teoría de juegos - john nash

7/21/2019 Teoría de Juegos - John Nash

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INTRODUCCIÓN

Como bien sabemos, nuestro mundo está cada vez más globalizado y las

distancias son cada vez más cortas. Gracias a la tecnología todos los procesos

se simplifican y se agilizan. En las distintas organizaciones, tanto la produccióncomo la operatividad se ven afectadas por esta globalización de una manera

muy positiva y beneficiosa; ya que consiguen fabricar sus productos, u ofrecer

sus servicios, y tener un control administrativo a costos más baos, con mayor

asertividad, de meor calidad, y sobretodo más rápido.



En cuanto lo referido a distancias más cortas, los avances tecnológicos !an sido

los causantes de ello. "ctualmente e#isten diversos m$todos de transporte

intercontinentales, los cuales !an !ec!o que los viaes de un lugar a otro sean

más sencillos, y en consecuencia estos se !an !ec!o más frecuentes,aumentando el intercambio de información a nivel mundial. %ero, en adición a

ello, se !an !ec!o diversos avances electrónicos que !an permitido que la

información !aga un viae de un par de segundos antes de llegar a su receptor.

&ace unos siglos el intercambiar información entre dos personas ubicadas a

unos metros era prácticamente imposible, !oy en día, las se'ales satelitales, la

internet y las ()C nos permiten comunicarnos en tiempo real de un lado a otro

del planeta con el simple fin de enviarnos un saludo.

"l tener tanta disponibilidad y accesibilidad de los diversos recursos, las

empresas se !acen más estables. Esta estabilidad, las !ace más confiables,

ante sus clientes, proveedores y en sí, ante todo el mercado y sus

componentes.

Como consecuencia del incremento de la fiabilidad de las distintas instituciones,

y de la facilidad que e#iste para una comunicación a cualquier distancia, las

empresas se relacionan con mayor frecuencia. *as relaciones entre empresaspropician un escenario de negociaciones en forma de red, cada componente

conectado con al menos un componente.

En este escenario, cada institución tiene muc!o inter$s en cómo se comportarán

las empresas con las que está conectada. +ebido a que cualquier movimiento

de ellas, podría tener un gran efecto en su futuro.

%ara analizar las decisiones de las empresas, y como es que estas afectan la

una a la otra, o!n -orbes as!, matemático y economista, desarrolló la (eoría

de uegos y en /001, recibió el %remio obel en Economía por sus

investigaciones respecto a ella.



*a (eoría de uegos es una !erramienta que ayuda a resolver los llamados

problemas de optimización interactiva. (iene muc!as aplicaciones en las

ciencias sociales. *a mayoría de las situaciones estudiadas por la (eoría de

uegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. +e particular inter$s son las situaciones en las que se puede obtener un resultado meor

cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan

ma#imizar sólo su utilidad.

En esta monografía se e#plicará a detalle qu$ es esta teoría, como funciona y

como se aplica a nuestra realidad actual.



I. BIOGRAFÍA DE JOHN FORBES NASH

o!n -. as! nació en los Estados 2nidos en la ciudad de 3luefield, 4est

5irginia el /6 de unio de /078. 9us padres fueron o!n as! y :argaret

5irginia :artin.

)ngresó en el Carnegie )nstitute of (ec!nology, en la actualidad 2niversidad

Carnegie:ellon de %ittsburg!, con la intención de estudiar )ngeniería química;

pero tras cursar algunas asignaturas de :atemáticas, aceptó la sugerencia de

sus profesores de orientar su carrera !acia esta materia. En /018 obtuvo el

grado de licenciado en :atemáticas y, tras recibir varias ofertas para realizar el

doctorado, se decidió por la 2niversidad de %rinceton.

" lo largo de sus estudios doctorales, mostró inter$s por diversos campos de

estudio, como la topología, el álgebra geom$trica o la teoría de uegos. En /010

y como parte de sus investigaciones publicó en la revista Annals of

Mathematics un artículo titulado <oncooperative Games<, en el que se

recogían las ideas principales de su tesis, que presentó el siguiente a'o en

%rinceton. En dic!o artículo se e#ponían los puntos básicos sobre las

estrategias y las posibilidades de predicción del comportamiento que se da en

uegos no cooperativos con información incompleta.

2na vez finalizada su tesis, trabaó durante unos meses para la Corporación

="+, que estaba muy interesada en sus conocimientos de la teoría de uegos

para aplicarlos a la estrategia militar y diplomática. 5olvió a la 2niversidad de

%rinceton poco despu$s, lo que no resultó impedimento para que colaborara de

forma esporádica con la Corporación ="+. En /0>7 se incorporó al cuerpo

docente del prestigioso :assac!usetts )nstitute of (ec!nology ?:)(@, donde

realizó una importante labor de investigación sobre variables algebraicas reales

mAltiples.

+urante la d$cada de los a'os cincuenta resolvió cuestiones de importancia

como la demostración de la interpenetrabilidad isom$trica de las variedades



riemannianas en espacios euclídeos, y las ecuaciones diferenciales parciales

bidimensionales, trabao que realizó de forma independiente y simultánea a

Ennio di Giorgi. (oda esta labor se vio bruscamente interrumpida en /0>0,

cuando renunció voluntariamente a su plaza aqueado de esquizofrenia.

(ras una larga serie de internamientos en instituciones psiquiátricas, se

recuperó de su enfermedad en la d$cada de los a'os noventa, lo que le permitió

volver a la actividad científica. +esde entonces !a elaborado algunos artículos

relativos a las ecuaciones diferenciales y a su resolución analítica mediante

m$todos num$ricos, que !an tenido cierto impacto en la comunidad científica

internacional. En reconocimiento a su labor investigadora en torno a la teoría de

uegos, se le concedió el %remio obel de Economía en /001 unto a o!n&arsanyi y a =ein!ard 9elten.



II. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS

9e puede definir a un uego como todo problema de decisión donde !ay más de

un agente decisor y las decisiones de un solo ugador tienen efectos sobre los

otros ugadores. *os uegos más interesantes suelen ser aquellos donde los

intereses de los agentes están completa o parcialmente contrapuestos. Esta

definición de uego contiene varios elementos a resaltar. %or una parte, tenemos

diversos agentes decisores. En caso de que e#ista un solo agente decisor, sería

un problema de análisis de decisiones, probablemente bao incertidumbre, para

el cual se dispone de numerosas t$cnicas de resolución o análisis. %ara tener

un uego debemos contar con por lo menos dos agentes o ugadores cuyas

decisiones interaccionen de manera que puedan afectar los intereses de losdemás agentes. Esto nos lleva al segundo punto.

(odo uego no trivial debe poseer algAn ámbito donde se !alle un conflicto de

intereses, aunque se puede pensar en uegos en los cuales el Anico problema

es coordinación, ya que los intereses de los ugadores coinciden. En este tipo

de uegos, el <conflicto< se presenta en la regla de coordinación entre los

ugadores. *a ausencia de un conflicto de intereses trivial iza el uego. "unque

formalmente sigue siendo un uego, para la e#plicación de la (eoría de uegos,nos parece adecuado incluir un nivel de conflicto en la definición del mismo.

El entorno que nos rodea, está lleno de situaciones que presentan diversos

conflictos, es por esto que el ámbito de aplicación de los uegos es demasiado

amplio. "lgunos de los eemplos e#istentes en el mundo empresarial podrían ser

temas tan variados comoB introducción de nuevos productos, guerras de precios

entre competidores, luc!as en contratos pAblicos, continuación de programas de

investigación en nuevos procesos, negociaciones de contratos para la venta deinstalaciones de ordenadores de varios millones de dólares, negociaciones con

los sindicatos, etc. El dise'o, eecución, las mAltiples negociaciones cotidianas

dentro y fuera de las organizaciones, e incluso nuestras relaciones

interpersonales, de estrategias competitivas, están repletas de factores



estrat$gicos que pueden analizarse en el esquema conceptual de la teoría de

uegos.

*as situaciones competitivas son complicadas de analizar y de comprender, ya

que interrelacionan diversos ámbitos de la actividad !umana. *a teoría de los

uegos nos aporta un marco conceptual para el estudio de estas situaciones. El

estudio de las reacciones competitivas, será algo importante a desarrollar, así

como las reglas de cooperación, el efecto de la información privada, las

implicaciones de la repetición de una misma situación en el tiempo, las

posibilidades de emisión de se'ales y comunicación al alcance de los

participantes, etc. *a teoría de los uegos no es capaz de responder a todas

estas interrogantes con la claridad esperada, pero nos podrá brindarnos las!erramientas necesarias para tratar estos temas con rigor y !acer

recomendaciones adecuadas, además de meorar nuestra comprensión de las

situaciones de conflicto en general.

" pesar de que la teoría de los uegos en sus aspectos matemáticos tiene ya

muc!os a'os de vida, su verdadera inserción como una !erramienta Atil para el

análisis de situaciones de conflicto en las ciencias económicas se debe a . von

eumann y . :orgensten, con su libro D(!eory of Games and Economic3e!aviour<, que se publica en /011 con un obetivo muy ambiciosoB dotar a la

economía de unos instrumentos que le permitieran transformarse en una ciencia

e#acta. Es el inicio de una concienzuda formalización en los modelos

económicos que continAa en auge en la actualidad. %asando a trav$s de

periodos de sAper optimismo y de rec!azo, los a'os !an consolidado la teoría

de los uegos como una !erramienta básica en los modelos económicos en un

espectro cada vez más sofisticado de instrumentos alternativos.

"l mismo tiempo, la propia teoría !a ido cambiando como consecuencia de las

demandas de los diversos mercados la economía. El análisis del rol del

comportamiento estrat$gico en la economía !a sido una actividad en auge

durante los Altimos a'os. %ara poder avanzar en este análisis se !an ido



meorando los conceptos utilizados en la teoría. +entro de la vertiente no

cooperativa de los uegos la más adecuada para el análisis estrat$gico, e#isten

tres direcciones de investigación que deben ser nombradas de forma específica

dentro de un espectro más amplio de la actividad investigadora. Estasdirecciones son la meora del concepto de equil ibrio conocida como

refinamientos del equilibrio de as!, que pretenden meorar el concepto de

solución de un uego buscando reglas razonables para la prescripción de

equilibrios. tra rama importante es el estudio de las situaciones dinámicas

ampliando notablemente las opciones estrat$gicas de los agentes económicos.

-inalmente, cabe referirse a la incorporación de modelos con información

incompleta, donde los agentes no conocen todas las características o

preferencias de sus oponentes. Cada una de estas ramificaciones de la teoría

básica, se estudian en los tres capítulos siguientes.

*os uegos !an sido clasificados tradicionalmente en uegos cooperativos y no

cooperativos. *a diferencia se encuentra en las posibilidades de comunicación,

negociación y coordinación que se permite a los agentes. *os uegos no

cooperativos son aquellos en los que cada ugador actAa persiguiendo

e#clusivamente sus propios intereses y los ugadores no pueden firmar

contratos vinculantes. " medida que ampliamos las posibilidades de cooperación

entre agentes, de comunicación y firma de contratos, los uegos pasan a ser

cooperativos. 2n elemento central en los uegos cooperativos, o en el enfoque

cooperativo a las situaciones de conflicto, es la presencia de un ente de poder

superior con la capacidad de !acer cumplir los acuerdos !ec!os entre las partes

en conflicto. "ctualmente, e#isten muc!os trabaos que intentaron desarrollar

una ustificación no cooperativa de las soluciones cooperativas, integrando las

dos ramas.

*os uegos no cooperativos, se pueden clasificar de dos maneras distintas. %or

un lado, en función del grado de contraposición de intereses de los agentes,

podemos distinguir los uegos de suma cero, o uegos representativos de

situaciones estrictamente competitivas, donde los intereses de los agentes



están totalmente contrapuestos, o en uegos de suma no cero, los más usuales,

donde los intereses no son del todo contrapuestos. Es necesario !acer

referencia que a pesar del nombre, los uegos de suma cero son un subconunto

de unos uegos más generales, los de suma no cero. %or cuestiones !istóricas,los uegos más comunes tienen un nombre con connotación de ser la e#cepción

a la regla.

*os uegos no cooperativos pueden además clasificarse en función de cómo se

presentan. +e esta forma, podemos !acer referencia a uegos en forma

estrat$gica ?tambi$n llamados uegos en forma normal@, cuando un uego se

define de forma que cada ugador escoge una estrategia ?de un conunto

factible@ y el conunto de estrategias elegidas entre todos los agentes,simultánea e independientemente, determina los resultados y su efecto en cada

ugador. tra presentación es la llamada forma e#tensiva del uego, que

describe con gran detalle la secuencia de movimientos de los ugadores y su

efecto en ellos.

*os cuatro primeros capítulos de este nAmero, incluyendo esta introducción, se

dedicarán a los uegos no cooperativos. +entro de los capítulos de aplicaciones

de la teoría de los uegos, los tres Altimos capítulos tendrán tambi$n uncontenido fundamentalmente no cooperativo. &ay aspectos cooperativos y no

cooperativos que no pueden desligarse y aparecen de forma integrada en

algunas partes de este volumen.

+entro de la teoría de los uegos, podemos reconocer tres enfoques

fundamentales que aparecerán, en distinto grado, en los capítulos de este

nAmero. %or una parte, tenemos un enfoque positivo a la teoría de los uegos

que intenta e#plicar cómo se comportan los agentes enfrentados a una situacióncompetitiva o de conflicto en general. Este enfoque le brinda un aspecto

descriptivo a la teoría. El segundo enfoque, que será el central en este

documento, es el enfoque normativo a la teoría, que pretende !acer

recomendaciones sobre cómo deberían interactuar los ugadores. Es el aspecto



prescriptivo de la teoría. %ara finalizar, tenemos el enfoque de dise'o, donde

actuamos como actores e#ternos al conflicto intentando dise'ar unas reglas del

uego que ayuden a solucionar el conflicto de intereses entre los participantes.



III. HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS

*a (eoría de uegos es una teoría matemática que estudia las características

generales de las situaciones competitivas de manera formal y abstracta. F *a

(eoría de uegos es Atil para tomar decisiones en casos donde dos o mas

personas que deciden se enfrentan en un conflicto de intereses.

(eoría de uegos F Estudia la toma de decisiones en interacción ?eemplosB el

uego de aedrez, la negociación política, las estrategias mili tares@. F +ónde se

utilizaHB estrategias de conflicto, guerras de precios, decisiones de cartel,

relaciones sindicato empresa, de acuerdos y negociaciones políticas,

económicas, militares, etc.

*a (eoría de uegos es una rama de la economía que estudia la toma de

decisiones de un individuo, el conflicto y la estrategia que utiliza en situaciones

sociales. Esta teoría como estudio matemático no se !a usado e#clusivamente

en la economía, sino tambi$n en la gestión, estrategia, psicología e incluso en

biología.

9iempre que un sueto interactAa con otro en cuestiones cotidianas, como

decidir qui$n se quedará con el Altimo pedazo de torta o cuando se !ace unfavor a alguna persona esperando algAn tipo de retribución, usamos una lógica

que puede describirse como las reglas de la I(eoría de uegosI.

<Jo actAo de una manera, tA actAas de otra<, e#plica "ntonio Cabrales, profesor

de Economía del 2niversity College *ondon ?=eino 2nido@ a la 33C. <"lgo

sucede. Ese algo que sucede va a depender de lo que ambos !agamos<,

agrega.

El IuegoI es un tipo de modelo matemático para entender la toma de decisión y

la interacción entre los suetos. J el meor conocido se llama IEl dilema del

prisioneroI.



A. EL DILEMA DEL PRISIONERO

+os personas son arrestadas, encarceladas y se les fia la fec!a del uicio.

El fiscal del caso !abla con cada prisionero por separado y les presenta unaofertaB

9i confiesa contra el socio, todos los cargos en su contra serán retirados y la

confesión será usada como evidencia para condenar al otro. *a sentencia que

recibirá será de 7 a'os.

9i no confiesa, y su socio lo !ace, será condenado a 7 a'os. "demás, su socio

quedará libre.

9i ambos confiesan, serán condenados a > a'os de prisión. J si ninguno

confiesa, serán condenados a / a'os de prisión.

En IEl dilema del prisioneroI el destino de cada uno depende de las acciones del

otro. )ndividualmente, confesar sería la meor opción, pero si ambos lo !acen el

castigo es peor que si ambos callan.

B. EL EQUILIBRIO DE NASH

o!n as! introduce al estudio de esta teoría el concepto llamado IEquilibrio de

as!I, el cual se alcanza en una situación en la que ninguno de los suetos que

interviene en una situación puede cambiar su decisión porque eso significaría

empeorar su bienestar. En ese conte#to, todos conocen si la decisión que

tomará el otro lo afectará de manera positiva o negativa.

En la práctica, el este concepto se !a usado para regular situaciones de

competencia entre empresas, en el dise'o de subastas de adudicaciones

pAblicas, etc.



9egAn los defensores de la I(eoría de uegosI, una legislación que tenga en

cuenta el IEquilibrio de as!I puede evitar oligopolios ?mercados con poco

vendedores@. %or ello, por eemplo, en las legislaciones antimonopolio se suele

buscar formas de evitar que se pacten precios entre las partes implicadas.

"sí, la teoría de los uegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la

economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre

individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados

?uegos@. En un uego, varios agentes buscan ma#imizar su utilidad eligiendo

determinados cursos de acción. *a utilidad final obtenida por cada individuo

depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

*a teoría de uegos es una !erramienta que ayuda a analizar problemas de

optimización interactiva. *a teoría de uegos tiene muc!as aplicaciones en las

ciencias sociales. *a mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de

uegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. +e particular

inter$s son las situaciones en las que se puede obtener un resultado meor

cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan

ma#imizar sólo su utilidad.

*a teoría de uegos fue ideada en primer lugar por o!n von eumann. *uego,

o!n as!, ".4. (ucKer y otros !icieron grandes contribuciones a la teoría de

uegos.

A. JUEGOS

9e denomina uego a la situación interactiva especificada por el conunto de

participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante,

y el conunto de utilidades.

B. ESTRATEGIA

Cuando un ugador tiene en cuenta las reacciones de otros ugadores para

realizar su elección, se dice que el ugador tiene una estrategia. 2na estrategia



es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se uega el uego.

9e e#plicita antes de que comience el uego, y prescribe cada decisión que los

agentes deben tomar durante el transcurso del uego, dada la información

disponible para el agente. *a estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

C. RESULTADO DE LOS JUEGOS

El resultado de un uego es una cierta asignación de utilidades finales. 9e

denomina resultado de equilibrio si ningAn ugador puede meorar su utilidad

unilateralmente dado que los otros ugadores se mantienen en sus estrategias.

2n equilibrio estrat$gico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada

ugador se mantiene en su estrategia, ningAn ugador puede meorar su utilidad

cambiando de estrategia. "lternativamente, un perfil de estrategias conforma un

equilibrio si las estrategias conforman la meor respuesta a las otras.

D. FORMA NORMAL VERSUS FORMA EXTENSIVA DE LOS JUEGOS

En uegos de forma normal, los ugadores mueven simultáneamente. 9i el

conunto de estrategias es discreto y finito, el uego puede ser representado por

una matriz #: ?ver abao@. 2n uego en forma e#tensiva especifica el orden

completo de movimientos a trav$s de la dirección del uego, generalmente en unárbol de uego.

2na forma de uegos de dos ugadores, en la cual un ugador tiene acciones

posibles y el otro tiene : acciones posibles. En un uego así, los pares de

utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el uego es

fácilmente analizable. *os uegos #: dan una idea de cómo puede verse la

estructura de un uego más compleo.

E. MATRIZ DE RESULTADOS DE UN JUEGO

*a matriz de resultados de un uego representa el resultado del uego en una

matriz. 9upongamos que dos personas, " y 3, están ugando un sencillo uego.

El uego consiste en lo siguienteB la persona " tiene la posibilidad de elegir



DarribaL o DabaoL, mientras que 3 puede elegir DizquierdaL o Dderec!aL. *os

resultados del uego se representan en la matriz de resultadosB

Izqui!"# D!$%#

A!!i&# '() * +)), ') * (),

A&#- '+)) * (), '() * ),

F. ESTRATEGIA DOMINANTE

2na estrategia dominante es aquella elección que realiza el ugador

independientemente de lo que !aga el otro. En el uego representado en la

matriz de arriba, la estrategia dominante para " es elegir DabaoL, mientras que

la estrategia dominante para 3 es elegir DizquierdaL. Estas estrategias

dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del

uego. 9i cada ugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el

resultado del uego.

G. JUEGOS DE SUMA CONSTANTE

uegos en los que para cada combinación de estrategias, la suma de los pagos

?o utilidades@ a cada ugador es la misma. (odas las situaciones de intercambio

que no permiten la creación o destrucción de recursos son uegos de suma

constante.

H. /RBOL DE JUEGOS

El árbol de uegos es una representación de un uego que describe la estructura

temporal de un uego en forma e#tensiva. E* primer movimiento del uego se

identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del uego. 2na ugadaconsiste en una cadena conectada de ramas que comienza en la raíz del árbol y

termina, si el uego es finito, en el nodo terminal. *os nodos representan los

posibles movimientos en el uego. *as ramas que parten de los nodos

representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. " cada



nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un ugador de modo

que se sabe qui$n !ace la elección en cada movimiento. Cada nodo terminal

informa sobre las consecuencias para cada ugador si el uego termina en ese

nodo.

I. JUEGO REPETIDO

En un uego repetido un grupo fio de ugadores uega un uego dado

repetidamente, observando el resultado de todas las ugadas pasadas antes que

comience la siguiente ugada. *a posibilidad de observar las acciones y los

resultados pasados antes de que comience la siguiente ugada permite que los

ugadores penen o premien las acciones pasadas, de modo que surgen

estrategias que no surgirían en los uegos simples no repetidos. %or eemplo,

repitiendo el uego del dilema del prisionero un nAmero suficiente de veces da

como resultado un equilibrio en el cual ambos prisioneros nunca confiesan.



IV. DEFINICIÓN DE TEORÍA DE JUEGOS

*a teoría de los uegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la

economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre

individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados

?uegos@.

*a teoría de uegos tiene muc!as aplicaciones en las ciencias sociales. *a

mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de uegos implican conflictos

de intereses, estrategias y trampas. +e particular inter$s son las situaciones en

las que se puede obtener un resultado meor cuando los agentes cooperan entre

sí, que cuando los agentes intentan ma#imizar sólo su utilidad. *a teoría de

uegos fue ideada en primer lugar por o!n von eumann. *uego, o!n as!,

".4. (ucKer y otros !icieron grandes contribuciones a la teoría de uegos.

*a teoría de uegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos

para estudiar interacciones en los uegos y llevar a cabo procesos de decisión.

9us investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento

previsto y observado de individuos en uegos. +esarrollada en sus comienzos

como una !erramienta para entender el comportamiento de la economía, la

teoría de uegos se usa actualmente en muc!os campos, como en la biología,

sociología, psicología y filosofía.

*a teoría de uegos estudia decisiones realizadas en entornos donde e#isten

interacciones, es decir, estudia la elección de la conducta óptima cuando los

costos y los beneficios de cada opción no están fiados de antemano, sino que

dependen de las elecciones de otros individuos. 2n eemplo muy conocido de la

aplicación de la teoría de uegos a la vida real es el dilema del prisionero,

popularizado por el matemático "lbert 4. (ucKer, el cual tiene muc!as

implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación !umana.

*os analistas de uegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en

particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en



conunto con la teoría de uegos. "demás de su inter$s acad$mico, la teoría de

uegos !a recibido la atención de la cultura popular, varios programas de

televisión !an e#plorado situaciones de teoría de uegos. o!n -orbes as! r.

matemático estadounidense, recibió el %remio obel de Economía de /001 por sus aportaciones a la teoría de uegos y los procesos de negociación. El

concepto de equilibrio de as! comienza su desarrollo con su trabao sobre

oligopolios, y en $ste plantea el modelo de varias empresas compitiendo por el

mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto producir para intentar

ma#imizar su ganancia.

Con el desarrollo de la teoría moderna de uegos surgen los equilibrios en

estrategias mi#tas y los casos de uegos de suma cero. o!n -orbes as!,quien posteriormente ganaría un premio obel por la amplia gama de

aplicaciones que tuvo el concepto en diversas ramas de las ciencias, demostró

que cualquier uego con un nAmero finito de estrategias tiene al menos un

equilibrio de as!.

*os equilibrios de as! se dan cuando las decisiones que se toman en los

uegos !acen a la ma#imización de la ganancia posible para ambas partes o dan

como resultado un uego de suma cero, donde todos ganan.



5. :M(+ +E *" (E=N" +E 2EG9

*a forma de trabaar en la teoría de uegos consiste básicamente en la

elaboración y maneo de un tipo especial de modelos que se denomina

gen$ricamente uego. 2n uego es, por tanto, un modelo de una situación de

interdependencia estrat$gica. Como ocurre con cualquier otro modelo, el

obetivo es utilizar un proceso de abstracción que nos lleve de la situación

real a un sistema de relaciones más sencillo, pero más claro y preciso, en

cuyo marco se verá facilitado el análisis deductivo.

Cuando trabaamos con nuestros modelos, esperamos que nos permitan

descubrir alguna de las fuerzas subyacentes a la situación real de

interdependencia estrat$gica que de otro modo podrían pasarnos

desapercibidas. Evidentemente, los resultados derivados del modelo

requieren de una interpretación para ser aplicados a la situación real que

pretende representar, en la que siempre actuarán otras fuerzas que !emos

pasado por alto en la construcción y maneo del modelo. "unque en estos

apuntes se pone el $nfasis en las aplicaciones de la teoría de uegos ?en

especial al ámbito de la economía@, debemos se'alar que la teoría de uegos

es considerada como una rama de las matemáticas.

El uso de las matemáticas nos obliga a la definición precisa de los conceptos

y de los supuestos de partida, a la vez que nos facilita el proceso deductivo

que nos lleva de esos supuestos a una serie de conclusiones consistentes

con los mismos. "unque, como ya !emos se'alado en el apartado anterior,

!oy en día la teoría de uegos se utiliza prácticamente en todas la ramas de

la economía, presenta una mayor afinidad con el análisis microeconómico.

El principio del individualismo metodológico, tan característico de la

microeconomía, está implícito tambi$n en buena parte de la teoría de uegos.

El supuesto de racionalidad en la toma de decisiones y el concepto de

equilibrio están presentes en la mayor parte de los uegos que analizaremos,



de la misma manera que lo estaban en los modelos microeconómicos ya

vistos.

El análisis del funcionamiento de las estructuras básicas de mercado

constituye un buen eemplo de ello. *os modelos básicos de competencia

perfecta y monopolio tienen en comAn la ausencia de interdependencia

estrat$gica; en el caso del monopolio por la presencia de un Anico oferente y

en el de la competencia perfecta por el supuesto de atomismo de los

agentes. El recurso a la teoría de uegos surge de manera natural al tratar de

e#tender este tipo de modelos a una situación en con un nAmero reducido de

oferentes, cada uno de ellos consciente de que sus resultados dependen de

lo que !aga el resto.



VI. TIPOS DE JUEGOS

". JUEGO COMPETITIVO

Consideramos el siguiente uego de dos ugadoresB <*os ugadores escogen

simultáneamente un nAmero entero entre cero ?@ y diez ?/@. *os dos ugadores

ganan el valor menor en dólares, pero además, si los nAmeros son distintos, el

que !a escogido el mayor le debe pagar O7 al otro.< Este uego tiene un Anico

equilibrio de as!B ambos ugadores deben escoger cero ?@. Cualquier otra

estrategia puede desfavorecer a un ugador si otro escoge un nAmero menor. 9i

se modifica el uego de modo que los dos ugadores ganen el nAmero escogidosi ambos son iguales, y de otro modo no ganen nada, !ay // equilibrios de as!

distintos.

B. JUEGO DE COORDINACIÓN

Este uego es un uego de coordinación al conducir. *as opciones sonB o

conducir por la derec!a o conducir por la izquierdaB significa que no se

produce un c!oque y P significa que sí. El primer nAmero en cada celda indica

la ganancia del primer ugador y el segundo la ganancia del segundo ugador.

Conducir por la izquierdaB Conducir por la derec!aB Conducir por la izquierdaB

, P, P Conducir por la derec!aB P, P ,. En este caso !ay dos equilibrios de

as! cuando ambos conducen por el mismo carril. Esto ayuda a e#plicar por

qu$ en casi todo el mundo se conduce por el mismo lado y como en )nglaterra,

al ser una isla y no empeorar su pago por no coordinarse con los demás países,

se mantuvo la estrategia de conducir por la izquierda.

En un uego, varios agentes buscan ma#imizar su uti lidad eligiendo

determinados cursos de acción. *a utilidad final obtenida por cada individuo

depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos. *a



teoría de uegos es una !erramienta que ayuda a analizar problemas de

optimización interactiva.



VII. ELEMENTOS DE TEORÍA DE JUEGOS

"l resolver una serie de problemas prácticos ?en el terreno de laeconomía, del arte militar, etc.@ se tienen que analizar situaciones en las

cuales están representadas dos ?o más@ partes antagónicas que

persiguen obetivos opuestos. El resultado de cada medida de una de las

partes depende del tipo de acción elegido por el contrario. " estas

situaciones las denominaremos <situaciones de conflicto<.

9e pueden dar muc!ísimos eemplos de situaciones de confl icto en

diferentes campos prácticos. Cualquier situación que sura en el curso de

operaciones militares pertenece a las situaciones de conflictoB cada una

de las partes contrincantes toma todas las medidas que tiene a su

alcance para impedir que el contrario logre el $#ito. 9ituaciones de

conflicto son tambi$n aquellas que se crean al escoger los sistemas de

armamento, los m$todos de su empleo y, en general, al planificar las

operaciones militaresB cada una de estas decisiones debe tomarse

calculando la acción del contrincante menos ventaosa para nosotros. En

la economía suele !aber una serie de situaciones ?sobre todo, al e#istir la

libre competencia@ que pertenecen a las llamadas de conflicto; en $stas el

papel de las partes antagónicas lo desempe'an las firmas comerciales,

las empresas industriales, etc.

*a necesidad de analizar semeantes situaciones !izo que surgiera un

aparato matemático especial, *a teoría de los uegos, en esencia, no es

otra cosa más que la teoría matemática de las situaciones de conflicto. El

obetivo de la teoría consiste en la elaboración de recomendaciones sobre

la forma razonable de las acciones de cada uno de los contrincantes en el

curso de una situación de conflicto.

Cada situación de conflicto tomada directamente de la práctica es muy

complea y su análisis se dificulta por !aber muc!ísimos factores



secundarios. %ara !acer posible un análisis matemático de la situación es

necesario prescindir de estos factores y construir un modelo simplificado

y formalizado de la situación. " este modelo lo denominaremos Fuego<.

El uego se diferencia de una situación real de conflicto en que se realizaa base de regios completamente determinadas. +esde !ace muc!o

tiempo la !umanidad emplea tales modelos formalizados de situaciones

de conflicto denominados uegos, en el sentido estricto de la palabra.

%ueden servir de eemplo el aedrez, las damas, los uegos de cartas, etc.

(odos estos uegos tienen un carácter de emulación quo transcurre de

acuerdo con reglas conocidas y termina con la <victoria< ?ganancia@ de un

ugador u otro. (ales uegos, formalmente reglamentados y organizados de manera

artificial, constituyen el material más adecuado para la ilustración y la

asimilación de las nociones fundamentales de la teoría de los uegos, *a

terminología tomada de la práctica de dic!os uegos so emplea tambi$n

en el análisis de otras situaciones de conflictoB a los que participan en

ellas se les llama condicionalmente Fugadores< y al resultado del

encuentro. <ganancia< de una de las partes.

En el uego pueden c!ocar los intereses de dos o más contrincantes; en

el primer caso el uego se llama <de dos personas<; en el segundo, <de

varias personas<. *os participantes de un uego de varias personas

pueden formar coaliciones constantes o temporales. Cuando !ay dos

coaliciones constantes un uego de muc!os se convierte en uno de dos.

*a mayor importancia practica la tienen los uegos de dos personas, aquí

nos limitaremos sólo al estudio de $stos.



El principal obetivo de la teoría de los uegos es determinar los papeles

de conducta racional en situaciones de <uego< en las que los resultados

son condicionales a las acciones de ugadores interdependientes.

2n uego es cualquier situación en la cual compiten dos o más ugadores.El "edrez y el %óKer son buenos eemplos, pero tambi$n lo son el

duopolio y el oligopolio en los negocios. *a e#tensión con que un ugador

alcanza sus obetivos en un uego depende del azar, de sus recursos

físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del uego y de los

cursos de acciones que siguen los ugadores individuales, es decir, sus

estrategias. 2na estrategia es una especificación de la acción que !a de

emprender un ugador en cada contingencia posible del uego. 9e supone que, en un uego, todos los ugadores son racionales,

inteligentes y están bien informados. En particular, se supone que cada

ugador conoce todo el conunto de estrategias e#istentes, no solo para $l,

sino tambi$n para sus rivales, y que cada ugador conoce los resultados

de todas las combinaciones posibles de las estrategias.

*a teoría de uegos está básicamente ligada a las matemáticas, ya que es

principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, aunque losanalistas de uegos utilizan asiduamente otras áreas de esta ciencia, en

particular las probabilidades, la estadística y la programación lineal en

conunto con la teoría de uegos. %ero la mayoría de la investigación

fundamental es desempe'ada por especialistas en otras materias.

Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, como las ciencias

políticas o la estrategia militar, que fomentó algunos de los primeros

desarrollos de esta teoría. *a biología evolutiva, donde se !a utilizado

ampliamente para comprender y predecir ciertos resultados de la

evolución, como el concepto de estrategia evolutiva estable introducido

por o!n :aynard 9mit!; o la psicología, donde puede utilizarse para



analizar uegos de simple diversión o aspectos más importantes de la vida

y la sociedad tambi$n son claros eemplos de aplicaciones..

%ero sin duda, su principal aplicación la encontramos en las ciencias

económicas porque intenta encontrar estrategias racionales ensituaciones donde el resultado depende no solamente de la estrategia de

un participante y de las condiciones del mercado, sino tambi$n de las

estrategias elegidas por otros ugadores, con obetivos distintos o

coincidentes.

En esta ciencia se !a evolucionado notablemente, ya que a partir de los

instrumentos proporcionados por 5on eumann y :orgenstern se

comenzó a progresar en el conocimiento de la competencia imperfecta,porque !asta entonces solo tenían e#plicación DuegosL particularmente

simples, como el monopolio o la competencia perfecta, ya que el

monopolio puede ser tratado como un uego con un Anico ugador, y la

competencia perfecta puede ser entendida teniendo en cuenta un nAmero

infinito de ugadores, de manera que cada agente individual no puede

tener un efecto sobre agregados de mercado si actAa individualmente.

*a teoría de uegos !a venido desempe'ando, en los Altimos tiempos, unpapel cada vez mayor en los campos de lógica y ciencias informáticas.

5arias teorías de lógica se basan en la semántica propia a los uegos, e

informáticos ya !an utilizado uegos para representar computaciones.

VIII. INFLUENCIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS EN DIFERENTES /REAS

ACTUALES



A. M/TEM/TICA 0 TEORÍA DE JUEGOS

*as matemáticas tienen aplicaciones fascinantes en numerosos terrenos, como

es el caso de la física, la estadística pura, las finanzas y la economía.

+eterminados aspectos del comportamiento !umano son tambi$n susceptibles

de matematización. *a estadística social, por eemplo, analiza las características

estructurales de la conducta de las personas que forman parte de grandes

grupos !umanos.

*a econometría, ciencia derivada de la estadística, permite estudiar importantes

relaciones económicas y financieras. *a teoría de uegos, como las ramas del

conocimiento !umano ya mencionadas, se ocupa de estudiar interacciones entre

seres pensantes. *a idea subyacente es, al igual que en toda aplicación

matemática, simplificar problemas, resaltar los componentes esenciales de

$stos, permitir generalizaciones y producir criterios que permitan tomar

decisiones y actuar en forma inteligente.

(odos estos beneficios son proyectados para el análisis de las competencias

contra nuestros contrincantes. Entonces, situaciones compleas de rivalidad y de

acción simultánea o reacción incierta pueden ser transformadas por medio de

!erramientas matemáticas en formulaciones sencillas de análisis directo.

B. INFORM/TICA 0 TEORÍA DE JUEGOS

2na particularidad de la teoría de uegos es que posee menor cantidad de

recursos de información que otras aplicaciones matemáticas. %or eemplo, la

estadística puede establecer márgenes de confiabilidad o umbrales de error

definidos dependiendo del volumen de información disponible para análisis.

%ero debido a la naturaleza del problema de competencia, se dispone de escasainformación sobre los rivales o sobre otros agentes influyentes sobre el

resultado de nuestras decisiones.

+e !ec!o, si se conociera el ciento por ciento de la información relevante sobre

los intereses y mecanismos de decisión y acción de los competidores y demás



agentes, no estaríamos !ablando de un problema de teoría de uegos, sino de

un problema de optimización. o podemos decir que la optimización pura

abarca problemas de fácil solución. +e !ec!o, la teoría de uegos se

fundamenta en el cálculo de optimización.

"demás, la optimización pura es util izada incluso para la generación de

funciones matemáticas que refleen eficientemente infinidad de eventos del

mundo real. %ero la optimización pura recurre a abundantes datos, de la misma

forma en que lo !ace la estadística, y sus conclusiones tienen mayor o menor

firmeza segAn el sost$n teórico y el volumen y calidad de los datos.

En el caso de la teoría de uegos surge el problema de la falta de datos. %or

ello, la competencia contra el rival debe ser maneada mediante algo que puede

ser descrito informalmente como una Dadivinanza educadaL.

C. OPTIMIZACIÓN 0 TEORÍA DE JUEGOS

Como se mencionó, la teoría de uegos debe recurrir al soporte de la teoría y

t$cnicas de optimización. " diferencia de la aplicación que recibe en otros

campos de estudio, la optimización es utilizada en la teoría de uegos para

producir criterios de decisiónacción que aprovec!en la escasa información paraproducir la meor adivinanza educada que fuese posible. En un e#tremo están

los problemas en los que se carece absolutamente de información.

En tales casos, la teoría debe presentar los mecanismos "ugusto =ufasto de

decisiónacción que permitan operar en tinieblas. aturalmente, aunque actuar

en oscuridad con los criterios óptimos de la teoría de uegos es menos riesgoso

que si se prescinde de ellos, el riesgo siempre es alto cuando se carece de

información. En el otro e#tremo, cuando tenemos todos los datos necesarios,surge la situación ya mencionada en que sólo se requiere optimización pura, y

en que la teoría de uegos ya no es requerida.

%artiendo del punto de información cero, a medida que se dispone de

información en mayor cantidad y calidad, las t$cnicas de optimización aplicadas



a la teoría de uegos producen mecanismos de decisiónacción de cada vez

menor riesgo. %or todo lo dic!o, la teoría de uegos debe ser vista como un

artefacto destinado a reducir el riesgo implícito por situaciones en que se carece

de información respecto a los intereses y modos de acción del competidor.

D. ESTADÍSTICA 0 TEORÍA DE JUEGOS

El riesgo forma parte de todo proceso de competencia de naturaleza

trascendente. Como vimos, la teoría de uegos reduce el riesgo de incurrir en

fracaso como resultado de nuestras propias decisiones, pero no lo elimina. El

riesgo es la contrapartida de la probabilidad de los eventos. 9i un evento es pQ

probable de suceder, entonces el riesgo de que no suceda ese evento es ?/p@

Q.

5eamos un eemplo muy simplificado de una situación realB si decidimos

comprar una patente cara porque pensamos que el mercado va a demandar los

servicios derivados de ella, entonces el riesgo implícito es el complemento de la

probabilidad de que en verdad !aya una respuesta favorable.

"l tratar con probabilidades, tratamos con riesgos. 9i compramos la patente, lo

!acemos porque es probable que !aya considerable inter$s por parte denuestros clientes potenciales. 9i sucediera que ?recordemos que se trata de un

eemplo muy simplificado@ la demanda no es atraída por el producto o servicio

derivado de la patente, entonces el evento probable no se produo, y el riesgo

cristalizó.

(odo evento riesgoso siempre puede terminar de manera desfavorable. *a

teoría de uegos puede crear los mecanismos para definir la naturaleza del

riesgo que enfrentamos ?en muc!os casos podrá incluso DinventarL criterios@,pero no termina con el problema del riesgo. %or lo tanto, si un individuo se

decide a adquirir un terreno porque la teoría de uegos le muestra que es

probable que una serie de agentes se interesen en arrendar diferentes

secciones de tal espacio, !a de tomar en conciencia del nivel de riesgo



asumido. %ero si este proceso se llega a repetir con e#actamente las mismas

características en todos los casos en un nAmero grande de veces, entonces el

conunto total de acciones ofrecerá ventaa para nuestro agente. Esta es una

consideración interesante, pero dado que es teórica no es aconseable tomarlacomo una referencia concluyente.

teoría de juegos - john nash

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