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Teorıa de Juegos

Maria Luisa Perez Seguı[email protected]

FCFM - UMSNH

Miguel [email protected]

ENES - UNAM

9 de marzo de 2020

Malu Teorıa de Juegos 9 de marzo de 2020 1 / 1

mailto:[email protected]

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Indice:


Que es un Juego

Teorıa de Juegos es el area de las matematicas que estudia las situacionesde conflicto, cooperacion, etc.

Definicion

Un juego es una situacion en la que:

Hay al menos dos jugadores (pueden ser personas, instituciones,especies biologicas, etc.).

Cada jugador tiene un conjunto de estrategias o posibles acciones quepuede tomar.

Las estrategias que tomen los jugadores determinan el resultado deljuego.

Asociado a cada posible resultado del juego hay un valor numerico deutilidad o ganancia para cada jugador.


Que es un juego

Cada concepto lo definiremos con mas precision a lo largo del curso.Por ahora los usaremos de manera intuitiva. En particular, el conceptode “utilidad” es muy sutil.

Los juegos pueden ser de muy diversa naturaleza:

Un candidato tratando de ganar una eleccion.Una empresa tratando de vender un producto.Una especie tratando de pasar sus genes.

En muchas situaciones de la vida real es difıcil determinar valoresnumericos para las ganancias, inclusive puede ser difıcil decidirquienes son los jugadores.

La T. de Juegos busca modelar las situaciones de juego reales, deforma simple, guardando la esencia de los problemas.


De que trata la Teorıa de Juegos

La teorıa consiste en el estudio de como debe jugar cada jugador paramaximizar sus ganancias suponiendo que todos los jugadores jueganracionalmente.

Cada jugador tiene algo de control sobre el resultado del juego, peroel resultado tambien depende de lo que escojan los otros jugadores.

Las ganancias de un jugador no necesariamente implican perdidaspara otros jugadores, de manera que una parte del estudio consiste endeterminar posibles estrategias de cooperacion.

Otro punto a considerar es que algun jugador no juegue de maneraracional.

Hay una frase que resume todo el curso:

“Ponte en los zapatos del otro.”Pero claro, “el otro” se debera poner en los zapatos del otro, que erestu, y etc.

Empezaremos con 2 jugadores y despues veremos que pasa con masjugadores.


Aplicaciones

Aunque se llamen “Juegos”, son importantes. La abstraccionmatematica nos hace darnos cuenta que muchas situaciones de lavida, aparentemente disimilares, son lo mismo en el fondo.

Vamos a ver muchos ejemplos y aplicaciones. Ademas de proporcionarintuicion, hay muchas aplicaciones al mundo real de la Teorıa deJuegos.

Casi en todas las carreras de Economıa, por ejemplo, ven Teorıa deJuegos. Pero no se limita a economıa.

Ademas de Economıa, tiene aplicaciones en: Biologıa, Psicologıa,Computacion, Polıtica, Filosofıa, Justicia, Estrategia Militar, etc.

En fin, en cualquier area en donde haya conflictos, interesesencontrados, etc.

La Teorıa de Juegos nos ayuda a entender el mundo.


Indice:


Enfoques de los juegos

Todos los juegos se reducen a lo mismo, pero para estudiarlos se utilizanenfoques muy diferentes.

Juegos Economicos: Se tienen dos matrices del mismo tamano, unarepresenta la utilidad del jugador “columna” (que llamaremos Colın) yla otra del jugador “renglon” (a quien llamaremos Rosa). Colın escogeuna columna y Rosa escoge un renglon. Las utilidades que obtienenaparecen en las respectivas entradas que estan en la columna yrenglon escogidos en las matrices. (Calculo, Algebra Lineal,Combinatoria.)

Juegos Combinatorios: Ambos jugadores tienen toda la informaciondel juego, pero usualmente hay demasiadas posibles estrategias paraconsiderarlas todas. (Combinatoria, Algoritmos, Inteligencia Artificial.)

Juegos de Azar: Parecidos a los juegos Combinatorios, excepto quehay azar. Usualmente cada jugador trata de maximizar su esperanza.(Combinatoria, Algoritmos, Inteligencia Artificial, Probabilidad.)


Enfoques de los juegos

Juegos Biologicos: La misma situacion que en los juegos Economicos,excepto que aquı se divide el conjunto de individuos en grupos, y cadagrupo tiene cierto comportamiento que no puede cambiar. Se tratade estudiar que especies tendran mayor exito y como ira cambiando lapoblacion. (Sistemas Dinamicos, Ecs. Diferenciales, Simulacion.)

Disenos de sistemas polıticos, subastas, etc.: La idea es que al disenarcualquier sistema polıtico de reglas, hay que tener mucho cuidadopara que nadie se pueda aprovechar. (Lo mismo que en loseconomicos + ¿sentido comun?.)


Suma Cero vs Suma no Cero

Los Juegos de dos jugadores se dividen tambien en “Juegos de SumaCero” y “Juegos de Suma no Cero”.

La idea es que en los juegos de suma cero no puede habercooperacion, pues las “utilidades” estan totalmente encontradas.Usualmente los juegos combinatorios son ası. Uno gana y el otropierde.

En los juegos de suma no cero, hay posibilidad de cooperacion, yentonces la teorıa trata de buscar como hacer para motivar lacooperacion, que se alcance justicia, etc.


Indice:


Complejidad

En la vida real los juegos pueden ser increıblemente complicados.

No siempre sabemos quienes son los jugadores, no podemos concebirtodas las posibles estrategias, es difıcil asignar utilidades a cadaresultado, hay mucho azar y es difıcil calcularlo, etc.

Entonces lo mejor que podemos hacer es un modelo idealizado de unasituacion en la vida.

Despues veremos que muchas situaciones sı se ajustan al modeloidealizado y la Teorıa de Juegos nos proveera muchas veces larespuesta, o al menos un “que NO debemos hacer”.

Aun ası, ha tenido muchas aplicaciones reales al mundo que hanfuncionado muy bien: Subastas, Pokar, etc.

Empezaremos nuestra aventura en juegos simples en matrices.


Indice:


Juegos en Matrices

Un juego economico, entonces lo vemos ası:

Tenemos una matriz con dos entradas reales en cada posicion.

Dos jugadores, Rosa y Colın escogen simultaneamente un renglon yuna columna respectivamente.

Cada quien obtiene la ganancia que dice el cuadrito.

Rosa

ColínA B

A

B (-2,2)

(0,0)

(3,-3)

(-2,2)

(-10,10)

(5,-5)

C


Ciclo terrible!

El juego anterior crea un ciclo terrible de “yo pienso que tu vas apensar que yo voy a pensar”, etc.

Veremos como resolver este tipo de juegos despues.


Juegos Pequenos

Ahora veremos y analizaremos varios juegos pequenos.

Aunque sean pequenos son muy interesantes.

Trataremos de pensar de manera creativa:

A veces lo mejor que puedes hacer es cambiar el juego de algunamanera que te convenga.

Todo esto lo formalizaremos despues.


Dilema del Prisionero

Vamos a empezar con una situacion que aparece basicamente en 90 % delos capıtulos de “La Ley y el Orden”.

Supongamos que Tu y tu Companero cometen un robo a un banco.

Logran esconder todo el dinero y la evidencia, pero no las pistolas queusaron.

La policıa los agarra y los pone en cuartos diferentes y le dice a cadauno:

“Mira, ya te agarramos por posesion ilegal de armas. Eso es 1 ano enla carcel para cada uno. Sabemos que fueron ustedes los que asaltaronel banco, pero no tenemos evidencia. Vamos a hacer un trato:

“Si testificas en contra de tu companero, y el no habla, te soltamos.Sin embargo, si tu no confiesas pero tu companero sı, entonces tetocaran 10 anos de carcel. Pero si el confiesa y tu tambien, a ambosles daremos 5 anos de carcel. A el le propusimos lo mismo y lo estapensando. Tienes 1 minuto para responder.”


Dilema del Prisionero

Tú

CompañeroConfesar No Confesar

Confesar

No Confesar (-1,-1)

(0,-10)

(-10,0)

(-5,-5)


Entonces en este juego, no importa que escoja el otro, a ti teconviene confesar.

A ambos les conviene confesar aunque el resultado sea peor que sininguno confesara.

Esta es una de las “paradojas” mas importantes de la Teorıa deJuegos y se puede ver en muchos lugares diferentes: Transito, Robos,Contratos, etc.

Se estudia mucho como se pueden evitar estas situaciones en la vidadiaria, en donde los intereses personales conflictuan con los interesessociales.

Algunas maneras comunes de lidiar con el problema son: Reputacion,Castigos, Recompensas, Repeticion, etc.


Cooperacion

Imaginemos que vamos a ir a una fiesta de disfraces con un amigo yse pusieron de acuerdo para uno ir de Batman y el otro de Robin.

Sin embargo, se les olvido quien irıa disfrazado de que.

Tu personaje favorito es Batman y el de tu amigo es Robin, peroestan de acuerdo que el peor resultado serıa que ambos fueranigualitos. ¿Como irıas disfrazado?

(0,0)

(1,1)

(2,2)

(0,0)


Batalla de los Sexos

Rosa y Colın son novios y los invitan a ambos a dos fiestas diferentes.Una es con los amigos de Colın y otra con los de Rosa.

Quieren ambos ir a la misma fiesta, obviamente, pero cada quienprefiere ir a la fiesta de sus amigos.

Viven separados y simplemente ambos van a escoger a que fiesta ir yllegar ahı. ¿Como se ponen de acuerdo?


Batalla de los Sexos

(0,0)

(1,2)

(2,1)

(0,0)


Un comentario sobre la utilidad

Uno podrıa estar tentado a decir: “En ese caso yo me sacrificarıa porla otra persona, porque me importa mas su felicidad que la mıa”.

Pero eso es incorrecto: No es que este mal, es que entonces suspreferencias no eran lo que decıa la tabla, sino otras diferentes.

Los cuentos que contamos acerca de cada juego son para ilustrar:podrıamos pensar otra situacion en donde efectivamente ası quedanlas utilidades.


¿Que harıas en un juego ası?

Supon que eres Colın. Si piensas que Rosa elegira ir a la fiesta de susamigos, eso mismo te conviene a ti.

Pero tu preferirıas ir a la de tus amigos con Rosa.

De pronto recibes una llamada por telefono; contestas y es Rosa quedice: “Voy a ir a la fiesta de mis amigos”. Antes de que puedascontestar, cuelga y desconecta su telefono.

¡Ni modo! Penso mas rapido que tu.

Con esta estrategia, Rosa convirtio un juego simultaneo en un juegopor turnos.


Juego del Ultimatum

Ahora Colın y Rosa son hermanos y tu eres su papa o mama.

Le das a Rosa, la mayor, $100 y le dices que se lo repartan entre ellay su hermano, pero que ella decida cuanto para cada quien.

Si Colın, el menor, acepta la oferta de Rosa, ya se quedan con esedinero.

Si Colın hace berrinche y no acepta, entonces le quitas el dinero a losdos.


Defensa del Castillo

Llegas con tus soldados en un barco a una isla que tiene un castillo.Adentro del castillo estan unos pocos defensores.

Sabes que si atacas, probablemente tomes el castillo, pero perderasmuchos soldados antes de entrar.

Lo mejor para ti serıa que los otros se rindieran.

Estas seguro que ellos preferirıan que ustedes se rindieran.


Defensa del Castillo

(1,2)

(0,0)

(1,2)

(3,1)Atacar

Retirarse

Defender Rendirse


Pollito

Van ambos jugadores en un coche directo a chocar uno con otro.

El primero que se mueva, pierde.


Juego del Pollito

(1,3)

(0,0)

(2,2)

(3,1)Seguir

Rendirse

Seguir Rendirse


Analisis

¿Que harıas en un juego de pollito?

Podrıas cerrar los ojos y anunciar que no te quitaras.

Pero el otro podrıa hacer lo mismo.

Entonces en este juego ¡el mas loco e irracional es el que gana!

En realidad es el mismo juego que el del castillo.


Una nota sobre la irracionalidad

Hay varios “juegos” en los que aparentemente el jugador irracionalgana.

Por ejemplo, la venganza es un acto irracional aparentemente, peroen el que quien lo practica tiene mayores posibilidades de ganar.

En realidad no es ası: el jugador que aparenta ser irracional gana.

No es bueno ser irracional, pero a veces conviene que los demaspiensen que lo eres.


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