tema 1. campos y edps. ingeniería geoambiental. ing. geológica. etsi caminos, upc conceptos...

Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas

parciales(repaso)

Jesús Carrera

ETSI Caminos

UPC


Contenido

• Campos: definiciones y conceptos básicos• Operadores diferenciales: gradiente y tal• Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc• Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones


Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:

Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO):

d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación).

Definiciones: Campo, VER

3:

( )

df

fx x

( )0( ) lim VV xx

VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que adopte valor estable


Coordenadas cartesianas.

e2

e’ 2

e1

e’ 1

x

x1

x2

x 1

X’ 2

e2e2

e’ 2e’ 2

e1e1

e’ 1e’ 1

x

x1

x2

x 1

X’ 2

xx

x1

x2

x 1

X’ 2

x1

x2

x1

x2

x 1

X’ 2

x 1

X’ 2

1 1 2 2 1 1 2 2' ' ' 'x x x xe e e e

1 1

2 2

' cos' ·

' cos

x xsen

x sen xx P x

P es una matriz de rotación

Cambio de coordenadas

x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición: i i i i

i

x y z x xx i j k e e

( , , )x y z1 2 3( , , )x x x


Tensores

Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores.

Definición

Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: ' v P vEjercicio

Supongase en el sistema y enSustituyendo

Resuta

Analogamente

Cambio de coordenadas en matrices q K g ( , )x y ' ' 'q K g ( ', ')x y

' q P q 'g P g

1 'K P K P

1' K PK P


Valores principales. Círculo de Mohr

Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación

Direcciones principales

p12

11 22

22 p

Ktg

K K

Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales:

Valores principales

I mK K d

11 22

2m

K KK

22 11 2212 2

K Kd K

II mK K d

Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales

Círculo de Mohr


Campo escalar

Función escalar definida sobre el EGO: Definición

Depende de la dimensión del EGO.

1-D: f vs x

2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc.

Visualización

Temperatura, presiones, viscosidad, etcEjemplos

3:f


Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc

Campo Vectorial

Función vectorial definida sobre el EGO: Definición

Casi solo en 2D. •mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección •mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza.

Visualización

Ejemplos

: , 1, 2 3n nf n ó


conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones

Campo Tensorial

Función tensorial definida sobre el EGO: Definición

DifícilMediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales

Visualización

Ejemplos

: , 1, 2 3n n nf n ó


Gradiente

Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple:

Perpendicular a las isolineas de h

Orientado en el sentido creciente de las isolineas

Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas.

Propiedades

1

2

3

/

/

/

h x

h h h x

h x

grad

Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por:

Definición

Ejemplo


Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por:

Divergencia

Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen.

Propiedades

Definición

Ejemplo

1

21 2 3

3

( ) , ,

f

div fx x x

f

f f

31 2

1 2 3

i

i

ff f f

x x x x

1 2 3-1 x1

1

2

x2

1 1( ) 0,1f x x

2 0f x

1 2

1 2

0,1 0 0,1f f

x xf


El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial:

Rotacional

Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha.

El gradiente de un campo es irrotacional:

Propiedades

Definición

1 1 1

2 2 2

3 3 3

/

/

/

x f

x f

x f

e

rot f f e

e

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

f ff f f f

x x x x x xe e e

Ejemplo

32f e

1 2 3-1 x1

1

2

x2

1 2

2 1

3 0

f x

f x

f

( ) 0frot grad


Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente

Laplaciano

Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia.

Propiedades

Definición

1 2 2 22

2 2 2 21 2 3 1 2 3

3

/

, , /

/

xh h h

h h x fx x x x x x

x


Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano

31 2

1 1 11

31 22 1 2 3

2 2 23

31 2

3 3 3

/

( ) ( ) / ( , , )

/

ff f

x x xx

ff fx f f f

x x xx

ff f

x x x

Jac f J f f

2 2 2

21 1 2 1 3

1 2 2 2

2 21 2 3 2 1 2 2 3

3 2 2 2

23 1 3 2 3

/

( ) /

/

h h h

x x x x xx

h h hh h x h

x x x x x x x xx

h h h

x x x x x

H


Flujo. Teorema de la divergencia

n f

f cantidad por unidad de superficie

f·n cantidad por unidad de superficie de

Flujo de f a través de : Cantidad total que pasa (entradas-salidas)

F d

f n

Flujo

Teorema de la divergencia

d d

f n f

•Da sentido a la divergencia

•Se emplea mucho para establecer balances


Se toma un campo escalar tal que entonces la primera identidad quedaría como:

Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green:

Segunda Identidad de Greeng

2 d d d

n

2 2( ) ( )d d

n

Identidades de Green

Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta:

Primera Identidad de Green

( ) f g g g

d d d

g g n g

f g


Circulación. Teoremas de Stokes y de Green

t f

L

circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva

Circulación

LC d l f t

Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie

Teorema de Stokes

Ld dl

f n f t

Versión 2-D del Teorema de Stokes

Teorema de Green

2 11 1 2 2

1 2

( ) ( )L

f ff d x f d x d

x x


La integración es trivial por separación

Si a y f son constantes queda:

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200

distancia (unidades arbitrarias)

con

cen

trac

ión

(u

nid

. ar

b.)

Inicial

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200

distancia (unidades arbitrarias)

con

cen

trac

ión

(u

nid

. ar

b.) Inicial

Inicial + a(t-t0)

EDP’s de primer orden: Acumulación

( , ) ( , )u

a x t f x tt

0 0

( )( ) ( )

( )

t f tu t u t d t

a t

0 0( , ) ( , ) ( )f

u x t u x t t ta

El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por:

EDP

Integración


La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es =b/a):

La integración es trivial por separación:

Integrando, queda:

Imponiendo condiciones iniciales:

Si es constante (1/ es lavida media):

EDP’s de primer orden: DegradaciónEDP

Integración

u

b1

Vel. degrad.

0du

udt

( )du

t dtu

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200

distancia (arbitrarias unidades)

co

nc

en

tra

ció

n (

un

ida

de

s a

rb.) Inicial

Inicial*exp(-a(t-t0))

0

ln ( ) ( )t

tu I t t dt K

( )0

I tu u e

0( )0( , ) ( , ) t tu x t u x t e


Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante , el balance es:

EDO’s de primer orden linealesEDO

Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable

Sustituyendo en la ecuación original y simplificando:

Integrando de nuevo:

Imponiendo condiciones iniciales para determinar D:

donde es la solución estacionaria.

( )( ) I tu C t e

( )'( ) ( )I tC t e f t

( )( ) ( ) I tC t f t e dt D

0 0( ) ( )0( ) 1t t t tf

u t u e e

0( )0( ) ( ) t tu t u u u e

u

Integración

duu f

dt

t

u

u

0u


El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicasEDP

( , ) ( , ) ( , )u u

a x t q x t f x tt x

Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda:

Con

Si esta ecuación define la trayectoria ( )

La ecuación queda:

Cuya solución es:

O

Coefs. ctes.

( , )du x t u dx u

dt x dt t

/dx dt v

0x x vt 0

du

dt

0 0( ( ), ) ( )u x t t u x

0( , ) ( ) ( )u x t u x vt u x vt

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200

distancia (m)

conc

entr

ació

n vt

conduce a

Coefs. variables

0u dx du f

vx dt dt a

00( )

t

tt dt x x v

00 0 0

( ( ), )( ( ), ) ( , )

( ( ), )

t

t

f t tu t t u t dt

a t t

xx x

x


El término difusivo. Ecuaciones parabólicas

Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc:

Ecuación de difusión

2

2

u ua D

t x

Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda:

Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp.

Adimensionalización

D

xx

L

2D

Dtt

aL

2

2D D

u u

t x

Haciendo el cambio:

la ecuación queda

Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual)

Transf de Boltzmanx

t

2

20

2

du d ua D

d d


tD=.01

tD=0.1

tD=0.3

esfera

Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno

Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0.

Problema

( ,0) 0u x 0( , )u L t u

tD=.01

tD=0.1

tD=0.4

cilindro

tD=.01

tD=0.1

tD=0.8

placa

Por separación de

variables

2

200

4 ( 1) (2 1) (2 1)exp cos

(2 1) 4 2

n

n

u n Dt n x

u n aL L

Solución

x/L

u/ u

0


0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.

Difusión, en medio infinito de una masa M. Problema

Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo

Para dimensiones n=1, 2 ó 3

La conc. max. Se reduce propordinalmente a

,0M

u x xa

2 /Dt a 2

2exp

22

M xu

a

2 2 2

2 / 2 2exp

(2 ) 2n

M x y zu

a

/ 2(4 / )mx n

Mu

a Dt a

/ 21/ ntmxu

Solución

Si ,

Es decir,

Empieza a enterarse para tD>0.5

3 3 2 /x Dt a 0u

2

1

18D

Dtt

a x


1

/ 2

1exp ( ) ( / ) ( )

22 /

t t

n

Mu e f t t t a t

a t a

x v D x v

D

( )u

a u u u ft

D q

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

inicial

tras dispersión

tras advección

tras degradación

tras acumulación

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras degradación

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Condición inicial

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras dispersión

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras advección

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

co

nc

en

tra

ció

n

tras acumulación

Transporte


1

/ 2

1exp ( ) ( ) ( )

22

t t

n

Mu e f t t t t

a t

x v D x v

D

tema 1. campos y edps. ingeniería geoambiental. ing. geológica. etsi caminos, upc conceptos...

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