sistema de números - teoría

8/18/2019 Sistema de Números - Teoría

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Comprometidos con la calidad educativa

ESCUELA PROFESIONAL DE

INGENIERÍA CIVL

Lic. Mat. Arnaldo EDDSON Chuquilin Carrera

Sistemas de Números

1. Números Reales.2.

Interpretación geométrica.3.

Ejercicios desarrollados.4. Ejercicios Propuestos.



INGENIERÍA CIVIL

MATEMÁTICA BÁSICA

CICLO 2016 - 1 - GRUPO D

Sólo estudia. Dios hace lo demás.


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“A cada para de números

naturales a,b le asignamos,mediante la operación suma, elúnico número natural a +b ”.

MULTIPLICACIÓN

:

a,b a b

a,1 a 1= a

“A cada para de números naturales

a,b le asignamos, mediante laoperación multiplicación, el úniconúmero natural a b ”.

1.

Introducción:

Antes de dar una definición AXIOMÁTICA de los números reales, debemoscomentar acerca de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Las operaciones aritméticas de suma, producto, diferencia, división yradicación han ido definiéndose paulatinamente según se ha ido formulandonuevos postulados y nuevas teorías rigurosas.

Así tenemos:

a)

Conjunto de los números naturales ( )

0,1,2,3,.... . En sólo se pueden definir las operaciones de adición,multiplicación y potenciación.

La formulación rigurosa de las operaciones de adición y multiplicación escomo sigue:

ADICIÓN

:

a,b a + b

a,0 a + 0 = a

Observamos, que con respecto a las ADICIÓN, el conjunto de los números

naturales posee un único elemento que es el “0”, llamado IDENTIDADADITIVA.

Con respecto a la multiplicación, el conjunto de los números naturales poseeun único elemento que es el “1”, llamado IDENTIDAD MULTIPLICATIVA.

istemas de números - Números Reales S

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b)

Conjunto de los números enteros ( )

Si al par ordenado de números naturales a,b le asignamos una relación de

orden “mayor o igual” de “estrictamente menor”, obtenemos los siguientesresultados:

i)

Si a cada par de números naturales a,b le corresponde le númeronatural a - b 0 a b, esta relación define al conjunto de los números

enteros no negativos: 0 0 .

ii)

Si a cada par de números naturales a,b se le asigna el número,a - b < 0 a < b quedará definido el conjunto de los números enteros

negativos: ....., 3, 2, 1 .

Por lo tanto, el conjunto de los números enteros será: 0

Así llegamos a la conclusión que el conjunto (números enteros) estáprevista de la operación interna de adición, que satisface cuatro axiomas:

1

2

3

4

A ) a + b = b + a

A ) a + b + c = a + b+ c

A ) !0 /0 +a = a + 0 = a , a

A ) 0 , !- a /a + -a = -a +a = 0

La operación diferencia, ha hecho posible formular el axioma4

A .

c)

Conjunto de los números racionales ( )

Hasta ahora, podemos resumir que el conjunto de números enteros ( ) estáprovisto de operaciones internas de adición, diferencia y multiplicación; másno de la división.

Entonces como ejemplo podemos preguntarnos ¿qué clase de número es

1

4 ?Es aquí donde se introduce un nuevo conjunto llamado conjunto de losnúmeros fraccionarios o conjunto de los números racionales y se denota por

. Cuya definición formal es como sigue:

a/ a b , con b 0

b

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d)

Conjunto de los números irracionales ( I )

Sea la ecuación 2 x - 3 = 0 cuya solución no es precisamente un número

racional. Estos particulares problemas nos ayudan a intuir que es precisodefinir otro conjunto numérico que es el conjunto de los númerosirracionales.

Diremos que “x” es un número irracional, cuando no existen números

enteros a y b, tal quea

x =b

, con b 0 .

De todo lo dicho, podemos enumerar 3 consecuencias:

1)

2)

3) , .

I

I conjunto de los números reales

e)

Conjunto de los números Reales ( )

Por la consecuencia 3) decimos que el conjunto de los números reales seobtiene reuniendo el conjunto de los números racionales con el conjunto delos números irracionales.

Una manera intuitiva de concebir el conjunto de los números reales es

representándolos geométricamente, por una línea recta, que la llamaremosrecta real.

0

x < 0

x > 0


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Definición axiomática del sistema de los números reales

El sistema de los números reales, es un conjunto denotado por , que está

provisto de las operaciones internas: adición y multiplicación, de un axioma dedistribución de la multiplicación respecto de la adición, de axiomas relativos ala igualdad, axiomas relativos a la relación de orden menor y un axioma delsupremo.

1.

Axiomas de la adición , , 0 La adición es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en ,tal que, a cada par a,b de números reales corresponde el único númeroreal a + b, llamado la suma de a y b.

NOTACIÓN:

:

a,b a + b

AXIOMAS:

1A ) Si a b a +b …………… (cerradura o clausura)

2 A ) a +b =b+a , a,b ……………………….. (conmutativa)

3 , A ) a +b +c = a + b +c a,b,c ………………(asociativa)

4 !0 / 0 a a 0 0 , A ) a …………………..(existencia y unicidad de la

“la identidad aditiva es el 0” Identidad aditiva)

5 , ! a / a A ) a -a = -a + a = 0…………..(existencia y unicidad del

“El opuesto de a es -a ” opuesto)

2.

Axiomas de la multiplicación , , 0 La multiplicación es una operación interna definida en , de tal modo que, acada par a,b de números reales corresponde el único número real a b ,llamado el producto de a y b.

NOTACIÓN:

:

a,b a b

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AXIOMAS:

1M ) Si a b a b …………… (cerradura o clausura) 2M ) a b=b a , a,b ……………………….. (conmutativa)

3 , M ) ab c = a bc a,b,c ………………(asociativa)

4 !1 / 1 a a 1 , M ) a a …………………..(existencia y unicidad de la

“la identidad multiplicativa es el 1” Identidad multiplicativa)

1 1

5

1 1, !a / a a

M ) a 0 = a =1

a a…………..(existencia y unicidad del

“El inverso de a es 1 1

a

a

” inverso)

3. Axioma distributiva de la multiplicación respecto de la adición

, a b +c = ab +ac a, b,c

4. Axioma de la Igualdad

Para los números a, b y c se cumplen los siguientes axiomas:

) , 1I a =a a ……………………………………….. (Reflexiva)

2 ) I a = b b = a ……………………………………. (Simetría)

3) I Si a =b b =c a =c ………………….. (Transitiva)

3° RELACION DE ORDEN:0 ∀ a, b ∈ una y solamente una de las relaciones se cumple a < b, a = b, b < a

(Ley de Tricotomía)02 Si a 0 ⟹ a ∙ c < b ∙ c


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OBSERVACIÓN:

i.

A los números a y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de

a y b ii.

En a . b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a . bproducto de a y b

iii.

El opuesto es único, así mismo el inverso es único.

AXIOMA DE SUSTITUCIÓN:

Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se

puede sustituir el elemento a por el elemento b sin que altere el significado

de la relación.

AXIOMAS DISTRIBUTIVAS:

a) ∙ b + c = a ∙ b + a ∙ c, ∀ a, b, c ∈ R Distributiva a izquierdab)

a + b ∙ c = a ∙ c + b ∙ c, ∀ a, b, c ∈ R Distributiva a derecha

AXIOMA DE IGUALDAD: Para a , b , c ∈ R, se tiene:I ∶ Dicotomía ∶ a = b ó a ≠ bI2 ∶ Reflexividad ∶ a = bI3 ∶ Simetría ∶ Si a = b ⟶ a = b I ∶ Transitividad ∶ Si a = b ∧ b = c ⟶ a = cI ∶ Unicidad de la Adición ∶ Si a = b ⟶ a + b, ∀ c ∈ RI6 ∶ Unicidad de la Multiplicación ∶ Si a = b ⟶ a ∙ b = b ∙ c, ∀a, b ∈ R

TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICIÓN:

Si a = b entonces a + b + c, para todo a , b , c ∈ R

Demostración

1° a = b por Hipótesis


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2° a + c = a + c propiedad reflexiva3° a + c = b + c 1° y 2° y axioma 1.3

TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN: Si a = b entonces a ∙ b = b ∙ c, para todo a , b , c ∈ R

Demostración

1° a = b por Hipótesis2° a ∙ c = a ∙ c propiedad reflexiva3° a ∙ c = b ∙ c 1° y 2° y axioma 1.3

TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN: Sean a, b, c ∈ R ; Si: a + b + c ⟶ a = b

Demostración

1° a + b + c por Hipótesis2° a + c + c = b + c + c 1° y teorema 1.4

3° a + (c + c) = b + (c + c) 2° y A2 4° a + 0 = b + 0 Axioma A 5° a = b, 4° Axioma A3

TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN:

Sean a, b, c ∈ R; Si a ∙ c = b ∙ c y c ≠ 0 ⟶ a = b

Demostración

1° a ∙ b = b ∙ c por Hipótesis2° c ≠ 0 por Hipótesis3° ∃ ∈ R / a ∙ c ∙

= b ∙ c ∙

2°, 1° y axioma M


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DESIGUALDADES: La correspondencia entre los números reales y los puntos de una rectapueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de

orden entre los números reales.

La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto Acorresponde al número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B

correspondiente al número “b”

El simbolo , que se lee: "Es mayor que"

≤ , que se lee: "Es menor o igual que"

≥ , que se lee: "Es mayor o igual que"

DEFINICIÓN:

i. Un número real “a” es positivo si: a > 0 ii.

Un número real “a” es negativo si: a < 0

a b

A B

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DEFINICIÓN:

Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un

número es mayor ó menor que otro. Por ejemplo: 5 > 9

AXIOMA DE LA RELACIÓN DE ORDEN:∀ a, b, c ∈ R ; se tiene:

O Orden de Tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b ∨ a b

O2 Orden Transitivo: sí a < b ∧ b < c ⟹ a < c

O3 Orden de Adición: sí a b ⟺ b a Es positivoiii.

a ≤ b ⟺ a = b ∨ a b ∨ a = b

1.

TEOREMA: ∀ a, b, c, d ∈ R; Si a < c ∧ b < d ⟺ a + b < c + d

2.

TEOREMA: Para a, b ∈ R, si a b

3.

TEOREMA: Si: a, b, c ∈ R, donde a b ⋅ c

4.

TEOREMA: Para a ∈ R, si a ≠ 0 ⟹ a2 > 0

5.

TEOREMA:

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Para a ∈ R, a ≠ 0 ⟹ a− tiene el mismo signo que aes decir:

i.

S i : a > 0 ⟹ a−

> 0

ii. S i : a < 0 ⟹ a− < 0

6.

TEOREMA: Para a, b ∈ R, donde a y b tienen el mismo signo, si a b−

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

)1

P

Si a es un número real, entonces0

2a

.2)P Si a es un número real diferente de cero, entonces 0

2a .

3)P Si 2

b 0 a b, entonces - b a b

4)P Si 2b 0 a b, entonces a - b a b

5)P Si 2b 0 a b, entonces a - b a > b

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