

y de la relacion

F n+2

F n+1

= F n+1 + F n

F n+1

= 1 + 1

F n+1/F n,

la parte (a) resulta facilmente por induccion sobre n. Para demostrar (b),basta observar que para n ≥ 1, F n+1/F n es la reducida n-esima de la fraccioncontinua [1; 1, 1, · · · ] y usar entonces la relacion (5). La parte (c) es conse-cuencia inmediata de (b). Para demostrar (d), es suficiente sumar miembroa miembro las igualdades

F 1 = F 3 − F 2 ,F 2 = F 4 − F 3 ,

· · ·F n−2 = F n − F n−1 .




La identidad (e) se obtiene sumando miembro a miembro las siguientes

F 1 = F 2 ,

F 3 = F 4−

F 2 ,

F 5 = F 6 − F 4 ,

· · ·F 2n−1 = F 2n − F 2n−2 .

Finalmente, de (d) obtenemos F 2n+2 − 1 = 2n

k=1 F k, es decir, (e). Si a estaexpresion le restamos F 2n =

nk=1 F 2k−1, llegamos a la siguiente

F 2n+1 − 1 = (F 2n+2 − F 2n) − 1 =

nk=1

F 2k ,

que no es otra cosa que (f).

Por lo aprendido en la seccion anterior, la fraccion continua [1; 1, 1, · · · ]

converge a un numero que designaremos con φ. Ademas, es claro que 1+ 1

φ =

φ, es decir, φ satisface la ecuacion cuadratica

φ2

−φ

−1 = 0 . (9)

De las raıces de esta ecuacion, 1 +

√ 5

2 y

1 − √ 5

2 , la que es mayor que 0 es

la primera, de modo que φ = 1 +

√ 5

2 . Su raız conjugada la denotaremos

con ψ. De aquı resulta que

φ + ψ = 1 , y φψ = −1 . (10)

Algunas veces se dice que no hay una formula directa (es decir, no re-cursiva) para F n, queriendo significar con esto que todos los predecesoresF k, k < n, de F n deben calcularse primero. Esto es cierto si nos limitamos alos enteros. Pero si ampliamos nuestro campo de numeros admitiendo irra-cionales cuadraticos o aun numeros complejos, podemos encontrar formulasdirectas como la contenida en la siguiente proposicion.

Proposicion 8.2.2. Para n ≥ 1 se tiene

F n = 1√ 5

1 +√

5

2n

−1 +√

5

2n

= 1√ 5 (φn − ψn) . (11)

Demostraci´ on. Basta demostrar que las anteriores expresiones satisfacen lasrelaciones (7), cosa que no es muy difıcil.




La formula (11) fue descubierta por A. de Moivre en 1718 y demostradadiez anos mas tarde por Nicolas Bernouilli. En 1856, Binet vuelve adar una demostracion, en un marco mas general, razon un poco injusta por

la que hoy se le denomina formula de Binet.Esta formula facilita la suma de numerosas sucesiones finitas parecidas a

las expresadas en (d), (e) y (f) de la proposicion 8.2.1.

Ejemplo 8.2.2. Queremos sumar n

k=1 F 3k. Usando el valor de la sumade una progresion geometrica y el hecho de que φ2 = φ + 1 y ψ2 = ψ + 1,encontramos que

nk=1

F 3k =

1

√ 5n

k=1(φ

3k

− ψ3k

) =

1

√ 5 φ3n+3

−φ3

φ3 − 1 − ψ3n+3

−ψ3

ψ3 − 1

= 1√

5

φ3n+3 − φ3

2φ − ψ3n+3 − ψ3

2ψ

= 1

2 1

√ 5(φ3n+2

−ψ3n+2)

− 1

√ 5(φ2

−ψ2)

= 1

2(F 3n+2 − F 2) =

1

2(F 3n+2 − 1) .

Para encontrar otras formulas maravillosas asociadas con la sucesion deFibonacci, necesitaremos algunas funciones y relaciones entre funciones devariable compleja. Por ejemplo, Euler, el pasmoso manipulador de formu-

las, encontro que para todo numero complejo z valen las siguientes rela-ciones:

cos z = eiz + e−iz

2 , sen z =

eiz − e−iz

2i .

De aquı resulta facilmente la siguiente formula que lleva su nombre:

e±iz = cos z ± i sen z .

En particular, eiπ = −1, formula que enlaza elegantısimamente a los

numeros trascendentes e y π.En lo que sigue usaremos la notacion log z para designar al logaritmo

natural de z, que otros denotan con ln z. En los cursos de calculo de unavariable real x se define xa = ea log x, x > 0. Si en vez de la variablereal x usamos la variable compleja z, tambien definimos za = ealog z, tal




como lo hizo Euler. Esta definicion tiene una sustentacion analıtica endominios de definicion bien establecidos, como puede verse en textos devariable compleja. Bajo esa misma sustentacion, tambien es posible verificar

que ez1+z2 = ez1ez2 , (ez1)z2 = ez1z2 .

Trabajando a la Euler, es decir, manipulando formulas sin preocuparnosdemasiado por su sustentacion analıtica, obtenemos la muy notable relacion

senπ

2 + i · log φ

=

√ 5

2 F 1 . (12)

Mas generalmente, usando t = i · log φ y eniπ/2 = in, tenemos, usando

nuevamente el toque magico de Euler:√ 5F n = 2 · in−1 sen

nπ

2 + i log φ

.

Con la ayuda de (12) esta relacion puede escribirse tambien ası:

F n = in−1sen nz

sen z , con z =

π

2 + i · log φ .

Tambien existen elegantes relaciones entre (F n) y los coeficientes binomi-cos. Por ejemplo, la siguiente

F n =n

k=0

n − k

k

, n ≥ 1 ,

donde hemos convenido en quemn

= 0 si n > m. En efecto, consideremos

las diagonales del triangulo de Pascal escrito en la forma siguiente:

0

01

0

1

1

2

0

2

1

2

2

3

0

3

1

3

2

3

3

· · ·n

0

n

1

n

2

n

2

· · ·

n

n

La primera diagonal esta formada unicamente por el 1. Lo mismo la

segunda. Para demostrar la formula propuesta basta demostrar que la suma




de los elementos de la (n − 1)−esima diagonal mas la suma de los de lan−esima es igual a la de los elementos de la (n + 1)−esima diagonal. Esdecir, que satisfacen la formula de recurrencia (8). Pero

n0

+

n − 10

+

n − 11

+

n − 21

+

n − 22

+ · · ·

=

n + 1

0

+

n

1

+

n − 1

2

+ · · ·

=

n+1k=0

n + 1−

k

k

,

donde hemos convenido en quemn

= 0 cuando n > m.

Tambien es posible obtener para los F n una relacion matricial:1 11 0

n

=

F n+1 F n

F n F n−1

, n ≥ 1 ,

que resulta inmediatamente por induccion. Como corolario de esta relacionobtenemos

det

1 11 0

n

= (−1)n = F n+1F n−1 − F 2n . (13)

Por otra parte, la relacion (8) puede generalizarse a la siguiente

F n+m = F mF n+1 + F m−1F n , m ≥ 1 . (14)

En efecto, si m = 1, F 1F n+1 + F 0F n = F n+1. Para m = 2, tenemos

F 2F n+1 + F 1F n = F n+1 + F n = F n+2 .

Supongamos ahora que (14) es valida para m = k y m = k + 1, y de-mostremosla para m = k + 2. Sean, pues,

F n+k = F n+1F k + F nF k−1 ,

F n+k+1 = F n+1F k+1 + F nF k ;

sumando estas expresiones, obtenemos

F n+k+2 = F n+1(F k + F k+1) + F n(F k−1 + F k) = F n+1F k+2 + F nF k+1 .

Si en (14) hacemos m = n, vemos que

F 2n = F n(F n+1 + F n1) = F 2n+1 − F 2n−1 . (15)




Mas generalmente,

F n(k+1) = F nk+n = F nkF n+1 + F nk−1F n

es un multiplo de F n. En efecto, para k = 1 es el caso de la igualdad (15).Supongamos que F n(k+1) sea divisible por F n. Entonces, de

F n(k+2) = F n(k+1)F n+1 + F nkF n

y la hipotesis de induccion resulta que F n | F n(k+2).

En otras palabras, para n ≥ 1, cada tercer F n es par, cada cuarto F n esdivisible por F 4 = 3, cada quinto es divisible por F 5 = 5, cada sexto lo es porF 6 = 8, etc. En consecuencia, si n es compuesto, F n es compuesto, con la

excepcion de n = 4, ındice para el cual se tiene F 4 = 3. Sin embargo, si n = pes primo, no necesariamente F p es primo, como lo indica la descomposicionF 53 = 953 × 55945.741.

Ejemplo 8.2.3. F 30 = 832.040 es divisible por F 15 = 610, F 10 = 55, F 6 = 8,F 5 = 5, F 3 = 2, F 2 = 1 y F 1 = 1.

En 1876, Lucas demostro la maravillosa relacion siguiente:

Proposicion 8.2.3. m. c. d.(F m, F n) = F m.c.d.(m,n) .

Demostraci´ on. Para fijar ideas supongamos que m > n, con lo que no sepierde generalidad alguna. Usando el algoritmo de Euclides, obtenemos

m = nq 0 + r1 , 0 <r1 < n ,

n = r1q 1 + r2 , 0 <r2 < r1 ,

r1 = r2q 2 + r3 , 0 <r3 < r2 ,

· · · · · ·rt−2 = rt−1q t−1 + rt , 0 <rt < rt−1 ,

rt−1 = rtq t .

En consecuencia,

m. c. d.(F m, F n) = m. c. d.(F nq0+r1 ,F n) = m. c. d.(F nq0−1F r1 +F nq0F r1+1,F n),

donde hemos usado (14). Luego

m. c. d.(F m, F n) = m. c. d.(F nq0−1F r1 , F n) ,

pues F n | F nq0F r1+1. Como m. c. d.(F nq0−1, F n) = 1, puesto quem. c. d.(F nq0 , F n) = F n y m. c. d.(F nq0 , F nq0−1) = 1, entonces

m. c. d.(F m, F n) = m. c. d.(F r1 , F n) .




ybn−2 ≥ bn−1 + bn ≥ F 1 + F 2 = F 3 .

De nuevo,

bn−3 ≥ bn−2 + bn−1 ≥ F 2 + F 3 = F 4 ,y de manera general

bn−k ≥ F k+1 .

Por consiguiente,F n+1 ≤ b .

Ahora bien, observemos que

φ < 2 , y φ2 = φ + 1 < F 2 + F 1 = F 3 .

Tambienφ3 = φ2 + φ < F 3 + F 2 = F 4,

y en generalφk < F k+1 .

La desigualdadF n+1 ≤ b

implica la siguiente

φn < b ;es decir,

n < log10 b

log10 φ .

Pero si el numero de dıgitos de b es p, entonces

b < 10 p , log10 b < p ;

por otra parte,

log10 φ > 1/5 .

Luego n < 5 p, es decir, n + 1 ≤ 5 p.

Historicamente, el anterior resultado parece ser el primero sobre lo quese suele llamar el orden de un algoritmo. Como dato adicional podemosmencionar que es posible afinar la anterior desigualdad ası: n + 1 ≤ 3 p.

8.3. Solucion de ecuaciones diofanticas lineales

Las fracciones continuas nos proveen algoritmos para encontrar solucionesde ciertos tipos de ecuaciones diofanticas de grados 1 y 2. En esta seccionnos ocuparemos tan solo del caso lineal. En un capıtulo posterior miraremosel caso de algunas ecuaciones diofanticas cuadraticas.




Para las ecuaciones de primer grado

ax + by + c = 0 , m. c. d.(a, b) = 1 , (16)

tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 8.3.1. Si a

b = [q 1; q 2, · · · , q n], entonces

(x0, y0) =

(−1)n−1cQn−1 , (−1)ncP n−1)

es una solucion de (16).

Demostraci´ on. De

P n−1

Qn−1

= [q 1; q 2,

· · · , q n−1] y

P n

Qn

= a

bobtenemos

aQn−1 − bP n−1 = (−1)n .

Si multiplicamos los dos miembros de esta expresion por (−1)n−1c, obtene-mos

a{(−1)n−1cQn−1} + b{(−1)ncP n−1} + c = 0 .

Corolario 8.3.1.1. Si (x0, y0) es una solucion de (16), las formulas

x = x0 − bt, y = y0 + at, t ∈ Z (17)

nos dan todas las soluciones de (16).

Demostraci´ on. Sea (x, y) otra solucion de (17). Como (a, b) = 1, b = 0. Deax + by + c = 0 y ax0 + by0 + c = 0, obtenemos

y − y0 = a(x0 − x)

b .

Como y

−y0 es entero y (a, b) = 1, resulta que b

|x0

−x. Es decir, (x0

−x)/b =

t es un entero y ası y = y0 + at, x = x0 − bt. Luego toda solucion de (16) esde la forma (17). Recıprocamente, todas las parejas (x, y) de la forma (17)son soluciones de (16), como es facil verificar.

8.4. Las unidades de los cuerpos cuadraticos reales


1. Encuentre las cinco primeras reducidas de cada una de las fracciones con-tinuas siguientes: (a) [1; 3, 5, 7, 1, 8, 2, · · · ] .

(b) [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, · · · ] .

(c) [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, · · · ] .




Demuestre que (b) converge a√

2 y que (c) lo hace a√

3.

2. Obtenga el desarrollo como fraccion continua de√

5 hasta sus cuatro primeroscocientes incompletos, calcule las tres primeras reducidas y compare los valoresque obtenga con el valor aproximado √ 5 ≈ 2, 236068.

3. Encuentre las primeras cinco convergentes en el desarrollo como fraccion con-tinua de 3, 14159 y de 3, 14160. Puesto que el valor de π esta entre estos dosnumeros, ¿que demuestra esta circunstancia respecto del desarrollo de π comofraccion continua?

4. Encuentre el desarrollo de√

a2 + 2 como fraccion continua, donde a representa

un numero entero positivo.

5. Sea [a0; a1, a2, · · · ] el desarrollo en fraccion continua del numero irracional α.Demuestre que el desarrollo en fraccion continua de −α esta dado por [−a0 −1; 1, a1 − 1, a2, a3, · · · ] si a1 > 1 y por [−a0 − 1; a2 + 1, a3, · · · ] si a1 = 1.

6. Defina una sucesion de Fibonacci generalizada (f n) de la siguiente man-era:

f 1 = a , f 2 = b, f n = f n−1 + f n−2 para n

≥3 .

Demuestre que f n = aF n−2 + bF n−1 para n ≥ 3.

7. Decimos que dos numeros reales α y β son equivalentes si existen enteros a,b, c, d que cumplen las siguientes condiciones:

ad− bc = ±1 y β = aα + b

cα + d .

1. Demuestre que lo anterior define una relacion de equivalencia en el con-

junto de los numeros reales.2. Demuestre que dos numeros racionales cualesquiera son equivalentes.3. Demuestre que dos numeros irracionales α y β son equivalentes si, y solo

si,

α = [a0; a1, · · · , aj, c1, c2, c3 . . . ] ,

β = [b0; b1, · · · , bk, c1, c2, c3 . . . ] ,

donde ai, i = 0, 1, 2, · · · , j, bi, i = 0, 1, 2, · · · , k y ci, i = 0, 1, 2, 3, · · · , kson enteros positivos con la excepcion quizas de a0 o b0.

8. Encuentre los valores de los siguientes elementos de la sucesion de Fibonacci:

a) F 8 b) F 10 c) F 12

d) F 15 e) F 20 f ) F 28




Referencias

[1] Arquimedes. Medida del cırculo. En F. Vera, Cientıficos griegos. Vol. 2. Aguilar:Madrid, 1970.

[2] Bombelli, R.. L’Algebra . 1572.[3] Brezinski, Claude. History of Continued Fractions and Pade Aproximations.[4] Dickson, Leonard E. History of the Theory of Numbers. 3 vols. Chelsea Pub. Co.:

Nueva York, 1966.[5] Fibonacci (Leonardo de Pisa). Liber abacci . Manuscrito,1202.

[6] Lucas, Edouard. Theorie des nombres, I. Editions Jean Gabay: Paris, 1891.[7] Scharlau, W. & H. Opolka. From Fermat to Minkowski. Lectures on the Theory

of Numbers and its Historical Development . Springer–Verlag: Berlin, 1984.[8] Schroeder, M. R. Number Theory in Science and Communications. Springer–

Verlag: Berlin, 1984.

[9] Scott, J. F. The Mathematical Work of John Wallis. Chelsea Pub. Co.: New York,1981.

[10] Vorob’ev, N. N. Fibonacci Numbers. Blaisdell Pub. Co.: New York, 1961.[11] Vorobiev, N. Suite de Fibonacci . Mir: Moscou, 1973.[12] Weil, Andre. Number Theory. An Approach through History from Hammurapi to

Legendre . Birkhauser: Basel, 1983.

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