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CAMPOS Y ONDAS

Relación entre Teoría de Campos y Teoría de

Circuitos

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Teoría de Campos y Circuitos

• Hemos visto un conjunto de ecuaciones que contienen el núcleo de la teoría clásica del electromagnetismo (Ecuaciones de Maxwell)

• Los conceptos, cuando se entienden, son simples aunque puede haber dificultad matemática en la resolución de los problemas.

• Las soluciones a menudo serán una buena aproximación cuando el resultado exacto sea imposible.

• Siguiendo con ejemplos simples, consideraremos la aplicación de las leyes de Campo para estudiar la relación con los problemas de Circuitos.

• En la teoría clásica de circuitos se considera fuentes de tensión o de corrientes aplicadas a interconexiones de elementos simples tales como resistencias, capacidades e inductancias.

• Las solución es por medio de las ecuaciones diferenciales. • Para circuitos lineales con fuentes sinusoidales , el

poderoso método de los fasores provee una eficiente herramienta de solución.

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• Los circuitos actuales, especialmente en sistemas modernos, incluyen no linealidades, elementos activos, no recíprocos o variables en el tiempo.

• En alta frecuencia la mayoría de los elementos tienen naturaleza distribuida.

• Los modernos circuitos integrados tienen elementos de almacenaje de energía, unidades disipativas y partes activas , construidas en el mismo cristal o depositadas en una delgada capa de film sobre un substrato común.

• Para mucha de estas generalizaciones los modelos de elementos concentrados pueden ser construidos y utilizar la potencialidad del circuito equivalente en el análisis cuantitativo o cualitativo.

• Aún siendo impráctico el modelo, la filosofía causa-efecto que es central en el pensamiento de los circuitos es muy útil en cualquier problema de fuentes de energía y transferencias o reacción de ellas.

• Consideraremos relaciones de circuitos clásicos y las ecuaciones de Maxwell.

• Vimos Aproximaciones de Campo para las resistencias de alta frecuencia (efecto pelicular o SKIN)

• e inductancias y capacidades que almacenan energía.

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Formulación del Concepto consistente con la Ecuaciones de Maxwell

Primera Ley de KirchoffEn la teoría clásica de circuitos la primera Ley de Kirchoff establece que la

suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a cero.

01

=∑=n

In

detrás de esta ley está la continuidad de corrientes

tJ

∂∂

−=∇ρ ∫∫∫∫∫ ∂

∂−= dv

tdsJ .. ρ

Q

I1

I

I

I

I2

3

4

5

Si aplicamos esto a la superficie S la única corriente de conducción que llega es a través de los conductores (cables) , esto es el lado izquierdo de la ec. El lado derecho es la tasa de cambio negativa de la carga en el tiempo, si algo de acumulación se produce en el nodo. Entonces podemos escribir

dtdQIn

n

−=∑=1

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• La comparación indican una aparente diferencia.– En realidad sumamos una nueva rama a la primera Ley de Kirchoff

que es la corriente capacitiva , dQ/dt, esta existe si es que hay acumulación de carga en la unión,

– la parte de la izquierda toma en cuenta las corrientes de conducción y convección,

– SI se incluyen las corrientes de desplazamiento o capacitivas .

01

=∑=n

IndtdQIn

n

−=∑=1

01

=+∑=n

aIcapacitivnIconducció ∑ ∑= =

−=1 1n n

aIcapacitivnIconducció

Icapacitiva

I1

I2

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Segunda Ley de Kirchoff.

• Lazos simple con elementos concentrados• En la teoría de circuitos, la segunda ley establece que la suma de tensiones alrededor

de un lazo debe ser igual a cero, equivalente a

Tensiones aplicadas=suma de caídas de tensiones alrededor del circuito

•Asumimos que la energía está totalmente almacenada en las impedancias , así como las pérdidas solo ocurren en Z1, Z2 y Z3.• Estas representan inductores, capacitores y resistores. •Las pérdidas y la energía almacenada en las interconexiones será despreciada.

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• La ley de Faraday puede ser expresada para cualquier camino cerrado como

St∂

= −∂∫ ∫∫E.dl B.ds

•La tensión entre dos puntos se definió como :

2

211

V = −∫E.dl

∫∫∑=

=Sn

n dsBV .1

Donde el lado izquierdo es a la suma de caídas alrededor de la línea elegida

Consideremos la línea del lazo rectangular, como asumimos que todas las energías están almacenadas en los elementos concentrados, el campo magnético dentro del lazo es cero

032101

=+++−=∑=

VVVVVn

n

3210 VVVV ++=

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• Lo cual es equivalente a la segunda ley de Kirchoff .• Esto es un caso simple el cual es un circuito a bajas

frecuencias.• Las leyes de Campo permiten arribar a las leyes de

tensiones en un circuito • Examinaremos circuitos generales, identificando

expresiones de términos de campos con las ecuaciones de circuitos.

• Las inductancias, capacidades e impedancias son calculadas desde la teoría de campos.

3210 VVVV ++=

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Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes

• Importante relación que aparece en la teoría clásica de circuitos es la ley de Ohm, la cual es relativa al flujo de corriente que produce una caída de tensión en el conductor.

la densidad de corriente en un punto del conductor, proporcional al campo eléctrico aplicado a través de la constante conductividad

.σ=J E tal como se aplica a un elemento infinitesimal

.El campo eléctrico E es el campo total en el puntoSe superponen “Campos parciales”.

Esto es, en un circuito en el cual una tensión externa le ha sido aplicada, las caídas de tensión por variación de corrientes y cargas del sistema dejarán una cierta tensión neta disponible para la caída de tensión óhmica.

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Entonces E puede ser construido con: E=Eo+Ei• Eo aplicado desde otro sistema (generador externo) • Ei producido por cargas y corrientes en el circuito considerado o

sistema considerado.• Si todas las cargas y corrientes se incluyen en las ecuaciones, la

intensidad de campo eléctrico E que aparece en la ecuación debe ser la intensidad total del campo.

• Si un sistema es considerado como un circuito y está influenciado por otro sistema llamado generador o fuente de tensión aplicada o campo aplicado al circuito, las ecuaciones de Maxwell deberían ser aplicadas a la totalidad del sistema, incluyendo todas las cargas y corrientes del circuito y su generador.

• Esto podría ser innecesariamente complicado, si el sistema generador para los propósitos prácticos es independiente del circuito.

• Por ej. si el circuito obtiene su campo aplicado de la influencia de una antena distante, una batería, una fuente térmica o un generador de señal bien apantallado, es entonces fácil dividir en 2 partes bien definidas el campo total.

• Hay un campo que no depende de las cargas y corrientes en el circuito Eo

• Un campo inducido el cual queda determinado directamente por estas cargas y corrientes del circuito. Ei

• Las leyes básicas aplicadas solamente a las cargas y corrientes del circuitodan solamente las cantidades de campo inducido.

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E= Eo + Ei

GENERADOR

Antena lejana

Batería

Generador Apantallado

CARGAS Y CORRIENTES

independientes del CIRCUITO

CIRCUITO

R, L, C

Campo Inducido por las CARGAS Y CORRIENTES del

circuito considerado

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• El campo que debe ser usado en la ley de Ohm es el campo total, la suma del aplicado más el inducido

• La componente Ei debida a las cargas y corrientes en el circuito puede ser establecido convenientemente en términos de los potenciales

( )σ=

J Eo + Ei

t∂∇

∇ = −∂xAxE

) 0 ( )GradU∂∇ = =∇

∂Ax(E + xt

i Ut

∂= − −∇

∂AE

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• Donde U es el potencial escalar calculado con las cargas del sistema y A es el vector potencial calculado con las corrientes.

i Ut

∂= − −∇

∂AE

( )σ=

J Eo + Ei Utσ

∂= − −∇

∂J AEo

Utσ

∂= + +∇

∂J AEo

La ecuación es el típico caso de causa y efecto. Desde una tensión aplicada resulta un término óhmico, y un término debido a cargas y corrientes. Es el primer paso para obtener una ecuación de circuito que relacione “tensiones” y “corrientes” y está basada en la rigurosa teoría de Campos.

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Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.

dlUdltAdlJdlEo ∫∫∫∫ ∇+∂∂

+=4

1

4

1

4

1

4

1

..σ

•Consideremos un grupo arbitrario de elementos de un lazo simple, (L, C, R). Para cualquier punto sobre el camino la relación entre causa y efecto puede ser tomada como derivada de las ecuaciones de Maxwell.

• Para obtener las ecuaciones del circuito es necesario solamenteintegrar la expresión diferencial a lo largo del camino elegido como circuito •El primer término está definido como la tensión aplicada al circuito

•El sentido está definido de tal forma que la tensión aplicada al circuito es positiva en el Terminal 1 con respecto al 4 cuando se produce una corriente que fluye dentro del circuito desde 1 por una resistencia pura

Utσ

∂= + +∇

∂J AEo

dlEoVo .)(4

114 ∫=

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4 4

1 1

. .JEo dl dlσ

=∫ ∫

• Para circuitos conteniendo un “Gap” de un capacitor si la corriente es cero, la integración de la corriente a través del “gap” da cero Vcap=Vo

• La integral del campo aplicado es igual a la integral del campo inducido.

4 4

1 1

.Eo dl Udl= ∇∫ ∫

Caso de corriente continua.

La tensión de la batería causa el efecto de la corriente, y esta es la única cosa que causa este efecto, ya que no hay campo eléctrico debido a corrientes alternadas o cargas en las placas del capacitor.

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• La teoría usual de circuitos diría que la batería aplica tensión entre los puntos del lazo.

• La teoría de Campo dice que primero la batería debe producir un campo eléctrico en el conductor, de otra manera no habría corriente fluyendo.

• Las dos teorías armonizan cuando la tensión aplicada entre dos puntos está definida como la integral del campo eléctrico aplicado entre esos dos puntos.

• A los conceptos de las ecuaciones de circuito no le concierne como la batería causa la tensión, tampoco las ecuaciones de campo consideran como se produce el campo aplicado.

Ei EiEoJVo

I V1

Vo=I.R Eo+Ei=J/σ

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• Consideremos un lazo conductor, tomemos un flujo magnético a través de este lazo que produzca por algún sistema independiente una variación uniforme en el tiempo.

• El efecto de esta tasa de cambio produce una tensión aplicada continua, por la ley de Ohm se desarrolla un cierto flujo de corriente continua.

E

• Si el campo en el lazo está oscilando en el tiempo como un receptor de antena excitado por un campo distante de la antena transmisora, la tensión aplicada es la integral alrededor del lazo del campo eléctrico debido al transmisor distante.

• En el caso de producir una tensión aplicada mediante una batería, no sabemos como se produce realmente, solo se sabe que resulta de una cantidad independiente del camino elegido para el circuito.

• Cuando la tensión aplicada proviene del campo de una antena distante, depende del camino del circuito.

• Es diferente para diferentes dimensiones, orientaciones y posición del circuito. Entonces en general la tensión aplicada alrededor de cualquier lazo donde el concepto de circuito es aplicado, puede variar radicalmente en magnitud con diferentes lazos seleccionados, aunque la tensión sea de la misma fuente.

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• La ecuación tiene la misma forma de la segunda ley de Kirchoff, si la integral de la derecha se define como la caída de tensión alrededor del circuito.

• Para frecuencias bajas, tal que las dimensiones del circuito sean pequeñas comparadas con las longitudes de onda (parámetros concentrados y sin radiación), se usan las siguientes definiciones:

dlUdltAdlJdlEo ∫∫∫∫ ∇+∂∂

+=4

1

4

1

4

1

4

1

..σ 3210 VVVV ++=

dlEo∫4

1

. = tensión aplicada (1 tomado como Terminal +)

dlJ∫4

1 σ

dltA

∫ ∂∂4

1

dlU∫ ∇4

1

= caída de tensión en la impedancia interna del conductor R, Li

= caída de tensión inductiva, inductancia externa Le

= caída de tensión capacitiva

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Baja frecuencia , comparación con la longitud del circuito

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La Impedancia Interna y el Término de baja frecuencia.

• Por baja frecuencia, se entiende que los circuitos son pequeños comparados con la longitud de onda (longitud de onda =velocidad de la luz/frecuencia).– Las dos hipótesis básicas son:– La corriente I es la misma en cualquier punto del

camino– El retardo es despreciado al computar los potenciales A

y U (NO SE CONSIDERA TIEMPO DE VIAJE).• La corriente NO se distribuye uniformemente sobre una

sección transversal del conductor, entonces la densidad no puede ser encontrada fácilmente como en el caso de corriente continua (EC. De DIFUSIÓN).

• Si se elige el camino de integración sobre la superficie del conductor, el término J/σ da el valor del campo eléctrico en la superficie Es.

• Si definimos la impedancia interna por unidad de longitud como el campo en la superficie (tensión por unidad de longitud) sobre la corriente total I

Zi= Es/I

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• La impedancia interna tiene una parte imaginaria y una parte real , ya que el campo en la superficie no está en fase con la corriente total para circuitos de alterna (Ver notas de Campos Variables en el tiempo)

• La elección del camino de integración del circuito a lo largo de la superficie es arbitraria, y podría haber sido hecho en otro lugar, por ej. en el medio del conductor.

• Pero debe ser tenido en cuenta en el mismo lugar para el tratamiento de cada uno de los términos de la ecuación.

• La elección a lo largo de la superficie es conveniente porque esto da la separación entre “inductancia interna” e “inductancia externa” para muchas formas simples.

.....4

1

4

1

4

1

IZdlZiIdlI

EsIdlJ=== ∫∫∫ σ

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El Término Inductivo a baja frecuencias

dltA

∫ ∂∂4

1

Para el caso de circuitos pequeños comparados con la longitud de onda.

Para tales circuitos el tiempo necesario para propagar el efectoelectromagnético sobre toda la extensión del circuito es una despreciable parte del período de la alterna, puesto que por definición de longitud de onda es la distancia sobre la cual se propaga un período completo.

El retardo puede ser despreciado en el cálculo del vector A en las vecindades del circuito. El vector A puede escribirse como

∫∫∫=v r

JdvAπ

µ4

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• La densidad de corriente J puede ser escrita como el producto de la corriente total I y alguna función vectorial dependiente de las coordenadas de la sección transversal del conductor es decir f(x1,x2) entonces A es proporcional a I , asumida constante la corriente alrededor del circuito.

( 1, 2)4v

f x x dvA Ir

µπ

= ∫∫∫•La integral multiplicada por I es una función de la geometría y de la distribución relativa de la densidad de corriente .• Entonces L es una función de la configuración del circuito, la permeabilidad y la distribución relativa de la corriente•pero no de la corriente total será definida como

∫=4

1

.IdlAL dt

dILLIdtdt

ddltA

===∂∂

∫∫ )(d A.dl 4

1

4

1

.S s

dl = ∇ =∫ ∫∫ ∫∫A xA.ds B.dsI

BdsL S

∫∫=

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• La ecuación es la forma usual de definición de la inductancia a baja frecuencia, la cual se define como el flujo concatenado por unidad de corriente.

• Si la configuración del inductor es tal que el campo magnético se limita a la región la bobina (entre los punto 1 y 2) solo entre estos puntos se desarrolla esta tensión.

• Si no hay pérdidas y no hay cargas libres a lo largo de las bobinas del arrollamiento entonces la tensión debería tener el valor dado por, con la definición usual de inductancia L.

• El efecto pelicular y el efecto capacitivo introducen importantes modificaciones a la relación tensión-corriente para un inductor a moderadas y altas frecuencias.

• El incremento de las pérdidas causadas por el efecto pelicular puede ser tomada en cuenta por el término de impedancia interna visto en la sección previa.

• El punto es que el circuito exacto equivalente para un inductor a alta frecuencia no es posible y el equivalente para alguna frecuenciapuede ser difícil de calcular.

I

BdsL S

∫∫= dt

dILLIdtdt

ddltA

===∂∂

∫∫ )(d A.dl 4

1

4

1


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El Término Capacitivo a baja frecuencias

• Como reacción al campo aplicado, la carga libre es distribuida a lo largo del circuito, particularmente en el Gap del capacitor cuando tal gap existe.

• Todas las cargas sobre el circuito son consideradas como fuentes,• Se toma en cuenta el efecto del conductor sobre la distribución de campo• Las cargas pueden ser consideradas como distribuidas en el espacio libre y

el campo producido por las cargas puede ser encontrado usando laintegral apropiada.

∫∫∫=v r

dVU.4πε

ρ

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El Término Capacitivo a baja frecuencias

4 2

2 31 3

. 0Udl U dl Edl U U∇ = ∇ − = + −∫ ∫ ∫

4 3

2 31 2

. 0Udl U dl U U U∇ = ∇ − ∇ = + −∫ ∫ ∫

La primera integral desaparece puesto que la integral de línea cerrada de un gradiente es cero. La segunda parte del lado derecho se transforma en U2-U3.

Si la capacidad parásita es despreciada entonces la carga significativa se concentra en el Gap o discontinuidad, (Q sobre una placa y –Q sobre la otra). El valor de U es proporcional a Q de modo que

CQUU =− 12

•El gradiente de este potencial es usado en el cálculo de la caída de tensión capacitiva.

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• 1/C es la constante de proporcionalidad.

• La carga en la discontinuidad relativa a la corriente que fluye en el circuito puede ser expresada como:

∫= dtIQ .

Entonces finalmente la caída de tensión capacitiva puede ser escrita como

∫∫ =∇3

2

4

1

1 IdtC

dlU

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• Este es el usual término capacitivo en la teoría clásica de circuitos que permite la definición de capacidad.

• Si hay suficiente carga distribuida a lo largo del conductor en otros puntos diferentes que en el gap, la variación en el tiempo de esta cargas constituyen corrientes de desplazamiento las cuales fluyen en caminos diferentes del circuito elegido.

• En este sentido no es un simple lazo y la corriente ya no es más constante alrededor del circuito.

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Resumen

• Encontramos los términos incluidos en la resolución clásica de circuitos de alterna de un lazo simple: – la resistencia– la inductancia (interna, considerando el efecto

skin), – la inductancia externa – el término capacitivo

• En terminos de ecuación diferencial y fasorial se puede expresar con la siguiente expresión:

( ) 1oV I R j Li j Le

j Cω ω

ω⎡ ⎤

= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 1( ) ( ) ( ). ( ).dI tVo t Li Le I t dt I t Rdt C

= + + +∫ ( )j tVo Ve ω φ+=

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