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TESIS DE LA CARRERA DE

MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS

Teoría de campos en variedades

con singularidades

Edith Lorena LosadaMaestrando

Dr. César D. FoscoDirector

San Carlos de BarilocheDiciembre de 2007

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía AtómicaArgentina

Dedicado a mis padres, a mi abuelo y a todosaquellos que confiaron en mi, me alentaron a seguir y

me dieron la oportunidad de poder estar aquí.. . .

Resumen

La presencia de condiciones de contorno produce alteraciones en la energíade vacío. En este trabajo se propone un nuevo método que posibilita introducircondiciones de borde no necesariamente perfectas, permitiendo estudiar cómoafecta la inclusión de defectos (bordes) a la energía de Casimir y a la interacciónentre dos defectos, dependiendo de la masa del campo cuántico considerado yde cuán perfectas sean las condiciones de contorno. Se analizan el campo escalarreal y el campo fermiónico en una y tres dimensiones espaciales.

Palabras clave: ENERGÍA DE CASIMIR, FLUCTUACIONES DE VACÍO, CAM-POS.

Abstract

The presence of boundary conditions produces modifications in the vacuumenergy. The method used in this work makes it possible to introduce soft bound-aries conditions, and to study how defects affect the Casimir energy, calculatingthe interaction energy between two defects. We have found the dependence onthe boundary conditions of the Casimir interaction energy and its relationshipwith the quantum field mass. We analyzed the real scalar field and the fermionicfield in one and three spatial dimensions.

Keywords: CASIMIR ENERGY, VACUUM FLUCTUATIONS, FIELDS.

Contenidos

1. Introducción 1

2. Método 5

3. Cálculo de energías de vacío para un campo escalar real 93.1. El caso de un único defecto con un campo escalar real en D = 1+1

dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Dos defectos en D = d+1 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1. Una dimensión espacial d=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Tres dimensiones espaciales d=3. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Cálculo de energías de vacío para un campo fermiónico 264.1. Un único defecto en D = 1+1 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 264.2. Dos defectos en D = d+1 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1. El caso particular d = 1, g1 = g2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2. El caso particular d = 3, g1 = g2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Cálculo de magnitudes locales 535.1. Propagador para el campo fermiónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1. Caso particular para un solo defecto . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Conclusiones 69

A. Propagador bosónico libre en espacio euclídeo 71

B. Propagador fermiónico libre en espacio euclídeo 72

Referencias 73

CAPÍTULO I

Introducción

La presencia de bordes en una región espacial sobre la cual está definida uncampo cuántico, modifica drásticamente el espectro de energías de vacío. Es unefecto puramente cuántico ya que si se consideraran las mismas condiciones decontorno dentro del marco de la electrodinámica clásica no se observaría ningu-na variación. Esta energía de vacío o energía de Casimir, tiene muchas consecuen-cias físicas interesantes, que van desde la existencia de fuerzas entre superfi-cies metálicas no cargadas hasta efectos potencialmente relevantes en algunosescenarios cosmológicos(1). Por otra parte, en muchas situaciones físicas surgenteorías cuánticas en presencia de campos de fondo, como cuando se consideranlos efectos de los campos de fondo gravitacional o electromagnético sobre la am-plitud de persistencia del vacío. Los campos cuánticos acoplados con campos defondo y modelos definidos sobre espacios con fronteras no triviales comparten al-gunas propiedades importantes. Estos últimos algunas veces pueden ser conside-rados como un caso especial de los primeros. Los campos de fondo por supuestomodifican el espectro de energía de manera no trivial. Como resultado de esto,la amplitud de persistencia del vacÍo, obtenida por integración de los camposcuánticos, generalmente se convierte en una funcional complicada del campo defondo.Las primeras observaciones sobre éste tema fueron realizadas por Casimir (1948),quien notó que dado que, en el vacío, el campo electromagnético en realidad no se anu-la sino que fluctúa, tales fluctuaciones pueden producir efectos observables en lascircunstancias apropiadas.Cuando cuerpos macroscópicos, no necesariamente cargados, introducen condi-ciones de contorno, se puede calcular la diferencia de energía de punto cero entrelas dos situaciones, esto es con y sin bordes. Para ilustrar este problema, consid-eraremos como lo hizo originalmente Casimir, que se tienen dos grandes placasparalelas perfectamente conductoras y separadas entre sí a una distancia L. Porsimplicidad se las supone cuadradas y de lado a con a À L. Al tener al campoelectromagnético confinado en el interior del volumen delimitado por las placas,las frecuencias de oscilación de los modos normales están cuantizadas y cada unade ellas está asociada con un estado de energía bien definida. Estas frecuenciasdependen de la forma geométrica. Al cambiar la forma geométrica también va acambiar la energía de vacío. Lo que se hace es calcular la diferencia de energíaentre dos configuraciones diferentes (se le resta a una configuración a una dis-tancia a dada la configuración a una distancia L mucho mayor). Si luego se tomael límite cuando L → ∞ se obtiene la diferencia de energía de punto cero delcampo electromagnético entre la condición de borde con las placas separadas a

una distancia a y la configuración sin condiciones de borde. Al sustraer la energíade vacío infinita, con la energía potencial resultante, se puede calcular la fuerzaentre ambas placas. Aparece una fuerza atractiva entre las placas, a pesar de queno están cargadas, esta fuerza disminuye a medida que aumenta la distancia deseparación entre ellas. Es un efecto puramente cuántico, ya que si se considerasenlas mismas condiciones de contorno para el campo electromagnético dentro delmarco de la electrodinámica clásica no aparecería ninguna fuerza. De ésta man-era, la fuerza de Casimir es una manifestación directa de la dependencia del vacíocuántico con las condiciones de contorno(2).

Además de lo que tradicionalmente se considera “efecto Casimir”, esto es, eldebido a condiciones de contorno estáticas, existen otras situaciones similares encuanto a manifestación de las fluctuaciones de vacío:

Efecto de polarización del vacío por campos externos.

Otro ejemplo de la teoría cuántica de campos conectado con la existenciade oscilaciones de punto cero es el de la polarización del vacío por cam-pos externos. La propiedad característica de este efecto es la existencia deuna energía de vacío no nula que depende de la intensidad del campo. Losbordes, por otro lado, se pueden considerar como un campo externo con-centrado. En este caso, la energía de vacío en un volumen de cuantizaciónrestringido es análogo a la polarización del vacío de un campo cuantizado,y la fuerza debida al contorno puede pensarse como resultado de esa polar-ización.

Efecto Casimir dinámico.

Existen al menos dos manifestaciones dinámicas del efecto Casimir y sur-gen de considerar condiciones de contorno que varían en el tiempo. Una esla aparición de una fuerza que actúa sobre el contorno (como en el caso delas dos placas, salvo que ahora la fuerza cambia en el tiempo). La otra man-ifestación es más interesante y es la creación de partículas (fotones) a partirdel vacío debido a ese movimiento que se atribuye a la acción de camposexternos. La energía es transferida desde el campo externo a las partículasvirtuales (oscilaciones de vacío) transformándolas en partículas reales. Unejemplo de este caso lo constituyen dos placas perfectamente conductorasplanas donde una de ellas se encuentra sometida a una fuerza externa quehace variar su separación en el tiempo. En este ejemplo tanto la energía deCasimir como la fuerza resultante debida a la interacción entre las placasdependen de la velocidad con que se produce el movimiento. Otro ejemplose produce al considerar campos de fondo clásicos (triviales o no triviales)a cuyas configuraciones se les permite fluctuar. Generalmente esto se real-iza sin modificar ni la topología ni las condiciones de contorno del campoclásico.

Espacios con topologías no triviales.

2

El efecto Casimir no solo surge en presencia de condiciones de contorno ma-teriales, sino también en espacios con topologías no triviales. Estas aparecenpor ejemplo, al imponer condiciones de periodicidad sobre los campos, ytienen un efecto similar al de los contornos materiales. Como consecuencia,aparece una energía de vacío no nula, a pesar de que no hay bordes y deque ninguna fuerza puede actuar sobre ellos (3).Un ejemplo para este tipo de problemas surge de considerar el intervalo0 < x < a al que se le imponen las condiciones de contorno:ϕ(t, 0) = ϕ(t, a)y ∂xϕ(t, 0) = ∂xϕ(t, a) , que, como se muestra en la figura (1.1) describenla identificación de los puntos x = 0 con x = a. Como resultado, se tiene uncampo escalar sobre una variedad con la topología de S1.

Figura 1.1: Condiciones decontorno periódicas

En cuanto a sus aplicaciones, el efecto Casimir juega un rol importante en unavariedad de campos de la Física:

1. En la teoría cuántica de campos: En el bag model de hadrones de la Cromodi-námica Cuántica, la energía de Casimir de los campos de quarks y gluoneshace una contribución esencial a la energía nucleónica total (4). En teoríasde campos de Kaluza-Klein el efecto Casimir ofrece uno de los mecanismosmas efectivos de compactificación espontánea de dimensiones espacialesextras. Más aún, mediciones de la fuerza de Casimir proveen oportunidadesde obtener condiciones más fuertes para los parámetros de interacción alargo rango y para las partículas elementales más livianas predichas por lasteorías de unificación de gauge, supersimetría, supergravedad y teoría decuerdas.

2. En la física de materia condensada: El efecto Casimir da lugar a fuerzasatractivas y repulsivas entre los contornos materiales cercanamente espa-ciados que dependen de las configuraciones geométricas, de la temperaturay de las propiedades electromagnéticas de la superficie de contorno (5). Es

3

responsable de algunas propiedades de películas delgadas y debe ser teni-da en cuenta en investigaciones de tensión superficial y calor latente.

3. En gravitación, astrofísica y cosmología: En espacio-tiempos con topologíasno triviales también puede aparecer el efecto Casimir. Un ejemplo se da enla cosmología, de acuerdo con el concepto de la cosmología estándar, el es-pacio de nuestro Universo es isótropo y homogéneo. Dependiendo del val-or de la densidad media de materia, los modelos cosmológicos pueden serabiertos (espacio hiperbólico curvo de volumen infinito), cuasi-euclídeos(espacio plano infinito en tres dimensiones) o cerrados (espacio esférico cur-vo de volumen finito). Si bien se puede introducir una topología no trivialen cualquiera de estos modelos - incluyendo el cuasi-euclídeo - mediantela imposición de alguna identificación de puntos , el modelo de Friedmancerrado es topológicamente no trivial e incorpora naturalmente el efectoCasimir.

4. En la física atómica: Las interacciones de Casimir a largo rango dan lugara correcciones de los niveles de energía de los estados de Rydberg. Variosefectos del tipo Casimir surgen en cavidades electrodinámico-cuánticas.

En esta Tesis se aborda el estudio del efecto Casimir estático para un campoescalar real y para un campo fermiónico acoplado a un campo de fondo estáticodeterminado por la presencia de uno o dos defectos materiales que modelan lascondiciones de contorno. Estos defectos se presentan concentrados en una regiónde codimensión 1, motivo por el cual se los representa mediante una dela de Diraccon un factor de acoplamiento caracterizado por una constante g. Si bien la en-ergía de Casimir total en ambos casos diverge, lo que se hace es calcular la energíade Casimir de interacción que se obtiene mediante la diferencia entre dos configura-ciones de las condiciones de contorno. La obtención de estas energías de interac-ción entre defectos es muy importante porque a partir de ellas se puede calcularla fuerza resultante que actúa sobre los bordes. Este trabajo está organizado de lasiguiente manera: En el capítulo 2 se desarrolla el caso bosónico correspondienteal campo escalar real para uno y dos defectos en una y tres dimensiones. Si bien elcaso bosónico está bastante estudiado sirve como verificación del método con elcual estamos trabajando. En el capítulo 3 se desarrola el caso fermiónico, para unoy dos defectos en una y tres dimensiones comparándolo con el problema anterior.

4

CAPÍTULO II

Método

El método utilizado en esta Tesis para calcular las energías de vacío comienzapor encontrar una expresión para la función de partición Z , para después rela-cionarla con la amplitud de persistencia del vacío Γ mediante la relación:Z = e−Γ.Para eso se trabaja con la acción efectiva en espacio euclídeo en la cual se consid-era una componente de la acción debida a la interacción con los “bordes” y laacción libre (6). Primero se considera la energía que cuesta modificar el vacío porhaber introducido defectos. La energía de vacío E se puede reescribir entoncescomo el límite de Γ/T cuando T → ∞ donde T es la extensión del intervalo detiempo imaginario. En dimensiones espaciales mayores que 1, E es proporcionalal área Ld−1 de los defectos (que se supone que son cuadrados de dimensión d−1de lado a). Como a → ∞ es conveniente introducir la densidad de energía E , demanera tal que:

E0 ≡ lımT,a→∞

(Γ

ad−1T

). (2.1)

Para obtener esta densidad de energía, lo que se hace es considerar el volu-men contenido en el espacio delimitado por los defectos aplicando condicionesde contorno que pueden ser periódicas, antiperiódicas o nulas (para discretizarlos modos de oscilación) y luego pasar al límite contínuo. Un ejemplo es tomarcondiciones espacio-temporales periódicas. Por ejemplo, considerando un volu-men en un espacio-tiempo de dimensión D = d + 1 = 3, contenido en una caja deparedes planas tal que la separación entre paredes en la dirección xi sea ai. Parauna función de los momentos dada f(q0, q1, q2) se cumple que:

f(q0, q1, q2) = f(2πn1

a1

,2πn2

a2

,2πn3

a3

)

donde los ni son los modos de oscilación y los ki ni= 2πni

aison los números de onda

que en este sistema de unidades son iguales a los momentos qi nicorrespondientes

a cada modo. Para obtener el caso contínuo, se toma el límite cuando ai → ∞en cuyo caso, una suma sobre modos se puede reemplazar por una integral. Porsimplicidad se supone a1 = a2 = a

q0n0 =2πn

T⇒ dn0 =

T

2πdq0

q1n1 =2πl

a⇒ dn1 =

a

2πdq1

q2n2 =2πs

a⇒ dn2 =

a

2πdq2

Entonces, dada una función f(q0n0 , q1n0 , q2n2) = F (n0, n1, n2), en el límite cuan-do T → ∞ y a → ∞ se cumple que:

lımT, a →∞

∑qn

f(q0n0 , q1n1 , q2n2) = lımT, a →∞

∞∑n0,n1,n2=−∞

F (n0, n1, n2) = lımT, a →∞

∫ ∞

−∞F (n0, n1, n2) dn =

= lımT, a →∞

∫ ∞

−∞

dq0

2π

∫ ∞

−∞

dq1

2π

∫ ∞

−∞

dq2

2πT a2 f(q0, ql, q2)

La generalización a espacios de dimensión d arbitraria es inmediata, dandocomo resultado:

lımT, a →∞

∑qini

f(q0n0 , ...., q0nd) =

= lımT, a →∞

∫ ∞

−∞

dq0

2π.......

∫ ∞

−∞

dqd

2πT ad f(q0, ..., qd) (2.2)

Aplicando esta propiedad se obtiene la densidad de energía de vacío.Además, en el caso de dos defectos, normalmente uno no está interesado en lacantidad E sino en lo que se denomina energía de Casimir de interacción Eint,que se obtiene tomando la diferencia entre la configuraciones con un defecto eninfinito (L → ∞) - suficientemente lejos como para que no interactúen - y laque corresponde a una separación finita L entre los mismos. El orígen de este in-terés es que mediante la variación de esta energía en función de la posición de losdefectos se puede obtener la fuerza resultante que actúa sobre los defectos. Paracalcular los propagadores los procedimientos son muy similares, salvo que en es-tos casos además de considerar la acción libre y la acción debida a la interacción,se debe tener en cuenta la acción debida a fuentes externas.En todos estos cálculos se trabaja dentro el formalismo de integrales de camino,donde se introducen campos auxiliares que viven sobre el defecto para posterior-mente trabajar en un espacio de menor dimensión que el espacio-tiempo original.Para reescribir la interacción con los defectos en función de esos campos auxil-iares, se utilizan, entre otras, las propiedades que se describen a continuación:

1. En el caso del campo escalar real se aprovecha la propiedad de las inte-grales gaussianas(6):

exp[

12

∫ddy

∫ddy′ φ(y) A(y, y′) φ(y′)

]= [det

(A−1

2π

)]1/2

× ∫ Dχ exp[− 1

2

∫ddy

∫ddy′ χ(y) A−1(y, y′) χ(y′) +

∫ddy φ(y) χ(y)

]

6

que en particular, cuando φ(y) = 0 implica:

[det

(A−1(y, y′)2π

)]−1/2

=

∫Dχ exp

[− 1

2

∫ddy

∫ddy′ χ(y) A−1(y, y′) χ(y′)

]

Esta propiedad permite escribir la exponencial que contiene a la acción de-bida a la interacción como una integral de camino en función de un campoauxiliar (que en este ejemplo correspondería a la variable χ(y)).

2. En el caso del campo fermiónico, la exponencial que contiene a la accióndebida a la interacción por la presencia de defectos o bordes se puede es-cribir como una integral de camino mediante la introducción de variablesde Grassmann auxiliares por medio de la relación para determinates fer-miónicos:

exp[− ∫

dz∫

dz′ ψ(z) B(z, z′) ψ(z′)]

=[det[B−1(z, z′)]

]−1

× ∫ DχDχ exp[ ∫

dz [ψ(z) χ(z) + χ(z) ψ(z)]+∫

dz∫

dz′ χ(z)B−1(z, z′)χ(z′)]

.

En particular, cuando ψ y ψ son nulos se tiene la expresión:

∫DχDχ exp

[ ∫dz

∫dz′ χ(z)B−1(z, z′)χ(z′)

]= det[B−1(z, z′)]

La manera en que se resuelven los problemas en esta Tesis no sólamente per-mite desarrollarlos mucho mas sencillamente que por métodos tradicionales, sinoque también deja abierta la posibilidad de imponer condiciones de contorno de-nominadas blandas. Este tipo de condiciones de contorno, a diferencia de las condi-ciones de contorno perfectas o duras, puede describir de manera más realista laspropiedades de los materiales. Para condiciones de contorno perfectas, los bordesse comportan como espejos perfectos para todas las frecuencias de las ondas queincidan sobre ellos. Para las condiciones blandas puede ocurrir que una fracciónde la onda incidente atraviese la frontera o que haya una dependencia con la fre-cuencia para la filtración de las ondas que deja pasar. Por otra parte, mediante losmetodos tradicionales, para poder resolver un problema es necesario encontrartodos los autovalores y autofunciones de las funciones de onda involucradas.Esto suele ser bastante complicado, incluso mediante la utilización de progra-mas de cálculo matemático. Aquí sólamente basta con conocer las funciones deGreen y determinantes que, como se podrá ver mas adelante se obtienen muyfácilmente por consideraciones de simetría y métodos algebraicos. Trabajos an-teriores (7) plantearon el problema de dos defectos para el caso bosónico perotomando condiciones de contorno duras. En este trabajo se toman condiciones de

7

contorno blandas, que es similar a considerar plasma sheets, láminas conductorasde plasma que deja pasar una fracción de la onda incidente dependiendo de lafrecuencia de oscilación de la misma.

8

CAPÍTULO III

Cálculo de energías de vacíopara un campo escalar real

En este capítulo se hacen diferentes cálculos relacionados con la energía devacío en presencia de defectos para un campo escalar real. En la sección 1 se ob-tiene una expresión para la energía de vacío para un único defecto en una dimen-sión espacial. En la sección 2 se consideran dos defectos en dimensión espacialarbitraria d y posteriormente se analizan los casos particulares en d = 1 y d =3 para campos masivos y no masivos. El objetivo es estudiar la dependencia dela energía de Casimir con la separación entre defectos, la masa del campo y laconstante de interacción g con el defecto.

3.1. El caso de un único defecto con un campo escalarreal en D = 1+1 dimensiones

La densidad lagrangiana libre para un campo escalar real en el espacio eu-clídeo tiene la forma:

L0(ϕ) =1

2(∂µϕ)2 +

m2

2ϕ2

que, pensada dentro de una integral sin bordes en la acción, se puede escribir co-mo:

L0(ϕ) =1

2ϕ(x)(−∂2 + m)ϕ(x) . (3.1)

Para incluir la interacción con el medio que impone las condiciones de con-torno, se agrega a la acción un nuevo término; de modo que Z , la función departición resulta:

Z = e−Γ =

∫Dϕ e−S(ϕ) (3.2)

donde:

S = S0 + SI

S0 =∫

d2x L0 = 12

∫d2x ϕ(x)(−∂2 + m)ϕ(x) (Acción libre)

SI =∫

d2xϕ(x)V (x)ϕ(x) (Acción debida a la interacción) .

Se denomina x ε<2 con x = (t, x1) y p ε< 2 con p = (p0, p1), a las componentesde la posición y de los momentos, respectivamente.

Si se considera un solo defecto en la posición x1 = 0 el potencial que consid-eramos es (8):

V (x) = g2δ(x1) .

El término e−SI puede escribirse como:

e−SI = exp[− g

2

∫dt

∫dx1 ϕ(x)δ(x1)ϕ(x)

]= exp

[− g

2

∫dt ϕ2(t, 0)

]

= det[− 1

2π g

] ∫ Dχ exp[− 1

2 g

∫dt χ2(t) + i

∫dt

∫dx1 ϕ(x)δ(x1) χ(t)

]

donde en la última igualdad se utiliza la propiedad de las integrales gausianas.Empleando esta expresión, la función de partición - ecuación (3.2) - resulta:

Z =

∫Dϕ e−S0e−SI =

[det

(− 1

2π g

)]1/2 ∫Dχ exp

[− 1

2 g

∫dt χ2(t)

]

×∫Dϕ exp

[ 1

2

∫d2x ϕ(x)(∂2

µ −m2)ϕ(x) + i

∫d2x ϕ(x)δ(x1) χ(t)

]

Volviendo a utilizar la propiedad de las integrales gausianas, pero esta vezsólo en la integral de camino en la variable ϕ queda:

Z =[det

(− 1

2π g

)]1/2 [det

(−∂2+m2

2π

)]−1/2 ∫ Dχ exp[− 1

2 g

∫dt χ2(t)

]

×exp

[12

∫d2x

∫d2x′ i δ(x1) χ(t)

[(−∂2 + m2)−1

](x,x′)

i δ(x′1) χ(t′)]

.

Si al operador (−∂2 + m2)−1, que es el propagador bosónico libre, se lo de-nomina G

(0)B (x, x′), entonces:

10

Z =[det

(− 1

2π g

)]1/2 [det

(−∂2+m2

2π

)]−1/2 ∫ Dχ exp[− 1

2 g

∫dt χ2(t)

]

×exp[− 1

2

∫dt

∫dt′ χ(t)G

(0)B (t, 0, t′, 0) χ(t′)

].

Se puede hacer un cambio de variable en la integral de camino del primerdeterminante para extraer la constante g. Se considera:

χ =√

g χ′

Dχ = det(√

g 1)Dχ′ .

Haciendo el mismo cambio de variable en la integral de camino que queda enla función de partición, resulta:

Z = A∫Dχ exp

[− 1

2

∫dt χ2(t)

]

× exp

[− g

2

∫dt

∫dt′ χ(t)G

(0)B (t, 0, t′, 0) χ(t′)

]

donde se definió A =[det

(− 1

2π

)]1/2 [det

(−∂2+m2

2π

)]−1/2

Reemplazando la expresión para el propagador bosónico libre en espacio eu-clídeo G

(0)B (x, x′), cuya deducción se muestra en el apéndice A:

G(0)B (t, 0, t′, 0) =

∫dp0

2π

∫dp1

2π

e−ip0(t−t′)

(p21 + p2

0 + m2)=

∫dp0

2π

e−ip0(t−t′)

2√

p20 + m2

,

se obtiene que:

Z = A∫Dχ exp

[− 1

2

∫dt χ2(t)

]

× exp

[− g

2

∫dt

∫dt′ χ(t)

∫dp0

2π

e−ip0(t−t′)

2√

p20 + m2

χ(t′)

]

= A∫Dχ exp

[− 1

2

∫dt

∫dt′ χ(t)

∫dp0

2πe−ip0(t−t′) χ(t′)

]

× exp

[− g

2

∫dt

∫dt′ χ(t)

∫dp0

2π

e−ip0(t−t′)

2√

p20 + m2

χ(t′)

]

(3.3)

11

= A∫Dχ exp

[− 1

2

∫dp0

2π

( ∫dt χ(t) e−ip0t

) [1 +

g

2√

p20 + m2

]

×( ∫

dt′ eip0t′ χ(t′))]

.

Haciendo un cambio de variable en la integral de camino para escribirla enfunción de la transformada de Fourier de la variable de integración:

χ(p0) =

∫dt χ(t) eip0t χ∗(p0) =

∫dt χ∗(t) e−ip0t ; Dχ = Dχ (3.4)

la función de partición se puede escribir como:

Z = A ∫ Dχ exp[− 1

2

∫dp0

2πχ∗(p0)

[1 + g

2√

p20 + m2

]χ(p0)

].

Omitiendo escribir las tildes, pero teniendo en cuenta que son las variablestransformadas, se tiene que:

Z = A ∫ Dχ exp[− 1

2

∫dp0 χ∗(p0)

12π

[1 + g

2√

p20 + m2

]χ(p0)

]

= A{

det

[(1 +

g

2√

p20 + m2

)]}−1/2

= A{ ∏

p0

[(1 +

g

2√

p20 + m2

)]}−1/2

.

Reemplazando este resultado en la ecuación (3.2), se tiene que la amplitud depersistenca del vacío Γ es:

Γ = − lnZ = − ln A +1

2

∞∑P0 =−∞

ln

[(1 +

g

2√

p20 + m2

)]

La energía de vacío entonces es 1:

1Las consideraciones que se hacen para obtener la energía de vacío se desarrollan en el capítulodenominado Método

12

E = lımT →∞

Γ

T= − lım

T →∞lnAT

+ lımT →∞

∞∑P0 =−∞

1

2 Tln

[(1 +

g

2√

p20 + m2

)]

= − lımT →∞

lnAT

+1

2πlım

Λ →∞

∫ Λ

0

dp0 ln

(1 +

g

2√

p20 + m2

).

La energía de vacio sin el defecto (cuando g = 0) es:

− lımT →∞

lnAT

− ln(2 π)

2πlım

Λ →∞Λ

Renormalizando la energia de vacío de manera que cuando no haya defectos suvalor sea nulo, queda:

E =1

2πlım

Λ →∞

∫ Λ

0

dp0 ln

(1 +

g

2√

p20 + m2

). (3.5)

Esta integral es divergente, pero la energía puede ser renormalizada. Esta en-ergía es la que resultaría de redefinir la función de partición tomando:

ZZ0

=

∫ Dϕ e−S0(ϕ)−SI(ϕ)

∫ Dϕ e−S0(ϕ)=

det−1/2(−∂2 + m2 + gδ(xd))

det−1/2(−∂2 + m2).

Entonces:

Γ =1

2Tr[ln(−∂2 + m2 + gδ(xd))]− 1

2Tr[ln(−∂2 + m2)]

Expandiendo Γ en potencias de g:

Γ = Γ(0) + Γ(1) + Γ(2) + ....

se puede ver que:

Γ(0) = 0

Γ(1) = 12Tr[(−∂2 + m2)−1 g δ(xd)]

Γ(2) = 12Tr[(−∂2 + m2)−1 g δ(xd)(−∂2 + m2)−1 g δ(xd)]

esto es equivalente a tener un diagrama de Feynman de un loop con tantosvértices como potencias de g aparezcan en el desarrollo de Γ. Es decir que cadatérmino del desarrollo va a tener una integral en los momentos que tiene en elnumerador dDp (siendo D = d+1) y en el denominador (p2)n donde n es el ordende la expansión en g. Cuando D = 2 se tiene que a partir de n = 2 los términos

13

dejan de ser divergentes. En una dimensión arbitraria, siempre va a existir algúnvalor de n para el cual los términos dejan de ser divergentes.

Teniendo esto en cuenta, si se denomina I(g, Λ) a la integral:

I(g, Λ) =

∫ Λ

0

dp0 f(p0, g) (3.6)

donde f(p0, g) = 12π

ln

(1 + g

2√

p20 + m2

), se puede definir una función I(g, Λ)

como:

I(g, Λ) =

∫ Λ

0

dp0

[f(p0, g)− f(p0, 0)− ∂f(p0, g)

∂g

g=0

, g

]. (3.7)

Nótese que se sustrajo sólo hasta primer orden en la derivada por considerarsed = 1 porque los términos de orden superior ya no van a ser divergentes cuandoΛ → ∞. Esto permite redefinir la energía quitando los términos divergentes ydejando la predicción finita.

3.2. Dos defectos en D = d+1 dimensiones

En un espacio de D = d + 1dimensiones, la densidad lagrangiana libre paraun campo escalar real en espacio euclídeo está dada por la ecuación (3.1).La función de partición Z es:

Z = e−Γ =

∫Dϕ e−S(ϕ) (3.8)

donde:

S = S0 + SI

S0 =∫

dDx L0 = 12

∫dDx ϕ(x)(−∂2 + m)ϕ(x) (Acción libre)

SI =∫

dDxϕ(x)V (x)ϕ(x) (Acción debida a la interacción)

Si se consideran dos defectos, uno en la posición xd = 0 y otro en la posiciónxd = L, el potencial que da la interacción con los defectos es:

V (x) = g2

[δ(xd) + δ(xd − L)

].

Para simplificar la notación se utilizan algunas definiciones, mediante las cualesse denomina x ε<D e y ε< d a las componentes de la posición en el espacio-tiempo(donde la componente temporal es x0):

x = (x0, x1, ..., xd−1, xd) = (y, xd) y = (x0, x1, ..., xd−1)

14

y a las componentes de los momentos se las denota mediante:

p = (p0, p1, ..., pd−1, pd) = (q, pd) q = (p0, p1, ..., pd−1) .

De esta manera se puede trabajar en un espacio de dimensión d donde y y q sonrespectivamente las componentes de la posición y el momento en las direccionesperpendiculares a la que contiene al defecto xd.

Trabajando con e−SI se puede escribir:

e−SI = exp[− g

2

∫dDxϕ(x)(δ(xd) + δ(xd − L))ϕ(x)

]

= exp[

12

∫ddy

∫ddy′ ϕ(y, 0) (−g δ(y − y′)) ϕ(y′, 0)

]+

+ exp[

12

∫ddy

∫ddy′ ϕ(y, L) (−g δ(y − y′)) ϕ(y′, L)

].

Por otro lado, aplicando la propiedad de las integrales gaussianas en cada unode los términos exponenciales, resulta:

e−SI =[det

(− 1

gδ(y−y′)

2π

)].

× ∫ Dχ0 exp[− 1

2

∫ddy

∫ddy′ i χ0(y)

[− 1

gδ(y − y′)

]i χ0(y

′)

+ i∫

ddy ϕ(y, 0) χ0(y)].

× ∫ DχL exp[− 1

2

∫ddy

∫ddy′ i χL(y)

[− 1

gδ(y − y′)

]i χL(y′)

+ i∫

ddy ϕ(y, L) χL(y)]

=

= N−1I

∫ Dχ0 DχL exp[− 1

2 g

∫ddy (χ2

0(y) + χ2L(y))

].

× exp[i

∫dDx ϕ(x)

(δ(xd) χ0(y) + δ(xd − L) χL(y)

)]

donde se definió:

NI =(∫ Dχ exp

[− 1

2 g

∫ddy χ2(y)

])2

Reemplazando este resultado, la función de partición ec.(3.8), resulta:

Z =

∫Dϕ e−S0e−SI =

∫Dϕ exp

[− 1

2

∫dDx ϕ(x)(−∂2 + m2)ϕ(x)

]e−SI

15

= N−1I


2 g

∫ddy (χ2

0(y) + χ2L(y))

]

× ∫ Dϕ exp[− 1

2

∫dDx ϕ(x)(−∂2 + m2)ϕ(x)

+ i∫

dDx ϕ(x)(δ(xd) χ0(y) + δ(xd − L) χL(y)

)]

= N−1I

[det

((−∂2+m2)δ(x−x′)

2π

)]−1/2

× ∫ Dχ0 DχL exp[− 1

2 g

∫ddy (χ2

0(y) + χ2L(y))

]

× exp[

12

∫dDx

∫dDx′ i


)

×[(−∂2 + m2)δ(x− x′)

]−1

i(δ(x′d) χ0(y

′) + δ(x′d − L) χL(y′))

.

Se denomina:

Z0 =∫ Dϕ e−S0 =

[det

((−∂2+m2)δ(x−x′)

2π

)]−1/2

=

=∫ Dϕ exp

[− 1

2

∫dDx ϕ(x) (− ∂2 + m2)ϕ(x)

]

con lo cual queda:

Z = Z0N−1I

∫Dχ0 DχL exp

[− 1

2 g

∫ddy (χ2

0(y) + χ2L(y))

]

× exp[− 1

2

∫dDx

∫dDx′


)

×G(0)B (x, x′)

(δ(x′d) χ0(y

′) + δ(x′d − L) χL(y′))

= Z0N−1I


2 g

∫ddy (χ2

0(y) + χ2L(y))

]

× exp[− 1

2

∫ddy

∫ddy′ χ0(y) G

(0)B (y, 0, y′, 0) χ0(y

′)

− 12

∫ddy

∫ddy′ χ0(y) G

(0)B (y, 0, y′, L) χL(y′)

− 12

∫ddy

∫ddy′ χL(y) G

(0)B (y, L, y′, 0) χ0(y

′)

− 12

∫ddy

∫ddy′ χL(y) G

(0)B (y, L, y′, L) χL(y′)

]

16

A partir de la expresión para el propagador bosónico libre en en espacio eu-clídeo G

(0)B (x, x′) desarrollada en el apéndice A, resulta que:

G(0)B (y, 0, y′, 0) = G

(0)B (y, L, y′, L) =

∫ddq

(2π)d

∫dpd

2π

e−iq(y−y′)

(p2d + q2 + m2)

=

∫ddq

(2π)d

e−iq(y−y′)

2√

q2 + m2

G(0)B (y, 0, y′, L) =

∫ddq

(2π)d

∫dpd

2π

eipdL

(p2d + q2 + m2)

e−iq(y−y′)

=

∫ddq

(2π)d

e−L√

q2 + m2e−iq(y−y′)

2√

q2 + m2

G(0)B (y, L, y′, 0) =

∫ddq

(2π)d

∫dpd

2π

e−ipdL

(p2d + q2 + m2)

e−iq(y−y′) =

=

∫ddq

(2π)d

e−L√

q2 + m2e−iq(y−y′)

2√

q2 + m2

Reemplazando ésto en la la función de partición y haciendo un cambio devariables en la integral de camino como se hizo para una sola placa, ec.(3.4):

Z =∫ Dχ0 DχL exp

[− 1

2 g

∫ddq

(2π)d

(χ∗0(q) χ0(q) + χ∗L(q) χL(q)

) ]

× exp[− 1

2

∫ddq

(2π)d χ∗0(q)1

2√

q2 + m2χ0(q) − 1

2

∫ddq

(2π)d χ∗L(q) 1

2√

q2 + m2χL(q)

− 12

∫ddq

(2π)d χ∗0(q)e−L

√q2 + m2

2√

q2 + m2χL(q) − 1

2

∫ddq

(2π)d χ∗L(q) e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2χ0(q)

]

=∫ Dχ0 DχL exp

{− 1

2

∫ddq

(2π)d

[χ∗0(q)

(1g

+ 1

2√

q2 + m2

)χ0(q)

+ χ∗L(q)(

1g

+ 1

2√

q2 + m2

)χL(q) + χ∗0(q)

e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2χL(q)

+ χ∗L(q) e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2χ0(q)

]}

donde se ignoró un factor independiente de L.

17

Omitiendo escribir las tildes, pero teniendo en cuenta que son las variablestransformadas, se tiene que:

Z =

∫Dχ0 DχL exp

[− 1

2

∫ddq

(2π)d

(χ0(q) χL(q)

)∗M

(χ0(q)

χL(q)

)]

siendo:

M =

1g

+ 1

2√

q2 + m2

e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2

e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2

1g

+ 1

2√

q2 + m2

. (3.9)

Usando la fórmula de la integral gaussiana la función de partición se puedeescribir de forma mucho mas simple como un determinante:

Z =

[∏q

detM]−1/2

(3.10)

3.2.1. Una dimensión espacial d=1.

La ecuación (3.10) para d=1 queda:

Z =

[∏E

detM]−1/2

Reemplazando este resultado en la ecuación (3.8), se tiene que la amplitud depersistenca del vacío Γ es:

Γ = − lnZ =1

2

∑En

ln detM

La energía de vacío en este caso es función de la separación L entre los defec-tos y tiene la forma:

E(L) =1

2

∫ ∞

−∞dE ln detM + T erminos que no dep. de L

18

Se tiene entonces que:

E(L) =1

2

∫ ∞

−∞

dq

2πln

[(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

−( e−L

√q2 + m2

2√

q2 + m2

)2]

+T erminos que no dep. de LLa energía de Casimir de interacción se obtiene tomando la diferencia entre

la configuraciones con un defecto en infinito (L → ∞) - suficientemente lejoscomo para que no interactúen - y la que corresponde a una separación finita Lentre defectos:

EInt = E(∞) − E(L) =

=1

2

∫ ∞

−∞

dq

2πln

(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

− 1

2

∫ ∞

−∞

dq

2πln

[(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

−( e−L

√q2 + m2

2√

q2 + m2

)2]

= − 1

2

∫ ∞

−∞

dq

2πln

(1g

+ 1

2√

q2 + m2

)2

−(

e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2

)2

(1g

+ 1

2√

q2 + m2

)2

= − 1

2

∫ ∞

−∞

dq

2πln

1 − e−2L

√q2 + m2

4 (q2 + m2)(

1g

+ 1

2√

q2 + m2

)2

.


Eint = −∫ ∞

0

dq

2πln

1 − e−2L

√q2 + m2

(1 +

2√

q2 + m2

g

)2

. (3.11)

Haciendo el cambio de variable x = q L se tiene:

Eint = − 1

L

∫ ∞

0

dx

2πln

1 − e−2

√x2 +(m L)2

(1 +

2√

x2 +(m L)2

g L

)2

19

si además se llama M = mL y G = g L queda:

L Eint = −∫ ∞

0

dx

2πln

1 − G2 e−2

√x2 + M2

(G + 2

√x2 + M2

)2

3.2.1.1. Masa nula (m = 0).

Cuando m = 0 la ecuación se reduce a:

LEint = −∫ ∞

0

dx

2πln

(1 − G2 e−2 x

(G + 2 x)2

)

En el límite para G → 0 queda:

lımG → 0

LEint = −∫ ∞

0

dx

2πln 1 = 0 ,

como debe ser, ya que no hay defecto.

En el límite para G → ∞ se tiene que:

lımG →∞

(1 − G2 e−2 x

(G + 2 x)2

)= lım

G →∞G2 (1− e−2 x)− 4 Gx + 4 x2

(G + 2 x)2

L′H=

= lımG →∞

2G (1− e−2 x)− 4 x

2(G + 2 x)L′H= lım

G →∞2 (1− e−2 x)

2= 1− e−2 x

donde L′H significa que se ha aplicado el teorema de L’Hopital.Reemplazando esto en el logaritmo del integrando queda que:

lımG →∞

LEint = −∫ ∞

0

dx

2πln (1− e−2 x) =

π

24' 0,131 ,

lo que da el resultado exacto E = π/(24 L) (2).

En la figura 3.2.1.1 se muestra la variación de L EInt en función de G = g L.

20

Figura 3.1: L EInt en el caso d = 1 para masa nula.

3.2.1.2. Masa no nula (m 6= 0).

En la figura 3.2 se presenta la dependencia de L EInt en función de G = g Lpara distintos valores de M. Mientras que en la figura 3.3 se presenta la depen-dencia de L EInt en función de M = mL para distintos valores de G.

Figura 3.2: Gráfico de L3 Eint vs. gL para dos defectos separados una distancia L en d = 3.

Se puede ver que, cuanto menor es la masa y mayor la constante g, mayor esla energía de Casimir de interacción. Esto ocurre debido a que cuanto menor esla masa, el propagador del campo escalar decae más lentamente con la distanciade separación entre las placas y mayor es la interacción. Por otra parte, cuantomayor es la constante g, las condiciones de contorno son más fuertes y por lotanto más marcada es la diferencia entre los modos dentro y fuera de las placas,lo que aumenta la energía de interacción.

21

Figura 3.3: Gráfico de L3 EInt vs. mL para dos defectos separados una distancia L en d = 3

3.2.2. Tres dimensiones espaciales d=3.

Si la dimensión espacial es d = 3, entonces, la ecuación (3.10) queda:

Z = [detM]−1/2 =

[∏q

detM]−1/2

y por lo tanto, la amplitud de persistenca del vacío Γ es:

Γ =1

2

∑En

ln detM+ T erminos que no dep. de L

La energía de vacío es:

E(L) =1

2lım

T, a →∞

∑qnls

1

T a2ln

[detM

]+ T erminos que no dep. de L

= 12

∫dq0

2π

∫dq1

2π

∫dq2

2πln

[(1g

+ 1

2√

q2 + m2

)2

−(

e−L√

q2 + m2

2√

q2 + m2

)2]

+T erminos que no dep. de L

Pasando a coordenadas esféricas:

22

E(L) =

∫ ∞

0

dq

(2π)2q2 ln

[(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

−( e−L

√q2 + m2

2√

q2 + m2

)2]

+ T erminos que no dep. de L

La energía de Casimir de interacción se obtiene tomando la diferencia entrela configuraciones con un defecto en infinito (L → ∞) - suficientemente lejoscomo para que no interactúen - y la que corresponde a una separación finita Lentre defectos:

Eint = E(∞) − E(L) =

∫ ∞

0

dq

(2π)2q2 ln

(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

−∫ ∞

0

dq

(2π)2q2 ln

[(1

g+

1

2√

q2 + m2

)2

−( e−L

√q2 + m2

2√

q2 + m2

)2]


Eint = −∫ ∞

0

dq

(2π)2q2 ln

1 − g2 e−2L

√q2 + m2

(2√

q2 + m2 + g)2

(3.12)

Haciendo el cambio de variable x = q L, y llamando M = mL y G = g L se tiene:

L3EInt = −∫ ∞

0

dx

(2π)2x2 ln

1 − G2 e−2

√x2 + M2

(G + 2

√x2 + M2

)2

Notemos que la integral es finita, aún cuando G → ∞. Esta es una de lasvirtudes del método empleado.

3.2.2.1. Masa nula (m = 0).

Cuando m = 0 la ecuación se reduce a:

L3EInt = −∫ ∞

0

dx

(2π)2x2 ln

(1 − G2 e−2 x

(G + 2 x)2

).

23

En el límite para G → 0 queda:

lımG → 0

L3EInt = −∫ ∞

0

dx

(2π)2x2 ln 1 = 0 .

En el límite para G → ∞ se tiene que:

lımG →∞

(1 − G2 e−2 x

(G + 2 x)2

)= lım

G →∞G2 (1− e−2 x)− 4 Gx + 4 x2

(G + 2 x)2

L′H=

= lımG →∞

2G (1− e−2 x)− 4 x

2(G + 2 x)L′H= lım

G →∞2 (1− e−2 x)

2= 1− e−2 x .

Reemplazando esto en el logaritmo del integrando queda que:

lımG →∞

L3EInt = −∫ ∞

0

dx

(2π)2x2 ln (1− e−2 x) =

π2

1440' 6, 854,10−3 .

Por lo tanto, la integral tiende a un valor constante para valores grandes de Gque es el valor exacto en d = 3.

En la figura 3.4 se presenta la dependencia de L3E en función de G = g L. Lalínea recta representa el límite asintótico para valores grandes de g.

Figura 3.4: Gráfico de L3 EInt vs. gL para dos defectos separados una distancia L en d = 3

24

3.2.2.2. Masa no nula (m 6= 0).

En la figura 3.5 se presenta la dependencia de L3E en función de G = g L paradistintos valores de M. Mientras que en la figura 3.6 se presenta la dependenciade L3E en función de M = mL para distintos valores de G.

Figura 3.5: Gráfico de L3 EInt vs. gL para dos defectos separados una distancia L en d = 3

Se puede ver que cuanto menor es la masa y mayor la constante g, es mayorla energía de Casimir de interacción.

Figura 3.6: Gráfico de L3 EInt vs. mL para dos defectos separados una distancia L en d = 3

25

CAPÍTULO IV

Cálculo de energías de vacíopara un campo fermiónico

En este capítulo se presentan cálculos relacionados con la energía de vacíoen presencia de defectos, para un campo fermiónico. En la sección 1 se llega auna expresión para la energía de vacío teniendo un único defecto en una dimen-sión espacial. En la sección 2 se consideran dos defectos en dimensión espacialarbitraria d y posteriormente se analizan los casos particulares en d = 1 y d = 3para campos masivos y no masivos. El objetivo es estudiar la dependencia de laenergía de Casimir con la separación entre defectos, la masa del campo y la con-stante de interacción g con el defecto para poder compararlo con los resultadosobtenidos en el capítulo anterior.

4.1. Un único defecto en D = 1+1 dimensiones

La función de partición Z se define como:

Z = e−Γ =

∫DψDψ e−SE (4.1)

siendo Γ lo que se conoce como amplitud de persistencia del vacío, y:

SE = S0 + SI

S0 =∫

d2x ψ(x) ( 6∂ + m) ψ(x) (Acción libre)

S0 =∫

d2x ψ(x) V (x) ψ(x) (Acción debida a la interacción)

Si se considera un potencial que corresponda a un único defecto en el orígende la dirección espacial x1,V(x) toma la forma (8):

V (x) = g δ(x1)

Se denomina x ε<2 a las componentes del espacio-tiempo x = (x0, x1) = (t, x1)donde t = x0 es la componente temporal. Se considera también que p = (p0, p1)

donde p1 es la componente de momento en la dirección de x1 y p0 es la energía.

e−SE se puede reescribir como:

e−SE = exp[−

∫d2x ψ(x) ( 6∂ + m + V ) ψ(x)

]

= exp[−

∫d2x ψ(x) ( 6∂ + m) ψ(x)

]exp

[− g

∫d2x ψ(x) δ(x1) ψ(x)

]

= e−S0 exp[− g

∫dt ψ(t, 0) ψ(t, 0)

]

Utilizando la relación para determinantes fermiónicos se pueden introducenvariables de Grassman auxiliares χ y χ para reescribir el último término expo-nencial en e−SE .

exp[− g

∫dt ψ(t, 0) ψ(t, 0)

]= exp

[−

∫dt

∫dt′ ψ(t, 0) g δ(t− t′) ψ(t′, 0)

]

=[det

(1g

) ]−1∫DχD χ exp

[1

g

∫dt χ(t)χ(t)

]

× exp[ ∫

dt [ψ(t, 0)χ(t) + χ(t)ψ(t, 0)]]

Haciendo un cambio de variable se puede sacar g fuera del determinante.

η(t) =√

g η′(t) Dη = det(√

g 1)Dη′ (Igual cambio para η)

y por lo tanto se puede escribir:

e−SE = e−S0

[det (δ(t− t′)

]−1∫DχD χexp

[ ∫dt χ(t) χ(t)

]

×[√

g

∫dt [ψ(t, 0) χ(t) + χ(t) ψ(t, 0)]

]

=

∫DχD χ exp

[ ∫dt χ(t) χ(t)

]

× exp[−

∫d2x [ψ(x)( 6∂ + m) ψ(x)]

× exp[ ∫

d2x [ψ(x)(√

g χ(t) δ(x1)) + (√

g χ(t) δ(x1)) ψ(x)]]

donde se ignoró un factor independiente de g.

27

Usando la identidad para determinantes fermiónicos mencionada anterior-mente, y utilizando la definición en la nomenclatura para el propagador fermióni-co libre G

(0)F (x, x′) = [( 6 ∂ + m) δ(x − x′)]−1 cuya deducción se encuentra en el

apéndice B, se puede escribir a Z como:

Z =

∫DχD χ exp

[ ∫dt χ(t) χ(t)

]

×∫DψDψ exp

[ ∫d2x

∫d2x′ ψ(x)[−(6∂ + m) δ(x− x′)] ψ(x′)

× exp[ ∫

d2x [ψ(x)(√

g χ(t) δ(x1)) + (√

g χ(t) δ(x1)) ψ(x)]]

=

∫DχD χ exp

[ ∫dt

∫dt′ χ(t) δ(t− t′) χ(t′)

]

× exp[g

∫dt

∫dt′χ(t) G

(0)F (t, 0, t′, 0)χ(t′)

]

=

∫DχD χ exp

[ ∫dt

∫dt′ χ(t) [δ(t− t′) + g G

(0)F (t, 0, t′, 0)] χ(t′)

]

siendo:

G(0)F (x, x′) =

∫d2p

(2π)2

m + i 6p(m2 + p2)

e−ip(x−x′) (4.2)

Teniendo en cuenta que:

δ(t− t′) =∫

dp0

2πe−ip0(t−t′)

y que:

G(0)F (t, 0, t′, 0) =

∫d2p

(2π)2m + i6p

(m2 + p2)e−ip0(t−t′) =

= m I ∫d2p

(2π)2e−ip0(t−t′)(m2 + p2)

+ iγ0

∫d2p

(2π)2p0 e−ip0(t−t′)

(m2 + p2)+ iγ1

∫d2p

(2π)2p1 e−ip0(t−t′)

(m2 + p2)

= m I ∫dp0

2πe−ip0(t−t′)

2√

m2 + p20

+ iγ0

∫dp0

2πp0 e−ip0(t−t′)

2√

m2 + p20

=∫

dp0

2π(m I+ ip0 γ0)

2√

m2 + p20

e−ip0(t−t′)

donde se llamó I a la matriz identidad y el término en γ1 se va por integraciónsimétrica de una potencia impar de p1, la función de partición queda:

28

Z =

∫DχDχ

× exp

[∫dp0

2π(

∫dt χ(t)e−ip0 t)

[1 + g

(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

](

∫dt′ χ(t′)eip0 t′)

]

Haciendo un cambio de variable en la integral de camino pasando de las va-riables χ(t) y χ(t) a sus transformadas de Fourier χ(p0) y ¯χ(p0) que están dadaspor:

¯χ(p0) =

∫dt χ(t)e−ip0 t

y

χ(p0) =

∫dt χ(t)eip0 t

y dado que esta transformación tiene determinante Jacobiano igual a 1: DχD χ =D ¯χD χ, se puede reescribir a Z de forma más sencilla. Omitiendo escribir lastildes, pero asumiendo que son las variables transformadas queda:

Z =

∫DχD χ exp

[ ∫dp0

2πχ(p0)

(1 + g

(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

)χ(p0)

]=

= det[(

1 + g(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

) ]

Por otra parte, como las matrices gamma en d=1 son de rango 2 se tiene:

det[(

1 + g(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

)]=

∏P0

det(1 + g

(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

)

Ahora bien, como Z = e−Γ, queda:

Γ = − lnZ = − ln∏P0

det(1 + g

(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

)

= −∑P0

ln det(1 + g

(m I + ip0 γ0)

2√

m2 + p20

)

donde se omiten términos que no dependen de g.

Para calcular ese determinante, se necesita conocer la matriz euclídea γ0. Co-mo se trabaja en D = 1 + 1, se puede elegir como γ0 a la matriz de Pauli σ3.

γ0 =

(1 00 −1

)(4.3)

29

Queda entonces:

1 + gm I + p0 γ0

2√

m2 + p20

=

1 + g m+ip0

2√

m2 + p20

0

0 1 + g m−ip0

2√

m2 + p20

Cuyo determinante va a ser el producto de sus elementos diagonales.

Entonces queda:

Γ = −∑P0

ln[(

1 + gm + ip0

2√

m2 + p20

)(1 + g

m− ip0

2√

m2 + p20

)]

= −∑P0

ln[(

1 +g m

2√

m2 + p20

)2

+g2 p2

0

4(m2 + p20)

]

Es decir que:

Γ = −∑P0

ln(1 +

g2

4+

g m√m2 + p2

0

)(4.4)

Entonces, la energía de Casimir es:

E = lımT →∞

Γ

T= −

∫ ∞

−∞

dp0

2πln

(1 +

g2

4+

g m√m2 + p2

0

)

= − lımΛ→∞

∫ Λ

0

dp0

πln

(1 +

g2

4+

g m√m2 + p2

0

)(4.5)

Se puede ver en la ecuación (4.5) que cuando g = 0 la energía de vacío es nula.Para g 6= 0 finito, se tiene:

Si m=0:

E =1

2πln

( 4

4 + g2

) ∫ ∞

−∞dp0 =

1

πln

( 4

4 + g2

)lım

p0→∞p0

Si m 6= 0 se puede hacer el cambio de variable p0 = mp:

E = −m

2π

∫ ∞

−∞dp ln

(1 +

g2

4+

g√1 + p2

)= −m

π

∫ ∞

0

dp ln(1 +

g2

4+

g√1 + p2

)

30

− 4 mg

π(4 + g2)lım

p→∞

[arg sinh(p)

]− m

πlım

p→∞

[p log

(1 +

g2

4+

g√1 + p2

) ]

+ T erminosfinitos

Esta energía es divergente, pero puede ser renormalizada mediante la redefini-ción de un número finito de parámetros. Esto se ve a partir de la función de par-tición tomando:

ZZ0

=

∫ DψDψ e−S0(ψ,ψ)−SI(ϕ)

∫ DψDψ e−S0(ψ,ψ)=

det(6∂ + m + gδ(xd))

det(6∂ + m)

Entonces:

Γ = Tr[ln(6∂ + m + gδ(xd))]− Tr[ln(6∂ + m)]

Expandiendo Γ en potencias de g:

Γ = Γ(0) + Γ(1) + Γ(2) + ....

se puede ver que:

Γ(0) = 0

Γ(1) = Tr[(6∂ + m)−1 g δ(xd)]

Γ(2) = Tr[(6∂ + m)−1 g δ(xd)(6∂ + m)−1 g δ(xd)]

esto es equivalente a tener un diagrama de Feynman de un loop con tantosvértices como potencias de g aparezcan en el desarrollo de Γ. Es decir, que cadatérmino del desarrollo va a tener una integral en los momentos que tiene en elnumerador dDp (siendo D = d + 1) y en el denominador pn donde n es el ordende la expansión en g. Cuando D = 2 se tiene que a partir de n = 3 los términosdejan de ser divergentes y cuando D = 4 los terminos dejan de ser divergentesdesde n = 5. En una dimensión arbitraria, siempre va a existir algún valor de npara el cual los términos dejan de ser divergentes.

Teniendo esto en cuenta, si se denomina I(g, Λ) a la integral:

I(g, Λ) =

∫ Λ

0

dp0 f(p0, g)

donde f(p0, g) = − 1π

ln(1 + g2

4+ g m√

m2 + p20

), se puede definir una función I(g, Λ)

como:

31

I(g, Λ) =

∫ Λ

0

dp0

[f(p0, g)− f(p0, 0)− ∂f(p0, g)

∂ g

g=0

g − 1

2

∂2f(p0, g)

∂ g2

g=0

g2

].

Nótese que se sustrajo sólo hasta segundo orden en la derivada por consid-erarse d = 1 porque los términos de orden superior ya no van a ser divergentescuando Λ → ∞. Esto permite redefinir la energía quitando los términos diver-gentes.

4.2. Dos defectos en D = d+1 dimensiones

Se considera un potencial que corresponde a tener dos defectos separados unadistancia L en la dirección de la variable xd. El potencial es:

V (x) = g1 δ(xd) + g2 δ(xd − L) .

Para simplificar la notación se utilizan algunas definiciones, mediante las cualesse denomina x ε<D e y ε< d a las componentes de la posición en el espacio-tiempo(donde la componente temporal es x0):

x = (x0, x1, ..., xd−1, xd) = (y, xd) y = (x0, x1, ..., xd−1) ,

y a las componentes de los momentos se las denota mediante las letras:


De esta manera se puede trabajar en un espacio de dimensión d donde y y q sonrespectivamente las componentes de la posición y el momento en las direccionesperpendiculares a la que contiene al defecto xd.

La función de partición Z es:

Z =

∫DψDψ e−SE (4.6)

siendo:

SE = S0 + SI

S0 =∫

dDx ψ(x) ( 6∂ + m) ψ(x) (Acción libre)

S0 =∫

dDx ψ(x) V (x) ψ(x) (Acción debida a la interacción)

32

Trabajando con e−SE se tiene:

e−SE = exp[−

∫dDx ψ(x) ( 6∂ + m + V ) ψ(x)

]

= e−S0 . exp[− g1

∫ddy ψ(y, 0) ψ(y, 0)

]

× exp[− g2

∫ddy ψ(y, L) ψ(y, L)

]

Utilizando variables de Grassman auxiliares χ y χ se puede escribir:

exp[− g2

∫ddy ψ(y, L) ψ(y, L)

]=

[det

(1

g2

δ(y − y′))]−1

×∫DχD χ exp

[ 1

g2

∫ddy χ(y)χ(y)

]

× exp[ ∫

ddy [ψ(y, L)χ(y) + χ(y)ψ(y, L)]]

Para el término en g1 se utiliza el mismo resultado, pero cambiando g2 por g1

y tomando L=0. Se tiene entonces que:

e−SE = e−S0

∫DξD ξ exp

[ ∫ddy ξ(y) ξ(y)

]

× exp[√

g1

∫ddy [ψ(y, 0) ξ(y) + ξ(y) ψ(y, 0)]

]

×∫DχD χ exp

[ ∫ddy χ(y) χ(y)

]

× exp[√

g2

∫dy [ψ(y, L) χ(y) + χ(y) ψ(y, L)]

]

=

∫DχD χDξD ξ exp


]exp


]

× e−S0

∫dDx

[ψ(x)

(√g1 ξ(y)δ(xd) +

√g2 χ(y)δ(xd − L)

)

+(√

g1 ξ(y)δ(xd) +√

g2 χ(y)δ(xd − L))

ψ(x)]

Reemplazando esta exponencial la función de partición y volviendo a utilizarla relación para determinantes fermiónicos para la integral de camino en las va-riables ψ y ψ:

33

Z = det [−δ(x− x′)(6∂ + m)]

×∫DχD χDξD ξ exp


]exp


]

× exp{ ∫

dDx(√

g1 ξ(y)δ(xd) +√

g2 χ(y)δ(xd − L))G

(0)F (x, x′)

(√g1 ξ(y)δ(xd) +

√g2 χ(y)δ(xd − L)

)}

donde G(0)F (x, x′) es el propagador fermiónico libre en espacio euclídeo

G(0)F (x, x′) =

∫dDp

(2π)D

m + i 6p(m2 + p2)

e−ip(x−x′) (4.7)

Reemplazando la identidad (4.7) en la función de partición y llamando A1 =det [−(6∂ + m)], se tiene:

Z =

∫DξD ξDχD χ

× exp[ ∫

ddy

∫ddy′ ξ(y)

(δ(y − y′) + g1 G

(0)F (y, 0, y′, 0)

)ξ(y′)

]

× exp[ ∫

ddy

∫ddy′ χ(y)

(δ(y − y′) + g2 G

(0)F (y, L, y′, L)

)χ(y′)

]

× exp[√

g1 g2

∫ddy

∫ddy′χ(y)G

(0)F (y, L, y′, 0) ξ(y′)

]

× exp[√

g1 g2

∫ddy

∫ddy′ξ(y)G

(0)F (y, 0, y′, L) χ(y′)

]

Usando la ecuación 4.7 e integrando por residuos:

G(0)F (y, 0, y′, 0) = G

(0)F (y, L, y′, L) =

∫ddq

(2π)d

m + i6q2√

m2 + q2e−iq(y−y′)

G(0)F (y, L, y′, 0) =

∫ddq

(2π)d

1

2

( m + i6q√m2 + q2

+ γd

)e−iq(y−y′)

G(0)F (y, 0, y′, L) =

∫ddq

(2π)d

1

2

( m + i6q√m2 + q2

− γd

)e−iq(y−y′)

Se tiene entonces:

Z =∫ DξD ξDχD χ

× exp[ ∫

ddq(2π)d

( ∫ddy ξ(y) e−iqy

)(1 + g1

m + i 6q2√

m2 + q2

)( ∫ddy′ ξ(y′) eiqy′

)]

34

× exp[ ∫

ddq(2π)d

( ∫ddy χ(y) e−iqy

)(1 + g2

m + i6q2√

m2 + q2

)( ∫ddy′ χ(y′) eiqy′

)]

× exp[ ∫

ddq(2π)d

( ∫ddy χ(y) e−iqy

) √g1 g2

2

(m + i6q√m2 + q2

+ γd

)e−L

√m2 + q2

×( ∫

ddy′ ξ(y′) eiqy′)]

× exp[ ∫

ddq(2π)d

( ∫ddy ξ(y) e−iqy

) √g1 g2

2

(m + i6q√m2 + q2

− γd

)e−L

√m2 + q2

×( ∫

ddy′ χ(y′) eiqy′)]

Haciendo un cambio de variable en la integral de camino, escribiendo esta ex-presión en función de las transformadas de Fourier:

ξ(q) =∫

ddy ξ(y) eiqy

¯ξ(q) =∫

ddy ξ(y) e−iqy

DξD ξ = DξD ¯ξ .

Z =∫ DξD ξDχD χ exp

[ ∫ddq

(2π)d ξ(q)(1 + g1

m + i6q2√

m2 + q2

)ξ(q)

]

× exp[ ∫

ddq(2π)d χ(q)

(1 + g2

m + i 6q2√

m2 + q2

)χ(q)

]

× exp[ ∫

ddq(2π)d χ(q)

√g1 g2

2

(m + i6q√m2 + q2

+ γd

)e−L

√m2 + q2

ξ(q)]

× exp[ ∫

ddq(2π)d ξ(q)

√g1 g2

2

(m + i 6q√m2 + q2

− γd

)e−L

√m2 + q2

χ(q)]

=

∫Dχ0D χ0Dχ1D χ1 exp

[ ∫ddq (χ0(q) χ1(q))

M(q)

(2π)d

(χ0(q)χ1(q)

) ],

Donde se llamó:

M(q) =

1 + g1 (m+i6q)2√

m2+q2

√g1g2

2

(m+i 6q√m2+q2

− γd

)e−L

√m2+q2

√g1g2

2

(m+i6q√m2+q2

+ γd

)e−L

√m2+q2

1 + g2 (m+i6q)2√

m2+q2

La anterior integral de camino no es mas que un determinante fermiónico, pudién-do expresarse como:

Z = detM(q) =∏

q

M(q) . (4.8)

35

4.2.1. El caso particular d = 1, g1 = g2.

Si la dimensión espacial es d = 1, entonces, las matrices gamma son de rango2 y la matriz M es de rango 4 en bloques de 2x2. Utilizando las propiedades delas matrices por bloques se tiene que:

detM(q) = detM00 detM11 det[I −M−1

00 M01M−111 M10

](4.9)

Dado que:(1 + g (m+i6q)

2√

m2+q2

)(1 + g (m−i6q)

2√

m2+q2

)=

(1 + g (m+i 6q)

2√

m2+q2+ g (m−i6q)

2√

m2+q2+ g2 (m+i 6q)(m−i6q)

4(m2+q2)

)

=(1 + g m√

m2+q2+ g2

4

)

se tiene:

M−100 = M−1

11 =(1 + g

m + i 6q2√

m2 + q2

)−1

=(1 +

g2

4+ g

m√m2 + q2

)−1(1 + g

m− i 6q2√

m2 + q2

)(4.10)

Por lo tanto queda:

M−100 M01M−1

11 M10 =g2

4e−2L

√m2+q2

(1 +

g2

4+

g m√m2 + q2

)−2

×(1 + g

m− i 6q2√

m2 + q2

)( m + i 6q√m2 + q2

− γd

)(1 + g

m− i 6q2√

m2 + q2

)( m + i 6q√m2 + q2

+ γd

)

(4.11)

Por simplicidad se analiza el caso de masa nula (m = 0), para el cual queda:

M−100 M01M−1

11 M10 = g2

4e−2L|q|

(1 + g2

4

)−2

×(1− ig 6q

2|q|

)(i 6q|q| − γd

)(1− ig 6q

2|q|

)(i 6q|q| + γd

)

× 4 g2

(4+g2)2e−2L|q|

(g2− γd + i 6q|q| + ig 6q γd

2|q|

)(1− ig 6q

2|q|

)(i 6q|q| + γd

)

× 4 g2

(4+g2)2e−2L|q|

(g2− γd + i 6q|q| + ig

26q γd

|q| − i g2

46q|q| + ig

2γd 6q|q| + g

2− g2

4γd

)(i 6q|q| + γd

)

= 4 g2

(4+g2)2e−2L|q|

(g − (1 + g2

4)γd + i(1− g2

4) 6q|q|

)(i 6q|q| + γd

)

= 4 g2

(4+g2)2e−2L|q|

(ig 6q|q| + i(1 + g2

4) 6q γd

|q| − (1− g2

4) + gγd − (1 + g2

4) + i(1− g2

4) 6qγd

|q|

)

36

= 4 g2

(4+g2)2e−2L|q|

(− 2 + gγd + ig 6q

|q| + 2i 6q γd

|q|

)


I −M−100 M01M−1

11 M10 =(1 + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q|

)I

− e−2L|q|(

4 g3

(4+g2)2γd + i 4 g3

(4+g2)26q|q| + i 8 g2

(4+g2)26q γd

|q|

)

Para simplificar la notación y el cálculo, se denomina:

a(q) = 1 +8 g2

(4 + g2)2e−2L|q| (4.12)

b(q) = − 4 g3

(4 + g2)2e−2L|q| (4.13)

c(q) = − i4 g3

(4 + g2)2e−2L|q| (4.14)

d(q) = − 8 g2

(4 + g2)2e−2L|q| (4.15)

σ1 = γd σ2 =6q|q| σ3 = i

6qγd

|q| (4.16)

Se definen las matrices de esta manera aprovechando que verifican el álgebra:{σi, σj} = 2 δi j y [σi, σj] = 2 i εijk σk. Se tiene entonces que:

K = I −M−100 M01M−1

11 M10 = a(q) I + b(q) σ1 + c(q) σ2 + d(q) σ3 (4.17)

Como el determinante de una matriz es igual al producto de sus autovalores,para encontrar el determinante de K basta con encontrar sus autovalores. Por laspropiedades conmutativas, es mucho mas simple trabajar con K2.

K2 = (a(q) I + b(q) σ1 + c(q) σ2 + d(q) σ3)2 = a2 I + ba σ1 + ca σ2 + da σ3

+ab σ1 + b2 I − i cb σ3 + i db σ2 + ac σ2 + i bc σ3 + c2 I − i dc σ1 + ad σ3 − i bd σ2

+i cd σ1 + d2 I

= (a2 + b2 + c2 + d2) I + 2ab σ1 + 2ac σ2 + 2ad σ3

Ahora bien, la identidad ya es una matriz diagonal. Interesa conocer entonceslos autovalores de la otra parte que compone a K2. Para ello se denomina A a lamatriz:

A = 2ab σ1 + 2ac σ2 + 2ad σ3

37


A2 = (2ab σ1 + 2ac σ2 + 2ad σ3)2 = 4a2b2 I − i 4a2cb σ3 + i 4a2db σ2

+i 4a2bc σ3 + 4a2c2 I − i 4a2dc σ1 − i 4a2bd σ2 + i 4a2cd σ1 + 4a2d2 I

= 4a2(b2 + c2 + d2)I

Por lo tanto, A2 es una matriz diagonal que tiene un único autovalor:

λA2 = 4a2(b2 + c2 + d2) (4.18)

de multiplicidad 2 (por estar en d=1 las matrices gamma son de rango 2). Reem-plazando las definiciones (4.12)-(4.15)en la ecuación (4.18) se obtiene:

λA2 = 4(1 + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q|

)2[16 g6

(4+g2)4e−4L|q| − 16 g6

(4+g2)4e−4L|q| + 64 g4

(4+g2)4e−4L|q|

]

=(

8 g2 +(4+g2)2 e2L|q|(4+g2)2

)2256 g4

(4+g2)4e−8L|q|

=(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)2256 g4

(4+g2)8e−8L|q|

=[(

8g2 + (4 + g2)2 e2L|q|)

16 g2

(4+g2)4e−4L|q|

]2

Ahora bien, existe una base en la que A es diagonal y sus elementos diago-nales van a ser sus respectivos autovalores. Como las matrices gamma son de ran-go 2, los autovalores deA también van a ser dos y tales que elevados al cuadradocoincidan con los autovalores de A2.Por lo tanto, la matriz A sólo puede tener como posibles autovalores:

λA = ±[8g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

] 16 g2

(4 + g2)4e−4L|q| (4.19)

Quedaría por verificar si son los dos del mismo signo o de diferente sig-no. Para delucidar esto se tiene en cuenta que las matrices gamma tienen lapropiedad de que su traza es nula, por lo tanto una combinacion de matricesgamma multiplicadas por una función, como lo es A tiene que tener tambiéntraza nula. Esto tiene como consecuencia que la suma de los autovalores de Atiene que ser cero. Se puede afirmar entonces que los autovalores de A son exác-tamente los dos que describe la ecuación (4.19).Por otra parte:

K2 = (a2 + b2 + c2 + d2)I +A

38

y como:

a2 + b2 + c2 + d2 =[(

1 + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q|

)2

+ 64 g4

(4+g2)4e−4L|q|

]

=[1 + 16 g2

(4+g2)2e−2L|q| + 128 g4

(4+g2)4e−4L|q|

]

=[1 + 16 g2

(4+g2)4e−4L|q|

(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)]

Entonces, utilizando los resultados de la ecuación (4.19) los autovalores de K2

son:

λK2± =[1 +

(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)16 g2

(4+g2)4e−4L|q|

]

±[8g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

]16 g2

(4+g2)4e−4L|q|

expresión que se puede simplificar, dando como resultado:

λK2+ = 1 +(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)32 g2

(4+g2)4e−4L|q|

λK2− = 1

(4.20)

Teniendo en cuenta esto, los dos autovalores de K - véase la ecuación (4.17) -tienen que ser tales que su valor absoluto verifique:

|λ1| = 1

|λ2| =√

1 +(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)32 g2

(4+g2)4e−4L|q|

Obsérvese además que |λ2| se puede simplificar:

|λ2| =√

1 +(8 g2 + (4 + g2)2 e2L|q|

)32 g2

(4+g2)4e−4L|q| =

=

√ ((4 + g2)4 e4L|q| + 256 g4 + 32 g2 (4 + g2)2 e2L|q|

)1

(4+g2)4e−4L|q| =

=

√ ((4 + g2)2 e2L|q| + 16 g2

)21

(4+g2)2e−2L|q|

Es decir que:

|λ2| = 1 +16 g2

(4 + g2)2e−2L|q|

Como se trabaja en D = 1 + 1, se pueden elegir como matrices gamma:

39

γ0 =

(1 00 −1

)γ1 =

(0 −ii 0

)γS = γ0 γ1 =

(0 −i−i 0

)

Reemplazando esto en (4.16) se tiene que:

σ1 = γ1 =

(0 −ii 0

)σ2 = S(q0)γ0 = S(q0)

(1 00 −1

)

σ3 = iS(q0)γ0 γ1 = S(q0)

(0 11 0

)

Entonces, la ecuación (4.17) en función de estas matrices queda:

K(q) =

1 + 8 g2 e−2 L |q0|(4+g2)2

− i 4 g3 S(q0) e−2 L |q0|(4+g2)2

−8 g2 S(q0) e−2 L |q0|(4+g2)2

+ i 4 g3 e−2 L |q0|(4+g2)2

−8 g2 S(q0) e−2 L |q0|(4+g2)2

− i 4 g3 e−2 L |q0|(4+g2)2

1 + 8 g2 e−2 L |q0|(4+g2)2

+ i 4 g3 S(q0) e−2 L |q0|(4+g2)2

Mediante programas de cálculo matemático se puede demostrar que losautovalores que corresponden a esta matriz son:

λK1 = 1

λK2 = 1 + 16 g2

(4+g2)2e−2L|q0|

(4.21)

Pero también se hubiese podido resolver en forma general sin necesidad de es-pecificar la elección de las matrices gamma. Para ello se utiliza el teorema matemáti-co que dice que la existencia de un polinomio anulador para una matriz dadaimplica que los ceros de ese polinomio son los autovalores de la matriz. Esto sepuede utilizar para la matriz K que se demostró que verifica las siguientes ecua-ciones:

K = a(q) I + b(q) σ1 + c(q) σ2 + d(q) σ3 (4.22)

K2 = (a2 + b2 + c2 + d2)I +A (4.23)

A = 2ab σ1 + 2ac σ2 + 2ad σ3 (4.24)

Reemplazando (4.24) en (4.22) se tiene que:

A =(K − a(q) I

)2 a(q)

40

y reemplazando esto en (4.23) queda:

K2 = (a2 + b2 + c2 + d2) I + (K − a I) 2 a

K2 − 2 aK + (a2 − b2 − c2 − d2) I = 0

Se tiene entonces un polinomio anulador en la matriz K que tiene la forma:

P (x) = x2 − 2 a x + (a2 − b2 − c2 − d2) = 0

cuyas raíces son:

x =2a±

√4a2 − 4(a2 − b2 − c2 − d2)

2= a±

√b2 + c2 + d2

Se tiene entonces que la matriz K tiene dos autovalores distintos de la forma:

λK1 = a +√

b2 + c2 + d2

λK2 = a−√b2 + c2 + d2

(4.25)

Mirando los cálculos realizados para llegar a la forma de λA2 se encuentra que:

b2 + c2 + d2 = 64 g4

(4+g2)4e−4L|q|

con lo cual:

a−√b2 + c2 + d2 = 1 + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q| − 8 g2

(4+g2)2e−2L|q| = 1

a +√

b2 + c2 + d2 = 1 + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q| + 8 g2

(4+g2)2e−2L|q| = 1 + 16 g2

(4+g2)2e−2L|q|

Obteniéndose el mismo resultado que en las ecuaciones (4.25) realizadas con unprocesador matemático.

Usando estos resultados en la ecuación (4.9) se tiene que:

detM(q) = det2M00 detK = det2M00 λK1λK1 =

= det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q|

)

41

donde M00 no depende de la separación L entre los defectos.y reemplazando esto en la (4.8):

Z =∏q0

det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q0|

)

Es decir que la amplitud de persistencia del vacío es:

Γ = − lnZ = − ln∏q0

det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q0|

)=

= −∑q0

ln[det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q0|

)]

La energía de vacío en presencia de los defectos es:

E = lımT →∞

Γ

T= −

∫ ∞

−∞

dq0

2πln

[det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q0|

)]

La energía de Casimir de interacción entre los defectos es:

Eint(L) = E(∞)− E(L) = −∫ ∞

−∞

dq0

2πln

[det2M00

]+

+

∫ ∞

−∞

dq0

2πln

[det2M00

(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L|q0|

)]


EInt(L) =1

π

∫ ∞

0

dq0 ln(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2L q0

)(4.26)

Haciendo un cambio de variable, en el cual se llama r = L q0 se tiene que:

L EInt =1

π

∫ ∞

0

dr ln(1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2r

)= − 1

2 πPolyLog

[2,

−16 g2

(4 + g2)2

]

42

donde se usó la nomenclatura PolyLog[n, Z] para expresar la función polilo-garitmo:

Lin(z) =∞∑

k=1

zk

kn.

En la figura (4.1) se muestra la variación de L EInt vs. L q0.

Figura 4.1: Gráfico de L EInt vs. L q0 para dos defectos separados una distancia L en d = 1

4.2.2. El caso particular d = 3, g1 = g2.

Si la dimensión espacial es d = 3, entonces, las matrices gamma son de rango4 y la matriz M es de rango 8 en bloques de 4x4. Utilizando las propiedades delas matrices por bloques se obtiene un resultado análogo al de la ecuación (4.9)que en este caso se convierte en:

det[M(q)

]= detM00 detM11 det

[I −M−1

00 M01M−111 M10

](4.27)

mientras que las ecuaciones (4.10) y (4.11) permanecen igual:

M−100 = M−1

11 =(1 + g (m+i6q)

2√

m2+q2

)−1

=(1 + g2

4+ g m√

m2+q2

)−1(1 + g (m−i6q)

2√

m2+q2

)

M−100 M01M−1

11 M10 = g2

4e−2L

√m2+q2

(1 + g2

4+ g m√

m2+q2

)−2

×(1 + g (m−i 6q)

2√

m2+q2

)(m+i 6q√m2+q2

− γd

)(1 + g (m−i 6q)

2√

m2+q2

)(m+i 6q√m2+q2

+ γd

)

43

Para simplificar los cálculos se llama β =√

m2 + q2 con lo cual queda:(1 + g (m−i6q)

2√

m2+q2

)(m+i6q√m2+q2

− γd

)(1 + g (m−i6q)

2√

m2+q2

)(m+i6q√m2+q2

+ γd

)

=(1 + g m−i6q

2β

)(m+i6q

β− γd

)(1 + g m−i 6q

2β

)(m+i6q

β+ γd

)

=(1 + g m

2β− i g 6q

2β

)(mβ

+ i 6qβ− γd

)(1 + g m

2β− i g 6q

2β

)(mβ

+ i 6qβ

+ γd

)

=[(

mβ

+ g m2

2β2 + g q2

2β2

)I + i

β6q −

(1 + g m

2β

)γd + i g

2β6qγd

]

×[(

mβ

+ g m2

2β2 + g q2

2β2

)I + i

β6q +

(1 + g m

2β

)γd − i g

2β6qγd

]

=[(

mβ

+ g m2

2β2 + g q2

2β2

)2

− q2

β2 −(1 + g m

2β

)2

− g2 q2

4β2

]I + g q2

β2 γd

+2 iβ

(mβ

+ g m2

2β2 + g q2

2β2

)6q + 2 i

β

(1 + g m

2β

)6q γd

=[(

mβ

+ g2

)2

− q2

β2 −(1 + g m

β+ g2 m2

4β2

)− g2 q2

4β2

]I + g q2

β2 γd

+2 iβ

(mβ

+ g2

)6q + 2 i

β

(1 + g m

2β

)6q γd

= q2

β2

[− 2 I + g γd + 2 i

q2

(m + g β

2

)6q + 2 i

q2

(β + g m

2

)6q γd

].

Usando este resultado queda:

M−100 M01M−1

11 M10 =

= g2

4e−2Lβ

(1 + g2

4+ g m

β

)−2q2

β2

[− 2 I + g γd + 2 i

q2

(β + g m

2

)6q γd

]

= g2(

2 q(4+ g2) β + 4 g m

)2

e−2Lβ[− 2 I + g γd + 2 i

q2

(m + g β

2

)6q

+ 2 iq2

(β + g m

2

)6q γd

]

= − 8 g2 q2 e−2Lβ

((4 + g2) β +4 g m)2I + 4 g3 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2γd + i 4 g2 (2 m + g β) e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)26q

44

+ i 4 g2 (2 β +g m) e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)26q γd

Obteniéndose que:

I −M−100 M01M−1

11 M10 =(1 +

8 g2 q2 e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2

)I

− 4 g3 q2 e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2γd − i

4 g2 |q| (2 m + g β) e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2

6q|q|

− 4 g2 |q| (2 β + g m) e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2

i 6q γd

|q| (4.28)

Para simplificar la notación y el cálculo, se denomina:

a(q) = 1 +8 g2 q2 e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2(4.29)

b(q) = − 4 g3 q2 e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2(4.30)

c(q) = − i4 g2 |q| (2 m + g β) e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2(4.31)

d(q) = − 4 g2 |q| (2 β + g m) e−2Lβ

((4 + g2) β + 4 g m)2(4.32)

σ1 = γd σ2 =6q|q| σ3 = i

6qγd

|q| . (4.33)

Se aprovecha que las matrices σj verifican el álgebra: {σi, σj} = 2 δi j y [σi, σj] =2 i εijk σk.

Llamando:

K = I −M−100 M01M−1

11 M10

y volviendo a repetir el procedimiento de la sección anterior, a partir de la página37, que se realizó en forma general, se obtiene:

45

K = a(q) I + b(q) σ1 + c(q) σ2 + d(q) σ3

K2 = (a2 + b2 + c2 + d2) I +A

A = 2ab σ1 + 2ac σ2 + 2ad σ3

A2 = 4a2(b2 + c2 + d2) I

λA2 = 4a2 (b2 + c2 + d2)

λK1 = a +√

b2 + c2 + d2

λK2 = a−√b2 + c2 + d2 .

Lo que se diferencia del caso anterior es que ahora las matrices gamma son derango 4. Por lo tanto las matrices K2, A2, A y K tiene que tener 4 autovalores, yasean distintos o repetidos. Pero A2 tiene un único autovalor de multiplicidad 4que es λA2 = 4a2 (b2 + c2 + d2), por lo tanto A sólo puede tener como posibles au-tovalores λA = ± 2a

√b2 + c2 + d2. Para encontrar la multiplicidad de cada uno,

se utiliza la propiedad que tienen las matrices gamma - y por lo tanto tambiénlas matrices σ y A - de que su traza es nula. Para que la traza de A sea nula, sólopuede tener igual número de autovalores 2a

√b2 + c2 + d2 que −2a

√b2 + c2 + d2.

Por lo tanto, la única posibilidad es que cada uno de ellos sea de multiplicidad2, ya que tiene que tener 4 autovalores. Aprovechando esto, se encuentra que K2

va a tener dos autovalores distintos, cada uno de multiplicidad 2 que van a estardados por:

λK2+ = (a2 + b2 + c2 + d2) + 2a√

b2 + c2 + d2

λK2− = (a2 + b2 + c2 + d2)− 2a√

b2 + c2 + d2

Los dos autovalores distintos de K, λK1 y λK2, que van a ser las respectivas raícesde λK2+ y λK2−, tienen que tener entonces multiplicidad dos.

Reemplazando las definiciones (4.29)-(4.32) se obtiene:

λA2 = 4a2(b2 + c2 + d2) = 4(1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β + 4 g m)2

)2

×[

16 g6 q4 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4− 16 g4 q2 (2 m + g β)2 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4+ 16 g4 q2 (2 β +g m)2 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4

]

=(1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2

)2256 g4 q4

((4+ g2) β + 4 g m)4e−4Lβ

=[(

1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2

)16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ

]2

46

Entonces:

λA+ =√

λA2 = 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ + 128 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ

λA− = −√λA2 = − 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ − 128 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ

Por otra parte:

a2 + b2 + c2 + d2 =(1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2

)2

+ 16 g6 q4 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4

− 16 g4 q2 (2 m + g β)2 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4+ 16 g4 q2 (2 β +g m)2 e−4Lβ

((4+ g2) β +4 g m)4

=(1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2

)2

+ 64 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ

= 1 + 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ + 128 g4 q4

((4+ g2) β + 4 g m)4e−4Lβ

Entonces, los autovalores de K2 son:

λK2+ = 1 + 16 g2 q2

((4+ g2) β + 4 g m)2e−2Lβ + 128 g4 q4

((4+ g2) β + 4 g m)4e−4Lβ

+ 16 g2 q2

((4 + g2) β +4 g m)2e−2Lβ + 128 g4 q4

((4+ g2) β + 4 g m)4e−4Lβ

= 1 + 32 g2 q2

((4+ g2) β + 4 g m)2e−2Lβ + 256 g4 q4

((4 + g2) β +4 g m)4e−4Lβ

λK2− = 1 + 16 g2 q2

((4+ g2) β + 4 g m)2e−2Lβ + 128 g4 q4

((4+ g2) β + 4 g m)4e−4Lβ

− 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ − 128 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ = 1 .

Y por lo tanto, K tiene como posibles autovalores a:

λ1 = ±√

1 + 32 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ + 256 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ

λ2 = ± 1 .

47

Obsérvese además que λ1 se puede simplificar ya que:

|λ1| =√

1 + 32 g2 q2

((4 + g2) β +4 g m)2e−2Lβ + 256 g4 q4

((4 + g2) β +4 g m)4e−4Lβ

= e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)2

×√

((4 + g2) β + 4 g m)4 e4Lβ + 32 g2 q2((4 + g2) β + 4 g m)2 e2Lβ + 256 g4 q4

= e−2Lβ

((4+ g2) β + 4 g m)2.

√[((4 + g2) β + 4 g m)2 e2Lβ + 16 g2 q2

]2

= e−2Lβ

((4+ g2) β + 4 g m)2.[((4 + g2) β + 4 g m)2 e2Lβ + 16 g2 q2

]

= 1 + 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ .

Pero K tiene solo dos autovalores distintos que se obtienen tomando alguno delos dos signos posibles para λ1 y λ2:

λ1 = ± 1 + 16 g2 q2

[ 4 g m +(4+ g2)√

q2 + m2 ]2e−2L

√q2 + m2

λ2 = ± 1 .

Como se trabaja en D = 3 + 1, habrá cuatro matrices gamma de rango 4 y sepueden elegir como:

γ0 =

0 0 −i 00 0 0 −ii 0 0 00 i 0 0

γ1 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

γ2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 −i 0 0i 0 0 0

γ3 =

0 0 1 00 0 0 −11 0 0 00 −1 0 0

48

Se tiene entonces que las matrices sigma (4.33) se pueden escribir como:

σ1 = γ3 =

0 0 1 00 0 0 −11 0 0 00 −1 0 0

σ2 =6 q|q| =

q0 γ0 + q1 γ1 + q2 γ2

|q| =

= 1|q|

0 0 −i q0 q1 − iq2

0 0 q1 + iq2 −i q0

i q0 q1 − iq2 0 0q1 + iq2 i q0 0 0

σ3 = i 6q γ3

|q| = 1|q|

0 0 q0 00 0 0 −q0

q0 0 0 00 −q0 0 0

.

Calcular los autovalores deK reemplazando estas matrices en su definición esmuy engorroso. Tal es así que hasta es bastante complicado solamente verificarcuáles de los 4 autovalores posibles son los que realmente corresponden. Peroaplicando como en el caso anterior el teorema del polinomio anulador mínimo(que se podría haber utilizado desde el comienzo), se obtiene que los únicos au-tovalores de K tienen la forma:

λK1 = a +√

b2 + c2 + d2

λK2 = a−√b2 + c2 + d2 .

Reemplazando a, b, c y d se encuentra que:

λK1 = 1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)+

√64 g4 q4

((4+ g2) β +4 g m)4e−4Lβ

= 1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)+ 8 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ

49

= 1 + 16 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ

λK2 = 1 + 8 g2 q2 e−2Lβ

((4+ g2) β +4 g m)− 8 g2 q2

((4+ g2) β +4 g m)2e−2Lβ = 1

Reemplazando estos resultados en la ecuación (4.27) y teniendo en cuenta quepara d=3 las matrices gamma son de rango 4 se tiene:

lnZ = ln∏

q

detM(q) =∑

q

ln detM(q)

=∑

q

ln[detM00 detM11 detK

]

=∑

q

ln[λ2K1

λ2K2

]+ T erminos que no dependen de L

= 2∑

q

ln[1 +

16 g2 q2

((4 + g2) β + 4 g m)2e−2Lβ

]

+ T erminos que no dependen de L .

La amplitud de persistencia del vacío se puede escribir como:

Γ = − ln Z = − 2∑

q

ln[1 +

16 g2 q2

((4 + g2) β + 4 g m)2e−2Lβ

](4.34)

− 2∑

q

ln[detM00

].

La energía de punto cero en presencia de los defectos E , queda entonces:

E(L) = T erminos que no dependen de L

− 2 lımT ,d→∞

1

Td2

∑q

ln

[1 +

16 g2 q2 e−2L√

q2 + m2

[ 4 g m + (4 + g2)√

q2 + m2 ]2

]

= T erminos que no dependen de L

−2

∫ ∞

−∞

dq0

2π

∫ ∞

−∞

dq1

2π

∫ ∞

−∞

dq0

2πln

[1 +

16 g2 q2 e−2L√

q2 + m2

[ 4 g m + (4 + g2)√

q2 + m2 ]2

].

Pasando a coordenadas esféricas queda:

50

E(L) = − 1

π2

∫ ∞

0

dq q2 ln

[1 +

16 g2 q2 e−2L√

q2 + m2

[ 4 g m + (4 + g2)√

q2 + m2 ]2

]

+ T erminos que no dependen de L .

La energía de Casimir de interacción se define como la diferencia entre lasconfiguraciones con y sin los defectos:

Eint = E(∞)− E(L)

=1

π2

∫ ∞

0

dq q2 ln

[1 +

16 g2 q2 e−2L√

q2 + m2

[ 4 g m + (4 + g2)√

q2 + m2 ]2

]. (4.35)

Haciendo el cambio de variable r = qL se puede escribir como:

Eint =1

π2 L3

∫ ∞

0

dq r2 ln[1 +

16 g2 r2 e−2√

r2 +(m L)2

[ 4 g m L + (4 + g2)√

r2 + (mL)2 ]2

],

que es convergente en el IR y en el UV.

El caso no masivo se obtiene tomando el límite cuando m → 0 y da comoresultado una dependencia de la energía de Casimir de interacción con g de laforma:

(m = 0) L3EInt =1

π2

∫ ∞

0

dq r2 ln[1 +

16 g2

(4 + g2)2e−2 r

]= ∞ . (4.36)

Esta energía diverge, ya que el mismo integrando tiende a infinito cuando r tiendea infinito.

En el caso masivo se denota M = mL 6= 0 con lo cual queda:

L3 EInt =1

π2

∫ ∞

0

dr r2 ln[1 +

16 g2 r2 e−2√

r2 + M2

[ 4 g M + (4 + g2)√

r2 + M2 ]2

].

En la figura 4.2 se muestra la relación entre la densidad de energía de inter-acción de Casimir por L3 en función de g para distintos valores de M = mL quevan de 0.1 a 1. Se puede ver que la energía es mayor cuanto menor es m (valorque diverge cuando m = 0) y que tiene un valor máximo para g = 2. Esto ocurredebido a que cuanto menor es la masa, el propagador del campo escalar decae

51

mas lentamente con la distancia de separación entre las placas y mayor es la in-teracción. Por otra parte, cuando g = 2 se alcanzan las condiciones de bag modeldonde la corriente fermiónica perpendicular a las placas se anula, es decir que nose escapan fermiones.

Figura 4.2: Gráfico de L3 EInt vs. g para dos defectos separados una distancia L en d = 3

En la figura 4.3 se muestra la relación entre la densidad de energía de inter-acción de Casimir por L3 en función de M = mL para distintos valores de g quevan de 0.1 a 3. Se puede ver que la energía es mayor cuanto menor es m y quepara M ' 2 (es decir cuando L ' 2/m), la energía ya resulta muy pequeña.

Figura 4.3: Gráfico de L3 EInt vs. M para dos defectos separados una distancia L en d = 3

52

CAPÍTULO V

Cálculo de magnitudes locales

En este capítulo, siguiendo con la metodología implementada anteriormente,se encuentra una expresión para el propagador completo de un campo fermióni-co. Esto es de gran utilidad porque permite el cálculo del valor medio de ob-servables locales (normalmente bilineales en los campos fermiónicos), como porejemplo la densidad de carga y las componentes de la corriente. En este trabajose estudia la función σ(x) = 〈ψ(x)ψ(x)〉, que depende de la presencia de tipo dedefectos que consideramos.

5.1. Propagador para el campo fermiónico.

Para calcular el propagador de un campo fermiónico, se considera en la fun-ción de partición Z la acción debida a las fuentes:

Z(η, η) =1

N∫DψDψ e−S (5.1)

S = S0 + SI + SF

S0 =∫

dDx ψ(x) ( 6∂ + m) ψ(x) (Acción libre)

SI =∫

dDx ψ(x) V (x) ψ(x) (Acción debida a la interacción)

SF = − ∫dDx

(η(x) ψ(x) + ψ(x) η(x)

)(Acción de las fuentes)

N = Z(0, 0) (Factor de normalización)

siendo V (x) = g δ(xd) + g δ(xd − L) el potencial correspondiente a tener dosdefectos separados una distancia L.

Se denomina x ε<D e y ε< d a las componentes de la posición en el espacio-tiempo (donde la componente temporal es x0):

x = (x0, x1, ..., xd−1, xd) = (y, xd) y = (x0, x1, ..., xd−1)

y a las componentes de los momentos:


Para simplificar la notación se va a expresar el potencial como:

V (x) = g

1∑α=0

δ(xd − aα) (5.2)

con a0 = 0 y a1 = L.

Se tiene entonces que e−SI es:

e−SI =∏α

exp

[−g

∫ddy

∫ddy′ ψ(y, aα) δ(y − y′) ψ(y′, aα)

].

Utilizando variables de Grassmann auxilirares χα(y) y χα(y), haciendo el cam-bio de variables:

χ(y) =√

gχ′(y)

Dχ = det(√

g 1)Dχ′

y llamando: ξα =√

g δ(xd − aα) χα(y) queda:

Z(η, η) =

∫ ∏α

(DχαDχα) exp

[∑α

∫ddy χ2

α(y)

]

×∫DψDψ exp

[−

∫dDx

∫dDx′ ψ(x) ( 6∂ + m)δ(x− x′) ψ(x)

]

× exp

[∫dDx

[ψ(x)

(η(x) +

∑α

ξα(x))

+(η(x) +

∑α

ξα(x))ψ(x)

]]

=

∫ ∏α

(DχαDχα) exp

[∑α

∫ddy χ2

α(y)

]

× exp[ ∫

dDx

∫dDx′

(η(x) +

∑α

ξα(x))G

(0)F (x, x′)

(η(x′) +

∑

β

ξβ(x′))]

= exp[ ∫

dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

]

×∫ ∏

α

(DχαDχα) exp[ ∑

α,β

∫ddy

∫ddy′ χα(y) δα β δ(y − y′)χβ(y′)

]

×exp[g

∑

α,β

∫ddy

∫ddy′ χα(y) G

(0)F (y, aα, y′, aβ) χβ(y′)

]

54

×exp[√

g∑

β

∫dDx

∫ddy′ η(x) G

(0)F (y, xd, y

′, aβ) χβ(y′)]

×exp[√

g∑

α

∫ddy

∫dDx′ χα(y) G

(0)F (y, aα, y′, x′d) η(x′)

].

= exp[ ∫

dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

] ∫ ∏α

(DχαDχα)

× exp[ ∑

α,β

∫ddy

∫ddy′ χα(y)

(δα β δ(y − y′) + g G

(0)F (y, aα, y′, aβ)

)χβ(y′)

]

×exp[∑

α

∫ddy χα(y)

(√g

∫dDx′ G(0)

F (y, aα, y′, x′d) η(x′))]

×exp[ ∑

β

∫ddy′

(√g

∫dDx η(x) G

(0)F (y, xd, y

′, aβ))

χβ(y′)]

,

Llamando:

σα(y) =√

g∫

dDx′ G(0)F (y, aα, y′, x′d) η(x′)

σβ(y′) =√

g∫

dDx η(x) G(0)F (y, xd, y

′, aβ) χβ(y′)

Kα β = δα β δ(y − y′) + g G(0)F (y, aα, y′, aβ) ,

queda:

Z(η, η) = exp[ ∫

dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

] ∫ ∏α

(DχαDχα)

exp[ ∑

α,β

∫ddy

∫ddy′ χα(y)Kα β χβ(y′)

]

exp[ ∑

α

∫ddy

(χα(y) σα(y) + σα(y) χβ(y′)

)]

= det[Kα β(y, y′)

]exp

[ ∫dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

]

× exp[−

∑

α,β

∫ddy

∫ddy′ σα(y)

[Kα β(y, y′)]−1

σβ(y′)]


]exp

[ ∫dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

]

× exp[− g

∑

α,β

∫ddy

∫ddy′

( ∫dDx η(x) G

(0)F (y, xd, y, aα)

)

55

×[Kα β(y, y′)]−1

( ∫dDx′ G(0)

F (y′, aβ, y′, x′d) η(x′))]


]exp

[ ∫dDx

∫dDx′ η(x) G

(0)F (x, x′) η(x′)

]

× exp

[− g

∑

α,β

∫dDx

∫dDx′ η(x)

(∫ddy G

(0)F (y, xd, y, aα)

)

× [Kα β(y, y′)]−1

(∫ddy′ G(0)

F (y′, aβ, y′, x′d))

η(x′)]

.

Ahora bien, la primer exponencial no es más que Z0(η, η) y la función de parti-ción se puede escribir entonces de forma mucho mas sencilla como:

Z = Z0(η, η) exp[ ∫

dDx

∫dDx′ η(x) T (x, x′) η(x′)

](5.3)

donde se han eliminado factores independientes de η y η, y se definió:

T (x, x′) = −g∑

α,β

(∫ddy G

(0)F (y, xd, y, aα)

)K−1

α β(y, y′) (5.4)

×(∫

ddy′ G(0)F (y′, aβ, y′, x′d)

)

Kα β(y, y′) = δα β δ(y − y′) + g G(0)F (y, aα, y′, aβ) . (5.5)

El propagador fermiónico libre, como se demostró en secciones anteriores,tiene la forma:

G(0)F (x, x′) =

∫ddq

(2π)d

[∫dpd

2π

i pd γd + (i 6 q + m)

(p2d + q2 + m2)

e−ipd(xd−x′d)

]e−iq(y−y′) .

Para simplificar la notación, de aquí en adelante se define:

S(q, xd, x′d) =

∫dpd

2π

i pd γd + (i 6 q + m)

(p2d + q2 + m2)

e−ipd(xd−x′d) (5.6)

con lo cual se tiene que:

G(0)F (y, xd, y

′, x′d) =

∫ddq

(2π)dS(q, xd, x

′d) e−iq(y−y′) .

56

En particular:

G(0)F (y, xd, y, aα) =

∫ddq

(2π)dS(q, xd, aα) e−iq(y−y)

G(0)F (y′, aβ, y′, x′d) =

∫ddq′

(2π)dS(q′, aβ, x′d) e−iq′(y′−y′) .

Reemplazando esto en la ecuación (5.4):

T (x, x′) = −g∑

α,β

(∫ddy

∫ddq

(2π)dS(q, xd, aα) e−iq(y−y)

)K−1

α β(y, y′)

×(∫

ddy′∫

ddq′

(2π)dS(q′, aβ, x′d) e−iq′(y′−y′)

)

= −g∑

α,β

∫ddq

(2π)d

∫ddq′

(2π)dS(q, xd, aα) e−iqy

×(∫

ddy

∫ddy′ e−iq′y′ eiqyK−1

α β(y, y′))

S(q′, aβ, x′d) eiq′y′ .

Por otra parte, a partir de la ecuación (5.5):

Kα β(y, y′) = δα β δ(y − y′) + g

∫ddk

(2π)dS(k, aα, aβ) e−ik(y−y′)

=

∫ddk

(2π)d

[δα β + g S(k, aα, aβ)

]e−ik(y−y′) . (5.7)

Si se denomina:

Bα β(k) = δα β + g S(k, aα, aβ)

entonces:

Kα β(y, y′) =

∫ddk

(2π)dBα β(k) e−ik(y−y′) .


Kα β(y, y′) = Bα β(y, y′) ,

donde Bα β(y, y′) es la transformada de Fourier de Bα β(k),

Aplicando la propiedad de que la inversa de la transformada de Fourier deuna función es igual a la transformada de Fourier de la inversa de esa función, se

57

encuentra que:

K−1α β(y, y′) = (Bα β(y, y′))−1 = B−1

α β(k) =

∫ddk

(2π)dB−1

α β(k) e−ik(y−y′) (5.8)

Para dos defectos, uno en xd = a0 = 0 y otro en xd = a1 = L, la matriz Bα β

es:

Bα β(k) =

1 + g S(k, 0, 0) S(k, 0, L)

g S(k, L, 0) 1 + g S(k, L, L)

.

Por ser una matriz por bloques, se puede invertir utilizando la fórmula:

B−1α β(k) =

C−10 −B−1

00 B10C−11

−C−11 B10B

−100 C−1

1

,

siendo C0 = B00 −B01B−111 B10 y C1 = B11 −B10B

−100 B01.

Una vez invertida esta matriz, se reemplaza en la última expresión para T (x, x′),junto con la la ecuación (5.8) para K−1

α β . Finalmente T (x, x′) queda de la forma:

T (x, x′) = −g∑

α,β

∫ddq

(2π)d

∫ddk

∫ddq′ S(q, xd, aα) e−iqy B−1

α β(k)

× S(q′, aβ, x′d) eiq′y′(∫

ddy

(2π)de−iy(k−q)

∫ddy′

(2π)de−iy′(q′−k)

)

= −g∑

α,β

∫ddq

(2π)d

∫ddk

∫ddq′ S(q, xd, aα) e−iqy B−1

α β(k)

× S(q′, aβ, x′d) eiq′y′ δ(k − q) δ(q′ − k)

= −g∑

α,β

∫ddq

(2π)dS(q, xd, aα) e−iqy B−1

α β(q) S(q, aβ, x′d) eiqy′ .

Si bien esta expresión parece bastante complicada, se simplifica mucho en elcaso en que x = x′ y - como se verá mas adelante - es lo único que se necesita paracalcular el propagador fermiónico. En dicho caso se tiene:

T (x, x) = −g∑

α,β

∫ddq

(2π)dS(q, xd, aα) B−1

α β(q) S(q, aβ, xd)

58

Para evitar confusiones con la nomenclatura, se va a llamar Mα β(q) = (Bα β(q))−1

- Inversa de la matriz Bα β(q) -, para distinguirla de las matrices B−1α β(q) inversas

del bloque de matriz de B que tiene índices α, β.Para dos defectos, uno en xd = a0 = 0 y otro en xd = a1 = L, queda:

T (x, x) = −g

∫ddq

(2π)d

[S(q, xd, 0) M00(q) S(q, 0, xd)

+ S(q, xd, L) M11(q) S(q, L, xd) + S(q, xd, 0) M01(q) S(q, L, xd)

+ S(q, xd, L) M10(q) S(q, 0, xd)]

(5.9)

donde:

S(q, xd, 0) = 12

(i 6q + m√q2 + m2

+ Sg(xd) γd

)e− |xd|

√q2 + m2

S(q, xd, L) = 12

(i 6q + m√q2 + m2

+ Sg(xd − L) γd

)e− |xd−L|

√q2 + m2

S(q, 0, xd) = 12

(i 6q + m√q2 + m2

− Sg(xd) γd

)e− |xd|

√q2 + m2

S(q, L, xd) = 12

(i 6q + m√q2 + m2

− Sg(xd − L) γd

)e− |xd−L|

√q2 + m2

El propagador fermiónico resulta entonces:

〈ψ(x)ψ(x′)〉 =δ lnZ(η, η)

δη(x′) δη(x′)

η=η=0

=1

Z0

δZ0(η, η)

δη(x′) δη(x)

η=η=0

+δ[ ∫

dDx∫

dDx′ η(x) T (x, x′) η(x′)]

δη(x′) δη(x′)

η=η=0

= G(0)F (x, x′) + T (x, x′) . (5.10)

Entonces, el valor medio de la traza del propagador es:

σ(x) = −Tr〈ψ(x)ψ(x)〉 = −Tr G(0)F (x, x′) − Tr T (x, x′) . (5.11)

59

El primer término es la contribución del vacío y el segundo es el debido a lainteracción con los defectos. En particular nos interesa la componente debida a lainteracción, definida como:

σint(x) = −Tr [T (x, x)] , (5.12)

que es el único término que depende de x.

5.1.1. Caso particular de un solo defecto

Si se tiene un único defecto en la posición xd = 0, en la ecuación para el po-tencial (ec. 5.2) solo se considera α = 0 con aα = 0. Es decir que sólo habrá queincorporar las variables de Grassman auxiliares χ0 y χ0, con lo cual la ecuación(5.9) para T (x, x) se reduce a:

T (x, x) = −g

∫ddq

(2π)d

[S(q, xd, 0) B−1

00 (q) S(q, 0, xd)]

= −g

∫ddq

(2π)d

[S(q, xd, 0)

[1 + g S(q, 0, 0)

]−1

S(q, 0, xd)

]

= −g

4

∫ddq

(2π)d

[(i 6q + m√q2 + m2

+ Sg(xd) γd

) [1 +

g

2

i 6q + m√q2 + m2

]−1

×(

i 6q + m√q2 + m2

− Sg(xd) γd

)e− 2|xd|

√q2 + m2

].

Pero se tiene que:

[1 + g

2i 6q + m√q2 + m2

]−1

= 2√

q2 + m2[2√

q2 + m2 + g m + i g 6q]−1

= 2√

q2 + m2

(2√

q2 + m2 + g m)− i g 6q(

2√

q2 + m2 + g m)2

+ g2 q2

=2√

q2 + m2(2√

q2 + m2 + g m)

(2√

q2 + m2 + g m)2

+ g2 q2I − 2 i g |q|

√q2 + m2(

2√

q2 + m2 + g m)2

+ g2 q2

6q|q|

= αI − β 6q|q| .

Entonces queda:

[i6q + m√q2 + m2

+ Sg(xd) γd

] [α I − β 6q

|q|

] [i6q + m√q2 + m2

− Sg(xd) γd

]=

60

= (q2 + m2)−1[m + i 6q + Sg(xd)

√q2 + m2 γd

] [α I − β 6q

|q|

]

×[m + i 6q − Sg(xd)

√q2 + m2 γd

]

= (q2 + m2)−1[m + i 6q + Sg(xd)

√q2 + m2 γd

] [α m − iβ q2

|q| +

+ iα 6q − β m 6q|q| − α Sg(xd)

√q2 + m2 γd + β Sg(xd)

√q2 + m2 6q γd

|q|

]

= (q2 + m2)−1[α m2 − iq2 m β

|q| − α (q2 + m2) − α q2 − im q2 β|q|

]

+ T erminos proporcionales a 6q

= − 2 q2

(q2 + m2)

[α + im β

|q|

]+ T erm. proporcionales a 6q .

Reemplazando este resultado en la integral que define el operador T (x, x), yteniendo en cuenta que los términos en 6 q se anulan por integración simétrica re-sulta:

T (x, x) =g

4

∫ddq

(2π)d

2 q2

(q2 + m2)

[α + im

β

|q|]

e−2|xd|√

q2+m2=

= g

∫ddq

(2π)d

2 q2 e−2|xd|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2. (5.13)

5.1.1.1. Una dimensión espacial. (d = 1)

Cuando d = 1, solamente se tiene x = (x0, x1) y q = p0. Por simplicidad, enlugar de seguir denominando a x de esta manera se llamará a x0 , t y a x1 , x. Deesta manera, la ecuación (5.13) queda de la forma:

T (x, x) = g

∫ ∞

−∞

dq

2π

2 q2 e−2|x|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2.

61

Reemplazando este resultado en la ecuación (5.12) se encuentra que:

σint(x) = −Tr T (x, x′) = − 2 T (x, x)

= − 4 g

∫ ∞

−∞

dq

2π

q2 e−2|x|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2.

Cuando la masa es nula:

σint(x) =−4 g

π (4 + g2)

∫ ∞

0

dq e−2 q |x|

Considerando |x| 6= 0 puede hacer un cambio de variable, llamando q′ =q |x|,con lo cual queda:

σint(x) =−4 g

π (4 + g2)|x|∫ ∞

0

dq e−2 q

σint(x) =−2 g

π (4 + g2)|x| . (5.14)

En la figura 5.1 se muestra la variación de variación del factor −2 gπ (4+ g2)

enfunción de la constante g. Teniendo esto en cuenta, en la figura 5.2, se pre-

Figura 5.1: Variación del factor −2 gπ (4 + g2)

en función de la constante g

senta σint en función de función de x para distintos valores de g. Se puedeobservar que cuando g = 2 alcanza un valor mínimo.

62

Figura 5.2: σint en función de x para distintos valores de g

Cuando la masa es no nula:

σint(x) = −4 g

π

∫ ∞

0

dqq2 x2 e−2

√q2x2+m2x2

[2√

q2x2 + m2x2 + g m |x| ]2 + g2 q2 x2=

=−4 g

π |x|∫ ∞

0

dqq2 e−2

√q2+m2x2

[2√

q2 + m2x2 + g m |x|]2 + g2 q2,

donde se usó el cambio de variable: q′ = q |x|.

Llamando M = m |x| se puede escribir:

σint(x) = − 4 g

π |x|∫ ∞

0

dqq2 e−2

√q2+M2

[2√

q2 + M2 + g M ]2 + g2 q2

= − 4 g

π |x|∫ ∞

0

dqq2 e−2 M

√( q

M)2+1

M2[2√

( qM

)2 + 1 + g ]2 + g2 ( qM

)2 M2

= −4 g M

π | x|∫ ∞

2 M

dqq√

( q2 M

)2 − 1

4 M2

[( q2 M

)2 − 1] e− q

[ qM

+ g ]2 + g2 [( q2 M

)2 − 1]

= − 2g

4 π M2 (4 + g2)|x|∫ ∞

2 M

dq[q2 − (2 M)2]3/2 e− q

q + 8 g M(4+ g2)

63


σint(x) = − g

2 π M2 (4 + g2)|x|∫ ∞

2 M

dq[q2 − (2 M)2]3/2 e− q

q + 8 g M(4+ g2)

(5.15)

donde M = m | x|.

En la figura 5.3 se puede observar la dependencia de σint respecto a la variaciónde g, para distintos valores de M. La figura 5.4 muestra la dependencia de σint(x)respecto a la variación de M, para distintos valores de g.

Figura 5.3: σint |x| en función de g para distintos valores de M.

Se puede observar que para cualquier valor de M hay un máximo cuando g = 2y que el propagador diverge cuando |x| → 0 (M → 0).

Figura 5.4: σint |x| en función de M para distintos valores de g.

Se puede observar que los valores mas grandes se obtienen cuando g = 2

64

5.1.1.2. Dimensión espacial 3. (d = 3)

T (x, x) = g

∫d3q

(2π)3

2 q2 e−2|x3|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2

Reemplazando este resultado en la ecuación (5.12) se encuentra que:

σint(x) = −Tr T (x, x′) = − 4 T (x, x)

= −4 g

∫d3q

(2π)3

2 q2 e−2|x3|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2

Cuando d = 3, se tiene x = (x0, x1, x2, x3) y q = (p0, p1, p2). Haciendo un cam-bio de variables a coordenadas esféricas, la ecuación (5.13) queda de la forma:

σint(x) = − 16 π g

∫ ∞

0

dq

(2π)3

2 q4 e−2|x3|√

q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2=

= −4g

π2

∫ ∞

0

dqq4 e−2|x3|

√q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2

Cuando la masa es nula:

σint(x) = −4 g

π2

∫ ∞

0

dqq4 e−2|x3|q

(4 + g2) q2

Considerando | x3| 6= 0 puede hacer un cambio de variable, llamando q′ =q |x3|, con lo cual queda:

σint(x) = − 4 g

π2 (4 + g2)|x3|3∫ ∞

0

dq q2 e−2 q = −4g

π2 (4 + g2)| x3|3Γ(3)

23

Entonces, usando que Γ(n) = (n − 1)!, se encuentra que el propagador deun campo fermiónico con masa nula en d = 3, en presencia de un únicodefecto en la posición x3 = 0 es:

σint(x) = − g

π2 (4 + g2)|x3|3 (5.16)

65

Figura 5.5: σint en función de x3 para un solo defecto en d = 3.

Cuando la masa es no nula:

σint(x) = −4 g

π2

∫ ∞

0

dqq4 e−2|x3|

√q2+m2

[2√

q2 + m2 + g m]2 + g2 q2

Se puede ver que σint(x) solo depende de la variable x3. Por simplicidad enla notación de aquí en adelante se escribirá x en lugar de x3 para describir ladependencia con la posición respecto al defecto.

σint(x) = − 4 g

π2 x2

∫ ∞

0

dqq4 x4 e−2

√q2x2+m2x2

[2√

q2x2 + m2x2 + g m |x|]2 + g2 q2 x2

Llamando M = m|x| y haciendo el cambio de variable q′ = q|x| queda:

σint(x) = − 4 g

π2 |x|3∫ ∞

0

dqq4 e−2

√q2+M2

[2√

q2 + M2 + g M ]2 + g2 q2

= − 4 g M

π2 |x|3∫ ∞

0

dqq4 M4 e−2 M

√q2+1

M2[2√

q2 + 1 + g ]2 + g2 q2 M2

= − 4 g M

4 π2 |x|3∫ ∞

2 M

dqq[( q

2 M)2 − 1

]3/2e− q

[ qM

+ g ]2 + g2 [( q2 M

)2 − 1]

= − 4 g

8 π2 (4 + g2)|x|3∫ ∞

2 M

dq[q2 − (2 M)2]3/2 e− q

q + 8 g M(4+ g2)

66


σint(x) = − g

2 π2 (4 + g2)|x|3∫ ∞

2 M

dq[q2 − (2 M)2]3/2 e− q

q + 8 g M(4+ g2)

(5.17)

donde M = m | x|.

En la figura 5.6 se puede observar la dependencia de σint(x)|x|3 respecto a lavariación de g, para distintos valores de M. La figura 5.7 muestra la dependenciade σint(x)|x|3 respecto a la variación de M, para distintos valores de g.

Figura 5.6: σint(x)|x|3 en función de g para distintos valores de M.

Se puede observar que para cualquier valor de M hay un máximo cuando g = 2y que σint(x) diverge cuando |x| → 0 , que ocurre cuando M → 0.

67

Figura 5.7: σint(x)|x|3 en función de M para distintos valores de g.

Se puede observar que los valores mas grandes se obtienen cuando g = 2.

68

CAPÍTULO VI

Conclusiones

En esta Tesis, hemos aplicado un método funcional al cálculo de energías yfunciones de correlación en el efecto Casimir estático, con espejos imperfectos.Este método se basó en representar la interacción de una manera equivalente,mediante campos auxiliares localizados sobre el volumen de mundo (espacio-tiempo que ocupan al evolucionar los espejos). Dado que consideramos siempredefectos de codimensión uno, tales campos auxiliares “viven” en una dimensiónespacial menos que los campos originales. La acción efectiva para estos camposauxiliares depende de la constante g que determina intensidad de la interaccióncon el defecto y de las propiedades del campo cuántico considerado (masa, es-pín,...).

Consideramos primeramente el caso del campo escalar real, calculando la en-ergía total para el caso de uno y dos defectos. Para un defecto obtuvimos la de-pendencia de la energía de vacío en función de g, identificando su parte diver-gente (que depende del número de dimensiones consideradas) y relacionándolacon el contaje de potencias de la teoría de campos correspondiente. En el caso dedos defectos, el método empleado nos permitió aislar completamente las diver-gencias debidas a las autoenergías de las placas, obteniendo un resultado finitoy sin ambigüedades para la energía de Casimir de interacción entre las placas,tanto para el caso de espejos perfectos como imperfectos (con g < ∞) y para cam-pos con y sin masa en una y tres dimensiones espaciales. Este estudio generalizaresultados previos de la literatura (9).

Para el campo de Dirac seguimos la misma metodología, que nos llevó a laintroducción de campos auxiliares de Grassmann y con igual espín que el cam-po de Dirac (aunque en una dimensión espacial menos). Obtuvimos también ladependencia de la energía de un único defecto con la constante de acoplamiento,discutiendo su renormalización. Seguidamente consideramos el caso de dos de-fectos, derivando una expresión general para la energía de interacción de Casimir.Analizamos este resultado para diferentes condiciones particulares de interés.Nuevamente reprodujimos algunos resultados ya conocidos (8) y los general-izamos a tres dimensiones espaciales. El uso de este método nos permitió sim-plificar el tratamiento de defectos tipo delta que son de dificultosa formulaciónen el tratamiento habitual, donde necesariamente debe plantearse el problemausando un aproximante de la delta de Dirac para el potencial de interacción. Larazón es que el problema de autovalores para la ecuación de Dirac en presenciade una delta, está mal definido mientras que la función de Green correspondientese puede obtener sin dificultad.

Para el campo de Dirac, también obtuvimos la función de correlacción en pres-

encia de los espejos imperfectos y la aplicamos al estudio de la dependencia espa-cial del valor medio 〈ψ ψ〉. Mostramos que este observable está fuertemente con-centrado en las proximidades de los defectos y esto constituye una manifestaciónde la inhomogeneidad en la distribución espacial de la densidad de energía delvacío.

Para concluir, mencionamos la posibilidad de aplicar el resultado anterior alcálculo de funciones respuesta de sistemas fermiónicos en presencia de defectos,un tema de interés en la física de materia condensada (10).

70

CAPÍTULO I

Propagador bosónico libre enespacio euclídeo

Se denomina propagador bosónico libre y se lo denota como G(0)B (x, x′) al in-

verso del operador B(x, x′) = (− ∂2µ + m2)δ(x − x′), que verifica la siguiente

expresión:∫

dDx′ B(x, x′) B−1(x′, x′′) = δ(x− x′′)

Proponiendo que el inverso tenga la forma de la transformada de Fourier deuna cierta función ∆(p) que se deberá determinar:

B−1(x′, x′′) =

∫dDp

(2π)D∆(p) e−ip(x′−x′′)

se encuentra que:∫

dDx′ B(x, x′) B−1(x′, x′′) =

∫dDp

(2π)2∆(p) ( p2 + m2) e−ip(x−x′′)

= δ(x− x′′)

La última igualdad se cumple cuando:

∆(p) = (p2 + m2)−1

con lo cual se obtiene que el propagador bosónico libre en espacio euclídeo es:

G(0)B (x, x′) =

∫dDp

(2π)D

e−ip(x−x′)

(p2 + m2)(A.1)

CAPÍTULO II

Propagador fermiónico libreen espacio euclídeo

Se denomina propagador fermiónico libre y se lo denota como G(0)F (x, x′) al

inverso del operador B2(x, x′) = ( 6∂ +m) δ(x−x′). Por lo tanto, estos operadoresdeben verificar la ecuación:

∫dx′ B2(x, x′) B−1

2 (x′, x′′) = δ(x− x′′)

Proponiendo que B−12 sea la transformada de Fourier de una cierta función ∆(p)

a determinar:

B−12 (x′, x′′) =

∫dDp

(2π)2∆(p) e−ip(x′−x′′)

se encuentra que:∫

dx′ B2(x, x′) B−12 (x′, x′′) = −

∫dDp

(2π)2∆(p) (−m + i 6p) e−ip(x−x′′) = δ(x− x′′)

La última igualdad se cumple cuando:

∆(p) =m + i 6p

(m2 + p2)

ya que:6p 6p = pµ γµ pν γν = 1

22 pµ pν γµ γν = 1

2pµ pν {γµ, γν} = 1

2pµ pν 2δµ ν = p2

y por lo tanto:

(−m − i 6p)(−m + i 6p)

(m2 + p2)=

(m2 + 6p 6p)

(m2 + p2)= 1

Se obtiene entonces como resultado que:

G(0)F (x, x′) =

∫d2p

(2π)2

m + i 6p(m2 + p2)

e−ip(x−x′) (B.1)

Referencias

[1] M. Bordag and U. Mohideen, and V. M. Mostepanenko, “Phys.Rep,” 353, 1(2001)

[2] P. W. Milonni, “The Quantum vacuum: An Introduction to quantum electro-dynamics,” Boston, USA: Academic (1994) 522 p

[3] N. D. Birrell and P. C. W. Davies, “Quantum Fields In Curved Space,” Cam-bridge, Uk: Univ. Pr. ( 1982) 340p

[4] J. F. Donoghue, E. Golowich and B. R. Holstein, “Dynamics Of The StandardModel,” Camb. Monogr. Part. Phys. Nucl. Phys. Cosmol. 2, 1 (1992).

[5] A. Lopez and E. Fradkin, “Bosonization rules in 1/2 + 1 dimensiones,” Nuc.Phys. B , 450, 3, pp. 603-640(38), (1995) , .

[6] J. Zinn-Justin, “Quantum Field Theory and Critical Phenomena,” Oxford Sci-ence Publications,4th Ed.,(2002)

[7] Hao Li and Mehran Kardar, “Fluctuation-Induced Forces between Rough Sur-faces”, Phys. Rev. Lett., 67, 23, (1991)

[8] P. Sundeberg and R. L. Jaffe, “The Casimir Effect for Fermions in One Dimen-sion”, Annals Phys. 309, 442,(2004)[arXiv:hep-th/0308010]

[9] N. Graham, R. L. Jaffe, V. Khemani, M. Quandt, O. Schroeder and H. Weigel,“The Dirichlet Casimir problem,” Nucl. Phys. B 677, 379 (2004) [arXiv:hep-th/0309130].

[10] E. H. Fradkin, “Field theories of condensed matter systems,” Redwood City,USA: Addison-Wesley (1991) 350 p. (Frontiers in physics, 82)

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer al Sr. Armando Guillermet, por su gran am-abilidad y su constante preocupación por los estudiantes. También a mi Director,César, quien me dió la gran oportunidad de aprender y poder trabajar con él. Nopuedo dejar de mencionar a mis compañeros, los que todavía están y los que yase fueron, porque sin su apoyo y su amistad hubiese sido muy dificil llegar has-ta aquí. Y finalmente a mi querido amigo Daniel S. quien fué el que siempre medió esperanzas, me alentó a seguir insistiendo y estuvo en mis momentos masdifíciles.

teoría de campos en variedades con singularidadesricabib.cab.cnea.gov.ar/262/1/1losada.pdf ·...

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