TEORA DE JUEGOS (IV): ASPECTOS EQUILIBRIO DE NASH Referencias bibliogrficas principales (y fuentes de las diapositivas que no son de elaboracin propia): Frank (2005): Microeconoma y Conducta, McGrawHill. Gibbons (1993): Un Primer Curso de Teora deJuegos, A. Bosch. Kreps (1995): Curso de Teora Microeconmica, McGraw-Hill. Nicholson (2004): Teora Microeconmica, Thomsom. Pindyck y Rubinfeld (2001): Microeconoma, Prentice-Hall. 1) CARCTER OPERATIVO de los conceptos de racionalidad y equilibrio. 2) EXISTENCIA. Estrategias mixtas. 3) CREDIBILIDAD. Ejemplos de amenazas increbles. 4) MULTIPLICIDAD - Mtodos para obviar el problema - Refinamientos del equilibrio. - Equilibrio perfecto en subjuegos. 5) CAPACIDAD PREDICTIVA Y COMPORTAMIENTO EXPERIMENTAL - La tesis de D. Kreps - Conflicto y cooperacin. Juegos repetidos. - Reciprocidad. 6) EQUILIBRIOS CON MEJORES RESULTADOS. Equilibrio correlacionado de Aumann. 7) INFORMACIN INCOMPLETA - Juegos de informacin incompleta. CARCTER OPERATIVO O RESOLUTIVO DE LAS NOCIONES DE RACIONALIDAD Y DE EQUILIBRIO Ver notas bajo el ttulo LA DOBLE DIMENSIN - DESCRIPTIVA Y OPERATIVA - DE LAS NOCIONES DE RACIONALIDAD Y DE EQUILIBRIO, en el archivo Equilibrio-Doble Dimensin. EXISTENCIA DEL EQUILIBRIO DE NASH (en estrategias puras) El problema de la existencia de equilibrio. Estrategias mixtas: nocin. Equilibrio de Nash con estrategias mixtas. Correspondencias de reaccin. Teorema de Nash. Una propiedad importante de las estrategias mixtas de equilibrio. El problema de la interpretacin de las estrategias mixtas. Referencias principales: Gibbons (1993), pp. 29-47. Kreps (1995), pp. 369-371. EXISTENCIA DEL EQUILIBRIO DE NASH (en estrategias puras) EL PROBLEMA: Hay (numerosos) juegos (incluso sencillos) en los que no hay ningn equilibrio de Nash en estrategias puras. Y se pueden construir con facilidad. El juego de las monedas Jugador A CaraCruz Cara Cruz Jugador B 1, -1-1, 1 1, -1-1, 1 La batalla de los sexos Jaime Lucha librepera Lucha libre pera Juana 2,10,0 1,20,0 Otro ejemplo de juego sinequilibrios de Nash t1 t2 t3 s110; 1232; 1512; 25 s2 15; 208; 930; 18 s3 30; 1110; 206; 7 EXPEDIENTE PARA OBVIAR EL PROBLEMA: Considerar una nueva clase de estrategias: las estrategias mixtas. Con ella cambia la nocin y clases de estrategias: - puras, - y mixtas. Nocin de estrategia mixta (para juegos en forma normal) Una estrategia mixta para el jugador i es una distribucin de probabilidad sobre (algunas o todas) sus estrategias puras (en el conjunto Si ). (Gibbons 1993: 31). Ejemplo: el juego de las monedas Las estrategias puras de cada jugador son cara y cruz. Una estrategia mixta para cualquiera de ellos es la distribucin de probabilidad (q, 1-q) , donde q es la probabilidad de jugar cara. La estrategia mixta (degenerada) (1, 0) es la estrategia pura cara, y (0,1) es la estrategia pura cruz (Gibbons, ibidem). Otro ejemplo (Gibbons, 1993: 31) Una estrategia mixta para el segundo jugador es una distribucin de probabilidad (q, r, 1-q-r) donde q es la probabilidad de elegir a, r es la probabilidad de elegir b, y 1-q-r es la probabilidad de elegir c. abc A1, 01, 20, 1 B0, 30, 12, 0 En resumen, dado un juego en forma normal en el que Sj={sj1, sj2,.., sjK}, una estrategia mixta para el jugador i es una distribucin de probabilidad oj={oj(sj1), oj(sj2),.., oj(sjK)}, donde 0s oj(pjk)s1, y oj(sj1+)+oj(sj2)+..+oj(sjK))=1. (Ver Gibbons (1993), p. 32. Un poco de notacin ms precisa (Kreps 1995) Un juego en forma normal o estratgica se especifica mediante los siguientes elementos: Un conjunto de jugadores {1,2,..,I} (que supondremos finito). Por cada jugador i, un conjunto de estretagias disponibles Si (que supondremos finito). S= S1S2..SI: conjunto de combinaciones de estrategias (s1,s2,.., sI)eS. Una funcin de pagos: u:S9i. Estrategias mixtas (ibidem) (para juegos en forma normal) Sea Ei el conjunto de las distribuciones de probabilidad sobre Si. Una estrategia mixta para el jugador i es cualquier elemento oieEi (i decide jugar la estrategia pura si con probabilidad oi(si)). Se supone que se construyen de manera independiente. [ =Ijjsj1) ( oAs, dado el perfil de estrategias mixtaso=(o1, o2,.., oI), la probabilidad del perfil s=(s1, s2,.., sI) es: Si los jugadores juegan las estrategias mixtas o ,el pago esperado del jugador i es: ) ( ]1) ( [ ) ( sjuS sIjjsj iu e[ == o oEquilibrio de Nash: versin intuitiva Una combinacin de estrategias mixtas (que pueden ser puras)(o1, o2,..,oi,.., on)es un equilibrio de Nash,siempre y cuando, la estrategia jugada por cada jugador (en esa combinacin) sea su mejor respuesta a las estrategias jugadas por los dems (en esa combinacin). CONCEPTO DE EQUILIBRIO DE NASH Una combinacin de estrategias(o1,o2,..,oi,..,on)es un equilibrio de Nash,siempre y cuando, para todo jugador i, ui (o1,o2,..,oi,..,on)>ui (o1,o2,..,oi,..,on), para toda (o1,o2,..,oi,..,on) tal que oi= oi, y oh= oh , siendo h=i. 1\2t1t2 s11, -1-1, 1 s2-1, 11, -1 Primer ejemplo de equilibrioen estrategias mixtas:el juego de las monedas Equilibrio en estrategias mixtas: p(s1)= 0,5 [p(s2)= 0,5] q(t1)= 0,5 [q(t2)= 0,5] El juego de las monedas: comprobacin. u1(s1)= 0,5 0,5=0 u1(s2)= -0,5 + 0,5=0 u2(t1)= -0,5 + 0,5=0 u2(t2)= 0,5 0,5=0 1\2t1t2 s13, 11, 3 s20, 54, 2 Un segundo ejemplo de equilibrioen estrategias mixtas (Kreps) Equilibrio en estrategias mixtas: p(s1)= 0,6 [p(s2)= 0,4] q(t1)= 0,5 [q(t2)= 0,5] Segundo ejemplo: comprobacin. u1(s1)= 0,5.3 + 0,5=2 u1(s2)= 0,5.0 + 0,5.4=2 u2(t1)= 0,6.1 + 0,4.5=2,6 u2(t2)= 0,6.3 + 0,4.2=2,6 t1t2t3t4 s1200; 63; 54; 3 0; -1.000 s20; -10.0005; -1.0006;33; 20 Ejemplo de coexistenciadeequilibrios en estrategias puras y mixtas (Kreps) Equilibrios en estrategias puras: (s1; t1) y (s2; t2) Equilibrio en estrategias mixtas: p(s1)= 9000/9001; p(s2)= 1/9001 q(t1)= 1/101; q(t2)= 100/101; q(t3)= 0; q(t4)= 0; Juego de Nash: comprobacin (del equilibrio en estrategias mixtas). u1(s1)= (1/101).200 + (100/101).3+ 0.4+ 0.0= 500/101. u1(s2)= (1/101).0 + (100/101).5+ 0.6+ 0.3= 500/101. u2(t1)= (9000/9001).6- (1/9001).10000=44000/9001 u2(t2)= (9000/9001).5- (1/9001).1000=44000/9001 u2(t3)= (9000/9001).3+ (1/9001).3=27003/9001 u2(t4)= -(9000/9001).1000+ (1/9001).20=- 8999980/9001 Representacin grfica del equilibrio de Nash en juegos bipersonales Mediante curvas de reaccin, de modo semejante al caso del modelo de Cournot. Estrategias del jugador 1: (p, 1-p). Estrategias del jugador 2: (q, 1-q). Pago esperado del jugador 1 con su primera estrategia pura s1: qu1(s1, t1)+(1-q)u1(s1, t2). Pago esperado del jugador 1: pqu1(s1, t1)+p(1-q)u1(s1, t2)++(1-p)qu1(s1, t1)+(1-p)(1-q)u1(s1, t2). Funcin (correspondencia) de reaccin o de mejor respuesta del jugador 1. R1(q): el mejor pago esperado para el jugador 1 dada la probabilidad q de que 2 juegue su primera estrategia. Equilibrio: p*=R1(q*)= R1(R2(p*)).Teorema de Nash (1950) En un juego en forma normal de n jugadores, si el nmero de jugadores y el nmero de estrategias puras por cada jugador son finitos, entonces existe al menos un equilibrio de Nash, que puede incluir estrategias mixtas. (Fuente: Gibbons, 1993, p. 45). Una propiedad importante de las estrategias mixtas de equilibrio Supngase un juego bipersonal como los de los ejemplos anteriores, en el que el jugador 1 tiene las estrategias s1 y s2, mientras que el jugador 2 tiene las estrategias t1 y t2. Un estrategia mixta de equilibrio del jugador 1 tiene como consecuencia que el jugador 2 sea indiferente entre sus estrategias t1 y t2. Un estrategia mixta de equilibrio del jugador 2 tiene como consecuencia que el jugador 2 sea indiferente entre sus estrategias s1 y s2. (Ver ejemplos anteriores). 1\2t1t2 s13, 11, 3 s20, 54, 2 Cambio en el segundo ejemplo de equilibrioen estrategias mixtas (Kreps) Equilibrio en estrategias mixtas: p(s1)= 0,6 [p(s2)= 0,4] q(t1)= 0,75 [q(t2)= 0,25] Segundo ejemplo: comprobacin. u1(s1)= 0,75.3 + 0,25=2,5 u1(s2)= 0,75.0 + 0,25.4=1 Entonces al jugador 1 le interesa jugar su estrategia s1. Pero entonces al jugador 2 le interesa jugar su segunda estrategia. Y esa combinacin no es estable. 1\2t1t2 s13, 21, 3 s20, 54, 2 Segundo cambio en el segundo ejemplode equilibrio en estrategias mixtas (Kreps) Equilibrio en estrategias mixtas: p(s1)= 0,6 [p(s2)= 0,4] q(t1)= 0,5 [q(t2)= 0,5] Segundo ejemplo: comprobacin. u2(t1)= 0,6.2 + 0,4.5=3,2 u2(t2)= 0,6.3 + 0,4.2=2,6 Entonces al jugador 2 le interesa jugar su estrategia t1. Pero entonces al jugador 1 le interesa jugar primera estrategia. Y esa combinacin no es estable. En general, una estrategia mixta de equilibrio hace que cada uno de los dems jugadores sea indiferente entre sus estrategias a las que asigna una probabilidad positiva.(Ver juego de Kreps). Hasta el punto de que las estrategias de equilibrio se pueden calcular buscando esa indiferencia. En ese sentido, ..en este tipo de equilibrio, las probabilidades utilizadas por los jugadores vienen determinadas no por sus propios pagos, sino por los pagos de los otros jugadores (Kreps, 1995, p.370). El objeto es mantener a los otros jugadores indiferentes (entre sus estrategias a las que asignan probabilidad positiva)Se aleatoriza para dejar al rival haciendo conjeturas y no porque de ello se derive ningn beneficio directo para uno mismo. Por este motivo, mucha gente encuentra increble la idea del equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Nos vamos a creer que los individuos, al enfrentarse con decisiones econmicas del mundo real deciden lo que van a hacer lanzando una moneda al aire? Nos vamos a creer adems que eligen la aleatorizacin adecuada, cuando hacerlo no les beneficia particularmente? (Kreps, 1995, p. 370) En algunos casos, no parece irracional sospechar que los jugadores utilizan estrategias aleatorizadas. Cuando juegan al pquer, por ejemplo, los buenos jugadores aleatorizarn (jugarn de farol) para evitar que puedan preverse las cartas que tienen. Sin embargo, si para s mismos llegan a la conclusin de que a menudo los equilibrios en estrategias mixtas no son muy intuitivos y (por lo tanto) no son candidatos para ser la solucin de un determinado juego, no conseguirn muchos argumentos aqu (Krpes, 1995, p. 371). El problema de la interpretacin de las estrategias mixtas Propuesta de Harsanyi asumida por Gibbons (para juegos bipersonales): Una estrategia mixta del jugador j representa la incertidumbre del jugador i sobre lo que har el jugador j. Esta interpretacin confiere sentido a la idea de que el jugador i trate de dar su mejor respuesta, dada esa incertidumbre. Kreps El objeto es mantener a los otros jugadores indiferentes (entre sus estrategias a las que asignan probabilidad positiva)Se aleatoriza para dejar al rival haciendo conjeturas. Escepticismo tradicional (Luce and Raiffa (1967)) Una estrategia mixta puede interpretarse como la adopcin de algn procedimiento aleatorio para decidir qu estrategia pura se termina empleando. Por ejemplo, se puede pensar en una rueda giratoriacomo las empleadas en las verbenas,partida en varias secciones. Una seccin por cada estrategia pura del jugador, cuya superficie es adems proporcional a la probabilidad asignada a cada estrategia pura en la estrategia mixta correspondiente. La decisin final se alcanza haciendo girar el disco y eligiendo la estrategia pura correspondiente a la zona en la que termina situada la lengeta fija situada en la parte superior del disco. Objecin tradicional (Luce and Raiffa (1967)) Supngase que antes de poner en marcha el procedimiento el jugador consideraba que su mejor estrategia era sr. Supngase ahora que se pone en marcha la rueda y que la lengeta seala la zona correspondiente a la estrategia ss. Cul es la razn por la que el jugador debera cambiar su punto de vista y jugar ahora la estrategia que resulta del mecanismo aleatorio? Por qu debe cambiar su estrategia, si l pensaba que la estrategia sr era mejor?