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Teorıa de Utilidad

Maria Luisa Perez Seguı[email protected]

FCFM - UMSNH

Miguel [email protected]

ENES - UNAM

9 de marzo de 2020

Malu Teorıa de Utilidad 9 de marzo de 2020 1 / 22

mailto:[email protected]

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Indice:

1 IntroduccionHistoriaUtilidad OrdinalUtilidad CardinalDos jugadores


Utilidad

Hasta ahora hemos estado usando la utilidad como un conceptointuitivo.

Hoy hablaremos de lo que significa que “la utilidad de Rosa sea 17”.

Tambien hablaremos acerca de las propiedades que debe cumplir unafuncion de utilidad, y de como, en la vida real, podrıamos hacerexperimentos para asignarle utilidades a preferencias.

Finalmente la utilidad es una medida de las preferencias de laspersonas.


Historia: Racionalidad

Los humanos no siempre somos perfectamente racionales.

Por mucho tiempo los economistas han supuesto este tipo deracionalidad en sus modelos (el llamado Homo Economicus).

Recientemente se ha puesto de moda la “economıa delcomportamiento”, que trata de estudiar a los humanos como son, yver cuando difieren del comportamiento puramente racional y por que.

Durante el curso veremos varios ejemplos de esto, pero paraentenderlos completamente, veremos primero que es una utilidadracional.


Utilidad Ordinal

¿Que significa que Rosa obtenga utilidad 1 en el caso A y 5 en el casoB?

Primero, que Rosa prefiere B que A.

Pero... ¿por que 1 y 5? ¿Por que no 0 y 1?

Primero: Podrıa haber una tercera opcion, C, que le diera utilidad 3 aRosa, y entonces decimos que Rosa prefiere primero B, si no,entonces C y al final A.


Utilidad Ordinal

Para poder asignarle numeritos a las preferencias de Rosa, lo queimporta entonces es el orden de sus preferencias.

Para que Rosa le pueda dar un orden a sus preferencias necesita:

completitud: Poder distinguir entre sus preferencias. Es decir, entrecualesquiera estados del mundo A y B, o prefiere A, o prefiere B o leda igual.Transitividad: Si prefiere A sobre B y B sobre C, debe preferir A sobreC.


Ejemplos de preferencias no Racionales

completitud: ¿Que prefieres: Un pulparindo o mirar 17 segundos porun kaleidoscopio?

Transitividad: Es un poco mas complicado pensar un ejemplo de esto,pero ocurre. Por ejemplo, serıa facil concebir la siguiente situacion.Tienes 3 opciones:

1 Ver Television.2 Trabajar.3 Salir con tus amigos.

Si no tienes que trabajar y tus amigos te invitan a salir, es raro decirque no porque “vas a ver television”. (3 > 1)

Si te invitan a salir y tienes que trabajar, usualmente les dices que noporque debes trabajar (2 > 3).

Pero, ¿cuantas veces has dejado de trabajar por ir a ver television?(1 > 2)


Utilidad Ordinal

Entonces, las preferencias de un ser racional deben satisfacer esos dosaxiomas.

Si satisfacen eso, entonces le podemos dar un orden a los estados delmundo de acuerdo a las preferencias de Rosa.

Pero... entonces podrıamos darle los numeritos 0, 1, 2, 3, 4, . . . a laspreferencias de Rosa.

De esta manera, no hay diferencia entre asignar a tus preferencias0, 1, 2 y 0, 1, 1000.

Una asignacion ası, que cumpla el orden correcto, le llamamos unaasignacion de utilidad ordinal.


Utilidad Ordinal

Por ejemplo, en un juego de 3× 2 en el que el orden de preferencia deRosa estuviera bien definido y las ordenara de acuerdo a suspreferencias con los numeros del 1 al 6 (dando 6 puntos de utilidad ala mejor), y justo las preferencias de Colın fueran las opuestas, setendrıa un juego de suma 0. Si ese juego tuviera punto silla, como porejemplo, 6 1

5 42 3

,que tiene punto silla en 4, entonces no importarıa si una de laspreferencias fuera mucho mas fuerte que la que le sigue y las otrasestuvieran cercanas.


Utilidad Cardinal

¿Cual es la diferencia entre 0, 1, 2 y 0, 1, 1000? ¿Que podrıa cambiarde como juegas entre una y otra asignacion?

Para un punto silla no importa si modificas los numeritos por cualquiertransformacion que preserve orden.

¿Cuando cambia?

La diferencia entre dos asignaciones se ve cuando hablamos deEstrategias Mixtas y maximizacion de esperanza.

En realidad, el principio de maximizacion de esperanza lo podemospensar como que es parte de la definicion de utilidad.


Utilidad cardinal - Loterıas

¿Que prefieres, $10, o 50 % de probabilidad de obtener $0 y 50 % deprobabilidad de obtener $100 000?

Aquı es donde juega un papel importante cuales son los numeritos, nosolo su orden.

Entonces una funcion de utilidad u sera una asignacion de los estadosdel mundo a los reales de modo que concuerde con esta idea:

Si A, B y C son estados del mundo y αu(A) + (1− α)u(B) = u(C),es porque a Rosa le da igual entre:

Una loterıa que con probabilidad α el mundo queda en estado A y conprobabilidad (1− α) en estado BQue el mundo quede en estado C.


Utilidad cardinal - Loterıas¿Como asignar utilidades a las preferencias de Rosa?

Le pedimos a Rosa que ordene las opciones de acuerdo a suspreferencias.

Asignamos dos valores arbitrarios a dos preferencias de Rosa: m y M ,con m < M (podrıamos empezar con las dos mas extremas).

Digamos que asignamos 0 a m y 1 a M .

Para cualquier otra opcion x intermedia, se le pregunta a Rosa: ¿Queprefieres: x segura, o cada una de m y M con probabilidad 1/2?

Digamos que dice que prefiere x a la loterıa. Entonces x debe estarsituada a la derecha de 1/2.

Luego se le pregunta: ¿Que prefieres, x segura o m con probabilidad1/4 y M con probabilidad 3/4?

Esto nos dira si x esta entre 1/2 y 3/4, o entre 3/4 y 1, etcetera,hasta que diga que le es igual.

Repetimos esto hasta localizar todas la preferencias.

La idea es que las preferencias de Colın sean justo las opuestas de lasde Rosa (para que sea juego de suma 0).


Asignacion de utilidades - Loterıas

Por ejemplo, si se asignaron cardinalmente las utilidades u = 20,v = 70 y w = 80, entonces, como 70 esta a 5/6 de la diferencia de60 = 80− 20, entonces quiere decir que a Rosa le da igual entre v y5/6 de 80 y 1/6 de u, o en otras palabras,

70 = (1/6) 20 + (5/6) 80 :


¿Que pasa en el mundo real?

Phillip Straffin, el autor del libro que seguimos, dice que intento consus alumnos asignarle utilidad a sus gustos para obtener 1 de 5pinturas.

El 10 % de la gente ni siquiera pudo ordenar las pinturas.

Otro 30 % de la gente sı las pudo ordenar, pero no respondio lo de lasloterıas suficientemente bien para poder asignar utilidades.

El resto (60 %) sı respondio de manera que mas o menos se le podıanasignar utilidades a las pinturas.


Utilidad cardinal - Loterıas

Notemos que una asignacion de utilidades ası es invariante bajotransformaciones lineales positivas.

Por ejemplo, son equivalentes las utilidades (−1, 0, 2, 4) que(17, 19, 23, 27), pues la segunda se obtiene de la primera a traves dela funcion lineal dada por f(x) = 2x+ 19.

Al graficar los puntos (−1, 17), (0, 19), (2, 23), (4, 27) verıamos queestan sobre una recta de pendiente negativa.

Los juegos

[(−1, 17) (0, 19)(2, 23) (4, 27)

]y

[(−1, 1) (0, 0)(2,−2) (4,−4)

]son equivalentes.


Suma 0

P: ¿Que significa que un juego sea de suma 0?

R: Que los intereses estan totalmente encontrados.

En realidad, si por ejemplo sumaran una constante, tambien serıa lomismo.

¿Hay otro caso? ¿Como caracterizamos un juego que se puedetransformar a uno de suma 0?

Cuando al graficar las utilidades como coordenadas los puntos quedansobre una recta de pendiente negativa. En ese caso, con unatransformacion lineal podemos convertir el juego a “suma 0”.


Loterıas

Vamos a formalizar un poco.

Sea Ω = ω1, ..., ωn el conjunto de estados posibles del mundo.

Una loterıa es una combinacion convexa (formal) de Ω.

Sea L el conjunto de loterıas:

L := λ1ω1 + · · ·+ λnωn :∑

λi = 1, λi ≥ 0.

Se le da un orden total a la loterıa L: Decimos que f ≤ g paraf, g ∈ L si “Rosa prefiere jugar la loterıa g a jugar la loterıa f”.


Axiomas

Completitud: Para todo f, g ∈ L, se tiene que f ≤ g o g ≤ f .

Transitividad: Si f ≤ g y g ≤ h, entonces f ≤ h.

Substitucion: f ≤ g =⇒ αf + (1− α)h ≤ αg + (1− α)h

Monotonicidad: Mejor probabilidad de algo mejor es mejor: f ≤ g yα ≤ β implica que αf + (1− α)g ≥ βf + (1− β)g.

Continuidad: Si f ≥ g ≥ h, entonces existe α tal queg ' αf + (1− α)h.


Utilidad Cardinal

Si tenemos un orden en L que cumpla esos axiomas, entonces resulta queexiste una funcion de utilidad u. Es decir,

u : Ω→ R

tal que u modela exactamente las preferencias de loterıa de Rosa:

u(f) ≤ u(g) ⇐⇒ f ≤ g

donde u(∑λiωi) :=

∑λiu(ωi).

Ademas, u es unica salvo funciones lineales. Es decir, si T es una funcionlineal (no constante) de R en R, entonces Tu tambien cumple, peroninguna otra.


¿Como comparo la utilidad de Rosa con la de Colın?

Dado que la utilidad esta definida salvo multiplicacion y traslacion, notiene sentido comparar la utilidad de Rosa con la de Colın.

Algunos pensamos que el objetivo de la vida es maximizar la “utilidadtotal” de todos los seres (y luego integrar sobre el tiempo).

Sin embargo, bajo esta definicion de utilidad no podemos comparar lautilidad de dos personas diferentes.

En la vida a cada rato decimos cosas como “Para mı es masimportante comerme este pulparindo que para ti”, ası que sı tenemosintuicion de como comparar utilidades, pero en este curso nocompararemos, porque no esta bien definido.


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